Corso di Teoria dei Circuiti
Prof. Marco Storace
TRACCE DELLE LEZIONI DEL CORSO
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Marco Storace–Teoria dei Circuiti
NOTE DEL DOCENTE
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Queste tracce sono il risultato della rielaborazione di appunti, dispense, libri di diversi autori. In particolare, le principali fonti sono state le dispense del Prof. Amedeo Premoli (Politecnico di Milano) e gli appunti del Prof. Mauro Parodi (Universit` a degli Studi di Genova). A entrambi va il mio ringraziamento.
• Gli studenti che trovassero imprecisioni, errori, lacune nelle tracce sono invitati a segnalarmeli. Ringrazio in particolare i seguenti studenti per le segnalazioni negli anni scorsi: Massimiliano Mostes
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Marco Storace–Teoria dei Circuiti
Indice 1 Introduzione. 1.1 Componente . . . . 1.2 Variabili descrittive 1.3 Bipolo . . . . . . . 1.4 Potenza . . . . . . 1.5 Leggi di Kirchhoff .
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2 Grafi 2.1 Elementi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Equivalenza tra grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Percorsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Sottografi, alberi e coalberi . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Grafi connessi e sconnessi . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Grafi planari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Maglie e cocicli (tagli) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Basi di maglie e di tagli . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Matrice di maglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Matrice di tagli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Basi di anelli e tagli nodali e matrice di incidenza . . 2.12 Riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 Applicazione della teoria dei grafi ai circuiti . . . . . 2.14 Legge di Kirchhoff delle tensioni (KVL) (1847) . . . . 2.15 Legge di Kirchhoff delle correnti (KCL) (1847) . . . . 2.16 Formulazioni alternative delle leggi di Kirchhoff . . . 2.17 Riepilogo su matrici varie e leggi di Kirchhoff . . . . 2.18 Grafo di un componente . . . . . . . . . . . . . . . . 2.19 Teorema di Tellegen (o delle potenze virtuali) (1952) 2.20 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.20.1 Esercizio 2 foglio 1 . . . . . . . . . . . . . . . 2.20.2 Esercizio 3 foglio 1 . . . . . . . . . . . . . . . 5
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9 10 11 13 14 15
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17 17 18 19 20 21 22 22 23 25 26 27 28 29 30 32 32 34 35 38 40 40 40
INDICE 3 Bipoli adinamici e circuiti elementari 3.1 Generalit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Base di definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Classificazione in termini energetici di un bipolo . . . . . . . 3.4 Componenti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Resistore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Generatore ideale di tensione (sorgente impressiva di tensione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Generatore ideale di corrente (sorgente impressiva di corrente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Modelli di Th´evenin e Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Connessione in serie e in parallelo di bipoli . . . . . . . . . . 3.6.1 Connessione in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Connessione in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Partitori resistivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari 4.1 2-porte o doppi bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Rappresentazione dei 2-porte . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Caso non omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Potenza in un 2-porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Matrici [R] e [G] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Matrice [H] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Matrice [T ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Reciprocit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Teorema di reciprocit`a . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Reciprocit`a nei 2-porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Matrici [R] e [G] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Matrice [H] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Matrice [T ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Le quattro sorgenti pilotate . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Generatore di tensione pilotato in corrente (CCVS Current Controlled Voltage Source) . . . . . . . . . 4.7.2 Generatore di corrente pilotato in corrente (CCCS Current Controlled Current Source) . . . . . . . . . 4.7.3 Generatore di tensione pilotato in tensione (VCVS Voltage Controlled Voltage Source) . . . . . . . . . 4.7.4 Generatore di corrente pilotato in tensione (VCCS Voltage Controlled Current Source) . . . . . . . . . 6
. . . . . . . . . . . . . . . . – . – . – . – .
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41 41 43 44 45 45
. 47 . . . . . .
49 49 51 51 55 57
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61 62 64 67 69 70 70 71 72 72 73 73 73 74 74 75 75
. 75 . 76 . 77 . 78
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
INDICE 4.7.5 Note . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Nullore (amplificatore operazionale ideale) 4.9 Trasferitori ideali di potenza . . . . . . . . 4.10 Connessione di 2-porte . . . . . . . . . . . 4.10.1 Connessione in cascata . . . . . . . 4.10.2 Connessione in parallelo . . . . . . 4.10.3 Connessione in serie (o serie - serie) 5 Circuiti adinamici generici 5.1 Metodo del tableau (o metodo totale) . . . 5.1.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Principio di sovrapposizione (degli effetti). 5.3 Principio di sostituzione . . . . . . . . . . 5.4 Rappresentazione equivalente di circuiti . . 5.4.1 Teorema di Th´evenin generalizzato 5.4.2 Teorema di Norton generalizzato . 5.4.3 Rappresentazioni ibride . . . . . . . 5.5 Propriet`a energetiche (riepilogo) . . . . . .
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6 Componenti e circuiti dinamici elementari 6.1 Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Modello equivalente di Th´evenin di un condensatore carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Funzioni generalizzate (cenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Modello equivalente di Norton di un condensatore carico . . 6.4 Induttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Collegamenti in serie e in parallelo di condensatori e induttori (scarichi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Soluzione generale dei circuiti dinamici del primo ordine . . 6.8.1 Ingresso costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.2 Ingresso a gradino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.3 Ingresso impulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.4 Ingresso sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.5 Circuiti con interruttori . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.6 Variabili non di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Induttori accoppiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.1 Modelli degli induttori (mutuamenti) accoppiati . . . 6.10 Frequenze libere nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Marco Storace–Teoria dei Circuiti
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78 80 84 87 87 88 89
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91 91 92 93 95 96 96 100 101 104
107 . 107 . . . . .
108 110 112 113 113
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115 116 117 122 123 125 126 126 129 130 133 135 7
INDICE 6.11 Soluzione generale dei circuiti dinamici di ordine superiore al primo (cenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.11.1 Altre note sui circuiti di ordine superiore al primo . . . 139 7 Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa 7.1 Cisoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Derivata e integrale delle cisoidi . . . . . . . . . . . . 7.2 Sinusoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Relazioni tra fasori e sinusoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Relazioni topologiche e relazioni costitutive nel dominio dei fasori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Impedenza e ammettenza di un bipolo . . . . . . . . . . . . 7.6 Connessione in serie e in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Estensione di regole, propriet`a e metodi dei circuiti adinamici al regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Funzioni di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Analisi dei circuiti in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . 7.10 Potenza in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11 Potenza complessa di un bipolo . . . . . . . . . . . . . . . . 7.12 Problema del rifasamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.13 Linee ad alta tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.14 Massimo trasferimento di potenza attiva (adattamento energetico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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149 149 151 151 152
. 155 . 156 . 158 . . . . . . .
159 161 161 168 171 175 178
. 179
8 Regime multifrequenziale 183 8.1 Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.2 Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
Capitolo 1 Introduzione. I circuiti elettrici (o reti elettriche) che studieremo nell’ambito del corso sono da intendersi come modelli di sistemi fisici: 1. Naturali (es. neurone) 2. Artificiali (es. apparati per la generazione, il trasporto e il consumo dell’energia elettrica, apparati per la generazione, acquisizione, memorizzazione, trasmissione, elaborazione e utilizzo dell’informazione contenuta in segnali elettrici) Modello ⇔ Astrazione matematica, sistema di equazioni in grado di riprodurre (almeno in certe condizioni) il comportamento di altri sistemi o fenomeni. Un buon modello `e il risultato di un compromesso tra la fedelt`a al sistema da modellare e la semplicit`a del modello stesso ⇒ bisogna usare il “rasoio di Ockham”. Servono intuito, esperienza e conoscenza per ricavare il modello pi` u adeguato alla situazione. In particolare, occorre conoscere: • le grandezze fisiche misurabili (variabili “osservabili” del sistema) • le leggi fisiche (→ equazioni matematiche) che legano tali grandezze (→ verifiche sperimentali) Verifica del modello : simulazione al calcolatore o soluzione analitica delle equazioni ⇒ confronto con gli esperimenti ⇒ modifiche al modello. Sistemi artificiali che pi` u ci interessano: sistemi elettrici fisici (linee elettriche, motori, apparecchi, altoparlanti, strumenti musicali, ecc.) 9
1. Introduzione.
2 categorie di modelli per i fenomeni elettrici
@ R @
a parametri concentrati (→ teoria delle reti elettriche o dei circuiti) ← NOI
a parametri distribuiti (→ teoria delle linee) Noi ci concentriamo sui circuiti a parametri concentrati. In altri corsi (relativi per esempio ai campi elettromagnetici) vedrete come trattare i modelli a parametri distribuiti. Il ricorso a un tipo di modelli o all’altro dipende dal rapporto tra la lunghezza d’onda dei segnali elettrici in gioco e le dimensioni del circuito. Quasi tutto quello che diremo a proposito dei circuiti a parametri concentrati NON VALE per quelli a parametri distribuiti. I modelli a parametri concentrati di sistemi elettrici fisici (⇔ circuiti) si ottengono da: modelli dei componenti fisici o di loro insiemi: componenti + modo in cui i componenti fisici sono collegati: topologia
1.1
Componente
Un componente `e un oggetto limitato da una superficie chiusa, detta superficie limite del componente, da cui escono almeno 2 terminali, che hanno per estremo un morsetto. I terminali hanno forma geometrica tale da facilitare la connessione con altri componenti. Sono costituiti o almeno ricoperti da materiale conduttore (rame, stagno, oro, ...). I morsetti consentono di definire un collegamento. L’insieme “terminale+morsetto” si dice “polo”. Un circuito pi` u complesso (⇒ costituito da pi` u maglie) rispetto a quello di figura 1.1(b) si dice pi` u correttamente “rete elettrica”. Un componente a due terminali si dice bipolo, uno a tre tripolo, uno a quattro quadripolo, ecc. Esistono anche dispositivi a un solo polo o monop`oli (antenne), ma non li includiamo nello studio dei circuiti (coinvolgono problemi di propagazione elettromagnetica). A noi non interessa ci`o che accade dentro la superficie limite: gli eventi elettromagnetici che avvengono all’interno del componente non vengono studiati in dettaglio, nell’ambito della teoria dei circuiti. Essi riguardano la teoria dei campi elettromagnetici e richiederebbero, per poter essere caratterizzati, l’uso di variabili 1 appropriate, la conoscenza delle leggi fisiche che 1
Campo elettrico E, campo magnetico H, induzione elettrica D, induzione magnetica B, densit`a di corrente di conduzione J, densit`a volumetrica di carica ρ.
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Marco Storace–Teoria dei Circuiti
1. Introduzione.
POLO
Superficie limite
Morsetti Terminali
esiste un ‘circuito’ (maglia)
(a)
(b)
Figura 1.1: (a) esempio di componente; (b) esempio di circuito.
Bipolo:
Tripolo:
Figura 1.2: governano il comportamento di tali variabili (leggi di Maxwell ed equazioni costitutive dei materiali) e la definizione di opportuni parametri che consentano di conoscere con precisione il comportamento dei materiali di cui il componente `e costituito (conducibilit`a σ, costante dielettrica ǫ, permeabilit`a magnetica µ). Da tutto questo ⇒ modello semplificato 2 (⇒ livello di descrizione diverso da quello utilizzato da chi studia i campi elettromagnetici).
1.2
Variabili descrittive
A noi interessano le grandezze fisiche misurabili che caratterizzano il componente dall’esterno. Esse vengono dette variabili descrittive e tipica2
Chi fosse interessato, pu`o leggere l’appendice del testo “Fondamenti di Elettrotecnica”, di Martinelli e M. Salerno, dove si mostra come nascono i modelli che noi usiamo.
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
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1. Introduzione.
mente sono tensioni e correnti. Cariche3 e flussi4 andrebbero ugualmente bene in linea di principio, ma sono pi` u difficili da misurare. Corrente: `e una variabile reale i ∈ ℜ, funzione in generale del tempo t ` associabile a (⇔ misurabile in) ciascun terminale secondo una (i = i(t)). E certa convenzione (questo concetto sar`a precisato nel seguito). B i + A B A i ˜i B ˜i + C
Amperometro
A
D
Figura 1.3: La corrente di un terminale si pu`o misurare con un amperometro. La corrente si misura con un amperometro: si tratta di un componente (bipolo) con terminali collassati (→ si vedono solo i morsetti). Usando un amperometro ideale, la misura non altera il circuito (⇒ non fa cadere tensione). Un altro tipo di rappresentazione per la corrente associata a un terminale `e la seguente: Scala di valori tipica in circuiti “normali” (elettrodomestici, PC, etc.): µA (10−6 A) o mA (10−3 A). Tensione : `e anch’essa una variabile reale, in genere funzione del tempo ` associabile a (⇔ misurabile su) ogni coppia di morsetti secondo (v = v(t)). E una convenzione da definire a priori. La tensione si misura con un voltmetro (si tratta di un bipolo con terminali collassati); usando un voltmetro ideale la misura non altera il circuito (non assorbe corrente). Scala di valori tipici di tensione: V o mV. La carica e la corrente sono legate da una relazione differenziale: i = dq a di dt . Unit` misura S.I.: [q] = C; [i] = Cs = A. 4 Il flusso e la tensione sono legate da una relazione differenziale: v = dΦ a di dt . Unit` misura S.I.: [Φ] = W b; [v] = Ws b = V . 3
12
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
1. Introduzione.
B i
Figura 1.4: D
C
A
vAB
B
+V -
Voltmetro
vAB A
A B
vBA
- V+
B
vBA
Figura 1.5: La tensione su ogni coppia di morsetti si pu`o misurare con un voltmetro. Un componente `e caratterizzato dal legame che esiste tra le variabili descrittive, ossia dalla legge costitutiva o equazione descrittiva del componente.
1.3
Bipolo
Nel caso di un bipolo quali sono tutte e sole (→ indipendenza e completezza ⇒ Ockham `e contento!) le variabili necessarie a caratterizzarlo? In altri termini, quali variabili servono per definire il modello (componente)? Considero una superficie di Gauss che contenga solo il terminale superiore:
⇒
X
qin =
X dqin dt
=
X
qout
X dqout
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
dt
⇔ i1 + i2 = 0 ⇔ i1 = −i2 13
1. Introduzione.
i1
i1
i2
v1
i2
v2 i4
i3 Figura 1.6:
Analogamente: i3 = −i4 . Se la superficie (di Gauss) coincide con la superficie limite del componente → i1 +i3 = i2 + i4 ⇔ i2 = i3 . Inoltre |{z} |{z} −i2
−i3
v1 = −v2 . Dunque, per avere variabili indipendenti (tutte e sole le variabili che servono) bisogna scegliere una sola corrente e una sola tensione. Le possibili convenzioni sono due: i v CONVENZIONE NORMALE (o convenzione degli utilizzatori) i v CONVENZIONE NON-NORMALE (o convenzione dei generatori)
1.4
Potenza
A questo punto `e possibile definire un’altra grandezza elettrica fondamentale, dopo i e v: la potenza. z }| { dw energia [p] = V A = W p(t) = v(t) · i(t) = dt Se i e v rispettano la convenzione normale ⇒ la potenza assorbita dal bipolo `e pA (t) = v(t) · i(t), mentre la potenza erogata dal bipolo `e pE (t) = −v(t) · i(t) = −pA (t). 14
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
1. Introduzione.
Se invece rispettano la convenzione non-normale ⇒ la potenza erogata dal bipolo `e pE (t) = v(t) · i(t), mentre quella assorbita dal bipolo `e pA (t) = −pE (t). Hp.: convenzione degli utilizzatori ⇒ in un tempo δt il bipolo assorbe un’energia δw = p · δt che pu`o essere (in parte o in toto): 1. dissipata ⇒ non pu`o pi` u essere usata in senso elettrico (viene tipicamente trasformata in calore, come nelle stufe elettriche); 2. accumulata; 3. scambiata (→ assorbita e ceduta). Globalmente, l’energia assorbita dal bipolo `e pari a: w=
Zt
p(τ ) dτ
−∞
Lo strumento utilizzato per misurare la potenza si chiama wattmetro.
1.5
Leggi di Kirchhoff
Anche in un circuito semplice, le tensioni e le correnti descrittive dei compo` necessario misurarle tutte? nenti possono essere numerose. E Si consideri un circuito costituito da soli bipoli. Si consideri ora un percorso chiuso (maglia) che coinvolga alcuni bipoli del circuito e gli si assegni un’orientazione (per esempio in senso orario): Misurando con tre voltmetri le tensioni descrittive dei tre bipoli interessati dalla maglia indicata in figura, si trova che la somma algebrica delle tensioni, definita rispetto all’orientamento della maglia (segno “+” se la tensione `e concorde alla maglia, segno “−” se `e discorde), `e nulla. In altri termini, la somma delle tensioni concordi con la maglia `e uguale alla somma di quelle discordi: v1 + v3 = v2 . Esiste dunque un vincolo algebrico che limita il numero delle tensioni da misurare: tale vincolo prende il nome di Legge di Kirchhoff delle tensioni (KVL). Un vincolo analogo esiste per le correnti: basta considerare le correnti descrittive dei bipoli incidenti uno stesso nodo: Legge di Kirchhoff delle correnti (KCL): la somma delle correnti entranti nel nodo coincide con la somma delle correnti uscenti dal nodo (`e una conseguenza del teorema di Gauss). Nell’esempio si ha: i4 + i7 = i1 + i2 . I grafi consentono di enunciare queste leggi in forma rigorosa. Marco Storace–Teoria dei Circuiti
15
1. Introduzione.
+ -
V1 b4
+
v1 b5
b1
v2
b2
b3
b7
V2 -
b6
v3 Maglia della rete elettrica (orientata in senso orario)
+ V3 -
Figura 1.7:
Nodo della rete elettrica i7
i4 + A4 + + A1 A2 -
b4
i1
- A7 +
b1 b2
i2
b7
Figura 1.8:
16
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
Capitolo 2 Grafi Questo argomento non riguarda direttamente i circuiti elettrici, ma un settore della matematica applicata (teoria dei grafi). Saranno introdotti gli elementi essenziali di questa teoria utili nell’analisi dei circuiti. Un circuito `e costituito da diversi componenti interconnessi tra loro. Per capire come funziona il circuito nel suo complesso, ossia ricavare le espressioni analitiche di tutte le variabili descrittive, sar`a necessario conoscere due cose: • la natura dei componenti (→ i legami tra le variabili descrittive di ciascun componente preso di per s´e), ossia l’equazione descrittiva di ciascun componente; • il modo in cui tali componenti sono interconnessi tra loro, ossia la topologia del circuito. Per quanto riguarda le equazioni descrittive, si vedranno in seguito quelle dei componenti che ci interessano pi` u da vicino. Per quanto riguarda l’analisi della topologia del circuito, invece, si pu`o ricorrere alla teoria dei grafi: in tal modo il circuito viene “privato” della propria natura fisica e viene analizzato come pura interconnessione di elementi.
2.1
Elementi fondamentali
Un grafo `e definito da un insieme di n nodi e da un insieme di l lati o rami. 17
2. Grafi
Esempio: n = 4, l = 6 b
b
b
b
(arco)=lato o ramo
(pallino nero)=nodo Ciascun lato `e associato a due nodi distinti (si veda la figura). Se non si `e interessati all’ordine con cui i due nodi sono associati a un lato ⇒ grafo non orientato (come in figura). Se, invece, si vuole dare un significato all’ordine dei nodi nella coppia associata a un lato ⇒ grafo orientato: d
2
a
3
f
e
c 1
b
Si associa un verso di percorrenza a ogni lato (⇒ si orienta) tramite frecce
4
N. B.: i versi di percorrenza dei rami sono scelti in modo arbitrario, in genere, perch`e non dipendono dalla realt`a fisica. Una volta scelto il verso di un ramo ⇒ tutti gli sviluppi successivi devono rispettare questa scelta. • Se pi` u rami (lati) collegano la stessa coppia di nodi ⇒ si dice che sono in parallelo. Es.: i lati e e f dell’esempio. • Un lato `e associato a due nodi; un nodo `e associato a un certo numero di lati (# ≥ 2, a parte casi limite di nodi “appesi”). Il numero # si dice ordine del nodo.
2.2
Equivalenza tra grafi
Non bisogna farsi trarre in inganno dalla rappresentazione grafica di un grafo: bisogna astrarre le sole informazioni interessanti, lasciando da parte quelle legate alla geometria. Esempio: 18
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
2. Grafi
d
2
a
3
f
d
2
e
a
3
e
f
c 1
4
b
1
b
4
c c 4 f
b
Questi grafi sono tutti equivalenti
1
e
a
3
2 d
Definizione: due grafi non orientati vengono detti equivalenti se, stabilita una corrispondenza biunivoca sia tra i nodi del primo e del secondo, sia tra i lati, i lati corrispondenti risultano associati a coppie di nodi corrispondenti.
La definizione si estende immediatamente anche ai grafi orientati: in questo caso i rami corrispondenti devono essere orientati nello stesso verso.
2.3
Percorsi
Dati due nodi distinti di un grafo, viene detto percorso una catena di lati adiacenti (→ che hanno in comune un nodo) collegante i due nodi, detti estremi del percorso ⇒ un percorso individua una successione alternata di nodi e lati. Ciascun nodo e ciascun ramo si incontrano una volta sola nel percorso e non sono ammesse diramazioni (⇒ si incontrano k lati e k − 1 nodi intermedi ). L’orientazione non conta. Esempio (i percorsi sono segnati con tratto discontinuo): Marco Storace–Teoria dei Circuiti
19
2. Grafi
d
2
3
a
f
Percorso alternativo (pi` u breve)
e
c 1
4
b
d
2
a c
4
b
Percorso 1 → 3 :
3 lati, 2 nodi interni
2.4
e
f
1
Percorso 1 → 3 : {a, 2, c, 4, f } | {z }
3
{b, 4, e} | {z }
2 lati, 1 nodo interno
Sottografi, alberi e coalberi
Le definizioni che seguono prescindono dall’eventuale orientazione dei lati. Un sottoinsieme degli elementi (nodi e lati) di un grafo viene detto sottografo. Per esempio, un percorso `e un sottografo. Il resto del grafo viene detto sottografo complementare. Un sottografo che contenga solo nodi di ordine due `e detto maglia (`e una figura chiusa). In altri termini, una maglia `e un percorso con i due estremi coincidenti. Esempio (le maglie sono identificate da tratto discontinuo): d
2
a
3
f
e
Oppure
a
c 1
d
2
3
f
e
c b
4
1
b
4
Albero : `e un sottografo contenente uno e un solo percorso tra ogni coppia di nodi del grafo ⇒ `e un sottografo contenente tutti i nodi del grafo e non contenente alcuna maglia (si veda il paragrafo 2.7). Alcuni esempi sono riportati in figura 2.1. Il sottografo complementare di un albero `e detto coalbero. ` facile verificare (si veda la definizione di percorso) che ogni albero di E un grafo con n nodi e l lati `e costituito da n − 1 lati (→ il coalbero ne ha l − n + 1). Nell’esempio, n = 4 e l = 6 ⇒ l’albero ha sempre tre lati. 20
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
2. Grafi
a.
b.
c.
d.
Figura 2.1: Esempi di albero. L’albero evidenziato nel grafo b. `e detto albero a stella: tutti i lati escono dallo stesso nodo.
2.5
Grafi connessi e sconnessi
Grafo connesso : grafo in cui esiste sempre un percorso che unisce due nodi qualsiasi.
Nodo “appeso”
Grafo sconnesso
Grafo connesso
2
4
3
5
cerniere
1
Grafo connesso incernierato in 3 e in 4
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
21
2. Grafi
In caso contrario → grafo sconnesso ⇒ un grafo sconnesso `e separato completamente in due o pi` u parti (→ `e meno interessante: si riduce a due o pi` u casi pi` u semplici). Un nodo si dice cerniera se, eliminandolo, restano due sottografi sconnessi.
2.6
Grafi planari
Un grafo si dice planare quando pu`o essere tracciato su un piano senza incroci tra i lati (a parte i nodi). Altrimenti si dice non planare. Esempio 2.6.1.
Sembra non planare, ma esiste un grafo equivalente senza incroci fra i lati ⇒ `e planare
Grafo non planare (non si riesce a “sbrogliarlo”)
2.7
Maglie e cocicli (tagli)
` gi`a stata definita una maglia (percorso chiuso con i nodi estremi coinciE denti); lungo una maglia si incontrano k nodi e k lati. Una maglia consente due percorsi completamente distinti tra ogni coppia di nodi appartenenti alla maglia. Esempio: 22
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
2. Grafi
d
2
a
3
f
e
Verso di percorrenza (orario o antiorario) ⇒ maglia orientata
c 1
b
4
3 nodi e 3 lati 2 → 4: {d, 3, f } oppure {c}
Anello esterno : maglia (unica) al cui esterno non esistono altri rami n´e nodi → {a, d, e, b} Anello interno : maglia al cui interno non esistono altri rami n´e nodi → {e, f },{d, f, c},{a, b, c} A ogni maglia pu`o essere associato un verso di percorrenza (orario o antiorario) ⇒ maglia orientata (come la maglia {c, d, f } dell’esempio precedente). Si dice taglio (o cociclo) di un grafo un qualsiasi sottoinsieme di rami necessari e sufficienti, se rimossi, a separare il grafo in due sottografi separati (ossia a rendere il grafo sconnesso). Ogni taglio partiziona in due l’insieme dei nodi del grafo. Se uno dei due insiemi contiene un solo nodo ⇒ si parla di taglio nodale (si veda il primo esempio in figura 2.2). A ogni taglio pu`o essere associato un verso (uscente dal taglio o entrante nel taglio) ⇒ taglio orientato (come il taglio {a, c, e, f } nel secondo esempio in figura 2.2).
2.8
Basi di maglie e di tagli
Per analizzare un grafo, non `e necessario individuare tutte le maglie e tutti i tagli possibili. Basta individuare un sottoinsieme di maglie indipendenti e un sottoinsieme di tagli indipendenti. In generale, una maglia dipende da altre due se contiene solo lati appartenenti a una o all’altra (un esempio `e mostrato in figura 2.3). Come si possono trovare tutte le maglie indipendenti (⇒ base di maglie) e tutti i tagli indipendenti (⇒ base di tagli )? Si pu`o partire da un albero. Le maglie contenenti uno e un solo lato di coalbero costituiscono una base (maglie fondamentali) ⇒ l − n + 1 maglie fondamentali (= numero di lati di coalbero). Stesso discorso vale per i tagli contenenti uno e un solo lato di albero (tagli fondamentali) ⇒ n − 1 tagli fondamentali (= numero di lati di albero). A ogni base (di maglie e di tagli), `e possibile associare una matrice nel modo descritto nei paragrafi seguenti. Marco Storace–Teoria dei Circuiti
23
2. Grafi
Sottografi separati S1
d
a
togliendo i tre rami
e
f c
f
e
b
b taglio orientato S2
d
d
a
togliendo i quattro rami
e
f c
Sottografi separati
b
b
Figura 2.2: In questa illustrazione, S1 e S2 rappresentano superfici chiuse che intersecano i rami di un taglio. Ciascuna di esse contiene un sottoinsieme dei nodi del grafo corrispondente.
b
c a
d
Anello esterno: {a, b, d} Anello interno 1: {a, b, c} Anello interno 2: {c, d}
Figura 2.3: Esempio di grafo in cui l’anello esterno contiene solo lati appartenenti a quelli interni.
24
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
2. Grafi
2.9
Matrice di maglie b linea continua: albero c
a
d linea tratteggiata: coalbero
In questo esempio l = 4 e n = 3, per cui il numero di maglie fondamentali `e l − n + 1 = 2. Si ordinano i lati partendo da quelli di coalbero: (⇒ a, d, b, c) e si orienta ogni maglia fondamentale come l’unico lato di coalbero in essa contenuto. A questo punto si associa a ogni maglia fondamentale un vettore riga i cui elementi sono tanti quanti sono i lati del grafo e il cui valore `e: -1 se il lato appartiene alla maglia e il suo verso `e discorde rispetto al verso del lato di coalbero contenuto nella maglia 0 se il lato non appartiene alla maglia 1 se il lato appartiene alla maglia e il suo verso `e concorde con quello del lato di coalbero contenuto nella maglia ⇒ Nell’esempio, la matrice di maglie `e: a d b c B = a 1 0 −1 1 = Il−n+1 |B alb d 0 1 0 1 Le colonne della matrice corrispondono a tutti i lati del grafo, ordinati come specificato. Le righe corrispondono alle maglie fondamentali, ossia ai lati di coalbero (presi nello stesso ordine delle prime l − n + 1 colonne). Per come sono stai ordinati i lati, le prime l − n + 1 colonne di B formano una matrice identit`a. La conferma del fatto che le maglie considerate sono indipendenti `e che le righe di B sono linearmente indipendenti (per la presenza della matrice identit`a). Tutte le altre maglie dipendono da quelle considerate: infatti le maglie fondamentali coinvolgono tutti i lati del grafo (non esistono colonne di B nulle) ⇒ tutte le altre maglie dipendono da quelle fondamentali (si veda il paragrafo 2.8 per la definizione di maglie indipendenti). Marco Storace–Teoria dei Circuiti
25
2. Grafi
2.10
Matrice di tagli b linea continua: albero c
d
a linea tratteggiata: coalbero
Per quanto riguarda i cocicli, si fa un ragionamento analogo. Nel caso raffigurato qui sopra, ci sono n − 1 = 2 tagli fondamentali. Si ordinano i lati come nel caso della matrice di maglie (ossia partendo da quelli di coalbero) e si orienta ogni taglio fondamentale come l’unico lato di albero in esso contenuto → vettore costruito analogamente a prima. ⇒ Nell’esempio, la matrice di tagli `e: a d b c 1 0 1 0 = Acoa |In−1 A = b c −1 −1 0 1 In questo caso, le righe della matrice corrispondono ai tagli fondamentali, ossia ai lati di albero (ordinati come le ultime n − 1 colonne). Per il resto valgono le stesse considerazioni fatte per B. Propriet` a: (sono matrici ortogonali) BAT = 0 alb coa T B = − [A ] Esempio 2.10.1. Cosa si pu`o dire di questo grafo? 3 2
4 6
1 5 26
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
2. Grafi
` planare → grafo equivalente: • E 3
4
a
b
2
5
1
6 ` connesso. • E ` incernierato (nel nodo 1). • E • I lati a e b sono in parallelo. • l = 8 lati e n = 6 nodi n − 1 = 5 lati di albero ⇒ 5 tagli fondamentali. l − n + 1 = 3 lati di coalbero ⇒ 3 maglie fondamentali. Provare, per esercizio, a individuare un albero e a ricavare le corrispondenti matrici di maglie e di tagli.
