Teoria dos números - Renato Carneiro de Souza

ÍNDICE 1.

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS E DOS NÚMEROS INTEIROS ....................................................................................9 1.1. DIVISÃO EUCLIDIANA ..........................................................................16 1.2. CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE ............................................................22 1.3. ARITMÉTICA EM ` ..............................................................................31 1.4. MÁXIMO DIVISOR COMUM ..................................................................41 1.5. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ................................................................47 1.6. ARITMÉTICA MODULAR - CONGRUÊNCIAS ......................................53 1.7. EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES ...............................................66

2.

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS .................................................71 2.1. MÉDIAS ARITMÉTICA, PONDERADA E GEOMÉTRICA ......................80

3.

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ..............................................91

4.

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ..........................................................92

5.

TESTES DE VESTIBULARES ....................................................................108

6.

TESTES DA OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA ........................129

7.

PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA...............................................................152

8.

SEQUÊNCIA DE FIBONACCI .....................................................................161

9.

RESOLUÇÃO E GABARITO DOS PROBLEMAS PROPOSTOS ...............167

10. RESOLUÇÃO DOS TESTES DE VESTIBULARES ....................................202 11. RESOLUÇÃO DOS TESTES DA OBM .......................................................221

1. CONJUNTO DOS NĂšMEROS NATURAIS (`)

1

9

CONJUNTO DOS NĂšMEROS (`)

O conjunto dos nĂşmeros Naturais nasceu da necessidade do ser humano de contar as coisas e esse conjunto foi representado por ` = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ` DOJXQV PDWHPiWLFRV SUHIHUHP XVDU RV Q~PHURV 1DWXUDLV VHP R ]HUR GHÂżQLQGR o conjunto `* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}.

PROPRIEDADES ALGÉBRICAS 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Fechamento: a + b ĂŠ um nĂşmero natural e a . b ĂŠ um nĂşmero natural Associatividade: a + (b + c) = (a + b) + c e a . (b . c) = (a . b) . c Comutatividade: a + b = b + a e a . b = b . a ExistĂŞncia de um Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a Distributividade: a . (b + c) = (a . b) + (a . c) Nenhum divisor de zero: Se a . b = 0 Â&#x; a = 0 ou b = 0

Dentro do conjunto dos nĂşmeros naturais existem alguns tipos de nĂşmeros muito especiais, vejamos agora alguns deles.

NĂşmeros Pares: nĂşmeros que deixam resto 0 na divisĂŁo por 2. {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} Â&#x; P = {x = 2n / n Â? `} NĂşmeros Ă?mpares: nĂşmeros que deixam resto na divisĂŁo por 2. {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} Â&#x; I = {x = 2n + 1 / n Â? `} NĂşmeros mĂşltiplos de trĂŞs {0, 3, 6, 9, 12, ...} Â&#x; M(3) = {x = 3n / n Â? `} NĂşmeros mĂşltiplos de k {0, k, 2k, 3k, 4k, ...} Â&#x; M(k) = {x = k . n / n Â? `} NĂšMEROS COMPOSTOS Um nĂşmero natural positivo ĂŠ composto quando ele possui mais de dois divisores naturais.

Os nĂşmeros 6, 28, 125, 1448 sĂŁo alguns exemplos de nĂşmeros compostos, mas os nĂşmeros 5, 29, 127, 1447 nĂŁo sĂŁo compostos, entĂŁo eles sĂŁo o que?

Responderemos essa pergunta agora!

NĂšMEROS PRIMOS Um nĂşmero natural n > 1 ĂŠ primo quando ele possui apenas dois divisores naturais. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, ...}

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1. CONJUNTO DOS NĂšMEROS NATURAIS (`)

]*

^1, 2, 3,!` conjunto dos inteiros positivos.

]

^!, 3, 2, 1, 0` conjunto dos inteiros nĂŁo-positivos.

] *

^!, 3, 2, 1` conjunto dos inteiros negativos.

EXERCĂ?CIOS RESOLVIDOS

Exemplo Resolvido 1 0DULD ID] KRMH DQRV H WrP GDGR XP GXUR GDQDGR SDUD VXVWHQWDU VXDV WUrV ¿OKDV Marina, de 10 anos; Marisa, de 8 anos; e Mara, de 2 anos. Maria decidiu que farå uma viagem ao Nordeste no dia em que sua idade for igual a soma das idades de VXDV WUrV ¿OKDV (1&2175( FRP TXH LGDGH 0DULD SUHWHQGH ID]HU D YLDJHP Solução: Basta notar que daqui a t anos, as idades de Maria, Marina, Marisa e Mara, serão respectivamente iguais 44 + t, 10 + t, 8 + t e 2 + t, portanto quando Maria for viajar para o nordeste então 44 + t = 10 + t + 8 + t + 2 + t, então 44 + t = 20 +3t, portanto teremos t = 12 anos. Logo Maria vai fazer sua viagem com 56 anos.

Exemplo Resolvido 2 (FUVEST) Um estudante terminou um trabalho que tinha n pĂĄginas. Para enumerar todas as pĂĄginas, iniciando com a pĂĄgina 1, ele escreveu 270 algarismos. EntĂŁo DETERMINE o valor de n.

Solução: Basta notar que temos 9 números com 1 algarismo (de 1 a 9), 90 números com dois algarismos (de 10 a 99), 900 números com 3 algarismos (de 100 a 999) e assim por diante. Então teremos:

9 ˜ 1 90 ˜ 2 N ˜ 3

270 Â&#x; N

27 , logo n

99 N Â&#x; n

99 27 Â&#x; n 126 .

Exemplo Resolvido 3 Prove o teorema de Brama Gupta: Se A e B são naturais e cada um deles Ê a soma de dois quadrados perfeitos então A¡B tambÊm Ê uma soma de dois quadrados perfeitos.

15

1. CONJUNTO DOS NĂšMEROS NATURAIS (`)

EXERC�CIOS PROPOSTOS Questão 01 - (OBM 2004) Na multiplicação a seguir, a, b e c são algarismos: 1 a b

b 3 u * * * * * * 1c c 0 1 Calcule a + b + c.

QuestĂŁo 02 - (OBM 2006) A soma dos quadrados de trĂŞs inteiros consecutivos ĂŠ igual a 302. Qual ĂŠ a soma desses nĂşmeros?

QuestĂŁo 03 - (OBM 2007) Observe as igualdades a seguir: 1 2 1 4

1 2 3 2 1 9 1 2 3 4 3 2 1 16 # 1 2 3 " 2006 2007 2006 " 3 2 1 A Qual ĂŠ o valor de

A 2232

?

Questão 04 - (OBM 2003) Quantas vezes aparece o algarismo 9 no resultado da operação 10100 – 2003?

