Matematika 5, Učbenik 2012 by VISART studio, Kvants-Visart d.o.o.

11:48

Page 1

BARBARA JAPELJ PAVEŠIĆ IN DAMIJANA KERžIČ

UČBENIK

2006/09/25

MATEMATIKA K ZA PETOŠOLC E UČBENIK

MATEMATIKA

mat_ucb_05_ovitek_02.qxd

2.800,01 SIT 11,68 EUR

devetletka

mat_DZ_05_ovitek_02.qxd

2006/09/25

11:50

Page 2

MATEMATIKA ZA PETO[OLC(K)E U~benik za matematiko v 5. razredu devetletnega osnovno{olskega izobra`evanja

Urednici in avtorici Barbara Japelj Pave{i} mag. Damijana Ker`i~

i2, Ljubljana

MatematikaUcbenik5.indb 1

20.9.2006 12:59:30

Zbirka: U~beni{ka gradiva - Planet znanja MATEMATIKA ZA PETO[OLC(K)E. U~benik za matematiko v 5. razredu devetletnega osnovno{olskega izobraževanja Urednici in avtorici: Barbara Japelj Pave{i} in mag. Damijana Kerži~ Strokovni pregled: dr. Milena Ivanu{ Grmek, dr. Zvonko Perat, Mojca Sardo~, dr. Maja Zupan~i~ Jezikovni pregled: Anka Polajnar

Izdala: i2, dru`ba za zalo`ni{tvo, izobra`evanje in raziskovanje d.o.o., Ljubljana Za zalo`bo: Iztok Hafner e-naslov: http://www.i2-lj.si; e-po{ta: i2-lj@amadej.si

Strokovni svet Republike Slovenije za splo{no izobraževanje je s sklepom {tevilka 613-2/2005/90 potrdil u~benik Matematika za peto{olc(k)e: u~benik za matematiko v 5. razredu devetletnega osnovno{olskega izobraževanja. Prva potrditev.

Vse pravice pridr`ane. Brez pisnega soglasja založnika je prepovedano reproduciranje, javna priob~itev, predelava ali kakr{nakoli druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakr{nemkoli obsegu ali postopku vklju~no s fotokopiranjem ali shranitvijo s pomo~jo informacijske tehnologije. Tako ravnanje predstavlja kr{itev avtorskih pravic. © i2 d.o.o., Ljubljana, avgust 2006

CIP − Katalo`ni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knji`nica, Ljubljana 51(075.2) 372.47 JAPELJ Pave{i}, Barbara Matematika za peto{olc(k)e. U~benik za matematiko v 5. razredu devetletnega osnovno{olskega izobraèvanja / avtorici Barbara Japelj Pave{i}, Damijana Kerì~; �Ilustracije Maja Lubi in Damijana Kerì~ (geometrijske risbe)�, − 1. izd., 1. natis. − Ljubljana : i2, 2006. − (Zbirka U~beni{ka gradiva. Planet znanja)

ISBN 961−6348−29−9 1. Ker`i~, Damijana 223355904

MatematikaUcbenik5.indb 2

(dva)

20.9.2006 12:59:30

[IFRIRANO SPORO^ILO! [IFRA: − 1 ^RKA.

(tri)

MatematikaUcbenik5.indb 3

20.9.2006 12:59:31

Kazalo [tevila in ra~unske operacije Pisno se{tevamo in od{tevamo ________________ 10

[tevilski izrazi in vrstni red ra~unskih operacij ___ 46

Zaokrožanje {tevil ___________________________ 12

Zakon o raz~lenitvi __________________________ 48

Ocenjujemo vsoto __________________________ 14

Re{ujemo besedilne naloge ___________________ 50

Velika {tevila________________________________ 16

Sklepamo __________________________________ 52

Ocenjujemo razliko _________________________ 18

Izpolnjujemo tabele _________________________ 54

[tevilska premica ___________________________ 20

^rke v matemati~nih izrazih __________________ 56

Predhodnik, naslednik, sodost in lihost _________ 22

Pisno delimo _______________________________ 58

Magi~ni kvadrat ____________________________ 24

Povpre~na vrednost _________________________ 60

Lastnosti se{tevanja in od{tevanja _____________ 26

Pisno delimo z dvomestnim {tevilom __________ 62

Se{tevamo in od{tevamo_____________________ 28

Se{tevamo zaporedna naravna {tevila __________ 64

Množimo __________________________________ 30

Pra{tevila __________________________________ 65

Delimo ____________________________________ 32

Zaporedja __________________________________ 66

Ve~kratniki {tevil ____________________________ 34

Re{ujemo ena~be ___________________________ 68

Delitelji {tevil _______________________________ 36

[e o ena~bah _______________________________ 70

Pisno množimo ve~mestna {tevila _____________ 38

Re{ujemo neena~be _________________________ 72

Ocenjujemo zmnožek _______________________ 40

[tevilski sistemi _____________________________ 74

Delimo z ostankom _________________________ 42

Ra~unamo s kalkulatorjem ___________________ 76

Potence ___________________________________ 44

Merjenje Merimo koli~ine ____________________________ 80

Merimo plo{~ino ____________________________ 92

Ra~unamo z dolžinami_______________________ 82

Plo{~inske enote ____________________________ 94

Merimo koli~ino teko~ine ____________________ 84

Denar v Evropi______________________________ 96

Merimo maso ______________________________ 86

Pla~ujemo z evri ____________________________ 98

Merimo ~as ________________________________ 88

Popusti in razprodaje _______________________ 100

Merimo ~as na {portnih tekmovanjih __________ 90

Spremembe koli~in_________________________ 102

MatematikaUcbenik5.indb 4

({tiri)

20.9.2006 12:59:31

Geometrija Ravnina ___________________________________ 106

Trikotnik __________________________________ 122

Premica in poltrak__________________________ 108

Mnogokotnik ______________________________ 124

Daljica in njena dolžina _____________________ 110

Obseg lika ________________________________ 126

Graﬁ~no se{tevamo in od{tevamo daljice______ 112

Plo{~ina kvadrata in pravokotnika ____________ 128

Graﬁ~no množimo in razpolavljamo daljice ____ 114

Telesa ____________________________________ 130

Položaj to~k v mreži ________________________ 116

Kocka in kvader ____________________________ 132

Krog _____________________________________ 118

Mreže teles _______________________________ 134

[tirikotnik _________________________________ 120

Mreži kocke in kvadra ______________________ 136

Mno`ice Množica in njeni elementi ___________________ 142 Podmnožice in prazna množica ______________ 144 Unije in preseki množic _____________________ 146 [e o množicah_____________________________ 148

Deli celote Ulomek ___________________________________ 152 Ra~unamo dele celote ______________________ 154 Pravi~no delimo ___________________________ 156

Zbiramo in prikazujemo podatke Zbiranje podatkov _________________________ 160 Kategorije {tetja ___________________________ 162 Podatki v tabelah in prikaz z lomljeno ~rto ____ 164 Stolpi~ni prikaz ____________________________ 166 Priloga: Razdalje med slovenskimi kraji _______ 166

(pet)

MatematikaUcbenik5.indb 5

20.9.2006 12:59:31

Peto{olke in peto{olci! za vse tiste, ki imate matematiko radi,

Ta u~benik sva napisali

in tudi tiste, ki jo ne marate, za tiste, ki ne veste, zakaj je matematika sploh potrebna, in za tiste, ki vam je raziskovanje matematike v veselje. Zato vsebuje nekaj zabave in nekaj resne vsebine, vsakdanje primere, zanimivosti in nekaj problemov. Naslov poglavja.

ŠTEVILA

Delimo z ostankom Mnogokrat moramo stvari razdeliti na enake dele. V~asih je to mogo~e, v~asih pa ne. Kadar ni, pravimo, da delimo z ostankom.

{tevilo deli samo V barvnemVsako okvir~ku je sebe. :3=1 zapisano, 31zakaj je koristno, :1=1 : 47658 = 1 da to snov47658 zna{.

^e {tevilo deli drugo {tevilo, to zapi{emo z navpi~no ~rto. 6:3=2 3�6 36 : 12 = 3 12�36 56 : 7 = 8 7�56

Na levem robu so opombe, zanimivosti in ideje za raziskovanje, ki so povezane z u~no snovjo.

Rok stoji v vrsti pred vrtiljakom. Pred njim je 47 otrok. Na vrtiljaku je 9 sedežev. Ko se vrtiljak petkrat zavrti, se vsi otroci zamenjajo. Koliko zamenjav mora po~akati Rok, da bo pri{el na vrsto? 47 : 9 = 5 ostane 2 Odgovor: Rok bo na vrsti pri 6 zamenjavi.

^e se deljenje ne izide, dobimo ostanek. Ostanek je vedno manj{i od delitelja. [tevilo 9 ne deli 47, zato zapi{emo: 45 = 9 · 5 + 2

Preizkus:

89 : 8 = 11 ost. 1 89 = 11 · 8 + 1

132 : 20 = 6 ost. 12 132 = 6 · 20 + 12

Razi{~i. {~ {~i. Kdaj je {tevilo deljivo z 2? Kdaj je {tevilo deljivo s 5? Kdaj je {tevilo deljivo z 10? Seveda brez ostanka.

Na belem ozadju so Tina ina razmi{lja: "U~iteljica ni omenila, da je {tevilo deljivo s 15. [tevilo izra~unani primeri nalog ima alipri deljenju s 15 lahko tudi ostanek. In to najve~jega, 14." 14. Tina ina v zvezek zapi{e: 11 · 15 + 14 = 165 + 14 = 179 dodatna pojasnila o snovi.

Tina sklepa: ""Najve~je {tevilo, ki ima pri deljenju s 15 koli~nik 11, je 179." Tina

MatematikaUcbenik5.indb 6

({est)

20.9.2006 12:59:37

zato, da bi opazili, kje vsak dan

potrebujemo matematiko, in se nau~ili, kako uporabiti novo znanje v vsakdanjem `ivljenju.

tako, da bi jo sami brali. Matematiko

sva razdelili v dele, ki imajo na robu u{esa razli~nih barv. Vsak del sestavljajo poglavja. Poglavje ima dve strani. Na levi strani je u~na snov, na desni pa vaje.

Naloge so vaje iz nove snovi, ki ti pomagajo, da res razume{ in se nau~i{ novo snov. Pot do re{itve je v nalogah jasna. Ponekod so dodani re{eni primeri. Naloge 1

Deli in zapi{i preizkus. a) 95 : 7 b) 57 : 8 c) 103 : 3

d) 87 : 8 e) 92 : 3 f) 89 : 9

Deli in zapi{i preizkus. a) 323 : 20 b) 405 : 20 c) 6728 : 40

d) 3010 : 30 e) 639 : 40 f) 9792 : 70

O~e potrebuje za izdelavo lesenega stropa 260 žebljev. V trgovini so žeblji pakirani v paketke po 25 žebljev. Koliko paketkov naj kupi?

Poi{~i najmanj{e {tevilo, ki ima pri deljenju z 9 koli~nik 11.

Poi{~i najve~je {tevilo, ki ima pri deljenju z 12 koli~nik 12.

[tevila 906544, 745930 in 4357891 zaporedno deli s {tevili 101, 102, 103, ... Kolik{en je koli~nik in kolik{en ostanek pri vsakem deljenju? Zapi{i pravilo za deljenje s potencami {tevila 10.

U~iteljica bo obdarila svoje u~ence. Prinesla je vre~o s 118 bonboni. Koliko u~encev je v razredu, ~e je vsak dobil 5 bonbonov? Koliko bonbonov je ostalo u~iteljici?

Mama ti da bonbone, ki jih mora{ pravi~no razdeliti z bratom. Ko pre{teje{ bonbone, ugotovi{, da jih je 17. Kako jih bo{ pravi~no razdelil?

Problemi so vaje iz nove snovi, pri katerih pot do re{itve ni takoj vidna. problem Re{ujemo probleme Loti{ se jih potem, ko `e re{i{ ve~ino 1 Babica Vera era vlaga kisle kumarice. V vsak kozarec nalog levega stolpca. bo dala 9 kumaric. Koliko kozarcev cev naj pripravi, ~e ima 109 kumaric?

Na rob plo~nika pred veleblagovnico bodo delavci postavili koli~ke. Dolžina plo~nika je 90 m. Koli~ki bodo med seboj enako oddaljeni. Kolik{na bi bila razdalja med 3. in 5. koli~kom, ~e bi postavili 10 koli~kov?

Delavci pa so dobili le 8 koli~kov. koli~kov Dogovorili so se, da bosta prva pr in zadnja razdalja med koli~ki enaki ter razli~ni od ostalih. Na kak{nih razdaljah morajo sedaj postaviti koli~ke?

Nekatere slike so pomembne! Potrebuje{ jih, saj so dodatno pojasnilo ali pomo~ pri razumevanju naloge.

Popolno {tevilo je tisto naravno {tevilo, za katero velja, da je enako vsoti vseh svojih deliteljev brez {tevila samega. [tevilo 6 je popolno {tevilo, saj velja 6 = 1 + 2 + 3. Popolna {tevila naj bi raziskovali že stari Grki. Pokaži, da sta {tevili 28 in 496 popolni {tevili.

Naloga iz stare kitajske matemati~ne knjige se glasi: Ne ve{, koliko je teh re~i, ne. Tri in tri jih zbira{ v kupe, pa dve ostaneta. Pet in pet jih zbira{, pa spet tri ostanejo. Nazadnje jih zbira{ {e sedem in sedem, pa ostaneta dve. Povej sedaj, koliko teh je re~i. (Sun Tzu) Namig: Spomni se skupnih ve~kratnikov.

(sedem)

MatematikaUcbenik5.indb 7

20.9.2006 12:59:44

Ĺ TEVILA

8 8

MatematikaUcbenik5.indb 8

(osem)

20.9.2006 12:59:50

[tevila in ra~unske operacije Napotki za re{evanje problemov Nalogo pozorno preberi. Nalogo razume{, ko ve{, kaj pozna{, kaj i{~e{ in kaj ti bo pomagalo najti re{itev. ê naloge ne razume{ ali pa ne ve{, kako bi se lotil re{evanja, potem • preberi nalogo {e enkrat, • izpi{i si podatke, nari{i skico, • ~e ne razume{ pomena vseh besed, povpra{aj koga, • razmisli, po ~em te naloga spra{uje, • pomisli, ~e si se s podobnim problemom že sre~al. Raziskuj in si zapisuj svoje zamisli, lahko k nalogi ali na dodaten papir, raje pa ne na mizo. Pomožnih ra~unov nikar ne bri{i, saj so del tvojega re{evanja. ê ena ideja ni uspe{na, poskusi z drugo. Pri pisanju ra~unov bodi natan~en. Sedaj re{uje{ tudi naloge z ve~ ali dalj{imi ra~uni. V~asih kak{en rezultat uporabi{ v ve~ ra~unih. ê znaki in {tevila niso ~itljivo napisani, se lahko pri ponovnem pisanju ra~una hitro zmoti{. Ko pride{ do re{itve, razmisli, ali je re{itev smiselna. Je to odgovor na vpra{anje? Ali je rezultat primerno velik? Ali je v pravih enotah? Ali bi po drugi poti re{evanja pri{el do enake re{itve? Zapomni si, da ni ~udežnega pravila, kako re{evati. To so le nasveti, ki ti pomagajo v iskanju tvoje poti do re{itve. Bodi optimist pri re{evanju. Tudi ti zmore{ že težje naloge. Z re{evanjem trenira{ svoje možgane in razvija{ sposobnosti, ki jih potrebuje{, da bo{ uspe{en {e drugje.

(devet)

MatematikaUcbenik5.indb 9

9 9

20.9.2006 12:59:50

Ĺ TEVILA

Pisno se{tevamo in od{tevamo Pisno se{tevamo in od{tevamo, ko ne zmoremo ra~unati na pamet. To je takrat, ko je {tevil preve~, da bi si jih zapomnili ali pa so prevelika.

V nekem mestu so tri osnovne {ole. Obiskuje jih 2478 otrok iz mesta ter 76 otrok iz okoli{kih krajev. Na prvi in tretji osnovni {oli skupaj je 1857 otrok, na drugi in tretji {oli pa 1905. Koliko u~encev obiskuje vsako od {ol?

Na vsakem ra~unu iz trgovine je zapisano pisno se{tevanje.

Najprej izra~unamo, koliko je vseh u~encev v mestu in okolici. Izra~unamo, koliko otrok je na drugi {oli. Od {tevila vseh u~encev od{tejemo u~ence prve in tretje osnovne {ole.

Izra~unamo, koliko otrok je na tretji {oli. Od {tevila otrok na drugi in tretji {oli od{tejemo u~ence druge {ole.

Bi znal izra~unati {tevilo u~encev na posamezni {oli tudi v druga~nem vrstnem redu? Ali lahko najprej izra~una{ {tevilo u~encev na prvi {oli?

Izra~unamo, koliko otrok je na prvi {oli. Od {tevila otrok na prvi in tretji {oli od{tejemo u~ence tretje {ole. Odgovor: Prvo {olo obiskuje 649 u~encev, drugo {olo 697 u~encev in tretjo {olo 1208 u~encev.

(deset)

MatematikaUcbenik5.indb 10

20.9.2006 12:59:57

Naloge

Re{ujemo probleme

Se{tej. a) 2089 in 456 b) 6223 in 20679 c) 4488 in 56065

Od{tej in naredi preizkus. a) 98673 in 2399 b) 10011 in 999 c) 90909 in 5291

V sredo so v kiosku prodali 11245 sre~k, v ~etrtek 365 ve~ kot v sredo, v petek pa 125 ve~ kot v obeh dneh skupaj. Koliko sre~k skupaj so prodali v teh treh dneh? Najprej izra~unaj, koliko sre~k so prodali v ~etrtek in koliko v petek.

Dolo~i od{tevanec, ~e ve{, da je razlika za 255 manj{a od zmanj{evanca.

Na karton~kih ima{ {tevke:

Se{tej {tevila v vrsticah in stolpcih. Razporedi jih v ra~unu se{tevanja + tako, da bo ra~un pravilen. Mo`nih je ve~ pravilnih re{itev. Poi{~i jih nekaj. 4

Ali je vsota v polju A enaka, ~e se{tejemo {tevila v stolpcu ali {tevila v vrstici? Razlo`i svoj odgovor. 4

Izra~unaj. a)

+ 4360 = 100000

b) 5609 +

+ 12021 = 67532

â&#x20AC;&#x201C; 8956 = 342

f) 5

= 78345

e) 56425 â&#x20AC;&#x201C;

Maja bere knjigo z A stranmi. V~eraj je prebrala B strani, danes pa C strani ve~ kot v~eraj. Koliko strani ji je ostalo za jutri{nje branje? Opi{i, kako bi ra~unal. Potem si izmisli svoja {tevila strani in izra~unaj.

