Argument 2 meetkunde - proefhoofdstuk

10

Hoofdstuk

Gelijkvormige figuren 1 Instap

a Hieronder zie je tweemaal een afbeelding van een woning met tuin. De ene is een vergroting van de andere.

We noemen die twee afbeeldingen gelijkvormige figuren.

Zo ook noemen we de twee woningen op die afbeeldingen, de twee bomen op die afbeeldingen, enzovoort, gelijkvormige figuren.

Hieronder zie je precies hetzelfde afgebeeld als op de vorige afbeeldingen.

Noemen we die afbeelding van de woning in de wiskunde gelijkvormig met de afbeeldingen van de woning hierboven?

Met een fotokopieerapparaat kun je figuren vergroten of verkleinen.

Welke van de afbeeldingen kun je daarmee zo behandelen dat er een afbeelding ontstaat die congruent is met de andere?

Hoofdstu k

10

195

b Op het linkerraster is het visje getekend dat je al kent uit de vorige hoofdstukken.

Teken dat visje over op het rechterraster.

Noemen we in de wiskunde de twee visjes gelijkvormig?

2 Gelijkvormige figuren In instap a noemen we de eerste twee afbeeldingen gelijkvormig.

Elke afbeelding kan met een fotokopieerapparaat zo vergroot of verkleind worden dat een afbeelding ontstaat die congruent is met de andere.

Voor de derde afbeelding is dat niet mogelijk.

In instap b noemen we de twee visjes ook gelijkvormig. Het linkervisje bijvoorbeeld kan met een fotokopieerapparaat zo vergroot worden dat er een visje ontstaat dat congruent is met het rechtervisje.

We zullen verderop natuurlijk meestal met wiskundige gelijkvormige figuren werken. Zo heb je wellicht al opgemerkt dat de rand van de figuur in instap b bestaat uit halve cirkels.

Ook in instap a tref je wiskundige figuren aan. De rand van de rechterkant van de woning is telkens een rechthoekig trapezium. We nemen de drie tekeningen van dat rechthoekig trapezium hieronder over: B’ B’’ B C’

C’’

C A’’ A

D

A’

D’

gelijkvormig

gelijkvormig

niet gelijkvormig met de figuren hiernaast

Algemeen zeggen we: Een figuur F is gelijkvormig met een figuur F’ als je F met een fotokopieerapparaat kunt vergroten of verkleinen tot een figuur die congruent is met F’.

semblable similar

Notatie F

F’

Lees:

F is gelijkvormig met F’

Onthoud is gelijkvormig met

196

D’’

H oof dstu k

1 0

Voorbeelden uit het dagelijks leven 1 2 3 4 5 6

Een dia en het beeld op een scherm.

Twee landkaarten van eenzelfde streek met een verschillende schaal.

Twee geodriehoeken met een verschillend formaat.

Twee vlaggen van eenzelfde land.

De drukletter A in twee formaten: A en A. Neem een A4-blad; duid de middens M en N van de langste zijden aan en snijd het blad volgens het lijnstuk [MN]; je krijgt dan twee zogenaamde A5-bladen; een A5-blad en een A4-blad zijn gelijkvormige rechthoeken.

Enkele vragen 1 Als je het trapezium A’B’C’D’ van blz. 196 over – 90° draait

A’

B’

blijft het dan gelijkvormig met het trapezium ABCD?

2 Zijn elke twee cirkels gelijkvormig?

C’

D’

3 Zijn elke twee vierkanten gelijkvormig?

4 Zijn elke twee rechthoeken gelijkvormig?

3 Gelijkstandige elementen Gelijkstandige elementen In de vorige gelijkvormige figuren ABCD en A’B’C’D’ noemen we: A en A’ gelijkstandige punten [AB] en [A’B’] gelijkstandige lijnstukken Cˆ en Cˆ’ gelijkstandige hoeken.

B

A’

B’

C A

D

C’

D’

Algemeen: als je een figuur door ze met een fotokopieerapparaat te vergroten of te verkleinen, volkomen doet samenvallen met een andere figuur, dan wordt elk element van de eerste figuur gelijkstandig genoemd met het element waarmee het, na vergroting of verkleining, samenvalt.

