JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 1 SESS: 586 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 264651FF /een/vanin/340/128/101–4–
INHOUD
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Machten met natuurlijke exponenten Machten met gehele exponenten Rekenen met machten met hetzelfde grondtal Rekenen met machten met verschillend grondtal De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal
Samenvatting
20 .
22 23 27 32 35 43
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 2 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 1CB8E6A1 /een/vanin/340/128/101–4–
Hoofdstuk 1 REKENEN MET MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN Heel grote en heel kleine getallen kun je voorstellen met machten.
–3
Vlo –4
Haar –5
Rode blo
edcellen
–6
Bacteriën De massa van de aarde is 5,972 · 1025 kg
–7
Virus –8
DNA
Moleculen zijn de kleinste repeterende patronen in roosterstructuren. De grootte van moleculen ligt in de orde van nanometers. 1nm = 1 ⋅ 10-9 m
21 .
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 3 SESS: 588 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 0AA18890 /een/vanin/340/128/101–4–
1.1
Machten met natuurlijke exponenten Vorig jaar leerde je de machten met natuurlijke exponenten berekenen. Elke macht kun je schrijven als een product van gelijke factoren. ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎩
2 5 = 2 ⴢ 2 ⴢ 2 ⴢ 2 ⴢ 2 = 32 5 factoren
In 2 5 is 2 het grondtal en 5 de exponent. Bijzondere machten: 21 = 2 20 = 1 0 0 kun je niet berekenen.
Definitie
Macht van een rationaal getal met een natuurlijke exponent ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
an = a ⴢ a ⴢ . . . ⴢ a
(n is een natuurlijk getal, n ⫽ 0 en n ⫽ 1)
n factoren
a1 = a a0 = 1 0 1
(a ⫽ 0)
Voorbeelden
冉32冊 = 23 ⴢ 32 ⴢ 32 ⴢ 32 = 1681 e) 冉– 4 冊 = 冉– 4 冊 ⴢ 冉– 4 冊 = 16 5 5 5 25 4
a) 10 5 = 10 ⴢ 10 ⴢ 10 ⴢ 10 ⴢ 10 = 100 000
d)
2 3
2
b) 共–5兲 1 = –5
冉21冊 = 1 0
4
c)
f) (0,5) 2 = 0,5 ⴢ 0,5 = 0,25
5 Opmerkingen 6 7 8
共–3兲 4 ⫽ –3 4
9 10 11 12 13 14 22 .
• –3 4 = –3 ⴢ 3 ⴢ 3 ⴢ 3 = –81 Je leest dit als: het tegengestelde van de vierde macht van 3.
• 共–3兲 4 = 共–3兲 ⴢ 共–3兲 ⴢ 共–3兲 ⴢ 共–3兲 = 81 Je leest dit als: de vierde macht van (– 3).
•
冉23冊 = 94 2
2 • 2 =4 3 3
Je leest dit als: de tweede macht van 2 3 of het kwadraat van 2 . 3
冉23冊
2
2
⫽2 3
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 4 SESS: 587 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 5D522843 /een/vanin/340/128/101–4–
1.2
Machten met gehele exponenten Het omgekeerde van een breuk vind je door teller en noemer van plaats te verwisselen.
冉34冊
–1
=4 3 3 4 Je leest dit als: het omgekeerde van is . 4 3 Hoe bereken je een macht met een andere negatieve exponent zoals 5 –2, 8 –5 ?
Isaac Newton was een Britse wetenschapper die leefde in de 17de eeuw. Hij was de eerste die negatieve exponenten noteerde zoals je dat nu nog doet. Hij deed dat in juli 1676 toen hij een brief schreef naar de secretaris van de koning. In de 15de eeuw gebruikte Nicolas Chuquet, een Franse wiskundige, ook negatieve getallen in de exponenten. Hij schreef ‘Le triparty en la science des nombres’.
Op verkenning De colibria is een klimplant in het Amazonewoud. Elk jaar groeit deze plant twee maal zo hoog als het vorige jaar. Dit jaar is hij 1 meter lang. Volgend jaar wordt hij 2 meter en het jaar daarna 4 meter.
Gevraagd a) Hoe hoog is de plant na 3 jaar en na 4 jaar? b) Hoe hoog was de plant 1, 2, 3 en 4 jaar geleden? Stel de resultaten voor als machten. c) Wat gebeurt er met het resultaat als de exponent met één vermindert?
Hoofdstuk 1 .
REKENEN MET MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN
23
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 5 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 432A34F5 /een/vanin/340/128/101–4–
Oplossing vorig jaar
volgende jaar
–4 jaar
–3 jaar
–2 jaar
–1 jaar
Dit jaar
+1 jaar
+2 jaar
+3 jaar
+4 jaar
1 16
1 8
1 4
1 2
1m
2
4
8
16
2 –4
2 –3
2 –2
2 –1
20
21
22
23
24
a) Na 3 jaar is de plant 8 m en na 4 jaar 16 m. b) 24 =
16
–1 2
:2 3
=
8
–1 2
:2 2
=
4
–1 2
:2 1
=
2
–1 2
0
:2 0
=
1
=
1 2
=
1 4
=
1 8
=
1 16
–1 1
2
2
:2 –1
–1 2
3
–2
–1 4
2
–3
–1
5
2
6 7
–4
=
1 21
=
1 22
=
1 23
=
1 24
:2 :2 :2
c) Als je de exponent met 1 vermindert, moet je het resultaat delen door 2. Dat blijft ook zo als de exponenten negatief zijn.
