Libro electronico de guias by Victoria Eugenia Garcia Gomez

GUIAS DE MATEMATICAS GRADO DECIMO

INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL “Calidad humana, orientada hacia el liderazgo y el compromiso social” Envigado 2014

INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL “CALIDAD HUMANA,ORIENTADA HACIA EL LIDERAZGO Y EL COMPROMISO SOCIAL”

INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL GUIA DE TRABAJO No 1 PRELIMINARES DE TRIGONOMETRIA Área: MATEMATICAS

Intensidad: 3 SEMANAS

Grado: DECIMO

Período: PRIMERO

Fechas: Iniciación: Enero 13

Finalización: Enero 31

Año: 2014

Profesora: VICTORIA EUGENIA GARCIA GOMEZ

ALCANCE DE LA GUIA 

LOGRO: Repasar algunos conceptos básicos de algebra y geometría.



TEMÁTICAS: Factorización; clasificación de triángulos, teorema de Pitágoras; circunferencia y circulo.

CRITERIOS DE EVALUACION 

PARTICIPACIÓN Y TRABAJO EN CLASE

10% (5 puntos)



DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN EL CUADERNO

30% (15 puntos)



TRABAJO VIRTUAL (Internet)

10% (5 puntos)



EVALUACIÓN: escrita, individual, por parejas, oral, etc.

50% (25 puntos)

“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo” Galileo Galilei

DESARROLLO DE LA GUIA Para iniciar el trabajo en trigonometría es necesario que tengas muy claros algunos temas que son requisito indispensable, entre ellos están:

TEMA 1: HISTORIA DE LA TRIGONOMETRIA Y SUS APLICACIONES ACTIVIDAD #1: REALIZAR EN CASA Y TRAER PARA LA PROXIMA CLASE I. Observar los videos que corresponden a los siguientes enlaces debes tomar nota en tu cuaderno de los aspectos históricos, las formulas y los ejemplos de las aplicaciones mostradas allí a. https://www.youtube.com/watch?v=IrJDQPCazCE b. https://www.youtube.com/watch?v=Idhvx5jk0aA c. https://www.youtube.com/watch?v=SZRtImRMz2w INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL “CALIDAD HUMANA,ORIENTADA HACIA EL LIDERAZGO Y EL COMPROMISO SOCIAL”

d. https://www.youtube.com/watch?v=BZcteigGMu8 e. https://www.youtube.com/watch?v=e04_tGDYH08

TEMA 2 FACTORIZACION: En matemáticas, la factorización (o factoreo) es la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de multiplicación. Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. El teorema fundamental de la aritmética comprende la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios está el teorema fundamental del álgebra. Teorema fundamental del álgebra El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo de grado , la ecuación tiene exactamente

soluciones complejas, contando multiplicidades.

El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja). Recordemos algunos casos de factorización: # 1 2 3

CASO Factor común Factor común por agrupación de términos Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción 5 Diferencia de cuadrados 6 Trinomio de la forma 7 Trinomio de la forma 8 Cubo perfecto de binomios 9 Suma o diferencia de cubos perfectos 10 Suma o diferencia de potencias iguales ACTIVIDAD #2: RESOLVER

FORMA Y FACTORIZACION ( (

) )

(

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )

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Observar los videos que corresponden a los siguientes enlaces debes tomar nota de todas y cada una de las formulas con sus respectivos ejemplos tu cuaderno de manera limpia y ordenada. a. https://www.youtube.com/watch?v=kbQwYQ5Myws b. https://www.youtube.com/watch?v=d5EuMHtqwTk c. https://www.youtube.com/watch?v=hG_Ch4J5b4o d. https://www.youtube.com/watch?v=i47Rc685abE e. https://www.youtube.com/watch?v=R-Hka0SCxAc f. https://www.youtube.com/watch?v=PgJyTFoNCI8 g. https://www.youtube.com/watch?v=Mqt8CEmBseM REALIZA CON PROCESO LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

II. a. b. c. d. e. f. g. h.

Los 10 primeros ejercicios del ejercicio 89 pág. 145 de Baldor. Los 10 primeros ejercicios del ejercicio 91 pág. 148 de Baldor. Los 10 primeros ejercicios del ejercicio 92 pág. 151 de Baldor. Los 10 primeros ejercicios del ejercicio 93 pág. 152 de Baldor. Los 10 primeros ejercicios del ejercicio 98 pág.161 de Baldor. Los ejercicios del 11 al 20 del ejercicio 100 pág. 164 de Baldor. Los ejercicio del 11 al 22 del ejercicio 102 pág.167 de Baldor. Los ejercicios del 25 al 39 del ejercicio 103 pág.169 de Baldor.

CLASIFICACION DE TRIANGULOS Y TOEREMA DE PITAGORAS: CLASIFICACION DE TRIANGULOS:

TEOREMA DE PITAGORAS: INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL “CALIDAD HUMANA,ORIENTADA HACIA EL LIDERAZGO Y EL COMPROMISO SOCIAL”

APLICACIÒN DEL TEOREMA DE PITAGORAS

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ACTIVIDAD #3: RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS EMPLEANDO EL TEOREMA DE PITAGORAS

1. Hallar el área triángulo equilátero:

del 2. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

3. Hallar la diagonal cuadrado:

del 4. Hallar el área del pentágono regular:

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5. Hallar la rectángulo:

diagonal

del 6. Calcular el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.

7. Hallar el perímetro y el área 8. En una circunferencia una del trapecio rectángulo: cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

TRABAJO VIRTUAL: Sobre el triangulo de tartaglia. Debes consultar el tema y copiarlo en tu cuaderno de matemáticas para luego socializar en clase.

EVALUACION Se realizara al finalizar la tercera semana de trabajo de la guía en la última clase de esta semana o en la primera de la semana siguiente.

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA Para el desarrollo de esta guía te serán de gran utilidad el internet y sus buscadores y algebra de Baldor.

Elaboro VICTORIA EUGENIA GARCIA GOMEZ Docente y actualizo JANET GOMEZ Docente

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INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL GUIA DE TRABAJO No2 ANGULOS Área: MATEMATICAS

Intensidad: 2 SEMANAS

Grado: DECIMO

Período: PRIMERO

Fechas: Iniciación: Feb. 10

Finalización: Feb. 21

Año: 2014

Profesora: VICTORIA EUGENIA GARCIA GOMEZ

ALCANCE DE LA GUIA  LOGRO: Identifica unidades básicas de medidas de ángulos y hace conversiones entre ellas.  TEMÁTICAS: Definición y clases de ángulos; graficas de ángulos en posición normal; conversión de ángulos, ángulos principales y notables.

CRITERIOS DE EVALUACION 

PARTICIPACIÓN Y TRABAJO EN CLASE

10% (5 puntos)



DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN EL CUADERNO

30% (15 puntos)



TRABAJO VIRTUAL (Internet)

10% (5 puntos)



EVALUACIÓN: escrita, individual, por parejas, oral, etc.

50% (25 puntos)

“Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura.” Bertrand Russell

DESARROLLO DE LA GUIA TEMA 1 ANGULOS DEFINICIÓN DE ANGULOS: Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano 1. Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. 2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

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CLASES DE ANGULOS:

ACTIVIDAD #1 I. Observar con atención los videos con los siguientes enlaces, tomar nota en tu cuaderno de los ejemplos representados allí: a. https://www.youtube.com/watch?v=sy54KAHh6Tg b. https://www.youtube.com/watch?v=vUXpxsCJSY0 c. https://www.youtube.com/watch?v=V7R2Yf00uBs d. Halla la medida de los siguientes ángulos y clasifícalos:

1. Mide con el transportador los siguientes ángulos:

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2. Graficar los siguientes ángulos y clasificarlos

3. Averiguar el valor de los ángulos α - β - δ - γ - o - ε - π - ρ

TEMA 2 UNIDADES DE MEDIDA DE LOS ANGULOS Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:   

Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades) Grado centesimal Grado sexagesimal (el que utilizaremos)

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc. DEFINICION DE GRADO SEXAGEXIMAL El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, esta definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores el minuto sexagesimal, y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:   

1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales). 1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales). 1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

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Ejemplo: graficar en posición normal los siguientes ángulos:

Notación decimal Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de la fraccionaria con la coma decimal, se divide en 60 en la forma normal de expresar cantidades decimales, lo que se busca es transformar en minuto y el segundo números decimales, por ejemplo. 23,2345°

12,32°

-50,265°

123,696°

Notación sexagesimal Podemos expresar una cantidad en grados minutos y segundos, las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo, ejemplo: 12°34′34″

13°3′23,8″

124°45′34,70″

-2°34′10″

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Teniendo cuidado como norma de notación, no dejar espacio entre las cifras, es decir: Escribir 12°34′34,2″ y no 12° 34′ 34″ CONVERSIONES ENTRE GRADOS SEXAGECIMALES Y RADIANES: Para el desarrollo de una conversión de grados a rad o viceversa tienes que tener muy encienta la regla de tres simple, así: Ejemplo: convertir o pasar 400 a radianes.

