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Número Enigmático Pi (π)
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Egnigmatic Number Pi (π)
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Nome Completo do Autor 1 Instituição (SIGLA), Departamento (se houver), Núcleo (se houver), Programa (se houver), Cidade, SIGLA do Estado, País autor1@email.com
RESUMO Pi (π) é usado para representar a constante matemática mais conhecida. Por definição, π é a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro. Em outras palavras, π é igual à circunferência dividida pelo diâmetro (π = c / d). Inversamente, a circunferência é igual a π vezes o diâmetro (c = π d). Não importa quão grande ou pequeno for um círculo, pi sempre será o mesmo número. O primeiro cálculo de π foi feito por Arquimedes de Siracusa (287 a.C - 212 a.C) que aproximou a área de um círculo usando o Teorema de Pitágoras para encontrar as áreas de dois polígonos regulares: o polígono inscrito dentro do círculo e o polígono dentro do qual o círculo foi circunscrito. Como a área real do círculo está entre as áreas dos polígonos inscritos e circunscritos, as áreas dos polígonos deram os limites superior e inferior para a área do círculo. Arquimedes sabia que não tinha encontrado o valor exato de π, mas apenas uma aproximação dentro desses limites. Desta forma, Arquimedes mostrou que π está entre 3 1/7 (223/71) e 3 10/71 (22/7). Esta pesquisa demonstra que o valor de π é 3,15 e pode ser representado por uma fração de números inteiros, a/b, sendo, portanto, um número racional. Também demonstra por meio de um exercício que π = 3,15 é exato em 100% no quesito matemático. Palavras-chave: Arquimedes de Siracusa. Número Racional. Frações. ABSTRACT Pi (π) is used to represent the most known mathematical constant. By definition, π is the ratio of the circumference of a circle to its diameter. In other words, π is equal to the circumference divided by the diameter (π = c / d). Conversely, the circumference is equal to π times the diameter (c = π d). No matter how big or small a circle is, pi will always be the same number. The first calculation of π was made by Archimedes of Syracuse (287 BC - 212 BC) who approached the area of a circle using the Pythagorean Theorem to find the areas of two regular polygons: the polygon inscribed within the circle and the polygon within which circle was circumscribed. Since the real area of the circle is between the areas of the inscribed and circumscribed polygons, the polygon areas gave the upper and lower limits to the area of the circle. Archimedes knew he had not found the exact value of π, but only an approximation within these limits. In this way, Archimedes showed that π is between 3 1/7 (223/71) and 3 10/71 (22/7). This research demonstrates that the value of π is 3.15 and can be represented by a fraction of integers, a / b, being therefore a rational number. It also demonstrates by means of an exercise that π = 3.15 is exact in 100% in the mathematical question. Key words: Archimedes of Syracuse. Rational Number. Fractions.
2
46
1 Introdução
47
O símbolo π é usado matematicamente para descrever a função da proporção da
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circunferência de um círculo para seu diâmetro. Os matemáticos começaram a usar a letra grega
49
π no século XVIII. O uso do símbolo foi popularizado por Leonhard Euler que o adotou em 1737
50
(CAJORI, 1926).
51
O primeiro cálculo de π foi feito por Arquimedes de Siracusa (287 a.C - 212 a.C), um dos
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maiores matemáticos do mundo antigo. Arquimedes aproximou a área de um círculo usando o
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Teorema de Pitágoras para encontrar as áreas de dois polígonos regulares: o polígono inscrito
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dentro do círculo e o polígono dentro do qual o círculo foi circunscrito. Como a área real do círculo
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está entre as áreas dos polígonos inscritos e circunscritos, as áreas dos polígonos deram os
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limites superior e inferior para a área do círculo. Arquimedes sabia que não tinha encontrado o
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valor exato de π, mas apenas uma aproximação dentro desses limites. Desta forma, Arquimedes
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mostrou que π está entre 3 1/7 (223/71) e 3 10/71 (22/7), ou seja 3,14085... ≤ π ≤ 3,142857...
59 60
Arquimedes apresentou a prova de seu valor para π em seu tratado Sobre as Medidas dos Círculos que continha três proposições (HEATH, 1981).
61
Esta pesquisa retoma a “Teoria de Arquimedes de Siracusa” e demonstra que π = 3,15,
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com 100% de exatidão, e pode ser escrito como a razão entre números a/b, portanto é um número
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racional.
