Parte di un circuito a componenti discreti.
1
Parte di un circuito integrato monolitico.
2
Circuito elettr(on)ico analogico a parametri concentrati e costanti.
È un modello matematico adatto a studiare le proprietà elettriche di un sistema fisico. È costituito da ¾ funzioni reali, continue, derivabili di una variabile reale continua: V(t), I(t), ... ¾ relazioni differenziali alle derivate ordinarie rispetto alla variabile indipendente t , in generale non lineari e non omogenee ma con coefficienti costanti. Le funzioni sono modelli matematici di grandezze elettriche. La variabile indipendente t è modello matematico del tempo. 3
Circuito elettr(on)ico analogico a parametri concentrati e costanti.
Se le relazioni differenziali sono lineari, possono essere rese algebriche con un metodo di trasformazione: ¾metodo dei fasori per funzioni sinusoidali isofrquenziali
¾trasformazione di Fourier per funzioni assolutamente integrabili
¾trasformazione di Laplace per funzioni nulle per t<0
4
Un circuito.
Circuito connesso, elettromagneticamente isolato, descritto da un sistema di equazioni differenziali, in generale non lineare.
5
Bipoli.
porta
I(t) V(t)
Bipolo A
Bipolo B
I(t) Se la potenza istantanea p(t)=V(t)I(t) è >0, A sta cedendo energia a B. 6
Relazione di proporzionalità fra una tensione e una corrente: RESISTORE LINEARE.
Rnome N+ N- valore in Ω N+ V(t)
I(t)
V(t)=R·I(t) I(t)=G·V(t) G·R=1
N7
Relazione di proporzionalitĂ fra una corrente e la derivata di una tensione: CONDENSATORE LINEARE.
Cnome N+ N- valore in F N+ V(t)
I(t)
dV (t) I (t) = C dt
N8
Relazione di proporzionalitĂ fra una tensione e la derivata di una corrente: INDUTTORE LINEARE.
Lnome N+ N- valore in H N+ V(t)
I(t)
dI (t) V (t) = L dt
N9
Generatore indipendente di tensione.
I
I(t) E(t)
V(t) = E(t) ∀ I(t)
E
V
I(t) I(t) E
V = E = cost. ∀ I(t)
V=0 ∀ I(t): cortocircuito 10
Generatore indipendente di corrente.
I(t) = H(t) â&#x2C6;&#x20AC; V(t)
I H
H(t)
V(t)
I = H = cost. â&#x2C6;&#x20AC; V(t) H
V(t)
V
I=0 â&#x2C6;&#x20AC; V(t): ramo aperto V(t) 11
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.
Con equazioni differenziali - 1
R Va(t)=VA cos(ω0 t)
C
Vb ( t ) = VB cos ( ω0 t + β ) ? I (t) = C
dVb ( t ) dt
; I=
−ω0 VB sin ( ω0 t + β ) +
Va ( t ) − Vb ( t ) R
Vb(t)
dVb ( t ) Vb ( t ) VA cos ( ω0 t ) ; da cui + = ; RC RC dt
VB cos ( ω0 t + β ) RC
I(t)
=
VA cos ( ω0 t ) RC
;
−ω0 VB sin ( ω0 t ) cos ( β ) − ω0 VB cos ( ω0 t ) sin ( β ) + VB VB VA cos ( ω0 t ) cos ( β ) − sin ( ω0 t ) sin ( β ) = cos ( ω0 t ) ; + RC RC RC 12
Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Con equazioni differenziali - 2
VB VB VA −ω0 VB cos ( β ) − sin ( β ) = 0; cos ( β ) − ω0 VB sin ( β ) = ; RC RC RC 1 tan ( β ) = −ω0 RC; cos ( β ) = ; 2 1 + ( ω0 RC) sin ( β ) =
−ω0 RC 1 + ( ω0 RC)
Vb ( t ) =
2
; VB =
VA 1 + ( ω0 RC)
2
VA 1 + ( ω0 RC)
2
;
cos ⎡⎣ω0 t − arctan( ω0 RC) ⎤⎦ 13
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.
{
Va ( t ) = Re VA e j ω0 t
Con fasori -1
{
}
R
}
Vb ( t ) = Re VB e j β e j ω0 t ?
I(t)
C
Vb(t)
Circuito lineare tempo-invariante: se VA cos(ω0 t) → VB cos(ω0 t+β), allora VA cos[ω0 (t-π/2ω0)]= VA sin(ω0 t) → VB cos[ω0 (t-π/2ω0)+β]=VB sin(ω0 t+β) e qundi VA [cos(ω0 t) +j sin(ω0 t)] → VB [cos(ω0 t+β)+j sin(ω0 t+β)] V B e j β e jω 0 t V A e jω 0 t j ω 0 VB e e + = ; V B e j β [1 + j ω 0 R C ] = V A RC RC VA VA VA VB e jβ = = ; VB = ; 2 1 + j ω0 R C 1 + j ω0 R C 1 + (ω0 R C ) jβ
jω 0 t
β = arg (V B e
jβ
⎛ ⎞ VA ) = arg ⎜ 1 + j ω R C ⎟ = − arctan ( ω 0 R C ) 0 ⎝ ⎠
Vb ( t ) =
VA 1 + ( ω0 R C )
2
cos ⎡⎣ω0 t − arctan ( ω0 R C ) ⎤⎦
14
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.
X ( t ) = X M cos (ω0 t + ϕ ) ⇔ X M e j ϕ = X dX ( t ) dt
⇔ j ω 0 X;
d 2 X (t ) dt2
⇔ − ω 02 X ...
Con fasori -2
1 I Ammettenza del condesatore di capacità C: YC = = = j ω0 C ZC V
R Va
I ZC Va Vb = Va = R + ZC 1 + jω0 RC
C Vb ( t ) =
VA 1 + ( ω0 RC)
2
cos ⎡⎣ω0 t − arctan( ω0 RC) ⎤⎦ 15
Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Con trasformata di Laplace - 1
R
0 per t < 0 ⎧ Va ( t ) = ⎨ ⎩VA cos (ω0 t ) per t ≥ 0
I(t)
C
Vb(t)
Vb ( 0 ) = 0: Vb ( t ≥ 0 ) ? ∞
x ( t ) ⇔ X ( s ) = L ⎡⎣ x ( t ) ⎤⎦ = ∫ x ( t )e − s t d t ;
x ( t ) ⇔ s X ( s ) − x ( 0 ) ...
0
s ; L ⎡⎣ cos (ω 0 t ) ⎤⎦ = 2 2 s + ω0
Vb ( s ) Va ( s ) V A s sVb ( s ) + = = RC RC R C s 2 + ω 02 16
Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Con trasformata di Laplace - 2
⎛ ⎞ ⎟ VA ⎜ 1 s ⎜ ⎟= Vb ( s ) = 2 2 R C ⎜ s + 1 s + ω0 ⎟ ⎜ ⎟ RC ⎝ ⎠ ⎛ ⎜ − 1 RC ω 02 VA s RC ⎜ + 2 + 2 2 1 ⎛ 2 s + ω0 s + ω 02 1 ⎞⎜ s+ R C ⎜ ω0 + 2 2 ⎟ ⎜ RC R C ⎠⎝ ⎝ VA Vb ( t ) = 1 + ω 02 R 2 C 2 −t RC
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎡ − RCt ⎤ + cos (ω 0 t ) + ω 0 R C sin (ω 0 t ) ⎥ = ⎢−e ⎣ ⎦
VA e VA =+ 2 2 2 1 + ω 0R C 1 + ω 02 R 2 C 2
1 + ω 02 R 2 C 2 cos ( ω 0 t - arctan(ω 0 R C ) 17
n-polo.
n 1 k
2 n
n
Ik t k 1
0
Vk ,k
1
t
0
n 1 1
k 1
18
Doppio bipolo.
