Sumário Sobre o autor ......... ..................................................................................................... 9 Dedicatória ............................................................................................................... 11 Prefácio ..................................................................................................................... 13 CAPÍTULO 01- Análise Dimensional
1. Grand eza .............................................................................................................. 15 2. Grandezas básicas .......................................................................................... ...... 15 3. Regras para unidades ........................................................................................... 17 4. Análise dimensional ............................................................................................. 18 5. Fórmulas dimensionais ............................................ .. .. ... .. ....... ............................. 18 6. Sistema de unidades ....... .................................................................................... .. 19 7. Dimensões de grandezas físicas ........................................................................... 19 8. Princípio da homogeneidade dimensional ........................................................... 26 9. Teorema de Bridgman .......................................................................................... 28 10. Propriedades ...................................................................................................... 29 CAPÍTULO 02 - Análise Vetorial
1. Grandezas físicas .................................................................................................. 36 2. Vetores .................................... ............................................................................. 36 3. Soma de vetores ............................................................................. .................. ... . 36 4. Subtração de vetores ............................................................................................ 42 5. Multiplicação de um número real por um vetor .................................................. 43 6. Produto escalar de dois vetores .................................. ....................... .................. 44 7. Produto vetoria l de dois vetores .. .. ................................................. ........... .......... 46 8. Verso res ..................................................................................................... ....... .... 48 9. Vetores espaciais .................................................................................................. 48 CAPÍTULO 03 - Movimento Retilíneo
1. Introdução ............................................................................................................ 57 2. Deslocamento e velocidade média ........................................................................ 57 3. Velocidade instantânea ........................................................................................ 62 4. Velocidade escalar média e velocidade média ..................................................... 65 5. Cálculo de x(t) a partir de v(t) ............................................................................... 66 6. Aceleração média ................................................................................................. 67 7. Ace leração instantânea ........................................................................................ 72 8. Cá lculo de v(t) a partir de a(t) ................................................... ............. .............. 77 9. Classificação do movimento .................. ............................................... ................ 78
10. Descrição do movimento de um corpo com MRUV ........................................... 79 11. Distância percorrida durante o enésimo segundo .............................................. 81 12. Equações horárias quando t 0 '#O ........................................................................ 82 13. Gráficos do movimento uniforme ...................................................................... 83 14. Gráficos do movimento uniformemente variado .................... ........................... 84 15. Queda livre ......................................................................................................... 86 16. Tempo de queda livre ......................................................................................... 87 17. Velocidade de chegada ao chão de queda livre ................................................. 87 18. Gráficos de queda livre ....................................................................................... 88 19. Propriedade para corpos em queda livre - Proporção de Galileu ...................... 89 20. Dist ância percorrida durante o enésimo segundo de queda livre ...................... 90 21. Tem po t ranscorrido durante o enésimo metro de queda livre .......................... 91 22. Lançamento vertical ........................................................................................... 91 23. Tempo de subida no lançamento vertical ........................................................... 92 24. Altura máxima no lançamento vertical ............................................................... 93 25. Gráficos do lançamento vertical ......................................................................... 93 26. "Gravidade zero" ................................................................................................ 94 27. Tempo de encontro e tempo de alcance .......... .. ................................................ 96 CAPÍTULO 04 - Lançamento de Projéteis
