"A ousadia do π ser racional". by "A ousadia do π ser racional"

A ousadia do π ser racional

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Sidney Silva

A ousadia do π ser racional

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Bibliotecária: Maria Isabel Schiavon Kinasz, CRB9 / 626

S586o

Silva, Sidney A ousadia do π ser racional / Sidney Silva – 1.ed. – Curitiba: Brazil Publishing, 2020. 74p.: il.; 21cm ISBN 978-65-5861-281-0

1. Matemática. 2. Número pi. I. Título. CDD 510 (22.ed) CDU 510

[1ª edição – Ano 2020]

www.aeditora.com.br

Abstract Pi (π) is used to represent the most known mathematical constant. By definition, π is the ratio of the circumference of a circle to its diameter. In other words, π is equal to the circumference divided by the diameter (π = c / d). Conversely, the circumference is equal to π times the diameter (c = π . d). No matter how big or small a circle is, pi will always be the same number. The first calculation of π was made by Archimedes of Syracuse (287-212 BC) who approached the area of a circle using the Pythagorean Theorem to find the areas of two regular polygons: the polygon inscribed within the circle and the polygon within which circle was circumscribed. Since the real area of the circle is between the areas of the inscribed and circumscribed polygons, the polygon areas gave the upper and lower limits to the area of the circle. Archimedes knew he had not found the exact value of π, but only an approximation within these limits. In this way, Archimedes showed that π is between 3 1/7 (223/71) and 3 10/71 (22/7). This research demonstrates that the value of π is 3.15 and can be represented by a fraction of integers, a/b, being therefore a Rational Number. It also demonstrates by means of an exercise that π = 3.15 is exact in 100% in the mathematical question. Palavras-chave: Arquimedes de Siracusa. Número Racional. Frações.

Sumário

Introdução.

. 9

CAPÍTULO 1 Referencial teórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 Breve história sobre o número pi (π) .

CAPÍTULO 2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CAPÍTULO 3 Desenvolvimento . .

. 19

CAPÍTULO 4 Resultados e discussão. . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.1 Considerações sobre as fórmulas na linha 193 . . . . . . . . 68 4.2 Lista de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.3 Sobre as fórmulas . .

. 69

Considerações finais . .

. 71

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Introdução

O símbolo π é usado matematicamente para descrever a função da proporção da circunferência de um círculo para seu diâmetro. Os matemáticos começaram a usar a letra grega π no século 18. O uso do símbolo foi popularizado por Leonhard Euler, que o adotou em 1737 (CAJORI, 1926). O primeiro cálculo de π foi feito por Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.), um dos maiores matemáticos do mundo antigo. Arquimedes aproximou a área de um círculo usando o Teorema de Pitágoras para encontrar as áreas de dois polígonos regulares: o polígono inscrito dentro do círculo e o polígono dentro do qual o círculo foi circunscrito. Como a área real do círculo está entre as áreas dos polígonos inscritos e circunscritos, as áreas dos polígonos deram os limites superior e inferior para a área do círculo. Arquimedes sabia que não tinha encontrado o valor exato de π, mas apenas uma aproximação dentro desses limites. Dessa forma, Arquimedes mostrou que π está entre 3 1/7 (223/71) e 3 10/71 (22/7), ou seja 3,14085... ≤ π ≤ 3,142857... Arquimedes apresentou a prova de seu valor para π em seu Tratado das Medidas dos Círculos que continha três proposições (HEATH, 1981). Esta pesquisa retoma a Teoria de Arquimedes de Siracusa e demonstra que π = 3,15 com 100% de exatidão, e pode ser escrito como a razão entre números a/b, portanto é um Número Racional.

capítulo 1 Referencial teórico

1.1 Breve história sobre o número pi (π) Na história da matemática, um dos desafios mais duradouros é o cálculo da razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, que veio a ser conhecido pela letra grega pi (π). Desde a antiga Babilônia, passando pela Idade Média na Europa, até os dias atuais dos supercomputadores, os matemáticos têm se esforçado para calcular o número misterioso. Eles procuraram por frações exatas, fórmulas e, mais recentemente, padrões na longa sequência de números começando com 3,141592653..., que é geralmente encurtado para 3,14. De acordo com William L. Schaaf: “Provavelmente nenhum símbolo na matemática evocou tanto mistério, romantismo, concepção errada e interesse humano quanto o número π” (apud BLATNER, 1997, p. 121) Possivelmente jamais se saberá quem descobriu que a proporção entre a circunferência e o diâmetro de um círculo é constante, e jamais se saberá quem tentou, primeiramente, calcular essa razão. Os babilônicos e os egípcios foram os

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primeiros a iniciar a “caçada” pelo π, há quase 4 mil anos. Não está claro como encontraram sua aproximação para π, mas Beckman (1971) afirma que simplesmente fizeram um grande círculo e depois mediram a circunferência e o diâmetro com um pedaço de corda. Usaram esse método para descobrir que π era ligeiramente maior do que 3 e sugeriram o valor 3 1/8 ou 3,125 (BECKMANN, 1971, p. 11). No entanto, essa teoria é provavelmente uma fantasia baseada em uma interpretação errada da palavra grega Harpedonapta, que Demócrito (460-370 a.C.) mencionou uma vez em uma carta a um colega. A palavra significa “esticadores de corda” ou “prendedores de corda”. A má interpretação se deve ao fato de que esses homens esticavam cordas para calcular círculos, pois eles faziam medições para marcar os limites das propriedades e áreas para templos (HEATH, 1981, p. 121). Um famoso pedaço de papiro egípcio dá outra estimativa antiga para π. Datado por volta de 1650 a.C., o papiro Rhind foi escrito por Ahmes1, que assinalou: “Corte 1/9 de diâmetro e construa um quadrado sobre o restante, que se tem a mesma área que o círculo” (BLATNER, 1997, p. 8). Em outras palavras, ele sugeriu que π = 4 (8 / 9)2 = 3,16049, o que não deixa de ser preciso. Essas palavras não se espalharam para o Oriente, pois os chineses usaram o valor impreciso, π = 3, centenas de anos mais tarde. Cronologicamente, a aproximação subsequente de π é encontrada no Antigo Testamento, 1 Reis (7,23): “Fez mais o mar de fundição, de dez côvados de uma borda até a outra borda, perfeitamente redondo, e de cinco côvados 1 Escriba do Egito Antigo que viveu durante o Segundo Período Intermediário e início da XVIII Dinastia Egípcia.

