Lógica General by UNMSM-PROLEX

FACULTAD DE EDUCACIÓN DECANO Dr. Carlos Barriga Hernández DIRECTORA ACADÉMICA Dra. Elsa Barrientos Jiménez DIRECTOR ADMINISTRATIVO Prof. Enrique Pérez Zevallos

PROGRAMA DE LICENCIATURA PARA PROFESORES SIN TÍTULO PEDAGÓGICO EN LENGUA EXTRANJERA

DIRECTORA Mg. María Emperatriz Escalante López COMITÉ DIRECTIVO Dra. Edith Reyes de Rojas Lic. Walter Gutiérrez Gutiérrez Introducción a la Lógica Luis Piscoya Hermoza Serie: Textos para el Programa de Licenciatura para Profesores sin Título Pedagógico en Lengua Extranjera Segunda edición Lima, noviembre de 2009 © Programa de Licenciatura para Profesores sin Título Pedagógico en Lengua Extranjera - Facultad de Educación, Universidad Nacional Mayor de San Marcos Av. Germán Amézaga s/n. Lima 1, Ciudad Universitaria UNMSM - Pabellón Administrativo de la Facultad de Educación - 2.º piso, oficina 203 Teléfono: 619-7000 anexos 3021, 3022 / E-mail: prog_idiomas_edu@unmsm.edu.pe Website: www.unmsm.edu.pe/educacion/licenciatura/index.htm Diseño, diagramación e impresión: Centro de Producción Editorial e Imprenta de la UNMSM. Local principal: Jr. Paruro 119, Lima 1. Telf: 619-7000 anexos 6009 / Fax: 1004, 6016 Ciudad Universitaria: Av. Germán Amézaga s/n (ex puerta N.º 3) Rotonda del Pabellón de Letras, tlf. 619-7000 anexo 6015 E-mail: ventas.cepredim@gmail.com/ Página web: www.cepredim.com Este libro es propiedad del Programa de Licenciatura para Profesores sin Título Pedagógico en Lengua Extranjera de la Facultad de Educación de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida o utilizada por cualquier medio, sea éste electrónico, mecánico o cualquier otro medio inventado, sin permiso por escrito del Programa.

Introducción a la Lógica

TABLA DE CONTENIDOS INTRODUCCIÓN

¿Cuál es la relación entre lógica y lenguaje?

¿Cuál es la función principal de los sistemas lógicos?

¿A qué se ha llamado lógica clásica?

¿Por qué se denomina lógica matemática?

¿Por qué se dice que la lógica clásica es bivalente?

¿Es difícil aprender lógica?

¿Cuáles son los aportes de la lógica a la ciencia y a la tecnología?

LECCIÓN I PROPOSICIONES Objetivos

1.1. Ejemplos ilustrativos

1.2. No son proposiciones

1.3. Proposiciones elípticas y descripciones definidas

1.4. Metalenguaje y lenguaje objeto

Cuestionario Nº 1

Lectura Nº 1. Definición de concepto de verdad

LECCIÓN II EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Objetivos

2.1. El lenguaje de PM

2.2. La conjunción

2.3. Tablas de verdad

2.4. Conjunción lógica vs. Conjunción en el lenguaje natural.

Cuestionario Nº 2

Lectura Nº 2. La Lógica Matemática de Russell

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LECCIÓN III DISYUNCIÓN Y NEGACIÓN Objetivos

3.1. Las disyunciones inclusiva y exclusiva

3.2. La negación

3.3. Negación de una conjunción y de una disyunción

3.4. Doble negación

Cuestionario 3.

Lectura Nº 3. Lenguaje, mundo y lógica

LECCIÓN IV EL CONDICIONAL Y LA IMPLICACIÓN Objetivos

4.1. Delimitación conceptual

4.2. El condicional

4.3. Condicional contrafáctico

4.4. Relación de atingencia

4.5. Condicional vs. Lenguaje Natural

4.6. Implicación

4.7. Implicación estricta

4.8. Condición necesaria vs condición suficiente

Cuestionario Nº 4. El condicional

Lectura Nº 4. La Lógica y el progreso de la ciencia

LECCIÓN V BICONDICIONAL, FUNCIONES DE VERDAD Y EQUIVALENCIA Objetivos

5.1. El bicondicional

5.2. Las conectivas como funciones de verdad

5.3. Dominio y rango

5.4. Proposiciones atómicas y moleculares

5.5. Proposiciones lógicamente equivalentes

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5.6. Traducción de la proposición bicondicional a una E conjunción de dos condicionales 5.7. Bicondicional y definición

56 57

Cuestionario Nº 5.

Lectura Nº 5. La verdad y sus principios

LECCIÓN VI Jerarquía de las fórmulas del lenguaje de la lógica proposicional Objetivos

6.1. fórmulas básicas para paréntesis y puntos

6.2. Lenguaje natural versus lenguaje formalizado

6.3. Reglas de formación de fórmulas

6.4. La jerarquía en el lenguaje PM

6.5. Jerarquía y tablas de verdad

6.6. Ocurrencias de una variable proposicional

6.7. Reglas auxiliares sobre jerarquía

6.8. Los puntos como signos de jerarquía

6.9. Tabla de verdad de las proposiciones con más de dos variables

Cuestionario Nº 6

Lectura Nº 6. Las reglas del método racional

LECCIÓN VII Tautologías, principios lógicos y validez Objetivos

7.1. Fórmulas tautológicas, consistentes y contradictorias

7.2. Fórmulas tautológicas vs. proposiciones tautológicas

7.3. Limitaciones en la transformación de proposiciones tautológicas

7.4. Los principios lógicos clásicos

7.5. La validez lógica

7.6. Tautologías vs. fórmula lógicamente válida

7.7. Tautología vs. contenido informativo

Cuestionario Nº. 7

Lectura Nº 7. Axioma

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LECCIÓN VIII DEDUCCIÓN NATURAL Objetivos

8.1. La deducción de Gentzen

8.2. Transferencia de la verdad

8.3. Deducción e implicación

8.4. Esquemas de fórmulas

8.5. Reglas de Deducción Natural para un Lenguaje Proposicional

8.6. Aplicación de las reglas RDN

8.7. Las RDN no constituyen un algoritmo

8.8. Prueba condicional

8.9. Demostración por reducción al absurdo

Cuestionario Nº 8.

Lectura Nº 8. Deducción

100

LECCIÓN IX BASES LÓGICAS DE LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL Objetivos

101

9.1. Sistemas expertos y robots

102

9.2. Hardware y Software

102

9.3. Máquina de Turing

103

9.4. Diseño de circuitos eléctricos para computadoras

104

9.5. Circuitos lógicos a compuertas

109

9.6. Circuitos lógicos a compuertas para fórmulas negadas

113

9.7. Compuertas NAND y NOR

114

9.8. Tablas de verdad vs. tablas aritméticas

115

Cuestionario Nº 9.

118

Lectura Nº 9. Inteligencia Artificial (IA)

120

LECCIÓN X LÓGICA CLÁSICA Objetivos 10.1 Criterio de demarcación.

121 122

Introducción a la Lógica

10.2 El silogismo clásico

123

10.3 Las cuatro proposiciones predicativo-categóricas clásicas

126

10.4 El cuadro de Boecio

128

10.5 Modos y Figuras Silogísticas

129

10.6 Tipos de generalidad

130

10.7 Los nombres propios

131

Cuestionario Nº 10.

133

Lectura Nº 10. Definición primigenia del silogismo

135

LECCIÓN XI DIAGRAMAS DE VENN Objetivos

137

11.1 El método de los diagramas de Venn

138

11.2 Aplicación de los diagramas de Venn a la decisión de la validez de silogismos. 11.3 Silogismos en los que se establecen condiciones necesarias

143 149

11.4 Inferencias inmediatas

150

11.5 Falacias Lógicas y Retóricas

151

Cuestionario Nº 11

154

Lectura Nº 11. Paradoja

159

LECCIÓN XII EL LENGUAJE PREDICATIVO Objetivos

161

12.1 Expansión de las fórmulas proposicionales

162

12.2 Predicados lógicos

162

12.3 Proposiciones en el lenguaje PMP

163

12.4 Términos y fórmulas

164

12.5 Cuantificadores

165

12.6 Fórmulas cerradas

165

12.7 Alcance de un cuantificador

166

12.8 Forma normal prenex

167

12.9 Formalización del cuadro de Boecio en el lenguaje PMP

168

12.10 Formalización de proposiciones con predicados de grado 2

169

12.11 Reglas de equivalencia entre cuantificadores

170

12.12 Reglas de eliminación y reintroducción de cuantificadores

171

12.12.1 Ejemplificación universal 12.12.2 Generalización universal. 12.12.3 Ejemplificaciones Existencial 12.12.4 Generalización existencial 12.13 Aplicación de las reglas RDNP a la deducción silogística

171 172 172 172 173

12.14 Deducción con predicados relacionales

174

Cuestionario Nº 12

176

Lectura Nº 12. Carta de Frege a Russell (22 de junio de 1902)

178

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

179

Introducción a la Lógica

INTRODUCCIÓN Todo aquello que en general puede ser pensado, puede ser pensado claramente. Todo aquello que puede ser expresado, puede ser expresado claramente.

Ludwig Wittgenstein El presente texto ha sido elaborado con el propósito de familiarizar al lector con los conceptos, los principios y las operaciones que constituyen la ciencia de la lógica en una versión introductoria pero académicamente seria. Nos proponemos propiciar el aprendizaje de esta disciplina como un instrumento que convierte en una expresión significativa y operativa la afirmación que preconiza “aprender a aprender”. En efecto, los lemas más repetidos por las denominadas nuevas orientaciones pedagógicas han enfatizado, además, el aprender a ser, a hacer y a vivir juntos pero no el aprender a pensar que es el proceso más característico de la condición humana, sin el cual carecen de sentido y de significado los otros tres pilares. Por tanto, en este texto hemos traducido productivamente “aprender a aprender” por aprender a pensar como idea directriz de nuestro trabajo. En armonía con lo antes expresado nos hemos propuesto proporcionar al lector una herramienta pedagógica para facilitar el aprender a pensar y con ello potenciar el manejo de la lengua materna y el desarrollo de la capacidad para formular argumentos en lenguaje cotidiano y en lenguaje científico. En la medida que los conceptos y principios que son materia de la lógica examinan los mecanismos del denominado pensamiento racional, facilitan especialmente el aprendizaje de otras lenguas de relevancia científica y de la matemática. Hay razones históricas que explican ello, la lógica la inventó Aristóteles en lengua griega y se desarrollo también en latín durante la Edad Media. Posteriormente la ciencia moderna se desarrolló en latín y continuó expresándose en lenguas modernas como el italiano, francés, alemán, inglés, castellano y portugués todas ellas herederas de la tradición grecorromana. Esta integración histórica de la lógica con las bases originarias de la llamada racionalidad occidental permite entender por qué es una herramienta que facilita el aprendizaje y la comprensión creadora de la ciencia, la tecnología y las artes en sus diversas manifestaciones. A continuación hemos formulado algunas interrogantes, cuyas respuestas nos permitirán una mejor aproximación al tema de este libro. ¿Cuál es la relación entre lógica y lenguaje? La lógica actual no es una sino un conjunto diversificado de sistemas lógicos que no siempre son equivalentes entre sí. Numerosos investigadores notables han creado lenguajes

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lógicos especiales para diseñar sistemas lógicos que pueden ser utilizados como reglas para analizar la corrección de los argumentos científicos y de los que se usan en la comunicación cotidiana. A esta corrección usualmente se le denomina validez. Generalmente un argumento que es válido en lengua castellana lo es también en cualquier otro idioma que cuenta con recursos para traducirlo adecuadamente. Esto es, el inglés, el portugués, el ruso, el latín, el alemán y cualquier otro de características semejantes. Recíprocamente cualquier argumento lógicamente válido que está expresado adecuadamente en otra lengua es también válido en castellano. Por otro lado, dentro de la diversidad de lenguajes lógicos, las variaciones más conocidas se originan en la obra Principia Mathematica de Russell y Whithead escrita en inglés y en las obras de Lukasiewicz escritas en polaco. Dentro de este contexto han surgido muchas otras variaciones en los lenguajes utilizados, los cuales se han construido intentando realizar el ideal de simplicidad, es el caso del lenguaje de Nicod que utiliza un sólo operador proposicional. Adicionalmente debemos añadir los lenguajes creados para las lógicas modales en sus variaciones epistémicas o deónticas, entre otras. Considerando los sistemas lógicos estándar, los axiomas y los teoremas que son válidos en uno, son normalmente válidos en los otros. Pero cuando se establecen relaciones entre sistemas estándar y modificaciones de ellos como son los sistemas intuicionistas, los sistemas paraconsistentes y los relevantes, entre otros, ocurre que no toda afirmación que es válida en uno de ellos es también válida en los otros. Este texto versa estrictamente de los tópicos básicos de la lógica estándar llamada también clásica. Por ejemplo, uno es el sistema lógico creado por Aristóteles, y otros notablemente distintos son los creados por Russell y Whitehead, por Brouwer y Heyting, por Lukasiewicz y por Vasiliev, por mencionar algunos de ellos. Denominamos lenguaje lógico al conjunto de signos creado por un autor para construir un determinado sistema lógico con propiedades especificas, lo que no se opone al hecho frecuente de que este mismo lenguaje sea tomado por otros autores para crear nuevos sistemas lógicos, con propiedades distintas. El lenguaje lógico más conocido es el creado por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en su obra Principia Mathematica, el mismo que ha sido usado por diversos investigadores para desarrollar sistemas con propiedades distintas como son los sistemas intuicionistas, los sistemas paraconsistentes, los sistemas difusos, etc. ¿Cuál es la función principal de los sistemas lógicos? Los sistemas lógicos denominados estándar están diseñados estrictamente para transferir o transmitir la verdad de unas afirmaciones a otras una vez que ésta ya ha sido establecida por medios no lógicos. A las proposiciones cuya verdad se conoce o se acepta se les denomina premisas y a la proposición cuya verdad ha sido trasmitida por las premisas se le denomina conclusión. Asimismo, si la conclusión es falsa y el argumento está correctamente construido, entonces alguna de sus premisas debe ser necesariamente falsa. Esto da a lugar a que de

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manera sintética se afirme que la lógica es la ciencia diseñada para transmitir la verdad de premisas a conclusión y retrotransmitir la falsedad de conclusión a premisas. ¿A qué se ha llamado lógica clásica? Se ha denominado lógica clásica al sistema creado por Aristóteles en diversos lugares de su vasta obra y también a todo los sistemas lógicos posteriores, aunque sean notablemente más complejos que el aristotélico, con el requisito de que incluyan entre sus condiciones de construcción a los principios de no contradicción, identidad y del tercio excluido. Aristóteles desarrolló principalmente la teoría del Silogismo, la misma que trataremos en la lección X de este libro. Dicho aporte al conocimiento humano estuvo plenamente vigente hasta el siglo XIX, vale decir, aproximadamente veinticuatro siglos. El algebra de Boole apareció a mediados del siglo XIX. Surgió como un intento de aplicar métodos algebraicos para decidir la validez de las deducciones silogísticas y, a fines del siglo XIX, Frege creó la lógica proposicional que dotó de una potencia deductiva mayor tanto al silogismo como al algebra de Boole y posibilitó el desarrollo de la lógica moderna por Russell a través de su obra Principia Mathematica. Sin embargo, reconociendo que el sistema Russell superó largamente en generalidad, complejidad y potencia deductiva a todos los aportes de sus predecesores, es importante comenzar este curso reconociendo que la magna obra antes mencionada respeta los tres principios aristotélicos tradicionales, razón por la cual nos ofrece un sistema de lógica moderna que todavía es clásico. Posteriormente, a los sistemas lógicos que no incluyen como fórmula válida alguno de los principios antes mencionados, se les ha llamado sistemas de lógica no clásica. ¿Por qué se denomina lógica matemática? A la lógica desarrollada durante el siglo XX por Frege, Russell, Hilbert y Cantor, entre otros, se le ha llamado matemática debido a que usa un simbolismo algebraico de variables, operadores y funciones muy semejante al que han usado los matemáticos desde el siglo XVII. Adicionalmente los sistemas lógicos se han desarrollado principalmente con la intencionalidad de resolver problemas que han surgido en el contexto de la matemática, especialmente los relacionados con la solución de las dificultades creadas por las paradojas de la teoría de los conjuntos de Cantor. Por otro lado, la axiomatización satisfactoria de todos los sistemas lógicos que son interesantes para la investigación científica, normalmente presupone la validez del principio de inducción matemática. ¿Por qué se dice que la lógica clásica es bivalente? Aristóteles creó la lógica asumiendo que toda afirmación correctamente construida es verdadera o falsa sin que exista la posibilidad de utilizar valores intermedios. De esta

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manera, si una proposición es verdadera lo es en la misma condición que cualquier otra que sea verdadera, lo que excluye que una proposición sea más verdadera que otra o que unas proposiciones sean menos verdaderas que otras. En consecuencia los únicos valores admitidos para calificar a las proposiciones, dentro de la lógica clásica son única y exclusivamente los valores verdadero-falso, lo que explica por qué el sistema lógico que usamos normalmente es estrictamente bivalente (tiene sólo dos valores). Sin embargo en los últimos cuarenta años se ha desarrollado una gran variedad de sistemas lógicos que incluyen más de dos valores a los que se los denomina polivalentes. Esta tendencia fue iniciada por Luekasiewicz y Reichebach. Los sistemas polivalentes no incluyen como válido el principio de tercio excluido. ¿Es difícil aprender lógica? El aprendizaje de la lógica involucra la comprensión de un sistema de conceptos y el manejo de los signos lógicos que los expresan. Los signos que componen la lógica se han tomado básicamente del lenguaje algebraico. Es importante mencionar que la dificultad que puede surgir en el aprendizaje de la lógica se produce cuando no se logra comprender los conceptos debido a una enseñanza o un aprendizaje mecanicista del sistema simbólico. Es importante comprender desde el inicio que la lógica es una ciencia formal en el sentido de que está constituida por conjuntos de fórmulas sin significado específico, pero su aprendizaje debe ser conceptual para entender claramente las razones por las que los signos deben usarse de acuerdo a reglas precisas que generan transformaciones que tienen pleno sentido cuando los conceptos han sido adecuadamente asimilados. En términos amigables, el aprendizaje de la lógica y su práctica es muy semejante al de un juego que en este caso es el ajedrez. La diferencia radica en que en el juego de la lógica no se mueven fichas sino signos sujetos a reglas abstractas que expresan conceptos. El objetivo no es dar jaque mate sino trasmitir o trasladar rigurosamente la verdad de una proposición a otra. Debemos precisar, que todos los sistemas lógicos científicamente reconocidos son estructuras simbólicas que están constituidas por conjuntos de fórmulas sometidas a reglas precisas de transformación y deducción, lo que obviamente favorece su aprendizaje. ¿Cuáles son los aportes de la lógica a la ciencia y a la tecnología? Dentro del ámbito de la ciencia y de la tecnología la herramienta principal que existe para decidir la validez de los argumentos científicos en todos los campos conocidos son los sistemas de lógica matemática denominados genéricamente lógica estándar. Dichos sistemas, creados inicialmente por George Boole, también se han convertido en el sector

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del conocimiento teórico que ha dado lugar a las más impresionantes y eficientes aplicaciones tecnológicas durante los últimos setenta años. Con respecto a esto, es suficiente destacar que tanto la arquitectura del computador electrónico como los lenguajes de autómata son subproductos de las investigaciones en lógica-matemática realizadas alrededor de 1935 por A. Church, S. Kleene, A. Turing y C. Shannon, entre otros. Asimismo, los circuitos de todo computador electrónico, hasta la fecha, están gobernados por las ecuaciones del álgebra de Boole como lo mostramos en la lección IX. A lo anteriormente mencionado, hay que añadir las aplicaciones de la lógica denominada de primer orden en la matemática, en el análisis, construcción y reconstrucción de teorías científicas, en el diseño experimental de simuladores de las funciones del cerebro y de la mente y en el conocimiento metodológico, por mencionar sólo algunos ejemplos. Es relevante para los educadores reparar en el hecho de que las investigaciones psicológicas de Piaget en el campo del desarrollo conceptual humano son prácticamente ininteligibles para un lector que carece de conocimientos de lógica proposicional y de la estructura algebraica de grupo. Finalizamos subrayando que el conocimiento científico y filosófico que utiliza la lógica como instrumento de análisis y de prueba, se propone el establecimiento del mejor saber disponible pero siempre perfectible.

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LECCIÓN I

PROPOSICIONES La proposición es una figura de la realidad, pues yo conozco el estado de cosas que representa si yo entiendo el sentido de la proposición. (…) La proposición, si es verdadera, muestra cómo están las cosas. Y dice que las cosas deben ser así. Ludwig Wittgenstein, Tractatus 4.021, 4.022

Objectives 1. Identificar proposiciones y distinguirlas de las expresiones no proposicionales 2. Reconocer algunas expresiones como proposiciones elípticas o abreviadas. 3. Distinguir las descripciones definidas de las proposiciones. 4. Distinguir el lenguaje objeto del metalenguaje.

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1.1. Ejemplos ilustrativos A continuación escribiremos un conjunto de afirmaciones con las que está familiarizado todo estudiante que ha concluido secundaria. a. El martillo es una herramienta. b. Los Vikingos eran buenos navegantes. c. Un nanómetro es una medida de longitud. d. El Organón es un conjunto de tratados de Lógica. e. 2 + 5 = 5 + 2 f. Las neuronas son células grasas. g. La tierra se encuentra al centro del sistema planetario. h. Pablo Picasso pintó la Gioconda. Es sencillo constatar que estas afirmaciones pertenecen a campos distintos. La primera, por ejemplo, a la vida cotidiana de cualquier escolar. Las otras, a la matemática, a la física, etc. Asimismo, todas ellas están expresadas en un lenguaje determinado que en este caso es el español, con excepción de la quinta que está expresada en lo que llamaremos lenguaje matemático. La afirmación 2+5=5+2 puede figurar de la misma manera en un libro en inglés, francés o cualquier otro idioma ya que es una expresión matemática que es parte de un lenguaje distinto a los indicados y que se usa internacionalmente. Definición 1. Diremos que desde el punto de vista lógico son proposiciones: Todas las secuencias finitas de signos que con sentido pueden ser calificadas de verdaderas. Todas las secuencias finitas de signos que con sentido pueden ser calificadas de falsas. Las definiciones anteriores están expresadas o formuladas en un lenguaje, todas están constituidas por un conjunto de signos escritos que respetan ciertas reglas. Por ejemplo, la que dice que el verbo copulativo ‘ser’ o ‘estar’ debe estar entre el sujeto y el predicado. Hablando en términos que describen mejor lo que observamos, cada una de las afirmaciones está expresada por una sucesión o secuencia finita de signos, cada uno de los cuales es una letra de nuestro alfabeto. De otra parte, sabemos que algunos de nuestros ejemplos son afirmaciones verdaderas (los cinco primeros) y que otros están constituidos por afirmaciones falsas (los tres

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últimos). Esto significa que hay secuencias finitas de signos que con sentido pueden ser calificadas de verdaderas y que hay secuencias finitas de signos que pueden ser calificadas de falsas. Las secuencias finitas de signos de esta clase nos interesan particularmente en un curso de lógica y se denominan proposiciones. En armonía con esto, proporcionaremos la siguiente definición. De conformidad con la definición anterior todas las afirmaciones que hemos formulado al comenzar esta explicación son proposiciones. Las cinco primeras, por ser consecuencias finitas de signos que podemos calificar de verdaderas, satisfacen la primera condición de la definición. Las tres últimas, por ser secuencias finitas de signos que podemos calificar de falsas, satisfacen la segunda condición de la definición. Podríamos definir abreviadamente ‘proposición’ indicando que es toda secuencia finita de signos que con sentido puede ser calificada de verdadera o de falsa. Esta definición es correcta a condición de que se entienda que esto no significa que una misma secuencia finita de signos pueda ser verdadera y falsa a la vez. Es importante puntualizar que así como a las personas y a las cosas les asignamos nombres que nos permiten hablar sobre ellas, de la misma manera podemos darle nombres a las proposiciones, los mismos, que pueden ser muy breves para ganar simplicidad. De este modo, podemos convenir que en nuestro listado inicial cada una de las letras es el nombre de la proposición a la cual antecede. La primera proposición tiene como nombre a, la segunda tiene como nombre b, y así, sucesivamente, hasta llegar a la octava cuyo nombre es h. En adelante, para abreviar, llamaremos a tales proposiciones por su nombre. Hay proposiciones que son oraciones gramaticales como es el caso de todas las de nuestro listado excepto e. Estas oraciones están formuladas en un lenguaje que en nuestra situación concreta es el español, pero bien podría serlo el inglés, el francés, el alemán o cualquier otra lengua que se use en la vida diaria o cotidiana. A tales lenguas se les denomina lenguajes naturales o vernáculos, y a las proposiciones que son oraciones dadas en estos lenguajes se les llama proposiciones en lenguaje natural. En cambio, la proposición e está formulada usando signos especiales que no son los que usamos en la comunicación familiar o social sino cuando trabajamos en Matemática. Esta proposición está dada en un lenguaje especializado, el matemático. Y a los análogos a éste les llamaremos lenguajes formalizados, los mismos que no son usados en la comunicación cotidiana sino principalmente en la actividad científica.

1.2. No son proposiciones En los lenguajes naturales hay oraciones que no son proposiciones. Tal es el caso de las oraciones interrogativas como ¿Cuánto cuesta?, ¿Dónde estás?, ¿Qué pasó? u oraciones imperativas, como ¡Silencio!, ¡Sal de aquí! o ¡Limpia tu cuarto!, que son ciertamente secuencias finitas de signos pero que no pueden ser calificadas como verdaderas o como falsas. Lo mismo ocurre con exclamaciones como ¡Santo cielo! ¡Recorcholis!, ¡Ay caramba! u ¡Ojalá vinieras! Las oraciones de nuestro listado inicial son de naturaleza

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especial, pues a ellas sí sin dificultad las podemos calificar de verdaderas o de falsas debido a que todas afirman o describen «algo». Cuando ese «algo» es el caso, entonces decimos que son verdaderas y cuando ese «algo» no es el caso, entonces decimos que son falsas. Por esta razón estas oraciones se llaman gramaticalmente aseverativas y podemos decir que toda oración aseverativa es una proposición. Sin embargo, no podemos sostener que toda proposición es una oración aseverativa, pues la proposición e, que está escrita en lenguaje formalizado, no es exactamente una oración aseverativa sino es más propiamente un tipo de fórmula matemática.

1.3. Proposiciones elípticas y descripciones definidas Hay expresiones exclamativas como ¡Agua!, ¡Oro!, o ¡Fuego!, por citar sólo tres ejemplos, que podrían ser interpretadas como proposiciones en el sentido de que ellas pueden traducirse por ‘Me muero de sed’ ‘En mi mina hay oro’ y ‘Allí hay fuego’, respectivamente. De esta suerte, las anteriores exclamaciones resultan proposiciones abreviadas o elípticas. La interpretación anterior en general es correcta y podemos decir que cuando una exclamación puede ser expresada de modo más detallado, mediante una oración aseverativa, entonces tal exclamación puede ser considerada una proposición elíptica o abreviada. De otra parte, es importante advertir que hay un cierto tipo de frases que a menudo originan dificultades en los estudiantes que tienden a confundirlas con proposiciones. Por ejemplo, las frases ‘El autor de la Ilíada’, ‘La esposa del rey de España’, ‘La raíz cuadrada de cuatro’, y las de su tipo, no son proposiciones porque no aseveran nada. Estas frases se reducen a ser meros artificios para sustituir nombres, pues la primera puede ser sustituida por ‘Homero’, la segunda por ‘Sofía ’, y la tercera por ‘2’. En efecto, un nombre no es una proposición sino sólo un componente de ella. Consecuentemente, cuando nos encontramos ante una secuencia finita de signos que puede ser sustituida por un nombre, con toda seguridad tal secuencia no es una proposición y la llamaremos descripción definida. El uso de la palabra ‘proposición’ es muy difundido entre los especialistas, pero algunos prefieren usar palabras como ‘enunciado’, ‘sentencia’,’ oración’, etc. para referirse a lo que, en este texto, denotamos con ‘proposición’.

1.4. Metalenguaje y lenguaje objeto En la sección 1 hemos dicho que a, b, c, etc. son nombres de proposiciones. Así el nombre de la proposición ‘2+5=5+2’ es e. Esto significa que e no es nombre de lo que se llama un objeto material, por ejemplo, una mesa, sino el nombre de una proposición que es una secuencia de signos que denominamos objeto lingüístico. Por esta razón e es un nombre metalingüístico y forma parte de un metalenguaje que se define como

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un lenguaje que se usa para describir otro lenguaje llamado lenguaje objeto. Esta distinción se refiere a dos funciones distintas y no a dos idiomas distintos. Así las afirmaciones que hacemos en este texto sobre las propiedades de las proposiciones son metalingüísticas y las proposiciones mismas que usamos como ejemplos son parte del lenguaje objeto. Una manera sencilla de construir el nombre de una proposición, que no excluye otras, consiste en escribirla entre comillas simples. De este modo ‘2+5=5+2’ es el nombre de 2+5=5+2. La primera expresión pertenece al metalenguaje de este texto y la segunda a su lenguaje objeto. Análogamente se puede construir nombres de nombres, de predicados, etc. Por ejemplo, ‘perro’ es el nombre de la palabra perro y ‘audaz’ es el nombre de la palabra audaz. Y no puedo decir que ‘perro’ es un animal pero sí que ‘perro’ es bisilábica, pues en este caso no estoy hablando de un animal sino de la palabra misma. Afirmaciones como ‘gato’ es un animal son malas construcciones y no se consideran proposiciones sino sin sentidos.

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Cuestionario Nº 1 Entre las siguientes expresiones unas son proposiciones y otras no. Escriba sobre la línea que se encuentra frente a cada expresión la palabra Sí en caso de que ésta sea proposición y la palabra No, en caso contrario. Para orientar adecuadamente su respuesta, estudie cuidadosamente el contenido de la lección 1. “La ciudad blanca”.

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2. La estación espacial internacional.

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3. La estación espacial es internacional.

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4. ¡Auxilio!

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5. «La noche está estrellada y tiritan azules los astros a lo lejos».

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6. ¿Cuántos suyos tenía el imperio incaico?

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7. Usain Bolt es el atleta más rápido del mundo.

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8. ¿Dos más dos es cuatro?.

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9. Georgia le ganó a Rusia en Voleibol.

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10. El río que cruza París.

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11. Shanghái es la capital de China.

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12. a2 es siempre par.

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13. Las Olimpiadas de Pekín.

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14. ¡Ojalá lloviera café en el campo!

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15. ‘Helecho’ es una planta.

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16. ‘4 x 4 = 16’ es el nombre de 4 x 4 =16.

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17. Buenas noches.

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18. ‘Gorilas’ es un grupo de rock.

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19. El cuadrado de dos.

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20. ¡Eureka!

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Lectura Nº 1. Definición de concepto de verdad Aristóteles Decir que lo que es, no es, o que lo que no es, es, es falso, mientras que decir que lo que es, es o lo que no es, no es, es verdadero (Metafísica) Si hay un hombre, la proposición que afirma que hay un hombre, es verdadera donde quiera que la digamos, y recíprocamente donde quiera que afirmemos que la proposición que hay un hombre es verdadera, hay un hombre. Y mientras que la verdad de la proposición no es en modo alguno la causa de la existencia de la cosa real, la cosa real representa de alguna manera la causa de que la proposición sea verdadera: es a causa de que la cosa real existe o no que la proposición es llamada verdadera o falsa (Categorías 14b 15-22[1984,22]) ¿Cuándo es el caso hablar de verdad o falsedad y cuándo no? Nosotros debemos explicar lo que queremos significar con estos términos. No es a causa de que nosotros pensemos que usted esta pálido, que usted esta pálido, sino es a causa de que usted esta pálido que nosotros decimos que quien dice esto, dice la verdad (Metafísica, IX 1051b, 5-8 [1984, 1661])

Introducción a la Lógica

LECCIÓN II

EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Objectives 1. Aprender la lógica como la ciencia dedicada a la construcción de lenguajes formales. 2. Identificar las características de lenguaje standard de PM. 3. Definir la conjunción como conectiva proposicional. 4. Reconocer y aplicar el concepto de variable proposicional en la construcción de fórmulas conjuntivas. 5. Definir las condiciones de verdad de una proposición conjuntiva. 6. Construir algorítmicamente tablas de valores.

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2.1. El lenguaje de PM La lógica actual, también denominada Lógica matemática, puede ser definida, en una primera aproximación, como una ciencia dedicada a la construcción de lenguajes especiales, llamados lenguajes formales o artificiales, adecuados para el análisis de la estructura y contenido de las teorías científicas. Por extensión, los lenguajes lógicos también son muy productivos en el análisis del método de investigación científica y de estructuras argumentativas filosóficas, morales y jurídicas, por citar sólo algunos ejemplos. La variante que es necesario enfatizar, desde el inicio, es que cuando un lenguaje lógico se usa para analizar una teoría matemática o física, entonces ocurre que se usa un lenguaje formal para examinar otro lenguaje formal, pero cuando se lo usa en el análisis de una argumentación moral o política, sucede que se usa un lenguaje formal para analizar lo que se llama el lenguaje natural, que es el que se usa en la comunicación cotidiana, por lo que también se le llama lenguaje ordinario. Los lenguajes lógicos tienen diferentes usos y niveles de complejidad. A un lenguaje que reúne los requisitos mínimos como para ser adecuado para el análisis de discusiones científicas y filosóficas se lo conoce como un lenguaje de primer orden. Asimismo, hay variantes importantes dentro de los lenguajes de primer orden y en el desarrollo de un curso hay que elegir el que goza de mayor aceptabilidad dentro de la comunidad científica internacional. Consideramos que el lenguaje de primer orden más adecuado para nuestros objetivos es el que se construye a partir de la obra señera de B. Russell y A. Whitehead, titulada Principia Mathematica, cuya primera edición se publicó en Londres en 1910. Nos referiremos a él con la sigla PM y en lo que sigue de este Texto, desarrollaremos sólo algunos fragmentos de este lenguaje, siendo el primero el que corresponde a lo que se denomina un lenguaje proposicional. Procederemos a explicar la función de una clase especial de términos que los lógicos suelen denominar conectivas proposicionales porque, en general, cumplen la función de conectar o enlazar a las proposiciones entre sí. En algunos libros de lógica se les denomina conectores; en otros, términos de enlace, operadores proposicionales o constantes lógicas. Nosotros hemos preferido usar la denominación conectivas proposicionales porque es la que con mayor frecuencia se usa en los textos de lógica que hay en lengua española.

2.2. La conjunción Para explicar esta conectiva tomemos como punto de partida las dos siguientes proposiciones: a. Popper fue un notable filósofo austriaco. b. Tarski fue un lógico estadounidense de origen polaco.

