50 basic terms of quantum information

Васил Пенчев 50 ОСНОВНИ ТЕРМИНА НА КВАНТОВАТА ИНФОРМАЦИЯ Аксиома за избора (axiom of choice, аксиома выбора) постулира, че от всяко множество може да се избере елемент. Твърди се само съществуването на такъв елемент, но не и конструктивна процедура (алгоритъм), по която може да се извърши този избор. Също така нищо не се твърди относно това, дали вече направен избор може да се повтори целенасочено. Формулирана е от Ернст Цермело: „за безкрайна съвкупност от множества винаги има съчетания, при които на всяко множество съответства един негов елемент или изразено формално, че произведението на безкрайна съвкупност от множества, всяко от които съдържа поне един елемент, самò e различно от празното множество“ (Zermelo 1904: 516). Има редица еквивалентни, по-слаби и по-силни формулировки. Една от найизвестните сред тях е теоремата (аксиомата) за добрата наредба: всяко множество може да се нареди добре. Ако едно множество е наредено добре, то може да се постави във взаимно-еднозначно съответствие с множеството на целите числа (парадокс на Скулем): следователно е изброимо. Има множество други парадоксални следствия от аксиомата за избора. Те пораждат редица критики към самата аксиома. Въпреки това важни теореми в математиката не могат да се изведат без нея. Аксиомата за избора играе съществена роля в квантовата механика. Тя е единствената опитна наука, в която аксиомата за избора се оправдава посредством основния постулат на дисциплината: че тя изучава системи от микроскопичен обект и макроскопичен уред чрез показанията върху последния. Алгоритъм на Гроувър (Grover’s algorithm, алгоритм Гровера) е квантов алгоритъм, създаден от Лав Гроувър през 1996 г. (Grover 1996; 2001). Често се онагледява като търсене на определен елемент в база данни. Самият Гроувър използва метафората „търсене на игла в купа сено“. Неговият алгоритъм позволява търсене сред N възможности за √ стъпки. Класическите алгоритми търсят за брой стъпки, зависещ линейно от N. Следователно алгоритъмът на Гроувър ускорява изчислението квадратично. Алгоритъм на Шор (Shor’s algorithm, алгоритм Шора) е квантов алгоритъм, създаден от Питър Шор през 1994 г. (Shor 1994). Служи за откриването на множителите на дадено цяло число N. В сравнение с класическите алгоритми, които решават същата задача, за факторизиране на цяло число до прости множители, алгоритъмът на Шор ускорява решението експоненциално. Аргумент („парадокс”) на Айнщайн – Подолски – Розен (АПР) (argument („paradox”) of Einstein – Podolsky – Rosen (EPR), аргумент („парадокс“) Эйнштейна – Подольского – Розена) е мислен експеримент, предложен от Айнщайн, Подолски и Розен в знаменита статия (Einstein, Podolsky, Rosen 1935). По замисъла на авторите му, той трябва да

демонстрира непълнотата на квантовата механика чрез доказателство от противното. Структурата на аргумента е следната. Да допуснем, че квантовата механика е пълна. Тогава може да се изведе, че съществуват нелокални корелации в настоящето между два произволно отдалечени микрообекта, които са образували единна система в даден минал момент. Ако на единия сега измерим положението, а на другия − импулса, по закона за запазване на импулса можем точно да определим също така и импулса на първия. По този косвен начин за първия микрообект са определени еднозначно и положението, и импулса. Това противоречи на съотношението за неопределеност на Хайзенеберг. Следователно изходната предпоставка, която е довела до противоречието, а именно че квантовата механика е пълна, е невалидна. Експериментално потвърденото нарушаване (Clauser, Horne 1969; 1974; Aspect, Grangier, Roger 1981; 1982) на неравенствата на Бел (Bell 1964) показва, че нелокални квантови корелации съществуват. Те не водят до визираното в аргумента противоречие. Всъщност самото съотношение за неопределеност на Хайзенберг не позволява да се пренесе резултатът от измерването на импулса на втория микрообект към първия. Така до изведеното противоречие не може да се достигне по указания логически път. Въпреки това влиянието на този мислен експеримент върху развитието на квантовата механика и на нейната философия е огромно. То довежда до появата на дисциплината „квантова информация“, която изучава нелокалните корелации в квантовата механика и явленията, в които те се проявяват. Векторно пространство (vector space, векторное пространство) е математическа структура, която може да се дефинира над произволно поле, най-често реалните или комплексните числа, чрез две комутативни, асоциативни и дистрибутивни операции, пълни по отношение на векторното пространство: събиране на елементите на векторното пространство и умножение на елемент от векторното пространство с елемент от полето. Множествата от всички добре наредени n-орки от елементи на полето са изоморфни на nмерно векторно пространство над това поле. Всяко векторно пространство има базис и свое дуално векторно пространство, което може и да съвпада с него. Базисът е добре наредена n-орка от единицата или елементи на полето, върху което е дефинирано векторното пространство. Дуалното пространство е множеството от всички линейни функционали, дефинирани върху векторното пространство. Всяка функция след преобразование на Фурие може да се представи като безкрайно-мерен вектор от амплитудите на хармониците си и да се нареди добре. Понятието за векторно пространство е обобщение на тримерното евклидово пространство и развива по-нататък идеите на аналитичната геометрия за изоморфизъм или съответствие на геометрични и алгебрични структури − вече между вектори и функции. Математическият формализъм на квантовата механика и информация се основава на един конкретен вид векторно пространство – комплексното хилбертово пространство. Причината за това е че векторното пространство допуска две изоморфни физически интерпретации – времева и честотна: съответно като последователността от точки на една

траектория и като последователността от хармоници на един импулс. Така то е „инвариантно“ спрямо вълново-корпускулярния дуализъм. Математическият запис в термините на векторно пространство не зависи от това дали съответният физически обект ще се тълкува като частица с траектория или като нелокална „вълна“ на вероятността. Вероятност (probability, вероятность) е математическо понятие, фундаментално за съвременната наука. Различава се субективна и обективна вероятност. Субективната вероятност е насочена към бъдещето: оценка или мярка за очакването дадено събитие да се случи. Обективната вероятност се определя въз основа на събития, случили се в миналото. Пример за нея е честотната вероятност. Тогава вероятността на дадено събитие се определя като отношението на броя случаи, в които дадено събитие е настъпило, към броя на всички случаи. Друг пример е геометричната вероятност. Тя представлява отношението на геометричните мерки на част и цяло. Колмогоров (Kolmogorov 1933) предлага аксиоматика на теорията на вероятностите, която днес е общоприета. В нея вероятността се определя като мярка, която се дава на множество, наричано вероятностно пространство, и която изпълнява няколко аксиоми. Понятието за вероятност играе основополагаща роля в квантовата механика. Квантовите скокове не позволяват да се определя величината скорост на движение. Тя се заменя с вълновата функция, която описва разпределението на вероятността за всяко едно положение в пространството. Вълнова функция (wave function, волновая функция), наричана още -функция и функция на състоянието, е основното понятие в квантовата механика. Математически тя представлява точка в комплексното хилбертовото пространство. Необходимостта от въвеждане на вълновата функция произтича от самия квантов характер на механиката. Тя е квантовият аналог на понятието за скорост, която в случая на квантов скок не може да се определи еднозначно. Вместо нея се използва разпределението на вероятността на величината положение или на почти всяка друга физическа величина, разглеждана като случайна. Вълновата функция може да се тълкува като характеристичната функция на тази случайна величина. По този начин аргументът на времето, пораждащ неопределеност при квантовия скок, се замества с безкрайна, но определена съвкупност от честоти – хармоници. Съществува взаимно еднозначно съответствие между функцията на разпределение на вероятността и коефициентите (координатите) на вълновата функция. Квадратът на модула на всеки комплексен коефициент съответства на вероятността за дадена стойност на величината при квантов скок (т.нар. вероятностна интерпретация на квантовата механика, предложена от Макс Борн), а неговата фаза – на съответната стойност на величината. Поради гладкостта и произтичащата от това непрекъснатост на функцията на разпределение е възможна изброима дискретизация, съответстваща също взаимно еднозначно на съвкупността от хармоници на вълновата функция.

