Os Segredos da Álgebra para IME ITA - Miller Dias - Editora Vestseller www.vestseller.com.br by Editora VestSeller

Miller Dias de Araújo

Editora Vestseller FORTALEZA – CE 1ª Edição Julho/2018

Os Segredos da Álgebra para IME ITA Olimpíadas

Sumário Capítulo 01: Potenciação 1.1) Definição............................................................................... 11 1.2) Produto de Potências de Mesma Base................................. 11 1.3) Divisão de Potências de Mesma Base.................................. 12 1.4) Potência Elevada à Potência................................................ 13 1.5) Produto Elevado à Mesma Potência 13 1.6) Potência Elevada à Potência, n vezes .................................. 17 1.7) Potência de Ordem Superior................................................. 17 1.8) Potência com Expoente em PG............................................ 21 1.9) Potência com Expoente Negativo......................................... 26 1.10) Divisão Composta............................................................... 26 1.11) Potência com Expoente Fracionário................................... 27 Capítulo 02: Radiciação 2.1) Definição............................................................................... 31 2.2) Produto de Radicais de Mesmo Índice 32 2.3) Divisão de Radicais de Mesmo Índice 33 2.4) Raiz de uma Raiz.................................................................. 36 2.5) Produto de Radicais de Índices Diferentes........................... 43 2.6) Raiz de Fração Composta 45 2.7) Séries Finitas de Radicais..................................................... 52 2.8) Séries Infinitas de Radicais................................................... 61 2.9) Divisão Composta Infinita..................................................... 81 2.10) Radicais em Cadeia Infinita 84 2.11) Operações com Radicais................................................... 90 Capítulo 03: Racionalização 3.1) Quocientes Notáveis............................................................. 93 3.2) Fator Racionalizante............................................................. 94 3.3) Radicais Duplos.................................................................... 105 3.4) Tópicos Avançados em Radicais Duplos 124 Capítulo 04: Expressões Algébricas 4.1) Tipos de Expressões Algébricas 125 4.2) Valor Numérico..................................................................... 126 4.3) Operações com Expressões Algébricas............................... 127

Capítulo 05: Produtos Notáveis 5.1) Quadrado da Soma de Dois Termos..................................... 130 5.2) Quadrado da Diferença Entre Dois Termos.......................... 131 5.3) Identidade de Legendre para a Soma.................................. 132 5.4) Identidade de Legendre para a Diferença............................ 133 5.5) Identidade de Lagrange para a Soma 133 5.6) Identidade de Lagrange para a Diferença............................ 134 5.7) Produto da Soma pela Diferença.......................................... 140 5.8) Identidades de Stevin........................................................... 142 5.9) Cubo da Soma de Dois Termos 149 5.10) Cubo da Diferença de Dois Termos.................................... 149 5.11) Identidade de Cauchy......................................................... 152 5.12) Quarta Potência da Soma e da Diferença 157 5.13) Identidades de Legendre.................................................... 158 5.14) Quinta Potência da Soma................................................... 160 5.15) Quinta Potência da Diferença............................................. 161 5.16) Identidades para Termos Recíprocos 165 5.17) Quadrado da Soma de Três Termos.................................. 173 5.18) Identidade de Lagrange Para Três Termos......................... 175 5.19) Produto Dois a Dois Elevado ao Quadrado 176 5.20) Identidades de Argand....................................................... 181 5.21) Quadrado da Soma de Quatro Termos............................... 182 5.22) Cubo da Soma de Três Termos.......................................... 183 5.23) Identidade de Gauss 185 5.24) Soma de Quatro Termos Elevado ao Cubo........................ 186 5.25) Quarta Potência de Três Termos........................................ 187 5.26) Identidades de Stevin para Três Termos 189 5.27) Identidade de Sophie-Germain......................................... 191 5.28) Identidade de Chrystal........................................................ 194 5.29) Identidades Condicionais.................................................... 199 5.30) Tópicos Avançados em Produtos Notáveis.. 211 Capítulo 06: Fatoração 6.1) Critérios de Fatoração 213 6.2) Agrupamento ou “evidência”................................................. 213 6.3) Quocientes Notáveis............................................................. 214 6.4) Completando o Produto Notável........................................... 216 6.5) Cruzadinha Simples 226 6.6) Teorema do Fator ou das Raízes Racionais......................... 230 6.7) Fatorando Polinômios do 3º Grau......................................... 231 6.8) Cruzadinha Dupla 234 6.9) Cruzadinha Dupla Especial 238 6.10) Fatorando Polinômios do 5º Grau....................................... 243

Capítulo

6.11) Cruzadinha Tripla............................................................... 246 6.12) Tópicos Avançados em Fatoração...................................... 256 Capítulo 07: Polinômios Simétricos 7.1) Forma de um Polinômio Simétrico 259 7.2) Propriedades dos Polinômios Simétricos.............................. 260 7.3) Fatoração por Polinômio Simétrico....................................... 261 7.4) Polinômio Alternado.............................................................. 263 7.5) Propriedades dos Polinômios Alternados 264 7.6) Fatoração por Polinômio Alternado....................................... 265 Capítulo 08: Somas de Newton 8.1) Somas de Newton para Dois Termos................................... 272 8.2) A Notação Sigma.................................................................. 274 8.3) Somas de Newton para Três Termos.................................. 276 8.4) Generalização para um Polinômio de Grau n 280

09: Respostas e Sugestões

Resoluções Bibliografia

Capítulo 10:

Capítulo 01 - Potenciação

Introdução

A determinação da potência de um número é feita pela multiplicação de fatores iguais. O expoente possui um papel fundamental na potenciação, pois ele é quem define quantas vezes a base será multiplicada por ela mesma. Vejamos como trabalhar com essa ferramenta importantíssima na resolução de problemas.

1.1) Definição:

Dado um número real “a” qualquer, tomemos n como um número natural. O produto de n fatores “a” é igual à enésima potência de “a”. "n"vezes n ne a aa...aa;  

Consequências da definição:

a)   0 a1;a0,

b) 1 aa;a .