= 4609

â&#x20AC;&#x201C; 4067 = 12869

Markova naloga ima nekaj napak. Popravi napake in pravilne ra~une zapi{i v zvezek.

Zanimivo ra~unanje. Zapi{i trimestno {tevilo. Nato preme{aj njegove {tevke. To je tvoje drugo {tevilo. Od{tej manj{e {tevilo od ve~jega. Se{tej {tevke v razliki. ^e je vsota {tevk ve~ja od 10, {tevke vsote ponovno se{tej. Opisani postopek ponovi z drugim trimestnim {tevilom. Kolik{ni sta kon~ni vsoti {tevk? Kolik{ne vsote so dobili so{olci? Vsota {tevk {tevila 398 je 3 + 9 + 8 = 20. Ker je 20 ve~je od 10, se{tejemo {e 2 + 0 = 2. To je kon~na vsota {tevk {tevila 398.

(enajst)

MatematikaUcbenik5.indb 11

20.9.2006 13:00:02

ŠTEVILA

Zaokrožanje {tevil S {tevili, ki se kon~ujejo z ni~lami, la`je in hitreje ra~unamo.

Pri zaokrožanju to~no vrednost nadomestimo s približkom. Zaokro`ena vrednost je lahko ve~ja ali manj{a od to~ne vrednosti.

Poglej v ~asopis in poi{~i, kje so zapisana {tevila. Ali so zapisana {tevila zaokrožene vrednosti ali to~ne vrednosti?

Zaokrožamo lahko na desetice, stotice, tiso~ice in {e na ve~ja deseti{ka mesta. Zaokroženo {tevilo se kon~a z ni~lami. 78893 na desetice 78890 na stotice 78900 na tiso~ice 79000 na desettiso~ice 80000 z ao

kro`

e n o n a d e se ti

192

z ao

190

kr o ` e

n o n a st o ti

192

200

Zaokro`eno {tevilo je

Zaokro`eno {tevilo je ve~je

manj{e od to~ne vrednosti.

od to~ne vrednosti.

[tevilo najprej zaokrožimo na desetice in nato zaokroženo {tevilo zaokrožimo {e na stotice. [tevilo takoj zaokrožimo na stotice. Zaokroženi {tevili sta lahko razli~ni. Podobno lahko zaokrožimo {tevilo najprej na stotice in nato na tiso~ice ali pa zaokrožimo takoj na tiso~ice. Nekatera {tevila pri teh postopkih dajo razli~na rezultata. Poi{~i {e sam podoben primer {tevila, ki da v dveh postopkih zaokroževanja razli~en rezultat. Kak{ne lastnosti imajo tak{na {tevila?

(dvanajst)

MatematikaUcbenik5.indb 12

20.9.2006 13:00:08

Naloge 1

Zaokroži na stotice {tevila 459, 98, 1210, 10090 in 749.

Ogled ﬁlma Neugnani si je v prvem tednu predvajanja ogledalo 2500 gledalcev. Kolik{no bi bilo lahko resni~no {tevilo gledalcev, ~e je {tevilo zaokroženo na stotice? Zapi{i vsaj tri možnosti. Kolik{no bi bilo lahko {tevilo gledalcev v primeru, da je {tevilo zaokroženo na desetice? Tudi sedaj zapi{i tri možnosti. V obeh primerih poi{~i tudi najve~je oziroma najmanj{e možno {tevilo gledalcev.

Zaokroži {tevilo prebivalcev na tiso~ice in na desettiso~ice. Predstavi vsa {tevila prebivalcev s tabelo in mesta razporedi po velikosti. Mesta so prestolnice evropskih držav. Morda ve{, katerih? Dunaj 1550123 Praga 1162741 Köbenhavn 501285 Helsinki 559716 Pariz 2147875 Amsterdam 735328 Bratislava 428672 Madrid 3124892 758148 Stockholm Rim 2546804 Budimpe{ta 1775203 Var{ava 1609800 3388000 Berlin 81800 Luksemburg

Re{ujemo probleme 1

Nekaj najvi{jih gora na Zemlji: Mount Everest (Nepal) 8848 m K2 (Pakistan) 8611 m Aconcagua (Argentina) 6958 m Mount McKinley (ZDA) 6193 m Kilimandžaro (Tanzanija) 5895 m Mont Blanc (Francija-Italija) 4807 m Matterhorn ([vica-Italija) 4478 m Fudžijama (Japonska) 3776 m Mount Cook (Nova Zelandija) 3764 m Triglav (Slovenija) m Dopolni seznam z vi{ino na{e najvi{je gore. Vi{ine gora zaokroži na stotice in zaokrožene vi{ine prikaži s stolpi~nim prikazom.

Za lutkovno predstavo je blagajni~arka prodala 350 vstopnic, ~e pravo vrednost zaokrožimo na desetice, oziroma 400, ~e jo zaokrožimo na stotice. Katero {tevilo prodanih vstopnic je lahko to~no? Zapi{i jih nekaj.

Zapi{i a) najmanj{e {tevilo, zaokroženo na desetice, ki je ve~je od 476, 1089, b) najve~je {tevilo, zaokroženo na desetice, ki je manj{e od 1025, 619, c) najmanj{e {tevilo, zaokroženo na stotice, ki je ve~je od 34708, 80010, d) najve~je {tevilo, zaokroženo na stotice, ki je manj{e od 20099, 56709.

(trinajst)

MatematikaUcbenik5.indb 13

20.9.2006 13:00:13

ŠTEVILA

Ocenjujemo vsoto S pomo~jo zaokroženih vrednosti lahko ocenimo, kolik{na bo približna vsota ali razlika {tevil. Ocena nam pomaga pri hitrih odgovorih in odlo~itvah.

Pal~ica Ma{a ima 2000 cekinov. Ali lahko kupi vse tri izbrane stvari?

Ma{a zaokroži ceno ~okolade na desetice: 240 cekinov Drugi dve ceni zaokroži na stotice: 700 cekinov in 1000 cekinov Vrednosti se{teje.

Ocenimo vsoto z zaokrožanjem.

Vse zaokrožene vrednosti so ve~je od to~nih. Njihova vsota je manj{a od 2000 cekinov. Ma{a zato ve, da lahko kupi vse tri izbrane izdelke. Koliko ji bo vrnila prodajalka? Ma{a izra~una: 2000 cekinov – 1940 cekinov = 60 cekinov Iz ocene Ma{a ve, da ji bo prodajalka vrnila ve~ kot 60 cekinov. Zakaj?

237 + 690 + 990 1917

Izra~unamo to~no vrednost.

2000 – 1917 83

Odgovor: Prodajalka ji bo vrnila 83 cekinov. Ocenimo, ali je vsota 345 + 189 + 127 + 467 ve~ja od 1000. Vsota je gotovo ve~ja od vsote stotic. Zakaj?

300 + 100 + 100 + 400 900

345 + 189 + 127 + 467

Ocenimo {e, koliko k vsoti dodajo desetice in enice se{tevancev. Vsota 89 + 27 je ve~ja od 100. Vsota 45 + 67 je ve~ja od 100.

Za vsoto {tevil lahko trdimo, da je ve~ja od 900 + 100 + 100 = 1100. Zakaj lahko to trdimo? Sam izra~unaj to~no vrednost vsote.

({tirinajst)

MatematikaUcbenik5.indb 14

20.9.2006 13:00:15

Naloge 1

Na voljo ima{ {tiri {tevila: 835, 612, 305 in 779. Vsota katerih dveh {tevil je a) približno 1500, b) približno 900, c) približno 1100?

Oceni vsote tako, da zaokroži{ {tevila na najvi{jem možnem mestu. a) 3897 + 679 b) 10045 + 8723 c) 567 + 3478 Za koliko se razlikuje ocena od prave vrednosti? Kdaj so napake ve~je?

Re{ujemo probleme 1

Katjina družina se je med po~itnicami z letalom odpeljala z Brnika na Kreto. Polet je trajal 187 minut. Tam so ostali 8725 minut. Polet nazaj pa je bil dolg 192 minut. Oceni, koliko ~asa je preteklo od njihovega vzleta na Brniku do pristanka na Brniku? Koliko dni in koliko ur so bili odsotni?

Podjetje Sadje in zelenjava ne zara~una prevoza sadja do {ole, ~e je naro~ilo ve~je od 600 kg. Vodja {olske kuhinje je pri podjetju Sadje in zelenjava naro~il naslednje:

[kratovska mama si ogleduje dru`abno igro, ki stane 5990 cekinov. Katera ocena zneska je najbližja pravi vrednosti: 5800 cekinov, 5900 cekinov ali 6000 cekinov? Druga dru`abna igra, ki ugaja mami, stane 7590 cekinov. Mama je hitro se{tela vrednosti obeh igra~. Kolik{no vrednost je dobila, ~e je zaokrožila na desetice, in kolik{no, ~e je zaokrožila na stotice? Za koliko se je ocena razlikuje od prave vrednosti v obeh primerih?

Oceni, ali je vsota {tevil a) 205, 435, 199, 234 ve~ja od 1000, b) 68, 193, 324, 145 ve~ja od 700, c) 6423, 3456 ve~ja od 10000. Zapi{i korake svojega ra~unanja.

Ali je podjetje Sadje in zelenjava pripeljalo sadje za {olo zastonj? 3

Trgovina za {krate Zeleni mah ima akcijsko prodajo. Za nakup nad 1500 cekinov vsakemu kupcu podarijo kilogram pomaran~. Oceni, ali bo {krat Tine za svoj nakup dobil pomaran~e.

Z oceno vsote poi{~i to~no vrednost. 456 + 789 a) 1123 b) 1195 c) 1245 5145 + 3089 a) 8094 b) 8144

c) 8234

8879 + 1979 a) 9988 b) 10858

c) 11008

(petnajst)

MatematikaUcbenik5.indb 15

20.9.2006 13:00:19

ŠTEVILA

Velika {tevila Na svetu je leta 2004 živelo 6 505 667 425 prebivalcev. V tem letu je imela Kitajska, država z najve~ prebivalci na svetu, 1 307 488 400 prebivalcev. Ob popisu prebivalstva leta 2002 je imela Slovenija 1 987 971 prebivalcev.

[tevila zapisujemo s {tevkami v deseti{kem sistemu. [tevilo 10 je osnova deseti{kega sistema. Od desne proti levi se vrednost vsake {tevke pove~a za desetkrat.

Deseti{ke enote lahko zapi{emo s potencami {tevila 10. osnova

stopnja Beremo: 10 na 3

103 = 10 ·10 · 10 1 D = 10 · 1 E = 101 E 1 S = 10 · 1 D = 10 · 10 · 1 E = 102 E 1 T = 10 · 1 S = 10 · 10 · 1 D = 10 · 10 · 10 · 1 E = 103 E

Bilijarda je milijon miljard: 1 · 10 Trilijon je: 1 · 1018, kvadriljon: 1 · 1024 Kvintilijon je {tevilo s 30 ni~lami: 1 · 1030 15

tiso~ice

enice

milijoni

desetice

milijarde

stotice

bilijoni

1000 T = 1 milijon 1000 M = 1 milijarda 1000 Md = 1 bilijon

B Smd Dmd Md Sm Dm M St Dt T S D E 1012 1011 1010 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100 4 0 7 8 3 0 0 4 7 0 2

Velika {tevila lažje prebere{, ~e {tevke pi{e{ združeno po tri od desne proti levi. V ZDA milijardi pravijo billion.

40783004702

pregledneje:

40 783 004 702

[tevila do 100 pi{emo z eno besedo. Stotice pi{emo z eno besedo. Ostala {tevila zapi{emo z ve~ besedami. 40 783 004 702 {tirideset milijard sedemsto triinosemdeset milijonov {tiri tiso~ sedemsto dva [tevilo lahko zapi{emo kot vsoto zmnožkov s potencami {tevila 10. 40 783 004 702

= 4 Dmd 7 Sm 8 Dm 3 M 4 T 7 S 2 E = = 40 000 000 000 + 700 000 000 + 80 000 000 + 3 000 000 + 4 000 + 700 + 2 = = 4 · 1010 + 7 · 108 + 8 · 107 + 3 · 106 + 4 · 103 + 7 · 102 + 2 · 100

({estnajst)

MatematikaUcbenik5.indb 16

20.9.2006 13:00:26

Naloge 1

Zapi{i {tevilo, ki ima a) 4 St 5 S 1 E, b) 5 Dt 5 D, c) 5 Sm 6 M 5 St 8 T. Vsa {tevila zapi{i {e z besedo.

Poenostavi nerodne zapise. a) 16 Sm 52 T 12 D, b) 7 Md 35 Dm 3 T 15 S 27 E, c) 15 M 52 St 3 T 26 D 45 E. Vsa {tevila zapi{i {e kot vsoto deseti{kih potenc.

Zapi{i {tevilo s {tevkami. a) dvanajst milijonov petsto deset tiso~ osemsto dva b) sedem milijard osem milijonov devetdeset tiso~ tri c) sto pet milijonov osemsto triindvajset

Pribli`ne razdalje med Soncem in planeti v kilometrih: Venera 110 000 000 km Saturn 1 400 000 000 km Merkur 58 000 000 km Pluton 5 900 000 000 km Uran 2 900 000 000 km Zemlja 150 000 000 km Mars 230 000 000 km Jupiter 780 000 000 km Neptun 4 500 000 000 km Razvrsti planete po oddaljenosti od Sonca in zapi{i razdalje s potenco {tevila 10.

[tevilu 456358 pri{tevamo 162089. Katero {tevilo dobimo, ko peti~ pri{tejemo to {tevilo? Katero {tevilo dobimo, ko {tevilo pri{tejemo deseti~?

Re{ujemo probleme 1

Tilen si je v trgovini z igra~ami kupil družabno igro. Ko ga je mama vpra{ala, koliko je stala igra, ji je odgovoril z uganko: "Stotice so 4-krat ve~je od tiso~ic, enice 5-krat ve~je od desetic, na mestu stotic pa je 8. Cena igre vsebuje 1." Kolik{na je bila cena igra~e?

Razdalja med Zemljo in Soncem je približno 15 · 107 km, razdalja med Marsom in Soncem pa 2 · 108 km. Približno kolik{na je razdalja med Zemljo in Marsom, ko sta si planeta na svoji krožni poti okrog Sonca najblijže?

Družina Novak se je odpravila na potovanje po Sloveniji z avtomobilom. Njihova pot je bila naslednja: Ljubljana – Kranj – Bled – Kranjska Gora – Nova Gorica – Portorož – Postojna – Novo mesto – Celje – Ptuj – Murska Sobota – Maribor – Ljubljana.

Ko so se odpravili iz Ljubljane, je {tevec kilometrov kazal 051983. Koliko je kazal ob vrnitvi v Ljubljano? Razdalje med kraji poi{~i v tabeli na koncu knjige. 4

Razdalje v vesolju so velikanske in jih merimo v svetlobnih letih. Svetlobno leto je razdalja, ki jo v enem letu prepotuje svetloba in meri 9 458 944 712 700 km. Zaokroži velikost svetlobnega leta na milijarde. Nam najbližja zvezda Proksima Kentavra je od Zemlje oddaljena približno 4 svetlobna leta. Približno koliko kilometrov je to? Približno koliko kilometrov je dolga galaksija Rimska cesta, ~e vemo, da meri približno 100 000 svetlobnih let? Rezultat zapi{i s potenco {tevila 10.

(sedemnajst)

MatematikaUcbenik5.indb 17

20.9.2006 13:00:32

ŠTEVILA

Ocenjujemo razliko Kadar pla~ujemo kupljene stvari, je prav, da vnaprej ocenimo, koliko denarja nam mora prodajalka vrniti, ko ji izro~imo denar.

Tilen je kupil gorsko kolo za 324 €. Prodajalki je dal bankovec za 500 €. Mu bo prodajalka vrnila ve~ ali manj kot 100 €? ôkolada stane manj kot 350 €. ê bi stala 350 €, bi Tilen od prodajalke dobil nazaj 150 €. Torej mora Tilen dobiti ve~ kot 150 €. Tako smo dobili oceno, ki je manj{a od to~ne vrednosti. Ocenimo {e, koliko prav gotovo ne bo dobil nazaj. ôkolada stane ve~ kot 300 €. ê pa bi stala le 300 €, bi Tilen dobil nazaj 200 €. Iz obeh ocen lahko povemo, da bo prodajalka vrnila Tilnu med 150 € in 200 €. To~en izra~un potrdi na{i oceni: 500 € – 324 € = 176 €

V živalskem vrtu imajo afri{kega slona Jumba in indijskega slona Gandija. Jumbo je težak 4669 kg, Gandi pa le 3487 kg. Ocenimo razliko v njuni teži.

Katera ocena je natan~nej{a? Premisli in zapi{i utemeljitev.

Ocenimo razliko tako, da od{tejemo le tiso~ice.

4000 – 3000 1000

Zaokrožimo na tiso~ice in od{tejemo.

5000 – 3000 2000

Od{tejemo tiso~ice in stotice obeh {tevil.

4600 – 3400 1200

Dobili smo tri razli~ne ocene razlike. Vse tri ocene so smiselne.

4669 – 3487 1182

To pa je to~na vrednost razlike med te`ama obeh slonov.

(osemnajst)

MatematikaUcbenik5.indb 18

20.9.2006 13:00:34

Naloge 1

Oceni razlike tako, da od{teje{ le {tevke na najvi{jih mestih. a) 4568 – 3989 b) 2999 – 2015 c) 6811 – 3245 d) 5099 – 4999 e) 9880 – 6009 Izra~unaj {e to~ne vrednosti razlik. Kdaj so napake v oceni manj{e? Zakaj tako misli{? Oceni razlike tako, da zaokroži{ {tevila na najvi{je deseti{ko mesto. a) 678 – 509 b) 3659 – 2988 c) 1234 – 789 d) 10299 – 8909 e) 7019 – 6900 Iste ra~une oceni {e enkrat tako, da zaokroži{ {tevila na stotice. Kdaj je ocena bolj to~na? Zakaj tako misli{?