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Sobre la base de estas dos proposiciones, enlazándolas mediante la partícula ‘y’ nosotros podemos construir una nueva. De este modo tenemos: c. Popper fue un notable filósofo austriaco y Tarski fue un destacado lógico estadounidense. Como puede observarse, la proposición c tiene como componentes a las proposiciones a y b, las mismas que se encuentran ligadas por la partícula ‘y’, a la cual llamaremos conjunción. A la nueva proposición c la denominaremos proposición conjuntiva y quien la afirma dice la verdad solamente en el caso que la proposición ‘Popper fue un notable filósofo austriaco’ sea verdadera y la proposición ‘Tarski fue un destacado lógico estadounidense’ sea verdadera. Vale decir, las dos proposiciones componentes deben ser verdaderas para que una proposición conjuntiva sea verdadera. Siguiendo el mismo procedimiento nosotros podemos construir un número ilimitado de proposiciones conjuntivas. Todo lo que necesitamos hacer es elegir pares de proposiciones y luego ligarlas mediante la conectiva ‘y’. De esta manera tendremos tantas proposiciones conjuntivas como deseemos y todas ellas tendrán en común una forma lógica o estructura que puede ser representada así ................... y ................... En este esquema los puntos suspensivos que están hacia la izquierda de la ‘y’ representan el lugar que ocuparía la primera proposición, y los puntos suspensivos hacia la derecha de la ‘y’ representan el lugar que ocuparía la segunda proposición. Este recurso también nos muestra que para entender la estructura lógica de una proposición conjuntiva, no es indispensable recurrir a ejemplos concretos sino que los puntos suspensivos son suficientes para indicarnos que los lugares a la derecha y a la izquierda de la ‘y’ pueden ser ocupados por cualquier par de proposiciones. Debido a lo anterior es posible que en lugar de los puntos suspensivos utilicemos las últimas letras de nuestro alfabeto (p, q, r, s, etc.) para representar proposiciones sin necesidad de interesarnos en especificarlas al detalle. A estas letras se les denomina variables proposicionales por analogía con las variables algebraicas de expresiones tales como ‘2x + c’, en las que la variable algebraica ‘x’ representa a cualquier número no especificado. De modo semejante, por ejemplo, la variable proposicional p representa a cualquier proposición. En armonía con lo anterior proporcionaremos la siguiente definición: Definición 2. Son variables proposicionales las letras p, q, r, etc., que tienen la función de representar a cualquier proposición no especificadas. Empleando variables proposicionales, la estructura lógica de cualquier proposición conjuntiva puede ser formulada así: pyq

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donde la variable proposicional p representa la primera proposición que elijamos y la variable proposicional q representa la segunda. Pero además, para incrementar este nuevo lenguaje que estamos construyendo, podemos reemplazar la ‘y’ por el signo especial ‘Λ’ al que llamaremos conectiva de conjunción y lo traduciremos al castellano por ‘y’. De esta manera, podemos representar de la siguiente manera la estructura lógica de cualquier proposición conjuntiva. pΛq La expresión anterior constituye en sentido estricto una fórmula lógica que no está dada en idioma español sino en un lenguaje lógico formalizado que iremos incrementando progresivamente. Debido al nivel elemental de este curso, a la fórmula anterior también la llamaremos proposición conjuntiva sin entrar en otras distinciones propias de niveles más avanzados. El mismo procedimiento será adoptado en adelante en casos similares. 2.3. Tablas de verdad Definición 3. Si las variables proposicionales p y q representan cualquier par de proposiciones, luego la proposición conjuntiva de la forma p Λ q es verdadera solamente en el caso que p sea verdadera y q también sea verdadera. En cualquier otro caso la proposición p Λ q es falsa. Para determinar cómo funciona la definición anterior en la práctica, es necesario recurrir a un artificio lógico llamado tabla de verdad, el cual parece que fue conocido de manera rudimentaria desde la antigüedad. La presentación que hoy día tiene es la que usó el filósofo Ludwig Wittgenstein en su libro Tractatus Logico Philosophicus. La tabla de verdad es necesaria debido a que por definición de variable proposicional es posible que p y q representen en unos casos a proposiciones verdaderas y en otros a proposiciones falsas, lo que nos da varias posibilidades de combinar sus valores. Sin embargo, todo lo que puede ocurrir debido a esto es que p sea en unos casos verdadera y en otros casos falsa y lo mismo con q. Consecuentemente, p puede asumir o tomar dos posibles valores (Verdadero - Falso) y la variable q también. La tabla de verdad debe presentar en orden todas las combinaciones posibles de los valores de las variables p y q para luego aplicar la correspondiente definición y establecer la verdad de la proposición conjuntiva. El proceso de construcción de la tabla de verdad puede hacerse siguiendo las reglas que figuran en la sección siguiente. 2.3.1. Algoritmo para la construcción de tablas de verdad R1. Dibújese una tabla, denominada de doble entrada, como la que sigue, de tal manera que para cada variable proposicional exista una correspondiente columna debajo de ella y los valores que asuma la proposición conjuntiva, por aplicación de la Definición 3, pue-

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dan ser escritos, paralelamente y en correspondencia, con los valores de las variables proposicionales. Al sector de la tabla donde deben estar las columnas de valores de las variables se les llama margen. p

Margen R2. Escríbase en columnas todas las combinaciones posibles, de los posibles valores de las variables p y q de tal manera que éstos aparezcan ordenados por pares. (Úsese para el valor verdadero la abreviatura V y para el falso F). A cada uno de dichos pares se le denomina arreglo. El número de valores que van a constituir cada columna se calcula aplicando la fórmula: N.º de valores de cada columna = 2n. En esta fórmula la letra ‘n’ es una variable numérica cuyo valor depende del número de variables proposicionales que tenga la proposición que vamos a tabular. En nuestro caso, dado que nuestra proposición a tabular contiene solamente las variables p y q, entonces n = 2 y, consecuentemente, 2n = 4. El número de arreglos coincide con el número de valores que constituyen cada columna. Efectuado lo dicho en R2, la tabla queda así: p

Primer arreglo

Segundo arreglo

Tercer arreglo

Cuarto arreglo

Tabla 1. Es recomendable escribir en la primera columna como aparece aquí, la mitad de valores verdaderos y la mitad de valores falsos. En la segunda columna un cuarto de valores verdaderos y un cuarto de valores falsos; en la tercera, cuando hay tres variables, un octavo y así sucesivamente. Estas sucesivas particiones de las columnas de valores aléticos (Verdadero - Falso) son siempre posibles debido a que todo número que se obtiene aplicando la fórmula 2n es siempre par. R3. Inspecciónese cada uno de los arreglos y escríbase debajo de la conectiva de la proposición conjuntiva el valor que les corresponde de acuerdo a lo establecido por la Definición 3. Por ejemplo, en este caso la proposición conjuntiva es verdadera solamente en el primer arreglo, pues es el único en el que se cumple que ambas variables proposicionales son verdaderas, como lo prescribe la Definición 3. En todos los demás arreglos

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le asignaremos a la proposición conjuntiva el valor falso porque al menos una de las dos variables proposicionales es falsa. Así obtenemos una nueva columna de valores que llamaremos matriz de la conjunción. La tabla queda finalmente de esta manera: p

F Tabla 2.

MATRIZ DE LA CONJUNCIÓN

La construcción de una tabla de verdad es un procedimiento mecánico que adecuadamente aplicado conduce necesariamente al resultado buscado y a los procedimientos de esta clase se les denomina en lógica algoritmos. Es importante aclarar, que algunas palabras que en el lenguaje natural no tienen exactamente el mismo uso que ‘y’, deben ser traducidas al lenguaje lógico por la conectiva de conjunción. Es el caso de palabras como ‘pero’ ‘sin embargo’, ‘aunque’, ‘empero’, que desde el punto de vista lógico son equivalentes a ‘y’. Si asumimos que la variable proposicional p representa a la proposición ‘Arianna es una buena deportista’ y que la variable q representa a la proposición ‘Arianna está resfriada’, luego p Λ q es la traducción lógica de las siguientes proposiciones: Arianna es buena deportista pero está resfriada. Arianna es buena deportista sin embargo está resfriada. Arianna es buena deportista aunque está resfriada. 2.4. Conjunción lógica vs. Conjunción en el lenguaje natural. La conjunción en lógica es conmutativa, mientras que en el lenguaje natural no ocurre siempre así. Por ejemplo, en lenguaje natural la proposición ‘Brenda cruzó la avenida Brasil y tomó un taxi’ tiene distinto sentido que ‘Brenda tomó un taxi y cruzó la avenida Brasil’. La diferencia radica en que la primera sugiere claramente una relación de causalidad que se desvirtúa en la segunda. La conectiva de conjunción no establece pues, ningún tipo de nexo causal o de orden.

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Cuestionario Nº 2 Escriba las proposiciones componentes de las siguientes expresiones, reemplace cada proposición componente por una variable proposicional y luego construya una fórmula conjuntiva. 1. Iquitos es una bella ciudad, pero muy calurosa. 2. Stephen Hawking es un notable físico y es discapacitado. 3. El problema de la cuadratura del círculo ha tenido solución, aunque fue difícil encontrarla. 4. Rosario es una buena psicoterapeuta, pero no tiene tiempo para ejercer su profesión. 5. El número ocho es una potencia par y Bogotá es una ciudad grande. 6. INXS es un grupo de rock que sigue vigente, a pesar del fallecimiento de uno de sus miembros. 7. Jamaica es un país pobre, sin embargo tiene varios medallistas olímpicos. 8. Un trasbordador espacial es una nave, pero toda nave no es un trasbordador espacial. 9. La Oroya es una ciudad peruana y también es una de las ciudades más contaminadas del mundo. 10. La integral de Newton era correcta pero la de Riemann era más sencilla.

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Lectura Nº 2. La Lógica Matemática de Russell Kurt Gödel La lógica matemática, que no es sino una formulación completa y precisa de la lógica formal, tiene dos aspectos completamente diferentes. Por un lado es una parte de las matemáticas que trata de clases, relaciones, combinaciones de signos, etc., en vez de tratar de números, funciones, figuras geométricas, etc. Pero por otro lado es una ciencia previa a todas las demás, que contiene las nociones y principios que subyacen al resto de las ciencias. Leibniz fue el primero en concebir la lógica matemática, y precisamente en este segundo sentido, en su Characteristica universalis, de la cual habría constituido una parte central. Pero su idea de un cálculo lógico realmente suficiente para abarcar los razonamientos de las ciencias exactas no fue llevada a la práctica hasta casi dos siglos después, por obra de Frege y Peano (aunque quizá no de la misma manera que Leibniz tenía en mente). (…). La obra de Russell comenzó enmarcada en esta línea de pensamiento de Frege y Peano. (…). Únicamente en Principia Mathematica se hizo uso completo del nuevo método para derivar gran parte de las matemáticas a partir de muy pocos axiomas y conceptos lógicos. Además la joven ciencia se enriqueció con un nuevo instrumento, la teoría abstracta de las relaciones. El cálculo de relaciones había sido desarrollado por Peirce y Schröder, pero con ciertas restricciones y con excesiva analogía al álgebra numérica. En Principia se trataron desde el punto de vista de las relaciones abstractas no sólo la teoría de conjuntos de Cantor, sino también la aritmética ordinaria y la teoría de la medida.

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LECCIÓN III

DISYUNCIÓN Y NEGACIÓN Es claro que un mapa transmite información, correcta o incorrecta; y cuando la información es correcta, es porque existe una semejanza de estructura entre el mapa y la región que representa. Wittgenstein sostenía que lo mismo es válido de las aserciones lingüísticas de un hecho. Bertrand Russell

Objectives 1. Definir la disyunción y la negación como conectivas proposicionales. 2. Esclarecer el carácter inclusivo y exclusivo de la disyunción. 3. Diferenciar entre la negación de una variable proporcional y la negación de una conectiva u operador de conjunción y de disyunción. 4. Definir las condiciones de verdad de la disyunción inclusiva, disyunción exclusiva y de la negación. 5. Expresar en el lenguaje lógico las proposiciones disyuntivas y negativas del lenguaje natural. 6. Distinguir los usos de la doble negación en el lenguaje formal y en el lenguaje natural.

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3.1. Las disyunciones inclusiva y exclusiva A menudo nosotros nos encontramos con proposiciones tales como las siguientes: a. Carlos es un buen jugador de ajedrez o un buen lector. b. El marco de una pintura es de forma rectangular o de forma circular. Lo que tienen en común las proposiciones a y b es que ellas han sido construidas sobre la base de otras proposiciones que han sido enlazadas mediante la partícula ‘o’ que en lógica se denomina conectiva de disyunción. De manera detallada, las proposiciones que constituyen la proposición cuyo nombre es a son ‘Carlos es un buen jugador de ajedrez’ y ‘Carlos es un buen lector’. En nuestro ejemplo aparecen de manera abreviada que evita redundancias no elegantes en idioma castellano. La proposición disyuntiva que forman estas proposiciones es de carácter inclusivo en el sentido de que, aunque se dice que Carlos tiene una entre dos propiedades, no excluye la posibilidad de que pueda poseer ambas. Es completamente posible que alguien pueda ser al mismo tiempo un buen jugador de ajedrez y un buen lector. Distinta es la situación del ejemplo nombrado por b. La razón de ello es que las proposiciones componentes ‘El marco de una pintura es de forma rectangular’ y ‘El marco de una pintura es de forma circular’ no pueden ser ambas verdaderas. Si se da el caso de que el marco es rectangular, entonces ya no puede ser circular y si se da el caso de que es circular, entonces ya no puede ser rectangular, porque tales propiedades son excluyentes entre sí. Vale decir, en nuestro segundo ejemplo, la verdad de una de las proposiciones componentes excluye la verdad de la otra. Por eso se dice que se trata de una disyunción en sentido exclusivo. Aunque en español en ambos casos se usa la misma letra ‘o’, en lógica la disyunción exclusiva se denota por el signo ‘≠ ’para distinguirla de la inclusiva que se denota por el signo ‘V’. En función a lo anteriormente expuesto, podemos formular las siguientes definiciones: Definición 4. La proposición disyuntiva inclusiva de la forma p V q es verdadera siempre que p sea verdadera o que q sea verdadera o que ambas variables proposicionales sean verdaderas. Es falsa sólo cuando ambas variables proposicionales son falsas. Definición 5. La proposición disyuntiva exclusiva de la forma p ≠ q es verdadera si una, y solamente una de las variables proposicionales, es verdadera. En cualquier otro caso es falsa. Utilizando las variables proposicionales que representan en cada caso a las proposiciones componentes, la estructura lógica de la disyunción inclusiva es mostrada por la siguiente fórmula: y la de la disyunción exclusiva por

pVq p≠q

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Debemos anotar que se puede prescindir de la disyunción exclusiva con relativa facilidad en lógica, razón por la que muchos autores no la mencionan y la mayor parte de los ejercicios de este texto, sólo requieren, para su ejecución, de la disyunción inclusiva. Con el auxilio de estas definiciones nos encontramos en condiciones de construir la tabla de verdad de la disyunción inclusiva y de la disyunción exclusiva. La tabla de verdad de la disyunción inclusiva es como a continuación se grafica: p V

q V

V V

V F

F V

V V

q MATRIZ DE LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Tabla 3 Asimismo, la tabla de verdad de la disyunción exclusiva queda graficada del siguiente modo: p V

q V

≠ F

V F

F V

V V

q MATRIZ DE LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA Tabla 4

Es evidente que la disyunción inclusiva sólo es falsa en el cuarto arreglo debido a que es el único en que ambas variables son falsas. La disyunción exclusiva es verdadera en los arreglos segundo y tercero porque sólo en ellos una y sólo una de las variables es verdadera. Remarcaremos que la diferencia entre ambas tablas se encuentra en el valor correspondiente al primer arreglo que es verdadero en la disyunción inclusiva, y falso en la exclusiva que no admite que dos proposiciones sean verdaderas. 3.2. La negación La negación es una conectiva especial porque no enlaza proposiciones sino que se aplica directamente a sólo una proposición. Esto lo comprenderemos muy fácilmente usando ejemplos. Tengamos las proposiciones: a. Aruba es una isla. b. El número seis es par. c. Los troyanos son virus informáticos.

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En efecto, a partir de ella es posible construir nuevas proposiciones que sean sus negaciones, introduciendo la partícula ‘no’. Así tenemos: a. Aruba no es una isla. b. El número seis no es par. c. Los troyanos no son virus informáticos. Y este procedimiento podemos aplicarlo tanto como queramos, pues, dada una proposición, siguiendo un mecanismo semejante a éste, siempre es posible construir una nueva que sea su negación, a la que se denomina proposición negativa. Sin embargo, el uso de la partícula ‘no’ en lógica no se hace dentro de la oración como en los casos anteriores, en los que se respeta la gramática española usual. Los lógicos prefieren construir la negación de una proposición anteponiéndole la partícula ‘no’. Siguiendo este criterio, las negaciones lógicas de a, b y c son: a’. no - (Aruba es una isla). b’. no - (El número seis es par) c’. no - (Los troyanos son virus informáticos) Esto nos permite comprender que la estructura lógica de una proposición negativa cualquiera puede ser graficada como sigue: No - ( ................................... ) Si usamos variables proposicionales y el signo ‘~’ que se usa en lógica para simbolizar la partícula ‘no’, entonces tenemos que una proposición negativa se escribe en lenguaje lógico así: ~p Definición 6. La proposición negativa de la forma ~p es verdadera solamente cuando la variable p es falsa y es falsa solamente cuando la variable p es verdadera. Con ayuda de esta definición y de las reglas R1 y R2 podemos construir fácilmente la tabla de verdad para una proposición negativa. p V F

~q F V

Tabla 5 La tabla nos permite comprender que, es muy conveniente colocar la negación delante de la variable para poder escribir los valores de la matriz sin dar lugar a con-

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fusiones. Anotamos también que la conectiva de negación funciona como un artificio inversor que transforma el valor verdadero en falso y viceversa.

3.3. Negación de una conjunción y de una disyunción Hemos dicho que la conectiva de negación se aplica a una proposición. Los ejemplos a’, b’ y c’ muestran ello con proposiciones simples pero también puede aplicarse a proposiciones compuestas como es el caso de las conjuntivas y disyuntivas. Por ejemplo, podemos examinar las siguientes proposiciones: d. No es el caso que los políticos sean honestos y tengan una conducta inmoral. e. No es el caso que Maradona sea futbolista o empresario. En los ejemplos anteriores no se niega proposiciones simples sino se niega operaciones lógicas con proposiciones simples: en el ejemplo d se niega una conjunción y en el ejemplo e una disyunción. Como en este caso no se niega proposiciones aisladas sino la «conexión» entre proposiciones, los esquemas que corresponden a d y e, respectivamente son: ~ ( .............. ^.............. ) ~ ( .............. v.............. ) De este modo las fórmulas del lenguaje proposicional que corresponden a d y e, en el mismo orden, son: ~(p^q) ~(pvq) Así queda claro que es verdad que la conectiva de negación siempre se aplica a una sola proposición, la misma que puede ser simple o compuesta. Cabe mencionar también que en d’1 y e’1 la conectiva de negación es la de mayor jerarquía, pues en el primer caso niega la matriz de la conjunción y en el segundo la matriz de la disyunción inclusiva, lo cual se sustenta en la regla que establece que la matriz principal de una fórmula es la que corresponde a su conectiva de más alta jerarquía.

3.4. Doble negación En los lenguajes lógicos, como el lenguaje PM, es frecuente el uso de la doble negación para construir las fórmulas que corresponden a expresiones como: f. No es el caso que el número cuatro no sea par. La fórmula correspondiente a f se obtiene a partir de un esquema como el siguiente: No ( no ( el número cuatro es par ) )

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que traducido a fórmula permite obtener ~( ~( p ) ) o simplemente, prescindiendo de los paréntesis, se tiene ~ ~p. La tabla de verdad respectiva es: p V

~ V

~p F V

MATRIZ PRINCIPAL DE LA DOBLE NEGACIÓN Tabla 6.

Esto permite constatar que los valores de p coinciden con los de la matriz de ~~p. Por ello se dice que en lógica la doble negación de una proposición siempre equivale a su afirmación. Esto no ocurre en castellano. Una persona en lugar de decir «Yo no tengo dinero» para negar que posee dinero, dice coloquialmente: «Yo no tengo nada». Si procedemos a anteponer la negación, como señalan las reglas de PM, obtenemos el esquema No ( Yo tengo nada ) el mismo que podemos interpretar como «No es verdad que yo tenga nada» que permite entender que «Yo tengo algo», lo que contradice la intención del hablante cuando dice «Yo no tengo nada». En este sentido, si contamos ‘nada’ como una segunda negación, debemos aceptar que en castellano frecuentemente la doble negación sigue siendo negación. Un ejemplo adicional y frecuente lo proporciona la expresión coloquial «No hay nadie», usada en castellano para expresar la completa ausencia de personas en un recinto determinado. Si interpretamos el segmento ‘hay nadie’ en términos de «no existe en el recinto al menos una persona», encontramos que la mencionada locución da lugar al siguiente esquema: No ( no existe en el recinto al menos una persona ). El esquema anterior, como se aprecia, contiene claramente una doble negación que da lugar a que, desde el punto de vista lógico, se lo pueda interpretar como equivalente a «Existe en el recinto al menos una persona», lo que contradice la intención del hablante que dice «No hay nadie», normalmente, en sentido negativo. Esta peculiaridad del castellano, que consiste en admitir usos que transgreden la regla de equivalencia lógica entre una proposición afirmada y su doble negación, no es compartida por otros idiomas como el inglés o el alemán cuyas oraciones negativas usan una sola vez la negación. En castellano esta discrepancia entre regla lógica y uso se puede subsanar si en lugar de decir «No hay nadie», decimos «No hay persona alguna». Esta última expresión conserva el sentido negativo del lenguaje coloquial y usa sólo una negación.

Cuestionario 3. 38

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I. Usando el lenguaje lógico expresar las siguientes proposiciones, distinguiendo las disyunciones inclusivas de las exclusivas: 1. Australia es un país o un continente. 2. 1 es un número impar o un número primo. 3. Este polígono es un triángulo o un cuadrado. 4. Odiseo o es rey o es navegante. 5. Un semáforo detiene el tránsito de vehículos o de peatones. 6. El petróleo es extraído del subsuelo o permanece en él. 7. Los hermanos gemelos son idénticos o diferentes. 8. “El Código Da Vinci” es una novela o una película. 9. Volverás con el escudo o sobre el escudo. 10. Los celtas eran violentos guerreros o hábiles agricultores. II. Indicar cuáles en el siguiente listado son afirmaciones falsas: 1. La matriz de la disyunción exclusiva tiene más valores verdaderos que la matriz de la inclusiva. _____ 2. Si a la negación de p la negamos, nuevamente obtenemos una matriz igual a los valores de p._____ 3. Basta que una variable sea verdadera para que la matriz de la disyunción inclusiva sea verdadera._____ 4. La disyunción exclusiva es verdadera en el único caso en que la inclusiva es falsa._____ 5. No hay diferencias entre la negación lógica y la castellana._____ 6. Existe en español un signo especial para la disyunción inclusiva y otro para la exclusiva._____

Lectura Nº 3. Lenguaje, mundo y lógica

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Ludwig Wittgenstein 4.11

La totalidad de las proposiciones verdaderas es la ciencia natural total (o la totalidad de las ciencias naturales).

4.112 El objeto de la filosofía es la aclaración lógica de los pensamientos. La filosofía no es una teoría sino una actividad. Una obra filosófica consiste esencialmente en elucidaciones. El resultado de la filosofía no son ‘proposiciones filosóficas’ sino el hacer claras las proposiciones. La filosofía debe esclarecer y delimitar con precisión los pensamientos que de otro modo serían, por así decirlo, opacos y confusos. 4.116 Todo aquello que en general puede ser pensado, puede ser pensado claramente. Todo aquello que puede ser expresado, puede ser expresado claramente. 5.6

Los límites de mi lenguaje significan los límites de mi mundo.

5.61 La lógica llena el mundo; los límites del mundo son también sus límites. No podemos por tanto decir en lógica: en el mundo hay esto y esto, no aquello. Esto presupondría aparentemente que excluimos ciertas posibilidades, lo cual no puede ser, pues, de lo contrario, la lógica saldría de los límites del mundo; a saber, que ella pudiera considerar también estos límites desde el otro lado. Lo que no podemos pensar no podemos pensarlo. Tampoco, pues, podemos decir lo que no podemos pensar.

4.1. Delimitación conceptual En esta sección abordaremos probablemente la conectiva más discutida por los especia-

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LECCIÓN IV

EL CONDICIONAL Y LA IMPLICACIÓN Objectives 1. Identificar al condicional como una conectiva proposicional. 2. Distinguir entre los conceptos de condicional, implicación, implicación estricta y condicional contrafáctico. 3. Reconocer las condiciones de verdad de un condicional. 4. Distinguir la verdad de una proposición condicional de la relación de atingencia entre antecedente y consecuente. 5. Reconocer lógicamente los conceptos de condición necesaria y condición suficiente.

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listas y de mayor relevancia en la comprensión de lo que es el razonamiento lógico denominado por Piaget pensamiento hipotético deductivo: el condicional o implicación material. Al respecto los trabajos especializados distinguen entre el condicional o implicación material, la implicación y la implicación estricta desarrollada por C. I. Lewis. Las diferencias son finas e importantes pero en este texto, bastante introductorio, no podemos detallarlas. Por ahora sólo señalaremos que las tres «implicaciones» antes mencionadas tienen en común corresponder en castellano a la expresión esquemática «Si..., entonces....» que a su vez corresponde a nuestras oraciones hipotéticas del tipo ‘Si me sacara la lotería, me compraría un Mercedes Benz’. En este caso, no estoy afirmando sin condiciones que me voy a comprar un Mercedes Benz sino que lo haré si tuviera lugar la hipotética situación de que me sacara la lotería. Normalmente no se me considerará mentiroso si no me compro un Mercedes Benz mientras no me saque la lotería, pero sí en el caso de que me la saque y no lo compre. En buena cuenta, podemos entender que lo que quiere decir la anterior oración hipotética es: ‘No es posible que me saque la lotería y que no me compre un Mercedes Benz’. Esta expresión traducida al lenguaje de PM corresponde a la fórmula: ~ ( p ^~ q ). En esta sección trataremos el condicional o implicación material entendiéndolo como un operador (así también se suele llamar a las conectivas) que equivale a la negación de una conjunción cuya primera variable proposicional está afirmada y cuya segunda variable proposicional está negada.

4.2. El condicional Iniciaremos esta explicación a partir de algunos ejemplos muy cercanos a nuestra experiencia: a. Si son dados el par de puntos A y B, entonces se puede trazar una recta que los una. b. Si Ricardo Palma ha nacido en Lima, entonces es peruano. c. Si todos los gatos son negros, entonces algunos gatos son negros. d. Si Túpac Amaru hubiera atacado el Cusco, entonces su revolución habría triunfado. e. Si la Luna se ve blanca, entonces la Luna es de queso. Todas estas proposiciones, llamadas proposiciones condicionales, tienen la característica común de tener una estructura del tipo ‘Si...entonces...’. Lo que las diferencia es que los componentes que ocupan los lugares que corresponden a los puntos suspensivos son en cada ejemplo distintos. Como en los casos anteriores, a la lógica le interesa fundamentalmente el aspecto estructural. Por eso la expresión ‘Si ... entonces ....’ se interpreta como la conectiva denominada condicional cuyo signo lógico es ‘→’.

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A la proposición que se encuentra entre ‘Si’ y ‘entonces’ se denomina antecedente y a la que se encuentra después de ‘entonces’ se le denomina consecuente. Por ejemplo, de manera detallada, en la proposición a el antecedente es ‘son dados el par de puntos A y B’ y el consecuente es ‘se puede trazar una recta que los una. De manera intuitiva y sin mayor discusión, se puede conceder que las cuatro primeras proposiciones del listado son correctas. La proposición a porque es un postulado conocido de la Geometría de Euclides. La proposición b porque establece una condición que satisfacen todos los limeños que, por ser tales, son necesariamente peruanos. En la proposición c, si ése fuera el caso, si aceptamos esa hipotética situación en la que todos los gatos son negros, entonces algunos de ellos (una parte) tienen que ser negros.

4.3. Condicional contrafáctico La proposición d es usualmente reclamada como correcta por los historiadores, pues no se afirma que Túpac Amaru atacó el Cusco, sino que si se hubiera producido esa hipotética situación, entonces habría triunfado su revolución. En esta condición, nosotros aceptamos que d expresa un razonamiento correcto a pesar de que sabemos que el antecedente aisladamente no es una proposición verdadera ni el consecuente tampoco. A las proposiciones como d se las llama condicionales contrafácticos, porque se acepta su corrección a pesar de que sus antecedentes y sus consecuentes van contra los hechos. Otro ejemplo de este tipo es ‘Si Dante Alighieri hubiera nacido en Lima, entonces sería paisano de José Santos Chocano’. Una situación distinta nos plantea la proposición e, de la cual todos diríamos que es falsa. En este caso, el antecedente ‘La Luna se ve blanca’ es verdadero mientras que el consecuente ‘La Luna es de queso’ es decididamente falso. Cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso la situación general sí cambia, pues la proposición condicional resulta inaceptable racionalmente y por ello la calificamos de falsa, como es el caso de e. Este análisis puede ser esquematizado, usando la abreviación V para verdadero y la abreviación F para falso. Ejemplo

Antecedente

Consecuente

a b c d e

V V F F V

V V V F F

Proposición Condicional V V V V F

Tabla 7. La explicación anterior muestra claramente que las proposiciones cuya estructura lógica está dada por ‘Si ... entonces ...’ solamente son falsas cuando el antecedente es verda43

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dero y el consecuente es falso. Asimismo, si usamos variables proposicionales para el antecedente y el consecuente, y el signo ‘→’, entonces tenemos que la fórmula lógica de una proposición condicional es: p → q. Definición 7. La proposición condicional de la forma p → q, que tiene como antecedente a p y como consecuente a q, es falsa solamente cuando p es verdadera y q es falsa. En cualquier otro caso es verdadera. Con ayuda de esta definición y siguiendo las reglas que ya conocemos, construiremos a continuación la tabla de verdad de una proposición condicional. p

V F

F V

MATRIZ DE LA PROPOSICIÓN CONDICIONAL

Tabla 8. La tabla anterior permite entender que el condicional puede ser interpretado como una prohibición que dice que no es posible que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Si esto sucede, entonces la proposición condicional es falsa. Igualmente nos asegura que una proposición condicional con antecedente verdadero sólo es verdadera cuando su consecuente también es verdadero.

4.4. Relación de atingencia Es necesario aclarar, además, que la verdad de una proposición condicional es completamente independiente de las relaciones que puedan existir o no entre los significados del antecedente y del consecuente. En los ejemplos de nuestro listado existe relación de sentido o coherencia entre lo que afirman los antecedentes y los consecuentes; hablan de lo mismo, por decirlo así. Cuando esto ocurre, entonces, hay una relación de atingencia entre el antecedente y el consecuente. Sin embargo, pueden encontrarse muchos ejemplos de proposiciones condicionales lógicamente verdaderas en las que no se da una relación de atingencia, pues lo que dice el antecedente es completamente ajeno a lo que dice el consecuente. Así, tenemos la proposición ‘Si 2 + 2 = 4, entonces el Perú está en Sudamérica’ es una proposición condicional lógicamente verdadera a pesar de que no existe relación entre los significados de sus proposiciones componentes, porque el antecedente ‘2 + 2 =4’ es verdadero y el consecuente ‘el Perú está en Sudamérica’ también es verdadero. Sin embargo, es importante aclarar que los condicionales interesantes para la ciencia y la filosofía generalmente son atingentes porque en ellos el antecedente no sólo es una proposición verdadera sino que además

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constituye el fundamento que garantiza la verdad del consecuente

4.5. Condicional vs. Lenguaje Natural Asimismo, la fórmula, en lenguaje lógico, p → q no sólo sirve para expresar proposiciones de la forma ‘Si p, entonces q’, sino también otras proposiciones frecuentes en español. Para ilustrar esto, daremos algunos ejemplos. Supongamos que la variable p representa la proposición ‘Belén compra un teléfono celular’ y que la variable q representa la proposición ‘Belén recibe su salario’. Luego la proposición p → q es la expresión lógica de las siguientes proposiciones formuladas en lenguaje natural: Como se aprecia, cuando se usa ‘... solamente si ...’ el orden dado en el lenguaje natural se conserva en el mismo sentido en la expresión lógica. Pero cuando se usan las partícua. p

Gustavo compra un reloj

solamente si recibe una propina de su padre

↑

b. q Gustavo recibe una propina de su padre

si es para comprar un reloj

↑ c.

↑

q Gustavo recibe una propina de su padre

porque

comprará un reloj

↑ d.

↑

q Gustavo recibe una propina de su padre

siempre que compre un reloj

↑

las ‘... si...’ ‘...porque . .. ’ y ‘... siempre que ...’ el orden de las proposiciones se invierte cuando se pasa a la expresión lógica.

4.6. Implicación El antecedente de un condicional puede ser cualquier proposición compuesta y de la misma manera el consecuente. Por ejemplo, Si Irene no va a misa y Juan no es católico, entonces Juan se casará religiosamente o no es católico. En este ejemplo el antecedente es una conjunción y el consecuente una disyunción. Si usamos paréntesis para separar claramente el antecedente del consecuente, entonces obtendremos la siguiente fórmula y su respectiva tabla de verdad (construiremos ocho arreglos debido a que la traducción requiere tres variables proposicionales). p

(~ p

~q)

→

~q)

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V V V V F F F F

V V F F V V F F

Tabla 9.

V F V F V F V F

F F F F V V V V

F F F F F F V V

F F V V F F V V

V V V V V V V V

V F V V V F V V

↓

Matriz del antecedente

Matriz principal

F F V V F F V V

Matriz del consecuente

Observando la matriz principal se encuentra que esta proposición condicional es siempre verdadera (por ello se le denomina tautología). Ello nos permite definir una implicación como un condicional cuya matriz principal es siempre verdadera. También se califican los condicionales de este tipo de lógicamente válidos. Esta peculiaridad diferencia al condicional anterior de p → q, cuya matriz principal no es siempre verdadera.

4.7. Implicación estricta En este caso daremos directamente un ejemplo y procederemos a construir su correspondiente tabla de verdad. Si una proposición es verdadera o no lo es, entonces no es posible que sea verdadera y al mismo tiempo no lo sea. p

V F

~p)

→

(p ∧

V V

F V

V V

F F

↓

~p) F V

↓

Matriz Matriz del principal consecuente Como se observa, es una implicación pero se diferencia de la anterior en que la matriz de su antecedente es siempre verdadera. Así definiremos una implicación estricta como aquella cuyo antecedente es siempre verdadero. Tabla 10.

Matriz del antecedente

4.8. Condición necesaria vs condición suficiente 46

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De otra parte, en el vocabulario lógico se dice que cuando se tiene una proposición condicional de la forma p → q, entonces el consecuente es condición necesaria del antecedente y el antecedente es condición suficiente del consecuente. Cabe precisar que tradicionalmente a la condición necesaria se le ha conocido como condición sine qua non, lo que en castellano significa condición sin la cual no se produce un cierto hecho, acontecimiento o fenómeno. Por ejemplo, en condiciones usuales, el oxígeno es condición necesaria para la combustión. Por tanto, nosotros podemos afirmar el siguiente condicional ‘Si se produce combustión en la habitación Z’, entonces existe oxígeno en la habitación Z, con la seguridad de que siempre que el antecedente es verdadero el consecuente también, inevitablemente, lo es. En cambio el condicional recíproco ‘Si existe oxígeno en la habitación Z, entonces se produce combustión en la habitación Z’ es falso porque es posible que exista oxígeno en cualquier habitación, por ejemplo en la Z, y, sin embargo, no se produzca combustión, como ocurre todos los días en las habitaciones de nuestras viviendas. De este análisis se deduce que si reconocemos un condicional como verdadero, entonces lo afirmado en el consecuente es condición necesaria para lo afirmado en el antecedente, y lo afirmado en el antecedente es condición suficiente para lo afirmado en el consecuente. En nuestro ejemplo, la existencia de combustión en la habitación Z basta para afirmar la existencia de oxígeno en dicha habitación. Sin embargo, no es condición necesaria porque es completamente factible cambiarla. Podemos deducir el mismo consecuente desde otro antecedente. Por ejemplo: ‘Si existen personas respirando satisfactoriamente en la habitación Z, entonces existe oxígeno en Z’ es un condicional también verdadero. En cambio, la condición necesaria no la podemos cambiar, pues todos sabemos que ‘No es posible que se produzca combustión y no que haya oxígeno’. Esta última afirmación formalizada corresponde a ~ ( p ^ ~ q ), que pone en evidencia que para que se cumpla ‘p’ la presencia del oxígeno es inexcusable. Asimismo, si se hace la tabla de verdad de dicha fórmula, se verá que coincide con la de p → q. Existe la tendencia errónea a creer que la condición necesaria debería aparecer primero, vale decir, como antecedente. Esperamos que ello esté suficientemente aclarado en esta sección. Igualmente es un error intentar definir estos conceptos sin una referencia específica. Ninguna afirmación expresa en sí misma una condición necesaria o una suficiente. Son conceptos relacionales. Debido a ello siempre alguna condición A, por ejemplo, es condición necesaria para alguna otra B, pero podría no serlo para una C. La manera efectiva de evitar imprecisiones es construir condicionales verdaderos cada vez que estos conceptos estén en discusión.