2.11
Basi di anelli e tagli nodali e matrice di incidenza
` possibile definire basi di maglie costituite da soli anelli (solo per grafi E planari): basta scartarne uno qualsiasi ⇒ ne restano l − n + 1. ` anche possibile definire basi costituite da soli tagli nodali (per qualsiasi E grafo): basta scartarne uno qualsiasi (il nodo scartato viene detto nodo di riferimento) ⇒ ne restano n − 1. La matrice di una base di tagli nodali, molto usata nella pratica, prende il nome di matrice di incidenza (ridotta), che `e molto semplice da costruire. Esempio 2.11.1. Marco Storace–Teoria dei Circuiti
27
2. Grafi
2
a
b
1
3 e
Nodi appartenenti alla base di tagli nodali
d c
f h 4
g
5
Nodo di riferimento La matrice si costruisce associando a ogni taglio della base un vettore riga (⇒ la matrice ha n − 1 righe). Le colonne sono associate a tutti i lati del grafo, ordinati a piacere (⇒ l colonne). Gli elementi di ogni riga (identificata dal nodo corrispondente al taglio nodale) valgono: 1 se il lato corrispondente alla colonna entra nel nodo corrispondente alla riga -1 se esce 0 se non `e coinvolto dal taglio nodale Quindi tutti i tagli nodali hanno orientazione entrante ⇒ la costruzione della matrice `e pi` u semplice che nel caso generale. Matrice di incidenza (ridotta): a b c d e f g h 1 −1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 −1 1 0 0 0 M = 2 3 0 −1 −1 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 −1 −1 −1 −1 Propriet` a di M:
Data M, si riesce a ricostruire il grafo! Basta disegnare i nodi e numerarli e ispezionare le colonne di M: i lati vanno disegnati collegando le coppie di nodi corrispondenti a elementi non nulli in ogni colonna, con la convenzione stabilita. Se in una colonna c’`e un solo elemento non nullo, il lato in questione termina nel nodo di riferimento. La matrice di incidenza completa si ottiene aggiungendo la riga relativa al nodo di riferimento (→ linearmente dipendente dalle altre).
2.12
28
Riepilogo
• Base di maglie (l − n + 1 maglie fondamentali = numero di lati di coalbero) ⇒ matrice di maglie B = Il−n+1 | B alb Marco Storace–Teoria dei Circuiti
2. Grafi
• Base di tagli (n − 1 tagli fondamentali = numero di lati di albero) ⇒ matrice di tagli A = [Acoa | In−1 ] • caso particolare: Base di tagli nodali ⇒ matrice di incidenza (ridotta) M • Propriet`a: BAT = 0 alb B = − [Acoa ]T
2.13
Applicazione della teoria dei grafi ai circuiti
Finora non si `e fatto riferimento a grandezze elettriche: si introducono ora. A ogni nodo k di un grafo `e possibile associare una variabile reale (funzione del tempo) detta potenziale elettrico (uk (t)). Per ogni coppia di nodi distinti, la tensione elettrica viene definita dalla differenza dei potenziali nei nodi. Convenzione grafica: 1 u1 (t)
1 u1 (t) +
v12 (t) = u1 (t) − u2 (t)
v12 (t) = u1 (t) − u2 (t) 2 u2 (t)
2 u2 (t)
1 u1 (t) Se i nodi 1 e 2 sono uniti da un lato:
(lato orientato come la tensione) 2 u2 (t)
In generale, per un grafo di n nodi, sono dunque definibili n × (n − 1) tensioni. Per fortuna in genere non `e necessario prenderle tutte in considerazione! Basta considerare le l ≤ n × (n − 1) tensioni (di ramo) definite Marco Storace–Teoria dei Circuiti
29
2. Grafi
tra nodi da un lato ⇒ definiamo il vettore delle tensioni di lato connessi v1 v(t) = ... . vl nota : siccome ogni tensione `e definita come differenza tra due potenziali ⇒ le tensioni non cambiano se si somma una costante arbitraria a tutti i potenziali.
A ogni lato j di un grafo `e possibile associare una variabile reale (funzione del tempo) detta corrente (elettrica) ij (t). Convenzione grafica:
ij
j
ij
j
ramo orientato come la corrente
Le correnti associate ai lati di un grafo vengono dette correnti di lato i1 (t) e sono raggruppate nel vettore colonna i(t) = ... . il (t)
2.14
Legge di Kirchhoff delle tensioni (KVL) (1847)
Dato un sottoinsieme qualsiasi dei nodi di un grafo, si definisce una sequenza ordinata e chiusa di coppie di nodi (per esempio, nel grafo di figura 2.4 si `e scelta la sequenza (3, 2), (2, 5), (5, 4), (4, 1), (1, 3)). La somma delle tensioni definite su tale sequenza `e nulla. Le tensioni v32 (t), v25 (t), v54 (t), v41 (t), v13 (t) sono orientate in modo che la freccia di ciascuna tocca la coda della precedente ⇒ percorso chiuso orientato in senso orario. Si verifica ora la validit`a della KVL: v32 (t) + v25 (t) + v54 (t) + v41 (t) + v13 (t) = (u3 − u2 ) + (u2 − u5 ) + (u5 − u4 ) + (u4 − u1 ) + (u1 − u3 ) = 0 30
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
2. Grafi
1
5
v41 (t)
v13 (t)
v54 (t) 3
4
v32 (t)
2
6
v25 (t) Figura 2.4: Esempio di sequenza ordinata e chiusa di coppie di nodi; il nodo 6 `e stato escluso dalla sequenza. v21 (t) Caso particolare: 1 v12 (t)
2 ⇒ v (t) = −v (t) 12 21
N.B.: se la sequenza chiusa di coppie di nodi individua una maglia e B `e la matrice di una qualsiasi base di maglie, si pu`o scrivere che B · v(t) = 0 (l − n + 1 KVL indipendenti), dove v(t) `e il vettore delle tensioni di lato. Ovviamente le KVL indipendenti che si ottengono in questo modo dipendono dalla scelta dell’albero. Esempio 2.14.1. b
a
c
d
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
Lati orientati come le tensioni
31
2. Grafi
va a d b c vd Bv(t) = a 1 0 −1 1 vb = d 0 1 0 1 vc Leggi
2.15
va − vb + vc 0 = vd + vc 0 | {z }
di Kirchhoff per le maglie fondamentali
Legge di Kirchhoff delle correnti (KCL) (1847)
La somma algebrica delle correnti che attraversano un qualsiasi taglio di un grafo `e nulla. Se A `e la matrice di una qualsiasi base di tagli ⇒ Ai(t) = 0 (n − 1 KCL indipendenti) (i(t) `e il vettore delle correnti di lato). Esempio 2.15.1. ib
b
ia a ic
c ic
d
Lati orientati come le tensioni e convenzione normale
id
ia a d b c i i + i 0 d a b 1 0 1 0 = Ai(t) = b = ib −ia − id + ic 0 c −1 −1 0 1 ic
2.16
Formulazioni alternative delle leggi di Kirchhoff
Si pu`o dare una formulazione alternativa delle equazioni di Kirchhoff sfruttando la propriet`a in base alla quale per una qualsiasi scelta di albero (→ base di tagli fondamentali e base di maglie fondamentali) si ha: BAT = 0. Ma allora: T B v(t) = 0 = BA v (t) |{z} |{z} |{z} | {z } | T{z } adim. [V ] adim. [V ] [V ]
dove v(t) `e il vettore delle tensioni di lato, mentre v T (t) rappresenta il cosiddetto vettore delle tensioni di taglio (le cui componenti sono arbitrarie). 32
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
2. Grafi
Dal confronto tra il primo e l’ultimo termine della sequenza di equazioni ⇒ v(t) = AT v T (t). Queste sono KVL in forma ridondante (l equazioni invece di l − n + 1). In generale, le tensioni di taglio non hanno un riscontro fisico immediato. Discorso duale vale per le KCL. Base di maglie fondamentali T ⇒ |{z} A i(t) = 0 = AB i (t) |{z} |{z} | {z } |C{z } adim. [A] [A] adim. [A]
dove i(t) `e il vettore delle correnti di lato, mentre iC (t) rappresenta il cosiddetto vettore delle correnti cicliche (le cui componenti sono arbitrarie). Dal confronto tra il primo e l’ultimo termine della sequenza di equazioni ⇒ i(t) = B T iT (t). Queste sono KCL in forma ridondante (l equazioni invece di n − 1). Nel caso particolare della matrice di incidenza (⇒ base di tagli nodali), il vettore delle tensioni di taglio assume un significato fisico ben preciso e viene detto vettore delle tensioni di nodo (rispetto al nodo di e1 .. riferimento): e = . . en−1 Dunque le leggi di Kirchhoff per la matrice di incidenza si possono esprimere cos`ı:
Mi(t) = 0 v(t) = M T e nell’ipotesi di lati orientati come le tensioni. Esempio 2.16.1. 1
b
e1
2
c b
a
b
e b
h
e2
3 f
d b
4
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
e3 g
b
0
33
2. Grafi
1 M = 2 3 4 va vb vc vd T v= ve = M vf vg vh
2.17
a b c d e 1 1 1 0 0 0 0 −1 0 1 0 −1 0 1 −1 −1 0 0 −1 0
f g h 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 0
1 0 0 −1 e1 − e4 1 0 −1 0 e1 − e3 1 −1 0 e1 − e2 e1 0 e1 e2 0 0 1 −1 = e2 = e3 − e4 e3 0 1 −1 0 e3 e2 − e3 0 0 e4 e3 e4 1 0 0 0 −e4 0 −1 −e2 0 −1 0 0
Riepilogo su matrici varie e leggi di Kirchhoff
KVL:
# equaz.
Bv(t) = 0, dove B `e una matrice di maglie e v(t) il vettore delle tensioni di lato.
l−n+1
(maglie fondamentali ⇔ base di maglie).
v(t) = AT vT (t), dove A `e una matrice di tagli e vT (t) `e il vettore delle tensioni di taglio.
l
` possibile ripor(ridondanti. E tarsi a l − n + 1 equazioni eliminando n − 1 componenti del vettore vT (t)).
v(t) = M T e(t), dove M `e la matrice di incidenza ridotta e e(t) `e il vettore delle tensioni di nodo (rispetto al riferimento).
l
(idem).
34
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
2. Grafi
KCL:
# equaz.
Ai(t) = 0, dove A `e una matrice di tagli e i(t) il vettore delle correnti di lato.
n−1
(tagli fondamentali ⇔ base di tagli).
Mi(t) = 0
n−1
(tagli nodali ⇔ base di tagli nodali).
l
` possibile ripor(ridondanti. E tarsi a n − 1 equazioni eliminando l − n + 1 componenti del vettore iC (t)).
i(t) = B T iC (t), dove iC (t) `e il vettore delle correnti cicliche.
Il vettore e costituisce una particolare scelta delle tensioni di taglio nel caso in cui la base di tagli sia costituita da tagli nodali. In generale v T (t) (cos`ı come iC (t)) `e arbitrario e non ha un significato fisico preciso.
2.18
Grafo di un componente 2
N −1
generico N – polo
1
N
La scelta pi` u comune `e quella relativa alla convenzione normale (degli utilizzatori), con le tensioni riferite a un nodo di riferimento (detto anche comune): Questa `e la scelta standard, ma ne esistono altre. In generale va bene un qualunque albero, per esempio: Marco Storace–Teoria dei Circuiti
35
2. Grafi
N −1
2 v2
2
iN −1
i2
vN −1
⇒
i1 1
N −1 iN −1
i2
v2
vN −1
v1
0
i1 1
0
v1
Comune
Figura 2.5: Questo grafo si dice grafo a stella ed `e orientato come le tensioni. N −1
2
2
N −1
1
0
⇒
1
0
In ogni caso si hanno N nodi e N − 1 lati ⇒ servono 2(N − 1) variabili descrittive: N − 1 tensioni e N − 1 correnti (sono tutte e sole le variabili necessarie e sufficienti a caratterizzare l’N-polo). Tutte le altre si ricavano come combinazioni lineari di queste (tramite KCL e KVL). Ecco perch`e nel caso dei bipoli (N = 2) bastano due variabili descrittive e perch`e non si considerano componenti a un polo: i≡0
36
non si pu`o definire una tensione, inoltre i ≡ 0 ⇒ ha senso studiare un’antenna solo dal punto di vista propagativo (→ campi elettromagnetici).
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
2. Grafi
`: Curiosita
Potenza assorbita da un N-polo? Per calcolarla bisogna riportare le tensioni e correnti descrittive alla scelta convenzionale (→ grafo a stella):
v2
iN −1
i2
p(t) =
vk ik
k=1
vN −1 i1
N −1 X
potenza assorbita (quella erogata ha segno opposto).
v1
Esempio 2.18.1. Determinare la potenza assorbita dal (entrante nel) 4-terminali in figura. Esprimere il risultato in termini delle variabili descrittive in figura, ordinando rispetto alle tensioni v1 , v2 e v3 . Marco Storace–Teoria dei Circuiti
37
2. Grafi
v2
v1
ib
ic v3 ia
Per calcolare la potenza entrante bisogna riferirsi al grafo a stella (→ si sceglie un nodo di riferimento):
v1
i v1 + v2 ic
i = ia − ib − ic
v1 + v2 − v3 −ia Ora possiamo calcolare la potenza assorbita (grafo a stella e convenzione normale) ⇒ p(t) = v1 (ia − ib − ic ) + (v1 + v2 )ic + (v1 + v2 − v3 )(−ia ) = −v1 ib + v2 (ic − ia ) + v3 ia
2.19
Teorema di Tellegen (o delle potenze virtuali) (1952)
Teorema 1. Dato un sistema di variabili (correnti di lato) i′ e un insieme di variabili (tensioni di lato) v ′′ compatibili 1 con uno stesso grafo, la 1
Ossia tali da rispettarne la KVL per una base di maglie e la KCL per una base di tagli ⇔ ciascun insieme di per s´e soddisfa le equazioni topologiche di un qualsiasi circuito associato a tale grafo, per cui i due insiemi possono anche riguardare due circuiti diversi.
38
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
2. Grafi
somma delle potenze virtuali associate a tali insiemi e assorbite (secondo la convenzione normale) da tutti i lati del grafo `e identicamente nulla: l X h=1
i′h vh′′ = 0 ⇔ i′T · v ′′ = 0
Dimostrazione. Si usa la matrice di incidenza per esprimere KCL e KVL: =0 Mi′ ′′ v = M T e′′ Bilancio delle potenze virtuali assorbite da tutti i lati del grafo: i′T · v′′
= v ′′T · i′ = = e′′T Mi′ = 0 |{z} 0
N.B.: i′ e v ′′ possono appartenere a due circuiti completamente diversi tra loro: basta che i grafi corrispondenti siano equivalenti, anche nelle orientazioni. Inoltre il teorema di Tellegen non precisa se le componenti dei vettori i′ e v′′ debbano essere funzioni del tempo o costanti, reali o complesse: basta che siano insiemi di funzioni compatibili con lo stesso grafo. Si noti infine che l’unica ipotesi del teorema (oltre alla compatibilit`a di i′ e v′′ con uno stesso grafo) riguarda il ricorso alla convenzione normale (o degli utilizzatori). Questo rende il teorema di Tellegen uno dei pi` u generali di tutta la teoria dei circuiti (lineari e non). Corollario La somma delle potenze assorbite dai lati di una rete elettrica `e identicamente nulla. In questo caso le tensioni e le correnti vengono associate a uno stesso circuito e il corollario non fa che esprimere il principio di conservazione dell’energia. Nota storica: il teorema di Tellegen `e stato formulato un secolo pi` u tardi rispetto alle leggi di Kirchhoff, pur essendovi strettamente legato. In parte questo `e dovuto al fatto che l’applicazione della teoria dei grafi ai circuiti `e successiva alle due leggi di Kirchhoff. Marco Storace–Teoria dei Circuiti
39
2. Grafi
2.20
Esercizi
2.20.1
Esercizio 2 foglio 1
10 bipoli ⇒ ogni bipolo corrisponde a un lato 1 tripolo ⇒ ogni tripolo corrisponde a due lati ⇒ ci sono 10 + 2 lati. Grafo:
l = 12 lati n = 8 nodi
Servono l equazioni topologiche: l − n + 1 = 5 equazioni di maglia (→ si possono considerare gli anelli, per esempio quelli interni), n − 1 = 7 equazioni di nodo; Servono inoltre l equazioni dei componenti.
2.20.2
Esercizio 3 foglio 1
Si disegnano i due insiemi di variabili descrittive sullo stesso componente: 1 v1
i1
ia
va
ib 0
v2 2
i2
vc v3
ic
vb
i 3 3 Dalle KCL e KVL si ricavano le relazioni richieste: ia = i1 ib = −i2 ic = −i3 40
va = v2 − v1 vb = v2 − v3 vc = −v3 Marco Storace–Teoria dei Circuiti
Capitolo 3 Bipoli adinamici e circuiti elementari 3.1
Generalit` a
Nelle lezioni precedenti sono stati introdotti in modo molto generale i componenti di un circuito ed `e stata definita un’astrazione matematica del circuito, detta grafo, tramite la quale ricavare tutte le informazioni possibili sulla topologia del circuito stesso. In particolare, dato un circuito associato a un grafo con n nodi e l lati, `e possibile individuare 2l variabili: l correnti (i(t)) e l tensioni (v(t)) di lato. Siccome risolvere un circuito significa determinare l’andamento nel tempo delle correnti e delle tensioni di lato, in totale si avranno 2l incognite. Quante equazioni si hanno? La topologia del circuito fornisce le KVL (l − n + 1) e le KCL (n − 1), che in totale sono l ⇒ mancano altre l equazioni, per rendere il problema determinato. Queste l equazioni vengono fornite dalla natura dei componenti che formano la rete e sono le equazioni costitutive dei componenti stessi. Le relazioni costitutive dei componenti fisici comunemente usati suggeriscono una classificazione dei componenti stessi in tre grandi classi, indipendenti l’una dall’altra:
41
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
componente dinamico (con memo- Un componente si dice adinamico se la sua ria) o adinamico (o re- relazione costitutiva non contiene derivate e/o sistivo o senza memoria) integrali delle variabili descrittive rispetto al tempo. tempo-variante o Un componente si dice tempo-invariante se la tempo-invariante sua relazione costitutiva non cambia nel tempo. Le variabili descrittive dipendono (in generale) dal tempo, ma il modo in cui sono legate tra loro no. lineare o non lineare Un componente si dice lineare se, dati due vettori ammissibili (compatibili con il grafo) di variabili descrittive, anche una loro combinazione lineare `e un vettore ammissibile. Esempio 3.1.1. i v Relazione costitutiva (in forma implicita, cio`e del tipo f (i, v) = 0 e non v = f (i) o i = f (v)): αv(t) − βi(t) + γ = 0 ⇒ i(t) = αβ v(t) + βγ (forma esplicita) α, β e γ sistemano le dimensioni fisiche: αβ = g, conduttanza, γ = I0 , corrente. β Non compaiono derivate e/o integrali rispetto al tempo delle variabili descrittive ⇒ adinamico. Il legame tra le variabili descrittive non cambia nel tempo ⇒ tempo-invariante. Il componente `e lineare se: v1
i1 e v2
i2
implica: v1 + v2
i1 + i2
In questo caso: i1 = gv1 + I0 i2 = gv2 + I0 i1 + i2 = g (v1 + v2 ) + 2I0 6= i(v1 + v2 ) 42
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
⇒ Non `e soddisfatta la relazione costitutiva ⇒ non lineare (a meno che non sia I0 = 0).
Esempio 3.1.2. i v − Relazione costitutiva (forma implicita): αt2 v(t) + βet v(t) dv dt d2 i ǫ 3 γi (t) − δ dt2 + t = 0 Compaiono le derivate rispetto al tempo ⇒ dinamico. Il legame tra v e i cambia nel tempo (termini t2 , et , 1/t) ⇒ tempo-variante. Esiste un termine non lineare (i3 (t)) ⇒ non lineare. Esempio 3.1.3. i1 i2
v1
v2 3-polo → 2 equazioni descrittive: αv1 + βv2 + γ v˙ 2 − δi1 − ǫı˙1 + ζi2 − η = 0 θv1 + κv¨1 − λv2 + µi1 − ξi2 = 0 Dinamico, tempo invariante (i coefficienti delle variabili sono costanti), non lineare (la prima equazione `e non lineare, la seconda `e lineare).
I componenti degli esempi avevano relazioni costitutive piuttosto fantasiose! Prima di introdurre i componenti che saranno usati nel corso, si specifica una quarta propriet`a importante di un componente.
3.2
Base di definizione
Un bipolo pu`o essere definito su base tensione (se `e possibile assegnare liberamente la tensione riuscendo a determinare univocamente la corrente), su base corrente (se `e possibile assegnare liberamente la corrente riuscendo a determinare univocamente la tensione), su nessuna base (se non `e possibile assegnare liberamente n`e la corrente n`e la tensione), su entrambe le basi. Marco Storace–Teoria dei Circuiti
43
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
Pi` u in generale, un N-polo pu`o ammettere base tensione (→ assegnate tutte le tensioni ⇒ tutte le correnti), base corrente (viceversa), nessuna base o base mista (assegnando liberamente un po’ di tensioni descrittive e un po’ di correnti descrittive per un totale di N − 1 variabili descrittive → si ricavano univocamente tutte le altre N − 1 variabili descrittive).
3.3
Classificazione in termini energetici di un bipolo
Si `e gi`a visto che, utilizzando la convenzione normale, il prodotto v(t)i(t) = p(t) `e la potenza assorbita dal bipolo. Dunque: v II vi < 0
I vi > 0
vi > 0 ⇒ p > 0 ⇒ il bipolo assorbe potenza (positiva) III IV vi < 0 ⇒ p < 0 ⇒ il bipolo asvi > 0 vi < 0 sorbe potenza negativa (⇔ eroga potenza positiva) Sulla base di queste considerazioni generali `e possibile classificare il comportamento energetico di un bipolo: i
Rt • inerte → p(t) ≡ 0 ⇔ −∞ p(τ )dτ ≡ 0 ∀t e ∀ situazione elettrica ⇔ la caratteristica i-v giace su uno degli assi. Rt • dissipativo (o passivo) → p(t) ≥ 0 ⇔ −∞ p(τ )dτ ≥ 0 ∀t e ∀ situazione ⇔ la caratteristica giace nel I e nel III quadrante (assi compresi) Rt • strettamente attivo → p(t) ≤ 0 ⇔ −∞ p(τ )dτ ≤ 0 ∀t e ∀ situazione ⇔ la caratteristica giace nel II e nel IV quadrante (assi compresi) • attivo → p(t) pu`o essere sia positiva sia negativa ⇔ la caratteristica giace in almeno un quadrante dispari e almeno un quadrante pari. 44
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
di ss
attiv o
v ip at iv o
inerte
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
o tiv t a
inerte
i strettamente attivo
3.4
Componenti notevoli
3.4.1
Resistore
i v
R
legge costitutiva: v(t) = Ri(t) (legge di Ohm) R `e un parametro detto resistenza. v V [R] = i = A = Ohm (Ω) Ordini di grandezza: dai µΩ ai MΩ. Graficamente: v R = tan α α i
Propriet`a: • Salvo diverso avviso, si supporr`a R > 0 ⇒ la caratteristica sta nel primo e terzo quadrante ⇒ componente dissipativo. Se fosse R < 0 ⇒ componente strettamente attivo (assorbe potenza negativa ⇔ eroga potenza positiva). Marco Storace–Teoria dei Circuiti
45
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
â&#x20AC;˘ Se R `e indipendente dal tempo â&#x2021;&#x2019; la legge costitutiva non cambia nel tempo â&#x2021;&#x2019; componente tempo-invariante. Tipicamente si supporr`a che R sia costante (componente ideale). Nei componenti reali il valore di R pu`o cambiare con la temperatura, per usura, ecc. â&#x20AC;˘ Se si assegna liberamente i â&#x2021;&#x2019; si ricava univocamente v â&#x2021;&#x2019; esiste la base corrente. Ma `e vero anche il viceversa â&#x2021;&#x2019; esiste anche la base tensione. Dunque, purch´e R 6= 0 e R 6â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;, esistono entrambe le basi. Sul piano v, i si ha: sen (90 â&#x2C6;&#x2019; Îą) = cos (90 â&#x2C6;&#x2019; Îą) cosÎą 1 = = = senÎą tgÎą 1 . = = G (conduttanza) R 1 = S siemens [G] = â&#x201E;Ś
tg (90 â&#x2C6;&#x2019; Îą) =
i Îą 90 â&#x2C6;&#x2019; Îą v i = Gv
â&#x20AC;˘ Componente lineare: v1 = Ri1 v2 = Ri2
â&#x2021;&#x2019; v1 + v2 = R (i1 + i2 )
Si esaminano ora due casi particolari: 1. Se R = 0 (G â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;) â&#x2021;&#x2019; v(t) â&#x2030;Ą 0 â&#x2C6;&#x20AC;i(t) v
i
â&#x2020;&#x2019; bipolo limite detto corto circuito i v
46
Marco Storaceâ&#x20AC;&#x201C;Teoria dei Circuiti
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
• inerte;
• esiste base corrente (per ogni i si ha una sola v); • non esiste base tensione (non `e possibile assegnarla liberamente); 2. Se R → ∞ (G = 0) ⇒ i(t) = limR→∞ v
v(t) R
≡ 0 ∀v(t)
i
→ bipolo limite detto circuito aperto i v
• inerte; • esiste base tensione (per ogni v si ha una sola i);
• non esiste base corrente (non `e possibile assegnarla liberamente);
3.4.2
Generatore ideale di tensione (sorgente impressiva di tensione)
Si definisce generatore ideale di tensione un bipolo in cui sia nota la tensione tra i morsetti, qualsiasi sia la corrente che lo attraversa. legge costitutiva: i v
e(t) oppure
+ v
i e(t)
v(t) = e(t)
dove e(t) `e la tensione impressa [V ] Esempi nel caso e(t) = costante: pile e accumulatori (finch´e non si scaricano!). Esempio nel caso di e(t) variabile nel tempo: prese di tensione di uso domestico: Marco Storace–Teoria dei Circuiti
47
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
e(t) ....... +E ............... .... .... ... ..... ... ..... ... ... . .. ... ... .. . ... ... ... . .. . ... ... . . . ... ... . .. . ... ... . .. . ... ... . . . ... . ... . . . . ... ... .. .. ... ... . . . . ... ... .. .. ... ... . ... ... . ... ... .. ... ... .... ... .... ... ........ ........ â&#x2C6;&#x2019;E T
t
e(t) = Ecos (Ď&#x2030;t + Ď&#x2020;) Ď&#x2030; = pulsazione = 2Ď&#x20AC; = 2Ď&#x20AC;f T f = 50Hz (rete elettrica italiana). Graficamente:
v
i e(t)
e(t)
v
i
Si pu`o pensare al tempo come a un parametro che fa muovere orizzontalmente (o verticalmente) la caratteristica v = e(t). Propriet`a: â&#x20AC;˘ attivo (un quadrante pari e uno dispari); â&#x20AC;˘ in generale, tempo-variante; â&#x20AC;˘ esiste solo base corrente (non `e possibile assegnare liberamente v); â&#x20AC;˘ non lineare: i1 â&#x2020;&#x2019; v1 = e i2 â&#x2020;&#x2019; v2 = e
i1 + i2 â&#x2020;&#x2019; v = e 6= v1 + v2
â&#x20AC;˘ se e(t) â&#x2030;Ą 0 â&#x2021;&#x2019; v(t) â&#x2030;Ą 0 â&#x2021;&#x2019; corto circuito. 48
Marco Storaceâ&#x20AC;&#x201C;Teoria dei Circuiti
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
3.4.3
Generatore ideale di corrente (sorgente impressiva di corrente)
Bipolo in cui `e nota la corrente che lo attraversa, qualsiasi sia la tensione tra i morsetti. legge costitutiva i v
i a(t) oppure
-
v
a(t)
i(t) = −a(t) dove a(t) `e la corrente impressa [A]
Graficamente: v
i −a(t)
v
−a(t)
i
Propriet`a: • attivo; • tempo-variante (in generale); • esiste solo base tensione; • non lineare; • se a(t) ≡ 0 ⇒ i(t) ≡ 0 ⇒ circuito aperto.
3.5
Modelli di Th´ evenin e Norton
Un bipolo adinamico generico, che non sia n´e impressivo n´e lineare (→ non ricade in quelli visti finora), pu`o essere rappresentato tramite due modelli equivalenti: il modello di Th´evenin (utilizzabile quando esista la base corrente) e quello di Norton (utilizzabile quando esista la base tensione). I generatori ideali e il resistore sono casi particolari. Marco Storace–Teoria dei Circuiti
49
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
RT H i
RT H i
+
Th´evenin: v = eT H + RT H i (KVL)
v
eT H (t)
eT H
KVL
i
KCL
aN R Norton: i = aN R + GN R v a (t) NR (KCL)
v
v
i GN R v
1 GNR
Figura 3.1: I grafi dei circuiti equivalenti sono orientati come le tensioni.
Se esistono entrambe le basi, allora `e possibile passare da un modello all’altro: i − ReTTHH -
1 GNR
− GaNR NR
+
v = eT H +RT H i ⇔ i =
RT H v
v eT H − RT H RT H
i i = aN R +GN R v ⇔ v =
v
i GN R
−
aN R GN R
Esercizio: Verificare per esercizio che la potenza minima assorbibile da un bipolo non lineare e non impressivo con resistenza interna positiva `e: Pmin = − Soluzione: th´ evenin p = vi = v v2 eT H = −v = RT H RT H 50
e2T H a2 = − NR 4RT H 4GN R
v eT H − RT H RT H
=
v eT H √ − √ RT H 2 RT H
2
−
e2T H 4RT H
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
.. p . .. . . .. . .. .. . .. .. .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . ... . ... .. . ... .. ... .. . ... . eT H .. ... ... .... . 2 . . .... .... ..... . . . . . ....... . v ................................ e2 − 4RTTHH norton 2 aN R a2 aN R i i2 −i = √ − √ − NR p = vi = GN R GN R 4GN R GN R 2 GN R .. p . .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . . .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. ... .. . . ... . ... ... ... . . ... aNR ... ... . . .... .. 2 .... ... . . . ..... . ....... ..... i ............................... a2NR − 4GNR I modelli equivalenti di Th´evenin e Norton possono essere visti anche come sorgenti non ideali di tensione e di corrente, rispettivamente (tengono conto di fattori resistivi interni ai dispositivi fisici).