Dvigalo ima nosilnost 330 kg. Kako bi ocenil, ali se lahko družina skupaj s psom pelje v dvigalu, ~e je o~e težak 87 kg, mama 63 kg, Mija 37 kg, Rok 52 kg, Jo{t 59 kg in pes Flok 11 kg?

S pomo~jo ocene poi{~i to~no vrednost razlik. 567 – 312 4325 – 1845 34990 – 22890 a) 145 a) 3580 a) 22100 b) 255 b) 2880 b) 12100 c) 285 c) 2480 c) 11900 Zapi{i svoje ocenjevanje.

Skupna teža treh paketov je 730 kilogramov. Dva paketa skupaj sta težka 556 kilogramov. Oceni, med katerima dvema {teviloma je teža tretjega paketa.

Re{ujemo probleme 1

Ko je o~e odhajal na službeno pot, je {tevec kilometrov v avtomobilu kazal 8297. Ob prihodu domov je bilo na {tevcu zapisano 10199. Ali je o~e prevozil ve~ kot 2000 kilometrov?

Na CD lahko zape~emo 80 minut glasbe. Mark je zapekel že nekaj skladb, s skupno dolžino 68 minut in 45 sekund. Ali lahko zape~e {e dve, ki sta dolgi 5 minut 55 sekund in 4 minute 17 sekund? Brez ra~unanja oceni, ali je prostora na CD-ju {e dovolj. Nato {e izra~unaj.

Poredni {krat je na{el mo{nji~ek in v njem 11500 cekinov. V gostilni si je privo{~il kosilo za 2399 cekinov. Nato si je pri kroja~u naro~il suknjo za 5445 cekinov. Sedaj si ogleduje {e nove {kornje, ki stanejo 3199 cekinov. Oceni, ali ima v mo{nji~ku {e dovolj cekinov.

V živalskem vrtu so tehtali živali. Najtežji med njimi so: 3529 kg afri{ka slonica 745 kg žirafji samec bizonji samec 822 kg povodni konj 2989 kg morski slon 2109 kg nosorog 1256 kg

Z oceno ugotovi: a) Približno za koliko kilogramov je afri{ka slonica te`ja od morskega slona? b) Ali se žirafji in bizonji samec razlikujeta v teži za ve~ kot 50 kilogramov? c) Kateri dve živali se v teži razlikujeta za približno 800 kilogramov? d) Ali povodni konj tehta vsaj 500 kilogramov manj kot slonica?

(devetnajst)

MatematikaUcbenik5.indb 19

20.9.2006 13:00:40

ŠTEVILA

[tevilska premica Naravna {tevila so {tevila, s katerimi {tejemo. [tetje povežemo z urejenostjo {tevil. Vsakemu {tevilu sledi naslednje, za ena ve~je {tevilo.

Na {tevilski premici upodobimo naravna {tevila.

��

�

��

Naravna {tevila so urejena po velikosti. [tevila nara{~ajo po eno enoto v desno: 1 < 2 < 3 ... [tevilo je torej manj{e natanko takrat, ko leži na {tevilski premici bolj levo. Najmanj{e naravno {tevilo je {tevilo 1, medtem ko najve~je naravno {tevilo ne obstaja. Kadar {tevila upodobimo na {tevilski premici, ne zapi{emo vedno vseh {tevil. Nekatera ozna~imo le s ~rtico. Prav tako ne ri{emo vedno {tevilske premice z izhodi{~em. Pomembno je, da vemo, koliko predstavlja razmik med dvema zaporednima ~rticama. Razmik med ~rticama predstavlja: 1 enico

��

�

��

1 desetico

��

1 desetico

Nekatere stvari lahko uredimo, drugih pa ne. Stvari urejamo po neki lastnosti, ki jo imajo vse stvari. V~asih jim lahko glede na to lastnost dolo~imo vrstni red. Tim ima enako velike kocke razli~nih modrih odtenkov.

Kocke je uredil po svetlosti.

Kako bi Tim uredil enako velike kocke razli~nih barv?

(dvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 20

20.9.2006 13:00:45

Naloge 1

Nadaljuj zaporedje. a) 120, 130, 140, ..., 200 b) 4120, 4110, 4100, ..., 4050 c) 10085, 10090, 10095, ..., 10130 d) 9180, 9150, 9120, ..., 8880 Uredi {tevila po velikosti. a) od najve~jega do najmanj{ega 3261, 6009, 749, 2180, 10001 b) od najmanj{ega do najve~jega 7891, 3009, 3939, 4900, 2999

15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 210, 220, 230, 240, 250, 260 10001, 10002, 10004, 10005, 10007, 10009 345, 347, 350, 355, 358, 362, 367, 370

Zapi{i najve~je in najmanj{e petmestno {tevilo z vsoto {tevk 15. Koliko naravnih {tevil je med njima?

Na {tevilski premice predstavi zaporedja {tevil. a) 100, 200, 300, ..., 1000 b) 1000, 2000, 3000, ..., 15000 c) 500, 1000, 1500, ..., 10000 d) 150, 300, 450, ..., 3000 Številska premica naj ima ozna~eno izhodi{~e.

Na voljo ima{ karton~ke s {tevili:

Koliko razli~nih trimestnih {tevil lahko sestavi{? Števila zapi{i od najve~jega do najmanj{ega. 4

Na listkih so {tevke zapisane in razporejene, kakor prikazuje slika.

Zapisanih je nekaj razdalj med Ljubljano in evropskimi mesti v kilometrih. AMSTERDAM STOCKHOLM LONDON BERLIN PARIZ OSLO KÖBENHAVN ATENE VAR[AVA MADRID BRUSELJ

1280 2160 1460 1040 1330 1745 1530 1695 1150 2090 1225

Predstavi jih na {tevilski premici. Razmisli, kateri del premice bo{ prikazal in kak{ni bodo razmiki. 5

Predstavi zapisana {tevila na {tevilski premici. Razmisli, kateri del premice bo{ narisal in kak{en razmik med ~rticami bo{ prikazal. a) b) c) d)

Re{ujemo probleme

Race racajo k mlaki. Ena hodi pred dvema, ena med dvema in ena za dvema. Koliko jih je?

V parih zamenjuj sosednji {tevki tako, da je novo {tevilo manj{e od prej{njega. Zapi{i vse korake. Katero je kon~no {tevilo? 5

Pri sosedovih imajo {tiri otroke. Maja je ve~ja od Tilna. Tilen je manj{i od Marka. Mark je manj{i od Maje. Brina je ve~ja od Maje. Razvrsti sosedove otroke po velikosti.

Šivilja ima veliko gumbov. Gumbi so razli~nih velikosti in barv. Nekateri imajo 2 luknji, nekateri 4, nekateri pa se pri{ijejo skozi luknjico na spodnji strani. Poleg okroglih gumbov ima {ivilja tudi {tirioglate in tak{ne, ki imajo obliko raznih predmetov, na primer avtomobilov, rožic, živali. Šivilja bi rada pri gumbih naredila red. Kako naj jih razvrsti v {katle? Predlagaj nekaj na~inov.

(enaindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 21

20.9.2006 13:00:52

Ĺ TEVILA

Predhodnik, naslednik, sodost in lihost Predhodnik {tevila je {tevilo, ki je od danega {tevila za 1 manj{e. Naslednik {tevila je {tevilo, ki je od danega {tevila za 1 ve~je. Na {tevilski premici predhodnik {tevila leĹži levo, naslednik pa desno od {tevila. Predhodnik [tevilo Naslednik

aâ&#x20AC;&#x201C;1

1099

23479

101009

1100

23480

101010

a+1

1101

23481

101011

Vsako naravno {tevilo ima svojega naslednika med naravnimi {tevili. Sodim {tevilom v~asih pravimo tudi parna {tevila, lihim pa neparna.

Vsako naravno {tevilo, razen {tevila 1, ima svojega predhodnika med naravnimi {tevili. Naravno {tevilo je sodo, ~e je deljivo z 2. [tevilo, ki ni sodo, je liho.

Kako pa bi poiskali predhodnike in naslednike {tevil, ki jih zapi{emo z izrazom a + 3?

Si Ĺže kdaj opazoval hi{ne {tevilke v ulici? Pogosto so na eni strani ulice sode hi{ne {tevilke, na drugi strani pa lihe.

405

1001

3409

22000

Predhodnik

a+2

407

1003

3411

22002

[tevilo

a+3

408

1004

3412

22003

Naslednik

a+4

409

1005

3413

22004

(dvaindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 22

20.9.2006 13:00:56

Naloge 1

Zapi{i predhodnike in naslednike {tevil 2, 45, 100, 399, 1001, 5489 in 23010. [tevila predstavi v tabeli.

Poi{~i vsoto predhodnika {tevila 150 in naslednika {tevila 725. Ali dobi{ enako vsoto, ~e se{teje{ kar zapisani {tevili? Napi{i, zakaj.

Zapi{i soda {tevila, ki so ve~ja od 1005 in manj{a od 1025.

Tina je svojo sedemmestno telefonsko {tevilko zaupala prijateljici Manci z uganko: "Za~ne se s 4. Vsota prvih treh {tevk je enaka vsoti zadnjih {tirih {tevk. Nobena od {tevk ni liha." Ali bo Manca lahko poklicala Tino?

Koliko je dvomestnih {tevil, zapisanih s samo sodimi {tevkami? Koliko pa jih je v primeru, ~e se v zapisu sodi {tevki ne ponovita? Na peronu stoji tovorni vlak. Matej pravi: "Na 13. vagonu je velik rovokopa~." Jure pa pravi: "^e pa {teje{ od zadnjega vagona, je rovokopa~ na 26. vagonu." Kako dolg vlak opazujeta Matej in Jure?

Re{ujemo probleme 1

Rok je odprl matemati~ni u~benik in ugotovil, da je se{tevek sosednjih strani 253. Na katerih straneh je odprt u~benik? Ali ga lahko Rok odpre tako, da bo vsota sosednjih strani sodo {tevilo?

Tomažu je so{olec Peter povedal, da stanuje v deveti hi{i v ulici. Katero hi{no {tevilko ima Petrova hi{a? Bo Peter na{el Tomažev dom?

Zapi{i predhodnike in naslednike {tevil. a) a + 5, c + 1 b) b – 2, d – 1 Izberi si nekaj vrednosti za a, b, c in d ter izra~unaj.

Filip zapisuje naravna {tevila od 1 pa vse do 100. Ali vse {tevke zapi{e enakokrat? Kolikokrat bo zapisal {tevko 9? Kolikokrat bo zapisal {tevko 2?

^e se{teje{ predhodnik, {tevilo in naslednik, dobi{ 57. Poi{~i to {tevilo.

Ali so naslednje trditve pravilne? V pomo~ si zapi{i kak{en primer {tevil, o katerih govori trditev. a) Liho {tevilo je predhodnik sodega {tevila. b) Naslednik sodega {tevila je sodo {tevilo. c) Zmnožek sodega in lihega {tevila je liho {tevilo. d) Vsota dveh lihih {tevil je sodo {tevilo. e) Zmnožek dveh lihih {tevil je liho {tevilo. f) Vsota lihega {tevila in sodega {tevila je liho {tevilo. g) ^e se{teje{ liho {tevilo sodih {tevil, je vsota sodo {tevilo. h) ^e se{teje{ liho {tevilo lihih {tevil, je vsota liho {tevilo.

(triindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 23

20.9.2006 13:01:01

ŠTEVILA

Magi~ni kvadrat Stara kitajska legenda pravi, da je reka Lo poplavila dolino. Ljudje so reki prinesli darove, da bi pomirili jeznega re~nega boga. Iz vode je prilezla želva z nenavadnim vzorcem pik na oklepu. Iz vzorca pik so ljudje izra~unali, kako ukrotiti reko. Pike so bile razporejene po poljih mreže, ki je bila {iroka 3 in dolga 3 polja. V vsaki vrstici, stolpcu in diagonali je bilo skupaj 15 pik. Kvadratu, ki ponazarja želvin vzorec, {e danes re~emo kvadrat Lo [u.

Magi~ni kvadrat je razporeditev zaporednih naravnih {tevil od 1 naprej v kvadratno mrežo tako, da je vsota {tevil v vsaki vrstici, stolpcu in po diagonalah enaka. Tej vsoti pravimo kvadratovo magi~no {tevilo. Slavni slikar Albrecht Dürer (1471−1520) je v graﬁki Melanholija upodobil magi~ni kvadrat s stranico 4. V zadnji vrstici srednji dve {tevili sestavljata letnico nastanka slike. Katero je magi~no {tevilo tega kvadrata?

Tu sta {e dva magi~na kvadrata z velikostjo 4 krat 4 polja. Izra~unaj njuni magi~ni {tevili.

Poskusi sestaviti svoj magi~ni kvadrat.

({tiriindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 24

20.9.2006 13:01:03

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Re{i magi~ne kvadrate. Njihovo magi~no {tevilo je 15. 8

7 5

Leonhard Euler je bil {vicarski matematik, ki je `ivel v 18. stoletju. Eulerjev kvadrat, ki je zapisan, ni magi~ni. Zakaj ne? ^e postavi{ {ahovskega konji~ka na polje s {tevilom 1, lahko v nara{~ajo~em zaporedju ska~e{ na vsa {tevila do 64. Nari{i pot {ahovskega konji~ka v svoj zvezek.

Kak{no pot bi narisal tvoj prst, ~e bi zaporedoma sledil {tevilom v kvadratu Lo [u v ravnih ~rtah? Ali bi bila pot simetri~na? Nari{i v zvezek.

1 2

Kaj se zgodi z magi~nim kvadratom Lo [u, ~e vsakemu {tevilu pri{tejemo 8? Ali je vsota vrstic, stolpcev in obeh diagonal {e vedno enaka?

Tale stari magi~ni kvadrat, velik 4 krat 4 polja je iz Indije iz 12. stoletja. Bi ga znal re{iti?

14 8

Mnoge znane ljudi so prevzeli magi~ni kvadrati. Leta 1750 je Benjamin Franklin sestavil magi~ni kvadrat z velikostjo 8 krat 8 polj. Katero je njegovo magi~no {tevilo? Se{tej {tevila, ki so v ogli{~ih. Kolik{na je vsota? Se{tej vsa {tiri {tevila v sredini kvadratne mre탑e. Kolik{na je vsota? Kvadrat razdeli na ~etrtine. Se{tej vrstice ali stolpce v ~etrtinah. Katero {tevilo dobi{? 52 61

62 51 46 35 30 19

13 20 29 36 45

53 60

59 54 43 38 27 22

57 56 41 40 25 24

10 23 26 39 42

50 63

64 49 48 33 32 17

15 18 31 34 47

Kaj pa v Franklinovem magi~nem kvadratu? Poskusi {e v ostalih magi~nih kvadratih. Kaj se zgodi s potjo tvojega prsta, ~e sledi zaporedju samo lihih ali pa samo sodih {tevil? Nari{i v zvezek.

12 21 28 37 44

55 58

Sestavi svoj magi~ni kvadrat velikosti 3 krat 3 z magi~im {tevilom 21. Ali jih zna{ sestaviti ve~? Namig: Pomagaj si z 2. nalogo.

(petindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 25

20.9.2006 13:01:04

ŠTEVILA

Lastnosti se{tevanja in od{tevanja Vsota dveh naravnih {tevil je naravno {tevilo. Razlika dveh naravnih {tevil pa ni vedno naravno {tevilo. Zakaj ne?

Zakon o zamenjavi [tevili, ki ju se{tevamo, v ra~unu lahko zamenjamo. Vsota se ne spremeni. 35 + 15 = 15 + 35 0

^e poljubnemu {tevilu pri{teje{ ali od{teje{ 0, se to {tevilo ne spremeni. 675 + 0 = 675 675 – 0 = 675 n+0=n n–0=n

Zakon o združevanju Pri se{tevanju treh {tevil je vseeno, ali se{tejemo najprej prvi dve {tevili in dobljeni vsoti pri{tejemo tretje {tevilo, ali pa najprej se{tejemo zadnji dve {tevili in dobljeni vsoti pri{tejemo prvo {tevilo. Vsota se ne spremeni. Vrstni red ra~unanja ozna~imo z oklepaji. (8 + 13) + 17 = 8 + (13 + 17) 0

^e pri ra~unanju uporabi{ zgoraj zapisani pravili, lahko spretneje ra~una{. [tevila v ra~unih se{tevanja lahko poljubno združuje{. Razmisli, zakaj smo zdru`ili ta {tevila.

16 + 47 + 25 + 13 + 44 = (16 + 44) + (47 + 13) + 25 = 60 + 60 + 25 = 145 Od{tevanje je obratna operacija se{tevanju. S se{tevanjem napravimo preizkus, ali smo pravilno od{teli. 50 – 15 = 35, saj je 35 + 15 = 50 0

30 35 40

-15

Pri od{tevanju zakon o zamenjavi in zakon o združevanju ne veljata. Poglejmo {tevilska primera. 20 – 10 = 10

Ra~un 10 – 20 se bo{ nau~il izra~unati ~ez nekaj let.

(70 – 35) – 20 = 35 – 20 = 15 70 – (35 – 20) = 70 – 15 = 55

({estindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 26

20.9.2006 13:01:06

Naloge 1

Izra~unaj vsote. Zapi{i oklepaje, da pokaže{, kaj bo{ izra~unal najprej. Primer: 5 + 12 + 28 = 5 + (12 + 28) = 5 + 40 = 45 a) 47 + 64 + 46 b) 103 + 67 + 44 c) 12 + 88 + 37 d) 34 + 25 + 15 + 66 e) 73 + 27 + 32 + 38 f) 81 + 31 + 39 + 19 Spretno izra~unaj. Zapi{i vse korake ra~unanja. Zapi{i oklepaje, da poka`e{, kako ra~una{. a) 35 + 17 + 23 + 38 + 15 b) 103 + 23 + 87 + 17 c) 66 + 25 + 78 + 24 + 45 d) 333 + 56 + 107 + 27 + 26 e) 138 + 223 + 140 + 215 + 22 + 103 f) 164 + 33 + 204 + 156 + 17 + 36

Re{ujemo probleme 1

Na voljo ima{ dve se{tevanji ter devet dvojk. Kje postaviti znaka + med devet 2 tako, da dobi{ najve~je {tevilo, in kje, da dobi{ najmanj{ega? Kolik{na je razlika med tema {teviloma?