Вълново-корпускулярен дуализъм (wave-particle duality, корпускулярно-волновой дуализм) е фундаментална концепция в квантовата механика. Тя означава, че всеки физически обект може винаги да се тълкува едновременно и като частица с еднозначно определена гладка траектория, и като вълна с еднозначно определена вълнова функция. Оттук следва, че движението на всеки физически обект може да се интерпретира едновременно и като непрекъснато, и като дискретно. До противоречие не се достига, понеже двата аспекта са допълнителни, т.е. винаги се изисква предварителен избор, изключващ другия аспект. Нещо повече, от общоприетия математически формализъм на квантовата механика – комплексното хилбертово пространство – следва, че двата изключващи се аспекта са идентични. Различаването им като динамични и статични или като континуални и дискретни взаимно изключващи се, допълнителни аспекти се състои единствено в две съответни интерпретации на този един и същ формализъм. Емпирично това се изразява в т.нар подготовка на експеримента в квантовата механика. Чрез нея предварително се определя кой от двата типа величини ще се измерва. Поради това всяка величина, свързана с единия аспект на движение, има точен двойник при другия. Такава двойка величини се определят като едновременно неизмерими, а съждения за тях – като едновременно неразрешими (Neumann 1932: 131-134). Неточностите при тяхното едновременно измерване удовлетворяват т.нар съотношение за неопределеност на Хайзенберг, което представлява неравенство по отношение на константата на Планк . Пример за едновременно неизмерими величини може да се даде с координатата в пространството и съответната проекция на импулс върху тази координата : . Два самоспрегнати оператора в комплексното хилбертово пространство и , съответни на две едновременно неизмерими величини и b, не комутират: ( – имагинерната единица). От вълново-корпускулярния дуализъм следва некомутативността, наличието на взаимно неизмерими величини и отсъствието на „скрити параметри“ (теорема на Коушън – Шпекър). Вълново-корпускулярният дуализъм е особена форма на инвариантност, характерна за квантовата механика. Той изразява инвариантността на физическите процеси и закони спрямо всякакви движения: както непрекъснати (гладки), така и прекъснати. Може да се изведе от определянето на квантовата механика като познание за системата от микроскопичен обект и макроскопичен уред, което оправдава постулирането на аксиомата за избора в квантовата механика. В логически план тя позволява противоречието между вълновия и корпускулярния аспект да се избегне чрез изключващ избор на един от двата. От вълново-корпускулярния дуализъм може да се изведе холистичният характер на квантовата механика (вж. холизъм) и нелокалните квантови корелации (теорема на Коушън – Шпекър). Генценова аритметика (Gentzen arithmetic, генценова арифметика) е аритметика с аксиомите на Пеано, в която аксиомата за математическата индукция е заменена с аксиомата за трансфинитната индукция: за всяко напълно подредено множество, ако от това, че от валидността на твърдение за всички предшестващи даден елемент следва

валидността му за този елемент, то твърдението е валидно за всички елементи на множеството. Доказателството на трансфинитната индукция се основава на математическата индукция (Gentzen 1969: 192-193): „трансфинитната индукция до е доказуема в елементарната теория на числата“ (Gentzen 1969: 306). С е означен (Gentzen 1969: 277-278) най-малкият ординал, който е „инвариантен“ („неподвижна точка“) при експоненциално представяне: . С други думи, съдържа символа в своята канторова нормална форма; e най-малкият трансфинитен ординал. Проблемът е дали пълнотата и непротиворечивостта на Генценовата аритметика може да се изведе от Пеановата аритметика, ако тя се приеме за пълна и непротиворечива. Обратно, пълнотата и непротиворечивостта на Пеановата аритметика може да се изведе от Генценовата (Gentzen 169: 132-213; 252-286). Така Генценовата и Пеановата аритметика представляват пример за дуална пълнота (Пенчев 2009: 254-256). С аксиомата за избора напълно нареденото множество на Генценовата аритметика се превръща в добре нареденото на Пеановата. Обратно, с отстраняване на добрата наредба в Пеановата аритметика, тя се превръща в Генценова. Декохеренция (decoherence, декогеренция) е физическият механизъм, чрез който се избира едно определено състояние на квантова система от кохерентната суперпозиция на всички възможни при измерване с уред или взаимодействие със средата. В частност, така се избира една конкретна стойност на физическа величина от всички вероятни в квантова система. В математическия формализъм предполага аксиомата за избора. Осъществява се чрез лавинообразен процес в чувствителна дисипативна система, каквато е уредът или средата. Нейна идеализация е т.нар редукция на вълновия пакет, извършваща се „мигновено“. Протича спонтанно с отделяне на енергия за периода от време на лавинообразния процес, еквивалентно на физическата величина действие. Обратният процес на „кохерентизация“ не се наблюдава естествено. Дава квантово обяснение на „стрелата на времето“. Представлява много трудно преодолимо препятствие за техническо приложение на квантовата информация, основаваща се на квантови системи в кохерентно състояние и тяхното взаимодействие. Делта (δ-)функция (delta (δ-)function, дельта (δ-)функция) е обобщение на понятието за функция, въведено от Пол Дирак (Dirac 1958: 58), за да моделира „скоростта“, „първата производна“ на квантов скок, т.е. мигновеното преминаване от едно константна стойност към друга. Представлява безкраен пик само в една точка на аргумента, обикновено нулевата. Интегралът от нея условно се приема за единица, на което съответства квантов скок от нула към единица в тази точка. За разлика от обичайното определение за функция, в точката на пика притежава континуум от стойности. Тя е пример от обобщените функции, известни и като разпределенията на Шварц. „Несобствената“ интерпретация на делта функцията е следната: в околност на безкрайния пик – при безкрайното изменение на стойностите на функцията в безкрайно малка област на аргумента – може да се опише подробно чрез вълновата функция и посредством

актуалните диференциали от нестандартния анализ на Робинсън, изоморфни на оператори в хилбертовото пространство (Alain Connes 1995: 6207-6218). Дифеоморфизъм (diffeomorfism, диффеоморфизм) е гладък изоморфизъм между гладки многообразия. С други думи, той преобразува взаимно еднозначно и гладко една гладка функция в друга. „Гладко“ означава съответната функция или изображение да има произволен или безкраен брой производни във всяка точка. Интерпретирано физически, това ще рече във всяка точка от една траектория да са дефинирани еднозначно скорост, ускорение и т.н. Айнщайновият общ принцип на относителността (Еinstein 1918: 241) може да се формулира като инвариантност на физическите закони спрямо дифеоморфизми. Квантовата механика и информация може да се тълкува като обобщение спрямо дискретни (изо)морфизми, при които дори първа производна отсъства поне в някои точки. Тогава в тях не може да се определи скорост и се замества с вълнова функция. След това изображението между две вълнови функции, представляващо оператор в комплексното хилбертово пространство, отново е гладко. То може да се представи като гладко преобразование във времето между две случайни разпределения на физическа величина. Дуална непротиворечивост (dual consistency, дуальная непротиворечивость) обозначава взаимната непротиворечивост на две пълни аксиоматики в следния смисъл. Непротиворечивостта на втората се извежда от първата, ако се приеме, че първата е пълна и непротиворечива. Обратно, непротиворечивостта на първата се извежда от втората, ако се приеме, че втората е пълна и непротиворечива (Пенчев 2009: 254-260). Пеановата и Генценовата аритметика са дуално непротиворечиви. Дуалната непротиворечивост е свързана с аксиомата за избора посредством т. нар. парадокс на Скулем и относителността на несобствената интерпретация в изброимо множество и собствената интерпретация в множество, което не е изброимо. Дуалната непротиворечивост произтича от своеобразната инвариантност на собствената и несобствената интерпретация спрямо аксиомата за избора, а именно: на аксиоматики със и без аксиомата за избора може да се построи модел в тази аксиоматика със аксиомата за избора. Дуална пълнота (dual completeness, дуальная полнота) е подход за пълнота и непротиворечивост на достатъчно богата аксиоматика, който се основава (Пенчев 2009: 254-260) на пълнотата на квантовата механика, доказуема посредством теоремите за отсъствие на скрити параметри. Под достатъчно богата аксиоматика се разбира такава, която съдържа или съвпада с аритметиката на естествените числа, удовлетворяваща аксиомите на Пеано. Дилемата или противоречивост, или непълнота, следваща от т.нар. теореми за непълнотата на Гьодел (1931), се избягва чрез дуализма, т.е. чрез изискване за изключващ избор между две противоречащи си съждения или между неразрешимо твърдение и неговото отрицание. Заедно с това всички съждения се разделят на два дуални класа от едновременно неразрешими твърдения. Всеки две съждения от един и същи клас