Exemplos de Aplicação 01

a) 0 20011  .

b) 0 11  .

c)  1 20220240964096  .

1.2) Propriedades das Potências:

c)   a 00;a0,

d)   a 11;a .

d) 1785 00  .

e) 1 00 

f) 1750234 11 

A seguir, veremos as propriedades mais importantes das potências. Com elas, iremos resolver vários problemas usando o mínimo de cálculo algébrico. Vamos lá!

P1.Produto de Potências de Mesma Base:

Num produto de potências de mesma base, repete-se a base e somam-se os expoentes.

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 11

  mnmnaaa

12 1 P o t e n c i a ç ã o Demonstração:     "m"vezes"n"vezes"mn"vezes mnmn mnmn aaaa...aaa...a aaaaaa...a aaa;m,n ea. Exemplos Resolvidos 01 a) 31531531518555 555   b) 362536253625618181a 818181   c) 2p7p2p7p2p7p9pmmm mmm   P2.Divisão de Potências de Mesma Base: Numa divisão de potências de mesma base, repete-se a base e subtraem-se os expoentes. m mn n a a a  Demonstração: mm"m"vezes"mn"vezes nn "n"vezes m mnn n a1a aa...a aaaa...a aa...a aa a a;m,n,a ea0. a    Exemplos Resolvidos 02 a) 3030 301218 1212 33 3 3 33  b) 20162016 201610081008 10081008 22 2 2 22  c) 100100 1007228 7272 xx x x xx  .

P3.Potência Elevada a Potência:

Numa potência de uma potência, repete-se a base e multiplicam-se os expoentes.

P4.Produto Elevado à Mesma Potência:

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 13

 n mmnaa  Demonstração:      "n"vezes nn mmmmmmn aaa...aaa;m,ne a Consequência:       "n"vezes"n"vezes"n"vezes p n mmmmmmmmmm "p"vezes p mmnnp aaa...aaa...a...aa...a aa            p n mmnp aa;m,n,p ea     

Resolvidos 03 a)     33 25253257577 77   b)     mm 2q2qm2q2qmpp pp   c)     3n3n mm 2q2qm3n2q6qmn pp pp    .

Exemplos

produto

 n nnabab  Demonstração:             "n"vezes "n"vezes"n"vezes nn n nn ababab...ababaa...abb...b abab;ne a,b.  

Num

elevado à potência, eleva-se cada base ao expoente.

Consequências:

01) Produto de vários termos, elevado a potência: O produto de vários termos elevado a potência é igual ao produto de cada termo elevado a potência.

Demonstração:

Exemplos Resolvidos 04

02) Se as potências tiverem expoentes:

Generalizando a consequência anterior para produto de potências, tem-se:

Demonstração:

14 1 P o t e n c i a ç ã o

   n nnnabcabc

            "n"vezes n "n"vezes"n"vezes"n"vezes n n nnn abcabcabc...abc abcaa...abb...bccc abcabc;n ea,b    ,c, 

a)         2mx2mx2mx2mx 2mx2mx pmpm pmpm . b)           2525252525 252525 abcabb abcabc  .

   n xyznxnynz abcabc

          "n"vezes n xyzxyzxyzxyz "n"vezes"n"vezes"n"veze n xyzxxxyyyzzz abcabcabc...abc abcaa...abb...bccc     s n xyznxnynz abcabc;n,x,y, ea,b,c, 

Questão 1.4 (AHSME-1971)

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 15 Exemplos Resolvidos 05 a)         2m2m2m2m 4q5n4q5n4q5n8qm10nm pmpmpmpm.  b)           33333 xyzxyzxyz3x3y3z abcabbabcabc.  Problemas Propostos Questão 1.1 (AHSME-1952)     n4n n3 222 22    , quando simplificado, é: a) n1 1 2 8  b) n12  c) n12 d) 7 8 e) 7 4 Questão 1.2 Determine   2d 2c 2b a2        Questão 1.3 Determine mn 222 mn 2a2b2c 237     

O número    2k12k1 2k 222   é igual a: a) 2k 2 b)  2k1 2 c)  2k1 2 d) 0 e) 2 Questão 1.5 Simplifique 416111713 20304028 1015337784 5143011   .

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 23 Exemplo Resolvido 09 Determine     "10"parênteses 2 2 333    . Resolução: Podemos escrever:           10 10 "10"parênteses"10"parênteses 21 22 2 221 21 22 33333333                    "10"parênteses"10"parênteses 22 22 21023 2046 3333 3333.     Exemplo Resolvido 10 Calcule     "x"parênteses x x x x xxxxx             . Resolução: Podemos escrever:     xx1 "x"parênteses x x1xx x x x x1x1 x xxxxxxx                   Exemplo Resolvido 11 Determine   "2016"parênteses 10 10 10 9999 2222            

Questão 1.11 (Harvard-MIT-2012)

24 1 P o t e n c i a ç ã o Resolução: Podemos escrever:     20161 2017 2017 "2016"parênteses 10 1010 9 10 10 101 9999 1010 9 1010 9 E2222 E2 E2 E2.                        Problemas Propostos

Se 42n 128 42 42  , encontre o valor de n. Questão 1.12 Determine 5 5 5 5 "2016"vezes 3 3 3 32                     . Questão 1.13 Determine "x"vezes xxx xxx  . Questão 1.14 Determine     "x"vezes x x x xxxx xxxx         .

A partir de agora, veremos as séries infinitas. Atenção aos raciocínios que aumentam a visão do leitor. Venha comigo!

2.5) Séries Infinitas:

Nesta seção, veremos as séries infinitas de radicais, cujos raciocínios fornecem uma boa maturidade para quem os estuda. São séries que facilitam muitos cálculos e são ferramentas rápidas e eficazes na hora da prova, vejamos.

S1. Radicais em Soma:

Aqui veremos as séries em soma, acompanhe cada caso com atenção.

a) Soma de Radicais Simples:

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 61

114a aaa;a0 2   .

