Calculo financeiro

João Veríssimo Lisboa Mário Gomes Augusto

CÁLCULO FINANCEIRO

Cálculo Financeiro

Em todos os capítulos são apresentados exemplos retirados da realidade empresarial, por forma a facilitar uma melhor compreensão dos assuntos abordados.

O texto inclui ainda dois formulários de consulta rápida, um para o cálculo financeiro e outro para o cálculo actuarial, a que se juntam as correspondentes tabelas, ainda muito úteis, apesar do desenvolvimento e fácil acesso aos meios computacionais.

CÁLCULO FINANCEIRO

Este texto tem por objectivo apresentar a lógica do raciocínio matemático na análise das operações financeiras de curto, médio ou longo prazo. As diversas matérias abordadas no livro são tratadas com a adequada profundidade teórica exigida à leccionação destas matérias no ensino superior, sem no entanto descuidar a vertente prática, tendo em atenção a sua utilização por um público menos exigente no desenvolvimento dos aspectos teóricos da matéria. É pois um texto didáctico que cobre as matérias fundamentais da disciplina de Cálculo Financeiro, o que o torna útil para a aprendizagem ou aprofundamento de conhecimentos dos responsáveis pela gestão financeira das organizações.

João Veríssimo Lisboa Mário Gomes Augusto

João Veríssimo Lisboa licenciou-se em Finanças pelo ISEG (1974) e possui o PhD em Industrial Management (1988) pela Universidade de Clemson (USA), sendo actualmente docente da Faculdade de Economia da universidade de Coimbra (FEUC). Foi bolseiro da AID e Visiting Fulbright Professor. Na FEUC tem leccionado a disciplina de Cálculo Financeiro, entre outras, e exercido também diversos cargos de gestão. É investigador do Instituto de Sistemas e Robótica (Pólo de Coimbra), sendo nesta unidade responsável pelo grupo de Gestão da Produção. Tem diversos trabalhos publicados em revistas científicas, nacionais e internacionais, nomeadamente no Portuguese Journal of Management Studies, Ómega, International Journal of Production Research, European Journal of Operational Research e European Business Review, entre outras.

Mário Gomes Augusto licenciou-se em Economia (1991) e Doutorou-se em Gestão de Empresas (2004) pela Faculdade de Economia da Universidade de Coimbra, sendo actualmente docente nesta instituição.

Lecciona no grupo de disciplinas da área financeira, tanto a nível de licenciatura como de pós-graduação, fazendo parte também, como investigador, do grupo de Gestão da Produção do Instituto de Sistemas e Robótica (Pólo de Coimbra). Tem diversos trabalhos publicados em revistas científicas, nacionais e internacionais, nomeadamente no Portuguese Journal of Management Studies, European Journal of Operational Research e Journal of Global Competitivenes, entre outras. É detentor do prémio Rogério Fernandes Ferreira, edição de 2006, pelo trabalho intitulado Política de Dividendos e Estrutura do Capital.

Nota prévia Este texto tem por objectivo apresentar a lógica do raciocínio matemático na análise das operações financeiras de curto, médio ou longo prazo para todos os interessados no estudo do cálculo financeiro. Sendo um livro com características pedagógicas, o seu público alvo será essencialmente constituído pelos alunos que frequentam as disciplinas de Cálculo Financeiro, Gestão Financeira, Análise Financeira e Análise de Projectos, incluídas nos planos curriculares das licenciaturas (1º ciclo) mestrados (2ºciclo) em gestão e economia. Contudo, dada a natureza prática do seu conteúdo, também poderá ser um instrumento útil de aprendizagem ou aprofundamento de conhecimentos para os responsáveis pela área financeira das organizações. É pois um texto didáctico que cobre as matérias fundamentais da disciplina de Cálculo Financeiro, procurando-se em cada capítulo não só dar a conhecer os aspectos práticos das matérias apresentadas, mas também os seus fundamentos teóricos, de modo a permitir a construção de modelos de análise mais elaborados. Em todos os capítulos são apresentados exemplos práticos próximos da realidade, de forma a facilitar uma melhor compreensão da teoria que fundamenta o conhecimento daquela disciplina.

A nomenclatura usada nas secções de alguns dos capítulos segue muito de perto a utilizada no texto do Prof. Doutor Fernando de Jesus, “Matemática Financeira” editado pela Universidade da Beira Interior, a quem agradecemos por nos ter permitido a utilização da sua obra que neste texto é utilizada, em muita partes, como referência para os leitores mais interessados em aprofundar certas passagens e demonstrações de expressões de maior complexidade.

Uma palavra também de reconhecimento ao Prof. Doutor Luís dos Santos Fernandes, de quem um dos autores teve a sorte de ter sido aluno e cujas lições de Cálculo Actuarial permitiram incluir neste texto um capítulo de introdução a estas matérias, tão arredadas (infelizmente) dos conteúdos curriculares dos cursos superiores de gestão.

Optou-se pela adopção da teoria clássica na fundamentação do fenómeno da capitalização e desconto, nomeadamente em todo o desenvolvimento teórico do Capítulo I, reconhecendo os autores, todavia, a existência de uma outra abordagem à teoria geral da capitalização*, que pensamos abordar numa outra edição vocacionada especificamente para um público académico intressado nos problemas da Matemática Financeira.

O livro encontra-se organizado em seis capítulos, tendo cada um deles, no final, um conjunto de exercícios práticos que permitirão aos interessados testar os seus conhecimentos. Inclui também como anexos dois formulários de consulta rápida, um para o cálculo financeiro e outro para o cálculo actuarial, a que se juntam as correspondentes tabelas, as primeiras ainda muito úteis, sobretudo sob o ponto de vista pedagógico, apesar do desenvolvimento e fácil acesso aos meios computacionais.

Pensamos que esta obra irá ter bastante utilidade para os estudantes do ensino superior de Gestão dos países de língua portuguesa, já que não existem textos em português que reúnam numa obra só a variedade dos temas aqui tratados. Também os profissionais das área financeira poderão encontrar neste texto uma forma de actualização dos seus conhecimentos, na maioria das vezes adquiridos há bastante tempo e a necessitarem de actualização.

Se este livro conseguir satisfazer estas pretensões, os nossos objectivos terão sido atingidos.

Os autores João Veríssimo Lisboa Mário Gomes Augusto

* Os leitores interessados numa outra abordagem conceptual à teoria geral da capitalização poderão consultar Peláez, Lourenzo Gil “Matemática de las Operaciones Financeiras”, Editorial AC.

CAPÍTULO I Capitalização e desconto

Capítulo I Equação geral C deAPITALIZAÇÃO capitalização. ValorEacumulado e valor actual DESCONTO

Capítulo I

uação geral de capitalização. Valor acumulado e valor actual

I – Capitalização e desconto

epresentemos por f(t) uma função monótona crescente, representativa do valor 1.1 Equação geral de capitalização. Valor acumulado e valor capital noactual momento t. Para medir a variação relativa deste capital correspondente

variação absoluta do tempo, utilizemos a taxa instantânea de capitalização �(t)

Representemos por f(t) uma função monótona crescente, representativa ada por do valor de um capital no momento t. Para medir a variação relativa deste capital correspondente a uma variação absoluta do tempo, utilizemos a taxa instantânea de capitalização δ(t) (t) que é dada por

f / t � h ) � f (t ) f / t) � (t ) � lim h �0 h 1 f (t � h) � f (t ) � � lim h � 0 f (t ) h f �(t ) � � � �log f (t )� . f (t ) Como podemos observar, a taxa instantânea de capitalização obtém-

omo podemos observar aaderivada taxa instantânea dedecapitalização calculando -se calculando logarítmica f(t). Como f(t)obtém-se é uma função

monótona crescente, valor da sua primeira derivada será sempre ada logarítmica de f(t).

Como of(t) é uma função monótona crescente, o valor da positivo, qualquer que seja tt, o que significa que a taxa instantânea de capitalização será sempre positiva.

meira derivada será sempre positivo qualquer que seja t, o que significa que a

tantânea de capitalização será sempre positiva.

Integremos δ(t) (t) no intervalo 0 e tt, ou seja,

tegremos �(t) no intervalo 0 e t, ou seja t t f (t ) dt � 0 �( t )dt � � 0 f (t ) t � 0 �( t )dt � �log f ( t )�0 t

t � 0 �( t )dt � log f ( t ) � f ( 0 ).

as como o logaritmo do quociente é igual à diferença dos logaritmos, então Cálculo financeiro t

f (t )

1 11

f (t )

� 00t 0�( t )dt � � 00t 0f f( (t t)dt ) � 0t �( t )dt � � 0t ff (( tt ))dt � ff (( tt ))dt t � 0ttt ��t �(( (tt t))dt 0 �( t )dt � �log f ( t )� dt )dt��� 00�ttlog t)�)tt�0 ff ((fttf())(tdt dt �� 00�0t 0�( t )dt � ���log 0 0 0 Capitalização e desconto Capítulo I � �log f (ft()t )�tt0 �t ( t )dt 0 �( t )dt � log f ( t ) � f ( 0 ). � 0�tttt �� ( t ) dt log f(((ttt)))��t0�f f( (00).). � ( t ) dt � � log f � log f ��� 0000t 0��(( tt ))dt dt � �log f ( t )�t0 log ff((tt))��0 f ( 0 ). � 0t �( t )dt � �log � log �� 0tt ��(( tt ))dt � log ff (( tt )) � � ff (( 00 ))..