Número Enigmático Pi (π)
64 65
3
2 Referencial Teórico 2.1 Breve História sobre o Número Pi (π)
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Na história da matemática, um dos desafios mais duradouros é o cálculo da razão entre a
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circunferência e o diâmetro de um círculo, que veio a ser conhecido pela letra grega pi (π). Desde
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a antiga Babilônia, passando pela Idade Média na Europa, até os dias atuais dos
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supercomputadores, os matemáticos têm se esforçado para calcular o número misterioso. Eles
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procuraram por frações exatas, fórmulas e, mais recentemente, padrões na longa sequência de
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números começando com 3,141592653 ..., que é geralmente encurtado para 3,14. William L.
72
Schaaf disse uma vez: “Provavelmente nenhum símbolo na matemática evocou tanto mistério,
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romantismo, concepção errada e interesse humano quanto o número π” (BLATNER, 1997, p.
74
121).
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Provavelmente jamais se saberá quem descobriu que a proporção entre a circunferência e
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o diâmetro de um círculo é constante, e jamais se saberá quem tentou primeiramente calcular
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essa razão. Os babilônicos e os egípcios foram os primeiros a iniciar a “caçada” pelo π, há quase
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4.000 anos atrás. Não está claro como eles encontraram sua aproximação para π, mas uma fonte
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(Beckman) afirma que eles simplesmente fizeram um grande círculo e depois mediram a
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circunferência e o diâmetro com um pedaço de corda. Eles usaram esse método para descobrir
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que π era ligeiramente maior do que 3 e sugeriram o valor 3 ⁄ ou 3,125 (BECKMANN, 1971,
82
p.11). No entanto, esta teoria é provavelmente uma fantasia baseada em uma interpretação
83
errada da palavra grega “Harpedonaptae”, que Demócrito mencionou uma vez em uma carta a um
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colega. A palavra literalmente significa “esticadores de corda” ou "predendedores de corda". A má
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interpretação se deve ao fato de que esses homens esticavam cordas para calcular círculos, pois
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eles faziam medições para marcar os limites das propriedades e áreas para templos, de acordo
87
com (HEATH, 1981, p.121).
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Um famoso pedaço de papiro egípcio dá outra estimativa antiga para π. Datado por volta
89
de 1650 A.C., o papiro Rhind foi escrito por um escriba chamado Ahmes. Ahmes escreveu: “Corte
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1/9 de diâmetro e construa um quadrado sobre o restante, que se tem a mesma área que o
91
círculo" (BLATNER, 1997, p. 8). Em outras palavras, ele sugeriu que π = 4.(8/9)2 = 3,16049, que
92
também é bastante preciso. Estas palavras não se espalharam para o Oriente, pois os chineses
93
usaram o valor impreciso π = 3 centenas de anos mais tarde.
94
Cronologicamente, a próxima aproximação de π é encontrada no Antigo Testamento. Um
95
versículo bastante conhecido, primeiro livro dos Reis 7:23, diz: “Fez mais o mar de fundição, de
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dez côvados de uma borda até à outra borda, perfeitamente redondo, e de cinco côvados de alto;
97
e um cordão de trinta côvados o cingia em redor" (BLATNER, 1997, p. 13). Isto implica que π = 3.
98
Os debates sobre este verso foram acalorados durante séculos. Segundo alguns, foi apenas uma
99
aproximação simples, enquanto outros dizem que “(...) o diâmetro talvez tenha sido medido por
4
100
fora, enquanto a circunferência foi medida por dentro” (TSABAN e GARBER, 1998, p. 76). No
101
entanto, a maioria dos matemáticos e cientistas negligenciou uma aproximação muito mais
102
precisa para π que se encontra profundamente dentro do “código” matemático da língua hebraica.
103
Em hebraico, cada letra é igual a um certo número e o “valor” de uma palavra é igual à soma de
104
suas letras. Curiosamente, em 1Reis 7:23, a palavra “cordão/linha” é escrita Kuf Vov Heh, mas o
105
Heh não precisa estar lá e não é pronunciado. Com a letra extra, a palavra tem um valor de 111,
106
mas sem ele, o valor é 106. (Kuf = 100, Vov = 6, Heh = 5). A razão de π para 3 é muito próxima
107
da razão de 111/106. Em outras palavras, π/3 = 111/106 aproximadamente; resolvendo para π, se
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encontra π = 3.1415094... (TSABAN e GARBER, 1998, p. 78). Este valor é muito mais preciso do
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que qualquer outro valor que havia sido calculado até esse ponto e seria o cálculo para o maior
110
número de dígitos corretos por várias centenas de anos depois. Infelizmente, esta pequena joia
111
matemática é praticamente um segredo, em comparação com a aproximação mais conhecida π =
112
3.
