Matemática financeira - 2ª edição by Vida Económica

OBRAS DO MESMO AUTOR:

O conteúdo deste livro versa sobre noções elementares de Matemática Financeira nas suas vertentes teórica e prática. Apresenta-se como um manual de estudo e de suporte em aplicações profissionais, nomeadamente em aspetos relacionados com a prática bancária e seguradora.

CREDIT SCORING

A nível académico, destina-se aos estudantes dos cursos de gestão empresarial, gestão bancária e seguradora, contabilidade e auditoria, economia e métodos quantitativos de análise e gestão financeira. Como ponto de partida, exprime a razão de ser desta temática, ou seja, o valor do dinheiro ao longo do tempo e das variáveis que lhe estão associadas.

REGRESSÃO LOGÍSTICA

Por toda a extensão dos capítulos são desenvolvidas, em termos matemáticos, as fórmulas que são utilizadas na resolução de casos práticos. Desde a utilização do capital por terceiros, através de operações de empréstimo, ou pela aplicação desse capital em investimentos, apuramento de taxas e juros, cálculo e determinação de rendas, este livro contempla as matérias normalmente lecionadas nos cursos superiores desta unidade curricular, constituindo um manual de referência para estudantes e professores. ISBN 978-989-768-453-1

ISBN: 978-989-768-453-1 www.vidaeconomica.pt Visite-nos em livraria.vidaeconomica.pt

9 789897 684531

MATEMÁTICA FINANCEIRA

COMO EVITAR E RECUPERAR CRÉDITO MALPARADO

O valor do dinheiro ao longo do tempo

MATEMÁTICA FINANCEIRA

ANTÓNIO MANUEL SARMENTO BATISTA

A GESTÃO DO CRÉDITO COMO VANTAGEM COMPETITIVA

ANTÓNIO MANUEL SARMENTO BATISTA

MÁTICA ANCEIRA O valor do dinheiro ao longo do tempo

2ª edição

ANTÓNIO MANUEL SARMENTO BATISTA É Doutorado em Gestão Empresarial Aplicada pelo ISCTE-IUL, Mestre em Gestão (MBA) pelo ISEG-UTL e Auditor de Sistemas da Gestão da Qualidade pelo Instituto Superior de Ciências da Saúde-Sul. Como docente, leciona Cálculo Financeiro na Universidade Europeia | Laureate International Universities, entre outras matérias das Ciências Empresariais. O autor tem um longo percurso profissional e académico que lhe tem facultado cotejar a realidade observada no tecido empresarial com os conteúdos programáticos do Ensino Superior, conciliando-os com as atuais expectativas e necessidades da globalização laboral. Tem diversos artigos publicados, desde 1995, sobre a temática do crédito e obras que tratam o mesmo tema, nomeadamente “A Gestão do Crédito como Vantagem Competitiva”, “Como Evitar e Recuperar Crédito Malparado”, “Credit Scoring”, “Regressão Logística”, entre outros. Dedica-se à investigação científica na área do risco do crédito e desenvolve e analisa projetos de investimento em diversos setores da atividade económica.

ÍNDICE Nota de Apresentação .................................................................................................................

Prefácio à 2ª Edição .....................................................................................................................

I - Introdução ...............................................................................................................................

II - Capitalização simples ............................................................................................................ 2.1 Introdução ........................................................................................................................ 2.2 Fórmula geral da capitalização simples ........................................................................ 2.3 Cálculo do capital inicial ሺ࡯૙ ሻ .................................................................................... 2.4 Cálculo do juro ;ࡶͿ .......................................................................................................... 2.5 Cálculo do tempo (n) ..................................................................................................... 2.6 Cálculo da taxa de juro (i) ............................................................................................ 2.7 Cálculo da taxa de juro média em capitalização simples ........................................... 2.8 Equivalência de capitais no regime de capitalização simples.................................... 2.9 Fracionamento da taxa de juro...................................................................................... 2.10 Equivalência de taxas em capitalização simples ....................................................... 2.11 Ano comercial e ano civil............................................................................................. 2.12 Relação entre o juro comercial e o juro civil ............................................................. 2.13 Juros de vários capitais. Método do divisor fixo ...................................................... 2.14 Estudo analítico e representação gráfica da função capitalização simples ........... EXERCÍCIOS – Capitalização simples .............................................................................

33 35 36 37 38 39 40 41 43 46 47 49 50 52 53 55

III - Desconto simples ................................................................................................................ 3.1 Introdução ........................................................................................................................ 3.2 Juro simples ...................................................................................................................... 3.3 Desconto por dentro, desconto racional, desconto verdadeiro ou desconto matemático (Regime de juro simples) .......................................................................... 3.4 Desconto por fora ou desconto bancário (regime de juro simples)........................ 3.5 Comparação entre o desconto por fora e o desconto por dentro .......................... 3.6 Relação entre o desconto por fora e o desconto por dentro....................................

73 75 76

76 78 81 82

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3.7 Estudo analítico e representação gráfica das funções desconto por fora e desconto por dentro (juro simples) ............................................................................................... 3.8 Equivalência de taxas na negociação de efeitos comerciais ...................................... 3.9 Desconto de vários capitais. Método do divisor fixo ................................................ 3.10 Vencimento comum e vencimento médio ................................................................ 3.11 Produto líquido na negociação de efeitos comerciais. Desconto de letras .......... 3.12 Desconto forfait .............................................................................................................. 3.13 Cálculo do forfait ............................................................................................................ EXERCÍCIOS – Desconto simples ...................................................................................

85 88 90 93 100 104 105 109

IV – Capitalização composta...................................................................................................... 4.1 Introdução ........................................................................................................................ 4.2 Fórmula geral da capitalização composta.................................................................... 4.3 Cálculo do capital inicial ሺ࡯૙ ሻ ..................................................................................... 4.4 Cálculo do tempo ሺ࢔ሻ .................................................................................................. 4.5 Cálculo da taxa de juro ሺ࢏ሻ .......................................................................................... 4.6 Cálculo do juro composto (J)........................................................................................ 4.7 Cálculo .............................................................................................................................. 4.8 Equivalência de capitais em capitalização composta ................................................. 4.9 Capitalização composta para períodos......................................................................... 4.10 Convenção exponencial e linear ................................................................................. 4.11 Interpolação linear e convenção linear ...................................................................... 4.12 Estudo analítico e representação gráfica da função de capitalização composta . 4.13 Interpolação direta e inversa ....................................................................................... 4.14 Comparação entre capitalização simples e capitalização composta ...................... 4.15 Fracionamento da taxa de juro.................................................................................... 4.16 Equivalência de taxas em capitalização composta ................................................... 4.17 Taxa equivalente e taxa proporcional. Conclusões .................................................. 4.18 Taxa nominal ࢘ሺ࢑ሻ ....................................................................................................... EXERCÍCIOS - Capitalização composta ..........................................................................

129 131 131 133 134 136 137 138 139 142 144 145 146 148 152 153 154 156 157 164

V - Desconto composto.............................................................................................................. 5.1 Introdução ........................................................................................................................ 5.2 Desconto por dentro, desconto racional ou desconto matemático (Regime de juro composto) ........................................................................................................... 5.3 Desconto por fora ou desconto comercial (Regime de juro composto) ................ 5.4 Comparação entre o desconto por fora e o desconto por dentro (Regime de juro composto) ........................................................................................................... 5.5 Estudo analítico e representação gráfica comparada das funções de desconto por fora ሺࡰࢌ ሻ e o desconto por dentro ሺࡰࢊ ሻ ..................................................... 5.5.1 Desconto por fora .................................................................................................

