Гьодел и Айнщайн: непълнотата

Васил Пенчев ГЬОДЕЛ И АЙНЩАЙН: НЕПЪЛНОТА СРЕЩУ САМОРЕФЕРЕНЦИАЛНИ ПРИЧИННОСТ И ИМПЛИКАТИВНОСТ

Racionalistic monism – Incompleteness and its “straightening” – Selfreferential implicativeness – Conclusions for self-referential causality – The casus of «causa sui» − A new look at the hypothesis of “hidden parameters” – The “elementary” particles as “Ptolemaic cycles” – The spirit of Princeton and the idea of dualistic Pythagoreanism – What is the same? – The cognition of infinity – A problem: the power of the set of all Gödel insoluble statements Рационалистичен монизъм – Непълнотата и нейното изправяне – Самореференциалната импликативност – Изводи за само-референциалната причинност – Казус с «causa sui» − Нов поглед към хипотезата за „скритите параметри“ − „Елементарните“ частици като “птоломеански цикли” − Принстънският дух от гледна точка на едно дуалистичното питагорейство – Кое е същото? – Познанието на безкрайното – Един проблем: мощността на множеството от всички неразрешими по Гьодел твърдения

И двамата велики учени са приютени в Принстънския „Институт за перспективни изследвания”. Налице са множество свидетелства за срещите им, обмен на мисли и приятелство (напр. Yourgrau 2006). За нас обаче е по-важно да обърнем внимание на общността на техните интенции по някои проблеми. Такава общност може да се обобщи най-грубо и като встъпление по следния начин: рационалистичен монизъм; да се търси единна първооснова за обяснение на света изобщо и за конкретните изучавани явления в частност. Централна е важността на причинните връзки в физиката и съответните им импликативни връзки в математиката. Изходната основа е крайното, логическото, рационалното, а обратните членове в опозициите ‒ безкрайното, аритметичното, емпиричното са производни и играят подчинена роля. Така и за двамата, съответно за Айнщайн − квантовата механика (Einstein, Podolsky, Rosen 1935), а за Гьодел − аритметиката (Gödel 1931), e непълнa. По-възрастният, Айнщайн е и по-краен: той се опитва „да поправи” непълното, да разкрие скритата му пълнота, чрез изказване и доказване на хипотезата за „скритите параметри”. Той сякаш има и повече основания.

1

-функцията зависи от половината променливи в сравнение с аналогичната функция на състоянието в класическата физика (v. Neumann 1932: 107-108). Къде са останалите? Какво е станало с тях? Разширяването на човешкото знание в случая на квантовата механика изглежда като намаляване. По-младият, Гьодел е и по-умерен. Не се стреми „да поправи” аритметиката в прокрустовото ложе на логиката. Не гледа на неизводимите твърдения като на скрити аксиоми или като на изводими от такива. Във връзка с това може би е уместно известно разяснение. Поради съществуването на неизводими твърдения съответната аксиоматика не престава да бъде пълна, нито пък става противоречива. Нейната пълнота и непротиворечивост се състои в това, че за всички изводими твърдения от нея се извеждат или те, или техните отрицания. Така пълнотата в математически смисъл не засяга изобщо и по принцип въпроса за неизводимите твърдения. Пълнотата не означава изводимост на всички синтактично правилно построени твърдения в дадена аксиоматика (разбира се, или на тях, или на техните отрицания). След узнаването на фундаменталния резултат на Гьодел се откриват редица твърдения, неизводими в конкретни аксиоматики, покриващи изискванията на Гьоделовата теорема за непълнотата. Може би най-известното сред тях е континуум-хипотезата, предложена още от Кантор, която в един от своите най-опростени варианти на формулировка гласи, че между мощността на целите числа и тази на континуума няма друга мощност. Както то, така и неговото отрицание е съвместимо с аксиомите на теорията на множествата (Gödel 1940; Cohen 1963, 1964, Коэн 1969) в смисъл, че добавянето им не води до противоречие. Как обаче стои въпросът с пълнотата? Несъмнено има твърдения, зависими от хипотезата за континуума и които, както и самата тя, не могат да бъдат изведени (нито техните отрицания) от аксиомите на теорията на множествата. По отношение на какво да преценяваме пълнотата? По отношение на всички синтактично правилни твърдения в дадената аксиоматика, или само по отношение на онези от тях, които следват от себе си: тъй като по силата теоремата на Мартин Льоб (Löb 1955), ако те следват от собствената доказуемост, следва, че са изводими.

