Васил Пенчев
„ПРИНСТЪНСКИЯТ” ДУХ Contemporary neopythagoreanism – The lodged at Princeton refugees – On quantum information as a mathematical doctrine – “The sixth problem” of Hilbert– Axiomatic logics, geometries, but why not also “physicses”? – The axiomatizing both of the theory of probability and of mechanics – The coincidence of model and reality as a solution of “the sixth problem” of Hilbert – The theorem about the absence of hidden parameters as a proof for the coincidence of model and reality – Bell’s inequalities as a generalization of von Neumann’s theorem – “The second problem” of Hilbert – Why “arithmetization”? – Arithmetization vs. geometrization? – Meta-mathematics: the foundation or self-foundation of mathematics – The problem of actual infinity – Actual infinity as a derivative of wholeness – The theory of Hilbert space as that domain of mathematics, which is able to found itself – Mathematical existence and existence in general – Mathematics as ontology: Pythagoreanism – Completeness, consistency … and additivity – The quantum nostrum of non-additivity – Transfinite induction: Peano or Gentzen arithmetic – A dual foundation of arithmetic: the “geometrization” of arithmetic – Gödel and Hilbert mathematics – The Kochen and Specker theorem – “Hidden parameter” does not “the element of reality” – The theorem of Kochen and Specker as a generalization of von Neumann’s – Duality, holism, and numberness (numericality) – Of I Ching generating Yin and Yang – The cyclic and holistic paradigm of dualistic Pythagoreanism versus the classical bipolar episteme – Any complete and consistent structure is non-additive − The incompleteness both of quantum mechanics and arithmetic? – Choice, number, and probability − -function in a generalized notation – The sense of Einstein’s “common covariance” – “Princeton” also for gauge theories – More about “dualistic pythagoreanism” – Quantity and property – Projection operator as statement (à la von Neumann)− Simultaneous undecidability – Does the notion of physical quantity imply the invariance of time moments? – Commuting and non-commuting operators – Perfecting the notion for simultaneous immeasurability – Quantum mechanics in Procrustean bed – The world is also a mathematical structure for its essence Съвременно неопитагорейство – Приютените в Принстън бежанци – За квантовата информация като математическо учение – „Шестият проблем на Хилберт“ – Аксиоматични логики, геометрии, но защо не и физики? – Аксиоматизиране на теорията на вероятностите и на механиката – Съвпадение на модел и реалност като решение на шестия проблем на Хилберт – Теоремата за отсъствие на скрити параметри в квантовата механика като доказателство за съвпадение на модел и реалност – Неравенствата на Бел като обобщение на теоремата на фон Нойман – „Вторият проблем на Хилберт“ – Защо „аритметизация“? – Аритметизация срещу геометризация? – Метаматематика: обосноваване или самообосноваване на математиката – Проблемът с актуалната безкрайност – Актуалната безкрайност като производна от цялостността – Теорията на хилбертовите пространства като самообосноваващата област на математиката – Математическо съществуване и съществуване изобщо – Математиката като онтология: питагорейство – Пълнота, непротворечивост … и адитивност – Квантовото разковниче на неадитивността − Трансфинитната индукция: Пеанова и Генценова аритметика – Дуално обосноваване на аритметиката: „геометризация“ на аритметиката – Гьоделова и Хилбертова математика – Теоремата на Кохен и Шпекер – „Скритият параемтър“ не е „елемент на реалността“ – Теоремата на Кохен и Шпекер като обощение на фон Ноймановата – Дуалност, холизъм и числовост – За И Цзин, който поражда Ин и Ян – Небитието реабилитирано – Циклично-холистична парадигма на дуалното питагорейство срещу класическата двуполюсна епистема – Пълната и непротиворечива структура е неадитивна − Непълнота на квантовата механика и на аритметиката? – Избор, число и вероятност – -функцията като число в обобщена бройна система – Смисълът на Айнщайновата „всеобща ковариантност” – „Принстън” и за калибровъчните теории – Още за „дуалистичното питагорейство” – Величина и свойство – Проекционните оператори като твърдения (по фон Нойман) – Едновременната неразреши-
мост – Имплицира ли понятието за физическа величина инвариантност по отношение на моментите във времето? – Комутиращите и некомутиращите оператори – Усъвършенстване на понятието за едновременна неизмеримост – Квантовата механика в прокрустовото ложе – Светът по своята същност е и математическа структура
Ако си позволя да перифразирам шегата на Джефри Бъб, че копенхагенската интерпретация на квантова механика е развита на много места в Европа, с изключение на Копенхаген (Henson 1963: 94-95), то Принстънският дух е характерен за множество научни центрове по света, но е под въпрос за Принстън. Все пак към няколко велики учени, живели и творили в Принстън, Айнщайн и фон Нойман, а и Паули, ще бъде добавен и Курт Гьодел. Шрьодингер също е канен да се включи в Института за перспективни изследвания, докато гостува през 1934 г., а и по-късно. Не само това, но и през 1939-1940 година оглавява физическия институт на новосъздадения аналогичен и едноименен институт, но в Дъблин, където остава 17 години. За още двама велики принстънци – Алонсо Чърч и Алън Тюринг1 – засега само ще споменем, тъй като техните основополагащи работи съответно за
-изчислението и за ординалните
логики, както и концептите, известни като „тезис на Чърч”2 и „машина на Тюринг”, са от решаващо значение за подхода към квантовия компютър, още повече че подтикът идва от т. нар. теореми на Гьодел за непълнотата. Тяхното дело е толкова съществено, че необходимото обстойно разглеждане, изискващо около стотина страници, се налага да бъде отложено за самостоятелна публикация. Ако се опитам да изясня какво имам предвид под „дух на Принстън”, така че то да може да се отнесе към няколко ‒ въпреки колосалните им приноси ‒ толкова разнородни авторa, освен, разбира се, че всички те произхождат от Централна Европа, откъдето са под една или друга форма прокудени, за да бъдат привлечени от и в Центъра за перспективни изследвания ‒ Принстън, то
Пребивава в Принстън от 1936 до 1938. Удължава до две години посещението си през 1936 г. Срещал се е и възможно е работил с фон Нойман. През 1938 г. фон Нойман му предлага да стане негов асистент, но Тюринг отказва (Turing 2004: 21). Пише дисертация под ръководството на Чърч, посветена на „Логическите системи, базирани на ординали”: тя може да се разглежда като обобщение на изчислението, предложено от последния. 2 Известен и като тезис на Чърч – Тюринг. 1
бих го назовал с една твърде рядко използвана в наше време дума ‒ питаго-
рейството. Разбира се, възгледът, че светът се основава на разумен план или концепция, поради което в него може да се прониква по рационален път, е характерен за цялата наука на Новото време, чиито бележити представители те се явяват. Но това, че в основата на света не метафорично, а буквално са математически форми и структури, е едно много по-силно твърдение, определено заслужаващо наименованието „съвременно питагорейство”, в което „числата” са се превъплътили в математическите структури, като са запазили своето значение на първооснова. В тази връзка е редно да се спомене „Шестият проблем на Хилберт“, поставен от великия немски учен на рубежа между XIX и XX с още 22 фундаментални математически загадки3. Той гласи:
6. МАТЕМАТИЧЕСКО ТРЕТИРАНЕ НА АКСИОМИТЕ НА ФИЗИКАТА. Чрез изследването върху основите на геометрията ни се препоръчва задачата: по този образец да се третират аксиоматично онези физически дисциплини, в които днес вече математиката играе изключителна [hervorragende] роля; това са на първа линия теорията на вероятностите и механиката (Hilbert 1900: 15). Общоприето е да се смята, че наред с още един или два проблема, този е формулиран неопределено до степен, която не позволява да се прецени кое трябва да се смята за негово решение. Все пак задачата може да се стесни като се подчертае явното позоваване на „изследване върху основите на геометрията“. Геометрията всъщност е първата дисциплина, която е аксиоматизирана още от Евклид, макар и с редица несъвършенства, окончателно преодолени от самия Хилберт (Hilbert 1903)4. Тя възниква като физическа опитна дисциплина и несъмнено е още такава по времето на Евклид, когато бива аксиоматизиИма още един проблем, относно теорията на доказателствата и съществуването на най-просто доказателство, отпаднал в окончателния текст: Thiele 2003. 4 Първото издание е 1899 г.: предхожда доклада за математическите проблеми, изнесен в Париж през 1900 г. 3
рана. За древните Гърци съвременното разделяне на модели и реалност е чуждо и особено несъответно е, че „математиката изучава и създава модели, но няма отношение към реалността“. Напротив учението на Питагор ясно се насочва към математическа същност на света. Макар и по-късни от поставянето на проблема от Хилберт, успехите и подходите на Айнщайн за геометризиране на физиката са съзвучни с онтологично разбиране на математиката. В наше време има множество геометрии, множество логики, всяка една от които прохожда от осмисляне на Евклидовото аксиоматизиране и опитите през XIX век по създаване на неевклидови геометрии. Аналогично разнообразие от аксиоматизирани физика не е възникнало поне до настоящия момент. Например, теорията на относителността е несъмнено една „ненютоновска физика“, но тя не възниква чрез замяна на една или няколко аксиоми от аксиоматика на Нютоновата физика, а под натиска на експерименти, особено този на Майкелсън−Морли (Michelson 1881; Michelson, Morley 1987), показал че скоростта на светлината (във вакуум) не може да се надвиши. С други думи, тя не се появява като една физика в смисъла на проблема на Хилберт, аналогично на нова геометрия или логика. Това остава в сила дори и за редица съвременни, и то найуспешните физически теории, независимо от изключително абстрактния математически апарат, който използват. В този смисъл шестият проблем, макар и поставен прекалено широко, все пак не е решен. От друга страна, той изрично посочва теорията на вероятностите и механиката, под която естествено следва да се разбира класическата, доколкото по време на поставяне на проблема квантовата още не е възникнала. Тези две дисциплини съществено се различават и до наши дни по степента на разработване на общоприети и прецизни аксиоматики. Докато за теорията на вероятностите могат да се посочат работите на Колмогоров (Kolmogorov 1933), то в областта на механиката работите са спорадични (напр. McKincey, Sugar, Suppes 1953), а успехът повече от съмнителен. Дори от тази твърде тясна гледна точка проблемът може да се сметне само за частично решен, по отношение на теория на вероятностите, и то остава съмнение дали е дадено доказателство за нейна-