185 187

188 189 191 193 193

ÍNDICE

5.5.2 Desconto por dentro ............................................................................................ 194 5.6 Equivalência entre taxa de juro de negociação o ሺ࢏ሻ e taxa de juro efetiva ሺ࢏ࢋ ሻ . 195 EXERCÍCIOS ....................................................................................................................... 199 VI - Rendas ................................................................................................................................... 6.1 Conceito de renda ........................................................................................................... 6.2 Classificação das rendas ................................................................................................. 6.3 Considerações gerais ....................................................................................................... 6.4 Rendas constantes ........................................................................................................... 6.4.1 Rendas constantes inteiras.................................................................................... 6.4.1.1 Inteiras temporárias ..................................................................................... 6.4.1.1.1 Imediata postecipada ................................................................................ 6.4.1.1.1 A - Valor atual .......................................................................................... 6.4.1.1.1 B – Valor final .......................................................................................... 6.4.1.1.2 Imediata antecipada .................................................................................. 6.4.1.1.2 A – Valor atual ......................................................................................... 6.4.1.1.2 B – Valor final ........................................................................................... 6.4.1.1.3 Diferida postecipada................................................................................. 6.4.1.1.3 A – Valor atual........................................................................................... 6.4.1.1.3 B – Valor final .......................................................................................... 6.4.1.1.4 Diferida antecipada ................................................................................... 6.4.1.1.4 A – Valor atual ......................................................................................... 6.4.1.1.4 B – Valor final .......................................................................................... 6.4.1.2 Inteiras perpétuas ......................................................................................... 6.4.1.2.1 Imediata postecipada ................................................................................ 6.4.1.2.1 A – Valor atual........................................................................................... 6.4.1.2.2 Imediata antecipada .................................................................................. 6.4.1.2.2 A – Valor atual........................................................................................... 6.4.1.2.3 Diferida postecipada................................................................................. 6.4.1.2.3 A – Valor atual........................................................................................... 6.4.1.2.4 Diferida antecipada.................................................................................. 6.4.1.2.4 A – Valor atual ......................................................................................... 6.4.2 Rendas constantes fracionadas ............................................................................ 6.4.2.1 Fracionadas temporárias ............................................................................. 6.4.2.1.1 Imediata postecipada ................................................................................ 6.4.2.1.1 A1 – Valor atual em função da taxa de juro (ik) ................................. 6.4.2.1.1 A2 – Valor atual em função da taxa de juro (i) ................................... 6.4.2.1.1 B1 – Valor final em função da taxa de juro (ik) .................................. 6.4.2.1.1 B2 - Valor final em função da taxa de juro (i) ..................................... 6.4.2.1.2 Imediata antecipada ..................................................................................

203 209 209 212 213 214 214 214 214 229 239 239 243 244 245 247 249 249 250 254 254 254 255 255 256 256 257 257 258 258 258 260 261 264 266 267

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6.4.2.1.2 A1 – Valor atual em função da taxa de juro (ik) ................................. 6.4.2.1.2 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 6.4.2.1.2 B1 - Valor final em função da taxa de juro (ik) ................................... 6.4.2.1.2 B2 - Valor final em função da taxa de juro ........................................... 6.4.2.1.3 Diferida postecipada................................................................................. 6.4.2.1.3 A1 – Valor atual em função da taxa de juro (ik) ................................ 6.4.2.1.3 A2 – Valor atual em função da taxa de juro (i) ................................... 6.4.2.1.3 B1 – Valor final em função da taxa de juro (ik) ................................. 6.4.2.1.3 B2 – Valor final em função da taxa de juro (i) .................................... 6.4.2.1.4 Diferida antecipada ................................................................................... 6.4.2.1.4 A1 – Valor atual em função da taxa de juro (ik) ................................ 6.4.2.1.4 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 6.4.2.1.4 B1– Valor final em função da taxa de juro (ik).................................... 6.4.2.1.4 B2– Valor final em função da taxa de juro (ik).................................... 6.4.2.2 Fracionada perpétua .................................................................................... 6.4.2.2.1 Imediata postecipada ................................................................................ 6.4.2.2.1 A1 - Valor atual em função da taxa de juro (ik) .................................. 6.4.2.2.1 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 6.4.2.2.2 Imediata antecipada .................................................................................. 6.4.2.2.2 A1 - Valor atual em função da taxa de juro (ik) .................................. 6.4.2.2.2 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 6.4.2.2.3 Diferida postecipada................................................................................. 6.4.2.2.3 A1 - Valor atual em função da taxa de juro (ik) .................................. 6.4.2.2.3 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 6.4.2.2.4 Diferida antecipada ................................................................................... 6.4.2.2.4 A1- Valor atual em função da taxa de juro (ik) ................................... 6.4.2.2.4 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 6.4.3 Rendas constantes com periodicidade superior a 1 ano .................................. 6.4.3.1 Rendas temporárias...................................................................................... 6.4.3.1.1 Imediata postecipada ................................................................................ 6.4.3.1.1 A1- Valor atual em função da taxa de juro (ik) ................................... 6.4.3.1.1 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 6.4.3.1.1 B1– Valor final em função da taxa de juro (ik).................................... 6.4.3.1.1 B2– Valor final em função da taxa de juro (ik).................................... 6.4.3.1.2 Imediata antecipada .................................................................................. 6.4.3.1.2 A1 - Valor atual em função da taxa de juro (i (h)) .............................. 6.4.3.1.2 A2 - Valor atual em função da taxa de juro (i) .................................... 6.4.3.1.2 B1- Valor final em função da taxa de juro (i (h)) ................................ 6.4.3.1.2 B2 - Valor final em função da taxa de juro (i) .....................................

268 269 270 271 274 274 275 277 278 280 280 282 283 285 287 287 287 287 288 288 288 289 289 289 290 290 290 290 291 291 291 293 294 295 295 295 296 296 297

ÍNDICE

6.4.3.1.3 Diferida postecipada................................................................................. 6.4.3.1.3 A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h)) ................................. 6.4.3.1.3 A2 Valor atual em função da taxa de juro (i) ...................................... 6.4.3.1.3 B1 Valor final em função da taxa de juro (i (h)) .................................. 6.4.3.1.3 B2 Valor final em função da taxa de juro (i) ....................................... 6.4.3.1.4 Diferida antecipada .................................................................................. 6.4.3.1.4 A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h)) ................................. 6.4.3.1.4 A2 Valor atual em função da taxa de juro (i)....................................... 6.4.3.1.4 B1 Valor final em função da taxa de juro (i (h)) .................................. 6.4.3.1.4 B2 Valor final em função da taxa de juro (i) ....................................... 6.4.3.2 Rendas perpétuas ......................................................................................... 6.4.3.2.1 Imediata postecipada ................................................................................ 6.4.3.2.1 A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h)) ................................. 6.4.3.2.1 A2 Valor atual em função da taxa de juro (i)....................................... 6.4.3.2.2 Imediata antecipada .................................................................................. 6.4.3.2.2 A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h)) ................................. 6.4.3.2.2 A2 Valor atual em função da taxa de juro (i)....................................... 6.4.3.2.3 Diferida postecipada................................................................................. 6.4.3.2.3 A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h)) ................................. 6.4.3.2.3 A2 Valor atual em função da taxa de juro (i)....................................... 6.4.3.2.4 Diferida antecipada ................................................................................... 6.4.3.2.4 A1 Valor atual em função da taxa de juro (i (h)) ................................. 6.4.3.2.4 A2 Valor atual em função da taxa de juro (i)....................................... 6.5 Rendas anuais variáveis................................................................................................... 6.5.1 Renda anual variável em progressão aritmética ................................................ 6.5.1.1 Temporárias .................................................................................................. 6.5.1.1.1 Imediata postecipada ................................................................................ 6.5.1.1.1 A – Valor atual........................................................................................... 6.5.1.1.1 B – Valor final ........................................................................................... 6.5.1.1.2 Imediata antecipada .................................................................................. 6.5.1.1.2 A - Valor atual ........................................................................................... 6.5.1.1.2 B - Valor final ............................................................................................ 6.5.1.1.3 Diferida postecipada................................................................................. 6.5.1.1.3 A - Valor atual ........................................................................................... 6.5.1.1.3 B – Valor final ........................................................................................... 6.5.1.1.4 Diferida antecipada ................................................................................... 6.5.1.1.4 A – Valor atual........................................................................................... 6.5.1.1.4 B – Valor final ........................................................................................... 6.5.1.2 Perpétuas ...................................................................................................... 6.5.1.2.1 Imediata postecipada ................................................................................