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de alto; e um cordão de trinta côvados o cingia em redor” (BÍBLIA SAGRADA, s.d.). Isso implica que π = 3. Os debates sobre este verso foram acalorados durante séculos. Segundo alguns pesquisadores, foi apenas uma aproximação simples, enquanto outros dizem que “[...] o diâmetro talvez tenha sido medido por fora, enquanto a circunferência foi medida por dentro” (TSABAN; GARBER, 1998, p. 76). No entanto, a maioria dos matemáticos e cientistas negligenciou uma aproximação muito mais precisa para π, que se encontra profundamente dentro do “código” matemático da língua hebraica. Em hebraico, cada letra é igual a um certo número e o “valor” de uma palavra é igual à soma de suas letras. Curiosamente, em 1 Reis 7,23, a palavra “cordão/linha” é escrita Kuf Vov Heh, mas o Heh não precisa estar lá e não é pronunciado. Com a letra extra, a palavra tem um valor de 111, mas, sem ele, o valor é 106 (Kuf = 100, Vov = 6, Heh = 5). A razão de π para 3 é muito próxima da razão de 111/106. Em outras palavras, π/3 = 111/106, aproximadamente; resolvendo para π, se encontra π = 3.1415094... (TSABAN; GARBER, 1998, p. 78). Este valor é muito mais preciso do que qualquer outro valor que havia sido calculado até esse ponto e seria o cálculo para o maior número de dígitos corretos por várias centenas de anos depois. Infelizmente, esta pequena joia matemática é praticamente um segredo, em comparação com a aproximação mais conhecida π = 3. Quando os gregos resolveram o problema, tomaram duas medidas revolucionárias para encontrar π. Antifonte (480-410 a.C.) e Brison de Heracleia (450-390 a.C.) surgiram com a ideia inovadora de inscrever um polígono dentro de um círculo, encontrando sua área e dobrando os lados 13

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repetidamente: “Mais cedo ou mais tarde [...] haveria tantos lados que o polígono [...] seria um círculo” (BLATNER, 1997, p. 16). Mais tarde, Brison também calculou a área de polígonos circunscrevendo o círculo. Essa foi, provavelmente, a primeira vez que um resultado matemático foi determinado por meio da utilização de limites superior e inferior. Infelizmente, o trabalho reduziu-se a encontrar as áreas de centenas de minúsculos triângulos, o que era muito complicado, de modo que seu trabalho só resultou em alguns dígitos (BLATNER, 1997, p. 16). Aproximadamente, ao mesmo tempo, Anaxágoras de Clazômena começou a trabalhar em um problema que não seria conclusivamente resolvido por mais de 2 mil anos. Depois da prisão por pregar ilegalmente, Anaxágoras passou seu tempo tentando fazer a quadratura do círculo. Cajori (1926, p. 17) escreveu: “Esta é a primeira vez, na história da matemática, que encontramos menção ao famoso problema da quadratura do círculo, a questão sobre a qual tantas reputações foram destruídas [...] Anaxágoras não oferece nenhuma solução, e parece ter, felizmente, escapado de paralogismos”. Desde aquela época, dezenas de matemáticos tentaram encontrar uma maneira de desenhar um quadrado com área igual à de um dado círculo; alguns sustentariam que haviam encontrado métodos para resolver o problema, enquanto outros argumentavam que era impossível. O problema foi finalmente resolvido no século 19. O primeiro homem a realmente causar um impacto no cálculo de π foi o grego Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.). Arquimedes assumiu o desafio, dando continuidade ao estudo dos polígonos inscritos e circunscritos, iniciado por Antifonte e Brison. No entanto, Siracusa usou um méto14

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do ligeiramente diferente do que eles usaram. Arquimedes centrou-se no perímetro dos polígonos em oposição às suas áreas, de modo que ele aproximou a circunferência do círculo em vez da área. Começou com um hexágono inscrito e circunscrito, em seguida, dobrou os lados quatro vezes para terminar com dois polígonos de 96 lados. Seu método foi o seguinte (O’CONNOR; ROBERTSON, 2001): Dado um círculo com raio r = 1, circunscreva um polígono regular com de 3 × 2n-1 lados e semiperímetro an, e inscreva um polígono regular com 3 × 2n-1 lados e semiperímetro bn. Isso resulta em uma sequência decrescente a1, a2, a3 an e uma sequência crescente b1, b2, b3,..., bn com cada sequência se aproximando de π. A partir da notação trigonométrica (que Arquimedes não tinha) para encontrar os dois semiperímetros, temos: an = K tan(π/K) e bn = K sin(π/K), onde K = 3 × 2n-1. Tem-se também: an+1 = 2K tan(π/2K) e bn+1 = 2K sin(π/2K). Resolvendo trigonometricamente: (1/an + 1/bn) = 2/an+1 (1) an+1bn = (bn+1)2 (2)

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Arquimedes começou com a1 = 3 tan(π/3) = 3√3 e b1 = 3 sen(π/3) = 3 √3/2, calculou a2 usando (1), b2 usando (2), a3 usando (1), b3 (2) até a6 e b6. Sua conclusão foi: b6 (

223 22 ) < π < a6 ( ) 71 7

Atenção para o fato de que o uso da trigonometria aqui é não histórico: Arquimedes não teve a vantagem de uma notação algébrica e trigonométrica e teve de derivar (1) e (2) por meios puramente geométricos. Além disso, ele nem sequer tinha a vantagem da notação decimal para números, de maneira que o cálculo de a6 e b6 de (1) e (2) não foram, de modo algum, uma tarefa trivial. Foi uma façanha bastante estupenda, tanto de imaginação quanto de cálculo; e a maravilha não é o fato de ter parado com polígonos de 96 lados, mas de ter ido tão longe (O’CONNOR; ROBERTSON, 2001).