113
Quando os gregos resolveram o problema, tomaram duas medidas revolucionárias para
114
encontrar π. Antifonte e Brison de Heracleia surgiram com a ideia inovadora de inscrever um
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polígono dentro de um círculo, encontrando sua área, e dobrando os lados repetidamente. “Mais
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cedo ou mais tarde (...) haveria tantos lados que o polígono (...) seria um círculo" (BLATNER,
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1997, p. 16). Mais tarde, Brison também calculou a área de polígonos circunscrevendo o círculo.
118
Esta foi, provavelmente, a primeira vez que um resultado matemático foi determinado por meio da
119
utilização de limites superior e inferior. Infelizmente, o trabalho reduziu-se a encontrar as áreas de
120
centenas de minúsculos triângulos, o que era muito complicado, de modo que seu trabalho só
121
resultou em alguns dígitos. (BLATNER, 1997, p.16) Aproximadamente ao mesmo tempo,
122
Anaxágoras de Clazômena começou a trabalhar em um problema que não seria conclusivamente
123
resolvido por mais de 2.000 anos. Depois da prisão por pregar ilegalmente, Anaxágoras passou
124
seu tempo tentando fazer a quadratura do círculo. Cajori (1926, p.17) escreveu: "Esta é a primeira
125
vez, na história da matemática, que encontramos menção ao famoso problema da quadratura do
126
círculo, a questão sobre a qual tantas reputações foram destruídas (...) Anaxágoras não oferece
127
nenhuma solução, e parece ter, felizmente, escapado de paralogismos”. Desde aquela época,
128
dezenas de matemáticos tentaram encontrar uma maneira de desenhar um quadrado com área
129
igual a um dado círculo; alguns sustentariam que haviam encontrado métodos para resolver o
130
problema, enquanto outros argumentavam que era impossível. O problema foi finalmente
131
resolvido no século XIX.
132
O primeiro homem a realmente causar um impacto no cálculo de π foi o grego, Arquimedes
133
de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C). Onde Antífona e Brison pararam com seus polígonos inscritos e
134
circunscritos, Arquimedes assumiu o desafio. No entanto, ele usou um método ligeiramente
135
diferente do que eles usaram. Arquimedes centrou-se no perímetro dos polígonos em oposição às
136
suas áreas, de modo que ele aproximou a circunferência do círculo em vez da área. Começou
Número Enigmático Pi (π)
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137
com um hexágono inscrito e circunscrito, em seguida, dobrou os lados quatro vezes para terminar
138
com dois polígonos 96 lados. Seu método foi o seguinte (O'CONNOR e ROBERTSON, 2001):
139 140 141 142 143 144
Dado um círculo com raio r = 1, circunscreva um polígono regular com de 3 × 2n-1 lados e semiperímetro an, e inscreva um polígono regular com 3 × 2n-1 lados e semiperímetro bn. Isto resulta em uma sequência decrescente a1, a2, a3,..., an e uma sequência crescente b1, b2, b3,..., bn com cada sequência se aproximando de π. Usando a notação trigonométrica (que Arquimedes não tinha) para encontrar os dois semiperímetros, que são: an = K tan(π/K) e bn = K sin(π/K), onde K = 3 × 2n-1.
145 146
Tem-se também: an+1 = 2K tan(π/2K) e bn+1 = 2K sin(π/2K).
147 148
Resolvendo trigonometricamente:
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(1/an + 1/bn) = 2/an+1
(1)
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an+1bn = (bn+1)2
(2)
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Arquimedes começou com a1 = 3 tan(π/3) = 3√3 e b1 = 3 sin(π/3) = 3 √3/2, calculou a2 usando (1), b2 usando (2), a3 usando (1), b3 (2) até a6 e b6. Sua conclusão foi:
154
b6 (
) < π < a6 ( )
155
Atenção para o fato de que o uso da trigonometria aqui é ‘não-histórico’: Arquimedes não
156
teve a vantagem de uma notação algébrica e trigonométrica e teve de derivar (1) e (2) por meios
157
puramente geométricos. Além disso, ele nem sequer tinha a vantagem da notação decimal para
158
números, de modo que o cálculo de a6 e b6 de (1) e (2) não foram de modo algum uma tarefa
159
trivial. Foi uma façanha bastante estupenda tanto de imaginação quanto de cálculo e a maravilha
160
não é o fato dele ter parada com polígonos de 96 lados, mas o fato dele ter ido tão longe
161
(O'CONNOR e ROBERTSON, 2001).