297 297 298 298 299 300 300 300 301 302 302 302 302 303 304 304 304 305 305 305 306 306 306 307 307 307 307 307 311 314 314 315 316 316 316 317 317 318 319 319

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6.5.1.2.1 A – Valor atual........................................................................................... 6.5.1.2.2 Imediata antecipada .................................................................................. 6.5.1.2.2 A – Valor atual........................................................................................... 6.5.1.2.3 Diferida postecipada................................................................................. 6.5.1.2.3 A – Valor atual........................................................................................... 6.5.1.2.4 Diferida antecipada ................................................................................... 6.5.1.2.4 A – Valor atual........................................................................................... 6.5.2 Renda anual variável em progressão geométrica ..................................................... 6.5.2.1 Temporárias .................................................................................................. 6.5.2.1.1 Imediata postecipada ................................................................................ 6.5.2.1.1 A – Valor atual........................................................................................... 6.5.2.1.1 B – Valor final ........................................................................................... 6.5.2.1.2 Imediata antecipada .................................................................................. 6.5.2.1.2 A - Valor atual ........................................................................................... 6.5.2.1.2 B - Valor final ............................................................................................ 6.5.2.1.3 Diferida postecipada................................................................................. 6.5.2.1.3 A - Valor atual ........................................................................................... 6.5.2.1.3 B – Valor final ........................................................................................... 6.5.2.1.4 Diferida antecipada ................................................................................... 6.5.2.1.4 A – Valor atual........................................................................................... 6.5.2.1.4 B – Valor final ........................................................................................... 6.5.2.2 Perpétuas ...................................................................................................... 6.5.2.2.1 Imediata postecipada ................................................................................ 6.5.2.2.1 A – Valor atual........................................................................................... 6.5.2.2.2 Imediata antecipada ........................................................................................ 6.5.2.2.2 A – Valor atual........................................................................................... 6.5.2.2.3 Diferida postecipada................................................................................. 6.5.2.2.3 A – Valor atual........................................................................................... 6.5.2.2.4 Diferida antecipada ................................................................................... 6.5.2.2.4 A – Valor atual........................................................................................... EXERCÍCIOS - Rendas .......................................................................................................

319 321 321 321 321 321 321 322 322 322 322 326 327 327 327 328 328 328 329 329 329 333 333 333 335 335 336 336 337 337 349

VII - Amortização de empréstimos .......................................................................................... Introdução .............................................................................................................................. 7.1 Amortização integral de capital no fim do período ................................................... 7.1.1 Amortização integral de capital e juros no fim do período ............................ 7.1.2 Amortização integral de capital no fim do período com pagamento periódico de juros ..................................................................................................... 7.2 Amortização antecipada do capital e juros, em um determinado momento h...... 7.2.1 Amortização antecipada e integral de capital e juros em um determinado momento h.........................................................................................

405 409 411 411

412 414 414

ÍNDICE

7.2.1.1 Quando a taxa de juro do mercado é igual ou superior à taxa do empréstimo (i' ≥ i) ............................................................................................ 7.2.1.2 Quando a taxa de juro do mercado é inferior à taxa do empréstimo (i' < i) ............................................................................................ 7.2.2 Amortização antecipada e parcial de capital e juros em um determinado momento h ................................................................................................................ 7.2.2.1 Quando a taxa de juro do mercado é igual ou superior à taxa de juro do empréstimo (i' ≥ i)............................................................................... 7.2.2.2 Quando a taxa de juro do mercado é inferior à taxa de juro do empréstimo (i' < i) ............................................................................................ 7.3 Amortização antecipada do capital com pagamento periódico de juros ................ 7.3.1 Amortização total .................................................................................................. 7.3.1.1 Quando a taxa de juro do mercado é igual ou superior à taxa de juro do empréstimo (i' ≥ i)............................................................................... 7.3.1.2 Quando a taxa de juro do mercado é inferior à taxa de juro do empréstimo (i' < i) ............................................................................................ 7.3.2 Amortização parcial .............................................................................................. 7.3.2.1 Quando a taxa de juro do mercado é igual ou superior à taxa de juro do empréstimo (i' ≥ i)............................................................................... 7.3.2.2 Quando a taxa de juro do mercado é inferior à taxa de juro do empréstimo (i' < i) ............................................................................................ 7.4 Amortização mediante uma renda................................................................................ 7.4.1 Sistema francês ou de amortização progressiva ................................................ 7.4.1.1 Tabela de amortização de um empréstimo ............................................. 7.4.1.2 Cálculo da h-esima linha da tabela de amortização ................................ 7.4.1.3 Amortização de um empréstimo mediante uma renda anual, constante e diferida em p anos e postecipada ...................................................... 7.4.1.4 Amortização de um empréstimo mediante uma renda constante fracionada ................................................................................................ 7.4.2 Amortização de empréstimos mediante quotas de amortização constantes 7.4.2.1 Cálculo dos elementos da tabela de amortização .................................... 7.4.3 Amortização de empréstimos com juros antecipados (Sistema alemão) ...... 7.4.3.1 Cálculo dos elementos da tabela de amortização .................................... 7.4.4 Fundo de amortização (Sistema americano) ..................................................... 7.4.4.1 Cálculo dos elementos da tabela de reconstrução .................................. 7.5 Usufruto de um empréstimo , propriedade plena, nua propriedade e domínio direto ................................................................................................................................. 7.5.1 Algumas definições genéricas em termos não financeiros .............................. 7.5.2 Reserva matemática, valor ou plena propriedade de um empréstimo...........

414 415 416 416 419 422 422 422 422 423 423 423 429 430 431 434 439 443 446 447 450 453 462 464 467 467 469

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7.5.3 Cálculo da nua propriedade (NPh) ..................................................................... 7.5.3.1 Cálculo da nua propriedade pelo sistema francês ................................... 7.5.3.2 Cálculo da nua propriedade mediante quotas de amortização constantes .................................................................................................................. 7.5.3.3 Cálculo da nua propriedade pelo sistema alemão ................................... 7.5.4 Cálculo do usufruto (Uh) .................................................................................... 7.5.4.1 Cálculo do usufruto pelo sistema francês ................................................ 7.5.4.2 Cálculo do usufruto mediante quotas de amortização constantes ....... 7.5.4.3 Cálculo do usufruto pelo sistema alemão ................................................ EXERCÍCIOS – Amortização de empréstimos............................................................... VIII - Empréstimos por obrigações.......................................................................................... 8.1 Introdução ........................................................................................................................ 8.2 Amortização de um empréstimo obrigacionista mediante uma renda anual constante........................................................................................................................... 8.2.1 Cálculo dos elementos da tabela de amortização de um empréstimo obrigacionista que se amortiza mediante uma renda anual constante .............. 8.2.2 Cálculo da h-esima linha da tabela de amortização de um empréstimo por obrigações ........................................................................................................... 8.3 Amortização de um empréstimo por obrigações com prémio de reembolso constante.................................................................................................. 8.4 Empréstimo obrigacionista amortizável ao par com prémio anual de lote constante........................................................................................................................... 8.5 Empréstimo obrigacionista amortizável com prémio de reembolso e lote anual constante ................................................................................................................ 8.6 Empréstimo obrigacionista amortizável ao par mediante quotas de amortização constantes .............................................................................................

471 471 473 475 476 476 476 477 481 491 493 496 497 501 507 513 518 520

IX - Taxa de juro efetiva de um empréstimo ........................................................................... 525 9.1 Introdução ........................................................................................................................ 527 9.2 Taxa efetiva de rendimento de um empréstimo ......................................................... 527 9.2.1 Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital e pagamento de juros ao fim de n anos ....................................................................................... 528 9.2.2 Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital com pagamento periódico de juros ....................................................................... 533 9.3 Taxa efetiva do custo de um empréstimo .................................................................... 536 9.3.1 Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital e pagamento de juros ao fim de n anos ....................................................................................... 536 9.3.2 Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital com pagamento periódico de juros ....................................................................... 539

ÍNDICE

9.4 Cálculo do custo efetivo de empréstimos nas operações bancárias mais comuns 9.4.1 Empréstimo amortizado com reembolso único de capital e pagamento antecipado de juros................................................................................................... 9.4.2 Empréstimo amortizado mediante reembolso único de capital e pagamento periódico de juros ............................................................................. 9.4.3 Empréstimo amortizado mediante pagamentos periódicos constantes ...... 9.4.4 Empréstimo amortizado mediante quotas de amortização constantes.........