QuestĂŁo 05 - (OBM 2002) O ano 2002 ĂŠ palĂ­ndromo, ou seja, continua o mesmo se lido da direita para a esquerda. a) Depois de 2002, quais serĂŁo os prĂłximos quatro anos palĂ­ndromos? b) O Ăşltimo ano palĂ­ndromo, 1991, era Ă­mpar. Quando serĂĄ o prĂłximo ano palĂ­ndromo Ă­mpar? c) O Ăşltimo ano palĂ­ndromo primo aconteceu hĂĄ mais de 1000 anos, em 929.

Determine qual serĂĄ o prĂłximo ano palĂ­ndromo primo.

39

1. CONJUNTO DOS NĂšMEROS NATURAIS (`)

QuestĂŁo 35 Sabe-se que o nĂşmero natural N = 32 . 25x . 7y , com x,y Â? ` * , possui exatamente 135 divisores naturais que nĂŁo sĂŁo primos. O valor da razĂŁo y ĂŠ igual a: x a) 0,111... b) 0,0707... c) 0,0808... d) 0,0909...

QuestĂŁo 36 Os professores Renato, Gabriel e TomĂĄs inventaram uma brincadeira para os seus alunos descobrirem os trĂŞs nĂşmeros inteiros positivos e distintos que eles pensaram.

3ULPHLUR 5HQDWR ID] DV VHJXLQWHV DÂżUPDo}HV VREUH HVVHV Q~PHURV I) O produto dos trĂŞs nĂşmeros ĂŠ igual a 1001.

II) O nĂşmero pensado por Gabriel nĂŁo ĂŠ primo.

III) A soma dos dois maiores nĂşmeros nĂŁo ĂŠ divisĂ­vel por 10.

ApĂłs ouvir o professor Renato, a aluna Ana BĂĄrbara descobriu os nĂşmeros que eles pensaram e falou que a soma dos algarismos do maior desses nĂşmeros ĂŠ igual a: a) 14 b) 10 c) 8 d) 4 QuestĂŁo 37 Considere o nĂşmero natural N 62 ˜ 143 ˜ 154 . Das alternativas abaixo, marque a Ăşnica INCORRETA: a) N possui 836 divisores naturais que nĂŁo sĂŁo primos. b) N possui 140 divisores naturais Ă­mpares. c) N possui 150 divisores naturais que nĂŁo sĂŁo mĂşltiplos de trĂŞs. d) N possui 168 divisores naturais que nĂŁo sĂŁo mĂşltiplos de cinco.

QuestĂŁo 38 Sejam a e b nĂşmeros inteiros positivos tais que 9ab a2 8b2 437 . Sabendo que D p XP Q~PHUR SULPR HQWmR p FRUUHWR DÂżUPDU TXH D E p LJXDO D a) 31 b) 33 c) 35 d) 37 QuestĂŁo 39 - (UNICAMP) O teorema fundamental da aritmĂŠtica garante que todo nĂşmero natural n > 1 pode ser escrito como um produto de nĂşmeros primos. AlĂŠm disso, se

n

p1t1 ˜ p2t2 ˜ " ˜ pr tr ,

onde p1,p2 ,p3 ,!,pr sĂŁo nĂşmeros primos distintos, entĂŁo o nĂşmero de divisores de

n ĂŠ d n t1 1 ˜ t 2 1 ˜ ˜" ˜ tr 1 . a) Calcule d(168), isto ĂŠ, o nĂşmero de divisores positivos de 168. b) Encontre o menor nĂşmero natural que tem exatamente 15 divisores positivos.

41

1. CONJUNTO DOS NĂšMEROS NATURAIS (`)

QuestĂŁo 46 - (OBM 2010) Maria tem 90 cartĂľes. Ela numerou os cartĂľes de 10 a 99 numa das faces e, para cada nĂşmero escrito, escreveu a soma dos seus algarismos na outra face. Por exemplo, o cartĂŁo de nĂşmero 43 tem o nĂşmero 7 escrito no verso. Em quais cartĂľes um nĂşmero de uma face ĂŠ o dobro do nĂşmero escrito na outra face?

Questão 47 - (OBM 2005) a) Fatore a expressão x2 – 9xy + 8y2. b) Determine todos os pares de inteiros (x,y) tais que 9xy – x2 – 8y2 = 2005.

QuestĂŁo 48 - (OBM 2010)

­ x y z 77 Resolva o sistema Ž ¯ xy yz xz xyz

946

sendo x d y d z inteiros nĂŁo negativos.

QuestĂŁo 49 - (OBM 2006) O par ordenado (83,89) ĂŠ chamado de par centenĂĄrio porque 83 + 8 + 9 = 89 + 8 + 3 = 100, isto ĂŠ, a soma de cada nĂşmero com os dĂ­gitos do outro nĂşmero ĂŠ 100.

Quantos sĂŁo os pares centenĂĄrios?

QuestĂŁo 50 - (OBM 2006) Sejam a e b nĂşmeros reais distintos tais que a2 = 6b + 5ab e b2 = 6a + 5ab. a) Determine o valor de a + b. b) Determine o valor de ab.

Questão 51 - (OBM 2007) a) Determine a quantidade de divisores do número N = 235 – 23. b) Mostre que para todo número natural n, n5 n Ê múltiplo de 30.

QuestĂŁo 52 - (OBM 2006) Encontre todos os pares de inteiros positivos (a,b) tais que (a + 1) . (b + 1) ĂŠ mĂşltiplo de ab 1 .

1.4. MĂ XIMO DIVISOR COMUM (MDC) DEFINIĂ‡ĂƒO: O mĂĄximo divisor comum d de um conjunto de nĂşmeros ĂŠ o maior nĂşmero que divide simultaneamente todos os nĂşmeros desse conjunto. Se existir outro nĂşmero n que divide simultaneamente todos os nĂşmeros desse conjunto entĂŁo n serĂĄ um divisor de d.

Vamos agora mostrar trĂŞs maneiras de calcular o MDC de um conjunto de nĂşmeros:

1. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (`)

49

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exemplo Resolvido 1 O mínimo múltiplo comum dos números naturais 8, 4 . 3n e 30 é 360. Então DETERMINE o valor exato de n.

­8 23 °° n 22 3n , mas o mínimo múltiplo comum Fatorando os números, teremos ®4 3 ° 30 2 3 5 °̄ desses números é 360 23 32 5 , como sabemos que para calcular o MMC é necessário multiplicar os fatores comuns e não comuns com o maior expoente, então temos que n = 2.

Exemplo Resolvido 2 Três carros A, B e C iniciam juntos uma corrida em uma pista circular, no mesmo ponto de partida. Sabe-se que o carro A gasta 45 segundos, o carro B gasta 55 segundos e o carro C gasta 1 minuto em cada volta. DETERMINE: a) O tempo gasto para que eles se encontrem pela primeira vez após o início da corrida.