Doppio bipolo
Bipolo
o
Bipolo
2-porte
19
Elaborazione di segnali.
I1 bipolo non autonomo
V1
I2 doppio bipolo autonomo
V2
bipolo autonomo
20
Curva di risposta di ampiezza, diagramma di Bode - 1.
Una funzione di variabile complessa razionale propria H (s)
1 n1 s n 2 s 2 H0 1 d1 s d 2 s 2
nh s h dk sk
N (s) H0 D(s)
h
k
ha h zeri, radici dell'equazione N ( s ) 0 e k poli, radici dell'equazione D ( s ) 0,
quindi H ( s )
1
s z1
1
s p1
H0
1
s z2
1
s p2
1
s zh
1
s pk 21
Curva di risposta di ampiezza, diagramma di Bode - 2.
La sua restrizione all'asse im m aginario è
H
j
1
j z1
1
j p1
H0
Il logaritmo del modulo è log H j j log 1 z2
j log 1 zh
1
j z2
1
j p2
log H0
j log 1 p1
1
j zh
1
j pk
j log 1 z1
j log 1 p2
j log 1 pk 22
Curva di risposta di ampiezza, diagramma di Bode - 3.
Quindi ogni rappresentazione grafica del logaritmo del modulo si può costruire sommando algebricamente un certo numero di grafici elementari.
Nel caso di uno zero o un polo reale il cui modulo venga chiamato 1
i
2
j
1 u 2 , avendo posto
1 i
i
u. i
23
:
Curva di risposta di ampiezza, diagramma di Bode - 4.
Si vuole rappresentare y log 1
j
in funzione di x log u ,cioè i
disegnare il grafico della funzione y x
2x
log 1 10
1 log 1 100x . 2
A tale scopo sono utili le seguenti osservazioni: 100x dy ; y' x x dx 1 100 lim y x 0; lim y ' x
x
x
0; lim y x x
; lim y ' x x
1
1 y0 log 2 0.15 3dB. 2 Si veda dunque il grafico seguente. 24
Curva di risposta di ampiezza, diagramma di Bode - 5.
y=log»HHjωL»
2 1.5 1 0.5 0 −2
−1
0
ω x=log ωi
1
2
25
Curva di risposta di ampiezza, diagramma di Bode - 6.
»HHjωL»
Ma è più comodo scrivere sugli assi del medesimo grafico i numeri che ci servono invece dei logaritmi:
100 50
0dB
40dB
20dB/decade
10 5
20dB
1 0.01ωi 0.1ωi
ωi
10ωi
100ωi 26
Curva di risposta di ampiezza, diagramma di Bode - 7.
Ad edempio, nella figura successiva è riportato in rosso il diagramma di Bode delllâ&#x20AC;&#x2122;ampiezza della funzione
s 15 1 0 H s =50 s 1+ 104 e in blu i tre grafici componenti; è anche evidente che tracciando gli asintoti di ciascun componente e sommando i grafici asintotici si ottiene una spezzata che approssima la curva desiderata.
27
Curva di risposta di ampiezza, diagramma di Bode - 8. 50
20dB
10 5
0dB
1 0.5
-20dB
0.1 100
1000
10000
100000.
1. Ă&#x2014; 10 6
1. Ă&#x2014; 10 7 28
Diodo a giunzione p/n.
Silicio monocristallino nel cui reticolo un atomo di Si ogni 103÷105 è sostituito da un atomo di B (o altro elemento trivalente) p-Si
giunzione
n-Si Silicio monocristallino nel cui reticolo un atomo di Si ogni 106÷108 è sostituito da un atomo di P (o altro elemento pentavalente)
29
Diodo a giunzione p/n.
I anodo V catodo
30
Modello esponenziale.
I
• I = IS (eV/VT -1) • V = VT· ln(1+I/IS) V
I @ IS eV/VT , V @ VT ln(I/IS) se V>qualche VT I @ 0 se V<0 31
Diodo a giunzione p/n.
VT (tensione termica) = k·T/q k (costante di Boltzmann) @ 1.38·10-23 J/°K q (carica elettronica) @ 1.6·10-19 C T =temperatura assoluta= temperatura in ºC+273.15 VT(17°C) = 25mV VT(28°C) = 26mV VT(40°C) = 27mV IS (corrente di saturazione): si esprime spesso in fA ma è proporzionale all'area del diodo. 32
Diodo a giunzione p/n. Caratteristica esponenziale in scala semilogaritmica (1)
I 100ÎźA 10nA 1pA
0
0.2
0.4
0.6
V
0.8V 33
Diodo a giunzione p/n.
⎛ I1 V1 = VT ln ⎜ ⎝ IS
⎞ ⎛ I2 ⎞ ⎟ ; V2 = VT ln ⎜ ⎟ ⇒ ⎠ ⎝ IS ⎠ ⎛ I2 ⎞ ⇒ ΔV = V2 − V1 = VT ln ⎜ ⎟ ⎝ I1 ⎠
I2 = 10 ⇒ ΔV ≅ 26 ⋅ 10−3 ln10 = 26 ⋅ 10−3 ⋅ 2.3 ≅ 60mV I1 34
Diodo a giunzione p/n.
Caratteristica esponenziale in scala semilogaritmica (2)
10mA 1mA 100ÎźA
60mV/decade 0.6V
0.66
0.72
0.78V
V
35
Modello a soglia e resistenza.
I
Vγ
V
• I = 0 per V < Vγ • V = Vγ +RS I per I ¥0 36
Modello a soglia.
I
Vγ
V
• I = 0 per V < Vγ • V = Vγ per I ¥0 37
Modello a soglia nulla.
I
V
• I = 0 per V < 0 • V = 0 per I ¥0 38
Circuiti con diodi.
VD
E
I?
R
E - VD I= R
a soglia nulla: VD=0; I = E/R a soglia Vγ : VD=Vγ ; I = (E - Vγ)/R esponenziale: VD = VT ln(1+I/IS) E VT ⎛ I I= ln ⎜ 1 + R R IS ⎝ E VT ⎛ ln ⎜ 1 + I k +1 = R R ⎝
⎞ ⎟ ; iterazioni numeriche: ⎠ E-Vγ Ik ⎞ E o anche I 0 = ⎟ con I 0 = IS ⎠ R R
39
Punto fisso di una funzione iterata.
Problema: calcolare un valore X* tale che X* = f(X*) Si può risolvere per approssimazioni successive se la successione {X0, X1, ... Xk, Xk+1 ...} definita in modo ricorrente Xk+1 = f(Xk) è convergente. Convergenza al punto fisso: se Xk=X*+ε, Xk+1 = f(X*+ε) @ f(X*)+f '(X*)·ε = X*+f '(X*) ·ε
| Xk+1 – X*| < | Xk – X*| se | f '(X*) | < 1 40
Punto fisso di una funzione iterata.
in alternativa: V D , k
⎛ Ik ⎞ = VT ln ⎜ 1 + ⎟; IS ⎠ ⎝
I k +1
E - V D ,k = R
I I0=E/R
VD,k
E
V 41
Raddrizzatore a semionda.