0 �( t )dt dt � log f ( t ) � f ( 0 ).então � aritmo do quociente é igual à0diferença dos logaritmos, Mascomo como logaritmo doquociente quociente igualààdiferença diferençados doslogaritmos, logaritmos,então então Mas oologaritmo do ééigual Mas como o logaritmo do quociente é igual à diferença dos logaritmos, então Mas como o logaritmo do quociente é igual à diferença dos logaritmos, Mas Mas como como oo logaritmo logaritmo do do quociente quociente éé igual igual àà diferença diferença dos dos logaritmos, logaritmos, então então Mas o logaritmo do quociente é igual à diferença dos logaritmos, então f ( tcomo ) então f ( t ) t .

0 �( t )dt � log t�t �( t )dt � log f ( t ) . f(0) � 00t 0�( t )dt � log f f((t 0) ). � 0t �( t )dt � log fff ((( 0tt ))) . �� 0tt ��(( tt ))dt dt � � log log ff (( 0t )) .

Fazendo 0 ( t ) dt � � log ff (( 00 )) ..

Fazendo �0 t f(0) t ( t ) � � � ( t )Fazendo dt tt Fazendo � ( t ) � � ( t ) dt 0 Fazendo Fazendo � ( t ) � ��t�0 ( t )dt Fazendo � ( t ) � �00tt � ( t )dt 0 � � (( tt )) � � ��0t �� (( tt ))dt dt � ( t ) � �0 � ( t )dt 0 teremos teremos f (t ) teremos teremos f (t ) og � � (teremos t) log f (t ) ����(t()t ) teremos f ( 0) log teremos f f((t 0) ) log ff ((0t )) � � (t ) f (t ) � (t ) log log fff (((00t ))) � � � (t ) log f (0) � � (t ) ( 0) e logaritmo e por definição de flogaritmo e por definição de logaritmo porlogaritmo definição de logaritmo f (t ) e por definiçãoede � (t ) � logaritmo (t ) � ee por definição de f f(t()t ) � � ( ( t t ) ) e � definição ede logaritmo f (0) e por � f f((t 0) ) por definição de logaritmo e �� ((tt )) � ff ((0t )) f (t ) ee � (t ) � � ff ((0t )) e � (t ) � ff ((00)) logo f ( 0) logo logo (t ) � (t ) (t ) � f (0).e �logo (1.1) (1.1) logo f f(t()t )��f f(0(0).).ee���(((ttt))) (1.1) logo logo f (t ) � f (0).e � (t ) (1.1) (1.1) ff ((tt )) � f ( 0 ). e (1.1) � (t ) � f (0).e � (t ) (1.1) f ( t ) � f ( 0 ). e (1.1) equação que se designa porrelaciona “fórmula geral de capitalização” e que reladesigna por “fórmula geral dedesigna capitalização” e que o valor de equação que se por “fórmula geral de capitalização” e que relaciona valorde de equação que seciona designa por “fórmula geral de capitalização” e que relaciona oovalor o valor de um capital no momento t com o seu valor no momento momento t com seuque valor no momento 0. O termo f(t) denomina-se equação se designa port “fórmula geral deno capitalização” eOque relaciona o valor de umocapital capital no momento com oseu seu valor momento0.

0.O termo f(t)denomina-se denomina-se equação que se designa “fórmula geral de capitalização” e que relaciona 0.

O termopor f(t) denomina-se valor capitalizado ou valor acumulado, um no momento t com o valor no momento termo f(t) equação que se designa por “fórmula geral de capitalização” e que relaciona oo valor valor de de � (t ) 0. O equação que se designa por “fórmula geral de capitalização” e que relaciona o valor de um capital no momento t com o seu valor no momento termo f(t) denomina-se o ou valor acumulado, f(0)f(0) é oé ou valor descontado ou valor actual, � (t ) edescontado o valor descontado ou valor actual, designa-se por factor valor capitalizado valor acumulado, f(0) é o valor ou valor actual, ��(t (t)) e um capital no momento t com o seu valor no momento 0.

O termo f(t) denomina-se valor capitalizado ou valor acumulado, f(0) é o valor descontado ou valor actual, e um capital no de momento t com o seu valor no momento 0.

O termo f(t) denomina-se capitalização e a φ(t) (t) por factor logarítmico de capitalização. � (t ) um capital no momento t com o seu valor no momento 0.

O termo f(t) denomina-se valor capitalizado ou acumulado, écapitalização. o valor descontado ou valor actual, e � (t ) actor de capitalização e por a �(t) porvalor factor logarítmicof(0) designa-se factor de capitalização eaade �(t) porfactor factor logarítmico decapitalização. capitalização valor ou acumulado, éé oopor valor descontado ou actual, designa-se por factor de capitalização �(t) logarítmico de valor capitalizado capitalizado ou valor valor acumulado,ef(0) f(0) valor descontado ou valor valor actual, ee �� (t(t )) valor capitalizado ou valor acumulado, f(0) é o por valor descontado ou valor actual, e 1) retira-se que, Da expressão (1.1) retira-se que, designa-se por factor de capitalização e a �(t) factor logarítmico de capitalização.

Daexpressão expressão (1.1) retira-se que, designa-se por factor de capitalização e a �(t) por factor logarítmico de capitalização.

Da (1.1) retira-se que, designa-se por factor de capitalização e a �(t) por factor logarítmico de capitalização. � (t ) designa-se por(1.1) factor de capitalização e a �(t) por factor logarítmico de capitalização. expressão retira-se que, �� ( t ) (0) � f (t )e �Da ����((tt)) )��f f(t()te)eque, Da f f(0(0)retira-se Da expressão expressão (1.1) (1.1) retira-se que, �� ( t ) Da expressão (1.1) f (0)retira-se � f (t )e que, �� ( t ) ff ((00)) � f ( t ) e � f (t )e ���� ((tt )) f (0) � f (t )ee –�(t) é o factor logarítmico de (t) actualização) factor de desconto (oue�� de �� (t) é o factor de desconto (ou de actualização) e –�(t) é o factor logarítmico de em que ��(t) em 12 que e��(t) é o factor de desconto (ou de actualização) e –�(t) é o factor logarítmico de em que e��(t) é o factor de desconto (ou de actualização) e –�(t) é o factor logarítmico de desconto. em (t) é o factor de desconto (ou de actualização) e –�(t) é o factor logarítmico de desconto. em que que ee�� ��(t) é o factor de desconto (ou de actualização) e –�(t) é o factor logarítmico de t 0

� (tt )dt � (t ) Define-se poràtaxa médiade deoutempo capitalização o quociente . Quando a taxa valor capitalizado valor �t, acumulado, f(0) é o�0valor ou valor t+1� é designada pordescontado taxa central de actual, e é referida unidade t é referida à unidade de tempo �t, t+1� é edesignada taxa central de designa-se por factor de tcapitalização a �(t) por por factor logarítmico de capitalização. ic virá Taxa de capitalização alização.

Se a representarmos por t Capítulo I por taxa central de é referida à unidade de tempot �t, t+1� é designada Daataxa expressão retira-se que,o quociente �0 � ( t )dt . Quando a taxa efine-se por média(1.1) de capitalização alização.

Se representarmos por ic virá t t t lização. Se a representarmos f (0) por � f (ict )virá e �� ( t ) t � ( t )dt t �1 t �1 � 0 t Define-se por taxa média de capitalização o quociente . Quando a taxa � ( t )dt � (�t, t )dtt+1� � � é� (designada t )dt . tpor taxa central de é referidaic à� �unidade de �tempo � tt �1 0t �1 0t t � ( t )dt t � � �taxa �média ( t )dt �de� tcapitalização � ( t )dt � � to �quociente ( t )dt .

0 Define-seicpor . Quando a taxa t tt �1 ��(t) � 1 0 0 t representarmos t i zação. Se a por virá média é referida à unidade de tempo �t, t+1� é designada taxalogarítmico central c em que e é o factor de desconto (ou de actualização) e o factor t ic �que � (desconto t )dt � � (ou � ( tde)dtactualização) . em de e – –�(t) φ(t) (t) é oépor � ( t de )dtde � t � ( t é)dto �factor �t 0 Define-se 0 � 0 por taxa média de capitalização o quociente . Qu factor logarítmico de desconto. desconto. � ( tSe ) �ade�representarmos � ( t )dt ,�t,então é referida à unidade tempo t+1� éict designada pora ttaxa taxa central de omo porcapitalização. definição podemos exprimir central de por virá t � ( t )dt 0t �0taxa Define-se média capitalização o quociente .

