Pienter 2 (editie 2020) - Inkijkexemplaar - volledig leerwerkboek by VAN IN

Pi enter LEERJAAR 2

A-stroom

LEERJAAR 2

Pi enter Leer zoals je bent

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A-stroom

Ontdek het onlineleerplatform: diddit. Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van! Ontdek beelden geluidsfragmenten en andere leuke extra’s bij de les. Oefen in jouw tempo en op jouw niveau, zoveel je maar wilt. Heb je de leerstof nog niet volledig onder de knie? Dan krijg je handige tips om het volgende keer wél goed te doen.

Philippe De Crock

Opdrachten op maat, speciaal voor jou klaargezet door je leraar. Want die weet precies in welke lesonderdelen jij nog beter wilt worden.

Christophe Gryson

Genoeg geoefend. Tijd voor het echte werk! Hoe scoor je op een toets? En ook belangrijk: hoe schat je jezelf in?

Jan Vanhee

Benieuwd hoe ver je al staat? Een helder overzicht toont je meteen welke inspanningen je tot nu toe geleverd hebt en wat je resultaten zijn. Om trots op te zijn … of om nog nét iets te verbeteren!

MET MEDEWERKING VAN

Stijn Seys

Guy Gijbels Eddy Magits Marieke Sarazin

10 11 12

ISBN 978-90-306-9576-9

594511

vanin.be

9 789030 695769

594511_Pienter 2 Cover_finaal.indd 1-3

9/04/2020 08:03

Leerjaar 2

Â©

VA N

A-stroom

Philippe De Crock Christophe Gryson Stijn Seys Jan Vanhee MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels Eddy Magits Marieke Sarazin

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter?

Herhaling Getallenleer Herhaling Meetkunde Hoofdstuk 1

Statistiek

Hoofdstuk 2 Spiegelen, verschuiven en roteren

Hoofdstuk 3 Machten van rationale getallen met natuurlijke exponent

89 109

Hoofdstuk 5 AlgebraĂŻsch rekenen

143

Hoofdstuk 6 Congruente figuren

179

Hoofdstuk 7 Evenredigheden

VA N

Hoofdstuk 8 Driehoeken

Hoofdstuk 4 Hoeken

231 271 303

Hoofdstuk 10 Vierhoeken

331

Hoofdstuk 11 Machten van rationale getallen met gehele exponent

381

Hoofdstuk 12 Ruimtemeetkunde

399

ÂŠ

Hoofdstuk 9 Vergelijkingen en formules

Hoofdstuk 13 Merkwaardige producten

443

Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een leuke cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk. HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van enkele beelden of tekeningen verder kennis met het onderwerp waarover je iets leert.

2.1

Spiegelen, verschuiven en roteren van figuren

2.2

Spiegelen om een as

2.3

Verschuiven over een vector

2.4 Roteren over een hoek

2.5

Spiegelen om een punt

2.6 Eigenschappen van spiegelen,

6.1

verschuiven en roteren

Congruente figuren

2.7

Verband tussen coördinaten en 82

transformaties

6.1.1 Inleiding

Studiewijzer

Pienter problemen oplossen

Problemen uit Kangoeroe en JWO

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Pienter 2_H02.indd 41

Stap voor stap kom je meer te weten over getallenleer en meetkunde in het dagelijks leven.

VA N

Op de foto’s herken je figuren die dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben. Die figuren noem je congruente figuren. Waar herken je nog congruente figuren in je omgeving?

6.1.2 Definitie 1

Definitie

Congruente figuren

Congruente figuren zijn figuren die dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben.

3 4 5

Notatie: F1 ≅ F2

Lees:

Na elk stukje theorie kun je je kennis inoefenen. Het oefenmateriaal herken aanvande verticale Congruent isje afgeleid het Latijn ‘congruens’,lijn wat zoveel betekent als ‘passend, samenhorend’. in de marge.

8 9 10 11

Je leert formuleren in definities, vaststellingen, rekenregels, eigenschappen of besluiten.

Oefeningen REEKS A 38

Duid de zin van de georiënteerde hoek aan met een pijl.

Het symbool ≅ werd voor het eerst gebruikt door de Duitse filosoof en

wiskundige Gottfried Leibniz (1646–1716). Oefeningen zijn genummerd per Wilhelm hoofdstuk.

12 13

b) B

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN Niet alle oefeningen zijn even moeilijk: ze zijn opgedeeld in Reeks A, B en C. Op diddit vind je extra oefeningen.

−40°

90°

120°

−150°

26/02/2020 18:57

∧

Vink aan in welke situaties de georiënteerde hoek AOB positief is.

In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis: B

ICT

Pienter 2_H06.indd 180

B A

180

26/02/2020 18:59

d) A

Duidt aan wanneer je andere ICT-hulpmiddelen inzet, bv. Excel of GeoGebra. O

Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken. 1

Teken de gevraagde georiënteerde hoek met O als hoekpunt.

Duidt aan dat je op diddit beeldmateriaal (filmpje of presentatie) vindt. a) 4

5 6

Wijst op het gebruik van een rekenmachine. Je krijgt uitleg over de werking van je rekenmachine of je mag een rekenmachine gebruiken in deze oefening. 8 9

10 11

∧

SOK = −80°

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

∧

KOT = 125°

€

Het eurosymbool geeft aan dat je werkt rond financiële geletterdheid.

Duidt aan dat je op diddit een remediëringsoefening kunt vinden.

Geeft aan dat je op diddit extra uitdagende leerstof vindt. De leerstof bij dit icoon, die een grijze achtergrond heeft, is verdieping.

Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is. Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een handige studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.

STUDIEWIJZER Spiegelen, verschuiven en roteren voor de leerling

2.1 Spiegelen, verschuiven en roteren van figuren KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Spiegelingen, verschuivingen en rotaties noem je transformaties van het vlak.

KUNNEN

–  + –  +

In het vlak figuren herkennen die het beeld zijn van een gegeven figuur door een verschuiving, een spiegeling of een rotatie.

2.2 Spiegelen om een as –  + –  +

KENNEN Een spiegeling wordt bepaald door een spiegelas. Het spiegelbeeld van een punt op de spiegelas is het punt zelf. Een symmetrieas van een figuur is de spiegelas die de figuur op zichzelf afbeeldt.

oplosse

–  + – Pie +oblemen nter pr

KUNNEN

Het spiegelbeeld van een punt ten opzichte van een rechte symbolisch noteren. De symbolische notatie van een spiegeling verwoorden. Het beeld van een vlakke figuur dat het resultaat is van een spiegeling om een as, verklaren. Symmetrieassen in vlakke figuren bepalen.

2.3 Verschuiven over een vector Deze aanduiding geeft aan dat je na dit hoofdstuk KENNEN rekenoefeningen kunt maken die je vindt op diddit.

blemen

nde pro

onderstaa

❑

Probleme

patroon

❑ kennis

❑

❑ logisch

abel schema/t dig vereenvou

sen?

op te los

❑ filter

❑

...

standig

–  + –  +2 3

4 9

JWO, editie

e ronde

je kiezen uit drie Lekkerbek kun e 3. In bistro De vijf verschillend voorgerechten, verschillende illende desserts. en vier versch hoofdgerechten enu’s kun illende driegangenm Hoeveel versch en? nstell je daarmee same

16 cm

Kangoeroe,

20 cm

8 cm

28 cm

7 cm 26 cm HOOFDS

12 13

142

Kangoeroe, HOOFDSTU

141

editie 2018

, Wallabie

32 cm

141

HOEKEN TUK 4 I

27/04/2020

43 cm 3

De tekening toont een uitgevouw Wat is het en balk. volume van die balk?

8 9 10

4.indd

24 cm

2_H0 Pienter

, Wallabie

 +

editie 2016

3. Billy wil aan Joël een e inlogcode maa tant r vergeet een van zes cijfe ns rs mailen, van de cijfe een co Hoe ar keer rs. Joël ontv naveel tegen angt de code n moet Joël een beke Birgit code prob 42972. n Aver rug met ee rijdt va eren om zeke ns /h r in te logg Morge n 15 km keert ze te en? va 4. ’s ds eid on snelh . ’s Av /h. ele dz km 1 Boor n 10 eid? eid va elh elh sn e sn 2 deld gemid A) r 50 ar ha B) r 54 Wat is 3 C) r 55 JWO, editie 4 D) r 56 2017, twee de rond

70 cm 3

07:23

80 cm 3

100 cm 3

1 456 cm 3

K 4 I HOEK EN

Pienter 2_H04

.indd 142

27/04/2020

Achteraan in het boek zitten vijf bladen met een cartoon. Die bladen kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of afgedrukte bladen voor Pienter problemen oplossen, Pienter rekenen, Pienter remediëren, Pienter computeren en extra leerstof. HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Pienter 2_H02.indd 85

De omtrek van elke groe ne rechthoe Wat is de omt k is 16 cm. rek van het grote vierk ant?

Hoe oud is Jurgen nu?

 +

De symbolische notatie van een rotatie verwoorden. Het beeld van een vlakke figuur dat het resultaat is van een rotatie over een hoek, verklaren.

2015, eerst

keer zo oud als Cem. 2. Jurgen is nu vier zo oud zijn als Cem. Over 20 jaar zal hij dubbel

roe en JWO

–  + –  +

Tot slotover kun je onder ‘Pienter problemen oplossen’ 2.4 Roteren een hoek leuke wiskundige problemen en raadsels oplossen. KENNEN –  + – Een rotatie wordt bepaald door een centrum en een georiënteerde hoek. OpHetde achterzijde van dat blad vind je bovendien draaibeeld van een punt over een georiënteerde hoek van 360° is het punt zelf. wiskundige vraagstukken uit de Kangoeroewedstrijd KUNNEN –  + – draaibeeld van een punt om een centrum over een georiënteerde hoek symbolisch noteren. enHetJunior Wiskunde Olympiade.

tal aan.

ge ekende

t ontbr

l he 1. Vu

n uit Kangoe

1. Een kubu s is opgebouw d uit 27 iden Hoeveel kubu tieke kubu sjes moet sjes. je minsten opdat de oppe s wegnem rvlakte van en, het bouwwerk kleiner kan worden?

en nadenk

❑ gok ver

Het schuifbeeld van een punt over een vector symbolisch noteren. De symbolische notatie van een verschuiving verwoorden. Het beeld van een vlakke figuur dat het resultaat is van een verschuiving over een vector, verklaren.

je om de

iaal et mater

❑ schets ❑

Een vector wordt bepaald door een richting, een zin en een afstand. Een verschuiving wordt bepaald door een vector.

KUNNEN

gebruik

❑ concre

VA N

Pienter Rekenen

Welke tips

27/04/2020 07:25

07:23

het onlineleerplatform bij Pienter Leerstof kun je inoefenen op jouw niveau. Je kunt vrij oefenen en de leerkracht kan ook voor jou oefeningen klaarzetten.

Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.

Hier kan de leerkracht toetsen en taken voor jou klaarzetten.

VA N

Benieuwd hoe ver je al staat met oefenen en opdrachten? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten. Onder ‘Portfolio’ vind je een digitale versie van de studiewijzer.

Hier vind je het lesmateriaal per hoofdstuk (o.a. een digitale versie van je boek en instructiefilmpjes).

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

1.1

Even herhalen

1.3 Stengelbladdiagram

1.4 Spreidingsmaat: variatiebreedte

1.5 Interpreteren bij statistisch onderzoek

Studiewijzer

Pienter problemen oplossen

Problemen uit Kangoeroe en JWO

VA N

1.2 Statistisch onderzoek

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

1.1

Even herhalen

1.1.1 Wat is statistiek? Statistiek is de wetenschap die gegevens (data) verzamelt, voorstelt en interpreteert. Het doel is een beter inzicht krijgen in bepaalde verschijnselen. Voorbeeld Een reisbureau verzamelt gegevens over haar klanten: • Welke vakantiebestemmingen zijn populair? • Hoeveel reizigers boeken hun vakantie via het internet? Zo kan het reisbureau de nodige maatregelen nemen om haar werking te verbeteren.

1.1.2 Gegevens verzamelen

In een klas doe je een onderzoek naar de gezinsvakantie van de leerlingen. Zo’n onderzoek door vraagstelling noem je een enquête.

Numerieke gegevens

VA N

Bepaalde gegevens of data druk je uit met een getal. Dat zijn numerieke data. Om de gegevens overzichtelijk weer te geven, gebruik je een frequentietabel. In een frequentietabel zie je hoeveel keer elk gegeven voorkomt. Je noemt dat aantal keer de frequentie van het gegeven. Voorbeeld

1 2

Hoeveel dagen was je met het gezin op reis tijdens de grote vakantie? aantal dagen

aantal leerlingen

3 4

Categorische gegevens

Bepaalde gegevens of data druk je niet uit met getallen. Dat zijn categorische data.

Om de gegevens overzichtelijk weer te geven, gebruik je een frequentietabel.

7 8

Voorbeeld

Naar welk land trok je met je gezin op vakantie?

10 11 12

bestemming

België

Frankrijk

aantal leerlingen

8 HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Nederland Oostenrijk 1

Spanje

Turkije

geen

1.1.3 Gegevens voorstellen Data kun je op verschillende manieren met een diagram voorstellen. Staafdiagram

aantal leerlingen

Dotplot

7 6 5 4 3 2 1

IN en

België

Frankrijk 6

3 1 1

ije

VA N je

rij

vakantiebestemming

rla

de Ne

ijk

ië

ge en

Cirkeldiagram

7 6 5 4 3 2 1 0

vakantiebestemming

Lijndiagram aantal leerlingen

rk ij

Fr an

vakantiebestemming

kr ijk Ne de rla nd Oo st en rij k Sp an je

Be lg ië

ge en

e Tu

rk ij

je an Sp

kr ijk Ne de rla nd Oo st en rij k

Fr an

Be lg ië

Nederland Oostenrijk Spanje Turkije geen

vakantiebestemming

Een spreadsheet of digitaal rekenblad Een spreadsheet of digitaal rekenblad is een computerprogramma. Het programma bestaat uit werkbladen met cellen. Die cellen zijn in rijen (1, 2, 3 ...) en kolommen (A, B, C ...) gerangschikt. Elke cel kan een getal, een tekst of een formule bevatten. Met een spreadsheet kun je gemakkelijk berekeningen uitvoeren. Zo bepaal je bijvoorbeeld gemakkelijk de som van een reeks getallen. Als je achteraf een getal in de reeks aanpast, past het rekenblad automatisch ook de som aan. Spreadsheets gebruik je ook om diagrammen te tekenen. Het programma maakt een diagram naar keuze. Daarvoor selecteer je de cellen met de gegevens en het gewenste diagramtype.

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

1.1.4 Modus, gemiddelde en mediaan De modus Definitie

De modus De modus is het gegeven met de grootste frequentie. Symbool: Mo Voorbeeld Vakantiebestemming: Mo = Het gemiddelde

Definitie

Het gemiddelde Het gemiddelde van een rij getallen is gelijk aan de som van de getallen gedeeld door hun aantal. _ Symbool: x   

Opmerking Je berekent het gemiddelde op één cijfer na de komma meer dan de gegeven getallen. Voorbeeld

De mediaan Definitie

De mediaan

VA N

_ Aantal dagen op reis: x     =

De mediaan van een rij gerangschikte getallen is: • het middelste getal als het aantal getallen oneven is; • het gemiddelde van de middelste twee getallen als het aantal even is.

Symbool: Me

Mediaan bepalen uit een frequentietabel 1 2

In een frequentietabel orden je de gegevens het best van klein naar groot. Op die manier kun je gemakkelijk de mediaan uit de frequentietabel bepalen.

Voorbeeld

Hoeveel dagen was je met het gezin op reis tijdens de grote vakantie?

aantal dagen

aantal leerlingen

6 7 8 9

18 leerlingen is een even aantal. De mediaan is het gemiddelde van het aantal dagen dat de 9de en de 10de leerling op reis gingen.

10 11 12 13

Hoeveel dagen ging de 9de leerling op reis?

Hoeveel dagen ging de 10de leerling op reis?

Bepaal de mediaan. Me =

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Oefeningen REEKS A 1

numeriek

categorisch

Wat is je lengte?

Wat is je favoriete schoolvakantie?

Hoeveel uur per week sport je?

Wat is jouw voornaam?

Welke internetbrowser gebruik je het meest?

Je vraagt aan 20 mensen met welk vervoermiddel ze tijdens de vakantie op reis gaan. Maak een frequentietabel met de gegevens uit de tabel.

VA N

Welk soort gegevens verkrijg je bij de volgende onderzoeksvragen?

Je vraagt aan 35 mensen hoeveel dagen van de week ze hun hobby beoefenen. Je noteert hun antwoorden in een frequentietabel. aantal dagen

aantal mensen

a) Bepaal de modus.

b) Bepaal het gemiddelde.

c) Bepaal de mediaan.

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

REEKS B 4

Aan 100 vakantiegangers die een week in het vakantiepark verbleven, vraagt de uitbater hoeveel dagen ze gebruikmaakten van het zwembad in het park.

aantal vakantiegangers

25 20 15 10 5 0

aantal dagen

a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit het diagram.

VA N

b) Welk soort data verkrijg je bij dit onderzoek?

r numerieke data r categorische data

c) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel. d) Hoeveel dagen maakten de meeste vakantiegangers gebruik van het zwembad in het park? 1

3 4

Wat is de naam van dat gegeven in de statistiek?

5 6 7 8

e) Bepaal het gemiddelde aantal dagen dat de vakantiegangers van het zwembad gebruikmaakten.

9 10 11

f) Bepaal de mediaan.

12 13

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Een reisbureau vraagt aan 50 mensen wat hun favoriete vakantieverblijf is. Ze kunnen kiezen uit: hotel, B&B, vakantiehuisje of kamperen. hotel

bed and breakfast

vakantiehuisje

kamperen

a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit de tabel.

aantal

hotel

B&B

VA N

verblijfplaats

vakantiehuisje

kamperen

b) Welk soort data verkrijg je bij dit onderzoek?

r numerieke data r categorische data

c) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel. d) Maak met ICT een cirkeldiagram met de gegevens uit de tabel. e) Noteer een vraag die naar de modus bij dit onderzoek vraagt. f) Bepaal de modus bij dit onderzoek.

REEKS C 6

Welk soort gegevens verkrijg je bij de volgende onderzoeken? numeriek

categorisch

De gewichtsklassen in het judo. Mogelijke gegevens: -36 kg, -40 kg, -44 kg.

De reeksen in de jeugdafdelingen van het volleybal. Mogelijke gegevens: U11, U13, U15.

Massa die een gewichtheffer kan tillen. Mogelijke gegevens: 171 kg, 183 kg, 198 kg.

r HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

1.2

Statistisch onderzoek

1.2.1 Wat is statistisch onderzoek? Statistisch onderzoek voer je uit om een beter inzicht te krijgen in bepaalde verschijnselen. Voorbeelden • Natuurpunt wil de toestand van de tuinvogels door de jaren heen volgen. Natuurpunt organiseert daarvoor jaarlijks een vogeltelweek voor scholen. • Om zijn service te verbeteren, doet een webwinkel een onderzoek naar de klantentevredenheid. Bij een statistisch onderzoek onderscheid je vier stappen: • een onderzoeksvraag of onderzoeksopdracht formuleren; • data verzamelen; • data analyseren; • data interpreteren.

1.2.2 Een onderzoeksvraag of een onderzoeksopdracht formuleren

Om data te verzamelen, is een goede onderzoeksvraag of onderzoeksopdracht belangrijk. Voorbeelden

• Leerlingen tellen per soort het aantal vogels op de speelplaats.

VA N

• In welke mate zou je de webwinkel aanraden bij familie of vrienden? Geef daarvoor een score van 0 tot 10.

1.2.3 Data verzamelen

Een onderzoeksvraag of -opdracht betreft vaak een grote groep. Die grote groep noem je de populatie. Voorbeelden

• Alle vogels in de Vlaamse tuinen. • Alle klanten van de webwinkel.

1 2 3 4 5 6 7 8

Praktisch is het vaak onmogelijk om de volledige populatie te onderzoeken. Daarom verzamel je de gegevens bij een deel van de populatie. Dat noem je de steekproef. Voor de steekproef moet je met voldoende factoren rekening houden, zodat de steekproef een goede vertegenwoordiger is van de populatie. Je zegt dan dat de steekproef representatief is voor de populatie. Voorbeeld Als je een onderzoek doet naar de schoenmaat van 16-jarigen, moet je zowel jongens als meisjes bij het onderzoek betrekken.

1.2.4 Data analyseren Nadat je data verzameld hebt, geef je de data weer in een tabel en in diagrammen. Bij bepaalde onderzoeken kun je dan ook de modus, het gemiddelde en de mediaan bepalen.

9 10

1.2.5 Data interpreteren

Je trekt besluiten uit je analyse van de data.

Voorbeeld

Welke maatregelen kan de webwinkel nemen om de klantentevredenheid te verbeteren?

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Oefeningen REEKS A 7

De directeur wil weten of er veel telaatkomers zijn in zijn school. Hij wil ook weten op welke dagen leerlingen het vaakst te laat komen. Het staafdiagram toont de telaatkomers in een willekeurige schoolweek. 25

maandag

dinsdag

woensdag

donderdag

vrijdag

a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit het staafdiagram.

VA N

b) Bepaal het gemiddelde aantal telaatkomers per dag. c) Bepaal de modus.

In opdracht van een supermarktketen doet een enquêtebureau een onderzoek naar de dag waarop mensen het liefst hun inkopen doen. Bepaal de juiste stap in het statistische onderzoek. • 500 gezinnen worden bevraagd.

• Op welke dag doe je het liefst jouw boodschappen?

• De supermarktketen zal in de toekomst ook op zondagvoormiddag haar deuren openen.

onderzoeksvraag formuleren

data verzamelen

data analyseren

data interpreteren

• Het enquêtebureau plaatst de data in een staafdiagram.

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

REEKS B 9

In een zak M&M’s zijn er niet van elke kleur evenveel M&M’s. Het cirkeldiagram toont de verdeling van de verschillende kleuren in een zak M&M’s.

15 %

bruin

20 %

rood

20 %

geel

15 %

oranje

10 %

20 %

groen blauw

a) Omschrijf een goede onderzoeksopdracht om tot deze resultaten te komen.

VA N

b) In een zak van 250 g zitten gemiddeld 280 M&M’s. Vul de frequentietabel in voor een zak M&M’s van 250 g. Gebruik de gegevens uit het cirkeldiagram.

aantal

bruin

rood

kleur

geel

oranje

groen

blauw

c) Vul de frequentietabel in aan de hand van eigen onderzoek van een zak M&M’s.

kleur

3 4

bruin

rood

geel

oranje

groen

blauw

aantal

totaal

5 6 7 8 9 10

d) Stel de gegevens uit vraag c voor met een cirkeldiagram. Gebruik ICT. e) Stemmen de gegevens van jouw eigen onderzoek overeen met de data uit het gegeven cirkeldiagram?

11 12 13

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

100 %

Je doet een onderzoek naar de favoriete drank van je klasgenoten. Er is keuze uit de dranken op de drankkaart. a) Formuleer een onderzoeksvraag voor dit onderzoek. b) Stel de onderzoeksvraag aan je klasgenoten. Vul de resultaten in op de drankkaart.

plat water

spuitwater

cola

limonade

icetea

DRANKKAART

VA N

c) Maak een frequentietabel met de gegevens van de drankkaart.

d) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel. e) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel. f) Maak met ICT een cirkeldiagram met de gegevens uit de tabel. g) Mogen we dit onderzoek veralgemenen naar de favoriete drank van alle Vlaamse leerlingen? Verklaar je antwoord.

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Je hangt een thermometer op een vaste plaats op het schooldomein. Wekelijks lees je op hetzelfde tijdstip de temperatuur af. a) Verwerk de gegevens in een tabel. week

temperatuur (°C)

week

temperatuur (°C)

week

temperatuur (°C)

b) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel. c) Bepaal de gemiddelde temperatuur van de metingen.

d) Omschrijf de evolutie van de temperatuur over de verschillende metingen. Geef een verklaring voor die evolutie.

VA N

Je doet een onderzoek naar het aantal dagen per week dat leeftijdsgenoten hun hobby beoefenen. a) Formuleer een onderzoeksvraag voor dit onderzoek.

b) Stel de onderzoeksvraag aan je klasgenoten. Noteer de gegevens in een frequentietabel. 1

aantal dagen

aantal jongeren

3 4

c) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel.

d) Hoeveel dagen per week beoefenen de ondervraagde jongeren gemiddeld hun hobby?

6 7

e) Mogen we dit onderzoek veralgemenen voor al jouw Vlaamse leeftijdsgenoten? Verklaar.

8 9 10

11 12 13

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

In een school werd op een vrijdag aan 60 leerlingen gevraagd hoeveel schoolboeken (handboeken, schriften en ringmappen) ze die dag met zich mee hadden. Je vindt de resultaten in de tabel hieronder. 9

a) Maak een frequentietabel met de gegevens uit de tabel.

c) Bepaal de modus.

b) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de frequentietabel.

d) Schat het gemiddelde en de mediaan aan de hand van het staafdiagram.

VA N

_    = Me = x

e) Bepaal met ICT het gemiddelde aantal boeken dat de leerling bij zich heeft. f) Bepaal de mediaan met ICT.

g) Noem twee maatregelen die de school kan nemen om het aantal boeken dat een leerling elke dag met zich mee moet hebben, te verminderen.

Waarom is de steekproef niet representatief voor de populatie? a) Om de favoriete voetbalclub van de Belgen te kennen, doet een enquêtebureau een rondvraag in West-Vlaanderen. b) Om de gemiddelde schoenmaat van de 13-jarige Vlaming te kennen, wordt, verspreid over Vlaanderen, de schoenmaat van 2 000 jongens bepaald.

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

REEKS C 15

Als voetganger of fietser moet je de verkeersregels goed kennen. Doe een verkeerstest bij je leeftijdsgenoten en breng de resultaten in kaart. Stel je in de onderstaande situaties telkens in de plaats van de fietser. a)

r Ik moet wachten tot de wagen ingedraaid is. r Ik ben verplicht om af te stappen en te voet op het zebrapad over te steken. Ik heb daarbij voorrang op de indraaiende auto.

r Het licht is groen, dus ik mag doorrijden op het fietspad.

r Ik moet vertragen en indien nodig stoppen. r Omdat ik van rechts kom, heb ik voorrang op auto's die van links komen.

VA N

r Ik moet verplicht stoppen op het einde van de weg.

r Als de auto vertrokken is, mag ik doorrijden. r Ik heb voorrang op de auto en mag gewoon doorrijden.

r Ik wacht tot het licht groen is en en rijd dan door.

d) 1

r Het licht is groen, dus ik mag doorrijden op het fietspad. r Ik mag doorrijden, maar moet voorrang verlenen als een auto wil

indraaien.

r Ik moet afstappen en te voet op het zebrapad oversteken.

4 5 6 7

wagen.

r Ik moet vertragen en voorrang verlenen aan de wagen, omdat die

van rechts komt.

r Ik moet verplicht afstappen en op het zebrapad oversteken.

11 12 13

r Ik mag doorrijden op het rode fietspad. Ik heb voorrang op de

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Mijn score:

a) Maak een frequentietabel met de resultaten van de leerlingen van de klas. score

aantal leerlingen

b) Maak met ICT een staafdiagram met de gegevens uit de tabel. c) Maak met ICT een lijndiagram met de gegevens uit de tabel. d) Maak met ICT een cirkeldiagram met de gegevens uit de tabel. e) Bepaal de mediaan. f) Bepaal de gemiddelde score van de leerlingen.

g) Hoeveel procent van de leerlingen scoort meer dan het gemiddelde?

VA N

h) Is deze steekproef representatief voor jouw Vlaamse leeftijdsgenoten? Verklaar je antwoord.

i) Noem twee maatregelen die de Vlaamse regering kan nemen om de kennis van de verkeersregels bij jouw leeftijdsgenoten te verbeteren.

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

1.3

Stengelbladdiagram Inleiding De Lijn wil weten of lijn 50 nog rendabel is. Daarom wordt het aantal passagiers per rit bijgehouden. uur

08:10 09:10 10:10

aantal passagiers

11:10

12:10

13:10

14:10

15:10 16:10 24

17:10

18:10 19:10

Het staafdiagram toont het aantal ritten met het bijbehorende aantal passagiers. Voor elk aantal passagiers is de frequentie 1 of 2. aantal ritten

aantal passagiers

Het staafdiagram geeft geen duidelijk beeld van ritten met veel en weinig passagiers. Daarom gebruik je in deze situatie beter een stengelbladdiagram. aantal passagiers per rit

stengel

blad

24, 27, 28

32, 35, 35, 38

50, 51

VA N

Formule: stengel  10 + blad

Voorbeeld 1 2

In de klas van Lieze wordt tijdens het medisch onderzoek de lengte van elke leerling bepaald. Je vindt de resultaten in de tabel.

leerling

Matteo

Aisha

Kiara

Lieze

Hassan

Floor

Lisa

Mats

Jitse

lengte (cm)

161

158

162

160

167

158

162

170

168

leerling

Marthe

Bryan

Elias

Elien

Yousra

Lizette

Audrey

Florian

lengte (cm)

149

171

165

174

153

156

155

148

159

Maak een stengelbladdiagram met de gegevens uit de tabel. Formule:

10 11

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Oefeningen REEKS A In het stengelbladdiagram vind je de totaalprocenten op het herfstrapport in een klas van het tweede jaar. a) Hoeveel leerlingen zitten er in deze klas?

c) Wat is het op een na beste resultaat?

Formule: stengel  10 + blad

b) Hoeveel leerlingen behalen minder dan 70 %?

Het stengelbladdiagram toont de leeftijden van de leden van de plaatselijke schaakclub. juist

fout

a) De schaakclub telt evenveel tieners als zestigers.

b) Bij de vijftigers zijn er geen leden met dezelfde leeftijd.

c) Er zijn meer leden boven de 60 jaar dan leden onder de 30 jaar.

d) Er zijn twee leden van 48 jaar.

7 0, 0, 0, 2, 2, 4, 8

e) Het op een na oudste lid is 78 jaar.

f) Er zijn evenveel leden van 14 jaar als van 65 jaar.

0 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9 2, 2, 4, 4, 4, 5, 7

VA N

2 0, 2, 7, 8

3 0, 0, 2, 2, 2, 4, 5, 8, 8, 9 4 3, 4, 7, 8, 9, 9 1, 2, 4, 7, 8

1, 3, 5, 5, 7, 7,

Formule: stengel  10 + blad

REEKS B 18

Ella gaat vissen met de nieuwe werphengel van haar vader. Van elke gevangen vis meet ze de lengte in cm. De resultaten zijn: 11, 5, 21, 26, 13, 20, 18, 9, 17 en 18. Maak een stengelbladdiagram met die gegevens.

Formule:

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Aan een bushalte van De Lijn vind je de dienstregeling zoals hieronder afgebeeld. Het diagram is opgebouwd volgens het principe van een stengelbladdiagram. maandag – vrijdag uur 8

9 10 11 12

minuten 00 04 24 29 59 05 10 40 46 04 10 40 46 04 10 37 40 04 10 40 46

zaterdag – zondag uur 8

minuten 03 12

08 35

13 41

17 47

21 55

17 52 16 52 16 46 16 52

22 58 22 58 22 52 22 58

28 58 28

02 48

12 55

b) Joris wil op zaterdag de laatste bus voor de middag nemen. Om welk uur moet Joris dan de bus nemen?

c) Op woensdag komt Louise om 9.13 u. aan de bushalte aan. Hoelang moet ze wachten op de volgende bus?

a) Hoeveel bussen rijden er in de week tussen 11 u. en 12 u.?

d) Op zondag brengt Youssef een bezoekje aan zijn familie. Hij mist de bus van 10.02 u. Wanneer komt de volgende bus?

VA N

e) In de ochtendspits worden extra bussen ingezet. Toon dat aan de hand van het diagram aan.

1 2 3

Tijdens een snelheidscontrole in de bebouwde kom worden 40 auto’s gecontroleerd. De gemeten snelheden (in km/h) vind je in de tabel.

a) Maak een stengelbladdiagram met de gegevens uit de tabel.

4 5 6 7 8 9

10 11 12 13

Formule: b) Hoeveel auto’s reden te snel?

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

1.4

Spreidingsmaat: variatiebreedte

1.4.1 Inleiding In de staafdiagrammen vergelijk je de resultaten van de toets wiskunde in de klassen 2A en 2B. toets wiskunde in 2B

4 5 6 punten

• aantal leerlingen: _ •    = x

• Me =

Wat stel je vast?

9 10

4 3 2 1 0

4 5 6 punten

• aantal leerlingen: _ •    = x

• Me =

9 10

• Mo =

VA N

• Mo =

7 6 5

4 3 2 1 0

aantal leerlingen

toets wiskunde in 2A 7 6 5

Gemiddelde, modus en mediaan geven een indruk van het centrum van verzamelde gegevens. Het zijn centrummaten. Klas 2A en 2B hebben dezelfde centrummaten, maar toch is het beeld van de resultaten in beide klassen verschillend. In klas 2B liggen de resultaten meer verspreid. Om dat weer te geven, gebruiken we een spreidingsmaat, namelijk de variatiebreedte.

1.4.2 Definitie Definitie

De variatiebreedte De variatiebreedte is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal. (‘R’ komt van het Engelse woord ‘range’.)

Symbool: R Voorbeeld

grootste waarnemingsgetal

kleinste waarnemingsgetal

variatiebreedte

Klas 2A

Klas 2B

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Oefeningen REEKS A 21

Bepaal de variatiebreedte bij de gegevensreeks. a) 5 8 9 12 14

c) 4 8 4 7 12 9

R =

b) 24 14 18 26 21

R =

d) 37 38 38 36 43 36 43

Bepaal de variatiebreedte. a)

c) 13

7 6 5 4

aantal

3 2 1

VA N

leeftijd

13 % 8%

13 %

18 %

10 %

20 %

R= 60

REEKS B

2 3

40 41

18 %

In de tabellen vind je de resultaten voor een toets wiskunde en een toets Nederlands. Bepaal voor beide toetsen het gemiddelde en de variatiebreedte.

punten wiskunde

aantal leerlingen

punten Nederlands

aantal leerlingen

7 8 9 10

toets wiskunde

toets Nederlands

11 12 13

Gemiddelde

Variatiebreedte

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Van een aantal zakken diepvriesscampi’s tel je het aantal scampi’s in de zak. aantal scampi’s

aantal zakken

a) Hoeveel zakken werden onderzocht?

JUMBO

b) Bepaal de variatiebreedte.

8 · 14 STUKS PIÈCES

c) Wat is het gemiddelde aantal scampi’s per zak? d) Bepaal de modus.

e) Bepaal de mediaan.

Het diagram toont het aantal aanslagen per minuut tijdens een dactylotest. 4,

a) Hoeveel personen namen deel aan de test?

VA N

b) Bepaal het gemiddelde aantal aanslagen per minuut van de deelnemers.

c) Bepaal de variatiebreedte.

Formule: stengel  10 + blad

REEKS C 26

In de les LO lopen de leerlingen 3 km. De leerkracht LO noteert de tijden. leerling

Joeri

Kerlijne

Thias

Yentl

Clint

Rebecca Meryem Mathijs

tijd (min:sec)

13:12

14:36

15:24

15:38

12:54

14:15

leerling

Lisa

Kerem

Emma

Arthur

Jamilla

Britt

tijd (min:sec)

15:54

14:48

12:38

13:24

14:07

13:58

13:52

11:57

Milan 14:05

a) Bepaal de gemiddelde looptijd van de leerlingen. b) Bepaal de variatiebreedte.

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

1.5

Interpreteren bij statistisch onderzoek

1.5.1 Wat is statistisch onderzoek interpreteren? Nadat je bij een statistisch onderzoek data hebt verzameld en geanalyseerd, kun je die analyse gebruiken om besluiten te trekken. Dat noem je interpreteren bij statistisch onderzoek.

1.5.2 Diagrammen interpreteren Voorbeeld 1 Voor de sportdag kunnen de leerlingen kiezen uit acht sporten. Het cirkeldiagram toont de keuzes van de leerlingen. Voor volgend schooljaar wil de school maar zes sporten plannen op de sportdag. Welke sporten haalt de school het best van de keuzelijst af?

badminton 10 %

basketbal fietsen

12 %

4% 10 %

judo

14 %

fitness

Door het schrappen van twee sporten komen er vier begeleiders vrij. Aan welke twee sporten zullen de organisatoren die begeleiders het best toevoegen?

19 %

tennis

28 %

turnen voetbal

VA N

Voorbeeld 2

Een hogeschool doet een onderzoek naar het aantal eerstejaarsstudenten verpleegkunde. Daarbij maakt de school een onderscheid tussen jongens en meisjes. De resultaten van het onderzoek vind je in het staafdiagram.

0 19

-2

9 20

-2

8 18 20

-2

7 01 -2 16

6 20

-2

meisjes

-2

4 14 20

-2

3 01 -2 12

01 20

-2 11 20

-2 0

5 6

08 20

-2 0

80 70 60 50 40 30 20 10 0

jongens

Zijn de volgende conclusies juist of fout?

7 8 9 10

fout

De studies verpleegkunde zijn populairder bij meisjes dan bij jongens.

In het schooljaar 2016-2017 telde de school evenveel studenten verpleegkunde in het eerste jaar als in het schooljaar 2011-2012.

Het aandeel van het aantal mannelijke studenten ten opzichte van het aandeel van het aantal vrouwelijke studenten daalt.

11 12

juist

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

1.5.3 Centrummaten en spreidingsmaat interpreteren In de staafdiagrammen vergelijk je de resultaten van de toets Frans in de klassen 2A en 2B.

7 6 5

4 5 6 punten

_ •    = x

• Mo =

• R =

• Me =

9 10

• aantal leerlingen: _ •    = x

4 5 6 punten

9 10

• Mo =

• R =

• Me =

VA N

4 3 2 1 0

Wat stel je vast?

7 6 5

4 3 2 1 0

• aantal leerlingen:

toets Frans in 2B aantal leerlingen

aantal leerlingen

toets Frans in 2A

Verklaar je vaststelling.

Statistisch onderzoek in reclame In de reclamewereld maakt men vaak gebruik van statistisch onderzoek om een product aan te bevelen. In kleine lettertjes vind je dan meer informatie over het statistische onderzoek.

* Onder de merken douchegels en deodorants verkocht in de supermarkten. Opiniepeiling, 2018, IQVIA Operations Frankrijk, België, 50 dermatologen. ** Online studie uitgevoerd door Nielsen op een totaal van 5 000 consumenten in België eind 2018.

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Oefeningen REEKS A 27

Het diagram toont de top tien buitenlandse nationaliteiten van inwoners van het Vlaamse gewest. Zijn de uitspraken juist of fout? Portugal Turkije Spanje Frankrijk Bulgarije Italië Marokko Roemenië Polen Nederland 0

Meer dan de helft van de inwoners met vreemde nationaliteit in Vlaanderen is Nederlander.

In Vlaanderen komen de inwoners met een vreemde nationaliteit maar uit tien verschillende landen.

Van de top tien van de buitenlandse nationaliteiten van inwoners van Vlaanderen komt ongeveer 10 % uit Roemenië.

VA N

Zijn de uitspraken in verband met de tabel juist of fout?

3 4 5

aantal inwoners per km2 in België

1920

241

1970

314

2020

376

1930

264

1980

321

2030

387

1940

274

1990

324

2040

400

1950

278

2000

334

2050

410

1960

299

2010

353

2060

419

10 11 12 13

juist

fout

Volgens de gegevens uit de tabel zal de Belgische bevolking in de toekomst blijven toenemen.

Tussen 1940 en 1950 was de toename van de Belgische bevolking over een periode van tien jaar het kleinst.

In 2000 telde België ruim twee keer zo veel inwoners als in 1920.

In de periode 1930-1940 nam het aantal inwoners per km2 evenveel toe als in de periode 1990-2000.

8 9

fout

In Vlaanderen wonen ongeveer tien keer zoveel Nederlanders als Spanjaarden en Portugezen samen.

juist a)

aantal inwoners per km2 in België

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Bepaal voor elke uitspraak het bijbehorende cirkeldiagram. diagram Het boek telt 360 bladzijden. Ik heb al 270 bladzijden gelezen.

Deze limonade bevat 20 % vruchtensap.

Een op de tien boekentassen was te zwaar.

De maand juni telde vijftien regenachtige dagen.

Drie van de vijf jongeren waren al eens in Londen geweest.

Als je vier verpakkingen koopt, krijg je 30 % korting.

VA N

REEKS B 30

Vul in met <, > of =. a)

_ x      Me

_     Me x

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Het staafdiagram toont het aantal fietsen per inwoner in verschillende landen. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

ië da ina en nd rijk nië lië an nd nd en rijk nje en en lg k a a Ita Jap erla eg ten pa stat ed erla Ch ar itsl ank ttan Be Can S m u rw os d Zw its Fr Bri de D ne Ne Noo O t ig e Zw o n D e o r r e G V

a) In welk Europees land zal de regering de bevolking het meest moeten stimuleren om zich meer met de fiets te verplaatsen?

b) Bepaal de modus. c) Wat is een mogelijke verklaring voor het antwoord op vraag b?

VA N

d) In de Scandinavische landen wordt een goed fietsbeleid gevoerd. Toon dat aan met de gegevens uit het diagram.

e) Toon aan dat België ten opzichte van de andere Europese landen nog beter kan wat betreft het aantal fietsen per inwoner.

2 3 4 5 6 7 8

In een klas van 15 leerlingen hebben 11 leerlingen voor hun toets 10 op 10. Vier leerlingen hebben niet gestudeerd en behalen 0/10. Welke centrummaat geeft het beste klasbeeld voor die toets? Verklaar je keuze.

9 10 11 12 13

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Elk jaar zijn heel wat jonge fietsers bij een ongeval betrokken. gewonde fietsers bij een ongeval aantal gewonde fietsers

600 487

500

284

300

215

200 100 0

398

380

400

127

141

leeftijd fietser

a) In de lagere scholen wordt het dragen van een fluohesje sterk gepromoot. In het secundair onderwijs wordt daar veel minder aandacht aan besteed. Toon aan de hand van het diagram aan dat een campagne voor het dragen van een fluohesje ook in het secundair onderwijs niet zou misstaan.

VA N

b) 60 % van de Belgen is voorstander van het verplichten van een fietshelm voor kinderen onder de 14 jaar. Toon aan de hand van de gegevens uit het diagram aan dat dat een verstandige beslissing is.

c) Meer dan de helft van de fietsongevallen gebeurt tijdens een verplaatsing en niet tijdens sport en spel. Geef een mogelijke verklaring voor de sterke toename van het aantal gewonde fietsers vanaf de leeftijd van 12 jaar.

Karol wil een handelszaak in geschenkartikelen overnemen. Welke centrummaat in verband met de maandelijkse verkoopcijfers interesseert haar het meest? Verklaar je antwoord.

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Een bedrijf in artisanaal ijs heeft twee vulmachines. Met die machines vullen ze ijsbekers van 150 ml. Het bedrijf doet een onderzoek naar de juiste inhoud van de ijsbekertjes. De tabellen tonen de resultaten. vulmachine 1

vulmachine 2

inhoud (ml)

aantal bekers

inhoud (ml)

aantal bekers

146

147

148

149

150

151

152

153

154

a) Bepaal voor beide vulmachines de gemiddelde inhoud van de bekers. _ _ • vulmachine 1: x     = • vulmachine 2: x     = b) Bepaal voor beide vulmachines de mediaan. • vulmachine 1: Me =

• vulmachine 2: Me =

VA N

c) Kun je aan de hand van de centrummaten afleiden welke vulmachine bijgesteld moet worden? Verklaar je antwoord.

d) Welke statistische maat kun je gebruiken om na te gaan welke vulmachine dringend bijgesteld moet worden?

e) Bepaal voor beide vulmachines die statistische maat.

• vulmachine 1: =

2 3 4 5 6 7

Bij een zeeklimaat lopen de temperatuurschommelingen tussen de seizoenen onder invloed van de nabijheid van de zee niet zo extreem uiteen als in een landklimaat. In een landklimaat zijn de verschillen tussen de temperatuur in de zomer en in de winter veel groter. Welke statistische maat gebruik je het best om het verschil tussen zee- en landklimaat te onderzoeken? Verklaar je antwoord.

8 9 10 11 12 13

• vulmachine 2: =

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

REEKS C 37

In Pientergem houdt men het aantal geboorten gedurende een aantal jaren bij. a) In welke jaren werden er evenveel jongens als meisjes geboren? b) In welke jaren werden er meer meisjes dan jongens geboren? 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 20 20 20 20 20 20

jongens

c) Hoeveel geboorten waren er in 2016 in Pientergem?

meisjes

d) Toon aan de hand van het diagram aan dat Pientergem weinig jonge gezinnen aantrekt.

Van de buslijnen 50 en 32 wordt het aantal passagiers per rit bijgehouden.

VA N

lijn 50 7,

lijn 32

Formule: stengel  10 + blad

a) Wat is het maximumaantal passagiers dat lijn 32 vervoert tijdens de gecontroleerde ritten?

b) Bepaal het minimumaantal passagiers tijdens de gecontroleerde ritten. c) Welke passagiersaantallen komen bij beide buslijnen voor? d) Welke buslijn is het meest rendabel? Motiveer je antwoord.

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Wat wordt met het diagram voorgesteld? Vink aan.

r De minimum- en maximumtemperaturen in de zomer

r De minimum- en maximumtemperaturen in de winter

r De verkoop van ventilatoren en straalkachels in de zomer

r De verkoop van ventilatoren en straalkachels in de winter

Een uniseks naam is een naam die zowel voor een jongen als voor een meisje gebruikt wordt. Het staafdiagram toont een aantal populaire uniseks namen.

500 450 400

VA N

350 300 250 200 150 100 50

1 2

Sam

Dani

Robin

Charlie

jongens meisjes

Beau

Lux

Jules

a) Welke naam is nagenoeg even populair voor jongens als voor meisjes?

3 4 5 6 7 8 9

b) Welke uniseks namen zijn populairder voor meisjes dan voor jongens? c) Om te zien dat het bij deze uniseks namen gaat om een regel in plaats van een uitzondering, hanteer je de 85/15-regel. De naam moet dus zowel bij de jongens als bij de meisjes in 15 % van de gevallen voorkomen. Welke uniseks namen uit het diagram vormen een uitzondering?

10 11

d) Als een kindje Sam heet, hoe groot is dan de kans dat het een meisje is? Schat je antwoord in procent.

12 13

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Het diagram geeft een overzicht van de leeftijden van de leerlingen van de pianoklas van de muziekacademie.

9, 9,

9, 9, 9, 9, 9

1, 0,

0, 1,

1, 0, 0, 0, 0,

0, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 7,

0, 2,

7, 6, 4, 4, 3, 2, 2, 1, 4, 1,

1, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7,

Formule: stengel  10 + blad

a) Vanaf welke leeftijd kun je in de academie starten met pianoles?

b) Hoeveel procent van de leerlingen van de pianoklas is vrouwelijk?

VA N

c) Verklaar de uitspraken aan de hand van het diagram: • Vorig jaar begonnen twee vriendinnen na hun pensioen met het volgen van pianoles.

• Na het eerste jaar haakt al onmiddellijk een heel aantal leerlingen af.

• Elf jaar geleden was er een piek in de inschrijving van eerstejaarsleerlingen piano.

Hoeveel nieuwe fietsen werden er in 2018 in totaal verkocht? 200 000 180 000 160 000 140 000 120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 0

20 % 18 % 16 % 14 % 12 % 10 % 8% 6% 4% 2% 0% 2015

2016

2017

2018

2019

aantal verkochte elektrische fietsen aandeel elektrische/nieuw verkochte fietsen

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

STUDIEWIJZER Statistiek voor de leerling

1.1 Even herhalen KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

De modus is het gegeven met de grootste frequentie. Het gemiddelde van een rij getallen is gelijk aan de som van de getallen gedeeld door hun aantal. De mediaan van een rij gerangschikte getallen is: • het middelste getal als het aantal getallen oneven is; • het gemiddelde van de middelste twee getallen als het aantal even is.

KUNNEN

–  + –  +

Soorten data onderscheiden: numeriek en categorisch. Informatie uit tabellen en diagrammen halen. Gegevens voorstellen met tabellen en diagrammen. De modus, het gemiddelde en de mediaan bepalen uit een frequentietabel.

1.2 Statistisch onderzoek KENNEN

–  + –  +

Bij een statistisch onderzoek onderscheid je vier stappen: een onderzoeksvraag of -opdracht formuleren, data verzamelen, data analyseren en data interpreteren.

VA N

KUNNEN

–  + –  +

Numerieke en categorische data verzamelen om een vraag te beantwoorden via een statistisch onderzoek.

1.3 Stengelbladdiagram

KENNEN

–  + –  +

Informatie uit een stengelbladddiagram halen. Gegevens voorstellen met een stengelbladdiagram.

1.4 Spreidingsmaat: variatiebreedte KENNEN

2 3

De variatiebreedte is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal.

KUNNEN

4 5

–  + –  +

Uit een tabel of diagram de variatiebreedte bepalen.

6 7

1.5 Interpreteren bij statistisch onderzoek KUNNEN

8 9 10 11

Diagrammen interpreteren bij statistisch onderzoek. Centrummaten interpreteren bij statistisch onderzoek. Variatiebreedte interpreteren bij statistisch onderzoek. Verschillende numerieke datasets interpreteren.

12 13

Pienter Rekenen

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

–  + –  +

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

van De Kiekeboes?

VA N

um Hoeveel kost een alb

erhalen. 1. Ebe verzamelt stripv rs koopt ze 5 albums Op een tweedehandsbeu ums van van De Kiekeboes en 7 alb euro. Suske en Wiske voor 53 2. Bepaal d Kiekeboes betaalt De e som van d Voor een album van e hoeken va n va um alb n ee or n een achth vo n da er ze 1 euro me oek. . ske Wi en ske Su

3. De grote drie hoek is verdeeld in twee kleinere dr iehoeken en een ruit. In die figuren st aan drie getalle n. s gebakken Die zijn telkens het product van 2 478 koekje s la k e d t e en m de getallen in de 4. We hebb hoekpunten van de doel. die figuur. voor het goe 0 zakjes. eeld over 10 rd e v n e rd o De getallen die oekjes, Die w je moet invullen, komen 25 k s je k za e st e vind je onder de In de me 24. figuur mige slechts maar in som koekjes n slechts 24 e m o k s je k el za In hoeve 18 terecht? 21

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

Problemen uit Kangoeroe en JWO 1.

Bij ons op school komt 60 % van de leraren met de fiets. Dat zijn 45 leraren. Slechts 12 % van de leraren gebruikt de wagen om naar school te komen. Hoeveel leraren zijn dat?

A) ❒ 8

B) ❒ 9

C) ❒ 10

D) ❒ 11

E) ❒ 12

Kangoeroe, editie 2016, Wallabie

2. De toiletten op een school verbruiken 6 liter bij een grote boodschap en 3 liter bij een kleine boodschap. Vandaag werd 450 liter verbruikt na 140 toiletbezoeken. Hoeveel keer heeft iemand een grote boodschap gedaan?

B) ❒ 20

C) ❒ 30

VA N

A) ❒ 10

D) ❒ 40

E) ❒ 50

JWO, editie 2017, eerste ronde

50 m

1 2 3

A) ❒ 12 m

Simon de poes loopt op de rand van het zwembad. Wolfje zwemt lengtes in het zwembad. Simon loopt 3 keer sneller dan Wolfje zwemt. Wolfje zwemt 6 lengtes van 50 m, terwijl Simon 5 rondes loopt. Hoe breed is het zwembad?

B) ❒ 15 m

C) ❒ 25 m

D) ❒ 30 m

E) ❒ 40 m

Kangoeroe, editie 2018, Wallabie

4 5 6 7 8

4. Een tafel heeft vier poten van 76, 77, 78 en 79 cm. Aya wil de tafel horizontaal maken en zaagt van een aantal poten stukken af. Ze kan die stukken gebruiken om onder andere poten te plaatsen. Wat is de minimale totale lengte van de afgezaagde stukken?

9 10 11

A) ❒ 2 cm

B) ❒ 3 cm

12 13

JWO, editie 2019, tweede ronde

HOOFDSTUK 1 I STATISTIEK

C) ❒ 4 cm

D) ❒ 5 cm

E) ❒ 6 cm

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

2.1 Spiegelen, verschuiven en roteren van figuren

2.2 Spiegelen om een as

2.3 Verschuiven over een vector

2.4 Roteren over een hoek

2.5 Spiegelen om een punt

2.6 Eigenschappen van spiegelen,

verschuiven en roteren

2.7 Verband tussen coördinaten en transformaties

82 85

Pienter problemen oplossen

Problemen uit Kangoeroe en JWO

VA N

Studiewijzer

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

2.1

Spiegelen, verschuiven en roteren van figuren Welke veranderingen heeft de hond Grappo ondergaan? Hond B is telkens het resultaat van een verandering van hond A.

De hond Grappo is A

De hond Grappo is

VA N

De hond Grappo is

2 3 4 5

Spiegelingen, verschuivingen en rotaties noem je transformaties van het vlak.

6 7 8 9 10 11 12

Transformatie komt van het Latijnse woord transformatio. Dat betekent vervorming, gedaanteverandering, verandering, verzetting, wijziging, wisseling. In het dagelijks leven gebruik je vaak transformatoren. Dat zijn toestellen die elektrische spanning veranderen in een andere spanning. Een gsm-lader, bijvoorbeeld, verlaagt de spanning van 230 V wisselspanning naar 3,7 V gelijkspanning.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Oefeningen REEKS A 1

Herken je in de onderstaande figuren een spiegeling, een verschuiving of een rotatie? Vink aan. d)

r spiegeling. ❒ verschuiving. r rotatie.

Ik herken een

r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.

Ik herken een

VA N

Ik herken een

r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.

Ik herken een

r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.

Ik herken een

r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Herken je in de onderstaande figuren een spiegeling, een verschuiving of een rotatie? Vink aan. a)

Ik herken een

r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.

Ik herken een

r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.

VA N

r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.

Ik herken een

r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.

Ik herken een

r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ik herken een

r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

REEKS B 3

Herken je in de onderstaande figuren een spiegeling, een verschuiving en/of een rotatie? Vink aan. a)

Ik herken een

r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.

Ik herken een

r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.

VA N

r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.

Ik herken een

r spiegeling. r verschuiving. r rotatie.

REEKS C 4

Vervolledig de onderstaande patronen. a)

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

2.2

Spiegelen om een as

2.2.1 Inleiding In je omgeving word je vaak met spiegelingen geconfronteerd. Ook Thomas merkte een spiegeling op toen hij de foto’s van zijn bezoek aan de zoo bekeek.

A’

VA N

Zelf kun je héél makkelijk een figuur spiegelen. Maak een vlek op een blanco blad. Vouw het blad dicht, zodat de vlek een afdruk geeft. Als je het blad nu openvouwt, merk je dat de vlek gespiegeld is ten opzichte van de vouwlijn. De vouwlijn is de spiegelas. vouwlijn

2 3

4 5

7 8 9 10

vouwlijn

11 12

Vaststelling 13

Een spiegeling wordt bepaald door een spiegelas.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

2.2.2 Een punt spiegelen Bepaal het beeld van het punt A door een spiegeling ten opzichte van de rechte x. Noem het spiegelbeeld A9. x

x A9

7 6

10 170

5 4

20 160

30 150

2 1

1 0

40 140

0 17 0 1

6 7

RIE

D EO

16 20 0

140 40

130 50

80 0 11

3 150 30

60 120

3 4

7 11 0 0

120 60

110 70

100 80

50 130

3 2

Werkwijze Teken de loodlijn op de rechte x door het punt A.

stap 2: Notatie:

Teken A9 op die loodlijn zodat d(A, x) = d(A9, x).