Seja t o tempo procurado. Como os carros estarão juntos esse t tem que ser um múltiplo comum de 45, 55 e 60, mas como queremos a primeira vez em que eles se encontrarão após o início da corrida, temos que t = MMC (45,55,60) = 1980 segundos. b) Quantas voltas o carro B quando eles se encontraram pela primeira vez após o início da corrida.

Seja N o número de voltas que B deu até eles se encontrarem pela 1ª vez após 1980 o início da corrida, ou seja, após 1980 segundos, então N 36 voltas.

55 c) Quantas voltas o carro A deu a mais que o carro C, na quarta vez em que eles se encontraram, após o início da corrida.

Seja T o tempo gasto até a quarta vez, então T 4 1980 7920 s , então A deu 7920 7920 132 voltas, portanto o carro A deu a mais que 176 voltas e C deu 60 45 o carro C um total de 44 voltas.

Exemplo Resolvido 3 Em um colégio o número N de alunos é tal que 12000 < n < 20000. Quando tentamos colocar todos os alunos desse colégio em salas com 55, 75 ou 105 alunos sempre ¿FDP VREUDQGR XPD VDOD FRP DSHQDV DOXQRV '(7(50,1( TXDQWDV VDODV FRP exatamente 50 alunos seriam necessárias para acomodar todos os alunos desse colégio.

1. CONJUNTO DOS NĂ&#x161;MEROS NATURAIS (`)

53

QuestĂŁo 71 ValĂŠria fabrica empadas, que sĂŁo vendidas em caixas com 4, 6, 9,ou 12 unidades.

Gabriel, um de seus vendedores, possui em seu estoque 336 empadas, que serão todas vendidas em caixas do mesmo tipo. PorÊm, ele ainda não decidiu qual das quatro embalagens irå utilizar. Nessas condiçþes, a menor quantidade de empadas que ValÊria deverå acrescentar ao estoque de Gabriel de modo que, independente do tipo de caixa utilizada, não sobre nenhuma empada no estoque depois da confecção das caixas, Ê igual a: a) 28 b) 24 c) 20 d) 16 Questão 72 - (UFMG) Seja S o conjunto formado por todos os números naturais n tais que o mínimo múltiplo comum de n e 504 Ê igual a 5040. MOSTRE todos os elementos do conjunto S. Questão 73 - (UNICAMP) Sejam a e b dois números inteiros positivos tais que MDC (a,b) = 5 e MMC (a,b) = 10. a) Qual Ê o valor de b se a = 35? b) Encontre todos os valores possíveis para (a,b).

1.6. ARITMĂ&#x2030;TICA MODULAR - CONGRUĂ&#x160;NCIA DEFINIĂ&#x2021;Ă&#x192;O: Se a e b sĂŁo inteiros dizemos que a ĂŠ congruente a b mĂłdulo m (m > 0) se m a b , ou seja, m divide a b . Denotamos isto por a { b modm .

Se m nĂŁo divide a b dizemos que a ĂŠ incongruente a b mĂłdulo m e denotamos a { b modm .

OBSERVAĂ&#x2021;Ă&#x192;O Dizemos que a ĂŠ congruente a b mĂłdulo m se, e somente se, a e b deixam o mesmo resto na divisĂŁo por m.

EXEMPLOS: a) 12 { 2 mod5 pois 5 12 2 . b) 17 { 3 mod7 pois 7 17 3 . c) 37 { 4 mod11 pois 11 37 4 . d) 16 { 4 mod5 pois 5 nĂŁo divide 16 4 PROPOSIĂ&#x2021;Ă&#x192;O 1 Se a e b sĂŁo inteiros, temos que a { b modm se, e somente se, existir um inteiro k tal que a b k Â&#x2DC; m .

57

1. CONJUNTO DOS NĂ&#x161;MEROS NATURAIS (`)

EXERCĂ?CIOS RESOLVIDOS Exemplo Resolvido 1 Determine o resto da divisĂŁo de 236 : a) por 3 Temos que

18

2 { 2 mod3 Â&#x; 22 { 1 mod3 Â&#x; 22

{ 118 mod3 Â&#x; 236 { 1 mod3

36 EntĂŁo o resto da divisĂŁo de 2 por 3 ĂŠ igual a 1.

b) por 5 Temos que

9

2 { 2 mod5 Â&#x; 24 { 1 mod5 Â&#x; 24

{ 19 mod5 Â&#x; 236 { 1 mod5

36 EntĂŁo o resto da divisĂŁo de 2 por 5 ĂŠ igual a 1.

c) por 7 Temos que

2 { 2 mod7 Â&#x; 23 { 1 mod7 Â&#x; 23

12

{ 112 mod7 Â&#x; 236 { 1 mod7

36 EntĂŁo o resto da divisĂŁo de 2 por 7 ĂŠ igual a 1.

d) por 11 Temos que

7 7 ­ 5 5 5 { 1 mod11

°2 { 2 mod11 Â&#x; 2 { 32 mod11 Â&#x; 2 { 1 mod11 Â&#x; 2 ÂŽ °Â&#x; 235 { 1 mod11 Â&#x; 236 { 2 mod11 Â&#x; 236 { 9 mod11

ÂŻ

36 EntĂŁo o resto da divisĂŁo de 2 por 11 ĂŠ igual a 9.

e) por 13 Temos que 3 ­ 4 4 { 33 mod13 Â&#x; 212 { 1 mod13

°2 { 2 mod13 Â&#x; 2 { 3 mod13 Â&#x; 2 ÂŽ 3 °Â&#x; 212 { 1 mod13 Â&#x; 236 { 1 mod13

ÂŻ

36 EntĂŁo o resto da divisĂŁo de 2 por 13 ĂŠ igual a 1.

Exemplo Resolvido 2 Prove que para qualquer inteiro positivo n, n2 1 nĂŁo ĂŠ divisĂ­vel por 3.

Sabemos que os possĂ­veis restos da divisĂŁo por trĂŞs sĂŁo iguais a 0, 1 ou 2, entĂŁo: n

0 mod3 Â&#x; n2

0 mod3 Â&#x; n2 1 1 mod3

66

TEORIA DOS NĂ&#x161;MEROS â&#x20AC;&#x201C; UM CURSO INTERMEDIĂ RIO

QuestĂŁo 127 Mostre que 41 divide 111!1 onde hĂĄ 5k dĂ­gitos iguais a 1, k inteiro positivo.

QuestĂŁo 128 Encontre o algarismo das unidades do nĂşmero 1723089 .

QuestĂŁo 129 Determine todos os inteiros a e b tais que 3a

b2 2 .