Cuestionario Nº 4. El condicional 47

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I. Identificar la condición necesaria y la condición suficiente en cada una de las siguientes proposiciones. 1. Si estudias en la universidad, entonces estás matriculado. 2. Si caminas para llegar a algún lugar, entonces eres un peatón. 3. Sólo los aprobados ingresarán al aula. 4. No te puedes matricular a menos que apruebes el examen de admisión 5. Los que sacan once en el examen están aprobados. II. Expresar en el lenguaje lógico las siguientes proposiciones. 1. Me compraré un auto solamente si me aprueban un préstamo bancario. 2. La injusticia prevalece porque hay personas que la apoyan. 3. Un número es par si es divisible por 2. 4. Una figura es un triángulo siempre que tenga exactamente 3 lados. 5. No es posible que dos líneas sean paralelas y que se corten. III. Responder a las siguientes preguntas: 1. ¿A qué se llama relación de atingencia entre el antecedente y el consecuente? 2. ¿Es necesario que haya relación de atingencia entre el antecedente y el consecuente para que una proposición condicional sea lógicamente correcta? 3. ¿Cómo se reconoce al pensamiento hipotético deductivo?

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Lectura Nº 4. La Lógica y el progreso de la ciencia Karl Popper Hasta ahora he considerado el progreso en la ciencia sobre todo desde el punto de vista biológico. Sin embargo, me parece que son decisivas las dos precisiones lógicas siguientes. En primer lugar, para que una teoría nueva constituya un descubrimiento o un paso adelante, es menester que entre en conflicto con su predecesora; esto es, es menester que lleve al menos a algunos resultados conflictivos. Pero esto, desde un punto de vista lógico, significa que debe contradecir a su predecesora: debe derrocarla. En este sentido, el progreso en la ciencia -o por lo menos el progreso que impacta- es siempre revolucionario. Mi segunda precisión es que, en ciencia, el progreso, a pesar de ser revolucionario y no meramente acumulativo, también, en cierto sentido, es siempre conservador: una teoría, por revolucionaria que sea, siempre debe ser capaz de explicar plenamente el éxito de su predecesora. En todos los casos de éxito de la predecesora, es preciso que produzca resultados por lo menos tan buenos como los de ésta y, si es posible, mejores. Así, en estos casos, la teoría predecesora debe aparecer como una buena aproximación de la nueva teoría, mientras que debe haber, preferiblemente, otros casos en que la nueva teoría arroje resultados mejores que la vieja. Lo importante de los dos criterios lógicos que acabo de enunciar es que nos permiten decidir acerca de cualquier teoría nueva, aun antes de haber sido contrastada, si será mejor que la anterior, suponiendo que resista las contrastaciones. Pero esto significa que, en el campo de la ciencia, disponemos de algo así como de un criterio para juzgar la calidad de una teoría en comparación con su predecesora y, en consecuencia, de un criterio de progreso.

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LECCIÓN V

BICONDICIONAL, FUNCIONES DE VERDAD Y EQUIVALENCIA

Objectives 1. Definir el bicondicional como una conectiva proposicional. 2. Reconocer las condiciones de verdad del bicondicional. 3. Relacionar el concepto de función matemática y el concepto de función de verdad. 4. Distinguir las proposiciones atómicas de las moleculares. 5. Determinar cuándo las fórmulas son lógicamente equivalentes. 6. Usar las fórmulas equivalentes como definiciones que permiten reemplazar una fórmula por otra. 7. Traducir las proposiciones bicondicionales en condicionales.

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5.1. El bicondicional El bicondicional es una conectiva que en algunos libros es llamada equivalencia. En el lenguaje natural su sentido está dado por la expresión ‘... si y solamente si ...’ que en el lenguaje lógico se denota mediante el signo ‘↔’, que es una flecha en ambas direcciones. Las proposiciones bicondicionales se encuentran especialmente en la matemática. Por ejemplo, ‘Un número es par si y solamente si es divisible por 2’. En el lenguaje natural también encontramos proposiciones bicondicionales tales como ‘El ciclista gana la competencia, si y solamente si se desplaza en bicicleta’, o ‘Matías viaja a Jauja si y solamente si toma el tren’. Lo que caracteriza esencialmente a los ejemplos anteriores es que establecen las siguientes proposiciones, cada una de las cuales está constituida por dos proposiciones condicionales de sentido inverso. a. Si un número es par, entonces es divisible por dos y si un número es divisible por dos, entonces es par. b. Si el ciclista gana la competencia, entonces llegó primero a la meta, y si llegó primero a la meta entonces gano la competencia. Como puede apreciarse, las proposiciones bicondicionales configuran relaciones más exigentes que las puramente condicionales. Establecen que si el antecedente es verdadero, entonces el consecuente tiene que ser verdadero pero, además, que si el consecuente es verdadero, entonces el antecedente también tiene que serlo. En otras palabras, la verdad o falsedad de una proposición exige necesariamente la verdad o falsedad de la otra. Definición 8. La proposición bicondicional de la forma p↔ q es verdadera cuando las variables p y q tienen el mismo valor, esto es, cuando ambas son verdaderas y cuando ambas son falsas. En cualquier otro caso es falsa. Con el auxilio de esta definición y de reglas que ya no necesitamos repetir, construiremos la tabla de verdad de una proposición bicondicional de la siguiente manera. p V

q V

↔ V

V F

F V

F F

q MATRIZ DE LA PROPOSICIÓN BICONDICIONAL

Tabla 11. Observando la tabla anterior se encontrará que la conectiva bicondicional puede ser interpretada como inversa de la disyunción exclusiva, en el sentido de que es verdadera en los arreglos en los que la disyunción exclusiva es falsa y es falsa en los arreglos en los que la disyunción exclusiva es verdadera. Asimismo, en la proposición bicondicional

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p ↔ q se dice que p es condición necesaria y suficiente de q y que q es condición necesaria y suficiente de p.

5.2. Las conectivas como funciones de verdad El concepto de función es uno de los más fundamentales de la matemática y por ello desde los cursos introductorios de aritmética y álgebra todo estudiante lo conoce. Como es sabido, un ejemplo de función aritmética es ‘ y = 2x ’ que se comporta de la siguiente manera: Cuando ‘x’ es igual a 1, entonces ‘y’ es igual a 2. Cuando ‘x’ es igual a 2, entonces ‘y’ es igual a 4. Cuando ‘x’ es igual a 3, entonces ‘y’ es igual a 6 Y así sucesivamente... Puede apreciarse fácilmente que el mecanismo de la función consiste en que a un determinado valor de la variable ‘x’ le corresponde un único valor de la variable ‘y’. Y no es posible que dos valores distintos de la variable ‘y’ correspondan al mismo valor de la variable ‘x’. Este tipo de correspondencia, que va de los valores de ‘x’ a los valores de ‘y’, es lo que da lugar a que los valores de ‘y’ sean determinados única y exclusivamente por los valores de ‘x’. De otra parte, analizando cualquiera de las tablas de verdad que hemos construido, por ejemplo, la de la conjunción, encontramos que en ella se establece una correspondencia de tal manera que a cada arreglo ( a cada par de valores de p y de q ) le corresponde solamente un valor en la matriz, y los valores de ésta son determinados única y exclusivamente por los valores de las variables proposicionales. Veámoslo en la tabla. P

1er arreglo

( V,

→

2 arreglo 3er arreglo

( V, ( F,

F) V)

→ →

F F

q Tabla 12.

4to arreglo ( F, F) → F Debido a la existencia de este tipo de correspondencia, que va de los valores de las variables proposicionales a los valores de la matriz, es que, por analogía con la matemática, se ha llamado a las conectivas funciones. Pero como en este caso las variables no asumen valores numéricos sino sólo el valor verdadero y el valor falso, entonces para tipificarlas se les denomina funciones de verdad. El lógico que inició el estudio de las funciones de verdad fue Gottlob Frege en su libro escrito en alemán bajo el título de Begriffsschrift, (Escritura de Conceptos) publicado en 1879.

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5.3. Dominio y rango En el concepto matemático de función, toda función f(x) se define tomando como referencia un conjunto dominio y un conjunto rango. La función f es una regla que asocia cada valor que toma la variable x en el conjunto dominio con un único valor en el rango. Si A es el dominio y B el rango, la función f(x) se define mediante el esquema: f(x) : A B (en este caso la flecha es el signo de la función que tiene como dominio A y como rango a B) En el caso de las funciones lógicas o funciones de verdad el conjunto base es W = { V, F } que tiene solamente dos objetos distintos. Si, por ejemplo, la conjunción la representamos como función, escribimos f1 ( p, q ) y podemos definirla así: f1 ( p , q ) : W x W W Hemos tomado como dominio el producto cartesiano de W x W (W2) debido a que f1 es una función que tiene dos variables y, por tanto, asocia, cada vez, un par ordenado (arreglo) con un único valor del rango. Esta definición puede aplicarse a todas las conectivas de dos variables. La negación, que podríamos representarla como la función f0(p) sería la única función, que por tener una sola variable, puede definirse simplemente de W en W como a continuación: f0 ( p ) : W W Los gráficos conjuntistas de f1 y f0 se representan así:

(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)

f1 f1 f1 f1

V F

A f1 se le llama función suryectiva y a f0 se le llama función biyectiva. Definición 9. Las fórmulas conjuntivas, disyuntivas, negativas, condicionales y bicondicionales son funciones de verdad definidas tomando como base el conjunto W= {V,F} debido a que los valores de sus matrices son determinados de manera única y exclusiva por los valores de sus variables proposicionales componentes. Hasta aquí, podemos afirmar que las conectivas lógicas que hemos introducido en esta sección y las precedentes constituyen, junto con las variables proposicionales, los elementos básicos del lenguaje de la lógica proposicional desarrollada en este curso.

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5.4. Proposiciones atómicas y moleculares Definición 10. Se dice que una proposición es atómica cuando no contiene entre sus signos componentes a ninguna conectiva proposicional y puede ser representada sólo por una variable proposicional p. Definición 11. Se dice que una proposición es molecular cuando entre sus signos componentes contiene al menos una conectiva proposicional. Las definiciones anteriores ilustran una clasificación muy sencilla de las proposiciones que las divide en atómicas y moleculares. A las primeras también se les denomina simples y a las segundas compuestas. En armonía con las definiciones anteriores, todas las proposiciones para las cuales hemos construido tablas de verdad son moleculares, pues ellas contienen necesariamente una conectiva proposicional. En cambio, las proposiciones siguientes, debido a que todas carecen de conectivas proposicionales, son atómicas. c. La pizarra es verde. d. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 e. ( a + b ) + c = ( a + b ) + c f. Juan es hermano de Enrique. g. Lima está entre Trujillo e Ica. Existe la creencia errónea de considerar que una proposición atómica debe tener un sólo sujeto. Los ejemplos e y f demuestran lo contrario a nivel del lenguaje natural, en el sentido de que, desde el punto de vista lógico, Lima, Trujillo e Ica son tres nombres, que tienen la misma jerarquía en una relación, en este caso, triádica. Lógicamente, ninguno es predicado. En estos ejemplos los predicados son ‘...entre ...’ y ‘... y hermano de ...’. Asimismo, a modo de ejemplo, daremos un razonamiento para luego señalar las proposiciones atómicas que lo constituyen y las variables proposicionales que pueden representar a cada una de ellas. O los pájaros están trinando o la bebé está llorando. Si la bebé no está llorando, el viento no está soplando. O los pájaros no trinan o el viento no sopla. En consecuencia, si la bebé no está llorando, los pájaros no están trinando. Las proposiciones atómicas que constituyen este razonamiento son: Los pájaros están trinando ( la representamos por p ). La bebé está llorando ( la representamos por q ). El viento está soplando ( la representamos por r ). Evidentemente, toda proposición negativa es también molecular de acuerdo con la Definición 11. Las proposiciones moleculares pueden ser claramente distinguidas porque contienen conectivas y están separadas por punto y seguido.

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5.5. Proposiciones lógicamente equivalentes Las proposiciones lógicamente equivalentes o fórmulas lógicamente equivalentes se dan si una fórmula bicondicional es verdadera en todos sus arreglos (tautología), entonces sus dos miembros son entre sí proposiciones o fórmulas lógicamente equivalentes. Probar que dos fórmulas son lógicamente equivalentes es muy importante dentro del estudio de la lógica, ya que al obtener lo que se denomina una equivalencia nos permite que podamos reemplazar una fórmula por la otra cada vez que lo consideremos necesario. En la práctica, una equivalencia es una fórmula bicondicional tautológica que funciona como una regla que autoriza a transformar una fórmula en otra. Equivalencia de De Morgan p

V V F F

V F V F

¬ (p∧q) F V V V

V F F F

Tabla 13.

↔

(¬ p v ¬ q)

V F F F V F V V V V V F V V V V ↓ Matriz principal

5.6. Traducción de la proposición bicondicional a una E conjunción de dos condicionales. Para facilitar el manejo del lenguaje de la lógica proposicional de PM se usa con frecuencia una equivalencia que posibilita el reemplazo de una fórmula bicondicional ( p ↔ q ) por la conjunción de dos condicionales ( p → q ) Λ ( q → p ). Para una mejor comprensión de esto, construiremos una tabla de verdad que nos permite demostrar que la equivalencia antes mencionada existe. p

V V F F

V F V F

Tabla 14.

(p↔q) V F F V ↓ Matriz del componente izquierdo

↔

((p→ q)

V V V V ↓

V F V V Matriz principal

∧

(q→p))

V V F V F F V V ↓ Matriz del componente derecho

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Como se observa, la fórmula tabulada muestra una matriz principal siempre verdadera lo que prueba que sus miembros son fórmulas lógicamente equivalentes y pueden reemplazarse mutuamente. Resulta pertinente destacar que el primer miembro de esta fórmula es a su vez una fórmula bicondicional pero no una equivalencia en tanto que es claro que ( p ↔ q ) no es una tautología. Lo que es una equivalencia es la fórmula total.

5.7. Bicondicional y definición La conectiva bicondicional, en la medida que posibilita construir equivalencias, es utilizada para construir reglas de traducción de un lenguaje lógico a otro, como ocurre con los diccionarios bilingües. Como miembro izquierdo o entrada se escribe la fórmula que queremos definir y que pertenece a un lenguaje L0 que no es el nuestro. Como miembro derecho se escribe la fórmula equivalente a la primera y que pertenece a nuestro lenguaje L1. De esta manera se establece una regla que permite traducir una fórmula de L0 a otra de L1. El bicondicional en su conjunto es propiamente una definición. Al componente izquierdo se lo denomina definiendum y al componente derecho definiens. Si suponemos, verbi gracia, que L0 es el lenguaje de PM y que nuestro lenguaje L1 es una versión, reducida en el número de conectivas, que contiene solamente las de conjunción ‘∧’ y negación ‘~’, entonces las definiciones que son reglas de traducción de las fórmulas de L0 a las de L1 son: L0

( p v q ) ↔ ~ ( ~ p ∧~ q ) ( p → q ) ↔ ~ ( p ∧~ q ) ( p ≠ q ) ↔ ~ ( p ∧ q ) ∧~ (~ p ∧ ~ q ) ( p ↔ q ) ↔ ~ ( p ∧ ~ q ) ∧~ ( q ∧ ~ p ) (Ejercicio: construir las tablas correspondientes a las cuatro equivalencias anteriores).

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Cuestionario Nº 5. I. Sabiendo que las letras p, q, etc. representan proposiciones, expresar completamente en lenguaje lógico las siguientes afirmaciones. 1. p, si y solamente si p 2. No p si y solamente si no 3. Si no p, entonces no q 4. Si no q, entonces p 5. No p si y solamente si q II. Traducir al lenguaje lógico las siguientes afirmaciones. 1. Un número es par si y solamente si es divisible por 2 2. Iré a juicio si y sólo si estoy seguro de ganar. 3. Ganarás dinero solamente si trabajas. 4. Juan campeonará si gana la pelea 5. El postulado V es verdadero si y sólo si el espacio es recto. III. Indicar usando variables proposicionales cuántas proposiciones atómicas distintas hay en cada uno de los siguientes razonamientos. Se recomienda hacer un listado de proposiciones atómicas y poner a un costado las variables que las representan. 1. Si está lloviendo o nevando entonces está corriendo viento. Y si no está corriendo viento entonces no está nevando. 2. Usted se casará o se convertirá en una actriz. Si usted no se convierte en una actriz, usted no será famosa. Usted será famosa o no se casará. Por tanto, usted no se convertirá en una actriz. 3. Si la gente no piensa en la crisis, entonces alguien la distrae. Si el fútbol es una distracción de masas, entonces puede ser propiciado por los beneficiados por la crisis.

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Lectura Nº 5. La verdad y sus principios Leibniz 31. Nuestros razonamientos se fundan en dos grandes principios: el de contradicción, en virtud del cual juzgamos falso lo que cierra contradicción, y verdadero lo opuesto o contradictorio a lo falso. 32. Y el de razón suficiente, en virtud del cual consideramos que ningún hecho puede ser verdadero o existente y ninguna enunciación verdadera sin que haya una razón suficiente para que sea así y no de otro modo; aunque las más veces esas razones no podamos conocerlas. 33. Hay también dos clases de verdades: las de razón y las de hecho. Las verdades de razón son necesarias y su opuesto es imposible; y las de hecho son contingentes y su opuesto es posible. Cuando una verdad es necesaria puede encontrarse su razón por medio del análisis, resolviéndola en ideas y verdades más simples, hasta llegar a las primitivas. 34. Por esto, los matemáticos reducen por medio del análisis los teoremas especulativos y los cánones prácticos a las definiciones, axiomas y postulados. 35. Y hay, por último, ideas simples, cuya definición no podría darse; y hay también axiomas y postulados o, en una palabra, principios primitivos, que no pueden ser demostrados ni tienen, por otra parte, necesidad de ello: son las proposiciones idénticas, cuyo opuesto encierra una contradicción expresa.

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LECCIÓN VI

JERARQUÍA DE LAS FÓRMULAS DEL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

Objectives 1. Conocer y aplicar las reglas de formación de fórmulas. 2. Definir y aplicar en el lenguaje formalizado el concepto de Jerarquía. 3. Aplicar notaciones alternativas para jerarquizar fórmulas. 4. Establecer el orden de operaciones en la resolución de tablas de verdad.

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6.1. Fórmulas básicas, paréntesis y puntos Una diferencia notable entre los lenguajes lógicos y los lenguajes naturales es que estos tienen una cantidad, en términos comparativos, muy grande de palabras en relación con los lenguajes formalizados. Un lenguaje formalizado, como el tipo PM que estamos desarrollando, cuenta propiamente con sólo seis fórmulas básicas. Ellas son las fórmulas de negación, conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, condicional y bicondicional. Asimismo, hay muchos lenguajes para la lógica proposicional que usan sólo dos fórmulas básicas. Entre ellos el lenguaje de Post usa solamente las fórmulas de conjunción y negación. En el caso límite, hay lenguajes que usan sólo una fórmula básica. Un ejemplo lo brinda el lenguaje de Nicod que usa sólo la fórmula de incompatibilidad. La otra diferencia es que los lenguajes formalizados, propiamente, no jerarquizan sus fórmulas mediante signos de puntuación sino a través de signos de agrupación, que establecen el orden en que debe ejecutarse las operaciones que la fórmula define. Como veremos los signos de agrupación más usuales en los lenguajes lógicos son los paréntesis, sin embargo ello no obsta para usar otras convenciones, que bien pueden ser puntos, que tratándose de fórmulas lógicas también funcionan como signos de agrupación que definen un orden de operaciones.

6.2. Lenguaje natural versus lenguaje formalizado Tomando como punto de partida nuestro conocimiento del lenguaje natural, comenzaremos esta sección enfatizando lo importante que es el uso de los signos de puntuación, para precisar el sentido de aquello que deseamos comunicar. Son conocidos ejemplos tales como: a. Mientras desembarcaban, los españoles observaban los alrededores. b. Mientras desembarcaban los españoles, observaban los alrededores. Como se aprecia entre los ejemplos a y b hay una diferencia sustantiva de sentido. En el primer caso, se entiende que fueron los españoles los que desembarcaron. En cambio, en el segundo, fueron otras personas las que presuntamente observaban los alrededores mientras los españoles desembarcaban. Es importante percibir que a y b son conjuntos de palabras que tienen exactamente los mismos elementos pero que, sin embargo, dicen cosas distintas debido a que están ordenadas o jerarquizadas de manera distinta por la coma. Esto significa que para entender castellano no es suficiente conocer el uso de las palabras. Se necesita también conocer las reglas que rigen su ordenamiento, las mismas que definen una jerarquía. Entre tales reglas son muy importantes las referentes al uso de los signos de puntuación.

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6.3. Reglas de formación de fórmulas En los lenguajes lógicos las fórmulas, a diferencia de las oraciones en los lenguajes naturales, se construyen en base a reglas de formación muy precisas y todas ellas pueden ser interpretadas como proposiciones o afirmaciones. Ahora es oportuno hacer una aclaración. Hasta el momento hemos usado de manera casi indistinta los términos ‘fórmula’ y ‘proposición’. En un curso introductorio ello no entraña mayores dificultades, pero es importante señalar que en el trabajo especializado, existe una diferencia sustantiva entre ambos conceptos. Todas las fórmulas que hemos usado hasta el momento pueden ser interpretadas como proposiciones, pero una cosa es una fórmula y otra su interpretación. Las reglas de formación o construcción de fórmulas son las siguientes: r1. Si p es una variable proposicional entonces es una fórmula de PM. r2. Si p es una fórmula de PM, entonces ~ p es también una fórmula de PM. r3. Si p y q son fórmulas de PM, entonces también p ∧ q, p v q, p ≠ q, p → q y p ↔ q son fórmulas de PM. r4. (Regla de cierre) Solamente son fórmulas de PM aquellas expresiones construidas por la aplicación de r1, r2 o r3. Las reglas anteriores son metalingüísticas y definen a PM como un lenguaje de estructura predeterminada y cerrada. Lo primero debido a que las reglas prevén la estructura de toda posible fórmula de PM y lo segundo porque se excluye que cualquier otra fórmula, obtenible por la aplicación de reglas distintas, sea considerada como elemento o miembro de PM. Por otro lado r1, r2, r3 y r4 constituyen lo que se conoce como una definición recursiva de ‘fórmula’ en el lenguaje PM y, a su vez, son un algoritmo que permite decidir mecánicamente si una expresión cualquiera es o no una fórmula de PM.

6.4. La jerarquía en el lenguaje PM La existencia de dos o más conectivas plantea la necesidad de establecer una jerarquía entre ellas y para ello existen reglas que no son estrictamente novedosas porque han sido tomadas de la matemática. Supongamos que alguien escribiera en la pizarra la siguiente expresión 3x + 2 - 5 . 4 - 7x = 8 y luego nos pidiera que la calculemos. La respuesta inmediata es que no se puede hacer ningún cálculo en tales condiciones, pues no se ha establecido ninguna jerarquía entre las operaciones; de tal modo que no está claramente determinado por cuál

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comenzar y por cuál terminar. Esta es la razón por la que un profesor de matemática, cuando quiere que se haga un cálculo preciso, presenta la expresión anterior, por ejemplo, de la siguiente manera: 3 ( x + 2 ) - 5 ( 4 - 7x ) = 8 Entonces ahora sí está unívocamente establecido que la operación de mayor jerarquía es la resta que está al centro del primer miembro de la igualdad y que la suma y la resta que están dentro de los paréntesis tienen menos jerarquía que los productos establecidos fuera de los paréntesis. Así podemos decir que el primer miembro de la igualdad es una diferencia de dos productos y ningún estudiante diría que 5 ( 4 - 7x ) es una resta sino un producto, porque sabe que toda operación exterior a los paréntesis tiene más jerarquía que toda operación interior a los paréntesis y que la operación de mayor jerarquía es la que da nombre a una expresión.

6.5. Jerarquía y tablas de verdad En el lenguaje lógico puede producirse una situación similar a la anterior. Valiéndose del vocabulario que hemos introducido, es posible escribir una expresión tal como: p vp→q que no puede ser tabulada porque hay dos conectivas y no se sabe cuál es la de mayor jerarquía para establecer un orden en la construcción de la tabla. Valiéndonos del método de los paréntesis, usado en la matemática, podemos darle la siguiente presentación a la operación anterior: pv(p→q) De esta manera hemos establecido una jerarquía o un orden que, siguiendo la regla general de uso del paréntesis, nos indica que la conectiva principal es la disyunción porque está fuera del paréntesis y que la de menor jerarquía es el condicional porque es interno al paréntesis. Esto significa además que si confeccionamos la tabla de verdad habrá dos matrices: una secundaria, que irá debajo de la conectiva de menor jerarquía, y una principal, que irá debajo de la conectiva de mayor jerarquía y que tiene la condición de ser el resultado final de la tabla de verdad. Como el acto de escribir una matriz debajo de la conectiva puede ser entendido como una operación, entonces podemos decir sin dificultades que cada una de las conectivas estudiadas determina una operación lógica. En este mismo sentido, podemos decir que la jerarquía que establecen los paréntesis en una proposición determina de manera inequívoca un orden de operaciones que va desde las operaciones de menor jerarquía hasta finalizar en la de mayor jerarquía. Antes de construir la tabla de verdad, de la proposición que hemos ordenado o jerarquizado mediante paréntesis, señalaremos a través de la siguiente figura el orden de operación a seguir:

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p v (p → q)

Matriz secundaria

{ {

Matriz Principal

1ra.

2da. Observando el orden de operaciones anterior, la tabla resulta así: p V V F

q V F V

V V V V

V ↓ 2da. Matriz (Principal o final)

→ V F V

V ↓ 1 Matriz ra.

Tabla 15.

6.6. Ocurrencias de una variable proposicional La matriz secundaria es el resultado de confrontar los valores de p y de q de acuerdo a la definición que corresponde al condicional. Después se ha confeccionado la matriz principal que es el resultado de confrontar los valores de p con los valores de la matriz secundaria, de acuerdo a la definición que le corresponde a la disyunción inclusiva. Es claro que el margen tiene sólo cuatro arreglos porque la proposición tabulada tiene sólo dos variables proposicionales distintas que son p y q. Lo que sucede es que p tiene dos apariciones que en lógica se llaman ocurrencias de una variable proposicional, pero sigue siendo la misma variable. Es más, una misma variable puede tener muchas ocurrencias en la misma proposición pero se la cuenta siempre sólo como una. Antes de dar otro ejemplo añadiremos como una regla que la conectiva de negación, cuando está delante de una variable proposicional, es siempre el operador de menor jerarquía. Podemos verlo en la siguiente proposición: ( p v~ q ) → p en la que la negación tiene menor jerarquía que la disyunción inclusiva y, consecuentemente, al hacer la tabla, la primera matriz que se calcula es la de la negación. La tabla es como sigue:

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p V V F F

q V F V F

v F F F F

~q) F F V V

→ V V V V

↓

2da. Matriz

1ra. Matriz

3ra. Matriz (Principal o final)

Tabla 16. Definición 12. Una proposición dada en el lenguaje lógico está bien escrita si y sólo si existe una jerarquía claramente establecida entre sus conectivas. A esta jerarquía también se le llama un orden. Asimismo, una proposición mal escrita carece de sentido. Definición 13. En una proposición dada en lenguaje lógico, si se ha establecido un orden mediante paréntesis, entonces toda conectiva interna a los paréntesis es de menor jerarquía que toda conectiva externa a los paréntesis. La conectiva que se encuentra más externa a los paréntesis es la de mayor jerarquía y la que le da nombre a la proposición. De acuerdo con estas definiciones, las dos proposiciones anteriores están bien escritas y, teniendo en cuenta cuáles son sus operadores más externos, ocurre que la primera se llama proposición disyuntiva y la segunda proposición condicional.

6.7. Reglas auxiliares sobre jerarquía La primera regla adicional se refiere a la negación. R4. Cuando se desea negar una proposición compuesta o molecular se la encierra dentro de paréntesis y se le antepone el signo ‘~’. En este caso la conectiva de negación no niega los valores de una variable proposicional sino los valores de la matriz que está debajo de la conectiva de mayor jerarquía que se encuentra dentro del paréntesis. Asimismo, de acuerdo con la Definición 13, estas proposiciones tomadas en su conjunto tienen como conectiva principal a la negación y son proposiciones negativas. Por ejemplo, si se desea negar la proposición p ↔ q, entonces la respectiva proposición negativa es ~( p ↔ q ). De acuerdo a lo anterior, la tabla de verdad de esta proposición es la que aparece en esta página como Tabla 15.

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p V V F F

q V F V F

~ (p F V V F ↓ Matriz principal Tabla 17.

↔ V F F V

R5. En ausencia de paréntesis y de todo signo de jerarquía, puede considerarse por convención que la conectiva de mayor jerarquía es el bicondicional; en segundo lugar el condicional; en tercer lugar la disyunción exclusiva; en cuarto lugar la disyunción inclusiva; en quinto lugar la conjunción; y en sexto lugar la negación. Esto significa lo siguiente: p ↔ q→ r se lee como si fuera p ↔ ( q → r ) p → q ≠ r se lee como si fuera p → ( q ≠r ) p v q ≠ r se lee como si fuera ( p v q ) ≠ r p ∧ q v r se lee como si fuera ( p ^ q ) v r Consecuentemente, la proposición siguiente, bastante más compleja que las anteriores, p∧q→r↔r→pvq se lee como si fuera (( p ∧ q ) → r ) ↔ ( r → ( p v q )) A pesar de que esta regla es una convención bastante usada por los lógicos, nosotros en este texto la usaremos lo menos posible.

6.8. Los puntos como signos de jerarquía R6. Se puede determinar la jerarquía de las conectivas reemplazando algunos o todos los paréntesis por puntos. La conectiva que tiene el mayor número de puntos es la de mayor jerarquía. Si se usan puntos y paréntesis, entonces se cumple que toda conectiva interna a los paréntesis, aunque tenga puntos, es de menor jerarquía que otra externa a los paréntesis aunque no tenga puntos. La proposición anterior, ordenada por el método de los puntos, queda de la siguiente manera: . .. . p∧q → r↔r→pvq Si usamos tanto puntos como paréntesis, entonces tenemos: . r)↔(r → . pvq) (p∧q →

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En este caso, aunque el bicondicional no tiene puntos es de mayor jerarquía que los dos condicionales que tienen puntos porque están internos en los paréntesis. El método mixto de usar puntos y paréntesis tiene su origen en la obra de Whitehead y Russell titulada Principia Mathematica y es empleado por muchos autores. Nosotros lo indicamos para que el estudiante lo conozca, pero sólo usaremos los paréntesis cuando sea necesario en función a las convenciones establecidas por la regla R5. Aclaramos que los métodos de ordenar proposiciones, así como muchos otros aspectos relacionados con los signos lógicos, son completamente convencionales. Dependen del acuerdo de los especialistas. Nosotros hemos elegido uno que nos parece adecuado, pero con igual éxito puede seguirse otro.

6.9. Tabla de verdad de las proposiciones con más de dos variables En este caso la mayor variante está en el margen, pues al haber tres proposiciones entonces la fórmula ‘2n’ para ‘n=3’ da lugar a 8 arreglos que es el valor de dos al cubo. A continuación daremos un ejemplo señalando previamente el orden de operaciones establecido por los paréntesis para luego construir la tabla de verdad.

3ra. matriz

{

{{

{

((p Λ q)) v . (p ^. r)) ↔ ~p 2da. matriz

1ra. matriz

{

1ra. Matriz

5ta. Matriz (prinicipal) La tabla de verdad es como sigue: p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

((p ∧ q ) V V F F F F F F

V V V V F F F F F

(p ∧ r )) V F V F F F F F

↔

F F F V F F F F ↓

F F F F V V V V

Matriz principal Tabla 18.

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Otro ejemplo de tabla de verdad de una proposición con tres variables es: p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

((p v ~p) V F V F V F V F V V V V V V V V

→ F F F F F F F F

(q ∧ ~q )) F F F F F V F V F F F F F V F V

∧ F F F F F F F F ↓

Matriz principal Tabla 19.

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Cuestionario Nº 6 Jerarquía de las fórmulas del lenguaje de la lógica proposicional Instrucciones I. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son fórmulas de PM ? 1. ( p → ( q ∧ r ) )→ ~ ( ~ q v~ ( ~ r ) ) 2. ( p → q → ) p 3. ~ p ( q v r ) p 4. ~ ~ ( p v q ) → ( p ∧ q ) 5. ( ( p ∧ q ) ∧ r ) ∧~ s ∧ p II. Las siguientes fórmulas están ordenadas o jerarquizadas por el método de los puntos. Ordénalas manteniendo las mismas jerarquías por el método de los paréntesis.

1. p ↔ q ∧ p ↔ q

2. p → q v r → s

3. p → q→ q → r → p → r

4. p → q → r v p → r v q

5. p → q ∧ r . ∧. p → q v p → r III. Ordenar por el método de los puntos las siguientes proposiciones de tal manera que la jerarquía no se altere. 1. ( p v q ) ∧( r v p ) 2. ( p v q ) ∧( r v~ p ) 3. p → ( q ∧ ( r ∧~ s ) ) 4. ( p → q ) v ( ( r → s ) ∧( s v p ) ) 5. ( ( p → q ) v s ) ∧~ r

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IV. Usando el método de los paréntesis proceder a negar las siguientes proposiciones: 1. p → q 2. p v~ q 3. ( p → q ) → ( q → p ) 4. ( p → q ) → ( ( p → q ) v r )

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Lectura Nº 6. Las reglas del método racional Descartes Fue el primero, no admitir como verdadera cosa alguna, como no supiese con evidencia que lo es; es decir, evitar cuidadosamente la precipitación y la prevención, y no comprender en mis juicios nada más de lo que se presentase tan clara y distintamente a mi espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de ponerlo en duda. El segundo, dividir cada una de las dificultades que examinare en cuantas partes fuera posible y en cuantas requiriese su mejor solución. El tercero, conducir ordenadamente mis pensamientos, empezando por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ir ascendiendo poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los más compuestos, e incluso suponiendo un orden entre los que no se preceden naturalmente. Y el último, hacer en todo unos recuentos tan integrales y unas revisiones tan generales, que llegase a estar seguro de no omitir nada.

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LECCIÓN VII

Tautologías, principios lógicos y validez

Objectives 1. Comprender lo que son las fórmulas tautológicas, consistentes y contradictorias. 2. Distinguir entre fórmulas tautológicas y proposiciones tautológicas. 3. Conocer cuáles son los principios lógicos clásicos. 4. Distinguir entre validez lógica y validez en lenguaje natural.

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7.1. Fórmulas tautológicas, consistentes y contradictorias Las tablas de verdad que hemos construido hasta ahora son suficientes para permitirnos comprender que los valores de la matriz principal de una fórmula se encuentran necesariamente en una de las tres siguientes condiciones: 1) Todos sus valores son verdaderos, 2) Algunos de sus valores son verdaderos y algunos son falsos. 3) Todos sus valores son falsos. Las fórmulas cuya matriz principal se encuentra en la primera condición se llaman tautologías. (Ver tabla 15). Las fórmulas que poseen una matriz principal que se encuentran en la segunda condición se denominan consistentes. Entre otros ejemplos pueden verse las tablas 8, 9 y 10. Las fórmulas cuya matriz principal se encuentra en la tercera condición se denominan contradicciones. Un ejemplo nos lo proporciona la fórmula de la tabla 19.

