Васил Пенчев. Гравитацията като сдвояване. Сдвояването като гравитация

1

Гравитацията като сдвояване Сдвояването като гравитация

Доц. д.ф.н. Васил Пенчев, Българска академия на науките • • • •

vasildinev@gmail.com http://vasil7penchev.wordpress.com http://www.scribd.com/vasil7penchev CV: http://old-philosophy.issk-bas.org/CV/cvpdf/V.Penchev-CV-eng.pdf

2

Целите са:

3

• Да се изследват условията, при които математическите формализми на общата теория на относителността и квантовата механика преминават един в друг • Да се изтълкуват тези условия смислено и физически • Да коментираме тази интерпретация математически и философски

Научна предпазливост, или кои не са наши цели: • Да кажем дали сдвояването и гравитацията са едно и също или не: напр. аргументът ни може да се тълкува, че кой да е от двата математически формализма има нужда от усъвършенстване, защото гравитацията и сдвояването наистина не са едно и също • Да се изследва дали подходи към квантовата гравитация се съгласуват с този, ако изобщо има такива

Изследванията – фон на настоящето: • Eric Verlinde’s entropic theory of gravity (2009): “Гравитацията се обяснява като сила на ентропията, причинена от промени в информацията, асоциирана с положението на материалните тела” • Ускоряващият се брой публикации по връзките между гравитация и сдвояване, напр.: Jae-Weon Lee, Hyeong-Chan Kim, Jungjai Lee’s “Gravity as Quantum Entanglement Force” : “Предлагаме, че квантовото сдвояване на материята и вакуум във вселената нараства във времето като ентропията …

Изследванията – фон на настоящето: Jae-Weon Lee, Hyeong-Chan Kim, Jungjai Lee’s “Gravity as Quantum Entanglement Force” : …, и има ефективна сила, наричана сила на квантовото сдвояване, асоциирана с тази тенденция.Също се предлага, че гравитацията и тъмната енергия са типове на силата на квантово сдвояване …” Или: Mark Van Raamsdonk’s “Comments on quantum gravity and entanglement”

За дуалността калибровка/ гравитация “Дуалността калибровка/гравитация е еквивалентност между две теории: от една страна, имаме теорията на квантовото поле в d време-пространствени измерения. От друга, имаме гравитационна теория върху d+1-измерно време-пространство, което има асимптотична граница, която е d-измерна” • Хуан Малдасена получава престижната Награда по фундаментална физика (3 милиона долара)

4

Фон хипотезата на Пуанкаре

5

Третият (от 7 и единствено решеният) проблем на хилядолетието, доказан от Грегори Перелман (1 милион долара, отказани): Всяко просто свързано, затворено 3-manifold е хомеоморфно на 3-сферата Следствието, важно за нас: 3D пространството е хомеоморфно на циклична 3+1 топологична структура като 3сферата: напр. пространството на Минковски, циклично свързано

Дуалността калибровка гравитация и хипотезата на Пуанкаре 3D (калибровка) /3D+1 (гравитацията) са дуални в известен смисъл 3D и 3D+1 циклична структура са хомеоморфни

“Какво да кажем за дуалността, ако 3D+1 (гравитацията) е циклична в известен смисъл?” – е един от въпросите

Фонът: Бозонът на Хигс

6

 Той завършва Стандартния модел без гравитацията, даже без остави място за нея:

Бозонът на Хигс означава: няма квантова гравитация!  Както Френската академия някога е обявила „Няма вечен двигател!" и това е нов принцип на природата, който породи термодинамиката:

Фонът: Бозонът на Хигс

„Няма квантова гравитация!" и това е нов, твърде странен и удивителен принцип на природата Ако най-добрите умове са опитвали един век да изобретят квантовата гравитация и не са успели, това просто ще рече, че по принцип няма квантова гравитация Така че няма смисъл да се изобретява „вечният двигател" на квантовата гравитация, но има голям смисъл да се построи нова теория върху този принцип:

Фонът: бозонът на Хигс 1. Сигурната теория на гравитацията е общата теория на относителността и тя не е квантова: това не е случайно Ако стандартният модел е завършен с Хигс бозона, но без гравитацията, причината за това е: Стандартният модел е квантов. Той не може да включи гравитацията по принцип тъкмо бидейки една квантова теория 3. Разбира се, неуниверсалност на квантовата теория е голяма изненада и съвсем неразбираема понастоящем, но целият научен път на човечеството е пълен с изненади

Общата относителност срещу 7 Стандартния модел Взаимодействие, Механичното действие сила, енергия (маса) Инерционна Гравитационна маса, маса сила, енергия Инерционната маса е мярката за съпротивле- Обща относителност гладка ние срещу действието на всяко силово поле. Гравитационната маса е Слабо, електромярката за гравитационно магнитно, силно действие

Какво да кажем за сдвояването и инерционната маса?

взаимодействие

Стандартният модел, който е квантов

Стратегията на този фон е...

1. ... да се покаже, че сдвояването е друга и еквивалентна интерпретация на математическия формализъм на всяко силово поле (дясната страна на предишния слайд) 2. ... да се отъждестви сдвояването с инерционната маса (лявата страна) 3. ... да се отъждестви сдвояването с гравитационната маса чрез равенството на гравитационна инерционна маса 4. ... да се осмисли гравитацията като друга и еквивалентна интерпретация на всяко квантовомеханично движение и в крайна сметка − на всяко механично (т.е. време-пространствено) движение

Ако осмислим гравитацията като друга и еквивалентна интерпретация на всяко движение, то ...

Комплексно вероятностно = Две вероятностни разпределение разпределения сдвояване 8

Енергия-импулс

Комплексно банахово Време(хилбертово) пространство пространство

траектория квантово псевдориманов силово базис поле Не представя гравитацията, понеже тя не е кванСтандартният модел представя всяко кванто- тово поле: тя е гладкият во силово поле: силно, образ на всяко квантово слабо, електромагнитно поле

Бозонът на Хигс е един отговор ... и много въпроси :  Какво е хигсовото поле Стандартният модел обединява електромагнитното, слабото и силното поле. Има ли място за хигсовото поле?  Какво е отношението на хигсовото поле и гравитацията?  А отношението на хигсовото поле и сдвояването?  ... и твърде много други ... Ще разглеждаме хигсовото поле като “превод” на гравитация + сдвояване на езика на Стандартния модел в качеството му на теория на обединеното квантово поле

Какво значи “квантово поле”? Не е ли твърде странен и противоречив термин? Квантово поле означава поле, чиято стойност във всяка време-пространствена точка е вълнова функция. Ако съответният оператор между всеки две точки на полето е самоспрегнат, то:  Съответства им квантова физическа величина  Всички вълнови функции и самоспрегнати оператори споделят общо хилбертово пространство или с други думи − никои две не са сдвоени

Квантовото поле е единственото възможно в квантовата механика, защото: • То е единственият вид поле, което удовлетворява съотношението за неопределеност на Хайзенберг • Градиентът между две точки на полето е стойност на някоя физическа величина • Обаче понятието за квантово поле не включва това за сдвояване: ако подозрението ни за тясна връзка между сдвояване и гравитация се оправдае, това би обяснявало трудностите около “квантовата гравитация”

Тогава може да се очертае пътят към гравитацията от гледна точка на квантовата механика:

... като подходящо обобщение на ‘квантово поле’, така че да включи ‘сдвояване’:  Ако всички вълнови функции и оператори (които вече не са самоспрегнати в общия случай) на квантовото поле споделят общо банахово, а не хилбертово пространство, това е достатъчно. Такова квантово поле е обобщено Но възникват проблеми с физическата интерпретация:

Кои са проблемите? “Лек” за тях е съответно да се обобщи понятието за физическа величина в квантовата механика. Ако операторът е в банахово пространство (съответно, вече не е самоспрегнат оператор), то неговият функционал е комплексно число в общия случай. Неговият модул е стойност на физическа величина. Математическото очакване на две величини е неадитивно в общия случай (по-точно, не е свръхадитивно).

Повече за “лека”

9

Величината на подадитивност (която може да е и нула) е степен (или величина) на сдвояването, 𝑒: 𝑒 = 𝐴1 + 𝐴2 във: 𝐴1 + 𝐴2 − 𝐴1 + 𝐴2 , където 𝐴1 , 𝐴2 са величини в две сдвоени квантови системи 1 и 2. Всяка величина 𝐴 в квантовата механика се определя като математическо очакване, т.е. като сума или интеграл от произведението на всички възможни стойности и техните вероятности или като функционал: ∞

𝐴= −∞

∞

𝑎𝑝𝑎 𝑑𝑎 =

𝚿𝐴 (𝚿 ∗) −∞

 (!!!) 𝑒 не може да се квантува по принцип даже ако 𝐴1 , 𝐴2 са квантови или квантувани, защото както математическото очакване, така и вероятността, не са квантови, нито квантуеми, тъй като вълновата функция е гладка (“скок” по вероятност би означавало безкрайна енергия)  (!!!) Ако се приеме за дадено, че сдвояването и гравитацията са едно и също или тясно свързани, това обяснява:  защо гравитацията не може да се квантува  защо гравитацията е винаги неотрицателна (няма „антисдвояване“)

Тогава какво е гравитацията?

 Тя не може да се определи в термините на “класическото” квантово поле, а само в тези на обобщеното  Тя е винаги гладкото изкривяване или усукване на “класическото” квантово поле  Тя е взаимодействие (сила, поле) от втори ред: поскоро промяната на квантовото поле във времепространството, отколкото ново квантово поле  Тази промяна на квантовото поле не и нито квантова, нито квантуема:  Тя не може да е квантово поле по принцип  Нейното представяне като едно цяло (или от “гледна точка на вечността”) е сдвояването

Тогава, с няколко думи, какво е гравитацията в термини на обобщеното квантово поле?

... гладко време-пространствено ограничение на

степените на свобода, налагано от всички други квантови обекти  Сдвояването е друго (може би еквивалентно) изображение на гравитацията от вероятностната, а не време-пространствена, гледна точка на „вечността“  Гладкото време-пространствено ограничение на степените на свобода във всеки момент представлява деформирана „навътре“ 3Д светлинна сфера  Добре нареденото (във времето) множество от такива сфери във всички моменти образува псевдоримановото пространство на общата теория на относителността

Езикът на квантовото поле: концепцията за “вторично квантуване” Какво означава “вторичното квантуване” в термините на “първичното”? Ако “първичното квантуване” ни дава вълновата функция на квантовата системата като едно цяло, “вторичното квантуване” я подразделя на квантови подсистеми от „частици“ с ортогонални помежду им вълнови функции; или с други думи − те не са сдвоени. Следователно, в нашите термини, “вторичното квантуване” изключва както сдвояването, така и гравитацията по принцип

Вторичното квантуване в термините на хилбертовото пространство Разделя безкрайно-размерното хилбертово пространство на също безкрайно-размерни подпространства (Подпространство може да се създаде или унищожи: „частица“ е създадена или унищожена) Съпоставя определено множество от хилбертови подпространства с всяка време-пространствена точка (Една или повече частици могат да се създадат или унищожат от всяка към всяка точка) Но макар хилбертовото пространство да е разделено по различен начин, всички подпространства го споделят

Философска интерпретация на квантово (I) и квантувано (II) поле  Квантово към квантувано поле значи за всяка време-пространствена точка да се съпостави хилбертовото пространство към негово деление на подпространства  Калибровъчните теории интерпретират това сякаш хилбертовото пространство с неговото деление на подпространства е вмъкнато вътре във всяка време-пространствена точка  Всеки закон за квантово запазване е симетрия или група на изображенията на подпространствата  Стандартният модел описва общата и пълна група, вкл. всички“силни“, „електромагнитни“ и „слаби“ симетрии

Философска интерпретация на затвореността на стандартния модел Стандартният модел описва общата и пълна група вътре във всяка време-пространствена точка Следователно, Стандартният модел е отвътре на всяка време-пространствена точка и описва движението като промяна на вътрешната структура между всеки две времепространствени точки Но гравитацията е отвън и остава отвън на Стандартния модел: Тя е отношение между две или повече време-пространствени точки, но отвън и извън тях като цялости

Нужда да се добави тълкувание на квантовата дуалност по Николай от Куза: След Нилс Бор квантовият дуализъм е бил илюстриран с китайските „Ин и Ян“ Ала има нужда да ги съпоставим по мащаб по начина на Николай от Куза: Ин става Ян както най-малкото става найголямото и обратното: Ян става Ин както най-голямото става наймалкото Нещо повече освен това: Ин и Ян продължават да са и паралелни и последователни в един и същ мащаб

И сега от философското към математико-физическото ...:

Вълнова функция Хилбертово пространство

1 0

Време-пространствена траектория Пространство на Минковски

Ин-Ян математическа структура

Но ...: вече сме добавили тълкувание по Николай от Куза към „Ин-Ян структурата“, така че: 1 1

“Най-голямото” на време-пространственото цяло е вмъкнато вътре в “най-малкото” на всяка време-пространствена точка “Най-голямото” на цялото на хилбертовото пространство

е вмъкнато вътре в “най-малкото” на всяка точка от Хилбертовото пространство

Ин-Ян структурата е циклична и фрактална, следователно ...

