Ukread net 8 klas algebra ister 2008 ukr by UkRead.Net

ББК 22.14я721 1-89

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (Рішення Колегії Міністерства освіти і науки України; Протокол № 2 /2 -1 9 від 28.02.2008; Наказ Міністерства освіти і науки України № 179 від 17.03.2008.)

Права авторів та видавничі права ДСВ «Освіта» захищені Законом України «Про авторське право і суміжні права» від 23.12.1993 р. (зі змінами від 11.07.2001 р.). Друковане копіювання книги або її частини, будь-які інші контрафактні видання тягнуть за собою відповідальність згідно зі ст. 52 цього Закону.

1-89

Істер, О. С. Алгебра: підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл. / О. С. Істер. — К.: Освіта, 2008. — 208 с. ЮВЫ 978-966-04-0625-4. ББК 22.14я721

ISBN 978-966-04-0625-4

В ІД АВТОРА Ш ановні восьм икласники! У цьому навчальному році ви продовжуєте вивчати алгебру. Підручник, який ви тримаєте в руках, складається з трьох розділів, що містять 26 параграфів. Під час вивчення теоретичного матеріалу зверніть увагу на тексти, надруковані жирним шрифтом. Це математичні тер міни, означення, теореми, правила. У підручнику ви побачите умовні позначення. Ось що вони означають: треба запам’ятати; запитання і завдання до вивченого матеріалу; вправи для повторення; задача для розв’язування в класі; задача для розв’язування вдома. Кожна вправа відповідає певному рівню навчальних досяг нень і має позначення: ® — вправа початкового рівня; ® — вправа середнього рівня; ® — вправа достатнього рівня; ® — вправа високого рівня. Перевірити свої знання та підготуватися до підсумкової атестації ви зможете, якщ о виконаєте «Завдання для пе ревірки знань». З метою здійснення самоконтролю та самоперевірки знань після кожного розділу наведено «Вправи для повторення розді лу». З ’ясувати свій рівень опанування навчальним матеріалом ви зможете, звернувшись до рубрики «Завдання для перевірки знань за курс алгебри 8 класу» наприкінці підручника. Ті, хто виявляє підвищений інтерес до математики, можуть удоско налити вміння, скориставшись матеріалом рубрики «Задачі підвищеної складності». Пригадати раніше вивчене вам допо можуть «Відомості з курсу математики 5—6 класів та алгебри 7 класу». Бажаю успіхів в опануванні курсу алгебриї

Шановні вчителі! Матеріал підручника поділено на параграфи, кожний з яких відповідає певній кількості уроків. Нумерація уроків наводиться поряд з нумерацією параграфів. Вважаємо, що такий підхід полегшує роботу з підручником, і водночас не виключаємо можливості, що ви інакше розподілятимете на вчальні години. Кількість вправ у більшості параграфів подано з неве личким запасом, тож обирайте їх для виконання на уроках та як домашні завдання залежно від поставленої мети, рівня підготовленості учнів, ступеня індивідуалізації н явч ан н я тощо.

Шановні батьки! Якщо ваша дитина пропустить один чи кілька уроків у школі, ви матимете чіткий орієнтир — матеріал якого уроку (чи уроків) треба опрацювати вдома, як і вправи розв’язати. Крім того, ви можете запропонувати дитині додатково роз в’язати вдома вправи, які не були розв’язані на уроці. Це сприятиме кращому засвоєнню навчального матеріалу. Кожна тема завершується підсумковою атестацією. Перед її проведенням запропонуйте дитині виконати «Завдання для перевірки знань», подані у підручнику. Це допоможе при гадати основні типи вправ та підготуватися до тематичного оцінювання.

п о

РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ Уроки 1, 2

§ 1. ДРОБИ. ДРОБОВІ ВИРАЗИ. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ. ДОПУСТИМІ ЗНАЧЕННЯ ЗМІННИХ

У курсі алгебри 7 класу ми ознайомилися із ц іл и м и раціо на льним и виразам и, тобто виразами, як і не містять ділення на вираз зі змінною. Приклади таких виразів: к9_Р + !' (т - п)(т2 + п7); 4с3 + і9; 5т 2р; Кожний цілий вираз можна записати у вигляді многочле на. Наприклад: (т - п)(т2 + ге7) = геї3 + т п7 - пт 2 ге'8 . 4 =

4 р^ -4и .

На відміну від цілих вирази кт _ 3 . х+2 . 1 г _ 19 . р ’

У -9 ’

т2 ’

а-Ь

а2+аЬ+Ь2 ’

(х-у)(з?+7)

містять ділення на вираз зі змінною. Такі вирази називають дробовими раціональним и виразами. Цілі раціональні і дробові раціональні вирази називають раціональним и виразами. Р аціональні вирази — це математичні вирази, що місіУ тять дії додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до степеня з цілим показником. Раціональний вираз вигляду

де а і Ь — вирази, що о містять числа або змінні, називають дробом, де а — чисель ник цього дробу, Ь — його знаменник. Якщо чисельник і знаменник дробу — многочлени, то дріб називають раціональним дробом. Цілий раціональний вираз має зміст при будь-яких значен нях змінних, що входять до нього, оскільки для знаходження значення цього виразу необхідно виконати дії додавання, віднімання та множення, що завжди можливо. 5

Розглянемо дробовий раціональний вираз

- . Значення х —3 цього виразу можна знайти для будь-якого значення х, крім х = 3, оскільки при цьому значенні х знаменник дробу перетворюється на нуль. Вираз —має зміст при всіх значеннях змінної х, крім х = 3. Значення змінних, при яких вираз має зміст, називають допуст им ими значенням и зм інних. Ц і значення утворюють область визначення, або область допуст им их значень змінних. Приклад 1. Знайти допустимі значення змінних у виразах: т —3 _ оч 5 о\ х + 7 .ч 7 4) 2) 3) 1) р +2 ’ х (х -9 )’ ІіН-з' Р о з в’ я з а н н я. 1) Вираз має зміст при будь-яких значеннях змінної т. 2) Допустимі значення змінної р — усі числа, крім - 2, оскільки якщ о р = - 2, то знаменник дробу перетворюється на нуль. 3) Знаменник дробу х +7 перетво х(х-9) рюється на нуль, якщ о х = 0 або х = 9. Тому допустимі значення змінної х — усі числа, крім 0 і 9. 4) Допустимі значення змінної у — всі числа, крім 3 і -3 . Скорочено відповіді можна записати так: 1) т — будь-яке число; 2) р * -2; 3) х Ф 0; х ф 9; 4) у ф 3; У * -з. Розглянемо умову рівності дробу нулю. Оскільки ^ = О, О якщ о Ь Ф 0, то можна зробити висновок, що дріб ^ дорівнює о нулю тоді і тільки тоді, коли чисельник а дорівнює нулю, а знаменник Ь не дорівнює нулю. Приклад 2. При яких значеннях змінної дорівнює нулю (а- 2)(а + 1) . 3) Ьф +3) ^ значення дробу: 1) х - 3 , 2) а +5 х +1 ’ Р о з в’ я з а н н я. 1) Чисельник дробу дорівнює нулю, якщ о х = 3. При цьому значенні змінної знаменник не дорів нює нулю, тому при х = 3 значення дробу дорівнює нулю. 2) Чисельник дробу дорівнює нулю, якщ о а = 2 або а = - 1 . При кожному з цих значень знаменник дробу не дорівнює нулю. Тому при а = 2 і а = -1 значення дробу дорівнює нулю. 3) Чисельник дробу дорівнює нулю, якщ о Ь = 0 або Ь = -3 . Але 6

при Ь = 0 знаменник дробу дорівнює нулю, а при Ь = - 3 зна менник дробу не дорівнює нулю. Тому дріб дорівнює нулю лише коли Ь = - 3. В і д п о в і д ь . 1 ) я = 3; 2) а = 2, а = -1; 3) Ь = -3. Які вирази називають цілими раціональними виразами, а як і — дробовими раціональними виразами? Наведіть приклади таких виразів. • Які вирази називають раціональни ми виразами? • Які дроби називають раціональними дробами? • Що називають допустимими значеннями змінної? • Коли дріб ^ дорівнює нулю? о 1®. (Усно.) Які з виразів є цілими, а як і — дробовими: 1) \ т ьп-, 7

2 )^ ;

3 )^ ;

а,

8) о 2 + § ? а т . 17. Н і - 1) + ± ; 2®. З раціональних виразів а3 - аЬ; 17 ’ а ’ Р 1 1 7 - а - - Ь; — - 5 випишіть ті, що є: 9 8 лґ + 1 1) цілими раціональними виразами; 2) дробовими раціональними виразами. З®. Які з дробів є раціональними дробами: X х 2- 4 х + 5 х+2 3) 4) т - З о 1) -у ^ Г 4®. Знайдіть значення виразу: а

дг + лг

5 6)

4) т2 + 2т - 8;

;

7 ) ( р - 2 ) * + 7р;

, якщ о о = 1; - 2; -3 ; а 2) ^±3 _ якщ о х = 4; -1 . х х-2 5®. Перемалюйте в зошит та заповніть таблицю значень вир а зів ----- та при даних значеннях змінної: 1 -х х -1 X

-3

-2

-1

1+ а:

І^ х 5

х -1

6®. С к лад іть дріб:

1) чисельником якого є різниця змінних а і Ь, а знамен ником — їх сума; 2) чисельником якого є добуток змінних х і у, а знамен ником — сума їх квадратів. 7®. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі: Зд- 5 . 7&+ 9 . 4) * 9 • 1) т2 - 5; 2) а 9 3) ' і +1 ’ 8 ’ 5 )^ ± 1 +

х -1

6) Р+ 2 .

Р (Р -1) ’

З . * * + і’

8) 1 + т

\т +5

5®. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі: о-7. Ь -9 . 1 )р + 9; 2) 3) 4 ’ о+4 ’ 4 2У + З . 5) 6) х(х +2) ’ лг2+2 У- 1 У +2 ’ .

9®. За £ год автомобіль проїхав 240 км. Складіть вираз для обчислення швидкості V (у км/год) автомобіля. Знайдіть значення отриманого виразу, якщ о і = 3; 4. 10®. Учень витратив 12 грн. для придбання а ручок. Складіть вираз для обчислення вартості однієї ручки (у грн.) та обчисліть його значення, якщ о а = 8; 10. +2 дорівнює: 11®. При якому значенні змінної значення дробу х—— О

1) -2 ;

2) 9;

3) 0,01;

4) -4 ,9 ?

12®. При якому значенні змінної значення дробу

т - 1 дорів10

нює: 1) - 8; 2) 0,25? 13®. При якому значенні х дорівнюють нулю дроби: 1ч4х- 8. 9ч х (х -2 )' (ос-1)(ж+ 7). ’ х ’ ’ з? ’ ’ х +5 ’ *8-4ж' 14®. При якому значенні у дорівнюють нулю дроби: (у +2)(у-3). У+ 1 ■ 2 )ш ± м . 4) 5у + 5 3) 1) 5 у - 7 ’ У+4 ’ У 15®. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі: £+2 . 0+1 т 3) 4) 2) 1) (а-1)0а+7) ’ г п -25 (х-9)!,2 Т Т і’ 16®. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі: о +2 Р- 7 3) 4) 2) 1) (9-р)(4р + 10) ’ 4 -с Г (о + 1)2 5а - о 2 8

’

17 ®. Складіть вираз зі значеннях х , крім: 18®. Знайдіть допустимі 37 1) а(а-2 )-З а + 6

змінною х , що має зміст при всіх 1) х = 2; 2) х = 1 та х = -4 . значення змінної у виразі: 5т . 4* 2) т-г—г ; 3) 4) і > 4 - 1Ä- 2 1 х -1 т

19®. Знайдіть область визначення виразу: 772. 12 2) 4 - 7 7 1 3) 1) х(х+2)-4х-8 ’ і +1

2а а + 21—З

20®. Визначте знак дробу: 1) ^ , якщо х > 0, у < 0;

2) т + 1 , якщо тп > 0, л < 0;

3) ^

^, якщ ор < 0, п > 0;

, якщо а < 0, с < 0.

21 ®. Доведіть, що при будь-якому значенні змінної значення дробу: 1) —зЦ- додатне; 2) \ від’ємне; а +1 -р -2 „ч ^-5 (а + 1)2 . , ємне; недодатне. 3) —невід о2+7 Р +1 22®. Перетворіть вираз на многочлен: 1) (а2 + 2а - 7) - (а2 - 4а - 9); 2) Зх2і/(2зс - Зі/ +7); 3) (х2 -2 х )(х + 9); 4) (х2 - 5)2 + 10х2. 23®. Розкладіть на множники вираз: 1) х2 + 6х + 9; 2) х2 - 25; 3) а2 + аЬ + 7а + 76. 24®. Розв’яж іть рівняння: 4х(2х - 7) + Зх(5 - 2х) = 2х2 + 39.

Уроки 3, 4

§ 2. ОСНОВНА ВЛАСТИВІСТЬ ДРОБУ. СКОРОЧЕННЯ ДРОБУ

H eim відома основна властивість звичайних дробів: якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й те саме натуральне число, то дістанемо дріб, що дорівнює даному, ін еік ш є кажучи, при будь-яких натуральних числах а, Ь і с правильними є рівності:

а _ ас ^ ас _ а Ь Ьс Ьс Ь "

Доведемо, що ці рівності прЕівильні не тільки для натураль них чисел а, 6 і с, а й для будь-яких інших їх значень, таких, що Ь Ф 0 і с Ф 0. 9

Доведемо спочатку, що - = — . Н ехай - = а :Ь = р. Тоді за Ь

Ьс

означенням частки а = Ьр. Помножимо обидві частини цієї рівності на с: ас = фр)с. Використовуючи переставну та сполучну властивості мно ж ення, маємо: ас = фс)р. О скільки Ь ф 0 і с ф 0, то Ьс ф 0. За означенням частки маємо — = р . О скільки — = р і — = р , то Ьс

Ьс

а _ ас Ь Ьс *

Ц я рівність є тотожністю. Поміняємо в цій тотожності місцями ліву і праву частини: ас _ а Ьс Ь*

Ц я тотожність дає змогу замінити дріб ^ дробом ^ , тобто скорот ит и дріб — на спільний множ ник с чисельника і Ьс

знаменника. Властивість, виражену тотожностями — = — і — = —, назиЬ

Ьс

вають основною власт ивіст ю дробу.

Я к щ о ч и с е л ь н и к і з н а м е н н и к дроб у п о м н о ж и т и або п о д іл и т и н а о д и н і т о й с а м и й в и р а з, т о д іс т а н е м о дріб, я к и й д о р ів н ю є д а н о м у .

Розглянемо приклади застосування цієї властивості за умо ви допустимих значень усіх змінних у дробах. П риклад 1. Скоротити дріб

16 а

Р о з в’ я з а н н я . Подамо чисельник і знаменник цього дробу у вигляді добутків, що містять їх спільний множ ник — вираз 8а, і скоротимо дріб на цей вираз: 24 а 2 _ 8 а - З а 16а 8 а -2

За 2

В ід п о в ід ь . — .

х2-9и2 П риклад 2. Скоротити д р іб -------— . ох + і о у

Р о з в ’ я з а н н я . Розкладемо на множники чисельник і знаменник дробу: (ж~3у)(* + 3у)_ Скоротимо дріб на спільний а(х + 3у)

множник х + Зу чисельника і знаменника: (х-3 у){х +3у) = х - 3 у 5 ‘ 5(х + 3у) х -3 у

Відповідь.

Отже, щоб скоротити дріб, необхідно: рч 1) розкласти на множники чисельник і знаменник дробу; і / 2) виконати скорочення на спільний множник чисельника і знаменника та записати відповідь.

Тотожність ^

Ьс

дає змогу зводити дроби до заданого

знаменника. Приклад 3. Звести дріб ^ до знаменника 12р4. іР Р о з в ’ я з а н н я . Оскільки 12р4 = 4р ■Зр3, то, помноживши чисельник і знаменник дробу ^

4р

на Зр3, дістанемо дріб зі

знаменником 12р 4: 5т _ 5т-Зр3 _ 15т р3 4р 4р-3р8 12р4

Множник Зр3 називають додатковим множником до чисельника і знаменника дробу ^ . В і д п о в і д ь . ^ тр . 12р4

гт

Приклад 4. Звести дріб —Ц- до знаменника 6 - а . а —о Р о з в ’ я з а н н я . Оскільки 6 - а = -1 • (а - 6), то, помноживши чисельник і знаменник дробу —— на - 1, дістанемо дріб зі а—Ь знаменником Ь - а: 7 _ 7 -(-І) _ -7 а -Ь (а -&)•(-1) 6 - а ’ —7 Дріб —^ можна замінити тотожно рівним виразом - - 7 6 -а ~ ^ 6 -а При цьому поставили знак «мінус» перед дробом та змінили 7 знак чисельника: - 7 6 -а

Відповідь.

6 -а

—.

6 -а

Аналогічно, наприклад, дріб с+д можна записати так:

С + (І

5 '

Отже,

якщ о зм інит и знак у чисельнику або знам еннику дробу і знак перед дробом, то дістанемо вираз, тотожно рівн и й даному.

Це правило можна записати за допомогою тотожностей: а _ _ 2 (1 а _ _ а т _ ^а_ _ _ а а _ Ь Ь ' Ь -Ь Ь Ь ’ -Ь

а ь"

Приклад 5. Знайти область визначення і побудувати графік функції у =

. Р о з в' я з а н н я . Область визначення функції складається з усіх чисел, крім тих, при яких знаменник 2х - 4 перетворюється на нуль. Оскільки 2х - 4 = 0, коли х = 2, то область визначення функції складається з усіх чисел, крім числа 2. Спрощуючи вираз х?-2х „„ „ Xі -2х _ х(х-2) _ х 2 ^4 ’ М “ 2х-4 2(х-2) ~ 2 ' Отже, у = ~ , якщ о х Ф 2 . Сі

Графіком функції у =

Мал. 1

х? -2 х 2x4

пряма, що задається формулою у = | , але без точки з абсци сою 2, тобто точки (2; 1). На малюнку цю точку «виколюють* (зображають «порожньою»). Графік функції у = х? ^ -2^х подано на малюнку 1.

Які рівності виражають основну властивість дробу? Сформулюйте її. • Доведіть тотожність § = ^ . • Як скоо

ос

ротити дріб? 25®. (Усно.) Скоротіть дріб: 1) 12

7у

2) ^ - ; 15Ь

3) — ; хт

5ас

5) 4аЬ

10ху Юту '

26®. Скоротіть дріб: і \ Зш ,

о\ 4 х .

3) — ;

4) іх '

ар

с\ 9хі/ # 5) 8л;2 ’

Атп

6) Арп

27®. Скоротіть дріб: 15а6 .

1) 20ат ’ 5)

-а р 2 ш р 3с

. 2) -2а2т Вар ’

4аЬс . 12ас3 ’

-З ху. 7« V

Ібах2 .

20хЬ ’ 26 т2п 39тп2

4) - 8тгп. 2п ьл ас 8) -с3а 6

28®. Скоротіть дріб: 8аі .

1) 12 ар ’ 5) ~ У . р 4і

2) 6)

12т п . 20хт ’ 22х?у 7) -3 3 у 2х

5хуг 1 5 у 22

- 6Р с . -З р 4 ’

8) V р_ 6.9 і

29®. Подайте частку у вигляді дробу і скоротіть цей дріб: 1) 1 2 : (4х у 3) ; 2) За26с : (-18а62с2); 3) -ІО ар3 : (-15а2) ;

4) -14л?: (2х7у ) .

ЗО®. Зведіть дріб: 1) -р- до знаменника 20т; Ат

2) ^ до знаменника а5. 31®. Зведіть дріб: 1) до знаменника 15р; Зр 2)

до знаменника у 7.

32®. Скоротіть дріб: т(а - 2 ) .

1) Р(а -2) ’

А(х+2)2 . (л:+2)3 ’

тпір +7) т2п(р +7)2 ’

1 6 т 3(а + 3)2 } 2 0 т \а +3)

5(ти-З)3 . (та-З)4 ’

а2г/(л:-2)2 . ау(х -2)

12*3(р -7 ) 1 6 ^ (г/-7 )2 '

33®. Скоротіть дріб: 1)

хф + 7 ) . У(Ь + 7 ) ’

34®. Розкладіть на множники чисельник і знаменник дробу і скоротіть його: 4 а +126

1) ІбаЬ 5)

У . 2 9 У ~УХ

5 х -5 у .

7( ^ у ) ; 2 х -6 у

6) 5л:-1 5 у ’

Зт(х+2) . л^+2л: а +26 . 7) а2+2а6 ’

4) 8)

а х -а 2х?-10ху х -5 у 13

35®. Розкладіть на множники чисельник і знаменник дробу й скоротіть його: За + 15Ь . о\ тп-тп . Р 3^ . 3) 2) 1) 9аЬ 4й(р -3 ) ’ 4(п-1) ’ 4)

ху -2 х

т . т2+тп

4а-12Ь 7а 2 ї й "

36®. Скоротіть дріб: а (х -у ) . 1) 5(у -х ) ’

т2- 9 т ?-6т +9

За-9Ь

2) 15Ь -5а

У -4 ^ + 10^+25 6) т х + Ьт

Р2- 1 . . Р ~Р

5 )-,

37®. Скоротіть дріб: ^ ^ т^ІР 2) ' 2) За + 12 «(2-Р) ’ а2-1 6

^ - 4 ^ +4 де2—4

ттіс + 4с те2+ 8лі+16

38®. Скоротіть дріб: ^ т2п - т , ти2- л і 8п ’

20 + 10а + 5а2 а 3- 8

15/га4 - 1 5 т п . 10га2-10га7га2 ’

З р + р п -З у-у п . 7 р -7 у

39®. Скоротіть дріб: 1) 16р3-16рд .

12р д - 12рд2 ’ ^

7 + 7а + 7а2 . а 3- 1 ’

а2-2 а + 4 . а 3+ 8 ’

Ьт+ап-Ьп-атп а2- 1 0 а +25

40®. Зведіть дріб: 1) 5— до знаменника а 2 - об; а -Ь

2) —4

до знаменника от2 + 2т п + п2;

до знаменника

771+71

х -У

г - у 2;

4) й -1 до знаменника А3 - 1; 5) —

а —о

до знаменника Ь - а ;

п 2 6) ^ —до знаменника 4 - р . Р —2

ТТ13+27 ~2-------771 —3 771 + 9 ат + ап-Ь т -Ь п а т -а п -Ь т + Ь п '

41®. Зведіть дріб: 1) —-7— до знаменника т2 + т п ; т+п 2) —— до знаменника ж2 - 2хи + у 2; х -у 3) —— до знаменника а2 -Ь 2; а+о 4) —

с- 7

до знаменника 7 - с .

с12)2 42®. Обчисліть значення дробу —„2і(с3)4(п 5\2/ 3\8 »як щ о с = ^ , ж = 2 0 0 8 . 5(с5)2(*3)8

43® Обчисліть значення дробу ^ , якщ о х = ^ , у = і . 8ху -4у' 44®. Спростіть вираз: а5- а 3 2) І 9 + / . 1) а4 - а 2 р 5+р7 ’ 45®. Спростіть вираз: а6+а3 і9- і 8 2) „ 9 . „ 6 1) £2 +А і8- і 7 46®. Скоротіть дріб: (х +2)2-(х - 2)2 . 1) 48х

2а2- а 3 ^ 2 7 ’

Зб2- б 3

ь8-з&7

5с8-10 с4 12с5-бс6 ‘

4д4- 8а 3 12а2- 6а 3

з *43-у*. 4 ’

(36 -9 с)2 56-15с

а 4-б 4 а 3+ Ь3

6т+2п (12тга+ 4/г)',2

X ~У

47®. Скоротіть дріб:

(т + 5)2+(т - 5)2 тп2+25

•

48®. Знайдіть область визначення і побудуйте графік функ ції: я?+ 6х . х2-4х +4 2)у = 1)У = 6х + 36 ’ 2 -х 49®. Знайдіть область визначення і побудуйте графік функ ції: х2+6х +9 х2-5х . 2 )У 1)У 25- 5 х ’ З +х 50® Обчисліть значення виразу: 012 21 3 3> ® : •

125 15

51®. Розв’яж іть систему рівнянь: Гж + 3 у = 2 , Ї3х + 2у = 2, ' [Зж - 2 у = 17; ' \ 7 x - 2 y = -2 2 . 52®. Спростіть вираз: 1) (2х + Зу)2 - (х + 7у)(4х - у); 2) (т + 3)(т2

Уроки 5, 6

т (т - 4?.

§ 3. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ДРОБІВ З ОДНАКОВИМИ ЗНАМЕННИКАМИ

Щоб додати два дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники, а знаменник залишити той самий. Наприклад: _8_._5_ = 3 + 5 = _8^ 11

У буквеному вигляді це записують так: а + Ь _ а +Ь

с с с Ц я рівність справджується для будь-яких дробів. Доведемо цю рівність (при умові С =£ 0). Нехай - = р і - = д. Тоді за означенням частки а=ср і Ь =су. Маємо: а + Ь = ср + су = с(р + ф. Оскільки с Ф0, то, використовуючи означення частки, ді станемо: а +Ь Р +? = с Отже, якщ о с -ф- 0, то а , Ь _ а +Ь с с с Маємо правило додавання дробів з однаковими знаменниками: рЧ щоб додати дроби з однаковими знам енникам и, треба ! / додати ‘іх чисельники, а знаменник залишити той самий.

Приклад 1. ^ + ¥ = 2х 2х 2х 2х х Аналогічно можна довести тотожність а Ь _ а -Ь с с с ' на основі якої виконується віднімання дробів з однаковими знаменниками. 16

Маемо правило віднімання дробів з однаковими знаменниками :

щоб виконат и віднім ання дробів з однаковими знам ен никам и, треба від чисельника зменш уваного віднят и чисельник від’ємника, а знаменник залишити той самий.

Приклад 2. ІО х-14 7р

2х _ 1 0 * -1 4 - 2 х _ 7 х -1 4 _ 7 (х-2 ) _ х - 2 7р 7р 7р 7р р

Розглянемо складніші приклади. Приклад 3. Знайти суму та різницю дробів

і ——У. .

2х у 2ху т» > 2х + у , 2х - у 2х + у + 2 х - у 4х 2 2ху 2ху 2х у 2ху у 2х + у _ 2х - у _ 2 х + у -( £ х - у ) _ 2х + у - 2 х + у _ 2у _ і 2ху 2ху 2х у 2ху 2х у х '

Відповідь.-;-. У х

11т -2 . Приклад 4. Спростити вираз тг +1от + —=----- —----т -2т, т -2т т -2т Розв’язання. т2+ 5т 7 _ 11т -2 _ т2+5 т + 7 -(1 1 т -2) _ т 2 2т т2-2т т 2 З т т2-2т _ т 2+ 5 т + 7 - 1 1 т +2 _ т 2- 6 т + 9 _ (т -3 )2 _ т -2 т2-2т т 2- 3 т пф п-2) т В і д п о в і д ь . т ~^. т

Приклад 5. Додати дроби —^ ^ . У - 2х 2х - у Р о з в ’ я з а н н я . Знаменник 2х - у = -(у - 2х). Перетвори мо другий дріб так, щоб знаменники дробів стали однаковими: 5у _ 5у = 5у 2х - у - ( у - 2х) у - 2х‘ Тоді 10х + 5у _ Юзе _ 5у = Юзе-5 у _ -5 (у -2х) _ ^ у - 2х 2х - у у - 2х у - 2х у - 2х у - 2х В і д п о в і д ь . -5 . Якщо у тотожностях - + - = с

і - - - = с

поміняти

місцями ліві та праві частини, то дістанемо тотожності: а +Ь _ а + Ь ^ а-Ь = а Ь с с с с с с' 17

За допомогою цих тотожностей дріб, чисельник якого є сумою або різницею двох виразів, можна записати у вигляді суми або різниці двох дробів. П р и к л а д в. ху

ху

+ 5» _ 9_ = 2 + 5 _ 9. ху х у у х ху

Приклад 7. Записати дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу: 1) а2+2а~7 ; 2) 5' ^ . а

т +п

Р о з в’ я з а н н я. 1) ? +2а-7 _ о _ + 2а _ 7 _ а + 2 _ 7 . а а а а 2^ 5 т + 3 д _ 2 т+ 3 т + 3 т г_ 3(т+ га)+ 2т_ 3(т+п.) + 2т т +п т +п т +п т+п т+п

а 3+ 2т т + п'

В і д п о в і д ь . 1 ) а + 2 - —; 2 ) 3 + 2 п . а

т+п

Сформулюйте правило додавання дробів з однаковими знаменниками. Доведіть його. • Сформулюйте правило віднімання дробів з однаковими знаменниками. 53®. (Усно.) Виконайте дію:

3)|+ |;

оч х _ У_ .

1) І +І !

^ 9

9’

4> Н

54®. Виконайте додавання і віднімання: 7у _ 2у ; з) а+Ь а , 1) ^ + *2) З 5 5’ х х!

4) їх? + бх2 У У

55®. Виконайте дію: 1ч З т , 2 т .

9Ч 9р

р .

1)_8“ + Т ’ 2, Ї 7 - Ї 7 ’ 56®. Подайте у вигляді дробу: ~

4х

Х> 2-а + 2 а ’

4^ а +2Ь + За + 6Ь 8

х -З у .

2" ) х+у

л\ х+3У ■4*+?У ’ 10 10 57®. Спростіть вираз 5х_,_2х. 8

х -у + х-: т т

’

5 т-2 _ т - 1 0 . 8т 8т а+Ь _ а -5 Ь .

2 ) 12

6/п -З 5) 10т

т-1 3 10т

1 5 р -3 х . 4хр

о+4 , 5 -а .

0\ 7а +13 ба

1 7 —а 6а

3 ) ^ 3 + 13-ь. 5

’

6 ) 5 ^ 3 + 11-х

58®. Спростіть вираз: -.4 З х - 7 у 4ху

4) 5с2 2с2

7 а + р 3 _ 7 а -2 р Зр Зр

Ах

5а-Ь* &4 +5а . ^ За-4 + 4а + 5 1 - а 8а 8а 6Ь& 6&5 ’ 8а 5 9 ®. Подайте у вигляді дробу: За-& _ 5&+ За . 2) 9//1+2А2 9/тг-ЗА2 . 1) аЬ аЬ 5к 5й 3)

5Ь -т 3)

^ 4а —3

т + 5Ь 4тп6

а +8

6а

60®. Обчисліть значення виразу

5 -а 6а

6а

4а

, якщ о а _ 1 "2

4а

‘

61®. Знайдіть значення виразу 5 Ь -7 +, 7+Ь , якщ о Ь = 1 7' 6 Ь2 6 Ь2 -

62®. Виконайте додавання і віднімання: х2 25 36 У 2) 1) х -5 х - 5 ’ у +6 у +6 ’ 7а-1 7Ь-1 . сч 2х + у * -4 у . 4) 2 *2 а 2 —от 2 а —о (лс-у)2 (х-у)2 ’ 63®. Спростіть вираз: 49 тУ . 1) 7 —/ге 7 - т ’ 3)

х +7 6 х2- ! х2- ! ^ За -4Ь + 2а -Ь (а-ЬУ (а-Ь )‘,2

+ х2- 9

6_ . ж1!-9 ’

9/71+ 5/1 _ 771-3/1 (/тг+ /г)2 (ттг + 7і)2

5 х -2 _ 5 ї/ —2 х У -г2 у" я2-*/2

64®. Спростіть вираз: а. х - 1 + 1 5- х ї

3) 5* + 5у ; х -у у - х

/71 _

с-3 3 - с 1 Юр 5/71 2р -771

т -2 р

65®. Виконайте дію: і) а % - 2 + „2 *- а ;

2))

3) 2ТП + З« ;

771-71

71-771

х® -у

\ 16х -+

4х - у

8 . > у -х 4г/

у- 4х

66®. Виконайте дію: 1)

771 -771 7712+ 4/71+ 4

4-771 7712+ 4т71+ 4

9с _ 18 + 6с -6 с

(У-6с

6 7 ®. Виконайте віднімання дробів: ______ а2+ 3а За+ 9 Зтті _ 771+10 2) 1) а2+ 6а + 9 а2+ 6а + 9 ’ т2-5 т тУ-5т 19

68®. Доведіть тотожність: 1 ч (а-Ь)2 2аЬ

(а+Ь)2 _ 2а&

0. ’

оч (а + Ь)2 , (а-Ь)2 _ 0 а2+ &2 а2+ Ь2

69®. Обчисліть значення виразу: т 25 1) 2/тг-ІО + ■10-2/71 , якщ о т = 25;

2) х2 + ^ х -3 у

З у -х

, якщ о х = 2 0 0 8 , у = \ . З

70®. Обчисліть значення виразу: 1 ,е 2)

+ ї й г ' якщ° * = - 12;

- 4 т - 2 5 ! - 10с*

с -5 й

5 А-с

, ЯКЩ О с

199,

= 0,2.

71®. Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу: тга+З 4а -4Ь + 7 а 4 + а3-5 зс2+ 5дс—З 2) 3) 4) 1) т х +5 а -Ь 72®. Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу: 1)

а -7 . а

2) '

тг - т 3+ 7 . т?

3) '

У +У +2 . У +1

5 р -5 д -1

р -д

73®. Подайте у вигляді дробу вираз: 1)

7 -4тп _ 9 - 5 т .

12а (2 - а )

(2 —т )2 (т- —2)2

т2-6 п 3) (т/г -2)(п -3 )

За2+12 . (а -2)

2(тга-3ті) (2 —ттї)(3 -ті)

74®. Спростіть вираз: 1)

16 - 7 а _ 1 3 -6 а (3 -а )2 (а -З )2

Р - 9? (р-3)(? -4 )

2ч 15(2/71-3) + 5т2 . ’ (3-/та)3 (ттг—З)3 ’

3(р -Зд) ( 3 - р ) ( 4 - ?)

75®. Обчисліть: л\ 5 п І +А ^12 ' 7 14 ’

3 .

оч 1

3 .7

Ї6 ’

1 6 + 24

76®. Подайте одночлен 15а V у вигляді добутку двох одночле нів, один з яких дорівнює: 1) ЗаЬ5; 2) - 5 а2Ь7; 3) -&6; 4) 15аЬ. „ . з? + у2- г і -2 ху %— 5----- -. 77 ®. Скоротіть дріб з ґ - і/2+ 2:2+2л:2 20

Уроки 7 —10

§ 4. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМ АННЯ ДРОБІВ З РІЗН И М И ЗНАМ ЕННИКАМ И

Якщо дроби мають різні знаменники, то їх, як і звичайні дроби, спочатку треба звести до спільного знаменника. Після цього можна буде скористатися правилом додавання або від німання дробів з однаковими знаменниками. Розглянемо додавання дробів 4 і 4* Зведемо ці дроби до о а спільного знаменника Ь(і. Для цього чисельник і знаменник дробу 4 помножимо на сі: 4 = 44 > а чисельник і знаменник о о Ьа дробу 4 помножимо на Ь: 4 = 4г • Дроби 4 і 4 звели до спільного а а ао Ь а знаменника Ьд. Нагадаємо, що сі є додатковим множником до чисельника і знаменника дробу 4 , а Ь — додатковим множниЬ ком до чисельника і знаменника дробу 4 • а Після зведення дробів до спільного знаменника можна скористатися правилом додавання дробів з однаковими зна менниками: а , _ агі , сЬ _ аб+Ьс ь а ьа ьа ьа ’ або в скороченому вигляді: й, Ь. 'а Ґс_ ай+Ьс Ь а ьа ' Аналогічно можна виконати віднімання дробів з різними й а

Ь. с _ ай -Ьс

ь а

п„ т _ 3п + 4 т . Ъ тп *т п

ьа

ь 2 а

Ь 7

1 4 -аЬ 7а '

Часто при додаванні і відніманні дробів з різними зна менниками вдається знайти простіший спільний знаменник, ніж добуток їх знаменників. Розглянемо приклад, у якому знаменниками дробів є одночлени. Приклад 2. Виконати додавання —7Ц—+ Я„ . 6х2у

8ху3

Р о з в ’ я з а н н я . Спільним знаменником дробів, знаменники яких є одночленами, буде також одночлен. Кое фіцієнт цього одночлена повинен ділитися як на 6, так і на 8 . 21

Найменшим таким числом є 24 (НСК(6; 8) = 24). У спільний знаменник кожна із змінних має входити з найбільшим показ ником степеня, з яким вона входить у знаменники дробів. Таким чином, спільним знаменником дробів є одночлен 24х*2у 3. Додатковим множником до чисельника і знаменника першого дробу є 4г/2, бо 24х 2у 3 = 6х 2у ■4г/2, а до чисельника і знамен ника другого дробу — Зле, бо 24х 2у 3 = 8х у 3 • Зх. Отже, маємо: іу?

Зж,

7 6х2!/

3 _ 7-4у2+ 3-Зх _ 28у2+ 9х 8ху3 24х2!/3 24х?у3

В і д п о в і д ь . 28у 2+ 9х 2Ах?у 3 Розглянемо приклад, у якому знаменниками дробів є мно гочлени. Приклад 3. Виконати віднім ання------ ------------ . х у -х

у -ху

Р о з в ’ я з а н н я . Щоб знайти спільний знаменник, розкладемо знаменники дробів на множники: ху - х2 = х(у - х) і у 2 - ху = у(у - х). Найпростішим спільним знаменником дробів буде вираз ху(у - х ). Додатковим множником до першого дробу буде у, а до другого — х. Виконаємо віднімання: х + 4 _ у +А _ % + 4 _ ^у +А _ у(х +А)-х(у+А) _ х у -х ? у 2- х у х (у - х ) у (у - х ) х у (у - х ) _ ху +А у - х у - А х _ А(у -х ) _ _4_ ху(у -х ) ху(у - х ) ху'

Відповідь.

—. ху

Отже, щоб виконати додавання або віднімання дробів з різними знаменниками, треба:

І) розкласт и на множники знаменники дробів, якщо це необхідно; 2) визначити спільний знаменник, бажано найпростіший; 3) записати додаткові множники; 4) знайт и дріб, що є сумою або різницею даних дробів; 5) спростити цей дріб та дістати відповідь.

Аналогічно виконують додавання і віднімання цілого вира зу і дробу. 2

Приклад 4. Спростити вираз а + 1 - — —. 22

Р о з в ’ я з а н н я . Запишемо вираз а + 1 у вигляді дробу із знаменником 1 та виконаємо віднімання: а -2

а + 1 - д2~а -Гд + 1 _ а2- а _ (д -2)(а +1) - (а 2-а ) _ а -2 1 а -2 а -2

а2+ а - 2а - 2- а 2+ а а -2 Відповідь.

-2 = 2 а - 2 2 -а

2 -а О

Який знаменник спільний для дробів - і —? • Як ви ті т

конують додавання і віднімання дробів з різними знаменниками?

78®. (Усно.) Знайдіть спільний знаменник дробів: 2)-^-і^; '1 2 8

3 6

79®. Виконайте дію: тга У. 2) 1) З’

3) - і —;

/71

З ) ї- ї;

| + |;

і?.

4 )^ + | .

80®. Виконайте додавання і віднімання: о \п г п . 1) * + “ • о а }Ь 4’ ^ 6 3’

3)? +£ ;

81®. Подайте у вигляді дробу: 1^ 3 _ 4 . ; 5а 2а ’

а ^ 7а . >4Ь 5& ’

82®. Виконайте дію: 1) 3 + 2 . 4т

5т ’

7 6у

8у ’

о\ 2а2 ’ 9Ь

5а2 . 18Ь ’

3 ) ^ + 5а 9/га2 " 12тга2

7 тга _ т 12га2 18га2

4) - А - , ' 15у Юу

83®. Перетворіть у дріб вираз: 14 2л: х - 4 . >3 5 ’ 2 -З у 5 -3 * .

4тга-2га

10 дс+ 7 5) 5х

т -п . 5 Зу + 4

151/

3 -7 а . 6а а-6Ь в ) 4д+ь + 2а ЗЬ

а+ 2

4а

84®. Подайте у вигляді дробу: а , а -2 . ^4 3 ’ 3) ^ + 7 ~2у . 2х 4У

х -у 7 ’ бтга-га 8га-5тга 4) 4га Зтга

2 х -у 14

8 5 ®. Виконайте додавання і віднімання: а-2 . 2 +т /та2- 5 . !)Л + з » т2 т а а -Ь _ Ь - а . 3 п + тп . п - З т , 4) **) 2 + 2 ’ аЬ Ь2 тії тп

о\ 1

і 1 —Зх2 .

х -2 у ху‘

86®. Спростіть: 1) 3)

т+2 гаг9

/та >

1 .

* -у

у -Х '

ж2

2)- 5

71 :-2р 4) ср2

*у

3 - 4ті2 . П 2 с -р Р<?

87®. Виконайте дії: 1 2 +3; с3 с2 с а +Ь _ &+ С а + с 4) аЬ Ьс ас

1) Іа + ІЬ + Іс ; 3)

хг/

г/г

хг

м ® . Виконайте дії: 1) рі - іт + п1 .

_ 4_. X X? х3 л: + 2 4) Х - у ! У -* + хг ху уг

3) \ + Ч Г + — ’ ао ос са

+1 89®. Доведіть тотожність ^Зх —

У —1 _ І х + у _ 1 -X 2у 14жу 14г

90 ®. Доведіть тотожність ^ +2

га-1 _ 5/га+Зга _ т + 1 2га Ютгага 10/га

от

91®. Перетворіть у дріб вираз: 1 )* + ^ ;

2) Згаг - —; т

а 2 -н у 4.ч) ---^ - а;

5 ) 2 ,- ^ ± 1 ;

6) 7П + 2 - 4 /гага 4га

92®. Перетворіть у дріб: 2) 4р + —;

ТІ п \Х + у 2

3) — - у; У 93®. Спростіть вираз: 1 )1

/га 2

Р 14р2+ 3 4) 7 р -----^ 2р

.ч п

га. 3’

3 )^ 2 _ і +^±2; 24

2 )4 + І - І ; а

а +Ь

+ а - Ь.

у -2 х У?у

94®. В иконайте дії: D f + f - i ;і

2) 5 - - + і ; с а

а-2 . 3> ^ - 1 + ! 2

+ л + у.

95®. Знайдіть суму і різницю дробів: 1 2) і і. 1) х -1у і х+у а+Ь а 96®. Знайдіть суму і різницю дробів: 1 і 1 . 2) 1 і 1 . 2а+Ь 2а-Ь ’ 'т - п т ' 97®. Виконайте додавання і віднімання: і ) а* + Л а - 1; 41 "^ + ^ * 4 J * -1 х - 2 *

а -с а 5)!а + 1 . а а- 1 а

3 )_ 3 _ + 2 х+ у х - у 6)

2а -1

2а + 1

Виконайте дію: 1) 4 + 7 • ’ Ь Ь+2’ Q\ Р 3 ' р -2 р +3 ’

т -п т+п 4) х + 1±х_ 1 -х

99®. Виконайте дію: П

Д ~2 4а • 1)' 2(а + 1) а + 1 ’ 4 , 5 4) а х-а у Ьх-Ьу

2т 2т Ца +Ь) 5(а + Ь) 5ч 5 _______ ЗО ; х х(х +6) ’

а -2 а +1 . 2 а+ 6 За+ 9 ’ 6 2 6) хЧ Зх х ‘

100®. Виконайте додавання і віднімання: ^ т- 1 + т 7а 4а . 2 ) 3(&+2а) 9(&+2а) ’ 3(тп+2) т+2 ’ х -2 х +1 . 3 ,+ 2 . 3) 4) Зх-12 2х-8 ’ тх +ту пх +пу 8 . 8 1 5)±6) а а(а+2) ’ пі2+ 8т тп ■

101®. Подайте вираз у вигляді дробу: 4w+ m + 1 2) Д~6 + 3 а2-4 в -2 ’ п2 -тп2 п +т 102®. Перетворіть вираз у дріб: 4а b + 1 + Ь+ 6 . 2) ь + 3 ь2- 9 а2-б2 в - & ’

х2 * -5

^ -1 0 x + 2 5

т т +4

т m2+ 8m+16 25

103®. Спростіть вираз: ^ д +4 Ь+4 . аЬ-а2 аЬ-Ь2 ’ 2 1 . 3) я2-4 я2+2* * 104®. Спростіть вираз: а -2 2 -й . 1) аЬ-а2 аЬ-Ь2 ’ 3)

д2+ Зд ’

д 2- 9

т.2 + ■ лгх-х2 х -т ЗаЬ -27 а2 Зд2-Ь2 4) Ь -ЗаЬ аЬ-За 2 ' 2)

<* ід + д2

д . І +А Зті2-8/ті2 Зтп-п2 4) 2)

ті2 -2/7171

77171—2Т712

105®. Доведіть тотожність (а - 1)(а -2) (д-1)(д-5) (д-5)(д-2) _ 1 12 3 4 106®. Подайте вираз у вигляді дробу: 2 . 2 171+71 1) тп - п 2 )р - 2; т +п р-2 3) а 2 — + 1; а2-1

2р -З

- 4р - 1.

107®. Подайте вираз у вигляді дробу: 1) т -

т+3

+ 3;

108®. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної т і не залежить від т. значення виразу 4/71-5 1т-21 2 т 6 109®. Спростіть вираз: х -1 + 2 - х 1) х?-х +1 х 3+і ’ _______ 771-12 . 6 3) /ТІ2 —6 т .

6 /7 1 -3 6 ’

110®. Спростіть вираз: д + 1 + д +2 . 1) а2+а +1 д3-1 ’ 3)

7712 + 4/71

771+ 8 , 4/71+ 16’

2т + 2т2 771-5 тп+ 5 25-тті2 ’ 4) з , а - а - 3 і 2а + 6 а2-9 2)

2д 2) Д + Л О а + 3 9 -а 2 ’ Ь2-Ь -2 2 - 1. 4) ЗЬ + 6 Ь2- 4

111®. Доведіть тотожність

0^ 0,25д+0,5

112®. Доведіть тотожність

0,35 - 0»2а О.6 = 1 . 0,5д -1,5 д2- 6д + 9 2(д-3)

0,3д + 0,6 _ З 0,5д2+2д +2 д +2'

113®. Перетворіть у дріб вираз: 1 ч a2-2ab - 4b2 ’ a2-4b2

a2+2ab+4b2 . (a+2bf ’

п\ 2 _ 4 ’ (а -З )2 а2- 9

, 2 (а+3)2 ‘

114®. Перетворіть у дріб вираз: 1. дf - x y + y 2 я2- у 2

х?+ху + у 2 . (*+у)2 ’

„ч

1______ 2_ (*-2)2 х*-4

1 (л-2)2 '

115®. При якому значенні а вираз 2 + а - тотожно дорівнює Ж- 4

дробу

116®. Доведіть, що значення виразу а 3+Зд _ Зо2-1 4 д + 16 + 2а а +2 а2-4 при всіх допустимих значеннях змінної — додатне. 117®. Доведіть тотожність а + а2 + 2а2+3а + 1 _ а 3+2а = 118®. Побудуйте графік функції ґ Зл + 4 У = 15 5х -10 V

х +4 Зл-6

119®. Знайдіть значення виразу За+0,5Ь______ 12а _ За 0,56 9а2-1,5аЬ 9а2-0 ,25b2 9а2+ 1,5аЬ ’ якщ о а = - З , Ь = 19. 120®. Знайдіть значення виразу з:+ 0,2 у______ 12,5л 4л2-0,8ху 12,5л2-0,5у2 якщ о х = -1 0 , у = 49.

л-0,2у 4л2+0,8лу ’

121®. Чи може значення виразу 1_____1_____ л _ + д^ + 4 2 - л 2+л 4 -л 2 2л3-8л при деякому значенні х дорівнювати нулю? 122®. Виконайте множення: и і . 15. 0)3.і5. з ) 2 ! ’з f ; 5 16 ’ 7 19 ’

4 ) 7 і -2І

123®. С к іл ь к и к іл о гр ам ів солі м істи ться у 60 к г 5-відсоткового розчину? 27

124®. З міст М І М назустріч один одному одночасно виїхали два велосипедисти. Відстань між містами М І М становить в км, швидкості велосипедистів о1 км/год і и2 км/год. Через £ год вони зустрілися. Складіть вираз для обчислення і. Знайдіть його значення, якщо в = 150 км, о1 = 12 км/год, и2 = 13 км/год. 125®. Відомо, що —= 3. Знайдіть значення дробу: У

х +у . » 1) У

Урок 11

Х+1 у .

щ х?+2ху

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО § 1 - 4

1®. Які з виразів є цілими, а які — дробовими: х-у с+2 4) р2 - р - 19? 3) 2) і) | « 2Ь; оч 4иЬ 2®. Скоротіть дріб: 1) — ; * 4Ьс ' тп 2 )^ -3 З®. Виконайте дію: 1) +-; 71 П у 4®. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі: 2 )-2 о_ + 1 1) дфс-1) 5 ’ ' о +2 а - З

5®. Скоротіть дріб 16а т . 12ат 2/ге-б 3) 2 ) 8тс 1) 20Ьт ’ от2- 9 6®. Виконайте дію: 2) 5х + у [ х - 5 у 1) Зд ф зь . а -Ь Ь - а ’ ХУ *?У 2б2 , 2Ь 7®. Спростіть вираз 6-4

ах+2а х? + 4х +4

+ 6ТК + 1 6 -Ь 2 +4

8®. Подайте дріб у вигляді суми або різниці цілого виразу і дробу: Р -р -2 <?—с2+ 5 . 2) 1) <? Р- 1 9®. Побудуйте графік функції у = Xі - ї х 16-4 х '

Д одат кові завдання 10®. 1) Знайдіть область визначення виразу а ^ -іб ,

|* + 1 | - 5 ’

2) При яких значеннях х дріб дорівнює нулю? |дм-11—5 3(а-26) а2-66 11®. Спростіть вираз (о-3)(Ь-4) (З -д)(4 -6) ’ 28

Уроки 12, 13 *

§ 5- МНОЖЕННЯ ДРОБІВ. ПІДНЕСЕННЯ ДРОБУ ДО СТЕПЕНЯ

Нагадаємо, що добуток двох звичайних дробів — це дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників даних дробів. У буквеному вигляді це записують так: а с _ ас Ь сі

Ьсі'

Доведемо, що ця рівність є тотожністю для всіх значень а, Ь, с і й (де Ъ Ф 0 і <1 Ф 0). Нехай т = Р> С, = ?• Тоді за означенням частки а = Ьр,с = да. о а Тому ас = фр)(йф = фд)(рд). Оскільки Ьд Ф 0, то, використовую чи означення частки ще раз, дістанемо ра = ^ . Отже, якщ о Ьа Ь ф 0 і д Ф 0 , то а . с _ ас Ь'а

М ’

Сформулюємо правило множення дробів: щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити ок ремо їх чисельники і окремо знам енники т а записат и перш ий добуток чисельником , а другий — знам енни ком дробу. Приклад 1. Виконати множення -2-^ ■12т 9т

Розв’язання. Відповідь

9т

Ь2 ' = Злі * 9т?-V

Зт '

Приклад 2. Виконати множення дробу ст+са На дріб ?1х 2х

т -й

Р о з в ’ я з а н н я . Використаємо правило множення дробів та розкладемо на множники чисельник першого дробу та знаменник другого: слі+сгі , 8х3 _ сфі+д)- 8х3 _ 4ех? 2х т?-сі2 2х(т-д)(т +<1) т - д ’

Відповідь.