Lees:

Het spiegelbeeld van A ten opzichte van de spiegelas x is A9.

stap 1:

Opmerking

VA N

sx (A) = A9 (s komt van het woord spiegeling)

• x is de middelloodlijn van [ AA9 ], want AA9 ⊥ x en d(A, x) = d(A9, x).

• Het spiegelbeeld van een punt A wordt meestal A9 genoemd. Dat is echter niet noodzakelijk. • Het spiegelbeeld van een punt op de spiegelas is het punt zelf.

Voorbeelden Zijn de onderstaande afbeeldingen gespiegeld? Verklaar. x

Gespiegeld?

r ja

r nee

Gespiegeld?

r ja

r nee

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Oefeningen REEKS A 5

Soms zie je op een ziekenwagen het woord ‘ambulance’ eigenaardig geschreven staan. Wat is daar de reden voor?

Zijn de onderstaande afbeeldingen gespiegeld? Vink aan. c)

r ja b)

VA N

r nee

r ja

r nee

r ja

r nee

r ja

r nee

2 3

Welke stopborden zijn juist gespiegeld? Duid aan.

4 5

6 7

9 10 11 12

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

REEKS B 8

Is de driehoek correct gespiegeld om de gegeven spiegelas? Verklaar. a)

Gespiegeld?

r ja

r nee

Gespiegeld?

r nee

r ja

VA N

De rechtertekening zou het spiegelbeeld moeten zijn van de linkertekening. De tekenaar was echter verstrooid. Omcirkel de acht fouten op de rechtertekening.

Welke figuur heeft een fout spiegelbeeld? Omcirkel. x

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

De onderstaande klokken staan in spiegelbeeld. Hoe laat is het? a)

Vul in. punt a) sa (A) = B

VA N

b) sx (P) = P9 14

Schrijf in woorden. a) sa (B) = B9

spiegelbeeld

spiegelas

Schrijf in symbolen.

a) Het spiegelbeeld van X ten opzichte van de spiegelas b is X9.

b) Het spiegelbeeld van D ten opzichte van de spiegelas y is D9. 1

Vink de juiste notaties aan.

2 3

4 5

Q = Q9

7 8 9

R = R9

P = P9

R Q

R9 Q = Q9

10 11 12 13

r sb (P) = P9 r sb (Q) = Q9 r sb (R) = R9

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

r sa (P) = P9 r sa (Q) = Q9 r sa (R) = R9

r sd (P) = P9 r sd (Q) = Q9 r sd (R) = R9

Vul in. k

j A

sn (A) =

sk (D) =

sm (I) =

sj (C) =

sk (B) =

Is de figuur F2 het beeld van de figuur F1 door een spiegeling? Teken indien mogelijk de spiegelas.

sm (G) =

A K

J I

A F11

F22

C9 CC

D9 B

G H

VA N

B9 D

r ja r nee

d) B

C F1

A C

r ja r nee

r ja r nee HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

REEKS C 18

Teken, indien mogelijk, de spiegelas x zodat sx (A) = A en sx (B) = B. Teken daarna het beeld van C en D ten opzichte van de spiegelas x. a)

B = B9 C

A = B9

B = A9

Je moet met de witte biljartbal de rode bal raken, zonder de gele bal te raken. Daarvoor moet je via de band werken.

VA N

a) Waar moet de witte biljartbal (W) de bovenste korte band van de biljarttafel raken om de rode biljartbal (R) te raken? 1

B R G

b) Waar moet de witte biljartbal (W) de rechter lange band van de biljarttafel raken om de rode biljartbal (R) te raken?

2 3 4 5

6 7 8

G W

9 10 11 12 13

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

2.2.3 Symmetrieassen Wat is de betekenis van dit verkeersbord?

Welke spiegelas zorgt ervoor dat de figuur op zichzelf wordt afgebeeld? Die spiegelas noem je een symmetrieas.

Definitie

Symmetrieas Een symmetrieas van een figuur is een spiegelas die de figuur op zichzelf afbeeldt.

m is een symmetrieas van een figuur F

VA N

Voorbeelden

In symbolen:

Teken alle symmetrieassen van de verkeersborden. Noteer onder elk verkeersbord het aantal symmetrieassen.

aantal:

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Oefeningen REEKS A 20

Teken alle symmetrieassen in de onderstaande tekeningen. a)

Teken alle symmetrieassen in de onderstaande vlakke figuren.

VA N

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

REEKS B Teken alle symmetrieassen. a)

aantal symmetrieassen: b)

aantal symmetrieassen: d)

aantal symmetrieassen:

aantal symmetrieassen: f)

aantal symmetrieassen:

Vul aan tot een symmetrische figuur.

VA N

REEKS C 24

Kleur zo weinig mogelijk hokjes in zodat d1 en d2 symmetrieassen zijn. a)

b) d1

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

2.3

Verschuiven over een vector

2.3.1 Inleiding Seb, Léon en Oona zitten in een jeugdbeweging en moeten tijdens een spel de controlepost vinden. Ze kregen elk een eerste instructie mee: ‘Ga naar het kruispunt van de Zwanendreef en de Mostweg.’ Daar aangekomen krijgt elk een tweede instructie via sms toegestuurd. Waar vinden Seb, Léon en Oona de controlepost? Seb SMS 1 ‘NEEM DE ZWANENDREEF’

Zwanendreef Colliemolendreef Mostweg

Léon

Zwanendreef

Mostweg SMS 2 ‘GA NAAR HET BOS’

VA N

1 cm = 25 stappen

Kunnen de kinderen elk afzonderlijk de controlepost vinden?

Oona

SMS 3 ‘ZET 75 STAPPEN’

Vaststelling

Seb, Léon en Oona hebben zowel een richting, een zin als een afstand gebruikt om de controlepost te vinden. Die drie wiskundige begrippen stel je samen voor door een vector. Vector

2 3

De verschuiving op een glijbaan wordt bepaald door een vector. ⟶ ⟶ ⟶ De punten A en B worden verschoven over AA′    zodat AA′    = BB′   .

5 6

11 12

⟶ Notatie:  AA′

Een vector wordt bepaald door een richting, een zin en een afstand.

Vaststelling

Een verschuiving wordt bepaald door een vector.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

2.3.2 Een punt verschuiven ⟶ Bepaal het beeld van het punt P door een verschuiving bepaald door de vector AA′   .  Noem het schuifbeeld P9.

A’ A’ P’

Werkwijze stap 1:

Teken een rechte evenwijdig met AA9 door P.

richting

stap 2:

Bepaal de zin waarin je P moet verschuiven.

zin

stap 3:

Teken P9 op die evenwijdige zodat d(A, A9) = d(P, P9).

afstand

Lees:

t ⟶ (P) = P9 (t komt van het woord translatie, wat verschuiving betekent)     AA′ ⟶ Het schuifbeeld van P bepaald door de vector  AA′ is P9.

Notatie:

Opmerking

Voorbeelden

VA N

Het schuifbeeld van een punt P wordt meestal P9 genoemd. Dat is echter niet noodzakelijk.

Is afbeelding 2 telkens het schuifbeeld van afbeelding 1? Verklaar.

B9 C

1 1

1 2

Verschoven?

r ja r nee

Verschoven?

r ja

r nee

Verschoven?

r ja

r nee

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Oefeningen REEKS A 25

Zijn de onderstaande figuren het schuifbeeld van elkaar? Vink aan. a)

r ja

r nee d)

VA N

r nee

De rechterfoto zou het schuifbeeld moeten zijn van de linkerfoto. De tekenaar was echter verstrooid. Omcirkel de acht fouten op de rechtertekening.

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

r ja

REEKS B

r nee

r ja

r nee

r ja

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Zoek het schuifbeeld. Welk woord zoeken we? B

G U

F P

K E S

N H

T W

t→  FE (B) =

t ⟶ (A) =     DN

t→  FG (P) =

t ⟶ (D) =     GQ

t→  LO (M) =

t→  TD (K) =

t ⟶ (N) =     NK

VA N

t ⟶ (F) =     QD

Welk woord zoeken we?

Vink de foutieve beweringen aan. Aan welke voorwaarde is niet voldaan? a)

C D

E C

 AB (  C) = D r t→  

r richting

 AB (  E) = F r t→  

r zin

r afstand

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Vul in.

a) ( K) =  L b) t ⟶     AA

vector

schuifbeeld

→     RS

Schrijf in woorden.

a) t→  AB (C) = D

b) t ⟶ (A) = A9     PP

Schrijf in symbolen. → a) Het schuifbeeld van P bepaald door AB    is Q.

⟶ b) Het schuifbeeld van X bepaald door VW    is X9.

VA N

punt

Vul in.

d) t ⟶ (A) =     CD

b) t→  AB (E) =

e) t→   FA (M) =

c) t ⟶ (M) =     FM

f) t ⟶ (E) =     DM

a) t→  FE (A) =

2 3 4 5 6

Het punt P9 is het beeld van het punt P bepaald door een verschuiving. Teken de vector en het beeld van de overige punten. a)

b) P

8 9 10

C P9

P B

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Is de figuur F2 het beeld van de figuur F1 door een verschuiving? Teken indien mogelijk de vector. a)

c) A

C = C9

B = B9 F2

r ja r nee

d) E

B F1

VA N

D E

C = C9

r ja r nee

REEKS C 35

Vul in. h d a A

e B

a) t ⟶ (I) =     AG

f) s (B) = F

b) t →IF ( ) = D

g) t ⟶ ( ) = G     HB

c) sf ([CE ]) =

h) sHD (F) = (C) = G

d) t c E g

e) sg ( ) = H

i) t→  DF (A) =     j) sb ( ) = D

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Teken de ontbrekende punten, als je weet dat t ⟶ (A) = B en t ⟶ (K) = L.     PQ     PQ a)

Q B L P L P

B Q

VA N

Q L

2 3 4 5

In een trapezium ABCD is de grote basis [ AD ]dubbel zo lang als de kleine basis [ BC ]. Verbind het midden M van de grote basis met de hoekpunten B en C, zodat je drie driehoeken verkrijgt. Onderzoek welke driehoeken elkaars beeld zijn door een verschuiving. Bepaal ook telkens de verschuiving.

6 7 8 9 10 11 12 13

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

2.4

Roteren over een hoek

2.4.1 Georiënteerde hoek Léon en Lola moeten de code van een brandkast proberen te kraken. Ze krijgen elk een envelop met een tip. Door het cijferslot op de juiste manier te roteren of te draaien, kunnen ze de code ontcijferen. Een verkeerde poging vernietigt helaas de inhoud. 0 Léon

ENVELOP 1 ‘DRAAI OVER EEN HOEK VAN 144°’

Kunnen de kinderen elk afzonderlijk de code kraken?

Lola

Welk getal moeten Léon en Lola draaien?

ENVELOP 2 ‘DRAAI HET SLOT IN TEGENWIJZERZIN’

Definitie

VA N

Er kan zowel in wijzerzin als in tegenwijzerzin over een bepaalde hoek geroteerd worden. Om de hoekgrootte en de draaizin voor te stellen, gebruik je een georiënteerde hoek. Georiënteerde hoek

Een georiënteerde hoek is een hoek die wordt bepaald door een hoekgrootte en een (draai)zin. O

∧

Notatie: AOB 

∧

Je spreekt over de georiënteerde hoek AOB  met de halfrechte [ OA als beginbeen en de halfrechte [ OB als eindbeen.

Afspraak

Positieve en negatieve zin Wanneer er in tegenwijzerzin wordt geroteerd, spreek je van een positieve zin. Wordt er in wijzerzin geroteerd, dan spreek je van een negatieve zin. georiënteerde hoek

beginbeen

eindbeen

notatie

[OA

[OB

A OB 

[OB

[OA

B OA 

draaizin

∧

negatief

B A

∧

positief

B HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Oefeningen REEKS A 38

Duid de zin van de georiënteerde hoek aan met een pijl. a)

b) B

B A

−40°

90°

120°

−150°

∧

Vink aan in welke situaties de georiënteerde hoek AOB  positief is.

VA N

Teken de gevraagde georiënteerde hoek met O als hoekpunt.

3 4

5 6

7 8 9 10 11 12 13

∧

SOK  = −80°

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

∧

KOT  = 125°

REEKS B

c) In welke zin rijd je in België op een rotonde? d) In welke zin draaien de wielen van een fiets die je ziet voorbijrijden van links naar rechts?

e) In welke zin draai je aan het stuur van een auto als je naar links afslaat?

VA N

f) In welke zin draai je de schroevendraaier om een schroef in de muur te draaien?

negatieve zin

b) In welke zin draai je als je een waterkraan dichtdraait?

positieve zin

a) In welke zin draait de volumeknop van de radio als je het geluid dempt?

tegenwijzerzin

Vink de juiste draaizin aan.

wijzerzin

Josse staat voor een deur. Bepaal de draaizin om de deur te openen. b)

r wijzerzin r tegenwijzerzin

Twee keer per jaar moet je de klok verdraaien. Gedurende de zomermaanden moet je de klok een uur vooruitzetten (in wijzerzin). In de wintermaanden draai je ze een uur terug (in tegenwijzerzin). De zomertijd loopt vanaf de laatste zondag van maart tot de laatste zondag van oktober. Een handig ezelsbruggetje: in het voorjaar gaat de klok vooruit.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

2.4.2 Een punt roteren Léon en Lola vinden in de brandkast twee tickets voor een pretpark. Bij het piratenschip worden ze met draaibewegingen geconfronteerd.

A A

O 120° B9

120° 120° B9

120°

A9 A9

Punt A en B zijn geroteerd • om een centrum O. • volgens een georiënteerde hoek van 120°. ∧

∧

• AOA 9 = B OB 9 = 120°.

VA N

120° B

120°

O 120° B

Punt A en B zijn geroteerd • om een centrum O.

• volgens een georiënteerde hoek van −120°.

∧

• AOA 9 = B OB 9 = −120°.

2 3 4 5

Vaststelling

Een rotatie wordt bepaald door een centrum en een georiënteerde hoek.

6 7 8 9 10 11

In een pretpark kun je verschillende rotaties in één attractie opmerken. Bij de theekopjes wordt er om verschillende centra geroteerd. Zo merk je een centrum op bij ieder kopje, maar ook bij het centrum van de attractie. Een extra factor die de kans op misselijkheid vergroot.

12 13

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Bepaal het beeld van het punt A door een rotatie om een centrum O over een georiënteerde hoek van −70°. Noem het draaibeeld A9. A9

α A

O A

Werkwijze Teken de halfrechte [OA.

stap 2:

Teken een even grote hoek als  met [OA als beginbeen.

stap 3:

Bepaal op het eindbeen een punt A9 zodat | OA | = |  OA9 |.

Lees:

r  (O, )(A) = A9 (r komt van het woord rotatie)

et draaibeeld van A door de rotatie om het centrum O H en over de georiënteerde hoek  is A9.

VA N

Notatie:

stap 1:

Opmerkingen

• Het draaibeeld van een punt A wordt meestal A9 genoemd. Dat is echter niet noodzakelijk. • Het draaibeeld van een punt over een georiënteerde hoek van 360° is het punt zelf. Voorbeelden

Is afbeelding 2 telkens het draaibeeld van afbeelding 1 door de gegeven rotatie? Verklaar. r  (O, 90°)

r  (O, 100°)

r  (O, 180°)

1 2

O O

1 1

Geroteerd?

r ja

r nee

Geroteerd?

r ja

r nee

Geroteerd?

r ja

r nee

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Oefeningen REEKS A 43

Duid met blauw het centrum van de rotatie aan op de volgende illustraties.

Zijn de onderstaande figuren het draaibeeld van elkaar? Vink aan.

VA N

r ja

r nee

r ja

r nee

r ja

r nee

2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12

r ja

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

r nee

REEKS B 45

Zoek telkens het draaibeeld. Welk woord zoeken we? B

J N

U M

I T

G H

r(A, −100°)(B) =

r(O, −60°)(A) =

r(D, 75°)(G) =

Vul in.

r(F, 135°)(I) =

punt

a) r(O, 60°)(P) = Q

b) r(O, −60°)(B) = B9

centrum

georiënteerde hoek

draaibeeld

–120°

Schrijf in woorden. a) r(O, 45°)(Y) = Y9

r(D, −60°)(F) =

Welk woord zoeken we?

r(F, −90°)(D) =

VA N

r(A, 180°)(O) =

Schrijf in symbolen. a) P9 is het draaibeeld van P om O over −120°.

b) X9 is het draaibeeld van X om R over 45°.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Is F2 telkens het draaibeeld van F1 door de gegeven rotatie? Verklaar als dat niet zo is. a) r(O, 180°)(F1)

c) r(O, 100°)(F1) O

r ja

r nee

r ja

b) r(O, 90°)(F1)

d) r(O, –120°)(F1)

r nee

F1 O

VA N

2 3

r nee

r ja

r nee

r ja

Vink de juiste beweringen aan. a)

c) D

8 9

D E

10 11 12 13

r r(O, 90°)(A) = B r r(O, −70°)(A) = D r r(O, −90°)(D) = A r r(O, 170°)(B) = D

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

r r(O, 45°)(B) = E r r(O, 45°)(A) = B r r(O, 45°)(B) = D r r(O, −90°)(B) = D

r r(O, 120°)(A) = E r r(O, 120°)(A) = D r r(O, −120°)(D) = E r r(A, −25°)(B) = E

Vul in. N

b) r(X, −150°)(G) =

D Q

a) r(X, 60°)(K) =

L X

E F

c) r(X, 30°)(S) =

K J

d) r(X, 180°)(Q) =

e) r(X, –90°)(J) =

REEKS C Vul in. C

VA N

a) r(M, 180°)(MDE)

c) r(M, 120°)(

= ABF

)

Vul in. A

b) r(M, −60°)(BMC)

d) r(M, )(CMD) = EMF

a) r(M, )(A) = B

f) s (B) = D

g) r(M, 90°)( ) = D

t→  AE ( ) = C

c) sHF ( ) = G

h) t ⟶ (H) =     GM

d) r(F, 180°)(B) =

i) sAB (E) =

e) t

j) sAC ( ) = D

(A) = B

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

2.5

Spiegelen om een punt

2.5.1 Puntspiegeling De hond Grappo wordt geroteerd om het punt O over een hoek van 180°.

A’

180° B’

Merk op dat je hetzelfde beeld krijgt als je ‘spiegelt9 ten opzichte van het punt O.

Vaststelling

VA N

Je spreekt daarom over een puntspiegeling met centrum O.

Een rotatie met centrum O over een hoek van 180° is een puntspiegeling met centrum O.

ABC werd gespiegeld om het centrum O. Bepaal het beeld van [ AB ]door te spiegelen om het punt O. A

A O

3 4

7 8

Werkwijze stap 1:

Teken de rechte OA.

stap 2: stap 3:

Bepaal op de rechte een punt A9 zodat | OA | = |  OA    9 .|

Notatie:

Lees:

Het spiegelbeeld van A ten opzichte van het centrum O is A9.

9 10 11

Herhaal de bovenstaande stappen voor de overige punten. (A) = A9 (s komt nog steeds van het woord spiegeling)

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Oefeningen REEKS A 54

Vink de puntspiegelingen met centrum O aan. a)

O O

r d)

VA N

REEKS B 55

Vul in.

punt

a) sP (K) = L

b) sO (G) = H

centrum

beeld

Schrijf in woorden. a) sA (B) = B

Schrijf in symbolen. a) B is het spiegelbeeld van B ten opzichte van het centrum O.

b) X is het spiegelbeeld van Y ten opzichte van het centrum Z.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Is F2 telkens een puntspiegeling van F1 ten opzichte van het centrum O? Indien niet, verklaar. a) sO (F1)

c) sO (F1)

O F1

F1 F2

r ja

r nee

b) sO (F1)

d) sO (F1)

VA N O

REEKS C 59

Duid het centrum O van de puntspiegeling aan. a)

6 7 8 9 10 11 12 13

r nee

r ja

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

r ja

r nee

2.5.2 Symmetriemiddelpunten Wat is de betekenis van dit verkeersbord?

Door een puntspiegeling kan de figuur op zichzelf worden afgebeeld. Welk punt is het centrum van die rotatie? Benoem dat punt met de letter O. Dat punt noem je het symmetriemiddelpunt.

Definitie

Symmetriemiddelpunt Een symmetriemiddelpunt van een figuur is het centrum van de puntspiegeling die de figuur op zichzelf afbeeldt.

In symbolen: O is het symmetriemiddelpunt van een figuur F als Voorbeelden

VA N

Duid indien mogelijk het symmetriemiddelpunt van de volgende verkeersborden aan.

Bij vriesweer zie je wel eens ijskristalletjes. Het kristal wordt gevormd doordat heel kleine (bevroren) waterdeeltjes zich rond een stofdeeltje vasthechten. Onder een microscoop of een vergrootglas is de structuur goed zichtbaar. Je merkt niet alleen symmetrieassen, maar je ziet ook een symmetriemiddelpunt.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Oefeningen REEKS A Duid het symmetriemiddelpunt aan. Noteer de soort vlakke figuur. a)

soort vlakke figuur:

VA N

symmetriemiddelpunt?

r ja r nee

soort vlakke figuur:

Duid, indien mogelijk, het symmetriemiddelpunt aan.

2 3 4

symmetriemiddelpunt?

r ja r nee

7 8 9 10 11 12 13

symmetriemiddelpunt?

r ja r nee

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

REEKS B 62

Z N C O

Teken, indien mogelijk, alle symmetrieassen en symmetriemiddelpunten in de onderstaande letters. a)

VA N

Het punt O is het symmetriemiddelpunt van een versieringsmotief. Vervolledig dit patroon. b)

O O

REEKS C 64

Teken een vlakke figuur waarvan het punt O het symmetriemiddelpunt is.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

2.6

Eigenschappen van spiegelen, verschuiven en roteren a

K I

X M J

–145°

VA N

2 3

ABCD

4 5

lengte of afstand

6 7

EFGH is het beeld van ABCD door een spiegeling sa (ABCD) = EFGH sa ([AB ]) = [ EF ]

OPQR is het beeld van ABCD door een verschuiving t ⟶ (ABCD) = OPQR     VW t ⟶ ([AB ]) = [ OP ]     VW

IJKL is het beeld van ABCD door een rotatie r(M, −145°)(ABCD) = IJKL r(M, −145°)([AB ]) = [ IJ ]

Meet de lengte of afstand van [ AB ], [ EF ], [ OP ] en [ IL ].

8 9

| AB | = | EF | =

10 11 12

Vaststelling

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

| OP | =

| IJ | =

∧

) = E FG    sa (ABC

hoekgrootte

∧

Meet de hoekgrootte van ABC  , E FG , O PQ  en I JK .

∧

sa ([AB]) = [EF]

sa ([AD]) = [EH]

∧

OPQ    =

  IJK    =

t ⟶ ([AB]) = [OP]     VW

r(M, −145°)([AB]) = [IJ]

t ⟶ ([AD]) = [OR]     VW

Wat is de onderlinge ligging van AB en AD, EF en EH, OP en OR, en IL en IJ? EF EH

sa ([AB]) = [EF]

t ⟶ ([AB]) = [OP] VW

VA N

evenwijdigheid

OP OR

AB AD

t ⟶ ([CD]) = [QR]     VW

sa ([CD]) = [GH]

Wat is de onderlinge ligging van AB en CD, EF en GH, OP en QR, en IL en KJ?

EF GH

OP QR

r(M, −145°)([AD]) = [IL] IJ IL

r(M, −145°)([AB]) = [IL]

r(M, −145°)([CD]) = [CD] IJ KL

AB CD

Vaststelling

∧

loodrechte stand

Vaststelling

∧

r(M, −145°)(ABC   ) = I  L   K

ABC    = EFG    = Vaststelling

∧

t ⟶ (ABC   ) = OPQ        VW

collineariteit

sa ([BC]) = [FG]

t ⟶ ([BC]) = [PQ]     VW

r(M, −145°)([BC]) = [KJ]

Y ligt wel/niet op PQ

X ligt wel/niet op KJ

Collineaire punten zijn punten die op eenzelfde rechte liggen. Schrap wat niet past. Z ligt op BC

Vaststelling

Besluit

Een spiegeling, verschuiving en rotatie behouden: • • • • •

N ligt wel/niet op FG

de lengte of afstand, de hoekgrootte, de loodrechte stand, de evenwijdigheid, de collineariteit.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Oefeningen REEKS B 65

Youssef voert de opdracht uit door zo weinig mogelijk punten te spiegelen, te verschuiven of te roteren. Welke eigenschappen zal hij gebruiken om de transformatie verder af te werken? Vink aan. a) sm

c) r(O, –140°) f

h A

O C9

Een spiegeling behoudt de

Een rotatie behoudt de

VA N

r lengte/afstand r hoekgrootte r loodrechte stand r evenwijdigheid r collineariteit

d) t→  KL

b) t ⟶     PQ

Youssef roteerde al twee punten. Welke eigenschappen zal hij gebruiken om de tekening verder af te werken?

Youssef spiegelde al twee punten. Welke eigenschappen zal hij gebruiken om de tekening verder af te werken?

A9 A

4 5 6

Youssef verschoof al één punt. Welke eigenschappen zal hij gebruiken om de tekening verder af te werken?

Youssef verschoof al twee punten. Welke eigenschappen zal hij gebruiken om de tekening verder af te werken?

Een verschuiving behoudt de

r lengte/afstand r hoekgrootte r loodrechte stand r evenwijdigheid r collineariteit

10 11 12 13

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

REEKS C 66

Hoeveel punten heb je minstens nodig om het beeld van de volgende figuren te bepalen? Welke eigenschap(pen) heb je gebruikt? ∧

a) sa (m)

c) r (O, −150°)(A   ) C

Hoeveel punten moet je minstens roteren?

Een spiegeling behoudt de

Een rotatie behoudt de

Hoeveel punten moet je minstens spiegelen?

b) t ⟶ (c(A, r))     PQ

VA N

r lengte/afstand r hoekgrootte r loodrechte stand r evenwijdigheid r collineariteit

d) sa (ABCD)

a Q

Hoeveel punten moet je minstens verschuiven?

Hoeveel punten moet je minstens spiegelen?

Een verschuiving behoudt de

Een spiegeling behoudt de

r lengte/afstand r hoekgrootte r loodrechte stand r evenwijdigheid r collineariteit

r lengte/afstand r hoekgrootte r loodrechte stand r evenwijdigheid r collineariteit HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

2.7

Verband tussen coördinaten en transformaties Zet de punten A (1, 3), B (4, –4) en C (–2, –3) in het assenstelsel.

y 6 5 4 3 2 1

x –6

–5

–4

–3

–2

–1

–2 –3

VA N

–4

–1

–5 –6

Bepaal de coördinaat van het beeld door een spiegeling ten opzichte van de x-as. B (4, –4)

C (–2, –3)

A ( , )

B ( , )

C ( , )

sx 1

A (1, 3)

Vaststelling

algemeen voor P (x, y) sx (P) = P ⇒ co (P) = ( , )

Bij een spiegeling ten opzichte van de x-as blijft de x-coördinaat ongewijzigd en verandert de y-coördinaat van teken.

3 4 5

Bepaal de coördinaat van het beeld door een spiegeling ten opzichte van de y-as.

6 7 8 9

A (1, 3)

B (4, –4)

C (–2, –3)

algemeen voor P (x, y)

A ( , )

B  ( , )

C  ( , )

sy (P) = P  ⇒ co (P ) = ( , )

10 11 12

Vaststelling

Bij een spiegeling ten opzichte van de y-as blijft de y-coördinaat ongewijzigd en verandert de x-coördinaat van teken.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Oefeningen REEKS C Bepaal telkens de coördinaat van het beeld door een spiegeling ten opzichte van de x-as of y-as. a) A (1, 6) b) B (5, –8) c) C (–10, 6) d) D (–5, –12)

sx (A ) = A ( , )

e) E (–25, 36)

sy (C ) = C ( , )

g) G (–2, –10)

sx (B ) = B ( , )

f) F (0, –6)

sy (D ) = D ( , )

h) H (11, 11)

sy (E ) = E ( , ) sy (F ) = F ( , )

sx (G ) = G ( , )

sx (H ) = H ( , )

Zet de punten in het assenstelsel. Bepaal telkens de coördinaat van het beeld van A en B door de verschuiving t → ,  t→    en t → .  PQ VW EF

y 5

A (2, 3) B (–1, 1)

E (1, 4) F (3, 4) P (–4, 3) Q (–1, 2) V (–3, 1) W (–3, –2)

A (2, 3)

B (–1, 1)

t→  EF

A1 ( , )

B1 ( , )

t→  VW

A2 ( , )

B2 ( , )

t→  PQ

A3 ( , )

B3 ( , )

VA N

3 2

–1

–5

–4

–3

–2

x 5

–2 –3 –4 –5

Bepaal telkens de coördinaat van het beeld van A en B door de verschuiving t → ,  t →  en t → .  PQ VW KL t→  PQ

t→  VW

t→  KL

met P (4, 1) en Q (4, 6)

met V (–5, 2) en W (1, 2)

met K (4, 5) en L (0, 2)

a) A (–5, –5)

A1 ( , )

A2 ( , )

A3 ( , )

b) B (–10, 4)

B1 ( , )

B2 ( , )

B3 ( , )

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Zet de punten A (1, 3) en B (4, –4) in het assenstelsel. Bepaal de coördinaat van het draaibeeld van A en B volgens r(O, ) met co (O) = (0, 0). y 6 5 4 3 2 1

x –6

–5

–4

–3

–2

–1

–1 –2

–4 –5

–3



A (1, 3)

B (4, –4)

algemeen voor P (x, y)

A1 ( , )

B1 ( , )

r(O, 90°)(P) = P1 ⇒ co (P1) = ( , )

90°

VA N

–6

–90°

A2 ( , )

B2 ( , )

r(O, –90°)(P) = P2 ⇒ co (P2) = ( , )

180°

A3 ( , )

B3 ( , )

r(O, 180°)(P) = P3 ⇒ co (P3) = ( , )

–180°

A4 ( , )

B4 ( , )

r(O, –180°)(P) = P4 ⇒ co (P4) = ( , )

2 3 4 5 6 7 8

Bepaal de coördinaat van het draaibeeld volgens r(O, ) met co (O) = (0, 0). a)

A (–2, 5)

r(O, 90°)(A) = A ( , )

D (–1, 4)

r(O, –90°)(D) = D ( , )

B (3, 5)

r(O, 180°)(B) = B ( , )

E (6, 0)

r(O, –180°)(E) = E ( , )

C (25, –36)

r(O, 90°)(C) = C ( , )

F (–18, –10)

r(O, –90°)(F) = F ( , )

9 10 11 12 13

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

STUDIEWIJZER Spiegelen, verschuiven en roteren voor de leerling

2.1 Spiegelen, verschuiven en roteren van figuren KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Spiegelingen, verschuivingen en rotaties noem je transformaties van het vlak.

KUNNEN

–  + –  +

In het vlak figuren herkennen die het beeld zijn van een gegeven figuur door een verschuiving, een spiegeling of een rotatie.

2.2 Spiegelen om een as KENNEN

–  + –  +

Een spiegeling wordt bepaald door een spiegelas. Het spiegelbeeld van een punt op de spiegelas is het punt zelf. Een symmetrieas van een figuur is de spiegelas die de figuur op zichzelf afbeeldt.

KUNNEN

–  + –  +

VA N

2.3 Verschuiven over een vector

KENNEN

–  + –  +

Een vector wordt bepaald door een richting, een zin en een afstand. Een verschuiving wordt bepaald door een vector.

KUNNEN

–  + –  +

2.4 Roteren over een hoek

KENNEN

–  + –  +

Een rotatie wordt bepaald door een centrum en een georiënteerde hoek. Het draaibeeld van een punt over een georiënteerde hoek van 360° is het punt zelf.

KUNNEN

–  + –  +

Het draaibeeld van een punt om een centrum over een georiënteerde hoek symbolisch noteren. De symbolische notatie van een rotatie verwoorden. Het beeld van een vlakke figuur dat het resultaat is van een rotatie over een hoek, verklaren.

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

voor de leerling

2.5 Spiegelen om een punt KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een rotatie met centrum O over een hoek van 180° is een puntspiegeling met centrum O. Een symmetriemiddelpunt van een figuur is het centrum van de puntspiegeling die de figuur op zichzelf afbeeldt.

KUNNEN

–  + –  +

Symmetriemiddelpunten in vlakke figuren bepalen. In het vlak figuren herkennen die het beeld zijn van een gegeven figuur door een puntspiegeling.

2.6 Eigenschappen van spiegelen, verschuiven en roteren KENNEN

–  + –  +

Een spiegeling behoudt de lengte. Een spiegeling behoudt de hoekgrootte. Een spiegeling behoudt de loodrechte stand. Een spiegeling behoudt de evenwijdigheid. Een spiegeling behoudt de collineariteit. Een verschuiving behoudt de hoekgrootte. Een verschuiving behoudt de loodrechte stand. Een verschuiving behoudt de evenwijdigheid.

Een verschuiving behoudt de lengte.

VA N

Een verschuiving behoudt de collineariteit. Een rotatie behoudt de lengte.

Een rotatie behoudt de hoekgrootte.

Een rotatie behoudt de loodrechte stand. Een rotatie behoudt de evenwijdigheid. Een rotatie behoudt de collineariteit.

KUNNEN

–  + –  +

De eigenschappen van een spiegeling verwoorden. De eigenschappen van een verschuiving verwoorden. De eigenschappen van een rotatie verwoorden. 1

2 3

Het gebruik van eigenschappen bij het uitvoeren van een spiegeling, verschuiving en rotatie herkennen.

2.7 Verband tussen coördinaten en transformaties

4 5 6 7

KUNNEN De coördinaat van het spiegelbeeld van een punt bepalen. De coördinaat van het schuifbeeld van een punt bepalen. De coördinaat van het draaibeeld van een punt bepalen.

8 9

Pienter Rekenen

10 11 12 13

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

–  + –  +

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

de parkeerplaats waar de

wagen

van 1. Wat is het nummer staat?

❑ concreet materiaal

VA N

2. Bilal en R ani verdelen € 420 onde Bilal krijgt d r elkaar. rie vierde va n Rani’s dee l. Hoeveel krijgen ze elk ?

3. Boer Charel wil een L-vorm ig stuk land verdelen onder zijn drie zonen. De oudste vindt dat alle stukken land dezelfde opperv lakte moeten he bben. De tweede vind t dat ze allemaa l dezelfde vorm m oeten hebben. De jongste wil da t zijn stuk land oo k L-vormig is.

Hoe moet boer

Charel zijn land

verdelen?

proef af. en legt een g in rl e le 9 4 p van later in. 4. Een groe alt de proef a h n e k e zi Jonas was rmee het en doet daa % 0 8 lt a a gen. Hij beh et 0,5 % stij m e ld e d id groepsgem lde het gemidde s a w l e e v e o H gen? te 49 leerlin van de eers

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

Problemen uit Kangoeroe en JWO 1.

Op tafel liggen de volgende drie kaarten: 9

Door ze te verplaatsen en te draaien, kun je verschillende getallen vormen, zoals 989, 998 en 689. Hoeveel getallen kun je zo met die kaarten maken? A) o 6

B) o 9

C) r 12

D) o 5

E) o 18

JWO, editie 2019, eerste ronde

De groene weg en de zwarte weg vormen samen zeven gelijkzijdige driehoeken. De lengte van de groene weg is 20 km. Hoe lang is de zwarte weg?

B) o 30 km

C) o 35 km

VA N

A) o 25 km

D) ❒ 40 km

E) o 45 km

Kangoeroe, editie 2017, Wallabie

3. Twee zijden van een driehoek hebben lengte 1 en 6. De omtrek is ook een geheel getal. Hoe groot is de omtrek van die driehoek?

A) o 11

2 3

B) o 12

C) r 13

D) o 14

o Zo’n driehoek bestaat niet.

JWO, editie 2018, tweede ronde

4 5 6 7

Khadija tekent 14 identieke groene rechthoeken. Lena gomt een driehoek weg met basis 10 cm en hoogte 6 cm. Wat is de oppervlakte van het groene gebied?

6 cm

10 cm

9 10 11

A) o 10 cm²

B) r 12 cm²

12 13

Kangoeroe, editie 2019, Wallabie

HOOFDSTUK 2 I SPIEGELEN, VERSCHUIVEN EN ROTEREN

C) o 14 cm²

D) o 15 cm²

E) o 21 cm²

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

3.1 Machten met een natuurlijke exponent

3.2 Bewerkingen met machten met hetzelfde grondtal

95 103

Studiewijzer

106

Pienter problemen oplossen

107

Problemen uit Kangoeroe en JWO

108

VA N

3.3 Bewerkingen met machten van letters

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

3.1

Machten met een natuurlijke exponent Lies maakt haar eigen kubusvormige zitkussen en heeft daarvoor nog vulling nodig. Het zitkussen is 5 dm breed, 5 dm lang en 5 dm hoog. 3 Hoeveel dm vulling heeft ze nodig? 3

V = z  = Macht met een natuurlijke exponent

Definitie

a  = a   a  a  . . .  a        a is een rationaal getal    n factoren n is een natuurlijk getal 0 1 a  = a en a  = 1

5 = 5  5  5 = 125 lees je als 'vijf tot de derde macht' of 'de derde macht van vijf'. Benamingen

3 noem je

Voorbeelden

(–6)

(_   1   )  4

grondtal

exponent

product

macht

777

343

VA N

machtsverheffing

125 noem je

5 noem je

(− _  5   )  3

1 2

3 4 5 6 7

Rekenregel

Machten met een natuurlijke exponent Een macht van een positief getal is altijd Een macht van een negatief getal is

positief als

negatief als

8 9 10 11 12

REKENMACHINE 5

Bereken (–2) =

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

Oefeningen REEKS A 1

Schrijf als een macht.

Schrijf als een product. 3

b) (_  4   )  = 7

a) (–4) = 3

c) (–0,5) =

Vul aan. machtsverheffing

grondtal

exponent

5   _     3

(–10)

Bereken de volgende machten. Het grondtal vind je in het midden, de exponent op de spaak.

VA N

c) (− _  3   )  (− _  3   ) = 4 4

b) _   1    _   1    _   1   = 2 2 2

a) (–4)  (–4) =

10 = 10  10  10  10  10  10 = 1 000 000

Wat stel je vast? Tien tot de n-de macht schrijf je als een één met

Schrijf als een macht van tien. =

a) 10 000

b) 100 000 000 = 6

e) 10

d) 10 000 000 =

f) 1 000 000 000 =

Bereken. 2

c) 100

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

REEKS B 7

Leid de piraat naar zijn schat. Je vindt de weg door de negatieve resultaten te volgen. (–0,5)3

(–5)2 –52

(–0,2)4

–(–2)3 –(–1)5

–47

(–4)5

(–3)3

(–4)6

–24 – ––3– 4

4 ––1– 2

0 – –1 3

–23

VA N

–(–1)0

Bereken de volgende machten. 4

b) –5

j) (_   1   )  2

4 5

l) (− _  7   )  = 5

f) –(–2) =

k) (− _   1   )  = 3

e) –5

i) –12

d) (–9) =

h) –19

c) (–3) =

g) –(–10) =

a) 2

7 8 9

Bereken de volgende machten. 3

a) 6

b) (− _  5   )  = 7

12 13

c) (–2) = 3

d) (− _  3   )  = 8

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

e) –1,3 2

f) –(– _  9   )  = 11

Hieronder zie je een deel van de stamboom van onze leraar Wies Kundeneus.

Wies Kundeneus

ouders 1ste generatie

Eddy

grootouders 2de generatie

Marieke

Christophe

overgrootouders 3de generatie

Philippe

Ann

Ingrid

a) Hoeveel overgrootouders had Wies? Schrijf dat aantal als een macht van twee en bereken.

VA N

b) De voorouders van vier generaties terug noem je betovergrootouders. Hoeveel betovergrootouders had Wies? Schrijf als een macht van twee en bereken.

c) Schrijf het aantal voorouders 12 generaties terug als een macht van twee. Bereken dat aantal.

Is het resultaat 1 of –1? 5

1 –1

(–1)

–(–1)

–1

r r

REEKS C 12

Zoek de regelmaat in de getallenrij. Stel een formule op. Vul de tabel aan. nummer (n)

getal (g)

letterformule g =

169

225

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

Vader is trots op z’n visvijver in de tuin. Op warme zomeravonden kan hij uren naar het wateroppervlak staren. Ook moeder wil haar zomeravonden aangenaam doorbrengen en plant een 2 2m waterplant van 1 dm in de vijver. Ze had dat beter niet gedaan, want de oppervlakte van die waterplant verdubbelt iedere week.

2,56 m

a) Vul het onderstaande schema verder aan. week

2 A ( dm  )

week 2

VA N

A (dm  )

b) Elke oppervlakte kun je schrijven als een macht met eenzelfde grondtal. Vul aan met de juiste macht.

c) Na hoeveel weken zal de vijver volledig bedekt zijn met waterplanten?

d) Na hoeveel weken zal de vijver half bedekt zijn met waterplanten?

1 2

3 4 5

Machten en regelmaat a) Vul in. 2

1 =0 +1 2

6 7 8

2 =1 +3

10 11

4 = 3 + 2

11 =

c) Geef de letterformule. 2

b) Gebruik de voorgaande regelmaat en vul in. 2

3 =2 +5

n  =

21 =

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

5 = 4 + 2

6 = + 2

= + 45

7 = + 2

8 = + 2

= + 57

3.2

Bewerkingen met machten met hetzelfde grondtal

3.2.1 Product Inleiding Het is soms mogelijk om het cijferwerk makkelijker en sneller te laten verlopen. Plaats de ballonnen met hetzelfde resultaat in dezelfde kleur. Je hoeft niet iedere ballon te kleuren. 102

105.103 1015

108

103

109

103.103

105

10 10

Rekenregel Vul in. 2

VA N

106

10  10

= (10  10)  (10  10  10  10  10  10)

= 10  10  10  10  10  10  10  10 = 10

2 2

2 6

Product van machten met hetzelfde grondtal

Rekenregel

= 3

10  10 = 10

= =

Vaststelling: 2

2 2

Om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen, moet je: ∙ het grondtal ∙ de exponenten Voorbeelden 5

2 2

10  10

3 3

7 7 7

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

Oefeningen REEKS A Schrijf de volgende producten als één macht en bereken. 2

a) 10  10

8 9 10 11 12

VA N

b) (–6)  (–6)

8 8

Juist of fout? Omcirkel de letter en zoek daarna het woord.

a) (–1)  (–1) = 1 3

b) 2  3 = 5 c) 7 + 7 = 7 7

d) (–3)  (–3) = (–3) 2

e) 4  4 = 4

f) (–5)  (–5) = (–5) 8

g) 3  3 = 9

Woord:

Schrijf de volgende producten als één macht en bereken.

2 2 2

a) 4  4

f) 10  10

REEKS B

h) 10  10

e) 10  10

c) 10  10

g) 2  2

b) 2  2

d) 2  2

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

juist

fout

3.2.2 Quotiënt Inleiding Plaats de ballonnen met hetzelfde resultaat in dezelfde kleur. Je hoeft niet iedere ballon te kleuren. 1012:103 5

102

109

10 :10

1015

106

104

107 105

1012

105

Rekenregel Vul in.

_  2 2    2 

= 10  10 = 10

VA N

____   10 5    10  1 1 1 1 1 1⟍ 0     1⟍ 0     1 ⟍ 0     1⟍ 0     1⟍ 0     10  10 ___________________________ =            1⟍ 0    1  1⟍ 0    1  1⟍ 0    1  1⟍ 0    1  1 ⟍ 0    1

= = =

Vaststelling:

_  2 2    2 

10       _ 5 10 

7 5

= 10

Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal

Rekenregel

Om machten met hetzelfde grondtal te delen, moet je: ∙ het grondtal ∙ de exponenten Voorbeelden 11

2 :2

10 : 10

3 :3

7 :7

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

Oefeningen REEKS A Schrijf de volgende quotiënten als één macht en bereken. 4

a) 10 : 10

2  e) _       49 2 

h) 10 : 10

10      f) _   4 10 

VA N

(  − 3)  b) _        ( − 3)

7 8 9 10 11 12 13

Juist of fout? Omcirkel de letter en zoek daarna het woord.

a) (–1) : (–1) = 1 36

b) 4 : 4 = 4

c) (–13) : (–13)

10      _   61 10 

Schrijf de volgende quotiënten als één macht en bereken. a) 9 : 9

10      c) _   5 10 

REEKS B

g) 2 : 2

b) 2 : 2

d) 10 : 10

c) (–3) : (–3) = –27 5

d) 5 – 5 = 5

e) (–6)  (–6) = (–6)

f) (–5) : (–5) = (–5)

g) (–1) : (–1) = 1

Woord:

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

juist

fout

3.2.3 Macht Inleiding Plaats de ballonnen met hetzelfde resultaat in dezelfde kleur. Je hoeft niet iedere ballon te kleuren.

(106)

108

103

102

4 2

(10 )

(103)

105

1018

Rekenregel Vul in.

VA N

2 3

3 2

(10 ) 

(2 ) 

= (10  10  10)

= (10  10  10)  (10  10  10)

= 10  10  10  10  10  10 6

= 10

106

Vaststelling:

2 3

3 2

(10 ) 

(2 ) 

3 2

= 10

Macht van een macht

Rekenregel

Om machten tot een macht te verheffen, moet je: ∙ het grondtal ∙ de exponenten Voorbeelden 4 5

2 7

1 3

2 5

(2 ) 

(10 ) 

(3 ) 

(7 ) 

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

Oefeningen REEKS A Schrijf als één macht en bereken. 2 2

d) (2 ) 

g) (2 ) 

1 4

5 2

e) (10 ) 

h) (10 ) 

f) (10 ) 

i) (10 ) 

VA N

Schrijf als één macht en bereken. a) (3 ) 

2 c) (− _ [  3   )   ] 

5 6 7

3 6

3 2

b) (3 )  = 3 c) (5 )  = 5

9 10 11 12 13

100

3 4

e) (10 )  = 1 000 000 000 000 2

f) 4  4 = 4 3

g) [(–2)  ]  = (–2) 2

fout

d) [(–1)  ]  = –1 3

juist 0

a) [(–8)  ]  = 1 4

Juist of fout? Omcirkel de letter en zoek daarna het woord.

b) [(–7)    ]  3

2 4

3 3

2 4

c) (10 ) 

REEKS B

7 1

b) (2 ) 

3 2

2 2

a) (10 ) 

Woord:

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

Schrijf als één macht en bereken. 7

a) 10 : 10

e) [(–3)  ] 

f) (− _  5   )    (− _  5   ) 3 3

i) (_   7   )  : _   7    8 8

VA N

Is het resultaat 1 of –1? 31

(–1)  (–1)

10 11

[(–1) ] 

(–1) : (–1)

( –1)   ____     5 ( –1) 

(–1)  (–1)

(–1) : (–1)

–1

Schrijf als één macht en bereken. 3

a) (0,5)  (0,5)

( − 14)  h)  _      22 ( − 14) 

c) (–2) : (–2)

b) 4  4

g) (− _  2   )  : (− _  2   )  9 9

d) [(–2)  ] 

b) (0,2) : (0,2)

c) (–0,3) : (–0,3)

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

101

REEKS C Verbind wat bij elkaar hoort. 4

2 3

(–5 ) 

(–5)

21 2

c) (3 : 3 ) 

d) [(–1)  ]  : (–1)

VA N

Schrijf als één macht en bereken. 5

a) 5 : 125

c) 16 : 2

e) (16) : (–4)

5 6 7 8

b) (_   1   )  : (_   1    ) 3 27

d) 81 : 3

11 12

102

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

f) 36 : 6

9 10

31 2

f) (2  2 : 2 ) 

b) 5  (5 : 5 )

(–5)

e) (–4) : (–4) : (–4)

–5

Schrijf als één macht en bereken. 3

(–5)  5

a) 2 : 2  2

(–5) : 5

(–5)  5

3.3

Bewerkingen met machten van letters

3.3.1 Product Voorbeeld Verklaring

10  10 = 10

2+3

10  10

= 10

= (10  10   )       (   10  10  10     )        ⏟ 2 factoren 3 factoren = 1 0  10  10  10  10          Rekenregel

2+3

m+p

=  (a  a   )     (a  a  a    )        ⏟ 2 factoren ⏟ 3 factoren

= (a  …  a   )    (a  a  …  a       )         ⏟ m factoren p factoren

Product van machten met hetzelfde grondtal m

a   a 

5 factoren

a   a  = a

= a   a  a  a  a        

5 factoren

= 10

a   a  = a  = a 

∀a ∊ q en ∀m, p ∊ n : a   a   = a

a   a 

= a   a  a  ...  a  a  a         

definitie macht associativiteit

m + p factoren

= a

m+p

definitie macht

m+p

Verklaring

7–5 2 _  10 5   = 10 = 10 10 

8–6 2 _  a 6   = a   = a  a 

10 : 10

a  : a  

7 factoren

a  a  a  a  a  a  a  a =  _____________               a   a  a  a  a  a          6 factoren

=   a  a       ⏟ 2 factoren 2

Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal

Rekenregel

= 10

∀a ∊ q en ∀m, p ∊ n : a  : a   = a



5 factoren

8 factoren

10  10  10  10   10 =  ________________             10   10 1 0  10  10   10    10      

=  10  10       ⏟ 2 factoren

m–p _  a p   = a  a 

VA N

Voorbeeld

3.3.2 Quotiënt

a  : a   m factoren

a  a  a  ...  a  a =  ___________                    a  a  a  ...  a  a    

definitie macht

p factoren

= a   a  a  ...  a        

vereenvoudigen

m - p factoren

m−p

definitie macht

m–p

3.3.3 Macht Voorbeeld Verklaring

4 2

(10 )  = 10 4

(10 ) 

42

= 10

(a  )   = a   (a  )  

p m

(a  )   = a

mp

p m

(a  )  

= (a  a  a    )      ⏟ 3 factoren 4 factoren ( 10  10   ( 10  10   =   10   10)       10   10)    = (a  a  a    )     (a  a  a      )            ⏟ ⏟ 3 factoren 3 factoren 4 factoren 4 factoren

= (a  a  ...  a     )    

= 1    0  10  10     10     10   10  10  10

=a    a  ...  a

8 factoren

= 10

= a   a  a  a  a  a          6 factoren

= a 

Macht van een macht met hetzelfde grondtal p

= a  2

= ( 10  10  10  10     )    

Rekenregel

32

m ∀a ∊ q en ∀m, p ∊ n : ( a  )   = a

m factoren

definitie macht

)   =    (a  a  ...    a        ...     (a    a  ...    a  )    definitie macht 

m factoren



m factoren



p factoren

associativiteit

m  p factoren

mp

definitie macht

mp

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

103

Oefeningen REEKS B Schrijf als één macht. 2

b) b  b = c) c   c   = 12

d) d  d =

f) y  7  y   =

g) z  4  z  2 =

h) k  k =

e) x   x  =

Schrijf als één macht. 9

_ a)  a 2   = a  7

b) _  c 3   = c  6

_ c)  m 5   = m 

b     = d)  __ b

x 7   = e)  _ x 7

12 _ g)  z 9   = z 

y  _ f)   5   = y 

a) a   a   =

VA N

h) _  k 7   = k 

Schrijf als één macht.

4 5 6

3 4

a) (a  )   = 3 3

7 8 9 10 11 12

b) (k )  = 5

c) (p  )   = 4 2

d) (b )  =

e) (x  7)   =

f) (y  )   =

g) (z  )   =

h) (m  )   =

104

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

REEKS C Schrijf als één macht. 65

d) (n  ) 

g) t : t

e) m  m

h) p  p  p

7 3

_ c)  k 12    k 

f) (x ) 

_ i)  z 0    z 

VA N

Vul in met = of ≠. 3

a) z  (–z)

b) z  4 (–z)

b) f   f  

_ a)  c 41    c 

c) z  7

–(–z)

3 4

d) [(–z) ]  (–z  )  

4 3

e) [(–z) ]  (–z  4)   8 7

f) [–(–z) ]  –(–z  )  

Schrijf als één macht. h

z p

a) d   d 

e) [(–m) ] 

i) (u  i) 

b) v  : v 

f) (–g)  (–g)

(-b)  j)  _      w (-b) 

2 h

c) (u  r)  

g) [(–f) ] 

t      k)  _ 2 t 

d) _  c i    c 

h) m  : m 

l) (–l)  (–l)

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

105

STUDIEWIJZER Machten van rationale getallen met natuurlijke exponent voor de leerling

3.1 Machten met een natuurlijke exponent KENNEN n

a = a   a  a    ...    a       1

voor de leerkracht

–  + –  +

a is een rationaal getal n is een natuurlijk getal

n factoren 0

a = a en a = 1

Een macht van een positief getal is altijd positief. Een macht van een negatief getal is positief als de exponent even is en negatief als de exponent oneven is. De kwadraten van 0 tot en met 15.

KUNNEN

–  + –  +

Een product van gelijke factoren schrijven als een macht. Een macht schrijven als een product. De benamingen grondtal, exponent en macht correct gebruiken. Machten met een natuurlijke exponent van een rationaal getal berekenen.

3.2 Bewerkingen met machten met hetzelfde grondtal KENNEN

–  + –  +

VA N

Om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen, moet je: ∙ het grondtal behouden; ∙ de exponenten optellen. Om machten met hetzelfde grondtal te delen, moet je: ∙ het grondtal behouden; ∙ de exponenten aftrekken. Om machten tot een macht te verheffen, moet je: ∙ het grondtal behouden; ∙ de exponenten vermenigvuldigen.

KUNNEN

–  + –  +

Rekenregels voor het rekenen met machten met grondtal 10 en 2 toepassen bij berekeningen. Rekenregels voor het rekenen met machten met natuurlijke exponenten toepassen. 1 2

3.3 Bewerkingen met machten van letters

3 4 5 6 7 8 9

m+p

m–p

∀a ∊ q en ∀m, p ∊ n : a   a  = a  m

∀a ∊ q en ∀m, p ∊ n : a  : a  = a  p m

KENNEN

–  + –  +

KUNNEN

–  + –  +

mp

∀a ∊ q en ∀m, p ∊ n : (a  )   = a

Rekenen met machten met letters als grondtallen. Rekenregels voor het rekenen met machten met letterexponenten toepassen. Rekenregels voor het rekenen met machten met letterexponenten verklaren.

10 11 12

Pienter Rekenen

106

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

urde driehoek 1. Het getal in de gekle getallen is het gemiddelde van de n. in de andere driehoeke

2. Vervang in de oefenin g hieronder door 1, 2, 3, de letters 4 en 5, zoda t de bereken ing klopt. A B

eken, Welke getallen ontbr k e in de ene lege driehoe als je weet dat de waard arde in de andere? het drievoud is van de wa

89 123

VA N



3. Er bestaat éé n natuurlijk geta l dat één eenheid groter is dan een kwadraat en één eenheid kleiner is dan ee n derde macht.

Over welk getal

gaat het?

en. rasse schred t e m rt e d a n elen, 4. Kerstmis autjes te reg e d a c n a v p oo lle namen Om de aank n Pienters a zi e g t e h in stopt men n Evert) loë, Danira e h C s, a B s, (Andre en mag andje. Iedere sh a w n e e in en. naam trekk n e e rt u e b e om d Andres, kopen voor Bas mag iets en en nira verrass a D t e o m ë Chlo voor Evert. t iets kopen Danira moe t briefje vert niet he E ft e e h r e Verd en. rop getrokk met Chloë e s een moet Andre Voor wie open? cadeautje k

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

107

Problemen uit Kangoeroe en JWO 1.