от тези два класа са едновременно разрешими. Изисква се аксиомата за избора и води към разбиране за математиката като тоталност, дуално съвпадаща със света (дуалистично питагорейство). Въпреки че се изисква аксиомата за избора, дуалната пълнота е „инвариантна“ спрямо нея в следния смисъл. Съществува изоморфизъм между съвкупността от двата дуални класа твърдения (при приета аксиома за избора) и съвкупността от двете аксиоматични системи, съответно със и без нея. Така по отношение дуалната пълнота аксиомата за избора играе роля, подобна на Витгенщайновата „стълба“ от афоризъм 6.54 на „Логико-философски трактат“. Тази особена роля на аксиомата за избора може да се илюстрира чрез теоремата на Коушън – Шпекър, следствията и контрапримерите чрез нея (Kochen, Specker 1967: 70; 75-82). Дуално пространство (dual space, дуальное пространство) * е пространство, което може да се асоциира с всяко векторно пространство върху поле . Представлява множеството от всички линейни функционали, дефинирани върху със стойности в . Елементите на дуалното пространство се наричат ковектори. В интуитивен смисъл ковекторът е взаимно еднозначно преобразование на вектора в числова редица по едно измерение. Обратно, числовата редица може да се разгледа като вектор и неговият съответен ковектор ще е изходният вектор. Следователно, дуално на дуалното е изходното векторно пространство. За квантовата механика и информация представлява интерес тълкуванието на елемента * от дуалното хилбертово пространство, наричан спрегната вълнова функция. Подчинена е на условието за нормиране: ∫ * . С са означени обобщените координати. Представлява вълновата функция на спрегнатата величина или еквивалентно − дискретен скок в спрегнатото представяне на изходната величина, получено с преобразование на Фурие. Дуалните времева и честотна интерпретация на формализма на хилбертовото пространство са пълно представени вътре в съвкупността от комплексното хилбертово пространство и неговото дуално. Пълнотата на квантовата механика чрез т. нар. парадокс на Скулем се пренася към пълнотата на теорията на множествата и чрез нея към обосноваването на математиката. Едновременна (не)разрешимост (simultaneous (un)decidability, одновременная (не)разрешимость) са две противоположни понятия, въведени от фон Нойман (Neumann 1932: 131-134), за да опише отношението на две съждения съответно относно две едновременно (не)измерими величини. Например, за даден микрообект съжденията и са едновременно неразрешими поради съотношението за неопределеност. С е означена пространствена координата, а с – проекцията на импулса върху нея; и са конкретни стойности на тези величини. Всички съждения се разделят на два класа, като всеки две твърдения във всеки от двата класа са едновременно разрешими, а всеки две твърдения, от които едното принадлежи на единия клас, а другото – на другия, са едновременно неразрешими. Възможно е неразрешимостта

на твърдение според т.нар. първа теорема за непълнотата на Гьодел да се тълкува като едновременна неразрешимост спрямо всички твърдения, разрешими за дадената аксиоматика. Елемент на реалността (element of reality, элемент реальности) е термин, въведен от Айнщайн, Подолски и Розен в статията „Може ли квантово-механичното описание на физическата реалност да се разглежда като пълно?“ (Einstein, Podolsky, Rosen 1935), за да се определи една „пълна теория“: „Във всяка пълна теория има елемент, съответстващ на всеки елемент на реалността“ (пак там: 777). С други думи, пълнотата се определя като изображение с дефиниционна област съответните елементи в теорията и стойности от „елементите на реалността“. Обратно, ако два „елемента от реалността“ се представят от един и същ елемент в теорията, то тя е непълна. Мисленият експеримент, предложен в статията, се стреми да покаже, че две спрегнати величини, които според квантовата механика са едновременно неизмерими, са два елемента от реалността, докато в теорията им съответства един единствен и следователно е непълна.Този извод е неправилен, поради експериментално доказаното съществуване на нелокални квантови корелации (Clauser, Horne 1969; 1974; Aspect, Grangier, Roger 1981; 1982), които нарушават неравенствата на Бел (Bell 1964). Информация (information, информация) е много широко използван термин в редица области с не напълно определено и изяснено значение. Съществени белези са: предаването на съобщение, съпоставяне на два порядъка, подреждане. Като количествена мярка може да е обратна на ентропията (негентропия); да характеризира сложността или взаимната зависимост на две случайни променливи („взаимна ентропия“ или „взаимна информация“); и др. В контекста на дисциплината „квантова информация“ се използва преди всичко в последния смисъл. Самото определение за физическа величина в квантовата механика (вж. наблюдаема) е информационно в следния смисъл: съответства на изменението на разпределението на случайна величина. Понятието квантова информация служи да означи непосредственото взаимодействие на вълновите функции или на разпределенията на случайните величини на два квантови обекта и може да се разглежда като обобщение на понятието за физическа величина в квантовата механика, съответстваща на произволен нелинеен оператор. Непосредственото взаимодействие на вълнови функции съответства на промяната на вероятността за дадени състояния, поради тяхното споделяне с други квантови обекти. В един много широк смисъл могат да се противопоставят класическа/ квантова информация по следните пет признака: (1) може/ не може да се копира; (2) може/ не може да се разруши; (3) не може/ може да взаимодейства със себе се; (4) има/ няма материален носител; (5) е/ не е локализирана във време-пространството.

Квантов алгоритъм (quantum algorithm, квантовый алгоритм) е алгоритъм, който може да се изпълни на квантова машина на Тюринг. Квантовата машина на Тюринг (вж. Пенчев 2005: 67-69) е такава, на която „лентата“ се състои от кюбитове, вместо от битове, някои от които може да са сдвоени. Операциите, които извършва квантовата машина на Тюринг, са същите както класическата: отиди една клетка или напред, или назад, запиши стойност в клетката, спри работа. Под въпрос е дали трябва да се обособи нова операция „сдвояване“ между две или повече кюбита, съответно две или повече клетки от лентата. Кюбитът позволява избор и запис между безкрайно много стойности. За разлика от бита, който представя двоичен, т.е. краен избор, кюбитът представя безкраен избор. Следователно никой класически алгоритъм не може да представи един кюбит или квантов алгоритъм в общия случай. Терминът се употребява и в по-ограничен смисъл на алгоритъм, който може да се изпълни на технически осъществим квантов компютър. В този случай безкрайният избор в един кюбит се заменя с краен, а всеки квантов алгоритъм е еквивалентен на някой класически. Обаче добре построени, квантовите алгоритми (вж. алгоритъм на Шор, алгоритъм на Гровър) позволяват съществено ускорение в сравнение дори с максимално ефективните класически алгоритми. Квантов компютър (quantum computer, квантовый компьютер) се употребява в два съществено различни смисъла: като математически модел, който е обобщение на класическата машина на Тюринг, „квантова машина на Тюринг“; и като технически изпълнимо устройство, което извършва квантово изчисление, включващо квантова суперпозиция и сдвояване. В първия случай е необходима аксиомата за избора, която да гарантира възможността за избор на точка от континуума на кюбита. Квантовата машина на Тюринг може да се представи чрез класическата машина на Тюринг, в която лентата от битове е заменена с кюбитове (вж. квантов алгоритъм). Във втория случай безкрайният избор, който представя един кюбит, се свежда до технически осъществим краен избор и се представя еквивалентно като крайна поредица от битове. Съответно всяка задача, която може да се реши на технически осъществим квантов компютър, може да се реши и на класически. В някои специфични случаи обаче (вж. алгоритъм на Гровър, алгоритъм на Шор) квантовият компютър съществено ускорява изчислението. Квантов паралелизъм (quantum parallelism; квантовой параллелизм) е основният принцип на работа на квантовия компютър. Според него квантовият компютър може да се представи като работещи в паралел класически компютри (вж. Пенчев 2005: 67-69). В математическия модел броят на паралелните класически компютри може да се приеме за безкраен, поради което се доказва, че квантовият паралелизъм позволява да се решат задачи, принципно нерешими с класически компютър.