т -а

. 29

Приклад 3. Помножити дріб х 2 на многочлен ас2 + 4х + 4. аг +2х Р о з в ’ я з а н н я . Цілий вираз (многочлен а^ +4х + 4) 4х -і-4

можна подати у вигляді дробу зі знаменником 1: -----------. Маємо: х - 2 ■(х* + 4ае + 4) = х ~2 • х*+4х+4 = (х ~2Хх+2)2 _ хг+2х 1 х(х+2) х*+2х

_ (х-2)(х+2) _ ^ - 4 X X „ .

•

х? -4

В і д п о в і д ь . - —- . х Правило множення дробів поширюється на добуток трьох і більше множників. Приклад 4. ас8-8 . Зас + 9 5а:-1 5 _ (ас — 2)(ас2+2х + 4)-3(ас + 3)■ 5(ас-3 ) _ ас2— 9 х - 2 3 ^ + 6^+ 12 (д:-3)(д: + 3)(д:-2)-3(сс2+2сс + 4) Розглянемо піднесення дробу § до степеня п, де п — нату0 ральне число. За означенням степеня маємо: п

а.а. Ь п

м н о ж н и к ів /--------- *--------- ч

а _ а а - ...а

Ь" Ь

М Н О Ж Н И К ІВ

Ь'Ь\..'Ь

_ а"

ьп

М Н О Ж Н И К ІВ

Отже,

Сформулюємо правило піднесення дробу до степеня: тх щоб піднести дріб до ст епеня, треба піднести до цього (у степеня чисельник та знам енник і перш ий р езуль т ат записат и в чисельник, а другий — у знам енник дробу.

Приклад 5. Піднести до куба дріб За?у 5і*

За^И _ (3х?у)я _ За(ас2)3і/а _ 27ас®і/8 125г 5 *(і8)3 (5і8)3 V5*8 ) 27 х ву 3 Відповідь. 125 і9

Розв’язання.

ЗО

„7 т п рм12

Приклад 6. Подати у вигляді дробу 7 „1 2 тпр

Розв’язання. т-\ •

Відповідь.

V Т„_ЗБ_вО ҐЬ р - — -.

4 - (_1)5 А™7? ІР12)6 - _ т 35р в0 1 ; 1? ? '

Сформулюйте правило множення дробів. Доведіть його. • Сформулюйте правило піднесення дробу до степеня. Доведіть його.

126®. Виконайте множення: 1)4». Ь . 2) 2 . а а 3тп а 5

3) 5 т . 3 ; 4л р

4 )|-

127®. Виконайте множення 04

сі 2о

9 &

4 ,5Ь. 7а 3 ’

4> И

128®. Перетворіть у дріб вираз: 14 Я2 . 7 . 0 4 Ь* . 5 . *5 а ’ ' 3 ь2 ’

3> М ;

4)И

129®. Перетворіть у дріб вираз: 1.2 7 ь2 1) Ь 3

о\ 5ег , а„55 . а У ’

оч тп . 1 . 3 )8

4) — • ; 12 а

130®. Перетворіть у дріб вираз: 5а 21 7 20а2

3,5 ,4 а 3 14а2 5Ь

Зтп . а . лч _ 3/га г_2 г,_2 ’ 5а2 9т2

4Ж2 7р

с^ .20 . 3) ЗО с т ’ ( 21у2 5х? 25* в ,“ ї 7

21р

8*3

131®. Перетворіть у дріб вираз: 1 5 т2 . 11 1) 22 1 0 т ’

8а‘

о\ ®Р 2,5с2 , 15р3

г )т 5)

5с2 . 49у 7у 10с3

15 х?

хр 45

6 ) - 6а2 65Ь

Ш 30а

132®. Перетворіть у дріб вираз: 1>9*

4 т 3 ■х3;

х2

3) 9а62 • -

За3 31

5) -4тп2

4 )-7 а Ь 3 . ^ ;

6 ) - 11а 2Ь

8т п ’

22 а 3Ь2

133®. Подайте у вигляді дробу: 1)

12тга;

16т

3 ) - ^ - 1 2 х у 3;

2 ) а г Ц --, а

4) 5ст4

6) 13с2сі

ІОаЬ

26с3^2 сі

134®. Спростіть вираз: Юта 3)

8а 3 45с5 . 27с4 16а3

14с

(

4с

5а6 15а8 V 8с4 00 У

ю рУ

25р 2^„7

її

135®. Спростіть вираз: 1) 3)

9т2 . З5а3 . 25а2 18та5 ’

5лг3

7У 27а4 18а3 ч 14ра у

7п2

21 ге7 10/ге4 ’

12с сі

18с3сі4

136®. Виконайте множення: їх а2+2а . а ' 5 4а + 8 ’

04 7от . а2-аЬ ' а ' 21

^ ІОаЬ У - У 2 ' х +у 5аЬ ’

дх _ аЬ-ас . 25р , Юр х с -х Ь ’

2 а -Ь 15а2 10а &-2а ’ а +аЬ

я2

а +2а& + &.2 ' *

а -Ь

24т,

137®. Виконайте множення: т2-3 т

х 2/п-6 ’

5а

Л; 3) 16т2 Ь - а ’ 15’ N ттг2-2т п + п2 ^ х2+ у2 20рс . ^х За - З Ь ^ 18* ; 6) т Ь -т а рс Ьрс х - у ’ 12х т -т п 1)

138®. Піднесіть до степеня Р_ т 1) 4т /

4 9

\» 2тг > З*3 У

2) ( « ) [т ) 5)

(2а3Ь

5 9

1* ^ 139®. Піднесіть до степеня: \2

« ї й І* 32

' у ' 1 2) 2 ? | ;

Зт2п 1 ^ ) ю ґ _(*т3)

4<?т3 3)

)

^ .З с 3^

7П 7

ґ сзт Л

\2а2 j

( оО3^ с2

140®. Спростіть вираз: оч 147х4у2

-.4 54а2с . 32а0 . 52Ос2 . ’ 8103 13с3 128а3 ’

2 ) ----- • Юхр

У 105хбі/

141®. Спростіть вираз: 14xz3 . 27у 3 45ху . * 8 її/2 5хг 7z2

111/тг5

• З/тгс,з 74/тг30

142®. Виконайте множення: 1)

т 2- 4 т + 4 т2- 9 . тл2+ 6/л + 9 З/тг-6 ’

2ч

х ^ ІО х + гб . х3+27 х2- З х

2 5 - х2

143®. Виконайте множення: 1)

а2+ 8 а + 1 6 . 7 а - 7 . а2-2 а + 1 а2-1 6 ’

У3~8 . у2-6 у + 9 9 - у 2 у2+2у + 4

144®. Перетворіть у дріб: 1П 4а+20Ь)-

2) (лг2 - 4)

;

2т (ттг-2)2

„з + 27у3) .Зч • —=----5-------- =■. 4) (х3

3 , - 2 Й І < “ 2 - 60+9)1

Зх2-9 х у + 2 7 у 3

145®. Перетворіть у дріб: 1)

? V

(e* +1% );

2) (с2 + 4с + 4)

3 ^ -1 2

146®. Перетворіть у дріб: \3

16у5 125х3

25 Х 2

V8У3 у

х2-2ху + у2 ^ х + у х2+2ху+ у2 х - у

147®. Перетворіть у дріб: 2

^ 16/тг3 ^ 27/т

ґ_

9л4

Л3

v8™: ;

т -п

ym+rij

, т2+2тп +п2 т? -2 т п + п2

148®. Обчисліть значення виразу: „2 «.2 ■<ч6а&-& 25а2-О2 ІТІ_ і о 0ь = 6; «. 1) - — - •—— — , я„ кТ,щ о а_ = 1,2, 5а + 0 6 а -1

п\ а 3+ 8 а2+ а . Лл „------ * --q------------- « ЯКЩ О а2-1 а2-2 а + 4

— О»

149®. Подайте у вигляді дробу: 1)

х? +а х - с х - с а _х? +ас+хс+ха Xі - ах +сх -ас Xі +а с - х с - х а

5 а -56 с?—у2—с — Зс+Зу а2-Ь 2+ а - Ь ’

150®. Обчисліть значення виразу: а Ь +а +Ь . 4а 46 а - 6 + а - 6 8а+86 а = 100,6 = 101. 151®. Обчисліть: п 26._91^. * 4 5 ‘ 135’ 3 ) - З І :2 А ;

якщ0

*^ 2 *16 ’

152®. Розв’яж іть систему: * -1 , У "1 _ о

|( ж + у) = З, 2)

1) І ( х - у ) = 5;

“ з- + - Г ~ 2 ’ х-1

У- 1 = 5

153®. Побудуйте графік функції у =

Уроки 14, 15

З -8

х -2

- X і.

§ 6. ДІЛЕННЯ ДРОБІВ

Щоб знайти частку двох звичайних дробів, треба ділене помножити на дріб, обернений до дільника: 2 .3 = 2 .7 = 14 5*7 5 3 15' У буквеному вигляді це записують так: а . с_ _ а . й 6'й

6 с’

Доведемо, що ця рівність є тотожністю для всіх значень а, 6, с і <1 (де 6 ^ 0, с 0 і 4 * 0). Оскільки ( V .< 0 , с _ а . и • С11 - а • 1 - а 6 и сі і1 6 6 с й и то за означенням частки а . с а й 6 й Ь с

Отже, якщ о 6 ф 0, с

0 і <2 ф 0, то а.с_ а а Ь' й ь ’ с '

Дріб - називають оберненим до дробу —. с

Сформулюємо правило ділення дробів: |Ч щоб поділит и один дріб на другий, треба перш ий дріб \У помножити на дріб, обернений до другого.

Приклад 1. Поділити дріб

р і «2

8у*

на дріб

16у“

Розв’я з а н н я . 2їж2 . З* _ 2 їх2 16у2 _ 2 1 ^ -Іб у 2 _ 7х-2 _ 14ж 8у 2 16z/2 8у 3 Зж 8z/ -Зж " У " У ‘ , » 1Ajr В і д п о в і д ь . =?4х ==■. У _ок ог4. і к Приклад 2. Виконати ділення , : . ж2+2ж * Розв’язання. ж2-25 . Зж+ 15 _ (ж-5)(ж + 5) х = (ж-5)(ж + 5)ж = ж-5 ж(ж+2) 3( ж + 5) Зж(ж+2)(ж + 5) 3(ж+2) ж2 + 2 ж ’ ж Відповідь.

ж-5 3(ж+2)'

Приклад 3. Поділити дріб д ^ на многочлен а2 + 4а + 4. 5а Р о з в ’ я з а н н я . Подамо цілий вираз а 2 + 4а + 4 у вигляді а2+4а+4 дробу зі знаменником 1: а + 4а + 4 = та виконаємо ділення: „2

^ ± : ( а 2 +4а+ 4) = ;? !± ^ ± 4 = 5а 1 ; 5а 1 5а _ (а-2Ха+2)-1 _ а -2 5а(а+2)2 5а(а+2) Відповідь.

---- = (а +2)2

а -2 5а(а+2)

( '? ) Сформулюйте правило ділення дробів. Доведіть його. 154®. Виконайте 2.3. 2) 1) a •bL 9 155®. Виконайте 5.2. 2) 1) • 9 х У

ділення: 7 .У . 3) т . т . х * 2О 5 3 ‘4 ’ ділення: а .5 . 4.5. 3) ж ’ж ’ 2 'Ь ’

4.4 о2 . а

4)^:* у3 2 35

156®. Спростіть вираз: 36 . 2162 9\ . Згаг . 1) 12а 1 6 а ’ ' 2га2 8га ’ 4) _ Зх2 . 6х3 . 5) 14л2: — ; a а ' а2 7) -

: (16а2) ;

3) ___ 9Ь^ . ___ 56 14а 21а2 ’ 6 ) ^ : (-2л?); Tсі

8т2 а

8) -4 0 т а5:

157®. Спростіть вираз: 2) _3р ; 15р За . а^ 1) 6 V <? 15иг3 : (-10гаг2); 5) - 2 |_ : ( - 8 а 2); 4) 158®. Подайте у вигляді дробу: 12/га2 .6гаг4 9гаг 2) 1) 7с4 35с3 22га3 3) _ 7а6 .21а2Ь , 4cd ' 8cd3 ’

27гаг2га, 7с?х

3) 4 р : 8р 5с *15с3 ’ 6) -1 2 а2Ьс: — гаг

гаг 11га6

9/гага '7с2*3

159®. Подайте у вигляді дробу: 6с? . 2а3 . 91 _ 4а2 . а 4 . } 5Ь2 ' 156 ’ ' 27*'9*3 ’ 5*у , 15Л?І/ 2а6 . 2а26 3) 4) 2гаг2га 8гагга3 9л?р 27хУ 160®. Виконайте ділення: 2а+ 6 . 6+2а . За-2* .2*-За . 2) 1) 4р ’ 8р2 ’ 7*3 ' 14* ’ а2+а . 5 + 5а . 7а6 . 14а62 . 4) 5) с2—Зс Зс-9 ’ 962 ' б3 ’

а -8а . 5а . V ■2 '©і/ ’ 11а 22а2 6) гаг2-2»г 6-Зпг

161®. Виконайте ділення: 94 +2р .7р Х- y ,у ~ * . 1) 18а2 ’ 9 а ’ 2а2 8а х2+ * . 5* + 5 , З * - * 2 . 2 * -6 3) 9а6 4) 7р ' 14р2 ' 18а26 162®. Спростіть вираз гаг2 -га2 . гагга+гаг2 1) p + 2g 2р+4# а +2 , а2+ 4а + 4 3) а -2 ’ 5а-10 36

2ч 6 ^ 3 0 . ^ 2 5 ^ . ' 2* + 5 "4х + 10 ’ 4 ) Х + У . Д?+2ху + у2

р -2тп

2т2-т р

163®. Спростіть вираз: ab+b2 . a2-b2 . 1) m -Zn *2m-6ra ’ x?-9 , x? +6x +9 . 3) х Ч х ' 7x + 7 ’

x - 5 .2 x -1 0 . yz- 4 ' 3 y -6 ’ x - 4 у '4xy-x? 4) a2-2ab +b2 &—b 2)

164®. Подайте у вигляді дробу вираз: 4а2 . 8а3 . 14с2 . 2a3 . 10&2 . 4а2 . 2) 1) 25&3 3с4 "15&с ’ 5&3 ‘ 7с3 ' 15&3 ’ 9с3 ,27с3р^ 115а3 .92а®. 4fe2 3) 4) 18р 20р з •' 10 34Ь4 51Ь3 15а2 165®. Подайте у вигляді дробу вираз: За2 . 7с® . 9аЬ . їх 2 216дсв . 18х8 2) 1) 2ЬУ ' 6Ь3 ' 14с3 ’ 4у2 343у 3 ' 49у4 166®. Виконайте ділення: 9 + 6а + 4а2 .2 7 -8 а 3 1) 2а-1 1-4а 3) (25а2 - Юху + у2)

2) 7

8+х3 , х-2х+ 4, 16-х4 х3+4

: (9у2 - 12ху + 4 ^ ).

167®. Обчисліть значення виразу: ~П +2х+4 якш о х = _ я. L ) 9x? - 1 6 ’ Зх - 4

’ якп* ° * -

а>

2) (тп2 - 10тп + 25л2) :

~^п , якщ о т = 10, п = 3. 5 168®. Обчисліть значення виразу: 1^ (^ 5_)

якщ оа = 1 1 7 | ’ г' = 0’02;

2) (2х-у ) ; 4f ~ y - , якщ о X = 34, у = -1 7 . (х-2у)2 х2-4 у 3 п . 0,5а2-3 2 0,2а + 1,6 169®. Спростіть вираз ——5-------: — 0,5а3-62,5 0,2а2+ а + 5

з -т2- т +З 170®. Доведіть тотожність т j~---- : 3-----—— ----75m2-1 2 m -0,4

т+3 25m + 10

171®. Спростіть 6аЬ+6~4а~9Ь : ЗаЬ-18Ь-2а + 12 _ а2-12а+36 9Ь2-12Ь+4 172®. Спростіть

: аЬ+4Ь- 2а~8 . х - а сх+ ху -а с -а у 37

173®. П одайте дріб у в и гл я д і сум и або р ізн и ц і дробів: .. і8ж-24ж2у 7 y2+ y d 4 т 2+ 5п2 2а - f t . 2) 3) 1) ab ’ тп ' ЗОу2 У5

174®. Обчисліть значення дробу: 1)

т2+6тп+9п

(2тп+6п)

якщ о т

2 І . Л= -2 І;

2) ОД---- 2,5у якщ о ж = 100, у = 20. V -1 0 * y + 2 5 y 2 1 1 9 175®. Доведіть тотожність + + —=-— 1+*

Уроки 1 6 — 18 У

1 -х

1+ж2

1+ж4

1-х8

§ 7 * ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ВИРАЗІВ

Розглянемо приклади перетворень раціональних виразів. Приклад 1. Довести тотожність 6х+У Зж

Розв’язання.

5у 2 х _ 2 ж2 15 у

Спростимо ліву частину рівності:

6х + У _ 5у^ ._ж_ _ 6х + У 5у2-ж _ 6х + у _ у _ _ Зх х2 15у Зх 5у Зж Зж = бж + у - у = 6ж _ 2 Зж Зж

За допомогою тотожних перетворень звели ліву частину рівності до правої. Отже, рівність є тотожністю. Приклад 2. Спростити вираз \ 2х + 1 W - y 2 У -2 ж^

2ж

4Ж2

2ж + у

4Ж2 + 4 ж у + у 2

Р о з в ’ я з а н н я . Спочатку подамо вирази в кожній з дужок у вигляді дробів, а потім виконаємо ділення: 2*+У 2ж + 1 _ 2ж_________ 1____ 2ж-(2ж + у) _ ' 4ж2- у 2 У-2ж (2ж- у)(2ж + у) 2ж-у (2ж-у)(2ж + у) =

2ж-2 ж -у = у _ у (2ж - у)(2ж + у) (2ж-уК2ж+у) (у -2ж)(2ж + у) ’

2х+у 2\

Зх _ 4Ж2 _ 2ж______4Ж2 _ 2ж(2ж+ у)-4ж2 _ яж + у 4ж2+4жу + у2 2ж + у (2ж + у)2 (2ж + у)2

_ 4ж2+2жу-4ж2 _ 2жу (2ж + у)2 (2ж + у)2 ’ 38

2ху _ у(2х+у)2 _ 2х +у (у -2х)(2х + у) ' (2х - у)2 (у -2х)(2х +у)-2ху 2х(у -2х)

Запис розв’язання можна подати інакше: 2х Аз?- у 2 У~2х

2х 2х +у 2х+у

1 2х - у

2х ( 2 х у)<2х+у)

Ах2 Аз? +Аху - у 2 2х

2х+у

Аз? (2х+у)2

2х-(2х +у) ,2х(2х +у)-Аз? _ (2х-2 х - уХ2х +у)2 ~ (2х-у)(2х +у) (2x +y f (2х - у)(2х +у)(Аз? ~2ху -Аз?) _ -у&х +у) _ 2х +у _ 2х +у (2х-у)-2ху 2зфс-у) 2х(у -2х) Відповідь.

^ +У . 2х(у-2х) Поданий у прикладі вираз звели до раціонального дробу +у ч . Взагалі, кожний вираз, що містить суму, різницю, 2х(у -2х) добуток та частку раціональних дробів, можна подати у вигля ді раціонального дробу. Приклад 3. Довести, що при всіх допустимих значеннях змінних значення виразу

Зх+ у

невід ємне. -1

Р о з в ’ я з а н н я . Перетворювати вираз, заданий в умові, можна по-різному. Можна подати у вигляді раціональних дробів окремо чисельник і знаменник, а потім поділити пер ший результат на другий. А можна помножити чисельник і знаменник на у, викорис товуючи основну властивість дробу: аха- у

ґ Зх3~У

Зх+ у

Зх+у

-1 \

+1 у

_ V

(Зх - У)У

_ (З* + у)у

^ _ = 3х а- у +у _ Зх3 _ ^ + ,, Зх +у у Зх

Отже, при всіх допустимих значеннях змінних вираз то тожно дорівнює одночлену х 2, значення якого є невід’ємним при всіх значеннях х. 39

176®. В иконайте дії:

-.4 12а +Ь _ То 76^ . а . ?ггг’> ’ 3а ~ а2 '21б

п\ т2-п 2 я -З *) у? -9 т -п

3) a -ft + 1 . 2а + 6 . 2а +Ь а-Ь ' а2-Ь2

4) х -

177®. Виконайте дії: Юх + у 3у2 х 1) 5х х? 15у ’ х +у + з? -у 2 3) Зх - у х +у З х -у

т х +3

Xі - х у

х+ у

х -у

а2-4 . а -2 9 -б2 ‘3+6

2 3-6

4) т + т?+тп т п -т т+п

178®. Спростіть вираз: 1)ґ| +1 +2 І7 х 3) а+2 - За

х +7 ’

2) [ i + g N i - ^Зп| ;

а+2 .

. 9х +6 4) 2 + х + І

5х2 + 5х

179®. Спростіть вираз: 1 1)(£+б _ 2 т ттг-5 ’

\ ґ 1+ * 2) І - * У v Vj g _ т і. 4/71+12 4) »1+2) т2+2т

3 ) f6-3 A -2 & V ^ ; 180®. Доведіть тотожність: 1 2а . а 6 а-6 1) а -6 А 6 *2у 181®. Доведіть тотожність: f У -Х+у. 1) 1 + — + ^ х + у У у У У 182®. Виконайте дії: ( х -2 х+2^1 . 1) зс+2 х -2 .**-4 4х ’

( о 21 а + 3 ’ —3

183®. Виконайте дії: п 8т . т + 1 _ т -1 т2—1 * т -1 /71+1 т 184®. Спростіть вираз: 36 36 . а + 3 а - 3 1) а -3 * а —3 а + 3 а,2—9 40

а -2 2 ) а+2

m п2

l т

1_1_ п т

т +п п

і + 1 . 2т -п і2 2т ІЧ п 2т п ct —3 24а я + 3 ^ а2- 6 а + 9 а+2 , а2- 4 а + 4 а -2 2а2+ 8

^2х +у 2) х -2 у

2х-уЛ х?-4у2 х+2 у

185®. Спростіть вираз: 16

х+2 х-2

1) х+2

х -2

16 у?- 4

а -4 5а +1 , 5а-1 2) У а - 2 а+2 у 5а2+2

х+2

186®. Доведіть тотожність а -5

а +25 2 5 -а 2

а +5

а -5 а2+ 10а +25

а +5

187®. Доведіть тотожність ґ Ь Ь+7

Ь2+49 Ь2-4 9

Ь Л Ь-7 = &+ 7. Ь-7 £ґ + 14& + 49

188®. Виконайте дії: 1)

У1 - а 2

л: + 1 . 2а . ; 2) 2л:-2 а2+2а +1 у а2- 1

л: + 3 + 6 2л:+2 2л^-2

4л^-4

189®. Виконайте дії: 1)

Д-4. У4 - а 2 а +1

2) З а - 3

2а ’

а2- 4 а + 4у а+2 За + З

21-а За2- З

а2-1

190®. Доведіть тотожність: 1) 2)

2а2- а а2- а + 1

а +1

а -1 а2- а + 1

а + 1;

тп-2 _ 6/га-ІЗ 2пг3+ 16 = 3 - т ________ З ^ т2-2 т + 4 пг3+ 8 у 18-бтп

191®. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях а значення виразу не залежить від а: Л ґ а+ 2 1 + _______ За - 8 4 а -28 1) 16 а+2

а +1

а2- 2 а + 4

а 3+ 1

а 3+ 8

+■

а2- а + 1 \

а - 2а-1

а +1

192®. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях &значення виразу ( Ь-2 . 1 | 9Ь + 6 1-2& 15

Ь-2

б3- 8

й2+2& + 4

не залежить від Ь. 41

193®. Подайте у вигляді раціонального дробу: V71

}

( п2

\2 ];

2 +

4 - 1 1

Г 2 ? «_ + 1

)

( \2 + а ~Ь + X +4 4) І^ а+ь а Ь / У 194®. Подайте у вигляді раціонального дробу: ч2 , ч2 т_і ґ х +уЛ 771 +1 2) 1) П У

а+Ь

3) 4 - 4

195®. Спростіть вираз: 1_ 1 їх-а + і і ) ^ ; 2) -7х+ а а і+ і ’ -1 х а х х+1 6с-9 сх -1 4 ) ------Є 5)

х -1 ’

X+ 1

а-Ь

і і 3) ^ _ ; /

2р2

6 )71^- 771 71+ 771 77 - 777 77+ 777

196®. Спростіть вираз: 1+1 1) __ т . 1-4’

1-4 4) * х - 2е -1

3Р + 771_1 т Зр-7П + 1 771 771

2-771 771

2+777

| 2 + 777

771

1+1 3> ± і г ; 4* —1 - н— — 0^ х - 2

х+2

х -2

х+2

+ 2 -Т Т І

777

197®. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінних значення виразу не залежить від а і 6: 8 ( 2а-0,5Ь | 24аЬ | 1 4а-Ь |^4а2+ аЬ + 0,25&2 64а8-Ь3 2а-0,5Ь 198®. Знайдіть значення виразу 1,5а-4 2а-14 , 1 . 4 0,5а2- а +2 0,5а8+ 4 а +2 а+2 ’ якщ о а = 197.

200®. Відомо, що х + 1V = 3. Знайдіть значення виразу х? + 42

Неї1— 1 ^»1

199®. Відомо, що х - - = 7. Знайдіть значення виразу д? + 1 х

201®. Спростіть вираз: ва^+гас 2х+1 > 1) ^ 8ас3-1 4ас2+2я + 1> 2)

, 2ас+ 1 2х

р2-2р + 1 . 2р . 1 4 р 3+ 1 ' р 2- р + 1

4а^ + 10ас^ 4ас2+2ас J

.7»-1 Р-1 > +1'

202®. Доведіть, що значення виразу 2х 2 4х 2х + 2 х+1 х -1 * + 1 ' х -1

4х х?-1

не залежить від значення змінної. 203®. Доведіть, що значення виразу ґ , \ 3-771 _ 2 'І 771-3/71 1 <7713+ ЗТ712+ 3/71+1 7712+2/71+ 1^ 7712-2Т71+ 1 1 —НІJ є додатним при всіх допустимих значеннях змінної. 204®. Подайте у вигляді раціонального дробу або цілого виразу: 1) 1 -

— - —

і— х+1

;

----------—

т—

т 1-771

205®. Подайте у вигляді раціонального дробу або цілого виразу: 1)1 + 2х 2) 1- х п— х +2 71+ ■ п-

206®. Подайте вираз у вигляді степеня: 1) х7х 3: х?; 2) (ас5: ас2) : х; 3) (а2)3 •а ; 4) (ас3)5: Xі . 207®. При яких значеннях змінних дріб дорівнює нулю: (т - 1)т' (/71+2)771 я? 2х . 4) 2) 8 1) 771+2 “ 7 7712-4Т ~> х? +х 208®. Доведіть, що число 8е - 412 кратне 7 209®. Побудуйте графік функції: [2ас + 4, якщ о ас < 0, 1)У = [4 - ж, якщ о я: > 0; 2х + 5, якщ о ас< -1 , 2) г/ = З, якщ о - 1 ^ х <, 4, х - 1 , якщ о я: > 4 . 43

Уроки 19, 20

§ 8. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Розглянемо рівняння: 3 (х - 1) + 2х = х + 7; Ц 2 - Ц І = х; 6 = 14; 1 . + . 1 = 3. х-1 х - 1 х +1 Ліва і права частини кожного з цих рівнянь є раціональни ми виразами. І Рівняння, ліва і права частини яких є раціональними іУ виразами, називають раціональним и р івнянням и .

У перших двох з розглядуваних рівнянь ліва і права час тини — цілі вирази. Такі рівняння називають ц іл и м и раціо на льним и р івн ян н я м и . Якщо у рівнянні хоча б одна частина є дробовим виразом, таке рівняння називають дробовим раціо н а льним р івн ян н я м . Серед розглянутих вище рівнянь останні два — дробові раціональні. Розв’язування цілих раціональних рівнянь ми розглянули в попередніх класах. Розглянемо методи розв’язування дробо вих раціональних рівнянь, тобто рівнянь зі змінною у зна меннику. 1. Використання умови рівності дробу нулю : дріб % дорівЬ нює нулю тоді і тільки тоді, коли а = 0 і Ь 0. Приклад 1. Розв’язати рівняння х = 3. х -2 Р о з в’ я з а н н я. За допомогою тотожних перетворень зведемо рівняння до виду | = 0, де а і Ь — цілі раціональні о вирази. Маємо: х _ о . х _ 3 _ 0 . х -3 (х -2 ) _ д . х -З х + 6 _ 6 -2х _ 0 х -2 ’ х -2 1 ’ х -2 ’ х-2 ’ х-2 Щоб дріб 6 -2х дорівнював нулю, необхідно, щоб чисельх-2 ник 6 - 2х дорівнював нулю, а знаменник х - 2 не дорівнював нулю. Отже, 6 - 2 х = 0 ; х = 3 . При х = 3 знаменник х - 2 відмінний від нуля: ж - 2 = 3 - 2 = 1?£ 0. Отже, х = 3 — єдиний корінь рівняння. Запис розв’язування рівняння можна було закінчити інак ше, а саме: 44

6 -2 * = 0 . [ б - 2 ж = О, \ х = З,

х-2

’ [ж - 2 * 0 ;

[ж ф 2;

х = 3.

В і д п о в і д ь . * = 3. Отже, розв’язуючи дробове раціональне рівняння, можна: 1) за допомогою тотожних перетворень звести рівняння до виду ^ = 0; 2) прирівняти чисельник а до нуля і розв’язат и утворене ціле рівняння’, 3) виклю чит и з його коренів ті, при яки х знаменник дробу Ь дорівнює нулю. 2. Використання основної властивості пропорції: якщ о £ = 4 (де Ь -Ф - 0, й -Ф - 0), то ай = Ьс. Ь а Приклад 2. Розв’язати р ів н ян н я---- — = + 1. X і. X сі Р о з в ’ я з а н н я . Виконаємо додавання у правій частині рівняння: 2ж+1 _ х+ х -2 . 2х +1 _ 2х-2 х -1 х -2 ’ х -1 х -2 За основною властивістю пропорції маємо: (2ж + 1)(ж - 2) = (2х - 2)(ж -1 ) при умові, що ж - І ^ О і ж - 2 ^ 0 . Розв’яжемо утворене рівняння: 2Ж2 - 4х + х - 2 = 2*3 - 2х - 2х + 2; 2я? - З х - 2х? + 4х = 2 + 2; х =4. Перевіримо умови * - 1 ^ 0 і ж - 2 ? ь 0 . Якщо х = 4, то х - 1 = = 4 - 1 = 3 ^ 0 і ж - 2 = 4 - 2 = 2 ^ 0 . Отже, х = 4 — корінь рів няння. Запис розв’язування можна було закінчити інакше, а саме: 2ж+ 1 _ 2*-2 . ж-1 ж-2 ’

(2ж + 1)(ж - 2) = (2х - 2)(х - 1), х - 1 ї 0, х - 2 ф 0;

2*3 - 4ж + ж - 2 = 2*3 - 2ж - 2ж + 2, • ж * 1, ж Ф 2; Відповідь.

ж = 4, • ж * 1, ж Ф 2;

ж = 4.

ж = 4. 45

Отже, при розв’язуванні дробового раціонального рівняння можна:

іл

1) за допомогою тотожних перетворень звести рівняння до виду £ = £ ; о а 2) використовуючи основну властивість пропорції, діс тати ціле рівняння аЛ =Ьс та розв’язат и його; 3) виключит и з його коренів ті, при яки х знаменники Ь або <1 дорівнюють нулю.

3. Метод множення обох частин рівняння на спільний зна менник дробів. у _9 к с Приклад 3. Розв’язати рівняння — = „ + „ х?-х хГ+х Р о з в ’я з а н н я . Розкладемо на множники знаменники дробів: х2 _ 5 5 (де—1)(ас+1) х ( х 1 ) х(х-1) ‘ Спільним знаменником усіх дробів є х ( х - 1)(х + 1). Помно жимо обидві частини рівняння на цей вираз за умови, що х(х - 1)(х + 1)=£ 0. Маємо: х-2 х х ( х - 1 ) ( х +1 ) ; (х-1Хх +1) х(х - 1) х(х +1) х(х - 2 ) = 5(х + 1) + 5(лг - 1), х2 - 2х = 5х + 5 + 5х - 5; х ? -1 2 х = 0; х ( х - 1 2 ) = 0. Звідси х = 0 або х = 12. Але, якщ о х = 0, то спільний знаменник х(х - 1)(х +1) перетворюється на нуль і дроби , і , - не мають змісту. Тому х(х 1) х(хі 1)

число 0 не є коренем рівняння. Якщо ж х = 12, то спільний знаменник дробів не пере творюється на нуль. Тому число 12 — корінь рівняння. В і д п о в і д ь , х = 12. Розв’язуючи дробове раціональне рівняння, можна:*2345

l) розкласт и на множники знаменники дробів, якщо це можливо; 2) знайт и найменший спільний знаменник дробів, що входять у рівняння; 3) помножити обидві частини рівняння на цей спільний знаменник; 4) розв’язат и утворене ціле рівняння; 5) виключит и з його коренів ті, при яки х спільний зна менник дробів перетворюється на нуль.

у.

р у

Приклад 4. Чи рівносильні рівняння ——- = 0 і -— =0? х +1 х —З Р о з в ’ я з а н н я . Нагадаємо, що два рівняння називаються рівносильними, якщ о вони мають одні й ті самі корені; також рівносильними вважають рівняння, як і не мають коренів. Перше рівняння має єдиний корінь х = 2, а друге — два корені х = 0 і х = 2 (розв’яж іть рівняння самостійно). Тому рівняння не є рівносильними. В і д п о в і д ь . Ні. Які рівняння називають раціональними? • Яке рівняння називають цілим раціональним, а яке — дробовим раціо нальним? • Як можна розв’язати дробове раціональне рівняння?

210®. (Усно.) Назвіть цілі раціональні рівняння, дробові ра ціональні рівняння: 1) - + § = 1; х З о\ ж+2 х —3 _--15; 3) 4 ~ 8 -

2) х? - 2х(х + 3) = х - 7; 4) 4 - 8 „ _ 15. ’ х+2 х —3

211®. Чи є число 1 коренем рівняння: 1)' х+2 * - 0;

3 )^ = 0 ;

4 )* 2-1 - 0? *

212®. Чи є число 2 коренем рівняння: 1>*М = 0; 2> * : 3 = о; 213®. Розв’яж іть рівняння:

3> й г 0:

4 ) 4-^ - 0 ? х+1

4) х+5 - 0. 3 ) * ± | = 0; 1 ) ^ = 0; 2) ^ 3 = 0; х-2 X х-1 X 214®. Розв’яж іть рівняння: 2)*=2 = 0; 4) Х+1 - 0 . 3) х+3 ~ 0; X х-4 X 215®. Розв’яж іть рівняння: 2 ) 3*+7 _ 0; 4 ) ^ 1 = 0. І ) 2* "8 - 0 ; 3>А = 0 : 1-* х+4 X 216®. Розв’яж іть рівняння: 2)2*-5 _ 0 ; 1 )3*+}2 _ 0 ; 4 ) ^ = 0. ’ х-2 3)хІі = 0 ; х-4 X 217®. Знайдіть корені рівняння: 4) _ _2_ 2 )^ = 2 ; 1) х+3 - 2 - 0;; } х-2 х -2 ' X « я - ! * 47

218®. Знайдіть корені рівняння: 5 _ 1 ) 2 ж ± 1 _ з = 0 ; 2) = 5; о\ * _ 5, ; *+2 3 : 4 ) ;ж-2 ж+4 х ж-4 219®. Чи рівносильні рівняння: п х _ 4 ; х-5 _ 3 - х . о\ х2+2* _ ж2-4 ;2*-3 ж-2 х —3 Зж -------Г ’ ж—3 1 Зж 220®. Чи рівносильні рівняння: 1)^*—= -3 _ і* = ± = ^ ; 2) ж2-* ._ ж2+5 • Зж-1 2ж-5 2ж ж—1 ж—1 2ж ''jc+1 ж+1 ж ж 221®. Розв’яж іть рівняння, використовуючи основну власти вість пропорції: 2Ж2- ! 2 х ; 2) ^ ± 1 = Зх - 1 ; 1) ж+1 X х-3 . X . 4) = 2ж + 3. 3) г ^ + І 2х 2ж7’ ■' 2ж-1 222®. Розв’яж іть рівняння, використовуючи основну власти вість пропорції: 1 ) ^ 3)

= 3*;

2*-З = 1 . 2*43 х ’

= 2ж + 1;

4 ) ^ ^ = Зх - 1. ' 2ж+3

223®. Знайдіть дріб, що дорівнює ^ , у якого чисельник на 5 О менший від знаменника. 224®. Знайдіть дріб, що дорівнює \ , у якого знаменник на 12 5 більший від чисельника. о

225®. Яке число треба додати до чисельника дробу ^ , щоб дістати дріб і ? 226®. Яке число треба відняти від знаменника дробу — , щоб 18 дістати дріб -1 ? о

227®. Розв’яж іть рівняння: ж+4 JL . Ж+в = 0; 2) — - - L 1) 2ж-1 2ж+1 7 5* 10* ЗО’ 3) 2 + - і - = jh * ; = 2— , ж-2 2-ж 10 5*-5 228®. Розв’яж іть рівняння: *+1 * X = 1. 1) 3*+1 3*—1 = 0 ; 6’ * > е 2* 48

1 _ 1 =З 4) 4х+4 х +1 8 ' 229®. Чи рівносильні рівняння 2х+6 + Зх-7 = 5 і х-2 + х+2 _ 8 9 х-2 х+2 х-2 я2- 4 ' 3) з

1 _ X . 1 -х х - 1 ’

230®. Чи рівносильні рівняння Зх-12 , х+12 = а і де+1 , х-1 _ 2 9 х-3 х х-1 х+1 х2- ! 231®. Чисельник дробу на 5 менший від знаменника. Якщо до чисельника додати 14, а від знаменника відняти 1, то діс танемо дріб, обернений даному. Знайдіть початковий дріб. 232®. Знаменник дробу на 3 більший від чисельника. Якщо до чисельника додати 8 , а від знаменника відняти 1, то діста немо дріб, обернений даному. Знайдіть початковий дріб. 233®. Розв’яж іть рівняння: 1 \ х?-2 _ х-1 , х+3 . «і х? +1 = х + 2 * у?+2х х х+ 2’ ’ у?-1 х +1 х - 1 ' 234®. Розв’яж іть рівняння: х2+8 х + З х?-2 _ х+2 , х+3 . 2) ’ х?-х х х -1 ’ х2—4 х +2 х -2 235®. Розв’яж іть рівняння: = 0. 2 ) 1*х(х-2) -11

і) ^ ~ ^ ~ 5 = 0 ;

236®. Розв’яж іть рівняння: 1)

х-5

= 0;

2) % ^ = 0 . х(х-4)

237®. При яких значеннях а рівняння не має розв’язків: 1) * -2о_ = 0 ; 2) х ~а+1 = 0 ? ' х(х-8) х2-3х 238®. При яких значеннях а рівняння один корінь?

°)(* 2д 1) _ ^ має х—З

239®. Обчисліть: 1)2 5 - 32 ;

2) (-1)9 + (-1)8;

3 )4 2^ - | | ;

4 )5 3: ( | | .

-і пх -_о 120 ^ - * „ • —=-----та знайдіть його знах+2 Зх+6 у г 8 х чення, якщ о х = 100. 241®. Скоротіть дріб 4а2-Ь2+2а-Ь 4а2+4аЬ+Ь2+2а+Ь 240®. Спростіть вираз

ЗАВДАННЯ Д ЛЯ П ЕРЕВІРКИ ЗН А Н Ь ДО § 5 - 8

Урок 21

1®. Виконайте множення: ■л\ с 5 . л\ 12 а

Х)Т

2®. Виконайте ділення: 1)1-12) ^ : - • ' 5 ' 7 ’ а2 о З®. Чи є число 4 коренем рівняння: X2—16 п. оч 2) х = О? 0; 1) «-4 4®. Виконайте дії: аЬ . 2а 3 5т 2) 1) 15т2 а х2- 2ху+г/2 ’ 6а 3 о\

Ощ З т2 , 7?" ‘

9т3 28с

—16 4) х2 Зх-6

2х+8 5х-10

5®. Піднесіть до степеня: лі° 2а л 3 аЬ 2) 1) т2 6®. Р озв’яж іть рівняння: 4 х2 - 8 1) ^ ± ^ = 0 ; 2) х-3 ’ 7 х +1 7®. Доведіть тотожність 7 , х2 + 4 9 7 ^х+7

х2 - 4

7 -х^

4х.

х-7 х2+14х+49

ж+7

8®. Спростіть вираз | 2а +1 _ 2а -1 ^ . 2а2 2а-1 2а+1 J ' 4а2-1 9®. Відомо, що х + і = 9. Знайдіть значення виразу х2 + Д одат кові завдання т10®. і л Спростіть г■ вираз — 0,2а8-1,6 —Т,— — : 0,5а2+а+2 ’ —— . 0,1а2- 1,6 0,25а-1 |2 X І—З 11®. Розв’яж іть рівняння ------ -— = 0. х-5

Уроки 22, 23

§ 9. СТЕПІНЬ З ЦІЛИМ ПОКАЗНИКОМ

Нагадаємо, що в 7 класі ми вивчали степінь з натуральним показником. За означенням степеня а п = а- а- ... -а, якщ о '------ у------ ' п

М Н О Ж Н И К ІВ

п > 1, п — натуральне число і а1 = а. У математиці, а також під час розв’язування задач прак тичного змісту, наприклад з фізики або хімії, трапляються степені, показник яких нуль або ціле від’ємне число. Степінь з від’ємним показником можна знайти в науковій та довідко вій літературі. Наприклад, масу атома гелію, записують так: 6,64 *10-27 кг. Я к розуміти зміст запису 10-27? Розглянемо степені числа 3 з показниками 1, 2, 3, 4...: 3і , З2, З3, З4 ... або 3, 9, 27, 81... У цьому рядку кожне наступне число у 3 рази більше за попереднє. Продовжимо рядок вліво, зменшуючи кожного разу показник степеня на 1. Дістанемо:

...З 3, З-2, З-1, 3°, 3і, з2, з3, з4... Число 3° повинно бути в 3 рази менше за 3і = 3. Але в 3 рази меншим за число 3 є число 1, отже, 3° = 1. Така сама рівність а0 = 1 буде виконуватися для будь-якої основи а, відмінної від нуля. рч Степінь числа а, яке не дорівнює нулю , з нульо ви м по[ / казником дорівнює одиниці: а 0 = 1 (якщ о а Ф 0).

Зліва у рядку від числа 3° = 1 стоїть число З Ч Це число у З рази менше за 1, тобто дорівнює і . Отже, 3 і = і = -і-. Міркуючи далі аналогічно, дістанемо

0 -2 _

1 _

.0 -3 _ ^

9 з2 ’ 27 з 3 т. д. Доцільно прийняти наступне означення степеня з цілим від’ємним показником (~п):

якщ о а Ф О і п — нат уральне число, то а

Приклад 1. Замінити степінь з цілим від’ємним показни ком дробом: 1) 5-7; 2) ж-1; 3) (а + Ь) *9. -і і = 1 ; 3 )<а+(Г* 1 Р о з в ’ я з а н н я . 1) 5-7 (а+Ь)9 ‘ 51

Приклад 2. Замінити дріб степенем з цілим від’ємним показником: 1) \ ; 2) 1* ; 3) ^ . а т -п 7 Р о з в’ я з а н н я. 1) =а 2; 2) = ( т - л)_1; 3) ^ = 7-13. а т -п 713 Приклад 3. Виконати піднесення до степеня: 1) 4-2; 2) (-9)°; 3) ( - 5 ) 3. Р о з в ’ я з а н н я . 1) 4 2 = ^ ; 2) (-9)° = 1;

Розглянемо піднесення до від’ємного цілого степеня дробу —. Якщо п — натуральне число і а ф 0, маємо: Ь

-2

2)27

Приклад 4. Обчислити: 1) 2 -2

Р о з в’ я з а н н я. 1) | 2 - J

^ J

№ ^ . 2) Нагада

ємо, що дія піднесення до степеня виконується раніше за дію множення. Маємо: -4 -4 271 6 16 2 7 -І І 2 7 -І | 27- 1 81 З В і д п о в і д ь . 1)

2 )5 |.

Л Чому дорівнює а 0, якщ о а Ф 0? • Сформулюйте означен ня степеня з цілим від’ємним показником. • Доведіть тотожність

242®. (Усно). Чи правильна рівність: 1) 2 3 = ^ ; 2) 4° = 0 ; 3 )1 9 -“ = ^ ; 52

4)(-4)° = 1?

243®. Замініть дробом степінь з ділим від’ємним показником: 1) 4-5; 2) а 1; 3) р 10; 4) с-8;

5) (2а)_3;

6) ( а + Ь Г 4.

244®. Замініть дробом степінь з цілим від’ємним показником: 1) Ь~3; 2) 7“1; 3) 2 '7; 4 ) Г 6; 5) (3/п)"2; 6) (с - сі)"7. 245®. Замініть дріб степенем з цілим від’ємним показником:

1 (тга-л)4

246®. Замініть дріб степенем з цілим від’ємним показником: 4) 1 . Ь’

3 )р Й 6)Ч 1 ,2 * (а+де)'

5) 1 . ' (сто)8

247®. Обчисліть: 2) (—2)-2; 1) 7-2; 5) (-7Г 1;

6) 10 3;

3) (-1 Г б;

4) 12 і;

"ІҐ

«І

12Ч

№

-5

9)1-1

Ю) 1

П)

13) ОД"1;

14) (-0,2),-2.

15) (1,2Г2;

248®. Обчисліть: 1) 2-3; 2) (—І)-6;

3) 15 і;

-V 16) (-0,2 5)_3. 4) (-в)"1;

-2

5) І

9) 0,2_1;

10) (-0ДГ2;

11) (1,5)-2;

и г=

12) (-0,5)'4.

249®. Подайте числа 16; 8 ; 4; 2; 1; і ; \ \ і і А У вигляді £ 4 о ІО степеня з основою 2. 250®. Подайте числа 100; 10; 1; 0,1; 0,01 у вигляді степеня з основою 10. 251®. Обчисліть: -з 2) (-0,8)-2; 4) 1) -5 -2; 3)

-С -іГ

252®. Обчисліть:

-з

-2

1) -2 33;

2) (-0,4) 2;

зн - |

4)- І - !

253®. Подайте вираз у вигляді дробу, що не містить степеня з від’ємним показником: 1) 2а_3; 2) ЗтпіГ1; 3) а%~3с ; 4) а~%~7. 254®. Подайте вираз у вигляді дробу, що не містить степеня з від’ємним показником: 1) 4Ь_б; 2) 7а~гр; 3) тп~2р 7; 4) с~%~г\ 255®. Обчисліть: 1) 81 -З“5;

2) -2 5 -1 0 ”2; 3) 27 •(-18)-1; 4 ) 2 | - ^ - | ^ ;

5) -8 - 2 4 + 3°;

8“2 + б“1; 7) 2,5 і + (-13)°; 8

9) ( - 8Г2 + (0.4)1; Ю) ( | ) 2 *Ю-3; 11) ( £ ) * : ( £ ) *; 12) 1,25 2 + 2,5“3. 256®. Знайдіть значення виразу: 1 )-6 4 -4 -4;

2) 36- (-27Г 1;

5) 5 2 - 10 і; 6) 3,2 1 + ( і |1 2; 7) Щ 257®. Порівняйте з нулем степені: 1) 8 13; 2 ) ( -3 ,7 )10; 3) (-2 .9 )11;

ї 4) - 7 - 0 ,Г 2+5°; 20 2; 8) 1,5 2 - 1 ^ 3.

4) - (-2,1)“7.

258®. Порівняйте з нулем значення виразу ап, якщо: 1) а > 0 і п — ціле число; 2) а < 0 і п — парне від’ємне число; 3) а < 0 і п — непарне від’ємне число. 259®. Порівняйте з нулем значення виразу Ьт, якщо: 1)Ь = 5, т = -13; 2) Ь = -1 ,т = -2 0 0 ; 3) Ь = -3 , т = -13. 260®. Перетворіть вираз так, щоб він не містив степенів з від’ємним показником: 1} т2п2р~3 . 1 2оч) 57°а_ -2 „ -3 „ -1 * сх3а X ТП 261®. Використовуючи від’ємний показник, подайте у вигляді добутку дріб: -І\ Зх2 . 04 15тп. 04 2х 4 ) ^ . 3)¥ ( а ^ ’ (*-у)8 54

262®. Подайте дріб у вигляді добутку, використовуючи сте пінь з від’ємним показником: (а+2)“ 7с2 . 4) Ч ^ г-і 2) 3) с4 ^ (х-у)а ’ ' (а-5)2 * Sin 263®. Подайте у вигляді дробу вираз: 1) /п 3 + п 2; 2) а&_1 + Ьа-1 + с°; 3) (лі + п_1) (лі-1 + га); 4) (а-1 + Ь“1) : (а-2 - Г 2) . 264®. Подайте у вигляді дробу вираз: 1) ху~3 + х ху 2\ 2) (х~г - у~2) : (лГ1 - у _1) . 265®. Обчисліть значення виразу: 1) (1 + (1 - б 2) 1) 1; 2) (1 - (1 + З“1)”2)“2. 266®. Обчисліть значення виразу (1 + (1 - З-Іч-lv-l і) і) 1 + (1 - (1 + 3 4) 4) 1 267®. Спростіть вираз (1 - х 2)І 1

ЛГ1- !

jc_1 + 1

268®. Подайте у вигляді степеня: 1) а 5а 3; 2) Ь7 : Ь3; 3) (с5)4 ; 4) т 7пі; 5) і10: і ; 6) ^p7f . 269®. Виконайте піднесення до степеня: 1) (ліп2)7 ; 2) (-2\р3І \ 3)(-5слі2)3; 4) (-а2с3)10. 270®. Спростіть вираз: 1) (5лі2п)3 •(0,2т3гі?\ 2) (-0,1р7с3)4 •(ІОрс2)3. лгп п к и 9 Л -9 6 Р

§ Ю. ВЛАСТИВОСТІ СТЕПЕНЯ З Ц ІЛИ М ПОКАЗНИКОМ

Властивості степеня з натуральним показником справджу ються і для степеня з будь-яким цілим показником (необхідно лише зауважити, що основа степеня відмінна від нуля). Отже, гч д ля будь-якого а Ф 0 і будь-яких ц іли х т і п: а т-ап = а т+п; ат:а п = а т п ; (а*У = а ”

СJ

д ля будь-яких а * 0, Ь * 0 і будь-якого цілого п: (аЬ)п = апЬп ; ®Т =

ь)

ьп' 55

Ц і властивості можна довести, спираючись на формулу а~п = — та властивості степеня з натуральним показником. ап Доведемо, наприклад, формулу ат •а п = а т+п для випадку, коли т і п — від’ємні ділі числа. Нехай т = -р, п = -q, дер і q — натуральні числа. Маємо: а т-ап = а р •a q = -L ._L = = - L - = а “(р+<г) = ан а* ар ■aq = a-p~q = а т+п Отже, а т-ап = а т+п, якщо т і п — від’ємні цілі числа. Так са мо цю формулу можна довести, якщо один з показників т і п — від’ємне ціле число, а інший — додатний або дорівнює нулю. Приклад 1. 1) а2а~7 = а 2+(_7) = а -5; 3) ( я 3)2- * 14 = *-3’2- * 14 = я * - * 14 =

2) б15 :&20 = Ь15-20 = £Г5; = * 20.