541 541 544 548 552

Tabelas

..................................................................................................................................... 557

Anexos

..................................................................................................................................... 577

Bibliografia .................................................................................................................................... 585

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1 - Representação esquemática do fator de capitalização ሺͳ ൅ ݊݅ሻ aplicado ao capital inicial ሺ‫ܥ‬଴ ሻ , em regime de juro simples ............................... Figura 2 – Vários capitais ‫ ܥ‬ ଴ aplicados a diferentes taxas de juro ......................................... Figura 3 – Vários capitais ‫ ܥ‬ ଴ aplicados à mesma taxa de juro ............................................... Figura 4 – Atualização dos capitais ࡯૚ e ࡯૛ à taxa de juro anual simples ࢏ ........................ Figura 5 - No momento ࢔ o capital ࡯૚ sendo capitalizado e o capital ࡯૛ sendo atualizado ambos à mesma taxa de juro ሺ࢏ሻ, se apresentarem valores iguais, dizem-se equivalentes ............................................................................................... Figura 6 - No momento ࢔ os capitais ࡯૚ e ࡯૛ capitalizados à mesma taxa de juro ሺ࢏ሻ͕, se apresentarem valores iguais, dizem-se equivalentes ........................................ Figura 7 – Representação esquemática do fator de capitalização de um capital em regime de juro simples .......................................................................................................... Figura 8 - Representação esquemática do fator de atualização de um capital, em regime de juro simples .......................................................................................................... Figura 9 - Representação esquemática do desconto por dentro (racional) de um capital, em regime de juro simples....................................................................................... Figura 10 - Representação esquemática do desconto por fora dado pela diferença entre ܸ௡ e ܸ௔ .............................................................................................................. Figura 11 - Representação esquemática do desconto por fora ............................................. Figura 12 - Desconto por fora dado pela capitalização do desconto por dentro pelo fator de capitalização simples........................................................................ Figura 13 - O desconto por dentro é igual ao produto do desconto por fora pelo fator de atualização simples ............................................................................................. Figura 14 - Representação esquemática do efeito da aplicação da taxa de juro efetiva ao valor atual de um efeito comercial .................................................................... Figura 15 - Valores nominais das letras cujos vencimentos são: ݀ଵ ǡ ݀ଶ ǡ ǥ ǡ ݀௝ respetivamente .. Figura 16 - Conjunto de vários capitais referentes a várias letras para as quais se pretende substituir por uma única letra ............................................................ Figura 17 - Letra única que substitui o conjunto anterior .....................................................

36 41 41 43

44 44 75 76 77 80 80 82 83 88 93 94 95

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Figura 18 - Conjunto de vários capitais referentes a várias letras para as quais se pretende substituir por uma única letra ............................................................ Figura 19 - Letra única que substitui o conjunto anterior (Fig. 16)...................................... Figura 20 - Representação esquemática do efeito do fator de capitalização em regime de juro composto ...................................................................................................... ϲ͘ϰ͘ϭ ZĞŶĚĂƐ ĐŽŶƐƚĂŶƚĞƐ ŝŶƚĞŝƌĂƐ Figura 21 - Representação esquemática da atualização de um capital ‫ܥ‬௡ através do factor de atualização ሺͳ ൅ ݅ሻି௡ ............................................................................ ϲ͘ϰ͘ϭ͘ϭ /ŶƚĞŝƌĂƐ ƚĞŵƉŽƌĄƌŝĂƐ Figura 22 - Vários capitais aplicados a diferentes taxas de juro ݅௛ ͕ em regime de juro composto ...................................................................................................... Figura 23 - Vários capitais aplicados à mesma taxa de juro i , em regime de juro composto... Figura 24 - Representação esquemática da equivalência de capitais em dois momentos diferentes, no momento n ...................................................................................... Figura 25 - Capitais equivalentes no momento n.................................................................... Figura 26 - Capitais equivalentes no momento n.................................................................... Figura 27- Representação esquemática da capitalização, em regime de juro composto ... Figura 28 - Representação esquemática do desconto, em regime de juro composto ........ Figura 29 - Representação esquemática do desconto por dentro ou desconto racional... Figura 30 - Representação esquemática do desconto comercial, em regime de juro composto ................................................................................................................... Figura 31 - Representação esquemática da capitalização do valor atual de um efeito comercial ......................................................................................................... Figura 32 – Representação esquemática de rendas segundo o vencimento do primeiro pagamento ................................................................................................................ Figura 33 – Representação esquemática do valor atual de uma renda representada pelo somatório de todos os seus termos atualizados no momento zero ......... Figura 34 – Representação esquemática do valor final de uma renda representada pelo somatório de todos os seus termos capitalizados no momento n ........ Figura 35 – Representação esquemática do valor atual ;ࢂࢇ ሻ de um conjunto de capitais que constituem uma renda imediata anual constante e de termos postecipados Figura 36 – Representação esquemática da transferência simultânea de todos os termos da renda para o momento zero, através do fator ࢇ࢔‫ ͘ ࢏ۀ‬...................................... Figura 37 – Representação esquemática do termo não inteiro no momento.................... Figura 38 - Representação esquemática da atualização e capitalização de um capital ࢻᇱ no momento ࢔ ൅ ࢎ em regime de juro simples, para o momento n e para o momento ࢔ ൅ ૚ respetivamente................................................................ Figura 39 – Representação esquemática do valor final ൫ࢂࢌ ൯ de um conjunto de capitais que constituem uma renda imediata anual constante e de termos postecipados Figura 40 – Representação esquemática da transferência simultânea de todos os termos da renda para o momento n, através do fator de capitalização ࡿ࢔‫ ͘ ࢏ۀ‬...............

96 96 132 134 138 138 140 140 141 187 188 189 191 196 212 213 213 214 216 224

226 229 231

ÍNDICE FIGURAS

Figura 41 - Fator de capitalização de uma renda à taxa de juro composto i pelo tempo n, obtendo-se o fator de capitalização ࡿ࢔‫ ࢏ۀ‬.............................................. Figura 42 - Fator de atualização de uma renda à taxa de juro composto i pelo tempo n, obtendo-se o fator atualização ࢇ࢔‫ ࢏ۀ‬....................................................... Figura 43 - Diagrama cronológico de um conjunto de n capitais, cujo primeiro vencimento tem lugar no momento zero ............................................................. Figura 44 - Representação esquemática da transferência dos termos de uma renda constante, inteira imediata de n termos antecipados para o momento zero ... Figura 45 – Representação esquemática da renda diferida postecipada .............................. Figura 46 – Representação esquemática do valor da renda no momento “p” ................... Figura 47 – Representação esquemática da transferência do valor da renda do momento “p” para o momento zero. Convencionou-se utilizar para as rendas diferidas o símbolo ͨ Ɖͮͩ que antecede o símbolo do valor atual ;Ɖͮࢂࢇ Ϳ ......................... Figura 48 – Representação esquemática de uma renda diferida com termos antecipados, com diferimento de p períodos............................................................................ Figura 49 – Representação esquemática do valor final de uma renda diferida, com termos antecipados ........................................................................................ Figura 50 – Representação esquemática de uma renda perpétua de termos antecipados Figura 51 - Renda diferida postecipada de termos infinitos .................................................. Figura 52 - Renda diferida antecipada de termos infinitos .................................................... Figura 53 – Renda fracionada temporária imediata e postecipada ....................................... Figura 54 – Renda fracionada temporária imediata e antecipada ......................................... Figura 55 – Ilustração do valor atual da renda antecipada se lhe tivesse sido aplicado ࢂࢇ ൌ ࢻǤ ࢇ࢔࢑‫ ࢑࢏ۀ‬............................................................................................................ Figura 56 – Ilustração da capitalização de ܸିଵ para o momento zero ................................. Figura 57 – Representação esquemática de uma renda fracionada diferida postecipada.. Figura 58 - Representação esquemática de uma renda fracionada diferida postecipada, em função da taxa de juro anual i .......................................................................... Figura 59 – Representação esquemática de uma renda fracionada diferida antecipada .... Figura 60 - Representação esquemática da renda constante com periodicidade superior ao ano (h > 1) ......................................................................................................... Figura 61 - Representação esquemática de uma renda em progressão aritmética de razão ρ Figura 62 - Decomposição de uma renda de em progressão aritmética de razão ρ .......... Figura 63 - Diagrama cronológico de uma renda anual perpétua variável em progressão aritmética................................................................................................................... Figura 64 - Diagrama cronológico de uma renda anual variável em progressão geométrica.... Figura 65 - Cancelamento antecipado total ሾሺ࢏ሻᇱ ൏ ሺ࢏ሻሿ de um empréstimo amortizável com reembolso único de capital e pagamento periódico de juros .................... Figura 66 - Amortização antecipada para ሾሺ࢏ሻᇱ ൏ ሺ࢏ሻሿ de um empréstimo amortizável com reembolso único de capital e pagamento periódico de juros ....................