та пълнота и непротиворечивост поне относително, чрез модел в Пеанова аритметика. Сега ще предложим още един, необичаен начин за тълкуване какво може или следва да се разбира под решение на шестия проблем на Хилберт. Нека предварително отбележим, че „теорията на вероятностите“ и „механиката“, т.е. дисциплините, посочени от него на „първа линия“, се оказват вплетени една в друга в квантовата механика, която все още не съществува по времето на доклада му. Основният
математически формализъм не само е геометричен,
но и носи името на Хилберт – хилбертово пространство. Под решение на „шестия проблем“ ще разбираме такава физическа теория, в чиито математически формализъм, естествено формулиран аксиоматично, се съдържа доказателство за съвпадението на теорията с реалността. Самата възможност за подобна „абсолютна“ теория изглежда стряскаща. Причината е, че всички досегашни теории не само се разминават повече или помалко с експерименталните данни, но и рано или късно биват „опровергавани“ от по-съвършени теории, почти винаги с усложнен формализъм, спрямо който този на изходната се явява частен случай. Очевидно такава теория не само ще съвпада с експерименталните данни, но и няма нужда да бъда усъвършенствана и заменяна, освен може би с по-проста, по силата на „бръснача на Окам“. Нейната аксиоматика би се завърнала към неизкушения завет на Гърците да се ак-
сиоматизира реалността, както по-скоро би следвало да се пренесе в съвременни философски термини несъмнено достатъчно сполучливо реализираният замисъл на Евклид по отношение на геометрията. Нещо повече, можем да предложим хипотезата, че такава теория вече около столетие е известна, макар и да е будила по много причини дрямката на не един физик или философ. Това, разбира се, е квантовата механика, а доказателството на фон Нойман (Neumann 1932: 167-173) за отсъствие на скрити параметри в нея е тъкмо необходимото вътрешно доказателство за съвпадение на модел и реалност. Впоследствие критичното обсъждане на Грете Херман (Hermann 1935) и Джон Бел (Bell 1966) и особено извеждането на неговите неравенства (Bell 1964) и експерименталното потвърждаване на тяхното наруша-
ване само разширяват доказателството на фон Нойман и за неизолирана квантова система. Бихме ли могли да бъдем уверени, че така не преиначаваме постановката от Хилберт на проблема? Няма ли той друго предвид? Достатъчно е да се обърнем към „втория проблем“ от същия доклад, за да видим, че интенцията за пълни математически теории, които да съдържат вътрешно, собствено математическо доказателство за собствената пълнота и непротиворечивост, не само не е му е чужда, но я смята определяща за развитието на математиката. Той е озаглавен така:
2. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТТА НА АРИТМЕТИЧНИТЕ АКСИОМИ. Съдържанието му се разгръща постепенно на няколко стъпки по следния начин:
… дали някак известни твърдения на отделни аксиоми се обуславят помежду си и дали аксиомите следователно не съдържат известни общи съставни части, които трябва да се отстранят, ако се иска да се достигне до система аксиоми, която да бъде изцяло независима помежду си (Hilbert 1900: 9). Сред множеството въпроси, които могат да се поставят по отношение на аксиомите, Хилберт обозначава като най-важен следния:
… да се докаже, че те са непротиворечиви помежду си, т.е. че никога няма да се достигне до резултати, които се намират в противоречие помежду си, на основа на същите посредством краен брой логически заключения (Hilbert 1900: 9). По-нататък Хилберт се обръща за пример към геометрията и как нейната непротиворечивост следва от тази на аритметиката:
В геометрията се постига доказателството за непротиворечивост на аксиомите чрез това, че се построява подходяща област от числа по такъв начин, че на геометрични аксиоми съответстват аналогични отноше-
ния между числата от тази област и че според това всяко противоречие в следствията от геометричните аксиоми трябва да е разпознаваемо също така и в аритметиката на онази числова област. По този начин също и желаното доказателство за непротиворечивостта на геометричните аксиоми се свежда до твърдението за непротиворечивостта на аритметичните аксиоми (Hilbert 1900: 10). Възприето е да се смята, че аритметиката е пределната област на математиката, в която тя трябва да намери своето основание, тъй като е найпростата. Дали обаче това не е предразсъдък и привидност? И дори и да е възможно на всяка математическа теория да се построи аритметичен модел, следва ли от това, че именно за аритметиката може и следва да се намери пряко доказателство за непротиворечивост? Най-сетне, ако за аритметиката не може да се намери такова доказателство или се докаже, че не съществува, следва ли от това, че такова не съществува за никоя математическа област? Позицията на Хилберт, както и на множество бележити математици от XIX и XX век е склонна да разглежда като първооснова именно аритметиката:
За доказателство за непротиворечивост на аритметичните аксиоми има нужда, напротив, от пряк път (Hilbert 1900: 10). Методът на аритметизацията е основен също и във фундаменталната работа на Хилберт, в съавторство с Бернайс, по обосноваване на математиката (Hilbert, Bernays 1968). За недоверчивия читател ще приведем няколко пасажа в подкрепа на тезата, че в принципно отношение не е добавено нищо ново, а самата аритметизация продължава все така да бъде необоснована строго математически. Остава висящ въпросът: защо именно аритметиката, а не върху коя да е друга, произволно избрана област да се положи за фундаментът на математиката.
Това, което в досегашното боравене засяга този проблем, се случва както при геометрията, така и при физическите дисциплини чрез метода на аритметизацията. Предметите на теорията се представят чрез
числа или системи от числа и основните отношения – чрез уравнения или неравенства, така че на основата на това превеждане аксиомите на теорията преминават или в аритметични тъждества, или съотв. в доказуеми твърдения, както е случаят при геометрията, или пък, както при физиката, в система условия, чиято съвместна изпълнимост остава да се покаже на основа на твърдения за аритметично съществуване. При този метод аритметиката, т.е. теорията на реалните числа (анализът), се предпоставя валидна и така идваме до въпроса, какъв вид е тази валидност (Hilbert, Bernays 1968: 3). В този цитат буди учудване какъв смисъл е вложил точно Хилберт в своеобразното приравняване на аритметиката и анализа в контекста на обосноваването. Всъщност, поне в обичайното изложение, теорията на реалните числа привлича актуалната безкрайност посредством теорията на множествата. Разбира се, изобщо възможно е конструктивистко или интуционистко изложение на анализа, но немският математик не показва привързаност към тези подходи. По-вероятно в случая се уповава на своята надежда да открие финитно аритметично обосноваване на актуалната безкрайност, чието изпълнение се приема за дадено и в частност позволява връзката чрез „т.е.“. Както по-подробно ще видим след малко, тази надежда е илюзорна и безпочвена.
С това достигаме до следните задачи: 1. принципите за логическо заключение да се формализират строго и чрез това да станат напълно обозрима система от правила; 2. за една предложена система аксиоми 𝔄 (която трябва да се докаже като непротиворечива) да се проведе доказателство, че при извеждането от тази система 𝔄 не може да се получи никакво противоречие посредством логически дедукции; т.е. че никои две формули не стават доказуеми, от които едната е отрицанието на другата (Hilbert, Bernays 1968: 18). Веднага след това Хилберт конкретизира задачите по следния начин: да се установи една изходна аксиоматизирана математическа система, за която да се положи или да се докаже, че е непротиворечива; в нея да могат да се
строят модели на изследваните аксиоматизирани геометрии или физики; от непротиворечивостта на модела в универсалната базисна аксиоматика да може да се заключава непротиворечивост на моделираната теория:
Обаче сега не трябва да извеждаме това доказателство за всяка система аксиоми поотделно, а можем да възползваме метода на аритметизацията, вече споменат в началото на нашето изложение. Това може да се характеризира от сегашната гледна точка така. Търсим си система аксиоми 𝔄, която, от една страна, има толкова ясна структура, че можем да изведем доказателство за нейната непротиворечивост (в смисъла на горната Задача 2), която обаче, от друга страна, е толкова съдържателна, че ние от едно в качеството на предварително предпоставено изпълнение на тази система аксиоми чрез система 𝔖 от неща и отношения можем да изведем изпълнения за системи аксиоми 𝔅 от геометричните или физическите дисциплини по начин, че представяме предметите на една такава система аксиоми 𝔅 чрез индивиди от 𝔖 или комплекси от такива индивиди и за основните отношения полагаме такива предикати, които могат да се построят чрез логически операции от основните отношения на 𝔖. С това е тогава доказано, че въпросната система аксиоми 𝔅 е действително непротиворечива; тъй като всяко противоречие, което се получава като следствие от тази системата аксиоми, би се представяло винаги като изводимо системата аксиоми 𝔄 противоречие, докато все пак системата аксиоми 𝔄 е известна като непротиворечива (Hilbert, Bernays 1968: 18-19). И тук – без каквато и да било обосновка, освен че е работещ метод – се появява аритметизцията:
Като такава система аксиоми 𝔄 (аксиоматично построена) се представя аритметиката (Hilbert, Bernays 1968: 19). Всъщност единствената разлика от неговия подход е да поставим на мястото на аритметиката – геометрията на хилбертовите пространства и съот-
ветно, на мястото на аритметизацията – геометризация или геометризиран вариант на аритметиката, под което ще разбираме добавяне на подходяща „аритметична“ аксиома за актуална безкрайност, т.е. все едно „безкрайни числа“, едно или повече. С това би възникнал обаче въпросът, по какво се отличава от теорията на множествата, няма ли да е изоморфна с нея и най-вече, как ще се опазва от парадоксите, които последната носи, покрай безспорната полза от нея. Нататък се опитваме да скицираме контурите на един оптимистичен отговор.