В технически осъществим квантов паралелизъм, броят на еквивалентните паралелно работещи квантови компютри, е краен. Поради това няма задача, която може се реши чрез технически осъществим квантов паралелизъм и да не може да се реши с класически компютър, макар и с цената на експоненциално забавяне в някои случаи. Допълнително ограничение за приложението квантовия паралелизъм е извеждането на един или краен брой резултати. За сравнение, паралелно работещите класически компютри могат да изведат толкова на брой резултат, колкото е броят на паралелните клонове. Квантова информация (quantum information; квантовая информация) е термин, който се употребява в два съществено различни смисъла: физическа дисциплина и своеобразна „субстанция“ на нелокалните квантови корелации. Дисциплината „квантова информация“ е дял от квантовата механика и изучава явленията на сдвояване и нелокалните квантови корелации. Като нейно начало се посочват знаменитите статии на Айнщайн, Подолски и Розен (Einstein, Pododlsky, Rosen 1935) и на Шрьодингер (Schrödinger 1935). В тях се извеждат теоретично явленията на сдвояване и нелокалните квантови корелации от принципите на квантовата механика. Своеобразието на първата е че ги разглежда като „довод от противното“ за набедената „непълнота на квантовата механика“. Решаващ етап за формирането на квантовата информация като експериментална физическа дисциплина са т. нар. неравенства на Бел (Bell 1964). Чрез тях за първи път е формулиран точен количествен критерий, който е достатъчно условие за разграничаване на нелокални квантови корелации и явления на сдвояване. Експерименталното доказателство за тяхното нарушаване (Clauser, Horne 1969; 1974; Aspect, Grangier, Roger 1981; 1982) демонстрира, че обектът и предметът на дисциплината „квантова информация“ съществуват и могат да се изучават експериментално. От началото на 90-те години на миналия век се развива бурно. Води до преосмисляне на основите на квантовата механика. Поради това за нейния съвременен етап на развитие се налага названието „квантова механика и информация“. Оформят се три главни направления на практическо приложение: квантова криптография, квантов компютър и квантова комуникация. Терминът „квантова информация“ се използва също така, за да се обозначи предметът на дисциплината − нелокалните квантови корелации. Той понякога се представя като своеобразен обект, субстанцията „квантова информация“. Тя може да се дефинира като непосредственото взаимодействие на вълновите функции на два или повече квантови обекта. Математически може да се изрази по няколко еквивалентни начина: неортогоналност на участващите вълнови функции; наличие на смесени произведения от неедноименни хармоници; поява на нови хармоници във вълновата функция на системата. Проявява се като своеобразно вероятностно обобщение на понятие за сила: ограничаване на степените на свобода на участващите квантови обекти. Това е еквивалентно на деформиране на плътността на вероятността на разпределение на някои физически величини, характеризиращи тези квантови обекти. Нейното въздействие и съответното взаимодействие имат винаги нелокален характер: не зависят от време-пространствените

координати на участващите обекти. Произтичат от дуалния вълнов характер, специфичен за всички квантови обекти поради вълново-корпускулярния дуализъм (вж. теорема на Коушън и Шпекър). Могат да се разглеждат дуално и като нелокални „скрити параметри“, и като отсъствие на „скрити параметри“ (включително и нелокални). Квантова комуникация (quantum communication; квантовая коммуникация) е дял от дисциплината „квантова информация“. Тя изучава предаването на информация посредством нелокални квантови корелации. Особеност и предимство на такава комуникация е че предаването се осъществява „мигновено“ в смисъл, че не зависи от време-пространствената локализация. Водещо е понятието за квантов канал. Той се състои от начална точка А („Алис“, която предава информация) и В („Боб“, който получава информацията). Чрез него се представят двата дуални аспекта на квантовата механика с оглед предаването на информация: между две локализирани точки, но посредством нелокални квантови корелации. Той може да се дефинира като корелациите между съотношенията на неопределеност в две точки на време-пространството и два квантови обекта в общия случай на произволна степен на сдвояване между тях. Теоремата за неклонирането (Wooters, Zurek 1982) изключва точното (пълното) предаване на информация чрез квантови корелации. Необходимо е предаването на доуточняваща (допълваща) информация по класически информационен канал между точките A и В, подчинено на постулата за ненадвишаване скоростта на светлината във вакуум. Квантова криптография (quantum cryptography, квантовая криптография) е дял от квантовата информация за създаване на криптографски процедури или тяхното разгадаване. Използват се характерните черти на квантовата комуникация. Общата задача се описва като предаване на квантова и класическа информация между две точки А („Алис“, която изпраща кодирано съобщение) и B („Боб“, който го получава). По квантово-криптирания канал има подслушвач Е („Eва“, от „eavesdropper“), която се стреми да прихване съобщението, но така че нито Алис, нито Боб да разберат. Най-известният метод е квантово разпределение на ключа (quantum key distribution, QKD). Алис кодира ключа за криптографиране като плътност на разпределение на вероятността на квантова величина. Ако Ева прихване кода, тя ще предизвика смущение, по което Алис и Боб могат да установят този факт. Квантова механика (quantum mechanics, квантовая механика) е дял от физиката, който изучава квантови движения и процеси. Такива са движенията и процесите в микросвета при величини на физическите обекти, съизмерими с константата на Планк. Решаващата им особеност е че няма начин да се дефинира скорост на обекта при квантов скок. Замества се с вълновата функция, която е характеристичната функция на величината, разгледана като случайна, с разпределение на вероятността по цялата ѝ дефиниционна област. Обаче теоремите за отсъствие на скрити променливи в квантовата механика забраняват

съвкупността от стойностите на величината да се разглеждат като статистически ансамбъл и обуславят възможността за съществуване на квантови корелации между две едноименни величини. Изучават се нелокални взаимодействия, които са предмет на квантовата информация. От дискретността на морфизмите необходимо произтича холизмът на квантовата механика. Основен принцип на квантовата механика е вълново-корпускулярният дуализъм. Според него всеки квантов обект притежава едновременно свойства на частица, движеща се и изменяща се като гладка функция от времето, и на вероятностна „вълна“, характеризираща квантов скок. Математическият формализъм на квантовата е механика се основава на комплексното хилбертово пространство, представляващо обобщение върху полето на комплексните числа за произволна размерност на обичайното триизмерно евклидово пространство. Вълновите функции представляват точки в него. Съществува взаимно еднозначно съответствие между физическите величини и самоспрегнатите оператори в него. Квантова суперпозиция (quantum superposition, квантовая суперпозиция) е принцип на квантовата механика, предложен от английския физик Пол Дирак. Според него всеки квантов обект в кохерентно състояние се намира едновременно във всички свои възможни състояния. Кохерентното състояние, т.е. преди измерване или декохеренция, се описва с вълновата функция. При измерване се извършва случаен избор на една конкретна стойност сред възможните. Изисква аксиомата за избора. Обосноваването на принципа е следното. Квантовият обект се дефинира чрез квантовото, т.е. скокообразно движение, което извършва. Поради това не може да се определи негова скорост еднозначно. Тя се замества с вероятността да заеме различни положения в пространството, т.е. със случайната величина на неговото положение. Нейната характеристична функция е вълновата функция. Принципът постулира едновременното пребиваване на квантовия обект във всички възможни стойности на случайната величина, понеже няма начин да се привилегирова една единствена преди измерването или декохеренцията; вж. и Котката на Шрьодингер. Квантова телепортация (quantum teleportation, квантовая телепортация) е форма на квантова комуникация, при която се получава неточно копие на квантов обект в произволна друга време-пространствена точка посредством нелокални квантови корелации. Идеята е предложена от Бенет и колектив през 1993 г. (Bennett et al 1993). Точното копиране се забранява от теоремата за неклониране (Wooters, Zurek 1982). За точно копиране е необходимо предаване на допълваща информация по класически информационен канал, подчинено на постулата за ненадвишаване на скоростта на светлината във вакуум. Квантовият обект след квантова телепортация не може да се локализира в изходната точка.