238 238 239 240 245 246

246 249 250 255 256 257 258 267 268 268 274 275 280 291 307 308 319 322 423 424

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Figura 67 - O valor de ࡼࢎ capitalizado à taxa de juro de mercado ࢏ᇱ por ሺ࢔ െ ࢎሻ períodos .. 425 Figura 68 - Os juros anuais e que agora serão ࡿࢎ Ǥ ࢏ valorizados ao momento n à taxa de juro do mercado ࢏ᇱ ............................................................................................. 425 Figura 69 - O saldo ࡿࢎ que fica pendente de amortização.................................................... 425 Figura 70 - Amortização de um empréstimo mediante uma renda, cujos termos são iguais 430 Figura 71 - Representação esquemática da amortização progressiva de um empréstimo pelo sistema francês: 431 Figura 72 - Representação esquemática da amortização de um empréstimo, mediante uma renda anual constante diferida p anos e postecipada, em que durante os anos de diferimento pagam-se apenas os juros............................................... 440 Figura 73 - Amortização de um empréstimo mediante uma renda anual constante diferida p anos e postecipada em que durante os anos que perdura o diferimento não se pagam juros ................................................................................................... 440 Figura 74 - Amortização de um empréstimo mediante uma renda constante fracionada 443 Figura 75 - Atualização de uma renda de termos k-esimais .................................................... 444 Figura 76 - Representação esquemática da amortização mediante quotas de amortização constantes .................................................................................................................. 446 Figura 77 - Representação esquemática de amortização de empréstimos com juros antecipados (Sistema alemão) ................................................................................. 451 Figura 78 - Valor no momento h de todas as quotas de reconstrução destinadas ao fundo e valoradas à taxa de juro ሺ࢏ᇱ ሻ ................................................................................ 465 Figura 79 - Representação esquemática de plena propriedade ou reserva matemática, e nua propriedade ..................................................................................................... 468 Figura 80 - Representação esquemática do valor de um empréstimo, no momento h ..... 469 Figura 81 - Representação esquemática de um empréstimo amortizável por quotas constantes ................................................................................................................. 474 Figura 82 - Representação cronológica da determinação da nua-propriedade de um empréstimo amortizável por quotas constantes .................................................. 474 Figura 83 - Representação cronológica do cálculo da nua propriedade pelo sistema alemão......................................................................................................................... 475

ÍNDICE DE GRÁFICOS Gráfico 1 - Representação gráfica da função monótona crescente, ilustrativa da capitalização, em regime de juro simples ......................................................... Gráfico 2 - O desconto por dentro ‫ܦ‬ௗ por muito grande que seja n nunca atingirá o valor nominal, o que prova a racionalidade deste desconto ........................... Gráfico 3 - Representação gráfica da função de capitalização composta............................ Gráfico 4 - Função ሺ૚ ൅ ࢏ሻ࢔ ........................................................................................................ Gráfico 5 - Representação gráfica conjunta da capitalização simples e composta ............ Gráfico 6 - Representação gráfica das funções do ‫ܦ‬௙ e do ‫ܦ‬ௗ em regime de juro composto ...................................................................................................................

54 87 132 148 153 195

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 1 - Períodos de tempo e respetivos k-esimos ............................................................ Tabela 2 - Ilustração do cálculo de juro simples utilizando o divisor fixo (D) e Números Tabela 3 – Ilustração do cálculo do desconto por fora utilizando o divisor fixo ሺ‫ܦ‬ሻ e Números ሺܰ௛ ሻ ............................................................................................................ Tabela 4 - Dedução da fórmula de capitalização composta ࡯࢔ ൌ ࡯૙ ሺ૚ ൅ ࢏ሻ࢔ .......................... Tabela 5 - Comparação entre capitalização simples e capitalização composta................... Tabela 6 - Fracionamento da taxa de juro ................................................................................ Tabela 7 - Dedução da expressão analítica do valor atual ou valor efetivo de um efeito comercial .................................................................................................................... Tabela 8 – Classificação das rendas ........................................................................................... Tabela 9 – Soma dos termos da progressão geométrica decrescente .................................. Tabela 10 – Soma dos termos da progressão geométrica crescente .................................... Tabela 11 - Fórmula resolvente da soma dos termos de uma progressão geométrica decrescente ...........................................................................................

48 53 92 131 152 154 190 210 215 230 452

NOTA DE APRESENTAÇÃO O conteúdo deste livro versa sobre noções elementares de Matemática Financeira nas suas vertentes teórica e prática. Apresenta-se como um manual de estudo e de suporte para aplicações profissionais, nomeadamente em aspetos relacionados com a prática bancária e seguradora. A nível académico, destina-se aos estudantes dos cursos de gestão empresarial, gestão bancária e seguradora, contabilidade e auditoria, economia e de métodos quantitativos de análise e gestão financeira. Este livro resultou do meu trabalho de docente, que teve como suporte um conjunto alargado de fontes bibliográficas que versam esta temática, e do inestimável contributo dos meus alunos. Estes, através de questões e dúvidas sobre o desenvolvimento de certas matérias, ensinaram-me a expor os mesmos temas através de abordagens mais simples e compreensíveis, sem abandonar o rigor técnico e científico dos seus conteúdos. Uma das dificuldades mais evidenciadas, atualmente, pelos estudantes incide sobre o desenvolvimento matemático e das suas transições no prosseguimento do método dedutivo, que me conduziu a apresentar todas as passagens, mesmo aquelas que parecem demasiado evidentes, que por certo serão para alguns, mas não serão para todos. Com a publicação do Decreto-Lei 64/2006, de 21 de março, que regula o acesso ao ensino superior por maiores de 23 anos, novos desafios foram colocados aos professores no ensino ministrado a estudantes, os quais já não têm muito presentes estas matérias. Esta constatação tem constituído algumas barreiras à aprendizagem e assimilação das noções básicas da matemática, dentro dos calendários dos períodos letivos, destinados à unidade curricular de Cálculo Financeiro.

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Este livro tenta mitigar algumas dessas dificuldades, apresentando através de figuras, gráficos e tabelas os suportes das explicações teóricas que lhes permitem uma aprendizagem mais célere. Como ponto de partida, apresenta-se o alcance que exprime a razão de ser desta temática, ou seja, o valor do dinheiro ao longo do tempo e das variáveis que lhe estão associadas. O Capítulo I trata a utilização do capital por terceiros, através de operações de empréstimo, ou pela aplicação desse capital em investimentos, e terá sempre como objetivo uma recompensa. A quantia que recompensa a aplicação ou a utilização do capital por terceiros designa-se por juro. Este, produzido pela aplicação de certas regras financeiras, gerará um novo capital e cujo processo se designa por capitalização. O Capítulo II trata a capitalização simples, deduzindo-se a sua fórmula geral e através dela a possibilidade de cálculo do capital inicial, do juro, do tempo e da taxa de juro. O Capítulo III versa sobre o conceito oposto ao da capitalização ou desconto, matéria muito utilizada nas práticas bancárias no desconto de letras. Aqui introduzem-se os conceitos de desconto por fora, desconto bancário ou desconto comercial e o desconto por dentro, ou desconto racional. O Capítulo IV regressa à capitalização, mas desta vez à capitalização composta, caracterizada por acumular ao capital principal os juros, produzindo juros cada vez maiores, nos sucessivos períodos de tempo. O Capítulo V introduz o desconto composto, que, sendo o oposto à capitalização composta, traduz a transferência de um capital de um momento a outro anterior, utilizando a taxa de juro composto, no seu processo de atualização desse capital. O Capítulo VI estuda as rendas que constituem um conjunto de capitais financeiros cujos vencimentos são equidistantes, isto é, que se vencem com a mesma perio ĂƉşƚƵůŽ s/ dicidade. Aqui, classificam-se as rendas segundo a sua natureza, periodicidade, vencimento do primeiro pagamento, número de termos e ainda segundo o seu regime de capitalização. Neste capítulo, utilizam-se certos símbolos próprios de notação da matemática financeira e cuja finalidade é a de abreviar e resumir uma série de cálculos financeiros que estão já traduzidos em tabelas financeiras, evitando um conjunto de cálculos necessários à sua determinação. São exemplos desta notação os símbolos ܽ௡‫ۀ‬௜ Ğ ܵ௡‫ۀ‬௜ ͕ entre outros, e cuja explicação será encontrada no desenvolvimento deste capítulo. O Capítulo VII trata a amortização de empréstimos, quer por reembolso único, quer ĂƉşƚƵůŽ s// por reembolso parcial do capital emprestado, e as equivalências nos resultados finais,