8 9 10 11 12 13 14 24 .
Definitie
Macht van een rationaal getal met een negatieve exponent a –n =
1 an
a is een rationaal getal verschillend van 0 n is een natuurlijk getal
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 6 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 32A0F756 /een/vanin/340/128/101–4–
Je noteert dit in symbolen: ᭙a 僆 Q 0
Voor alle rationale getallen verschillend van 0 en
, ᭙n 僆 N
voor alle natuurlijke getallen geldt dat
Definitie
:
Macht van een rationaal getal met een negatieve exponent (in symbolen) ᭙a 僆 Q 0 , ∀n 僆 N : a –n =
1 an
Voorbeelden a) 3 –2 =
1 =1 32 9
b) 17 –1 =
1 = 1 17 1 17
c) 8 –5 =
1 = 1 8 5 32 768
d) 0 –4 =
1 =1 =? 04 0
Dit kan niet want nul heeft geen omgekeerde.
Opmerkingen • Een macht is enkel negatief als het grondtal negatief is en de exponent oneven is. a) 共–7兲 –2 =
1 共–7兲 2
b) 共–7兲 –3 =
= 1 49
1 共–7兲 3
= 1 –343 =– 1 343
• Tekenoverzicht bij machten met negatieve exponenten: grondtal exponent
negatief
even
oneven
even
oneven
macht
positief
positief
positief
negatief
voorbeeld
2 –2 =
1 8
共–2兲 –2 =
Hoofdstuk 1 .
positief
1 4
2 –3 =
1 4
REKENEN MET MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN
共–2兲 –3 = –
1 8
25
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 7 SESS: 587 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: F1A635D8 /een/vanin/340/128/101–4–
• Praktische werkwijze voor een macht met negatieve exponent van een breuk.
冉冊 3 2
4
冉23冊
3 = ⴢ3ⴢ3ⴢ3 2 2 2 2 = 81 16
–4
=
=
=
=
1
冉23冊
4
1 2 2 2 2 ⴢ ⴢ ⴢ 3 3 3 3 1 16 81 81 16
Als je in een macht het grondtal vervangt door zijn omgekeerde en je vervangt de exponent door zijn tegengestelde dan verkrijg je hetzelfde resultaat. tegengestelde
tegengestelde
冉23冊 = 冉23冊 –4
–n
omgekeerde
0 1
冉ba冊 = 冉ba冊
4
Rekenregel
n
omgekeerde
Macht van een breuk met een negatieve exponent
2 ᭙a, b 僆 Q 0 , ᭙n 僆 N :
3
冉ba冊
–n
=
冉冊
1 b = n a a b
冉冊
n
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 .
Voorbeelden
冉45冊 = 冉45冊 –3
a)
3
冉–32冊 = 冉– 32冊 –5
b)
5
冉 冊冉 冊冉 冊冉 冊冉 冊
c)
冉–18冊 = 冉– 18冊 –2
=5ⴢ5ⴢ5 4 4 4
= –2 ⴢ –2 ⴢ –2 ⴢ –2 ⴢ –2 3 3 3 3 3
= 共–8兲 2
= 125 64
= – 32 243
= 64
2
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 8 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 5DB9B1B8 /een/vanin/340/128/101–4–
1.3
Rekenen met machten met hetzelfde grondtal
1.3.1
Product van machten met hetzelfde grondtal Op verkenning Gevraagd Bereken door de machten als producten te schrijven. a) b c) d)
Hoe kun je 2 5 ⴢ 2 2 als één macht van 2 schrijven? Hoe kun je 2 4 ⴢ 2 –6 als één macht van 2 schrijven? Hoe kun je 7 –4 ⴢ 7 6 als één macht van 7 schrijven? Hoe kun je a 4 ⴢ a 5 als één macht van a schrijven?
Oplossing
5 factoren
⎧ ⎨ ⎩
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
a) 2 5 ⴢ 2 2 = 共2 ⴢ 2 ⴢ 2 ⴢ 2 ⴢ 2兲 ⴢ 共2 ⴢ 2兲 2 factoren
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
=2ⴢ2ⴢ2ⴢ2ⴢ2ⴢ2ⴢ2 5 + 2 = 7 factoren
(a is een rationaal getal)
冉71 冊 ⴢ 7 1 =冉 冊7ⴢ7ⴢ7ⴢ7ⴢ7ⴢ7 7ⴢ7ⴢ7ⴢ7
c) 7 –4 ⴢ 7 6 =
6
4
= 7⁄ ⴢ 7⁄ ⴢ 7⁄ ⴢ 7⁄ ⴢ 7 ⴢ 7 7⁄ ⴢ 7⁄ ⴢ 7⁄ ⴢ 7⁄
= 27
=7ⴢ7
= 25 + 2
= 72 = 7 –4 + 6
b) 2 4 ⴢ 2 –6 = 2 4 ⴢ 16 2
=
2⁄ ⴢ 2⁄ ⴢ 2⁄ ⴢ 2⁄ 2 ⴢ 2 ⴢ 2⁄ ⴢ 2⁄ ⴢ 2⁄ ⴢ 2⁄
= 1 2ⴢ2
4 factoren
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 1 2ⴢ2ⴢ2ⴢ2ⴢ2ⴢ2
5 factoren
=aⴢaⴢaⴢaⴢaⴢaⴢaⴢaⴢa
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
= 共2 ⴢ 2 ⴢ 2 ⴢ 2 兲 ⴢ
d) a 4 ⴢ a 5 = 共a ⴢ a ⴢ a ⴢ a兲 ⴢ 共a ⴢ a ⴢ a ⴢ a ⴢ a兲
4 + 5 = 9 factoren
= a9 = a4 + 5
= 12 2 = 2 –2 = 2 4 + 共–6兲
Hoofdstuk 1 .
