Bài tập nâng cao Toán 9 - Tập 2: Hình học và Tổ hợp

Lương Văn Khải - Nguyễn Tiến Hoàng

BÀI TẬP NÂNG CAO TOÁN 9 TẬP 2: HÌNH HỌC VÀ TỔ HỢP

Các bài tập theo chủ đề kèm lời giải.

Các câu hỏi trích từ đề tuyển sinh các trường chuyên trên cả nước.

2

Tập 2: HÌNH HỌC VÀ TỔ HỢP

BÀI TẬP NÂNG CAO TOÁN 9

Lương Văn Khải - Nguyễn Tiến Hoàng

2022

Mục lục

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

7

1.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Tính toán với hệ thức lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2 Các bài toán về đường tròn

17

2.1 Nhắc lại về đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2 Đường tròn nội tiếp tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3 Đường tròn ngoại tiếp tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3 Bài toán chứng minh sự đồng quy và thẳng hàng 3.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47

3.1.1

Các đường đồng quy trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.1.2

Các định lý về sự đồng quy, thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.2.1

Chứng minh đồng quy/thẳng hàng bằng các phương pháp thông thường 50

3.2.2

Áp dụng các định lý về sự đồng quy/thẳng hàng . . . . . . . . . . . . .

57

3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1.1

Kiến thức cần nhớ

Trong bài này, chúng ta xét tam giác ABC vuông tại A, BC = a,C A = b, AB = c , đường cao AH = h .

Định lý 1.1. Khi đó ta có các hệ thức sau: a) (Định lý Pythagoras) BC 2 = AB 2 + AC 2 .

C

b) AB 2 = BC .B H . c) AC 2 = C B.C H .

b

a H

d) AH 2 = B H .C H .

h

A

1 1 1 e) = + .

2 2 AH AB AC 2

c

B

= α. Khi đó ta có các tỉ số lượng Định nghĩa 1.1 (Tỉ số lượng giác của góc nhọn). Đặt ABC

giác của góc α như sau:

sin α =

cos α =

cạnh đối cạnh huyền cạnh kề cạnh huyền

=

b , a

tan α =

=

c , a

cot α =

7

cạnh đối cạnh kề cạnh kề cạnh đối

=

b , c

=

c . b

CHƯƠNG 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

8

Từ đây ta suy ra b = a · sin B = a · cosC , c = a · sinC = a · · cos B, b = c · tan B = c · cotC , c = b · tanC = b cot B.

Dựa vào những cồng thức trên ta có thể tính được những yếu tổ chưa biết trong tam giác vuông (cạnh, góc) nếu ta biết hai trong số các yếu tổ: độ dài các cạnh và độ lớn các góc.

Chú ý.

1. Nếu hai góc nhọn α và β có sin α = sin β (hoặc cos α = cos β, hoặc tan α = tan β, hoắc cot α = cot β ) thì α = β.

2. Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia và tan góc này bằng cot góc kia.

3. Nếu α + β = 90◦ thì : sin α = cos β; cos α = sin β; tan α = cot β; cot β = tan α

1.2 1.2.1

Các ví dụ Tính toán với hệ thức lượng

Ví dụ 1.1. Hãy tính x, y với các kích thước như dưới đây. c)

a)

5

12 x

7

x

y y 20

d)

b)

6

8 x

y

y

x 1

4

CHƯƠNG 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

9

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

10

Ví dụ 1.2. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . a) Biết AB = 15,

AB 3 = . Tính AH , BC .

AC 4

b) Biết AH = 30,

AB 5 = . Tính BC .

AC 6

c) Biết BC = 125,

AB 3 = . Tính AB, AC .

AC 4

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

11

Ví dụ 1.3. a) Cho tam giác ABC , AB = 5, BC = 7,C A = 6. Tính diện tích tam giác ABC . b) Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1.2.2

12

Chứng minh đẳng thức

Ví dụ 1.4. Chứng minh rằng với góc nhọn α bất kì ta có: 1 . cos2 α

a) sin2 α + cos2 α = 1.

c) 1 + tan2 α =

b) tan α · cot α = 1.

d) 1 + cot g 2 α =

1 sin2 α

.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

13

Ví dụ 1.5. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi M , N là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB, AC . Chứng minh rằng: a) AM .AB = AN .AC .

µ ¶ HB AB 2 c) = HC AC

b) H B · HC = M A · M B + N A · NC .

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

14

Ví dụ 1.6. Qua đỉnh A của hình vuông ABC D cạnh a , vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I . Chứng minh rằng 1 AM

2

+

1 AI

2

=

1 . a2

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

15

Ví dụ 1.7. Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường cao AH và B K . a) Chứng minh rằng

1 1 1 = + .

2 2 BK BC 4AH 2

b) Chứng minh rằng BC 2 = 2C K .C A .

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1.3

16

Bài tập

Bài 1.1. Cho hình thang ABC D có đường cao AD = 12cm . Hai đường chéo AC và B D vuông góc với nhau, B D = 15cm . Tính diện tích hình thang ABC D .

Bài 1.2. Biết tỷ số hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 3 : 7 và đường cao ứng với cạnh huyền dài 42cm. Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền.

Bài 1.3. Cho hình chữ nhật ABC D có AB = 2, BC = 1. Gọi M là điểm trên cạnh C D sao cho 1 D M = . Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AM , cắt AB và BC lần lượt tại E và F . Tính 3 EF. p

Bài 1.4. Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 4 3cm, BC = 8cm. a) Chứng minh 4ABC vuông. b) Tính hai góc B,C và độ dài đường cao AH . c) Gọi E , F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống AB, AC , trung tuyến AM .

Chứng minh rằng AM ⊥ E F .

Bài 1.5. Cho hình vuông ABC D . Gọi I là một điểm nằm giữa A và B . Tia D I và tia C B cắt nhau ở K . Kẻ đường thẳng qua D , vuông góc với D I . Đường thẳng này cắt đường thẳng BC ở M. a) Tính số đo góc D M I . b) Chứng minh D I .DK = DC .K M .