La equivalencia con los grados es:

Las ecuaciones para transformar grados en radianes y viceversa son:

⋁ Ejemplo:

Transformar, Ejemplo: Transformar,

ACTIVIDAD #2: I. Observar con atención los videos con los siguientes enlaces, tomar nota en tu cuaderno de los ejemplos representados allí: a. https://www.youtube.com/watch?v=SpUs9oGNbAU b. https://www.youtube.com/watch?v=sL8hjaYRCKo c. https://www.youtube.com/watch?v=qvvWJ7NIbpE d. https://www.youtube.com/watch?v=oCM9JHTx-Fo e. https://www.youtube.com/watch?v=xSiRqKNkuTI II. Expresa en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. 2. Calcula en grados el equivalente a un radián; y en radianes, el equivalente a un grado.

3. Utiliza el transportador y mide en grados los siguientes ángulos, indica, además, el cuadrante en el que se halla:

4. Dibuja en posición normal los ángulos con las siguientes medidas:

a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. 5. Expresar en radianes los siguientes ángulos. Expresa tus respuestas en términos a. b. c. d. e. f. g. h. j. k. l. m. 6. Expresar en grados los siguientes ángulos: a. b. c. 6.28 rad d. e. 0.26rad f. 12rad g. h. 1.24rad. i. 18.34rad j. k. 3.24rad l. 20rad. 7. completa la siguiente tabla:

Rotacione 0 1 s Grados 8. si la suma de las medidas de dos ángulos es , entonces los ángulos son suplementarios. Cada Angulo es el suplemento del otro. Determina el suplemento de los siguientes ángulos: a. si , ¿Cuál es el valor de “a”? b. si , ¿Cuáles son los valores de “b, c, y d”? 13

9. Para cada rotación encuentra la medida en grados de cada ángulo a. . b.

c. d. . 10. Escribe el número del cuadrante en que se encuentra el lado final de cada ángulo dado en posición normal: -56°

860°

176°

-256°

450°

-900°

56°

TEMA 3 ANGULOS PRINCIPALES Y NOTABLES La palabra “notable”• dentro de la trigonometría y la matemática en general se la utiliza para hacer referencia a procesos o valores bien definidos y que tiene un origen “notable” o muy particular. De ésta manera, se han definido a los ángulos notables como aquellos que tienen valores muy específicos y que aparecen con determinada frecuencia en la vida cotidiana. Estos ángulos son los de 30°, 45° y 60°. A pesar de no ser definidos como notables, los siguientes valores de ángulos también forman parte de la familia ya que son tan comunes en los procesos cotidianos, como los primeros y son los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°, llamados ángulos principales.

ANGULOS PRINCIPALES: son los ángulos que miden:

ANGULOS NOTABLES: Son los ángulos que miden:

ACTIVIDAD 3: REALIZAR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: I. Observar con atención los videos con los siguientes enlaces, tomar nota en tu cuaderno de los ejemplos representados allí: a. https://www.youtube.com/watch?v=sYYzDutKkRs b. https://www.youtube.com/watch?v=to9tVzRTenc II. Resolver los siguientes ejercicio en tu cuaderno: utilizar papel milimetrado 1. Construir tres triángulos equiláteros de 6, 10, 16 cm cada uno, en papel milimetrado. 2. Dibujar la circunferencia de radio 10cm, y graficar el ángulo de 600 sobre la horizontal. 3. Construir tres triángulos rectángulos isósceles de 6, 10, 16 cm cada cateto, en papel milimetrado. (Dibujar) 4. Dibujar la circunferencia de radio 10 cm, y graficar el ángulo de 450 Sobre la horizontal. 5. A los triángulos del punto (1) trazarles la mediatriz y la bisectriz. 14

6. Medir los ángulos internos de cada triangulo de los puntos 1 y 3. 7. Sumar los ángulos internos de cada triangulo de lo puntos 1 y 3. 8. Graficar los ángulos principales unitaria.

sobre la circunferencia

TRABAJO VIRTUAL: sobre EL RADIAN (historia, definición, utilidad, análisis dimensional, equivalencias), (Debe ser manuscrita). En la siguiente página electrónica http://es.wikipedia.org/wiki/Radian.

EVALUACION Se realizara al finalizar la segunda semana de trabajo de la guía en la última clase de esta semana o en la primera de la semana siguiente.

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA Para el desarrollo de esta guía te serán de gran utilidad el internet y sus buscadores y los textos de matemáticas 10°.

Elaboro VICTORIA EUGENIA GARCIA GOMEZ Docente y actualizo JANET GOMEZ Docente

INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL GUIA DE TRABAJO No 3 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Área: MATEMATICAS

Intensidad: 2 SEMANAS

Grado: DECIMO

Período: PRIMERO

Fechas: Iniciación: marzo 3

Finalización: Mar. 14

Año: 2014

Profesora: VICTORIA EUGENIA GARCIA GOMEZ

ALCANCE DE LA GUIA 

LOGRO: Deduce las razones trigonométricas que pueden establecerse entre los lados de un triángulo rectángulo.



TEMÁTICAS: razones trigonométricas, relaciones trigonométricas en el triangulo rectángulo y en la circunferencia unitaria; deducción de las relaciones trigonométricas para los ángulos principales y notables.

CRITERIOS DE EVALUACION 

DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN EL CUADERNO

30% (15 puntos)



TRABAJO VIRTUAL (Internet)

10% (5 puntos)



EVALUACIÓN: escrita, individual, por parejas, oral, etc.

60% (30 puntos)

“Si quieres triunfar, no te quedes mirando la escalera. Empieza a subir, escalón por escalón, hasta que llegues arriba.” Anónimo

DESARROLLO DE LA GUIA

Relaciones o razones trigonométricas: Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo

rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango: Seno

El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

Cosecante

Coseno

El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

Secante

Tangente

Cotangente

La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto: La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente: La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto

Signos de las razones y funciones trigonométricas

DEFINICIÓN DE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS A TRAVÉS DE LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA.

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS VALORES DE LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA

1 0 0

0 1

-1 0 0

0 -1

-1

1 0 0

0 -1

PRINCIPALES A PARTIR DE LOS

-1 0 0 -1

-1

LAS DIFERENTES RELACIONES TRIGONOMETRICAS ACTIVIDAD #1 I. DIBUJAR Y COMPLETAR LA TABLA EN UN TROZO DE CARTULINA Y PLASTIFICARLA CIRCUNFERENCIA UNITARIA

CIRCUNFERENCIA NO UNITARIA

TRIANGULO RECTANGULO

II.

OBSERVAR LOS SIGUIENTES VIDEOS Y TOMAR NOTA EN TU CUADERNO COPIANDO LOS EJEMPLOS DESARROLLADOS EN DICHOS VIDEOS a. b. c. d.

III.

http://www.youtube.com/watch?v=g78d8Qvn5UY http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=P6MgnrrQllQ http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=idAPsVprc9Q http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=7pEsueh3l6E

Gráfica y halla sin usar calculadora los valores de las siguientes funciones

1. 4. 7. 10. 13. 16. 19. 22.

( (

) ) )

2. 5. 8. 11.

)

( ( (

)

(

)

14. 17. 20. 23.

) )

( ( (

) ) ( ( ( ( (

3. 6. 9. 12

) ) ) ) ) )

15. 18. 21. 24.

( ( (

)

) )

( ) ( ) ( ) ( ) (

)

ACTIVIDAD #2: Resuelve los siguientes ejercicios: ( ) ( ) ( ) del ángulo en I. En los ejercicios 1 a 10, hallar el valor de las funciones posición normal, cuyo lado final pasa por el punto cuyas coordenadas se indican a continuación. Simplifica la respuesta si es posible. ) ) ) ) 5. ( ) 1. ( 2. ( 3. ( 4. ( ) ) ) 9. ( ) ) 6. ( 7. ( 8. ( 10. ( II.

