Pienter 4 D/A - Leerwerkboek

Pi enter LEERJAAR 4 Pienter 4 D/A ©VANIN

©VANIN

Veerle Descheemaeker Dirk ThierryTaeckeVan den Ouwelant Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Philippe De Crock Etienne MartineEddyChristopheGoemaereGrysonMagitsVerrelst Leerjaar 4 Pienter 4 D/A ©VANIN

©VANIN

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter? 4 Hoofdstuk 1 Inleiding tot reële functies 7 Hoofdstuk 2 Beschrijvende statistiek 43 Hoofdstuk 3 Eerstegraadsfuncties 103 Hoofdstuk 4 Goniometrie 167 Hoofdstuk 5 Stelsels van vergelijkingen 189 Hoofdstuk 6 Functies van de vorm f (x) = c x en f (x) = ax 2 235 Hoofdstuk 7 Telproblemen 277 Hoofdstuk 8 Ruimtemeetkunde 301 ©VANIN

Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of Jebesluiten.leertook eigenschappen bewijzen.

Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen. Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen: REEKS A eenvoudige toepassingen REEKS B basisniveau REEKS C verdiepingsniveau

ICT Duidt aan wanneer je bij het onlinelesmateriaal ICT-hulpmiddelen vindt om in te zetten, bv. Excel, GeoGebra of Python. Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.

©VANIN

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep. Op diddit vind je extra oefeningen. In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis. Wijst op uitleg over werken met de grafische rekenmachine.

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.

Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.

STEM STEM+ COMPUTATIONEEL DENKEN BIO VERDIEPING Tot slot vind je achteraan in het boek een blad met een cartoon. Dat kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of afgedrukte bladen voor Pienter remediëren. . instructiefilmpje GeoGebra

XL Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken. Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen. Sommige onderdelen zijn aangeduid met een gekleurde band. Afhankelijk van je studierichting moet je die wel of niet kennen. Je leerkracht zal aangeven wat voor jou geldt.

©VANIN

R Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.

Verder kun je in een hoofdstuk twee soorten QR-codes tegenkomen. Scan de code om een instructiefilmpje van de leerstof te bekijken of om een toepassing in GeoGebra te zien.

Je leerkracht zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.

Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en evaluaties? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten. E-book Het e-book is de digitale versie van het leerwerkschrift. Je kunt erin noteren, aantekeningen maken, zelf materiaal toevoegen ...

Oefeningen

PIENTER EN DIDDIT

Resultaten

©VANIN

Lesmateriaal Hier vind je het extra lesmateriaal bij Pienter, zoals remediëringsoefeningen en Excel-bestanden.

Materiaal Hier vind je het lesmateriaal en de online-oefeningen. Gebruik de filters bovenaan, de indeling aan de linkerkant of de zoekfunctie om snel je materiaal te vinden.

Meer info over diddit vind je op www.vanin.diddit.be/nl/leerling.

Het onlineleerplatform bij Pienter

• De leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.

• Je kunt hier vrij oefenen. Opdrachten Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet. Evalueren Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 7 HOOFDSTUK 1 I INLEIDING TOT REËLE FUNCTIES 1.1 Verbanden tussen grootheden 8 1.2 Reële functies 19 Studiewijzer 41 Pienter problemen oplossen 42 ©VANIN

8 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 1.1 Verbanden tussen grootheden 1.1.1 Afhankelijke en onafhankelijke veranderlijke r De oppervlakte A van een cirkel met straal r bereken je met de formule A = p ? r 2 De straal van een cirkel is 9 cm. Bereken de oppervlakte van die cirkel op 0,01 cm2 nauwkeurig. Vul de tabel aan. rond de oppervlakte af op 0,01 cm2 r (cm) 1 2 3 4 5 6 7 A (cm2) De formule A = p ? r 2 beschrijft het verband tussen de grootheden r (de straal) en A (de oppervlakte). De waarde van A hangt af van de gekozen waarde van r In de formule is r de onafhankelijke veranderlijke en A de afhankelijke veranderlijke REKENMACHINE eerst voer je de formule in die het verband geeft tussen de afhankelijke veranderlijke en de onafhankelijke veranderlijke. De afhankelijke veranderlijke moet je op de grafische rekenmachine als Y noteren en de onafhankelijke veranderlijke als X. De formule A = p ? r 2 voer je dus in als Y = p ? X 2 actie knoppen scherm Activeer de vergelijkingseditor. Voer het verband Y = p ? X 2 in. staty=plot f1 2nd Hπ × [ R linkX,T,θ,n x2 √ I Bepaal een aantal instellingen voor de tabel. Je opent het dialoogvenster voor tabelinstellingen. Je kiest de tabelinstellingen zoals op de figuur hiernaast. 2nd tblwindowsetf2 Bekijk de tabel. 2nd tablegraphf5 GEOGEBRA EN PYTHON GeoGebra DENKENCOMP. ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 9 Algemeen In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, noem je • de veranderlijke(n) waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijke(n); • de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke. In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts één afhankelijke veranderlijke. 1.1.2 Grafische voorstelling van een verband Voorbeeld 1 Om de grootte van een volwassen mens te schatten, gebruiken antropologen de formule y = 2,881 1x + 70,923. Daarbij is x de lengte van het bovenarmbeen en y de totale lengte, beide in cm. In werkelijkheid zijn er fysische beperkingen aan die gegevens. Zo kunnen de gegevens hier niet negatief zijn.

x

a) Teken een grafische voorstelling van dat verband, zonder rekening te houden met de fysische beperkingen voor x en y. In de tabel zijn waarden voor x gekozen. Bereken y op 1 cm nauwkeurig. (cm) 5 10 20 30 40 50 60 70 y (cm) y (cm) x (cm) 5101520 20 0

Vanuit de grafiek: Uit de formule: ©VANIN

b) Bij opgravingen vinden wetenschappers een bovenarmbeen van een volwassen man uit de prehistorie. Het been heeft een lengte van 29,2 cm. Bereken de grootte van die man op 1 mm nauwkeurig.

c) De grootste mens ooit is robert Wadlow (1918-1940). Hij stierf op 22-jarige leeftijd en was toen 272 cm groot. Bepaal op 1 cm nauwkeurig hoe lang zijn bovenarmbeen was.

2802602402202001801601401201008060400 2530354045505560657075

10 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 Voorbeeld 2 Als je een bal verticaal omhooggooit, zal die hoger raken naarmate je de bal met een grotere snelheid weggooit. De maximale hoogte die de bal zal bereiken, kun je benaderen met de formule h = v 202 Daarbij is v de beginsnelheid in m/s en h de hoogte in m. a) Teken een grafische voorstelling van dat verband. Houd er rekening mee dat v > 0. Bereken in de tabel de hoogte op 0,1 m nauwkeurig. v (m/s) 2 5 8 10 15 20 25 30 h (m) h (m) 50403020100 50 10 15 20 25 30 35 v (m/s) b) Welke hoogte zal een bal bereiken die je met een snelheid van 12 m/s verticaal omhooggooit? c) een bal bereikt een hoogte van 40 m. Bepaal de beginsnelheid • vanuit de grafiek op 1 m/s nauwkeurig: • uit de formule op 0,01 m/s nauwkeurig: ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 11 1.1.3 Grafische voorstellingen maken met ICT REKENMACHINE actie knoppen scherm Breng in de vergelijkingseditor het verband tussen de afhankelijke en de onafhankelijke veranderlijke in. staty=plot f1 2 L2 Z i : 8 v P 8 v P 1 L1 Y 1 L1 Y linkX,T,θ,n memo+ “ 7 u O catalog0 . i : 9 w Q 2 L2 Z 3 L3 θ Open de lijsteditor. Voer in L1 de waarden van de onafhankelijke veranderlijke in. liststat 1 L1 Y In L2 laat je de waarden volgens de formule van de getallen uit L1 berekenen. entrenterysolve a-lockalpha memo+ “ a-lockalpha calctracef4 1 L1 Y ( { K 2nd 1 L1 Y ) } L a-lockalpha memo+ entrenterysolve Maak een puntenwolk van de gegevens uit L1 en L2 2nd staty=plot f1 entrenterysolve2 enter entry solve in een geschikt grafisch venster. formatzoomf3 9 w Q GEOGEBRAICT ©VANIN

bestellen? d)

2 Een restaurant koopt een aantal wijnglazen. De eenheidsprijs is 3,20 euro.

b) Wat is in die formule de onafhankelijke veranderlijke?

betalen als

a) Vul de tabel aan. b) Teken de grafische voorstelling. (euro)prijs Hoeveel moeten ze ze 350 wijnglazen Als de totale prijs 1 600 euro is, hoeveel wijnglazen hebben dan

wijnglazenaantal totale

12 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 Oefeningen REEKS

c) Bereken de oppervlakte van een kubus met ribbe 12 cm.

ze

besteld? ©VANIN

50020010050 50100150200250300350400450500550 2000 0 800600400 1 000 1 200 1 400 1 600 prijs (euro) aantal wijnglazenc)

1 De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan het kwadraat van de zijde. Een kubus is een zesvlak, waarbij elk vlak een vierkant is.

Wat is in die formule de afhankelijke veranderlijke?

a) Stel een formule op voor de oppervlakte van een kubus met ribbe r

A

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 13 3 Als een persoon op het uiteinde van een duikplank staat, buigt die plank altijd een beetje door. Voor een bepaald type duikplank kun je de doorbuiging berekenen via de formule D = 0,4 m Daarbij is D de doorbuiging (in cm) en m de massa (in kg) van de persoon.

©VANIN

a) Hoeveel matchen moeten er gespeeld worden in een competitie met zestien ploegen?

a) Vul de tabel aan. b) Teken de grafische voorstelling. (kg) (cm)

D

8060507090 100362820124440322416804 20 30 40 50 60 70 80 90 100 D (cm) m (kg)

c) Bereken de doorbuiging bij een persoon van 65 kg. d) De duikplank buigt 24,8 cm door. Hoeveel weegt de persoon?

4 In een voetbalcompetitie moet elke ploeg een thuismatch en een match op verplaatsing spelen tegen elke andere ploeg. Als de competitie bestaat uit n ploegen, dan is het aantal matchen a dat gespeeld moet worden, gelijk aan a = n (n – 1).

c) Hoeveel extra speeldagen zijn er nodig in een competitie met twintig ploegen in vergelijking met een competitie met zestien ploegen?

b) Hoeveel speeldagen zijn er nodig om al die matchen met zestien ploegen te spelen?

m

14 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 REEKS B 5 Een vallend voorwerp legt in een tijd t (in s) een afstand s (in m) af. Die afstand bereken je met de formule s = 4,9 t 2. a) Vul de tabel aan. Bepaal s op 0,01 nauwkeurig. t (s) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 s (m) b) Stel het verband grafisch voor. 100 00,511,522,533,5 6050403020 s (m) t (s) c) een steen valt vanop een hoogte van 60 m naar beneden. Hoelang zal het duren vooraleer de steen de grond raakt? rond af op 0,1 s. • grafische bepaling: • algebraïsche bepaling (via de formule): ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 15 6 Onderzoek bij zoogdieren heeft uitgewezen dat er een verband bestaat tussen het lichaamsgewicht en de hersenmassa. Met uitzondering van de apen (zij hebben meer hersenen dan de andere dieren) wordt het verband gegeven door de formule y = 1,021x + 77,41. Daarbij is x het lichaamsgewicht (in kg) en y de hersenmassa (in g). a) Vul de tabel aan. Bepaal y op 1 g nauwkeurig. zoogdier x (kg) y (g) zoogdier x (kg) y (g) koe 465 giraf 539 wolf 36,33 kangoeroe 35 geit 27,66 schaap 55,5 ezel 187,1 panter 100 paard 521 varken 192 b) Teken een grafische voorstelling van dat verband. gebruik de tabel, waarin de waarden voor x gegeven zijn. x (kg) 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 y (g) 60055050045040035030025020015010050 0 6500 50100150200250300350400450500550 x (kg) y (g) c) Hoe groot is de hersenmassa van een zoogdier met een lichaamsgewicht van 225 kg? • grafische bepaling: • algebraïsche bepaling: ©VANIN

16 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 7 Er worden steeds meer windmolens geplaatst om elektriciteit op te wekken. Het vermogen P (in kW) van een windmolen is afhankelijk van de windsnelheid v (in m/s). Voor een bepaald type windmolen geldt een zuiver kubisch verband: P = 0,25 ? v 3. a) Vul de tabel aan. Bepaal P op 1 kW nauwkeurig. v (m/s) 5 10 15 20 25 P (kW) b) Stel het verband tussen P en v grafisch voor. 5000 05 10 15 20 25 P (kW) v (m/s) 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 c) een windmolen produceert een vermogen van 2 500 kW. Bepaal de windsnelheid. • grafische bepaling op 0,1 m/s: • algebraïsche bepaling op 0,01 m/s: ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 17 REEKS C Veel verkeersongevallen worden veroorzaakt door auto’s die te dicht op elkaar rijden. Om ongevallen te voorkomen, moeten automobilisten een minimale afstand tot hun voorganger houden. Men noemt die afstand de volgafstand Die veilige afstand is afhankelijk van de snelheid waarmee de automobilisten rijden. Je ziet het gevaar. Je remt. Je staat stil. volgafstandstopafstandremweg 8 De volgafstand A (in m) tussen een auto en zijn voorganger kun je berekenen met de formule A = v v 188 + 0, 14 Daarbij is v de snelheid van beide auto’s in km/h. a) Vul de tabel aan. Bereken A op 0,1 m nauwkeurig. v (km/h) 30 50 70 90 110 120 130 A (m) b) Stel het verband grafisch voor. 100 A (m) v (km/h) 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 1101001002030405060708090 c) Bepaal grafisch de snelheid, als de volgafstand 50 m is. ©VANIN

75706560555045403530252015105 vt 12

23131

c) Bepaal grafisch en algebraïsch wat de gemiddelde snelheid is van iemand die de afstand in 20 minuten aflegt.

18 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 9 Als een afstand s in een tijd t wordt afgelegd, dan is de gemiddelde snelheid gelijk aan v = s t .

a) Bepaal de formule, waarbij t (in h) de onafhankelijke veranderlijke is en v (in km/h) de afhankelijke veranderlijke, als de afgelegde afstand 20 km bedraagt. De formule is: b) Teken een grafische voorstelling van dat verband. t (h) v (km/h) 34

• grafisch: • algebraïsch: d) Bepaal grafisch en algebraïsch hoelang je maximaal over 20 km mag doen om een gemiddelde snelheid van meer dan 40 km/h te halen.

• grafisch: • algebraïsch:

©VANIN

Wat is in dit voorbeeld de onafhankelijke veranderlijke? een waarde van de onafhankelijke veranderlijke noem je een argument Voorbeelden: Wat is in dit voorbeeld de afhankelijke veranderlijke? een waarde van de afhankelijke veranderlijke noem je een beeld Voorbeelden: Voor een bepaalde hoogte kan er maar één temperatuur zijn. een dergelijk verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft, noem je een functie Definitie Functie Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft. instructiefilmpje GeoGebra

201002615

Per kilometer hoogte vermindert het kookpunt ongeveer met 3 ºc geef het verband tussen het kookpunt y (in ºc) en de hoogte x (in km).

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 19 1.2 Reële functies 1.2.1 Definitie Je leert in de natuurkunde dat water kookt bij 100 ºc bij een normale luchtdruk op zeeniveau. Hoe hoger je gaat, hoe lager de luchtdruk.

1008060402090705030

©VANIN

Daardoor zal het kookpunt van water daar lager zijn dan 100 ºc.

Vul de tabel aan en teken de grafiek van het verband. x (km) y (ºc) 10 2 20 x (km) y (°C)

4 6 8 10 12 14 16 18

20 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 1.2.2 Benamingen en notaties een functie waarbij het argument en het beeld reële getallen zijn, is een reële functie een reële functie benoem je met een kleine letter: f, g, h Je kunt een functie op twee manieren noteren. functievoorschrift functievergelijking f (x) = 2x − 1 f (x) = x 2 f (x) = x 3 + x 2 + x − 1 y = 2x − 1 y = x 2 y = x 3 + x 2 + x − 1 Bij een functie noem je het beeld ook de functiewaarde Vervang je in het functievoorschrift x door −2, dan bereken je de functiewaarde in −2. Notatie f (−2) Voorbeeld f (x) = 2x + 1 f (−3) = 2 ? (−3) + 1 = −5 f (2) = g (x) = x 3 − 2x g (−2) = g (0) = 1.2.3 Grafiek van een functie Je kunt een functie voorstellen door een grafiek Voorbeeld f (x) = x2 Je bepaalt een aantal functiewaarden, die je in een tabel noteert. x f (x) puntenkoppels −2−1012 Om de grafiek van de functie te tekenen, ga je als volgt te werk: • Je berekent de functiewaarden van een aantal argumenten. • Je tekent de punten (x, f (x)). • Je verbindt de punten met een vloeiende lijn. yx 12 34–14321–2–3–4 –1 instructiefilmpje ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 21 1.2.4 Functie of geen functie grafiek functievergelijking Met de verticale lijntest kun je controleren of de grafiek een functie voorstelt. elke verticale rechte die je tekent, mag hoogstens één snijpunt met de grafiek hebben. elk argument heeft dan hoogstens één functiewaarde. Uit de tabel kun je afleiden of een verband tussen y en x een functie is. elk argument x mag hoogstens één beeld y hebben. Voorbeeld yx 2 45613–4–5–6 –2–3–1 53412 Voorbeeld x −2 −1 0 1 2 y 4 1 0 1 4 Tegenvoorbeeld yx 12–2–1 –1–221 Tegenvoorbeeld x −2 −1 0 1 2 y 0 33 –22 33 0 Voor bepaalde argumenten vind je twee verschillende beelden. Voorbeeld: Voor bepaalde argumenten vind je twee verschillende beelden. Voorbeeld: REKENMACHINE actie knoppen scherm Breng in de vergelijkingseditor het verband tussen de afhankelijke en onafhankelijke veranderlijke in. staty=plot f1 linkX,T,θ,n x2 √ I00 Om de grafiek in het midden van het scherm zichtbaar te krijgen, wijzig je de vensterinstellingen. tblwindowsetf2 ans(–) ? ans(–) ? 5 L5 U 1 L1 Y 5 L5 U ▼ 5 L5 U ▼▼▼ 2 De grafiek staat in het midden van het scherm. tablgraphef5 instructiefilmpje ©VANIN

22 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 Oefeningen REEKS A 10 Bereken de functiewaarden. f (x) f (0) f (1) f (–1) f 21 a) f (x) = 3x − 1 b) f (x) = x 2 + 1 c) f (x) = 21 x − 4 d) f (x) = 1 x e) f (x) = −2 11 Vervolledig de tabel. functie tabel a) f (x) = −2x + 5 x –2 23 –1 0 21 1 25 5 f (x) b) f (x) = x 2 + 1 x –2 23 –1 0 21 1 3 5 f (x) 12 Gegeven: f (x) = −2x + 1 Vervolledig de tabel. Teken de puntenkoppels en verbind ze met een vloeiende lijn. x f (x) puntenkoppels 3 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–11245 yx–2–1012 ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 23 13 Stellen de grafieken functies voor? a) e) i) 1 1 3452–3–4–1–2 –4–3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–1–2 –4–3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–1–2 –4–3–2–1234 yx r ja r nee r ja r nee r ja r nee b) f) j) 1 1 3452–3–4–1–2 –4–3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–1–2 –4–3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–1–2 –4–3–2–1234 yx r ja r nee r ja r nee r ja r nee c) g) k) 1 13 452–3–4–1–2 –4–3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–1–2 –4–3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–1–2 –4–3–2–1234 yx r ja r nee r ja r nee r ja r nee d) h) l) 1 13 452–3–4–1–2 –4–3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–1–2 –4–3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–1–2 –4–3–2–1234 yx r ja r nee r ja r nee r ja r nee ©VANIN

24 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 REEKS B 14 Gegeven: f (x) = x 2 − 1 Vervolledig de tabel. Teken de puntenkoppels en verbind ze met een vloeiende lijn. x −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 f (x) 1 12 3–3–1–2 –2–123 yx 15 Het lidgeld in een bibliotheek is 8 euro per jaar. Bovendien wordt er voor boeken, cd’s en dvd’s per reservatie 0,50 euro aangerekend. x is het aantal reservaties per jaar. f (x) is de totale kost per jaar. Bepaal het functievoorschrift en vervolledig de tabel. Teken de puntenkoppels en verbind ze met een vloeiende lijn. functievoorschrift: aantal reser vaties totale kost (€) 302010 51510 202530354045 x f (x) 40302010050 ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 25 16 Gegeven: f ( x ) = x + 5 Vervolledig de tabel. Teken de puntenkoppels en verbind ze met een vloeiende lijn. x –7 –6 –5 –4 –1 4 11 f(x) y –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11–1123456 x

d) Bepaal grafisch het antwoord op de volgende vragen.

• Wat is in dat geval de overblijvende oppervlakte?

c) Teken met IcT de grafiek van die functie.

a) Bepaal de formule voor het verband tussen de oppervlakte A (in m2) van het overblijvende (grijze) gedeelte en de straal r (in m) van het grasperk.

©VANIN

17 In het midden van een vierkant plein met een oppervlakte van 900 m² wordt een cirkelvormig grasperk aangelegd.

• Wat is de straal van het grasperk, als de overblijvende oppervlakte 500 m2 is? Bepaal je antwoord op 1 mm nauwkeurig.

b) Hoe groot kan de straal van de cirkel maximaal zijn?

26 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 REEKS C 18 In een warenhuis kost een flesje douchegel 3 euro per stuk. a) Vul de tabel in voor een aankoop tussen 0 en 6 flesjes en teken de punten. x is y is x y x y 142 56 73 12152118963 y (euro) x b) Is dit een Verklaring:functie? c) Mag je hier de punten verbinden? Waarom (niet)? 19 Zijn de verbanden functies? veranderlijkeonafhankelijke( x) veranderlijkeafhankelijke(y) functie a) het verband tussen de zijde en de oppervlakte van een vierkant de zijde de oppervlakte r ja r nee Verklaring: b) het verband tussen een getal en zijn vierkantswortels r ja r nee Verklaring: c) het verband tussen de ribbe en het volume van een kubus r ja r nee Verklaring: ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 27 1.2.5 Domein van een functie Voorbeeld Het omgekeerde van een getal: f (x) = 1 x Bereken enkele functiewaarden en teken de grafiek van f x f (x) –0,5–24–100,5124 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –1–2–3–4 4321 yx Heeft elk reëel getal een omgekeerde? Je zegt dat alle reële getallen behalve tot het domein van f behoren. notatie: dom f = Definitie Domein Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen. Het domein herkennen op de grafiek Je projecteert de grafiek loodrecht op de x-as. 1 13 45 62–3–4–5–6 –1–2 –1–2–4–5–323456 yx 1 13 4562–3–4–5–6 –1–2 –3–5–4–2–123456 yx 1 13 45 62–3–4–5–6 –1–2 –3–5–4–2–123456 yx dom f = dom f = dom f = GeoGebra ©VANIN

28 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 1.2.6 Bereik van een functie Voorbeeld De (positieve) vierkantswortel van een getal: f (x) = x Bereken enkele functiewaarden en teken de grafiek van f x f (x) 0,25–2–10149 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 321 yx dom f = Merk op dat f (x) altijd een positief reëel getal is. Je zegt dat het bereik van f gelijk is aan R+. notatie: ber f = Definitie Bereik Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden. Het bereik herkennen op de grafiek Je projecteert de grafiek loodrecht op de y-as. 1 13 4562–3–4–5–6 –1–2 –3–5–4–2–123456 yx 1 13 45 62–3–4–56 1–2 –5–3–4–2–123456 yx 1 13 45 62–3–4–56 1–2 –5–3–4–2–123456 yx ber f = ber f = ber f = instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

f (x) = –100 100 200 300 400 500 600 x (km) y (kW)

–2020406080

• elon ziet op zijn boordcomputer dat hij nog een capaciteit van 25 kW heeft. Hij is op 150 km van zijn huis. Moet hij nog bijladen?

Het wiskundig domein van de functie is . Als je rekening houdt met de context, kun je enkel argumenten kiezen tussen en Het interval noem je het praktisch domein van de functie f De functie f heeft als wiskundig bereik , maar de context staat enkel functiewaarden toe tussen en Het interval noem je het praktisch bereik van de functie f Teken de grafiek van f, rekening houdend met het praktisch domein en bereik.

Hoeveel kWh verbruikt de auto gemiddeld per km?

Het verband tussen de capaciteit f (x) en het aantal kilometer x druk je uit met een functie.

–2020406080

©VANIN

• Met hoeveel kW vermindert de capaciteit elke 100 km?

–100 100 200 300 400 500 600 x (km) y (kW) Bepaal grafisch het antwoord op de vragen.

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 29 1.2.7 Praktisch domein en bereik van een functie De batterij van de elektrische auto van elon heeft een maximumcapaciteit van 75 kWh. Je kunt 500 km rijden met de auto tot de batterij volledig leeg is.

• Wat is de capaciteit na 200 km?

• na hoeveel kilometer is de capaciteit nog 30 kW?

30 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 Oefeningen REEKS A 20 Bepaal het domein en het bereik van de functies. a) c) e) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–3–2–1234 yx dom f = dom f = dom f = ber f = ber f = ber f = b) d) f) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–3–2–1234 yx dom f = dom f = dom f = ber f = ber f = ber f = REEKS B 21 Bepaal het domein en het bereik van de functies. a) b) c) –1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–3–21234 yx 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–3–2–1234 yx dom f = dom f = dom f = ber f = ber f = ber f = ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 31 REEKS C 22 Teken met ICT de grafiek van de functies en bepaal het domein en het bereik. dom f ber f dom f ber f a) f (x) = x 2 – 1 d) f (x) = –x 2 b) f (x) = x – 2 e) f (x) = 3 – x c) f (x) = 1 x + 1 f) f (x) = 2 x – 4 23 Bepaal het praktisch domein en het praktisch bereik van de functies.

a) clarissa staat op de rommelmarkt en verkoopt haar oude strips tegen 1,50 euro per stuk.

Ze heeft een voorraad van 150 strips. x is f (x) is f (x) praktisch= domein: praktisch bereik: b) een wagen verbruikt gemiddeld 6 liter brandstof per 100 km.

De inhoud van de tank is 60 liter. x is f (x) is f (x) praktisch= domein: praktisch bereik: c) een zwembad van 15 m lang en 8 m breed wordt gevuld tot het water 2 m hoog staat. x is f (x) is f (x) praktisch= domein: praktisch bereik:

©VANIN

Voor welk(e) argument(en) is het beeld 0? Definitie Nulwaarde Een nulwaarde van een functie is een getal waarvoor de functiewaarde 0 is. Teken op de bovenstaande figuren de gemeenschappelijke punten met de x-as en benoem ze zoals hieronder aangegeven. Wat is het verband tussen de nulwaarde van een functie en het gemeenschappelijk punt van de grafiek van de functie met de x-as? A ( , 0) is het B ( , 0) en C ( , 0) zijn D ( , 0) is het met de x-as. de met de x-as. met de x-as. een nulwaarde is het eerste coördinaatgetal van een gemeenschappelijk punt van de grafiek met de x-as. De nulwaarde berekenen uit de vergelijking Uit de tabel of de grafiek lees je af waar het beeld of de functiewaarde f (x) gelijk is aan 0. Je lost dus de vergelijking f (x) = 0 op. f (x) = 0 f (x) = 0 f (x) = 0 x 2 − 1 = 0 x 2 = 1 x = –1 of x = 1 instructiefilmpje

©VANIN

32 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 1.2.8 Nulwaarden van een functie f (x) = x − 2 f (x) = x 2 − 1 f (x) = x 2 Vul de tabel in en teken de grafiek. x −1 0 1 2 3 f (x) x −2 −1 0 1 2 f (x) x −2 −1 0 1 2 f (x) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–1234 yx 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–1234 yx

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 33 1.2.9 Tekenschema van een functie In een tekenschema noteer je voor welke argumenten het beeld positief, negatief of nul wordt. Bekijk de tabel met de volgende functiewaarden. x –4 27 –3 25 –2 23 –1 21 0 21 1 23 2 25 3 27 4 f (x) 150 76 32 9,2 0 −1,6 0 1,7 2 0,9 0 2,2 12 35 80 155 270 • Wat zijn de nulwaarden? • Voor argumenten kleiner dan −2 zijn de functiewaarden positief. • Voor argumenten tussen −2 en −1 zijn de functiewaarden negatief. • Voor argumenten tussen −1 en 1 zijn de functiewaarden • Voor argumenten groter dan 1 zijn de functiewaarden Dat kun je schematisch voorstellen in een tekenschema x –2 –1 1 f (x) + 0 0 + 0 + 2 123 2 –2–113 yx • Als de grafiek onder de x-as ligt, is f (x) • Als de grafiek boven de x-as ligt, is f (x) • Als de grafiek de x-as snijdt of raakt, is f (x) • Als er bij een nulwaarde een tekenverandering in het beeld voorkomt, dan snijdt de grafiek de x-as. • Als er bij een nulwaarde geen tekenverandering in het beeld voorkomt, dan raakt de grafiek de x-as. instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

• Op welk tijdstip bereikt de temperatuur een relatieve maximale waarde? Wat is die maximale waarde?

Het

34 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 1.2.10 Verloop van een functie De grafiek toont waarnemingen van de temperatuur in Ukkel op een dag in de lente. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2420191817161514131211109876543210 T (°C) t (h) • In welke tijdsintervallen neemt de temperatuur toe? • In welke tijdsintervallen neemt de temperatuur af? Definitie Relatief minimum Een functie f bereikt een relatief minimum in a als f in a de overgang maakt van dalen naar stijgen. Definitie Relatief maximum Een functie f bereikt een relatief maximum in b als f in b de overgang maakt van stijgen naar dalen.

• Op welke tijdstip bereikt de temperatuur een relatieve minimale waarde? Wat is die minimale waarde? verloop van de temperatuur kun je samenvatten in een tabel.

t (h) 0 6 16 24  (ºc) 15 11 20 15 min max instructiefilmpje ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 35 1.2.11 Overzicht Algemeen Tekenschema en verloop van een functie yx cd abe O • tekenschema x a c e f(x) 0 + 0 0 • verloop x b d e f f (b) f (d) f (e) max min max ©VANIN

36 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 Oefeningen REEKS A 24 Lees de nulwaarde(n) af op de grafiek. a) 462–4–2 –4–224 yx c) 462–4–2 –4–224 yx e) 462–4–2 –26428 yx nulwaarde(n): nulwaarde(n): nulwaarde(n): b) 462–4–2 –4–224 yx d) 462–4–2 –4–224 yx f) 462–4–2 –4–224 yx nulwaarde(n): nulwaarde(n): nulwaarde(n): 25 Lees de nulwaarde(n) van de functies af in de tabel. a) x −3 −2 −1 0 1 f (x) 4 6 2 0 −2 c) x −5 −3 −1 1 3 f (x) 0 1 0 −4 0 nulwaarde(n): nulwaarde(n): b) x 6 7 8 9 10 f (x) 20 0 10 5 0 d) x −7 −5 −3 −1 2 f (x) −4 −2 0 2 0 nulwaarde(n): nulwaarde(n): 26 Bereken de nulwaarde(n) van de functies. a) f (x) = x + 3 c) f (x) = 2x + 1 e) f (x) = x b) f (x) = x − 1 d) f (x) = −5x − 10 f) f (x) = −2x ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 37 27 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is. a) • tekenschema yx –6–5–4–3–2 –1–3–2–1123 12345 6O x f(x) • verloop xf b) • tekenschema yx –6–5–4–3–2 –1–3–2–1123 12345 6O x f(x) • verloop xf c) • tekenschema yx –6–5–4–3–2 –1–4–3–2–1123 12345 6O x f(x) • verloop xf ©VANIN

38 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 REEKS B 28 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is. a) • tekenschema yx 1–1 –4–3–2–11234 23O x f(x) • verloop xf b) • tekenschema yx –1 –4–3–2–11234 12 3O x f(x) • verloop xf c) • tekenschema yx–4–3–2–11234–1–2 21O x f(x) • verloop xf ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 39 29 Mia heeft een bedrijf waar je bloemenruikers kunt bestellen die thuis geleverd worden. De grafiek geeft de dagelijkse winst w (x) (in euro) van het bedrijf in functie van het aantal verkochte ruikers x. 530354045555060 757065–250–200–150–100–502520151010050150 (18, 115) w (euro) x (0, –120) (52, –50) a) Bepaal het tekenschema van w (x). x w (x) b) Hoeveel ruikers moet Mia verkopen om winst te maken?

minimum. ©VANIN

w wx

verlies? d)

f) geef de betekenis van het relatieve

e) Mia heeft een voorraad van 65 ruikers. Hoeveel moet ze er verkopen om een maximale winst te hebben? Wat is de maximale winst?

c) Bij welke verkoop maakt Mia Bepaal het verloop van de functie

40 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 REEKS C 30 Schets een grafiek waarvan het tekenschema en het verloop gegeven zijn. a) x –2 4 f(x) + 0 0 + –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5–1–2–3–4–512345x 1 f min–3 b) x –3 0 4 f(x) 0 + 0 0 + –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5–1–2–3–4–512345x –2 2 f 4 –2 max min c) x –2 1 f(x) + 0 0 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5–1–2–3–4–512345x –1 1 f –4 0 min max ©VANIN

Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden. een nulwaarde van een functie is een getal waarvoor de functiewaarde 0 is. een nulwaarde is het eerste coördinaatgetal van een gemeenschappelijk punt van de grafiek met de x-as. een functie f bereikt een relatief minimum in a als f in a de overgang maakt van dalen naar stijgen. een functie f bereikt een relatief maximum in b als f in b de overgang maakt van stijgen naar dalen.

4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 41 STUDIEWIJZER Inleiding tot reële functies

KUNNEN  +  + In een tabel, een grafiek of een formule een functie herkennen. De grafische voorstelling maken van eenvoudige functies. een functiewaarde aflezen op een grafiek of berekenen uit een voorschrift. Het domein van een functie bepalen uit de grafiek of het voorschrift. Het praktisch domein afleiden uit de context. Het bereik van een functie bepalen uit de grafiek of het voorschrift. Het praktisch bereik afleiden uit de context. De nulwaarde van een functie bepalen uit het voorschrift en de grafiek. Het tekenschema van een functie bepalen uit de grafiek. Het verloop van een functie bepalen uit de grafiek.

In een gegeven formule de onafhankelijke en de afhankelijke veranderlijke(n) Inonderscheiden.eenformulede waarde van de afhankelijke veranderlijke berekenen bij een gegeven waarde van de onafhankelijke veranderlijke(n).

©VANIN

KUNNEN  +  +

Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

1.1 Verbanden tussen grootheden voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN –  + –  +

Het verband tussen twee grootheden weergeven door middel van een formule, een tabel en een grafiek.

In een formule die het verband tussen verschillende grootheden weergeeft, noem je • de veranderlijke(n) waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijke(n); • de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke.

1.2 Reële functies KENNEN  +  +

een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft.

42 4 D/A I HOOFDSTUK 1 I Inle I DI ng TOT reë le F U nc TI e S 1 8643257 Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? ❑ concreet materiaal ❑ schets ❑ schema/tabel ❑ vereenvoudig ❑ gok verstandig ❑ filter ❑ patroon ❑ kennis ❑ logisch nadenken ❑

1. Bart en Dirk vertrekken elk met hun auto vanop dezelfde plaats en leggen exact hetzelfde traject af. Bart vertrekt 10 minuten vroeger dan Dirk. Als Bart gemiddeld 72 km/h rijdt en Dirk gemiddeld 90 km/h, op hoeveel km van het beginpunt zullen ze dan naast elkaar rijden? 2. lasse fietst met een gemiddeldesnelheid van 8 km/h een helling op.Met welke gemiddelde snelheid moethij diezelfde helling afdalenom een totale gemiddelde snelheidvan 12 km/h te halen?

©VANIN

3. een trein rijdt met een snelheid van 90 km/h en nadert een tunnel van 2,5 km lang. De trein is 250 meter lang. Bereken de tijd (in minuten en seconden) vanaf het moment dat de voorkant van de trein de tunnel ingaat, tot het moment dat de achterkant van de trein de tunnel verlaat.

4. nele en Annemie starten gelijktijdigvanop dezelfde plaats en fietsenhetzelfde traject.nele rijdt met een gemiddeldesnelheid van 25 km/h en Annemiefietst met 20 km/h. Als nele na 45 km stopt, hoelang zalhet dan duren vooraleer Annemieweer bij nele is?

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 43 HOOFDSTUK 2 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK 2.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens 44 2.2 Gegroepeerde numerieke gegevens 58 2.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens 71 2.4 Spreidingsmaten 76 2.5 Symmetrische en scheve verdelingen 91 Studiewijzer 99 Pienter problemen oplossen 102 ©VANIN

ondervraagdenprocent1001020304050607080900

Over welk soort steekproef gaat het hier? De ondervraagde personen (de respondenten) zijn de elementen van de steekproef. geslacht man vrouw vermageren 22 % 35 % gewichthoudenstabiel 44 % 46 % bijkomen 5 % 2 % geen zorgen 30 % 18 %

Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP) een van de kenmerken die men onderzocht, was de houding ten opzichte van het persoonlijke lichaamsgewicht. Dat kenmerk leverde niet-geordende categorische gegevens op. Het resultaat van de enquête vind je in de frequentietabel hiernaast.

©VANIN

mannen vrouwen Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP)

44 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 2.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens 2.1.1 Gegevens verzamelen in 2014-2015 werd, in opdracht van de FOD volksgezondheid, een Belgische nationale voedselpeiling gehouden. Het doel van die peiling was om de voedingsinname en -gewoontes van de Belgische bevolking te onderzoeken. 3 200 personen 1 600 mannen1 600 vrouwen 3-5 jaar6-9 jaar10-17 jaar18-39 jaar 40-64 jaar 500 kleuters 500 kinderen 1 adolescenten000 jongvolwassenen600 volwassene600n Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP) De populatie bij dat onderzoek was de volledige Belgische bevolking. Omdat het niet realistisch is om de volledige populatie te ondervragen, werd een steekproef getrokken. Daarvoor werden 3 200 personen geselecteerd en onderverdeeld in 64 groepen van 50 personen, verdeeld over alle provincies in België.

Het staafdiagram toont hoeveel procent van de ondervraagden minstens vijf dagen per week ontbijt. Welk soort gegevens zijn hier verwerkt? een andere vraag was hoeveel tijd men besteedt aan het ontbijt. Welk soort gegevens levert dat kenmerk op? 3–5 6–9 10–13 leeftijd14–17 18–34 35–50 51–64

minstens vijf dagen ontbijt per week instructiefilmpje

SM

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 45 2.1.2

Wat valt er op als je de percentages bekijkt? Hoe komt dat?

Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP)

• Hoeveel mensen die bioproducten kopen, doen dat niet vanwege het milieu?

Aan 60 mensen die in de supermarkt bioproducten kochten, werd gevraagd wat de belangrijkste reden was voor hun aankoop. GZ = de gezondheid; SM = de smaak; KW = de kwaliteit; Mi = het milieu. Stel een frequentietabel op. KW GZ SM Mi GZ KW SM KW Mi GZ SM Mi KW SM GZ SM Mi GZ GZ Mi GZ KW KW SM KW GZ GZ GZ Mi GZ Mi KW SM GZ KW KW SM Mi GZ Mi GZ KW GZ GZ KW SM KW SM GZ SM KW GZ KW KW SM Mi GZ KW Mi reden ni fi

Categorische gegevens verwerken Een frequentietabel opstellen een van de onderwerpen van de voedselconsumptiepeiling was het onderzoek naar de reden waarom mensen biologische producten kopen. reden aankoop biologische producten De producten zijn gezonder. 53 % De smaak van de producten is beter. 38 % De kwaliteit van de producten is beter. 38 % De producten zijn beter voor het milieu. 31 %

• Hoeveel procent van de klanten koopt bio vanwege de smaak of de kwaliteit?

©VANIN

KWSMGZMi

46 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 Grafische voorstellingen dotplot 2018161412108642personenaantal belangrijkste reden tot aankoop van bioproducten bij 60 mensen GZ = gezondheid; SM = smaak; KW = kwaliteit; MI = milieu GZ KW MISM staafdiagram personeaantaln 20181614121086420 belangrijkste reden tot aankoop van bioproducten bij 60 mensen GZ = gezondheid; SM = smaak; KW = kwaliteit; MI = milieu GZ KW MISM 19 17 13 11 cirkeldiagram belangrijkste reden tot aankoop van bioproducten bij 60 mensen GZ = gezondheid; SM = smaak; KW = kwaliteit; MI = milieu 31,67 % 21,67 % 28,3318,33% % MIKWSMGZ ICT ICT ICT ©VANIN

e) Hoeveel procent kiest niet voor woensdag?

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 47 Oefeningen REEKS A 1 Een bedrijf wil overschakelen naar een vierdaagse werkweek. In een steekproef wordt aan 95 werknemers gevraagd op welke dag ze het liefst vrij zouden zijn. voorkeur vrije werkdag bij 95 werk nemers 35302520151050 ma di wo do vr dag van de week werkaantalnemers

a) vervolledig de frequentietabel. vrije dag n i f i madiwodovr

b) Welke dag wordt het meest gekozen?

d) Hoeveel ondervraagden kiezen voor een verlenging van het weekend?

f) Teken met icT een cirkeldiagram voor de relatieve frequentie.

©VANIN

c) Hoeveel procent van de werknemers heeft die dag gekozen?

©VANIN

d) Teken met icT een cirkeldiagram voor de relatieve frequentie.

e) Welk landsdeel is het meest vertegenwoordigd?

VL = Vlaamse Gemeenschap; FR = Franse Gemeenschap; DU = Duitstalige Gemeenschap; BR = Brussel. vL vL Br Fr vL DU Fr vL Br vL Fr vL vL Fr Fr vL Br Br vL Br vL Fr Fr vL Br Fr vL vL vL Fr Fr vL Br vL Fr vL vL Br Fr vL vL Fr vL DU Br Fr Fr vL Br Br Fr vL Fr Fr vL Fr vL vL Fr vL Fr Fr vL Fr Br vL DU Fr vL DU Fr vL Br vL vL Fr Fr Br vL a) Stel een frequentietabel op. regio n i f i DUvLFrBr

b) Teken met icT een dotplot voor de absolute frequentie.

c) Teken met icT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.