ĂƉşƚƵůŽ s///

NOTA DE APRESENTAÇÃO

derivadas do momento em que se introduzem alterações de amortização antecipada nos contratos inicialmente acordados entre o mutuante e o mutuário. Estas negociações apelam ao interesse do mutuante em aceitar ou não as propostas do mutuário, atendendo às taxas de juro que vigoram no momento no mercado, face àquela que foi acordada no momento do empréstimo. São também tratadas as amortizações de empréstimos mediante rendas, utilizando vários sistemas, nomeadamente o francês, o alemão e o americano. O Capítulo VIII aborda os empréstimos por obrigações ou empréstimos obrigacionistas. As obrigações como títulos de crédito podem ser emitidas quer por empresas quer pelo Estado, sendo que, quando emitidas por este, são designadas por obrigações do tesouro (OT) e bilhetes de tesouro. Os procedimentos que se utilizam mais frequentemente na amortização de empréstimos obrigacionistas são, nomeadamente, a amortização mediante uma renda anual constante e a amortização mediante quotas anuais constantes. Para uma melhor compreensão das transferências de capital entre os diversos momentos em que decorre o empréstimo, são utilizadas diversas representações esquemáticas dos respetivos processos. O Capítulo IX incide sobre o cálculo da taxa anual efetiva (TAE) quer do rendimento da aplicação do capital, através do empréstimo, quer do custo efetivo desse empréstimo, ou seja, depois de suportados encargos, comissões bancárias e outros custos inerentes aos processos de concessão de crédito. Em Anexos apresentam-se tabelas financeiras mais frequentemente utilizadas no cálculo financeiro.

António Manuel Sarmento Batista

PREFÁCIO À 2ª EDIÇÃO Durante os quatro anos em que a 1ª edição esteve disponível, procedeu-se a uma revisão e atualização das matérias ali versadas. Graças ao escrutínio atento de professores e alunos, foi possível melhorar a qualidade da edição anterior, através das inestimáveis contribuições de aqueles que alertaram para a identificação de alguns erros de simbologia e algumas gralhas, que a edição anterior continha. A apresentação do texto foi melhorada através de um melhor grafismo e de uma melhor arrumação, proporcionando uma leitura mais fácil e um entendimento mais compreensivel dos seus conteúdos. Nesta 2ª edição foram incluídos cerca de 400 exemplos e exercícios resolvidos, que permitirão adotar técnicas e metodologias de abordagem às questões apresentadas, que facilitarão a resolução de problemas mais complexos.

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO As instituições financeiras e as empresas (não financeiras) têm que, diariamente, tomar múltiplas decisões, nomeadamente, decisões de concessão de crédito e de investimento. Estas decisões visam a obtenção de um benefício, num determinado período de tempo. Naturalmente, que esse benefício será o lucro, ou seja, um determinado capital que ficará sujeito a destinos diversos, designadamente à satisfação de compromissos com os fornecedores, ao cumprimento de obrigações fiscais, pagamento de salários e outras obrigações, por um lado, e por outro lado, a aplicações alternativas, tais como: à distribuição pelos acionistas/sócios; ao empréstimo a terceiros; e ao investimento. Se aquele capital for distribuído pelos acionistas/sócios significa que se estará a recompensar aqueles que investiram no negócio, remunerando a aplicação dos respetivos capitais investidos. Se o mesmo capital for emprestado, significa que se estará a ceder temporariamente a sua disponibilidade a terceiros, esperando-se receber no futuro o capital emprestado mais uma determinada quantia. Esta quantia é destinada a minorar os efeitos da erosão que o dinheiro sofreu durante o período do empréstimo, bem como recompensar a indisponibilidade da sua utilização e a remunerar o risco de incumprimento do devedor. Se o capital for investido, significa que se estará a sacrificar a disponibilidade presente desse valor, esperando-se que os resultados obtidos tragam no futuro a recompensa esperada daquela decisão. A quantia que recompensa a aplicação ou a utilização do capital por terceiros designa-se por juro. A pessoa ou empresa que empresta dinheiro a juros designa-se por prestamista1 1. Novo Dicionário da Língua Portuguesa – Lello Editores

MATEMÁTICA FINANCEIRA

O juro estará assim dependente do capital emprestado ou investido, do tempo que durar o empréstimo ou a amortização do investimento e da taxa de juro que for fixada na operação financeira. Entende-se por operação financeira toda a ação destinada a substituir um capital ou vários, por outros, em diferentes momentos, aplicando-se-lhe uma determinada regra financeira, num determinado momento de referência. O juro produzido pela aplicação dessa regra financeira será adicionado ao capital inicial, resultando um novo capital que se designará por capital final ou montante. Ao processo que permite determinar o capital final designa-se por capitalização. A capitalização apresenta dois regimes diferentes: a capitalização simples e a capitalização composta, que serão desenvolvidos nos próximos capítulos.

CAPÍTULO 2 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

2.1 Introdução O regime de capitalização simples caracteriza-se por não ser acumulável o juro produzido, em cada período, com o capital principal. O juro produzido em qualquer período será o resultado do produto do capital inicial por uma taxa de juro. No fim de cada período, o juro produzido será entregue ao mutuante2 (quem emprestou), mantendo-se o mutuário3 (quem pediu emprestado) devedor do capital que lhe foi emprestado inicialmente. Representando-se por: ‫ܬ‬௡ െ ‫ݎ݁݌ ݋݊ ݋ݎݑܬ‬À‫ܥ ͖ ݊ ݋݀݋‬଴ Ͳ ‫ ݈ܽ݅ܿ݅݊݅ ݈ܽݐ݅݌ܽܥ‬ሺ݉‫݋ݎ݁ݖ ݋ݐ݊݁݉݋‬ሻ Ǣ ݅ െ ‫݋ݎݑ݆ ݁݀ ܽݔܽݐ‬

:ƵƌŽ ŶŽ ƉƌŝŵĞŝƌŽ ĂŶŽ :ƵƌŽ ŶŽ ƐĞŐƵŶĚŽ ĂŶŽ :ƵƌŽ ŶŽ ƚĞƌĐĞŝƌŽ ĂŶŽ ͘͘͘ :ƵƌŽ ŶŽ ĂŶŽ ሺ݊ െ ͳሻ :ƵƌŽ ŶŽ ĂŶŽ ݊

‫ܬ‬ଵ с ‫ܥ‬଴ Ǥ ݅ ‫ܬ‬ଶ с ‫ܥ‬଴ Ǥ ݅ ‫ܬ‬ଷ с ‫ܥ‬଴ Ǥ ݅ ͘͘͘ ‫ܬ‬ሺ௡ିଵሻ с ‫ܥ‬଴ Ǥ ݅ ‫ܬ‬௡ с ‫ܥ‬଴ Ǥ ݅

ࡶ ൌ ࡯૙ Ǥ ࢏

:ƵƌŽ ƐŝŵƉůĞƐ ƉĂƌĂ ϭ ƉĞƌşŽĚŽ ĚĞ ĐĂƉŝƚĂůŝǌĂĕĆŽ

2. Pessoa que mutua ou dá por empréstimo. 3. Pessoa que recebe alguma coisa por empréstimo.

MATEMÁTICA FINANCEIRA

2.2 Fórmula geral da capitalização simples Para deduzir a fórmula geral de capitalização simples bastará somar ao capital inicial ሺ‫ܥ‬଴ ሻ o juro total ሺ‫ܬ‬ሻ produzido nos respetivos períodos. Admitindo-se que cada período representaria um ano, no final de cada ano o montante obtido ሺ‫ܥ‬௡ ሻ será o resultado da adição ao capital inicial ሺ‫ܥ‬଴ ሻ o juro correspondente aos n períodos. Assim, no final de cada ano, o montante ሺ‫ܥ‬௡ ሻ será: EŽ Ĩŝŵ ĚŽ ĂŶŽ ϭ