En los ejercicios del 11 al 16, es la medida de un ángulo en posición normal, cuyo lado final se encuentra en el cuadrante indicado para cada caso. En cada ejercicio se da el valor de una función; encontrar los valores de las dos funciones restantes y simplificar la respuesta, si es posible 11. 12. 13.

14. √

√

15. 16. 17. indicar en que cuadrante o cuadrantes son positivos los valores de las funciones , ,y . 18. ¿hay un cuadrante en el que los valores de , ,y sean todos negativos? 19. explicar por qué los valores de , , no pueden ser mayores de 1 ni menores de -1. 20. explicar porque la función no está definida cuando es un múltiplo impar de .

ACTIVIDAD #3: REALIZA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: 9. Observa el siguiente video y toma nota de las demostraciones, estas demostraciones las debes realizar en papel milimetrado: http://www.youtube.com/watch?v=7OZS1BY_L0M 19

10. Graficar los ángulos principales sobre la circunferencia unitaria. 11. Utilizando Pitágoras calcula y completa las siguientes tablas (te debes basar en las demostraciones realizadas en el punto (a):

Grados Rad Principal Notable X= Cateto c1 Y= Cateto c2 Hipotenusa 00 300 450 600 900 1800 2700 3600

TRABAJO VIRTUAL: consultar la biografía de Leonhard Euler y sus principales aportes en el siguiente enlace: http://sauce.pntic.mec.es/~rmarti9/euler1.html

EVALUACION Se realizara al finalizar la segunda semana de trabajo de la guía en la última clase de esta semana o en la primera de la semana siguiente.

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA Para el desarrollo de esta guía te serán de gran utilidad el internet y sus buscadores y los textos de matemáticas 10°. Elaboro VICTORIA EUGENIA GARCIA GOMEZ Docente y actualizo JANET GOMEZ Docente

INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL GUIA DE TRABAJO No 4 ANGULOS DE REFERENCIA Área: MATEMATICAS

Intensidad: 2 SEMANAS

Grado: DECIMO

Período: SEGUNDO

Fechas: Iniciación: abril 21

Finalización: mayo 2

Año: 2014

Profesora: VICTORIA EUGENIA GARCIA GOMEZ

ALCANCE DE LA GUIA 

LOGRO: Determina las funciones trigonométricas para un ángulo dado en función de su ángulo de referencia



TEMÁTICAS: Ángulos de referencia, manejo de la calculadora para hallar el valor de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo.

CRITERIOS DE EVALUACION 

DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN EL CUADERNO

30% (15 puntos)



TRABAJO VIRTUAL (Internet)

10% (5 puntos)



EVALUACIÓN: escrita, individual, por parejas, oral, etc.

60% (30 puntos)

ANGULOS DE REFERENCIA. Definición: Para todo ángulo en posición normal, el ANGULO DE REFERENCIA de , denotado , es el angulo positivo, menor de (agudo), formado por el lado final de y el eje horizontal “x”. Otra definición es: Un ángulo de referencia final de y el eje .

cia para

, es el ángulo agudo que forman el lado

Para calcular los valores de las funciones de un ángulo no cuadrantal , usando los ángulos de referencia, se hallan las que corresponden al ángulo de referencia y se hace la relación teniendo en cuenta el cuadrante al cual pertenece el ángulo dado.

En conclusión se debe tener en cuenta lo siguiente:

CUADRANTE I

ANGULO DADO

ANGULO DE REFERENCIA

III

EJEMPLOS:

EJEMPLO 1: HALLAR LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE (

)

(

)

(

)

(

)

√ √ √

(

)

(

)

√

EJEMPLO 2: HALLAR LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) EJEMPLO 3: HALLAR LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE   22

( ( (

) ) )

( ( (

) ) )

  ( (

) )

(

( (

)

) )

(

)

( ( (

) ) )

ACTIVIDAD1: REALIZAR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

Observar con atención el video con el siguiente enlace, tomar nota en tu cuaderno de los ejemplos representados allí:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_detail page&v=Hc3qcuonC9g II.

Realizar los siguientes ejercicios

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS NEGATIVOS: Hasta ahora solo hemos analizado como calcular las funciones trigonométricas de cualquier ángulo positivo. Solo nos falta determinar las funciones trigonométricas de un ángulo negativo. Para ello vamos a comparar las funciones del ángulo negativo con las funciones del mismo ángulo en positivo. Si observamos la figura podemos comprobar que:

ACTIVIDAD2: REALIZAR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

TRABAJO VIRTUAL: Sobre conversión de unidades para ello, debes consultar el tema y copiarlo en tu cuaderno de matemáticas para luego socializar en clase, el tema a consultar esta en los siguientes enlaces https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=ernSMwm3RC4 https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=6tx-OvRIbYA

EVALUACION Se realizara al finalizar la segunda semana de trabajo de la guía en la última clase de esta semana o en la primera de la semana siguiente.

INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL GUIA DE TRABAJO No 5 APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA Solución de triángulos rectángulos Área: MATEMATICAS

Intensidad: 2 SEMANAS

Grado: DECIMO

Período: SEGUNDO

Fechas: Iniciación: mayo 12

Finalización: mayo 23

Año: 2014

Profesora: VICTORIA EUGENIA GARCIA GOMEZ

ALCANCE DE LA GUIA 

LOGRO: Aplica las funciones trigonométricas en la solución de problemas con triángulos rectángulos.



TEMÁTICAS: Funciones trigonométricas, teorema de Pitágoras y conceptos básicos de geometría plana.

CRITERIOS DE EVALUACION 

DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN EL CUADERNO

30% (15 puntos)



TRABAJO VIRTUAL (Internet)

10% (5 puntos)



EVALUACIÓN: escrita, individual, por parejas, oral, etc.

60% (30 puntos)

“La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles.” René Descartes

DESARROLLO DE LA GUIA TEMA 1 APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo rectángulo consiste en hallar la medida de sus 3 lados y sus 3 ángulos, para lo cual es necesario contar con las siguientes herramientas:

Teorema de Pitágoras √ Teorema de la suma de ángulos interiores en un triángulo: Funciones trigonométricas:

Seno, Coseno, Tangente

Ejemplos

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.

Sen B = 280/415 = 0.6747

B = arc Sen 0.6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

c = a cos B

c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

2. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo .

Tan B = 33/21 = 1.5714

B = 57° 32′

C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′

a = b/Sen B

a = 33/0.5437 = 39.12 m

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo

C = 90° - 22° = 68°

b = a Sen 22°

b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

c = a Cos 22°

c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo

C = 90° - 37° = 53º

a = b/Sen B

a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

c = b · Cot B

c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m

ACTIVIDAD #1 (5 puntos) I. Observar el video del siguiente enlace, toma nota de manera ordenada en tu cuaderno de los ejercicios desarrollados por julioprofe: https://www.youtube.com/watch?v=IL8cCsfJpvI II. RESUELVE LOS SIGUIENTES TRIANGULOS RECTANGULOS 1. D e u n t r i á n g u l o r e c t á n g u l o A B C , s e c o n o c e n a = 5 m y B = 4 1 . 7 ° . R e s o l v e r e l t r i á n g u l o

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.

TEMA 2 Según lo que hemos visto en las guías anteriores, antiguamente la trigonometría consistía principalmente en el estudio de las relaciones existentes entre los lados y los ángulos de un triángulo; de ahí su nombre. La trigonometría es una rama de la matemática especialmente útil en Física, para el estudio de fuerzas, fenómenos vibratorios y ondulatorios; en Topología, para la triangulación y medida de terrenos, distancias entre puntos inaccesibles, etc. También se utiliza en Navegación y Astronomía. En esta guía veremos muchas de estas aplicaciones, lo más recomendable es realizar una gráfica que represente la situación del problema y que incluya los datos y las incógnitas. Consideraremos dos tipos de aplicaciones: La gráfica del problema origina un triángulo rectángulo (TEOREMA DE PITAGORAS). Guía 5 La gráfica del problema origina un triángulo oblicuángulo (LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS). Guía 6

APLICACIONES QUE ORIGINAN TRIANGULOS RECTANGULOS (aplicación teorema de Pitágoras y/o relaciones trigonométricas): Los triángulos rectángulos se utilizan frecuentemente para hallar distancias que no pueden medirse fácilmente en forma directa. En tales casos se utilizan los ángulos formados por las siguientes líneas: 1. La línea visual: la que sale del ojo del observador también llamada línea de visión o línea de mira 2. La línea horizontal: del punto de observación también llamada eje horizontal. 28

ÁNGULO DE ELEVACIÓN si el observador se

ÁNGULO

DEPRESIÓN

este

dibujo

muestran

encuentra en un punto más bajo del punto u

observador se encuentra en un punto más

nuevamente los dos ángulos que se

objeto que está mirando.

alto del punto u objeto que está mirando.

pueden presentar al medir una altura:

En ambos casos es muy importante que primero traces la línea horizontal desde la vista del observador para luego determinar la posición del ángulo.