Vsota treh {tevil je 1000. Vsota prvega in drugega {tevila je 565. Prvo in tretje {tevilo se razlikujeta za 30. Dolo~i vsa tri {tevila. Ali je pravilnih re{itev ve~?

Tine ima tri ~rne kocke. Vse tri vrže hkrati in se{teva pike. Na koliko razli~nih na~inov lahko vrže 15 pik? Zapi{i jih.

Potem kocke zamenja in vzame rde~o, modro in rumeno kocko. Ponovno hkrati vrže vse tri kocke in se{teva pike. Na koliko razli~nih na~inov lahko vrže vsoto 15 pik sedaj?

Izra~unaj. + 211 = 302 a) = 489 b) 567 – – 49 = 85 c) = 105 d) 68 + = 515 e) 356 + – 718 = 956 f) = 198 g) 409 – + 98 = 219 h) Se{tej tri {tevila. Prvo {tevilo je 1123. Drugo je za 279 ve~je od prvega, tretje pa za 278 manj{e od prvega. Dobro si oglej vsa tri {tevila. Kako bi najhitreje izra~unal vsoto? Ra~unaj lepo po vrsti od leve proti desni. a) 23 + 45 + 21 + 34 – 31 + 15 b) 67 – 34 + 19 – 23 + 78 – 41 c) 78 + 23 – 56 – 12 + 31 – 29 d) 44 + 39 – 11 + 29 – 37 + 15 e) 56 + 27 – 33 + 17 – 19 + 38 f) 31 + 67 – 35 + 16 – 28 – 12

Pazi, kocke so razli~ne: met 6, 6, 3 ni enak metu 6, 6, 3. 4

Razlika dveh {tevil je 24. Obe {tevili sta pri upodobitvi na {tevilskem traku enako oddaljeni od 24. Poi{~i ti dve {tevili.

Izmisli si ra~une in preveri trditve o ra~unih od{tevanja. a) ê od{tevanec zmanj{amo, se za isto vrednost razlika zve~a. b) ê zmanj{evanec zve~amo, se za isto vrednost razlika zmanj{a. c) ê od{tevanec in zmanj{evanec zve~amo za isto vrednost, se razlika ne spremeni. d) ê od{tevanec in zmanj{evanec zmanj{amo za isto vrednost, se razlika ne spremeni.

(sedemindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 27

20.9.2006 13:01:09

ŠTEVILA

Se{tevamo in od{tevamo Dvoj~ka Jure in Luka sta ob koncu {olskega leta od babice in dedka dobila 150 € ter od tete 100 €. Jure je {e isti dan obiskal trgovino z igra~ami in si kupil model avtomobil~ka za 62 € in ra~unalni{ko igrico za 56 €. Luka pa si je v knjigarni kupil knjigo za 72 €. Koliko denarja jima je {e ostalo? Jure je ra~unal: • dobila sva: 150 € + 100 € = 250 € • kupil sem avto: 250 € – 62 € = 188 € • kupil sem igrico: 188 € – 56 € = 132 € • Luka je kupil knjigo: 132 € – 72 € = 60 € Luka pa je ra~unal: • kupila sva avto, igrico in knjigo: 62 € + 56 € + 72 € = 190 € • ostalo nama je: 250 € – 190 € = 60 € Katera pot ra~unanja je po tvojem mnenju lažja?

Jure in Luka sta ra~unala vsak po svoji poti in dobila isti rezultat. Jure je ra~unal po vrsti. Luka je najprej se{tel vse kupljene vrednosti in dobljeno vsoto od{tel od denarja, ki sta ga dobila od babice in dedka. Operaciji se{tevanja in od{tevanja sta enakovredni operaciji. ^e se{tevanje in od{tevanje v ra~unu nastopata skupaj, lahko • ra~unamo po vrsti ali • se{tejemo skupaj se{tevance in skupaj od{tevance ter nato od vsote se{tevancev od{tejemo vsoto od{tevancev.

45 – 12 + 4 – 10 + 8 – 6 – 2 = = (45 – 12) + 4 – 10 + 8 – 6 – 2 = = (33 + 4) – 10 + 8 – 6 – 2 = = (37 – 10) + 8 – 6 – 2 = = (27 + 8) – 6 – 2 = = (35 – 6) – 2 = = 29 – 2 = 27

45 – 12 + 4 – 10 + 8 – 6 – 2 = = (45 + 4 + 8) – (12 + 10 + 6 + 2) = = 57 – 30 = 27

(osemindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 28

20.9.2006 13:01:11

Naloge 1

Od{tevaj po korakih kot v primeru. 156 – 67 = 156 – 60 – 7 = (156 – 60) – 7 = = 96 – 7 = 89 a) 312 – 37 b) 567 – 88 c) 733 – 62 d) 1045 – 78 e) 6789 – 293 f) 9108 – 519

Spretno izra~unaj. a) 95 – 23 – 17 – 8 + 5 b) 56 – 17 + 54 – 33 + 11 c) 150 + 27 – 64 – 16 + 23 d) 45 + 36 – 37 + 24 – 53 e) 11 + 109 – 47 + 35 – 33 + 12 f) 147 – 89 – 16 + 43 – 44 – 1

Poi{~i manjkajo~i {tevili. Zapi{i pripadajo~a ra~una.

V {olskem letu 2005/2006 je bilo na {oli 437 u~encev. V 9. a je bilo 21 u~encev, 9. b 24 u~encev in 9. c 19 u~encev. Vsi so uspe{no zaklju~ili {olanje. V {olskem letu 2006/2007 se je v {olo vpisalo 53 prvo{ol~kov. Koliko u~encev je na {oli v {olskem letu 2006/2007? Vstavi + in – tako, da bodo ra~uni pravilni. 13 22 17 8=0 67 9 21 7 = 30 28 16 8 32 = 36 23 66 41 20 = 110 17 38 77 56 = 112 62 47 28 13 = 30

Re{ujemo probleme 1

Pal~ica Lina si mese~no zapisuje, koliko cekinov je dobila in koliko porabila.

Koliko cekinov je imela Lina ob koncu meseca? Kaj misli{, ali je Lina zapisovala to~ne zneske ali zaokrožene vrednosti? 2

Postavi znaka za se{tevanje in od{tevanje med {tevila tako, da bodo rezultati ra~unov pravilni. a) 23, 15, 47; rezultat 45 b) 12, 23, 55, 33; rezultat 57 c) 112, 66, 14; rezultat 60 d) 88, 32, 15, 24; rezultat 65

Izra~unaj. + 111 + 36 = 200 – 34 – 66 = 222 – 317 – 78 = 68 – 35 – 22 = 66

Jure se v {olo vozi z mestnim avtobusom. Njegova vožnja se pri~ne na za~etni postaji avtobusa in kon~a na 5. postaji. V~eraj si je na svoji poti beležil {tevilo potnikov na avtobusu. Za~etna postaja: 11 1. postaja: vstopilo 22, izstopili 3 2. postaja: vstopilo 23, izstopilo 17 3. postaja: vstopilo 18, izstopilo 9 4. postaja: vstopilo 7, izstopilo 21 5. postaja: vstopilo 15, izstopilo 25

Koliko potnikov se je odpeljalo s 5. postaje? Od katere postaje je bilo na avtobusu najve~ potnikov?

(devetindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 29

20.9.2006 13:01:14

ŠTEVILA

Množimo Po{tevanko do 100 znamo vsi na pamet. Z njeno pomo~jo izra~unamo vsako mno`enje.

Zakon o zamenjavi Zmnožek je enak, ~e faktorja med seboj zamenjamo. 7·8=8·7

Koliko je cvetnih listov? V vsaki vazi je 5 ro`, vsaka ro`a ima 4 cvetne liste, vaze so 3: (5 · 4) · 3. Vaze so 3, v vsaki vazi je 5 ro`, vsaka ro`a ima 4 cvetne liste: (3 · 5) · 4.

Zakon o združevanju Zmnožek je enak, ~e pri množenju treh faktorjev najprej množimo prva dva faktorja ali pa najprej zmnožimo zadnja dva faktorja. (3 · 5) · 4 = 3 · (5 · 4) Ve~ faktorjev lahko mno`imo v poljubnem vrstnem redu. 4 · 3 · 5 · 25 = 3 · 5 · 4 · 25 = (3 · 5) · (4 · 25) = 15 · 100 = 1500 za m

Zapi{imo v matemati~nem jeziku obe pravili: 0·n=0 1·n=n

e n ja

m o fa ktor

zdr

u ži m o

fa kto r

ê {tevilo pomnoìmo s {tevilom 0, je zmnoèk vedno enak 0. Zmnožek {tevila z 1 je vedno enak za~etnemu {tevilu. Tudi ve~ja {tevila lahko zmnožimo kar na pamet, ~e zakon o zamenjavi in zakon o združevanju spretno uporabimo. zapi{emo kot zmnoèk

zdru `i m o

32 · 25 = (8 · 4) · 25 = 8 · 4 · 25 = 8 · (4 · 25) = 8 · 100 = 800

75 · 36 = (3 · 25) · (4 · 9) = 3 · 25 · 4 · 9 = (25 · 4) · (3 · 9) = 100 · 27 = 2700 zapi{emo kot zmno`ek

zamenjamo in zdru`imo

(trideset)

MatematikaUcbenik5.indb 30

20.9.2006 13:01:17

Naloge 1

Ponovi. a) 3 · 5 b) 4 · 3 c) 5 · 4

Re{ujemo probleme

Enega od faktorjev zapi{i kot zmnožek in izra~unaj ~imbolj spretno. Primer: 24 · 25 = (6 · 4) · 25 = 6 · (4 · 25) = 6 · 100 = 600 a) 5 · 48 d) 125 · 48 · b) 4 75 e) 42 · 50 c) 32 · 125 f) 16 · 25 V razredu je 13 u~encev in 12 u~enk. Koliko razli~nih parov rediteljev lahko izberejo, a) ~e par sestavljata u~enec in u~enka, b) ~e spol ni pomemben. Koliko parov rediteljev pa lahko sestavite v tvojem razredu?

Izra~unaj ~imbolj spretno. Zapi{i vse korake ra~unanja. a) 4 · 8 · 25 · 7 d) 8 · 29 · 25 · 50 b) 89 · 5 · 0 · 2 e) 12 · 125 ·16 · 5 c) 35 · 80 ·15 · 5

Izra~unaj. Primer: 6 · 80 = 480 600 · 8 = 4800 60 · 800 = 48000 a) b) c) d) e)

Spretno izra~unaj na pamet. a) 24 · 25 b) 28 · 75 c) 72 · 125 d) 250 · 24

Njiva tulipanov ima 46 vrst. V vsaki vrsti je posajenih 400 tulipanov. V 21 vrstah so zasajeni rde~i tulipani. Ostale vrste so dvobarvne. Na za~etku vsake je 80 rumenih tulipanov, ostali pa so beli. Koliko tulipanov je na njivi? Koliko je belih tulipanov?

Koliko razli~nih dvomestnih {tevil lahko zapi{e{ le s {tevkami 1, 2, 3, 4, 5? Koliko tromestnih {tevil bi lahko zapisal z njimi? Koliko razli~nih dvomestnih {tevil lahko zapi{e{, ~e za desetice uporabi{ le omenjenih pet {tevk, za enice pa vse {tevke od 0 do 9?

Manca je imela vre~ko bonbonov. Polovico bonbonov je podarila prijateljici Tja{i. Tja{a je doma polovico bonbonov dala bratu Juretu. Jure je polovico svojih bonbonov pojedel, ostalo mu jih je {e 6. Koliko bonbonov je Manca dala Tja{i?

d) 7 · 8 e) 6 · 9 f) 8 · 5

Tja{a 5

Manca

Jure

Izra~unaj 9 · 4, 9 · 44, 9 · 444, 9 · 4444. Opazuj {tevke v dobljenih zmnožkih. Brez ra~unanja zapi{i zmnožka 9 · 44444, 9 · 444444. Preveri, ali je tvoje predvidevanje pravilno.

70 · 800 300 · 90 500 · 700 30 · 9000 40 · 600

(enaintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 31

20.9.2006 13:01:23

ŠTEVILA

Delimo Marko ima 84 kart. ^e izra~una 84 : 6, potem ima lahko v mislih, a) koliko kart bo dobil vsak od {estih prijateljev, b) koliko prijateljev lahko igra, ~e vsak dobi 6 kart.

Deljenje je množenju obratna operacija. ^e je 30 : 6 = 5, potem je 5 · 6 = 30. Z množenjem preizkusimo, ~e smo pravilno delili. Deljenje naravnih {tevil zapi{emo tudi z ulomkom. =5 [estina od 30 je 5: 16 od 30 = 30 6 Pri deljenju zakona o zamenjavi in združevanju ne veljata. 3:1=3 1 : 3 = 13 rezultata nista enaka

(16 : 4) : 2 = 4 : 2 = 2

V matemati~nem jeziku zapi{emo: 0:n=0 n:1=n

16 : (4 : 2) = 16 : 2 = 8

[tevilo 0 lahko delimo s poljubnim {tevilom. Rezultat deljenja je vedno 0. 0 : 5 = 0 Kadar delimo z 1, sta deljenec in koli~nik enaka. 5 : 1 = 5 Z 0 ne smemo deliti. 5 : 0 Delimo zaporedno: 64 : 2 : 4 = (64 : 2) : 4 = 32 : 4 = 8

72 : 3 : 3 = (72 : 3) : 3 = 24 : 3 = 8

^e je v ra~unu ve~ zaporednih deljenj, si lahko deljenje poenostavimo. Deljence zmnožimo in nato delimo: 64 : 2 : 4 = 64 : (2 · 4) = 64 : 8 = 8 72 : 3 : 3 = 72 : (3 · 3) = 72 : 9 = 8 Marko je 84 igralnih kart razdelil v kup~ke na prav poseben na~in. Vsak naslednji kup~ek je imel za polovico manj kart kot kup~ek pred njim. Koliko kart je v kup~kih, ~e je zložil karte v 3 kup~ke?

Deljenje z okroglimi {tevili 2500 : 50 = 50 2100 : 7 = 300 12000 : 600 = 20 Opi{i postopek ra~unanja. Kaj se dogaja z ni~lami?

Vemo, da bo zadnji, tretji kup~ek najmanj{i. Nari{emo snopi~ iz nekaj kart. Drugi kup~ek ima 2-krat ve~ kart kot tretji. Drugi kup~ek nari{emo kot dva snopi~a kart. Tretji kup~ek je dvakrat ve~ji od drugega, zato nari{emo 4 snopi~e. Na sliki imamo 7 enakih snopi~ev kart, ki so zloženi v kup~ke. V enem snopi~u je 84 kart : 7 = 12 kart Prvi kup~ek: 12 · 4 = 48 Drugi kup~ek: 12 · 2 = 24 Tretji kup~ek: 12 · 1 = 12 Odgovor: V prvem kup~ku je 48, v drugem 24 in tretjem kup~ku 12 kart.

(dvaintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 32

20.9.2006 13:01:25

Re{ujemo probleme

Naloge 1

Deli. a) 48 : 4 b) 60 : 12 c) 180 : 9

d) 121 : 11 e) 84 : 7 f) 96 : 6

Spretno izra~unaj. a) 500 : 4 : 25 b) 600 : 15 : 2 c) 240 : 3 : 8

d) 72 : 2 : 2 : 2 e) 81 : 3 : 3 f) 240 : 5 : 4

Izra~unaj. a) 30000 : 50 b) 42000 : 6000 c) 48000 : 600

d) 990000 : 1100 e) 24000 : 12 f) 1000000 : 2500

Kremen~kovi imajo v kleti 600 litrov kisa. Hranijo ga v pollitrskih steklenicah, ki so zložene v kartonskih {katlah. V vsaki {katli je 12 steklenic. Koliko {katel imajo v kleti?

Gostilna Sokec vsak teden naro~i 810 litrov soka. Sok je shranjen plastenkah, ki dr`ijo liter in pol. Te so zložene v pakete po 6 plastenk. Koliko tak{nih paketov tedensko pripelje Sadko v gostilno?

Mojca bere knjigo s 726 stranmi. Prebrala je že 166 strani. Koliko dni jo bo {e brala, ~e bo vsak dan prebrala 20 strani? Koliko strani na dan je prebrala, ~e jo je brala 8 dni?

Babica je spekla 128 pi{kotov za svoje tri vnuke. Ko so jo obiskali, so skupaj pojedli polovico pi{kotov. Ostale pi{kote pa je babica razdelila. Najstarej{i jih je dobil polovico, mlaj{a dvoj~ka pa vsak polovico preostalih. Koliko pi{kotov je dobil vsak?

[tevilo 4 deli {tevilo 32. Pomnožimo obe {tevili s 5. Dobimo zmnožka 20 in 160. Ali 20 deli 160? Ali je koli~nik prvega deljenja enak koli~niku drugega deljenja? Kaj pa, ~e {tevili 4 in 32 pomnoži{ z drugim {tevilom? Kak{en je koli~nik v tem primeru? Izra~unaj dva primera. Kaj lahko sklepa{? Ali podoben sklep velja tudi za par {tevil 6 in 18? Preveri.

Miha pospravlja svoja vozila v manj{e {katle. V {katlo lahko spravi 15 osebnih avtomobil~kov ali 6 tovornjakov. Avtomobil~kov ne me{a s tovornjaki. Koliko tovornjakov je pospravil v {katle, ~e je napolnil 6 {katel in pospravil 54 vozil?

Na kmetiji Rovtar so pridelali 3200 kg krompirja. Kmet Polde pakira krompir v 30 kilogramske in 50 kilogramske vre~e. Koliko vre~ krompirja je kmet napolnil, ~e je {tevilo enih in drugih vre~ enako?

Na voljo ima{ {tevke 0, 2, 4 in 8. Sestavi ra~un deljenja : tako, da bo koli~nik a) ~im ve~ji, b) ~im manj{i, c) enak 20.

[tiri~lanska družina je od{la na izlet s potovalno agencijo. Pla~ali so 180 €. Kolik{na je cena izleta za odrasle in kolik{na za otroke, ~e otroci pla~ajo polovi~no ceno?

(triintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 33

20.9.2006 13:01:28

ŠTEVILA

Ve~kratniki {tevil Ve~kratnik {tevila dobimo tako, da {tevilo pomnožimo s poljubnim naravnim {tevilom. a

1·a

2·a

3·a

4·a

5·a

6·a

7·a

8·a

9·a

10 · a

V tabeli smo zapisali prvih 10 ve~kratnikov {tevil 2, 3 in 6. [tevila 6, 12 in 18 so ve~kratniki {tevila 2 in {tevila 3. ^e bi z zapisovanjem nadaljevali, bi med njimi ponovno zapisali {tevila, ki so hkrati ve~kratniki {tevila 2 in {tevila 3. Imenujemo jih skupni ve~kratniki {tevil 2 in 3.

v(2,4) = 4 v(3,4) = 12 v(4,6) = 12 Preveri. Najve~jega skupnega ve~kratnika ni. Vedno lahko {tevilo pomnožimo s {e ve~jim {tevilom od prej{njega in dobimo nov, ve~ji ve~kratnik.

Najmanj{i skupni ve~kratnik dveh {tevil je najmanj{e {tevilo med skupnimi ve~kratniki. V matemati~nem jeziku zapi{emo: v(2,3) = 6 Vsi skupni ve~kratniki so ve~kratniki najmanj{ega skupnega ve~kratnika. Skupni ve~kratniki {tevila 2 in 3 so ve~kratniki {tevila 6. To so {tevila: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...

2e 2e

O~e tlakuje vrtno pot. Na voljo ima plo{~e dveh velikosti in oblik. Pot tlakuje tako, kot vidi{ na sliki: položi eno vrsto enih plo{~, nato eno vrsto drugih. Koliko enot je lahko {iroka pot, da mu plo{~ ni potrebno rezati? Ker plo{~ ne bi rad rezal, se morata obe dolžini plo{~ na {irini poti ujeti: Pot je lahko {iroka 3 kvadratne plo{~e, 6 kvadratnih plo{~, … Pot je lahko {iroka 2 pravokotni plo{~i, 4 pravokotne plo{~e, … [irina poti v enotah je: 6, 12, 18, … Možne {irine poti so lahko enake le skupnemu ve~kratniku obeh {irin. Skupne ve~kratnike lahko dolo~imo tudi ve~ {tevilom. [tevilo

Ve~kratniki

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...

4, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 36, 40, 44, 48, ...

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, ...

Skupni ve~kratniki {tevil 3, 4 in 6 so 12, 24, 36, ... Bi znal nadaljevati? v(3,4,6) = 12

({tiriintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 34

20.9.2006 13:01:29

Naloge 1

Zapi{i prvih 6 skupnih ve~kratnikov {tevil. a) 3, 4 b) 2, 5 c) 2, 8 d) 4, 5 e) 6, 8

Zapi{i prvih 10 ve~kratnikov {tevil 3, 5 in 7. Med njimi poi{~i skupne ve~kratnike 3 in 5, 3 in 7 ter 5 in 7. Ali je med zapisanimi ve~kratniki {tevilo, ki je skupni ve~kratnik vseh treh hkrati?

Dolo~i najmanj{i skupni ve~kratnik {tevil. a) 2, 3, 4 b) 3, 6, 7 c) 4, 5, 9 d) 2, 6, 8 e) 3, 6, 9

Ob vrtni poti je mama zasadila krokuse na enakih razdaljah. Dve žabi sta veselo skakali po njih. Prva žaba je presko~ila vedno tri krokuse, druga je skakala kraj{e in je presko~ila le dva krokusa hkrati. Koliko od 30 krokusov je ostalo nepo{kodovanih, ~e sta obe žabi za~eli skakati pred prvim krokusom?

Miha ima rad `ivali. Doma ima hr~ka in zlato ribico. Hr~kovo kletko ~isti vsak tretji dan, akvarij zlate ribice vsak drugi dan. V nedeljo je po~istil bivali{~i obeh `ivali. Kateri dan v tednu se bo to ponovno zgodilo? Kolikokrat v 30 dneh po~isti obe bivali{~i isti dan?

Re{ujemo probleme 1

Dve zobati kolesi sta med seboj povezani. Prvo ima 36 zob, drugo pa 24. Kolikokrat se zavrti malo kolo, ko se ve~je zavrti enkrat? Kolikokrat se zavrti ve~je kolo, ko se malo zavrti trikrat?

Na glavni cesti skozi naselje so trije semaforji. Prvi prižge zeleno lu~ vsake 3 minute, drugi vsake 4 minute in tretji vsakih 6 minut. Ob 9.00 so isto~asno prižgali zeleno lu~. Kdaj bodo naslednji~ vsi hkrati prižgali zeleno lu~? Ali lahko pove{ naslednje ~ase, ko se bo zelena lu~ prižgala isto~asno?

Peter, Mark in Rok so teka~i. Skupaj trenirajo, vendar ne te~ejo enako hitro. Ko Peter prete~e en krog na atletski stezi, je Mark pretekel že tretjino drugega kroga, Rok pa le dve tretjini prvega kroga. Kdaj se ponovno sre~ajo na startni ~rti? Koliko krogov je pretekel vsak ?

Ali velja naslednja trditev? 66 je ve~kratnik {tevila 6, zato 6 deli 66. Razmisli, ali lahko namesto {tevila 66 zapi{e{ poljubni ve~kratnik {tevila 6.

Poi{~i najmanj{i skupni ve~kratnik prvih desetih naravnih {tevil.

(petintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 35

20.9.2006 13:01:33

Ĺ TEVILA

Delitelji {tevil Peter ima 24 kart. Koliko prijateljev lahko povabi k igri, ~e mora vsak igralec dobiti enako {tevilo kart?

j e d e li t e l j

[tevilo 6 je delitelj {tevila 18, saj se deljenje 18 : 6 izide. [tevilo 6 deli 18. 18 je ve~kratnik {tevila 6. Delitelji {tevila 18 so 1, 2, 3, 6, 9, 18. Vsako {tevilo ima vsaj dva delitelja, saj je vedno deljivo z 1 in s samim seboj. Delitelji {tevila 24 so 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. [tevila 1, 2, 3 in 6 so delitelji obeh {tevil hkrati. To so vsi skupni delitelji {tevil 18 in 24. Skupni delitelji so tista {tevila, ki delijo obe {tevili hkrati.

Mama bo na svojem cvetli~nem vrtu posadila tulipane dveh razli~nih barv. ^ebulic rde~ih tulipanov ima 48, ~ebulic rumenih tulipanov pa 36. ^ebulice bi rada posadila v skupine. V vsaki skupini bo enako {tevilo tulipanov iste barve. Najve~ koliko skupin tulipanov lahko posadi, da ji ne ostane nobena ~ebulica?

je v e ~ kra t nik

Mama mora dolo~iti {tevilo, ki deli obe {tevili ~ebulic. 48 delijo 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. 36 delijo 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Skupni delitelji 48 in 36 so 1, 2, 3, 4, 6 in 12. Najve~ji med skupnimi delitelji je 12. 48 : 12 = 4

36 : 12 = 3

Odgovor: Mama lahko naredi najve~ 12 skupin tulipanov. V skupinah bodo po 4 rde~i in 3 rumeni tulipani. Najve~ji skupni delitelj je med {tevili, ki delijo obe {tevili. Najve~ji skupni delitelj 36 in 48 je 12. Zapi{emo: D(36,48) = 12 ^e je skupni delitelj dveh {tevil le 1, pravimo, da sta si {tevili tuji. [tevili 35 in 48 sta si tuji.

Ob prebiranju ~ebulic je mama opazila, da je ena od ~ebulic rumenih tulipanov uni~ena. Kako naj preuredi skupine? Delitelji 35 so 1, 5, 7, 35. D(35,48) = 1 Odgovor: Mama lahko oblikuje eno samo skupino tulipanov.

({estintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 36

20.9.2006 13:01:35

Naloge 1

Zapi{i {tevila kot produkt dveh faktorjev na vse možne na~ine. a) 20 d) 100 b) 34 e) 92 c) 48 f) 85

Zapi{i vse delitelje {tevil. a) 27 d) 36 b) 54 e) 90 c) 42 f) 55

Re{ujemo probleme 1

Poi{~i delitelje {tevil. Izpi{i skupne delitelje. a) 24, 36 b) 54, 81 c) 96, 48 d) 36, 66 e) 15, 90 f) 28, 44

Na prazna mesta sodijo pojmi je delitelj, ne deli in je ve~kratnik. Vse pravilne izjave zapi{i v zvezek. a) 3 12 b) 45 9 c) 2 5 d) 27 9 e) 4 14 f) 7 21

Tine je prijatelju Tomažu zastavil {tevilsko uganko. "Ugotovi, kateri {tevili imata najve~ji skupni delitelj 6 in najmanj{i skupni ve~kratnik 36. ^e je prvo {tevilo 12, katero je drugo {tevilo?" Tomaž pa je Tinetu odgovoril s podobnim problemom: "Najve~ji skupni delitelj dveh {tevil je 30, najmanj{i skupni ve~kratnik je 420. Eno {tevilo je 210, katero je drugo {tevilo?"

Dolo~i, ali sta si {tevili tuji. a) 12 in 27 b) 34 in 48 c) 25 in 42 d) 17 in 34 e) 14 in 64 f) 13 in 52

Razi{~i. a) Katero {tevilo ima delitelje 1, 3, 5 in 15? b) Ali so lahko {tevila 1, 2, 3 in 5 vsi delitelji nekega {tevila? c) Kateri delitelj manjka 1, 3 in 6, da bodo to vsi delitelji {tevila? Katerega? ^e je re{itev ve~, zapi{i vsaj dve.

Maja je povabila na obisk nekaj prijateljic. Zanje je pripravila 12 lizik in 8 mandarin. Koliko prijateljic je povabila Maja, ~e vsaka od deklic, tudi Maja, dobi enako lizik in mandarin?

Poi{~i {tevili, ki imata samo a) dva delitelja, b) tri delitelje, c) {tiri delitelje.

Mizar mora iz treh desk, dolgih 240 cm, 1 m 6 dm in 3 m, na`agati enako dolge de{~ice. Kako dolge kose mora žagati? Koliko bo vseh kosov? Za vsako žaganje potrebuje 3 minute. Koliko ~asa bo žagal?

Zamisli si ra~une, da preveri{ trditvi. a) Vsako {tevilo deli poljubno izbrani ve~kratnik. b) ^e sta si {tevili tuji, je najmanj{i skupni ve~kratnik zmnožek obeh {tevil.

Mark izdeluje hi{ice iz lego kock. Vse hi{ice so enake. Za vsako potrebuje navadne kocke in stre{nike, posebne kocke za streho. Koliko hi{ic je zgradil, ~e je porabil 72 navadnih kock in 42 stre{nikov?

(sedemintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 37

20.9.2006 13:01:40

ŠTEVILA

Pisno množimo ve~mestna {tevila Ve~mestna {tevila množimo tako, da izra~unamo vmesne zmnožke. Te pi{emo v stolpec in jih na koncu pisno se{tejemo. Pri tem pazimo na pravilno podpisovanje.

Podplat na Katjinem ~evlju je dolg 26 cm. Katja je s podplati izmerila pot od vrat svojega doma do hi{nih vrat prijateljice Lare. Na{tela je 345 podplatov. Kolik{na je razdalja med vrati njunih domov? Katjin podplat: [tevilo podplatov: Razdalja:

26 cm 345 26 cm · 345

345 · 26

690 2070 8970

Zamenjamo faktorja, da opravimo le dve vmesni množenji namesto treh. 8970 cm = 89 m 70 cm

Odgovor: Razdalja med vrati Katjinega in Larinega doma je 89 m in 70 cm. Množenje z okroglimi {tevili in potencami {tevila 10 542 · 6000 = 542 · 6 · 103 = (542 · 6) · 103 = 3252 · 103 = 3252000

104 · 105 = 10000 · 100000 = = 1000000000 = 109 Zmnožek potenc {tevila deset je tudi potenca {tevila deset. Njena stopnja je ravno vsota stopenj obeh faktorjev. 3400 · 70000 = (34 · 102) · (7 · 104) = = 34 · 7 · 102 · 104 = 238 · 10 6

Rezultat množenja lahko ocenimo vnaprej. Faktorja zaokrožimo na najvi{jem mestu in zmnožek izra~unamo na pamet. Pri vsaki nalogi, kjer so v ra~unih velika {tevila, je prav, da si pomaga{ tako, da najprej napove{, kak{en mora biti rezultat, in {ele potem ra~una{. Ko na koncu primerja{ rezultat in oceno, lahko ugotovi{, ali je tvoj rezultat smiseln.

98907 · 689 593442 791256 890163 68146923

Ocenimo zmnožek: 100000 · 700 = 70000000

Ocena je ve~ja od pravega rezultata. Pravimo, da smo zmnožek ocenili navzgor.

(osemintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 38

20.9.2006 13:01:44

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Izra~unaj. a) 534 · 909 b) 89 · 1234 c) 7834 · 3905 d) 1009 · 528 e) 1939 · 82 f) 1111 · 1111

Izra~unaj. Rezultat zapi{i s potenco {tevila 10. a) 102 · 103 f) 223 · 30000 4 · b) 1000 10 g) 505 · 200 c) 107 · 6000 h) 12000 · 30 5 · 5 d) 10 10 i) 4000 · 2100 e) 12 · 2000 j) 3200 · 500

Organizator je za koncert glasbene skupine pripravil 3500 vstopnic. V predprodaji so prodajali vstopnice po 35 €. Na dan koncerta so prodali 275 vstopnic po ceni 50 €. Koncert je bil razprodan. Koliko denarja so dobili s prodajo vstopnic?

Hitrost ladij merimo v vozlih. Hitrost 1 vozel pomeni, da ladja prepluje 1852 m v 1 uri. Ladja Jadran pluje s hitrostjo 19 vozlov. Koliko je preplula v 3 urah?

Koliko sekund ima teden? Koliko minut ima leto? Koliko sekund ima leto?

[krat Polde si ogleduje ponudbo za nakup avtomobila.

Koliko cekinov bi {krat pla~al za avto v drugem primeru in koliko v tretjem? Koliko ve~ bi stal avto Pika na obroke kot s takoj{njim pla~ilom? 4

^love{ko srce utripne približno 70-krat v minuti. Kolikokrat utripne v enem dnevu? ^e je ~lovek živel 75 let, kolikokrat mu je utripnilo srce? Na katerem mestu bi zaokrožil rezultat?

Luka je v neki knjigi opazil naslednji ra~un:

€ €

Oceni zmnožek navzgor in nato izra~unaj to~no vrednost. a) 2305 · 621 b) 15015 · 970 c) 3901 · 2790 d) 4478 · 89 e) 75 · 5099 f) 219 · 10999 Obseg kolesa je 45 cm. Kolo se je na svoji poti zavrtelo 1200-krat. Kako dolgo pot je prevozilo?

716 · 342 1432 28640 214800 244872 Preveri, ali je rezultat množenja enak kot pri množenju, ki si se ga nau~il. Poskusi razložiti, zakaj je tako. Zmnoži po zgoraj zapisanem postopku 437 · 563, 6709 · 303 in 5639 · 570.

(devetintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 39

20.9.2006 13:01:48

ŠTEVILA

Ocenjujemo zmnožek Ocenjevali smo `e vsote in razlike. Tudi zmno`ke lahko v~asih le ocenimo in si prihranimo precej ra~unanja.

[ivilja Maja mora obrobiti 21 prtov. Za vsak prt potrebuje 289 centimetrov obrobnega traku. Koliko obrobnega traku mora kupiti? Prvo oceno dol`ine {ivilja Maja dobi tako, da pomnoži le {tevki na najvi{jih mestih.

Iz zmnožka Maja sklepa, da potrebuje ve~ kot 40 metrov obrobnega traku. Toda koliko ve~? [ivilja zmnoì zaokroèni vrednosti. ê želimo natan~nej{o oceno, uporabimo zaokrožanje.

Ali bo potrebovala ve~ ali manj kot 60 metrov obrobnega traku? Pri oceni je prvo {tevilo zaokroženo v ve~je {tevilo, drugo pa se je pri zaokrožanju zmanj{alo. Zato ne moremo odgovoriti brez razmisleka. Koliko metrov obrobnega traku naj kupi {ivilja, da ji ga ne bo zmanjkalo?

289 · 21 578 289 6069 Zakaj Maja tako razmi{lja?

Zapi{imo {e nekaj ocenjenih zmno`kov.

Zmnožek

Ocena z manj{imi okroglimi {tevili

Ocena z zaokrožanjem na najvi{jem mestu

Prava vrednost

509 · 57 126 · 17 468 · 32

500 · 50 = 25000 100 · 10 = 1000 400 · 30 = 12000

500 · 60 = 30000 100 · 20 = 2000 500 · 30 = 15000

29013 2142 14976

Prava vrednost je vedno ve~ja od ocene zmnožka okroglih {tevil. Prava vrednost je lahko ve~ja ali manj{a od ocene, ki jo dobimo, ~e pomno`imo zaokro`ena stevila.

({tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 40

20.9.2006 13:01:50

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Oceni zmnožke na oba na~ina, opisana v poglavju. Nato izra~unaj {e to~no vrednost. a) 398 · 27 b) 209 · 78 c) 567 · 98 d) 189 · 219 e) 211 · 99 f) 13 · 89 Prodajalec ogla{uje kav~. Kateri zmnožek bolje oceni ceno kav~a? a) b) c) d)

5 · 200 6 · 100 6 · 190 6 · 200

Parkiri{~e ima 77 vrst po 43 parkirnih mest. Kateri ra~un bi najbolje ocenil {tevilo parkirnih mest? a) 75 · 50 c) 70 · 40 · b) 80 45 d) 80 · 40

Oceni, kolikokrat ti utripne srce v 1 uri. Zapi{i postopek, ki si ga uporabil. Kdaj si uporabil to~no in kdaj ocenjeno vrednost?

[katla s pi{koti je te`ka 1250 gramov. V trgovini so skupaj pakirane 3 {kale. Kolik{na je te`a 12 paketov? Najprej oceni in nato izra~unaj pravo vrednost. Zapi{i oba ra~una.

Pri likovnem pouku bodo u~enci izdelovali mozaik iz papirnatih kvadratkov. Vsak u~enec bo na sliko nalepil 64 kvadratkov. Najprej so narezali pisan papir. Narezali so 1300 kvadratkov. Je papirnatih kvadratkov dovolj za 24 u~encev? ^e jih ni, koliko naj jih {e nare`ejo, da jih bo dovolj za vse?

