ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม เอกนาม คือ นิพจน์ทเ่ี ขียนในรูปการคูนกันของค่าคงตัวกับตัวแปรตัง้ แต่หนึ่งตัวขึน้ ไปโดยทีม่ เี ลขชีก้ าลังของ ตัวแปรเป็ นศูนย์หรือจานวนเต็มบวก สัมประสิ ทธิ์ ของเอกนาม คือ ค่าคงทีท่ ค่ี ณ ู อยู่กบั ตัวแปร ดีกรีของเอกนาม คือ ผลรวมของเลขชีก้ าลังในเอกนาม เช่น 5x3 สัมประสิทธ์ = 5 ดีกรี =3 6x2y3 สัมประสิทธ์ = 6 ดีกรี =5 เอกนามคล้าย คือ เอกนามตัง้ แต่ 2 เอกนามขึน้ ไปทีม่ ตี วั แปร และเลขชีก้ าลังเหมือนกันทุกตัว เช่น 3xy2 และ 5xy2 การบวกลบเอกนาม คือ การนาสัมประสิธิ ์ของเอกนามทีค่ ล้ายกันมาบวกลบกัน เช่น 3x2+5x2 = 8x2 4xy – 2xy = 2xy 5x2y+2x2y-4x2y = 3x2y
การคูณและการหารเอกนาม ใช้หลักการเหมือนกับเลขยกกาลัง เช่น (3xy)(2xy2) = 6x2y3 (4x)(3y)
= 12xy
5x3÷x2
=
25x5y3÷5xyz =
5x3 x2
= 5x
25 x5 y 3 z 5x4 y 2 5 xyz
พหุนาม คือ นิพจน์ทอ่ี ยูใ่ นรูปผลบวกของเอกนามตัง้ แต่ 2 เอกนามขึน้ ไป และถือเอาดีกรีสงู สุดของเอกนาม ในชุดนัน้ ๆ เป็ นดีกรีของพหุนาม เช่น 3x2+5x3y2+4y3 เป็ นพหุนามดีกรี 5 x2+2xy+3 เป็ นพหุนามดีกรี 2 การคูณพหุนาม กรณีคณ ู ด้วยเอกนามใช้หลักการเหมือนการคูณเลขยกกาลัง กรณีคณ ู ด้วยพหุนามใช้สมบัตแิ จกแจง เช่น (4xyz)(5x2y) = 20x3y2z (2x+3y)(x-y) = 2x2-2xy+3xy-3y2 = 2x2+xy-3y2
การหารพหุนาม กรณีหารด้วยเอกนามใช้หลักการเหมือนการคูณเลขยกกาลัง
~1~
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
กรณีหารด้วยพหุนามใช้วธิ ตี งั ้ หาร และวิธหี ารสังเคราะห์ โดยวิธกี ารตัง้ หาร นัน้ คือ ตัวตัง้ = ผลหาร ตัวหาร+เศษ ตัวอย่าง 3x 4 2 x3 6 x 1 ÷ x 2 4 3 x 2 2 x 12 x 2 4 3x 4 2 x3 0 x 2 6 x 1 12 x 2
3x 4
2 x3 12 x 2 6 x 1 8x
2 x3
12 x 2 2 x 1 48
12 x 2
2 x 49
โดยวิธกี ารหารสังเคราะห์ ตัวอย่าง (x2+2x-3) ÷ (x-1)
1. จงหาค่าของ
10 x 2 y 2 4 xy 2 xy
~2~
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
2. จงหาค่าของ (3x4+2x3-6x+1) ÷ (x2-4)
3. จงหาค่า
x6 y 6 x y 3 2 2 x xy y x y 3
ทฤษฎีบทเศษเหลือ กาหนดให้ P(x) = an xn an1 x n1 ... a1 x a0 โดยที่ n เป็ นจานวนเต็มบวก และ เป็ นจานวนจริง ซึง่ an 0
~3~
an , an 1 ,..., a1 , a0
ครูอมุ าพร วัฒนา “
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วย x – c แล้วเศษจะเท่ากับ P(c) ’’
4. จงหาเศษจากการหาร
5. จงหาเศษจากการหาร
6. จงหาเศษจากการหาร
x4
x3
5x 3
x2
2x 2
x
x
15
p(x )
ด้วย x
c
1. p(x )
x3
2x 2
5x
6 ,c
1
2. p(x )
x
3
4x
2
7x
10 , c
1
3. p(x )
x
3
3x
2
3x
1 ,c
0
4. p(x )
2x 4
3x
1 ,c
5x 3