3.6 3.6.1
Connessione in serie e in parallelo di bipoli Connessione in serie
La regola esemplificata in figura 3.2 `e del tutto generale: due bipoli sono connessi in serie se sono gli unici bipoli incidenti lo stesso nodo, cio`e se da Marco Storace–Teoria dei Circuiti
51
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
ic ia
ib va
ia
ib
va
vb
ic
vb vc
Lati orientati come le tensioni
vc tagli nodali ⇒ ia = ib = ic maglia ⇒ vc = va + vb Figura 3.2: Connessione in serie di due bipoli.
soli costituiscono un taglio nodale (⇒ sono percorsi dalla stessa corrente). Esempio: ia va Bipolo composito v1 1
A v2 B vb
Bipolo composito 2
ib I due bipoli A e B costituiscono un taglio non nodale, ma `e possibile ricondursi a una configurazione equivalente tenendo conto che i quattro bipoli formano una maglia ⇒ sono attraversati dalla stessa corrente (ciclica): ia va ib vb Bipolo composito v1 1
A
B v2
Bipolo composito 2
L’estensione al caso di pi` u di due bipoli `e immediata. La connessione in serie di due bipoli adinamici definiti su base corrente `e mostrata in figura 3.3(a). Il modello equivalente di Th´evenin del bipolo `e rappresentato in figura 3.3(b), dove: RT Hc = RT Ha + RT Hb eT Hc = eT Ha + eT Hb ` facile verificare queste espressioni, tenendo presente che: E 52
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
ia ic
RT Ha eT Ha ib RT Hb eT Hb + + va
vb vc (a)
ic
RT Hc eT Hc + vc (b)
Figura 3.3: (b) Modello equivalente di Th´evenin del bipolo complessivo (a) costituito dalla connessione in serie tra due bipoli che ammettono base corrente (e quindi ammettono il modello equivalente di Th´evenin).
vc = va + vb
va = RT H ia + eT Ha
ic = ia = ib
vb = RT H ib + eT Hb
(serie)
(Th´evenin) Verifica. vc = va + vb = RT Ha ia + eT Ha + RT Hb ib + eT Hb ⇔ vc = (RT Ha + RT Hb ) ic + eT Ha + eT Hb {z } | | {z } RT Hc
e T Hc
Esempi con bipoli notevoli. Esistono tre possibilit`a: a) entrambi i bipoli connessi in serie ammettono la base corrente ⇒ la connessione `e pienamente sensata.
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
53
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
Ra
Rb
ea (t)
eb (t)
+
Ra + Rb
⇔
ea (t) + eb (t) ⇔
+
+
b) Uno solo dei due componenti ammette la base corrente ⇒ il bipolo complessivo coincide con l’altro, dato che la tensione complessiva non `e vincolata (infatti quella del componente non definito su base corrente `e libera), mentre la corrente ic `e imposta dal componente stesso. Gli unici bipoli noti al momento non definiti su base corrente sono il circuito aperto e il generatore di corrente.
ic
ic = 0 va
vb vc
⇔
vc = va + vb
a
ic → I va
ic = a vb
⇔
I vc = va + vb
In entrambi gli esempi riportati qui a lato va non `e vincolata ⇒ nemmeno vc lo `e. Le equivalenze valgono purch´e non interessi determinare va o vb . nota: il generico bipolo indicato nelle figure sovrastanti `e un bipolo notevole diverso da un generatore di corrente e da un circuito aperto. vc
c) Se nessuno dei due componenti ammette la base corrente ⇒ o non possono essere connessi in serie (generano situazioni assurde) o generano situazioni non determinate. 54
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari a
a ← I
a
←b I
assurdo (non ammissibile) per KCL
a
← I
assurdo (non ammissibile) per KCL
vc ⇔ va
vc
vb
non determinata (non si riescono a determinare va e vb ) Nell’ultimo degli esempi, si hanno ia = 0 e ib = 0 come equazioni costitutive, mentre va e vb non sono vincolate. Dunque, supponendo di poter determinare vc sulla base di collegamenti con il resto del circuito, si pu`o solo dire che vc = va + vb ⇒ ci sono infinite coppie va , vb che soddisfano la relazione. Caso particolare:
ic
ic ≡
vb
va = 0 vc
3.6.2
vc = vb
Connessione in parallelo ic
vc
ic va
ia vb
ib vc
va
ib ia
vb
tagli nodali ⇒ ic = ia + ib maglia ⇒ vc = va = vb Questa `e una regola del tutto generale (facilmente estendibile al caso di pi` u bipoli in parallelo). Connessione parallelo di due bipoli adinamici definiti su base tensione: entrambi ammettono il modello equivalente di Norton.
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
55
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
ic ic vc
va
aa
-
vb
Ra
ab
-
⇔ vc
Rb
ac
-
Rc
Verificare, tenendo conto delle regole di connessione in parallelo e dei modelli equivalenti di Norton, che: Rc =
Ra Rb ⇔ Gc = Ga + Gb Ra + Rb
e ac = aa + ab Esempi nel caso di bipoli notevoli. a) Quando entrambi i bipoli ammettono base tensione, non esistono problemi: Rb
Ra Rb Ra +Rb
≡ Ra a
a ← I
aa +ab
←
≡
I
I
a
←b b) Quando solo uno dei due bipoli non ammette base tensione (gli unici bipoli finora introdotti aventi questa caratteristica sono il generatore di tensione e il corto circuito) allora il bipolo equivalente coincide con esso (la corrente complessiva non `e vincolata, mentre la tensione `e imposta da tale bipolo): ia e(t)
ib =
+ R
e R
≡ e(t)
ia
+ ≡
e(t)
+
ib = −a
- ↑ a(t)
Queste equivalenze valgono soltanto se non interessa determinare ia o ib . 56
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
i icc = i + a ≡
0
i
≡
0
R
i - ↑ a(t)
0
Quest’ultimo `e un caso meno ovvio; quello che conta `e che la tensione ai capi del bipolo parallelo `e nulla ⇒ il tutto equivale a un corto circuito (a meno che non si debba determinare icc ) c) Quando entrambi i bipoli non ammettono base tensione ⇒ la connessione parallelo non `e ammissibile o crea situazioni non determinate. +
i
+
+
→ incompatibili ← ea (t)
e(t)
ia
eb (t)
ib non determinata (non si sanno determinare ia e ib ).
Caso particolare: ic = ia
ic ia
0 ≡
vc
3.6.3
vc
Partitori resistivi
• Partitore (semplice) di tensione. i
va
Ra v
Rb
vb
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
va = Ra ia vb = Rb ib b & vb = v · RaR+R b
v = i (Ra + Rb ) & a ⇒ va = v · RaR+R b
57
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
La tensione viene ripartita tra i resistori in proporzione ai valori delle loro resistenze. • Partitore (semplice) di corrente. i
v
ia
ib Ra
i = v (Ga + Gb ) = v R1a + R1b ia = vGa & ( ib = vGb a b ia = i GaG+G = i RaR+R b b ⇒ Ra b ib = i GaG+G = i Ra +Rb b
Rb
La tensione viene ripartita tra i resistori in proporzione ai valori delle loro conduttanze, ossia in maniera inversamente proporzionale ai valori delle loro resistenze. • Partitori multipli. La regola si estende facilmente: i RN
R4
R3
R2
v
R1
Rk vk = v PN
j=1 Rj
i
v
RN
Gk ik = i PN j=1
, k = 1, · · · , N
R4
Gj
v1
R3
i1 R2
R1
, k = 1, · · · , N
Esempio: 58
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
R1 + +
R2
R2
R2
R2
V
-
E Determinare il valore che deve avere R1 affinch´e l’indicazione del voltmetro sia E4
Nei rami in parallelo passa la stessa corrente (i resistori sono tutti uguali). v1 R1 + E
2R2
2R2 v2
Ma per il partitore di tensione si ha: v2 = E Req = ⇒
Req R1 + Req
4R22 4R22 = = R2 2R2 + 2R2 4R2
E R2 =E ⇔ R1 + R2 = 2R2 ⇔ R1 = R2 2 R1 + R2
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
59
3. Bipoli adinamici e circuiti elementari
60
Marco Storaceâ&#x20AC;&#x201C;Teoria dei Circuiti
Capitolo 4 Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari Di un circuito elettrico pu`o essere utile avere rappresentazioni di tipo diverso, a seconda del tipo di analisi che si intende effettuare. Tra le altre, esistono descrizioni che riguardano la capacit` a di una parte del circuito di interagire col resto: in tal caso, non occorre descrivere nel dettaglio la struttura interna di tale parte, ma basta caratterizzarne il comportamento in termini dei possibili collegamenti con altre parti. Definizione di N-porte Per N-porte si intende una rete nella quale siano messe in evidenza N coppie di terminali (dette porte), destinate al collegamento con altrettanti bipoli o reti di tipo bipolare (â&#x2020;&#x2019; la corrente entrante in un terminale della porta deve coincidere con quella uscente dallâ&#x20AC;&#x2122;altro).
NN
N1 vN (iN ) i1 iN
v1 (i1 )
N-porte ik
i2 vk (ik ) (i2 )
Nk
v2 N2
61
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
Agli effetti del collegamento con altre reti, l’N-porte `e descritto dalle N tensioni di porta e da altrettante correnti di porta. Si esamina ora il caso dei 2-porte.
4.1
2-porte o doppi bipoli
Un 2-porte si rappresenta (con la convenzione degli utilizzatori) in questo modo (configurazione propria): i1
i2
v1
v2 (i1 )
(i2 )
Esiste anche la configurazione tripolare, in alcuni casi: i1
i2
v1
v2
Come si `e visto, un bipolo pu`o ammettere base corrente e/o base tensione. Il 2-porte, nel suo complesso, pu`o ammettere: • base corrente (→ date (i1 , i2 ) qualsiasi ⇒ si determinano univocamente (v1 , v2 )); • base tensione (→ date (v1 , v2 ) qualsiasi ⇒ si determinano univocamente (i1 , i2 )); • base mista (→ date (i1 , v2 ) [o (v1 , i2 )] qualsiasi ⇒ si determinano univocamente (v1 , i2 ) [o (i1 , v2 )]); • nessuna base. N.B. (i1 , v1 ) e (i2 , v2 ) non sono basi perch`e non `e possibile imporre contemporaneamente tensione e corrente arbitrarie sulla stessa porta. Che differenza c’`e tra un 2-porte e un 4-terminali? 62
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
1
i1
2
i2
v1
4-term. i3 0
i1 + i2 + i3 v2
i1
v3 3 i2
v1
v2
2-porte
(i1 ) (i2 ) Il 4-terminali ha 6 variabili descrittive, mentre il 2-porte ne ha solo 4 (c’`e un vincolo su ogni porta: corrente in ingresso = corrente in uscita). Grafo di un 2-porte: 2 i1
i2 4
v1
2 v2
1
4
→ 1
3
Grafo sconnesso
3
vT 2 vDB1
vDB2 vB
Esempio: T
DB
B
→
vT 1 Grafo sconnesso
nota: Le equazioni costitutive dipendono dalle variabili descrittive di entrambe le porte, in generale. La situazione raffigurata qui sotto `e solo un caso limite di 2-porte. i1 i2
v1
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
v2
63
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
4.2
Rappresentazione dei 2-porte
Si considerano circuiti, accessibili da due porte, che siano lineari e tempoinvarianti (→ privi di generatori indipendenti). i1 i2 Lineare & t.-inv.
v1
v2
Essendo lineare, ogni 2-porte pu`o essere descritto attraverso due equazioni lineari omogenee nelle quattro variabili descrittive ⇒ `e possibile esplicitare due variabili in funzione delle altre due ⇒ le due equazioni risultanti sono caratterizzate da quattro coefficienti, che costituiscono i parametri (costanti, perch`e il 2-porte `e tempo-invariante) della rappresentazione. Ciascun insieme di parametri ha caratteristiche proprie, che lo rendono migliore di altri per specifiche configurazioni, anche se tutti (purch´e esistano) caratterizzano completamente la rete. In termini generici, le equazioni risultanti sono: u1 a b w1 = u2 c d w2 dove a, b, c e d sono i parametri, mentre u1 , u2, w1 e w2 sono la quaterna di variabili descrittive del 2-porte. Ci sono sei possibili scelte per la coppia di variabili indipendenti ⇒ sei diverse matrici: • Matrice di resistenza [R] v1 r11 r12 i1 = v2 r21 r22 i2 Esiste purch´e il 2-porte ammetta almeno la base corrente. Come si ricavano i parametri, dato un circuito? Direttamente dalle equazioni costitutive, se note, oppure in base alla rappresentazione:
v1
v2
v2
v1
r12 =
r21 =
r22 =
r11 =
i1 i2 =0 i2 i1 =0 i1 i2 =0 i2 i1 =0
Nel caso di r11 , ad esempio, si impone i1 lasciando la porta 2 aperta (⇒ i2 = 0). i2 = 0 i1
64
-
v1
v2
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
• Matrice di conduttanza [G] i1 g11 g12 v1 = v2 i2 g21 g22 Esiste purch´e il 2-porte ammetta almeno la base tensione. Come si ricavano i parametri, dato un circuito?
i1
i2
i2
i1
g11 =
g12 =
g21 =
g22 =
v1 v2 =0 v2 v1 =0 v1 v2 =0 v2 v1 =0
• Matrice ibrida I [H]
v1 i2
=
h11 h12 h21 h22
i1 v2
Esiste purch´e il 2-porte ammetta almeno la base mista (i1 , v2 ). Come si ricavano i parametri, dato un circuito?
v1
v1
i2
i2
h11 =
h12 =
h21 =
h22 =
i1 v2 =0 v2 i1 =0 i1 v2 =0 v2 i1 =0
• Matrice ibrida II [H ′ ]
i1 v2
=
h′11 h′12 h′21 h′22
v1 i2
Esiste purch´e il 2-porte ammetta almeno la base mista (v1 , i2 ). Queste prime quattro rappresentazioni si dicono cardinali e sono legate a una base di definizione. Esistono poi altre due rappresentazioni (non cardinali): • Matrice trasmissione diretta [T ] v1 t11 t12 v2 = i1 t21 t22 −i2 In questo caso non si parla di base di definizione (non `e possibile imporre tensione e corrente alla stessa porta). Bisogna solo vedere se, da un punto di vista algebrico, assegnate v2 e i2 si possono determinare univocamente v1 e i1 . Questa rappresentazione `e usata sovente per descrivere la “connessione in cascata” (si vedr`a meglio pi` u avanti) con altri 2-porte: Marco Storace–Teoria dei Circuiti
65
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
−i2
i1 v1
v2
Come si ricavano i parametri, dato un circuito?
v2
1 −i2
1 v2
1 −i2
1 =
= =
= t11 v1 i2 =0 t12 v1 v2 =0 t21 i1 i2 =0 t22 i1 v2 =0
N.B.: Si ricavano gli inversi dei parametri (perch´e non si possono imporre tensione e corrente alla stessa porta). • Matrice di trasmissione inversa [T ′ ] ′ v2 t11 t′12 v1 = −i2 t′21 t′22 i1 Rappresentazione poco usata (si definisce solo per completezza). Esempio.
i1 R1 →
v1
i2 R2 ←
Si ricavano le equazioni costitutive: i1 R1 → v1
v2
R3
Ri1 v1 − R1 i1
⇒
i2 R2 ←
R2 i2 v2
R3
v1 − R1 i1 = v2 − R2 i2 2 i2 i1 + i2 = v2 −R R3
Due equazioni nelle quattro incognite ⇒ basta riordinare. Per esempio, si ricavano (v1 , v2 ) in funzione di (i1 , i2 ) per avere la matrice [R]: v2 = R3 i1 + (R2 + R3 )i2 v1 = R1 i1 − R2 i2 + R3 i1 + (R2 + R3 )i2 = (R1 + R3 )i1 + R3 i2 66
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
v1 v2
=
R1 + R3 R3 R3 R2 + R3
i1 i2
Un altro modo di ricavare la matrice [R] `e il seguente: r11 = =0 R2 i2←
i1 R1 →
v1
→ R1
v1
v2
R3
i1 =0
v1 |i =0 ⇒ i1 2
≡
i1 R1 →
v1
⇒ v1 = (R1 + R3 )i1 ⇒ r11 = R1 + R3 v1 r12 = |i =0 ⇒ i2 1 i2 R2 ← v2
R3
≡
v1 R3
R3 v2
i2 R2 ←
v2
⇒ v1 = R3 i2 ⇒ r12 = R3 ecc. Provare per esercizio a ricavare le altre matrici.
4.2.1
Caso non omogeneo
Inizialmente sono stati considerati soltanto 2-porte lineari e tempo invari` possibile generalizanti, escludendo cos`ı la presenza interna di generatori. E zare i risultati ottenuti, tenendo conto che, in termini generici, le equazioni descrittive di 2-porte contenenti generatori sarebbero del tipo: u1 a b w1 x1 = + u2 c d w2 x2 ` possibile usare rappresentazioni equivalenti riportandosi a considerare ⇒E 2-porte lineari: Marco Storace–Teoria dei Circuiti
67
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
•
i1
•
v1
68
i1 e1 + = [R] e2 i2 | {z } v′ 1 v2′
e2
i1
e1 doppio bipolo lineare (e t. inv.) associato
v1′
v1
•
+
v1 v2
i1 i2
v2′
doppio bipolo lineare (e t. inv.) associato
v2
v1 a1 = [G] + v2 a2 | {z } i′ 1 i′2 i′2
v1 i2
i2
i′1
a1
+
a2
i2
v2
i1 e = [H] + v2 a | {z } v′ 1 i′2 Marco Storace–Teoria dei Circuiti
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
i1
+
•
i1
v1
doppio bipolo lineare (e t. inv.) associato
v1′
v1
4.3
i′2
e
+
v1 i1
a
a
v2
v2 e = [T ] + a −i2 | {z } v′ 1 i′1
i′1
e
i2
v1′
i2 doppio bipolo lineare (e t. inv.) associato
v2
Potenza in un 2-porte
La potenza assorbita (con la convenzione degli utilizzatori) da un 2-porte `e pari alla somma delle potenze assorbite da ciascuna porta: p(t) = v1 (t)i1 (t) + v2 (t)i2 (t) In analogia a quanto visto per i bipoli, `e possibile classificare anche i 2-porte in base a criteri energetici: • inerte R t → p(t) ≡ 0 ∀t (e in ogni situazione elettrica) ( −∞ p(τ )dτ = 0 ∀t)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
69
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
• passivo (o dissipativo) → p(t) ≥ 0 ∀t (e in ogni situazione) Rt ( −∞ p(τ )dτ ≥ 0 ∀t)
• strettamente attivo → p(t) ≤ 0 ∀t (e in ogni situazione) Rt ( −∞ p(τ )dτ ≤ 0 ∀t)
• attivo → p(t) pu`o essere sia positiva sia negativa Rt ( −∞ p(τ )dτ pu`o essere sia positiva sia negativa)
Discorso del tutto analogo vale per un N-porte: p(t) =
N X
vk (t)ik (t)
k=1
4.4
Simmetria
Un 2-porte si dice simmetrico se le due equazioni costitutive rimangono immutate scambiando le due correnti tra loro e le due tensioni tra loro. Altrimenti viene detto non simmetrico. Da un punto di vista circuitale, questa definizione significa che se si scambiano le porte, le equazioni costitutive del 2-porte non cambiano ⇒ in un circuito `e possibile collegarlo senza preoccuparsi di sapere la numerazione delle porte. Si vede ora quali sono i vincoli imposti dalla simmetria alle matrici che rappresentano un 2-porte.
4.4.1
Matrici [R] e [G] A: i1
v1
v1 v2
1
=
r11 r12 r21 r22
[R]
2
i1 i2
i2
v2
Scambiando le porte, le equazioni costitutive non devono cambiare ⇒ resta [R]: v2 r11 r12 i2 = v1 r21 r22 i1 70
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
i2
i1
v2
[R]
2
v1
1
Riordinando l’ultima espressione scritta, in modo da poterla confrontare con la A, si ha: v1 r22 r21 i1 B: = v2 r12 r11 i2
Confrontando le due rappresentazioni A e B, si deduce che il 2-porte `e simmetrico se e solo se r11 = r22 & r12 = r21 ⇒ non basta la simmetria di [R]!! Per la matrice [G] si ricavano condizioni analoghe (verificare per esercizio).
4.4.2
Matrice [H]
Ribaltando le porte si ha:
v1 i2
v2 i1
=
h11 h12 h21 h22
i1 v2
=
h11 h12 h21 h22
i2 v1
Riordinando, per esempio con il metodo di Kramer, si ottiene:
v2 h12
i1 h22 1 h22 −h12 v2 i2 |H| =
= i1 v1
h11 v2
|H| −h21 h11
h21 i1
|H|
⇔
v1 i2
1 = |H|
h11 −h21 −h12 h22
Le condizioni di simmetria sono dunque: h11 =
i1 v2
h11 h21 h12 h22 h12 = − h21 = − h22 = |H| |H| |H| |H|
Una possibile soluzione `e |H| = 1 & h12 = −h21 , ma non `e l’unica! Marco Storace–Teoria dei Circuiti
71
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
4.4.3
Matrice [T ]
Le condizioni di simmetria sono (verificare per esercizio): t12 t21 t11 t22 t11 = t12 = t21 = t22 = |T | |T | |T | |T |
4.5
Reciprocit` a
La reciprocit`a `e una delle propriet`a molto generali utili a caratterizzare un componente (oltre a linearit`a, tempo invarianza, passivit`a e base di definizione). Si consideri un generico componente a N terminali e le variabili descrittive in due possibili situazioni elettriche [v ′ T i′ T ]T & [v ′′ T i′′ T ]T . N −1 N −1 2 2 v2′
i′N −1
i′2
v2′′ ′ vN −1
N-terminale
i′′N −1
i′′2
′′ vN −1
N-terminale
i′1
i′′1
1
0
v1′
1
v1′′
0
Ora si introducono le potenze (virtuali) incrociate p′ e p′′ : p′ = [v ′′ ]T i′ = [i′ ]T v ′′ p′′ = [v ′ ]T i′′ = [i′′ ]T v ′ Definizione: un componente adinamico contenente a sua volta componenti lineari e tempo invarianti pi` u generatori indipendenti `e detto reciproco se le due potenze incrociate coincidono per qualsiasi coppia di situazioni, ossia se T T T T p′ = p′′ ∀ [v ′ i′ ]T & [v ′′ i′′ ]T
Altrimenti il componente si dice non reciproco. Esempio: resistore.
i′
72
R
v′
i′′
R
v ′′
p′ = v ′ i′′ = Ri′ i′′ p′′ = v ′′ i′ = Ri′′ i′
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
⇒ p′ ≡ p′′ in qualsiasi situazione ⇒ il resistore `e reciproco. Corto circuito e circuito aperto sono componenti reciproci, mentre i generatori indipendenti non lo sono (verificare per esercizio), cos`ı come non sono lineari n´e, in generale, tempo invarianti.
4.5.1
Teorema di reciprocit` a
Un componente composito i cui costituenti elementari siano reciproci `e a sua volta reciproco. Dunque, un circuito costituito da soli resistori, corti circuiti e circuiti aperti `e sicuramente reciproco. N.B. : un componente composito che contenga almeno un componente non reciproco in genere `e a sua volta non reciproco, ma non lo `e necessariamente.
4.6
Reciprocit` a nei 2-porte
Si ricavano i vincoli imposti dalla reciprocit`a alle varie matrici di rappresentazione di un 2-porte.
4.6.1
Matrici [R] e [G] v = [R]i ′′ T ′ p′ = [v ′′ ]T i′ = ([R]i ) i = [i′′ ]T [R]T i′ ′′ ′ T ′′ p = [v ] i = [i′′ ]T v ′ = [i′′ ]T [R]i′
⇒ p′ = p′′ ⇔ [R] `e simmetrica (⇔ r12 = r21 ) ⇒ un 2-porte che ammetta base corrente (ossia per il quale esista la matrice [R]) `e reciproco purch´e la matrice [R] sia simmetrica (⇒ se il 2-porte `e simmetrico, `e anche reciproco). Stesso discorso vale per un 2-porte che ammetta base tensione (ossia, per il quale esista la matrice [G]): il 2-porte `e reciproco ⇔ [G] `e simmetrica. Esempio di applicazione del teorema di reciprocit` a. Il 2-porte in figura: i1 v1
i2 [R]
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
v2
[R] =
r −5r r 4r
73
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
`e realizzabile con soli resistori lineari a due terminali? Siccome [R] non `e simmetrica, il 2-porte non `e reciproco ⇒ non pu`o essere realizzato con soli resistori lineari (componenti reciproci).
4.6.2
Matrice [H]
i1 = [H] v2 ′ i ′ ′′ T ′ ′′ ′′ p = [v ] i = [v1 v2 ] 1′ = v1′′ i′1 + v2′′ i′2 i2 ′′ i ′ ′ ′′ ′ T ′′ p = [v ] i = [v1 v2 ] 1′′ = v1′ i′′1 + v2′ i′′2 i2 v1 i2
p′ = p′′ ⇔ h11 i′1 i′′1 +h12 v2′′ i′1 +h21 v2′′ i′1 +h22 v2′ v2′′ = h11 i′1 i′′1 +h12 v2′ i′′1 +h21 v2′ i′′1 +h22 v2′ v2′′ ⇔ (h12 + h21 )v2′′ i′1 = (h12 + h21 )v2′ i′′1 per qualunque coppia di situazioni elettriche (v2′′ , v2′ , i′1 , i′′2 devono essere arbitrarie) ⇔ h12 = −h21 ⇔ [H] `e antisimmetrica. Stessa condizione si ricava per la matrice [H ′ ].
4.6.3
Matrice [T ]
v1 i1
= [T ]
v2 −i2
p′ = v1′′ i′1 + v2′′ i′2 = (t11 v2′′ − t12 i′′2 )(t21 v2′ − t22 i′2 ) + v2′′ i′2 p′′ = v1′ i′′1 + v2′ i′′2 = (t11 v2′ − t12 i′2 )(t21 v2′′ − t22 i′′2 ) + v2′ i′′2 p′ − p′′ = −t11 t22 v2′′ i′2 − t12 t21 v2′ i′′2 + v2′′ i′2 − (−t11 t22 v2′ i′′2 − t12 t21 i′2 v2′′ + v2′ i′′2 ) = = (1 − t11 t22 + t12 t21 )(v2′′ i′2 − v2′ i′′2 ) = 0 ⇔ t11 t22 − t12 t21 = 1 ⇔ |T | = 1 per ogni coppia di situazioni elettriche (v2′′ , v2′ , i′1 , i′′2 devono essere arbitrarie). Stessa condizione si ricava per la matrice [T ′ ]. 74
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
4.6.4
Riepilogo
Condizioni sufficienti per la simmetria o la reciprocit`a di 2-porte adinamici tempo invarianti e lineari: simmetrico reciproco [R] r12 = r21 r11 = r22 [G] g12 = g21 g11 = g22 [T ] |T | = 1 t11 = t22 ′ ′ [T ] |T | = 1 t′11 = t′22 [H] h12 = −h21 |H| = 1 [H ′ ] h′12 = −h′21 |H ′| = 1 Le quattro condizioni relative alla simmetria del 2-porte espressa tramite le matrici di trasmissione o ibride sono meno generali rispetto a quelle ricavate a pagina 71, ma vanno quasi sempre bene (→ esercizio 3 foglio 3 esercizi per altra condizione).
4.7
Le quattro sorgenti pilotate
Sono tra i 2-porte pi` u importanti.
4.7.1
Generatore di tensione pilotato in corrente (CCVS – Current Controlled Voltage Source) i1
i2 +
v1
Porta pilotante (porta di ingresso) Equazioni descrittive:
v2
ri1
Porta pilotata (porta di uscita)
v1 = 0 v2 = ri1
dove r `e il parametro del componente (guadagno) [Ω]. ` ammessa solo la base corrente ⇒ esiste (tra le rapBasi di definizione? E Marco Storace–Teoria dei Circuiti
75
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
presentazioni cardinali) solo la matrice [R]: dalle equazioni descrittive si ottiene: 0 0 [R] = r 0 Matrice non simmetrica ⇒ 2-porte non reciproco (e non simmetrico). Esiste anche la rappresentazione (non cardinale) tramite matrice [T ]: [T ] =
0 0 1/r 0
Configurazione tripolare (se il riferimento per le tensioni di porta `e lo stesso): i1
i2
i1
i2 +
+ v1
v2
ri1
ri1
⇔ v1
v2
Comportamento energetico? p = v1 i1 + v2 i2 = ri1 i2 ⋚ 0 ∀t ⇒ p(t) pu`o essere positiva, negativa o nulla, istante per istante e per ogni situazione elettrica (non ci sono vincoli) ⇒ 2-porte attivo.
4.7.2
Generatore di corrente pilotato in corrente (CCCS – Current Controlled Current Source) i1
v1
Porta pilotante (porta di ingresso) 76
i2
βi1
v2
Porta pilotata (porta di uscita) Marco Storace–Teoria dei Circuiti
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
Equazioni descrittive:
v1 = 0 i2 = βi1
dove β `e il parametro del componente (guadagno) [adimensionale]. ` ammessa solo la base (i1 , v2 ) ⇒ esiste (tra le rappreBasi di definizione? E sentazioni cardinali) solo la matrice ibrida I [H]; dalle equazioni descrittive si ottiene: 0 0 [H] = β 0 Esiste anche la rappresentazione (non cardinale) tramite matrice [T ]: 0 0 [T ] = 0 −1/β Anche questo componente `e attivo e non reciproco (n´e simmetrico).
4.7.3
Generatore di tensione pilotato in tensione (VCVS – Voltage Controlled Voltage Source) i1
i2 + αv1
v1
Porta pilotante (porta di ingresso) Equazioni descrittive:
v2
Porta pilotata (porta di uscita)
i1 = 0 v2 = αv1
dove α `e il parametro del componente (guadagno) [adimensionale]. ` ammessa solo la base (v1 , i2 ) ⇒ esiste (tra le rappreBasi di definizione? E sentazioni cardinali) solo la matrice ibrida II [H ′ ]; dalle equazioni descrittive si ottiene: 0 0 ′ [H ] = α 0
Esiste anche la rappresentazione (non cardinale) tramite matrice [T ]. La corrente i2 non `e vincolata ⇒ anche questo componente `e attivo. Marco Storace–Teoria dei Circuiti
77
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
4.7.4
Generatore di corrente pilotato in tensione (VCCS – Voltage Controlled Current Source) i1
i2
gv1
v1
Porta pilotante (porta di ingresso)
v2
Porta pilotata (porta di uscita)
Equazioni descrittive:
i1 = 0 i2 = gv1
dove g `e il parametro del componente (guadagno) [Ω−1 ]. ` ammessa solo la base tensione ⇒ esiste (tra le rapBasi di definizione? E presentazioni cardinali) solo la matrice [G]; dalle equazioni descrittive si ottiene: 0 0 [G] = g 0 Esiste anche la rappresentazione (non cardinale) tramite matrice [T ]. La tensione v2 non `e vincolata ⇒ anche questo componente `e attivo.
4.7.5
Note
• L’importanza dei generatori pilotati `e dovuta alla semplicit`a del loro modello pi` u che all’aderenza a componenti fisici. Sono utilissimi per costruire (assieme ad altri componenti) modelli (si vedranno alcuni esempi). In particolare vanno citati i modelli dei transistori (non saranno considerati nell’ambito di questo corso). • Occorre sempre fare molta attenzione alle variabili pilotanti, che in genere non vengono evidenziate su una porta: 78
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
v
gv
+
i
ri
(a)
(b)
i v
⇔
i
v
v
i
⇔
v=0
Caso (b).