I Modello a soglia nulla:
Vin
Vout
R
I = max{0,Vin/R} Vout = R I = max{0,Vin}
Vout
Vin 42
Raddrizzatore a semionda.
V Vin1
Vout
0 Vin
T/2
t
π
ω0 t
43
Raddrizzatore a semionda.
T /2
T /2
1 1 Vin ( t ) = Vin ( t ) dt = Vin1 cos (ω0 t ) dt = ∫ ∫ T −T / 2 T −T / 2 2 = T
T /2
∫V
in1
cos (ω0 t ) dt =
0
1
π
V ∫ π
in1
0
T /2
1 2 Vout ( t ) = Vout ( t ) dt = ∫ T −T / 2 T 2 = T
T /4
∫V
in1
0
cos (α ) dα = 0
cos (ω0 t ) dt =
1
π
T /2
∫ V ( t ) dt = out
0
π /2
∫V
in1
0
cos (α ) dα =
Vin1
π /2
⎡⎣sin (α ) ⎤⎦0 π
Vin1 = π
44
Circuiti raddrizzatori a doppia semionda.
Vout Vin Con modello a soglia nulla:
Vout = |Vin| Vin
Vout
45
Circuiti raddrizzatori a doppia semionda.
Vout ( t ) =
2
π
Vout
Vin1 Vin
V Vout
0
π
T/2
t
ω0 t
Vin 46
Rivelatore di cresta - 1
Vout Vin
+ -
C
Modello a soglia nulla: Vout = Vin oppure Vout>Vin
R
Modello a soglia: Vout = Vin-VÎł oppure Vout>Vin-VÎł 47
Rivelatore di cresta - 2
Rö¶ 0.65+Vout
Vout
Vin
48
Rivelatore di cresta - 3
R di valore finito Vout
Vin
49
Rivelatore di cresta - 4
RC troppo grande
50
Rivelatore di cresta che demodula un'oscillazione modulata in ampiezza. RC troppo grande
51
Polarizzazione e segnali.
VOP+v
IOP+i
IOP polarizzazione
V=F(I);
VOP
v=f(i)
i segnali
v=F(IOP+i)-F(IOP)=f(i)
52
Piccoli segnali, circuito equivalente.
i
rD
v=rD i
53
Parametri differenziali del diodo.
dV I resistenza differenziale del diodo : rD = dI
I=I op
dI V conduttanza differenziale del diodo : g D = dV
VT = I OP
V=Vop
I OP = VT
IOP
gD=IOP/VT
rD=VT/IOP
1mA
40 π 38.5mA/V
25 π 26W
100µA
4.0 π 3.85mA/V
250 π 260W
10mA
400 π 385mA/V
2.5 π 2.6W 54
Schemi elettrici - 1
+E
R1
R1
E
D1
R2
= D1
R2
55
Schemi elettrici - 2
E R
R1 E
D1
R
R1
R2
=
D1
R2
56
Equazione nodale.
R1
1
R3
2
3
R2 4 0
V1 − V 2 V 3 − V 2 V 4 − V 2 + + =0 R1 R3 R2 57
Equazioni nodali modificate.
R1 1
L
2
3
h
IL
4 0
V1 − V 2 − h + IL = 0 R1 V3 − V2
dIL − L = 0 dt
58
Simboli per transistori.
bipolare NPN
MOS a canale n
bipolare PNP
MOS a canale p 59
Transistori ideali.
A
C
B
I ca = F (V ba )
A
tipo N
B
I a c = F (V a b )
C
tipo P 60
Connessione a bipolo (o a diodo)
I=F(V) V
I=F(V) V
61
Specchi di corrente - 1
Iin+Iout
pozzo
Iout=F(V)=Iin
Iin=F(V)
V
V Iin=F(V) Iin+Iout
Iout=F(V)=Iin sorgente 62
Specchi di corrente - 2
se Iout=b路F(V):
pozzo
C
B Iin
A Iin+Iout
Iout=b路Iin
1:b
1:b Iin+Iout
Iout=b路Iin
Iin A
B
C sorgente 63
“Generatori” di corrente costante (resistori a resistenza differenziale infinita)
F(E)
î
E
I0
R E
I0
I0 = F(E)
V
F(V) î
I0 = (E/R)-(V/R) 64
Coppia differenziale - 1
I1 = F (V1 − Va ) ; I 2 = F (V2 − Va )
I1
I2
I1 + I 2 = I 0
Vd = V1 − V2 = (V1 − Va ) − (V2 − Va )
2
1 a
Si dimostra: I d = I1 − I 2 = f (V1 − V2 ) = I d (Vd )
I0 0
I1 + I 2 I1 − I 2 I 0 I d (Vd ) I1 = + = + = I1 (Vd ) 2 2 2 2 I1 + I 2 I1 − I 2 I 0 I d (Vd ) I2 = − = − = I 2 (Vd ) 2 2 2 2 65
Coppia differenziale - 2
Id
I0
Vd -I0 66
Stadio differenziale a transconduttanza - 1 +Vcc
1:1 I1
I1
u 2
1
Id=I1-I2=f(V1-V2)=Id(Vd)
a
I0
67
Stadio differenziale a transconduttanza - 2
V1 Vd
Id (Vd)
g md
V2
dI d (Vd ) = dVd OP
v1 vd p.s.
gmd路vd v2 68
Stadio differenziale a transconduttanza - 3
I1 = F (V1 − Va ) ;
I 2 = F (V2 − Va ) ;
I1 + I 2 = I 0
i1 = g m1 ⋅ ( v1 − va ) ; i2 = g m2 ⋅ ( v2 − va ) ; i1 + i2 = 0 V1OP = V2 OP ⇒ I1OP = I 2 OP
dF (V ) I0 = , g m1 = g m2 = g m = 2 dV OP
id = i1 − i2 = g m ( v1 − va − v2 + va ) = g m ⋅ vd
gmd=gm 69
Facendo passare la corrente di uscita di uno stadio differenziale a transconduttanza in un resistore si ottiene uno stadio amplificatore differenziale di tensione.
Vout (Vd) = R Id (Vd)-E
V1 Vd
Id (Vd)
R
V2 -E
p.s. : vout = gmd R vd = Ad vd 70
In alternativa, prima si converte in tensione e poi si fa la differenza: Stadio differenziale con carichi resistivi
+Vcc R out1
⎛ I0 + I d ⎞ Vout1 = Vcc − R I1 = Vcc − R ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ I0 − I d ⎞ Vout 2 = Vcc − R I 2 = Vcc − R ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
R Vout
out2 in2
in1
Vout = Vout 2 − Vout1 = R ( I1 − I 2 ) = = R I d (Vd ) gm ⋅ R A ⋅ vd = dd ⋅ vd 2 2 gm ⋅ R A dd vout1 = − ⋅ vd = − ⋅ vd 2 2 vout = g m ⋅ R ⋅ vd = A dd ⋅ vd vout 2 =
I0
71
Connettendo sottocircuiti già noti ...