1 2

Ще проверим дали изпълнява нашите изисквания: Ин и Ян са паралелни помежду си Ин и Ян са последователни помежду си Ин и Ян като най-голямото са вътре в себе си като най-малкото Освен това: бидейки циклична, няма нужда да е безкрайна. Трябват само две − Ин и Ян − и специалната им структура, както е описана по-горе

Ще интерпретираме тази Ин-Ян структура в термини на Стандартния модел и гравитацията Въпросът е как гравитацията, бидейки „отвън“ време-пространствените точки като крива гладка траектория, ще се изрази отвътре, т.е. вътре във времепространствените точки, представящи хилбертовото пространство, разделено на подпространства Гравитацията “отвън” изглежда като сдвояването “отвътре” и обратното

Обратно към квантовото (I) или квантуваното (II) поле Принципът е: глобалната промяна на времепространствена траектория (или оператор в псевдо-римановото пространство) е еквивалентно на изображение между две локални хилбертови пространства на банахолото пространство (сдвояване) Същият принцип от гледната точка на квантовата информация: Сдвояването в “най-малкото” се връща и идва “отвън” на вселената, т.е. от “най-голямото”, като гравитацията

Обратно към философската интерпретация или още и още чудеса Оказва се, че все още “невинният” квантов дуализъм поражда нови и нови, все поудивителни дуалности: ... на непрекъснатото (гладкото) и дискретното ... на цяло и част  ... на единичното и многото ... на вечност и време ... на най-голямото и най-малкото ... на външно и вътрешно ... и даже ... на “и”-тата по-горе и дуализма

където

   

ще рече

еквивалентност относителност инвариантност запазване

Вторичното квантуване в термини на банаховото пространство  Ако банаховото пространство е гладко, то е локално „плоско“, т.е. всяка точка поражда „плоско“ и „тангенциално“ хилбертово пространство  Но система от две или повече точки в банаховото пространство не споделят в общия случай общо хилбертово пространство: такова „несподеляне“ е и определението за сдвояване  Независимо от това винаги може да определим самоспрегнат оператор (т.е. физическа величина) между всеки две точки в банаховото пространство (т.е между двете съответни тангенциални хилбертови пространства, изобразяващи се с оператора)

Вторичното квантуване в термини на банаховото пространство  Ако винаги можем да определим самоспрегнат оператор (т.е. физическа величина) между всеки две точки в банаховото пространство, следва, че вторичното квантуване е инвариантно от хилбертовото към всяко гладко банахово пространство и обратно, следователно между всеки две гладки банахови пространства  Както сдвояването, така и гравитацията е само външна, или и двете са „ортогонални“ към вторичното квантуване: това ще рече, от една страна, че няма каквото и да е взаимодействие или обединение между гравитацията и сдвояването ...

Вторичното квантуване в термини на банаховото пространство

… а от друга, няма взаимодействие между двойката сдвояване и гравитация и останалите три фундаментални взаимодействия, тъй като вторите са вътре в хилбертовото пространство, а първите са между две (тангенциални) хилбертови пространства Обаче както сдвояването, така и гравитацията могат да се подразделят на вторично квантувани части (подпространства на хилбертовото пространство, което “вътрешно” се приема за едно и също, макар „външно“ да сключва някакъв обобщен „ъгъл“)

За лоренцовата инвариантност 1 Да обединим следното: 3 Лоренцово неивариантни са Шрьодингеровата Нютоновата механика квантова механика Лоренцово инвариантни са Максуеловата теория на Дираковата квантова електромагнетизма, механика на електроСпециалната теория на магнитното поле относителността Локално лоренцово инвариантни (но неинвариантни глобално) са Хипотезата Общата теория на за сдвояване и относителността гравитация

Относителност

Квантова теория

... дали гравитацията не е“дефект” на електромагнитното поле... ?! Обаче масата за разлика от електрическия и магнитния заряд е универсална физическа величина, която характеризира всичко съществуващо Ако „Ин-Ян“ симетрията е съвършена, локално “плоското” става глобално “изкривено”, а локално “изкривеното” − глобално “плоско” Например това би могло да значи, че вселената има заряд (може би “едно-полюса” на Дирак), но не и маса: изкривеното банахово пространство може да се види като пространство на сдвоени спинори

Електромагнитното поле като “Янус” с две „лица“: глобално и локално Такова съображение (в предния слайд) не може да се пренесе за силното и слабото взаимодействие: те са винаги локални, тъй като квантите им имат ненулева маса на покой за разлика от фотона: квантът на електромагнитното поле: Що се отнася до електромагнитното поле е възможно и локално (в Стандартния модел), и глобално разглеждане

Електромагнитното поле като “Янус” с глобално и локално лице Извод: гравитацията (и сдвояването) е само глобално (външно), слабото и силно взаимодействие е само локално (вътрешно), а електромагнитното поле е и локално и глобално: служи като посредник между глобалното и локалното и между вътрешното и външното. Следователно − запазва единството на вселената

Още за двете лица на фотона: • Бидейки глобално, няма маса на покой • Бидейки локално, има крайна скорост във време-пространството Сравнени с него: Сдвояването и гравитацията, бидейки само глобални, нямат квант: следователно нито маса на покой, нито крайна скорост във времепространството Слабото и силното взаимодействие, бидейки само локални, имат кванти и с ненулева маса на покой, и с крайна скорост във времепространството

И лоренцовата инвариантност има локално и глобално лице: На свой ред, тя поражда „двете лица“ на фотона Локалното “лице” на лоренцовата инвариантност е и вътре във, и при всяка времепространствена точка. Тя “вътре във” е „плоското” хилбертово пространство, а “при” е като тангенциалното, също „плоско” пространство на Минковски Нейното глобално „лице” е и “вътре във” и “при” тоталността на вселената. То е “вътре във”, изправяйки банаховото пространство чрез аксиомата за избора. То е „при”, преобразувайки я във време-пространствена точка

„Двете лица“ чрез спинорите на Дирак В термини на философията, “спинорът” е тоталната половина (или „квадратен корен”) от тоталността. В термините на физиката, това е обобщение на разлагането на електромагнитното поле на електрическа и магнитна компонента. Електромагнитната вълна изглежда нещо като: 1 4

Това е квантово обобщение. Защо? Първо, разлагането на магнитна и електрическа компонента не е разлагане на два спинора, защото електромагнитното поле е векторно , а не тензорно произведение от тях Двата компонента са точно определени във всяка времева точка точно както положението и импулса при класическото механично движение. Величината действие е аналогично векторно, а не тензорно произведение от тях Следователно, има друг път (Дираковия) да се опише квантуването: като преход от векторно към тензорно произведение

Може ли така да се квантува гравитацията? Отговорът е съвсем изненадващ: По този начин общата теория на относителността е отдавна и по начало квантова! Тъкмо затова не може да се квантува още веднъж точно както самият квант на действие не може да се квантува повторно! Единствено трябва да се разгледа отблизо как общата теория на относителността е вече квантова теория

Не може да бъде, или общата теория на относителността като квантова теория

Подходът на Дирак да се запази лоренцовата инвариантност в квантовата теория е очевиден в общата теория на относителността, тъй като тя обобщава лоренцовата инвариантност за всяка отправна система Понятието за отправна система обаче запазва гладкостта за всяко допустимо движение, изисквайки определена скорост спрямо всяка друга отправна система или движение Дираковият подход всъщност обобщава неявно понятието за „отправна система“ за дискретни (квантови движения)

“Отправна система” при подхода на Дирак

1 5

• “Отправна система” обикновено се разбира като две координатни системи, движещи се една спрямо друга с относителна скорост 𝒗(𝒕) • Ако бъде мислена дираковски като тензорен продукт на координатни системи, то трябва да се замени 𝒗(𝒕) с 𝜹(𝒕) (делта функцията за всяко 𝑡 = 𝑡0 ) • Ако е дадена сфера 𝑺 с радиус 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 + 𝒗 𝟐 𝒕𝟐 , тя може да представи всяка отправна система в пространството на Минковски. 𝑺 може да се разложи по два ортогонални големи кръга 𝑺𝟏 ⨂𝑺𝟐 , като „⨂“ е тензорното им произведение

“Отправна система ” при подхода на Дирак

1 6

Сфера 𝑺 с радиус 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 + 𝒗 𝟐 𝒕𝟐 , разложена по два ортогонални големи кръга 𝑺𝟏 ⨂𝑺𝟐 : 𝑺, 𝑺𝟏 , 𝑺𝟐 са с еднакъв радиус. Можем да мислим след Дирак за 𝑺𝟏 , 𝑺𝟐 като за два спинора на отправна система Можем да мислим за пространството на Минковски като за разширяваща се сфера: тогава нейното спинорно разлагане ще представлява два плоски перпендикулярни помежду си, разширяващи се кръга, напр. магнитната и електрическата компонента на електромагнитната вълна, но сега вече все едно квантово (допълнително) независими помежду си

Похвално слово за сферата и кълбото: Добри познатите и най-обикновени сфера и кълбо са пресечна точка на : ... квантуването ... лоренцовата инвариантност ... пространството на Минковски ... хилбертовата инвариантност ... кюбита ... спинорното разлагане ... електромагнитната вълна ... вълновата функция... … правейки обединеното им, общо разглеждане и взаимни концептуални преходи − възможно!