      22 2 2 xaaa xaaa xax xxa0; 14.1.a 14a; 114a 114a x x 2.12 114a aaa;a0. 2        b) Soma de Radicais com Termo Fora da Raiz: 2 bb4a ababa; a0 e b0 2   Demonstração:       22 2 22 2 2 xababa xababa xabx xbxa0; b4.1.a b4a; bb4a bb4a x x 2.12      2 bb4a ababa; a0 e b0. 2  

Demonstração:

62 2 R a d i c i a ç ã o c) Soma de Radicais com Termos em Produto: 2 * bb4ab abbabbab;ab. 2    Demonstração:       2 22 2 2 2 22 xabbabbab xabbabbab xabbx xbxab0; b4.1.ab b4ab bb4ab bb4abbb4ab x x x 2.122          2 * bb4ab abbabbab;ab. 2

Soma com Termos em Produto e um Termo Fora da Raiz: 2 * bb4ac acbacbac;ac. 2    Demonstração:                2 22 2 2 2 22 2 * xacbacbac xacbacbac xacbx xbxac0; b4.1.ac b4ac bb4ac bb4acbb4ac x x x 2.122 bb4ac acbacbac;ac. 2 e) Soma com Produto de Termos Consecutivos:         * aa1aa1aa1a1;aa1.  

     xaa1aa1aa1 

Demonstração:

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 63                                       2 22 22 2 2 * xaa1aa1aa1 xaa1x xxaa10; 14.1.aa1 14a4a 12a; 112a 112a22a x x x x1a 2.122 aa1aa1aa1a1;aa1. f) Soma com Produto de Três Termos Consecutivos:            114aa1a2 aa1a2aa1a2 2 Demonstração:                                                         2 22 2 xaa1a2aa1a2aa1a2 xaa1a2aa1a2aa1a2 xaa1a2x xxaa1a20; 14.1.aa1a2 14aa1a2; 114aa1a2114aa1a2 x x 2.12 1 aa1a2aa1a2     14aa1a2 ; 2 g) Soma de Termos Consecutivos e com Termo Fora da Raiz.               2 a25a4 aa1a2aa1a2aa1 2 Demonstração:          xaa1a2aa1a2aa1 



 



64 2 R a d i c i a ç ã o            2 xaa1a2aa1a2aa1                      22 2 2 2 xaa1a2x xa2xaa10; a24.1.aa1 a24aa1 a4a  2 44a4a                           2 2 2 2 * 5a4; a25a4 a25a4 x x 2.12 a25a4 aa1a2aa1; 2 aa1,a2. h) Soma interessante:           a2a1a1a2a1a1a2a12a1  Demonstração:                                      



       2 22 2 22 2 2 2 xa2a1a1a2a1a1a2a1 xa2a1a1a2a1a1a2a1 xa2a1a1x xa1xa2a10; a14.1.a2a1 a2a18a4a 9a6a1 3a1; a13a1 a13 x x 2.1   a1 x2a1. 2 i) Soma com Inverso do Produto Consecutivo:           * aa1aa1aa1a;aa1. Demonstração:      xaa1aa1aa1 

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 65        2 xaa1aa1aa1                                22 22 2 2 * xaa1x xxaa10; 14.1.aa1 14a4a 2a1; 12a1 12a12a x x x xa. 2.122 aa1aa1aa1a;aa1. j) Soma com Termos em PA:     222 abaaba2abab  Demonstração:                           * 2 222 2 2 2 2 ** 22 2 2 2 2 abab aba2abb abab2ab *2ab2ab 2abaab 2aba2aabab 2abaab2aab 2abaab3ab **3ab3ab 3aba2ab 3aba2a2ab2ab                2 2 3aba2ab2a2ab 3aba2ab4ab   Logo, temos:      222abab2ab ababaab3ab        222 ababaaba2ab4ab

Vejamos as aplicações desses radicais!

Exemplo Resolvido 59: Efetue 22

Resolução: Podemos escrever:

Exemplo Resolvido 60: Qual o valor de

Resolução: Podemos

Exemplo

61: Qual o valor

Resolução: Podemos

E34434 E4443441648464 E E 222

E 124126. 22

Exemplo Resolvido 62: Efetue

Podemos escrever:

22 E512151116 E E 385388.

66 2 R a d i c i a ç ã o     222 abaaba2abab. 



E22E114211819 EE 222 E13 222. 2    

43434 ?

escrever: 2 33443916 E434 E E 22     E325358 E E E4. 222

de 124126 

Resolvido

     2 E12412

escrever:

E4812

38538

   

. Resolução:

E38538EE5543852596

222

Exemplo Resolvido 67: Qual o valor de 12111211

Resolução: Podemos escrever:

Exemplo Resolvido 68: Qual o valor de 97910913

Resolução: Podemos escrever:

Problemas Propostos

Questão 2.43 (AHSME-1954/Stanford-2010)

Se x1111  , então: a) x = 1 b) 0x1  c) 1x2  d) infinito e) x2  , mas finito

Questão 2.44 (Harvard-MIT-2000)

Qual o valor de 121314151  ?

Questão 2.45 (Harvard-MIT-2000)

Qual o valor de 1631671611161516  ?

68 2 R a d i c i a ç ã o



   121112111212112121 1211121112.  



    222 E97910913 E373373237...E37 9791091310.   

Questão 2.46

Qual o valor de 9295989119  ?

Questão 2.47

Qual o valor de 1616516991316  ?

Questão 2.48

Qual o valor de a2a2a ?

Questão 2.49

Qual o valor de 24224224 ?

Questão 2.50

Qual o valor de 207020702070  ?