1.7. EQUAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DIOFANTINAS LINEARES VĂĄrias vezes na sua vida de estudante vocĂŞ jĂĄ deve ter se deparado com o seguinte problema matemĂĄtico: â&#x20AC;&#x153;Em um estacionamento temos carros e motos, num total de 60 veĂ­culos e 196 rodas. Quantos carros e motos tĂŞm nesse estacionamento?â&#x20AC;?

Chamando de x o número de carros e de y o número de motos, temos que x e y ­ x y 60 são inteiros positivos e o seguinte sistema de equaçþes Ž , cuja única ¯4x 2y 196 solução Ê dada pelo par x = 38 e y = 22, solução facilmente obtida resolvendo o sistema formado.

Agora considere o seguinte problema: â&#x20AC;&#x153;Em um estacionamento temos carros e motos, num total de 196 rodas. Quantos carros e motos tĂŞm nesse estacionamento?â&#x20AC;?

Chamando de x o número de carros e de y o número de motos, então teremos apenas a equação 4x + 2y = 196 sendo x e y inteiros positivos. A equação inicial pode ser trocada pela equação 2x + y = 98, e como y > 0 então 0 < x < 49, portanto a equação vai ter 48 soluçþes inteiras, pois x pode assumir 48 valores inteiros distintos e, alÊm disso, notamos que y Ê par. Algumas possíveis soluçþes são x = 38 e y = 22, x = 45 e y = 8, x = 10 e y = 78, entre outras. Note que x,y 38 t, 22 2t

para t inteiro ĂŠ uma solução geral dessa equação, ou seja, ela descreve todas as soluçþes dessa equação, bastando apenas fazer t assumir todos os seus possĂ­veis valores inteiros tais que â&#x20AC;&#x201C; 38 < t < 11.

DEFINIĂ&#x2021;Ă&#x192;O: Uma equação diofantina linear ĂŠ uma equação da forma ax + by = c onde a, b, c, x e y sĂŁo nĂşmeros inteiros.

Exemplos: a) 3x + 7y = 124 b) 12x + 16y = 72 c) 6x + 9y = 37 d) 12x + 31y = 524 e) 13x + 19y = 1000

68

TEORIA DOS NĂ&#x161;MEROS â&#x20AC;&#x201C; UM CURSO INTERMEDIĂ RIO

EXERC�CIOS RESOLVIDOS Exemplo Resolvido 1 - (OBM) Quantos são os pares (x,y) de inteiros positivos que satisfazem a equação abaixo 2x + 3y = 101?

SOLUĂ&#x2021;Ă&#x192;O: Pela equação dada concluĂ­mos que y ĂŠ Ă­mpar, pois 2x ĂŠ par para todo inteiro x 101 3y e 101 ĂŠ Ă­mpar. Como y ĂŠ Ă­mpar e x > 0, entĂŁo como x entĂŁo y d 33 , 2 assim os possĂ­veis valores inteiros de y sĂŁo y = 1,3,5,...,33. Como esta sequĂŞncia possui 17 elementos, entĂŁo concluĂ­mos que existem 17 pares (x,y) nas condiçþes do enunciado.

Exemplo Resolvido 2 Anita comprou canetas e borrachas, gastando R$ 37,40. Sabendo que os preços unitårios das canetas e das borrachas são respectivamente, R$ 1,70 e R$ 0,90 determine quantas canetas e quantas borrachas ela comprou, sabendo que o número de canetas Ê ímpar.

1ÂŞ SOLUĂ&#x2021;Ă&#x192;O: Chamando de x o nĂşmero de canetas e de y o nĂşmero de borrachas, onde x e y sĂŁo inteiros positivos, teremos e a seguinte equação 1,7x + 0,9y = 37,4. Multiplicando essa equação por 10, ela se transforma em 17x + 9y = 374. Como MDC (17,9) = 1, essa equação possui solução, alĂŠm disso, 374 e 17x sĂŁo mĂşltiplos de 17, logo temos que y deve ser mĂşltiplo de 17 e como x > 0, temos 374 9y ! 0 Â&#x; y 42 , ou seja, y = 34 ou y = 17.

Se y = 34 entĂŁo x = 4, nĂŁo convĂŠm, pois se y ĂŠ par entĂŁo x deve ser Ă­mpar, pois 374 ĂŠ par.

Se y = 17 então x = 13, que Ê a solução procurada.

2ÂŞ SOLUĂ&#x2021;Ă&#x192;O: Usando o algoritmo de Euclides, vamos achar uma solução para a equação 17x + 9y = 1.

­17 9 Â&#x2DC; 1 8 ­9 8 Â&#x2DC; 1 1 Â&#x;ÂŽ ÂŽ ÂŻ9 8 Â&#x2DC; 1 1 ÂŻ8 17 9 Â&#x2DC; 1 EntĂŁo teremos 9 17 9 Â&#x2DC; 1 Â&#x2DC; 1 1 Â&#x; 1 Â&#x2DC; 17 2 Â&#x2DC; 9

seja, uma solução particular serå x1

1 Â&#x; 374 Â&#x2DC; 17 748 Â&#x2DC; 9

374 e y1

374 , ou

748 . A solução geral Ê dada

71

2. CONJUNTO DOS NĂ&#x161;MEROS RACIONAIS (_)

2

CONJUNTO DOS NĂ&#x161;MEROS RACIONAIS (_)

'HÂżQLomR Um nĂşmero racional ĂŠ todo nĂşmero que pode ser escrito na forma p onde p ĂŠ um nĂşmero inteiro e q ĂŠ um nĂşmero inteiro diferente de zero, isto ĂŠ, q

_

­ Žx ¯

½ p / p � ] e q � ]* ž . q ¿

Note que se q = 1 e p Â? ` entĂŁo temos que todo nĂşmero natural ĂŠ racional.

Note que se q = 1 e p Â? ] entĂŁo temos que todo nĂşmero inteiro ĂŠ racional.

Portanto percebemos que ` � ] � _ . p Ê irredutível quando MDC (p,q) = 1, ou seja, p e q são Dizemos que a fração q primos entre si.

DECIMAIS EXATAS Uma fração cujo denominador não tem outros fatores primos alÊm do 2 e do 5 (poderia ser apenas um deles) sempre pode ser expressa por uma fração cujo denominador Ê uma potência de 10 e, portanto, tem uma representação decimal ¿QLWD RX VHMD p XPD GHFLPDO H[DWD 3RU H[HPSOR 125 1000

a) 0,125 b) 0,07 c)

3 20

d)

7 250

7 100

125 10

23 Â&#x2DC; 53

7 10

7

3Â&#x2DC;5

2 Â&#x2DC;5

2 Â&#x2DC;5 2

7 3

2 Â&#x2DC; 52

2

3 2

2Â&#x2DC;5

125

3

2

15 2

0,15

102

22 Â&#x2DC; 7

28

2 Â&#x2DC;5

103

3

3

0,028

p a fração, na forma irredutível, em que q q n inteiros não negativos. Supondo m t n , teremos

No caso geral, seja

p q

p

p Â&#x2DC; 5m n

p Â&#x2DC; 5m n

p Â&#x2DC; 5m n

2m Â&#x2DC; 5n

2m Â&#x2DC; 5n Â&#x2DC; 5m n

2m Â&#x2DC; 5m

10m

2m Â&#x2DC; 5n com m e

.