+Vcc
R
R0 I0
R Iout
_
+
b1·I0
b2·I0
72
Transistore bipolare a giunzioni (BJT) di tipo npn
E E
B
B emettitore n-Si
base p-Si collettore n-Si
C
C 73
Modello di Ebers e Moll -1
Ic
C
C B Ibc
B Ib
Ibe E Ie
I be
Vbc ⎛ VVTbe ⎞ I t =I S ⎜ e − e VT ⎟ ⎝ ⎠
⎞ IS ⎛ VVTbe = ⎜ e − 1⎟ ; βF ⎝ ⎠
I bc
E
⎞ IS ⎛ VVTbc = ⎜ e − 1⎟ βR ⎝ ⎠ 74
Modello di Ebers e Moll – 2
Ic Ib
Ie
⎛ VVTbe ⎞ X e = ⎜ e − 1⎟ ; ⎝ ⎠
⎛ VVTbc ⎞ X c = ⎜ e − 1⎟ ; ⎝ ⎠
Vbc ⎛ VVTbe ⎞ VT I t (Vbe ,Vbc ) = IS ( X e − X c ) = IS ⎜ e − e ⎟ ⎝ ⎠ IS X e IS X c I be = ; I bc = ; I b = I be + I bc
βF
βR βR + 1 I c = I t − I bc = IS X e − IS X c βR βF + 1 I e = I b + I c = I be + I t = IS X e − IS X c βF
75
Regione (di conduzione) Diretta:
It > 0 ⇒ X e > X c ⇒ Vbe > Vbc ⇒ Vbe − Vbc > 0 ⇒ Vcb + Vbe > 0 ⇒ Vce > 0 76
Regioni di funzionamento (diretto) del BJT
NORMALE: la giunzione B-E è ON e la giunzione B-C è OFF SATURAZIONE: entrambe le giunzioni sono ON INTERDIZIONE: entrambe le giunzioni sono OFF
77
Tensione di saturazione Vcesat
Nella regione normale diretta si trascura Ibc rispetto a Ibe:
I be
IS
I bc
e
Vbe VT
K
F
e
Vbc Vbe VT
e
Vce VT
K
IS
e
Vbc VT
R F
Vce
VT ln K
R
K ∼ 10 100 e
F
F
Vcesat
R
∼ 100 1000
K
R
Vcesat
1
K
VT ln 103
F
∼ 103
5
R 5
3 5 VT ln10
3 5 60mV 180 ÷ 300mV 78
Regione Normale (Diretta):
Xc I bc
Xe
⎛ I be ; I c = I t = I S X e = I S ⎜ e ⎝ Vbe ⎞ Ic I S ⎛ VT I b = I be = ⎜ e − 1⎟ = βF ⎝ ⎠ βF
Vbe VT
⎞ − 1⎟ ⎠
79
Modello del BJT semplificato per la regione normale: VCCS+diodo
Ib
Ic
βF
Ic
C
B Vbe
Vbe VT
Is e E
βF +1 Ie = Ic βF 80
Caratteristiche Ic(Vbe) di un BJT NPN. 5mA
Ic 4m
3m Vce>150mV: RN
Vce=50mV
2m
1m
Vbe 0.5
0.6
0.7
0.8V 81
Caratteristiche di Collettore di un BJT NPN.
Ic 4.0mA
Ib=40μA
2.0mA
20μA
1.0V
2.0V
Vcesat Vce>Vcesat: Regione Normale
Ib=0μA
3.0V
Vce 82
Caratteristiche di Collettore di un BJT NPN.cir
Caratteristiche di Collettore .options tnom=16.96 .temp=16.96 Q1 C B 0 nome_modello .MODEL nome_modello NPN IS=1fA VCE C 0 IB 0 B .DC VCE 30m 3 10m IB 0U 50U 10U .PROBE .END 83
Riassunto
Un BJT NPN con Vce ¥ 0 è in • interdizione se Vbe § Vγ : Ic = Ib = Ie = 0 • normale se Vbe > Vγ e Vce ¥ Vcesat : Ic=IS·eVbe/VT, Ib=Ic/βF • saturazione se Vbe ¥ Vγ e Vbc ¥ Vbe-Vcesat: Vce = Vcesat
84
Esercizio
+Vcc
Vcc=6V; Rc=4k; Rb=10k; Re=0.4k; IS=1fA; βF=100; VT=25mV.
Rc Rb
Sia VinOP=1V: calcolare VceOP e determinare il valore di Vin che rende saturo il transistor supponendo Vcesat=0.2V.
Vin Re
Verificare i risultati con Pspice. 85
Risoluzione
Rb + ( βF +1) Re βF +1 Vin = Rb Ib +Vbe + Re Ie = Rb + Re Ic +Vbe = Ic +Vbe = βF βF βF Ic
= 504⋅ Ic +Vbe; IcOP ≅
1−Vγ 504
≅ 0.6mA; VbeOP = VT⋅ ln (1015 ⋅ IcOP ) ≅ 0.678V
βF +1 iterando: IcOP = 636μA; VceOP =Vcc − Rc IcOP − Re IcOP = 3.20V βF Vcc − Vcesat 5.8 = =1.32mA; Vbesat = VTln (1015 ⋅1.32⋅10−3 ) = 0.698V Icsat = βF +1 Rc + Re 4.04k βF Icsat βF +1 ReIcsat =10k ⋅13.2μ+0.698+ 404⋅1.32m=1.36V Vinsat = Rb +Vbesat + βF βF 86
Verifica con PSpice.
Esercizio BJT 1 .options tnom=16.96 .temp=16.96 Vin 1 0 DC 1 Rb 1 2 10k Q 3 2 4 bjtmod .model bjtmod NPN + IS=1fA BF=100 Re 4 0 400 Rc 5 3 4k Vcc 5 0 6 .OP .dc Vin 0 3 0.1m .probe .END
NAME Q MODEL bjtmod IB 6.36E-06 IC 6.36E-04 VBE 6.79E-01 VBC -2.52E+00 VCE 3.20E+00 BETADC 1.00E+02 GM 2.54E-02 RPI 3.93E+03 87
Verifica con PSpice. 1.5mA
1.0mA
0.5mA SEL>> 0A IC(Q) 6.0V
4.0V
2.0V
0V 0V
0.5V
1.0V
1.5V
2.0V
2.5V
3.0V
V(3) Vin
88
Effetto di Early
Ic
4.0mA
Ib 2.0mA
1.0V
2.0V
In regione normale Ic non è indipendente da Vce ma un poco crescente: effetto Early.