48 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 REEKS B 2 Op de site van Brussels Airport in Zaventem werken meer dan 20 000 mensen. Aan 80 van hen wordt gevraagd uit welk landsgedeelte ze afkomstig zijn.

f) Hoeveel van de 80 respondenten zijn afkomstig uit de vlaamse Gemeenschap of Brussel?

g) Hoeveel procent is niet afkomstig uit de Franse Gemeenschap? h) Op 1 december 2021 werkten 28 836 mensen op de site. Hoeveel daarvan zouden, volgens de steekproef, uit de Duitstalige Gemeenschap komen? ICT

Fr

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 49 2.1.3 Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken Een frequentietabel opstellen Groenten en fruit horen bij een gezonde levensstijl. • De aanbevolen consumptie van fruit bedraagt twee stukken per dag. • Slechts 9 % van de bevolking (3-64 jaar) voldoet aan de aanbeveling. • Twee op de drie (64 %) jonge kinderen (3-5 jaar) halen wel de richtlijn voor fruit. Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP) Aan 48 leerlingen van een vierde jaar wordt gevraagd hoeveel stukken fruit ze gisteren hebben gegeten. Stel een frequentietabel op. 1 0 4 2 0 1 xi ni fi cni cfi 2 3 1 2 1 3 0 5 1 0 1 3 2 1 0 2 1 2 3 1 2 1 1 2 0 4 2 3 2 2 1 4 0 5 4 1 0 2 1 3 4 5 3 2 3 1 1 0 • Welk deel van de leerlingen at gisteren twee stukken fruit? • Hoeveel leerlingen aten gisteren drie of vier stukken fruit? • Geef de betekenis van de cumulatieve relatieve frequentie van het waarnemingsgetal 3. • Hoeveel procent van de ondervraagde leerlingen at gisteren minstens één stuk fruit? • is de steekproef die hier is uitgevoerd, een goede steekproef? Waarom (niet)? instructiefilmpje ©VANIN

50 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 Grafische voorstellingen dotplot en staafdiagram 2018161412108642leerlingenaantal 0 1 2 3 4 5 fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per dag leerlingenaantalrelatief 0 1 2 34 5 16,67 % 31,25 % 25,00 % 14,58 % 8,33 % 4,17 % fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per dag 0,00 % 5,00 % 10,00 % 15,00 % 20,00 % 25,00 % 30,00 % 35,00 % lijndiagram leerlingenaantal fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per 01234dag 5 1614121086420 cumulatief staaf- en lijndiagram leerlingenaantalcumulatief 80 41 2 3 5 fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per dag 50403020100 23 35 42 46 48 leerlingenaantalrelatiefcumulatief 04123 5 fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per dag 0,00 % 10,00 % 30,00 % 50,00 % 70,00 % 90,00 % 20,00 % 40,00 % 60,00 % 80,00 % 100,00 % ICT ICT ICT ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 51 Oefeningen REEKS A 3 Je ziet de verdeling per leerjaar van de leerlingen van een middelbare school met 704 leerlingen. verdeling per leerjaar van de leerlingen van een middelbare school leerjaar 0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 % 18,00 % 20,00 % 22,00 % 24,00 % 1 2 3 4 5 6 leerlingenaantalrelatief 20,45 % 17,19 % 19,74 % 16,34 % 12,50 % 13,78 % a) vervolledig de frequentietabel. x i n i f i cn i cf i 1 20,45 % 2 17,19 % 3 19,74 % 4 16,34 % 5 12,50 % 6 13,78 % 704 100,00 % b) Hoeveel leerlingen zitten er in het vierde jaar? c) Hoeveel procent van de leerlingen zit in de derde graad? d) Hoeveel leerlingen zitten niet in de eerste graad? e) Hoeveel procent van de leerlingen zit in het vierde jaar of hoger? f) Teken met icT een staafdiagram voor de absolute frequentie. ©VANIN

52 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 REEKS B een vegetariër eet geen vlees en geen vis. iemand die wel vis eet, maar geen vlees, is een Veganistenpescotariërbannen alle dierlijke producten (dus ook melk, eieren, lederwaren …) uit hun leven. Mensen die, vanwege hun gezondheid of uit zorg voor het milieu, op sommige dagen geen vlees of vis eten, noem je flexitariërs. 4 Aan 110 Vlaamse gezinnen wordt gevraagd hoeveel dagen van de week ze helemaal geen vlees of vis eten. 4 1 7 1 5 1 0 3 1 2 0 3 0 1 2 4 0 5 2 0 7 3 2 1 0 1 0 1 0 6 3 1 2 1 5 3 1 1 7 0 2 1 0 5 0 1 4 0 3 0 1 4 0 2 0 7 3 2 0 0 1 0 1 0 0 1 0 4 0 2 6 0 1 3 2 0 4 2 1 0 4 0 1 0 0 7 0 3 1 0 0 2 3 1 0 4 0 2 0 0 2 0 1 0 2 1 0 3 1 7 a) Stel een frequentietabel op. x i n i f i cn i cf i 01234567 b) Hoeveel procent van de gezinnen is vegetarisch? c) Geef de betekenis van de cumulatieve relatieve frequentie van 2. d) Hoeveel gezinnen eten meer dan de helft van de dagen geen vlees of vis? e) Teken met icT een lijndiagram voor de relatieve frequentie. ICT ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 53 2.1.4 Centrummaten bij niet-gegroepeerde numerieke gegevens (rekenkundig) gemiddelde mediaan modus Het gemiddelde x van een rij getallen x 1, x 2, ..., x n is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen: x = x 1 + x 2 + ... + x n n De mediaan Me van een gerangschikte rij met n getallen, is het getal met rangorde n + 1 2 De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie. je rondt het gemiddelde af op één cijfer meer na de komma dan de oorspronkelijke gegevens. Welke centrummaten worden gebruikt in deze vier voorbeelden? in vergelijking met 2010 is de consumptie van brood in 2020 afgenomen. De consumptie van fruit is gelijk gebleven. De helft van de tieners in Limburg leest minstens twee boeken per maand. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 6,5,5,4,4,3,3,2,2,050505050 19645,0 19803,7 20002,7 20192,4 vruchtbaarheidsgraad wereldwijd Bron: data.worldbank.org eenpersoonshuishoudens zijn het meest voorkomende huistype. 2019: vruchtbaarheidsgraad wereldwijd gehalveerd tot 2,4 (als het getal onder 2,1 zakt, begint de bevolking te krimpen) ©VANIN

54 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 Centrummaten uit een niet-gegroepeerde frequentietabel bepalen een leerkracht nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten. vul de frequentietabel aan. xi ni fi cni cfi 0 7 1 10 2 9 3 14 4 8 5 11 6 8 7 6 • Om het gemiddelde te berekenen, gebruik je de formule x = n 1 x 1 + n 2 x 2 + ... + nk x k n Daarbij is k het aantal verschillende gegevens. x Schat= het totale aantal gemaakte fouten, als er 150 leerlingen het dictee maken. • De mediaan bepaal je met behulp van de cumulatieve frequentieverdeling. Geef de betekenis van de mediaan: • Wat is het meest voorkomende aantal fouten? • De leerkracht trekt één punt af per gemaakte fout. Bereken het klasgemiddelde op 10. • Welke centrummaat wordt beïnvloed, als een van de leerlingen die zeven fouten maakte, tien fouten had gemaakt? instructiefilmpje ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 55 Oefeningen REEKS A 5 Bij het begin van het schooljaar testte een leerkracht de voorkennis van de leerlingen van twee klassen van het vierde jaar. De diagnostische toets stond op tien punten. 7 9 5 7 6 4 9 3 8 2 5 9 8 5 4 7 7 10 8 7 6 9 5 8 6 3 7 9 5 5 7 7 6 3 8 6 3 8 7 6 6 7 10 3 6 a) Bereken het gemiddelde en geef de betekenis. b) Bepaal de mediaan en geef de betekenis. REEKS B 6 Aan 125 volwassen mannen is de schoenmaat gevraagd. xi ni 38 3 39 5 40 8 41 19 42 23 43 29 44 21 45 10 46 5 47 1252 a) Welk maat komt het meest voor? b) Bereken het gemiddelde. c) Bepaal de mediaan. d) Geef de betekenis van de mediaan. e) Stel dat een man schoenmaat 51 heeft. Welke centrummaat zou daardoor beïnvloed worden? ICT ICT ©VANIN

Juist of fout? Duid aan met een vinkje en verklaar je antwoord. juist fout a) De mediaan is niet vatbaar voor uitschieters. r r

c) Als je de punten van twee klassen van dezelfde richting voor een proefwerk wilt vergelijken, gebruik je de mediaan. r r

b) Als de leerkracht na een toets zegt dat je bij de betere helft van de klas hoort, dan ligt je score boven het gemiddelde. r r

56 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357

8 Welke centrummaat werd gebruikt bij de onderstaande onderzoeksresultaten?

©VANIN

a) Kinderen ontbijten vaker dan tieners. b) De helft van de mensen heeft minstens drie cOviD-19-zelftesten gedaan in 2021. c) nederlanders zijn groter dan Belgen.

d) Als je wilt aantonen dat een bepaald gegeven het meest voorkomt, gebruik je de modus. r r e) Het is mogelijk dat alle gegevens, op één na, kleiner zijn dan het gemiddelde. r r

7

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 57 9 In een bedrijf wordt op een dag bij alle bedienden geregistreerd hoeveel koppen koffie ze die dag hebben gedronken. xi ni fi cni cfi 0 5 1 6 2 7 3 14 4 11 5 8 6 4 7 2 8 0 9 581 a) vul de frequentietabel aan. b) De helft van de bedienden dronk minstens koppen. c) in een ander bedrijf werken 95 bedienden. Schat hoeveel koppen koffie men daar per dag moet voorzien. REEKS C 10 Het cirkeldiagram toont de grootte van de huishoudens in Vlaanderen in 2021. Het aantal huishoudens met meer dan zes personen werd niet opgenomen in het onderzoek. aantal personen per huishouden in Vlaanderen12345631,9 % 34,3 % 14,1 % 13,24,5% % 2,0 % a) Bepaal de modus. b) Geef de betekenis van de modus. c) Hoe groot is het gemiddelde huishouden in vlaanderen? d) Bepaal de mediaan. e) Geef de betekenis van de mediaan. ICT ICT ©VANIN

massa (kg)

• De klassenbreedte is het verschil tussen de bovengrens en de ondergrens van de klasse. je kiest voor alle klassen een gelijke klassenbreedte. Bijvoorbeeld: de breedte van de klasse [45, 50[ is 50 – 45 = 5.

• Het aantal klassen is minimaal 5 en maximaal 15.

58 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 2.2 Gegroepeerde numerieke gegevens 2.2.1 Gegroepeerde frequentietabel Onderzoek naar de massa, in kilogram, van de zesdejaars in een school leverde de volgende resultaten op. 65 76 88 70 69 59 77 90 58 77 53 58 53 66 90 80 54 86 75 64 68 63 68 58 75 69 78 59 83 83 94 73 66 76 63 69 48 81 86 81 80 84 61 76 68 57 75 59 70 48 73 79 85 85 85 52 60 52 52 77 86 93 83 87 64 48 81 66 massa zesdejaars leerlingenaantal 4849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394 3012

instructiefilmpje ©VANIN

• Het klassenmidden mi is het gemiddelde van de klassengrenzen van de i-de klasse. Bijvoorbeeld: het midden van de klasse [45, 50[ is 45 + 50 2 = 47,5.

Daarom is het overzichtelijker om de gegevens in klassen te groeperen

Op het staafdiagram zie je dat er maar liefst 33 verschillende waarden zijn, elk met een absolute frequentie gelijk aan 1, 2 of 3.

• een klasse is een interval dat gesloten is in zijn ondergrens en open in zijn bovengrens.

Bijvoorbeeld: de klasse [45, 50[. De grenzen van de klasse noem je de klassengrenzen

• Het kleinste gegeven behoort tot de eerste klasse en het grootste gegeven tot de laatste klasse.

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 59 massa (kg) mi ni fi cni cfi [45, 50[ 47,5 3 4,41 % 3 4,41 % [50, 55[ 52,5 6 8,82 % 9 13,24 % [55, 60[ 57,5 7 10,29 % 16 23,53 % [60, 65[ 62,5 6 8,82 % 22 32,35 % [65, 70[ 67,5 10 14,71 % 32 47,06 % [70, 75[ 72,5 4 5,88 % 36 52,94 % [75, 80[ 77,5 11 16,18 % 47 69,12 % [80, 85[ 82,5 9 13,24 % 56 82,35 % [85, 90[ 87,5 8 11,76 % 64 94,12 % [90, 95[ 92,5 4 5,88 % 68 100,00 % 68 100,00 % Als je de resultaten onderbrengt in een gegroepeerde frequentietabel, zie je alleen nog dat er bijvoorbeeld zes gegevens tot de klasse [50, 55[ behoren. Wat die gegevens zijn, is niet meer zichtbaar. Dat houdt een verlies aan informatie in. • Hoeveel leerlingen wegen tussen 65 kg en 70 kg? • Geef de betekenis van de relatieve frequentie van de derde klasse. • Hoeveel procent van de leerlingen weegt tussen 70 kg en 80 kg? • Geef de betekenis van de cumulatieve absolute frequentie van de derde klasse. • Hoeveel procent van de leerlingen weegt minstens 85 kg? ©VANIN

60 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 2.2.2 Een gegroepeerde frequentietabel opstellen met ICT REKENMACHINE Bij continue gegevens kun je de absolute frequenties van de klassen bepalen door gebruik te maken van een statistische plot. actie knoppen scherm Maak een statistische plot van het type voor de lijst MASSA: • Zet de plot aan, voer als Xlijst de lijst MASSA in en stel Freq gelijk aan 1. 2nd staty=plot f1 1 L1 Y entrenterysolve 2nd liststat • Kies een grafisch venster: ■ Xmin = 40 (ondergrens eerste klasse) ■ Xmax = 100 (bovengrens laatste klasse) ■ Xschaal = (klassenbreedte)5 tblwindowsetf2 • Teken de statistische plot, lees de frequenties af en noteer ze om straks een frequentietabel op te stellen. caltablegraphf5tracecf4 voor een frequentietabel open je de lijsteneditor. actie knoppen scherm • voer in L1 de klassenmiddens in. • voer in L2 de bepaalde absolute frequenties in. • Bereken in L3 de relatieve frequentie (breng in het formulevak van de 3e kolom =afronden(L2 / som(L2)*100,2) in). liststat 1 L1 Y (totin kolomhoofd) 2nd liststat 5 L5 U • Bereken in L4 de cumulatieve absolute frequentie (breng in het formulevak van de 4e kolom =cumSom(L2) in). • Bereken in L5 de cumulatieve relatieve frequentie (breng in het formulevak van de 5e kolom =afronden(L4 / som(L2)*100,2) in). 2nd liststat 6 L6 V ©VANIN

EXCEL Om de klassenfrequenties te bepalen, gebruik je de functie

• Selecteer in één keer alle cellen waarin het resultaat van de telling moet komen (dat noem je een matrix). je selecteert dus de cellen c12 tot en met c21.

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 61

• Druk Shift + Ctrl + Enter om de matrix te verwerken.

• Het resultaat van de telling komt in de geselecteerde cellen.

• Geef de werkelijke klassenbovengrenzen (w.k.b.) in de G-kolom in.

• Werk de frequentietabel verder af. GEOGEBRAICT

• Formule: =inTervAL(A1:j7;G12:G21).

ICT

©VANIN

(de gegevensmatrix) hoeveel elementen in een interval ]a, b] liggen, waarbij a en b twee opeenvolgende getallen zijn van de intervalverwijzing. Omdat je in de statistiek met intervallen van de vorm [a, b[ werkt, moet je een hulpkolom gebruiken: per klasse voer je de werkelijke klassenbovengrenzen in. Open het bestand ‘massa.xlsx’ en ga als volgt te werk.

DieinTervAL(gegevensmatrix;interval_verw).functieteltvaneengeselecteerdgebied

62 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 2.2.3 Het histogram De frequentie bij de gegroepeerde gegevens over de massa van de zesdejaars stel je voor door een histogram een histogram is een staafdiagram met aaneengesloten staven dat gebruikt wordt bij gegroepeerde gegevens. Op de horizontale as plaats je de klassen en op de verticale as de frequentie. massa zesdejaars leerlingenaantal 121084260 massa (kg) [45, 50[[50, 55[[55, 60[[60, 65[[65, 70[[70, 75[[75, 80[[80, 85[[85, 90[[90, 95[ Het histogram met de grafische rekenmachine actie knoppen scherm Kies vensterinstellingen aangepast aan de gegevens: • Xmin = 40 (ondergrens eerste klasse min klassenbreedte) • Xmax = 100 (bovengrens laatste klasse plus klassenbreedte) • Xschaal = 5 (klassenbreedte) tblwindowsetf2 Activeer een statistische plot en kies voor het derde type. vul naast Xlijst: L1 en naast Freq: L2 (of L3 ) in. 2nd staty=plot f1 entrenterysolve Teken het histogram. tablegraphf5 Het histogram met Excel Open het bestand ‘massa.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk. • Selecteer de cellen met de absolute freqenties en voeg een staafdiagram in. • Om de staven tegen elkaar te plaatsen: ■ rechtermuisklik op een van de staven. ■ Gegevensreeks opmaken. ■ Breedte tussenruimte: 0 %. • Kies voor een randkleur met een ononderbroken streep. Het histogram met GeoGebra ICT ICT instructiefilmpje ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 63 REEKSOefeningenA 11 Aan 100 jongeren werd gevraagd hoeveel zakgeld ze per maand krijgen. zakgeld per maand jongerenaantal 05 10152025303540455055 60 12101416201842608 zakgeld (euro) a) Welke klasse telt het grootste aantal jongeren? b) Hoeveel jongeren krijgen tussen 30 en 40 euro zakgeld? c) Hoeveel procent van de jongeren krijgt minder dan 10 euro zakgeld? 12 De tabel toont de lichaamslengte (in cm) van de jongens van het vierde jaar van een middelbare school. a) vervolledig de frequentietabel. lengte (cm) ni fi cni cfi [145, 150[ 2 [150, 155[ 7 [155, 160[ 11 [160, 165[ 15 [165, 170[ 18 [170, 175[ 16 [175, 180[ 8 [180, 185[ 3 b) Hoeveel jongens zitten er in het vierde jaar? c) Hoeveel jongens meten tussen 160 cm en 170 cm? d) Hoeveel procent van de jongens is minder dan 160 cm groot? ICT ©VANIN

64 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 REEKS B 13 Aan de klanten van een broodjeszaak is gevraagd hoelang ze moesten aanschuiven vooraleer ze hun bestelling kregen. wachttijden in de broodjeszaak tijd (minuten) 0,00 % 5,00 % 10,00 % 15,00 % 20,00 % 25,00 % 30,00 % [0, 1[[1, 2[[2, 3[[3, 4[[4, 5[[5, 6[[6, 7[[7, 8[ 7,35 % 11,76 % 25,00 % 22,06 % 14,71 % 8,82 % 5,88 % 4,41 %wachtendenaantalrelatief a) vervolledig de frequentietabel. wachttijd (min) ni fi cni cfi [0, 1[ 7,35 % [1, 2[ 11,76 % [2, 3[ 25,00 % [3, 4[ 22,06 % [4, 5[ 14,71 % [5, 6[ 8,82 % [6, 7[ 5,88 % [7, 8[ 4,41 % 68 100,00 % b) Geef de betekenis van de cumulatieve absolute frequentie van de tweede klasse. c) Hoeveel mensen hebben tussen 2 en 4 minuten gewacht? d) Hoeveel procent van de mensen heeft minstens 5 minuten gewacht? e) een op de vier mensen wachtte tussen en minuten. ©VANIN

d) Hoeveel dagen werden er 200 of meer bezoekers geteld? e) Schat hoeveel dagen van een volledig jaar er minder dan 100 bezoekers zijn.

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 65 14 Gedurende een aantal dagen werd het aantal bezoekers van een website bijgehouden. bezoekersaantal mi ni fi cni cfi [0, 50[ 10 [50, 100[ 19 [100, 150[ 25 [150, 200[ 34 [200, 250[ 18 [250, 300[ 12 [300, 350[ 6

b) Gedurende hoeveel dagen werd het bezoekersaantal bijgehouden?

c) Gedurende hoeveel dagen telde men tussen 100 en 250 bezoekers?

f) Teken met icT een histogram voor de absolute frequentie.

a) vervolledig de frequentietabel.

ICT ©VANIN

d) Hoeveel procent van de bezoekers is jonger dan 40 jaar?

f) Bij een soortgelijke film zijn er 88 mensen aanwezig. Schat hoeveel daarvan minstens 50 jaar zijn.

e) Hoeveel bezoekers zijn minstens 30 jaar?

g) Teken met icT een histogram voor de absolute frequentie.

b) Uit welke leeftijdsklasse komen de meeste filmbezoekers?

i) Hoeveel procent meer 20- tot 30-jarigen waren er dan 10- tot 20-jarigen? rond af op 0,1 %.

a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 10. leeftijd mi ni fi cni cfi [10, 20[

c) Hoeveel mensen tussen 40 en 60 jaar wonen de film bij?

h) Hoeveel procentpunt meer 20- tot 30-jarigen waren er dan 10- tot 20-jarigen?

66 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 15 Aan de bezoekers van een film in een bioscoop wordt de leeftijd gevraagd. 17 25 34 44 42 38 18 16 41 55 57 38 38 18 19 42 24 21 45 48 65 41 38 18 19 27 24 17 62 43 46 39 54 41 44 62 24 19 32 24 37 35 41 54 52 40 34 22 38 24 22 28 29 45 51 40 33 30 21 20 61 32 44 66

ICT ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 67 16 Op een examen wiskunde op 140 werden de volgende punten behaald. 121 94 120 96 100 97 88 69 85 53 107 112 93 99 111 90 98 104 72 96 64 80 107 85 107 101 99 80 110 76 88 72 107 64 75 43 85 69 91 113 88 107 93 80 72 91 53 75 97 91 75 53 111 86 99 80 96 88 91 64 69 a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 10. punten mi ni fi cni cfi b) Hoeveel leerlingen behaalden tussen 100 en 130? c) Hoeveel leerlingen slaagden? d) Teken met icT een histogram voor de relatieve frequentie. e) Schat hoeveel leerlingen er minder dan 105 op 140 behaalden. ICT ©VANIN

68 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 17 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa bepaald in gram. 73 100 131 95 99 95 112 101 124 114 118 108 56 125 82 93 143 100 113 72 86 128 118 102 94 106 132 92 111 117 69 108 104 111 100 102 96 89 77 108 144 117 93 107 105 46 141 65 100 106 81 81 138 99 56 94 77 105 117 133 98 101 125 133 103 137 71 119 92 77 102 105 109 128 31 96 100 117 119 53 107 130 78 107 141 110 79 98 99 139 116 129 94 98 97 116 a) Maak een frequentietabel. De benedengrens van de eerste klasse is 30 en de klassenbreedte is 15. massa (g) mi ni fi cni cfi b) Hoeveel aardappelen wegen tussen 75 en 120 g? c) Hoeveel procent van de aardappelen weegt minder dan 90 g? d) Hoeveel aardappelen wegen 120 g of meer? e) Teken met icT een histogram voor de absolute frequentie. ICT ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 69 18 In de tabel staan de snelheden (in km/h) die tijdens een snelheidscontrole in de bebouwde kom werden opgetekend. 48 52 50 49 45 62 38 42 41 52 51 49 50 64 72 55 50 46 58 38 42 28 54 48 47 45 50 40 41 48 47 46 52 58 50 44 57 51 72 53 49 48 46 44 42 50 48 48 47 35 36 42 48 54 52 48 55 55 50 56 41 47 29 45 34 64 75 34 42 46 48 48 47 50 40 57 54 63 55 58 a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 5. snelheid(km/h) mi ni fi cni cfi b) Hoeveel auto’s werden gecontroleerd? c) Hoeveel van de gecontroleerde voertuigen reden minstens 70 km/h? d) Hoeveel procent reed minder dan 50 km/h? e) Hoeveel auto’s reden 30 tot 45 km/h? f) Teken met icT een histogram voor de absolute frequentie. g) er passeren 150 auto’s de controle. voorspel hoeveel daarvan minstens 70 km/h zullen rijden. ICT ©VANIN

70 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357

Uit een onderzoek van het Wetenschappelijk instituut voor volksgezondheid in België blijkt dat 55 % van de adolescenten op een weekdag de aanbevolen limiet van twee uur schermtijd op de smartphone overschrijdt. Op een weekenddag loopt dat percentage op tot 84 %. 19 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Je noteert de gegevens in een tabel met ruwe gegevens.

f) Schat bij hoeveel leerlingen de schermtijd hoogstens anderhalf uur is.

a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met breedte 20. schermtijd(min) mi ni fi cni cfi

b) Hoeveel procent van de leerlingen is minder dan een uur per dag bezig met de smartphone?

©VANIN

c) Hoeveel leerlingen zijn langer dan twee uur per dag bezig?

d) Hoeveel procent is tussen een uur en twee uur bezig? e) Teken met icT een histogram voor de relatieve frequentie.

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 71 2.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens 2.3.1 Het gemiddelde Aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 3 7 36 5 10 1 22 2 4 15 3 11 12 25 4 2 13 6 5 31 10 2 12 18 6 1 41 7 4 8 19 12 17 24 9 19 23 12 17 9 32 13 30 1 3 15 5 6 7 20 3 38 44 11 24 14 8 23 12 37 11 13 33 26 8 1 9 39 17 8 18 21 10 29 18 2 25 28 11 21 8 29 6 Bereken het gemiddelde met icT: Het gemiddelde uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen Stel dat je niet over de tabel met ruwe gegevens beschikt, maar enkel over een frequentietabel. Om het gemiddelde te bepalen vanuit een gegroepeerde frequentietabel, vertegenwoordig je alle gegevens van een klasse door hun klassenmidden. Formule x ≈ n 1 m 1 + n 2 m 2 + + n k m k n Daarbij is k het aantal verschillende klassen. De tabel met ruwe gegevens kun je verwerken in een frequentietabel met klassenbreedte 5. klasse mi ni ni  mi [0, 5[ 2,5 15 37,5 [5, 10[ 7,5 18 135 [10, 15[ 12,5 16 200 [15, 20[ 17,5 10 175 [20, 25[ 22,5 8 180 [25, 30[ 27,5 6 165 [30, 35[ 32,5 4 130 [35, 40[ 37,5 4 150 [40, 45[ 42,5 2 85 83 1 257,5 x ≈ 15 2,5 + 18 7,5 + ... + 2 42,5 83 x ≈ Wat merk je? Hoe kun je dat verklaren? instructiefilmpje ©VANIN

2.3.2 De mediaan Bereken voor de tabel met ruwe gegevens van de vorige pagina de mediaan met icT: De mediaan uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen Stel dat je niet over de tabel met ruwe gegevens beschikt, maar enkel over een frequentietabel. je bepaalt dan eerst de klasse waarin het getal met rangorde n + 1 2 (de 50 %-grens) is gelegen. Die klasse noem je de mediaanklasse klasse mi ni cni cfi [0, 5[ 2,5 15 15 18,07 % [5, 10[ 7,5 18 33 39,76 % [10, 15[ 12,5 16 49 59,04 % [15, 20[ 17,5 10 59 71,08 % [20, 25[ 22,5 8 67 80,72 % [25, 30[ 27,5 6 73 87,95 % [30, 35[ 32,5 4 77 92,77 % [35, 40[ 37,5 4 81 97,59 % [40, 45[ 42,5 2 83 100,00 % De mediaan kun je benaderen door het klassenmidden te nemen van de mediaanklasse. Me ≈ Ook nu zie je een mogelijk verlies aan nauwkeurigheid ten opzichte van de tabel met ruwe gegevens.

2.3.3 De modale klasse Definitie Modale klasse De modale klasse is de klasse met de grootste frequentie. Voorbeeld Bepaal de modale klasse bij de afstand van huis naar school: Centrummaten bij gegroepeerde gegevens met GeoGebraICT ©VANIN

72 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 73 REEKSOefeningenA 20 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa bepaald in gram. (zie oefening 17) 73 100 131 95 99 95 112 101 124 114 118 108 56 125 82 93 143 100 113 72 86 128 118 102 94 106 132 92 111 117 69 108 104 111 100 102 96 89 77 108 144 117 93 107 105 46 141 65 100 106 81 81 138 99 56 94 77 105 117 133 98 101 125 133 103 137 71 119 92 77 102 105 109 128 31 96 100 117 119 53 107 130 78 107 141 110 79 98 99 139 116 129 94 98 97 116 a) Hoeveel weegt de zwaarste helft van de aardappelen? b) je neemt 500 willekeurige aardappelen. Schat de totale massa op 1 g nauwkeurig. c) vergelijk het gemiddelde en de mediaan. Wat kun je daaruit besluiten? 21 In de tabel staan de snelheden (in km/h) die tijdens een snelheidscontrole in de bebouwde kom werden opgetekend. De maximale toegelaten snelheid is er 50 km/h. 48 52 50 49 45 62 38 42 41 52 51 49 50 64 72 55 50 46 58 38 42 28 54 48 47 45 50 40 41 48 47 46 52 58 50 44 57 51 72 53 49 48 46 44 42 50 48 48 47 35 36 42 48 54 52 48 55 55 50 56 41 47 29 45 34 64 75 34 42 46 48 48 47 50 40 57 54 63 55 58 a) Welke centrummaat gebruik je om te illustreren wat de snelheidsbeperking is? Bereken die centrummaat. b) Klopt de bewering dat meer dan de helft van de auto’s te snel reed? ICT ICT ©VANIN

74 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 REEKS B 22 In een drukke winkelstraat werd aan 200 vrouwen gevraagd welk budget ze elke maand aan kleding besteden. De resultaten worden weergegeven in de frequentietabel. budget ni [0, 100[ 15 [100, 200[ 73 [200, 300[ 38 [300, 400[ 26 [400, 500[ 19 [500, 600[ 14 [600, 700[ 8 [700, 800[ 4 [800, 900[ 2 [900, 1 000[ 1 a) Bereken het gemiddelde. b) Geef de betekenis van het gemiddelde. c) Bepaal de mediaan. d) Geef de betekenis van de mediaan. e) Welke bedragen worden het meest besteed?

23 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2021. leeftijd ni [0, 10[ 1 251 844 [10, 20[ 1 314 027 [20, 30[ 1 400 394 [30, 40[ 1 499 283 [40, 50[ 1 502 379 [50, 60[ 1 589 611 [60, 70[ 1 367 238 [70, 80[ 948 882 [80, 90[ 528 558 [90, 100[ 116 859 [100, 110[ 2 163 a) vul de frequentietabel aan met icT. b) Bereken de gemiddelde leeftijd in België. c) Bepaal de mediaan. d) Geef de betekenis van de mediaan. e) Wat is de modale klasse? f) Hoeveel procent van de bevolking behoort tot die modale klasse? ICT ICT

©VANIN

REEKS C De as van een wiel wordt bevestigd in een kogellager een lager is een asblok waarin de as kan draaien en heeft als belangrijkste taak het verlagen van de wrijving tussen de verschillende onderdelen. een kogellager bestaat uit een binnen- en een buitenring, met daartussen een rij bolvormige kogels. Bij de draaibeweging draaien de kogels mee, waardoor veel wrijving wordt voorkomen.

a) Geef een schatting van het totale aantal uren schermtijd per dag van de leerlingen van jouw klas (of jaar). b) De helft van de leerlingen van de klas (of het jaar) is minstens minuten per dag bezig met de smartphone.

Gebruik de verwerking van oefening 19 en beantwoord de volgende vragen.

Als controle wordt er een steekproef uitgevoerd bij 160 willekeurig gekozen kogellagers. klasse ni [20,0; 20,1[ 9 [20,1; 20,2[ 13 [20,2; 20,3[ 17 [20,3; 20,4[ 26 [20,4; 20,5[ 34 [20,5; 20,6[ 23 [20,6; 20,7[ 16 [20,7; 20,8[ 12 [20,8; 20,9[ 9 [20,9; 21,0[ 1 a) vul de frequentietabel aan met icT. b) is de machine die de kogellagers maakt, goed afgesteld?

©VANIN

25 Een bedrijf maakt kogellagers die een diameter van 20,5 mm moeten hebben.

d) Welke centrummaat gebruik je het best om je eigen schermtijd te vergelijken met de schermtijd van de ondervraagde leerlingen?

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 75 24 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag.

c) Welke centrummaat zou je gebruiken om het aantal minuten schermtijd van leerlingen van verschillende leeftijden te vergelijken?

c) Bepaal de modale klasse en geef de betekenis. d) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.

ICT

76 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 2.4 Spreidingsmaten 2.4.1 Inleiding temperatuurverschil 2020 en 1981-2010 Bron: climate.copernicus.eu, 2020 Bron: Statbel, 2021 0 % 2 % 4 % 6 % 8 % 10 % 12 % 949,917-0015 999,919-5017 949,922-0020 999,924-5022 949,927-0025 999,929-5027 949,932-0030 999,934-5032 949,937-0035 999,939-5037 949,942-0040 999,944-5042 949,947-0045 999,949-5047 949,952-0050 999,954-5052 949,957-0055 999,959-5057 949,962-0060 999,964-5062 949,967-0065 999,969-5067 949,972-0070 999,974-5072 949,977-0075 999,979-5077 8000>= vrouwen mannen verdeling beroepsbevolking Vlaams Gewest naar maandelijks inkomen en geslacht Tussen 1981-2010 en 2020 is de gemiddelde jaartemperatuur op aarde met 0,8 ºc toegenomen. Het gemiddelde netto maandelijkse inkomen in vlaanderen in 2020 bedroeg 1 903 euro. Mannen zijn gemiddeld 16 cm groter dan vrouwen. De grootste Belgische vrouw is 204 cm groot. Haar man is 14 cm kleiner. Katten worden gemiddeld 14 jaar. een kwart wordt echter niet ouder dan 9 jaar en een kwart wordt zelfs ouder dan 17 jaar. percentage0102030405060totaalmannen vrouwen leeftijd18-3435-4950-6465+ totaal overgewichtmatig overgewichternstig overgewicht overgewicht volwassenen Bron: RIVM, 2019 gemeenten met duurste bouwgrond 1 Antwerpen 479 euro/m2 2 Leuven 417 euro/m2 3 Koksijde 373 euro/m2 4 Gent 342 euro/m2 5 Asse 334 euro/m2 6 Grimbergen 332 euro/m2 7 ranst 325 euro/m2 8 Bornem 309 euro/m2 9 Middelkerke 303 euro/m2 10 Knokke-Heist 302 euro/m2 11 Opwijk 302 euro/m2 Bron: Trends, 2020 De helft van de nederlanders heeft een BMi die groter is dan 25 en is dus, volgens de norm, te zwaar. De gemiddelde prijs voor bouwgrond in vlaanderen is 263,70 euro per m2 De mediaanprijs is 224 euro per m2 De bovenstaande voorbeelden tonen dat de centrummaten geen totaalbeeld geven. er moeten ook getallen bepaald worden die de spreiding weergeven ten opzichte van die centrummaten. instructiefilmpje ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 77 2.4.2 De variatiebreedte Voorbeeld 1 De leerlingen van twee klassen van het vierde jaar hebben het voorbije weekend auto’s gewassen voor het goede doel. Per gewassen auto kregen ze 10 euro. De opbrengst voor beide klassen zie je in de tabel. KLAS A opbrengst(euro) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Me = x =leerlingenaantal 3 6 3 3 1 KLAS B opbrengst(euro) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Me = x =leerlingenaantal 1 3 1 3 3 1 1 1 De twee klassen hebben dezelfde mediaan en ongeveer hetzelfde gemiddelde. Waarin verschillen de gegevensrijen dan wel? Definitie Variatiebreedte De variatiebreedte R is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal. in het voorbeeld is • de variatiebreedte voor klas A: • de variatiebreedte voor klas B: Dat geeft aan dat voor klas B de gegevens sterker gespreid zijn. een voordeel van de variatiebreedte is dat ze gemakkelijk te berekenen is. een nadeel is dat er slechts rekening gehouden wordt met de twee uiterste waarden en niet met de frequenties. Voorbeeld 2 De histogrammen tonen rapportresultaten met dezelfde variatiebreedte R = wiskunderapport klas A leerlingenaantal leerlingenaantal30102040500 punten (%) punten (%) wiskunderapport klas B 301020407060500 [20, 40[[0, 20[ [40, 60[[60, 80[[80, 100[ [20, 40[[0, 20[ [40, 60[[60, 80[[80, 100[ Leg uit waarin de ligging van de gegevens ten opzichte van het centrum van elkaar verschilt. ICT ©VANIN

78 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 2.4.3 Kwartielen Aan 15 gezinnen werd gevraagd hoeveel smartphones er binnen het gezin zijn. je kunt de gegevensrij verdelen in vier delen met elk evenveel waarnemingsgetallen. middelste50% 25 %25 %25 %25 % %edeewt%etsree Me Q1 Q2 Q3 0 1 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 7 8 Definitie Kwartielen Van een geordende rij met n gegevens is: het eerste kwartiel Q1 het getal met rangorde n + 1 4 (25 %); het tweede kwartiel Q2 het getal met rangorde n + 1 2 (50 %); het derde kwartiel Q3 het getal met rangorde 3 n + 1 4 (75 %). Merk op: Q2 = Me in het voorbeeld:rangorde waarde betekenis Q1 n + 1 4 = 4 2 25 % van de gezinnen heeft hoogstens 2 smartphones. 75 % van de gezinnen heeft minstens 2 smartphones. Q2 n + 1 2 = 8 4 50 % van de gezinnen heeft hoogstens 4 smartphones. 50 % van de gezinnen heeft minstens 4 smartphones. Q3 3 n + 1 4 = 12 5 75 % van de gezinnen heeft hoogstens 5 smartphones. 25 % van de gezinnen heeft minstens 5 smartphones. Kwartielen uit een niet-gegroepeerde frequentietabel bepalen je bepaalt de 25 %-grens, de 50 %-grens en de 75 %-grens. xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ni 1 1 2 3 2 3 1 1 1 cni 1 2 4 7 9 12 13 14 15 cfi 6,67 % 13,33 % 26,67 % 46,67 % 60,00 % 80,00 % 86,67 % 93,33 % 100 % ≠ ≠ ≠ 25grens%- 50grens%- 75grens%Op een analoge manier kun je een rij verdelen in 10 of 100 delen. je spreekt dan van decielen en percentielen instructiefilmpje ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 79 Kwartielen uit een tabel met ruwe gegevens berekenen Aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 3 7 36 5 10 1 22 2 4 15 3 11 12 25 4 2 13 6 5 31 10 2 12 18 6 1 41 7 4 8 19 12 17 24 9 19 23 12 17 9 32 13 30 1 3 15 5 6 7 20 3 38 44 11 24 14 8 23 12 37 11 13 33 26 8 1 9 39 17 8 18 21 10 29 18 2 25 28 11 21 8 29 6 Bereken de kwartielen met icT: Q1 = Me = Q3 = Geef de betekenis van het eerste en derde kwartiel. Wie met excel werkt, gebruikt de functie ‘KWArTieL(matrix;kwartiel)’. Kwartielen met GeoGebra De kwartielen bepalen uit de frequentietabel Stel dat de tabel ruwe gegevens niet beschikbaar is, maar enkel een frequentietabel. klasse mi ni cni cfi [0, 5[ 2,5 15 15 18,07 % [5, 10[ 7,5 18 33 39,76 % [10, 15[ 12,5 16 49 59,04 % [15, 20[ 17,5 10 59 71,08 % [20, 25[ 22,5 8 67 80,72 % [25, 30[ 27,5 6 73 87,95 % [30, 35[ 32,5 4 77 92,77 % [35, 40[ 37,5 4 81 97,59 % [40, 45[ 42,5 2 83 100,00 % • Het eerste kwartiel Q 1 ligt in de klasse waarin de 25 %-grens ligt. je neemt het midden van die klasse als benadering voor het eerste kwartiel. Q 1 = • De mediaan heb je bepaald in 2.3.2. Me = 12,5 • Het derde kwartiel Q 3 ligt in de klasse waarin de 75 %-grens ligt. Het midden van die klasse is een benadering voor het derde kwartiel. Q 3 = ICT ICT instructiefilmpje ©VANIN

80 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 Kwartielen uit een frequentietabel met de grafische rekenmachine actie knoppen scherm voer de frequentietabelgegroepeerdeindoor: • in L1 de klassenmiddens in te geven; • in L2 de absolute frequenties in te geven. 2 L2 Z 1 L1 Y 5 L5 Ui :entrenterysolveentrliststatenterysolve ▲ ▲ 5 L5 U Bereken de centrummaten door aan te geven dat de klassenmiddens zich in lijst 1 bevinden en de absolute frequenties in lijst 2. 2nd 2 L2 Zentrenterysolveliststat ▲ ▲ ▲ Lees de kwartielen af. entrenterysolve ©VANIN

• Het aantal smartphones binnen een gezin (zie 2.4.3): iQr =

• een verticale lijn in de box die de plaats van de mediaan weergeeft;

je houdt geen rekening met de 25 % kleinste en de 25 % grootste gegevens.

Definitie Interkwartielafstand De interkwartielafstand is het verschil tussen het derde en het eerste kwartiel.

Q1 Q3MIN MAXMe %%

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 81

• een vanaf de box getekende lijn (de plot) naar het minimum en het maximum. een boxplot verdeelt de gegevens in vier gebieden die elk een vierde (25 %) van de waarnemingsgetallen bevatten.

• De afstand van thuis naar school (zie 2.4.1): iQr = Het nadeel van de interkwartielafstand is dat alleen de spreiding van de middelste helft van de gegevens wordt bekeken.

2.4.5 De boxplot De kwartielen vormen samen met het kleinste en het grootste waarnemingsgetal de vijfgetallensamenvatting De boxplot is een grafische voorstelling van de vijfgetallensamenvatting die bestaat uit:

©VANIN

Opmerking je kunt het gemiddelde via de boxplot schatten door het midden van de box te bepalen. instructiefilmpje

Notatie iQr Voorbeelden

2.4.4 De interkwartielafstand

• een rechthoek (de box) die als basis de interkwartielafstand heeft;

middelsteIQRR50%

©VANIN

• verklaar het verschil tussen je schatting en het werkelijke gemiddelde.