Camille heeft zeven stukken ijzerdraad met lengten 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm en 7 cm. Ze plooit een aantal van die stukken ijzerdraad en maakt daarmee een draadkubus met ribbe 1 cm. De draden mogen elkaar niet overlappen. Wat is het kleinste aantal stukken dat Camille daarvoor nodig heeft? A) r 1

B) r 2

C) r 3

D) r 4

E) r 5

Kangoeroe, editie 2015, Wallabie

2. Drie buren leggen de oogst van hun moestuin samen. ∙ Annelies had drie tomaten en x paprika’s. ∙ Boudewijn had y tomaten en drie wortels. ∙ Claudia had vier tomaten, vijf paprika’s en z wortels. Na het verdelen heeft iedereen drie tomaten, twee paprika’s en vier wortels. Er is geen overschot. Waaraan is x + y + z gelijk? B) r 6

C) r 8

VA N

A) r 4

D) r 10

E) r 12

JWO, editie 2016, eerste ronde

1 2

Het tafelkleed van tante Alesia heeft een regelmatig patroon van lichtgroene vierkantjes. Hoeveel procent van het tafelkleed is donkergroen?

A) r 16 %

B) r 24 %

C) r 25 %

D) r 32 %

E) r 36 %

Kangoeroe, editie 2017, Wallabie

4 5 6 7 8

4. We noemen een positieve deler van een natuurlijk getal een echte deler van dat getal, indien hij verschillend is van 1 en van het getal zelf. Voorbeeld: de echte delers van 10 zijn 2 en 5. Hoeveel natuurlijke getallen bestaan er die 25 als grootste echte deler hebben?

9 10 11

A) r 1

B) r 2

C) r 3

12 13

108

JWO, editie 2018, tweede ronde

HOOFDSTUK 3 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET NATUURLIJKE EXPONENT

D) r 4

E) r 5

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

4.1 Complementaire en supplementaire 110

hoeken 4.2 Aanliggende hoeken, nevenhoeken en

116

overstaande hoeken 4.3 Hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn

124 139

Pienter problemen oplossen

141

Problemen uit Kangoeroe en JWO

142

VA N

Studiewijzer

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

109

4.1

Complementaire en supplementaire hoeken

4.1.1 Op onderzoek a)

A 75° 1

35°

55°

25°

95°

1 B

65°

d) A

f) 30° 1

1 2 65° 115°

105°

A 75°

VA N

60°

In welke van de situaties hierboven is de som van de twee hoeken 90° (een rechte hoek)?

In welke van de situaties hierboven is de som van de twee hoeken 180° (een gestrekte hoek)?

Definitie 1 2 3

4 5 6

4.1.2 Definities

Complementaire hoeken Supplementaire hoeken Complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 90° (een rechte hoek) is. ∧

∧

  A   en B    zijn complementair als  A   + B    = 90°.

Supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 180° (een gestrekte hoek) is. ∧

∧

  A   en B    zijn supplementair als  A   + B    = 180°.

Van twee complementaire hoeken zeg je dat de ene hoek het complement is van de andere.

Van twee supplementaire hoeken zeg je dat de ene hoek het supplement is van de andere.

Het complement van 25° is

Het supplement van 25° is

9 10 11 12

∧

Het supplement van  A   is B    =

• Het complement van 90° is

• Het supplement van 180° is

• Het complement van 45° is

110

∧

Het complement van  A   is B    =

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

• Het supplement van 90° is

Oefeningen REEKS A 1

Zijn de aangeduide paren hoeken complementair, supplementair of geen van beide? Vink aan. a)

70°

A 80°

2 100°

50°

40°

110° B

r complementair r supplementair r geen van beide e)

b) A

r complementair r supplementair r geen van beide h)

VA N

80°

r complementair r supplementair r geen van beide

45° 1

A 2 45°

90°

r complementair r supplementair r geen van beide

90°

r complementair r supplementair r geen van beide

90°

r complementair r supplementair r geen van beide

A 2 1

A 1 40° 2 50°

r complementair r supplementair r geen van beide

65° 1 45°

45°

r complementair r supplementair r geen van beide

2 125°

r complementair r supplementair r geen van beide

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

111

REEKS B 2

a) Het complement van 10° is

c) Het complement van 62° is

b) Het complement van 36° is

d) Het complement van 90° is

Bepaal het supplement van de gegeven hoek. a)

Het supplement van 25° is

Het supplement van 90° is

Het supplement van 162° is

Het supplement van 0° is

Meet de hoeken. Welke paren zijn complementair en welke zijn supplementair?

Bepaal het complement van de gegeven hoek.

VA N

4 5 6 7 8

9 10 11 12

complementaire hoeken:

supplementaire hoeken:

112

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

Meet de hoeken. Welke hoeken zijn supplementair? a)

b) L

A S

Noteer in het hokje de letter van het correcte vervolg op de uitspraak. Het complement van een scherpe hoek

VA N

Het supplement van een scherpe hoek

Het supplement van een nulhoek

Het complement van een rechte hoek

∧

a) is een nulhoek. b) is een scherpe hoek. c) is een rechte hoek. d) is een stompe hoek. e) is een gestrekte hoek.

∧

Teken het complement C    en het supplement  S  van de gegeven hoek  A  .

S A

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

113

Jonas woont in de Bloemenwijk, waarvan je hieronder het stratenplan vindt. Hij woont in de straat die met de Rozenlaan een hoek vormt die complementair is met de hoek gevormd tussen de Tulpenlaan en de Azalealaan.

Rozenlaan

Tulpenlaan

Azalealaan

Leliënlaan

Krokussenlaan

Chrysantenlaan

Meiklokjeslaan

Teken de gevraagde hoek. ∧

∧

   is het complement van b) B een hoek van 15°.

VA N

a)   A  is het supplement van een hoek van 20°.

In welke straat woont Jonas?

∧

c) C    is zijn eigen complement.

1 2 3

De scherpe hoeken in een rechthoekige driehoek zijn complementair. Verklaar.

figuur

verklaring

8 9

12 13

114

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

REEKS C 11

Bepaal a. a)  is 20° groter dan zijn complement.

oplossing:  =

oplossing:  = d) a is 38° kleiner dan zijn complement.

b) a is 60° kleiner dan zijn supplement.

VA N

oplossing:  =

c)  is 54° groter dan zijn supplement.

Bereken en teken de hoeken. ∧

∧

  A   en B    zijn supplementair en 2 A   = 3B  .

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

115

4.2

Aanliggende hoeken, nevenhoeken en overstaande hoeken

4.2.1 Op onderzoek a)

A 1

75° 1

2 A

A 1

2 2

95°

105°

VA N

75°

In welke situatie(s) doet zich de volgende waarneming voor? Vink aan.

De twee hoeken hebben een gemeenschappelijk hoekpunt.

De twee hoeken hebben een gemeenschappelijk been.

De benen van de twee hoeken liggen aan weerszijden van een gemeenschappelijk been.

De som van de hoekgroottes van de twee hoeken is 180° (een gestrekte hoek).

De benen van de twee hoeken liggen in elkaars verlengde.

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

116

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

4.2.2 Aanliggende hoeken In welke situatie(s) op de vorige pagina • hebben de twee hoeken een gemeenschappelijk hoekpunt; • en hebben de twee hoeken een gemeenschappelijk been; • en liggen de andere benen van de twee hoeken aan weerszijden van dat gemeenschappelijke been? Aanliggende hoeken

Definitie

Aanliggende hoeken zijn twee hoeken • die het hoekpunt gemeenschappelijk hebben; • en die één been gemeenschappelijk hebben;

• en waarvan de niet-gemeenschappelijke benen aan weerszijden van het gemeenschappelijke been liggen.

4.2.3 Nevenhoeken

In welke situatie(s) op de vorige pagina vind je aanliggende hoeken die samen een gestrekte hoek vormen?

Nevenhoeken

Definitie

VA N

Nevenhoeken zijn twee aanliggende hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 180° (een gestrekte hoek) is.

1 A

Nevenhoeken zijn dus altijd supplementair.

4.2.4 Overstaande hoeken In welke situatie(s) op de vorige pagina • hebben de twee hoeken een gemeenschappelijk hoekpunt; • en liggen de benen van de twee hoeken in elkaars verlengde? Definitie

Overstaande hoeken Overstaande hoeken zijn twee hoeken • die een gemeenschappelijk hoekpunt hebben;

• en waarvan de benen in elkaars verlengde liggen. Meet de overstaande hoeken op de vorige pagina. Wat stel je vast? Vaststelling

Overstaande hoeken

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

117

Oefeningen REEKS A 13

Vink alle passende benamingen aan. a)

A 2

1 A 2

r aanliggende hoeken r nevenhoeken r overstaande hoeken

VA N

r aanliggende hoeken r nevenhoeken r overstaande hoeken

1 A

2 1 A

r aanliggende hoeken r nevenhoeken r overstaande hoeken

2 3

i) A

5 6

1 A

1 2

8 9 10 11 12 13

118

r aanliggende hoeken r nevenhoeken r overstaande hoeken HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

r aanliggende hoeken r nevenhoeken r overstaande hoeken

REEKS B 14

Vink de situatie(s) aan waarbij de aangeduide hoeken aanliggende hoeken zijn. a)

A 2 1

1 2 A

2 A

Vink, indien mogelijk, de juiste benaming aan.

∧

aanliggende hoeken

overstaande hoeken

∧

a)   A  1 en   A  2 ∧

∧

b)   A  6 en   A  2

VA N

∧

c)   A  1 en   A  4

d)   A  1 en   A  6

e)   A  3 en   A  6

Vul de uitspraak links aan met de letter die hoort bij de juiste hoekgrootte.

De overstaande hoek van een rechte hoek is

a) 60° b) 70°

De nevenhoek van een hoek van 120° is

De overstaande hoek van een gestrekte hoek is

c) 80° d) 90° e) 120°

De nevenhoek van een rechte hoek is

f) 150°

De overstaande hoek van een hoek van 70° is

g) 180°

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

119

Teken de gevraagde hoek. Bepaal het aantal mogelijke oplossingen. ∧

∧

a) een aanliggende hoek van 40° van  A  

c) een overstaande hoek van C  

aantal oplossingen:

∧

d) een aanliggende hoek van D   

VA N

b) een nevenhoek van B   

1 2

Teken.

a) twee complementaire aanliggende hoeken

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

120

aantal oplossingen:

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

b) twee supplementaire overstaande hoeken

Juist of fout? juist

fout

a) Overstaande hoeken kunnen complementair zijn.

b) Nevenhoeken zijn altijd supplementair.

c) Aanliggende hoeken kunnen complementair zijn.

d) Complementaire hoeken zijn altijd aanliggend.

e) Overstaande hoeken kunnen supplementair zijn.

Vink alle juiste benamingen aan.

A 2 4

1 4

complementaire supplementaire hoeken hoeken ∧

∧

aanliggende hoeken

nevenhoeken

overstaande hoeken

∧

b)   A  1 en   A  5

c)   A  3 en   A  4 d)   A  3 en C    4 e) B  2 en B   4 f)   A  1 en B   3 g) D  1 en D   3 h) B  1 en B   4 i) C   1 en C    3 j)   A  1 en D   1

D 2 4 3

a)   A  1 en   A  2

C 2

VA N

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

121

Teken de hoeken en stel het cirkeldiagram op. Op school werd aan 360 leerlingen gevraagd wat hun lievelingsvak is. A: aardrijkskunde B: biologie C: chemie M

D: dactylo E: Engels F: Frans

A B C

∧

M 1

∧

M  2

∧

M  3

∧

M 4

omschrijving

Twintig leerlingen vinden aardrijkskunde het leukste vak.

∧

M  2 en M   1 zijn aanliggend en complementair.

∧

E F

1 2

∧

M  5

M  6 ∧

M  7

∧

M 4  en M   3 zijn aanliggend en complementair.

∧

hoekgrootte

M  3 is de helft van M   2 en aanliggend aan M   2.

hoek

VA N

vak

G: geschiedenis

∧

M  5 en M   1 zijn overstaande hoeken.

∧

M  6 is het supplement van M   2 en aanliggend aan M   5.

De rest van de leerlingen verkiest geschiedenis.

4 5

Vul met de gegevens de ontbrekende punten B, C, D en E aan op de tekening.

6 7

∧

• AM C   en CM D   zijn nevenhoeken.

• AM B   en DM E  zijn overstaande hoeken. ∧

• BM D   is een scherpe hoek.

122

∧

• AM E  en DM E  zijn nevenhoeken.

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

REEKS C 23

Bepaal, zonder te meten, de hoekgrootte van alle hoeken. Verklaar telkens je antwoord. Noteer de hoeken in de tabel in de volgorde waarin je ze bepaald hebt. ∧

∧

  A  4 = 3 ·  A  2

2 1

hoek

66°

gegeven

  A  1

verklaring

∧

3 A

grootte

Teken de deellijnen (bissectrices) van twee overstaande hoeken. Wat stel je vast? b)

VA N

Vaststelling:

Teken de overstaande hoek van de aangeduide hoek.

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

123

4.3

Hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn

4.3.1 Benamingen Hoeveel hoeken ontstaan er als een rechte twee evenwijdige rechten snijdt? Duid de hoeken aan op de rechterfiguur.

a b

Duid aan op de tekening. Buitenhoeken liggen buiten de twee evenwijdige rechten.

VA N

Binnenhoeken liggen tussen de twee evenwijdige rechten.

Verwisselende buitenhoeken liggen aan weerszijden van de snijlijn buiten de twee evenwijdige rechten.

Verwisselende binnenhoeken liggen aan weerszijden van de snijlijn tussen de twee evenwijdige rechten.

Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

Buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

4 5 6 7 8

Overeenkomstige hoeken zijn een binnenhoek en een buitenhoek aan dezelfde kant van de snijlijn.

9 10 11 12 13

124

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

Oefeningen REEKS A Geef de juiste benaming voor de aangeduide hoeken. a)

VA N

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

125

REEKS B 27

Geef de juiste benaming voor de aangeduide hoeken. a)

Duid de juiste hoek aan met een boogje.

VA N

∧

  A   en B    zijn verwisselende binnenhoeken.

∧

  A   en B    zijn overeenkomstige hoeken.

A B

2 3

∧

  A   en B    zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.

∧

  A   en B    zijn verwisselende buitenhoeken.

6 7

9 10

11 12 13

126

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

a ⫽ b en c ⫽ d. Vink de juiste benaming aan.

1 A2 4 3

1 B 2 4 3

1 D 2 4 3

1 C 2 4 3

∧

  A  1 en B   3

verwisselende buitenhoeken

binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

∧

  A  3 en D   2

∧

B  3 en C    3

∧

B  2 en C    3

∧

C   4 en D   1

D  3 en C    1

VA N

verwisselende binnenhoeken

∧

buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

overeenkomstige hoeken

REEKS C

Plaats de juiste index bij de hoeken. ∧

∧

  A  3 en B   1

  A  3 en B   2

zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.

zijn overeenkomstige hoeken. 1 A

  A  3 en B   3

  A  4 en B   2

  A  1 en B   2

zijn verwisselende binnenhoeken.

zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn.

zijn verwisselende buitenhoeken.

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

127

4.3.2 Eigenschappen onderzoeken Onderzoeken Teken een willekeurige rechte c die twee evenwijdige rechten a en b snijdt in respectievelijk A en B. Nummer de vier hoeken die in A en B ontstaan, zodat de overeenkomstige hoeken hetzelfde nummer krijgen. Meet alle hoeken. ∧

∧

  A  1 =   A  2 =   A  3 =

  A  4 =

B  2 = B  3 = B  4 =

VA N

Vaststellen

B  1 =

• Noteer alle paren overeenkomstige hoeken. Vergelijk de hoekgroottes.

Wat stel je vast?

• Noteer alle paren verwisselende binnenhoeken. Vergelijk de hoekgroottes.

Wat stel je vast? 1

• Noteer alle paren verwisselende buitenhoeken. Vergelijk de hoekgroottes.

Wat stel je vast?

4 5

• Noteer alle paren binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. Maak de som van die hoeken.

W at stel je vast?

9 10 11 12 13

128

• Noteer alle paren buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn. Maak de som van die hoeken.

W at stel je vast? HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

Oefeningen REEKS A 31

a ⫽ b. Bepaal de grootte van de aangeduide hoek zonder te meten. a)

c) c

a 45°

50°

c 70°

b b a

75°

VA N a

REEKS B

c a

a ⫽ b. Duid alle hoeken die even groot zijn als de gegeven hoek aan met blauw. Duid alle hoeken die supplementair zijn met de gegeven hoek aan met rood.

80°

60°

c b

c a

b c

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

129

Bepaal de grootte van de gevraagde hoeken zonder te meten.

4 A1 3 2

4 B1 3 2 ∧

∧

a)   A  1 = 107°

f) B  2 =

∧

b)   A  2 =

g) B  3 =

c)   A  3 =

h) C   2 = i) C   3 = ∧

∧

j) C   4 =

VA N

e) B  1 =

∧

d)   A  4 =

4 C1 3 2

∧

a ⫽ b en c ⫽ d. Duid alle hoeken die even groot zijn als de gegeven hoek aan met blauw. Duid alle hoeken die supplementair zijn met de gegeven hoek aan met rood. a)

1 2 3

4 5

6 7

8 9 10 11 12 13

130

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

4.3.3 Eigenschappen bewijzen Om zeker te weten dat je vaststelling altijd geldig is, moet je eigenlijk alle mogelijke gevallen tekenen en onderzoeken. Die werkwijze wordt ‘bewijzen door uitputting’ genoemd. Dat is niet alleen heel saai, maar gewoon onmogelijk. Je gaat dus op zoek naar andere methodes om de geldigheid van je vermoeden te bewijzen. c

Verwoorden A

Maak eerst een tekening. Duid het gegeven aan. a B b

Je hebt een situatie onderzocht en hebt nu een vermoeden, ook wel hypothese genoemd. Die hypothese moet je correct kunnen verwoorden. Houd rekening met wat er gegeven is (opgave) en met wat je wilt aantonen (vermoeden).

in woorden

• twee evenwijdige rechten

VA N

Wat is er gegeven? (gegeven)

•

Wat wil je aantonen? (te bewijzen)

in symbolen

Zoek het verband tussen het gegeven en het te bewijzen. In dit geval is het te bewijzen een gevolg van het gegeven. Dat noem je een implicatie. notatie

⇒

als ... dan ...

De formulering zelf noem je een eigenschap. Eigenschap

Noteer het gegeven en het te bewijzen in één formulering.

Als

dan

⇓

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

131

Argumenteren Om de eigenschap te bewijzen, gebruik je definities en eigenschappen die je vroeger zag en die handelen over evenwijdigheid en even grote hoeken. Som er hieronder enkele op.

Bewijzen Na het voorbereidende werk kun je nu eindelijk beginnen aan het bewijs. • stap 1: Je maakt een tekening en noteert het gegeven en het te bewijzen. gegeven

tekening

⫽

in A

in B

VA N

te bewijzen

• stap 2: Je noteert het bewijs waarmee je aantoont dat de eigenschap juist is. bewijs

tekening

1 2

B b

⇓ ⇓

verklaring Het beeld van een rechte door een verschuiving is een evenwijdige rechte.

∧

t→   AB (  A  ) = B       ∧

→ t     AB (c )  = c en    t→  AB (a)  = b    

∧

4 5

bewijs

∧

  A   = B 

8 9

• stap 3: Formuleer een besluit.

besluit

11 12 13

132

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn de overeenkomstige hoeken even groot. HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

Oefeningen REEKS A 35

Formuleer telkens de eigenschap die de gelijkheid verklaart. Gegeven: a ⫽ b, c snijdt a in A, en c snijdt b in B c 1 A 4

1 4

∧

a)   A   2 = B   4

∧

VA N

b)   A  3 + B   2 = 180°

∧

c)   A  4 = B  4

∧

d)   A  1 + B   4 = 180° ∧

∧

e)   A  2 =   A  4

∧

f) B  2 =   A  4

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

133

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan zijn de verwisselende binnenhoeken even groot. Vul het bewijs aan. gegeven

tekening c

a 1

a ⫽b c  a in A c  b in B

2 B

te bewijzen

∧

  A  1 =  B  3

bewijs bewijs ∧

∧

verklaring (1)

•   A  1 =  B  1 (1)

•  B  1 =  B  3 (2) ∧

(2)

∧

Dus is  A  1=  B  3

besluit

∧

dan

REEKS B 37

VA N

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte,

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan zijn de verwisselende buitenhoeken even groot. Vul het bewijs aan.

134

te bewijzen ∧

∧

  A  1 =  B  2 verklaring

(1)

(2)

11 12

bewijs

c  a in A c  b in B

gegeven

a ⫽b

tekening

besluit

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan zijn de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair. Vul het bewijs aan. gegeven

tekening c

a 1

a ⫽b c  a in A c  b in B

2 B

te bewijzen

b 1

∧

  A  1 en B   2 zijn supplementair.

bewijs bewijs

verklaring (1)

besluit

(2)

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte,

VA N

dan

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan zijn de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair. Vul het bewijs aan. tekening c

gegeven

a ⫽b c  a in A c  b in B

B 2

te bewijzen ∧

∧

  A  1 en B   2 zijn supplementair.

bewijs bewijs

verklaring (1)

(2)

besluit

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door eenzelfde derde rechte, dan

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

135

4.3.4 Omgekeerde eigenschap ∧

∧

Meet de overeenkomstige hoeken  A  1 en B   1. A 1

∧

B 1

∧

  A  1 =

en B   1 =

∧

  A  1 =

en B   1 =

Wat stel je vast over de overeenkomstige hoeken en de onderlinge ligging van de rechten? ∧

∧

Eigenschap

∧

  A  1 B   1 ⇒ a b

Als bij twee rechten die gesneden worden door een derde rechte, de overeenkomstige hoeken even groot zijn,

VA N

dan

4.3.5 Kenmerk van overeenkomstige hoeken Een eigenschap en de omgekeerde eigenschap vat je samen in een kenmerk. Een kenmerk geldt in beide richtingen. Dat noem je een equivalentie.

Kenmerk

als en slechts als

notatie

⇔

Twee rechten die gesneden worden door een derde rechte, zijn evenwijdig als en slechts als

2 3

4.3.6 Kenmerken van hoeken bij twee evenwijdigen en een snijlijn In het onderzoek op pagina 128 zie je dat je ook een kenmerk kunt opstellen voor de andere hoeken bij twee evenwijdige rechten en een snijlijn.

5 6 7 8 9 10

Kenmerk

Twee rechten die gesneden worden door een derde rechte, zijn evenwijdig als en slechts als • de overeenkomstige hoeken • de verwisselende binnenhoeken

• de verwisselende buitenhoeken

• de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

• de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

136

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

Oefeningen REEKS B 40

Bepaal zonder te meten in welke van de schetsen de rechten a en b evenwijdig zijn. a)

e) b

60°

46°

59°

41° b

46° a

139°

r evenwijdig r snijdend

76°

r evenwijdig r snijdend

VA N

30°

119°

77°

r evenwijdig r snijdend

59°

151°

Verklaar met een eigenschap waarom a ⫽ b. ∧

∧

Gegeven: c snijdt a in A en c snijdt b in B en   A  4 = B   2

A 4

1 B 4

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

137

a ⫽ b en c ⫽ d. Bepaal de grootte van de aangeduide hoeken zonder te meten. c

∧

D 148° A

64°

a) B   = ∧

b) C   = ∧

c)  E   = ∧

b 3

d)  F  1 =

∧

e)  F  2 =

∧

f)  F  3 =

REEKS C Als twee rechten gesneden worden door een derde rechte en als twee overeenkomstige hoeken gelijk zijn, dan zijn die twee rechten evenwijdig. Vul het bewijs aan. gegeven

VA N

tekening

bewijs

verklaring

4 5

6 7 8 9

besluit

10 11 12

138

te bewijzen

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

STUDIEWIJZER Hoeken voor de leerling

4.1 Complementaire en supplementaire hoeken KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 90° (een rechte hoek) is. Supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 180° (een gestrekte hoek) is.

KUNNEN

–  + –  +

In een figuur complementaire en supplementaire hoeken benoemen. Een complementaire en een supplementaire hoek van een gegeven hoek tekenen. De grootte van het complement en het supplement van een gegeven hoek bepalen.

4.2 Aanliggende hoeken, nevenhoeken en overstaande hoeken KENNEN

–  + –  +

Aanliggende hoeken zijn twee hoeken ∙ die het hoekpunt gemeenschappelijk hebben; ∙ en die één been gemeenschappelijk hebben; ∙ en waarvan de niet-gemeenschappelijke benen aan weerszijden van het gemeenschappelijke been liggen.

VA N

Nevenhoeken zijn twee aanliggende hoeken waarvan de som van de hoekgroottes 180° (een gestrekte hoek) is. Overstaande hoeken zijn twee hoeken ∙ die een gemeenschappelijk hoekpunt hebben; ∙ en waarvan de benen in elkaars verlengde liggen. Overstaande hoeken zijn even groot.

KUNNEN

–  + –  +

Overstaande hoeken, aanliggende hoeken en nevenhoeken herkennen in vlakke situaties.

De overstaande hoek, een aanliggende hoek en een nevenhoek van een gegeven hoek tekenen. De hoekgrootte van de overstaande hoek en een nevenhoek van een gegeven hoek bepalen.

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

139

4.3 Hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn KENNEN

voor de leerling

voor de leerkracht

–  + –  +

Als twee evenwijdige rechten door een derde rechte gesneden worden, dan ∙ zijn de overeenkomstige hoeken even groot; ∙ zijn de verwisselende binnenhoeken even groot; ∙ zijn de verwisselende buitenhoeken even groot; ∙ zijn de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair; ∙ zijn de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair. Als bij twee rechten die door een derde rechte gesneden worden, ∙ de overeenkomstige hoeken even groot zijn of ∙ de verwisselende binnenhoeken even groot zijn of ∙ de verwisselende buitenhoeken even groot zijn of ∙ de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn of ∙ de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn dan zijn die twee rechten evenwijdig.

KUNNEN De verschillende soorten hoeken bij twee evenwijdige rechten en een snijlijn herkennen en benoemen.

De eigenschappen over hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn verwoorden. De eigenschappen over hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn verklaren. De eigenschappen over hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn gebruiken om ontbrekende hoekgroottes bij vlakke figuren te berekenen.

VA N

De omgekeerde van de eigenschap van hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn verwoorden. De omgekeerde van de eigenschap van hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn verklaren.

Pienter Rekenen

2 3

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

140

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

–  + –  +

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

tal aan.

ge 1. Vul het ontbrekende

2 3

1 3

VA N

2. Jurgen is nu vier keer zo oud als C Over 20 jaar em. zal hij dubbe l zo oud zijn als Cem. Hoe oud is Jurgen nu ?

3. In bistro De Le kkerbek kun je kiezen uit drie verschillende vo orgerechten, vijf verschillende hoofdgerechten en vier verschill ende desserts. Hoeveel vers chillende driega ngenmenu’s ku je daarmee sam n enstellen?

stante gen een con te it g ir B t jd ns ri eke naar 4. ’s Morge /h van Averb m k 15 n a v met een snelheid ert ze terug e k s d n o v A Boordzele. ’s 10 km/h. snelheid van eid? iddelde snelh m e g r a a h is Wat

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

141

Problemen uit Kangoeroe en JWO 1.

Een kubus is opgebouwd uit 27 identieke kubusjes. Hoeveel kubusjes moet je minstens wegnemen, opdat de oppervlakte van het bouwwerk kleiner kan worden?

A) r 1

B) r 2

C) r 3

D) r 4

E) r 6

JWO, editie 2015, eerste ronde

De omtrek van elke groene rechthoek is 16 cm. Wat is de omtrek van het grote vierkant?

B) r 20 cm

C) r 24 cm

VA N

A) r 16 cm

D) r 28 cm

E) r 32 cm

Kangoeroe, editie 2016, Wallabie

3. Billy wil aan Joël een inlogcode van zes cijfers mailen, maar vergeet een van de cijfers. Joël ontvangt de code 42972. Hoeveel keer moet Joël een code proberen om zeker in te loggen?

A) r 50

2 3

B) r 54

C) r 55

D) r 56

E) r 60

JWO, editie 2017, tweede ronde

4 5 6

De tekening toont een uitgevouwen balk. Wat is het volume van die balk?

8 cm

7 cm

26 cm

9 10 11

A) r 43 cm3

B) r 70 cm3

12 13

142

Kangoeroe, editie 2018, Wallabie

HOOFDSTUK 4 I HOEKEN

C) r 80 cm3

D) r 100 cm3

E) r 1 456 cm3

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

144

5.2 Eentermen

150

5.3 Rekenen met eentermen

153

5.4 Veeltermen

161

5.5 Rekenen met veeltermen

164

Studiewijzer

176

Pienter problemen oplossen

177

Problemen uit Kangoeroe en JWO

178

VA N

5.1 Algebraïsche vormen

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

143

5.1

Algebraïsche vormen

5.1.1 Soorten algebraïsche vormen Tom is kelner. Hij geeft telkens op zijn smartphone de bestelling door aan de barman. De computer zet de bestelling om in een eenvoudig ticket. Zo weet de barman precies wat hij moet klaarmaken. bestelling 1

VA N

bestelling 3

ticket barman aantal termen

bestelling 2

De letters in lettervormen of algebraïsche vormen hebben geen vaste waarde.

De lettervormen met één term noem je eentermen. De lettervormen met meerdere termen noem je veeltermen. Zo spreek je over tweetermen, drietermen, viertermen ... soort algebraïsche vorm

Eentermen en veeltermen zijn soorten algebraische vormen. Ze horen thuis in de algebra.

2 3 4

5 6

Abbu Abdullah Mohammad Ibn Musa al-Khawarizmi was een wiskundige en sterrenkundige uit het Irak van de 9e eeuw. Uit de titel van zijn boek Al-Jabr wa-al-Mugabilah is het woord ‘algebra’ ontstaan. De Arabische algebra was een algebra zonder symbolen of letters. Alles werd volledig in woorden beschreven.

7 8 9 10

Het was uiteindelijk René Descartes (1596-1650) die een volledig gebruik van symbolen en letters bereikte in zijn boek La Géometrie. Zijn algebra is een algebraïsche benadering van de meetkunde.

11 12 13

144

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

5.1.2 Getalwaarde van lettervormen De getalwaarde van een lettervorm is het getal dat je verkrijgt als je de letters vervangt door de opgegeven waarden en de gegeven bewerkingen uitvoert. Houd rekening met de volgorde van de bewerkingen. Afspraak

Volgorde van de bewerkingen 1) Bewerkingen tussen haakjes

( ), [ ]

3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts

?,:

4) Optellen en aftrekken van links naar rechts

+ , –

_ n 2) Machten en vierkantswortels a  , √ a 

Bestelling 1 Bereken de getalwaarde van de eenterm 4c.

€ 1,50

€ 2,50

Bestelling 2

€ 2,50

€ 2,00

VA N

w € 2,00 f

€ 3,75

€ 2,50

Bereken de getalwaarde van de tweeterm 3c + 2f. € 2,00

3c + 2f

€ 1,50

w € 2,00

€ 2,50

3c + 2f

€ 3,75

€ 2,50

4c + 2w + f

Bestelling 3 Bereken de getalwaarde van de drieterm 4c + 2w + f. c

€ 2,00

€ 1,50

4c + 2w + f

w € 2,00

€ 2,50

€ 3,75

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

145

Oefeningen REEKS A 1

Noteer de lettervorm. Vul telkens de soort algebraïsche vorm in. beschrijving

b) het vierde deel van m

c) de omtrek van een vierkant met zijde z

d) de som van a en a 2

e) 5a verminderd met 7

Vul de soort algebraïsche vorm in. Bereken telkens de getalwaarde als a = 2. lettervorm

b) a + a  2 c) – 3a d) 3 + 4a 3

getalwaarde

e) a  + a 2 + a

soort

VA N

a) 2a

soort

a) het product van 3 en k

lettervorm

De omtrek van een ruit bereken je met de eenterm 4z. Vul de tabel in. omtrek

3 4

5 6

2 cm

1,5 dm

7 8 9 10 11 12 13

146

Bereken de getalwaarde. a) a – 7 voor a = 13

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

b) 2a + 13 voor a = 7

c) a 2 – 8 voor a = 3

d) (6 – a)  voor a = 4

REEKS B 5

Noteer de beschreven lettervorm. Vul telkens de soort algebraïsche vorm in. beschrijving

lettervorm

a) de som van het dubbel van a en het drievoud van b

b) het verschil van de kwadraten van x en y

c) het volume van een kubus met zijde z

d) de som van de vierde macht van a en de helft van b

Vul de tabel in.

x 1 cm

1 cm

x x

soort algebraïsche vorm

VA N

als x = 3 cm en y = 5 cm

2 cm x

omtrekformule

getalwaarde

soort

Het volume van één kubus bereken je met de eenterm z  . Bereken het volume van deze kubusstapelingen. stapeling

formule

volume kubusstapeling

3 cm

1 dm

4 dm

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

147

In een balk met vierkant grondvlak is z de zijde van het vierkant en h de hoogte van de balk. De oppervlakte bereken je met de tweeterm 2z  2 + 4zh. Vul de tabel in. z

2z  + 4zh

5 cm

10 cm

40 dm

Het volume van een cilinder bereken je met de eenterm r   ph. Vul de tabel in. Bereken op 0,01 nauwkeurig.

r  ph

VA N

2,5 cm

5 cm

1 2

In een cirkelvormige vijver wordt een houten vlotter geplaatst. 2 Bereken de resterende wateroppervlakte met de tweeterm r   p – z  2op 0,01 nauwkeurig.

3 4

2,5 m

r  p - z  2

7 8

11 12 13

148

10 m

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

Om de ideale massa van een volwassen persoon te kennen, gebruik je de body mass index (BMI). m2   met m de massa in kg en l de lengte in m. BMI =  ___ l 

BMI

betekenis

BMI < 18

ondergewicht

18  BMI < 25

normaal gewicht

25  BMI < 27

neiging tot overgewicht

27  BMI < 30

30  BMI < 40

zwaarlijvigheid

40  BMI

ernstige zwaarlijvigheid

overgewicht

a) Bereken de BMI van Jan, die 1,76 m meet en 69 kg weegt. Rond af op een tiende. BMI =

Wat betekent dat voor het gewicht van Jan?

b) Bereken de BMI van Aïsha. Ze weegt 71 kg en is 164 cm lang. Rond af op een tiende. BMI =

VA N

Wat betekent dat voor Aïsha?

c) Bereken je eigen BMI op een tiende nauwkeurig. BMI =

d) Anne, die 1,78 m meet, heeft in de loop der jaren een ware metamorfose ondergaan. Vul de tabel aan. 102 kg

massa BMI

96 kg

91 kg

87 kg

83 kg

79 kg

REEKS C 12

Een kostbare kristallen cilindervormige vaas wordt verpakt in een kubusvormige doos. Bereken het volume van het nodige beschermpiepschuim dat zich rond de cilinder moet bevinden 2 3 met de tweeterm z   – r  ph op 0,01 nauwkeurig. z

z  3 – r 2h

h r

3 dm

12 cm

25 cm

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

149

5.2

Eentermen

5.2.1 Eenterm gelijkzijdige driehoek

3a is een eenterm.

Die eenterm is het product van de factoren 3 en a.

Definitie

Om de omtrek van een gelijkzijdige driehoek te berekenen, gebruik je de omtrekformule P = 3a.

Eenterm Een eenterm is een product van getal- en letterfactoren met natuurlijke exponenten.

Voorbeelden

4 3 6z 2 , _____   D  d  ,   a , b  h , x   en – 8ab  zijn eentermen. 2

Benamingen

VA N

Een eenterm bestaat uit twee delen: de coëfficiënt en het lettergedeelte. 3   a    ⏟ ⏟ coëfficient lettergedeelte

Enkele afspraken

3a=

• Het vermenigvuldigingsteken mag je weglaten.

• Noteer eerst de coëfficiënt en dan het lettergedeelte alfabetisch. • Schrijf de eenterm altijd in zijn eenvoudigste vorm. 1

• Coëfficiënt 1 schrijf je niet.

3  (– 4)a  b  a  3 =

• Exponent 1 schrijf je niet.

• Een factor met exponent 0 vervang je door 1.

5 6 7 8

5.2.2 Gelijksoortige eentermen Definitie

Gelijksoortige eentermen Gelijksoortige eentermen zijn eentermen met hetzelfde lettergedeelte.

9 10 11 12 13

150

Voorbeelden 3a, 17a en – 4a zijn gelijksoortige eentermen. 3 3 3 6x  2y  , – 4x  2y  en __   1   x  2y  zijn gelijksoortige eentermen. 3

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

k  7d = 2

1a  b =

7x  1y 1 = 0

3a  b =

Oefeningen REEKS A Geef voor elke eenterm de coëfficiënt en het lettergedeelte. eenterm 3

d) 22m

b) – 6y 5

e) – 2a

c) __   a    4

f) x 

Zet de gelijksoortige eentermen telkens in dezelfde kleur. 2

62a

– 5c

– 9a 

– 5c

84c

– 81a

– 12c

Vul in.

coëfficiënt

eenterm

e) 2

– 7a

26a

– a 

– 3

lettergedeelte

b) – 7a  y

coëfficiënt

lettergedeelte

0,5 2 __  2  a  b 5

Professor Wirrewar heeft hieronder enkele eentermen geschreven, maar hij heeft zich niet aan de juiste afspraken gehouden. Help de professor uit te zoeken welke termen gelijksoortig zijn door ze dezelfde kleur te geven. 4a

a2a

__  3  a  a 4

a__   1    8

6aba

b12ba

2 __  2  a   3

b5a

a b9

8ab

abb7

Welke eenterm is niet gelijk aan – 2ab ?

lettergedeelte

2 a) 5x  y 

coëfficiënt

eenterm

a) 15a 

REEKS B 15

lettergedeelte

VA N

coëfficiënt

a  b  (– 2)  b

– 2b  a

a  2  b  (– 1)

(– b)(– b)  2  a(– 1)

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

151

Noteer de oppervlakte van de figuur als een eenterm. a)

b) a

Noteer het volume van de stapeling als een eenterm. a)

Schrijf zo eenvoudig mogelijk.

VA N

a) x  4 b) y(– 3)y

2 3

9 10 11 12

4    aaa 5b 0c 1 a) – __   7      ___ 4 14 0

b) x  0  a x  b 1

c) – 1  b  m  k 4 2 3  -2   c  z b d) z  ___ 3

152

-3   2      ___    = j) d  aa  ad  __ 7 4

= =

3  4    x i) 3  x  y  __ 6

Schrijf zo eenvoudig mogelijk.

h) a  (– 7)

REEKS C

= =

e) bbb(– 2)b

g) 0b

d) – 2  x  x

f) 1y

c) aaaaa  8  a

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

e) x  0,3  yz  10y

g) g  3(– 4)d g f (– 2)

f) b 3bc  a 2  b 2  ___  12     3

h) p  (– 5)p  h  (– 4s) =

3 1

5.3

Rekenen met eentermen

5.3.1 Optellen en aftrekken van eentermen Inleiding Jorne is trainer van een jeugdvoetbalploeg. Hij heeft de training goed voorbereid. Hij verdeelt de spelers in drie groepen, die op hetzelfde moment aan het werk zijn. Voor elke oefening heeft hij een aantal ballen (b) en kegels (k) nodig. Vul bij elke oefening de gepaste eenterm aan. oefening 1

oefening 2

oefening 3

kegels

ballen

Noteer als een optelling van eentermen en werk uit.

VA N

a) Hoeveel ballen heeft Jorne voor alle oefeningen samen nodig?

b) Hoeveel kegels heeft Jorne voor oefening 2 en 3 samen nodig?

Werkwijze

Om gelijksoortige eentermen op te tellen (af te trekken) • tel je de coëfficiënten op (trek je de coëfficiënten af); • behoud je het lettergedeelte. Voorbeeld 5x + 3x

Verklaring afspraak letterrekenen

=5x+3x

de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling

=8x

afspraak letterrekenen

= (5 + 3)  x

5+3=8

= 8x

c) Hoeveel ballen en kegels heeft Jorne voor oefening 1 samen nodig?

Niet-gelijksoortige eentermen kun je niet optellen (aftrekken). HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

153

Oefeningen REEKS A 22

Bereken de som of het verschil van de volgende eentermen.

b) 6m – 5m 2

= =

e) 7y + 3y f) 3z – 5z

c) 4a + 6a

d) 2p – 4p

a) 3x + 5x

REEKS B Bereken de som of het verschil van de volgende eentermen. =

a) 3a + 2a + 5a 2

b) – 4x – 2x + x

c) 3a + (– 6a) – 2a 3

x 2x

– 2x

– 7x

12x

– 3x

– 5x

Bereken de som of het verschil van de volgende eentermen.

5 6 7 8 9 10 11 12 13

154

a) 2a b + 3a b – a b

b) 3a b + ab – 2a b 2 3 2 3 2 3 c) – 5a z + ( ___   -1     a  z  ) – a z 4

d) – 0,6x z – __   2  x  z + 3x – 8x 5 2 4

3 4

2 4

3 4

= = =

e) – a c + a c + 7a c – 3,4a c =

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

– x

REEKS C 25

h) 0,6x – 3x – (– x) =

2 3

Vul de bewerkingstabellen in. +

VA N

2 2 __  3  x  – __   7  x  4 4 7 7 – 5z + 3z

d) 4b – 6b + 2b

4a – 5a

– 5x

5.3.2 Eentermen vermenigvuldigen Inleiding Voor een voetbaloefening moet Jorne vierkante oefenzones afbakenen met kegels. De zijde van zo’n vierkante oefenzone wordt voorgesteld door de letter a.

Noteer als een vermenigvuldiging van eentermen en werk uit. a) Bepaal de totale lengte van de oefenrechthoek. b) Bepaal de totale breedte van de oefenrechthoek.

c) Bepaal de oppervlakte van de oefenrechthoek.

Om eentermen te vermenigvuldigen

VA N

Werkwijze

• vermenigvuldig je de coëfficiënten;

• vermenigvuldig je de lettergedeelten. Voorbeeld 5x  6

Verklaring

afspraak letterrekenen

=5x6

de vermenigvuldiging is commutatief

=56x

afspraak letterrekenen

= 30x

Opmerking Maak bij het vermenigvuldigen van eentermen altijd het onderscheid tussen de coëfficiënt en de exponent. De coëfficiënten vermenigvuldig je, de exponenten tel je op. 2

6x  2x

2+6

=62x 8 = 12x

Nog enkele voorbeelden 3n

2x  (– 3y)

2b  4b³

5a  2a

– 3a4  5

= HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

155

5.3.3 Eentermen delen 5

5 3 28a       = ____ a      = 28a : (7a ) =  ______   28       ___ 3 3 7 7a    a

Werkwijze

Om eentermen te delen • deel je de coëfficiënten; • deel je de lettergedeelten. Voorbeelden 7 _____   45x3     9x 

5x  y 2 = –  ______       2xy

5.3.4 Macht van een eenterm 4

(2a )  = 2a  2a  2a =

Om een eenterm tot een macht te verheffen

VA N

Werkwijze

• verhef je de coëfficiënt tot die macht;

• verhef je het lettergedeelte tot die macht.

Opmerkingen

a) Let altijd goed op de plaats van de haakjes als je een macht van een eenterm berekent. 3

• (– c )  = c 4

5 6

16 4

12 13

156

(– c 2)  = – c 6

16 4

– (2a b)  = – 16a b

(5x 3)  = 5 2  x 3  2 = 25x

(3x 3)  = 3 3  x 3  3

= 27x

Voorbeelden 2

(– 3x ) 

(– 2a  ) 

10 11

b) Maak bij het berekenen van een macht van een eenterm altijd het onderscheid tussen de coëfficiënt en de exponent.

7 8

– (c )  = – c

• (– 2a b)  = 16a b

2 3

= HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

2 3 (__   2    a  b )  = 3

= =

( 4a mbp)  = =

Oefeningen REEKS A Bereken het product van de volgende eentermen. =

a) 6a  7a b) – 2x  3x 2

f) 6x  x

d) (z 2) 

b) (2a) 

e) (2z 3) 

c) (3x) 

VA N

REEKS B

(– 4k 5) 

= = =

Vul in met = of ≠. a) x + x + x

b) x  x  x

Bereken de machten van de volgende eentermen. a) (a 3) 

e) – 2z  3z

c) 4x  (– 2x)

d) 3x  (– 7)

d) x + x + x

c) x  x  x

Vul de bewerkingstabel in. 2

12x

3 __   1    x  

– 24x

3 2

– x

3 __   1    x  

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

157

Bereken het product van de volgende eentermen. 2

b) – 4a  6a

1    z 5 g) 12z 3   __ 4

Bereken de macht van de volgende eentermen. 2

c) (– x )  5

d) (– 2b ) 

= = =

Voer de volgende opdrachten uit.

b) Maak het product van 3y met – 5y .

h) (– 12b ) 

g) (35x ) 

a) Trek 9x af van 4x .

2 3 f) –  __ ( 5    x  ) 

VA N

b) (– 2x)  2

1 4 e) __ (  4    z  ) 

a) (3a  ) 

Bepaal de oppervlakte van de rechthoek. 3,5a

5 5    b 6 h) __   1    b     __ 7 4

d) 3y  0,5y

= =

f) 6b  (– 4b)

c) 2x  (– 7x)

4 7    x  ___ e) –  ___   16    x  4 14

a) n  5n

c) Zoek de derde macht van – 2x .

5 6 7 8

Vul aan tot een juiste uitspraak. 2

a)  4y = 44y

9 10

b) 5x +

d) – 6y = – 55y

= – 11x

= – 8x

= – 24b

e) 2x 

11 12

c) 14a –

158

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

= – 12a

f) 6b 

Vul in met = of ≠. 4

a) 2a + a 2

b) (– 2x 3)  3

c) 6x  (– 8x )

d) 3x – 5

e) x  x  x

– 48x

(3b 3) 

– 2x

Bereken het product van de volgende eentermen. 2

a) 3a b  (– 7ab )  2b

3 16   ab = c) –  __    a  b    ___  4 9

Vul de rij aan. 6 6

8 7

a) 8a b

2a b

2 __   7    ab  4

2 ___   15     ab  4

1    ab 2 b) –  __ 4

4 5

4a  b

VA N

3    a 2 b 3   –  __ 16   ab = 1 5 2 ___ b) –  __ ) ( 6    a  b )  (  5  8

Bereken het quotiënt van de volgende eentermen. 3

a) 15a : (3a) 4 – 6z      b)  ____ 2z 2 3

    c) _______   – 563a    7a 

– 36z   4  d)  _______   9z

e) 48y : (– 6y )

f) _______   24k3     – 8k 

= = =

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

159

Bereken het quotiënt van de volgende eentermen. 4

a) – 3ab : (b )

3 4

3 2

– 5x  z      d)  _______   7xz

= 2

b) 54x y : (9xy )

– 49x  y 2 e)  _______      3 2 7x  y 

3 2

– 56a   b   __________   c)   3 7a  b

= =

f) 0,75a b : (0,15ab) =

REEKS C Bereken het product van de volgende eentermen. m

b) – 12x  5x

2z z f) __   1   x  4x 2

= =

e) – (– 3a 3mcn)  

f) – (– 2xay 2b)  

a) (3a 2) 

d) (3a 2b) 

e) (2a 3cm) 

f) (6r 2ms 3t) 

d) (– 5x 6azb)  

c) (3m 2anb) 

b) (– 2a p) 

e) 2z  (– 3z )

Bereken de macht van de volgende eentermen. a) (6xm) 

d) 0,5x  4x

VA N

c) – 3k  2k

a) 2a  3a

= 3

= =

5 6 7

Bereken. p

9 10

b) (2bm) 

11 12

c) (8c p) 

160

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

= 2a

5.4

Veeltermen

5.4.1 Veelterm gelijkbenige driehoek

Om de omtrek van een gelijkbenige driehoek te berekenen, gebruik je de omtrekformule P = 2b + c. 2b + c is een veelterm.

Die veelterm is de som van de eentermen 2b en c.

Definitie

Veelterm Een veelterm is een som van eentermen. Voorbeelden

Die drieterm is de som van de eentermen

3a + 2b + 4c is een veelterm.

3x + 7x – 4x + 8 is een veelterm. Die vierterm is de som van de eentermen

Die tweeterm is de som van de eentermen :

VA N

2a – 6b is een veelterm.

: 3a en 2b en 4c.

5.4.2 Veeltermen herleiden

Een veelterm herleiden betekent de gelijksoortige eentermen van de veelterm optellen. Voorbeelden 2

3a – 5a – 4 + 7a + 8 2

= 3a + 2a + 4

2x – 4x + 3x + 3x =

5.4.3 Veeltermen rangschikken Een veelterm rangschikken betekent de veelterm schrijven naar de dalende (of stijgende) machten van eenzelfde letter. Voorbeelden Rangschik de volgende veeltermen naar de dalende machten van x. 3

7x + 5x – 6x + 3 5

= 5x + 7x – 6x + 3

x + 2x – x – 3 + x = HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

161

Oefeningen REEKS A

bijbehorende eenterm

tel de eentermen op

herleid nu de veelterm

Voor het deeg van een fruittaart heeft Kristl drie peren (p) en twee bananen (b) nodig. Bij de versiering van de taart gebruikt ze nog twee peren en één banaan. Vul de tabel aan.

Rangschik de veeltermen naar dalende machten van x.

VA N

gerangschikte veelterm

a) 2x – 7x + 12 4

b) – 6x – 2x – 9 7

c) 5 + 3x – 2x

d) 2x + x – 5x

REEKS B

3 4

5 6 7 8 9

Herleid de veeltermen. Rangschik naar dalende machten. a) 5x – 3x + 2x b) 2a + 4 – a + 2 c) 7k – 3 – 4k

10 11

d) 5m + 7 – 8m

12 2

162

e) 9x – 4x + 6x

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

f) 12a – 5a + 4a

h) – 3z + 5z – 9z – 4z

j) 8a – 3a – 4a + a

g) 7x – 12 – 12x + 3

i) 4z – 8z + 15z + 3

= = = =

Herleid de veeltermen. Rangschik naar dalende machten van x. 2

a) 15x – 3x + 2x – 5 – 5x + 10

b) 12x + 4x – 5 + 3x + 6x – 8 2

c) – 6x – 4x + x + 3 + x – 7x – 2x 4

d) 6x + 2x – 3x + 4x + 18 2

e) – 2x – 4 + 3x + 3x – 7x + x 2

f) 5x – 3x + 9x – x 3

g) 12 – 16x – 5x + 6x – 4x – 8 7

REEKS C

= = = = =

Herleid de veeltermen. Rangschik naar dalende machten van x. Bereken daarna de getalwaarde als x = 2 en y = 3.

VA N

h) – 7x + 5x + 3x + 4x – 5x + 8

2    x 2 y  – 3x 4y +  __ 1    x 2y  –  __ 5 4 3

getalwaarde

= = =

= = = =

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

163

5.5

Rekenen met veeltermen

5.5.1 Veeltermen optellen Inleiding Voor deze training heeft Jorne twee oefeningen voorbereid. Naast een aantal ballen (b) en kegels (k) heeft hij ook hesjes (h) nodig. Vul bij elke oefening de gepaste eenterm in. Vul daarna het nodige materiaal als een veelterm aan. oefening 1

kegels

hesjes

VA N

ballen

materiaal

oefening 2

Noteer als een optelling van veeltermen en werk uit.

Werkwijze 1 2

Hoeveel ballen, kegels en hesjes heeft Jorne voor beide oefeningen nodig?

Om veeltermen op te tellen • laat je de haakjes weg; • herleid je de verkregen veelterm.

3 4

5 6 7 8 9

Voorbeeld

Verklaring

(5x + 3x – 12) + (2x – 4x + 2) = 5x + 3x – 12 + 2x – 4x + 2 2

= 5x + 2x + 3x – 4x – 12 + 2 2

= 7x – x – 10

12 13

164

de optelling is commutatief

de optelling is associatief

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

de veelterm herleiden

5.5.2 Veeltermen aftrekken Even herhalen: de haakjesregel Als er tussen het eerste haakje en de eerste term binnen de haakjes geen teken staat, schrijf je op die plaats eerst een plusteken.

plusteken voor de haakjes

minteken voor de haakjes

Laat de haakjes en het plusteken weg en behoud de tekens binnen de haakjes.

Laat de haakjes en het minteken weg en verander de tekens binnen de haakjes.

6 + (7 + 5 – 4) =

7 – (6 + 8 – 5)

Inleiding

VA N

oefening

Jorne beschikt in het sportmateriaalhok over 20 ballen (b), 15 kegels (k) en 10 hesjes (h). Hij bedenkt een nieuwe oefening, waarvoor hij het volgende materiaal nodig heeft:

kegels

hesjes

Hoeveel ballen, kegels en hesjes heeft Jorne nog over in het materiaalhok? Noteer als een bewerking van veeltermen en werk uit.

ballen

Noteer als een veelterm hoeveel ballen, kegels en hesjes Jorne nodig heeft voor deze oefening.

Werkwijze

Om veeltermen af te trekken • werk je de haakjes weg met de haakjesregel; • herleid je de verkregen veelterm. Voorbeeld

Verklaring

(5x + 3x – 12) – (2x – 4x + 2) =

= =

5x + 3x – 12 – 2x + 4x – 2 2

5x – 2x + 3x + 4x – 12 – 2 2

de haakjes wegwerken met de haakjesregel de optelling is commutatief de veelterm herleiden

3x + 7x – 14

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

165

Oefeningen REEKS A Werk uit en herleid. a) (6x + 7) + (3x – 4) b) (2a + 3) + (4a + 8) c) (– 2b – 5) + (– 5b + 4) d) (4y – 8) + (– 2y – 5) e) (9z + 4) + (5z – 3)

= = = = =

Werk uit en herleid. a) (2x + 5) – (3x – 4)

VA N

b) (– 2a + 4) – (– 4a + 9)

c) (– 7b – 5) – (– 5b + 4) d) (6y – 2) – (– 2y – 8)

= =

e) (z – 2) – (– 5z – 6)

REEKS B 1 2 3 4

5 6

Kelner Tom neemt twee bestellingen op. Voor de eerste tafel noteert hij de tweeterm 3w + c. De tweede tafel bestelt 2w + 2b + c. a) Noteer als een bewerking van veeltermen wat de barman moet klaarmaken. Werk die bewerking uit. b) Hoeveel euro moet Tom in totaal ontvangen?

7 8 9 10 11

Antwoordzinnen: a)

166

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

prijslijst water

€ 1,50

cola

€ 2,50

fruitsap

€ 2,50

bier

€ 2,60

koffie

€ 2,80

Ten voordele van het Rode Kruis verkoopt men op de speelplaats soep, appels en donuts. De organisatoren voorzien 50 kommen soep (s), 75 appels (a) en 60 donuts (d). Tijdens de pauze verkopen ze 43 kommen soep, 72 appels en 54 donuts. verkoopprijs

inkoopprijs

€ 0,60

€ 0,28

€ 0,50

€ 0,35

€ 0,75

€ 0,63

a) Noteer met een veelterm wat de organisatoren voorzien. b) Noteer met een veelterm wat er verkocht werd.

c) Bepaal met een bewerking van veeltermen de hoeveelheid die de organisatoren over hebben. Werk die bewerking uit.

VA N

d) Hoeveel euro brengt de verkoopactie op?

Werk uit, herleid en rangschik.

a) (a + 7) – (3a + a – 4)

b) (5z – z + 4) + (z – 3z)

c) (– x + 2x) – (2x – 3x + 5)

d) (8k – 7) + (9k + 4k – 8)

e) (– 2y + 9) – (9y – 5y – 4)

= = = = = = = = = =

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

167

5.5.3 Een veelterm vermenigvuldigen met een eenterm Inleiding Jorne beschikt over een rechthoekig oefenterrein van 10 m breed. Hij heeft nooit de tijd gehad om de lengte te meten. Hij ziet wel dat er in de lengte vijf netpalen aan de rand van het oefenterrein op een gelijke afstand van elkaar staan.