2

Отговорът зависи от определението, което даваме на пълнота. Същественото е да се разграничат и да не се смесва пълнотата в смисъла на Гьодел (Gödel 1930), да я наречем в синтактичен смисъл, с пълнота в смисъла на теоремата на Льоб. Такова или може би по-скоро аналогично разграничение на понятието за пълнота може съществено да помогне в изясняване на аргументите на привържениците на хипотезата за „скритите параметри” в квантовата механика. Например, бихме могли да се опитаме да формулираме едно „льобовско” твърдение във физиката: ако нещо е причина на самото себе си, то необходимо се причинява от други неща. Любопитна е разликата в двата подхода, логическия и физическия: Докато теоремата на Льоб обсъжда доказуемостта, с други думи, следването от себе си в определен контекст, то причинността се разглежда независимо от всякакъв контекст. На тази основа хипотезата за скритите параметри се изказва вече по нов начин: всяко нещо е причина на самото себе си. Внимателното вглеждане в това твърдение показва, че то има метафизичен, в смисъла на Попър, т.е. нефалшифицируем характер, който първоначално ще илюстрираме чрез неговия аналог в логиката: всяко твърдение следва от себе си. За да не следва едно твърдение от себе си, т.е. тази импликация да не е валидна, първо трябва да е налице твърдението като предпоставка, но, второ, да отсъства като следствие. Тази ситуация се забранява обаче от явното или предразсъдъчното определение на твърдение, сякаш интуитивно разбираемо като известно постоянство. Със съзнателното или несъзнателно приемане на такова постоянство фалшифицируемостта на твърдението „всяко твърдение следва от себе си” се изключва и то се превръща в метафизика в един попъровски смисъл или в идеология (в смисъла, че една частна позиция, в случая тази на „постоянстващите твърдения” се приема зà или замества универсалната, в случая на всички, т.е. и на постоянстващите, и на променливите твърдения). Вече пренесено във физиката, това означава, че не всички неща са причина на самите себе си, а само запазващите се, т.е. за тези, за които е валиден законът за запазване на енергията. Законът за запазване на енергията в 3

обичайната квантова механика играе фундаментална роля, заедно с универсалното време на макроуреда, валидно и за квантовия обект. Той позволява да се отговори на въпроса, кое е същото, когато преминаваме от „гледната точка” на макроуреда към тази на квантовия обект. Ако ние се откажем от него, въпросът ‒ „Кое е същото?” ‒ престава да бъде тривиален и дори може да няма никакъв, в т.ч. и нетривиален отговор. Това – от една страна, от друга обаче, такъв отказ, вероятно под формата на обобщение на закона за запазване на енергията, би ни позволило да „сверим часовника си” с реалното положение във физиката, където изглежда има неща, които не са причина на себе си, тъй като са в състояние да изчезват или да се появяват без друга причина, т.е. от само себе си, и следователно в нарушение на закона за запазване на енергията, евентуално обаче в съответствие с по-общ закон. Разширената аналогия, която построихме, позволява също така да се види скритата „метафизика” и „идеология” в твърдението „Всички неща са причина на самите себе си”, поне що се отнася до квантовата механика и при направените уточнения. Законът за запазване на енергията се постулира, чрез което квантовият свят ни се привижда в зашеметяващи по своята сложност „птоломеански епицикли” от уж „елементарни” (!?) частици. Целият свят, всичко трябва да се „върти около земята” в случая около макроуреда, чиято частна гледна точка се универсализира като една „идеология”, която може да се нарече идеология на макросвета, чиято първичност обаче е скрит антропоцентризъм, тъй като произтича от може би по-скоро случайния факт, че е „когнитивната ниша”, в която е възникнал човешкият интелект. Заедно с това, метафизично нейното фалшифициране се оказва забранено по силата на едно сякаш „скандиране” и донякъде „втълпяване” на закона за запазване на енергията. Ако обаче се откажем от тази безвъпросно „ясна” централност на макроуреда и на емпиричността, ако си позволим „коперникански преврат” и в квантовата механика, при което водеща позиция да придобие квантовият обект, вероятно в двете обличия и на микрообект, и на вселена, чието единство се скрепя от цялостността, от холизма, то изглежда птоломеански сложната картина на нашето познание за квантовия свят рязко ще се опрости, ще придобие 4