Quando a taxa t �1 por�taxa t �1 � ( tde t ( t ) � ) dt omo por definição , então podemos exprimir a central de Define-se por taxa capitalização . �média 0t por ict Se � função � ( de t )dt�(t): �média � (étide )ctreferida dtvirá � � � à( t )unidade dt .o quociente é designada por taxa de tempo t�t, t+1� alização. at representarmos lização � � 0 � ( t )dt 0 � ( t ) � omo porem definição , então podemos exprimir a taxa central de Quando a taxa média é referida à unidade de tempo [t, t+1], é designada � 0 t �1 t �1 t lização função de t por média em épor referida à �(t): unidade de taxa central arepresentarmos representarmos por capitalização.

SeSe a�t, ict de � �capitalização. � ( t tempo )dt � �t+1� ( t )dt é� �designada � (por t )dtic. virá , virátaxa central de � 2 t 0 0 lização em função de �(t): t t � 1 t � 1 t t t � (a�t �representarmos 1) � � (t ) � ( tpor (1.2) ic podemos capitalização. virá ict i�c ��Se )dt � � ( t )dtexprimir . � ( t( )t �)dt� ���(0 t )dt , então a taxa central de mo por definição � t t 0 0 ic � � (t � 1) � � (t ) t �1 t �(1.2) 1 t tt t i � � ( t ) dt � � ( t exprimir )dt � � �a( taxa t )dt central . icomo (por t �(t): � 1definição ) � � (t ) � ( t ) � c � (�tt )dt , então podemos (1.2) � c �� zação emMas função de de 0 Mas como por definição , então podemos exprimir0 � t �1

t �1

0

t

�0 exprimir a taxa central de omodepor definição �em t 0 , então podemos capitalização função �0 de��(t): axa capitalização t i t � � (t � 1) � � (t ) axa de capitalização � ( t )dt , então Mas como por definição � ( t ) � � (1.2) lização emc função de �(t): (1.2) podemos exprimir a taxa c 0 axa de capitalização t i�ct (�t � ) , entãode ) �(t �� 1)��(em t�)(dttfunção Mas como por definiçãocapitalização podemos central de �(t): exprimir a taxa(1.2) 0 Chama-se taxa de capitalização ao incremento sofrido por uma unidade de capital 1.2ict Taxa � � função (tde � 1capitalização ) �de � (�(t): t) (1.2) capitalização Chama-se taxaem dede capitalização ao incrementouma sofrido por uma unidade capital rido uma unidade unidade de capital no de momento a de capitalização tempo. Tendo disponível t Chama-seChama-se taxa de capitalização ao incremento sofrido por uma unidade de capital taxa de capitalização o ao incremento sofrido unidade ic �uma � (no t �unidade 1) � � (por t )deuma (1.2) rido umaà expressão unidade de tempo.

Tendo disponível capital no momento orrendo (1.1), o seu valor acumulado momento (t+1) será de capital, decorrida uma unidade de tempo.

Tendo disponível uma Taxa de rido uma1.2 unidade det capitalização tempo. Tendo disponível uma unidade de capital no momento orrendo à unidade expressão seu será ic (1.1), � � (t o�no 1) �valor � (t ) acumulado no momento (t+1) (1.2) de capital � ( t �1) momento tt, recorrendo à expressão (1.1), o seu f ( t � 1 ) � f ( 0 ) e rrendo àtaxa expressão (1.1), onoseu valor acumulado no momento seráde capital axa de capitalização valordeacumulado momento (t + 1) será hama-se capitalização ao incremento sofrido por uma (t+1) unidade f (t � 1) � ff ((t0))e��((tt��11)) � � (t ) e1.2 ( t �1) o uma unidade disponível uma unidade de capital no momento Taxa de capitalização f (t Chama-se � 1de ) �tempo. e��Tendo eff ((t0))taxa capitalização ao incremento sofrido por uma unidade de capital ( t �1de ) � � (t ) e�� (t �1) �� (t ) � endo à expressão (1.1), o seu valor acumulado no momento (t+1) será f ( t ) � e unidade ee � (t �1) de tempo. Tendo 1.2 Taxa de capitalização decorrido disponível uma unidade unidade de de capital capital no momento Chama-se taxa de�uma capitalização incremento sofrido por uma � ( t ) �� ( t �1) �� ( t )ao � � ef (t )�e(t �1) recorrendo à)eexpressão o seu valor acumulado momento (t+1) será t � 1) � �de f (f0(tempo. ) �� ( t ) �(1.1), rido umat,f (unidade disponível uma unidade de no capital no momento t )e �� (t �1Tendo Chama-se taxa de capitalização ao incremento sofrido por uma unidad f ( t ) dendo a 1.2 vem, � ( t � 1 ) ( t �1) orrendo à expressão (1.1), notempo. momento (t+1) será � taxa e f (capitalização decorrido unidade de Tendo disponível uma to�seu 1) �valor f (uma 0)acumulado e �ao Chama-se de incremento sofrido por uma unidade de unidade capital de capital e atendendo vem c dendo a 1.2 vem,e � (t ) a (1.2), it f (t � 1) � f (t��)(ett,��1)(recorrendo t �1()t ) � f (t ) à (1.1), seu valor no momento (t+1) se t �1disponível ) decorrido umaounidade deacumulado capital no momento dendo a 1.2 fuma (tvem, ��1unidade ) f�(tf)e(0)de e c �tempo. � �Tendo e � (expressão (t ) f (t � 1) � f (t )e ict e o seu �valor acumulado no (t+1) será t, recorrendo � ( t momento �1) ( t �1) f (t �à1expressão ) �� ff ((tt))e i�t (1.1), � f (t )e � (t �f1)(�t��(t )1� ) � f (0)e � (t ) omo f(t)=1 virá, Mas como ef(t)=1, virá f (t ) ndo a 1.2 vem, f (t � c1) ��� (ft �(10) �)�e(t�) �(t �1) � � (t ) e � (t �1) omo f(t)=1 virá, � f i(t t )e f (t � 1) � e i c e t f (t ) � (t �1) omo f(t)=1 t �virá, 1) � f (ta)itce1.2 ef (atendendo vem, � f (t )e �� (t �1) �� (t ) � f (t � 1) � e c � � (t ) e e f (tvem, � 1) � e it f (t � 1) ��� (t f�1() �t�)e(t )itc� dendo a 1.2 �t)fé(tdada )e por a taxa de capitalização (i 13 c Cálculo financeiro mo f(t)=1 virá, a taxa de capitalização é dada por a 1.2 vem, f (t � 1) � f (t )(iete)it atendendo a taxa central ict �� ( tde ( tt )dt � ( tfunção )dt � de �φ(t): ( t )dt . ) ��capitalização � ( t�)dt em

itc

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c

it � e it � 1 iitctc. iitt �� ee ��11

..

it � e it � 1

.

Capitalização e desconto

Capítuloi cI

(1.3)

(1.3) (1.3)

.

(1.3) it � e t � 1 Se t se encontrar expresso em anos a taxa desecapitalização Se t se encontrar expresso em anos a taxa de capitalização diz-se anual, representar itc Se Se tt se se encontrar expresso expresso em em anos anos aa taxa taxa de de capitalização capitalização(1.3) diz-se diz-se anual, anual, se se repr repr . iencontrar t � e �1 semestres diz-se semestral, trimestres trimestral, etc. semestres diz-se semestral, trimestres trimestral, etc. c semestres diz-se semestral, trimestres trimestral, etc. etc. diz-se (1.3) Se t se semestres encontrar expresso em. anostrimestres a taxa detrimestral, capitalização anual, se representar it �diz-se e it � 1semestral, Se admitirmos que t representa um de número Se admitirmos que t representa um número inteiro de unidades tempo,inteiro entãode u cc Logo, capitalização it éum dada por inteiro itica Se Se admitirmos admitirmos que que t t representa representa um número número inteiro de de unidades unidades de de tempo, tempo, en en semestres diz-se semestral, trimestres trimestral, etc. tit taxa de Se t se encontrar taxa de capitalização diz-se(1.3) anual, se representar ... anos aescrever (1.3) (1.3) iititt ���expresso eee ���111 em podemos podemos escrever c t podemos podemos escrever admitirmos número inteiro de unidades(1.3) de tempo, então . anos aum it� semestral, �escrever e ique � 1t representa semestres diz-se trimestres trimestral, etc. � ( t )capitalização Se t seSeencontrar em taxa representar ( texpresso ) ede � e � ( t )�� ( 0) diz-se anual, se(1.3) e � e � (��t )((�tt)�) ( 0) ��((tt))����((00)) podemos escrever ee t representa �� eeanos admitirmos número inteiro então � (1))����capitalização �diz-se �de � (se 0�1) ) unidades ( 2 ) �� (1) anual, ( 3) �tempo, 2anual; ) representar � ( 2 ) ��aa � ( 2capitalização ( 0 ) expresso (a 1um )taxa )de �de )capitalização ( (tde semestres diz-se trimestres trimestral, etc.