1. Lançamento horizontal ....................................................................................... 102 2. Equação da trajetória no lançamento horizontal ............................................... 102 3. Tempo de queda no lançamento horizontal ....................................................... 103 4. Alcance no lançamento horizontal ..................................................................... 103 5. Velocidade de chegada ao plano horizontal ....................................................... 103 6. Lançamento oblíquo ........................................................................................... 104 7. Altura máxima no lançamento oblíquo .............................................................. 105 8. Tempo de subida no lançamento oblíquo .......................................................... 105 9. Tempo total no lançamento oblíquo .................................................................. 106 10. Alcance no lançamento oblíquo ....................................................................... 106 11. Equação da trajetória no lançamento oblíquo ................................................. 106 12. Ângu los notáveis .............................................................................................. 108 13. Parábola de segurança ....................................................: ................................ 109 14. Deslocamento do projétil ................................................................................. 110 15. Velocidade instantânea .................................................................................... 112 16. Variação da velocidade .................................................................................... 113 17. Variação do momento linear ............................................................................ 113 18. Momento angular ............................................................................................. 113 19. Relação entre tempos de vôo para ângulos complementares ......................... 114
20. Relação entre alturas máximas para ângulos complementares ....................... 116 21. Projétil passando por dois pontos diferentes na mesma altura no tempo t 1 e t 2 ... 117 22. Movimento de um projétil em relação a outro projétil .................................... 118 23. Movimento de um projétil em um plano inclinado .......................................... 118
CAPÍTULO 05- Movimento Relativo
1. Sistema inercial. .................................................................................................. 128 2. Transformação de Galileu ................................................................................... 128 3. Posição relativa (x 61 A) ......................................................................................... 129 4. Velocidade relativa (v 61A) .................................................................................... 129 5. Aceleração relativa (ã61A) ................................ .... .. .. .. .. .. .. .. . ...... .. .. .. .. ...... .. .. .. .. ..... 131 6. Caso geral de movimento relativo ...................................................................... 132 7. Princípio da independência dos movimentos de Galileu ................................... 133 8. Composição de rotação com translação ............................................................. 135 CAPÍTULO 06 - Movimentos Circulares
1. Espaço angular ou fase (<p) ................................................................................. 143 2. Velocidade escalar angular média (wm) .............................................................. 144 3. Velocidade escalar angular instantânea (w) ....................................................... 144 4. Velocidade vetorial angular ( ro) ........................................................................ 145 5. Aceleração escalar angular média (am) ............................................................... 146 6. Aceleração escalar angular instantânea (a) ... ..................................................... 146 7. Relações entre as grandezas lineares e angulares .............................................. 146 8. Movimento circular uniforme (MCU) ................................................................. 147 9. Mudança na velocidade ......................................... ..... ................ ...... .. .... ........... 147 10. Aceleração no MCU .............. ............................................................................ 148 11. Movimento circular uniformemente variado (MCUV) ...................................... 149 12. Ângulo percorrido durante o enésimo segundo ............................................... 150 13. Acoplamento de polias ..................................................................................... 151 14. Sistema de transmissão do movimento de uma bicicleta ................................ 153 RESPOSTAS E SOLUÇÕES ............................................. ............................................ 163 REFER~NCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 221
CAPÍTULO
03 -
MOVIMENTO RETIÚNEO
CAPÍTULO 03 - MOVIMENTO RETILÍNEO
1
1. Introdução Em cinemática, os conceitos de tempo e posição são primitivos. Um objeto é •ocalizado pela sua posição ao longo de um eixo orientado, relativamente a um ponto de referência, geralmente tomado como origem (x = O). Exemplo: t,
t,
tl
t.
~~e._~~•e~~•e~-ee~~~-ee~~---+•
o
\
x2
x3
X
\
O movimento de um objeto consiste na mudança de sua posição com o decorrer do tempo. Um conceito importante é o da relatividade do movimento: sua descrição depende do observador. Já a escolha da origem é arbitrária. A trajetória é o lugar geométrico dos pontos dos espaços ocupados pelo objeto que se movimenta. 2. Deslocamento e velocidade média
O deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo de tempo (tit) é a diferença entre a posição final (x 2) no instante t 2 = t 0 + ôt e a posição inicial (x 1) no instante t 1 = t 0 • A velocidade média nos dá informações sobre o movimento em um intervalo de tempo. X
x, 1
: ó x(t) 1
x,
------,
1
A velocidade média é definida como: Vm
= X2 -Xi= ÔX =tg8 t 2 -ti M
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DESCOBRINDO OS SEGREDOS DA fíSICA
Se
t.x >O
~
vm >O (movimento para direita, ou no sentido de x crescente).