Voorbeeld 1 Uit een grootschalig onderzoek naar het eten van fruit bij vijftien- tot achttienjarigen in vlaanderen is gebleken dat een kwart van de ondervraagden hoogstens één stuk fruit per dag eet. De helft van de respondenten eet minstens twee stukken fruit en een kwart eet minstens vier stukken fruit per dag. niemand eet meer dan zes stukken fruit per dag.

82 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357

Bespreking:

0,0 1,0 2,0 4,0 6,0

• De mediaan ligt links in de box en is dus op het eerste gezicht kleiner dan het gemiddelde.

• je ziet de grootste spreiding bij het derde en vierde kwart, en de kleinste spreiding bij het eerste en tweede kwart.

Voorbeeld 2 Aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen (zie 2.4.1). Teken de boxplot met icT en beantwoord de vragen.

• Schat het gemiddelde en controleer.

• Het werkelijke gemiddelde is 14,7 (zie 2.3.1).

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 83 Boxplot met de grafische rekenmachine Aan 48 leerlingen van een vierde jaar wordt xi 0 1 2 3 4 5 ni 8 15 12 7 4 2 48 gevraagd hoeveel stukken fruit ze gisteren hebben gegeten (zie 2.1.3). Teken de boxplot.actie knoppen scherm voer de frequentietabel in. entrenterysolve entrenterysolve enter entry solve 1 L1 Yentrenterysolve entrenterysolvecatalog0 8 v P 1 L1 Y 5 L5 U ▲ ▲ Maak de boxplot aan. entrenterysolve entrenterysolvey= statplot f1 2nd ▲ ▲ ▲ 24 Teken de boxplot op het scherm. 9 w Qformatzoomf3 Lees de centrummaten af op de boxplot. calctracef4 ▲ ▲ Boxplot met GeoGebra tijd 25 % – 75 % bereik zonder uitschieters zwakke uitschieter sterke uitschieter De box-and-whiskerplot werd voor het eerst gebruikt in 1977 door de Amerikaanse statisticus john Tukey. in het oorspronkelijke ontwerp strekten de horizontale lijnen (de ‘whiskers’) zich uit tot maximaal 1,5 keer de interkwartielafstand onder het eerste of boven het derde kwartiel. De ‘zwakke uitschieters’ werden met kleine kringetjes op de tekening aangebracht en de ‘sterke uitschieters’ (meer dan 3 keer de interkwartielafstand onder Q 1 of boven Q 3 ) met kruisjes. ICT ©VANIN

Het is duidelijk dat het gegeven 56 het gemiddelde sterk beïnvloedt. verwijder de ‘uitschieter’ 56 uit de gegevensrij en bereken opnieuw het gemiddelde: x = een handige methode om na te gaan of een gegeven een uitschieter is, is het iQr-criterium.

84 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 2.4.6 Uitschieters De hematocrietwaarde van menselijk bloed is de verhouding van het volume rode bloedcellen BLOEDPRODEWITTEPLASMABLOEDCELLENBLOEDCELLENLAATJESBLOEDSTRUCTUURPLASMAWITTE BLOEDCELLEN BLOEDPLAATJESRODE BLOEDCELLEN 52-62 % 38-48 % > 1 % < 1 % ten opzichte van het totale volume van het bloed. De hematocrietwaarde wordt uitgedrukt in procent. rode bloedcellen zorgen voor het transport van zuurstof in het bloed, zodat een hoge hematocrietwaarde een belangrijk voordeel betekent voor duursporters. je kunt je hematocrietwaarde verhogen door hoogtestages, maar ook door medicatie (doping). een bekende vorm van bloeddoping is epo (erytropoëtine). van twaalf wielrenners is de hematocrietwaarde gemeten: 45 47 44 45 49 43 46 56 45 43 44 48

Het IQR-criterium voor uitschieters een waarnemingsgetal is een uitschieter als het minstens 1,5 keer de interkwartielafstand boven het derde kwartiel of onder het eerste kwartiel gelegen is. Ga na of het gegeven 56 volgens het criterium een uitschieter is. Voorbeeld Zijn er uitschieters bij de gegevens over de afstand van thuis naar school? (zie 2.4.1) ICT

©VANIN

Bereken het gemiddelde en de mediaan: x = Me =

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 85 REEKSOefeningenA 26 Op een dag in de soldenperiode wordt op straat aan een aantal mensen gevraagd naar het aantal gekochte kledingstukken. 0 0 1 2 2 0 2 5 2 4 1 3 0 1 2 2 3 3 0 4 5 1 3 0 3 4 0 1 3 4 4 1 3 3 3 0 4 1 6 0 1 3 4 5 0 1 2 3 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 2 0 5 1 1 4 7 1 1 1 0 2 3 1 0 7 2 3 3 1 2 1 0 0 1 5 0 3 6 4 2 1 0 a) Bereken de variatiebreedte en geef de betekenis. b) Bereken het eerste en het derde kwartiel en geef de betekenis. c) Bereken de interkwartielafstand en geef de betekenis. d) Teken met icT de boxplot en bespreek. ICT ©VANIN

86 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 27 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa bepaald in gram. (zie oefeningen 17 en 20) 73 100 131 95 99 95 112 101 124 114 118 108 56 125 82 93 143 100 113 72 86 128 118 102 94 106 132 92 111 117 69 108 104 111 100 102 96 89 77 108 144 117 93 107 105 46 141 65 100 106 81 81 138 99 56 94 77 105 117 133 98 101 125 133 103 137 71 119 92 77 102 105 109 128 31 96 100 117 119 53 107 130 78 107 141 110 79 98 99 139 116 129 94 98 97 116 a) Wat is het verschil tussen de zwaarste en de lichtste aardappel? b) Hoeveel weegt het zwaarste kwart van de aardappelen? c) Zijn er uitschieters bij de gegevens? d) Teken de boxplot met icT en bespreek. e) ‘er wegen meer aardappelen tussen 31 g en 93,75 g, dan tussen 117 g en 144 g.’ Klopt die bewering? ICT ©VANIN

©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 87 28 De boxplot toont de resultaten voor een toets wiskunde (op twintig punten). 7,0 14,013,010,0 19,0 a) Wat was beste score? b) Bepaal de variatiebreedte. c) vul in: • De helft van de leerlingen behaalde hoogstens • een kwart van de leerlingen behaalde minstens d) Geef een schatting van het klasgemiddelde. 29 Een onderzoek naar de leeftijd waarop vrouwen in België hun eerste kind krijgen, levert de volgende boxplot op. 14,0 43,025,0 29,0 35,0

c) in de vS is er een vrouw die haar eerste kind kreeg op de leeftijd van 52 jaar. is ze voor het onderzoek in België dan een uitschieter?

a) Bepaal de mediaan en geef de betekenis. b) Bepaal het eerste kwartiel en geef de betekenis.

b) Bepaal het eerste en derde kwartiel en geef de betekenis.

c) Wat is de spreiding van de middelste helft van de leerlingen? Teken met icT de boxplot en bespreek. In een bedrijf wordt op een dag bij alle bedienden geregistreerd hoeveel koppen koffie ze die dag hebben gedronken. (zie oefening 9) xi ni a) vul in. een kwart van de bedienden drinkt hoogstens koppen per dag. een kwart drinkt minstens koppen per dag.

88 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 REEKS B 30 Een leerkracht Nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten. (zie 2.1.4) xi ni a) Wat is de variatiebreedte?

0 7 1 10 2 9 3 14 4 8 5 11 6 8 7 736 d)

31

b) Zijn er uitschieters bij de gegevens?

0 5 1 6 2 7 3 14 4 11 5 8 6 4 7 2 8 0 9 581 ICT ICT ©VANIN

©VANIN

• een kwart van de vrouwen besteedt hoogstens per maand.

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 89

32 In een drukke winkelstraat werd aan 200 vrouwen gevraagd welk budget ze elke maand aan kleding besteden. (zie oefening 22) budget ni a) vul in: • een kwart van de vrouwen besteedt minstens per maand.

b) Bepaal de interkwartielafstand en geef de betekenis. [0, 100[ 15 [100, 200[ 73 [200, 300[ 38 [300, 400[ 26 [400, 500[ 19 [500, 600[ 14 [600, 700[ 8 [700, 800[ 4 [800, 900[ 2 [900, 1 000[ 1 c) Teken die voorstelling met icT en bespreek.

33 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2021. (zie oefening 23) klasse ni a) Bepaal het eerste en derde kwartiel en geef de betekenis.

b) rosa is 107 jaar. Kun je haar leeftijd als uitschieter beschouwen? [0, 10[ 1 251 844 [10, 20[ 1 314 027 [20, 30[ 1 400 394 [30, 40[ 1 499 283 [40, 50[ 1 502 379 [50, 60[ 1 589 611 [60, 70[ 1 367 238 [70, 80[ 948 882 [80, 90[ 528 558 [90, 100[ 116 859 [100, 110[ 2 163 ICT ICT

34 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag.

Uitschieters verwijderen uit een rij waarnemingsgetallen is niet altijd een goede statistische methode.

d) Bij een toets wiskunde heeft iedereen minstens 8 op 20. Leopold heeft gespiekt en heeft 0 op 20 gekregen. r r

Uitschieters die ontstaan zijn door een meetfout of een verkeerde omzetting van eenheden, bijvoorbeeld van inches naar cm, verwijder je het best.

Gebruik de verwerking van oefeningen 19 en 24 en beantwoord de vragen.

b) een kwart van de leerlingen is hoogstens minuten per dag bezig met de smartphone. c) een kwart van de leerlingen is minstens minuten per dag bezig met de smartphone. d) Teken de boxplot met icT en bespreek.

35 Is het een goede statistische methode om de uitschieter te verwijderen in de volgende gevallen? ja nee a) De lengte (in cm) wordt bepaald van 150 volwassen Belgische vrouwen. van één vrouw wordt een lengte van 204 cm genoteerd. r r

•

Uitschieters die werkelijk afwijken van de andere gegevens, zoals een topprestatie in de sport, verwijder je beter niet.

b) Men meet de temperatuur (in ºc) in de 55 klaslokalen van een school. in lokaal A104 wordt een temperatuur van 85 ºc gemeten. r r

•

a) Bereken de variatiebreedte en geef de betekenis.

c) Bij metingen van het ozongehalte in de zomer aan de kust liggen alle waarden tussen 62 en 184 µg/m3, behalve in Oostende, waar 265 µg/m3 wordt gemeten. r r

90 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357

©VANIN

jongerenaantalrelatief aantal minuten per dag 0,0 57,045,033,0 90,0 De mediaan ligt perfect in het midden van de box en is gelijk aan het gemiddelde. Beide centrummaten liggen ook in de modale klasse. De spreiding bij het eerste en vierde kwart is helemaal gelijk. je kunt daarom spreken van een symmetrische verdeling instructiefilmpje

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 91 2.5 Symmetrische en scheve verdelingen 2.5.1 Symmetrische verdelingen Voorbeeld 1 veel zitten is niet gezond. Dat weet iedereen. De nationale Gezondheidsraad adviseert aan jongeren om minstens één uur per dag matig tot intensief te bewegen. Matig intensieve lichamelijke activiteit, zoals wandelen, fietsen of paardrijden, zorgt voor een verhoogde hartslag en een versnelde ademhaling. Zwaar intensieve lichamelijke activiteit zorgt ervoor dat je gaat zweten en soms buiten adem raakt. in 2017 werd een onderzoek gedaan bij 570 jongeren tussen 12 en 18 jaar naar het aantal minuten matig tot zwaar intensieve lichamelijke activiteit. 0,00 % 5,00 % 10,00 % 15,00 % 20,00 % 25,00 % [0, 10[ [10, 20[ [20 ,30[ [30, 40[ [40, 50[ [50, 60[ [60, 70[ [70, 80[ [80, 90[ 2,11 % 5,26 % 12,11 % 18,95 % 22,63 % 19,30 % 12,28 % 5,61 % 1,75 % matig tot zwaar intensief bewegen bij adolescenten

©VANIN

92 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 Voorbeeld 2 je gooit 60 keer met twee dobbelstenen en telt de som van het aantal ogen. 2345678 9101112 0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 % 18,00 % 20,00 % worpenaantalrelatief som van de ogen 60 worpen met twee dobbelstenen Het lijndiagram vertoont geen symmetrie. Dat wordt ook bevestigd door de centrummaten. Op het eerste gezicht zou je dus kunnen besluiten dat het experiment geen symmetrische verdeling oplevert. Met icT kun je een experiment uitvoeren waarbij 6 000 worpen worden gesimuleerd. in excel kun je die simulatie uitvoeren met de functie ‘=ASeLecTTUSSen(1;6)’. Simulatie met de grafische rekenmachine en met Python je krijgt dan het volgende lijndiagram te zien. 2345678 9101112 0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 % 18,00 % 20,00 % worpenaantalrelatief som van de ogen 6 000 worpen met twee dobbelstenen Dit experiment levert dus wel de verwachte symmetrie. je ziet meteen dat het gemiddelde, de mediaan en de modus aan elkaar gelijk zijn, namelijk vooraleer te besluiten of een verdeling wel of niet symmetrisch is, is het dus belangrijk dat de steekproef voldoende groot is. Besluit Als een verdeling symmetrisch is, dan zijn de mediaan, het gemiddelde en de modus aan elkaar gelijk (Mo = Me = x). Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde dan in het midden van de modale klasse. ICTDENKENCOMP. ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 93 2.5.2 Clustervorming in een onderzoek naar de gemiddelde grootte van de Belg werd bij een steekproef aan 2 500 volwassen mannen en 2 500 volwassen vrouwen, verdeeld over alle leeftijden, naar hun lengte (in cm) gevraagd. je ziet het resultaat van het onderzoek in het onderstaande histogram. 0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 % 18,00 % [140, 145[ [145, 150[ [150, 155[ [155, 160[ [160, 165[ [165, 170[ [170, 175[ [175, 180[ [180, 185[ [185, 190[ [190, 195[ [195, 200[ [200, 205[ 0,12 % 0,78 % 3,30 % 8,64 % 14,16 % 15,88 % 13,26 % 16,64 % 13,96 % 8,60 % 3,54 % 0,94 % 0,18 % lengte van 5 000 volwassen Belgen mensenaantalrelatief lengte (cm) vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten: x = 172,6 Me = 173 De mediaan en het gemiddelde zijn ongeveer aan elkaar gelijk. Beide centrummaten liggen echter niet in de modale klasse [175, 180[. je kunt in dit geval dus niet spreken van een symmetrische verdeling, volgens de definitie uit 2.5.1. verklaar het voorkomen van twee relatief maximale klassen. Definitie Clustersteekproef Bij een clustersteekproef verdeel je de populatie in deelgroepen. Bij elk van die groepen trek je vervolgens een aselecte of gerichte steekproef. ©VANIN

94 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 2.5.3 Rechtsscheve verdelingen België telt ongeveer 50 000 dokters, 150 000 verpleegkundigen en 110 000 zorgkundigen. een zorgkundige is iemand die opgeleid is om verpleegkundigen bij te staan. Bij de dokters is het aantal mannen en vrouwen ongeveer gelijk verdeeld. Bij de verpleegkundigen en zorgkundigen is de overgrote meerderheid een vrouw. Het histogram toont de leeftijdsverdeling bij de zorgkundigen. 0,00 % 5,00 % 10,00 % 15,00 % 20,00 % 25,00 % 30,00 % 35,00 % 40,00 % [15, 25[ [25, 35[ [35, 45[ [45, 55[ [55, 65[ 11 % leeftijd van de zorgkundigen in België zorgkundigenaantalrelatief leeftijd (jaren) 35 % 22 % 19 % 13 % Bron: statbel.fgov.be (kerncijfers 2021) vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten: x = 38,8 Me = 37 modale klasse = [25, 35[ De mediaan is kleiner dan het gemiddelde en beide centrummaten liggen boven de modale klasse. er is dus een ‘staart naar rechts’. een dergelijke verdeling noem je rechtsscheef Besluit Als een verdeling rechtsscheef is, dan liggen de mediaan en het gemiddelde bij gegroepeerde gegevens meestal boven de modale klasse. Opmerking Bij niet-gegroepeerde gegevens geldt: Mo < Me < x ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 95 2.5.4 Linksscheve verdelingen Het histogram toont de geboortemassa (in gram) van alle kinderen die vorig jaar in een bepaald vlaams ziekenhuis zijn geboren. 180160140120100806040200 geboor temassa van 467 baby's baby'saantal massa (g) [500, 1 000[[1 000, 1 500[[1 500, 2 000[[2 000, 2 500[[2 500, 3 000[[3 000, 3 500[[3 500, 4 000[[4 000, 4 500[ 4 10 8 18 82 152 163 30 vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten: x = 3 272,5 Me = 3 330 modale klasse = [3 500, 4 000[ De mediaan is groter dan het gemiddelde en beide centrummaten liggen onder de modale klasse. er is dus een ‘staart naar links’. een dergelijke verdeling noem je linksscheef Besluit Als een verdeling linksscheef is, dan liggen de mediaan en het gemiddelde bij gegroepeerde gegevens meestal onder de modale klasse. Opmerkingen • Bij niet-gegroepeerde gegevens geldt: x < Me < Mo. • een boxplot is een handig instrument om een staart te illustreren. 500 3 6853 3302 940 4 500 ©VANIN

96 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 REEKSOefeningenA

36 Van enkele voldoende grote steekproeven krijg je telkens het gemiddelde, de mediaan en de modus of modale klasse. Is de verdeling symmetrisch (S), linksscheef (L), rechtsscheef (R) of geen van de drie (G)? S L r G a) x = 1 683 Me = 1 630 Mo klasse = [1 500, 1 600[ r r r r b) x = 54,3 Me = 54,5 Mo = 54 r r r r c) x = 1,7 Me = 2 Mo = 1 r r r r d) x = 39,3 Me = 38,5 Mo klasse = [36, 38[ r r r r e) x = 78,1 Me = 78 Mo klasse = [75, 80[ r r r r

37 Tot welk soort verdeling zullen de volgende statistische onderzoeken leiden? Kies uit een symmetrische verdeling (S), een linksscheve verdeling (L), een rechtsscheve verdeling (R) en een clusterverdeling (C). S L r c

b) De duur (in weken) van een zwangerschap. r r r r

c) Het intelligentiequotiënt (iQ) van 12-jarigen. r r r r d) De spanwijdte (in cm) van de vleugels van vlinders. er wordt een steekproef uitgevoerd bij drie soorten vlinders. r r r r e) Het aantal gemaakte doelpunten per match in de eerste klasse van het Belgisch voetbal. r r r r f) De leeftijd waarop een Belgische vrouw sterft. r r r r g) De inhoud (in cl) van een bekertje koffie dat door een automatische vulmachine wordt gevuld. r r r r

©VANIN

a) De inkomstenverdeling (in euro per maand) van de 18- tot 25-jarigen in vlaanderen. r r r r

a) Met welk soort verdeling heb je hier te maken?

b) Toon aan, zonder te berekenen, dat het gemiddelde groter is dan 1. 39 Je ziet vier boxplots die de verdeling van de leeftijden van de bewoners vier verschillende appartementsblokken weergeeft. soort verdeling hoort bij elk van die boxplots? guur B guur C guur D figuur A: figuur B: figuur c: figuur D:

van

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 97 REEKS B 38 Aan een aantal Vlaamse gezinnen wordt gevraagd hoeveel dagen van de week ze helemaal geen vlees of vis eten. (zie oefening 4) 0,00 % 4,00 % 8,00 % 12,00 % 15,00 % 20,00 % 24,00 % 28,00 % 32,00 % 36,00 % 01234567aantaldagenindeweekzondervleesofvisgezinnenaantalrelatief aantal dagen

10203040506070 guur A

Welk

©VANIN

98 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 40 Hoe is de clustervorming tot stand gekomen bij de onderstaande grafische voorstellingen? a) massa zesdejaars leerlingenaantal [45, 50[[50, 55[[55, 60[[60, 65[[65, 70[[70, 75[[75, 80[[80, 85[[85, 90[[90, 95[ 121084260 massa (kg) b) 1018201416101268240 2345678 910 toets wiskunde vierde jaar leerlingenaantal punten op 10 41 Van 90 kippeneieren wordt de massa in gram bepaald. Toon aan dat de steekproef een symmetrische verdeling oplevert. massa (g) ni [45, 50[ 2 [50, 55[ 12 [55, 60[ 22 [60, 65[ 33 [65, 70[ 9 [70, 75[ 7 [75, 80[ 905 ICT ©VANIN

KUNNEN –  + –  + Gegroepeerde numerieke gegevens verwerken (frequentietabel, grafische voorstelling) en vragen beantwoorden vanuit de frequentietabel of een grafische voorstelling.

©VANIN

2.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN –  + –  + Het gemiddelde x van een rij getallen x 1, x 2, ..., x n is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen: x = x 1 + x 2 + ... + x n n

De mediaan Me van een gerangschikte rij met n getallen is het getal met rangorde n + 1 2 De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie. KUNNEN  +  +

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 99

STUDIEWIJZER Beschrijvende statistiek

Statistische terminologie in verband met het verzamelen van gegevens beheersen. categorische gegevens verwerken (frequentietabel, grafische voorstellingen). niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken (frequentietabel, grafische voorstellingen). De centrummaten gemiddelde, mediaan en modus bepalen met icT en vanuit een gegeven frequentietabel. De centrummaten interpreteren in een context. 2.2 Gegroepeerde numerieke gegevens KENNEN –  + –  + een klasse is een interval dat gesloten is in zijn ondergrens en open is in zijn bovengrens. een histogram is een staafdiagram met aaneengesloten staven.

KUNNEN  +  +

De variatiebreedte R is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal. van een geordende rij met n gegevens is: het eerste kwartiel Q1 het getal met rangorde n + 1 4 (25 %); het tweede kwartiel Q2 het getal met rangorde n + 1 2 (50 %); het derde kwartiel Q3 het getal met rangorde 3  n + 1 4 (75 %).

100 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 2.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  + x ≈ n 1 m 1 + n 2 m 2 + ... + nk mk n , met k het aantal verschillende klassen. De mediaanklasse is de klasse waarin het getal met rangorde n + 1 2 (de 50 %-grens) is gelegen. De modale klasse is de klasse met de grootste frequentie. KUNNEN  +  +

• een verticale lijn in de box die de plaats van de mediaan weergeeft;

Het tweede kwartiel is dus gelijk aan de mediaan. De interkwartielafstand iQr is het verschil tussen het derde en eerste kwartiel. De boxplot is een grafische voorstelling van de vijfgetallensamenvatting die bestaat uit:

Het gemiddelde berekenen met icT en vanuit een gegroepeerde frequentietabel. De mediaan berekenen met icT en vanuit een gegroepeerde frequentietabel. De modale klasse bepalen vanuit een gegroepeerde frequentietabel. De centrummaten interpreteren in een context. 2.4 Spreidingsmaten KENNEN –  + –  +

• een vanaf de box getekende lijn naar het minimum en maximum. een waarnemingsgetal is een uitschieter als het minstens 1,5 keer de interkwartielafstand boven het derde kwartiel of onder het eerste kwartiel gelegen is.

• een rechthoek die als basis de interkwartielafstand heeft;

De variatiebreedte, de kwartielen en de interkwartielafstand berekenen met icT en vanuit een frequentietabel en interpreteren in een context. een boxplot met icT tekenen en interpreteren. Bepalen of een waarnemingsgetal een uitschieter is.

©VANIN

Bepalen of een verdeling symmetrisch (in het bijzonder normaal verdeeld), rechtsscheef of linksscheef is. clusterverdelingen herkennen en verklaren.

Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde dan in het midden van de modale klasse.

Bij elk van die groepen trek je vervolgens een aselecte of gerichte steekproef.

Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde meestal boven de modale klasse.

Als een verdeling rechtsscheef is, dan is de mediaan kleiner dan het gemiddelde en zijn beide groter dan de modus (Mo < Me < x).

©VANIN

Als een verdeling linksscheef is, dan is de mediaan groter dan het gemiddelde en zijn beide kleiner dan de modus (x < Me < Mo). Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde onder de modale klasse.

KUNNEN –  + –  +

Bij een clustersteekproef verdeel je de populatie in deelgroepen.

Als een verdeling symmetrisch is, dan zijn de mediaan, het gemiddelde en de modus aan elkaar gelijk (Mo = Me = x).

4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 101 2.5 Symmetrische en scheve verdelingen voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  +

102 4 D/A I HOOFDSTUK 2 I Be S c H rijven D e S TAT i ST i e K 1 2 864357 Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? ❑ concreet materiaal ❑ schets ❑ schema/tabel ❑ vereenvoudig ❑ gok verstandig ❑ filter ❑ patroon ❑ kennis ❑ logisch nadenken ❑ ... 1. Wat is het eerste cijfer na de komma dat verschilt van nul in de decimale ontwikkeling van 501010 ? A) 1 B) 2 c) 4 D) 5 e) 9 JWO, editie 2021, eerste ronde 2. in een rechthoek met breedte 2 cm teken jeeen (rood) lijnstuk van 2,5 cm eneen (groen) lijnstuk van 2,9 cm.Bereken de aangeduide afstand x 2,5 2,9 x 2 3. Sep vertrekt met de fiets naar school. Op de klok thuis is het dan 8.15 uur, maar die klok loopt een beetje achter. Als hij op school komt, ziet hij op de schoolklok, die perfect werkt, dat het 8.40 uur is. Sep fietst na school even snel als ’s morgens naar huis. Hij vertrekt als het op de schoolklok 16.04 uur is. Bij zijn thuiskomst toont de klok thuis 16.17 uur. Hoeveel loopt de thuisklok achter? ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 103 HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 3.1 Begripsvorming 104 3.2 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax 106 3.3 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax + b 116 3.4 Het voorschrift f (x) = ax + b bepalen 126 3.5 Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie 135 3.6 Lineaire verbanden 146 3.7 De vergelijking van een rechte opstellen 150 Studiewijzer 163 Pienter problemen oplossen 166 ©VANIN

104 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 3.1 Begripsvorming 3.1.1 Voorbeeld Het is feest op school. De leerlingenraad wil T-shirts laten drukken. De drukker maakt de volgende offerte: • vaste kost voor ontwerp: 50 euro • per T-shirt: 8 euro Je berekent de kostprijs voor 10 T-shirts Æ 8  10 + 50 = 130 f (10) = 130 150 T-shirts Æ f (150) = Vul de tabel aan. aantal T-shirts 0 1 20 100 200 300 kostprijs (euro) Het verband tussen de kostprijs en het aantal T-shirts kun je wiskundig vertalen met de functie f (x) = 8x + 50. De hoogste macht van x in dat voorschrift is 1. Je noemt f een eerstegraadsfunctie 3.1.2 Definitie Definitie Eerstegraadsfunctie Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (a Œ R0, b Œ R). f (x) is de functiewaarde van x dom f = R ber f = R Voorbeelden De volgende voorschriften horen bij een eerstegraadsfunctie: f (x) = 2x − 5 a = b = f (x) = 21 x a = b = f (x) = 6 – 3x a = b = Tegenvoorbeelden De volgende voorschriften horen niet bij een eerstegraadsfunctie: voorschrift f (x) = x 2 + 2 f (x) = x 3 + 3x + 7 f (x) = 5 f (x) = x –1 benaming tweedegraadsfunctie derdegraadsfunctie constante functie rationale functie instructiefilmpje ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 105 Oefeningen REEKS A 1 Bepaal a en b f (x) = ax + b a b a) f (x) = 4x − 2 b) f (x) = x21 31 c) f (x) = –3 + 8x d) f (x) = –5x e) f (x) = 2 – 6x 2 Plaats een vinkje bij de voorschriften die bij een eerstegraadsfunctie horen. a) f (x) = 2x + 3 r f) f (x) = 7x r b) f (x) = 31 x r g) f (x) = 25 x – 1 r c) f (x) = x 2 – 7 r h) f (x) = 3 – 4x r d) f (x) = 9 r i) f (x) = 5 x – 1 r e) f (x) = 2x + 3 r j) f (x) = x 3 + 2x r 3 Bereken bij de eerstegraadsfuncties de gevraagde functiewaarde. a) f (x) = 2x + 1 f (1) = b) f (x) = –3x – 7 f (–1) = c) f (x) = 21 x – 5 f (–2) = d) f (x) = –0,7x + 1 f (2) = e) f (x) = 23 x – 1 f (–3) = ©VANIN

is

In

als

Wat is de invloed van de evenredigheidsfactor op de rechte? Daarom noem je de evenredigheidsfactor de richtingscoëfficiënt van de rechte. Richtingscoëfficiënt De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong de verandering (toename afname) de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt. de vergelijking y ax van de rechte a de richtingscoëfficiënt. rechte heeft vergelijking

r

Definitie

106 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 3.2 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f ( x ) = ax 3.2.1 Inleidend voorbeeld In het warenhuis worden tomaten verkocht voor 1,50 euro per kilogram. De trostomaten zijn iets duurder: ze kosten 2 euro per kilogram. De verhouding tussen prijs en massa is constant. gewone tomaten trostomaten maprijsssa = 1,50 fi prijs = 1,50  massa maprijsssa = fi prijs =  massa de evenredigheidsfactor is de evenredigheidsfactor is x is de massa f (x) is de prijs x is de massa g (x) is de prijs functievoorschrift: f (x) = functievoorschrift: g (x) = x 0 1 2 3 4 5 f (x) 0,00 1,50 3,00 x 0 1 2 3 4 5 g (x) Stel het verband tussen massa en prijs voor op het assenstelsel. 123456 7 1110987654321 x (kg) y (euro) 3.2.2 Algemeen Algemeen De grafiek van een functie met vergelijking y = ax (a Œ R0) is een rechte door de oorsprong. Je noemt die vergelijking ook de vergelijking van de rechte.

=

y = −2x rc r = instructiefilmpje GeoGebra ©VANIN

r is

Notatie: rc r Voorbeeld de

Als het argument met één eenheid toeneemt, neemt het beeld met toe.

Als het argument met één eenheid toeneemt, neemt het beeld met toe.

van

of

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 107 3.2.3 Grafische betekenis van de richtingscoëfficiënt Voorbeelden a) f (x) = 21 x c) h (x) = –2x Vul de tabel aan. x –2 –1 0 1 2 f (x) Vul de tabel aan. x –2 –1 0 1 2 h (x) Teken de punten en de rechte p Teken de punten en de rechte r b) g (x) = x d) i (x) = –x Vul de tabel aan. x –2 –1 0 1 2 g (x) Vul de tabel aan. x –2 –1 0 1 2 i (x) Teken de punten en de rechte q Teken de punten en de rechte s yx 1 23456–14321–2–3–4–5 –1 –4–3–2 rc p = rc q = rc r = rc s = Als de richtingscoëfficiënt positief is, stijgt de rechte. x f en g Als de richtingscoëfficiënt negatief is, daalt de rechte. x h en i Besluit De richtingscoëfficiënt van een rechte bepaalt de helling van de grafiek: • stijgende rechten hebben een positieve richtingscoëfficiënt; • dalende rechten hebben een negatieve richtingscoëfficiënt. Welke rechte is het meest stijgend? Bereken |rc | = |rc | = Welke rechte is het meest dalend? Bereken |rc | = |rc | = Besluit De absolute waarde van de richtingscoëfficiënt bepaalt de grootte van de helling. Hoe groter de absolute waarde van de richtingscoëfficiënt, hoe groter de helling van de rechte. ©VANIN

108 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 3.2.4 De richtingscoëfficiënt bepalen Uit de grafiek Op een rechte door de oorsprong kun je de richtingscoëfficiënt aflezen door de functiewaarde van 1 te zoeken. 43215 1 2345–1–2–4–5–3 –1 + 1 –3–2 – 3 –5–4 fyxf (x) = ax f (1) = a  1 = a Wat is de richtingscoëfficiënt bij de grafiek hiernaast? Uit de tabel x 0 1 3 5 8 f (x) 0 6 10 16 veranderingopde y -as veranderingopde x -as = 5− 3 = veranderingopde y -as veranderingopde x -as = 8− 3 = + 1 + 2ya 2ax Bij een gelijke toename van het argument hoort een gelijke verandering van het beeld. Definitie Differentiequotiënt Het differentiequotiënt = de verandering van de y-waarde de verandering van de x-waarde Notatie: differentiequotiënt = ∆y ∆ x (lees: ‘delta y gedeeld door delta x ’) Opmerking: Het differentiequotiënt is constant bij een eerstegraadsfunctie en is de richtingscoëfficiënt van de grafiek. Constante functie f (x) = 2 Dit is geen eerstegraadsfunctie. Verklaar. Elk argument heeft hetzelfde (constante) getal als beeld. Je noemt f een constante functie x −4 −2 0 3 5 f (x) 1 13 4562–5–3–4–6 –1–2 –4–3–2–12345 yx Wat is de richtingscoëfficiënt van de grafiek? Teken de grafiek. De grafiek is een instructiefilmpje ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 109 GrafiekREKENMACHINEvaneen eerstegraadsfunctie tekenen actie knoppen scherm Voer het functievoorschrift in de vergelijkingseditor in. staty=plot f1 linkX,T,θ,n2 L2 Z Kies de gepaste instellingen voor een tabel. tblwindowsetf22nd Toon de tabel. tablewindowf5graph2nd Kies een geschikt grafisch venster. tblwindowsetf2 Toon de grafiek. tablewindowf5graph Grafische invloed van de richtingscoëfficiënt actie knoppen scherm Start de toepassing Transfrm. angleapps B Voer de vergelijking y = ax in de vergelijkingseditor in. Laat de grafiek voor verschillende waarden van de parameter a tekenen. staty=plot f1 a-lockalpha testmathA linkX,T,θ,n tablewindowf5graph GEOGEBRA ©VANIN

110 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 Oefeningen REEKS A 4 Horen de onderstaande grafieken bij een functie van de vorm f (x) = ax? a) 1 1 3452–3–4–5 –1–2 –4–2–3–1234 yx c) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–2–3–1234 yx r  ja r  nee r  ja r  nee b) 1 1 3452–3–4–5 –1–2 –4–2–3–1234 yx d) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–2–3–1234 yx r  ja r  nee r  ja r  nee 5 Bepaal de richtingscoëfficiënt a a) f (x) = −7x a = c) f (x) = x 2 a = b) f (x) = 5x a = d) f (x) = 4 a = 6 Zijn de rechten stijgend of dalend? Plaats een vinkje. stijgend dalend stijgend dalend a) f (x) = −9x r r e) f (x) = x 4 r r b) f (x) = 6x r r f) f (x) = −3x r r c) f (x) = x r r g) f (x) = –x r r d) f (x) = 23 x r r h) f (x) = –5x r r ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 111 REEKS B 7 Lees de richtingscoëfficiënt af op de grafiek. a) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–2–3–1234 yrx b) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–2–3–1234 ysx rc r = rc s = 8 Bepaal de richtingscoëfficiënt uit de tabel. a) x 0 1 2 f (x) 0 4 8 b) x 8 9 10 f (x) –12 –13,5 –15 rc = rc = 9 Schrijf bij elk functievoorschrift het nummer van de overeenkomstige grafiek. 1 1 345 62–3–4–5–1–2 –2–4–3–1234 yx 1 1 13 45 62–3–4–5–1–2 –2–4–3–1234 yx 3 1 13 452–3–4 6–5–1–2 –4–2–3–1234 yx 5 1 1 345 62–3–4–5–1–2 –2–4–3–1234 yx 2 1 13 45 62–3–4–5–1–2 –2–4–3–1234 yx 4 1 13 452–3 64––5–1–2 –4–2–3–1234 yx 6 functie f (x) = 3x f (x) = –x f (x) = x23 f (x) = –0,5x f (x) = 2x f (x) = 1,5x grafiek ©VANIN

112 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 10 Lees de richtingscoëfficiënt af op de grafiek. a) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–2–3–1234 yrx b) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–2–3–1234 ysx rc r = rc s = 11 Bepaal de richtingscoëfficiënt uit de tabel. a) x 5 10 15 f (x) 7,5 15 22,5 c) x –3 –1 4 f (x) 9 9 9 rc = rc = b) x 2 5 9 f (x) 1,5 3,75 6,75 d) x –0,9 0,1 0,4 f (x) –4,5 0,5 2 rc = rc = 12 Bepaal a in de volgende situaties, die beschreven worden met f (x) = ax a) Een vereniging verkoopt kalenders. De winst wordt uitgedrukt met f (x) = 2,5x c) Een waterpomp zorgt ervoor dat er elke minuut dezelfde hoeveelheid water (liter) naar een reservoir gepompt wordt: f (x) = 5x x is het aantal verkochte kalenders. x is het aantal minuten. a = a = a is de winst per kalender. a is b) Je maakt een grote tocht met de fiets. Het aantal gereden kilometers is gelijk aan f (x) = 20x. d) Gevonden in een recept voor suikerbrood: de nodige hoeveelheid parelsuiker (gram) vind je met f (x) = 140x. x is het aantal uren. x is het aantal kilogram bloem. a = a = a is a is ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 113 3.2.5 Het recht evenredig verband Voorbeeld Een zwembad vullen kan lang duren. De tabel toont het aantal liter water y in het zwembad na x uren. x (h) 5 10 20 50 y (l) 3 000 6 000 12 000 30 000 yx Het quotiënt yx is constant. De grootheden y en x zijn recht evenredig Er geldt: yx = Definitie Recht evenredig verband Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding y x constant is. yx = a fi y = a  x (a is de evenredigheidsfactor, a ≠ 0) Formule Als twee grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a, dan is y = a x. Grafiek van een recht evenredig verband 510152025303540455055 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 33 000 x (h) y (l) Teken de grafiek van het verband dat het aantal liter water y weergeeft in functie van het aantal uren x De grafiek is met richtingscoëfficiënt Besluit De grafische voorstelling van een recht evenredig verband y = ax is een (deel van een) rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt a instructiefilmpje ©VANIN

114 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 Oefeningen REEKS A 13 Stellen de tabellen recht evenredige verbanden voor? a) x 6 11 18 22 y 30 55 90 110 c) x 0 2 4 6 y 4 10 20 30 r  ja r  nee r  ja r  nee b) x 2 4 7 10 y 5 11 14 25 d) x 3 5 8 10 y 6,6 11 17,6 22 r  ja r  nee r  ja r  nee 14 Stel de formule op voor het recht evenredige verband tussen y en x. a) x 3 9 13 20 y 7,5 22,5 32,5 50 c) x 4 12 36 112 y 3,5 10,5 31,5 98 b) 01234 yx987654321 d) 01234 yx987654321 ©VANIN

d) Wat is het volume, op 1 liter nauwkeurig, van een stuk eikenhout van 1 500 kg?

©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 115 REEKS B 15 De tabel toont de snelheid v (in m/s) van een voorwerp dat t seconden in het luchtledige valt. t (s) 2 3 5 8 v (m/s) 19,6 29,4 49 78,4

a) Toon aan dat het verband tussen v en t recht evenredig is.

b) Geef de formule voor het verband: v = c) Een voorwerp valt op de grond met een snelheid van 55 m/s. Hoelang heeft het vallen geduurd? Bepaal je antwoord op 0,01 seconde nauwkeurig.

16 Van een stuk eikenhout wordt het verband nagegaan tussen de massa m (in kg) en het volume V (in l). V (l) 15 50 120 230 350 m (kg) 10,5 35 84 161 245 a) Toon aan dat het verband tussen m en V recht evenredig is. b) Geef de formule voor het verband: m = c) Bereken de massa van een stuk eikenhout met een volume van 1 250 liter.

• Fit & Sport is wat ouderwets, maar je betaalt er geen abonnementsgeld. De kostprijs per uur bedraagt 5 euro. x is het aantal uren fitness; f (x), g (x) en h (x) bepalen de maandelijkse kostprijs. Fit & Fun Fit & Slank Fit & Sport f (x) = 5x + 20 g (x) = 5x + 10 h (x) = 5x x 0 5 10 20 f (x) x 0 5 10 20 g (x) x 0 5 10 20 h (x) Teken de grafiek van elke functie. y (euro) x (uren) Wat is de toename van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt? f: g: h: Die toename is de richtingscoëfficiënt. Bepaal het snijpunt met de y-as voor de grafiek van f: g: h: (0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as. b is de afsnijding op de y-as.

Stel:

5101520 12010080604020

3.3.2 Algemeen Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a, b Œ R0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.

• Bij Fit & Slank kost het abonnement 10 euro per maand. Ook daar betaal je 5 euro per uur.

Opmerking De grafiek van de functie f (x) = ax + b is de verticale verschuiving van de grafiek van g (x) = ax volgens de vector bepaald door (0, 0) en (0, b). Evenwijdige rechten hebben dezelfde richtingscoëfficiënt. 0 y (0, b) f(x) = ax + b g(x) =

axx instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

116 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 3.3 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f ( x ) = ax + b 3.3.1 Inleidend voorbeeld In de stad van Joëlle zijn er drie fitnesscentra. • Fit & Fun is gekend als de beste. Ze vragen 20 euro abonnementsgeld per maand en 5 euro per uur fitness.