REKENEN MET MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN
27
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 9 SESS: 587 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 49802CC4 /een/vanin/340/128/101–4–
Rekenregel
Product van machten met hetzelfde grondtal Om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen: • behoud het grondtal; • tel de exponenten op. ᭙a 僆 Q 0 , ᭙n , p 僆 ⺪ : a n ⴢ a p = a n + p Voorbeelden
冉12冊 ⴢ 冉12冊 = 冉21冊 = 冉1 冊 2 3
a)
–4
c) a is een rationaal getal verschillend van nul.
3 + 共–4兲
–1
a2 ⴢ a4 = a2 + 4 = a6
=2
d) b 僆 Q 0 en x, y 僆 ⺪
b) 7 8 ⴢ 7 –5 = 7 8 + 共–5兲
bx ⴢ by = bx + y
= 73 = 343 Verklaring
Product van machten met hetzelfde grondtal ᭙a 僆 Q 0 , ᭙n , p 僆 ⺪ : a n ⴢ a p = a n + p
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ n factoren
1
= (a ⴢ a ⴢ ... ⴢ a) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
2
n + p factoren
definitie van macht
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
a n ⴢ a p = 共a ⴢ a ⴢ . . . ⴢ a 兲 ⴢ 共a ⴢ a ⴢ . . . ⴢ a 兲
0
p factoren
de vermenigvuldiging van rationale getallen is associatief
3 = an + p
4
definitie van macht
5 6 7
Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal Op verkenning
8
Gevraagd
9
Bereken door de machten als producten te schrijven of een gekende rekenregel toe te passen.
10 11 12 13 14 28 .
1.3.2
a) b) c) d)
Hoe kun je 2 5 : 2 2 als één macht van 2 schrijven? Hoe kun je 2 –4 : 2 6 als één macht van 2 schrijven? Hoe kun je 8 5 : 8 –2 als één macht van 8 schrijven? Hoe kun je a 4 : a 2 als één macht van a schrijven?
(a is een rationaal getal, verschillend van nul)
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 10 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: F355FEAB /een/vanin/340/128/101–4–
Oplossing a) 2 5 : 2 2 =
25 22
c) 8 5 : 8 –2 = 8 5 ⴢ 8 2
2 ⴢ 2 ⴢ 2 ⴢ 2⁄ ⴢ 2⁄ = 2⁄ ⴢ 2⁄
= 8 5 +2
5 factoren
= 87
2 factoren
=2ⴢ2ⴢ2 ⎧ ⎨ ⎩
= 8 5 – 共–2兲
5 – 2 = 3 factoren
= 23 = 25 – 2 d) a 4 : a 2 = a ⴢ a ⴢ a ⴢ a aⴢa =
a ⴢ a ⴢ a/ ⴢ a/ 4 factoren a/ ⴢ a/ 2 factoren
=aⴢa
⎧ ⎨ ⎩
b) 2 –4 : 2 6 = 14 : 2 6 2 1 = 4 ⴢ 16 2 2 1 1 = ⴢ 2ⴢ2ⴢ2ⴢ2 2ⴢ2ⴢ2ⴢ2ⴢ2ⴢ2
4 – 2 = 2 factoren
= 2 –10 = a2
= 2 –4 – 6
= a4 – 2
Rekenregel
Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal Om machten met hetzelfde grondtal te delen: • behoud het grondtal; • trek de exponenten van elkaar af. ᭙a 僆 Q 0 , ᭙n , p 僆 ⺪ : a n : a p = a n – p
of
an = an – p ap
Voorbeelden
冉47冊 : 冉47冊 = 冉47冊 = 冉4 冊 7 3
a)
4
3–4
c) x is een rationaal getal verschillend van nul. –1
4 共–x兲 4 共–x兲 = 共–x兲 1 –x
=7 4
b)
共–2兲 –4 = 共–2兲 –4 – 共–5兲 共–2兲 –5
= 共–2兲 –4 + 5 = 共–2兲 1
of
(–x) 4 = x 4 –x –x 4
= 共–x兲 3
=x –x = –x 4 – 1
= –x 3
= –x 3
= 共–x兲 4 – 1
d) t 僆 Q 0 en k , m 僆 ⺪ tk t –m
= t k – 共–m兲 = tk + m
= –2
Hoofdstuk 1 .