Com isso podemos concluir que um nĂşmero racional

p , na forma irredutĂ­vel, tem q

80

TEORIA DOS NĂ&#x161;MEROS â&#x20AC;&#x201C; UM CURSO INTERMEDIĂ RIO

2.1. MĂ&#x2030;DIAS 1. MĂŠdia AritmĂŠtica Dados n > 1 nĂşmeros reais positivos a1,a2 ,!,an GHÂżQLPRV D PpGLD DULWPpWLFD a1 a2 " an MA, de a1, a2, ..., an como o nĂşmero MA . n 4 6 9 19 EX: A mĂŠdia aritmĂŠtica dos nĂşmeros 4, 6 e 9 ĂŠ MA .

3 3 2. MĂŠdia GeomĂŠtrica Dados n > 1 nĂşmeros reais positivos a1,a2 ,!,an GHÂżQLPRV D PpGLD JHRPpWULFD MG , de a1,a2 ,!,an como o nĂşmero MG

n

a1 Â&#x2DC; a2 Â&#x2DC; " Â&#x2DC; an .

EX: A mĂŠdia geomĂŠtrica dos nĂşmeros 4, 6 e 9 ĂŠ MG

3

4Â&#x2DC;6Â&#x2DC;9

3

216

6.

3. MĂŠdia HarmĂ´nica Dados n > 1 nĂşmeros reais positivos a1,a2 ,!,an GHÂżQLPRV D PpGLD KDUP{QLFD n .

MH, de a1, a2, ..., an como o nĂşmero MH 1 1 1

" a1 a2 an EX: A mĂŠdia harmĂ´nica dos nĂşmeros 4, 6 e 9 ĂŠ MH

3 1 1 1

4 6 9

108 .

19

4. MĂŠdia Ponderada Dados n > 1 nĂşmeros reais positivos a1,a2 ,!,an cujos pesos sĂŁo, respectivamente, p1,p2 ,!,pn GHÂżQLPRV D PpGLD SRQGHUDGD MP , de a1,a2 ,!,an como o nĂşmero MP

a1 Â&#x2DC; p1 a2 Â&#x2DC; p2 " an Â&#x2DC; pn . p1 p2 " pn

EX: A mĂŠdia ponderada dos nĂşmeros 6, 9 e 18 cujos pesos sĂŁo 3, 4 e 2, respectivamente, ĂŠ MP

6 Â&#x2DC; 3 9 Â&#x2DC; 4 18 Â&#x2DC; 2 3 4 2

10 .

Agora vamos mostrar um argumento muito usado em problemas de olimpĂ­adas de MatemĂĄtica, a DESIGUALDADE DAS MĂ&#x2030;DIAS. Para todo n > 1 nĂşmeros reais positivos a1,a2 ,!,an temos que MH d MG d MA , valendo a igualdade quando a1

a2

!

an .

3. CONJUNTO DOS NĂ&#x161;MEROS IRRACIONAIS (\ â&#x20AC;&#x201C; _)

3

91

CONJUNTO DOS NĂ&#x161;MEROS IRRACIONAIS (\ â&#x20AC;&#x201C; _)

p onde p e q são números q inteiros diferentes de zero. Eles possuem uma representação decimal LQ¿QLWD SRUpP QmR H[LVWH XPD UHSHWLomR LQGH¿QLGDPHQWH GH XP GHWHUPLQDGR JUXSR GH DOJDULVPRV

Os nĂşmeros irracionais nĂŁo podem ser escritos na forma

Temos vĂĄrios outros exemplos de irracionais:

EX:

2, 3 ,3 5, 2 2 ,

5

1 7 5 1 7

EX: 0,10110111011110111110...

EX: S , e ,

1 5 2

Aqui estĂŁo os valores de alguns dos nĂşmeros irracionais mais famosos: ­ 2 1,4142135623730950488016887... ° °S 3,1415926535897932384626433... ° ÂŽe 2,7182818284590452353602874... ° °) 1 5 1,6180339887498948482045868... °Ě&#x201E; 2 1. Demonstraremos que 2 ĂŠ irracional.

Suponhamos que o nĂşmero x satisfazendo x2 = 2 seja racional. EntĂŁo existem p2 inteiros positivos p e q, primos entre si, tais que 2 2 , ou seja, p2 = 2q2. Portanto q p2 ĂŠ par o que implica que p tambĂŠm ĂŠ par, entĂŁo p pode ser escrito na forma 2q2 Â&#x; q2 2k 2 , entĂŁo pela mesma p = 2k, para algum inteiro k. Assim, 2k

razão que acabamos de expor, concluímos que q tambÊm deve ser par, contradição, pois p e q são primos entre si por hipótese! Assim chegamos à conclusão que 2 , que Ê como representamos o número positivo cujo quadrado Ê 2, Ê um número irracional.

2

2. O número S pode ser obtido fazendo a razão entre o perímetro de qualquer circunferência e o seu diâmetro. Um japonês, Shigeru Kondo, com um computador construído em casa, calculou o valor do conceito matemåtico S com 5 trilhþes de casas decimais em agosto de 2010.

98

TEORIA DOS NĂ&#x161;MEROS â&#x20AC;&#x201C; UM CURSO INTERMEDIĂ RIO

EXERCĂ?CIOS RESOLVIDOS Exemplo Resolvido 1 x 2 x 1 x 1 x 2 sabendo que:

Determine o valor da expressĂŁo E a) x E

0 2 1 1 2

2 1 1 2 Â&#x; E

6

b) 1 x 1 E = â&#x2C6;&#x2019; ( x â&#x2C6;&#x2019; 2 ) â&#x2C6;&#x2019; ( x â&#x2C6;&#x2019; 1) + ( x + 1 ) + ( x + 2 ) = â&#x2C6;&#x2019; x + 2 â&#x2C6;&#x2019; x + 1 + x + 1 + x + 2 â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019;E=6 c) 2 x 1 E = â&#x2C6;&#x2019; ( x â&#x2C6;&#x2019; 2 ) â&#x2C6;&#x2019; ( x â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019; ( x + 1 ) + ( x + 2 ) = â&#x2C6;&#x2019; x + 2 â&#x2C6;&#x2019; x + 1 â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; 1 + x + 2 â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; E = 4 â&#x2C6;&#x2019; 2x d) 1 x 2 E = â&#x2C6;&#x2019; ( x â&#x2C6;&#x2019; 2 ) + ( x â&#x2C6;&#x2019; 1) + ( x + 1 ) + ( x + 2 ) = â&#x2C6;&#x2019; x + 2 + x â&#x2C6;&#x2019; 1 + x + 1 + x + 2 â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;&#x2019; E = 4 + 2x Exemplo Resolvido 2 6LPSOLÂżTXH D H[SUHVVmR

1 2 3

1

3 2

1

2 1

.