3.0V
Vce 89
Alte Ic
10 Ic(mA)
1
Vbe (V)
0.1 0.75 0.70 0.65 Ad alte correnti la Vbe è un po' piÚ grande di quella che corrisponde a una Ic(Vbe) esponenziale. 90
Modello del BJT NPN in RN con effetto Early e resistenza di base
Ib
B
RBB'
Vb ' e VT
IS e βF
Vbe
B'
C
Vb'e
Ic
⎛ Vcb ' ⎞ Vb ' e IS ⎜1 + ⎟e ⎝ VAF ⎠
VT
E
VAF (tensione di Early) ~ 102 V; RBB’ (resistenza di base) ~ 102 W 91
Modello del BJT NPN in RN con effetto Early e resistenza di base
⎛ Vcb ' ⎞ Vb ' e VT I c (Vb ' e ,Vcb ' ) = IS ⎜1 + oppure ⎟e ⎝ VAF ⎠ ⎛ Vce − Vb ' e ⎞ Vb ' e VT Ic (Vb ' e ,Vce ) = IS ⎜1 + ⎟e VAF ⎠ ⎝ ⎛ Vce ⎞ Vb ' e I c (Vb ' e ,Vce ) ≅ IS ⎜1 + ⎟e ⎝ VAF ⎠
VT
Vb ' e perché VAF
1
⎛ Vce ⎞ oppure Ic ( Ib ,Vce ) = βF ⎜1 + ⎟ Ib ⎝ VAF ⎠ 92
Linearizzazione delle relazioni costitutive del BJT in regione normale - 1
vce ic ( vb ' e , vce ) = g m vb ' e + rce ∂I c gm = ∂Vb ' e
OP
∂I c 1 = rce ∂Vce
⎛ Vce OP ⎞ eVb' e OP VT I c OP = IS ⎜ 1 + = ⎟ VAF ⎠ VT VT ⎝
OP
IS eVb' e OP = VAF
VT
VAF + Vce OP rce = I c OP
I c OP = VAF + Vce OP VAF I c OP 93
Linearizzazione delle relazioni costitutive del BJT in regione normale - 2
vce ic ( ib , vce ) = β0ib + rce β0ib = gm vb'e ⇒β0 = gm ⎛ VceOP ⎞ ∂Ic = βF ⎜1+ β0 = ⎟; ∂Ib OP ⎝ VAF ⎠
(β0 = βF
vb'e
ib
= gm ⋅ rb'e
se si trascura l ' effetto Early)
vbe = vbb ' + vb ' e = rbb 'ib + rb ' eib = rbe ib 94
Circuito quivalente per piccoli segnali del BJT in RN
ib B
rbb’
β0 rb'e = gm
B’
C vb’e
gmvb’e=β0 ib
ic
rce
E ie
95
Circuito quivalente a 3 parametri: rbe, β0, rce
ib B β 0 VT rbb' + = rbe I cO P
C β0 β 0ib = vbe rbe
vbe
= g M ⋅ vbe
E ie
gM =
ic
rce
β0 β0 gm = = rbe rbb' + rb'e 1 + rbb' rb'e
Se si trascura l'effetto Early, rce =¶: circuito equivalente a 2 parametri 96
OSSERVAZIONE
Trascurando sia l'effetto Early che la corrente di base, il modello del BJT si riduce a un transistore ideale:
I b = 0; I c = I e = I = I S e
Vbe VT
I c OP rce = ∞; rbe = ∞; β 0 = ∞; g m = VT
97
Applicazione alla coppia differenziale
I1 = I S e I1 =e I2
Vbe 1 VT
;
Vbe 1 −Vbe 2 VT
I2 = ISe =e
V1 −V2 VT
Vbe 2 VT
=e
Vd VT
I2 =e I1
;
−Vd VT
Vd VT
⎛ I2 ⎞ I0 e = I 0 Vd I1 + I 2 = I 0 ⇒ I1 ⎜ 1 + ⎟ = I 0 ⇒ I1 = −Vd I1 ⎠ ⎝ 1 + e VT e VT + 1 ⎛ I1 ⎞ 1 I1 + I 2 = I 0 ⇒ I 2 ⎜ 1 + ⎟ = I 0 ⇒ I 2 = I 0 Vd I2 ⎠ ⎝ e VT + 1 I d = I1 − I 2 = I 0
e e
Vd VT Vd VT
−1 +1
= I0
e e
Vd 2 VT Vd 2 VT
−e +e
−Vd 2 VT −Vd 2 VT
Vd = I 0 tanh 2 VT 98
Esempi numerici
β0 βF = 100; rbb' = 100Ω; VT = 25mV; VAF = 50V I c OP I c OP = 1mA ⇒ gm = = 40mA/V VT VAF rc e = 50kΩ Ic OP rbe = rbb' + rb'e = rbb' +
β0 VT Ic OP
= 100 +
100 ⋅ 25m = 100 + 2500 = 2.60kΩ 1m
I c OP = 100μA ⇒ gm = 4mA/V; rbe =100 + 25000 = 25.1kΩ ≅ rb'e rc e
VAF = 500kΩ Ic OP
I c OP = 100mA ⇒ gm = 4A/V; rbe =100 + 25 = 125Ω rc e
VAF = 500Ω Ic OP
99
Stadio con emettitore comune
+Vcc Rc Vin G
Ic Vout
Ib
100
Stadio con emettitore comune – p.s.
Rg
vout=vce
vin=vbe
vg
ib
in
rbe
β0 vbe rbe
rce
Rc
out
rbe R c ⋅ rce vout β 0 R c ⋅ rce vin = vg ; R = ; = −g M R = − ⋅ R g +rbe R c +rce vin rbe R c +rce vout β0 R c ⋅ rce =− ⋅ vg R g +rbe R c +rce 101
Stadio con emettitore comune
+Vcc Rc
Ic Vout=Vcc - Rc Ic : retta di carico
Vin
Ic
Vcc/Rc
Ib5 Ib4 Ib3 Ib2 Ib1 Vce
Vcc
102
Stadio con collettore comune
+Vcc Vin G
Ib
Ic Vout Re -Vee 103
Un circuito equivalente per piccoli segnali dello stadio con collettore comune.
Rg vg
rbe
vin ib
iout β0 i b
rce
vout Re
104
Stadio con base comune
+Vcc Rc
Ic
Un circuito equivalente per i piccoli segnali:
Vout
+Vbb
rce
Vin G
Rg
iin vin
vg
rbe
(iout-β0ib) iout
ib
vout
β0ib
Rc 105
Un altro circuito equivalente per piccoli segnali dello stadio con base comune.
Rg vg
iin
rce
vin rbe β0 +1
i
β0 i β0 +1
iout
vout Rc
106
Matrici di doppi bipoli lineari autonomi
I1
I2 V1
⎡ I1 ⎤ ⎡ y i ⎢I ⎥ = ⎢ y ⎣ 2⎦ ⎣ f
y r ⎤ ⎡ V1 ⎤ y o ⎥⎦ ⎢⎣ V2 ⎥⎦
V2
matrice di ammettenze I1 = y i V1 + y r V2 I 2 = y f V1 + y o V2 107
Matrici di doppi bipoli lineari autonomi
I1
I2 V1
⎡ V1 ⎤ ⎡ z i ⎢V ⎥ = ⎢z ⎣ 2⎦ ⎣ f
z r ⎤ ⎡ I1 ⎤ z o ⎥⎦ ⎢⎣ I 2 ⎥⎦
V2
matrice di impedenze V1 = z i I1 + zr I 2 V2 = z f I1 + z oI 2 108
Matrici di doppi bipoli lineari autonomi
I1
I2 V1
⎡ V1 ⎤ ⎡ h i ⎢ I ⎥ = ⎢h ⎣ 2⎦ ⎣ f
h r ⎤ ⎡ I1 ⎤ ho ⎥⎦ ⎢⎣ V2 ⎥⎦
V2
matrice ibrida V1 = h i I1 + hr V2 I 2 = hf I1 + ho V2 109
Relazioni fra i parametri y, z, h dei 2-porte lineari autonomi. (Dx=xixo-xrxf)
z zi
y zr
z z
y
f
zo Dz z
y D
zr Dz
f y
yi y
z
zi Dz
Dz ho
zr ho
1 yi
1 zo
y
D
h
zo
yo Dy
f
z zo
f
f
yi
f
h yr Dy
Dh ho
yi Dy
h
yr yo
D
f
ho
y
yi
1 ho
1 hi
hr hi
h
Dh hi
f
hi
yr yi
hr ho
hi
hr
h
ho
f
110
Funzioni di rete con i parametri y di un 2-porte lineare autonomo.