7.2. Fórmulas tautológicas vs. proposiciones tautológicas Hasta esta sección hemos hablado indistintamente de proposiciones tautológicas y de fórmulas tautológicas, aunque hemos advertido que no es el mismo concepto. El tema que ahora trataremos requiere que precisemos un criterio de diferenciación y lo haremos a partir de ejemplos. a. p v~ p b. Lucas es casado o no es casado c. Mercedes es silenciosa o no es silenciosa El ejemplo a es claramente una fórmula siempre verdadera o tautológica como puede establecerse, fácilmente, construyendo la correspondiente tabla de verdad. Y decimos que a es una fórmula porque el significado de la proposición que está representada por la variable proposicional p está indeterminado. Teóricamente, cualquier proposición puede ocupar el lugar de p, lo que equivale a decir, ninguna en especial. Los ejemplos b y c si son genuinas proposiciones tautológicas. Son proposiciones porque, claramente, tiene cada una un significado específico que es un prerrequisito para poder calificar a una proposición de verdadera, pues no podemos hablar de la verdad de una proposición cuyo significado ignoramos porque ello equivaldría a hablar de la verdad de lo que desconocemos. y son tautológicas porque tienen la forma de la fórmula tautológica p v~p , sin embargo b y c son dos proposiciones semánticamente distintas. En efecto, una cosa es hablar del estado civil de Lucas y otra del temperamento o carácter de Mercedes. Una fórmula como la del ejemplo a es fundamentalmente una forma o estructura que admite reemplazos en sus lugares en blanco, que son los ocupados por p; y que tiene la

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propiedad de que todos sus reemplazos posibles dan lugar a proposiciones disyuntivas verdaderas. Como esto es así, abreviadamente, se acostumbra a decir que la fórmula p v~ p es siempre verdadera, pero lo riguroso sería afirmar que todos sus reemplazos son verdaderos. Es más, en la medida que toda la función que cumple la variable p se reduce a la de representar un espacio a ser ocupado por una proposición, podemos usar otro artificio que cumpla la misma función. Por ejemplo, si usamos puntos suspensivos y paréntesis que representan la noción de espacio en blanco, la fórmula a puede ser reemplazada, sin pérdida alguna, por ( ............... ) v ~ ( .................. )

7.3. Limitaciones en la transformación de proposiciones tautológicas Una ventaja sustancial del ejemplo a sobre los otros dos es que todas las transformaciones que hagamos sobre él, aplicando equivalencias lógicas, dan lugar a fórmulas que son, igualmente, siempre verdaderas (tautologías). En cambio, si trabajamos con el ejemplo b y hacemos reemplazos usando lo que serían equivalencias en castellano, encontraremos que algunas transformaciones podrían ser falsas. Si definimos ‘casado’ como ‘no soltero’, y hacemos el reemplazo correspondiente en el segundo componente de la disyunción b, obtendremos lo siguiente: b’. Lucas es casado o no no soltero. Y ocurre que b’ puede ser una afirmación falsa si sucede que Lucas es, por ejemplo, viudo. Bajo tal situación la proposición ‘Lucas es casado’ será falsa y también la proposición ‘Lucas es no no soltero’ pues, conociendo que en PM la doble negación equivale a una afirmación, esta última proposición equivale a ‘Lucas es soltero’ que, obviamente, no puede ser verdadera si Lucas es viudo. Como sabemos, una disyunción, en este caso b’, con ambos componentes falsos es falsa. Consecuentemente, la transformación de b a b’ es lógicamente inadmisible porque obtiene a partir de una proposición verdadera una falsa. Vale decir, no se cumple el sentido fundamental de la lógica que es la transmisión de la verdad. Sin embargo, lo anterior no se debe a deficiencias lógicas sino a deficiencias en el castellano. Nosotros hemos supuesto que ‘casado’ y ‘no soltero’ son sinónimos y eso no es correcto. Ello debido a que en los lenguajes naturales la sinonimia es siempre muy imprecisa. Por tanto, b’ no ha sido obtenida desde b por aplicación de reglas lógicas sino por aplicación de sinonimias castellanas que, por ser imprecisas, conducen a error. De este modo queda aclarado que las proposiciones tautológicas formuladas en un lenguaje natural tienen la propiedad de no poder ser transformadas, sin restricciones, por sus supuestas equivalentes. En cambio, las fórmulas tautológicas pueden ser reemplazadas, sin limitación alguna, por sus equivalentes. El no conocer esta distinción conduce al error de atribuir las mismas propiedades a las fórmulas tautológicas y

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a las proposiciones tautológicas. Por ello, en esta sección el lector deberá tener presente cuándo nos referimos a unas y cuándo a las otras. En lo que sigue consideraremos a las proposiciones tautológicas como un caso particular o un ejemplo, en un lenguaje natural, de la estructura o forma que muestra la correspondiente fórmula tautológica.

7.4. Los principios lógicos clásicos Es importante señalar que los lógicos desde Aristóteles hasta el siglo pasado acostumbraron a hablar de tres principios lógicos fundamentales: el de identidad, el de no-contradicción y el del tercio excluido. Las proposiciones que en lenguaje natural corresponden a cada uno de estos principios, en el mismo orden en que han sido nombrados, son las siguientes: c. Toda proposición es verdadera si y sólo si ella misma es verdadera. d. No es posible que una proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo. e. Toda proposición es necesariamente verdadera o necesariamente falsa. No existe una posibilidad intermedia. Estas tres proposiciones, introduciendo variables proposicionales, podemos expresarlas así: c’. p es verdadera si y sólo si p es verdadera. d’. No es posible que p sea verdadera y falsa a la vez. e’. O p es verdadera o p es falsa. Luego introduciendo las conectivas que conocemos y aceptando que escribir la variable p sin negación equivale a decir p es verdadera y con negación, a decir p es falsa, nosotros podemos traducir las proposiciones, c, d y e dadas en lenguaje natural, a las siguientes formuladas en el lenguaje lógico. c’’. p ↔ p

( Principio de identidad )

d’’. ~ ( p ∧~ p) ( Principio de no-contradicción ) e’’. p v~ p

( Principio del tercio excluido )

Mediante el método de las tablas probaremos que estas proposiciones son tautologías. p V F

↔ V V Tabla 20.

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p V F

p (p ∧ V F V F Tabla 21. p

↔

~p F V

V F

V F V V Tabla 22. Los filósofos tradicionales magnificaron las tres proposiciones anteriores y consideraron que eran las que tenían la jerarquía máxima dentro de la lógica. Igualmente, pensaron que eran los principios fundamentales de la realidad, razón por la que fueron consideradas las proposiciones fundamentales de la Ontología. Hoy día cualquier aprendiz de lógica sabe que rigen el comportamiento de los lenguajes lógicos standard, tipo PM, pero que admiten usos diferenciados en los lenguajes no clásicos, como los que se usan para construir los sistemas polivalentes de Lukasiewicz, el sistema intuicionista de Heyting o los sistemas para consistentes de Jaskowski y Da Costa, entre otros. El error de los filósofos y lógicos tradicionales radicó en sostener que estas proposiciones eran privilegiadas por ser las únicas necesariamente verdaderas de manera evidente. La investigación de este siglo ha probado fehacientemente que, por ejemplo, el principio del tercio excluido no es universalmente verdadero. Esto se desprende de la lógica del polaco Lukasiewicz, que admite, además de los valores verdadero-falso, un tercer valor. A esta lógica se le denomina polivalente para oponerla a la que estudiamos en este texto que se llama bivalente, porque sus variables pueden asumir sólo dos valores (verdadero, falso). Los trabajos de Lukasiewicz son un argumento entre muchos contra la lógica tradicional y contra el no menos tradicional criterio de evidencia. Es pertinente aclarar que el principio de identidad también puede ser lógicamente expresado mediante un condicional que tiene como antecedente y consecuente a la misma variable. p→p Es muy sencillo probar que esta fórmula es una tautología. (Dejamos como ejercicio para el estudiante la construcción de la tabla de verdad correspondiente).

7.5. La validez lógica Las tautologías son fórmulas que han llamado la atención de los filósofos y de los lógicos por tener la peculiaridad de ser siempre verdaderas. Por esta razón se les denomina fórmulas lógicamente verdaderas o lógicamente válidas. En ellas no resulta decisivo

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el valor concreto que asuman las variables proposicionales componentes, pues el valor verdadero corresponde de la misma manera a todos los arreglos. De esta suerte, las tautologías, originan una situación muy similar a la de las funciones constantes en matemática. Por ejemplo, la función ‘y = x0’ siempre da lugar a ‘y = 1’ para todos los valores enteros de ‘x’, pues es conocido que una potencia de grado cero es igual a 1, cualquiera que sea el número entero de la base . De manera análoga, una tautología es una función de verdad constante que siempre toma el valor verdadero sea cuales fueren los valores de sus variables componentes. El estudio de esta clase de funciones de verdad constituye la tarea fundamental de los sistemas de lógica proposicional, en tanto ellas son un instrumento poderoso para el análisis de los argumentos dados en el lenguaje natural y en los lenguajes formalizados, como es el caso de la matemática. Definición 14. Si una proposición formulada en el lenguaje de lógica proposicional es una tautología, entonces se dice que es una proposición lógicamente verdadera o lógicamente válida. Algunos autores llaman a las proposiciones lógicamente válidas, simplemente, válidas. Otros ponen énfasis en el hecho de que el método de las tablas es puramente formal y se realiza con total independencia de la observación de los hechos, razón por la que a las tautologías las llaman proposiciones analíticamente verdaderas o verdaderas a priori.

7.6. Tautologías vs. fórmula lógicamente válida Durante las décadas de 1920 y 1930 muchos filósofos y lógicos, entre ellos L. Wittgenstein, usaron los conceptos de afirmación lógicamente válida y de tautología como sinónimos. Sin embargo, este uso generó dificultades cuando se usó el lenguaje de PM para formalizar teorías matemáticas que presuponen la existencia de conjuntos infinitos actuales, las mismas que resultaron ser la mayoría. Una solución fue denominar tautologías solamente a las fórmulas lógicamente válidas del lenguaje proposicional y a las de los lenguajes predicativos cuyas fórmulas sean traducibles a las del lenguaje proposicional. Pero a las fórmulas de los lenguajes predicativos que son siempre verdaderas y que no son reducibles a fórmulas del lenguaje proposicional de PM se les denominó sólo lógicamente válidas o lógicamente verdaderas. Rudolf Carnap, notable lógico de nuestro siglo, usó la expresión afirmación L-verdadera para expresar esta calificación. La distinción anterior significa que en el uso actual el concepto de fórmula lógicamente válida tiene mayor generalidad que el de tautología. Es decir, toda tautología es una fórmula lógicamente válida pero no toda fórmula lógicamente válida es una tautología. En breve, el conjunto de las tautologías es un subconjunto propio del conjunto de las fórmulas lógicamente válidas. Para ilustrar lo antes afirmado será suficiente dar un ejemplo intuitivo, en lenguaje natural, de una afirmación que siempre es verdadera pero que no es reducible a una fórmula proposicional.

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Es el caso de la afirmación ‘Para todo objeto x, se cumple x = x’ (Todo objeto es igual a sí mismo). En efecto se trata de una afirmación atómica, lógicamente válida, que no puede ser representada simplemente por p, pues de hacerlo tendríamos que aceptar que puede tomar el valor verdadero o el valor falso. Y nuestra afirmación en ningún caso es falsa. Por tanto, no es expresable en el lenguaje proposicional de PM.

7.7. Tautología vs. contenido informativo En la tabla de una fórmula de dos variables proposicionales, el margen siempre contiene cuatro arreglos que son los pares ordenados ( V, V ), ( V, F ), ( F, V ) y ( F, F ). En general, para una fórmula de n variables proposicionales, el margen contendrá 2n arreglos y cada uno de ellos estarán ordenados de manera tal que la primera tendrá n valores verdaderos y la última n valores falsos. El esquema es como sigue: P1 ,….., Pn V1 ,.., Vn ….. ….. ….. F1 ,….., Fn

f( p1 ,……., pn) V1 . . . V2n Tabla 23.

Cada arreglo del margen del esquema anterior ha sido interpretado como un ‘mundo posible’, concepto acuñado por el filósofo Leibniz. Esto quiere decir que el primer arreglo representa un mundo cuyos hechos convertirán en verdaderas a todas las variables de la fórmula dada y el último arreglo representa un mundo cuyos hechos convertirían en falsas a todas sus variables. Los arreglos intermedios, que sólo se sugieren, representarían diversos mundos que convertirían en verdaderas a unas variables y en falsas a otras. Según el filósofo Wittgenstein, el conjunto de los mundos posibles (arreglos) constituye el ‘espacio lógico’. En la medida que cualquier tautología es una función de verdad f ( p1 , ..., pn ) siempre verdadera, significa que es igualmente verdadera en todos los mundos posibles sin excepción. De esto se deduce que una tautología no describe específicamente mundo alguno y, por tanto, no nos dice nada especial del llamado mundo real en el que vivimos. Por tanto, una tautología sería una manera de decirnos que todos los mundos son igualmente posibles, el nuestro y cualquier otro racionalmente pensable. Debido a ello

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Wittgenstein afirmó que las tautologías “abren el espacio lógico” mientras las contradicciones lo cierran al ser siempre falsas, lo que equivale a afirmar que ningún mundo es posible. Lo dicho significa que las tautologías son lógicamente válidas pero vacías de contenido informativo. Por ello no nos sirven como afirmaciones científicas sobre la realidad sino como reglas de deducción que transfieren la verdad establecida previamente por la investigación científica. Son poderosas para organizar lógicamente el conocimiento pero no para producirlo.

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Cuestionario Nº. 7 Tautologías principios lógicos y validez I. ¿Cuáles de las siguientes fórmulas son tautologías? 1. ( p ∧q ) → p 2. ( p v q ) → ( p ∧ q ) 3. ( p → q ) → ( ( p → q ) v( r → p ) ) 4. ( p → q ) ↔ ( ~p v q ) II. Determinar si las siguientes proposiciones son equivalentes. pv~q

~(p∧q)

(p→q)

( ~ p vq )

( p v( q ∧ r ))

(( p v q ) ∧ ( p v r ))

(p→~q)

(q→p)

III. Completar correctamente las siguientes afirmaciones usando las abreviaturas V para verdadero y F para falso.. 1.

Si un condicional tiene el antecedente igual a F, luego, sin importar el valor del consecuente, el condicional es necesariamente.....

Si la primera variable de una conjunción es F, entonces la conjunción es........

Una disyunción inclusiva que tiene una variable V es necesariamente......

Si se pone una disyunción exclusiva como antecedente de un condicional y una inclusiva como consecuente, luego el condicional en el primer arreglo será......

IV. Responder las siguientes preguntas: 1. ¿Cuántos arreglos tendrá la tabla de verdad de una proposición con cinco variables? 2. ¿Qué es una implicación? 3. ¿A qué se denomina lógica polivalente? 4. ¿Por qué las tautologías, no transmiten información específica alguna?

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Lectura Nº 7. Axioma En la obra de Euclides titulada Elementos se definieron los axiomas y postulados como proposiciones cuya verdad no requiere demostración, pues ella se impone con evidencia a nuestra mente. La diferencia radica en que los axiomas son más generales que los postulados; por ejemplo, el axioma «Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí» se cumple en geometría, álgebra, aritmética y en cualquier otra disciplina; en cambio, el postulado «Desde un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela a la misma y sólo una» tiene menos generalidad porque se cumple sólo en geometría y no tiene sentido en disciplinas que no estudian líneas, planos, ni espacios. Sin embargo, la matemática y lógica modernas no aceptan el criterio de evidencia como fundamento de verdad de axiomas y postulados, pues cuestionan que su carácter psicologista afecta al fundamento de objetividad de la matemática. Por esta razón se considera que axioma y postulado son términos sinónimos y se los define siempre en relación con una cierta teoría T. De este modo se dice que una proposición A es un axioma de una teoría T si, y solamente si, A es una proposición verdadera de T, A es necesaria como punto de partida para deducir o demostrar los teoremas de T, y la proposición A misma no es deducible en T. Así se entiende que un axioma en una teoría T es una proposición verdadera pero no demostrable en T.

Luis Piscoya Hermoza El proceso de la investigación científica. Un caso y glosarios, Edición: Universidad Inca Garcilaso de la Vega. Lima, Perú. 2007.

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LECCIÓN VIII

DEDUCCIÓN NATURAL Objectives 1.

Comprender y usar las reglas de deducción natural (RDN) como aquellas que permiten transferir la verdad de unas proposiciones a otras.

Ejecutar deducciones directas y por reducción al absurdo (RAA) adquiriendo destreza en el manejo de 21 reglas de Gentzen.

Manejar las RDN como procedimiento no algorítmico de carácter heurístico.

Resolver problemas cuya solución requiere del ejercicio del pensamiento hipotético deductivo.

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8.1. La deducción de Gentzen Las reglas conocidas como de Deducción Natural fueron propuestas en 1934 por el investigador Gerhard Gentzen. Desde entonces se conocen diversas variantes de ellas que algunos textos de lógica presentan como reglas para construir deducciones o pruebas formales. A nosotros nos parece más adecuado respetar su denominación original de Reglas de Deducción Natural, aunque la versión que presentamos ya no sea la de Gentzen sino una versión más intuitiva y pedagógica. Esto al propio tiempo quiere decir, desde el punto de vista lógico, un conjunto más recargado de reglas puesto que la facilidad pedagógica hace recomendable que se usen como si fueran reglas necesarias, algunas que realmente son omitibles por aplicación reiterada de otras reglas básicas. Sin embargo, si obviáramos las reglas que no son básicas, las deducciones serían más simples si se considera que se utilizaría un número menor de reglas, pero serían menos pedagógicas y más laboriosas si se considera la mayor longitud de las deducciones resultantes.

8.2. Transferencia de la verdad Para entender el sentido fundamental de las Reglas de Deducción Natural (RDN) es necesario tener presente que la función esencial, de cualquiera de estas reglas, es la transferencia de la verdad de unas proposiciones a otras. A las proposiciones que se usa como condiciones iníciales para este proceso de transferencia se les conoce como premisas y a las proposiciones que reciben la verdad transferida o que “heredan la verdad”, por así decirlo, se les denomina conclusiones o consecuencias lógicas. Esta idea se puede graficar (Fig. 1) a través de un modelo de caja negra que concibe a las reglas de deducción como una máquina, la que cada que entra información verdadera en sus unidades de procesamiento, emite o produce como salida, necesariamente, información verdadera. Adicionalmente, la máquina no proporciona garantía alguna cuando la información que ingresa es falsa, pues no está diseñada para procesar entradas falsas. Recíprocamente, la máquina sí está diseñada para asegurarnos que si la salida emite información falsa, entonces está ingresando, necesariamente, información falsa. Esto se puede graficar (Fig. 2) mediante el mismo modelo de caja negra añadiendo un circuito de feed back o de retroalimentación. Fig. 1

Fig. 2

V Entrada

V Salida

Entrada F

Salida F Feed back

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8.3. Deducción e implicación La siguiente cuestión a tenerse en cuenta es que si desde un conjunto de premisas P1, P2, ..., Pn hemos deducido, aplicando correctamente las Reglas de Deducción Natural, la conclusión o consecuencia lógica C, entonces podemos decir que las referidas premisas implican a la conclusión y que, por tanto, el condicional ( P1 ∧ P2 ∧ , ........, ∧ Pn ) → C es lógicamente válido. Ahora, si las premisas y la conclusión están escritas en el lenguaje de la Lógica proposicional, de PM, por citar un ejemplo, entonces el esquema anterior debe ser una tautología. Esto último puede suscitar en el aprendiz la siguiente pregunta: Y para qué necesitamos las RDN si con la sola aplicación de tablas de verdad podemos decidir si las premisas implican o no a la conclusión. La respuesta es que, por un lado, cuando las fórmulas que constituyen las premisas exhiben cinco variables proposicionales o más, resulta mucho más breve y elegante aplicar las RDN, pero por otro lado, existen muchos casos que exceden a los lenguajes proposicionales en los que la construcción de una tabla de verdad para decidir si las premisas implican a la conclusión, no es posible, pues el método de las tablas de verdad sólo tiene lugar en los casos elementales. Por ejemplo, cuando se parte de premisas que contienen predicados diádicos, usuales en aritmética, como «... mayor que...», «...menor que...», «..igual a...» la construcción de tablas de verdad es, en principio, imposible debido a la existencia de pares de cuantificadores universales y existenciales variando sobre un conjunto infinito.

8.4. Esquemas de fórmulas Escribiremos las RDN numerándolas y en forma de quebrado, de tal manera que en el lugar del numerador aparecen las premisas y en lugar del denominador aparece la conclusión. En este caso, las premisas y la conclusión no son fórmulas, en sentido estricto, de la Lógica proposicional, sino esquemas de fórmulas que pertenecen al metalenguaje de la Lógica proposicional porque su función es prescribir lo que está permitido hacer con las fórmulas. Estos esquemas proporcionan la estructura común a una multitud de fórmulas y el hecho de estar escritas en forma de quebrado nos dice que las fórmulas que aparecen en el numerador implican a las que aparecen en el denominador. Por ejemplo, las fórmulas de la Lógica proposicional siguientes: p∨ ~q (p∧q)∨ ~(r∨ s) p∨ ~(q∧r) tienen en común el ser de la forma A ∨ ~ B, o en otras palabras, el corresponder a dicho esquema.

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En el caso de las reglas, que establecen equivalencias o dobles implicaciones, hemos preferido escribirlas horizontalmente ligándolas por la abreviatura sss que corresponde a la expresión ‘si y sólo si’ que a su vez corresponde a la lectura castellana del bicondicional. En el caso de las reglas, que no conducen a una única conclusión, hemos escrito al costado derecho el mismo esquema acompañado de la conclusión alternativa. Asimismo, es conveniente enfatizar que las reglas que son equivalencias funcionan propiamente como reglas de reemplazo, pues autorizan a reemplazar una fórmula de cierta forma por su equivalente, cualquiera que fuera el lugar donde ésta aparezca. También es oportuno señalar que el dar las reglas en forma de esquemas y el construir deducciones con letras esquemáticas ( A, B, P, Q,... ) tiene la ventaja que de este modo se hace alusión a conjuntos infinitos de casos particulares que son válidos por simple inspección en el caso de que su estructura corresponda a alguna de las 21 RDN a continuación proporcionadas. En la versión que presentamos incluimos a la regla de la Prueba condicional y a la de Demostración por reducción al absurdo, las mismas que a menudo son omitidas y tratadas como si sólo fueran estrategias deductivas. Lo real es que lo son, pero su legitimidad reposa en las reglas 20 y 21.

8.5. Reglas de Deducción Natural para un Lenguaje Proposicional 1. A → B A ∴

Modus Ponens

(MP)

Modus Tollens

(MT)

Silogismo Hipotético

(SH)

Silogismo Disyuntivo

(SD)

2. A → B ~B ∴~ A 3. A → B B →C ∴A → C 4. A ∨ B ~A ∴

5. A → B C →D

Dilema

A ∨C

Constructivo

∴B ∨ D

(DC)

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6. A → B C→D

Dilema

~ B ∨ ~D

Destructivo (DD)

∴ ~ A ∨ ~C 7. P ∧ Q ∴P

∴

8. P Q

Simplificación (Simp.)

Q P

y también

∴P ∧ Q 9. P

P∧Q

y también

Conjunción (Conj.)

∴Q ∧ P y también

∴P ∨ Q

Adición (Ad.)

∴Q ∨ P

10. ~ ( P ∧ Q )

sss

~P∨~Q

Reglas de

~(P∨Q)

sss

~P∧~Q

De Morgan

11. ( P ∧ Q )

sss

(Q∧P)

Conmutatividad

(P∨Q)

sss

(Q∨P)

(Conm.)

12. P ∧ (Q ∧ R) sss

(P∧Q)∧R

Asociatividad (As.)

P ∨ (Q ∨ R) sss

(P∨Q)∨R

13. P ∧ (Q ∨ R) sss

(P ∧ Q ) ∨ (P ∧ R )

P ∨ (Q ∧ R) sss

(P ∨ Q ) ∧ (P ∨ R )

14. P sss

~~P

(DM)

Distributividad (Dist.)

Doble negación (DN)

15. A → B

sss

~B → ~A

Transposición (Trans.)

16. A → B

sss

~A ∨ B

Definición de ‘→‘ por ‘∨’

17. A ↔ B

sss

(A → B) ∧ (B → A)

Definición de ‘↔‘

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18. A ↔ B

sss

(A ∧ B)→ C sss 19. A sss

A∧ A

A sss

A∨A

(A ∧ B) ∨ (~A ∧ ~B)

Definición de ‘↔‘

A→(B→C)

Exportación (Exp.) Idempotencia (Idemp.)

20. 1. A :

Prueba condicional

n + 1.

A →B

21. A → ( B ∧ ~ B ) ∴

Reducción al absurdo (RAA)

8.6. Aplicación de las reglas RDN En lo que sigue presentamos ejemplos de deducción natural que prueban que una fórmula denominada conclusión se deduce de otras fórmulas que son, en cada caso, las premisas. Es importante enfatizar que las fórmulas en sí mismas no son ni conclusiones ni premisas y que estas denominaciones hacen referencia a la función específica que cumplen en una situación determinada. Dicha función podría ser muy distinta en otro contexto. Al respecto, mencionamos que hay otro tipo de deducciones, denominadas axiomáticas, y semiaxiomáticas que no abordaremos en esta sección. Cada deducción está constituida por una secuencia de líneas numeradas, en cada una de las cuales está escrita una fórmula. Las líneas con los números entre paréntesis son las premisas y las otras son las consecuencias lógicas de las premisas obtenidas por la aplicación de las RDN. La última línea debe ser necesariamente la conclusión que se pretende deducir. En términos descriptivos, una deducción o prueba es una secuencia finita de líneas que por aplicación de los RDN transforma unas fórmulas denominadas premisas, en otras fórmulas hasta obtener una deseada, denominada conclusión. A la derecha de cada línea, por razones pedagógicas, hemos escrito unas abreviaturas que corresponden al nombre de la regla que nos ha permitido obtener la respectiva fórmula. También aparecen, unos números que corresponden a las líneas anteriores a las que hemos aplicado las reglas, para obtener la transformación deseada. A estas inscripciones o anotaciones se les conoce como justificaciones de las líneas de deducción.

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Una presuposición válida y comprensible es que la formalización de algún argumento que no hace falta especifica, ha dado lugar a la construcción de las premisas y de la conclusión propuesta. El sentido de la prueba es establecer que desde las premisas se deduce la conclusión, más no que las premisas sean, en efecto, verdaderas, cuestión que como sabemos, no concierne a las reglas de deducción lógica. A continuación proporcionaremos un ejemplo explicativo del mecanismo de construcción de una deducción, conocida también como prueba formal. Nos valdremos nuevamente de un ejemplo tomado del libro de Irving Copi titulado Symbolic Logic. 1. (1) ( A ∧ B ) → [ A → ( D ∧ E ) ] (2) ( A ∧ B ) ∧ C / ∴ D ∨ E 3. A ∧ B

Simp. (2)

4. A → ( D ∧ E ) 5. A

Simp. 3

6. D ∧ E

MP 4, 5

7. D

Simp. 6

8. D ∨ E

Ad. 7

MP (1), 3

Este ejercicio está constituido por ocho líneas de demostración o prueba. Las dos primeras (1) y (2) son premisas y desde la línea 3. a la número 8. tenemos seis líneas deducidas desde las premisas aplicando las RDN. Al costado de la línea 2. y después de un segmento diagonal, sucedido por tres puntitos, se encuentra escrita la conclusión que se pretende obtener o probar. Por tanto, la parte que está a la derecha de los tres puntitos no es parte de la deducción sino sólo una ayuda para que el aprendiz tenga presente a dónde quiere llegar con los pasos demostrativos. Las líneas (1) y (2) no requieren justificación porque la verdad de las premisas se presupone o postula. La línea 3. ha sido deducida de la línea (2) por la RDN Nº 7, de simplificación, debido a que ( A ∧ B ) ∧ C tiene la forma del esquema de fórmula P ∧ Q. La línea 4. ha sido obtenida por aplicación de la RDN Nº1 (MP) a las líneas (1) y 3, debido a que ( A ∧ B ) → [ A → ( D ∧ E ) ] tiene la forma de A → B, de tal manera que ( A ∧ B ) es A. La línea 5. se ha obtenido por una nueva aplicación de la regla de simplificación a la línea 3. La línea 6. se ha obtenido por una nueva aplicación de la regla 1., MP, a las líneas 4. y 5. La línea 7. se ha obtenido por aplicación, una vez más, de la regla de simplificación a la línea 6. Finalmente, la línea 8. se ha obtenido por aplicación de la RDN Nº 9, de Adición, a la línea 7. De este modo se ha deducido la conclusión propuesta desde las premisas numeradas con (1) y (2). Es claro que en cada deducción, cada línea tiene sólo dos posibilidades: O es una

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premisa o es consecuencia de una o más premisas obtenida por algunas de las RDN. Asimismo, es completamente lícito aplicar la misma regla tantas veces como se juzgue necesario. El ejercicio que hemos realizado se denomina de justificación de las líneas de deducción.

8.7. Las RDN no constituyen un algoritmo A continuación desarrollamos un ejemplo, también de I. Copi, muy similar al anterior. Este tiene la peculiaridad de contener 7 letras variables distintas. Esto significa, que si alguien deseara probar por el método de las tablas que la conclusión se deduce de las premisas, tendría que construir una tabla con un margen de 128 arreglos que es el valor de 27. Asimismo, el uso del método indirecto para decidir si una fórmula es una tautología también sería laborioso. Por ello, una deducción de 9 líneas resulta un procedimiento breve y elegante que muestra las virtudes de las RDN. La limitación de las reglas que estamos presentando es que no constituyen un algoritmo porque no garantizan que, en un número finito de pasos, decidiremos si la conclusión se sigue o no de las premisas. Podría ocurrir que la decisión debiera ser positiva pero que carezcamos del ingenio suficiente como para construir la deducción adecuada. Pero podría ser que la decisión debiera ser negativa y que carezcamos de ingenio para probar que la conclusión no se deduce de las premisas. Sólo tenemos garantías plenas en un caso: cuando somos capaces de construir la deducción. Si es así, sabemos que la conclusión se deduce de las premisas como en el ejemplo que sigue. (1) ( ~ X ∨ ~ Y ) → [ A → ( P ∧ ~ Q ) ] (2) ( ~ X ∧ ~ R ) → [ ( P ∧ ~ Q ) → Z ] (3) ( ~ X ∧ ~ R ) ∧ ( ~ Z ∨ A ) /∴ A → Z 4. ~ X ∧ ~ R

Simp. (3)

5. ( P ∧ ~ Q ) → Z

MP (2), 4

6. ~ X

Simp. 4

7. ~ X ∨ ~ Y

Ad. 6

8. A → ( P ∧ ~ Q )

MP (1), 7

9. A → Z

SH 8, 5

Es importante puntualizar que los problemas lógicos y matemáticos tratables algorítmicamente son los más elementales. En lógica todos ellos se reducen, en última instancia, a la construcción de tablas de verdad o a su equivalente. En matemática, sólo son algoritmizables las funciones que se reducen a sumas. Empero los problemas relevantes en lógica y matemática plantean la creación de deducciones, lo que excede en mucho el nivel algorítmico.

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8.8. Prueba condicional Ahora introduciremos un ejemplo que ilustre el manejo de la RDN 20, conocida como regla de la prueba condicional. Teóricamente, esta regla es muy importante porque expresa con claridad la idea de consecuencia lógica y es, además, irreductible a las diecinueve anteriores. Destacaremos, inmediatamente, este segundo aspecto señalando que de las diecinueve reglas anteriores, diecisiete son redundantes en el sentido de que son omitibles al costo de hacer mucho más laboriosas las deducciones. Se trata de reglas que son derivables con ayuda de las no-omitibles que son el Modus Ponens, la definición que figura como RDN 16, la Prueba condicional y la RDN 21, que es la regla de deducción o demostración por reducción al absurdo. Por tanto, las reglas omitibles cumplen la función de abreviaciones deductivas, las mismas que tienen un obvio interés desde el punto de vista pedagógico. Para comprender de qué manera esta regla da expresión al concepto de consecuencia lógica, podemos referir el hecho de que hay deducciones, lógicamente válidas, que sólo son posibles si se usa la regla de la prueba condicional (PC). Por ejemplo, la fórmula A → ( A ∧ B ) se deduce desde la fórmula ( A → B ). Sin embargo, la demostración correspondiente sólo se puede realizar, dentro del sistema de Gentzen, usando PC. La razón de ello, es que es la única regla que nos permite incrementar nuevas premisas para “ayudar” a las que ya disponemos, las mismas que pueden ser insuficientes. Sin embargo, esas premisas adicionales son una especie de “muletas” que una vez que nos permiten lograr el objetivo deseado, podemos desecharlas, eventualidad que en el papel no se puede representar de manera muy intuitiva porque la referida “muleta” está escrita de la misma manera que las premisas propiamente dichas. A causa de ello se introduce una simbología especial prescrita por las reglas que a continuación especificamos. rc1. La regla PC está indicada en las deducciones en las que la conclusión a deducir tiene la forma condicional A → B. rc2. Debe añadirse a las premisas dadas, como una premisa adicional, la fórmula que sea antecedente de la conclusión buscada y escribirse a su derecha Pr. ad., que es la abreviatura de Premisa adicional. rc3. Usando las premisas dadas y la premisa adicional, aplicando las RDN, deben hacerse las transformaciones que permitan deducir la fórmula que figure como consecuente de la conclusión, lo cual se alcanza en el paso n de la deducción, al que lo llamaremos línea Ln. rc4. En la línea siguiente, en Ln + 1, constrúyase una fórmula condicional que tenga como antecedente a la premisa adicional y como consecuente a la fórmula obtenida en la línea Ln. Escríbase a la derecha de la línea Ln + 1, como justificación, la abreviatura PC, con el número correspondiente a la línea de la premisa adicional y el número correspondiente a Ln.

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rc5. Después de aplicada la regla anterior, trácese una flecha en L de tal manera que nazca al costado izquierdo del número de la línea de la premisa adicional y termine como si subrayara la fórmula de Ln. El sentido de esta flecha es precisar que la fórmula de Ln + 1, que es la conclusión buscada, no depende de la premisa adicional sino solamente de las inicialmente dadas. Es el paso que marca el abandono de las “muletas” y es de uso muy importante cuando se aborda deducciones no muy elementales, las que escapan al alcance de este manual. Sin embargo, sería un error omitir esta regla. Nuestro ejemplo estará constituido por las fórmulas que citamos antes, por ser particularmente ilustrativas. (1) A → B / ∴ A → ( A ∧ B ) 2. A

Pr. ad. Por rc2

3. B

MP en (1) y 2 . Según rc3

4. A ∧ B

Conj. en 2 y 3 .Según rc3

5. A → (A ∧ B)

PC en 2, - 4 según rc4

Un ejemplo adicional lo proporciona el siguiente ejemplo, tomado con algunas adaptaciones, del libro de Suppes titulado Introducción a la lógica matemática. (1) S ∧ ( ~ P ∨ M) (2) M → (Q ∨ R ) /∴ P → (~ Q → R) 3. P

Pr. ad.