‫ܥ‬ଵ ൌ ‫ܥ‬଴ ൅ ‫ܬ‬ଵ

‫ܥ‬ଵ ൌ ‫ܥ‬଴ ൅ ‫ܥ‬଴ Ǥ ݅

‫ܥ‬ଵ ൌ ‫ܥ‬଴ ሺͳ ൅ ݅ሻ

EŽ Ĩŝŵ ĚŽ ĂŶŽ Ϯ

‫ܥ‬ଶ ൌ ‫ܥ‬଴ ൅ ‫ܬ‬ଵା ‫ܬ‬ଶ

‫ܥ‬ଶ ൌ ‫ܥ‬଴ ൅ ‫ܥ‬଴ Ǥ ݅ ൅ ‫ܥ‬଴ Ǥ ݅

‫ܥ‬ଶ ൌ ‫ܥ‬଴ ሺͳ ൅ ʹ݅ሻ

EŽ Ĩŝŵ ĚŽ ĂŶŽ ϯ

‫ܥ‬ଷ ൌ ‫ܥ‬଴ ൅ ‫ܬ‬ଵ ൅ ‫ܬ‬ଶ н ‫ܬ‬ଷ

‫ܥ‬ଷ ൌ ‫ܥ‬଴ ൅ ‫ܥ‬଴ Ǥ ݅ ൅ ‫ܥ‬଴ Ǥ ݅ ൅ ‫ܥ‬଴ Ǥ ݅

‫ܥ‬ଷ ൌ ‫ܥ‬଴ ሺͳ ൅ ͵݅ሻ

͘͘͘ EŽ Ĩŝŵ ĚŽ ĂŶŽ ݊

͘͘͘

‫ܥ‬௡ ൌ ‫ܥ‬଴ ൅ ‫ܬ‬ଵ ൅ ‫ܬ‬ଶ ൅ ‫ܬ‬ଷ ൅ ‫ ڮ‬൅ ‫ܬ‬௡

͘͘͘

‫ܥ‬௧ ൌ ‫ܥ‬଴ ൅ ‫ܥ‬଴ Ǥ ݅ ൅ ‫ܥ‬଴ Ǥ ݅ ൅ ‫ܥ‬଴ Ǥ ݅н͘͘͘н‫ܥ‬଴ Ǥ ݅

‫ܥ‬௡ ൌ ‫ܥ‬଴ ሺͳ ൅ ݊݅ሻ

Poder-se-á, deste modo, concluir que se o investimento ou empréstimo durar n nos, o capital final ሺ‫ܥ‬௡ ሻ ou montante obtido será: ĂƉŝƚĂů ĨŝŶĂů Ğŵ ƌĞŐŝŵĞ ĚĞ ũƵƌŽ ƐŝŵƉůĞƐ

࡯௡ ൌ ࡯૙ ሺ૚ ൅ ࢔࢏ሻ

A fórmula geral de capitalização simples indica que o capital final ሺ‫ܥ‬௡ ሻ foi obtido ao investir um capital inicial ሺ‫ܥ‬଴ ሻ a uma taxa de juro i, durante n períodos. Se admitirmos que o capital investido ሺ‫ܥ‬଴ ሻ é igual à unidade ሺ‫ܥ‬଴ ൌ ͳሻ resultará: ‫ܥ‬௡ ൌ ͳሺͳ ൅ ݊݅ሻ ൌ ͳ ൅ ݊݅

Portanto ͳ ൅ ݊݅ será o valor final que se obterá ao investir uma unidade monetária à taxa de juro anual simples i durante n anos. Representando esquematicamente: ሺͳ ൅ ݊݅ሻ

‫ܥ‬଴ ൌ ͳ

ͮ ͮ

͘͘͘

‫ܥ‬௡ ൌ ሺͳ ൅ ݊݅ሻ ݊

Figura 1 – Representação esquemática do fator de capitalização ሺͳ ൅ ݊݅ሻ aplicado ao capital inicial ሺ‫ܥ‬଴ ሻ , em regime de juro simples.

Considerar-se-á a partir de agora que ሺͳ ൅ ݊݅ሻ é o fator de capitalização em regime de juro simples. Este fator serve para transferir capitais de um dado momento para um outro posterior.

TABELAS

Tabela de contagem de número de dias Dias do mês

JAN

FEV

MAR

ABR

MAI

JUN

JUL

AGO

SET

OUT

NOV

DEZ

121

152

182

213

244

274

305

335

122

153

183

214

245

275

306

336

123

154

184

215

246

276

307

337

124

155

185

216

247

277

308

338

125

156

186

217

248

278

309

339

126

157

187

218

249

279

310

340

127

158

188

219

250

280

311

341

128

159

189

220

251

281

312

342

129

160

190

221

252

282

313

343

100

130

161

191

222

253

283

314

344

101

131

162

192

223

254

284

315

345

102

132

163

193

224

255

285

316

346

103

133

164

194

225

256

286

317

347

104

134

165

195

226

257

287

318

348

105

135

166

196

227

258

288

319

349

106

136

167

197

228

259

289

320

350

107

137

168

198

229

260

290

321

351

108

138

169

199

230

261

291

322

352

109

139

170

200

231

262

292

323

353

110

140

171

201

232

263

293

324

354

111

141

172

202

233

264

294

325

355

112

142

173

203

234

265

295

326

356

113

143

174

204

235

266

296

327

357

114

144

175

205

236

267

297

328

358

115

145

176

206

237

268

298

329

359

116

146

177

207

238

269

299

330

360

117

147

178

208

239

270

300

331

361

118

148

179

209

240

271

301

332

362

119

149

180

210

241

272

302

333

363

120

150

181

211

242

273

303

334

364

212

243

151

304

365

Exemplo para utilização da tabela: Quantos dias decorreram de 1 fevereiro a 15 de maio do mesmo ano?: - O dia 1 de fevereiro corresponde ao número 32 - O dia 15 de maio corresponde ao nº 135; - O número de dias entre as datas será dado pela diferença entre os dois números: (135 - 32) = 103 - O número de dias corridos entre as datas é igual a 103.

559

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Tabela: ሺͳ ൅ ݅ሻ݊

Valor final de uma unidade monetária colocada a juro composto

n/i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1,01000000 1,02010000 1,03030100 1,04060401 1,05101005 1,06152015 1,07213535 1,08285671 1,09368527 1,10462213 1,11566835 1,12682503 1,13809328 1,14947421 1,16096896 1,17257864 1,18430443 1,19614748 1,20810895 1,22019004 1,23239194 1,24471586 1,25716302 1,26973465 1,28243200

1,02000000 1,04040000 1,06120800 1,08243216 1,10408080 1,12616242 1,14868567 1,17165938 1,19509257 1,21899442 1,24337431 1,26824179 1,29360663 1,31947876 1,34586834 1,37278571 1,40024142 1,42824625 1,45681117 1,48594740 1,51566634 1,54597967 1,57689926 1,60843725 1,64060599

1,03000000 1,06090000 1,09272700 1,12550881 1,15927407 1,19405230 1,22987387 1,26677008 1,30477318 1,34391638 1,38423387 1,42576089 1,46853371 1,51258972 1,55796742 1,60470644 1,65284763 1,70243306 1,75350605 1,80611123 1,86029457 1,91610341 1,97358651 2,03279411 2,09377793

1,04000000 1,08160000 1,12486400 1,16985856 1,21665290 1,26531902 1,31593178 1,36856905 1,42331181 1,48024428 1,53945406 1,60103222 1,66507351 1,73167645 1,80094351 1,87298125 1,94790050 2,02581652 2,10684918 2,19112314 2,27876807 2,36991879 2,46471554 2,56330416 2,66583633

1,05000000 1,10250000 1,15762500 1,21550625 1,27628156 1,34009564 1,40710042 1,47745544 1,55132822 1,62889463 1,71033936 1,79585633 1,88564914 1,97993160 2,07892818 2,18287459 2,29201832 2,40661923 2,52695020 2,65329771 2,78596259 2,92526072 3,07152376 3,22509994 3,38635494

1,06000000 1,12360000 1,19101600 1,26247696 1,33822558 1,41851911 1,50363026 1,59384807 1,68947896 1,79084770 1,89829856 2,01219647 2,13292826 2,26090396 2,39655819 2,54035168 2,69277279 2,85433915 3,02559950 3,20713547 3,39956360 3,60353742 3,81974966 4,04893464 4,29187072

1,07000000 1,14490000 1,22504300 1,31079601 1,40255173 1,50073035 1,60578148 1,71818618 1,83845921 1,96715136 2,10485195 2,25219159 2,40984500 2,57853415 2,75903154 2,95216375 3,15881521 3,37993228 3,61652754 3,86968446 4,14056237 4,43040174 4,74052986 5,07236695 5,42743264