простота и естественост. При това обаче следва да се отхвърлят привидно толкова очевидните закон за запазване на енергията и универсално време на макроуреда: това би била вече една неунитарна квантова механика. Постоянството на квантовия обект, идеологическата „универсалност” на макросвета и изключителната простота на времето са трите свързани илюзии, от които следва да се откажем. Гьодел и Айнщайн, а чрез тях и „Принстънският дух”, присъщ не непременно на Принстън, се оказват свързани не само от едно осъвременено питагорейство, което сме склонни с охота да приемем, но и от известна специфична едностранчивост, която се опитахме бегло да скицираме. Тя може да се нарече, преди всичко за да се обозначи, метафизична идеология на крайността, която се опитва не да търси равновесие или сътрудничество с безкрайността, а към подчинението на последната, но по този начин и с това ‒ оставайки в рамките единствено на своето подчинение. Бегло ще докоснем някои въпроси, междинни с философия на математиката. Платонизмът или реализмът в математиката настояват за съществуването на математическите обекти. Добре известно е, че оригиналното учение на Платон, а впоследствие и неоплатонизмът изпитват силно въздействие или дори възникват под влияние на древното питагорейство, което остава в съществена степен сакрализирана и мистична доктрина. Следователно на реализма в математиката може ‒ чрез посредничеството на Платоновото учение ‒ да се гледа и като на едно смекчено, профанизирано, опортюнистично, но заедно с това и универсализирано питагорейство. Ако се опитваме да подходим към „Принстънския дух” в качеството му на своеобразно неопитагорейство, това напомня подобно смекчаване, постигано, както в оригиналния платонизъм чрез удвояване. Специфичното, идващо може би от „Копенхагенската интерпретация” на квантовата механика е, че двете същности се уравновесяват, което не може да се постигне чрез винаги несъвършеното отражение, при което една от двете доминира, а чрез принципа на допълнителността, при който двете същности взаимно се заместват, бидейки и винаги оставайки еднакво необходими ‒ дуални.

5

При това обаче, заставайки на собствено философска и следователно универсалистка позиция, не може да не отбележим, че макар и дуалистична, неопитагорейската доктрина на квантовата информация не преодолява, поскоро трансформира или дори „сублимира” току-що споменатата „Принстънска едностранчивост”. Така за нея и двете равноправни, дуални същности остават собствено и чисто математически: крайното число и безкрайното, мислено до голяма степен по подобие на крайното, обединени в

-функцията, разбрана

като своеобразна бройна система с комплексни крайни цифри и безкрайна имагинерна основа. Освен това някак си просто има (незнайно защо) също така и фундаментални константи, които осигуряват превод на числовото на „езика на материята”, при което се повтаря, може би, трансформираният, „сублимиран”, „преобърнат” превод на безкрайното на езика на крайното. Същественото в случая е не толкова „самокритиката” ‒ по-скоро не повече от това да улеснява възприемането на възгледа, ‒ колкото артикулирането на специфичните напрежения и оттук на проблемите, които именно той поставя или ще поставя: 1. Фундаменталните константи. Дали някои от тях, или всички те могат да се обосноват собствено математически. Само да споменем, че тези, които са най-близко до настоящото разглеждане ‒ константата на Планк и на скоростта на светлината във вакуум ‒ се разцепват на две величини (например съответно: разстояние и импулс; разстояние и време) по обратен начин: чрез тяхното умножение – деление.