Приклад 2. Спростити вираз (4а5?? 6) 2. Р о з в ’ я з а н н я . (4 а% ®) 2 = 4 2 •(а5) 2 ф ®) 2 = (4аЕ

Приклад 3. Обчислити 94 -З“2 27б

Р о з в ’ я з а н н я . Подамо 9 та 27 як степені числа 3 та виконаємо обчислення: 94 -З"22 _ (З2)4 -З"22 _ З8-З"22 _ З"14 = 3-14-(-15) 2 7 -6

(3 3j-6

g-15

-15

з1 = з .

В і д п о в і д ь . 3. ^ 2 ^ Сформулюйте властивості степеня з цілим показником. 271®. (Усно.) Які з рівностей правильні: 11)\ Ш -у,3 *7 _7 __1 Т = 7 __7_1 21; 2) а 7 -а 9 = а 2; 4) с8 : с~5 = с13;

5) с4 : с5 = с ;

7) (а7) 1 = а 7 ;

8) (Г 2) 3 = г?'6 ;

3) а 6 -а 6 = а ; 6) т :т 8 = тГ 9) (і6)“2 =*10?

272®. Подайте добуток у вигляді степеня: 1) а5а~2 ; 2) а~7а 6; 3) а9а~9 ; 4) а"7а"8 . 273®. Подайте добуток у вигляді степеня: 1) Ь7Ь~3; 2) Ь~%3 ; 3) Ь'^Ь'7 ; 4) Ь~%3 . 274®. Подайте частку у вигляді степеня: 1) т3: т~2 ; 2) игб: иг6 ; 3) т 3: т~3; 56

4) ттг-1 : т 8 .

275®. Подайте частку у вигляді степеня: 1) с5 :с_1; 2) ^ : ^ ; З ) с 2 : с 3;

4) с 4 :с 4

276®. Піднесіть степінь до степеня: ІИ * -4)-2 ; 2 ) (ж-1)17; 3 )(х°Г 5 ;

4) (х7)-4 .

277®. Піднесіть степінь до степеня: 1)(/Г 2)-7 ; 2) (п15)“1; 3)(тГ8)0 ;

4) (п5) 3 .

278®. Подайте а -10 у вигляді добутку двох степенів з однакови ми основами, якщ о один з множників дорівнює: 1) а -3; 2) а 7 ; 3) о-1; 4) а 12. 279®. Подайте степінь у вигляді добутку двох степенів з одна ковими основами будь-яким способом: 1) іга8; 2) тГ2; 3) тГ17; 4) т°. 280®. Обчисліть: 1 )27 -2~6

2) 5_3 •5;

3) ч Ґ - Г т Т ; 4)Гі

5) З8 :39;

6 ) 7 15: 7 16;

7) 9 : 9_1;

9) (2-2)3;

10) ' - і -

11) (ОД1)4;

12 )

/ 281®. Знайдіть значення виразу: 1) 3е -3 8 ;

2) 2 3•2 ;

8)||

5) 104 : 105;

6) 8“12: 8“13*;

7) 7 : 7"1;

-7

9) (З“1)4;

10)

1 ; 11) (ад 3)-1;

12)

'I (ґ п

-12

282®. Подайте вираз у вигляді степеня з основою а: 1) а 7 :а 3 •а~12;

2) (а5)-3 -а12;

3) (а-8)3 : а 4;

4) а° •(а-3)4 -а5;

5) а “3 -а 0 :о5:о ;

6) (о3)“2 •(а-1)

283®. Подайте вираз у вигляді степеня з основою Ь: 1) Ь3 :Ь7 -Ь2;

2) (*Г2)4 -Ь10;

3) (Ь3)“2:Ь3;

4) Ь7 • (б“2)3 • &°;

5) Ь°-Ь~І :Ь3:Ь;

6) (Ь-4)“1 • (Ь2) ,-2 57

284®. Спростіть вираз: 1) 4а V • 5а10Ь 3; з)|

2) 0,4т 6п4 • 1 0 т6п 9; 4 ) [ - | & “6т “4 -1 І1Ь^ тп 2 6

( - 9 Л -3);

285®. Спростіть вираз: 1) 10тап~2 • 2т 5пі ;

2) 0,02а “%3 • 100а V 7; 4 ) | - | РЛ - » Н - 1 і1р - с

3 ) - | * “У • 16х4у -10;

286®. Подайте степінь у вигляді добутку: 1) (ху)~2; 2) (аГ 2)“3; 3) ( я У ) “1; 5) (0,1а-2) 1; 6) ^ т - 3р ^ 2;

7) (-2с-3рГ3;

4) (лЛ “8)“2; 8) ^ Ь - 1^

287®. Подайте степінь у вигляді добутку: 2) (а “263)“4; 3) (0,2т “4)“1; 1) (Р-2.Л-5. гп) ь;

4) | а ' 2ь] "і

5) (-4аЬ 2) 3;

6) | с 2Ь ' '

288®. Подайте у вигляді степеня вираз: 1) 6 4 т “3;

2) 0,01р“8;

3) 0,0025с“V ;

4 )5 Х Л -20.

289®. Обчисліть значення виразу: 1) ((5 2) 6 • (б 8)2)“1; 3)

2) 10; ^

)4 ;

(7 2) 8 (74)“3 ’ (7 а) 4 ■( 7 1)“8 ’

(3“2)3 (3 г)5 . (З6)“2 ’

290®. Обчисліть значення виразу: 1) « 4 - Г 2 (4 'У ')1;

291®. Обчисліть значення виразу: 1)243- З“6; 2) 64 • (2”3)3; 4) 49 - i . f i

З6“3• б“8 ( 6) -13

292®. Обчисліть значення виразу: 2) 81 • (З,-2чЗ. 2) 1) 128- 2“5; 4) 36

■ЙГ' 58

100“2• 10 7 1000“8

•

3) б“8 - 25б : 125; 8^ 16 5

3) 7“8 - 3438:49; 6)

5~3-25а 1255

293®. Спростіть вираз: 1) 3,5а V : (0,5аЛ 9) ;

2) 3 £ ж V і : Г -1 1 ж У 41.

294®. Спростіть вираз: ! ч 13а &"8 . 2) - 12а-3 . 7ж~7 35ж ба 8 ’ Г 5 26а 2 ’ 295®. Спростіть вираз: 1) 4,9/п8/Г4 : (0,7/пп-2) ;

2) ^ х

(

21с"1

296®. Подайте у вигляді виразу, який не містить степеня з від ємним показником: Л-яЧ У1 -2 Л У 'У 2 у2 2) 1) иг¥ 5У Vе у ч-З V2 -2 49ж_4у 3; 4) 'У У 2 3) 7ж 2.2 а о V 4 У

297®. Подайте у вигляді виразу, який не містить степеня з від ємним показником: у 1 Г -3 ? ( -7 2 Л-з д: ж с а 2 ) 1) Ь 2х У І »"3 -з -2 __ 2 „ 3 -Л 5а П І Л 25а “4^ ; 3) 4) 3_4 ПІ п 2Ь~3У Ч«'

298®. Спростіть вираз (п — ціле число): аіпЬ2 12" 1) г22п5-3^ .> 3) 2/11,3 + 2/1 2 ) »2/1-1 . оЛ+1 а о 299®. Спростіть вираз (пі — ціле число): „9/71-3/71— 2 49 т . і ) х у 2) 1/71+218” 1) ґ г 2 т - 2 9 о 2 /Т І-1 ’ X

300®. Скоротіть дріб: К/і

1) 3

+2 _ г п

Xсі

3 (я — ціле число);

»4 Ж7+Ж10 . ' ж-Чж2 ’

о\

т 3 + 5-т п 7 5тп2 -тп9 +тп~1

ЗОЇ®. Скоротіть дріб: 1 О

!) 4„+1_4„ (» — Ціле число);

оч Ж9 +Ж® . * -3 +* ,

оч Ь“5+3-Ь2 ' 3Ь3 - Ь 5 +Ь~2 ' 59

302®. Доведіть, що за будь-яких цілих значень т і п вираз набуває одного й того самого значення: .gn-І с^т-1 яgn rj2тщ 2) 1) т + 1 о 2 л —1 2т -3" 49 49 т - 1 еу2п+ 1 303®. Виконайте дії: 1)2,7 103; 2) 1,32- 105;

3) 4,7 • 10 3;

4) 3,42- 10-4.

304®. Подайте у вигляді дробу вираз: д2+2д _ 4д . 2) Зр _ 8-р а2-4а+4 а2- 4 а + 4 ’ р2-2р р2-2р 305®. Відомо, що 3 кг огірків і 2 кг помідорів коштували 17 грн. Після того, як огірки подешевшали на 20 % , а помідори подорожчали на 10 % , за 2 кг огірків і 3 кг помідорів заплатили 18 грн. Знайдіть початкову вартість 1 кг огірків і 1 кг помідорів. 306®. Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних непар них чисел кратна 8. У роки 2 7 ,2 8

§ Ц . СТАНДАРТНИЙ ВИГЛЯД ЧИСЛА

У фізиці, хімії, техніці, астрономії часто мають справу я к з дуже великими, так і дуже малими числами. Наприклад, маса Землі дорівнює 5 976 000 000 000 000 000 000 000 кг, а діа метр молекули водню 0,00000000025 м. Читати чи записувати дуже великі і дуже малі числа у ви гляді десяткових дробів незручно, також незручно виконувати дії із цими числами. У таких випадках зручно використовува ти степінь числа 10 з цілим показником і записувати число у вигляді а • 10", де п — ціле число, 1 < а < 10. Наприклад, 5 976 000 000 000 000 000 000 000 кг = 5 ,9 7 6 -1024 кг; 0,00000000025 м = 2 , 5 -ІО“10 м. Кажуть, що числа 5 976 000 000 000 000 000 000 000 і 0,00000000025 записано у ст андарт ному вигляді. |Л Ст андарт ним виглядом числа називають його запис у У вигляді добутку а •10", де 1 < а < 10 і ге — ціле число.

Якщо число записано у стандартному вигляді, то порядок степеня п називають порядком числа. Наприклад, порядок числа, що виражає масу Землі в кілограмах, дорівнює 24, а порядок числа, що виражає діаметр молекули водню в метрах, дорівнює - 10. 60

У стандартному вигляді можна записати будь-яке додатне число. Порядок числа дає уявлення про це число. Якщо порядок числа х дорівнює 4, то це означає, що 1-Ю 4 < х< 10- 104, тобто 10 000 < х< 100 000. Якщо порядок числа у дорівнює - 2, то 1 10 2 < у < 10 -10-2, тобто 0,01 < у < 0,1. Великий додатний порядок числа показує, що число дуже велике. Великий за модулем від’ємний порядок числа пока зує, що число дуже мале. Приклад 1. Подати число х = 272 000 у стандартному вигляді. Р о з в ’ я з а н н я . У числі х поставимо кому так, щоб у цілій частині була одна цифра, відмінна від нуля. В результаті дістанемо 2,72. Комою відокремили 5 цифр справа, тому х зменшили у 105 раз. Звідси х = 2,72-105. В і д п о в і д ь , х = 2,72 •105. Приклад 2. Подати число х = 0,00013 у стандартному вигляді. Р о з в ’ я з а н н я . У числі х перенесемо кому на 4 знаки вправо, маємо 1,3. При цьому число х збільшили у 104 раз. Отже, х = 1,3-10“4. В і д п о в і д ь , х = 1,3-10“4. Приклад 3. Виконати дії і записати результат у стандарт ному вигляді: 1) (5,7• 10“)• (3,6• 10^); 2) (2,1 10'):(4,2 10 “). Р о з в’ я з а н н я. 1) (5,7 ■108) ■(3,6 ■10“2) = (5,7 • 3,6) •(108 х х 10”2) = 20,52 Ю 6 = 2,052-10і Ю 6 = 2,052 Ю 7; 2) (2,1 •107) : (4,2 •10”3) = 2,1 10\ = Ц- • 4,2 -10_3

42 10~3

= 0,5 •1010 =

= б - Ю М О 10 = 5-10?. В і д п о в і д ь. 1) 2,052-107; 2) 5 -Ю 9. Приклад 4. Виконати додавання 2,3 •104 + 3,7 •103 та записа ти у стандартному вигляді. Р о з в ’ я з а н н я . 2,3-Ю4 + 3,7 Ю 3 = 2,3-Ю4 + 3,7 Ю 4 х х 10“1 = 104 (2,3 + 3,7 -10 і) = (2,3 + 0,37)-104 = 2,67 -104. В і д п о в і д ь . 2,67• 104. ,л

Який запис числа називають його стандартним вигля‘ дом?

307®. (Усно.) Чи записане число у стандартному вигляді: 1)0,42; 2)2,9; 3 )3 ,7 -1 0 -8; 4) 0 ,0 5 -1 0 12; 5) 19,2-Ю2; 6) 1,92-10-29; 7) 1,92-8 29; 8) 1,001-107? 61

308®. Які з чисел подано у стандартному вигляді: 1)3,0017; 2) 4,2-Ю“5; 3)0,03; 4 )117; 5) 10,5-Ю7;

6) 1,11510і7;

7) 2,7-Ю”3;

8)2,7-5“3?

309®. (Усно.) Назвіть порядок числа, поданого у стандартному вигляді: 1) 1,7 -105; 2) 2,001 Ю “17; 3) 4,5 10і; 4)3,7. 310®. Який порядок числа, поданого у стандартному вигляді: 1)2,7-Ю “5; 2) 3,8 -Ю12; 3 )2 ,4510°; 4)4,1 1 1 0 і ? 311®. Запишіть у стандартному вигляді число: 1) 200 000; 2) 5800; 3) 20 500; 4) 739; 5) 107,5; 6) 37,04; 7) 2700,5; 8) 300,8; 9) 0,37; 10) 0,0029; 11) 0,000007; 12) 0,010203. 312®. Подайте число у стандартному вигляді: 1) 50 000; 2) 470 000; 3) 5 030 000; 4) 975; 5) 32,5; 6) 409,1; 7) 12900,5; 8) 87,08; 9) 0,43; 10) 0,00017; 11) 0,00004; 12) 0,90807. 313®. Подайте число у стандартному вигляді: 1) 27 105; 2) 427 -10_3; 3) 0,00027 105; 4) 0,0037 10‘4. 314®. Запишіть у стандартному вигляді: 1) 58• 10“8; 2)237,2-Ю7; 3)0,2 1 0 " 4;

4) 0,0017 105.

315®. Округліть число до сотень і утворений результат запи шіть у стандартному вигляді: 1) 137 152; 2) 12 311; 3) 2197,2; 4) 1000,135. 316®. Подайте величини у вигляді десяткового дробу або ціло го числа: 1) територія України становить 6,037 -105 км2; 2) діаметр молекули води дорівнює 2,8 -10-7 мм; 3) кількість населення м. Києва на 5 грудня 2001 р. стано вила 2,611 -106 осіб; 4) маса пташки колібрі дорівнює 1,7 -10_3 кг. 317®. Запишіть у вигляді десяткового дробу або цілого числа: 1) 2,735 •104; 2) 3,7 •10‘3; 3) 3,17 •107; 4) 1,2 •10“5. 318®. Виконайте множення та подайте результат у стандарт ному вигляді: 1) (1,7 ■103) ■(3 •10“8); 2) (2,5 •10“5) •(6 ■10“2). 62

319®. Виконайте множення та подайте результат у стандарт ному вигляді: 1) (1,2 •10“8) •(4 •105); 2) (1,5 •107) •(8 •103). 320®. Виконайте ділення та подайте результат у стандартному вигляді: 1) (4,2 •107) : (2,1 •103); 2) (1,4 •105) : (2,8 •1(Г2). 321®. Виконайте ділення та подайте результат у стандартному вигляді: 1) (7,2 ■105) : (2,4 •102); 2) (1,7 •1(Г3) : (8,5 ■10“7). 322®. Порівняйте числа: 1) 1,7 •105 і 2,8 •105;

2) 1,3 •10-4 і 1,29 •10“4.

323®. Порівняйте числа: 1) 2,8 •10“3 і 3,7 •10“3;

2) 1,42 •105 і 1,5 •105.

324®. Виконайте дію та подайте результат у стандартному вигляді: 1) 2,7 •103 + 3,2 •103; 2) 4,7 ■10-15 - 3,2 •10-15. 325®. Виконайте дію та подайте результат у стандартному вигляді: 1) 4,7 •10“8 + 5,1 •10-8; 2) 2,9 •107 - 1,8 ■107. 326®. Порівняйте числа: 1) 2,9-108 і 1,8 *109;

2) 1,1 2 Ю “7 І І Д 2 10“8.

327®. Порівняйте числа: 1) 1,7 105 і 1,7-104;

2) 1,8 10‘6 і 8,9 Ю “7.

328®. Виконайте дії та результат подайте у стандартному вигляді: 1) 2,7 -104 + 3,2-105; 2) 1,42 10 і - 2 ,8 - 10-2. 329®. Виконайте дії та результат подайте у стандартному вигляді: 1) 2,7 •10“5 + 1,7 •1(Г4; 2) 3,7 •103 - 2,3 •102. 330®. Площа Автономної Республіки Крим дорівнює 2,61 ■104 км2, а площа Чернівецької області дорівнює 8,1 •103 км2. Скільки відсотків становить площа Чернівецької області від площі Ав тономної Республіки Крим? (Відповідь округліть до цілих.) 331®. Відстань від Землі до найближчої після Сонця зорі а Центавра дорівнює 4,1 •1013 км. За який час доходить 63

від Землі світло до зорі аЦентавра? (Швидкість світла 3-Ю 5 км/с.) 332®. Виразіть: 1) 8,3 -106 т у грамах; 3) 4,9-10-5 км у сантиметрах; 333®. Подайте: 1) 3,87 -105 см у кілометрах; 3)

2) 3,72-10 3 г у тоннах; 4) 4,97 -107 см у метрах. 2) 4,92-10 2 км у метрах;

3,7 -10 3 кг у центнерах;

4) 1,8-109 т у кілограмах.

334®. Порядок числа а дорівнює -1 8 . Яким є порядок числа: 1) 100а; 2) 0,00001а; 3 ) а - 1 0 7; 4) 10 335®. Порядок числа 6 дорівнює 15. Яким є порядок числа: 1) 10006; 2) 0,016; 3) 6 -Ю“3; 4 )-^ ? 105 / V 336®. Побудуйте графік функції: 1)у=2х-1; 2) у = -5 х ; 3) у § * +5 ; 6 ) у = 0,3 л; + 2 . 4) У = - 5 ; 5) у = 4 ; 337®. Обчисліть значення виразу: !) 2* з 6Ґб >ЯКЩ° * = -°.5; 12л: - 4 х

2) **у

8у , якщ о у = 10.

4у +4у

338®. Сергій сказав Олексію: «Дай мені 2 грн., і у нас їх буде порівну». Олексій відповів Сергію: «Краще ти дай мені 2 грн., і у мене буде грошей удвічі більше, ніж у тебе». Скільки грошей у кожного хлопця? 339®. Скільки непарних п’ятицифрових чисел можна скласти із цифр 4; 5; 6; 7; 8, використовуючи кожну цифру тільки один раз. У роки. 2 9 . ЗО

8 12- Ф У Н К Ц ІЯ ї = * , ї ї ГРАФ ІК І ВЛАСТИВОСТІ

Приклад 1. Пішоходу треба пройти 16 км. Якщо він буде йти зі швидкістю V км/год, то залежність часу і (у год), який він витратить на весь ш лях, від швидкості руху виражається 1Я формулою ї = — . При збільшенні значення V у кілька разів V

зн ач ен н я і зм ен ш ується у с тіл ь к и ж разів . К а ж у т ь , щ о зм ін н і і і V обернено пропорційні. 64

Приклад 2. Площа прямокутника дорівнює 32 см2, а одна з його сторін а см. Тоді другу сторону Ь (у см) можна знайти за ОО формулою Ь = — . У цьому прикладі змінні а і & також обер ті

нено пропорційні. У розглянутих прикладах змінні ї , V, а \ Ь набувають лише додатних значень.■у Далі розглядатимемо функції, задані формулою виду у = - (де к — число, к Ф 0), в яких змінні х і у X можуть набувати як додатних, так і від’ємних значень. Кожну з таких функцій називають оберненою пропорційністю. ґ~ р \ Оберненою пропорційністю називають функцію, яку можна задати формулою виду у = —, де х — незалежна X змінна, Ас — деяке число, відмінне від нуля. Ту

Областю визначення функції у = - є множина всіх чисел, х крім нуля, оскільки вираз - не має змісту, якщ о х = 0. х Побудуємо графік функції у = - окремо у випадку, коли Ту

к > 0 і коли к < 0. г* Приклад 3. Побудувати графік функції у = - . X Р о з в ’ я з а н н я . Складемо таблицю значень функції у = -

для кількох значень аргументу: X

-12

-6

-4

-3

-2

-1

-0 ,5

-1

-1 ,5

-2

-3

-6

1,5

0,5

Позначимо на координатній площині точки, координати яких подано в таблиці (мал. 2). Якби на цій площині позначити більшу кількість точок, /> координати яких задовольняють формулу у = ^ , а потім з ’єднати їх плавною лінією, то дістали б графік функції у = х (мал. 3). Криву, що є графіком оберненої пропорційності, на зивають гіперболою. Гіпербола складається з двох віток. Одна з них розміщена у першій координатній чверті, а друга — в третій. Гіпербола не перетинає координатних осей: на графіку немає точки, у якої абсциса х = 0, і немає точки, у якої 65

У, к к

А 2 -1 2 2 - 1 1-1 0

- 9 - і і - ' 7 - 6 - і -4

-2 2-1

1 0

10 11 1 2 х

г с

Мал. 2

ордината у = О (оскільки рівняння ^ = 0 не має розв’язків). Чим більшим за модулем є значення х, тим меншим за модулем є значення у, і навпаки, чим меншим за модулем є значення х, тим більшим за модулем є значення у. Це означає, що вітки гіперболи необмежено наближаються до осей координат. у Такий самий вигляд має графік функції у = — при будь те якому к > 0.

Мал. З 66

Мал. 4

Приклад 4. Побудувати графік функції у

Р о з в ’ я з а н н я . Міркуючи аналогічно до попереднього прикладу, дістанемо графік функції у = - - (мал. 4). Це також гіпербола, одна з віток якої розміщена у другій чверті, а друга — у четвертій. Такий самий вигляд має графік функції у = - при будь-якому Ч < 0. -у Узагальнимо властивості оберненої пропорційності у = — .

І. Область визначення ф ункції складаєт ься з усіх чи сел, крім х = 0. 2. Область значень ф ункції складаєт ься з усіх чисел, крім у = 0. 3. Графік ф ункції — гіпербола, віш ки яко ї розм іщ ені в перш ій і т рет ій координат них чверт ях, якщ о Ч > 0, і в другій т а четвертій, якщ о Аг< 04. Віт ки гіперболи необмежено наближ аються до осей координат.

П р и к л а д 5. П обудувати в одній систем і координат гр аф ік и

функцій у = - і у = х - 3 . Знайти точки перетину цих графіків , 4 г, та розв язки рівняння - = х - 3. 67

Мал. 5 Розв’язання.

Графіком ф ункції у = - є гіпербола, х розміщ ена у І і III чверті, а графіком ф ункції у = х - 3 є пряма, я к а проходить через точки (0; -3 ) і (3; 0) (мал. 5). Вони перетинаються в точках (4; 1) і (-1 ; -4 ). Абсциси цих точок х = 4 і х = - 1 є розв’язкам и рівняння —= х - 3. Справді, якщ о х х = 4, то вирази —і х - 3 набувають рівних значень [ —= —= 1 і х - 3 = 4 - 3 = 1 . Також рівних значень ці вирази набувають, якщ о х = - 1 ^ - = -^- = - 4 і х - 3 = - 1 - 3 = -4 Отже, х = 4 і х = -1 — корені рівняння - = х - 3. X Запропонований метод розв’язування рівнянь називають граф ічним м ет одом р о з в ’я з у в а н н я р ів н я н ь . Я кщ о абсциса точки перетину граф іків функцій — ціле число, необхідно виконати перевірку, оскільки у більшості випадків корні рів няння цим методом визначаю ться наближено. Приклад 6. Побудувати графік ф ункції у = 16-8х х -2 х

Р о з в ’ я з а н н я . Область визначення ф ункції склада ється з усіх чисел, крім тих, при як и х знаменник х2 - 2х перетворюється на нуль. О скільки х2 - 2х = 0, коли х = 0 або х = 2, то область визначення складається з усіх чисел, крім чивираз 16_8х — ---- 16-8х сел 0 і 2 . Спрощуючи маємо х -2х х2-2х _ 8(2-х) _ 8(х 2) = _ 8 _ 0 т 8 у = , якщ о х ф 0; х ф 2. х(х-2) х(х-2) х 68

Мал. 6

Графіком функції у = ^ є гіпербола, що задається формузг-2х О лою у , але без точки з абсцисою 2, тобто точки (2; -4). ^

1 «

Графік функції у = 1°~оа: подано на малюнку 6. хг-2х Яку функцію називають оберненою пропорційністю? • Що є графіком оберненої пропорційності? • Які властивості має обернена пропорційність? 340®. (Усно.) Які з функцій задають обернену пропорційність: і)у=|;

2) г / = | ;

3>* = - § ;

4) у = - | ;

0,0002 6) у = 7; 7) у 0,0002 8 )У 5>^ = ° ; х ' ~ з? 341®. Виписати функції, що задають обернену пропорційність:

і)г /= |;

2) у = і ‘>

з) у = - Ь

4)у = - | ;

5) У = - 9 ;

6) у = - ° £ І ; 7) у = - 9 № . 8) у = 0,01х. х хг 342®. В яких координатних чвертях розміщено графік функ ції: 1 ) у = М ; 2) у = - * ? 69

343®. Обчисліть значення ф ункції у = — , якщ о значення X аргументу дорівнює - 2 , 5, -1 0 , 1. 344®. Обчисліть значення ф ункції ц = — , якщ о значення арх гументу дорівнює - 3 , 4, - б , 1. 345®. Обернену пропорційність задано формулою у =

. За-

повніть таблицю: X

20 4

1000

0 ,1

оп 3 46®. Обернену пропорційність задано формулою у = — . ЗаX повніть таблицю: X У

40 5

160 20

0 ,1

347®. Побудуйте графік ф ункції у

склавш и таблицю X значень ф ункції для значень аргументу - 8 , - 4 , - 2 , - 1 , 1, 2, 4, 8.

3 48®. Побудуйте графік ф ункції у = — , склавш и таблицю X значень ф ункції для значень аргументу -1 2 , - б , - 4 , -З , - 2 , -1 , 1, 2, 3, 4, 6, 12. 349®. Не виконуючи побудови граф іка ф ункції у =

, вкаX ж іть, через я к і з даних точок проходить цей графік: 1) А (4; 32); 2) В (-8 ; 16); 3) С (-2 ; -6 4 ); 4) Б (0; -1 2 8 ).

3 50®. Ч и належ ить граф іку ф ункції у = - ВЇА точка: X 1) А (-6 ; 27); 2) Б (9; 18); 3) С (0; -16 2 ); 4) В (81; -2)? 351®. (Усно.) Графіки як и х ф ункцій проходять через точку А (4; -3): 1)у=^;

2) У = ~ ^ ;

3 ) у = - 2-± ;

4) у = х - 7 ?

352®. За 45 грн. купили у кг цукерок по х грн. за кож ний кілограм. Виразіть формулою залеж ність у від х. Ч и є ця залеж ність оберненою пропорційністю? 70

353®. Побудуйте графік функції у = — . Користуючись графі ком, знайдіть: 1) значення функції, якщ о значення аргументу дорівнює -2 ; 2,5; -1 ; 2) значення аргументу, при яких функція дорівнює 10; -4 ; 2; 3) значення аргументу, при яких функція набуває від’єм них значень; додатних значень. 354®. Побудуйте графік функції у = - - . Користуючись графі ком, знайдіть: 1) значення функції, якщ о значення аргументу дорівнює -0 ,5 ; 2; -4 ; 2) значення аргументу, при яких функція дорівнює 4; -1 ; 2; 3) значення аргументу, при яких функція набуває від’єм них значень; додатних значень. 355®. Графік оберненої пропорційності проходить через точку М (-4; 12). Задайте формулою цю обернену пропорційність. 356®. Запишіть формулою функцію, яка є оберненою пропорцій ністю, якщ о її графік проходить через точку Р\ 12; 1 і о 357®. Функцію задано формулою у = - для 1 < х < 4. Яка область значень цієї функції? 358®. Розв’яж іть графічно рівняння: 1) - = 2 ;

2) — = 2л;;

3 ) -^ = 3-л;.

X X X 359®. Розв’яж іть графічно рівняння: 1 )6 = 3; 2) *=х; 6=4 3) X X X 360®. Побудуйте графік функції: І) У = їх Л І;

2) у = -

\х\

361®. Побудуйте графік функції у

362®. П обудуйте гр а ф ік ф у н к ц ії у

х.

с - - , якщ о х < - 2, X • -1,5л;, якщ о - 2 < х < 2, є - - , якщ о х > 2. х -4 , якщ о х < - 2„ , х ■х , якщ о - 2 < х < 2 , -4 , якщ о х > «2. х 71

363© . П обудуйте гр аф ік ф у н кц ії:

1) У

24 (х+3)2-(х-3)2

6з:-18 Зх-х?

2) У

364®. Обчисліть: 1) З 4;

2) ( - 1 9 ) 1;

4) (-0,2) 3.

3)1

365®. Спростіть вираз: -1

2) ґ 4т п^л 1 8т Зп 2аь. V 50 J

366®. Обчисліть: ((1 - (1 + 2 1)“1)“1)“4. ЗАВДАННЯ ДЛЯ П ЕРЕВІРКИ ЗН А Н Ь ДО § 9 - 1 2

Урок 31

1®. Подайте у вигляді степеня з основою а: 1) а2а~3; 2) а -5а -4; 3) а 5 :а -7;

4) (а-2)3.

2®. Чи записано у стандартному вигляді число: 1) 0,37 •105; 2) 2,4 Ю “12; 3) 1,5 •108;

4) 3,5 •810 ?

З®. Які з функцій задають обернену пропорційність: !)у = | ;

2>у = І :

3)У = - | ;

4 ,* = - ? 7

4®. Обчисліть: 1)2-8;

2) (-5 ) і;

3) [ 1 і

4) (гД ІО^ СЗ ІО”8).

5®. Спростіть вираз: 1) - 7 а _3Ь9 ■1 у а _5Ь“3;

2 ) 1 - 1 х 3у \ - \ - ^9х -„ °- 5уТ,-1

6®. Подайте число у стандартному вигляді: 1) 27 000; 2) 0,02; 3) 371,5;

4) 0,0109.

7®. Подайте у вигляді виразу, який не містить степеня з від’ємним показником: г , \ -2 1) (4,2а7Ь-9) : (0,7«“V 5) ; 2) 2х4 •4А " 18. 8®. П обудуйте гр аф ік ф у н к ц ії у =

ком, знайдіть: 72

12 . К ористую чись гр а ф і

1) значення функції, якщ о значення аргументу дорівнює 4; -2 ; 2) значення аргументу, при яких функція дорівнює -6 ; 1; 3) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень; додатних значень. 9©. Скоротіть дроби: 48 . 2 )* -Ч х 2 1) 5л+2-5 л ’ х+х в Д одат кові завдання 10©. Обчисліть: ((1 + (1 - 2-1)-1)-1) 3-

О - , якщ о х < - 2 , X 11®. Побудуйте графік функції у = • - 4 , якщ о - 2 < х < 3, 1о - — , якщ о х > 3. X У рок 32

Резервний час. В прави дл я повторення р озділ у І Д о§ 1

367®. З раціональних виразів т3 - тр2; у у ; х2+ а х -а 2 . (х+рУ-У

в и п и ш іт ь

3-^х х2

17 х -у

19 7 а-Ь 1) цілі раціональні вирази; 2) дробові раціональні вирази; 3) раціональні дроби. 368®. Знайдіть область допустимих значень виразу: 3+с 3) « + ; 1) с2 - Зс; 2) т+2 . 4) с(с-1) тга-8 ’ а-9 а 369®. Пішохід пройшов 12 км по шосе зі швидкістю а км/год і 8 км по степовій дорозі зі швидкістю Ь км/год. Скільки часу витратив пішохід на всю дорогу? Складіть вираз та знайдіть його значення, якщ о а = 5; Ь = 4. 370®. Обчисліть значення дробу °^+^ У +У 0,1х У = 99.

якщ о х = -100,

371®. Знайдіть допустимі значення змінних 1 . 04 Р . 04 2) 3) 1 4) 1) \m\-m 1*1+ 7 ’ |2 * -7 |-8 ‘ 1 Іа І 372®. При яких значеннях х дроби дорівнюють нулю: 1*1-2 |х |-х *+3 . х2- ! . 3) 2) 4) *(*-3) 1) х + 1 ’ (х-2)(х+5) ^ -9 ’ До § 2 373®. Скоротіть дроби: 1 ) |^ ; 2 ) 4х ^; 3) ; 20л 5х ІОр

б> 1 ;

4> « І ;

374®. Скоротіть дроби: а2^3 о -63ха 2) 1) .7 ’ 81ха6 аЬ /л2 —1 . 5 )4 ^ 6) а2-2ау ' ' 7лг+7

Р(я~2) . лг(а-2) ’ х2-4х+4 7) З*-6

в>Ш

4) 7а-146 . За-66 з?-2ху 8 ) у-2х

375®. Зведіть дріб: 2) 4 до знаменника 12с7. Зс

1) 4 Д° знаменника а 5;

376®. Подайте частку у вигляді дробу та скоротіть цей дріб: 1) (х3 + 8): (х + 2); 2) (а2 - 5а + 25): (а3 + 125). 377®. Обчисліть значення дробу: 1)

^ ЯКщ0 х - о,2; у = 0,25; 8г/ -4ху а2-4Ь2 якщ о а = 20; 6 = -10. 2) За26-6аЬ2 о

378®. Зведіть дріб - 2 - до знаменника: СІ сі

1) 7а - 14;

2) а 2 - 2 а ;

3 )16 - 8 а ;

379®. Доведіть тотожність 22’4 ~2’^

7£а -2£аЬ

4) а 2 - 4 .

= За±Ь _ а

380®. Відомо, що х + 4у =5. Знайдіть значення дробу — ^ 0,2яг —3,2у 381®. Подайте вираз 5а + 46 у вигляді дробу зі знаменником: 1) 5; 2) - а ; 3) 26; 4) 2а - 36. 382®. Скоротіть дріб

X2- у 2-2 2+2у2 - х 2 -

-2x 2

До § З 383®. Виконайте дію: ч 4тп ,тп.

' 7

_?р.

’

' 8а

8а’

т -п + п ,

12а' _ оа За2 ' "5т 5т

384®. Скоротіть вираз: Зтп-7 + 1 3-5 тп _ 6пг-2 . 12тп 12т ’ 12т

3 )^ = § _ + 13 я2-25

т2+1 а (т -1 )

а (т -1 ) ’

4) “ТІ _ _2_ ' а -2

я2-25 ’

2 -а ’

385®. Обчисліть значення виразу 7? +1 + ■ т -1 6

, якщ о т = 14.

т -16

386®. Перетворіть у дріб вираз: ^ 96+1 б2-4

8 -6 4 -б2

76-1 . б2-4 ’

1- 4 т 1 -т3

5т т-1

387®. При якому значенні а вирази

х -2

т т 3-1

х -2

2 -х

т о т о ж н о

рівні? 388®. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної 2а+7 значення виразу не залежить від а: 5-4 а

4 а -5

5 -4 а

389®. Спростіть вираз: 16т 8т 1) (4 т-1 )(4 т+ 1 ) 1 6 т2-1

(1 -4 т )(1 + 4 т) ’ 8а:-9 _ 8х3+ Зх-1 _ Ь х-7 2) (2дс+1)2 (1 +2х)2 1+4х2+4х

390®. Доведіть, що вираз х+^ (2-х)

(х-2)

(2-х)

при всіх зна-

ченнях х ф 2 набуває додатних значень. 2 * 391®. Побудуйте графік функції у = . 392®. Знайдіть, при яких натуральних значеннях п набуває натуральних значень дріб: 1 ) ”±2. д) гс2+6 . п2-10га+16 п

ТІ

До § 4 393®. Виконайте додавання і віднімання: « 1 - ї *

2)§ + т г

3) - - - ; х

4 >т± + ?7 . 75

394®. Виконайте дію: 2

4 . 9р’

1) Зр 4)

За+& 6

4а - Ь . 8 ’

о)

3*-2у + у + х ,

7х? + X? : \2гп тп І

4а+Ь

Р -2 . а3 ’

6) 2а

6Ь-а ЗЬ

395®. Спростіть: о\ о+& і а—Ь 1 &)---+ —о _ — г• а ао

оі А _ А _ І • ] ** х3 ж1 396®. Подайте у вигляді дробу: 1) -т + -п - — тп ;

л 4р2-1 2) 4р ~ —— ; р С + С 5) Зс—1 Зс+1

І . > X т , І +тп. 4) 1—т тп

1) 2х

397®. Виконайте дію: 11 2с-7 , А^ с • ' 2(с+5) с+5 ’ 4)

_9__ тпі2+4тп

3 . 3) 2 + тп тп-1 X X 6) х -у х+ у

а- 1 2 ) З а +6 4 а +8 1 Ь 5) +-^ ; а2-Ь2 а+Ь

5 . тп+А’

3) - - -А А _ ; * *(*+2) 6)

*+3 **+2*+!

х+1

398®. Доведіть, що для всіх значень змінної значення виразу (а -3 )(а -7 ) (а-7 )(а -1 ) (а-1)(а-3) +■ не залежить від а. 12

399®. Спростіть вираз: А__ 1 О

____ 2х + ____ 4 * 4 9 . 2*+3 ' 3-2* Ах?- 9 ’ 4а _ 2а+1 + 2 а - 1 . 4) 4а2- ! б а -3 4 а +2 ’ 2)

І)

т -3 т+3 тп2- 9 9* 4У . 3) Зху+2у2 З*2+2ху ’ 5)

2*-1

, 4*2+ 3 * - 7 .

*+1

6) ЗаЪ-2-а+ОЬ

ж -І

400®. Доведіть тотожність: І +, ■ І +■ 1) (а -Ь) (а —с)

(Ь-с)(Ь-а)

(с-а)(с-Ь)

ЗЬ -І

= 0;

Уг + *г ^ ■ ху 2 ) (х -у )(х -г ) (у -*) (у -г) + (г-х )(г-у )

І.

401®. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної значення виразу З*+2 _ 18* _ І 9*2-6*+4 27*3+8 3*+2 дорівнює нулю. 76

402®. Знайдіть значення а і Ь, при яких є тотожністю рівність: 1) Зх _ 9х+3 _ ах+Ь . 2) а + Ь _ 18 ’ х+2 Зх-1 Зх?+5х-2 ’ ' х-3 х+3 ж2-9* 403®. Човен, власна швидкість якого V км/год, пройшов від стань в км між містами А і Б і повернувся назад за і год. Виразіть £ через в і н , якщ о швидкість течії 3 км/год. Спростіть утворений вираз і обчисліть його значення, якщ о V = 12, в = 45. До § 5 404®. Виконайте множення: Я ~ п і.» . }т 9 ’ 4 р

3> И г ;

405®. Подайте у вигляді дробу вираз: 4 .5т . 2) .20 . 1) 15т2 16 ’ 15 іИ у 4) - 1 2 л: 5) 15т2п Ібх2 25тгп 406®. Виконайте множення: Зле—у 8х+8 . х?-3х 21 2) 1) 6х+6 у - З х ’ х*-9* <?+2с 20а2Ь о\ а2-2а+1 5т . 4) ~ „2 а2- 1 12аЬ <^+40+4 15т 407®. Піднесіть до степеня: V* ґ _ л3 2) 3) _3сґ 1) V

4 ) с.10 ' 5 с2 * оч 24оі 15а . -,2 ' 8т о„3 > 5а ( Чс6 8а5 6) 21с 12а8

ґ 4)

& У

\8 іо

408®. Виконайте множення: , 5 л 6 Й7 +Й Й -йл 8 а2-25 а+2Ь 2 )і) а2-4Ь2 І 2а-10 а®-а4 а 3+а5 ’ 5с5-Зс4 2с-4 4) (а2 + 4а + 4) • 3) 10+5а с3-8 Зс2-5с3 ’ 409®. Подайте у вигляді дробу: 1)

25х?у 9і

Зі* 5ху2

(а-&)3 а2+2а6+62 а+Ь а2-2аЬ+Ь2

410®. Виконайте множення: х? +{а+Ь)х+аЬ х2-(а -с)х-ас х2-а 2 77

411®. Доведіть, що значення виразу О.бх2+ 2 , ( 2 _ 4 + 0 , 5 х 3 0.5Х 2 - х + 2

8 - 0 ,5 х 4

не залежить від значення змінної. 412®. Доведіть, що значення виразу а2-аЬ+ас-Ьс. а2+Ьс-аЬ-ас а2+аЬ-ас-Ьс а2+Ьс+аЬ+ас невід’ємне при всіх допустимих значеннях змінних. До § 6 413®. Виконайте ділення: с .а . о\Р . с 3 .7 1) З '2 ’ а 9а 9 2> г т И 414®. Спростіть вираз 7тп2 .21 т . 12а . 16а . 1) 5Ь2 ‘ 15Ь ’ п2Г-—3“ п ’ кч Ьг .25с3 . 4) 20т2п :ґ 4п Ґ ^ О ^ ’ЗІ/тг’ Р )

5 .3 7 та2 3 ) - 5а3 4Ь2 6 )-

22 Х 2 .

39а

ЗЗх3 26а4

415®. Виконайте ділення: ах-ху _а -ау _ а2-Ь2 . За+ЗЬ . 2 ) 5а 1) а ' х ’ 10а2 х2-36 , х 2 + 1 2 х + 3 6 . За-а . 3 -а 3) 4) а-2Ь ' 2&-а ’ а2-4а+4 4 -2 а " 416®. Подайте у вигляді дробу вираз: 27 +х3 . х2-Зх+9 . 2) (10х-4у)2 . ^ _ 0Ду2) 1) 100 81-х4 х 2 + 9 а +Ьа „2

417®. Подайте дріб %~9 у вигляді раціонального дробу. от-2 5

а2 -З а

418®. Доведіть, що значення виразу 2х3+2у3 , х3-х2у+ху2 ху-х2 х2-у 2 не додатне для всіх допустимих значень змінної. 419®. Обчисліть значення виразу 27а3-64Ь3 . 9а2+ 12аЬ+16&2 &2+4*+4 Ь2-4 якщ о а = 4; Ь = 3. 78

420© . Д оведіть тотож ність:

__________ . а+5а+ 4 _ а -4 а2-16 а,2-аЬ+5а-5Ь а2-аЬ+а-Ь а+5 До § 7 421®. Виконайте дії: 2а бд-3 1) 2 а -1 + 1 4а2-а

т 2 ) 771 +

а _ а V аЬ . 3) а-Ь а+Ь) ' а+Ь ’

„2-1, Р2-Зо Л Р р +1 р+3

422®. Доведіть тотожність: а+Ь . аЬ ’

1)( | + 1 + 2) :(а +&) =

423®. Спростіть вираз: ґ Ь2 1) а+Ь Ь2+аЬ а 3-аЬ2 2)

. 777+3 .

3-771 * 771-3 ’

9) т - п .( 1 тп [ п

1^| _ тп т2 ,І 771+71 ’

а2-аЬ

( 6а+1 + 6 а-1 >).2а2+1 ^ а-3 а+3 ) ' а-З

424®. Обчисліть значення виразу а _ Ь |.| а+Ь _ а-Ь ^а-Ь а + Ь Ь Ь якщ о а = 4; Ь = 3. 425®. Доведіть, що змінної значення змінної: х+3 2)

4ттг2-9

при всіх допустимих значеннях виразу не залежить від значення

+ х?-6х+9 9-ас2) 2т У 8т7г3-18тга + З 4т7ґ -12 тп+9) АтгС+9 2т-3 -

426®. Доведіть тотожність а + Ж + 25 : | 4 + 2 + 1 | = _ 5 а _ ; 1) а— 3 а —3 а2—За ) І а я а -3 4 (2-а) 4а-5 а-1 2-а 2) а+1 а -а+1 а +1 ) 4а -4 а+4 427®. Дано х? + \ = 23. Знайдіть значення виразу х + - . ХГ

428©. Спростіть вираз: + 1

^х?-6х 6 -х ж2 - 4 х 3-6х?+ 12х-8 У 429®. Доведіть, що вираз де2 8де2-32 . х5-8 я? ./ Л х2+4х + 4 ' х 3-2х2 х Л ' набуває додатних значень при всіх допустимих значеннях змінної. 430®. Доведіть, що вираз Зт+2 18тп3-т -9 + Злі-2 . лі2 + 1 0 л і + 2 5 Зт2+1 9лг4-1 Злі2-1 9лі4 -1 набуває від’ємних значень для всіх т < -5. 431®. Чи може значення виразу ( . -2 .. V X2 Зу4 У У +х+ у х?-ху Xі - х у 3 х 3 + х ? у + х у 2 \ при деяких значеннях змінних х і у дорівнювати 0? До § 8 432®. Чи є число 3 коренем рівняння: 2) = 0; 1) — = 0; х+\ ’ де+2 433®. Розв’яж іть рівняння: 2 ) ^ 4 = 0; і ) | ^ = 0;

3 ) ^ ± | = 0; X о

= о?

3) * - 2 = 0 ; де+3 де2-де де2-8 4x^-1 4де. 5) де+2 де+2 6) де+1 4> Й Г І ; 434®. Яке одне й те саме число треба додати до чисельника і (Г -І знаменника дробу , щоб дістати дріб ± ? 2-х

Сі

435®. Розв’яж іть рівняння: 2де—1 2де+1 1) Здс+1 Здс-5 = 0 ; -А. 3) °8 + 2+де = Здс-З де—1 2-2де 1 8 ’

Сі

2) 4 + -Ц- = - ± - ; ’ де-2 2-де де + де 4 ) 2де ' де2- ! де+1 де—1 436®. Катер проходить 80 км за течією річки за той самий час, що й 64 км проти течії. Знайдіть власну швидкість катера, якщ о швидкість течії річки дорівнює 2 км/год. 437®. Розв’яж іть рівняння: 2) |4де+31 = _7_ 1) х-1 х-1 (Зде-1)2 (Зде+1)2 9ЄС2- ! ’ 80

438®. Два робітники, працюючи разом, можуть виконати зав дання за 8 днів. Перший робітник, працюючи один, може виконати роботу в 2 рази швидше, ніж другий. За скільки днів кожний з робітників, працюючи окремо, може вико нати цю роботу? 439®. Розв’яж іть рівняння, вважаючи х — невідомою змін ною: 1) - = 5; 2) - - - = 2. X X X До § 9 440®. Замініть дробом степінь з цілим від’ємним показ ником: 4) (а + 2)-5. 1) 8-3; 3) (Злі)-2; 2) с 1; 441®. Замініть дріб степенем з цілим від’ємним показником: 3)

(аЬ)3

(1-лі) 4

442®. Обчисліть: -2

1) 9-2;

2) 4 і;

3) (-5)-1;

4)и ,

-і 5 )0 ,1"3;

6) 2 1

7) 0,25"

8) (-2,5Г3.

443®. Обчисліть значення виразу: 1) ІООлГ2, якщ о х = 1; 10; 100; 2) аГ%, якщ о а = 4; Ь = 8. 444®. Обчисліть значення виразів ап і - а п, якщо: 1) а = - 1 ; п = 8; 2) а = 5; п = - 2 . 445®. Не виконуючи обчислень, порівняйте: 1) 7-3 і (-7)3; 2) (-1,2)° і (-5) 5; 3) (-13)4 і (-ІЗ )-4; 4) (-12)6 і 12-6. 446®. Обчисліть: 1) -0,25-' ї_2:*/(-4*); ',3ч‘ 2) 0,02 •(-0,5)-3; 3) 0,4-2

4) (-1,8)°- 4 і -0,05- 2

447®. Подайте у вигляді дробу вираз: 1) (1 + а -3) (1 + а)-2;

2) Г-1

(У ~ х) \ у - 1, 81

0 ,6 “

448®. Обчисліть----(0,36) 5-^2|

449®. Розв’яж іть рівняння х+1

Іь-8

-і

І г ' = 3-

_ 1 1. ( а“8+&“8 'І a-8J І«-16-*-16J Д о § 10

5) (а2)-6;

6) (а-3)“5.

1) 4-5 -46;

2) 2-7 -24;

451®. Подайте у вигляді степеня з основою а: 1) а 3а -5; 2) а 8а “7а “2; 3) а 7 :а 3; 4) а -5 :а -4;

4) 517 : 519;

5) ((0,3)-1)-2;

452®. Обчисліть: З“9 : 3“7 ГА Л-їЛ 6і І4 7 )

453®. Спростіть вираз: .Зч 1 -8

1) 12а_26 •і аб-3 •І а -^ 2;

454®. Подайте вираз х 12, де х ф 0, у вигляді степеня з основою: 1) з?; 2) х_3. 455®. Знайдіть значення виразу Л- х~2у 7 -^4 х7у~2 - (—10яс_5г/_в), 28

якщ о я; = -1,19; у = -ОД. 456®. Спростіть вираз: 1) (-Зр“3са-2)“2 •(0,1рс“2а)2;

сл \2 ( а-3 ^ 2) (І іт «а"“4Ь 4Ь_2| • И ) 1 40

457®. Доведіть тотожність (а 2 - а 1 + 1): (а 2 + а) =

а+1

458®. Подайте вираз я:3 + 5 + х 5 у вигляді добутку двох множ ників, один з яких дорівнює: 1) я:; 82

2) х-1;

3) х_3.