Още за добродетелите на сферата: Тя е „атомът“ на преобразованието на Фурие 17 Неговата същност е (взаимното) заместване между аргумента на функция и неговия 𝟏 реципрочен: 𝒇 𝒕 ↔ 𝒇 = 𝒇(𝝎), или квантово: 𝒕 𝒇(𝒕) ↔ 𝒇(𝑬), Такъв „атом“ е и в качеството на: - всеки хармоник в хилбертовото пространство: 𝒇𝒏 𝝎 = 𝒆𝒊𝒏𝝎 - всяка инерционна отправна система в пространството на Минковски: 𝐟 𝐭 = 𝐫(𝐭) = 𝐜𝟐𝐭𝟐 − 𝐱𝟐 − 𝐲𝟐 − 𝐳𝟐

Пак за спинорното разлагане Тъй като сферата е това, което “спинорно” се разлага на два ортогонални големи кръга, спинорното разлагане е инвариантно спрямо преобразованието на Фурие или спрямо взаимния преход между хибертово и минковско пространство В частност от това следва спинорно разлагане и за вълновата функция и даже “вълновата ѝ интерпретация“: всеки от двата ѝ „спинорни компонента“ може да се тълкува като вероятността и за квантов скок към, и за гладък преход към дадена стойност

Необходимо осветление на връзката между вероятностния (математически) и механичния (физически) подход 1 Няма аксиома за избора (Раят)

8

Вероятностен (математически) подход

Тоталност, тя и вечност, и безкрайност Механичен (физически) подход Хилбертовото пространство: от “Рая” към “Земята “ по “стъпала” от енергия

Имат нужда от избора

Пространство на Минковски: от “Земята” към “Рая“ по стъпала от време

Кохерентно състояние, статистически ансамбъл и два вида квантова статистика • Процесът на измерване преобразува кохерентното състояние в класически статистически ансамбъл: следователно, изисква аксиомата за избора • Обаче още математическият формализъм на хилбертовото пространство позволява две съществено различни интерпретации, съответни на двата вида квантова статистика: бозони и фермиони

Аксиомата за избора в качеството на граница между бозони и фермиони Двете интерпретации на едно кохерентно състояние, споменати по-горе, са: Като неподредимо множество с комплексно (= две реални) вероятностно разпределение при отсъствие на аксиомата за избора − бозони

Като добре наредена последователност или по време, или по честота (енергия), еквивалентна на аксиома на аксиома за избора – фермиони

Смисълът на квантовото движение, представено в хилбертовото пространство От класическо към квантово движение: пътят на обобщение Общо пространство (евклидовото) включва двата аспекта на всяко класическо движение, които са статичния и динамичния и съответните физически величини за всеки от тях Аналогично, общо пространство (хилбертовото) включва двата аспекта на всяко квантово движение: статичен (фермионен) и динамичен (бозонен) и физическите им величини

Квантово срещу класическо движение  Обаче двата аспекта (и статичния, и динамичния) на класическото движение са включени вътре в тъкмо статичния (фермионния) аспект на квантовото движение като двата възможни “ипостаса” на едно и също квантово състояние  Статичният (фермионен) аспект на квантовото движение посочва един квантов скок (единият фермион от двойката) или еквивалентната гладка траектория между същите състояния (другият)  Тези два фермиона за едно и също квантово състояние могат да се видят като двата спинора, запазващи лоренцовата инвариантност, за разлика от случая на бозон

Теоремата за статистика по спин за фермиони:

Ако се разменят местата на кои да е две квантови частици, това означава да се обърне посоката “от време към енергия” във “от енергия към време”, или да се обърне знака на вълновата функция. Следното обяснение с теория на множествата може да е полезно: Ако има много неща, които са еднакви или „квантово неразличими“, все пак има две възмож-ности: или да са „добре наредени“, като естествените числа (фермиони), или да не са наредени изобщо, като елементите на множество (бозони). Макар и неразличими, размяната на техните поредни номера е различима в първия случай за разлика от втория

Но тази аналогия с естествените числа е ограничена: Добрата наредба на естествените числа има „памет“ в известен смисъл: могат да се различат и две размени, а не само наличието на една или повече размени (както размяна на фермиони). Добрата наредба на фермионите няма такава памет: аксиомата за избора или теоремата за добрата наредба не я изискват. Обаче ако всички избора (или изборите при добрата наредба на множество) образуват множество, тогава такава памет се постулира тъкмо от аксиомата за избора

Илюстрирани натуралните числа,1 9 фермионите и бозоните Първоначално състояние

...

Размяна

...

По-късно

...

Название

..... ..... .....

...

1, 2, 3, 4, 5, ... 1, 2, 3, 4, 5, ...

...

1, 5, 3, 4, 2, ... 1, 5, 3, 4, 2, ...

...

1, 2, 3, 4, 5, ... 1, 5, 3, 4, 2, ...

“Слаба” Пълна неразличи- (не)различимост мост Квантова неразличмост

Бозони

Фермиони

Пълна различимост Естествени числа

Квантово и класическо движение в термини на (квантовата не)различимост 2 0

Динамичен (бо- Статичен (фер𝒕 зонен) аспект: мионен) аспект: Динамичен пълна неслаба неразличимост различимост (импулсен) аспект Вълновата фун- Вълновата функция като харак-кция като (добре Статичен теристична нареден) (позициона случайна вектор нен) аспект комплексна в-на псевдо𝑴𝒖𝒄𝒉 ⟺ 𝑴𝒂𝒏𝒚 риманово пространство хилбертово пространство Различимост Квантова неразличимост Динамичен към статичен Динамичен и статичен аспект: 1 : 1 аспект: much to many Квантово движение Класическо дв-ние

Фермионната симетрия и бозонната антисиметрия − интерпретация Обичайната интерпретация предполага, че и бозонните и фермионните ансамбли са добре наредени: но всяка фермионна размяна обръща знака на общата вълнова функция за разлика от бозонната лазмяна Нашата интерпретация: всеки ансамбъл от бозони не е и не може да е добре нареден по принцип за разлика от фермионния: Първият е “much”, а не “many”: последното е валидно само за втория

Добра наредба за неподредимото: фермиони и бозони Неподремистта на бозонния ансамбъл представя същността на квантовото поле за разлика от вторичното квантуване. Второто замества първото почти еквивалентно с добре нареден, все едно „фермионен“ образ На свой ред това скрива същността на квантовото движение, която е “much – many”, замествайки я с полукласическото “many – many”

Какво е спин в интерпретацията ни? В частност, нова, специфично квантова величина, спин, се добавя, за да се различава добре наредено (фермионно) и неподредимо (бозонно) състояние по добре нареден начин Hо това прави невъзможно квантово разбиране на гравитацията, тъй като такова изисква спинът да е произволно число: Гравитацията е процес във времето, който подрежда добре неподредимото . Самият преход “much – many” позволява и “many” интерпретация (гравитация във времето, или “фермионна”), и друга, “much” (сдвояване вън от времето, или “бозона”), интерпретация

Фермионна и бозонна вълнова функция − интерпретация Изисква различаване между: Стандартната, “фермионна” интерпретация на вълновата функция като вектор в хилбертовото пространство (квадратно интегрируема функция), и нова,“бозонна” интерпретация като характеристичната функция на случайна комплексна величина Първата представя статичния аспект на квантовото движение, втората − динамичния. Статичният аспект обхваща и статичния (положение) и динамичния (импулс) аспект на класическото движение, тъй като и двата са добре наредени и образуват обща добра наредба

Сдвоени наблюдаеми в термини на разграничението по спин

Стандартното определение на квантова величина като „наблюдаема“ позволява да се разбира като:  преобразование „фермион − фермион“  преобразование „бозон − бозон“  преобразование и “фермион – бозон”, и “бозон – фермион” Само сдвояването и гравитацията създават разграничение между първите два и вторите два случая. Такова разграничение е разпознаваемо в банахово, но отсъства в хилбертовото пространство

Двете паралелни фази на квантовото движение Квантовото поле (бозоните) може да се мисли като едната фаза на квантовото движение, паралелна на другата, на фермионната: Фазата на квантовото поле изисква вселената да се разглежда като цяло, като едно неделимо “much” или дори като един единствен квант Паралелната фаза на добра наредба (обичайно представяна като пространство, напр. времепространство) изисква вселената да добие изгледа на огромно и неограничено пространство, космос, т.е. делимото „many”: или просто много кванти

Защо „квантовата гравитация“ да е проблем на философията, а не на физиката?

2 1

Китайското "Taiji 太極 (буквално „велик полюс"), „Върховното окончателно" може да обхване и двете фази на квантовото движение. Тогава сдвояването и гравитацията могат да се видят като “Wuji 無極 „Без окончателно" С други думи, гравитацията може да се види като квантова само от „Великия полюс" Това показва защо „квантовата гравитация“ е проблем и на философията, а не само на физиката

Хилбертово и псевдо-риманово пространство: предварително сравнение  И класическото, и квантовото движение се нуждае от общо пространство, обединяващо динамичния и статичния аспект: хилбертовото пространство прави това за квантовото, а псевдориманотовото − за класическото  Квантовата гравитация би следвало да описва еднообразно и квантовото и класическото движение. Това налага предстоящото сравнение на хилбертовото и псевдоримановото пространство, както и вече започнатото − на квантово и класическо движение

Хилбертово срещу псевдориманово пространство като актуална и потенциална безкрайност Следните опозиции са достатъчни да представят сравнението философски: Хилбертовото пространство е ‘плоско’, а псевдоримановото − “криво” Всяка точка в хилбертовото пространство представлява завършен процес, т.е. актуална безкрайност, а всяка траектория в псевдоримановото − процес във времето, т.е. в развитие или с други думи − потенциална безкрайност

Хилбертовото и псевдоримановото 2 пространство: 2 Опозиция

Процес във времето Псевдориманово Криво Гравитация, Обща относителност Пространство на Минковски Плос- Електроко магнетизъм Специална относителност

Актуална безкрайност Банахово пространство Сдвоявне Квантова информация

Хилбертово Електромагнитно, слабо и силно Квантова механика Стандартният модел

Нашият тезис според предходната таблица Криво

ПсевдоРиманово

Гравитация, Обща относителност

Банахово пространство

Сдвояване Квантова информация

Сдвояването е гравитацията като завършен процес Гравитацията е сдвояването като процес във времето

2 3

Фундаментален предразсъдък ще се осветли, за да не пречи: Пълната цялост на всеки процес е „повече“ от същия процес във времето, в развитие Актуалната безкрайност е “повече” от потенциалната Мощността на континуума е “повече” от тази на естествените числа Обектите на гравитацията са по-големи от тези на квантовата механика  Телата в ежедневния ни свят са много “поголеми” от “частиците” в квантовия свят и много „по-малки“ от вселената

Защо е пречка този предразсъдък?  Според първите три твърдения сдвояването би трябвало интуитивно да е “повече” от гравитацията  Но според вторите две твърдения гравитацията би трябвало интуитивно да е много “по-голяма” от сдвояването Следователно според интуицията ни има противоречие: Гравитацията би трябвало да е както “по-малка” в първото отношение, така и много „поголяма“ по второто Очевиден, но неподходящ изход е да се подчертае разликата между двете отношения

Първото отношение свързва математическите модели на сдвояването и гравитацията, а второто − същото за явленията на гравитация и сдвояване За да се адекватни двете отношения, трябва образ на другото да го дублира в собствената област на първото; но теоремите за отсъствие на скрити параметри забраняват това Следователно изходът от ситуацията не е този

Цикличност е изход от противоречието

2 4

Просто трябва да се „залепят“ двата „края“: найголямото като най-многото за най-малкото. Но има „хитрост“: вече няма две страни, съответно „голямо и малко“ и „повече и по-малко“, а само една единствена, така:

Пътят стъпка по стъпка още веднъж: 2 5

 от двете страни на нециклична лента  през двете циклични страни на цилиндър  през единствената и циклична страна на мьобиусов пръстен  към неразделимото цяло на едно “much”  последното като едната страна на мьобиусов пръстен гладко преминаваща в „many”

Холизмът на Изтока и линейното 2 време на Запада 6 „Залепването“ на мьобиусовия пръстен е навсякъде и никъде. Можем да мислим за него в термини на Изтока едновременно като:  Тай дзи 太極(вж. слайд 70) У дзи 無極 (вж. слайд 70) Като правило, начинът на мислене на Запада тормози и препятства квантовата механика: тя се чувства добре в китайския Ин − Ян холизъм. (На Запад, свойство на Бога е да е навсякъде и никъде)

“Великият Предел” на цикличността в термини на избора и движението „Великият полюс“ сякаш “едновременно” и (1): пълзи по затворен кръг като Тай дзи; и (2) обхваща всички точки и възможни траектории в едно единствено и неделимо У дзи  Между другото, самата квантова механика е като „Велик Предел“ между Изтока и Запада: описва холизма на Изтока в линейните термини на Запада; или иначе казано: цялото като време

Като хора от Запада, трябва да осъзнаем линейността на цялата Западна наука!