capítulo 2 Metodologia

Este trabalho, quanto à sua natureza, classifica-se como pesquisa aplicada, pois tem como objetivo gerar conhecimentos para aplicação prática. No caso, demonstrar que π é um Número Racional. Quanto à abordagem, esta pesquisa é qualitativa ao apresentar um panorama sobre a investigação do número π ao longo da história; bem como, é também uma pesquisa quantitativa, em sua maioria, ao interpretar os fenômenos e seus significados. Do ponto de vista de seus objetivos, a pesquisa é exploratória, pois envolve levantamento bibliográfico, buscando relações entre os fenômenos; e é também explicativa ao tentar identificar fatores que expliquem a ocorrência (ou não) do fenômeno. Da perspectiva dos procedimentos técnicos (GIL, 1991), esta pesquisa é bibliográfica, pois foi elaborada a partir de material já publicado, no caso o trabalho do matemático Arquimedes de Siracusa.

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Documento é “toda base de conhecimento fixado materialmente e suscetível de ser utilizado para consulta ou estudo” (CERVO; BERVIAN,1983, p. 79). A Análise Documental (Adoc) pode se constituir como uma técnica valiosa de abordagem de dados, seja complementando as informações obtidas por outras técnicas, ou desvendando aspectos novos de um tema ou problema (LUDKE; ANDRÉ, 1986). A Adoc é a uma forma de organizar o material, de modo que a leitura seja feita por meio de algumas técnicas, tais como: fichamento, levantamentos qualitativo e quantitativo de termos e assuntos recorrentes, criação de códigos para facilitar o controle e o manuseio (PIMENTEL, 2001).

capítulo 3 Desenvolvimento

Pesquisando e investigando a Teoria de Arquimedes de Siracusa, foram desenvolvidas várias frações, uma delas é igual à fração do autor mencionado: 22/7. A fração descoberta foi 748/238 = 3,142857142857142857142857142857; na qual foram encontrados os mesmos resultados obtidos por Arquimedes de Siracusa. Com o aprofundamento nessa teoria, foram colocadas em prática várias frações, sendo todas elas exatas, com 100% no quesito matemático. A primeira fração foi a de 2.205/700 = 3,15, que é exata para o padrão de pi e com um polígono de 1.134 lados, dentro de uma circunferência de 360º. Obteve-se o mesmo valor para pi, 1.134/360 = 3,15 que é exato com 100% para o padrão de pi. Foram desenvolvidas, também, um total de 153 fórmulas, junto com as 220 frações provando que pi é racional, pois pode ser escrito sob frações de números inteiros.

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Segue algumas frações em que:

C = Comprimento =π D = Diâmetro

A = Área do Diâmetro =π D = Diâmetro

C = 6.363 = 3,15 (π ) D = 2.020

A = 6.363 = 3,15 (π ) D = 2.020

C = 20.601 = 3,15 (π ) D = 6.540

A = 20.601 = 3,15 (π ) D = 6.540

C = 17.766 = 3,15 (π ) D = 5.640

A = 17.766 = 3,15 (π ) D = 5.640

C = 756 = 3,15 (π ) D = 240

A = 756 = 3,15 (π ) D = 240

C = 161.343 = 3,15 (π ) D = 51.220

A = 161.343 = 3,15 (π ) D = 51.220

C = 67.788 = 3,15 (π ) D = 21.520

A = 67.788 = 3,15 (π ) D = 21.520

C = 5.418 = 3,15 (π ) D = 1.720

A = 5.418 = 3,15 (π ) D = 1.720

C = 22.428 = 3,15 (π ) D = 7.120

A = 22.428 = 3,15 (π ) D = 7.120

C = 89.649 = 3,15 (π ) D = 28.460

A = 89.649 = 3,15 (π ) D = 28.460

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C = 78.309 = 3,15 (π ) D = 24.860

A = 78.309 = 3,15 (π ) D = 24.860

C = 84.546 = 3,15 (π ) D = 26.840

A = 84.546 = 3,15 (π ) D = 26.840

C = 197.946 = 3,15 (π ) D = 62.840

A = 197.946 = 3,15 (π ) D = 62.840

C = 197.946 = 3,15 (π ) D = 62.840

A = 197.946 = 3,15 (π ) D = 62.840

C = 260.316 = 3,15 (π ) D = 82.640

A = 260.316 = 3,15 (π ) D = 82.640

C = 90.216 = 3,15 (π ) D = 28.640

A = 90.216 = 3,15 (π ) D = 28.640

C = 214.956 = 3,15 (π ) D = 68.240

A = 214.956 = 3,15 (π ) D = 68.240

C = 25.263 = 3,15 (π ) D = 8.020

A = 25.263 = 3,15 (π ) D = 8.020

C = 12.852 = 3,15 (π ) D = 4.080

A = 12.852 = 3,15 (π ) D = 4.080

C = 25.326 = 3,15 (π ) D = 8.040

A = 25.326 = 3,15 (π ) D = 8.040

C = 11.529 = 3,15 (π ) D = 3.660

A = 11.529 = 3,15 (π ) D = 3.660

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C = 30.366 = 3,15 (π ) D = 9.640