Този „метод на свеждане“ на аксиоматичните теории до аритметични не изисква аритметиката да се строи от нагледно предявими факти, напротив, аритметиката няма нужда заради това да бъде нищо друго освен образувание от идеи, което да може да се покаже като непротиворечиво и което доставя систематична рамка, в която системите аксиоми на теоретичните науки могат да се подредят, така че те, в техните осъществени идеализации на фактически даденото, се доказват също като непротиворечиви чрез това подреждане (Hilbert, Bernays 1968: 19). Накрая все пак можем да приведем цитат, който, от една страна, да хвърли индиректно светлина защо именно аритметиката следва да се положи като основа на математиката, а от друга, да изясни в съдържателно отношение непосилността тъкмо аритметиката, поне ограничена по възгледите на Хилберт, да изпълни тази роля:
Проблемът за изпълнимостта на една система аксиоми (или съотв. на една логическа формула), която в случая на крайна област индивиди може да се реши положително чрез изброяване, в случая, когато за изпълнението на аксиомите следва да се вземе под внимание само една безкрайна област от индивиди, не е решим по този метод, понеже съществуването на безкрайна област от индивиди не може да се сметне като даденост, напротив, въвеждането на такава безкрайна област се оправдава едва чрез едно доказателство за непротиворечивост за система аксиоми, характеризираща безкрайността (Hilbert, Bernays 1968: 19).
Виждаме, че аритметиката е избрана, за да бъде обоснована безкрайността чрез крайността и по-точно, чрез финитни аритметични средства, тъй като в останалите области на математиката безкрайността изглежда неизбежно и безнадеждно въвлечена под една или друга форма. Тъкмо като опровержение на това намерение следва да се тълкуват резултатите на Гьодел. Но ние показахме или най малкото изказахме хипотезата, че чрез финитни аритметични средства не може да се докаже и обратното, а именно че безкрайността не може да бъде обоснована чрез крайността (Пенчев 2010: 113). Причината за това влечение на Хилберт към аритметизацията следователно е стремежът да се положи под безкрайността – бидейки, в рамката на шегата, доказан „развъдник на парадокси“ – по-надеждна опора от нея самата, каквато на Хилберт и на плеяда бележити математици се е сторила крайната аритметика. Още сега можем да предположим друг път: да се покаже, че безкрайността може да се обсъжда като производна от цялостността, а последната да се постулира като непротиворечива, тъй като целостта е единична, унарна, докато противоречието изисква поне два члена, то е отношение, бинарно. С други думи, безкрайността, доколкото и ако е произлязла от цялостността, е изначално невинна, тъй като противоречие по отношение на нея е недефинируемо. Този път ще наречем квантизация на математиката: Според вече казаното и патоса на настоящата публикация вече е ясно, че можем да сметнем формализма на квантовата механика, а именно теорията на хилбертовите пространства, която е безкрайно-мерното обобщение на геометрията, за фундаменталната област на математиката, в която математиката може да се самообоснове. Тъй като аритметични модели на математическите области и на логиката са изведени, достатъчно е да се построи модел на аритметиката в хилбертовото пространство, след което да се покаже също така, че теоремата на фон Нойман и нейните обобщения за неизолирани системи може да се разглежда като доказателство за собствената непротиворечивост на теорията на хилбертовото пространство. Всъщност хилбертовото пространство е по-богата и по-сложна област, но може би то е сред минималните математически конфигурации, които съдържат собственото си обосноваване. Господст-
валото дълги години предубеждение, че самообосноваването на математиката трябва да се търси в най-простата област (независимо дали това е или не е аритметиката) е вероятно не повече от подвеждащо и всъщност пречи да се реши проблемът. Все пак независимо от това, в коя област се намира самообосноваването на математиката, следва да се постави въпросът за математическото съществуване, на което специално внимание обръща и Хилберт в своя доклад:
За да характеризираме значението на проблема и от друга гледна точка, бих могъл да добавя следните забележки. Ако на едно понятие се дадат белези, които си противоречат, то ще кажа: понятието математически не съществува. Така не съществува напр. реално число, чийто квадрат е −1. Ако все пак се постигне да се докаже, че белезите, дадени за понятието, никога не могат да доведат до противоречие чрез приложение на краен брой логически процеси, твърдя, че с това се е доказало математическото съществуване на понятието, напр. за число или функция, което изпълнява известни изисквания (Hilbert 1900: 10). Една от интенциите на всяко съвременно питагорейство би трябвало да бъде обсъждането и обвързването на математическото съществуване със съществуването изобщо. Разграничителната линия между тези два типа съществуване, ако изобщо има смисъл да се обозначава, изглежда трябва да минава между категориите ‘пълнота’ и ‘непротиворечивост’. Изглежда на пръв поглед достоверно да се приеме, че “съществуването изобщо” е пълно и противоречиво, докато математическото съществуване е непълно и непротиворечиво. Към такива изводи навежда диалектиката на Хегел, както и плеядата философски школи в бившите социалистически страни, водещи произхода си от неохегелианската концепция на марксизма, утвърждаван като държавна доктрина. От страна на математиката такава позиция получи най-неочаквана подкрепа от теоремите на Гьодел, известни като теорема за пълнотата (Gödel 1930) и първа и втора теорема за непълнотата (Gödel 1931). Очевидно е, че питагорейството следва да намери начин да заобиколи или премахне така очертаната демаркационна линия между съществуването
в математиката и във философията, съответно между математическо и онтологическо понятие за съществуване. Тъкмо и като поставянето на такъв проблем бива тълкуван „вторият проблем на Хилберт“, но съществува колебание и неяснота по отношение на това дали може да се смята за решен. Причината за това е че Гьодел дава отрицателен отговор, вече цитиран, докато Генцен − за съжаление обременен с дискредитиране за съучастие, съпричастност или конформизъм с нацизма (Segal 2003: 469-471), което, разбира се, не би трябвало да играе роля в една собствено научна дискусия − дава положителен отговор, включвайки трансфинитна индукция поне до всеки ординал, по-малък от един особен, обозначаван като ε0 (Gentzen 1969: 187). Специално бих искал да подчертая, че той тълкува трансфинитната индукция, парадоксално за използвания термин, финитно (Gentzen 1969: 285-286), т.е. изводите, основани на нейна база, се извършват за краен брой стъпки и следователно попада в условията, поставени от Хилберт. Има множество възражения относно финитното тълкуване на трансфинитната индукция, някои от които споделям и аз (Пенчев 2009: 249-254). Въпреки това и при нефинитното
тълкуване може да се набележи стратегия
за обосноваване на математиката на основа на аритметиката, която обаче се разделя на две взаимно и независимо обосноваващи се области – Пеанова и Генценова аритметика. Първата си служи с обичайна индукция и може да обоснове Генценовата аритметика, включваща трансфинитната индукция. На свой ред Генценовата аритметика обосновава Пеановата. Това съм нарекъл и описал като стратегия за дуално обосноваване на аритметиката (Пенчев 2009: 254256). Така се избягва порочен кръг в обосноваването по модел, предвиден от самата природа, и заложен в квантовата механика: двете аритметики се разглеждат като дуални или допълнителни. С това собствено се построява възможно достатъчен модел в аритметиката на формализма на квантовата механика, претендиращ посредством теоремата за отсъствие на скрити параметри и за самообоснованост. Заедно с това обаче, имплицитно на основата на построения модел, може да се набележи стратегия за отхвърляне на довода на Гьодел (т.