Bijzondere notatie voor gelijkvormige veelhoeken We nemen de afspraak voor het noteren van congruente veelhoeken over: gelijkstandige punten nemen overeenkomstige plaatsen in Zo noteren we bijvoorbeeld als volgt dat de driehoeken ABC en KLM gelijkvormig zijn: ΔABC

L

C

ΔMKL

Immers: A en M zijn gelijkstandige punten.

Zo ook B en K, zo ook C en L.

B

A M

Schrijf naast de volgende notaties of ze al of niet correct zijn: ΔBAC ΔKML

ΔABC ΔKLM

K

ΔCBA

ΔLKM

Het voordeel van die manier van noteren is dat je gelijkstandige elementen onmiddellijk kunt vinden, zelfs zonder naar de figuur te kijken.

Geeft men bijvoorbeeld ΔRNZ ΔDFE, dan kun je daaruit afleiden dat [RN] en [DF] gelijkstandige zijden zijn.

Hoofdstu k

10

197

Opdracht 1 Pas voor deze gelijkvormige veelhoeken de afspraak over de bijzondere notatie toe.

K B

B

L

C Q

P A A

E

D

C

C

Z

D

R

L M B

D

M

F

N F

E

P A

ΔABC

ABCD

G

ABCDEFG

4 Eigenschappen van gelijkvormige figuren We nemen opnieuw de gelijkvormige rechthoekige trapeziums van de vorige nummers.

Om de eigenschappen gemakkelijker te ontdekken hebben we een raster aangebracht.

A’

B

B’

C A

C’

D’

D

Vragen en opdrachten 1 Als in een figuur twee rechten evenwijdig zijn, is dat dan ook het geval voor de gelijkstandige rechten in de andere figuur?

2 Als in een figuur twee rechten loodrecht op elkaar staan, is dat dan ook het geval voor de gelijkstandige rechten in de andere figuur?

3 Meet voor elk trapezium de grootte van elke hoek.

trapezium ABCD:

|Â| =

ˆ| = |B

|Cˆ| =

ˆ| = |D

trapezium A’B’C’D’:

|Â’| =

ˆ ’| = |B

|Cˆ’| =

ˆ ’| = |D

Zijn twee gelijkstandige hoeken even groot?

4 Meet voor elk trapezium de lengte van elke zijde.

198

|AB| =

trapezium A’B’C’D’: |A’B’| =

Zijn twee gelijkstandige zijden even lang?

Zo neen, vind een andere merkwaardigheid voor de lengten van twee gelijkstandige zijden.

1 0

|C’D’| =

|DA| =

|B’C’| =

|CD| =

trapezium ABCD:

H oof dstu k

|BC| =

|D’A’| =

Eigenschappen Je hebt zo enkele eigenschappen ontdekt (vul aan).

1 Als in een figuur twee rechten evenwijdig zijn, dan zijn in een gelijkvormige figuur de gelijkstandige rechten ook

Voor de figuren:

AB // DC

ê

2 Als in een figuur twee rechten loodrecht op elkaar staan, dan staan in een gelijkvormige figuur de gelijkstandige rechten ook

Voor de figuren:

AB B AD

ê

CD B AD

ê

3 In gelijkvormige figuren zijn gelijkstandige hoeken

Voor de figuren:

|Â| = |Â’|

ˆ | = |B ˆ ’| |B

|Cˆ| = |Cˆ’|

ˆ | = |D ˆ ’| |D

4 In gelijkvormige figuren hebben de lengten van gelijkstandige lijnstukken een constante verhouding.

Voor trapezium ABCD

trapezium A’B’C’D’ vond je: |A’B’| |B’C’| |C’D’| |D’A’| = = = = 1,5 |AB| |BC| |CD| |DA| trapezium ABCD geldt dan:

Voor trapezium A’B’C’D’

|AB| |BC| |CD| |DA| 1 2 = = = = = |A’B’| |B’C’| |C’D’| |D’A’| 1,5 3

Die constante verhouding noemen we

de gelijkvormigheidsfactor.

Voor trapezium ABCD

trapezium A’B’C’D’ is de gelijkvormigheidsfactor dus 1,5.

2 Voor trapezium A’B’C’D’ trapezium ABCD is de gelijkvormigheidsfactor .

3

5 Gelijkvormigheidsfactor Definitie De gelijkvormigheidsfactor van twee gelijkvormige figuren F en F’ is de verhouding van de lengte van een lijnstuk van F’ tot de lengte van het gelijkstandige lijnstuk van F. Voor de gelijkvormigheidsfactor gebruikt men meestal de letter k.