A = 30.366 = 3,15 (π ) D = 9.640

C = 21.861 = 3,15 (π ) D = 6.940

A = 21.861 = 3,15 (π ) D = 6.940

C = 29.799 = 3,15 (π ) D = 9.460

A = 29.799 = 3,15 (π ) D = 9.460

C = 2.709 = 3,15 (π ) D = 860

A = 2.709 = 3,15 (π ) D = 860

C = 2.142 = 3,15 (π ) D = 680

A = 2.142 = 3,15 (π ) D = 680

C = 38.888.888.598 = 3,15 (π ) D = 12.345.678.920

A = 38.888.888.598 = 3,15 (π ) D = 12.345.678.920

C = 38.888.888.661 = 3,15 (π ) D = 12.345.678.940

A = 38.888.888.661 = 3,15 (π ) D = 12.345.678.940

C = 279.999.999.783 = 3,15 (π ) D = 88.888.888.820

A = 279.999.999.783 = 3,15 (π ) D = 88.888.888.820

C = 314.999.999.811 = 3,15 (π ) D = 99.999.999.940

A = 314.999.999.811 = 3,15 (π ) D = 99.999.999.940

C = 39.059.929.818 = 3,15 (π ) D = 12.399.977.720

A = 39.059.929.818 = 3,15 (π ) D = 12.399.977.720

C = 5.229 = 3,15 (π ) D = 1.660

A = 5.229 = 3,15 (π ) D = 1.660

C = 19.404 = 3,15 (π ) D = 6.160

A = 19.404 = 3,15 (π ) D = 6.160

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C = 99.288 = 3,15 (π ) D = 31.520

A = 99.288 = 3,15 (π ) D = 31.520

C = 48.258 = 3,15 (π ) D = 15.320

A = 48.258 = 3,15 (π ) D = 15.320

C = 167.328 = 3,15 (π ) D = 53.120

A = 167.328 = 3,15 (π ) D = 53.120

C = 25.200 = 3,15 (π ) D = 8.000

A = 25.200 = 3,15 (π ) D = 8.000

C = 64.896.489 = 3,15 (π ) D = 20.602.060

A = 64.896.489 = 3,15 (π ) D = 20.602.060

C = 64.908.963 = 3,15 (π ) D = 20.606.020

A = 64.908.963 = 3,15 (π ) D = 20.606.020

C = 35.000.000.028 = 3,15 (π ) D = 11.111.111.120

A = 35.000.000.028 = 3,15 (π ) D = 11.111.111.120

C = 252.003.111.003 = 3,15 (π ) D = 80.009.876.200

A = 252.003.111.003 = 3,15 (π ) D = 80.009.876.200

C = 378 = 3,15 (π ) D = 120

A = 378 = 3,15 (π ) D = 120

C = 819 = 3,15 (π ) D = 260

A = 819 = 3,15 (π ) D = 260

C = 1.197 = 3,15 (π ) D = 380

A = 1.197 = 3,15 (π ) D = 380

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C = 1.449 = 3,15 (π ) D = 460

A = 1.449 = 3,15 (π ) D = 460

C = 2.709 = 3,15 (π ) D = 860

A = 2.709 = 3,15 (π ) D = 860

C = 756 = 3,15 (π ) D = 240

A = 756 = 3,15 (π ) D = 240

C = 756 = 3,15 (π ) D = 240

A = 756 = 3,15 (π ) D = 240

Pode-se citar um exemplo de uma Praça Circular: Em uma praça com diâmetro de 720 m2 é necessário construir uma área de lazer. Qual a sua área, seu comprimento e a área total a ser construída dentro do seu diâmetro? Segue como foi feita essa resolução nas fórmulas citadas no exemplo. Quando trocar os números, verá que todos são exatos para as fórmulas citadas no problema.

2.268 = 2.268

720x3,15 = 2.268

2.268 = 2.268

720x3,15 = 2.268

D.π = C

D.π = A

720 = 2.268:3,15

D = C:π

2.268:720 = 3,15

C:D = π

C = 2.268

C = 6,3x360

C = 2x3,15x360

720 = 720

C = 2.π.R

720 = 720

720 = 2.268:3,15

D = A:π

2.268:720 = 3,15

A:D = π

A = 2.268

A = 3,15x720

A = π.D

Tabela 1 – Praça Circular.

a ousadia do π ser racional

2.268 = 2.268

2.268 = 6,3x360

2.268 = 2x3,15x360

C = 2.π.R

360 = 360

360 = 2.268:6,3

16 360 = 360

2.268:6,3 = 360

A:(2.π) = R

360 = 360

360 = 2.268:6,3

360 = 2.268:(2x3,15)

360 = 2.268:(2x3,15) 14

R = C:(2.π)

R = A:(2.π)

2.268x720=

C.D = A

2.268:3,15 = 720

C:π = D

= 1.632.960

2.268x720=

A.D = C

2.268:3,15 = 720

A:π = D

sidney silva

9,9225

3,15 =

3,15 = 3,15

7.144, 2 : 720

2.268x3,15 : 720

3,15 =

2.268 = 2.268

2.268 = 6,3x360

9,9225

7.144, 2 : 720

2.268x3,15 : 720

3,15 = 3,15

3,15 =

3,15 = 3,15

3,15 = 2.268:720

3,15 = (3,15x720):720

2.268 = 2x3,15x360 18

π = (π.D):D

A = 2.π.R

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

2.268x0, 004375

9,9225

3,15 =

9,9225

3,15 =

3,15 = 3,15

7.144, 2 : 720

2.268x3,15 : 720

3,15 =

3,15 = 3,15

2.268x ( 3,15 : 720 )

3,15 =

9,9225

2.268x0, 004375

2.268x ( 3,15 : 720 )

518.400

2.268x228,57142857142857142857142857143

2.268x ( 720 : 3,15 )

720 = 720

720 =

3,15 = 3,15

3,15 =

SIDNEY SILVA

518.400

1.632.960 : 3,15

720 = 720

518.400

720 =

720 = 720

720 =

2.268x720 : 3,15

2.268x228,57142857142857142857142857143

2.268x ( 720 : 3,15 )

720 =

6,3 = 6,3

2.268:360 = 6,3

Fonte: Elaborada pelo autor (2017).

A:R = R

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

6,3 = 6,3

30 2.268:360 = 6,3

C:R = R

720 = 720

518.400 720 =

28 720 =

720 =

Tabela 2 – A Ousadia do π Ser Racional”.

6,3

R = 360

2.2682.268 = 2x3,15xR

A = 2.π.R

360 = 360

360 = 2.268:6,3 = 360

360 = 2.268:(2x3,15) = 360

R = C:(2.π) = R

SIDNEY SILVA

A:R = R

2.268 = 2.268

6,3 = 6,3

= 2.268

= 5.143.824 2.268

34 2.268:360 = 6,3

= 2.268

A.Cð) : ( ) ( ð.