нар. първа теорема за непълнотата) в качеството му на теорема и ново негово осмисляне като аксиома, разделяща математиката на два типа – Гьоделова и Хилбертова (Пенчев 2010: 113), според приемане или не на твърдение, съвпадащо или еквивалентно с т. нар. първа теорема за непълнотата. Философски осмислено, разделението между Гьоделова и Хилбертова математика означава съответно отхвърляне или приемане заедно и на пълнота и непротиворечивост на математиката, и на един съвременен тип (дуално) питагорейство. По-нататък, за да изясним съотношението на пълнота и непротиворечивост в квантовата механика, ще привлечем теоремата на Кохен и Шпекер (Kochen, Specker 1967: 70) и по-точно следствието, формулирано на същата страница, за отсъствие на изображение на сферата в бит, което да е в състояние да удовлетвори определено условие. Тъй като настоящият текст е насочен философски, ще си позволим направо да формулираме една интерпретация на това следствие като отсъствие на изображение на кюбит в бит, както и на цялостността от квантов обект и уред в проста адитивна съвкупност от тези две или с нашите термини, в пълна, непротиворечива, адитивна съвкупност от тези два полюса. Не е ли обаче подобно тълкувание именно потвърждение на подхода на Гьодел за несъвместимост на пълнота и непротиворечивост и на територията на квантовата механика? Не! Това е само потвърждение за несъстоятелността на похода на Айнщайн и сподвижници за „Светия граал“ – „скритите параметри“ в квантовата механика: такива не може да има! Според теоремата никоя квантова цялостност не може да се представи чрез изображение в две части, напр. и най-естествено те могат да бъдат квантов обект и уред, което да е пълно, непротиворечиво и цялостната система
да се представя като проста сума от тези две части. Всъщност от известна гледна точка смисълът на интерпретацията на прякото следствие от теоремата е тривиален: цялостността на системата може да се представи пълно и непроти-
воречиво само неадитивно. Всъщност следва да се отхвърли като противоречива едновременната употреба на два концепта на Айнщайн – „елемент на реалността“ и „скрит па-
раметър“. По-детайлно: не е възможно всички скрити квантово-механични наблюдаеми да имат фиксирани стойности и те да бъдат независими от уреда. С други, и то прости думи: „скритите параметри“ не могат да са „елементи на реалността“. Освен това теоремата на Кохен и Шпекер (1967) разширява обхвата на тази на фон Нойман (1932) за отсъствие на скрити параметри, тъй като изяснява, че дори и за комутиращи величини следва да се изключи някакво хипотетично пълно представяне чрез скрити параметри, тъй като неговата невъзможност произлиза от наличието на дискретност, т.е. от самия фундамент на квантовата механика, а не от некомутативността, каквото е ширещото се заблуждение преди тяхното осветление, каквато е валидна само за част, да речем „половината“ двойки величини. Този техен извод е твърде важен и за философския ракурс на настоящия текст. Цялостността следва да бъде приравнена не на дуалността, а на дискретността, в крайна сметка на числовостта. Циклично-холистичният подход и неопитагорейският подход за фундаментализиране на математическите структури са в същността си еквивалентни. От последния вече е не повече от необходимо следствие дуалността. Ако си позволим да дадем като пример една метафора или илюстрация от китайската мисловна традиция, то тъкмо хексаграмите на И Цзин извикват към живот Ин и Ян, в европейската традиция – ‘небитието’ и ‘битието’. Акцентът в последната е категорично поставен върху второто, а първото се пренебрегва до степен да се тълкува като отсъствие на битие. Ще видим, че ролята на небитието в една циклично-холистична парадигма е специфично творяща разнообразието и в този смисъл равностойна на битието. И така, цялостността и числовостта (в обобщен смисъл) са еквивалентни и само те могат да породят дуалността и заместващата се, изключващата се дуална еквивалентност на полюсите. Едва вторично, тя се разгръща като посока, наредба, оценка, история, прогрес в рамките на някаква линейност между нисшо и висше, зло и добро и прочие разнопоставяне на полюсите, което поражда характерната за европейската философска традиция еднообразно изобилие или дори „вакханалия“ от
всякакви имена за двойки полюси, непосилно стремейки се чрез правилния избор на тези имена да постигне завинаги загубената в двуполюсността цялост. Сега можем да се завърнем към проблема на Хилберт, по-точно към шестия в светлината на втория, за да формулираме хипотеза, която естествено би изпитвала нужда от прецизиране и най-вече от собствено математическо доказателство: Подходът за обосноваване на аритметиката и оттук на математиката чрез две дуални аритметики – Пеанова и Генценова – е производен (в смисъла на строго следствие само в тази посока) от Пеановата с добавена подходящо формулирана аксиома за цялостността, чието съдържание би трябвало да постулира съществуването на актуална безкрайност от естествени числа в качеството на число. С други думи, от една нова, и то аритметична аксиома за актуалната безкрайност следва трансфинитната индукция, но не и обратното, тъй като последната може да се тълкува строго по Генцен, т.е. финитистки. Такава математическа структура изглежда изоморфна на есенциална част от формализма на квантовата механика, въдворен в хилбертовото пространство, след третирането му с аксиомата за избора, която да постулира съществуване и изобразяване на цялостността в ипостаса на квантова кохерентност в дискретен, числов вид, т.е. в ипостаса на актуална аритметична безкрайност. Ще отхвърлим пътя на Хилберт за самообосноваване на математиката чрез финитното, но ще оставим непокътнати самата идея за самобосноваване на математиката и дори самата аритметизация като метод, стига да е попълнена с актуална безкрайност: нещо повече, следва да се подчертае излключителната им дълбочина и плодотворност за равитие не само на математиката и физиката, но и на философията под формата на учението за дуалното питагорейство, което е вече по-същностно да наречем холистично
питагорейство. Пълнотата и непротиворечивостта са възможни в аритметиката и в геометрията, а чрез тях и изобщо в математиката само допълнени с неадитивност, която обаче се изключва от всяка финитна аритметика, но не и от нефинитна, напр. от трансфинитна, както не само не се изключва, но и се предполага от всяка геометрия, ако приемем за отличителен белег за „геометричност" на
една математическа структура наличие на ‘скаларно произведение’ или, разбира се, на изоморфния му образ. Естественото е да морфизмите да не се ограничават до непрекъснати, т.е. да се допуска скокообразно геометрично движение, затова няма да го включим като изискване за геометричност на математическа структура, още повече че след третирането с аксиомата за избора не е необходимо. И така, достигаме до възможността за формулиране на едно общо
изискване за всяка пълна и непротиворечива математическа структура – необходимо трябва да бъде неадитивна. Така неявно обаче, самореференциално, тя изглежда се оказва въвлечена в самата себе си, като своята чиста цялостност. Множеството, което дефинира, неизбежно трябва да включи един особен елемент, плод на ейдетичната редукция, притежавайки всички есенциални качества, но нито едно друго, което е акцидентално спрямо нейното определение. Досега „квантова информация” според своя произход се разглеждаше в рамките на физиката и по-специално на квантовата механика. Естествено е обаче, нейната философия да се стреми към разкриване на изначалната
същ-
ност, намираща израз в множество научни дисциплини и особено в техния синтез, в специфична многодисциплинарност, в характерен общ поглед към света. В известен смисъл такава нейна изначалност може да се характеризира найгрубо с това, че информационните процеси, представими като операции с числа, тоест като тяхно изменение и преобразуване, са в основата на света, превръщайки се във физични величини чрез посредничеството на фундаменталните константи: особено и на първо място, чрез константата на Планк, в известен смисъл „породила” квантовата механика. Така и квантовата информация е „от Принстънския дух”, от Айнщайновото геометризиране на физиката, намерило израз между другото и в съвременните
калибровъчни
теории5,
също
така
„заченати”
и
в
Принстън
(O'Raifeartaigh 1997), от прочутата Шрьодингерова „котка” (Schrödinger 1935: 812): иначе казано, от суперпозиционните състояния на
-функцията като ка-
талог на очакванията (Schrödinger 1935: 826-828), от похода на Паули в защита „Появата на специалната и общата теория на относителността, както и на геометричните калибровъчни теории могат да се разгледат като последователни етапи в решението на Хилбертовия шести проблем“ (Konopleva 2006: 186). 5
на закона за запазване на енергията (Pauli 1930; 1961); също така и в систематичното изграждане от фон Нойман на квантовата механика върху геометричната основа на хилбертовите пространства (Neumann 1932), днес вече „канонизирано”; най-сетне в Гьоделовото обсъждане на непълнотата (!) на аритметичните системи (Gödel 1931) в сравнение с пълнотата на логическите (Gödel 1930). Като мост между първите двама и третия може да послужи разглеждането на действията с проекционните оператори като нестандартна логика – III.5. Проекционните оператори като твърдения: от фон Ноймановата „Математически основи на квантовата механика” (Neumann 1932: 130-134), – какъвто подход ще се опитаме да скицираме към края на настоящия текст. Нека обърнем внимание и на „непълнотата” като част от питагорейския Принстънски дух. Най-грубо казано, непълнотата на аритметичните системи, за разлика от определен тип логически, се състои в това, че съществуват твърдения, за които се доказва, че нито те, нито техните отрицания могат да се изведат от изходните аксиоми. Непълнотата на квантовата механика според разбирането на Айнщайн се състои в наличието на скрити параметри, които допълнително биха детерминирали привидно изначално вероятностното поведение на квантовите обекти и го разкриват като собствено статистическо. В този общ смисъл непълнотата е проблем за една може би само на повърхността несводимост на физическото към математическото, на случайното и вероятностното към закономерното и рационалното, на безкрайното аритметично към крайното логическо (по-точно, Пенчев 2010: 117). Вместо свеждането на вероятностното до статистическо чрез неоправдалата се или обобщената хипотеза за скритите параметри, понятието за информация и нейното точно математическо определение намират пътя за преход и връзка от едно вероятностно разпределение към друго: всяко едно от две или повече събития може да е случайно, но отношението между тях да е строго детерминирано. Така в математическата основа на света могат да се поставят вероятностите и изборът. В основата на числата също така в действителност е изборът. Например, произволно число при основа като последователни избори между
и неговите разряди могат да се представят алтернативи. Изборът е фундамент и на
вероятността: например последната може да се представи като отношение на
избраните към всички алтернативи. Така всъщност числата и вероятностите се оказват „първи братовчеди”, ако не и „братя и сестри”: два частично еквивалентни аспекта на една и съща по-дълбока реалност: първичният избор, досега някак си убягвал от философско разглеждане (Bohr 1935: 699). С този подход е лесно да се забележи, че и всяка
-функция пред-
ставлява число или по-скоро обобщение на число: неговите последователни разряда се представят чрез сферите стойностите на тези разряди. Така квантов обект с координати
, а комплексните коефициенти
са
-функцията, съпоставяна като състояние на
в конфигурационното пространство:
( )
∑
е не друго, а обобщение на понятието за число: p
N(x) ∑ an en n
и в този смисъл не е нищо повече от едно безразмерно число, съпоставяно на координатите
в конфигурационното пространство.