Sesemestral, texpresso se�que encontrar em a� taxa diz-se se seSe encontrar encontrar encontrar expresso expresso em em anos taxa de capitalização diz-se se se representar Se Se Se tttse � .e��diz-se .anual, eanual, �representar e � ( t )�� ( t �1) e � (1) ��em .eanos .taxa e���(((223anos, e3e))����(�tde � � � � � � � � � � ( ( 1 1 ) ) � � ( ( 0 0 ) ) ) ) � � ( ( 1 1 ) ) ( ( 3 ( ( 2 2 ) ) ( ( ) ) � � ( ( � � 1 1 ) ) t t t t � (t ) � ( t ) ��� (� 0 )e e ..ediz-se e número ..ee inteiro � � se representar semestres, trimestral, etc.representar esemestral, �que t �1\ trimestres, podemos escrever �1\ t representa te admitirmos um deee unidades de tempo, então Se t seSeencontrar expresso em anos atrimestral, taxa desemestral; capitalização diz-se anual, se semestres semestres semestres diz-se diz-se diz-se semestral, semestral, trimestres trimestral, trimestral, etc. etc. etc. ctrimestres inc itrimestres n � � 1 1 \ \ t t � e � � (e � ( 3) �� ( 2 ) � ( t ) �� ( t �1) 1) �� ( 0 ) � ( 2 )c� c � (1) � iin ( t ) �� ) .e e� ( t )��trimestres .e � en �0 �(�0que podemos escrever e �semestral, �que semestres diz-se trimestral, etc. ne� 0tttrepresenta Se admitirmos uminteiro número de unidades de Se Se Seadmitirmos admitirmos admitirmos que que representa representa um um um número número número inteiro inteiro de de deinteiro unidades unidades unidades de de detempo, tempo, tempo, então então então � eet nrepresenta t �1\ nn��00 � (1) ��c ( 0 ) � ( 2 ) �� (1)

inpodemos tempo, então escrever � ( 0 ) .e e� (tt )e�representa .e número�inteiro e Se admitirmos um de unidades de tempo, então podemos podemos podemos escrever escrever escrever e � ( t ) ��que e�

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� ( t ) �� ( t �1)

tn��10\

) ��c ((0)00))) � ( 2 ) ��vez, (1) �atendendo ) �� ( t vem �1) ��a �� ((t(t()1.3 t1)�)� Por sua vez, atendendo vem podemos escrever .e sua .e (3) �� ( 2 ) � e �a( t1.3 eee���((t(t)t)) �����eeee� e���i(n(0Por Por Por sua sua vez, vez, atendendo atendendo aa 1.3 1.3 vem vem �(11((0\(1)t1)�))������(c(0((00)0))) ���((2(2)2)�)����(1((1)1)) ���((3(3)3)�)����(i(2c(2)2)) n� ��� t� c (t ) i� t i n � � � e e e . . e . e e ..e.ee e t � � � � e 1ee�e���(i(t(tt)t)�)����((t(t�t�1�1)1)) e � 1�� itiitctc e � Por sua vez, atendendo a 1.3 vem ee �� 11�� ii �tt�etn�1�1�\1\0(\1)i�nicnic�nc ( 0 ) .e �tt ( 2) �� (1) .e � (3) �� ( 2 ) � e � ( t )�� ( t �1) c ��� � eee Por sua vez, atendendo e it � 1� �� i 1.3 vem �0�1a 00\t i c nnt�n� � � e n logo logo itc Por sua logo vez, atendendo logo n �a e sua � 1� i0 1.3 vem Por tvez, �1 t atendendo a (1.3), vem t �1 tt��11 e � ( t ) � � �1 � in � �1.3 ee�itc( t )��1� 1(tt))�vem ivem logo n� Por Por Por sua sua suavez, vez, vez,atendendo atendendo atendendo aaai��1.3 vem (1.3 � n �0 e0 t �� � �11�� iinn � n �e ccc t � 1 n n � � 0 0 Por vem logosua vez, atendendo elogo eeeititi�t (�t��) 11�1���iiatitt 1.3 �1 � i � c

�

n

e i�t em �nt ��i10t e,aportanto, logo ( t� ) 1atenção tendo atenção a expressão (1.1), teremos e, portanto, tendo expressão (1.1),em teremos �em e � 1 � atenção iatenção n� � e, e, portanto, portanto, tendo tendo em a a expressão expressão (1.1), (1.1), tteremos teremos nt ��10 �1 t �1 logo logo logo � (t ) tt���11 � � e � 1 � i �1 � in � (1.4) f ( t ) � f ( 0 ) � f ( t ) � f ( 0 ) 1 � i n � ))� � e, portanto, tendo em atenção a expressão (1.1), teremos(1.1), n e, portanto, em atenção a� expressão teremos t t�nt�1�f1f10((tttendo n �0 � 0 ) ) 1 1 � � i i n� �� 0 ff ((0 (1.4) (1.4) logo n n � ti�i1i ��� � � � eee���((t(t)t)) ���� 1 1 1 � � � n n � � 0 0 nnn � � e, portanto, tendo (1.1), teremos f (tem ) �natenção f�0�010(0) �a�1expressão � in � n�nt� (1.4) (1.4) � e � ( t ) � � �1 � i nt � �10n e, portanto, a�1expressão (1.1), teremos fórmula permite calcular o valor de um n � 0 calcular fórmula geraltendo que o �geral valor que acumulado de um capital emacumulado função da taxa fgeral (permite tem ) �atenção f (0permite )� � calcular icalcular (1.4) n fórmula fórmulafórmula geral que que permite o o valor valor acumulado acumulado de de um um capital capital em em função função da d geral que permite calcular o valor acumulado de um capital nt ��10 deaaaexpressão capitalização. e, e, e,portanto, portanto, portanto, tendo tendo tendo em em em atenção atenção atenção expressão expressão (1.1), (1.1), (1.1), teremos teremos teremos de capitalização. em taxa �1 �deinocapitalização. �valor acumulado de um capital(1.4) f (tfunção ) � f (0da )calcular de capitalização. capitalização. � fórmulade geral que permite em função da taxa t t�nt�1�110a expressão Se de considerarmos –�(t)doem vez demodo �(t) definem-se doem e, portanto, tendo em atenção teremos Se considerarmos –�(t) em vez �(t)(1.1), definem-se mesmo a taxa média � � fff(considerarmos (t(considerarmos t)t))��� fff((0(00)))� 1�11–�(t) �–�(t) ��iininn���,em (1.4) (1.4) (1.4) Se Se considerarmos em vez vez de de �(t) �(t) definem-se definem-se do do mesmo mesmo modo modo a a taxa taxa m de capitalização.

Se em vez de , definem-se do mesmo modo � � fórmula geral que permite ncalcular o valor acumulado de cum capital em função da taxa m n�nt��0�c010 d de desconto sendo esta esta dadapor por a taxa Se central deaftaxa desconto ),�taxa dada por ( do eat ataxa central de desconto t ),, sendo �ccdeesta (t ) �média f (0() d� 1sendo �vez icentral (1.4)dada considerarmos em �(t) definem-se mesmo a taxa da média de capitalização. aageral taxa taxa central central de de–�(t) desconto desconto ((noddttvalor ),), sendo sendo esta esta dada dada por fórmula que permite calcular acumulado depor um capitalmodo em função taxae n �0 t c ddefinem-se d tt � �itc –�(t) t � �it c sendo Se considerarmos vez deesta �(t) mesmo a taxada média d��tcem a taxa central de desconto dada por de de capitalização. fórmula fórmula fórmula geral geral geral que que que permite permite permite calcular ooovalor valor valor acumulado acumulado acumulado de dedo um um um capital capital capitalmodo em em emfunção função função da da taxa taxa taxae ddtttt calcular � �(calcular iitct), c t permite Se considerarmos vez deesta �(t)acumulado definem-se mesmo a taxa da média fórmula geral que calcular o valor capitalmodo em função taxae de de de capitalização. capitalização. capitalização. a taxa central ded tdesconto ( d tem ), sendo dada por dedoum � �itc –�(t) A taxacomo de desconto será definida como o decréscimo s A taxa de desconto seráem definida o decréscimo sofridomodo por uma unidade cem de capitalização.

Se Se Se considerarmos considerarmos considerarmos –�(t) –�(t) em vez vez vez de de dedefinida �(t) �(t) �(t)definem-se definem-se definem-se do do do mesmo mesmo mesmo modo modo aaataxa taxa taxa média média média ede ee t c–�(t) d a taxa central dedtaxa desconto ( ), sendo esta dada por A A taxa de de desconto desconto será será definida como como o o decréscimo decréscimo sofrido sofrido por por uma uma unid unid � � i t t t capital decorrido uma unidade de tempo.

Se anotaxa momento capital decorrido uma unidade devez tempo.

Sedefinem-se no momento (t+1) se modo encontrar disponível considerarmos –�(t) dede �(t) do mesmo médiadis e(t+ ccem c 14 Secapital t c uma d d d capital decorrido decorrido uma unidade unidade de tempo. tempo.