ACTIVIDAD 2: RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS (10 puntos) 1. Desde un punto, situado a cierta distancia de una torre de 160 m. de altura, se mide su ángulo de elevación resultando éste de 58º. ¿A qué distancia está el punto de observación? (Haz el dibujo) 2. Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está a 7 m de la base de la torre, el ángulo con el que está observando la cúspide es de 60° y sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m.

3. Un dirigible que está volando a 80 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 20°. ¿A qué distancia del pueblo se halla? (Haz el dibujo) 4. Un edificio proyecta una sombra de 150 m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre el horizonte. Calcular la altura del edificio.

5. El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio?

6. Un cohete es disparado al nivel del mar y sube a un ángulo constante de 75º hasta una distancia de 10 000 pies. Calcula su altitud al pie más cercano. 7. Un constructor desea construir una rampa de 24 pies de largo que se levanta a una altura de 5 pies sobre el nivel del suelo. Calcula el ángulo de la rampa con la horizontal. 8. La torre Eiffel. Cuando se observa la parte más alta de la torre Eiffel desde una distancia de 200 pies de su base, el ángulo de elevación es 79.2º, calcula la altura de la torre. 9. En las llanuras de Salisbury, Inglaterra fue construida una pirámide utilizando bloques de piedra maciza que pesaban hasta 9.000 libras cada uno. Levantar una sola de estas piedras requería de unas 550 personas, quienes subían la piedra por una rampa inclinada a un ángulo de 9º. Calcula la distancia en que movían una piedra para levantar a una altura de 30 pies. 10. Arturo está haciendo volar una cometa de papel, la cual tiene una cuerda de 350m de longitud que sostiene a una altura de 1,57 m del terreno. a. realizar la gráfica. b. si eleva la cometa con un ángulo de que altura alcanza la cometa. c. cuando el viento alcanza su máxima intensidad la cometa la cometa se eleva con un ángulo de , entonces cual será la altura alcanzada por la cometa con respecto al nivel del piso. d. cuál es la máxima altura teórica que podría alcanzar la cometa con 350m de cuerda. e. cuál será el valor del ángulo para el punto (d). f. cuál será el valor del ángulo necesario para que la cometa vuele a una altura de 300m sobre el nivel del piso

TRABAJO VIRTUAL: Sobre Aplicaciones de la trigonometría La trigonometría es una herramienta fundamental para el estudio de muchos fenómenos físicos, algunos de ellos que estudiaréis en Bachillerato y otros, quizás, más adelante... Aquí te ofrezco la posibilidad de consultar algunas aplicaciones de la trigonometría. No pretendo, por supuesto, que lo leas detenidamente y que lo entiendas, simplemente que te hagas una idea aproximada de "para qué sirve la trigonometría"...

Debes consultar el tema y copiar en tu cuaderno de matemáticas el enlace es el siguiente:

http://www.slideshare.net/tamy hr/aplicaciones-de-latrigonometra-en-la-vidacotidiana EVALUACION Se realizara al finalizar la segunda semana de trabajo de la guía en la última clase de esta semana o en la primera de la semana siguiente.

INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL GUIA DE TRABAJO No 6 LEYES DE SENO Y COSENO Solución de triángulos oblicuángulos Área: MATEMATICAS

Intensidad: 2 SEMANAS

Grado: DECIMO

Período: TERCERO

Fechas: Iniciación: JULIO 2

Finalización: JULIO 18

Año: 2014

Profesora: VICTORIA EUGENIA GARCIA GOMEZ

ALCANCE DE LA GUIA 

LOGRO: Resuelve triángulos oblicuángulos aplicando las leyes de seno y coseno.



TEMÁTICAS: Leyes de seno y coseno, conceptos básicos de geometría plana..

CRITERIOS DE EVALUACION 

DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN EL CUADERNO

20% (10 puntos)



TRABAJO VIRTUAL (Internet)

20% (10 puntos)



EVALUACIÓN: escrita, individual, por parejas, oral, etc.

50% (30 puntos)

“Con orden y tiempo se encuentra el secreto de hacerlo todo, y de hacerlo bien” Pitágoras

DESARROLLO DE LA GUIA Recordemos que en la guía anterior consideraremos dos tipos de aplicaciones: La grafica del problema origina un triangulo rectángulo (TEOREMA DE PITAGORAS). Guía 5 La grafica del problema origina un triangulo oblicuángulo (LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS). Guía 6 Ahora nos dedicaremos al análisis y solución de triángulos oblicuángulos.

TEMA 1 TEOREMA O LEY DEL SENO La ley del seno dice que en cualquier triángulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos correspondientes. Aplicaciones: A. Cuando conocemos dos ángulos y cualquier lado. B. Cuando conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

LEY DE SENO

Ejemplo 1 De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. D etermina los restantes elementos.

TEMA 2 TEOREMA O LEY DE COSENOS “En todo triángulo la medida de cualesquiera de sus lados al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos , menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman”. Aplicaciones: A. Cuando conocemos los 3 lados B. Cuando conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. C. Cuando conocemos dos lados y el ángulo que forman

LEY DE COSENO

Ejemplo: Un topógrafo encuentra que el ángulo entre el punto A de la figura dada, desde donde observa los puntos B y C, en cada orilla del lago es de separación que hay entre los puntos B y C

. Hallar la distancia a través del lago determinando la

√

Solución: se tiene la situación LAL y el ángulo dado está formado por los dos lados conocidos, por lo tanto se aplica ley de cosenos para averiguar el lado BC=a

√

Rta/: El ancho del lago es de aproximadamente 22m

Ejemplo 2 Un avión vuela a una distancia de 150mlls, de la ciudad A, a la ciudad B. luego cambia su rumbo 50° y se dirige a la ciudad C, que está a 100mlls. ¿Qué distancia hay entre las ciudades A y C? ¿Qué ángulo debe girar el piloto en la ciudad C, para volver a la ciudad A?

SOLUCION:

TEMA 3 APLICACIONES CON TIRANGULOS OBLICUANGULOS (APLICANDO LEY DE SENO Y/O LEY DE COSENO) Para resolver problemas con triángulos oblicuángulos, primero debes determinar cuáles datos tienes para definir si utilizas ley de senos o ley de cosenos. No olvides realizar la gráfica y ubicar datos y variables

ACTIVIDAD 1: (valor 5 puntos) I.

Observar los videos que corresponden a los siguientes enlaces debes tomar nota en tu cuaderno de los aspectos históricos, las formulas y los ejemplos de las aplicaciones mostradas allí

a. https://www.youtube.com/watch?v=ULchdqfj88w b.

https://www.youtube.com/watch?v=XahSUsyTBhs

c. https://www.youtube.com/watch?v=j9KpSxeJmwM d. https://www.youtube.com/watch?v=Bp9TSlVDPIg II.

Resuelve los siguientes triángulos identificando la ley a utilizar y realiza el grafico G=110°,g=12cm,h=7cm.. b=10cm,c=8cm; A=72°.. d=8m, e=10m, f=12m.. A=28°, B=56°,a=9cm. B=103°, C=37°,c=11,4cm. A=35°, B=78°,c=5,8cm. a=8m,b=7m, C=47°. b=4cm, c=5cm, A= 100°. a= 10cm,c=20cm, B=30°. 10) C=7 cm, a=6 cm y C=110° 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

ACTIVIDAD 2: (valor 10 puntos) Problemas de aplicación: 1. Un faro situado a 12 km al oriente de un faro B. Un bote parte del faro A y navega 9km hacia el noreste; en ese instante, desde el faro B, el bote se observa al noroeste, sobre la línea que forma un ángulo de 42° con la dirección este-oeste. Determinar la distancia del bote al faro B. 2. Dos balsas A y C, se mueven en línea recta desde el punto B, de tal manera que la recta sobre la que se mueve la balsa C forma un ángulo de 42° con la recta sobre la que se mueve la balsa A, cuya velocidad es el doble de la balsa C. Determinar la distancia que las separa cuando la balsa C ha recorrido 1,5 km. 3. Una persona sostiene dos cometas que están volando. A una de las cometas le ha soltado 1000m de pita y a la otra 800m.Si el ángulo que forman ambas pitas es aproximadamente de 30°,¿A que distancia esta una cometa de la otra? 4. Dos aviones parten desde el mismo punto, el uno hacia el oeste y el otro 20° al este del norte; el primero con una velocidad de 280km/h y el segundo a 350 km/h. ¿A qué distancia se encuentran el uno del otro al cabo de dos horas de vuelo? 5. Los lados de un paralelogramo miden 5m y 12m y forman entre si un ángulo de 36°.Halla la medida de las diagonales. 35