10 m

Naast de netpalen staan nog drie kleine paaltjes van een houten afsluiting op het naburige oefenveldje op een gelijke afstand van telkens 3 m. a

De afstand tussen elke netpaal stelt Jorne voor door de letter a.

3m 3m 10 m

We berekenen de oppervlakte van het rechthoekige oefenterrein op twee manieren.

methode 1

a) Schrijf de totale lengte van het volledige oefenterrein als een veelterm.

a) Schrijf de oppervlakte van het donkergroene oefenterrein als een eenterm.

b) Hoeveel bedraagt de breedte van het terrein?

b) Bereken de oppervlakte van het lichtgroene terrein.

c) Schrijf de oppervlakte als het product van een veelterm en een eenterm.

c) Noteer de som van de verkregen oppervlaktes.

Je berekent de oppervlakte van het donkergroene terrein en telt die samen met de oppervlakte van het lichtgroene oefenterrein.

VA N

Je berekent meteen de oppervlakte van het volledige oefenveld.

methode 2

2 3

Werkwijze 4

5 6

Om een veelterm te vermenigvuldigen met een eenterm • vermenigvuldig je de eenterm met elke term van de veelterm; • tel je de verkregen producten op.

7 8

Voorbeeld

Verklaring

9 10 11 12 13

168

6a  (5a + 7) de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling =

6a  5a + 6a  7 2

30a + 42a

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

vermenigvuldigen van eentermen

Oefeningen REEKS A 53

Werk uit. =

a) 2  (3a + 4) b) 5x  (3x – 2)

c) (6b – 7)  8

d) (2z + 4)  3z e) – 5k  (– 2k – 9)

= =

f) – 2m  (3m3 + 7)

REEKS B 54

Werk uit en rangschik naar dalende machten. 3

a) 2x  (3x – 7x)

VA N

b) – 5y  (2y – 3y + 8)

= =

c) (4z + 5z – 9)  (– 2z)

d) 0,5a  (– 4a + 2a – 6)

= =

e) (8m – 5m – m)  7m

= =

f) – 5k  (3k – 4k – 3)

= 2

g) (– 7b + 3b – 6b)  (– 8b )

= =

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

169

Werk uit, herleid en rangschik naar dalende machten. a) 5  (3x + 2) – (5x – 7)

b) (3x – 1)  5 – 6  (x – 3)

c) 2a  (6a – 5) – 3  (2a + 1)

d) – 4b2  (2b – 4) – 2b  3b

e) (x4 – x)  6x + (– 3x4 + x2 – 3)

= = = =

= = = = = =

Bereken de leeftijd van Silke. Noteer de tussenstappen als lettervormen en werk de lettervormen uit.

VA N

2 3

b) Tel er vervolgens 9 bij op.

c) Trek nu 9x af.

d) Bij de verkregen veelterm tel je 4x2 – 5x – 5.

e) Vermenigvuldig nu met 2.

f) Bereken de getalwaarde van die veelterm voor x = ___   -1 .   2 Zo vind je de leeftijd van Silke.

REEKS C

a) Vermenigvuldig x met 5.

Werk uit. a) a  (b + 6)

7 8 9

b) 2a  (a2b + b) c) 3x2y  (2xy2 – 4 + 2y)

10 11 12

d) (yz + 5y – 3z2)  2yz e) 5ab  (– 2a + 7b – 4a2b)

170

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

= = = = =

5.5.4 Een veelterm vermenigvuldigen met een veelterm Inleiding Op het einde van de training organiseert Jorne nog een oefenwedstrijd. Hij bakent een rechthoekig veld af. Voor de lengte neemt hij de afstand tussen de tweede en de vijfde netpaal en 3 m extra. Voor de breedte stapt hij de afstand tussen de eerste en de derde netpaal af en neemt 2 m extra.

10 m

We berekenen de oppervlakte van het rechthoekige veld op twee manieren.

methode 1

methode 2

Je berekent meteen de oppervlakte van het volledige veld. a

Je neemt de som van de deeloppervlaktes van het veld. a

3m a

a) Schrijf de oppervlakte van de blauwe rechthoek als een eenterm.

VA N

a) Schrijf de totale lengte van het wedstrijdveld als een veelterm.

b) Schrijf de oppervlakte van de gele rechthoek als een eenterm. c) Schrijf de oppervlakte van de rode rechthoek als een eenterm.

b) Schrijf de totale breedte van het wedstrijdveld als een veelterm.

d) Schrijf de oppervlakte van de groene rechthoek als een eenterm.

c) Bepaal de totale oppervlakte van het veld als een product van veeltermen.

Werkwijze

e) Noteer de totale oppervlakte van het veld als een veelterm.

Om een veelterm te vermenigvuldigen met een veelterm • vermenigvuldig je elke term van de ene veelterm met elke term van de andere veelterm; • tel je de verkregen producten op; • herleid en rangschik je de verkregen veelterm. Voorbeeld (6x + 4)  (2x + 5) =

(6x + 4)  2x + (6x + 4)  5 2

12x + 8x + 30x + 20 2

12x + 38x + 20

Verklaring de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling herleiden en rangschikken HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

171

Oefeningen REEKS A 58

Werk uit, herleid en rangschik naar dalende machten. =

a) (2a + 7)  (3a + 4)

b) (– 2x + 7)  (8 + 2x) c) (6y – 4)  (5y + 3)

= =

d) (2z + 4)  (– 2 + 4z) e) (5m – 3)  (– 2m + 7)

Bereken de oppervlakte A van de volgende rechthoeken met behulp van het product van een eenterm en een veelterm. Werk die producten uit en vul de tekeningen aan. a)

VA N

REEKS B

A= (x + 7)  x

1 2

5 6 7 8

Een bedrijf maakt ramen met patronen in gekleurd glas. Omdat niet elk glas in een raam even groot moet zijn, hebben ze de afmetingen erbij gevoegd in lettervormen. Bereken de oppervlakte van het glas. 4x

9 10

11 12

172

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

A= = =

Werk uit, herleid en rangschik naar dalende machten. 3

a) (x – 4)  (x – 2x + 6)

= 2

b) (y – 3)  (y – 6y + 7)

= =

c) (a – 5a + 2a)  (3a – 4)

= =

d) (– 7x + 6)  (2x – 5x – x )

= Bepaal het volume V van een balk met lengte x + 5, breedte x + 4 en hoogte 4. x+4

VA N

= =

x+5

REEKS C

Werk uit en herleid.

a) (a + 5)  (b + 3) 2

b) (2a + 3)  (a – b)

c) (– 2xy – y)  (– 2xy – y)

d) (2x – 3y )  (x – 2y – 5y )

e) (5a + 3b – 9)  (7a + c)

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

173

Bereken de oppervlakte A van de volgende rechthoek met behulp van het product van twee tweetermen. Werk die producten uit en vul de tekening aan. y

Bepaal het volume V van een balk met lengte x + 5, breedte x + 3 en hoogte y.

V= = =

x+5

VA N

Bepaal de oppervlakte A van een balk met lengte x + 5, breedte x + 3 en hoogte y. x+3

= =

x+5

2 3 4

5 6

Werk uit. m

a) a  (a + a )

7 8

b) 2x  (5x + 7)

9 10

c) (2x + x )  (x + 3x )

11 12

d) (– a – a )  (a – a + 3a )

174

x+3

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

= =

Werk elke oefening uit. De antwoorden staan in de rechterkolom. Met de gevonden letters vorm je een uitdrukking. 4

a) – (– 2x + 12x) – (– 8x – 36x + 24)

– 6x – 24x + 24

b) 7x  (– 3x – 6x + 2)

35x + 21x – 10x – 6

c) (– 8x )  (2x – 4)

– 6x – 24

– 6x + 24x – 24

10x – 24x – 24 – 40x + 32x

– 10x + 14x – 18x

d) (5x + 3x – 1)  (– 2x + 4)

= e) 6  (– x + 2)  (x – 2)

VA N

– 6x + 24

– x + 10x – 16 3

– 26x + 14x + 14x – 4

– 6x – 4

– 26x + 14x – 14x – 4

– 10x + 14x – 18

– 16x – 32x

i) – (8x – 12x ) + (– 28x + 40x )

35x + 11x – 6

j) (– 2x + 4)  (3x – 6)

– 10x + 14x – 14x – 4

– 21x – 42x + 14x

h) (12x – 10x – 4) + (23x + 21x – 2)

10x + 24x – 24

35x + 11x – 6

g) (– 18x + 7x – 4) – (– 8x – 7x – 14x)

16x – 32x

f) (5x + 3)  (7x – 2)

– 10x + 14x + 14x – 4

– 21x – 42x – 14x

– 16x + 32x

– 6x + 4

10x + 24x + 24

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

175

STUDIEWIJZER Algebraïsch rekenen voor de leerling

5.1 Algebraïsche vormen KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Eentermen en veeltermen zijn soorten algebraïsche vormen. KUNNEN

–  + –  +

De getalwaarde van lettervormen berekenen.

5.2 Eentermen KENNEN

–  + –  +

Een eenterm is een product van getal- en letterfactoren met natuurlijke exponenten. Gelijksoortige eentermen zijn eentermen met hetzelfde lettergedeelte. KUNNEN

–  + –  +

De coëfficiënt en het lettergedeelte van een eenterm bepalen.

5.3 Rekenen met eentermen

Een eenterm zo eenvoudig mogelijk schrijven, rekening houdend met de gemaakte afspraken.

–  + –  +

VA N

KUNNEN Eentermen optellen en aftrekken. Eentermen vermenigvuldigen. Eentermen delen.

Machten met een natuurlijke exponent van een eenterm berekenen. Machten met een natuurlijke exponent berekenen van eentermen waarin letterexponenten voorkomen.

5.4 Veeltermen

KENNEN

–  + –  +

KUNNEN

–  + –  +

Een veelterm is een som van eentermen.

2 3

Een veelterm herleiden betekent de gelijksoortige eentermen van de veelterm optellen.

Een veelterm rangschikken betekent de veelterm schrijven volgens de dalende (of stijgende) machten van eenzelfde letter.

5 6

5.5 Rekenen met veeltermen

KUNNEN

Twee- en drietermen in één letter optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.

Een eenterm vermenigvuldigen met tweetermen en drietermen.

Twee- en drietermen optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.

Twee- en drietermen met eenvoudige letterexponenten optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.

12 13

176

Pienter Rekenen

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

–  + –  +

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

ken van de tips naast de

gebruik te ma 1. Kraak de code door 2

Eén cijfer is correct en sta

Eén cijfer is correct, ma

ma Twee cijfers zijn correct,

Er is niets correct.

ats.

ar staat op de foute pla

Eén cijfer is correct, ma

2. In sommige landen worden de nummerplaten van wagens als volgt samengesteld: 1 cijfer – 3 letters – 3 cijfer s.

Hoeveel verschillende nummerplaten kun je zo samenstellen, als de combinatie met als cijfergedeelte 000 niet toegelaten is?

len konijnen Op een kinderboerderij huppe 3. rond. en waggelen eenden vrolijk koppen 35 Samen hebben de dieren en 94 poten.

ats.

ar staan op de foute pla

ats.

ar staat op de foute pla

at op de juiste plaats.

VA N

sleutelgaten.

veel konijnen?

Hoeveel eenden zijn er en hoe

4. Als je een vierde, ee n vijfde en een zesde van Ans spaargeld bij elkaar optelt, verkrijg je € 111. Hoeveel geld heeft An ge

spaard?

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

177

Problemen uit Kangoeroe en JWO 1.

De pagina’s van het boek van Juliette zijn allemaal genummerd. De eerste pagina heeft nummer 1. De paginanummers bevatten 14 keer het cijfer 4. Welk paginanummer heeft de laatste pagina van haar boek?

A) ❒ 46

B) ❒ 48

C) ❒ 50

D) ❒ 82

E) ❒ 134

Kangoeroe, editie 2019, Wallabie

2. Anke telt twee gehele getallen op en vindt 27. Benthe telt bij die som nog twee gehele getallen op en vindt 38. Caro telt bij die laatste som nog twee getallen en vindt 59. Hoeveel van de zes opgetelde getallen zijn even?

B) ❒ 2

C) ❒ 3

VA N

A) ❒ 1

D) ❒ 4

E) ❒ 5

JWO, editie 2018, eerste ronde

Zara verdeelt een rechthoek in zes vierkanten. De oppervlakte van twee vierkanten is gegeven. Wat is de oppervlakte van de rechthoek?

16 cm 

49 cm 1

A) ❒ 132 cm²

2 3

B) ❒ 143 cm²

C) ❒ 154 cm²

D) ❒ 165 cm²

E) ❒ 176 cm²

Kangoeroe, editie 2017, Wallabie

5 6

10 cm 25 cm

7 8

In de figuur zie je de ontwikkeling van een rechthoekig kartonnen doosje. Wat is de inhoud van het doosje?

45 cm

9 10 11

A) ❒ 1 liter

B) ❒ 3 liter

12 13

178

JWO, editie 2016, tweede ronde

HOOFDSTUK 5 I ALGEBRAÏSCH REKENEN

C) ❒ 10 liter

D) ❒ 30 liter

E) ❒ 45 liter

180

6.2 Overeenkomstige hoeken en zijden

186

6.3 Congruentiekenmerken bij driehoeken

190

6.4 Congruente driehoeken tekenen

197

6.5 Bewijzen met congruentiekenmerken

202

6.6 Even grote hoeken

210

6.7 Middelloodlijn van een lijnstuk

212

6.8 Bissectrice van twee snijdende rechten

219

Studiewijzer

226

Pienter problemen oplossen

229

Problemen uit Kangoeroe en JWO

230

VA N

6.1 Congruente figuren

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

179

6.1

Congruente figuren

VA N

6.1.1 Inleiding

Op de foto’s herken je figuren die dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben. Die figuren noem je congruente figuren. Waar herken je nog congruente figuren in je omgeving?

6.1.2 Definitie 1 2 3 4

Definitie

Congruente figuren Congruente figuren zijn figuren die dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben.

6 7

Notatie: F1 ≅ F2 Lees:

8 9

Congruent is afgeleid van het Latijn ‘congruens’, wat zoveel betekent als ‘passend, samenhorend’.

10 11

Het symbool ≅ werd voor het eerst gebruikt door de Duitse filosoof en wiskundige Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716).

12 13

180

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

6.1.3 Congruente figuren door spiegeling, verschuiving en rotatie Een congruente figuur kan ontstaan door een transformatie: • een spiegeling, • een verschuiving, • een rotatie, • een puntspiegeling.

Voorbeelden spiegeling

rotatie

G2 G1

VA N

r(A, 120°)(G1) = G2 dus G2 ≅ G1

sa (G1) = G2 dus G2 ≅ G1

verschuiving

puntspiegeling

B G1 A G2

t →  (G1) = G2 dus G2 ≅ G1 AB

sA (G1) = G2 dus G2 ≅ G1 HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

181

Oefeningen REEKS A 1

Congruent of niet congruent? a)

r congruent r niet congruent

r congruent r niet congruent d)

VA N

Kleur bij de mozaïeken alle congruente figuren in eenzelfde kleur.

1 2

3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13

182

r congruent r niet congruent

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

REEKS B 3

Duid op de foto een veelhoek aan die congruent is met de aangeduide veelhoek. a)

Pentomino’s zijn vormen die ontstaan door vijf vierkanten tegen elkaar te plaatsen.

Hiernaast zie je alle mogelijke pentomino’s.

Maak met de vier gegeven pentomino’s twee congruente figuren. Gebruik twee pentomino’s voor de eerste figuur en de twee andere voor de tweede figuur.

VA N

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

183

Verdeel de figuren in vier congruente figuren. a)

VA N

Door welke transformatie kan F1 naar F2 verplaatst worden? c)

transformatie:

3 4

transformatie:

6 7 8

10 11 12

transformatie:

184

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

transformatie:

Waarom zijn de smileys niet congruent? a)

REEKS C Congruente vierhoeken in ruimtefiguren

VA N

a) Welk soort ruimtefiguren herken je?

b) Welke vlakke figuren zijn congruent?

Door welke transformatie kan F1 naar F2 verplaatst worden? Noteer die transformatie. Maak de nodige aanduidingen op de figuur. a)

b) B

F1 F2

transformatie:

notatie:

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

185

6.2

Overeenkomstige hoeken en zijden

6.2.1 Inleiding Om een ontbrekend stuk in de puzzel te passen, moet het stuk congruent zijn met de opening in de legpuzzel. Je moet er bovendien voor zorgen dat je het stuk op de juiste manier in de legpuzzel inpast.

6.2.2 Overeenkomstige hoeken De twee vierhoeken zijn congruent. Duid de overeenkomstige hoeken bij de vierhoeken aan. C

∧

• P  

∧

• Q  

  A   •

Q P

∧

C   •

• R  

∧

•  S  

D   •

VA N

B   •

∧

Meet de overeenkomstige hoeken. Wat stel je vast? Vaststelling

Overeenkomstige hoeken in congruente figuren zijn even groot.

Afspraak: we noteren de figuren volgens de overeenkomstige hoeken. ≅

6.2.3 Overeenkomstige zijden 1

De twee vierhoeken zijn congruent. Duid de overeenkomstige zijden bij de vierhoeken aan.

[AB ] •

• [PQ ]

[BC ] •

• [QR ]

[CD ] •

• [RS ]

[AD ] •

• [SP ]

6 7 8

Meet de overeenkomstige zijden. Wat stel je vast?

12 13

186

Vaststelling

Overeenkomstige zijden in congruente figuren zijn even lang.

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

Oefeningen REEKS A 10

Verbind de overeenkomstige hoeken en zijden bij de congruente vijfhoeken. R

∧

B    •

∧

U B

  A    •

∧

[LA ] •

• [RO ]

∧

[AU ] •

• [OE ]

∧

[UW ] •

• [EN ]

∧

[WB ] •

• [NG ]

•  E  

∧

W   •

• [GR ]

• O  

U    •

[BL ] •

• R  

∧

  L    •

∧

• G  

• N  

Noteer de congruente figuren. Benoem ze volgens de afspraak. K

G J

O M

VA N

V U

A A9

vierhoek

is congruent met

vierhoek

≅

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

187

REEKS B 12

Twee ruiten van de wagen moeten vervangen worden. Bepaal de ruiten die congruent zijn met de ruiten van de auto. Noteer van de congruente vierhoeken de overeenkomstige hoeken en zijden. Benoem de vierhoeken volgens de afspraak.

C F

D E

overeenkomstige hoeken

overeenkomstige zijden

= =

6 7

Pieter en Jolien moeten de congruente trapezia noteren volgens de afspraak van de overeenkomstige hoekpunten. Hieronder zie je de antwoorden van Pieter en Jolien. Wie heeft de correcte oplossing?

Antwoord Pieter: WARM ≅ OUDK

Antwoord Jolien: WARM ≅ UOKD

12 13

188

vierhoek EFGH ≅ vierhoek overeenkomstige hoeken

= =

vierhoek ABCD ≅ vierhoek

VA N

M HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

r Pieter is juist. r Jolien is juist. r Beiden zijn juist. r Beiden zijn fout.

Teken driehoek ABC met | AB | = 5 cm, | BC | = 7 cm en | AC | = 9 cm. M is het midden van [ AB ], N is het midden van [ AC ] en P is het midden van [ BC ]. Verbind de middens. Noteer de congruente driehoeken.

driehoek



driehoek

≅

driehoek



VA N



REEKS C 15

≅



Teken de diagonalen van de vierhoek ABCD. Noem het snijpunt S. Noteer alle congruente driehoeken die daardoor ontstaan. a)

driehoek



≅

driehoek

≅

driehoek



HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

189

6.3

Congruentiekenmerken bij driehoeken

6.3.1 Congruente driehoeken A E B W K O G

U S

VA N

Welke driehoeken zijn congruent?

1 2 3 4

Welke zijden zijn even lang?

Definitie

Welke hoeken zijn even groot?

Congruente driehoeken

Congruente driehoeken zijn twee driehoeken waarvan de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden even lang zijn. Notatie: ABC ≅ ABC In symbolen:

8 9 10 11

ABC ≅ ABC ⇔

∧

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

B   = B  

C   = C    ⎨          AB | = | AB |   BC | = | BC |

⎩ | AC | = | AC |

190

⎪ | ⎪|

⎧  A   =  A  

A9 C9

A C

6.3.2 Op onderzoek Je moet een driehoek tekenen die congruent is met een gegeven driehoek. Dat kun je door gegevens te meten en af te passen. Met de onderstaande opdracht bepaal je het minimumaantal gegevens dat je daarvoor nodig hebt.

Gegeven: driehoek TAM

Twee gegevens: |  TM | = | TM | en T    = T    ∧

∧

Teken een driehoek TAM met zijde [ TM ] en hoek T   . ∧

VA N

Is TAMaltijd congruent met TAM?

Eén gegeven: | TM | = | TM |

∧

Teken een driehoek TAM met zijde [ TM ], hoek T   en zijde [ TA ]. ∧

Teken een driehoek TAM met zijde [ TM ].

Drie gegevens: | TM | = |  TM |, T    = T   en |  TA | = |  TA |

Is TA M altijd congruent met TAM?

Met drie goedgekozen gegevens heb je twee congruente driehoeken kunnen tekenen. Dat is een congruentiekenmerk van driehoeken.

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

191

6.3.3 Congruentiekenmerken voor driehoeken Congruentiekenmerk Zijde Hoek Zijde (ZHZ)

Congruentiekenmerk Hoek Zijde Hoek (HZH)

A C9

Congruentiekenmerk HZH

Twee driehoeken zijn congruent als twee paar overeenkomstige zijden en de ingesloten hoeken gelijk zijn.

Twee driehoeken zijn congruent als een paar overeenkomstige zijden en de aanliggende hoeken gelijk zijn.

In symbolen:

Congruentiekenmerk ZHZ

| AB | = | AB |⎫ Z ⎪  A   =  A     ⎬      ⇔ ABC ≅ ABC H

 A   =  A   ⎫ H ⎪       ⇔ ABC ≅ ABC   |⎬  Z | AC | = | AC

Congruentiekenmerk Zijde Zijde Zijde (ZZZ)

Congruentiekenmerk Schuine zijde Rechthoekszijde (90°SR)

∧

⎪

VA N

| AC | = | AC |⎭

∧

C   = C  

⎪

⎭

A9 C9

2 3 4 5

Congruentiekenmerk ZZZ

Congruentiekenmerk 90°SR

Twee driehoeken zijn congruent als drie paar overeenkomstige zijden gelijk zijn.

Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als een paar overeenkomstige rechthoekszijden en de schuine zijden gelijk zijn.

In symbolen:

| AB | = | AB |⎫ Z ⎪ ⎬  ⇔ ABC ≅ ABC | BC | = | BC |   Z ⎪ Z | AC | = | AC |⎭

 A   =  A   ⎫ 90° ⎪   | ⎬    ⇔ ABC ≅ ABC   S | BC | = | BC

6 7 8 9 10 11 12 13

192

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

∧

⎪

| AC | = | AC |⎭

Oefeningen REEKS A Volgens welk congruentiekenmerk zijn de driehoeken congruent? a)

r ZHZ r HZH

r ZZZ r 90°SR

r ZHZ r HZH d)

r ZHZ r HZH

r ZZZ r 90°SR

r ZHZ r HZH

r ZZZ r 90°SR

VA N

r ZZZ r 90°SR

r ZHZ r HZH

Plaats de nodige merktekens, zodat de driehoeken TOP en DAL congruent zijn volgens het gegeven congruentiekenmerk. a) ZZZ A

b) ZHZ O

c) HZH P

r ZZZ r 90°SR

P P

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

193

REEKS B Volgens welk congruentiekenmerk zijn de driehoeken congruent? a)

r ZHZ r HZH

r ZZZ r 90°SR

r ZHZ r HZH d)

2 3

r ZZZ r 90°SR

a) | AB |

∧

11 12

b) ∧

| AC |

Z H

194

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

ABC ≅ PQR ⇕ = = =

r ZZZ r 90°SR

r ZHZ r HZH

r ZZZ r 90°SR

Vul in.

r ZHZ r HZH f)

r ZHZ r HZH

r ZZZ r 90°SR

VA N

| BC |

| AB |

= =

| |  PQ  ∧

ABC ≅ PQR ⇕ =

| PR |

H Z

| | | QR |  PQ 

| AC |

ABC ≅ PQR ⇕

| PR |

| BC |

d) ∧

ABC ≅ PQR ⇕

| |

Kun je aan de hand van de gegevens op de tekening besluiten dat de driehoeken congruent zijn? Verklaar je antwoord. a)

5 cm

20°

116°

44°

116°

r De driehoeken zijn zeker congruent. r De driehoeken zijn niet noodzakelijk congruent.

4 cm

72°

3 cm

VA N

3 cm

72°

Weet de timmerman met de volgende gegevens genoeg om het houten raam te maken? Verklaar je antwoord. a) Het driehoekige houten kader heeft twee zijden van 120 cm en een zijde van 170 cm.

r voldoende gegevens r onvoldoende gegevens A

Verklaring: b) Het driehoekige houten kader heeft een zijde van 120 cm, een zijde van 170 cm en een hoek van 88°.

r voldoende gegevens r onvoldoende gegevens K

Verklaring:

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

195

Je krijgt voor twee driehoeken ABC en DEF de volgende gegevens. Zijn die driehoeken altijd congruent? Zo ja, volgens welk kenmerk? Geef ook de juiste notatie voor de congruente driehoeken. gegevens

congruent?

a) | AB | = 6 cm | AC | = 5 cm | BC | = 4 cm | DE | = 5 cm | DF | = 6 cm | EF | = 4 cm ∧

∧

r ja r nee

∧

≅

c) | AB | = 12 cm B   = 30° | BC | = 7 cm

r ja r nee

d)   A   = 45° | AC | = 4 cm C   = 58°

r ja r nee

| DE | = 12 cm  F   = 30° | EF | = 7 cm ∧

D   = 58° | DE | = 4 cm  E   = 45° ∧

e)   A   = 90° | AC | = 10 cm | AB | = 8 cm ∧

 F    = 90° | DF | = 10 cm | EF | = 8 cm

∧

REEKS C

∧

ABC ≅ PQR ⇕

r ZZZ r 90°SR

r ZHZ r HZH

r ZZZ r 90°SR

r ZHZ r HZH

r ZZZ r 90°SR

r ZHZ r HZH

r ZZZ r 90°SR

ABC ≅ PQR ⇕

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

ABC ≅ PQR ⇕

196

r ZHZ r HZH

∧

≅

r ZZZ r 90°SR

r ja r nee

r ZHZ r HZH

ABC ≅ PQR,   A   =  P  = 90° en | AB | = | PQ |. Bepaal het ontbrekende gegeven en vermeld het congruentiekenmerk. Geef alle mogelijkheden.

≅

VA N

∧

≅

∧

≅

∧

r ja r nee

b)   A   = 62° B   = 48° C   = 70° D   = 62°  E   = 48°  F   = 70°

kenmerk?

6.4

Congruente driehoeken tekenen

6.4.1 Inleiding De Bermudadriehoek is een denkbeeldige driehoek tussen Miami, de Bermuda-eilanden en Puerto Rico in het westelijke deel van de Atlantische Oceaan. Het gebied werd in het midden van de twintigste eeuw bekend omdat er op mysterieuze wijze boten en vliegtuigen verdwenen. Er bestaan tal van bovennatuurlijke, maar ook wetenschappelijke verklaringen voor dat fenomeen. Teken de Bermudadriehoek ABC van kaart 1 over op kaart 2. Je mag enkel je passer en liniaal gebruiken. kaart 1

Atlantische Oceaan

FLORIDA

Atlantische Oceaan

FLORIDA Miami

Miami

kaart 1

Bahama's

VA N

CUBA

HAITI

Santiago

DOMINICAANSE REPUBLIEK

CUBA

C San Juan

PUERTO RICO

HAITI

Santiago

DOMINICAANSE REPUBLIEK

San Juan

PUERTO RICO

Welk congruentiekenmerk heb je gebruikt bij het overtekenen van de driehoek?

Vaststelling

Congruentiekenmerken

Je kunt de congruentiekenmerken bij driehoeken gebruiken om driehoeken over te tekenen.

6.4.2 Voorbeeld Teken een driehoek POT die congruent is met de driehoek DAM. Gebruik daarbij de gegevens die op de tekening zijn aangeduid.

60°

D M

Welk congruentiekenmerk heb je gebruikt bij het overtekenen van de driehoek?

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

197

Oefeningen REEKS A 24

Teken een driehoek DEF die congruent is met de driehoek ABC. Vermeld het congruentiekenmerk dat je daarvoor gebruikt. a)

VA N

r ZHZ r ZZZ r HZH r 90°SR A

r ZHZ r ZZZ r HZH r 90°SR

1 2 3

4 5

6 7 8

9 10

11 12 13

198

r ZHZ r ZZZ r HZH r 90°SR HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

REEKS B 25

Teken DEF zodat DEF ≅ ABC. Gebruik het aangeduide congruentiekenmerk. Vul de gegevens in die je gebruikt. Z =

H = Z =

H =

VA N

Z =

H =

Z =

Z = Z =

A C

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

199

Teken twee driehoeken met de gegevens. Zijn de driehoeken altijd congruent? Verklaar je antwoord. a) | AB | = 3 cm, | BC | = 5 cm en B    = 50°   = 50° |  AB | = 3 cm, | BC | = 5 cm en B  ∧

∧

r ja r nee

VA N

Driehoeken ABC en ABC zijn zeker congruent.

Verklaring:

∧

Driehoeken ABC en ABC zijn zeker congruent.

Verklaring:

b) | AB | = 6 cm, | BC | = 4 cm en  A   = 30° |  AB | = 6 cm, | BC | = 4 cm en  A   = 30°

∧

Teken de Polynesische driehoek over op de tweede landkaart. Vermeld het congruentiekenmerk dat je daarvoor gebruikt.

Verenigde Staten

3 Hawaii

Hawaii

6 7

Solomon Eil.

Tuvalu

Wallis Futuna

Vanuatu

Nieuw Caledonië

evenaar

Solomon Eil.

Tokelan

Fiji

Tahiti Tonga

Nieuw Zeeland

Cook Eil.

Tuvalu

Wallis Futuna

evenaar Tokelan

Fiji

Nieuw Caledonië Easter Is

Zuid-Amerika

Kiribati Nauru

Vanuatu

10 11

Zuid-Amerika

Kiribati Nauru

Tahiti Tonga

Cook Eil.

Easter Is

Nieuw Zeeland

12 13

200

congruentiekenmerk: HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

Teken twee driehoeken met de volgende gegevens: | AB | = 47 mm, | BC | = 62 mm en  A  = 90° | AB | = 47 mm, | BC | = 62 mm en  A   = 90° ∧

∧

Zijn de driehoeken ABC en ABC zeker congruent? Verklaar je antwoord.

REEKS C

Vul het ontbrekende gegeven in en teken zo een driehoek ABC die congruent is met driehoek ABC, en een driehoek A B C  die niet congruent is met driehoek ABC. B 67° 31 mm

VA N

54 mm

78°

52 mm

  A   = 78°, | AB |= 31 mm

35°

∧

congruent

= 67°

  A   = 78°, | AB |= 31 mm

∧

niet congruent

= 67°

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

201

6.5

Bewijzen met congruentiekenmerken Aan de hand van de congruentiekenmerken en wiskundige eigenschappen kun je bewijzen dat twee driehoeken congruent zijn.

6.5.1 Modeloefening 1 tekening

gegeven

vierhoek GRAP met | GR | = |  GP | en |  RA | = |  PA | te bewijzen

GRA ≅ GPA

bewijs

Z Z

= besluit

VA N

verklaring

GRA GPA

Volgens kenmerk ZZZ is GRA ≅ GPA.

6.5.2 Modeloefening 2

We bewijzen dat de diagonaal van een parallellogram dat parallellogram altijd in twee congruente driehoeken verdeelt. tekening

gegeven parallellogram STAP diagonaal [ SA ]

2 3

te bewijzen

4 5

6 7 8 9 10 11 12 13

202

bewijs STA APS

verklaring

besluit

Volgens kenmerk is STA ≅ APS.

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

STA ≅ APS

Oefeningen REEKS B 30

Bewijs. tekening

gegeven

AD ⊥ AB en BC ⊥ AB | AD | = |  BC | te bewijzen

bewijs

ABD ≅ BAC verklaring

VA N

besluit

ABD BAC

Volgens kenmerk is  ≅  . 31

Bewijs.

tekening

∧

AD is bissectrice van B  A   C. D   1 = D  2

∧

gegeven ∧

te bewijzen

ABD ≅ ACD C

bewijs ABD ACD

verklaring

besluit

Volgens kenmerk is  ≅  .

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

203

In een gelijkbenige driehoek verdeelt de hoogtelijn uit de tophoek de driehoek in twee congruente driehoeken. Bewijs. tekening

gegeven gelijkbenige driehoek BED : | BE | = |  ED |. EL is de hoogtelijn vanuit de tophoek  E  .

∧

te bewijzen

BEL ≅ DEL

bewijs BEL DEL

verklaring

besluit

VA N

Volgens kenmerk is BEL ≅ DEL.

REEKS C 33

In een gelijkbenige driehoek verdeelt de zwaartelijn uit de tophoek de driehoek in twee congruente driehoeken. Bewijs. tekening

2 3

te bewijzen

gegeven

MOL : | MO | = | OL |

bewijs

7 8 9 10 11 12 13

204

 

verklaring

besluit

Volgens kenmerk is  ≅  .

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

6.5.3 Bewijzen dat twee zijden even lang zijn of twee hoeken even groot zijn Voorbeeld Een vlieger is een vierhoek met twee paar opeenvolgende zijden met dezelfde lengte. Bewijs dat in een vlieger twee overstaande hoeken even groot zijn. • stap 1: J e maakt een tekening en noteert wat gegeven en wat te bewijzen is. Op de tekening duid je twee driehoeken aan waarvan je kunt bewijzen dat ze congruent zijn. tekening

gegeven vlieger VLAM

te bewijzen ∧

∧

  L   = M 

bewijs

VA N

• stap 2: Je noteert het bewijs waarmee je aantoont dat de driehoeken congruent zijn.

  =

verklaring

• stap 3: E ens je bewezen hebt dat de driehoeken congruent zijn, kun je besluiten dat alle overeenkomstige zijden van die driehoeken even lang zijn. Ook alle overeenkomstige hoeken van de driehoeken zijn even groot. Dat volgt uit de definitie van congruente driehoeken. besluit Volgens kenmerk is  ≅ 

⇓ def. ≅ 

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

205

Oefeningen REEKS B 34

Bewijs. tekening

gegeven

vierhoek KROM ∧

∧

R  1 = R   2

∧

M 1  = M 2

te bewijzen

bewijs

| KR | = | RO | verklaring

besluit

VA N

 

def. ≅ 

Volgens kenmerk is  ≅  ⇒ = 35

Bewijs.

tekening

cirkel met middelpunt B

A, C, D en E liggen op de cirkel.

te bewijzen |AC| = |DE|

3 4

6 7 8 9 10 11 12 13

206

gegeven

bewijs  

verklaring

= besluit

def. ≅ 

Volgens kenmerk is  ≅  ⇒ =

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

Bewijs. tekening

gegeven C B

| AB | = | AE |

| AC | = | AD | te bewijzen

A E

| BD | = | CE |

bewijs  

verklaring

= besluit

def. ≅ 

VA N

Volgens kenmerk is  ≅  ⇒ =

Bewijs dat de hoeken tussen de spaken van het reuzenrad even groot zijn. tekening

gegeven

cirkelvormig reuzenrad

| BC | = | CD |

1 2

te bewijzen

bewijs  

verklaring

= besluit

def. ≅ 

Volgens kenmerk is  ≅  ⇒ =

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

207

In de tweede eeuw na Christus bedacht de Romeinse landmeter Marcus Junius Niptus een methode om de breedte van een rivier te meten zonder die over te steken. Bewijs dat Junius Niptus met zijn methode de juiste breedte van de rivier kon bepalen. tekening Hij ging als volgt te werk: • Op de oever aan de overkant koos hij een herkenningspunt, bijvoorbeeld een boom (punt A). Daarna plaatste hij op zijn oever een stok (punt B), zodat het denkbeeldige lijnstuk [ AB ]loodrecht op zijn oever stond.

• Daarna plaatste hij vanaf de stok 10 m verder langs dezelfde oever een wijnvat (punt C). Nog eens 10 m verder plaatste hij een mijlsteen (punt D).

? B

VA N

• Vanaf de mijlsteen ging hij loodrecht van de oever weg, tot hij de boom en het wijnvat op één rechte lijn zag. Daar plaatste hij een stokje (punt E). De afstand van dat stokje tot de mijlsteen was de breedte van de rivier.

3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13

208

? B

gegeven

te bewijzen

bewijs  

verklaring

= besluit

def. ≅ 

Volgens kenmerk is  ≅  ⇒ =

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

Bewijs dat de muurtjes even hoog zijn. tekening

gegeven

T is het midden van [ PK ].

| TU | = |  TA | te bewijzen

bewijs  

verklaring

besluit

def. ≅ 

REEKS C 40

VA N

Volgens kenmerk is  ≅  ⇒ =

Vul de tekening aan en bewijs. tekening

ABC AM is zwaartelijn in ABC. P is het voetpunt van de loodlijn uit B op AM. Q is het voetpunt van de loodlijn uit C op AM.

bewijs

gegeven

te bewijzen

| |

| BP | =  CQ 

besluit

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

209

6.6 Even grote hoeken 6.6.1 Constructie ∧

∧

Construeer met passer en liniaal een hoek B    die even groot is als de hoek  A  . Werkwijze stap 1: Teken een boog met middelpunt A die beide benen van  A   snijdt. ∧

stap 2: Noem de snijpunten P en Q. stap 3: Teken met dezelfde passeropening een boog met middelpunt B die het eerste been van B    snijdt.

∧

stap 4: Noem het snijpunt R.

| |

stap 5: Pas  PQ  af vanuit R op de boog die je laatst tekende.

stap 6: Noem het snijpunt van de bogen S.

stap 7: Teken [ BS, het tweede been van B   .

6.6.2 Bewijs

VA N

Welk congruentiekenmerk gebruik je om een hoek te construeren die even groot is als een gegeven hoek?

gegeven

tekening

| | | |

| AP | =  AQ  = |  BR | = |  BS | | RS | =  PQ 

te bewijzen

∧

bewijs

8 9 10

besluit

12 13

210

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

∧

 B   =   A 

∧

Oefeningen REEKS A 41

∧

Construeer met passer en liniaal  B  , die even groot is als  A  . a)

A B

VA N

REEKS B 42

Construeer DEF, zodat DEF ≅ ABC. Gebruik het aangeduide congruentiekenmerk. Vul de gegevens in die je gebruikt. H = Z =

H =

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

211

6.7

Middelloodlijn van een lijnstuk

6.7.1 Even herhalen Middelloodlijn van een lijnstuk

Definitie

De middelloodlijn van een lijnstuk is A

6.7.2 Eigenschap Op kamp organiseert de leiding een spel met kegels. Wanneer een leider een letter roept, moeten Tom en Stef zo snel mogelijk naar de kegel met die letter lopen. Om het spel eerlijk te laten verlopen, plaatst de leiding de kegels op de middelloodlijn van [ ST ].

Meet de afstanden van beide lopers tot de kegels.

Stef (S)

VA N

Tom

Stef

D C T

4 5

7 8

Eigenschap

Elk punt van de middelloodlijn van een lijnstuk

11 12 13

212

Waarom verloopt het spel eerlijk als de leiders de kegels op de middelloodlijn van het lijnstuk [ ST ] plaatsen?

Tom (T)

In symbolen: A ∈ middelloodlijn van [ ST ] ⇒ HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

tekening

gegeven m

m is middelloodlijn van [ ST ] A behoort tot m

te bewijzen

| AS | = | AT |

bewijs

besluit

VA N

6.7.3 Omgekeerde eigenschap

Lisa huurt een huisje in het vakantiedomein Dolblij. De huisjes A, B, C, D, E, F, G en H zijn nog beschikbaar. Lisa wil dat het huisje in vogelvlucht even ver van de toiletten (T) als van de speeltuin (S) verwijderd is. Uit welke huisjes kan Lisa haar keuze maken?

D F C

Verbind de punten van de huisjes die aan Lisas voorwaarde voldoen. Teken de middelloodlijn van [ ST ]. Wat stel je vast?

Eigenschap

Elk punt dat even ver ligt van de grenspunten van een lijnstuk, In symbolen: | AS | = |  AT | ⇒

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

213

tekening

gegeven A

te bewijzen S

bewijs

VA N

besluit

1 2

4 5

6.7.4 Kenmerk van de middelloodlijn

De eigenschap en de omgekeerde eigenschap worden samengevat in één kenmerk.

8 9

Kenmerk

Middelloodlijn van een lijnstuk Een punt behoort tot de middelloodlijn van een lijnstuk als en slechts als het punt even ver ligt van de grenspunten van het lijnstuk.

10 11 12 13

214

In symbolen: A ∈ middelloodlijn van [ ST ] ⇔ HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

6.7.5 Constructie van de middelloodlijn Constructie stap 1

stap 2

stap 3 P

Werkwijze

stap 1: Kies een passeropening, groter dan de helft van het lijnstuk. Teken een passerboog met middelpunt A boven en onder het lijnstuk.

VA N

stap 2: Teken met dezelfde passeropening een boog met middelpunt B boven en onder het lijnstuk. Noem de snijpunten van de bogen P en Q. stap 3: Teken PQ, de middelloodlijn van [ AB ]. Verklaring

⇓

(kenmerk middelloodlijn)

⇓

(twee punten bepalen een rechte)

P en Q behoren tot de middelloodlijn van [ AB ].

De punten P en Q liggen even ver van de grenspunten A en B.

PQ is dus de middelloodlijn van [ AB ].

Voorbeelden

Construeer de middelloodlijn van het gegeven lijnstuk.

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

215

Oefeningen REEKS A 43

Construeer met passer en liniaal de middelloodlijn van [ AB ]. a)

B A B

REEKS B Construeer de middellijn van het sportveld.

VA N

Verdeel, zonder te meten, de lasagne in acht gelijke stukken.

2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13

216

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

Yoeri en Katleen zoeken een woonplaats die in vogelvlucht even ver van Leest als van Aartselaar ligt. In welke van de plaatsen die met een rode stip zijn aangeduid, kan het koppel zich vestigen? Bepaal het antwoord zonder te meten.

In de tuin wil Yasin een boom planten, zodat de boom op gelijke afstand staat van de drie bomen die er al staan. Construeer de positie van de boom die Yasin plant.

VA N

1 : 100

Bepaal de werkelijke afstand van de nieuwe boom tot de drie bestaande bomen.

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

217

REEKS C 48

Hieronder wordt de constructie van een loodlijn door een gegeven punt op een gegeven rechte voorgesteld. Verklaar de constructie. Constructie van de loodlijn door het punt P op de rechte a: stap 1: Teken met een passeropening, groter dan de afstand van het punt tot de rechte, twee bogen met middelpunt P die de rechte a snijden. Noem de snijpunten R en S. stap 2: Teken onder de rechte a een boog met middelpunt R en straal |RP|. stap 3: Teken met dezelfde passeropening onder de rechte a een boog met middelpunt S. Het snijpunt van de bogen noem je Q. PQ is de loodlijn door het punt P op de rechte a. stap 1

stap 2

S Q

VA N

Construeer het punt B zodat m de middelloodlijn is van [ AB ]. Verklaar de constructie. a)

IN S

Verklaring van de constructie:

stap 3

2 3 4 5

6 7

8 9 10 11 12 13

218

Verklaring van de constructie: HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

6.8 Bissectrice van twee snijdende rechten 6.8.1 Even herhalen Bissectrice van een hoek

Definitie

De bissectrice of deellijn van een hoek is

6.8.2 Een bissectrice van een paar snijdende rechten Bissectrice van een paar snijdende rechten

Definitie

Een bissectrice (of deellijn) van een paar snijdende rechten is een bissectrice van een hoek gevormd door de snijdende rechten.

p b1

VA N

6.8.3 Eigenschap

Bij een spel met kegels op kamp moeten twee jongeren vanaf eenzelfde kegel zo snel mogelijk naar een verschillende aardeweg lopen. Om het spel eerlijk te laten verlopen, plaatst de leiding de kegels op de bissectrice van de hoek gevormd door de aardeweggetjes.

∧

aardeweg f

P B

Op de tekening zie je dat de leiders de kegels op de bissectrice van BO   S plaatsen. Meet de afstanden van de kegels tot elke aardeweg.

aardeweg g

∧

Waarom plaatsen de leiders de kegels op de bissectrice van BO   S? Eigenschap

Elk punt van een bissectrice van een paar snijdende rechten In symbolen:

P ∈ bissectrice van f en g (f  g) ⇒

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

219

tekening

gegeven P behoort tot b b is bissectrice van de rechten f en g (f  g)

g S

∧

| |

d(P, g) =  PQ 

d(P, f ) = | PR |

P O R

te bewijzen

| |

 PQ  = |  PR |

bewijs

∧

BO   P = PO   S

besluit

VA N

6.8.4 Omgekeerde eigenschap

De tuinman moet bomen planten. Elke boom moet even ver van beide graspaadjes staan.

W T

2 3

U R

Eigenschap

Elk punt dat even ver ligt van twee snijdende rechten,

11 12 13

220

Teken de bissectrice van de hoek gevormd door de graspaden f en g. Wat stel je vast?

Verbind de bomen die op de juiste plaats staan.

Welke bomen heeft de tuinman op de juiste plaats gezet?

In symbolen: d(P, f ) = d(P, g) ⇒ HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

tekening

gegeven f

P O

te bewijzen R

bewijs

VA N

besluit

6.8.5 Kenmerk van de bissectrice van twee snijdende rechten De eigenschap en de omgekeerde eigenschap worden samengevat in één kenmerk. Kenmerk

De bissectrice van twee snijdende rechten Een punt behoort tot de bissectrice van twee snijdende rechten als en slechts als het punt even ver ligt van de snijdende rechten. In symbolen: P ∈ bissectrice van f en g (f  g) ⇔

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

221

6.8.6 Constructie van de bissectrice ∧

Construeer met passer en liniaal de bissectrice van de hoek  A .

Werkwijze stap 1: Teken een boog met middelpunt A die beide benen van  A   snijdt. ∧

stap 2: Noem de snijpunten P en Q. stap 3: Teken een boog met middelpunt P.

stap 4: Teken met dezelfde passeropening een boog met middelpunt Q. stap 5: Noem het snijpunt van de bogen S. ∧

stap 6: Teken AS, de bissectrice van  A  .

Verklaring van de constructie

gegeven

VA N

tekening P

bewijs

1 2

3 4 5

6 7

besluit

9 10 11

12 13

222

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

| | | PS | = | QS | | AP | =  AQ 

te bewijzen ∧

AS is bissectrice van  A  .

Oefeningen REEKS A 50

∧

Construeer met passer en liniaal de bissectrice (deellijn) van  A  . a)

REEKS B

Construeer de snijlijn om het stuk pizza in twee gelijke stukken te verdelen.

Verdeel in gelijke stukken. Maak enkel gebruik van je passer en lat.

VA N

a) in vier gelijke stukken

b) in acht gelijke stukken

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

223

Construeer de bissectrices van de snijdende rechten. a)

b) a

Hoeveel bissectrices worden bepaald door twee snijdende rechten? Wat is de onderlinge ligging van de deellijnen van twee snijdende rechten? Bepaal, zonder te meten, de kleinste hoek tussen de bissectrices p en q. a)

VA N

50°

54°

74°

55 1 2

Een gsm-operator wil een gsm-mast plaatsen die even ver ligt van beide wegen. Op welke van de aangeduide punten kan de gsm-operator de mast plaatsen? Bepaal het antwoord zonder te meten.

4 5

Bepaal het punt waar Joop een boom moet planten, als die boom op gelijke afstand moet staan van de tuinpaden (t en p). De boom moet ook op 5 m van het snijpunt S staan.

7 8

9 10 11 12 13

224

p HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

schaal: 1 : 100

Bepaal de plaats van de punten die even ver liggen van a en b en even ver van A en B.

a S

In een driehoekige houten plank moet Lien een gaatje boren dat even ver ligt van de drie zijden van de houten plank. Construeer de plaats waar Lien het gaatje moet boren.

VA N

REEKS C 59

Bissectrices van nevenhoeken staan loodrecht op elkaar. Toon aan met een figuur en verklaar. figuur

verklaring

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

225

STUDIEWIJZER Congruente figuren voor de leerling

6.1 Congruente figuren KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Congruente figuren zijn figuren die dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben. Een congruente figuur kan ontstaan door een spiegeling, een verschuiving, een rotatie of een puntspiegeling.

KUNNEN

–  + –  +

Congruente figuren herkennen. Transformatie herkennen waardoor een figuur op een congruente figuur verplaatst wordt.

6.2 Overeenkomstige hoeken en zijden KENNEN

–  + –  +

Overeenkomstige hoeken in congruente figuren zijn even groot. Overeenkomstige zijden in congruente figuren zijn even lang.

KUNNEN

–  + –  +

Overeenkomstige hoeken en zijden in congruente figuren aanduiden.

VA N

Congruente veelhoeken benoemen volgens de overeenkomstige hoeken.

6.3 Congruentiekenmerken bij driehoeken

KENNEN

Congruente driehoeken zijn twee driehoeken waarvan de overeenkomstige hoeken even groot en de overeenkomstige zijden even lang zijn. Congruentiekenmerk ZHZ Twee driehoeken zijn congruent als twee paar overeenkomstige zijden en de ingesloten hoeken gelijk zijn. Z | AB | =  AB  ⎫

2 3 4 5

6 7 8 9 10 11

226

∧

⎪

Congruentiekenmerk ZZZ Twee driehoeken zijn congruent als drie paar overeenkomstige zijden gelijk zijn. Z | AB | =  AB  ⎫

| | | | | AC | = | AC |⎭ ⎪

   Z | BC | =  BC   ⎬  ⇔ ABC ≅ ABC Z

⎪

Congruentiekenmerk HZH Twee driehoeken zijn congruent als een paar overeenkomstige zijden en de aanliggende hoeken gelijk zijn.

⎫ H   A   =   A   ⎪    | AC | =     Z  AC  ⎬   ⇔ ABC ≅ ABC ∧

∧

H  C   =  C  

⎪

⎭

Congruentiekenmerk 90°SR Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als een paar overeenkomstige rechthoekszijden en de schuine zijden gelijk zijn. 90°   A   =   A   ⎫ ⎪ S    | BC | =  B  C  ⎬  ⇔ ABC ≅ ABC ∧

∧

H      ⇔ ABC ≅ ABC   A   =   A     ⎬  ⎪ Z | AC | =  AC  ⎭

∧

| | | AC | = | AC |⎭ ⎪

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

–  + –  +

voor de leerling

KUNNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

De congruentiekenmerken van driehoeken illustreren door een tekening. Aanduiden volgens welk congruentiekenmerk twee driehoeken congruent zijn.

6.4 Congruente driehoeken tekenen KUNNEN

–  + –  +

Congruentiekenmerken gebruiken om een driehoek te tekenen die congruent is met een gegeven driehoek.

6.5 Bewijzen met congruentiekenmerken KUNNEN

–  + –  +

Aan de hand van de congruentiekenmerken bewijzen dat twee driehoeken congruent zijn.

6.6 Even grote hoeken

Aan de hand van de congruentiekenmerken bewijzen dat twee hoeken even groot zijn of twee zijden even lang zijn.

KUNNEN

–  + –  +

VA N

Met behulp van een passer een hoek construeren waarvan de hoekgrootte gelijk is aan die van een gegeven hoek. De constructie van een hoek waarvan de hoekgrootte gelijk is aan die van een gegeven hoek bewijzen met congruentiekenmerken.

6.7 Middelloodlijn van een lijnstuk

KENNEN

–  + –  +

De middelloodlijn van een lijnstuk is de loodlijn door het midden van het lijnstuk. Elk punt van de middelloodlijn van een lijnstuk ligt even ver van de grenspunten van het lijnstuk. A ∈ middelloodlijn van [ ST ] ⇒ | AS | = | AT |

Elk punt dat even ver ligt van de grenspunten van het lijnstuk, behoort tot de middelloodlijn van het lijnstuk. | AS | = | AT | ⇒ A ∈ middelloodlijn van [ST ]

Een punt behoort tot de middelloodlijn van een lijnstuk als en slechts als het punt even ver ligt van de grenspunten van het lijnstuk. A ∈ middelloodlijn van [ ST ] ⇔ | AS | = | AT |

KUNNEN

–  + –  +

De eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk bewijzen. De omgekeerde van de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk bewijzen. De middelloodlijn van een lijnstuk construeren met behulp van een passer. De constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk met behulp van een passer verklaren.

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

227

voor de leerling

6.8 Bissectrice van twee snijdende rechten KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

De bissectrice van een hoek is de rechte die de hoek in twee gelijke hoeken verdeelt. Een bissectrice van een paar snijdende rechten is een bissectrice van een hoek gevormd door de snijdende rechten. Elk punt van een bissectrice van een paar snijdende rechten ligt even ver van beide rechten. P ∈ bissectrice van f en g (f /\/ g) ⇒ d(P, f ) = d(P, g)

Elk punt dat even ver ligt van twee snijdende rechten, behoort tot een bissectrice van de snijdende rechten. d(P, f ) = d(P, g) ⇒ P ∈ bissectrice van f en g (f /\/ g)

Een punt behoort tot de bissectrice van twee snijdende rechten als en slechts als het punt even ver ligt van de snijdende rechten. P ∈ bissectrice van f en g (f /\/ g) ⇔ d(P, f ) = d(P, g)

KUNNEN

De eigenschap van de bissectrices van een paar snijdende rechten bewijzen.

De omgekeerde van de eigenschap van de bissectrices van een paar snijdende rechten bewijzen. De bissectrice van een hoek construeren met behulp van een passer.

Pienter Rekenen

VA N

De constructie van de bissectrice van een hoek met behulp van een passer verklaren.

2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13

228

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

–  + –  +

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

q concreet materiaal

q filter

q schets

q patroon

q schema/tabel

q kennis

q vereenvoudig

q logisch nadenken

q gok verstandig

q ...

t dubbel is Je zoekt een getal dat he 1. s van dat getal. van de som van de cijfer

2. Los de b inairo op. Vu l het rooster elke kolom g zo in dat elk evuld is met e rij en zes nullen e Niet meer d n zes eentje an twee null s. en of twee of onder elk eentjes mog aar staan. en naast Dezelfde rije n en kolomm en zijn niet Er is één un toegelaten. ieke oplossin g.

ijf bben v e h s e machin ig om vijf 3. Vijf en nod aken. second blokken te m oed speelg erd n hond e b b e derd lang h m hon o ig d Hoe o es n aken? machin blokken te m oed speelg

VA N

1 1 0

0 1

1 0

0 1 0

0 0

0 1

cirkels op de zijden en in 1 tot en met 12 rechts in de en s link 9 t me en tot 1 ers 4. Schrijf de cijf allen op elke zijde gelijk is. eken, zodat de som van de get eho dri de van n nte kpu hoe de Er zijn meerdere oplossingen.

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

229

Problemen uit Kangoeroe en JWO 1.

In de figuur zien we vierkanten met oppervlakte 9 cm², 16 cm² en 25 cm². Bepaal de oppervlakte van de gekleurde driehoek.

A) ❒ 20 cm

B) ❒ 25 cm

C) r 30 cm

D) ❒ 40 cm

E) ❒ 60 cm

JWO, editie 2019, eerste ronde

Rubi schrijft in elk vakje een geheel getal. Elk getal is gelijk aan de som van zijn twee buren. Welk getal komt in het gekleurde vakje?