Is bijvoorbeeld ΔABC gelijkvormig met ΔA’B’C’, met gelijkvormigheidsfactor k, dan geldt: |A’B’| |B’C’| |C’A’| = = =k |AB| |BC| |CA|

Daaruit volgt: |A’B’| = k · |AB|

|B’C’| = k · |BC|

|C’A’| = k · |CA|

Je vindt: de gelijkvormigheidsfactor van twee gelijkvormige figuren F en F’ is het getal waarmee je de lengte van een lijnstuk van F moet vermenigvuldigen om de lengte van het gelijkstandige lijnstuk van F’ te verkrijgen.

Hoofdstu k

10

199

Belangrijke opmerking Denk eraan dat eigenschap 4 over gelijkstandige lijnstukken van gelijkvormige figuren niet alleen geldt voor de zijden van een veelhoek maar voor alle gelijkstandige lijnstukken.

Ze geldt bijvoorbeeld ook voor de diagonalen van de gelijkvormige trapeziums ABCD en A’B’C’D’ in het vorige nummer: |A’C’| |B’D’| = = 1,5 |AC| |BD|

Voor de gelijkvormige driehoeken ABC en A’B’C’ hiernaast geldt ze bijvoorbeeld ook voor de hoogtelijnstukken [AD] en [A’D’]:

B’ B

|A’B’| |B’C’| |C’A’| |A’D’| = = = =k |AB| |BC| |CA| |AD|

A’

A

C’

D’

C

D

Vragen & opdrachten 2 Zijn de figuren F en F’ gelijkvormig? Zo ja, geef de gelijkvormigheidsfactor k.

F

F

F

F’

F’

F’

F

F F’

200

H oof dstu k

1 0

F’

3 E

B C

D

A

De driehoeken A, B, C, D, E zijn paarsgewijs gelijkvormig.

Geef de gelijkvormigheidsfactor voor: A

B

A

C

C D

E

D

C E

B

C

C A

D

B

D

C B

C

4 Construeer een figuur die gelijkvormig is met de gegeven figuur. Gebruik de gegeven gelijkvormigheidsfactor.

k=

1 2

Hoofdstu k

10

201

k=4

k=3

k=3

5 a Zijn elke twee driehoeken gelijkvormig? b Zijn elke twee gelijkbenige driehoeken gelijkvormig? c Zijn elke twee gelijkzijdige driehoeken gelijkvormig? d Zijn elke twee rechthoekige driehoeken gelijkvormig? e Zijn elke twee gelijkbenige rechthoekige driehoeken gelijkvormig?

6 Geef nog enkele voorbeelden van gelijkvormige figuren uit het dagelijks leven.

202

H oof dstu k

1 0

7 Zijn de volgende figuren altijd gelijkvormig? a twee rechten

e twee halve schijven

b twee lijnstukken

f twee kwartschijven

c twee halfrechten

g twee regelmatige zeshoeken

d twee hoeken

h twee regelmatige n-hoeken

8 a Zijn congruente figuren ook gelijkvormige figuren? b Zijn gelijkvormige figuren ook congruente figuren?

9 Waar of niet waar?

10 Gegeven : ΔABC Bereken:

ΔA’B’C’

F”

ê

F

F”

|AB| = 5 cm, |AC| = 7 cm, |B’C’| = 8 cm, |A’B’| = 3 cm

ΔA’B’C’

|Â| = 30°, |AB| = 6 cm, |AC| = 7 cm, |A’B’| = 12 cm

|Â’|, |A’C’|

12 Gegeven : ΔABC Bereken:

F’ en F’

|BC|, |A’C’|

11 Gegeven : ΔABC Bereken:

F

|Cˆ’|

ΔA’B’C’

ˆ | = 80°, gelijkvormigheidsfactor 2 |Â| = 72°, |B

13 Construeer met [KL] als zijde een rechthoek die gelijkvormig is met de rechthoek ABCD.

K C

B

A

3 cm

3,6 cm

2 cm

D L Hoofdstu k

10

203

6 Omtrek en oppervlakte van gelijkvormige figuren We geven twee gelijkvormige rechthoekige driehoeken ABC en A’B’C’.

C’