459®. Доведіть, що при будь-якому цілому п правильною є рівність: 1) 3-7Л + 4 - 7 ” = 7П+1; 2) 5-4” - 4 ” = 4П+1. Д о § 11 460®. Які з чисел записані у стандартному вигляді? Для чисел, записаних у стандартному вигляді, назвіть порядок числа: 1) 3,7 *108; 2) 0,29 10і1; 3 )2 ,9 4 ; 4 )10,94; 5) 1,135 10“11; 6)0,311; 7) 1 ,0 2 1 0 і5; 8 )1 ,0 2 1 5 10. 461®. Подайте число у стандартному вигляді: 1) 130 000; 2) 783,5; 3) 0,0012; 4) 0,001002003. 462®. Виконайте дію над числами, поданими у стандартному вигляді: 1) (2,7 •108) •(5 •10“5) ; 2) (9,6 Ю “8) : (3,2 •1 0 12) ; 3) 2,7 -104 + З Д 1 0 4 ; 4) 3,42 10‘5 -2,11 10‘5. 463®. Площа басейну Дніпра становить 5,04 -105 км2, а площа ба сейну річки Південний Буг становить 12,6 % площі басейну Дніпра. Знайдіть площу басейну річки Південний Буг. Подайте її у стандартному вигляді а •10л, округливши число а до сотих. 464®. Виразіть час у секундах і запишіть утворене число у стандартному вигляді: 1) 1 година; 2) 1 доба; 3) 1 місяць (ЗО днів); 4) 1 рік (365 днів); 5) 1 сторіччя. Д о § 121 465®. Які з функцій задають обернену пропорційність? В яких координатних чвертях розміщено їх графіки: ж2 . з ) У - ' 4х ’. 4 ’ _4. 8 ) у = -4 х ? 7)У == 4х; ь х’ 1й 466®. Обернену пропорційність задано формулою у = . Знайдіть: X 1) значення функції, якщ о значення аргументу дорівнює -8 ; 2; -5 ; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорів нює 4; -0 ,5 ; 2,5. 467®. Побудуйте графік функції: 1) у = - ™ ;

2) у = | , д е - 2 < ж < 4 , х * 0. 83

468®. Графіку оберненої пропорційності належить точка А (-3; 4). Чи належить цьому графіку точка: 1) Б (1; 12); 2) С (2; -6)? 469®. Прямокутний паралелепіпед, сторони основи якого до рівнюють х см і у см, має висоту 10 см та об’єм 120 см3. Виразіть формулою залежність у від х. Чи є ця залежність оберненою пропорційністю? Якою є область визначення функції? Побудуйте її графік. 470®. На малюнку 7 подано графік залежності часу, що витра чається на подолання відстані від пункту А до пункту Б , залежно від швидкості. За допомогою графіка дайте відпо віді на запитання: 1) Скільки треба часу, щоб подолати відстань від А до Б , якщ о швидкість руху: 10 км/год; 40 км/год? 2) 3 якою швидкістю треба рухатися, щоб дібратися з А до Б за: 2 год; 8 год? 3) Якою є відстань від А до Б? 471®. Не виконуючи побудови графіка функції у = - , знайдіть X точки, що належать цьому графіку, координати яких рівні. 472®. Не виконуючи побудови графіка функції у = - ® , знай діть точки, що належать цьому графіку, координати яких — протилежні числа. 473®. Побудуйте графіки функцій: и „ _ ЗО х-Івя2 . А+х + З 2) У у?+х х+1 ‘ ) У ~ З*3-б*2 ’

Мал. 7

V ? * V

у з о к і о

Урок 33

(

1 ,4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7

■ ■ \

КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

§ 13. ФУНКЦІЯ у - х ТА ї ї ГРАФІК

Приклад 1. Нехай сторона квадрата дорівнює а см. Тоді його площа (у см2) обчислюється за формулою Б = а2. У цій формулі кожному додатному значенню змінної а відповідає єдине значення змінної в . Якщо позначимо незалежну змінну через ас, а залежну — через у, то матимемо функцію, що задана формулою у = х?. У цій формулі змінна х може набувати будь-якого значення (до датне, від’ємне, нуль). Складемо таблицю значень функції у = х? для кількох зна чень аргументу: X -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 У 9 6,25 4 2,25 1 0,25

0,5

0 0,25

1,5 1 2,25

2,5

6,25

Позначимо на координатній площині точки, що подані в таблиці (мал. 8). Якби на цій самій площині позначити більшу кількість точок, координати яких задовольняють формулу у = х?, а потім з ’єднати їх плавною лінією, то дістали б графік функції у = з? (мал. 9). Криву, що є графіком цієї функції, називають параболою, точку (0; 0) — вершиною параболи. Вершина параболи розбиває її на дві частини, кожна з яких називається вішкою параболи. Сформулюємо деякі властивості функції у = з?.

І. Область визначення ф ункції складаєт ься з усіх чи сел. 2. Областю значень ф ункції є множина всіх невід’єм них чисел: у > 0.

Справді, оскільки ас2 > 0 для всіх значень ас, то у > 0. 85

У> 1

7‘ £

/ / /

\ \

/ /

\ \

у / /

3 \

\ \

І' і

о Мал. 8

я2

ая

_•

-і

/ /

і ч ✓

Мал. 9

3. Графік ф ункції — парабола, її віш ки напрям лені вго р у , а вершиною є т очка (0; 0). Всі т очки графіка, крім верш ини параболи, розм іщ ені вище від осі абсцис. 4. Прот илеж ним значенням аргум ент у відповідає одне й те саме значення функції. Це випливає з того, що (-я)2 = я2 при будь-якому значенні я.

Приклад 2. Розв’язати графічно рівняння я2 = 3 - 2я. Р о з в ’ я з а н н я . Побудуємо графіки функцій у = я2 і у = 3 - 2я (мал. 10). Графік першої функції — парабола, а другої — пряма, що проходить через точки (0; 3) і (2; -1 ). Абсциси точок перетину графіків: я = -3 і я = 1. П е р е в і р к а : 1) я = - 3 ; я2 = (-3)2 = 9 і 3 - 2 я = 3 - 2 х х (-3) = 9 ; 2) я = 1, я? = І2 = 1 і 3 - 2я = 3 - 2 1 = 1. Отже, я = -3 і я = 1 — корені рівняння я2 = 3 - 2я. В і д п о в і д ь . я = -3, я = 1. Приклад 3. Між якими послідовними цілими числами міс титься єдиний корінь рівняння - = я2 ? я Р о з в ’ я з а н н я . Розв’яж емо рівняння графічно, побудувавши графіки функцій у = - і у = я2. Оскільки я2 > 0 для всіх значень я, 86

Я 105

Мал. 10

> 0. Тому х> 0. Розглянемо графіки даних функцій при х > 0.

Обидва графіки в цьому випадку розміщені в І чверті (мал. 11).

Мал. 11 87

Отже, єдиний корінь рівняння - = з? міститься між чис лами 1 і 2. В і д п о в і д ь . Корінь міститься між 1 і 2. Що є графіком функції у = де2? • Сформулюйте власти вості функції у = де2. 474®. (Усно.) Прямою, гіперболою чи параболою є графік функції: «»-і* 4) у = де2;

2) у = бде;

3 )у = 6 ;

5) у = 2де - 3;

6)г, = - | 7

475®. Для функції у = де2 знайдіть значення у, яке відповідає де = -3; 0; 5. 476®. Для функції у = я? знайдіть значення у, яке відповідає значенням де = -2; 1; 6. 477®. Використовуючи графік функції у = де2 (див. мал. 9), знайдіть: 1) значення у, відповідне х = -2,5; -1 ; 1,5; 3; 2) значення х , відповідне у = 1; 3,5; 9; 3) кілька значень де, при яких значення функції більше від 2; менше від 2. 478®. Користуючись графіком функції у = де2 (див. мал. 9), знайдіть: 1) значення функції, відповідне значенню аргументу, що дорівнює -3 ; -0 ,5 ; 2,5; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорів нює 4; дорівнює 5; 3) кілька значень де, при яких значення функції менше від 1; більше від 1. 479®. Побудуйте графік функції у = х?, якщ о -1 < де < 4. 480®. Побудуйте графік функції у = де2, якщ о -2 < де < 3. 481®. Чи проходить графік функції у = де2 через точку: 1) А (-1; -1 ); 2) В (-5; 25); 3) С (0; 0); 4) В (25; 5)? 482®. Чи належить графіку функції у = де2 точка: 1 )А (-4 ;1 6 ); 88

2) В ( 1 6 ; - 4 ) ;

3 )С ^ |;^ ;

4) П (0; 2)?

483®. Знайдіть область значень функції у = х2, якщо: 1) -3 < х < 0 ; 2) -1 < х < 2. 484®. Порівняйте значення функції у = х2, якщо: 1) х = 2,7 і х = -2 ,7 ; 2) х = -1,9 і х = 1,8; 3) х = 0 і х = -3,2; 4) х = -1,1 і х = 1,2. 485®. Розв’яж іть рівняння графічно: 1) х2 = 4х; 2) х2 = - | . 486®. Розв’яж іть рівняння графічно: 2) х2 = - 2 х . 1) х2 = 4 ; 487®. Побудуйте графік функції: г+ог 2) у = 4х 2 - х 4 1) У = х + 1 4 -х 2

488®. Побудуйте графік функції: х^х4 і )г/ = ^ ; 2) У = 1-х2

489®. Обчисліть: / Л2 1) 252 + (-б)2; 3) 0,012: (-0Д)2;

ґ п\2

2,й - І 1!)' 4) (-4)2 •(—0,5)2 .

490®. При яких значеннях а правильною є рівність: 1) а2 = (-а)2; 2 ) а 2 = | а | 2; 3) а 2 = - а 2; 4) (-а)2 = - а 2 ? 491®. Знайдіть: 1) найменше значення виразу: х2 - 19; 18 + (х - З)2 ; 2) найбільше значення виразу: 17 - х2; -9 - (х + 7)2. При яких значеннях х досягаються ці значення?

Уроки 34, 35

§ 14. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. АРИФ М ЕТИЧНИЙ КВАДРАТНИЙ КО РІН Ь

Якщо відомо сторону квадрата, то легко можна знайти його площу. Водночас доводиться часто розв’язувати також обернену задачу: за відомою площею квадрата знаходити його сторону. Приклад 1. Площа квадрата дорівнює 16 см2. Чому дорів нює його сторона? 89

Р о з в ’ я з а н н я . Нехай сторона квадрата дорівнює х см, тоді його площа дорівнює х *2 см2. За умовою ас2 = 16. Це рів няння має два корені: числа 4 і -4 . Справді 42 = 16 і (-4)2 = 16. Оскільки довжина сторони квадрата не може бути від’ємним числом, то умову задачі задовольняє лише один з коренів рівняння — число 4. Отже, довжина сторони квадрата дорів нює 4 см. Корені рівняння з? = 16, тобто числа, квадрати яких дорів нюють 16, називають квадрат ним и кореням и з числа 16.

Квадрат ним коренем з числа а називають число, квад' рат якого дорівнює а.

Приклад 2. 1) Квадратними коренями з числа 100 є числа 10 і -1 0 , бо 102 = 100 і (-10)2 = 100. 2) Квадратним коренем з числа 0 є 0, бо О2 = 0. 3) Квадратний корінь з числа -1 6 ви, поки що, знайти не можете, оскільки серед відомих вам чисел не існує числа, квадрат якого дорівнює -1 6 . Число 4, яке є невід’ємним коренем рівняння де2 = 16, нази вають ариф м ет ичним квадрат ним коренем з числа 16.

А риф м ет ичним квадрат ним коренем з числа а називаю ть таке невід’ємне число, квадрат якого дорів нює а.

Арифметичний квадратний корінь з числа а позначають -Jâ — знак арифметичного квадратного кореня). Вираз, що стоїть під знаком кореня, називають підкореневим виразом. Запис yfa читають так: квадратний корінь з числа а (слово арифметичний під час читання прийнято опускати). Приклад 3. 1) д/81 = 9 (оскільки 9а = 81 і 9 > 0); 2) VÔ = 0 (оскільки 02 = 0 і 0 > 0); 3) М = % (оскільки \3 4) J l М

^ і ^ > 0); 9 З

= ЛШ = \ (ОСКІЛЬКИ [ |- ] = М

= і | | і | . >

Взагалі рівність д/а = х є правильною, якщ о виконуються дві умови: 1) х > 0; 2) х? = а. Оскільки л2 > 0 для всіх значень змінної х, то а > 0. 90

Вираз -у[а не має змісту, якщо а < 0. Наприклад, не мають змісту вирази 7 - ї ; д/—2,9. Обчислення арифметичного значення квадратного кореня називають добуванням квадратного кореня. З невеликих чисел квадратний корінь бажано добувати усно. Добувати квадратний корінь з більших чисел допоможе таблиця квад ратів двоцифрових натуральних чисел на форзаці. Приклад 4. Знайти значення кореня 74096. Р о з в’ я з а н н я. За таблицею квадратів двоцифрових натуральних чисел маємо 642 = 4096. Тому 74096 = 64. Приклад 5. Обчислити д/372 - 122. Р о з в ’ я з а н н я . Спочатку необхідно знайти значення виразу 372 - 122, а потім добути корінь з отриманого виразу: д/372 - 122 = 71369 - 144 = 71225 = 35. В і д п о в і д ь . 35. Розглянемо рівняння у[х = т, де т — деяке число. Якщо т > 0, то з означення квадратного кореня випливає, що х = тп2. Якщо ж т< 0, то рівняння не має розв’язків, оскільки не існує числа х , для якого у[х < 0. Систематизуємо дані про розв’язки рівняння у[х = т у вигляді таблиці: 7* = т, т — число т> 0

т <0

"6 м н

рівняння не має розв’язків

Приклад 6. Розв’язати рівняння: 1) у[х = 7 ; 2)у[х = -3 ; 3) 72* - 1 = 5. Р о з в’ я з а н н я. 1) і = 72; ї = 49; 2) рівняння не має роз в’язків; 3) 2х - 1 = 52; 2х = 26; * = 13. В і д п о в і д ь . 1) х = 49; 2) рівняння не має розв’язків; 3) * = 13.

яких значеннях а вираз л/а не має змісту? • Чи має розв’язки рівняння 7* = т, якщ о т > 0, т < 0, і якщ о має, то які? 91

492®. (Усно.) Чи існує квадратний корінь з числа: 1) 9; 2) 16; 3) -4 ; 4) 0? 493®. Знайдіть значення квадратного кореня з числа: 1) 4; 2) 25. 494®. Знайдіть значення квадратного кореня з числа: 1) 0; 2) 1; 3) 36. 495®. (Усно.) Чи має зміст вираз: 1)

; 2) д/о; 3) 7~4?

496®. Чи має зміст вираз: 1 ) 7 4 ; 2) 7 _36 ? 497®. Доведіть, що: 1) число 2 є арифметичним квадратним коренем з числа 4; 2) число - 2 не є арифметичним квадратним коренем з числа 4; 3) число 0,1 є арифметичним квадратним коренем з числа 0,01; 4) число 0,2 не є арифметичним квадратним коренем з числа 0,4. 498®. Доведіть, що: 1) ^/169 = 13; 2) / ї = ^ . 499®. Обчисліть: і)7їб; 5)д/0^9;

2)749; ]1і 2 Ї ’

3) д/025; 7) Т 1

4) 76400; 8 )^ 1 .

500®. Обчисліть: 1 )7 2 5 ; 5)7004;

2)Тзб;

3) д/0Д6; 7> Т 1

4) 74900;

501®. Чи правильна рівність: 1) 7900 = ЗО; 2) 74 = - 2 ; з ) 7 о ^ = о,3; 4) Т064 502®. За допомогою таблиці квадратів двоцифрових натураль них чисел знайдіть: 1 )7 1 2 9 6 ; 2) 79409; 3) 72916; 4 )^ 3 0 2 5 . 503®. Обчисліть значення виразу: 1)Тб4 + л/25; 2)79-7^36; 4)781:^0^1; 7) 7б2 + 82 ; 92

5) -бд/064 + 3,9; 8) д/2 (0,2а + 0,46).

3) 2 7 Ї 0 0 - 7 Ї 4 4 ; 6) 7б2 - 25 ;

504®. Обчисліть значення виразу: 1)749 + 79;

2)74-7їоо;

з)2 7 Ї2 Ї-7 8 Ї;

4) Тб4 : 7 ^ 2 5 ;

5) -5^0^36 + 2,8;

6) 7102 - 82 ;

7) 7 з 2 +42 ;

8) 7о,32 - 0,09 .

505®. Обчисліть значення виразу: 1) 712 + а , якщ о а = 4; -8 ; -12; 2) у[т ^п , якщ о т = 0,09; ге = 0,07; 3) х + 4у[х , якщ о х = 49; 121; 4) 37& - Ь , якщ о Ь = 1,96; 0,04. 506®. Обчисліть значення виразу: 1) 716 - Ь , якщ о Ь = -9; 15; 2) 2уІт - т , якщ о т = 1,69; 0,49. 507®. Розв’яж іть рівняння: 1 ) 7 * = 2; 2)Т * = 0; 4) 7* - 3 = 0;

5)2у[х = 8;

3) 7 * = “ 2; 6 ) | 7 * = 2. О

508®. Розв’яж іть рівняння: 1 ) 7 * = 1; 2)Т * = - 3 ; 3) 7 * - 5 = 0; 4 ) З Т * = 21. 509®. Чи має зміст вираз: 1) д/і2 -14 - ІЗ 2 ; 2) 72009а - 20082 ; 3) 7Ю002 - 10012 ? 510®. При яких значеннях х має зміст вираз; 1)А ; V*

2)7?;

3)7?;

4)-^? V-*

511®. При яких значеннях у має зміст вираз; з)д/гЛ

2)-±-;

і) 7^?;

4)7= 7?

512®. Розв’яж іть рівняння; 1 ) З Т * + 7 = 0; 3)

■\jx-\-З

2)5 § - 4 = 0; 2)2 Аіо 4 )7 7 2 x ^ = 5 -1 4 = 0. 93

513®. Розв’яж іть рівняння: 1) 1

- 3 = 0;

3 ) 4 ^ = 28; л/2*

2 ) 2 ^ | + 6 = 0; 4) 2 уІ2х + 7 - 6 = 0.

514®. При яких значеннях а має зміст вираз; І ) ^ ;

2) л/-(а + 3)2 ; ' 515®. Розв’яж іть рівняння: 1 ) ^ / | 2 * - 1 | = 3;

3) ^/а10 + 1;

2) ^5 + у[х = 3;

4 )^ + ? а—о = 2.

516®. Розв’яж іть рівняння: 1)^/|2ж + 3| = 5;

2) ^9 + у[х = 4 .

517®. Подайте у вигляді звичайного дробу: 1) 0,3; 2) 0,25; 3) 1,2; 4) 2,5. 518®. Подайте десятковим дробом: 1)1; 2) І ; 3)2І; 4) 3 1 2’ '4 ’ ' 5’ '/_4 519®. Запишіть звичайний дріб нескінченним десятковим пе ріодичним дробом: 1) З ’ 2> п ; 520®. Спростіть вираз:

8> г

4) 6

-Щг - (а - 2)2 0+2 (а-2)

Урок 36

а2-4

§ 15. РА Ц ІО Н А Л ЬН І ЧИСЛА. ІРРА Ц ІО Н А Л ЬН І ЧИСЛА. ДІЙСНІ ЧИСЛА. ЧИСЛОВІ М НОЖ ИНИ

Цілі числа (додатні, від’ємні та 0), дробові числа (додатні та від’ємні) складають множину раціональних чисел.

Множину натуральних чисел позначають буквою Ы, множи ну цілих чисел — буквою Z, множину раціональних чисел — буквою (}. Щоб записати, що певне число належить деякій множині, використовують знак є. Наприклад, 5 є N. Якщо ж число не належить певній множині, це записують за допомоО гою знака £. Наприклад, О 94

І Будь-яке раціональне число можна записат и у вигляді —, де т — ціле число, п — нат уральне число. 71 Наприклад,

Раціональні числа можна також подати у вигляді десятко вого дробу. Для цього треба чисельник дробу поділити на його знаменник. Наприклад, | = 0,375; А = -1,25; А = 0,242424... = 0, (24). В останньому випадку дістали нескінченний десятковий періодичний дріб. Дроби § і також можна подати у вигляді 8

нескінченних десяткових періодичних дробів, приписавши спра ва у вигляді десяткових знаків нескінченну кількість нулів: | = 0,375 = 0,3 7 5 0 0 0 ...; А = -1,25 = -1 ,2 5 0 0 0 ... о

Отже,

У цих рівностях легко переконатися, виконавши відповідні ділення. Але в математиці існують числа, як і не можна записати у вигляді — , де т — ціле число, а п — натуральне число. Ґ~р\ Числа, які не можна записати у вигляді ™ , де т — ціле ' число, а п — натуральне число, називають ірраціональ ним и числам и. 95

Префікс ір означає заперечення, ірраціональні означає не раціональні. Прикладами ірраціональних чисел є Л/2, я, - у/7 тощо. На ближені значення цих чисел можна знаходити з певною точ ністю (тобто округлені до певного розряду) за допомогою мікрокалькулятора або комп’ютера: у[2 « 1,4142135; п « 3,1415926; - ^7 * -2,6457513.

Кожне ірраціональне число можна подати у вигляді нескінченного десяткового неперіодичного дробу. Раціональні числа разом з ірраціональними числами утворюють множину дійсних чисел.

Множину дійсних чисел позначають буквою 12. Оскільки кожне натуральне число є цілим числом, то мно жина натуральних чисел є частиною множини цілих чисел (мал. 12). Кажуть, що множина N є підмножиною множини 2 . Аналогічно, мно жина 2 є підмножиною множини ($, а множина підмножиною множи ни 12. Дійсні числа, що записані за до помогою нескінченних десяткових неперіодичних дробів, можна порівнювати за тими самими правилами, що й скінченні десяткові дроби. Приклад 1. 1) у[2 > 1,4 (бо у/2 « 1,41); 2) -^ 7 < -2,6 (бо - ^7 « * -2,63). У практичних задачах, виконуючи дії над дійсними числа ми, їх замінюють наближеними значеннями, округлюючи до певного розряду. Приклад 2. Обчислити ^ + | + л/3 з точністю до тисячних. Розв’язання.

^ + | + л /з » 2,3562 + 0,3333 +1,7321 =

= 4,4218 ~ 4,422. Зауважимо, що при додаванні, відніманні, множенні і діленні (на відмінне від нуля число), піднесенні до степеня дійсних чисел мають місце всі властивості, що й для дій над раціональними числами. Історичні відомості П оняття ч и сл а з ’я в и л о с я в с т а р о д а в н і ч а си . В о н о є о д н и м з н а й за гальніш их понять м а тем а ти к и . Н е о б х ід н іс т ь виконувати вим ірю вання т а підрахунки зу м о в и л а п о я в у д о д а т н и х р а ц іо н а л ь н и х ч и с е л . С а м е т о д і

виникли і використовувалися натуральні числа та дробові числа, які розглядали як відношення натуральних чисел. Наступним етапом розвитку поняття числа є введення у практику від’ємних чисел. У Стародавньому Китаї ці числа з ’явилися у II ст. до н. д. Там уміли додавати і віднімати від’ємні числа. Від’ємні числа тлумачили як борг, а додатні як майно. В Індії у VII ст. ці числа розуміли так само, але вже знали і правила множення та ділення. Інший напрямок розвитку поняття числа сприяв виникненню поняття дійсного числа. Ще древні вавилоняни близько 4 тис. років тому вміли давати відповідь на запитання: «Якою повинна бути сторона квадрата, щоб його площа дорівнювала S?» Вони склали таблицю квадратів чисел та квадратних коренів з чисел. Вавилоняни використовували метод наближеного добування квадратного кореня з числа S, що не є квадратом натурального числа. Він полягає у наступному: записували S у вигляді а2 + Ь, де Ь — досить мале у порівнянні з а 2, та використо вували формулу: y[s - л]а2 + b » а + ^ . Наприклад: /102 = д/ю2 + 2 « 10 +

=10,1. Перевірка показує,

що 10,12 =10201. Запропонований метод наближеного обчислення квадратного ко реня використовувався у Стародавній Греції. Цей метод детально описав Герон Александрійський (І ст. н. д.). В епоху Відродження європейські математики позначали корінь латинським словом Radix (корінь), а потім — скорочено буквою R. Звідси пішов термін «радикал», яким називають знак кореня. Згодом для позначення кореня використовували точку, а потім ромбик. Надалі стали використовувати знак v, а над підкореневим виразом писали горизонтальну риску. Далі знак v і риска були поєднані, і саме у вигляді знак квадратного кореня використовують сучасні математики.

Які числа утворюють множину раціональних чисел? • У вигляді яких дробів можна подати будь-яке раціональне число? • Як можна записати кожний нескінченний десятковий пе ріодичний дріб? • Які числа називають ірраціональними? • Як можна подати кожне ірраціональне число? • Які числа утворю ють множину дійсних чисел? 521®. (Усно.) Чи правильно, що: 1) 5 — натуральне число; 3) д/3 — раціональне число;

2) -2 ,1 — ціле число; 4) - ® — дійсне число?

522®. З чисел д/З; - 2 | ; 52; -2,(1); я; 19; -3 ,7 ; 0; -д/б; 0,222... випишіть: 1) натуральні числа; 2) цілі невід’ємні числа; 3) раціональні від’ємні числа; 4) ірраціональні числа. 97

523®. З чисел 8; - д/7 ; -5 ; | ; 7 Ї7 ; 3,(7); ^ЇЗ ; - 1 1 ; 0; 5,137 О

випишіть: 1) натуральні числа; 2) цілі недодатні числа; 3) раціональні додатні числа; 4) ірраціональні числа. 524®. Подайте у вигляді відношення цілого числа до нату рального: 1 )31; 2 ) - 8; 3 )2 ^ ; 4 )- 5 ,1 . 525®. Подайте у вигляді відношення цілого числа до нату рального: 4) 2,8. 1) - 21 ; 2 ) 10 ; 3 ) - 3 |; 526®. Подайте число — у вигляді нескінченного десяткового ОО дробу й округліть його: 1) до сотих; 2) до тисячних. 527®. Подайте число

у вигляді нескінченного десяткового

дробу й округліть його: 1) до сотих; 2) до тисячних. 528®. (Усно.) Чи правильно, що: 1 )7 е Л Г ; 2) 10 є Я ; 3 )5 ^ ; 4 )3 2 є Д ; 5) -3,9 і N ; 6) -9,2 є Я; 7 ) - 3 ,1 7 г Д ; 8 ) у / З є Я ; 9)^64еЫ;

Щ-^ЩЇ г й ;

529®. Порівняйте: 1) 1,366 і 1,636; 4) я і 3,2; 7) -1 ,4 1 і-д /2 ; 530®. Порівняйте: 1) -2 ,1 7 і -2,71; 4) л/2 і 1,4;

11) / | е Я ;

12) , / і £ є<??

2) -2 ,6 3 і -2,36;

з ) - ^ і0 ;

5) - я і -3 ,1 ;

6) 1,7 і 1,(7); 9 ) 2 ^ 1 2 ,( 3 9 ) .

8) д/З і 1,8;

2) 0 І Ї 6 ; 5) - ^/3 і -1 ,7 ;

3) 2,(3) і 2,3; 6) і

і 0,(08).

531®. Знайдіть наближене значення виразів, округливши зна чення коренів до сотих: 1 )7 7 + 2 ,1 2 ; 2 ) 3 ,1 8 - 7 5 . 532®. Р о зм істіть ч и сл а в п о р яд к у сп адан н я: 0 ,1 1 ; 0,(1); 0 ,0 1 ; Л_. 1

10 ’ 2 '

533®. Розмістіть числа в порядку зростання: 0,(2); 0,22; \ ; \ ; 4

0,02. 534®. Чи правильно що: 1) сума двох цілих чисел — ціле число; 2) частка двох раціональних чисел — число раціональне; 3) будь-яке ціле число є натуральним; 4) множина дійсних чисел складається з чисел додатних і від’ємних? 535®. Запишіть три раціональних числа, розміщених між числами 1,55 і 1,(5). 536®. Запишіть два раціональних числа, розміщених між чис лами 2,333 і 2,(3).

537®. Доведіть, що число ^2 є ірраціональним. 538®. Доведіть, що число д/з є ірраціональним. 539®. Використовуючи формулу л[ б = т]а2 + Ь « а +

, знайСіО, діть сторону квадрата, площа якого дорівнює: 39 см2; 83 дм2. Порівняйте відповідь з числом, знайденим за до помогою калькулятора. 540®. Розв’яж іть рівняння: 1) ж2- 1 6 = 0; 2) 4х? - 9 = 0; 3 )- ^ -з с 2 = 0 ; 4 ) - ^ - л ? = 0. 16

541®. З міст М і N одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі. Відстань між містами М і N дорівнює в км, швидкості автомобілів — і и2. Через £ год автомобілі зустрілися. Виразіть £ через в, и1 і и2. Обчисліть значення £, якщ о в = 375 км; = 78 км/год; и2 = 72 км/год. 542®. Розв’яж іть рівняння з двома змінними: 1) л? - 6 х + 9 + у 2 = 0; 2 ) | ж+ 2 |+ і/2 + 2 і/ + 1 = 0.

Уроки 37, 38

* 1в' ТОТОЖНІСТЬ ф ї = а, « > 0. РІВНЯННЯ ж2 = а

Нагадаємо, що для всіх значень а > 0 рівність у[а = х є правильною, якщ о виконуються дві умови: 1) х > 0; 2) ж2 = а. Підставивши в останню рівність замість х його запис у вигляді у[а, дістанемо тотожність (V®)2 = а . 99

Д л я будь-якого а > 0 виконується тотожність (у[а^

Приклад 1. Обчислити: 1)(л/7)2;

2) (- Т ії)2;

а.

3 ) ( |- Д 2 ] ;

л/3

Р о з в’ я з а н н я. 1) (Т'Г)2 = 7 ; 2) (- y [ n f = 11; 3) = ( І | -(л/Ї2)2 = І 1 2 = 3; 4)

(л/3)2

3 4

Розглянемо рівняння х2 = а, де а — деяке число. Оскільки квадрат числа не може дорівнювати від’ємному числу, то коли а < 0, рівняння зс2 = а не має розв’язків. Якщо а = 0, то єдиним коренем рівняння зс2 = 0 є число 0 . Якщо а > 0, то коренями рів няння зс2 = а є числа у[а і - д/а. Справді, 0 = а і (- у[а)2 = а. Для того щоб впевнитися, що рівняння зс2 = а, де а > 0, інших коренів не має, звернемося до графічної інтер претації розв’язування цього рів няння. Побудуємо графік функції у = х? і графік функції у = а, де а > 0 (мал. 13). Ці графіки перет нулися двічі у точках з абсцисами у/а і -у/а. Систематизуємо дані про розв’язМал. 13 ки рівняння х? = а у вигляді таблиці: о? - а, а — число а >0 1 II

II я4

а =0

а <0

х =0

рівняння не має розв’язків

Приклад 2. Розв’язати рівняння: 3) зс2 = 7 ; 4) (2зс + І)2 = 25. 100

1) зс2 = 9 ; 2) х? = - 7 ;

Р о з в ’ я з а н н я . 1) Ху = 79, х^ = - 79; отже, Ху = 3, л^ = -3; 2) рівняння не має розв’язків; 3) Ху = д/7, Х2 = - у]7. Коренями рівняння х? = 7 є ірраціо нальні числа; 4) маємо 2х + 1 = 725 або 2х + 1 = - ^/25. Розв’язавши пер ше з рівнянь, дістанемо 2л: +1 = 5, 2х = 4, х = 2, а друге — 2х + 1 = -5, 2л: = - 6, х = -3. Отже, рівняння має два корені Ху = 2; Лз = -3. В і д п о в і д ь . 1) Ху = З, Х2 = -3; 2) рівняння не має роз в’язків; 3) л^ = у/7, = - л/7; 4) Ху = 2; х^ = -3. Для яких значень а правильною є рівність (л/а)2 = а? • Чи має корені рівняння х2 = а, якщо а < 0, а = 0, а > 0, і якщ о має, то скільки? 543®. Обчисліть значення виразу: 1) (л/З)2;

2) ф ) 2;

3) (д/гД)2;

544®. Обчислити: 1) (7б)2; 2) (Л/4^2)2. 545®. (Усно.) Чи має корені рівняння: 1)л? = 9;

2) х2 = 3 7 ;

3)л? = 0 ;

4)л? = -5 ?

546®. Чи має корені рівняння: 1)л? = 25;

2) л? = - 10?

547®. Обчисліть: 1) (- л/7)2;

2) 7 ї ї - л / ї ї ;

3) | л / з ) ;

5) - б ф ф ;

6) 0,3 •(- л/ЇО)2;

4) (~2уІ5)2;

У 8) V

548®. Обчисліть: 1) ( - л /її) 2;

2 )7 1 9 -7 1 9 ;

3)(2Т*І7)2;

5) -7 •

6) 0,2 •(- Т5)2;

;

і ТЇ5

4) [ - 1 7» ];

л2

^Л 2 Тїо з Ч У 101

549®. Обчисліть значення виразу: (

1) (Vl5)2 - 3,8;

г-Л 2

2 )5

3 )7 :

4 )|( -л /2 4 )2. У

550®. Обчисліть значення виразу: ( і—v 3) 1 2 : 1) 2,7 + (- д/ЇЗ)2; 2 )8 551®. Розв’яж іть рівняння: 1) а? = 25;

2) а2 = 0,36;

3) а? = 1 2 1 ;

4) а2 = - 9 ;

5) а2 = 11;

®) ^ = І -

552®. Розв’яж іть рівняння: 1) а? = 49; 2) а? = 0,16; 4) а2 = - 4 ;

3) а? = 169;

5) а? = 5;

6> ^ Ї 5 -

553®. Розв’яж іть рівняння: І ) * 2- 0,05 = 0,04;

2) 2 4 + * 3 = 2 5 ;

3) а2 + 12 = 0 ;

4 ) ^ = 7. О

554®. Розв’яж іть рівняння: 1) а2 + 0,01 = 0,26;

2) а2 - 14 = 2;

3) 17 - а2 = 0 ;

4 ) - ^ а 2 = 5. 4

555®. Чи належить графіку функції у = а2 точка: 1 )M (V 5 ;5 );

2)N(7;j7);

3 )P (-V 3 ;3 );

4)T(VlO;VlO)?

556®. Знайдіть сторону квадрата, площа якого дорівнює: 1) 36 см2; 2) 49 дм2; 3) 0,09 м2; 4) Ц д м 2. Зо 557®. Обчисліть: і ) ( - ( л/5)2)2;

2) (2yf5f - (5V2)2;

3 )3 6 { - | л / Ї 7 ] -|( 2 л /Ї 5 )2;

4) ^59,29

5) (-3V5)2 - З (V5)2; 102

-\ 4 25 5 V32

"з /8 f ^ 9

558®. Обчисліть: 2) (3^7? - (Т^/З)2;

) ( ( - л/7)2)2;

4 )7 ^ -^ 1 7 4 2

+и±ш

/ 6) 2 /_9_ 3 у іо V

- \

5)(572)2 - 5 (-72)2;

559®. Розв’яж іть рівняння: 1) (ж - 2)3 = 36; 2) (у + З)2 = 4; ґ

4) (л; + З)2 = 7 ;

6 Уб5

3) (л ;-1 )2 = 0 ;

V * V 9у

А ;

560®. Розв’яж іть рівняння: 1) (ж + І)2 = 16; 2) (у - 2)2 = 25; 4) ( * - 2 ^ = 3;

5) ун - А10

6) (ас + 5)2 = - 9 .

3) (т + 2)2 = 0 ; 1

100

6) (тп - З)2 = - 4 .

561®. Наведіть приклад рівняння виду з? = а, це а — число, яке: 1) має один цілий корінь; 2) має два цілих корені; 3) не має коренів; 4) має два раціональних корені; 5) має корені, але вони не є раціональними. 562®. Розв’яж іть рівняння: 2 ) (2л:- 3у + (2л; + 3у = 2 0 . 1) 6в х-1 563®. Розв’яж іть рівняння: 1 ) ^ 2 = ^ ; 2) (Зл; + І)2 + (Зл: - І)2 = 4 . О

Х~\~А

564®. Розв’яж іть рівняння: 1) ^7 + 72 + я? = 3 ; 2 ) 2 | л ^ - 5 | + 3 = 5. 565®. Розв’яж іть рівняння: 1 )^ 1 + 7 ^ + 4 = 2 ; 2 ) 2 | я ? - 4 | + 1 = 11. 566®. При яких значеннях Ь є правильною рівність: 1 ) ( ^ ) 2 = -&; 2) (Тб^-4)2 = 6 - 4 ; 3)6(7&)2 =&2? 567®. При яких значеннях т рівняння тх? = 1: 1) має два корені; 2) має один корінь; 3) не має коренів? 103

568®. С простіть вираз:

f х - 4х-9 х-2

2х х-2

2х

569®. Відомо, що 2 х - 4у = 1. Обчисліть значення виразів: ~ 0. 0 8у-4х 2) 3) 2£х+5у 1) х-2 у ’

уроки

Чо _ л1

§ 17. АРИФ М ЕТИЧНИЙ КВАДРАТНИЙ КО РІН Ь З ДОБУТКУ, ДРОБУ І СТЕПЕНЯ. ДОБУТОК І ЧАСТКА КВАДРАТНИХ КОРЕНІВ. ТОТОЖНІСТЬ л[а? = \а \

Порівняємо значення виразів ^ 4 -9 і ^4 •-J9: fe - 9 = д/36 = 6 ,

= 2-3 = 6 .

Отже, ^ 4 -9 = -^4 у/9. Аналогічну властивість має корінь із добутку будь-яких двох невід’ємних чисел. Т е о р е м а (про корінь із добутку). Корінь із добутку двох невід’єм них чисел дорівнює добутку коренів із ц их чисел, тобто якщ о а > 0 і Ь > 0, то yfab = yfa-yjb.

Д о в е д е н н я . Оскільки а > 0 і b > 0, то вирази у[а і y[b мають зміст і у[а > 0, yjb > 0. Тому yfa-y/b > 0. Крім того, (yla-yjbf = (yfaf •(yfbf = ab. Отже, у[а -yjb > 0 і (Ja •yjbf = ab. За означенням квадратного кореня маємо: y[ab = у[а •yfb. Доведена теорема поширюється на випадок, коли множни ків під знаком кореня більше двох. Н а с л і д о к. Корінь з добутку невід’єм них множ ників дорівнює добутку коренів з ц и х множників. Д о в е д е н н я . Доведемо цей наслідок, наприклад, для трьох невід’ємних чисел а > 0, b > 0, с > 0. Маємо: yfabc = yj(ab) с = yjabyfc = y[a.y[byfc . Приклад 1. 1) ^/25• 36 = ^ 2 5 - ^ = 5-6 = ЗО;

2) J 32-72 =

= д/(16-2)(36-2) = ^16-36-4 = д /їб л /З б л Д = 4-6-2 = 48. 104

Якщо в рівності у[аЬ = д/а •д/ь поміняти місцями ліву і праву частини, то дістанемо тотожність: О

у[а •д/б = д/аЬ, де а > 0, Ь > 0. Добут ок коренів з невід’єм них чисел дорівнює кореню з добутку ц и х чисел. Приклад 2. д/2 •д/Ї8 = ^2-18 = д/36 = 6. Розглянемо квадратний корінь з дробу.

Т е о р е м а (про корінь з дробу). Корінь з дробу, чисель ник якого невід’ємний, а знам енник додатний, дорівнює кореню з чисельника, поділеном у на корінь із знаменника, тобто, якщ о а > 0 і Ь > 0, то їа_ _ л/я )ІЬ д/ь ' Д о в е д е н н я . Оскільки а > 0 і Ь > 0, то вирази д/а і д/ь мають зміст і д[а > 0, д/ь > 0. Тому ^ > 0. Крім того, д/Ь

Ґ^ 2 (л/аУ 2 Отже, ^ > 0 і л/Ь

'4 а ’2

а Ь'

§ . За означенням квадратного кореня о

маємо: \Ь

д/й

тт Приклад 3о .1і )\ у136 -

д/36 = 6 .

Якщо в рівності & = ^

л\ ! Л

І9

поміняти місцями ліву і праву

д/Ь

частини, то дістанемо тотожність: О

=^,6еа>_0,Ь>0.

Частка, чисельник якої є коренем з невід’ємного числа, а знам енник — коренем з додатного числа, дорівнює кореню з част ки ц и х чисел. 105

Ппшслатї П р и к л а д4і 11 1 ) - ^ -—^ Д® т — - ^/о9 — - 3з ,- оч

— І20 _ І4 _ лД _ 2

Розглянемо добування квадратного кореня з квадрата. Т е о р е м а (про корінь з квадрата). Д л я будь-якого зна чення а м ає місце тотожність д/о2 =| а |. Доведення.

Оскільки Іа |> 0 для будь-якого а і

Іа |2= а 2, то за означенням квадратного кореня д/а2 = | а |. Приклад 5. 1) д/72 = 17 І= 7 ; 2) д/(-3)2 = | - 3 1= 3. Розглянемо квадратний корінь із степеня. Т е о р е м а (про корінь із степеня). Д л я будь-якого зна чення а і нат урального значення Іг м ає місце тотожність д/о2* = І а* І. Д о в е д е н н я , д/а2* = ^/(а*)2. За теоремою про корінь з квадрата маємо ^(ак)2 = \ак |. Отже, д/а2* = \ак |. Приклад 6. д/ЇД*1 = д/(1,72)2 = 11,72 | = 2,89. Приклад 7. Спростити вираз: 1) д/а*2 ; 2) д/р® , де р < 0. Р о з в’ я з а н н я. 1) д/а*2 = ^/(а6)2 = |а 6 |. Оскільки а® > 0 для будь-якого а, то Іа 6 |= а 6. Отже, д/а*2 = а 6. 2)

д/р® = д/(р3)2 = |р 3|. О скількир< 0, т о р 3< 0, а тому |р3| = - р 3.

Отже, якщ о р < 0, то д/р® = - р 3. В і д п о в і д ь . 1) а®; 2) - р 3. 'Р

Сформулюйте та доведіть теорему про корінь з добутку. • Чому дорівнює добуток коренів? • Сформулюйте та доведіть теорему про корінь з дробу. • Чому дорівнює частка коренів? • Сформулюйте та доведіть теорему про корінь з квадрата та зі степеня. 570®. (Усно.) Чи правильно виконані обчислення: 1) ^16-9 = -Дб д/9 = 4 - 3 = 12; 106

2_ ?

571®. Ч и прави л ьн о ви к о н ан і обчислення: л/9

1) ^/36-4 = 736-4 = 6-4 = 24;

39 5 ‘

725

572®. Обчисліть значення виразу: 1) 725 -9;

2) 716 -900;

3) 70,25 -1,44;

4) 70,04-169; 5) 72,25 -0,09 -100; 573®. Обчисліть значення виразу: 1) 736 -49; 2) 7 і0 0 -4;

6) 71,96-0,01-6,25 . 3) 70,49 -1,69;

4) 70,09 -196; 5) 71,44 -0,16 -400;

6) 72,89 -10 000 -0,25 .

574®. Обчисліть значення кореня:

575®. Обчисліть значення кореня:

576®. Обчисліть: 1) 70,2а ;

2) ^(-0,9)2 ;

5) 0,5 д/(-10)2;

з) 2 7з^;

4) - З д /^ ;

7) - З д / н т ’ ;

577®. Обчисліть: і ) ^ ;

2) д/(-0,3)2 ;

6) - 0,1 7

3) з 7?; ;

4) - 2 7 7 а ;

7) -бд/с-З)2 ;

578®. Подайте вираз у вигляді добутку коренів: і)^ 7 ;

2 )7 3 5 ;

3)7Ї7& ;

4 )7 б р .

579®. Подайте вираз у вигляді добутку коренів: 1 )7 3 -1 1 ;

2 )7 Ї5 ;

3 )7 Ї9 а ;

4 )Т Й » . 107

580®. Подайте вираз у вигляді частки коренів: к .; 3) !т п

2) М і

4) \Р’ 1 23 '

581®. Подайте вираз у вигляді частки коренів: 2) /9 1 . 4) 1) 582®. Обчисліть значення добутку: 1 )7 2 -^ 3 2 ;

2 )7 5 -7 4 5 ;

4 )7 а д -7 ^ 5 ;

5) І - ї ї - — : 7 \ 7 V13 Л/36

3) 7 ^ 0 2 -750;

583®. Обчисліть значення добутку: 1 )7 5 -7 2 0 ;

2 )7 2 -7 5 0 ;

3)720-7^05;

4 )> і-7 а д ; 584®. Обчисліть значення частки: 7*4 Т ї з . 2) 3) 4) 1) V2 ’ 7^ ’

7^27 Т0Д5 ’

585®. Обчисліть значення частки: П Т50. 1 )^ - ’

очл/

^ . 2) # 3 ’

очТїбО. 8) ^ Х ’

. 4) 7Ї 2 -

5) ТЇ2 . л^7 ’

586®. Обчисліть значення виразу: і) То1 ; 4 )^2 ^;

2)72®; 5 )^3 ^;

З)7б®; 6)

587®. Обчисліть значення виразу: 1 )7 1 0 ";

2) 7з®;

3)72®;

4 )^ ^ ;

5 )^ /^ ? ° ;

б)

588®. Замініть вираз тотожно рівним: 1) 7»? ;

2) 4

;

3) -ОД Та® ; 4>^ ‘

589®. Замініть вираз тотожно рівним: 1 )7 ? ; 108

2) - 2 7 ? ;

3 )^ 7 ? ; ‘

4) 7 Vа

ТбД8 7^*28

590®. Обчисліть:

4) 7о,852 - 0,842 .

3) д/202 - 162 ; 591®. Обчисліть: 1) /4 2 1 - 2 3 ^ ; ; V 25

81 ’

3) д/372 - 122 ; 592®. Обчисліть: 1) ^90-490; 4 )^/4 5 -7 7 2 ; 593®. Обчисліть: 1) 740 -640; 4 )7 1 ^ -7 9 0 ;

4) 7 о,252 - 0,242 . 2) 772 -32;

3)74,9-32,4;

5 ) 7 ї з -7 з л / з 9 ;

6 )7 2 2 л/ Ї 4 л/77-

2) 745 -125;

3) 714,4 -8,1;

5 )7 Ї 7 -7 3 4 -Т 2 ;

6 )7 б З - Т Ї8 л /Ї4 -

594®. Обчисліть значення виразу: 1) 734 -б2 ( - 2)6 ;

2) 72і0 -52 -

3) Т252 ;

4) 79® -

;

595®. Обчисліть: 1) 7 з 4 (-6)2 - Т Ї - 2)®;

2)736®.

596®. Обчисліть, розклавши підкореневий вираз на прості множники: 1) 712 544; 2) 7186624. 597®. Спростіть вираз: 1) 70,363с2, якщ о х > 0;

2) 7 і 2 1у2, якщ о у < 0;

4 )5 7 ? ;

ЯКЩ0 Р < 0;

5) 725а6, якщ о а > 0;

6) /Ц- с10 , якщ о с < 0.

598®. Спростіть вираз: 1) 7 о,49р2, якщ о р > 0;

2) .

3)7д/&® ;

4) 7 о,01а 14, якщ о а < 0.

\|64

якщ о тп< 0 ;

109

599®. Спростіть вираз: 1) у]25т2п12, якщ о т < 0 ; 2)

т14п*®, якщ о т > 0, п < 0 ;

3) | х у 3^64х4у 2, якщ о у > 0; 4) 5) 2т

20 \ тг

, якщо 7П < 0;

якщ о р < 0; ■16г26

Х3у Я212

, якщ о х > 0, г < 0.

600® Спростіть вираз: 1) д/б4а2&8, якщ о а > 0 ; 2) 3) I х \ V

, якщ о з < 0 ;

Ьсд/25Ь6с10, якщ о Ь < 0, с > 0.

4) За2 рЦ-, якщ о Ь > 0. Vа

601®. Відомо, що х < 0, у < 0. Подайте вираз: 1) фку у вигляді добутку коренів; 2) —у вигляді частки коренів. Р 602®. Спростіть вираз: 1) ]/(х ~ У)2’ якщ о х > у ; 3)

2) ^(т - п)2, якщ о т< п;

- Юх + 2 5 , якщ о х > 5; 4) д/36 —12а + а 2, якщ о а < 6.

5) (х + 2) І „ 25— , якщ о я; > - 2 ; \яґ+4я:+4 6) (а - Ь) Ч — ---- 2 » якщ о а < Ь. ^ а2-2аЬ+Ь2 603®. Спростіть вираз 1) ^(т - 2)2, я к щ о т > 2;

2) ^р2 + 8р + 16, якщ о р < - 4 ;

3) (а - 5)

, якщ о а > 5; а2-10а+25 9 , якщ о х< 1. 4) (х - 1 ) ^ - 2ж+1 604®. Спростіть вираз: 1) ^

3 - 5)2 + Г-УТз

3) ^(д/21 - 5)2 - 7(^21 - 4)2; 110

2) д/(3 - л/7)2 + д/(2 - Т7)2 ; 4) ^ т Ч ф .

605®. С простіть вираз: ' _____ N2 - ІЗ)2 ; 1) д/5 - 78 -

2) ^ 3 - 2 ^

606®. Розкладіть на множники: 1) 2аА/ 3 - 8ху5; 2) 49а2 - 36; 3) З6тп3п + 27т2п8;

пг8 - а 4.

607®. Скоротіть дріб: тга-4 .

. а г + 10а+25 . 2 ) 4 а +20

1) 6+3 т, ’

ж2-25 ^-10л:+ 25

д^-8а:+16 ас3 - 8

608®. Доведіть тотожність: а -6

2а а2-12а+36

а - 8 + 12а = _д 3 6 -а 2 а - 6

609®. Побудуйте графік функції у = Зх + д/х2, якщ о х < 0.

Уроки 42—44

§ 18. ТОТОЖ НІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ, ЩО МІСТЯТЬ КВАДРАТНІ КОРЕНІ

Розглянемо тотожні перетворення виразів, що містять квад ратні корені. 1. Винесення множника з-під знака кореня. Скористаємося теоремою про корінь з добутку для пере творення виразу д/Ї2: д/Ї2 = д/4+3 = д/4 •д/з = 2д/з .

У такому випадку говорять, що множник винесли з-під знака кореня. У даному випадку винесли з-під знака кореня множник 2. Приклад 1. Винести множник з-під знака кореня у виразі №

Р о з в ’ я з а н н я . Вираз д/ае44 має зміст, якщ о х > 0 (якщо х< 0, то х11 < 0). Подамо вираз я11 у вигляді добутку де10-аг, в якому ас10 є степенем з парним показником. Тоді д/х44 = ^ас10 ■х = =

д / х * ° - д / х = -^(ас5)2 • д/ас = |х * | д / х .