Bài 1.6. Cho tam giác ABC vuông ở A(AB < AC ), đường cao AH . Kẻ B E vuông góc với trung tuyến AM tại E , B E cắt AH ở D , cắt AC ở F . a) Chứng minh B E .B F = B H .BC . b) Chứng minh

AB 2 AC 2

= CB H H

c) Chứng minh D là trung điểm của B F . d) Cho BC = 20, AH = 9, 6. Tính DE , AF .

2 Các bài toán về đường tròn

2.1

Nhắc lại về đường tròn

Định nghĩa 2.1. Đường tròn tâm O , bán kính R , được kí hiệu là (O; R), là tập hợp các điểm cách O một khoảng bằng R . Định nghĩa 2.2 (Vị trí của một điểm đối với đường tròn).

Vị trí điểm M so với (O)

Khoảng cách OM và R

M nằm ngoài (O)

OM > R

M nằm trên (O)

OM = R

M nằm trong (O)

OM < R

Nhận xét. Qua ba điểm không thẳng hàng, luôn vẽ được một và chỉ một đường tròn. Định lý 2.1 (Quan hệ giữa đường kính và dây).

1. Quan hệ độ dài: Trong một đường tròn, dây cung có độ dài lớn nhất là đường kính.

2. Quan hệ vuông góc: (a) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây ấy. (b) Đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. Định lý 2.2 (So sánh độ dài hai dây của đường tròn). Trong một đường tròn: 1. Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm.

2. Dây cung nào gần tâm hơn thì lớn hơn. Định nghĩa 2.3 (Vị trí tương đối của đường thằng và đường tròn).

17

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN Vị trí

Số giao điểm

18 Khoảng cách d từ tâm đường tròn tới đường thẳng

Đường thẳng và đường

0

d >R

1

d =R

2

d <R

tròn không giao nhau Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau Đường thẳng và đường tròn cắt nhau Trong trường hợp đường thẳng và đường tròn cắt nhau, ta nói đường thẳng là cát tuyến của đường tròn. Trong trường hợp đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, ta nói đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. Định lý 2.3 (Dấu hiệu cơ bản nhận biết tiếp tuyến).

1. Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

2. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. Định lý 2.4 (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: 1. Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

2. Đường thẳng nối điểm đó và tâm đường tròn là phân giác trong góc tạo bởi hai tiếp tuyến và phân giác trong góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm. Định nghĩa 2.4. Đường tròn nội tiếp một tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó. Khi đó ta còn nói, tam giác ngoại tiếp đường tròn.

Nhận xét. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác đó. Định nghĩa 2.5. Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài của hai cạnh còn lại.

Nhận xét.

1. Một tam giác có đúng ba đường tròn bàng tiếp.

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

19

2. Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm hai đường phân giác ngoài của tam giác hoặc giao điểm của một đường phân giác trong một góc và một trong hai đường phân giác ngoài của hai góc còn lại. Định nghĩa 2.6 (Vị trí tương đối của hai đường tròn).

Vị trí

Số giao điểm

Khoảng cách d giữa hai tâm đường tròn

Hai đường tròn không giao nhau

0

d > R1 + R2

Hai đường tròn tiếp xúc nhau

1

d = R1 + R2

Hai đường tròn cắt nhau

2

d <R

Định lý 2.5.

1. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

2. Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. Định lý 2.6 (Quan hệ giữa cung và dây cung). Trong một đường tròn, 1. Hai cung bằng nhau khi và chỉ hai hai dây căng cung bằng nhau.

2. Cung lớn hơn khi và chỉ khi dây căng cung lớn hơn.

3. Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

4. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và chia dây ấy thành 2 phần bằng nhau.

5. Đường kinh đi qua trung điểm của một dây không phải là đường kính thì chia cung căng dây ấy thành hai phần bằng nhau. Định nghĩa 2.7.

1. Góc ở tâm là góc có đỉnh là tâm đường tròn và hai cạnh chứa hai đường kính của đường tròn đó.

2. Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Định lý 2.7 (Quan hệ giữa góc và số đo cung). Trong một đường tròn, 1. Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

20

2. Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

3. Số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn và bằng số đo góc nội tiếp cùng chắn cung đó. Đảo lại, ta có: có số đo bằng nửa số đo cung AB nằm trong góc đó thì B x là tia tiếp tuyến 4. Nếu góc ABC

của đường tròn chứa cung AB .

Nhận xét. Nếu M K là tiếp tuyến của một đường tròn và M AB là cát tuyến của đường tròn đó thì ta có M K 2 = M A.M B . Định nghĩa 2.8. Cung chứa góc α (0 < α < 180◦ ) dựng trên một đoạn thẳng AB là cung mà

mọi góc AX B có đỉnh X thuộc cung đó đều có số đo α.

Định nghĩa 2.9. Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Định lý 2.8.

1. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối bằng 180◦ .

2. Đảo lại, nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180◦ thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp. Định lý 2.9 (Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp). Nếu một tứ giác thoả mãn một trong số các điều kiện dưới đây: 1. tổng hai góc đối nhau bằng 180 độ; 2. góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó; 3. bốn đỉnh cách đều một điểm; 4. hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc không đổi; thì tứ giác đó nội tiếp.

2.2

Đường tròn nội tiếp tam giác

Định nghĩa 2.10. Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó. Tâm đường tròn nội tiếp một tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó.

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

21

Định nghĩa 2.11. Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và đường nối dài của hai cạnh còn lại.

Sau đây chúng ta cùng xem một số bài toán về đường tròn nội tiếp và bàng tiếp tam giác. Trong tất cả các bài toán này, ta đều xét tam giác ABC nhọn có đường tròn (I ) tiếp xúc với các cạnh BC , AB và AC lần lượt tại D, E và F .

Ví dụ 2.1. Ta luôn có: AE = AF =

AB + BC − AC AC + BC − AB AB + AC − BC ,BE = BD = ,C D = C F = .

2 2 2

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 2.2. Dựng đường kính DK của đường tròn (I ).AK cắt BC tại L . Chứng minh rằng B D = C L.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

22

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 2.3. Gọi K là giao điểm của E F và B I . Chứng minh rằng B K C = 90◦ .

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 2.4. Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh rằng D I , AM , E F đồng quy.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

23

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Bây giờ ta sẽ xét các bài toán khác cũng liên quan đến đường tròn nội tiếp tam giác.