Se t.x <O ~ vm < O (movimento para esquerda, ou no sentido de x decrescente). OBSERVAÇÃO:
Apenas com o valor da velocidade média não somos capazes de descrever como foi o movimento de um móvel em cada instante, ou seja, caso um carro tenha uma velocidade média de 72 km/h, não implica que em todo o percurso ele tenha mantido essa velocidade constante, pois poderia em determinado momento estar com 160 km/h, em outro 20 km/h e em outro poderia até ter ficado parado, adquirindo a velocidade média de 72 km/h, no percurso total. UNIDADES DE VELOCIDADE
Llx
Da relação vm = -
Llt
, concluímos que a unidade de velocidade é a razão entre a
unidade de deslocamento e a unidade de tempo. Veja: . ( ) - unid.( óx) unid. vm . ( ) unid. ót No Sistema Internacional, temos: unid.( óx) = metro (m) unid.( ót) =segundo (s) unid.( vm) =metro/segundo (m/s) No Sistema CGS (centímetro, grama e segundo), temos: unid.( óx) =centímetro (cm) unid.( õt) =segundo (s) unid.( vm) =centímetro/segundo (cm/s) Na Unidade Prática, temos: unid.( óx) =quilômetro (km) unid.(õt) =hora (h) unid.( vm) =quilômetro/hora (km/h)
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CAPITULO
03 -
•
MOVIMENTO RETILiNEO
DESCOBRINDO OS SEGREDOS DA FÍSICA
Existem questões que dividem um deslocamento unidimensional em duas partes. :onsidere que no primeiro trajeto um móvel se desloca com velocidade média :onstante v 1, percorrendo um deslocamento t:.x 1 em um intervalo de tempo t:.t1 e no segundo trajeto o móvel se desloca com velocidade média constante v 2, percorrendo .Jm deslocamento t:.x 2 em um intervalo de tempo t:.t2 • Como devemos calcular a .elocidade média em todo o percurso? Caso você perceba na questão que t:.t 1 = t:.t 2, teremos: V
-
!:.X rotai
Total - Mrotal
+ 6x2 + t1t2
6x1 Total - 6t1
=>
V
-----
Como ôx 1 = v1 · ôt 1 e t:.x 2 = v 2 · t:.t2 , teremos: V
Na condição que t:.t1 V
Total --
V1 ·Ót1 +V2 ·Ót2 M1 + 6t2
--------
Total -
=t:.t 2 = t:.t, temos:
v1 ·t:.t+v 2 ·t:.t t:.t + t:.t
=>
V
t:.t(v 1 +v2 ) 2 6!
Total --
=>
Caso você perceba na questão que t:.x 1 = óx2, teremos: V
!:.X rotai Total - !:.trotai
=>
V
!:.xi + t1x2 ---=-----=Total - !:.ti + t:.t2
t1X1 ÓX2 Como t:.t1 =-- e t:.t2 = - - , teremos: V1 V2
Na condição que t:.x 1 = t:.x 2 = t:.x, teremos: V
Total --
t:.x+t:.x t:.x t:.x - +Vi
VTotal =
=>
V
2·!:.x - - - - -- Total - 6x. V2 + t:.x. Vi
V2
2·!:.x ( t:.x· v 2 + v 1)
Vi ·V2
=>
VTotal = 2 · t:.x ·
V1 ·V2
t:.x·
(
•
v2 + v1
)
V1 ·V2
Conclusão: Em vez de fazer toda essa conta, você pode aplicar direto as expressões finais concluídas tanto para a condição de t:.t 1 =t:.t 2 quanto para t:.x 1 = t:.x 2• PROF. PAULINO MouRÃo
DESCOBRINDO OS SEGREDOS DA fíSICA
Existem outras questões que dividem um deslocamento unidimensional em três partes. Considere que no primeiro trajeto um móvel se desloca com velocidade média constante v1, percorrendo um deslocamento Lix 1 em um intervalo de tempo i1t1 • Já no segundo trajeto o móvel se desloca com velocidade média constante v2, percorrendo um deslocamento Lix2 em um intervalo de tempo i1t2 e no terceiro trajeto o móvel se desloca com velocidade média constante v3, percorrendo um deslocamento Lix3 em um intervalo de tempo dt3 • Como devemos calcular a velocidade média em todo o percurso? Caso você perceba na questão que dt1 i1t2 i1t3, teremos:
= =
V
dXTotal Total - dtTotal
~
V