6
162
3 Metodologia
163
Este trabalho, quanto à sua natureza, classifica-se como pesquisa aplicada, pois tem como
164
objetivo gerar conhecimentos para aplicação prática. No caso, demonstrar que π é um número
165
racional.
166
Quanto à abordagem esta pesquisa é qualitativa ao apresentar um panorama sobre a
167
investigação do número π ao longo da história; bem como será uma pesquisa quantitativa, em sua
168
maioria, ao interpretar os fenômenos e seus significados.
169
Do ponto de vista de seus objetivos, a pesquisa é exploratória, pois envolve levantamento
170
bibliográfico, buscando relações entre os fenômenos, bem como é explicativa ao tentar identificar
171
fatores que explique a ocorrência ou não do fenômeno.
172
Do ponto de vista dos procedimentos técnicos (GIL, 1991), esta pesquisa é bibliográfica,
173
pois foi elaborada a partir de material já publicado, no caso o trabalho do matemático Arquimedes
174
de Siracusa.
175 176
Documento é “toda base de conhecimento fixado materialmente e suscetível de ser utilizado para consulta ou estudo”. (CERVO e BERVIAN,1983, p.79).
177
A Análise Documental (ADOC) pode se constituir como uma técnica valiosa de abordagem
178
de dados, seja complementando as informações obtidas por outras técnicas, seja desvendando
179
aspectos novos de um tema ou problema. (LUDKE e ANDRÉ, 1986).
180
A ADOC é a uma forma de organizar o material, de modo que a leitura utilize algumas
181
técnicas, tais como: fichamento, levantamento qualitativo e quantitativo de termos e assuntos
182
recorrentes, criação de códigos para facilitar o controle e o manuseio. (PIMENTEL, 2001).
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183
7
4 Resultados e Discussão
184
Pesquisando e investigando a “Teoria de Arquimedes de Siracusa”, desenvolvi várias
185
frações, uma delas é igual à sua fração 22/7; onde a fração descoberta é 748/238 =
186
3,142857142857142857142857142857; onde acabei encontrando os mesmos resultados obtidos
187
por Arquimedes de Siracusa. Ao me aprofundar nessa “Teoria” coloquei em prática várias frações,
188
sendo todas elas exatas com 100% no quesito Matemática. A primeira fração foi a de 2.205/700 =
189
3,15, que é exata para o padrão de “Pi” e com um polígono de 1.134 lados, dentro de uma
190
circunferência de 360° graus. Obtive o mesmo valor para “Pi”, 1.134/360 = 3,15 que é exato com
191
100% para o padrão de “Pi”. Desenvolvi, também, um total de 153 fórmulas, junto com as 220
192
frações provando que “Pi” é racional, ele pode ser escrito sob frações de números inteiros.
193
Segue algumas frações onde: =
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194 195
Cito um exemplo de uma Praça Circular:
196
Em uma praça com diâmetro de 720 m2, é necessário construir uma área de
197
lazer. Qual a sua área, seu comprimento e a área total a ser construída
198
dentro do seu diâmetro?
199 200
Segue como foi feito essa resolução nas fórmulas citadas no exemplo do mesmo, quando trocar os números verá que todos são exatos para as fórmulas citadas no problema.