C

B

A

A’

B’

1 Meet voor elke driehoek de lengte van elke zijde.

|BC| =

|AB| =

|CA| =

|A’B’| =

|B’C’| =

|C’A’| =

2 Bereken de gelijkvormigheidsfactor: k = 3 Bereken voor elke driehoek de omtrek.

omtrek ΔABC = |AB| + |BC| + |CA| =

omtrek ΔA’B’C’ = |A’B’| + |B’C’| + |C’A’| =

Je stelt vast (vul een factor in):

omtrek ΔA’B’C’ =

· omtrek ΔABC

4 Bereken voor elke driehoek de oppervlakte.

opp. ΔABC =

opp. ΔA’B’C’ =

Je stelt vast (vul een factor in): opp. DA’B’C’ =

· opp. DABC

Wat is het verband tussen die factor en de gelijkvormigheidsfactor?

Eigenschappen 1 De verhouding van de omtrekken van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan de gelijkvormigheidsfactor.

Voor F

F’ met gelijkvormigheidsfactor k: omtrek F’ = k · omtrek F

204

H oof dstu k

1 0

2 De verhouding van de oppervlakten van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan het kwadraat van de gelijkvormigheidsfactor.

Voor F

F’ met gelijkvormigheidsfactor k: opp. F’ = k2 · opp. F

Controleer eigenschap 2 voor de gelijkvormige rechthoekige trapeziums van nr. 4 (lees de nodige afmetingen zelf af op de figuur).

B Nodige afmetingen C

voor trapezium ABCD:

D

A

voor trapezium A’B’C’D’:

B’

A’

Gelijkvormigheidsfactor: D’

Oppervlakten

C’

opp. trapezium ABCD = opp. trapezium A’B’C’D’ = verhouding:

Bewijs (vul aan) We geven een bewijs voor gelijkvormige driehoeken ABC en A’B’C’.

De voetpunten van de hoogtelijnen uit A en A’ noemen we D en D’.

Is k de gelijkvormigheidsfactor, dan geldt: |A’B’| = k · |B’C’| = k ·

A B’

|C’A’| = k · |A’D’| = k ·

A’

B

D’

C’

C

D

Daaruit volgt: omtrek ΔA’B’C’ = |A’B’| + |B’C’| + |C’A’|

=

=

=

(k buiten haken brengen)

1 opp. ΔA’B’C’ = . |B’C’| . |A’D’| 2

=

=

=

(verm. in Ä+0 is comm. en ass.)

Hoofdstu k

10

205

Vragen & opdrachten 14 Twee parallellogrammen zijn gelijkvormig. De gelijkvormigheidsfactor is 2,5.

De oppervlakte van het parallellogram met de kleinste oppervlakte is 12 cm2.

Bereken de oppervlakte van het andere parallellogram.

15 Gegeven: ΔABC

ΔA’B’C’ |AB| = 5 cm, |BC| = 4 cm, |AC| = 6 cm omtrek ΔA’B’C’ = 60 cm

Bereken: |A’B’|, |B’C’|, |A’C’|

16 Gegeven: ΔABC

ΔA’B’C’ |Â| = 90°, |AB| = 5 cm, |BC| = 13 cm , |AC| = 12 cm opp. ΔA’B’C’ = 270 cm2

Bereken: |A’B’|, |B’C’|, |A’C’|

17 a Je hebt een foto laten afdrukken in het formaat 10 × 15 en in het formaat 30 × 45.

Geef de verhouding van hun oppervlakten.

b Een panoramafoto is afgedrukt in het formaat 9 × 25. Je wilt ze laten afdrukken met een breedte van 10 cm. Welke lengte heeft die afdruk?

c Je hebt een foto met formaat 9 × 13 laten vergroten tot ze een oppervlakte van 468 cm2 heeft. Geef de afmetingen van die vergroting.

206

H oof dstu k

1 0

7 Verband met coördinaten We geven ten opzichte van een assenstelsel een ΔABC met A(3, 2) a Onderwerp de coördinaat van elk punt aan de opdracht (x, y)

f

B(1, 3)

C(4, 5)

y

(3x, 3y)

A(3, 2)

A’(

,

)

B(1, 3)

B’(

,

)

C(4, 5)

C’(

,

)

10

Is ΔABC gelijkvormig met ΔA’B’C’?