Caso (a).
Nei due casi, la porta pilotante resta “nascosta” • Altre possibili notazioni: Generatore di corrente pilotato (in tens. o corr.)
+ −
Generatore di tensione pilotato (in tens. o corr.)
Esempio circuitale: R1 + E
v
i2 R2
i3 R3
αi2
Supponendo α < 1, si vuole determinare la tensione v. Si considera: Marco Storace–Teoria dei Circuiti
79
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
R1 + v
E
Req = R2 //R3 = ⇔
αi2 = α Rv2
R2 //R3
R2 R3 R2 + R3
R1 + v
E
⇔
Req
− Rα2
R1 + v
E
Req (−R2 /α) Req −R2 /α
= RT OT
RT OT RT OT + R1 R2 R2 R3 α(R2 + R3 ) =− = α R2 + R3 R2 (αR3 − R2 − R3 )
⇒v=E RT OT = −
R2 R2 R3 α R2 + R3
1 R2 R3 R2 +R3
−
R2 α
R2 R3 R2 R3 ⇒v=E R2 + R3 (1 − α) R2 R3 + R1 R2 + R1 R3 (1 − α)
4.8
Nullore (amplificatore operazionale ideale)
Il nullore `e un 2-porte che (sotto opportune ipotesi) costituisce il modello ideale di un componente fisico molto diffuso: l’amplificatore operazionale. Il nullore si pu`o ottenere facendo riferimento a due bipoli “patologici”: il nullatore e il noratore. Nullatore: 80
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
i v
Equazioni descrittive (sono due per descrivere un bipolo ⇒ si tratta di un caso “patologico”): i=0 v=0 v
i
Noratore:
i v
Equazioni descrittive (nessun vincolo tra le variabili descrittive del bipolo ⇒ si tratta di un caso “patologico”):
i qualsiasi v qualsiasi
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
81
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
v
i
Il nullore ha su una delle due porte un nullatore e sull’altra un noratore ⇒ le due patologie si compensano: i1
v1
i2
i1
v2
v1
⇔
i2
0
∞
v2
Equazioni descrittive (`e un 2-porte descritto da due equazioni ⇒ non `e patologico!): v1 = 0 i1 = 0 ` ammessa solo la rappresentazione (non Basi di definizione? Nessuna. E cardinale) tramite matrice [T ]:
[T ] =
0 0 0 0
La potenza assorbita `e p(t) = v1 i1 + v2 i2 = v2 i2 ∀ ⇒ componente attivo. Vediamo sotto quali ipotesi il nullore pu`o costituire un modello equivalente dell’amplificatore operazionale: 82
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
+Vcc i1
i2
i1 +
i2
v1 −
v1
⇔
v2
v2
∞
0
GND −Vcc
L’equivalenza vale sotto le seguenti ipotesi (relative all’amplificatore operazionale): - massa virtuale (⇒ v1 = 0); - impedenza di ingresso infinita (⇒ i1 = 0); - funzionamento in zona lineare. Rappresentazioni equivalenti di un nullore tramite generatori pilotati: i
i
i
v1 ⇔
v
⇔
v v1
v
i1
i1
+ (VCVS con guadagno unitario)
(CCCS con guadagno unitario)
i
i i
v
⇔
v i
(CCCS con guadagno unitario)
⇔
+ v
v
(VCVS con guadagno unitario)
Esempio. Determinare l’equazione descrittiva del bipolo composito sottostante: Marco Storace–Teoria dei Circuiti
83
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
i
R1
R2 v∞
i∞ v
A
∞ 0 v0
i0
R0
i0 = 0 ⇒ su R1 cade una tensione R1 i R1 i i R1 v0 = 0 ⇒ su R0 si ha: v R0
R0
v
Inoltre : R1 i Grafo orientato come le tensioni v0 = 0 1 ⇒ su R2 cade −R1 i e passa una corrente − R i. R2 Per la KCL al nodo A si ha R1 −R i A Rv0 2
i0 = 0 1 ⇒ Rv0 = − R i ⇔ v = − RR0 R2 1 i ⇒ il bipolo composito `e un resistore a R2 resitenza negativa (pari a − RR0 R2 1 ).
4.9
Trasferitori ideali di potenza
In questo paragrafo si cerca di capire se `e possibile definire 2-porte inerti (→ p(t) ≡ 0 ∀ t), ma in grado di assorbire o erogare potenza non nulla da ciascuna porta (⇒ perch´e siano inerti occorre che la potenza assorbita da una porta coincida istante per istante con quella erogata dall’altra). Se esistono, saranno definiti trasferitori ideali di potenza. Descrivendo il 2-porte tramite la matrice di trasmissione diretta (visto che 84
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
dobbiamo trasferire potenza da una porta all’altra `e ragionevole supporre che esista) v1 t11 t12 v2 = i1 t21 t22 −i2 si ha che la potenza assorbita dal 2-porte `e: p(t) = i1 v1 + i2 v2 = t11 t21 v22 − (t12 t21 + t11 t22 )v2 i2 + t12 t22 i22 + i2 v2 = = t11 t21 v22 + (1 − t12 t21 − t11 t22 )v2 i2 + t12 t22 i22 Pertanto p ≡ 0 ⇔
t11 t21 = 0 t11 t22 + t12 t21 = 1 t12 t22 = 0
Si `e ottenuto un sistema non lineare di 3 equazioni e 4 incognite per il quale esiste dunque un grado di libert`a. La soluzione pu`o essere solo di due tipi: t11 = 0 t12 = 0 t22 = 0 t21 = 0 t12 t21 = 1 t11 t22 = 1
Di queste due soluzioni, solo una definisce un 2-porte reciproco (|T | = 1), cio`e la seconda: n 0 [T ] = 0 n1 Questo 2-porte `e detto trasformatore ideale e il parametro n `e detto rapporto di trasformazione. i1 i2 n:1 v1
Equazioni descrittive:
v2
v1 = nv2 i2 = −ni1
Si noti che il 2-porte `e reciproco (|T | = 1), ma `e non simmetrico (t11 6= t22 ). Simbolo alternativo (che ha alcune controindicazioni): Marco Storace–Teoria dei Circuiti
85
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
i1
i2
v1
v2
Il trasformatore ideale `e inerte per definizione. Quali sono le sue basi di definizione? (v1 , i2 ) (⇒ [H ′ ]) e (i1 , v2 ) (⇒ [H]). Altre rappresentazioni ammesse (non cardinali): [T ] e [T ′ ]. Modelli equivalenti con i generatori pilotati: i1 i2 + v1
nv2
v2
ni1
oppure i1
i2 +
v1
i2 n
v1 n
v2
Se si ribalta un trasformatore ideale, si ottiene ancora un trasformatore ideale con rapporto di trasformazione inverso (infatti `e un 2-porte non simmetrico!). Se n = 1 (e si usa la configurazione tripolare) si ottiene un connettore ideale: i1 i2 i1 i2 n:1 v1
v2
configurazione tripolare 86
v1
v2
connettore ideale Marco Storace–Teoria dei Circuiti
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
Il trasformatore ideale `e un’idealizzazione di un componente fisico (trasformatore reale) dinamico e passivo. Collegamento con bipoli: i1
i2 i
n:1 v1
v2
v
b
1) v1 = nv2 = nv 2) i1 = − in2 = ni
⇒ se il bipolo b `e descritto dalla generica equazione (in forma implicita) f (i, v) = 0, l’equazione descrittiva del bipolo composito risultante `e f (ni1 , vn1 ) = 0. Esempio: resistore. i1
i2 i
n:1 v1
v2
v
R
L’equazione del bipolo composito `e v1 = nv = nRi = n2 Ri1 ⇒ `e ancora un resistore, ma con resistenza scalata.
4.10
Connessione di 2-porte
Presupposto necessario alla connessione `e che le porte che si collegano abbiano basi di definizione compatibili (per evitare situazioni assurde).
4.10.1
Connessione in cascata i1
v1
i2 [T1 ]
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
v2
−i2
i3 [T2 ]
v3
87
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
Quando si connettono 2-porte in cascata conviene descriverli mediante la matrice di trasmissione (purch´e esista sia per i 2-porte da connettere sia per il 2-porte complessivo).
v1 i1
= [T1 ]
⇒
v2 −i2
v1 i1
;
v2 −i2
= [T1 ][T2 ]
= [T2 ]
v3 −i3
v3 −i3
⇒ il 2-porte ottenuto mettendo in cascata i due di partenza `e descritto da una matrice di trasmissione [T ] = [T1 ][T2 ] (purch´e esista). Le strutture in cascata sono piuttosto frequenti, specialmente in ambito elettronico (p. es., stadi di amplificazione).
4.10.2
Connessione in parallelo i1
i1A
i2A
v1
i2 v2
A i1A
i2A
i1B
i2B B
i1B
i2B
Se i due 2-porte (attenzione: `e fondamentale che A e B siano 2-porte, per poter affermare che anche la loro connessione definisce un 2-porte) ammettono entrambi la matrice di conduttanza, allora la matrice [G] del 2-porte risultante, purch´e esista, `e [G] = [GA ] + [GB ]. Infatti:
88
i1 i2
= [GA ]
=
i1A + i1B i2A + i2B
=
v1 v2
v1 v2
+ [GB ]
i1B i2B
=
= [[GA ] + [GB ]]
v1 v2
i1A i2A
+
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
4.10.3
Connessione in serie (o serie - serie) i1
i2
v1A
v2A
A
i1
i2
v1
v2 i1
i2
v1B
v2B
B
i1
i2
Se entrambi i 2-porte ammettono la matrice [R] ⇒ la matrice [R] del 2-porte risultante, purch´e esista, `e [R] = [RA ] + [RB ]. Considerazioni del tutto analoghe valgono per le connessioni serie - parallelo (si sommano le matrici [H]) e parallelo - serie (si sommano le matrici [H ′ ]). Esempi:
i1 v1
i2 0
∞
[T2 ]
v3
[T ] Poich´e il nullore ha matrice di trasmissione tutta nulla, si ha [T ] =
0 0 0 0
(si ottiene ancora un nullore). Marco Storace–Teoria dei Circuiti
89
4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari
i1
i2 n1 : 1
n2 : 1
v1
v2
[T ] Complessivamente si ottiene ancora un trasformatore: n1 0 n2 0 n1 n2 [T ] = = 0 n11 0 n12 0
0 1 n1 n2
(il rapporto di trasformazione diventa n1 n2 ).
90
Marco Storaceâ&#x20AC;&#x201C;Teoria dei Circuiti
Capitolo 5 Circuiti adinamici generici Un primo metodo di tipo “forza bruta” per analizzare un circuito consiste nel risolvere il sistema di 2l equazioni che si ottiene tenendo conto delle equazioni topologiche (l − n + 1 KVL indipendenti & n − 1 KCL indipendenti, per un totale di l equazioni indipendenti) e delle equazioni descrittive dei componenti (altre l equazioni indipendenti tra loro e dalle equazioni topologiche). Poich`e per ogni lato del grafo associato al circuito ho due variabili descrittive (corrente e tensione), il sistema ha 2l equazioni in 2l incognite ed `e completamente determinato. Questo metodo (metodo del tableau o metodo totale, che sar`a formalizzato nel paragrafo 5.1) vale sempre, per qualsiasi tipo di circuito (contenente componenti lineari o non lineari, tempovarianti o tempo-invarianti, dinamici o adinamici, ecc.). Per circuiti che soddisfino determinate caratteristiche, esistono metodi di analisi semplificati.
5.1
Metodo del tableau (o metodo totale)
In generale, se non si fanno ipotesi sul circuito, `e sempre possibile costruire un sistema di equazioni mettendo insieme le equazioni topologiche (KCL & KVL) e le relazioni costitutive dei componenti. Nel caso di componenti adinamici lineari e tempo-invarianti pi` u generatori assortiti, queste ultime possono sempre essere espresse cos`ı (equazioni dei componenti in forma implicita, la pi` u generale possibile): H v v(t) + H i i(t) = uˆ(t) dove H v e H i sono matrici di coefficienti reali e costanti di dimensioni fisiche opportune (miste). Basandosi sulla matrice di incidenza M, il sistema 91
5. Circuiti adinamici generici
completo di equazioni diventa: KVL (l equazioni ridondanti): v = MT e KCL (n − 1 equazioni): Mi = 0n−1 equazioni dei componenti (l equazioni): H v v + H i i = uˆ
−M T
Il×l
⇒ 0(n−1)×(n−1) 0(n−1)×l 0l×(n−1) Hv | {z Q
0l×l e 0l M v = 0n−1 Hi i uˆ }
Le incognite di questo sistema sono i vettori e, v e i. Se la matrice Q `e invertibile, allora il sistema ammette un’unica soluzione. In caso contrario (matrice singolare), si usa dire che il circuito `e patologico, poich´e non ammette soluzioni o ne ammette infinite. In entrambi i casi vuol dire che c’`e stata qualche cattiva combinazione di topologia & equazioni costitutive (collegamenti non ortodossi di componenti).
5.1.1
Esempi
esempio a) Maglie di soli generatori di tensione (maglie E): vˆ2 + + vˆ1
+ vˆ3 KVL: vˆ1 − vˆ2 − vˆ3 = 0 assurdo. Se per caso la somma fosse proprio 0 allora le correnti sarebbero indeterminate.
esempio b) Tagli (cocicli) di soli generatori di corrente (cocicli A): 92
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
5. Circuiti adinamici generici
ˆı1
ˆı2
ˆı3
KCL: ˆı1 − ˆı2 + ˆı3 = 0 assurdo. Se per caso la somma fosse proprio 0, allora le tensioni di ramo del taglio sarebbero indeterminate. esempio c) Connessioni tra bipoli o porte che non ammettono la stessa base di definizione (generatori di tensione in parallelo a generatori di tensione; generatori di corrente in serie a generatori di corrente; trasformatore ideale chiuso su due generatori di tensione o su due generatori di corrente; ecc.).
5.2
Principio di sovrapposizione (degli effetti).
Teorema 2. Dato un circuito non patologico contenente componenti adinamici, lineari e tempo-invarianti e N generatori indipendenti, `e possibile costruire N circuiti ausiliari: ognuno di essi `e ottenuto da quello originario azzerando (passivando) tutti i generatori indipendenti tranne uno. + e(t)
a(t)
lo passivo v=0
lo passivo
i=0
Sotto queste ipotesi, la soluzione del circuito originario `e uguale alla somma delle N soluzioni degli N circuiti ausiliari. Dimostrazione. Scomponiamo il vettore dei termini noti (grandezze impresse) uˆ(t) cos`ı: Marco Storace–Teoria dei Circuiti
93
5. Circuiti adinamici generici
uˆ1 uˆ1 0 uˆ2 0 uˆ2 u ˆ = .. = .. + .. + . . . + . . . uˆN
0
0
0 0 .. .
uˆN
:= uˆ(1) + uˆ(2) + . . . + uˆ(N )
Applicando questa scomposizione alla matrice Q (invertibile, perch´e per ipotesi il circuito non `e patologico) ottenuta con il metodo totale si ha: 0l 0l N e X v = Q−1 0n−1 = Q−1 0n−1 PN (k) k=1 i uˆ(k) ˆ k=1 u
⇒ il vettore soluzione `e dato dalla somma di N vettori, che sono a loro volta ciascuno soluzione di uno degli N circuiti ausiliari. Esempio 5.2.1. R1
R2
+ i E1
+
I
E2 Ipotesi soddisfatte ⇒ si pu`o applicare il principio di sovrapposizione: i =?
a) Passiviamo E2 e I (lasciamo attivo solo E1 ): v1 R1 + ia
R2
E1
v1 = E1
⇐⇒
E1
+ ia R1
R2
r1 v1 E1 ⇒ ia = = R1 + R2 R1 R1 + R2
b) Passiviamo E1 e I (lasciamo attivo solo E2 ): ib R1
+ E2
94
R1
R2 ⇐⇒
+ E2
ib R2
v1
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
5. Circuiti adinamici generici
ib = −
E2 v1 =− R1 R1 + R2
c) Passiviamo E1 e E2 (lasciamo attivo solo I):
R1
R2
I
ic R2 R1 + R2 Applicando il principio di sovrapposizione: ic = −I
i = ia + ib + ic =
E1 − E2 − R2 I R1 + R2
nota: il principio di sovrapposizione si basa sulla linearit` a ⇒ non vale per le reti non lineari.
5.3
Principio di sostituzione
Teorema 3. Si consideri una rete adinamica N che si possa decomporre in due sottoreti complementari S1 e S2 (lineari o non lineari, tempo - varianti o tempo - invarianti) interpretabili come bipoli connessi in parallelo. i v
S1
N
S2
Siano v e i la tensione e la corrente ai morsetti di S1 e S2 . Se N ammette un’unica soluzione (v, i) e se S1 `e definito su base corrente (tensione), allora S2 pu`o essere sostituito da un generatore ideale di corrente (tensione) con corrente impressa i (tensione impressa v): i S1
v
i
oppure
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
S1
v
95
5. Circuiti adinamici generici
Dimostrazione. Per ipotesi esiste un’unica soluzione (v, i). Tale soluzione esiste anche per la rete modificata, perch`e • se S1 `e definito su base corrente, allora `e possibile assegnare liberamente i e ricavare univocamente v. Inoltre il generatore di corrente `e definito su base tensione ⇒ ammette qualsiasi v. • se S1 `e definito su base tensione, allora vale il discorso duale.
5.4
Rappresentazione equivalente di circuiti
Il principio di sovrapposizione e quello di sostituzione possono essere utilizzati per ricavare rappresentazioni equivalenti di circuiti. Si consideri un circuito costituito dalla connessione di una rete adinamica a N porte con N reti a una porta (bipoli compositi): iN i1 NN
vN
v1
N
N1
ii vi
Ni
L’N-porte contiene componenti adinamici lineari e tempo-invarianti pi` u generatori indipendenti di tensione e corrente. Si suppone che non vi siano interazioni di nessun tipo (escluse le porte) tra N e le reti Ni . Si esclude (almeno per il momento) la presenza di generatori pilotati.
5.4.1
Teorema di Th´ evenin generalizzato
Se N `e definita alle porte su base corrente ⇒ si applica il teorema di sostituzione: 96
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
5. Circuiti adinamici generici
iN iN
i1 vN
v1
N
i1
ii vi
ii Ora si applica il principio di sovrapposizione e si esprimono le tensioni di porta vi come somma di N + 1 contributi: • un contributo viCA dovuto ai generatori interni a N quando si passivano tutti i generatori di corrente alle porte (viCA `e una tensione di C ircuito Aperto); • N contributi, ciascuno dovuto al singolo generatore ik quando si passivano N e tutti gli altri generatori di porta. Ciascun contributo in tensione `e:
vi
vi N passivata = ik N passivata , rik ik ik ij =0, ∀j6=k ij =0, ∀j6=k vi
dove rik , N passivata ik ij =0, ∀j6=k
Per i = k si ha la resistenza rii che si misura alla porta i quando le altre sono aperte e N `e passivata. In totale si ha: vi = viCA +
N X
rik ik , i = 1, . . . , N
k=1
⇒ v = v CA + [R]i
dove v `e il vettore delle tensioni di porta, [R] `la matrice di resistenza della rete passivata e i `e il vettore delle correnti di porta. Dunque la rappresentazione equivalente (alla Th´evenin) del circuito di partenza `e: Marco Storace–Teoria dei Circuiti
97
5. Circuiti adinamici generici
iN
+
ca vN
vN
NN
v1ca N
passivata
+
i1 v1
(descritta tramite [R])
N1
vica + ii
vi
Ni Cosa cambia se in N sono presenti generatori pilotati? Se la grandezza pilotante `e esterna a N (`e in una delle reti bipolari Ni , per esempio), allora tutto va come se i generatori fossero indipendenti ⇒ si passivano passivando N . In caso contrario, si lasciano stare. Esempio 5.4.1. R1
+ v1CA R2
R2
E v2ca R3
v1ca
A R3
v2ca
v1CA = E + v2CA v2CA v1CA v CA E v CA + = 2 + + 2 ⇔ R3 R2 R3 R2 R2 R2 R3 E R3 (A − )= (R2 A − E) v2CA = R2 + R3 R2 R2 + R3 R3 R2 ⇒ v1CA = E + (R2 A − E) = (R3 A + E) R2 + R3 R2 + R3 Ora si passiva la rete interna e si calcolano gli elementi di [R]: i1 i2 i1 R1 R1 A=
v1
98
R2
R3
v2 ⇐⇒ v1
R2 R3 R2 +R3
i2 v2
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
5. Circuiti adinamici generici
⇒ r11
R2 R3 v1
=
= R1 + i1 i2 =0 R2 + R3
r11 `e la resistenza vista dalla porta 1 quando la 2 `e aperta.
v1
R2 R3 r12 =
= i2 i1 =0 R2 + R3
(R1 `e appeso, quindi v1 ≡ v2 ).
v2
R2 R3 r21 =
= i1 i2 =0 R2 + R3
R2 R3 v2
r22 =
= i2 i1 =0 R2 + R3 R2 R3 (R3 A + E) R1 + RR22+R v1 R2 +R3 3 ⇒ = + R3 R2 R3 v2 (R2 A − E) R2 +R3 R2 +R3
R2 R3 i1 R2 +R3 R2 R3 i2 R2 +R3
⇒ Rete equivalente (rappresentazione “alla Th´evenin”): i1
+
v1ca
v2ca
R1
v1
R2
R3
+
i2 v2
D.B. passivato Nel caso particolare in cui N = 1 (la rete N `e un bipolo), si ottiene il teorema di Th´evenin nella sua formulazione classica. Teorema di Th´ evenin (1883) La resistenza e la tensione impressa del modello di Th´evenin (esiste perch`e si sono supposte porte definite su base corrente) del bipolo N coincidono con la resistenza RT H = vi della rete passivata e con la tensione a vuoto eT H = v CA del bipolo N, rispettivamente. N N eT H i RT H i passivata + + eT H v v N1 ⇐⇒RT H N1
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
99
5. Circuiti adinamici generici
5.4.2
Teorema di Norton generalizzato
Se N `e definita alle porte su base tensione, si possono fare considerazioni analoghe a quelle esposte nel paragrafo 5.4.1 ⇒ si applica il teorema di sostituzione. iN i1 + + vN v1 N
ii
vi
+
Innanzitutto si applica il principio di sovrapposizione e si esprimono le correnti di porta ii come somma di N + 1 contributi: • un contributo icc i dovuto ai generatori interni a N quando si cortocircuitano (passivano) tutti i generatori vk (k = 1, . . . , N) • N contributi, ciascuno dovuto al singolo generatore vk quando si passivano N e tutti gli altri generatori di porta. Ciascun contributo in corrente `e:
ii
ii N passivata = vk N passivata , gik vk vk vj =0, ∀j6=k vj =0, ∀j6=k ii
dove gik = N passivata vk vj =0, ∀j6=k
Per i = k si ha la conduttanza che si misura alla porta i quando tutte le altre sono passivate. In totale si ha: ii =
icc i
+
N X
gik vk
i = 1, . . . , N
(5.1)
k=1
i = icc + [G]v
(5.2)
Dunque la rappresentazione equivalente del circuito di partenza `e 100
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
5. Circuiti adinamici generici
iN
i1 N
vN icc N
NN
passivata
icc 1
(descritta tramite [G])
v1
N1
icc i vi
ii
Ni
Nel caso in cui siano presenti generatori pilotati, ci si comporta come descritto a pagina 96 nel paragrafo 5.4.1. Per N=1, si ottiene il teorema di Norton. Teorema di Norton (1926) Nota storica: il ritardo rispetto al teorema di Th´evenin `e dovuto al fatto che bipoli il cui modello fosse un generatore quasi ideale di corrente furono scoperti pi` u tardi. La resistenza e la corrente impressa del modello di Norton (ho supposto porte definite su base tensione ⇒ esiste) del bipolo N coincidono 1 con la resistenza RN R = gNR della rete passivata e con la corrente di corto cc circuito aN R = i del bipolo N , rispettivamente. N
aN R
5.4.3
N
i RN R
passivata
N1
⇔ RN R
aN R
i N1
Rappresentazioni ibride
Se N `e definito alle porte in base mista ⇒ si applica ad ogni porta la sostituzione opportuna ⇒ si procede analogamente (la rete passivata sar`a descritta tramite una matrice ibrida). Marco Storace–Teoria dei Circuiti
101
5. Circuiti adinamici generici
Esempio 5.4.2. i1
R1
v1
R2
i2
E
+
v2
R3
A
porte definite su base tensione (verificare che assegnando le tensioni si ricavano univocamente le correnti). E icc 1 = − R1
R1
+ R2
E R3
A
+ E Req
Req =
A
≡ corto circuito
E R1 R2 R1 +R2
R1 +R2 icc 2 = E R1 R2 − A
rete passivata
i1 v1
icc 2
i2
R1 icc 1
R2
R3
icc 2
v2
Le porte sono definite anche su base corrente ⇒ provare per esercizio a ricavare la rete equivalente alla Th´evenin (cambier`a solo la parta esterna alla rete passivata) Esempio 5.4.3. Ricavare i circuiti equivalenti di Th´evenin e Norton. 102
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
5. Circuiti adinamici generici
Rth i
+
R1
eth
v
i v + E
⇐⇒
A R2
v2 i anr
Rnr
v
Cominciamo con Th´evenin. Tensione di circuito aperto: v1 R1
0 eth
+ E
A R2
v2
v1 = −R1 A. In R2 non passa corrente ⇒ v2 = 0. Anello interno sinistro → KVL: E − v1 − eT H − v2 = 0 ⇔ eT H = E − v1 = E + R1 A Rete passivata: |{z} =0
Rth ⇒ Rth = R1 + R2
R1 R2
Il modello equivalente di Norton si ricava immediatamente da quello di Th´evenin. Provare a verificarlo applicando il teorema. Marco Storace–Teoria dei Circuiti
103
5. Circuiti adinamici generici
5.5
Propriet` a energetiche (riepilogo)
Potenza effettiva assorbita da un componente descritto con la convenzione normale: [W ] (5.3) p(t) = v T (t)i(t) = iT (t)v(t) Lavoro elettrico effettivo di un componente in un intervallo di tempo [t0 , t]: w(t) =
Zt
p(τ )dτ
[Joule]
(5.4)
t0
Il corollario del teorema di Tellegen ci dice che la somma delle potenze effettive assorbite complessivamente da un circuito costituito da N componenti (di qualunque tipo) `e nulla: N X
pk (t) = 0
(teorema della potenza effettiva)
(5.5)
k=1
Idem, ovviamente, per i lavori effettivi: N X
wk (t) = 0
(5.6)
k=1
Corollario: la potenza effettiva assorbita da un multiporta o multiterminale costituito da N componenti coincide con la somma delle potenze effettive assorbite dagli N componenti. Idem per il lavoro. N X
pk (t) = 0
k=1
N X
wk (t) = 0
(5.7)
k=1
Entrambi i risultati consentono di individuare alcune propriet`a. Propriet`a: In un circuito costituito da soli N componenti passivi e/o inerti (⇒ pk ≥ 0, k = 1, 2, . . . , N) che ammetta una soluzione, tutti i componenti non assorbono potenza. Infatti, in base al teorema della potenza effettiva e all’ipotesi sulle propriet`a energetiche dei componenti, si ha: N X k=1
pk = 0 ⇐⇒ pk = 0
(k = 1, 2, . . . , N)
(5.8)
Corollario: In un circuito costituito da componenti adinamici sia passivi e/o inerti sia attivi possono presentarsi due casi: 104
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
5. Circuiti adinamici generici
• le potenze effettive assorbite da tutti i componenti sono nulle (caso poco interessante) • almeno uno dei componenti attivi eroga potenza Propriet`a: Un componente (multiporta o multiterminale) composto da soli N componenti passivi e/o inerti `e a sua volta P passivo o, in casi particolari, inerte. Infatti pk ≥ 0(k = 1, 2, . . . , N) e N k=1 pk ≥ 0. Se gli N componenti sono tutti inerti ⇒ il componente complessivo `e a sua volta inerte. Una propriet`a analoga si dimostra nel caso in cui gli N componenti siano tutti strettamente attivi e/o inerti. Questi risultati implicano che in un circuito adinamico privo di componenti attivi tutte le tensioni e correnti siano nulle ⇒ un circuito utile deve contenere almeno un componente attivo. Il fatto che un componente fisico sia attivo (o strettamente attivo) implica che esso sia in grado, in opportune situazioni elettriche, di compiere verso l’esterno un lavoro illimitato (in un intervallo di tempo infinito). Questo non pu`o essere vero: `e soltanto una semplificazione dovuta al modello. Nei circuiti fisici pu`o succedere una delle seguenti cose: • il lavoro erogabile `e finito bench´e il modello del componente non ne ` il caso delle batterie usa e getta (tensione costante, ma tenga conto. E per un intervallo di tempo finito); • il lavoro erogato dal componente attivo `e a sua volta fornito al com` ponente stesso senza che il modello ne tenga esplicitamente conto. E il caso degli alimentatori negli elettrodomestici, che ottengono, istante per istante, la potenza da erogare dalla rete di distribuzione domesti` anche il caso delle celle fotovoltaiche (→ ca dell’energia elettrica. E energia dalle radiazioni solari); • caso intermedio: batterie ricaricabili (→ cellulari!), che erogano potenza quando si usa l’elettrodomestico che la contiene e la assorbono quando le si ricarica.
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
105
5. Circuiti adinamici generici
106
Marco Storaceâ&#x20AC;&#x201C;Teoria dei Circuiti
Capitolo 6 Componenti e circuiti dinamici elementari Parliamo di componenti dinamici â&#x2021;&#x2019; la loro relazione costitutiva conterr`a derivate e/o integrali delle variabili descrittive rispetto al tempo. Cominciamo introducendo i pi` u semplici e i pi` u importanti: condensatore e induttore.