 И физиката, вкл. квантовата механика е също така линейна  Например мислим за движението като универсална черта на всичко, поради което има нужда цялото да се опише като движение или време. В термини на китайската мисъл това ще е като У дзи в „термини“ на Тай дзи или като Ин в „термини“ на Ян  За щастие добре развитата математика на Запада въвежда достатъчно мостове, за да може да се мисли цялото линейно: най-важният е аксиомата за избора

Изборът − само-референциално Изборът на всички избори е да се избере самият избор, т.е. самата аксиома за избора, или философски: изборът между Изтока и Запада Но това е избор, вече направен за всички нас и вместо нас бидейки тук (на Запад) и сега (в епохата на Запада). Следователно сме обречени да мислим цялото като движение и време, т.е. линейно Все пак математическите понятия и подходи помагат да се обедини цяло и линейност (тълкувани във физиката и философията като движение и време) В частност тази черта е сред причините за водещата роля на математиката в съвременната физика и в квантовата механика особено

Бозон – фермионното разграничение в термини и на цялото, и на движението Двете версии на всеки фермион със спин ½ могат да се обяснят в термините на цялото като едно и също, което е отвън и вътре в цялото, той като отвън на цялото все пак трябва да е вътре в него в известен смисъл Като илюстрация, такъв фермион, завъртян на 360° се оказва, че е своят близнак с противоположен спин: С други думи, той се оказва “отвън” след 2𝜋 ротация по гладка траектория, преминавайки през половината веселена. Да го видим на пръстена на Мьобиус:

“Мьобиусов” образ как по гладък път може да се обърне спинът 𝟏 + 𝟐

фермион

𝟏) 𝟎; 𝟎°

𝟐) 𝝅; 𝟏𝟖𝟎°

𝟏 − 𝟐

фермион 𝟑) 𝟐𝝅; 𝟑𝟔𝟎°

𝟒) 𝟑𝝅; 𝟓𝟒𝟎°

𝟏 + 𝟐

фермион 𝟓) 𝟒𝝅; 𝟕𝟐𝟎°

2 7

Един и същ фермион “отвътре” “отвън” на вселената

Точно половината вселена между двата електрона на хелиев атом 2 8

Ето един хелиев атом: Точно половината веселена е между двата му електрона, отличаващи се само по противоположния си спин: Западът мисли вселената като крайно огромното, а елек- + 𝟏 фермион − 𝟏 фермион 𝟐 𝟐 троните − като крайно малкото. Обаче и квантовата механика, и китайската мисъл показват, че те преминават едно в друго навсякъде и винаги Вселената

е преходът между най-малкото и най-огромното 𝟏 Тай дзи

+ фермион

𝟐 Но единственият път на Запада през „Великия Предел“ е математиката

𝟏 − 𝟐

2 9

фермион

Щастливо изключение е Николай от Куза

Как, за Бога, е възможно?

Математиката предлага вселената да се разгледа в два еквивалентни Ин – Ян аспекта, съответни на квантово поле (бозони) и квантови “неща” (фермиони): неподредимото като множество за първото и добре подредено пространство за второто Тъкмо аксиомата за избора (по-точно, парадокса на Скулем) ги прави еквивалентни или относителни. Хилбертовото пространство може да обедини двата аспекта като различни, но еквивалентни тълкувания: като характеристична функция на комплексна (или две реални) величина (квантово поле), и като вектор (или квадратно интегрируема функция)

Тай дзи 3 0

на математически език 𝟏 + 𝟐

фермион

He

Един единствен бозон!!!!

𝟏 − 𝟐

фермион

Вълновата функция Вълновата функция като характеристична като вектор Общо и универсално хилбертово (банахово) п-во

Тай дзи

на математически език

Аксиома за избора 𝟏 „Парадокс” + 𝟐 фермион На Скулем

3 1

He

Един единствен бозон!!!!

𝟏 − 𝟐

фермион

Вълновата функция Вълновата функция като характеристична като вектор Общо и универсално хилбертово (банахово) п-во

Тай дзи

и математическият език

Тай дзи Аксиома за избора „Парадокс“ Квантов компютър на Скулем 𝟎

Един единствен кюбит! ! ! !

𝟏

Вселената на (като) всякакви тюрингови алгоритми

Безкрайни циклични алгоритми

един единствен бит Нейна точка като харакНейна точка теристична функция като вектор Общото и универсално хилбертово (банахово) п-во

У дзи

и теоремата на Коушън-Шпекър

Тай дзи Аксиома за избора „Парадокс“ Квантов компютър на Скулем 𝟎

Един единствен кюбит! ! ! !

𝟏

Вселената на (като) всякакви тюрингови алгоритми

Един найобикновен бит

един единствен бит Нейна точка като харакНейна точка теристична функция като вектор Общото и универсално хилбертово (банахово) п-во

Изображението между числа и един куп

3 3

Няколко опростяващи допускания: 1. Един куп представлява и множество, 𝑆1 , и числа, 𝑆2 2. Две гладки функции могат да заместят състоянието на това изображение във всеки момент 3. Тези две функции 𝑓1 , 𝑓2 са съответно:  едно вероятностно разпределение: 𝑆1  едно “поле”: 𝑆2

𝑓2

𝑆1

𝑓1

𝑆2

Квантовата механика решава общия3 проблем при тези допускания 4 Общият проблем е количественото описание на вселената: прекалено сложно! Числата, Вълновата Добре наредени Функция Вълновата Като поле функция като вероятностно разпределение Цялата вселена като един куп Общият проблем с „Тай дзи“ и „У дзи“

Опростяващото решение На квантовата механика

Решението на квантовата механика в термини на калибровъчните теории 3  Водещото понятие е “разслоено пространство”: Пръстенът на Мьобиус е добър прост пример за него: Глобално и локално и топологичните, и метричните му свойства са съвсем различни

Мьобиусов пръстен Локално

Метрично

Топологично

плосък

двустранен

Глобално

крив

едностранен

5

Мьобиусовият пръстен като пример 3 6 за разслоено пространство “кръговете” като снопове “радиусите” като слоеве, F

същите “радиуси” от “другата страна” като основа

“Разслоено пространство ” чрез пръстена на Мьобиус

3 7

Разслоеното пространство се определя напълно от топологичното преобразование от него до основата или обратното: т.е. сега като разгъване до основата (плосък лист) или сгъването му до мьобиусов пръстен:

Чрез разгъване

Или

Чрез сгъване

‘Разслоение’ − все още чрез илюстрацията с мьобиусов пръстен

3 8

Нека 𝑨 и 𝑩 са два „радиуса“ от „двете“ страни на мьобиусов пръстен, а 𝑨𝒔 , 𝑩𝒔 са същите “радиуси” на листа. Тогава „разслоение“ се описва с триъгълника изображения за кои да е 𝑨, 𝑩, 𝑨𝒔 , 𝑩𝒔 така: 𝑨 𝑨⨂𝑩

𝑩

„𝑨⨂𝑩“ означава декартово произведение

Определение без илюстрации Произволни околности на произволни топологически пространства вместо “радиусите” на илюстрацията Но топологичните пространства са обичайните хилбертови пространства или подпространства при физическата интерпретация на разслоенията в калибровъчните теории

3 9

Тоест, „радиусите“ на мьобиусовия пръстен са хилбертови пространства при илюстрацията

Идеята за калибровка Двата “радиуса” или хилбертови пространства 𝐴 и 𝐵 съответно като началния и калибровъчния белег на некалиброван индикатор, а 𝐴𝑠 и 𝐵𝑠 са същите след прецизно калибриране:

Разслоение 0 𝑨 𝑩

Декартово произведение Стандартният 0 модел 𝑨 𝒔 ≡ 𝑩𝒔

4 0

Некалиброван индикатор Същият − калибриран

Универсалност на калибровката Калибрирането трябва да е едно и също за всяко показание и това е вярно за слабото, електромагнитното и силното взаимодействие, но не − за гравитацията. Затова Стандартният модел обхваща първите три, но не и последната Необходимо условие е квантуването, което гарантира да съществуват двата вектора A и B Хипотезата е: гравитацията не може да се квантува и като следствие, не може по принцип да има калибровъчна теория на гравитацията

Още за спинорите на Дирак За тях може да се мисли по два начина: - Като две електромагнитни вълни - Като комплексна (= квантово) обобщение на електромагнитна вълна Вторият съответства на самата теория на Дирак Първият обаче е много по-поучителен и полезен за нашите целите: показва ни връзката и единството на гравитацията и електромагнетизма и оттук − връзките на гравитацията и квантовата теория посредством електромагнетизма

Защо все пак “квантовата гравитация” да е философски проблем?

• Не заради Alan Socal’s "Transgressing the Boundaries: Towards a Transformative Hermeneutics of Quantum Gravity“    • А заради необходимостта от “transgressing the boundaries” на нашия гещалт: този на съвременната физическа “картина на света”! Следователно, отговорът ни кога един нерешен научен проблем става философски е: когато не може да се реши в гещалта на доминиращата в момента картина на света независимо от огромните усилия, полагани в тази насока 

Нашето предложение да се промени гещалтът: т.е. физическата картина на света • Неговата същност е: нова инвариантност на дискретното и континуалното (гладкото) механично движение и съответните им морфизми в математиката • Това означава обобщение на Айнщайновия (общ) принцип на относителността (1918): “Relativitätsprinzip: Die Naturgesetze sind nur Aussagen über zeiträumliche Koinzidenzen; sie finden deshalb ihren einzig natürlichen Ausdruck in allgemein kovarianten Gleichungen.“

Еквивалентно преформулиране на Айнщайновия принцип:

Всички физически закони трябва да са инвариантни спрямо всяко гладко движение (времепространствено преобразование)

Еквивалентно преформулиране на Айнщайновия принцип: коментар Но всички квантови движения изобщо не са гладки във време-пространството; не са и непрекъснати Освен това: движенията в теорията на относителността не са “плоски” във време-пространството, докато всички квантови движения са “плоски” в хилбертовото пространство Определение: едно движение е плоско, ако се представя като линеен оператор (преобразование) в пространството на движението

Нашето предложение да се обобщи принципът на относителността Всички физически закони трябва да са инвариантни спрямо всяко движение (времепространствено преобразование) Разликата между Айнщайновата формулировка и нашето обобщение е че “гладко” е изключено, така че движението може вече да е и квантово Обаче такъв вид инвариантност се сблъсква с огромно препятствие в теорията на множеството: следователно, още дори в самия фундамент на математиката е необходима споменатата по-горе промяна на „гещалта“

Огромното препятствие в теория на множествата: Инвариантността на дискретното и непрекъснатото не може да е изометрия по принцип, тъй като стандартната мярка на всяко дискретно множество е нула (докато мярката на един континуум може както нула, така и да не е нула) Нещо повече, пречката е още по-дълбоко разположена в теорията на множествата, тъй като мощността на всяко дискретно множество е по-малка от тази на всеки континуум, даже ако мярката на последния е нула