B) ❒ –3

C) ❒ 1

VA N

A) ❒ –13

D) ❒ 7

E) ❒ 10

Kangoeroe, editie 2018, Wallabie

1 2 3

3. In een klas zitten 50 % meer jongens dan meisjes. Van de jongens is 62 % geslaagd en van de hele klas is 68 % geslaagd. Hoeveel procent van de meisjes is geslaagd?

A) ❒ 68 %

B) ❒ 71 %

C) ❒ 74 %

D) ❒ 77 %

E) ❒ 80 %

JWO, editie 2017, tweede ronde

4 5

6 7 8

4. Lies spreekt met haar vriendinnen een namiddag af. De 12 meisjes eten gemiddeld 1,5 cupcakes. Er zijn 2 meisjes die geen enkele cupcake eten. De anderen eten 1 of 2 cupcakes. Hoeveel meisjes eten juist 2 cupcakes?

9 10 11

A) ❒ 2

B) ❒ 5

12 13

230

Kangoeroe, editie 2016, Wallabie

HOOFDSTUK 6 I CONGRUENTE FIGUREN

C) ❒ 6

D) ❒ 7

E) ❒ 8

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

Verhouding en evenredigheid

232

7.2 Eigenschappen van evenredigheden

236

7.3 Evenredige grootheden

242

7.1

7.4 Toepassingen op recht evenredige 259

grootheden

268

Pienter problemen oplossen

269

Problemen uit Kangoeroe en JWO

270

VA N

Studiewijzer

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

231

7.1

Verhouding en evenredigheid

7.1.1 Wat is een verhouding? Op je verjaardagsfeest wil je voor de genodigden een cocktail samenstellen. Op het internet vind je dit recept.

TREAUPOLITAN Een verrassende, heerlijke cocktail met een aantrekkelijke roze kleur. RECEPT

Giet in een shaker met ijs: – 5 eenheden suikerwater, – 3 eenheden veenbessensap, – 2 eenheden citroensap, – 1 eenheid grenadine. Schud en zeef in een longdrinkglas.

De cocktail bestaat uit 11 eenheden, waarvan 5 eenheden suikerwater.

VA N

Je zegt dat de verhouding van het suikerwater tot de volledige hoeveelheid cocktail __   5   is 11 of dat het suikerwater ten opzichte van de totale hoeveelheid cocktail zich verhoudt als __   5  .  11 Wat is de verhouding van: • het veenbessensap tot de volledige hoeveelheid cocktail?  _______   .

• het citroensap tot de volledige hoeveelheid cocktail?  _______   . • de grenadine tot de volledige hoeveelheid cocktail?  _______   .

1 2

Definitie

Verhouding

Een verhouding is een quotiënt dat het verband tussen twee grootheden weergeeft.

3 4

Voorbeelden

Om een heerlijke cocktailsaus te maken, heb je de volgende ingrediënten nodig: 5 eenheden mayonaise, 3 eenheden ketchup, 1 eenheid whisky, cayennepeper en een scheutje room.

7 8 9

Wat is de verhouding van: • de hoeveelheid ketchup tot de hoeveelheid mayonaise?  _______ 

• de hoeveelheid whisky tot de hoeveelheid ketchup?  _______ 

11 12

• de hoeveelheid mayonaise tot de hoeveelheid cocktailsaus?  _______ 

232

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

7.1.2 Wat is een evenredigheid? Wil je een grotere hoeveelheid van hetzelfde drankje, dan zal de verhouding tussen de verschillende ingrediënten altijd gelijk moeten zijn. Een teveel of een tekort aan een ingrediënt geeft niet het gewenste resultaat. De verhouding van de hoeveelheid veenbessensap, citroensap en grenadine tot de totale hoeveelheid is respectievelijk __   3    , __   2   en __   1    . 11 11 11 Je past nu de hoeveelheden aan voor vier personen. Hoeveel eenheden veenbessensap, citroensap en grenadine zijn er nodig? Vul de tabel aan. aantal personen

aantal personen

citroensap

grenadine

totale hoeveelheid

De verhouding van de hoeveelheid citroensap tot de totale hoeveelheid blijft zowel voor één persoon als voor vier personen dezelfde:

VA N

De verhouding van de hoeveelheid veenbessensap tot de totale hoeveelheid blijft zowel voor één persoon als voor vier personen dezelfde:

veenbessensap

12    __   3     =  ___ 11 44

De verhouding van de hoeveelheid grenadine tot de totale hoeveelheid blijft zowel voor één persoon als voor vier personen dezelfde:

8    __   2     =  ___ 11 44

4    __   1     =  ___ 11 44

Definitie

Die gelijkheden van twee verhoudingen noem je evenredigheden. Evenredigheid

Een evenredigheid is een gelijkheid van twee verhoudingen c    met b ≠ 0 en d ≠ 0. __   a     =  __ b d Lees a staat tot b zoals c staat tot d of a verhoudt zich tot b zoals c zich verhoudt tot d of a en b verhouden zich zoals c en d. Benamingen

eerste term uiterste termen

a b

tweede term

derde term

middelste termen

d vierde term HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

233

Oefeningen REEKS A Druk uit met een verhouding. a)

het aantal voetballen ten opzichte van het totale aantal ballen

het aantal golfballen  _______     ten opzichte van het totale aantal ballen d)

het aantal tennisballen _______        ten opzichte van het totale aantal ballen f)

VA N

_______    

het aantal basketballen ten opzichte van het totale aantal ballen

het aantal volleyballen

_______        ten opzichte van

het totale aantal ballen

het aantal tennisballen

_______        ten opzichte van

 _______     het totale aantal ballen

2 3 4 5

Druk uit met een verhouding. a)

7 8 9 10 11 12

het aantal gebodsborden ten opzichte van het totale aantal verkeersborden

234

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

_______      

het aantal verbodsborden ten opzichte van het totale aantal verkeersborden

_______    

Schrijf als een evenredigheid.  _______     = _______      

a) 3 verhoudt zich tot 8 zoals 9 zich verhoudt tot 24.

 _______     = _______      

b) 5 staat tot 6 zoals 30 tot 36.

 _______     = _______      

c) 2 en 6 verhouden zich zoals 8 en 24.

REEKS B Wat is de verhouding van a) een kwartier ten opzichte van een volledig uur?

b) het aantal doelmannen van een voetbalploeg ten opzichte van het totale aantal voetballers?

c) een week in de maand april tot het aantal dagen van die maand?

e) 250 gram suiker ten opzichte van één kilogram suiker?

Zet de verhoudingen die een evenredigheid vormen in eenzelfde kleur.     ___ 15 18       __ 3 4

      ___ 5 10       __ 6 15

      __ 6 8       __ 3 2

   ___ 20 24       __ 1 2

      ___ 8 10       ___ 24 16

Vul aan.

1    =  __ 4    a) In  __ 3 12

      __ 2 5       ___ 20 25

VA N

d) het aantal lesuren wiskunde tot het totale aantal lesuren per week?

is 3 de ... term.

6    zijn 7 en 6 de ... termen. 2     =  __ b) In  __ 7 21

16    zijn 12 en 20 de ... termen. 12     =  ___ c) In  __ 15 20

27     =  ___ 12    is 16 de ... term. d) In  ___ 36 16

Zoek de ontbrekende teller of noemer in de volgende evenredigheden. 3     =  _______ 12     a)  __ 4

–9     =  ______ c)  ___    –72 36

15    e)  ______       =  __ 8 12

22    g)  ______       =  ___ 9 33

20     1     =  _______ b)  __ 5

15     =  ______ d)  ___      –54 –27

48    12      f)  _______ =  ___ 64

25    –10     h)  _______ =  ___ 30 HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

235

7.2

Eigenschappen van evenredigheden

7.2.1 Hoofdeigenschap van evenredigheden 12    __   3     =  ___ 11 44

Vul de tabel in.

–8    ___   –6      =  ___ 15 20

middelste termen

uiterste termen

product middelste termen

product uiterste termen

Wat stel je vast? Eigenschap

Hoofdeigenschap van evenredigheden

In een evenredigheid is het product van de uiterste termen gelijk aan het product van de middelste termen. c   ⇒ a  d = b  c met b ≠ 0 en d ≠ 0. In symbolen: __   a     =  __ b d gegeven

VA N

te bewijzen

a     =  __ c    a en c ∈ q, b en d ∈ q0:  __ b d bewijs

c    __   a     =  __ b d c     b  d beide leden met eenzelfde getal b d vermenigvuldigen __   a     b  d =  __ b d a  b  d c  b  d   ______       =   ______       breuken vermenigvuldigen b d a  d = c  b

Een onbekende x berekenen

Voorbeelden

8    x     =  __  __ 12 6

12x = 48

48    x =  ___ 12

11 12

x  12 = 6  8

x = 4

236

het vermenigvuldigen van rationale getallen is commutatief

7.2.2 Toepassingen op de hoofdeigenschap

breuken vereenvoudigen

a  d = b  c

1 2

a  d = b  c

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

18  12     __     =  __ x 8

–15  x     ___     =  ___ 18 24

18  8 = x  12

12x = 18  8

De vierde evenredige berekenen Vierde evenredige

Definitie

c    x is de vierde evenredige van de getallen a, b, en c ⇔ __   a     =  __ x b x noem je de vierde evenredige omdat x de vierde term is in de evenredigheid. Wat is de vierde evenredige van de getallen 2, 3 en 4? De vierde evenredige stel je voor door x. Schematisch: 2

2  x = 12

x = __   12    2 x = 6

2     =  __ 4     Berekening:  __ opstellen van de evenredigheid x 3 2  x = 3  4 hoofdeigenschap van evenredigheden

VA N

Antwoord: De vierde evenredige van de getallen 2, 3 en 4 is 6. Een middelevenredige berekenen Middelevenredige

Definitie

x    x is een middelevenredige van de getallen a en b ⇔ __   a     =  __ x b

x noem je een middelevenredige omdat de middelste termen in de evenredigheid x zijn. Wat is de middelevenredige van de getallen 4 en 36? De middelevenredige stel je voor door x. Schematisch: 4

4     =  ___ x      Berekening:  __ x 36

opstellen van de evenredigheid

4  36 = x  x

hoofdeigenschap van evenredigheden

144 = x  2 _ _ x = √  144   of x = –√ 144 

x = 12 of x = –12

Antwoord: 12 of –12 is een middelevenredige van de getallen 4 en 36.

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

237

Oefeningen REEKS A

9    2     =  ___ a)  __ 27 6

–4  12    b)  __    =  __ 7 –21

8     =  __ 6    c)  __ –12 –9

Bereken x door de hoofdeigenschap toe te passen. 8     =  __ 2    a)  __ x 12

2     =  ___ x    c)  __ 5 35

2     =  __ x    e)  __ 7 21

3    x     =  __ b)  ___ 4 16

15     =  __ x    d)  ___ 10 4

9    6     =  ___ f)  __ x 24

Pas de hoofdeigenschap toe op de evenredigheid.

VA N

REEKS B 1

Bereken x door de hoofdeigenschap toe te passen.

2 3 4

15    x     =  __ a)  ___ 35 –21

x     =  ___ –21    c)  ___ 24 –36

35  14    e)  ___     =  ___ x 18

5 6

7 8 9

–25  15  b)  ___     =  __    x 65

102     =  __ x    d)  ____ –51 11

30     =  ___ –25 f)  ___      x –72

11 12 13

238

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

Bepaal de vierde evenredige van de volgende getallen. a) –3, 4 en 12

b) 3, 7 en 15

c) –3, –8 en 9

In een klas verhoudt het aantal leerlingen dat een bril draagt zich tot het aantal leerlingen zonder bril als 2 tot 7. Er zijn 14 leerlingen die geen bril dragen. Duid op de bril het glas met de juiste evenredigheid aan.

Bepaal de middelevenredigen van de volgende getallen. a) 4 en 9

b) 5 en 20

c) 3 en 48

In de school van Noone zitten voornamelijk meisjes. Het aantal meisjes tot het aantal jongens verhoudt zich als 5 tot 3. Hoeveel meisjes zitten in de school, als je weet dat er 435 jongens zijn?

VA N

Antwoordzin: 15

Lasse wil zijn vrienden trakteren op een cocktail die bestaat uit vijf eenheden kokosmelk en twee eenheden mangosap. Hij mengt zes flessen kokosmelk van 75 cl met mangosap. Hoeveel flessen van 1 liter mangosap moet hij kopen? Antwoordzin:

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

239

Op een foto van de voorgevel van een huis is de deur 1,5 cm hoog en is de hoogte van het huis 5 cm. De werkelijke hoogte van de deur is 1,95 m. Bereken de werkelijke hoogte van het huis. Antwoordzin:

De breedte en de hoogte van sommige televisietoestellen verhouden zich als 4 : 3. Hoe hoog is een beeldscherm met een breedte van 72 cm?

Antwoordzin:

In het schoolrestaurant verhoudt het aantal vegetarische maaltijden zich tot het aantal niet-vegetarische maaltijden als 2 tot 5. Vandaag eten er in totaal 350 leerlingen in het restaurant. Met welke evenredigheid bereken je hoeveel leerlingen vegetarisch eten? Vink aan.

VA N

r 1 2

x     __   2     =  ____ 5 350

5     __   2     =  ____ x 350

x     __   2     =  ____ 7 350

REEKS C

3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13

240

Bereken x en y. y –16 48 __ ___ ___ a)        =        =        42 x = –63 x

y 24 27 ___ ___ ___ b)        =      =          32 –20 –x x= –y 28 –56 ___ ___ ___ c)        =        =       45 72 x x= HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

x     __   7     =  ____ 2 350

Bereken x. x + 8    4     =  ____ a)  __ 7 49

20    12  c)  __     =  ____ 3 x – 2

7      =  __ 1     e)  ____ x + 7 14

6     =  ____ 4     d)  __ 15 x – 4

x – 9  1    f)  ____     =  __ 99 9

x + 5 7     =  ____ b)  __     3 15

VA N

Hoe verdeel je 360 munten in twee hoeveelheden die zich verhouden als 5 en 7?

Antwoordzin:

De omtrek van een rechthoekig stuk bouwgrond is 140 m. De breedte en de lengte verhouden zich als 3 en 4. Bereken de oppervlakte van het stuk bouwgrond.

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

241

7.3

Evenredige grootheden

7.3.1 Recht evenredige grootheden Voorbeeld Tijdens de veertiendaagse van het Rode Kruis worden elk jaar stickers verkocht. Een sticker kost 5 euro. Twee stickers kosten 10 euro, drie stickers 15 euro ... Hoe meer stickers je koopt, hoe meer je moet betalen. aantal stickers (n)

prijs (p) in euro

quotiënt

5     = 5  __ 1

10   __     = 5 2

15   __     = 5 3

 _______     =  _______     =

VA N

p __        = constant n

Het quotiënt van de prijs en het aantal stickers is constant. Die constante noem je de evenredigheidsfactor. Wanneer de verhouding van twee grootheden constant is, spreek je over recht evenredige grootheden. Het aantal stickers en de prijs zijn recht evenredig. Definitie

Recht evenredige grootheden

Recht evenredige grootheden zijn grootheden waarvan het quotiënt constant is. Het verband tussen die grootheden kun je grafisch voorstellen. Tabel Grafiek 1

Vul de tabel aan.

Teken de punten in het assenstelsel en verbind.

coördinaat

( , )

35 30

( , )

11 12 13

242

Vaststelling

Formule: p = 5  n

10 5 0

n 1

3 4

5 6

9 10

Bij recht evenredige grootheden liggen de roosterpunten op één rechte door de oorsprong.

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

7.3.2 Omgekeerd evenredige grootheden Voorbeeld Vader vult het zwembad van Gilles. Door de kraan van één tuinslang volledig open te draaien, wordt het zwembad van Gilles in 24 minuten gevuld. Hoelang duurt het om het zwembad te vullen als hij twee extra tuinslangen (met eenzelfde debiet) gebruikt? Hoe meer tuinslangen er gebruikt worden, hoe minder tijd er nodig zal zijn om het zwembad te vullen. aantal tuinslangen (n)

tijd (t) in minuten

product

1  24 = 24

2  12 = 24

n  t = constant

Definitie

VA N

Het product van de tijd en het aantal tuinslangen is constant. Wanneer het product van twee grootheden constant is, spreek je over omgekeerd evenredige grootheden. Het aantal tuinslangen en de tijd zijn omgekeerd evenredig. Omgekeerd evenredige grootheden

Omgekeerd evenredige grootheden zijn grootheden waarvan het product constant is.

Het verband tussen die grootheden kun je grafisch voorstellen. Tabel

Grafiek

Vul de tabel aan.

Teken de punten in het assenstelsel en verbind. t

coördinaat

( , )

22 20

( , )

24  t =   ___    Formule: n  t = 24 of n

16 14 12 10 8 6 4 2 0

Vaststelling

n 1

Bij omgekeerd evenredige grootheden liggen de roosterpunten niet op één rechte. HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

243

7.3.3 Niet alle grootheden zijn evenredig

2,5u0k st

Voorbeeld Vader heeft nieuwe scheermesjes nodig. Eén scheermesje kost 2,50 euro. Als hij er drie koopt, krijgt hij een vierde gratis. Hoeveel betaalt hij voor 4 mesjes? Tabel Grafiek Vul de tabel aan. n

2,5

Teken de punten in het assenstelsel en verbind. quotiënt

coördinaat

2,5  ___       = 2,5 1

( , )

22,5 20

5     = 2,5  __ 2

( , )

17,5 15

7,5

7,5  ___     = 2,5   3

( , )

12,5

( , ) ( , )

VA N

 _______     =

 _______     =  _______     =

7,5

2,5

n 3 4

5 6

9 10

( , ) ( , ) ( , )

 _______     =

Het quotiënt van de grootheden is hier duidelijk niet altijd gelijk en de roosterpunten liggen niet op één rechte. Het aantal scheermesjes en de prijs zijn hier niet evenredig. 1 2

Hoe meer zielen, hoe meer vreugd ...

3 4

Hoe sneller je gaat, hoe minder je ziet ...

Hoe vettiger, hoe prettiger ...

7 8 9 10 11 12 13

244

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

Hoe meer bus, hoe meer bos ... Hoe meer geld op zak, hoe meer je uitgeeft ...

Oefeningen REEKS A Meer of minder? Recht (RE) of omgekeerd (OE) evenredig? Vink aan. meer

minder

a) Hoe meer cd’s je koopt, hoe ... je zult moeten betalen.

b) Hoe minder mensen helpen, hoe ... tijd er nodig is om een klus te klaren.

c) Hoe meer mensen van een brood eten, hoe ... elk zal kunnen eten.

d) Hoe minder kilometers je met de wagen rijdt, hoe ... brandstof je wagen nodig zal hebben.

e) Hoe minder toegangskaarten verkocht worden, hoe ... opbrengst er zal zijn.

Zijn de volgende grootheden recht, omgekeerd of niet evenredig? Vink aan. recht evenredig

omgekeerd evenredig

niet evenredig

a) het aantal bezoekers van een concert en de inkomsten van de organisatoren

b) de snelheid waarmee je rijdt en de tijd die nodig is om je bestemming te bereiken

c) het aantal toeschouwers en het inkomgeld van de wedstrijd

d) het aantal erfgenamen en het deel dat elk krijgt

e) het gewicht van een persoon en z’n schoenmaat

f) de oppervlakte van één tegel en het aantal tegels dat nodig is om het terras te betegelen

g) de afmetingen op een plan en de afmetingen in werkelijkheid

h) de tijd die je besteedt aan je toets wiskunde en het aantal punten op 20

i) de loopsnelheid en de hoeveelheid zweet

j) de grootte van een stuk taart dat iedere feestvierder van een taart krijgt en het aantal feestvierders

VA N

REEKS B

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

245

Zijn de grootheden x en y recht (RE), omgekeerd (OE) of niet evenredig (NE)? Kleur in. a)

120

2,5

7,5

OE NE

r f)

1 x

Zijn de grootheden x en y recht evenredig? Vink aan.

VA N

3 4 5

Zijn de grootheden x en y recht (RE), omgekeerd (OE) of niet evenredig (NE)? Kleur in.

7 8 9 10 11 12 13

246

a) y = 4  x

d) x  y = 8

b) y = __   3    x

e) 3  y = x

c) y = 5  x + 3

f) y + 5 = x

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

Een labo doet onderzoek naar auto’s op zonne-energie. Bij welke auto’s zijn de tijd en de afstand recht evenredig? auto

tijd (in sec.)

afstand (in m)

7,5

22,5

112,5

afstand (in m)

0,5

4,5

112,5

Zijn de grootheden recht (RE) of omgekeerd (OE) evenredig? Kleur in. Bereken aan de hand van de formule de ontbrekende waarden. formule

7,5

120

720

y __       = 0,5 x

x  y = 360

x  y = 2,4

3,5

0,6

4,8

De grootheden x en y zijn recht evenredig. Bepaal een evenredigheidsfactor. Stel een formule op en bereken de ontbrekende waarden. x

4,8

216

432

formule

VA N

y __       = 5 x

factor:

formule:

7,5

3,5

0,875

2 255

2 665

1,25

factor:

formule:

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

247

De grootheden in de omschrijving zijn evenredig. Welke formule hoort bij de omschrijving?

x    y =  __ 2

2    y =  __ x

x    y =  __ 3

y = 2  x

y = 3  x

3    y =  __ x

a) Voor zijn verjaardag brengt Jitse voor elke leerling van zijn klas drie mandarijnen mee. x: aantal leerlingen in de klas van Jitse y: aantal mandarijnen dat Jitse moet meebrengen b) Maryam betaalt haar boodschappen met muntstukken van twee euro.

x: prijs van de boodschappen y: aantal muntstukken van 2 euro c) Een pompoen van twee kilogram wordt verdeeld onder een aantal personen.

x: aantal personen y: massa pompoen per persoon (in kg)

d) Een budget voor de jeugdwerking in de stad wordt verdeeld over de drie jeugdbewegingen die in de stad actief zijn.

160 140 120 100 80 60 40 20 0

Het diagram toont de stopafstand van een auto bij het remmen bij een droog en een nat wegdek.

stopafstand in meter

2 3 4

VA N

x: budget voor de jeugdwerking y: bedrag dat elke jeugdbeweging krijgt

bij een droog wegdek bij een nat wegdek

60 70 80 90 100 110 120 snelheid in km/h

a) Hoeveel bedraagt de stopafstand bij een droog wegdek bij een snelheid van 50 km/h?

5 6

7 8

b) Vanaf welke snelheid (op 10 km/h nauwkeurig) bedraagt de stopafstand bij een nat wegdek meer dan 100 m?

9 10 11

c) Is de stopafstand bij een droog wegdek recht evenredig met de snelheid?

12 13

248

d) Is de stopafstand bij een nat wegdek recht evenredig met de snelheid? HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

Vul de tabel aan. Teken de grafische voorstelling. Stel een formule op. a) Het bad wordt gevuld met water. Per minuut stijgt het water 2 cm.

tijd (t) in min.

hoogte (h) in cm

formule:

b) De oppervlakte van een rechthoek bedraagt 60 cm².

formule:

breedte (b) in cm

VA N

lengte (l) in cm

c) Je sportclub organiseert een filmavond. De inkomprijs bedraagt 4 euro per persoon. Per drankje betaal je 2 euro. aantal drankjes (n)

prijs (p) in €

formule:

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

249

REEKS C 34

Zijn de grootheden recht, omgekeerd of niet evenredig? Vul aan en kleur in. a) Je verzamelde met je klas 150 euro voor de studiereis. bedrag aantal klasgenoten per persoon (b) (n)

c) De temperatuur in de woonkamer wordt op verschillende hoogtes gemeten.

controle

0,3 m

20 °C

50 euro

0,5 m

20,5 °C

37,5 euro

21,5 °C

30 euro

22 °C

formule: niet evenredig

recht evenredig

omgekeerd evenredig

1 2

controle

bedrag (b)

6 euro

18 euro

1,5 m

30 euro

42 euro

formule:

omgekeerd evenredig

niet evenredig

controle

2,5 m

recht evenredig

aantal (n)

0,5 m

afgelegde weg (s)

VA N

aantal omwente lingen (n)

omgekeerd evenredig

d) Met de klas steun je de Damiaanactie. Een pakketje stiften kost 6 euro.

b) Het aantal omwentelingen van een fietswiel en de afgelegde weg.

controle

75 euro

recht evenredig

temperatuur (t)

formule:

hoogte (h)

recht evenredig

niet evenredig

omgekeerd evenredig

niet evenredig

4 5 6

De grootheden x en y zijn omgekeerd evenredig. Stel een formule op en bereken de ontbrekende waarden. a)

8 9

12,5

0,25

0,5

formule:

250

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

2 40

16 formule:

0,5 formule:

7.3.4 Vraagstukken op recht evenredige grootheden Voorbeeld Je wilt je tuin wat kleur geven en koopt een aantal bloembollen. In een tuincentrum betaal je voor 20 bloembollen 14 euro. Je buur heeft in dezelfde winkel 12 van die bloembollen gekocht. Hoeveel heeft je buur dan voor 12 bloembollen moeten betalen? Werkwijze aantal bloembollen

kostprijs (in euro)

stap 1: Noteer de twee veranderlijke grootheden uit de opgave.

recht evenredig (RE)

omgekeerd evenredig (OE)

stap 2: Duid aan of het om recht of omgekeerd evenredige grootheden gaat.

aantal bloembollen

kostprijs (in euro)

x x

12  =  __    x

stap 4: Bereken het gevraagde. Bij recht evenredige grootheden is het quotiënt van die grootheden constant.

= 14  12

VA N

20     ___ 14 20  x

stap 3: Stel een schema op. De gegevens schrijf je onder de juiste grootheid. Het gevraagde stel je voor door x.

14  12 =   ______      20 = 8,4

stap 5: Formuleer het antwoord.

Voor 12 bloembollen heeft je buur 8,40 euro betaald.

De regel van drieën

Vraagstukken over recht evenredige grootheden kun je ook met de regel van drieën oplossen. Om voor 8 personen oliebollen te bereiden, heb je 50 g gist nodig. Hoeveel gram gist voorzie je om voor 20 personen oliebollen te maken?

Werkwijze aantal personen 8

aantal gram gist →

50 g

50 g 8

→

· 20

→

50 8

· 20

20 g = 125 g

stap 1: In de linkerkolom noteer je de gegeven grootheid, in de rechterkolom de gevraagde grootheid, met daaronder de gegevens. stap 2: De gegeven grootheid herleid je naar 1 en daarna bepaal je de overeenkomstige waarde voor de gevraagde grootheid. stap 3: Bereken het gevraagde.

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

251

Oefeningen REEKS A 36

Los op. a) Om vier wraps te bereiden, heb je 350 gram gehakt nodig. Hoeveel gehakt moet je verwerken in tien wraps?

Antwoordzin:

b) Josse doet een vakantiejob en verdient op twee weken 436 euro. Hoeveel zal hij na vijf weken verdiend hebben?

d) De wieken van een windmolentje RE draaien in acht minuten 1 568 keer rond. Hoeveel omwentelingen doen de OE wieken in 45 minuten?

Antwoordzin:

5 6

7 8 9

12 13

252

Antwoordzin:

c) Als je drie seconden na de bliksem de donder hoort, dan is het onweer 945 m van je verwijderd. Hoe ver bevindt het onweer zich, als je de donder zeven seconden na de bliksem hoort?

VA N

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

7.3.5 Vraagstukken op omgekeerd evenredige grootheden Voorbeeld 1 De stad Ieper telt ongeveer 15 000 huishoudens. Ieder huishouden krijgt een brief met richtlijnen voor de jaarlijkse rally van Ieper. In het stadhuis staan vier kopieerapparaten, die samen in 27 minuten alle kopieën kunnen maken. Een van de toestellen liet het helaas afweten. Hoelang zal het nu duren om alle kopieën te maken? Werkwijze tijd (in minuten)

recht evenredig (RE)

omgekeerd evenredig (OE)

aantal apparaten

tijd (in minuten)

3  x

= 3  x

stap 2: Duid aan of het om recht of omgekeerd evenredige grootheden gaat. stap 3: Stel een schema op. De gegevens schrijf je onder de juiste grootheid. Het gevraagde stel je voor door x.

= 4  27

stap 4: Bereken het gevraagde. Bij omgekeerd evenredige grootheden is het product van de grootheden constant.

VA N

4  27

stap 1: Noteer de twee veranderlijke grootheden uit de opgave.

aantal kopieerapparaten

4  27 =   _____      3 = 36

Met drie kopieerapparaten zal het 36 minuten duren om alle kopieën te maken.

stap 5: Formuleer het antwoord.

Voorbeeld 2

Gust legt de afstand van thuis naar school af met een snelheid van 27 km/h in 20 minuten. Hoelang doet z’n zus Lotte erover, als ze fietst met een snelheid van 18 km/h?

RE OE

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

253

Oefeningen REEKS A 37

Los op. a) De verzamelreeks van de grootste RE striphelden bestaat uit 12 boxen. In elke box zitten 60 strips. OE Hoeveel strips zou elke box bevatten als het een 15-delige reeks moest worden?

Antwoordzin:

b) Voor het aanleggen van een pad in kasseien hebben vijf arbeiders negen dagen nodig. Hoelang duurt hetzelfde werk met drie arbeiders?

d) Rik heeft voldoende veevoeder RE om 32 koeien 18 dagen te voeren. Hoeveel dagen komt hij toe met dezelfde OE hoeveelheid veevoeder voor 72 koeien?

5 6

7 8

9 10 11

Antwoordzin:

254

Antwoordzin:

VA N

c) Drie personen verdelen de hoofdprijs en winnen elk 175 euro met een wedstrijd uit de krant. Als er zeven winnaars waren, hoeveel zou ieder dan krijgen?

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

REEKS B 38

De vrachtwagen van Silke heeft 45 liter benzine verbruikt na 250 km. Hoeveel verbruikt de vrachtwagen om 10 km af te leggen?

Antwoordzin:

Als er 120 personen naar het optreden komen, moeten de organisatoren minimaal 3,50 euro inkom vragen om uit de kosten te geraken. Hoeveel inkom moeten ze vragen als er maar 100 personen worden verwacht?

Liesbeth gaat op reis en heeft haar spaargeld aangesproken. Als ze 10 dagen op reis wil, mag ze dagelijks maximaal 156 euro spenderen. Hoeveel mag ze per dag uitgeven als ze 12 dagen op reis wil?

VA N

Antwoordzin:

Uit een vat haal je 198 glazen bier van 25 cl. Hoeveel glazen kun je tappen als je glazen van 33 cl gebruikt?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

255

Om een muur van 3,5 m × 2,5 m te schilderen, heb je 3,5 liter verf nodig gehad. Hoeveel verf heb je nu nog nodig om een muur van 1,5 m × 2,5 m te schilderen?

Antwoordzin:

Een schapenkweker heeft momenteel 150 schapen. Met het voeder in de schuur kan hij de schapen nog twaalf dagen van eten voorzien. Hoeveel schapen moet hij verkopen om voor vijftien dagen voldoende eten te hebben?

Antwoordzin:

Een loper heeft drie uur nodig om een afstand af te leggen met een gemiddelde snelheid van 12 km/h. Hoeveel tijd heeft een auto nodig om dezelfde afstand af te leggen met een gemiddelde snelheid van 60 km/h?

VA N

Antwoordzin:

3 4 5 6

Om de bekerfinale voetbal in het Koning Boudewijnstadion te zien, wil de directeur een autobus van 45 plaatsen inleggen. Als de bus helemaal vol zit, moet iedereen 7,60 euro vervoerskosten betalen. Op de dag van de finale haken 7 personen af. Hoeveel moet iedereen meer betalen dan eerst voorzien?

7 8

12 13

256

Antwoordzin: HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

Om een podium op te bouwen, voorziet de podiumbouwer anderhalf uur als er met 6 personen gebouwd kan worden. Hoeveel extra manschappen moet de podiumbouwer zien te vinden om het werk zeker in één uur af te hebben?

Antwoordzin:

Een stok die 1,3 m boven de grond uitsteekt, heeft een schaduw van 85 cm. Wat is de hoogte van een boom die op datzelfde moment een schaduw heeft van 3,35 m? Rond af op 0,01 nauwkeurig.

Antwoordzin:

In een opvangcentrum verblijven 1 345 vluchtelingen. Er is genoeg voorraad voorzien om iedereen 20 dagen eten te geven. Er vertrekken 198 mensen en er komen 22 nieuwe mensen bij. Hoeveel dagen kan men iedereen dan van eten voorzien?

VA N

Antwoordzin:

Waterpomp A heeft een debiet van 125 liter per minuut en pompt een vijver leeg in 4 uur. Wanneer zal pomp B, met een debiet van 80 liter per minuut, de vijver weer gevuld hebben, als het nu 10:20 u is?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

257

De bromfiets van Melissa heeft een benzinetank van negen liter en verbruikt 3,2 liter per 100 km. Na het voltanken heeft ze al 216 km gereden. Hoe ver kan ze nu nog rijden?

Antwoordzin:

REEKS C Een atletiekpiste wordt aangelegd door 12 arbeiders in 33 dagen van 8 werkuren. Hoeveel dagen duurt het werk met 4 extra arbeiders en met voor iedere arbeider werkdagen van 9 werkuren?

Antwoordzin:

Acht kippen leggen acht eieren in acht dagen. Hoeveel eieren leggen zestien kippen in zestien dagen?

1 2

VA N

Antwoordzin:

3 4 5

Vier laserprinters kunnen 384 facturen afdrukken in 12 minuten. Hoeveel minuten duurt het om met zes printers 432 facturen af te drukken?

12 13

258

Antwoordzin: HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

7.4

Toepassingen op recht evenredige grootheden

7.4.1 Schaal Schaalmodellen In Mini-Europa werden bekende Europese gebouwen op schaal nagebouwd. Rechts zie je de Arc de Triomphe in Parijs en links de kleine versie in Mini-Europa.

1,8 m

45 m

50 m

VA N

afmetingen op het schaalmodel schaal = _____________________________            afmetingen in werkelijkheid

Die constante verhouding is de evenredigheidsfactor. In dit geval is dat . Bepaal de ontbrekende afmetingen. afmetingen op het schaalmodel

afmetingen in werkelijkheid

25 m 50 m

1,8 m

Gelijkvormige figuren

Welke foto heeft dezelfde vorm als het origineel? Bepaal de gevraagde verhoudingen.

b  _____ h 1 _____ __ __   1     =                 =        b h

b  _____ h 2 _____ __ __   2      =               =        b h b  _____ h 3 _____ __ __   3      =               =        b h

Wat stel je vast?

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

259

Oefeningen REEKS A 54

Bepaal de gebruikte schaal. a)

origineel schaal

REEKS B Alle maquettes in Mini-Europa zijn gebouwd op schaal 1 : 25. Los de volgende vragen op.

b) Wat is de lengte van het Parthenon, als die lengte in Mini-Europa 2,8 meter bedraagt?

c) Wat is de breedte van de Brandenburger Tor in Mini-Europa, als je weet dat die breedte in werkelijkheid 65 meter bedraagt?

d) Wat is de hoogte van de toren van Pisa in Mini-Europa, als je weet dat die hoogte in werkelijkheid 55 meter is?

e) Wat is de hoogte van het Atomium in Mini-Europa, als je weet dat die hoogte in werkelijkheid 100 meter is?

56 1 2 3

VA N

a) Hoe hoog is de Big Ben, als je weet dat hij in Mini-Europa 3,28 meter hoog is?

In Ieper kun je de Menenpoort, die 40 m breed is, bezichtigen. Blinden en slechtzienden kunnen op een miniatuurversie voelen hoe de Menenpoort eruitziet. De miniatuurversie werd gemaakt in brons op schaal 1 : 50. Hoe breed is de maquette?

4 5 6

Antwoordzin:

7 8 9 10

Het plan van ons huis is getekend op schaal 1 : 50. Op dat plan is onze woonkamer 16 cm lang. Wat is de werkelijke lengte van de woonkamer in m?

11 12 13

260

Antwoord: HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

Is de rechthoek gelijkvormig aan het origineel? Vink aan. Bepaal de schaal bij de gelijkvormige rechthoeken. a)

r ja

r nee

r ja

r nee

r ja

r nee

r ja

r nee

origineel schaal

Je downloadt een afbeelding van het internet met afmetingen 2 040 x 1 360. Is die gelijkvormig met een fotokader van 10 cm op 15 cm?

Antwoordzin:

VA N

REEKS C

Welke balk is een schaalmodel van B1? Vink aan en bepaal de schaal.

r B2

r B3

r B4

r B5

Schaal:

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

261

7.4.2 Constante snelheid Voorbeeld Tijdens de zomervakantie trekken jullie naar het zuiden. Pa rijdt met een constante snelheid van 90 km/h. tijd (t) in uur

afgelegde weg (s) in kilometer

_   s   = constant t

quotiënt _   s    t

VA N

Het quotiënt van de afgelegde weg en de tijd is constant. Die constante is de snelheid (v). Bij een constante snelheid zijn de grootheden ‘afgelegde weg’ en ‘tijd’ recht evenredig. Formule: v = _   s    t Tabel

Grafiek

Vul de tabel aan.

1 2

s in km

coördinaat

( , )

t in uur

Teken de punten in het assenstelsel en verbind.

( , ) 300

( , ) 270

5 6

7 8 9

540

450

3 4

( , ) 180

( , )

10 11

12 13

262

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

( , )

Oefeningen REEKS B

wagen

tijd (in uur)

0,5

1,5

afstand (in km)

150

300

afstand (in km)

100

250

500

afstand (in km)

115

140

350

700

afstand (in km)

135

270

450

900

afstand (in km)

120

180

240

600

1 200

Bij welke van de onderzochte wagens zijn tijd en afstand recht evenredig? Vink aan.

Welke grafieken stellen een constante snelheid voor? Vink aan. a)

VA N

constante snelheid r

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

263

Bepaal van elke fietser de snelheid. s (in km)

be r

Snelheid Amber: Din a

Brec ht

Snelheid Brecht:

60 55 50

Snelheid Cyriel:

ri Cy

Snelheid Dina:

35 30 25 20

10 5

t (in uur)

VA N

Karim doet mee aan een wandeltocht. Het verloop van zijn snelheid vind je in de grafiek. Zijn de uitspraken juist of fout?

s (in km)

45 40 35 30 25

t (in uur) 1

7 8 9 10 11 12 13

264

juist

fout

a) Hij wandelt gedurende drie uur aan precies 5 km/h.

b) Zijn hoogste snelheid is 10 km/h.

c) Hij rust tussendoor anderhalf uur.

d) Zijn gemiddelde snelheid is 5 km/h.

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

7.4.3 Diagrammen Van een maandloon trekt men nogal wat kosten af. Iemand die 2 000 euro bruto verdient, houdt na aftrek van 300 euro sociale lasten en 400 euro belastingen nog 1 300 euro nettoloon over. In een schema ziet dat er als volgt uit: BRUTOLOON

 2 000

NETTOLOON

BELASTING

SOCIALE LASTEN

 1 300

 400

 300

Die gegevens kun je op verschillende manieren voorstellen. SOCIALE LASTEN 300     15     = 15 %  ______ =  ____ 2 000 100

percentage

BELASTING

NETTOLOON

______   400     = _____       = 100 2 000

_____        = _____        = 2 000

Strookdiagram

VA N

strooklengte

Een strookdiagram is een rechthoek waarvan de lengte overeenkomt met 100 %. De rechthoek wordt in stroken verdeeld. De lengte van een strook is evenredig met het procent dat elk gegeven vertegenwoordigt.

brutoloon

15 % van 100 mm is 15 mm

% van 100 mm is mm Cirkeldiagram

15 mm

Een cirkeldiagram is een cirkel waarvan de oppervlakte overeenkomt met 100 %. De cirkel wordt in sectoren verdeeld. De grootte van de middelpuntshoek is evenredig met het procent dat elk gegeven vertegenwoordigt. middelpuntshoek

brutoloon

15% van 360° is 54° % van 360° is °

54° °

15     = _____ Hoeveel sociale lasten moet je betalen als je 1 800 euro verdient?  ____     of euro 100 100 Hoeveel nettoloon houd je over als je een brutomaandloon van 2 450 euro hebt?

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

265

Oefeningen REEKS A 65

Het strookdiagram geeft je de verdeling van de schoolgaande jeugd over de verschillende onderwijsniveaus in Vlaanderen. kleuteronderwijs mm

lager onderwijs

secundair onderwijs hoger onderwijs

a) Welk onderwijsniveau telt het kleinste aantal leerlingen? b) Hoeveel procent van de schoolgaande jeugd zit in het secundair onderwijs? c) In welk onderwijsniveau bevindt zich 20 % van de schoolgaande jeugd?

Op het vliegtuig van Brussel naar Barcelona zitten 240 passagiers. De verschillende nationaliteiten op die vlucht zijn hieronder met een cirkeldiagram voorgesteld. vlucht Brussel - Barcelona

a) Welke twee landen vertegenwoordigen het grootste aantal passagiers?

België

b) Welke reden kun je daarvoor bedenken?

VA N

Spanje

Engeland

Nederland

67 1

REEKS B

De dansschool van Isra heeft tijdens de opendeurdag een aantal nieuwe leden ingeschreven. Ze konden kiezen uit vijf dansstijlen. De verdeling ervan is hieronder in een strookdiagram voorgesteld. Voor de lessen hiphop hebben zich alvast 21 mensen ingeschreven. verdeling dansstijl nieuwe leden

4 5 6

hiphop

breakdance

popping

a) Hoeveel nieuwe leden telt de dansschool?

8 9 10 11 12

b) Hoeveel leden hebben zich voor ballet ingeschreven? c) Wat is het verschil tussen het aantal leden voor ballet en jazz?

266

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

ballet

jazz

In de klas van An zitten 20 leerlingen en in de klas van Bart zitten 25 leerlingen. In beide klassen werd de haarkleur bekeken en in een diagram gezet. 50 %

klas An

30 %

blond haar

20 %

bruin haar

klas Bart

52 %

zwart haar

klas An

klas Bart

a) Welke klas heeft zes leerlingen met bruin haar?

b) In welke klas heeft meer dan de helft van de leerlingen bruin haar?

c) Welke klas heeft vier leerlingen met zwart haar?

d) In welke klas zitten de meeste leerlingen met blond haar?

Welke strook is voor: a) 20 % ingekleurd?

40 %

b) 30 % ingekleurd?

VA N

c) 40 % ingekleurd? d) 50 % ingekleurd?

e) 60 % ingekleurd?

E F

f) 80 % ingekleurd?

REEKS C 70

Aan een aantal chirojongens en chiromeisjes werd gevraagd welke saus ze het liefst bij hun frietjes eten. Er zijn twee meisjes meer dan jongens die voor ketchup kiezen. meisjes

a) Hoeveel jongens kozen voor ketchup, als je weet dat er 30 meisjes werden bevraagd?

jongens

mm mm

cocktail mm

ketchup

b) Hoeveel jongens werden er in totaal bevraagd?

mayonaise

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

267

STUDIEWIJZER Evenredigheden voor de leerling

7.1 Verhouding en evenredigheid KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een verhouding is een quotient dat het verband tussen twee grootheden weergeeft. Een evenredigheid is een gelijkheid van twee verhoudingen.

KUNNEN

–  + –  +

Het verband tussen twee grootheden met een verhouding uitdrukken. Een evenredigheid opstellen. De benamingen van de verschillende termen in een evenredigheid geven.

7.2 Eigenschappen van evenredigheden KENNEN

–  + –  +

In een evenredigheid is het product van de uiterste termen gelijk aan het product van de middelste termen. __   a    = __   c    ⇒ a  d = b  c met b ≠ 0 en d ≠ 0. b d x is de vierde evenredige van de getallen a, b, en c ⇔ __  a    = _   c   . x b

VA N

a x is een middelevenredige van de getallen a en b ⇔ __        = __   x  .  x b

KUNNEN

–  + –  +

De hoofdeigenschap van evenredigheden toepassen. De hoofdeigenschap van evenredigheden bewijzen.

De vierde evenredige berekenen en de middelevenredigen berekenen.

7.3 Evenredige grootheden

KENNEN

–  + –  +

Recht evenredige grootheden zijn grootheden waarvan het quotient constant is. Omgekeerd evenredige grootheden zijn grootheden waarvan het product constant is. 1

Bij recht evenredige grootheden liggen de roosterpunten op één rechte door de oorsprong.

2 3 4 5 6

7 8 9

KUNNEN Het recht evenredig en omgekeerd evenredig zijn van twee grootheden herkennen in het dagelijkse leven en in tabellen. Vraagstukken op recht en omgekeerd evenredige grootheden oplossen. Recht evenredige verbanden tussen grootheden grafisch voorstellen.

7.4 Toepassingen op recht evenredige grootheden KUNNEN Getalwaarden aflezen uit een strook- en cirkeldiagram en ze in hun context interpreteren. De evenredigheidsfactor bepalen bij schaal en constante snelheid.

10 11

Pienter Rekenen

12 13

268

–  + –  +

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

–  + –  +

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

1. Los de futoshiki op. elke rij en elke kolom Vul het raster zo in dat t 7 bevat. alle cijfers van 1 tot en me bolen Houd rekening met de sym r dan (<) ine kle voor groter dan (>) en an. die tussen de vakjes sta g. sin Er is één unieke oplos 7

2. Het getal 6 is een perfe ct getal. De som van al zijn delers behalve zich is het getal zelf zelf (3 + 2 + 1 = 6). Wat is het v olgende perf ecte getal?

VA N

< 5

4 >

> 3 >

> 1

< 4

< 6

op. e vierkant h c is g a m t 3. Los he n met llen 1 tot e ta e g e d t e Z t de som kjes, zoda 9 in de ho rticaal zontaal, ve ri o h l e w o z 15 is. aal telkens als diagon

pompen. 4. Je hebt een vijver en drie uten de vijver leegpompen. Met pomp A kun je in 20 min t het in 15 minuten. Met pomp A en B tegelijk luk t het in 12 minuten. Met pomp A en C tegelijk luk de vijver leeg te pompen, Hoelang zal het duren om n werk laat doen? als je pomp B en C tegelijk hu

HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

269

Problemen uit Kangoeroe en JWO 1.

Nina en Zara doen een wedstrijdje problemen oplossen. Ze krijgen ieder dezelfde 100 problemen. Wie een probleem als eerste of als enige oplost, krijgt 4 punten. Wie een probleem als tweede oplost, krijgt 1 punt. Nina kon 60 problemen oplossen en Zara kon er ook 60 oplossen. Samen hebben ze 312 punten. Hoeveel van de 100 problemen losten de meisjes allebei op? A) r 53

B) r 54

C) r 55

D) r 56

E) r 57

Kangoeroe, editie 2014, Wallabie

2. Het gemiddelde van twee positieve getallen is 30 % kleiner dan het grootste van die getallen. Hoeveel procent is het gemiddelde groter dan het kleinste getal?

B) r 25 %

C) r 30 %

D) r 70 %

VA N

A) r 20 %

E) r 75 %

JWO, editie 2015, tweede ronde

1 2 3

A) r 85

B) r 90

Bachir kleeft 7 dobbelstenen aan elkaar, zoals op de figuur. Telkens kleeft hij een zijvlak op een zijvlak met hetzelfde aantal ogen. Hoeveel ogen staan op de buitenkant van deze ruimtefiguur?

C) r 95

D) r 105

E) r 125

Kangoeroe, editie 2016, Wallabie

4 5 6

7 8 9 10 11

4. Op elke steen van deze muur hoort een natuurlijk getal van 1 tot en met 15. Elk getal komt precies één keer voor. Als een steen op twee andere stenen rust, bevat hij de absolute waarde van het verschil van die twee stenen. Welk getal hoort op de gekleurde steen? A) r 6

B) r 10

12 13

270

JWO, editie 2017, eerste ronde HOOFDSTUK 7 I EVENREDIGHEDEN

C) r 13

3 D) r 14

E) r 15

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

272

8.2 Kenmerk van gelijkbenige driehoeken

280

8.3 Symmetrie in een driehoek

288

8.4 Classificatie van vierhoeken

296

Studiewijzer

299

Pienter problemen oplossen

301

Problemen uit Kangoeroe en JWO

302

VA N

8.1 Eigenschappen van driehoeken

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

271

8.1

Eigenschappen van driehoeken

8.1.1 Som van de hoeken van een driehoek Op onderzoek

De som van de hoeken van een driehoek is . Bewijs tekening

VA N

Eigenschap

Wat stel je vast in verband met de som van de hoeken van een driehoek?

Teken door A de rechte a ⫽ BC. B

∧

5 6

∧

 A  1 +   A  2 +   A  3 = 180° ⇓

∧

 A  3 = C   ∧

∧

 A  1 = B  

∧

   +   A  2 + C   = 180° B

De drie hoeken vormen samen een gestrekte hoek.

besluit De som van de hoeken van een driehoek is .

272

∧

10 11

∧

  A  2 + B   + C  =

bewijs

3 4

te bewijzen

ABC

gegeven

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

8.1.2 Verband tussen hoeken en zijden in een driehoek Op onderzoek Meet de hoeken en de zijden van de gegeven driehoeken. F T

Noteer onder elke hoek de overstaande zijde. ∧

∧

VA N

∧

Kleur in de bovenstaande tabel:

• de grootste hoek en de langste zijde in het geel, • de kleinste hoek en de kortste zijde in het groen. Eigenschap

In een driehoek ligt tegenover een grotere hoek

Opmerking

In een rechthoekige driehoek is

In een stomphoekige driehoek is

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

273

8.1.3 Driehoeksongelijkheid Op onderzoek Teken, indien mogelijk, een driehoek met de volgende gegevens. a) 50 mm, 35 mm en 25 mm

b) 60 mm, 35 mm en 25 mm

c) 70 mm, 35 mm en 25 mm

r groter dan

r gelijk aan

r kleiner dan

De langste zijde is

de som van de lengtes van de twee andere zijden. Eigenschap

De lengte van een zijde van een driehoek is altijd kleiner dan

Voorbeeld

VA N

de som van de lengtes van de twee andere zijden van die driehoek.

| AB | < | AC | + |  CB |

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13

274

| BC | < | AC | <

Die eigenschap staat bekend als de driehoeksongelijkheid. Verklaring Teken de hoogtelijn h uit C op [ AB ]. D is het snijpunt van h en [ AB ].

In de rechthoekige ADC is |  AD | < |  AC |. (verband tussen zijden en hoeken in een driehoek)

In de rechthoekige BCD is |  DB | < |  CB |. (verband tussen zijden en hoeken in een driehoek) Dus is | AD | + |  DB | < |  AC | + |  CB | of | AB |

< |  AC | + |  CB |

Dus in ABC is |  AB | < | AC | + |  CB |. HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

Oefeningen REEKS A 1

Meet de hoeken van de driehoeken. Maak de som van de hoekgroottes. Formuleer daarna de eigenschap die je met deze voorbeelden aantoont. a)

∧

Eigenschap:

∧

N   =

∧

B   =

∧

R   + N   + B   =

∧

R   =

∧

  A   =

∧

P   =

R   +   A   + P   =

Meet de zijden van de driehoeken. Controleer de driehoeksongelijkheid. a)

∧

VA N

R   =

| AR | =

| RM | =

| AR | < |  RM | + |  MA | :

| MA | =

| RM | < | AR | + |  MA | : | MA | < |  AR | + |  RM | :

| BI | =

| BI | < |  IL | + |  LB | :

I B

| IL | =

| LB | =

| IL | < |  LB | + | BI | : | LB | < |  BI | + |  IL | : HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

275

REEKS B 3

Bepaal de derde hoek zonder te meten. a)

b) 25° 80°

35°

55°

Rangschik de hoeken van klein naar groot zonder te meten. a)

VA N

4,5 cm

6 cm

4 cm

4,5 cm

5 cm

< <

1 2

< <

Juist of fout?

juist

fout

a) een hoek van 55°, een hoek van 65° en een hoek van 75°.

b) een zijde van 4 cm, een zijde van 5 cm en een zijde van 6 cm.

c) twee stompe hoeken.

d) drie zijden van 8 cm.

e) een hoek van 120°, een zijde van 8 cm en een zijde van 6 cm.

f) meer dan één scherpe hoek.

g) een zijde van 9 cm en twee zijden van 43 mm.

h) maar één scherpe hoek.

4 5 6 7

Er bestaat een driehoek met

276

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

Bereken de derde hoek van de driehoek COB. ∧

∧

100°

26°

52°

78°

90°

150°

∧

17°

39°

156°

43°

23°

18°

∧

80° 39°

80°

63°

Teken, indien mogelijk, de driehoek USB. b) | US | = 3 cm, | SB | = 4 cm en | BU | = 5 cm

a) | US | = 4 cm, U    = 60° en B    = 40°

∧

VA N

∧

Bepaal telkens de gevraagde hoek. a)

ROK

|  RO | = 3 cm | OK | = 4 cm |  KR | = 5 cm

Kleur het vakje met de grootste hoek. ∧

∧

DAS | DA | = 8 cm |  AS | = 5 cm |  SD | = 9 cm

Kleur het vakje met de op een na grootste hoek. ∧

∧

PET

| PE | = 17,5 cm | ET | = 13,8 cm | TP | = 19,5 cm

Kleur het vakje met de kleinste hoek.

∧

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

277

Bereken de gevraagde hoeken. a) ∧

C   1 =

60°

∧

C   2 =

∧

 E   1 =

∧

 E   2 =

30°

∧

 F   =

b) ∧

N   =

148° N

VA N

1 2

112°

37° 1

∧

R   2 =

Begrens de lengte van [ AB ]op 1 mm nauwkeurig.

b) | BC | = 8,2 cm en | CA | = 5,2 cm

Q   =

a) | BC | = 4 cm en | CA | = 5 cm

∧

O   2 =

∧

O   1 =

⇒ ⇒

< | AB | < < | AB | <

5 6 7

Kleur de waarde die het dichtst de correcte waarde van | AB | benadert. a) ABC met   A   = 40° en B    = 50°. | BC | = 7 cm en | AC | = 10 cm. ∧

8 9 10 11 12

b) ABC met B    = 49° en C    = 58°. | BC | = 76 mm en | AC | = 60 mm. ∧

∧

c) ABC met   A   = 100° en C    = 40°. | BC | = 89 mm en | AC | = 58 mm. ∧

278

∧

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

∧

4 cm

8 cm

12 cm

50 mm

70 mm

90 mm

38 mm

58 mm

98 mm

∧

In de GSM is GT een bissectrice. T ligt op [ MS ] en T    1 < T   2, G   = 48° en M   = 73°. Maak een schets. Bereken de gevraagde hoeken.

∧

 S   =

∧

G   1 =

G   2 =

∧

T   1 =

∧

T   2 =

REEKS C Vul aan.

VA N

Een buitenhoek van een driehoek is een hoek die gevormd wordt door een zijde en het verlengde van een andere zijde. Elke driehoek heeft buitenhoeken.

Meet de binnenhoeken en de buitenhoeken van de driehoek hiernaast. Welk verband vind je?

In een driehoek is de hoekgrootte van een buitenhoek gelijk aan tekening

bewijs (som van de hoeken in een driehoek) (nevenhoeken)

2 1

      

⇓

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

279

8.2

Kenmerk van gelijkbenige driehoeken

8.2.1 Gelijkbenige driehoeken Voorbeelden

Definitie

VA N

Gelukkig heb ik twee even lange benen. Anders was deze driehoek niet gelijkbenig.