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 117 3.3.3 Voorbeelden a) f (x) = x − 1 Vul de tabel aan. x –2 –1 0 1 2 f (x Teken) de punten en de rechte p c) h (x) = x + 2 Vul de tabel aan. x –2 –1 0 1 2 h (x Teken) de punten en de rechte r b) g (x) = x + 1 Vul de tabel aan. x –2 –1 0 1 2 g (x Teken) de punten en de rechte q d) i (x) = –x + 1 Vul de tabel aan. x –2 –1 0 1 2 i (x Teken) de punten en de rechte s 1 13 45 62–3–4–56 2 –6–5–4–3–2–123456 yx rechte p rechte q rechte r rechte s coördinaatrichtingscoëfficiëntsnijpuntmet y-as ©VANIN

118 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 Oefeningen REEKS A 17 Stellen de grafieken eerstegraadsfuncties voor? a) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–3–2–1234 yx d) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–1–4234 yx r  ja r  nee r  ja r  nee b) 1 1 3452–3–4–5 –1–2 –3–2–1–4234 yx e) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–1–4234 yx r  ja r  nee r  ja r  nee c) 1 1 3452–3–4–5 –1–2 –3–2–1–4234 yx f) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–1–4234 yx r  ja r  nee r  ja r  nee ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 119 18 Zijn de rechten stijgend of dalend? Plaats een vinkje. stijgend dalend stijgend dalend a) f (x) = 3x − 2 r r e) f (x) = 0,5x + 2 r r b) f (x) = −9x − 2 r r f) f (x) = −5x + 2 r r c) f (x) = 2 − 4x r r g) f (x) = −3 − 8x r r d) f (x) = 6x r r h) f (x) = −0,4x + 7 r r 19 Lees de richtingscoëfficiënt en de coördinaat van het snijpunt met de y-as af. a) 1 1 3452–3–4–5 –1–2 –3–2–1–4234 yx b) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–1–4234 yx richtingscoëfficiënt: richtingscoëfficiënt: snijpunt met de y -as: snijpunt met de y -as: 20 Bepaal de richtingscoëfficiënt en de coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. a) f (x) = 3x − 2 a = ( , ) f) f (x) = 2 + 8x a = ( , ) b) f (x) = 1 − x a = ( , ) g) f (x) = x + 0,5 a = ( , ) c) f (x) = −6x − 12 a = ( , ) h) f (x) = 5x a = ( , ) d) f (x) = 31 x + 3 a = ( , ) i) f (x) = 21 x – 4 a = ( , ) e) f (x) = –7x a = ( , ) j) f (x) = 4x + 5 a = ( , ) ©VANIN

120 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 21 Bepaal de richtingscoëfficiënt uit de tabel. a) x 5 6 7 rc = c) x –3 –2 –1 rc = f (x) 9 11 13 f (x) 4 2 0 b) x 2 3 4 rc = d) x –1 0 1 rc = f (x) 12 17 22 f (x) 9 –6 –21 REEKS B 22 Bepaal a en b in de volgende situaties, die beschreven worden met f (x) = ax + b a) Een loodgieter vraagt als werkloon: f (x) = 50x + 40 x is het aantal gewerkte uren. a = a is het uurloon in euro. b = b is de vaste kost in euro. d) Een taxichauffeur vraagt voor een rit: f (x) = 3x + 10 x is de gereden afstand in kilometer. a = a is b = b is b) Michiel heeft zijn oude strips verkocht. Alles mocht weg voor dezelfde prijs. Het huurgeld voor de stand viel goed mee. De verdiensten op het einde van de dag: f (x) = 1,5x – 5 x is het aantal verkochte strips. a = a is b = b is e) Yves heeft diepvriespizza gekocht en stopt die in de diepvriezer. De temperatuur van de pizza: f (x) = –6 – 3x x is de tijd in uren. a = a is b = b is c) Peter vindt dat hij te veel weegt en besluit een dieet te volgen. Zijn massa wordt gegeven door: f (x) = –2x + 98 x is het aantal maanden na het begin van zijn dieet. a = a is b = b is f) De hoogte (in cm) van een brandende kaars in functie van de tijd wordt gegeven door: f (x) = –2,5x + 24 x is de tijd in uren. a = a is b = b is ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 121 23 Bepaal de richtingscoëfficiënt uit de tabel. a) x 2 5 9 rc = d) x –0,5 0 0,5 rc = f (x) 12 27 47 f (x) 9 –6 –21 b) x –2 3 5 rc = e) x 3 9 21 rc = f (x) 9 –6 –12 f (x) 16 24 40 c) x –3 –1 4 rc = f) x –5 10 30 rc = f (x) 4 2 –3 f (x) 3 –18 –46 24 Lees de richtingscoëfficiënt en de coördinaat van het snijpunt met de y-as af. a) 1 1 3452–3–4–5 –1–2 –3–2–1–4234 yx c) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–1–4234 yx richtingscoëfficiënt: richtingscoëfficiënt: snijpunt met de y -as: snijpunt met de y -as: b) 1 1 3452–3–4–5 –1–2 –3–2–1–4234 yx d) 1 1 3452–3–4–5 –1–2 –3–2–1–4234 yx richtingscoëfficiënt: richtingscoëfficiënt: snijpunt met de y -as: snijpunt met de y -as: ©VANIN

122 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 25 Stellen de tabellen eerstegraadsfuncties voor? a) x 1 3 6 10 f (x) 1 –5 –14 –26 d) x 4 7 11 16 f (x) –12 0 16 31 r  ja r  nee r  ja r  nee b) x –3 0 1 5 f (x) –5 1 7 13 e) x –3 0 1 5 f (x) –5 1 3 11 r  ja r  nee r  ja r  nee c) x –4 2 6 14 f (x) 7 4 2 –2 f) x –7 –3 2 10 f (x) –2 6 15 30 r  ja r  nee r  ja r  nee ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 123 3.3.4 De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen Met behulp van twee verschillende punten Twee verschillende punten volstaan om de grafiek van een eerstegraadsfunctie te tekenen, want Kies coördinaten (x, f (x)) zodat de punten gemakkelijk te tekenen zijn. Voorbeeld 1 f (x) = x − 2 x f (x) 1 13 45 62–3–4–5–6 –1–2 –4–3–2–12345 yx Voorbeeld 2 f (x) = 3x + 1 x f (x) 1 13 45 62–3–4–5–6 –1–2 –4–3–2–12345 yx Met behulp van één punt en de richtingscoëfficiënt Voorbeeld 1 Gegeven: A (1, 3) en rc r = −2 Je vertrekt van het gegeven punt en laat de x-coördinaat met 1 toenemen. De y-coördinaat zal met 2 afnemen, want de richtingscoëfficiënt is negatief Voorbeeld 2 Gegeven: C (−1, −4) en rc s = 23 Je vertrekt van het gegeven punt en laat de x-coördinaat met 2 toenemen. De y-coördinaat zal met 2  23 = 3 toenemen, want de richtingscoëfficiënt is positief Het punt B met coördinaat (1 + 1, 3 − 2) = (2, 1) bepaalt samen met het punt A de rechte r Het punt D met coördinaat (–1 + 2, –4 + 3) = (1, –1) bepaalt samen met het punt C de rechte s –11 13 45 62 2 + 1 – 2 6534 yrABx –5–4–3–2–111–1–2 43–2323+3+2ys CDx instructiefilmpje ©VANIN

124 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 Oefeningen REEKS B 26 Teken de grafiek. a) f (x) = x + 2 b) g (x) = 2x − 4 c) h (x) = 0,5x + 2 x f (x) x g (x) x h (x) 1 1–1–2–3–4–5–6 23456–4–3–2–1234 yx 27 Teken de grafiek. a) f (x) = 2x + 1 b) g (x) = 7x − 3 c) h (x) = –3x – 1 x f (x) x g (x) x h (x) 1 1–1–2–3–4–5–6 23456–4–3–2–1234 yx ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 125 28 Teken de rechten p, q en r. a) rc p = −1 p bevat (−3, 3) b) rc q = 2 q bevat (−1, −2) c) rc r = 23 r bevat (−3, 4) 1 123456–3–4–56 2 –4–3–2–1234 yx REEKS C 29 Teken de grafiek. a) f (x) = x 3 + 2 b) g (x) = 4 – 5x c) h (x) = (x − 2) − (3x + 1) = x f (x) x g (x) x h (x) 1 1 23456–3–4–56 2 –4–3–2–1234 yx ©VANIN

x) = 12 = 3  5 + b 12 = 15 + b b =

Het voorschrift is van de vorm: Neem een willekeurig punt van de grafiek van f bijvoorbeeld f ( ( voorschrift:–3 voorschrift:

,

f (x) = 3x − 3

©VANIN

x) = 3x + b f

126 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 3.4 Het voorschrift f ( x ) = ax + b bepalen 3.4.1 Uit een tabel met functiewaarden Modeloefening 1 x 0 1 2 3 4 f (x) 0 2 4 6 8 x –1 0 1 2 3 f (x) 0,5 0 –0,5 –1 –1,5 richtingscoëfficiënt: a = 2 richtingscoëfficiënt: a = snijpunt met de y-as: (0, b) = (0, 0) snijpunt met de y-as: (0, b) = voorschrift: f (x) = 2x voorschrift: Modeloefening 2 x –2 0 2 4 6 f (x) –1 –3 –5 –7 –9 x –3 0 3 6 9 f (x) 10 6 2 –2 –6 richtingscoëfficiënt: richtingscoëfficiënt: a = verandering y-waarden verandering x-waarden = –5 – (–3) 2 – 0 = –22 = –1 a = = = snijpunt met de y-as: (0, b) = (0, −3) snijpunt met de y-as: (0, b) = voorschrift: f (x) = −x − 3 voorschrift: Modeloefening 3 x 2 3 4 5 6 f (x) 3 6 9 12 15 x –15 –12 –9 2 4 f (x) 3 –3 –9 –31 –35 richtingscoëfficiënt: richtingscoëfficiënt: a = 6 – 3 3 – 2 = 31 = 3 a = = = Het snijpunt met de y-as kun je niet aflezen uit de tabel. Het snijpunt met de y-as kun je niet aflezen uit de tabel. Het voorschrift is van de vorm: f (x) = 3x + b Neem een willekeurig punt van de grafiek van f, bijvoorbeeld (5, 12).

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 127 3.4.2 Uit de grafiek Modeloefening 1 13 452–3–4–1–2 –3–2–123 yx+ 1 – 3 1 1 13 452–3–4–1–2 –3–2–123 yx + 1 + 2 richtingscoëfficiënt: a = –3 richtingscoëfficiënt: a = snijpunt met de y-as: (0, b) = (0, 0) snijpunt met de y-as: (0, b) = voorschrift: f (x) = –3x voorschrift: Modeloefening 2 1 13 452–3–4–1–2 –3–2–123 yx + 2 + 1 1 13 452–3–4–1–2 –3–2–123 yx– 3 + 2 richtingscoëfficiënt: a = 2 richtingscoëfficiënt: a = snijpunt met de y-as: (0, b) = (0, –1) snijpunt met de y-as: (0, b) = voorschrift: f (x) = 2x − 1 voorschrift: Modeloefening 3 –11 46 81012142 111098765432 + 5 (6, 10) + 1 yx –11 46 81012142 111098765432 yx + 1 – 2 richtingscoëfficiënt: a = 5 richtingscoëfficiënt: a = Het snijpunt met de y-as kun je niet aflezen uit de grafiek. Het snijpunt met de y-as kun je niet aflezen uit de grafiek. Het voorschrift is van de vorm: f (x) = 5x + b Neem een willekeurig punt van de grafiek van f, bijvoorbeeld (6, 10). Het voorschrift is van de vorm: Neem een willekeurig punt van de grafiek van f, bijvoorbeeld f (x) = 5x + b f (x) = 10 = 5  6 + b 10 = 30 + b b = voorschrift:−20 f (x) = 5x – 20 voorschrift: ©VANIN

128 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 3.4.3 Uit de context Modeloefening 1 Een blikje Ice Tea kost 0,80 euro. De prijs is afhankelijk van het aantal. x is f (x) is Wat is de prijs als je 0 blikjes koopt? fi snijpunt met de y-as: (0, ) Wat gebeurt er met de prijs als je telkens 1 blikje meer koopt? (toename met 1 eenheid) fi richtingscoëfficiënt: voorschrift: Modeloefening 2 Een klusjesman werkt aan de volgende voorwaarden: hij rekent 60 euro aan als vaste kosten (gebruik gereedschap, vervoer enz.) en 39 euro per werkuur. Zoek het verband tussen zijn loon en het aantal werkuren. x is f (x) is Wat is zijn loon als hij met het werk start (0 werkuren)? fi snijpunt met de y-as: (0, ) Welke toename is er in zijn loon als hij telkens 1 uur meer werkt? (toename met 1 eenheid) fi richtingscoëfficiënt: voorschrift: Modeloefening 3 De inhoud van een benzinetank vermindert met 20 l per minuut. Na 10 uur is er nog 23 000 l benzine in de tank. Zoek een verband tussen de inhoud van de tank en de tijd in minuten. x is f (x) is Na 10 uur, dus minuten, is er nog 23 000 l in de tank, dus voorschrift: ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 129 Oefeningen REEKS A 30 Kies voor elke tabel het gepaste functievoorschrift. Kies uit: f (x) = 2x − 1 g (x) = 2 h (x) = 3 − x i (x) = −2x j (x) = −0,5x + 0,5 k (x) = 3x + 2 a) c) e) x –2 –1 0 1 2 4 2 0 –2 –4 x –3 0 2 5 7 –7 2 8 17 23 x –3 0 3 6 9 –7 –1 5 11 17 b) d) f) x 1 2 3 4 5 2 1 0 –1 –2 x –2 0 2 4 6 2 2 2 2 2 x –5 –4 –3 –2 –1 3 2,5 2 1,5 1 31 Schrijf bij elk functievoorschrift het nummer van de overeenkomstige grafiek. 1 4213–3–4–1–2 –3–2–123 yx 1 1 4213–3–4–1–2 –3–2–123 yx 3 1 4213–3–4–1–2 –3–2–123 yx 5 1 4213–3–4–1–2 –3–2–123 yx 2 1 4213–3–4–1–2 –3–2–123 yx 4 1 4213–3–4–1–2 –3–2–123 yx 6 functie f (x) = 2x − 1 f (x) = −x + 3 f (x) = 23 x + 2 f (x) = −0,5x − 2 f (x) = 3x f (x) = 1,5x – 2 grafiek ©VANIN

130 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 32 Bepaal het functievoorschrift uit de tabel. a) x 0 1 2 3 4 f (x) 0 3 6 9 12 c) x –1 0 1 2 3 f (x) 2 1 0 –1 –2 functievoorschrift: functievoorschrift: b) x –2 –1 0 1 2 f (x) 4 2 0 –2 –4 d) x –2 –1 0 1 2 f (x) –3 –2 –1 0 1 functievoorschrift: functievoorschrift: REEKS B 33 Bepaal het functievoorschrift uit de tabel. a) x 3 4 5 6 7 f (x) 2 –1 –4 –7 –10 d) x –2 0 2 4 6 f (x) 1 3 5 7 9 functievoorschrift: functievoorschrift: b) x –2 –1 0 1 2 f (x) 7 5 3 1 –1 e) x 3 6 9 12 15 f (x) –10 –12 –14 –16 –18 functievoorschrift: functievoorschrift: c) x 2 3 4 5 6 f (x) –11 –7 –3 1 5 f) x –10 –8 –6 2 4 f (x) –5 –2 1 13 16 functievoorschrift: functievoorschrift: ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 131 34 Bepaal het functievoorschrift uit de grafiek. a) 4 13 452–3–4–5 –1–2 –131256 yx d) 4 13 452–3–4–5 –1–2 –131256 yx functievoorschrift: functievoorschrift: b) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–123 y x e) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–123 y x functievoorschrift: functievoorschrift: c) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–123 yx f) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–123 yx functievoorschrift: functievoorschrift: ©VANIN

35 Bepaal het functievoorschrift uit de context. a) Een supermarkt zet de watermeloenen in promotie: 0,99 euro per kg. Geef het verband tussen de prijs en het aantal kg. x is f (x) functievoorschrift:isb)Voor een fles witte wijn betaal je 6 euro. Geef het verband tussen de prijs en het aantal.

x is f (x) functievoorschrift:is d) Het water in een aquarium staat 9 cm hoog en wordt bijgevuld. Per minuut stijgt het water 2 cm. Geef het verband tussen het waterniveau en de tijd. x is f (x) functievoorschrift:is e) Een drukker maakt nieuwjaarskaartjes. De onkosten voor het voorbereidingswerk bedragen 18 euro. Per kaart rekent hij bovendien 0,45 euro.

©VANIN

132 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457

Geef het verband tussen de totale kostprijs en het aantal kaarten. x is f (x) functievoorschrift:is f) Een vertegenwoordiger van waspoeders heeft als vast maandloon 1 050 euro. Per kg waspoeder die hij verkoopt, krijgt hij een bonus van 0,05 euro. Geef het verband tussen zijn maandloon en het aantal kg waspoeder dat de vertegenwoordiger verkoopt. x is f (x) functievoorschrift:is

x is f (x) functievoorschrift:is c) Een auto verbruikt 0,06 liter benzine per km. Geef het verband tussen het verbruik en de afgelegde weg.

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 133 REEKS C 36 Bepaal het functievoorschrift uit de grafiek. a) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–3–2–1234 yx c) 4 13 452–3–4–5 –1–2 –1312567 yx functievoorschrift: functievoorschrift: b) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–3–2–1234 yx d) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–3–2–1234 yx functievoorschrift: functievoorschrift: ©VANIN

134 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 37 Bepaal het functievoorschrift, maak een tabel en teken de grafiek. a) In het recept voor een cake vind je: ‘voeg 40 g boter toe per ei’. Bepaal het voorschrift dat de hoeveelheid boter geeft in functie van het aantal eieren. x is f (x) functievoorschrift:is x f (x) boteraantaleieren (g) 4036322824201612804000000000 14325 6789 10111213 b) Een telefoonmaatschappij vraagt een vast bedrag van 20 euro voor de huur van de telefoonlijn. Voor elk gesprek wordt 0,10 euro per minuut Bepaalaangerekend.hetvoorschrift dat de totale kosten geeft in functie van het aantal gespreksminuten. x is f (x) functievoorschrift:is x f (x) tijd(min) kosten (euro) 302010 50 100 c) In hogere luchtlagen is de temperatuur gevoelig lager dan op zeeniveau. Per 100 m hoogtetoename daalt de temperatuur 1 ºC. De temperatuur op zeeniveau is 20 ºC. Bepaal het voorschrift dat de temperatuur geeft in functie van de hoogte. x is het aantal keer honderd meter. f (x) functievoorschrift:is x f (x) hoogte (× 100 m) temperatuur (°C) 2015105 10121416182648 ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 135 3.5 Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie 3.5.1 Nulwaarde van een eerstegraadsfunctie grafische methode algebraïsche methode Op sommige grafieken kun je de nulwaarde nauwkeurig aflezen in het snijpunt met de x-as. Voorbeeld f (x) = 2x − 4 1 4213–3–4 –1–2 –3–2–123 yx f (x) = 0 2x − 4 = 0 2x = 4 x = 2 Opnulwaarde:sommige grafieken kun je de nulwaarde niet nauwkeurig aflezen. Voorbeeld f (x) = –3x − 2 1 4213–3–4 –1–2 –3–2–123 yx nulwaarde: Algemeen De nulwaarde van een eerstegraadsfunctie f (x) = ax + b bepaal je door de vergelijking f (x) = 0 op te lossen. f (x) = 0 ax + b = 0 ax = −b x = ba nulwaarde: instructiefilmpje ©VANIN

a) Na hoeveel uur is het vriespunt (0 ºC) bereikt? b) Na hoeveel uur is een temperatuur van −10 ºC bereikt?

Voor het resterende belkrediet B geldt: B = 50 − 0,25t, waarbij t het aantal gebruikte belminuten is. a) Na hoeveel minuten is het belkrediet opgebruikt? b) Hoeveel minuten kan Catherine nog bellen, als ze nog 20 euro belkrediet heeft?

136 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 REEKSOefeningenB

41 Catherine koopt een prepaid gsm-kaart met een belkrediet van 50 euro. Elke minuut bellen kost 0,25 euro.

38 Bij het opstarten van een diepvriezer bedraagt de temperatuur 20 ºC. De temperatuur q daalt volgens de functie q = 20 − 5t, waarbij t het aantal uren is.

a) Na hoeveel maanden heeft Jonas het geleende bedrag terugbetaald? b) Hoeveel schuld heeft Jonas nog na één jaar?

39 Jonas leent van zijn ouders 400 euro die hij nog te weinig heeft voor de aanschaf van een scooter. Elke maand betaalt hij 25 euro terug. De uitstaande schuld S (in euro) is een functie van het aantal maanden t : S = 400 − 25t

Het ontdooien en opwarmen van 300 g soep laat zich beschrijven met de formule: q = −20 + 8t, waarbij t de tijd is in minuten en q de temperatuur in ºC. a) Na hoeveel minuten is het vriespunt (0 ºC) bereikt? b) Na hoeveel minuten is een temperatuur van 30 ºC bereikt?

©VANIN

40 Met een microgolfoven kun je ingevroren voeding ontdooien en opwarmen. De tijd die nodig is om te ontdooien en op te warmen, is afhankelijk van de aard van het voedingsproduct en van de hoeveelheid.

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 137 3.5.2 Tekenschema van een eerstegraadsfunctie Een verkoper van pralines moet minstens 10 kg per dag verkopen om zijn onkosten te recupereren. Vanaf 10 kg maakt hij winst. De grafiek geeft een beeld van de winst en het verlies volgens het verkochte aantal kilogram. Is f stijgend of dalend? Wat is de nulwaarde van f ? 5 510–10–5101520 y (euro) x (kg) Een tekenschema kan dat samenvatten: x 10 f (x) 0 + x < 10 fi f (x) < 0 De grafiek ligt onder de x-as. x = 0 fi f (x) = 0 De snijdtgrafiekde x-as. x > 10 fi f (x) > 0 De grafiek ligt boven de x-as. Als x kleiner is dan 10, is elke(Ernegatief.functiewaardeisverlies.) Als x gelijk is aan 10, is de functiewaarde 0. (Er is geen winst en geen verlies.) Als x groter is dan 10, is elke(Erpositief.functiewaardeiswinst.) instructiefilmpje ©VANIN

138 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 Voorbeeld 1 Voorbeeld 3 f (x) = 5x − 10 f (x) = 3x + 7 1 4213–3–4 –1–2 –3–2–123 yx 1 4213–3–4 –1–2 –3–2–123 yx Is f stijgend of dalend? Is f stijgend of dalend? Bepaal de nulwaarde. Bepaal de nulwaarde. Vervolledig het tekenschema. Vervolledig het tekenschema. x f (x) x f (x) Voorbeeld 2 Voorbeeld 4 f (x) = –3x − 6 f (x) = –4x + 1 1 4213–3–4 –1–2 –3–2–123 yx 1 4213–3–4 –1–2 –3–2–123 yx Is f stijgend of dalend? Is f stijgend of dalend? Bepaal de nulwaarde. Bepaal de nulwaarde. Vervolledig het tekenschema. Vervolledig het tekenschema. x f (x) x f (x) Algemeen x b a f (x) = ax + b tegengesteld teken van a 0 teken van a ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 139 REEKSOefeningenA 42 Maak een tekenschema. a) c) e) 1 4213–3–4–1–2 –3–2–123 yx 1 4213–3–4–1–2 –3–2–123 yx 1 4213–3–4–1–2 –3–2–123 yx x f (x) x f (x) x f (x) b) d) f) 1 4213–3–4–1–2 –3–2–123 yx 1 4213–3–4–1–2 –3–2–123 yx 1 4213–3–4–1–2 –3–2–123 yx x f (x) x f (x) x f (x) 43 Maak een tekenschema. a) f (x) = x + 2 c) f (x) = –x – 1 e) f (x) = 3x – 1 nulwaarde: nulwaarde: nulwaarde: x f (x) x f (x) x f (x) b) f (x) = 5x d) f (x) = –2x – 1 f) f (x) = 2x + 4 nulwaarde: nulwaarde: nulwaarde: x f (x) x f (x) x f (x) ©VANIN

140 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 3.5.3 Ongelijkheden grafisch oplossen Voorbeeld 1 Los de ongelijkheid op: 2x − 4 > 0 grafisch tekenschema Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = 2x − 4. Je tekent de grafiek van f : Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = 2x − 4. Je maakt het tekenschema van f : 1 13 45 62–1–2 –2–123 yx nulwaarde: 2 x 2 f (x) 0 + Je leest op de grafiek af voor welke x-waarden f (x) > 0: f (x) > 0 ¤ x > 2 fi V = ]2, + ∞[ Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden f (x) > 0: f (x) > 0 ¤ x > 2 fi V = ]2, + ∞[ Voorbeeld 2 Los de ongelijkheid op: −3x + 1 ≥ 0 grafisch tekenschema Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = −3x + 1. Je tekent de grafiek van f : Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = −3x + 1. Je maakt het tekenschema van f : 1 13 45 62–1–2 –2–123 yx nulwaarde: 31 x 31 f (x) + 0 Je leest op de grafiek af voor welke x-waarden f (x) ≥ 0: f (x) ≥ 0 ¤ x £ 31 fi V = –∞ , 1 3 Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden f (x) ≥ 0: f (x) ≥ 0 ¤ x £ 31 fi V = –∞ , 1 3 instructiefilmpje ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 141 Voorbeeld 3 Los de ongelijkheid op: 2x – 1 > x + 2 –112345671–1–2 2345 6 yx f(x) = 2x – 1 g(x) = x + 2 Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift f (x) = 2x – 1 en het rechterlid als een functievoorschrift g (x) = x + 2. Je tekent de grafieken van f en g: Je leest op de figuur af voor welke waarden f (x) > g (x). f (x) > g (x) ¤ x > 3 fi V = ] 3, + ∞[ Voorbeeld 4 Los de ongelijkheid op met ICT: 21 x + 3 ≥ 3x – 4 OngelijkhedenREKENMACHINEgrafisch oplossen actie knoppen scherm Voer het linkerlid van de ongelijkheid in de vergelijkingseditor in. Start de toepassing Inequalz. staty=plot f1 linkX,T,θ,n entrywindowentersolveangleapps B Kies het ongelijkheidsteken. Voer het rechterlid van de ongelijkheid in. entrywindowentersolve Kies een geschikt grafisch Toonvenster.de grafieken. tabletblwindowsetf2windowf5graph Bepaal het snijpunt van de grafieken. calcwindowf4trace2nd 5 L5 U entrywindowentersolve3 Ongelijkheden grafisch oplossen met GeoGebra ©VANIN

142 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 REEKSOefeningenB 44 Los de ongelijkheden grafisch op. a) −3x + 6 < 0 d) 4x + 2 > 0 x f (x) x f (x) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–123 yx 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–123 yx f (x) < 0 ¤ f (x) > 0 ¤ b) −3x + 9 £ 0 e) 4 − x ≥ 0 x f (x) x f (x) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–123 yx 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–123 yx f (x) £ 0 ¤ f (x) ≥ 0 ¤ c) −2x − 6 < 0 f) 2x + 5 ≥ 0 x f (x) x f (x) 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–123 yx 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–123 yx f (x) < 0 ¤ f (x) ≥ 0 ¤ ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 143 45 Los de ongelijkheden op met een tekenschema. a) 2x + 3 > 0 e) 7x − 14 £ 0 nulwaarde: nulwaarde: x f (x) x f (x) f (x) > 0 ¤ f (x) £ 0 ¤ b) –5x + 2 < 0 f) –8x + 16 ≥ 0 nulwaarde: nulwaarde: x f (x) x f (x) f (x) < 0 ¤ f (x) ≥ 0 ¤ c) −4x − 28 ≥ 0 g) 7x + 21 < 0 nulwaarde: nulwaarde: x f (x) x f (x) f (x) ≥ 0 ¤ f (x) < 0 ¤ d) 9x − 81 < 0 h) –6x – 32 > 0 nulwaarde: nulwaarde: x f (x) x f (x) f (x) < 0 ¤ f (x) > 0 ¤ ©VANIN

144 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 46 Los de ongelijkheden grafisch op. a) x + 3 ≥ 3x – 1 c) 23 x + 4 < 2x – 3 x x f (x) g (x) x x f (x) g (x) –6–5–4–3–2–1 123456–1–2–3–4–5–6–71234567 yx –6–5–4–3–2–1 123456–1–2–3–4–5–6–71234567 yx V = V = b) 4x – 5 < x + 4 d) 23 x – 3 £ –x + 2 x x f (x) g (x) x x f (x) g (x) –6–5–4–3–2–1 123456–1–2–3–4–5–6–71234567 yx –6–5–4–3–2–1 123456–1–2–3–4–5–6–71234567 yx V = V = ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 145 47 Los de ongelijkheden grafisch op met ICT. Rond af op 0,01 nauwkeurig. a) 23 x + 5 < 41 x – 3 d) –5,1x + 912 £ 16,5x – 408 V = V = b) 178 x – 15 £ 57 x + 6 e) px + 16,3 > 2x + 3 V = V = c) 245x – 512 ≥ –63x + 700 f) 223 x – 29,1 ≥ 165 x + 59 V = V = REEKS C 48 Los de ongelijkheden grafisch op. a) 2x – 3 < 4x – 2 b) 31 x ≥ x + 1 x x f (x) g (x) x x f (x) g (x) –6–5–4–3–2–1 123456–1–2–3–4–512345 yx –6–5–4–3–2–1 123456–1–2–3–4–512345 yx V = V = ©VANIN

Die vergelijking is van de vorm y = ax + b Definitie Lineair verband Het verband tussen twee grootheden y en x is lineair als y = ax + b Daarbij is b de beginwaarde en a de constante verandering van y per eenheid van x De constante a noemt men soms ook de groeisnelheid van het lineaire groeimodel Teken de grafiek van het verband tussen de massa en de tijd in het assenstelsel. 264 m (kg) t (maanden) De grafiek is een (deel van een) rechte. De richtingscoëfficiënt van de grafiek is Wat is de fysische betekenis van die Hoeveelrichtingscoëfficiënt?zalFransna één jaar vermagerd zijn? Na hoeveel maanden weegt hij nog maar 75 kg?

.

146 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 3.6 Lineaire verbanden Voorbeeld 1 Frans, de buurman, weegt 120 kg. De dokter raadt hem aan een streng dieet te volgen. De volgende dag heeft hij een afspraak met een diëtist, die hem een dieet voorstelt dat hem 3 kg gewichtsverlies per maand zal opleveren.

120110100908070605040302010

©VANIN

Stel een tabel op die het verloop van de massa van Frans weergeeft. tijd: t (maanden) 0 1 2 3 4 massa: m (kg) De formule die de evolutie van de massa m van Frans weergeeft, is dus: m = 120 − 3t

Besluit De grafische voorstelling van een lineair verband (of lineair groeimodel) y = ax + b is een (deel van een) rechte met richtingscoëfficiënt a en snijpunt met de y-as (0, b).

instructiefilmpje

810121416182022

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 147 Voorbeeld 2 Antropologen zijn wetenschappers die de mensheid bestuderen. Ze schatten de grootte van een volwassen mens met behulp van de lengte van gevonden beenderen. De humerus (het bovenarmbeen) is een been dat meestal nog intact is bij opgravingen naar resten van onze voorouders. De tabel geeft de lengte x (in cm) van de humerus en de totale lengte y (in cm) van vijf volwassen mannen. Bereken telkens het differentiequotiënt ∆y ∆ x x (cm) 30 32 35 39 44 y (cm) 157 163 172 184 199 ∆y ∆ x Wat stel je vast? Geef de fysische betekenis van het differentiequotiënt. 2102001901801701601501402832364044lichaamslengte lengte humerus x (cm) y (cm) Geef de grafische betekenis van het differentiequotiënt. Voorbeeld 3 Je ziet het verband tussen de snelheid v (in km/h) van een auto en de remweg r (in m). v 30 50 70 90 120 r 4,3 12,1 23,6 39,1 69,4 ∆r ∆v Bereken telkens het differentiequotiënt ∆r ∆v . 102030405060708090100110120130 75706560555045403530252015105 v (km/h) r (m) Je Deziet:grafiek is een kromme met een toenemende helling. Besluit Een verband is lineair als het differentiequotiënt ∆y ∆x constant is. Dat differentiequotiënt is de richtingscoëfficiënt van de grafiek van het verband. ©VANIN

148 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 Oefeningen REEKS A 49 Stellen de tabellen lineaire verbanden voor? a) x 2 5 9 20 y 23 35 51 95 c) x 4 6 10 16 y 52 45 31 10 r  ja r  nee r  ja r  nee b) x 0 3 5 10 y 70 55 40 15 d) x 3 5 8 10 y 8 13 22 29 r  ja r  nee r  ja r  nee REEKS B 50 Stel de vergelijking op van de gegeven lineaire groeimodellen. a) De rekening y (in euro) van de loodgieter die x uren in je huis heeft gewerkt. x (h) 0 2 5 8 y (euro) 30 120 255 390 De vergelijking is b) De lengte y (in cm) van een metalen staaf bij een temperatuur x (in ºC). x (ºC) 0 50 100 200 y (cm) 25 25,3 25,6 26,2 De vergelijking is ©VANIN

c) Bij welke temperatuur is de vloeistofhoogte 6 cm? Rond je antwoord af op 0,1 ºC.

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 149

53 Mensen worden steeds ouder. De gemiddelde levensverwachting y van een vrouw in België wordt benaderd door de formule y = 0,178x + 81,3. Voor mannen is dat y = 0,259x + 75,4. Daarbij is x het aantal jaren na 2000.

©VANIN

52 Het verband tussen de hoofdomtrek y (in cm) en de lengte l (in cm) van pasgeboren baby’s kan benaderd worden door de formule y = 0,53x + 8,20. a) Bepaal de hoofdomtrek van een baby van 50 cm. b) Mo was bij de geboorte 3 cm groter dan Nur. Bereken het verschil in hoofdomtrek. c) Hoe groot is een baby met een hoofdomtrek van minstens 36 cm?

a) Wat was de gemiddelde levensverwachting in 2000? voor een vrouw: voor een man: b) Hoe zie je aan de vergelijkingen dat de man gemiddeld ooit minstens even lang zal leven als de vrouw? c) Bepaal met ICT vanaf welk jaar de man gemiddeld ouder zal worden dan de vrouw.

51 Bij een thermometer neemt de hoogte h (in cm) van de vloeistof toe als de temperatuur q (in ºC) stijgt. Er geldt: h = 0,068 q + 3,3. a) Wat is de hoogte van de vloeistof als het 20 ºC is? b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.

Teken de rechte AB door A (−5, 3) en B (4, 3). Hoe is de rechte AB gelegen? Alle punten van de rechte AB hebben als y De-coördinaatrechte AB heeft als vergelijking

150 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 3.7 De vergelijking van een rechte opstellen 3.7.1 Vergelijking van een rechte Een eerstegraadsfunctie heeft een rechte als grafiek. Voorbeeld f (x) = 2x + 1 of f : y = 2x + 1 1 13 452–3–4–5 –1–2 –4–3–2–1234 yrxElk punt op de rechte heeft een coördinatenkoppel (x, y) dat voldoet aan de functievergelijking. (1, 3) behoort tot de rechte Æ 3 = 2 1 + 1 (0, 1) behoort tot de rechte Æ (−1, −1) behoort tot de rechte Æ (x, y) behoort tot de rechte Æ Je noemt y = 2x + 1 de vergelijking van de rechte r In symbolen: r ´ y = 2x + 1 Lees: r heeft als vergelijking y = 2x + 1 Definitie Vergelijking van een rechte Een vergelijking van een rechte is een voorwaarde waaraan de coördinaat van een punt moet voldoen om tot de rechte te behoren. Je controleert of de punten A en B tot de rechte r behoren. co(A) = (2, 5) r ´ y = 2x + 1 2  2 + 1 = 5 besluit: A behoort tot r co(B) = (−2, 3) r ´ y = 2x + 1 2  (−2) + 1 = −3 ≠ 3 besluit: B behoort niet tot r Rechten evenwijdig met de assen 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–123 yx 1 13 452–3–4–5 –1–2 –3–2–123 yx

©VANIN

Teken de rechte AB door A (2, –3) en B (2, 1). Hoe is de rechte AB gelegen? Alle punten van de rechte AB hebben als x De-coördinaatrechte AB heeft als vergelijking

Algemeen Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (0, r) op de y-as heeft als vergelijking y = r. Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, 0) op de x-as heeft als vergelijking x = s

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 151 Oefeningen REEKS A 54 Controleer of het punt op de rechte ligt. a) A (1, 5) en a ´ y = 2x + 1 r  ja r  nee e) E (2, 3) en e ´ y = 2x − 1 r  ja r  nee b) B (−1, 3) en b ´ y = −3x r  ja r  nee f) F (−1, 2) en f ´ y = 5x + 7 r  ja r  nee c) C (2, 4) en c ´ y = −2x + 8 r  ja r  nee g) G (−3, −4) en g ´ y = 4x + 9 r  ja r  nee d) D (−8, 6) en d ´ y = −x − 3 r  ja r  nee h) H (0, −1) en h ´ y = −7x − 1 r  ja r  nee REEKS B 55 Bepaal een vergelijking van de rechte door de punten A en B. Vink aan of het een horizontale (h) of verticale (v) rechte is. a) A (2, 5) en B (2, 8) r  h r  v e) A (1, 10) en B (–1, 10) r  h r  v b) A (–1, –7) en B (–1, 3) r  h r  v f) A (–4, 5) en B (–9, 5) r  h r  v c) A (–2, 4) en B (6, 4) r  h r  v g) A (9, –11) en B (9, 8) r  h r  v d) A (7, –5) en B (7, –4) r  h r  v h) A (0, –7) en B (–5, –7) r  h r  v ©VANIN

152 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 3.7.2 De richtingscoëfficiënt en een punt zijn gegeven voorbeeld algemeen De rechte r bevat P (2, 3). rc r = 4 De rechte r bevat P (x1, y1). rc r = a r heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + b r heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + b • rc r = 4 r ´ y = 4x + b • r bevat P (2, 3). (2, 3) voldoet aan de vergelijking: 3 = 4 2 + b • rc r = a r ´ y = ax + b • r bevat P (x1, y1). (x1, y1) voldoet aan de vergelijking: y1 = ax1 + b bereken b: besluit: r ´ bereken b: y = ax + b y1 = ax1 + b besluit: r ´ y = ax + b y = ax + y1 – ax1 y y1 = ax ax1 y y1 = a  (x x1) (distributiviteit) Algemeen Een vergelijking van de rechte r, met richtingscoëfficiënt a, die het punt P (x1, y1) bevat, is: r ´ y − y1 = a  (x − x1) voorbeeld 1 voorbeeld 2 Stel een vergelijking op van de rechte r met richtingscoëfficiënt 3 die het punt P (1, 5) bevat. Stel een vergelijking op van de rechte s met richtingscoëfficiënt –2 die het punt P (6, –3) bevat. Meetkundige figuren kun je beschrijven met vergelijkingen. De benaming daarvoor is ‘analytische meetkunde’. In het begin van de zeventiende eeuw werd de analytische meetkunde ‘uitgevonden’ door René Descartes en Pierre de Fermat. Door punten van het vlak te noteren met coördinaten, ontstond een belangrijke studie die de algebra als instrument gebruikt om meetkundige problemen op te lossen. Naar Descartes noem je: • (x, y) de cartesiaanse coördinaat van een punt; • y = ax + b de cartesiaanse vergelijking van een rechte. René Descartes instructiefilmpje ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 153 Oefeningen REEKS A 56 Stel een vergelijking van de rechte op. a) a bevat P (1, 0) en rc a = −3. c) c bevat P (3, 2) en rc c = 5. b) b bevat P (4, 3) en rc b = −1. d) d bevat P (0, 7) en rc d = −2. REEKS B 57 Stel een vergelijking van de rechte op. a) a bevat P (–8, –9) en rc a = 3. d) d bevat P (3, –8) en rc d = 45 . b) b bevat P (–10, –5) en rc b = –6. e) e bevat P 31 , 0 en rc e = –3. c) c bevat P (–2, 7) en rc c = 31 f) f bevat P 3, 25 en rc f = 5. ©VANIN

c) Hoeveel potjes moeten ze verkopen om winst te maken?

a) Bepaal het verband tussen de prijs y (in dollar) en het aantal gereden mijl x

58 Voor een taxirit in New York betaal je 2 dollar per mijl. Bij het vorige bezoek van Alexander aan New York betaalde hij 10,50 dollar voor een rit van 4 mijl.

a) Stel het verband op tussen het krediet k (in euro) en het aantal gebelde minuten t

b) Hoeveel heeft de telefoonkaart gekost?

b) Wat is de startprijs van een taxi in New York?

60 Een klas verkoopt bloemen voor het goede doel. De leerlingen vragen 5 euro per potje. Ze kopen hun potjes bij een bloemist in de buurt en betalen daarvoor 3,50 euro per potje bloemen en daarenboven de kosten om de bloemen naar school te laten brengen.

a) Geef het verband tussen de opbrengst O (in euro) en het aantal verkochte potjes x

154 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457

Voor een bestelling van 100 potjes betalen ze 380 euro.

c) Na hoeveel tijd is het belkrediet volledig opgebruikt?

c) Hoeveel kost een rit van 2,7 mijl?

Na een half uur heeft ze nog 16 euro belkrediet.

©VANIN

59 Als je een prepaidtelefoonkaart hebt, daalt je belkrediet voor elke minuut die je belt.

Bij provider P gaat er 0,30 euro van je krediet af per minuut. Asmin heeft een nieuwe telefoonkaart gekocht en belt meteen naar haar beste vriendin.

b) Stel het verband op tussen de kostprijs K (in euro) en het aantal bestelde potjes x

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 155 3.7.3 Twee punten zijn gegeven De richtingscoëfficiënt bepalen voorbeeld algemeen De rechte r bevat A (2, 3) en B (1, 0). De rechte r bevat A (x1, y1) en B (x2, y2). r heeft een vergelijking van de vorm y = ax + b r heeft een vergelijking van de vorm: y = ax + b (2, 3) 3 = a  2 + b b = 3 – 2a (1, 0) 0 = a  1 + b b = –a (x1, y1) y1 = ax1 + b b = y1 – ax1 (x2, y2) y2 = ax2 + b b = y2 – ax2 3 − 2a = −a 3 − 2a + a = 0 3 − a = 0 a = 3 y1 − ax1 = y2 − ax2 ax2 − ax1 = y2 − y1 a  (x2 − x1) = y2 − y1 (distributiviteit) a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 Algemeen De richtingscoëfficiënt a van een rechte bepaald door A (x1, y1) en B (x2, y2) is a = y 2 y 1 x 2 x 1 (als x1 ≠ x2). De vergelijking opstellen Stel de vergelijking op van de rechte die de punten A (2, 3) en B (–1, 6) bevat. a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 = AB ´ y – y1 = a (x – x1) Opmerking De volgorde van de punten speelt geen rol bij het opstellen van de vergelijking. Stel de vergelijking op van de rechte die de punten A (–1, 6) en B (2, 3) bevat. a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 = AB ´ y – y1 = a  (x – x1) instructiefilmpje ©VANIN

156 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 Oefeningen REEKS A 61 Bereken de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door de gegeven punten. a) A (2, 6) en B (4, 0) c) E (1, 2) en F (3, 8) b) C (5, 3) en D (3, 4) d) G (1, 8) en H (4, 8) REEKS B 62 Stel een vergelijking op van de rechte PQ a) P (1, 3) en Q (2, 5) d) P (2, 8) en Q (0, 0) b) P (2, 4) en Q (3, 1) e) P (4, 0) en Q (1, 6) c) P (3, 2) en Q (7, 6) f) P (1, 1) en Q (2, 1) ©VANIN

c) Hoeveel procent van de verkoopprijs ontvangt Runa?

b) Hoeveel liter bevat een volle tank?