x2
2
ด้วย x
ด้วย x
เมื่อ
1 2
7. จงหาค่า k จากเงือ่ นไขทีก่ าหนดให้
1)
x
b
หาร
x3
2)
x
2 3
หาร
3x 4
3)
x
k
หาร
x3
3x 2b
2x 3
3
b3
kx
ลงตัว
k
1
เหลือเศษ -1
เหลือเศษ 5
~4~
3
3
ครูอมุ าพร วัฒนา
4)
x
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม k
หาร
x2
5x
2
เหลือเศษ -8
ทฤษฎีบทตัวประกอบ 1. ถ้า x – c เป็ นตัวประกอบของ P(x) แล้ว P(c) = 0 2. ถ้า P(c) = 0 แล้ว x – c เป็ นตัวประกอบของ P(x) 8. แสดงว่า x
9. จงแสดงว่า x
3
เป็นตัวประกอบของ
1
x3
เป็นตัวประกอบของ
x2
x4
8x
2x 3
~5~
12
13x 2
14x
24
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
10. กำหนดให้
เป็นตัวประกอบของพหุนำม ได้จำกกำรหำร p(x ) ด้ วย x a b คือเท่ำใด x
1 และ x
1
p(x )
3x 3
สูตรที่ ควรทราบเกี่ยวกับพหุนาม 1. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 2. (x - y)2 = x2 - 2xy + y2 3. x2 – y2
= (x + y)(x - y)
4. (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 +y3 5. (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 6. x3 – y3
= (x - y)(x2 + xy + y2)
7. x3 + y3
= (x + y)(x2 - xy + y2)
3 2 11. ถ้ า x ax bx 2b หารด้ วย x 2 แล้ วเหลือเศษ 4 จงหาค่า a b
~6~
x2
ax
b
เศษเหลือที่
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
3 2 12. ถ้ า ax 2ax 4 x 3 หารด้ วย x 1 ลงตัวแล้ ว a มีคา่ เท่าใด
13. จงแยกตัวประกอบ x 4 x3 5 x 2 x 6
14. สัมประสิทธิ์ของ x3 y ที่เกิดจากผลคูณของ x5 3x 2 3x 5 xy 2 y 2 x 4 4 x3 y 2 x 2 3xy มี ค่าเท่าใด
~7~
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
15. กาหนด A 3x 2 x 5 , B 4 x 7 และ C x 2 2 จงหาค่าของ A2 BC
2 2 16. กาหนด A 2 x 4 x 5 และ B 2 x 3x 4 จงหาค่าของ A2 B 2
17. ถ้ าผลคูณของ 4 y 2 3ky 5 2 y 9 มีสมั ประสิทธิ์ของพจน์ y เป็ น 71 แล้ ว 2k 1 มีคา่ เท่าไร
~8~
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
18. กาหนดให้
จงหาค่าของ a
p(x )
x3
ax 2
bx
2
ถ้า
x
1
2b
19. จงแยกตัวประกอบ x 4 y 2 4 y 4
~9~
และ
x
3
ต่างหาร
p(x )
แล้วเหลือเศษ 5
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
20. จงแยกตัวประกอบ a 4 b4 2ab a 2 b2
21. จงแยกตัวประกอบ x 4 x 2 y 2 y 4
22. จงแยกตัวประกอบ a 2 x ac abx b 2 y bc aby
~ 10 ~
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
23. ค่าของ (x2+2x-3) ÷(x-1) คือเท่าใด
24. นาเอา x-2 ไปหาร 3x3 -6x+9x-18 จะเหลือเศษเท่าใด
25. กาหนด ตัวหารคือ 3x+2 ได้ผลหาร 2x2+3x-5 เศษ 1 จงหาตัวตัง้
~ 11 ~
ครูอมุ าพร วัฒนา 26.