Ví dụ 2.5. Cho tam giác ABC , với tâm ngoại tiếp O và tâm nội tiếp I .D là hình chiếu của I lên BC , M là trung điểm của BC , K là điểm đối xứng của M qua AI . Chứng minh K D vuông góc với OI . (Đề thi chọn đội tuyển Bình Dương 2017) Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

24

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 2.6. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I ) tiếp xúc với AC , AB tại E , F tương ứng, (I a ) là đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC ,C A, AB tại M , N , P tương ứng. B I cắt E F

tại H , B I a cắt P N tại K , AI cắt P M tại J . Chứng minh rằng B HC = B KC = A JC = 90◦ .

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 2.7. Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , D là hình chiếu của I lên BC và G là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD với (O). Gọi F là điểm chính giữa cung lớn BC của (O), đường thẳng F G cắt đường thẳng I D tại H .

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

25

1. Chứng minh I B HC nội tiếp.

2. Gọi J là giao điểm thứ hai của đường thẳng AI với (B IC ). Chứng minh B H = C J .

3. Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng F H với (B IC ). Chứng minh rằng đường thẳng N J đi qua trung điểm cạnh BC . (Đề thi tuyển sinh 10 chuyên toán Hà Nội 2017 - 2018) Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

2.3

26

Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Định nghĩa 2.12. Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác đó. Khi đó ta còn nói, tam giác nội tiếp đường tròn.

Nhận xét. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của tam giác đó.

Sau đây chúng ta sẽ nhắc lại một vài bổ đề quan trọng liên quan tới đường tròn ngoại tiếp. Vì độ dài bài viết có hạn, phần chứng minh cho các bổ đề trên xin giành lại cho bạn đọc. Xét 4ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, B E ,C F cắt nhau tại H .M , N , P lần lượt là trung điểm các đoạn BC ,C A, AB . Đặt BC = a,C A = b, AB = c.

Bổ đề 1. Gọi A 0 là điểm đối xứng của A qua O . Khi đó A 0 B HC là hình bình hành.

Bổ đề 2. Gọi H 0 là điểm đối xứng của H qua BC . Khi đó H 0 ∈ (O).

Bổ đề 3. O A ⊥ E F,OB ⊥ DE ,OC ⊥ F D. Bổ đề 4 (Định lý sin). Nếu 4ABC nhọn, ta có b c a = = . sin A sin B sinC

Bổ đề 5 (Hệ thức cos). Nếu 4ABC nhọn, ta có cos A =

b2 + c 2 − a2 c 2 + a2 − b2 a2 + b2 − c 2 , cos B = , cosC = .

2bc 2c a 2ab

Bổ đề 6. Gọi H1 , H2 , H3 lần lượt là trung điểm các đoạn H A, H B, HC . Khi đó chín điểm D, E , F, H1 , H2 , H3 , M , N , P cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường

tròn chín điểm hay đường tròn Euler.

Liên hệ mật thiết với những nội dung về đường tròn ngoại tiếp tam giác, người ta cũng đặt ra các vấn đề về tứ giác nội tiếp đường tròn. Về cơ bản, ta có các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp sau: 1. Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó.

2. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180◦ .

3. Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

27

4. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.

5. Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.

6. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Ở đây chúng ta quan tâm chủ yếu đến các cách 2, 3, 4 và 5, cách thứ sáu sẽ được dùng tới khi các cách trên không áp dụng được.

Ví dụ 2.8. Cho M A, M B là hai tiếp tuyến của (O).C là điểm thuộc cung nhỏ AB . Vẽ C D ⊥ AB.C E ⊥ M A,C F ⊥ M B .

1. Chứng minh các tứ giác sau nội tiếp : D AEC , DB F C .

2. Chúng minh C E .C F = C D 2 .

3. AC cắt ED tại H , BC cắt DF tại K . Chúng minh C H DK nội tiếp.

4. Chứng minh H K //AB .

5. Chúng minh H K là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp 4C K F và 4C E H .

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

28

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 2.9. Tù điểm A ở ngoài đương tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là hai tiếp điểm). Vẽ C D ⊥ AB tai D cắt (O) tại E . Vẽ E F ⊥ BC tai F ; E H ⊥ AC tai H .

1. Chứng minh các tứ giác E F C H , E F B D nội tiếp.

2. Chúng minh E F 2 = E D.E H .

3. Chúng minh tứ giác E M F N nội tiếp.

4. Chúng minh M N ⊥ E F .

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

29

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................... _

Ví dụ 2.10. Cho nủa đương tròn (O; R), đường kính AB . C là điểm chính giữa AB , K là trung điểm BC . AK cắt (O) tai M . Vẽ C I vuông góc với AM tai I cắt AB tai D .

1. Chứng minh tứ giác AC I O nội tiếp. Suy ra số đo góc OI D. .

2. Chứng minh OI là tia phân giác của COM

3. Chứng minh 4C I O ∼ 4C M B . Tính tỉ số 4. Tính tỉ số

IO .

MB

AM . Từ đó tính AM , B M theo R .

BM

5. Khi M là điểm chính giũa cung BC . Tính diện tích tứ giác AC I O theo R .

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

30

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

31

Ví dụ 2.11. Cho 4ABC có ba góc nhọn với trực tâm H . Vẽ hình bình hành B HC D . Đường thẳng qua D và song song BC cắt đường thẳng AH tại E .

1. Chứng minh A, B,C , D, E cùng thuộc một đường tròn.

2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC , chứng minh B AE = O AC và B E = C D .

3. Gọi M là trung điểm của BC , đường thẳng AM cắt OH tai G . Chứng minh G là trọng tâm của 4ABC .

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

32

p

Ví dụ 2.12. Cho đường tròn (O; R) có dây BC = R 3. Vẽ đường tròn (M ) đường kính BC . Lấy điểm A ∈ (M )(A ở ngoài (O)).AB, AC cắt (O) tai D và E . Đường cao AH của 4ABC cắt DE tai I.

1. Chứng minh AD · AB = AE .AC .

2. Chứng minh I là trung điểm DE .

3. AM cắt E D tai K . Chứng minh I K M H nội tiếp.

4. Tính DE và tỉ số

AH theo R .