Gelijkbenige driehoek

Een gelijkbenige driehoek is

Benamingen

2 3

F is

∧

 F   is

[ FU ] en [ FN ] zijn

[UN ] is

5 6 7

8 9 10 11

F ∧

280

∧

   en N U    zijn

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

8.2.2 Eigenschap van gelijkbenige driehoeken Op onderzoek Teken de twee driehoeken. Meet daarna de hoeken. ONE met twee zijden van 5 cm

Als een driehoek gelijkbenig is, dan

Eigenschap

TWO met twee zijden van 4 cm

Bewijs

gegeven

tekening ∧

VA N

Teken de bissectrice b van de tophoek  A  . D is het snijpunt van [ BC ]en b.

ABC | AB | = |  AC | te bewijzen ∧

∧

B   = C  

bewijs



verklaring



def. ≅ 

Volgens kenmerk is  ≅  ⇒ = besluit

Als een driehoek gelijkbenig is, dan

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

281

8.2.3 Omgekeerde eigenschap van gelijkbenige driehoeken Op onderzoek Teken de twee driehoeken. Meet daarna de zijden. ONE met twee hoeken van 70°

Als twee hoeken van een driehoek even groot zijn, dan

Eigenschap

TWO met twee hoeken van 45°

Bewijs

gegeven

tekening ∧

VA N

Teken de bissectrice van  A  . Noem het snijpunt met de zijde [ BC ] het punt D.

1 2

∧

te bewijzen | AB | = | AC |

ABC B   = C  

∧

bewijs

3 4 5 6 7

8 9 10 11

 

verklaring

Volgens kenmerk is  ≅  ⇒ = besluit

12 13

282

def. ≅ 

Als twee hoeken van een driehoek even groot zijn, dan HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

8.2.4 Kenmerk van gelijkbenige driehoeken De eigenschap en de omgekeerde eigenschap van gelijkbenige driehoeken vat je samen in het kenmerk van gelijkbenige driehoeken. Kenmerk

Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als twee hoeken van de driehoek even groot zijn.

8.2.5 Gelijkzijdige driehoeken Definitie

Gelijkzijdige driehoek Een gelijkzijdige driehoek is Gelijkzijdige driehoeken zijn ook gelijkbenig. Het kenmerk van gelijkbenige driehoeken is dus ook van toepassing op gelijkzijdige driehoeken. Als in een driehoek de drie hoeken even groot zijn, dan is die driehoek gelijkzijdig.

Als in een driehoek de drie zijden even lang zijn, dan zijn de drie hoeken even groot.

VA N

Eigenschap

tekening

| AC | = | BC | ⇓ ABC is gelijkbenig ⇓  A   = B  

| AB | = |  AC | ⇓ ABC is gelijkbenig ⇓ B     = C  

∧

Kenmerk

∧

 A   = B   = C  

∧

 A   = C   ⇓ ABC is gelijkbenig ⇓

∧

      ∧

bewijs

∧

   =   A   B ⇓ ABC is gelijkbenig ⇓

     

= =

Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de drie hoeken van de driehoek even groot zijn.

Hoe groot zijn de hoeken van een gelijkzijdige driehoek?

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

283

Oefeningen REEKS A 14

Duid, zonder te meten, de gelijke hoeken aan met eenzelfde merkteken. Verklaar je werkwijze. a)

b) A

Verklaring:

Bepaal, zonder te meten, welke driehoeken gelijkbenig zijn.

VA N

61°

40°

r gelijkbenig r ongelijkbenig

45°

59°

60°

100°

40°

c) 90°

45°

r gelijkbenig r ongelijkbenig

2 3

REEKS B

4 5 6 7

Bepaal de hoeken zonder te meten. a)

70°

94°

12 13

284

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

Bereken de gevraagde hoeken van de gelijkbenige driehoek ELF met basis [ EL ]. ∧

∧

a) b)

40°

∧

90°

50°

∧

50°

Bereken de gevraagde hoeken van de gelijkbenige driehoek ZES. met basis [ ES ]

met basis [ ZE ]  Z  

36°

∧

Teken

∧

36°

∧

c) een gelijkbenige driehoek met een been van 5 cm en een basishoek van 60°.

VA N

a) een gelijkbenige driehoek met een basis van 45 mm en een basishoek van 65°.

∧

b) een gelijkbenige driehoek met een tophoek van 70° en een basis van 5 cm.

d) een gelijkbenige rechthoekige driehoek met een schuine zijde van 6 cm.

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

285

Juist of fout? juist

fout

a) Een gelijkbenige driehoek kan rechthoekig zijn.

b) Sommige stomphoekige driehoeken zijn gelijkbenig.

c) Alle gelijkbenige driehoeken hebben gelijke, scherpe basishoeken.

d) Een gelijkbenige driehoek kan drie scherpe hoeken hebben.

e) Een driehoek met twee hoeken van 57° is gelijkbenig.

Bereken de gevraagde hoeken. ∧

 A   = B

VA N

 E   =

∧

 F   = ∧

T    =

∧

C    = ∧

115°

∧

B    =

∧

 A  2 =

50°

52°

∧

 F  1 =

5 6

∧

52° 1

8 9

65° E

 E   = ∧

 L  2 =

10 11 12 13

286

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

Bepaal x zonder te meten. a)

De rechten a en b zijn evenwijdig. Bereken de grootte van de aangeduide hoeken. a

VA N

50°

Teken

a) een gelijkbenige driehoek met een basis van 4 cm waarvan de tophoek een buitenhoek heeft van 140°.

44°

REEKS C 24

b) een gelijkbenige driehoek met een basis van 4 cm waarvan een basishoek een buitenhoek heeft van 140°.

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

287

8.3

Symmetrie in een driehoek

8.3.1 Merkwaardige lijnen in een gelijkbenige driehoek Op onderzoek Teken de gevraagde merkwaardige lijnen in de onderstaande driehoeken: • • • •

de hoogtelijn h uit het hoekpunt A in het blauw, de middelloodlijn m van de zijde [ BC ]in het zwart, de zwaartelijn z uit het hoekpunt A in het groen, de deellijn d van de hoek  A   in het rood. ∧

ABC is ongelijkbenig.

ABC is gelijkbenig.

Eigenschap

VA N

In een gelijkbenige driehoek zijn • •

• •

samenvallende rechten. 1 2

Teken alle hoogtelijnen, middelloodlijnen, zwaartelijnen en deellijnen in de driehoek. A

3 4 5 6 7

8 9

10 11 12 13

288

Wat stel je vast? In een gelijkzijdige driehoek kun je elke hoek als tophoek beschouwen. De eigenschap geldt dus voor elke merkwaardige lijn van een gelijkzijdige driehoek. HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

8.3.2 Symmetrie in een gelijkbenige driehoek Op onderzoek Teken alle symmetrieassen in de volgende driehoeken. ongelijkbenige driehoek A

gelijkbenige driehoek

gelijkzijdige driehoek

Eigenschap

In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn uit de top de symmetrieas van de driehoek.

gegeven

VA N

tekening

te bewijzen h is de symmetrieas van ABC.

ABC |  AB | = | AC | h is de hoogtelijn uit de top A.

bewijs

sh(A) = A

A ligt op de spiegelas h.

sh(B) = C

In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn uit de top ook middelloodlijn van de basis.

sh(C) = B

In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn uit de top ook middelloodlijn van de basis.

          ⇓

sh(ABC) = ACB ⇓

h is symmetrieas van ABC. besluit In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn uit de top de symmetrieas van de driehoek. In een gelijkzijdige driehoek kun je elke zijde als basis zien. Er zijn dus drie symmetrieassen.

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

289

Oefeningen REEKS A 25

Teken de gevraagde merkwaardige lijnen. Zet de passende merktekens op de tekening. a) de middelloodlijn van de basis

c) de deellijn van de tophoek K

A N

b) de zwaartelijn uit de top

d) de hoogtelijn uit de top

VA N

Teken, indien mogelijk, de symmetrieassen van de volgende driehoeken.

a) 1

2 3 4

5 6

8 9

10 11 12

290

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

REEKS B 27

Teken de deellijn d van de tophoek van de driehoeken zonder een hoek te meten of een passer te gebruiken. a)

Bewijs de eigenschap.

tekening

VA N

In een gelijkbenige driehoek is de deellijn van de tophoek ook de zwaartelijn uit de top.

gegeven ABC met |  AB | = |  AC | d is deellijn van  A  . d snijdt BC in D. ∧

te bewijzen C

d is zwaartelijn uit A.

bewijs besluit d gaat door A en door het midden van de overstaande zijde [ BC ]en is dus zwaartelijn uit A.

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

291

Teken een ABC met de rechte s als symmetrieas. Noteer bij elke oefening hoeveel mogelijke oplossingen er zijn. a)

c) s

A A

aantal oplossingen:

aantal oplossingen: d)

VA N

s A

1 2 3

aantal oplossingen:

Teken een gelijkbenige ABC met A als top en met de rechte s als symmetrieas. Noteer telkens hoeveel mogelijke oplossingen er zijn. a)

8 9 10 11 12 13

292

aantal oplossingen: HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

aantal oplossingen:

Bereken de gevraagde hoeken. | MG | = |  MI |en de basishoeken van GIM zijn 66°. M

∧

    = M

∧

 A   =

∧

 S  1 =

T 1

∧

 S  2 =

∧

T    =

Bewijs de eigenschap.

In een gelijkbenige driehoek is de deellijn van de tophoek ook de middelloodlijn van de basis. tekening

gegeven

te bewijzen d is middelloodlijn van [ BC ].

bewijs

∧

VA N

ABC met |  AB | = |  AC | d is deellijn van  A  . d snijdt BC in D.

besluit d gaat door het midden van de zijde [ BC ]en staat loodrecht op de zijde [ BC ]. d is dus middelloodlijn van de zijde [ BC ].

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

293

Teken en bereken. a) een gelijkbenige driehoek ABC met tophoek   A  = 56° Teken de deellijn van C   , die AB snijdt in D.

b) een gelijkbenige driehoek ABC met basishoeken   A   en B   van 70° Teken de hoogtelijn uit B   , die AC snijdt in D.

∧

C B  D =

C D  A = 34

∧

Teken.

b) Teken een gelijkbenige driehoek MOS met top O en met een been van 4 cm. De zwaartelijn naar [ MS ] snijdt MS in T. |  OT | = 3 cm.

VA N

a) Teken een gelijkbenige driehoek SOM met basis [ OM ] en |  OM | = 5 cm. De deellijn van de tophoek snijdt OM in T. |  ST | = 4 cm.

1 2 3 4 5

Juist of fout?

juist

fout

a) Er zijn driehoeken die geen symmetrieas hebben.

b) Er zijn gelijkbenige driehoeken die meer dan één symmetrieas hebben.

c) Er zijn gelijkzijdige driehoeken met maar één symmetrieas.

8 9 10 11 12 13

294

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

Bewijs de eigenschap. In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn op de basis ook de zwaartelijn uit de top. tekening

gegeven

te bewijzen

bewijs

VA N

besluit

In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn op de basis ook de zwaartelijn uit de top.

REEKS C 37

Is het mogelijk om een driehoek te tekenen met de gegeven symmetrieassen? a)

r ja r nee

Verklaring:

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

295

8.4 Classificatie van driehoeken Vul de tabel aan. Teken, indien mogelijk, in elke lege cel een passende driehoek. zijden gelijkbenige driehoek (twee even lange zijden)

gelijkzijdige driehoek (drie even lange zijden)

VA N

rechthoekige driehoek (één rechte hoek)

hoeken

scherphoekige driehoek (drie scherpe hoeken)

ongelijkbenige driehoek (geen even lange zijden)

stomphoekige driehoek (één stompe hoek)

2 3 4 5 6 7

8 9

geen symmetrieassen

10 11 12

symmetrieassen

296

één symmetrieas

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

drie symmetrieassen

Oefeningen REEKS A Geef de meest passende benaming voor de driehoeken die op de vlaggen aangeduid zijn. c) Jamaica

volgens de hoeken

volgens de zijden

b) Cuba

d) de Seychellen

volgens de hoeken

volgens de zijden

a) Eritrea

VA N

REEKS B 39

Driehoeken en verzamelingen a) Plaats de juiste benaming van de verzamelingen bij het venndiagram.

... is de verzameling van alle …

driehoeken

gelijkbenige driehoeken

gelijkzijdige driehoeken

b) Plaats de letters van de driehoeken op de juiste plaats in het venndiagram.

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

297

rechthoekig

stomphoekig

ongelijkbenig

gelijkbenig

gelijkzijdig

Duid alle juiste benamingen voor de omschreven driehoek aan.

scherphoekig

a) drie zijden van 6 cm.

b) een hoek van 100° en twee zijden van 3 cm.

c) twee hoeken van 60°.

d) een zijde van 8 cm en twee zijden van 41 mm.

e) twee hoeken van 45°.

f) een hoek van 40°, een hoek van 60° en een hoek van 80°.

g) twee hoeken van 50°.

Teken

VA N

Een driehoek met

c) een driehoek met één symmetrieas en een rechte hoek.

a) een driehoek met drie symmetrieassen en een zijde van 3 cm.

2 3 4 5

b) een driehoek met één symmetrieas en een stompe hoek.

6 7

8 9 10 11 12 13

298

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

d) een driehoek zonder symmetrieassen en met een rechte hoek.

STUDIEWIJZER Driehoeken voor de leerling

8.1 Eigenschappen van driehoeken KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

De som van de hoeken in een driehoek is 180°. In een driehoek ligt tegenover een grotere hoek een langere zijde, en omgekeerd. De lengte van een zijde van een driehoek is altijd kleiner dan de som van de lengtes van de twee andere zijden van die driehoek.

KUNNEN

–  + –  +

De eigenschap van de som van de hoeken van een driehoek bewijzen. De derde hoek in een driehoek berekenen als de andere twee gegeven zijn. De driehoeksongelijkheid verklaren. De hoeken van een driehoek rangschikken als de zijden gegeven zijn.

8.2 Kenmerk van gelijkbenige driehoeken

Driehoeken tekenen die aan gegeven voorwaarden voldoen.

KENNEN Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met ten minste twee even lange zijden.

–  + –  +

VA N

Als een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken even groot.

Als twee hoeken van een driehoek even groot zijn, dan is die driehoek gelijkbenig. Een driehoek is gelijkbenig als en slechts als twee hoeken van de driehoek even groot zijn.

Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met drie even lange zijden.

Een driehoek is gelijkzijdig als en slechts als de drie hoeken van de driehoek even groot zijn.

KUNNEN

–  + –  +

De verschillende zijden en hoeken in een gelijkbenige driehoek benoemen. De eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek bewijzen. De omgekeerde van de eigenschap van de basishoeken van een gelijkbenige driehoek bewijzen. De omgekeerde van de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek gebruiken om te onderzoeken of een driehoek gelijkbenig is. De eigenschap van de hoeken in een gelijkzijdige driehoek bewijzen. De eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek gebruiken om ontbrekende hoeken in een figuur te bepalen. Driehoeken tekenen die aan gegeven voorwaarden voldoen.

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

299

voor de leerling

8.3 Symmetrie in een driehoek

voor de leerkracht

KENNEN

–  + –  +

KUNNEN

–  + –  +

In een gelijkbenige driehoek worden: • de hoogtelijn uit de top, • de middelloodlijn van de basis, • de zwaartelijn uit de top, • de deellijn van de top, voorgesteld door dezelfde rechte. In een gelijkbenige driehoek zijn: • de hoogtelijn uit de top, • de middelloodlijn van de basis, • de zwaartelijn uit de top, • de deellijn van de top, de symmetrieas van de driehoek.

Eigenschappen over merkwaardige lijnen in een gelijkbenige driehoek bewijzen. Eigenschappen over symmetrie in een driehoek bewijzen. Merkwaardige lijnen in (gelijkbenige) driehoeken tekenen. Symmetrieas(sen) in (gelijkbenige) driehoeken tekenen.

Driehoeken tekenen waarvan de symmetrieas gegeven is.

Driehoeken tekenen die aan gegeven voorwaarden voldoen.

VA N

8.4 Classificatie van driehoeken

KENNEN

–  + –  +

Driehoeken classificeren op basis van de eigenschappen van zijden en hoeken. Driehoeken classificeren op basis van het aantal symmetrieassen.

KUNNEN

De meest passende benaming geven voor een driehoek volgens de hoeken.

De meest passende benaming geven voor een driehoek volgens de zijden. Driehoeken tekenen die aan gegeven voorwaarden voldoen.

Pienter Rekenen

2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13

300

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

–  + –  +

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑

❑ filter

concreet materiaal

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑

❑ ...

gok verstandig

logisch nadenken

tal dat deelbaar is 1. Wat is het kleinste ge en 9? door 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2. Verdeel de veelhoeke n telkens in

VA N

vier congrue nte

figuren.

eken?

ts van het vraagt

ort op de plaa 3. Welk getal ho

4. Op beide

tekeningen ga

at het om dez

elfde tafel. Ho

e hoog is die ta

fel?

170 cm 130 cm

HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

301

Problemen uit Kangoeroe en JWO 1.

Een grote rechthoek bestaat uit 9 gelijke rechthoekjes. De lengte van de rechthoekjes is 10 cm. Wat is de omtrek van die grote rechthoek? 10 cm

A) r 44

B) r 64

C) r 76

D) r 80

E) r 90

Kangoeroe, editie 2018, Wallabie

2. Hoeveel natuurlijke getallen van drie cijfers bestaan er die deelbaar zijn door hun eerste cijfer?

B) r 272

C) r 277

D) r 281

VA N

A) r 265

E) r 286

JWO, editie 2018, eerste ronde

1 2 3

3. Louise oefent haar vrije worp bij basketbal. • Na 20 worpen zegt haar coach: 'Tot nu toe ging 55 % van de worpen door de ring.' • Na 25 worpen zegt haar coach: 'Tot nu toe ging 56 % van de worpen door de ring.' Hoeveel van de laatste 5 worpen gingen door de ring?

A) r 1

B) r 2

C) r 3

D) r 4

E) r 5

Kangoeroe, editie 2019, Wallabie

4 5 6 7

8 9

4. In de figuur zie je een grote cirkel met middelpunt M en een kleine cirkel met middelpunt N. Het punt N ligt op de middellijn [ AB ] van de grote cirkel. De kleine cirkel verdeelt [ AB ] in drie lijnstukken met lengte 10, 16 en 2. Waaraan is | MN | gelijk?

A 10

M 16

N 2

10 11

A) r 1

B) r 2

12 13

302

JWO, editie 2019, tweede ronde HOOFDSTUK 8 I DRIEHOEKEN

C) r 3

D) r 4

E) r 5

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

304

9.2 Vergelijkingen

306

9.3 Formules

321

Studiewijzer

328

Pienter problemen oplossen

329

Problemen uit Kangoeroe en JWO

330

VA N

9.1 Gelijkheden

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

303

9.1

Gelijkheden 7 + 9 = 16 5 + 7 = 15 – 3 32 = 64 : 2

6  3 = 18 3  2 = 4 + 2 16 : 4 = 8 – 4

Al deze uitspraken noem je gelijkheden. Bij een gelijkheid is de waarde van het deel voor het gelijkheidsteken gelijk aan de waarde van het deel achter het gelijkheidsteken.

5+7

15 – 3

Benamingen Een gelijkheid bestaat uit twee delen.       5  + 7         =     15 – 3      ⏟ ⏟ eerste lid      tweede   lid    linkerlid rechterlid

5 + 7 = 15 – 3 en (5 + 7) + 8 = (15 – 3) + 8

Eigenschap 1

Eigenschap

VA N

a=b ⇔ a+c=b+c

Gelijkheid met termen

5  2 = 10 en (5  2) – 7 = 10 – 7

a=b ⇔ a–c=b–c

Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt of aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan.

Eigenschap 2

6–1=3+2 en (6 – 1)  2 = (3 + 2)  2

a = b ⇔ a : c = b : c met c ≠ 0

a = b ⇔ a  c = b  c met c ≠ 0

2 3 4

17 – 9 = 8 en (17 – 9) : 4 = 8 : 4

Eigenschap

Gelijkheid met factoren

Als je beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde van nul verschillend getal, dan blijft de gelijkheid bestaan.

5 6

Opmerking

9 10 11

18 : 3 = 3 + 3 en 3 + 3 = 18 : 3

5 + 7 = 15 – 3 en 15 – 3 = 5 + 7

Vaststelling

Bij een gelijkheid mag je beide leden van plaats verwisselen.

12 13

304

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

a = b ⇔ b = a

Oefeningen REEKS A 1

Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt. a) 17 + 3 = 5 +

b) 7  (–3) = 2 –

e) 36 : (–9) = – 7

c) 8 – = –7  2 d)   4 = 16 – 4

f)   7 = –28 : 2

REEKS B Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt. a) 2,5 + = 1,25 + 9 + 1,25

1   = (0,65 + 1,05)   __ 1    b) (1 + )   __ 2 2 Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt.

– 3  – 3  d) (16 + 7) – ( ___  )  = (25 – ) – ( ___  )  7 7

VA N

5 + 7 1666 6 – 4 c)  _____    =  _________      3 3

a) 2,5 + = 17,8

d) 13 – 17 = 2 

b) 50 – = 21 : (–3)

e) 16 + = –64 : 8

f) –(–15) + = ___   60    2

23  c) 8 – __   1    =  ___    + 3 6

REEKS C 4

Vul aan zodat je een gelijkheid verkrijgt. Formuleer de gebruikte eigenschap. eigenschap a) 7 + = 3 + 4 + 8

3     __ 3     (1 +  b)  __   1    + __   3    =  __ 4 ( 2 2 ) 4

)

3    = 4  3    c) 2  8 –  __ –  __ 4 4

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

305

9.2

Vergelijkingen

9.2.1 Vergelijkingen Vergelijking

Definitie

Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend getal. Meestal gebruik je de letter x om het onbekende element voor te stellen. Een vergelijking oplossen betekent dat je de waarde voor de onbekende x zoekt. De vergelijking x – 9 = –16 heeft als oplossing x = –7, omdat –7 – 9 = –16.

9.2.2 Even herhalen

Vergelijkingen van de vorm x + a = b

Vergelijkingen van de vorm ax = b (a ≠ 0) Overbrengen van factoren

Overbrengen van termen

Vermenigvuldigen in het ene lid wordt delen in het andere lid, en omgekeerd.

Optellen in het ene lid wordt aftrekken in het andere lid, en omgekeerd.

Voorbeelden

Na een korting van € 15 kost je nieuwe T-shirt nog € 38. Hoeveel kostte het T-shirt eerst?

Op een fuif krijgt Nabil voor € 15 zes drankjes. Hoeveel kost één drankje?

• keuze van de onbekende

x  a = b wordt x = b : a x : a = b wordt x = b  a

VA N

x + a = b wordt x = b – a x – a = b wordt x = b + a

• opstellen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

9 10

• controle

• antwoordzin

306

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

9.2.3 Vergelijkingen van de vorm ax + b = c met a ≠ 0 Voorbeeld 1

Tijdens een optocht in een safaripark zie je een stoet olifanten. Elke olifant houdt de staart van de vorige vast. In het midden van de stoet is er een bord van 7 m vastgemaakt aan de staart van de ene olifant en de slurf van de volgende. Elke olifant is 3 m lang. Hoeveel olifanten lopen er mee als de hele stoet 31 m lang is?

• keuze van de onbekende x = het aantal olifanten

3  x + 7 = 31

VA N

• opstellen van de vergelijking

Werkwijze

• oplossen van de vergelijking 3x + 7 = 31 3x = 31 – 7 3x = 24 x = 24 : 3 x=8

a) Breng de bekende termen naar hetzelfde lid. b) Reken dat lid uit. c) Breng de bekende factor naar het andere lid. d) Bereken de onbekende.

• controle

3  8 + 7 = 24 + 7 = 31

• antwoordzin

Er lopen 8 olifanten mee in de stoet.

Voorbeeld 2

Voorbeeld 3

Voorbeeld 4

–5 + x = 7

6x = –24

2x + 6 = 12

Controle:

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

307

Oefeningen REEKS A Los de vergelijkingen op. a) –7 + x = –12

b) x + 2,5 = –3,6

3    c) x – __   4   = – __ 5 4

Controle:

a) –3x = 24

1  x  = 6 c) – __ 2

b) x : (–5) = 8

Los de vergelijkingen op.

Controle:

a) 2x + 1 = 7

c) 9x – 12 = 69

e) 5x – 2 = 13

1 2 3

REEKS B 7

VA N

Controle:

Los de vergelijkingen op.

4 5 6 7 8

9 10

Controle:

b) 2x – 4 = 14

d) 15 + 3x = 36

f) 3x + 18 = 51

11 12 13

308

Controle: HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

Controle:

Los op. a) Als je een getal vermindert met 36, verkrijg je –15. Wat is dat getal? • keuze van de onbekende

• keuze van de onbekende

• opstellen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• controle

b) In een driehoek is een hoek 38° en een andere hoek 55°. Bepaal de grootte van de derde hoek.

• keuze van de onbekende

• antwoordzin

VA N

• antwoordzin

c) Zeven twaalfden van een getal is 14. Wat is dat getal?

d) Een rechthoek is 15 m lang. Hoeveel meter is de breedte, 2 als de oppervlakte 90 m  bedraagt? • keuze van de onbekende

• opstellen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• controle

• antwoordzin

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

309

Dit kun je al:

Maar je kunt ook:

3    1    =  __ x +  __ 2 4 3    –  __ 1    x =  __ 4 2 3    –  __ 2    x =  __ 4 4 1    x =  __ 4

Vaststelling

3    1    =  __ x +  __ 2 4 3    2    =  __ ___   4x    +  __ 4 4 4 4x + 2 = 3

4x = 3 – 2 4x = 1 1    x =  __ 4

Als je elke term van het linker- en rechterlid op gelijke noemer zet, dan mag je die noemer weglaten. Los de vergelijkingen met de nieuw aangeleerde manier op. 5    1    =  __ a) x –  __ 6 12

2    =  __ 1    b) –3x –  __ 3 4

–8  2     – 2x =  ___ e)  __    7 14

VA N

3    x –  __ 13  3    d)  __    =  __ 5 2 2

2 3 4 5 6 7

– 3  x    +  __ 1    =  ___ c)  __    5 3 2

5  x  –  ___ 5    1    =  __ f)  __ 4 12 6

9 10 11 12 13

310

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

Los de vergelijkingen op. a) 2x + 3 = 4

g) –x + 7 = 13

b) 0,5x – 3,2 = 4,8

e) 5,26 – 3x = 28,36

h) 5,1 = 1,8 + 0,3x

3    x  +   __ 5       = –   __ 2     f)   __ 5 9 3

–8      = 2x  –  __ 3     i)    __ 3 4

VA N

3      =   __ x   –   __ 2     c)  __ 7 2 14

d) 8 = 3x + 2

Het negenvoud van een getal verminderd met 14 is –32. Wat is dat getal?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

311

Als je de helft van een getal met 9 vermindert, krijg je –47. Wat is dat getal?

Antwoordzin:

De omtrek van de figuur bedraagt 72 m. Bereken de waarde voor x. 7m

x 7m

Antwoordzin:

Bepaal telkens de massa (in kg) van één goudklomp. Stel voor elke balans een vergelijking op en los die op. a)

VA N

2 3 4 5

2 2 2 4 4 1

2 GOUD x = ? GOUD x = ?

6 GOUD x = ? GOUD x = ? GOUD x = ?

6 6 6

6 7 8

vergelijking:

vergelijking oplossen:

9 10 11 12 13

312

weegt HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

weegt

Voor elke deling met natuurlijke getallen geldt D = d  q + r. Bereken met behulp van een vergelijking het quotiënt (q), als je weet dat het deeltal (D) 1 029 is, de deler (d) 14 is en de rest (r) 7 is.

Antwoordzin:

Een plank van 2,30 m zaag je in zeven gelijke stukken. Je houdt nog 6 cm over. Hoe lang zijn de gelijke stukken?

VA N

Antwoordzin:

REEKS C 17

In een gelijkbenige driehoek meet een been 6 cm langer dan de basis. Hoe lang zijn de zijden van die gelijkbenige driehoek, als de omtrek 207 cm is?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

313

9.2.4 Vergelijkingen die te herleiden zijn tot de vorm ax + b = c Voorbeeld 1

Voorbeeld 3

Los de vergelijking op.

3x + 5 = 2x

6 – (x + 3) = 12

Controle:

Voorbeeld 2

Voorbeeld 4

Papa is een kwarteeuw ouder dan Saartje. Samen zijn ze 45 jaar. Hoe oud is Saartje?

Het schooltoneel werd bijgewoond door 325 personen. Volwassenen betaalden € 3 en kinderen jonger dan 14 jaar € 2. De kassa telde € 870 aan inkomsten. Hoeveel volwassenen genoten van het toneel?

Schematische voorstelling

VA N

aantal kaarten opbrengst

45 jaar

Papa

€3

Saartje

• keuze van de onbekende

€2

Totaal

25 jaar

• keuze van de onbekende

leeftijd Saartje

leeftijd papa

• opstellen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

• opstellen van de vergelijking

• controle

• oplossen van de vergelijking

• controle

10 11 12 13

314

• antwoordzin

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

Oefeningen

Los de vergelijkingen op. a) 2x + 4 = x

d) 12x + 120 = 15x

b) 3x + 6 = x

e) 18 – 4x = 2x

a) 16 + (x – 5) = –4

d) 6x – 2  (x – 2) = –12

Los de vergelijkingen op.

f) 4x = –30 – x

VA N

c) –8x – 12 = –2x

b) 12 – (x + 4) = 6

e) –5x – (–3 – 6x) = –21

c) 5x + 3  (x – 2) = 10

f) 2 + (–3x – 5) = –(–x – 3)

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

315

Verdeel € 7 000 onder drie personen. Jan krijgt tweemaal zoveel als Pol. Tom krijgt de helft van Jan. Hoeveel krijgt elk?

Antwoordzin:

Verdeel € 550 onder twee personen. Het deel van de eerste is € 50 minder dan driemaal dat van de tweede. Hoeveel krijgt elk?

VA N

Antwoordzin: 1 2 3 4

De tweede zijde van een driehoek is 5 cm langer dan de eerste. De derde zijde is 8 cm korter dan de tweede. De omtrek van de driehoek is 47 cm. Hoeveel cm is elke zijde?

5 6 7

10 11 12 13

316

Antwoordzin: HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

Het zesvoud van een getal is 28 meer dan het dubbel van dat getal. Zoek dat getal.

Antwoordzin:

Oma, moeder en dochter zijn samen 112 jaar oud. Moeder is vijfmaal zo oud als haar dochter en oma is dubbel zo oud als moeder. Hoe oud zijn ze nu?

Antwoordzin:

VA N

Visar is de spits van zijn elftal. De drie voorbije competities scoorde hij in totaal 51 keer. In het eerste seizoen maakte hij negen doelpunten minder dan in het derde. In het tweede seizoen scoorde hij de helft van het derde seizoen. Hoeveel goals scoorde Visar in elk van de laatste drie competities?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

317

Carl heeft schapen en duiven. Hij telt 86 koppen en 196 poten. Geen enkel dier heeft een gebrek. Hoeveel schapen en duiven bezit Carl?

Antwoordzin:

Opa koopt voor zijn 17 kleinkinderen smartphonecovers. De covers kosten € 12 of € 15. Hij moet € 222 betalen. Hoeveel covers van € 12 kocht opa?

Antwoordzin: 28

VA N

Om een vraagstuk op te lossen met behulp van vergelijkingen, kies je meestal de kleinste waarde voor de onbekende, maar dat is niet noodzakelijk. Verdeel € 500 onder Kris en Lina. Kris krijgt € 50 meer dan Lina. Hoeveel krijgt elk?

2 3

• keuze van de onbekende

Kris: Lina: x

• opstellen van de vergelijking

• oplossen van de vergelijking

9 10 11 12 13

318

Kris: x Lina:

• antwoordzin

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

REEKS C 29

Dit kun je al: 2  (x + 9) = 24 2  x + 2  9 = 24 2x + 18 = 24 2x = 6 x=3

Maar je kunt ook: 2  (x + 9) = 24 x + 9 = 24 : 2 x + 9 = 12 x = 12 – 9 x=3

a) 3  (x + 7) = 27

c) –2  (2x + 1) = –10

Los de vergelijkingen met de nieuw aangeleerde manier op.

d) –3  (6x – 2) = 24

VA N

b) 6  (2x + 7) = 18

Zes jaar geleden was vader vier keer zo oud als Els. Nu zijn ze samen 57 jaar. Hoe oud zijn ze nu?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

319

a) 5x + 3  (2x – 4) = 10

c) 28 + 2  (5x – 2) = 6  (2x + 2)

b) 4  (x + 3) + 5 = 9

d) –2  (3 – x) + 3 = –11

Los de vergelijkingen op.

Pieter moet 30 vraagstukken oplossen. Hij krijgt € 0,50 per juist antwoord, maar moet 20 cent betalen voor elk foutief antwoord. In totaal ontvangt hij € 8. Hoeveel vraagstukken loste Pieter juist op?

VA N

2 3

Antwoordzin:

4 5 6 7 8

9 10 11 12

Het symbool ‘=’ werd voor het eerst gebruikt in 1557. Robert Recorde (1510–1558) gebruikte het in zijn boek The Wetstone of Witte. Zo hoefde hij niet telkens ‘is gelijk aan’ te schrijven. Niet iedereen wilde zijn symbool meteen overnemen. Sommigen schreven ⫽ of xx, anderen gebruikten ae van het Latijnse woord 'aequalis', dat 'gelijk' betekent. Robert Recorde omschreef zijn symbool als ‘twee evenwijdigen die even lang zijn’. Recorde stierf in de gevangenis, waar hij opgesloten zat voor hoge schulden.

320

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

9.3

Formules Voorbeeld 1

Een architect wil een rechthoekig 2 raam van 3,75 m in een huis plaatsen. Bereken de lengte van het raam, als je weet dat de breedte 1,25 m moet zijn.

manier 2

Je vult eerst de gegevens in de formule in en lost dan de verkregen vergelijking op.

Je vormt eerst de formule om en vult daarna de gegevens in.

A = l  b

vergelijking oplossen

Antwoordzin: De lengte van het raam is 3 m. Voorbeeld 2

l  b = A

VA N

3 = l

A = l  b

formule oppervlakte rechthoek

3,75 = l  1,25 gegevens invullen 3,75  ____    = l 1,25

manier 1

A    l =  __ b 3,75 ____ l =   1,25  

formule oppervlakte rechthoek formule omvormen naar l

gegevens invullen

l = 3

Antwoordzin: De lengte van het raam is 3 m.

De architect wil ook een rechthoekig raam met omtrek 12 m in het huis plaatsen. Bereken de breedte van het raam, als je weet dat de lengte 4 m moet zijn. manier 1

manier 2

Je vult eerst de gegevens in de formule in en lost dan de verkregen vergelijking op.

Je vormt eerst de formule om en vult daarna de gegevens in.

P = 2  (l + b)

12 = 2  (4 + b) 12 = 8 + 2b

formule omtrek rechthoek gegevens invullen vergelijking oplossen

2b + 8 = 12

2b = 12 – 8 2b = 4 b = 2

Antwoordzin: De breedte is 2 m.

P = 2  (l + b) P = 2l + 2b

formule omtrek rechthoek formule omvormen naar b

2l + 2b = P

2b = P – 2l

P – 2l b =  _____       2 12 – 2  4 b =   ________       gegevens invullen 2 b = 2

Antwoordzin: De breedte is 2 m.

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

321

Oefeningen REEKS A Los op. a) Bereken met de oppervlakteformule van een parallellogram de hoogte, als je weet dat de 2 oppervlakte 18 m  bedraagt en de basis 6 m is.

b) Een klaslokaal is 12 m lang en 2 m hoog. Bereken de breedte van het lokaal, als je 3 weet dat het volume van de klas 144 m  is.

Antwoordzin:

REEKS B

VA N

Een basisformule uit de elektriciteit is de wet van Ohm: U = R  l. U staat voor spanning gemeten in volt (V). R staat voor weerstand gemeten in ohm (). I staat voor stroomsterkte gemeten in ampère (A). a) Bereken de spanning als de weerstand 12  en de stroomsterkte 3 A bedraagt.

b) Bereken de weerstand als de spanning 15 V is en de stroomsterkte 3 A.

Antwoordzin:

1 2 3 4

5 6

In 1821 legt de Duitse wetenschapper Georg Simon Ohm (1789-1854) de relatie tussen spanning, weerstand en stroom vast in de naar hem genoemde wet: U = R  l

7 8

1 ampère

1 ohm

+ –

1 volt

322

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

Als een batterij 1 volt (V) levert en door een daarop aangesloten weerstand vloeit 1 ampère (A), dan is die weerstand 1 ohm ().

b) de grote diagonaal van een ruit met oppervlakte 9,75 cm² en kleine diagonaal 3 cm

Antwoordzin:

a) de straal van een cirkel met omtrek 125,6 cm

Voor haar jaarabonnement in de fitnessclub betaalt Nancy € 25 en € 1,50 per fitnessbeurt (n). De totale kostprijs (t) voor haar fitnesshobby vind je door de formule: t = 1,50  n + 25. a) Nancy ging dit jaar al 18 keer naar de fitness. Hoeveel kostte dat haar tot nog toe?

c) Als ze op het einde van haar abonnement in totaal € 82 gespendeerd heeft, hoeveel keer ging Nancy dan naar de fitnessclub?

Antwoordzin:

VA N

Bereken op 1 mm nauwkeurig.

b) Hoeveel kost dat haar gemiddeld per beurt?

d) Hoeveel kost dat haar nu gemiddeld per beurt?

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

323

b) Met hoeveel graden Celsius komt 59 graden Fahrenheit overeen?

Antwoordzin:

a) Hoeveel bedraagt een buitentemperatuur van 21 °C in graden Fahrenheit?

Je hebt je zinnen gezet op een coole laptop van € 860. Je telt je spaarcenten en beschikt over € 385. Je besluit elke maand € 25 extra te sparen voor die laptop. a) Stel een formule op voor de kostprijs van de laptop (k), je spaargeld (s), je maandelijkse betalingen (m) en het aantal betalingen (t).

c) Hoeveel maanden moet je sparen als je voor een laptop van € 735 kiest?

Antwoordzin:

In sommige landen drukt men de temperatuur uit in graden Fahrenheit. De formule om graden Celsius (°C) om te zetten in graden Fahrenheit (°F) is f = 1,8  c + 32 met f de temperatuur in °F en c de temperatuur in °C.

VA N

1 2 3 4

b) Hoeveel maanden moet je nog extra sparen?

d) Als je de laptop van € 860 wilt betalen in vijf maanden, hoeveel moet je dan elke maand extra opzij leggen?

Antwoordzin:

5 6 7 8

9 10 11 12 13

324

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

De afstand die een auto nodig heeft om te stoppen (de stopafstand) is gelijk aan de som van de reactieafstand en de remafstand. De reactieafstand is het aantal meter dat wordt afgelegd tussen het moment dat de bestuurder het gevaar ziet en het moment dat hij het rempedaal indrukt. 3  s   met s de snelheid in km per uur. De reactieafstand wordt benaderd met de formule   ____ 10 De remafstand is het aantal meter dat wordt afgelegd vanaf het ogenblik dat de bestuurder het rempedaal indrukt en het moment dat de wagen stilstaat. 2 De remafstand wordt benaderd met de formule ____   s      met s de snelheid in km per uur. 200

STOPAFSTAND

REACTIEAFSTAND

REMWEG

bestuurder drukt het rempedaal in

de auto staat stil

bestuurder ziet het gevaar

a) Bereken de stopafstand voor de volgende snelheden. reactieafstand

remafstand

VA N

snelheid (km per uur)

stopafstand

120

140

160

b) Onder invloed van alcohol vergroot de reactieafstand. De basisformule wordt verdubbeld en vermeerderd met 5 m. Wat is nu de formule voor de reactieafstand? reactieafstand =

c) Bereken met de nieuwe formule hoeveel de snelheid van een chauffeur onder invloed bedraagt bij een reactieafstand van 50 m.

Antwoordzin:

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

325

REEKS C 40

Vorm de oppervlakteformule van een driehoek om naar de hoogte. Bereken daarna de hoogte van de gevraagde driehoek. omvormen formule

oppervlakte

18 m  

27,6 dm 

2 3 4 5 6 7

0,6 m

5,6 cm

9,24 dm 

VA N

c) Vorm de formule om naar de hoogte h.

a) Vorm de formule om naar de grondtemperatuur g.

b) Op een hoogte van 1 030 m is het 11 °C. Bereken de grondtemperatuur op één tiende nauwkeurig.

d) De grondtemperatuur bedraagt 15 °C. Een flink stuk hoger is het 9 °C. Bereken de hoogte.

Antwoordzin:

9 10 11 12 13

326

hoogte

Met de formule t = g – ____   h    vind je een benadering van de temperatuur op 300 verschillende hoogtes. g is de grondtermperatuur in °C, h is de hoogte in m en t is de temperatuur in °C op de gegeven hoogte.

basis

driehoeken

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

Temperatuur kun je uitdrukken in graden Celsius (°C), kelvin (K) of graden Fahrenheit (°F). Met de volgende formules moet je in staat zijn om van de ene eenheid naar de andere om te schakelen. k = c + 273 met k de temperatuur in K, c de temperatuur in °C en f de temperatuur in °F f = 1,8  c + 32 a) Vorm de formule k = c + 273 om naar c.

b) Met hoeveel graden Celsius stemt 182 K overeen? c) Vorm de formule f = 1,8  c + 32 om naar c.

d) Met hoeveel graden Celsius stemt 82 °F overeen?

VA N

e) Stel een formule op om de temperatuur in °F om te zetten naar een temperatuur in K.

f) Met hoeveel kelvin stemt 104 °F overeen?

(B + b)  h  .    De oppervlakte van een trapezium bereken je met de formule A =   _________ 2 Vorm de formule telkens om naar de gevraagde grootheid. h=

Gebruik de omgevormde formules om de tabel aan te vullen.

5 dm

9,75 m²

3 dm

200 mm

5,5 dm²

25 cm

1,5 dm

3 dm²

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

327

STUDIEWIJZER Vergelijkingen en formules voor de leerling

9.1 Gelijkheden KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Bij een gelijkheid mag je beide leden van plaats verwisselen. a = b ⇔ b = a

Als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt of aftrekt, dan blijft de gelijkheid bestaan. en a = b ⇔ a – c = b – c a = b ⇔ a + c = b + c

Als je beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde van nul verschillend getal, dan blijft de gelijkheid bestaan. a = b ⇔ a : c = b : c met c ≠ 0 a = b ⇔ a  c = b  c met c ≠ 0 en

KUNNEN

–  + –  +

De eigenschappen van gelijkheden toepassen.

9.2 Vergelijkingen

KENNEN

–  + –  +

Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend getal.

VA N

Optellen in het ene lid wordt aftrekken in het andere lid, en omgekeerd. Vermenigvuldigen in het ene lid wordt delen in het andere lid, en omgekeerd.

KUNNEN

–  + –  +

Vergelijkingen van de vorm x + a = b oplossen.

Vergelijkingen van de vorm ax = b met a ≠ 0 oplossen.

Vergelijkingen van de vorm ax + b = c met a ≠ 0 oplossen.

Vergelijkingen herleiden tot de vorm ax + b = c.

Vraagstukken oplossen met behulp van vergelijkingen. 1 2

9.3 Formules KUNNEN

3 4 5 6

Grootheden berekenen uit een gegeven formule door gegevens in te vullen en dan de vergelijking op te lossen. Grootheden berekenen uit een gegeven formule door de formule om te vormen en dan de vergelijking op te lossen.

7 8

Pienter Rekenen

9 10 11 12 13

328

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

–  + –  +

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

n de rode vierhoek?

Wat is de oppervlakte va

4 3

2. Je bent de vijfcijferige code van je kluis vergeten. Je weet wel dat: • het vijfde plus het derde cijfer gelijk is aan veertien; • het vierde cijfer één meer is dan het tweede; • het eerste cijfer één minder is dan twee keer het tweede cijfer; • het tweede plus het derde cijfer gelijk is aan tien; • de som van alle cijfers dertig is.

VA N

nten. ee overlappende vierka 1. Op de figuur zie je tw zijde 5) is zo Het grote vierkant (met nt precies in het geplaatst dat het hoekpu van het kleinere vierkant symmetriemiddelpunt (met zijde 4) staat. rode vierhoek is 3. Een van de zijden van de

Wat is de code van de kluis?

va ort op de plaats 3. Welk getal ho het vraagteken?

4. Vul in ieder e ring de cijfer s 1 tot en met Let op: in elke 6 in. ring en in elk taartdeel mogen de cijf ers 1 tot en m et 6 maar één keer voorkomen.

3 ?

28 6

1 4 3

6 2 4

6 4

HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

329

Problemen uit Kangoeroe en JWO 1.

Een schatrijke oom laat aan zijn vier nichtjes zijn fortuin na. Een derde van zijn fortuin gaat naar An. Een derde van wat dan nog overblijft, gaat naar Bieke. Een derde van wat dan nog overblijft, gaat naar Charlotte en wat daarna nog overblijft, gaat naar Dina. Wat is de verhouding van het deel van Charlotte tot het deel van Dina? A) r __   1    2

B) r ___   2   3

D) r ___   3   2

11 C) r ___      9

2 E) r ___       1

JWO, editie 2017, tweede ronde

•

• B) r 5

C) r 6

D) r 7

VA N

A) r 4

Hoeveel vierkanten met verschillende oppervlakten hebben als hoekpunten vier van de roosterpunten in de figuur?

E) r 8

JWO, editie 2016, eerste ronde

1 2 3

3. Nele telt de lengten van 3 zijden van een rechthoek op en krijgt 44 cm. Frank telt ook de lengten van 3 zijden van dezelfde rechthoek op en krijgt 40 cm. Wat is de omtrek van die rechthoek?

A) r 42 cm

B) r 56 cm

C) r 64 cm

D) r 80 cm

E) r 112 cm

Kangoeroe, editie 2015, Wallabie

4 5 6

4. In driehoek ABC is BH de hoogtelijn uit B en AD de deellijn van  A  . De scherpe hoek tussen AD en BH is dubbel zo groot als de hoek D  A   B. Hoe groot is de hoek C  A   B?

∧

7 8

α α 2α

∧

10 11

A) r 40°

B) r 45°

12 13

330

Kangoeroe, editie 2014, Wallabie HOOFDSTUK 9 I VERGELIJKINGEN EN FORMULES

C) r 60°

D) r 75°

E) r 90°

332

10.2 Trapezium

335

10.3 Parallellogram

338

10.4 Rechthoek

347

10.5 Ruit

355

10.6 Vierkant

361

10.7 Symmetrie in een vierhoek

366

10.8 Classificatie van vierhoeken

370

Studiewijzer

377

Pienter problemen oplossen

379

Problemen uit Kangoeroe en JWO

380

VA N

10.1 Som van de hoeken van een vierhoek

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

331

10.1 Som van de hoeken van een vierhoek Op onderzoek Emme heeft foto’s ingelijst. Meet de hoeken van de kaders. Maak de som van de hoeken. A

B B

C D ∧

∧

  A   + B   + C   + D   =

Eigenschap

C ∧

∧

  A   + B   + C   + D   =

∧

De som van de hoeken van een vierhoek is .

VA N

Bewijs tekening

Verdeel de vierhoek in twee driehoeken.

gegeven vierhoek ABCD

∧

  A    2 + B   + C    1

∧

C    2 + D   +   A    1 ∧

∧

  A    2 + B   + C    1 + C    2 + D   +   A    1 ∧

∧

  A    1 +   A    2 + B   + C    1 + C    2 + D 

∧

  A   + B   + C   + D 

besluit

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

(som van de hoeken van een driehoek) (som van de hoeken van een driehoek)

(de optelling is commutatief)

= + =

De som van de hoeken van een vierhoek is .

332

∧

11 12

∧

bewijs

∧

  A   + B   + C   + D   =

te bewijzen ∧

Oefeningen REEKS A 1

Meet de hoeken van de vierhoeken. Maak de som van de hoekgroottes. Formuleer de eigenschap die je met deze voorbeelden aantoont. a)

O S

C ∧

∧

89°

105°

81°

101°

112° 83°

Juist of fout?

Er bestaat een vierhoek

juist

fout

a) met twee stompe hoeken.

r r r r r r

b) met meer dan twee scherpe hoeken. c) waarvan de som van de hoeken groter is dan 360°. d) met maar één scherpe hoek. e) met drie stompe hoeken. f) met juist één rechte hoek.

∧

Bepaal de vierde hoek zonder te meten. a)

∧

  S   + O   + U   +   L   =

VA N

Eigenschap:

REEKS B

∧

R   + O   + C   + K   =

∧

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

333

Bereken de vierde hoek van de vierhoek KERS. ∧

a) b) 5

∧

100°

70°

80°

120°

60°

50°

∧

90°

40°

150°

130°

∧

140° 30°

Bereken de gevraagde hoeken. a)

b) A 100°

35° B E

85°

65°

85° C

95°

REEKS C 6

VA N

ABCD is een vierhoek. Bereken de hoeken. ∧

∧

a)  A   = B   = C   en  A   =  3 ⋅ D  

∧

b)  A   = 3 ⋅ B   , C    =   A   − B   en D    =   A   + B  

3 4 ∧

  A   =

6 7

∧

B   =

∧

C   =

∧

D   =

∧

  A   =

∧

B   =

∧

C   =

Bereken de som van de hoeken in de volgende veelhoeken.

vijfhoek

10 11

achthoek

12 13

334

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

∧

D   =

10.2 Trapezium

Definitie

Trapezium Een trapezium is

Benamingen

VA N

Inleiding

De evenwijdige zijden

• grote basis:

• kleine basis:

De opstaande zijden: en D

Bijzondere trapezia

trapezium

Teken en meet de diagonalen van de trapezia. Wat stel je vast? Eigenschap

De diagonalen van een gelijkbenig trapezium

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

335

Oefeningen REEKS A 8

Kleur de trapezia. D

C G

E B

REEKS B Teken telkens een trapezium waarvan de gegeven lijnstukken zijden zijn. b) een gelijkbenig trapezium

10 1

VA N

a) een rechthoekig trapezium

Teken twee gelijkbenige trapezia. Meet daarna de hoeken. a)

2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13

336

Wat stel je vast? In een gelijkbenig trapezium zijn de hoeken aan eenzelfde basis

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

REEKS C 11

Bepaal de ontbrekende hoeken van de trapezia zonder te meten. a)

b) A

B 125°

B 70°

105° D 80°

Welke eigenschappen gebruik je om de hoeken te bepalen?

Bewijs de eigenschap.

tekening

VA N

In een gelijkbenig trapezium zijn de diagonalen even lang. gegeven

bewijs

ABCD is een gelijkbenig trapezium met • AB ⫽ CD • | AD | = | BC |

te bewijzen | AC | = | BD |

besluit In een gelijkbenig trapezium zijn de diagonalen even lang.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

337

10.3 Parallellogram

Definitie

Parallellogram Een parallellogram is

Op onderzoek • zijden

VA N

Teken een willekeurig parallellogram. Meet de zijden.

10.3.1 Inleiding

Teken een vierhoek ABCD met | AB | = | CD | = 5 cm en | BC | = | AD | = 4 cm

2 3 4 5 6 7 8

Eigenschap

In een parallellogram zijn

Als in een vierhoek

10 11 12 13

338

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

• hoeken Teken een willekeurig parallellogram. Meet de hoeken.

∧

In een parallellogram zijn

Als in een vierhoek

∧

Eigenschap

Teken een vierhoek ABCD met   A   = C   = 70° en B   = D   = 110°.

∧

• diagonalen

VA N

Teken een vierhoek ABCD met S als snijpunt van de diagonalen en | AS | = | CS |  = 25 mm en | BS | = | SD | = 35 mm.

Teken een willekeurig parallellogram. Teken de diagonalen en bepaal van elke diagonaal het midden.

Eigenschap

In een parallellogram

Als in een vierhoek

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

339

10.3.2 Zijdenkenmerk van een parallellogram Eigenschap

Als een vierhoek een parallellogram is, dan zijn de overstaande zijden even lang.

Als in een vierhoek de overstaande zijden even lang zijn, dan is die vierhoek een parallellogram.

tekening

tekening B

C 2

1 1

| AB | = | CD | en | BC | = | DA |

te bewijzen

| AB | = | CD | en | BC | = | DA |

ABCD is een parallellogram. bewijs

bewijs

Teken de diagonaal [AC].

ABC

CDA verklaring

| AB |

| CD |

gegeven

| BC |

| DA |

gegeven

| CA |

| AC |

ABC CDA verklaring

VA N

verwisselende

 A    1

C    1

| AC |

C    2

  A    2

∧

binnenhoeken bij

AB ⫽ CD en snijlijn AC gemeenschappelijke zijde

binnenhoeken bij

AD ⫽ BC en snijlijn AC

volgens kenmerk HZH is ABC ≅  CDA ⇓ def. ≅  | AB | = | CD | en | BC | = | DA |

1 2 3

∧

besluit

10 11

Kenmerk

Een vierhoek is een parallellogram

∧

omgekeerde eigenschap bij twee evenwijdigen en een snijlijn

AB ⫽ CD en BC ⫽ DA ⇓ def. parallellogram ABCD is een parallellogram.

BCD is een parallellogram. A ⇒ | AB | = | CD | en | BC | = | DA |

zijde

⇓

gemeenschappelijke

volgens kenmerk ZZZ is ABC ≅  CDA ⇓ def. ≅    A   1 = C  1 en C  2 =   A  2

gegeven

ABCD is een parallellogram.

∧

gegeven

C 2

besluit

| AB | = | CD | en | BC | = | DA | ⇒ ABCD is een parallellogram. als en slechts als

de overstaande zijden even lang zijn.

12 13

340

ABCD is een parallellogram HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

⇔

| AB | = | CD | en | BC | = | DA |

10.3.3 Hoekenkenmerk van een parallellogram Eigenschap

Als in een vierhoek de overstaande hoeken even groot zijn, dan is die vierhoek een parallellogram.

Als een vierhoek een parallellogram is, dan zijn de overstaande hoeken even groot. tekening

tekening B

gegeven

∧

bewijs

∧

BC ⫽ DA definitie AB ⫽ CD parallellogram

∧

⇓

∧

⇓

∧

  A   = 180° –  B   C   = 180° – B    ∧

⇓

∧

  A   = C  

p dezelfde manier O kun je bewijzen dat  B   = D  . ∧

∧

gegeven

∧

(  A   + B  ) + (  A   + B  ) = 360°

VA N ∧

som van de hoeken van een vierhoek

∧

‖  ‖

  A   + B   = 180° B   + C   = 180°

∧

 A   + B   + C   + D   =  360°

binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn bij twee ⇓ evenwijdigen en een snijlijn zijn supplementair

∧

ABCD is een parallellogram.

bewijs

∧

te bewijzen

∧

  A   = C   en B   = D  

⇓

∧

  A   = C   en B   = D  

te bewijzen ∧

gegeven ∧

ABCD is een parallellogram.

∧

⇓

∧

2 ⋅ (  A   + B  ) = 360° ∧

∧

⇓

beide leden : 2

 A   + B   = 180°

supplementaire binnenhoeken aan dezelfde kant van een snijlijn bepalen twee evenwijdigen

⇓

AD ⫽ BC

Op dezelfde manier kun je bewijzen dat AB ⫽ CD. AD ⫽ BC en AB ⫽ CD

⇓

def. parallellogram

ABCD is een parallellogram. besluit

besluit

ABCD is een parallellogram. ⇒   A   = C   en B   = D   ∧

Kenmerk

∧

Een vierhoek is een parallellogram ABCD is een parallellogram

∧

  A   = C   en B   = D   ⇒ ABCD is een parallellogram. als en slechts als ⇔

de overstaande hoeken even groot zijn. ∧

∧

 A   = C   en B   = D   HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

341

10.3.4 Diagonalenkenmerk van een parallellogram Eigenschap

Als een vierhoek een parallellogram is, dan snijden de diagonalen elkaar middendoor.