201 1
A=πD A = 3,15x720 A = 2.268
2
5
D = A:π 720 = 2.268:3,15 720 = 720 A:π = D 2.268:3,15 = 720
6
R = A:(2.π 360 = 2.268:(2x3,15) 360 = 2.268:6,3 360 = 360 A = 2.π R 2.268 = 2x3,15x360 2.268 = 6,3x360 2.268 = 2.268
14
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202 203
π = √C π D 3,15 = √ 3,15 = √ 3,15 = √ 3,15 = 3,15
10
18
C= πR C = 2x3,15x360 C = 6,13x360 C = 2.268 D = C:π 720 = 2.268:3,15 720 = 720 C:π = D 2.268:3,15 = 720
: :
π = √A π D 3,15 = √ 3,15 = √ : 3,15 = √ 3,15 = 3,15 A:R = R 2.268:360 = 6,3 6,3 = 6,3
24 :
26
D = √A D: π 720 = √ 720 = √ 720 = √ 720 = 720
π = √C π D 3,15 = √ 3,15 = √ 3,15 = √ 3,15 = 3,15 D = √A D: π 720 = √ 720 = √ 720 = √ 720 = 720 27
: :
D.π = A 720x3,15 = 2.268 2.268 = 2.268 11 A.D = C 2.268x720= = 1.632.960 15 C = 2.π R 2.268 = 2x3,15x360 2.268 = 6,3x360 2.268 = 2.268 19 π = √A π D 3,15 = √ : 3,15 = √ : 3,15 = √ 3,15 = 3,15 22 π = √A π : 3,15 = √ 3,15 = √ 3,15 = √ 3,15 = 3,15 7
R = C:(2.π 360 = 2.268:(2x3,15) 360 = 2.268:6,3 360 = 360 π = π D :D 3,15 = (3,15x720):720 3,15 = 2.268:720 3,15 = 3,15 21
A:D = π 2.268:720 = 3,15
3
:
D = √C D: π 720 = √ 720 = √ 720 = √ 720 = 720
:
4
C:D = π 2.268:720 = 3,15
8
D.π = C 720x3,15 = 2.268 2.268 = 2.268 C.D = A 2.268x720= = 1.632.960 A:(2.π = R 2.268:6,3 = 360 360 = 360
12
16
D :
10 28
31
D = √A D: π 720 = √ : 720 = √ : 720 = √ 720 = 720 A = 2.π.R 2.268 = 2x3,15xR
29
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R= R = 360
34
A:R = R 2.268:360 = 6,3 6,3 = 6,3
38
: = 408.240:129.600 = 3,15 3,15 = 3,15
35
R = C:(2.π) = R 360 = 2.268:(2x3,15) = 360 360 = 2.268:6,3 = 360 360 = 360
30
C:R = R 2.268:360 = 6,3 6,3 = 6,3
33 √ A C :π π = A √ C A :π π = C : = 2.268 : = 2.268 √ √ : = 2.268 : = 2.268 √ √ = 2.268 = 2.268 √ √ = 2.268 = 2.268 √ √ 2.268 = 2.268 2.268 = 2.268 36 37 A = 2.R.π C = 2.R.π = 2.268 = 2x360x3,15 2.268 = 2x360x3,15 A = 3,15x(360x360) 2.268 = 720x3,15 2.268 = 720x3,15 A = 3,15x129.600 2.268 = 2.268 2.268 = 2.268 A = 408.240 39 40 = = 129.600x3,15 = 408.240
408.240 = 408.240
3,15x129.600 = 408.240 = 408.240 =
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44
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√A D π = C √ = 2.268 √ = 2.268 = 2.268 √ 2.268 = 2.268 √C D π = A = 2.268 √ = 2.268 √ = 2.268 √ 2.268 = 2.268
√
42
45
48
=π
√
√
=1
√
= 3,15
√
= 3,15
√
√
= 3,15
√
= 3,15
√ =1
√
51
=1
√ =1 1=1
206
49
=π
= 3,15
√
205
408.240 = 408.240 43 √A D π = C = 2.268 √ = 2.268 √ = 2.268 √ 2.268 = 2.268 46 √C: D π = π √ : = 3,15 √ = 3,15 √ = 3,15 3,15 = 3,15
√
√
204
√ √
= 3,15
3,15 = 3,15 50
√C D π = A √ = 2.268 √ = 2.268 = 2.268 √ 2.268 = 2.268 √A: D π = π √ : = 3,15 √ = 3,15 √ = 3,15 3,15 = 3,15
=1
=1
3,15 = 3,15 √C: π D = D √ : = 720 = 720 √ = 720 √ 720 = 720
=1
=1
1=1 52