Se Se no no momento momento (t+1) (t+1) se se encontrar encontrar dis aaataxa taxa taxacentral central central de desconto desconto ( ( ( ), ), ), sendo sendo sendo esta esta esta dada dada dada por por por A taxa de de desconto será definida como o decréscimo sofrido por uma unidade de t tt d t � �it uma unidade de capital, então o valor dessa unidade de capita uma unidade de capital, então co valor dessa unidade de capital no momento t será de a taxa central dettdesconto ( d ), sendo esta dada por t ccc

pitalização.

Se considerarmos –�(t) em vez de �(t) definem-se do mesmo modo a taxa média e c

Taxa de capitalização

a central de desconto ( d t ), sendo esta dada por

Capítulo I

d tt � �itc

A taxa de desconto será definida como o decréscimo sofrido por uma unidade de capital, decorrida uma unidade de tempo. Se no momento al decorrido unidade de tempo. Se nounidade momento (t+1) seentão encontrar disponível t + uma 1 se encontrar disponível uma de capital, o valor dessa deo capital no momento t será de ,unidade e atendendo à unidade definição apresentada, aunidade taxa de desconto (d será dada tpor de capital, então valor dessa de capital not) momento será de

A taxa de desconto será definida como o decréscimo sofrido por uma unidade de

cc d tc e atendendo a taxa de desconto (dt) será dada por dft (� tà)1definição ��ee�ditt � e apresentada, Logo, e atendendo à definição a taxa(dde desconto (dt) será dada por , e atendendo à definição apresentada, aapresentada, taxa de desconto t) será dada por d tc d � 1 � e t c Logoà edefinição atendendo à definição a taxa(dde desconto (d dt) e atendendo apresentada, a apresentada, taxa de desconto dada por t) será d tc d t � 1 � e dt d � 1 � e será por t dada d ct comapresentada, mente se relaciona it , de facto a taxa de desconto (dt) será dada por e atendendo à definição d t � 1 � e dt 4 c �cit mente se relaciona it , de facto ddtt ��11��eeddtt com relaciona dt com it , de facto mente se Facilmente relaciona �d1itctse com it , de facto � 1 � d e t � 1� Facilmente relaciona dt� com it , de facto mente se relaciona dti cse com it , de facto itc c d t � 1 � ee1�tict d t � 1 � e mente se relaciona � 1 � dt com it , de facto d t � 1 � ee�i1tcit 1 � 1 � ic � itcc � � 1 d t � 1 � ee1it et c c omo e it � 1 �� i1t � , então 1it � 1 � e ic itc omo e � 1 � it , então e t1 d t �como 1 � e itc � 1 � i , então itc mas t , então omo e c � 1 �como it , então mas 1 1� it omo e it �d1t �� i1t � , então 1 c 1 �1i omo e it �d1t ��it1,�entãot d t � 1 � 1 � it 1 d t � 1 � 1 � it ja 1 �1 it d t seja, � 1 �i ou a d t seja � t1 � it (1.5) ou ja 1i� it dt � t (1.5) a it (1.5) 1 �itit d � (1.5) t dt � a (1.5) 1 � it i�t i 1 t d t �sefacilmente o facilmente pode observar qualquer que seja t(1.5) e, tt,como Como se podedobservar dt < it qualquer que seja como éé fácil de t < it 1 �it it verificar, suaproduto diferença é igual ao produto taxas é fácil de ddiferença t � car, a suafácil iguala ao as taxas facilmente sede dt < it entre qualquer que sejaentre t (1.5) e,ascomo 1 �pode it é observar Comose facilmente se pode dt < que it qualquer seja t e, como é fácil de o facilmente pode dt <observar ientre qualquer seja t e, que como é fácil de t car, a sua idiferença ao produto as taxas d tigual .observar t � d t � it é facilmente se pode observar dt é<igual it qualquer que sejaast taxas e, como é fácil de verificar, a sua diferença ao produto entre car, a sua it diferença � d t � it dét .igual ao produto entre as taxas facilmente se podeé igual observar dt < itentre qualquer car, a sua diferença ao produto as taxasque seja t e, como é fácil de it � d t � it d t . it � d t � it d t . car, a suaidiferença é igual ao produto entre as taxas t � d t � it d t . egimes particulares it � d t � it d tde . capitalização egimes particulares de capitalização 15 Cálculo financeiro 1.3 Regimesde particulares de capitalização egimes particulares capitalização Depois de termos derivado a expressão geral de capitalização, vejamos agora dois

Capítulo I

Capitalização e desconto

1.3 Regimes particulares de capitalização Depois de termos derivado a expressão geral de capitalização, vejamos agora dois casos particulares utilizados na prática e conhecidos por regime de juro composto e regime de juro simples. Estes casos particulares de capitalização resultam de se atribuir determinadas expressões analíticas a φ(t). O primeiro é geralmente utilizado nas operações financeiras de médio e longo prazo, enquanto o segundo se emprega nas de operações de curto prazo.

Atribuamos ao factorsobretudo logarítmico capitalização a expressão

Atribuamosao aofactor factorlogarítmico logarítmicode decapitalização capitalizaçãoaaexpressão expressão Atribuamos Atribuamos ao factor logarítmico de capitalização a expressão �(t)==atat. . �(t) Atribuamos ao factor logarítmico de capitalização a expressão �(t) = at .

�(t) =Regime at . de juro composto 1.3.1 Atribuamos ao factor logarítmico de capitalização a expressão

t

� �= at � �t �dt , teremos neste caso Mas como � �t �φ(t)

t

� � �t �dt � at , e por conseguinte �dt,,,teremos �dt��atat,,eepor Mas como ���t�t������ ����tt�dt teremosneste nestecaso, caso �� ����tt�dt porconse cons caso Mas Mas como como teremos, neste �t �dt , teremos neste caso � � �t �dt � at , e por conseguinte � �= �a=�, Mas como � �t ��(t) 0

tt

t

0

00

e, por conseguinte, �(t)==a=�, a=�, �(t)

0

tt

t

00

0

�(t) = a=�,

isto é, a taxa instantânea de capitalização é constante e independente do valor de t. isto é, a taxa instantânea de capitalização é constante e independente

isto taxa instantâneade decapitalização capitalizaçãoééconstante constanteeeindependente independentedo doval va isto é,é,aataxa do valor de t.instantânea Quanto à taxa central de capitalização, utilizando a expressão (1.2) teremos isto é, a taxa instantânea de capitalização é constante e independente do valor de t. taxa centralde decapitalização, capitalização,utilizando utilizandoaaaexpressão expressão(1.2), (1.2)teremos teremo Quanto Quanto àààtaxa utilizando expressão (1.2) Quanto taxacentral central de capitalização, c � � i � a t � 1 � at � a � � t Quanto à taxa central teremosde capitalização, utilizando a expressão (1.2) teremos iitctc ��aa�t�t��11����atat ��aa���� c it � a �t � 1� � at � a � � isto é, também isto é constante e igual à taxaeinstantânea capitalização. é, também é constante igual à taxa de instantânea de capitalização.

istoé,é,também tambémééconstante constanteeeigual igualààtaxa taxainstantânea instantâneade decapitalização. capitalização. isto No que No respeita à taxaà taxa de capitalização utilizemos para sua determinação a que respeita de capitalização, utilizemos para sua isto é, também é constante e igual à taxa instantânea de capitalização. determiNo que respeita respeita à taxa taxa de capitalização capitalização utilizemos utilizemos para para sua sua de de No que de aentão, expressão (1.3). àVirá, então, expressão (1.3).nação Virá No que expressão respeita à(1.3). taxaVirá de então, capitalização utilizemos para sua determinação a expressão (1.3).� Virá então, a � e então, �1 � e �1 � i expressão (1.3).it Virá iit t ��eeaa ��11��ee�� ��11��ii it � e a � 1 � e � � 1 � i 16 Ou seja, no regime de juro composto, a taxa de capitalização também é constante. Como �

Ouseja, seja,no noregime regimede dejuro jurocomposto, composto,aataxa taxade decapitalização capitalizaçãotambém tambéméécon co Ou

No No que que respeita respeita àà taxa taxa de de capitalização capitalização utilizemos utilizemos para paradesua sua determinação determinação aa No que respeita à taxa capitalização utilizemos para sua it � e a � 1 � e � � 1 � i essão ssão (1.3).

(1.3).Virá Viráentão, então, expressão (1.3). Virá então, Regimes particulares de capitalização

Capítulo I

iit t ��eeaa ��11��ee�� ��11��ii it � e a � 1 � e � � 1 � i eja, no regime de juro composto, a taxa de capitalização também é constante. Como

� 1 , facilmente se verifica que eja, eja,no noregime regimede dejuro jurocomposto, composto, aataxa taxa de capitalização capitalização também tambémééconstante.

Como Como Ou seja, node regime de juro composto, aconstante. taxa de capitalização também é c Ou � �seja, log(no 1 �regime i ) . de juro composto, a taxa de capitalização também � facilmente se severifica verifica ��11 ,,facilmente facilmenteseseverifica verifica que é constante.