Questão 2.51

Qual o valor de

Questão 2.52

Qual o valor de 3 3 3 606060

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS

              222 axnaxaxnnaxnax2nnax2n 



Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 97 Exemplo Resolvido 106: Mostre que 33 3 33 149144 5 72   . Resolução: Podemos escrever:             333322 333322 3333 333333 333333 33 33 3 33 7722 11 7272 7722 149144149144 72 7272 72 149144 . 5 72        Exemplo 107: Mostre que 5 5 5 5555 1 32 8154362416   Resolução: Podemos escrever:     5 5555 5 5555432234 5 5 555555555555 5 5 5555555 5 5 5 5 5 5555 5 5 5 5555 11 8154362416 32323322 1132 8154362416815436241632 132 8154362416 32 132 32 8154362416 1 32. 8154362416           

108 3 R a c i o n a l i z a ç ã o Exemplo Resolvido

 Resolução

Podemos escrever: 2 524 A5eB24,C524 C2524 C1. ACAC5151 Logo:AB 524 2222 64 524 52432. 22     Resolução 02: Podemos escrever:       22 2 5243262 52432322 52432 52432,como 320 52432.    Exemplo

Resolução 01: Podemos escrever: 2 2 2810328310 2810328300 A28eB300,C28300 C784300 ACAC C484 C22.Logo:AB 22 28222822506 28300 28300 2222 28300253 2830053.        Resolução 02: Podemos escrever:     2 2 2 28103252533 2810352533 2810353 2810353,como 530 2810353.     Exemplo Resolvido 115: Qual o valor de 3838  ?

113: Determine 524

01:

Resolvido 114: Determine 28103 .

Assim, substituindo na outra expressão temos:

(*) Observação: Você aprenderá o teorema do fator no capítulo de Fatoração.

Resolução 02: Podemos escrever:

A9A3. eq1 e A3BA45A36A45

A6A45.eq2

Note que A3 não satisfaz eq2. Portanto A3.

Note que, pelo teorema do fator, 2 é raiz dessa equação de terceiro grau. Logo: E = 2.

(*) Observação: Esses produtos notáveis serão vistos no capítulo 5, com todos os detalhes!

114 3 R a c i o n a l i z a ç ã o

  222 3 3 nm451682 n3343 n97 n2

3 3 ABmn45168232 

Logo:

      3 3 22 3 45292ABA3BA3ABB45292 

          2222 222 3

Por comparação, temos:

B23AB293A2293A2923A27

    Logo:  3 33 3 4529232 4529232 .

119: Qual o valor de 33 1010810108  ? Resolução 01: Seja 310108x  , 310108y  e Exy0  , temos dos produtos notáveis (*):               3 33 33 3333 3 2 32 3 333 33 33 xyxy3xyxy E10108101083E1010810108 E10108101083E10108 E203E100108E203E8E203E2 E206E E6E200.**     

Exemplo Resolvido

Questão 3.52 (Stanford-2008)

Simplifique 3 17745 4  .

Questão 3.53 (IME-02/03)

Demostre que 332014220142  é um número inteiro múltiplo de 4.

Questão 3.54

Mostre que 332615326153  é um número inteiro.

Questão 3.55 (Turquia-2007-Modificada)

Determine o valor de 332525  .

Questão 3.56 (AHSME-1980)

A soma 3352135213  , é igual a:

Questão 3.57 (Turquia-2009-Modificada)

Determinando o valor de 33 x1133711337

, quanto vale 3 x18x  ?

Questão 3.58

Qual o valor de 33527527  ?

Questão 3.59 (IMO-Longlist-1973)

O número 335252  , é racional ou irracional?

Questão 3.60 (Suécia-2001)

Mostre que

11 33525525  é irracional.

121

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS

a) 3 2 b) 3

4 c) 6 113 2  d) 3 2 e)



   

Vamos agora desenvolver a soma de termos recíprocos n n 1 x x  , dada a condição 1 xk x  , com k2  . Primeiramente iremos ver algumas regras práticas, ao final veremos sua generalização.

5.25) Soma de Termos Recíprocos:

a) Soma dos quadrados de termos recíprocos, dada a sua soma. A soma dos quadrados de dois termos recíprocos é dada por

b) A soma dos cubos de termos recíprocos, dada a sua soma.

c) A soma das quartas potências de termos recíprocos, dada a sua soma.

soma das quartas potências de termos recíprocos é dada

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 165

22 2 1 xk2 x  Demonstração: 22 222 2222 22 1111 xkxkx2xk xxxx 11 x2kxk2. xx     

dos cubos de

recíprocos

por 33 3 1 xk3k x  Demonstração: 323 3322 3333 33 3333 33 xk11111 xk x3x3xk xxxxx x3x3k1111x3xk xxxx x3kk11xk3k. xx         

A soma

termos

é dada

por 442 4 1 xk4k2 x 

166 5 P r o d u t o s N o t á v e i s Demonstração:   4 4 234 4324 424424 2424 424424 44 424 4 xk11xk xx 1111 x4x6x4xk xxxx x4x64k1111x4x6k xxxx x4k26k11x4k86k xx 1 x4k2k x x               442 4 1k4k2. x 

soma. A soma das quintas potências de termos recíprocos é dada por 553 5 1 xk5k5k x  Demonstração:   5 5 2345 54325 535 35 535 34 53 5 xk11xk xx 11111 x5x10x10x5xk xxxxx 111 x5x10x105k x xx 111 x5x10xk x xx 1 x5k3k10kk x                        5535 5 535553 55 1 x5k15k10kk x x5k5kk11xk5k5k. xx   e) A soma das sextas potências de termos recíprocos, dada a sua soma. A soma das sextas potências de termos recíprocos é dada por 6642 6 1 xk6k9k2 x 

soma das quintas potências de termos recíprocos, dada a sua

Observação: Com um pouco de manipulação algébrica, podemos escrever a soma das sextas potências da seguinte forma:

Generalizando por equação do 2º grau e lembrando que k2

. Podemos generalizar a soma da enésima potência resolvendo a equação do segundo grau formada, assim sua solução geral é dada por:

Demonstração:

1 xk x1kx

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 167 Demonstração:     6 642 246 6 642 642 66 6 66 6 66664 422 422 66 42 xx6x2015x11561 x xxx 1111 xx6x15x20 x xxx 1 kx61520 x 1 kx61520 x kx611xk6k9k x k4k2k2 k24k12k30 k9k x 2                  2 2.