Обобщението от
( ) към
( ) се състои в това, че стойността на
-тия разряд при основа , а именно
(при обичайните бройни системи естес-
твено число измежду ;
,…
− ; основата на бройната система
лесно се тълкува като избор между
е цяло число
алтернативи, представени чрез
възможните стойности на разряда) e заменен с комплексното число
, което
може да се види като съвкупност от два независими избора между безкраен брой алтернативи. Например, при обичайното представяне на кюбита с изоморфната единична сфера в обичайното стойностите на двата ъгъла
и
(
евклидово пространство това са ,
) от два произволни, но вза-
имно ортогонални кръга, определящи единичната сфера. Съответно, основата
на числото
( ) ще бъде, първо, комплексна и второ, безкрайна (но ограниче-
на). Следва да се отбележи, че съществуването на избор между безкраен брой алтернативи изисква аксиомата за избора, а двата независими избора между безкраен брой алтернативи поставят на дневен ред разликата между две нееднакви уточнения (формулировки) на аксиомата за избора: безкраен избор може/ не може (винаги) да се повтори. Аксиомата за избора неявно е налице в разглеждането чрез безкрайномерните
хилбертови пространства (например,
ако искаме за всяко хилбертово пространство да съществува базис). Едно число, оставайки едно и също, може да се представи в различни бройни системи, напр. ( )
(
) . С това се дефинира оператор на преход
от представяне на едно и също произволно число в една към друга бройна система. Като негово обобщение в разглеждания случай на бройна система с безкрайна основа може да послужи свойството, че при преход всеки разряд се трансформира според равенството
( ) където
е новата цифра в
∑
∑
,
-тия разряд при новата основа
вижда, че в случая на разглеждане на
. Оттук лесно се
-функцията като обобщение на поняти-
ето за число на оператора, запазващ стойността на числото при преход от една към друга бройна система, съответства унитарният оператор, доколкото той запазва модула на всеки член (тъй като само го „завърта”) от представянето на -функцията:
( )
∑
.
Другият особено важен клас оператори, ‒ самоспрегнатите (ермитовите) ‒ каквито са и тези, съответстващи на физически величини, изразяват свойство, специфично само за бройни системи с цифри, представляващи комплексни числа (каквито обичайните бройни системи не са): те въздействат еднакво на реалната и на имагинерната част на всяка комплексна цифра:
,
където
и
,
и
са съответно реалната и имагинерната част на първо-
началната и трансформираната число, диагоналният член на
-та „цифра” на
-функцията, а
е реално
-тия ред на диагоналната матрица, представля-
ваща ермитовия оператор. Тъй като реалните числа могат да се разглеждат като частен случай на комплексни с фиксирана нулева имагинерна част, то осмислянето чрез бройна система на самоспрегнатите оператори може да се приеме винаги изпълнено за бройни системи с реална основа. И тъй като в реалния случай операторът представлява линейно „разширяване“ на основата, така да се осмисля и обобщаващият комплексен случай. Не става дума просто за повърхностна аналогия, а по-скоро за изоморфизъм със същностни и далеч отиващи философски, математически и физически последствия. Така между геометрията (векторните пространства) и аритметиката (бройните системи) са установява мост за преинтерпретиране и пренасяне на твърдения в двете посоки, а чрез това между измерването и броенето. Изборът като лежащ във фундамента на този мост позволява да се види ясно и основанието на връзката с вероятностите. Изглеждащото донякъде изкуствено определение за количество информация, във всички свои варианти представляващо (интегрална) сума от произведения на стойности и логаритми от вероятности (на тези стойности ‒ „ентропия”; или на други стойности: собствено „информация”) придобива ясен интуитивен смисъл на стойността на число, инвариантна спрямо представянето му по различен начин: в една или друга бройна система. Величината под логаритъм играе ролята на основа на бройната система, а тази, по която е умножена ‒ на цифра в съответния разряд. И така, през Айнщайновото геометризиране на физиката, се набелязва път вече и към нейното аритметизиране, отвеждащо ни в дълбочината на понятието за квантова информация. Важен жалон по този път е свързването с аритметизираната логика и изключително съществените теореми на Гьодел за пълнотата (Gödel 1930) и непълнотата (Gödel 1931). Връзката ще се осъществи
чрез набелязаното от фон Нойман съпоставяне на определен тип оператори, отнасящи се до квантовата механика, и твърдения за физически величини (Neumann 1932: 130-134). Философската същност на Айнщайновото геометризиране на физиката добре и най-вече кратко се представя чрез неговия „принцип на относителността”: законите на природата са единствено изказвания за пространственовремеви съвпадения; затова те намират естествен израз в общи ковариантни уравнения (Einstein 1918: 241). С други думи, на математическо равнище законите на физиката трябва да са инвариантни спрямо произволни дифеоморфизми, т.е. спрямо произволни диференцируеми трансформации на времепространствените координати, физическият смисъл на което е че трябват да бъдат валидни при преход между всякакви отправни системи, ако може „плавно”, поточно казано, диференцируемо да се премине от едната в другата. Смисълът на тази „борба за обща ковариантност” лесно се интерпретира и може би дори е по-очевиден при собствено аритметичния подход към физиката, чиито очертания започнахме да скицираме и който навярно е поблизо до едно класическо питагорейство, отколкото Айнщайновото
геометри-
зиране: законите на физиката трябва да се формулират по начин, независим от конкретните бройни системи, в които се представят стойностите на величините. Нека бегло разгледаме и подхода на калибровъчните теории в качеството му на по-нататъшно геометризиране на физиката и връзката му с нейното аритметизиране. Можем да си представим, че разгледана „под лупа”, всяка точка от известно физическо пространство, представимо с формализма на едно или друго математическо пространство, винаги векторно в своята основа, има сложна структура: да речем, то също се явява пространство от същия или от друг тип. По-точно казано, на всяка точка можем да съпоставим един и същи тип пространство и да обсъждаме безкрайно близкия преход от точка в точка на фундаменталното пространство като някакъв оператор на това нововъведено „вътреточково” пространство6. При това е основателно да се търси повторение
„Би трябвало да се отговори на въпроса: какъв е математическият образ на други измерващи устройства освен метри и часовници, използвани от експериментатора в един падащ асансьор? Моят отговор е следният. Математическият образ на всяко устройството във физическата теория е пространството от параметри, измервани от това устройство. В това пространство някоя координатна отправна система може да 6
на глобалната инвариантност за крайни трансформации на фундаменталното пространство на локално равнище, между две негови безкрайно близки точки. Значимостта на такъв един принцип се проявява при комплексно хилбертово пространство, фундаментално за квантовата механика. Физическите величини и по-точно, съответните им оператори, остават унитарно инвариантни, т.е. при произволни фазови трансформации, които, грубо казано, само „въртят” векторите, без обаче да променят тяхната големина. Не така е, обаче, на инфинитезималното, локално равнище: операторите на „вътреточковите” пространства, съответни на физически величини, не са унитарно инвариантни. Те обаче могат „да се поправят”, така че да станат унитарно инвариантни, като се калибрират с подходящи калибровъчни полета, които действат на това локално микроравнище само във „вътреточковите” пространства. На специфичните симетрии в тях съответстват закони за запазване на едни или други квантови числа. Съществено от философска гледна точка е, че в случая на калибровъчните теории са налице две същности ‒ както може би е неизбежно на квантово равнище ‒ пространства и полета „вътре” в тях, докато според Айнщайновия принцип за обща ковариантност и съответната му обща теория на относителността трябва да е налице една единствена същност: някакъв особен тип пространство, в случая псевдоримановото, докато съответното поле ‒ в случая гравитационното, произтича напълно от особените свойства на това пространство. Макар и геометрични по своя характер, калибровъчните теории само превъплъщават по един псевдокласически начин квантовия дуализъм, а именно като пространства и полета. Напрежението между тях (бидейки дуалистични) и монистичната обща теория на относителността остава и досега не е намерен бъде избрана както в обичайното пространство. Нейният произход трябва да съвпадне с произхода на обичайните пространствени координати, в които работи експериментаторът в падащия асансьор. Това означава, че експериментаторът няма само метри и часовници, но също така волтметър и т.н. Математически това води до нарастване на измеренията на пространството в точката, в която е разположен експериментаторът. Същевременно, по мнението на един външен наблюдател експериментаторът се движи както преди в обичайно 4D времепространство. Следователно нашият проблем се свежда до внасяне на някакво многоизмерно пространство в 4D времепространството (Konopleva 2006: 188). Следва да подчертаем, че в точката на наблюдение пространството е дискретно за вътрешния наблюдател, доколкото вмества пространството, породено от допълнителните уреди, и заедно с това остава гладко (диференциуремо) за външния наблюдател. Изводът е, че Айнщайновата всеобща относителност („ковариантност“) следва да се обобщи по начин да включи и дискретните морфизми („движения“) съобразно вътрешния наблюдател: замисъл, към който принуждава квантовата механика и осъществен от калибровъчните теории.