4. ~ P ∨ M

Simp. en (1)

5. ~ ~ P

DN en 3

6. M

SD en 4, 5

7. Q ∨ R

MP en 2, 6

8. ~ ~ Q ∨ R

DN en 7

9. ~ Q → R

RDN 16 en 8

10. P → ( ~ Q → R )

PC en 3, 9

8.9. Demostración por reducción al absurdo (RAA) La regla RDN 21 (RAA) es conocida desde la antigüedad en matemática y la usó Euclides en su famosa obra Elementos. Consiste en postular o suponer que la conclusión no

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se deduce de las premisas, para luego rechazar esta postulación debido a que conduce a una contradicción de la forma A ∧ ~ A. La aplicación de la deducción por reducción al absurdo es un caso particular de la deducción por PC. La variante radica en que se añade como premisa adicional la negación de la conclusión buscada. Luego, a partir de las premisas dadas y de la adicional, se deduce una fórmula contradictoria, se aplica PC y se niega (rechaza) la premisa adicional aplicando RDN 21. Finalmente por RDN 14, doble negación, se demuestra que la negación de la premisa adicional es la conclusión buscada. En breve, la hipótesis básica de esta estrategia demostrativa es que toda postulación que conduce a contradicción es absurda y, por tanto, debe ser rechazada. Un ejemplo dará operatividad a esta explicación. (1) A → ( B ∧ C ) (2) ( B ∨ D ) → E (3) D ∨ A

/∴ E

4. ~ E

Pr. Ad.

5. ~ ( B ∨ D )

MT en (2), 4

6. ~ B ∧ ~ D

DM en 5

7. ~ D

Simp. en 6

8. A

SD en (3), 7

9. B ∧ C

MP en (1), 8

10. B

Simp. en 9

11. ~ B

Simp. en 6

12. B ∧ ~ B

Conj. en 10, 11

13. ~ E → ( B ∧ ~ B )

PC en 4, - 12

14. ~ ~ E

RAA en 13

15. E

DN en 14

Los textos frecuentemente dan por concluida la deducción en la línea 12, cuando se deduce la contradicción. Eso es una abreviación. La idea completa es como se muestra en la deducción anterior.

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Ejercicios En lo que sigue se muestran 10 ejemplos de deducciones naturales con la justificación, en abreviatura, de cada una de las líneas de deducción. I. Identifique usted el nombre completo de cada una de las reglas de justificación y precise el número que le corresponde en el listado de las Reglas de Gentzen que aparecen en la sección 8.5. 1.

P1) P → Q

P2) P

P2) R → P

P3) Q → R //∴R

P3) ~Q

//∴~R

4) Q

1,2 MP

4) R → Q

1,2 MP

5) R

3,4 MP

5) ~R

3,4 MT

P1) ~P → Q

P1) P v ~Q

P2) R → P

//∴Q Λ ~R

P2) ~P Λ ~R

//∴~Q Λ ~R

3) ~P

1 SIMP.

3) ~P

2 SIMP.

4) Q

1 SIMP.

4) ~R

2 SIMP.

5) ~R

2,3 SD

5) ~Q

1,3 SD

6) Q Λ ~R 4,5 CONJ.

6) ~Q Λ ~R

P1) P → Q

P1) ( P v Q ) → ~R

P2) R v S

P2) Q

//∴S v ~R

P3) ~S Λ ~Q //∴ ~P Λ R

3) P v Q

2 ADIC.

4) ~S

3 SIMP.

4) ~R

1,3 MPP

5) ~Q

3 SIMP.

5) S v ~R

4 ADIC.

6) ~P

1,5 MT

7) R

2,4 SD

8) ~P Λ R

6,7 CONJ.

4,5 CONJ.

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P1) Q → ( P → R )

P1) P → ( Q → R )

P2) Q v R

P2) S Λ P

P3) P Λ ~R //∴ R

P3) S → ( R → T )

4) P

3 SIMP.

4) S

2 SIMP.

5) ~R

3 SIMP.

5) P

2 SIMP.

6) Q

2,5 SD

6) Q → R

1,5 MP

7) P → R

1,6 MP

7) R → T

3,4 MP

8) R

4,7 MP

8) Q →T

6,7 SH

10.

P1) P → ~Q

P1) P → ( Q ↔ S )

P2) ~Q → R

P2) S → T

P3) R → S

P3) P → Q

P4) ~( T v S ) //∴ ~P Λ ~T

P4) P

//∴R → T

5) ~T Λ ~S

4 DM

5) Q

3,4 MP

6) ~T

5 SIMP.

6) Q ↔ S

1,4 MP

7) ~S

5 SIMP.

7) Q → S .Λ. S → Q

8) P → R

1,2 SHP

8) Q → S

7 SIMP.

9) ~R

3,7 MT

9) S

5,8 MP

10) ~P

8,9 MT

10) T

2,9 MP

11) ~R v T

10 ADIC.

11) ~P Λ ~T

6,10 CONJ.

12) R → T

//∴ Q → T

6 DEF ↔

11 DEF →

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Cuestionario Nº 8. I. Justifique las siguientes deducciones propuestas por Irving Copi en su libro Symbolic Logic, precisando en el blanco derecho en cada una de las líneas de deducción que no son premisas la Regla de deducción que se ha aplicado (use abreviatura). 1. (1) ( O → ~ P ) ∧ ( ~ Q → R ) (2) ( S → T ) ∧ ( ~ U → ~ Z ) (3) ( ~ P → S ) ∧ ( R → ~ U ) (4) ( T ∨ ~ Z ) → ( W ∧ X ) (5) O ∨ ~ Q / ∴ W ∧ X 6. ~ P ∨ R 7. S ∨ ~ U 8. T ∨ ~ Z 9. W ∧ X 2. (1) [ ( A ∨ ~ B ) V C ] → [ D → ( E ↔ F ) ] (2) ( A ∨ ~ B ) → [ ( F ↔ G ) → H ] (3) A → [ ( E ↔ F ) → ( F ↔ G ) ] (4) A / ∴ D → H 5. A ∨ ~ B 6. ( A ∨ ~ B ) ∨ C 7. D → ( E ↔ F ) 8. ( E ↔ F ) → ( F ↔ G ) 9. D → ( F ↔ G ) 10. ( F ↔ G ) → H 11. D → H 3. (1) A → B (2) C → D (3) ~ B ∨ ~ D

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(4) ~ ~ A (5) ( E ∧ F ) → C / ∴ ~ ( E ∧ F ) 6. ( A → B ) ∧ ( C → D ) 7. ~ A ∨ ~ C 8. ~ C 9. ~ ( E ∧ F ) 4. (1) ( G → H ) → ( I ↔ J ) (2) K ∨ ~ ( L → M ) (3) ( G → H ) ∨ ~ K (4) N → ( L → M ) (5) ~ ( I ↔ J ) / ∴ ~ N 6. ~ ( G → H ) 7. ~ K 8. ~ ( L → M ) 9. ~ N 5. (1) H → ( I → J ) (2) K → ( I → J ) (3) ( ~ H ∧ ~ K ) → ( ~ L ∨ ~ M ) (4) ( ~ L → ~ N ) ∧ ( ~ M → ~ O ) (5) ( P → N ) ∧ ( Q → O ) (6) ~( I → J ) / ∴ ~ P ∨ ~ Q 7. ~ H 8. ~ K 9. ~ H ∧ ~ K 10.

~L ∨~M

11. ~ N ∨ ~ O 12. ~ P ∨ ~ Q

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II. Ejecute las siguientes deducciones o pruebas formales. Los ejercicios 4 y 5 deben ser resueltos por reducción al absurdo 1. (1) F ∨ ( G ∨ H ) (2) ( G → I ) ∧ ( H → J ) (3) ( I ∨ J ) → ( F ∨ H ) (4) ~ F / ∴ H 2. (1) K → L (2) M → N (3) ( O → N ) ∧ ( P → L ) (4) (~ N ∨ ~ L) ∧ ( ~ M ∨ ~ O ) /∴ (~ O ∨ ~ P ) ∧ ( ~ M∨ ~ K ) 3. (1) Q → ( R → S ) (2) ( R → S ) → T (3) ( S ∧ U ) → ~ P (4) ~ P → ( R ↔ ~ W ) (5) ~ T ∨ ~ ( R ↔ ~ W ) / ∴ ~ Q ∨ ~ ( S ∧ U ) 4. (1) ( O → ~ P ) ∧ ( P → Q ) (2) Q → O (3) ~ R → P / ∴ R 5. (1) X → ( Y → Z ) (2) X → ( A → B ) (3) X ∧ ( Y ∨ A ) (4) ~ Z / ∴ B 6. (1) C → ( D → ~ C ) (2) C ↔ D / ∴ ~ C ∧ ~ D 7. (1) J ∨ ( ~ K ∨ J ) (2) K ∨ ( ~ J ∨ K ) / ∴ ( J ∧ K ) ∨ ( ~ J ∧ ~ K ) 8. (1) ( L ∨ M ) ∨ ( N ∧ O ) (2) ( ~ L ∧ O ) ∧ ~ ( ~L ∧ M ) / ∴ ~ L ∧ N

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III. Resolver aplicando la RDN, de prueba condicional, las siguientes deducciones 1. (1) ( A ∨ B ) → ( C ∧ D ) (2) ( D ∨ E ) → F / ∴ A → F 2. (1) ( E ∨ F ) → G (2) ( J → ~ G ) ∧ ~ H (3) J ∨ K / ∴ E → K 3. (1) Q → P (2) T ∨ S (3) Q ∨ ~ S / ∴ ~( P ∨ R ) → T 4. (1) A → ( B → C ) (2) B → ( C → D ) / ∴ A → ( B → D ) IV. A continuación se presenta un conjunto de premisas y un conjunto constituido por conclusiones, alguna de las cuales se siguen lógicamente desde las premisas y otras no. En otras palabras, algunas de las conclusiones propuestas completan las premisas de manera tal que configuran con ellas un razonamiento o argumento lógicamente válido, mientras que otras no se comportan así. El ejercicio consiste en decidir mediante tablas de verdad, en cada caso, si la conclusión propuesta se sigue lógicamente o no desde el conjunto dado de premisas. a) Premisas 1) La lógica es difícil o no le gusta a muchos estudiantes. 2) Si la matemática es fácil, luego la lógica no es difícil. b) Determine la conclusión que se deduce de las premisas anteriores 1) Si la matemática es fácil, entonces la lógica le gusta mucho a los estudiantes. 2) Si la lógica no es difícil, entonces la matemática es fácil. 3) Si la matemática es fácil, entonces la lógica no le gusta a muchos estudiantes. 4) Si la matemática es fácil, entonces la lógica le gusta a ambos estudiantes.

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Lectura Nº 8. Deducción En lógica se afirma, en general, que una deducción es una inferencia conclusiva en el sentido de que la verdad de las premisas asegura que la conclusión obtenida a partir de ellas es necesariamente verdadera. De esta manera se establece diferencia con la inferencia inductiva que es calificada como no-conclusiva (véase Inducción). Asimismo, una conclusión C es necesariamente verdadera en el sentido de que suponer que su negación ~C –que también podría deducirse de las premisas- conduce a una contradicción. En sentido riguroso se distingue entre ‘deducción natural’ o de Gentzen y ‘deducción axiomática’. Dado un lenguaje lógico L, que puede ser el que habitualmente se usa y que corresponde a la lógica de primer orden, se denomina deducción natural a un sistema de reglas que permiten derivar a una fórmula desde otras, previamente introducidas a voluntad y llamadas premisas, con el propósito de obtener una fórmula terminal llamada conclusión. El número de reglas de deducción de este sistema puede variar aproximadamente entre14 y 20, y entre ellas debe haber al menos una que autorice la introducción de premisas y al menos una que establezca la eliminación o cancelación de las mismas. Asimismo, cualquier fórmula del lenguaje L puede ser propuesta como premisa. La aplicabilidad de la deducción natural al análisis de los argumentos dados en lenguajes naturales o científicos depende de la posibilidad de expresar la estructura de dichos argumentos mediante las fórmulas del lenguaje L a través de un proceso denominado formalización. La deducción axiomática se produce dentro de un determinado sistema axiomático S y se la entiende como la prueba de una fórmula A dentro de S o en S. Para el efecto, es necesario dar por supuesto que S tiene axiomas y, generalmente, una sola regla de deducción primitiva, la que con frecuencia es la regla de separación conocida como Modus Ponens (MP), la misma que es una de las que se usa en el sistema de deducción natural. Luis Piscoya Hermoza El proceso de la investigación científica. Un caso y glosarios, Edición: Universidad Inca Garcilaso de la Vega. Lima, Perú. 2007.

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Introducción a la Lógica

LECCIÓN XI

BASES LÓGICAS DE LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL

Objectives 1.

Entender la manera como el lenguaje P.M. puede aplicarse al diseño de circuitos que constituyen la arquitectura de los computadores electrónicos (hardware).

Aplicar el lenguaje P.M. a la construcción de circuitos en serie y en paralelo.

Aplicar el lenguaje P.M. a la construcción de circuitos a compuertas.

Entender los mecanismos que permiten convertir a una tabla de verdad en una tabla aritmética.

Entender los mecanismos que dan lugar a que un computador ejecute operaciones aritméticas y simule la conducta inteligente.

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9.1. Sistemas expertos y robots A partir de 1960 se ha desarrollado intensamente una nueva disciplina conocida con el nombre de Inteligencia artificial, a la misma que usualmente se hace referencia con la abreviación IA. Dentro de este campo de investigación se emplea como herramienta principal de trabajo el computador digital. La idea central de la IA es la construcción de programas que ordenen a un computador adecuado que simule lo que normalmente se reconoce como una conducta inteligente. Por tanto, los investigadores en IA, propiamente, no se proponen la construcción de artefactos inteligentes sino de simuladores de la conducta inteligente. Se considera iniciadores de esta disciplina a J. McCarthy, M. Minsky, Papert,R. Schank, T. Winograd y D. Marr, entre otros Dentro de este contexto se considera, que la conducta de un médico auscultando a un paciente para hacer un diagnóstico, la de un cajero de un banco atendiendo a un cliente en la ventanilla o la de un abogado resolviendo el curso más adecuado que debe darse a un expediente judicial, son ejemplos de las conductas de un experto en un determinado campo. Uno de los temas ya clásicos en IA es elaborar programas que ordenen a una computadora que simule la conducta de un cierto experto. A los programas de esta clase se los denomina Sistemas expertos. En otros casos no se trata de simular conductas sino, por ejemplo, el funcionamiento del cerebro. Estas investigaciones comenzaron con los esfuerzos de McCulloch y Pitts que justamente utilizaron el lenguaje proposicional de PM para construir un modelo que simule el funcionamiento de las neuronas. Con objetivos semejantes F. Rosenblatt creó una máquina llamada Perceptron que se proponía la simulación de la función retiniana en el acto de la visión. Esta línea de investigación no se propone solamente crear programas sino robots con una estructura física que les permita ejecutar tareas específicas.

9.2. Hardware y Software El lenguaje de la lógica proposicional, en la versión que desarrollamos en este libro o en la que lo presenta como un algebra de Boole, ha sido decisivo para el diseño de los circuitos eléctricos que constituyen la estructura física o la arquitectura de un computador digital. De esta manera se ha contado con un método algebraico que, en lo principal, permite calcular, por decirlo así, dado un trabajo determinado, cuál es el circuito óptimo que puede realizarlo. Consecuentemente, el lenguaje proposicional PM es conocido, dentro de la jerga especializada, como la base teórica más fuerte del hardware del computador debido a que se aplica al diseño de su estructura física. Empero, el hardware es solamente un aspecto dentro de la problemática que plantean los computadores. El otro, es el relacionado con el software y se refiere a la creación de

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Introducción a la Lógica

los lenguajes especiales que se requiere para dar órdenes al computador y las formas como debe representárselas. Estos lenguajes, conocidos también como lenguajes de máquina, requieren de una gramática, la misma que hoy día se ha diversificado en varios tipos. El lenguaje lógico también constituye la base teórica principal para el desarrollo de las gramáticas de los lenguajes de máquina. Y el estudio de las relaciones entre las gramáticas y las computadoras constituye la Teoría de autómata. El lenguaje PM desarrollado en este manual es insuficiente para aplicarlo a las gramáticas de los lenguajes formales o de máquina, razón por la que en esta sección nos limitaremos a brindar los conocimientos más elementales que permitan entender la manera como el lenguaje PM, aquí desarrollado, puede aplicarse al diseño lógico de circuitos, el mismo que es un tema de hardware.

9.3. Máquina de Turing A las computadoras también se les denomina autómatas y es necesario distinguir entre un autómata teórico o ideal y otro real o físico. Lo más inmediato es precisar que un autómata real o físico es lo que constituye propiamente la materia de los problemas de hardware y es un artefacto sujeto a un conjunto grande de contingencias. Por ejemplo, puede dejar de funcionar por falta de fluido eléctrico, entregar resultados incorrectos por desgaste de una pieza, incendiarse, etc. En cambio, un autómata ideal es una descripción lógica de un artificio infalible que no está sujeto a ninguna contingencia material. Es más, desde esta perspectiva tampoco interesa si existen los recursos para construir un artefacto que sea capaz de asumir los estados y realizar los cómputos propuestos en la descripción del autómata ideal. Y es que éste no es un artefacto sino, esencialmente, un teorema demostrado dentro de un formalismo adecuado. Se conoce como Máquina de Turing (abreviadamente Tm), con el problema del halting resuelto, a un autómata ideal que no es otra cosa que la descripción más general posible de un artificio capaz de realizar cualquier cómputo pensable de manera infalible. Esto es posible debido a que cualquier estado que asuma la Tm determina de manera necesaria el siguiente. La transición de un estado a otro se realiza mediante reglas pre-establecidas que, adecuadamente aplicadas, conducen inevitablemente a un resultado. Tales reglas constituyen un algoritmo y establecen un procedimiento denominado recursivo. Las Tms son múltiples y no todas tienen resuelto el problema del halting, lo que significa que no siempre se puede demostrar que la máquina hará alto, condición indispensable para que entregue un resultado. La Tm es la base teórica de cualquier tipo de computador digital, pues si se trata de una artefacto capaz de entregar resultados mediante su unidad de salida, entonces es necesariamente la materialización de algún tipo de Tm ideal con el problema del halting resuelto. Asimismo, todo computador material o real sólo puede hacer los cómputos previstos en alguna Tm.

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Los resultados reseñados antes fueron establecidos, por el lógico y matemático inglés Alan Turing, en un famoso artículo publicado en 1936, con el título On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem (Sobre números computables, una aplicación al problema de la decisión), el mismo que fue presentado a la Sociedad Matemática de Londres al menos 5 años antes de que exista computador electrónico alguno. Este trabajo tiene la enorme virtud de señalar los alcances y límites de una Tm y, por tanto, de cualquier computador real o posible. En el se establece claramente que una Tm es un artificio que sólo puede hacer cómputos que requieran un número finito de pasos o estados de la máquina. Si, por ejemplo, se le ordena a una Tm, por poderosa y moderna que sea físicamente, que imprima todos los números reales que existen entre 1 y 0, no podrá ejecutar esta orden porque en ese intervalo hay un conjunto infinito de números reales que, además, no pueden ser contados o enumerados. Y no sólo no existe sino que, lógicamente, no puede existir una Tm capaz de hacer de manera efectiva un número infinito no enumerable de cómputos. De esta suerte queda claro que la teoría lógica permite demostrar no sólo lo que un computador físico, en el mejor de los casos, puede hacer, sino también lo que sería absurdo esperar de él.

9.4. Diseño de circuitos eléctricos para computadoras La aplicación de la lógica proposicional a la construcción de circuitos eléctricos se debe mayormente al aporte del investigador Claudio Shannon, quien es uno de los diseñadores de las modernas computadoras. En lo que sigue explicaremos las nociones más elementales de la contribución de Shannon. Consideramos que una llave eléctrica de las que todos conocemos puede ser representada mediante una palanquita; como la de la figura 1, que solamente tiene dos posiciones posibles: o deja pasar la corriente cuando se la baja y entonces está en la posición de cerrada*, o no deja pasar la corriente cuando está levantada y está en la posición de abierta. Nosotros podemos denominar a la llave o conmutador con la variable proposicional p. Cuando el conmutador p esté en la posición de cerrado, diremos que p toma el valor de V; y cuando el conmutador p esté en la posición de abierto, diremos que toma el valor de F. Asimismo, con la ll llave p podemos construir un circuito, como el de la figura 1 que tiene un pedazo de cable de entrada y otro de salida. Se aprecia claramente que sólo hay una corriente de salida si la llave p está cerrada, pues en otro caso la corriente eléctrica no pasa. De la misma manera, cuando hay impulso eléctrico de salida y se enciende un foco, diremos que la salida es igual a V; cuando por ausencia de impulso eléctrico el foco no se enciende diremos que la salida es igual a F.

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Introducción a la Lógica

Foco encendido = V Foco apagado = F F P

Salida

Entrada Figura 1

Ahora, usando los conmutadores p y q construyamos un circuito en línea como lo muestra la figura 2. La observación nos indica claramente que para que el foquito se encienda es necesario que las dos llaves estén cerradas, pues basta que una esté abierta para que no haya corriente de salida y el foco no se encienda. En otras palabras, para que la salida sea igual a V es absolutamente necesario que p sea V y que q sea V, pues en cualquier otra posición de las llaves, la salida será F. Esto significa que un circuito en línea se comporta exactamente igual que una conjunción. Por tanto, en el lenguaje lógico un circuito en línea se representa por una conjunción p ∧ q cuando hay sólo dos llaves. Pero si es un circuito en línea con tres llaves o más se representa por una conjunción con tres o más variables proposicionales, una por cada llave. Por ejemplo, la expresión lógica del circuito de la figura 3 es p ∧ q ∧ r. Como indicamos anteriormente, en este caso no es necesario usar signos de jerarquía.

F p

F q

Figura 2. Circuito en línea o circuito de conjunción. Para que se encienda el foco es necesario que p= V y q =V p

Figura 3. Circuito de p ∧ q ∧ r

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Ahora procedemos a construir un circuito en paralelo como se muestra en la figura 4. Este circuito tiene a los conmutadores p y q ubicados uno frente al otro. Como la observación claramente lo revela, es suficiente que uno de los conmutadores esté en la posición de cerrado para que haya impulso eléctrico de salida y se encienda el foquito. Asimismo, para que no haya corriente de salida es absolutamente necesario que los dos conmutadores estén en la posición de abierto, pues solamente en este caso la corriente no pasa al sector del circuito denominado de salida. Consecuentemente, el circuito en paralelo se comporta como una disyunción inclusiva debido a que la salida es igual a V cuando p es V o cuando q es V, y la salida es F solamente cuando ambos conmutadores toman el valor F, lo cual coincide exactamente con la definición dada para construir la tabla de verdad de la disyunción inclusiva. F P V Entrada

Salida F q V

Figura 4. Circuito en paralelo para p v q También presentaremos un conmutador llamado inversor, que es la versión electrónica de la negación lógica. Al conmutador inversor lo denominaremos con la variable p a la que añadiremos una comilla simple: p’. De esta manera, p’ representa el inversor o negación de p. La propiedad esencial de p’ es que se encuentra en la posición de cerrado si y sólo si p se encuentra en la posición de abierto, y se encuentra en la posición de abierto si y sólo si p se encuentra en la posición de cerrado. Vale decir, p’ es V cuando p es F y p’ es F cuando p es V. En la figura 5 representamos un conmutador inversor. p’ Figura 5. Conmutador inversor que representa ¬ p Con los conocimientos anteriores se pueden construir circuitos más complejos para expresiones de la lógica proposicional más complicadas y que estén constituidas por disyunciones inclusivas, conjunciones y negaciones. La jerarquía de la expresión lógica se conserva en el circuito, de tal manera, que si la disyunción es la conecti-

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Introducción a la Lógica

va de mayor jerarquía, entonces el circuito de mayor jerarquía será en paralelo y si la conjunción es la conectiva de mayor jerarquía, entonces el circuito principal será en línea. Por ejemplo, dada la fórmula de la lógica proposicional (p ∧ q) ∨ r, su circuito correspondiente será uno en paralelo cuyo primer subcircuito estará en línea, como se ve en la figura 6. p

Entrada

Salida

r Figura 6. Como fácilmente se entiende, cada vez que se enciende el foquito equivale a un valor V en la matriz principal de la tabla de verdad, de la correspondiente expresión lógica. Y cada vez que no enciende el foquito equivale a un valor F en la misma matriz. Las diferentes posiciones en que podemos colocar las llaves corresponden a los diferentes arreglos del margen de la tabla de verdad. Consecuentemente, en este caso sólo podemos mover las tres llaves hasta ocho posiciones posibles que coinciden con el número de arreglos de una tabla de verdad para una fórmula con tres variables. Por tanto, este circuito de la figura 6 es exactamente el plano de una maquinita que con las veces que se enciende y las que no se enciende su foquito nos indica cuál es la matriz principal de ( p ∧ q ) ∨ r. El circuito para ( p ∨ q ) ∧ ( r ∨ s ) será uno en línea con dos subcircuitos en paralelo, como se muestra en la figura 7.

Entrada

Salida q

s Figura 7.

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Asimismo, de acuerdo a lo anterior, a una tautología debe corresponderle un circuito que para todas las posibles posiciones de sus llaves siempre encienda el foquito. Por ejemplo, a la tautología p ∨ ~ p le corresponde un circuito en paralelo, que en un lado tiene una llave y en el otro su correspondiente inversor, de tal manera que la corriente siempre pasa, puesto que si p estuviera abierto, entonces p’ debe estar necesariamente en la posición de cerrado y por este lado pasaría la corriente. Asimismo, si p’ estuviera abierto, entonces p necesariamente estaría en la posición de cerrado y dejaría pasar la corriente. El plano de este circuito se puede ver en la figura 8. P Entrada

Salida

p’ Figura 8 Circuito para p v ~ p A continuación veremos dos ejemplos de construcción de circuitos para dos fórmulas lógicas más complicadas. En cada caso lo decisivo es mantener la jerarquía de las conectivas en el diseño del circuito. a. ( p ∧ ( ( q ∧ r ) ∨ s ) ) ∨ ( ~ p ∧ ( ( ~ q ∧ ~ r ) ∨ ~ s ) ) b. ( ~ p ∧ q ) ∨ ( ( p ∨ ( ~ p ∧ q )) ∧ r) ∨ ( p ∧ ( q ∨ r ∨ s ) ) q

p s Entrada

Salida q’

r’

p’

s’ Figura 9. Circuito para a.

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Introducción a la Lógica

p’

q p r

Entrada

Salida p’

q q r

s Figura 10. Circuito para b.

9.5. Circuitos lógicos a compuertas Los circuitos, que hemos presentado en la sección anterior, proporcionan una idea precisa sobre la forma como la lógica proposicional puede ser aplicada al diseño de computadoras electrónicas. Dichos circuitos que son conocidos como circuitos a conmutadores, llaves o switches, han sido, sin embargo, reemplazados por dispositivos más ágiles, conocidos como circuitos lógicos a compuertas, que son más acordes con las exigencias de la tecnología contemporánea. La necesidad de diseñar compuertas está ligada al hecho de que la computadora actual se encuentra en la práctica muy alejada de las llaves o switches, a los que ha sustituido gradualmente por relays, transistores y circuitos integrados (chips). Pero esto no debe llevar a la creencia de que las compuertas complican el manejo lógico de los circuitos, pues la situación es exactamente al revés. Lo facilitan y permiten visualizar mejor la aplicación de las fórmulas lógicas. Una compuerta es un artefacto que en general tiene entradas y una salida, las mismas que se representan con líneas. El artefacto mismo se representa convencionalmente por una media luna o por un triangulito y su función es dejar o no pasar un tipo de impulso eléctrico, bajo ciertas condiciones. La figura 11 facilitará considerablemente la comprensión de lo dicho a través de un ejemplo que será el de la compuerta de conjunción. A A A.B B Figura 11. Compuerta de conjunción o compuerta del producto lógico.

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Los alambres A y B son las entradas y el alambre A . B es la salida. Debemos aclarar que A . B significa lo mismo que A ∧ B pero hemos preferido usar el punto en este caso porque se aproxima más a la idea de producto y la conjunción es el producto lógico. Consecuentemente, al diagrama de la figura 11 llamaremos compuerta de conjunción o del producto lógico, o simplemente, compuerta Y. Su regla de funcionamiento es la siguiente: R7. Una compuerta Y, de conjunción, emite un impulso eléctrico de salida si y sólo si todas sus entradas, en este caso A y B, permiten el ingreso de impulsos eléctricos. Al impulso eléctrico de salida lo llamamos abreviadamente impulso A . B Sin embargo, las compuertas en la práctica no se utilizan para distinguir entre la presencia de impulso eléctrico y su ausencia, como los conmutadores o switches de los circuitos en línea y en paralelo. Para que la lógica sea aplicable es suficiente que se distinga claramente dos estados que no tienen que ser del tipo todo-nada como los switches, sino que perfectamente pueden ser del tipo impulso eléctrico de alto potencial versus impulso eléctrico de bajo potencial; en breve, la dicotomía impulso alto-bajo. De acuerdo a esto debemos reajustar la Regla 7 en la siguiente forma: R7. Reajustada. Una compuerta Y emite un impulso de salida alto si y sólo si todas sus entradas, en este caso A y B, permiten el ingreso de impulsos altos. En otro caso, vale decir, si al menos una de sus entradas permite el ingreso de un impulso bajo, entonces no se produce el impulso alto de salida A . B. El diagrama de compuerta de disyunción o suma es muy parecido al de la conjunción. Para distinguirlos se ha convenido que en este caso la media luna esté cortada horizontalmente por la línea que representa al alambre de salida. A esta compuerta se tiende a llamarla de suma porque la disyunción es la suma lógica y, abreviadamente, se la denomina compuerta O. La representación de las entradas y de la salida es la misma que en el caso de la compuerta Y.

A A+B B

Figura 12. Compuerta de disyunción o de suma.

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Introducción a la Lógica

R8. Una compuerta O, de disyunción o suma, emite un impulso alto de salida cuando al menos una de sus entradas, en este caso A y B, permite el ingreso de un impulso alto. Al impulso alto de salida lo llamamos abreviadamente A + B, y, evidentemente, si más de una entrada permite el ingreso de un impulso alto también se producirá el impulso de salida A + B. En el único caso en el que no se emite impulso de salida A + B es cuando ninguna de las entradas permite el ingreso de un impulso alto. La tercera compuerta que es necesario diagramar es la del tipo inversor que corresponde a la negación lógica. Un ligero análisis muestra que en la fórmula ~ p el operador de negación funciona como un inversor de valores, pues cuando p = V se obtiene ~ p = F y cuando p = F se obtiene ~ p = V. En correspondencia con esta propiedad de la negación lógica, una compuerta inversora transforma un impulso alto en un impulso bajo, y viceversa. Su representación convencional es un triangulito con un circulito a la salida. NO A

Figura 13. Compuerta inversa o compuerta No. R9. Una compuerta inversora o compuerta No (se le llama abreviadamente inversor) emite un impulso de salida alto si la entrada admite un impulso bajo y emite un impulso de salida bajo si la entrada admite un impulso alto. Al impulso de salida se le llama A que significa lo mismo que ~A. El cambio de notación se debe a que en el diseño de circuitos se usa un simbolismo algebraico en lugar del de la lógica proposicional. Sin embargo, como hemos visto, las equivalencias son muy sencillas. Generalmente, se prefiere no usar los valores verdadero-falso; En este texto por razones de comodidad a los impulsos altos se los representa por el cero y a los impulsos bajos por el uno. Asimismo, si cambiamos en el margen el orden en que escribimos los arreglos y comenzamos con el arreglo 0,0 las tablas de verdad de la conjunción, disyunción y negación se transforman de la siguiente manera: A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A . B 0 0 0 1

A 0 0 1 1

B A 0 1 0 1 Tabla 24.

+ 0 1 1 1

A 0 1

A 1 0

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En base a estas tablas, las reglas anteriores se pueden abreviar en los términos siguientes. En una compuerta Y se tiene A.B = 1 si y solamente si A = 1 y B = 1; en otro caso A.B = 0. En una compuerta O se tiene A + B = 0 si y sólo si A = 0 y B = 0; en otro caso A + B = 1. En una compuerta No se tiene A = 1 si A = 0 y A = 0 si A = 1. R10. Jerarquía de las compuertas. La jerarquía de las compuertas corresponde a la jerarquía de las conectivas de las fórmulas cuyo circuito se está diagramando. Asimismo, una compuerta cualquiera W tiene más jerarquía que cualquier otra Z si la salida de Z funciona como una entrada de W. Para explicar mejor el contenido de la regla anterior recurriremos a un ejemplo. Construiremos el circuito lógico a compuertas de la fórmula ( p ∧ q ) ∨ r que podemos escribirla, usando notación algebraica, de la siguiente manera ( A . B ) + R. En la fórmula la disyunción o suma es de mayor jerarquía que la conjunción o producto; por consiguiente en el diagrama de circuito, la compuerta o debe ser de mayor jerarquía que la compuerta Y, lo que significa que la salida de la compuerta Y debe ser entrada de la compuerta o. A A.B B (A.B) + R R Figura 14. Circuito a compuertas de (A.B) + R. El circuito de la figura 14 ejecuta eléctricamente la tabla de la fórmula ( A . B ) + R que a continuación se detalla. El uso de ‘1’ y ‘0’, dígitos binarios, facilita, cuando se necesita, la adaptación de los circuitos para que realicen operaciones aritméticas que es su objetivo principal. A B R (A.B) + R 1er. arreglo 0 0 0 0 0 2do. arreglo 0 0 1 0 1 3er. arreglo 0 1 0 0 0 MATRIZ 4to. arreglo 0 1 1 0 1 5to. 6to. 7mo. 8vo.

arreglo arreglo arreglo arreglo

1 1 1 1

0 0 1 1

0 1 0 1 Tabla 25.

112

0 0 1 1

0 1 1 1

PRINCIPAL

Introducción a la Lógica

Como se puede apreciar, el único caso en el que la tabla anterior no coincide con la suma y el producto de la aritmética es en el octavo arreglo, pues como A = 1, B = 1 y R = 1, se tiene en términos aritméticos ( 1 x 1 ) + 1 que es igual a 2 y no a 1 como dice la matriz principal de la tabla. Todos los demás casos coinciden con las operaciones aritméticas, así el séptimo arreglo, en el que A = 1, B = 1 y R = 0, da lugar a ( 1 x 1 ) + 0 que es igual a 1, lo que coincide con el valor que la matriz principal otorga a ese arreglo. Tomando otro caso, el tercer arreglo da lugar a ( 0 x 1 ) + 0 que es igual a 0, coincidiendo nuevamente con la tabla. El análisis de los otros arreglos puede dejarse como ejercicio. Téngase presente siempre que la fórmula en términos aritméticos establece la suma de un producto más un dígito. El caso discrepante, el octavo arreglo, se corrige con un circuito adicional que nos permite representar el número dos en dígitos binarios, artificio sencillo pero que por ahora debe esperar.

9.6. Circuitos lógicos a compuertas para fórmulas negadas Una de las ventajas de los circuitos a compuertas es que permiten diagramar fácilmente circuitos para fórmulas negadas como es el caso de las de De Morgan. Este autor señaló las siguientes equivalencias que las escribiremos en lenguaje algebraico. Es necesario aclarar que la fórmula (A + B) equivale a la ~ ( A ∨ B ) de la lógica proposicional, y la ( A . B ) a la ~( A ∧ B ). Se trata de las negaciones de la disyunción y de la conjunción respectivamente. El ejemplo i afirma que los dos circuitos siguientes son equivalentes. A

A.B A+B

A+B

El ejemplo ii afirma que los dos siguientes circuitos también son equivalentes. A A.B A.B B A

A A+B

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Asimismo, valiéndonos de lo aprendido hasta ahora podemos construir el circuito de la fórmula ( A . B ) + ( C + D ) de la siguiente manera. A A.B B

B (A.B) + (C.D)

C C.D D

Antes de terminar con esta exposición contestaremos una pregunta que debe preocupar al lector. ¿Es posible construir circuitos para proposiciones que contienen otras conectivas además de la disyunción inclusiva, la conjunción y la negación?. La respuesta es afirmativa y el método para lograrlo es sencillo. Es más, casi todos los problemas de lógica que pueden plantearse con los conocimientos dados en este texto, pueden ser resueltos con gran facilidad por una computadora construida mediante un número muy grande de circuitos como los que hemos mostrado. El lógico chino Hao Wang en el año 1960, usando una computadora IBM - 704, demostró 220 teoremas de la lógica proposicional en sólo tres minutos. Como se puede comprender, las computadoras pueden demostrar teoremas de la Lógica Matemática, porque sus circuitos han sido diseñados en correspondencia con las propiedades de las conectivas.