6. Dos aviones salen del mismo aeropuerto, el uno hacia el norte y el otro a 40° al este del norte; el primero va a una velocidad de 240km/h, y el segundo a 320 km/h. ¿A qué distancia se encuentran después de dos horas de vuelo? 7. Halla el ángulo entre las direcciones de dos aeroplanos que parten del mismo punto y que al cabo de tres horas se encuentran a una distancia de 520 km, si sus velocidades son de 380km/h y 420 km/, respectivamente. 8. En la orilla opuesta de un rio se colocan dos estacas en los puntos A y B; en la orilla donde está situado el punto A y a una distancia de 300m se coloca una tercera estaca; al medir los ángulos A y C se obtiene 124° 40′ y 45° 30′. Calcula la distancia entre A y B. 9. Dos fuerzas de 50N y 60N, se ejercen sobre un mismo punto; la primera actúa en una dirección cuyo ángulo respecto a la horizontal es de 20° y la otra en una dirección que forma con el mismo eje un ángulo de 80°.Halla la fuerza resultante y el ángulo que forma con la horizontal. 10. Calcula los lados de un paralelogramo, sabiendo que una diagonal mide un metro y forma con los lados ángulos de 28° y 39°, respectivamente.

TRABAJO VIRTUAL: (valor 5 puntos) Sobre Ley de senos y cosenos Debes consultar el tema y copiar en tu cuaderno los ejemplos explicados en los videos .

https://www.youtube.com/watch?v=yizdJXO2yME https://www.youtube.com/watch?v=84FDKiXpUIU https://www.youtube.com/watch?v=P7SaAtLSRGM https://www.youtube.com/watch?v=cF0g1uWDe9w https://www.youtube.com/watch?v=n840YXjCe9Q https://www.youtube.com/watch?v=aufjlRW48Gk

EVALUACION Se realizara al finalizar la segunda semana de trabajo de la guía en la última clase de esta semana o en la primera de la semana siguiente.

INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL GUIA DE TRABAJO No 7 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Área: MATEMATICAS

Intensidad: 2 SEMANAS

Grado: DECIMO

Período: TERCERO

Fechas: Iniciación:

Finalización:

Año: 2013

Profesora: LUZ JANET GOMEZ ARROYAVE

ALCANCE DE LA GUIA  

LOGRO:

Identifica y verifica las identidades trigonométricas. TEMÁTICAS: Expresiones algebraicas, factorización, denominadores comunes, expresiones trigonométricas identidades trigonométricas.

CRITERIOS DE EVALUACION 

PARTICIPACIÓN Y TRABAJO EN CLASE

10% (5 puntos)



DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN EL CUADERNO

30% (15 puntos)



TRABAJO VIRTUAL (Se reemplaza por la actividad #4)

10% (5 puntos)



EVALUACIÓN: escrita, individual, por parejas, oral, etc.

50% (25 puntos)

"Las Matemáticas no son un recorrido prudente por una autopista despejada, sino un viaje a un terreno salvaje y extraño, en el cual los exploradores se pierden a menudo." W.S. Anglin (1992)

DESARROLLO DE LA GUIA Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas). Otra definición de las identidades trigonométricas: son igualdades que se verifican para cualquier valor admisible de la variable angular. Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones. Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas. Notación: se define sin2α como (sin α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas. A continuación veremos algunos tipos de identidades trigonométricas:

Identidades trigonométricas fundamentales: IDENTIDADES PITAGORICAS

IDENTIDADES RECIPROCAS

IDENTIDADES POR COCIENTE

PARA LA SUMA DE ANGULOS ( (

) ) (

)

PARA LA DIFERENCIA DE ANGULOS ( (

) ) (

)

DEL ANGULO DOBLE

PARA ANGULOS MEDIOS √ √

Para resolver identidades no existe ningún método específico, pero si se pueden tener en cuenta las siguientes sugerencias, las cuales pueden ser muy útiles:      

Recordar las identidades fundamentales en sus diferentes formas. Algunos artificios matemáticos como multiplicar por expresiones equivalentes a al unidad. Escoger el lado mas complicado como el lado para ser transformado. Tratar en lo posible de expresar las funciones en términos de seno y coseno. Factoriza y evita en lo posible la introducción de radicales. Analiza aquellos valores de los ángulos para los cuales la identidad no es valida.

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

Ejemplo1: verificar la siguiente identidad:

Ejamplo2: verificar la siguiente identidad: Ejemplo3: verificar la siguiente identidad:

Ejemplo4: verificar la siguiente identidad: ( ) ( ) (

)

Actividad #1: verifica las siguientes identidades: 1. 2. 3. 4. 39

5. 6. 7. 8. (

9. 10. 11. 12.

)

13. 14. 15. 16. 17. (

18. 19. ( 20.

) ( ) (

) )

21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

(

)(

)

28. 29. 30.

(

)

Actividad #2: verifica las siguientes identidades 1. 2. 3. 4. 5. 6.

(

)

7. 8. 9. 10. 40

11. 12. (

13. 14. 15. ( 16. ( 17. 18. 19. 20. ( 21. ( 22. 23. 24.

)

) ( )

) (

( ( (

)

(

)

) ) ) ) ( ) (

) )

25. 26. 27. 28. 29. 30. Actividad #3: verifica las siguientes identidades 1. 2. 3. 4. 5.

(

)

6. 7. 8. 9. 10. (

11.

) (

(

12.

) (

(

â&#x2C6;&#x161; ) (

) (

)

) (

13. â&#x2C6;&#x161; 14.

) (

(

)

) )

15. 16. 17. (

18. 19. 20.

)

21. 22. 23.

(

) (

(

24.

)

(

)

25. 26. ( 27. 28. ( 29. 30. √

) )

(

) )

(

)

) (

√

)

√

Actividad #4: verifica las siguientes identidades (reemplaza el trabajo virtual) 1. 2. 3. 4. (

)

5. 6. 7. 8.

(

)

9. 10. (

)

11. (

12. 13.

(

)

14.

(

)

15. 16. 17. 18. 19.

( ( ( ( (

)

) ) ) )

( (

) ) 42

20.

(

)

21. 22. 23.

(

24.

(

)

(

)

(

)

(

)

) ) √

)

√

25. 26. 27. 28. 29. ( 30.

)

31. 32. 33.

TRABAJO VIRTUAL: En esta guía se reemplaza por la actividad #4 Cada estudiante consulta el ejercicio asignado y lo presenta escrito y resuelto en una hoja de block.

EVALUACION Se realizara al finalizar la segunda semana de trabajo de la guía en la última clase de esta semana o en la primera de la semana siguiente.

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA Para el desarrollo de esta guía te serán de gran utilidad el internet y sus buscadores y los textos de matemáticas 10°.

Elaboro VICTORIA EUGENIA GARCIA GOMEZ Docente y actualizo JANET GOMEZ Docente

INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL GUIA DE TRABAJO No 8 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Área: MATEMATICAS

Intensidad: 2 SEMANAS

Grado: DECIMO

Período: TERCERO

Fechas: Iniciación:

Finalización:

Año: 2013

Profesora: LUZ JANET GOMEZ ARROYAVE

ALCANCE DE LA GUIA 

LOGRO:



TEMÁTICAS: Factorización, productos notables, identidades trigonometrías, ecuaciones entre otros.

Resuelve ecuaciones trigonométricas de manera propositiva, haciendo uso de las identidades.

CRITERIOS DE EVALUACION 

PARTICIPACIÓN Y TRABAJO EN CLASE

10% (5 puntos)



DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN EL CUADERNO

30% (15 puntos)



TRABAJO VIRTUAL (Se reemplaza por la actividad #4)

10% (5 puntos)



EVALUACIÓN: escrita, individual, por parejas, oral, etc.