2.268 = 2.268

2.268 = 720x3,15

2.268 = 2x360x3,15

A = 2.R.π

2.268 = 2.268

5.143.824 = 2.268

= 2.268

C.Að) : ( ) ( ð.

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

A : R2 = π

2.268 = 2.268

2.268 = 720x3,15

3,15 = 3,15

38 408.240:129.600 = 3,15

2.268 = 2x360x3,15

C = 2.R.π

408.240 = 408.240

R 2 .π = A

A = 408.240

A = 3,15x129.600

A = 3,15x(360x360)

39 129.600x3,15 = 408.240

A = π R2

SIDNEY SILVA

5.143.824

2.268 = 2.268

= 2.268

ð C.D. =A

408.240 = 408.240

9,9225x518.400 40 12, 6 408.240 = 5.143.824 12, 6 = 408.240

(π ) 2 .( D) 2 π .R 2 = 4.π ( 3,15x3,15) x ( 720x720 ) 4x3,15 3,15x129.600 =

ð) A.(D.

41 = 2.268

= 2.268

2.268 = 2.268

5.143.824 = 2.268

2.268 = 2.268

5.143.824 = 2.268

ð A.D. =C

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

)

9,9225

3,15 = 3,15

= 3,15

ðC : D. = π

3,15x3,15

= 2.268

= 3,15

= 2.268

2.268 = 2.268

5.143.824

ðC. ( D.

2.268x3,15 720 47

ðC. D

9,9225

= 3,15 3,15 = 3,15

9,9225

= 3,15 = 3,15

=π

3,15 = 3,15

= 3,15 = 3,15

= 3,15

3,15x3,15

ðA : D.

=π

SIDNEY SILVA

=π

3,15 = 3,15

A. ð D = 3,15 2.268x3,15 48 720 = 3,15 7.144, 2 720 = 3,15 9,9225 1=1

D. ð C =1 720x3,15 49 2.268= 1 2.268 =1 2.268 1

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

720 = 720

A: ð.D

1=1

1 =1

= 518.400 720

= 720x720 720

= 720

720x3,15 = 1 2.268

2.268 2.268= 1

D. ð A =1

1=1

= 11

C:D ð =1 2.268 : 720 3,15 = 1 3,15 3,15 =1

720 = 720

= 720 = 720x720 720

518.400 = 720

C: ð.D

SIDNEY SILVA

1=1

A:D ð= 1 2.268 : 720 3,15 =1 3,15 = 1 3,15 1

1=1

720 = 1 720 1

ðC : D

2.268 : 3,15 720

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

1=1

ðA : =D1 2.268 : 3,15 720 =1 720 720 =1 1

∴ ðxR =

A = 408.240 = 3,15x129.600 = 408.240

A = 0,7875x518.400

ð A   .  ð   A= 4  3,15   2.268x2.268   . 4   3,15x31,5   A = 0,7875x 57 5.143.824 9,9225

SIDNEY SILVA

∴ ðxR =

A = 408.240

16.203.045, 6 39, 69 A =

5.143.824 9,925 A=

3,15  2.268x2.268  . 4  3,15x31,5A =

π A2 . 2 π= 4 A

= 3,15x129.600 = 408.240

∴ ðxR =

A = 408.240 = 3,15x129.600 = 408.240

A = 0,7875x518.400

5.143.824 A =9,9225 0,7875 x

ð C   .  ð   A = 4  3,15   2.268x2.268   .    4   3,15x31,5  A=

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

∴ ðxR =

A = 408.240

16.203.045, 6 39, 69

3,15  2.268x2.268  . 4  3,15x31,5A =

π C2 . 2 4 A π=

= 3,15x129.600 = 408.240

61 408.240 = 408.240

6,3x129.600 = 408.240

2x3,15x129.600 = 408.240

2.π.R2:2 = π.R2

SIDNEY SILVA

A = 408.240

2 ∴ ðxR = = 3,15x129.600 = 408.240

C D . A= 2 2 2.268 720 2 A= 2 1.632.960 64 4 A=

408.240 = 408.240

6,3x64.800 = 408.240

62 2x3,15x64.800 = 408.240

2x3,15x (129.600:2) = 3,15x129.600

2.π.(R2:2) = π.R2

= 3,15x129.600 = 408.240

A = 408.240 2 ∴ ðxR = = 3,15x129.600 = 408.240

A = 1.134x360

2 ∴ ðxR =  A D   .  A=  2   2   2.268    A=  2 

A = 408.240

A = 1.134x360

 C  D   .   2   A2 =

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

∴ ðxR =

A = 408.240

= 3,15x129.600 = 408.240

A D . A= 2 2 2.268 A= 2 1.632.960 66 A= 4 67

A= =A

= 408.240

1.632.960 x408.240 4

( A.D ) .A =

SIDNEY SILVA

π=

= 408.240

1.632.960 x408.240 4

( C.D ) .A =

C D 3,15 =2 : 2 70 2.268 3,15 = 2 3,15 3,15 = 3,15 1

3,15 = 3,15

A D  :  3,15 = 2   2  71  2.268    2  3,15 = 1.134:360

π=

3,15 = 3,15

C D  :  3,15 = 2   2  69  2.268    2  3,15 = 1.134:360

π=

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

3,15 = 3,15

A D : 2 π 2= 2.268 2 = 3,15 72 3,15 3,151 = ∴ ðxR =

A = 408.240

12, 6 A = 5.143.824 73 12, 6A =

( 2.268x2.268)

D= A

(C )

= 3,15x129.600 = 408.240 SIDNEY SILVA

A 3,15 = ) 76( 2.R 2.268 3,15 = ( 2x360 2.268) 720=) 3,15 (3,15

π=

∴ ðxR =

A = 408.240

12, 6 A = 74 5.143.824 A= 12, 6

( 2.268x2.268)

D= A

(A )