AK

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

33

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 2.13. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tai P và Q . Tiếp tuyến chung gần P của hai đường tròn tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với (O 0 ) tại B . Tiếp tuyến của (O) tai P cắt ¡ 0¢ O tại điểm thứ hai là D(D 6= P ), đường thẳng AP cắt đường thẳng B D tai K . Chứng minh:

1. Bốn điểm A, B,Q, K cùng thuộc một đường tròn.

2. 4B P K cân.

3. Đường tròn ngoại tiếp 4PQK tiếp xúc với P B và K B .

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

34

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Sau đây chúng ta xem tiếp một số bài toán về tứ giác nội tiếp đường tròn và đường tròn ngoại tiếp tam giác khác.

Ví dụ 2.14. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), AB < AC . Các đường cao AD, B E , C F đồng quy tại H . Gọi I là trung điểm BC , (O 0 ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác H F E , d là đường thẳng qua H và song song với BC .

1. Chứng minh d là tiếp tuyến của (O 0 ).

2. Tia I H cắt (O) tại M . Chứng minh M thuộc (O 0 ) Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

35

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 2.15. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường cao AH .

Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên đường thẳng AB và AC .

1. Chứng minh O A ⊥ DE .

2. DE cắt BC tại K . Chứng minh K H 2 = K B.K C .

3. Đường thẳng K A cắt đường tròn (O) tại F . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BC E D . Chứng minh ba điểm F, H , I thẳng hàng.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

36

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 2.16. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R cố định và điểm D là chân đường phân giác trong góc Ab của tam giác. Gọi E và F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác AB D và tam giác AC D . = ADC và tứ giác AEOF nội tiếp.

1. Chứng minh AEO

2. Chứng minh tam giác OE F là tam giác cân.

3. Khi B,C cố định và A di động trên (O)(A 6= B ; A 6= C ), chứng minh diện tích tứ giác AEOF không đổi.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

37

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 2.17. Cho tam giác nhọn ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AD .

Hai đoạn thẳng BC và AD cắt nhau tại I . Gọi M là điểm trên đoạn thẳng C I (M khác C và D ).Đường thẳng qua M và song song với B D cắt C D tại K . Đường thẳng qua M song song

với C D cắt B D tại Q . Chứng minh AM vuông góc với QK .

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

38

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 2.18. Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao B B 0 ,CC 0 cắt nhau tại điểm H . Gọi M là trung điểm BC . Tia M H cắt đường tròn (O) tại điểm P.

1. Chứng minh 4B PC 0 ∼ 4C P B 0 .

2. Các đường phân giác của các góc B PC 0 , C P B 0 lần lượt cắt AB, AC tại E , F . Gọi O 0 là tâm

đường tròn ngoại tiếp 4AE F ; K là giao điểm của H M và AO 0 . (a) Chứng minh tứ giác PE K F nội tiếp. (b) Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (O 0 ) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn (O).

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

39

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

40

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

2.4

Bài tập

Bài 2.1. Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, B E ,C F cắt nhau tại H . Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp 4DE F .

Bài 2.2. Cho 4ABC .

1. Chứng minh rằng diện tích một tam giác bằng nửa chu vi nhân với độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đó.

2. Đường tròn (O; r ) nội tiếp tam giác ABC . Các tiếp tuyến với đường tròn (O) song song với các cạnh của tam giác ABC cắt từ tam giác ABC thành ba tam giác nhỏ. Gọi r 1 , r 2 , r 3 lần lượt là bán kính của đường tròn nội tiếp các tam giác nhỏ đó. Chứng minh rằng r 1 + r 2 + r 3 = r.

3. Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn và song song các cạnh tam giác ABC . Các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của tam giác ABC thành ba tam giác nhỏ, gọi diện tích ba tam giác nhỏ là S 1 , S 2 , S 3 và diện tích tam giác ABC là S . Tìm giá trị của biểu thức S1 + S2 + S3 .

S

Bài 2.3. Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng d không cắt đường tròn. Vẽ OH ⊥ d tại H . M là điểm thuộc d . Từ M vẽ hai tiếp tuyến M A và M B với (O)(A, B là các tiếp điểm).

1. Chứng minh tứ giác M AOH nội tiếp.

2. Đường thẳng AB cắt OH tai I . Chứng minh I H .I O = I A.I B .

3. Chứng minh I cố định khi M chạy trên đường thẳng d .

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

41

4. Cho OM = 2R,OH = a. Tính diện tích 4M AI theo a và R .

Bài 2.4. Cho 4ABC có ba góc nhọn (AB < AC ). Vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và D .

1. Chứng minh AD.AC = AE .AB

2. Gọi H là giao điểm của B D và C E , K là giao điểm của AH và BC . Chứng minh B HK =

AE D.

3. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với (O) với M , N là các tiếp điểm .Chung minh K A là

phân giác của N K M.

4. Chứng minh ba điểm M , N , H thẳng hàng.

Bài 2.5. Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , D là hình chiếu của I lên BC và G là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD với (O). Gọi F là điểm chính giữa cung lớn BC của (O), đường thẳng F G cắt đường thẳng I D tại H .

1. Chứng minh I B HC nội tiếp.

2. Gọi J là giao điểm thứ hai của đường thẳng AI với (B IC ). Chứng minh B H = C J .

3. Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng F H với (B IC ). Chứng minh rằng đường thẳng N J đi qua trung điểm cạnh BC .

Bài 2.6. Cho 4ABC vuông tại A(AB < AC ) ngoại tiếp đường tròn tâm O . Gọi D, E , F lần lượt là tiếp điểm của (O) với AB, AC , BC , I là giao điểm của BO với E F . M là điểm di động trên đoạn C E .

1. Tính số đo góc B IF.

2. Gọi H là giao điểm của B M và E F . Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác AB H I là tứ giác nội tiếp.

3. Gọi N là giao điểm của B M với cung nhỏ E F của (O), P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên các đường thẳng DE , DF . Xác định vị trí điểm M để độ dài PQ lớn nhất.

