ANALISIS NUMERICO Un mundo de numeros
...Y MAS!!
Editorial El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.
nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.
Otro motivo que ha propiciado el auge del Análisis numérico ha sido el desarrollo de los ordenadores. En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo El aumento brutal de la potencia de cálculo ha cones un procedimiento que nos puede llevar a una so- vertido en posibles y en eficientes a algoritmos poco lución aproximada de un problema mediante un nú- dados a su realización a mano. mero de pasos finitos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre Los problemas de esta disciplina se pueden dividir de métodos constructivos a estos algoritmos numé- en dos grupos fundamentales: ricos. Problemas de dimensión finita: aquellos cuya En general, estos métodos se aplican cuando se nerespuesta son un conjunto finito de números, cesita un valor numérico como solución a un procomo las ecuaciones algebraicas, los determiblema matemático, y los procedimientos "exactos" o nantes, los problemas de valores propios, etc… "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, Problemas de dimensión infinita: problemas en etc...) son incapaces de dar una respuesta. Debido a cuya solución o planteamiento intervienen eleello, son procedimientos de uso frecuente por físimentos descritos por una cantidad infinita de cos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favonúmeros, como integración y derivación numérecido por la necesidad de éstos de obtener solucioricas, cálculo de ecuaciones diferenciales, internes, aunque la precisión no sea completa. Debe repolación, etc... cordarse que la física experimental, por ejemplo,
AUTOR : ANGELO BERARDINELLI MATERIA: ANALISIS NUMERICO SECCION: SAIA A
C.I.:20.926981
Interpolación Se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de pun-
tos. En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido. En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una función f que verifique
a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos xk se les llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la interpolación lineal, la interpolación polinómica (de la cual la anterior es un caso particular), la interpolación por medio de spline o la interpolación polinómica de Hermite.
Uno de los métodos de interpolación más sencillos es el lineal. En general, en la interpolación lineal se utilizan dos puntos, (xa,ya) y (x b,yb), para obtener un tercer punto interpolado (x,y) a partir de la siguiente fórmula:
La interpolación lineal es rápida y sencilla, pero no muy precisa.
Polinomios interpolante de newton-gregory Cuando la funci贸n ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio
que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la f贸rmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).
Formula de avance:
Formula retroceso:
La fórmula usa la notación, que es el número de combinaciones de s cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones factoriales. Donde s viene dada por: x es el valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de partida para seleccionar los valores , que
serán seleccionados de la tabla de diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el caso de la fórmula de avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores forman una fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a ser la longitud o distancia entre los valores de xi .
Polinomios interpolante de gauss Hay una gran variedad de fórmulas de interpola- En el caso de la fórmula de avance los valores son ción además del Método de Newton-Gregory, tomados en forma de zig-zag, iniciando primero
difieren de la forma de las trayectorias tomadas hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula y así sucesivamente. En fórmula de avance los del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y valores son tomados en forma de zig-zag, inicianretroceso), donde la trayectoria es en forma de do primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de hacia arriba, y así sucesivamente. A continuación partida Xo serán seleccionados en forma de zig- se tiene las fórmulas de avance y retroceso del zag.
Polinomio Interpolante de Gauss.
Interpolación de Hermite Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de
tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.
Interpolación usando Splines Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de interpolación. Se ha observado que en apli-
caciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luscan uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con las siguientes propiedades: 1. s(x) es polinomio cúbico en . 2. existen y son continuas en . 3. s(x) interpola a la función f en los datos . 4. s(x) es continua en el intervalo.
Si escribimos , entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-
1) ecuaciones mientras que de 3) obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de libertad se fijan imponiendo condiciones de frontera adicionales en s(x). Defina . Como s(x) es cúbico en , entonces s"(x) es lineal
Sistema de números y errores A través del tiempo el hombre ha tenido contacto con un sistema; en cierta parte también con los Sistemas de Numeración. De éstos se esquematizará su significado, tipos; Sistema Binario, Decimal, Octal y el Hexadecimal. Se estudiará además los Sistemas de Medidas, como: Bit, Byte, Megabyte, Terabyte, y Gigabyte, sus definiciones y respectivos ejemplos que completarán el análisis del mismo. En el presente trabajo habrán otros puntos interesantes como los Sistemas de Unidades que están conformados por: Hertzio, Megahertzio, Nanosegundos, Milisegundos y Microsegundos; estos también se complementan con ejemplos. Se expondrá el concepto de Software Libre, su utilidad, Funcionamiento y varios tipos que existen en la actualidad con el fin que se conozcan un poco más acerca de ellos. El Sistema Binario: Es el sistema de numeración que utiliza internamente el hardware de las computadoras actuales. Se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Por lo tanto, es base 2 (Numero de dígitos del sistema) Cada dígito de un número representado en este sistema se denomina BIT (Contracción de Binary Digit). El Sistema Decimal: Es uno de los denominados sistemas posicionales, utilizando un conjunto de símbolos cuyo significado depende fundamentalmente de su posición relativa al símbolo coma (,), denominado coma decimal, que en caso de ausencia se supone colocada implícitamente a la derecha. El Sistema Octal: Es un sistema de numer ación cuya base es 8, es decir , utiliza símbolos par a la representación de cantidades, estos símbolos son: 01234567.
Este sistema también es de los llamados posicionales y la posición de sus cifras se mide con relación a la coma decimal que en caso de no aparecer se supone implícitamente a la derecha del número.