   6242 6 1 xk2k4k1 x  .

2 kk4 x 2  



    2

2 2 2

xkx10;

kk4 kk4 k40;x x. 212     Se 2 kk4 x 2   , então: n n 2 n n 2 1kk42 x 2 x kk4            .

k411 x

Observação: Os primeiros desenvolvimentos são formas práticas e rápidas, fica a cargo do leitor decorá-las ou não.

Vamos agora desenvolver a soma de termos recíprocos n

, dada a condição 1 xk x  , com k2  . Primeiramente iremos ver algumas regras práticas, ao final veremos sua

5.26) Diferença de Termos Recíprocos:

a) Soma dos quadrados de termos recíprocos, dada a sua diferença.

soma dos quadrados de dois termos recíprocos é dada por

168 5 P r o d u t o s N o t á v e i s

n n 2 n n 2 1kk42 x 2 x kk4          .

Se 2 kk4 x 2  , então:

n 1 x



generalização.

22 2 1 xk2 x  Demonstração: 22 222 2222 22 1111 xkxkx2xk xxxx 11 x2kxk2. xx     

A diferença dos cubos de termos recíprocos, dada a sua diferença. A diferença dos cubos de termos recíprocos é dada por 33 3 1 xk3k x  Demonstração: 323 332211111 xkxkx3x3xk xxxxx    

Agora veremos as identidades para três variáveis, identidades muito úteis no desenvolvimento das relações de Girard (polinômios) e também em fatorações.

5.27) Quadrado da Soma de Três Termos:

O quadrado da soma de três termos é igual ao quadrado de cada um dos três termos mais o dobro do produtos tomados dois a dois.

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 173

Resolvido 201: Sabendo que 1 x3 x  , determine o valor de 6 6 1 x x  . Resolução: Podemos escrever: 66426 66 66 66 x36393211x729681992 xx x72948681211x322. xx   Exemplo Resolvido 202: Se 1 x2 x  , qual o valor de 100 100 1 x x  ? Resolução: Podemos escrever: 100 100 2 100 100 2 100100 100100100 100 12242 Ex E 2 x 224 221 E E11 x2. 22 x               

Exemplo

    2 222 a b c a b c 2ab ac bc  Demonstração:               2 2 222 2 222 2 222 a b c a b ca b c a b c a ab ac ab b bc ac bc c a b c a b c 2ab 2ac 2bc a b c a b c 2ab ac bc.    

Problemas Propostos

Questão 5.68 (IMO-Longlist-1988 / AHSME-1975)

Se p, q e r são as raízes distintas da equação 32 xxx20  , então 333pqr

é igual a:

Questão 5.69 (Putnam-1939-Modificada)

As raízes de 32 xaxbxc0  são ,

Questão 5.70 (AIME-2008)

Sejam r, s e t as três raízes da equação 3 8x1001x20080

Questão 5.71 (Stanford-2007)

Se 222333 rst3, rst1e rst3

Questão 5.72 (Stanford-2007) As

Questão 5.74

Questão 5.75 (Noruega-1996-Modificada)

Sejam

188 5 P r o d u t o s N o t á v e i s



–1 b) 1 c) 3

e 



. Determine 333

 .

      333rssttr  .

Determine

 , calcule rst  .

raízes de 32 x7x6x50  são a, b e c. Calcule    abacbc  .

Sabendo que             42424242 42424242 22144166132321 A 11133155131311    ,

Questão 5.73

determine o valor de A1053

Mostre que             3333 xyyzxzxyyzxz3xyzxyxzyz 

222 xyz206  . Determine o valor de 333 xyz xyxzyz   .

x, y e z números naturais com x < y < z, tais que xyz =

Questão 5.111 (Suécia-2001)

Mostre que

525525  é irracional.

Questão 5.112 (Malásia-2010)

Mostre que existem inteiros m e n, tais que 33

Questão 5.113 (Turquia-2007-Modificada)

Determinando o valor de 33 x1133711337,  então 3 x18x

Questão 5.114 (Harvard/MIT-2008)

Sejam a, b, c são números reais não nulos, tais que

333555

Questão 5.115

Questão 5.116

Se 222 abc5

, ache o valor de

, determine o valor de

Questão 5.118

Se abc0  , determine o valor de 666

Questão 5.119

Sejam a, b e c números reais, tais que

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 209

    11 33

n  .

m 507507



vale?

abc0  ,

abcabc  . Determine 222abc 

Simplifique       444 a2bcb2cac2ab  .

      22abcabc 252bc   .



  555abc abcacbcab   .



Questão 5.117 Se abc0



abc

111 abc0 abc  . Prove que 666 333 abcabc abc    .

Capítulo 06 - Fatoração

Introdução

Fatorar é colocar em produto de fatores primos. Por exemplo, fatorar 15 é colocá-lo como um produto de fatores primos, no caso o 3 e o 5. Vamos fazer isso com polinômios agora, divirta-se!

Veremos os critérios de fatoração, vamos lá!

6.1) Critérios de Fatoração

Veremos os critérios mais interessantes para se fatorar polinômios, aprenderemos essas técnicas maravilhosas que ajudam o leitor a encontrar raízes de polinômios rapidamente. Divirtam-se!

O primeiro critério que estudaremos será a fatoração por agrupamento ou “colocando em evidência”. É um método que consiste em agrupar os termos semelhantes buscando colocar a expressão em forma de produto.

6.2) Agrupamento ou “Evidência”:

Esse critério consiste em agrupar termos semelhantes até termos um produto.

Exemplo Resolvido 224: Fatore axbybxay

Resolução: Agrupando os termos semelhantes:

Exemplo Resolvido 225: Fatore 243 2x4x2xx

Resolução: Podemos fazer quantos agrupamentos forem necessários:

Nosso segundo critério tem ligação com os produtos notáveis, são os chamados quocientes notáveis, são muitas as aplicações desse critério principalmente em simplificações.