Als in een vierhoek de diagonalen elkaar middendoor snijden, dan is die vierhoek een parallellogram.

tekening

tekening B

1 1

2 2

M 1

C 1 1

verklaring

verwisselende

| AB |

| CD |

overstaande zijden

van een parallellogram

= D    2

binnenhoeken bij

volgens kenmerk HZH is AMB ≅ CMD ⇓

def. ≅ 

besluit

8 9

342

| MB | =

AB ⫽ CD en snijlijn BD

= M    2 | MD |

gegeven

overstaande hoeken

gegeven

volgens kenmerk Op dezelfde manier ZHZ is kun je aantonen dat AMB ≅ CMD BMC ≅ DMA ⇓ def. ≅  ⇓   A    1 = C    1  A    2 = C    2 omgekeerde ⇓ eigenschap bij ⇓ ∧

∧

twee evenwijdigen en een snijlijn

| CM |

∧

M   1

verwisselende

∧

zijn even lang

AB ⫽ CD en snijlijn AC

| AM | =

binnenhoeken bij

| AM | = | MC | en | BM | = | MD |

ABC CDA verklaring

VA N

= C    1

  A    1

∧

bewijs

AMB CMD

B    2

ABCD is een parallellogram.

bewijs

te bewijzen

| AM | = | MC | en | BM | = | MD |

∧

is het snijpunt van [AC ] en [BD ]. M | AM | = | MC | en | BM | = | MD |

te bewijzen

gegeven

ABCD is een parallellogram. M is het snijpunt van [AC] en [BD].

gegeven

C 2

Kenmerk

BCD is een parallellogram. A ⇒ | AM | = | MC | en | BM | = | MD | Een vierhoek is een parallellogram

ABCD is een parallellogram M is het snijpunt van [AC] en [BD] HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

AB ⫽ CD en BC ⫽ DA ⇓ def. parallellogram ABCD is een parallellogram. besluit

| AM | = | MC | en | BM | = | MD | ⇒ ABCD is een parallellogram. als en slechts als

⇔

de diagonalen elkaar middendoor snijden.

| AM | = | MC | en | BM | = | MD |

Oefeningen REEKS A Noteer de overstaande zijden en de overstaande hoeken van het parallellogram. W

overstaande zijden

overstaande hoeken en

Bepaal de lengte van de andere zijden (opgave a) en de grootte van de andere hoeken (opgave b) van het parallellogram zonder te meten. Formuleer de eigenschap die je daarvoor gebruikt. a)

5 cm

b) P

VA N

45°

O 135°

3 cm

REEKS B 15

Juist of fout?

a) Een vierhoek met even lange diagonalen is een parallellogram. b) Er bestaan parallellogrammen met vier scherpe hoeken. c) De diagonalen van een parallellogram snijden elkaar middendoor. d) Er bestaan parallellogrammen met vier verschillende zijden. e) Een vierhoek met vier even lange zijden is een parallellogram. f) Er bestaan parallellogrammen met juist één stompe hoek. g) In parallellogram VONK stelt [ON] een zijde voor.

juist

fout

r r r r r r r

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

343

Bij welke van de vierhoeken kun je enkel aan de hand van de merktekens weten of de vierhoek een parallellogram is? Vink aan. a)

r parallellogram b)

r parallellogram e)

r parallellogram

r parallellogram f)

r parallellogram

VA N

r parallellogram

Teken een parallellogram en beantwoord de vragen.

Meet alle hoeken.

Wat stel je vast als je de groottes van de hoeken aan eenzelfde zijde optelt?

3 4

5 6

8 9

10 11

Met welke eigenschap kun je die vaststelling verklaren?

12 13

344

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

Bereken de overige hoeken van het parallellogram RUPS. ∧

∧

45°

60°

∧

90°

130°

82° 56°

17° 39°

∧

Teken a ) een parallellogram MELK met | ME | = 3 cm, | EL | = 4 cm en  E   =  60°.

c ) een parallellogram WIJN met | WN | = 4 cm, | JN | = 5 cm en W   = 60°. ∧

VA N

∧

) een parallellogram BIER met b | BE | = 5 cm en | IR | = 3 cm.

) een parallellogram COLA met d | CL | = 6 cm, | CO |= 4 cm en | CA | = 3 cm.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

345

Constructie van een parallellogram gegeven • c1 (M, 2 cm) • middellijn AB van c1 (M, 2 cm) • c2 (M; 1,5 cm) • middellijn CD (CD  AB) van c2 (M; 1,5 cm)

M C

Teken de vierhoek ACBD. Welke vierhoek is ACBD?

Welke eigenschap pas je toe in deze constructie?

Vierhoek SLAK is een parallellogram. Bereken de gevraagde hoeken. ∧

∧

LQ is de deellijn van   L   en KP is de deellijn van K  .

70°

2 3 4 5

Q    2 =

) parallellogram STER met b | ST | + 2 ⋅ | TE | = 10 cm en | ER | + 3 ⋅ | TE | = 12 cm Bereken | RS |.

6 7 8 9

10 11 12 13

346

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

  L    1 =

∧

Bereken.

a ) parallellogram REST met een omtrek van 96 cm en | RE | = 3 ⋅ | ES | Bereken | ST |.

K    2 =

P    1 =

REEKS C 1

∧

K    1 =

∧

VA N

∧

10.4 Rechthoek

Rechthoek

Definitie

VA N

10.4.1 Inleiding

Een rechthoek is

Elke rechthoek is ook een parallellogram. Verklaar die uitspraak. A

Alle eigenschappen die gelden voor een parallellogram, gelden dus ook voor een rechthoek. Eigenschap

Eigenschap

In een rechthoek zijn de overstaande zijden

In een rechthoek zijn de overstaande hoeken

De diagonalen van een rechthoek Het omgekeerde van die eigenschappen is niet altijd geldig.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

347

10.4.2 Eigenschap van de diagonalen van een rechthoek Op onderzoek Meet de diagonalen van de vierhoeken.

Wat stel je vast?

De diagonalen van een rechthoek

Als in een vierhoek de diagonalen

Meet de diagonalen van de rechthoeken.

Eigenschap

VA N

In een rechthoek zijn de diagonalen even lang.

In symbolen: ABCD is een rechthoek ⇒ | AC | = | BD | Bewijs

tekening

8 9

10 11 12

| AC | = | BD |

ACD BDC

verklaring

= | BC |

overstaande zijden in een rechthoek

= | CD |

gemeenschappelijke zijde

| AD |

∧

| DC |

∧

= C  

definitie rechthoek

def. ≅  Volgens kenmerk ZHZ is  ACD ≅ BDC ⇒ | AC | = | BD | besluit

In een rechthoek zijn de diagonalen even lang.

348

bewijs

ABCD is een rechthoek.

te bewijzen

gegeven

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

Oefeningen REEKS A Meet de zijden en de hoeken van de rechthoeken. Plaats gelijke merktekens. Formuleer de eigenschappen die je met deze voorbeelden aantoont. a)

b) R

Eigenschap 1: Eigenschap 2:

VA N

Teken en meet de diagonalen van de rechthoek. Bepaal het midden S van de diagonalen. Plaats gelijke merktekens. Formuleer de eigenschappen die je met dit voorbeeld aantoont. a) | GN | = e n | EK | = Eigenschap:

b) | GS | = | ES | =

| SN | = | SK | = Eigenschap:

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

349

REEKS B 25

Bij welke van de vierhoeken kun je enkel aan de hand van de merktekens weten of de vierhoek een rechthoek is? Vink aan. a)

r rechthoek e)

r rechthoek

VA N

r rechthoek c)

r rechthoek

Juist of fout?

2 3

juist

fout

4 5

a) Een vierhoek met even lange diagonalen is altijd een rechthoek.

b) Ieder parallellogram is een rechthoek.

c) Een vierhoek met even lange overstaande zijden is altijd een rechthoek.

d) De diagonalen van een rechthoek snijden elkaar middendoor.

e) Iedere rechthoek is een parallellogram.

f) In een rechthoek zijn de overstaande hoeken even groot.

g) In de rechthoek BOEM stelt [OM] een diagonaal voor.

7 8 9

12 13

350

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

Teken

b) een rechthoek DUIM met | DU | = 4 cm en | UM | = 6 cm.

a) een rechthoek PINK met | PN | = 5 cm.

Welke figuren zijn de voorstelling van de diagonalen van een rechthoek? Vink aan. b)

VA N

r rechthoek

Teken

a) een vierhoek met diagonalen van 4 cm die geen rechthoek is.

r rechthoek

b) een vierhoek met twee paar even lange overstaande zijden die geen rechthoek is.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

351

Hoeveel rechthoeken kun je tekenen waarvan alle hoekpunten op c (M, 2 cm) liggen? a) [AB] is een zijde van de rechthoek.

b) [AB] is een diagonaal van de rechthoek.

c) [AB] is een zijde van de rechthoek.

A A B

Teken a) een cirkel die door alle hoekpunten van de rechthoek ABCD gaat.

b) een rechthoek ABCD waarvan alle hoekpunten op de cirkel liggen.

VA N

1 2 3

Bereken de gevraagde hoeken in de rechthoek ABCD. ∧

4 5

B 1

65°

∧

c) C    1 =

∧

d) D    1 = ∧

e)  S    3 =

12 13

352

∧

b) B    1 =

a)  A    2 =

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

Lasse wil een tuinhuisje van 3 meter bij 4 meter zetten. Voor de betonnen grondplaat moet hij eerst een rechthoekige put van 30 cm diep graven. Met enkele stokken en een touw zet hij eerst een rechthoek uit. Kan hij met de onderstaande metingen controleren of de put rechthoekig is? Vink aan en verklaar kort je antwoord. a) Hij meet de zijden en controleert of de overstaande zijden 3 en 4 meter zijn.

r juist r fout

b) Hij meet de diagonalen en controleert of die even lang zijn.

r juist r fout

VA N

c) Hij meet de zijden en controleert of de overstaande zijden 3 en 4 meter zijn en hij meet de diagonalen en controleert of die even lang zijn.

REEKS C 34

Bereken.

a ) Rechthoek POST heeft een omtrek van 24 cm en | PO | = 3 ⋅ | OS |. Bereken | PO |.

) Rechthoek STOP heeft een oppervlakte b 2 van 1 125 cm  en | ST | = 5 ⋅ | TO |. Bereken | ST |.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

353

Bewijs de eigenschap. Een parallellogram waarvan de diagonalen even lang zijn, is een rechthoek. tekening

gegeven ABCD is een parallellogram. | AC | = | BD | S is het snijpunt van de diagonalen. te bewijzen ABCD is een rechthoek.

bewijs

besluit

VA N

1 2 3 4 5

Een parallellogram waarvan de diagonalen even lang zijn, is een rechthoek.

Teken de rechthoek.

Rechthoek BLAD heeft een omtrek van 16 cm en 15 ⋅ | BL | = 9 ⋅ | LA |. berekeningen:

6 7 8 9

10 11 12

354

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

10.5 Ruit

Ruit

Definitie

VA N

10.5.1 Inleiding

Een ruit is

Elke ruit is ook een parallellogram. Verklaar die uitspraak.

Alle eigenschappen die gelden voor een parallellogram, gelden dus ook voor een ruit. Eigenschap

Eigenschap

In een ruit zijn de overstaande zijden

In een ruit zijn de overstaande hoeken

De diagonalen van een ruit Het omgekeerde van die eigenschappen is niet altijd geldig.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

355

10.5.2 Eigenschap van de diagonalen van een ruit Op onderzoek Onderzoek de onderlinge ligging van de diagonalen van de vierhoeken.

Wat stel je vast?

De diagonalen van een ruit

Als in een vierhoek de diagonalen

Onderzoek de onderlinge ligging van de diagonalen van de ruiten.

Eigenschap

VA N

In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar. [AC ] ⊥ [BD ] In symbolen: ABCD is een ruit ⇒ Bewijs

gegeven

tekening

ABCD is een ruit. S is het snijpunt van de diagonalen.

A 2

te bewijzen [AC ] ⊥ [BD ]

4 5

bewijs

ASD

verklaring

ASB

| AS | = | AS |

| SD | = | SB |

| DA | = | BA |

gemeenschappelijke zijde in een ruit snijden de diagonalen elkaar middendoor definitie ruit

nevenhoeken def. ≅  Volgens kenmerk Z ZZ is ASD ≅ ASB ⇒   S    1 =   S    2 ⇒   S    1 =   S    2 = 90°

In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

10 11

356

∧

besluit

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

∧

Oefeningen REEKS A 37

Meet de zijden en de hoeken van de ruiten. Plaats gelijke merktekens. Formuleer de eigenschappen die je met deze voorbeelden aantoont. a)

b) K

Eigenschap 1: Eigenschap 2:

Teken en meet de diagonalen van de ruit. Plaats gelijke merktekens. Bepaal het midden S van de diagonalen. Onderzoek de onderlinge ligging van de diagonalen. Formuleer de eigenschappen die je met dit voorbeeld aantoont.

VA N

a) [CP ] [OY ] Y

Eigenschap:

b) | CS | = | OS | = | SP | = | SY | = Eigenschap:

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

357

REEKS B 39

Bij welke van de vierhoeken kun je enkel aan de hand van de merktekens weten of de vierhoek een ruit is? Vink aan. a)

r ruit

r ruit e)

r ruit

1 2

VA N

r ruit c)

r ruit

Juist of fout?

3 4

juist

fout

a) Elke ruit is een parallellogram.

b) De diagonalen van een ruit kunnen even lang zijn.

c) Een parallellogram met even lange diagonalen is altijd een ruit.

d) Een vierhoek met loodrechte diagonalen is altijd een ruit.

e) Een ruit heeft twee paar evenwijdige zijden.

f) In een ruit snijden de diagonalen elkaar middendoor.

g) In de ruit VLAM is [LM] een zijde.

7 8

11 12 13

358

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

Teken c) een ruit SOEP met | SE | = 6 cm en | OP | = 4 cm.

b) een ruit POES met | PE | = 6 cm en | PO | = 4 cm.

d) een vierhoek POSE die geen ruit is met | PS | = 6 cm, | OE | = 4 cm en [PS ] ⊥ [OE ] .

a) een ruit EPOS met een omtrek van 20 cm.

VA N

Teken a) een ruit waarvan [ AB ] een zijde is.

b) een ruit waarvan [ AB ]een diagonaal is.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

359

REEKS C 43

Bewijs de eigenschap. Een parallellogram waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan, is een ruit. tekening

gegeven BCD is een parallellogram. A [ AC ] ⊥ [BD ] S is het snijpunt van de diagonalen. te bewijzen ABCD is een ruit.

bewijs

VA N

besluit

Een parallellogram waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan, is een ruit. 1 2 3 4

uit ABCD heeft een omtrek van 60 cm, een oppervlakte van 216 cm  en 3 ⋅ | AC | = 4 ⋅ | BD |. R Teken de ruit op schaal __   1  .  6 2

Berekeningen:

8 9

10 11 12 13

360

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

10.6 Vierkant

Vierkant

Definitie

VA N

10.6.1 Inleiding

Een vierkant is

Elk vierkant is ook een parallellogram. Verklaar die uitspraak.

Alle eigenschappen die gelden voor een parallellogram, gelden dus ook voor een vierkant. Eigenschap

Eigenschap

In een vierkant zijn de overstaande zijden In een vierkant zijn de overstaande hoeken De diagonalen van een vierkant Het omgekeerde van die eigenschappen is niet altijd geldig.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

361

10.6.2 Kenmerk van de diagonalen van een vierkant Eigenschap • Een vierkant is een rechthoek, want een vierkant heeft De eigenschappen van de diagonalen van een rechthoek gelden dus ook voor een vierkant. • Een vierkant is een ruit, want een vierkant heeft De eigenschappen van de diagonalen van een ruit gelden dus ook voor een vierkant. Eigenschap

In een vierkant: • snijden de diagonalen elkaar middendoor; • zijn de diagonalen even lang; • staan de diagonalen loodrecht op elkaar. Omgekeerde eigenschap Als in een vierhoek de diagonalen: • en elkaar middendoor snijden; • en even lang zijn; • en loodrecht op elkaar staan; dan is die vierhoek een vierkant. Bewijs

gegeven

VA N

tekening

Eigenschap

v ierhoek ABCD | AS | = | SC | en | BS | = | SD | | AC | = | BD | AC ⊥ BD

te bewijzen

ABCD is een vierkant.

bewijs

ABCD is een parallellogram.

1 2 3 4

(kenmerk diagonalen van een parallellogram)

Een parallellogram waarvan de diagonalen even lang zijn, is een rechthoek.

Een parallellogram waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan, is een ruit.

⇓ definitie rechthoek

⇓ definitie ruit

ABCD heeft vier gelijke hoeken. ABCD heeft vier gelijke zijden.                                     ⇓    definitie vierkant

5 6

ABCD is een vierkant.

7 8

besluit

ABCD is een vierkant.

10 11 12

Kenmerk

Een vierhoek is een vierkant

362

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

als en slechts als

de diagonalen • en elkaar middendoor snijden; • en even lang zijn; • en loodrecht op elkaar staan.

Oefeningen REEKS A Juist of fout? Een rechthoek met even lange zijden is een vierkant.

r juist r fout

Een parallellogram met vier rechte hoeken is een vierkant.

Een parallellogram met even lange zijden is een vierkant.

Een ruit met even lange diagonalen is een vierkant.

Een trapezium met vier gelijke hoeken is een vierkant.

r juist r fout

VA N

Juist of fout?

b) Een ruit met even lange diagonalen is altijd een vierkant.

c) Alle rechthoeken zijn vierkanten.

d) Een vierkant is een rechthoek met loodrechte diagonalen. e) Een parallellogram kan een vierkant zijn. f) In het vierkant BLUS is [LU] een diagonaal.

r juist r fout

juist

fout

r r r r r r

Teken a) een vierkant DOEL met een omtrek van 14 cm.

r juist r fout

Een vierkant is een vierhoek met vier gelijke zijden en vier gelijke hoeken.

a) Elk vierkant is een ruit.

Een ruit met vier gelijke hoeken is een vierkant.

Een parallellogram met even lange, loodrechte diagonalen is een vierkant. r juist r fout

REEKS B 46

Een vierhoek met even lange, loodrechte diagonalen is een vierkant. r juist r fout

b) een vierkant PUNT met een diagonaal van 4 cm.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

363

Bij welke van de vierhoeken kun je enkel aan de hand van de merktekens weten of de vierhoek een vierkant is? Vink aan. a)

r vierkant

r vierkant e)

r vierkant

2 3 4

r vierkant

Teken

a) een rechthoek VERF met een oppervlakte van 16 cm2 en loodrechte diagonalen.

5 6 7 8 9

10 11 12 13

364

VA N

r vierkant

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

b) een ruit INKT met een omtrek van 14 cm en even lange diagonalen.

REEKS C 50

In een vierkante tuin wordt een grasveld aangelegd. Op vier meter rechts van elk hoekpunt wordt een paaltje in de grond geslagen. Door die paaltjes te verbinden, verkrijg je een vierhoekig grasveld. Bewijs dat dat grasveld een vierkant is. tekening

gegeven T

U R

S 4m

te bewijzen N

Vierhoek GRAS is een vierkant.

bewijs

VA N

besluit Vierhoek GRAS is een vierkant.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

365

10.7 Symmetrie in een vierhoek 10.7.1 Symmetrieassen Definitie

Symmetrieas Een symmetrieas van een figuur is Teken alle mogelijke symmetrieassen van de volgende vierhoeken. Bepaal het aantal. Vink aan of de symmetrieassen diagonalen of middelloodlijnen van de vierhoek zijn. gelijkbenig trapezium

parallellogram

rechthoekig trapezium

aantal symmetrieassen: aantal symmetrieassen: aantal symmetrieassen:

r diagonalen r middelloodlijn(en) van

VA N

r diagonalen r middelloodlijn(en) van

rechthoek

ruit

vierkant

aantal symmetrieassen: aantal symmetrieassen: aantal symmetrieassen: 1

r diagonalen r middelloodlijn(en) van

2 3 4 5

Middelloodlijnen Eigenschap

6 7 8 9

Eigenschap

366

De diagonalen van een ruit zijn symmetrieassen van die ruit. Middelloodlijnen en diagonalen

De middelloodlijn van de basissen van een gelijkbenig trapezium is de symmetrieas van dat gelijkbenig trapezium.

Diagonalen

De middelloodlijnen van de zijden van een rechthoek zijn de symmetrieassen van die rechthoek.

Eigenschap

De diagonalen en de middelloodlijnen van de zijden van een vierkant zijn symmetrieassen van dat vierkant.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

10.7.2 Symmetriemiddelpunt Symmetriemiddelpunt

Definitie

Een symmetriemiddelpunt van een figuur is Bepaal, indien mogelijk, het symmetriemiddelpunt van de volgende vierhoeken.

Eigenschap

vierkant

Wat stel je vast?

ruit

parallellogram

VA N

rechthoek

gelijkbenig trapezium

rechthoekig trapezium

Het snijpunt van de diagonalen van een parallellogram is het symmetriemiddelpunt van dat parallellogram.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

367

Oefeningen REEKS B Juist of fout? juist

fout

a) Een ruit heeft een symmetriemiddelpunt.

b) Een vierkant heeft vier symmetrieassen.

c) Alle trapezia hebben minstens één symmetrieas.

d) Sommige ruiten hebben meer dan twee symmetrieassen.

e) Alle parallellogrammen hebben een symmetriemiddelpunt.

f) Elke vierhoek heeft minstens één symmetrieas.

g) Een rechthoek heeft minstens twee symmetrieassen.

h) Elke vierhoek heeft een symmetriemiddelpunt.

i) Sommige parallellogrammen hebben een symmetrieas.

j) Er bestaan vierhoeken met meer dan vier symmetrieassen.

VA N

Teken de symmetrieassen en verwoord de gebruikte eigenschap. a)

2 3

7 8 9

12 13

368

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

Teken a) een rechthoek HARK waarvan a een symmetrieas is.

b) een parallellogram RIEK waarvan A het symmetriemiddelpunt is. E

A a

REEKS C Bewijs de eigenschap.

De diagonalen van een ruit zijn symmetrieassen van die ruit. tekening

gegeven

VA N

BCD is een ruit. A [ AC ] en [BD ] zijn de diagonalen. S is het snijpunt van de diagonalen. te bewijzen

AC en BD zijn symmetrieassen van de ruit ABCD.

bewijs

besluit De diagonalen van een ruit zijn symmetrieassen van die ruit.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

369

10.8 Classificatie van vierhoeken trapezium één paar evenwijdige zijden

gelijkbenig trapezium diagonalen zijn even lang

parallellogram twee paar evenwijdige zijden

overstaande hoeken zijn even groot overstaande zijden zijn even lang

VA N

diagonalen snijden elkaar middendoor

rechthoek

vier gelijke zijden

vier gelijke hoeken

ruit

overstaande hoeken zijn even groot

overstaande zijden zijn even lang

diagonalen snijden elkaar middendoor

diagonalen zijn even lang

diagonalen staan loodrecht op elkaar

3 4 5 6

vierkant

vier even grote hoeken en vier even lange zijden

overstaande hoeken zijn even groot

overstaande zijden zijn even lang

10 11

diagonalen snijden elkaar middendoor

diagonalen zijn even lang

diagonalen staan loodrecht op elkaar

370

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

gelijkbenig trapezium symmetrie

 parallellogram

VA N

symmetrie

 

rechthoek

ruit symmetrie

symmetrie

  vierkant symmetrie

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

371

Oefeningen REEKS A Vink de vierhoeken met even grote overstaande hoeken aan.

r 56

VA N

Schrijf onder elke vierhoek de meest passende benaming. Bepaal je antwoord aan de hand van de merktekens. Verklaar ook telkens je antwoord met een definitie of een eigenschap. a)

3 4 5

7 8 9

11 12 13

372

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

REEKS B 57

Teken a ) een parallellogram GRAM met | GR | = 4 cm , | GA | = 6 cm en | RM |= 5 cm.

d) een vierkant KANT zodat A en T op de gegeven rechte a liggen.

e) een rechthoek HOEK met loodrechte diagonalen van 4 cm.

VA N

b) een ruit RUIT met een hoek van 50° en een omtrek van 16 cm.

c ) een vierhoek VIER die geen vierkant is, met even lange, loodrechte diagonalen.

f) een trapezium TRAP dat geen ruit is, met loodrechte diagonalen.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

373

Vierhoeken en verzamelingen a) Plaats de juiste benaming van de verzamelingen bij het venndiagram. … is de verzameling van alle … VH

vierhoeken

trapezia

parallellogrammen

ruiten

rechthoeken

vierkanten

VA N

b) Plaats de letters van de vierhoeken op de juiste plaats in het venndiagram.

Zet een vinkje als de eigenschap geldt voor de vierhoek bovenaan de kolom.

2 3 4 5

a) De som van de hoeken is 360°.

b) De overstaande zijden zijn even lang.

c) De overstaande hoeken zijn even groot.

d) De diagonalen snijden elkaar middendoor.

e) De diagonalen zijn even lang.

f) De diagonalen staan loodrecht op elkaar.

6 7 8 9

10 11 12 13

374

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

Geef de meest passende benaming voor de omschreven vierhoek. benaming

b) een parallellogram met loodrechte diagonalen

c) een vierhoek met even grote overstaande hoeken

d) een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen

e) een rechthoek met loodrechte diagonalen

f) een parallellogram EHBO waarvan [EB] een symmetrieas is

Juist of fout? juist

fout

a) Een vierhoek met even lange loodrechte diagonalen is een vierkant.

b) Een vierhoek waarvan de diagonalen even lang zijn en elkaar middendoor delen, is een parallellogram.

c) Een parallellogram met even lange loodrechte diagonalen is een vierkant.

VA N

a) een ruit met even lange diagonalen

REEKS C Juist of fout?

… is de verzameling van alle …

vierhoeken

ruiten

trapezia

rechthoeken

parallellogrammen

vierkanten

juist

fout

a) P ⊂ VH

b) RU ⊂ RE

c) VK ⊂ RE

d) RE ⊂ T

juist

fout

e) RE ∩ RU = VK

f) VK ∩ RE = VK

g) P ∩ T = VH

h) VH ∩ P = P

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

375

Teken een vierhoek a) met een symmetriemiddelpunt, maar zonder symmetrieassen.

c) met juist één symmetrieas en diagonalen die niet even lang zijn.

b) met loodrechte diagonalen, maar zonder symmetrieassen.

d) met even lange diagonalen en juist één symmetrieas.

1 2 3

VA N

Teken

a) een ruit GLAS, waarvan a een symmetrieas is.

b) een rechthoek FLES, waarvan A het symmetriemiddelpunt is.

4 5 6 7 8

12 13

376

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

STUDIEWIJZER V ierhoeken voor de leerling

10.1 Som van de hoeken van een vierhoek KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

De som van de hoeken van een vierhoek is 360°.

KUNNEN

–  + –  +

De eigenschap van de som van de hoeken van een vierhoek bewijzen. De vierde hoek van een vierhoek berekenen als de andere drie gegeven zijn.

10.2 Trapezium KENNEN

–  + –  +

Een trapezium is een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden. De diagonalen van een gelijkbenig trapezium zijn even lang.

KUNNEN

Hoeken van een trapezium berekenen.

–  + –  +

10.3 Parallellogram

VA N

KENNEN

–  + –  +

Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden. Een vierhoek is een parallellogram als en slechts als de overstaande zijden even lang zijn. Een vierhoek is een parallellogram als en slechts als de overstaande hoeken even groot zijn. Een vierhoek is een parallellogram als en slechts als de diagonalen elkaar middendoor snijden.

KUNNEN

–  + –  +

Het zijdenkenmerk van een parallellogram bewijzen.

Het hoekenkenmerk van een parallellogram bewijzen. Het diagonalenkenmerk van een parallellogram bewijzen. Hoeken van een parallellogram berekenen. De eigenschappen toepassen om parallellogrammen te tekenen.

10.4 Rechthoek KENNEN

–  + –  +

Een rechthoek is een vierhoek met vier even grote (rechte) hoeken. In een rechthoek zijn de overstaande zijden even lang. In een rechthoek zijn de overstaande hoeken even groot. De diagonalen van een rechthoek snijden elkaar middendoor. In een rechthoek zijn de diagonalen even lang.

KUNNEN

–  + –  +

De eigenschap in verband met de diagonalen van een rechthoek bewijzen. Met voorbeelden aantonen dat de omgekeerde eigenschap hier niet geldt. De eigenschappen toepassen om rechthoeken te tekenen.

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

377

voor de leerling

10.5 Ruit KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden. In een ruit zijn de overstaande zijden even lang. In een ruit zijn de overstaande hoeken even groot. De diagonalen van een ruit snijden elkaar middendoor. In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

KUNNEN

–  + –  +

De eigenschap in verband met de diagonalen van een ruit bewijzen. Met voorbeelden aantonen dat de omgekeerde eigenschap hier niet geldt. De eigenschappen toepassen om ruiten te tekenen.

10.6 Vierkant KENNEN

–  + –  +

Een vierkant is een vierhoek met vier even grote (rechte) hoeken en vier even lange zijden.

In een vierkant zijn de overstaande zijden even lang. In een vierkant zijn de overstaande hoeken even groot. De diagonalen van een vierkant snijden elkaar middendoor.

Een vierhoek is een vierkant als en slechts als de diagonalen en elkaar middendoor snijden en even lang zijn en loodrecht op elkaar staan.

VA N

KUNNEN

–  + –  +

Het diagonalenkenmerk van een vierkant bewijzen.

De eigenschappen toepassen om vierkanten te tekenen.

10.7 Symmetrie in een vierhoek

KENNEN

–  + –  +

Een symmetrieas van een figuur is de as van een spiegeling die de figuur op zichzelf afbeeldt.

De middelloodlijn van de basissen van een gelijkbenig trapezium is de symmetrieas van dat gelijkbenig trapezium. De middelloodlijnen van de zijden van een rechthoek zijn de symmetrieassen van die rechthoek. De diagonalen van een ruit zijn symmetrieassen van die ruit. 1 2 3 4 5

De diagonalen en de middelloodlijnen van de zijden van een vierkant zijn de symmetrieassen van dat vierkant. Het symmetriemiddelpunt van een figuur is het centrum van een puntspiegeling die de figuur op zichzelf afbeeldt. Het snijpunt van de diagonalen van een parallellogram is het symmetriemiddelpunt van dat parallellogram.

KUNNEN

6 7 8 9

Eigenschappen over de symmetrie in een vierhoek bewijzen. De eigenschappen toepassen om vierhoeken te tekenen.

10.8 Classificatie van vierhoeken KUNNEN

10 11

Vierhoeken classificeren op basis van de eigenschappen van zijden en hoeken, hun diagonalen en het aantal symmetrieassen.

12 13

378

–  + –  +

Pienter Rekenen

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

–  + –  +

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

e rij l het raster zo in dat elk 1. Los de sudoku op. Vu s en elk blok van en elke kolom van 9 vakje n 1 tot en met 3 x 3 vakjes alle cijfers va e oplossing. 9 bevat. Er is één uniek

7 9

VA N

1 1

7 4

Hoeveel van die honderd mensen zijn zowel binnen als buiten België op vakantie geweest?

2. Honderd Belgen worden ondervraagd over hun vakantiebestemming van het afgelopen jaar. 70 van hen zeggen buiten België op vakantie te zijn geweest, terwijl 53 binnen België op vakantie zijn geweest. Precies 17 mensen zijn helemaal niet op vakantie geweest.

vijfden met vinken. Twee re liè vo n ee t ef Kurt he 3. elvinken. . De rest zijn dist en nk vi en ro g jn zi n vrouwtje. oenvinken is ee gr de n va t ar Drie kw tjesvinken als evenveel manne er jn zi al ta to In n. vrouwtjesvinke pulatie totale vinkenpo Welk deel van de s? vinkenmannetje bestaat uit distel

4. Hoe kun je , door de cijfer s 8, 8, 8 en 1 elk precies éé n keer te gebru iken en door enkel de vier hoofdbew erkingen te gebruiken, 65 als uitkomst ve rkrijgen?

HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

379

Problemen uit Kangoeroe en JWO 1.

Vijf gelijke rechthoeken liggen in een vierkant met zijde 24 cm, zoals in de figuur. Wat is de omtrek van één rechthoek?

A) r 16 cm

B) r 18 cm

C) r 20 cm

D) r 22 cm

E) r 24 cm

Kangoeroe, editie 2014, Wallabie

2. Vier punten liggen op een rechte. Jan berekent de afstand tussen elk duo punten. Hij rangschikt de afstanden van klein naar groot: 2, 3, k, 11, 12 en 14. Welk getal stelt k voor?

B) r 6

C) r 7

VA N

A) r 5

D) r 8

E) r 9

Kangoeroe, editie 2015, Wallabie

3. Een school zamelt geld in voor een goed doel. De helft van de leerlingen van de eerste graad geeft 1 euro. Een derde van de leerlingen van de tweede graad geeft 1,50 euro. Een kwart van de leerlingen van de derde graad geeft 2 euro. Die bijdragen brengen samen 319 euro op. Hoeveel leerlingen zitten in er die school? 1

A) r 480

2 3

B) r 638

C) r 1 126

D) r 1 614

E) r 1 914

JWO, editie 2016, eerste ronde

4 5 6

Deze tekening bestaat uit cirkels met stralen 3, 5, 8 en 10. Welk percentage van de tekening is gekleurd?

7 8 9

10 11

A) r 48 %

B) r 49 %

12 13

380

JWO, editie 2016, eerste ronde HOOFDSTUK 10 I VIERHOEKEN

C) r 50 %

D) r 51 %

E) r 52 %

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

11.1 Machten met een gehele exponent

382

11.2 Bewerkingen van machten met hetzelfde grondtal

388 392

Studiewijzer

396

Pienter problemen oplossen

397

Problemen uit Kangoeroe en JWO

398

VA N

11.3 Macht van een product en een quotiënt

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

381

11.1

Machten met een gehele exponent

11.1.1 Inleiding Hieronder vind je een aantal foto’s. De centrale foto A werd op een afstand van 1 m gemaakt. Alle andere foto’s zijn dichter of verder genomen. Plaats de letter van de foto bij de overeenstemmende afstand op de volgende pagina.

VA N

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13

382

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

Vul de tabel verder in.

letter foto

foto genomen op een afstand van ... m

macht in breukvorm

10 000

: 10

1 000

: 10

100

: 10

: 10 A

 1  _  1 

: 10

–1

0,001

0,000 1

0,1 : 10 0,01

–2

: 10

–3

: 10

negatief

exponent

positief

machts verheffing

–4

VA N

Grote getallen kun je schrijven als een macht van tien met een positieve exponent. Ook kleine getallen kun je schrijven als een macht van tien, maar dan met een negatieve exponent. aluminiumfolie van 11 micrometer dik

een elektriciteitscentrale van 800 megawatt

een harde schijf van 1 terabyte

voorvoegsel

symbool

macht van 10 24

yotta

zetta

exa

peta

tera

giga

mega

kilo

hecto

deca

18 15 12 9 6 3

2 1

voorvoegsel

symbool

macht van 10

deci

centi

milli

micro

nano

pico

femto

atto

zepto

yocto

−1

−2 −3

−6 −9

−12 −15

−18 −21

−24

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

383

11.1.2 Machten met een negatieve exponent Vul de tabel aan. machtsverheffing macht in breukvorm

_   4    1

–1

–2

: 2

REKENMACHINE –3

Bereken 2 =

Vul de tabel aan. 2

(__   2   )  5

macht in breukvorm

__   4    25

–1

(__   2  )     5

–2

(__   2   )  5

(__   2  )     5

: _  2     5

:_  2    5

VA N

Definitie

2     :  _ 5

(__   2  )     5

machtsverheffing

Macht met een negatieve exponent n

a  = (_   1  )     a is een rationaal getal, a ≠ 0. a n is een natuurlijk getal. –n

Lees: a tot de min n-de (macht) of de min n-de macht van a. 3 –3 1 _ Twee tot de min derde of de min derde macht van twee = 2 = (     )  = _   1     _   1     _   1   = _   1    2 2 2 2 8 Voorbeelden

–4

2 3

–3

(-10) =

4 5 6 7 8 9

11 12 13

384

−3

(_  2   )  = 3

11.1.3 Machten met een gehele exponent Machten met positieve en negatieve exponenten vormen samen machten met gehele exponenten. Voorbeelden 2

−2

(−  _   1   )  = 2

10 –2

2 2

(–7)

(−  _   1   )  = 8

(−  _  3   )  = 2

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

−2

(_   7   )  = 11 3

Oefeningen REEKS A 1

Schrijf met een positieve exponent.

c) (_   1   )  = 2

–6

d) (_   1   )  = 12

b) 8

−3

–4

a) 3

−2

f) (_  13   )  = 9

Vul aan.

–4

(–2)

–3

grondtal

–7

–10

–1

VA N

c) d)

exponent

machtsverheffing

−3

e) (_  5   )  = 8

Bereken de volgende machten van 10. –1

a) 10

–2

b) 10

–4

c) 10

Tel het aantal nullen bij de decimale vorm. Wat stel je vast?

Schrijf als een macht van 10.

a) 0,1

b) 0,001 =

c) 1 000 000 =

REEKS B 5

Schrijf als een macht van tien of twee met een negatieve exponent. a) _   1    8

b) _   1     = 1 000

c) _   1    4

1     d) _   = 100 000

e) _   1     32

f) _   1     10

= =

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

385

Schrijf met een positieve exponent en bereken. −3

a) (_  3   )  = 5

–3

−2

f) (_   6   )  = 13

b) (_  1   )  = 7 –2

–3

c) 6

g) 4

−3

d) (_   1  )     = 3

–2

h) 13

–30

(–1)

–2

–(–1)

VA N

–1

2 3 4

−2

b) (– _  5   )  = 8

11 12

j) –(_  2   )  = 3

386

−2

e) (– _   1   )  = 4 2

−5

d) (–8)

f) –6

h) (– _  2   )  = 7 i) (– _   1   )  = 2

–3

g) (–10)

–3

c) (–4)

–20

–(–1)

k) (_   3   )  = 10

–2

l) (–11)

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

(–1)

–1

Schrijf indien nodig met een positieve exponent en bereken. a) (– _  2   )  = 3

Is het resultaat 1 of −1? 1

e) 3

m) (–5)

−3

n) (– _  5   )  = 2 –3

o) 4

p) (–13)

−2

q) (– _   1   )  = 13 –3

r) (–5)

Noteer als een macht van 10. a)

1 km =

1 ton =

1 dm =

REEKS C

1 ml =

1 mg =

1 hm =

1 mm =

1 l =

Zijn de volgende uitspraken juist of fout? Omcirkel de letter en zoek daarna het woord.

VA N

–3

a) 2 is een negatief getal. –3

b) 2 = –8

−3

c) (−  _   1   )  = − 8 2 2

−2

d) (_  4   )  = (−  _  7   )  7 4 −2

e) −(−  _  5   )  = − _  36    25 6

juist

fout

Woord:

Vul in.

a) (_  5   )  = _   16    4 25 b) (–2)

= (−  _   1   ) 8

–4

c) = –0,000 1

d) (– _  4   )  = 1 7

( )

–3

e) _____        = _  27    8

f) (– _   7   )  = __   49    9 81

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

387

11.2 Bewerkingen van machten met hetzelfde grondtal De rekenregels voor machten met hetzelfde grondtal met een positieve exponent gelden ook voor negatieve exponenten.

11.2.1 Product –4

–1

2  2

= 10

= 10 = 10

–4 + (–1) –4 – 1

–5

= (_   1    )  10

5 + (–7)

Product van machten met hetzelfde grondtal m

∀a ∈ q en ∀m, p ∈ z : a a = a

–2

–1

= 10 = 10 = 10

–4 – (–2) –4 + 2 –2 2

–1 – 3

=_   1     100

Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal m

–3

= 10

–2

= 2

2  (–2)

= =

Rekenregel

Macht van een macht m

∀a ∈ q en ∀m, p ∈ z : ( a  )  = a

mp

2 (_ [  5   )   ]  −1

(2  ) 

–3  (–2)

= 1 000 000

388

m–p

–2

(10  ) 

11.2.3 Macht

−2

(_  3   )  : (_  3   )  2 2

∀a ∈ q en ∀m, p ∈ z : a : a = a

2 3

=2 =2

= (_   1    )  10

2 :2

VA N

–4

10 : 10

m+p

11.2.2 Quotiënt

Rekenregel

1     =_   100 000

−2

(_  2   )    (_  2   )  3 3

Rekenregel

–7

10 10

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

= = = =

Oefeningen REEKS A Schrijf de volgende producten als één macht en bereken. 4

–2

–6

–1

–4

b) 2  2

d) 10  10

f) 10  10

Schrijf de volgende quotiënten als één macht en bereken. 3

–3

a) 10 : 10

c) 10 : 10

–1

–4

–8

e) 2 : 2

−3

d) _   2−4    2 

10    f)  _    −4 10 

VA N

Schrijf als één macht en bereken. –2

–2 –2

3 –2

c) (2 ) 

e) (2 ) 

a) (10  ) 

–1 3

–3 –2

3 –3

b) (2 ) 

d) (10 ) 

f) (10 ) 

Schrijf als één macht en bereken. 2

      _ c)   10−3 10 

–1

a) 10  10

–4 1

b) 2 : 2

–7

e) 2  2

–2

–6

c) 2  2

–3

a) 10  10

–6

e) 2 : 2

–2 3

b) (2 ) 

d) 2  2

f) (10 ) 

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

389

REEKS B Schrijf als één macht en bereken. −4

–2 2

d) _  9 −3    9 

g) (4 ) 

b) 7  7

e) (_  6   )    (_  6   )  7 7

2 h) (_ [  3   )   ] 

–2

−2

−1

−2

f) (_   1   )    (_   1   )  3 3

i) (_  9   ) : (_  9   )  2 2

VA N

−4

Schrijf als één macht en bereken.

d) [(–10) ] 

3 –1

–2

a) (–2)  (–2)

−2

( −5)  g)  ______      −5

–3

−4

c) (_   7   )  : (_   7   )  8 8

−2

–3 –1

a) (3 ) 

2 3

–2 2

–5

5 0

–6

b) [(–3) ] 

e) 9 : 9

h) (8 ) 

4 5 6 7 8 9 10

c) (−  _  8   )  : (−  _  8   )  11 11

f) (−  _  3   )    (−  _  3   )  2 2

1 i) (−  _ [  5   )   ] 

−8

−10

−4

11 12 13

390

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

−2

Is het resultaat 1 of −1? 3

–3

–4

(–1)  (–1)

–3 8

–7

[(–1) ] 

–3

(–1) : (–1)

( − 1)  _        −4 ( − 1) 

–3

(–1) : (–1)

(–1)  (–1)

–1

–2

REEKS C Schrijf als één macht en bereken. 4

–3

–1

c) (–2,4) : (–2,4)

Schrijf als een bewerking met machten van hetzelfde grondtal en bereken.

−1

b) 0,01 : (–10)

64    c) (_  5   )    ( _ 4 125 )

Schrijf als één macht. m

a) (a  ) 

c) 2  : 2 

c      e)  _ k c 

–2

b) (0,5) : (0,5)

3 a) 2    _   1     32

–7

a) (0,3)  (0,3)

VA N

b) (b  ) 

d) 10   10 

f) (18  ) 

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

391

11.3 Macht van een product en een quotiënt 11.3.1 Machten van een product en een quotiënt met getallen Inleiding Kleur telkens de zeepbel met dezelfde waarde als de opgave onder de cartoon. 8 · 10 2 · 30

8 · 1 000

8 9

6 9

8 27

2 9

6 · 30

8 3

2 · 1 000 2 9

6 · 10

(_  2   )  = 3

Rekenregel Vul aan.

= 2  10  2  10  2  10

= (2  2  2)  (10  10  10)

2 3

= 2  10

3 (2 : 3) = (_  2   )  3

VA N

(2  10) = (2  10)  (2  10)  (2  10)

Rekenregel

(2  10) =

6 3

Vaststelling: (2  10) = 2

 10

Om een product tot een macht te verheffen,

= (_  2   )  (_  2   )  (_  2   ) 3 3 3 = _  2  2  2     3  3  3 3

= _  2 3    3  3 Vaststelling: (_  2   )  = _  2     3 3

Om een quotiënt tot een macht te verheffen,

moet je

4 5 6

Voorbeelden

(_  5   )  6

–2

−3

(2  5) (5  3)

(_  2   )  5

7 8 9 10

11 12 13

392

Opmerking Deze rekenregel kun je gebruiken om grote getallen makkelijker tot een macht te verheffen. 2

400 =

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

Opmerking Om een breuk tot een macht met negatieve exponent te verheffen, pas je eerst de definitie van machten met een negatieve exponent toe. −2

(_  3   )  = (_  2   )   = 2 3

11.3.2 Machten van een product en een quotiënt met letters Macht van een product

Verklaring

(2  10) = 2  10 3

(a  b) = a  b p

(2  10)

(a  b)

= (2  10)  (2      10)  (2    10)  = (a  b)  (a     b)     

= (   a  b)  (a    b)  ...  (a       b) definitie macht 

= 2  10  2  10  2  10

= a  b  a  b  ...  a  b

3 factoren

2 factoren

=abab

=   a   a      b   b    2⏟ factoren 2 ⏟ factoren

= 2  2  2   1 0  10  10                 ⏟ 3 factoren 3 factoren 3

= 2  10 Rekenregel

(a  b) = a    b

p factoren

definitie macht

=a    b 

Macht van een product p

associativiteit

= a   a  ...  a          b  b  ...     b     commutativiteit       p

=a    b p

p factoren

Voorbeeld

VA N

∀a, b ∊ q en ∀p ∊ z : (a  b) = a  b Macht van een quotiënt

Verklaring

(_  2   )  = _  2 3    3 3  3

_  a      = _  a 2    (b) b 

Voorbeeld

_  a      = _  a q    (b) b  q

(_  2   )  3

a       _ (b)

_  a      (b)

2       2 _ _ = (_  2   )      ( 3  )   ( 3   )  3 

=  _  a        _  a          (b) (b) 

_ _ =  _  a          a        ...     a      (b) (b) (b) 

3 factoren ⏞   2 _______ =    2   2       3  3    3       ⏟ 3 factoren

2 factoren   = ______   a   a      b    b    ⏟  2 factoren

q factoren   a  __________ =    a  ...    a       b  b  ...       b    

3 factoren

2 factoren



=_  2 3    3  Rekenregel

=_  a 2    b 

definitie macht

q factoren



vermenigvuldigen

q factoren

=_  a q    b 

definitie macht

Macht van een quotiënt q

 a      = _  a q    ∀a, b ∈ q en ∀q ∈ z : _ (b) b 

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

393

Oefeningen REEKS A 22

Schrijf als een product van machten en bereken. 2

b) (2  10)

c) (10  2)

Schrijf als een quotiënt van machten en bereken. 2

c) (_  2   )  5

VA N

b) (_   9   )  10

Schrijf eerst als een product of quotiënt van machten en bereken. 2

a) (5  5)

–2

d) (4  2)

g) (3  7)

−2

b) (7  5)

e) (_  3   )  4

h) (_  10   )  7

a) (_  3   )  2

REEKS B 24

–3

a) (10  2)

2 2

−3

c) (_  5   )  6

f) (10  3)

i) (_  5   )  3

5 6 7 8 9

Schrijf als een macht van een product en bereken 3

–2

a) 4  5

b) 2  15

c) –8  5

12 13

394

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

Zijn de volgende uitspraken juist of fout? Zoek daarna het woord.

juist

fout

h) (–2  5) = –1 000

i) (3 )  = 3

j) − _  2      = _  2 3    3   3

_ a)  2      = (_  2   )  7 7 6

f) (4  5) = 200 8

b) 10 = 5  2

–2 3

VA N

  1   )  = (_   1   )  e) (_   1   )  : (_ 2 2 2

Woord:

REEKS C 27

d) (2  3) = 2

fout

g) _   1   )      ( _   1   )     = ( _   1   )     ( 10 10 10

3 3 c) 5 : 9 = (_  5   )  9

juist

Schrijf als een product of quotiënt van machten. Bereken indien mogelijk. 3

–2

a) (a  b)

d) (2a)

g) (3c)

b) _  x      (y)

e) (_  2b    )  3

h) _   1       ( 4d )

−3

−2

c) (b  k)

f) (5m) 

i) (_  2k   )  4z

Wetenschappelijke schrijfwijze

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

395

STUDIEWIJZER Machten van rationale getallen met gehele exponent voor de leerling

11.1 Machten met een gehele exponent KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

a = (__   1   )  a is een rationaal getal, a ≠ 0. a –n

n is een natuurlijk getal.

KUNNEN

–  + –  +

Een macht schrijven als een product. De benamingen grondtal, exponent en macht correct gebruiken. Machten met een gehele exponent van een rationaal getal berekenen.

11.2 Bewerkingen met machten met hetzelfde grondtal KENNEN m

m+p

m–p

∀a ∊ q en ∀m, p ∊ z : a : a = a m p

∀a ∊ q en ∀m, p ∊ z : (a )  = a

∀a ∊ q en ∀m, p ∊ z : a  a = a

mp

KUNNEN

–  + –  +

VA N

Rekenregels voor het rekenen met machten met grondtal 10 en 2 toepassen bij berekeningen. Rekenregels voor het rekenen met machten met gehele exponenten toepassen. Rekenregels voor het rekenen met machten verklaren.

Rekenregels voor het rekenen met machten met letterexponenten toepassen.

11.3 Macht van een product en een quotiënt

KENNEN

–  + –  +

1 2 3 4 5

Om een product tot de macht te verheffen, moet je iedere factor tot de macht verheffen. Om een quotiënt tot de macht te verheffen, moet je deeltal en deler tot de macht verheffen. p

∀a, b ∊ q en ∀p ∊ z : (a  b) = a  b q

  a   q    ∀a, b ∊ q en ∀p ∊ z : __   a      = ___ (b)   b KUNNEN Rekenregels voor het rekenen met machten met grondtal 10 en 2 toepassen bij berekeningen.

Rekenregels voor het rekenen met machten met gehele exponenten toepassen.

Rekenregels voor het rekenen met machten verklaren.

Rekenregels voor het rekenen met machten met letterexponenten toepassen.

9 10

Pienter Rekenen

11 12 13

396

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

–  + –  +

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

n de grote rechthoek?

Wat is de oppervlakte va

hieronder is verdeeld 1. De grote rechthoek oeken. in vijf congruente rechth die rechthoeken is 30. De omtrek van elk van

2. Een aanta l veertienjari gen werd ge 47 zijn lid va vraagd naar n een sportc hun hobby’s lub. . 52 volgen m uziekles. 63 zijn lid va n een jeugd beweging. 25 zijn lid va n een sportc lu b en van een 26 zijn lid va jeugdbeweg n een sportc ing. lub en volge 28 zijn lid va n m uziekles. n een jeugdb eweging en 17 zijn lid va volgen muzi n een sportc ekles. lub en van e volgen muzi e n jeugdbew ekles. eging en

VA N

Hoeveel vee

rtienjarigen

werden er o n

dervraagd?

3. Silke is jarig en tr akteert. Ze heeft 85 snoe pjes en verdeelt die eerlijk onde vriend(inn)en. Ze r haar deelt zo veel mog elijk snoepjes ui en dat zijn er ze t, ker meer dan éé n per persoon. Na het uitdelen houdt Silke er nog acht over. Aan hoeveel vriend(inn)en heeft Silke snoe pjes uitgedeeld?

eter 4. Een trein rijdt met een snelheid van 70 kilom halve per uur en nadert een tunnel van twee en een lang. r kilometer lang. De trein zelf is 300 mete n Hoelang (in minuten en seconden) zal het dure voordat de hele trein door de tunnel is, vanaf het t, moment dat hij met de voorkant de tunnel inrijd mt? tot het moment dat de achterkant de tunnel uitko

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

397

Problemen uit Kangoeroe en JWO 1.

Het natuurlijk getal n is een volkomen kwadraat. Hoeveel groter is het eerstvolgende volkomen kwadraat? Tip: een volkomen kwadraat is een natuurlijk getal waarvan de positieve vierkantswortel ook een natuurlijk getal is.

A) r n   − n

B) r 3n

_ D) r 2 √ n   + 1

C) r 2n + 1

E) r 1

JWO, editie 2015, tweede ronde

2. De varkensstal van boer Luc heeft een lengte van 9 m en breedte van 5 m. Hij maakt er twee hokken met gelijke oppervlakte van en een gang met breedte 1 m die tot aan het tweede hok reikt. Hoe lang is de gang?

B) r 4,5 m

C) r 5 m

VA N

A) r 4 m

D) r 5,5 m

E) r 6 m

JWO, editie 2016, tweede ronde

1 2 3

3. Astor heeft zondagavond 66 luizen in zijn haar. Elke ochtend behandelt hij zijn haar, waardoor het aantal luizen drie keer kleiner wordt en er nog drie extra sterven. ’s Avonds is het aantal luizen verdubbeld en is er één extra bijgekomen. Op welke ochtend is Astor na de behandeling van al zijn luizen verlost?

A) r woensdag

B) r donderdag

C) r vrijdag

D) r zaterdag

E) r zondag

JWO, editie 2018, eerste ronde

4 5 6 7

4. Een gelijkbenige driehoek ABC heeft tophoekˆ    = 104°. A Bepaal de hoek tussen de zijde [AB] en de deellijn (bissectrice) van ˆ   .  C

8 9 10

A) r 52°

B) r 55°

C) r 56°

12 13

398

JWO, editie 2019, eerste ronde

HOOFDSTUK 11 I MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN MET GEHELE EXPONENT

D) r 57°

E) r 58°

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

12.1 Vlakke voorstelling van ruimtefiguren

400

12.2 Aanzichten van ruimtefiguren

410

12.3 Onderlinge ligging van rechten 421

in de ruimte

425

12.5 Symmetrie in ruimtefiguren

429

12.6 Volume van ruimtefiguren

432

Studiewijzer

439

Pienter problemen oplossen

441

Problemen uit Kangoeroe en JWO

442

VA N

12.4 Kegel, piramide en bol

Cartoon onderaan de pagina: PIE2_LWB_H12_ruimtefiguren Wordt na P1 aangeleverd

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

399

12.1 Vlakke voorstelling van ruimtefiguren

12.1.1 Inleiding

VA N

Bij stoeptekeningen geven kunstenaars een tweedimensionale voorstelling van de driedimensionale werkelijkheid. Dat zorgt voor prachtige kunstwerken. De vlakke voorstelling van een ruimtelijke situatie noem je perspectief.

12.1.2 Soorten perspectief

isometrisch perspectief

cavalièreperspectief

éénvluchtpuntperspectief P

1 2 3 4

30°

45°

5 6 7

Bij éénvluchtpuntperspectief lopen alle vluchtlijnen naar een denkbeeldig punt (P).

Bij isometrisch perspectief worden alle vluchtlijnen getekend onder een hoek van 30° ten opzichte van de horizon. De vluchtlijnen zijn evenwijdig. De vluchtlijnen teken je op ware grootte.

Bij cavalièreperspectief worden alle vluchtlijnen getekend onder een hoek van 45° ten opzichte van de horizon. De vluchtlijnen zijn evenwijdig. De vluchtlijnen teken je met een verkortingsfactor 0,5.

Het voorvlak is naar de kijker gericht.

Een opstaande ribbe is naar de kijker gericht.

Het voorvlak is naar de kijker gericht.

8 9 10 11

12 13

400

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

12.1.3 Verlies aan informatie bij de vlakke voorstelling van ruimtefiguren Vorm en grootte De kubus is in cavalièreperspectief getekend. • Bepaal het soort vlakke figuur. figuur

op tekening

in werkelijkheid

ABCD

ADHE

• Bepaal de gevraagde hoekgroottes. A

hoek

∧

G H

in werkelijkheid

• Bepaal de gevraagde lengtes.