9.7. Compuertas NAND y NOR En el diseño de circuitos es frecuente utilizar algunas abreviaciones tanto en el vocabulario como en los diagramas. Así a la segunda compuerta del ejemplo i) se le dice abreviadamente compuerta NOR porque es la negación de una disyunción en inglés (Not - or). Análogamente a la primera compuerta del ejemplo ii) se le llama compuerta NAND (Not - and). El operador de incompatibilidad o barra de Nicod se representa usualmente por una compuerta NAND debido que es equivalente a la negación de una conjunción. Usando este artificio es posible construir un circuito para cualquier fórmula de PM aunque contenga operadores distintos a la negación, disyunción y conjunción. Un recurso es obtener para la fórmula dada su Forma normal de Post siguiendo el algoritmo que desarrollamos en la lección anterior. El otro es aplicar las equivalencias que sean adecuadas, tomando como referencia las que dimos como Reglas de deducción natural. Por ejemplo, dada la fórmula ~ ( A ↔ B ) su circuito usando compuertas NAND es el siguiente:

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Introducción a la Lógica

A A.B B

B (A.B) . (A.B)

A A.B

B La estructura del circuito se debe a que la Forma normal de Post de A ↔ B es ~( A ∧ ~B ) ∧ ~( ~ A . B ) y, consecuentemente, su negación tiene como fórmula equivalente ~(~( A ∧ ~B ) ∧ ~(~A ∧ B ) ). Utilizando una compuerta NAND y dos compuertas NOR, el circuito de la fórmula ~(~ ( A → B ) ∧ ~ ( B → A ) ) es el siguiente: A

A A+B

B (A+B) . (A+B) B

B B+A

A La forma de este diagrama se debe a que la fórmula: ~(~( A → B) ∧ ~(B → A ) ) puede ser, aplicando la RDN16, transformada fácilmente en ~(~(~ A ∨ B ) ∧ ~(~B ∨ A ) ).

9.8. Tablas de verdad vs. tablas aritméticas En esta sección sugeriremos el mecanismo a través del cual una tabla de verdad puede ser interpretada como una tabla aritmética. La idea central se funda en el hecho de que si en lugar de F escribimos 0 y en lugar de V escribimos 1, entonces si comenzamos primero con los valores falsos y pensamos en una tabla para una fórmula con tres letras variables p, q, r, el primer arreglo se escribirá 000, lo que corresponderá al primer núme-

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ro entero 0, pues los ceros a la izquierda no añaden valor a la cifra. El segundo arreglo se escribirá 001, que corresponde al número entero positivo 1, pues, reiteramos, los ceros a la izquierda no añaden valor a la cifra. El tercer arreglo se escribirá 010, que corresponde al número dos del sistema decimal. Y como este tercer caso no es de comprensión obvia como los anteriores, describiremos brevemente el principio que regula la construcción de sistemas numéricos con cifras de valor posicional. En principio todo sistema de numeración usa un determinado número de signos. El decimal, que es cotidiano, usa diez: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Y el binario, que es el que resulta de las tablas de verdad, usa sólo dos signos 0, 1. La base de un sistema de numeración está dada por el número de signos que usa. En este caso la base de nuestro sistema es 2. Una característica inherente a los sistemas de numeración posicional es que el valor de la base no se puede escribir, dentro del sistema, usando un sólo signo. Una muestra de ello es que diez es el primer número que se escribe con dos signos dentro del sistema decimal. Análogamente, dos no se puede escribir con un sólo signo dentro del lenguaje binario. En efecto se necesita dos signos para escribir dicho valor: 10. En el párrafo anterior aparece con un 0 adelante, pero prescindimos de él porque está a la izquierda. En lo que sigue hablaremos genéricamente de cifra binaria y diremos que cualquier cifra binaria es una n-ada de dígitos 0,1 cuyo valor es igual a la suma del valor posicional de sus componentes. El valor posicional de cada componente se determina multiplicándolo por la potencia correspondiente de una n-ada de potencias en base 2 crecientes hacia la izquierda. Esta n-ada de potencias tiene la forma: 2n, 2n-1,... , 2°. Por razones pedagógicas hemos confeccionado una tabla de doble entrada cuyas columnas precisan el valor posicional de cada digito binario. ….23 1 1 0

22 0 1 0

21 1 0 1

20 Valor decimal 1 11 0 12 0 02 Tabla 26.

La cifra binaria 1011 corresponde al once de nuestro sistema decimal. Esto se explica por qué el primer 1 de la derecha vale uno debido a que se multiplica por 20 que siempre es igual a uno. El siguiente 1 se multiplica por 21 y, consecuentemente vale dos. El 0, obviamente tiene valor cero y el 1 del extremo izquierdo, por las razones dadas, vale ocho, pues se multiplica por 23. Sumando los valores anteriores 1 + 2 + 0 + 8 = 11, obtenemos el valor de la cifra binaria examinada. Aplicando el criterio anterior se constatará que la cifra 1100 corresponde al valor doce y no hace falta pormenorizar por qué a 10 le corresponde el valor dos. De igual manera se comprobará que el margen de cualquier tabla de verdad, con las sustituciones propuestas y comenzando con el valor F, en este caso 0, puede leerse como una sucesión

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creciente de números escritos en código binario. Cuando la tabla sea para tres variables, el último arreglo corresponderá al valor siete. Si es para cuatro letras variables, el último arreglo corresponderá al valor 15. Esto demuestra, que aumentando el número de arreglos, podemos obtener una cifra binaria para un número tan grande como se desee. Todos los cálculos que realiza un computador los efectúa en dígitos binarios y luego los traduce al sistema decimal. En efecto, sus circuitos están gobernados por fórmulas lógicas que se computan como tablas de verdad, las mismas que son equivalentes a tablas aritméticas en código binario. Asimismo, la estructura interna del hardware son circuitos y estos en último término pueden distinguir entre dos cosas reducibles al hecho elemental de que la corriente pase o no pase.

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Cuestionario Nº 9. Bases lógicas de la inteligencia artificial I. Responda a las siguientes preguntas. 1. ¿Cómo se define un sistema experto? 2. ¿Qué diferencia puede establecerse entre un sistema experto y un robot? 3. ¿De qué trata la teoría de autómata? 4. ¿Qué diferencia existe entre cuestiones de software y cuestiones de hardware? 5. ¿Cuál es el mecanismo mediante el cual las tablas de verdad permiten realizar operaciones aritméticas? 6. ¿En qué consistió el aporte de Shannon al diseño de computadoras? 7. ¿En qué consistió el aporte de Hao Wang? 8. ¿Es posible construir un circuito a compuertas para cualquier fórmula del lenguaje PM ? 9. ¿Existe para todo circuito en línea y paralelo un correspondiente circuito a compuertas? 10. ¿Cuál es el tipo de compuerta más compatible con la Forma normal de Post? 11. ¿Qué diferencia existe entre autómata físico y autómata ideal? 12. ¿En qué consiste el problema del halting? 13. ¿Puede describirse una tarea que está fuera del alcance de cualquier computador? 14. ¿Qué es una máquina de Turing? 15. ¿Se ha elaborado la teoría de autómata examinando computadores reales o físicos? 16. ¿Cuántos dígitos binarios se necesitan para escribir 64 y 127? II. Construir circuitos para: 1. ( p ∧ q ) ∨ ( p ∨ q ) 2. ( p ∨ ( q ∧ r )) ∧ ( r ∨ s ) ) 3. ( p ∧ q ) ∨ ( ~ q ∧ r ) ∨ ( ~ p ∧ ~ s ) 4. ( p ∧ q ∧ r ) ∨ ( p ∧ q ∧ ~ r ) ∨ ( ~ p ∧ ~ q ) 5. ¿Cuál es la fórmula del circuito siguiente?

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q q q’

r r’ s

III. Construir un diagrama de circuito a compuertas para cada una de las fórmulas del ejercicio II y convertir el plano de circuito de II.5. También a un circuito a compuertas. IV. ¿Cuál es la fórmula que corresponde al siguiente circuito a compuertas? A B

B A

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Lectura Nº 9. Inteligencia Artificial (IA) Puede considerarse que las investigaciones en inteligencia artificial logran su motivación más sólida alrededor del año 1935, con los trabajos en lógica matemática de A. Church, S. Kleene y A. Turing, todos ellos realizados dentro del campo de las teorías lógicas de primer orden y de la teoría de números expresada en la teoría conocida como el ‘modelo de Peano’. De esta manera se instauró la teoría lógica de algoritmos que precisó las condiciones bajo las cuales era posible generar instrucciones para la ejecución automática, teóricamente infalible, de un cálculo. Los resultados de Church y Turing, que fueron obtenidos a través de metodologías distintas, resultaron equivalentes, pero los del segundo se encuentran más difundidos a través del teorema conocido como ‘máquina de Turing’ (Tm). Alan Turing, en su artículo «Computing Machinery and Intelligence» (1950, Revista Mind, vol. LIX, num. 236), se propuso responder a la pregunta ¿pueden pensar las máquinas? Para hacerlo recurrió directamente a la estrategia de traducir la pregunta a la cuestión de si una máquina sería o no capaz de imitar o simular la conducta de un ser inteligente que participe en un juego que él llamó ‘de imitación’. La tesis de Turing puede ser parafraseada en los siguientes términos: si una máquina es capaz de imitar a una persona en el juego de la imitación, de tal manera que no nos demos cuenta de la suplantación, entonces la máquina piensa en el mismo sentido en que lo hacen los humanos que participan en dicho juego. De esta suerte se abrió paso, a partir de la investigación en algoritmos, a la investigación sobre la simulación de la conducta y, en general, de las actividades mentales. Luis Piscoya Hermoza. El proceso de la investigación científica. Un caso y glosarios, Edición: Universidad Inca Garcilaso de la Vega. Lima, Perú. 2007.

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LECCIÓN X

LÓGICA CLÁSICA Objectives 1. Reconocer proposiciones categóricas típicas en el cuadro de Boecio. 2. Distinguir en un silogismo las premisas, la conclusión y sus tres términos. 3. Definir y construir silogismos categóricos y reconocer en ellos el modo y la figura a la que pertenecen. 4. Distinguir entre contradicción y oposición entre proposiciones. 5. Distinguir a las proposiciones por su grado de generalidad. 6. Identificar nombres propios en lógica.

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10.1 Criterio de demarcación. En los llamados textos de lógica moderna se asume, de manera explícita o implícita que la lógica clásica o aristotélica está constituida por la teoría de silogismo y el manejo del cuadro de Boecio. A ello se añade que la lógica moderna, simbólica o matemática, surge a mediados del siglo pasado con el Algebra de Boole y con el tratamiento que hizo, posteriormente, Gottlob Frege de la lógica proposicional, en su famosa obra Begriffsschrift. Sin embargo, este esquema que traza una línea de demarcación entre la lógica clásica y la lógica matemática se ha ido modificación paulatinamente. En principio, se ha establecido con claridad que los lógicos megáricos de la antigua Grecia, entre ellos Crisipo, Filón y Diodoro Cronos, tuvieron ideas interesantes sobre la lógica proposicional, sector considerado inicialmente cono patrimonio exclusivo de la lógica moderna. Asimismo, se ha encontrado que muchos desarrollos contemporáneos de la lógica matemática, a pesar de ser deductivamente mucho más poderosos que el silogismo de Aristóteles comparten con él algunas propiedades sustanciales que los inscriben dentro de la misma concepción de lo que está permitido y excluido por las reglas lógicas. Para precisar este análisis señalamos que Principia Mathematica (PM), de Whitehead y Russell, es el primer trabajo sistemático que se reconoce como expresión completa del nuevo sistema de lógica, que marca una diferencia radical con el Organon de Aristóteles, el mismo que no queda excluido de la lógica sino convertido, después de haberlo sido todo por más de 2000 años, en una pequeña subestructura del nuevo edificio de la lógica-matemática. Sin embargo, esta diferencia tan notoria entre lo nuevo y lo antiguo no excluía el hecho de que tanto el silogismo como el sistema PM compartían los mismos principios lógicos y, por tanto, las mismas estrategias deductivas. Por ejemplo, tanto Aristóteles cono Russell y Whitehead admitían la estrategia de demostración o deducción por reducción al absurdo, que hemos examinado cuando estudiamos las reglas RDN de Gentzen. Sin embargo, los lógicos y matemáticos intuicionistas de la primera mitad de nuestro siglo, como Brouwer y Heyting, objetaron duramente la validez del método de demostración de reducción al absurdo, porque presuponía la plena vigencia del principio lógico clásico del tercio excluido, que ellos consideraban que debía ser omitido para rigorizar la matemática a través de métodos constructivos. En ese sentido, los intuicionistas consideraban que en lo fundamental el sistema de PM era tan clásico como el de Aristóteles y que ellos eran los primeros en crear sistemas no aristotélicos. Francisco Miró Quesada, investigador peruano, a partir de este hecho ha propuesto un criterio para calificar a un sistema lógico de clásico o no. Un sistema lógico S es clásico si admite como válidos los tres principios lógicos de identidad, no- contradicción y del tercio excluido. Y un sistema S no es clásico, en mayor o menor medida, si desconoce la validez plena de uno, dos o todos los principios clásicos. En este sentido, que recoge un punto de vista extendido en la comunidad académica internacional, el sistema de

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PM es clásico pero no antiguo y los sistemas de Heyting y Broouwer son no-clásicos. Existen otros sistemas que debilitan el uso del principio de no - contradicción, a los que el mismo Miró Quesada ha denominado paraconsistentes. Entre ellos se cuentan los de Vassiliev, Jaskowski, da Costa y Routley. Consecuentemente, hablar de lógica clásica no es necesariamente hacer referencia a la lógica aristotélica, pues tanto PM como todos los sistemas que se deriven de PM, que son los más usados por la ciencia contemporánea, son sistemas clásicos en el sentido aquí definido. Por otra parte, hablar de lógica no-clásica es hacer referencia a un conjunto de sistemas lógicos disímiles entre sí. Por ejemplo, los cálculos Cn de da Costa admiten la demostración por reducción al absurdo que excluyen los sistemas intuicionistas. En esta sección desarrollaremos algunos elementos de lógica clásica, en el sentido de lógica aristotélica o de la antigua Grecia. Este aporte ha estado vigente por más de dos mil años a tal extremo que filósofos notables como Kant consideraron que a lo hecho por Aristóteles no era pertinente quitarle o añadirle algo. El sistema del silogismo era toda la lógica y parecía cosa acabada en su perfección. Respecto a los sistemas no-clásicos, hay que decir que conservan vitalidad; pero en este texto sólo podemos mencionarlos con motivo de este necesario esclarecimiento terminológico.

10.2 El silogismo clásico Como se conoce, Aristóteles inventó la lógica como disciplina sistemática y estudió con detalle el silogismo que es una estructura deductiva históricamente anterior a la lógica proposicional presentada en las páginas precedentes. En esta unidad se estudia al silogismo pero sin recurrir a las reglas aristotélicas clásicas, cuyo estudio podría ser muy tedioso para el estudiante que se inicia. Por este motivo hemos preferido un tratamiento más moderno, en base al álgebra de Boole, que tiene la ventaja de ser más simple y de no adolecer de algunos importantes errores del genial estagirita. Para introducirnos en los conceptos de esta parte de la lógica comenzaremos reflexionando sobre un ejemplo de argumento o inferencia que tiene particular interés para nosotros. (I) Ningún mamífero es insecto. Algunos animales domésticos son mamíferos. _________________________________________________________________________

Luego, algunos animales domésticos no son insectos. Es fácil darse cuenta de que el argumento anterior es lógicamente válido, pues la verdad de la conclusión se deduce claramente de la verdad de las premisas. No se viola la exigencia lógica que prohíbe que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa, porque positivamente sabemos que las premisas son verdaderas y que la conclusión

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también lo es. Sin embargo, si formalizáramos el argumento precedente usando el lenguaje de la lógica proposicional, encontraríamos que resultaría lógicamente inválido porque si representamos las premisas con las variables p y q, y la conclusión con r, ocurre que el condicional: (p ∧ q) → r No es una tautología, los cual puede verificar el lector construyendo la tabla de verdad correspondiente. Este hallazgo plantearía una especie de contradicción entre lo que intuitivamente vemos con claridad y lo que establece la lógica. Pero afortunadamente ésta no es una situación de esa clase. En efecto, el anterior argumento es lógicamente válido y lo que ocurre es que la lógica proposicional no es un instrumento lo suficientemente potente para mostrar su estructura y decidir su validez. En este caso es inadecuado proceder a representar directamente las proposiciones componentes por variables proposicionales, debido a que es necesario analizar los componentes de cada proposición para que se nos revele su estructura interna y podamos pronunciarnos sobre la validez lógica del argumento. Avanzando en nuestro estudio podemos esquematizar con sencillez nuestro argumento. Si por el término ‘mamífero’ usamos la abreviación M, por ‘insecto’ la abreviación P y por ‘animales domésticos’ la letra S, tenemos: (E1)

Ningún M es P Algunos S son M ________________________ Luego, algunos S no son P

Este esquema es una aproximación a la estructura lógica del argumento examinado y además pone en evidencia que podemos construir otros, del más variado contenido, que posean la misma forma. Por ejemplo: (II)

Ningún peruano es chileno. Algunos futbolistas son peruanos. _______________________________ Luego, algunos futbolistas no son chilenos.

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Representando los términos ‘peruano’, ‘chileno’ y ‘futbolista’ por las letras mayúsculas, M, P y S, respectivamente, obtendremos el esquema E1. De otra parte, también es posible construir argumentos similares como el que a continuación sigue, introduciendo algunas variantes. (III)

Todos los mamíferos son vertebrados. Todos los gatos son mamíferos. _______________________________________ Luego, todos los gatos son vertebrados.

Esta vez el esquema es así: (E2) Todos los M son P Todos los S son M Luego, todos los S son P Los argumentos anteriores se llaman silogismos y son los que ocuparon preferentemente la atención del filósofo griego Aristóteles. Como lo sugiere la observación de los esquemas que hemos formulado, el estudio del silogismo requiere que se ponga atención en los elementos componentes de las proposiciones, que son palabras. En ellos se representan con signos especiales (letras mayúsculas) las palabras que aparecen como sujetos y predicados de las proposiciones, las que en lógica se denominan términos. De esta suerte cada proposición posee un término predicado y un término sujeto. Es importante enfatizar que las denominaciones precedentes se refieren a la función que desempeña un término en la inferencia y no al término en sí mismo. Por ejemplo, en los silogismos I, II y III se cumple que el término que es sujeto en la primera premisa, representado en los esquemas por M, desempeña la función de predicado en la segunda. Los términos sujeto y predicado de la lógica no deben ser identificados con sus correspondientes gramaticales. Los sujetos gramaticales normales son denotados por nombres propios como ‘Juan Hinojosa’ y por nombres comunes como ‘perro’. Nosotros en esta parte del curso sólo trabajaremos con sustantivos comunes, que desde el punto de vista lógico son predicados porque ellos hacen referencia a propiedades y no a un individuo en concreto, como la hacen los nombres propios. Así, en nuestros ejemplos, las propiedades de las que se habla son la de ‘ser mamífero, la ‘ser insecto’, la de ‘ser animal’, la de ‘ser peruano’, etc. Consecuentemente, aunque términos como los anteriores

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pueden desempeñar la función de sujetos en las proposiciones, ellos no son nombres en este contexto sino predicados lógicos porque denotan propiedades. Por esta razón, a la parte de la lógica que se ocupa del estudio de tales términos se le llama lógica de los predicados. En lo que sigue, en base a la observación de los ejemplos que hemos dado, definiremos el silogismo y proporcionaremos algunos detalles adicionales. Definición 15. Un silogismo es un tipo de inferencia o argumento que consta de tres proposiciones de las cuales dos son premisas y una conclusión. Tiene tres términos y cada unos se repite dos veces. Hay uno que aparece en ambas premisas y se omite en la conclusión. Examinando el ejemplo II, o cualquiera de los dados, se constata que en efecto tienen dos premisas y una concusión. En el indicado ejemplo los términos son ‘peruano’, ‘chileno’ y ‘futbolista’, y cada uno se repite dos veces. El término común a ambas premisas es ‘peruano’. Aunque no es indispensable, daremos la nomenclatura que tradicionalmente se utiliza para los silogismos, debido a que todavía muchos autores recurren a ella y el estudiante podría desorientarse, por un detalle irrelevante, al leer otro libro. Al término común a ambas premisas, que se omite en la conclusión, se le llama término medio y se lo simboliza con la letra mayúscula M. El predicado de la conclusión recibe el nombre de término mayor y se lo representa por la letra mayúscula P. El sujeto de la conclusión es el término menor y se lo simboliza mediante la letra mayúscula S. A la premisa que contiene al término mayor se le llama premisa mayor y a la que contiene al término menor se le denomina premisa menor. En el ejemplo I, el término medio es ‘mamífero’, el término mayor ‘insecto’ y el término menor ‘animales domésticos’. La premisa mayor es la proposición ‘Ningún mamífero es insecto’ y la premisa menor la proposición ‘Algunos animales domésticos son mamíferos’. El mismo Aristóteles también llamó al silogismo inferencia mediata, porque tiene más de dos proposiciones. Asimismo, al silogismo cuyo estudio hemos iniciado se le dice categórico para diferenciarlo del hipotético, que es una forma de argumento que pertenece a la lógica proposicional y que no es de origen aristotélico.

10.3 Las cuatro proposiciones predicativo - categóricas clásicas Todo silogismo se construye sobre la base de proposiciones, cada una de las cuales corresponde a uno de los cuatro esquemas siguientes: A. Todos los S son P

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E. Ningún S es P I. Algunos S son P O. Algunos S no son P Las letras que aparecen a la izquierda son los nombres con que se conoce a estas proposiciones desde que los medievales enseñaban el famoso cuadro de Boecio. El esquema A corresponde a proposiciones como Todos los pájaros tienen alas. El esquema E a proposiciones como Ningún gato es perro. El Esquema I a proposiciones como Algunos sabios son físicos. Y el esquema O a proposiciones como Algunos lógicos no son griegos. Puede afirmarse que la lógica aristotélica se redujo al conocimiento de estas cuatro proposiciones y a las inferencias que se puede construir con ellas. Hoy día es un sector muy pequeño y débil de la lógica, pues en él no se pueden expresar los problemas matemáticos y científicos relevantes. En el esquema A el sentido de la palabra ‘todos’ es muy importante, pues hay proposiciones que no contienen dicha palabra pero que corresponden al mencionado esquema. Por ejemplo, las proposiciones ‘Cada hombre tiene una cabeza’, ‘Cualquier número par es divisible por 2’, deben ser traducidas a las proposiciones ‘Todo hombre tiene una cabeza’ y ‘Todo número par es divisible por 2’ que mantienen su sentido y corresponden a la forma canónica que hemos establecido como esquema A. Asimismo, hay proposiciones que son generales pero que no contienen explícitamente una palabra que denote cantidad, como ‘Los hombres son mortales’, cuya expresión más precisa es ‘Todos los hombres son mortales’. El esquema A corresponde a las proposiciones universales afirmativas. El esquema E corresponde a las proposiciones universales negativas y en él la palabra ‘ninguno’ debe entenderse en el sentido de ‘Ni siquiera uno’ o de ‘No existe aunque sea uno’. Por tanto, afirmar ‘Ningún felino es cetáceo’ equivale a decir ‘Ni siquiera un felino es cetáceo’ o ‘No existe aunque sea un felino que sea cetáceo’. El esquema I corresponde a las proposiciones particulares afirmativas y el esquema O a las particulares negativas. En ambos esquemas aparece la palabra ‘algunos’ y su sentido es el de ‘al menos uno’. Esto significa que cuando en general uno o varios objetos, pero no todos, tienen una propiedad se puede decir que algunos la tienen. Por ejemplo, sabemos que muchos futbolistas son veloces, pero no todos lo son. Luego podemos decir ‘Algunos futbolistas son veloces’. Asimismo, sólo podemos decir ‘Algunas estrellas son conocidas’ porque no tenemos la seguridad de conocer todas, aunque tenemos información sobre millones de ellas. Otra variante para ‘algunos’, muy usada por los lógicos, es ‘hay al menos uno’. Si recurrimos a ella nuestros ejemplos anteriores son traducidos a ‘Hay al menos un futbolista veloz’ y ‘Hay al menos una estrella conocida’.

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Es importante puntualizar que las llamadas inferencias inmediata clásicas también se construyen con proposiciones que corresponden a uno de los cuatro esquemas expuestos. Nosotros no las abordamos en detalle pero el método que emplearemos para determinar la validez de los silogismos se usa también para decidir la validez de tales inferencias que constituyen argumentos más sencillos.

10.4 El cuadro de Boecio Tradicionalmente se atribuye al lógico Ancius Boecio, que vivió entre los años 480-524 de nuestra era, una manera muy especial de clasificar y presentar las cuatro proposiciones predicativo - categóricas clásicas. Las proposiciones de las formas A, O son recíprocamente contradictorias. Asimismo, lo son las formas E, I. Esto significa que A es equivalente a la negación de O y, recíprocamente, O es equivalente a la negación de A. También que E es equivalente a la negación de I, e I es equivalente a la negación de E. La relación anterior entre las proposiciones puede verse con más claridad a través de ejemplos. La proposición ‘Algunos hombres no son altos’ es de la forma O. Su negación ‘No es el caso que algunos hombres no sean altos’ equivale exactamente a ‘Todos los hombres son altos’ que es de la forma A. Ahora, la negación de esta última proposición es ‘No es el caso que todos los hombres sean altos’, que equivale a algunos hombres no son altos. Consecuentemente, ∼ O ↔ A y ∼ A ↔ O. La proposición ‘Algunos gatos son blancos’ es de forma I. Su negación es ‘No es el caso que al menos un gato sea blanco’ que equivale a ‘Ningún gato es blanco’ que es una E. Asimismo, la negación de esta última proposición es ‘No es caso que ningún gato sea blanco’ que equivale a ‘Al menos un gato es blanco’ que es de la forma I. Consecuentemente, ∼ I ↔ E ∼ E ↔ I. Nosotros por ahora no podemos dar una prueba formal de la validez de los bicondicionales o equivalencias, anteriores. Los ejemplos son un recurso intuitivo pero no de plena validez lógica. Sin embargo, más adelante brindaremos una mejor aproximación a la validez de dichos bicondicionales mediante gráficos. A las proposiciones del par A, E se les llama recíprocamente contrarias. A las del par I, O se les denomina recíprocamente subcontrarias. Y a los pares A, I y E, O, exactamente en este orden, se les llama subalternas. Boecio, según narra la tradición, representada la anterior clasificando mediante el siguiente gráfico conocido como cuadro de oposición o, simplemente, Cuadro de Boecio.

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(A) Todos los S son P

Ningun S es P (E)

(1 Algunos S son P

Algunos S no son P(O)

Las flechas dobles señalan los casos en que las relaciones son recíprocas, y las simples, los casos en que la relación se cumple en un solo sentido.

10.5 Modos y Figuras Silogísticas Por definición, todo silogismo está constituido por tres proposiciones. Cada una corresponde a uno de los cuatro esquemas A, E, I, O. Consecuentemente, para cada silogismo posible existe un triplo o terna de letras, por ejemplo EAE, AOO, AOI, EII, AEO, AAA, etc., que se denomina el modo de un silogismo. Naturalmente, al escribir el modo de un silogismo, las dos primeras letras corresponden a las premisas y la tercera a la conclusión. Para ilustrar esta explicación indicaremos que el modo de nuestro ejemplo III, por citar sólo un caso, es AAA. De lo anterior se deduce que todos los modos posibles están dados por todas las ternas que se pueden formar con los cuatro esquemas, A, E, I, O. Sabemos que el número de ternas posibles que se pueden formar con cuatro cosas es igual a 43, lo que significa que son 64 modos silogísticos posibles. También podemos observar que el llamado término medio M, que es común a ambas premisas, puede cumplir la función de sujeto en la primera premisa y de predicado en la segunda, o desempeñarse como predicado en ambas premisas, o ser sujeto en ambas premisas, o ser predicado en la primera y sujeto en la segunda. Cada uno de estos arreglos posibles del término medio en las premisas se llama figura silogística. Las cuatro figuras pueden ser esquematizadas cono sigue: MP

∴ SP

(3 )

(4ta)

(1 ) ra

(2 ) da.

Figuras silogísticas

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Teniendo en cuenta que cada modo puede ser presentado en cada una de las cuatro figuras, ocurre que el número total de silogismos posibles es igual a 64 x 4, esto es, hay 256 silogismos posibles. De ellos solamente 15 son válidos de acuerdo a las exigencias establecidas por los diagramas de Venn y otros métodos modernos. Las reglas de Aristóteles permiten establecer 19 silogismos válidos, pero con instrumentos más potentes, como los aquí usados, cuatro de ellos son defectuosos y necesitan ser subsanados. A continuación indicaremos los 15 silogismos lógicamente válidos. Primera figura :

AAA, EAE.AII,EIO

Segunda figura :

EAE, AEE, EIO, AOO

Tercera figura

IAI, AII, OAO, EIO

Cuarta figura

AEE, IAI, EIO

Los lógicos medievales usaron nombres artificioso para recordar los modos y figuras de los silogísmos válidos. Estas ayudas nemotécnicas contenían como vocales en el mismo orden de aparición las letras que constituyen el modo. A continuación detallamos los referidos nombres especificando la figura: Primera figura :

Barbara, Celarent, Darii y Ferio.

Segunda figura :

Cesare, Camestres, Festino y Baroco.

Tercera figura

Datisi, Feriso, Disamis y Bocardo.

Cuarta figura

Calemes, Dimotis y Fresison.

10.6 Tipos de generalidad Es frecuente encontrar en textos de lógica que la deducción silogística se ilustre mediante el siguiente ejemplo: Todos los hombres son mortales Sócrates es hombre ____________________________ Sócrates es mortal Una pregunta inmediata a propósito de este supuesto silogismo era la referente a cual era su modo. Estaba claro que la primera premisa correspondía al esquema A pero no estuvo claro a qué esquema correspondía la segunda premisa y la conclusión. Decir que ‘Sócrates es hombre’ es una afirmación universal iba contra el sentido común ya que se estaba hablando de un individuo específico. Y decir que era particular, tampoco resolvía

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el problema, porque se puede afirmar que hay al menos un hombre que es mortal sin que éste tenga que ser necesariamente Sócrates. Podría ser Alejandro Magno o Pericles, por citar dos ejemplos entre millones. Es claro que si no se conocía a que esquemas pertenecían la segunda premisa y la conclusión, entonces el modo de esta inferencia quedaba indeterminado. La discusión ha tomado siglos y condujo a detectar que la expresión ‘proposición particular’ es imprecisa y desorientadora. En principio parecía significar lo opuesto a proposición general. Sin embargo, si se admite que el significado de ‘algunos’ se expresa con claridad a través de ‘existe al menos un objeto x’ o ‘hay al menos un x’, entonces lo más adecuado era denominar a las proposiciones que comienzan con ‘algunos’ proposiciones existenciales, pues su sentido es afirmar la existencia de al menos un objeto, lo que equivale a sentenciar que el conjunto de objetos al que hacen referencia no es vacío. De esta suerte, actualmente se prefiere calificar a las proposiciones I, O de existenciales. Sin embargo, el hecho de que una proposición sea existencial no es incompatible con que sea, también, general. Así la afirmación ‘Algunos gatos son negros’ adecuadamente formulada se traduce por Existe al menos un objeto x que es gato y que es negro, la que es de carácter general porque no se refiere específicamente a gato alguno sino que habla de cualquier gato de un conjunto que puede ser infinito. Consecuentemente, las proposiciones que comienzan con ‘algunos’ se denominan propiamente proposiciones generales existenciales para diferenciarlas de A,E que son generales universales. Lo que ambos tipos de proposiciones tienen en común es que se refieren a un conjunto de objetos y no a un objeto específico. Los resultados anteriores han conducido como conclusión a establecer que la afirmación ‘Sócrates es hombre’ no corresponde a ninguno de los cuatro esquemas que aparecen en el cuadro de Boecio. Consecuentemente, ha quedado abierto el problema consistente en encontrar una interpretación lógica adecuada a la proposición anterior.

10.7 Los nombres propios Un criterio para distinguir, ’Algunos griegos son hombres‘ de ‘Sócrates es hombre’ ha sido señalar que esta segunda proposición permite identificar a un individuo específico, mientras que la primera no se refiere a persona alguna en especial, pues todo lo que nos dice es que dentro del conjunto de los hombres hay al menos uno que es griego; pero no nos dice quién ni nos asegura que sea el único. La segunda proposición contiene en cambio el término ‘Sócrates’ que es un nombre propio y, por tanto, expresa un modo individualizador de hablar, mientras que la primera contiene nombres comunes y expresa una manera genérica de hablar. Un nombre común no es nombre de un objeto sino de un conjunto de objetos. Así el nombre ‘griego’ no designa a persona alguna sino al conjunto de individuos que tienen la

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propiedad de ser griegos. Por ello, en los lenguajes lógicos a los nombres comunes no se los interpreta como nombres sino como propiedades de conjuntos de individuos. Los únicos nombres lógicamente admisibles son los términos que permiten identificar inequívocamente a un objeto o individuo, esto es, en los lenguajes lógicos sólo hay nombres propios. A los nombres, en lenguaje lógico, se les denomina constantes individuales y se les designa por las letras minúsculas iniciales del alfabeto a, b, c, etc. Cuando se necesita muchos nombres se utiliza números enteros positivos como subíndices de las referidas letras y así se genera tantos nombres como se desee. Empero, en lógica no sólo las personas son nombradas mediante nombres propios sino cualquier objeto. Puede ser un mueble, una muestra de sangre para el laboratorio, un átomo o una persona, etc. El uso de nombres propios permite construir proposiciones que son descripciones de las propiedades de individuos concretos. Por ejemplo, ‘a es azul’ es la descripción de un objeto que tiene la propiedad de ser azul. Asimismo, en la medida que esta descripción es irreductible a otra más simple; la proposición anterior es un ejemplo de proposición atómica. Pero si escribo ‘a es azul y a es pesado’, entonces tenemos una descripción que tiene un solo sujeto pero que es molecular porque contiene la conectiva de conjunción. El hecho de que a aparezca dos veces no significa en modo alguno que tenga dos sujetos sino que el mismo nombre tiene dos apariciones (ocurrencias) en la proposición conjuntiva. Al mismo tiempo, podemos tener la situación inversa. La proposición ‘a ama a b’ tiene don nombres pero es atómica porque no contiene conectiva alguna. A las proposiciones anteriores las denominaremos descripciones individuales. Lo anterior significa que ‘Sócrates es hombre’ es una descripción individual y como tal no tiene lugar en los esquemas del cuadro de Boecio que son para proposiciones generales. Este resultado conduce a establecer que la deducción de la sección anterior no es propiamente un silogismo sino otro tipo de inferencia que examinaremos cuando estudiemos el uso de un lenguaje predicativo con cuantificadores. En esa lección abordaremos el tratamiento que se da a las descripciones individuales en la deducción mediante las reglas de ejemplificación universal y ejemplificación existencial.