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
x3+2x2+3x+a
27. ถ้า
x
1 x
2
และ x3+x2+9 ต่างหารด้วย x-1 แล้วเหลือเศษเท่ากัน a มีคา่ เท่าใด
แล้ว
x3
1 x3
มีคา่ เท่าใด
28. จงแยกตัวประกอบของ 6(x+3)2-(7x+3)-5
~ 12 ~
ครูอมุ าพร วัฒนา 29.
x3 x
2
30. ถ้า
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม x3
16x x 12
(x
A x
B 3
x
3
x 2
2)
5x x2
31. จงหาตัวประกอบตัวหนึ่งของ
มีคา่ เท่าใด
1
9 9
แล้ว A2-B2 มีคา่ เท่าใด
6x4+x3-13x2-12x-28
32. เศษจากการหาร 6x4+x3-13x2+2 ด้วย 2x2-x-5 คือเท่าใด
~ 13 ~
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
33. ผลลัพธ์จากการหารพหุนามคือ x2+3x+4 เศษ 3 เมือ่ ตัวหารคือ x+2 ตัวตัง้ คือเท่าใด
34. ถ้า x99-1 หารด้วย x+1 เหลือเศษ a แล้วจงหาค่า k จากสมการ a2+25=ka
35. ค่าของ (9999)2 มีคา่ เท่าใด
~ 14 ~
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
36. ถ้า x+5 หาร 2x3+3x2-mx+10 ลงตัว จงหาค่าของ m
37. สัมประสิทธิ ์ของ x3y ทีเ่ กิดจากผลคูณ (x5-3x2+3x-5xy-2y2)(x4-4x3y+2x2+3xy) คือเท่าใด
38. กาหนด A = 2x2+4x-5 , B = 2x2-3x-4
A2-B2
~ 15 ~
เป็ นเท่าใด
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
39. ถ้าผลคูณของ (4y2+3ky-5)(2y+9) มีสมั ประสิทธิ ์ของพจน์ y เป็ น 71 แล้ว 2k+1 มีคา่ เท่าใด
40. ถ้า A=
1 4 x 3
2x 2
7x
8
และ B =
x6
1 4 x 3
3x 2
2x
แล้ว (A+B)(A-B) หารด้วย
B-Aมีคา่ เท่าใด
41. ถ้าหาร x4-3x ด้วยพหุนาม Ax2+Bx+C ผลหารเป็ น (x-1)2 มีเศษเป็ น x-3 จะได้ A2+B2+C2 มี
ค่าเท่าใด
~ 16 ~
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
42. ถ้า (2x2+3y2)2 หารด้วย A ได้ผลหาร 2x2-5xy+3y2 เหลือเศษ 25x2y2 แล้ว A มีคา่ เท่าใด
43. กาหนดให้ a,b,c เป็ นจานวนเต็ม a > 0 ถ้า x3+bx2+cx+1 หารด้วย ax2-2x-1 ลงตัวแล้ว a+b+c
มีคา่ เท่าใด
44. ถ้า 4x3+(2k-1)x2+5x-7 และ 3x3-6x2+2x+k ต่างหารด้วย x+2 แล้วมีเศษเท่ากัน จงหาค่าของ 14k+5
~ 17 ~
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
45. กาหนด P(x)=x6+ax3-x+b ถ้า x-1 หาร P(x) เหลือเศษ -1 และ x+1 หาร p(x) เหลือเศษ 1 แล้ว x
หาร P(x) จะเหลือเศษเท่าใด
46. ถ้า x2-3x+2 = (x-k)2+p แล้ว p มีคา่ เท่าใด
47. ถ้า 2x2+3x+2 = A(x-B)2+C แล้ว
A
7B C
~ 18 ~
มีคา่ เท่าใด
ครูอมุ าพร วัฒนา
48.