Огромното препятствие в теория на множествата: За щастие, „парадоксът“ на Скулем предлага едно решение “transgressing boundaries” на “гещалта”: За нещастие, „парадоксът“ на Скулем се основава и необходимо изисква аксиомата за избора, понякога смятана за “неприемлива”

Неизбежността на аксиомата за избора в квантовата механика Аксиомата за избора в квантовата механика е добре известна под формата на “случайността” в нея или като теоремите за отсъствие на “скрити променливи” (Neumann 1932; Kochen, Specker 1967): Ако е даден математическият формализъм на квантовата механика (хилбертовото пространство), квантовата случайност не е еквивалентна на статистически избор в кой да е ансамбъл: неговите елементи или техни величини биха били набедените “скрити променливи”

Теоремата на Коушън − Шпекър е най-общата измежду теоремите от типа „няма скрити параметри“:

Същността ѝ: вълново-корпускулярният дуализъм в квантовата механика е еквивалентен с отсъствието на скрити променливи в нея Най-важните следствия от нея: Един кюбит не е еквивалентен на бит или на коя да е крайна последователност от битове Неравенствата на Бел

Теоремата на Коушън − Шпекър е най-общата измежду теоремите от типа „няма скрити параметри“: Най-важните следствия от нея: Неразделимостта на уред и квантов обект „Контекстуалността“ на квантовата механика Квантовата цялост не е еквивалентна на съвкупността или сумата от своите части; квантовата логика не е класическа

„Квантовата цялост” на аксиомата за избора и теоремите за „не-скритостта“ Предварителна бележка: Ако има алгоритъм, който води до избора, аксиомата не трябва: Следователно, сърцевината на аксиомата е да се гарантира възможността за избор без алгоритъм Ако е дадено, че изборът без алгоритъм е по определение случаен избор, то аксиомата за избора твърди, че случаен избор може винаги да се направи, дори и ако рационален избор, чрез алгоритъм − не може

„Квантовата цялост” на аксиомата за избора и теоремите за „не-скритостта“: Теоремите за отсъствие на скрити променливи твърдят, че всеки избор на една определена стойност при измерване е случаен: следователно, те изискват аксиомата за избора в квантовата механика Как обаче, интуитивно убедително, може да се обясни случайността на избора в квантовата механика? Уредът “избира” случайно стойност сред всички възможни чрез механизма на декохеренция: възможна е „времева” интерпретация на кохерентното състояние и декохеренцията:

„Времева” интерпретация на кохерентното състояние и декохеренцията: 4 1

Периодите на дьобройловата вълна на измерващия апарат 𝑇𝑎 и на измервания квантов обект (𝑇𝑒 ) съответно:

𝑇𝑎 =

ħ 1 ; 𝑇𝑒 2 𝑐 𝑚𝑎

=

ħ 1 ;∴ 2 𝑐 𝑚𝑒

𝑇𝑎 𝑇𝑒

=

𝑚𝑒 𝑚𝑎

≈0

Следователно, кохерентното състояние съответства на 𝑇𝑒 , а декохеренцията − на 𝑇𝑒 𝑇𝑎 , i.e. − на случаен избор на (≈) точка от континуалния интервал на 𝑇𝑒 . Сега вече може да се обясни разликата между едно кохерентно състояние и статистически ансамбъл така:

“Времевата” интерпретация на разликата между кохерентно състояние и статистически ансамбъл Дискретният (квантов) скок на всяка функция в точка (стойност на аргумента) поражда кохерентно състояние. Можем да приемем, че този аргумент е времето. Непрекъсната функция (напр. от времето) поражда статистически ансамбъл (напр. от измерените стойности в различни времеви точки). Преобразованието между дискретен скок и непрекъсната функция влече съответно преобразование между кохерентно състояние и статистически ансамбъл

Веригата следствия от парадокса на Скулем към обобщение Айнщайновия принцип на относителността: 42

Парадокс на Скулем

скрити параметри ”

Аксиома за избора

Теоремата Коушън −Шпекър

“Няма Вълно-

"Времева" интерпретация

корпускулярен дуализъм Инвариантност на дискретни и непрекъснати морфизми (функции) Инвариантност на дискретни и гладки време-пространствени движения Обобщение на Айнщайновия принцип на относителността (АПО) ∴ Парадоксът на Скулем е по-слаба формулировка АПО

Няколко коментара: първият, вълново-корпускулярният дуализъм като инвариантност След Нилс Бор сме склонни са разбираме дуализма като допълнителност: двата дуални аспекта или величини не могат да са заедно (т.е. измервани едновременно) Но според самия формализъм на квантовата механика, базиран на комплексното хилбертово пространство, те трябва да са еднакви

Няколко коментара: първият, вълново-корпускулярният дуализъм като инвариантност Оттук, дуалният аспект е просто излишен. Всъщност от теоремите за отсъствие на скрити параметри следва същото Така че би следвало да говорим за вълново-корпускулярна инвариантност. В частност, интуицията ни, отчетливо разделяща вълни от частици, ни подвежда: по принцип те са едно и също

Втори коментар: вълново-корпускулярен дуализъм, вложен в комплексното хилбертово пространство

Две важни негови свойства позволяват това влагане: (1) То и дуалното му пространство са антизиморфни (теорема на Рис за представянето) Така (1) позволява четири двойки да се отъждествят: (1.1) двете съответни точки на двете дуални пространства; (1.2-3: две двойки) преобразованието на Фурие и обратното му на вероятностното разпределение на квантова величина като случайна и нейната реципрочна (спрегната); (1.4) всяка квантова величина и нейната спрегната. Освен това, (1.5) всяка точка в хилбертовото пространство може да се интерпретира и като функция, и като вектор

Необходимо тълкувание на вероятностното разпределение на случайна „квантова“ величина

Вероятностното разпределение на „класическа” случайна величина е реална функция на реален аргумент. Ако обаче всяка точка в хилбертовото пространство се тълкува като вероятностно разпределение на случайна квантова величина, има нужда от допълнително тълкувание и за комплексна вероятност, и за комплексна стойност на физическа величина. Постулира се: всяка квантова величина и нейното вероятностно разпределение се разлага на две „класически“ и вероятностните им разпределения, споделяйки общо и физическо измерение (напр. както време и честота [енергия]) една за дискретния, а другата за − континуалния

Кратък коментар към постулата: Следователно, когато мерим квантова величина, губим информация. Всяко квантово вероятностно разпределение се редуцира до статистически ансамбъл. Принципът на допълнителността забранява въпроса за загубената информация. Най-естествената хипотеза е че както двете компоненти, така и техните съответни вероятностни разпределения съвпадат. Такава хипотеза, обоснована в аксиомата за избора в квантовата механика, добавя вълновокорпускулярен инвариантност към вълновокорпускулярния дуализъм

Още за влагането на вълново-корпускулярния дуализъм в комплексното хилбертово пространство Многократното отъждествяване може да се допълни още: обобщена (напр. ∆-функция) и “необобщена” функция 𝑓 (напр. константа). Може да се интерпретира като 𝑓 −1 ↔ 𝑓, или като размяната между множеството на аргументите и на стойностите или на “осите” на декартовото 𝜋 произведение. Това е анти-изометрична, 2 ротация. Същото, физически интерпретирано, е въпросната вълново-корпускулярна инвариантност. Действително, необходимо условие е само „парадоксът“ на Скулем. Но дали няма да е и достатъчно условие?

ะขะตะพั ะตั ะธะบะพ-ะผะฝะพะถะตั ั ะฒะตะฝะพ ะพะฑะพะฑั ะตะฝะธะต ะฝะฐ ะฒั ะปะฝะพะฒะพ-ะบะพั ะฟั ั ะบั ะปั ั ะฝะธั ะดั ะฐะปะธะทั ะผ 4 3

ะ ะฐ ะฒั ะฒะตะดะตะผ ะผะฝะพะถะตั ั ะฒะพั ะพ ะฝะฐ โ ะตั ั ะตั ั ะฒะตะฝะธั ะต ะบั ะฑะธั ะธโ โ : ะฒั ั ะบะพ ะตั ั ะตั ั ะฒะตะฝะพ ั ะธั ะปะพ ั ะต ะพะฑะพะฑั ะฐะฒะฐ ะบะฐั ะพ ะฝะพะผะตั ะธั ะฐะฝ ะบั ะฑะธั . ะ ะฝะพะถะตั ั ะฒะพั ะพ ะฝะฐ ะตั ั ะตั ั ะฒะตะฝะธั ะต ะบั ะฑะธั ะธ โ ะต ะธะทะพะผะพั ั ะฝะพ ะฝะฐ ะบะพะผะฟะปะตะบั ะฝะพั ะพ ั ะธะปะฑะตั ั ะพะฒะพ ะฟั ะพั ั ั ะฐะฝั ั ะฒะพ โ . ะกะฟะพั ะตะด ั ะตะพั ะตะผะฐั ะฐ ะทะฐ ะดะพะฑั ะฐั ะฐ ะฝะฐั ะตะดะฑะฐ (ะตะบะฒะธะฒะฐะปะตะฝั ะฝะฐ ะฐะบั ะธะพะผะฐั ะฐ ะทะฐ ะธะทะฑะพั ะฐ) ั ะธะปะฑะตั ั ะพะฒะพั ะพ ะฟั ะพั ั ั ะฐะฝั ั ะฒะพ โ ะต ะธะทะพะผะพั ั ะฝะพ ะฝะฐ ะผะฝะพะถะตั ั ะฒะพั ะพ ะฝะฐ ะตั ั ะตั ั ะฒะตะฝะธั ะต ั ะธั ะปะฐ ๐ ะฟะพั ั ะตะดั ั ะฒะพะผ ะผะฝะพะถะตั ั ะฒะพั ะพ ะพั ะตั ั ะตั ั ะฒะตะฝะธั ะต ะบั ะฑะธั ะธ โ .

ะขะตะพั ะตั ะธะบะพ-ะผะฝะพะถะตั ั ะฒะตะฝะพ ะพะฑะพะฑั ะตะฝะธะต ะฝะฐ ะฒั ะปะฝะพะฒะพะบะพั ะฟั ั ะบั ะปั ั ะฝะธั ะดั ะฐะปะธะทั ะผ:

4 3

ะกะตะณะฐ ะฒะตั ะต, ะตะบะฒะธะฒะฐะปะตะฝั ะฝะพั ั ั ะฐ ะฝะฐ โ ะฟะฐั ะฐะดะพะบั ะฐโ ะฝะฐ ะกะบั ะปะตะผ ะธ ะฒั ะปะฝะพะฒะพะบะพั ะฟั ั ะบั ะปั ั ะฝะธั ะดั ะฐะปะธะทั ะผ ะผะพะถะต ะดะฐ ั ะต ั ะฐะทะณะปะตะถะดะฐ ะบะฐั ะพ ั ะพะทะธ ะธะทะพะผะพั ั ะธะทั ะผ: โ

โ

๐

Друга полезна, сега физическа интерпретация на инвариантността (дуализма) Ако е дадена вълново-корпускулярната инвариантност (дуализъм) като две (възможно съвпадащи) точки на дуалните анти-изоморфни хилбертови пространства, тя допуска още една интерпретация: както като (“ковариантно”) множество от хармоници, така и като (“контравариантно”) множество от точки, като двете множества са анти-изоморфни (антиизометрично измерими).