REKENEN MET MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN
29
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 11 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: B4EE727E /een/vanin/340/128/101–4–
Verklaring
Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal ᭙a 僆 Q 0 , ᭙n , p 僆 ⺪ : 1 an : ap = an ⴢ p a
an : ap = an – p
of
an = an – p ap
definitie deling
= a n ⴢ a –p
macht met een negatieve exponent
= a n + 共–p兲
product van machten met hetzelfde grondtal
= an – p
1.3.3
Macht van een macht Op verkenning Gevraagd Bereken door de machten als producten te schrijven of een gekende rekenregel toe te passen. a) b) c) d)
Hoe kun je共2 5兲 2 met één exponent schrijven? Hoe kun je 共2 –2兲 –3 met één exponent schrijven? Hoe kun je 共8 –5兲 2 met één exponent schrijven? Hoe kun je 共a 4兲 3 met één exponent schrijven?
0
(a is een rationaal getal verschillend van nul)
Oplossing
2
a) 共2 5兲 2 = 2 5 ⴢ 2 5
3
2 factoren
= 8 –5 + 共–5兲
= 25 + 5
= 8 –10
= 2 10
= 8 –5 ⴢ 2
⎧ ⎨ ⎩
1
4 5
c) 共8 –5兲 2 = 8 –5 ⴢ 8 – 5
= 25 ⴢ 2
6 7 8 9 10 11
b) 共2 –2兲 –3 =
1 共2 兲
–2 3
1 = –2 共2 兲 ⴢ 共2 –2兲 ⴢ 共2 –2兲 = 1–6 2 = 26 = 2 –2 ⴢ 共–3兲
12 13 14 30 .
d) 共a 4兲 3 = a 4 ⴢ a 4 ⴢ a 4 = a4 + 4 + 4 = a 12 = a4 ⴢ 3
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 12 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 4AE2D21A /een/vanin/340/128/101–4–
Regenregel
Macht van een macht Om een macht tot een macht te verheffen: • behoud het grondtal; • vermenigvuldig de exponenten. ᭙a 僆 Q 0 , ᭙n , p 僆 ⺪ : 共a p兲 n = a p ⴢ n
Voorbeelden
冉冉23冊 冊 = 冉23冊 = 冉2 冊 3 3 =冉 冊 2 3
a)
–1
3 ⴢ 共–1兲
–3
c) k is een rationaal getal verschillend van nul 共k 2兲 –5 = k 2 ⴢ 共–5兲
= k –10 1 = 10 k
3
= 27 8
b) 共共–2兲 2兲 4 = 共–2兲 2 ⴢ 4 = 共–2兲 8
d) f 僆 Q 0 en a, b 僆 ⺪ 共f a 兲 b = f a ⴢ b
= 256
Verklaring
Macht van een macht ᭙a 僆 Q 0 , ᭙p , n 僆 ⺪ : 共a p兲 n = a p ⴢ n definitie macht
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
共a p 兲 n = a p ⴢ a p ⴢ a p ⴢ . . . ⴢ a p n-factoren
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
= ap + p + . . . + p
product van machten met hetzelfde grondtal
n-termen
= an ⴢ p
Hoofdstuk 1 .
definitie product
REKENEN MET MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN
31
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 13 SESS: 587 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: F5116F38 /een/vanin/340/128/101–4–
1.4
Rekenen met machten met verschillend grondtal
1.4.1
Macht van een product Op verkenning Gevraagd a)
Bereken (8 ⴢ 5) 3 met de rekenmachine.
• Bereken 8 3. • Bereken 5 3. • Bereken het product van 8 3 en 5 3.
Wat stel je vast? b)
Bereken (7 ⴢ 4) –2 met de rekenmachine.
• Bereken 7 –2. • Bereken 4 –2. • Bereken het product van 7 –2 en 4 –2.
Wat stel je vast? c) Formuleer de rekenregel voor een macht van een product.
Oplossing a)
(8 ⴢ 5) 3 = 64 000
• 8 3 = 512
0
• 5 3 = 125
1
• 8 3 ⴢ 5 3 = 64 000 Je stelt vast: 共8 ⴢ 5兲 3 = 8 3 ⴢ 5 3
2
4
1 49 • 4 –2 = 1 16
5
• 7 –2 ⴢ 4 –2 =
b)
3
6
共7 ⴢ 4兲 –2 =
1 784
• 7 –2 =
1 784
Je stelt vast: 共7 ⴢ 4兲 –2 = 7 –2 ⴢ 4 –2
7 c) Om een product tot een macht te verheffen, verhef je elke factor tot die macht. 8 9 Rekenregel 10 11 12 13 14 32 .
Macht van een product Om een product tot een macht te verheffen: verhef elke factor tot die macht. ᭙a, b 僆 Q 0 , ᭙n 僆 ⺪ : 共a ⴢ b兲 n = a n ⴢ b n
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 14 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 853505AC /een/vanin/340/128/101–4–
Voorbeelden a) 共–3 ⴢ 8兲 2 = 共–3兲 2 ⴢ 8 2
b) a is een rationaal getal verschillend van nul
= 9 ⴢ 64
共4 ⴢ a 兲 3 = 4 3 ⴢ a 3
= 64 ⴢ a 3
= 576
= 64a 3 Verklaring
Macht van een product ᭙a, b 僆 Q 0 , ᭙n 僆 ⺪ : 共a ⴢ b兲 n = a n ⴢ b n definitie macht
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
共a ⴢ b 兲 n = 共a ⴢ b 兲 ⴢ 共a ⴢ b 兲 ⴢ . . . ⴢ 共a ⴢ b 兲 n-factoren
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
= 共a ⴢ a ⴢ . . . ⴢ a 兲 ⴢ 共b ⴢ b ⴢ . . . ⴢ b 兲 n-factoren
n-factoren
= an ⴢ bn
de vermenigvuldiging van rationale getallen is commutatief en associatief definitie macht
Opmerking • Is 共3 + 4兲 2 ook gelijk aan 3 2 + 4 2? 共3 + 4 兲 2 = 7 2
3 2 + 4 2 = 9 + 16
= 49
= 25
dus 共3 + 4兲 2 ⫽ 3 2 + 4 2, maar wel 共3 ⴢ 4兲 2 = 3 2 ⴢ 4 2 In hoofdstuk 10 wordt dit verder behandeld. • Soms kan het handig zijn om een product van machten met eenzelfde exponent te schrijven als een macht van het product.