©VANIN

64 Runa is vertegenwoordiger. Ze krijgt een vast maandloon en daarbovenop een percentage van de verkoopprijs v (in euro). Je ziet haar maandloon m (in euro) van de voorbije twee maanden. v (euro) 10 000 25 000 m (euro) 2 250 2 850

d) Voor welk bedrag moet ze verkopen om 3 500 euro per maand te verdienen? e) Veronique krijgt geen vast maandbedrag, maar krijgt 6 % op de verkoopprijs. Hoeveel moet ze verkopen om minstens evenveel te verdienen als Runa?

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 157

63 De tabel toont de inhoud V (in l) van een brandstoftank van een auto na x kilometer. x (km) 150 560 V (l) 56 31,4 a) Stel het lineaire verband op tussen V en x

c) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.

a) Stel het lineaire verband op tussen m en v

b) Hoeveel bedraagt haar vaste maandloon?

d) Hoe ver kun je rijden met een volle tank? Rond af op 0,001 km nauwkeurig.

158 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 REEKS C 65 Voor schoenen worden twee soorten maten gebruikt. De meest gekende zijn de Franse maten, maar ook Engelse maten zijn gebruikelijk. In de tabel vind je twee Engelse maten (e) omgerekend naar Franse maten (f ). e 5 9 f 38 43 a) Stel het lineaire verband op tussen f en e b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt. c) Vorm de formule om, zodat de Engelse maat de onafhankelijke veranderlijke wordt. d) Vul de tabel aan. e 7 f 45 66 De tabel toont de maandelijkse winst W (in euro) van een bedrijf dat x geurkaarsen verkoopt. x 500 1 500 W (euro) 750 3 250 a) Stel het lineaire verband op tussen W en x. b) Bereken W (0) en geef de economische betekenis. c) Geef de economische betekenis van de richtingscoëfficiënt. d) Hoeveel kaarsen moet het bedrijf verkopen om winst te maken? ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 159 BIO3.7.4 Lineaire regressie Voorbeeld In de onderste laag van de atmosfeer neemt de temperatuur af met de hoogte. Je ziet de temperatuur q (in ºC) op een hoogte h (in m) op een bewolkte zomerdag. h (m) 200 500 1 200 1 800 2 600 q (ºC) 21,9 20,3 16,4 13,4 8,7

1

q

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk 500 000 500 2 000 2 500 (m)

1

©VANIN

Alle punten liggen op één rechte. Het verband tussen q en h is dus lineair. Om dat verband te vinden, bepaal je met ICT een lineaire regressielijn of trendlijn die de punten bevat. De term ‘regressie’ is in de wiskunde voor het eerst gebruikt door de Britse wetenschapper Sir Francis Galton, een halve neef van Charles Darwin. Bij het napluizen van statistische data had hij gemerkt dat nakomelingen qua grootte heel dikwijls niet leken op diegenen van wie ze afstamden, maar middelmatiger van omvang waren. Ze waren kleiner dan hun voorgeslacht als dat groot was, en groter als dat klein was. Hij noemde die merkwaardige statistische tendens ‘regressie naar het gemiddelde’. Sir Francis Galton instructiefilmpje

0 2220181614121086402 (°C) h

160 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 BIO EenREKENMACHINEtrendlijnbepalen actie knoppen scherm Voer de gegevens in. Je gebruikt daarvoor de lijsten L1 en StaanL2.er al gegevens in de lijsten, dan moet je die gegevens eerst wissen. entrywindowentersolveliststat entrywindowentersolve+ mem “ 4 L4 T 2nd Teken het spreidingsdiagram. Kies een gepast grafisch venster om het spreidingsdiagram te tekenen. entrywindowentersolvestaty=plot f1 tblwindo2ndwsetf2 tablewindowf5graph Bepaal een trendlijn. liststat 4 L4 T Vul de gegevens voor de trendlijn aan. Sla de regressievergelijking op. distvarsr 1 L1 Y Toon de trendlijn. tablewindowf5graph Lineaire regressie met Excel en GeoGebra • De vergelijking van de regressielijn is . • Hoeveel bedraagt de temperatuur op zeeniveau? Rond af op 1 ºC nauwkeurig. • Bereken de temperatuur op een hoogte van 3,8 km. Rond af op 0,1 ºC nauwkeurig. • Vanaf welke hoogte vriest het? Rond af op 1 m nauwkeurig. ©VANIN

In de tabel zie je het aantal doden n, x jaar na 2000. 5 8 11 15 19 n 588 515 451 396 315

x

a) Stel het lineaire regressiemodel op voor het verband tussen n en x.

c) Met hoeveel vermindert het aantal doden per tien jaar?

a) Bepaal, via regressie, het verband tussen q en x

d) In welk jaar zal de gemiddelde jaartemperatuur boven 14 ºC stijgen?

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 161 BIOOefeningen REEKS B 67 Niemand kan nog ontkennen dat het klimaat verandert. Door de toename van de gemiddelde temperaturen overal op aarde smelten gletsjers, stijgt het zeewater, zijn er meer orkanen … De tabel toont de gemiddelde jaartemperatuur q (in ºC) in Ukkel na 2000. x (jaren na 2000) 0 3 8 14 20 q (ºC) 10,73 10,85 11,05 11,29 11,53

b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.

68 Het aantal dodelijke verkeersslachtoffers op Vlaamse wegen daalt bij benadering lineair.

b) Hoeveel dodelijke slachtoffers waren er volgens dat model in 2000?

d) Vanaf welk jaar zouden er, volgens dat model, geen verkeersdoden meer zijn?

©VANIN

c) Voorspel de gemiddelde jaartemperatuur in Ukkel in 2060.

t (h) 2 5 10 15 25 30 toestel A cA

In de tabel zie je het verloop van de capaciteit c (in procent) van twee smartphones na t uren. (%) 94 86 72

b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënten.

f) Na hoeveel tijd, op één minuut nauwkeurig, is de capaciteit van de batterij van toestel B de helft van de capaciteit van toestel A?

d) Na hoeveel tijd, op één minuut nauwkeurig, zijn beide batterijen volledig leeg?

©VANIN

96 90 79 69 48 37 toestel B cB (%)

c) Bepaal de capaciteit van de batterij van beide toestellen na twaalf uren.

Om verschillende toestellen met elkaar te vergelijken, laadt men ze volledig op en bekijkt men de capaciteit van de batterij, zonder het toestel te gebruiken.

58 30 16

e) Los op met ICT: na hoeveel tijd, op één minuut nauwkeurig, zijn de batterijen voor de helft leeg?

a) Bepaal, via regressie, het lineaire verband tussen cA en t en tussen cB en t

162 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 BIO REEKS C 69 De accuduur van een smartphone is afhankelijk van het gebruik, de leeftijd van het toestel en het type.

Een eerstegraadsfunctie herkennen aan het voorschrift en de waarde bepalen van a en b 3.2 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax KENNEN  +  +

Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (a Œ R0, b Œ R). KUNNEN –  + –  +

Als de richtingscoëfficiënt positief is, stijgt de rechte. Als de richtingscoëfficiënt negatief is, daalt de rechte. Hoe groter de absolute waarde van de richtingscoëfficiënt, hoe groter de helling van de rechte.

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 163 STUDIEWIJZER Eerstegraadsfuncties 3.1 Begripsvorming voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  +

Het differentiequotiënt = de verandering van de y-waarde de verandering van de x-waarde = ∆y ∆ x Het differentiequotiënt is constant bij een eerstegraadsfunctie en is de richtingscoëfficiënt van de grafiek.

Uit de grafiek of de tabel van een functie met voorschrift f (x) = ax de waarde van de richtingscoëfficiënt a bepalen. De betekenis van de richtingscoëfficiënt bepalen uit de context.

©VANIN

De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax (a Œ R0) is een rechte door de oorsprong. De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met een eenheid toeneemt. In de vergelijking y = ax is a de richtingscoëfficiënt.

Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding yx constant is.

Als twee grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a, dan is y = a x De grafische voorstelling van een recht evenredig verband y = ax is een (deel van een) rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt a KUNNEN  +  +

Recht evenredige verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen.

De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen. De grafische betekenis van a en b in f (x) = ax + b uitleggen. De richtingscoëfficiënt van een eerstegraadfunctie bepalen uit een grafiek, een tabel of een voorschrift. Aan het voorschrift herkennen of een rechte stijgend of dalend is.

Vraagstukken oplossen door gebruik te maken van de nulwaarde van een eerstegraadsfunctie. Het tekenschema van een eerstegraadsfunctie opstellen en grafisch interpreteren. Een ongelijkheid van de eerste graad met één onbekende oplossen door gebruik te maken van een tekenschema. Een ongelijkheid van de eerste graad grafisch oplossen (ook met ICT).

Een eerstegraadsfunctie herkennen aan de grafiek en het voorschrift, en de waarde bepalen van a en b De grafiek van een eerstegraadsfunctie herkennen.

De grafische voorstelling van een lineair verband (of lineair groeimodel) y = ax + b is een (deel van een) rechte met richtingscoëfficiënt a en snijpunt y-as (0, b).

Een verband is lineair als het differentiequotiënt ∆y ∆x constant is. Dat differentiequotiënt is de richtingscoëfficiënt van de grafiek van het verband.

Het verband tussen twee grootheden y en x is lineair als y = ax + b.

3.4 Het voorschrift f (x) = ax + b bepalen KUNNEN  +  +

De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a Œ R0, b Œ R) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt met de y-as. KUNNEN  +  +

164 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457

©VANIN

Het voorschrift van een eerstegraadsfunctie bepalen • uit een tabel met functiewaarden, • uit de grafiek, • uit de context.

Daarbij is b de beginwaarde en a de constante verandering van y per eenheid van x De constante a noemt men soms ook de groeisnelheid van het lineaire groeimodel.

3.3 Grafiek van de eerstegraadsfunctie f (x) = ax + b voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  +

3.5 Nulwaarde en tekenschema van een eerstegraadsfunctie KUNNEN  +  +

3.6 Lineaire verbanden KENNEN  +  +

De nulwaarde van een eerstegraadsfunctie bepalen en grafisch interpreteren.

Een vergelijking van een rechte is een voorwaarde waaraan de coördinaat van een punt moet voldoen om tot de grafiek te behoren.

Een vergelijking van een rechte opstellen als een punt en de richtingscoëfficiënt gegeven zijn. Een vergelijking van een rechte opstellen als twee punten gegeven zijn. Vraagstukken oplossen waarbij het lineaire verband opgesteld wordt uit de context. Een lineair verband opstellen met behulp van lineaire regressie.

3.7 De vergelijking van een rechte opstellen KENNEN  +  +

©VANIN

Een vergelijking van de rechte r met richtingscoëfficiënt a die het punt P (x1, y1 ) bevat, is: r ´ y – y1 = a (x – x1) De richtingscoëfficiënt a van een rechte bepaald door A (x1, y1 ) en B (x2, y2 ) is a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 als x1 en x2 verschillend zijn. KUNNEN  +  +

Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (0, r) op de y-as heeft als vergelijking y = r Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, 0) op de x-as heeft als vergelijking x = s

Vraagstukken oplossen met gegeven lineaire verbanden.

Lineaire verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen.

4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 165 voor leerlingde voor leerkrachtde KUNNEN  +  +

166 4 D/A I HOOFDSTUK 3 I EERSTEGRAADSFUNCTIES 21 3 86457 Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? ❑ concreet materiaal ❑ schets ❑ schema/tabel ❑ vereenvoudig ❑ gok verstandig ❑ filter ❑ patroon ❑ kennis ❑ logisch nadenken ❑ 2. Van twee vierkanten die elkaar raken,is de gezamenlijke oppervlakte 16.Bepaal de afstand x tussen de twee middelpuntenvan de vierkanten. x 1. In de figuur heeft elke cirkel een straal van 2. Bepaal de hoogte h van de stapeling. h ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 167 HOOFDSTUK 4 I GONIOMETRIE 4.1 Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek 168 4.2 Georiënteerde hoeken 173 4.3 De goniometrische cirkel 175 4.4 Goniometrische getallen van een hoek 179 Studiewijzer 187 Pienter problemen oplossen 188 STEM ©VANIN

4.1 Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek

Je noemt die verhoudingen goniometrische getallen van de scherpe hoek.

De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaanderechthoekszijdeaanliggenderechthoekszijde

Bij het oplossen van rechthoekige driehoeken gebruik je de volgende formules. Cc ba

Definitie Sinus Cosinus Tangens De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde schuinezijde De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de aanliverhoudingggenderechthoekszijdeschuinezijde

AB

De verhoudingen van de zijden in een rechthoekige driehoek zijn afhankelijk van de scherpe hoek.

α β som van de scherpe hoeken a + b 90º stelling van Pythagoras

a 2 + b 2 = c 2 sin a = ca cos a = bc tan a = ba sin b = bc cos b = ca tan b = ba ©VANIN

=

STEM 168 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 321 4 8657

4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 169 VERDIEPINGSTEMREKENMACHINE met de grafische rekenmachine kun je de verhoudingsgetallen sinus, cosinus en tangens van een gegeven scherpe hoek berekenen. actie knoppen scherm Selecteer de zestigdelige graad als hoekeenheid. quitmode 2 entrenterysolve Bereken de sinus van 36º. sin sin 1 E 3 L3 θ 6 L6 V ) } L entrenterysolve REKENMACHINE een hoek berekenen uit een goniometrisch getal. actie knoppen scherm Bereken de hoek waarvan sinuswaardede 0,8 is. Het resultaat is de decimale vorm van de hoekgrootte. 2nd sinsin1 E catalog0 [ i : 8 v P ) } L enter entry solve Op dezelfde manier kun je een hoek berekenen uit een cosinus of uit een tangens. Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek met GeoGebra en Python ©VANIN

STEM 170 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 321 4 8657 REEKSOefeningenA 1 De volgende dakconstructie is gegeven. ABC HKJ 1 2 1 234 Vul aan tot een ware uitspraak. a) sin ^ A = | AK | c) sin ^ A = | AC | e) cos = | KJ | | BK | g) ^ C = | BC | | AC | b) tan ^ B1 = | AK | d) ^ B2 = | JK | | BJ | f) cos ^ C = | KC | h) tan = | HB | | HK | 2 Bereken op 0,000 01 nauwkeurig. a) sin 69º = c) tan 16º = b) cos 12º = d) cos 84º = 3 Bereken op 1 º nauwkeurig. a) sin a = 0,4 fi a = c) cos a = 0,83 fi a = b) tan a = 0,35 fi a = d) tan a = 1,3 fi a = ©VANIN

STEM 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 171 REEKS B 4 Bereken het gevraagde in de rechthoekige driehoek. Rond, indien nodig, de hoeken af op 1º en de zijden op 0,01. a) N EI 34° 72 x d) MO T 56° 12 x b) RST α 14 7 e) 15 9 DxE F c) f) 248 6 βCD ABxBDA C 260° ©VANIN

6 In de chemieles breng je een vloeistof over met een pipet in een erlenmeyer. De lengte van de pipet is 35 cm. De erlenmeyer heeft een hoogte van 15 cm. De hoogte | CE | = 39,8 cm.

ADC

©VANIN

5 De structuur van een watermolecule is een gelijkbenige driehoek met het zuurstofatoom als tophoek en twee waterstofatomen. Tussen elk waterstofatoom en zuurstofatoom bestaat een covalente binding. De sinus van een basishoek is 0,612 217 28. Bereken de grootte van een basishoek en van de tophoek. Rond af op 1º nauwkeurig.

STEM 172 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 321 4 8657

AC BD E

1

Om de vloeistof te laten uitlopen, houd je de pipet schuin, maar onder welke hoekgrootte met het horizontale oppervlak?

REEKS C 7 Tijdens de voetbaltraining neemt de Britse sterspeler Canshotwell een ongelofelijke strafschop. De bal vertrekt van de penaltystip op 11 m van het midden van het doel en belandt keihard in de rechterbovenhoek. De bal raakt nog net de binnenkant van de paal. Het doel is 2,44 m hoog en 7,32 m breed. In totaal legde de bal 11,8 m af tot hij de paal raakte. Bereken de hoek waaronder de bal vertrok. 11 E F7,32 2,44 B

De kleine wijzer beweegt dan over een hoek van 30º.

4.2

Een ezelsbruggetje: in het voorjaar zet je de klok vooruit en in het najaar zet je de klok achteruit. in beide gevallen meet de hoek tussen de begin- en eindpositie van de kleine wijzer 30º.

AOB ©VANIN

Definitie Georiënteerde hoek Een georiënteerde hoek is een hoek waarbij een pijl het beginbeen en het eindbeen van de hoek aanduidt. notatie: A ^ OB Je spreekt over de georiënteerde hoek A ^ OB met de halfrechte [OA als beginbeen en de halfrechte [OB als eindbeen.

STEM 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 173

• is de hoek georiënteerd in tegenwijzerzin, dan noem je de hoek positief.

Georiënteerde hoeken Inleiding • Bij de omschakeling van wintertijd naar zomertijd, in het voorjaar, van winter- naar zomertijd moet je de klok een uur vooruitdraaien.

• Bij de omschakeling van zomertijd naar wintertijd, in het najaar, van zomer- naar wintertijd moet je de klok een uur terugdraaien. De kleine wijzer beweegt dan over een hoek van 30º.

Zo wordt de overgang van zomer- naar wintertijd gekenmerkt door een georiënteerde hoek van 30º en de overgang van winter- naar zomertijd door een georiënteerde hoek van –30º.

• is de hoek georiënteerd in wijzerzin, dan noem je de hoek negatief. Hieronder zie je twee voorstellingen van dezelfde georiënteerde hoek, want het begin- en eindbeen zijn hetzelfde. positieve oriëntatie negatieve oriëntatie A eindbeenbeginbeen A eindbeenbeginbeen Georiënteerde hoeken duid je meestal aan met kleine Griekse letters: a, b, g, d, e Het Griekse alfabet vind je bij het onlinelesmateriaal op diddit.

Geef zelf twee voorbeelden van situaties waarin de oriëntatie van een hoek noodzakelijk is.

Om de twee situaties te onderscheiden, oriënteer je de hoek. De oriëntatie gebeurt met de zin van de wijzers mee of tegen de zin van de wijzers in. Vermits je in de natuur meestal te maken hebt met de tegenwijzerzin (bijvoorbeeld bij de beweging van de planeten), kies je die zin als positief.

STEM 174 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 321 4 8657 REEKSOefeningenA 8 Zijn de hoeken positief of negatief georiënteerd? γ β α ϕ ε δ η λ hoek oriëntatie jhabgdel 9 Josse staat voor een deur. Zijn de hoeken om de deur te openen, positief of negatief georiënteerd? a) b) r  negatief r  positief r  negatief r  positief 10 Zie jij de danseres volgens een hoek draaien die positief of negatief georiënteerd is? danseres r  positief r  negatief ©VANIN

Definitie Goniometrische cirkel De goniometrische cirkel is de cirkel met middelpunt O en straal 1. Het assenstelsel verdeelt het vlak in vier kwadranten Oyx –1 1 1 IIIII IVI–1 Je nummert ze met romeinse cijfers, zoals op de figuur hiernaast. De assen zelf behoren niet tot een kwadrant. elke georiënteerde hoek kun je voorstellen yA α Ox –1 1 1 –1 IIIII IVI op de goniometrische cirkel:

©VANIN

• Het hoekpunt is altijd het middelpunt van de cirkel.

STEM 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 175 4.3 De goniometrische cirkel 4.3.1 Begrippen instructiefilmpje GeoGebra Je voorziet het vlak p van een loodrecht assenstelsel met gelijke eenheden: een orthonormaal assenstelsel. De punten E x en E y duiden de eenheid op de assen aan. Oyx –1 1 1 EyEx –1 Je noemt ze eenheidspunten in een orthonormaal assenstelsel kan de eenheid willekeurig gekozen worden. een straal gelijk aan 1 betekent dus niet dat die 1 cm lang moet zijn.

• Het beginbeen valt samen met de positieve x-as.

• Het snijpunt A van het eindbeen van de georiënteerde hoek en de goniometrische cirkel noem je het beeldpunt van de hoek a noteer de naam van het juiste begrip in het kadertje. 1–11 III IVIII Ox y

–1

STEM 176 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 321 4 8657 4.3.2 De zestigdelige graad Om de hoekgrootte van de georiënteerde hoek a 30 45 60 150135 120 27090180 3600E Ox E yA a yxte bepalen, plaats je de getallen 0 en 360 bij E x Verder verdeel je de cirkel in 360 gelijke delen: graden (º). met het beeldpunt A van de hoek a komt juist één getal van het interval [0, 360[ overeen. Dat getal noem je het maatgetal van a. Het maatgetal van a is gelijk aan 22. Je noteert: a = 22º. roteer je de halfrechte [OA verder in tegenwijzerzin, 30 45 60 150135 120 27090180 3600E Ox E yA a yx –360° –338° –270° –180° –90° 720° 450° 540° 630° 382° dan kun je de hoekgrootte 382º (22º + 360º), 742º (22º + 2 360º) … toekennen aan a Als je in wijzerzin roteert, dan komt met A ook een hoekgrootte –338º (22º – 360º), –698º (22º – 2  360º) … overeen. De georiënteerde hoek a heeft oneindig veel hoekgroottes die 360º van elkaar verschillen bij een of meerdere omwentelingen. elke georiënteerde hoek heeft juist één beeldpunt op de goniometrische cirkel. met elk punt op de goniometrische cirkel komt juist één georiënteerde hoek overeen. Algemeen Bij elk punt van de goniometrische cirkel kun je oneindig veel hoekgroottes plaatsen. Als a een van die hoekgroottes is, dan zijn de andere van de vorm a + k 360º (k Œ Z). Voorbeelden –1 1–11 b III IVIII BOx y –1 1–11 g III IVIII COx y • b = • Het beeldpunt van b is • Het beeldpunt van b ligt in kwadrant • g = • Het beeldpunt van g is • Het beeldpunt van g ligt in kwadrant in meetkundevraagstukken wordt met georiënteerde hoeken gewerkt. er zijn twee mogelijkheden om te werken met een representant: • a Œ [0º, 360º[ • a Œ ]–180º, 180º]. Dat noem je de hoofdwaarde van de georiënteerde hoek. ©VANIN

STEM 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 177 REEKSOefeningenA 11 Teken het beeldpunt A van de gevraagde hoek op de goniometrische cirkel. a) a = 120º c) g = –165º III IVIII 1–1 –11Ox y III IVIII 1–1 –11Ox y b) b = 225º d) d = –285º III IVIII 1–1 –11Ox y III IVIII 1–1 –11Ox y 12 In welk kwadrant ligt de gegeven hoek? a) 48º e) 220º Oyx –1 1IIIIVIII1–1 b) –48º f) –220º c) 170º g) 290º d) –170º h) –290º ©VANIN

STEM 178 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 321 4 8657 REEKS B 13 Bepaal van de georiënteerde hoeken de hoofdwaarde en hun kwadrant. a) 245º f) –2 212º b) 523º g) 2 140º c) 930º h) –2 140º d) –740º i) 2 240º e) 11 425º j) –4 420º 14 Bepaal de hoofdwaarde. Teken het beeldpunt A op de goniometrische cirkel. a) a = 435º c) g = 195º III IVIII 1–1 –11Ox y III IVIII 1–1 –11Ox y b) b = 300º d) d = –210º III IVIII 1–1 –11Ox y III IVIII 1–1 –11Ox y ©VANIN

STEM 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 179 4.4 Goniometrische getallen van een hoek 4.4.1 Cosinus van een hoek Gegeven: een hoek a uit het eerste kwadrant met beeldpunt A yA Ax α Ox –1 1 1 –1 is het punt A x de loodrechte projectie van A op x, dan geldt in de rechthoekige driehoek OAA x cos a = = = cos a is de van A Definitie Cosinus De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel. Duid op elke goniometrische cirkel de cosinus van de gegeven hoek aan. Vul het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken of een minteken. a = 0º a Œ i a = 90º a Œ ii Oyx –1 1 1 –1 A = 0°a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a a = 180º a Œ iii a = 270º a Œ iV Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Besluit a 0º i 90º ii 180º iii 270º iV cos a Gevolg Voor een willekeurige hoek a geldt –1 £ cos a £ 1 instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

STEM 180 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 321 4 8657 4.4.2 Sinus van een hoek Gegeven: een hoek a uit het eerste kwadrant met beeldpunt A is het punt A y de loodrechte projectie van A op y, Ay y α Ox –1 1 1 –1 A Ax dan geldt in de rechthoekige driehoek OAA x sin a = = = sin a is de van A Definitie Sinus De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel. Duid op elke goniometrische cirkel de sinus van de gegeven hoek aan. Vul het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken of een minteken. a = 0º a Œ i a = 90º a Œ ii Oyx –1 1 1 –1 A = 0°a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a a = 180º a Œ iii a = 270º a Œ iV Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Besluit a 0º i 90º ii 180º iii 270º iV sin a Gevolg Voor een willekeurige hoek a geldt –1 £ sin a £ 1 Algemeenbesluit De coördinaat van het beeldpunt A is (cos a , sin a). Ay sin cos Ox –1 1 1 –1 a a a instructiefilmpje ©VANIN

STEM 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 181 4.4.3 Tangens van een hoek Definitie Tangens tan a = sin a cos a als cos a ≠ 0 Gevolgen van de definitie • Voor welke hoeken is de tangens niet gedefinieerd? • De waarde van de tangens kan elk reëel getal zijn. Gegeven: een hoek a uit het eerste kwadrant met beeldpunt A tan a = yAT t E Ex y α Ox –1 1 1 –1 T y Besluit De tangens van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het snijpunt van de raaklijn in het punt E x (1, 0) aan de goniometrische cirkel en het eindbeen van de hoek. Duid op elke goniometrische cirkel de tangens van de gegeven hoek aan. Vul het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken of een minteken. a = 0º a Œ i a = 90º a Œ ii Oyx –1 1 1 –1 tA= 0°a Oyx –1 1 1 –1 t A a Oyx –1 1 1 –1 At a Oyx –1 1 1 –1 At a a = 180º a Œ iii a = 270º a Œ iV Oyx –1 1 1 –1At a Oyx –1 1 1 –1 At a Oyx –1 1 1 –1 Ata Oyx –1 1 1 –1 t a A Besluit a 0º i 90º ii 180º iii 270º iV tan a instructiefilmpje ©VANIN

STEM 182 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 321 4 8657 REEKSOefeningenA 15 Teken het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel. Schat de goniometrische getallen op 0,1 nauwkeurig. a) a = 45º met beeldpunt A yx1 1–1 O –1 cos a ª sin a ª tan a ª b) b = –90º met beeldpunt B cos b ª sin b ª tan b ª c) g = 120º met beeldpunt C cos g ª sin g ª tan g ª d) d = –130º met beeldpunt D 1 1 Oyx–1 –1 cos d ª sin d ª tan d ª e) e = –210º met beeldpunt E cos e ª sin e ª tan e ª f) j = 315º met beeldpunt F cos j ª sin j ª tan j ª ©VANIN

STEM 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 183 REEKS B 16 Teken op de goniometrische cirkel de beeldpunten A 1 en A 2 van de hoek a , zoals in voorbeeldoefening a. a) sin a = 43 d) sin a = 25 1 1 Oyx –1 –1 AA1 2 1 1 Oyx –1 –1 b) cos a = 21 e) cos a = 0,6 1 1 Oyx –1 –1 1 1 Oyx –1 –1 c) tan a = 1,5 f) tan a = –0,8 1 1 Oyx –1 –1 1 1 Oyx –1 –1 17 Bepaal het teken van de goniometrische getallen. a cos a sin a tan a a) 100o b) –50o c) 250o d) 50o e) –220o ©VANIN

STEM 184 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 321 4 8657 18 Teken de beeldpunten A tot en met F en meet de hoeken op 1 º nauwkeurig. a) a met beeldpunt A en sin a = 0,3 1 1–1 Oyx –1 a1 ª a2 ª b) b met beeldpunt B en cos b = −0,2 b1 ª b2 ª c) g met beeldpunt C en tan g = 1,3 g1 ª g2 ª d) d met beeldpunt D en sin d = −0,6 1 1 Oyx–1 –1 d1 ª d2 ª e) e met beeldpunt E en cos e = 0,7 e1 ª e2 ª f) j met beeldpunt F en tan j = −1,2 j1 ª j2 ª ©VANIN

STEM 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 185 19 Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de coördinaatgetallen van de hoekpunten van de regelmatige negenhoek ingeschreven in de goniometrische cirkel. yxDCBA OE co (A) co (B) co (C) co (D) co (E) ===== REEKS C 20 Bepaal zonder rekenmachine of de uitdrukkingen juist of fout zijn. a) sin 60º < cos 60º c) sin (–20º) < cos (–20º) 1–1 –11Ox y 1–1 –11Ox y r juist r fout r juist r fout b) tan 20º > tan 140º d) tan 45º = 1 1–1 –11Ox y 1–1 –11Ox y r juist r fout r juist r fout ©VANIN

STEM 186 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 321 4 8657 21 Teken op de goniometrische cirkel het beeldpunt A van de hoek a met het gegeven kwadrant. Schat het goniometrisch getal op 0,01 nauwkeurig. a) cos a = 0,5 en a behoort tot kwadrant i c) sin a = 0,75 en a behoort tot kwadrant ii 1–1 –11Ox y 1–1 –11Ox y tan a ≈ tan a ≈ b) tan a = 0,5 en a behoort tot kwadrant iii d) cos a = 0,25 en a behoort tot kwadrant iV 1–1 –11Ox y 1–1 –11Ox y sin a ≈ sin a ≈ ©VANIN

De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding aanliggende rechthoekszijde schuine zijde De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde 4.2 Georiënteerde hoeken KENNEN  +  + een georiënteerde hoek is een hoek waarbij een pijl het beginbeen en het eindbeen van de hoek aanduidt.

STEM 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 187 STUDIEWIJZER Goniometrie

De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel. De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel. Voor een willekeurige hoek a definieer je: tan a = sin a cos a als cos a ≠ 0 De tangens van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het snijpunt van de raaklijn in het punt Ex (1, 0) aan de goniometrische cirkel en het eindbeen van de hoek.

De goniometrische cirkel is de cirkel met middelpunt O en straal 1. KUNNEN  +  + een georiënteerde hoek voorstellen door zijn beeldpunt op de goniometrische cirkel. De hoofdwaarde van een hoek bepalen.

KUNNEN  +  + met de rekenmachine de goniometrische getallen van een hoek kunnen berekenen. een hoek tekenen aan de hand van een goniometrisch getal. De goniometrische getallen schatten bij een getekende hoek.

©VANIN

4.1 Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN –  + –  + De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde schuine zijde .

4.3 De goniometrische cirkel KENNEN  +  +

4.4 Goniometrische getallen van een hoek KENNEN  +  +

STEM 188 4 D/A I HOOFDSTUK 4 I G O ni O me T r ie 321 4 8657 Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? ❑ concreet materiaal ❑ schets ❑ schema/tabel ❑ vereenvoudig ❑ gok verstandig ❑ filter ❑ patroon ❑ kennis ❑ logisch nadenken ❑

1. De directrice vindt glas recycleren belangrijk in haar school. Het glas is ofwel wit, ofwel gekleurd. Ze krijgt drie verschillende glastransformatoren. Twee van de glastransformatoren kunnen elk twee stuks recycleerbaar glas verwerken. De derde transformator kan één stuk recycleerbaar glas verwerken. Deze machine produceert enkel wit glas als er twee witte stukken glas in gelegd worden. elke andere combinatie levert gekleurd glas op. Deze machine produceert enkel gekleurd glas als er twee gekleurde stukken glas in gelegd worden. elke andere combinatie levert wit glas op. Deze machine transformeert gekleurd glas in wit glas en wit glas in gekleurd glas. De directrice bedacht het volgende systeem: X Y Z T Welk soort glas moet de directrice in de machine leggen op de punten X, Y, Z en T, zodat er enkel nog wit glas uitkomt? X Y Z T A wit wit gekleurd wit B gekleurd gekleurd gekleurd wit C wit gekleurd gekleurd wit D gekleurd gekleurd wit gekleurd Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2019 2. een luchtvaartmaatschappij biedt vluchten aan tussen verschillende wereldsteden, zoals afgebeeld in dit schema. Washington, D.C. San Francisco New York Londen Parijs

CaïroMoskou Kuala Lumpur Om haar CO2-uitstoot te verminderen en op die manier een steentje bij te dragen aan het klimaat, wil de maatschappij enkele van haar routes schrappen, maar op zo’n manier dat haar klanten nog altijd naar dezelfde steden kunnen vliegen. (Als ze bijvoorbeeld de route tussen San Francisco en Washington schrapt, kunnen klanten nog altijd van San Francisco naar Washington vliegen via new York.) Hoeveel routes kan de maatschappij schrappen? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2019

©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 189 HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 5.1 Algemene vergelijking van een rechte 190 5.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen 197 5.3 Een 2 x 2-stelsel grafisch oplossen 200 5.4 Een 2 x 2-stelsel algebraïsch oplossen 209 Studiewijzer 233 Pienter problemen oplossen 234 ©VANIN

©VANIN

Algemeen De grafiek van een functie met vergelijking y = ax (a ΠR0) is een rechte door de oorsprong.

Je noemt die vergelijking ook de vergelijking van de rechte.

• Bepaal de coördinaat van het snijpunt van elke rechte met de x-as en de y-as. snijpunt x-as: ( , ) snijpunt y-as: ( , ) snijpunt x-as: ( , ) snijpunt y-as: ( , )

• Bepaal de richtingscoëfficiënt van elke rechte. rc r = rc s = Definitie Richtingscoëfficiënt De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt. In de vergelijking y = ax van de rechte r is a de richtingscoëfficiënt. Besluit De richtingscoëfficiënt van een rechte bepaalt de helling van de grafiek:

190 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 5.1 Algemene vergelijking van een rechte 5.1.1 Rechten door de oorsprong Teken de rechten r en s in het assenstelsel. r ´ y = 3x s ´ y = –2x yx yx 1–1–2–3–4–5 2 345 yx–3–2–1123

• stijgende rechten hebben een positieve richtingscoëfficiënt;

• dalende rechten hebben een negatieve richtingscoëfficiënt.

• Bepaal de richtingscoëfficiënt van elke rechte. rc k = rc l =

Horizontale en verticale rechten

• Bepaal de coördinaat van het snijpunt van elke rechte met de x-as en de y-as. snijpunt x-as: ( , ) snijpunt y-as: ( , ) snijpunt x-as: ( , ) snijpunt y-as: ( , ) Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a, b Œ R0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 191 5.1.2 Rechten die de beide assen snijden buiten de oorsprong Teken de rechten k en l in het assenstelsel. k ´ y = 2x 2 l ´ y = – 4x + 2 yx yx 1–1–2–3–4–5 2 345 yx–3–2–1123

• Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking y = r en als richtingscoëfficiënt 0.

• Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking x = s en heeft geen richtingscoëfficiënt.

©VANIN

192 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 5.1.3 Vergelijking van de vorm ux + vy + w = 0 De grafiek van een eerstegraadsfunctie is een rechte met als vergelijking y = ax + b met a Œ R 0, b Œ R Horizontale rechten hebben een vergelijking van de vorm y = r, verticale rechten van de vorm x = s met r, s Œ R Toon aan dat elke rechte een vergelijking heeft van de vorm ux + vy + w = 0, waarbij u, v, w Œ R en u en v niet tegelijk 0 zijn. een rechte die de oorsprong bevat en niet evenwijdig is met de x-as of y-as r ´ y = 2x r ´ y = ax 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123 r 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123r Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking: u = v = w = u = v = w = een rechte die de beide assen snijdt buiten de oorsprong s ´ y = – 2x + 1 s ´ y = ax + b 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123 s 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123 s Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking: u = v = w = u = v = w = instructiefilmpje GeoGebra ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 193 een rechte evenwijdig met de x-as t ´ y = 2 t ´ y = r 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123 t 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123 t Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking: u = v = w = u = v = w = een rechte evenwijdig met de y-as z ´ x = 3 z ´ x = s 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123 z 1–1–2–3–4–5 2345 yx–1–2–3123 z Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking: u = v = w = u = v = w = Besluit Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0. Dat noem je de algemene vergelijking van de rechte. ©VANIN

194 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 5.1.4 De vergelijking ux + vy + w = 0 omvormen ux + vy + w = 0 ¤ vy = – ux – w v ≠ 0 v = 0 vy = – ux – w ¤ y = uv x – wv ux – w = 0 ¤ x = wu Voorbeeld 1 u ≠ 0 Voorbeeld 1 w ≠ 0 d ´ 2x − y + 4 = 0 2x − y + 4 = 0 y = – 2x – 4 y = 2x + 4 Teken d in het assenstelsel. yx 1 1–1–2–3–4–5 2345–4–3–2–1234 yx k ´ 3x − 6 = 0 3x − 6 = 0 3x = x = Teken k in het assenstelsel. yx 1 1–1–2–3–4–5 2345–4–3–2–1234 yx Voorbeeld 2 u = 0 Voorbeeld 2 w = 0 e ´ 2y + 6 = 0 2y + 6 = 0 2y = y = Teken e in het assenstelsel. yx 1 1–1–2–3–4–5 2345–4–3–2–1234 yx m ´ 5x = 0 5x = 0 x = Teken m in het assenstelsel. yx 1 1–1–2–3–4–5 2345–4–3–2–1234 yx Algemeen • Als u ≠ 0, dan is dat de vergelijking van een schuine rechte. • Als u = 0 , dan is dat de vergelijking van een horizontale rechte (evenwijdig met de x-as). Algemeen • Als w ≠ 0, dan is dat de vergelijking van een verticale rechte (evenwijdig met de y-as). • Als w = 0, dan is dat de vergelijking van de y-as. Als in de vergelijking y = uv x – wv • u en v hetzelfde teken hebben, dan is de rechte dalend; • u en v een verschillend teken hebben, dan is de rechte stijgend. ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 195 Oefeningen REEKS A 1 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = r of x = s. a) −2x + y = 0 d) 3x + 6 = 0 b) x + 7y = 0 e) 4x + 16y = 0 c) 8y + 9 = 0 f) −5y + 10 = 0 REEKS B 2 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = r of x = s. a) 4x + 8y + 12 = 0 e) 8x − 13y + 7 = 0 b) −2x + 8y – 3 = 0 f) −2y − 6 = 0 c) −5x − 11y − 4 = 0 g) 3x + 10y + 20 = 0 d) −7x − 14 = 0 h) −9x − 18y + 27 = 0 ©VANIN

196 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 3 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = r of x = s Bepaal, indien mogelijk, de richtingscoëfficiënt van de rechte. Bepaal de coördinaat van de snijpunten met x-as en y-as. Vink aan of de rechte stijgend (s), dalend (d), horizontaal (h) of verticaal (v) is. a) 3x + 6y − 5 = 0 e) 5x − 7y + 2 = 0 rc = rc = snijpunt met x-as: snijpunt met x-as: snijpunt met y-as: snijpunt met y-as: r  s r  d r  h r  v r  s r  d r  h r  v b) 6x + 12y = 0 f) 2y − 5 = 0 rc = rc = snijpunt met x-as: snijpunt met x-as: snijpunt met y-as: snijpunt met y-as: r  s r  d r  h r  v r  s r  d r  h r  v c) 2x + 9 = 0 g) 6x + 7y + 14 = 0 rc = rc = snijpunt met x-as: snijpunt met x-as: snijpunt met y-as: snijpunt met y-as: r  s r  d r  h r  v r  s r  d r  h r  v d) 4x − 9y − 1 = 0 h) 4x − 6y + 24 = 0 rc = rc = snijpunt met x-as: snijpunt met x-as: snijpunt met y-as: snijpunt met y-as: r  s r  d r  h r  v r  s r  d r  h r  v ©VANIN

Zoeken naar het aantal deelnemers en de grootte van de winst houdt in dat aan beide vergelijkingen tegelijkertijd voldaan moet zijn. Zo bekom je een stelsel (S) van twee vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden x en y, kortweg een 2 x 2-stelsel Je noteert S y = 950 000 x + 150 000 y = 960 000 x + 20 000 5.2.2 Voorbeeld 2 Je betaalt 465 euro met briefjes van 5 euro en van 20 euro. Hoeveel briefjes van elk zijn er, als er in totaal 33 briefjes zijn? Keuze onbekenden: x is y is Opstellen van het stelsel: S 5.2.3 Standaardvorm en benamingen 2 × 2-stelsels kun je herleiden tot de vorm S ax + by = c dx + fy = e Je noemt dat de standaardvorm van een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden. Benamingen

• x en y noem je de onbekenden. • a, b, d en f noem je de coëfficiënten. • c en e noem je de constanten. Een koppel getallen dat aan beide vergelijkingen tegelijkertijd voldoet, noem je een oplossing van het stelsel. Het zoeken naar alle oplossingen noem je het oplossen van het stelsel. instructiefilmpje

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 197

Als iedere deelnemer 950 000 euro krijgt, dan is er 150 000 euro over voor het goede doel. Als iedere deelnemer 960 000 euro krijgt, dan is er 20 000 euro over voor het goede doel.

5.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen

Onder hoeveel deelnemers werd de winst verdeeld en hoe groot was die? Keuze van de onbekenden: • x is het aantal deelnemers. • y is de grootte van de speelpot. Opstellen van de vergelijkingen: • voor de eerste verdeelsleutel: y = 950 000x + 150 000 • voor de tweede verdeelsleutel: y = 960 000x + 20 000

©VANIN

5.2.1 Voorbeeld 1 Enkele vrienden kochten samen het winnende lot van Big Bang! Ze zijn het erover eens een deel van hun winst te schenken aan het goede doel.

• keuze van de onbekenden: x is y is • opstellen van het stelsel: REEKS B 6 De leerkracht trakteert voor zijn verjaardag 50 leerlingen op een taartje. Ze mogen daarbij zelf kiezen tussen een aardbeientaartje of een chocoladetaartje.