Bài 2.7. Cho tam giác ABC có AB < AC < BC . Trên các cạnh BC , AC lần lượt lấy các điểm M , N sao cho AN = AB = B M . Các đường thẳng AM và B N cắt nhau tại K . Gọi H là hình

chiếu của K lên AB . Chứng minh rằng:

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

42

1. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm trên K H .

2. Các đường đường tròn nội tiếp các tam giác AC H và BC H tiếp xúc với nhau.

Bài 2.8. Cho A và B là hai điểm cố định trên mặt phẳng và C là điểm thay đổi sao cho

AC B = α (0 < α < 180◦ ) không đổi. N , M , P lần lượt là hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp I của 4ABC lên BC ,C A, AB .Gọi E và F là giao điểm của AI , B I với M N tương ứng. Chứng

minh rằng độ dài E F không đổi.

Bài 2.9. Cho đường tròn (O) nội tiếp tiếp xúc với AC , BC tại M , N tương ứng. Phân giác của góc Ab và Bb tương ứng cắt M N tại P,Q . Chứng minh M P.O A = BC .OQ .

Bài 2.10. Cho 4ABC có AB +BC = 3AC . Đường tròn (I ) nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, AC tại D, E . Lấy K , L là điểm đối xứng của D, E qua I . Chứng minh ALK C nội tiếp.

Bài 2.11. Cho đường tròn (O; R) đường kính BC . Điểm M tuỳ ý thuộc bán kính OC . Qua M vẽ dây AE vuông góc với BC . Từ A vẽ tiếp tuyến của (O) cắt đường thẳng BC tai D .

1. Chứng minh EC là phân giác của AE D.

2. Vẽ đường cao AK của 4B AE . Gọi I là trung điểm của AK . Tia B I cắt đường tròn (O) tại H . Chứng minh M H ⊥ AH .

3. Chúng minh tứ giác E M H D nội tiếp.

4. Chứng minh đường thẳng B D là tiếp tuyến của đường tròn ngạai tiếp 4AH D .

Bài 2.12. Cho tam giác ABC . Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D .

Vẽ đường kính D N của đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N cắt AB, AC theo thứ tự tại I , K .

1. Chứng minh rằng

NI DC = .

N K DB

2. Gọi F là giao điểm của AN và BC . Chứng minh rằng B D = C F .

Bài 2.13. Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , các tiếp điểm trên BC ,C A, AB lần lượt là D, E , F . Gọi M là trung điểm của AC , đường thằng M I cắt cạnh AB tại N , đường thằng DF cắt đường cao AH của 4ABC tại P . Chứng minh

rằng tam giác AN P là tam giác cân.

Bài 2.14. Lấy điểm A nằm ngoài (O; R). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O), (B,C là hai tiếp diểm) và cát tuyến ADE với (O) sao cho diểm C thuộc cung lớn E D . Gọi H là giao diểm của O A và BC .

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

43

1. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.

2. Chứng minh AH .AO = AD · AE .

3. Vẽ dây cung DK song song vói BC . Chúng minh ba điểm K , H , E thẳng hàng.

Bài 2.15. Cho 4ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AK , B M ,C N của 4ABC cắt nhau tại H .

1. Chứng minh: N KH =M KH

2. Đường thẳng M N cắt đường tròn (O) tại hai điểm I , J . Chứng minh AO đi qua trung điểm của I J .

3. Gọi P là trung điểm BC , diện tích tứ giác AM H N là S . Chứng minh 2.OP 2 > S . (Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Nam Định 2016 - 2017) Bài 2.16. Cho đường tròn (O), bán kính R , dây BC cố định khác đường kính. A là một điểm di động trên cung lớn BC sao cho 4ABC nhọn. Các đường cao B E ,C F của 4ABC cắt nhau tại H .

1. Chứng minh tứ giác B EC F nội tiếp và AO ⊥ E F .

2. Tia E F cắt (O) tại I , tia AO cắt (O) tại G . Gọi M là trung điểm BC , D là giao điểm hai đường thẳng AH và BC . Chứng minh AI 2 = 2AD.OM .

3. Trong trường hợp 4ABC cân tại A , goi x là khoảng cách từ (O) đến BC. Tìm x để chu vi 4ABC lớn nhất. (Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Ninh Bình 2016 - 2017) Bài 2.17. 4ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O). Phân giác của góc B AC cắt BC tại D , cắt (O) tại E . Gọi M là giao điểm của AB,C E . Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD tại N , tiếp

tuyến tại E của (O) cắt C N tại F .

1. Chứng minh tứ giác M AC N nội tiếp.

2. Gọi K là điểm trên cạnh AC sao cho AB = AK . Chứng minh AO ⊥ DK .

3. Chứng minh

1 1 1 = + .

CF CN CD

(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Quảng Bình 2016 - 2017)

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

44

Bài 2.18. Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC ), nội tiếp đường tròn(O). Kẻ AH vuông góc với BC tại H , AO cắt (O) tại N khác A . Gọi E là hình chiếu của B trên đường thẳng AN .

1. Chứng minh tứ giác AE H B nội tiếp.

2. Chứng minh B H .AN = AB.NC .

3. Chứng minh H E song song với C N .

4. Gọi I , J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác AH B và AHC . B I cắt C J tại M .

Chứng minh AM vuông góc với I J . (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Bà Rịa - Vũng Tàu 2017 - 2018) Bài 2.19. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M . Kẻ đường cao B F của tam giác ABC (F thuộc AC ). Từ F kẻ đường thẳng song song với M A cắt AB tại E . Gọi H là giao điểm của C E và B F, D là giao điểm của AH và BC .

MC AC 2 1. Chứng minh M A = M B.MC và = .

M B AB 2 2

2. Chứng minh rằng AH vuông góc với BC tại D .

3. Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh rằng bốn điểm E , F, D, I cùng nằm trên một đường tròn.

4. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với H I cắt AB, AC lần lượt tại P và Q . Chứng minh rằng H là trung điểm của PQ . (Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Bắc Ninh 2017 - 2018) Bài 2.20. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao AD . Gọi E , F,G lần lượt là trung điểm của AB, AC và E F ; (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác B E D ; H là giao điểm thứ hai của đường thẳng DG với đường tròn (O). Chứng minh rằng; 1. E F là tiếp tuyến của đường tròn (O).

