The Pythagorean Theorem ทฤษฎีบทพิทาโกรัส
Umaporn Wattana
ปีธากอรัส นักคณิตศาสตร์ผู้คิดทฤษฎี ความสัมพันธ์ของความยาวด้านของรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก ปีธากอรัสมีอายุอยู่ในราว 582 - 500 ก่อนคริสตกาล ปีทาโกรัสเป็นนัก คณิตศาสตร์ชาวกรีก เกิดที่เกาะซามอส(Samos) แห่งทะเลเอเจียน(Agean) ใกล้ กับเอเชียไมเนอร์ ท่านเป็นผู้มีประสบการณ์และได้รับความรู้จากการเดินทาง ไปอิ ยิปต์ แ ละบาบิโลเนี ย ในขณะที่ศึ ก ษาในประเทศอิ ยิปต์ ปีทาโกรั ส พบว่ า ชาวอิ ยิ ป ต์ ใ ช้ เ ชื อ กที่ มี 13 ปม ล้ อ มรอบไม้ 3 อั น ซึ่ ง ปั ก อยู่ บ นพื้ น ที่ น ารู ป สามเหลี่ยมที่เกิดจากการใช้เชือกที่ล้อมรอบไม้3 อันนั้นเป็นรูปสามเหลีียมมุ ่ มฉาก ปีทาโกรัส เป็นที่รู้จักกันดีในฐานะของนักคณิตศาสตร์ผู้คิดค้นสูตรคูณ หรือ ตารางปีทาโกเรียน (Pythagorean Table)และทฤษฎีบทในเรขาคณิตที่ว่า " ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กาลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่า กับ ผลบวกของก าลั งสองของความยาวของด้า นประกอบมุม ฉาก " ซึ่ ง ทฤษฎีทั้งสองนี้เป็นที่ยอมรับ และใช้กันมาจนปัจจุบันนี้
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส 2 = (leg)2 + (leg)2 (hypotenuse) รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
เรียก
c a b b c a
ว่า legด้านประกอบมุมฉาก ว่า legด้านประกอบมุมฉาก ว่า hypotenuseด้านตรงข้ามมุมฉาก
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่าง จากรูป จงหาว่าด้านใดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก C
A
B ตอบ ด้าน AC หรือ
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่าง จากรูป จงหาว่าด้านใดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก Z X
Y ตอบ ด้าน XY หรือ
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่าง จากรูป จงหาว่าด้านใดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก
P O Q ตอบ ด้าน OQ หรือ
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงเขียนความสัมพันธ์ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้ โดยอาศัยทฤษฎีบทปีทาโกรัส
p
q o
2 o=
2 q+
2 p
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงเขียนความสัมพันธ์ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้ โดยอาศัยทฤษฎีบทปีทาโกรัส
s
t
r
2 2 s =r
+
2 t
แบบฝึ กหัด เรื่ อง ด้านและการเขียนความสัมพัน์
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงเขียนความสัมพันธ์ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้ โดยอาศัยทฤษฎีบทปีทาโกรัส
A
B
C
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาค่าของ c จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้
c
4
3
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาค่าของ c จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้
c 8 6
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาค่าของ c จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้
7 24
c
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาค่าของ b จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้
8
b 17
แบบฝึ กหัด เรื่ อง การหาความยาวด้านที่หายไป
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาค่าของ a จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้
a
25
24
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาความยาวรอบรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้
20
16
12 จะได้ความยาวรอบรูปเท่ากับ
12 + 16 + 20 = 48 หน่วย
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้
20 12
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้ พ.ท.สามเหลี่ยม
20
16 12
ฐาน
สูง
12
สูง
12
16
ตารางหน่วย
หา สูง
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วต่อไปนี้
A
10 B
6
D
C
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วต่อไปนี้
A
10 B
6
พ.ท.สามเหลี่ยม
8 D
12
C
ฐาน
สูง
12
8
ตารางหน่วย
หา AD
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาความยาวของทีวี 20 นิ้ว ที่มีความสูงของจอ 12 นิ้ว
20
12 iMath
16 ?
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหาระยะห่างระหว่างจุด A และจุด B B 4
3
16
7 4
5
12
5 A
ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุด A และจุด B เท่ากับ 20 หน่วย
แบบฝึ กหัด เรื่ อง โจทยปัญหาและการประยุกต
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส
16
20
12 ถ้า เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมและ จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส
18
22
12 ถ้า เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมและ จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยมดังกล่าวไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส บทกลับทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง จงหารูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
75
21
72 ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส บทกลับทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง ด้านยาว 3, 4, 5 เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
5
3 4
ดังนั้นความยาวดังกล่าวเป็นด้านรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
9
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส บทกลับทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวอย่าง ด้านยาว 6, 8, 9 เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
9
6 8
ดังนั้นความยาวดังกล่าวไม่ใช่ด้านรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส การพิสูจน์ความเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก วิธีคิด 1. ดูให้ออกว่าต้องการพิสูจน์รูปใด 2. หาความยาวให้ได้ครบทั้งสามด้าน 3. ให้ด้านยาวที่สุดเป็น c ส่วนอีกสองด้านที่เหลือเป็น a, b 4. นาความยาวทุกด้านมายกกาลังสอง จะได้ข้อสรุปว่าสามเหลี่ยมนั้น 5. ถ้า เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส การพิสูจน์ความเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จงพิสูจน์ว่า เป้าหมาย
ABC เป็น
มุมฉาก
C
12 A
9
ดังนั้น
D
16
ABC เป็น
B
มุมฉาก
ทฤษฎีบทปีทาโกรัส การพิสูจน์ความเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จงตรวจสอบว่า PQR เป็น เป้าหมาย
มุมฉากหรือไม่ 17 Q
15
P
8 M 6 R
แบบฝึ กหัด เรื่ อง การพิสูจน รู ปสามเหลี่ยมมุมฉาก
แบบทดสอบ