4 4

ะ ั ั ะณะฐ ะฟะพะปะตะทะฝะฐ, ั ะตะณะฐ ั ะธะทะธั ะตั ะบะฐ ะธะฝั ะตั ะฟั ะตั ะฐั ะธั ะฝะฐ ะธะฝะฒะฐั ะธะฐะฝั ะฝะพั ั ั ะฐ (ะดั ะฐะปะธะทะผะฐ) ะคะพั ะผะฐะปะฝะพ, ั ะฐะทะธ ะธะฝั ะตั ะฟั ะตั ะฐั ั ั ะต ะฟะพะปั ั ะฐะฒะฐ ะพั ะดั ั ะณะฐ ั ะธะทะธั ะตั ะบะฐ ะธะฝั ะตั ะฟั ะตั ะฐั ะธั ะฝะฐ ั ั ะฝะบั ะธั ะธ ะฝะตะนะฝะพั ะพ ะฟั ะตะพะฑั ะฐะทะพะฒะฐะฝะธะต ะฝะฐ ะคั ั ะธะต: 1 ๐ ๐ ฅ F ะคั ั ะธะต ๐ ฅ ั ะธะทะธั ะตั ะบะฐ ะธะฝั ะตั ะฟะตั ั ะฐั ะธั 1 ๐ (๐ ก) ๐ น 4 4 (ะคั ั ะธะต) ๐ ก

Има ли математически модел, който съвпада с моделираната реалност? 4 𝑓 𝑥

Фурие

1 F 𝑥

5

физическа интерпретация

1 𝑓(𝑡) 𝐹 Фурие 𝑡 𝑓 𝑥

Фурие

1 F 𝑥

друга физическа интрепретация

1 𝑝(𝐴) 𝐹 Фурие 𝐴

ะคะธะปะพั ะพั ั ะบะฐ ะธะฝั ะตั ะปั ะดะธั ะทะฐ ะปะพะณะธั ะตั ะบะฐั ะฐ ะตะบะฒะธะฒะฐะปะตะฝั ะฝะพั ั ะฝะฐ ะดะฒะต ั ะธะทะธั ะตั ะบะธ ะธะฝั ะตั ะฟั ะตั ะฐั ะธะธ ๐ ๐ ฅ

๐ (๐ ก)

ะคั ั ะธะต

ะคั ั ะธะต

๐ น

1 ๐ ก

1 F ๐ ฅ

4 6

ั ะธะทะธั ะตั ะบะฐ ะธะฝั ะตั ะฟั ะตั ะฐั ะธั

โ ะฒั ะตะผะตะฒะฐ ะธะฝั ะตั ะฟั ะตั ะฐั ะธั

1 ๐ ๐ ฅ F ะคั ั ะธะต ๐ ฅ ะดั ั ะณะฐ ั ะธะทะธั ะตั ะบะฐ ะธะฝั ะตั ะฟั ะตั ะฐั ะธั 1 ๐ (๐ ด) ๐ น , ะฒะตั ะพั ั ะฝะพั ั ะฝะฐ ะธะฝั ั ะตะฟั ะตั ะฐั ะธั ะคั ั ะธะต ๐ ด

ะ ะตะบะฐ ั ั ะพะนะฝะพั ั ั ะฐ ะฒ ะตะดะฝะฐั ะฐ ะธะฝั ะตั ะฟั ะตั ะฐั ะธั ะดะฐ ะต ะฐั ะณั ะผะตะฝั ะฒ ะดั ั ะณะฐั ะฐ: ๐ ๐ ฅ

ะคั ั ะธะต

1 F ๐ ฅ

4 7

ั ะธะทะธั ะตั ะบะฐ ะธะฝั ะตั ะฟั ะตั ะฐั ะธั

1 ๐ ด(๐ ก) ๐ น ะคั ั ะธะต ๐ ก

๐ ๐ ฅ

ะคั ั ะธะต

1 F ๐ ฅ

ะดั ั ะณะฐ ั ะธะทะธั ะตั ะบะฐ ะธะฝั ะตั ะฟะตั ั ะฐั ะธั

1 ๐ (๐ ด) ๐ น ะคั ั ะธะต ๐ ด

ะ ะตะบะฐ, ะพั ะฒะตะฝ ั ะพะฒะฐ, ะดะฐ ั ะฐ ั ั ะฝะบั ะธะธ ะฝะฐ ะตะดะธะฝ ะธ ั ั ั ะฐั ะณั ะผะตะฝั , ะบะพะนั ะพ ะดะฐ ะต โ ะฒั ะตะผะตโ : ๐ ๐ ฅ

ะคั ั ะธะต

1 F ๐ ฅ

4 8

ั ะธะทะธั ะตั ะบะฐ ะธะฝั ะตั ะฟั ะตั ะฐั ะธั

1 ๐ ด(๐ ก) ๐ น ะคั ั ะธะต ๐ ก ๐ ๐ ฅ

ะคั ั ะธะต

1 F ๐ ฅ

ะดั ั ะณะฐ ั ะธะทะธั ะตั ะบะฐ ะธะฝั ะตั ะฟั ะตั ะฐั ะธั

1 ๐ [๐ ด ๐ ก ] ๐ น ะคั ั ะธะต ๐ ด(๐ ก)

ะขั ะปะบั ะฒะฐะฝะธะต ะฝะฐ ั ะธะทะธั ะตั ะบะธั ะต ะธะทะผะตั ะตะฝะธั : ะ ั ะตะดะธ ะฒั ะธั ะบะพ, ะบะฐะบะฒะพ ะต ั ะธะทะธั ะตั ะบะพั ะพ ะธะทะผะตั ะตะฝะธะต ะฝะฐ ะฟั ะพะธะทะฒะตะดะตะฝะธั ั ะฐ: ๐ ๐ ด . ๐ ด ๐ ก ะธ ๐ [๐ ด ๐ ก ]. ๐ ด ๐ ก ? ะขั ะน ะบะฐั ะพ ๐ ด ะบะฐะบะฒะฐั ะพ ะธ ะดะฐ ะต ั ะต ั ั ะบั ะฐั ะฐะฒะฐ, ั ะพ: ๐ ๐ ด . ๐ ด ๐ ก = ๐ ป๐ ง ~๐ ธ . ะ ะทะฐ ๐ ๐ ด ๐ ก . ๐ ด ๐ ก ? ๐ ป๐ ง

4 9

Тълкувание на физическите измерения: Например, ако A е разстояние: 𝑚 𝐻𝑧. 𝑠

=

𝑚 𝑠2

~𝑎 ∴

𝑎 𝑝 𝐴 𝑡 .𝐴(𝑡) 𝐺~ ~ 𝐴 𝑝 𝐴 .𝐴(𝑡)

𝑝[𝐴 𝑡 ] статистическа вероятност = = ~ 𝑝(𝐴) квантова вероятност като статистически анасамбъл ~ ~ като квантова цялост като вероятностно разпределение ~ = като характеристичната му функция = =1 за хилбертово простр.

4 9

Теоремата на Пърсивал 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥

Фурие Фурие

𝐹 𝑦 𝐺 𝑦

при няколко условия

∞

⟺

∞

𝑓(𝑥) . 𝑔 𝑥 . 𝑑𝑥 = −∞

𝐹 𝑦 . 𝐺(𝑦). 𝑑𝑦 −∞

5 0

Теоремата на Пърсивал, приложена към обобщението на квантова величина и 5 нейната спрегната 1 𝐹 𝑦

самоспрегнат оператор

𝐹(𝑦)

произволен оператор

∞

⟺

𝐺 𝑦 при някои условия

𝐺 𝑦 ∞

𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 . 𝑑𝑥 = −∞

𝐹 𝑦 . 𝐺 𝑦 . 𝑑𝑦 ⟺ −∞

⟺ 𝑋 = 𝑌 (т.нар. вълново-корпускулярна инвариантност)

Теоремата на Пърсивал, 5 2 илюстрирана просто, като равенство на произведения 𝒇 𝒙 = 𝑭(𝒚)

𝒇 𝒙 = 𝐅(𝐲)

𝒈 𝒙 = 𝑮(𝒚)

𝒈 𝒙 = 𝑮(𝒚)

Очевидно теоремата на Пърсивал е следствие от “плоскостта” на хилбертовото пространство. Да го „изкривим“ до банахово? 𝑭(𝒚)

𝐅(𝐲) 𝒇 𝒙

𝒇 𝒙

𝒈 𝒙

5 3

𝑮(𝒚)

𝑮(𝒚)

𝒈 𝒙

Преобразование на Фурие чрез 3D декартово произведение 𝒙 𝑭

Фурие

5 4

𝒇(𝒙) 𝒇 𝒇(𝒙)

дуално простр.

Фурие

простр.

𝒙(𝑭) 𝑭 𝟑𝑫 декартово произведение

Теоремата на Рис за представянето чрез 5 3Д декартово произведение 5 𝒇

𝒇(𝒙) 𝒙(𝑭)

𝑭

𝟑Д декартово произведение

𝑭 𝒇

𝑭, 𝒙, 𝒇 изобразяват спрегнатите комплексни оси

За 𝒇(𝑭) и съвпадението на 𝒇(𝒙), 𝒙(𝑭), и 𝒇(𝑭) по форма 5 6

𝒇 Интересното е за банахово пространство!

𝑭

∀ 𝒙 𝑭 ,𝒇 𝒙 ,𝒇 𝑭 : 𝒙 𝒇(𝑭) ≡ 𝒇[𝒙 𝑭 ]

𝒙(𝑭) A функционал

Равнината, определена с трите „точки“, 𝑭, 𝒙, 𝒇, се изкривява във … (моля, представете си го )

Ето това си представете, моля: Сега: няма сдвояване⟺ ℍ𝟏 ⨂ℍ𝟐 = ℍ𝟑

⟺ няма и гравитация

(ℍ𝟑 е хилбертовото. п-во на съставната с-ма ℍ𝟏 &ℍ𝟐 )

“Повърхността” на банаховото пространство

𝒇 𝒇

5 7

𝒙 𝒙

𝑭

(𝑭, 𝒙, 𝒇) ℍ1 Равнината (𝒇, 𝒙, 𝒇, 𝒙) представя три хилб. п − ва ℍ2 ℍ3 (𝑭 ≡ 𝑭, 𝒇𝒙) тензорно произведение

такива че: ℍ1 ⨂ℍ2 = ℍ3

Обаче общият случай е:

5 8

Сдвояване ⟺ ℍ𝟏 ⨂ℍ𝟐 ≠ ℍ𝟑 ⟺ няма гравитация (ℍ𝟑 е хилб. п-во на съставната с-ма ℍ𝟏 &ℍ𝟐 ) “Повърхността” на банаховото п-во

𝑭

𝒇 𝒙

𝒇

𝒙

ℍ𝟏 = (𝑭, 𝒙, 𝒇) „Равнината” ℍ𝟐 = (𝒇, 𝒙, 𝒇, 𝒙) образува произволен ℍ3 = (𝑭 ≡ 𝑭, 𝒇𝒙)

триъгълник: такъв че ℍ𝟏 ,ℍ𝟐 не са ортогонални в общия случай (т.е. могат да бъдат в частния)

Различните перспективи от хилбертово 5 9 и от минковско пространство Всъщност двете пространства са едно и също, видяно в различни перспективи: 𝟐𝝅  Като хилбертово п-во с честота, 𝝎 = , 𝒕  Като минковско п-во с време, 𝒕 Можем да сравним „атомите“ на базисите им: Непрекъснатост: Дискретност: (броимо) ??? разширение по време

Минковско п-во

(броимо) разширение по честота Хилбертово п-во

Различни перспективи към импулс − траектория: хилбертово − минковско п-во траектория

импулс 6 0

𝑡

𝑡

мирова линия

Фурие трансф. м/у дуални п−ва

Непрекъснатост: (броимо) разширение по време

Минковско п-во

квантов скок

Дискретност: (броимо) разширение по честота Хилбертово п-во

Хилбертово − минковско пространство: вълново-корпускулярен дуализъм 6 траектория

импулс

𝑡

𝑡

светова линия

1

Фурие трансф. м/у дуални п−ва

квантов скок

Частица, гладко движеща се по тази траектория, добре наредена по време

вълнова функция едновременна в пространството

Минковско п-во

Хилбертово п-во

Хилбертово − минковско п-во: пълна симетрия на позиции и вероятности траектория

импулс 6 2

𝑡

𝑡

Гладко движение на частица по траектория, добре наредена по време

Вълнова функция в цялото п-во, но добре наредена по честота

Но траекторията е една единствена смес от честоти

Но вълновата функция е една единствена смес от позиции

Четириъгълникът: хилбертово – банахово – минковско – псевдориманово п-во 6 3

Банахово п-во

Псевдориманово

изкривяване

Хилбертово

изправяне

изкривяване

изправяне

Фурие трансф.