Квантови корелации (quantum correlations, квантовые корреляции) са форма на нелокално взаимодействие между квантови обекти. Произтичат от квантовия характер на тяхното движение. Не зависят от време-пространствената им локализация. Могат да се представят чрез непосредствено взаимодействие на хармониците, на които се разлагат квантовите движения, или съответно – на вълновите функции. Изразяват се в ограничаване на степените на свобода или в деформиране на плътността на вероятността на квантови обекти, между които съществуват квантови корелации. Квантово сдвояване (quantum entanglement, квантовая запутанность) е специфична форма на взаимодействие на два или повече квантови обекта, при която те ограничават взаимно своите степени на свобода или деформират плътността на разпределение на вероятността на някои свои величини. Дефинира се строго по следния начин. Хилбертовото пространство на система от сдвоени квантови обекти не може да се разложи на тензорно произведение от хилбертовите пространства на участващите в системата квантови обекти. Означава, че хилбертовите пространства на участващите в системата квантови обекти не са ортогонални помежду си, поради което се появяват смесени произведения от разноименни хармоници. Основава се на нелокалните квантови корелации. Тъй като квантовите обекти се определят чрез квантовите „скокове“, които извършват, два „скока“ в две произволни точки на време-пространството могат да корелират непосредствено чрез взаимодействие на съставящите ги хармоници. Явленията на квантово сдвояване са обект на дисциплината „квантова информация“. Котката на Шрьодингер (Cat of Schrödinger, Кот Шрёдингера) е гротесков мислен експеримент, предложен от Шрьодингер (Schrödinger 1935: 812), за да онагледи парадоксалния характер на принципа на суперпозцията по отношение обичайните представи за поведението на телата. Котка е затворена в непроницаема клетка с ампула мигновено действаща отрова. В същата клетка радиокативен атом посредством уред и задействано от него чукче може да предизвика в случаен момент строшаване на ампулата, освобождаване на отровата и смърт на котката. Тъй като състоянието на котката не може да се наблюдава, то според принципа на суперпозицята трябва да се приеме, че тя е в състояние „жива-и-мъртва“. Едва след като се отвори клетка, което е еквивалентът на измерване в квантовата механика, може да се установи, че е в точно едно от двете възможни състояния. Всъщност този мислен експеримент позволява да се разграничат две формулировки на принципа на суперпозицията. Според едната, не може да се привилегирова едно състояние като действително преди измерване или наблюдение. Според другата, всички възможни състояния преди измерване и наблюдение са или се приемат за действителни. Само първата е валидна за „котката на Шрьодингер“, тъй като нейните размери спрямо константата на Планк правят крайно невероятно тя, за разлика от радиоактивния атом, да се намира в кохерентна суперпозиция. Що се отнася до един квантов обект обаче, и двете формулировки са валидни поради принципа на вълново-корпускулярния дуализъм.

Кюбит, q-бит (qubit, q-bit, кубит, q-бит, кьюбит) е квантово обобщение на понятието за бит (двоичната единица за информация). Ако битът представя изключващ избор между две възможности, обикновено означавани с „0“ и „1“, то кюбитът представя изключващ избор между безкраен или континуален брой възможности. В общия случай изисква аксиомата | | за избора. Дефинира се като двойка комплексни числа , такива че: | | . Поради това кюбитът е изоморфен и обикновено се представя като избор на точка от повърхността на единичната сфера при дадена точка от нейната вътрешност, която включва и нейната повърхност. Комплексното хилбертово пространство и съответно всеки вектор в него (вълновата функция) може да се представи изоморфно като добре наредена и следователно изброима съвкупност от кюбитове. Ако комплексното хилбертово пространство е несепарабелно, е необходимо да се използва аксиомата за избора, за да се представи като добре наредено множество от кюбитове. Всеки кюбит взаимно еднозначно съответства на „ос“ (хармоник) от комплексното хилбертово пространство. Това позволява комплексното хилбертово пространство, неговите елементи и оператори да се разглеждат съответно като среда, операнди и оператори на квантово изчисление, при което битовете са заменени с кюбитове. Така на квантово равнище всички физически процеси могат да се тълкуват като изчислителни и обратното. Наблюдаема (observable, квантовая наблюдаемая) e статистическото определение на физическа величина в квантовата механика. Тъй като резултатът от конкретното измерване е по принцип случаен, за стойност на величината се приема средната при достатъчно голяма съвкупност от измерени стойности. Теорията предсказва именно нея, тъй като е невъзможно да се предвиди резултатът от дадено конкретно измерване по принцип, според теоремите за отсъствие на скрити параметри в квантовата механика. Наблюдаемата е математическото очакване на случайната величина : ̅ ̂[ ] . С са означени обобщените координати, а ̂ е ∫ самоспрегнат (или „хипермаксимален“) оператор, който се асоциира взаимно еднозначно с величината; вълновата функция съответства на квантовия обект и в общия случай е функция и от времето. Понякога под „наблюдаема“ се разбира операторът ̂ . Понятието за наблюдаема отъждествява квантовото вероятностно разпределение със статистически ансамбъл от различни измервания при едни и същи условия. Джон Бел (Bell 1987: 40-62) въвежда понятието „съществуема“ (beable), под което има предвид съвкупността от емпиричните макро условия на измерването. „’Наблюдаемите’ трябва да са направени някак от съществуеми“ (пак там: 52). Необходимостта за отделяне на емпиричния и теоретичния аспект на понятието за величина в различни определения или понятия произтича от факта, че квантовата механика изучава не непосредствено квантовия обект, а системата от квантов обект и уред.

Неравенства на Бел (Bell’s inequalities, неравенства Белла) са достатъчно условие за експериментално наблюдаеми квантови корелации, публикувано от ирландския физик Джон Бел през 1964 г. (Bell 1964). Изиграват решаваща роля за формиране на квантовата информация като експериментална дисциплина. Определят границата, която не може да се надвиши от класически корелации, но може да се наблюдава при квантови. За нейното преминаване се използва терминът „нарушаване неравенствата на Бел“. То не е необходимо условие за квантови корелации. На негова основа са разработени технически осъществими експерименти, който достоверно доказаха физическото съществуване на квантови корелации. (Не)сепарабелност ((in)separability, (не)сепарабельност) е термин в квантовата информация, използван да разграничи системите със сдвоени квантови обекти от системи с несдвоени квантови обекти. (Не)сепарабелност интуитивно означава, че квантовите обекти, които съставят системата, (не) могат да бъдат отделени. Свързан е с понятието за (не)сепарабелно хилбертово пространство: такова, чийто базис е (не)изброим. Хилбертовото пространство на система от сдвоени обекти може да се представи като тензорно произведение от техните сепарабелни хилбертови пространства, ако е несепарабелно. При стандартното определение за квантово сдвояване се приема, че то също е сепарабелно, поради което не може да се представи като тензорно произведение от хилбертовите пространства на участващите в системата квантови обекти. Отправна система (frame of reference, reference frame, система отсчёта) е основно понятие в теорията на относителността, определящо за познавателната ѝ структура. Представлява тримерна координатна система в евклидовото пространство, която е в движение с относителна скорост спрямо друга отправна система. Общ принцип е отсъствието на привилегирована отправна система: законите на физиката трябва да са инвариантни спрямо всички отправни системи; известен като принцип на относителността. Доколкото се постулира, че винаги може да се определи относителната скорост , то се изключват квантовите движения. Понятието за вълнова функция обобщава понятието за отправна система за квантови движения. То може да се определи като характеристичната функция на случайната величина за положението на началото на отправната система. Самоспрегнатите оператори, които се асоциират с физическите величини в квантовата механика (вж. наблюдаема), могат да се тълкуват като аналог на величините в инерциална отправна система ( . Аналози на неинерциални отправни системи не се дефинират, поради квантовата дискретизация и линеаризиране, гарантирани от аксиомата за избора. Това поражда огромни трудности за квантова теория на гравитацията. Парадокс на Скулем (Skolem’s paradox, парадокс Скулема) е резултат в теорията на множествата при приета аксиома за избора, формулиран от норвежкия математик Туралф Скулем като „относителност на понятието за множество“ (1922: Skolem 1970: 144). Ако