Оскільки х > 0, то х5 > 0. Тому | х6 | = х5. Отже, д/х44 = а^д/х. В і д п о в і д ь : а^д/х. 111

2. Внесення множника під знак кореня. Розглянемо тотожне перетворення, обернене до поперед нього. Скористаємося правилом множення коренів: 2л/ з = л/ ^ л/3 = л/4Т3 = л/Ї 2 . Говорять, що внесли множник під знак кореня. У даному випадку внесли під знак кореня множник 2. Зазначимо, що під знак кореня можна внести лише додат ний множник. Приклад 2. Внести множник під знак кореня: 1) -2 д /з; 2) лід/б. Р о з в ’ я з а н н я . 1) -2у[з = -1-2у[з = - 1 ^ ¥ ■ Л[3 = - 1 ^ 3 = = -д/Ї2 . 2) Множник т може набувати будь-яких значень (бути додатним, нулем або від’ємним). Тому слід розглянути два випадки: якщ о т > 0, то /Пд/б = | /п | д/б = д/пї2 •д/б = д/б/п2 ; якщ о т < 0, то /Пд/б = - 1т | д/б = - д/лг2 ■д/б = - д/б/п2 . В і д п о в і д ь . 1 ) - д/Ї2; 2) д/б/п2, якщ о /п > 0; - д/б/п2, якщо т< 0. 3. Додавання, віднімання, множення, ділення та піднесен ня до степеня виразів, що містять квадратні корені. Використовуючи правила множення та ділення коренів, можна виконувати відповідні дії над виразами, що містять квадратні корені. Приклад 3. 1) 5д/з-7д/2 = 35д/б; 2) 7д/а *(—Зд/б) = -21д/ба ; 3) 8д/Ї8 :4 д/2 = ? 4 5 = 2д/9 = 2-3 = 6 ; 4) 7 ^ х : ( - 2 ^ х ) = - - ^ = - 1 . 4дІ2 2д/ї 2 Використовуючи тотожність (д/а)2 = а, де а > 0 можна під носити до степеня вирази, що містять квадратні корені. Приклад 4. 1) (-5д/2)2 = (-б)2 ■ф ) 2 = 25-2 = 50; 2) (д/а)3 = = (д/а)2д/а = ад/а. Розглянемо приклад додавання квадратних коренів. Приклад 5. Спростити вираз 5д/2 + Зд/2. Р о з в ’ я з а н н я . Доданки містять спільний множник д/2. Винесемо його за дужки: д/2 (5 + 3) = 8д/2. Звичайно, розв’язан ня записують коротше: 5д/2 + Зд/2 = 8д/2. 112

Зауважимо, що вирази б Д і з Д в даному прикладі нази вають подібними радикалам и, ми їх додали, використавши правило зведення подібних доданків. Приклад 6. Спростити вираз Д 2 а + Д в а - Д 7 а . Р о з в ’ я з а н н я . У кожному з доданків можна винести множник з-під знака кореня: л]і2а + д/48а - Л/27а = Д ■За + Д б - 3 а - Д ■За = = 2 Д а + 4Д а - 3Д а . Дістали суму, яка містить корені з однаковим підкореневим виразом. Ц я сума дорівнює з Д а. В і д п о в і д ь . з Д а. Приклад 7. Спростити вираз: 1) (д/7 + 2Д ) ( Д - 2Д ); 2) (2Д - Д )2 + л/Ї5. Р о з в’ я з а н н я. 1) ( Д + 2Д ) ( Д - 2Д ) = ( Д )2 - (2Д )2 = = 7 - 4 - 3 = - 5 ; 2) ( 2 ^ 5 - д/з)2 + -Дб = (гТб)2- 2 • 2 ^ • д/З + (л/З)2 + + Д б = 4 •5 - 4д/Ї5 + 3 + Д б = 23 - з Д б . В і д п о в і д ь . 1) -5 ; 2) 23 - з Д б . 4. Скорочення дробів. Приклад 8. Скоротити дріб: 1) а Д ; 2) ^ ^ . &~-\І* 3—д/3 Р о з в ’ я з а н н я . 1) Оскільки 7 = (Д )2, то чисельник дро бу можна подати у вигляді різниці квадратів двох виразів: а2- 7 _ а2-(Д )2 _ (а -Д )(а + Д ) _ „ , а -Д а -Д а -Д ^ 2) Врахуємо, що Д = Д Д , а 3 = (Д )2, та винесемо за дужки спільний множник у чисельнику та знаменнику дробу: д / б - Д _ Д д / З - Д _ Д (д /З -1 ) _ Д

з-Д

(д/з)2- Д

Д (Д -і)

В і д п о в і д ь . 1) а + Д ; 2 ) ^ | . 5. Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу. Приклад 9. Перетворити дріб Д так, щоб він не містив V5

кореня у знаменнику дробу. 113

Р о з в ’ я з а н н я . Для виконання завдання досить чисель ник і знаменник дробу помножити на у[5: а _ ау/Е _

у/б

л/Зл/5

~5~'

(л/5):

В і д п о в і д ь . ау[б У такому випадку говорять, що ми звільнилися від ірраціо нальності в знаменнику дробу. Приклад 10. Звільнитися від ірраціональності у знамен нику дробу л/7-1' Р о з в ’ я з а н н я . Помножимо чисельник і знаменник дробу на у/7 + 1: 2 = 2(,/7+1) = 2(77+1) _ 2(77+1) _ 2(77+1) _ 77+1 7 7 -1 (77-1)(,/7+ 1) (,/7)2- 1 2 7 -1 6 З

т, В і• д п о в і •д ь . л/7+1 —. 'Л

На прикладі виразу у[4т покажіть, як можна винести множник з-під знака кореня. • На прикладі З^р пока

жіть, як можна внести множник під знак кореня. • Наведіть приклади подібних радикалів. • За яким правилом можна до давати (віднімати) подібні радикали? • На який множник треба помножити чисельник і знаменник, щоб звільнитися від 2= ; 5— ? ірраціональності в знаменнику дробу: — у/7

610®. (Усно.) Виконайте дії: 1 )5 7 2 + 4 ^ 2 ; 2 ) 7 у І З - 2 ^ 3 ;

у/а +1

3) 3^7 + у / ї ;

4 )2 ^-^.

611®. Виконайте дії: 1 )7 7 п + 2 7 Ї Ї ;

2) 5^2 - 3^2;

3)^3+6^3;

4) 3^7 - ^7 .

612®. Подайте у вигляді кореня: 1 )7 2 -7 5 ;

2) ^ ;

3)уІзф;

4 )^ .

613®. Подайте у вигляді кореня: 1 )Т зТ 7 ; 114

2) ^ 1 ; V13

3 )7 5 ^ ;

4)Щ . у/х

614®. Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 7 8 ;

2 )7 0 3 ;

3 )7 2 5 0 ;

4) 7 3 6 3 ;

5) д/з2 -19 ;

6 ) д/24 7 ;

7) д/52 -73 ;

8) д/53-25

615®. Винесіть множник з-під знака кореня: 2 )7 5 0 ; 1) 720; 3 )7 2 7 ;

4) Т Ї9 2 ;

6) д/з4 -2 ;

8) д/ з 5-53

5) д/52 17;

7) д/72-23 ;

616®. Винесіть множник з-під знака кореня і спростіть утво рений вираз: 1 )1 7 2 8 ; 2 ) - |Т 5 0 0 ; 3) 1,2775;

4) -1,25748.

617®. Винесіть множник з-під знака кореня і спростіть утво рений вираз: 2 ) - |Т І 2 5 ; 1) 0,5744; 3) о,7Тзоо ;

4) - 1 ,5 7 Ї Ї2 .

618®. Внесіть множник під знак; кореня: 2 )7 7 5 ; 3) - 2ТЗ ; 1) зТ2 ; 5) 10y[m ;

7) -ОДТЇОа >

6 ) |7 8 ж ;

4) -5TÏÔ ; 8) 7 ^ .

619®. Внесіть множник під знак: кореня: 2) 2Т Ї Ї ; 3) -З 7 б ; 1) 4Тз ;

4) -7 7 2 ;

6) | Т Ї 8І ;

8) 6 ^1 і,

5) ^Тр ;

7) - 0,2Т Ш »

620®. Спростіть вираз: 1) 725л; + 749л; - 736л; ;

2) Т Ї 8 - Т32 + 75Ô;

3) T8Ô + I ^200а - 750а ; 621®. Спростіть вираз: 1) 7 і 00о + 7б4а - 7 і 21а ; 3) 7 5 0 5 - і 7755 + 72505 ;

4) ТЗпї - 7? + 7 і 2пг. 2 ) 7 4 8 - 727 + л/75; 4) 77а + 7ь + 7бЗа .

622®. Виконайте множення: 1) 72(78 - 772 ); 3)(2 + 7 3 ) ( 1 - 7 3 ) ;

2)(2 7 3 - 7б3 + 745 ) 7 3 ; 4) ( 3 - 7 5 ) (1 + 75). 115

623®. Виконайте множення: 1 )^ 5 ( 7 5 + 720);

2) (5 7 2 - 7 1 8 + 7 5 0 )7 2 ;

3) ( 1 - 7 2 ) (3+ 72);

4) (2+ 77) ( 1 - 7 7 ) .

624®. Спростіть вираз, використовуючи формули скороченого множення: 1) ( Т ії + 7 7 )( Т ії - 7 7 ) ;

2 )(2 -Т З )(2 + ТЗ);

3 ) ( 2 7 3 - 7 5 ) ( 2 7 з + 75);

4 )(72+ Т 7)2 - 9 ;

5) (72 - 73)2 + 2Тб;

6) (73 - Т27)2 •

625®. Спростіть вираз, використовуючи формули скороченого множення: 1)(7Ї9 + 7 3 ) ( 7 Ї 9 - 7 3 );

2) ( 3 - 7 2 ) (3 + 72);

3 ) (4 7 3 - 7 Ї 9)( 47 з + 7 Ї 9); 5) (75 + 72)2 - 2 Т Ї0 ;

4 ) (7 3 - 75 )2 - 8 ; 6) (ТбО - 72)2 .

626®. Розкладіть на множники, використовуючи формулу різ ниці квадратів: 1) я2 - 3; 2) 1 7 - а 2; 3)4а2 - 5 ; 4) 1 - 2л2 ;

5) а - 9, де а > 0 ;

6) Ь - с, де Ь > 0, с > 0.

627®. Розкладіть на множники, використовуючи формулу різ ниці квадратів: 1) 5 - ж2 ; 2) 9/п2 - 7; 3) 16 - ЗЬ2;

4) Ь - 2, де Ь > 0.

628®. Скоротіть дріб: 1\ —5 . 04 ^ 7® . *+75’ ^ 49-а ’

Я4 4^-2 . 8) 7 '

629®. Скоротіть дріб: 1Ч ^ “3 . п\ 5 + у[Ь л } а-73 ’ 2) 25-Ь ’

04 75+5. 8) Гь ’

.. 2Тз+3 } 573 7 ^ -2 ' 3^

630®. Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу: 2 . оч 1® Ю •. о \ т, 2) 3) 4=; 1) 4) 5Тз7з ’ 631®. Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу: 1) 116

2> і ґ

3)І

;

4) 3*2

632®. Винесіть множник з-під знака кореня: 1) д/іЗні2 , якщ о т > 0 ;

2) д/б3;

3) і]7ав , якщ о а < 0 ;

4) д/ібас7.

633®. Винесіть множник з-під знака кореня: 1)

>якщ о х > 0 ;

3 ) ^ , якщ о р < 0 ;

2) д/с3; 4) д/збт9.

634®. Внесіть множник під знак кореня: 1) ад/2, якщ о а > 0 ;

2) 63д/5, якщ о &< 0;

3) Ь|

4) х3^

;

635®. Внесіть множник під знак кореня: 1) ЬуІ3 , якщ о Ь > 0 ;

2) сьф , якщ о с < 0 ;

636®. Спростіть вираз: 1)

ф - Зд/б)2 + д/ЗбО;

2) (Зд/2 + 7д/3)2 - д/Ї5 0 ;

3) (2д/з - Зд/2)2 - (2д/з - Зд/2) (2д/з + Зд/2).

637®. Розкладіть на множники: 1) д/а - д/За ;

2) ^

+ ^4р ;

4 )д /б -д /Ї0 ;

5) 2д/т - д/блг;

638®. Розкладіть на множники: 1) ф + ^ р ; 2 ) д / 4 2 -д /б ;

3)д/2Ї + д/7; 6) д/бх - ^1 Ох. 3) Зд/а + д/ба .

639®. Скоротіть дріб: 1 ч х + 6 д /х .

' х36 5

а+6д/а-у/ь+9Ь #

а^9&;

640®. Скоротіть дріб: 1Ч а -25 . од х - ф ^ + 4 у ' а -б д /а ’

'’

од д/ЇО-5 3 )^ ‘

ОЛ 11 + д/§2 ' д/§2 +2 ‘

641®. Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу: 15 . 2 од 1 2од) 3) 1) д / П + д / 7 ’ З д /£-2 д/3 ‘ д/6 - 1 ’ 117

642®. З в іл ь н іть с я від іррац іон ал ьн ості у зн ам ен н и к у дробу: 2) 3) 1) Ю . 5^12-2^5 л/І5-л/3 ’ 7з+ Г 643©. Обчисліть значення виразу: 15

+ - 15 п+гТ зо п - г Т з о ’

1) д/3 - ^5 - д/3 + д/5

о\ л/^ + \/3 'Т Г Т з

4) Гі -Тз і + Гі+7з"|

\/б—д/з # ТбТТз’

І1+Ли

644®. Обчисліть значення виразу: +

1) ^ 7 + 4 7 3 + ^ 7 - 4 7 3

ОЛ77+л/6 ^ 77-л/б

4) 1+75

77 ■ -л/6 . 77+л/б ’

645©. Обчисліть суму: +

ю -з Т Ї Ї

І-л/5

7Ї+75

л/5 + 79

ю + зТ ЇЇ ’

+ 1-75

-х/О+ ТЇЗ

+ ...+

745+749'

646®. Спростіть вираз: 7^+і . і і) т л1тп+т+л[т тп2 -^[т ✓ N 77 7*-77 3) 7*+77 77

’

д+& _ 2^ . 7аЬ-і» 4а-^Ь

647®. Побудуйте графік функції у = х2, де х > 0. Якою є область значень цієї функції? 648®. Обчисліть: 1)

2163 .

364 ’

2 )8 1 !278 ’

48 -16 643

28 138 267

2Х2 . 649®. Розв’яж іть рівняння ^ ± 1 _ _1-------— х х—1 Л^-Х 650©. Доведіть, що значення виразу 7 і0 ^ - 3, де л є ЛГ, не може бути натуральним числом.

118

§ 19. Ф У Н К Ц ІЯ у = V*, ї ї ГРА Ф ІК І ВЛАСТИВОСТІ

У р о к 45

Приклад 1. Нехай 5 см1234 — площ а квадрата, а см — його сторона. О скільки 5 = а 2, то залеж ність сторони квадрата а від його площ і 5 мож на задати формулою а = -^5. Розглянемо функцію у = у[х. Очевидно, що змінна х набуває невід’ємних значень: х > 0. Складемо таблицю значень ф унк ції у = т[х для кількох значень аргументу: X

0 ,2 5

2 ,2 5

6 ,2 5

0 ,5

1 ,5

2 ,5

Позначимо ці точки на координатній площ ині (мал. 14). Якби на цій самій площ ині позначили більшу кількість точок, координати яки х задовольняю ть рівняння у = у[х, а потім з ’єднали їх плавною лінією, то дістали б графік ф ункції у = у[х (мал. 15). Графіком цієї ф ункції є вітка параболи. М ожна виділити наступні власт ивост і ф ункції у = у[х.

1. Областю визначення ф ункцїі є множина всіх не від’єм них чисел: х > 0. 2. Областю значень ф ункції є множина всіх невід’єм них чисел: у > 0. 3. Графік ф ункцїі — віт ка параболи. Графік ф ункцїі проходить через т очку (0; 0). Всі інш і т очки графіка розм іщ ені в першій координат ній чверті. 4. Б ільш ом у значенню аргум ент у відповідає більше значення функції.

119

Мал. 15

Остання властивість дає змогу порівнювати значення ви разів, що містять корені. Приклад 2. Порівняти числа: 1) VÏ2 іл /її; 2) 7 Іл/50; 3)5д/2і

<ц/з. Р о з в’ я з а н н я. 1) Оскільки 12 > 11, то ^12 > у[її. 2) Оскільки 7 = у[49, а 49 < 50, то -J49 < ^50, а тому 7 < ■yjb0. 3) Внесемо множники обох виразів під знаки кореня: 5^2 = V25 •л/2 = л/50 ; 4V3 = VÏ6 •л/З = л/48Оскільки 50 > 48, д/50 > д/48, а тому 5^2 > 4д/з. Приклад 3. Розв’язати графічно рівняння 5-Jx = 14 - х. Р о з в ’ я з а н н я . Оскільки ми поки що не вміємо будува ти графік функції у = 5т[х, то поділимо ліву і праву частини рівняння на 5: у[ х = 2,8 - 0,2л:. Побудуємо графіки функцій у = у[х і у = 2,8 - 0,2л: (мал. 16). Дістали точку перетину графіків з абсцисою 4. Перевіркою У, І _3__ о

У =іх _ У

1" -]LO

]

3 А 5 і Мал. 16

120

□ < ?,8- 0,2*

І 8

)

Мал. 17

впевнюємося в тому, що х = 4 — корінь рівняння. Справді, 5^/ї = 5-2 = 10 і 14 - 4 = 10. В і д п о в і д ь , х = 4. Приклад 4. Побудувати графік функції - 2 х , якщ о х< 0 , У

л[х, якщ о 0 < х < 4 , О

- , якщ о х > 4 . х Р о з в ’ я з а н н я . Графік подано на малюнку 17. /" Л

Що є графіком функції у = у[зс? • Сформулюйте влас тивості функції у = у[х.*123

651®. Для функції у = у[х знайдіть значення у, яке відповідає х = 9; 0; 81. 652®. Для функції у = у[зс знайдіть значення у, яке відповідає х = 1; 4; 100. 653®. Використовуючи графік функції у = у[х (мал. 15), знайдіть: 1) значення у, відповідне х = 1,5; 3; 4; 6,5; 2) значення х , відповідне у = 1; 2,5; 3) два значення х, при яких значення функції більше від 2; менше від 2. 654®. Користуючись графіком функції у =л[х (мал. 15), знайдіть: 1) значення функції, відповідне значенню аргументу, що дорівнює 0,5; 2; 5,5; 121

2) значення аргументу, при яких значення функції дорів нює 0,5; 1; 3) два значення х, при яких значення функції більше від 1; менше від 1. 655®. Не виконуючи побудови графіка функції у = л[х, вка жіть, через як і з даних точок проходить цей графік: 1) А (36; 6); 2) В (4; 16); 3) С (-4; 2); 4) D (0; 0); 5) М (1; -1 ); 6) Р (0,5; 0,25). 656®. Чи належить графіку функції у = у[х точка: 1) F (16; 4); 2) К (-36; 6); 3) L (5; 25); 4) N (0,9; 0,81)? 657®. Порівняйте значення виразів: 1) 2д/з і J l i ; 2) V29 і 2у/7; 3) Зд/5 і 2<Д0;

4) 4д/з і 3^7.

658®. Порівняйте значення виразів: 1) 5д/2 і V51;

2) у[Ї46 і 7^3;

3) 2д/5 і Зд/2;

4) 2^7 і З^/з.

659®. Порівняйте числа: l)|,/4 5 i|V 8 4 ;

2 )0,2^ ї|і

660®. Порівняйте числа: 1 ) |V 4 8 i|V T 5 ;

2) 0 ,З ^ Г | і

661®. Знайдіть область значень функції у = ■Jx, якщо: 1 )0 < х < 4 ; 2) 1 < ж < 9. 662®. Розв’яж іть графічно рівняння у[х = 6 - х. 663®. Розв’яж іть графічно рівняння 3 - 2х = у[х. 664®. Побудуйте графік функції: х —2 , якщ о х < 4;

(г

2) у

s jx , якщ о х > 4; 665®. Побудуйте графік функції 1)У =

ж2 , якщ о х < 1 ; - J x , ЯКЩ О X > 1 .

122

2) у

x-2.Jx yjx-2

чч \ 666®. Розв’яж іть рівняння: 1)л/^ = | ;

2) 7* = - 5 ;

3 ) ^ = 16;

4) х? = - 1 .

667®. Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 7? ;

2) д/3&10, якщ о &< 0.

668®. Обчисліть значення виразу ^9 + 4д/б + д/9 - 4л/5 у р о к 46

ЗАВДАННЯ ДЛЯ П ЕРЕВІРКИ ЗН А Н Ь ДО § 1 3 - 1 9

1®. Для функції у = ж2 знайдіть значення у, яке відповідає х = -4; 7. 2®. Чи має зміст вираз: 1)д/9; 2 ) Л/=4 ; 3) д/О; 4 )^7 ? З®. З чисел 2; 1 ^ ; - 8 ; д/З; 5; 0; -д /8; - 2 ^ випишіть: О

1) натуральні числа; 3) раціональні додатні числа;

2) цілі недодатні числа; 4) ірраціональні числа.

4®. Обчисліть: 2)(-Зд/5)2; ^ Т о їд /ЇЛ ;

4) І .

5®. Розв’яж іть рівняння: 1 )7 * = §5

2) у[х = -1 ;

3)я? = 9 ;

4 ) ^ = -4 .

6®. Скоротіть дріб: 477+7 л^-3 . 2) 1) *+ 7з’ 5-77 7®. Порівняйте числа: 1) | д/50 і | д/75 ;

2) 0 , 2 ^ ! і 0 , 4 ^ | .

8®. Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 7^ ;

2) д/бтп® , якщ о т < 0.

9®. Обчисліть значення виразу д/б - 2д/б + д/б + 2д/б 123

Додат кові завдання 6 - х , якщ о х < 4;

1 г

у/ х

, якщ о ж > 4 .

11©. Спростіть вираз ^(у/7 - ІЗ)2 + ^(^7 - 2)2. В прави дл я повторення р озділ у II Д о § 13 669®. Вкажіть область визначення і область значень функції у = зе2. 670®. Побудуйте графік функції у = х?, якщ о -3 < х < 2. 671®. Побудуйте графік функції, що виражає залежність пло щі квадрата в (у см2) від сторони квадрата а (у см). Якою є область визначення цієї функції? 672®. 1) Як зміниться площа квадрата, якщ о його сторону збільшити в 3 рази; зменшити у 9 раз? 2) Як треба змінити сторону квадрата, щоб його площа збільшилася у 4 рази, зменшилася у 25 раз? 673®. Точка А (лі; я), де т ^ 0, я ^ 0, належить графіку функ ції у = х?. Чи належить графіку функції точка: 1) В (лі; - я ); 2) С (-л і; я ); 3) Б (-л і; - я) ? 674®. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій г/ = х2таг/ = х + 6 і знайдіть координати точок їх перетину. 675©. Побудуйте графік функції: 6 + х , якщ о х < - 2 , 1)У

І X2 , ЯКЩ О X < 1 ,

12 - х , якщож > 1 ;

2) у

• х? , якщ о - 2 < х < 2, О - , якщ о х > 2 . я

Д о § 14 676®. Доведіть, що: 1) у]0,49

0,7; 2) у/2500 = 50.

677®. Обчисліть: 1 )^ 0 4 9 ;

2) 72601;

5 ) л/Щ 89 + л/О 0 Ї - 3 ,2 ; 124

3 )7 ^ 7 6 ;

678®. Обчисліть значення виразу ^2х - 8у , якщо: 1) х = 1,6 ; у = 0,4; 2) х = 0,08; у = -0 ,3 . 679®. Обчисліть: 1)

д/О09

+ 0,78^100^ *(^/2^25 + 2^30,25);

+ 3 7 ^ 9 І: (д/б2 + 122 - д/65,61).

680®. Розв’яж іть рівняння: 1 )7 5 ^ + 3 = 13; 2) 1 7 х - 1 = 1,2 . О

681®. При яких значеннях ж має зміст вираз: 1) у[х--2 ;

2) ^ (ж -З )5 ;

3 )^ ;

4) ^ с + ^ х ?

682®. Розв’яж іть рівняння відносно змінної ж для всіх можли вих значень а: 1 )а 7 * = 0 ; 2 ) а Л/^ = 1; 3) а ^ х - 1 = 5 ; 4 )^ а х = 0. Д о § 15 683®. Раціональним чи ірраціональним є число? Раціональне число запишіть без знака кореня: 1 )7 9 ; 2 )7 ЇЇ; 3 )-7 4 ; 4 )Т ЇЗ . 684®. Подайте у вигляді нескінченного десяткового дробу число: 1) | ;

2 )-2 9 ;

3 )5 ,1 7 ;

4 )^ .

685®. Між якими послідовними натуральними числами міс титься число: 1 )7 2 ; 2 )7 7 ; 3 )7 9 9 ; 4 )7 2 0 ? 686®. Чи правильно, що: 1) різниця двох цілих від’ємних чисел — число ціле від’ємне; 2) добуток двох раціональних чисел — число раціональне; 3) сума кубів двох цілих чисел — число натуральне; 4) сума квадратів двох цілих чисел — число ціле невід’ємне? 687®. Вкажіть два раціональних числа, що розміщені між числами: 1) 75 і 77; 2) - 7 ЇЗ і - Т ії688®. Доведіть, що не існує раціонального числа, що є роз в’язком рівняння ж2 = 7. 689®. Доведіть, що: 1) | + 0,1(6) = | ; 2) 0,8(3) -

=| . 125

Д о § 16

690®. Чи правильна рівність: 1) (лJ Ï 9 f = 19; 2) (уіїї)2 = 172 ; 3) ф ) 2 = 7 5 ;

4НТ0Д)2 = 0,1 ?

691®. Обчисліть: 1) (- л/8)2;

2) д/ЇЗ •(- \/ЇЗ );

у ,-л 5) л/ї

3) ( § ^

- І

692®. Розв’яж іть рівняння: 1) і зс2 = 32; 2) зс2 - 5 = 0; 3) 2л2 = 18; а 693®. Складіть рівняння, що має корені: 1) 5 і -5 ; 2) ОД і -О Д; 4) _ 8 і 3 . ’ 7 7’

5) д/7 і - л/7;

4) (-ОДТЇО)2; 8)

2д/з 5

4) 49 л2 = 1

6) - і ^ б і | ^ б -

694®. Спростіть вираз: 1 )& № ;

2 ) ( ^ 7 ) 2;

3) ф Д ) 2;

4) ( ^ ) 4.

695®. Розв’яж іть рівняння: (зс+2)2 _ 16 1) і (зс - І)2 2) 8 ^ 2’ 5 5 696®. Відомо, що ху = 20, о? + у 2 =41. Знайдіть: х + у. 697®. При яких значеннях т рівняння з? = т - 1: 1) має два корені; 2) має один корінь; 3) не має коренів? Д о § 17 698®. Для яких значень змінних рівність є тотожністю: 1) ^гп-п = уітп-у/п; 2) І^ = А ?

699®. Обчисліть: -|\ /0,36-49. 0ч 2 5 -1 0 0 . о\ 11 . 9 .

' л* 121 126

’

в1 81

’

;

/<\ 164. 4~

1« ок * ^ л/ о9 289 9вО 16 25

700®. Обчисліть:

1) уіа? , якщ о а = 13; -1 7 ;

2) -2т[х?, якщ о х = 0,5; -2 ,1 .

701®. Відомо, що 372 = 1369. Знайдіть: 1)^/136900;

2) ^/13,69;

3 )^ 0 1 3 6 9 .

702®. У скільки разів сторона квадрата, площа якого дорів нює 12 см2, більша за сторону квадрата, площа якого до рівнює 3 см2? 703®. Обчисліть:

704®. Відношення площ двох кругів дорівнює

радіус одного

з них дорівнює 10 см. Знайдіть радіус другого. 705®. Обчисліть значення виразу: 1) ^ , 6 -105 ;

2) д/8,1 1 0 3 ;

3)3V l5 -2V3Ö V8 ;

4) д/з5 -123 .

706®. Спростіть вираз: 1) д/р4с8а 12 ;

2) д/49 (—л:)2і/ 6 , якщ о л: < 0 , г/ > 0 ;

3) , т г !

4) -/7-г , якщ о а < 0 , b < 0.

707®. Спростіть вираз: l)jV o i? ;

2) ^ ( - 0 ,0 9 )2 ;

3) ^(Vö - у/2f ;

4) д/(д/її - л/ЇЗ)2 •

708®. Спростіть вираз: 1}*^14*+49 Іх*+4х+4 (х+2f \ (*~7)2 2) / ~ 4 .

ІР 2 + 6 р + 9

(Р+ З)2 ^ (р+2)2

ох>7

якщ о р < -3. 127

709®. Доведіть, що: 1) д/їб + бТ? + д/23 - 8д/7 = 7; 2) ^15 + 4 V n - д/20 - бд/її = 5. Д о § 18 710®. Виконайте дії: 1)

Зд/7 + 2д/7 ; 2 ) 5 V n - V n ; 3 ) y f 3 ^ Ä ; 4 ) - ^ L .

711®. Спростіть вираз: l ) ( V 7 - V l 2 ) ( V 7 + 3V3);

2) ф

- ф ї ) (^33 + 1);

3)bß(2-7fi)-7fi;

4 ) ф +1)(2-ф )-ф >;

5) (V3 - 7) (4 - V3) - Пд/З ;

6) (2 + д/З) (1 - ^/З) + 1 •

712®. Винесіть множник з-під знака кореня: 1)л/28л? ;

3) уІ25агЬ5, якщ о а < 0 ;

4) yj8x3y 10, якщ о у > 0;

б )/^ ;

б) д/х3у 3, якщ о ж < 0, і/ < 0.

713®. Спростіть вираз: 1)ф + 2^+ ^7-2^; 714®. Зведіть вираз до виду а ф , де & — ціле число:

2)| ;

V &

3 )J4 |;

4 )J5 |.

715®. Доведіть, що правильною є рівність: 1) ^ 8 - ф

2 ) f i + 5 = д/27 + 10V2 .

716®. Скоротіть дріб: 1}

Ф ~ Ф 2 -ф -х ф с

2 ) х + У+ ф ё ф ф + У

717®. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу 4 1 + ф - ф '

128

718®. Доведіть, що ^7 + 2^/б - ^ 7 - 2у/б — число натуральне. 719®. Внесіть множник під знак кореня та спростіть утворе ний вираз: 1) (х + 2) —— ---- , якщ о х > - 2 ; \х?+ 4х+4

2) (а - Ь)

\ а 2-2аЬ+Ь2

3 ) р (р + 1)

, якщ о а < Ь;

— - , якщ о р < - 1 ;

у р 2+2р +1

Д о § 19 720®. Чи можна обчислити значення функції у = л[іе для зна чень х = 4; х = -1 ; х = 100; х = -9 ? 721®. Побудуйте графік функції у = у[х, якщо: 1 ) 0 < jc< 4; 2)1 < * < 9 ; 3)4<л;<16. 722®. Чи перетинає графік функції у = л[х пряма: 1 ) у = 1; 2) у = 8; 3 )y = 0 ; 4) у = -1 7 Якщо перетинає, то в якій точці? 723®. Розмістіть у порядку зростання числа: 1 ) 7 Ї 9 Д ;3 ; а/ЇД 2 ;4 ; V l4;

2) | ; ^/ОД ; 0,2;

724®. При яких значеннях х виконується нерівність: 1 ) - J x > l; 2 )y [x< 2 ; 3 )1 < у[х< 4 ", 4) 9 < -Jx< 100;

5) у[х> -1 ;

6) у[х < -2 ,5 ?

х 2 + р х + д = О

Хі + х 2 = - р х 1х 2 = д КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ „

„

Уроки 47, 48

§ 20. КВАДРАТНІ РІВН ЯН Н Я. НЕПОВНІ КВАДРАТНІ РІВН Я Н Н Я, ЇХ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

У математиці, фізиці, економіці, практичній діяльності людини трапляються задачі, що приводять до рівнянь, в які змінна входить у другому степені. Приклад 1. Довжина земельної ділянки на 15 м більша за ширину, а площа дорівнює 375 м2. Знайти ширину ділянки. Р о з в ’ я з а н н я . Нехай х м — ширина ділянки, тоді її довжина — (х + 15) м. За умовою задачі площа ділянки дорів нює 375 м2. Тому л: (де + 15) = 375. Звідси маємо рівняння х2 + 15 л: - 375 = 0 .

Таке рівняння називають квадрат ним. Рівняння бх2 - 2х - 7 = 0, -Зх2 + х - 8 = 0 також квадратні. ІЧ К вадрат ним р ів н я н н я м називають рівняння виду іУ аз? + Ьх + с = 0, де х — змінна, а, Ь і с — деякі числа, причому а Ф 0.

Числа а, Ь і с називають коефіцієнтами квадратного рівняння. Число а називають першим коефіцієнтом, число Ь — другим коефіцієнтом, число с — вільн и м членом. Рівняння х2 + 15х - 375 = 0 має такі коефіцієнти: а = 1; Ь = 15; с = - 375. У рівнянні бх2 - 2х - 7 = 0 коефіцієнти: а = 5; Ь = -2; с = -7 , а у рівнянні -Зх2 + х - 8 = 0 коефіцієнти а = -3; Ь = 1 і с = -8. Квадратне рівняння, перший коефіцієнт якого дорівнює 1, називають зведеним. Рівняння х2 + 1 5 х -3 7 5 = Оє зведеним, а рівняння бх2 - 2 х - 7 = 0 — не є зведеним.

О 130

Якщо в квадратному рівнянні аз? + Ъх + с = 0 хоча б один з коефіцієнтів Ь або с дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадрат ним рівн ян н ям .

Приклади неповних квадратних рівнянь -вдс2 = 0, 2з? - 3 = 0, - 7 з? + 4х = 0. У першому з них 6 = 0 і с = 0, у другому Ь = 0, у третьому с = 0. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів: 1) адс2 = 0; 2) азс2 + с = 0 ; 3) аз? +Ьх = 0. Розглянемо розв’язування кожного з них. 1) ах2 = 0. Оскільки а Ф0, то я2 = 0, тоді рівняння має єдиний корінь х = 0. 2) але2 + с = 0, с -Ф - 0. Маємо аз? = - с ; де2 = - - . Оскільки с Ф 0, то й - - * 0 . Якщо - - > 0 , то зс,= І - - , а

якщо

V а

- - < 0, то рівняння не має розв’язків. а

Приклад 2. Розв’язати рівняння: 1) -2 з? + 8 = 0; 2) Зле2 + 9 = 0. Р о з в’ я з а н н я. 1) -2з? = -8 ; з? = 4 , тоді л^ = 2, = -2. 2) Зле2 = - 9 ; лс2 = -3. Рівняння не має розв’язків. 3) але2 + Ьх = 0, Ь ^ 0. Розкладемо ліву частину рівняння на множники: ле(але + Ь) = 0. Тоді ле1 = 0 або ах + Ь = 0, ах = -Ь. Оскільки а Ф 0, маємо л^ = - - . Отже, рівняння але2 + &ле = 0 має два корені: лс1 = 0 іл ^ = - - . Приклад 3. Розв’язати рівняння 2з? + 5ле = 0. Р о зв ’я з а н н я . х(2 х + 5) = 0, з в і д с и = 0або2лс + 5 = 0, х^ = -2,5. Рівняння має два корені л^ = 0, л^ = -2,5. В і д п о в і д ь . лє1 = 0 ; лі2 = -2,5. Систематизуємо дані про розв’язки неповного квадратного рівняння у вигляді таблиці: але2 + Ьх +с =0

Ь= 0

с =0

азс2 + с = 0

але2 + Ьх = 0

але2 = - с 0? _ с а

ле(аде + Ь) = 0

м оII

с =0

&= 0 ;

ле = 0

- - >0 а

т -~ л Г~С-9 *1 \ а *а = -,V а

-^ < 0 а рівняння не має розв’язків

лег = 0 або але + Ь =0 але = -Ь

Хг = ~~а

131

Яке рівняння називають квадратним? • Як називають числа а, Ь, с? • Наведіть приклад квадратного рівняння. • Яке квадратне рівняння називають неповним? • Наведіть приклади неповних квадратних рівнянь. • Як розв’язується неповне квадратне рівняння кожного виду?

725®. (Усно.) Які з рівнянь є квадратними: 1) ж2 - 2х + 3 = 0 ; 2) ас2 - Зх3 = 0; 4 ) 7 а ;- а 2 = 0 ;

5) 4а;- 5 = 2ж + 7 ;

3)а? + ^ = 5; аг

6 )1 -5 * * = 0?

726®. (Усно.) Серед квадратних рівнянь назвіть неповні, зве дені: 1) 2Я2 + Зас = 0 ; 2) з? - За: + 4 = 0 ; 3) 2ас2 —Зас + 5 = 0; 4) бас2 = 0 ; 5 )7 а ^ -2 1 = 0 ;

6) **- | а : + і = 0.

727®. Запишіть коефіцієнти а, Ь і с кожного квадратного рівняння: 1) гас2 + Зас - 5 = 0 ; 2) З*2 + 9 = 0 ; 3) З х - я 2 + 7 = 0; 4) Зас2 = 0 ;

5) 7л; - £ = 0 ;

6) 2 + 4х - а2 = 0.

728®. Складіть квадратне рівняння, коефіцієнти якого дорів нюють: 1 )а = 3 ;Ь = 5 ;с = - 2 ; 2) а = - 1 ; Ь = 5; с = 0; 3 )а = - 4 ; 6 = 0 ; с = 0; 4 ) а = 13;Ь = 0 ; с = -3 9 . 729®. Заповніть таку таблицю в зошиті: Квадратне рівняння

ао? + Ьх +с = 0

Коефіцієнти рівняння

-3

-5

-1

5а^ - Зас- 1 7 = 0

-Ібас2 + 14а: = 0

-ас2 + 5а: + 6 = 0

730®. Зведіть рівняння до вигляду аас2 + Ьх + с = 0: 1) (5* - 1) (5а: + 1) = а:(7а:- 13); 2) (2а:- З)2 = (х + 2)(х - 7). 132

731®. Замініть дане рівняння рівносильним йому квадратним: 1) (2л; + 3) (2л; - 3) = ж (9ж -12); 2) (4х + І)2 = ( х - 3 ) ( х + 2). 732®. Які з чисел -2 ; -1 ; 0; 1; 2 є коренями рівнянь: 1) я? - 5х = 0; 2)3л? = 0; 3) л? - Зл; + 2 = 0;

4) л? - 2л: - 3 = 0?

733®. Які з чисел -5 ; -2; 0; 2; 5 є коренями рівнянь: 1) з? + 2х = 0; 2)-5л? = 0; 3 ) л ? - ж - 6 = 0;

4) л ? - 2 5 = 0?

734®. Розв’яж іть рівняння: 1) Зл? - 27 = 0; 2) 3,7 л2 = 0; 4) -5 л2 + 10 = 0;

5) -5,7л2 = 0;

735®. Розв’яж іть рівняння: 1) 2л? - 2 = 0; 2) Зл? + 9 = 0; 4) -7л? + 21 = 0;

5) -1,8л? = 0;

736®. Розв’яж іть рівняння: 1) л? + 6л: = 0; 2) 2л? - 8х = 0; 4) 0,1л? + 2ж = 0;

5) ^ л? + ^ х = 0; З 6 737®. Розв’яж іть рівняння: 1) л? - 5л; = 0; 2)3я? + 9х = 0; 4) 0,2л? - 10л; = 0;

5) і л? - ^ ж = 0;

3) 2л2 + 8 = 0;

6)’ ІЗ л? - |З

3) 1,4л2 = 0; 6 ) | л ? - | = 0. 7

3) 4л2 - ж = 0; 6) Зл? - 7л: = 0. 3) 5л? + х = 0; 6) 4л? + 9л: = 0.

738®. Складіть квадратне рівняння, яке: 1) не має розв’язків; 2) має один розв’язок; 3) має два цілих розв’язки; 4) має два ірраціональних розв’язки. 739®. При якому значенні а число 3 є коренем рівняння ал? + 2ж - 7 = 0 ? 740®. При якому значенні Ь число -2 є коренем рівняння л ? + &ж- 8 = 0? 741®. При яких значеннях а і Ь числа 1 і 2 є коренями рівнян ня ал? +Ьх + 4 = 0? 742®. П ри я к и х зн а ч е н н ях Ь і с ч и сл а 1 і 3 є корен ям и р ів н я н н я л ? + Ь х + с = 0 ? 133

743®. Розв’яж іть рівняння: 1) (х - 2)(х + 3) = -6 ; 2) | х(х + 9) = І х(х - 16); З 8 3) (3# - І)2 = (де —З)2;

4) (2х + 1)(3х -1 ) = х(х - 2) + З

744®. Розв’яж іть рівняння: 1) (х + 3 )(х -5 ) = -1 5 ;

2) ! х(х - 3) = і х(х + 4);

3) (2х - 3?= (Зх - 2)3; 4) (5х + 1)(2х - 1) = х(х + 3) - 6 ' Х + І1л 745®. При яких значеннях х значення виразу (Зх - 1)(х + 4) на 4 менше за значення виразу х(х + 2) ? 746®. При яких значеннях х значення виразу (2х + 1)(х + 3) на З більше за значення виразу х(х - 4) ? 747®. Добуток двох чисел дорівнює їх середньому арифметич ному. Знайдіть ці числа, якщ о їх різниця дорівнює 1. 748®. Половина добутку двох чисел дорівнює їх середньому арифметичному. Знайдіть ці числа, якщ о їх різниця дорів нює 2. 749®. Розв’яж іть рівняння: 1) х2 - 5 1х| = 0;

2 ) - ^ + 4 = 0. |х|

750®. Розв’яж іть рівняння: о II її

(

2 )Й \х \

751®. Винесіть множник з-під знака кореня: 1)718; 2 )Тзоо; з)7Й>8; 4)7з63.

752®. Доведіть тотожність Зх+З . х+3 _ _ х2- ! х2+х

= 3.

753®. Побудуйте графік функції

у =

134

8 , якщ о х< -2 ; X х2, якщ о - 2 < х < 2; 8 - 2х, якщ о х > 2.

Уроки 49, 50

§ 21. ФОРМ УЛА КОРЕНІВ КВАДРАТНОГО РІВН Я Н Н Я

Розглянемо повне квадратне рівняння аз? + Ьх + с = 0 ,а ф 0 та розв’яжемо його в загальному вигляді. Помножимо ліву і праву частини рівняння на 4а (оскільки а Ф 0, то і 4а Ф 0): 4а*12з? + 4аЬх + 4ас = 0. Додамо до обох частин рівняння Ь2: 4а2з? + 4аЬх + Ь2 + 4ас = Ь2. Оскільки 4а2о? + 4аЬх + Ь2 = (2ах + Ь)2, то маємо: (2ах + Ь)2 = Ь2 - 4ас.

Вираз Ь2 - 4 ас називають дискримінант ом квадратного рівняння аз? + Ьх + с = 0 (дискримінант — від латинсько го розрізняючий).

Позначають дискримінант буквою X). Отже, П = й2 - 4ас. Продовжимо розв’язування рівняння: С2ах + Ь? = П. Розглянемо різні можливі випадки залежно від X). Нехай 1) X) > 0. Тоді 2ах + Ь = д/Х) або 2ах + Ь = - - / о , 2ах = -Ь + у[Ь або 2ах = - Ь - 4 о , ь- 4 р

2а (при діленні на 2а врахували, що 2а ф 0). Отже, якщ о X) > 0, то рівняння ах2 + Ьх + с = 0 має два різних корені: - ь +4р -ъ -4 Ъ = 2а І Х2 2а Коротко це можна записати так:

Це ф орм ула коренів квадратного р івн ян н я. 2) X) = 0. Тоді 2ах + Ь = 0; 2ах = - Ь, х =

. 135

Якщо Б = 0, то рівняння ах2 + Ьх + с = 0 має один корінь Цей корінь можна було б знайти і за формулою ко-

ренів квадратного рівняння, врахувавши Б = 0: х ^ = -& + У0 2а Ь_ Тому інколи говорять, що рівняння а х2 + Ьх + с = 0 при 2а Б = 0 має два однакових корені, кожний з яких дорівнює - Ь_ 2а ' 3) Б < 0. У цьому випадку рівняння а х2 + Ьх + с = 0 не має коренів, оскільки не існує такого значення х , при якому значення виразу (2ах + V? було б від’ємним. Систематизуємо дані про розв’язки квадратного рівняння у таблиці: ах2 + 6х + с = 0, а ^ 0 , Ь # 0 , с ф 0 Б = Ь2 - 4ас і) < 0

о ■«їй и і м я

Б >0 -Ь +у[Б -Ь -4 б 2а ,Х2~ 2а

р ів н я н н я не має р о зв’я з к ів

Приклад 1. Розв’язати рівняння: 1) 2х? + Зх + 1 = 0; 2) Эх2 - 6х + 1 = 0; 3) х2 - 2х + 7 = 0. Р о з в ’ я з а н н я . 1 ) П = 32 - 4 - 2 - 1 = 1 ; Х ) > 0 ; -з +д/Г - 3 ± 1 . „ _ _ 1 . 4 * - Л-9 **2 — 2 9 х* = ^ ~ 2 )

П = (-6)2 - 4 9 1

= 0 ,

= - ^

= | ;

3) 5 = (-2 )2- 4 - 1 ■7 = 4 -6 8 = -6 4 < 0 .Рівняння не має розв’язків. В і д п о в і д ь . 1 )х 1 = -1;л2 = - ^ ; 2 ) х = і ; 3 ) рівняння не й

має розв’язків. Приклад 2. Розв’язати рівняння - уХ2 - ^ х + 1 = 0. Р о з в ’ я з а н н я . Помножимо ліву і праву частини рівняння на (-7), щоб його коефіцієнти стали цілими числами: х2 + 4х - 7 = 0, Б =42 - 4 •1 • (-7) = 44. Тоді х12 = = 2у[її ,то маємо Хц2 = В І Д П О В І Д Ь .

136

іл

. Оскільки д/44 = д/4 • 11 =

, Хц2 = -2 + д /ії.

Хц2 = - 2 ± д / ї ї .

Історичні відомості Неповні квадратні рівняння та деякі види повних квадратних рівнянь (х*123± х - а) вавилонські математики вміли розв’язувати ще 4 тис. років тому. У більш пізні часи деякі квадратні рівняння вміли розв’язувати геометрично математики у Давній Греції та Індії. Прийоми розв’я зування деяких квадратних рівнянь без застосування геометрії виклав давньогрецький математик Діофант (III ст.). Багато уваги квадратним рівнянням приділяв арабський математик Мухаммед аль-Хорезмі (IX ст.). Він показував прийоми розв’язувань (для додатних а, Ь, с) рівнянь видів ах2 - Ьх, ах2 - с, ах2 + Ьх - с, ах2 + с - Ьх,Ьх + с - ах2 і знаходив додатні корені цих рівнянь. Формули, що виражають залежність коренів квадратного рівняння від його коефіцієнтів, вивів французький математик Франсуа Вієт у 1591 році. Його висновок (у сучасних позначеннях) виглядає так: «ко ренями рівняння (а + Ь)х - х 2 -а Ь е числа а і Ь». Після праць нідерландського математика А.Жірара (1595-1632), а також француза Р.Декарта (1596-1650) та англійця І. Нью тона (1643-1727) формула коренів квадратного рівняння набула сучасного вигляду.

Що називають дискримінантом квадратного рівняння? • Скільки коренів має квадратне рівняння залежно від ди скримінанта? • Напишіть формулу коренів квадратного рівняння. 754®. (Усно.) Скільки різних коренів має квадратне рівняння, якщ о його дискримінант дорівнює: 1)4; 2) 0; 3 )- 9 ; 4)17? 755®. Чи має корені квадратне рівняння, і якщ о має, то скільки, якщ о його дискримінант дорівнює: 1) -7 ; 2) 49; 3) 13; 4) 0? 756®. (Усно.) Чи правильно записано дискримінант квадрат ного рівняння: 1) 2л? + 3 х - 1 = 0 ,-0 = З2 - 4 - 2 1; 2) Зя? - 4х + 2 = 0, В = (-4)2 - 4 - 3 - 2 ; 3) - і х2 - 5х + 3 = 0 , В = (-5)2 - 4 • 3 • Сі

4) і х2 + 2х - 4 = 0, В = 2? + 4 ■І • (-4) ? О О 757®. Знайдіть дискримінант квадратного рівняння та визнач те кількість його коренів: 1) 6л? - 5х - 1 = 0; 2) х2 - 4х + 4 = 0; 3) х2 + 2х + 5 = 0;

4) 7Х2 + 2 х - 1 = 0. 137

758®. Знайдіть дискримінант квадратного рівняння та визнач те кількість його коренів: 1) 2Х2 - Зл; + 1 = 0; 2) о? + х + 7 = 0; 3) л? + 6х + 9 = 0;

4) Зх2 + 4х - 1 = 0.

759®. Розв’яж іть рівняння: 1) ж2 - 5# + 6 = 0; 2) 2л? + 5л; - 3 = 0; 3) Зл2 + 5*+ 2 = 0;

4) я2 + 10*+ 25 = 0;

5) я2 + х - 90 = 0; 6) я2 - 10л; - 24 = 0. 760®. Розв’яж іть рівняння: 1) л2 - 4х - 5 = 0; 2) 2л2 + ї х - 4 = 0; 3) ^ - 1 2 * + 36 = 0;

4) л2 - х - 56 = 0.

761®. Розв’яж іть рівняння: 1) Юлс2 = 5л: + 0,6; 2) л? + 3 = 4л;; 3) л? + 5л; = -6;

4) 1 - 4л; = 5л^;

5) 81у2 + 1 = -1 8 у;

6) Зр = 5р2 - 2.

762®. Розв’яж іть рівняння: 1) 10л2 = 0,4 - Зл;; 2) л2 + 7 = -6л;; 3 ) 7 * = л? + 12;

4) 4у = 4у2 + 1.

763®. При яких значеннях л:: 1) значення многочлена з? - 2х - 3 дорівнює нулю; 2) значення многочленів я? +2х і 0,5х + 2,5 рівні; 3) значення двочлена 10л^ - 8л; дорівнює значенню тричле на 9л^ + 2л: - 25? 764®. При яких значеннях у. 1) значення многочлена у 2 + 4у - 5 дорівнює нулю; 2) значення многочленів у 2 - Зу і 0,5у + 4,5 рівні; 3) значення тричлена 4 + 2у - у 2 дорівнює значенню дво члена 4у 2 - 6у? 765®. 1) 3) 4)

Розв’яж іть рівняння: (л: —З)2 = 2л; - 3; 2) 3(л; + І)2 = 2л; + 2; (х + 3)(л; - 1) = 2ж(л; - 2) + 5; х (х - 3 ) - ( х - 5)(х + 5) = (х + І)2.

766®. Розв’яж іть рівняння: 1 )(х + 2? = 2х + 3; 2) 5(л; - 2)2 = Зл; - 6; 138

3) (х + 2)(х - 3) = 2х(х - 4) + 6; 4) х(х - 1) - (х - 3)(х + 3) = (х + 2)2 - 1. 767®. Розв’яж іть рівняння: ч х2+2х _ 4х + 1 . 1 ,_ 3 5 ’

0 ч Х + 2 , х2- 1 _ 1 З’

768®. Розв’яж іть рівняння: -<чХ2- З х _ 2 х + 5 . 1 ,—І 3

9 ч Х+ 1 , х2- 1 _ ~2 + 5

769®. Розв’яж іть рівняння: 1) і х2 - х - 7 = 0; 2) -х 2 - 2х + 4 = 0 ; Сі

3) ОДх2 - Зх - 5 = 0;

4) 0,5я? + 1,5х - 4 = 0.

770®. Розв’яж іть рівняння: 1 ) ^ х 2 + х - 3 = 0; 2) -х 2 + 2х + 11 = 0; 3) 0,2л^ + 2х —3 —0;

4) О.бх2 - 2,5х - 4 = 0.