Минковско п-во

Познатите страни на четириъгълника: 6 и хилбертово – банахово п-во, 4 и минковско – псевдориманово п-во банахово

добавено скаларно произведение, инвариантно за точките на п−вото

хилбертово вариращо скаларно п-ние, зависещо от точките на п-вото

банаховото като криво хилбертово п-во: Промяната на скаларното п-ние може да се тълкува като функция от кривината във всяка точка

Известните страни на четириъгълника: и минковско – псевдориманово п-во, 6 и хилбертово – банахово п-во 5

псевдо минковско −риманово п−во п−во вариращо скаларно п-ние, зависещо от точките на п-вото добавено скаларно п−ние, инвариантно за точките му

Псевдоримановото п-во като изкривено минковско: промяната на скаларното п-ние във всяка точка може да се тълкува като функция от кривината в тази точка

Аналогията на двете трансформации е различни изгледи към една и съща:6 хилбертово п−во

минковско п−во

скаларно изкривяване скаларно изправяне

скаларно изкривяване скаларно изправяне

6

банахово п−во псевдо− риманово п−во

Можем да използваме двете перспективи, честота (енергия) − време, за хилбертово – минковско пространство:

Двете преобразования като едно Хилбертово пространство

скаларно изкривяване скаларно изправяне

честота

от типа на Фурие преобразование

време

Минковско пространство

скаларно изкривяване скаларно изправяне

Банахово пространство

6 7

Псевдо− риманово пространство

2’ 1’

дуално пространство

…

Транслация и ротация на всяка съответна сфера в дуалното пространство

6 8

n

…

n’

време честота

… … … …

Изкривяване и изправяне: едно

пространство

2 1

Изкривяване и изправяне в първия случай: два коментара

6 9

време честота

1) Именно първият случай е известен досега: „Изкривеното” псев„Плоското” хилбертово дориманово п-во на пространство на общата относителност квантовата механика 2) Една философска рефлексия за квантовото изображение на реалността: Актуалната безкрайност на времева последователност се изобразява като актуалната безкрайност на честотна последователност, т.е. като импулс, т.е. като квантов скок:

Твърде важен философски извод:

 Следователно, квантовата механика е емпирично знание за актуалната безкрайност !

2’ 1’

дуално пространство

…

Транслация и ротация на всяка съответна сфера в дуалното пространство

7 0

n

…

n’

честота време

… … … …

Изкривяване и изправяне: две

пространство

2 1

Изкривяване и изправяне във втория 7 1 случай: два коментара честота време

1) Тъкмо вторият случай е за подчертаване: „Плоското” минковско „Изкривеното” пространство на специалбанахово ната теория на относителпространство ността на сдвояването 2) Методологически еквивалентността на двата случая: “Няма нужда от квантова гравитация!”, или: Сдвояването представя квантовата гравитация изцяло. И двете пространства биха могли да са „криви“, така че частична степен на сдвояване се съчетава с частична степен на гравитация

Непознатите страни на четириъгълника: 7 и хилбертово – минковско п-во, 2 и банахово – псевдо-риманово Хилбертово или банахово пространство

време

Минковско или псевдориманово пространство

честота като траектория

Дискретност Аксиома за избора Непрекъснатост като импулс

дуалност дискретно − непрекъснато ⊠ инвариантност вълна − частица

Страните на четириъгълника: 1| Минковско – псевдориманово п-во

2’ 1’

дуалното пространство

…

…

n’

положение на тяло…⍟ 7 Транслация и 3 ротация n на всяка съответна сфера в дуалното п-во 2

честота (енертия) време

… … … …

импулс ⍟… в гравитационно поле

пространство

1

Четириъгълникът поред: минковско – псевдориманово п-во: заключение “Изкривеното” Минковско п-во като псевдориманово представлява цялата вселена като гравитационно поле на цялото, или на всичко останало спрямо тялото

“Плоското” минковско п-во съдържа времепространствената траектория на тялото

дуалното пространство

пространство

7 4

n’

2’

…

вероятност Вълнова функция на нещо…⍟ Транслация и ротация n на всяка съответна сфера 7 в дуалното 5 п-во

…

… … … …

вероятност ⍟… при сдвояване

положение положение

Страните на четириъгълника: 2| хилбертово – банахово п-во

2 1’

дуалното пространство

пространство

1

Четириъгълникът поред: хилбертово – банахово п-во: заключение “Изкривеното” хилбертово п-во като банахово представя цялата вселена като сдвояване на квантовото нещо с всичко останало дуалното пространство

7 6

“Плоското” Хилбертово п-во въвежда вълновата функция на квантовото нещо

пространство

Четириъгълникът “две по две”: хилбертово – банахово и минковско – pпсевдориманово п-во: заключение Тясната аналогия между тези две страни на “четириъгълника” подсказва общата им същност като два различни израза за едно и също: Банаховото (хилбертовото) пространство като функции глобално и псевдоримановото (минковско) п-во като траектории от последователни точки локално

Важни бележки по заключението Първо: Времевата (вместо “честотната”) интерпретация на псевдоримановото (минковско) пространство се дължи само на традицията и навика: всъщност, както банаховото (хилбертовото), така и псевдоримановото (минковско) пространство са безразлични към време – честота или непрекъсната – дискретна интерпретация или вълново-корпускулярен дуализъм, бидейки просто математически формализми

Важни бележки по заключението Второ: Както псевдо-римановото (минковското), така и банаховото (хилбертовото) пространство споделят или време, или честота, Интерпретирани като добре наредени по параметъра или на време, или на честота по (геодезична) линия. Какво обаче ще стане добрата наредба се изостави във всички случаи и чрез това − и аксиомата за избора?

Важни бележки по заключението

Трето, отговорът е: Изоставяйки аксиомата за избора във всички случаи и чрез това − добрата наредба, цялото се оказва кохерентна смес от всички възможни свои състояния или части (които дотогава са били добре наредени по време или честота). Всяко възможно състояние или част може да се характеризира с вероятността си да се случи. Тази вероятност може да се илюстрира като получено чрез проекция число или мярка на съответното състояние или част

Функционално пространство tf “Линейно” пространство p

Точка в банахо- Точка в хилбервото п-во товото п-во Траек- Линия в Тра- Линия в тория в псевдоекто- минковсилово риманория ско п-во поле во п-во ∞ p 7 𝒑𝒅𝒙 < 𝟏

−∞

∞

x

7

𝒑𝒅𝒙 = 𝟏

Пространство x Дефектно −∞ вероятностно на “проекция Нормирано разпределение, във вероятдължащо се на вероятностно ности“ сдвояване разпределение (силово поле) “Плоският” “Кривият” случай случай

“Поучение” за отрицателната вероятност Дефектното вероятностно разпределение, дължащо се на сдвояване (т.е. на някакво взаимодействие) може също така да се тълкува като еквивалентна субстанция, характеризирана с отрицателна вероятност. Но за това трябва квантовата цялост да се преобразува в „еквивалентен” статистически ансамбъл. Ако се направи така, сдвояването може да се разглежда като нов вид субстанция: субстанция на квантовата информация

Страните на четириъгълника поред: 3) хилбертово – минковско п-во

И двете са “плоски”, добре наредени, изразяващи едно и също, но: Реална разлика: хилбертовото пространство е функционално, актуално безкрайно, докато минковското е точково, потенциално безкрайно Привидна разлика: хилбертовото пространство (но неправилно) се интерпретира само като „честотно“ пространство, представящо дискретни импулси, докато минковското − като „времево“, представящо само гладки траектории. Всъщност и двете са и двете

Страните на четириъгълника поред: 3| хилбертово – минковско п-во Много важен извод от реалната разлика:

Една траектория в пространството на Минковски представя потенциално безкраен, текущ процес във времето или „по честота“, докато точка в хилбертовото пространство представя същия процес като завършен т.е. като актуална безкрайност Двете гледни точки към „хилбертово-минковско“ пространство го представят съответно или като потенциална, или като актуална безкрайност

Страните на четириъгълника поред: 4|банахово – псевдориманово п-во И двете са “криви”, а иначе всичко казано погоре за хилбертово – минковско пространство е валидно и за тяхната двойка: И двете пространства изразяват едно и също в различни перспективи: И двете могат да се интерпретират и като времево, и като честотно пространство, но псевдоримановото представя процес в потенциална безкрайност като траектория, мирова линия в точково пространство, докато хилбертовото − актуалната безкрайност на един завършен процес като точка във функционално пространство

Четириъгълникът поред: 4|банахово – псевдориманово п-во: кривината 𝐅(𝐲)

7 8

𝒇 𝒙

n

…

… … … …

ба на 𝒇 𝒙 хо 𝑭(𝒚) во пр си n' ем ва дн оо .о в p ве р p p о я тн о x x ст дуалното пространство

…

вариращи “ъгъл+разстояние ” ортогоналност

представена чрез двете дуални пространства

p

x пространство

Механично движение в силово поле чрез дуални пространства

7 9

n

силово поле

n'

…

𝒑𝑭 (𝒕),𝑬𝑭 (𝒕)

…

… … … …

Съпоставяне на лагранжовия и хамилтоновия подход към механичното движение И в двата случая, три 4-вектора 𝒙, 𝒕; 𝒑, 𝑬; 𝒑𝑭 , 𝑬𝑭 определят движението във всяка точка, но … тук като три дискретни съответни 4-точки, … … а тук като гладка дуално p,E x,t п-во траектория п-во

Хамилтонов (дуални п-ва) Лагранжов (производни)

Съпоставяне на лагранжов и хамилтонов подход към механичното движение:заключение A. И двата подхода са еквивалентни в класическата механика – добре известен факт B. Ако приемем еквивалентност на гравитацията (лагранжов) и сдвояване (хамилтонов), и двата ще бъдат непосредствено еквивалентни и в квантовата механика C. Универсалната еквивалентност на двата подхода произтича от инвариантността дискретнонепрекъснато или от вълново-корпускулярния дуализъм, или от вълново-корпускулярния дуализъм

Философско отклонение за гравитационното и силовото поле

Нова хипотеза: поле на сдвояването Ако всяко обичайно поле действа на стойностите на определени физически величини, полето на сдвояване действа на вероятностите на тези стойности. Тогава то е вероятностно поле Източникът на такова поле може да е всяка дискретна, скокообразна промяна на същата величина във всяка точка на време-пространството Тя може да въздейства на всяка друга дискретна промяна на тази величина навсякъде:

Обаче как?