Racionalizando separadamente cada denominador, teremos:

1 2 3

1

Â&#x2DC;

2 3

2 3 2 3

1

1

3 2

3 2

1 2 1

1 2 1

Â&#x2DC;

Â&#x2DC;

2 3

2

2

3

3 2

2 1

2 3 4 3

3 2

3 2

3 2

2 1

2

2

2 1

2

1

2

2 1 2 1

2 3

3 2 3 2 2 1

3 2

104

TEORIA DOS NĂ&#x161;MEROS â&#x20AC;&#x201C; UM CURSO INTERMEDIĂ RIO

Exemplo Resolvido 14 - (IMO 2008) Prove que

x2

y2

z2

x 1 2 y 1 2 z 1 2

t 1 para todos os nĂşmeros reais x, y, z,

diferentes de 1, com xyz = 1. x B= y Sabendo que xyz = 1 e fazendo a seguinte mudança de variĂĄvel A = , y â&#x2C6;&#x2019;1 x â&#x2C6;&#x2019;1 z , teremos agora que provar que A 2 B2 C2 t 1 . e C= z â&#x2C6;&#x2019;1 Como A

entĂŁo

x Â&#x;x x 1

A , analogamente teremos que Â&#x; y A 1

A B C Â&#x2DC; Â&#x2DC; 1 Â&#x; ABC A 1 B 1 C 1

B Â&#x;x B 1

C , C 1

A 1 B 1 C 1

 AB + AC + BC + 1 = A + B + C, fazendo AB + AC + BC = Îą  2 2 â&#x2021;&#x2019; Îą + 1 = A + B + C â&#x2021;&#x2019; (Îą + 1) = ( A + B + C) â&#x2021;&#x2019;  2 2 2 ι + 2Îą + 1 = A + B + C + 2AB + 2AC + 2BC  2 2 2 2 2 2 2 2 â&#x2021;&#x2019; Îą + 2Îą + 1 = A + B + C + 2Îą â&#x2021;&#x2019; A + B + C = Îą + 1 como Îą 2 â&#x2030;Ľ 0 â&#x2021;&#x2019; A 2 + B2 + C2 â&#x2030;Ľ 1 

EXERCĂ?CIOS PROPOSTOS QuestĂŁo 165 Em 1872, o matemĂĄtico alemĂŁo Richard Dedekind (1831-1916) fez entrar na AritmĂŠtica, em termos rigorosos, os nĂşmeros irracionais, que a geometria sugerira hĂĄ mais de vinte sĂŠculos. Os nĂşmeros racionais se opĂľem aos nĂşmeros irracionais.

Qual Ê a alternativa verdadeira? a) A soma de dois números irracionais positivos Ê um número irracional. b) A diferença entre um número racional e um número irracional Ê um número irracional. c) A raiz quadrada de um número racional Ê um número irracional. d) O produto de dois números irracionais distintos Ê um número irracional.

QuestĂŁo 166 O valor de a Â? ` tal que a) b) c) d)

mĂşltiplo de 5 divisor de 9 quadrado perfeito divisĂ­vel por 18

2 a 5 5

7 5 5

3 2 Â&#x2DC; 8 4 5 , ĂŠ um nĂşmero:

108

5

TEORIA DOS NÚMEROS – UM CURSO INTERMEDIÁRIO

TESTES DE VESTIBULARES

Questões 01 - (UFMG) Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de cadernos que cada família ganhou foi: a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 Questões 02 - (PUC) Três peças de tecido que medem 30 m, 36 m e 42 m, respectivamente, devem ser divididas em pedaços, todos de mesmo comprimento e do maior tamanho possível, sem que haja sobras em cada uma delas. O comprimento de cada pedaço, em metros, é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 Questões 03 - (UFMG) O número natural n é o máximo divisor comum dos números 756 e 2205.

Então, a soma dos algarismos de n é igual a: a) 3 b) 8 c) 9

d) 13

Questões 04 - (UFU-MG) Se o máximo divisor comum entre os números 144 e 30p é 36, em que p é um inteiro positivo, então o expoente p é igual a: a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 Questões 05 - (UFMG) A soma de dois números inteiros positivos, com dois algarismos cada um, é 58.

Os quatro algarismos são distintos entre si. A soma desses quatro algarismos é um número a) menor que 9 c) primo b) múltiplo de 3 d) maior que 30 Questões 06 - (UFMG) Considere-se o conjunto M de todos os números inteiros formados por exatamente WUrV DOJDULVPRV LJXDLV 3RGH VH D¿UPDU TXH WRGR n M é múltiplo de: a) 5 b) 7 c) 13 d) 17 e) 37

128

TEORIA DOS NĂ&#x161;MEROS â&#x20AC;&#x201C; UM CURSO INTERMEDIĂ RIO

Questþes 95 - (UFMG) JosÊ decidiu nadar, regularmente, de quatro em quatro dias. Começou a fazê-lo em um såbado; nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte e assim por diante.

Nesse caso, na centÊsima vez em que JosÊ for nadar, serå: a) terça-feira c) quinta-feira b) quarta-feira d) sexta-feira Questþes 96 - (UFMG) Um número natural n tem três algarismos, todos não-nulos. A soma dos três algarismos de n Ê igual a 12 e o quadrado de um desses algarismos Ê igual à soma GRV RXWURV GRLV $VVLQDOH D ~QLFD D¿UPDWLYD )$/6$ HP UHODomR D HVVD VLWXDomR a) n Ê sempre múltiplo de 3. b) O produto dos três algarismos de n Ê sempre menor que 56. c) 3 Ê sempre um dos algarismos de n. d) Existem 21 valores possíveis para n.