2. GF 2 = G H .GD. 3. Tứ giác D H F C nội tiếp. (Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Tin Bình Thuận 2015 - 2016)

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

45

Bài 2.21. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O , vẽ hai tiếp tuyến M A, M B ( A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MC D không đi qua O (C nằm giữa M và D ) của đường tròn tâm O . Đoạn thẳng OM cắt AB và (O) theo thứ tự tại H và I . Chứng minh rằng: 1. Tứ giác M AOB là tứ giác nội tiếp và MC · M D = OM 2 − R 2 .

2. Bốn điểm O, H ,C , D thuộc một đường tròn.

3. C I là tia phân giác của HC M.

Bài 2.22 (Đường thẳng Simson). Cho đưòng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC . Từ điểm D trên cung AB không chứa C (D khác A và B ) hạ các đuờng vuông góc đến các cạnh AB, BC ,C A lần lượt tại M , N , P . Chứng minh rằng:

1. M , N , P thẳng hàng.

2.

AB BC C A = + .

D M D N DP

Bài 2.23. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O . Lấy điểm D thuộc cung AB của đường tròn (O) không chứa C , D không trùng A và B . Vẽ đường thẳng a qua D vuông góc AD , biết đường thẳng a cắt đoạn BC tại điểm M (M không trùng B,C ). Gọi K là trung điểm D M . Đường trung trực của đoạn thẳng D M cắt các cạnh AB, AC , B D, AM lần lượt tại E , F, N , I

(N không trùng B, F không trùng C ).

1. Chứng minh BC N F là tứ giác nội tiếp.

2. Cho tam giác ABC cân ở A . Chứng minh M F song song AB . (Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Đồng Nai 2014 - 2015) Bài 2.24. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trung điểm BC . M là điểm bất kỳ thuộc B H (M khác B ). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng C A sao cho C N = B M . Gọi I là trung điểm M N .

1. Chứng minh rằng bốn điểm O, M , H , I cùng thuộc một đường tròn.

2. Gọi P là giao điểm của OI và AB . Chứng minh rằng tam giác M N P đều.

3. Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác I AB nhỏ nhất. (Đề thi tuyển sinh chuyên Toán Hà Nội 2014 - 2015)

CHƯƠNG 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

46

. Đường thẳng B D Bài 2.25. Tam giác ABC không cân nội tiếp (O), B D là phân giác góc ABC

cắt (O) tại điểm thứ hai E . Đường tròn (O 1 ) đường kính DE cắt (O) tại điểm thứ hai F .

1. Chứng minh đường thẳng đối xứng với đường thẳng B F qua đường thẳng B D đi qua trung điểm AC .

2. Biết tam giác ABC vuông tại B, B AC = 60◦ và bán kính (O) bằng R , tính bán kính (O 1 ) theo R . (Đề thi tuyển sinh chuyên Toán trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội 2014 - 2015)

3 Bài toán chứng minh sự đồng quy và thẳng hàng

3.1

Kiến thức cần nhớ

3.1.1

Các đường đồng quy trong tam giác

Định lý 3.1. Trong một tam giác: 1. Ba đường cao đồng quy tại một điểm. Điểm này gọi là trực tâm của tam giác đó.

2. Ba đường trung trực đồng quy tại một điểm. Điểm này là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

3. Ba đường phân giác đồng quy tại một điểm. Điểm này là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó.

4. Ba đường trung tuyến đồng quy tại 1 điểm. Điểm này là trọng tâm của tam giác đó.

3.1.2

Các định lý về sự đồng quy, thẳng hàng

Sau đây xin giới thiệu một số định lý quan trọng trong việc chứng minh đồng quy và thẳng hàng. Định lý 3.2 (Định lý Thales trong tam giác). Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Cụ thể hơn, xét 4ABC có D ∈ AB, E ∈ AC sao cho DE ∥ BC . Khi đó ta có AD AE = .

DB EC

47

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG Đảo lại, nếu tồn tại hai điểm D, E lần lượt trên hai cạnh AB, AC sao cho

48

AE AD = thì ta có DB EC

DE ∥ BC .

A

D

E

i

C

B

Hệ quả 1. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Cụ thể hơn, xét 4ABC có D ∈ AB, E ∈ AC sao cho DE ∥ BC . Khi đó ta có AD AE DE = = .

AB AC BC E

D

A

D

A

E

i

B

C

C

B

Hệ quả trên cũng đúng nếu đường thẳng trên cắt phần kéo dài của hai cạnh kia.

Từ đây ta có định lý Thales cho hai cát tuyến bất kì. Định lý 3.3 (Định lý Thales cho hai cát tuyến bất kì). Nhiều dường thẳng song song định ra trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tỷ lệ. d A

B

C

d0 A0

B0

C0

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

49

Đảo lại, cho 3 đường thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến d , d 0 lần lượt theo thứ tự tại A, B,C và A 0 , B 0 ,C 0 thoả mãn tỉ lệ thức: AB A 0 B 0 = BC B 0C 0

mà 2 trong 3 đường thẳng a, b, c song song với nhau thì 3 đường thẳng a, b, c song song với nhau.

Hệ quả 2.

1. Nhiều đường thẳng đồng quy định ra trên hai đường thẳng song song những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

O

A

a b

C

B

A0

B0

d1

d2

A

C0

d3 C

B

a O b C0

d3

B0

A0

d2

d1

2. Nếu nhiều đường thẳng không song song định ra trên hai đường thẳng song song các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy tại một điểm. Định lý 3.4 (Định lý Menelaus). Cho tam giác ABC , các điểm D, E , F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC ,C A, AB sao cho có ít nhất một điểm không thuộc cạnh tam giác. Khi đó D, E , F thẳng hàng khi và chỉ khi DB EC F A . . = 1.

DC E A F B

Định lý 3.5 (Định lý Céva). Cho tam giác ABC , các điểm D, E , F lần lượt nằm trên các đoạn thẳng BC ,C A, AB . Khi đó AD, B E ,C F đồng quy khi và chỉ khi DB EC F A . . = 1.

DC E A F B

Chứng minh các định lý trên xin dành lại cho bạn đọc.