C

Zo ja, geef de gelijkvormigheidsfactor:

B

A

1 O

b Onderwerp de coördinaat van elk punt aan de opdracht (x, y)

f

1

10

x

10

x

y

(x, 3y)

A(3, 2)

A’(

,

)

B(1, 3)

B’(

,

)

C(4, 5)

C’(

,

)

10

Is ΔABC gelijkvormig met ΔA’B’C’?

C

Zo ja, geef de gelijkvormigheidsfactor:

B

A

1 O

c Onderwerp de coördinaat van elk punt aan de opdracht (x, y)

f

1

y

(– 2x, y + 2)

C

A(3, 2)

A’(

,

)

B(1, 3)

B’(

,

)

C(4, 5)

C’(

,

)

B

O

Is ΔABC gelijkvormig met ΔA’B’C’?

A

1

x

1

Zo ja, geef de gelijkvormigheidsfactor: Hoofdstu k

10

207

d Onderwerp de coördinaat van elk punt aan de opdracht (x, y)

f

y

C B

(– 2x, – 2y)

A(3, 2)

A’(

,

)

B(1, 3)

B’(

,

)

C(4, 5)

C’(

,

)

A

1 O

1

x

Is ΔABC gelijkvormig met ΔA’B’C’?

Zo ja, geef de gelijkvormigheidsfactor:

–10

Enkele opdrachten en vragen 1 Noteer de opdrachten waarvoor je gelijkvormige driehoeken krijgt.

2 Voeg bij de punten A, B, C het punt D(5, 2) toe.

Krijg je voor de opdrachten hiervoor gelijkvormige vierhoeken ABCD en A’B’C’D’?

3 Krijg je ook gelijkvormige figuren als je het getal 3 vervangt door een ander strikt positief getal?

4 Krijg je ook gelijkvormige figuren als je het getal – 2 vervangt door een ander strikt negatief getal?

5 Krijg je ook gelijkvormige figuren als je de getallen 3 of – 2 vervangt door 0?

Conclusie Het vermenigvuldigen van de coördinaten van de hoekpunten van een veelhoek met een van nul verschillend rationaal getal geeft de coördinaten van de hoekpunten van een veelhoek die gelijkvormig is met de oorspronkelijke veelhoek.

De gelijkvormigheidsfactor is de absolute waarde van de gebruikte factor.

208

H oof dstu k

1 0

8 Schaal Het begrip schaal is vorig jaar al behandeld in het leerwerkboek Getallenleer 1, hoofdstuk 9, nr. 9. Dit jaar kwam het aan bod in het leerwerkboek Getallenleer 2, hoofdstuk 1, nr. 5.

Definitie (vul aan) De schaal van een tekening is de

van

het maatgetal van de

op de tekening tot

het maatgetal van de corresponderende lengte in werkelijkheid, waarbij beide lengten met

gemeten worden.

Voorbeeld

1 tekening op schaal

2

tekening op schaal

2 1

Je stelt vast (vul aan): • een figuur en zijn tekening op schaal zijn

figuren

• de schaal is de

Hoofdstu k

10

209

Toepassing Een mooie toepassing is het vinden van een benaderende waarde voor de afstand tussen twee toegankelijke punten A en B die gescheiden zijn door een hindernis.

102°

Neem een punt C van waaruit je de afstanden tot A en tot B kunt meten.

Veronderstel dat je vindt: |CA| = 50 m |CB| = 40 m Meet ook de grootte van Cˆ.

Veronderstel dat je vindt: |Cˆ| = 102° Teken dan ΔABC op schaal.

1 Neem bijvoorbeeld schaal .

1 000

Je krijgt dan een ΔA’B’C’ waarvoor geldt: 1 |C’A’| = · |CA| = 1 000

|C’B’| = |Cˆ’| = Construeer met die resultaten ΔA’B’C’:

Meet zo nauwkeurig mogelijk de lengte van het lijnstuk [A’B’]: |A’B’| = Vind dan de lengte van het oorspronkelijke lijnstuk [AB] door de werkwijze toe te passen uit Getallenleer 2, hoofdstuk 1, voorbeeld 1: |A’B’| 1 = geeft: |AB| 1 000

De nauwkeurigheid van het resultaat hangt af van de nauwkeurigheid waarmee je ΔABC hebt geconstrueerd.