общоприето убедителен начин за неговото преодоляване под формата на теория на Великото обединение, която да успее да разгледа и гравитационното поле еднообразно, наред с представимите като калибровъчни, другите три основни взаимодействия: силно, слабо и електромагнитно. Появата на две същности в тези „вътреточкови” пространства е само парафраза на изначалната за квантовата механика дуалност между глобално и локално, между макроуред и квантов обект. Идеята за „калибровка” може да се представи и на аритметичния език на квантовото изчисление, разглеждащо
-функцията като обобщение на
бройна система. Всеки от коефициентите
би могъл на свой ред да се предс-
тави като стойност в бройната система „
функция”, като нейните коефици-
енти
на свой ред могат да се представят като стойности в бройните систе-
ми на съответните
функции и т.н:
∑
∑
... Тогава се поставя въпросът дали функциите
,
,
, … споделят
общо хилбертово пространство; общо в следния смисъл: дали базисът
на
функционалите
(
)
∫
∫
(
)
е един и същ. Като изходна точка е естествено да се приеме глобалният базис, при който
приема своята стойност
. Ако обаче за дадени стойности
базисът
трябва да се „калибрира”, то това може да се направи чрез съответен оператор, който изразява съответното калибровъчно поле:
(
)
При такъв подход би било чудесно, ако се окаже, че необходимата калибровка може да се сведе до няколко основни типа оператори
и съответно
калибровъчни полета, въздействащи на първото равнище (електромагнитното поле), на второто равнище („слабото” поле), на третото равнище („силното” поле) на представяне на коефициенти като стойности в бройна система
.
Предложените примери не претендират за точност в детайлите, необходима при собствено физическо изложение, а се стремят да послужат като илюстрация на философската идея за аритметизация на физиката, всъщност „подмолно” осъществявана от теорията на квантовата информация, често наричана просто квантова информация или включвана в една единна квантова механика и информация. Монистичният подход на Айнщайн, който предпоставя геометрична математическа същност и може да се преобразува в собствено аритметичен подход, е по-близо до питагорейството. Затова за нас са особено ценни подходите на Гьодел към непълнотата (Gödel 1931), които ‒ въвеждат дуалност още на аритметично равнище и по този начин отварят вратата за едно дуалистично питагорейство, поне засега изглеждащо най-подходящо и като обща философия, и като методология на квантовата информация. Така квантовата информация също е от двама съвсем различни родители, вероятно обуславящо нейната жизненост: от монистичния питагорейски Принстънски дух, но и от дуалистичната квантова механика. Този оказал се твърде плодотворен синтез занапред накратко ще обозначаваме като „дуалистично питагорейство”. Но ако за едната му същност има ясно определен термин: числата, втората все още е под въпрос, може би има нещо общо или дори съвпада с безкрайността. В някакъв смисъл и класическото питагорейство е отнесено и към безкрайността посредством мистичното и сакралното, но по един твърде неопределен и за съвременни научни теории напълно неудовлетворителен начин.
Друг възможен кандидат за дуална на числата в едно дуалистично питагорейство същност е целостта, или на математически език, множеството, класът или категорията, чрез Канторовата теория на множествата пряко свързвани с безкрайността. Нека по-нататък проследим начина, предложен от фон Нойман в параграфа „Проекционните оператори като твърдения” (Neumann 1932: III.5), по който дуализмът може да проникне в логиката:
Наред с физическите величини
има обаче още нещо, което е
предмет на физиката: именно свойствата на системата че някоя величина
приема стойност
. Свойство е напр.,
или че стойността на
е положи-
телна, или че стойностите на две едновременно наблюдаеми величини
и
са равни на , респ. , или че сумата от квадратите на тези стойности e: и т.н. Означавахме величините с ,
,
, …, желаем да означаваме свойствата с
, … На величините съответстват хипермаксимални ермитови оператори
, , …, както току-що обсъждахме; какво съответства на свойствата? (Neumann 1932: 131). Тук и по-нататък ще се изисква в най-общ философски план изясняване на начина на съотнасяне на физически и логически понятия, конкретно в случая ‒ „величина” и „свойство”. От гледна точка на логиката понятието „величина” е съществено неопределено: то може да се разбира и като свързана променлива, с други думи като множеството от стойностите („ произволен елемент от това множество („
:”) или като
:”), но и като свободна променлива,
т.е. като такава, която може да се замести с конкретния елемент „
” от мно-
жеството на стойностите. Причината за това е, че понятието „величина” възниква в класическата физика, в рамките на която разграничаването на двата аспекта може да се пренебрегне. За щастие, съхранената в логиката и в теория на множествата дистинкция, помага за вникване в ситуацията в квантовата механика, както и чрез решенията, до които последната се е добрала, за да предложи обратен отблясък към логиката: в случая на свободна променлива се говори за наблюдаема или за измерима величина.
По начина, по който фон Нойман дефинира „свойствата на системата ”, се вижда, че има предвид наблюдаема, поради което тя може да се предицира със стойности. Оттук свойството може да се сведе до твърдение или клас от такива относно това дали даден елемент (стойност) принадлежи или не на дадено множество (приписва се на наблюдаема). Обратно, ако е дадено свойство в обсъждания смисъл, то еднозначно му съответства величина, която поради това съответствие със свойство, е наблюдаема, измерима величина:
Можем да съпоставим на всяко свойство
величина, която опре-
деляме така: всяко измерване, което разрешава за
наличие или не, се раз-
глежда като измерване на тази величина; и то нейната стойност е , ако налице и
в противния случай. Тази съответна на
да означаваме със
е
величина желаем също
(Neumann 1932: 131).
Нека преди да преминем нататък, да онагледим и осмислим представата, според която проекционните оператори (изобщо, т.е. не само в квантова механика) съответстват на свойства. За целта трябва да свържем два типа нагледи чрез посредничеството на т. нар. диаграми на Вен. Единият кръг се отнася до прехода от свързани към свободни променливи като своеобразна проекция. За да се премине към свободна променлива, просто се отстранява кванторът: с това вече престава да се има предвид множеството като цяло. Оттук вече позволеното заместване с константа, т.е. с даден елемент на множеството, може да се разгледа като проекция. Самото заместване е оператор: от множеството, разглеждано вече не като единно, „кохерентно” цяло, към фиксиран имплицитно, чрез избрания оператор елемент или елементи на това множество. Другият кръг се отнася до измерването на физическа величина в качеството на проекция, фигуративно казано, върху „екрана” на субекта: представа, водеща началото си още от Платоновата „притча за пещерата”:
На свойствата
са следователно съответни (чрез посредничество
на принадлежащите им величини
, които току-що дефинирахме) проекци-
онни оператори . Или също така, затворените линейни многообразия
, ако
ние наред с многообразия
разглеждаме и принадлежащите им затворени линейни (Neumann 1932: 132).
Тоест, „в термините” на Платоновата притча можем да говорим за сенките
, играещи по стените
на пещерата. Не е случайно, че фон Нойман
обозначава „сенките” по същия начин както „самите неща” ‒ „
”: ход на ми-
сълта, същностен за квантовата механика. Да подчертаем: самите неща са само обозначени по същия начин, но те са различни от сенките. Това, в което могат да бъдат напълно сигурни обитателите на пещерата в качеството на максимално възможното за тях познание, е: сенки и фактът, че са сенки. На „такава” основа квантовата механика изгражда непротиворечива теория, удвоявайки „сенките” и като „самите неща” и забранявайки едновременното разглеждане на „сенките” и „самите неща”: те не са едновременно наблюдаеми, едновременно измерими:
Както при величините, така и при свойствата възниква въпросът за едновременната измеримост (собствена разрешимост [Entsheidbarkeit]). Ясно е, че
,
са разрешими едновременно тогава и само тогава, когато принад-
лежащите им величини
,
са едновременно измерими (…), т.е. ако ,
ко-
мутират. Същото е в сила за повече свойства , , , … (Neumann 1932: 132). Следователно Платоновият подход за „сенки” и „неща” е преизтълкуван в квантовата механика като наличие на два типа същности, напълно аналогични, но едновременно неизмерими, ненаблюдаеми. Подходът на логиката за два типа променливи, свързани и свободни, или на теорията на множествата, за множества и елементи, е сходен, но се различава по това, че дистинкцията не се разглежда като изначално отношение, при което относимите са взаимно заменими, а като различни свойства, чието предициране изключва алтернативния тип свойство. Така, точно по платоновски, се предполага, че сянката „сама по себе си” е „нещо” различно от „самото нещо”, свързаната ‒ от свободната променлива, множеството ‒ от елемента; може да се добави в същия ред на мисли: означаваното ‒ от означаващото.