771®. Розв’яж іть рівняння: 1) ф - 2)(л? + х - 2) = 0;

2) х2 -

3) х| х| + З х - 4 = 0;

4 ) £ - х - 2 = 0. 1*1

- 4 = 0;

772®. Розв’яж іть рівняння: 1) ф - 3)(л? - х - 6) = 0;

2) х2 - ? 4 - 3 = 0; |я |

3) х | х | - 4 х - 5 = 0;

4) *1 + 4х - 12 = 0

\Х\

773®. При яких значеннях а має один корінь рівняння: 1) 2Х2 + х - а = 0; 2) х2 - ах + 4 = 0? 774®. При яких значеннях Ь має один корінь рівняння: 1) 4л^ - х + Ь = 0; 2) х2 + Ьх + 9 = 0? 775®. Скоротіть дріб: а2-49 к3 + 1 2) 1) а2-1 4 а + 49 х2—X + 1 776®. Не виконуючи побудову, знайдіть координати точок перетину графіка функції у = 0,2х - 15 з осями координат. 777®. Відомо, що а + Ь = 5,аЬ = -7 . Знайдіть значення виразу: 1) ай2 + а 2&; 2) а2 + Ь2. 139

Уроки 51, 52

§ 22. ТЕОРЕМА ВІЄТА

Розглянемо таблицю, в якій дано зведені квадратні рів няння, вказано їх корені х ± і х 2, суми коренів х 1 + х 2 та їх добутки Х1 • Х2 . Рівняння

*1 ‘ЗС2

2і4

з? + х - 1 2 =0

-4 і 3

-1

-12

з? + Ьх + 6 = 0

-3 і -2

-5

-1 і 5

-5

з? - 6х + 8 = 0

*1 + *2 6

II ю 1 3 1 ч*

« I і *2

З таблиці видно, що сума коренів кожного з рівнянь дорів нює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену. Така властивість справджується для будь-якого зведеного квадрат ного рівняння, що має корені. Зведене рівняння у загальному вигляді прийнято записувати так: з? + р х + д = 0. Т е о р е м а В і є т а . Сума коренів зведеного квадратного р ів н я н н я дорівнює другому коефіцієнту, взят ом у з про т илеж ним знаком, а добуток коренів дорівнює вільном у члену. Д о в е д е н н я . Нехай х, і х„ — корені зведеного квадрато ^ 2 ного рівняння х + р х + д = 0, дискримінант якого Л = р - 4 q . Якщо Л > 0, то рівняння має два корені: -р -

Хі= —

Якщо Л = 0, то рівняння з? + р х + д = 0 має один корінь або х1 = х^ = Р — два однакових корені. Сі

Знайдемо суму і добуток коренів: х, + х, = "-Р + л/Д | ~Р~4р = -р +у[Р -р~4Р = ^2р = ^ 2 2 2 2 у’ г . г _ -Р + л/я . -р-л[ї> _ (-р)2-(л/я)2 _ р2-(р2-4д) _ _ Р2~Р2+4д _ 4д _

4 4 Ч' Отже, х1 + Х2 = -р , х1х2 = д. Теорему доведено. 140

Доведену теорему називають теоремою Вієта — за ім ’ям видатного французького математика Франсуа Вієта. Її можна сформулювати ще так:

Якщ о х 1 і х 2 — корені зведеного квадратного р івн ян н я о? + р х + д = 0, то х1 + х^ = -р ; х1 *х% = д.

Останні дві рівності, що виражають зв’язок між коренями і коефіцієнтами зведеного квадратного рівняння, на зивають формулами Вієта. Використовуючи теорему Вієта, лег ко можна вивести відповідні формули для будь-якого квадратного рівняння ая2 + Ьх + с = 0. Оскільки а Ф 0, то поділимо ліву і праву частини рівняння на а. Маємо зведене квадратне рівняння: Франсуа Вієт

а? + - я + - = 0. а а

За теоремою Вієта: х1 +

(1540—1603)

^ ; хіх2 = ^ .

Якщо х 1і х 2 — корені квадратного рівняння ао? + Ьх + с = 0, то Х1 + Х 2 = - ^ і

ііг

*2=^.

Приклад 1. Рівняння Зя2 - 5я - 7 = 0 має додатний дискри мінант, тому воно має корені х Л і я„. За теоремою Вієта *ї + *2 = - ^ = ! ; * і * а 2 = - ^ * Якщо в рівнянні я2 + р х + у = 0 число у є цілим, то з рівності х1х2 = у випливає, що цілими коренями цього рівняння мо жуть бути лише дільники числа у. Приклад 2. Знайти підбором корені рівняння я2 + Зя - 4 = 0. Р о з в ’ я з а н н я . Нехай я. і я 0 — корені рівняння аг + Зя - 4 = 0. Тоді х1 + Х2 = -3 і ддо = -4 . Якщо я х і я 2 — цілі числа, то вони є дільниками числа -4 , крім того, їх сума дорівнює -3 . Неважко здогадатися, що х1 = 1; = -4 . В і д п о в і д ь . х1 = 1; % 2 = -4. 141

Приклад 3. Один з коренів рівняння з? + р х - 18 = 0 дорів нює 3. Знайти р та другий корінь. Р о з в ’ я з а н н я . За умовою = 3 — корінь рівняння я2 +рзе - 1 8 = 0. Нехай х 2 — другий корінь цього рівняння. За тео ремою Вієта: х1 + РС2 = -р , х1 • Х2 = -1 8 . Враховуючи х1 = 3, маємо: ГЗ + Л2 = ~р, |Л2 = -6 , [З-аз, = -1 8 ; [3 + (-6) = -р ; В І Д П О В І Д Ь .

\хг = -6 , [р = 3.

3*2 = -6 , р = 3.

Приклад 4. х г і х 2 — корені рівняння 2з? - Зх - 1 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайти: 1) — + — ;

Х1

Х2

2 ) a f e + a fa j;

3 )

з%

з %.

Р о з в’ я з а н н я. За теоремою Вієта acj + Л2 = 3 . х1 -х2 = - 1 2’ 2‘ Маємо: ґ іч JL + 1_ = Х1+Х2 _ 3 . ...................... 2‘ ’ *1 х1х2 *2 3 2) д£*2 + 4*1 = Ъ Ъ С *! + = ! 4 3)з% + з% = (хі + х2f - 2x1xz = f І ] - 2

=Ь '=Ч

1 2

Q1 3 4-

В і д п о в і д ь . 1) -3 ; 2) - ^ ; 3) 3 \ . 4

Справджується твердження, обернене до теореми Вієта. Т е о р е м а (обернена до теореми Вієта). Якщ о числа т і п такі, що т + п = р , а т ■п = q , то ці числа є коренями р ів н я н н я з? + р х + q = о. Д о в е д е н н я . За умовою т + п = -р , а тп = q. Тому рівняння з? + р х + q = 0 можна записати так: з? - (т + п)х + т п = 0. Підставимо у це рівняння замість змінної х по черзі числа т і п : т2 - (т + п)т + т п = т2 - т 2 - тп + т п = 0, п2 - (т + п)п + тп = п2 - т п - п2 + тп = 0. О тж е, т і п — корен і р ів н я н н я з? +рх + q = 0 , щ о й треба було довести. 142

Приклад 5. Скласти зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють - 5 і 2. Р о з в ’ я з а н н я . Шукане рівняння має вигляд я*123+ рх + д = 0. За теоремою, оберненою до теореми Вієта: р = - (л\ + 3*2) = - (-5 + 2) = 3; д = хі -х2 = -5 - 2 = -1 0 . Отже, я2 + Зя - 10 = 0 — шукане рівняння. В і д п о в і д ь . я2 + Зя - 10 = 0. Сформулюйте і доведіть теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння. • Чому дорівнюють сума і добуток коренів рівняння ал? + Ьх + с = 0? • Сформулюйте і доведіть теорему, обернену до теореми Вієта.

778®. (Усно.) Не розв’язуючи рівняння, знайдіть суму і добу ток його коренів: 1) я2 - 15я + 14 = 0; 2) я2 + 1 2 я - 2 8 = 0; 3) я2 + 17я + 52 = 0; 4) я2 - 6я + 5 = 0; 5)л? + 2х = 0; 6 ) л ? - 8 = 0. 779®. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння: 1) 2Я2 + 4я - 5 = 0; 2) - я 2 + 5я - 6 = 0; 3) З з ^ - б я - в = 0; 4 ) 4 Я 2 - 7я = 0. 780®. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть суму і добуток його коренів: 1) зе2 - 2я - 8 = 0; 2 ) я2 + я - 6 = 0; 3) я2 + 9я + 5 = 0; 4) 2л? - 6я + 3 = 0. 781®. Розв’яж іть рівняння і виконайте перевірку за теоремою, оберненою до теореми Вієта: 1 ) з ^ + 4 я - 5 = 0; 2) я2 - 4 я - 2 1 = 0; 3) 2Я2 - 5я + 3 = 0; 4) 2л? + 5я + 2 = 0. 782®. Розв’яж іть рівняння і виконайте перевірку за теоремою, оберненою до теореми Вієта: 1) я2 + Зя - 28 = 0; 2) 2л? - ІЗ я + 15 = 0. 783®. Складіть зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють: 1) 2 і 3; 2) -3 і 4; 3) -7 і -2; 4) 0,3 і -0 ,5 . 784®. Складіть зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють: 1) 5 і 1; 2) 2 і -7 ; 3) -2 і -3 ; 4) 0,7 і -0 ,1 . 143

785®. Всі дані рівняння мають корені. В яких рівняннях корені одного знака, а в яких — різних: 1) £ + 2х - 8 = 0; 2) х2 - 4х + 4 = 0; 3) З*2 + 4х + 1 = 0; 4) 2л? - 3* - 5 = 0? 786®. Знайдіть підбором корені рівняння: 1) х2 - 5х + 6 = 0; 2) х2 + 6х + 8 = 0; 3) х2 - 6х - 7 = 0;

4) х2 + Зх - 4 = 0;

5) х2 - 17х + 42 = 0;

6) л2 - 5х - 24 = 0.

787®. Знайдіть підбором корені рівняння: 1) £ - 5х + 4 = 0; 2) х2 - х - 6 = 0; 3)

+ 4х + 3 = 0;

4) х2 - 12х + 27 = 0;

5) з? + х - 6 = 0;

6) х2+ 9х - 22 = 0.

788®. Визначте знаки коренів рівняння (якщо вони існують), не розв’язуючи його: 1) х2 + 8х + 5 = 0; 2) х2 - 12х - 1 = 0; 3) Зл2 + 14х - 7 = 0;

4) 4л2 - 7х + 2 = 0.

789®. Не розв’язуючи рівняння, визначте, чи має воно корені. Якщо так, то знайдіть знаки коренів: 1 ) л2 - 1 3 х - 2 = 0 ; 2 ) х2 + 17х + 1 = 0 ; 3) бх2 - 14х + 1 = 0; 4) Зх2 + 7х - 18 = 0. 790®. Доведіть, що рівняння 1 2 Х 2 + 17х - 389 = 0 не може мати коренів однакових знаків. 791®. Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють: 1)-|і5; о

2)-±і-§; 4

З^і-д/б;

4 ) 2 - ^ З і2 +^3.

792®. Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють: 1) - 2 і | ;

2) | і | ;

3 )-^ 7 і^ 7 ;

4) 3 + 77 і 3 - ^7.

793®. Один з коренів рівняння з? + р х - 9 = 0 дорівнює 1,5. Знайдіть р і другий корінь. 794®. Один з коренів рівняння х2 + 6х + <7 = 0 дорівнює -3 ,5 . Знайдіть д і другий корінь. 795®. Корені х г і х2 рівняння х2 - 4х + д = 0 задовольняють умо ву 2ху - 3*2 = 13. Знайдіть корені рівняння та коефіцієнт q. 144

796®. Корені х г і х 2 рівняння о? + р х - 10 = 0 задовольняють умову 2х1 + 5x2 = 0. Знайдіть корені рівняння та коефіцієнтр. 797®. Рівняння з? + 4х - 3 = 0 має корені х 1 і х 2. Не розв’язую чи рівняння, знайдіть: 1) — + —; *1 *2

2) afej +

3) 4 + *1;

4)| +Ї ;

5)І +^ ;

- ^ )2.

798®. Рівняння я2 - 5# - 2 = 0 має корені jc1 і ж2. Не розв’язу ючи рівняння, знайдіть: 1) — + — ; x1 X2

2 ) л^Х2 + 4

хі '>

3 ) з% + з%;

4)| + | ; 5) : И ; 799®. Складіть квадратне рівняння, корені якого на два біль ші за відповідні корені рівняння з? - Зх - 9 = 0.

800®. Складіть квадратне рівняння, корені якого на три мен ші від відповідних коренів рівняння з? + 2х - 7 = 0. 801®. Сума двох чисел дорівнює 32, одне з них у 7 раз більше за друге. Знайдіть ці числа. 802®. Маємо два сплави міді і цинку. Перший містить 20% міді, а другий — 35% міді. Скільки треба взяти кілограмів першого сплаву і скільки другого, щоб отримати сплав масою 200 кг, що містить 29% цинку? 803®. Спростіть вираз: Г*

Уроки 53, 54

-jx -Jx-Jÿ

§ 23. РОЗВ’ЯЗУВА Н Н Я ЗА Д А Ч ЗА ДОПОМОГОЮ КВАДРАТНИХ РІВН Я Н Ь

За допомогою квадратних рівнянь можна розв’язувати багато задач у математиці, фізиці, техніці, практичній діяльності людини. Приклад 1. Різниця кубів двох натуральних чисел дорівнює 279. Знайти ці числа, якщ о їх різниця дорівнює 3. Р о з в ’ я з а н н я . Нехай менше з натуральних чисел до рівнює п, тоді більше дорівнює п + 3. За умовою (п + З)3 - п3 = 279. 145

Спростимо утворене рівняння. Маємо п2 + Зп - 28 = 0. Звід си п1 = 4; п2 = -7 . За змістом задачі число п — натуральне. Тому задачу задовольняє тільки число 4. Отже, перше шукане число 4, а друге 4 + 3 = 7. В і д п о в і д ь. 4; 7. Приклад 2. У кінотеатрі кількість місць у ряді на 6 більша за кількість рядів. Скільки рядів у кінотеатрі, якщ о всього в ньому 432 місця? Р о з в ’ я з а н н я . Нехай у кінотеатрі х рядів, тоді місць у кожному ряді — (ж + 6). Всього місць у залі х(х + 6). За умовою ж(я: + 6) = 432. Розв’язуючи це рівняння, дістанемо: лс2 + 6х - 432 = 0, х 1 = 18, х 2 = -2 4 . За змістом задачі значення х — додатне число. Цю умову задовольняє лише перший корінь. Отже, у кінотеатрі 18 рядів. В і д п о в і д ь . 18 рядів. Приклад 3. В опуклому многокутнику 54 діагоналі. Знайти кількість його сторін. Р о з в ’ я з а н н я . Нехай у многокутника п сторін. З кож ної з п вершин виходять (га - 3) діагоналі. А отже, всього з усіх п вершин виходять п(п - 3) діагоналі. Але при цьому кожна ■ • п ■ - п ( п - 3) діагональ врахована двічі. Отже, всього діагоналей — —-. Ск За умовою задачі п ^п ^ = 54, п2 - З п - 108 = 0. Маємо /і1 = 12, Ск

п2 = -9 . Від’ємний корінь не задовольняє умови задачі. В і д п о в і д ь . 12 сторін. Приклад 4. Тіло підкинуте вертикально вгору зі швидкістю 20 м/с. Висота Л (у м), на якій через і с буде тіло, обчислю ється за формулою Н = 20£ - 5І2. В який момент часу тіло буде на висоті 15 м? Р о з в’ я з а н н я. За умовою: 15 = 20і - бі2, звідси і2 - 4£ + + 3 = 0. Розв’язавши це рівняння, маємо ^ = 1, і2 = 3. Обидва ці корені рівняння є розв’язком задачі, оскільки на ви соті 15 м тіло буде двічі: спочатку при підйомі (це відбудеться через 1 с), а другий раз — при спуску (це відбудеться через 3 с). В і д п о в і д ь . 1 с; 3 с.

146

804®. Одне з натуральних чисел на 5 менше за інше. Знайдіть ці числа, якщ о їх добуток дорівнює 204. 805®. Добуток двох натуральних чисел дорівнює 180. Знай діть ці числа, якщ о одне з них на 3 більше за друге. 806®. Знайдіть периметр прямокутника, якщ о його площа дорівнює 108 см2, а одна із сторін на 3 см більша за другу. 807®. Ділянку прямокутної форми, одна із сторін якої на 10 м більша за другу, треба обнести парканом. Знайдіть дов жину паркана, якщ о площа ділянки 375 м2. 808®. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщ о їх сума дорівнює 17 см, а площа трикутника дорівнює 35 см2. 809®. Один із катетів прямокутного трикутника на 7 см біль ший за другий. Знайдіть периметр трикутника, якщ о його гіпотенуза дорівнює 13 см. 810®. Знайдіть площу прямокутника, якщ о сума його двох непаралельних сторін дорівнює 14 см, а діагональ дорів нює 10 см. 811®. Добуток двох послідовних натуральних чисел на 181 більший за їх суму. Знайдіть ці числа. 812®. Кусок скла має форму квадрата. Коли від нього відріза ли смужку шириною ЗО см, його площа стала дорівнювати 2800 см2. Знайдіть початкові розміри куска скла. 813®. Площа прямокутного листа фанери дорівнює 300 дм2. Лист розрізали на дві частини, одна з яких — квадрат, а інша прямокутник. Знайдіть сторону квадрата, якщ о сто рона отриманого прямокутника, що не є стороною квад рата, дорівнює 5 дм. 814®. Знайдіть три послідовних цілих числа, якщ о потроєний квадрат меншого з них на 242 більший за суму квадратів двох інших. 815®. Знайдіть три послідовних цілих числа, якщ о квадрат більшого з них на 970 менший за подвоєну суму квадратів двох інших. 816®. Сума кубів двох натуральних чисел дорівнює 468. Знай діть ці числа, якщ о їх сума дорівнює 12. 817®. Дві дороги перетинаються під прямим кутом. Від пере хрестя доріг одночасно від’їхали два велосипедисти, один у східному напрямі, інший — у північному. Швидкість першого з них на 4 км/год більша за швидкість другого. Через 2 год відстань між ними була 40 км. Яка швидкість кожного велосипедиста? 147

818®. Периметр прямокутника дорівнює 44 см, а сума площ квадратів, побудованих на суміжних сторонах, дорівнює 244 см2. Знайдіть сторони прямокутника. 819®. Фотокартка розміром 10x15 см вставлена в рамку одна кової ширини, площа якої 204 см2. Визначте ширину рамки. 820®. На ділянці землі прямокутної форми зі сторонами 8 м і 6 м треба розмістити прямокутну клумбу площею 15 м2 так, щоб навколо клумби утворилася доріжка одна кової ширини. Визначте, яку ширину повинна мати до ріжка. 821®. На шаховому турнірі було зіграно 45 партій. Кожний з учасників зіграв із кожним по одному разу. Скільки було учасників турніру? 822®. До Нового року в родині Петренків кожний підготував подарунок кожному з інших членів родини. Всього під ялинкою виявилося 20 подарунків. Скільки чоловік в родині Петренків? 823®. Висота Л (у м), на якій через г с буде підкинуте верти кально вгору тіло, обчислюється за формулою Л = и0£ - б*2, де и0 — початкова швидкість. Після удару футболіста м ’яч полетів вертикально вгору, і через 1 с опинився на висоті 10 м. Через яки й час м ’яч буде на висоті 10,8 м? 824®. Футболіст, зріст якого 1,8 м, підбиває м ’яч головою, і через 0,4 с м’яч опиняється на висоті 3,8 м. Через який час м ’яч буде на висоті 4,25 м над землею? 825®. Сигнальна ракета, що випущена вертикально вгору, че рез 2 с була на висоті 40 м. Через який час ракета буде на висоті 44,2 м? 826®. Розв’яж іть рівняння: 1) Зя2 - 12 = 0; 2) 5з? - 9я = 0; 4) я2 + 4х + 4 = 0. 3) Зя2 - Юя + 3 = (^ 827®. Складіть зведене квадратне рівняння, корені якого до рівнюють: 1) - 2 і 6; 2) - 7 і -3 . 828®. Розв’яж іть рівняння: 1) (я + 2)2 = 5я - 7; 2) | £ - я - 5 = 0. 148

Урок 55

ЗАВДАННЯ ДЛЯ П ЕРЕВІРКИ ЗН А Н Ь ДО § 2 0 —23

1®. Які з рівнянь є квадратними: 1) я? - 4х + 7 = 0; 2) я? + 1 = 19; 3) х2 - 15 = 0;

4) ї х - 13 = 2х + З?

2®. Скільки різних коренів має квадратне рівняння, якщо його дискримінант дорівнює: 1) 9; 2) 0; 3) -1 6 ; 4) 23? З®. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння я2 + 2х - 17 = 0. 4®. Розв’яж іть неповні квадратні рівняння: 1) 2я? - 18 = О, 2) Зя? - 4х = 0. 5®. Розв’яж іть рівняння: 1) 2л2 - 5х + 2 = О, 2) я? - 6х + 9 = 0. 6®. Складіть зведене квадратне рівняння, корені якого дорів нюють - 3 і 5. 7®. Розв’яж іть рівняння: 1) (х + І)2 = 4х - 5; 2) \ £ - х - 3 = 0. Сі

8®. Знайдіть три послідовних натуральних числа, якщ о квад рат більшого з них на 140 менший за суму квадратів двох інших. 9®. Розв’яж іть рівняння: (V* - 2)(я? + Зх - 4) = 0. Д одат кові задачі 10®. Рівняння зе2 - 5х - 3 = 0 має корені зс1 і х 2. Не розв’язу ючи рівняння, знайдіть: 1) — + —; 2) зс? + Ял. 11®. На першості школи з баскетболу було зіграно 28 матчів, причому кожна команда зіграла з кожною. Скільки команд брало участь у першості школи з баскет болу?

149

ур о к и

Чй— ЧЯ 00

§ 24. КВАДРАТНИЙ ТРИ ЧЛЕН , й о г о КОРЕНІ. РО ЗКЛА ДА Н Н Я КВАДРАТНОГО ТРИ ЧЛЕН А НА Л ІН ІЙ Н І М НОЖ НИКИ

Вирази 5х? - 2 х + 7 і -о? + Зх - 9 є многочленами другого степеня з однією змінною. Такі многочлени називають квад р а т ним и т ричленам и.

К вадрат ним т ричленом називають многочлен виду ах2 + Ьх + с, де х — змінна, а ,Ь ,с — числа, причому а -Ф - 0.

Приклад 1. Вираз з? + 2х - 3 є квадратним тричленом, у якого а = 1, Ь = 2, с = -3 . Приклад 2. Розглянемо квадратний тричлен 5х? - Зх - 8. Якщо х = - 1 , то значення квадратного тричлена дорівнює нулю (справді 5 • (-1)2 - 3 • (-1) - 8 = 0). Число -1 є коренем цього квадратного т ричлена. І Коренем квадратного т ричлена називають значення іу змінної, при якому значення цього тричлена дорівнює нулю.

Щоб знайти корені квадратного тричлена аз? +Ьх + с, треба розв’язати рівняння ах? + Ьх + с = 0. Приклад 3. Знайти корені квадратного тричлена Зх2 + 2х - 16. Р о з в ’ я з а н н я . Розв’яжемо рівняння Зх? + 2х - 16 = 0. Діс танемо х^ = 2; х^ = -2 \ . Отже, квадратний тричлен Зх? + 2х - 16 о О

має корені 2 і -2 ^ . о В і д н е в і д ь . 2; - 2 | . Квадратний тричлен, як і квадратне рівняння, може мати два різних корені, один корінь (два однакових корені) або не мати коренів. Це залежить від знака дискримінанта квадрат ного рівняння X) = й2 - 4ас, який називають також дискримі нант ом квадратного т ричлена аз? + Ьх + с. Якщо .О > 0, то квадратний тричлен має два різних корені, якщ о И = 0, то квадратний тричлен має один корінь (два рівних корені), якщ о 2) < 0, то квадратний тричлен не має коренів. 150

Якщо відомі корені квадратного тричлена, то його можна розкласти на лінійні множники, тобто множники, як і є мно гочленами першого степеня. Т е о р е м а (про розкладання квадратного тричлена на множники). Якщ о х х і х 2 — корені квадратного т ричлена аз? + Ьх + с, то аз? + Ьх + с = а(х - лі)( л: - х2). Д о в е д е н н я . Якщо ^ і і 2 — корені квадратного рів няння аз? + Ьх + с = 0, то за теоремою Вієта зсу + зс%= - - ; зСуХ^ = - . Для доведення твердження теореми розкриємо дужки у правій частині рівності: а(х - Ху)(х - х£ = а(з? - зСуХ- хх-2 + зСуХ2) = Ґ , л _ь + ^ = а(з? - х(зсу + ЗС2 ) + Хузс^ = а V ' аУ а У = аз? +Ьх + с. Отже, аз? +Ьх + с = а(х - зсу)(х - х^), що і треба було довести. Якщо ж квадратний тричлен не має коренів, то його не мож на розкласти на множники, які є многочленами першого степеня. Приклад 4. Розкласти на множники тричлен: 1) -2з? + Зл; + 5; 2) Зж2 - 12л; + 12; 3) з? - 2х + 5. Розв’язання. 1) Коренями рівняння -2 з? + Зл: + 5 = 0 є числа -1 і 2,5. Тому -2 з? + Зл; + 5 = -2(л; + 1)(л; - 2,5). Знайдений результат мож на записати інакше, помноживши на - 2 двочлен х - 2,5. Маємо -2 з? + Зх + 5 = (х + 1)(5 - 2х). 2) Квадратне рівняння Зл^ -1 2 л :+ 12 = 0 має два рівних корені х 1 = х 2 = 2. Тому 3з? - 12л; +12 = 3(л; - 2)(л: - 2) = 3(л; - 2)2. 3) Квадратне рівняння з? - 2х + 5 = 0 не має коренів. Тому квад ратний тричлен з? - 2л; + 5 не можна розкласти на множники. Приклад 5. Скоротити дріб 4х2~2х~2 . ЛГ-1

Р о з в ’ я з а н н я . Розкладемо на множники квадратний тричлен 4з? - 2 х - 2 . Коренями рівняння 4з? - 2 х - 2 = Оє числа 1 і -0 ,5 . Тому 4з? 2x 2 = 4(л: - 1)(л; + 0,5). Отже, 4 з? -2 х -2 _ 4(х-1)(х+0,5) _ 4(х+0,5) _ 4х+2 Х*-1 (х-1)(х+1) х+1 х+1

В і д п о в і д ь . 4* +2 . 151

Під час розв’язування деяких задач, пов’язаних з квадрат ним тричленом аж2 +Ьх + с буває зручно подати його у вигляді а (ж - гаї)2 + п, де гаї і п — деякі числа. Таке перетворення назива ють виділенням квадрат а двочлена з квадратного тричлена. Приклад 6. Виділити з тричлена 2з? + 8ж - 7 квадрат двочлена. Р о з в ’ я з а н н я . Винесемо за дужки множник 2: 2л2 + 8х - 7 = 2(з? + 4х - 3,5). Перетворимо вираз у дужках. Для цього представимо 4х як добуток 2 • х • 2, додамо і віднімемо 22: 2(л? + 4ж - 3,5) = 2(л? + 2 • ж • 2 + 23 - 2а - 3,5) = 2((х + 2 f - 7,5) = = 2(х + 2)г - 15. В і д п о в і д ь . 2(х + 2)2 - 15. Приклад 7. Дано квадратний тричлен -4л2 + 24х - 20. При якому значенні х він набуває найбільшого значення і чому дорівнює це значення тричлена? Р о з в ’ я з а н н я . Виділимо з даного тричлена квадрат двочлена: -4Ж2 + 24х - 20 = -4(ж2 - 6х + 5) = -4(я? - 2 - ж- 3 + 32 - 32 + 5) = = -4 ((х - З)2 - 4) = - 4 ( х - З)2 + 16.

Вираз -4(ж - З)2 при будь-якому х від’ємний або дорівнює нулю, причому цей вираз дорівнює нулю лише для значення х = 3. Отже, квадратний тричлен -4 ж2 + 24х - 20 набуває най більшого значення, що дорівнює 16, якщ о ж = 3. В і д п о в і д ь . 16, якщ о ж = 3. Що називають квадратним тричленом? • Що називають коренем квадратного тричлена? • Скільки коренів може мати квадратний тричлен? • Як розкласти квадратний тричлен аж2 +Ьх + с на множники? • Яке перетворення квадратно го тричлена аж2 + Ьх + с називають виділенням квадрата двочлена?

829®. (Усно.) Чи є квадратним тричленом вираз: 3) Зх + 7| 1) + ж - 3; 2) ж3 - ж + 7; 1 4) ж + 2; 6) ж2 - ж + ж3; 7)

152

Зж -

7 + 5 л2 ;

8) -7л2 + 10ж + і ?

830®. З даних виразів випишіть квадратні тричлени: 1) х 3 - х; 2) л3 —де —1; 3) 4л? + 17л: + і ; 5 4) 4л:+ 17; 5) л?- л; + л;7; 6 ) —^— ; 2 хг+х 7) -9л? + 18 + 5л; 8) - 7 + 10л: + 14л2. 831®. Які з чисел 1; 2; 3 є коренями квадратного тричлена: 1) л? - 2 л: + 1; 2 ) л? + 8л; - 9 ; 3 ) л? - 5 л: + 6; 4 ) л? - 2 л: - 3 ? 832®. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена та ви значте кількість його коренів: 1) л? + 2х - 5; 2) л? + Зл; + 7; 3) л? - 2х + 1; 4) ж2 - х - 2. 833®. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена та ви значте кількість його коренів: 1) л? + х - 6; 2) л? + 6х + 9; 3) л? - 2х + 5; 4) л? + Зл: - 7. 834®. Знайдіть корені квадратного тричлена: 1 ) л? - 6 л; + 5; 2) л? - 4л; -1 2 ; 3) 5л2 - 10л: + 5; 4) -2л2 - Зл: + 2. 835®. Знайдіть корені квадратного тричлена: 1) л? - 7л: + 12; 2) л? - л; - 20, 3) 6л? - 7х + 1; 4) -Зле2 + 6л; - 3. 836®. Чи можна розкласти на множники квадратний тричлен: 1) 16л2 - 5л: + 1; 2 ) 4 л? + 4 л; + 1; 3)2л? + л ; - 1 9 ? 837®. Розкладіть квадратний тричлен на множники: 1) л? - 5л; + 4; 2) л2 + 7л: - 8; 3) 2л? - 5л; + 2; 4 ) -л? + 11л;-2 4 ; 5) -3л? + 8л;+3; 6)4л? + л ;-3 . 838®. Розкладіть квадратний тричлен на множники: 1) л? - 8л: + 7; 2) л? + 8л; - 9; 3) 2л? - 7л: + 3; 4 )-л? + л; + 12; 5) -6л ?-5л ; + 1; 6) 7л? + 19л: - 6. 839®. Покажіть, що квадратні тричлени л? - 2 л; - 3; З л ? -6 л ;-9 ; -4л? + 8л:+ 12 мають одні й ті самі корені. Розкладіть на множники кожний квадратний тричлен. 840®. Чи правильно розкладено на множники квадратний тричлен: 1) 2л? + 4л; - 6 = (л; - 1)(л; + 3); 2) 4л? - 8л: + 4 = 4(х - i f ? 153

841®. Чи правильно розкладено на множники квадратний тричлен: 1) За2 - 6* - 9 = 3(* - 3)(* + 1); 2) 2х? - 8* + 8 = (а - 2)2 ? 842®. Скоротіть дріб: х —1 де2—5jc—14 2) 1) х+2 ^ -4 ^ + 3 ’ 843®. Скоротіть дріб: JC+ 1 . а^+За-ІО 2) 1) х-2 х? +За+2 844®. Чому не можна подати у вигляді добутку лінійних множників квадратний тричлен: 1) х? + 2х + 7; 2) -2х? + 4* - 7 ? 845®. Виділіть квадрат двочлена з квадратного тричлена: 1) х? + 2 х - 5; 2) з? - 4х + 7; 3) 2а2 - 4* + 10; 4) За? - 18* + 27. 846®. Виділіть квадрат двочлена з квадратного тричлена: 1 ) а ^ - 2 * + 7; 2) я ? + 4 * - 1 3 ; 3) З*2 - 24* + 3; 4) 2а2 + 4* + 2. 847®. Знайдіть корені квадратного тричлена: 1) І х? - 2* - 7; 2) 0,2а2 + 7* + 40. О

848®. Знайдіть корені квадратного тричлена: 1)|я?+2*-15; 2) 0,2а? - 3* - 9. 849®. Розкладіть на множники квадратний тричлен, якщ о це можливо: 1) а2 - 2* - 11; 2) 2а2 - 3* + 7; 3) -2 а 2 - За + 7; 4) - а 2 - 5а - 8. 850®. Розкладіть на множники квадратний тричлен, якщ о це можливо: І)*2+4*-7; 2) -2х? + За - 6 . 851®. Скоротіть дріб: 4*-12 . а2-5 а+ 6 ’ *г-4*+4 . 4) а2+ 5а-14 ’

154

а2-*-12 .

а^+За ’ 5) 2аг+ 9 а-5 . 3*2-1 4 * -5 ’

2а2+ 5*-3 . а2-9 ’ 5а2-37*+14 6) 22а-2а2-5 6 ‘

852®. Скоротіть дріб: х?+6х+5 . X?—16 . 1) х?+5х Зх?-10х-8 ’ х?+х-6 2х?+4х+2 3) х?-7х+10’ Зд^-бдс^ 853®. Обчисліть значення дробу: 2д^+9д;-5 , якщ о х = 97; 1) х?+8х+15 Зх2-24л:+48 , якщ о х 2 2) З 7дс- 3 ^ + 2 0 854®. Виконайте дії: п __ *___• 1 х-2 я2+2*-8’ х+4 . Здс^-Юдс-в

3) Зх +2

+■ х+4 ' а^+бдс+8 ’ ,2х?+5х-3 4) 2х?+Ьх-2 2х+10 де2-25 2)

X?—16 855®. Виконайте дії: Здс-2 1 , 7 2) х+2 + х?- Зх-10 де2-4 Зх?+4х-4 856®. Виділіть з кожного квадратного тричлена квадрат двочле на та доведіть, що при будь-якому значенні х квадратний тричлен: 1) х? - 4х + 9 набуває додатного значення; 2) 2х? + 8х + 8 набуває невід’ємного значення; 3) -о? + бде - 1 6 набуває від’ємного значення; 4) -а? + 10л; - 25 набуває недодатного значення. 857®. Виділіть з кожного квадратного тричлена квадрат двочле на та доведіть, що при будь-якому значенні х квадратний тричлен: 1) де2 + 6х + 17 набуває додатного значення; 2) -де2 + 12де - 37 набуває від’ємного значення. 858®. Розкладіть на множники многочлен: 1) де3 + Зл? + 2дс; 2) -2дс3 - 5х? + Зх; 3) \ х4 + зе3 - | л2; 4

4) - і де5 + 2де4 + бд:3. £к

859®. Розкладіть на множники многочлен: 1) де3 - 12ДС2 + 32л; 2) ^ де4 - 4де3 + 9ДС2. О

860®. Побудуйте графік функції: і \ „ _ де2+де-2 . і, —де3— 2ДС2—Зде 1)У~ ^ Г ' 2 ) У ~ х?+х • 155

(2а - 2) 2 *^а2-2 а + 1

16 16—х2 /

а +2 а2+ а-2^

862®. Спростіть вираз: 1)

х -1

. х -4 .

2х?+3х+1 ( 2) (36 - 9)2

х? —1) х 3- х ’ _ _

ч&2-6&+9

Ь+2 Ь2- Ь - 6 ,

863®. Розкладіть на множники 1) х„з - 4л; 2 ) х 4 - З ж 3 + 4 л; 3 ) л:3 - 4л? - 9л: + 3 6 ; 4) л;3 + х? - х - 1. 864®. Спростіть вираз: 1) д/0Д6«V 4, якщ о а > 0, х < 0; 2) ^8т 3р 6, якщ о р > 0. 865©. Рівняння л? - 2л; - 10 = 0 має корені х 1 і х 2. Не розв’язу ючи рівняння, знайдіть: 1) л^ + 4 ;

Уроки 59—61

2) лі3 + л|;

^ ;

4) л^4 + л^4.

§ 25. РОЗВ’ЯЗУВА Н Н Я РІВН Я Н Ь, Я КІ ЗВОДЯТЬСЯ ДО КВАДРАТНИХ

1. Дробові раціональні рівняння. Розв’язування дробових раціональних рівнянь часто приво дить до розв’язування квадратних рівнянь. Приклад 1. Розв’язати рівняння 1 , 1 = 8 х+2 х?-2х х 3—А х' Р о з в ’ я з а н н я . Розкладемо на множники знаменники дробів: 1 , 1 = 8 х+2 х(х-2) х(х-2)(х+2)' Домножимо обидві частини рівняння на спільний знамен ник дробів — вираз л^л: - 2)(л: + 2) за умови, що він не дорівнює нулю. Маємо: 156

х(х - 2) + х + 2 = 8; я? - х - 6 = 0; х1 = 3; *2 = -2. Якщо ж = 3, то х(х - 2)(х + 2) ф 0; якщ о ж х = -2 , то х(х - 2)(х + 2) = 0, тому х = - 2 — не є коренем рівняння. Отже, єдиний корінь рівняння— число 3. В і д п о в і д ь . 3. 2. Метод розкладання многочлена на множники. Деякі рівняння можна розв’язати за допомогою розкладан ня многочлена на множники. Приклад 2. Розв’язати рівняння х3 + 2 Х 2 - 15х = 0. Р о з в ’ я з а н н я . Винесемо в лівій частині рівняння за дужки х: х(х2 + 2х - 15) = 0. Звідси х = 0 або х2 + 2х - 15 = 0. Друге рівняння має корені: х = 3, х = -5 . Отже, рівняння х3 + 2х? - 15х = 0 має три корені: х1 = 0; Х2 = 3; х3 = -5. В і д п о в і д ь. 0; 3; -5 . 3. Біквадратні рівняння. Рівняння виду ох4 + Ьх2 + с = 0, де а Ф 0, називають біквад рат ним рівнянням . Це рівняння можна розв’язати, вводячи но ву змінну, а саме, позначивши х2 через і. Маємо х4 = (х2)2 = Ґ2. Початкове рівняння набере вигляду аі1 +М + с = 0. Такий ме тод розв’язування називають методом зам іни змінної. Приклад 3. Розв’язати рівняння х4 + бх2 - 36 = 0. Р о з в ’ я з а н н я . Зробимо заміну х2 = і, тоді маємо рів няння і2 + 5£ - 36 = 0. Це рівняння має корені ^ = 4, £2 = -9. Повернемося до змінної х. 1) ^ = 4. Тоді х? = 4, х1 = 2, х% = -2; 2) Ц = -9. Тоді х2 = -9, рівняння не має розв’язків. Отже, початкове рівняння має корені Ху = 2, = -2. В і д п о в і д ь . 2; -2 . 4. Метод заміни змінної. Не лише біквадратні, а й деякі інші види рівнянь можна розв’язати за допомогою заміни змінної. Приклад 4. Розв’язати рівняння (х2 + 4х)(х2 + 4х + 4) = 12. Р о з в ’ я з а н н я . Зробимо заміну з? + 4х = £. Маємо рівняння для і: і (і + 4) = 12, і2 + 4і —12 = 0. Воно має корені іг = 2, і2 = -6 . 157

Повернемося Д О З М І Н Н О Ї Ж . 1) = 2. Тоді ж*12 + 4х = 2, ж2 + 4ж - 2 = 0, х^2 = -2 ± у/б; 2) = -6 . Тоді ас2 + 4ж = -6, ас2 + 4а: + 6 = 0, рівняння не має розв’язків. Отже, початкове рівняння має два корені х^2 = -2 ± у/б. В і д п о в і д ь . - 2 ± 7бПриклад 5. Розв’язати рівняння ж(ж - 2) = -— — —. (X+1)(^- о) Р о з в ’ я з а н н я . Оскільки ж(ж - 2) = ж2 - 2ж, а (ж + 1)(ас - 3) = = ас2 + а с - 3 а с - 3 = ас2 - 2 а с - 3 , то маємо рівняння: ас2 - 2ас =

4 а^ -2а;-З

Зробимо заміну ас2 - 2ас = і. Маємо рівняння для і: 4 і і- 3 ' Розв’язавши його, дістанемо = -1 , і2 = 4. Повернемося до змінної ас. 1) ^ = -1 ; ж2 - 2х = -1, а2 - 2х + 1 = 0, а^ = 1; 2) і2 = 4; ж2 - 2ж = 4, ж2 - 2х - 4 = 0, а^3 = 1 ± -у/б. Отже, початкове рівняння має корені: а^ = 1, а^3 = 1 ± -у/б. В і д п о в і д ь . 1; 1 ± -у/б. Якими методами можна розв’язувати рівняння? • Яке рівняння називають біквадратним? • Як розв’язують біквадратне рівняння? 866®. (Усно.) Які з рівнянь — біквадратні: 1) а:3 + 2а2 - 5 = 0; 2) ж4 + За2 - 4 = 0; 3) а2 + 2а: - 1 = О, 4) -7а;4 - 8а2 - 11 = 0; 5) 4г + 4г - 5 = 0; а:

867®. 1) 3) 5)

аг

6) 8а2 -9а;4 - 5 = 0?

Випишіть біквадратні рівняння: а2 + х - 7 = 0; 2) Зж4 - 2х3 - 5 = 0; х 4 - 5а2 - 6 = О, 4) £ - За2 + 4 = 0; 7а;4 + 15а? - 9 = 0; 6) 5 - 9а;4 - 8а2 = 0.

868®. Розв’яж іть біквадратне рівняння: 1) Xі - бх2 + 4 = 0; 2) ж4 - 9Ж2 + 8 = 0; 158

3) я4 - 2з? - 8 = О, 5) я4 + 5я? + 4 = 0;

4) 2я4 - з? - 6 = О, 6) 9я4 - б*2 + 1 = 0.

869®. Знайдіть корені біквадратного рівняння: 1) я4 - П з? + 16 = О, 2) х4 - 6л? + 8 = 0; 3) х 4+ 2з? - 15 = О, 4) Зя4 - 2я? - 8 = 0; 5) х 4 + Юз? + 9 = 0, 6) 25я4 - 10л? + 1 = 0. 870®. Розв’яж іть рівняння: у? -х -2 я^+я-б 0 2) 1) я+3 я-2 871®. Розв’яж іть рівняння:

1) ** +2*~3 = 0; 2) = 0. я-4 я+3 872®. Розв’яж іть рівняння: З? _ X . 2І =— • х-2 х-2 ’ я+1 ’ я2- 5 2я-10 Зя-14 4) я-3 й 1—я 3-я 873®. Розв’яж іть рівняння: я2 Зя . я2 . 9 . 2) 1) я-2 я-2 ’ я+3 я+3 ’ я2-З 2я-5 о\ Зя2 я-14 , 4) 3) ї^ я я —1 я-2 2-я 874®. Знайдіть корені рівняння: я-3 8 2я-3 _ я . 2) я+2 1) я+3 ’ я+6’ 4) - = Зя + 2.

8>!

875®. Знайдіть корені рівняння: я 1ч я-2 _ 3 . оч Зя-1 3)^_ я; 4) - = 2я - 1. ’ я я + 2 ’ ' я+3 я+1 ’ 4-я 876®. Розв’яж іть рівняння, розклавши його ліву частину на множники: 1) я 3 - 4я = 0; 2) я 3 + 9я = 0; 3) 4я4 - я2 = 0 4) я 3 + з? - 6я = 0. 877®. Розв’яж іть рівняння, розклавши його ліву частину на множники: 1) я 3 - 9я = 0; 2) я3 + 4я = 0; 3) 16я4 - з? = О, 4) я3 + я? - 12я = 0. 159

878®. Розв’яж іть рівняння 1ч 20 20 2) - + - і - = 1. = 1; *

*4-1

’х

х -2

879®. Розв’яж іть рівняння: = 1; 2) - + —і —= 1. х

х+1

х -4

880®. Розв’яж іть рівняння: ^ х 4-ІО*2-^ _ д . 2 ) 6х?+ 19х-1 _ д. х-\-3 2хг -5х+ 2 3) х2- 4

1 -З х 4х+2 6 х + 5. 4) 1+2х

881®. Розв’яж іть рівняння: 1) 3)

х 4 + х 2- 2

х+1 -10*4-3 я?- 9

б*24-7*-5 4; 1 -2 х 4) 8х+2 12* + 5. 1 +4л:

882®. Розв’яж іть рівняння *4-7 , * - 4 = і; * -2 4 2 X? 4-15 . * -5 *4-5 де2 — 25 ’

3*4-3 + 2х - 6 _ 2 З*+2 Зх-2 2*+2 18 *4-6 4) * -3 з? - 9 *4-3

1) *4-2

883®. Розв’яж іть рівняння: і \ 3*4-9 , * - 6 _ о. 2) 2*+8 + 10 1 ) ^ Г + ^ Г “ 3’ *4-5 де2-25

* -4 * -5

884®. Розв’яж іть рівняння: 1) 3)

2 * -3 _ *4-1 _ 5 . де2 4-4*4-4 де24-2* * ’

де2-3 6

де2 4-6*

_ *+12. де2- 6 * ’

де2 —9 X? 4-6*4-9 * —3 7 4^ 3*4-2 + *4-4 з*24-1 *4-1 * -3 де2-2 * - 3 "

885®. Розв’яж іть рівняння: 21 _ 14 = 5 . х? -2 * ж2 4-2* * ’ *4-20 10 3) де2 4-10* д^-ІО * д^-Ю О

886®. При якому значенні *: Є 1) сума дробів -5 —і * дорівнює їх добутку; 1 -*

*4-2

2 і -----6 дорівнює їх частці? 2) сума дробів -=— Х —О

160

■+■ о

+ —Ц- = О,

де2-4*4-4 ж2- 4 *4-2 2*4-7 х -2 _ 5 4) *4-4 * -1 де24-3*—4 "

887®. Розв’яж іть рівняння, розклавши його ліву частину на множники: 1) ж3 - 2х? - 9х + 18 = 0; 2) Зх3 + Зх? - 4х - 4 = 0. 888®. Розв’яж іть рівняння, розклавши його ліву частину на множники: 1) х 3 - л2 - 4х + 4 = 0; 2) 4х3 + 8х? - Зл; - 6 = 0. 889®. Розв’яж іть рівняння: 1) (я2 + 3 f - З**2 + 3) - 4 = 0;

2) (я2 - x f + 2(х? - х) - 8 = 0.

890®. Розв’яж іть рівняння: 1) (я2 + 2)2 - 2(х? + 2) - 3 = 0;

2) (х? + x f - 5(х? + х) - 6 = 0.

891®. Розв’яж іть рівняння: 1)

2(х?+3)

3(х+4)

- _______ 1________•

х 3+4хг+Зх+12’

2) J - + 1 = ____32____ х-1 х?+Зх+2 х 3+2хг-х-2 892®. Розв’яж іть рівняння: 1

х-3 х а-х?-9х+9 х? +2х-3" 893®. Розв’яж іть рівняння: 1) + Xі - 6х3 + 5х + 5 = 0;

2) ж3 + 2л^ - 2х - 1 = 0.

894®. Розв’яж іть рівняння: 1) х? - х 4 - 2х3 + 2х? - Зх + 3 = 0;

2) х 3 - 3 # - 6* + 8 = 0.

895®. Розв’яж іть рівняння: 1) х - у[х - 6 = 0; 2) (х? + 2х - 2)(л^ + 2х - 4) = 8; 3) (х - 2)4 - 2(х - 2? - 3 = О, 4) (де2 + х + І)2 - 8JC2 - 8х - 1 = 0. 896®. Розв’яж іть рівняння: 1) х + 2л[х - 8 = 0; 2) (а2 - 2х - 1)(х? - 2х - 3) = 3; 3) (х + І)4 - 5(х + l f - 6 = О, 4) (х? - х - І)2 - 4JC2 + 4х - 1 = 0. 897®. З двох сіл, відстань між якими 84 км, одночасно назустріч один одному виїхали два велосипедисти. Знайдіть швидкість кожного велосипедиста, якщ о вони зустрілися через 3 год і швидкість одного з них на 4 км/год більша за швидкість другого. 161

898®. Корені квадратного тричлена З#2 +Ьх + с дорівнюють - 7 і ^ . Розкладіть цей квадратний тричлен на множники. О

899®. Сума двох чисел дорівнює 27, а сума їх квадратів — дорівнює 369. Знайдіть ці числа. 900®. Спростіть вираз: х -2 . Э*2 4 _ х Зх+2 2хг -5х+2 1-2х

Уроки 62, 63

§ 26. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ЗА ДОПОМОГОЮ РІВНЯНЬ, ЯКІ ЗВОДЯТЬСЯ ДО КВАДРАТНИХ

Розв’язування багатьох задач зводиться до розв’язування дробових раціональних рівнянь. Приклад 1. З одного міста до іншого, відстань між якими 560 км, виїхали одночасно автомобіль і мотоцикл. Швидкість автомобіля на 10 км/год більша за швидкість мотоцикла, тому він приїхав у пункт призначення на 1 год раніше. Знайдіть швидкість мотоцикла і швидкість автомобіля. Р о з в ’ я з а н н я . Позначимо швидкість мотоцикла х км/год і систематизуємо дані у вигляді таблиці: Вид транспорту

8, КМ

V, км /год

М отоцикл

560

Автомобіль

560

х + 10

Оскільки величина х

і, год 560

X 560 *+10

год на 1 год менша за величину

год, то маємо рівняння: 560 + 1 = 560 х+10

Розв’язавши його, дістанемо: х, = 70, х 2 = -8 0 . Другий ко рінь не задовольняє умови задачі. Отже, швидкість мотоцикла 70 км/год, а автомобіля — 70 + 10 = 80 (км/год). В і д п о в і д ь . 70 км/год; 80 км/год. Приклад 2. Майстер і учень, працюючи разом, виконали завдання за 8 год. За скільки годин може виконати це завдан 162

ня кожен з них, працюючи окремо, якщ о майстру на це потрібно на 12 год менше, ніж учню? Р о з в ’ я з а н н я . Нехай майстру, щоб виконати завдання, працюючи окремо, потрібно х год, тоді учневі — (л; + 12) год. За 1 год майстер виконає - частину завдання, а у ч е н ь -----X

Х Л ~ \-с і

частину завдання. Разом за одну годину вони виконають і + —і— частину завдання. За умовою задачі майстер і учень, X

ХЛ~

працюючи разом, виконали завдання за 8 год, тому за 1 год вони виконували і частину завдання. Отже, маємо рівняння: О 1 =1 *+12 8 ' Розв’язавши його, дістанемо: х х = 12, х 2 = - 8 . Другий ко рінь не задовольняє умови задачі. Отже, майстер, працюючи окремо, може виконати завдання за 12 год, а учень — за 12 + 12 = 24 (год). В і д п о в і д ь . Майстер — за 12 год, учень — за 24 (год). , як розв’язано задачі 1 — 2 . 901®. Одне з натуральних чисел на 2 більше за друге. Знайдіть ці числа, якщ о сума обернених до них чисел дорівнює . \-Сі

902®. Сума двох натуральних чисел 20, а сума чисел, обер нених до даних, дорівнює . Знайдіть ці числа. 24 903®. Чисельник звичайного нескоротного дробу на 1 менший за знаменник. Якщо від чисельника дробу відняти 7, а від знаменника відняти 5, то дріб зменшиться на ^ . Знайдіть С і

цей дріб. 904®. Знаменник звичайного нескоротного дробу на 5 більший за чисельник. Якщо знаменник дробу збільшити на 6, а чисельник збільшити на 4, то дріб збільшиться на - , 4 Знайдіть цей дріб. 905®. З міста в село, відстань між якими 48 км, виїхали одночасно два велосипедисти. Швидкість одного з них на 4 км/год більша від швидкості другого і тому він прибув у село на 1 год раніше. Знайдіть швидкість кожного вело сипедиста. 906®. З міста А в місто В, відстань між якими 420 км, одночас но виїхали два автомобілі. Швидкість одного автомобіля 163

на 10 км/год більша за швидкість другого і тому він при був у місто Б на 1 год раніше, ніж другий. Знайдіть швидкість кожного автомобіля. 907®. Щоб ліквідувати запізнення на 40 хв, потяг на перегоні завдовжки 300 км збільшив швидкість на 5 км/год порів няно зі швидкістю за розкладом. Яка швидкість потяга за розкладом? 908®. Автомобіль мав проїхати 810 км. Після того як він проїхав ^ шляху, автомобіль зробив зупинку на ЗО хв. Збільшивши швидкість на 10 км/год, автомобіль прибув у пункт призначення вчасно. Якою була швидкість автомо біля до зупинки? О

909®. Потяг мав проїхати 320 км. Проїхавши ^ шляху, він О

зупинився на 1 год, а потім продовжив рух зі швидкістю, на 10 км/год меншою за початкову. Знайдіть швидкість потяга до зупинки, якщ о в пункт призначення він прибув через 7 год після виїзду. 910®. Човен, власна швидкість якого 18 км/год, пройшов 40 км за течією і 16 км проти течії, витративши на весь ш лях 3 год. Яка швидкість течії, якщ о відомо, що вона менша за 4 км/год? 911®. Відстань між двома пристанями 48 км. На човні шлях туди і назад можна подолати за 7 год. Знайдіть власну швид кість човна, якщ о швидкість течії дорівнює 2 км/год. 912®. Моторний човен проплив 18 км за течією річки і 28 км проти течії за такий самий час, який потрібний йому, щоб проплисти 48 км у стоячій воді. Знайдіть власну швидкість човна, якщ о швидкість течії дорівнює З км/год. 913®. Катер пропливає ЗО км за течією річки і 8 км проти течії річки за такий самий час, який потрібний плоту, щоб проплисти 4 км по цій річці. Знайдіть швидкість течії річки, якщ о власна швидкість катера дорівнює 18 км/год. 914®. Моторний човен пройшов 40 км по озеру, а потім 18 км по річці, що впадає в це озеро, за 2 год. Знайдіть власну швидкість човна, якщ о швидкість течії річки дорівнює 2 км/год. 915® . Д ві бригади повин ні виготовити по 200 д еталей , п р и чом у п ерш а виготовляє за годину н а 10 деталей б ільш е, н іж д руга. Тому д руга б ригада ви к о н ал а зам овл ен н я н а 164

1 год пізніше, ніж перша. Скільки деталей щогодини виготовляла кожна бригада? 916®. Для перевезення 60 т вантажу потрібна деяка кількість автомашин. Оскільки на кожну автомашину завантажили на 1 т більше, ніж передбачалося, то 3 автомашини ви явилися зайвими. Скільки автомашин було використано для перевезення вантажу? 917®. Майстер і учень, працюючи разом, можуть виконати замовлення за 16 год. За скільки годин виконає це замов лення кожен з них, працюючи окремо, якщ о майстру на це потрібно на 24 год менше, ніж учню? 918®. Два маляри, працюючи разом, можуть пофарбувати будинок за 20 год. За скільки годин може виконати цю роботу кожний маляр, працюючи окремо, якщ о одному для цього потрібно на 9 год більше, ніж другому? 919®. Один кран наповнював басейн 9 хв, після чого було включено другий кран. Через 6 хв спільної роботи було наповнено половину басейну. За скільки хвилин може наповнити басейн кожний кран окремо, якщ о першому на це треба на 9 хв більше, ніж другому? 920®. Один з операторів комп’ютерного набору може набрати рукопис на 12 днів швидше, ніж другий. Через 6 днів роботи другого оператора до нього приєднався перший. Через 10 днів спільної роботи виявилося, що набрано к Y рукопису. За скільки днів може набрати рукопис кожен оператор, працюючи окремо? 921®. Пішохід йшов із села А в село В 4 год. На зворотному шляху перші 10 км він пройшов з тією самою швидкістю, а потім зменшив її на 1 км/год і тому на зворотний шлях витратив на ЗО хв більше. Знайдіть відстань між селами. 922®. Відстань від пристані М до пристані N за течією річки човен проходить за 3 год. Одного разу, не дійшовши ЗО км до пристані N , човен повернув назад і прибув до пристані М через 4,5 год. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год. 923®. Посудина містила 6 л чистого спирту. Частину спирту відлили, а посудину долили водою. Потім відлили таку саму кількість суміші, як спирту першого разу, і посудину знову долили водою. Після цього у посудині чистого спир ту стало втричі менше, ніж води. Скільки літрів спирту відлили першого разу? 165

/ Vі 924®. Розв’яж іть рівняння: 1) 2х4 + Зл? - 5 = 0;

2) ^

36 х -6 ’

925®. Скоротіть дріб: 1)

л ?+ 3 х -1 0 .