210

H oof dstu k

1 0

Vragen & opdrachten 18 Elke leerling brengt een kaart van België mee.

Gebruik de op de kaart vermelde schaal om na meting de afstand (hemelsbreed) tussen de volgende steden te bepalen. a Oostende - Aarlen

b Brugge - Hasselt

19 Een voetbalveld met een oppervlakte van 9 900 m2 is op schaal getekend met een oppervlakte van 99 cm2. Bereken de schaal.

1 heeft België een oppervlakte van 25 dm2.

350 000

Bereken de werkelijke oppervlakte.

20 Op een kaart met schaal

Modern rekenen Verkoper: ‘Mevrouw, deze wasmachine is zo zuinig in elektriciteitsverbruik dat ze zichzelf betaalt.’

Dame: ‘Prima, ik neem ze en als ze betaald heeft zal ik u het geld opsturen.’

Hoofdstu k

10

211

Voor wie meer wil 21 Vul ê of È en bij voorkeur ® in zodat de uitspraken waar zijn. a F

F’

F’

F

b F

F’

F Â F’

22 Vul of  in zodat de uitspraak waar is.

F

F’ en F’ Â F”

F

ê

F”

23 Ga na hoe de figuren geconstrueerd zijn. Zijn er gelijkvormige veelhoeken op te vinden?

1 1

1 1 1

1 1

Figuur 1:

Figuur 2:

Figuur 3:

A

24° In de figuur hiernaast zijn ΔABC en ΔADE gelijkvormig.

Van vier lijnstukken is het maatgetal van de lengte gegeven.

Bereken x en y.

x

5

D

y

E 3

2

B

212

H oof dstu k

1 0

9

C

25

D

C

B’

A’

B

E

C’

F’

F

A

D’

E’

Meet voor de veelhoeken ABCDEF en A’B’C’D’E’F’ de lengte van elke zijde en de grootte van elke hoek: |AB| =

,

|A’B’| =

|BC| =

|CD| =

,

, |B’C’| =

|DE| =

,

, |C’D’| =

,

, |D’E’| =

|EF| =

|FA| =

,

, |E’F’| =

, |F’A’| =

|Â| =

,

ˆ| = |B

,

|Cˆ| =

,

ˆ| = |D

,

|Ê| =

,

|Fˆ| =

ˆ ’| = |B

,

|Cˆ’| =

,

ˆ ’| = |D

,

|Ê’| =

,

|Fˆ ’| =

,

|Â’| =

1 Zijn de hoeken paarsgewijs even groot?

2 Onderzoek of de lengten van de zijden paarsgewijs evenredig zijn (vul aan):

wordt:

|A’B’| |B’C’| |C’D’| |D’E’| |E’F’| |F’A’| = = = = = |AB| |BC| |CD| |DE| |EF| |FA| --------- = --------- = --------- = --------- = --------- = ---------

Zijn die gelijkheden waar?

Zijn dus de lengten van de zijden paarsgewijs evenredig?

3 Zijn de veelhoeken ABCDEF en A’B’C’D’E’F’ gelijkvormig?

26° Een driehoek met zijden van 4 cm, 6 cm en 8 cm is gelijkvormig met een driehoek met zijden van onder meer 10 cm en 5 cm. Bereken de lengte van de laatste zijde.

Hoofdstu k

10

213

27 Kunnen twee gelijkvormige driehoeken met gelijkvormigheidsfactor 2 twee even lange zijden hebben? Zo ja, teken een voorbeeld.

1 getekend en heeft dan een oppervlakte van 40 cm2.

50

1 Welke oppervlakte heeft een tekening op schaal ?

25

28 Een figuur is op schaal

29 Met een microscoop kun je heel kleine dingen sterk vergroot zien.

Bekijk de volgende foto’s maar eens.

witte bloedcel schaal

11 250 3 000

rode bloedcel schaal 1 1

Bereken voor iedere cel de diameter in mm. Voer de nodige metingen uit. witte bloedcel:

rode bloedcel:

214

H oof dstu k

1 0

30° Verdeel de figuren in vier deelfiguren die onderling congruent zijn en elk gelijkvormig zijn met de gegeven figuur.