冉358冊 ⴢ 冉47冊 = 冉358 ⴢ 47冊 = 冉25冊 = 冉52冊 = 1258 –3
1.4.2
–3
–3
–3
3
Macht van een breuk (quotiënt) Op verkenning Gevraagd a)
冉冊
3 Bereken 8 met de rekenmachine en zet 5 om naar een onvereenvoudigbare breuk.
• Bereken 8 3. • Bereken 5 3. • Bereken het quotiënt van 8 3 en 5 3.
Wat stel je vast? b)
Bereken
冉47冊
–2
met de rekenmachine.
Wat stel je vast?
• Bereken 7 –2. • Bereken 4 –2. • Bereken het quotiënt van 7 –2 en 4 –2.
c) Formuleer de rekenregel voor een macht van een breuk (quotiënt).
Hoofdstuk 1 .
REKENEN MET MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN
33
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 15 SESS: 587 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: A4814853 /een/vanin/340/128/101–4–
Oplossing 512 冉85冊 = 125 3
a)
• 8 3 = 512 • 5 3= 125
冉 冊 = 58
Je stelt vast: 8 5 b)
冉74冊
–2
3
• 3
8 3 = 512 5 3 125
3
= 16 49
1 49 1 • 4 –2 = 16 7 –2 = 1 : 1 = 1 ⴢ 16 = 16 • 49 4 –2 49 16 49 • 7 –2 =
冉冊
Je stelt vast: 7 4
–2
=
7 –2 4 –2
c) Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je de teller en de noemer tot die macht.
Rekenregel
Macht van een breuk (quotiënt) Om een breuk tot een macht te verheffen: verhef de teller en de noemer tot die macht.
0
᭙a, b 僆 Q 0 , ᭙n 僆 ⺪ :
冉ba冊 = ba n
n n
1 2
Voorbeelden
3
a)
冉–12冊 = 共–12 兲 5
6
8 9
Verklaring
12 13 14 34 .
= – 125 8
冉 冊 = ba
a ᭙a, b 僆 Q 0 , ᭙n 僆 ⺪ : b
冉ba冊 = 共a ⴢ b
兲
n
n n
–1 n
macht van een product
= a ⴢ 共b 兲 n
11
c) a is een rationaal getal verschillend van nul
Macht van een breuk (quotiënt)
n
10
3
3 = 5 3 共–2兲
= – 15 2 =– 1 32
5
7
b)
5
4
冉–25冊 = 冉–25 冊 –3
5
–1 n
= a n ⴢ b –n n
= an b
macht van een macht macht met een negatieve exponent
冉a3 冊 = a3 4
4 4 4
=a 81
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 16 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 2CB57B93 /een/vanin/340/128/101–4–
1.5
De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal
1.5.1
Machten van 10 Op verkenning a)
c)
De aarde heeft een straal van 6,378 ⴢ 10 6 m.
Een griepvirus met een diameter van 100 nanometer groot.
b)
d)
De diameter van een atoomkern is ongeveer 1,6 ⴢ 10 –15 m.
De pollen die kunnen aanleiding geven tot hooikoorts. De diameter van een pol is ongeveer 50 μm.
Hoofdstuk 1 .
REKENEN MET MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN
35
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 17 SESS: 589 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: D39F80FB /een/vanin/340/128/101–4–
naam
18
voorvoegsel
symbool
exa
E
triljoen
10
biljard
10 15
peta
P
biljoen
10 12
tera
T
10
9
giga
G
miljoen
10
6
mega
M
duizend
1 000 = 10 3
kilo
k
honderd
100 = 10 2
hecto
h
deca
da
deci
d
centi
c
miljard
tien
10 =10
1
0
eenheid
1 =10
tiende
0,1 = 10 –1
honderdste
0,01 = 10 –2 –3
milli
m
10
–6
micro
μ
miljardste
10
–9
nano
n
biljoenste
10 –12
duizendste miljoenste
biljardste triljoenste
0
factor
0,001 = 10
pico
p
10
–15
femto
f
10
–18
atto
a
Gevraagd
1
Schrijf de getallen bij de foto’s op blz 35 voluit.
2 Oplossing 3 4
a) 6,378 ⴢ 10 6 m = 6 378 000 m of 6 378 km b) 10 –15 m = 0, 000 000 000 000 001 m
5
c) 100 nanometer = 100 ⴢ 10 –9 m = 0 , 000 000 100 m d) 50 μm = 50 ⴢ 10 –6 m = 0,000 050 m
6 7 Het grootste getal dat een naam heeft gekregen is ‘googol’. 1 googol = 10 100 Snap je waarom er een zoekmachine ‘Google’ heet?