√A: π D = D √ : = 720 = 720 √ = 720 √ 720 = 720
Número Enigmático Pi (π) 53
√
11 54
:
√
=1
√
:
√
=1
=1
√ =1 1=1 56
√
=1 :
√ √
55
=1
=1
√ =1 1=1
√
:
√
=1
A=(
) ( )
A=(
) (
) ( )
A=(
) (
58
=1
A = 0,7875x518.400
A=
60
)
x
A = 408.240 = π R = 3,15x129.600 = 408.240
A=
(
A=
)
(
A=
)
A=
A = 0,7875x
A=
A = 0,7875x518.400
A=
)
x
A = 408.240
= π R = 3,15x129.600 = 408.240 62
=1
A=
A = 0,7875x
2.π.R2:2 = π.R2 2x3,15x129.600 = 408.240 6,3x129.600 = 408.240 408.240 = 408.240
:
√ =1 1=1
A = 408.240
61
=1
√
A = 408.240
A=(
:
√
=1
= π R = 3,15x129.600 = 408.240 59
√
=1
√ =1 1=1 57
:
:
= π R = 3,15x129.600 = 408.240 63 2.π.(R2:2) = π.R2 A=( ) ( ) 2x3,15x(129.600:2) = 3,15x129.600 2x3,15x64.800 = 408.240 6,3x64.800 = 408.240 A=( )x( 408.240 = 408.240 A = 1.134x360
)
A = 408.240 = π R = 3,15x129.600 = = 408.240 64
65
A= A=
A=(
x
= π R = 3,15x129.600 = = 408.240
A=√
)
= 408.240
A=√ A=√
A=
x
A=
= π R = 3,15x129.600 = = 408.240 68
A=A
A=
A = 408.240 = π R = 3,15x129.600 = = 408.240 69
A =A = 408.240
π=(
):( )
3,15 =(
):(
A=√
A=√
3,15 = 1.134:360
A=√
A=√
3,15 = 3,15
A=√
207
)x(
A = 408.240
A = 408.240
A=√
66
) ( )
A = 1.134x360
A=
67
A=(
= 408.240
A=√
= 408.240
)
12
208 70
π=
71
:
3,15 =
75
A=
A= A = 408.240 = π R = 3,15x129.600 = = 408.240 79
π= 3,15 =
84
87
89
91
93
)
3,15 = 3,15 √ π π : R: = π √ : : : = 3,15 √ : √ : = 3,15 √ : = 3,15 √ = 3,15 3,15 = 3,15
76
π=
3,15 =
3,15 =
3,15 = 3,15
3,15 = 3,15
3,15 = 3,15
80
(C+A):R = D (2.268+2.268):6,3 = 720 4.536:6,3 = 720 720 = 720
: : = 3,15 √ : : = 3,15 √ √ = 3,15 √ = 3,15 3,15 = 3,15
C.D = A 2.268x720 = 1.632.960 1.632.960 = 1.632.960
92
90
= 6,3 = 6,3
86
(C.A):(A. π) =
(4)
(2.268x2.268):(408.240x3,15) =
94
(4)
(4)
R: = Ângulo de 90° graus 6,3:4 = PiRadiano 1,575 1,575 = 1,575
(C.A):A:π = C (2.268x2.268):408.240x3,15= 39,69 5.143.824:408.240x3,15 = 39,69 12,6x3,15 = 39,69 39,69 = 39,69 √ C A :A π = R √ : = 6,3 √ : = 6,3 √ = 6,3 = 6,3 √ 6,3 = 6,3
4=
(4)
83
(C.A):R:C = R (2.268x2.268):360:2.268= 6,3 5.143.824:360:2.268 = 6,3 14.288,4:2.268 = 6,3 6,3 = 6,3
5.143.824:1.285.956 =
(2.268x2.268):(408.240x3,15) =
(4)
= π R = 3,15x129.600 = = 408.240 77
3,15 =
√ A C :A π = R √ : √ : √ = 6,3 = 6,3 √ 6,3 = 6,3
4=
A = 408.240
3,15 =
88
5.143.824:1.285.956 =
A=
π=
(A+C):R = D (2.268+2.268):6,3 = 720 4.536:6,3 = 720 720 = 720
A= A=
3,15 = 3,15
(A.C):R:C = R (2.268x2.268):360:2.268= 6,3 5.143.824:360:2.268 = 6,3 14.288,4:2.268 = 6,3 6,3 = 6,3 (A.C):A:π = C (2.268x2.268):408.240x3,15= 39,69 5.143.824:408.240x3,15 = 39,69 12,6x3,15 = 39,69 39,69 = 39,69
(A.C):(A. π) =
:
3,15 =
= 3,15
85
73
:
3,15 =
π=
82
D: = π 12,6:4 = 3,15 3,15 = 3,15
π=
3,15 =
3,15 = 3,15
A=
81
):(
3,15 = 1.134:360
3,15 = 3,15
78
72
):( )
3,15 =(
:
3,15 =
74
π=(
(4)
(4)
(4)
√ A C : A π =2 : √ : √ √ =2 2=2
=2 =2