6.1
Condensatore
Il condensatore `e un bipolo la cui rappresentazione grafica i
v
richiama la struttura del condensatore fisico, costituito da due lamine molto sottili e di superficie ampia, di materiale conduttore (es. alluminio) separate da un sottile strato di materiale isolante (dielettrico): lamine conduttrici (piastre) dielettrico
107
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
Equazione descrittiva? La carica che si accumula sulle piastre del condensatore `e q(t) = C · v(t). C `e un parametro detto capacit`a. Questa potrebbe essere l’equazione descrittiva se usassimo come variabili descrittive tensione v e carica q. Ma q `e misurabile meno semplicemente della corrente ⇒ deriviamo ): (i(t) = dq dt dv i(t) = C (6.1) dt Nota la tensione v(t) ⇒ ricaviamo univocamente la corrente i(t) ⇒ esiste base tensione. Nota la corrente i(t) ⇒ non ricaviamo univocamente la tensione v(t) ⇒ non esiste base corrente. La misura istantanea di v non d`a alcuna informazione su i e viceversa. Per ricavare i o v occorre conoscere il modo di variare nel tempo dell’altra variabile ⇒ bisogna mantenerne memoria. [C] =
[q] Cb As = = = F (Farad) [v] V V
(6.2)
Supporremo che sia C > 0 (se C = 0 ⇒ circuito aperto) e C costante (⇒ componente tempo-invariante). Ordini di grandezza tipici: µF (10−6 F) nF (10−9 F) pF (10−12 F) Il condensatore `e un componente lineare e reciproco (la verifica non `e banale e richiede il ricorso al concetto di lavoro virtuale) N.B.: Se v(t) =costante (il che accade, per esempio, in condizioni di “regime stazionario” ⇐⇒ dtd ≡ 0 o“regime costante” o “continua”) ⇒ i(t) ≡ 0 ⇒ il condensatore equivale a un circuito aperto. R
+ E
6.1.1
C
v
in regime
⇐⇒
stazionario
i≡0 R + E
v≡E
Modello equivalente di Th´ evenin di un condensatore carico
Supponiamo di voler determinare la tensione v(t) da un certo istante t0 in poi. Per farlo, dobbiamo conoscere la condizione iniziale v(t0 ). Se infatti si integra la relazione costitutiva, si ha: 108
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
Zt
i(τ )dτ = C
t− 0
Z
t t− 0
dv dτ = C · v(t) − v(t− 0) dτ
1 ⇐⇒ v(t) =− t≥t0 C
Zt
i(τ )dτ + v(t− ) | {z0 }
(6.3)
:=v0
t− 0
Se si utilizza la “funzione gradino unitario”: 1(t) 1 −3
−2
−1
0
1
2
3
t
` discontinuit a di prima specie 0 t<0 1(t) = 1 t≥0 ⇒ si pu`o anche scrivere la (6.3) cos`ı: 1 v(t) = C
Zt
t− 0
|
i(τ )dτ + v0 · 1(t − t0 ) | {z }
∀t
(6.4)
vb (t)
{z
va (t)
}
Questa equazione corrisponde alla connessione in serie di due componenti: 1 va (t) = C
Zt
i(τ )dτ
(6.5)
t− 0
`e l’equazione di un condensatore che in t = t− e scarico (condizione 0 ` iniziale nulla); vb (t) = v0 · 1(t − t0 )
(6.6)
`e l’equazione di un generatore di tensione impressivo a gradino. Dunque, la rappresentazione equivalente di Th´evenin del condensatore carico `e: Marco Storace–Teoria dei Circuiti
109
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
v ′ (t)
i(t)
+ v0 · 1(t − t0 )
v(t)
′ − dove v(t− 0 ) = v0 e v (t0 ) = 0. Questa `e la rappresentazione pi` u comunemente usata per condensatori carichi.
6.2
Funzioni generalizzate (cenni)
La derivata del gradino unitario non `e definita, nell’origine. Si pu`o definire una funzione “generalizzata” (oggetto di corsi di matematica avanzata) che corrisponde esattamente alla derivata del gradino: δ(t)
−2
−1
0
1
2
t
d1(t) dt impulso ideale o delta di Dirac (discontinuit`a di seconda specie nell’origine). Si pu`o pensare l’impulso ideale come lim di: δ(t) ,
T →0
1 T 1 2T
−T
T
t
−T
T
t
` calcolabile come: Quanto vale l’area di un impulso? E Z+∞ Z0+ δ(t)dt = δ(t)dt = 1
−∞
110
(6.7)
0−
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
Se fosse una funzione continua o a gradino ⇒ il suo integrale tra 0− e 0+ sarebbe nullo. Propriet`a: 1. La delta di Dirac `e anche nota come impulso di ordine 1 o δ (1) (t). Integrando rispetto a t ⇒ δ (0) (t) = 1(t) gradino unitario; se si integra ancora ⇒ δ (−1) (t) = t · 1(t) (funzione a rampa, continua) δ (−1) (t) 1 45◦
−3
−2
−1
0
1
2
3
t
Se invece si deriva δ (1) (t) rispetto a t ⇒ δ (2) (t) (doppietto, con discontinuit`a di terza specie nell’origine).
δ (2) (t)
−2
−1
1
2
t
2. Zt3
+
δ(t − t2 ) · f (t)dt
t1
| {z } integrale di convoluzione
=
Zt2
δ(t−t2 ) · f (t)dt = f (t2 )
∀t2 ∈ (t1 , t3 )
t− 2
3. Impulso di tensione in t = t0 : +
v(t) = φ0 · δ(t − t0 ) ⇐⇒ φ0 =
Zt0
v(t)dt
t− 0
φ0 : area dell’impulso di tensione (ha le dimensioni di un flusso [V · s]) Marco Storace–Teoria dei Circuiti
111
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
4. Impulso di corrente in t = t0 : +
i(t) = q0 · δ(t − t0 ) ⇒ q0 =
Zt0
i(t)dt
t− 0
q0 : area dell’impulso di corrente (ha le dimensioni di una carica [A · s]) 5. Se si ha un’equazione differenziale lineare non omogenea del tipo: dn x dˆ u dm uˆ dx a0 x(t) + a1 + · · · + an n = b0 uˆ(t) + b1 + · · · + bm m dt dt dt dt Ogni volta che si deriva ⇒ si aumenta di 1 l’ordine di una eventuale discontinuit`a ⇒ affinch´e l’equazione abbia senso, i termini con grado di derivazione pi` u elevato per l’ingresso noto uˆ(t) e per la variabile m n incognita x(t) (nell’esempio bm ddtmuˆ e an ddtnx , rispettivamente) devono avere lo stesso grado di discontinuit`a. Esempio: a0 x(t) + a1
dx = b0 δ(t) dt
L’ingresso `e un impulso e non `e derivato ⇒ ⇒ x(t) deve essere una funzione a gradino.
6.3
dx dt
deve essere un impulso
Modello equivalente di Norton di un condensatore carico
Bisogna esplicitare i(t) in funzione di v(t) ⇒ si deriva l’equazione (6.4) a pagina 109: dv 1 dv = i(t) + v0 · δ(t − t0 ) ⇐⇒ i(t) = C − Cv0 · δ(t − t0 ) dt C dt |{z}
(6.8)
q0
⇒ il modello `e:
q0 δ(t − t0 )
112
i(t) C dv dt
C
v(t)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
6.4
Induttore
L’induttore `e un bipolo la cui rappresentazione grafica richiama la struttura dell’induttore fisico, costituito da un avvolgimento di filo conduttore attorno a un nucleo di materiale ferromagnetico. i i L
v
v
Gli estremi del filo costituiscono i terminali fisici dell’induttore. Equazione descrittiva: φ(t) = L · i(t) `e il flusso magnetico generato nel materiale ferromagnetico da una corrente nel filo. L `e un parametro detto ): induttanza. Derivando (v = dφ dt v(t) = L ·
di dt
(→ componente dinamico, con memoria)
(6.9)
V ·s Wb = =H (Henry) (6.10) A A Tipicamente L = `e dell’ordine dei µH o dei mH. In regime stazionario i `e costante ⇒ v(t) = 0 ⇒ l’induttore equivale a un corto circuito. L’induttore `e un componente lineare e reciproco (la dimostrazione della reciprocit`a non `e banale, come per il condensatore) e ammette base corrente (non base tensione). Modelli equivalenti di un induttore carico? i(t) i(t) L [L] =
i0 1(t − t0 )
L
v(t)
φ0 δ(t − t0 )
Modello equivalente di Norton (´e il pi´ u usato)
6.5
v(t)
Modello equivalente di Th´evenin
Energia
Potenza assorbita da condensatore e induttore: Marco Storace–Teoria dei Circuiti
113
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
p(t) = v(t)i(t) = Cv
dv dt
(6.11)
p(t) = v(t)i(t) = Li
di dt
(6.12)
⇒ l’energia assorbita tra t0 e t `e ∆w =
Rt
1 C 2
(v 2 (t) − v 2 (t0 ))
p(τ )dτ =
t0
1 L (i2 (t) 2
− i2 (t0 ))
Il condensatore e l’induttore sono componenti conservativi : conservano l’energia assorbita e possono restituirla in un secondo momento (non la dissipano). Vediamo perch`e. Supponiamo che nel tempo la tensione abbia una andamento qualsiasi: v(t)
b b
tA
b
tC
tB
t
1 ∆w = C · v 2 (tB ) − v 2 (tA ) = 0 [tA ,tB ] 2
(6.13)
Questo non vuol dire che il condensatore non abbia assorbito energia in [tA , tB ]. Semplicemente il bilancio `e pari: In [tA , tC ] il componente accumula energia: 1 ∆w = C · v 2 (tC ) − v 2 (tA ) > 0 [tA ,tC ] 2
In [tC , tB ] esso restituisce l’energia accumulata: 1 ∆w = C · v 2 (tB ) − v 2 (tC ) < 0 [tC ,tB ] 2
v(tC ) > v(tA )
(6.14)
(6.15)
v(tB ) < v(tC )
Il bilancio complessivo nullo. Quando v = 0 ⇒ energia nulla e condensatore (induttore) scarico. 114
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
In t0 = −∞ si suppone generalmente che i componenti siano scarichi, per cui: Zt p(τ )dτ ≥ 0 (6.16) −∞
⇒ componenti passivi (possono restituire solo l’energia assorbita, ma non ne producono di per s´e).
6.6
Collegamenti in serie e in parallelo di condensatori e induttori (scarichi) i(t) i1
v(t)
i2
C1
v1
v2
i L1
L2
v1
v2
i
C1
C2
⇐⇒
i
v
C1 + C2
v ⇐⇒
i L1 + L2
v ⇐⇒
C2
i C1 C2 C1 +C2
i(t) i1 v(t)
i2 L1
i L2
⇐⇒
v
L1 L2 L1 +L2
Verificare per esercizio. Nel caso di condizioni iniziali non nulle? Basta usare il modello equivalente appropriato. Marco Storace–Teoria dei Circuiti
115
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
6.7
Stato
Lo “stato” di una rete elettrica in un dato istante t0 `e l’insieme delle informazioni che riassumono tutta la storia della rete antecedente a t0 . Noti tutti gli ingressi (impressivi) da t0 in poi e noto lo stato in t0 ⇒ `e determinabile lo stato ∀t > t0 . DEFINIZIONE: dato un circuito, il suo stato in un certo istante (iniziale) t0 `e l’insieme delle condizioni iniziali indipendenti che il sistema pu`o avere. Note le condizioni iniziali e gli ingressi per t > t0 , possiamo determinare lo stato ∀t > t0 . Le variabili della rete elettrica cui si riferiscono le condizioni inziali indipendenti si dicono variabili di stato. Propriet`a: qualunque variabile non di stato della rete pu`o essere espressa algebricamente in termini delle variabili di stato e degli ingressi (pi` u loro eventuali derivate) ⇒ per risolvere un circuito, basta determinarne lo stato. L’analisi pu`o essere dunque semplificata separandola in due fasi distinte: determinazione dello stato (risolvendo equazioni differenziali) e determinazione di tutto il resto (risolvendo equazioni algebriche). Esempi: • circuito adinamico (in cui sono poste in evidenza le sorgenti impressive, cio`e gli ingressi) +
Circuito adinamico
+ Dati gli ingressi ⇒ tutto `e determinato in ogni istante ⇒ rete priva di stato •
a(t)
116
C
v(t)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
dv 1 a(t) = C ⇐⇒ v(t) = v(t0 ) + dt C
Zt
a(τ )dτ
(6.17)
t0
v(t0 ) `e la condizione iniziale necessaria per risolvere ⇒ v(t) `e una variabile di stato. Tipicamente si specificano, come condizioni iniziali, le tensioni sui condensatori e le correnti negli induttori. In generale, per`o, tali variabili sono solo candidate a diventare variabili di stato, perch´e non `e detto che siano indipendenti. Esempi tipici (casi “patologici”):
+
maglie CE
cocicli LA
In tutti questi casi esistono vincoli algebrici tra le candidate ⇒ una di esse non pu`o essere variabile di stato.
6.8
Soluzione generale dei circuiti dinamici del primo ordine
Intendiamo studiare l’insieme delle soluzioni di un generico circuito contenente un solo componente dinamico o, meglio ancora, dotato di una sola variabile di stato ⇒ pu`o contenere un condensatore la cui tensione `e effettivamente variabile di stato, o un induttore la cui corrente `e effettivamente variabile di stato, oppure N variabili candidate a diventare variabili di stato e N − 1 relazioni algebriche indipendenti che le legano. Supponiamo per il momento di avere a che fare con circuiti che contengano un solo condensatore o induttore e una variabile di stato (la candidata `e variabile di stato). Per esaminare in modo molto generale questi circuiti, conviene suddividerli in due bipoli complementari, il primo costituito da tutti i componenti adinamici (coincide con il circuito di partenza una volta rimosso il bipolo dinamico) e il secondo dal bipolo dinamico (condensatore o induttore) ⇒ si parla di circuiti RC e RL, rispettivamente. Il bipolo adinamico pu`o essere rappresentato mediante il corrispondente modello equivalente di Th´evenin e/o Norton: Marco Storace–Teoria dei Circuiti
117
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
Th´evenin (se esiste base corrente) ⇒ v(t) = eT H (t) + RT H i(t) Norton (se esiste base tensione) ⇒ i(t) = aN R (t) + GN R v(t) Per distinguere i contributi di ciascun generatore indipendente interno al bipolo adinamico (il che risulta conveniente per poter applicare il principio di sovrapposizione), possiamo esprimere eT H (t) e aN R (t) nel modo seguente: eT H (t) =
p X
eT Hk (t) =
k=1
aN R (t) =
p X
p X
bk uˆk (t)
(6.18)
bk uˆk (t)
(6.19)
k=1 p
aN Rk (t) =
k=1
X k=1
Ciascun termine nella sommatoria rappresenta il contributo al modello equivalente di un solo generatore indipendente uˆk (t) interno al bipolo adinamico. Poich´e, come anticipato parlando delle variabili di stato, tutte le variabili elettriche del circuito si possono ottenere algebricamente una volta note le variabili di stato (vedremo meglio come), conviene costruire prima di tutto l’equazione (differenziale) la cui incognita `e proprio la variabile di stato. Vediamo come (si omettono i pedici TH e NR). • Modello controllato dalla variabile di stato a) Condensatore → v ⇒ Norton: iR R
a(t)
C
i
a(t) + iR + i = 0 iR = Rv i = C dv dt
v
(6.20)
dv v + = −a(t) (6.21) dt R Questa si dice equazione di stato o relazione ingresso/uscita [a(t) ingresso; v(t) uscita] per la variabile di stato v(t) Forma canonica (isoliamo dv al primo membro): dt ⇒C
dv v a(t) =− − dt RC C 118
(6.22)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
b) Induttore → i ⇒ Th´evenin:
vr R
+ e(t)
i L
v
e(t) = vR + v vR = Ri di v = L dt
(6.23)
di + Ri = e(t) (6.24) dt Questa equazione si dice equazione di stato o relazione ingresso/uscita [e(t) ingresso; i(t) uscita] per la variabile di stato i(t). di Forma canonica (isoliamo dt ): ⇒L
R e(t) di =− i+ dt L L
(6.25)
• Modello controllato dalla variabile non di stato R + e(t)
i
v
a(t)
R
i L
v
Verificare per esercizio che le equazioni di stato in forma canonica sono dv v e(t) =− + dt RC RC
e
di R R = − i − a(t) dt L L
La struttura generale dell’equazione da risolvere `e dunque: p X dx = x˙ = ax(t) + bk uˆk (t) dt k=1
(6.26)
x(t) `e la variabile di stato; uˆk (t) sono gli ingressi (sorgenti indipendenti). Facendo il bilancio delle discontinuit`a, si vede subito che la variabile di stato `e meno discontinua degli ingressi (o meglio, di quello pi` u discontinuo). Soluzione dell’equazione? Si pu`o ragionare in due modi: Marco Storace–Teoria dei Circuiti
119
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
1. Integriamo l’equazione tra t0 e t, operando un cambio di variabili: derivo
x(t) = ea(t−t0 ) x˜(t) =⇒ x(t) ˙ = aea(t−t0 ) x˜(t) + ea(t−t0 ) x˜˙ (t) Sostituendo nell’equazione da risolvere, si ottiene: p X a(t−t0 ) ˙ a˜ x + x˜ = ae x˜(t) + bk uˆk (t)
a(t−t0 )
e
k=1
⇐⇒ x˜˙ = e−a(t−t0 ) Ora integriamo tra t0 e t: x˜(t) − x˜(t0 ) =
p X
bk
k=1
Zt
p X
bk uˆk (t)
k=1
e−a(τ −t0 ) uˆk (τ )dτ
t0
Infine ritorniamo a x(t): a(t−t0 )
x(t) = e |
x(t ) + {z 0} α
p X
at
bk e
k=1
Zt
e−aτ uˆk (τ )dτ
t0
|
{z β
}
Il termine α dipende solo da come `e fatto il circuito (tramite il coefficiente a) e dalla condizione iniziale x(t0 ) della variabile di stato. Si dice risposta a ingresso nullo (ZIR: Zero Input Response). Il termine β dipende solo da come `e fatto il circuito (tramite i coefficienti a e b) e dagli ingressi. Non dipende dallo stato iniziale. Si dice risposta nello stato zero (ZSR: Zero State Response). Per ogni possibile stato iniziale x(t0 ) si ha una e una sola soluzione. 2. Un modo molto pi` u adeguato ai circuiti consiste nel risolvere l’equazione di stato sfruttando il principio di sovrapposizione: x(t) = xOA (t) +
p X
xpk (t)
k=1
xOA (t) `e la cosiddetta soluzione omogenea associata (si ottiene passivando tutti gli ingressi). 120
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
I termini xpk sono detti integrali particolari (ciascuno corrisponde a un ingresso quando gli altri sono passivati). Cominciamo a vedere come si ricava la soluzione omogenea associata. L’equazione omogenea associata all’equazione di stato si ottiene azzerando (cio`e passivando) tutte le sorgenti impressive (non i generatori pilotati), ossia gli ingressi: x(t) ˙ = ax(t) ⇐⇒ x(t) ˙ − ax(t) = 0 Sostituendo ora teristica:
d(k)x dtk
con λk , si ottiene la cosiddetta equazione caratλ − a = 0 ⇐⇒ λ = a
La soluzione omogenea associata `e: xOA (t) = Aeλ(t−t0 )
risposta transitoria
La costante A si ricava alla fine, una volta ottenuta la soluzione completa x(t), imponendo la condizione iniziale x(t0 ) = x0 ⇒ la risposta transitoria dipende anche dal valore iniziale dell’ingresso, per cui non coincide con la risposta a ingresso nullo del metodo 1. La risposta transitoria di un circuito viene anche detta risposta libera o modo naturale del circuito perch´e non dipende dal tipo di ingresso: `e il modo naturale con cui il circuito “risponde” a qualsiasi sollecitazione esterna. Il parametro λ viene detto frequenza libera del circuito e determina la stabilit`a: ` semplice ` assoluta stabilita ` stabilita instabilita xOA (t) A>0
xOA (t)
xOA (t)
b
A>0 b
A>0 t A<0
t A<0 A<0
b
λ<0
b
t b
b
λ=0
λ>0
Affinch´e la risposta transitoria possa esaurirsi, occorre che sia λ < 0. In tal caso, a risposta transitoria esaurita, si dice che il circuito raggiunge un regime. Il tipo di regime dipende dal tipo di ingresso, 1 come vedremo. La quantit`a τ = |λ| viene detta costante di tempo del circuito. Graficamente: Marco Storace–Teoria dei Circuiti
121
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
xOA (t)
τ
t
N.B.: la risposta libera (transitoria) pu`o considerarsi esaurita (nel caso λ < 0) dopo circa 5τ ⇒ la costante di tempo fornisce una misura dei tempi di reazione del circuito a prescindere dagli ingressi. Vediamo ora come si ricavano gli integrali particolari xpk (t) dovuti al k-esimo ingresso uˆk (t) per alcuni tipi significativi di ingresso.
6.8.1
Ingresso costante
Ci riduciamo al caso di un solo ingresso costante (mettiamo tutti gli altri a zero per il principio di sovrapposizione). x(t) ˙ = ax(t) + bˆ u
, con uˆ costante
(6.27)
L’integrale particolare deve soddisfare questa equazione. Per trovarlo, ci basiamo su un criterio di similarit` a : visto che il sistema `e lineare, ci aspettiamo che la soluzione sia simile all’ingresso che la determina ⇒ proviamo a supporre che anche l’integrale particolare xp (t) sia una costante: xp (t) = K ⇒ sostituiamo nella (6.27) e ricaviamo K: b (purch´e a 6= 0) 0 = aK + bˆ u ⇐⇒ K = − uˆ a ⇒ x(t) = Aeλ(t−t0 ) + K
(6.28) (6.29)
Ora ricaviamo A sfruttando l’informazione sulla condizione iniziale:
122
b x(t0 ) = A + K ⇐⇒ A = x(t0 ) − K = x(t0 ) + uˆ a b b ⇒ x(t) = x(t0 ) + uˆ eλ(t−t0 ) − uˆ = a a |{z} | {z } risposta transitoria integrale particolare b = x(t0 )eλ(t−t0 ) + uˆ eλ(t−t0 ) − 1 | {z } |a {z } ZIR ZSR
(6.30) (6.31)
(6.32)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
Se il circuito `e assolutamente stabile, allora l’integrale particolare si dice risposta a regime. Possiamo anche ragionare in modo diverso. L’integrale particolare indotto da un ingresso costante `e, come visto, una costante. Ma allora una volta esaurita la risposta transitoria, ossia in condizioni di regime, tutte le variabili del circuito (di stato o ricavabili algebricamente da quelle di stato) sono costanti ⇒ dtd = 0 (regime stazionario) ⇒ posso risolvere un circuito equivalente (adinamico) in cui il condensatore `e sostituito da un circuito aperto e l’induttore da un corto circuito. Esempio 6.8.1. Circuito con ingresso costante. E−v +
R
E
i
v
dv E −v = (6.33) dt R dv v E ⇐⇒ + = (6.34) dt RC RC 1 <0 ⇒λ=− RC (6.35) C
(⇒ circuito assolutamente stabile) Integrale particolare: vp (t) = K ⇒
K ⇐⇒ K = E RC
(6.36)
i≡0 vp (t) = E
(6.37) (6.38)
Oppure: regime stazionario ⇒ E−v + E
6.8.2
R i vp (t)
Ingresso a gradino
In questo caso l’analisi del circuito viene spezzata in due parti: una prima parte con ingresso costante nullo e una seconda parte con ingresso costante non nullo e condizioni inziali calcolate sulla base della prima analisi. Esempio 6.8.2. Circuito con ingresso a gradino. Marco Storace–Teoria dei Circuiti
123
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
E−v R
+ e(t)
e(t) = E · 1(t) dv v e(t) + = dt RC RC
v(t)
C
(6.39) (6.40)
v(t) = vOA (t) + vp (t)
(6.41)
λt
(6.42)
vOA (t) = Ae
Eq. caratteristica: λ + ⇐⇒ λ = −
1 RC
1 =0 RC
(6.43)
(→ costante di tempo RC)
(6.44)
• Soluzione per t < 0
Calcoliamo l’integrale particolare e(t) = 0 e regime stazionario ⇒ R vp (t)
⇒ vp (t) = 0
(6.45) t0 →−∞
z }| { ⇒ v(t) = v(−∞) e − t0 ) | {z } λ (t
=A
(6.46)
Dunque, in 0− la tensione `e nulla: v(0− ) = 0 • Soluzione per t ≥ 0
Integrale particolare: e(t) = E e regime stazionario ⇒ R + E
vp (t) ≡ E
⇒ v(t) = A′ eλt + E
(6.47)
Per ricavare A′ serve la condizione iniziale, in t = 0+ . Esaminiamo il bilancio delle discontinuit`a: dv v e(t) + = dt RC RC 124
(6.48)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
e(t) ha un gradino a cavallo dell’origine ⇒ anche `e continua per t = 0.
dv dt
`e un gradino ⇒ v(t)
⇒ v(0+ ) = v(0− ) = 0 ⇒ v(0+ ) = A′ + E = 0 ⇐⇒ A′ = −E t ⇒ v(t) = E 1 − e− RC
(6.49) (6.50) (6.51)
• Soluzione complessiva t v(t) = E 1 − e− RC · 1(t)
6.8.3
(6.52)
Ingresso impulsivo
In questo caso l’unica difficolt`a consiste nel calcolo della condizione iniziale. Esempio 6.8.3. Circuito con ingresso impulsivo. + e(t)
R C
e(t) = Φ0 δ(t)
v(t)
(6.53)
La risposta transitoria non cambia rispetto a prima (non dipende dal tipo di ingresso). • Soluzione per t < 0: integrale particolare e(t): t →−∞
z 0 }| { t<0 e(t) ≡ 0 ⇒ vp (t) = 0 ⇒ v(t) = v(−∞)eλ (t − t0 ) ⇒ v(0− ) = 0
(6.54) (6.55)
• Soluzione per t > 0: integrale particolare e(t): e(t) ≡ 0 ⇒ vp (t) = 0
⇒ v(t) = Aeλt
(6.56) con A = v(0+ )
(6.57)
Bilancio delle discontinuit`a: dv v e(t) + = dt RC RC Marco Storace–Teoria dei Circuiti
(6.58) 125
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
e(t) `e un impulso ⇒ lo `e anche
dv dt
⇒ v(t) `e un gradino.
⇒ v(0+ ) 6= v(0− )
(6.59)
Integriamo l’equazione di stato tra 0− e 0+ : Z0+ Z0+ dv v Φ0 Φ0 dt + dt = δ(t) dt ⇒ v(0+ ) = dt RC RC RC − 0− 0− | {z } 0| {z } | {z } Z0+
v(0+ )−v(0− )
=0
(6.60)
=1
• Soluzione complessiva:
v(t) =
6.8.4
Φ0 − t e RC · 1(t) RC
(6.61)
Ingresso sinusoidale x(t) ˙ = ax(t) + bˆ u(t)
uˆ(t) = U cos ωt
(6.62)
Ci aspettiamo una soluzione particolare simile all’ingresso per il principio di similarit`a ⇒ l’integrale particolare sar`a una sinusoide con la stessa pulsazione ω, ma in generale con fase differente: xp (t) = k1 cos ωt + k2 sin ωt
(6.63)
Sostituendo nell’equazione di stato ricaviamo k1 e k2 : −k1 ω sin ωt + k2 ω cos ωt = ak1 cos ωt + ak2 sin ωt + bU cos ωt ⇐⇒
k2 ω = ak1 + bU −k1 ω = ak2
(6.64)
(6.65)
⇒ ottenendo k1 e k2 . Come vedremo prossimamente, si pu`o anche ragionare in modo diverso (regime sinusoidale permanente e fasori).
6.8.5
Circuiti con interruttori
L’interruttore ideale `e un componente tempo-variante:
126
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
i t=0
v Equazione costitutiva: (circuito aperto) i = 0 per t < 0 v = 0 per t ≥ 0
i t=0
v Equazione costitutiva: (corto circuito) v = 0 per t < 0 i = 0 per t ≥ 0
Per risolvere circuiti contenenti interruttori ideali, si spezza nuovamente l’analisi in due: circuito prima della commutazione ⇒ condizioni immediatamente prima della commutazione ⇒ circuito dopo la commutazione. Il problema fondamentale sta nel capire che cosa cambia durante la commutazione del tasto. Esempio 6.8.4. Circuito con interruttore t=0 R
C
i
v(0− ) = V0
v
(6.66)
Per t < 0 tutto resta com’`e (i = 0) Dopo la commutazione (per t ≥ 0) si ha: +
v′ R
v(t)
R −V0 · 1(t)
+ V0 · 1(t)
C
v′
Riprendendo l’esempio 6.8.2, ricaviamo immediatamente t v ′ (t) = −V0 1 − e− RC ·
(6.67) t
⇒ v(t) = v ′ + V0 = V0 e− RC t≥0
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
(6.68) 127
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
v(t) V0 b
t τ = RC Ritorniamo a quanto detto all’inizio del paragrafo 6.8 a pagina 117 e vediamo che cosa cambia se il numero delle candidate `e diverso da quello delle variabili di stato. Se nel circuito abbiamo N candidate e N − 1 vincoli algebrici, nell’equazione di stato compaiono anche derivate degli ingressi: x(t) ˙ = ax(t) + b1 uˆ(t) + b2 uˆ˙ (t) · · ·
(6.69)
Quindi non `e pi` u vero che la variabile di stato `e pi` u continua dell’ingresso, in questi casi, perch´e x˙ va a bilanciare (in termini di discontinuit`a) il termine di derivata massima di uˆ. Per il resto si procede come visto (le derivate di uˆ vengono interpretate come ingressi a s´e stanti, che avranno un proprio integrale particolare). Esempio 6.8.5. v2
v1 i0 −v1
E · 1(t) + A
dv2 C2 C2 dt
v −nC1 dvdt1 − nR1
C1
C1 dvdt1
R −
n:1
v1 n
KVL (anello esterno): v1 n ⇒ due candidate, ma una sola variabile di stato. KCL (nodo A): dv2 dv1 v1 C2 = −nC1 − dt dt nR ma v1 v2 = − E · 1(t) n C2 dv1 dv1 v1 ⇒ − C2 E · δ(t) + nC1 + =0 n dt dt nR C2 dv1 v1 ⇐⇒ + nC1 + = C2 E · δ(t) n dt nR v2 + E · 1(t) =
128
(6.70)
(6.71) (6.72) (6.73) (6.74)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
Questa `e l’equazione di stato. Dal bilancio delle discontinuit`a si deduce che v1 ha un gradino tra 0− e 0+ . L’ingresso vero (E · 1(t)) compare derivato, nell’equazione di stato ⇒ la variabile di stato ha lo stesso grado di discontinuit`a dell’ingresso. Frequenza libera: λ=−
n 1 1 =− 2 nR C2 + n C1 R(C2 + n2 C1 )
v1 (0+ )? Integriamo l’equazione di stato tra 0− e 0+ : C 2 + − v1 (0 ) − v1 (0 ) + nC1 + 0 = C2 E | {z } n
(6.75)
(6.76)
=0
v1 (0+ ) =
nC2 E C2 + n2 C1
(6.77)
v1 (t) per t > 0: v1 (t) = vOA (t) + vp (t)
(6.78)
vp (t) `e l’integrale particolare dovuto all’“ingresso” C2 Eδ(t) (secondo membro dell’equazione di stato) ⇒ `e nullo (δ(t) ≡ 0 per t > 0) ⇒ v1 (t) = vOA (t) = Aeλt nC2 E v1 (0+ ) = A = C2 + n2 C1 nC2 E ⇒ v1 (t) = eλt C2 + n2 C1
(6.79) (6.80) (6.81)
In effetti l’ingresso E · 1(t) tiene conto della condizione iniziale su C2 : v2 v2 E · 1(t) con v2 (0− ) = 0 ⇐⇒ con v(0− ) = E ⇒ tutto va come se non ci fossero ingressi effettivi e i condensatori si scaricassero sulla parte resistiva del circuito.