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

3.2

50

Các ví dụ

3.2.1

Chứng minh đồng quy/thẳng hàng bằng các phương pháp thông thường

Ví dụ 3.1. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường cao AH .

Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên đường thẳng AB và AC .

1. Chứng minh O A ⊥ DE .

2. DE cắt BC tại K . Chứng minh K H 2 = K B.K C .

3. Đường thẳng K A cắt đường tròn (O) tại F . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BC E D . Chứng minh ba điểm F, H , I thẳng hàng.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

51

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 3.2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O).Kẻ đường kính AN .

Lấy điểm N trên cung nhỏ B N (M khác B , N ). Kẻ M D vuông góc với đường thẳng BC tại D , M E vuông góc với đường thẳng AC tại E , kẻ M F vuông góc với đường thẳng AB tại F .

1. Chứng minh ba điểm D , E , F thẳng hàng.

2. Chứng minh

AB AC BC + = MF ME MD

3. Chứng minh rằng

F B E A DC + + ≥3 F A EC DB

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

52

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 3.3. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ) có đường cao AD, H là trực tâm của tam giác ABC . Tia B H cắt đường tròn đường kính AC tại E , F sao cho B E < B F . Tia C H cắt đường tròn

đường kính AB tại G, K sao cho CG < C K , đường tròn ngoại tiếp tam giác E DG cắt BC tại điểm thức hai là P .

1. Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác K EGF .

2. Chứng minh ba điểm P, E , K thẳng hàng.

3. Chứng minh bốn điểm K , D, P, F cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

53

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 3.4. Cho tam giác ABC có ba góc đều là góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB , AC lần lượt tại hai điểm M , N với M khác B , N khác C . Hai tia phân giác

của hai góc OM N và C AB cắt nhau tại điểm P .

1. Chứng minh OM N = C AB . Chứng minh tứ giác AM P N nội tiếp.

2. Gọi Q là giao điểm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác B M P và C N P với Q khác P . Chứng minh ba điểm B , Q , C thẳng hàng.

3. Gọi O 1 , O 2 , O 3 lần lượt là tâm của ba đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N , B M P , C N P .

Chứng minh bốn điểm O , O 1 , O 2 , O 3 cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

54

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 3.5. Cho tứ giác ABC D nội tiếp (O) có hai tia B A và C D cắt nhau tại E , hai tia AD và BC cắt nhau tại F . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , B D . Các đường phân giác trong

của B EC và B F A cắt nhau tại K . Chứng minh rằng:

và tam giác E K F vuông.

1. DE F + DF E = ABC

2. E M .B D = E N .AC .

3. K , M , N thẳng hàng.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

55

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 3.6. Cho tứ giác ABC D , vẽ các đường thẳng d1 ∥ d2 ∥ AC cắt AD, DC theo thứ tự ở E và F . d 2 cắt B A, BC theo thứ tự tại G và H (G H khác E F ). Chứng minh rằng EG, DB, H F đồng

quy.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

56

Ví dụ 3.7. Cho hình thang ABC D có đáy nhỏ C D . Từ D vẽ đường thẳng song song với BC , cắt AC tại M và AB tại K . Từ C vẽ đường thẳng song song với AD , cắt AB tại F . Qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC , cắt BC tại P . Chứng minh rằng: 1. M P ∥ AB .

2. Ba đường thẳng M P,C F, DB đồng quy.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Ví dụ 3.8. Cho tam giác ABC nhọn, các đường AD, B E ,C F đồng quy tại H . Gọi M , N , P,Q lần lượt là hình chiếu của D trên AB, B E ,C F,C A . Chứng minh rằng M , N , P,Q thẳng hàng.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

3.2.2

57

Áp dụng các định lý về sự đồng quy/thẳng hàng

Ví dụ 3.9. Cho hai đường tròn (O) và (O 0 ) cắt nhau tại A và B . Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác A . Qua M kẻ các tiếp tuyến MC , M D với (O 0 ) (C , D là các tiếp điểm và D nằm trong (O)).

1. Chứng minh AD.BC = AC .B D .

2. Các đường thẳng AC , AD cắt (O) lần lượt tại E , F khác A . Chứng minh đường thẳng C D đi qua trung điểm của E F .

3. Chứng minh đường thẳng E F luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

58

Ví dụ 3.10. Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC . Kẻ đường cao AH . Đường tròn (O) đường kính AH cắt cạnh AB, AC tương ứng tại D, E . Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại S .

1. Chứng minh rằng B DEC là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh rằng SB.SC = SH 2 .

3. Đường thẳng SO cắt AB, AC tương ứng tại M , N , đường thẳng DE cắt H M , H N tương ứng tại P,Q . Chứng minh rằng B P,CQ và AH đồng quy.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

59

Ví dụ 3.11. Cho hai đường tròn (O) và (O 0 ) cắt nhau tại A, B . Từ điểm E nằm trên tia đối của tia AB kẻ đến (O 0 ) các tiếp tuyến EC , E D (C và D là các tiếp điểm phân biệt). Các đường thẳng AC , AD theo thứ tự cắt (O) lần lượt tại P,Q khác A . Chứng minh: 1. 4BC P ∼ 4B DQ .

2. C A.DQ = C P.D A .

3. Ba điểm C , D và trung điểm I của PQ thẳng hàng.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

60

Ví dụ 3.12. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. AM , B M ,C M lần lượt cắt các cạnh đối diện tại A 1 , B 1 ,C 1 . Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác A 1 B 1C 1 cắt các cạnh BC ,C A, AB tại điểm thứ hai là A 2 , B 2 ,C 2 . Chứng minh rằng: A A 2 , B B 2 ,CC 2 đồng quy.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

3.3

Bài tập

Bài 3.1. Cho 4ABC vuông tại A . Các đường tròn (O) đường kính AB , và (I ) đường kính AC cắt nhau tại điểm thứ hai là H (H 6= A). Đường thẳng (d ) thay đổi đi qua A cắt đường tròn (O) tại M và cắt đường tròn (I ) tại N ( A nằm giữa hai điểm M và N ).

1. Đoạn thẳng OI lần lượt cắt các đường tròn (O), (I ) lần lượt tại D, E . Chứng minh OI là đường trung trực của đoạn thẳng AH và AB + AC − BC = 2DE .