Como que que ique � e � � 1 ,,facilmente

�� ��log( log(11��ii))..

� � log(1 � i ) .

Quanto à fórmula de capitalização no regime de juro composto, como a taxa de Quanto à fórmula de capitalização no regime de juro composto,

alização é constante e igual a i, basta substituir o valor de it por i na expressão como a taxa de capitalização é constante e igual a i, basta substituir o Quanto Quanto ààvalor fórmula fórmula de de capitalização no no regime regime de de juro juro composto, como como a taxa taxa de de Quanto à fórmula de composto, capitalização no aregime de juro composto, Virá então, de it por icapitalização na expressão (1.4).

Virá, então,

alização alização éé constante constante ee igual igualcapitalização aa i,i, basta por ii na na expressão expressão o valor de it por basta substituir substituir oo valor valor de de iit tapor é constante e igual i, basta substituir f (t ) � f (0)(1 � i ) t (1.6) (1.6) .Virá Viráentão, então, (1.4). Virá então, 1.3.2 Regime de juro simples

tt Neste Neste Nestecaso caso caso factorlogarítmico logarítmico logarítmico de capitalização a(1.6) aexpressão expressão expressão (juro (atribuamos ttatribuamos ))�� simples ff((00)()(11ao �ao �ao ii)factor )factor fde (de t )capitalização �capitalização f (0)(1 � i ) ta(1.6) Regime deffatribuamos Neste caso atribuamos ao factor logarítmico de capitalização a expressão Neste atribuamos logarítmico de capitalização a ex- a expressão caso atribuamos ao factor logarítmico de capitalização ���((t(t)tNeste ))�caso ��log( log( log( 111���atat at )).). . ao factor pressão t ) � log(1 �ao Neste caso� (atribuamos logarítmico �at()tfactor ). � log( 1 � at ) . de capitalização a expressão Regime Regimede dejuro jurosimples simples 1.3.2 Regime de juro simples � (t ) � log(1 �t t at t ). �1�1�1���atatat��������0t�00����t�t�tdt �dt �dt,,virá log log ,virá virá do odoagora agora agoralog 6 t � � � � 1 � at � � t dt o agora log , virá Sendo agora agora�log � 1 � at � � � � �t �dt , virá virá Sendo 0 0 aaa tt )t))�at ��� �a � . .�. �t �dt , virá o agora log����(1(t(t� 00 a 66 � (t ) � 111���atatat .

1 �aat � (t ) � 1 � at . � (t ) � .

1 � at A taxa central de capitalização obtém-se utilizando a expressão (1.2),

AAAtaxa taxa taxacentral central central de decapitalização capitalização capitalizaçãoobtém-se obtém-se obtém-seutilizando utilizando utilizandoaaaexpressão expressão expressão(1.2), (1.2), (1.2),vindo vindo vindo vindo de A taxa centralAdetaxa capitalização obtém-se utilizando a expressão (1.2), vindo central de capitalização obtém-se utilizando a expressão (1.2), vindo �1�1�1���atatat��� log log � 1�1�1���aa�at�t�� itictictc���log t��11�1������log log log A taxa central de capitalização obtém-se utilizando a expressão (1.2), vindo c it � log�1�1�1��1��a�a�at�ait�c� �1������log a�a���1 � at � t�1�1�1�log �at����alog ��1log ��1a��1�1t�1�at ��at 1�at t t�� log log � � � log log log cc � � � � 1 � a t � 1 � 1 � at � a �atat itt � t�at 1���� ��log 1�� 1�1��� ��atat�����log �1 � at � a � �log 1 ��1a��t�at 1�at � log log�1 ��1�a1�1��� � log �1 � at � 1 at �� at 1 ��at � �a � �1 � at � ��1��� a �taa�a1����� �1�� ����log log log log 111��� ���� log ��������1 1�11�aat � �at���� � �a1 � at at � � � log�1 � ��at � log 1 � � � 1 � at a �� � 1 � at � �� � log�1 � � � 1 � at �

Quanto Quanto Quantoàààtaxa taxa taxade de decapitalização capitalização capitalizaçãosubstitua-se substitua-se substitua-sena na naexpressão expressão expressão(1.3) (1.3) (1.3)ooovalor valor valorencontrado encontrado encontrado Quanto à taxaQuanto de capitalização substitua-se na expressão (1.3) o valor encontrado à taxa de capitalização substitua-se na expressão (1.3) o valor encontrado ccc aititi.t .Vem .Vem Vementão então então c àentão taxa cde capitalização substitua-se na expressão (1.3) o valor encontrado 17 iQuanto t . Vem para Cálculo financeiro it . Vem então a a a log( log( 1� 1� 1� ) ) ) itctc . Vem então log( 1� 1� 1at�atat

(1.6)

� log

� log

�1 � at �

� log �

�� log

�1 � at � � �1 �1at� �at �

�1 � at �

a � a � � � � log 1 � Capitalização � log�1 � � � e desconto � 1 � at � � 1 � at � Quanto à taxa de capitalização substitua-se na expressão

Capítulo I �

c

para it . Vem então Quanto à taxa de capitalização substitua-se expressão (1.3) o valor na encontrado Quanto à taxa de na capitalização substitua-se expressão Quanto à taxa de capitalização, substitua-se na expressão (1.3) o valor a log(1� )

c c para it . Vem então it � e encontrado para para it .. Vem Vem, então então,

1� at

�1

a � 1log(�1� a ) � 1 � atat it � e �1 it � e 11� �1 a a a � � (t ) � � 1� �1 � 1� �1 1 � at 1 � at 1 � at a a � � � (t ) � � � (t ) 1 � at 1 � at Verificamos assim que no regime de juro simples a taxa ins log(1�

a ) 1� at

Verificamos assim que no regime de juro simples a taxa instantânea também igual igual à taxaà de capitalização, mas mas estasestas não são cons de capitalização é também taxa de capitalização, Verificamos assim queconstantes, noVerificamos regime deno juro simples a taxa instantânea de de capitalização é não são ao contrário do acontece regime juro assim que no regime denojuro simples a taxa insta acontece regime deque juro composto. composto.

também igual à taxa de capitalização, mas estasdenão constantes, ao contrário que tambémPara igual àdeterminar taxa capitalização, estas não no sãodo consta se asão fórmula demas capitalização regime

acontece no regime dedeterminar juroacontece composto.

Para se a fórmula de capitalização no regime de juro simno regime de juro composto. ples, utilize-se de novo a expressão (1.4) substituindo it por a . de novo aseexpressão (1.4) substituindo it por . Virá entãd Para se determinar a fórmula capitalização regimededecapitalização juro simples no utilize-se Parade determinar ano fórmula regime 1 � at� � Virá então, a a a a � � � � � � �� f (t ) � f �0��1 � a �� 1 � �� 1 � �� 1 � � � ��1 � � 1 � a �� 1 � 2aa �� 1 � 3a � � 1 � (t �a1)a � Virá então, de novo a expressão (1.4) de substituindo novo (1.4) a it�por a �.�substituindo a � �it por a . �Virá então � a expressão � f (t ) � f �0��1 � a���11��2a ��1��13�a 1���1 at at�1 �� 1 � at � � 4�a�1�� � 1 �� � � f (0)�1 � a ��� 1 ��a� �� 1��� 2a �� ��1��� 3a � �� �� 1 � (t � 1)a �� � 1 � a �� 1 � 2a �� 1 � 3a � � 1 � (t � 1)a � � 1 � 2a �� 1 � 3a �� 1 � 4a � � 1 � at � �� � f (0)�1 � a �� � � �� �� �� � 1 � a �� 1 � 2a �� 1 � 3a � � 1 � (t � 1)a � Simplificando, obtém-se: Simplificando obtém-se

f (t ) � f (0)(1 � at ) Simplificando obtém-se

7

Admitindo a=iAdmitindo virá f (t ) finalmente � f (0a=i, )(1 � virá at ) finalmente (t ) �finalmente f (0)(1 � it ) Admitindo a=ifvirá

(1.7)

f (t ) � f (0)(1 � it )

(1.7)

(1.7)

1.3.3 Comparação entre o regime de juro composto e o regime de juro simples 18

1.3.3 Comparação entre o regime de juro composto e o regime de juro simples Comparemos os dois regimes de capitalização estudados na secção anterior,

t ) � f o(0regime )(1 � it ) de juro composto e o regime de juro (1.7) simples Comparaçãof (entre mposto e o regime de juro simples Capítulo I capitalização 3 Comparação entre o regimeRegimes de juro particulares composto ede o regime de juro simples Comparemos os dois regimes de capitalização estudados na secção anterior, talização estudados na secçãodeanterior, 3erando Comparação entreas o regime juro composto e ocapitalização regime de juro para o efeito correspondentes equações de parasimples o regime Comparemos os dois regimes de capitalização estudados na secção anterior, equações de capitalização para o regime oiderando composto (fc)oe efeito juro simples (fs) para as correspondentes equações de capitalização para o regime 1.3.3 os Comparação entre regime de juro composto e o regime Comparemos dois regimes de ocapitalização estudados na secção anterior, simples (fs) ro composto c) e juro de (f juro simples t correspondentes equações de capitalização para o regime siderando�cpara efeito as (t)��o(0)(1+i) Comparemos os dois regimes de capitalização estudados na secção (fs)para o efeito as correspondentes equações de uro composto c) e juro simples considerando �santerior, (t) �(f�(0)(1+it) .t �c(t)�� (0)(1+i) capitalização para o regime de juro composto (fc) e juro simples (fs)