Množili bomo {tevila, ki se kon~ujejo s 5. Oceni zmno`ek na {tiri na~ine, kot je prikazano in izra~unaj to~no vrednost.

€

Izra~unaj, za koliko se razlikujeta pravi in zaokroženi zmnožek. 3

Zapi{i nekaj zmnožkov, ki bi jih lahko ocenil z zapisanimi vrednostmi. Množenec in množitelj naj bosta ve~ja od 10 in imata {tevke razli~ne od 0. a) 1800 b) 4900 c) 420 d) 810 e) 1000 f) 990 Samo z ocenjevanjem razvrsti zmnožke po velikosti. 23 · 46 33 · 19 48 · 12 27 · 22 21 · 34 9 · 38 Nato jih izra~unaj in ugotovi, ali je tvoj vrstni red pravilen. Kje si napravil napako in zakaj?

Zaokroži Zaokroži Zaokroži enega navzgor, drugega navzdol navzgor navzdol 15 · 45

20 · 50

10 · 40

10 · 50

20 · 40

675

1000

400

500

800

a) 25 · 35 b) 55 · 65 c) 75 · 25 Kdaj je ocenjena vrednost najbližje to~ni? Ali velja ista ugotovitev za vse zmnožke? Izra~unaj povpre~no vrednost vseh {tirih ocenjenih zmnožkov. Kaj ugotovi{?

(enain{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 41

20.9.2006 13:01:53

ŠTEVILA

Delimo z ostankom Mnogokrat moramo stvari razdeliti na enake dele. V~asih je to mogo~e, v~asih pa ne. Kadar ni, pravimo, da delimo z ostankom.

Vsako {tevilo deli samo sebe. 3:3=1 1:1=1 47658 : 47658 = 1

^e {tevilo deli drugo {tevilo, to zapi{emo z navpi~no ~rto. 6:3=2 3�6 36 : 12 = 3 12�36 56 : 7 = 8 7�56

^e se deljenje ne izide, dobimo ostanek. Ostanek je vedno manj{i od delitelja. [tevilo 9 ne deli 47, zato zapi{emo: 45 = 9 · 5 + 2

Preizkus:

89 : 8 = 11 ost. 1 89 = 11 · 8 + 1

132 : 20 = 6 ost. 12 132 = 6 · 20 + 12

Razi{~i. Kdaj je {tevilo deljivo z 2? Kdaj je {tevilo deljivo s 5? Kdaj je {tevilo deljivo z 10? Seveda brez ostanka.

Tina razmi{lja: "U~iteljica ni omenila, da je {tevilo deljivo s 15. [tevilo ima pri deljenju s 15 lahko tudi ostanek. In to najve~jega, 14." Tina v zvezek zapi{e: 11 · 15 + 14 = 165 + 14 = 179 Tina sklepa: "Najve~je {tevilo, ki ima pri deljenju s 15 koli~nik 11, je 179."

(dvain{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 42

20.9.2006 13:01:55

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Deli in zapi{i preizkus. a) 95 : 7 b) 57 : 8 c) 103 : 3

d) 87 : 8 e) 92 : 3 f) 89 : 9

Deli in zapi{i preizkus. a) 323 : 20 b) 405 : 20 c) 6728 : 40

d) 3010 : 30 e) 639 : 40 f) 9792 : 70

O~e potrebuje za izdelavo lesenega stropa 260 žebljev. V trgovini so žeblji pakirani v paketke po 25 žebljev. Koliko paketkov naj kupi?

Poi{~i najmanj{e {tevilo, ki ima pri deljenju z 9 koli~nik 11.

Poi{~i najve~je {tevilo, ki ima pri deljenju z 12 koli~nik 12.

[tevila 906544, 745930 in 4357891 zaporedno deli s {tevili 101, 102, 103, ... Kolik{en je koli~nik in kolik{en ostanek pri vsakem deljenju? Zapi{i pravilo za deljenje s potencami {tevila 10.

U~iteljica bo obdarila svoje u~ence. Prinesla je vre~o s 118 bonboni. Koliko u~encev je v razredu, ~e je vsak dobil 5 bonbonov? Koliko bonbonov je ostalo u~iteljici?

Mama ti da bonbone, ki jih mora{ pravi~no razdeliti z bratom. Ko pre{teje{ bonbone, ugotovi{, da jih je 17. Kako jih bo{ pravi~no razdelil?

Babica Vera vlaga kisle kumarice. V vsak kozarec bo dala 9 kumaric. Koliko kozarcev naj pripravi, ~e ima 109 kumaric?

Delavci pa so dobili le 8 koli~kov. Dogovorili so se, da bosta prva in zadnja razdalja med koli~ki enaki ter razli~ni od ostalih. Na kak{nih razdaljah morajo sedaj postaviti koli~ke?

(triin{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 43

20.9.2006 13:02:03

ŠTEVILA

Potence Vzemi list papirja in ga prepogni. Ko list razgrne{, je s pregibom razdeljen na dva enaka dela. List zloži po pregibu in ga ponovno prepogni na polovico. ^e list ponovno razgrne{, bo s pregibi razdeljen na {tiri dele. Vsako od prej{njih dveh polj je razdeljeno {e na dva dela. Polj je 2 · 2 = 4. ^e list trikrat prepogne{, dobi{ 8 polj, ker je 2 · 2 · 2 = 8. [tevilo polj po 4 prepogibanjih je 16, ker je 2 · 2 · 2 · 2 = 16. [tevilo polj po 5 prepogibanjih je 32, ker je 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Po vsakem prepogibanju se {tevilo polj podvoji. Po {estih prepogibanjih bi jih torej bilo Kadar je stopnja potence 2, pravimo operaciji kvadriranje. Dobljena vrednost je kvadrat {tevila. Potenci s stopnjo 3 pravimo kub. Kvadrat {tevila 5 je 52 = 25. Kub {tevila 5 je 53 = 125.

Spomni se deseti{kih potenc, ki smo jih spoznali pri zapisovanju velikih {tevil. 4503411 = 4 · 106 + 5 · 105 + 3 · 104 + + 4 · 102+ 1 · 101 + 1 · 100

Zmnožek ve~ enakih faktorjev lahko kraj{e zapi{emo v obliki potence. Beremo: 2 na 6 ali {esta potenca {tevila 2 Ra~unski operaciji pravimo potenciranje. Osnova nam pove, katero {tevilo množimo. Stopnja nam pove, kolikokrat {tevilo množimo samo s seboj. Vrednost potence s stopnjo 0 je vedno 1. 50 = 1, 00 = 1, 2340 = 1 ^e potenciramo {tevilo 0, dobimo vedno 0. 03 = 05 = 0 Narisan je del družinskega drevesa tvojih prednikov. Koliko prapra...babic in prapra...dedkov si imel v 10. kolenu? 2. koleno 3. koleno 4. koleno

2 babici, 2 dedka 22 prababic, 22 pradedkov 23 praprababic, 23 prapradedkov

Sklepamo: 10. koleno: 29 prapra...babic in 29 prapra...dedkov 29 = (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2) · 2 · 2 · 2 = 64 · 2 · 2 · 2 = 128 · 2 · 2 = 256 · 2 = 512 Odgovor: V 10. kolenu sem imel 512 prapra...babic in 512 prapra...dedkov.

({tiriin{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 44

20.9.2006 13:02:05

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Zapi{i s potenco. a) 3 · 3 · 3 b) 5 · 5 · 5 · 5 · 5 c) 12 · 12 · 12 · 12 d) 2 · 2 · 2 · 3 · 3 e) 5 · 6 · 5 · 5 · 6 · 6 f) 2 · 4 · 4 · 4 · 2

Zapi{i {tevila 506, 1020304, 23090 in 237089 kot vsoto potenc {tevila 10.

Zapi{i s potenco {tevila 8, 9, 27, 64, 32 in 256.

Izra~unaj vrednosti potenc 05, 24, 33 , 52, 54, 210, 34 in 73.

Zapi{i kvadrate in kube {tevil od 1 do 10.

Katero {tevilo je ve~je?

a) 23

d) 42

b) 33

e) 15

c) 33

f) 82

Zapi{i potence 35, 16, 04 in 25 kot zmnožek enakih faktorjev. Vsakokrat dolo~i osnovo in stopnjo ter izra~unaj vrednost potenc. Zapisano predstavi v tabeli.

Izra~unaj vrednosti izrazov. Najprej potenciraj, nato se{tej in od{tej. a) 23 + 33 b) 15 – 14 c) 72 – 52 d) 110 – 010 e) 26 – 62 f) 53 – 82

Izra~unaj drugo potenco zapisanih {tevil in odkril bo{ zanimivo lastnost rezultatov. 12, 112, 1112, 11112, 111112, 1111112 Brez ra~unanja zapi{i 11111112. Nato z ra~unom preveri svojo napoved.

Na vrtu tete Magde raste ~arobna jablana. Deblo se razveji na tri veje in vsako pomlad na vsaki veji požene tri nove veje. Samo na novih vejah jeseni dozorijo temno rde~a jabolka, na vsaki veji tri.

Koliko vej ima drevo letos, ~e je teta Magda jeseni obrala 729 jabolk? Koliko let že raste drevo na njenem vrtu? 3

Peter je za prvi rojstni dan od strica Tomaža dobil 20 €. Vsako leto mu stric ob isti priložnosti podari dvakrat ve~ denarja kot prej{nje leto. Koliko denarja bo Peter dobil za svoj 10. rojstni dan? Re{itev zapi{i tudi v obliki potence.

Bakterije se razmnožujejo tako hitro, da se vsak dan povr{ina, ki jo prekrivajo, podvoji. Gojitveno posodo so prekrile v 32 dneh. Kateri dan so prekrile ~etrtino povr{ine posode?

(petin{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 45

20.9.2006 13:02:09

ŠTEVILA

[tevilski izrazi in vrstni red ra~unskih operacij [tevilski izraz je smiselno zaporedje {tevil, ra~unskih operacij in oklepajev. Poznamo že pet ra~unskih operacij: se{tevanje, od{tevanje, množenje, deljenje in potenciranje.

Kadar v ra~unih nastopa ve~ ra~unskih operacij, moramo paziti na vrstni red ra~unanja. Najprej izra~unamo tisto, kar stoji v oklepaju. ^e je oklepajev ve~, najprej izra~unamo vrednost izraza v notranjih oklepajih, nato pa v zunanjih. V izrazu brez oklepajev najprej potenciramo, nato množimo in delimo, nazadnje pa se{tevamo in od{tevamo. 4 + 5 · 7 = 4 + 35 = 39

40 – 20 : 22 = 40 – 20 : 4 = 40 – 5 = 35

6 · (5 + 3 · 5) = 6 · (5 + 15) = 6 · 20 = 120

[tevilski izraz lahko predstavimo z diagramom.

Kadar nastopa ve~ oklepajev, ra~unamo takole:

[tevilo predklepajev mora biti enako {tevilu zaklepajev.

((3 + 5) · 4 + 2 · 7 ) · 2 + 5 = = (8 · 4 + 2 · 7) · 2 + 5 = = (32 + 14) · 2 + 5 = = 46 · 2 + 5 = = 92 + 5 = 97

Pred veleblagovnico Tara je parkiri{~e. V vsaki od 25 vrst je prostora za 20 avtomobilov. V 12 vrstah so zasedena vsa parkirna mesta. V 8 vrstah je zasedenih po 15 parkirnih mest. Na parkiri{~e je pripeljalo {e 12 avtomobilov. Koliko prostih parkirnih mest bo ostalo? Zapi{imo {tevilski izraz, ki ustreza besedilu naloge. (25 – 12) · 20 – 8 · 15 – 12 =

polno zasedene vrste

avti, ki i{~ejo parkirna mesta delna zasedenost

= 13 · 20 – 8 · 15 – 12 = 260 – 120 – 12 = 128 Odgovor: Na parkiri{~u je prostora {e za 128 avtomobilov.

({estin{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 46

20.9.2006 13:02:13

Naloge

Re{ujemo probleme

Izra~unaj. a) 3 + (15 – 7) · 2 b) (5 – 3) · 8 – 2 c) (18 – 7) · (10 – 5) d) 22 – 2 · 4 + (7 + 2 · 3)

Izra~unaj vrednost izraza. a) (5 + 2 – 1) · (5 + 2 + 1) · (5 – 2 – 1) – (5 · 2 – 1) b) (32 – 23) – (24 – 42) · 33 c) (48 : 4 : 3 – 3) · 5 + (3 + 5) · 22 d) 8 : 22 + 42 : (33 – 3 · 7)

Zapi{i {tevilske izraze, kot narekuje besedilo, in jih izra~unaj. a) Razliko {tevil 657 in 333 zmanj{aj za 303. b) Zmnožek {tevil 40 in 9 pove~aj za razliko {tevil 100 in 55. c) Koli~niku {tevil 88 in 11 dodaj 32. d) Zmnožku {tevil 8 in 15 od{tej kvadrat {tevila 5.

Uporabi se{tevanje, od{tevanje, mno`enje in deljenje ter pet {tevil: 2, 3, 4, 5 in 6. Sestavi {tevilski izraz tako, da bo njegova vrednost najve~ja. Vsako ra~unsko operacijo lahko uporabi{ le enkrat. Ali se najve~ja vrednost izraza spremeni, ~e uporabi{ oklepaje?

Vstavi {tevke

Izra~unaj {tevilske izraze tako, da a) upo{teva{ vrstni red operacij in oklepaje, b) zbri{e{ oklepaje in upo{teva{ le vrstni red operacij. 34 + (5 + 3) · 6 – 3 · (12 – 4) 56 : (8 – 6) · (5 + 3) – 12 65 – 2 · (15 – 8) · 3 + 32 · (10 – 5) 5 · (22 – 3 · 6) + (66 – 2 · 8) · 4

· + · polja najprej tako, da dobi{ najmanj{o vrednost, in nato {e tako, da dobi{ najve~jo vrednost. 4

V {tevilskih izrazih je zapisanih veliko oklepajev. Pozorno si oglej {tevilski izraz in ga izra~unaj. a) (3 + 2 · (4 + 5)) · 2 – 5 · 6 b) 8 + 2 · (6 + 3 · (8 – 4 · 2) – 2 · 3) + 9 c) (4 + 6 · 2) · (2 + 2) + 4 · 3 d) (3 · (34 – 12) – (18 + 3) : 3) · (24 : (24 – 18))

Postavi oklepaje tako, da bodo ra~uni pravilni. a) 5 + 3 · 5 + 6 · 2 + 3 = 70 b) 9 · 3 + 7 – 5 · 3 + 6 = 45 c) 36 : 3 + 6 – 2 + 2 · 2 = 4 d) 25 + 6 · 2 + 4 – 5 · 6 – 6 = 51

S {tirimi {tiricami in operacijami +, –, : in · sestavi ra~une tako, da bo{ zaporedoma dobil rezultate 0, 1, 2, ... in 10.

Izra~unaj. a) b) c) d)

(45 – 20) · (32 : 8) + 17 89 – 45 + 3 · (7 + 3 · 5 – 4 · 3) 105 : (3 · 5 – 10) – 3 · (49 : 7) 56 + 23 · 8 – 32 · (40 : 22)

Narisan je potek ra~unanja. Zapi{i {tevilski izraz, ki mu pripada, in ga izra~unaj.

v prazna

(sedemin{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 47

20.9.2006 13:02:15

ŠTEVILA

Zakon o raz~lenitvi 8

Za operaciji se{tevanja in množenja velja naslednja zveza: (8 + 12) · 5 = 8 · 5 + 12 · 5 Vsota dveh {tevil, pomnožena s tretjim {tevilom, je enaka vsoti zmnožkov. ^e faktorja v zmno`ku zamenjamo, lahko zapi{emo: 5 · (8 + 12) = 5 · 8 + 5 · 12 Zapisani enakosti se imenujeta zakon o raz~lenitvi. Zakon o raz~lenitvi uporabljamo pri pisnem množenju. 315 · 17 = = 315 · (10 + 7) = = 315 · 10 + 315 · 7 = = 3150 + 2205 = 5355

Sam preveri zapisane enakosti.

[tevilo 17 zapi{emo kot 10 + 7. Raz~lenimo drugi faktor. Množimo z deseticami in enicami. Zmnožka se{tejemo.

Zaradi zakona o raz~lenitvi velja: (67 – 7) · 8 = 67 · 8 – 7 · 8 (36 + 54) : 6 = 36 : 6 + 54 : 6 (91 – 21) : 7 = 91 : 7 – 21 : 7 Vsoto dveh zmnožkov z vsaj enim enakim faktorjem lahko zapi{emo kot zmnožek vsote in faktorja. Postopek imenujemo izpostavljanje skupnega faktorja. 7 · 67 + 7 · 23 = 7 · (67 + 23) = 7 · 90 = 630 Sadjarstvo Jablana na tržnici prodaja jabolka v zabojih. V ponedeljek zjutraj so na tržnico pripeljali 125 zabojev jabolk. Popoldne, ko so tržnico zapirali, jim je ostalo {e 35 zabojev. Koliko so v Sadjarstvu Jablana zaslužili, ~e stane zaboj jabolk 13 €? Zjutraj so imeli: Ostalo jim je: Dnevni zaslu`ek:

Zakone o zamenjavi, združevanju in raz~lenjevanju uporabimo za spretnej{e ra~unanje.

125 zabojev 35 zabojev

€

(125 – 35) · 13 € (125 – 35 ) · 13 = = 90 · 13 = 90 · (10 + 3) = = 90 · 10 + 90 · 3 = = 900 + 270 = = 1170

Odgovor: V ponedeljek so zaslužili 1170 €.