50% (25 puntos)

"La música es el placer que el alma experimenta contando sin darse cuenta de que cuenta." Gottfried Leibnitz (1646-1716)

DESARROLLO DE LA GUIA Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo. Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cos x = 2, el que debemos descartar, obviamente, pues el códominio del coseno se limita a [-1, 1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original. Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica de la forma tri x = a (donde tri: es una de las seis funciones trigonométricas y a: número cualquiera en el códominio de la función). Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo se genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un múltiplo de 360°, esto es, k360°, y k es un entero. 44

A continuaci贸n se da una tabla resumen con algunas de las identidades m谩s importantes que se utilizan de forma frecuente en la soluci贸n de ecuaciones trigonom茅tricas

Ejemplo #1:

{ Ejemplo #2:

* Ejemplo #3:

{ ACTIVIDAD #1: Resuelve las siguientes ecuaciones encontrando todas las raíces que son solución.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. √ 8. √ 9. 10.

√ √

ACTIVIDAD #2: Resuelve las siguientes ecuaciones encontrando todas las raíces que son solución.

1. ( 2. 3. 4.

)

5. (

√

(

)(

)

6. 7. 8. 9. 10.

)

ACTIVIDAD #3: Resuelve las siguientes ecuaciones encontrando todas las raíces que son solución.

1. 2.

(

)

3. 4. 47

5. 6. 7.

8. 9. 10.

ACTIVIDAD #4: resolver las siguientes ecuaciones encontrando todas las raíces que son solución. (Reemplaza el trabajo virtual)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

√

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

(

)

√

TRABAJO VIRTUAL: En esta guía se reemplaza por la actividad #4. Los estudiantes por parejas consultan el ejercicio asignado y lo presentan escrito y resuelto en una ficha de cartulina.

EVALUACION Se realizara al finalizar la segunda semana de trabajo de la guía en la última clase de esta semana o en la primera de la semana siguiente.

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA Para el desarrollo de esta guía te serán de gran utilidad el internet y sus buscadores y los textos de matemáticas 10°.

Elaboro VICTORIA EUGENIA GARCIA GOMEZ Docente y actualizo JANET GOMEZ Docente

INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL GUIA DE TRABAJO No 9 GRAFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Área: MATEMATICAS

Intensidad: 2 SEMANAS

Grado: DECIMO

Período: TERCERO

Fechas: Iniciación:

Finalización:

Año: 2013

Profesora: LUZ JANET GOMEZ ARROYAVE

ALCANCE DE LA GUIA 

LOGRO:



TEMÁTICAS: Graficas de las funciones seno, coseno, y tangente; conceptos claves como amplitud, periodo,

Grafica e interpreta las funciones trigonométricas

y desfase

CRITERIOS DE EVALUACION 

PARTICIPACIÓN Y TRABAJO EN CLASE



DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN HOJAS MILIMETRADAS

100% (15 puntos)

“Comprender las cosas que nos rodean es la mejor preparación para comprender las cosas que hay más allá.” Hipatia.

DESARROLLO DE LA GUIA TEMA 1 Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para analizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctrica alterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los planetas, ciclos biológicos, etc. En aplicaciones de las funciones trigonométricas relacionadas con fenómenos que se repiten periódicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de números reales.

FUNCION SENO: La función seno es la función definida por: ( ) . Características de la función seno: ] 1. Dominio: IR Recorrido: [ 2. Es una función periódica y su período es . ( ) 3. La función , es impar, ya que , para todo x en IR. 4. La gráfica de intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: para todo número entero n. 5. El valor máximo de es 1, y el mínimo valor es . La amplitud de la función . 6. la gráfica de ( ) , es:

FUNCION COSENO: ( ) La función coseno es la función definida por: Características de la función coseno: ] 1. Dominio: IR Recorrido: [ 2. Es una función periódica y su período es . ( ) 3. La función , es par, ya que , para todo x en IR. 4. La gráfica de intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: para todo número entero n. 5. El valor máximo de es 1, y el mínimo valor es . La amplitud de la función . 6. la gráfica de ( ) , es:

FUNCION TANGENTE: La función tangente es la función definida por: Características de la función tangente: 1. Dominio:

{

}

( )

Recorrido:

2. Es una función periódica y su período es . 3. La función , es impar, ya que tan( ) . 4. La gráfica de intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: para todo número entero n. 5. El valor máximo de es 1, y el mínimo valor es . La amplitud de la función . 6. la gráfica de ( ) , es: 51

Actividad #1: (36 puntos) Grafica las siguientes funciones trigonométricas:

TEMA 2 AMPLITUD, PERIODO, Y DESFASAMIENTO DELAS FUNCIONES SENO Y COSENO: AMPLITUD:  

Estudiaremos que ocurre cuando los valores de las funciones seno y coseno se multiplican por un número diferente de cero. La amplitud es la distancia que hay entre el valor máximo y el mínimo de la función

A: es un número real El periodo de las funciones es igual Pero sus valores máximos y mínimo varían Pero sus valores máximos y mínimo varían ] ] entre [ entre [ Nota: Si Si Actividad #2: (7 puntos) Halla la amplitud y el periodo y dibujar la gráfica de cada función en el intervalo dado.

TEMA 3 PERIODO: 

 

El PERIODO es el menor intervalo a partir del cual la gráfica vuelve a repetirse por ejemplo para , como son periódicas y su periodo es ; mientras que para la función , aunque también es periódica su periodo es Si el ángulo se multiplica por un valor constante b, entonces el periodo varia El PERIODO de cualquier función de la forma , donde

, es: 52

Actividad #3: (7 puntos) Halla la amplitud y el periodo y dibujar la gráfica de cada función en el intervalo dado.

(

)

( )

TEMA 4 DESFACE DE UNA FUNCION:  

En el numeral anterior se analizó el efecto que produce en las gráficas de las funciones seno y coseno, la multiplicación del ángulo por una constante . En esta sección se examinara el efecto de sumar o restar del ángulo una constante .

EJEMPLO: DIBUJAR LAS GRAFICAS DE LAS FUNCIONES (

)

EJEMPLO: ANALICEMOS Y DIBUJEMOS LAS GRAFICAS DE

(

)

Actividad #4: Hallar la amplitud, el periodo, el desfase y dibujar la gráfica para un ciclo completo de las siguientes funciones.

(

)

( (

)

d. e. f.

)

(

)

(

)

TRABAJO VIRTUAL: En esta guía no hay. EVALUACION Se realizara al finalizar la segunda semana de trabajo de la guía en la última clase de esta semana o en la primera de la semana siguiente.

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA Para el desarrollo de esta guía te serán de gran utilidad el internet y sus buscadores y los textos de matemáticas 10°.

Elaboro VICTORIA EUGENIA GARCIA GOMEZ Docente y actualizo JANET GOMEZ Docente

INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL GUIA DE TRABAJO No 10 INTRODUCCION A LA GEOMETRIA ANALITICA Área: MATEMATICAS

Intensidad: 2 SEMANAS

Grado: DECIMO

Período: CUARTO

Fechas: Iniciación:

Finalización:

Año: 2013

Profesora: LUZ JANET GOMEZ ARROYAVE

ALCANCE DE LA GUIA  

LOGRO: Identificar los elementos básicos de la geometría analítica. TEMÁTICAS: Geometría analítica, plano cartesiano, línea recta, ecuación de la recta y distancia entre dos puntos.

CRITERIOS DE EVALUACION 

PARTICIPACIÓN Y TRABAJO EN CLASE

10% (5 puntos)



DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN EL CUADERNO

30% (15 puntos)



TRABAJO VIRTUAL (Internet)

10% (5 puntos)



EVALUACIÓN: escrita, individual, por parejas, oral, etc.

50% (25 puntos)

“Yo pienso, por lo tanto yo soy” René Descartes

DESARROLLO DE LA GUIA GEOMETRIA ANALITICA Aunque existen algunos antecedentes previos, es Renato Descartes quien al publicar en 1637 su obra “La Geometrie” pone los cimientos de lo que actualmente conocemos como geometría analítica o geometría cartesiana. Resumidamente se puede decir que su propuesta es hacer la fusión entre la geometría y el álgebra estableciendo un método que lleva a traducir las propiedades geométricas de las figuras a un lenguaje algebraico, para poder operar aplicando sus leyes, y una vez obtenido un resultado, interpretarlo geométricamente. Para dar una idea más concreta de lo que es la geometría analítica, enunciaremos dos de sus problema fundamentales.  Dada una gráfica hallar su ecuación:

GEOMETRÍA 

ÁLGEBRA

A partir de una ecuación en dos variables, dibujar su gráfica:

ÁLGEBRA

GEOMETRÍA

Es decir que la Geometría Analítica es la parte de la Matemática que estudia problemas que, partiendo de conceptos y propiedades puramente geométricos, llega a resultados puramente analíticos mediante desarrollos de tipo algebraico, teniendo sentido, por ejemplo hablar de la “ecuación” de la recta o de la circunferencia.