8 9
10 Werkwijze 11
Decimale schrijfwijze van 10 n en 10 –n De decimale schrijfwijze van 10 n is een 1 gevolgd door n nullen. (n is een natuurlijk getal)
12 13 14 36 .
De decimale schrijfwijze van 10 –n is een 1 voorafgegaan door n nullen met de eerste nul voor de komma. (n is een natuurlijk getal, verschillend van nul)
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 18 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 20EE07A5 /een/vanin/340/128/101–4–
Je kunt decimale getallen gemakkelijk en snel met een macht van 10 vermenigvuldigen. a) 74,568 ⴢ 10 2 = 74,568 ⴢ 100
d) 48 216,9 ⴢ 10 –2 = 48 216,9 ⴢ 0,01
= 7 456,8 de komma 2 plaatsen naar rechts verplaatsen b) – 93,172 ⴢ 10 3 = –93,172 ⴢ 1 000
= 482,169 de komma 2 plaatsen naar links verplaatsen e) 5 123,87 ⴢ 10 –4 = 5 123,87 ⴢ 0,000 1
= –93 172 de komma 3 plaatsen naar rechts verplaatsen c) 41,88 ⴢ 10 5 = 41,88 ⴢ 100 000
= 0,512 387 de komma 4 plaatsen naar links verplaatsen f) –1,746 ⴢ 10 –3 = –1,746 ⴢ 0,001
= 4 188 000
= –0,001 746
de komma 5 plaatsen naar rechts verplaatsen (rechts met nullen aanvullen)
de komma 3 plaatsen naar links verplaatsen (links met nullen aanvullen)
Op verkenning Over het schaakbord bestaat een beroemde legende. Ongeveer 1500 jaar geleden vond de wijze Sessa uit India het schaakspel uit en leerde de koning schaken. Die koning (koning Sheram) was heel enthousiast omdat het schaakspel hem leerde dat de boeren (pionnen) en de adel (de stukken) als een eenheid moesten samenwerken. De koning beloofde de uitvinder van het schaakspel een beloning die hij zelf mocht uitkiezen. Sessa vroeg de koning om 1 graankorrel op het eerste veld van het schaakspel, 2 korrels op het tweede veld, enzovoort. Op elk veld vroeg hij telkens het dubbele aantal graankorrels van het vorige veld, tot alle velden gevuld waren.
Gevraagd a) Zoek het aantal graankorrels in veld 1 tot veld 5. b) Zoek de formule om het verband tussen het veldnummer en aantal graankorrels weer te geven. c) Bereken de som van alle graankorrels van elk veld en zijn voorgaande velden. d) Zoek het verband tussen het veldnummer en de som. e) Bereken met de rekenmachine hoeveel graankorrels de wijze vroeg.
Hoofdstuk 1 .
REKENEN MET MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN
37
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 19 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 9487A723 /een/vanin/340/128/101–4–
Oplossing Vak
1
2
3
4
5
a) Graankorrels
1
2
4
8
16
b) Formule
20
21
22
23
24
c) Som
1
3
7
15
31
d) Formule
21 – 1 22 – 1 23 – 1 24 – 1 25 – 1
...
n
...
64 9 223 372 036 854 775 808
2n – 1
2 63 18 446 744 073 709 551 615
2n – 1
2 64 – 1
e) Het aantal graankorrels op het 64ste vak: 2 63 = 9,223 372 037 ⴢ 10 18 Het totaal aantal graankorrels over het hele schaakbord: 2 64 – 1 = 1,844 674 407 ⴢ 10 19 Het getal is op een speciale wijze genoteerd. Dit is de wetenschappelijke schrijfwijze van een getal. De getallen in de tabel zijn berekend met de computer. De rekenmachine geeft dus een ander getal. Er is een groot verschil tussen de juiste uitkomst met de computer en het getal dat de rekenmachine je geeft. Computer 0 1 2
=
18 446 744 073 709 551 615
Rekenmachine: 1,844 674 407 ⴢ 10 19 =
18 446 744 070 000 000 000 3 709 551 61
Er is dus een verschil van meer dan 3 miljard. Daaraan moet je denken als je met deze schrijfwijze berekeningen maakt.
5
Eerst was koning Sheram beledigd omdat hij dacht dat Sessa weinig vroeg en hij toch werd beschouwd als een rijk heerser. Maar dat gevoel verdween snel. Toen de dienaren aan het hof na vele uren de som van het aantal graankorrels op de 64 velden uitgerekend hadden, moesten ze tot hun schrik toegeven dat er in het hele rijk niet zo veel graan bijeen te brengen was.
6
Het totaal aantal graankorrels was: 18 446 744 073 709 551 615.
3 4
7 8
Dat is in woorden: 18 triljoen 446 biljard 744 biljoen 73 miljard 709 miljoen 551 duizend 615. Voor een dergelijke oogst zou de oppervlakte van de aarde achtmaal ingezaaid en geoogst moeten worden.
9 10 11 12 13 14 38 .
Wetenschappers hebben een hekel aan het schrijven van heel grote getallen. En wetenschappers niet alleen, ook leerlingen houden er niet zo van. Teksten vol met grote getallen worden al snel onleesbaar. Daarom is er een manier bedacht om grote getallen korter te schrijven: de wetenschappelijke schrijfwijze van een getal.