х2- 9

л ? -2 х 2х?-4х-6 926®. Розв’яж іть рівняння: 1) х - 2у[х - 8 = 0; 2) (х + 7)4 - 5(х + 7)2 - 6 = 0.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ П ЕРЕВІРКИ ЗН А Н Ь ДО § 24—26 1®. З даних виразів випишіть квадратні тричлени: 1) 2л? - Зх + 7; 2) ----- ; 2л?-Зх+7 3) 2х2 - Зх + 7х3; 4) -8 + 2л? - Зх. 2®. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена та визначте кількість його коренів: 1) л? + Зх - 7; 2) х2 + х + 9. З®. Чи є біквадратним рівняння: 1) л? + 8х - 9 = 0; 2) х4 + 8л? - 9 = 0; 3) х3 + 8Х2 - 9 = 0; 4) 7 л ? - х 4 - 5 = 0? 4®. Розкладіть на множники квадратний тричлен: 1) л? + 4х - 5; 2) -2л? + 5х - 2. 5®. Розв’яж іть рівняння: 1) х4 + Зл? - 4 = О,

= -Щ . х+4 х+4 6®. Розв’яж іть рівняння, розклавши його ліву частину на множники: х3 - 5л? + 6х = 0. 7®. Скоротіть дріб: -і \ х2+2х-8 . х2—4 } х2+4х ’ ' 2л? + 7х-22 " 8®. З одного міста в інше, відстань між якими 60 км, виїхали одночасно два велосипедисти. Швидкість одного з них була на 3 км/год більша, ніж другого. Тому він прибув у пункт призначення на 1 год раніше. Знайдіть швидкість кожного велосипедиста. 9®. Розв’яж іть рівняння: 1) х + Зл/ж - 10 = 0; 2) (х - З)4 - 7(х - З)2 - 8 = 0. 166

Додат кові завдання 10©. Розкладіть на множники многочлен: 1) х 3 - 4я? - 5я; 2) - ^ Xі + Зх3 - 4я^. Ск у.3_у2_Оу 11®. Побудуйте графік функції у = —— . я г -2х

Вправи для повторення розділу III До § 20 927®. Спишіть рівняння в зошит та підкресліть однією рис кою перший коефіцієнт, двома — другий і хвилястою вільний член (у разі потреби допишіть коефіцієнт 1) за зразком ая?+ Ьх + с = 0, 2х?~ їх + 5 = 0: 1) 7я^ - Зх + 5 = 0; 3) Зх + я? - 7 = 0; 5) 2я^ - 7 = 0;

2) -2я? + я: - 4 = 0; 4) Зя? = 0; 6) 2х + 5я? = 0.

928®. Розв’яж іть рівняння: 1) 1,8я? = 0; 2) 2я? - 32 = 0;

3) 5я? - 7я; = 0;

4) -з? - 9 = О,

5) \ х? + 8я; = 0; 6) Зя? - 15 = 0. Ск 929®. Чи є число 1 - ^ 2 коренем рівняння я ^ - 2 я :- 1 = 0? 930®. Розв’яж іть рівняння: 1 \ я^+я: , я:-1 _ 5я:+4 . 1 , _ 2_ + _ 8 6“ ’

2я^-3я: , я:+4 _ я+16 г ) ^ ^ + ~2 8

931®. Довжина прямокутника у 1,5 раза більша за ширину. Знай діть периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 54 см2. 932©. При яких значеннях а число 3 є коренем рівняння: 1) ая? - 7 х + (іа2 + 21) = 0; 2) я? + (а2 - 4)х - 9 = 0? 933©. При яких значеннях а рівняння: 1) я? - (4а - 5)х = 0 має один корінь; 2) а2я? - а = 0 має два корені? Д о § 21 934®. Знайдіть дискримінант квадратного рівняння та ви значте кількість його коренів: 1) я? + 2я; - 4 = 0; 2) Зя? - 2я: + 3 = 0; 3) я? - 2я; + 1 = 0; 4)7я^ + я :- 1 = 0. 167

935®. Розв’яж іть рівняння: 1) л? + ї х - 8 = 0; 2) 16л? - 8л: + 1 = 0; 3) 2л? - х - 3 = 0; 4) л? + Зл: - 10 = 0; 5) л? + 4л: + 7 = 0; 6) 2л? + 5ж - 3 = 0. 936®. Розв’яж іть рівняння: 1) л? = 6л: - 7; 2) л? + 7л: = -12; 3) 10л; = 25л? + 1; 4) 2 - 9л: = 5л?. 937®. Розв’яжіть рівняння графічно, а потім перевірте розв’язок, використавши формулу коренів квадратного рівняння: 1) л? = 3 - 2 л; 2) л? = 0,5л; + 3. 938®. Розв’яж іть рівняння: 1) 5(л: - 2) = (Зл: + 2)(х - 2); 3) л? + 2 ^х - 12 = 0;

2) \ л* - 2х - 7 = 0; 5

4) л/Зл? - 2л: - 3 = 0.

939®. При якому значенні т має один корінь рівняння: 1) л? + 2тх + т = 0; 2) /пл? - 4л; + 2 = 0 ? 940®. Доведіть, що при будь-якому а рівняння 2л? + ах - 3 = 0 має два різних корені. 941®. Розв’яж іть рівняння відносно л;: 1) л? - л;(3 - 2а) - 6а = 0; 2) а 2л? - Зал: + 2 = 0. 942®. Розв’яж іть рівняння: 1) Іл? + 5л: - ЗІ = 3; 3) л? + х + ' х-2

х-2

+ 6;

2) 11л? —5л; + 1 1—4 1= 3; 4) ^ = - 3 (л? + 2л:) = 0. і/х До § 22

943®. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння: 1)л? + 17л: + 60 = О, 2) л ? - 12 = 0; 3) 2л? - 5л; + 3 = 0; 4) -л? - 4л; + 5 = 0. 944®. Не застосовуючи формулу коренів квадратного рівнян ня, знайдіть другий корінь, якщ о відомий перший: 1) л? - 7л; + 10 = 0, л:г = 5; 2) л? + Зл; - 18 = 0, х 1 = - 6 . 945®. Різниця коренів квадратного рівняння л? + 2л: + д = 0 дорівнює 6. Знайдіть ці корені та коефіцієнт q. 946®. Доведіть, що рівняння Зл? + Ьх - 7 = 0 при будь-якому значенні Ь має один додатний і один від’ємний корінь. 168

947®. Відношення коренів рівняння о? + р х + 54 = 0 дорівнює 2 : 3 . Знайдіть р та корені рівняння. 948®. Один з коренів рівняння - 6х + с = 0 у 2 рази біль ший за другий. Знайдіть с. 949®. Сума квадратів коренів рівняння Зге2 + Ь х - 12 = 0 дорів нює 33. Знайдіть Ь. 950®. Складіть квадратне рівняння, корені якого у 2 рази менші за відповідні корені рівняння 5я2 - 16х + 4 = 0. 951®. При яких значеннях а сума коренів рівняння ж2 - 2ах + + (2а - 1) = 0 дорівнює сумі квадратів його коренів? До § 23 952®. Периметр прямокутника дорівнює ЗО см, а його площа 54 см2. Знайдіть сторони прямокутника. 953®. Знайдіть три послідовних цілих чисел, сума квадратів яких дорівнює 230. 954®. Знайдіть п ’ять послідовних цілих числа, якщ о відомо, що сума квадратів трьох перших чисел дорівнює сумі квадратів двох останніх. 955®. Один з катетів прямокутного трикутника на 2 см мен ший за другий, а периметр трикутника дорівнює 24 см. Знайдіть площу трикутника. 956®. У чемпіонаті України з футболу було зіграно 240 мат чів. Скільки команд взяло участь в чемпіонаті, якщо кожна команда зіграла з кожною по два матчі? 957®. Дно ящ ика — прямокутник, ширина якого в 1,5 раза менша від його довжини. Висота ящ ика 0,4 м. Знайдіть об’єм ящ ика, коли відомо, що площа його дна на 0,66 м2 менша за площу бічних стінок. 958®. З аркуша картону прямокутної форми, довжина якого в 2 рази більша за ширину, виготовили відкриту коробку, об’єм якої 10 500 см3, вирізавши з кутів аркуша квадрати зі стороною 5 см. Знайдіть початкові розміри аркуша. Д о § 24 959®. Знайдіть дискримінант кожного квадратного тричлена та визначте ті квадратні тричлени, які можна розкласти на множники, що є многочленами першого степеня: 1) ж2 + х - 5; 2) я2 + 2х + 7; 3) 9л2 + бж + 1. 169

960®. Знайдіть корені квадратного тричлена: 1) ж2 + 5х + 4; 2) зс2 - 4х - 12; 3 ) 2 ^ -1 2 л ;+ 18; 4)-4** + 7ж + 2. 961®. Розкладіть на множники квадратний тричлен: 1)з? + З х - 4 ; 2 )2 з? -7 х -4 ; 3) -з? + Зх + 18; 4) -4з? + 9 х -2 . 962®. Виділіть квадрат двочлена із квадратного тричлена: 1) о? + 6х - 7; 2) о? - 8х - 9. 963®. Скоротіть дріб: 4*2-81 1) 2з?-Ьх-\8 23г2-12*+18 . 3) 2зг2-зг-15 ’

964®. Виконайте дії: х-1 +, *+1 1) х?+2х-3 зг2 + 4 * + 3 з?-х-20 . 2х-у? . 3) 2 -х х+4

’

2з?+6х-20 . х 3-8 ’ 4я?-Ііх-З ’ -З*2+ 10*-З " оч 2з^-7 *+1 , з?-Зх-4 х - 4 ’ 4) х+5 . з^ + ІІзг+ЗО ' 2х-6 ‘ з:-З

965®. Один з коренів квадратного тричлена з? + р х + 6 дорів нює -3 . Знайдіть р та другий корінь. 966®. Виділіть квадрат двочлена з квадратного тричлена: 1)з? + х - 1 ; 2 ) 2 з ? - З х + 7; 3) 3з? - 5* + 7; 4) -4 з? + 9зг - 2. 967®. Вкажіть таке значення коефіцієнта, щоб тричлен мав один корінь: 1) з^ + Ьх + 4; 2) аз^ + 8х + 64; 3) зс2 - 18* + с. 968®. Розкладіть на множники квадратний тричлен відносно змінної х: 1) з? - 5а* - 6а2; 2) з? + ЗЬх - 10&2. 969®. Якого найменшого значення може набувати квадратний тричлен 3^ - 8* + 19? При якому значенні х це досяга ється? 970®. При якому а квадратний тричлен -а 2 - 4 а - 1 7 набуває найбільшого значення? Знайдіть це значення.

170

Д о § 25 971®. Розв’яж іть рівняння: 1) 2х4 + х2 - 3 = О,

2) Зх4 - 2о? - 40 = 0;

3) Xі + х? + 9 = 0;

4) Xі - 7л2 + 10 = 0.

972®. Знайдіть корені рівняння х ?+ х-2

оч Зле2 _

1) х-1

х? + \ .

3) х-2

’ х+2

1 -

Зх

2 -

5х

х + 2 ’

4) ^ = 2х + 1. х

973®. Розв’яж іть рівняння: 1) х А - Ібх2 = О,

2) х3 - х2 - 6х = 0.

974®. Знайдіть координати точок перетину з віссю абсцис графіка функції у = х 4 - Зх? - 4. 975®. Розв’яж іть рівняння: 1

3) 5)

4 _ 1. х+3 х ’

1) х + 2 18

х^бх+Э 1

дс+3

(х -2 )2

д \ 7Х + 6 ' х 3-2 7

+Зх + 9

’

1 і

2х + 1

9Х2 - !

1 х2

13х+4

3 -х ’

4 х -х

х -2

3 .

2 -х

4х2+ 4 х + 1

976®. Розв’яж іть рівняння: И 1 1 _ 8 . 2х+х?

і 1 -

х 2 —4

(х + 2 )2

' 2 (1 - х )

; 1 -х х+х2

4 9х2 - 6 х + 1

— 10 • х -х

’

1 ж -З

977®. Розв’яж іть рівняння: 1) х3 - о? = х - 1;

2) (л? + 2Х)2 - 2(х* + 2х) - 3 = 0.

978®. Знайдіть координати точок перетину графіків у = 4х і

979®. Розв’яж іть рівняння: 8х+29 16х4 -1

2і

18х+5

8х 3 + 4 х2 + 2х + 1

_________З х ___________

' 2 7 х 3 + 1 8 х 2- 1 2 х - 8

4 х2 + 1 ’

1 _ х -1 9х2 + 12 х + 4 4х - 9 х 3 '

171

2 я?-11х+4:

_|_ л^

2) х(х - 1)(ж - 2)(х - 3) = 24;

8 х? -1 1 х -2

- іі л с + і

2І х2+^х + 5х-5 _ ^ 1 -х Зж+ж2

Д о § 26 982®. З міста в село, відстань між якими 16 км, вийшов пішохід. Через 2 год 40 хв у тому самому напрямі виїхав велосипедист і прибув у село одночасно з пішоходом. Знайдіть швидкість велосипедиста, якщ о вона на 8 км/год більша за швидкість пішохода. 983®. Потяг, затриманий на 2 год, на перегоні довжиною 400 км ліквідував запізнення, збільшивши швидкість на 10 км/год. Знайдіть, за який час потяг мав проїхати даний перегін з початковою швидкістю. 984®. Катер пройшов 45 км за течією і 7 км проти течії, витративши на весь ш лях 3 год. Яка власна швидкість катера, якщ о швидкість течії 2 км/год? 985®. О восьмій годині ранку за течією річки від пристані відійшов пліт, а о сімнадцятій годині в тому самому напрямі відійшов човен, який наздогнав пліт на відстані 20 км від пристані. О котрій годині човен наздогнав пліт, якщ о власна швидкість човна дорівнює 18 км/год? 986®. Рибалка відплив на човні з пункту А проти течії річки. Подолавши 5 км, він кинув весла, і через 3 год після відплиття з пункту А його знову віднесло до цього пункту. Швидкість човна в стоячій воді дорівнює 12 км/год. Знайдіть швидкість течії, якщ о вона менша за 5 км/год. 987®. Перший оператор комп’ютерного набору набрав 120 сто рінок рукопису, а другий — 144 сторінки. Перший оператор щодня набирав на 4 сторінки більше, ніж другий, і працював на 3 дні менше, ніж другий. Скільки сторінок щодня набирав перший оператор і скільки другий? 172

988®. Робочий день становить 8 год. Щоб виготовити 15 деталей, Петру треба на 1 год менше, ніж Степану. Скільки деталей за день виготовляє кожний майстер, якщ о Петро за робо чий день виготовляє на 20 деталей більше, ніж Степан? 989®. Через одну трубу можна наповнити басейн на 4 год швидше, ніж через другу спорожнити цей басейн. Якщо одночасно відкрити обидві труби, то басейн наповниться за З год. За скільки годин перша труба може наповнити басейн, а друга — спорожнити його? 990®. Майстер може виконати завдання на 3 год швидше, ніж учень. Якщо майстер пропрацює 4 год, а потім його змі нить учень і пропрацює 3 год, то завдання буде виконано. За скільки годин, працюючи окремо, може виконати зав дання майстер і за скільки учень? 991®. Сплав міді і цинку, що містить 1 кг міді, сплавили з 2 кг міді. Дістали сплав, у якому відсоток міді на 25 % більший, ніж у попередньому. Якою була маса початкового сплаву? 992®. З містА і В виїхали одночасно назустріч один одному два велосипедисти і зустрілися через 5 год. Швидкість велоси педиста, що виїхав з міста А, на 5 км/год менша за швидкість другого велосипедиста. Якби другий велоси педист виїхав на 4,5 год пізніше, ніж перший, то вело сипедисти зустрілися б на відстані 75 км від міста В. Знайдіть відстань між А і Б. 993®. Бригада робітників повинна була виготовити 800 дета лей. Перші 5 днів бригада виконувала щодня встановлену норму, а потім кожного дня виготовляла на 5 деталей більше, ніж планувалося, тому вже за день до строку було виготовлено 830 деталей. Скільки деталей щодня повинна була виготовляти бригада?

ЗАВДАННЯ ДЛЯ П ЕРЕВІРКИ ЗН А Н Ь ЗА КУРС А ЛГЕБРИ 8 КЛАСУ 1®. Виконайте дії: 1)3^4+і ; 2І - •— а а Ь ’ ъ2 ' 2®. Подайте у вигляді степеня з основою а: 1) а 7:а3 ; 2) (а“2)5. З®. Для функції у = 4 х знайдіть значення у, яке відповідає х = 9; 36. 4®. Обчисліть значення виразу: 1 ) ^ ! + 107006;

2 ) л/ 2 л/0 ^ + (-л/7)2.

5®. Спростіть вираз - ®а 2Ь7- 2

а 3Ь 5.

6®. Розв’яж іть рівняння: Зх-2 2) ^ х-1 _____ 96 7®. Спростіть вираз - c,x+fn ’ х -4 Зх-12 х?+3х' 1) 2я2+ ІЗ х + 6 = 0 ;

8®. Моторний човен пройшов 36 км проти течії і повернувся назад, витративши на весь ш лях 5 год. Знайдіть власну швидкість човна, якщ о швидкість течії річки дорівнює З км/год. 9®. Побудуйте графік функції у =

О „_90

4х-хг

Д одат кові завдання 10®. Розв’яж іть рівняння (я2 + 4х) (х? + 4х + 3) = 10. 11®. Доведіть, що значення виразу УІТ+л/7 [ л/її-л/7 л/її-л/7 7 п + л/7 є натуральним числом.

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ Раціональні вирази 994. Доведіть, що при додатних значеннях а і 6 (а ^ Ь) значен2 ,2 2 ь2 ня дробу - — більше за відповідне значення дробу а +0 а-Ь а+Ь 995. Скоротіть дріб т ^ т Ч + п 4 тп+пл 996. Спростіть вираз: 1

у+г .

1 + ^ 0 х у+г

т-п 2т-п

1 +

у2+г2-Я? 2уг

т2 2т.2

(4п4 + 4пгга2+ти2): (2га2+т)

х+ у+г

(

’* + 1 у

х -у -г . хуг V

у(ху2+х+г) ’

(а+й) -4ай а2-аЬ

а й-а

+ п + т п + /п);

р _ь- 64 , „-2 4 -4 р -1 +р , _-2 4+2р -1 +р

а2Ь2-Ь4 ’ 4р (2р + 1).

1- 2р

4-1 X *-у 1 . _________ * У х?-у2 6) х~3+у~3 (х+у)2-3ху \. ху J 997, Доведіть тотожність: / \* х2 + -4у ; і) Х-і/ ( ^

2) 1 + 3) 4)

' Н Ь2+с2-а'гЛ Л

2йс

і + а й+с^ І^а

й+с^

(х-у)2+ ху. х5+у5+х?у3+х3у2 (х+у)2-ху ' (х3+у3+х?у+ху2)(х3- у 3) 2-у У-1

2(х-1) х-2

У(х-1) + х(2-у) х-2 У- 1

_ (й+с-а)2 . 2йс х-у;

х-у 175

математика

те

те1

998. Доведіть одну з тотожностей відомого Л. Ейлера (1707—1783): 6 ( а(а3+2Ь3)^ Гб(2а 3+Ь3)>1 „з \ а ь ) 999. Доведіть, що значення виразу ^ + ^ _ + _ 2_ + ^ _ + _ 8_ 1-а 1+а 1+а2 1+а4 1+а8 від’ємне при будь-якому значенні а > 1. 1000. Доведіть, що коли х + у = 1, то х _ у = 2(у-х) у 3- 1 де3—1 о?у2+Ь

1001. Доведіть, що коли для чисел х, у, г, т, п, р виконуються рівності — + —+ —=1 і — + —+ —= 0, то для них також т п р х у г виконується рівність ^у ? тг

и 2

г 2 += — = 1. рг

1002. Доведіть, що коли а + - = Ь + - = с + - , то а2Ь2с2 = 1, або Ь с а а = Ь = с. 1003. Розв’яж іть відносно змінної х рівняння: х-а = 0 ; 1)*=2 = 0 ; 2) х-а х2- ! 3) (а - 2)х = а2 -4 ; 4) (а2 - 1)х = а2 - 2а + 1. 1004. Розв’яж іть відносно змінної х рівняння: -і \ х а 2х+а а 1 +х а • 2 ) 1-х Ь’ а 2х 2а х' х+а . 3) х ~а — х 4 )- 3 —+ - ? - 4х+7а а х-а а х -а х+а я?-а2 1005. Порядок числа а дорівнює -3 , а порядок числа Ь дорів нює 5. Яким може бути порядок числа: 1) аЬ; 2 )£ ; 3 )^ ; 4)а+Ь? Квадратні корені. Дійсні числа 1006. Розв’яж іть відносно х рівняння: 1) а ^ х = а;

2) V* = а + 3;

3) Vх - 1 = л]а - 2.

1007. Вкажіть ціле число, найближче до кореня рівняння: 1) (5л/2 - З73)х + 4 = 0, 176

2) (572 + і4 $ )х = 13 + 2^3-

1008. Обчисліть значення виразу:

3) д/| 30д/з - 52 І - у}52 + ЗОд/з. 1009. Спростіть вираз:

2) 710 + 724 + 740 + л/бО. 1010. Обчисліть: д/б+^/З л/^+л/З 1} УЗ ~ У5 . ; Тб-д/з Тб-л/з ’ л/з + 7б

2) (7з +72+і)(7з +72-і)(7з +і -72)(і +72-7з). 1011. Побудуйте графік функції: 1) у = 4х - 7 ? ;

2) у = 7*2 - 2 х + 1 - х.

1012. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:

1ч 7з ^ - 27з

(1 + Тз )2- 7 .

'Т т + Т ї + Г

1013. Чи є взаємно оберненими числа

7-2ТЇ0 і /75+л/2 9 З 7б-л/^

1014. Спростіть вираз:

(7х+7у)2-4у

х + 9 у + 6 у Іх у

177

1015. Спростіть вираз: --------- л2 * * - у 2 - ^ - Х д / «“ - і/2 У

1) V

у /Ь -а

, якщ о х > у > 0 ;

2 д/Х3у *-а

: К - 1, якщ о Ь > а > 0.

1016. Спростіть вираз: ц Ш ^ .; ''» - А

1017. Доведіть тотожність: 1 + ,/ї ^ 2 \ а-^Ь

а+^Ь

** д/і-х2,] а Уь _ а+л/ь а-лІь а-^Ь

х2+4 Х?~4: + 4 2х (

> 1 +_ 1 1-х2 Д -х 2^

ліі - я2;

4а^Ь _

а2-Ь

1018. Якщо д/З - х + д/5 + х = 3, то чому дорівнює д/(3 - х)(5 + ж) ? (Значення х знаходити не треба.) 1019. Відомо, що д/24 - х2 - д/і2 - х2 =2. Чому дорівнює д/24 - х2 + ч-д/12-х2 ? (Значення х знаходити не треба.) 1020. Відомо, що V* + д/у = 5 , х у = 9. Знайдіть: 1) х + у;

2) Хд/х + у д/у;

3) х2 + у2.

Квадратні рівняння 1021. При якому значенні а має один корінь рівняння: 1) (а + 4 )л ? -(а + 5 )х + 1 = 0; 2) (а-4)л? + (2а- 8)х + 15 = 0? 1022. Розв’яж іть рівняння: 1) 2(а - Цх2 + (а + 1)х + 1 = 0;

2) (а+ 1)л? - ( а - 1) х - 2а = 0.

1023. Знайдіть корені рівняння: 1 ) д /х 2 + х + д /х 2 - 2 х - 3 = 0;

2 ) х2 - 4 х + 4 + |х2 + 2 х - 8 |= 0 ; 3 ) | х - д / х - 6 1+ д /х 2 - 4 х = 0 .

178

1024. Доведіть, що число 3 не може бути дискримінантом квадратного рівняння аз? + Ьх + с = 0 ні при яких цілих а, Ь, с. 1025. При якому значенні а сума квадратів коренів рівняння з? - (а + 2)х + а - 3 = 0 найменша? 1026. При якому значенні b сума коренів рівняння з? + ф + 1)х + +Ö2 -1 ,5 = 0 найбільша? 1027. Корені jc1 і х 2 рівняння з? + -Ja - 4х - 5 = 0 задовольняють умову 1 + -15- = 18 . Знайдіть а. А 4 25 1028. Нехай і х 2 — корені рівняння 2х? + 1 х - 1 = 0. Скла діть квадратне рівняння, коренями якого є числа: 1) 1 і 1 ; *і Xj

2) ъ, ^2

з і Ъ. -

3) Ху4 і * л 3-

1029. Доведіть, що коли а, b і с — сторони трикутника, то рівняння 1?3? + (Ь2 + с2 - а2)х + с2 = 0 не має коренів. 1030. Доведіть, що модуль різниці коренів рівняння 5з? - 2(5а + 3) + 5а2 + 6а + 1 = 0 не залеж ить від а. 1031. Розв’яж іть рівняння: 1) х3 - ї х + 6 = 0; 2) х3 - б*2 + 5 = 0; 3) ж3 - 5з? + 6 = 0; 4) Xі - 2х3 - Зх? - 4х - 1 = 0. 1032. Розв’яж іть відносно х рівняння: 2) х?-5х+4 = 0; 1) (а2 + а - 2)х = а - 1; х-а ^ х2-(3а+4)я;+12а _ q. х -а 0; 3) я-З з?-4х+З а2-1 х 5) ü H = 0; 6) ах- 1 а * х+7 1033. При яких значеннях а рівняння корінь? 1034. Розв’яж іть рівняння 38 + я+10 х 4-з?+20х-100 з? -х+10

jw “

і лі ^

^ х+1

і Q

= 0 має один

лс+10 з?+х-10

1035. При яких значеннях а і & тричлен 4з? + 36х + (а + Ь) є повним квадратом, якщ о відомо, що а - Ь = 3 ? 179

1036. Спростіть вираз: 1) 2)

2х + о?+4х+3 о?+5х+6у

{х - 3 ) 2 + \ 2

о?+Зх+2 За2+2аЬ-Ь2 а2+4аЪ+ЗЪ2

■2

10(аЬ-ЗЬ2) а2-9Ь2

1037. Розв’яж іть відносно х рівняння: о? +\ _ 1 _ х . а2х-2 а 2 - а х а’

*+2 + 3 -х _ Ззс+2 ' З х -а Зо?+2х а -а 2 х+а

1038. Розв’яж іть рівняння: 1) + *+3 _ х+6 + х - 6 . ' де—1 дс+1 дс+2 л:-2 ’ 2) + х+2 | 28 _ х -4 + х+4 } ас-1 ас+1 15 х - 3 ос+З *

1039. Розв’яж іть рівняння: 1) л і х - Ь = х - 11;

2) V*2 + 20 = 2 2 - о ? .

1040. Розв’яж іть рівняння: 1) 12о? + 4 х - 5 \ = \о? + х\;

2) Зо? - 4 = 5 1х - 1

1041. Побудуйте графік рівняння о? - 5х у + 6у 2 = 0. 1042. Розв’яж іть рівняння:

1043. У магазин привезли яблука першого сорту на суму 228 грн. і другого сорту на суму 180 грн. Якщо продати всі яблука оптом по одній ціні — на 90 к . нижчій від ціни кілограма першого сорту, то буде виручено намічену суму. Скільки кілограмів яблук привезли в магазин, якщ о яблук другого сорту було на 5 кг більше, ніж першого сорту? 1044. Задумано ціле додатне число. До його запису приписали праворуч цифру 7 і від утвореного числа відняли квадрат задуманого числа. Різницю зменшили на 75 % і дістали задумане число. Яке число задумано? 180

1045. З міста А в місто В, відстань між якими 164 км, зі швидкістю 20 км/год виїхав велосипедист. Через 2 год у тому самому напрямі виїхав мотоцикліст, який, обігнав ши велосипедиста, прибув у місто В і повернув назад. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщ о він зустрів вело сипедиста через 2 год 45 хв, після того як обігнав його. 1046. З міста М в місто N зі швидкістю 12 км/год виїхав велосипедист. Через 1 год у тому самому напрямі зі швид кістю 15 км/год виїхав другий велосипедист. Ще через 1 год з міста М в тому самому напрямі виїхав мотоцикліст, який обігнав одного велосипедиста через 10 хв після того, як обігнав іншого. Знайдіть швидкість мотоцикліста, я к що вона більша за 50 км/год. 1047. З міста А у місто Б і з В у А одночасно вийшли два пішоходи. Перший прибув у місто В через 0,8 год після зістрічі, а другий прибув у місто А через 1,25 год після зустрічі. Скільки годин був у дорозі кожний пішохід? 1048. По двох взаємно перпендикулярних дорогах рухаються в напрямі перехрестя пішохід і велосипедист. У деякий момент часу пішохід знаходиться на відстані 2 км, а вело сипедист — на відстані 3,75 км від перехрестя доріг. Че рез який час відстань між ними буде дорівнювати 1,25 км, якщ о швидкість пішохода 5 км/год, а велосипедиста — 15 км/год? 1049. Сергій і Олег повинні були набрати рукопис до певного терміну. Після того як було набрано половину рукопису, Олег захворів, і тому Сергій закінчив роботу на 2 дні пізніше, ніж передбачалося. За скільки днів міг би на брати рукопис кожний з операторів, працюючи окремо, якщ о Сергію на це було б потрібно на 5 днів менше, ніж Олегу? 1050. Перший кран може заповнити резервуар на 24 хв швидо ше, ніж другий. Якщо спочатку - резервуара заповнить О

перший кран, а потім частину, що залиш илася,— другий, то цей час буде на 33 хв менший, ніж час заповнення резервуара при одночасній роботі обох кранів. За який час може заповнити резервуар кожний кран, працюючи ок ремо?

181

ВІДОМОСТІ З КУРСУ МАТЕМАТИКИ 5—6 КЛАСІВ ТА АЛГЕБРИ 7 КЛАСУ Десяткові дроби Додавання і віднімання десяткових дробів виконують порозрядно, записуючи їх один під одним так, щоб кома розміщувалася під комою. Приклади.

1) 7,813 9,4 17,213

2)12,4 7 5,893 6,577

Щоб помножити два десяткових дроби, треба виконати множення, не звертаючи уваги на коми, а потім у добутку відокремити комою справа стільки цифр, скільки їх стоїть після коми в обох множниках разом. 2) 0,01 7 1) 4,0 7 * 2,9 х 0,9 , 3663 0,015 3 + 814 11,803 Щоб поділити десятковий дріб на натуральне число, треба ви конати ділення, не звертаючи уваги на кому, проте після закінчен ня ділення цілої частини діленого треба в частці поставити кому. 5 1) 42,84 12 2) 0,024 20 ~36 3,57 0,0048 _ 40 68 40 60 0 84 84 0 Щоб поділити десятковий дріб на десятковий, треба в діленому і дільнику перенести кому на стільки цифр вправо, скільки їх стоїть після коми в дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число. Приклади.

П р и к л а д . 12,1088 : 2,56 = 1210,88:256 = 4,73. Звичайні дроби Частку від ділення числа а на число Ь можна записати у вигляді звичайного дробу § , де а — чисельник дробу, Ь — його о знаменник. 182

Основна властивість дробу: величина дробу не зміниться, якщ о чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й те саме натуральне число. П р и к л а д и . 1 )М = 20

4 (скоротили дріб Ш на 5);

20:5

Ч 3 *2 6 Ч 2) у = — = ^ (звели дріб ^ до знаменника 14). Дроби з однаковими знаменниками додають і віднімають, використовуючи формули: а + Ь _ а+Ь с с с

а _ Ь _ а-Ь с с с

А О Л П р и к л а д и . 1) ^ + ^ = У ; 7

о) I I _ _3_ = М .

; 19

19’

3 )2 | + 7 | = 9 |;

4>7 П - 2 П = З *5 П ' Щоб додати або відняти дроби з різними знаменниками, їх спо чатку зводять до спільного знаменника, а потім виконують дію за пра вилом додавання або віднімання дробів з однаковими знаменниками. 5

П р и к л а д и . 1) 3, ,7 8

2^ 5 _ 2 1 -1 0 _ 11 12 24 24

3. 3 10

5+9

ЗО

У наступних прикладах показано, як виконують додавання і віднімання міш аних чисел. 4. З/ 4+9 7 13 Приклади. 12 12 8п ! 4^ 5. 16-15 2)7|-б|

1>5І +2!

З А - ї й _ о 2 6-15 18 18 18

оИ 18 ‘

Щоб помножити два дроби, треба помножити окремо їх чисельники і знаменники й перший добуток записати чисель ником, а другий — знаменником: а . с _ ас Ь сі Ь й '

к 1А .1% \А 7_ 7 П р и к л а д и . 1) | '»■ 15 4

2)7- З 5

7 .3 1 5

12’

74В = 21 = 4 1 . 1-5

5’ 183

1 10 7 .30 _ 7-30 = 10 = 10 3 7 Я-Г 1 1 1 Щоб поділити один дріб на другий, треба ділене помножити на дріб, обернений до дільника: 3)2І-4| ' 3 7

а . с _ а й _ асі Ь ‘ сі Ь с Ьс '

П р и к л а д и . 1) 2 . 3 5'7 '

2 .7 _ 2-7 _ 14. 5 3 5-3 15’

9І-1 3 _ 5.7 _ 5 4 _ 2 4 2 *4 2 7 Я-7 1

10 _ -і З 7 7‘

Додатні і від’ємні числа Модулем числа називають відстань від початку відліку до точки, що зображує це число на координатній прямій. Модулем додатного числа і числа нуль є саме це число, а модулем від’ємного числа — протилежне йому число: і і \а, якщ оа > 0, а —і 1 1 1- а , якщ оа < 0. П р и к л а д и . ІЗІ = 3; І- 2 1= 2; |0| = 0; |я| = п; Щоб додати два від’ємних числа, треба додати їх модулі і поставити перед знайденим числом знак «-». П р и к л а д . - 3 + (-7) = -1 0 . Щоб додати два числа з різним и знаками, треба від біль шого модуля доданків відняти менший модуль і поставити перед знайденим числом знак того доданка, модуль якого більший. П р и к л а д и. 1) -5 + 5 = 0; 2) 7 + (-3) = 4; 3) -9 + 5 = -4 . Щоб від одного числа відняти друге, треба до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику: а - Ь = а + (-6). П р и к л а д и . 1) 5 - 1 1 = 5 + (-11) = - 6; 2) -3 - 7 = -3 + (-7) = -10; 3) -5 - (-9) = -5 + 9 = 4; 4) 4 - ( - 7 ) = 4 + 7 = 11. Добуток двох чисел з однаковими знаками дорівнює добут ку їх модулів. Добуток двох чисел із різними знаками дорів нює добутку їх модулів, взятому зі знаком «-». 184

П р и к л а д и. 1) -2 • (-7) = 14; 2) 4 ■(-2) = - 8. Частка двох чисел з однаковими знаками дорівнює частці від ділення їх модулів. Частка двох чисел із різними знаками дорівнює частці від ділення їх модулів, взятій зі знаком «-». П р и к л а д и . 1) -1 8 : (-3) = 6; 2) 4: (-1) = -4; 3) -2 0 :4 = -5. Рівняння Коренем, або розв’язком, рівняння називають число, яке задовольняє рівняння. П р и к л а д и . 1) Число 3 є коренем рівняння 2х - 5 = 1, оскільки 2 • 3 - 5 = 1. 2) Число - 2 не є коренем рівняння Зх + 7 = 0, оскільки З • (-2) + 7 = 1 * 0 . Розв’язат и рівняння — означає знайти всі його корені або довести, що їх немає. Два рівняння називають рівносильними, якщ о вони мають одні й ті самі корені. Рівносильними вважають і такі рівнян ня, які не мають коренів. П р и к л а д и . 1) Рівняння 4х = 8 і х + 3 = 5 — рівносиль ні, оскільки кожне з них має єдиний корінь, що дорівнює 2. 2) Рівняння 7 - х = 6 і 10л = 20 — не є рівносильними, ос кільки перше має корінь — число 1, а друге — число 2. Під час розв’язування рівнянь використовують такі влас тивості: 1) якщо в будь-якій частині рівняння розкрити дужки або звес ти подібні доданки, то дістанемо рівняння, рівносильне даному; 2) якщ о в рівнянні перенести доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак на протилежний, то дістанемо рів няння, рівносильне даному; 3) якщ о обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме, відмінне від нуля, число, то дістанемо рів няння, рівносильне даному. Рівняння виду ах = Ь, де а і Ь — деякі числа, х — змінна, називають лінійним рівнянням з однією змінною. Дані про розв’язки лінійного рівняння подамо у вигляді таблиці: ах = Ь 0

х =Ь а

о I -о о I 53

а Ф

х — будь-яке число

= 0; Ь Ф 0

рівняння не має коренів

185

П р и к л а д и . 1) —0,5л: = 14; 2) 0л: = 5; х = 14: (-0,5); рівняння х = -28. не має коренів. Багато рівнянь послідовними перетвореннями зводять до лінійного рівняння, рівносильного даному. П р и к л а д и . 1) 5(х + 2) - 4х = -3(х + 7). Розкриємо дужки: 5х + 10 - 4х = -З х - 21. Перенесемо доданки, що містять змінну, у ліву частину, а інші — у праву, змінивши знаки доданків, які переносимо, на протилежні: 5 х - 4 х + Зх = -21 - 10; зведемо подібні доданки: 4х = -31; розв’яжемо отримане лінійне рівняння: л: = —31:4; х = -7,75. В і д п о в і д ь , х = -7 ,7 5 . оч х+1 , 5 - х _ х+13

г ) ~2~ + ~3 б“ ‘ Помножимо обидві частини рівняння на найменше спільне кратне знаменників дробів — число 6 : 6(х+1) 2

6(5 -х ) _ 6(х+13) _ 3 6 ’

3(ж + 1) + 2(5 - х) = х + 13; Далі розв’язуємо, як у попередньому прикладі: Зж + 3 + 10 - 2х = х + 13; Зле - 2х - х = 13 - 3 - 10; х — будь-яке число. В і д п о в і д ь , х — будь-яке число.

Ох = 0;

Степінь з натуральним показником Степенем числа а з натуральним показником п називають добуток п множників, кожний з яких дорівнює а. Степенем числа а з показником 1 називають саме це число. П р и к л а д и. 1) 104 = 10 • 10 • 10 • 10 = 10 000;

3) О2 = 0 • 0 = 0. 186

Властивості степеня з натуральним показником а т+п =а та п, а та п = а т+п, м_ я а_ т :а = а_т- п , а„т-п = а :а , а„тп = (ат)п = (ат)п = а тп, (аЬ)п = а пЬп,

а„Пог_П = (аЬ)п.

П р и к л а д и . 1) а7а8 = а7+8 = а 15; 2) т5 :т = тп5-1 = лі4; 3) (б5)10 = ь5'10 = ь50. Використовуючи властивості степеня з натуральним показ ником, можемо значно спрощувати обчислення. П р и к л а д и. 1) 1275:12 74 = 1275-4 = 1271 = 127; X со СМ II

о іН

X 2І

со™4

: (22)10 := 224 : 220 = 224- 2 0 = 2 4 = 16; З5 • 92 _ З5 (З2)2 _ 35-34 _ д5+ 4— 6 _ З3 == 27; 3) (З3)2 З6 272 2)

4) 512 • 0,212 = (5 •0,2)12 = I 12 = 1; 5) 2® • 0,58 = 2 - 28 • 0,58 = 2 • (2 • 0,5)8 = 2 • I 8 = 2 •1 = 2. Одночлен Цілі вирази — числа, змінні, їх степені й добутки назива ють одночленами. Наприклад: 7 ; 7а5лг3 — одночлени; вирази т + с2, 10 р 3 - 2 а + ЗЬ; — не є одночленами. а —Ь Якщо одночлен містить тільки один числовий множник, до того ж поставлений на перше місце, і степені різних змінних, то такий одночлен називають одночленом стандартного вигляду. Наприклад, 2а% — одночлен стандартного вигляду, а одночлен 2а% ■(-3аЬ7) не є одночленом стандартного вигляду. Цей од ночлен можна звести до одночлена стандартного вигляду: 2а2&• (-За&7) = 2 • (-3) • (а2а) • (ЬЬ7) = - 6а%8. Множення одночленів Приклади. 1) - 2 х 2у 7 - 5х = - 2 - 5 - (х2х) • у 7 = - 10х 3у 7; 2 4 2 ■1 \ с 3т = \ Щ ( р У ) - ( с * с 3)-(т 2т) 2) § Р3с8 6 З Л р 7сп т3. 9 187

Піднесення одночлена до степеня П р и к л а д и . 1) (—2т.3/г4)3 = (-2)3- (лі3)3- (ге4)3 = - 8гаг9«12; 2) (-с5«*8)6 = ( - 1)6- (с5)6- (д8)в = с30<148. Многочлен Многочленом називають суму одночленів. Многочлен, що є сумою одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних доданків, називають многочленом стандартного ви гляду. Многочлен Зтге2ге - 5тп2 + 7т2п + тп2 не є многочленом стан дартного вигляду, але його можна звести до многочлена стан дартного вигляду: Зт2п - бгеїге2 + 7т2п + тп2 = 10т2п - 4тп2. Додавання і віднімання многочленів П р и к л а д и . 1) (2х? + Зх - 5) + (х2 - Зх) = 2х2 + Ш - 5 + X? = Зх2 - 5; 2) (За2 - 5 + 2а) - (2а2 + 7 - За) = За^ - 5 + 2а - 2а? - 7 + За = а 2 + + 5а - 1 2 . Множення одночлена на многочлен П р и к л а д и. 1) За (а3 - 2а + 7) = За •а 3 + За • (-2а) + За ■7 = = За4 - 6а2 + 21а ; 2) - 2ху (Зх2 - 5х у + у 2) = -2 х у • Зх2 - 2ху • (-5ху) - 2ху • у 2 = = - 6х 3у + 10х?у2 - 2х у 3 . Множення многочлена на многочлен 2 і 1 (а + Ь) (х + у) = ах + ау + Ьх + Ьу. { 3 ^

\— 4 J Приклади. + х - 10;

1) (Зх - 5) (х + 2) = Зх2 + 6х - 5х - 10 = Зх2 +

2) (2а - Ь) (а2- ЗаЬ + й2) = 2а3 - 6а%+2аЬ2 - Ьа2 + Зай2 - Ь3 = 2а3 - 7а2Ь + бай2 - Ь3 . 188

Формули скороченого множення (а - b) (а + b) = а2 - й2, (а + b f = а2 + 2аЬ + й2, (а - b f = а2 - 2аЬ + й2, (а - b)(a2 +ab + б2) = а 3 - Ь3, (а + Ь) (а2 - ab + lf) = а 3 + Ь3 . П р и к л a д и. 1) (je - 5) (х + 5) = х2 - 52 = х2 - 25 ; 2) (2т + З)2 = (2лг)2 + 2 • 2т • 3 + З2 = 4 т 2 + 12т + 9 ; 3) (5.x2- 2xyf = (5jc2)2- 2 ■блс2-2хг/ + (2jci/)2 = 25л;4 - 20х 3у +4з?у2 ; 4) (а - 3) (а2 + За + 9) = (а - 3) (а2 + За + З2) = а 3 - З3 = а 3- 2 7 ;

Розкладання многочленів на множники Винесення спільного множника за дужки ab + ас = а(Ь + с). П р и к л а д и . 1) 12ж2 + 15л: = З х - 4 х + Зх- 5 = Зх (4х + 5); 2) 25а3Ь - 20а2Ь2 = 5а%-5а - 5а^-46 = 5а% (5а - 4Ь). Спосіб групування ах + ау + bx + by = а (х + у) + b (х + у) = (х + у) (а + b). П р и к л а д и . 1) аЬ - 5а + 2& - 10 = (ab - 5а) + (2& - 10) = а ф - 5) + 2 (&- 5) = (&- 5) (а + 2); 2) а 2Ь + с2 - abc - ас = (a2b - abc) + (с2 - ас) = а& (а - с) - с (а - с) = (а - с) (ab - с). Використання формул скороченого множення а2 - І? = (а - 6) (а + Ь), а2 + 2ab +1? = (а + b f , а2 - 2ab + b2 = (а - b f , а 3 - &3 = (а - Ь) (а2 + ab + й2) , а 3 + Ь3 = (а + b) (a2 - a b + tf). 189

П р и к л а д и. 1) я2 - 49 = я2 - 72 = (ас - 7) (я + 7); 2) т2 + 10т + 25 = т 2 + 2 •т • 5 + 52 = ( т + 5)2 ; 3) 4а2 - 12аЬ + 9&2 = (2а)2 - 2 • 2а • ЗЬ + (ЗЬ)2 = (2а-ЗЬ)2; 4) с3 - 64 = с3 - 43 = (с - 4) (с2 + с •4 + 42) = (с - 4)х х (с2 +4с +16); - Ї ^ ■ /+ (!/¥

= Г ^ + » * ї ^ 4 - і л з + і,в'|. Функція Якщо кожному значенню змінної х з деякої множини відповідає єдине значення змінної у, то таку залежність нази вають функціональною залежністю, або функцією. Змінну х у цьому випадку називають незалежною змінною (або аргументом), а змінну у — залежною змінною (або функ цією від заданого аргументу). Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), утворюють область визначення функції; усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), утворюють область зна чень функції. Лінійною називають функцію, яку можна задати формулою виду у = кх + Ь, де х — незалежна змінна, к і Ь — деякі числа. Графіком будь-якої лінійної функції є пряма. Для побудови графіка лінійної функції досить знайти координати двох точок графіка, позначити ці точки на координатній площині і про вести через них пряму. П р и к л а д . Побудуємо графік функ ції у = —Згс + 4. Складемо таблицю для двох деяких значень аргументу:

Мал. 18 190

-5

Позначимо на координатній площині отримані точки та проведемо через них пряму (мал. 18).

У‘і

-2

2/= -2

Мал. 19 П р и к л а д . Побудуємо графік функції у = -2 . Будь-яко му значенню х відповідає одне й те саме значення у, що дорівнює -2 . Графіком функції є пряма, утворена точками з координатами (х; -2 ), де х — будь-яке число. Позначимо дві будь-які точки з ординатою -2 , наприклад, (3; -2 ) і (-4; -2 ) і проведемо через них пряму (мал. 19). Системи лінійних рівнянь з двома змінними Якщо треба знайти спільний розв’язок двох (або більшої кількості) рівнянь, то кажуть, що ці рівняння утворюють систему рівнянь. Приклад.

\2х + у = 3, — система рівнянь з двома змін[х - Зу = 5

ними X і у. Розв’язком системи рівнянь з двома змінними називають пару значень змінних, при яких кожне рівняння перетворю ється у правильну числову рівність. Пара чисел х = 2; у = -1 є розв’язком наведеної системи, оскільки 2*2 + (-1) = 3 і 2 - 3*(-1) = 5. Пара чисел х = 5 , у = 7 не є розв’язком системи. Для цих значень змінних перше рівняння перетворюється у правильну рівність (2 • 5 + (-7) = 3), а друге — ні (5 - 3 • (-7) = 26 ^ 5. Розв’язат и систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

191

Розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки Розв’язати систему рівнянь \ І4# + 9у = 38. Зх = 1 + 7 у , 1 + 7у з •

Виражаємо одну змінну з якого-небудь

1. рівняння системи через другу.