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Cuestionario Nº 10. Instrucciones I. Responde a las siguientes preguntas 1. ¿En qué sentido Principia Mathematica es una obra que se inscribe dentro de la lógica clásica? 2. ¿Por qué se considera a la lógica intuicionista no-clásica? 3. ¿Cuál es la característica de los sistemas llamados paraconsistentes? 4. ¿Excluye Principia Mathematica al silogismo aristotélico? 5. ¿Porqué el lenguaje proposicional PM no permite establecer reglas para decidir la validez de silogismos? 6. ¿Por qué ‘perro’, ‘gato’, ’ hombre’ y otros sustantivos comunes no son nombres desde el punto de vista lógico? 7.¿Cómo se decide cuál es la premisa mayor y cuál es la premisa menor de un silogismo? 8. Si los silogismos tuvieran tres premisas y una conclusión ¿Cuántos modos habría? 9. ¿Es correcto afirmar que la negación de una proposición general universal es a veces también universal 10. Considerando que los términos S y P tienen un significado establecido ¿cuántas contradicciones pueden construirse en el cuadro de Boecio? 11. ¿Es correcto afirmar que dos silogismos tienen la misma estructura si coinciden en la figura pero no en el modo? 12. ¿Por qué las preposiciones existenciales también son generales? 13. ¿Por qué una descripción individual no corresponde a ninguno de los esquemas del cuadro de Boecio? 14. ¿Cómo se define una constante individual y cómo se representa en caso de que necesitemos millones de ellas? 15. Por qué la expresión ‘ proposición particular’ es desorientadora? II. Dados los siguientes silogismos, determinar su modo y figura. 1. Ningún cuadrúpedo sabe silbar. Algunos gatos son cuadrúpedos. Luego, algunos animales que saben silbar no son gatos.

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2. Ningún borrego es terrible. Algunos sueños son terribles. Luego, algunos sueños no son borregos. 3. Ninguna criatura razonables espera imposibles. Todo bogavante es razonable. Luego, ningún bogavante espera imposibles. 4. Todas las criaturas hoscas son mal acogidas. Todas las avispas son hoscas. Luego, todas las avispas son mal acogidas. 5. Ningún canario que se siente melancólico canta con potencia. Todos los canarios bien nutridos cantan con potencia. Luego, ningún canario bien nutrido se siente melancólico. 6. Ninguna experiencia desagradable se busca con avidez. Toda pesadilla es desagradable Luego, ninguna pesadilla se busca con avidez. 7. Todos los mamíferos respiran a través de pulmones. Algunos mamíferos son animales acuáticos. Luego, algunos animales acuáticos respiran a través de pulmones. 8. Todas las serpientes marinas son animales acuáticos Todas las serpientes marinas son serpientes. Luego, todas las serpientes son animales acuáticos. 9. Todos los no-fumadores ahorran dinero Todos los vegetarianos son no-fumadores. Luego, todos los vegetarianos ahorran dinero. 10. Todos los no-fumadores ahorran dinero Ningún vegetariano es fumador. Luego, ningún vegetariano es gastador.

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Lectura Nº 10. Definición primigenia del silogismo Aristóteles Un silogismo es un conjunto de palabras o términos con el que, al construirse determinadas premisas, se sigue necesariamente la conclusión, del hecho de haberse verificado de manera determinada las premisas, como una cosa distinta de la que se había asumido. Por la expresión «del hecho de haberse verificado de manera determinada las premisas», quiero decir que es por causa de dicho hecho que se sigue la conclusión; y con esto significo que no hay necesidad de ningún otro término para hacer que la conclusión sea necesaria.

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LECCIÓN XI

DIAGRAMAS DE VENN Objectives 1.

Conocer el lenguaje del álgebra de Boole.

Decidir la validez lógica de expresiones del álgebra de Boole mediante los diagramas de Venn.

Aplicar los diagramas de Venn para determinar la validez de inferencias de la lógica clásica aristotélica.

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11.1 El método de los diagramas de Venn Al lógico y matemático del siglo pasado John Venn se debe un método intuitivo para decidir la validez de argumentos del tipo de silogismo. Aunque este método desde el punto de vista lógico es limitado, es mucho más simple y más potente que las numerosas y tediosas reglas que formuló Aristóteles con el mismo fin. La superioridad de los llamados Diagramas de Venn en simplicidad y claridad se debe, en gran medida, a la incorporación de métodos del álgebra de conjuntos a la Lógica, que es una de las notas más saltantes de los desarrollos modernos de esta disciplina. El método de Venn consiste básicamente en representar los términos de las inferencias mediante círculos. Se postula que uno de tales círculos encierra al conjunto1 de individuos que tienen la propiedad denotada por un término dado. Esta postulación resulta correcta porque uno de los axiomas de la teoría de conjuntos, el de comprehensión, afirma que una propiedad determina inequívocamente un conjunto. En armonía con lo anterior decimos que, por ejemplo, la propiedad de ‘ser vertebrado’ determina el conjunto de todos los objetos que son vertebrados. Esto se representa gráficamente así: S Diagrama 1

La letra mayúscula S es el nombre del círculo que representa al conjunto de objetos vertebrados, como lo muestra el diagrama 1. Asimismo, de conformidad con los conceptos básicos de la teoría de los conjuntos, se acepta que existe el conjunto vacío que se caracteriza porque no tiene ni siquiera un objeto. Para representar gráficamente el hecho de que un conjunto es igual a un conjunto vacío se dibuja un círculo y se lo raya o sombrea. Las rayas o sombras significan, que tal conjunto carece absolutamente de miembros. Veamos el diagrama siguiente:

S=φ

Diagrama 2 1

Al nivel del curso podría parecer indiferente hablar de clases o de conjuntos. Sin embargo, en la Lógica Matemática moderna se diferencia nítidamente ambos conceptos, razón por la que es decididamente mejor hablar de conjuntos en relación con loa diagramas de Venn.

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En el diagrama 2 las rayas indican que el conjunto S esta vez carece de miembros y es igual al conjunto vacío, que lo denotamos por la letra griega φ que en español se llama ‘phi’. Cabe señalar que la convención de sombrear, total o parcialmente, un círculo se usa en los textos de matemática con un significado distinto al establecido en este texto para los diagramas de Venn. También se asume que existe un conjunto muy grande en el cual están incluidos todos los conjuntos determinados por los términos de las inferencias que vamos a analizar. A este conjunto lo llamaremos universo del discurso y lo representaremos por un rectángulo (Ver el diagrama 3) que contiene tantos círculos como sea necesario dibujar. Algunos autores llaman a este conjunto clase universal, pero ello tiene el inconveniente, muy conocido, que conduce a contradicciones llamadas paradojas, las cuales fueron señaladas particularmente por el lógico y filósofo Bertrand Russell. S

Diagrama 3 Sin embargo, representar un conjunto con un círculo sin sombras y sin ninguna otra señal, como en los diagramas 1 y 3, requiere de mayor precisión. Pues, por ejemplo, si el conjunto es determinado por la propiedad de ‘ser el hijo del Quijote’, entonces hay que rayarlo porque es vacío, pero si es determinado por la propiedad de ‘ser peruano’, entonces hay que escribir en su interior una equis, como lo hacemos en el diagrama 4, para significar con ello que sabemos que el conjunto no es vacío y tiene al menos un miembro. Consecuentemente, cuando un conjunto es graficado sólo por un círculo en blanco, diremos que no tenemos información sobre si es o no vacío tal conjunto.

S S≠φ (S diferente de φ ) x Diagrama 4

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Por tanto, los diagramas nos plantean tres situaciones muy claras: El conjunto es vacío cuando está rayado; el conjunto es diferente del vacío si muestra en su interior una equis; el conjunto no proporciona ninguna información sobre sus miembros si se trata de un círculo en blanco. Señalamos, además, que para todo conjunto existe otro que se llama su conjunto complemento, y está constituido por todos los objetos que no pertenecen al primero. Así, dado el conjunto A, su complemento se escribe así: Ā y se lee «no A». Esto se representa gráficamente en al diagrama 5. Asimismo, para todo objeto x del que hablemos, este tendrá exactamente dos posibilidades con respecto a cualquier conjunto A. O el objeto x es miembro de A o no lo es, pero no serlo equivale a que x es miembro de Ā. A A Diagrama 5 Asimismo, podemos diagramar la operación de intersección de conjuntos mediante dos círculos que se cortan o intersecan. El conjunto intersección estará constituido por la zona común a ambos círculos. De manera abreviada, dados dos conjuntos A y B, su intersección la denotaremos, usando el lenguaje algebraico, mediante A ∩ B que significa: el conjunto A se interseca con el conjunto B. También podemos decir que A ∩ B es el conjunto de intersección de A y B. Lo anterior se grafica en el diagrama 6. A

B A∩B

Diagrama 6

Si queremos representar gráficamente que la intersección de A y B es vacía, entonces rayaremos la zona común a ambos círculos. Si, en cambio, deseamos representar gráficamente que la intersección de A y B es diferente del conjunto vacío, entonces escribimos una x en la zona común a ambos círculos para expresar que en ella hay al menos un objeto x. Estas dos situaciones pueden verse en los diagramas 7 y 8.

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B A∩B = φ

Diagrama 7 S

P S∩P≠φ

Diagrama 8 S

P Todos los S son P

(A)

S∩P=φ Diagrama 9

Ningún S es P

(E)

S∩P=φ Diagrama 10 S

P x Algunos S no son P

(O)

S∩P≠φ Diagrama 11

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P x

Algunos S son P

(I)

S∩P≠φ Diagrama 12 El diagrama 9 tiene rayada la zona del círculo S que ésta fuera de P. Esto significa que no hay ni siquiera un miembro de S fuera de P, lo que equivale a afirmar que todos los miembros de S están dentro de P, que es lo que dice la proposición ‘Todos los S son P’. Consecuentemente, la proposición A equivale, en los diagramas de Venn a la afirmación de que la intersección entre S y P es vacía. Por eso hemos rayado la zona común al conjunto S y al conjunto P. Esto lo denotamos algebraicamente mediante S ∩ P = φ. El diagrama 10 expresa que no existe ningún elemento en común entre los conjuntos S y P. Por esta razón hemos sombreado la zona común a ambos círculos. Esto equivale claramente a la proposición ‘Ningún S es P’, que en lenguaje algebraico de Venn se escribe S ∩ P = φ. El diagrama 11 afirma que existe al menos un objeto x común al conjunto S y al conjunto P, lo que significa que su intersección es diferente al vacío. Ahora, como decir ‘Al menos un S está fuera de P’ es lo mismo que afirmar la proposición de forma O’. ‘Al menos un S no es P’, entonces consideramos que la expresión algebraica S ∩ P≠ φ es la traducción de cualquier proposición predicativo-categórica que corresponde al esquema O. El diagrama 12 afirma que hay un objeto x común a los conjuntos S y P, razón por la que hemos escrito una equis en la zona común a ambos círculos. El sentido claramente corresponde al del esquema I que afirma ‘Algunos S son P’ y que se expresa algebraicamente mediante S ∩ P ≠ φ. Es importante remarcar que los diagramas sólo afirman aquello que está claramente precisado mediante la presencia de rayas o de una letra equis. Sobre las zonas del diagrama que no contienen ni una equis ni rayas, no se puede afirmar nada desde el punto de vista lógico y, como dijimos antes, ellas denotan ausencia de información. Los diagramas nos dan una prueba visual muy sencilla de que, en efecto, la negación de una proposición de forma A es una proposición de forma O y viceversa. Observando los diagramas 9 y 11 se encuentra que el primero está rayado en la zona en donde el otro tiene una equis. Mientras que el primer diagrama afirma que tal zona es igual al vacío, el segundo afirma que dicha zona es diferente del vacío. Esto se traduce en sus expresiones algebraicas que sólo difieren en que donde una exhibe el signo igual ‘=’ la otra exhibe el signo ‘≠’.

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Del mismo modo, los diagramas 10 y 12 prueban que la negación de una proposición de forma E es otra de forma I y viceversa. En efecto, respecto de la misma zona, el primero afirma que es igual al conjunto vacío y el segundo afirma que es diferente del vacío. Esto también se refleja en sus expresiones algebraicas que son una negación muy clara de la otra. Así, S ∩ P = φ es negada por S ∩ P ≠ φ y viceversa.

11.2 Aplicación de los diagramas de Venn a la decisión de la validez de silogismos. En lo que sigue daremos las reglas que nos permiten mediante los diagramas de Venn decidir si un silogismo es o no lógicamente válido. R11. Cada una de las tres proposiciones del silogismo debe traducirse al lenguaje algebraico. Para ello al término medio hay que representarlo por M, al término menor por S y al mayor por P. Así se obtiene lo que se llama el esquema algebraico del silogismo. R12. A cada término se le asigna un círculo que se nombra mediante una de las letras M, S o P según convenga, procediéndose a dibujar los tres círculos de tal manera que ellos se corten o intersequen entre sí. Si tomamos en cuenta la existencia de los conjuntos complementos de S, de P y de M y los representamos como S,P,M, entonces quedan determinadas ocho zonas de intersección que graficamos a continuación. S

P S∩P∩M

S∩P∩M

S∩P∩M S∩P∩M

S∩P∩M

S∩P∩M S∩P∩M S∩P∩M M

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R13. En el diagrama obtenido por la aplicación de la regla anterior se procede a representar las premisas de acuerdo con los diagramas- modelo que hemos dado para las proposiciones A, E, I, O. Si una premisa es universal y la otra particular, entonces debe graficarse primero la premisa universal. R14. Si al graficar una premisa particular (existencial) hay más de una zona donde se puede escribir la letra equis, entonces ésta debe ser escrita necesariamente en la zona que presupone menos, que es aquella común al menor número de círculos. (Esta regla tiene limitaciones, como todo método gráfico, que no afectan a los ejercicios propuestos en este texto). R15. El silogismo es lógicamente válido si y solamente si al ser graficadas las premisas queda automáticamente graficada, de manera inequívoca, la conclusión. Si no queda graficada la conclusión, entonces el silogismo es lógicamente inválido. Veamos ahora la aplicación de estas reglas a un ejemplo. Tengamos el siguiente silogismo del modo OAO de la tercera figura: Algunos números no son transfinitos Todos los números son objetos ideales Algunos objetos ideales no son transfinitos. Al término medio, común a ambas premisas, es ‘números’ y lo representamos por M. El término mayor es ‘transfinito’ y lo representamos por P. El menor es ‘objeto ideal’ y lo representamos por S. De este modo, haciendo la traducción ordenada por la regla R7, el esquema algebraico del silogismo es: (O)

M∩P≠φ

(A)

M∩S=φ

(O)

S∩ P≠φ

Por la aplicación de la regla R12 se obtiene el siguiente diagrama: I)

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Luego, aplicando la regla R13, procedemos a graficar las premisas dentro del diagrama anterior y, como una es particular y la otra es universal, entonces, conforme a lo indicado por la misma regla, procederemos primero a graficar la que es universal. Así tenemos: II)

M M∩S≠φ En el diagrama anterior sólo está graficada la segunda premisa que es de forma A, la razón por la que hemos rayado toda la parte de M que está fuera de S, como lo establece ‘todos los M son S’. Completamos el diagrama procediendo a graficar la premisa que resta escribiendo una equis en la única parte no sombreada de M, que está fuera de P, como lo exige la proposición de forma O.

III)

M M∩P≠φ M∩S≠φ

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El diagrama anterior ya está completo. Nosotros lo hemos dibujado en tres pasos por razones pedagógicas, pero el lector se habrá dado cuenta que esto puede hacerse fácilmente en solamente un paso. Corresponde aplicar ahora la regla R15. Esto se hace observando atentamente si la conclusión ha quedado graficada automáticamente al graficarse las premisas. En efecto, ha ocurrido así pues el diagrama nos dice con toda claridad que existe al menos un objeto x fuera del círculo P y dentro del círculo S, lo que significa que la intersección entre S y P es diferente del conjunto vacío, que es lo que afirma la traducción algebraica de la O. Consecuentemente, el silogismo anterior es lógicamente válido y podemos decir que todo silogismo del modo OAO de la tercera figura (OAO-3) es lógicamente válido. Los medievales, para acordarse del silogismo OAO-3 lo llamaban BOCARDO, que es una ayuda nemotécnica cuyas vocales corresponden al modo del silogismo analizado. En lo que sigue daremos dos ejemplos adicionales para ganar familiaridad con los métodos de Venn. (I) Ningún hombre es felino. Todo felino es un ser con garras. Luego, algunos seres con garras no son hombres. (II) Todos los peruanos son americanos. Todos los limeños son peruanos. Luego, todos los limeños son americanos. (III) Todos los hombres hablan. Todos los loros hablan. Luego, todos los loros son hombres El esquema algebraico del primer silogismo es el siguiente: P∩M=φ M∩S=φ S∩ P≠φ

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Introducción a la Lógica

Graficando las premisas obtendremos el siguiente diagrama: S

M Como se observa, la conclusión no ha quedado automáticamente graficada al diagramarse las premisas. Para que ello ocurra hace falta que, como la conclusión es de forma O, aparezca una equis en alguna parte de la zona del círculo S que está fuera del círculo P, lo que no sucede. Consecuentemente, un silogismo de la forma EOA de la cuarta figura (EAO-4) no es lógicamente válido. Anotamos que una de las deficiencias de la lógica aristotélica y de la medieval fue considerar a este silogismo válido. El esquema algebraico del segundo silogismo es el siguiente: M∩P=φ S∩M=φ S∩P=φ El diagrama resultante es el dibujado a continuación:

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Como se observa, la conclusión que es una proposición de forma A, ha quedado automáticamente graficada al completarse el diagrama de las premisas. Consecuentemente, un silogismo del modo AAA de la primera figura (AAA-1) es lógicamente válido. Los medievales lo llamaban silogismo BARBARA. El esquema algebraico del tercer ejemplo es como sigue: P∩M=φ S∩M=φ S∩P=φ El gráfico dibujado a continuación muestra que este silogismo es lógicamente inválido porque, siendo la conclusión de forma A, toda la zona de S que está fuera de P debe quedar rayada y esto, en efecto, obviamente no sucede. S

M Por tanto, el silogismo del modo AAA de la figura (AAA - 2), no es válido. Añadiremos un ejemplo en el que se usa un predicado negativo, lo que a menudo fuerza el uso del lenguaje natural pero pone a prueba el uso de los diagramas de Venn para representar la intersección entre dos o más conjuntos. El predicado que usaremos es ´no-fumador´. Todos los no-fumadores son ahorradores. Ningún vegetariano es fumador. Luego, todo vegetariano es ahorrador. Las fórmulas de Boole correspondientes son: (A)

M∩ P = φ

(E)

S ∩ M = φ

(A)

S ∩ P = φ

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Introducción a la Lógica

M Como puede observarse, la zona de S que está fuera de P ha quedado totalmente sombreada al graficarse las dos premisas. Ello significa que el silogismo anterior es válido, aunque no corresponde directamente a ninguno de los 15 conocidos debido a que usa un predicado negativo.

11.3 Silogismos en los que se establecen condiciones necesarias Intuitivamente W es condición necesaria para Z cuando la realización o cumplimiento de Z presupone el cumplimiento de W. En otros términos, no es posible que se produzca Z y no W. Por ejemplo, tener libreta electoral es condición necesaria para poder para poder sufragar. Ello nos permite construir el siguiente condicional verdadero: Si Juan ha sufragado en las elecciones de ayer entonces tiene libreta electoral. En efecto, no es posible dentro de nuestro sistema legal que alguien sufrague y no tenga libreta electoral. En cambio, es posible que alguien tenga libreta electoral y no sufrague. La causa de eso podría ser una enfermedad o un viaje el día de las elecciones. Debido a lo anterior el condicional Si Juan tiene libreta electoral entonces ha sufragado en las últimas elecciones no es necesariamente verdadero porque admite excepciones; el antecedente puede ser verdadero pero el consecuente falso en el caso de que, por ejemplo, Juan haya estado enfermo. Lo dicho demuestra que la condición necesaria aparece siempre en el consecuente de un condicional que es verdadero porque no admite excepciones. Sin embargo, en el lenguaje natural la condición necesaria puede aparecer en la primera parte de una afirmación. Cuando se dice Nadie sino un médico puede prescribir un medicamento, lo que se está estableciendo es que ser médico es condición necesaria para legalmente prescribir medicamentos. Y ello nos permite afirmar Si W prescribe un medicamento entonces es médico pero no la proposición recíproca Si W es médico entonces prescribe un medicamento. Todo esto en el caso de que admitamos que ser médico es condición necesaria para prescribir un medicamento. Otra manera de decirlo sería Solamente los médicos pueden prescribir medicamentos.

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Este análisis conduce a establecer que cuando estamos ante una afirmación que establece que W es condición necesaria para Z y deseamos traducirla a uno de los esquemas del cuadro de Boecio, la solución es recurrir al esquema A con la salvedad de que la condición necesaria no debe figurar en el lugar del sujeto sino del predicado, esto es, en el segundo lugar. Consecuentemente las afirmaciones Nadie sino un médico puede prescribir un medicamento y Solamente los médicos pueden prescribir medicamentos deben ser traducidas por Todos los que prescriben medicamentos son médicos. Este expediente permite su representación mediante los diagramas de Venn. Un ejemplo ayudará a operativizar nuestra explicación. Este silogismo lo podemos traducir aplicando los criterios expuestos de la siguiente manera. Nadie sino los aprobados ingresarán al aula Solamente los que ingresan al aula recibirán premio Luego, solamente los aprobados recibirán premio. El método de los diagramas de Venn es completamente aplicable a tales inferencias para decidir su validez lógica. En este caso también se cumple lo establecido por la regla R15 para el caso de los silogismos. Consecuentemente, una inferencia mediata es lógicamente válida si sólo si al graficarse sus premisas queda automáticamente graficada su conclusión. Dejamos al lector, como ejercicio, la construcción del diagrama de Venn respectivo. Se trata de modos y figuras que deben serle conocidos.

11.4 Inferencias inmediatas La lógica tradicional trataba de un conjunto de inferencias a las que llamaba inmediatas, porque están constituidas sólo por dos proposiciones de las cuales una cumple la función de premisa y la otra de conclusión. Asimismo, las proposiciones usadas tradicionalmente en tales inferencias son de una de las cuatro formas: A, E, I, O. Ejemplos de este tipo de inferencias son: I) Ningún peruano es australiano Luego, ningún australiano es peruano. II) Todos los enteros pares son números Luego, todos los números son enteros pares. III) Algunos peruanos no son religiosos Luego, algunos religiosos no son peruanos. lo establecido por la regla R15 para el caso de los silogismos. Consecuentemente, una inferencia inmediata es lógicamente válida si sólo si al graficarse su premisa queda automáticamente graficada su conclusión.

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Introducción a la Lógica

En lo que sigue nosotros decidiremos la validez sólo del tercer ejemplo; los otros dos, que son muy sencillos, lo dejamos al lector como parte de su práctica. S

El gráfico muestra claramente que la inferencia no es válida, pues para serlo debería haber una equis en la zona común a S y P, y eso no ocurre. 11.5 Falacias Lógicas y Retóricas Las inferencias lógicamente inválidas, de acuerdo a los diagramas de Venn, son falacias de la lógica de los predicados. Las falacias así definidas son carácter estructural, formal, sintáctico o estrictamente lógico. A ellas se puede añadir lo que se denomina falacias semánticas cuyo origen es el uso de términos cuyo significado es ambiguo. Un ejemplo es el siguiente silogismo: Todos los países descritos por algún narrador famoso están situados en algunos de los cinco continentes. Alicia y sus personajes vivieron en un país descrito por un narrador famoso. Por tanto, Alicia y sus personajes vivieron en un país situado en alguno de los cinco continentes. El error, intencional o no, consiste en que el término medio, “país descrito por algún narrador famoso”, ha sido utilizado con dos significados distintos. En el primer caso se refiere sólo a países geográficamente existentes y en el segundo caso se refiere a un país de ficción. De esta manera un solo término encubre dos y, consecuentemente, el silogismo anterior tiene realmente cuatro términos, cuando por definición debe tener sólo tres. Por ello a esta falacia, que generalmente se comete en el uso del término medio, se le llama falacia de cuarto término, en latín, Quaternio terminorum. Hay otro tipo de falacias ajenas al campo de la lógica y se denominan retóricas. Se incluyen en algunos manuales porque tienen frecuentemente semejanza con el uso de silogismos. Sin embargo, la aplicación de un método como el de Venn, o cualquier otro adecuado, permite mostrar la diferencia entre una deficiencia estructural o sintáctica y

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una de carácter semántico. Las falacias retóricas se basan en la significación difusa de los términos y en el impacto emocional que tienen en el auditorio. Los aspectos sintácticos carecen, en este caso, de importancia. Un estudio detallado de este tema escapa a los objetivos de este texto. Como orientación general señalaremos que los argumentos retóricos se proponen exclusivamente convencer a un público o auditorio. Ellos no pretenden probar la verdad como ocurre en la lógica. Un ejemplo de falacia rétorica es la expresión Vox populi, Vox dei, que significa literalmente que la voz del pueblo es la voz de Dios. En breve, se asume que las mayorías siempre dicen la verdad o tienen la razón. Esta falacia se denomina Argumento ad populum. Su falsedad es clara, durante siglos el pueblo dijo que la Tierra no se movía y se encarceló a Galileo y se persiguió a Copérnico por decir lo contrario. Este ejemplo histórico, y muchos como él, prueban concluyentemente que lo que dice el pueblo no es necesariamente verdadero. Existen muchas falacias retóricas semejantes a la anterior. Mencionaremos sólo algunas de las más conocidas. El recurso al Argumentum ad Verecundiam consiste en apelar a una autoridad muy prominente para apoyar la afirmación que se sostiene. Por ejemplo, en la Edad Media se decía “la Tierra no se mueve” es indudable porque Aristóteles así lo escribió. Y en efecto, Aristóteles fue un pensador, aún hoy, de notable solvencia intelectual, pero ninguna persona, por sabia que sea, es fuente de verdad. Desde hace mucho tiempo todos conocemos que respecto de la posición y movimiento de la tierra Aristóteles se equivocó. El Argumentum ad hominem consiste en refutar una tesis descalificando a la persona que la sostiene. Un ejemplo de esta falacia sería afirmar que lo que decía Winston Churchill era falso porque padecía de alcoholismo. El Argumentum ad misericordiam consiste en apelar a los sentimientos piadosos o humanitarios del auditorio para que se acepte una conclusión. Por ejemplo, que un acusado no es culpable porque su infancia fue muy dura y miserable. La falacia ignoratio elenchi (ignorancia del asunto) consiste en pretender probar una afirmación con argumentos que carecen de pertinencia o atingencia. Por ejemplo, pretender probar la verdad de un enunciado sobre un experimento recurriendo al trabajo denodado de los investigadores científicos. La falacia de la Falsa generalización es uno de los casos especiales porque es de carácter lógico y retórico. Consiste en atribuir una propiedad a todo un conjunto cuando se ha constatado que la poseen sólo algunos elementos de éste. Su invalidez lógica se prueba (∀x) Px y Fa (∀ x) Fx son lógicamente demostrando que las fórmulas (∃x) Px inválidas. Ello ocurre cuando se afirma que “Todos los brasileños son buenos futbolistas” porque se conoce que algunos efectivamente lo son. La comprensión del funcionamiento de las dos fórmulas anteriores requiere del estudio de la lección XII. En fin, hay otras muchas falacias retóricas menos frecuentes. Lo común a todas es que pretenden persuadir a un auditorio para obtener su apoyo sin que interese la verdad. Los sofistas griegos fueron los que usaron con especial maestría las falacias retóricas cuando intervenián en el Agora de Atenas, por encargo de quienes tenían poder pero no el don de

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Introducciรณn a la Lรณgica

la palabra, para influir en las decisiones de la ciudad tomadas mediante votaciรณn. Como se conoce, el Agora de Atenas es uno de los lejanos antecedentes de los parlamentos modernos.

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Cuestionario Nº 11 I. A continuación se presenta un conjunto de afirmaciones en forma esquemática. El ejercicio consiste en traducirlas al lenguaje de Boole y construir en cada caso el correspondiente diagrama de Venn. 1. Todo S es P

_________________________ 2. Ningún S es P

_________________________ 3. Algunos S son P

_________________________ 4. Algunos S no son P

_________________________ II. A continuación se presenta un conjunto de afirmaciones para cada una de las cuales se proponen tres traducciones a los esquemas tradicionales A, E, I, O. El ejercicio consiste en: 1) decidir cuál de las alternativas propuestas es la traducción correcta de la afirmación respectiva; 2) escribir en el lugar en blanco la fórmula algebraica que corresponde a la traducción antes elegida; y 3) construir el diagrama de Venn que corresponda a la fórmula antes mencionada. Como sugerencia proponemos las letras A y B para representar predicados.

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Introducción a la Lógica

1. Nadie sino los becarios comerán en la mesa grande. a) Todos los becarios comen en la mesa grande. b) Algunos becarios comen en la mesa grande. c) Todos los que comen en la mesa grande son becarios. A = becarios B = personas que comen en la mesa grande

______________________________

2. Nadie puede recordar la batalla de las Cannas a menos que sea muy viejo. a) Todo el que es muy viejo puede recordar la batalla de las Cannas. b) Todo el que puede recordar la batalla de las Cannas es muy viejo. c) Ningún joven estuvo en la batalla de las Cannas. A = personas muy viejas B = personas que recuerdan la batalla de las Cannas. _______________________________ 3. Los consumidores de alcohol pierden el autodominio. a) Todos los consumidores de alcohol pierden el autodominio. b) algunos consumidores de alcohol pierden el autodominio. c) Algunos de los que pierden el autodominio son consumidores de alcohol. A = consumidores de alcohol; B = personas que pierden el autodominio. _______________________________ 4. Un hombre que mantiene su promesa es honesto. a) Ningún hombre honesto mantiene su promesa. b) Todo hombre que mantiene su promesa es honesto. c) Algunos hombres que mantienen su promesa son honestos. A = hombres que mantienen su promesa; B = honestos. _______________________________

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5. Sólo los becarios comerán en la mesa grande. a) Todos los que comerán en la mesa grande son becarios. b) Todos los becarios comerán en la mesa grande. c) Algunos becarios comerán en la mesa grande. A= personas que comerán en la mesa grande; B= becarios. _______________________________ III. A continuación presentamos un conjunto de silogismos cuya validez debe ser decidida mediante los diagramas de Venn. El ejercicio debe cumplirse a través de los siguientes pasos: a) escribir en los lugares blanco respectivos las fórmulas algebraicas de las premisas y la de la conclusión; b) construir en el recuadro el diagrama de Venn de las premisas; c) responder si el silogismo es válido o inválido; d) indicar el modo y la figura del silogismo. 1. Ningún emperador es dentista y todos los dentistas son temidos por los niños. Luego, ningún emperador es temido por los niños Premisas

Conclusión

¿Válido o invalido? 2. Todo vehículo popular es confortable y ninguna carretilla es confortable. Luego, ninguna carretillas es popular. Premisas

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Conclusión

Introducción a la Lógica

¿Válido o invalido? 3. Ningún ladrón es honesto y algunos honestos son gente lista. Luego algunos ladrones son gente lista. Premisas

Conclusión

¿Válido o invalido? 4. Todos estos bombones son de crema de chocolate y todos estos bombones son deliciosos. Luego, todo lo que está hecho de crema de chocolate es delicioso. Premisas

Conclusión

¿Válido o invalido?

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5. Alguna gente saludable es gorda y ninguna persona saludable es débil, algunos gordos no son fuertes. Premisas

Conclusión

¿Válido o invalido?

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Lectura Nº 11. Paradoja Se conoce como paradoja a un tipo especial de contradicción de una proposición P cuya verdad implica su falsedad y cuya falsedad implica su verdad. Recurriendo a un ejemplo clásico supondremos que P es la proposición «yo miento». Luego, si es verdad que miento, entonces hago afirmaciones falsas y, como yo afirmo P, entonces P es falsa. Recíprocamente, si es falso que miento, entonces digo la verdad y, como yo digo P, entonces P es verdadera. Una contradicción normal del tipo «La rosa es roja y la rosa no es roja», de la forma P y no-P no tiene este comportamiento. Por ello es insuficiente decir, simplemente, que una paradoja es una contradicción. La que hemos expuesto se conoce desde la antigüedad como paradoja de Epiménides o del mentiroso. De otra parte, un lugar común en los textos de lógica y en trabajos especializados es la clasificación de las paradojas en lógicas y semánticas. Así se dice que la conocida paradoja de Russell sobre «las clases que no se pertenecen a sí mismas» es lógica, mientras que la tradicional paradoja de Epiménides o del «mentiroso» es semántica, cuando en su construcción se hace uso sustantivo de los predicados ‘verdadero’, ‘falso’ o ‘es verdad de’ – ‘es falso de’ y es sintáctica cuando en su construcción se puede prescindir de tales predicados como usualmente ocurre en la paradoja de Russell o en la paradoja de Cantor, esta última referida a las propiedades del número cardinal del conjunto potencia de un conjunto dado como universo del discurso. Luis Piscoya Hermoza. El proceso de la investigación científica. Un caso y glosarios, Edición: Universidad Inca Garcilaso de la Vega. Lima, Perú. 2007.

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LECCIÓN XII

EL LENGUAJE PREDICATIVO

Objectives 1.

Adquirir competencia para analizar lógicamente argumentos en el lenguaje ordinario y en el lenguaje científico que contienen cuantificadores y predicados de tipo relacional que no son formalizables a través de los Diagramas de Venn.

Conocer y aplicar un sistema formal cuyos mecanismos de funcionamiento no se fundan en la observación de diagramas sino en la transformación de fórmulas mediante reglas de deducción.

3. Formalizar usando el lenguaje PMP expresiones monádicas y relacionales cuantificadas. 4. Analizar la estructura interna de las proposiciones y ampliar las reglas RDN. 5. Dotar al estudiante de herramientas aplicables al análisis lógico de la investigación científica

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12.1 Expansión de las fórmulas proposicionales En esta lección, nos proponemos incrementar el repertorio de símbolos y de reglas del lenguaje proposicional PM extendiéndolo a un lenguaje predicativo PMP, el mismo que se construye añadiendo medios expresivos que nos permitirán analizar la estructura interna de las proposiciones y ampliar nuestras reglas de deducción. Si consideramos un esquema de fórmula como A → B, ahora estaremos en condiciones de decidir, en situaciones específicas, en base al examen de la estructura interna de A y de B, si el consecuente se deduce o no del antecedente.