dXi + dX2 + dX3 -------Total - d t i + M2 + At3
Como 6xi = vi· 6ti, Ax 2 = v 2 · At 2 e Ax 3 = v 3 · At 3 , teremos: Vi ·Ati + V2 ·M2 +V3 ·At3 -=---=---=-----''----"dt1 + dt2 + dt3
- -=--
V
Total -
Na condição que dt 1 = dt2 = dt3 =At, temos: vTotal =
Vi ·At+v 2 ·At +v 3 ·At At+At+At
~
Caso você perceba na questão que Lix 1 =i1x 2 =i1x3 , teremos: V
Como i1t1
AxTotal Total - AtTotal
6xi
=-
Vi
,
~
V
Axi + Ax2 + Ax3 Ati + At2 + At3
--~----~
Total -
i1x 3 Ax 2 At 2 = - e At3 = - - , teremos: V2 V3 Axi + Ax 2 + Ax 3 - --"-----'"----~ Total - Ax Ax Ax __ i + 2 + - -3 Vi V2 V3
V
Na condição que Axi
=Ax 2 =i1x 3 = Ax , teremos:
Ax+Ax +Ax ------A A A Total - Ax Ax Ax ~ VTotal = uX·V2 · V3 +uX · Vi · V3 +uX· Vi ·V2 - + - +Vi V2 V3 Vi·V2·V3
V
3·Ax VTotal =
(
Ax v 2 ·v3 +vi ·v 3 +v1 ·v2
)
Vi . V2 . V3
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CAPÍTULO
03 -
MOVIMENTO RETILÍNEO
Conclusão: Em vez de fazer toda essa conta, você pode aplicar direto as expressões finais concluídas tanto para a condição de ôt1 =ôt2 =ôt3 quanto para ~ 1 =~ 2 =..lx3 . Ainda existem outras questões que dividem um deslocamento unidimensiona em n partes. Considere que no primeiro trajeto um móvel se desloca com velocidade média constante v1, percorrendo um deslocamento ôx1 em um intervalo de tempo ôt 1 . Já no segundo trajeto, o móvel se desloca com velocidade média constante v 2, percorrendo um deslocamento ôx2 em um intervalo de tempo ôt2 • No terceiro trajeto, o móvel se desloca com velocidade média constante v3, percorrendo um deslocamento ôx 3 em um intervalo de tempo ôt3 e, no enésimo trajeto, o móvel se desloca com velocidade média constante v", percorrendo um deslocamento ôx" em um intervalo de tempo ôt". Como devemos calcular a velocidade média em todo o percurso? Caso você perceba na questão que ôt 1 =ôt2 =ôt 3 =... =ôt", teremos: V
AxTotal - -~~ Total - At u Total
Ax + Ax + Ax + ... + Axn
1 2 3 => vTotal = -~-------- Ati + At 2 + At3 + ... + Atn
Como ôx 1 = v1 · ôt 1 , Ax 2 = v 2 · At 2 , ôx 3 = v 3 · At3 e Axn = vn · Atn , teremos: VTotal
=
Vi ·Ati +v 2 ·At2 +v 3 ·At3 + ... + vn ·Atn ôti +õt2 + õt3 + ... + Atn
Na condição que At 1 =At 2 =At3
=... =Atn =ôt, temos:
Vi · At+v 2 ·At + v 3 ·At+ ... + vn ·At V - -------~-----Total At+At+At+ ... +At V
-
Total -
At(v1 +v 2 +v3 + ... +vn) n. At
-~-------~
Caso você perceba na questão que Ax 1 =Ax 2 =~ 3 VTotal --
AxTotal At u Total At 2
V
=> vTotal =
Axi + Ax 2 +Ax 3 + ... + Axn Ati + At 2 +At 3 + ... + Atn
Ax2 =-, At 3 =-LlX3V2
=... =ôx", teremos:
V3
Ax e Atn = __ n , teremos: Vn
Axi +Ax 2 +õx 3 + ... +Axn Total ------~-----Ax Ax Ax ôx __ i + -2 + -3 + .. . + - -n Vi V2 V3 Vn
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Na condição que ó.x 1 =ó.x2 =ó.x3 V
=... =ó.x" =ó.x, teremos: n ·Ó.X
Ó.X+ Ó.X+ Ó.X+ ... + Ó.X Ó.X Ó.X Ó.X Ó.X - + - + - + ... + -
- ---------
Total -
Vi
V2
V3
Vn
n
=>
Vrotal =
1 1 1 1 -+ + - + ... + Vi
V2
V3
Vn
n 1 1 1 1 - - = - + - + - + ... + Vrotal
Vi
V2
V3
Vn
Onde n representa o número de divisões do percurso. 3. Velocidade instantânea
A velocidade escalar instantânea é o limite da velocidade escalar média, quando o intervalo de tempo considerado tender a zero. A velocidade instantânea nos dá uma informação mais precisa num determinado tempo t 0 • X
Reta tangente
a curva
'
: .6x(t)
'
------,'
V=
lim
õt~O
Ó.X ó.t
A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo.
