The Pythagorean Theorem สอน

The Pythagorean Theorem ทฤษฎีบทพิทาโกรัส

Umaporn Wattana

ปีธากอรัส นักคณิตศาสตร์ผู้คิดทฤษฎี ความสัมพันธ์ของความยาวด้านของรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก ปีธากอรัสมีอายุอยู่ในราว 582 - 500 ก่อนคริสตกาล ปีทาโกรัสเป็นนัก คณิตศาสตร์ชาวกรีก เกิดที่เกาะซามอส(Samos) แห่งทะเลเอเจียน(Agean) ใกล้ กับเอเชียไมเนอร์ ท่านเป็นผู้มีประสบการณ์และได้รับความรู้จากการเดินทาง ไปอิ ยิปต์ แ ละบาบิโลเนี ย ในขณะที่ศึ ก ษาในประเทศอิ ยิปต์ ปีทาโกรั ส พบว่ า ชาวอิ ยิ ป ต์ ใ ช้ เ ชื อ กที่ มี 13 ปม ล้ อ มรอบไม้ 3 อั น ซึ่ ง ปั ก อยู่ บ นพื้ น ที่ น ารู ป สามเหลี่ยมที่เกิดจากการใช้เชือกที่ล้อมรอบไม้3 อันนั้นเป็นรูปสามเหลี​ียมมุ ่ มฉาก ปีทาโกรัส เป็นที่รู้จักกันดีในฐานะของนักคณิตศาสตร์ผู้คิดค้นสูตรคูณ หรือ ตารางปีทาโกเรียน (Pythagorean Table)และทฤษฎีบทในเรขาคณิตที่ว่า " ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กาลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่า กับ ผลบวกของก าลั งสองของความยาวของด้า นประกอบมุม ฉาก " ซึ่ ง ทฤษฎีทั้งสองนี้เป็นที่ยอมรับ และใช้กันมาจนปัจจุบันนี้

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส 2 = (leg)2 + (leg)2 (hypotenuse) รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

เรียก

c a b b c a

ว่า legด้านประกอบมุมฉาก ว่า legด้านประกอบมุมฉาก ว่า hypotenuseด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่าง จากรูป จงหาว่าด้านใดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก C

A

B ตอบ ด้าน AC หรือ

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่าง จากรูป จงหาว่าด้านใดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก Z X

Y ตอบ ด้าน XY หรือ

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่าง จากรูป จงหาว่าด้านใดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

P O Q ตอบ ด้าน OQ หรือ

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงเขียนความสัมพันธ์ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้ โดยอาศัยทฤษฎีบทปีทาโกรัส

p

q o

2 o=

2 q+

2 p

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงเขียนความสัมพันธ์ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้ โดยอาศัยทฤษฎีบทปีทาโกรัส

s

t

r

2 2 s =r

+

2 t

แบบฝึ กหัด เรื่ อง ด้านและการเขียนความสัมพัน์

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงเขียนความสัมพันธ์ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้ โดยอาศัยทฤษฎีบทปีทาโกรัส

A

B

C

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาค่าของ c จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้

c

4

3

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาค่าของ c จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้

c 8 6

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาค่าของ c จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้

7 24

c

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาค่าของ b จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้

8

b 17

แบบฝึ กหัด เรื่ อง การหาความยาวด้านที่หายไป

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาค่าของ a จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้

a

25

24

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาความยาวรอบรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้

20

16

12 จะได้ความยาวรอบรูปเท่ากับ

12 + 16 + 20 = 48 หน่วย

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้

20 12

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้ พ.ท.สามเหลี่ยม

20

16 12

ฐาน

สูง

12

สูง

12

16

ตารางหน่วย

หา สูง

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วต่อไปนี้

A

10 B

6

D

C

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วต่อไปนี้

A

10 B

6

พ.ท.สามเหลี่ยม

8 D

12

C

ฐาน

สูง

12

8

ตารางหน่วย

หา AD

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาความยาวของทีวี 20 นิ้ว ที่มีความสูงของจอ 12 นิ้ว

20

12 iMath

16 ?

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาระยะห่างระหว่างจุด A และจุด B B 4

3

16

7 4

5

12

5 A

ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุด A และจุด B เท่ากับ 20 หน่วย

แบบฝึ กหัด เรื่ อง โจทยปัญหาและการประยุกต

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส

16

20

12 ถ้า เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมและ จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส

18

22

12 ถ้า เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมและ จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยมดังกล่าวไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส บทกลับทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหารูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

75

21

72 ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส บทกลับทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง ด้านยาว 3, 4, 5 เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

5

3 4

ดังนั้นความยาวดังกล่าวเป็นด้านรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

9

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส บทกลับทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง ด้านยาว 6, 8, 9 เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

9

6 8

ดังนั้นความยาวดังกล่าวไม่ใช่ด้านรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส การพิสูจน์ความเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก วิธีคิด 1. ดูให้ออกว่าต้องการพิสูจน์รูปใด 2. หาความยาวให้ได้ครบทั้งสามด้าน 3. ให้ด้านยาวที่สุดเป็น c ส่วนอีกสองด้านที่เหลือเป็น a, b 4. นาความยาวทุกด้านมายกกาลังสอง จะได้ข้อสรุปว่าสามเหลี่ยมนั้น 5. ถ้า เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส การพิสูจน์ความเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จงพิสูจน์ว่า เป้าหมาย

ABC เป็น

มุมฉาก

C

12 A

9

ดังนั้น

D

16

ABC เป็น

B

มุมฉาก

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส การพิสูจน์ความเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จงตรวจสอบว่า PQR เป็น เป้าหมาย

มุมฉากหรือไม่ 17 Q

15

P

8 M 6 R

แบบฝึ กหัด เรื่ อง การพิสูจน รู ปสามเหลี่ยมมุมฉาก

แบบทดสอบ