QuestĂľes 97 - (UFMG) Em um treinamento numa pista circular, um ciclista gasta 21 minutos para completar cada volta, passando sempre pelos pontos A,B e C da pista e nessa ordem. Em cada volta, nos trechos entre A e B e entre B e C, ele gasta, respectivamente, o dobro e o triplo do tempo gasto no trecho entre C e A. Se esse ciclista passou por B Ă s 16 horas, Ă s 18 horas ele estarĂĄ: a) entre A e B c) entre C e A b) entre B e C d) em A QuestĂľes 98 - (FUVEST) Sabendo que os anos bissextos sĂŁo os mĂşltiplos de 4 e que o primeiro dia de 2007 foi segunda-feira, o prĂłximo ano a começar tambĂŠm em uma segunda-feira serĂĄ a) 2012 b) 2014 c) 2016 d) 2018 e) 2020 QuestĂľes 99 - (FUVEST) 8P DXWRPyYHO PRGHOR Ă&#x20AC;H[ FRQVRPH OLWURV GH JDVROLQD SDUD SHUFRUUHU NP Quando se opta pelo uso do ĂĄlcool, o automĂłvel consome 37 litros deste combustĂ­vel para percorrer 259 km. Suponha que um litro de gasolina custe R$ 2,20. Qual deve ser o preço do litro do ĂĄlcool para que o custo do quilĂ´metro rodado por esse automĂłvel, usando somente gasolina ou somente ĂĄlcool como combustĂ­vel, seja o mesmo? a) R$ 1,00 b) R$ 1,10 c) R$ 1,20 d) R$ 1,30 e) R$ 1,40 QuestĂľes 100 - (FUVEST) Um nĂşmero natural N tem trĂŞs algarismos. Quando dele subtraĂ­mos 396 resulta o nĂşmero que ĂŠ obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, alĂŠm disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N ĂŠ igual a 8, entĂŁo o algarismo das centenas de N ĂŠ: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

6. TESTES DA OLIMPĂ?ADA BRASILEIRA DE MATEMĂ TICA

6

129

TESTES DA OLIMPĂ?ADA BRASILEIRA DE MATEMĂ TICA

Questão 1 - (OBM 2000) Observe as multiplicaçþes a seguir: 12 345 679 x 18 = 222 222 222 12 345 679 x 27 = 333 333 333 12 345 679 x 54 = 666 666 666 Para obter 999 999 999 devemos multiplicar 12 345 679 por: a) 29 b) 99 c) 72 d) 41

e) 81

QuestĂŁo 2 - (OBM 2000) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. AtĂŠ quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 QuestĂŁo 3 - (OBM 2000) Um certo nĂşmero N de dois algarismos ĂŠ o quadrado de um nĂşmero natural.

Invertendo-se a ordem dos algarismos desse nĂşmero, obtĂŠm-se um nĂşmero Ă­mpar. $ GLIHUHQoD HQWUH RV GRLV Q~PHURV p R FXER GH XP Q~PHUR QDWXUDO 3RGHPRV DÂżUPDU que a soma dos algarismos de N ĂŠ: a) 7 b) 10 c) 13 d) 9 e) 11 QuestĂŁo 4 - (OBM 2000) +i DQRV +pOLR WLQKD SUHFLVDPHQWH WUrV YH]HV D LGDGH GH VHX ÂżOKR $JRUD WHP R GREUR GD LGDGH GHVVH ÂżOKR 4XDQWRV DQRV WrP +pOLR H VHX ÂżOKR" a) 72 anos e 36 anos. d) 50 anos e 25 anos. b) 36 anos e 18 anos. e) 38 anos e 19 anos. c) 40 anos e 20 anos.

QuestĂŁo 5 - (OBM 2000) Se os nĂşmeros naturais sĂŁo colocados em colunas, como se mostra abaixo, debaixo de que letra aparecerĂĄ o nĂşmero 2000?

A

B

1

C 2

9 10

7

17

H 6

16

14 15

... d) I

I 5

13

21 c) C

G 4

12

20 b) B

F

3

11

19

E

8

18

a) F

D

... e) A

150

TEORIA DOS NĂ&#x161;MEROS â&#x20AC;&#x201C; UM CURSO INTERMEDIĂ RIO

Questão 142 - (OBM 2012) Para homenagear a Copa do Mundo e as Olimpíadas no Brasil, Esmeralda, a prefeita da cidade Gugulândia, decidiu que seria feriado em sua cidade no dia x do mês de Q~PHUR \ RQGH [ p R ~OWLPR DOJDULVPR GR Q~PHUR 2014 H \ p R UHVWR GH 2016 na divisão por 11. Assim, esse feriado serå no dia: a) 8 de março c) 4 de janeiro e) 6 de março b) 6 de janeiro d) 6 de abril Observação: O mês de janeiro corresponde ao mês de número 1 e assim por diante.

Questão 143 - (OBM2012) )HUQDQGR HVFUHYHX XPD VHTXrQFLD GH Q~PHURV 4XDQWDV YH]HV QR mínimo ele deve repetir o 123456 de modo que o número se torne múltiplo de 77? a) 7 b) 11 c) 18 d) 49 e) 77 Questão 144 - (OBM 2012) 4XDO p R PHQRU Q~PHUR tPSDU TXH SRVVXL H[DWDPHQWH GLYLVRUHV SRVLWLYRV LQFOXLQGR o 1 e o próprio número? a) 1875 c) 390 e) 105 b) 405 d) 330 Questão 145 - (OBM 2012) 4XDQWRV Q~PHURV LQWHLURV SRVLWLYRV WrP R Q~PHUR FRPR VHX PDLRU GLYLVRU GLIHUHQWH do próprio número? a) 1 c) 3 H LQ¿QLWRV b) 2 d) 9 Questão 146 - (OBM 2012) As massas de todos os pares possíveis formados com 5 estudantes são 90 kg, NJ NJ NJ NJ NJ NJ NJ NJ H NJ 4XDO p D PDVVD do estudante de massa intermediåria? a) 52 kg c) 49 kg e) 46 kg b) 51 kg d) 48 kg Questão 147 - (OBM 2012) Ao calcular as raízes da equação do segundo grau x 2 mx m 5 0 , Samuca percebeu que elas eram os catetos de um triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento 5. A soma dos possíveis valores de m Ê: a) 2 b) 12 c) 7 d) 10 e) 8 Questão 148 - (OBM 2012) 4XDQWRV Q~PHURV H[LVWHP HQWUH H WDLV TXH R SURGXWR GH VHXV algarismos Ê um número ímpar que não Ê um múltiplo de 7? a) 128 c) 512 e) 2048 b) 256 d) 1024

152

7

TEORIA DOS NĂ&#x161;MEROS â&#x20AC;&#x201C; UM CURSO INTERMEDIĂ RIO

PRINCĂ?PIO DA INDUĂ&#x2021;Ă&#x192;O FINITA

Seja S(n) uma proposição referente a um inteiro positivo n. Suponha sabermos que cada uma das duas condiçþes Ê satisfeita.

I. S(1) ĂŠ verdadeira.

II. Sendo S(n) supostamente verdadeira para um inteiro n = k, entĂŁo serĂĄ necessariamente verdadeira para o inteiro seguinte, n = k + 1.

Nessas circunstâncias, conclui-se que S(n) Ê verdadeira para todo inteiro positivo n.