(osemin{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 48

20.9.2006 13:02:18

Naloge 1

Izra~unaj tako, da uporabi{ zakon o raz~lenitvi. a) 4 · 8 + 4 · 12 b) 3 · 13 + 3 · 7 c) 5 · 148 + 5 · 52 d) 465 · 7 – 65 · 7 e) 313 · 8 – 213 · 8 f) 127 · 6 – 67 · 6

Izpostavi skupni faktor in izra~unaj. a) 12 · 34 + 66 · 12 d) 48 + 8 · 24 · + · b) 33 27 33 23 e) 115 – 5 · 14 c) 17 · 18 – 7 · 18 f) 25 · 25 – 225

Izra~unaj na pamet. Pomagaj si z raz~lenitvijo enega faktorja. a) 93 · 7 d) 8 · 57 b) 35 · 27 e) 105 · 11 · c) 4 325 f) 5 · 127

Izra~unaj ~imbolj spretno. Katere zakone ra~unanja si uporabil? a) 101 · 67 b) 25 · 22 c) 365 · 9 d) 121 + 11 · 36 e) 2 · 38 + 4 · 41 f) 9 · 21 – 25 · 3

Uporabi zakon o raz~lenitvi in pokaži, da je a) vsota 24 + 48 deljiva s 4, b) razlika 66 – 22 deljiva z 11, c) vsota 81 + 27 deljiva z 9, d) razlika 70 – 56 deljiva s 7, e) vsota 120 + 48 deljiva z 12, f) razlika 96 – 42 deljiva s 6.

Izra~unaj tako, kot v primeru. Primer: 23 · 45 + 50 · 45 + 27 · 45 = (23 + 50 + 27) · 45 a) 47 · 60 + 23 · 60 + 22 · 60 + 8 · 60 b) 123 · 9 + 67 · 9 – 34 · 9 – 56 · 9 c) 8 · 34 – 22 · 8 + 106 · 8 – 48 · 8 d) 7 · 49 – 8 · 7 – 12 · 7 + 51 · 7 e) 11 · 25 – 7 · 11 – 11 · 11 + 3 · 11 f) 4 · 111 + 30 · 4 – 51 · 4 + 4 · 10

Izpostavi skupni faktor in izra~unaj vsote. Primer: 88 + 77 + 55 = 8 · 11 + 7 · 11 + 5 · 11 = = (8 + 7 + 5) · 11 = 20 · 11 = 220 a) 21 + 24 + 15 b) 40 + 56 + 64 c) 99 + 63 + 18 d) 24 + 54 + 36 + 42 e) 42 + 28 + 77 + 35 f) 21 + 36 + 6 + 18

Razmisli, ali velja tale trditev: Vsota dveh ve~kratnikov {tevila 3 je ve~kratnik {tevila 3. Pomagaj si s primeri in zakonom o raz~lenitvi.

Spretno izra~unaj a) (25 + 8) · 4 b) (8 + 22) · 3 c) (77 – 21) : 7 d) (45 + 99) : 9 e) 4 · (12 + 15) f) 8 · (11 + 19)

Re{ujemo probleme

Zapi{i besedilno nalogo, ki bi ustrezala zapisanemu izrazu, in jo re{i. a) (234 + 246) : 4 b) (75 – 15) · 8

(devetin{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 49

20.9.2006 13:02:19

ŠTEVILA

Re{ujemo besedilne naloge Besedilno nalogo pozorno preberi. Ali jo razume{? Poskusi jo prebrati {e enkrat. Kaj mora{ izra~unati?

1. korak: Izpi{emo, lahko tudi nari{emo, kaj poznamo. 1 sadika ......... 1 € 50 centov 1568 sadik ....... kupili Vsaka 10 sadika zastonj.

.....

Vrtnarstvo Cvet je pri uvozniku sadik kupilo 1568 sadik vrtnic. Sadika vrtnice stane 1 € 50 centov. Zaradi velike koli~ine je vrtnarstvo dobilo vsako 10 sadiko zastonj. Koliko manj so pla~ali za sadike zaradi popusta? 2. korak: Razmislimo, kak{no je vpra{anje v nalogi. Zanima nas razlika med ceno vseh sadik in ceno, ki so jo pla~ali pri Vrtnarstvu Cvet. Preverimo, ali imamo na voljo vse podatke. Vemo, kolik{na je cena sadike, koliko so jih kupili in kolik{en je popust. Podatke torej imamo. 3. korak: Razmislimo o poteku re{evanja. ^e bi Vrtnarstvo Cvet pla~alo vse sadike, potem bi bila cena enaka {tevilu vseh sadik pomnoženemu s ceno ene sadike. Koliko sadik niso pla~ali? Vsako 10. so dobili zastonj. [tevilo sadik moramo deliti z 10. Kar dobimo, je {tevilo sadik, ki so zastonj.

4. korak: Ra~unamo. Vrednost vseh sadik: 1568 · 1 € 50 centov = = 1568 · (1 € + 50 centov) = = 1568 € + 78400 centov = = 1568 € + 784 € = = 2352 € Toliko bi pla~ali. Koliko so pla~ali? 1412 · 1 € 50 centov = = 1412 · (1 € + 50 centov) = = 1412 € + 70600 centov = = 1412 € + 706 € = = 2118 € Toliko so pla~ali.

Koliko sadik niso pla~ali? 1568 : 10 = 156 ostane 8

156 sadik so dobili zastonj.

1568 – 156 = 1412

Toliko sadik so pla~ali.

Poi{~emo, koliko manj so pla~ali. Brez popusta bi pla~ali 2352 €. Pla~ali pa so 2118 €.

2352 – 2118 234

To pomeni, da so pla~ali 234 € manj.

5. korak: Preverimo pravilnost re{itve. Zapi{emo odgovor. Izra~unajmo po drugi poti. Vrednost 156 sadik: 156 · 1 € 50 centov = = 156 · (1 € + 50 centov) = = 156 € + 7800 centov = = 156 € + 78 € = = 234 € Rezultat je enak kot prej. Odgovor: Za sadike so pla~ali 234 € manj.

(petdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 50

20.9.2006 13:02:21

Naloge 1

Re{ujemo probleme

V moji družini je pet ~lanov, o~e, mama in trije otroci. Na{a imena so: Andreja, Tina, Cene, Matjaž in Barbara. Cene je mlaj{i od mene. Jaz sem starej{a od Barbare. Tina je mlaj{a od Matjaža. Matjaž je starej{i od Barbare. Kako mi je ime? Kdo sem jaz?

Lina in Sara imata skupaj 240 nalepk. Lina jih ima sedemkrat toliko kot Sara. Koliko nalepk ima Lina?

Rokov o~e pelje v {olo {e {tiri Rokove so{olce. Kako naj pobere otroke na njihovih domovih, da bo prevozil najmanj kilometrov?

Polž leze navzgor po vrtni ograji. Vsak dan se dvigne za 50 cm, vsako no~ zdrsne nazaj za 30 cm. Kdaj bo prilezel na vrh, ~e je ograja visoka 2 m?

Delavec tlakuje teraso. V vsaki vrsti je 15 plo{~. Ima 200 plo{~. Koliko plo{~ mu bo ostalo? Kaj je narobe z nalogo? Dopolni jo tako, da jo bo{ lahko re{il.

Posteljno pregrinjalo je sestavljeno iz barvnih kvadratkov in je veliko 10 krat 10 kvadratkov. Koliko modrih kvadratkov sestavlja pregrinjalo?

Med krajem Dol in krajem Gri~ je 16 kilometrov. Domen se odpravi iz Dola in v eni uri prehodi 3 kilometre. Isto~asno se z Gri~a odpravi Ga{per, ki v eni uri prehodi 5 kilometrov. Kak{na vpra{anja bi zapisal ob zastavljene ra~une? a) 3 · 2 b) 16 – (3 + 5) c) 16 : (3 + 5)

Za rojstnodnevno zabavo je Majina mama spekla kola~ke. [e preden se je zabava pri~ela, sta Maja in njena sestra pojedli 5 kola~kov. Na zabavo je pri{lo 8 Majinih prijateljic. Lina je pojedla 1 kola~ek, Tina 3 kola~ke, Meta 5 kola~kov ... in tako vsaka naslednja prijateljica do zadnje. Na koncu so na krožniku ostali {e 4 kola~ki. Koliko kola~kov je spekla mama?

Maja, Tja{a, Robi in Ga{per bodo imeli ~ez 10 let skupaj 100 let. Koliko let bodo skupaj imeli ~ez 5 let?

Zala je od babice dobila {katlo s pi{koti. Odlo~ila se je, da bo vsak dan pojedla nekaj pi{kotov. Prvi dan je pojedla sedmino pi{kotov, drugi dan je od pi{kotov v {katli pojedla {estino, ~etrti dan petino, peti dan ~etrtino, {esti dan tretjino in sedmi dan polovico. V {katli so ji ostali {tirje pi{koti. Koliko pi{kotov je dobila od babice?

ŠOLA

Stric Tone je na tržnici kupil 2 vre~i ~ebule in 3 vre~e krompirja. Skupna teža vre~ je bila 105 kg. Stric Janez pa je pri istem prodajalcu kupil 2 vre~i ~ebule in 6 vre~ krompirja, ki so bile skupaj težke 180 kg. Koliko kilogramov so težke vre~e krompirja in koliko vre~e ~ebule?

Vsota dveh {tevil je 205, njuna razlika 195, njun zmnožek 1000 in koli~nik 40. Eno {tevilo je trimestno, drugo enomestno. Poi{~i ti dve {tevili.

Dedek Tone se rad po{ali. Ko ga je vnuk Rok vpra{al, koliko je star, mu je odgovoril: "Danes sem star 66 let, 66 mesecev in 66 dni." Koliko let ima dedek Tone? Koliko dni je preteklo od njegovega rojstnega dne?

(enainpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 51

20.9.2006 13:02:23

ŠTEVILA

Sklepamo Seznanili se bomo s koli~inami, ki so med seboj povezane. Sprememba ene koli~ine povzro~i spremembo druge.

Mark je fotografiral psa ob vrtni ograji, ki je visoka 1 m 80 cm. Ko je bila slika razvita, je izmeril vi{ini ograje in psa. Ograja na sliki je bila visoka 6 cm, vi{ina psa je bila 2 cm. Koliko je visok pes? Sklep : Ograja in pes na sliki sta se enakokrat pomanj{ala. Ograja: 180 cm .......................... 6 cm Pes: cm .......................... 2 cm Ograja se je 30-krat pomanj{ala, saj je 180 cm : 6 cm = 30. Torej je pes visok 30-krat ve~ kot na sliki, 2 cm · 30 = 60 cm. Ob ograjo je prislonjena lestev. Na sliki meri 7 cm. Koliko je dolga v resnici? Vse stvari na sliki so 30-krat manj{e kot v resnici. Zato je lestev dolga 7 cm · 30 = 210 cm. ê delimo vi{ino ograje z izmerjeno vi{ino ograje na sliki, dobimo isto, kot ~e delimo vi{ino psa z izmerjeno vi{ino psa na sliki. Pravimo, da sta koli~ini v premem razmerju. 180 cm : 6 cm = 60 cm : 2 cm = 30 Jeseni so u~enci v gozdu nabirali želod za živalski vrt. Napolnili so 3 vre~e po 50 kg. Ker so vre~e zanje pretežke, so èlod pretresli v 6 enako te`kih vre~. Koliko so težke manj{e vre~e?

Sklep: Ker je manj{ih vre~ ve~, teža želoda pa enaka, bo vsaka manj{a vre~a težka manj od ve~je. 3 vre~e .................. 50 kg 6 vre~ .................... kg Ker se je {tevilo vre~ podvojilo, se bo teža vre~e razpolovila: 50 kg : 2 = 25 kg Lahko pa sklepamo tudi takole: ^e bi bila vre~a 1, bi bila 3-krat težja: 3 · 50 kg = 150 kg Ker je vre~ 6, bo v njih 6-krat manj kot v eni vre~i: 150 kg : 6 = 25 kg Odgovor: Vre~e bodo težke 25 kilogramov. Ko se pove~a ena koli~ina, se druga zmanj{a.

Teža posamezne vre~e se s {tevilom vre~ manj{a. Pravimo, da sta koli~ini v obratnem razmerju.

(dvainpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 52

20.9.2006 13:02:28

Naloge

Re{ujemo probleme

Pri nalogah najprej razmisli, ali sta koli~ini v premem ali v obratnem sorazmerju. Zapi{i tudi sklep. 1

Ma~ka Ta~ka poje en zavitek ma~je hrane na dan. Koliko jih poje v treh dneh? Mama je kupila 20 zavitkov. Koliko dni jih bo Ta~ka jedla? Po treh dneh od nakupa mora mama poskrbeti {e za sosedovo ma~ko, ki poje enako. Koliko dni ju bo lahko hranila s kupljeno koli~ino hrane?

Med dve družini moramo razdeliti dedi{~ino v vi{ini 13 880 €, za vsakega družinskega ~lana enako. V prvi družini so trije, v drugi pa pet ~lanov. Koliko denarja bo dobila posamezna družina?

Kmet je pridelal 720 kg ~ebule. ^ebulo je spravil v 20 vre~, v vsako enako. Koliko je bila te`ka vsaka vre~a? Dve vre~i sta se mu strgali. ^ebulo je razdelil v ostale vre~e, v vsako enako. Koliko so sedaj te`ke vre~e?

^e kolesar prevozi 15 km v 1 uri, prekolesari svojo obi~ajno krožno pot v 4 urah. Koliko ~asa bi kolesaril s hitrostjo 20 km na uro? Koliko kilometrov bi moral prevoziti v eni uri, ~e bi želel kolesariti 5 ur?

Mama je kuhala jagodno marmelado. Lansko leto je z 10 kilogrami jagod napolnila 8 kozarcev marmelade. Letos ima mama kozarce, ki so od lanskih manj{i za polovico. Koliko kozarcev bo napolnila letos, ~e ima 15 kilogramov jagod?

V litru morske vode je 5 gramov soli. Koliko morske vode vsebuje kilogram soli? Litru morske vode prilijemo {e liter vode iz vodovoda. Koliko soli vsebuje dobljena me{anica?

Tiskalnik izpi{e 20 znakov v sekundi. Kolikokrat bo zapisal besedo MATEMATIKA v 1 minuti?

Peter barva vrtno ograjo, dolgo 45 m. Po treh urah je prebarval 15 metrov ograje. Pridruži se mu {e prijatelj Luka, ki barva enako hitro. Koliko ~asa bosta barvala skupaj, da bo ograja prebarvana?

Babica Vera splete {al, dolg 150 cm, v 5 urah. Njena dvoj~ica Meta plete enako hitro. Koliko ~asa potrebujeta, da spleteta dva {ala, dolga 150 cm?

O~e v bazen~ek zliva vodo. Ima dve vedri razli~nih velikosti. Za poln bazen~ek potrebuje 36 ve~jih veder. Manj{e vedro je veliko za tretjino ve~jega. Kolikokrat bo moral o~e prinesti vodo v bazen~ek, ~e nosi obe vedri hkrati?

Med krajem Dol in krajem Log je 16 km dolga ravna cesta. Cene se odpravi iz Dola v Log. V 1 uri prehodi 5 kilometrov. Iz Loga se v Dol ob istem ~asu odpravi Jo{t. V 1 uri prehodi 3 kilometre. Zmenila sta se, da se sre~ata na polovici poti. Koliko ~asa bo preteklo od za~etka njune hoje do sre~anja? Kje bi se sre~ala in koliko ~asa bi preteklo, ~e bi hodila, dokler se ne bi "zaletela" drug v drugega?

Martin in Marjan skupaj obereta sadovnjak v 2 urah. Martin obira dvakrat hitreje kot Marjan. Koliko ~asa bi isti sadovnjak obiral Martin sam? Koliko ~asa bi za obiranje sadovnjaka potreboval Marjan?

(triinpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 53

20.9.2006 13:02:32

Gotovo si že opazil, da obstajajo razli~ne {tevilke ~evljev. V tabeli so zapisane mednarodne oznake velikosti ~evljev. Ženski

V vsakdanjem življenju se velikokrat sre~amo z razli~nimi tabelami. V njih so podatki pregledno urejeni. Iz tabel hitro razberemo želeni podatek. Tudi pri re{evanju matemati~nih nalog si lahko pomagamo s tabelami.

Mo{ki

ŠTEVILA

Izpolnjujemo tabele Anglija

2½

3½

4½

5½

6½

7½

ZDA

3½

4½

5½

6½

7½

8½

9½

35½ 36½

37½

7½

8½

Evropa

34½

Anglija

4½

5½

ZDA

5½

6½

7½

8½

38½ 39½

40½

42½

Evropa 37½

6½

39½ 40½

41½

9½

10½

9½

10½

43½

44½

Kaj lahko razbere{ iz tabele? Tabelo sestavljajo vrstice in stolpci. Vsako polje tabele vsebuje podatek. Prva vrstica in prvi stolpec ponavadi vsebujeta opis podatkov, predstavljenih v tabeli.

Vrednost pogovora na minuto v to~kah Redna 7.00 – 18.00 21 18.00 – 23.00 Nižja 15 5.00 – 7.00 No~na 23.00 – 5.00 5

Teta Magda ima mobilni telefon podjetja Klepet. Vrednosti pogovorov v to~kah so prikazane v tabeli. Koliko to~k porabi{ za 1, 2, 3, 4 in 5 minut pogovora v vseh treh ~asovnih obdobjih pri Klepetu?

Rezultate prikažemo v tabeli.

1 min

2 min

3 min

4 min

5 min

21 15 5

42 30 10

63 45 15

84 60 20

105 75 25

Redna Nižja No~na

Koliko to~k porabi teta Magda, ki je pri~ela klepetati ob 17.57 in zaklju~ila ob 18.15? Pogovor je prve tri minute potekal v ~asu redne vrednosti, preostalih 15 minut pa v ~asu nižje vrednosti. 63 + 3 · 75 = 63 + 225 = 288

Toliko to~k porabi.

Na svojem telefonskem ra~unu ima teta Magda {e 500 to~k. Koliko minut se lahko pogovarja v ~asu redne in koliko v ~asu nižje vrednosti? Približno ocenimo, koliko minut se lahko pogovarja. Za 5 minut v rednem ~asu porabi 105 to~k. Pogovarja se lahko manj kot 5 · 5 minut, ker je 5 · 105 > 500. Zapi{imo tabelo cen pogovorov od 20 minut dalje.

V ~asu nižje vrednosti lahko govori dalj ~asa. Iz tabele lahko hitro ocenimo, da je pogovor lahko dalj{i kot 30 minut.

20 min 21 min 22 min 23 min 24 min Redna

420

441

462

483

504

Nižja

30 min

31 min

32 min

33 min

34 min

450

465

470

485

500

Odgovor: Teta Magda lahko v ~asu redne vrednosti pogovora klepeta 23 minut, v ~asu nižje pa 34 minut.

({tiriinpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 54

20.9.2006 13:02:34

Naloge

Re{ujemo probleme Vsako nalogo predstavi z ustrezno tabelo.