аксиомите на теорията на множествата „са непротиворечиви, то има област B, за която аксиомите са валидни и заедно с това всички елементи на B могат да се номерират с помощта на крайните цели положителни числа“ (Skolem 1970: 139). Той е непосредствено следствие от еквивалентна формулировка на аксиомата за избора, теоремата за добрата наредба (well-ordering theorem): всяко множество може да се нареди добре. По-нататък, „даже понятията „крайно“, „безкрайно“ … стават относителни в аксиоматичното учение за множествата“ (Skolem 1970: 143). Парадоксът на Скулем е с изключителна важност за квантовата механика и информация. Той позволява да се „преведе“ вълново-корпускулярният дуализъм на езика на теорията на множествата. По този начин се изгражда „мост“ за двустранен пренос между тези области. Така например, „собственият“ прочит на теорията чрез множества с произволна мощност може да съответства на вълновия или на гладкия аспект, а „несобственият“ в „областта B” – на корпускулярния или на дискретния. Обратно, принципът на допълнителността, дуализмът и необходимостта от изключващ избор могат да се пренесат от квантовата механика към „собствената“ и „несобствената“ интерпретация на теория на множествата. Друг много важен пример за връзката между концепциите за движение в класическата и квантовата механика, от една страна, и „собствената“ и „несобствена“ интерпретация, от друга, е съпоставянето на класическия и на Робинсъновия нестандартен анализ. Принцип на допълнителността (complementarity, принцип допольнительности) е основен принцип на квантовата механика, предложен от Нилс Бор и тясно свързан с вълновокорпускулярния дуализъм. Той предполага, че квантовите обекти имат две групи допълнителни, взаимно изключващи се, противоречиви свойства. Противоречие никога не се наблюдава, тъй като точното измерване на величина, свързана с единия допълнителен аспект, изключва точното измерване на величина, свързана с другия. Едновременното им измерване се подчинява на съотношенията за неопределеност. Двете групи допълнителни свойства съответстват на статичния (напр. време-пространствени координати) и динамичния аспект (напр. скорост, импулс). Свързан е непосредствено с аксиомата за избора в математиката. Принципът на допълнителността се тълкува понякога широко: като логически или философски принцип за аналогично третиране на логическо противоречие или на произволни обекти с противоречиви свойства и познанието за тях. Често се свързва с китайската философска традиция на двете дуални начала Ин и Ян. Пълнота (непълнота) на квантовата механика (completeness (incompleteness) of quantum mechanics, полнота (неполнота) квантовой механики) е методологическа концепция относно интерпретирането на вероятностния характер на квантовата механика. Свързана е съответно с отсъствието (наличието) на скрити променливи. Теоремите за отсъствие на скрити параметри доказват пълнотата на квантовата механика като математически формализъм. Съществуването на нелокални квантови корелации чрез т. нар. нарушаване на неравенствата на Бел е в подкрепа на пълнотата на квантовата механика.

Проблемът с пълнотата или непълнотата на квантовата механика е свързан с проблемите около пълнотата и непротиворечивостта на една аксиоматика, с т.нар. теореми за непълнотата на Гьодел и с обосноваването на математиката (вж. Пенчев 2009: 233-337). Достатъчно богат, пълен и непротиворечив математически формализъм може да се получи чрез привличане на аксиомата за избора, която може да се разглежда като формалния математически еквивалент на принципа на допълнителността в квантовата механика. Редундантна концепция за истината (redundant conception of truth, редундантная концепция истины): според нея твърдението за истинност на твърдение съвпада със самото него. С други думи, истинността е редундантна, т.е. „излишна“ характеристика към твърдението, която не добавя нищо към него: от “P е истинно“ следва P. Обратно, отсъствието на P се означава като неистинност на P. Например, „’Квадратът e кръгъл’ e невярно“ означава, че ‘Квадратът е кръгъл’ не е твърдение или че твърдението ‘Квадратът е кръгъл’ не съществува освен като фраза в езика, допринасяща за „лингвистичното объркване“ (linguistic muddle). Обикновено редундантната концепция за истината се свързва с работите на английския математик Франк Рамзи (Ramsey 1978: 44-45). В контекста на една негова, малко по-ранна работа „Истина и вероятност” (Ramsey 1978: 58100) може да бъде тълкувана като приписване вероятност единица на дадено твърдение в смисъла на пълна достоверност или убеденост в него. Скрити променливи (hidden variables, скрытые параметры), наричани и скрити параметри, е понятие и концепция за класическо детерминистично обяснение на вероятностния характер на квантовата механика. Предполага се, че съществуващата теория на квантовата механика трябва да се допълни чрез неизвестни засега променливи, означени като „скрити“. Основа е аналогия с класическата физика, в рамките на която вероятностните твърдения винаги могат да се сведат до статистически за ансамбъл от физически обекти или техни величини и свойства. Вероятността винаги може да се редуцира до честотна. Вероятностният характер в квантовата механика има различен произход. Произтича от квантовия характер на движението. Той не позволява да се дефинира скорост. Тя се замества с вълновата функция, която представлява характеристична функция на величината, приета за случайна. Теоремите за отсъствие на скрити параметри доказват, че по принцип не може да съществува какъвто и да е ансамбъл от физически обекти, чието статистическо поведение да е изоморфно на вероятностното поведение на квантово-механична система в общия случай. Експерименталното опровержение на теориите за скрити параметри се основава на достатъчни условия за нелокални квантови корелации. Неравенствата на Бел са исторически първото формулирано условие от този тип. Случайност (randomness, chance, случайность) е термин за съвкупност от сходни понятия с „фамилни прилики“ в редици области. Може да се формализира като съществуване на

„чист“ избор, на който по принцип или еднозначно не може съответства конструктивна процедура (алгоритъм). Така се свързва с аксиомата за избора. Случайността е характерна черта на квантовата механика, отличаваща я от класическата физика и от много други научни области. При конкретно измерване по принцип се извършва избор, който е случаен. Произтича от аксиомата за избора, която е неконструктивна и e валидна за квантовата механика. Може да се постулира еквивалентност между съществуването на случаен, „чист“ избор и разбирането за квантов алгоритъм, което го отъждествява с безкраен алгоритъм в общия случай. Обсъжда се връзката между сложност, случайност и квантов алгоритъм. Теорема за неклонирането (noncloning theorem, теорема о неклонировании, теорема неклонирования) е важен резултат в квантовата механика, според който е невъзможно създаването на идентично копие на произволно неизвестно квантово състояние. Уутърс и Цурек доказват, че „линейността на квантовата механика забранява такова възпроизвеждане и че това заключение е в сила за всички квантови системи“ (Wooters, Zurek 1982: 802). Теорема за свободната воля (free will theorem, теорема о свободной воле, теорема свободной воли) e резултат (Conway, Kochen 2006; 2009) в квантовата механика, според който „ако ние хората имаме свободна воля, то и елементарните частици също споделят това ценно качество. По-точно, ако експериментаторът избере посоките, в които да ориентира уреда си при дадено измерване, то реакцията на частицата (за да бъдем педантични – реакцията на вселената близо до частицата) не е определена от цялата предишна история на вселената“ (Conway, Kochen 2009: 226). Приемат се три аксиоми: “(i) SPIN аксиома и парадоксът на Коушън – Шпекър“; “(ii) TWIN аксиома и парадокса ЕПР” “(iii) MIN аксиома, теорията на относителността и свободната воля“ (пак там: 227-228). При тези условия, произтичащи от квантовата механика и специалната теория на относителността, се извежда своеобразна „квантова корелация на свободния избор“. Ако експериментаторът свободно избира, то необходимо следва същото качество за измервания квантов обект, отдалечен на произволно разстояние. Теорема на Глийсън (Gleason’s theorem, теорема Глизона) е много важен резултат, който свързва квантовата логика с квантовата информация. Формулирана е през 1957 г. Смисълът ѝ е че решетката от подпространства на хилбертовото пространство е изоморфна на вероятностната интерпретация на квантовата механика, предложена от Макс Борн. С други думи, логическото отношение на дадено подпространство на хилбертовото пространство към самото хилбертовото пространство е еквивалентно на отношението на мерките на същите. Теоремата има много важно изключение за размерност 2 на хилбертовото пространство. Това изключение позволява „инвариантността“ на квантовата механика спрямо аксиомата за избора да се разпростре и върху визираната