Número Enigmático Pi (π)
13
(A. π):(A.C) = 0,25 (408.240x3,15):(2.268x2.268) = 0,25 1.285.956:5.143.824 = 0.25 0,25 = 0,25 97 (A. π):(C.A) = 0,25 (408.240x3,15):(2.268x2.268) = 0,25 1.285.956:5.143.824 = 0.25 0,25 = 0,25 99 √ A π : A C = 0,5 : = 0,5 √ : = 0,5 √ √ = 0,5 0,5 = 0,5 101 √ A π : C A = 0,5 : = 0,5 √ : = 0,5 √ √ = 0,5 0,5 = 0,5
96
103
104
95
(C.A):A:π =
(4)
(2.268x2.268):(408.240x3,15) = 5.143.824:1.285.956 = 4= 105
((A.C):A):π =
12,6:3,15 =
111
113
115
102
(4)
106
(4)
(4)
(4)
: :
(R: ):A = R
=2
√ C A :R = R √ : = 6,3 : = 6,3 √ = 6,3 √ 6,3 = 6,3 (π.R2):(C.D) = 0,25 (3,15x129.600):(2.268x720) = 0.25 408.240:1.632.960 = 0,25 0,25 = 025
112
114
(π.R2):(A.D) = 0,25 (3,15x129.600):(2.268x720) = 0.25 408.240:1.632.960 = 0,25 0,25 = 025
116
C D = 2.π.R2 = VolumeÁrea = 2.π.R2 √ π: R : = 2x3,15x129.600 √ = 6,3x129.600 √ = 816.480 √ 816.840 = 816.480 (A.C):(R2.π.) = D (2.268x2.268):(129.600x3,15) = 12,6 5.143.824:408.240 = 12,6 12,6 = 12,6
1,575:0,25 = 6,3 (C.A):(π.R2) = D (2.268x2.268):(3,15x129.600) = 12,6 5.143.824:408.240 = 12,6 12,6 = 12,6
:
=2
110
=2
√ A C :R = R √ : = 6,3 : = 6,3 √ = 6,3 √ 6,3 = 6,3 (C.D):(π.R2) = 1 (2.268x720):(3,15x129.600) = 0.25 408.240:408.240 = 1 1=1 =
:
(C.A):R2 = C (2.268x2.268):129.600 = 39,69 5.143.824:129.600 = 39,69 39,69 = 39,69
=2
2=2 (A.C):R2 = C (2.268x2.268):129.600 = 39,69 5.143.824:129.600 = 39,69
4= (4) √ C A : A: π = 2 √ : √ : √ : =2 √ =2 2=2
(4)
(4)
108
(6,3:4)(Ângulo de 90° graus):0,25 = 6,3
117
(4)
5.143.824:1.285.956 =
(4)
4= (4) √ A C : A: π = 2 √ : √ : √ : =2 √ =2
(A.C):A:π =
(2.268x2.268):(408.240x3,15) =
(4)
(5.143.824:408.240):3,15 =
109
100
(4)
((2.268x2.268):408.240):3,15) =
107
98
(π.A):(A.C) = 0,25 (3,15x408.240):(2.268x2.268) = 0,25 1.285.956:5.143.824 = 0.25 0,25 = 0,25 (π.A):(C.A) = 0,25 (3,15x408.240):(2.268x2.268) = 0,25 1.285.956:5.143.824 = 0.25 0,25 = 0,25 √ π A : A C = 0,5 : = 0,5 √ : = 0,5 √ √ = 0,5 0,5 = 0,5 √ π A : C A = 0,5 : = 0,5 √ : = 0,5 √ √ = 0,5 0,5 = 0,5
118
14 119
(A.C):(π.R2) = D (2.268x2.268):(3,15x129.600) = 12,6 5.143.824:408.240 = 12,6 12,6 = 12,6
120
121
(A.D):(π.R2) = (4) (2.268x720):(3,15x129.600) = (4) 1.632.960:408.240 = (4) (4) = (4) = (A.C):(π.R2):4 = π (2.268x2.268):(3,15x129.600):4 = 3,15 (5.143.824:408.240):4 = 3,15 12,6:4 = 3,15 3,15 = 3,15
122
√ A D : π: R = 2 : √ : =2 √ √ =2 2=2
126
123
125
127
√( A C : R )
π: D
√(
129
131
134
138
141
209 210
√ : √ : √ = 3,15 3,15 = 3,15 √ C A :R = R √ : √ : = 6,3 √ 6,3 = 6,3
124
=2
√ C D : π: R = 2 : √ : =2 √ √ =2 2=2 √( C A : R ) √(
=π
:
)
: :
= 3,15 = 3,15
= 3,15
√ A C : π =R √ : √ : √ = 6,3 = 6,3 √ 6,3 = 6,3 √C =π = 3,15 √ √ = 3,15 3,15 = 3,15
(C.D):(π.R2) = (4) (2.268x720):(3,15x129.600) = (4) 1.632.960:408.240 = (4) (4) = (4) = (C.A):(π.R2):4 = π (2.268x2.268):(3,15x129.600):4 = 3,15 (5.143.824:408.240):4 = 3,15 12,6:4 = 3,15 3,15 = 3,15