1,08000000 1,16640000 1,25971200 1,36048896 1,46932808 1,58687432 1,71382427 1,85093021 1,99900463 2,15892500 2,33163900 2,51817012 2,71962373 2,93719362 3,17216911 3,42594264 3,70001805 3,99601950 4,31570106 4,66095714 5,03383372 5,43654041 5,87146365 6,34118074 6,84847520

1,09000000 1,18810000 1,29502900 1,41158161 1,53862395 1,67710011 1,82803912 1,99256264 2,17189328 2,36736367 2,58042641 2,81266478 3,06580461 3,34172703 3,64248246 3,97030588 4,32763341 4,71712042 5,14166125 5,60441077 6,10880774 6,65860043 7,25787447 7,91108317 8,62308066

Tabela: ሺͳ ൅ ݅ሻ݊ n/i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

10% 1,10000000 1,21000000 1,33100000 1,46410000 1,61051000 1,77156100 1,94871710 2,14358881 2,35794769 2,59374246 2,85311671 3,13842838 3,45227121 3,79749834 4,17724817 4,59497299 5,05447028 5,55991731 6,11590904 6,72749995 7,40024994 8,14027494 8,95430243 9,84973268 10,83470594

11% 1,11000000 1,23210000 1,36763100 1,51807041 1,68505816 1,87041455 2,07616015 2,30453777 2,55803692 2,83942099 3,15175729 3,49845060 3,88328016 4,31044098 4,78458949 5,31089433 5,89509271 6,54355291 7,26334373 8,06231154 8,94916581 9,93357404 11,02626719 12,23915658 13,58546380

Valor final de uma unidade monetária colocada a juro composto 12% 1,12000000 1,25440000 1,40492800 1,57351936 1,76234168 1,97382269 2,21068141 2,47596318 2,77307876 3,10584821 3,47854999 3,89597599 4,36349311 4,88711229 5,47356576 6,13039365 6,86604089 7,68996580 8,61276169 9,64629309 10,80384826 12,10031006 13,55234726 15,17862893 17,00006441

13% 1,13000000 1,27690000 1,44289700 1,63047361 1,84243518 2,08195175 2,35260548 2,65844419 3,00404194 3,39456739 3,83586115 4,33452310 4,89801110 5,53475255 6,25427038 7,06732553 7,98607785 9,02426797 10,19742280 11,52308776 13,02108917 14,71383077 16,62662877 18,78809051 21,23054227

14% 1,14000000 1,29960000 1,48154400 1,68896016 1,92541458 2,19497262 2,50226879 2,85258642 3,25194852 3,70722131 4,22623230 4,81790482 5,49241149 6,26134910 7,13793798 8,13724930 9,27646420 10,57516918 12,05569287 13,74348987 15,66757845 17,86103944 20,36158496 23,21220685 26,46191581

560

15% 1,15000000 1,32250000 1,52087500 1,74900625 2,01135719 2,31306077 2,66001988 3,05902286 3,51787629 4,04555774 4,65239140 5,35025011 6,15278762 7,07570576 8,13706163 9,35762087 10,76126400 12,37545361 14,23177165 16,36653739 18,82151800 21,64474570 24,89145756 28,62517619 32,91895262

16% 1,16000000 1,34560000 1,56089600 1,81063936 2,10034166 2,43639632 2,82621973 3,27841489 3,80296127 4,41143508 5,11726469 5,93602704 6,88579137 7,98751799 9,26552087 10,74800420 12,46768488 14,46251446 16,77651677 19,46075945 22,57448097 26,18639792 30,37622159 35,23641704 40,87424377

17% 1,17000000 1,36890000 1,60161300 1,87388721 2,19244804 2,56516420 3,00124212 3,51145328 4,10840033 4,80682839 5,62398922 6,58006738 7,69867884 9,00745424 10,53872146 12,33030411 14,42645581 16,87895329 19,74837535 23,10559916 27,03355102 31,62925470 37,00622799 43,29728675 50,65782550

18% 1,18000000 1,39240000 1,64303200 1,93877776 2,28775776 2,69955415 3,18547390 3,75885920 4,43545386 5,23383555 6,17592595 7,28759263 8,59935930 10,14724397 11,97374789 14,12902251 16,67224656 19,67325094 23,21443611 27,39303460 32,32378083 38,14206138 45,00763243 53,10900627 62,66862740

ANEXOS

TABELA GERAL DO IMPOSTO SELO (OPERAÇÕES FINANCEIRAS) 17 Operações financeiras: 17.1 - Pela utilização de crédito, sob a forma de fundos, mercadorias e outros valores, em virtude da concessão de crédito a qualquer título exceto nos casos referidos na verba 17.2, incluindo a cessão de créditos, o factoring e as operações de tesouraria quando envolvam qualquer tipo de financiamento ao cessionário, aderente ou devedor, considerando-se, sempre, como nova concessão de crédito a prorrogação do prazo do contrato - sobre o respetivo valor, em função do prazo: (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06) 17.1.1 Crédito de prazo inferior a um ano - por cada mês ou fração 0,04% 17.1.2 Crédito de prazo igual ou superior a um ano 0,50% 17.1.3 Crédito de prazo igual ou superior a cinco anos 0,60% 17.1.3 Crédito de prazo igual ou superior a cinco anos 0,60% 17.1.4 Crédito utilizado sob a forma de conta corrente, descoberto bancário ou qualquer outra forma em que o prazo de utilização não seja determinado ou determinável, sobre a média mensal obtida através da soma dos saldos em dívida apurados diariamente, durante o mês, divididos por 30 0,04% 17.2 - Pela utilização de crédito em virtude da concessão de crédito no âmbito de contratos de crédito a consumidores abrangidos pelo Decreto-Lei n.º 133/2009, de 2 de junho, considerando-se, sempre, como nova concessão de crédito a prorrogação do prazo do contrato - sobre o respetivo valor, em função do prazo: (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06) 17.2.1 - Crédito de prazo inferior a um ano - por cada mês ou fração - 0,07 %. (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06)

579

MATEMÁTICA FINANCEIRA

17.2.2 - Crédito de prazo igual ou superior a um ano - 0,90 %. (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06) 17.2.3 - Crédito de prazo igual ou superior a cinco anos - 1 %. (Redação dada pela Lei n.º 12-A/2010, de 30/06) 17.2.4 - Crédito utilizado sob a forma de conta corrente, descoberto bancário ou qualquer outra forma em que o prazo de utilização não seja determinado ou determinável, sobre a média mensal obtida através da soma dos saldos em dívida apurados diariamente, durante o mês, divididos por 30 - 0,07% (Redação dada pela Lei n.º 12A/2010, de 30/06) 17.3 Operações realizadas por ou com intermediação de instituições de crédito, sociedades financeiras ou outras entidades a elas legalmente equiparadas e quaisquer outras instituições financeiras - sobre o valor cobrado: (Redação dada pela Lei n.º 12A/2010, de 30/06 – anterior verba 17.2) 17.3.1 Juros por, designadamente, desconto de letras e bilhetes do Tesouro, por empréstimos, por contas de crédito e por crédito sem liquidação 4% 17.3.2 Prémios e juros por letras tomadas, de letras a receber por conta alheia, de saques emitidos sobre praças nacionais ou de quaisquer transferências 4% 17.3.3 Comissões por garantias prestadas 3% 17.3.4 - Outras comissões e contraprestações por serviços financeiros, incluindo as taxas relativas a operações de pagamento baseadas em cartões - 4 %. (Redação da Lei n.º 7-A/2016, de 30 de março).

580

BIBLIOGRAFIA Ayres, F., Matemática Financeira, McGraw-Hill Cadilhe, M., Matemática Financeira Aplicada, Edições ASA Costa, M., Cálculo Financeiro, Plátano Editora Fernandes, L., Noções Fundamentais de Cálculo Financeiro, INCM Lisboa, J. et al., Cálculo Financeiro, Vida Económica Mateus, A., Cálculo Financeiro, Edições Sílabo Matias, R., Cálculo Financeiro, Escolar Editora Olavo, F., Desconto Bancário, Anuário Com. Português Rodrigues, A. et al., Elementos de Cálculo Financeiro, Rei dos Livros Samanez, C., Matemática Financeira - Aplicações à Análise de Investimentos Silva, A., Matemática das Finanças, Editora McGraw-Hill Sobrinho, J., Matemática Financeira, Editora Atlas Vieira, E.,. Técnicas Financeiras, Univ. Lusíada Editora

585

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