еквивалентност на квантовата логика с вероятностната интерпретация на квантовата механика. Теоремата в оригиналната формулировка на Глийсън гласи: „Нека да е мярка върху затворените подпространства на сепарабелно (реално или комплексно) хилбертово пространство с поне три измерения. Тогава съществува положителен полуопределен самоспрегнат оператор от типа със следа, такъв че за всички затворени подпространства на : , където е ортогоналната проекция на върху (Gleason 1957: 892-893). Теорема на Бел (Bell’s theorem, теорема Белла) разграничава класическите от квантовите корелации (Бел 1964): вж. неравенствата на Бел. Теорема на Коушън-Шпекър (Kochen – Specker theorem, теорема Кохена – Шпекера) e обобщение на теоремата на фон Нойман за отсъствие на скрити параметри в квантовата механика. Тя показва, че необходимо и достатъчно условие за такова отсъствие е вълновокорпускулярният дуализъм, а не некомутативността, която е само достатъчно условие. Същността на доказателството е установяване на еквивалентност между наличието на обща мярка на две функции в математиката и едновременната измеримост на две величини в квантовата механика. Две функции могат да имат обща мярка, когато мярката на множеството от точките на аргумента, в които има прекъсвания, е нулева и за двете функции. Теоремата в оригиналната си формулировка гласи: “Крайната парциална булева алгебра няма хомоморфизъм върху ” (Kochen, Specker 1967: 70). Със e означено полето от два елемента, напр. [ ]. Парциална булева алгебра е парциална алгебра над полето . “Множеството от квантово-механични наблюдаеми, видени като оператори в хилбертовото пространство, образуват парциална алгебра, ако ограничим операциите сума и произведение да бъдат дефинирани само когато операторите комутират” (Kochen, Specker 1967: 59-60). „Необходимо условие тогава за съществуването на скрити променливи е тази парциална алгебра да е вложима в комутативна алгебра“ (Kochen, Specker 1967: 60). После „се показва, че съществува крайна парциална алгебра от квантово-механични наблюдаеми, за която такова влагане не съществува” (Kochen, Specker 1967: 60). Теоремата има непосредствено отношение към квантовата логика „Доказва се, че проблемът за влагането … е еквивалентен на въпроса дали логиката на квантовата механика е по същество същата както класическата логика (Kochen, Specker 1967: 60). Следва, че “има формула , която е класическа тавтология, но е невярна за някое смислено заместване с квантово-механични пропозиции. В този смисъл логиката на квантовата механика се различава от класическата логика” (Kochen, Specker 1967: 60) Теоремата има множество важни следствия, напр.: няма изображение на кюбит в бит и оттук – в произволна крайна последователност от битове; квантово-механичната система не може да се раздели на квантов обект и уред. Поради това се интерпретира като

необходима контекстуалност или холизъм на квантова механика. Свързва се с неравенствата на Бел: система от квантови обекти не може да се раздели, израз на което е нарушаването им. Теорема на Мартин Льоб (Löb’s theorem, теорема Лёба) твърди: от това, че (1) от аксиомите на Пеано за аритметиката, следва, че дадено твърдение в дадена аксиоматика има Гьоделов номер, следва, че (2) от твърдението за неговата доказуемост в тази аксиоматика следва самото то (Löb 1955: 116). Обратното твърдение, че от (2) следва (1), също е вярно. Поради това се установява еквивалентност (Сморинский 1983: 33) между доказуемост в дадена достатъчно богата аксиоматика и определяне на Гьоделов номер в тази аксиоматика (трябва да съдържа Пеановата аритметика). Следователно е валидна и допълващата равнозначност: при същите условия отсъствието на Гьоделов номер за твърдение е еквивалентно на неговата недоказуемост. Теоремата на Льоб може да се обсъжда като ход на мисълта, провокиран от т. нар. първа теорема на Гьодел за непълнотата: вместо твърдение, твърдящо собствената си неразрешимост, да се разгледа твърдение, което – обратно – твърди собствената си доказуемост. Теорема на фон Нойман за отсъствие на скрити променливи в квантовата механика (von Neumann’s theorem about the absence of hidden variables in quantum mechanics, теорема фон Неймана для отсутствия скрытых параметров в квантовой механике): в квантовата механика „всички съвкупности са дисперсни, даже и еднородните“ (von Neumann 1932: 170). Под „еднородна съвкупност“ се имат предвид разпределението на плътността на вероятността на една величина. Поради това скрити параметри в квантовата механика не могат да съществуват, тъй като биха били еднородни бездисперсни величини (пак там: 170-171). Теоремата се извежда от математическия формализъм на квантовата механика, по-точно от определена част от него, фиксирана в шест условия (пак там: 165-167). Те могат да се обобщят до (1) взаимно еднозначно съответствие между самоспрегнати (за тях фон Нойман използва термина „хипермаксимални“) оператори в комплексното хилбертово пространство и (2) адитивност на математическото очакване на физическите величини. Грете Херман (1935) и независимо Джон Бел (Bell 1966) критикуват (2) като неоснователно. Наистина, при експериментално доказаното нарушаване на неравенствата на Бел (2) не е изпълнено. Теоремата на Коушън – Шпекър обобщава резултата на фон Нойман като извежда отсъствието на скрити променливи в квантовата механика без (2). Теорема на Яух и Пирон (Jauch – Piron theorem, теорема Яуха – Пирона) e важен резултат, който изяснява връзката на квантовата логика с отсъствието на скрити параметри в квантовата механика. “Показва се, че скрити променливи могат да съществуват само ако всяка пропозиция (да-не експеримент) е съвместима с всяка друга“ (Jauch, Pirone 1963: 827). Обратно, наличието на едновременно неразрешими пропозиции, характерно за квантовата логика, влече отсъствие на скрити параметри в квантовата логика.

Теореми за отсъствие на скрити променливи в квантовата механика (theorems about the absence of hidden variables in quantum mechanics, теоремы для отсутствия скрытых параметров в квантовой механике) са теореми, които извеждат от математическия формализъм на квантовата механика несводимостта на вероятностите в квантовата механика към какъвто и да било статистически ансамбъл (вж. теорема на фон Нойман за отсъствие на скрити променливи в квантовата механика и теорема на Коушън − Шпекър). В частност следва несводимост на квантовите корелации към класически корелации между статистически анасамбли, както и съществуването на достатъчни условия за експерименталното им потвърждение, напр. т. нар. нарушаване на неравенствата на Бел. Хилбертово пространство (Hilbert space, гильбертово пространство) е обобщение на тримерното евклидово пространство за произволен или безкраен брой измерения. Представлява векторно пространство над поле , в което е дефинирано скаларно произведение . С е означено декартово произведение. Чрез скаларното произведение естествено се дефинира норма на вектор или разстояние между две точки по начин, който е обобщение на съответните понятия в евклидовото пространство |⃗ | .С е означена -тата кооордината на вектора ⃗ . Поради това хилбертовото √∑ пространство е банахово пространство, в което е валидно „правилото на паралелограма“ за всеки два вектора ⃗ и ⃗ : |⃗