2. Материалният свят. Дали той съдържа и собствена несводима към чисто математическото и безразмерното същност, която по този начин да ограничава неопитагорейското нашествие на квантовата информация в донякъде повтарящия се и частично запазващ се свят, който познаваме.

3. Познанието на безкрайното. Имаме ли друг, непосредствен път за неговото познание освен косвения по подобие на крайното, при което някои свойства на последното се абстрахират и въдворяват в безкрайното, в някаква степен насилствено (или с други думи, конвенционално) му се вменяват. Впоследствие обратното движение на едно „разкаяние”, което ги привижда като „отразени” от безкрайното (с това наподобявайки един класически ход на ми6

сълта за възвръщането на абстрахираните свойства на материалното обратно в него самото като отразени от идеалното), навежда към представа за безкрайното, или по-общо – за другата същност, просто като огледало, което позволява първата същност да се появи като ейдос, идея, т.е. в обличието на втора същност. Всъщност не става ли дума за не повече от рефлексия: нещо и неговото виждане като цяло, като едно, като негов облик, цялост? Нека накрая завършим с едно специфично напрежение, обаче допускащо съществено напредване по посока на конкретен отговор, а именно със съображения и опит за оценка на броя (кардиналното число на множеството) на гьоделово неразрешими твърдения, което е в пряка връзка с направеното философско обсъждане на причинността, запазването, както и с този на състоянията АПР (сдвоените състояния). Грубо казано, дали и в двата случая става дума за екзотично явление, което без особена загуба може да се пренебрегне или точно напротив, за общия случай, спрямо който обхватът на всички явления, разглеждани досега от логиката (респ. математиката) или физиката, представлява граничен и дори пренебрежим частен случай.

ЛИТЕРАТУРА: Cohen, P. 1963. The Independence of the Continuum Hypothesis. – Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Vol. 50, No 6, (15 December) 1143-1148.

Cohen, P. 1964. The Independence of the Continuum Hypothesis, II. – Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Vol. 51, No 1 (15 January, 1964), 105–110.

Einstein, A., B. Podolsky and N. Rosen. 1935. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? ‒ Physical Review, 1935, 47, 777-780; http://www.phys.uu.nl/ ~stiefelh/epr_latex.pdf . (А. Эйнштейн, Б. Подолски, Н. Розен. 1936. Можно ли считать, что квантово-механическое описание физической реальности является полным? – Успехи физических наук. T. XVI, № 4, 440-446 – http://ufn.ru/ufn36/ufn36_4/Russian/r364_b.pdf .)

Gödel, K. 1930. Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. – Monatshefte der Mathematik und Physik. Bd. 37, No 1 (December, 1930), 349-360 (Bilingual German ‒ English edition: K. Gödel. The completeness of the axioms of the functional calculus of logic. ‒ In: K. Gödel. Collected Works. Vol. I. Publications 1929 – 1936. Oxford: University Press, New York: Clarendon Press ‒ Oxford, 1986, 103-123.)

Gödel, K. 1931. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I. ‒ Monatshefte der Mathematik und Physik. Bd. 38, No 1 (December, 1931), 173-198. (Bilingual German ‒ English edition: K. Gödel. The formally undecidable propositions of Principia mathematica and related systems I. ‒ In: K. Gödel. Collected Works. Vol. I. Publications 1929 – 1936. Oxford: University Press, New York: Clarendon Press ‒ Oxford, 1986, 144-195.)

7

Gödel, K. 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized ContinuumHypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton: University Press. (Collected Works, vol. II, New York, Oxford: University Press, 1990, pp. 33-101.)

Löb, M. 1955. Solution of a problem of Leon Henkin. ‒ The Journal of Symbolic Logic. Vol. 20, No 2, 115-118. v. Neumann, J. 1932. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Verlag von Julius Springer. (J. von Neumann. 1955. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Princeton: University Press; Й. фон Нейман. 1964. Математические основы квантовой механики. Москва: „Наука”.)

Yourgrau, P. 2006. A World Without Time: The Forgotten Legacy of Gödel and Einstein. New York: Perseus Books Group. Коэн, П. 1969. Теория множеств и континуум-гипотеза. Москва: Наука.

8