Замість цієї змінної підставляємо в 2. друге рівняння системи утворений ви раз.

4 - 1+] У +9у =38.

4 (1 + 7у) + 3 •9у = 3 • 3 8 , 4 + 2 8 у + 2 7 у = 114, Розв’язуємо отримане рівняння 3 од 3. нією змінною. 55у = 110, У =2. 4.

Знаходимо відповідне значення другої змінної.

5. В і д п о в і д ь .

1 + 7-2 3 ’

х =5. (5; 2).

Розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома змінними способом додавання Розв’язати систему рівнянь < [5 # + 3 у = 19. Множимо (якщ о є необхідність) обидві час тини одного чи обох рівнянь системи на такі 1. числа, щоб коефіцієнти при одній із змінних стали протилежними числами. почленно л іві і праві частини рів 2. Додаємо нянь системи. Р озв’язуємо утворене рівняння 3 однією

3. змінною.

Підставляємо знайдене значення змінної в 4. одне з рівнянь системи (кращ е початкової) і знаходимо відповідне значення другої змінної. 5. В і д п о в і д ь .

\ l x - 4 y = 2, |х 3 [б# + Зу = 19;|х 4 [21# - 12у = 6 , |20# + 12у =76. 41# = 82. # = 2. 7-2 - 4у = 2, -4 у = - 12, у = з. (2; 3).

ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ ДО ВПРАВ

Розділ І 7. 7) х — будь-яке число; 8) т Ф 0. 11. 3) -1 ,9 2 ; 4) -4 1 ,2 13. 2) х = 2; 3) х = 1 і х = -7; 4) нема таких значень х. 14. 2) у = -1 3) у = -2 і у = 3; 4) нема таких значень у . 15. 1) а Ф 1; а Ф -3,5 2) £ ф 0; £ Ф 7; 3) т Ф 5; т Ф -5 ; 4) х Ф 9. 16. 1) р Ф 9; р Ф -2,5 2) а Ф 0; а Ф 5; 3) с Ф 2; с Ф -2 ; 4) а Ф -1 . 18. 1) а Ф 2; а Ф З 2) х ф 1; х ф -1 ; 3) т ф 0; т ф 1; 4) й ф 6 ; Ь ф -2 . 19. 1) х ф -2 ж ^ 4 ; 2) 7п ^ 4 ; 7п ф -4 ; 3) х ф 0; х ф - 1; 4) а ф 1; а ф -5 3 8.1) - ± ; 2) - — ; 3) ттг + 3; 4) ; 5) 3 + п ■ 00 4^4) ті _ л ;б)-т + п ;■39. т

2га

т- п

я - *

40. 3 ) ^ ± ^ ; 4 ) 4^ + 4fe+1; 5 ) --- — ; 6) - р‘ + ^ . 42. -1 0 . 46. 1 ) - ; х -у

к -1

2) *2 + *У + у2 ; 3) 9(6 (х + у)(х + у2)

-а

4 -р

. 47. 1) 2; 2) (а ~ &)(g2 + &2); 3 ) ---- ----- . а2 - ab + Ь2

8(3тп + п)

48. 1) Графіком є пряма у = - з «виколотою» точкою ( - 6; -1); 6 2) графіком є пряма у = 2 х з «виколотою» точкою (2; 0). - з «виколотою» точкою (5; -1 ); 2) у = 3 + х з 49. 1) у 5

«виколотою» точкою (-3 ; 0). 66. 1)

тга+ 2

; 2) ?. 67. 1 )-----3 ; 2) —. с

72. 3) у 74. 1) 3) 4)

г/ + і 2)

аЬ

п + 2тп + 4т2

. 106. 1)

77171

т тг- 2 ’

я: + 5

■; 3)

' а - 2'

а - Ъ т

' т г -3

; з)

109. 1) 1 ; 2 ) т *+ 1 2)

. 73. 1)

3 ;4 )4 +

77. ^ ^ . 1 0 3 . 1) А ; 2) ™± * ; х + у +г аЬ х ?- 4 t—и . оч 2 , ; 4) ь +3аЬ + 9д . 104. 1) ■ -2Г ». ^о7\ -------» d 7 —---------Г ) ;

х(х - 2)

4) 5

а+3

69. 1) 15; 2) 2007. 70. 1) -2 ; 2) 198. 71. 3) х

; 3)

1- а 1 110 . 1) в; 4> 2(а - 3)

т+п

• з» ^

; 2)

р - 2

а(а - 3)

; 4)

lQp + 3 2р - 3 ‘

2ї (ж - у)(х + y f ’

^ . 115. a = 8 . 116. В к а з і в к а . Після спрощень

(х - 2)\х + 2 )

дістанем о а2 + 4. 118. Г раф іком ф у н к ц ії є п р я м а у = 4 з «ви колотою » точкою (2; 4). 119. - 8 . В к а з і в к а . П ісл я спрощ ень 193

дістанемо - —"— . 120. 5 . В к а з і в к а . Після спрощень діста6а

немо

+ Ь

—-— . 121. Ні. В к а з і в к а . Після спрощень дістанемо 5ос + у

- -±-. 125. 1) 4; 2) 2; 3) 10; 4) 5. 142. 1)

(гаї - 2)(гаі - 3)

2х

143. 1)

т+п

164. 1) 2)

х- у

2) 8(0 у

3(а + Ь + 1)

. 150. 0.

2о

2а+ 1

2а - З

3) 7(у ~ ^ ; 4) 1 ^ . 167. 1) 1; 2) -5 . 168. 1) ОД; 2) 0. у

169. ^

а - 5 2а

2а+&

178. 1)

у + 3

2) 4 ; З ) ^ ; 4) Д . 165. 1 ) % ; 2 ) ^ . 1 6 6 . 1)

4дЬ

; 2) (у - 3(у - 3) 146> і) £ ; 2) * ± і£ . 147. 1) ^ ;

Г \ . 148. 1) 0; 2) 9,6. 149. 1) я + а

2- я

х +Е 5 2

7(а + * (а - Ц(а - 4)

+ 3)

’

3(т + 3)

. 171.

а - 6

. 172.

Ь- 2

. 174. і) І ; 2) 0. 176.1) 4; 2) - 5 - ; 4

; 4) -3?_. 177. 1) 2; 2) х + у

; 2)

7зе

Зга + гаї

х+З

3- Ь

2к ; 4)

Зх - у

; 3) -З а - 5; 4) ^ . 179. 1) З

3) 7 - 2Ь; 4) ^ . 182. 1) -2 ; 2) 2

2 (а

+ 3)

. 183. 1) 2; 2)

; 2)

5гаі а + 2

п- т і/ + де

;

. 184. 1) 3;

2) 4. 185. 1) 2; 2) 2. 188. 1 ) ---- — ; 2) 4. 189. 1) — ; 2) 2. 1 + а °2 - а 193. 3)

,+,у *; 4) — — —*. В к а з і в к а . Спочатку розкрити аЬ

де у

квадрати суми та різниці. 194. 2) 4) 3 - с; 5)

х —1

; 6) —. 196. га

6) - . 197. В к а з і в к а . 2

гаї - 4

195. 1) Ц 2) 1; 3) р ; га зе + 1 2) 1; 3) і; 4 ) ^ - ; 5 ) ^ ^ ; де —1

2 - гаї

Значення виразу дорівнює 2.

198. 1. 199. 51. 200. 7. 201. 1)

28 ~ 1 ; 2) ї . 203. В к а-

2 х(2 г

+ 1)

з і в к а . Значення виразу дорівнює — -—^ . 204. 1) 1 - х 2 - х; (т + 1)

-----. 205. 1) х 2 + 2х + 1; 2) гаї3 - гаї + 1

---- . 223. га3 - га + 1

224. 15

225. 2. 226. 3. 227.1) 2; 2) 3; 3) -5; 4) -1. 228.1)1; 2) -2 ; 3) 2; 4) -3 . 229. Ні, корінь першого рівняння 3, а другого — 0. 230. Ні, корінь першого рівняння 4, а другого — 0. 231. -4. 232. 2- . 9

194

233. 1) -4 ; 2) рівняння не має розв’язків. 234. 1) -4 2) рівняння не має розв’язків. 235. 1) -4; 2) рівняння не має розв’язків. 236. 1) -1 ; 2) рівняння не має розв’язків 237. 1) а = 0; а = 4; 2) а = 1; а = 4. 238. а = 3; а = 1. 2 4 0 .10(* ~ 9 X 9,8. 2 4 1 . ^ ^ . 2 5 5 . 1) ^ ; 2) - ^ ; 3) -1 ,5 ; 4) -11; 5) 0,5; 6) - ^ 2а + Ь

192

7) 1,4; 8) —— ; 9) 2 — ; 10) 0,064; 11) 14; 12) - ^ . 2 5 6 . 1) - і 64

125

2) —1 —; 3) 19; 4) -699; 5) - ; 6) ч - ; 7) А ; 8) З

2) ап > 0; 3) ап < 0. 260. 1)

сх р

; 2)

216

. 258. 1) ап > 0

. 261. 1) Зж2;?“1

2) 15яш-2с-3; 3) 2жЬ“5(а - Ь) 2; 4) (ж + у)7(ж - у)”3. 263. 3) {тп + 1)2 4)

аЬ

Ь- а

; 264. 2)

ху

265. 1)

2) 5 І11І . 266. 4 ^2 . 267. 49

Зас2 —1

ч4 -4 ч 2 . ч2. 288.1) ( 4 т 1)3; 2) (ОДр4)2; 3) (0 ,0 5_с-44р_ 60)2; 4) ? с 3ж-5 . 289.1) 625 2) — ; 3) 3; 4) 49. 290. 1) 16; 2) 1.291. 1) ї ; 2) ї ; 3) ї ; 4) 49; 5) - 1 10

6) 2. 292. 1) 4; 2) 1; 3) і ; 4) 36; 5) 9

100

; 6) ^ ; 293. 1) 7а5&-2 25

2) - 2 ж~18у3. 294. 1) - 4 ; 2) 295. 1) 7 т 2п-2; 2) —4 263 5х8 Зс2 о 2/ї о 6т 298. 1) 125; 2) ?; 3) ^ . 299. 1) 49; 2) ? ; 3) . 300. 1) 2 • 5"

2) ж8; 3) ^ . ЗОЇ. 1) 4 ; 2) ж8; 3) ^ . 305. З грн.; 4 грн. 330. 31% тп

4П

331. ® 1,37 • 108 с або 1582 дні. 334. 1) -16; 2) -23; 3) -11 4) -15. 335. 1) 18; 2) 13; 3) 12; 4) 10. 337. 1) 1; 2) 180 338. 10 грн. у Сергія; 14 грн. у Олексія. 339. 48. 355. у = - — X 356. у = — . 357. 2 < у < 8.358. 1) 4; 2) -3 ; 3; 3) -1 ; 4. 359. 1) 2 Я 2) -2 ; 2; 3) -1 ; 5. 363. В к а з і в к а . 1) Після спрощень п дістанемо у = - ; 2) графіком є гіпербола у = - - з «виколотою» точх х кою (3; -2). 366. — . 370. -0,1. 371.1) ж — будь-яке число; 2) т < 0; 81

3) а 0, а ^ 1; а -1 ; 4) ж ^ 2; ж ^ 5. 372. 1) 1; 2) нема таких значень ж; 3) -2 ; 4) 0 < ж < 3 або ж > 3. 377. 1) 1; 2) 0. 380. 2. 195

382. г ~ х ~У . 386. 1) х+у +г

6+2

; 2)

лі - 1

. 387. а = -3 . 388. В к а з і в -

к а. Значення виразу дорівнює -3 . 389. 1)

; 2)

390. В к а з і в к а . Після спрощення виразу дістанемо -

• .2 ‘

(х - 2(

391. В к а з і в к а . Графіком функції є пряма у = х + 1 з «ви колотою» точкою (1; 2). 392. 1) 1; 2; 2) 1; 2; 3; 6; 3) 1; 16. 398. В к а з і в к а . Вираз тотожно дорівнює 1. 399. 1) 0; 2) —-— ; 3) ; 4) 2а + 1 ; 5) 26(* +1) ; 6) -------^ ------.4 0 2 .1 )а = ' 3 - 2х

ху

6(2а-1)

х2 + х + 1

(1 - 36)(а + 2)

= -24; Ь = -5; 2)а = 3;Ь = -3. 4 0 3 . ^ ^ ; 8 год. 40 9 .1 ) ^ ; 2 ) а 2-&2. и -9 5 410. + ЬУ? - <0 4X1. В к а з і в к а . Значення виразу дорівнює 1. (* - «) ґ 412. В к а з і в к а . Значення виразу дорівнює а - о . 4 1 6 . 1 ) ^ - ; 3 -х уа + Ь^

2) ^

2у). 417.

3(5к + 2у)

(о + 3)(а - 5)

. 418. В к а з і в к а . Після спро2

щення виразу дістанемо - 2^х + ^ . 419. 0. 420. В к а з і в к а . а2 + 5а+ 4 = а2+а+4а+4=а(а-І- 1) + 4(а+ 1) =(а + 1Ха + 4). 421.1)^; а

т+3

з)

— ; 4) р - 1. 423. 1) — Ц г ; 2) - 5 - . 424. 1 ^ .

а - 6

(а + 6)

а +3

425. В к а з і в к а . 1) Після спрощень дістанемо 3; 2) після спрощень дістанемо -1 . 427. 5 або -5 . 428. —^ — . 429. В к а2 А

х - 4

з і в к а . Після спрощень дістанемо лс2 + 4.4 3 0 . В к а з і в к а . Після спрощень дістанемо —-— . 431. Ш, оскільки після спрощень т+5

дістанемо - . 434. 2. 435. 4) 0; 2. 436. 18 км/год. 437. 1) -0 ,5 ; X 2) -2 ,5 . 438. 12 дн., 24 дн. 439. 1) Якщо а = 0, рівняння не має розв’язків; якщ о а Ф 0, то х = —; 2) якщ о а = Ь, то рівняння не 5

має розв’язків; якщ о а ФЬ, то х = а ~ ь . 445. 1) 7_3 > (-7)3; 2

2) (-1,2)° > (-б)“5; 3) (-13)4 > (-ІЗ)“4; 4) (-12)6 > 12“6. 446. 1)

2) -0,16; 3) -10; 4) -99. 447.1) * ~ а + 1 ; 2) -1 . 448.1. 449. л; = -3 . а (1 + а)

196

450. а8Ь8. 455. ЗО. 458. 1) х(э? + 5л“1 + л“6); 2) л“1(л4 + 5л + л“4) ; 3) л“3(л6 + 5л3 + л“2) . 463. 6,35 Ю 4 км2. 464. 1) 3,6 Ю 3 с; 2) 8,64 • 104 с; 3) 2,592 • 106 с; 4) 3,1536 • 107 с; 5) 3,15576 • 109 с. В к а з і в к а . Врахувати, що в будь-якому столітті 25 високосних років і 75 — не високосних. 468. 1) Ні; 2) так. 471. (2;2) і (-2; -2 ). 472. (3; -3 ) і (-3; 3). Розділ II 483. 1) 0 < у < 9; 2) 0 < у < 4. 485. 1) 0; 4; 2) -2 . 486. 1) 2; -2 ; 2) 0; 2. 487. 1) Графіком є парабола у = х 2 з «виколотою» точкою ( - 1; 1); 2) графіком є парабола у = х 2 з «виколотими» точками (-2; 4) і (2; 4). 488. 1) Графіком є парабола у = х 2 з «виколотою» точкою (0 ; 0); 2) графіком є парабола у = л2 з «виколотими» точками (-1; 1) і (1; 1). 509. 1) Ні; 2) так; 3) ні. 510. 1) л > 0; 2) л — будь-яке число; 3) л > 0; 4) л< 0. 511.1 ) у > 0; 2) у > 0; 3) у — будь-яке число; 4) у < 0.5 1 2 .1 ) Не ма розв’язків; 2) 32; 3) 13; 4) 4,5. 513. 1) 12; 2) рівняння не має розв’язків; 3) - ; 4) 1. 514. 1) а = 0; 2) а = -3 ; 3) а — будь-яке 8

число; 4) 0 < а < 3 або а > 3. 515.1) 5; -4 ; 2) 16; 3) 49. 516.1) 11; -1 4 ; 2) 49. 520. -1 . 532. і ; 0,(1); 0,11; -1; 0,01. 533. 0,02; 1; 2

0,22; 0,(2); - . 537. В к а з і в к а . 4

нескоротний дріб.

Нехай -^2 = —, де — —

Тоді 2п2 = т2. 539.

6,25

см; 9 - дм. 9

542. 1) л = 3; у = 0; 2) л = -2 ; у = -1 . 557. 1) 25; 2) -ЗО; 3) 56; 4) 16,2; 5) ЗО; 6) 0. 558. 1) 49; 2) -8 4 ; 3) 44; 4) -2 ,1 ; 5) 40; 6) ^ . 65

559. 1) 8; -4 ; 2) -1 ; -5 ; 3) 1; 4) -3 + 77; - 3 - 7 7 ; 5)

9 З 6) рівняння не має розв’язків. 560. 1) 3; -5 ; 2) 7; -3 ; 3) -2 ; 4) 2 + 73; 2 - 73; 5) —; —; 6) рівняння не має розв’язків. 562. 1) 5; 5

-5 ; 2) - ; - -. 563. 1) 8 ; - 8; 2) і ; - ї . 564. 1) 7 2 ;-7 2 ; 2) 2; -2 ; 7б; 2

-7б. 565. 1) 75; - 7 5 ; 2) 3; -3 . 566. 1) Ь = 0; 2) Ь > 4; 3) Ь > 0. 567.1) тп > 0; 2) нема таких значень т ;3)т < 0.568.

2х

. 569.1) 8;

2) - ? ; 3) - . 590. 1) 15 — ; 2) 1 ^ ; 3) 12; 4) 0,13. 591. 1) 1 0 ^ ; 5

2) 1 —; 3) 35; 4) 0,7. 592. 1) 210; 2) 48; 3) 12,6; 4) 18; 5) 39; 6

197

6) 154. 593. 1) 160; 2) 75; 3) 10,8; 4) 12; 5) 34; 6) 126. 594. 1) 432; 2) 144; 3) 125; 4) 243. 595. 1) 46; 2) 216. 596. 1) 112; 2) 432. 597. 1) 0,6л:; 2) - 11у; 3) р; 4) 5л;2; 5) 5а3; 6) V . 7

598. 1) 0,7р; 2) - ^ т ; 3) 7Ь4; 4) -0 ,1 а 7. 599. 1) -5тшг6; 2) - ^ - т 7п9; 8

3) ж3у4; 4) - 2 - 4 - \ 5) -2тп4р 10; 6) -л:4г. 600. 1) 8а&4; 2) - Н 4с6; 3)

; 4) ЗЬ7. 601. 1)

2) ^

. 602. 1) х - у, 2) а - /га;

3) л: - 5; 4) 6 - а; 5) 5; 6) -2 . 603. 1) /п - 2; 2) -р - 4; 3) 1; 4) -3 . 604. 1) 4; 2) 1; 3) 9 - 2 ^ 2 1 ; 4) 2 + 7 з. В к а з і вк а. 7 + 4 д/З = 4 + 4 -у/З + 3 = (2 + л/З)2. 605. 1) - 8; 2) 7 2 - 1 . 632. 1) т 4 І3; 2) Ь^/Ь; 3) - а 3Т7; 4) 4лг37*. 633. 1) х ^ ї ї ; 2) с27с; 3) - р 372; 4) 6т4л[пг. 634. 1) 72а2; 2) -7б&®; 3) д/з&; 4) 635.1) л/зь*; 2 ) - л/7сї°; 3) 7& Д 4) - д /^ А 636.1) 47; 2) 165 + 37^/6; 3) 36 - 12д/б. 637. 1) 7«(1-л/З); 2) ^ ( ^ 7 + 2 ) ; 3) ^ ( л /з + І); 4) л/І^/з - л/5); 5) уІ2 т ф - л/З); 6) л/бх(Дс - 72).638.1) 7 р (1 + 72); 2) 7б(Т7 - 1); 3) 73а(7з + 72а). 639. 1)

V* - 6

; 2)

л/а - 3 #

; 3) 7 Р -

3) 7 ^ 5 . 641. 1) 3(7б +1); 2) Т Й - л / 7 . 640. 1} 7 ^ + 5 . 2) ^ л/а V* + 2\У 3)

642. 1) 5(Тз - 1); 2) ^

+ ^ ; 3)

. 643. 1) 2;

2) 330; 3) 8 ; 4) 14. 644. 1) 16; 2) 60; 3) 26; 4) 7. 645. 1,5. 646. 1 )т п - 1; 2) ^ -р ~ ^ ;, 3) л/Ь

. 649. - - . 650. В к а з і в к а. V* + 7 »

Використати те, що квадрат натурального числа не може за кінчуватися цифрою 7. 659. 1) - 745 < - 784; 2) 0,2 /1 - = 0,4 /—. 8

660. 1) ^748 = - 7 7 5 ; 2) 0 ,З І1 ^ > 0 ,2 І1 ^ . 661. 1)0 < у < 2; 4

2) 1 < у < 3. 662. 4. 663. 1. 672. Збільшиться в 9 раз; змен шиться у 81 раз. 673. 1) Ні; 2) так; 3) ні. 674. (-2; 4), (3; 9). 679. 1) 100; 2) 1. 680. 1) 20; 2) 13,96. 681. 1) л: > 2; 2) л; > 3; 3) х < -1 , -1 < х < 0; 4) х = 0. 682.1) Якщо а = 0, то х > 0; якщо а Ф 0 , то х = 0 ; 2) якщ о а < 0 , то рівняння не має розв’язків; якщ о а > 0 , то л: = \ ; 3) якщ о а < 0 , то рівняння не має 198

f)K

розв’язків; якщ о а > 0, то х = - f + 1; 4) якщ о а = 0, то х — а будь-яке число; якщ о а Ф 0, то х = 0. 686. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4 )так. 689. В к а з і в к а . 1 )Знайти? - 1 .6 9 4 .1 ) ^ ; 2)^7; 3) Зд/2; 3

4) 5. 696. 9 або -9 . 697. 1) т > 1; 2) т = 1; 3) т < 1. 704. 15 см або 6 ? см. 705. 1) 600; 2) 0,09; 3) 360; 4) 648. 706. 1) у 2с%6; З 10

2) -7 х у 3; 3)

4) Т Ї З - л/ Ї Ї . 708. 1)

н -

707. 1) 0,4; 2) 0,3; 3) л/б-л/2;

я+2

р +

712. 1) 2хі ^7х; 2)

3) -5aö\/b; 4) 2ху\/2х; 5) -2p*,f2p; 6) ху^/ху. 713. 1) 24; 2) ^ . 12

716.

-------^ ---- ; 2

Jx +y+1.

717.

+ л/2 + V3).

+ V2* + я

718. В к а з і в к а .

Позначити ^7 + 2-^6 - -^7 - 2-^6 = ж, та

знайти х2. 719. 1) V3; 2) -1 ; 3)

4) - ^ = Л 722. 1) Так,

(1; 1); 2) так, (64; 8); 3) так, (0; 0); 4) ні. 723.1) 3; ^14; 4; А/Ї М ; ./Ї9 Д ; 2) 0,2; 1; v

(1 1

^/ОД. 724. 1) х > 1; 2) 0 < х< 4; '

3) 1< х < 16; 4) 81 < х< 10 000; 5) х > 0 ; 6) таких значень х нема. Розділ III 739. - . 740. -2; 741. а = 2; Ь = - 6. 742. Ь = -4 ; с = 3. 743.1) 0; -1 ; 9

2) 0; - 1 1 ^ ; 3) -1 ; 1; 4) 0. 744. 1) 0; 2; 2) 0; 24; 3) -1 ; 1; 4) 0. 19

745. 0; -4 ,5 .7 4 6 . 0 ;-1 1 . 7 4 7 . ^ і ^ + 1 а б о - ^ і - ^ + 1.748. V2i 2

V2 + 2 або -V2 і -V2 + 2. 749. 1) 0; 5; -5 ; 2) 2. 750. 1) 0; 3; -3 ; 2) 3. 763. 1) -1 ; 3; 2) 1; -2 ,5 ; 3) 5. 764. 1) 1; -5 ; 2) -1 ; 4,5; 3) 2; -0 ,4 . 765. 1) 2; 6; 2) -1 ; - і ; 3) 2; 4; 4) 3; - 8. 766. 1) -1 ; З 2) 2; 2,6; 3) 4; 3; 4) 1; - 6. 767. 1) 1; -0 ,6 ; 2) -1 ; 1 .768. 1) -1 ; ^ ; З з 2) 1; -3 ,5 . 769. 1) 1 ± ^15; 2) -1 ± Vö; 3) 15 ±

4) ~3± ^ 2

770. 1) -1 ± V7; 2) 1 ± 2V3; 3) -5 ± 2VIÖ; 4) 5± ^ 2

. 771. 1) 4; 1; 199

2) 4; -4 ; 3) 1; 4) 2. 772. 1) 9; 3; 2) 3; -3 ; 3) 5; 4) 2. 773. 1) - і ; 8

2) -4 ; 4. 774. 1) -Ц 2) - 6 ; 6. 776. (0; -15), (75; 0). 777. 1) -3 5 ; 16

2) 39. 788. 1) х г < 0, х 2 < 0; 2) х г > 0, х 2 < 0; 3) х г > 0, х 2 < 0; 4) х 1 > 0, х 2 > 0. 789. 1) х 1 > 0, х 2 < 0; 2) х х < 0, х 2 < 0; 3) х г > 0, х 2 > 0; 4) ж1 > 0, х 2 < 0. 791. 1) Зя2 - 14л: - 5 = 0; 2) 24л2 + 26л: + + 5 = 0; 3) л;2 - 5 = 0; 4) л:2 - 4л; + 1 = 0. 792. 1) Зл:2 + 5л: - 2 = 0; 2) 16л;2 - 10л; + 1 = 0; 3) л;2 - 7 = 0; 4) л:2 - 6л; + 2 = 0. 793. х 2 = - 6 ; р = 4,5. 794. х2 = -2,5; q = 8,75. 795. х 1 = 5; х 2 = -1 ; q = -5 . 796. х л = 5; х , = -2 ; р = -3 . 797. 1) - ; 2) 12; 3) 22; 4) - 7 ^ ; 5) 2 ^ ; і

6) 28. 798. 1) -2 ,5 ; 2) -1 0 ; 3) 29; 4) -1 4 ,5 ; 5) 7,25; 6) 33. 799. з? - 7х + 1 = 0. 800. л? + 8л; + 8 = 0. 802. 80 кг; 120 кг. 803.

804. 12 і 17. 805. 12 і 15. 806. 42 см. 807. 80 м. V* 808. 7см і 10 см. 809. 13 см. 810. 48 см2. 811. 14 і 15. 812. 70 х 70 см. 813. 15 дм. 814. 19, 20, 21 або -1 3 , -1 2 , -1 1 . 815. 18, 19, 20 або -1 8 , -1 7 , -1 6 . 816. 5 і 7. 817. 16 км/год і 12 км/год. 818. 10 см і 12 см. 819. 1 см. 820. 1,5 м. 821. 10 учасників. 822. 5. 823. 1,8 с; 1,2 с. В к а з і в к а . Спочатку, виходячи з початкових умов, знайти и0. 824. 0,7 с. 825. 2,6 с; 3,4 с. 847. 1) 3 ± л/ЗО; 2) ~35± 5л^ .848. 1) -4 ± 2<Д9; 2

2) 15 ±9^ . 849. 1) (л; - 1 - 2^/3)(х - 1 + 2^3); 2) розкласти на 2

множники не можна; 3) -2 л: + З+л/^ Lх +, -3- Уб5 ; 4) розклас 7V ти на множники не можна. 850. 1) (л; + 2 - л/ЇЇНл; + 2 + J\Ä) 2) розкласти на множники не можна. 851. 1) 4 ) ^ 2 ; 5 ) ^ 1 ; 6 ) ^ 2 . 8 5 2 . 1 )* ± 1 ; 2) 3) 2 с і ;.................................... х - 3

х + 7

2с+ 1

8 -2 с

4) (х + 2,(5 ~ х). 855. 1) — 2[дс + 3)

( х - 2)(х + 4

х - 5

; 2)

х - 2

; 3) * + З х- 5

ЗЬс+2

4) 2(*±!) 853- !) і 93; 2) 4 ? . 854. 1 ) ------ ^------; 2) 3(* - 3)

;

1 ; 3) і

х+

858. 1) л;(л; + 1)(л; + 2)

2) - 2л;(л: + 3) f х - -О або л:(л; + 3)(1 - 2л;); 3) - л^(х - 1)(х + 5) 4) - - л:3(л: + 2)(л; - 6). 859. 1) л;(л; - 4)(л; - 8); 2) - л^(л; - 9)(л; - 3). 2 З 200

860. 1) Графіком є пряма у = х + 2 з «виколотою» точкою (1; 3); 2) графіком є пряма у = х - 3 з «виколотими» точками (0; -3 ) і (-1; -4 ). 861. 1)

Зг- 1

2) і . 862. 1) 4

2г+1

2) 27.

864. 1) -0 ,4 а 3х 7; 2) 2mp3Vän. 865. 1) 24; 2) 68; 3) 0,68; 4) 376. 874. 1) 9; -1 ; 2) 2; -9 ; 3) 5; -2 ; 4) -2 ; 1 ± .875. 1) 4; -1 ; 2) 1; - ^ ; З 2 3) 1; 3; 4) 2; -1 ^ .8 7 6 . 1) 0; 2; -2 ; 2) 0; 3) 0; - ; - - ; 4 ) 0; 2; -3. 2

877.1) 0; 3; -3 ; 2) 0; 3) 0; і ; - ^ ; 4) 0; 3; -4 . 878.1) 4; -5 ; 2) 1; 4. 4

879.1) 3; -4 ; 2) 2; 6 . 880.1) 1; -1 ; 3; 2) - 6; 3) -7 ; 4) рівняння не має розв’язків. 881. 1) 1; 2) -3 ; 3) 7; 4) рівняння не має розв’язків. 882. 1) - 6 ; 3; 2) -2 ; -1 - ; 3) -3 ; 4) -2 . 883. 1) -4 ; 3; З 2) -2 . 884. 1) -1 ; -5 ,5 ; 2) -7 ; 3) -9 ; 4) рівняння не має розв’язків. 885. 1) 5; -3 ,6 ; 2) -1 ; 3) -1 5 ; 4) рівняння не має розв’язків. 886. 1) -3 ; 4; 2) 15. 887. 1) 2; 3 ;-3 ; 2) -1 ; ± ^ . З 888. 1) 1; 2; -2 ; 2) -2 ;

.889. 1) 1; -1 ; 2) -1 ; 2. 890. 1) 1; -1 ;

2) 2; -3 . 891. 1) 0; 1,5; 2) -2 ± у[35.892. -1 ± ^ 2

Vö; -^ 5 ; 2) 1;

3* ^ . В к а з і в к а .

. 893. 1) 1; -1 ;

х3 + 2х2 - 2х - 1 =

= (х3 - 1) + (2х2 - 2х) = (х - 1)(х2 + х + 1) + 2х(х - 1) = = (х - 1)(х2 + х + 1 + 2х) = (х - 1)(х2 + Зх + 1). 894.1) 1; ±д/3; 2) -2 ; 1; 4. 895. 1) 9. В к а з і в к а. j x = t; 2) 0; -2 ; -1 + л/ї; 3) 2 + д/З; 4) 0; -1 ; 2; -3 . 896. 1) 4; 2) 0; 2; 1 ± д/б; 3) -1 ± д/б; 4) 0; 1; -2 ; 3. /

897. 12 км/год; 16 км/год. 898. 3(х + 7)

(х + 7)(3х - 2).

899. 12 і 15. 900. 2. 901. 4 і 6. 902. 8 і 12. 903.

904.

905. 12 км/год; 16 км/год. 906. 70 км/год; 60 км/год. 907. 45 км/год. 908. 80 км/год. 909. 60 км/год. 910. 2 км/год. 911. 14 км/год. 912. 24 км/год. 913. 2 км/год. 914. 20 км/год. 915. 50 дет., 40 дет. 916. 12 автомашин. 917. 24 год; 48 год. 918. 36 год; 45 год. 919. 45 хв; 36 хв. 920. ЗО дн.; 42 дн. 921. 16 км або 20 км. В к а з і в к а . Нехай х км/год — початкова швидкість, тоді 4х км — відстань між селами. М аємо р ів н я н н я — + 4х~ 10 = - . 922. 27 к м /г о д . 923. З л. х х- 1 2 В к а з і в к а . Н ех ай перш ого р азу від л и л и х л спирту. 201

Враховуючи те, що остаточно води в посудині стало 4,5 л, маємо рівняння ж - - ■х + х = 4,5. 925. 1) х + 5 ; 2) х + 3 . 6

2х + 2

926. 1) 16; 2) - 7 ± л/б. 929. Так. 930. 1) ±72; 2) 0; ? . 931. ЗО см. 4

932.1) 0; -9 ; 2) 2; -2 . 933.1) 1 ^ ; 2) а > 0. 937.1) 1; -3 ; 2) 2; -1,5. 4

938.1) 1; 2; 2) 5 ± 2Т Ї5; 3) 2^/2; -3^2; 4) л/3; - ^ . 939.1) 0; 1; 2) 0; З 2. 941. 1) х 1 = 3; х 2 = -2 а для будь-якого а; 2) якщ о а = 0, то 1 рівняння не має розв’язків; якщо а ^ 0 , то = 2- . а

942. 1) 1; - 6; 0; -5 ; 2) -1 ; 6; 0; 5; 5± ^

; 3) -3 ; 4 ) ї .945. ж1 = 2;

ж2 = -4 ; q = - 8 . 947. зс1 = 6; х 2 = 9; р = -4 5 . 948. 1,6. 949. Ь = 15 або Ь = -1 5 . 950. 5ж2 - 8х + 1 = 0. 951. 1; і . 952. 6 см і 9 см. 2

953. 9; 10; 11 або -1 1 ; -1 0 ; -9 . 954. 10; 11; 12; 13; 14 або -2 ; -1 ; 0; 1; 2. 955. 24 см2. 956.16 команд. 957. 0,216 м3 або ^ м3. 375

958. 40 см; 80 см. 963. 1) ?* + *; 2) ,2(* + 9 х+2

964. 1)

*+3

х + 2х + 4

; 3)

* + 2,5

; 4)

1 -3 *

; 2) ^ ; 3) х(х - 5); 4) . 965. р = 5; х = -2 . *+1 2(* + 6)

967.1) 4; -4 ; 2) і ; 3) 81. 968.1) (х + а)(х - 6а); 2) (х - 2Ь)(х + Щ . 4

969. 3; я = 4. 970. а = -2 ; -1 3 . 972. 1) -2 ; 2) 0; 1 - ; 3) 1; 4) 3; З -3 ,5 . 974. (2;0), (-2;0). 975. 1) -1 ; -1 ,5 ; 2) 0; 1 ^ ; 3) -5 ; 6; З 4) рівняння не має розв’язків; 5) -4 ; 6) 1; -1 . 976. 1) -3 ; 2) 3; ґ~ \ -3 ; 3) 0. 977.1) 1; -1 ; 2) -1; 1; -3 . 978. (-2; - 8); З . о .9 7 9 .1 ) ± - ; ї ’3 8 2) -1 . В к а з і в к а . 27х3 + 18ас2 - 12х - 8 = (Зх - 2)(3я; + 2)3. 980. 1) 1; 3; 2 ± у[з. В к а з і в к а . ( х - 2 $ = о? - £ х +А і далі ж2 - 4 ас = і; 2) -1 ; 4. В к а з і в к а . х(х - 1)(ас - 2)(ж - 3) = = (ж2 - Зж)(ас2 - Зж + 2) і далі ж2 - Зж = Ц 3) 1; 2; -1 ; 4; 4 ) 5± ^ _ 2 2

; 5) -2 ; 3; 11 ^ 2

; 6) 1; 10; 111 ^ 2

. 981. 1) 5; -3 ; 1 ± ^ 4

; г;

2) -1 ; -4 ±721- 982. 12 км/год. 983. 10 год. 984. 16 км/год. 985. 18 год. 986. 2 км/год. 987. 20 с.; 16с. 988. Петро — 60 де 202

талей; Степан — 40 деталей. 989. 2 год; 6 год. 990. 6 год; 9 год. 991. 2 кг або 4 кг. 992. 225 км. 993. 40 деталей. В к а з і в к а . Нехай х деталей — щоденна норма. Тоді 5х + \ — - 6 |(х + 5) =830. V *

)

Задачі підвищеної складності 994. В к а з і в к а .

=- ^ > а- Ь

а+Ь

0.995. т2 + п2 + тп ^

а+Ь

т+п

; 5) 1 + 2р; 6) — ху 2 * 2 п - 2т а+Ь (х + у)‘ 16 999. В к а з і в к а . Після спрощення дістанемо 1 - а 16 1001. Піднесемо рівність —+ ^ + - = 1 до квадрата. Маємо 996. 1)

- У - » ; 2) -2 ^ 1 .; 3) 4; 4)

X т

+*ї + і р демо, що

тпр

с- а ас

т2

1002. В к аа з і в к а . Ь- с =

, с

- а

п2 р

З умови випливає, що а - Ь = ь - с ,

Ьс ’

= - —- . Перемножити утворені рівності. аЬ

1003.1) Якщо а = 2, рівняння не має розв’язків; якщ о а Ф 2, то х = 2 ; 2) якщ о а = 1 або а = - 1 , то рівняння не має розв’язків; якщ о а Ф 1 і а Ф -1 , то х = а ; 3) якщ о а = 2, то х — будь-яке число; якщ о а Ф 2, то х = а + 2; 4) якщ о а = 1, то х — будь-яке число; якщ о а =-1 , то рівняння не має розв’язків; якщ о а Ф 1 і а Ф -1 , то х = а ~ 1 .1004.1) Якщо а Ф 0, то х = а; 2) якщ оЬ Ф Оі а +

а=

-Ь,

то рівняння не має розв’язків; якщ о

Ь Ф

0і

а Ф-Ь,

то

х = а ~ ь ; 3) якщ о а ф 0, то х = — ; 4) якщ о а = 0, то рівняння не а +ь З має розв’язків; якщ о а Ф 0, то х = 6а. 1005. 1) Від 2 до 3; 2) від - 9 до - 8; 3) від 7 до 8; 4) від 5 до 6. 1006. 1) Якщо а = 0, то х > 0 ; якщ о а ф 0 , то х = 1; 2) якщ о а < -3 , то рівняння не має розв’язків; якщ о а > -3 , то х = (а + З)2; 3) якщ о а > 2, то х = а - 3. 1007.1) -2 ; 2) 1. 1008.1) л/з - 1; 2) 1; 3) -1 0 . 1009.1) 2; 2) 72 + л/3 + т/б. 1010. 1) 1; 2) 8. 1011. 1) у = І 3* ’ ЯКЩ° Х * ° ’ \5х, якщ о х< 0; 203

1- я к щ о ^ 1> 1012. 1) л/З-л/2; 2) 1 + л/3 -л /7 ; [1 - 2 х , якщ о х < 1.

3) л / 2 - 1 ; 4) (л/з + 1)(л/2 + 1) _ 1013

Так

1014 і )

1015. 1) а

X- у

2) ху

; 2) 1. 1016. 1) -у[а, якщ о 0 < а < 2; л/а, якщо

> 2; 2) -2 , якщо я; < 0; 2, якщо я > 0.1018. - . 1019. 6. 1020.1) 19; 2

2) 80; 3) 343. 1021. 1) -4 ; -3 ; 2) 19. 1022. 1) Якщо а = 1, то ; 2) якщ о а = - 1 , то л: = —- ; якщ о а Ф 1, то х, = я« = 2 2 1- а 2а х = -1 ; якщ о а Ф - 1, х 1 = -1 , я^ = . 1023. 1) -1 ; 2) 2; 1+ а

3) рівняння не має розв’язків. 1024. Нехай Ь2 - 4ас = 3, тоді Ь2 = 3 + 4ас. Права частина рівності — непарне число, отже, Ь = 2к + 1, А є г . Тоді дістанемо 2(й2 + й - ас)=1, що неможливо. 1025. -1 . 1026. 1. 1027. 12. 1028. 1) я;2 - 7х - 2 = 0; 2) 2хг + 65х + 179 = 0; 3) 16я2 + Юбя; + 1 = 0.1029. В к а з і в к а . Б = (Ь + с - а)(Ь + с + а)(Ь - с + а)ф - с - а). 1030. В к а з і в к а . | яі - я^ | = ^(х1 - х $ = ^(х1 + Я2)2 - 4я^Яз. Далі використати тео рему Вієта. 1031. 1) 1; 2; -3 ; 2) 1; 5 ±^ 4) 3 ± ^

; 3) -1 ; 3 ± у[3;

. В к а з і в к а , х 4 - 2х3 - Зя:2- 4я: - 1 = (я:4 - 2я:3 + х 2) -

- (4я;2 + 4я: + 1) = (я:2 - я:)2 - (2я: + І)2. 1032. 1) Якщо а = 1, то х — будь-яке число; якщо а = —2, то рівняння не має розв’язків; якщ о а Ф 1 і а Ф -2 , то х = —— ; 2) якщ о а = 1, то х = 4; якщо а+2

а = 4, то х = 1; якщ о а Ф 1 і а Ф4, то х г = 1, х 2 = 4; 3) якщ о а = 1 або а = 3, то рівняння не має розв’язків; якщ о а Ф 1 і а Ф З, то х = а; 4) якщ о а = 1, то я; = 4; якщ о а Ф 1, то х х = За, х 2 = 4; 5) якщ о а = 0, то х — будь-яке число, крім -7 ; якщ о а = -7 , то рівняння не має розв’язків; якщ о а Ф 0 і а Ф -7 , то х = а; 6) якщ о якщ о

= 1 або

= - 1, то я: = 0 ; якщ о а = 4=, то я = л/2 42

= ~^=, то х = ~^=; якщ о а ф 0 , а ^ ±1, а ф ± ^ = , л/2 л/2 11 - а <5 1033. 6; - 6 ; 10. 1034. 9; -9 . В к ато ягг = а, Я2 = 204

з і в к а . Xі - х 2 + 20ж - 100 = Xі - ( х - 10)2. 1035. а = 42; Ь = 39. 1036. 1) 2; 2) 1. 1037. 1) Якщо а = 1, то х = -1 ; якщо а = -2 , то х = - ; якщ о а Ф 0 ,а Ф І , а Ф - 2 , то х, = ^ , х 0 = -1 ; 3

а -1

2) якщ о а = - —, або а = то а

або а = - - , т о ж = 1; якщ о а = -З ,

4 4 = _ 9 . __________ ___________ 7. х = - - ; якщ о а = 1, то х = 8’ 8

- ,а

якщ о а

-3 , а

- —, а

9. 4

1, то х х = -1 , Х2 = 40 + 3 1038. 1) 0; 2) 2; -2 ; ± Зд/гї 1

1039.1) 14. В к а з і в к а . Нехай л]х - 5 = ^ Тоді л: = і2 + 5; 2) 4; -4 1040 1) ~3± ^ • ~5 ± . 2) 5+ л/іЗ . - 5 - л/І36 . 1041. В к а2 ’ 6 6 ’ 6 з і в к а . Графіком рівняння є дві прямі у = - і у = - . 1042. 1) 5; З 2 0,6; 2) - - ; — ; — ; 3 - ; 3) 2; - . В к а з і в к а , ж + - = і, тоді 9

^ + ^ = ^ - 2; 4) —3 ± УІ15. В к а з і в к а .

- - - = і, тоді

А + *_ = ^ + і . Ю43. 85 кг. 1044. 7. 1045. 52 км/год або ж2

38 — км/год. 1046. 60 км/год. В к а з і в к а . Слід розглянути дві можливості залежно від того, якого велосипедиста мото цикліст обігнав першим. 1047. 1,8 год і 2,25 год. 1048. 0,2 год або 0,33 год. 1049. Сергій — за 10 днів, Олег — за 15 днів. 1050. 60 хв; 84 хв.

П РЕДМ ЕТН И Й П О К А Ж Ч И К

А рифметичний квадратний ко рінь 90 Б іквадратні рівняння 157 Верш ина параболи 85 Виділення квадрата двочлена з квадратного тричлена 152 Винесення м нож ника з-під зн ака кореня 111 В ітки параболи 85 Внесення м нож ника під знак ко реня 112 Гіпербола 65 Графічний метод розв’язування рівнянь 68 Д искримінант квадратного рів н ян ня 135 -------тричлена 150 Д ійсні числа 96 Добування квадратного кореня 91 Додатковий м нож ник 11 Допустимі значення змінних 6 Дробові раціональні вирази З -------рівнянн я 156 Зведене квадратне рівняння 130 Зведення дробів до спільного знам енника 21 Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу 113 Ірраціональні числа 95 Квадратне рівнянн я 130 Квадратний корінь 90 — тричлен 150 Коефіцієнт квадратного рівнян н я 130 Корінь квадратного тричлена 150 Метод заміни змінної 157 — розкладання многочлена на множ ники 157

Неповне квадратне рівнянн я 130 Обернена пропорційність 64 Область визначення (область до пустимих зн а ч е н ь )4 Основна властивість дробу 10 Парабола 85 Підкореневий вираз 90 Подібні доданки 113 Порядок числа 60 Правило віднімання дробів з од наковими знаменникам и 16 — ділення дробів 35 — додавання дробів з однакови ми знаменникам и 16 — множ ення дробів 29 — піднесення дробу до степеня ЗО Раціональне рівнянн я 44 — число 94 Раціональний вираз З — дріб З Скорочення дробу 10, 113 Стандартний вигляд числа 60 Степінь з цілим показником 51 Теорема Вієта 140 — обернена до теореми Вієта 142 — про корінь з добутку 104 ----------- з дробу 105 ----------- зі степеня 106 ----------- з квадрата 106 ------- розкладання квадратного тричлена на множ ники 151 Умови рівності дробу нулю 6 Ф ормула коренів квадратного рівняння 135 Формули Вієта 141 Ціле раціональне рівняння 44

ЗМІСТ

Від автора Розділ

І. РА Ц ІО Н А Л ЬН І ВИРАЗИ

§ 1. Дроби. Дробові вирази. Раціональні вирази. Допустимі значення змінних (Уроки 1, 2 ).....................................5 § 2. Основна властивість дробу. Скорочення дробу (Уроки 3, 4) . . . 9 § 3. Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменникам и (Уроки 5, 6 ) ........................................................... 16 § 4. Д одавання і віднімання дробів з різними знаменникам и (Уроки 7—1 0 )........................................................... 21 Завдання д ля перевірки знань до § 1—4 (Урок 11)............................ 28 § 5. Множення дробів. Піднесення дробу до степеня (Уроки 1 2 ,1 3 ). . 29 § 6. Д ілення дробів (Уроки 14, 1 5 ) ........................................................ 34 § 7. Тотожні перетворення раціональних виразів (Уроки 16—18). . 38 § 8. Розв’язування раціональних рівнянь (Уроки 19, 2 0 ) ........... 44 Завдання д ля перевірки знань до § 5—8 (Урок 21)............................ 50 § 9. Степінь з цілим показником (Уроки 22, 2 3 ) ............................ 51 § 10. Властивості степеня з цілим показником (Уроки 24—26) . . 55 § 1 1 . Стандартний вигляд числа (Уроки 27, 2 8 ).................................. 60 § 12. Ф ункція у = - , її граф ік і властивості (Уроки 29, ЗО) . . . . 64

Завдання д ля перевірки знань до § 9 —12 (Урок 3 1 )..........................72 Резервний час (Урок 3 2 ) ................................................................................. 73 Вправи для повторення розділу І ................................................................ 73 Розділ

II. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

§ 13. Ф ункція у = х2 та її графік (Урок 3 3 ) ........................................85 § 14. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь (Уроки 34, 3 5 ) ........................................................................................ 89 § 1 5 . Раціональні числа. Ірраціональні числа. Д ійсні числа. Числові множини (Урок 3 6 ) ............................................................. 94 § 16. Тотожність (у/а)2 = а, а > 0. Р івн ян н я х2 = а (Уроки 37, 38) . . 99 § 1 7 . Арифметичний квадратний корінь з добутку, дробу і степеня. Добуток і частка квадратних коренів. Тотожність уіа2 ~\а | (Уроки 39—4 1 ) ...........................................104 § 1 8 . Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені (Уроки 42—4 4 ) ................................................ 111 § 19. Ф ункція у = 4х, її граф ік і властивості (Урок 4 5 ) ................. 119 Завдання д ля перевірки знань до § 13—19 (Урок 4 6 ) ....................123 Вправи для повторення розділу I I .........................................................124 Розділ

III. КВАДРАТНІ РІВН ЯН Н Я

§ 20. Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння, їх розв’язування (Уроки 47, 4 8 ) ................................................... 130

207

§ 21. Ф ормула коренів квадратного рівняння (Уроки 49, 50). . . 135 § 22. Теорема Вієта (Уроки 51, 5 2 ) .........................................................140 § 23. Р озв’язування задач за допомогою квадратних рівнянь (Уроки 53, 5 4 ) .................................................................... 145 Завдання для перевірки знань до § 20—23 (Урок 5 5 ) ....................149 § 24. К вадратний тричлен, його корені. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множ ники (Уроки 56—5 8 ) ........................................ 150 § 25. Р озв’язування рівнянь, я к і зводяться до квадратних (Уроки 59—6 1 ).......................................................................................156 § 26. Розв’язування задач за допомогою рівнянь, які зводяться до квадратних (Уроки 62, 6 3 ) ..................................... 162 Завдання для перевірки знань до § 24—26 (Урок 6 4 ) ....................166 Вправи для повторення розділу I I I ...........................................................167 Завдання для перевірки знань за курс алгебри 8 к л ас у ................. 174 Задачі підвищ еної с к л а д н о с т і................................................................... 175 Відомості з курсу математики 5—6 класів та алгебри 7 класу. . . . 182 Відповіді та вказівки до в п р а в ................................................................... 193 Предметний п о к а ж ч и к ................................................................................. 206

Н авчальне видання

ІСТЕР Олександр Семенович АЛГЕБРА

П ідручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів Рекомендовано Міністерством освіти і науки України Відповідальна за випуск Н. В. Сергеева Редактор Г. В. Криволапова Х удож ник обкладинки Л. А. Кузнецова Х удожній редактор І. В. Бабенцова Технічний редактор Ц. Б. Федосіхіна Комп’ютерна верстка О. М . Білохвост Коректори Г. А. Зацерковна, Л. В. Липницька Підписано до друку 26.05.08. Формат 60x90/16. П апір офс. Гарнітура ш кільна. Д рук офс. Ум. друк. арк. ІЗ + 0,25 форзац. Ум. фарбовідб. 53,5. Обл.-вид. арк. 8,99 + 0,45 форзац. Тираж 137 580 пр. Вид. № 37230. Зам. № Набір та верстка верстка ком п’ютерного центру видавництві видавництва «Освіта» Видавництво ■во «Освіта», 04053, Київ, вул. Ю рія Коцюбі Коцюбинського, 5. Свідоцтво ДК № 27 від 31.03.2000 р.