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 20 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 861B5D97 /een/vanin/340/128/101–4–
Definitie
De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal is het product van een decimaal getal met één beduidend cijfer (een cijfer verschillend van nul) voor de komma en een macht van 10.
Voorbeeld De massa van de maan:
10 22 kg.
7,353
het product van een decimaal getal met één beduidend cijfer voor de komma
en
een macht van 10
Opmerking De wetenschappelijke schrijfwijze van getallen maakt het je gemakkelijk om getallen te ordenen. Je kunt getallen vergelijken door de exponenten van de machten van 10 te bekijken. 7,458 ⴢ 10 5 < 1,24 ⴢ 10 8
1.5.2
Van decimale schrijfwijze naar wetenschappelijke schrijfwijze Voorbeelden 4 506 300 000 000 = 4,506 3 ⴢ 10 12 ↓ de komma 12 plaatsen naar links verplaatsen
0,000 000 000 000 041 2 = 4,12 ⴢ 10 –14 ↓ de komma 14 plaatsen naar rechts verplaatsen
–31 020 000 000 = –3,102 ⴢ 10 10 ↓ de komma 10 plaatsen naar links verplaatsen
–0,000 070 035 = –7,003 5 ⴢ 10 –5 ↓ de komma 5 plaatsen naar rechts verplaatsen
Hoofdstuk 1 .
REKENEN MET MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN
39
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 21 SESS: 590 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 81E111A7 /een/vanin/340/128/101–4–
1.5.3
Van wetenschappelijke schrijfwijze naar decimale schrijfwijze Voorbeelden positieve exponent
negatieve exponent
3,845 ⴢ 10 7 = 38 450 000
3,845 ⴢ 10 –7 = 0,000 000 384 5
de komma 7 plaatsen naar rechts verplaatsen
de komma 7 plaatsen naar links verplaatsen
Opmerking Fouten vermijden kan door het volgende na te kijken: • Positieve exponent van 10 De absolute waarde van het getal in decimale notatie is groter dan de absolute waarde van de decimale vorm in de wetenschappelijke notatie. 412 700 000 = 4,127 ⴢ 10 8
412 700 000 > 4,127
• Negatieve exponent van 10 0 1
De absolute waarde van het getal in decimale notatie is kleiner dan de absolute waarde van de decimale vorm in de wetenschappelijke notatie.
2
0,000 023 = 2,3 ⴢ 10 –5
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 .
0,000 023 < 2,3
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 22 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 41CC4D85 /een/vanin/340/128/101–4–
1.5.4
Rekenen met getallen die in de wetenschappelijke schrijfwijze geschreven zijn Optelling en aftrekking Voorbeelden 3,12 ⴢ 10 –3 + 4,9 ⴢ 10 –3 = 共3,12 + 4,9兲 ⴢ 10 –3 = 8,02 ⴢ 10 –3 2,28 ⴢ 10 6 + 8,41 ⴢ 10 4 = 2,28 ⴢ 10 6 + 0,084 1 ⴢ 10 6 = 共2,28 + 0,084 1兲 ⴢ 10 6 = 2,364 1 ⴢ 10 6 4,458 ⴢ 10 8 – 6,124 ⴢ 10 11 = 0,004 458 ⴢ 10 11 – 6,124 ⴢ 10 11 = 共0,004 458 – 6,124兲 ⴢ 10 11 = –6,119 542 ⴢ 10 11
Werkwijze
Optellen met getallen die in wetenschappelijke schrijfwijze geschreven zijn Getallen in wetenschappelijke schrijfwijze optellen: a) maak eerst de exponenten van de machten gelijk – door de kleinste exponent te vergroten; – door in de bijbehorende decimale vorm de komma naar links te verschuiven; b) tel de decimale vormen op; c) behoud de macht; d) pas de wetenschappelijke schrijfwijze aan.
Vermenigvuldiging en deling Voorbeelden 共9,5 ⴢ 10 3兲 ⴢ 共2,03 ⴢ 10 –2兲 = 共9,5 ⴢ 2,03兲 ⴢ 共10 3 ⴢ 10 –2兲
= 19,285 ⴢ 10 1 = 1,928 5 ⴢ 10 2 共–1,152 ⴢ 10 –4兲 : 共7,2 ⴢ 10 –2兲 =
–1,152 ⴢ 10 –4 7,2 ⴢ 10 –2 –4
= –1,152 ⴢ 10 –2 7,2 10 = –0,16 ⴢ 10 –2 = –1,6 ⴢ 10 –3
Hoofdstuk 1 .
REKENEN MET MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN
41
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 23 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 810937D5 /een/vanin/340/128/101–4–
Werkwijze
Vermenigvuldigen van getallen die in wetenschappelijke schrijfwijze geschreven zijn Getallen in wetenschappelijke schrijfwijze vermenigvuldigen: a) vermenigvuldig de decimale vormen met elkaar; b) vermenigvuldig de machten met elkaar; c) pas de wetenschappelijke schrijfwijze aan.
Werkwijze
Delen van getallen die in wetenschappelijke schrijfwijze geschreven zijn Getallen in wetenschappelijke schrijfwijze delen: a) deel de decimale vormen door elkaar; b) deel de machten door elkaar; c) pas de wetenschappelijke schrijfwijze aan.