v = lim x(t + Lit)- x(t) õt~O Lit
= dx = tgB dt
Logo, a derivada de uma função em um ponto é o coeficiente angular da reta tangente àquele ponto. Exemplo 1 Considere um ponto material cujo movimento é traduzido pela função horária dos espações:
2 x = at +bt+c PROF. PAULINO M OURÃO
CAPITULO
03 -
M OVIMENTO RETILINEO
::,,, que x é o espaço no instante te a, b e c são constantes. Calcule a velocidade es-= ar instantânea num instante t. li.!solução: "'1cialmente, devemos calcular a velocidade escalar média entre o instante --siderado t 1 = t 0 e um instante posterior t 2 = t 0 + ôt.
x1 =at 0 2 +bt 0 + c e x2 = a(t0 +t.t )2 + b(t 0 +ôt )+c Jesenvolvendo-se o valor de x2, teremos: 2
2
x2 =a(t0 + 2t0 ôt+ôt )+b(t0 +t.t)+c 2
2
x 2 = at0 + 2at0 ô t + aót + bt0 + bôt + c Calculando óx = x2 -x 1 , teremos: ôx = 2at0 t.t + aót2 + bôt Dividindo-se por ôt em ambos os lados da equação, obteremos: ÔX
-=2at0 +aôt + b ôt vm =2at 0 +aôt + b Fazendo ôt tender a zero ( ôt ~O), a parcela aôt tende a zero, assim obteremos ; velocidade escalar instantânea no tempo t. lv = 2at0 + b 1 Observe que o cálculo do lim ê.x que acabamos de fazer é a função matemática llt~O ó t denominada "derivada" da função x = /(t). Assim podemos verificar que a velocidade escalar instantânea é a derivada da posição x = /(t) em relação ao tempo. CASO PARTICULAR
Sabemos que: dx = vót Escrevendo a integral indefinida (antiderivada) em ambos os lados da equação, teremos:
Como v é constante, pode ser colocada do lado de fora do sinal de integração, assim:
P ROF. PAULINO MOURÃO
DESCOBRINDO OS SEGREDOS DA fíSICA
A função acima pode ser escrita da seguinte maneira: x=vt+c (1) Para determinar a constante de integração c, faremos t = O, instante no qual x = x0, logo: x 0 =v(o)+c
~
(li)
x 0 =e
Substituindo (li} em (1), teremos:
I
lx=vt+x0 ou lx-x0 =vtl (função da posição do MRV) ALGUMAS DERIVADAS IMPORTANTES
d
1. - ( c) = O;c =constante dx
2.
d~ ( mxn) = n · m · xn- l
d
3. - ( senx) = cosx dx
4. -
d
dx
( cosx) =-senx
Caso você nunca tenha tido contato com cálculo diferencial, não se preocupe, irei desvendar m ais esse segredo e você vai ficar craque nesse assunto. Imagine uma curva descrita pela função y = x5 • Para achar o coeficiente angular da reta tangente àquele ponto, você precisa calcular a derivada dessa função dy , copiando o número 5 e escrevendo antes e na dx mesma altura do x e subtrair uma unidade desse expoente. Veja:
dy = SyS-1 dx
dy 5 4 ~ dx = Y
Por mais que você não acredite, você acabou de aprender a encontrar derivadas. Vamos treinar mais uma vez para você se convencer que é um gênio? Imagine uma curva descrita pela função y =x4 • A derivada dessa função é:
dy
4 4- 1
-= y dx
~
dy
4
-= y
3
dx Legal, né? Já que você esta craque em derivação, vamos entender a temida integração. Para integrar a função y = x4 , devemos escrever da seguinte forma:
f
4
xs
x dx =s+c
A integração nada mais é que a antiderivação, ou seja, basta acrescentarmos uma unidades no expoente 4 e depois dividimos por esse novo número encontrado. Fique atento, que após fazer esses procedimentos, você deve somá-lo a uma constante que representamos pela letra c. PROF. PAULINO MOURÃO
CAPÍTULO
03 -
MOVIMENTO RETILINEO
Caso você queira checar se o procedimento foi feito da maneira certa, bast a você derivar o resultado obtido que retomaremos para a função de origem . Veja:
~[~+ c] =Sx45 =x4 dx 5 Por mais que você não acredite você acabou de aprender a encontrar integrais. Vamos treinar mais uma vez para você se convencer que é além de gênio, é um convencido? Para integrar a função y = x3, devemos escrever da seguinte forma:
f
x3 dx =
x4
4
+c
Checando se realmente tá certo.