6.8.6
Variabili non di stato
Finora ci siamo concentrati sulle variabili di stato, o meglio sulle candidate. Spesso interessa conoscere anche altre grandezze del circuito, cio`e tensioni e correnti “nascoste” nel bipolo adinamico. Per ottenerle, possiamo ragionare cos`ı: 1. risolviamo il circuito rispetto alla variabile di stato Marco Storace–Teoria dei Circuiti
129
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
2. nel circuito originario, sostituiamo l’unico bipolo dinamico con la corrispondente sorgente impressiva, in accordo con il teorema di sostituzione. 3. risolviamo il circuito adinamico cos`ı ottenuto passo 2): applichiamo il passo 1): circuito principio di sovrapposizione dinamico da risolvere Bip. adin.
Bip. adin.
v
C
⇒
v(t)
Bip. adin.
⇒
i(t)
Bip. adin.
i L
+ v(t)
i(t)
passo 3) ⇒ ricaviamo le variabili non di stato risolvendo un circuito adinamico. Applicando il principio di sovrapposizione, la generica variabile (uscita) del circuito pu`o essere espressa cos`ı (con x(t) indichiamo v(t) o i(t), a seconda dei casi): y(t) = kx(t) + d1 uˆ1 (t) + d2 uˆ2 (t) + · · · + dp uˆp (t)
(6.82)
In termini vettoriali, si ha: y(t) = kx(t) + Dˆ u(t)
(6.83)
Questa `e un’equazione puramente algebrica detta equazione di uscita. Nota: se le candidate sono variabili di stato effettive, mentre le variabili di stato sono pi` u continue degli ingressi, le altre variabili possono avere lo stesso grado di discontinuit`a dell’ingresso pi` u discontinuo (basta vedere l’equazione (6.82)).
6.9
Induttori accoppiati
Tra i doppi bipoli dinamici e conservativi sono molto importanti gli induttori accoppiati (modello idealizzato di componenti fisici molto diffusi; p.es. il trasformatore reale). 130
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
i1 v1
i2
M L1
i1 v2
L2
i2
M L1
L2
v1
v2
Equazioni descrittive? Φ1 (t) L1 M i1 (t) = Φ2 (t) M L2 i2 (t)
(6.84)
L1 si dice induttanza primaria, L2 secondaria ed M induttanza mutua (sono tutte espresse in Henry).
i1
i2 Flusso autoconcatenato (dovuto a i2 ) φ2a (t) = L2 i2 (t)
Concatenamento mutuo del flusso dovuto a i1 φ2m (t) = Mi1 (t) ⇒ Φ2 (t) = Mi1 (t) + L2 i2 (t)
(idem per Φ1 )
(6.85)
L1 ed L2 sono positive. Segno di M: se i pallini nella rappresentazione del componente sono concordi ⇒ M > 0 (altrimenti M < 0). Per avere le equazioni descrittive vere e proprie (in termini di correnti e tensioni), deriviamo:
v1 (t) L1 M didt1 = v2 (t) M L2 didt2
(→ doppio bipolo dinamico)
(6.86)
Se ci sono condizioni iniziali non nulle? Possiamo “scaricare” ciascun induttore come se fosse a s´e stante. N.B.: il modello di Th´evenin (quello meno usato) `e definibile solo invertendo la matrice (⇒ deve avere det 6= 0). Marco Storace–Teoria dei Circuiti
131
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
Energia immagazzinata in [t0 , t]: Zt h i ∆w(t) = v1 (τ )i1 (τ ) + v2 (τ )i2 (τ ) dτ = t0
# Zt " di2 di2 di1 di1 = L1 i1 + L2 i2 + M i1 + i2 dτ = dτ dτ dτ dτ | {z } t0 =
1 1 = L1 i21 + L2 i22 + Mi1 i2 2 2
d(i1 i2 ) dτ
t
t0
Se si suppone che in un istante infintamente remoto gli induttori fossero scarichi, si ottiene 1 2 1 2 L1 i + L2 i + Mi1 i2 = 2 1 2 2 1 L M i1 = [i1 , i2 ] 1 M L2 i2 2
w(t) =
(6.87)
Che cosa succede se in un certo istante t2 si ritorna nelle condizioni che c’erano in t0 ? Si verifica facilmente che l’energia accumulata tra t0 e t2 `e nulla ⇒ componente conservativo (pu`o solo restituire l’energia accumulata, non dissipa). Abbiamo gi`a detto che L1 & L2 ≥ 0. Inoltre, per ragioni fisiche, M 2 potr`a al massimo essere pari a L1 L2 (nel caso in cui i due avvolgimenti siano talmente vicini da poter essere considerati coincidenti) L1 M 2 ⇒ L1 L2 − M ≥ 0 ⇐⇒ det ≥0 (6.88) M L2 Dunque w(t) `e una forma quadratica omogenea semidefinita positiva ⇒ w(t) ≥ 0 ∀t (→ non pu`o generare energia, restituisce solo quella assorbita) ⇒ il componente `e passivo. Si pu`o verificare che gli induttori accoppiati sono un componente reciproco (non banale). Esempio 6.9.1. R i1 L1 132
M
i2 L2
Energia dissipata da R in [0, +∞)? Hp: i1 (0− ) = −i2 (0− ) = I0 .
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
` l’energia inizialmente immagazzinata negli induttori: E 1 1 w = L1 i21 (0− ) + Mi1 (0− )i2 (0− ) + L2 i22 (0− ) = 2 2 1 = (L1 + L2 − 2M) I02 2
6.9.1
(6.89)
Modelli degli induttori (mutuamenti) accoppiati
Per misurare il grado di accoppiamento tra i due induttori, si introduce il coefficiente di accoppiamento: p M k=√ Poich´e |M| ≤ L1 L2 , k ∈ [−1, 1] (6.90) L1 L2 • |k| = 1 ⇒ massimo accoppiamento possibile. Da un punto di vista fisico, ci`o significa che i due avvolgimenti sono cos`ı vicini che il flusso magnetico generato dalla corrente di uno qualsiasi di essi viene completamente concatenato con l’altro ⇒ ∃ legame algebrico tra le due correnti ⇒ non sono entrambe variabili di stato. Questo pu`o avvenire solo se i due avvolgimenti sono coincidenti (condizione limite, non raggiungibile nella pratica, detta accoppiamento stretto o critico).
• k = 0 ⇒ accoppiamento nullo: i due induttori non interagiscono ⇒ il doppio bipolo degenera in due induttori disaccoppiati, in quanto M = 0. Da un punto di vista fisico ci`o si ottiene o con avvolgimenti sufficientemente lontani o con flussi concatenati che si elidono reciprocamente (p.es., con avvolgimenti vicini, ma con assi ortogonali). Introduciamo un primo modello equivalente molto usato: i1 Ls v1
n:1
i2
i1 v2 ⇐⇒ v1
Lp
M
L1
i2 L2
v2
Per identificare i parametri, ricaviamo le equazioni descrittive del dueporte: Ls didt1
i2 n
i1 Ls v1
Lp
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
nv2
n:1
i2 v2
133
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
v1 = Ls didt1 + Lp didt1 + n1 didt2 v2 = Lnp didt1 + n1 didt2
(6.91)
Ossia, ordinandole in modo da confrontarle con quelle degli induttori accoppiati: v1 = (Ls + Lp ) didt1 + Lnp didt2 (6.92) v2 = Lnp didt1 + Ln2p didt2 Dal confronto si deduce facilmente che: L1 = Ls + Lp L2 = Ln2p M = Lnp
(6.93)
Relazioni inverse (ricavabili da queste): r L1 n=k L2 2 Lp = k L1 Ls = (1 − k 2 )L1
(6.94) (6.95) (6.96)
Nota: Ls = 0 ⇐⇒ k = ±1 (accoppiamento critico). Questo conferma Lp L1 M Lp che la matrice M L2 = Lp Lnp `e singolare, in tale condizione ⇒ le due n
n2
correnti sono legate da una relazione algebrica (non sono indipendenti) ⇒ non possono essere entrambe variabili di stato (una sola lo `e). Un secondo modello equivalente (valido solo per la configurazione tripolare) `e : Lb i2 i1 La v1
v2
Lc
Identificare i parametri per esercizio:
L1 = La + Lc L2 = Lb + Lc M = Lc 134
(6.97) (6.98) (6.99)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
6.10
Frequenze libere nulle
Da unâ&#x20AC;&#x2122;ispezione diretta del circuito `e possibile valutare se esistono frequenze libere nulle. Basta vedere se esistono le seguenti configurazioni circuitali:
In entrambi i casi câ&#x20AC;&#x2122;`e un legame algebrico tra derivate delle variabili di stato â&#x2021;&#x2019; ho una frequenza libera nulla per ciascuna configurazione indipendente di questo tipo. N.B.: non bisogna confondere queste configurazioni con maglie CE e cocicli LA, in cui si ha un legame algebrico tra candidate â&#x2021;&#x2019; una variabile di stato in meno. Esempio 6.10.1. R
a(t)
C1 L
C2
e(t)
6.11
1 maglia LE 1 taglio CA
â&#x2021;&#x2019; 2 f. l. nulle
1 La terza frequenza libera `e â&#x2C6;&#x2019; RC (si trova passivando il circuito).
Soluzione generale dei circuiti dinamici di ordine superiore al primo (cenni)
Anche in questo caso si pu`o ragionare in termini di componente complementare. Esiste una dimostrazione che generalizza quella vista per circuiti del primo ordine: il metodo parte dalla reinterpretazione del circuito dinamico come connessione di N tra condensatori e induttori e del componente complementare, ossia di un N-porte adinamico contenente tutti e soli i componenti adinamici del circuito. Non consideriamo esplicitamente la presenza di induttori mutuamente accoppiati: supponiamo di sostituirli con il loro modello equivalente (nel caso di accoppiamento critico â&#x2021;&#x2019; Ls = 0 â&#x2021;&#x2019; câ&#x20AC;&#x2122;`e una candidata di meno). In questo modo, si dimostra quanto segue. Marco Storaceâ&#x20AC;&#x201C;Teoria dei Circuiti
135
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
• Se l’N-porte adinamico ammette la base di definizione formata da tutte e sole le candidate (tensioni sui condensatori di porta e correnti negli induttori di porta), allora l’equazione di stato del sistema (in forma canonica) `e: x(t) ˙ = Ax(t) + B uˆ(t)
(6.100)
con x vettore di stato (con N componenti), uˆ vettore degli ingressi (con p componenti), A matrice di taglia N × N e B matrice di taglia N × p. • Se l’N-porte adinamico NON ammette la base di definizione formata da tutte e sole le candidate, vuol dire che esistono legami algebrici tra almeno due delle candidate ⇒ il circuito si dice degenere o patologico e il numero delle variabili di stato si riduce rispetto a quello delle candidate. In questi casi, l’equazione di stato del sistema (in forma canonica) `e: x(t) ˙ = Ax(t) + B0 uˆ(t) + B1 uˆ˙ + B2 u¨ˆ(t) + . . .
(6.101)
con x vettore di stato (con N ′ (< N) componenti), uˆ vettore degli ingressi (con p componenti), A matrice di taglia N ′ × N ′ e Bk matrici di taglia N ′ × p. Se uˆ(t) `e nullo ⇒ il circuito si dice autonomo (altrimenti → non autonomo). Esempio 6.11.1. Av + v
a(t)
c dv dt C
v R1
v
a(t) = Q0 δ(t) i(0− ) = 0 136
R1
R2
v(A+1) R2
ia Av
v(0− ) = E A 6= −1
i L
(6.102) (6.103)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
• Equazioni di stato? a(t) = C
v v(A + 1) dv + + dt R1 R | {z 2 } def
=
(6.104)
v Req
di L = −Av dvdt a(t) 1 0 − v R C eq + C ⇐⇒ dt di = A i 0 0 − dt L
(6.105) (6.106)
La seconda colonna `e nulla ⇒ ∃ f.l. nulla. • Relazione ingresso/uscita per le due variabili di stato? C
v dv + = a(t) dt Req
(6.107)
` un’equazione del primo ordine ⇒ v dipende da una sola delle due E frequenze libere del circuito. L di A dt dv L d2 i =− dt A dt2 v=−
(6.108) (6.109)
⇒ sostituisco:
LC d2 i L di − − = a(t) (6.110) 2 A dt RA dt Equazione del secondo ordine ⇒ i dipende da entrambe le frequenze libere. • v(0+ )?
dv v C + = Q0 · δ(t) | {z } dt} Req | {z |{z} impulso
impulso
gradino
⇒ v(0+ ) 6= v(0− )
Per ricavare v(0+ ) integro tra 0− e 0+ :
⇒ C v(0+ ) − v(0− ) + 0 = Q0 | {z }
(6.111)
(6.112)
=E
Q0 +E ⇐⇒ v(0+ ) = C Marco Storace–Teoria dei Circuiti
(6.113) 137
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
• i(0+ )? −
LC d2 i L di − = Q0 · δ(t) 2 |A{zdt } |RA {zdt} | {z } impulso
(6.114)
impulso
gradino
⇒ i(t) `e continua ⇒ i(0+ ) = i(0− )
• Frequenze libere del circuito? Le ricavo dalla matrice di stato o dalle relazioni ingresso/uscita. λ1 = 0
(6.115)
λ2 = −
1 CReq
(6.116)
La presenza della frequenza libera nulla non poteva essere dedotta per ispezione perch´e la maglia LE, contiene un generatore di tensione pilotato, non indipendente. • v(t) per t > 0 v(0+ )
z
v(t) = voa + vp (t) = Aeλ2 t + 0 =
}| { Q0 − t E+ e Req C C
(6.117)
• i(t) per t > 0:
Si pu`o risolvere come i(t) = A1 eλ 1 t + A2 eλ2 t + 0, ricavando A1 e A2 sulla di
base di i(0+ ) = i(0− ) = 0 e di dt = −A v(0+ ). L 0+ Oppure:
Av = −L
di dt
A ⇐⇒ i(t) = i(0+ ) − | {z } L =0
A =− L
(6.118) Zt
v(τ ) dτ =
(6.119)
0+
Q0 E+ C
Zt
−R τ C
e
eq
dτ =
+
0 h i A Q0 − t =+ E+ CReq e Req C − 1 L C 138
(6.120) (6.121)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
• Il valore di
C L
per cui iA =costante per t > 0
v(1 + A) −i= (6.122) R2 h i A+1 Q0 Q0 A − t − t = E+ e Req C + E+ Req C 1 − e Req C = R2 C L C (6.123) A+1 C Q0 A Q0 − t = e Req C − AReq E+ + E+ Req C R2 L C L C (6.124)
iA =
iA =costante ⇐⇒ l’espressione tra parentesi quadre si annulla C A+1 = AReq R2 L C A+1 ⇐⇒ = Req L AR2
⇐⇒
6.11.1
(6.125) (6.126)
Altre note sui circuiti di ordine superiore al primo
Equazione di uscita Come nel caso del primo ordine, tutte le variabili non di stato del circuito possono essere individuate a partire dalle variabili di stato e dagli ingressi mediante la cosiddetta equazione di uscita: u(t) y(t) = Cx(t) + Dˆ
(6.127)
Si dimostra applicando il principio di sostituzione, come nel caso del primo ordine. Relazione ingresso/uscita Ogni sistema differenziale di n equazioni scalari del primo ordine contenenti le n variabili di stato nel ruolo di incognite `e equivalente a un’unica equazione scalare differenziale di ordine n (relazione ingresso/uscita) in un’unica grandezza incognita, del tipo (applicando il principio di sovrapposizione ⇒ consideriamo un solo ingresso per volta): dn−1x dn x + a + · · · + a1 x + a0 = n−1 dtn dtn−1 dm uˆ dm−1 uˆ = bm m + bm−1 m−1 + · · · + b1 uˆ + b0 dt dt an
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
(6.128)
139
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
Questa equazione si dice relazione ingresso/uscita per ingresso uˆ e uscita x(t). Bisogna sempre prestare attenzione al bilancio delle discontinuit` a (⇒ contano n e m). Bilancio delle discontinuit` a Dall’equazione di stato valida per casi non patologici = Ax(t) + B uˆ(t) x(t) ˙
(6.129)
si desume che le variabili di stato sono sempre (per casi non patologici) “pi` u continue” degli ingressi, dato che le discontinuit`a devono bilanciarsi e le discontinuit`a su uˆ vengono bilanciate da x: ˙ se per esempio uˆ(t) contiene dei gradini ⇒ li avremo anche su x˙ ⇒ x sar`a analiticamente continua. Nei casi patologici bisogna stare molto attenti (→ valutare il bilancio delle discontinuit` a). Dall’equazione di uscita si desume invece che le variabili non di stato possono essere altrettanto discontinue degli ingressi. Soluzione dell’equazione di stato e stabilit` a del circuito Come nel caso del primo ordine, la soluzione dell’equazione di stato si ricava generalmente come somma della soluzione del sistema omogeneo associato (risposta transitoria) e degli integrali particolari relativi ai singoli ingressi. Inoltre si considera l’equazione differenziale scalare di ordine n in una sola incognita, per non dover introdurre le funzioni di matrice. Dunque avremo sempre a che fare con equazioni differenziali del tipo (6.128) (e con n ≤ 2). Le soluzioni particolari si ricavano in base al principio di similarit`a, come nel caso del primo ordine. La risposta transitoria, in generale, risulta espressa come somma di modi naturali: +··· xi (t) = eλ1 t k1 + k2 t + k3 t2 + · · · + kL tL−1 | {z } modo naturale per la frequenza libera λ1 , di molteplicit`a L (6.130) In questa espressione, sono state indicate con i termini λi le frequenze libere del circuito. Le frequenze libere, in generale, sono numeri complessi. Dunque, se ne ho una sola, come nel caso dei circuiti del primo ordine, essa deve essere reale. Ma se ne ho due o pi` u ⇒ possono esserci frequenze libere complesse e coniugate. 140
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
+
+
+
+
Im
+
+
Re
Se supponiamo che λ1,2 siano complesse coniugate: σt
λ1 , 2 = σ ± jω ±jωt
⇒ e ·e
(6.131)
σt
= e (cos(ωt) ± j sin(ωt))
(6.132)
Se Re{λ1 , 2} = σ < 0 ⇒ questo termine va a 0, nel tempo. Se σ = 0 ⇒ per non avere divergenza, bisogna che sia L = 1 (altrimenti il polinomio fa divergere la soluzione) ⇒ tre tipi di comportamenti possibili: • Un circuito si dice asintoticamente stabile se tutti i suoi modi naturali si esauriscono entro un certo tempo, ossia se tutte le frequenze libere hanno parte reale strettamente negativa:
+
+
+
Im
+
Re
Figura 6.1: Quadro delle frequenze libere per un circuito del quarto ordine asintoticamente stabile. • Un circuito si dice semplicemente stabile se almeno un modo naturale non si esaurisce e nessun modo naturale diverge, ossia nessuna frequenza libera ha parte reale positiva e almeno una ha parte reale Marco Storace–Teoria dei Circuiti
141
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
nulla. Quest’ultima deve essere semplice (cio`e a molteplicit`a 1). Infatti, come gi`a detto, ogni frequenza libera λ con molteplicit`a L determina, nella risposta libera di una variabile di stato, la presenza di un addendo del tipo eλt k1 + k2 t + k3 t2 + · · · + kL tL−1 . Poich´e λ = σ ± jω ⇒ eλt = eσt e±jωt = eσt (cos ωt ± j sin ωt), se esiste la soluzione con il + esiste anche quella con il - (complessa coniugata) ⇒ la soluzione `e reale. Se la frequenza libera ha parte reale σ negativa ⇒ l’esponenziale eσt porta tutto a zero entro un certo tempo. Se σ = 0 (⇒ frequenza libera a parte reale nulla), i termini sinusoidali vengono moltiplicati per il termine polinomiale ⇒ crescono nel tempo, a meno che L non sia pari a 1. Ecco perch´e le frequenze libere a parte reale nulla possono avere al pi´ u molteplicit`a 1, per avere stabilit`a semplice. • Un circuito si dice instabile se almeno un modo naturale diverge, ossia se almeno una frequenza libera ha parte reale positiva. Caso particolare: circuiti del secondo ordine Nel caso di sistemi del secondo ordine, in generale, la risposta libera sar`a del tipo: xOA (t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t
somma di due modi naturali
(6.133)
• λ1 e λ2 sono le frequenze libere del circuito e non dipendono dagli ingressi (→ le possiamo calcolare nel circuito passivato). Sono gli autovalori della matrice di stato A e determinano i modi naturali di evoluzione del circuito. N.B.: Non `e detto che tutte le variabili di stato siano sensibili a tutte le frequenze libere del circuito (caso pi` u ovvio: se la matrice A `e diagonale ⇒ ogni variabile di stato evolve secondo una propria frequenza libera, senza risentire delle altre ⇒ le variabili di stato sono disaccoppiate). • C1 e C2 sono coefficienti costanti che per (n = 2) si ricavano in base alle condizioni iniziali su x e su x˙ (ossia x(0) e x(0)). ˙
142
⇒ x(0) = xOA (0) + xp (0) |{z} | {z } | {z } C1 +C2 nota nota x(0) ˙ = λ1 C1 + λ2 C2 + x˙ p (0) |{z} | {z } nota nota
(6.134) (6.135)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
2 equazioni in 2 incognite ⇒ si risolve. Notare che la risposta libera (→ C1 +C2 ) dipende da xp (0) ⇒ non coincide con la risposta a ingresso nullo. Esempio 6.11.2. v1 A + e(t)
v1 (0− ) = v2 (0− ) = v3 (0− ) = 0 (6.136)
C1 R1 C3
R2
v2
C2
e(t) = f (t) · 1(t),
con f (0+ ) 6= 0 (6.137)
C1 = C2 = C3 = C R1 = R2 = R
B v3
(6.138) (6.139)
Equazioni di stato? Ci sono tre candidate, ma c’`e una maglia CE ⇒ solo due variabili di stato. Assumiamo che siano v1 e v2 . KCL Nodo A → dv3 v1 dv1 C = +C (6.140) dt R1 dt KCL
Nodo B →
C
dv3 dv2 v2 =C + dt dt R2
(6.141)
KV L
Maglia CE →
e(t) = v1 + v2 + v3 ⇐⇒
dv3 de dv1 dv2 = − − dt dt dt dt
(6.142)
Sostituendo la (6.142) nelle prime due ⇒ ricaviamo le equazioni di stato: dv1 dv2 v1 de +C + =C dt dt R dt dv1 dv2 v2 de + 2C + =C C dt dt R dt 2C
dv2 v1 v2 de + − 2 = −C dt R R dt dv2 v1 2 v2 1 de ⇐⇒ = − + dt 3RC 3 RC 3 dt
(6.143)-2(6.144) ⇒ − 3C
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
(6.143) (6.144)
(6.145) (6.146) 143
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
Dalla (6.144): dv2 v2 de 2 v1 dv1 = −2 − + =− + dt dt RC dt 3 RC
4 −1 3
v2 1 de + RC 3 dt
2 1 1 de v˙1 − 3RC 3RC v1 = + 31 1 2 v˙2 − v 2 3RC 3RC 3 dt
(6.147)
(6.148)
N.B.: abbiamo scartato una candidata ⇒ nell’equazione di stato c’`e de . Condt dizioni iniziali? In base al bilancio delle discontinuit`a abbiamo v(0+ ) 6= v(0− ) ⇒ integriamo l’equazione di stato tra 0− e 0+ . Z0+
dv1 dt dt 0− | {z }
2 =− 3RC
Z0+
0−
1 v1 dt + 3RC
Z0+
1 v2 dt + 3
0−
=v1 (0+ )−v1 (0− )
Z0+
de dt dt 0− | {z }
(6.149)
=e(0+ )−e(0− )
Cosa sappiamo su v1 e v2 ? Dalla (6.148) vediamo che abbiamo lo stesso ordine massimo di derivata sullo stato e sull’ingresso ⇒ stesso grado di continuit`a ⇒ al pi` u v1 e v2 possono avere un salto a gradino, a cavallo di 0 R 0+ ⇒ 0− di v1 e v2 `e nullo. 1 ⇒ v1 (0+ ) = f (0+ ) 3 Stesso discorso per la seconda equazione di stato
(6.150)
1 ⇒ v2 (0+ ) = f (0+ ) (6.151) 3
dv Da queste e dalla (6.148) ricaviamo dt1,2 t=0+ . Ora possiamo risolvere, per esempio, rispetto a v1 (t). Dobbiamo eliminare v2 dalla prima delle (6.148). Non abbiamo un’espressione di v2 in termini di v1 , e(t) e loro derivate, ma abbiamo la (6.143), da cui possiamo ricavare dv2 in termini di v1 , v˙ 1 e ingresso ⇒ deriviamo la prima delle (6.148) e poi dt sostituiamo la (6.143): d2 v1 2 dv1 1 dv2 + = 2 dt 3RC dt 3RC |{z} dt
(6.152)
v.(6.143)
d v1 4 dv1 v1 1 de 1 d2 e + + = + dt2 3RC dt 3(RC)2 3RC dt 3 dt2 ⇒ v1 (t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t + v1p (t) 2
⇐⇒
144
(6.153) (6.154)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
Provare a ricavare v1p (t), C1 , C2 , λ1 , λ2 , supponendo f (t) = E (costante) e f (t) = ET · t. Esempio 6.11.3. +
a(t)
αv2
i L n:1
R
v2
C2
a(t) = A 1(−t) + Q0 δ(t)
C1 v1 Circuito a regime per t < 0. Ricavare: 1. relazione ingresso/uscita per la tensione v2
2. frequenze libere, condizione per avere due frequenze libere complesse coniugate λ± = γ ± jΩ ed eventuale condizione di stabilit`a 3. tensione v2 per t < 0 4. condizioni iniziali (in t = 0+ ) necessarie per il calcolo di v2 (t) per t > 0 5. tensione v2 per t > 0 SOLUZIONE 1) Relazione ingresso/uscita per la tensione v2 . Abbiamo 3 candidate. Si nota la presenza di una taglio CA (che coinvolge C1 e a(t)), che corrisponde a una frequenza libera nulla. Prime deduzioni sul circuito:
+
a(t)
αv2
i i−a n
n:1
R
C1 i n
+ a n−1 n
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
a−i
L
di + v2 L dt
C2
v2
a
v1 145
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
Maglia di sinistra: i n−1 di R +a + αv2 + n L + v2 = 0 n n dt
(6.155)
Ma i = C2 dvdt2 , per cui: R dv2 d2 v2 1−n C2 + (α + n)v2 + nLC2 2 = Ra n dt dt n
(6.156)
La relazione ingresso/uscita per la tensione v2 `e quindi: d2 v2 dv2 n2 LC2 2 + RC2 + n(α + n) v2 = (1 − n)R a | {z } dt |{z} dt | {z } | {z } . . . . = T2 =τ =β =r
(6.157)
2) Frequenze libere, condizione per avere due frequenze libere complesse coniugate λ± = γ ± jΩ ed eventuale condizione di stabilit`a L’equazione caratteristica derivata dall’omogenea associata alla relazione ingresso/uscita appena ottenuta `e: T 2 λ2 + τ λ + β = 0
(6.158)
Dunque
p τ 2 − 4βT 2 λ± = (6.159) 2T 2 Per avere frequenze libere complesse coniugate, impongo τ 2 < 4βT 2 , ossia R2 C2 < 4n3 (α + n)L. Per avere stabilit`a, in questa condizione, occorre imporre che la parte reale delle frequenze libere sia negativa, ossia −τ ±
−τ <0 2T 2
(6.160)
Sostituendo i parametri circuitali, questa relazione risulta sempre soddisfatta (dato che R, L > 0). 3) Tensione v2 per t < 0 Per t < 0, a(t) = A e c’`e l’ipotesi di regime (stazionario). Sostituendo nella relazione ingresso/uscita la soluzione (integrale particolare) costante K, si ricava: βK = rA (6.161) da cui: K= 146
rA β
(6.162) Marco Storace–Teoria dei Circuiti
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
Quindi, per t < 0, si ha v2 (t) =
rA = v2 (0− ) β
(6.163)
4) Condizioni iniziali (in t = 0+ ) necessarie per il calcolo di v2 (t) per t>0 La relazione ingresso/uscita `e del secondo ordine, per cui mi serviranno dv2
due condizioni iniziali: v2 (0+ ) e . dt 0+ Dal bilancio delle discontinuit`a nella relazione ingresso/uscita, si ricava che, a cavallo di t = 0, c’`e un impulso sulla derivata seconda, quindi un gradino sulla derivata prima e continuit`a sulla variabile v2 . Questo significa che v2 (0+ ) = v2 (0− ) = rA . β Inoltre, dato che per t < 0, a regime, v2 `e costante, la sua derivata rispetto dv2
= 0. al tempo `e nulla e quindi dt 0−
dv2
Per calcolare , integro tra 0− e 0+ la relazione ingresso/uscita:
dt 0+
dv2
2 dv2
T − = rQ0 (6.164) dt 0+ dt 0−
dv2
rQ0 da cui si ricava = 2
dt 0+ T 5) Tensione v2 per t > 0 L’ingresso per t > 0 `e nullo, per cui non c’`e risposta forzata (l’integrale particolare `e nullo a sua volta). La soluzione per t > 0 `e dunque v2 (t) = K+ eλ+ t + K− eλ− t
(6.165)
con λ± = γ ± jΩ. Sfrutto le condizioni iniziali: rA v2 (0+ ) = K+ + K− = β
dv2
rQ0 = K+ λ + + K− λ − = 2
dt 0+ T
(6.166) (6.167)
Risolvendo il sistema, si ricava
rA r γA Q0 . K+ = +j − 2 = a + jb 2β 2Ω β T ∗ K− = K+ = a − jb Marco Storace–Teoria dei Circuiti
(6.168) (6.169) 147
6. Componenti e circuiti dinamici elementari
Quindi: v2 (t) = K+ eλ+ t + K+∗ eλ+ t = (a + jb)eλ+ t + (a − jb)eλ+ t = (6.170) γt = e [(a + jb)(cos Ωt + j sin Ωt) + (a − jb)(cos Ωt − j sin Ωt)] = (6.171) ∗
∗
= 2eγt [a cos Ωt − b sin Ωt] = r γA Q0 γt rA =e cos Ωt + − 2 sin Ωt β Ω β T
(6.172) (6.173)
ossia la soluzione `e una sinusoide smorzata (γ < 0).