Machtsverheffing Voorbeeld 共2,18 ⴢ 10 3兲 4 = 2,18 4 ⴢ 共10 3兲 4
= 22,585 305 76 ⴢ 10 12 = 2,258 530 576 ⴢ 10 13 0 1
Werkwijze
Macht van een getal dat in wetenschappelijke schrijfwijze geschreven is Een getal in wetenschappelijke schrijfwijze tot een macht verheffen: a) bereken de macht van de decimale vorm;
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 .
b) bereken de macht van de macht; c) pas de wetenschappelijke schrijfwijze aan.
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 24 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 0145B757 /een/vanin/340/128/101–4–
Samenvatting Rekenen met machten van rationale getallen Machten met natuurlijke exponenten Macht van een rationaal getal met een natuurlijke exponent
an = a ⴢ a ⴢ . . . ⴢ a
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
Definitie
(n is een natuurlijk getal, n ⫽ 0 en n ⫽ 1)
n factoren
a1 = a a0 = 1
(a ⫽ 0)
Machten met gehele exponenten Definitie
Definitie
Rekenregel
Macht van een rationaal getal met een negatieve exponent Macht van een rationaal getal met een negatieve exponent (in symbolen)
a –n =
1 an
a is een rationaal getal verschillend van 0 n is een natuurlijk getal
᭙a 僆 Q 0 , ᭙n 僆 N : a –n =
1 an
冉冊
Macht van een breuk met een negatieve exponent
᭙a, b 僆 Q 0 , ᭙n 僆 N : a b
–n
=
冉冊
1 b = a n a b
冉冊
n
Rekenen met machten met hetzelfde grondtal Rekenregel
Product van machten met hetzelfde grondtal
Om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen: • behoud het grondtal; • tel de exponenten op. ᭙a 僆 Q 0 , ᭙n , p 僆 ⺪ : a n ⴢ a p = a n + p
Rekenregel
Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal
Om machten met hetzelfde grondtal te delen: • behoud het grondtal; • trek de exponenten van elkaar af. ᭙a 僆 Q 0 , ᭙n , p 僆 ⺪ : a n : a p = a n – p of
Hoofdstuk 1 .
an = an – p ap
REKENEN MET MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN
43
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 25 SESS: 587 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: C505D70C /een/vanin/340/128/101–4–
Rekenregel
Macht van een macht
Om een macht tot een macht te verheffen: • behoud je het grondtal; • vermenigvuldig je de exponenten. ᭙a 僆 Q 0 , ᭙n , p 僆 ⺪ : 共a p兲 n = a p ⴢ n
Rekenen met machten met verschillend grondtal Rekenregel
Macht van een product
Om een product tot een macht te verheffen: verhef elke factor tot die macht. ᭙a, b 僆 Q 0 , ᭙n 僆 ⺪ : 共a ⴢ b兲 n = a n ⴢ b n
Rekenregel
Macht van een breuk (quotiënt)
Om een breuk tot een macht te verheffen: verhef de teller en de noemer tot die macht. ᭙a, b 僆 Q 0 , ᭙n 僆 ⺪ :
冉ba冊 = ba n
n n
De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal
0
Werkwijze
Decimale schrijfwijze van 10 n
De decimale schrijfwijze van 10 n is een 1 gevolgd door n nullen (n is een natuurlijk getal ) .
Werkwijze
Decimale schrijfwijze van 10 –n
De decimale schrijfwijze van 10 –n is een 1 voorafgegaan door n nullen met de eerste nul voor de komma. (n is een natuurlijk getal, verschillende van nul)
Definitie
De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal
De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal is het product van een decimaal getal met één beduidend cijfer (een cijfer verschillend van nul) voor de komma en een macht van 10.
Werkwijze
Optellen met getallen die in wetenschappelijke schrijfwijze geschreven zijn
Getallen in wetenschappelijke schrijfwijze optellen:
1 2 3 4 5 6 7 8
b) tel de decimale vormen op;
9
c) behoud de macht;
10
d) pas de wetenschappelijke schrijfwijze aan.
11 12 13 14 44 .
a) maak eerst de exponenten van de machten gelijk – door de kleinste exponent te vergroten; – door in de bijbehorende decimale vorm de komma naar links te verschuiven;
JOBNAME: Pienter.2.ASO.lb PAGE: 26 SESS: 585 OUTPUT: Fri Jun 25 09:00:11 2010 SUM: 3FED5934 /een/vanin/340/128/101–4–
Werkwijze
Werkwijze
Werkwijze
Vermenigvuldigen van getallen die in wetenschappelijke schrijfwijze geschreven zijn
Getallen in wetenschappelijke schrijfwijze vermenigvuldigen:
Delen van getallen die in wetenschappelijke schrijfwijze geschreven zijn
Getallen in wetenschappelijke schrijfwijze delen:
Macht van een getal dat in wetenschappelijke schrijfwijze geschreven is
Een getal in wetenschappelijke schrijfwijze tot een macht verheffen:
a) vermenigvuldig de decimale vormen met elkaar; b) vermenigvuldig de machten met elkaar; c) pas de wetenschappelijke schrijfwijze aan.
a) deel de decimale vormen door elkaar; b) deel de machten door elkaar; c) pas de wetenschappelijke schrijfwijze aan.
a) bereken de macht van de decimale vorm; b) bereken de macht van de macht; c) pas de wetenschappelijke schrijfwijze aan.
Hoofdstuk 1 .
REKENEN MET MACHTEN VAN RATIONALE GETALLEN
45