~[~+ c]= 4x34 =x3 dx 4 4. Velocidade escalar média e velocidade média
A velocidade média ou velocidade vetorial média
vmédia
é a razão da distância
percorrida ôx pelo intervalo de tempo. Deve ser levado em consideração a direção e o sentido.
_ vmé dia
Llx
=Af
A velocidade escalar média v escalar.média é uma forma de descrever a rapidez com que um objeto se move. Ela envolve apenas a distância total percorrida 13.x, independentemente da direção e do sentido.
Llx
Vescalar,mé dia
= Llt
Exemplo 1
Considere um veículo que se desloca de uma cidade A até uma cidade B, percorrendo meia circunferência. Calcule a distância percorrida ôx e a distância total percorrida 13.x.
A -----------
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B
DESCOBRINDO OS SEGREDOS DA f iSICA
22. Movimento de um projétil em relação a outro projétil
Suponha dois projéteis A e B lançados simultaneamente da origem, com velocidades iniciais v 1 e v 2 com ângulos 81 e 8 2 em relação à horizontal. y A
v,
Para o projétil A, teremos:
Para o projétil B, teremos:
Relacionando a posição de A e B, teremos: x = x 1-x 2 = ( v 1cos8 1 - v 2cos8 2) t(I) v=v1-y2 =(v1sen81 -v2se n8i)t(ll) Dividindo (1) por (li), teremos: ~~~~~~~~~~~~~~~~
X --( V 1 COS8 1 - V 2 COS8 2 -
y
v 1sen8 1 - v 2sen02
J =constante
Assim, o movimento de um projétil em relação a outro projétil é uma linha reta. 23. Movimento de um projétil em um plano inclinado
Considere um projétil lançado com velocidade v0 formando um ângulo 8 em relação ao plano inclinado. y
t
=o PROF. PAULINO M OURÃO
CAPÍTULO
04 -
LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
Como desprezamos a resistência do ar no lançamento em estudo, percebemos que: (a)
O tempo de subida é dado por:
= VOy -
Vy
ay •
t
O= v0 ·sen8-g ·cosa ·t, t
(b)
v0 ·sen0 g ·cosa
=~--
'
O tempo total é dado por:
tT= (e)
2· v ·sene O g·cosa
A altura máxima é dada por:
v
2 y
= v Oy
2
-
2 ·aV · /1y
O=vO2 ·sen 2 8 - 2 ·g·cosa·Hmax v 2 ·sen2 e
H max
= ~º--2 · g · COSO:
(d) O alcance é dado por: X = Xo +
a ·t2
VOx ·t - - ' -
A= (v0 · cos 8)tT -
2
g ·sena
2
t T2
Substituindo a fórmula do tempo total na expressão acima, teremos: 2
- ( e) ( 2·v 0 ·sene ) g·sena ( 2 ·v0 ·sen8 ) A - v0 • cos . g ·cosa 2 . g ·cosa 2
A= 2·V 0 ( cos8 ·sen8·cosa g cos 2 a A=
2
sen 8 ·sena ) cos 2 a
2· v0 2 ·sene (cos8-cosa - sen8 ·sena ) 2 g ·COS a
Como: cos(e + a)=cos9·cosa- sen9·sena, teremos: 2 · v 2 · sene · cos(e +a) A = 0- - - - -2 -"---- -'-' g · cos a
PROF. PAULINO MOURÃO
DESCOBRINDO OS SEGREDOS DA F ÍSICA
(e)
O ângulo de lançamento para obter o alcance máximo é dado por:
2 ·V 0
Como a expressão
2