Как полето на сдвояване действа? В известен смисъл всяка дискретна промяна е еквивалентна на вероятностно поле: тъй като е невъзможно да се определи еднозначно скорост на промяна, тя се заменя с множеството от всички стойности със съответни вероятности, т.е. − с вероятностно поле върху всички стойности Две или повече дискретни промени могат да споделят някои стойности, макар да са с различни вероятности в различните вероятностни полета. Тогава вероятностите взаимодействат все едно непосредствено, за да породят нова обща вероятност за съответната стойност

Как действа полето на сдвояване? По-нататък: Ако и само ако вероятността е нулева за всяко друго поле, когато вероятността на едно от тях е ненулева, тогава вероятностните полета не взаимодействат, те са „ортогонални” и няма сдвояване Сдвояването се „случва” математически посредством двойката дуални пространства:

Как? Първо, би трябвало да се интерпретира връзката между двете дуални пространства

Как действа полето на сдвояване?

Интерпретирайки връзката между двете дуални п ва 8 0

Друг (или същия??) Квантов скок във времето квантов скок по енергия (честота)

Вероятностното поле на всички импулси Всеки импулс Дуалното п-во

Вероятностното поле на всички положения

Неопределеност Фурие трансформ.

Всяко положение

Пространство

Как полето на сдвояване действа?

Интерпретирайки връзката на двете дуални п-ва

Комплексно хилбертово п во

8 1

Комплексното вероятно- Вероятностното поле стно поле на всички на всички положения импулси като положения Комплексното вероятноВероятностното поле стно поле на всички на всички импулси положения като импулси

Всеки Всяко Неопределеност, импулс положение Фурие трасформ. (и положение) (и импулс) Дуалното п-во Пространство

Как полето на сдвояване действа?

Интерпретирайки връзката на двете дуални п-ва

Комплексно хилбертово п во

8 2

Едно и също комплексно Едно и също комплексно вероятностно поле и на вероятностно поле и на положенията, и на импулсите, и на импулсите положенията Няма избор вечността Поглед от времето Аксиома поглед 𝑬~𝒇 = 𝟏/𝒕 𝒕за избора

𝒑

Дуалното пространство

𝒙

Пространство

Отклонение за „стрелата на времето” Стрелата на времето е фундаментален факт времето за разлика от всички физически величини не е изотропно Обяснение може да е времето е добра наредба на всяка друга физическа величина Стрела на времето и добра наредба изразяват едно и също Следователно аксиомата за избора която е еквивалентна с добрата наредба означава че всяко множество може да се представи като физическа величина във времето или като траектория в специално пространство съответно на множеството всяко множество може да се преобразува в друго Теорията на категориите обобщава това

Три ограничения за избор при точка от траектория Зависимост на импулса от положението: стойността на импулса в даден момент е пропорционална на производната на положението в същия момент, т.е. на скоростта “Гладък избор” и на импулс, и на положение: ограничен е до безкрайно малка околност на точката, така че траекторията и производната ѝ са гладки във всяка точка Точно съответствие на мярката на една и също множество на стойностите и вероятността на стойността

Същите ограничения за избор при точка от поле Всяка точка от траектория изпитва сила от полето в същата точка Тази сила представлява просто друга траектория, но само в дуалното пространство на енергия и импулс. Такава втора траектория се приписва на всяка време-пространствена Има само една разлика (при първото ограничение): положението и импулса са независими помежду си при две траектории

Интерпретация на двете траектории в термините на цяло и част Първата траектория представя случая без поле, вкл. без гравитационно. Системата е затворена, все едно една единствена във вселената и нейната механична енергия е само кинетична. В този случай една част се разглежда като цяло Втората траектория представя вселената или цялото, включващо първата система като една своя част (подсистема). Тя е също затворена, и то действително, и е източникът на силовото поле и на потенциалната механична енергия

Взаимодействие на система със силово поле в термини на цяло и част Енергия импулсът на системата взаимодейства с енергия импулса на полето като събиране на вектори в пространството на Минковски Това може да се интерпретира като образуване на ново цяло от две изходни цялото на вселената включва цялото на въпросната система Вече е обсъждано като теоретико множествено изкривяване обратно на изправянето чрез избора

Поглед към система в силово поле в термините на честота (енергия) вместо на време Представянето чрез енергия-импулс е тази гледна точка. Всяко силово поле, действащо на системата, представлява разминаване на дискретния ѝ и непрекъснатия ѝ аспект По традиция, това разминаване се влага в енергия-импулс, или иначе казано − в термините на честота и дискретен импулс Всъщност представлява влиянието на цялото върху системата и е еквивалентно представимо както в термините на честота и дискретен импулс, така и в тези на време и гладка траектория

Айнщайновата революция с общата относителност, в същите термини Тъй като всяко силово поле, вкл. гравитационното, може еквивалентно да се представи и като втора, и то също време-пространствена траектория, вместо енергийно-импулсната, тази втора траектория може да се разглежда като базис за едно “криво”, а именно псевдоримановото пространство, в която се случва първата траектория на всяка отделна подсистема Пространството обхваща траекторията като време-пространствен израз на начина, по който кое да е цяло обхваща всяка своя част

Най-дълбокото значение не е в геометризацията на физиката, т.е. не е в представянето на силово поле като “изкривено” времепространство, а именно псевдоримановото Реалното значение е в еквивалентността на представяне на всяко силово поле: както като второ енергийно-импулсно пространство (траектория), така и като второ времепространство (или траектория) Но нека подчертаем: и двете представяния са не само непрекъснати, а гладки (всъщност − по традиция)

Следвайки урока от Айнщайн отвъд него: въвеждаме второ представяне, а именно онова „от вечността“ не заради него самото, а заради нова еквивалентност (или „относителност”)

Тази „относителност” или еквивалентност е между дискретното и непрекъснатото (гладкото), но и между математическото и физическото  А второто представяне, „от вечността“ само отстранява добрата наредба във време-пространство (или в енергийно-импулсното пространство), с което отстранява аксиомата за избора, с което − и самия избор

Това второ представяне е и … квантовата механика

Поглед към система в силово поле в термини на вечността вместо на времето 8 3

ОК но вече сме го въвели малко по горе

Едно удивително свойство на тази „относителност” … само-отнесеността

В частност, дуализмът предлага нов модел за само-отнасянето − дуалната отнесеност: и двете дуални (напр. пространства) могат да се разглеждат като обобщение всяко на другото, ако всяко от тях е еквивалентно на съвкупността от двете: Освен това тази съвкупност е и като обобщение, и като еквивалент и на двете заедно „Плоското” хилбертово пространство на квантовата механика (с „допълнителността“ ѝ) е добър пример за такъв род само-отнесеност

Бележки по този удивителен вид самоотнесеност

Тоталността, безкрайността, целостта трябва да притежават това свойство: следователно, съвкупността от две дуални (напр.) пространства е подходящ модел за всяко от тях, а квантовата механика е емпирична (!) наука за всички тях Има поне няколко важни интерпретации на същата идея във физиката, математиката и философията: съвкупността от ‚неща’ и техните ‚движения’ е дуално пълна в смисъла по-горе

Бележки по този удивителен вид самоотнесеност  Освен това, съвкупността от функтори и категории в теорията на категориите е дуално пълна; също съвкупността от собствени (без аксиомата за избора) и несобствени (с аксиомата за избора) интерпретации в теорията на множествата; Всъщност се занимаваме с тази само-отнесеност, заради двойката гледни точки към механичното движение − от „вечността“ („няма аксиома за избора") и от „времето“ (чрез аксиомата за избора

Най съществената бележка за дуалната самоотнесеност на вечност и време Проблемът е дуалната самоотнесеност на: вечност От време

Няма избор поглед Аксиома за избора

Вечност и време са само две различни интерпретации на една и съща математическа структура: а именно − хилбертово (банахово) пространство

Ако вечност и време са две различни интерпретации, тогава … … честота (енергия), време и „вечност“ (вероятност) са три еквивалентни интерпретации; … “вечността“ интерпретира хилбертовото (банахово) пространство като дуално (двойно) вероятностно разпределение и неговото Фурие (-подобно) произведение; ... времето интерпретира хилбертовото (банаховото) пространство като минковско (псевдориманово) пространство, а движението − като гладка траектория; ... честотата (енергията) ги интерпретира като представяния на дискретен импулс; …

Ако вечност и време са две различни интерпретации, тогава… … трябва да се допусне еквивалентна кривина (т.е. неортогоналност) както между вечност и време, така и между време и честота (енергия), както и между честота (енергия) и вечност, а и между всички тях; … както сдвояването (от частната гледна точка на „вечността“), така и гравитацията (от частния поглед на времето и енергията), както и всяка еквивалентна комбинация изразява една и също; … трябва да допуснем взаимодействие дори и между сдвояване и гравитация

Ако вечност и време са две различни интерпретации, тогава… 

това едно и също се изразява различно от гравитацията (в термините на времето и енергията) и сдвояването (в термините на две вероятностни разпределения), представяйки едно и също взаимодействие между система и вселена (обкръжение) от гледните точки на времето (с енергията) и „вечността“ … каквото и да е относно евентуалното взаимодействие на гравитация и сдвояване е напълно открит въпрос

Ако вечността и времето са различни интерпретации, тогава…

8 Вълновата функция като Фурие трансф. на две (спрегнати) вероятностни р-ния

вечност За сдвояването

Комплексно Едно хилбертово и също!!! (банахово) пространство За гравитационното поле

Добра наредба по време и честота (енергия) чрез аксиомата за избора

време и честота

4

Следователно, заключението е ... !!!

Сдвояването е чрез погледа върху система в силово поле в термините на „вечността“ вместо на времето (честотата, енергията)

Теоретико-множествена интерпретация на връзките между функционално и физическо пространство 𝒙 𝑭

Фурие

Дуално пр − во

𝒇(𝒙)

Фурие

Пр − во

𝒇

𝒇(𝒙)

𝒙(𝑭) 𝑭 𝟑Д декартово произвед.

𝒙, 𝒇, 𝑭 − множества, такива че: 𝒙 𝑭 𝒇 = 𝟐 ,𝒙 = 𝟐 ; 𝒇 𝒙 ⊂ 𝒇, 𝒙 𝑭 ⊂ 𝒙

8 5

Продължение на теоретикомножествената интерпретация 𝒙

8 5

𝒇 = 𝟐 ,𝒇 𝒙 ⊂ 𝒇 𝒙, 𝒇, 𝑭 − множ. , за които: 𝒙 = 𝟐𝑭 , 𝒙 𝑭 ⊂ 𝒙 Ако 𝒇(𝒙)

кардинално число

𝒙 𝒇

то:

𝑭 и 𝒙(𝑭) 𝒙 функции 𝒇 𝒙 , 𝒙 𝑭 𝒂𝒓𝒆 обобщени функции кардинално число

Връзки между пространства от 87 функции и физическото пространство 𝒙 𝑭

Фурие

Дуално пр − во

𝒇(𝒙)

Фурие

𝒇

𝒇(𝒙)

Пр−во

𝒙(𝑭) 𝑭 𝟑Д Евклидово пространство 𝒚 ≡ 𝒇 𝟑Д декартово произв. 𝒙, 𝒚проекция на 𝝋

𝒙, 𝒛 проекция на 𝝋 Времево праметризиране превръща 𝝋 = 𝜱 𝒕 във времепространствена 𝝋 = 𝝋 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝟎 𝒛≡𝑭 траектория

Два много интригуващи философски извода от това ℍ

ℚ

𝕀:

(1) Квантовата механика в качеството ѝ на интерпретация на хилбертовото пространство може да се разглежда като физическа теория за (математическата) безкрайност (2) Реалността посредством физическата реалност, основана на квантовата механика, може да се разглежда чисто математически като клас безкрайности, допускащи вътрешно доказателство за пълнота; или другояче казано − като онзи модел, който може да се отъждестви с реалността