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 213



       axbybxayxabyab axbybxayabxy.

 .

          24333 2432 E2x4x2xxE2x12xx12xE12x2xx 2x4x2xxx12x2x.  

6.3) Quocientes Notáveis:

Esse critério consiste em usar os produtos notáveis para fazer a fatoração. Usaremos

214 6 F a t o r a ç ã o

abab   b)

ab  . c)

ab    . d)       4444 2222

ababou abab abab   . e)

ab  . f)

ab    . g)     66 2222 ab abaabbaabb ab  . h)

ab    . i) 77 6542332456 abaabababababb ab  . j) 77 6542332456 abaabababababb ab    . k)      88 2244 ab ababab ab . l)    99 226336 ab aabbaabb ab  . m)    99 226336 ab aabbaabb ab    n)    1010 432234432234 22 ab aabababbaabababb ab  . o) 1010 86244268 22 abaabababb ab    .

os mais comuns:

2222 abab abou ab

33 22abaabb

abab

55 432234 abaabababb

66 4224 22 abaabb

Exemplo Resolvido 233: Fatore 4 x16  .

Resolução: Vamos resolver completando um trinômio quadrado perfeito, lembrando que poderíamos usar o critério 2.

Note que podemos usar os produtos notáveis:

. Então temos:

2 22 a b a2abb e

Observação: Poderíamos usar a identidade de Sophie-Germain para axe b2

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 217  3 3223 aba3ab3abb  . Então temos:  3 323223Ex3x3x1 Ex3x13x11 Ex1.

Resolvido

Fatore 32 x6x16 

 3 3223 aba3ab3abb  . Então temos:              3232323 323 2 3 323 2 2 322 2 Ex6x16Ex3x2824Ex3x2224 Ex3x222412x12x Ex3x23x4212x24 Ex212x2 Ex2x212 Ex2x4x412 x6x16x2x4x8.         

Exemplo

232:

Resolução: Note que podemos usar o produto notável:



  

ababab 

               22 42242222 22 42222422 2 2 42422 2x4 x16x4 x16x48x8x x16x8x48x x16x48x x16x42x2 x16x42x2x42x2.   





Questão 6.28

Simplifique 3322 222 abab

Questão 6.30

Sejam a, b e c números reais não nulos, tais que abc0

, Prove que 222222333

Questão 6.34 (AIME-1986)

Questão 6.35 (Putnam-1938-Modificada)

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 221

a2abbaab       .

       42 22 3322 ababab2ab abab2ab  .

Questão 6.29 Simplifique



abbccabccaab   

abbccaabc

Se abc  , simplifique          abbcca M abbcabcabcca    . a) 1 b) 1 2 c) 3 d) 2 e) 3 3 Questão 6.32 Fatore  2 22222 4bcabc Questão

Fatore     222222444 2abacbcabc  .

Questão 6.31

6.33

Calcule     567567567567  .

Fatore     2 22 y3y23y3y22y 

Questão 6.36 (CN-1998)

Questão 6.37 (CN - 1981-Modificada)

Fatore e simplifique a expressão

Questão 6.38 (CN-1983)

Fatorando e simplificando a expressão

Questão 6.39 (Harvard-MIT-2012)

Sejam a e b números complexos, tais que 2a3b10

e 22 4a9b20

, determine o valor de ab

Questão 6.40 (Harvard-MIT-2014)

Sejam a, b, c e x, números reais com

Questão 6.41 (Kürschár-1959)

Se a, b e c são três números inteiros distintos e n é um inteiro positivo, mostre que

222 6 F a t o r a ç ã o

A expressão     33333322 33 xyzxyz yz   é equivalente a: a) 34x b) 34yx c) 34zx d) 34yzx e) 4xyz

       4242 322 xx5x42x5x4 x6x12x8x1   a) x2 x2  b) x2 x1 c) x1 x2  d) x2 x2  e) 1

   2222 3223 zxzy2xyzxy x3xy3xyy   , tem-se: a)  zxy  b)  zxy c) zxy  d) zxy e) yz 



    abbcca0  que satisfaz 222222 abbcca 20, 14e x abacbcbacacb   , qual o valor de x?

         nnn abc abacbabccacb  , é um número inteiro.

Teorema das Raízes Racionais

Considere ainda

O Teorema das Raízes Racionais garante que, se essa equação admite o número racional p q como raiz (com

divisível por p e na é divisível por q A combinação de qualquer divisor de 0a por qualquer divispr de na pode ser uma raiz. Assim, se chamarmos p q de , então temos:

qualquerdivisordea qualquerdivisordea

(veja o exemplo 239).

Note que esse “” é o mesmo do x –  do teorema do fator.

Observações:

1) O teorema das raízes racionais não garante que o polinômio tenha raízes racionais, mas caso existam, o teorema permite identificar todas as raízes da equação;

2) Se n a1  e os outros coeficientes são todos inteiros, o polinômio possui apenas raízes inteiras.

3) Se q1  e o polinômio admite raízes racionais, estas são inteiras e divisoras de 0a

6.7) Fatorando Polinômios do 3º grau

Vamos fatorar polinômios do 3º grau, usando o teorema do fator e a cruzadinha simples de uma variável.

Seguiremos os seguintes passos:

Passo 01: Usar o teorema do fator ou das raízes racionais.

Passo 02: Como x – a é um fator e o polinômio é do 3º grau, então o outro fator é do 2º grau. Para encontrá-lo podemos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para divisão de polinômios ou usar o artifício abaixo.

Artifício: Utilizamos a identidade de polinômios para obter o outro fator, veja os exemplos para ficar mais claro.

Observação: Como o dispositivo de Briot-Ruffini é usado para divisão de polinômios e esse assunto foge aos objetivos desse livro, então iremos usar o artifício em todas as fatorações de polinômios de 3º grau por esse critério.

Passo 03: Usamos a cruzadinha simples.