12.2 Predicados lógicos Hay una semejanza parcial entre los predicados del lenguaje natural y los predicados lógicos, en el sentido, de que palabras, que denotan propiedades o cualidades como ´rojo´, ćaliente´, ´veloz´, ´peruano´, etc. son predicados gramaticales y también son predicados lógicos de una posición, porque se afirman de sólo un nombre; por ejemplo, ´Juan es veloz´. La diferencia se produce con términos como ´gato´, ´león´ u otros que son sustantivos comunes pero que en lógica, en ningún caso, son nombres sino predicados. La situación se acentúa más con palabras como ´hermano´, ćuñado´, ćabeza´ que el lenguaje PMP considera predicados de dos posiciones o predicados relacionales en el sentido de que se aplican a dos nombres; por ejemplo, ´Juan es hermano de Magda´ o Elena es cuñada de Rosa´. En estos casos, de manera general, los predicados son ´... hermano de...´, ´...cuñada de...´, ´...cabeza de...´. Como para comprender el sentido de estos predicados no es necesario determinar nombre alguno, en lugar de ello podemos usar letras tales como x, y, z, etc. cuyo sentido es representar cualquier nombre sin necesidad de especificarlo. Debido a lo dicho, tales letras se conocen como variables de nombre o variables individuales. De manera análoga, en lugar de ´hermano de´, ćuñado de´ y ćabeza de´ podemos usar letras mayúsculas R, S, T, W, etc. De tal suerte que los ejemplos anteriores pueden quedar representados por las fórmulas R( x , y ), S( x , y ), T( x , y ). A las letras mayúsculas anteriores se les denomina variables predicativas o, simplemente, letras predicativas. Su función es representar cualquier predicado de dos posiciones lo que no quiere decir que sean las únicas variables predicativas que usemos. Podemos usar cualquier otra letra mayúscula, y, lo que define su sentido en el lenguaje PMP, es el número de variable de individuo que se escribe a su derecha. Los predicados que se aplican a una sola variable de nombre también se representan mediante variables predicativas. Por ejemplo, el predicado ńúmero par´ se escribe en PMP así: P ( x ). Análogamente, ´gato´ se puede representar por G ( y). En el lenguaje natural la fórmula P ( x ) se lee x es P o x tiene la propiedad P. Particularizando la expresión a la interpretación que hemos dado en esta exposición, tendríamos como lectura: x es una número par. Y para G ( y ) la lectura sería y es un gato. En cir-

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cunstancias en las que el contexto está claro y se requiere ser muy rápido y operativo las fórmulas como P(x) se leen en términos de P de x. A las fórmulas de la forma R ( x , y ) se las lee: el par x, y satisface la relación R, o el par x, y cumple la relación R. En algunos textos se propone la siguiente lectura: entre el par x, y existe la relación R. Esta propuesta es intituitiva pero es inexacta porque equivale a cuantificar existencialmente a la variable predicativa R, lo que rebaza a un lenguaje de primer orden como PMP. Sin embargo, el lector principiante sólo podrá comprender este argumento, con exactitud, en un texto más avanzado que este. A las fórmulas P ( x ), G ( y ) etc. Se les denomina funciones proposicionales monádicas o de grado 1 porque su variable predicativas se aplican a una sola variable de nombre. A las fórmulas R ( x , y ), S ( w , z ), etc. Se les llama funciones proposicionales diádicas porque sus variables predicativas se aplican a un par de variables de nombre. Hay funciones proposicionales tríadicas porque sus variables predicativas se aplican a tres variables. Y, en general, hay funciones proposicionales de grado n cuando sus variables predicativas se aplican a n variables de nombre y n es un número tan grande como se desee. La forma general de una función predicativa de grado n es Pn (x1, x2, ..., xn ) en la que el exponente n sólo indica el grado de la variable predicativa P y, por tanto, de la fórmula en su conjunto. Siempre que n ≥ 2, la variable predicativa es una relación.

12.3 Proposiciones en el lenguaje PMP Debido a que el lenguaje PMP es de primer orden, se asume que las variables predicativas se comportan como predicados o constantes predicativas en el sentido de que siempre que se las escribe, el contexto determina su significado específico. Sin embargo, aunque se asume que el significado de las variables predicativas es conocido, por lo que se les llama abreviadamente predicados, en cambio el significado de una función proposicional cualquiera P ( x ) se considera desconocido porque como x no es un nombre no se sabe de qué objeto se predica P y, consecuentemente, P ( x ) no es ni verdadera ni falsa. Simplemente, las funciones proposicionales, desde el punto de vista lógico, carecen de valores de verdad (verdadero-falso) llamado también valores aléticos o veritacionales. Un primer mecanismo para lograr dotar a una fórmula P ( x ) de un valor alético consiste en reemplazar todas sus variables de nombre por nombres o constantes individuales que se representan por las primeras letras minúsculas del alfabeto a, b, c, ... En caso necesario se usa subíndices a , a , ..., b , b , ... Estas constantes individuales son, 1 2 1 2 en este contexto nombres propios abreviados . Si asumimos que P es el predicado ´peruano´ y a una manera abreviada de escribir ´Túpac Amaru´ entonces desde P ( x ) podemos obtener P ( a ) como una proposición verdadera porque la variable x ha sido reemplazada por el nombre de un individuo que tiene la propiedad de ser peruano. Si b

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es una manera abreviada de escribir ´Leonardo de Vinci´ entonces P ( b ) será, evidentemente, una proposición falsa. Es importante señalar que, en el lenguaje PMP, los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos son considerados nombres propios o constantes individuales. De tal suerte, que si Q es el predicado ´ impar´, entonces Q ( y ) es una función proposicional y Q ( 6 ) es una proposición falsa. En general, a fórmulas como P ( b ), Q ( 6 ) etc. las llamaremos ejemplificaciones, las mismas que permiten deducir que para dotar de significado a una función proposicional o interpretarla es necesario recurrir a un conjunto, no vacío, de objetos o individuos nombrables al que denominaremos dominio de interpretación. Este puede ser un conjunto muy pequeño o bastante grande; pero siempre limitado a sólo los objetos de los que pretendemos hablar: personas, números, figuras geométricas, etc. Los conjuntos que pretenden incluir todo tipo de objetos están excluidos como dominios de interpretación. Asimismo la única manera de hablar de los objetos de un conjunto es asignándoles nombres a , a , a , ...etc. 1 2 3 Definición 19. Una función proposicional P(x1,...xn) de grado n se convierte en proposición si, y sólo sí, cada una de sus variables de nombre es reemplazada por una letra constante individual o nombre.

12.4 Términos y fórmulas A las letras variables de nombre y a las constantes individuales se les denomina, por convención, términos y nos referimos a ellos mediante la letra minúscula t. En cambio, a las letras P, Q, R, etc., como dijimos antes, las denominaremos abreviadamente predicados. Las variables de nombre son términos que se refieren a individuos u objetos no especificados del dominio de interpretación cuya identidad se desconoce. Las constantes individuales están asociadas con individuos específicos del dominio de interpretación. Adicionalmente, aunque no las utilizaremos en este manual, las letras que denotan funciones matemáticas de la forma f(x) también son términos en el lenguaje PMP. Asimismo, una letra predicativa del tipo P, Q, etc. No es una fórmula de PMP y tampoco lo es un término aislado. Pero una letra predicativa de grado n seguida de n términos si es una fórmula. Es el caso de P( x ), P ( a ), R ( x, y ), R ( a , y ), R ( x , b ), R ( a, b ), que si son fórmulas de PMP bajo la suposición de que P es un predicado de grado 1 y de que R es un predicado de grado 2. Las fórmulas anteriores son, excepto la segunda y la última, funciones proposicionales porque en ellas hay al menos una variable que no ha sido sustituida por un nombre, la misma que se llama variable libre. Asimismo, las fórmulas predicativas que tienen al menos una variable de nombre libre se denominan fórmulas abiertas. Todas las fórmulas anteriores son atómicas y la conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, el condicional, la equivalencia y la incompatibilidad que las tienen como componentes son fórmulas predicativas moleculares de PMP. Ejemplo: P ( x ) ∨ R ( x , b ).

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12.5 Cuantificadores En el lenguaje natural hay términos como ‘todos’, ’cada uno’, ‘cualquiera’, etc. que se usan para hacer referencia a la totalidad de los miembros de un conjunto. Por ejemplo la afirmación ‘Cualquier ciudadano puede defender la constitucionalidad de la República’ significa que todo ciudadano puede hacerlo. Si en el salón de clases el profesor dice Cada uno tome su lápiz, se entiende que la orden debe ser cumplida por todos los alumnos. Todas estas expresiones del lenguaje natural son expresadas en el lenguaje PMP mediante el operador ‘ ∀ ’ que se denomina cuantificador universal. También hay expresiones como ‘hay un objeto’, ‘existe al menos uno’, ‘alguna cosa’, ‘al menos una cosa’ etc. que en el lenguaje PMP son representadas por el operador ‘ ∃ ‘ denominado cuantificador existencial. En la medida que los cuantificadores están siempre asociados a variables de nombre los escribiremos así ( ∀ x) y ( ∃ x ). Asimismo, anotamos que las variables de nombre cumplen en PMP una función muy semejante a la cumplida por los pronombres personales en los lenguajes naturales como el castellano, inglés, etc. Supongamos que la función proposicional L ( x,a ) la interpretamos en el lenguaje natural como la expresión ´x aprende Matemática´ donde a es el nombre de la asignatura de Matemática y señalamos como dominio de interpretación al conjunto de los alumnos de un salón de clase D. Es posible que afirmemos la proposición ´Hay al menos un alumno que aprende Matemática´, la misma que puede ser formalizada en el lenguaje PMP como ( ∃ x ) L ( x , a ). Igualmente, la proposición ´Todos los alumnos de la clase aprenden Matemática´ puede ser formalizada como (∀ x ) L ( x, a ). La primera fórmula la leeremos Existe al menos un individuo x tal que x aprende Matemática y la segunda Para todo individuo x, x aprende Matemática. De lo anterior se infiere que cuando anteponemos un cuantificador existencial a una función proposicional lo que hacemos es afirmar que el conjunto de individuos que satisface un determinado predicado no es vacío. En cambio, cuando anteponemos un cuantificador universal a una función proposicional afirmamos que todos los miembros de un conjunto satisfacen un predicado. Como sabemos, en ambos casos, ese conjunto se denomina dominio de interpretación. 12.6 Fórmulas cerradas Si tenemos una función proposicional L ( x , y ), denominada también fórmula abierta, y le anteponemos un cuantificador que afecta a cada una de sus variables libres, entonces obtenemos una fórmula cerrada de la forma ( ∀ x) ( ∃ y ) L ( x, y ) y a las letras x , y se les denomina en este caso variables ligadas. Si asimismo mantenemos la interpretación anterior de tal manera que x varía sobre el conjunto D de los alumnos e y varía sobre el conjunto D* de las asignaturas del currículum, entonces la fórmula anterior puede leerse en lenguaje natural como Para todo alumno x, existe al menos una asignatura y,

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tal que x estudia y. Esta proposición equivale a la oración coloquial ‘Todo alumno estudia alguna asignatura’. En este caso el dominio de interpretación es un conjunto de pares ordenados que constituyen el producto cartesiano D x D*. Es respecto de este dominio que los cuantificadores adquieren significado y que la fórmula anterior es verdadera o falsa. Será lo primero si, en efecto, todo alumno estudia al menos una asignatura. Y será lo segundo si existe algún alumno que no estudia asignatura alguna. De lo dicho se deduce que una fórmula cerrada sí es una proposición en el sentido de que es verdadera o falsa respecto de un dominio de interpretación.

12.7 Alcance de un cuantificador Examinemos los siguientes ejemplos: i) (∀ x ) ( P ( x ) ∨ Q ( x ) ) ii) (∀ x ) L ( x ,y ) ∨ ( ∃ y ) R ( x,y ) iii) ( ∃ x ) L ( x,a) ∨ Q ( x) ) Se denomina alcance de un cuantificador a la porción de una fórmula, hacia su derecha, dentro de la cual liga las ocurrencias o apariciones de una variable. Un cuantificador hacia su derecha sólo puede tener o un paréntesis ´(´, llamado de abre, o una letra predicativa con n términos de la forma P ( t1 ,…, tn ). En el primer caso, su alcance llega hasta el respectivo paréntesis ´)´, llamado de cierre, y en el segundo caso, su alcance llega hasta el paréntesis que cierra al término tn. En el ejemplo i) la variable x tiene dos ocurrencias ligadas, porque el cuantificador es el operador de mayor jerarquía debido a que es externo respecto de los paréntesis que agrupan a la disyunción inclusiva. La primera ocurrencia de x en i) no la contam os porque en ella forma parte del cuantificador. Con la excepción anterior, definimos las ocurrencias de una variable de nombre v en una fórmula F como el número de veces que aparece v en F a la derecha de algún predicado. En el ejemplo ii) la disyunción inclusiva es el operador de mayor jerarquía, porque el alcance del primer cuantificador termina antes de la primera conectiva a su derecha. El segundo cuantificador no puede disputarle la jerarquía a ´∨´ porque, simplemente, no tiene alcance hacia la izquierda y ´∨´ sí tiene alcance hacia la izquierda y hacia la derecha. En este ejemplo la primera ocurrencia de y es libre porque el primer cuantificador sólo liga la primera ocurrencia de x y el segundo no tiene alcance alguno hacia la izquierda. Asimismo, la segunda ocurrencia de x también es libre porque el segundo cuantificador no liga a x pero si la segunda ocurrencia de y. En el ejemplo iii) las dos ocurrencias de la única variable están ligadas y a la letra a no se le puede aplicar un cuantificador porque no es una variable sino una constante individual con significado específico. Tanto el primer ejemplo como el tercero son fórmulas cerradas

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interpretables como proposiciones generales, universal y existencial, respectivamente. El segundo ejemplo es una función proposicional de forma disyuntiva a causa de que tiene a y como variable libre, en su primera ocurrencia, y a x en la misma situación, en su segunda ocurrencia. Por tanto, este ejemplo no es una proposición en el lenguaje PMP.

12.8 Forma normal prenex Si consideramos una función proposicional tal como L ( x , y ) encontramos que hay ocho maneras distintas de cerrarla. ( ∀ x ) ( ∀ y ) L ( x,y ) ( ∀ y ) ( ∀ x ) L ( x,y ) ( ∃ x ) ( ∃ y ) L ( x,y ) ( ∃ y ) ( ∃ x ) L ( x,y ) ( ∀ x ) ( ∃ y ) L ( x,y ) ( ∃ y ) ( ∀ x ) L ( x,y ) ( ∀ y ) ( ∃ x ) L ( x,y ) ( ∃ x ) ( ∀ y ) L ( x,y ) Si esta vez interpretamos L ( x, y ) como x ama a y, entonces el dominio de interpretación va a ser el conjunto de los pares o parejas de seres humanos. Si denominamos al conjunto de los seres humanos H, entonces el dominio de interpretación estará constituidos por el producto cartesiano de H x H ( H2 ). En la medida que todas las fórmulas anteriores son cerradas, entonces cada una de ellas será verdadera o falsa respecto de H2. La interpretación de las dos primeras fórmulas afirma que todo ser humano ama a todo ser humano lo que equivale a sostener que todos los pares ordenados que formemos con el conjunto H satisfacen la función proposicional x ama a y. De ser así, las dos primeras fórmulas son lógicamente equivalentes. Las fórmulas tercera y cuarta también son lógicamente equivalentes. La interpretación de ambas afirma hay al menos una persona que ama a al menos una persona. Las cuatro primeras fórmulas establecen que el orden es irrelevante cuando los cuantificadores que están antepuestos a una fórmula, denominados en conjunto prefijo, son todos universales o todos existenciales. La quinta fórmula se interpreta en términos de que toda persona ama a al menos una persona. Esta proposición excluye la posibilidad de que haya una persona que no ame a persona alguna. La sexta fórmula establece que hay al menos una persona que es amada por todos, cuyos sentidos es distinto del de la anterior a causa sólo del diferente orden en el que aparecen

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los cuantificadores. La séptima fórmula afirma la totalidad de las personas es amada por al menos una persona. Y la última afirma que hay al menos una persona que ama a todas las personas. El sentido distinto, en cada caso, que muestran las interpretaciones de las cuatro últimas fórmulas prueban que cuando los cuantificadores que forman el prefijo son universales y existenciales el orden es relevante y si es alterado se altera también las condiciones de verdad de las fórmulas correspondientes. Se dice que cuando una fórmula exhibe todos los cuantificadores adelante, independientemente del orden en que se encuentren, entonces está en forma normal prenex. Asimismo, si ocurre que en el prefijo todos los cuantificadores existenciales preceden a los cuantificadores universales, entonces está en forma normal de Skolem. Los ocho ejemplos anteriores están en forma normal prenex. Los ejemplos sexto y octavo son ejemplos de la forma normal de Skolem. Las fórmulas tercera y cuarta ilustran, además, el caso en el que el número de cuantificadores universales es igual a cero.

12.9 Formalización del cuadro de Boecio en el lenguaje PMP Un ejemplo de la proposición A del cuadro de Boecio es la afirmación física ´Todos los cuerpos que se someten a la acción del calor se dilatan. En esta afirmación hay dos predicados monádicos. El primero x es un cuerpo sometido a la acción del calor y el segundo x se dilata. Al primero lo escribimos como P( x ) al segundo como Q ( x ), siguiendo convenciones antes establecidas. Un aspecto adicional a considerar es que toda afirmación general universal del tipo de A es interpretada como hipotética en el sentido de que no es posible constatar que todos los individuos de un conjunto tienen una propiedad cuando este conjunto es infinito. Y ocurre que en la formalización de las teorías científicas con frecuencia hay que postular que los dominios de interpretación son conjuntos infinitos, como, por ejemplo, el conjunto de los números naturales. Ello conduce a que se interprete que la estructura interna de una proposición A es condicional y a que pueda ser adecuadamente parafraseada como sigue: Para todo objeto x, si x tiene la propiedad P, entonces x tiene la propiedad Q. Ello nos conduce a la siguiente fórmula: (A)

(∀ x ) ( P ( x ) → Q ( x )

Una afirmación del tipo E también es en el lenguaje PMP una fórmula general universal de estructura interna condicional por la misma razón que antes expusimos. Manteniendo la misma interpretación de los predicados P y Q, la afirmación Ningún cuerpo sometido a la acción del calor se dilata puede ser parafraseada así: Para todo objeto x, si x tiene la propiedad de ser sometido a la acción del calor, entonces x no tiene la propiedad de dilatarse. Esto da lugar a la siguiente fórmula: (E)

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(∀ x ) ( P ( x ) → ∼ Q ( x ))

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Una afirmación del tipo I, que es una fórmula general existencial afirmativa, dentro de la misma interpretación es parafraseada así: Existe al menos un objeto x tal que x tiene al mismo tiempo la propiedad de ser sometido a la acción del calor y de dilatarse. La respectiva fórmula es la siguiente: (I)

(∃x)(P(x)∧Q(x)

De manera análoga el parafraseo de una proposición del tipo O es: Existe al menos un objeto x, tal que x tiene la propiedad de ser sometido a la acción del calor y x no se dilata. La fórmula en este caso es : (O)

(∃x)(P(x)∧∼Q(x))

12.10 Formalización de proposiciones con predicados de grado 2 Una limitación fundamental del cuadro de Boecio y de la teoría del silogismo de Aristóteles, es que no permite traducir al lenguaje lógico proposiciones científicas, inclusive algunas muy elementales. La razón es que las afirmaciones científicas establecen relaciones entre los objetos de un conjunto o dominio, lo que no puede ser formulada mediante predicados monádicos que son los únicos que admiten el cuadro de Boecio. Por ejemplo, la afirmación que dice dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí, que se usa como axioma en los Elementos de Euclides, no puede ser expresada usando los medios expresivos del cuadro de Boecio debido a que este viejo axioma contiene el predicado de igualdad que sólo puede ser formalizado usando un predicado de grado 2, denominado también una relación. Si formalizamos el predicado x es igual a y mediante la función proposicional R ( x, y ), entonces la proposición matemática antes mencionada da lugar a la siguiente formalización: (∀ x ) (∀ y ) (∀ z ) ( ( R ( x , y ) ∧ ( R ( y, z ) ) → R ( x , z ) ) La lectura de esta fórmula, que es también su parafraseo en lenguaje natural es: Para toda terna de objetos x, y, z, si el primero está con el segundo en la relación R y si el segundo está con el tercero en relación R, entonces el primero está con el tercero en la relación R. Hay otras afirmaciones, comunes en aritmética, que tampoco pueden ser expresadas en el lenguaje de Aristóteles y Boecio. Por ejemplo la proposición ‘Para todo tipo de número natural existe siempre otro mayor que él’ la misma que equivale a la proposición negativa ‘No existe el mayor número natural’. Si formalizamos el predicado relacional x es mayor que y mediante la función proposicional M ( x, y ), la formalización correspondiente es: (∀y ) ( ∃ x ) M ( x, y )

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12.11 Reglas de equivalencia entre cuantificadores Los esquemas de fórmula que presentamos, en lo que sigue, tienen validez general sin que las limite el hecho de que el predicado que escribimos sea presentado como monádico. Lo que ellas autorizan es a intercambiar un cuantificador universal negado en el flanco izquierdo (externo) por uno existencial negado en el flanco derecho (interno) y un cuantificador existencial negado en el flanco externo por uno universal negado en el flanco interno. La tercera y la cuarta equivalencia son consecuencias lógicas de las anteriores. ∼ ( ∀x ) P ( x ) ↔ ( ∃ x ) ∼ P ( x ) ∼(∃x)P(x)↔(∀x)∼P(x) ∼ ( ∃ x ) ∼ P ( x ) ↔ ( ∀x ) P ( x ) ∼(∀x)∼P(x)↔(∃x)P(x) Si se supone que el dominio de interpretación es un conjunto finito de n objetos, la prueba de las equivalencias anteriores es inmediata en relación con los conocimientos brindados en este manual. Ella se basa en la aplicación de las reglas de De Morgan. En tal caso una cuantificación universal es definida como una conjunción de n componentes y una cuantificación existencial como una disyunción de también n componentes. En la medida que estamos trabajando con cuantificadores negados, las fórmulas ∼ ( ∀x ) P ( x ) y ∼ ( ∃ x ) P ( x ) dan lugar a las siguientes equivalencias: ∼ ( ∀x ) P ( x ) ↔ ∼ ( P ( a1 ) ∧ P ( a2 ) ∧ , … , ∧ P ( an ) ) ∼ ( ∃ x ) P ( x ) ↔ ∼ (P ( a1 ) ∨ P ( a2 ) ∨ , … , ∨ P ( an ) ) Si se obtiene, aplicando la regla de De Morgan, la equivalencia de la conjunción negada, se tendrá una disyunción con cada uno de sus n componentes negados que corresponde a la definición de ( ∃ x ) ∼ P ( x ). Y si, análogamente, se obtiene la equivalencias de la disyunción negada, se obtendrá una conjunción de n componentes, cada uno negado que es la definición de ( ∀x ) ∼ P ( x ). Los detalles los dejamos como ejercicio en la medida que el lector atento, al estudiar esta parte del libro, ya tiene conocimientos y entrenamiento suficiente como para hacer las verificaciones necesarias. La prueba de validez de la equivalencia mostrada por la tercera y cuarta fórmula, restringida a este contexto, también se puede efectuar, de manera inmediata, siguiendo el mismo procedimiento. Esta tarea la dejamos al lector.

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12.12 Reglas de eliminación y reintroducción de cuantificadores La realización de deducciones con fórmulas cuantificadas requiere de una ampliación de la versión que hemos dado antes de las reglas RDN de Gentzen. De esta manera, construiremos un sistema de deducción natural RDNP que está constituido por RDN más las reglas adicionales que a continuación expondremos. Estas reglas tienen como función eliminar cuantificadores por medios lógicamente válidos para permitir la aplicación de las reglas de deducción a las conectivas que forman parte de la estructura interna de las fórmulas cuantificadas. Luego, posibilitan la reintroducción de los cuantificadores, allí donde es posible, para obtener las conclusiones buscadas.

12.12.1 Ejemplificación universal Una fórmula de la forma ( ∀x ) P ( x ) es verdadera respecto de un dominio D si todos (y cada uno) de los elementos de D permiten la construcción de afirmaciones verdaderas de la forma Pa, Pb, etc. ( En este caso y en adelante, por razones de simplicidad, escribiremos las constantes individuales sin paréntesis). Supongamos que D = 2,4,6…,2n∀y que la función proposicional P ( x ) es interpretada como x es par, luego la fórmula cerrada ( ∀x ) P ( x ) es verdadera en D debido a que cada una de las afirmaciones P (2), P (4), etc. es verdadera. Como cada una de estas afirmaciones es un ejemplo o un caso particular respecto de ( ∀x ) P ( x ), podemos decidir que esta fórmula es verdadera en D porque todos sus ejemplos son verdaderos. Lo anterior pone en claro que la definición de la verdad de una proposición cuantificada debe realizarse necesariamente respecto de un dominio, pues una misma proposición puede ser verdadera respecto de un dominio y falsa respecto de otro. Por ejemplo, si tomamos como dominio de interpretación el conjunto de los números naturales N = {1,2,3,…,n,n+1, …},debe resultar claro que la proposición ( ∀x ) P ( x ) no es verdadera respecto de N porque tendría infinitos ejemplos falsos, tales como P ( 1 ), P ( 3 ), etc. Lo dicho nos permite deducir que si ( ∀x ) P ( x ) es verdadera, entonces cualquier ejemplo de ella es verdadero o también un ejemplo concreto. La idea de cualquier ejemplo la expresaremos a través de P ( y ) pues la variable y no identifica individuo alguno. La idea de un ejemplo concreto la expresaremos usando nombres propios en fórmulas tales como Pa. El esquema de esta regla es: ( ∀X) P (X)

( ∀X) P (X) (EU)

P (y)

RDNP 22

La postulación es que desde una fórmula cuantificada universalmente podemos derivar o un ejemplo arbitrario o un ejemplo concreto debido a que damos por sabido que todos los miembros del dominio satisfacen la función proposicional P ( x ). La idea de un ejemplo arbitrario es la de un ejemplo tomado al azar como, por ejemplo, cuando se saca un bolo de un ánfora en un sorteo.

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12.12.2 Generalización universal. Esta regla permite reintroducir el cuantificador universal bajo la presuposición de que la propiedad que es verdadera de un individuo arbitrariamente tomado de un dominio, es verdadera de todo el dominio. Vale decir, si en una línea de deducción tenemos el ejemplo arbitrario P ( y) y sabemos que la variable y no está libre en ninguna de las premisas que estamos utilizando, entonces podemos deducir ( ∀x ) P( x ). El esquema es el siguiente: P (y) (GU) RDNP 23 (∀x) P (x) siempre que y no aparezca al menos una vez libre en alguna línea anterior que es premisa. Esta regla no nos permite deducir, por ejemplo, de la afirmación x es ladrón la conclusión Todos son ladrones porque la variable x está libre en la única premisa que hemos usado.

12.12.3 Ejemplificaciones Existencial Una fórmula ( ∃ x ) P ( x ) es verdadera, en un dominio D, si existe al menos un objeto del domino que permite construir un ejemplo verdadero. Este objeto, que podría ser único, lo designaremos con un nombre propio o constante individual que debe satisfacer la condición de no haber aparecido antes en la deducción para evitar la presuposición innecesaria de que se trata del mismo objeto al que hacen referencia otras proposiciones. El esqueleto es el siguiente: (∃x)P(x)

(EE.) RDNP 24 Pa siempre que a no aparezca antes en la deducción Esta regla nos impide deducir desde Hay un gato y Hay un perro la conclusión Hay un animal que es a la vez perro y gato porque tendríamos que presuponer que las premisas hacen referencia al mismo objeto, lo que se impide con la restricción que establece que el nombre propio que se introduzca por aplicación de EE. no debe aparecer antes en la deducción.

12.12.4 Generalización existencial Si en una línea de deducción tenemos un ejemplo arbitrario del tipo P ( y ), entonces podemos deducir ( ∃ x ) P ( x ). Esta fórmula también puede ser deducida de un ejemplo con constante individual tal como Pb. El esquema es como sigue:

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P(y) (∃x) P(x)

P(a) (∃x) P(x)

(GE. ) RDNP 25

Debe anotarse que en esta exposición la fórmula P ( y ) es denominada función proposicional y también ejemplo arbitrario. Ello introduce una dosis de ambigüedad que no puede evitarse sin complicar la simbología que estamos utilizando a un nivel que excede los alcances de este manual. Esta concesión al rigor es común en los textos introductorios.

12.13 Aplicación de las reglas RDNP a la deducción silogística En esta sección formalizaremos algunos silogismos presentados en lenguaje natural y mostraremos que su conclusión se deduce desde las premisas aplicando las reglas RDNP. Para el efecto recurriremos directamente a un ejemplo. Todas las criaturas hoscas son vistas con desconfianza Todas las avispas son criaturas hoscas Luego, todas las avispas son vistas con desconfianza Si representamos con M ( x ), S ( x ) y P ( x ) los predicados x es una criatura hosca, x es una avispa y x es una criatura vista con desconfianza, respectivamente, entonces la formalización en el lenguaje PMP del silogismo anterior y la deducción a que da lugar aplicando las RDNP es la siguiente. 1. ( ∀x ) ( M ( x ) → P ( x ) ) 2. ( ∀x ) ( S ( x ) → M ( x ) ) / ∴( ∀x ) ( S ( x ) → P ( x ) ) 3. M ( y ) → P ( y )

EU. en ( 1 )

4. S ( y ) → M ( y )

EU. en ( 2 )

5. S ( y ) → P ( y )

SH. en 3,4

6. ( ∀x ) ( S ( x ) → P ( x ) )

GU. en 5

El procedimiento anterior puede ser aplicado a la siguiente deducción que es frecuentemente presentada como si fuera un silogismo. Todos los hombres son mortales Sócrates es hombre Luego, Sócrates es mortal

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La correspondiente formalización en PMP y la deducción a que da lugar es: (1) ( ∀x ) ( H ( x ) → M ( x ) ) (2) Ha

/ Ma / ∴Ma

3. Ha → Ma 4. Ma

Eu. en 1 MP. en (2), 3

Como se puede apreciar, no es propiamente un silogismo porque solamente tiene, en lenguaje clásico, dos términos ( H ( x ), M ( x ) ). El nombre propio ‘Sócrates’ lo hemos representado por a. Como se comprende fácilmente, los diagramas de Venn no permiten decidir la, validez de esta sencilla y antigua deducción porque no consideran el uso de nombres propios.

12.14 Deducción con predicados relacionales El lenguaje PMP posibilita formalizar deducciones que contienen predicados relacionales. Examinemos el siguiente ejemplo. Quienquiera que perdone a cualquier persona es un santo No hay santos Luego, nadie perdona a nadie Si representamos x perdona a y por F ( x, y ) y x es un santo por S ( x ), entonces el razonamiento anterior da lugar a la siguiente deducción. (1) ( ∀x ) ( ∀y ) ( F ( x, y ) → S ( x ) ) (2) ∼ ( ∃x) S ( x ) /∴( ∀ x ) ( ∀ y ) ∼ F ( x, y ) (3) ( ∀y ) ( F ( w , y ) → S ( w ) )

EU. en (1)

(4) F ( w , z ) → S ( w )

EU. en 3.

(5) ( ∀x ) ∼ S ( x )

Equiv. de cuant. en 2.

(6) ∼ S ( x )

EU. en 5.

(7) ∼ F ( w , z )

MT. en 4,6

(8) ( ∀y ) ∼ F ( w , y )

GU. en 7.

(9) ( ∀x ) ( ∀y ) ∼ F ( x, y )

GU. en 8.

Para entender la formalización dada es importante considerar que las afirmaciones negativas, en el lenguaje natural, tienen una traducción lógica poco intuitiva pero precisa. Por ejemplo, si deseo representar en PMP la afirmación Nadie es matemático, puedo usar la función proposicional P ( x ) para representar x es matemático y la fórmula ( ∀ x)

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∼P ( x ) para expresar la idea de que todos los individuos del dominio de interpretación no son matemáticos lo que equivale a la afirmación Nadie es matemático. Este criterio de traducción debe ser considerado para comprender la traducción que le hemos dado a la conclusión del razonamiento anterior que equivale a la afirmación Para todo par de personas, no se cumple que una perdone a la otra. Asimismo, desde el punto de vista de la aplicación de las RDNP, es importante señalar que en la línea 3, al hacer EU. no era posible usar la variable y debido a que hubiera quedado ligada por el cuantificador ( ∀y ) que se mantiene, en esa línea, dentro del cuerpo de la fórmula. Esa es la razón por la que necesariamente recurrimos a la variable w, pues de otro modo se incurriría en incorrección deductiva. Por tanto, cuando se aplica la regla EU en una determinada línea de deducción, la variable y utilizada no sólo no debe ser libre en premisa alguna usada en la deducción sino, además, no debe quedar ligada por un cuantificador todavía no eliminado en esa línea. Esta es una restricción que no hemos incluido en la sección 12.12.1 por razones pedagógicas.

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Cuestionario Nº 12 I. Determinar cuáles de las siguientes fórmulas no son interpretables como proposiciones. 1. F ( a , b ) 2. ( ∃ y ) F ( x , y ) 3. ( ∃ y ) F ( y )→ ( ∀ y ) F ( x ) ) 4. (∀ x ) (∀y ) F ( x , y ) → R ( x , y ) 5. P ( x ) ∧ ∼ Q ( x ) 6. P ( a ) ∧ ∼ Q ( a ) II. Determinar cuáles de las siguientes fórmulas están en forma normal prenex. 1. (∀ x ) F ( x ) ∨ ( ∃ y ) G ( y ) 2. F ( a, b ) → ( ∃ x ) ( F( x, b) ∧ ∼ P ( x ) ) 3. (∀x)( ∃ y ) R ( x , y ) 4. (∀x) F ( x ) → (∀ x ) Q( x ) 5. (∀x)( ∃ y ) ( R ( x , y ) → S ( x ) ) 6. (∀x) (∀y) (∀z) ( ( R ( x , y ) ∧ R ( y , z ) ) → R ( x , z ) ) III. ¿Cuáles de las siguientes fórmulas no son lógicamente válidas? 1. (∀ x) F ( x ) → Fa 2. ( ∃ x ) F ( x ) → F ( y ) 3. Fa → (∀ y ) F ( y ) 4. ( ∃ x ) F ( x ) → (∀ y ) F ( y ) 5. ( ∃ y ) P ( y ) → (∀ x) P ( x ) ) 6. (∀ x) ( ∃ y ) R ( x ,y ) → ( ∃ y ) (∀x) R ( x , y ) IV. Formalizar, usando cuantificadores, las siguientes afirmaciones: 1. No todos los números son pares. 2. Algunos números son primos.

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3. Ningún electrón es un protón. 4. Cada alumno tiene nota aprobatoria. 5. Solamente los aprobados recibirán diploma. 6. Si todos son enemigos de todos, entonces cada uno es su propio enemigo. 7. Hay una persona que ama a todas las personas. 8. Hay un número natural que es menor que todos los números naturales. 9. Hay al menos un alumno que se matricula en todos los cursos 10. Todas las cabezas de caballo son cabezas de animales. V. Probar las siguientes equivalencias (Puede usarse la regla RAA) 1. ( ∃ y ) ( P ( y ) → (∀ x ) P ( x ) ) ↔( ( ∀ y ) P ( y ) → ( ∀ x ) P ( x ) ) 2. (∀ x ) (P ( x ) ∧ Q ( x ) ) ↔ ( (∀ x ) P ( x ) ) ∧ ( ∀ x ) Q ( x ) ) 3. ( ∀ x ) ( P ( x ) ∨ (∀ y ) Q ( y ) ) ↔ ( ( ∀ x ) P ( x )∨ (∀ y ) Q ( y ) ) 4. ( ∃ x ) ( P ( x ) ∨ Q ( x ) ) ↔ ( ( ∃ x ) P ( x ) ∨ ( ∃ x ) Q ( x ) ) 5. ( ∃ y ) ( P ( y ) → ( ∀ x ) P ( x ) ) ↔ ((∀ y ) P ( y ) → ( ∀ x ) P ( x )) VI. Construir una deducción que pruebe que las premisas implican a la conclusión.

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Lectura Nº 12. Carta de Frege a Russell (22 de junio de 1902) Gottlob Frege [...] «Su descubrimiento de la contradicción [paradoja] me produjo la mayor sorpresa, incluso, yo diría, la mayor consternación, porque ha hecho tambalear los cimientos sobre los que yo intentaba construir la aritmética. [...] Tengo que reflexionar nuevamente sobre la cuestión. Es una cuestión muy seria desde que, con la pérdida de mi Regla V, parece desvanecerse no sólo la fundamentación de mi aritmética, sino también la única fundamentación posible de la aritmética. [...] El segundo volumen de mis Grundgesetze está próximo a aparecer. No cabe duda de que tendré que añadir un apéndice en donde su descubrimiento se tenga en cuenta». __________________________________________________ Tomado de E.W. Beth, Las paradojas de la lógica, Cuadernos Teorema, Universidad de Valencia, Valencia 1975, p. 71.

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BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

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Suppes, Patrick, 1957; Introduction to logic, Van Nostrand Tarski, Alfredo; 1951; Introducción a la lógica y a las metodologías de las ciencias deductivas, Buenos Aires; Ed. Espasa Calpe. Van Heijenoort, J.Ed., 1967; From Frege to Gödel, Harvard University Press.

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