�s(t)� �(0)(1+it) . t �c(t)�� (0)(1+i) curso de uma unidade de tempo ambos os regimes de capitalização produziram o os regimes �de o � �(0)(1+it) .produziram s(t)capitalização o capitaldeacumulado, de facto, para ambos t�1 os regimes de capitalização produziram o decurso uma unidade de tempo No decurso de uma unidade de tempo, ambos os regimes de

mo capital capitalização acumulado, deproduziram facto, para to�1mesmo capital acumulado, de facto, para decurso de uma unidade de tempo ambos os regimes de capitalização produziram o �ct(1)� = 1 �s(1)�(1+i) . mo capital acumulado, de facto, para t�1 �c(1)� �s(1)�(1+i) . valores de t�1, �c cresce exponencialmente com t, enquanto que �s cresce Para valores de t > 1, ƒc cresce exponencialmente com tt, enquanto lmente com�c(1)� t, enquanto que. �s cresce � (1)�(1+i) mente, logode �s .s�Resta-nos apenas acontece para valores ��� ƒs�cresce linearmente, logoanalisar ƒc > ƒso. que Resta-nos apenas analisar que c t� �1, com t, enquanto que �deso tcresce valores c cresce exponencialmente alisar o que acontecepara paravalores valoresde de tt��� acontece ]0, 1[. Para este efeito verifiquemos que ra este efeito verifiquemos que o quociente rmente, logo � c � �s . Resta-nos apenas analisar o que acontece para valores de t��� antevalores odequociente t�1, �c cresce exponencialmente com t, enquanto que �s cresce Para este efeito verifiquemos que o quociente (1 ��ic)�t �s . Resta-nos apenas analisar o que acontece para valores de t��� armente, logo (1 � it ) t (1 �verifiquemos i )de t é menor neste intervalo 1. De facto, sendo 0� i � 11, desenvolvendo em série Para este efeito quedoo que quociente (1 �desta it ) expressão neste intervalo de t é menor o numerador teremosdo que 1. De facto, sendo 0 < i ≤ 1(1), t (1 � i ) desenvolvendo em série o numerador desta expressão, teremos: (1 � it ) 8 t (t � 1)i 2 t (t � 1)(t � 2)i 3 1 � ti � � � ...

8 2!

3!

8 (1 � it) (1 � i ) t 8 �1 (1 � it ) e representando por S* a soma da série a partir do seu terceiro termo inclusive, é fácil observar que S* � 02, uma vez que t������. Logo 1. Não é vulgar, na prática, ter-se i ≥1.

Cálculo financeiro

19

e por conseguinte (1+i)t � (1+it) para t������. Logo para este intervalo de t, �c < �s

�c(t)��de(0)(1+i) No decurso uma unidade de tempo ambos os regimes de capitalização produziram o

(t)� �(0)(1+it) . de facto, para t�1 mesmo�scapital acumulado, neste intervalo de t é menor do que 1. De facto, sendo 0� i � 11, desenvolvendo em série Capítulo I

Capitalização e desconto

o numerador desta expressão teremos so de uma unidade ambos �c(1)�de�stempo (1)�(1+i) . os regimes de capitalização produziram o

apital acumulado, de facto, para t�1 t (t � 1)i 2 t (t � 1)(t � 2)i 3 1 � ti � � exponencialmente � . . . com t, enquanto que �s cresce Para valores de t�1, �c cresce por S* a soma da série a partir do seu terceiro termo, 2! e representando 3! �c(1)� logo �s(1)�(1+i) (1 � it)apenas inearmente, �c � �s . Resta-nos analisar o que acontece valores de tt��� inclusive, é fácil observar que S* < 0(2)para , uma vez que ]0, 1[. Logo,

(1que � i ) ot quociente ��. Para este efeito verifiquemos �1 ( 1 � it ) ores de t�1, �c cresce exponencialmente com t, enquanto que �s cresce e representando (1 �por i ) t S* a soma da série a partir do seu terceiro termo inclusive, é fácil nte, logo �c � �s . Resta-nos apenas o que acontece valores dett���]0, 1[. Logo para este e, poranalisar conseguinte, (1 + i)t para < (1+it) para (1 ��it )02, uma vez que t������. Logo observar que S* este efeito verifiquemos que ointervalo quocientede t,t ƒc < ƒs .

Graficamente, teremos, t

(1 � i ) juro composto versus regime de (1 � it ) e por conseguinte (1+i)t � (1+it)Figura para1.1: t��Regime ����. Logo para este intervalo dejuro t, �simples c < �s 8 Graficamente teremos, f(t) f(t) f(t)

Jurocomposto composto Juro Juro composto

Figura 1.1: Regime juro composto versus regime de juro simples 8 Jurosimples simples Juro Juro simples

1+i 1+i 1+i 11 1

00 0

11 1

tempo tempo tempo

Comose podeobservar observarpara paraperíodos períodosde capitalizaçãoinferiores inferioresao período Como Como sesepode pode observar para períodos dedecapitalização capitalização inferiores aoaoperíodo período tomadocomo comounidade unidadede tempo,oo oregime regimede jurosimples simplesproduz produzvalores valoresacumulados acumulados tomado tomado como unidade dedetempo, tempo, regime dedejuro juro simples produz valores acumulados

superioresaos aosdo regimede jurocomposto. composto.AAApartir partirdo momentoem emque queoo operíodo períodode superiores superiores aos dodoregime regime dedejuro juro composto. partir dodomomento momento em que período dede capitalizaçãoéé superior ésuperior superioraa unidade aunidade unidadede tempotomada tomadacomo comoreferência, referência,oo ovalor valoracumulado acumulado capitalização capitalização dedetempo tempo tomada como referência, valor acumulado regimede jurocomposto compostopassa passaaa ser aser sersuperior superiorao regimede jurosimples simples33..3. no nonoregime regime dedejuro juro composto passa superior aoaodo dodoregime regime dedejuro juro simples

2. A soma de uma série alternada cuja sucessão de termos é decrescente é sempre do sinal do primeiro termo.

20 Exemplo1.1 1.1 Exemplo Exemplo 1.1 A título ilustrativo calculemos o valor acumulado pelo capital de 10.000 euros

Regimes particulares de capitalização

Capítulo I

Como se pode observar para períodos de capitalização inferiores ao período tomado como unidade de tempo, o regime de juro simples produz valores acumulados superiores ao do regime de juro composto.

A partir do momento em que o período de capitalização é superior à unidade de tempo tomada como referência, o valor acumulado no regime de juro composto passa a ser superior ao do regime de juro simples (3).

Exemplo 1.1 A título ilustrativo, calculemos o valor acumulado pelo capital de 10000 euros durante 2 anos, 1 mês e 15 dias, à taxa anual de 4%, nos regimes de juro simples e composto.

Expressando aquele período em anos, vem: 2 anos 1 mês e 15 dias ≡ 2,124 anos.

Recorrendo às expressões (1.6) e (1.7), teremos: Juro composto: f(2,124) = 10000(1+0,04)2,124=10868,73 € Juro simples: f(2,124) = 10000(1+2,124x0,04)=10849,6 € Como podemos observar, o valor acumulado produzido pelo regime de juro composto é maior do que o do regime de juro simples, uma vez que o período de capitalização é superior a um ano. Mutatis mutandis se t fosse inferior a um ano.

Na Tabela 1.1 apresenta-se uma síntese das principais diferenças entre os regimes de capitalização simples e composto.

3. Para um maior detalhe sobre o estudo comparativo destes dois regimes de capitalização ver “Matemática Financeira”, Fernando de Jesus, Vol I, edição da UBI, 1976.