Als er evenveel leerlingen een aardbeientaartje als een chocoladetaartje namen, zou de leerkracht 11,20 euro minder moeten betalen. Hoeveel kosten een aardbeientaartje en een chocoladetaartje?

Voor 11 aardbeientaartjes en 39 chocoladetaartjes betaalt de leerkracht 221,20 euro.

• keuze van de onbekenden: x is y is • opstellen van het stelsel:

198 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867

Wim betaalde 53,40 euro en Lotte 8,10 euro. Hoeveel kostte elke bloemsoort?

Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot het oplossen van het vraagstuk.

©VANIN

Oefeningen REEKS A 4 In het voorjaar kocht Wim 24 geraniums en 18 petunia’s. Zijn vrouw Lotte kocht die dag in dezelfde winkel nog eens 6 geraniums en 1 petunia. Wim noch zijn vrouw herinnert zich de kostprijs per stuk van elke bloemsoort. Wel weten ze nog het totaalbedrag van hun aankoop.

• keuze van de onbekenden: x is y is • opstellen van het stelsel: 5 12 500 betalende toeschouwers wonen een voetbalwedstrijd bij. Voor een zitplaats betaal je 25 euro en voor een staanplaats 16 euro. De totale opbrengst bedraagt 237 890 euro.

Hoeveel toeschouwers hebben betaald voor een zitplaats en hoeveel voor een staanplaats?

Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot het oplossen van het vraagstuk.

Hoeveel gram moet hij van elke snoepsoort gebruiken per zakje?

Een snoephandelaar wil een mengeling van winegums en zuurtjes verpakken in zakjes van 340 g en ze verkopen voor de prijs van 2,50 euro. De winegums kosten 10 euro per kilogram en de zuurtjes 7 euro per kg.

Bestel je van elke kaassoort 500 gram, dan betaal je 24,50 euro.

Een juiste voorspelling levert haar 10 punten op. Een foute voorspelling levert 1 minpunt op.

Hoeveel eindscores heeft Elise juist voorspeld?

Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot het oplossen van het vraagstuk.

• keuze van de onbekenden: x is y is • opstellen van het stelsel:

Elise doet mee aan de WK-pronostiek voetbal en moet de eindscore van de wedstrijden voorspellen.

• keuze van de onbekenden: x is y is • opstellen van het stelsel:

In een kaaswinkel kosten 200 gram parmezaan en 300 gram Brugge Oud samen 11,75 euro.

Ze zou normaal gezien 134 punten gescoord hebben, maar het telsysteem is tilt geslagen en rekent maar 5 punten voor een juiste voorspelling. Daardoor behaalt Elise een score van 44.

Hoeveel kost elke kaassoort per kilogram?

8

Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot het oplossen van het vraagstuk.

• keuze van de onbekenden: x is y is • opstellen van het stelsel: REEKS C

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 199 7

9

©VANIN

200 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 5.3 Een 2 x 2-stelsel grafisch oplossen 5.3.1 Voorbeeld Los het stelsel op: S 5x – 6y = 2 3x + 8y = 7 Je zoekt alle koppels (x, y) die tegelijkertijd aan beide vergelijkingen voldoen. 1, 21 is een oplossing van het stelsel, want (− 2, − 2) is geen oplossing van het stelsel, want Grafische interpretatie Elk van de vergelijkingen uit het 2 × 2-stelsel kun je opvatten als de vergelijking van een rechte. Teken beide rechten. a ´ 5x − 6y = 2 of y = 65 x − 31 –2–11 y –332 1–1–2 5432 x x 2 4 y 2 3 b ´ 3x + 8y = 7 of y = 83 x + 87 x 3 5 y 2 1 Het punt met coördinaat 1, 21 is het enige snijpunt van a ´ 5x − 6y = 2 en b ´ 3x + 8y = 7. Het stelsel heeft dus één oplossing, die je aan de hand van de oplossingsverzameling als volgt kunt noteren: V = 1, 21 {} GeoGebra ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 201 REKENMACHINE S 5x – 6y = 2 3x + 8y = 7 Met de grafische rekenmachine kun je het snijpunt van twee rechten laten berekenen. Eerst moet je beide vergelijkingen van het stelsel onder de vorm y = f (x) brengen. S y = 5x – 2 6 y = –3x + 7 8actie knoppen scherm Voer de vergelijkingen in de vergelijkingseditor in. staty=plot A-localphaf1k statploy=t f1 1 L1 Y 5 L5 U ] W 2 L2 Z linkX,T,θ,n 6 L6 V entrenterysolve A-localphak statploty= f1 1 L1 Y (–) ans ? 3 L3 θ linkX,T,θ,n 8 v P 7 u Omemy= “ entersolve Kies elkaarzodatvensterinstellingenjezietdatderechtensnijden. tabletblwindowsetf2graphf5 Laat de coördinaat van het snijpunt berekenen. 2nd calctracef4 5 L5 U entrenterysolve entrenterysolve entrenterysolve fi V = 1, 21 {} Een 2 x 2-stelsel oplossen met GeoGebraICT ©VANIN

202 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 5.3.2 Aantal oplossingen van een stelsel Voorbeeld 1 S x – y = –3 2x + y = –6 Je bepaalt twee punten op de rechte –28642468 y –2–6–4–8–10–12 24 68 1012 x a ´ x − y = − 3 of y = x + 3 yx Je bepaalt twee punten op de rechte b ´ 2x + y = − 6 of y = −2x − 6 yx Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b? Hoeveel oplossingen heeft het stelsel? Dit is een bepaald stelsel V = controle: Voorbeeld 2 S x – y = 4 x – y = 0 Je bepaalt twee punten op de rechte –28642468 y –2–6–4–8–10–12 24 68 1012 x a ´ x y = 4 of y = yx Je bepaalt twee punten op de rechte b ´ x y = 0 of y = yx Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b? Hoeveel oplossingen heeft het stelsel? Dit is een strijdig stelsel V = instructiefilmpje ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 203 Voorbeeld 3 S 2x – y = 4 4x – 2y = 8 Je bepaalt twee punten op de rechte –28642468 y –2–6–4–8–10–12 24 68 1012 x a ´ 2x y = 4 of y = yx Je bepaalt twee punten op de rechte b ´ 4x 2y = 8 of y = yx Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b? Hoeveel oplossingen heeft het stelsel? Dit is een onbepaald stelsel V = Besluit snijdende rechten evenwijdige rechten disjuncte rechten samenvallende rechten myxnyxyx y = ax + b bepaald stelsel aantal oplossingen: strijdig stelsel aantal oplossingen: onbepaald stelsel aantal oplossingen: V = {(m, n)} V = ∆ V = {(x, y) | y = ax + b} ©VANIN

204 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 5.3.3 Nadelen van de grafische oplossingsmethode Voorbeeld 1 Het stelsel S 9x – 14y = –1 6x + 7y = 4 heeft als oplossing 31 , 27 = (0,33... ; 0,285 714 285 714 ...). Het snijpunt is onmogelijk exact op een figuur af te lezen. –2–11 y –332 1–1–2 32 4 x Voorbeeld 2 Het stelsel S 38x – 5y = –1 000 6x – y = –2 200 heeft als oplossing (1 250, 9 700) Het is niet altijd eenvoudig om een geschikt grafisch venster te vinden. 4 000 400600200–200 004100210001004– 800 3 000 2 000 1 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000 11 000 12 000 13 000 14 000 yx ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 205 Oefeningen REEKS A 10 Los grafisch op: S y = 2 x – 4 y = x a ´ y = 2x − 4 yx b ´ y = x yx –28642468 y –2–6–4–8–10–12 24 68 1012 x V = controle: 11 Los grafisch op: S y = 3 x – 3 y = –3 x + 9 a ´ y = 3x − 3 yx b ´ y = – 3x + 9 yx –28642468 y –2–6–4–8–10–12 24 68 1012 x V = controle: ©VANIN

206 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 REEKS B 12 Los grafisch op: S 2 x + y = 4 x + y =0 a ´ yx b ´ yx –28642468 y –2–6–4–8–10–12 24 68 1012 x V = controle: 13 Los grafisch op: S 2 x = 4 – y 4 x – 6 = –2y a ´ yx b ´ yx –28642468 y –2–6–4–8–10–12 24 68 1012 x V = controle: ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 207 14 Los grafisch op: S 0, 25 x + 1, 5y = 2 2 x + 6y =1 a ´ yx b ´ yx –28642468 y –2–6–4–8–10–12 24 68 1012 x V = controle: 15 Los grafisch op: S –3 x + 6y = –9 2 x – 4y = 6 a ´ yx b ´ yx –28642468 y 4–2–6–8–10–12 24 68 1012 x V = controle: ©VANIN

Voor 11 aardbeientaartjes en 39 chocoladetaartjes betaalt de leerkracht 221,20 euro.

208 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 REEKS C 16 Los op met ICT. a) S 2x + y = 4 x + 2y = 1 c) S x – y = 0 2x – 5y + 250 = 0 V = V = b) S 7x + 9y = 5 7x – 18y = –1 d) S 21x – 16y = 240 –10x + 9y = –77 V = V = 17 Los de vraagstukken grafisch op met ICT. a) In een kaaswinkel kosten 200 g parmezaan en 300 g Brugge Oud samen 11,75 euro. Bestel je van elke kaassoort 500 gram, dan betaal je 24,50 euro. Hoeveel kost elke kaassoort per kilogram? (zie oefening 9) b) De leerkracht trakteert voor zijn verjaardag 50 leerlingen op een taartje. Ze mogen daarbij zelf kiezen tussen een aardbeientaartje of een chocoladetaartje.

(zie

6) ©VANIN

Als er evenveel leerlingen een aardbeientaartje als een chocoladetaartje namen, zou de leerkracht 11,20 euro minder moeten betalen. Hoeveel kosten een aardbeientaartje en een chocoladetaartje? oefening

vervang

Door de gelijkstellingsmethode gebruiken, je de rechte rechte hebben hetzelfde snijpunt Je vult de gevonden waarde vergelijking Je leest de oplossing van het stelsel De oplossingsverzameling van het stelsel gelijkstellingsmethode vooral aangewezen twee vergelijkingen dezelfde onbekende een eenvoudige manier apart het geval de coëfficiënt van gelijk

als r en t •

op

af. x = –3 y = 0

t ´ x = – 3. r en s

kunt plaatsen. Dat is

s door de

als je in de

x of y

in de andere

als

is V = {(– 3, 0)} De

is

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 209 5.4 Een 2 x 2-stelsel algebraïsch oplossen 5.4.1 De gelijkstellingsmethode Voorbeeld Los op: S x – y = –3 2x + y = –6 • Je plaatst dezelfde onbekende in beide vergelijkingen apart. –5–4–3–2–1–4–3–2–11234 12 3 yx2x + y = – 6 x – y = –3 rs y = x + 3 y = –2x – 6 • Je stelt die waarden aan elkaar gelijk, zodat er een vergelijking in één onbekende ontstaat. Je noteert als tweede vergelijking de vergelijking met de eenvoudigste coëfficiënten. y = = –2x – 6 x + 3 x + 3 Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ´ y = x + 3 en s ´ y = – 2x – 6. • Je lost de vergelijking in één onbekende op. y = x + 3 x + 2x = –6 – 3 y = x + 3 3x = –9 y = x + 3 x = –3 –5–4–3–2–1–4–3–2–11234 12 3 yx y = x + 3 x = –3 rt

te

in. y = + 3 x = –3–3 •

is aan 1 of − 1. instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

210 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 Oefeningen REEKS A 18 Los op met de gelijkstellingsmethode. a) S 4x – y = 7 y = 3x – 8 b) S 3x – y = 4 y = 4x – 6 V = V = controle: controle: ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 211 REEKS B 19 Los op met de gelijkstellingsmethode. a) S x – 3y = 4 x + 2y = 6 b) S x = 2y – 4 5y = x + 3 V = V = controle: controle: ©VANIN

212 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 20 Bepaal de coördinaat van het snijpunt van de rechten en controleer grafisch. a) S y = –3x + 6 y = 25 x – 45 b) S y = 3,5x + 4,5 y = 2x – 1,5 snijpunt: snijpunt: ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 213 5.4.2 De substitutiemethode Voorbeeld Los op: S x – 3y = –2 3x + 2y = 5 • Je plaatst een onbekende in een van de vergelijkingen apart. –3–2–1–4–3–2–11234 1234 5 yx x – 3y = –2 3x + 2y = 5 rsx = 3y – 2 3x + 2y = 5 • Je vervangt (substitueert) die onbekende in de andere vergelijking, zodat er een vergelijking in één onbekende ontstaat. Je noteert als tweede vergelijking de vergelijking waarin een onbekende werd afgezonderd. x = 3 () + 2y = 5 3y – 2 3y – 2 Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ´ x – 3y = – 2 en s ´ 3x + 2y = 5. • Je lost de vergelijking in één onbekende op. x = 3y – 2 9y – 6 + 2y = 5 x = 3y – 2 11y = 11 x = 3y – 2 y = 1 –3–2–1–4–3–2–11234 1234 5 yx x – 3y = –2 y = 1 rt Door de substitutiemethode te gebruiken, vervang je de rechte s door de rechte t ´ y = 1. r en s hebben hetzelfde snijpunt als r en t • Je substitueert de gevonden waarde voor de onbekende in de andere vergelijking. x = 3y – 2 y = 1 x = 3 – 2 y = 1 1 x = 1 y = 1 De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(1, 1)} De substitutiemethode is vooral aangewezen als je in een van de vergelijkingen een onbekende op een eenvoudige manier apart kunt plaatsen. Opmerking De gelijkstellingsmethode is een bijzonder geval van de substitutiemethode. instructiefilmpje ©VANIN

214 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 Oefeningen REEKS A 21 Los op met de substitutiemethode. a) S x = 2x + 3y = 11 3 + y b) S 3x – 2y = 4 y = 5 – 2x V = V = controle: controle: ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 215 REEKS B 22 Los op met de substitutiemethode. a) S x – 3y – 3 = 0 –2x + y = 4 b) S 2x – 7y = 5 x – 4y = –1 V = V = controle: controle: ©VANIN

216 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 23 Los op met de substitutiemethode. a) S 2x + y = 3 8x + 4y = 9 b) S –3x – 9y = –6 x + 3y = 2 V = V = REEKS C 24 Gebruik een stelsel om de onderlinge ligging van de rechten r en s te bepalen. a) r ´ 2x + y = – 3 s ´ 6x + 3y = – 12 b) r ´ x – 4y = 6 s ´ 3x – 12y = 18 ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 217 5.4.3 De combinatiemethode Voorbeeld Los op: S 3x – 2y = 7(V 1 ) 2x + 3y = –4 (V 2 ) • Met de combinatie 3 V1 + 2 V2 zorg je ervoor dat de coëfficiënt van y gelijk aan 0 wordt. 3x – 2y = 7 3 2x + 3y = –4 2 9x – 6y = 21 4x + 6y = –8 13x + 0y = 13 13x = 13 x = 1 + –3– 4–2–1–1–2–341234 1234 yx 3x – 2y = 7 2x + 3y = – 4 rs Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ´ 3x – 2y = 7 en s ´ 2x + 3y = – 4. • Met de combinatie 2 V1 – 3 V2 zorg je ervoor dat de coëfficiënt van x gelijk aan 0 wordt. 3x – 2y = 7 2 2x + 3y = –4 (–3) + 6x – 4y = 14 0x – 13y = 26 –13y = 26 y = –2 –6x – 9y = 12 –3– 4–2–1–1–2–341234 1234 yx 3x – 2y = 7 2x + 3y = – 4 tu rs x = 1 y = –2 Het snijpunt van de rechten r en s is gelijk aan het snijpunt van de rechte t ´ x = 1 en de rechte u ´ y = – 2. De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(1, – 2)} De combinatiemethode is (vooral) aangewezen als je de andere methoden (gelijkstellingsmethode en substitutiemethode) niet of moeilijk kunt gebruiken. Opmerking Nadat je één onbekende hebt bepaald, kun je die gebruiken om met behulp van de substitutiemethode de tweede onbekende te vinden. x = 1 2x + 3y = –4 x = 1 y = 63 x = 1 2 1 + 3y = –4 x = 1 y = –2 x = 1 3y = –4 – 2 instructiefilmpje ©VANIN

218 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 Oefeningen REEKS A 25 Los op met de combinatiemethode. a) S –4x – 5y = –4 2x + 3y = 2 b) S –2x + 7y = 5 10x + 6y = 16 V = V = controle: controle: ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 219 REEKS B 26 Los op met de combinatiemethode. a) S 2x + 3y = 7 5x + 7y = 8 b) S 4x + 7y = –8 –3x – 5y = 3 V = V = controle: controle: ©VANIN

220 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 27 Los op met de combinatiemethode. a) S –3x + 4y = –7 9x – 12y = 21 b) S 3x – 8y = 3 –6x + 16y = –12 V = V = REEKS C 28 Gebruik een stelsel om de onderlinge ligging van de rechten r en s te bepalen. a) r ´ 2x + 3y = 1 s ´ 83 x + 4y = 2 b) r ´ – 5x + 11y = – 5 s ´ 3x – 8y = 3 ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 221 5.4.4 Gemengde oefeningen Modeloefening 1 Los op: S x – 3y = 19 x + 2y = –14 De coëfficiënt van x is in beide vergelijkingen 1 of – 1. Je kunt de gelijkstellingsmethode gebruiken. V = Modeloefening 2 Los op: S 6x – y = –10 4x + 3y = 41 De coëfficiënt van y in de eerste vergelijking is – 1. Je kunt de substitutiemethode gebruiken. V = Modeloefening 3 Los op: S 2x + 5y = 2 3x – 4y = –3 De coëfficiënten van x en y zijn niet gelijk aan 1 of – 1. Je gebruikt het best de combinatiemethode. V = ©VANIN

222 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 Oefeningen REEKS A 29 Los op met een methode naar keuze. a) S 3x – y = 1 5x + 2y = 9 b) S 3x – y = 6 2x – y = –5 V = V = controle: controle: ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 223 30 Los op met een methode naar keuze. a) S 6x + 5y = 1 7x + 6y = 2 b) S 4x – 7y = 8 3x – 5y = 4 V = V = controle: controle: ©VANIN

224 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 REEKS B 31 Los op met een methode naar keuze. a) S 2x + 5y = 1 5x – 4y = 0 b) S 5x – 3y = 1 3x + 2y = –7 V = V = controle: controle: ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 225 REEKS C 32 Los op met een methode naar keuze. a) S x – 2y = 5 –4x + 8y = –20 b) S x + 8y = 10 3x – 24y = –40 V = V = controle: controle: ©VANIN

226 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 5.4.5

Hoeveel kg koffie van elke soort moet de verkoper gebruiken om 250 kg te verkrijgen?

Vraagstukken met twee vergelijkingen in twee onbekenden Modeloefening 1 Een verkoper wil een mengsel van twee koffies op de markt brengen. De koffie van merk A kost 7 euro per kg. De koffie van merk B kost 12 euro per kg. De kostprijs van het mengsel moet 9 euro per kg bedragen.

x is y is S Antwoord: Modeloefening 2

Hoeveel betaal je voor tien broodjes met kaas en vijftien met zalm?

x is y is S Antwoord: instructiefilmpje ©VANIN

Vier broodjes met kaas en één broodje met zalm kosten samen 19,40 euro. Koop je drie broodjes met kaas en zeven broodjes met zalm, dan betaal je 42,05 euro.

Oefeningen REEKS A 33 Enkele vrienden kochten samen het winnende lot van Big Bang! Ze zijn het erover eens dat ze een deel van hun winst zullen schenken aan het goede doel.

controle:antwoord:

Onder hoeveel deelnemers werd de winst verdeeld en hoe groot was die? (zie 5.2.1)

34 Je betaalt 465 euro met briefjes van 5 euro en van 20 euro. Hoeveel briefjes zijn er van elk, als er in totaal 33 briefjes zijn? (zie 5.2.2)

Als iedere deelnemer 950 000 euro krijgt, dan is er 150 000 euro over voor het goede doel.

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 227

©VANIN

Als iedere deelnemer 960 000 euro krijgt, dan is er 20 000 euro over voor het goede doel.

controle:antwoord:

228 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 REEKS B 35 In het voorjaar kocht Wim 24 geraniums en 18 petunia’s. Zijn vrouw Lotte kocht die dag in dezelfde winkel nog eens 6 geraniums en 1 petunia. Wim noch zijn vrouw herinnert zich de kostprijs per stuk van elke bloemsoort. Wel weten ze nog het totaalbedrag van hun aankoop. Wim betaalde 53,40 euro en Lotte 8,10 euro. Hoeveel kostte elke bloemsoort? (zie oefening 4) controle:antwoord: 36 12 500 betalende toeschouwers wonen een voetbalwedstrijd bij. Voor een zitplaats betaal je 25 euro en voor een staanplaats 16 euro.De totale opbrengst bedraagt 237 890 euro. Hoeveel toeschouwers hebben betaald voor een zitplaats en hoeveel voor een staanplaats? (zie oefening 5) controle:antwoord: ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 229

©VANIN

controle:antwoord:

37 Xavi zit op een terrasje en bekijkt wat de mensen aan de omringende tafels bestellen. Aan de ene tafel bestellen ze vier cola’s en drie glazen wijn. Ze betalen 24,95 euro. Aan een andere tafel bestellen ze drie cola’s en één glas wijn. Zij betalen 12,15 euro.

38 Joris wil tuinverlichting installeren. De tuinarchitect doet twee voorstellen:

Wat is de prijs van een cola en van een glas wijn?

controle:antwoord:

• Plaats je vier verlichtingspaaltjes, dan volstaat één verstraler, maar dan loopt de prijs op tot 403,75 euro. Bepaal de prijs van elk type verlichtingstoestel.

• Drie verlichtingspaaltjes langs de oprit en twee verstralers aan de kant van de garage kosten samen 350 euro.

230 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867

controle:antwoord:

39 Een snoephandelaar wil een mengeling van winegums en zuurtjes verpakken in zakjes van 340 g en ze verkopen voor de prijs van 2,50 euro. De winegums kosten 10 euro per kilogram en de zuurtjes 7 euro per kg.

Hoeveel gram moet hij van elke snoepsoort gebruiken per zakje? (zie oefening 7)

Hoeveel kost een plant met een kleefval en een plant met een bekerval?

©VANIN

40 Louis is een liefhebber van vleesetende planten. Dergelijke planten maken gebruik van vallen om aan voedsel te komen. Voor drie planten met een kleefval en vijf met een bekerval is de normale kostprijs 98,60 euro. De winkelier was echter verstrooid en rekende maar één plant met een kleefval aan. Daardoor kreeg Louis een voordeel van 15,90 euro.

controle:antwoord:

Bereken de bronspanning en de inwendige weerstand van die batterij.

©VANIN

controle:antwoord:

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 231

41 Elise doet mee aan de WK-pronostiek voetbal en moet de eindscore van de wedstrijden voorspellen. Een juiste voorspelling levert haar 10 punten op. Een foute voorspelling levert 1 minpunt op. Ze zou normaal gezien 134 punten gescoord hebben, maar het telsysteem is tilt geslagen en rekent maar 5 punten voor een juiste voorspelling. Daardoor behaalt Elise een score van 44. Hoeveel eindscores heeft Elise juist voorspeld? (zie oefening 8)

controle:antwoord:

42 De klemspanning van een batterij is het spanningsverschil U tussen de twee polen van de batterij. Voor de klemspanning U geldt: U = Ub – Ri  I. Daarbij is Ub de bronspanning in volt, Ri de inwendige weerstand in ohm en I de stroomsterkte in ampère. Bij een stroomsterkte van 1,5 ampère is de klemspanning 10 volt. Bij een stroomsterkte van 3 ampère is de klemspanning 8 volt.

232 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 43 Los de vraagstukken op met ICT.

b) Arthur en Fenne kopen een Nintendo Switch en betalen er samen 330 euro voor. Arthur kan hem kopen als Fenne 53 van haar spaargeld bijlegt, en Fenne kan hem kopen als Arthur 94 van zijn spaargeld bijlegt. Hoeveel spaargeld heeft elk?

Antwoord:Stelsel:onbekenden:

Keuze

d) Zoek een natuurlijk getal van twee cijfers, als je weet dat de som van de cijfers gelijk is aan 11. Het cijfer van de tientallen is 3 eenheden groter dan het cijfer van de eenheden.

Keuze

Antwoord:Stelsel:onbekenden: ©VANIN

a) Enkele leerkrachten Nederlands maakten tijdens de grote vakantie een eigen cursus. Voor het derde jaar bestaat de cursus uit 140 pagina’s en voor het vierde jaar uit 165 pagina’s. In totaal moeten er 62 075 kopieën gemaakt worden. In de tweede graad zitten 410 leerlingen. Hoeveel leerlingen zitten er in het derde jaar en hoeveel in het vierde jaar?

Antwoord:Stelsel:onbekenden:

Antwoord:Stelsel:onbekenden:

c) Drie jaar geleden was Soufian drie keer zo oud als Yassine. Volgend jaar zal Soufian dubbel zo oud zijn als Yassine. Hoe oud zijn ze nu?

Keuze

Keuze

©VANIN

• geen oplossing: strijdig stelsel (disjuncte rechten);

• x en y noem je de onbekenden. • a, b, d en f noem je de coëfficiënten.

5.3 Een 2 x 2-stelsel grafisch oplossen KENNEN –  + –  + De vergelijkingen van een stelsel zijn de vergelijkingen van rechten. Om een stelsel grafisch op te lossen, bepaal je de eventuele snijpunten van die rechten.

• juist één oplossing: bepaald stelsel (snijdende rechten);

• v = 0 en u ≠ 0, dan is het de vergelijking van een verticale rechte;

• c en e noem je de constanten. KUNNEN –  + –  + De onbekenden van een vraagstuk onderscheiden en de vergelijkingen van een stelsel opstellen uit de context.

Een stelsel herleiden naar zijn standaardvorm. Een 2 x 2-stelsel grafisch oplossen. Een 2 x 2-stelsel grafisch oplossen met ICT.

STUDIEWIJZER Stelsels van vergelijkingen

5.1 Algemene vergelijking van een rechte voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN –  + –  + Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0. Dat noem je de algemene vergelijking van de rechte. Als in de vergelijking ux + vy + w = 0

KUNNEN –  + –  + Een vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s omvormen tot de vorm ux + vy + w = 0 en omgekeerd. 5.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen KENNEN –  + –  + ax + by = c dx + fy = e{ is de standaardvorm van een 2 x 2-stelsel

• v = 0 en w = 0, dan is het de vergelijking van de y-as; • u = 0 en w = 0, dan is het de vergelijking van de x-as.

• u ≠ 0 en v ≠ 0, dan is het de vergelijking van een schuine rechte; ■ als u en v hetzelfde teken hebben, dan is de rechte dalend; ■ als u en v een verschillend teken hebben, dan is de rechte stijgend;

5.4 Een 2 x 2-stelsel algebraïsch oplossen KUNNEN –  + –  +

4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 233

• oneindig veel oplossingen: onbepaald stelsel (samenvallende rechten). KUNNEN –  + –  +

• u = 0 en v ≠ 0, dan is het de vergelijking van een horizontale rechte;

Een stelsel oplossen met de substitutiemethode. Een stelsel oplossen met de combinatiemethode. Attent zijn voor de meest efficiënte methode om een stelsel algebraïsch op te lossen.

Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een 2 x 2-stelsel.

Een 2 x 2-stelsel heeft

Een stelsel oplossen met de gelijkstellingsmethode.

234 4 D/A I HOOFDSTUK 5 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN 4321 5 867 Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? ❑ concreet materiaal ❑ schets ❑ schema/tabel ❑ vereenvoudig ❑ gok verstandig ❑ filter ❑ patroon ❑ kennis ❑ logisch nadenken ❑

2. Een rechthoek is verdeeld in negen kleinere rechthoeken.In sommige van die rechthoeken staat hun respectievelijke omtrek. Wat is de omtrek van de grote rechthoek? www.hln.be

1. Een ingeschreven vierkant 1 5 verdeelt een groter vierkant met zijde 5 in een geel vierkant en vier congruente driehoeken waarbinnen telkens een rood vierkant met zijde 1 is getekend. Wat is de oppervlakte van het gele vierkant?

6 12 4 6 8 Bron:

©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 235 6.1 Herhaling 236 6.2 De functie f (x) = 1 x 239 6.3 De functie f (x) = c x 241 6.4 De functie f (x) = x ² 252 6.5 De functie f (x) = ax ² 255 6.6 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT 268 Studiewijzer 273 Problemen uit JWO 276 HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = c x EN f (x) = ax 2 ©VANIN

Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a, b Œ R0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as. Opmerking Als b = 0, dan verkrijg je de functie met voorschrift f (x) = ax De grafiek van die functie is een rechte door de oorsprong.

43215 6 87 236 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 6.1 Herhaling 6.1.1 Voorbeeld Dries wil online voetbaltickets bestellen voor een wedstrijd van de Rode Duivels. De website rekent eenmalig een administratieve kost van 5 euro aan. De tickets kosten 30 euro per stuk. Om fraude tegen te gaan, kunnen maximaal tien tickets per persoon worden besteld. Vul de tabel aan. aantal tickets 0 1 2 3 4 5 kostprijs (euro) Het verband tussen de kostprijs f (x) en het aantal tickets x kun je wiskundig vertalen met de functie 6.1.2 Eerstegraadsfuncties Definitie Eerstegraadsfunctie Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (a Œ R0, b Œ R). Teken de grafiek van de functie f (x) = 30x + 5. 1–1–2 23456 yx200150100–5050

Wat is de toename van de functiewaarde, als het argument met één eenheid toeneemt? Die toename is de richtingscoëfficiënt Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as. (0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as. b is de afsnijding op de y-as.

©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 237 6.1.3 Domein en bereik van een functie Gegeven: de grafiek van de functie f (x) = 30x + 5 • Als je de grafiek loodrecht projecteert op de x-as, kun je het domein van de functie aflezen. dom f = • Als je de grafiek loodrecht projecteert op de y-as, kun je het bereik van de functie aflezen. ber f = 1–1–2 23456 yx200150100–5050 f Het praktisch domein en praktisch bereik houden rekening met de context. pdom f = pber f = 6.1.4 Nulwaarde van een functie Op sommige grafieken kun je de nulwaarde nauwkeurig aflezen in het snijpunt met de x-as. Op de grafiek van f (x) = 30x + 5 is dat niet mogelijk. Je kunt de nulwaarde berekenen door de vergelijking f (x) = 0 op te lossen. 30x + 5 = 0 Voorbeeld Bepaal het domein, het bereik en de nulwaarde(n) van de functies. a) f (x) = 7 – 3x b) f (x) = x 2 – 4 1–1–2–3–4–5 2345–1123456789 yxf 1–1–2–3–4–5 2345–4–3–2–1123456 yxf • dom f = ber f = • dom f = ber f = • nulwaarde: • nulwaarde: ©VANIN

43215 6 87 238 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 6.1.5 Tekenschema en verloop van een functie Gegeven: de grafiek van de functie f (x) = 30x + 5 De nulwaarde van de functie is • Voor welke waarden van x is f (x) < 0? Voor welke waarden van x is f (x) = 0? Voor welke waarden van x is f (x) > 0? Je kunt dat voorstellen in een tekenschema 1–1–2 23456 yx200150100–5050 f x f (x) • Nemen de functiewaarden toe of nemen ze af als het argument x toeneemt? De functie is stijgend/dalend. Je kunt het verloop van de functie f schematisch voorstellen in een tabel. xf Voorbeeld Bepaal het tekenschema en het verloop van de functie. 1–1–2–3–4–5–6–7 23–4–3–2–1123456 yxf • tekenschema x f (x) • verloop xf ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 239 6.2 De functie f ( x ) = 1 x 6.2.1 Kenmerken x f (x) 8 0,125 4 0,25 2 0,5 1 1 0,5 2 0,25 4 0 | 0,25 4 0,5 2 1 1 2 0,5 4 0,25 8 0,125 123456 1 123456 78 yx2– 17–6–5–4–3–8 65432 O Je noemt de grafiek een (orthogonale) hyperbool. Een hyperbool bestaat uit twee hyperbooltakken. • dom f = ber f = • nulwaarde: Heeft de grafiek een snijpunt met de x-as? • nulwaarde: Is er een nulwaarde voor de functie? • tekenschema: • verloop: x f (x) xf De functiewaarde van 0 bestaat niet. Je duidt dat aan met een verticale streep. • Desymmetrie:tweetakken van de grafiek liggen symmetrisch ten opzichte van De grafiek van f is een kromme. Het symmetriemiddelpunt is de ( , ). GeoGebra ©VANIN

43215 6 87 240 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 6.2.2 Voorbeeld Oom Jan is overleden. Hij laat een erfenis na die gelijk verdeeld moet worden onder zijn vijf kinderen. Elk van zijn kinderen krijgt een vijfde van de erfenis. Verdeel je de erfenis onder x personen, dan kun je het deel y dat elke persoon krijgt, bepalen met de formule y = 1 x Waarom is het verband tussen y en x een functie? Je noteert: f (x) = 1 x . dom f = ber f = pdom f = pber f = Vul de tabel in en teken de grafiek. Rond, indien nodig, af op 0,001. x f (x) 10864321579 0,91 yx0,0,0,0,0,0,0,0,87654321 12 34 56 78 910O Waarom mag je de punten niet verbinden? ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 241 6.3 De functie f ( x ) = c x 6.3.1 Het omgekeerd evenredig verband Voorbeeld Een fietser rijdt met een constante snelheid van Antwerpen naar Blankenberge en moet daarvoor 120 km afleggen. De afstand s (in km) die de fietser aflegt in functie van de tijd t (in h), kun je uitdrukken met de formule s = v ? t, waarbij v de gemiddelde snelheid voorstelt (in km/h). t (h) 1 2 3 4 5 6 12 v (km/h) v t Het product v t is constant. De grootheden v en t zijn omgekeerd evenredig Er geldt: v = Definitie Omgekeerd evenredig verband Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x y constant is. x ? y = c fi y = cx (met c Œ R0 ). Je noemt c de evenredigheidsconstante Formule Als twee grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y = c x (met c Œ R0). Grafiek van een omgekeerd evenredig verband 1O 23456789 101112 12010080604020 t (h) v (km/h) Teken de grafiek van het verband dat de snelheid v (in km/h) weergeeft in functie van de tijd t (in h). De grafiek is Besluit De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x (met c Œ R0) is een (deel van een) hyperbool. instructiefilmpje GeoGebra ©VANIN

43215 6 87 242 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 Oefeningen REEKS A 1 Stellen de tabellen omgekeerd evenredige verbanden voor? a) x 2 4 6 10 y 30 15 10 6 c) x 10 11 12 13 y 5 6 7 8 r  ja r  nee r  ja r  nee b) x 2 4 7 10 y 50 25 14 12 d) x 3 5 8 10 y 40 24 15 12 r  ja r  nee r  ja r  nee REEKS B 2 Hoe hoger een verkeersdrempel, hoe trager de auto’s erover rijden. In een stad zijn er verkeersdrempels met vier verschillende hoogten. De politie heeft de resultaten opgemeten voor het verband tussen de gemiddelde snelheid v (in km/h) van de voorbijrijdende auto’s en de hoogte h (in cm) van de drempel. h (cm) 4 5 6 8 v (km/h) 60 48 40 30 a) Toon aan dat het verband tussen v en h omgekeerd evenredig is.

b) Geef de formule van het verband: c) Volgens de wet spreek je van een verkeersdrempel vanaf 2 cm en mag die niet hoger zijn dan 12 cm. Bepaal daaruit het praktisch domein en bereik van de functie v pdom v = pber v = d) Hoe hoog moet een drempel zijn om de gemiddelde snelheid tot 50 km/h te beperken? Rond af op 1 mm.

©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 243 3 Eén keer per jaar, op kerstavond, speelt Stijn mee met een loterij. Een pot van 2 000 000 euro wordt dan gelijk verdeeld onder de winnaars in rang 1. De tabel toont de winst y per persoon (in euro) in functie van het aantal winnaars x. a) Vul de tabel aan. b) Teken de grafiek. x y (euro) 1084215 123456789 1011 200 000 400 000 600 000 800 000 1 000 000 1 200 000 1 400 000 1 600 000 1 800 000 2 000 000 Ox y (euro) c) Mag je de punten van de grafiek verbinden? Verklaar. d) Zijn de grootheden y en x omgekeerd evenredig? Verklaar. e) Hoeveel bedraagt de winst per persoon als er zes winnaars zijn in rang 1? Rond af op 1 euro. 4 Om een nieuwe asfaltlaag in een drukke winkelstraat te leggen, hebben 35 arbeiders 8 dagen nodig. Hoeveel dagen hebben 20 arbeiders nodig? ©VANIN

a) Zijn de grootheden m max en a omgekeerd evenredig? Verklaar. b) Mag een massa van 7 500 kg op een armlengte van 15 meter hangen?

a) Toon aan dat het verband tussen het aantal dagen y en het aantal koeien x omgekeerd evenredig is. b) Geef de formule van het verband: c) Vul de tabel aan. x 2 4 8 12 24 y 24 16

43215 6 87 244 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 5 Boer Tom zet elke dag een aantal koeien uit op zijn weiland. Acht koeien kunnen grazen gedurende 24 dagen. Twaalf koeien kunnen grazen gedurende 16 dagen.

Een hijskraan is een werktuig waarmee je zware lasten kunt hijsen en horizontaal verplaatsen. De last hangt aan een katrol die kan bewegen langs de arm van de kraan. De massa die een kraan kan tillen, hangt af van de plaats waar de katrol aan de arm van de kraan hangt. Hangt een massa te ver van de kraan, dan bestaat de kans dat de kraan omvalt. De afstand van de plaats waaronder de katrol hangt, tot het steunpunt van de draaiarm noem je de armlengte. De grootste massa m max (in kg) die een kraan kan tillen, hangt af van de armlengte a (in m). 6 Een aannemer huurt voor enkele weken een hijskraan om een nieuwbouwproject te verwezenlijken.

d) In hoeveel dagen grazen zes koeien het weiland af? REEKS C

c) Bereken bij deze kraan de maximale armlengte waarop een massa van 6 ton kan hangen.

Voor die kraan geldt: m max = 120 000 a . Daarbij druk je m max uit in kg en de armlengte a in m.

©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 245 6.3.2 Grafische betekenis van c in f (x) = c x (c > 0) Voorbeelden c > 1 0 < c < 1 x f (x) = 1 x g (x) = 4 x 4 0,25 1 2 0,5 2 0 | | 2 0,5 2 4 0,25 1 4 x f (x) = 1 x g (x) = 41x 4 0,25 0,062 5 2 0,5 0,125 0 | | 2 0,5 0,125 4 0,25 0,062 5 41 5– 4– 3– 2– 10 123455432112345 yx 4 4 5– 4– 3– 2– 10 123455432112345 yx 41 41 Om de grafiek van de functie g (x) = 4 x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met 4. Om de grafiek van de functie g (x) = 41x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met 41 Je zegt dat de grafiek van f (x) = 1 x verticaal is uitgerekt met factor 4. Je zegt dat de grafiek van f (x) = 1 x verticaal is samengedrukt met factor 4. Algemeen De grafiek van de functie g (x) = c x , met c Œ R0+, ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken. • Voor c > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor c. • Voor 0 < c < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 c GeoGebra ©VANIN

43215 6 87 246 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 6.3.3 De grafiek van de functie f (x) = c x tekenen Voorbeeld Teken de grafiek van de functie g (x) = 6 x Met behulp van een tabel x g (x) –6–7–5–3–2–10123567 –3–4–5–6–7–8 –2–1 12345678 –6–5–4–3–2–1 x 654321 y Met behulp van de grafiek f (x) = 1 x • Duid enkele punten aan op de grafiek van f (x) = 1 x . Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, f (x)). • Vermenigvuldig telkens de y-coördinaat van die punten met c Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, c ? f (x)). Bij het tekenen van g (x) = 6 x vermenigvuldig je de y-coördinaat van de gekozen punten telkens met factor –3–4–5–6–7–8 –2–1 12345678 –6–5–4–3–2–1 x 654321 y f (–4; –0,25) (4; 0,25) instructiefilmpje ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 247 Oefeningen REEKS A 7 Vervolledig de grafieken van de functie f (x) = c x . a) 6– 5– 4– 3– 2– 10 12345643211234 yx b) 6– 5– 4– 3– 2– 10 12345643211234 yx REEKS B 8 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Maak een schets van de grafiek van g (x). a) g (x) = 3 x c) g (x) = 41x verticale met factor verticale met factor 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx b) g (x) = 21x d) g (x) = 5 x verticale met factor verticale met factor 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx ©VANIN

43215 6 87 248 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 9 Bepaal het functievoorschrift van elke functie f. a) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx c) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx b) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx d) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx 10 Bepaal het functievoorschrift van de vorm f (x) = c x (met c Œ R0+), als je weet dat: a) het punt A (2, 5) tot de grafiek van de functie behoort. c) het punt A (– 3, –7) tot de grafiek van de functie behoort. f (x) = f (x) = b) het punt A –2, 23 tot de grafiek van de functie behoort. d) het punt A 47 , 143 tot de grafiek van de functie behoort. f (x) = f (x) = ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 249 11 Bepaal het functievoorschrift, het domein, het bereik, het tekenschema en het verloop van elke functie f a) –6–5–4–3–2–10 123456–1–2–3123 yx • f (x) = • dom f = • ber f = • tekenschema: • verloop: x f (x) xf b) –6–5–4–3–2–10 123456–1–2–3123 yx • f (x) = • dom f = • ber f = • tekenschema: • verloop: x f (x) xf ©VANIN

43215 6 87 250 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 12 Maak gebruik van de grafieken van de functies f en g om de vergelijkingen op te lossen. a) gegeven: 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 fyx g f (x) = 1 x en g (x) = x vergelijking:1 x = x V = b) gegeven: 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 fyx g f (x) = 1 x en g (x) = x 3 vergelijking:1 x = x 3 V = c) gegeven: 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 fyx g f (x) = 1 x en g (x) = 2x + 1 vergelijking:1 x = 2x + 1 V = d) gegeven: 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 fyx g f (x) = 1 x en g (x) = – 3x vergelijking:1 x = – 3x V = ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 251 REEKS C 13 Welke getallen zijn kleiner dan of gelijk aan hun omgekeerde? Bepaal grafisch. 6– 5– 4– 3– 2– 1 0 12543 54321 123456 yx 14 Los de ongelijkheden op met behulp van ICT, door de grafieken van de functies f en g te tekenen. a) 4 x < – x + 5 c) 2 x ≥ x – 3 f (x) = en g (x) = f (x) = en g (x) = V = V = b) 1 x > x d) 31x £ – x 3 f (x) = en g (x) = f (x) = en g (x) = V = V = ©VANIN

43215 6 87 252 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 6.4 De functie f ( x ) = x 2 6.4.1 Kenmerken Vul de tabel aan. Teken de grafiek. x f (x) –0,5–2–3–100,5123 6––7– 5– 4– 3– 2– 10–112345678910 1234567 yx • De grafiek is een parabool met de holle zijde naar boven. Je noemt dat een een dalparabool • De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de y-as omdat De symmetrieas van deze parabool is met vergelijking • De top is het snijpunt van de grafiek met de symmetrieas. In dit geval is de coördinaat van de top • De functie is dalend in en stijgend in In de top bereikt de functie een minimum • dom f = ber f = nulwaarde: • tekenschema: verloop: x f (x) xf GeoGebra ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 253 6.4.2 Voorbeeld 1 Een vierkant met zijde z heeft een oppervlakte A = Waarom is het verband tussen A en z een functie? Je kunt dat noteren met het bijbehorende functievoorschrift f (x) = x 2 of met de functievergelijking y = x 2 dom f = ber f = pdom f = pber f = x f (x) 0,511,522,53 9 yx12345678 12 3O Bepaal grafisch en algebraïsch de zijde van een vierkant met een oppervlakte van 5 cm 2 Rond af op 0,01. • grafisch: • algebraïsch: REKENMACHINE Om functies alleen te laten tekenen binnen het praktisch domein, deel je het functievoorschrift door de voorwaarden die dat praktisch domein bepalen. Meerdere voorwaarden voeg je samen met de logische ‘en’-operator ( 2nd testmathA 1 L1 Y ). ©VANIN

43215 6 87 254 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 6.4.3 Voorbeeld 2 Bekijk de volgende figuren. f iguur 4f iguur 3f iguur 2f iguur 1 • Het totale aantal gekleurde vierkantjes y op figuur x kun je bepalen met de formule • Hoeveel vierkantjes bevat figuur 7? 6.4.4 Parabolen in het dagelijks leven Parabolen komen vaak voor in het dagelijks leven. De dwarse doorsnede van een schotelantenne is een parabool. Dat is zo omdat éénelektromagnetischeevenwijdigestraleninpuntweerkaatstworden. Elke waterstraal volgt een parabolische baan. De beroemde Spaanse architect Gaudí gebruikte paraboolvormige gewelven. Wist je dat, om gewichtloosheid te simuleren in een vliegtuig, het toestel in een paraboolbaan vliegt? Paleis in Ctesiphon (Irak) Berliner bogen ©VANIN

xy2 = a fi y = a ? x 2 (met a ΠR0). Je noemt a de evenredigheidsconstante Formule Als het verband tussen twee grootheden y en x zuiver kwadratisch is, dan is y = a x 2 (met a ΠR0). Grafiek van een zuiver kwadratisch verband 140120100806040200 123456 7 A (cm2) r (cm) Teken de grafiek van het verband dat de oppervlakte A (in cm 2) weergeeft in functie van de straal r (in cm). De grafiek is

Besluit De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband y = a ? x 2 (met a ΠR0) is een (deel van een) parabool door de oorsprong.

instructiefilmpjeGeoGebra

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 255 6.5 De functie f ( x ) = ax 2 6.5.1 Het zuiver kwadratisch verband Voorbeeld Je vergroot de straal van een cirkel telkens met 1 cm. Bereken de bijbehorende oppervlakte A =  ? r 2. Rond af op 0,01. r (cm) 1 2 3 4 5 6 A (cm 2) Als de straal twee keer groter wordt, dan wordt de oppervlakte Als de straal drie keer groter wordt, dan wordt de oppervlakte Uit de formule van de oppervlakte van de cirkel volgt dat: rA2 = Je zegt dat het verband tussen de grootheden A en r zuiver kwadratisch is.