Av Yin Yout
yf yo YC yi yo
yr Av
yi
yr y f yo YC
yr y f yi YG 111
Connessione di un bipolo in parallelo a un doppi bipolo.
yr - Y
yi + Y Y I1 V1
yf - Y
yi
yr
yf
yo
I2 V2
yo + Y 112
Connessione di un bipolo in serie a un doppi bipolo.
zr + Z
zi + Z I1
zi zf
I2
zr zo
V1
V2
Z
zf + Z
zo + Z 113
Darlington
Ic Ib
Ic = I c1 + I c 2 = β F1 I b + β F2 I b 2 =
1
β F1 I b + β F2 I e1 = 2
β F1 I b + β F2 ( β F1 + 1) I b = βF Ib
β F = β F2 ⋅ β F1 + β F2 + β F1
114
Quasi-PNP
I c = I en =
Ib
(β Fn + 1) I bn = (β Fn + 1) I cp = (β Fn + 1) β Fp I b =
p n
βF Ib Ic
β F = β Fn ⋅ β Fp + β Fp
115
Esercizio. Esercizio difficile: *calcolare la resistenza differenziale *del resistore con terminali 1 e 0 *che si ottiene asportando il generatore Vop. ************************************************** .OPTIONS TNOM=40 .TEMP=40 Vcc 4 0 DC 5 Re 4 3 400 Q1 2 2 4 mod Q2 1 2 3 mod .MODEL mod PNP BF=1G IS=1F VAF=50 R 2 0 4K Vop 1 0 1 .OP .TF I(Vop) Vop .END 116
Suggerimenti per l’esercizio precedente.
+Vcc 4
Re 3
I1
I2
Q2
Q1 2 1
R
I V
0
Qual’è il valore della tensione termica VT? Quale modello si deve usare per i transistori? Calcolare iterativamente la corrente I1OP in Q1. Calcolare la tensione VbcOP di Q2. Calcolare il fattore di Early per Q2 Ricavare la funzione da iterare per calcolare la corrente I2OP in Q2. Calcolare I2OP. Calcolare la transconduttanza gm2 di Q2. Calcolare la resistenza rce2 di Q2. Ricavare l’espressione della resistenza differenziale cercata che corrisponde al modello usato per i transistori. Calcolare tale resistenza. 117
Risoluzione.
• VT = 27mV; Ib =0; effetto Early: SI • I1=Vcc/R-(VT/R)ln[I1/IS];
I1OP=1.06mA
• VbcOP=R I1OP-VOP=3.25V;
Early = 1+VbcOP/VAF=1.065
i Veb1 Veb 2 i I2
I1 VT ln =R e I 2 I 2 Early
VT I1 Early ln ; I 2OP Re I2
141μA
• gm2 = I2OP/VT = 5.21mA/V; rce2 = 379kΩ • r = Re+rce2(1+gm2 Re)=1.17MΩ ⎛ ⎜ lim ⎜ ⎝ β 0 →∞
⎡ Re ( rbe + Rb ) ⎛ Re r 1 β + + ⎢ ce ⎜ 0 R r R Re + rbe + Rb + + b ⎝ ⎣ e be
⎞ ⎞⎤ ⎟ ⎥ = Re + rce (1 + g m ⋅ Re ) ⎟⎟ ⎠⎦ ⎠
118
Esempio di carico attivo
+Vcc R1
R1
Vout R Vin Re 119
Stadio a simmetria complementare - 1
+Vcc
2V0
Vout R
Vin-V0 -Vcc 120
Stadio a simmetria complementare - 2
(
Vout = R I S e = R IS e
Vben VT
V0 VT
− ISe
Vebp VT
)
Vout −Vin + V0 ⎛ Vin + VVT0 −Vout = R IS ⎜ e − e VT ⎝
⎞ ⎟= ⎠
−Vout V −V − in out ⎞ ⎛ VinVT ⎛ Vin − Vout ⎞ VT −e ⎜e ⎟ = R I 0 2 sinh ⎜ ⎟ ⎝ VT ⎠ ⎝ ⎠
⎛ Vout ⎞ Vin = Vout + VT ⋅ arcsinh ⎜ ⎟ ; Vout OP = 0 ⇒ Vin OP = 0 ⎝ 2 R I0 ⎠ vout VT VT = vout + vin = vout + vout 2 2R I 2 R I0 0 ⎛ Vout OP ⎞ 1+ ⎜ ⎟ I 2 R 0 ⎠ ⎝ vin vin 2 gm R vout = = = vin VT 1 1 + 2 gm R 1+ 1+ 2 R I0 2 gm R
121
Amplificatori operazionali.
V+- V- = Vd
+
Vout = S(Vd ) 122
Amplificatore operazionale tipo 741.
123
Amplificatore operazionale tipo 725.
124
Struttura tipica di un amplificatore operazionale.
Vd
Stadio amplificatore differenziale
Stadio amplificatore invertente
Stadio di uscita (buffer)
Vout
125
Amplificatori operazionali ideali.
I+= 0
Iout
S(Vd )
Vd I-=
+
0
-
Vout
Vout=S(Vd) VM
Vd -VM 126
Approssimazione lineare a tratti della caratteristica ingresso-uscita di un amplificatore operazionale.
Vout -VM/Ad0
VM
dVout /dVd= Ad0 Vd
VM se Vd > VM /Ad0 -VM
Vout =
Ad0路Vd se |Vout| 搂VM -VM se Vd < -VM /Ad0 127
Una precisazione.
Vout = S(Vd) VdOP = 0
p. s.
vout = S’(VdOP)·vd vout = S’(0)·vd = Ad0·vd
Approssimazione lineare a tratti di S(Vd):
Vout = Ad 0 ⋅ Vd
Vout ≤ VM 128
Convertitore corrente-tensione -1
R _
Iin
Vd
Vout = S( Vd ) +
Vout = −Vd − R ⋅ I in 129
Convertitore corrente-tensione - 2
Vout VM -R Iin
Vd
-R Iin -VM
V out Ad 0
⎛ 1 ⎞ ≤ VM : V out ⎜ 1 + ⎟ = − R ⋅ I in Ad 0 ⎠ ⎝ 1 : V out − R ⋅ I in
130
Convertitore corrente-tensione logaritmico
_ Iin
Vd
Vout +
⎛ I in ⎞ Vout = −VT ln ⎜ ⎟ ∀ I in >> I S ⎝ IS ⎠ 131
Amplificatore invertente - 1
R1
Vin
+ _
Iin
_
Vd
R2 Vout = S( Vd )
+
se V o u t ≤ V M e A d 0
Vout = − R 2 I in − Vd Vin = R1 I in − Vd
1
V out tra sc u ra n d o A d0 risp e tto a V o u t e a V in : V o u t = − R 2 ⋅ I in
R2 V in = − R1 132
Amplificatore invertente - 2
Vout VM arctan[-R2/R1] Vin -VM 133
Amplificatore invertente - 3
Iin 1/(R1+ R2) 1/R1 -VM
VM
Vin
1/(R1+ R2) 134
CORTOCIRCUITO VIRTUALE.
Se V out ≤ VM , se inoltre V d
V out = A d0
Vd
V out = A d0
V out ;
V in , cioè A d0
V out , V in
si può trascurare V d nelle equazioni, cioè considerare il terminale di ingresso invertente allo stesso potenziale di quello non in vertente come se fossero in cortocircuito. M a tra loro c'è un ramo aperto: il cortocircuito è solo V IRT U A LE! 135
Esempio di uso dell’approssimazione del cortocircuito virtuale.