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 231

  nn1 nn110 Pxaxaxaxa  .

  p, qe mdcp,q1   , então 0a é



Passo 03: Aplica-se cruzadinha simples com o resultado do passo 02, para a verificação dos termos ainda não utilizados.

Passo 04: Cada linha forma um fator, ou seja,

Exemplo Resolvido 247: (IME - Modificada) Fatore

Resolução: Vamos resolver passo a passo:

Passo 01: Aplica-se cruzadinha simples para os coeficientes extremos. Nessa aplicação já iremos contabilizar uma parte do termo central.

Passo 02: Fazemos a diferença entre o termo central e o resultado já contabilizado do passo 01.

Passo 03: Aplica-se cruzadinha simples com o resultado do passo 02, para a verificação dos termos ainda não utilizados.

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 241

432

2x2x9 2       2 2222 11x Rx11xx2x9

432

2x 2x 0x 2x 9 2 linha linha  

x2x11x18x18 

 22222 Rx11x11xRx0x 

x2x0x18x18 

   43222

 .

x2x11x18x18x9x2x2

432

x12x44x32x52 

2x 2x 2 26     2

x12x44x32x52 

24x

2222 Rx44xx2x26 

6.10) Fatorando Polinômios do 5º grau

Vamos fatorar polinômios do 5º grau, usando o teorema do fator e a cruzadinha dupla especial.

Seguiremos os seguintes passos:

Passo 01: Usamos o teorema do fator ou das raízes racionais.

Passo 02: Como x –  é um fator e o polinômio é do 5º grau, então o outro fator é do 4º grau. Para encontrá-lo podemos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para divisão de polinômios ou usar o artifício abaixo.

Artifício: Utilizamos a identidade de polinômios para obter o outro fator, vejamos os exemplos para ficar mais claro.

Passo 03: Usamos a cruzadinha dupla especial.

Exemplo Resolvido 249: Fatore 5432 2xx16x8x30x15

Resolução: Vamos resolver passo a passo:

Passo 01: Usando o teorema das raízes racionais, temos que

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 243



1,3,5,15 a 1,2    Portanto,

ter

raízes: 1351,3,515,,, 222  e 15 2  . Assim, por inspeção, temos que 1 2 é raiz, logo podemos escrever:   5432432 5432 5432432 5432 543 1 2xx16x8x30x15xaxbxcxdxe 2 2xx16x8x30x15 axbxcxdxexxxxxabcde 22222 2xx16x8x30x15 ab axbxcx 22           2 cde dxex 222    

podermos

como

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 251

Questão 6.81

Fatore 22 4x4xy15y8x76y96  .

Questão 6.82

Fatore 22 10xxy33x2y15y7 

Questão 6.83

Fatore 22 3x22xy17x16y20y6 .

Questão 6.84

Fatore 22 7x22xy41x3y23y30

Questão 6.85

Fatore 22 7x22xy13x3yy2

Questão 6.86

Fatore 2 3xxy5xy2 

Questão 6.87

Fatore 22 18x43xy24y27x24y

Questão 6.88 (Bósnia-2004-Modificada)

Fatore 4 x56x15  .

Questão 6.89 (Putnam-2001-Modificada)

Fatore  

2 42 x2n4xn2 

Questão 6.90 (Turquia-2001-Modificada)

Fatore 432 x3x5x21x14  .

Questão 6.91 (Turquia-2004-Modificada)

Fatore 432 x4x5x4x1  .





 .





Capítulo 07 - Polinômios Simétricos

Introdução

Podemos fatorar polinômios usando os polinômios simétricos ou alternados. É uma ferramenta bastante útil que facilita a fatoração. Vejamos como usar essa ferramenta.

7.1) Polinômios Simétricos

Os polinômios simétricos são aqueles que não se alteram quando trocamos simultaneamente qualquer par de variáveis.

Exemplo:   22Px,yxxyy  é um polinômio simétrico, pois, ao trocarmos x por y e y por x, obteremos

Vejamos como são os casos genéricos dos polinômios simétricos.

7.2) Forma de um Polinômio Simétrico

Vejamos como se comportam alguns polinômios simétricos dependendo do grau e da quantidade de variáveis.

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 259

    22 Py,xyyxxPx,y  .

2 Variáveis:    11Px,yaxy  . Grau 1 e 3 Variáveis:    111 Px,y,zaxyz  . Grau 2 e 2 Variáveis:      2211 Px,yaxybxy  Grau 2 e 3 Variáveis:      222111111 Px,y,zaxyzbxyxzyz  Grau 3 e 2 Variáveis:      332112 Px,yaxybxyxy  Grau 3 e 3 Variáveis:         333222222 Px,y,zaxyzbxyxzyxyzzxzycxyz  Grau 4 e 3 Variáveis:           444333333 222222222 Px,y,zaxyzbxyxzxyyzxzyz cxyxzyzdxyzxyzxyz.  

Grau

Grau 5 e 3 Variáveis:

7.3) Propriedades dos Polinômios Simétricos

Vejamos algumas propriedades importantes dos polinômios simétricos.

P1) A soma, o produto e o quociente entre dois polinômios simétricos quaisquer resultam num polinômio simétrico.

P2) (Ida) Seja um polinômio simétrico P(x, y, z...) nas variáveis x e y, z,.... Se P(x, y, z,...) for anulado para x = 0, então também será anulado para y = 0, z = 0,... e vice-versa, ou seja, ele será divisível por x por y, por z,.... Assim, se P(x, y, z) for divisível por x, ele também será divisível por y e z

P3) (Volta) Se um polinômio simétrico P(x, y, z...) for divisível por x, então será divisível por y, z,... e vice-versa, ou seja, se P(x, y, z) é anulado para x = 0, y = 0 e z = 0, então x, y e z serão fatores.