Както се вижда, отношението между свойствата на физическа система, от една страна, и проекционните оператори, от друга, прави възможно един вид логическо изчисление с тях. Сега то е ‒ противно на онова на обичайната логика ‒ обогатено с характерното за квантовата механика понятийно образование „едновременна разрешимост [Entsheidbarkeit]” (Neumann 1932: 134). Нека после се опитаме да онагледим тази „едновременна разрешимост” – респ. „едновременна неразрешимост” – на свойства на физическата система чрез елементарната представа за проекция на отсечка в която е обособена компактната област
върху равнина,
, която, интерпретирана посредством
т. нар. диаграми на Вен, ще осмислим като множеството от обекти, притежаващи свойството
в смисъла на логиката, обозначена от фон Нойман като „оби-
чайна”. Да започнем разглеждането с „едновременна неразрешимост” на едно свойство. Следва да отбележим, че математикът неявно има предвид едновременна неразрешимост на две свойства, но заедно с това никъде не забранява особения случай, когато двете свойства съвпадат и следователно имат един и същ проекционен оператор. Да означим проектираната върху равнината на отсечка с
. Очевидно са налице три възможности: отсечката
изцяло вътре в областта
да е (1)
, (2) изцяло вън, (3) отчасти вътре, отчасти вън; в
последния случай може да посочим еднозначно число
в интервала ( , ), оз-
начаващо каква част от цялата отсечка е вътре в областта
; в случая (1) това
число би било , а в (2) ‒ : трите случая заедно еднозначно определят число в интервала
,
.
И така: имаме като свързана променлива свойството
. Съпоставяме
му чрез проекция (измерване) свободна променлива ‒ свойството проблем е: можем ли да
припишем като стойност свойството „ ”, респ. „не-
”. Когато това не е възможно, казваме, че свойството отношение на свойството представлява също и 7
7
. Нашият
е неразрешимо по
. Очевидно, така определена, ‘неразрешимостта’
отношение между две свойства и това отношение ще
‘Неразрешимостта’ може да се разглежда и като свойство, и като отношение.
отъждествим с фон Ноймановата „едновременна неразрешимост”, като във всеки конкретен случай можем еднозначно да припишем число
( , ), което да
тълкуваме като вероятност на свободната променлива ‘свойството же да се припише стойност „свойството
’ да мо-
”.
За вникнем по-дълбоко в понятието „едновременна неразрешимост”, нека изясним: защо то не се появява в т. нар. обичайна логика и теория на множествата. За целта да разгледаме множеството но представено като компактна област в равнината на подмножество нито на нито на
, нито на не-
нито на не-
и
, съответстващо на
,
. В случая (3) няма да е
на свой ред няма да е подмножество
. „Едновременна неразрешимост” на
и на
няма,
тъй като всяко от двете множества разцепва другото на две подмножества с празно сечение (дизюнктни подмножества). В случая на квантовата механика, за „едновременна неразрешимост” говорим в случаите, когато едното от двете множества остава, фигуративно казано, в „кохерентно състояние”, т.е. принуждава да бъде разглеждано само като цялост и поради това не може да бъде разцепено от другото множество на две дизюнктни подмножества. За да представим такова множество, което е само цялост, досега използвахме логическото понятие за свързана променлива. Може също така да се спомене като насока за мислене нарушаване на изоморфизма между логика и теория на множествата, когато пространството, в което се извършва проекцията, не е „плоско”, има „кривина” и следователно проекцията се извършва по геодезичните линии в него. Накрая на параграфа фон Нойман дава конкретен пример, изясняващ следната негова теза:
Това основано на проекционни оператори изчисление със съждения има, освен останалото, още предимството над изчислението с величини, основано на съвкупността от всички (хипермаксимални) ермитови оператори, че понятието „едновременна разрешимост” [Entsheidbarkeit] представлява усъвършенстване на понятието „едновременна измеримост” (Neumann 1932: 134).
Би могло да се обсъди какъв смисъл следва да се влага в „усъвършенстване”. За целта бих предположил, че в израза „усъвършенстване на понятието за „едновременна измеримост” [eine Verfeinerung des Begriffes der „gleichzeitigen Meßbarkeit”], както и навсякъде в съчетанията „едновременна разрешимост”, „едновременна измеримост”, думата „едновременна” е употребена буквално. Такъв буквален смисъл на „едновременна” може да се тълкува по следния начин:
Всяка физическа величина в квантовата механика, която е необходимо (без да е достатъчно) ермитов оператор, имплицира инвариантност спрямо
моментите на времето. За да изясним смисъла на поставеното в курсив, но без да навлизаме в „тресавището” на математическа прецизност, ще използваме като изходна точка онагледяване на ермитов оператор с оператора умножаване на вектор с реално число. Този оператор запазва „направлението” на вектора. Ако на всяка посока сме съпоставили момент от времето на цикличен процес, то ‘едновременност’ означава, че два или повече вектора са с една и съща посока (имат една и съща фаза) и в този смисъл са едновременно, и то тъкмо в буквален смисъл измерими. По-нататък можем да разширим нашето онагледяване на ермитови оператори, с такива, които, когато действат върху кои да е два вектора, имат една и съща стойност на скаларното произведение на вектора и на проекцията на другия върху него. Това може да се случи само когато времето (представено чрез фазата между векторите) тече „по нютоновски”: равномерно, еднообразно, хомогенно, непрекъснато. Ако използваме относителността между непрекъснатост и дискретност, която би могла да се обоснове чрез парадокса на Скулем (Skolem 1970), можем да кажем, че такова време просто „брои” по подобие с метроном и нищо повече. При това положение ще е в сила и т. нар. унитарност ‒ според нашия нàглед всеки вектор (всяка физическа величина) ще има една съща големина при какво да е негово завъртане (т.е. в произволен друг момент, ако системата междувременно не е изпитала въздействие), ‒ която в крайна сметка е еквивалентна на закона за запазване на енергията. С това достигаме до пълния смисъл, който следва да се влага в това, че „всяка физическа величина в квантовата механика имплицира инвариантност
спрямо моментите на времето”: ако използваме еталон от произволен друг момент от времето като мярка за измерване на величината, то нейната стойност ще бъде една и съща, независимо от това еталон от кой момент от времето е използван (това е необходимо тъкмо защото моментът от време, от който произхожда еталонът, се избира принципно случайно). В такъв случай, ако измерваме две величини заедно, можем да изберем произволен момент от времето, напр. този на едната от тях, и да сме сигурни, че направеното измерване с еталони от този момент, е валидно за всеки друг момент. В класическата физика това, разбира се, е вярно за кои да е две величини. Фон Нойман показва на основата на предшестващи публикации на други изследователи, че това не е вярно в общия случай за квантовата механика и тогава се говори за едновременно неизмерими величини. Всички знаят, разбират или просто повтарят, че в този случай съответните оператори − а те необходимо трябва да са ермитови и дори самоспрегнати (или „хипермаксимални“, ако използваме термина на фон Нойман), понеже става дума за физически величини − не комутират. Какво обаче ще рече това? Ако се избере произволен момент от времето, от който напр. да се вземат еталоните и се обсъждат проекциите на двете величини под въпрос върху този момент, то има значение редът, в който се проектират, тъй като в двата случая ще се получат различни резултати. За да се избегне тази конфликтна ситуация на явно противоречие за стойностите на тези две величини, което, ако не се отстрани по един или друг начин, би довело до пълна неопределеност и следователно непредсказуемост, т.е. до ненаучност на квантовата механика, всички случаи от този род се опис-
ват като строго определено множество и се забраняват : това са едновременно неизмеримите величини. Фигуративно казано, „нозете” на квантовата механика, стърчащи извън прокрустовото ложе на научността, „не се отрязват”, понеже няма как, нито пък „ложето” се обявява за неподходящо, т.е. за недостатъчно, „непълно”, както биха се стремили да покажат привържениците на теориите със скрити параметри, а се забранява едновременното им „разглеждане” с останалата част от тялото (тъй като и те могат да се настанят на ложето, а тялото „да стърчи” навън).