31° Voor de zijden van een ΔABC geldt: |BC| = 40 mm

|AB| = 25 mm

|AC| = 35 mm

Construeer die driehoek.

Construeer gelijkzijdige driehoeken ABD en ACE. Je kent nog geen formule om de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek te berekenen. Bereken toch de verhouding van opp. ΔABD tot opp. ΔACE.

Speelse wiskunde Handige Leo gaat zelf de vloer van de keuken betegelen. Hij is van plan vierkante tegels met zijden van 20 cm te kopen en heeft uitgerekend dat hij er precies 150 nodig heeft.

In de winkel zijn echter prachtige vierkante tegels met zijden van 10 cm in aanbieding, dus besluit hij die tegels te kopen. Omdat de zijden maar half zo lang zijn als de zijden van de voorziene tegels koopt hij er dubbel zoveel, dus 300 stuks.

Thuis, tijdens het betegelen van de vloer, beleeft hij een verrassing. Welke?

10 Geschiedenis Het symbool voor gelijkvormige figuren werd in 1795 ingevoerd door de Fransman François Callet.

Hoofdstu k

10

215

W e

o n t h o u d e n

Gelijkvormige figuren Een figuur F is gelijkvormig met een figuur F’ als je F met een fotokopieerapparaat kunt vergroten of verkleinen tot een figuur die congruent is met F’.

Notatie F

F’

Lees: F is gelijkvormig met F’

Bij gelijkvormige veelhoeken noteren we gelijkstandige hoekpunten op overeenkomstige plaatsen.

Z T Voorbeeld P ΔPQR ΔZMT R Q

Eigenschappen van gelijkvormige figuren • Een evenwijdige stand in de ene figuur vind je terug in de andere figuur.

• Een loodrechte stand in de ene figuur vind je terug in de andere figuur.

• Gelijkstandige hoeken zijn even groot.

• De lengten van gelijkstandige lijnstukken hebben een constante verhouding die we de gelijkvormigheidsfactor van die gelijkvormige figuren noemen.

• De verhouding van de omtrekken is gelijk aan de gelijkvormigheidsfactor.

• De verhouding van de oppervlakten is gelijk aan het kwadraat van de gelijkvormigheidsfactor.

De laatste vier eigenschappen toegepast op ΔPQR |Pˆ| = |Zˆ|

ΔZMT (zie tekening hierboven):

ˆ | = |M ˆ| |Q

ˆ | = |Tˆ | |R

|ZM| |ZT| |MT| = = = k met k Ï Ä+0 |PQ| |PR| |QR|

omtrek ΔZMT = k · omtrek ΔPQR

opp. ΔZMT = k2 · opp. ΔPQR

Schaal Een figuur en een tekening op schaal zijn gelijkvormige figuren.

De schaal is de gelijkvormigheidsfactor.

Voor meer oefeningen over de leerstof van dit hoofdstuk, surf naar www.argument2.be .

216

H oof dstu k

1 0

M

Toets jezelf 1 Is figuur F gelijkvormig met figuur F’? Zo ja, geef de gelijkvormigheidsfactor.

F F

F

F’ F’

F’

2 De gekleurde driehoek is gelijkvormig met elk van de andere driehoeken.

Geef telkens de gelijkvormigheidsfactor.

O k=

k=

k=

k=

k=

k=

k=

3 Zijn twee ruiten altijd gelijkvormig?

4 De rechthoekige driehoek links is gelijkvormig met de rechthoekige driehoek rechts. a Gebruik de afspraak over het noteren van gelijkvormige veelhoeken:

ΔABC

ˆ| = | b Vul aan: |B

B 30

18 A

C

36

x y

D 27

| E

c Bereken de gelijkvormigheidsfactor. d Bereken x en y.

5 Twee gelijkstandige zijden van twee gelijkvormige driehoeken meten 6 cm en 8 cm. De oppervlakte van de eerste driehoek is 27 cm2. Bereken de oppervlakte van de tweede driehoek.

6 Fotografisch papier voor een rechthoekige foto met afmetingen 12 cm en 18 cm kost 0,2 euro.

Welke prijs mag je verwachten voor een rechthoekige foto met afmetingen 36 cm en 54 cm?

Hoofdstu k

10

217