148
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
Capitolo 7 Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa 7.1
Cisoidi
Le cisoidi sono una classe di funzioni reali di argomento reale. La loro definizione richiede per`o di sconfinare dallâ&#x20AC;&#x2122;asse dei numeri reali nel piano dei numeri complessi. Il nome deriva dallâ&#x20AC;&#x2122;acronimo di coseno+i seno. Ciascuna cisoide u(t) `e caratterizzata da una coppia di parametri scalari complessi chiamati fasore e pulsazione complessa: u(t) = UeĎ&#x192;t cos(Ď&#x2030;t + Ď&#x2020;) fasore: pulsazione complessa:
UË&#x2122; = UejĎ&#x2020; s = Ď&#x192; + jĎ&#x2030;
(7.1) (7.2)
â&#x2021;&#x2019; la cisoide pu`o anche essere espressa come: u(t) = Re{UË&#x2122; est } = Re{UeĎ&#x192;t ej(Ď&#x2030;t+Ď&#x2020;) } = UeĎ&#x192;t cos (Ď&#x2030;t + Ď&#x2020;)
(7.3)
Propriet`a:
u1 (t) â&#x2020;&#x201D; (UË&#x2122; , s) u2 (t) â&#x2020;&#x201D; (UË&#x2122; â&#x2C6;&#x2014; , sâ&#x2C6;&#x2014; )
â&#x2021;&#x2019; u1 (t) â&#x2030;Ą u2 (t)
(7.4)
Ë&#x2122; st + UË&#x2122; â&#x2C6;&#x2014; esâ&#x2C6;&#x2014; t ) Altra espressione equivalente: u(t) = 21 (Ue Ë&#x2122; st `e una funzione complessa della variabile Interpretazione geometrica: Ue reale t â&#x2021;&#x2019; la possiamo interpretare come vettore che varia col tempo nel piano dei numeri complessi. Se la coda del vettore `e centrata nellâ&#x20AC;&#x2122;origine, la 149
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
punta del vettore descrive una curva parametrica nel piano complesso, il cui parametro `e il tempo t. In generale, per σ 6= 0 e ω 6= 0, questa curva `e una spirale logaritmica, la cui proiezione sull’asse reale `e proprio la cisoide. ω stabilisce la velocit`a (in rad/sec) del punto che descrive la spirale, mentre σ stabilisce la velocit`a di espansione (σ > 0) o di contrazione (σ < 0) del punto stesso (rispetto all’origine).
Quadro delle cisoidi con s reale (ω = 0): Hp: U > 0 Im{U˙ est }
U˙
Im{U˙ est }
U˙ b
t
Re{U˙ est }
σ < 0, u(t) = Ueσt
U˙ b
Re{U˙ est }
t
u(t)
Re{U˙ est }
u(t)
b
U >0 b
U >0 t U <0
b
σ > 0, u(t) = Ueσt
σ = 0, u(t) = U
u(t) U >0
Im{U˙ est }
t U <0 U <0
b
b
b
t
b
Quadro delle cisoidi con s complessa: Im{U˙ est }
Im{U˙ est }
Im{U˙ est }
U˙ ˙ σt Ue Re{U˙ est }
150
U˙ eσt Re{U˙ est }
Re{U˙ est }
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
u(t) = Ueσt cos(ωt + φ)
u(t) = U cos(ωt + φ)
σ < 0, ω 6= 0
σ = 0, ω 6= 0
u(t)
u(t) = Ueσt cos(ωt + φ) σ > 0, ω 6= 0
u(t)
u(t) U eσt
U eσt
t
7.1.1
t
t
Derivata e integrale delle cisoidi
La derivata di una cisoide u1 (t) con fasore U˙ e pulsazione complessa s `e una cisoide u2 (t) con la stessa pulsazione complessa (→ isofrequenziale) e con ˙ Dimostrazione: fasore sU. u2 (t) =
du1 1 ˙ st ∗ = sU e + s∗ U˙ ∗ es t dt 2
(7.5)
Analoga propriet`a vale per l’integrale di una cisoide: l’integrale di una cisoide u1 (t) con fasore U˙ e pulsazione complessa s `e a sua volta una cisoide ˙ u2 (t) con la stessa pulsazione complessa e con fasore Us : Zt
t0
7.2
U˙ u1 (τ ) dτ = u2 (t) ⇒ | {z } s
(7.6)
↔U˙
Sinusoidi
Tra le cisoidi, si incontrano spesso le sinusoidi, che sono cisoidi con pulsazione immaginaria pura s = jω (σ = 0). Sono le uniche cisoidi periodiche (→ particolarmente importanti) e servono inoltre come base per rappresentare qualunque soluzione periodica mediante serie di Fourier. Nel caso in cui un circuito sia soggetto a ingressi di tipo sinusoidale con frequenza fissa, `e particolarmente utile studiare l’integrale particolare delle soluzioni facendo riferimento ai fasori. Marco Storace–Teoria dei Circuiti
151
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
7.3
Relazioni tra fasori e sinusoidi
Abbiamo visto che la risposta forzata a un ingresso di tipo sinusoidale1 `e ancora una sinusoide con la stessa frequenza della forzante. Dunque, una volta esauritasi la risposta libera del circuito (→ dopo 5τmax , dove τmax `e la massima costante di tempo), tutte le variabili elettriche di un circuito evolvono oscillando sinusoidalmente con la stessa frequenza. Poich´e l’informazione sulla frequenza `e la stessa per tutte le variabili del circuito, in tali condizioni (regime sinusoidale) possiamo condensare le informazioni relative a ogni variabile in due soli parametri: ampiezza e fase ⇒ basta conoscere il fasore. Consideriamo una generica sinusoide: u(t) = U cos(ωt + φ)
(7.7)
U ampiezza (valore massimo); ω pulsazione (ω = 2πf = e T periodo). Associamo l’informazione interessante al fasore:
2π T
U˙ , Uejφ [= U (cos φ + j sin φ)]
con f frequenza
(7.8)
dove U˙ `e il fasore riferito al valore massimo della sinusoide; U `e il modulo ˙ ˙ A volte si usano i fasori riferiti ai valori efficaci ⇒ in tal di U; φ `e fase di U. ˙ = uef f = √U . caso |U| 2 Rappresentazione grafica: ω = Im{s} U sin(φ)
b
U˙
U cos(φ) φ b
σ = Re{s}
Il vettore U˙ ruota nel piano complesso con velocit`a angolare ω (senso antiorario). Come si ritorna a u(t) dato il suo fasore (cio`e come si passa dal dominio dei fasori al dominio del tempo)? 1
supponiamo che ci sia un solo ingresso; se sono di pi` u, basta applicare il principio sovrapposizione
152
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
In generale: n o u(t) = Re U˙ ejωt = Re Uejφ ejωt = Re Uej(ωt+φ) = Re {U[cos(ωt + φ) + j sin(ωt + φ)]} = U cos(ωt + φ)
(7.9)
Caso particolare: π U sin(ωt) = U cos(ωt − ) jωt 2 = Im Ue = Re{
−j π2
jωt
e
Ue | {z }
=−jU ⇒il fasore di un seno ` e imm. puro
jωt (7.10) } = Im Ue
Esiste dunque una corrispondenza biunivoca tra una generica variabile di un circuito in condizioni di regime sinusoidale e un fasore. Interpretazione grafica: la proiezione del vettore U˙ sull’asse reale fornisce l’andamento nel tempo della variabile u(t). u(t) T b
b
b
2π ω
U cos(φ)
(
2π−2φ ω
t
)
ω = Im{s} A U cos(φ) φ b
σ = Re{s}
N.B.: poich´e il coseno `e una funzione pari (→ cos(−α) = cos(α)) Marco Storace–Teoria dei Circuiti
153
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
Im
Im uejφ ω φ
φ
Re ω
Re
uejφ
⇒ possiamo limitarci a vedere cosa succede nel primo caso (assumo pulsazione positiva) Propriet`a: • il fasore associato a
du dt
˙ Dimostrazione: `e jω U.
du = −ωU sin(ωt + φ) dt π = −ωU cos ωt + φ − 2 jφ −j π2 jφ ↔ fasore − ωUe e|{z} = jωUe = jω U˙
(7.11) (7.12) (7.13)
=−j
• Se si rappresentano pi` u fasori sullo stesso diagramma fasoriale: Im U˙ b
φb
U˙ a
φa
Re
Se φa = φb ⇒ U˙ a e U˙ b si dicono in fase. Se φb + π > φa > φb ⇒ U˙ a `e in anticipo rispetto a U˙ b (ricordarsi che la rotazione `e antioraria). 154
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
Im U˙ a
φa φb +π
U˙ b
φb
Re
Se φb − π < φa < φb ⇒ U˙ a `e in ritardo rispetto a U˙ b . Se |φa − φb | = π ⇒ U˙ a e U˙ b sono in quadratura. 2
Se |φa −φb | = π ⇒ U˙ a e U˙ b sono in opposizione di fase (o in controfase).
7.4
Relazioni topologiche e relazioni costitutive nel dominio dei fasori
• Leggi di Kirchhoff
Le due leggi di Kirchhoff restano valide: basta sostituire ai vettori delle tensioni (di lato o nodali) e delle correnti (di lato o cicliche) i corrispondenti vettori di fasori. Il perch´e `e ovvio: le leggi di Kirchhoff non dipendono dai componenti presenti nel circuito ⇒ non possono dipendere dal fatto che esiste un ingresso sinusoidale!
• Relazioni costitutive (dominio del tempo)
(dominio dei fasori)
– Corto circuito v(t) = 0
V˙ = 0
(7.14)
i(t) = 0
I˙ = 0
(7.15)
– Circuito aperto
– Generatore indipendente di tensione v(t) = Re{V˙ ejωt } = E cos(ωt + φV )
V˙ = EejφV
(7.16)
I˙ = AejφI
(7.17)
– Generatore indipendente di corrente ˙ jωt } = A cos(ωt + φI ) i(t) =Re{Ie Marco Storace–Teoria dei Circuiti
155
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
– Resistore v(t) = Ri(t)
V˙ = RI˙
(7.18)
V˙ 2 = RI˙1 V˙ 1 = 0
(7.19)
– CCVS (idem per gli altri) v2 (t) = Ri1 (t) v1 (t) = 0
(7.20)
– Trasformatore ideale V˙ 1 = nV˙ 2 I˙2 I˙1 = − n
(7.21)
dv dt
I˙ = jωC V˙
(7.23)
di dt
V˙ = jωLI˙
(7.24)
v1 = nv2 i1 = −
i2 n
(7.22)
– Condensatore i(t) = C – Induttore v(t) = L – Induttori accoppiati di1 di2 +M dt dt di1 di2 v2 (t) = M + L2 dt dt
v1 (t) = L1
V˙ 1 = jω L1 I˙1 + M I˙2 V˙ 2 = jω M I˙1 + L2 I˙2
Componenti adinamici ⇒ la relazione resta invariata.
Componenti dinamici ⇒
7.5
d dt
(7.25) (7.26)
→ jω
Impedenza e ammettenza di un bipolo
L’impedenza Z di un bipolo `e una funzione complessa razionale della pulsazione complessa s = σ + jω (→ nel caso di regime sinusoidale avremo σ = 0), definita dal rapporto dei fasori della tensione e della corrente: Z(s) = 156
V˙ = |Z|ejφz ˙I
(7.27)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
`e un numero complesso, ma non `e un fasore (⇒ non ci va il puntino). Definizione analoga vale per l’ammettenza Y di un bipolo: I˙ V˙
Y (s) =
(7.28)
Impedenza e ammettenza hanno lo stesso ruolo, rispettivamente, della resistenza e della conduttanza di un bipolo adinamico (→ Z(s) `e definita se esiste base corrente e Y (s) `e definita se esiste base tensione). Nel caso di regime sinusoidale: Z(jω) = R(ω) + jX(ω) Y (jω) = G(ω) + jB(ω)
(7.29) (7.30)
R(ω) resistenza; X(ω) reattanza; G(ω) conduttanza; B(ω) suscettanza. Lo sfasamento tra i fasori della tensione e della corrente di un bipolo coincide con la fase dell’impedenza:
˙ ∠Z V (j ω
)=
φz
Im I˙
Re
• Condensatore: V˙ Z(jω) = jωC = V˙ ⇒ Y (jω) = jωC
1 jωC
1 = j − ωC =
1 −j π2 e ωC
⇒ φz =
− π2
(7.31) Per analogia, un bipolo si dice puramente capacitivo se ∠Z(jω) = −∠Y (jω) = − π2 (→ I˙ anticipa in quadratura V˙ ).
• Induttore
Z(jω) = ⇒ Y (jω) =
jωLI˙ I˙ 1 jωL
π j π2 = jωL = ωLe ⇒ φz = 2
(7.32)
Un bipolo si dice puramente induttivo se ∠Z(jω) = −∠Y (jω) = ˙ (→ V˙ anticipa in quadratura I). Marco Storace–Teoria dei Circuiti
π 2
157
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
• Resistore
⇒
Z(jω) = R = Rej0 Y (jω) = R1
(7.33)
Un bipolo si dice puramente resistivo se ∠Z(jω) = −∠Y (jω) = 0 (→ V˙ e I˙ sono in fase). • Bipolo resistivo-induttivo → 0 < ∠Z(jω) <
π 2
˙ (→ V˙ anticipa I).
• Bipolo resistivo-capacitivo → 0 > ∠Z(jω) > − π2 (→ I˙ anticipa V˙ ).
7.6
Connessione in serie e in parallelo 1 Y1 (s)
Z1 (s) =
Z2 (s) =
≡
1 Y2 (s)
Z1 (s)
Z(s) = Z1 (s) + Z2 (s) Y (s) =
Y1 (s)Y2 (s) Y1 (s)+Y2 (s)
Y (s) = Y1 (s) + Y2 (s) (s)Z2 (s) Z(s) = ZZ11(s)+Z 2 (s)
Z2 (s) ≡
Esempio 7.6.1. L Z(jω)
Nell’esempio si ha C||R ⇒
C
R
jωL Zeq (jω)
Z(jω)
Zeq (jω) =
1 R · jωC
R+
1 jωC
=
R 1 + jωRC
(7.34)
⇒ L `e in serie a Zeq : 158
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
R Z(jω) = jωL + Zeq (jω) = jωL + = 1 + jωRC 1 − jωRC = jωL + R 2 = 1 + ωRC h R R2 C = 2 +j ω L − 2 1 + ωRC 1 + ωRC | {z } | {z } R(ω) [Ω]
(7.35)
X(ω) [Ω]
Al variare di ω, il bipolo cambia tipo di comportamento. Poich´e R(ω) ≥ 0 ∀ω, il bipolo `e di tipo: • resistivo-capacitivo se X(ω) < 0 • resistivo se X(ω) = 0 • resistivo-induttivo se X(ω) > 0
7.7
Estensione di regole, propriet` a e metodi dei circuiti adinamici al regime sinusoidale
La maggior parte delle definizioni e dei risultati dimostrati nel caso dei circuiti adinamici possono essere facilmente estesi al caso di circuiti dinamici operanti in regime sinusoidale. • Per esempio, i modelli equivalenti di Th´evenin e Norton di un bipolo sono: .
ZT H (jω) + ET H (jω)
I
.
I
.
V
AN R (jω)
1 YNR (jω)
.
V
Entrambi i modelli possono essere calcolati mediante i rispettivi teoremi. Esempio 7.7.1. Marco Storace–Teoria dei Circuiti
159
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa .
I R1 .
R2
+
.
C
V
E
E˙ T H = tensione di circuito aperto: si calcola con la regola del partitore di tensione, tenendo conto del fatto che R2 ||C = Zeq = ⇒ E˙ T H
1 = Yeq
1 R2
1 + jωC
Zeq (jω) = E˙ · R1 + Zeq (jω)
(7.36)
ZT H si calcola passivando il generatore di tensione e calcolando l’impedenza equivalente al parallelo R1 ||R2 ||C: ZT H (jω) =
1 = YT H (jω)
1 1 R1
+
1 R2
+ jωC
(7.37)
Conviene ragionare sull’ammettenza, dato che ci sono bipoli in parallelo. • Rimane ovviamente valido il teorema di Tellegen (riguarda la topologia, come le leggi di Kirchhoff). • Le rappresentazioni di doppi bipoli possono essere facilmente generalizzate: – matrice (reale) di resistenza [R] → matrice (complessa) di impedenza [Z] – matrice (reale) di conduttanza [G] → matrice (complessa) di ammettenza [Y ] Le altre matrici (ibride e di trasmissione) mantengono lo stesso simbolo, ma i loro elementi sono funzioni complesse di s (o jω in regime sinusoidale), dette funzioni di rete. N.B.: come nel caso adinamico, ciascuna matrice `e definibile se il doppio bipolo ammette la relativa base di definizione (→ base corrente per [Z], base tensione per [Y ], ecc.). 160
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
• Le condizioni di simmetria e reciprocit`a si estendono immediatamente al dominio dei fasori. • Valgono il principio di sostituzione e quello di sovrapposizione ⇒ teorema di rappresentazione di N-porte (→ all’interno sono ammessi anche componenti dinamici, purch´e lineari e tempo-invarianti, oltre a quelli adinamici e alle sorgenti impressive). • Vale il teorema di reciprocit`a: un circuito composto da soli componenti reciproci (→ inclusi condensatori, induttori, induttori mutuamente accoppiati) `e ancora reciproco. • Valgono i metodi di analisi • Valgono le regole di connessione di bipoli e doppi bipoli.
7.8
Funzioni di trasferimento
Data una relazione ingresso/uscita che, nel dominio del tempo, lega una grandezza di uscita x(t) e una di ingresso u(t), passando al dominio dei fasori e’ possibile ricavare il rapporto T (ω) tra il fasore di x e quello di u. In generale, T (ω) `e una funzione dal dominio reale a quello complesso. Nel caso particolare in cui x e u siano una corrente e una tensione su un bipolo e rispettino la convenzione normale, T (ω) coincide con l’impedenza o l’ammettenza del bipolo stesso. Esempio 7.8.1. Data la relazione ingresso/uscita: RC
dv + αv = ra(t) dt
(7.38)
la corrispondente funzione di trasferimento `e: T (ω) =
7.9
r r(α − jωRC) V˙ = = 2 ˙ α + jωRC α + (ωRC)2 A
(7.39)
Analisi dei circuiti in regime sinusoidale
Essendo in condizioni di regime, non abbiamo pi` u da considerare risposte transitorie n´e condizioni iniziali. Dato il circuito da analizzare, esprimiamo tutte le grandezze elettriche nel dominio dei fasori ⇒ ricaviamo il fasore della variabile che ci interessa ottenere ⇒ ritorniamo nel dominio del tempo. Marco Storace–Teoria dei Circuiti
161
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
Esempio 7.9.1. vx R i + e(t)
e(t) =
C
v αi
E cos(ωt) t < 0 0 t>0
L
α 6= −1
(7.40)
Regime sinusoidale per t < 0: Esiste una relazione algebrica tra candidate: i=
e−v e−v ⇒ iL = −α R R
⇒ 1 sola variabile di stato. RC dv i = e−v R + v = e(t) ⇒ i(α + 1) = C dv α + 1 dt dt
(7.41)
eq. di stato
(7.42)
La frequenza libera `e λ = − α+1 . La condizione di stabilit`a (necessaria per RC conseguire un regime) `e dunque α + 1 > 0 ⇔ α > −1. Per t < 0 ho regime sinusoidale ⇒ passo al dominio dei fasori: RC dv RC + v = e(t) ⇒ V˙ jω +1 =E α + 1 dt α+1
Con V˙ ↔ v;jω V˙ ↔ ⇐⇒ V˙ =
dv dt
e E˙ = Eej0 = E ↔ e(t).
E α+1 = α + 1 + jωRC
⇒ v(t) = Re{V˙ ejωt =}
(7.43)
i α + 1 − jωRC 2 2 α + 1 + ωRC
E α+1
h
(7.44)
( ) h i E α+1 = α + 1 − jωRC cos(ωt) + j sin(ωt) 2 2 Re α + 1 + ωRC h i E α+1 = 2 2 α + 1 cos(ωt) + ωRC sin(ωt) α + 1 + ωRC (7.45)
162
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
2 E α + 1 + ⇒ v(0− ) = 2 2 = v(0 ) α + 1 + ωRC
(7.46)
Per t > 0 l’ingresso `e nullo ⇒ c’`e solo la risposta libera: v(t) = Aeλt = v(0+ )eλt
(7.47)
Esempio 7.9.2.
iR R i1 + e(t)
v1
i2 v2
C
i1 g1 gM v1 = i2 0 g2 v2
(7.48)
R, g1 , g2 , gM , C > 0; e(t) = E sin(ωt) · 1(t) + φ0 · δ(t); v2 (0− ) = 0.
v2 + R i2 + C dvdt2 = e(t) i2 = g2 v2
dv2 v2 1 + g2 R + RC = e(t) dt
eq. di stato
(7.49)
(7.50)
2R ⇒ Frequenza libera: λ = − 1+g (⇒ circuito stabile); ricaviamo v2 (0+ ) RC φ0 integrando l’equazione di stato tra 0− e 0+ ⇒ v2 (0+ ) = RC
t>0
v2 (t) = Aeλt + v2p1 (t) + v2p2 (t) Marco Storace–Teoria dei Circuiti
(7.51) 163
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
v2p1 si ricava tramite i fasori; v2p2 = 0 (impulso nullo per t > 0). Dall’equazione di stato: V˙ 2 =
E˙
, con E˙ = −jE 1 + Rg2 + jωRC −jE 1 + Rg2 − jωRC ⇐⇒ V˙ 2 = 2 2 = 1 + Rg2 + ωRC E ωRC + j 1 + Rg2 =− 2 2 1 + Rg2 + ωRC n o jωRC ˙ ⇒ v2p1 (t) = Re V2 e =
E 2 2 Re{[ωRC + j(1 + Rg2 )](cos(ωt) + j sin(ωt))} = 1 + Rg2 + ωRC E 1 + Rg2 sin(ωt) − ωRC cos(ωt) = 2 2 1 + Rg2 + ωRC EωRC ⇒ v2p1 (0+ ) = − 2 2 1 + Rg2 + ωRC (7.52) =−
Ora si ricava il coefficiente A utilizzando la condizione iniziale: φ0 RC φ0 EωRC ⇐⇒ A = + 2 2 RC 1 + Rg2 + ωRC
⇒ v2 (0+ ) = A + v2p1 (0+ ) =
(7.53)
Corrente iR a regime? Variabile non di stato ⇒ la si ricava algebricamente: " E 1 + Rg2 sin(ωt) − ωRC cos(ωt) # 1 v2 ≡v2p1 e − v2p1 iR = = E sin(ωt) − 2 2 R R 1 + Rg2 + ωRC (7.54) Esempio 7.9.3. 164
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
i i1 L1
a(t)
R i2 L2
n:1
v
t=0
Con a(t) = A sin(ωt). Determinare: • i1 , i2 , i per t < 0 • frequenze libere per t > 0 • stato del circuito in 0+ e tensione v(0+ ) • i2 (t) per t > 0 Per t < 0 il circuito equivale a i1 L1
a(t)
R i2 L2
i
⇒ la corrente tende a passare nel ramo a impedenza minima, per cui i1 (t) = i2 (t) = 0 e i(t) = a(t). Valore delle candidate in 0− : i1 (0− ) = i2 (0− ) = 0. Per t > 0 il circuito equivale a:
a(t)
i1 L1
R i2 L2
nv
v
Ho un taglio LA ⇒ una sola variabile di stato. a(t) = i1 + i2 legame algebrico dovuto al taglio LA L1 didt1 = Ri2 + L2 didt2
(7.55)
di2 da + Ri2 = L1 eq. di stato (7.56) dt dt N.B. Ho “perso” una candidata ⇒ nell’equazione di stato compare la derivata dell’ingresso. R Frequenza libera λ = − L1 +L . 2 ⇒ L1 + L2
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
165
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
i2 (t) `e continua nellâ&#x20AC;&#x2122;origine â&#x2021;&#x2019; i2 (0+ ) = i2 (0â&#x2C6;&#x2019; ) = 0
1 di2
+ + v(0 ) = R i2 (0 ) +L2
| {z } n dt 0+
(7.57)
=0
Dallâ&#x20AC;&#x2122;equazione di stato si ricava che
di2
da +
+ R2 i2 (0 ) = L1
L1 + L2 | {z } dt + dt
0+
0
=0
1 di2
1 L1 L2 da
+ â&#x2021;&#x2019; v(0 ) = L2 = n dt 0+ n L1 + L2 dt 0+
= AĎ&#x2030; â&#x2021;&#x2019; v(0+ ) = 1 L1 L2 AĎ&#x2030;. Ma da = AĎ&#x2030; cos(Ď&#x2030;t) â&#x2021;&#x2019; da dt dt 0+ n L1 +L2 Ora ricaviamo i2 (t) per t > 0:
i2 (t) = KeÎťt + i2p (t)
i2p (t) la si ricava usando i fasori; dallâ&#x20AC;&#x2122;equazione di stato si ha: jĎ&#x2030; L1 + L2 + R IË&#x2122;2 = jĎ&#x2030;L1 AË&#x2122; Ë&#x2122; R â&#x2C6;&#x2019; jĎ&#x2030; L1 + L2 Ë&#x2122; jĎ&#x2030;L A jĎ&#x2030;L A 1 1 = â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; IË&#x2122;2 = R + jĎ&#x2030; L1 + L2 R2 + Ď&#x2030; 2 L1 + L2 )2
(7.58)
(7.59)
(7.60)
Ma AË&#x2122; = â&#x2C6;&#x2019;jA
Ď&#x2030;L1 A[R â&#x2C6;&#x2019; jĎ&#x2030;(L1 + L2 )] â&#x2021;&#x2019; IË&#x2122;2 = (7.61) R2 + Ď&#x2030; 2 (L1 + L2 )2 n o â&#x2021;&#x2019; i2p (t) = Re IË&#x2122;2 ejĎ&#x2030;t = Ď&#x2030;L1 A = 2 Re R â&#x2C6;&#x2019; jĎ&#x2030;(L1 + L2 ) cos(Ď&#x2030;t) + j sin(Ď&#x2030;t) = R2 + Ď&#x2030; 2 L1 + L2 Ď&#x2030;L1 A = 2 R cos(Ď&#x2030;t) + Ď&#x2030; L1 + L2 sin(Ď&#x2030;t) R2 + Ď&#x2030; 2 L1 + L2 (7.62)
Ora troviamo K imponendo la condizione in 0+ :
i2 (0+ ) = K +
t>0
â&#x2021;&#x2019; i2 (t) =
Ď&#x2030;L1 A R2 + Ď&#x2030; 2 L1 + L2
Ď&#x2030;L1 AR
2 = 0 R2 + Ď&#x2030; 2 L1 + L2 Îťt 2 â&#x2C6;&#x2019;Re + R cos(Ď&#x2030;t) + Ď&#x2030; L1 + L2 sin(Ď&#x2030;t)
(7.63)
166
Marco Storaceâ&#x20AC;&#x201C;Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
Esempio 7.9.4. v1 C1 + E
v2
C2
R1
i2 R2
a(t)
E costante; a(t) = A sin(ωt) circuito a regime. Determinare v1 (t) e v2 (t).
E = v1 + R2 i2 (anello esterno) dv1 v1 + C1 dt + a(t) − i2 = 0 R1
⇒ v1
1 1 + R1 R2
+ C1
dv1 E = − a(t) dt R2
(7.64)
(7.65)
Applichiamo il principio di sovrapposizione: • Termine di regime stazionario (dovuto all’ingresso costante): v1pe (t) = 1 K ⇒ (sostituisco nell’equazione di stato) K = RER . Potevamo 1 +R2 vederlo anche considerando il circuito equivalente “in continua” con a(t) = 0: v1P E + E
R1
R2
• Termine di regime sinusoidale (dovuto ad a(t)): R1 + R2 ˙ jωC1 + V1 = −A˙ = jA R1 R2 jAR1 R2 ⇐⇒ V˙ 1 = = R1 + R2 + jωC1 R1 R2 AR1 R2 j R1 + R2 + ωC1 R1 R2 = 2 2 R1 + R2 + ωC1 R1 R2
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
(7.66)
167
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
n o â&#x2021;&#x2019; v1ps (t) = Re VË&#x2122; 1 ejĎ&#x2030;t = AR1 R2 Re Ď&#x2030;C1 R1 R2 + j R1 + R2 cos(Ď&#x2030;t) + j sin(Ď&#x2030;t) = = 2 2 R1 + R2 + Ď&#x2030;C1R1 R2 AR1 R2 = 2 2 Ď&#x2030;C1R1 R2 cos(Ď&#x2030;t) â&#x2C6;&#x2019; R1 + R2 sin(Ď&#x2030;t) R1 + R2 + Ď&#x2030;C1 R1 R2 (7.67) Quindi v1 (t) = v1pe (t) + v1ps (t) (a regime). Per v2 (t) ho: C2 dvdt2 = â&#x2C6;&#x2019;a(t) (taglio CA â&#x2021;&#x2019; frequenza libera nulla) jĎ&#x2030;C2 VË&#x2122; 2 = â&#x2C6;&#x2019;AË&#x2122; = jA A â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; VË&#x2122; 2 = Ď&#x2030;C2 n o A â&#x2021;&#x2019; v2 (t) = Re VË&#x2122; 2 ejĎ&#x2030;t = cos(Ď&#x2030;t) Ď&#x2030;C2
7.10
(7.68)
Potenza in regime sinusoidale
â&#x20AC;˘ Potenza istantanea e potenza attiva
Siano v(t) = V cos(Ď&#x2030;t + Ď&#x2020;V ) e i(t) = I cos(Ď&#x2030;t + Ď&#x2020;I ) la tensione e la corrente ai capi di un generico bipolo (o della porta di un N-porte) operante in regime sinusoidale: .
.
V
I Z(jĎ&#x2030;)
VË&#x2122; = Z(jĎ&#x2030;)IË&#x2122; â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; V ejĎ&#x2020;V = |Z|ejĎ&#x2020;Z IejĎ&#x2020;I
= |Z(jĎ&#x2030;)|Iej(Ď&#x2020;Z +Ď&#x2020;I )
(7.69) (7.70) (7.71)
Uguagliando moduli e fasi, si ottiene: V = |Z(jĎ&#x2030;)|I Ď&#x2020;V = Ď&#x2020;Z + Ď&#x2020;I â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; Ď&#x2020;Z = Ď&#x2020;V â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2020;I 168
(7.72) (7.73)
Marco Storaceâ&#x20AC;&#x201C;Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
La potenza istantanea assorbita dal bipolo `e: p(t) = v(t)i(t) = V cos(ωt + φV )I cos(ωt + φI )
(7.74)
Sapendo che cos(α) cos(β) = 12 cos(α−β)+ 12 cos(α+β), si pu`o riscrivere: p(t) =
VI VI cos(φV − φI ) + cos(2ωt + φV + φI ) 2 2
Il termine costante `e, in modulo, ≤
VI 2
(7.75)
(ampiezza della sinusoide).