= 3,15x129.600 = 408.240 π=

2.268 720=) 3,15 (3,15

3,15 =

C 77 D 3,15 = 2.268 720= 3,15 3,15

2.268 3,15 = ( 2x360 )

π=

C ( 2.R )

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

720 = 720

4.536:6,3 = 720

(2.268+2.268):6,3 = 720

(C+A):R = D

A 78 3,15 D = 2.268 720= 3,15 3,15

π=

= 3,15

3,15x6,3 : 2

= 3,15

=π

9,9225

= 3,15

19,845 : 2

= 3,15

= 3,15 3,15 = 3,15

720 = 720

4.536:6,3 = 720

(2.268+2.268):6,3 = 720

(A+C):R = D

SIDNEY SILVA

9,9225

= 3,15x3,15 3,15

=π

3,15 = 3,15

9,9225

= 3,15

3,15 = 3,15

84 12,6:4 = 3,15

9,9225

= 3,15

9,9225

= 3,15

1.632.960 = 1.632.960

85 2.268x720 = 1.632.960

C.D = A

1,575 = 1,575

83 6,3:4 = pi radiano 1,575

= Ângulo de 90° graus

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

6,3 = 6,3 (A.C):A:π = C (2.268x2.268):408.240x3,15= 39,69

6,3 = 6,3

(C.A):A:π = C

(2.268x2.268):408.240x3,15= 39,69

12,6x3,15 = 39,69 39,69 = 39,69

12,6x3,15 = 39,69

39,69 = 39,69

89 5.143.824:408.240x3,15 = 39,69

14.288,4:2.268 = 6,3

88 5.143.824:408.240x3,15 = 39,69

87 5.143.824:360:2.268 = 6,3

(2.268x2.268):360:2.268= 6,3

86 5.143.824:360:2.268 = 6,3

(A.C):R:C = R

(C.A):R:C = R

sidney silva

(4) 93

12, 6x3,15

( ðC.A ) : A.

(4)

5.143.824:1.285.956 =

( ðC.A ) : A.

(4)

(2.268x2.268):(408.240x3,15) =

(C.A):(A. π) =

= 6,3

(4)

( ðC.A ) : A.

= 6,3

( ðC.A ) : A.

( ðC.A )4:=A.

(4)

5.143.824:1.285.956 =

(4)

= 6,3

(2.268x2.268):(408.240x3,15) =

(A.C):(A. π) =

( ðC.A ) : A.

6,3 = 6,3

( ðC.A ) : A.

6,3 = 6,3

(4)

= 6,3

( ðA.C ) : A.

39, 69 = 6,3

= 6,3

39, 69 = 6,3

12, 6x3,15

( ðC.A )4:=A.

( ðC.A ) : A.

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

0,25 = 0,25

1.285.956:5.143.824 = 0.25

0,25 = 0,25

1.285.956:5.143.824 = 0.25

(408.240x3,15):(2.268x2.268) = 0,25

0,25 = 0,25

1.285.956:5.143.824 = 0.25

(408.240x3,15):(2.268x2.268) = 0,25

(3,15x408.240):(2.268x2.268) = 0,25 97

(A. π):(A.C) = 0,25

(A. π):(C.A) = 0,25

(π.A):(A.C) = 0,25

2=2

( ðA.C ) : ( A. )

SIDNEY SILVA

100

0,5 = 0,5

0, 25

= 0,5

0,25 = 0,25

= 0,5

( ð.A ) : ( A.C )

= 0,5

1.285.956:5.143.824 = 0.25

= 0,5

(3,15x408.240):(2.268x2.268) = 0,25

(π.A):(C.A) = 0,25

101

0,5 = 0,5

0, 25

= 0,5

0,5 = 0,5

= 0,5

ð : )C.A ( A. ( )

= 0,5

0, 25

= 0,5

ð : )A.C ( A. ( )

= 0,5

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

104

102

(4)

5.143.824:1.285.956 =

(4)

0, 25

= 0,5

(2.268x2.268):(408.240x3,15) =

(A.C):A:π =

0,5 = 0,5

0, 25

= 0,5

0, 25

= 0,5

25 ) : ( C.A ) (0,ð.A

= 0,5

(4) (4)

(4)

4 = (4)

12,6:3,15 =

(4)

((2.268x2.268):408.240):3,15) =

((A.C):A):π =

5.143.824:1.285.956 =

(2.268x2.268):(408.240x3,15) =

(4)

105 (5.143.824:408.240):3,15 =

103

(C.A):A:π =

(4)

SIDNEY SILVA

108

106

39,69 = 39,69

5.143.824:129.600 = 39,69

(2.268x2.268):129.600 = 39,69

(C.A):R2 = C

2=2

4 =2

12, 6 : 3,15 = 2

( ðC.A ) : A :

(A.C):R2 = C

2=2

12, 6 : 3,15 = 2

5.143.824:129.600 = 39,69

109 (2.268x2.268):129.600 = 39,69

107

( ðA.C ) : A :

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

112

39, 69

110

4 = 6,3

0,25 = 025

408.240:1.632.960 = 0,25

(3,15x129.600):(2.268x720) = 0.25

(π.R2):(C.D) = 0,25

6,3 = 6,3

4 = 6,3

4 =R ( C.A ) : R 2

(2.268x720):(3,15x129.600) = 0.25

(C.D):(π.R2) = 1

6,3 = 6,3

4 = 6,3

4 = 6,3 4 = 6,3

1=1

113 408.240:408.240 = 1

39, 69

111

4 =R ( A.C ) : R 2

SIDNEY SILVA

2.π.R2

0,25 = 025 2

816.840 = 816.480

= 816.480

= 6,3x129.600

= 2.π.R2 = Volume Área =

( ð : R ) .( C.D )

408.240:1.632.960 = 0,25

116 2x3,15x129.600

114

(3,15x129.600):(2.268x720) = 0.25

(π.R2):(A.D) = 0,25 ):A = R

117

12,6 = 12,6

5.143.824:408.240 = 12,6

(2.268x2.268):(3,15x129.600) = 12,6

(C.A):(π.R2) = D

1,575:0,25 = 6,3

115 (6,3:4)(Ângulo de 90° graus):0,25 = 6,3

(R:

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

(2.268x720):(3,15x129.600) = (4)

(4) =

(4)

(4) =

(4)

121 1.632.960:408.240 =

(4)

(2.268x720):(3,15x129.600) =

(A.D):(π.R2) =

(C.D):(π.R2) =

(4)

12,6 = 12,6

5.143.824:408.240 = 12,6

12,6 = 12,6

5.143.824:408.240 = 12,6

(4)

(2.268x2.268):(3,15x129.600) = 12,6

119

(2.268x2.268):(129.600x3,15) = 12,6

120 1.632.960:408.240 = (4)

118

(A.C):(π.R2) = D

(A.C):(R2.π.) = D

SIDNEY SILVA

124

2=2

4 =2

: R) : ( ( ðC.D

)

: R) : ( ( ðC.D

125

)

4 =2 2=2

: R) : ( ( ðC.D

C.D : R) : ( ( ðA.D

)

: R) : ( ( ðC.D

)

3,15 = 3,15

12,6:4 = 3,15

123 (5.143.824:408.240):4 = 3,15

)

(2.268x2.268):(3,15x129.600):4 = 3,15

122 (5.143.824:408.240):4 = 3,15

(A.C):(π.R2):4 = π

(C.A):(π.R2):4 = π

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

126

= 3,15

3,15 = 3,15

9,9225

= 3,15

= π =3,15

= 3,15

= 3,15 127

3,15 = 3,15

= 3,15

=π

= 3,15

SIDNEY SILVA

128

6,3 = 6,3

39,96 = 6,3

( 5.143.824 :129.600 )

= 6,3

( 2.268x2.268) :129.600

( A.C ) : R 2

129

6,3 = 6,3

39,96 = 6,3

( 5.143.824 :129.600 )

= 6,3 = 6,3

( 2.268x2.268) :129.600

( C.A ) : R 2

a ousadia do π ser racional

132

130

=π

3,15 = 3,15

9,9225 = 3,15

39, 69 : 4 = 3,15

6,3 = 6,3

133

12,6 = 12,6

158, 76 = 12,6

39, 69 : 0, 25) = 12,6

C : 0, 25 = D

6,3 = 6,3

39, 69 = 6,3

( 5.143.824 ) : 408.240x3,15

39, 69 = 6,3

131

= 6,3

( 2.268x2.268) : 408.240x3,15

12, 6x3,15 = 6,3

= 6,3

12, 6x3,15 = 6,3

( 5.143.824 ) : 408.240x3,15

( 2.268x2.268) : 408.240x3,15

SIDNEY SILVA

136

134

3,15 = 3,15

9,9225 = 3,15

19,845 : 2 = 3,15

39, 69x0,5 : 2 = 3,15

C.0,5 : 2 = π

3,15 = 3,15

9,9225 = 3,15

6,3 = 6,3

137 3,15:5 = 6,3

π:0,5 = R

3,15 = 3,15

9,9225 = 3,15

39, 69x0, 25 = 3,15

39, 69x0, 25) = 3,15 135

C. ( 0,5 : 2 ) = π

C.0, 25 = π

a ousadia do π ser racional

1.632.960 = 1.632.960

140 2.268x720 = 1.632.960

C.D = A

12,6 = 12,6

138 3,15:0,25 = 12,6

π:0,25 = D

141

=π = 3,15

3,15 = 3,15

9,9225 = 3,15

19,845 : 2 = 3,15

14, 288, 4 : 720 : 2 = 3,15

5.143.824 : 360 : 720 : 2 = 3,15

( 2.268x2.268) : 360 : 720 : 2

( C.A ) : R : D : 2

1.632.960 = 1.632.960

139 2.268x720 = 1.632.960

C.D = A

sidney silva

= 3,15

A:R2 = D

3,15 = 3,15

9,9225 = 3,15

19,845 : 2 = 3,15

14, 288, 4 : 720 : 2 = 3,15

5.143.824 : 360 : 720 : 2 = 3,15

12,6 = 12,6

144 1.632.960:129.600 = 12,6

142

=π

( 2.268x2.268) : 360 : 720 : 2

( A.C ) : R : D : 2

145

12,6 = 12,6

5.143.824:408.240 = 12,6

(2.268x2.268):408.240 = 12,6

(C.A):A = D

12,6 = 12,6

143 1.632.960:129.600 = 12,6

C:R2 = D

a ousadia do π ser racional

(4)

720 = 720

1.632.960:2.268 = 720

Fonte: Elaborada pelo autor (2017).

150

(4)

(2.268x720):(3,15x720) = 720

(A.D) : (π.D) = D

720 = 720

148 1.632.960:2.268 = 720

C:A = D

(4) =

146 1.632.960:408.240 =

A:A = (4) e (C.D):(π.R2) =

A:A = D

720 = 720

1.632.960:2.268 = 720

(2.268x720):(3,15x720) = 720

(C.D) : (π.D) = D

(A.D):(π.R2) =

É compatível com as fórmulas:

720 = 720

151 1.632.960:2.268 = 720

149

147

(4)

SIDNEY SILVA

A OUSADIA DO π SER RACIONAL

Legenda Geral: Pi = 3,15 Raio = 360 = R2 = 360 x 360 = 129.600 Áread = 2.268 = Área do Diâmetro = 3,15 x 720 = 2.268 Diâmetro = 720 = 720 x 3,15 = 2.268 (π . D) Área Total = 3,15 x 129.600 = 408.240 (π . R2) CA = 2. π . R = 2 x 3,15 x 360 = 6,3 x 360 = 2.268 Diâmetro = 12,6 C = 6,3 C = 39,69 = (4) C = 1.632.960 = C x D = 2.268 x 720 = 1.632.960

capítulo 4 Resultados e discussão

A fração 22/7 resulta em 3,14286, bem como a fração 748/238 resulta em 3,14286. Isso faz da segunda um múltiplo da primeira, na qual o fator é 34, pois: 748/22 = 34 e 238/7 =34. Explicando: para que um valor seja mantido, basta multiplicá-lo ou dividi-lo por 1 ou multiplicar e dividir o monômio por um mesmo número amigável. No caso de frações ordinárias, a multiplicação e divisão são automáticas, pois a fração de valor um é indicada por:

238 34 748 × = 7 34 238 O número amigável pode ser qualquer um. A sequência de exemplos que segue atende: 1. Todos os componentes da fração são números inteiros. 2. A transformação em número decimal sempre resulta 3,15. 3. O fator amigável atende as condições 1 e 2. 67

sidney silva

4.1 Considerações sobre as fórmulas na linha 193 A primeira fórmula C ( Circunferência ) =π .

C ( Comprimento ) D ( Diâmetro )

=π

teria que ser

D ( Diâmetro )

Só a palavra “comprimento” não define qual comprimento, apesar de estar se referindo a um círculo. A ( Área do diâmetro ) = π , temos duas Na segunda fórmula D ( Diâmetro ) divergências. Diâmetro é uma linha e, portanto, tem apenas uma dimensão (o comprimento). Área tem duas dimensões. Como diâmetro só tem uma dimensão, não tem área. O que provavelmente se deseja dizer aqui é a área do círculo. O elemento correto seria área de um círculo, considerando o diâmetro com valor conhecido. A fórmula da área de um π × D2 círculo com referência ao seu diâmetro é Área = 4 .

Usando essa fórmula e desejando isolar o p, teríamos a fórmula π = 4 A2 . D

4.2 Lista de frações Ambas as colunas trazem os mesmos valores para condições diferentes. Portanto, o resultado é igual para as duas. Apenas há variação dos valores numéricos entre as linhas, mas repetidos nas colunas. Se comprimento e área são coisas diferentes, a coluna 2 é improcedente. A fração com os menores números é a 41° 378/120, a qual será tomada como base. 68

a ousadia do π ser racional

Ex.1 Comparando 6363/2020 e 378/120. 6363/378 = 16,8333 e 2020/120 = 16,8333. Ex.2 Comparando20601/6540 e 378/120. 20601/6540 = 54,5 e 6540/120 = 54,5. Ex.37 Comparando 64896489/20602060 e 378/120. 64896489/378 = 171683,8333 e 20602060/120 = 171683,8333.

4.3 Sobre as fórmulas Fórmula 1 -> A = p x D A é o comprimento da circunferência D é o diâmetro da circunferência Fórmula 2 -> C = 2 x p x R Se adotou A para o comprimento da circunferência. A letra C é a mesma coisa que A. Se 2R = D. Esta fórmula define o perímetro da circunferência em função do raio, enquanto a fórmula 1 é em função do diâmetro. Sendo ambas para calcular a mesma coisa, a incógnita tem que ter a mesma letra para evitar confusão e definir a mesma característica em cálculos complexos. Fórmulas 3 até 10 -> idem fórmulas 1 e 2. Fórmula 11 -> Se A = C, substituindo temos A x D = A (conforme fórmulas 1 e 2) e isolando D, temos D=

A portando D = 1. A

sidney silva

Fórmula 12 -> idem fórmula 11. Fórmula 13 e 16 são a mesma, apenas com a posição trocada. Fórmula 18 ->p = (p.D):D -> p = p x D : D -> p = p x 1, portanto = p . Sua fórmula apenas diz que p é igual a p. Fórmula 57 -> A=

π  A ×  4 π 

desdobrando, A= A

1 1

4 π2

Simplificando, transportando, 2= × A 4 π Resolvendo, portando, A= 4p. Se A for considerado o perímetro de uma circunferência, sua fórmula serve apenas para uma circunferência particular cujo diâmetro é 4 e o raio é 2.

Considerações finais

O grande pensador e Matemático Arquimedes de Siracusa chegou perto de um enigmático número de pi, quando em suas teorias usou um polígono de 96 lados dentro de uma circunferência, e, conforme seu relato, quanto mais perto chegar, mais exato será o número de pi. Na era atual, foi desenvolvido e padronizado o número de pi, com um polígono de 1.134 lados dentro de uma circunferência de 360º, chegando a 3,15 (três inteiro com quinze centésimo finito depois da vírgula), não pode ser arredondado, não pode ser simplificado e não pode ser aproximado; tem que ser exato. Além disso, esse enigmático número de Pi foi padronizado para ser Racional e Irreversível.

Referências

BECKMAN, P. The History of Pi. New York: The Golem Press, 1971. BERGGREN, L. Pi: A Source Book. New York: Springer-Verlag, 1997. BÍBLIA SAGRADA. Almeida Corrigida Fiel. Bíblia online, s.d. Disponível em: https://www.bibliaonline.com.br/acf/1rs/7. Acesso em: 29 out. 2020. BLATNER, D. The Joy of Pi. New York: Walker Publishing Company, 1997. CAJORI, F. A History of Mathematics. London: MacMillan and Co, 1926. CERVO, A. L.; BERVIAN, P. A. Metodologia Científica. 3. ed. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1983. GIL, A. C. Como elaborar projetos de pesquisa. São Paulo: Atlas, 2002. HEATH, T. A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. New York: Dover Publications, 1981. v.1. LÜDKE, M.; ANDRÉ, M. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, 1986. O’CONNOR, J. J.; ROBERTSON E. F. The MacTutor History of Mathematics Archive. s.d. Disponível em: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/. Acesso em: 13 fev. 2017. PIMENTEL, A. O método da análise documental: seu uso numa pesquisa historiográfica. Cadernos de Pesquisa, São Paulo, n. 114, p. 179-195, 2001. Disponível em: http://www.scielo.br/pdf/cp/n114/a08n114.pdf. Acesso em: 20 fev. 2017. STRUIK, D. J. A Source Book in Mathematics, 1200-1800. New Jersey: Princeton University Press, 1986. TSABAN, B.; GARBER, D. On the Rabbinical Approximation of pi. Historia Mathematica, v. 25, p. 75-84, 1998.

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Considerações finais

Introdução

Referências

Resultados e discussão

Metodologia

CAPÍTULO