Z1(s)
Vin(s)
Z2(s) Vout(s)
+ _
Vin Vout =− Z1 Z2
_ +
⇒
Vout ( s ) Z2 ( s ) Av ( s ) = =− Vin ( s ) Z1 ( s ) 136
Integratore
R Vin
+ _
C
_
Vd
Vout +
Z2 (s) 1 Vout ( s ) = − Vin ( s ) = − Vin ( s ) ; Z1 ( s ) sRC t
1 Vout ( t ) = Vout ( 0 ) − Vin ( x )dx ∫ RC 0
137
Amplificatore non invertente
R1
_
Vd
Vin
+ _
R2 Vout = S( Vd )
+
Vout R2 = 1+ Vin R1 Vin = Vout
Vout ≤ VM , Ado
perché
R1 + Vd ; R1 + R2
Vout R1 + R2 R1 : Vin = Vout + R1 R1 + R2 Ado
R1 Vout R1 + R2 138
Inseguitore di tensione o stadio separatore o buffer.
_
Vd
Vin
+ _
Vout +
Vout = Vin − Vd
Vin se
Vout ≤ VM e A d0 Vout Vd = A d0
1:
Vout 139
Utilità degli stadi separatori - 1
Vin
Doppio bipolo lineare
Vout Zc Vout
Zout Thévenin:
Vout
Ve
Zc
Zc = Ve Zout + Zc 140
UtilitĂ degli stadi separatori - 2
Vin
Doppio bipolo lineare
Zout Ve
Vout
Buffer
Zc
Ve
Vout Ve
+ _
Zc
Vout = Ve 141
Combinazione lineare, sommatore.
R2
Vin2
+ _
_
R1 Vd
+ Vin1 _
Vout
R3 Vout
+
⎛ R3 ⎞ ⎛ R3 ⎞ = − ⎜ ⎟ Vin1 − ⎜ ⎟ Vin 2 ⎝ R1 ⎠ ⎝ R2 ⎠
R1 = R2 :
Vout = − ∑Vin ,k k
142
Amplificatore differenziale
Vin1
R1
R2 _
Vin2
R1
Vout +
R2
⎛ R2 ⎞ R2 R2 R2 Vout = − Vin1 + ⎜1+ ⎟ Vin2 = (Vin2 −Vin1 ) ⎜ R1 ⎟ R1 + R2 R1 R1 ⎝ ⎠
143
Esercizio.
100k
1k
1nF _
Vin
+ _
1nF
Vout +
Usando l’approssimazione del cortocircuito virtuale calcolare il guadagno Av(s)=Vout(s)/Vin(s); calcolarne zeri e poli; descriverne la curva di risposta di ampiezza; calcolare la risposta Vout(t) all’ingresso
⎧ 0 per t < 0 Vin ( t ) = ⎨ ⎩1V per t ≥ 0
144
Risoluzione - 1
R2
R1
Vin
+ _
C _
C
Vout +
R2 Z2 ( s ) Vout ( s ) sCR2 + 1 sCR2 Av ( s ) = =− =− =− 1 Vin ( s ) sCR sCR + + Z1 ( s ) 1 1 ( )( ) 2 1 R1 + sC 145
Disoluzione - 2
Av ( s ) = − z = 0;
−4 s ⋅ 10 (
s ⋅ 10 − 4 s ⋅ 10 6 =− 4 6 −6 + 1 )( s ⋅ 10 + 1 ) s + 10 s + 10 ( )( )
p1 = − 10 4 ;
p 2 = − 10 6
La curva di risposta di ampiezza è passa-banda con frequenza di taglio inferiore prossima a 104/(2π) @ 1.59kHz e frequenza di taglio superiore prossima a 104/(2π) @ 159kHz
s ⋅106 1 106 Vout ( s ) = Av ( s )Vin ( s ) = − =− = 4 6 4 6 ( s +10 )( s +10 ) s ( s +10 )( s +10 ) 100 ⎡ 1 1 ⎤ ⎢ ⎥ − − 4 6 99 ⎢ ( s + 10 ) ( s + 10 ) ⎥ ⎣ ⎦
Vout
100 -104 t -106 t t =e -e 99 146
Una domanda ...
R1
Vout = S( Vd )
Vd _
Iin
+
Vin
+ _
R2
Vin Vout Vout R2 =− =− ; Vin R1 R2 R1
È un amplificatore invertente? Posso usare il cortocircuito virtuale?
???
NO, perché... 147
... e la risposta
Iin
Vin Vd R1
Vd Vout R2 Vout VM
R2 R2 Vout = 1+ Vd + Vin R1 R1 VinOP=0 Vd
-VM
Possono esserci 3 punti di riposo! In quale andrĂ il circuito? 148
Esercizio a sorpresa
R
Vin
_
Vd R
k·R Vout
+
C V in (t )
⎛ t ⎞ = cos ⎜ ⎟ R C ⎝ ⎠
Calcolare Vout(t) 149
Tentativo di risoluzione
sRC Vout ; V sRC 1
V
kR R k Vin Vout Vin 1 k R kR R kR
Vout 1 k
con l'approssimazione del cortocircuito virtuale: sRC k Vout Vin 1 k sRC 1 Vout
Vout 1 k
da cui Vout
ksRC 1 kVin ; sRC 1
Vout Vout
Vout
Vout
j RC Vin
k
4
1 k sRC 1 sRC 1
Vout s = k 1 j Vin ; 1 jk
arctan k
4
Vout
k
kVin
sRC + 1 Vin s ksRC - 1 2
1 k
2
Vin
k
2 1 k
2
;
arctan k
k 2 t Ď&#x20AC; t = cos + + arctan k 2 RC 4 1+ k
??? 150
Verifica con PSpice - 1
Un circuito con stato di riposo instabile. .PARAM PI=3.14159 XOPAMP 3 2 6 OPAMP Vin 1 0 DC 0 AC 1 SIN(0 1 50/PI) R1 1 2 10K R2 2 6 100K R 3 0 10K C 3 6 1U .SUBCKT OPAMP PIU MENO OUT Gout 0 OUT Value={10000/PI*arctan(PI*20k*V(PIU,MENO))} Rout OUT 0 1m .ENDS .TRAN .1m 500m 0 .1m .probe .end 151
Verifica con PSpice - 2
Vout
Vin
152
Analisi critica - 1
Se i calcoli sono giusti ma il risultato è sbagliato, significa che almeno una delle ipotesi originali non è verificata. L’ipotesi fondamentale per il calcolo della risposta di un circuito alle variazioni dell’ingresso è:
fintanto che Vin = VinOP, risulta Vout = VoutOP.
Se ciò non è vero, infatti, è assurdo presumere che alle variazioni di Vin nell’intorno di VinOP corrispondano delle variazioni di Vout nell’intorno di VoutOP. 153
Analisi critica - 2
sRC + 1 Dalla relazione Vout ( s ) = k Vin ( s ) ksRC -1
si ricava
( ksRC -1)Vout ( s ) = k ( sRC + 1)Vin ( s ) e quindi, se Vin (t ) = 0, ( ksRC -1)Vout ( s ) = 0 cioè l'equazione differenziale cui soddisfa Vout ( t ) è t dVout ( t ) k RC − Vout ( t ) = 0 la cui soluzione è Vout ( t ) = Vout ( 0) e k RC
dt Quindi: lim ⎡⎣Vout ( t ) ⎤⎦ = ∞ ∀ Vout ( 0) ≠ 0 : t →∞
Vout non mantiene il valore di riposo iniziale; lo stato di riposo si dice INSTABILE. 154
Analisi della stabilitĂ .degli stati di riposo di un circuito dinamico - 1
1) Determinare gli stati di riposo: problema adinamico non lineare. 2) Linearizzare il circuito nell'intorno di uno stato di riposo e renderlo autonomo annullando gli eventuali ingressi. 3) Determinare le relazioni esistenti fra le trasformate di Laplace dei piccoli segnali; sia Y(s) la variabile di uscita. 4) Se il circuito avesse un ingresso X(s), si otterrebe Y(s)=H(s)X(s) = N(s)X(s)/D(s), con N e D polinomi. Quindi D(s)Y(s)=N(s)X(s) ma siccome il circuito lineare dinamico è autonomo, si deve ottenere D(s)Y(s)=0.