Обаче при понятието за „едновременна неизмеримост” ситуацията на проектиране ‒ в нашия гротесков пример, представена с премерването върху прокрустовото ложе, ‒ от която собствено следва и ‘едновременната неизмеримост’ остава неявна, имплицитна. Тъкмо в този смисъл „едновременната неразрешимост”, въведена от фон Нойман чрез тълкуването на проекционните оператори като твърдения, е „усъвършенстване на понятието за едновременна неизмеримост”, тъй като непосредствено включва причината за едновременната неизмеримост, а именно неопределеността ‒ в уточнения малко по-горе смисъл ‒ при проектиране на две такива величини върху един и същи момент от времето, от който напр. „се вземат еталоните” за тези величини. На шега казано, добавим ли и един метър по дължината на прокрустовото ложе, ако желаем да измерим части или само от тялото, или части само от краката на „великана” „квантова механика” няма проблеми да го направим заедно, но последователно, като в първия случай ще разположим туловището, а във втория – нозете върху ложето-метър. Например обаче, „дължината на врата” и „дължината на бедрото” ще бъдат едновременно неизмерими, тъй като трябва да завъртим „великана” на
за второто измерване. Може да използ-
ваме, и дори е по-коректно, „проекционния оператор” за грамаданските телесни членове ‒ дали се проектират едновременно върху ложето или не, ‒ за да изясним причината за едновременната им измеримост, респ. неизмеримост. В заключение на текста, чрез който се опитах да въведа един доста неопределен термин, „принстънски дух” и да го изтълкувам като „съвременно питагорейство”, би могло да се каже следното. Постоянно будещата удивление, дори много преди началото на Новото време и на математизираната наука, числовост, или с днешни термини, математическа структурираност на света, при положение, че той заедно с това е и толкова неопределен, аморфен и случаен, получава чрез дуалното или дуалистичното питагорейство такова обяснение:
светът по своята същност е и математическа структура. Използването на математически средства за неговото описание и разкриване не е външно и акцидентално. Това, че дори не само книгата на природата, но и самият свят, са написани на математически език, не е метафора, или може би по-точно, не е само метафора и следователно би трябвало да се разбира също така и буквално. Та-
кава е мъдростта и поуката, която донякъде условно, разположихме в Принстън.
ЛИТЕРАТУРА: Bell, J. 1964. On the Einstein ‒ Podolsky ‒ Rosen paradox. ‒ Physics (New York), 1, 195-200; http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/QM/bell_physics_1 _195_64.pdf . (Bell, J. Speakable and unspeakable in quantum mechanics: collected
papers in quantum mechanics. Cambridge: University Press, 1987, 14-21). Bell, J. 1966. On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics. ‒ Re-
views of Modern Physics. Vol. 38, No 3 (July), 447-452; http://www.physics.prince ton.edu/~mcdonald/examples/QM/bell_rmp_38_447_66.pdf . (Bell, J. Speakable and
unspeakable in quantum mechanics: collected papers in quantum mechanics. Cambridge: University Press, 1987, 1-13.) Bohr, N. 1935. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? – Physical Review. Vol. 48 (15 Oct 1935), 696-702 (Н. Бор. 1936. Можно ли считать, что квантово-механическое описание физической реальности является полным? – Успехи физических наук. T. XVI, № 4, 446-457 – http://ufn.ru/ufn36/ufn36_4/Russian/r364_b.pdf ). Gödel, K. 1930. Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. –
Monatshefte der Mathematik und Physik. Bd. 37, No 1 (December, 1930), 349-360 (Bilingual German ‒ English edition: K. Gödel. The completeness of the axioms of the functional calculus of logic. ‒ In: K. Gödel. Collected Works. Vol. I. Publications 1929
– 1936. Oxford: University Press, New York: Clarendon Press ‒ Oxford, 1986, 103123.) Gödel, K. 1931. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I. ‒ Monatshefte der Mathematik und Physik. Bd. 38, No 1 (December, 1931), 173-198. (Bilingual German ‒ English edition: K. Gödel. The formally undecidable propositions of Principia mathematica and related systems I. ‒ In: K. Gödel. Collected Works. Vol. I. Publications 1929 – 1936. Oxford: University Press, New York: Clarendon Press ‒ Oxford, 1986, 144-195.) Einstein, A. 1918. Prinziplelles zur allgemeinen Relativitätstheorie. – Annnalen der
Physik. Bd. 55, № 4, 241-244. – http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/ history/einstein-papers/1918_55_241-244.pdf .
Gentzen, G. 1969. The Collected Papers of Gerhard Gentzen (ed. M. Szabo). Amsterdam-London: North Holland Publishing Company. Henson, N. 1963. The Concept of Positron. A philosophical Analysis. Cambridge: University Press. Hermann, G. 1935 The circularity in von Neumann's proof. (Translation by Michiel Seevinck of "Der Zirkel in NEUMANNs Beweis", section 7 from the essay by Grete Hermann,
Die
Naturphilosophischen
Grundlagen
de
Quantenmechanik.
Abhandlungen der fries'schen Schule, 6, 1935 ‒ http://www.phys.uu.nl/igg/seevinck/ trans.pdf ). Hilbert,
D.
1903.
Grundlagen
der
Geometrie.
Leipzig:
B.G.
Teubner
(http://ia700201.us.archive.org/3/items/grunddergeovon00hilbrich/grunddergeovon0 0hilbrich.pdf ; in English, http://www.gutenberg.org/files/17384/17384-pdf.pdf ) Hilbert, D. 1900. Mathematische Probleme. (Vortrag, gehalten auf dem internationalen
Mathematiker-Kongreβ
zu
Paris
1900.
−
http://www.mathematik.uni-
bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html (http://www.math.uni-bielefeld.de/~kersten/ hilbert/rede.pdf;http://wikilivres.info/wiki/Mathematische_Probleme; in English: http: //www.ams.org/journals/bull/1902-08-10/S0002-9904-1902-00923-3/S0002-99041902-00923-3.pdf ). Hilbert, D., P. Bernays. 1968. Grundlagen der Mathematik. Berlin – Heidelberg – New York: Springer (http://www.ags.uni-sb.de/~cp/p/hilbertbernays/demobilingual .pdf ). Kochen, S., E. Specker. 1967. The problem of hidden variables in quantum mechanics. – Physical Review A. Vol. 17, № 1, 59-87;
http://www.hep.princeton.
edu/~mcdonald/examples/QM/kochen_iumj_17_59_68.pdf . Kolmogorov, A. 1933. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Springer. (На руски: А. Колмогоров. 1936. Основные понятия теории вероятнос-
тей. Москва: ГНТИ. На английски: A. Kolmogorov. 1950. Foundations of the theory of
probability.
New
York:
Chelsea.
−
http://clrc.rhul.ac.uk/
resources/fop/Theory%20of%20Probability%20(small).pdf . История и коментари: G. Shafer, V. Volk. The origins and legacy of Kolmogorov’s Grundbegriffe − http://www.probabilityandfinance.com/articles/04.pdf )
Konopleva, N. 2006. Relativistic physics and geometry. – Gravitation and Cosmolo-
gy. Vol. 12, No 2-3 (46-47), 186-190. − http://rgs.vniims.ru/full/2006-186.pdf . McKincey, J., A. Sugar, P. Suppes. 1953. Axiomatic Foundations of Classical Particle Mechanics. – Journal of Rational Mechanics and Analysis. Vol. 2, No 2, 353272. Michelson, A. 1881. The Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether. –
American Journal of Science. Vol. 22 (July to December, 1981, 120-129. (http://en.wikisource.org/wiki/The_Relative_Motion_of_the_Earth_and_the_Luminifer ous_Ether ). Michelson, A., E. Morley. 1887. The Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether. − American Journal of Science. Vol. 34 (203 − November, 1987) 333345.
(http://en.wikisource.org/wiki/On_the_Relative_Motion_of_the_Earth_and_
the_Luminiferous_Ether ) v. Neumann, J. 1932. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Verlag von Julius Springer. (J. von Neumann. 1955. Mathematical Foundations of
Quantum Mechanics. Princeton: University Press; Й. фон Нейман. 1964. Математические основы квантовой механики. Москва: „Наука”.) O'Raifeartaigh, L. 1997. The dawning of gauge theory. Princeton: University Press. Pauli, W. 1930. The letter of the 4th of December 1930.
(http://www.
symmetrymagazine.org/cms/?pid=1000450 ). Pauli, W. 1961. Zur älteren und neueren Geschichte des Neutrinos. – In: W. Pauli.
Aufsätze und Vorträge über Physik und Erkenntnistheorie (ed. V. F. Weissllcopf). Braunschweig: Vieweg, 156-180. (На английски: W. Pauli. Collected Scientific Papers (eds. R. Kronig and V. F. Weisskopf). New York: Wiley, Interscience, 1964, Vol. 2. 1313-1335; на руски: В. Паули. К старой и новой истории нейтрино. – В: Теоре-
тическая физика XX в. Москва: Иностранная литература, 1962, 386-412) Schrödinger, E. 1935. Die gegenwärtige situation in der Quantenmechanik. – Die
Naturwissenschaften, Bd. 48, 807-812; Bd. 49, 823-828, Bd. 50, 844-849. (In English: http://www.tu-harburg.de/rzt/rzt/it/QM/cat.html; превод на руски: Шредингер, Э. 1971. Современное положение в квантовой механике. – В: Э. Шредингер.
Новые путы в физике. Москва: „Наука”, 1971, 66-106.)
Segal, S. 2003. Mathematicians under the Nazis. Princeton: University Press. Skolem, T. 1970. Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre. ‒ In: T. Skolem. Selected works in logic (ed. E. Fenstad), Oslo etc: Univforlaget, 137-152. Thiele, R. 2003. Hilbert’s Twenty-Forth Problem. – American Mathematical Monthly, January 2003, 1-24. (http://www.maa.org/news/Thiele.pdf ) Turing, A. 2004. The Essential Turing. Seminal Writings in Computing, Logic, Philos-
ophy, Artificial Intelligence, and Artificial Life plus The Secrets of Enigma (ed. B. Copeland). Oxford: Clarendon Press. Пенчев, В. 2009. Философия на квантовата информация. Айнщайн и Гьодел. С.: ИФИ-БАН. Пенчев, B. 2010. Неразрешимост на т. нар. първа теорема на Гьодел за непълнотата. – Философски алтернативи, 5, 104-119.