é constante, percebemos que o alca nce é direg · cos 2 a tamente proporcional à sen8·cos (8-a), logo o alcance será máximo, quando sen8 ·cos(O+ a) também for máximo. Considerando 8 1 =8 e 82 =8 +a, teremos que: sen8-cos(8 + a) = sen8 1 ·cos82 Subtraindo 8 2 de 8 1, teremos: 8 1 - 82 = 8-(8 + a )=-a =constante Da trigonometria, teremos: sen9 1 ·sen82
=~[~+sen(8 1 + 8
2)]
constan te
Para que sen0 1 ·sen82 seja máximo, teremos que sen(9 1 + 82 ) também seja máximo, logo: 8 1 + e 2 =90º .-. 8 + (8 +a) = 90º 28 + a=90º :. 28=90°- a 18 = 45º- %1 (f)
O alcance máximo é dado:
Analisando a trigonometria da expressão abaixo, teremos: sen8·cos(O + a) _ cos(90º- 0)·cos(O + a) 2 cos 2 a cos a Sabemos que 28 + a = 90° , logo a= 90°- 28 , assim: sen8 · cos(8 + a)_ cos(90º- 8) · cos(8 + 90°- 20) cos 2 a cos 2 a sen8·cos(8 + a) = cos(90º -8)·cos(90º- 8) .. 2 cos 2 a cos a sen8·cos(8 + a) _ cos 2 (90º -0) cos2 a
cos 2 a
(1)
2
Como cos28 = 2cos 8-1 , teremos que: cos(180° - 28) = 2cos2 (90°- 8)-1 cos 2 (90º- 8)
l + cos(180º- 28) 2
(li)
Substituindo (li) em (1), teremos: sen8·cos(9 + a ) _ l + cos(180°- 28) cos 2 a 2 · cos 2 a PROF. PAULINO M OURAO
CAPÍTULO
04 -
LANÇAMENTO DE PROJETEIS
sen e·cos (e +a. )
1+cos[1so0 -2(4s 0 -~)] 2
cos 2 a.
2 · cos2 a.
sen8·cos(8+a.)
l+cos(90º+a.)
2
2 · cos 2 a.
cos a. 2
2
Como cos( 90º +a.)= -sena. e cos a.= l - sen a., teremos: sen8 ·cos(8 + a.) 2
- 2 ·(1- sen 2a.)
cos a. 2
1 -sena.
2
Sabemos que a -b = (a -b )(a+ b) , assim considerando a remos: sen8 ·cos(8+a.) _ 1-sena. cos 2 a.
- 2·(12 -sen28)
sen8·cos(8+a.) _
~
2
2·~ ·(1 +sen8)
cos a.
=1 e b =sen9, te-
sen8·cos(8+a.) _ 1 2 - 2·(1+sena.) cos a. Assim, podemos definir o alcance máximo como: V l
A=
o
g · (1 +sena.)
OBSERVAÇÃO:
Caso o projétil seja lançado para baixo, a expressão do alcance máximo fica: A=
V 2
o
g · (1-sena.)
~---~-"'-·_ __ QUESTÃO 01
Uma bola é lançada horizontalmente do alto de um edifício, tocando o solo após 2 s do lançamento. Sendo 2,5 m a altura de cada andar, o número de andares do edifício é: (g = 10 m/52).
A) 5.
B) 6.
C) 8.
D) 9.
E) Indeterminado, pois a velocidade horizontal de arremesso da bola não foi
fornecida. PROF. PAULINO MOURÃO
É direcionado. Apresenta os tópicos essenciais e relevantes, indispensáveis para a compreensão da estrutura da física . É claro e direto. Expõe os conceitos de forma objetiva, dinamiza seu estudo, permite uma evolução de ideias e conceitos da física.
É organizado por tópicos. Facilita a compreensão da estrutura lógica e da unidade da física. É moderno. Permite ao leitor uma sintonia com o contexto exposto no livro.
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ISBN 978- 85 - 7564-692 - 2
1
9 788575 646922