5) D(s) è il polinomio caratteristico. 6) D(s)=0 è l'equazione caratteristica: le sue radici sono gli zeri del polinomio caratteristico. 155
Analisi della stabilità.degli stati di riposo di un circuito dinamico - 2
È noto dall'Analisi matematica che la condizione necessaria e sufficiente affinché risulti lim ⎡⎣Y( t ) ⎤⎦ = 0 é che t®¥ tutti gli zeri del polinomio caratteristico abbiano parte reale negativa. In tal caso lo stato di riposo si dice (asintoticamente) STABILE, i valori di riposo si mantengono inalterati e un segnale di ingresso può produrre variazioni della grandezza di uscita nell'intorno del suo valore di riposo. 156
CapacitĂ del diodo a giunzione
I(t)
F(V)
dQ (V ) dt
V(t)
i(t)
v (t ) rd ( I O P )
dv ( t ) C d (VOP ) dt
v(t)
157
CapacitĂ differenziale di una giunzione
Cd (VOP)
100nF
80
60
40
-10V
-8
-6
-4
-2
0
VOP 158
Effetto della capacitĂ del diodo in un raddrizzatore a semionda
159
Capacità differenziali del transistor a giunzioni in regione normale (circuito equivalente di Giacoletto e Johnson)
ib B
rbb’
Cb’c
B’
rb’e
vb’e Cb’e
C
gmvb’e
ic
rce
E
ie 160
Guadagno di corrente di cortocircuito del transistore a giunzioni in regione normale
Ic ( s ) β ( s) = Ib ( s ) V
ce
β ( s) =
Vb' e : Ic = gmVb' e − sCb' cVb' e ; Ib = + sCb' eVb' e + sCb' cVb' e rb'e =0
gm − sCb' c
=
β0 − srb'eCb' c
1 + s ( Cb' e + Cb' c ) 1 + srb'e ( Cb' e + Cb' c ) rb'e
1− s = β0
s 1− β0 1 z ; p=− ; z= ; = β0 s rb'e ( Cb' e + Cb' c ) rb'eCb' c 1− p
rb'eCb' c
β0
1 + srb'e ( Cb' e + Cb' c )
⎛ Cb' e ⎞ z = β0 ⎜1 + ⎟ p C b' c ⎠ ⎝
1
161
Frequenza di taglio beta e frequenza di transizione. 0
s 1-
s
;
Cb'e
jf T
1
1 C b ' c rb ' e
2 f
fT
2 0
f
1
0
f
|β(jf)| β0
fβ
fT
f 162
Effetti reattivi negli amplificatori operazionali – 1.
Sempre con |Vout|<VM, in luogo della relazione costitutiva adinamica Vout= Ad0Vd, per tener conto di effetti reattivi interni all'opamp si dovrà usare Vout(s) = Ad(s)Vd(s) con Ad(s) dotato in generale di zeri e poli, ma questi ultimi tutti con parte reale negativa. Si pone allora il problema della stabilità degli stati di riposo delle diverse possibili configurazioni degli amplificatori che fanno uso di un operazionale. Consideriamo in particolare la connessione a inseguitore nella quale si ha Vout(s) = Ad(s)Vd(s) = -Vd(s) e quindi l'equazione caratteristica può essere ricavata da
Ad(s) + 1 = 0. 163
Effetti reattivi negli amplificatori operazionali – 2. m i 1
Sia Ad s =Ad 0
s 1 zi
n
1 k 1
s pk
da esaminare è allora D s
Z s =Ad 0 , il polinomio caratteristico P s P s
Ad 0 Z s e i suoi zeri avrebbero
tutti parte reale negativa se Ad 0 fosse sufficientemente piccolo, perchè lim D s Ad 0
0
P s . Con Ad 0
1, invece, può essere che
almeno uno degli zeri abbia parte reale positiva: ciò significa però che, man mano che si fa aumentare Ad 0 , quello zero passa dal semipiano Re s
0 al semipiano Re s
0. Deve allora esistere
un particolare valore Ac di Ad 0 in corrispondenza del quale lo zero attraversa l'asse immaginario cioò la sua parte reale è nulla. 164
Effetti reattivi negli amplificatori operazionali – 3.
Si vuole dunque che sia 1 Detta j D j
c
c
con P j
Ad 0
Ac.
0 la sua parte immaginaria, deve risultare
c
Ac Z j
c
c
0 e quindi Ac
P j
c
Z j
c
.
Mettiamo ora in evidenza un polo reale negativo di Ad s : Z s
Ad s =Ad 0 1
s
e quindi Ac P' s
1
j
c 0
P' j
c
Z j
c
.
0
È evidente che Ac è tanto maggiore quanto minore è
0
:
se l'amplificatore operazionale possiede un polo a frequenza molto bassa, può avere Ad 0
Ad 0 1 senza che lo stato di riposo della connessione a inseguitore diventi instabile. 165
Condensatore di compensazione.
Vd
Stadio amplificatore differenziale
Iout
Stadio amplificatore invertente
Cc
Vout
Stadio di uscita (buffer)
V
iout
Gout
Gin Cc
V s
I out s G out +G in +s Cc
0
1 || R in Cc
v
R out
166
Condensatore di compensazione piĂš piccolo.
Cc Vd
Stadio amplificatore differenziale
Iout
Iin
Stadio di uscita (buffer)
-A
Vout
V
I out Cc =
I in C ceq 1+A
sC c V
-A V
I in
sC ceq V
: basta una capacitĂ minore 167
Limitazione di slew-rate, dati di un costruttore.
I out
I0
dV dt
I0 C ceq
dVout dt
SR
168
Limitazione di slew-rate, simulazione con un macromodello di opamp.
*Risposta di un inseguitore di tensione a un ingresso *sinusoidale in condizioni di limitazione di slew-rate. Vpiu 3 0 dc 0 ac 1 sin(0 2 100k) Vmenout 2 6 * xAO 2 3 6 AO * * * OpAmp * * * * * * * * * * * * * * * * * * Connessioni: Ingresso invertente 2 * Ingresso non invertente 3 * Uscita 6 .subckt AO 2 3 6 * Rp 3 0 10MEG Rm 2 0 10MEG Rd 3 2 2MEG Goa1 0 10 value={1e-4/3.14159*atan(31.4159*V(3,2))}
Roa1 10 0 159MEG Cc 10 0 100pF Goa2 0 6 10 0 21m Ruoa 6 0 75 Dm 11 6 sat Vee 11 0 -9.3 Dp 6 12 sat Vcc 12 0 9.3 .model sat d .ends ***************** .tran 1n 80u 50u 1n .probe .end
169
Limitazione di slew-rate, risultato della simulazione.
2.0V
1.0V
0V
-1.0V
-2.0V 50us V(6)
55us V(3)
60us
65us
70us
75us
80us
Time
170