©VANIN

Definitie Zuiver kwadratisch verband Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch als het quotiënt y x 2 constant is.

43215 6 87 256 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 Oefeningen REEKS A 15 Onderzoek of de grootheden y en x een recht evenredig, een omgekeerd evenredig of een zuiver kwadratisch verband voorstellen. a) x 1 2 3 4 y 240 120 80 60 e) x 5 6 7 8 y 15 18 21 24 b) x 1 2 3 4 y 2 8 18 32 f) x 5 10 15 20 y 120 60 40 30 c) x 3 4 5 6 y 36 64 100 144 g) x 5 7 9 11 y 12,5 24,5 40,5 60,5 d) x –4 –3 –2 –1 y 8 6 4 2 h) x –10 –5 –4 –2 y –10 –20 –25 –50 Een kegel ontstaat door een rechte a te wentelen om een andere rechte b Als een vlak een (dubbele) kegel snijdt, dan is dat een kegelsnede. De ligging van het snijvlak ten opzichte van de kegel bepaalt het soort kegelsnede. • Een parabool is de snijlijn van een vlak dat evenwijdig is met de rechte a • Een hyperbool is de snijlijn van een vlak dat evenwijdig is met de rechte b • Een ellips is de snijlijn van een vlak dat de rechten a en b snijdt. ©VANIN

17 De tabel toont het verband tussen de afgelegde weg s (in m) en de tijd t (in s) van een vallend voorwerp op de maan. t (s) 2 3 4 5 6 s (m) 3,26 7,34 13,04 20,38 29,34 a) Bestaat er een zuiver kwadratisch verband tussen de grootheden s en t ? Verklaar. b) Geef de formule van het verband: c) Vanaf welke hoogte valt een voorwerp dat na 2,5 seconden de grond bereikt? Rond af op 0,01 m. d) Bereken de tijd die een voorwerp nodig heeft vooraleer het de grond raakt, als je het van een hoogte van 40 meter laat vallen. Rond af op 0,01 s.

Toen de Apollo 15 in 1971 op de maan landde, deed de astronaut David Scott een valproef. Hij liet een hamer en een ganzenveer tegelijkertijd vanaf dezelfde hoogte vallen. De voorwerpen bereikten de grond op hetzelfde moment. Die proef bevestigde dat de maan geen dampkring heeft, dat er met andere woorden geen luchtwrijving is. Op de aarde is er natuurlijk wel wrijving, zodat voorwerpen trager vallen dan de traditionele wetten van de fysica voorspellen.

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 257 16 Stelt de grafiek een recht evenredig (RE), een omgekeerd evenredig (OE) of een zuiver kwadratisch (ZK) verband voor? Geef een korte verklaring. a) 6543210 123456 yx b) 6543210 123456 yx c) 6543210 123456 yx REEKS B

©VANIN

43215 6 87 258 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 6.5.2 Grafische betekenis van a in f (x) = ax 2 Hoe ontstaan de grafieken van g(x) = 2 ? x 2 en h(x) = 21 ? x 2 uit de grafiek van f (x) = x 2? x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f (x) = x 2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 ? 2 ? 21g(x) = 2 ? x 2 32 18 8 2 0 2 8 18 32 h(x) = 21 x 2 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 –4–3–2–101–12345678 1234 yx g(x) = 2 x 2 f(x) = x 2 h(x) = x 221 2 2 21 21 a > 1 0 < a < 1 Om de grafiek van de functie g(x) = 2 x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met 2 Je verkrijgt een grafiek met een smallere opening dan die van f (x) = x 2 Je zegt dat de grafiek van f (x) = x 2 verticaal is uitgerekt met factor 2. Om de grafiek van de functie h(x) = 21 x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met 21 Je verkrijgt een grafiek met een bredere opening dan die van f (x) = x 2. Je zegt dat de grafiek van f (x) = x 2 verticaal is samengedrukt met factor 2. • holle zijde naar ( parabool) • symmetrieas: • top: • gemeenschappelijk punt met x-as: • gemeenschappelijk punt met y-as: GeoGebra ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 259 Hoe ontstaan de grafieken van g(x) = –x 2 en h(x) = –2 ? x 2 uit de grafiek van f (x) = x 2? x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f (x) = x 2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 ? (–1) ? (–2)g(x) = –x 2 –16 –9 –4 –1 0 –1 –4 –9 –16 h(x) = –2 ? x 2 –32 –18 –8 –2 0 –2 –8 –18 –32 –4–3–2–101–1–2–3–4–5234 1234 yx g(x) = –x 2 f(x) = x 2 h(x) = –2 x 2 (–1) (–2) (–1) (–2) a < 0 Om de grafiek van de functie g(x) = –x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met –1. De grafiek van f (x) = x 2 is gespiegeld ten opzichte van de x-as Om de grafiek van de functie h(x) = –2 x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met –2. De grafiek van f (x) = x 2 is achtereenvolgens: • gespiegeld ten opzichte van de x-as; • verticaal uitgerekt met factor 2 • holle zijde naar ( parabool) • symmetrieas: • top: • gemeenschappelijk punt met x-as: • gemeenschappelijk punt met y-as: ©VANIN

De vergelijking van de symmetrieas is x = 0. De coördinaat van de top is (0, 0). Illustratie van de transformatie met de grafische rekenmachine De invloed van a op de grafiek van y = a ? x 2 kun je bestuderen met de Transfrm-toepassing.

43215 6 87 260 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 Algemeen De grafiek van de functie g (x) = ax 2 met a ΠR0 ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 verticaal uit te rekken of samen te drukken.

Je drukt tot je het tabblad INSTELLINGEN geselecteerd hebt en vult daar een startwaarde in voor A (bijvoorbeeld 1) en een stapgrootte (bijvoorbeeld 0,5). Je bevestigt met entrenterysolve In een gepast grafisch venster kun je, door en/of te drukken, de waarde van A laten toenemen of afnemen.

• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |. De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek van f (x) = x 2.

• Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | a | . De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek van f (x) = x 2. Als a > 0, is de grafiek een dalparabool. Als a < 0, is de grafiek een bergparabool.

Je drukt staty=plot f1 en vult naast Y1 het functievoorschrift A ? X 2 in. (Merk op dat het uitzicht van dat venster anders is dan voorheen: voor Y1 staat een soort pijltje. In die instelling is het ook niet mogelijk om twee functies tegelijk te tekenen (Y1 en Y2 samen te selecteren)). Ook als je tblwindowsetf2 drukt, heb je een aangepast display.

Daarvoor druk je angleapps B , selecteer je de Transfrm-toepassing en druk je entrenterysolve .

©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 261 6.5.3 De grafiek van de functie f (x) = ax 2 tekenen Voorbeeld Teken de grafiek van de functie g(x) = 4x 2 Met behulp van een tabel x g (x) –4–5–3–2–1012345 –6–5–4–3–2–10102030405060708090100110 1 23456 yx Met behulp van de grafiek f (x) = x 2 • Duid enkele punten aan op de grafiek van f (x) = x 2. Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, f (x)). • Vermenigvuldig telkens de y-coördinaat van die punten met a Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, a ? f (x)). Bij het tekenen van g(x) = 4x 2 vermenigvuldig je de y-coördinaat van de gekozen punten telkens met factor –6–5–4–3–2–10102030405060708090100110 1 23456 yx(–5, 25)(5, 25) f instructiefilmpje ©VANIN

43215 6 87 262 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 Oefeningen REEKS A 18 Vervolledig de grafieken van de functie met voorschrift f (x) = ax 2. a) –6–5–4–3–2–1012345678 123456 yx b) –6–5–4–3–2–10–1–2–3–4–5–6–7–8 123456 yx 19 Vul in met ‘smaller dan’, ‘breder dan’ of ‘even breed als’. a) De opening van de parabool die bij f (x) = 6x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –6x 2 hoort. b) De opening van de parabool die bij f (x) = –5x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –4x 2 hoort. c) De opening van de parabool die bij f (x) = 23 x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = x 2 hoort. d) De opening van de parabool die bij f (x) = x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –x 2 hoort. 20 Vul de tabel aan en teken de grafiek van de functie met voorschrift f (x) = –4x 2. x f (x) –0,5–2,5–2–1,5–100,511,522,5 –2,5–2–1,5–1–0,5 –26–24–22–20–18–16–14–12–10–8–6–4–220 0,51 1,52 2,5 yx ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 263 21 Vul de tabel aan en teken de grafiek van de functie met voorschrift f (x) = 43 x². x f (x) –4–5–3–2–1012345 –5–4–3–2–1 –18–16–14–12–10–8–6–4–20 1234 5 yx 22 Teken de grafiek van de functie met voorschrift g (x) = 31 x 2 a) door de tabel met functiewaarden aan te vullen. x g(x) –4–5–3–2–1012345 –6–7–5–4–3–2–10 10–1123456789 1 234567 yx b) met behulp van de grafiek van de functie f (x) = x 2 –6–7–5–4–3–2–1 10–11023456789 123456 7 yx ©VANIN

43215 6 87 264 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 REEKS B 23 De grafieken stellen tweedegraadsfuncties voor. Bepaal het voorschrift. a) –3–2–1 01 23 –7–6–5–4–3–2–1 yx f b) –3–2–1 01 23 1234576 yx f c) –3–2–1 01 23 –7–6–5–4–3–2–1 yx f 24 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Maak een schets van de grafiek van g (x). a) g(x) = 3x 2 c) g(x) = 41 x 2 verticale met factor verticale met factor –7–6–5–4–3–2–10123456789101112 123456 7 fyx –7–6–5–4–3–2–10123456789101112 123456 7 fyx b) g(x) = –2,5x 2 d) g(x) = 51 x 2 verticale met factor verticale met factor –7–6–5–4–3–2–1–10–12–110–9–8–7–6–5–4–3–2–1 123456 7 fyx –7–6–5–4–3–2–1–10–12–110–9–8–7–6–5–4–3–2–1 123456 7 fyx ©VANIN

©VANIN

b) het punt A –2, 23 tot de grafiek van de functie behoort.

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 265 25 Bepaal het functievoorschrift van de vorm f (x) = ax 2 (met a Œ R0), als je weet dat: a) het punt A(2, 5) tot de grafiek van de functie behoort. c) het punt A(–1, 6) tot de grafiek van de functie behoort. f (x) = f (x) =

c) Op een website over verkeersveiligheid staat dat de remmen worden afgekeurd als de remweg bij een snelheid van 30 km/h groter is dan 14 m. Bereken of de remmen voldoen aan de normen.

2010121416182224 109876543210

d) Voor een andere fiets wordt de remweg gegeven door de formule s = 5070 v 2. De opening van die parabool is dan smaller/breder dan de oorspronkelijke parabool.

a) Vul de tabel in. b) Teken de grafiek. v (km/h) s (m) 2468 101214161820222426 v (km/h) s (m)

d) het punt A 31 , –1 tot de grafiek van de functie behoort. f (x) = f (x) = 26 De remweg van een fiets is de afstand die hij aflegt vanaf het ogenblik dat er geremd wordt, tot het moment waarop hij stilstaat. De remweg is afhankelijk van verschillende factoren: de staat van het wegdek, de snelheid van de fiets enzovoort. De remweg s (in m) voor een welbepaalde fiets wordt gegeven door de functie s (v) = 2030 ? v 2, waarbij v de snelheid van de fiets voorstelt (in km/h).

43215 6 87 266 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 27 Bepaal het functievoorschrift, het domein, het bereik, het tekenschema en het verloop van elke functie f a) –4–3–2–10–11234567 1 234 yx c) –4–3–2–10–7–5–6–4–3–2–11 1 234 yx • f (x) = • f (x) = • dom f = ber f = • dom f = ber f = • tekenschema: x f (x) • tekenschema: x f (x) • verloop: xf • verloop: xf b) –4–3–2–10–7–5–6–4–3–2–11 1 234 yx d) –1 01 yx1,20,80,60,40,21 • f (x) = • f (x) = • dom f = ber f = • dom f = ber f = • tekenschema: x f (x) • tekenschema: x f (x) • verloop: xf • verloop: xf ©VANIN

b) Bepaal het functievoorschrift van de kabel.

De koorddanser vertrekt vanop het eerste gebouw. Als de koorddanser zich in het midden van de kabel bevindt, zakt de kabel 2,5 m door.

Een koorddanser wil voor een evenwichtsstunt een kabel spannen tussen twee gebouwen.

d) Op welke afstand van het eerste gebouw bevindt de koorddanser zich, als de kabel 2 m doorzakt? Rond af op 0,01 m.

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 267 REEKS C 28

a) Teken een orthonormaal assenstelsel met als oorsprong O het midden van de kabel.

c) Een koorddanser wandelt tot op 5 m voor het tweede gebouw. Hoe ver is de koorddanser dan opnieuw geklommen ten opzichte van het laagste punt? Rond af op 0,01 m.

De gebouwen zijn even hoog en staan op exact 30 m van elkaar.

©VANIN

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk De punten liggen, bij benadering, op een hyperbooltak.

Het verband tussen p en V is dus waarschijnlijk een omgekeerd evenredig verband. 46 8101214161820 V (ml) p (kPa)

Dat levert de volgende meetresultaten op: V (ml) 20 17,5 15 12,5 10 7,5 5 p (kPa) 97,65 111,60 130,20 156,24 195,30 260,40 390,60

Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.

268 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 BIO 43215 6 87 6.6 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT 6.6.1 Het omgekeerd evenredig verband

Terwijl een leerling uit de klas de spuit elke keer een beetje meer indrukt en het volume V (in ml) dus verkleint, leest een andere leerling telkens de gemiddelde druk p (in kPa) af op de druksensor.

Voorbeeld Een leerkracht fysica demonstreert haar leerlingen de wet van Boyle. Daarvoor vult ze een injectiespuit van 20 ml met een gas en koppelt ze die spuit aan een druksensor.

a) Bepaal via regressie het verband tussen de gemiddelde druk p (in kPa) en het volume V (in ml). b) Hoeveel bedraagt de druk als je het gas samendrukt tot een volume van 4 ml? c) Bij welk volume verkrijg je een gemiddelde druk van 140 kPa? Rond af op 0,1 ml.

©VANIN

2050100150200250300350400

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 269 BIO6.6.2

Bij een test met een welbepaalde wagen verkreeg men de volgende resultaten: v (m/s) 0 10 20 30 40 50 r (m) 0 6,25 25 56,25 100 156,25 Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk De punten liggen, bij benadering, op een parabool door de oorsprong.

©VANIN

Het zuiver kwadratisch verband Voorbeeld De remafstand r (in m) van een wagen is de afstand die je aflegt nadat je het rempedaal volledig hebt ingeduwd. De remafstand is onder meer afhankelijk van de staat van het wegdek, maar vooral ook van de snelheid v (in m/s) van de wagen.

a) Bepaal via regressie het verband tussen de remafstand r (in m) en de snelheid v (in m/s). b) Hoeveel bedraagt de remafstand r als je 28 m/s rijdt? c) Bij welke snelheid verkrijg je een remafstand van 60 m? Rond af op 0,1 m/s.

Het verband tussen r en v is dus waarschijnlijk een zuiver kwadratisch verband. 180160140120100806040200150152025303540455055 v (m/s) r (m) Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.

In de tabel staan enkele voorstellen, uitgewerkt door een van de directieleden. p (euro) 700 720 740 760 780 q 5 714 5 556 5 405 5 263 5 128

Hoe hoger de weerstand R, uitgedrukt in ohm (W), hoe lager de stroomsterkte I door een geleider, uitgedrukt in ampère (A), bij een gelijke spanning U, uitgedrukt in volt (V).

a) Welk verband bestaat er tussen de grootheden q en p?

©VANIN

270 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 BIO 43215 6 87 Oefeningen REEKS B 29 Een computerbedrijf beraadt zich over de kostprijs p (in euro) van een nieuwe laptop, die het binnen enkele weken op de markt wil brengen.

30 Hieronder staan enkele meetresultaten bij een welbepaalde geleider. R (W) I (A) 50 4,60 100 2,30 200 1,15 500 0,46 1 000 0,23 a) Welk verband bestaat er tussen de grootheden I en R?

c) Hoeveel laptops moet het bedrijf minstens verkopen om dezelfde omzet te behalen, als het de verkoopprijs vastlegt op 750 euro?

d) Hoeveel zou de kostprijs van een laptop bedragen, als men zeker is van een minimale verkoop van 5 000 laptops? Rond af op 1 euro.

b) Bepaal via regressie het verband tussen de minimumhoeveelheid te verkopen laptops q en de kostprijs p (in euro).

Elektrische weerstand of resistantie is de elektrische eigenschap van materialen om de doorgang van elektrische stroom te bemoeilijken.

b) Bepaal via regressie het verband tussen de stroomsterkte I (in A) en de weerstand R (in W). c) Vanaf welke weerstand is de stroomsterkte minder dan 0,50 A? ICT ICT

Om de vooropgestelde omzet te behalen, moet het bedrijf minstens q laptops verkopen.

a) Welk verband bestaat er tussen de grootheden Flucht en v?

c) Vanaf welke snelheid (in km/h) is de luchtweerstand groter dan 750 N? Rond af op 0,1 km/h.

a) Welk verband bestaat er tussen de grootheden w en x?

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 271 BIO31 Een klein familiebedrijf werd in 2017 opgestart en groeide langzaam uit tot een bedrijf met ondertussen vijftien werknemers. In de tabel vind je de winstcijfers per jaar. 2017 2018 2019 2020 2021 2022 aantal jaren x na opstart 0 1 2 3 4 5 winst w (in euro) 0 1 330 5 320 11 970 21 280 33 250

Bij het bewegen stroomt de lucht langs het voertuig. Het voertuig botst als het ware voortdurend tegen de lucht aan.

Op het voertuig wordt dan een luchtwrijvingskracht Fw uitgeoefend die de beweging tegenwerkt.

32 Bij een proef wordt de luchtwrijvingskracht F w (in N) gemeten bij verschillende snelheden v (in m/s). De resultaten vind je in de tabel. v (m/s) Flucht (N) 10 40 20 160 30 360 40 640 50 1 000

b) Bepaal via regressie, het verband tussen Flucht (in N) en de snelheid v (in m/s).

1 m/s komt overeen met 3,6 km/h. Om de eenheid m/s om te zetten naar km/h, vermenigvuldig je met factor 3,6. Om de eenheid km/h om te zetten naar m/s, deel je door factor 3,6.

1 m/s = 1 m 1 s = 1 1 000 km 1 3 600 h = 1 1 000 3 6001 km/h = 3 600 1 000 km/h = 3,6 km/h ICT ICT

b) Bepaal via regressie het verband tussen de winst w en het aantal jaren x na de opstart.

c) Hoeveel zal, in de veronderstelling dat deze trend aanhoudt, de winst bedragen in 2030? Een bewegend voertuig zoals een fiets, auto of vliegtuig ondervindt bijna altijd luchtweerstand.

Hoe groter die luchtwrijvingskracht is, hoe groter het brandstofverbruik is van het voertuig, of, in het geval van een fiets, hoe meer moeite je zelf moet doen om in beweging te blijven. Het is dus van belang om de luchtwrijvingskracht op een voertuig zo klein mogelijk te maken. Die wordt gemeten als functie van de snelheid v met modelvoertuigen in een windtunnel.

©VANIN

a) Welk verband bestaat er tussen de grootheden h en s?

b) Bepaal via regressie het verband tussen de hoogte h (in cm) en de tijd t (in s).

c) Bereken de spronghoogte voor een speler met een sprongtijd van 0,95 s.

272 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 BIO 43215 6 87

33 In de Verenigde Staten heeft men bij basketspelers van de NBA een onderzoek gedaan naar het verband tussen de spronghoogte h (in cm) en de sprongtijd t (in s). De tabel geeft de gemiddelde resultaten. t (s) 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 h (cm) 19,2 30,0 43,2 58,8 76,8

Een ramp wordt gebruikt om te skateboarden, skaten, snowboarden, skiën … Je vindt ze in alle maten en gewichten. Een halfpipe is een half cilindervormige baan. Een vert ramp is een soort van halfpipe, meestal rond de vier à vijf meter hoog, waarbij het bovenste stuk onder de coping (ijzeren gedeelte bovenaan de rand) precies 90º is en dus juist verticaal omhooggaat.

c) Bepaal de hoogte van de ramp op 4,2 m van het centrum. Rond af op 0,01 m.

d) Bepaal de lengte van de ramp, als je weet dat de maximumhoogte 3 m bedraagt. Rond af op 0,01 m.

d) Michael Jordan sprong 122 cm hoog. Bereken zijn sprongtijd. Rond af op 0,01 s.

b) Bepaal via regressie het verband tussen de hoogte h (in m) en de afstand s (in m) tot het centrum.

34 Een ramp heeft de vorm van een parabool. In de tabel vind je de hoogte h (in m) van de ramp in functie van de afstand s (in m), gemeten tot het centrum van de ramp. s (m) 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 h (m) 0,18 0,32 0,50 0,72 0,98 1,28

ICT ICT ©VANIN

a) Welk verband bestaat er tussen de grootheden h en t?

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 273 STUDIEWIJZER Functies van de vorm f ( x ) = c x en f ( x ) = ax 2 6.1 Herhaling voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  + Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (a Œ R0, b Œ R). De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a, b Œ R0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as. KUNNEN  +  + Het (praktisch) domein en (praktisch) bereik van een functie bepalen. De nulwaarde van een functie bepalen. Het tekenschema en het verloop van een functie opstellen aan de hand van de grafiek.

©VANIN

6.2 De functie f (x) = 1 x KUNNEN  +  + De grafiek van de functie f (x) = 1 x herkennen. De grafiek van de functie f (x) = 1 x schetsen, uitgaande van een tabel met coördinaten van een aantal punten. Met behulp van de grafiek van f (x) = 1 x onderzoek doen naar: • het domein en het bereik; • de eventuele nulwaarden; • het tekenschema; • het verloop; • symmetrie.

43215 6 87 274 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 6.3 De functie f (x) = c x voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  +

Omgekeerd evenredige verbanden herkennen in tabellen. De vergelijking van een omgekeerd evenredig verband opstellen. Vraagstukken met gegeven omgekeerd evenredige verbanden oplossen. De grafiek van de functie f (x) = cx herkennen. De grafiek van de functie f (x) = cx tekenen met en zonder ICT. Met behulp van de grafiek van f (x) = cx onderzoek doen naar:

©VANIN

• Voor c > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor c

Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x y constant is.

• Voor 0 < c < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 c KUNNEN  +  +

De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = cx (met c ΠR0) is een (deel van een) hyperbool. De grafiek van de functie g (x) = cx (met c ΠR+0) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken.

• het functievoorschrift; • het domein en het bereik; • de eventuele nulwaarden;

• het tekenschema; • het verloop; • symmetrie. 6.4 De functie f (x) = x 2 KUNNEN  +  + De grafiek van de functie f (x) = x 2 herkennen. De grafiek van de functie f (x) = x 2 schetsen, uitgaande van een tabel met coördinaten van een aantal punten. Met behulp van de grafiek van f (x) = x 2 onderzoek doen naar: • het domein en het bereik; • de eventuele nulwaarden; • het tekenschema; • het verloop; • symmetrie.

• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |. De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2

• het functievoorschrift; • de coördinaat van de top; • de vergelijking van de symmetrieas; • het domein en het bereik; • de eventuele nulwaarden; • het tekenschema; • het verloop; • symmetrie. 6.6 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT KUNNEN  +  +

Het verband tussen twee numerieke grootheden in een dataset onderzoeken met ICT en daarbij: • een spreidingsdiagram of puntenwolk opstellen en interpreteren; • een trendlijn met bijbehorend voorschrift bepalen en interpreteren.

• Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | a | De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2

4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2 275 6.5 De functie f (x) = ax 2 voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  +

Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch als het quotiënt xy2 constant is. De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband y = a ? x 2 (met a Œ R0) is een (deel van een) parabool door de oorsprong. De grafiek van de functie g (x) = ax 2 (met a Œ R0) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 uit te rekken of samen te drukken.

Als a > 0, is de grafiek een dalparabool. Als a < 0, is de grafiek een bergparabool. De vergelijking van de symmetrieas is x = 0. De coördinaat van de top is (0, 0). KUNNEN  +  + Zuiver kwadratische verbanden herkennen in tabellen. De vergelijking van een zuiver kwadratisch verband opstellen. Vraagstukken met gegeven zuiver kwadratische verbanden oplossen. De grafiek van de functie f (x) = ax 2 herkennen. De grafiek van de functie f (x) = ax 2 tekenen met en zonder ICT. Met behulp van de grafiek van f (x) = ax 2 onderzoek doen naar:

©VANIN

D) r De aliens van Mars die zeggen dat ze paarse tenen hebben.

43215 6 87 276 4 D/A I HOOFDSTUK 6 I FUNCTIES VAN DE VORM f (x) = cx EN f (x) = ax 2

Problemen uit JWO 1. Sommige aliens hebben groene tenen. De andere hebben paarse tenen.

C) r De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Venus komen.

JWO, editie 2020, eerste ronde 2. Hoeveel kleuren heb je minimaal nodig om de onderstaande landkaart met zeventien landen in te kleuren? Daarbij mogen twee landen die aan elkaar grenzen, niet dezelfde kleur hebben.

B) r De aliens met groene tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

E) r De aliens van Venus die zeggen dat ze groene tenen hebben.

A) r 2 B) r 3 C) r 4 D) r 5 E) r meer dan 5 JWO, editie 2021, eerste ronde 3. Amira is de code van oma’s huis vergeten. Ze weet nog dat de code uit vijf cijfers bestaat. Ze ziet dat op het klavier de toetsen 1 en 3 precies evenveel afgesleten zijn en dat de toets 7 nóg meer is afgesleten. De andere toetsen zijn blijkbaar nog nooit gebruikt. Als Amira het slim aanpakt, hoeveel codes moet ze dan hoogstens intikken om de deur te openen?

Aliens met groene tenen komen alleen op Mars voor. Welk van de volgende groepen bestaat zeker uit leugenaars?

©VANIN

A) r De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

A) r 20 B) r 30 C) r 40 D) r 60 E) r 120 JWO, editie 2020, eerste ronde

4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 277 7.1 Begrippen en symbolen uit de verzamelingenleer 278 7.2 Tellen met venndiagrammen 280 7.3 Tellen met boomdiagrammen 289 Studiewijzer 299 Problemen uit JWO 300 HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN ©VANIN

Gvmtej sd

De leden van het gezin vormen de elementen van G Tess behoort tot G. Je zegt: t is een element van G. Notatie: t Œ G Emma heeft een vriend James ( j ). James behoort niet tot de verzameling G Je zegt: j is geen element van G Notatie: j œ G De verzameling G kun je ook weergeven door opsomming: G = {v, m, e, t, d, s}

• Een gezin bestaat uit 6 leden: vader (v), moeder (m) en hun 4 kinderen Emma (e), Tess (t), Daan (d ) en Sam (s).

643215 7 8 278 4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 7.1 Begrippen en symbolen uit de verzamelingenleer

• Beschouw de verzameling A van de natuurlijke getallen van 1 tot en met 8 en de verzameling P van de priemgetallen kleiner dan of gelijk aan 8. AP A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} P Plaats= de elementen van A en van P in de venndiagrammen. Elk element van P is ook element van A Je zegt: P is een deelverzameling van A Notatie: P Ã A

©VANIN

Het aantal elementen van de verzameling G is gelijk aan 6. Notatie: n (G) = 6 Een andere notatie voor n(G) is #G (lees: het kardinaalgetal van G).

instructiefilmpjeGeoGebra

Het gezin vormt een verzameling G, die met een venndiagram kan worden voorgesteld.

• Stel: A = {3, 4, 5, 6, 7} en B = {1, 2, 3, 4} A 76 5 3 214 B De getallen 3 en 4 behoren tot A en B Je zegt: de doorsnede van A en B is de verzameling {3, 4}. Notatie: A « B = {3, 4} De getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6 en 7 behoren tot A of B Je zegt: de unie (of vereniging) van A en B is de verzameling {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Notatie: A » B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} De getallen 1 en 2 behoren wel tot B, maar niet tot A Je zegt: het verschil van B en A is de verzameling {1, 2}. Notatie: B \ A = {1, 2} A \ B =

AB A\B Bijzondere gevallen • Als A en B geen gemeenschappelijke elementen hebben, dan is hun doorsnede de lege verzameling A en B noem je dan disjuncte verzamelingen. Notatie: A « B = { } = Ø (de Griekse letter phi) AB • Als B Ã A, dan is A « B = A » B = B \ A = AB Voorbeeld A = {a, b, c, d, e} B = {a, e, i, o, u} C = {a, e} D = {x, y, z} A « B = B « C = A » C = D \ A = B \ A = C « D = B » C = A \ C C » D De verzamelingenleer is ontwikkeld door de Duitser Georg Cantor (1845-1918).

=

=

Aan de Engelse wiskundige John Venn hebben we ten slotte het venndiagram te danken. Venn gebruikte die diagrammen als ondersteuning van de symbolische logica.

©VANIN

Zijn basisdoelstelling was de theorieën over wiskundige bewerkingen duidelijker voor te stellen. Later is gebleken dat de eerste bevindingen van Cantor nogal wat tegenstrijdigheden bevatten.

De begrippen ‘doorsnede’, ‘unie’, ‘element’ ... zijn afkomstig van de Italiaanse wiskundige en filosoof Giuseppe Peano (1858-1932).

4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 279 Definitie De doorsnede van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de dieelemententot A en B behoren. AB A « B De unie van verzamelingentwee A en B is de verzameling van de dieelemententot A of B behoren. AB A » B Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de dieelemententot A en niet tot B behoren.

Wiskundigen spreken dan ook van intuïtieve verzamelingenleer.

• Het aantal leerlingen dat naar Londen of naar Rome gaat, is het aantal elementen van de unie (of vereniging) van L en R: n (L » R) = Voorbeeld 2 Hoeveel natuurlijke getallen van 1 tot en met 100 zijn deelbaar door 2 of door 5?

TVG Stel: G is de verzameling van de natuurlijke getallen van 1 tot en met 100. T is de verzameling van de veelvouden van 2. V is de verzameling van de veelvouden van 5.

• Het aantal getallen deelbaar door 2: n (T) =

Voorbeeld 1 Een school richt voor de vierdejaars een reis in naar Londen en voor de zesdejaars een reis naar Rome. Dit jaar gaan 62 leerlingen van het vierde mee naar Londen en 43 leerlingen van het zesde mee naar HoeveelRome.leerlingen gaan naar Londen of naar Rome?

• Het aantal getallen deelbaar door 5: n (V) =

• Het aantal getallen deelbaar door 2 of door 5: n (T » V) = n (T) + n (V) – n (T « V) =

©VANIN

LRS

643215 7 8 280 4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 7.2 Tellen met venndiagrammen 7.2.1 De somregel

Je kunt die vraag oplossen door gebruik te maken van verzamelingen.

Om het aantal getallen dat deelbaar is door 2 of door 5 te bepalen, mag je niet zomaar de som maken van het aantal veelvouden van 2 en het aantal veelvouden van 5. Waarom niet?

• Het aantal getallen deelbaar door 10: n (T « V) =

Stel: S is de verzameling van alle leerlingen van de school. L is de verzameling van de Londenreizigers. R is de verzameling van de Romereizigers.

• Het aantal leerlingen dat naar Londen gaat: n (L) =

• Het aantal leerlingen dat naar Rome gaat: n (R) =

AB De formule lees je als: het aantal elementen van A of B = het aantal elementen van A + het aantal elementen van B – het aantal elementen van A en B Bijzonder geval: de somregel voor disjuncte verzamelingen Stel: A en B zijn disjuncte eindige verzamelingen. n (A) is het aantal elementen van A en n (B) is het aantal elementen van B

Formule n (A » B) = n (A) + n (B) − n (A « B)

n (A) is het aantal elementen van A en n (B) is het aantal elementen van B

4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 281 De somregel Stel: A en B zijn willekeurige eindige verzamelingen.

Formule n (A » B) = n (A) + n (B) AB De formule lees je als: het aantal elementen van A of B = het aantal elementen van A + het aantal elementen van B Voorbeelden • Een klas telt 10 meisjes en 12 jongens. Er moet een klasverantwoordelijke gekozen worden. Hoeveel mogelijkheden zijn er? Stel: M = de verzameling van de meisjes van de klas: n (M) = J = de verzameling van de jongens van de klas: n (J ) = MJ Het aantal mogelijke keuzes is n (M » J) = instructiefilmpje ©VANIN

Hoeveel leerkrachten waren op de reünie aanwezig?

643215 7 8 282 4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN

©VANIN

• Op een reünie van afgestudeerde leerkrachten wiskunde en fysica wordt aan de aanwezigen gevraagd welke vakken ze geven. Er blijkt dat 31 leerkrachten wiskunde geven en 17 leerkrachten fysica. Er zijn 11 leerkrachten die beide vakken geven. Niemand geeft nog een ander vak.

b) Niemand geeft een ander vak, dus het aantal aanwezigen is gelijk aan n (W » F) = • Een seniorenclub bestaat uit 25 leden. Bij een rondvraag blijkt dat er 12 senioren zijn die thuis regelmatig op het internet surfen. Er zijn 18 senioren die over een smartphone beschikken, en er zijn 3 senioren die over geen van beide ‘moderne snufjes’ beschikken. a) Stel de situatie voor met een venndiagram.

S = de verzameling van de senioren: n (S) = I = de verzameling van de internetgebruikers: n (I) = G = de verzameling van de smartphonebezitters: n (G) = Er zijn 3 senioren die over geen van beide beschikken: n (I » G) = b) Hoeveel senioren hebben zowel internet als een smartphone? Het aantal senioren dat zowel internet als een smartphone heeft, is gelijk aan n (I « G). Je vormt de formule n (I » G) = n (I) + n (G) − n (I « G) om naar n (I « G). n (I « G) =

a) Stel de situatie voor met een venndiagram. W = de verzameling van de leerkrachten die wiskunde geven: n (W) = F = de verzameling van de leerkrachten die fysica geven: n (F) = Er zijn 11 leerkrachten die beide vakken geven: n (W « F) = WF

instructiefilmpjeinstructiefilmpje

©VANIN

Formule n (A \ B) = n (A) − n (A « B) AB 7.2.3 De complementregel Voorbeeld Hoeveel natuurlijke getallen van 1 tot en met 50 zijn niet deelbaar door 3? Stel: G = {1, 2, ..., 50} DGD is de verzameling van de veelvouden van 3. D Ã G n(G) = n(D) = De getallen die niet deelbaar zijn door 3, behoren tot de verzameling G \ D. Je noteert die verzameling als D (het complement van D ten opzichte van G). n(D) = De complementregel Stel: A en B zijn willekeurige eindige verzamelingen en A Ã B A = B \ A Formule n (A) = n (B) − n (A) AB

4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 283

7.2.2 De verschilregel Voorbeeld Hoeveel natuurlijke getallen van 1 tot en met 50 zijn deelbaar door 2, maar niet door 3? Stel: G = {1, 2, ..., 50} TG DT is de verzameling van de veelvouden van 2. D is de verzameling van de veelvouden van 3. n (T) = n (D) = De getallen die deelbaar zijn door 2, maar niet door 3, behoren tot de verzameling T \ D (het verschil van de verzamelingen T en D). Het aantal drievouden dat ook een tweevoud is, is gelijk aan n (T « D) = Dus: n (T \ D) = De verschilregel Stel: A en B zijn willekeurige eindige verzamelingen.

b) Hoeveel speelkaarten zijn

a) Stel de situatie voor met een venndiagram.

Elke soort bevat 3 afbeeldingskaarten: boer, dame en heer.

©VANIN

• een harten en een afbeeldingskaart?

Toepassing 1 Een kaartspel bestaat uit 52 speelkaarten. Ze zijn onderverdeeld in 4 soorten: ruiten, klaveren, harten en schoppen.

• een harten, maar geen afbeeldingskaart?

Stel: U is de verzameling van alle kaarten: n (U) = H is de verzameling van de harten: n (H) = A is de verzameling van de afbeeldingskaarten: n (A) =

• geen harten?

• een afbeeldingskaart, maar geen harten?

643215 7 8 284 4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 7.2.4

• geen afbeeldingskaart?

• een harten of een afbeeldingskaart?

• 87 leerlingen kiezen voor een sojadrankje: n (S) = 87 fi

Op school wordt een nieuwe drankautomaat geplaatst.

• 86 leerlingen kiezen voor plat water: n (P) = 86 fi

4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 285 7.2.5 Toepassing 2 Algemeen Om telproblemen op te lossen waarvoor drie verzamelingen nodig zijn, gebruik je een klaverbladdiagram. AB AC \ (B » C )(A « B ) \ AC « B « CC \ (A » B ) B \ (A » C ) (A « C ) \ B (B « C ) \ A

Er wordt een enquête gehouden onder de leerlingen, waarbij ze hun voorkeur mogen geven. Ze kunnen kiezen tussen plat water, bruiswater of een sojadrankje. Elke leerling kan meerdere keuzes aanduiden. 86 leerlingen kiezen plat water, 87 leerlingen een sojadrankje en 28 leerlingen duiden bruiswater aan. 58 leerlingen kiezen zowel voor plat water als voor een sojadrankje, 17 leerlingen kiezen voor een sojadrankje en bruiswater, en 9 leerlingen geven de voorkeur aan plat water en bruiswater.

• 28 leerlingen kiezen voor bruiswater: n (B) = 28 fi

• 9 leerlingen kiezen voor plat water en bruiswater: n (P « B) = 9 fi

Ten slotte zijn er 3 leerlingen die de 3 dranken hebben aangeduid. Stel: P is de verzameling van de leerlingen die kiezen voor plat water. B is de verzameling van de leerlingen die kiezen voor bruiswater.

a) Stel de situatie voor met een klaverbladdiagram.

• Hoeveel leerlingen willen enkel een sojadrankje uit de automaat?

• Hoeveel leerlingen namen deel aan de enquête?

©VANIN

• Hoeveel leerlingen willen geen bruiswater?

• 3 leerlingen kiezen voor de 3 dranken: n (P « S « B) =

• 17 leerlingen kiezen voor een sojadrankje en bruiswater: n (S « B) = 17 fi

S is de verzameling van de leerlingen die kiezen voor een sojadrankje.

• Hoeveel leerlingen willen plat water of bruiswater?