2. Chứng minh giao điểm S của hai đường thẳng OM và I N di chuyển trên một đường tròn cố định khi đường thẳng (d ) quay quanh A .

3. Giả sử đường thẳng M H cắt đường trong (I ) tại điểm thứ hai là T (T 6= H ). Chứng minh rằng ba điểm N , I , T thẳng hàng và ba đường thẳng M S, AT, N H đồng quy.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

61

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Bài 3.2. Cho hình thang ABC D(AD song song với BC , AD < BC ). Các điểm E , F lần lượt thuộc các cạnh AB,C D . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AE F cắt đường thẳng AD tại M (M không trùng với A và D, D nằm giữa A và M ), đường tròn ngoại tiếp tam giác C E F cắt đường thẳng BC tại điểm N ( N không trùng với B và C , B nằm giữa C và N ). Đường thẳng AB cắt đường thẳng C D tại điểm P , đường thẳng E N cắt đường thẳng F M tại điểm Q . Chứng minh rằng: 1. Tứ giác E F QP nội tiếp đường tròn.

2. PQ song song với BC và tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác PQE , AM F,C E N cùng nằm trên một đường thẳng cố định.

3. Các đường thẳng M N , B D, E F đồng quy tại một điểm

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

62

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

63

Bài 3.3. Cho tam giác ABC có B AC là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn (O). Điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác B AC . Lấy các điểm M , N thuộc (O) sao cho các đường thẳng C M và B N cùng song song với đường thẳng AD .

1. Chứng minh rằng AM = AN .

2. Gọi giao điểm của đường thẳng M N với các đường thẳng AC , AB lần lượt là E , F .

Chứng minh bốn điểm B,C , E , F cùng thuộc một đường tròn.

3. Gọi P,Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM , AN . Chứng minh rằng các đường thẳng EQ, E P, AD đồng quy.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

64

Bài 3.4. Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC < C A) nội tiếp đường tròn (O). Từ A kẻ đường thẳng, song song với BC cắt (O) tại A 1 . Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại B 1 .

Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt (O) tại C 1 . Chứng minh rằng các đường thẳng qua A 1 , B 1 ,C 1 lần lượt vuông góc với BC ,C A, AB dồng quy.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Bài 3.5. Cho tam giác nhọn ABC với (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, B E ,C F cắt nhau tại trực tâm H .

1. Chứng minh rằng tứ giác B F H D; AB DE nội tiếp và H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DE F .

2. Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh tứ giác DF E M nội tiếp.

3. Tia M H cắt đường tròn (O) tại I . Chứng minh rằng các đường thẳng AI , E F, BC đồng quy.

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

65

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

66

Bài 3.6. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có AB > BC . Một đường tròn đi qua hai đỉnh A,C của tam giác ABC lần lượt cắt các cạnh AB, BC tại hai điểm K , N (K , N khác các đỉnh của tam giác ABC ). Giả sử đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác B K N cắt nhau tại giao điểm thứ hai là M (M khác B ). Chứng minh rằng:

1. Ba đường thẳng B M , K N , AC đồng quy tại điểm P .

2. Tứ giác M NC P là nội tiếp.

3. B M 2 − P M 2 = B K .B A − PC .P A .

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

67

Bài 3.7. Cho tam giác ABC có B AC là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn, (O). Điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác B AC . Lấy các điểm M , N thuộc (O) sao cho các đường thẳng C M và B N cùng song song với đường thẳng AD .

1. Chứng minh rằng AM = AN .

2. Gọi giao điểm của đường thẳng M N với các đường thẳng AC , AB lần lượt là E , F .

Chứng minh rằng bốn điểm B,C , E , F cùng thuộc một đường tròn.

3. Gọi P,Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM , AN . Chứng minh rằng các đường thẳng EQ, E P và AD đồng quy.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

68

Bài 3.8. Cho nửa đường tròn (O) đường kính M N . Trên tia đối của tia MO lấy điểm B . Trên tia đối của tia NO lấy điểm C . Từ B và C kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn (O), chúng cắt nhau tại A , tiếp điểm của nửa đường tròn (O) với B A, AC lần lượt là E , D . Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC ). Chứng minh AH , B D,C E đồng quy.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Bài 3.9. Cho đường tròn (O) đường kính AB . Trên cùng mặt phẳng bờ AB , vẽ các tiếp tuyến Ax , By của (O). Trên (O), lấy điểm C (C A < C B ) và trên đoạn thẳng O A lấy điểm D(D khác O, A). Đường thẳng vuông góc với C D tại C cắt Ax , By lần lượt tại E , F . AC cắt DE tại G , BC

cắt DF tại H ,OC cắt G H tại I .

1. Chứng minh hai tam giác AGE , F HC đồng dạng và I là trung điểm của G H .

2. Gọi J , K lần lượt là trung điểm của DE , DF . Chứng minh I , J , K thẳng hàng.

3. Gọi M là giao điểm của JO và DK . Chứng minh tam giác JOK vuông và ba đường thẳng DE , I M , K O đồng quy.

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

69

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Bài 3.10. Cho tam giác ABC nhọn AB < AC . Kẻ đường cao AH . Đường tròn (O) đường kính AH cắt cạnh AB, AC tương ứng tại D, E . Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại S .

1. Chứng minh rằng B DEC là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh rằng SB · SC = SH 2 .

3. Đường thẳng SO cắt AB, AC tương ứng tại M , N , đường thẳng DE cắt H M , H N tương úng tại P,Q .Chứng minh rằng: B P,CQ và AH đồng quy.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................................................................

CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG

70

........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................

Bài 3.11. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và điểm M nằm trên nửa đường tròn đó (M khác A và B ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB . Gọi I , I 1 , I 2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác M AB, M AH , M B H . Các đường thẳng M I 1 , M I 2 cắt AB tương ứng tại E và F .

1. Chứng minh rằng AI 1 ⊥ M I 2 và M I ⊥ I 1 I 2 .

2. Chứng minh rằng E F I 2 I 1 là tứ giác nội tiếp đường tròn và các đường thẳng M H , E I 2 , F I 1 đồng quy.

Lời giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ...........................................