(2001)2 (201)2
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
(1999)2 (199)2
มีคา่ เท่าใด
49. จงแยกตัวประกอบของ (x2-3x)2-2(x2-3x)-8
50. ถ้า p+q+r=4 และ
1 p
1 q
1 r
0
จงหาค่าของ
~ 19 ~
p2+q2+r2
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
51. จงแยกตัวประกอบ
(x+1)2-5(x+1)+6
52. จงแยกตัวประกอบ
(c+d)2-(c+d)-132
53. จงแยกตัวประกอบ
(x2+x-6)(x2+x-2)+3
54. จงแยกตัวประกอบ
(x2+2x-8)(x2+2x+1)-10
55. จงแยกตัวประกอบ
(x2+x-5)(x2+2x-5)-12x2
56. จงแยกตัวประกอบ
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-8
57. จงแยกตัวประกอบ
(x-1)(x+2)(x-3)(x+4) +24
58. ให้ (x+a)(x+b)(x+c)(x+4)+1 = (x2+5x+5)2
59. ถ้า (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 = (A2+Bx+C)2 แล้ว A2+B2+C2
~ 20 ~
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
60. เศษทีเ่ หลือจากการหาร x+x3+x9+x27+x81+x243 ด้วย x2-1 เป็ นเท่าใด
61. ถ้ า x 4 7 x 2 16 x 2 ax b x 2 x d โดยที่ a, b, d เป็ นค่าคงตัว แล้ ว ab2 d มีคา่ เท่าใด
62. ถ้ า x 1 x 5 m สามารถจัดอยูใ่ นรูป x k แล้ ว k m มีคา่ เท่าใด 2
~ 21 ~
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
63. จงหาผลสาเร็ จของ x y
3 n
x y
n 3
64. กาหนด a, b, c สอดคล้ องกับสมการ a b2 2ac 16 b c 2 2ab 18 c a 2 2bc 22 แล้ ว 2 d b c เท่ากับเท่าใด
2
2
1 1 1 65. ถ้ า x x 16 แล้ ว x 6 6 มีคา่ เท่าใด x x x
~ 22 ~
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
2
1 1 66. ถ้ า x 5 โดยที่ x 0 แล้ วค่าของ x3 3 เป็ นเท่าใด x x
3
1 67. ให้ a 9 แล้ ว a
3
2 1 a 2 2 คือข้ อใด a
68. ถ้ า x3
1 1 140 แล้ ว x เท่ากับเท่าใด 3 x x
69. ถ้ า x3
1 1 52 แล้ ว x 2 2 เท่ากับเท่าใด 3 x x
~ 23 ~
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
70. ถ้ า 4 x 2 12 xy 9 y 2 0 แล้ ว
a b
2x มีคา่ เท่าใด y
a b
71. ถ้ า 4a 2 9b2 13ab และ 1 แล้ ว มีคา่ เท่าใด
72. ถ้ า 9 x 2 6 xy y 2 0 และ x y แล้ ว
x y มีคา่ เท่าใด x y
~ 24 ~
ครูอมุ าพร วัฒนา
พหุนามและการแยกตัวประกอบพหุนาม
10 x 2 เหลือเศษเท่าใด 73. 10 x 1 3
74. ถ้ าเศษเหลือที่ได้ จากการหารพหุนาม x3 2 x 2 x m และ x3 x 2 1 ด้ วยพหุนาม x 2 เป็ นจานวน เดียวกัน แล้ ว m มีคา่ เท่าใด
~ 25 ~