P4) (Ida) Se um polinômio simétrico se anula para a igualdade entre duas de suas variáveis, então se anulará para todas as combinações delas, ou seja, será divisível pela diferença entre elas (x = y  x – y = 0). Além disso a diferença entre essas duas variáveis será um fator desse polinômio. Os demais fatores serão determinados de acordo com as expressões (formas) cíclicas (fechadas) no sentido horário, como veremos nos exemplos.

P5) (Volta) Se um polinômio simétrico for divisível pela diferença entre duas de suas variáveis, então será divisível por todas as combinações das outras, ou seja, se anulará para a igualdade entre duas variáveis.

P6) (Ida) Se um polinômio simétrico se anula para a igualdade entre uma variável e o oposto de outra, então se anulará para todas as combinações delas, ou seja, será divisível pela soma delas (x = – y  x + y = 0). Além disso a soma dessas duas variáveis será um fator desse polinômio.

Os demais fatores serão determinados de acordo com as expressões (formas) cíclicas (fechadas) no sentido horário, como veremos nos exemplos.

P7) (Volta) Se um polinômio simétrico for divisível pela soma de duas variáveis, então será divisível por todas as combinações das outras, ou seja, se anulará para a igualdade entre uma variável e o oposto de outra.

260 7 P o l i n ô m i o s S i m é t r i c o s

            555444444 323223322323 333222222 Px,y,zaxyzbxyxzxyyzxzyz cxyxzxyyzxzyz dxyzxyzxyzexyzxyzxyz.   

7.4) Fatoração por Polinômio Simétrico

Vamos aprender a fatorar polinômios, por meio dos polinômios simétricos, veja como é uma ferramenta interessante, bastante simples e eficaz!

Para fatorar usando polinômios simétricos, vamos realizar os seguintes passos:

Passo 01: Verifique se o polinômio é simétrico.

Passo 02: Anulamos qualquer uma das variáveis para saber se haverá monômios como fatores.

Passo 03: Igualamos duas variáveis quaisquer para saber se a diferença entre elas é um fator, ou seja, x = y  x – y = 0.

Passo 04: Igualamos uma variável qualquer ao oposto de outra para saber se a soma entre elas é um fator, ou seja, x = – y  x + y = 0

Passo 05: Analisamos o grau do polinômio para colocar os fatores que faltam.

Passo 06: Damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para encontrar os coeficientes que faltam.

Exemplo Resolvido 254: Fatore

Resolução: Vamos fatorar passo a passo:

Passo 01: Note que o polinômio é simétrico.

Passo 02: Note também que o polinômio se anula para x = 0 e, pela propriedade P2, se anula para y = 0, ou seja, terá os monômios x e y como fatores.

Passo 03: Veja que o polinômio se anula para x = – y , ou seja, x + y é fator.

Passo 04: Como o grau do polinômio é 3 e o produto

também é do 3º grau, podemos escrever:

Passo 05: Por fim, damos valores ao polinômio parcialmente fatorado para encontrar o coeficiente que falta.

Para x1 e y2 , temos:

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 261

 3 33xyxy 

 xyxy 

    3 33 xyxyaxyxy  .

        333333 333 xyxyaxyxy 1212a1212 312a23 6a2718 6a18 a3.   Logo     3 33 xyxy3xyxy  . Resposta:     3 33 xyxy3xyxy  .

Capítulo 08 - Somas de Newton

Introdução

As famosas somas de Newton são importantíssimas para polinômios, quando queremos encontrar as somas das n-ésimas potências. É incrível como elas facilitam as contas e tornam a resolução concisa e elegante! Vamos aprender com todos os detalhes essa maravilha que pode ser usada nos mais diversos problemas, vamos lá!

8.1) Somas de Newton Para Dois Termos

Considere o polinômio   2 Pxaxbxc  , cujas raízes são 1r e 2r . Note que, se substituirmos 1r na equação, o resultado será zero, visto que 1r é raiz de

Note também que, se substituirmos 2r na equação, o resultado será zero, visto que 2r é raiz de

Px . Então, temos:

Somando (eq1) com (eq2):

Conclusões:

1) Como 22 12 rr  tem grau 2, chamaremos de 2S (soma “2” de Newton). Assim 22 212 Srr  .

2) Como 12rr  tem grau 1, chamaremos de 1S (soma “1” de Newton). Assim 11 112112Srr Srr .

3) Como 2 tem grau 0, chamaremos de 0S (soma “0” de Newton). Assim 00 01200Srr S11 S2 .

Então, podemos escrever: 210 aSbScS0  .

272 8 S o m a s d e N e w t o n

 

   



Px . Então, temos:

2 111 Prarbrc0.eq1



   





2 222 Prarbrc0.eq2

     

1212



arrbrr2c0.eq3

Generalização:

Se multiplicarmos (eq1) por 1r , temos:

Se multiplicarmos (eq2) por 2r , temos:

Somando (eq4) com (eq5):

Conclusões:

1) Como 33 12 rr  tem grau 3, chamaremos de 3S (soma “3” de Newton). Assim

2) Como 22 12 rr  tem grau 2, chamaremos de 2S (soma “2” de Newton). Assim 22 212 Srr  .

3) Como 12rr  tem grau 1, chamaremos de 1S (soma “1” de Newton). Assim 11 112112Srr Srr

Então, podemos escrever: 321 aSbScS0  .

Assim, seguindo o mesmo raciocínio para 23n2 111 r,r,...,r , temos:

Se multiplicarmos (eq1) por n2 1r , temos:

2n21n2n2nn1n2 111111 arbrcr0arbrcr0.eq7

 

Se multiplicarmos (eq2) por n2 2r , temos:

2n21n2n2nn1n2 222222 arbrcr0arbrcr0.eq8

 

Somando (eq7) com (eq8):

nnn1n1n2n2 121212 arrbrrcrr0.eq9 

Conclusões: 1) Como nn 12 rr  tem grau n, chamaremos de nS (soma “n” de Newton). Assim

n12 Srr 

Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS 273

  32 111 arbrcr0.eq4 

  32 222 arbrcr0.eq5 

        3322 121212



arrbrrcrr0.eq6

33 312 Srr 

 

       