Tenendo conto della (7.73), si pu`o scrivere: VI VI cos(φZ ) + cos [(2ωt + 2φI ) + φZ ] 2 2
p(t) =
(7.76)
Infine, poich´e cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β), si ha: p(t) = , patt (t) + preatt (t)
VI VI cos(φZ ) [1 + cos(2ωt + 2φI )] − sin(φZ ) sin(2ωt + 2φI ) 2 2 (7.77)
Definiamo VI cos(φZ )=potenza attiva 2 VI Q= sin(φZ )=potenza reattiva 2 P =
(7.78) (7.79)
patt (t) potenza attiva istantanea: potenza istantanea dissipata dal bipolo (→ `e quella misurata dal contatore di casa). Il suo valore medio `e la potenza attiva P . patt (t) 2P P 2π ω
t
preatt (t) potenza reattiva istantanea: potenza scambiata dall’alimentatore con il campo elettromagnetico del bipolo. Ha valor medio nullo e ampiezza Q (potenza reattiva). Marco Storace–Teoria dei Circuiti
169
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
preatt (t) Q b
2π ω
t
−Q Vediamo cosa si pu`o dire per bipoli notevoli: ` reale ⇒ φZ = 0 ⇒ assorbe solo potenza • Resistore: Z(jω) = R. E attiva (`e un dissipatore puro, non immagazzina energia). V2 RI 2 = p= 2 2R
(7.80)
1 1 • Condensatore: Z(jω) = jωC = −j ωC ⇒ φZ = − π2 ⇒ assorbe solo potenza reattiva (`e un componente conservativo: non dissipa energia, pu`o solo immagazzinarla per poi restituirla).
Q=−
VI ωCV 2 I2 =− =− 2 2 2ωC
(7.81)
Quando p(t)(= preatt (t)) > 0 ⇒ il condensatore assorbe energia dall’alimentatore; quando p(t) < 0 ⇒ il condensatore si comporta da generatore (p `e la potenza assorbita) e restituisce energia all’alimentatore (essendo passivo non pu`o mai cedere pi` u energia di quella accumulata). Questo palleggio di energia avviene due volte in un periodo 2π . ω • Induttore: Z(jω) = jωL ⇒ φZ = π2 ⇒ assorbe anch’esso solo potenza reattiva. VI ωLI 2 V2 Q= = = (7.82) 2 2 2ωL Valgono le stesse considerazioni fatte per il condensatore, ma nei quarti di periodo in cui l’induttore assorbe energia, il condensatore la restituisce e viceversa. Anche in questo caso l’energia immagazzinata `e sempre ≥ 0 (componente passivo). Dunque, l’informazione sul segno di Q `e data da sin(φZ ). Se un’impedenza `e di tipo reattivo-induttivo ⇒ φZ ∈ [0, π2 ] ⇒ Q ≥ 0; se `e di tipo reattivocapacitivo ⇒ φZ ∈ [− π2 , 0] ⇒ Q ≤ 0. 170
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
7.11
Potenza complessa di un bipolo
` un numero complesso definito come P + jQ: E Im Q
P
jQ
+
φz P
Re
sin(φz ) Q = = tan(φz ) P cos(φz )
(7.83)
⇒ l’angolo del vettore P + jQ rispetto all’asse reale `e φz (ossia, la fase di P + jQ `e φz ). Il modulo di P + jQ `e V2I . Siamo in condizioni di regime sinusoidale ⇒ la potenza complessa proverr`a dal prodotto tra il fasore della tensione e quello della corrente. So che i(t) ↔ I˙ = IejφI e V˙ = Z I˙ = |Z|I ej(φz +φI ) . |{z} V
Proviamo a considerare il prodotto pi` u ovvio:
V˙ I˙ = V ej(φz +φI ) IejφI = V Iej(φz +2φI )
(7.84)
La fase non `e quella che vorremmo (φz ) ⇒ consideriamo quest’altro prodotto: V˙ I˙∗ = V ej(φz +φI ) Ie−jφI = V Iejφz = V I cos(φz ) + j sin(φz ) = 2(P + jQ) (7.85) Dunque possiamo concludere che la potenza complessa `e: P + jQ =
V˙ I˙∗ V I jφz = e = Vef f Ief f ejφz 2 2
(7.86)
Se consideriamo fasori legati ai valori efficaci ⇒ non compare il fattore 12 . Esempio 7.11.1.
n > 1; R, g > 0; v(0− ) = 0 e − nv
+ e(t)
R i1
vx n:1
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
i2 gvx
C
v
171
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
vx = v(n − 1) i2 = −gvx − C
dv = dt
dv dt • Relazione ingresso/uscita per v (equazione di stato): dv ni1 = g(n − 1)v + C dv dt ⇒ ne(t) = [Rg(n − 1) + n2 ]v + RC e(t) = Ri1 + nv dt (7.87) = −g(n − 1)v − C
• Frequenza libera
Rg(n − 1) + n2 λ=− RC
(7.88)
• v(t) per e(t) = E · 1(t) e per t > 0.
Dalla (7.87) (bilancio delle discontinuit`a) si ha che v(0+ ) = v(0− ) = 0; integrale particolare: `e una costante K ⇒ sostituendo nella (7.87) nE ricaviamo K = Rg(n−1)+n 2. v(t) = Aeλt + K ⇒ v(0+ ) = A + K = 0 ⇐⇒ A = −K nE (1 − eλt ) v(t) = Rg(n − 1) + n2
(7.89)
• v(t) per e(t) = φδ(t) per t > 0. Dalla (7.87) ricaviamo v(0+ ) 6= v(0− ) nφ e integrando la (7.87) tra 0− e 0+ si ha v(0+ ) = RC . L’integrale nφ λt particolare `e nullo ⇒ v(t) = RC e • per e(t) = E cos(ωt), in regime sinusoidale, determinare la potenza reattiva assorbita dal condensatore e quella complessa assorbita dal generatore pilotato. Dalla (7.87) (passando ai fasori) ricaviamo: Condensatore: nE V˙ = (7.90) [Rg(n − 1) + n2 ] + jωRC ( ) ( ) V˙ I˙∗ 1 |V˙ |2 1 ∗ = − ωC|V˙ |2 = QC = Im = Im 1 2 2 2 jωC =−
172
ωC (nE)2 <0 2 [Rg(n − 1) + n2 ]2 + (ωRC)2
OK, perch´ e ` e un condensatore
(7.91)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
Generatore pilotato: 1 Px + jQx = V˙ (g V˙ x )∗ = 2 V˙ g = g(n − 1)V˙ ∗ ≡ Px (n − 1)|V˙ |2 2 2
(7.92)
Esempio 7.11.2. + v(t)
i(t)
v(t) = Vc cos(ωt) ↔ VC i(t) = Is sin(ωt) + Ic cos(ωt) ↔ −jIs + IC
V c , Is , Ic > 0
Determinare la potenza complessa assorbita dal bipolo e dire se `e di tipo induttivo o capacitivo. V˙ I˙∗ VC P = Vc2Ic P + jQ = = (Ic + jIs ) ⇐⇒ (7.93) Q = Vc2Is 2 2 Q > 0 (Vc e Is sono positivi per ipotesi) ⇒ bipolo di tipo induttivo (resistivo-induttivo).
Teorema 4 (Boucherot). Si dimostra a partire dal teorema di Tellegen: dati due insiemi di grandezze compatibili con uno stesso grafo (→ tali da soddisfarne le leggi di Kirchhoff) ⇒ i vettori corrispondenti a tali insiemi sono ortogonali. Unica ipotesi: convenzione normale (degli utilizzatori). Se le variabili Pl sono tensioni e correnti di lato ⇒ v · i = 0 ⇐⇒ h=1 vh ih = 0. In condizioni di regime sinusoidale abbiamo a che fare con i fasori, che come visto rispettano le leggi di Kirchhoff come le grandezze reali cui sono associati. Dobbiamo verificare se anche i complessi coniugati dei fasori delle correnti rispettano le KCL. Per lati incidenti un taglio, dalla KCL abbiamo: P X X Re{I˙h } = 0 ˙ Ph Ih = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ I˙h∗ = 0 (7.94) ˙h } = 0 Im{ I h h
h
Dunque anche i complessi coniugati dei fasori sono compatibili con il grafo. Applichiamo il teorema di Tellegen agli insiemi {V˙ h } e {I˙h∗ }: l l X 1 X ˙ ˙∗ Vh Ih = 0 ⇐⇒ Ph + jQh = 0 2 h=1 h=1
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
(7.95) 173
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
⇐⇒
l P Ph = 0 h=1
l P Qh = 0
← Teorema di Boucherot
(7.96)
h=1
Ph potenze attive assorbite dai lati; Qh potenze reattive assorbite dai lati. Il primo risultato `e un po’ scontato (la potenza attiva `e legata alla potenza effettivamente dissipata dal circuito). Il secondo `e meno intuitivo e costituisce il cuore del teorema di Boucherot. Esempio 7.11.3. R1
+
.
E R2
C
Potenza reattiva erogata dal generatore di tensione? QE + QC + QR1 + QR2 = 0 per Boucherot (potenze assorbite) ⇒ poich´e QR1 = QR2 = 0, la potenza reattiva erogata dal generatore coincide con QC . Calcoliamo l’equivalente Th´evenin del bipolo connesso al condensatore:
.
+
R1 R2 R1 +R2 .
I C
2 E R1R+R 2
.
V
ωC|V˙ |2 ωC ⇒ Qc = − =− 2 2 Esempio: .
A
C
R
L
2 ER2 R1 +R2 ωCR1 R2 2 + R1 +R2
1
(7.97)
+ . E
• Determinare la potenza attiva P e la potenza reattiva Q erogate dai generatori. Applichiamo il teorema di Boucherot (convenzione normale): la potenza complessa assorbita `e uguale alla potenza complessa erogata dai generatori. Applichiamo il principio di sovrapposizione: 174
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
– passiviamo E˙ ⇒ .
C
A
˙2 1 A˙ ˙ ∗ |A| PA = 0 PA + jQA = A = −j ⇒ A2 QA = − 2ωC 2 jωC 2ωC
(7.98)
– passiviamo A˙ ⇒ R
L
+ . E
Possiamo gi`a distinguere PE e QE , dato che L assorbe solo potenza reattiva e R solo potenza attiva: E2 1 1 PE + jQE = +j 2 R ωL (7.99) 2 ∗ ˙ ˙ ˙ 2 1 |E| 1 ˙ E |E| ⇒ PE = jQE = E =j 2 R 2 −jωL 2ωL Complessivamente, dunque, si ha: 1 E2 2 R A2 E2 Q = QA + QE = − + 2ωC 2ωL P = PA + PE =
(7.100)
• Determinare, se esiste, la relazione fra E e A che fa comportare il tripolo come puramente resistivo. Basta che sia r A2 E2 C Q = 0 ⇐⇒ = ⇐⇒ A = E 2ωC 2ωL L
7.12
Problema del rifasamento
` un’applicazione del teorema di Boucherot. Supponiamo di avere un genE eratore di tensione sinusoidale in parallelo a un’impedenza Z(jω) e di essere in condizioni di regime (→ possiamo usare i fasori): Marco Storace–Teoria dei Circuiti
175
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa .
Ig .
+ Z(jω)
V
Supponiamo che l’impedenza sia di tipo resistivo induttivo (⇒ φz > 0): `e la situazione pi` u frequente (la maggior parte degli utilizzatori domestici presenta un’impedenza di tipo resistivo-induttivo). Potenza complessa assorbita dal generatore: Pg + jQg =
V˙ (−I˙g∗ ) 2
(7.101) V˙ I˙∗
Potenza complessa assorbita dal carico Z(jω): 2 g (come ovvio, in base al teorema di Boucherot). Il rifasamento consiste nel modificare il circuito in modo tale che sia nulla Qg , ossia la potenza reattiva assorbita dal generatore. Aggiungiamo un componente la cui natura fisica sia complementare rispetto a quella del carico: avendo supposto Z di tipo resistivo-induttivo ⇒ aggiungiamo un . condensatore in parallelo: I gR . . + I Z . IC Z(jω) C V Dobbiamo determinare il valore di C tale che Qg = 0. Per il teorema di Boucherot: Qg + QC + QZ = 0. Imponiamo Qg = 0 ⇒ deve essere QC + QZ = 0. Potenza reattiva assorbita dal condensatore? V˙ I˙C∗ |V˙ |2 ωC|V˙ |2 I˙C = jωC V˙ ⇒ jQC = = −jωC ⇐⇒ QC = − 2 2 2
(7.102)
Potenza reattiva assorbita dal carico? V˙ Z(jω) !∗ V˙ |V˙ |2 = Z(jω) 2 I˙Z =
V˙ I˙Z∗ V˙ ⇒ = 2 2
|V˙ |2 jφZ e = PZ + jQZ 2|Z| |V˙|2 ⇐⇒ QZ = sin(φZ ) 2|Z| =
176
(7.103) 1 |Z|ejφZ
!∗
= (7.104)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
Vogliamo QC + QZ = 0 ωC|V˙ |2 |V˙ |2 + sin(φz ) = 0 2 2|Z| sin(φz ) ⇐⇒ C = ω|Z| ⇐⇒ −
(7.105)
Questo `e il valore di capacit`a da imporre per rifasare il carico. Tutti gli utilizzatori domestici (solitamente resistivo-induttivi) possiedono un condensatore di rifasamento tale per cui la potenza assorbita dal carico `e effettivamente solo quella che serve per farli funzionare (potenza attiva istantanea). Esempio 7.12.1.
A i R .
+ C
E
L
B Determinare C tale da rifasare Z(jω). . . I R I . I(α + 1) . L V
Z(jω) = .
vL
αi
.
αI
V˙ = R + jωL(α + 1) . I˙. IE I
(7.106)
+
E
C
Z(jω)
1 I˙E = E˙ jωC + = R + jωL(α + 1) R − jωL(α + 1) = E˙ jωC + 2 R + ω 2L2 (α + 1)2
(7.107)
ωL(α + 1) L(α + 1) ⇐⇒ C = R2 + ω 2 L2 (α + 1)2 R2 + ω 2L2 (α + 1)2
(7.108)
Per rifasare, se e(t) `e un coseno (⇒ E˙ = E), imponiamo Im{I˙E } = 0 (dato E˙ I˙∗ che la potenza complessa assorbita dal parallelo di C e Z(jω) `e 2E = PE + jQE e QE = 0 ⇐⇒ E˙ I˙E∗ `e un numero reale): ωC =
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
177
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
In generale, basta imporre che il carico rifasato sia puramente resistivo (⇒ abbia parte immaginaria nulla). In realt`a, un modello pi` u realistico di . linea di carico sarebbe: Ir r . . + I Z . IC C Z Vg con r “molto piccola”. Dunque, di tutta la potenza attiva erogata da V˙ , una parte viene dissipata da r: r|I˙r |2 r|I˙C + I˙Z |2 I˙r = I˙C + I˙Z ⇒ Pr = = (7.109) 2 2 All’Enel conviene (per ragioni di manutenzione della linea e di costi di gestione), far si che Pr sia minima ⇒ che |I˙r | sia pi` u piccolo possibile ⇒ il condensatore di rifasamento serve anche a questo: Im I˙C
I˙ C I˙ Z +
V˙ g Re
I˙Z
|I˙C + I˙Z | < |I˙Z | ⇒ Pr si riduce. Inoltre V˙ g e I˙r sono in fase ⇒ il carico complessivo `e puramente resistivo (non assorbe potenza reattiva). Dunque il rifasamento `e importante per due motivi: l’utente evita di assorbire potenza che non `e in grado di usare e l’Enel evita sprechi (⇒ la legge impone il rifasamento dei carichi). Questo `e importante per i contratti: se con l’Enel sottoscriviamo il contratto per un assorbimento massimo di 3 kW ⇒ vogliamo poterli sfruttare tutti al meglio.
7.13
Linee ad alta tensione
In una stazione elettrica i valori delle tensioni che vengono prodotte convertendo in energia elettrica energia termica (centrali termoelettriche), potenziale (centrali idroelettriche) o di altro genere sono dell’ordine di 105 V. Negli impianti domestici o industriali, le tensioni sono dell’ordine del centinaio di Volt. Perch`e allora si trasporta l’energia elettrica su linee ad alta tensione, dell’ordine di 104 V? 178
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa .
Zl I m .
+
.
Z
V
Vm
L’impedenza di linea, in generale, sar`a Zl = R + jX. Il carico dissipa una potenza attiva Pm = 21 Vm Im cos ϕ. Poich`e si vuole mettere a disposizione dell’utente una certa quantit`a di potenza attiva, supponiamo che Pm sia fissata, cos`ı come R (dipende dal materiale usato per la linea). Per ridurre al minimo i costi di manutenzione, conviene rendere minima la potenza dissipata sulla linea. Vediamo quanto vale: 1 2 Pl = RIm 2
(7.110)
Ma Im si ricava dall’espressione della potenza attiva dissipata dal carico: m Im = Vm2Pcos . Sostituendo, si ottiene: ϕ 4P 2 2RP 2 1 Pl = R 2 m2 = 2 m2 2 Vm cos ϕ Vm cos ϕ
(7.111)
Dunque, fissate Pm e R, la potenza dissipata sulla linea `e minima se cos ϕ → 1 (per cui `e obbligatorio rifasare i carichi) e se Vm `e pi` u elevato possibile, il che spiega l’utilizzo delle alte tensioni sulle linee.
7.14
Massimo trasferimento di potenza attiva (adattamento energetico)
Questo `e un problema duale rispetto al rifasamento. Consideriamo una linea di distribuzione dell’energia elettrica o un oscillatore o un qualunque altro circuito elettronico rappresentabile mediante un circuito equivalente di Th´evenin fatto cos`ı: A Zg .
+
Vg B Questo `e un modello ancora pi` u accurato di una linea di distribuzione elettrica. Marco Storace–Teoria dei Circuiti
179
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
Il problema del massimo trasferimento di potenza attiva riguarda l’impedenza di carico ZC da collegare a questo bipolo: si vuol fare in modo che ZC assorba la massima potenza attiva. In altri termini, si considerano V˙ g , Zg e ω fissi e ci si chiede dunque quanto deve valere Zc in modo da assorbire la massima potenza attiva. Vogliamo cio`e trovare la Zc ottimale. Per ipotesi l’impedenza ZC `e in serie e la rete funziona in condizioni di regime sinusoidale. Con la convenzione normale (degli utilizzatori), chiamiamo I˙ e V˙ i fasori della corrente e della tensione ai capi del carico ⇒ si ha: .
Zg .
+
I Zc
.
V
Vg
V˙ = V˙ g
Zc Zc + Zg
V˙ V˙ g I˙ = = Zc Zc + Zg
⇒ la potenza complessa assorbita da Zc `e V˙ g∗ Vg2 Zc V˙ I˙∗ V˙ g Zc = · = 2 2(Zc + Zg ) (Zc + Zg )∗ 2|Zc + Zg |2
(7.112)
La potenza attiva `e n P = Re
Vg2 Zc o Vg2 = Re Zc 2 2 2|Zc + Zg | 2|Zc + Zg |
In generale si pu`o scrivere Zc = Rc + jXc e Zg = Rg + jXg ⇒ Zc + Zg = Rc + Rg + j Xc + Xg 2 2 ⇒|Zc + Zg |2 = Rc + Rg + Xc + Xg
Perci`o
P =
Vg2 1 2 Rc 2 Rc + Rg + Xc + Xg 2
(7.113)
(7.114)
(7.115)
Il sistema di distribuzione `e noto ⇒ Rg e Xg sono “dati di targa”. Bisogna trovare Rc e Xc tali che la potenza P sia massima ⇒ occorre risolvere un problema di massimo rispetto a due variabili. 180
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
Il massimo rispetto a Xc si individua subito (il denominatore di P deve essere minimo ⇒ imponiamo che (Xc + Xg )2 (≥ 0) sia nullo): basta imporre Xc = −Xg Vg2 Rc (7.116) ⇒P = · 2 2 Rc + Rg Ora deriviamo rispetto a Rc per trovare la condizione di massimo: 2 Vg2 Rc + Rg − 2Rc Vg2 Rc + Rg − 2Rc Rc + Rg dP = = 4 3 = dRc 2 2 Rc + Rg Rc + Rg Vg2 Rg − Rc = =0 2 Rc + Rg 3
(7.117)
⇐⇒ Rc = Rg
• Se Rc < Rg ⇒
dP dRc
> 0 ( ⇐⇒ P cresce)
• Se Rc > Rg ⇒
dP dRc
< 0 ( ⇐⇒ P decresce) V2
⇒ Rc = Rg `e un massimo per P : Pmax = 8Rgg . Dunque la Zc ottimale `e data da Zc = Rg − jXg = Zg∗ ⇒ data una certa Zg , l’impedenza di carico Zc che consente di ottenere la massima potenza attiva assorbita `e pari al complesso coniugato della Zg stessa. Questo vuol dire che anche il generatore `e in condizioni ottimali, poich´e vede un carico “rifasato” (un puro resistore): .
Vg
Zc + Zg = Rc + Rg = 2Rg
Zc = Zg∗ `e la condizione di adattamento energetico.
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
181
7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa
182
Marco Storaceâ&#x20AC;&#x201C;Teoria dei Circuiti
Capitolo 8 Regime multifrequenziale Spesso occorre studiare circuiti dinamici lineari le cui sorgenti impressive sono sinusoidi con pulsazioni ω1 , ω2 , . . . diverse tra loro. Se i transitori si sono esauriti, si usa dire che un circuito in questa situazione opera in regime multifrequenziale. Lo studio di questo regime si basa sul principio di sovrapposizione. La presenza di sorgenti impressive costanti e sinusoidali di frequenze diverse pu`o essere dovuta a: 1. presenza effettiva di tali sorgenti 2. presenza di una (o pi` u) sorgente impressiva periodica non sinusoidale, che pu`o essere scomposta, mediante la cosiddetta “serie di Fourier”, nella somma di sorgenti sinusoidali di frequenze una multipla intera dell’altra. Valuteremo entrambi i casi. Nota: il regime stazionario o costante (“continua”) si pu`o conseguire (a transitori esauriti) solo se il circuito dinamico `e asintoticamente stabile1 (→ tutte le frequenze libere hanno parte reale < 0) e tutte le sorgenti impressive sono costanti. Lo si pu`o vedere come nel caso particolare di regime sinusoidale per s = jω = 0. Nel caso di regime costante tutte le impedenze, ammettenze e rapporti di tensione e corrente sono necessariamente reali. Nota: nel caso di ingresso periodico non sinusoidale, la soluzione a regime sar`a una forma d’onda con lo stesso periodo, ma con profilo diverso. L’unica forma d’onda di cui si mantiene anche il profilo (→ a parte ampiezza e fase) `e la sinusoide, come visto. 1
condizione da soddisfare per conseguire qualunque tipo di regime
183
8. Regime multifrequenziale
8.1
Caso 1
Si risolve applicando il principio di sovrapposizione Esempio 8.1.1. e(t) = E sin(ωt)
a(t) = A cos(2ωt)
iR R + e(t)
a(t)
C
Corrente iR “di regime”: iR (t) = IC1 cos(ωt) + IS1 sin(ωt) + IC2 cos(2ωt) + IS2 sin(2ωt) Determinare le costanti IC1 , IS1 , IC2 , IS2 . Usiamo il principio di sovrapposizione: e(t) v1 + i1 R e(t)
V˙ 1 E˙ R I˙1 = = 1 R R R + jωC n o ⇒ i1 (t) = Re I˙1 ejωt = =
= a(t)
ωCE
1 + ωRC ωCE 1 + ωRC
2 Re
π E˙ = Ee−j 2 ωCE 1 − jωRC jωC E˙ = = 2 1 + jωRC 1 + ωRC
1 − jωRC cos(ωt) + j sin(ωt) =
2 cos(ωt) + ωCR sin(ωt)
R i2 184
C
C
(8.1)
a(t)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
8. Regime multifrequenziale
R . I2
−I˙2 =
R
.
A
V
a(t) = Re Aej2ωt ↔ A˙ = A
Partitore di corrente: 1 j2ωC 1 + j2ωC
1 j2ωC
−A 1 − 2ωRC 1 == ⇐⇒ I˙2 = 2 1 + j2ωRC 1 + 2ωRC
(8.2)
n o ⇒ i2 (t) = Re I˙2 ej2ωt = ( ) A = Re − = 2 1 − j2ωRC cos(2ωt) + j sin(2ωt) 1 + 2ωRC A =− 2 cos(2ωt) + 2ωRC sin(2ωt) 1 + 2ωRC (8.3) Sovrapponiamo gli effetti ⇒ iR (t) = i1 (t) + i2 (t) ωCE
⇒ IC1 = IC2
8.2
2 1 + ωRC A =− 2 1 + 2ωRC
Caso 2
IS1 IS2
2 ωC RE = 2 1 + ωRC 2ωARC =− 2 1 + 2ωRC
(8.4) (8.5)
Valutiamo ora il secondo caso, ossia quello relativo alla presenza di una (o pi` u) sorgente impressiva periodica. Una qualsiasi funzione periodica f (t) di periodo T (→ pulsazione ω = 2π T e frequenza T1 ) pu`o essere descritta tramite il cosiddetto sviluppo in serie di Fourier: +∞ X f (t) = a0 + [ak cos(kωt) + bk sin(kωt)] = = a0 + =
k=1 +∞ X
Ak cos(kωt + φk ) =
(8.6)
k=1 +∞ X
1 A˙ k ejkωt 2 k=−∞
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
185
8. Regime multifrequenziale
dove: 1 a0 =< f >= T
ZT
f (t) dt
(8.7)
0
Lo sviluppo in serie di Fourier consente di analizzare qualunque circuito lineare con grandezze impresse periodiche, applicando il principio di sovrapposizione. Valor medio di una funzione periodica x(t) di periodo T : ZT Zt+T 1 1 x(t) dt = x(τ ) dτ (8.8) < x >= T T 0
t
Valore efficace di una funzione periodica x(t) di periodo T : v u u ZT u1 xef f = t x2 (t) dt definizione generale T
(8.9)
0
(⇒ nel caso di x(t) sinusoidale di ampiezza X, si ha xef f =
X √ ) 2
Teorema 5 (Valore efficace). Applichiamo lo sviluppo in serie di Fourier per x(t): v v u 2 2 u 2 +∞ +∞ X X u u ak Ak bk t t 2 2 √ √ xef f = < x > + + √ = <x> + = 2 2 2 k=1 k=1 v u +∞ ˙ 2 X u |Ak | t 2 √ = <x> + 2 k=1
(8.10)
Esempio 8.2.1. iR R
+ e(t) vc
186
C
a(t)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
8. Regime multifrequenziale
e(t) E T 2
T 4
T
t
a(t) t −A Circuito a regime con e(t) e a(t) periodici. Determinare: • valor medio < vc > (sul periodo) • valor medio < iR > (sul periodo) • valore di A (se esiste) per cui (fissato E) si ha < vc >= 0 Dallo sviluppo in serie di Fourier deduciamo che il solo contributo ai valori medi delle variabili (a regime) viene dal valor medio di ogni ingresso (applicando il principio di sovrapposizione e considerando un termine per volta dello sviluppo in serie di Fourier, tutti i termini sinusoidali forniscono un contributo nullo). Tale valore `e costante ⇒ essendo a regime possiamo considerare un circuito equivalente in regime stazionario fatto cos`ı: < iR > R + <e> < vc >
< vR > <a>
⇒< iR >= − < a >, < vC >=< e > − < vR >=< e > −R < iR >=< e > +R < a >. Calcoliamo < e > e < a >: 1 <e>= T
ZT
e(t) dt =
ZT
a(t) dt =
0
<a>=
1 T
0
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
1 T T E 3E + = T 2 4 2 8
(8.11)
1 T (−A) A =− T 2 2 187
8. Regime multifrequenziale
⇒< iR >=
A 2
3 AR < vC >= E − 8 2 3E < vC >= 0 ⇐⇒ A = 4R
(8.12)
Esempio 8.2.2. i1 + e1 (t)
v1
v1 = Ri1 e1 (t) = E1 cos(ωt) 2π T = ω
i2 v2
+ e2 (t)
i2 = αi1 + gv2 e2 (t) = E2 cos(2ωt)
Determinare: • i1ef f e i2ef f • Potenza media assorbita nel periodo T dal tripolo v1 e1 E1 = = cos(ωt) R R R v u u ZT 1 E1 u1 =t i21 (t) dt = e1ef f = √ T R 2R
i1 = ⇒ i1ef f
(8.13)
0
E1 cos(ωt) + gE2 cos(2ωt) R Sfruttiamo il teorema del valore efficace: s 2 2 αE1 gE2 √ I2ef f = + √ 2R 2 i2 = αi1 + ge2 (t) = α
Potenza istantanea assorbita dal tripolo: p(t) = v1 i1 + v2 i2 = Ri21 + αv2 i1 + gv22 = e2 e1 = 1 + αe2 + ge22 R R 188
(8.14)
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
8. Regime multifrequenziale
Potenza media: 1 <p>= T
Esempio 8.2.3.
ZT
α e21 dt + R R
ZT
e1 e2 dt + g
ZT
e22
dt =
0 0 0 2 2 1 E1 T T E gE22 = + 0 + gE22 = 1 + T 2R 2 2R 2
i1 (t) = I1 sin(ωt) i2 (t) = I2 cos(2ωt) i3 (t) = I3 sin(3ωt) i1
i2
i3
(8.15)
(8.16)
v(t)
C
Determinare il valore efficace vef f della tensione v(t) nel periodo T . Applichiamo il principo di sovrapposizione 1.
π I˙1 i1 ↔ I˙1 = I1 e−j 2 = −jI1 ⇒ V˙ 1 = jωC
2. i2 ↔ I˙2 = I2 =⇒ V˙ 2 =
I˙2 j2ωC
3. i3 ↔ I˙3 = −jI3 =⇒ V˙ 3 =
I˙3 j3ωC
I1 I2 I3 cos(ωt) + sin(2ωt) − cos(3ωt) ωC 2ωC 3ωC Sovrapponiamo i contributi, dunque il valore efficace `e I˙2 I˙3 I˙1 V˙ = V˙ 1 + V˙ 2 + V˙ 3 = + + jωC j2ωC j3ωC Oppure: s |V˙ 1 |2 |V˙ 2 |2 |V˙ 3 |2 vef f = + + = 2 2 2 s (8.17) 2 2 2 1 I1 I2 I3 =√ + + ωC 2ωC 3ωC 2 ⇒ v(t) = v1 + v2 + v3 = −
Marco Storace–Teoria dei Circuiti
189
8. Regime multifrequenziale
Esempio 8.2.4. L + E0
v
R
I sin(ωt)
Rete a regime, valore efficace di v(t)? Applichiamo il principio di sovrapposizione: 1. Passiviamo il generatore di corrente + E0
v0
R
⇒ v0 = E0 2. Passiviamo il generatore di tensione
L
R
v1
I sin(ωt)
I sin(ωt) ↔ I˙ = −jI n o v1 (t) = Re V˙ 1 ejωt
jωLR = |V˙ 1 |ejφ V˙ 1 = −jI R + jωL |ωLR| ωLR → |V˙ 1 | = I=q 2 I |R + jωL| R2 + ωL
Dunque, per il teorema del valore efficace, si ha v r u 2 1 ˙ 2 u 1 ωLRI 2 t 2 vef f = E0 + |V1 | = E0 + 2 2 R2 + ωL 2
190
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