∧

op tekening

lengte | AD |

Vaststelling

in werkelijkheid

VA N

| AB |

op tekening

Bij een perspectieftekening komen vorm, hoekgrootte en lengte niet altijd overeen met de werkelijkheid.

isometrisch perspectief

cavalièreperspectief

Lengte en hoekgrootte op de tekening komen overeen met lengte en hoekgrootte in werkelijkheid. Lengte en hoekgrootte op de tekening komen niet overeen met lengte en hoekgrootte in werkelijkheid. Verborgen informatie De blokkenstapeling geeft niet al haar geheimen prijs. Dat zie je wanneer je de blokkenstapeling vanuit een ander camerastandpunt bekijkt. Het beertje dat achter de muur verscholen zit, is niet zichtbaar op de eerste figuur.

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

401

Oefeningen REEKS A

In welk soort perspectief is de kubus getekend? b)

r éénvluchtpuntperspectief r isometrisch perspectief r cavalièreperspectief

In welk soort perspectief is de ruimtefiguur getekend? b)

VA N

2 3 4

REEKS B

5 6

Vervolledig de voorstelling van de balk in cavalièreperspectief. De onzichtbare ribben worden in streepjeslijnen voorgesteld.

7 8

9 10 11

12 13

402

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

De kubus is in perspectief voorgesteld. Welk soort vlakke figuur is de aangeduide figuur op de tekening en in werkelijkheid?

Door even grote kubussen te stapelen, krijg je een blokkenconstructie zoals afgebeeld. Hoeveel kubusjes worden minstens gebruikt?

op tekening

in werkelijkheid

éénvluchtpuntperspectief

Bij de voorstellingen van de ruimtefiguren in cavalièreperspectief zijn bepaalde ribben en hoeken in grijs aangeduid. Duid die ribben/hoeken in het groen aan als de lengte/hoekgrootte op de tekening overeenkomt met de werkelijke lengte/hoekgrootte. In het andere geval duid je de ribben/hoeken in het rood aan. a) kubus

isometrisch perspectief

VA N

cavalièreperspectief

b) balk

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

403

Welk soort perspectief kun je op de volgende tekeningen herkennen? a)

In welk soort perspectief is de ruimtefiguur getekend? b)

•

3 4

5 •

7 8

9 •

10 11

404

De afbeelding werd in 1754 door William Hogarth gemaakt. Ze was bedoeld om mensen in perspectief te leren tekenen. Hij waarschuwde: ‘Wie een ontwerp maakt zonder kennis van perspectief, stelt zich bloot aan dwaasheden zoals op deze afbeelding.’ Zoek op de tekening drie dwaasheden in verband met perspectief.

VA N

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

De kubus in cavalièreperspectief is foutief getekend. Ontdek de fout van de tekenaar. a)

De kubus in isometrisch perspectief is foutief getekend. Ontdek de fout van de tekenaar. b)

VA N

Een luciferdoosje meet 40 mm x 28 mm x 13 mm. Duid de meest correcte weergave van het doosje in cavalièreperspectief aan. a)

r b)

r HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

405

Perspectief kan erg misleidend zijn. Beantwoord de vragen en je zult merken dat je ogen je vaak bedriegen. a)

a b L

• Vul in met < , > of = . Bepaal het antwoord zonder te meten.

• Welk van de drie auto’s op de foto is het langst? Bepaal het antwoord zonder te meten.

| TA | | FL |

• Meet [ TA ] en [ FL ].

• Meet de lengte van elke auto.

| TA |= mm

auto a: mm

• Besluit:

auto b: mm auto c: mm

• Besluit:

VA N

| FL |= mm

De kubus is in perspectief voorgesteld. Welk soort driehoek, ingedeeld volgens de zijden, is  ABCop de tekening en in werkelijkheid?

2 3

5 6 7

8 9

10 11

op tekening

in werkelijkheid

406

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

Bepaal de gevraagde afmetingen van het huis, dat in cavalièreperspectief op schaal 1 : 150 getekend is. a) hoogte van de garagepoort:

b) breedte van de deur:

c) hoogte van het venster in de gevel van de deur:

d) breedte van het venster in de gevel van de deur:

Tijdens een partijtje voetbal belandt de bal in de doolhof.

VA N

a) De bal is op de plattegrond van de doolhof aangeduid. Duid op de tekening de positie van de bal aan met een stip.

b) Kleur op de plattegrond de zitbanken die niet zichtbaar zijn op de tekening. c) Duid op de plattegrond de kortste weg aan die Joppe moet volgen om vanaf ingang 1 de bal terug te halen.

Bij de vlakke weergave van een blokkenstapeling kunnen bepaalde blokjes verborgen zijn. Bepaal het minimum- en maximumaantal blokjes dat je kunt gebruiken om de blokkenstapeling te bouwen. Elk blokje moet ondersteund zijn. a)

• minimumaantal:

• maximumaantal:

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

407

REEKS C 18

Teken de ruimtefiguur in cavalièreperspectief. a) een kubus met ribbe 30 mm

Teken de balk, die in isometrisch perspectief getekend is, in cavalièreperspectief. De onzichtbare ribben worden voorgesteld door streepjeslijnen.

VA N

b) een balk met lengte 50 mm, breedte 20 mm en hoogte 30 mm

1 2 3

In 1525 verscheen te Nürnberg een werk van Albrecht Dürer waarin hij een methode beschrijft om in perspectief te tekenen. Dürer maakte daarbij gebruik van een raam dat in gelijke vakken is verdeeld. Tussen dat raam en het oog wordt een vizier geplaatst in de vorm van een gepunte staaf waarlangs de schilder naar zijn model kijkt. De kunstenaar brengt datgene wat hij in het raam ziet, over op een blad dat voorzien is van vakjes die corresponderen met de vakjes op het raam.

4 5 6

Welk soort perspectief kun je bij de stoeptekeningen herkennen? a)

7 8 9 10 11

12 13

408

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

Een figuur toont een aantal gestapelde boeken. Bij figuur 1 is een deel van de figuur bedekt en bij figuur 2 zie je de volledige figuur. figuur 1: Een deel van de boekenstapeling is bedekt. Uit hoeveel boeken bestaat de stapeling?

figuur 2: Verbeter de figuur, zodat je altijd een boekenstapeling van drie boeken ziet, ook als je het deel van de figuur bedekt zoals bij figuur 1.

Om gemakkelijk in isometrisch perspectief te kunnen tekenen, maak je gebruik van isometrisch papier. Teken de ruimtefiguren in isometrisch perspectief. b) balk met lengte 30 mm, breedte 20 mm en hoogte 15 mm

VA N

a) kubus met ribbe 2 cm

In een balk, voorgesteld in cavalièreperspectief, is een driehoek getekend. a) Welke zijden van  EAGzijn op de perspectieftekening op ware grootte voorgesteld? B

• op de tekening:

F E

G H

• in werkelijkheid: c) Teken op de voorstelling van de balk een tweede driehoek met dezelfde oppervlakte als  EAG. Benoem de driehoek.

b) Welk soort driehoek, ingedeeld volgens de hoeken, is  EAG?

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

409

12.2 Aanzichten van ruimtefiguren 12.2.1 Inleiding Wanneer je een huis wilt bouwen, maakt de architect een plan met verschillende aanzichten. Aanzichten zijn vlakke voorstellingen van het huis, waarbij hij het huis vanuit bepaalde camerastandpunten weergeeft. Noteer bij de onderstaande aanzichten van het huis de juiste benaming. Kies uit voorgevel, achtergevel, linkerzijgevel en rechterzijgevel. a)

c) 529 510

529 510

100 45 ° 270 250

NIV 260

NIV 000 0

270 250

NIV 000 0

NIV-0 10

VA N

NIV-0 10

529 510

100 45 °

529 510

100 45 °

270 250

NIV 260

100 45 °

NIV 000 0

NIV-0 10

270 250

2 3

12.2.2 Aanzichten tekenen

Wanneer je een ruimtefiguur vanuit verschillende camerastandpunten bekijkt, verkrijg je aanzichten van de ruimtefiguur.

5 6 7

Aanzichten bieden het voordeel dat je alle afmetingen correct op de tekening kunt meten. Dat is bij een perspectieftekening niet altijd het geval.

8 9 10

De meest gebruikte aanzichten zijn vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht.

vooraanzicht

12 13

410

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

Bij bepaalde perspectieftekeningen wordt het vooraanzicht aangeduid met een pijl.

aanzichten van een blokkenstapeling bovenaanzicht

vooraanzicht

linkerzijaanzicht

Bij de blokkenstapelingen zijn alle blokken binnen eenzelfde laag in dezelfde kleur.

12.2.3 Verlies aan informatie bij aanzichten van ruimtefiguren Van een blokkenstapeling zijn het vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht gegeven. bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

VA N

vooraanzicht

Duid de blokkenstapelingen aan die horen bij de gegeven aanzichten.

r r r r

Wat stel je vast?

Vaststelling

Aanzichten bieden ons niet altijd voldoende informatie om een ruimtefiguur correct in perspectief weer te geven.

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

411

Oefeningen REEKS A 24

Plaats, indien mogelijk, het aanzicht bij het huis. a)

528 509

542

588 554

120

100

40 °

130

45 °

282 260

NIV 270

NIV 337

45 °

NIV 260

294 260

NIV 000 0

NIV-0 10

0 NIV 000 NIV-0 10

509

VA N

540 509

100

150

125

269 250

50 °

45 ° NIV 270

269 250

NIV 000 0

280 260

NIV 000 0

NIV-0 10

De jongen of het meisje ziet het vooraanzicht van het voorwerp. Wat zien wij? Kies uit vooraanzicht, achteraanzicht, linkerzijaanzicht en rechterzijaanzicht.

NIV 310

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13

412

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

Duid van de blokkenstapeling het passende vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht aan. vooraanzicht

r r r bovenaanzicht

r r r

VA N

linkerzijaanzicht

r r r

Vul het juiste aanzicht in. Kies uit vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht.

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

413

Kleur de aanzichten, zodat de kleuren overeenkomen met de kleuren op de perspectieftekening. a)

vooraanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

vooraanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

REEKS B

b) 1

VA N

Schets het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van de meubels.

vooraanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

vooraanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

2 3 4 5 6 7

De balk is in cavalièreperspectief getekend. Teken het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van de balk. Respecteer de afmetingen.

vooraanzicht

9 10 11

12 13

414

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

De blokkenstapelingen zijn in cavalièreperspectief getekend. Teken het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht. a)

vooraanzicht

bovenaanzicht

vooraanzicht

linkerzijaanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

Teken het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van de blokkenstapelingen. Houd rekening met de kleur van de blokken. a)

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

VA N

vooraanzicht

Welk bovenaanzicht hoort niet bij de getekende blokkenstapeling? a)

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

415

Van een blokkenstapeling zijn de drie aanzichten gegeven. Welke blokkenstapeling voldoet niet? vooraanzicht

linkerzijaanzicht

bovenaanzicht

Verschillende blokkenstapelingen met dezelfde aanzichten

VA N

a) Teken het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van de gegeven blokkenstapeling.

1 2 3 4 5 6

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

vooraanzicht

b) Op welke blokjes mag je het blokje met de smiley plaatsen zodat het vooraanzicht niet verandert?

5 12

c) Op welke blokjes mag je het blokje met de smiley plaatsen zodat het bovenaanzicht niet verandert?

d) Op welke blokjes mag je het blokje met de smiley plaatsen zodat het linkerzijaanzicht niet verandert?

12 13

416

e) Op welke blokjes mag je het blokje met de smiley plaatsen zodat geen enkel aanzicht verandert?

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

Van welk soort ruimtefiguur zijn hieronder de aanzichten getekend? vooraanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

ruimtefiguur

Bij elk aanzicht van het huis maakte de tekenaar fouten. Spoor de fouten op en omcirkel ze op het aanzicht.

VA N

a) voorgevel

c) rechterzijgevel

b) linkerzijgevel

d) achtergevel

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

417

Duid het passende vooraanzicht, bovenaanzicht en linkerzijaanzicht aan. vooraanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

Van een dobbelsteen is de som van de ogen van de tegenoverliggende vlakken gelijk aan zeven. Het vooraanzicht en het linkerzijaanzicht van een dobbelsteen, zoals op de foto, zijn gegeven. Teken het bovenaanzicht van die dobbelsteen.

REEKS C

linkerzijaanzicht

Van een balk zijn drie aanzichten gegeven. Teken de balk in cavalièreperspectief. Respecteer de afmetingen. a) vooraanzicht bovenaanzicht linkerzijaanzicht

2 3 4 5 6 7 8

b) vooraanzicht bovenaanzicht linkerzijaanzicht

9 10 11

12 13

418

bovenaanzicht

VA N

vooraanzicht

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

Van een balk zijn twee aanzichten gegeven. Teken het ontbrekende aanzicht. vooraanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

VA N

Van een blokkenstapeling is het bovenaanzicht gegeven. Het getal geeft aan hoeveel kubusjes op elkaar gestapeld zijn. Teken het vooraanzicht en het linkerzijaanzicht van de blokkenstapeling. bovenaanzicht

vooraanzicht

linkerzijaanzicht

vooraanzicht

linkerzijaanzicht

bovenaanzicht

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

419

vooraanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

vooraanzicht

bovenaanzicht

linkerzijaanzicht

Van een blokkenstapeling zijn het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht gegeven. Teken twee mogelijke blokkenstapelingen in cavalièreperspectief.

VA N

In de balk, die is voorgesteld in cavalièreperspectief, is een driehoek getekend. Teken het vooraanzicht, het bovenaanzicht en het linkerzijaanzicht van deze ruimtefiguur.

1 2

mogelijkheid 1

3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13

420

vooraanzicht

bovenaanzicht

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

mogelijkheid 2

linkerzijaanzicht

12.3 Onderlinge ligging van rechten in de ruimte 12.3.1 Rechten in eenzelfde vlak De rechten a, b, c en d liggen in het vlak a. Bepaal de onderlinge ligging van de rechten. α

• a en b: • b en d: b

• a en c: d c

12.3.2 Rechten in twee verschillende vlakken loodrecht kruisend

kruisend

VA N

De rechte c ligt in het vlak a en de rechte e ligt in het vlak b. Beide rechten liggen in een verschillend vlak en hebben geen enkel punt gemeenschappelijk. Kruisende rechten zijn rechten die niet in eenzelfde vlak liggen.

De rechte c ligt in het vlak a en de rechte f ligt in het vlak b. Beide rechten vormen onderling een hoek van 90°. Loodrecht kruisende rechten zijn kruisende rechten die onderling een hoek van 90° vormen.

12.3.3 Verlies aan informatie Wanneer je rechten tekent en hun onderlinge ligging bekijkt, kan er een verschil in onderlinge ligging zijn op de vlakke voorstelling en in werkelijkheid. Bepaal de onderlinge ligging van de rechten op de vlakke voorstelling en in werkelijkheid. p

op tekening

q r

in werkelijkheid

q en r

p en r

Bij een perspectieftekening komt de onderlinge ligging van rechten niet altijd overeen met de werkelijkheid.

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

421

Oefeningen REEKS A 45

Wat is de onderlinge ligging van de aangeduide rechten? a)

b) a

h b

snijdend

loodrecht snijdend

kruisend

loodrecht kruisend

evenwijdig

snijdend

loodrecht snijdend

kruisend

loodrecht kruisend

g en h

f en g

f en h

e en f

b en c

c en d

a en d

VA N

evenwijdig

a en b

Bepaal de onderlinge ligging van de aangeduide rechten op de tekening en in werkelijkheid. a)

2 3

4 5

op tekening

in werkelijkheid

g en s

m en s

g en m

6 7

p g

op tekening

8 9

in werkelijkheid

g en p

p en s

g en s

12 13

422

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

REEKS B 47

Bepaal de onderlinge ligging van de aangeduide rechten op de tekening en in werkelijkheid. Kies uit evenwijdig, snijdend, loodrecht snijdend, kruisend en loodrecht kruisend. op tekening A G E

K U

b) GA en NK

c) RM en MI

d) RU en IM

e) DG en AE

f) EN en RU

g) DK en KM

h) GA en UI

Op het huis zijn een aantal punten aangeduid. Bepaal de onderlinge ligging van de aangeduide rechten op de tekening en in werkelijkheid. Kies uit evenwijdig, snijdend, loodrecht snijdend, kruisend en loodrecht kruisend.

VA N

a) GK en EN

in werkelijkheid

G H

op tekening

in werkelijkheid

a) CF en DE

b) AB en CF

c) KF en FM

d) GH en CF

e) GH en AB

f) IJ en LN

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

423

Bepaal de onderlinge ligging van de aangeduide rechten op de tekening en in werkelijkheid. Kies uit evenwijdig, snijdend, loodrecht snijdend, kruisend en loodrecht kruisend. op tekening B

G M

in werkelijkheid

a) AB en AM

b) AD en BM

c) AM en GH

d) FG en AM

e) EH en BM

De balk is in isometrisch perspectief voorgesteld. Bepaal de onderlinge ligging van de aangeduide rechten op de tekening en in werkelijkheid. Kies uit evenwijdig, snijdend, loodrecht snijdend, kruisend en loodrecht kruisend.

op tekening

B C

D F

b) EF en DH

c) AE en AD

d) BF en EH

e) FG en CG

a) AB en CD

VA N

in werkelijkheid

REEKS C 1 2 3

Een achtzijdig prisma is in perspectief voorgesteld. Bepaal de onderlinge ligging van de aangeduide rechten op de tekening en in werkelijkheid. Kies uit zelfde rechte, evenwijdig, snijdend, loodrecht snijdend, kruisend en loodrecht kruisend.

op tekening

6 7 8

9 10 11

12 13

424

F H

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

in werkelijkheid

a) CD en IJ

b) AB en DE

c) GF en JK

d) OP en MN

e) AI en DL

f) EF en CK

12.4 Kegel, piramide en bol 12.4.1 Inleiding Lieze krijgt op school de opdracht om foto’s te zoeken waarop voorwerpen te zien zijn die aan een kegel, een piramide of een bol doen denken. Welke foto’s kan Lieze voor die opdracht gebruiken? 1

piramide

kegel

bol

Kegel

VA N

12.4.2 Vlakke voorstelling van een kegel, piramide en bol perspectief

aanzichten bovenaanzicht

vooraanzicht zijaanzicht

ontwikkeling

Piramide

perspectief

aanzichten vooraanzicht zijaanzicht

Bol

perspectief

bovenaanzicht

aanzichten vooraanzicht zijaanzicht

ontwikkeling

bovenaanzicht

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

425

Oefeningen REEKS A 52

Schrijf onder elke ruimtefiguur de juiste naam. a)

Op welke voorwerpen lijken de ruimtefiguren op de foto? b)

REEKS B 54

VA N

Schrijf onder elke ruimtefiguur de juiste naam. a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13

426

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

Welke ruimtefiguren herken je op de volgende blokkentorens? a)

Bij de afgebeelde ruimtefiguren kun je met de letters die op een bol, een piramide en een kegel staan, een woord vormen. Zoek dat woord.

VA N

E L

H J

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

427

Van welke ruimtefiguur is de ontwikkeling getekend? a)

REEKS C Bij welke ruimtefiguur kan het gegeven aanzicht horen? De aanzichten kunnen bovenaanzicht, vooraanzicht of zijaanzicht zijn.

59 1

Teken de ontwikkeling van een piramide met een vierkant grondvlak. Het grondvlak en elk zijvlak hebben een omtrek van 8 cm.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13

428

VA N

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

a) kubus:

b) balk:

c) prisma:

d) cilinder: e) kegel:

f) piramide: g) bol:

12.5 Symmetrie in ruimtefiguren 12.5.1 Inleiding Bepaalde vlakke figuren, bijvoorbeeld een vierkant, zijn symmetrisch. Een spiegelas beeldt dan de figuur op zichzelf af. Die spiegelas noem je de symmetrieas. Ook sommige ruimtefiguren zijn symmetrisch. Je spreekt dan niet van een symmetrieas, maar van een symmetrievlak. Zo’n symmetrievlak stelt een spiegel voor. Het deelt de ruimtefiguur in twee gelijke delen die elkaars spiegelbeeld zijn.

12.5.2 Symmetrie om een vlak

Een symmetrievlak in een ruimtefiguur verdeelt de ruimtefiguur in twee gelijke delen die elkaars spiegelbeeld zijn.

VA N

voorbeelden

tegenvoorbeeld

A A9

12.5.3 Symmetrie om een punt Er bestaan vlakke figuren met een symmetriemiddelpunt. Dat is het centrum van de puntspiegeling die de figuur op zichzelf afbeeldt. Ook bepaalde ruimtefiguren hebben een symmetriemiddelpunt. voorbeelden

tegenvoorbeeld

A9 A9

A A

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

429

Oefeningen REEKS A 60

Is het vlak a een symmetrievlak van de ruimtefiguur? a)

r ja r nee b)

r ja r nee e)

r ja r nee

VA N

r ja r nee c)

r ja r nee

REEKS B

4 5

Heeft de ruimtefiguur een symmetriemiddelpunt?

6 7

a) een kubus

b) een balk

c) een piramide

8 9 10 11

12 13

430

r ja r nee HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

r ja r nee

Is het vlak a een symmetrievlak van de ruimtefiguur? a)

c) a

r ja r nee

Bepaal het aantal symmetrievlakken van de ruimtefiguur. a) een kubus

b) een piramide met vierkant grondvlak

c) een kegel

REEKS C 64

VA N

r ja r nee

Is het punt A het symmetriemiddelpunt van de ruimtefiguur? Verduidelijk je antwoord.

r ja r nee

Vervolledig de figuur zodat a een symmetrievlak is van de ruimtefiguur. a

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

431

12.6 Volume van ruimtefiguren 12.6.1 Even herhalen kubus

balk

cilinder

algemeen

h Ag

V = A g  h

12.6.2 Volume van een kegel, piramide en bol

Het volume van drie kegels is hetzelfde als het volume van een cilinder waarvan het grondvlak en de hoogte dezelfde zijn als die van de kegel.

VA N

Kegel

Volume kegel:

2 V = __   1      r   h 3

Piramide

1 2

Het volume van drie piramides is hetzelfde als het volume van een prisma waarvan het grondvlak en de hoogte dezelfde zijn als die van de piramide.

Volume piramide:

V = __   1    A g  h 3

6 7

Bol

8 9

+ r

10 11

+ r

= r

Het volume van vier kegels is hetzelfde als het volume van een bol waarvan de straal dezelfde is als die van het grondvlak van de kegel. De kegel heeft ook dezelfde hoogte als de straal van de bol. Volume bol:

432

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

V = __   4      r  3 3

Oefeningen REEKS A

De ruimtefiguur is voorgesteld in cavalièreperspectief. Bepaal het volume van de ruimtefiguur. b)

VA N

Van een cilinder zijn het bovenaanzicht en het vooraanzicht gegeven. 3 Bepaal het volume van de cilinder. Bepaal het antwoord op 0,1 cm  nauwkeurig. vooraanzicht

bovenaanzicht

11 cm

4 cm

Bereken het volume van de ruimtefiguur. Bepaal het antwoord op 0,1 cm  nauwkeurig.

5 cm

12 cm

10 cm V1

10 cm 10 cm

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

433

REEKS B 69

Hoeveel water kan de vaas bevatten? Antwoord in liter op 0,01 l nauwkeurig. a)

b) 10 cm 15 cm

8 cm

12 cm

18 cm 15 cm 12 cm 12 cm

VA N

Hoeveel cilindervormige glazen kun je vullen met een fles melk van 1 liter? Je vult het glas tot 15 mm van de rand. Schat eerst het antwoord en controleer daarna aan de hand van een berekening.

• schatten:

3 4

6 cm

5 6

10 cm

• berekenen:

10 11

434

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

Een karton melk heeft een lengte van 90 mm en een breedte van 57 mm. Bereken de minimale hoogte van het melkkarton zodat het 1 liter melk kan bevatten. Bepaal het antwoord op 1 mm nauwkeurig.

Van een ruimtefiguur zijn het bovenaanzicht en het vooraanzicht gegeven. De aanzichten zijn getekend op schaal 1 : 50. Bereken het volume van de ruimtefiguur. bovenaanzicht

vooraanzicht

REEKS C

Bereken het volume van de gegeven ruimtefiguren. 3 Bepaal het antwoord op 0,01 mm  nauwkeurig.

VA N

22 mm

45 mm

55 mm 34 mm 34 mm

18 mm

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

435

Een Egyptische piramide heeft een vierkant grondvlak met een zijde van 110 m. Ze is 60 m hoog. Bereken het volume van de piramide.

Een voetbal heeft een straal van 11 cm. Bepaal het volume in liter van de voetbal. Schat eerst het antwoord en controleer daarna door het antwoord te berekenen op 0,01 l nauwkeurig.

• schatten:

2 3

VA N

• berekenen:

Een kegelvormig ijshoorntje heeft een cirkelvormige opening met een straal van 25 mm en het is 150 mm hoog. Bereken het volume van het ijshoorntje. Bepaal het antwoord in liter op 0,001 l nauwkeurig.

7 8

10 11

12 13

436

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

Een toren met een totale hoogte van 56 m heeft een piramidevormig dak dat 12 m hoog is. Het grondvlak van de toren is een vierkant met een zijde van 5 m. 3 Bereken het totale volume van de toren. Bepaal het antwoord op 1 m  nauwkeurig.

Een stenen toren is cilindervormig, met een metalen dak in de vorm van een halve bol met een straal van 1 m. De toren is in totaal 8 m hoog. Bereken het totale volume van de toren. 3 Bepaal het antwoord op 1 m  nauwkeurig.

VA N

Op een bouwwerf staat een silo die bestaat uit een cilindervormig gedeelte met een hoogte van 4,3 m en een grondvlak met een diameter van 1,8 m. Het onderste gedeelte heeft de vorm van een kegel met een hoogte van 1,2 m. Bereken hoeveel kubieke meter mortel je in de silo kunt opslaan. 3 Bepaal het antwoord op 0,01 m  nauwkeurig.

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

437

De inhoud van een piramide is 9,234 liter. De piramide heeft een vierkant grondvlak met een zijde van 27 cm. Bereken de hoogte van de piramide. Duid ook de hoogte aan op de voorstelling van de piramide.

Joris smelt twaalf bolvormige kaarsen. Hoeveel kegelvormige kaarsen kan hij met het gesmolten kaarsvet gieten? De straal van het grondvlak van de kegel is dezelfde als de straal van de bol en de hoogte is het dubbel van de straal van het grondvlak.

VA N

Het bouwwerk, hieronder afgebeeld, bestaat uit een kegel op een balk met een vierkant grondvlak 3 met een zijde van 60 mm. Het volume van het bouwwerk is 232,686 cm  en de totale hoogte van het bouwwerk is 120 mm. Bereken de hoogte (h1) van de balk en de hoogte (h2) van de kegel. Duid die hoogtes aan op de tekening.

4 5

7 8

12 13

438

Oppervlakte kegel, piramide en bol HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

STUDIEWIJZER Ruimtemeetkunde voor de leerling

12.1 Vlakke voorstelling van ruimtefiguren KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Bij een perspectieftekening komen vorm, hoekgrootte en lengte niet altijd overeen met de werkelijkheid.

KUNNEN

–  + –  +

Vanuit een vlakke weergave een beeld vormen van een ruimtelijke figuur. Het soort perspectief herkennen bij de vlakke voorstelling van een ruimtefiguur. Aangeven welke informatie verloren gaat in een tweedimensionale voorstelling van een driedimensionale situatie.

12.2 Aanzichten van ruimtefiguren KENNEN

–  + –  +

Aanzichten bieden ons niet altijd voldoende informatie om een ruimtefiguur correct in perspectief weer te geven.

KUNNEN

–  + –  +

Aan de hand van een perspectieftekening de aanzichten van een ruimtefiguur bepalen.

VA N

Aan de hand van gegeven aanzichten een correct beeld vormen van een ruimtefiguur. Aangeven welke informatie verloren gaat bij een tweedimensionale voorstelling met aanzichten van een driedimensionale situatie.

12.3 Onderlinge ligging van rechten in de ruimte KENNEN

–  + –  +

Kruisende rechten zijn rechten die niet in eenzelfde vlak liggen.

Loodrecht kruisende rechten zijn kruisende rechten die onderling een hoek van 90° vormen. Bij een perspectieftekening komt de onderlinge ligging van rechten niet altijd overeen met de werkelijkheid.

KUNNEN

–  + –  +

Aan de hand van een perspectieftekening de onderlinge ligging van twee rechten bepalen op een tekening en in werkelijkheid.

12.4 Kegel, piramide en bol KUNNEN

–  + –  +

Aan de hand van een schets of een tekening een kegel, een piramide en een bol herkennen. Aan de hand van aanzichten een kegel, een piramide en een bol herkennen. Aan de hand van een ontwikkeling een kegel en een piramide herkennen.

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

439

voor de leerling

12.5 Symmetrie in ruimtefiguren KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een symmetrievlak in een ruimtefiguur verdeelt de ruimtefiguur in twee gelijke delen die elkaars spiegelbeeld zijn. Een symmetriemiddelpunt is het centrum van de puntspiegeling die de figuur op zichzelf afbeeldt.

KUNNEN

–  + –  +

Een symmetrievlak in een ruimtefiguur herkennen. Het symmetriemiddelpunt in een ruimtefiguur herkennen.

12.6 Volume van ruimtefiguren KENNEN

–  + –  +

Volume van een kubus met zijde z: V = z   3

Volume van een balk met lengte l, breedte b en hoogte h: V=lbh

Volume van een cilinder met straal van het grondvlak r en hoogte h: V =   r 2  h

VA N

Volume van een prisma met oppervlakte van het grondvlak A  g en hoogte h: V = A  g h Volume van een kegel met straal van het grondvlak r en hoogte h: V = __   1      r 2  h 3

Volume van een piramide met oppervlakte van het grondvlak A  g en hoogte h: V = __   1    A g  h 3

Volume van een bol met straal r: V = __   4      r 3 3

KUNNEN

Het volume van een kubus, een balk en een cilinder berekenen.

Het volume van een prisma berekenen.

Met een formularium het volume van een kegel berekenen.

4 5

Met een formularium het volume van een piramide berekenen. Met een formularium het volume van een bol berekenen.

6 7

Pienter Rekenen

8 9 10 11

12 13

440

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

–  + –  +

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

lege vakje van de laatst

50 23

en 9 4, 5, 6, 7, 8 , 3 , 2 1, rs ik de cijfe rde. 2. Rangsch aan één de is jk li e g ie kd in een breu

3. De straal van de gegeven cirk el is 7. Bereken de oppe rvlakte van het ingeschreven vi er

kant.

❑ schets

VA N

❑ filter

t 1. Welk getal hoort in he cirkel?

❑ concreet materiaal

uit en haar zakgeld n a v % 5 5 eft eerst 4. Hanne ge van de rest. ze dan daarna 20 % kgeld heeft za r a a h n a cent v Hoeveel pro nog over?

HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

441

Problemen uit Kangoeroe en JWO 1.

Op 2 013 uur tijd produceren 2 014 koeien in totaal precies 2 015 hectoliter melk. Hoeveel hectoliter produceren 2 013 koeien op 2 014 uur tijd?

A) r 2 013

B) r 2 014

C) r 2 015

2 013  2   015   E) r ____________ 2 014  2   015   D) r ____________         2 014 2 013

JWO, editie 2015, eerste ronde

1m 1m

Een schaap is met een touw van 2 meter vastgemaakt aan het hoekpunt A van het rode gebouw (zie plattegrond op de figuur). Wat is de oppervlakte waarop het schaap kan grazen?

1m 3m A

B) r _  13     4

C) r _  16      5

VA N

A) r _  11     3

D) r _  24      7

E) r 4  − 2

JWO, editie 2016, tweede ronde

3. Een rechthoekige puzzel van 1 000 stukjes telt 25 stukjes op elke verticale lijn en 40 op elke horizontale lijn. Hoeveel procent van de stukjes ligt op de rand?

A) r 11 %

2 3

B) r 11,4 %

C) r 12 %

D) r 12,6 %

E) r 13 %

JWO, editie 2017, eerste ronde

4 5 6

In de Rationale Bank wordt een voorraad balkvormige goudstaven met vierkante doorsnede in lagen opgestapeld, zoals op de figuur. De lagen worden gestapeld tot er middenin precies plaats is voor één goudstaaf, die op het einde wordt toegevoegd. Hoeveel staven zijn er dan?

7 8 9 10 11

A) r 49

B) r 61

12 13

442

JWO, editie 2018, tweede ronde HOOFDSTUK 12 I RUIMTEMEETKUNDE

C) r 73

D) r 85

E) r 97

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

13.1 Product van twee tweetermen

444

13.2 Het kwadraat van een tweeterm

446

13.3 Het product van twee toegevoegde 450

tweetermen

453

Studiewijzer

458

Pienter problemen oplossen

459

Problemen uit Kangoeroe en JWO

460

VA N

13.4 Merkwaardige producten

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

443

13.1 Product van twee tweetermen 13.1.1 Inleiding Werk uit, herleid en rangschik naar dalende machten.

a) (m + 5)  (k – 6)

f) (a – 2)  (a – 2)

= = =

Bij sommige vermenigvuldigingen van tweetermen is zowel de opgave als het resultaat speciaal. Vink het vakje naast die merkwaardige producten aan.

1 2

e) (x − 3)  (x + 7)

c) (x + 2)  (y + 2)

VA N

b) (x + 3)  (x + 3)

d) (x − 5)  (x + 5)

13.1.2 Benamingen 2

• Producten van de vorm (a + b)  (a + b), kort (a + b)  ,

producten van de vorm (a − b)  (a − b), kort (a − b)  ,

noem je het kwadraat van een tweeterm.

Voorbeelden: (x + 3)  en (2y − 6)  zijn kwadraten van een tweeterm.

• Producten van de vorm (a + b)  (a − b) noem je het product van toegevoegde tweetermen.

a en a b en −b

10 11 12

444

noem je de gelijke termen en noem je de tegengestelde termen.

Voorbeeld: (2x + 3)  (2x − 3) noem je het product van toegevoegde tweetermen, waarbij 2x en 2x de gelijke termen zijn en 3 en −3 de tegengestelde termen zijn.

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

Oefeningen REEKS A

Welke producten zijn merkwaardig? Vink aan. a) (a + 7)  (b + 7)

e) (x + 2y)  (2x + y)

b) (2x + 3)  (2x − 3)

f) (x − a)  (x − a)

c) (b + 3c)  (b + 3c)

g) (2p − 6)  (2p − 6)

d) (3x − 7)  (3x − 8)

h) (5k + 3)  (5k − 3)

a) (a − 17)  (a + 17)

e) (3x + 2y)  (3x + y)

b) (6x + 3)  (6x + 3)

f) (8x − a)  (8x − a)

Vink de kwadraten van een tweeterm aan.

c) (b  + 3c)  (b  + 3c) 2

h) (5k + 3)  (5k − 3)

Vink de producten van toegevoegde tweetermen aan. a) (a + 7)  (b − 7)

e) (2x + 2y)  (2x − y)

b) (2x + 3)  (2x − 3)

f) (x  − 6a)  (x  + 6a)

c) (b + 3c)  (b + 3c)

g) (2p  − 6)  (2p  + 6)

d) (3x − 7)  (3x − 7)

h) (6y − 5)  (6y + 5)

g) (2p − 6)  (2p − 6)

VA N

d) (3x − 1) 

r r

REEKS B 4

Kleur de tweetermen die toegevoegd zijn aan de gegeven tweeterm in dezelfde kleur. 5x + 7y  2

−5x − 7y  2

2a + 3b

– __   3    p  − 9b 7

– __   3    p  + 9b 7

3    p  + 9b  __ 7

−7y  2 + 5x

−5x + 7y  2

−2a − 3b

3b − 2a

2 −9b – __   3    p  7

2a − 3b

Onderstreep in de onderstaande producten van toegevoegde tweetermen de gelijke term in het groen en de tegengestelde term in het rood. a) (−2x + 3y)  (−2x − 3y)

d) (12y − 3)  (12y + 3)

g) (7y  2 − 8)  (7y  2 + 8)

b) (2x + 3y)  (−2x + 3y)

e) (−4b + 6)  (−4b − 6)

h) (−4b − 6)  (−4b + 6)

c) (38a  + 6k)  (38a  − 6k)

f) (3d  + 8a)  (−3d  + 8a)

i) (3ab  + 7c)  (−3ab  + 7c) HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

445

13.2 Het kwadraat van een tweeterm 13.2.1 Formule a + b is een tweeterm 2 (a + b)  is het kwadraat van die tweeterm. 2

a – b 2 is een tweeterm (a – b)  is het kwadraat van die tweeterm. 2

(a + b)  = (a + b)  (a + b)

(a – b)  = (a − b)  (a − b)

= a  a + a  b + b  a + b  b 2

= a  + a  b + b  a + b 

Formule

= a  + 2ab

= =

+ b 

Kwadraat van een tweeterm 2 2

+ 2ab

+ b 

− 2ab

+ b 

= a 

(a − b) 

kwadraat dubbel kwadraat eerste term product tweede term

Voorbeelden 2

= =

(2a − b)  2

(a  + 7)  2

= = = =

VA N

(p + 3)  3

= a 

(a + b) 

(−4 − 5k)  = =

13.2.2 Meetkundige betekenis

Jo en Sanya hebben een tuin in de vorm van een vierkant. Daarin hebben ze een vierkant grasveld aangelegd met zijde a. Langs twee zijden is er een strook voor struiken en bloemen aangebracht met een breedte b. Bereken de oppervlakte van de totale tuin op twee manieren. methode 1

1 2

Je berekent meteen de oppervlakte van de volledige tuin. a b

methode 2 Je neemt de som van de deeloppervlaktes van de tuin. a b

3 4

5 6 7 8 9

vorm a) Hoe groot is de zijde van de totale tuin?

10 11 12

b) Bereken de oppervlakte van de totale tuin.

446

totale oppervlakte

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

oppervlakte

Oefeningen REEKS A

Vul aan. b

−3

2ab

−3y

Werk uit volgens de formule. 2

a) (x − y)  2

b) (a + 5) 

c) (a + 3)  (a + 3) 2

e) (3 + x) 

REEKS B

VA N

d) (a − 1) 

Werk uit volgens de formule.

a) (3x + 4y) 

b) (2a + 3)  (2a + 3) 2

c) (–a + 10)  2

d) (−3x − 4y) 

e) (−5b − 2)  (−5b − 2) = 9

Vul aan. 2

2ab

0,2x

_  2    m 3

−1

2ab

_  5    x 2

_  3    y 2

−0,5y

1,2z

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

447

Plaats bij elke opgave de juiste oplossing uit de tabel rechts.

_ 1)   1    x 2 − __   4  x  + ___   4    9 15 25

a) (−2x − 3y) 

2) _   1     x 2 − 0,2x + __   1  y   2 25 9

3) 0,04x 2 − __   2  x  y + __   1  y   2 15 9

b) (0,2x − 3y)  =

4) 4x  2 + 12xy + 9y  2

c) (__   1  x  – __   1  y  )  = 5 3

5) 4x  2 − 12xy + 9y  2

d) (__   1    x − __   2   )  = 5 3 2

Werk uit volgens de formule.

VA N

a) (2x  + 3) 

b) (6y  2 − 5) 

3 2

c) (2 − 3c  ) 

d) (5k  + 4m  )  1

REEKS C

2 3

7) 4y  2 − 12xy + 9x  2

e) (−3x + 2y) 

6) 0,04x  2 − 1,2xy + 9y  2

Werk uit volgens de formule.

4 5 6

a) (4x  2y + 3y  2) 

7 2

b) (−4a  2b + 5a  2) 

9 10

c) (−0,3p  − 0,5pq  ) 

11 12

448

3 1  x    3y  4 − __ d) (−  __   3    x  2y  )  5 2

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

Bereken telkens de totale oppervlakte van het grote vierkant. a)

25x2

36a2

18ab

16y2

De totale oppervlakte van de figuur is:

( + ) 

De zijde van een vierkant met zijde 4a vergroot met 3. Hoeveel vergroot de oppervlakte van het vierkant?

Groot vierkant:

Antwoord:

Werk uit volgens de formule. 2

a) (x  + y   m)  3

b) (2x  k − xy  )  m

p 2

c) (2a  − 3a  b  ) 

Klein vierkant:

VA N

( + ) 

Vul aan tot een ware uitspraak. 2

a) ( + )  = 25a  2 + + 49

b) − 2ab + = (_   1   a −  )  3 2

c) (−0,1x +  )  = − xy +

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

449

13.3 Het product van twee toegevoegde tweetermen 13.3.1 Formule (a + b)  (a − b) = a  a − a  b + b  a − b  b 2

= a  2 − a  b + a  b – b 

= a  2 – b 

Formule

Product van twee toegevoegde tweetermen 2

= a 

(a + b)  (a – b)

− b 

kwadraat kwadraat gelijke term MIN tegengestelde term

Voorbeelden

(2a – 3b)  (2a + 3b)

(a – 7)  (7 + a)

= – = = – = = – =

VA N

(−7 + b)  (−7 – b)

= – =

(x + 2)  (x – 2)

13.3.2 Meetkundige betekenis

Pieter en Karel hebben een vierkant grasveld aangelegd met zijde a. In dat grasveld richten ze een vierkante moestuin in met zijde b. Bereken de oppervlakte van het overgebleven grasveld op twee manieren. methode 1

methode 2

a a

a – ba – b

3 4 5

a + ab + b

6 7

b b

8 9 10 11

De oppervlakte van het grasperk is

450

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

De oppervlakte van het grasperk is

Oefeningen REEKS A

a) (x + y)  (x − y) =

e) (a − b)  (a + b) =

b) (p − 7)  (p + 7) =

f) (7 + x)  (7 − x) =

c) (3 + x)  (3 − x) =

g) (5 + b)  (5 − b) =

d) (b − 8)  (b + 8) =

h) (k − 3)  (k + 3) =

Werk uit volgens de formule.

VA N

Duid de gelijke termen aan in het groen en duid de tegengestelde termen aan in het rood. Werk uit volgens de formule.

a) (–x + y)  (x + y)

b) (p − 7)  (–p − 7)

c) (a − 5)  (–a − 5)

= = = = = = = =

d) (3 − b)  (b + 3)

REEKS B 19

Werk uit volgens de formule. a) (3x + 4y)  (3x − 4y) 2

b) (4r  + 5s)  (−4r  + 5s)

d) (−3x − 4y)  (4y − 3x) e) (3y − x)  (−3y − x) 4

= =

c) (–a + 10)  (a + 10)

f) (2p  − 7q  )  (2p  + 7q  ) = g) (2a + 3)  (−2a + 3) 4

h) (−5b  − 2)  (5b  − 2)

= HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

451

Werk uit volgens de formule.

a) (0,3x − 0,5y)  (−0,3x − 0,5y) = 3 3 b) (_   1    + 5x  )  (_   1    − 5x  ) 4 4

c) (0,5x − 0,1y  4)  (0,5x + 0,1y  4) =

1    + 4y  −  __ 1 e) (−  __ ) ( 2    − 4y) 2

= =

REEKS C 21

VA N

f) (__   1    x + __   2    y  7)  (__   1    x − __   2    y  7) = 5 5 3 3

d) (__   1    + __   1    x  __   1    − __   1    x 3 4 ) (3 4 )

Werk uit volgens de formule. p

a) (x  m + y   )  (x  m – y   )

b) (2x  ky + 3x  2y)  (2x  ky − 3x  2y) = 1 2

Vul aan tot een ware uitspraak.

3 4 5

a) (–x + 7)  (–x ) = − 49

e) (y  + )  (y  − ) = −1

b) x  2 − = ( + 2)  ( − 2)

f) 0,01a  2 − 0,49b  = ( + )  ( − )

c) ( − 4x  4)  ( + 4x  4) = 49 −

g) ( + 6)  ( − 6) = 4x  4y  −

6 7 8

9 10 11 12

452

3 3 d) ( +_   1    a)  ( −_   1    a) = 100 − h) ( − 2x  )  ( + 2x  ) = 1 − 4 4

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

13.4 Merkwaardige producten 13.4.1 Formules product van twee tweetermen

kwadraat van een tweeterm

product van toegevoegde tweetermen

(a + b)2 of (a – b)2

(a + b) · (a – b)

dubbel product

2ab

kwadraat gelijke term

MIN

kwadraat tegengestelde term

–

VA N

+/–

werk uit met de distributieve eigenschap

kwadraat tweede term

kwadraat eerste term

andere

13.4.2 Rekentechnieken

Soms kun je merkwaardige producten handig gebruiken bij het hoofdrekenen. • Het kwadraat van een tweeterm 2

102  = (100 + 2) 

= 100  + 2  100  2 + 2   = 10 000 + 400 + 4 = 10 404

99  = (100 − 1) 

190  =

• Het product van twee toegevoegde tweetermen

97  103

(−51)  (−49)

(40 + 3)  (40 − 3) = 40  − 3  = 1 600 − 9 = 1 591 = (100 − 3)  (100 + 3) = =

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

453

Oefeningen REEKS B 23

Werk uit met de formules van merkwaardige producten.

a) (2x − 4c)  (2x + 4c) 2

b) (3a 2− 4c) 

c) (−3x + 2y)  (3x + 2y)

e) (_   1    − 5x)  (_   1    − 5x) 4 4

VA N

f) (_   1    − 5x)  (− 5x + __   1   ) 3 3

3 5 3 5 d) (__   3    m  − __   1    n  )  (__   3    m  + __   1    n  ) = 4 4 6 6

g) (−0,3a + 3)  (−0,3a − 3)

h) (−5c − 1)  (−5c − 1)

i) (x  2 − __   1   )  (− __   1    − x  2) 5 5 2

j) (−0,1x − 0,1y  2) 

1 2

= =

Deze vierkante fotolijst heeft als zijde x. De breedte van de lijstrand is 5 cm. Bepaal de oppervlakte van de foto’s die in deze lijst passen.

3 4

6 7

5 cm

11 12

454

= = =

De oppervlakte van de foto's is

9 10

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

Van de ene zijde van een vierkant snijd je 12 cm af. De andere zijde maak je 12 cm langer. Wat gebeurt er met de oppervlakte van de figuur? Maak een schets en bereken.

Bepaal het volume van de onderstaande balk.

VA N

Antwoordzin:

2x + y

2x – y

Bepaal de totale oppervlakte van de onderstaande balk. 3x + y

3x + y

3x – y

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

455

Bepaal de gevraagde oppervlaktes. a+b

a–b

A = a+b

A = A = A =

a–b

Atotaal =

Gebruik de merkwaardige producten handig bij het hoofdrekenen. 2

a) 107  = (100 + 7) 

VA N

b) 195 

c) 98 

d) 211  =

e) 1 001  1

f) 67  53 = (60 + 7)  (60 − 7)

g) 96  104

6 7 8

= =

h) 25  35

i) 51  49

11 12

456

j) (−42)  (−38)

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

REEKS C 30

Werk uit met de formules van de merkwaardige producten a) (5ab − 2cd)  (5ab + 2cd)

b) (_   1    kp − kx)  2

c) (_  2    xy 2 − 3y)  (_  2    xy 2 + 3y) = 3 3 3

e) −(−6x  + 4)  (−6x  − 4)

2 2 f) (3x  y − 5xy)  (−3x  y + 5xy)

g) (_  2    x 2y  − 1)  3 3

VA N

h) −(2x  2y + 2x  )  (x  2y − x  )

a) (a + 1)  (a − 1) + (a − 1) 

c) (x − 5)  − (x − 5)  (x + 5)

Werk zo ver mogelijk uit.

d) (3xy  2 − 2y  )  (3xy  2 − 2y  )

b) (x + 2)  − (x − 2) 

d) (2x + 1)  (2x − 1)  (4x  2 − 1)

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

457

STUDIEWIJZER Merkwaardige producten voor de leerling

13.1 Product van twee tweetermen KUNNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Merkwaardige producten herkennen. Kwadraten van een tweeterm herkennen. Producten van toegevoegde tweetermen herkennen. Gelijke termen en tegengestelde termen in toegevoegde tweetermen herkennen.

13.2 Het kwadraat van een tweeterm 2

KENNEN

–  + –  +

KUNNEN

–  + –  +

(a + b)  = a  + 2ab + b  2

Het kwadraat van een tweeterm berekenen.

(a − b)  = a  − 2ab + b 

Het kwadraat van een tweeterm toepassen bij oppervlakteberekeningen.

VA N

Het kwadraat van een tweeterm toepassen bij letterexponenten.

13.3 Het product van twee toegevoegde tweetermen 2

KENNEN

–  + –  +

KUNNEN

–  + –  +

(a + b)  (a − b) = a  − b 

Het product van twee toegevoegde tweetermen berekenen.

Het product van twee toegevoegde tweetermen toepassen bij letterexponenten.

13.4 Merkwaardige producten

KUNNEN

2 3 4 5

Merkwaardige producten berekenen. Merkwaardige producten handig gebruiken bij het hoofdrekenen. Merkwaardige producten toepassen bij oppervlakte− en inhoudsberekeningen.

6 7

Pienter Rekenen

8 9 10 11 12

458

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

–  + –  +

Pienter problemen oplossen Welke tips gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

s hieronde met 9 op de invullijntje 1. Zet de cijfers 0 tot en s één keer. Gebruik elk cijfer precie klopt. Zorg ervoor dat de som

VA N

n punten met Verbind de zestie 3. rechte lijnen te elkaar door zes je pen of potlood tekenen, zonder te heffen. van het papier op

•

2. Eén keer per jaar verk oopt de bibli de afgelope otheek boek n drie jaar m en die aximaal één Dat gebeurt keer ontleen aan heel de d werden. mocratische 50 cent, 1,5 prijzen: 0 euro of 2 euro. Klaas koopt 12 boeken v oor € 12. Hoeveel boeken van € 0,50, hoeveel van € 1,50 en ho eveel van € 2 heeft hij g ekocht?

4. Een bal valt va n 8 meter hoo g op de grond Hij stuit terug . tot de helft va n de oorspronke hoogte en valt lijke dan weer op d e grond. De bal blijft op die manier ee n tijdlang stuit eren. Hoe groot is de totale af stand die de b op die manier al aflegt?

HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

459

Problemen uit Kangoeroe en JWO 1.

Als (x + 1)  (x − 1) = 6, dan is (x  2 + 1)  (x  2− 1) gelijk aan:

A) r 12

B) r 24

C) r 36

D) r 48

E) r 60

JWO, editie 2015, eerste ronde

2. Welk van volgende figuren is geen ontvouwing van een kubus? B)

VA N

JWO, editie 2015, tweede ronde

1 2

3. In de volgende som stelt elke letter een ander cijfer verschillend van 0 voor. Welk cijfer komt niet voor?

A) r 2

B) r 3

+ 1 C) r 5

D) r 8

E) r 9

D) r 55 %

E) r 60 %

3 4

JWO, editie 2019, eerste ronde

5 6

4. Welk deel van de regelmatige achthoek is gekleurd?

7 8 9 10 11

A) r 40 %

B) r 45 %

460

JWO, editie 2019, tweede ronde HOOFDSTUK 13 I MERKWAARDIGE PRODUCTEN

C) r 50 %

Â©

VA N

PIENTER PROBLEMEN OPLOSSEN

Als je een probleem ‘pienter’ wilt oplossen, moet je dat probleem doordacht aanpakken. Werk in vier stappen:

Oriënteren

Formuleer het probleem in je eigen woorden.

Voorbereiden

Kies een manier om het probleem op te lossen (heuristiek).

Uitvoeren

Reflecteren

VA N

Voer je gekozen heuristiek uit.

Controleer of je het probleem goed hebt aangepakt.

Heuristieken zijn manieren om problemen op te lossen. Het zijn algemeen bruikbare strategieën die de kans dat je een oplossing vindt, vergroten. Enkele heuristieken: 1 Gebruik concreet materiaal. 2 Maak een schets. 3 Maak een schema/tabel. 4 Probeer met eenvoudige getallen. 5 Gok en probeer verstandig. 6 Filter de gegevens: scheid de noodzakelijke van de overbodige gegevens. 7 Zoek een patroon. 8 Gebruik je eerder opgedane kennis. 9 Denk logisch na.

Â©

VA N

PIENTER REKENEN

Overzicht Pienter Rekenen bestandsnaam

opmerkingen

Commandorekenen met breuken

Rekenen met breuken

Delers en veelvouden

Breuken vereenvoudigen en gelijknamig maken

Handig vermenigvuldigen en delen

Hoofdrekenen: megamix

Breuken, decimale getallen en procenten

Procenten

Wiskundetaal

Rekenslierten

Volgorde van de bewerkingen

Procenten

Kenmerken van deelbaarheid

Machten met hetzelfde grondtal

Getallenpiramides (1)

na hoofdstuk 3

ÂŠ

VA N

Getallenpiramides (2)

Rekenen met breuken

AlgebraĂŻsch rekenen

Bewerkingen met breuken

Oplossen van vergelijkingen

Hoofdrekenen

Omtrek en oppervlakte

Rekenen met machten

na hoofdstuk 11

Machtendoolhof

na hoofdstuk 11

Procenten: vraagstukken

Getalwaarde

9 na hoofdstuk 5

13 na hoofdstuk 11

VA N

PIENTER REMEDIËREN

Overzicht van alle remediëringsoefeningen (ROEF) per hoofdstuk 2

T  1

T  2

T  3

VA N

T  1= 6.3 Congruentiekenmerken bij driehoeken: op onderzoek ZZZ T  2= 6.3 Congruentiekenmerken bij driehoeken: op onderzoek HZH T  3= 6.3 Congruentiekenmerken bij driehoeken: op onderzoek 90°SR

69 70 73

Â©

VA N

PIENTER COMPUTEREN

Overzicht Pienter Computeren bestandsnaam

hoofdstuk

pagina

soort

1.1 Gegevens voorstellen

Excel

❑

1.1 Het gemiddelde en de mediaan

Excel

❑

1.3 Stengelbladdiagram

Geogebra

❑

2.2 Een punt spiegelen om een as

Geogebra

❑

2.3 Een punt verschuiven

Geogebra

❑

2.4 Een punt roteren

Geogebra

❑

2.5 Een punt spiegelen om een punt

Geogebra

❑

2.6 Eigenschappen van spiegelen, verschuiven en roteren

Geogebra

❑

2.7 Het verband tussen coördinaten en transformaties

Geogebra

❑

4.3 Hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn

128

Geogebra

❑

8.1 Som van de hoeken van een driehoek

272

Geogebra

❑

8.1 Verband tussen hoeken en zijden in een driehoek

273

Geogebra

❑

8.1 Driehoeksongelijkheid

274

Geogebra

❑

8.2 Eigenschap van gelijkbenige driehoeken

281

Geogebra

❑

8.2 Omgekeerde eigenschap van gelijkbenige driehoeken

282

Geogebra

❑

8.3 Merkwaardige lijnen in een gelijkbenige driehoek

288

Geogebra

❑

8.3 Symmetrie in een gelijkbenige driehoek

289

Geogebra

❑

10.1 Som van de hoeken van een vierhoek

332

Geogebra

❑

10.3 Eigenschappen van een parallellogram

338

Geogebra

❑

10.4 Eigenschap van de diagonalen van een rechthoek

348

Geogebra

❑

10.5 Eigenschap van de diagonalen van een ruit

356

Geogebra

VA N

❑

Â©

VA N

EXTRA LEERSTOF

Overzicht Extra Leerstof bestandsnaam

hoofdstuk

pagina

Wetenschappelijke schrijfwijze

395

❑

Oppervlakte kegel

438

❑

Oppervlakte piramide

438

❑

Oppervlakte bol

438

VA N

❑