130
= 6,3 = 6,3
132
= 6,3 = 6,3
π: D
= π =3,15
:
√ : √ : = 3,15 √ = 3,15 3,15 = 3,15 128 √ A C :R = R √ : √ : = 6,3 √ 6,3 = 6,3
√ C A : π =R √ : √ : √ = 6,3 = 6,3 √ 6,3 = 6,3 √C: = π : = 3,15 √ √ = 3,15 3,15 = 3,15
=2
)
: :
= 3,15 = 3,15
= 6,3 = 6,3
= 6,3 = 6,3
133
√C: =D : = 12,6 √ √ = 12,6 12,6 = 12,6
137 π:0,5 = R √C : =π 3,15:5 = 6,3 √ : = 3,15 6,3 = 6,3 √ : = 3,15 √ = 3,15 3,15 = 3,15 139 140 π:0,25 = D C.D = A C.D = A 3,15:0,25 = 12,6 2.268x720 = 1.632.960 2.268x720 = 1.632.960 12,6 = 12,6 1.632.960 = 1.632.960 1.632.960 = 1.632.960 142 √ C A : R: D: = π √ A C : R: D: = π √ √ : : : = 3,15 : : : = 3,15 : : : = 3,15 √ √ : : : = 3,15 : : = 3,15 √ : : = 3,15 √ √ : = 3,15 √ : = 3,15 √ = 3,15 √ = 3,15 3,15 = 3,15 3,15 = 3,15 135
: =π √C √ = 3,15 √ = 3,15 3,15 = 3,15
136
Número Enigmático Pi (π)
15
211 212 143
C:R2 = D 1.632.960:129.600 = 12,6 12,6 = 12,6
146
A:A = (4) 1.632.960:408.240 = (4) (4) = (4) C:A = D 1.632.960:2.268 = 720 720 = 720
148
(A.D) : (π.D) = D (2.268x720):(3,15x720) = 720 1.632.960:2.268 = 720 720 = 720
152
149
151
144
A:R2 = D 1.632.960:129.600 = 12,6 12,6 = 12,6
(C.A):A = D (2.268x2.268):408.240 = 12,6 5.143.824:408.240 = 12,6 12,6 = 12,6
É compatível com as fórmulas: (A.D):(π.R2) =
150
145
(4) e (C.D):(π.R2) =
(4)
(C.D) : (π.D) = D (2.268x720):(3,15x720) = 720 1.632.960:2.268 = 720 720 = 720 A:A = D 1.632.960:2.268 = 720 720 = 720
213 214
Legenda Geral:
215
Pi = 3,15
216
Raio =360 = R2 = 360x360 = 129.600
217
ÁreaD = 2.268 = Área do Diâmetro = 3,15x720 = 2.268
218
Diâmetro = 720 = 720x3,15 = 2.268 (π.D)
219
Área Total = 3,15x129.600 = 408.240 (π.R2)
220
CA = 2. π.R = 2x3,15x360 = 6,3x360 = 2.268
221
Diâmetro = 12,6
222
C = 6,3
223
C = 39,69
224
= (4)
225 226
C = 1.632.960 = CxD = 2.268x720 = 1.632.960
5 Considerações Finais
227
O grande pensador e matemático Arquimedes de Siracusa chegou perto de um enigmático
228
número de “Pi”; quando em suas Teorias usou um polígono de 96 lados dentro de uma
229
circunferência, conforme seu relato quanto mais perto chegar mais exato será o número de "Pi".
230
Na era atual desenvolvi e padronizei o número de “Pi”, com um polígono de 1.134 lados dentro de
231
uma circunferência de 360º graus e cheguei a 3,15, com total exatidão, sem arredondamentos e
232
aproximações.
233
Desenvolvi um estudo, onde fui investigar e pesquisar esse enigmático número de “Pi”,
234
onde os cálculos são exatos, nas frações citadas apresentadas, neste trabalho, ele é um número
235
Racional, com números inteiros a/b, onde tive um valor simples e exato, facilitando e melhorando
236
o aprendizado do aluno(a).
16
237
Referências
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