A ideia de indução matemåtica pode ser ilustrada de muitas maneiras não PDWHPiWLFDV 3RU H[HPSOR LPDJLQH XPD ¿OHLUD GH SHoDV GH GRPLQy FRORFDGDV em pÊ. Suponha que elas estejam espaçadas de modo a que, caindo qualquer uma delas, ela irå bater na seguinte. Suponha, alÊm disso, que nós realmente derrubemos a primeira peça do dominó. Nessa situação, sabemos que todas as peças do dominó cairão. Nosso conhecimento estå baseado em dois fatos, que são bastante anålogos a I e II: i. A primeira peça de dominó cai, pois nós a derrubamos. ii. Se qualquer peça do dominó cair, então ela irå bater na seguinte.

'HYHPRV VHU FXLGDGRVRV FRP R VLJQL¿FDGR GH LL QmR Ki D¿UPDomR GH TXH qualquer peça de dominó realmente cai, mas apenas que cada peça de dominó estå relacionada com a próxima de certo modo.

EXERCĂ?CIOS RESOLVIDOS QuestĂŁo 01.

Provar que 1 2 3 " n Solução: I. Temos que S 1

1Â&#x2DC; 2 2

n Â&#x2DC; n 1

2

1 ĂŠ verdadeira.

II. Suponha por indução que seja verdade para n = k, ou seja, S k

(Hipótese de indução) Agora falta mostrar que vale para n + k + 1, ou seja, S k S k 1

1 2 3 " k k 1

Portanto 1 2 3 " n

n Â&#x2DC; n 1

2

k Â&#x2DC; k 1

2

k 1

para todo n Â? ` .

1

k Â&#x2DC; k 1

2

k 1 Â&#x2DC; k 2

2

k 1 Â&#x2DC; k 2

2

.

7. PRINCĂ?PIO DA INDUĂ&#x2021;Ă&#x192;O FINITA

155

QuestĂŁo 12 n

n 1 Â&#x2DC; 2n 1 2 .

Prove que ÂŚ k Â&#x2DC; 2

k

k 1

QuestĂŁo 13 - (IME/87) 5n

§ 2n ¡ Prove que 2 4 ¨ ¸ , n t 2 . Š nš Questão 14 Dada a relação de recorrência A n

A n

2 Â&#x2DC; A n 1 1, com A 1

1 , mostre que

2n 1. (Torre de HanĂłi)

Questão 15 - (OBM 2004) Determine todas as soluçþes da equação n . 2Q ¹ + 1 = m2, com n e m naturais.

RESOLUĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DOS EXERCĂ?CIOS PROPOSTOS QuestĂŁo 01 I. Temos que S 1

12

1 ĂŠ verdadeira.

II. Suponha por indução que seja verdade para n = k, ou seja, S k

Agora falta mostrar que vale para n = k + 1, ou seja, S k 1

S k 1

ª1 3 5 " 2k 1 ºŸ 2k 1 k 2 2k 1

k2 .

k 1 2 .

k 1 2

QuestĂŁo 02

1Â&#x2DC; 2 Â&#x2DC; 3 6

I. Temos que S 1

1 ĂŠ verdadeira.

II. Suponha por indução que seja verdade para n = k, ou seja, S k

Agora falta mostrar que vale para n = k + 1, ou seja, S k 1

(

S (k + 1) = 1 + 2 + " + k = =

2

2

k (k + 1) ( 2k + 1) 6

2

=

2

+ (k + 1) =

k (k + 1) ( 2k + 1) + 6 (k + 1)

S k 1

) + (k + 1)

2

2

6

k 1 2k 2 7k 6 k 1 k 2 2k 3

6

6

.

k k 1 2k 1

6

k 1 k 2 2k 3

6

.

11. RESOLUĂ&#x2021;Ă&#x192;O DOS TESTES DA OBM

11

221

RESOLUĂ&#x2021;Ă&#x192;O DOS TESTES DA OBM

QuestĂŁo 01 Os exemplos dados mostram que 12345679 u9k

kkk.kkk.kkk . Assim, para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12345679 por 9 u9 81 .

QuestĂŁo 02 Ele separa 40 garrafas vazias e as troca por 10 garrafas de 1 litro cheias de leite.

Esvaziadas as 10 garrafas, ele pode juntå-las com as 3 vazias que restaram e trocålas por 3 garrafas cheias, sobrando ainda 1 garrafa vazia. Esvaziando as 3 cheias e juntando com a garrafa vazia ele ainda pode obter em troca mais uma garrafa cheia. Ao todo ele pode obter, por sucessivas trocas, 10 + 3 + 1 = 14 garrafas cheias de leite, todas elas a partir das 43 vazias que ele possuía.Uma solução alternativa seria notar que em cada troca ele perde 3 garrafas, portanto como 43 = 14 . 3 + 1, temos que ele poderå fazer no måximo 14 trocas.

QuestĂŁo 03 Seja N 10a b . O nĂşmero 10b a (obtido invertendo-se os algarismos de N) ĂŠ Ă­mpar, logo a ĂŠ Ă­mpar. Portanto N = 16 ou N = 36. Mas 61â&#x20AC;&#x201C; 16 cubo perfeito, e 63 â&#x20AC;&#x201C; 36

27

3

3 . EntĂŁo N

36 e 3 6

45 , que nĂŁo ĂŠ um

9.

QuestĂŁo 04 6HQGR [ D LGDGH DWXDO GR ÂżOKR [ p D LGDGH DWXDO GH +pOLR Ki DQRV DV LGDGHV GH +pOLR H GR ÂżOKR HUDP UHVSHFWLYDPHQWH [ Âą H [ Âą DVVLP WHUHPRV TXH 2x 18

3 Â&#x2DC; (x 18) Â&#x153; 2x 18

3x 54 Â&#x153; x

36 , logo 2x

72 .

QuestĂŁo 05 As colunas reĂşnem nĂşmeros que deixam mesmo resto na divisĂŁo por 9; como 2000 dividido por 9 deixa resto 2, estĂĄ na mesma coluna que o 2, ou seja, coluna C. QuestĂŁo 06 Como o aluno que saiu da turma A ĂŠ o que tinha a menor nota, a mĂŠdia das notas desta turma aumentou; como, todavia, este aluno tem nota maior que a de qualquer outro aluno da turma B, temos que a mĂŠdia da turma B aumentou.

QuestĂŁo 07

ab um inteiro de dois algarismos. Devemos ter 10a + b = 2ab Â&#x153; DE Âą E Âą D Â&#x153; D Âą . E Âą &RPR a e b sĂŁo inteiros com a > 0 e

Seja N

0 d b d 9, temos que 2a â&#x20AC;&#x201C; 1 ! 0 e assim, 2a â&#x20AC;&#x201C; 1 5 e b â&#x20AC;&#x201C; 5 1 Â&#x153; a Logo o Ăşnico inteiro satisfazendo as condiçþes do enunciado ĂŠ 36.

3 e b

6.