• 58 leerlingen kiezen voor plat water en een sojadrankje: n (P « S) = 58 fi

• Hoeveel leerlingen willen plat water en bruiswater, maar geen sojadrankje?

b) Beantwoord de vragen aan de hand van het klaverbladdiagram.

F is de verzameling van de mensen die Frans spreken.

1 Op een vergadering zijn er 12 mensen die Frans spreken, 9 mensen die Engels spreken en 6 mensen die beide talen spreken.

fi n (F « E) =E is de verzameling van de mensen die Engels spreken.

c) Hoeveel leerlingen hebben enkel een laptop? 3 De trainer van een sportvereniging zegt tegen zijn 20 leden dat ze op hun conditie en spierkracht moeten oefenen. De week erna is de trainer tevreden. Iedereen heeft getraind. 14 leden hebben aan hun conditie gewerkt en 16 leden aan hun spierkracht.

A is de verzameling van de leerlingen die een tablet hebben. fi n (A « B) =B is de verzameling van de leerlingen die een laptop hebben. a) Hoeveel leerlingen telt onze klas? AB b) Hoeveel leerlingen hebben geen laptop?

©VANIN

a) Hoeveel mensen spreken Engels, maar geen Frans? b) Hoeveel mensen spreken Frans of Engels? FE c) Hoeveel mensen spreken geen Engels? 2 In onze klas hebben alle leerlingen een tablet of een laptop. 8 leerlingen hebben een tablet en 10 leerlingen hebben een laptop. 3 leerlingen hebben beide.

S is de verzameling van de leden die op spierkracht oefenden.

C is de verzameling van de leden die op conditie oefenden.

a) Hoeveel leden hebben beide oefeningen gedaan? CS b) Hoeveel leden hebben aan hun spierkracht, maar niet aan hun conditie gewerkt?

c) Hoeveel leden hebben alleen aan hun conditie gewerkt?

643215 7 8 286 4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN REEKSOefeningenA

a) Hoeveel leden kunnen klarinet spelen, maar geen dwarsfluit?

b) Hoeveel leden kunnen dwarsfluit spelen, maar geen klarinet?

c) Hoeveel leden spelen dwarsfluit of klarinet?

a) Hoeveel leerlingen hebben alleen voor bubbleball gekozen?

5 Een harmonieorkest bestaat uit 65 leden. Daarvan zijn er 16 die klarinet kunnen spelen, en 11 die dwarsfluit kunnen spelen. 4 leden spelen zowel klarinet als dwarsfluit.

Daarbij zijn er 18 leerlingen die beide mogelijkheden hebben aangeduid.

b) Hoeveel studenten hebben voor beide keuzevakken gekozen?

a) Hoeveel studenten hebben voor keuzevak A of B gekozen?

Er zijn 74 studenten die keuzevak A kiezen, 60 studenten die keuzevak B kiezen en 110 studenten die geen van beide vakken kiezen, maar een ander keuzevak hebben aangeduid.

©VANIN

Er zijn 76 leerlingen die kiezen voor bubbleball en 38 leerlingen die mountainbike kiezen.

c) Hoeveel studenten hebben alleen voor keuzevak A gekozen?

REEKS B 4 Voor de sportdag van het vierde jaar kunnen de 125 leerlingen kiezen uit verschillende mogelijkheden, waaronder bubbleball en mountainbike.

b) Hoeveel leerlingen hebben alleen voor mountainbike gekozen?

4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 287

d) Hoeveel leerlingen hebben voor bubbleball noch voor mountainbike gekozen?

d) Hoeveel studenten hebben alleen voor keuzevak B gekozen?

6 Aan een hogeschool moeten 230 studenten een of twee keuzevakken volgen.

d) Hoeveel leden van het orkest spelen geen dwarsfluit en ook geen klarinet?

c) Hoeveel leerlingen hebben voor minstens een van beide mogelijkheden gekozen?

2 honden hebben lang haar en een korte staart, maar zijn niet zwart.

3 zwarte honden hebben lang haar, maar geen korte staart.

a) Hoeveel leerlingen van het vierde jaar zijn bij een sportclub, een muziekgroep of een jeugdbeweging aangesloten?

c) Hoeveel mensen nemen de bus of de trein, maar niet de fiets?

Alle honden van de kennel hebben minstens een van de vermelde kenmerken.

b) Hoeveel honden hebben geen korte staart? c) Hoeveel honden hebben lang haar, maar geen korte staart? d) Hoeveel honden zijn zwart of hebben lang haar?

a) Hoeveel honden zitten er in de kennel?

15 zijn zowel lid van een jeugdbeweging als van een muziekgroep en er zijn 5 leerlingen die zowel in een sportclub als een muziekgroep zitten.

b) Hoeveel mensen nemen alleen de fiets?

9 Aan de 140 leerlingen van het vierde jaar van een school wordt gevraagd of ze bij een sportclub, een muziekgroep of een jeugdbeweging aangesloten zijn.

c) Hoeveel leerlingen zijn bij juist 1 van de 3 aangesloten?

d) Hoeveel leerlingen zijn geen lid van een muziekgroep?

8 In een kennel zitten een aantal honden. 12 honden zijn zwart, 6 hebben een korte staart en 15 honden hebben lang haar. Er is slechts 1 zwarte hond met lang haar en een korte staart.

643215 7 8 288 4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN REEKS C 7 Aan 140 werknemers van een fabriek is gevraagd hoe ze naar het werk komen. Er komen 78 mensen met de fiets, 50 met de trein en 28 met de bus. Verder blijken 6 mensen zowel de fiets als de trein te gebruiken, 18 mensen zowel de trein als de bus en 8 mensen zowel de bus als de fiets. Geen enkele werknemer combineert de 3 vervoermiddelen.

b) Hoeveel leerlingen zijn bij geen enkele van die 3 aangesloten?

2 zwarte honden hebben een korte staart, maar geen lang haar.

©VANIN

a) Hoeveel mensen komen op een andere manier naar het werk dan met de 3 genoemde vervoermiddelen?

2 leerlingen zijn zowel bij een sportclub, een muziekgroep als een jeugdbeweging aangesloten.

Er zijn 35 leerlingen die zowel in een sportclub als in een jeugdbeweging zijn.

55 leerlingen zijn bij een sportclub, 20 bij een muziekgroep en 50 bij een jeugdbeweging.

GeoGebra ©VANIN

• Teken de takken die horen bij de tweede gang, en zet de keuzemogelijkheden op de eindpunten.

• Bij elke gang horen een aantal keuzes, die voorgesteld worden door takken.

4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 289 7.3 Tellen met boomdiagrammen 7.3.1 Boomdiagram Voor een driegangenmenu in een restaurant kan Shauny kiezen uit: • 3 voorgerechten: ■ soep (S) ■ garnaalkroketten (G) ■ carpaccio van rund (C) • 4 hoofdgerechten: ■ kabeljauwhaasje (K) ■ zeetong (Z) ■ ribeye (R) ■ ossenhaas (O) • 2 nagerechten: ■ dame blanche (D) ■ appeltaart (A)

• Bepaal het aantal takken dat bij de eerste gang hoort. Die takken vertrekken uit het beginpunt.

• Doe hetzelfde voor de derde gang.

Op hoeveel manieren kan Shauny haar menu samenstellen? Je stelt de keuzes voor door middel van een boomdiagram

S G CK Z R O K Z R O K Z R OD A D A D A D A D A D A D A D A D A D A D A D A

• Zet de keuzemogelijkheden op de eindpunten van de takken.

• Het aantal mogelijke menu’s voor Shauny is gelijk aan het aantal eindpunten in dat boomdiagram. Besluit: • Bereken het product van het aantal keuzemogelijkheden per Watgang.kunje besluiten?

• Bij elke keuze van de eerste gang volgt een tweede gang. Bepaal hoeveel takken daarbij horen.

643215 7 8 290 4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 7.3.2 De productregel De techniek van de ‘cellen’ Het spreekt voor zich dat het onbegonnen werk is elk vraagstuk op te lossen met een boomdiagram, hoewel je een boomdiagram niet altijd kunt vermijden. Bekijk opnieuw het inleidende voorbeeld. Er moet gekozen worden voor een voorgerecht (V ) én een hoofdgerecht (H ) én een nagerecht (N ). Elk gerecht kun je voorstellen door een cel, waaronder je het aantal mogelijkheden plaatst. V H N 3 4 2 Æ  3 4 2 = 24 mogelijkheden Formule Als een beslissing B bestaat uit k deelbeslissingen B1 , B2, ..., Bk dan geldt n (B ) = n (B 1) n (B 2) ... n (B k ). Eenvoudig gesteld, komt het erop neer dat het voegwoord ‘en’ naar een product vertaald wordt. 7.3.3 Faculteit Anagrammen zijn woorden die je vormt met dezelfde letters, maar die niet noodzakelijk een betekenis hebben. Hoeveel anagrammen heeft het woord ‘STEL’? L 1 L 2 L 3 L 4 Æ  = mogelijkheden Om een product zoals 4 3 2 1 te berekenen, gebruik je in de wiskunde het begrip faculteit Definitie Faculteit Als n een natuurlijk getal is verschillend van 0 en 1, dan geldt: n! = n (n – 1) (n – 2) 1 1! = 1 0! = 1 Voorbeeld: 8! = 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 40 320 REKENMACHINE actie knoppen scherm Bereken 8! 8 v P a-lockalpha tblwindowsetf2 9 w Q entrenterysolve ©VANIN

Die vraag rechtstreeks oplossen vergt heel wat rekenwerk.

a) Hoeveel zijn er mogelijk?

is

is

bytes −

bytes zonder 0 = = ©VANIN

bytes

bytes

b) Hoeveel bytes bevatten minstens één

0?

bytes

Het symbool 0 kan immers 1 keer, 2 keer, ..., 8 keer voorkomen. Je gebruikt de complementregel. Het aantal zonder 0 Het aantal met minstens één 0 gelijk aan het totale aantal het aantal

4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 291 7.3.4 Toepassingen • In een bibliotheek worden de boeken gecatalogeerd door middel van 2 letters en 2 cijfers verschillend van 0, in die volgorde. Hoeveel boeken kan de bibliotheek op die manier bevatten? Er zijn verschillende letters en verschillende cijfers ≠ 0. L 1 L 2 C 1 C 2 Æ  = mogelijkheden • Hoeveel natuurlijke getallen van 4 cijfers zijn er? Hoeveel van die getallen bestaan uit 4 verschillende cijfers? Let erop dat een getal nooit begint met 0. C 1 C 2 C 3 C 4 Æ  = C 1 C 2 C 3 C 4 Æ  = • Een byte is het kleinste informatiegedeelte van een computergeheugen. Een byte bestaat uit 8 bits. Een bit is een variabele die slechts 2 waarden kan aannemen: 0 en 1 (onwaar of waar).

Jan en Petra hebben elk een nieuwe smartphone nodig. Ze besluiten elk een toestel van een ander merk te kopen.

• De volgorde van de keuzes is hier belangrijk, want als Jan merk A en Petra merk B kiest, of Jan merk B en Petra merk A, dan is dat een andere keuze.

©VANIN

•

Om dat vraagstuk op te lossen, kun je een boomdiagram niet omzeilen.

AA

Bij merk A vinden ze 3 types die aan hun eisen voldoen, bij merk B zijn er 4 types en bij merk C zijn er 2 types. Hoeveel mogelijke keuzes zijn er? Als ze ■ merk A en B kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.

■ merk A en C kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.

• In grote tornooien van het mannentennis wint de speler die het eerst 3 sets wint.

■ merk B en C kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.

Je noemt de spelers A en B Vul het boomdiagram aan. A B B B

643215 7 8 292 4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN

Op hoeveel manieren kan een tennismatch evolueren?

Het totale aantal mogelijkheden is dus

a) kunnen er juist 2 rode ballen bij zijn? b) kan er minstens 1 groene bal bij zijn? c) kan er minstens 1 rode bal bij zijn? d) kunnen er 3 ballen van dezelfde kleur bij zijn?

11 Los het vraagstuk op met een boomdiagram. Je trekt 3 ballen uit een vaas die 3 rode en 2 groene ballen bevat. Na elke trekking leg je de getrokken bal niet terug in de vaas. Op hoeveel manieren

10 Los het vraagstuk op met een boomdiagram. Een gezin heeft 3 kinderen. Op hoeveel manieren

REEKSOefeningenA

a) kunnen er 2 jongens en 1 meisje bij zijn? b) kunnen er minstens 2 meisjes bij zijn? c) kan er hoogstens 1 jongen bij zijn?

4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 293

©VANIN

14 Bij een voetbalpronostiek kies je voor elke wedstrijd tussen de symbolen 1 (thuisoverwinning), 2 (uitoverwinning) en × (gelijkspel). Hoeveel mogelijkheden zijn er om een pronostiek met 12 wedstrijden in te vullen?

643215 7 8 294 4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 12 Los de vraagstukken op met de productregel. a) Hoeveel worpen zijn er mogelijk met 2 verschillende dobbelstenen? e) Een code bestaat uit 4 verschillende letters. Hoeveel mogelijkheden zijn er? b) Hoeveel natuurlijke getallen van 3 cijfers zijn er? f) Je gooit 4 keer een muntstuk op. Hoeveel mogelijkheden zijn er? c) Een ringslot bestaat uit 3 cijfers. Hoeveel mogelijkheden zijn er? g) Op hoeveel manieren kunnen 3 mensen op 3 stoelen plaatsnemen? d) Hoeveel anagrammen heeft het woord ‘KRANT’? h) 10 mensen lopen een wedstrijd. Op hoeveel manieren kun je de eerste drie voorspellen?

©VANIN

Op hoeveel manieren kun je van A naar D reizen via B en C?

16 Een klas bestaat uit 15 leerlingen. De klassenleraar heeft 3 leerlingen nodig om respectievelijk het bord af te wassen, de vloer te vegen en de agenda’s op te halen. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

15 In een voetbalcompetitie spelen 18 ploegen. Elke ploeg moet tegen elke andere ploeg een heenmatch en een terugmatch spelen. Hoeveel wedstrijden worden er gespeeld in één seizoen?

13 Er zijn 4 verschillende wegen van stad A naar stad B, 5 verschillende wegen van stad B naar stad C en 2 verschillende wegen van stad C naar stad D.

Hoeveel verschillende producten kan de brouwerij aanbieden?

• De drie cijfers mogen niet allemaal nullen zijn.

Het bier wordt verkocht in flesjes van 25 cl en flesjes van 33 cl. Van elke biersoort bestaat naast de gewone versie ook een lightversie.

17 Een brouwerij brouwt 3 soorten bier (blond, donker en amber).

a) Hoeveel mogelijkheden zijn er? b) Hoeveel paswoorden beginnen en eindigen met een letter?

Voor elk pionnetje kun je uit 6 verschillende kleuren kiezen.

21 Een computerpaswoord bestaat uit 5 tekens.

• De plaat heeft 7 karakters: een indexcijfer + 3 letters + 3 cijfers.

22 Hoeveel nummerplaten kunnen er gemaakt worden volgens het Europese model?

REEKS B

Voor elk teken mag gekozen worden tussen een letter en een cijfer.

In 2010 heeft België een nieuwe nummerplaat ingevoerd naar Europees model.

Hoeveel telefoonnummers van 9 cijfers kun je vormen als het eerste cijfer altijd 0 is en het tweede en het vierde cijfer nooit 0 zijn?

©VANIN

• Het indexcijfer van 1 tot en met 7 is bestemd voor de gewone nummerplaten.

b) Hoeveel mogelijkheden zijn er als je een kleur maar één keer mag kiezen?

18

a) Hoeveel mogelijkheden zijn er als je een kleur meerdere keren mag kiezen?

20 In het spel Mastermind vorm je een code die bestaat uit 4 gekleurde pionnetjes, die je in een bepaalde volgorde plaatst.

4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 295

Hoeveel mogelijkheden heeft hij om de juiste code in te tikken?

19 Rune is de code van zijn bankkaart vergeten. Hij weet enkel nog dat er geen 0 in voorkomt, dat het eerste cijfer 7 is en dat het allemaal verschillende cijfers zijn.

c) In hoeveel gevallen gooi je hoogstens 5 ogen?

25 4 meisjes en 3 jongens moeten een rij vormen, zodat de meisjes bij elkaar en de jongens bij elkaar staan. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

643215 7 8 296 4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN

23 Je gooit met 2 verschillende dobbelstenen. Telkens wordt de som van het aantal ogen op beide dobbelstenen gemaakt.

a) In hoeveel gevallen gooi je 6 ogen?

24 Een trap telt 4 treden. Je kunt de trap bestijgen door trede per trede te nemen, maar je kunt ook meerdere treden tegelijk nemen. Hoeveel mogelijkheden zijn er om de trap te beklimmen?

©VANIN

b) In hoeveel gevallen gooi je minstens 10 ogen?

©VANIN

27 Jef doet mee aan een gokspel. Per beurt moet hij 5 euro betalen bij verlies en bij winst krijgt hij 5 euro. Jef besluit maximaal 4 keer aan het spelletje mee te doen en eerder te stoppen als hij 10 euro verliest. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 297 26 2 vrienden spelen een badmintonwedstrijd. Wie het eerst 2 sets na elkaar wint of 3 sets in totaal wint, is de winnaar van de wedstrijd. Op hoeveel manieren kan de wedstrijd verlopen?

a) Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er?

©VANIN

Na de eerste trekking wordt de gekozen kaart niet opnieuw in het spel gestoken.

643215 7 8 298 4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN REEKS C 28 Je trekt 2 kaarten uit een spel van 52 kaarten.

b) In hoeveel gevallen trek je 2 rode kaarten? c) In hoeveel gevallen trek je 2 klaveren? d) In hoeveel gevallen trek je een harten en een schoppen, niet noodzakelijk in die volgorde? e) In hoeveel gevallen trek je een heer en een boer, niet noodzakelijk in die volgorde?

29 Bij de aankoop van een auto kan de koper kiezen tussen een wagen met een motor van 1 600, 1 800 of 2 000 cc. De wagens met een motor van 1 600 of 1 800 cc hebben versies met 2, 3 of 4 deuren. De wagens met 2 000 cc hebben versies met 4 of 5 deuren. Elke wagen is beschikbaar in 7 kleuren, maar voor de versies 1 800 en 2 000 cc zijn er daarenboven nog 3 metaalkleuren beschikbaar.

Bij alle types kan gekozen worden tussen airco of niet. Enkel het type met 2 000 cc heeft cruisecontrol als optie. Bij alle types kan men kiezen tussen 3 types spoiler. Hoeveel mogelijkheden heeft de koper bij deze aankoop?

©VANIN

Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren. Notatie: A \ B 7.2 Tellen met venndiagrammen KENNEN –  + –  +

Als n een natuurlijk getal is verschillend van 0 en 1, dan geldt: n! = n ? (n – 1) ? (n – 2) ? ? 1 1! = 1 0! = 1 KUNNEN –  + –  + Een boomdiagram of een schema gebruiken bij het oplossen van telproblemen.

7.3

Als A en B disjuncte eindige verzamelingen zijn en n(A) is het aantal elementen van A, n(B) is het aantal elementen van B, dan: n(A » B) = n(A) + n(B) Als A en B willekeurige eindige verzamelingen zijn en A Ã B, is het complement van A A = B \ A dan: n(A) = n(B) − n(A) KUNNEN –  + –  +

Een venndiagram gebruiken bij het oplossen van telproblemen. Het aantal elementen van de doorsnede, de unie of het verschil van eindige verzamelingen bepalen in functie van het oplossen van telproblemen. Het aantal elementen van het complement van een eindige verzameling bepalen in functie van het oplossen van telproblemen.

Tellen met boomdiagrammen KENNEN –  + –  + Als een beslissing B bestaat uit k deelbeslissingen B 1 , B 2 , ..., B k dan geldt n(B) = n(B 1) n(B 2) n(B k).

Als A en B willekeurige eindige verzamelingen zijn en n(A) is het aantal elementen van A, n(B) is het aantal elementen van B, dan: n(A » B) = n(A) + n(B) − n(A « B) n(A \ B) = n(A) − n(A « B)

4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN 299 STUDIEWIJZER Telproblemen 7.1 Begrippen en symbolen uit de verzamelingenleer voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN –  + –  +

De doorsnede van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en B behoren. Notatie: A « B De unie van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A of B behoren. Notatie: A » B

ToAltonwers

A) r 1 980 000 B) r 2 575 000 C) r 2 800 000 D) r 3 125 000 E) r 3 360 000 JWO, editie 2018, eerste ronde

3. Een dief steelt een kwart van het fortuin van een kok en geeft daarvan de helft aan zijn vrouw. Die schenkt op haar beurt een derde van wat ze net kreeg, aan haar minnaar, die bevriend is met de kok en hem daarvan de helft geeft. De kok is 11 000 florijnen armer geworden. Hoe groot was het fortuin van de kok oorspronkelijk? A) r 36 000 florijnen B) r 45 000 florijnen C) r 48 000 florijnen D) r 52 000 florijnen E) r 60 000 florijnen JWO, editie 2012, eerste ronde

©VANIN

2. Op de figuur hebben het vierkant en de rechthoekige driehoek met dezelfde oppervlakte een gemeenschappelijke zijde. Wat is de verhouding van de stukken waarin P het onderste lijnstuk verdeelt? P A) r 1 : 1 B) r 1 : 2 C) r 2 : 3 D) r 1 : 3 E) r 1 : 4 JWO, editie 2016, tweede ronde

1. In het staafdiagram zie je hoe de bezoekers van de vijf meest bezochte Europese pretparken over die pretparken verdeeld zijn. De pretparken hebben samen 56 miljoen bezoekers per jaar. Hoeveel bezoekers heeft Disneyland Parijs elk jaar meer dan de Efteling? EuropaPark AvPortentura Efteling DisneylandParijs

643215 7 8 300 4 D/A I HOOFDSTUK 7 I TELPROBLEMEN Problemen uit JWO

5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 % 35 % procent 11 % 17 % 20 % 23 % 29 %

4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 301 8.1 Onderlinge ligging van rechten en vlakken 302 Studiewijzer 319 Pienter problemen oplossen 320 Op 8.2diddit:Ruimtefiguren voorstellen 8.3 2D-voorstellingen en 3D-situaties analyseren 8.4 Maten herleiden 8.5 Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren 8.6 Oppervlakte en volume van ruimtefiguren HOOFDSTUK 8 I RUIMTEMEETKUNDE STEM+©VANIN

Definitie Samenvallende rechten Twee rechten zijn samenvallend als de rechten minstens twee punten gemeenschappelijk hebben. notatie: MG = HM Definitie Evenwijdige rechten Twee rechten zijn evenwijdig als de rechten strikt evenwijdig of samenvallend zijn.

6432157 8 302 4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 8.1 Onderlinge ligging van rechten en vlakken 8.1.1 Onderlinge ligging van twee rechten AB ECD IGFH OJ P L MN Verbind elk paar rechten met de best passende benaming. IJ en EF • • kruisend IJ en IL • • snijdend IE en GI • • strikt evenwijdig EH en JF • • samenvallend Evenwijdige rechten HGaM bEF DC AB De rechten a en b zijn strikt evenwijdig Beide rechten liggen in hetzelfde vlak, het bovenvlak van de balk. De rechten a en b hebben geen enkel punt Geefgemeenschappelijk.eenrechtediestrikt evenwijdig is met • FB: • CD: De rechten HM en MG zijn samenvallend Beide rechten hebben minstens twee punten gemeenschappelijk. Definitie Strikt evenwijdige rechten Twee rechten zijn strikt evenwijdig als de rechten in hetzelfde vlak liggen en geen enkel punt gemeenschappelijk hebben. notatie: a // b

GeoGebrainstructiefilmpje ©VANIN

ABC

aHG ABC

©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 303

Snijdende rechten HG EDF aSb De rechten a en b zijn snijdend Beide rechten liggen in hetzelfde vlak, het bovenvlak van de kubus. De rechten a en b hebben één punt gemeenschappelijk: het punt S Geef een rechte die snijdend is met • FB: • AD:

Definitie Snijdende rechten Twee rechten zijn snijdend als de rechten juist één punt gemeenschappelijk hebben. notatie: a // b Kruisende rechten ab HG ABC EDF De rechten a en b zijn kruisende rechten. De rechten liggen niet in hetzelfde vlak. Geef een rechte die kruisend is met • CG: • EG: Definitie Kruisende rechten

Twee rechten zijn kruisend als de rechten niet in hetzelfde vlak liggen. notatie: a W b Voorstelling van snijdende en kruisende rechten Bij bepaalde aanzichten is het niet mogelijk te besluiten of rechten snijdend of kruisend zijn. bovenaanzicht perspectieftekening ab HG EFbEDFb aHG ABC EDFof

6432157 8 304 4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e Oefeningen REEKS A 1 Wat is de onderlinge ligging van de rechten in de kubus? De punten M en N zijn de middens van de ribbe. a) AHC EDFM bBNG a c) AHC EDFM bBNG a e) AHC EDFM bBNG a DN en HM: HF en AF: EB en FG: b) AHC EDFMbBNG a d) AHC EDFMBNG ba f) AHC EDFMBNG ab AE en HG: AE en MN: FN en GC: 2 Juist of fout? De punten M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. AHC EDFMBNG juist fout a) DB en MN zijn snijdend. r r b) AH en EB zijn strikt evenwijdig. r r c) GM en MF zijn samenvallend. r r d) HD en AB zijn kruisend. r r e) NB en FM zijn samenvallend. r r f) HM en FC zijn kruisend. r r g) AH en FC zijn snijdend. r r h) DB en HF zijn strikt evenwijdig. r r ICT ICT ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 305 REEKS B 3 Bepaal de onderlinge ligging van de rechten (=, //, //, W ) in de gegeven balken. De punten M en N zijn middens van de ribben. a) AHC EDFMNBG b) AHC EDFMNBG AD FG EC MN AN EN MG HC AM HD MN FB HN NG MN HC 4 Vul aan met een getekende rechte. De punten I, J, K en L liggen op een ribbe. AHC EDFJ BGIK La dbc • Welke rechte(n) snijden AB? • Welke rechte(n) zijn strikt evenwijdig met AD? • Welke rechte(n) zijn kruisend met AD? 5 Teken één mogelijke rechte door twee gegeven punten van de kubus. EFG AHMDIKC L J • a snijdend met KL • b samenvallend met LI • c kruisend met HL ICT ICT ©VANIN

6432157 8 306 4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 6 Juist of fout? a) in een recht prisma zijn de punten S en P de middens van de ribbe. b) in een piramide liggen de punten E, F, G en H op de opstaande ribben. FS CPDEABTH GECDF AB juist fout juist fout DF en BC zijn strikt evenwijdig. r r AD en BC zijn strikt evenwijdig. r r EF en AC zijn kruisend. r r DT en BC zijn kruisend. r r AB en DE zijn strikt evenwijdig. r r GC en TC zijn samenvallend. r r PS en AB zijn snijdend. r r EF en AD zijn kruisend. r r 7 Teken één mogelijke rechte door twee gegeven punten van de piramide. CAB DEF GTH I • a kruisend met EG • b snijdend met EH • c evenwijdig met CH ICT ICT ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 307 REEKS C 8 Teken op de afbeelding twee rechten a en b die snijdend zijn, een rechte c die strikt evenwijdig is met de rechte a, en een rechte d die kruisend is met de rechte b. 9 Bepaal in het gebouw de onderlinge ligging van: PA SR VUETQDHWFG LON BI KCJ M a) VR en CG b) NJ en PB c) RQ en KJ d) TQ en DH e) RU en QJ f) HD en BI g) GD en PA h) SA en EB i) QN en GC j) GH en DB ICT ©VANIN

6432157 8 308 4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 8.1.2

Vlakken, punten en rechten AC Ba Twee verschillende punten bepalen een rechte. een vlak wordt bepaald door drie punten die niet op dezelfde rechte liggen. Punten die in hetzelfde vlak liggen, noem je coplanair notatie: a = vl(A, B, C) een vlak kan ook nog op drie andere manieren worden bepaald. Formuleer zelf de drie andere mogelijkheden. a = vl(A, a) a = vl(a, b) a = vl(a, c) aA a aba aca in welke gevallen bepalen twee rechten geen vlak?

in de meetkunde stel je onbegrensde delen voor met behulp van begrensde figuren. Om vlakken te benoemen, gebruik je Griekse letters.

©VANIN

Onderlinge ligging van een rechte en een vlak Voorstelling van een vlak in de ruimte a

• Een rechte ligt in een vlak als ze minstens twee gemeenschappelijke punten heeft met het vlak. GeoGebrainstructiefilmpje

©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 309 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak AB ECD IGFH OJ P L MN a Verbind het vlak en de bijbehorende rechte met de best passende benaming. a en EG •

• Een rechte en een vlak zijn snijdend als ze juist één gemeenschappelijk punt hebben.

• De rechte ligt in het vlak. a en BH • • De rechte snijdt het vlak. Voorstellingen en notaties een rechte en een vlak zijn snijdend een rechte en een vlak zijn strikt evenwijdig een rechte ligt in een vlak A a b a BCc a a snijdt a b is strikt evenwijdig met a c ligt in a c is een deel van a notatie: a // a notatie: b // a notatie: c à a A is het snijpunt van a en a er zijn geen snijpunten. B en C liggen in a Definitie Onderlinge ligging van een rechte en een vlak

• De rechte is strikt evenwijdig met het vlak. a en CD •

• Een rechte en een vlak zijn strikt evenwijdig als ze geen gemeenschappelijke punten hebben.

6432157 8 310 4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e Oefeningen REEKS A 10 Wat is de onderlinge ligging van de rechte en het vlak in de kubus? De punten M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. a) a AHC EDFMBNG c) a AHC EDFMBNG e) a AHC EDFMBNG HM en a : MN en a : EC en a : b) a AHC EDFMBNG d) a AHC EDFMBNG f) a AHC EDFMBNG HM en a : FB en a : EH en a : 11 Juist of fout? De punten M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. a AHC EDFMBNG juist fout a) DB en a zijn snijdend. r r b) AH en a zijn strikt evenwijdig. r r c) GM en a zijn snijdend. r r d) HD ligt in a r r e) GC en a zijn snijdend. r r f) HN en a zijn strikt evenwijdig. r r g) AH en a zijn snijdend. r r h) DB ligt in a r r ICT ICT ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 311 REEKS B 12 Bepaal de onderlinge ligging van de rechte en het vlak (//, //, Ã) in de balk. De punten J, M, I, K en L liggen op een ribbe. EHJMKG AF IDC LB • JM vl(A, B, E) • DI vl(A, D, E) • FM vl(E, F, G) • LM vl(A, B, C) 13 Teken één mogelijke rechte door het gegeven punt van het prisma. De punten G en H liggen op een ribbe. FGEB CAH D • a door A en liggend in vl(A, C, F) • b door G en snijdend met vl(A, B, C) • c door H en evenwijdig met vl(D, E, F) 14 Bepaal de onderlinge ligging van de rechte en het vlak (//, //, Ã) in de piramide. De punten I, J, K, L en M liggen op een ribbe. De punten E, F, G en H zijn de middens van de ribbe. MEHITLF ADKBC JG • IK vl(A, B, T) • IJ vl(A, B, C) • LM vl(T, B, C) • IJ vl(E, F, G) ICT ICT ©VANIN

6432157 8 312 4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 15 Teken één mogelijke rechte door het gegeven punt van de piramide. Het punt O ligt in het grondvlak en is het snijpunt van de diagonalen. FT E GODHC AB • a door G en snijdend met vl(A, B, T) • b door H en liggend in vl(A, B, C) • c door O en snijdend met vl(E, F, G) REEKS C 16 Bepaal de onderlinge ligging van de rechte en het vlak (//, //, Ã). De punten K, L en M liggen op een ribbe. IJG EABFKC MHDL • IM vl(F, G, J) • IL vl(A, B, C) • LM vl(B, C, G) • AK vl(C, D, H) 17 Teken één mogelijke rechte door het gegeven punt van de balk. De gegeven punten liggen op een ribbe. AQMBC D JK lF EHPGLN S • a door M en snijdend met vl(K, I, J) • b door P en evenwijdig met vl(K, I, J) • c door N en snijdend met vl(E, I, J) ICT ICT ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 313 8.1.3 Onderlinge ligging van twee vlakken AB ECD IGFH OJ P L MN a b d g Verbind elk paar vlakken met de best passende benaming. a en d • • samenvallend a en b • • snijdend a en g • • strikt evenwijdig Definitie Snijdende vlakken A EHDGFCK BI LOMNJ a b Twee vlakken zijn snijdend als de vlakken een gemeenschappelijkrechtehebben. notatie: a // b Definitie Strikt evenwijdige vlakken A EHDGFCK BI LOMNJ a bTwee vlakken zijn strikt evenwijdig als de vlakken geen enkel punt gemeenschappelijk hebben. notatie: a // b Definitie Samenvallende vlakken A EHDGFCK BI LOMNJ a b Twee vlakken zijn samenvallend als de vlakken alle gemeenschappelijkpuntenhebben. notatie: a = b GeoGebrainstructiefilmpje a = vl(A, B, E) b = vl(M, N, O) g = vl(F, H, J) d = vl(C, D, G) ©VANIN

6432157 8 314 4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e Oefeningen REEKS A 18 Wat is de onderlinge ligging van de vlakken in de kubus? De punten M, N, J en K zijn de middens van de ribbe van de kubus. a) a b AHC EDFMBNG J K c) a b AHC EDFMBNG J K e) a b AHC EDFMBNG J K a en b: a en b: a en b: b) ba AHC EDFMBNG J K d) a b AHC EDFMBNG J K f) a b AHC EDFMBNG J K a en b: a en b: a en b: REEKS B 19 Bepaal de onderlinge ligging van de vlakken (//, //, =) in de kubus. De punten J, K, I en L zijn de middens van de ribben. De punten M, N, O en P liggen op de ribben. AKBC LP JFEI NO HG MD • vl(A, B, C) vl(P, M, N) • vl(I, J, K) vl(C, G, F) • vl(P, M, N) vl(I, J, K) • vl(A, B, E) vl(J, I, L) ICT ICT ©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 315 20 Bepaal de onderlinge ligging van de vlakken (//, //, =) in het gebouw. MNG HCEDF AB • vl(A, B, C) vl(M, N, G) • vl(A, B, F) vl(D, H, G) • vl(B, D, H) vl(A, E, M) • vl(A, B, F) vl(E, M, F) REEKS C 21 Bepaal de onderlinge ligging van de vlakken (//, //, =) in de ruimtefiguur. DCB HGF AE • vl(A, D, H) vl(C, F, G) • vl(A, B, E) vl(C, F, G) • vl(A, B, C) vl(E, F, G) 22 Bepaal in het gebouw de onderlinge ligging van: PA SR VUETQDHWFG LON BI KCJ M • vl(S, V, U) vl(L, M, N) • vl(F, G, W) vl(E, W, F) • vl(F, G, C) vl(E, A, D) • vl(E, F, G) vl(A, B, C) ICT ICT ICT ©VANIN

Loodrechte stand Hoek tussen snijdende rechten a dcb A B a b De rechten a en b zijn snijdend in het punt A en liggen in hetzelfde vlak a De hoek van twee snijdende rechten is de scherpe of rechte hoek die de rechten in hun snijpunt vormen.

Op de figuur zie je dat de rechte a loodrecht staat op elke rechte van het vlak a die door het snijpunt A van a en a gaat. De rechte a noem je een loodlijn op het vlak a Het punt A is het voetpunt van de loodlijn. Het vlak a noem je een loodvlak op de rechte a GeoGebra

6432157 8 316 4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 8.1.4

α

©VANIN

notatie: a ^ b = ^ A Analoog: c ^ d = ^ B Loodrechte rechten A EHG BCDF

Bij de balk zijn de hoeken ^ A, ^ B, ..., ^ H gelijk aan 90º. Je zegt dat de rechten EA en AB elkaar loodrecht snijden notatie: EA ^ AB Geef twee rechten die DH loodrecht snijden: en Definitie Loodrechte rechten Twee rechten staan loodrecht op elkaar als de hoek tussen de rechten 90º is. Loodlijn en loodvlak Aa

• a snijdt b in de rechte a • a snijdt g in de rechte b • b snijdt g in de rechte c

©VANIN

• De hoek tussen de rechten b en c is de hoek tussen de snijdende vlakken a en b Definitie Hoek tussen snijdende vlakken De hoek tussen twee snijdende vlakken is de hoek tussen de twee snijlijnen van die vlakken met een willekeurig loodvlak op hun snijlijn. Loodrechte vlakken a b De hoek tussen de vlakken a en b is gelijk aan 90º. Je zegt dat a en b loodrecht op elkaar staan. a is een loodvlak op b en omgekeerd. n otatie: a ^ b (of b ^ a) Definitie Loodrechte vlakken Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als de hoek tussen die vlakken 90º is.

4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 317 Definitie Loodlijn en loodvlak Een loodlijn op een vlak is een rechte die loodrecht staat op elke rechte van dat vlak. Een loodvlak op een rechte is een vlak waarvan elke rechte loodrecht staat op de gegeven rechte. Aa a notatie: a ^ a en a ^ a Hoek tussen snijdende vlakken bac a b g Je bepaalt de hoek tussen a en b:

318 4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 6432157 8 Oefeningen REEKS B 23 Bepaal de hoek tussen de rechten in de kubus. ABC IK DFGEH hoek HD en DG AH en EH IK en DG AH en HG 24 Bepaal de hoek tussen de vlakken in de kubus. EAC H DBG F hoek vl(A, B, C) en vl(A, E, H) vl(B, C, G) en vl(A, D, F) vl(A, D, F) en vl(B, C, H) vl(A, B, C) en vl(A, F, G) REEKS C 25 Bepaal de hoek tussen de vlakken. NG ABC EDF H M hoek vl(B, F, G) en vl(A, B, C) vl(E, H, N) en vl(B, F, G) vl(A, B, C) en vl(F, G, N) vl(A, B, F) en vl(F, G, H) Diddit: Paragraaf 8.2-8.6 met bijbehorende oefeningen vind je bij het onlinelesmateriaal. ICT ICT ICT STEM+ ©VANIN

voorstellen 8.3

8.6

Twee vlakken zijn strikt evenwijdig als de vlakken geen enkel punt gemeenschappelijk hebben. (a // b) Twee vlakken zijn samenvallend als de vlakken alle punten gemeenschappelijk hebben. (a = b)

Twee rechten zijn strikt evenwijdig als de rechten in hetzelfde vlak liggen en geen enkel punt gemeenschappelijk hebben. (a // b)

Twee rechten zijn samenvallend als de rechten minstens twee punten gemeenschappelijk hebben. (a = b)

Twee vlakken zijn snijdend als de vlakken een rechte gemeenschappelijk hebben. (a // b)

Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als de hoek tussen die vlakken 90º is. (a ^ b) KUNNEN  +  + in concrete situaties de onderlinge ligging van twee rechten, een rechte en een vlak en twee vlakken onderzoeken en ruimtelijk voorstellen. De hoek tussen rechten en vlakken bepalen.

Op 8.2diddit:Ruimtefiguren 2D-voorstellingen en 3D-situaties analyseren Maten herleiden Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren Oppervlakte en volume van ruimtefiguren

Twee rechten zijn kruisend als de rechten niet in hetzelfde vlak liggen. (a W b) een rechte en een vlak zijn snijdend als ze juist één gemeenschappelijk punt hebben. (a // a) een rechte en een vlak zijn strikt evenwijdig als ze geen gemeenschappelijke punten hebben. (a // a) een rechte ligt in een vlak als ze minstens twee gemeenschappelijke punten heeft met het vlak. (a à a)

8.4

8.5

Twee rechten staan loodrecht op elkaar als de hoek tussen de rechten 90º is. (a ^ b) een loodlijn op een vlak is een rechte die loodrecht staat op elke rechte van dat vlak. (a ^ a) een loodvlak op een rechte is een vlak waarvan elke rechte loodrecht staat op de gegeven rechte. (a ^ a) De hoek tussen twee snijdende vlakken is de hoek tussen de twee snijlijnen van die vlakken met een willekeurig loodvlak op hun snijlijn.

Twee rechten zijn evenwijdig als de rechten strikt evenwijdig of samenvallend zijn. Twee rechten zijn snijdend als de rechten juist één punt gemeenschappelijk hebben. (a // b)

STEM+©VANIN

4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e 319 STUDIEWIJZER Ruimtemeetkunde 8.1 Onderlinge ligging van rechten en vlakken voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN –  + –  +

Z ©VANIN

U V W

1. Petra en Jana hebben het geheime dagboek van Lucie gevonden. Helaas heeft Lucie de tekst in haar dagboek versleuteld met horizontale en verticale lijnen met behulp van de volgende lettertabel.Detweemeisjes zijn erin geslaagd om de onderstaande symbolen te ontcijferen. Het blijkt de naam van Lucies broer PAVeL te zijn. Ontcijfer de naam van Lucies vriend, die in het dagboek op de volgende manier is geschreven. A) JOSeF B) PeTeR C) JeSSe D) DeniS Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2021 2. Castor, een architect, werd gevraagd een museum te ontwerpen. Hij heeft vier ontwerpen gemaakt. Hij wil een indeling kiezen waarbij bezoekers alle kamers precies één keer doorlopen, zonder een kamer meer dan één keer te bezoeken en zonder dezelfde deur te gebruiken voor het binnen- en buitengaan. Dat noem je een eenrichtingsverkeerrondleiding De bezoekers moeten beginnen bij de deur met de pijl die het museum binnengaat, en vertrekken via de deur met de pijl die het museum verlaat.

B C D E F G H I J

A) B) C) D) Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2020 A K R T X Y

L M N O P

S

Bij welke indeling kun je een eenrichtingsverkeerrondleiding doen?

6432157 8 320 4 D/A I HOOFDSTUK 8 I R U im T e mee TKU n D e Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? ❑ concreet materiaal ❑ schets ❑ schema/tabel ❑ vereenvoudig ❑ gok verstandig ❑ filter ❑ patroon ❑ kennis ❑ logisch nadenken ❑

PIENTER REMEDIËREN ©VANIN

Overzicht van alle remediëringsoefeningen (ROEF) per hoofdstuk 1 2 3 4 5 6 7 8 26 17 7 13 12 8 4 5 28 23 8 16 19 11 7 13 33 10 18 22 24 18 19 11 26 27 26 23 23 35 24 36 25 37 27 39 6245343357 ©VANIN

©VANIN

©VANIN