Cálculo financeiro

21

ÍNDICE SISTEMÁTICO

Índice

Índice Sistemático ÍNDICE GERAL ................................................................................ 5 NOTA PRÉVIA................................................................................. 7 CAPÍTULO I – Capitalização e desconto 1.1

Equação geral de capitalização. Valor acumulado e valor actual ....................................................................... 11

1.2

Taxa de capitalização .......................................................... 13

1.3

Regimes particulares de capitalização ................................. 16 1.3.1 Regime de juro composto .......................................... 16 1.3.2 Regime de juro simples .............................................. 17 1.3.3 Comparação entre o regime de juro composto e o regime de juro simples ......................................... 19

1.4

A operação de desconto ...................................................... 22

1.5

Taxas equivalentes............................................................... 27

1.6

Capitais simultâneos ............................................................ 33

1.7

Exercícios propostos ............................................................ 38

CAPÍTULO II – Rendas certas 2.1

Definições ........................................................................... 45

2.2

Rendas inteiras de termos constantes: valor actual e valor acumulado ............................................................... 46

2.3

Problemas com rendas......................................................... 50

2.4

Rendas inteiras de termos variáveis em progressão aritmética ............................................................................ 54

2.5

Rendas inteiras de termos variáveis em progressão geométrica........................................................................... 57 Cálculo Financeiro

323

Índice

2.6

Rendas fraccionadas ............................................................ 58

2.7

Rendas contínuas................................................................. 62

2.8

Exercícios propostos ............................................................ 63

CAPÍTULO III – Rendas incertas 3.1

Introdução ........................................................................... 71

3.2

Alguns elementos básicos de demografia actuarial .............. 73

3.3

Valor actual e valor acumulado de uma renda incerta ......... 74 3.3.1 Renda vitalícia imediata de termos normais ............... 76 3.3.2 Renda temporária imediata de termos normais........... 79 3.3.3 Renda vitalícia imediata de termos antecipados ......... 81 3.3.4 Renda temporária imediata de termos antecipados .... 82

3.4

Rendas inteiras de termos variando em progressão aritmética ............................................................................ 84 3.4.1 Renda inteira vitalícia de termos normais ................... 84 3.4.2 Renda inteira temporária de termos normais .............. 86

3.5

Rendas fraccionadas de termos constantes ........................... 89 3.5.1 Renda vitalícia, imediata de termos normais .............. 89 3.5.2 Renda temporária, imediata de termos normais.......... 92 3.5.3 Renda vitalícia, imediata de termos antecipados ........ 93 3.5.4 Renda temporária, imediata de termos antecipados ... 94

3.6

Exercícios propostos ............................................................ 96

Capítulo IV – Reembolso de empréstimos

324

4.1

Introdução ......................................................................... 101

4.2

Modalidades de reembolso de empréstimos ...................... 101

Índice

4.3

Modalidade 1: reembolso do capital de uma só vez no fim do prazo do empréstimo e um pagamento único dos juros no início do prazo do empréstimo ...................... 103

4.4

Modalidade 2: reembolso do capital e pagamento único dos juros de uma só vez no fim do prazo do empréstimo................................................................... 105

4.5

Modalidade 3: reembolso do capital de uma só vez no fim do prazo do empréstimo e pagamento dos juros escalonado ao longo do prazo do empréstimo ................... 106

4.6

Modalidade 4: reembolso do capital escalonado ao longo do prazo do empréstimo e pagamento integral dos juros no início daquele prazo ...................................... 114

4.7

Modalidade 5: reembolso do capital escalonado ao longo do prazo do empréstimo e pagamento integral dos juros no fim desse prazo.............................................. 116

4.8

Modalidade 6: reembolso do capital e pagamento dos juros escalonados ao longo do prazo do empréstimo .. 117 4.8.1 Reembolso do empréstimo através do pagamento de prestações constantes .......................................... 120 4.8.2 Reembolso do empréstimo através do pagamento de uma renda de termos variáveis com parcelas constantes de amortização de capital ....................... 126 4.8.3 Reembolso do empréstimo através do pagamento de uma renda de termos variáveis com parcelas de reembolso em progressão aritmética ................... 129 4.8.4 Reembolso do empréstimo através do pagamento prestações variáveis em progressão aritmética.......... 132

4.9

Exercícios propostos .......................................................... 137

Cálculo Financeiro

325

Índice

CAPÍTULO V – Empréstimos por obrigações 5.1

Introdução ......................................................................... 145

5.2

Conceitos fundamentais..................................................... 146

5.3

A matemática de um empréstimo por obrigações: leis gerais........................................................................... 148

5.4

Modalidades de reembolso de um empréstimo por obrigações ................................................................... 153 5.4.1 Reembolso através do pagamento de uma renda de termos constantes ................................................ 153 5.4.2 Reembolso através do pagamento de uma renda de termos variáveis com parcelas de reembolso constantes ................................................................ 164 5.4.3 Reembolso através do pagamento de uma renda de termos constantes, incluindo cada um deles um número constante de obrigações a amortizar ..... 168

5.5

Taxas associadas a um empréstimo por obrigações ............ 171 5.5.1. Taxa real de custo................................................... 172 5.5.2 Taxa real de rendimento para o comprador de uma obrigação .................................................... 174 5.5.3 Taxa real de rendimento para o conjunto dos obrigacionistas .................................................. 175 5.5.4 Taxa relativa à esperança de vida de uma obrigação .. 176 5.5.5 Taxa aparente (current current yield yield) ................................... 179

326

5.6

Valor de uma obrigação .................................................... 180

5.7

O risco das obrigações .................................................... 184

5.8

Exercícios propostos .............................................

186

Índice

CAPÍTULO VI – Análise financeira de investimentos 6.1

Introdução ......................................................................... 195

6.2

Métodos de análise da rendibilidade de um investimento .. 197 6.2.1 Critérios utilizados na análise financeira de um investimento ................................................. 200 6.2.2 O VAL e a TIR como critérios de escolha entre dois investimentos ................................................... 209 6.2.3 Comparação de projectos com períodos de vida diferentes ................................................................ 212 6.2.4 O método do investimento diferença na escolha entre dois investimentos .......................................... 216

6.3

O custo do capital ............................................................ 218 6.3.1 O custo das diversas fontes de financiamento .......... 220 6.3.2 O custo marginal do capital ..................................... 224 6.3.3 Os ‘saltos’ do custo marginal do capital ................... 227 6.3.4 A escolha entre um conjunto finito de investimentos ... 232

6.4

A análise do risco .............................................................. 236 6.4.1 O modelo de Hillier ................................................. 237 6.4.2 Discussão ................................................................ 244 6.4.3 A duração da vida económica de um equipamento ... 249

6.5

Exercícios propostos .......................................................... 252

REFERÊNCIAS Anexo A

Formulário e Tabelas Financeiras ............................. 257

Anexo B

Formulário e Tabela Actuarial .................................. 303

Anexo C

Tabela da Distribuição Normal ................................ 315

Cálculo Financeiro

327

João Veríssimo Lisboa Mário Gomes Augusto

João Veríssimo Lisboa licenciou-se em Finanças pelo ISEG (1974) e possui o PhD em Industrial Management (1988) pela Universidade de Clemson (USA), sendo actualmente docente da Faculdade de Economia da universidade de Coimbra (FEUC). Foi bolseiro da AID e Visiting Fulbright Professor. Na FEUC tem leccionado a disciplina de Cálculo Financeiro, entre outras, e exercido também diversos cargos de gestão. É investigador do Instituto de Sistemas e Robótica (Pólo de Coimbra), sendo nesta unidade responsável pelo grupo de Gestão da Produção. Tem diversos trabalhos publicados em revistas científicas, nacionais e internacionais, nomeadamente no Portuguese Journal of Management Studies, Ómega, International Journal of Production Research, European Journal of Operational Research e European Business Review, entre outras.

Cálculo Financeiro Este texto tem por objectivo apresentar a lógica do raciocínio matemático na análise das operações financeiras de curto, médio ou longo prazo. As diversas matérias abordadas no livro são tratadas com a adequada profundidade teórica exigida à leccionação destas matérias no ensino superior, sem no entanto descuidar a vertente prática, tendo em atenção a sua utilização por um público menos exigente no desenvolvimento dos aspectos teóricos da matéria. É pois um texto didáctico que cobre as matérias fundamentais da disciplina de Cálculo Financeiro, o que o torna útil para a aprendizagem ou aprofundamento de conhecimentos dos responsáveis pela gestão financeira das organizações.

Em todos os capítulos são apresentados exemplos retirados da realidade empresarial, por forma a facilitar uma melhor compreensão dos assuntos abordados.

O texto inclui ainda dois formulários de consulta rápida, um para o cálculo financeiro e outro para o cálculo actuarial, a que se juntam as correspondentes tabelas, ainda muito úteis, apesar do desenvolvimento e fácil acesso aos meios computacionais.

João Veríssimo Lisboa Mário Gomes Augusto

ISBN: 978-972-788-275-5 www.vidaeconomica.pt

9 727882 755002

Mário Gomes Augusto licenciou-se em Economia (1991) e Doutorou-se em Gestão de Empresas (2004) pela Faculdade de Economia da Universidade de Coimbra, sendo actualmente docente nesta instituição.

Lecciona no grupo de disciplinas da área financeira, tanto a nível de licenciatura como de pós-graduação, fazendo parte também, como investigador, do grupo de Gestão da Produção do Instituto de Sistemas e Robótica (Pólo de Coimbra). Tem diversos trabalhos publicados em revistas científicas, nacionais e internacionais, nomeadamente no Portuguese Journal of Management Studies, European Journal of Operational Research e Journal of Global Competitivenes, entre outras. É detentor do prémio Rogério Fernandes Ferreira, edição de 2006, pelo trabalho intitulado Política de Dividendos e Estrutura do Capital.