TEMA 1 LA RECTA La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano). La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha). La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta. El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta. Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado. La recta Es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una ecuación de la forma y = mx + b Para determinar si un punto pertenece a una recta se reemplaza en la ecuación y la debe satisfacer, si no la satisface, no pertenece a la recta. Ejemplo (1,3) pertenece a la recta y = 2x + 1 porque 3 = 2(1) + 1 Los interceptos de la recta con los ejes se obtienen haciendo x = 0 ˄ y = 0 así: Ejemplos Establecer los interceptos de la ecuación y = 2x + 3 Intercepto con el eje x se hace y = 0 Si y = 0 entonces o = 2x + 3

→

, el intercepto con el eje x es (

, 0)

Intercepto con el eje y se hace x = 0 Si x = 0 entonces y = 2(0)+ 3

→ y = 3 , el intercepto con el eje x es (0, 3)

Pendiente de una Recta Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados: Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3. Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas. Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x).

Si m no existe, la recta es vertical (paralela al eje y). Si m = negativa la recta esta inclinada a la izquierda y es decreciente. Si m = positiva la recta esta inclinada a la derecha y es creciente. La pendiente es siempre constante y queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula

ACTIVIDAD #1: 1. Dada la recta y = 3x + 2 determina si los siguientes puntos pertenecen o no a la recta a. (1,5) b. (1,3) c. (5,1) d. (-1,5) 2. Encuentra los puntos de intercepción de las siguientes rectas con los ejes x ˄ y. a. y = 3x + 6 b. y = 4x - 1 c. y = -2x + 3 d. y = -2x + 4 3. Grafica cada recta del punto 2 en el plano cartesiano 4. Determina la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos dados y establece si se inclina hacia la izquierda, derecha o si es horizontal o vertical a. (1,4) y (3,5) b. (4,6) y (5,3) c. (2,5) y (2,8) d. (4,3) y (7,3) 5. Grafica cada recta del punto 4

TEMA 2 ECUACION DE LA RECTA La ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta. 1. Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Ejemplo 1 Si nos dicen que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1, 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría: (3) = 2 (1) + n, y despejando n, queda n = 1. Por lo tanto, la ecuación de esa recta será: y = 2x + 1. Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de – 1/3 Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente: y – y1 = m(x – x1)

y – (–4) = – 1/3(x – 2) 3(y + 4) = –1(x – 2) 3y + 12 = –x + 2 3y +12 + x – 2 = 0 3y + x + 10 = 0 x + 3y + 10 = 0 2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Ahora, observemos el gráfico de la derecha: Cuando se tienen dos puntos de una recta P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), la pendiente, que es siempre constante, queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula

Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula: y – y1 = m(x – x1) Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos. Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1, y1) y tiene la pendiente dada m, se establece de la siguiente manera: Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)

y–2=x–1 y–x+1=0 ACTIVIDAD #2: 1. Halla la ecuación de la recta en cada caso: a. m= 4 y P=(2,1) b. (2,1) ˄ (-2, -3) c. m= -2 y P=(4,2) d. (5,6) ˄ (3, 2) e. m= 3 y P=(1,4) 2. Traza la gráfica cada recta del punto anterior.

TEMA 3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano. Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) . Ejemplo: La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras. Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)

d = 5 unidades

ACTIVIDAD #3: En cada caso determina la distancia entre los puntos dados 1. (2,1) ˄ (-2, -3) 2. (4,1) ˄ (-2, 5) 3. (3,-2) ˄ (2, -3) 4. (5,1) ˄ (1, 5) 5. (-2,-1) ˄ (2, 3)

TRABAJO VIRTUAL: Sobre el origen del Plano Cartesiano. Debes consultar el tema y copiar una síntesis en tu cuaderno de matemáticas para luego socializar en clase.

EVALUACION Se realizara al finalizar la segunda semana de trabajo de la guía en la última clase de esta semana o en la primera de la semana siguiente.

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA Para el desarrollo de esta guía te serán de gran utilidad el internet y sus buscadores y los textos de matemáticas 10°. Elaboro JANET GOMEZ Docente

INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL GUIA DE TRABAJO No 11 SECCIONES CONICAS Área: MATEMATICAS

Intensidad: 3 SEMANAS

Grado: DECIMO

Período: cuarto

Fechas: Iniciación:

Finalización:

Año: 2013

Profesora: LUZ JANET GOMEZ ARROYAVE

ALCANCE DE LA GUIA  

LOGROS: Utiliza los elementos, las ecuaciones y características de la circunferencia y la elipse para resolver ejercicios de aplicación en forma gráfica y analítica. TEMATICAS: Secciones cónicas, circunferencia y elipse, elementos

CRITERIOS DE EVALUACION 

PARTICIPACIÓN Y TRABAJO EN CLASE

10% (5 puntos)



DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN EL CUADERNO

30% (15 puntos)



TRABAJO VIRTUAL (Internet)

10% (5 puntos)



EVALUACIÓN: escrita, individual, por parejas, oral, etc.

50% (25 puntos)

“Prefiero la crítica más dura de un hombre inteligente a la aprobación irreflexiva de la gran masa.” Kepler

DESARROLLO DE LA GUIA TEMA 1 Las Secciones Cónicas Una sección cónica es la curva de intersección de un plano con un cono de dos mantos (o dos hojas). El nombre de cónicas con que se designa a circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas es debido a estas intersecciones. La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales:  La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.  Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la gravitación universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses.  La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola. Superficie Cónica Una superficie cónica está generada por una recta (llamada generatriz) que se mueve apoyándose en una curva fija (llamada directriz) y que pasa por un punto fijo (llamado vértice) no contenido en el plano de esa curva

Si la directriz es una circunferencia, la superficie se llama superficie cónica circular. Obtención de las Cónicas como Secciones Planas Si el plano corta a todas las generatrices se obtiene la elipse. En particular si el plano es además perpendicular al eje se obtiene la circunferencia. Si el plano es paralelo a dos generatrices se obtiene la hipérbola. Si el plano es paralelo a una generatriz se obtiene la parábola. Estas situaciones, se observan en los gráficos que se muestran a continuación.

En coordenadas

cartesianas,

las

cónicas

expresan

forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x, y) de la forma:

ACTIVIDAD 1 Encuentra en la siguiente sopa de letras 15 términos de uso corriente en geometría analítica. (Aparecen subrayados en el tema 1) y descubre el mensaje oculto. C E N T R O M V C

I J R A T O D E I

R E O H U P I R A

C O N I C A R T C

U R A P U R E I O

N I L E R A C C O

F G P R V B T E R

E E F B A O R T D

R N O O S L I C E

E E L L C A Z O N

N S L A C O P N A

C U E R D A S O D

I E L I P S E E A

A A N O T W E N S

K E P L E R E N S

D R S A T I B R O

TEMA 1 LA CIRCUNFERENCIA Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Ecuación analítica de la circunferencia: si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r 2= x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0. Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos que: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0 La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36 ACTIVIDAD 2:

1. Calcula la ecuación de las circunferencias conocidos el centro y un punto: a) C (0, 0) y P (-3, 2) b) C ( 1, 4) y P (-6, -1) c) C ( 1, 1) y P ( 0, 0) 2. Halla el centro y el radio de la circunferencia a) x²+y²-8x+4y-13 = 0. b) 2x²+2y²-8x-4y-8 = 0. 3. Halla la ecuación general correspondiente a la circunferencia dada por: a) (x-3)²+ (y-1)² = 4. b) (x+2)²+ (y+3)² = 9. 4. Traza en papel milimetrado las graficas de las circunferencias de los puntos 1, 2 y 3.

TEMA 3 LA ELIPSE:

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:

ELEMENTOS DE LA ELIPSE  Centro,  Eje mayor,  Eje menor,  Focos en el eje mayor  Distancia focal  semieje mayor: 

Semieje menor:

PUNTOS DE LA ELIPSE EXCENTICIDAD DE LA ELIPSE (

)

LA ELIPSE CON CENTRO (0, 0) TIENE LA SIGUIENTE EXPRESIÓN ALGEBRAICA Donde:

LA ELIPSE CON CENTRO EN (

)

(

)

(

)

EJEMPLO1: Dibuja la elipse representada por la siguiente ecuación

y definir

todos sus elementos. EJEMPLO2: Encuentra una ecuación centrada en el origen, cuyos focos son y vértices en los puntos

(

)

(

)

(

), y un vértice

(

) y un

√ )

ACTIVIDAD 3: 1. Halla la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos puntos

(

)

(

)

(

) y cuyos focos son los

2. El eje mayor de una elipse tiene una longitud de 15 cm y el eje menor de 9cm. ¿Cuál es la distancia entre sus focos?

)

EJEMPLO3: Halla la ecuación de la elipse con centro en foco en

(

3. Los focos de una elipse están dados por los puntos:

)

(

). El eje mayor mide 12

unidades. a.