⃗|

|⃗

⃗|

(|⃗ |

|⃗ | ). Интуитивно банаховото

пространство може да се тълкува като „изкривено“ хилбертово. Комплексното хилбертово пространство над полето на комплексните числа e основната структура на математическия формализъм на квантовата механика. Аксиомата за избора води до „изправяне“ на използваните векторни пространства, поради което хилбертовото пространство е универсалната структура за квантовата механика. То осигурява единно разглеждане на вълновите функции, които са негови елементи, и физическите величини, на които съответстват самоспрегнатите оператори, т.е. определен клас линейни изображения на хилбертовото пространство върху самото себе си. Физическият смисъл на точка в него е безкрайна съвкупност от хармоници, която представлява Фурие образ на квантов скок. Аналогично физическите величини чрез самоспрегнатите оператори в хилбертовото пространство съответстват на преобразование на един квантов скок в друг. Холизъм (holism, холизм) е философска концепция, която предполага, че системата притежава свойства, отношения и характеристики, които са специфични за нейната цялост, или не могат да се изведат от свойствата, отношенията и характеристиките на нейните елементи и подсистеми. Често се свързва с философското понятие за тоталност. Пример за холистична научна теория е квантовата механика. Нейният холистичен характер произтича от изучаването на квантови движения, математически представяни

чрез дискретни морфизми. Тъй като не може да се въведе скорост, тя се замества с вълновата функция, дефинирана за цялото пространство. Тя е еднозначно свързана с вероятностите за всяка точка от пространството. (Вж. и теорема на Коушън – Шпекър). ЦИТИРАНА ЛИТЕРАТУРА: Aspect, A., R. Grangier, G. Roger. 1981. Experimental tests of realistic local theories via Bell’s theorem. – Physical Review Letters. Vol. 47, № 7, pp. 460-463.

Aspect, A., R.Grangier, G. Roger. 1982. Experimental Realization of Einstein-Podolsky-RosenBohm Gedanken Experiment: A New Violation of Bell’s Inequalities. – Physical Review Letters.

Vol. 49, № 2, pp. 91-94.

Bell, J. 1964. On the Einstein ‒ Podolsky ‒ Rosen paradox. ‒ Physics (New York). Vol. 1, pp.

195-200; (Bell, J. Speakable and unspeakable in quantum mechanics: collected papers in quantum mechanics. Cambridge: University Press, 1987, pp. 14-21).

Bell, J. 1966. On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics. ‒ Reviews of Modern Physics. Vol. 38, No 3 (July), pp. 447-452. (Bell, J. Speakable and unspeakable in quantum mechanics: collected papers in quantum mechanics. Cambridge: University Press, 1987, pp. 113.)

Clauser, J., M. Horne, A. Shimony, R. Holt. 1969. Proposed experiment to test local hiddenvariable theories. ‒ Physical Review Letters. Vol. 23, № 15, pp. 880-884.

Clauser, J., M. Horne. 1974. Experimental consequences of objective local theories. ‒ Physical Review D. Vol. 10, № 2, pp. 526-535.

Connes, A. 1995. Noncommutative geometry and reality. ‒ Journal of Mathematical Physics.

Vol. 38, N 11, pp. 6194-6231, http://www.alainconnes.org/en/downloads.php.

Conway, J., S. Kochen. 2006. The Free Will Theorem – Foundations of Physics. Vol. 36, No 10 (October 2006) , pp. 1441-1473, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0604079v1 .

Conway, J., S. Kochen. 2008. The Strong Free Will Theorem. – Notices of the AMS. Vol. 56, No. 2 (February 2009), pp. 226-232, http://arxiv.org/abs/ 0807.3286v1 .

Dirac, P. 1958. Principles of Quantum mechanics (forth edition). Oxford, New York: Oxford University Press (reprinted 2004).

Einstein, A. 1918. Prinziplelles zur allgemeinen Relativitätstheorie. – Annnalen der Physik. Bd. 55, № 4, S. 241-244.

Einstein, A., B. Podolsky and N. Rosen. 1935. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? ‒ Physical Review. Vol. 47, № 10, pp. 777-780.

Gentzen, G. 1936. Die Wiederschpruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie. – Mathematische Annalen. Bd. 112, No. 1, S. 493-565. (На английски: The Collected Papers of Gerhard Gentzen (ed. M. Szabo). Amsterdam – London: North Holland Publishing Company, 1969, pp. 132-213).

Gentzen, G. 1938. Neue Fasung des Widerspruchsfreihaeitsbeweises für die reine Zahlentheorie.

– Forschungen zur Logik und zur Grundlegung der exacten Wissenschaften. No.4 Leipzig: Hirzel, S. 19-44. (На английски: The Collected Papers of Gerhard Gentzen (ed. M. Szabo).

Amsterdam – London: North Holland Publishing Company, 1969, pp. 252-286).

Gentzen, G. 1943. Beweisbarkeit und Unbeweisbarkeit von Anfangsfällen der transfiniten Induktion in der reinen Zahlentheorie. – Mathematische Annalen. Bd. 119, No 1, S. 140-161. (На английски: The Collected Papers of Gerhard Gentzen (ed. M. Szabo). Amsterdam – London: North Holland Publishing Company, 1969, pp. 287-308).

Gleason, A. 1957. Measures on the Closed Subspaces of a Hilbert Space. ‒ Journal of Mathematics and Mechanics. Vol. 6, No 6, pp. 885-893.

Grover, L. 1996. A fast quantum mechanical algorithm for database search. − http://arxiv.org/abs/quant-ph/9605043 (Proceedings, 28th Annual ACM Symposium on the Theory of Computing (STOC), May 1996, pages 212-219).

Grover, L. 2001. From Scrödinger Equation to the Quantum Search Algorithm. − http://arxiv.org/abs/quant-ph/0109116 (American Journal of Physics. Vol. 69, No 7, pp. 769-777: “This is a pedagogical article describing the invention of the quantum search algorithm”.)

Jauch, J., C. Piron. 1963. Can Hidden Variables be Excluded in Quantum mechanics? ‒ Helvetica Physica Acta. Vol. 36, No 7, pp. 827-837.

Kochen, S., E. Specker. 1967. The problem of hidden variables in quantum mechanics. – Physical Review A. Vol. 17, № 1, pp. 59-87.

Löb, M. 1955. Solution of a problem of Leon Henkin. ‒ The Journal of Symbolic Logic. Vol. 20, No 2, pp. 115-118.

Kolmogorov, A. 1933. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Springer. (На руски: А. Колмогоров. 1936. Основные понятия теории вероятностей. Москва: ГНТИ. На английски: A. Kolmogorov. 1950. Foundations of the theory of probability. New York: Chelsea.) v. Neumann, J. 1932. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Verlag von Julius Springer. (J. von Neumann. 1955. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics.

Princeton: University Press; Й. фон Нейман. 1964. Математические основы квантовой механики. Москва: „Наука”.)

Ramsey, F. 1978. Foundations. Essays in Philosophy, Logic, Mathematic and Economics.

London and Henley: Routledge & Kegan Paul.

Shor, P. 1994. Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. − http://arxiv.org/abs/quant-ph/9508027v2 (Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, Santa Fe, NM, Nov. 20-22, 1994.)

Schrödinger, E. 1935. Die gegenwärtige situation in der Quantenmechanik. – Die Naturwissenschaften, Bd. 48, S. 807-812; Bd. 49, S. 823-828, Bd. 50, S. 844-849. (Превод на английски: http://www.tu-harburg.de/rzt/rzt/it/QM/cat.html; превод на руски: Шредингер, Э.

1971. Современное положение в квантовой механике. – В: Э. Шредингер. Новые путы в физике. Москва: „Наука”, 1971, с. 66-106.)

Skolem, T. 1970. Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre. ‒ In: T. Skolem. Selected works in logic (ed. E. Fenstad), Oslo etc: Univforlaget.

Wooters, W., W. Zurek. 1982. A single quantum cannot be cloned. – Nature. Vol. 299, No. 5886, pp. 802-803 (28 October 1982).

Zermelo, Ernst. 1904. Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. − Mathematische Annalen. Bd. 59, № 4, S. 514–516. Пенчев, В. 2005. Квантовият компютър: квантовите ординали и типовете алгоритмична неразрешимост. ‒ Философски алтернативи, № 6, с. 59-71. Пенчев, В. 2009. Философия на квантовата информация. Айнщайн и Гьодел. С.: ИФИ−БАН. Сморинский, К. 1983. Теоремы о неполноте. ‒ Справочая книга по математической логике. Часть IV. Теория доказательств и конструктивная математика. Москва: „Наука”, с. 9-56.