Encuentra la medida del eje menor.

b. Encuentra las coordenadas de los vértices. c.

Encuentra las coordenadas de los extremos del eje mayor.

4. Las coordenadas de los extremos de los ejes de una elipse son: (

)

(

)

(

)

). ¿ cuales son las coordenadas de los focos de la elipse?.

5. Grafica las elipses correspondientes a las siguientes ecuaciones: a. b.

(

)

(

)

(

)

(

)

6. En cada uno de los ejercicios se dará la ecuación de la elipse; determinar centro, vértices, focos, puntos extremos del eje menor, y construya la curva.

7. Halla la ecuación de la elipse cuyo centro está en correspondiente en

(

), uno de sus focos en

(

)y el vértice

8. Establece la ecuación de la elipse que tiene su centro en (

) si su eje mayor es vertical y mide 6

unidades y su eje menor 4 unidades 9. transforma la ecuación general de cada elipse y determina: centro, vértices, extremos del eje menor. a. 9x² + 25y² -18x - 100y -125= 0 b. 16x² + 4y² - 96x + 16y +96 =0 10. Traza la grafica de cada elipse del punto 9

TRABAJO VIRTUAL: Consultar sobre LAS APICACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA ELIPSE. Escribe dos de cada una en tu cuaderno para luego socializar en clase.

EVALUACION Se realizara al finalizar la segunda semana de trabajo de la guía en la última clase de esta semana o en la primera de la semana siguiente.

INSTITUCION EDUCATIVA MANUEL URIBE ANGEL GUIA DE TRABAJO No 12 SECCIONES CONICAS PARTE II Área: MATEMATICAS

Intensidad: 3 SEMANAS

Grado: DECIMO

Período: cuarto

Fechas: Iniciación:

Finalización:

Año: 2013

Profesora: LUZ JANET GOMEZ ARROYAVE

ALCANCE DE LA GUIA  

LOGROS: Utiliza los elementos, las ecuaciones y características de la parábola y la hipérbola para resolver ejercicios de aplicación en forma gráfica y analítica. TEMATICAS: Parábola e hipérbola, elementos.

CRITERIOS DE EVALUACION 

PARTICIPACIÓN Y TRABAJO EN CLASE

10% (5 puntos)



DESARROLLO DE ACTIVIDADES EN EL CUADERNO

30% (15 puntos)



TRABAJO VIRTUAL (Internet)

10% (5 puntos)



EVALUACIÓN: escrita, individual, por parejas, oral, etc.

50% (25 puntos)

“Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la voluntad” Albert Einstein

DESARROLLO DE LA GUIA TEMA 1 ACTIVIDAD1:

Lee con atención la guía y resuelve el siguiente crucigrama 1.

Las hipérbolas cuyas __________ son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

2. Parámetro “p”: es la distancia que hay desde el foco al vértice o del vértice a la _____________. 3. ____ ______ es la recta que contiene al foco y es

a la directriz.

4. Parámetro “p”: es la distancia que hay desde el foco al vértice o del vértice a la _____________. 5. ___________ es el punto donde el eje focal cota a la parábola. 6. ___________ es un elemento de la hipérbola. 7. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados ________ , es constante y menor que la distancia entre los

focos. 8. Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas ___________. 9. _____________ Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos. 10. _____________Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) y del plano que

equidistan (están a la misma distancia) de un punto fijo llamado “foco” y una recta fija llamada Directriz.

2 D I R E C T R I Z E

E 10 O

P C

A A

R L

7 F O C O S

8 E Q U I L A T E R A S

TEMA 2 LA PARABOLA: Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) y del plano que equidistan (están a la misma distancia) de un punto fijo llamado “foco” y una recta fija llamada Directriz. Veamos la gráfica para identificar los elementos en sistemas de coordenadas cartesianas.  Eje focal: es la recta que contiene al foco y es a la directriz.  V: es el vértice es decir el punto donde el eje focal cota a la parábola.  Parámetro “p”: es la distancia que hay desde el foco al vértice o del vértice a la directriz.  I: es el punto de corte entre la directriz y el eje focal.  F: es el foco de la parábola

Las ecuaciones generales para la parábola son

Dónde:   

Vértice en el origen ( ). Eje focal es el eje x. Está abierta hacia la derecha ( ) ya que

  

Vértice en el origen ( ). Eje focal es el eje x. Está abierta hacia la izquierda ( ) ya que

 

Las coordenadas del foco son ( ). La ecuación de la recta directriz es

 

). Las coordenadas del foco son ( La ecuación de la recta directriz es

    

Vértice en el origen ( ). Eje focal es el eje y. Está abierta hacia arriba ( ) ya que Las coordenadas del foco son ( ). La ecuación de la recta directriz es

    

Vértice en el origen ( ). Eje focal es el eje y. Está abierta hacia abajo ( ) ya que ). Las coordenadas del foco son ( La ecuación de la recta directriz es

Ejemplo1: Hallar la ecuación de la parábola con foco (

), directriz

, definir el resto de

elementos y realizar la grafica. Ejemplo2: Graficar la parábola que tiene como ecuación

y definir todos sus

componentes. Ejemplo3: Una parábola tiene su vértice en el origen, su eje focal es el eje x, y además pasa por el punto (

). Hallar la ecuación, definir todos sus elementos y dibujar la parábola.

Ejemplo4: Dibujar y calcular la ecuación de parábola con vértice (

) y foco (

)

ACTIVIDAD 2: REALIZAR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS Y DIBUJAR LAS GRAFICAS EN HOJAS MILIMETRADAS. 1. Hallar las coordenadas del foco y de la ecuación de la directriz de la parábola cuya ecuación es: 2. Hallar las coordenadas del foco y de la ecuación de la directriz de la parábola cuya ecuación es: 3. Hallar las coordenadas del foco y de la ecuación de la directriz y dibuje la grafica de: 4. Hallar la ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco (

5. Hallar la ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco (

6. Hallar la ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco (

)

7. Hallar la ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco (

)

8. Encontrar el foco y la ecuación de la directriz en cada uno de los siguientes casos: (dibujar

la curva). a.

b. c. d. 9. Una parábola con vértice en el origen y abierta hacia la derecha que pasa por el punto ( Hallar

las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz,

la ecuación de la parábola y

dibujarla. 10. Una parábola con vértice en el origen y abierta hacia la izquierda que pasa por el punto ( Hallar

las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz,

la ecuación de la parábola y

dibujarla. 11. Una parábola con vértice en el origen y abierta hacia arriba, que pasa por el punto (

). Hallar

las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, la ecuación de la parábola y dibujarla. 12. Una parábola con vértice en el origen y abierta hacia abajo, que pasa por el punto ( Hallar

las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz,

la ecuación de la parábola y

dibujarla.

TEMA 3 HIPERBOLA: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos. Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras. Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:

ELEMENTOS DE LA HIPERBOLA 

Centro, 0



Vertices



Distancia entre los vértices



Eje menor,



Longitud del lado recto



Asíntotas:

PUNTOS DE LA ELIPSE EXCENTICIDAD DE LA HIPERBOLA (

)

LA HIPERBOLA CON CENTRO (0, 0) TIENE LA SIGUIENTE EXPRESIÓN ALGEBRAICA

LA HIPERBOLA CON CENTRO EN (

Donde: (

)

(

)

ACTIVIDAD 3: 1. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son ( ) ( ).

(

)

(

)y vértices

2. Hallemos las coordenadas de los focos y los vértices de la hipérbola: 3. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas 4. Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2,3), tiene sus focos sobre la recta y=3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas. 5. Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 – x2 + 4x – 6y – 13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vértices y ecuaciones de las asíntotas.

TRABAJO VIRTUAL: Consultar sobre LAS APICACIONES DE LA PARABOLA Y LA HIPERBOLA. Escribe dos de cada una en tu cuaderno para luego socializar en clase.

EVALUACION Se realizara al finalizar la segunda semana de trabajo de la guía en la última clase de esta semana o en la primera de la semana siguiente.