Liter vode tehta 1 kg. Koliko tehta 1 dℓ, 5 dℓ, 1 ℓ, 2 ℓ, 3 ℓ 5 dℓ in 1 hℓ vode?

Sestavi tabelo, s katero bo{ prikazal, koliko ~asa porabi{ za umivanje zob. Tabela naj vsebuje podatke o ~asu, porabljenem za umivanje zob, v 1 dnevu, 7 dneh, 30 dneh in 365 dneh.

Avto na 100 km porabi 8 ℓ bencina. Koliko litrov porabi za 50 km, 150 km, 200 km in 1000 km?

Cena kola~ka na novoletni tržnici je 50 centov. ^e jih kupi{ ve~, je vsak peti zastonj.

Parkirnina na mestnem parkiri{~u se izra~una takole: Za prvo uro parkiranja se pla~a 2 €. Za vsako naslednjo za~eto uro parkiranja se pla~a 1€ 50 centov. ^e je parkiranje dalj{e od 6 ur, je cena parkiranja 10 €.

50 centov Zapi{i tabelo cen parkiranja za prvih 6 ur. Sestavi tabelo, ki bo prikazala ceno za nakup do 20 kola~kov. 5

Mark var~uje za novo gorsko kolo, ki stane 450 €. Ima že 150 €. Odlo~i se, da bo vsak mesec prihranil 52 €. ^ez koliko mesecev bo lahko kupil kolo? Zapi{i tabelo njegovih prihrankov.

Miha ima 28 frnikul, Tadej pa le 10. Miha se je odlo~il, da bo vsak dan dal eno frnikulo Tadeju, dokler jih ne bosta imela enako. Koliko dni bo to trajalo? Predstavi s tabelo, v kateri bo{ za vsak dan zapisal, koliko frnikul ima Miha in koliko Tadej.

Zala in Ema imata nekaj bonbonov. Zala pravi: "^e mi da{ 1 bonbon, jih bova imeli enako." Ema pa pravi: "^e mi da{ 1 bonbon, jih bom imela dvakrat toliko kot ti." Koliko bonbonov ima Ema in koliko jih ima Zala?

O~e je od{el od doma pe{. Vsako uro prehodi 5 km. Sin se je ~ez 3 ure za njim odpeljal s kolesom. Vsako uro prevozi 15 km. Kdaj bo sin dohitel o~eta?

Hr~ek na dan poje 5 g semen. Sestavi tabelo, ki bo prikazala, koliko gramov poje v 1, 2, 3, 5, 10,

15 in 30 dneh. Tja{a ima dva hr~ka. Za koliko dni ji bo zadostovala {katla hrane za hr~ke s 25 dag semena? Pomagaj si z že izpolnjeno tabelo. Kako jo bo{ dopolnil, da bo ustrezala nalogi? 6

Zapisana tabela prikazuje te`o zabojev jabolk in hru{k. Oglej si jo in dopolni manjkajo~e vrednosti. 1

5 125 kg

66 kg

10 2500 kg

(petinpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 55

20.9.2006 13:02:39

ŠTEVILA

^rke v matemati~nih izrazih V matematiki ne uporabljamo le {tevilk. V~asih namesto {tevilk v ra~unih pi{emo ~rke.

Matemati~ni izrazi so zapisana zaporedja {tevilk, operacij in ~rk. ^rkam, ki jih uporabljamo v izrazih, pravimo spremenljivke. Ponavadi uporabljamo male tiskane ~rke: a, b, ... 2 · 3 + 56, a + 6 · 7 – 23, 3 + x, 2 · a + b – 3 · (a · b)

Spremenljivka zato, ker se spreminja. Zamenjamo jo z razli~nimi {tevili.

izrazi

Na tržnici imata dva prodajalca limon vsak po pet enako velikih kupov limon in 110 grenivk. Koliko sadežev imata skupaj? Nalogo zapi{emo v matemati~nem jeziku. 1. korak: 2. korak: 3. korak: 4. korak:

Zaznamujmo {tevilo limon v kupu z a. [tevilo limon v 5 kupih. Pri{tejemo 110 grenivk. Dva prodajalca, podvojimo.

5·a 5 · a + 110 2 · (5 · a + 110)

Tabelirajmo zapisani izraz za razli~ne vrednosti a. {tevilo limon skupno {tevilo sade`ev

2 · (5 · a – 110)

180

280

380

480

2 · (5 · 40 – 110) V izrazu lahko ista ~rka nastopa ve~krat. Manca je dobila dve {katlici mentolovih bonbonov, Jure pa pet {katlic. Skupaj sta pojedla 10 bonbonov. Koliko bonbonov jima je {e ostalo? Zapi{emo z izrazom: 2 · a + 5 · a – 10 {tevilo bonbonov v {katlicah {tevilo bonbonov, ki so jima ostali

a b c 2·a·b–c

1 2 3 1

2 3 4 8

2·1·2–3

2 2 3 5

3 1 2 3

2 1 1 3

2 · a + 5 · a – 10

2 · 7 + 5 · 7 – 10 V izrazu lahko nastopa ve~ razli~nih ~rk. Isto ~rko vedno zamenjamo z istim {tevilom. Razli~ne ~rke pa lahko zamenjamo z razli~nimi {tevili.

2·2·1–1

({estinpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 56

20.9.2006 13:02:41

Naloge

Re{ujemo probleme

S tabelo predstavi prvih deset ve~kratnikov {tevil 2, 4 in 8.

Kilogram jabolk stane 212 g. Koliko stane 2 , 3 , ..., 10 popolnoma enakih jabolk? Zapi{i matemati~ni izraz in ga tabeliraj.

Izra~unaj vrednosti izrazov za podane vrednosti. a) a = 7 2 · a + 12 b) t = 10 (320 − t) + 109 c) b = 80 160 : b − b d) v = 66 3 · (v : 3 + 6) e) c = 0 56 + c − 56 · c f) z = 67 (107 + z) − (107 − z)

Za prvih 10 sodih {tevil tabeliraj izraz 10 · a – a : 2 · 10.

^e v spodnji ra~unski stroj vstavimo {tevilo, stroj na drugi strani izvrže rezultat. Zapi{i izraz, po katerem stroj ra~una.

I{~emo enomestno {tevilo, za katerega velja: ^e {tevilo pomnožimo s 3, dodamo 8, delimo z 2 ter od{tejemo 6, dobimo za~etno {tevilo. Poi{~i opisano {tevilo tako, da zapi{e{ matemati~ni izraz ter ga izra~una{ za razli~na enomestna {tevila. Rezultate svojih ra~unov predstavi s tabelo.

Ali je {tevilo, ki ga dobimo z izrazom a + 2, sodo ali liho? Kaj lahko pove{ o {tevilu, ki ga dobimo z izrazom 2 · a? Je sodo ali liho? Pomagaj si z nekaj primeri.

V trgovini z igra~ami prodajajo lesene kocke v paketih po 12 kock ali v paketih po 5 kock. Mama je kupila 99 kock. Domov je prinesla ve~ kot 10 paketov. Koliko paketov po 12 kock in koliko paketov po 5 kock je kupila?

Tabelo prepi{i v zvezek, pravili zapi{i z izrazom in zapolni prazna mesta.

Tabeliraj vrednost izraza za {tevila 12, 101, 222 in 1409. 6

Tabelo preri{i v zvezek in jo dopolni. Izmisli si nalogo, ki ima za re{itev ta izraz. a

7 19

Petkratniku {tevila od{tejemo njegov trikratnik. Kaj dobimo? Za vsaj osem {tevil izra~unaj vrednost izraza in vse skupaj predstavi s tabelo. Oglej si dobljene rezultate. Ali lahko izra~unane vrednosti dobi{ iz izbranih {tevil tudi po drugi poti? Zapi{i nov izraz.

pravilo 1

pravilo 2

4 18 42 48

15 17 1

8 2

Kolik{na je vrednost izraza a) 5 · a + 13, ~e je 5 · a = 20, b) 10 + a : 8, ~e je a : 8 = 7, c) 5 + 3 · (a · 3 + 2), ~e je a · 3 = 24, d) 2 · (5 + 3 · a) – 3 · a · 2, ~e je 3 · a = 3?

Izra~unaj izraz a · a + b · b za vrednosti a = 1, 2, 3 in b = 1, 2, 3. Rezultate prika`i v tabeli. Razmisli, koliko vrstic in koliko stolpcev bo imela tabela.

(sedeminpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 57

20.9.2006 13:02:45

ŠTEVILA

Pisno delimo Ve~mestna {tevila zelo težko delimo na pamet. S postopkom, ki mu re~emo pisno deljenje, pa lahko delimo {e tako velika {tevila, tudi ~e se deljenje ne izide.

Delimo kraj{e.

19756 : 8

Ocenimo vrednost 26890 : 9 na tiso~ice. Najbližja ve~kratnika 9 sta 2 · 9 = 18 in 3 · 9 = 27. Ker je 27 bližje 26 kot 18, te`o tovora na tovornjaku ocenimo s 3000 kg.

Ocena: 2000

19756 : 8 = 2432 37 25 16 56089 : 9

V skladi{~u na prevoz ~aka 26890 kg razsutega tovora. Potrebno ga je razdeliti na 9 tovornjakov tako, da bodo vsi tovornjaki enako nalo`eni. koliko kilogramov tovora bo na vsakem tovornjaku?

26890 : 9 = 2987 18 88 81 79 72 70 63 7 ostanek

Odgovor: Vsak tovornjak bo odpeljal 2987 kg tovora, 7 kg pa bo ostalo v skladi{~u.

Ocena: 6000

56089 : 9 = 6232 20 28 19 1 ostanek Preizkus: 6232 · 9 56088

56088 + 1 = 56089 V skladi{~u trgovine s ~evlji je 9405 {katel ~evljev. Koliko polic je zasedenih, ~e je na vsaki polici 20 {katel ~evljev? Od{tevamo: 94 – 80 = 14 Poi{~emo najbližji ve~kratnik {tevila 20, ki je manj{i od 94. To je 80.

9405 : 20 = 470

80 140 140 5 0 5 ostanek

Pripi{emo 0.

Od{tevamo: 140 – 140 = 0 Pripi{emo 5. 5 : 20 = 0 in ostane 5.

Preizkus: 470 · 20 = 9400 9400 + 5 = 9405 Odgovor: Zasedenih je 471 polic, 470 je polnih, na eni pa je le 5 {katel.

(oseminpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 58

20.9.2006 13:02:51

Naloge 1

Izra~unaj in napravi preizkus. a) 5437 : 8 b) 9098 : 7 c) 2380 : 6 d) 21678 : 4 e) 67076 : 6 f) 78943 : 5

Kolikokrat lahko {tevilo 8 od{teje{ od {tevila 23168?

V petek so v 5. a pisali {olsko nalogo iz matematike. Tja{a, Matej in Peter so se pogovarjali, koliko ~asa so v tem tednu namenili vajam iz matematike. Kdo je za matematiko porabil najve~ in kdo najmanj ~asa?

Deli in napravi preizkus. a) 4589 : 20 d) 6701 : 30 b) 5890 : 40 e) 103560 : 20 c) 67089 : 70 f) 203670 : 30

Zapisani so ra~uni deljenja. Z oceno ugotovi, kateri rezultati so napa~ni. a) 2046 : 6 = 441 b) 3785 : 5 = 757 c) 2051 : 7 = 393 d) 45088 : 8 = 5636 e) 59514 : 7 = 8502 f) 10986 : 3 = 4662 Nato sam izra~unaj vsa zapisana deljenja.

Re{ujemo probleme 1

[ivilja ima trak, dolg 170 cm. Za obrobo ene hla~nice potrebuje 24 cm. Ali bo lahko obrobila hla~nice 4 hla~? Nalogo re{i le tako, da oceni{ rezultat.

V lanski zimi je na smu~i{~u Mrzli dol trikrat sneĹžilo. Vsega skupaj je zapadlo 6234 mm snega. Ko je sneĹžilo drugi~, je zapadlo dvakrat ve~ snega kot prvi~. Ko je sneĹžilo tretji~, je zapadlo trikrat ve~ snega kot prvi~. Koliko milimetrov snega je zapadlo vsaki~?

V razredu je 27 u~encev. Vsak od njih potrebuje pri likovnem pouku 900 mm vrvi. Hi{nik jim je prinesel 24 m vrvi. Bo to dovolj za vse? Koliko so lahko najve~ dolgi kosi vrvi, da vsak u~enec dobi kos enake dol`ine?

V supermarketu imajo akcijsko prodajo ribjih konzerv. Paket 4 konzerv stane 2 â&#x201A;Ź. Izra~unaj, kolik{na je cena konzerve v paketu. ^e kupi{ 6 takih paketov, dobi{ eno konzervo zastonj. Koliko pa je vredna konzerva, ~e kupi{ 6 paketov hkrati?

(devetinpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 59

20.9.2006 13:02:55

ŠTEVILA

Povpre~na vrednost Premisli, ali ve{, kaj pomenita stavka: Povpre~na poraba goriva pri mestni vožnji je 11 ℓ na 100 km. Povpre~na koli~ina padavin meseca maja je bila ve~ja kot meseca aprila.

Kje si se že sre~al s pojmom povpre~na vrednost? Zapi{i nekaj stavkov.

Za ra~unanje povpre~ne vrednosti potrebujemo ve~je {tevilo meritev istega pojava.

Maja in Tilen postavljata stolpe iz kock. Vsak od njiju ima 30 kock. Maja je postavila 5 stolpov, Tilen pa 6. Kolik{na je povpre~na vi{ina? Majinih stolpov in kolik{na je povpre~na vi{ina Tilnovih stolpov?

Povpre~no vrednost izra~unamo tako, da vsoto vseh vrednosti delimo s {tevilom meritev. Povpre~na vi{ina Majinih stolpov je 6, ker je (5 + 4 + 8 + 6 + 5) : 5 = 6. Povpre~na vi{ina Tilnovih stolpov je 5, ker je (4 + 5 + 6 + 4 + 7 + 4) : 6 = 5. Nato sta Maja in Tilen preuredila svoje stolpe tako, da so bili vsi enako visoki.

Majini stolpi so bili visoki 6 kock, Tilnovi pa 5 kock. Vi{ini Majinih in Tilnovih stolpov sta enaki, kot sta povpre~ni vrednosti vi{ine.

��

V balonarskem klubu so v tabelo zapisali {tevilo poletov za posamezne mesece.

��

[tevilo poletov

apr

maj

jun

jul

avg

sep

��

�

��

Aprila, maja in avgusta je bilo poletov manj od povpre~ja, preostale tri mesece pa ve~.

V 6 mesecih je bilo povpre~no 80 poletov na mesec, ker je (58 + 65 + 88 + 98 + 76 + 95) : 6 = 480 : 6 = 80. [tevilo poletov so predstavili tudi s stolpi~nim prikazom in na njem ozna~ili povpre~no vrednost.

({estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 60

20.9.2006 13:03:01

Naloge

Re{ujemo probleme

Poi{~i povpre~no vrednost zapisanih {tevil. a) 0, 15, 12, 45, 38 b) 45, 39, 67, 45 c) 165, 165, 165, 169 d) 137, 275, 215, 212, 236 e) 110, 220, 330, 440, 550, 660

Pri skokih v daljino je Peter sko~il 148 cm, 152 cm, 136 cm in 144 cm. Kako dale~ je povpre~no sko~il Peter? Se bo povpre~na dolžina skokov pove~ala ali zmanj{ala, ~e Peter nazadnje sko~i {e 145 cm dale~?

Uporabi narisani prikaz in poi{~i povpre~no jutranjo in dnevno temperaturo. Katere dni je dnevna temperatura presegla povpre~no dnevno temperaturo tistega tedna? Katere dni je bila jutranja temperatura nižja od tedenskega povpre~ja? ��

Prevoznik Janez je na svoji poti povpre~no vozil s hitrostjo 60 km na uro. Kaj to pomeni? Ali lahko povemo, kako hitro je vozil med razli~nimi kraji na svoji poti? Na tridnevni poti je na dan prevozil povpre~no 900 kilometrov. Ali lahko povemo, koliko kilometrov je prevozil v drugem dnevu? Znamo dolo~iti, koliko kilometrov je prevozil v treh dneh?

Kmet Tone je napolnil 24 vre~ krompirja za prodajo. Ko jih je stehtal, je ugotovil, da ima 12 vre~ po 26 kilogramov, 8 vre~ po 28 kilogramov in 4 vre~e po 23 kilogramov krompirja. Koliko kilogramov krompirja je povpre~no v vre~ah?

Povpre~na teža treh prijateljev je 37 kilogramov. Kako se bo spremenila povpre~na teža, ko se jim pridruži prijatelj, težak 41 kilogramov? Kateri od zapisanih ra~unov odgovarja na zastavljeno vpra{anje? a) (37 + 41) : 2 = 39 b) (3 · 37 + 41) : 4 = 38

Izra~unaj povpre~no vrednost {tevil 44, 56, 60 in 72. Razi{~i, kako se spremeni povpre~je, ~e eno od {tevil pove~a{ ali zmanj{a{ za 4, 8 in 16. Kako pa se spremeni povpre~je, ~e se vsota {tevil pove~a ali zmanj{a za 4, 8 in 16?

Rok je pri treh {olskih nalogah zbral 47, 48 in 50 to~k. Koliko to~k mora zbrati pri ~etrti {olski nalogi, da bo njegovo povpre~je 48 to~k? Ali je lahko njegovo povpre~je 49 to~k? Uporabi ugotovitve iz prej{nje naloge.

��

Tine in Miha sta igrala pikado. Dosežene to~ke sta si zapisala v tabelo. Zmagovalec je bil tisti, ki je dosegel vi{je povpre~je to~k. Kdo je zmagovalec? 1. met 2. met 3. met 4. met 5. met Tine

115

105

169

133

Miha

132

109

145

134

105

Poraženec je zahteval {e en met. Tine je dosegel v dodatnem metu 136 to~k, Miha pa 131 to~k. Ali se je zmagovalec zamenjal?

(enain{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 61

20.9.2006 13:03:04

ŠTEVILA

Pisno delimo z dvomestnim {tevilom Svetovni popotnik Cene se je vrnil s potovanja po Avstraliji. Na potovanju je poslikal veliko ﬁlmov. Ko je doma pre{tel diapozitive, jih je na{tel 2567. Koliko {katel za shranjevanje diapozitivov mora kupiti, ~e jih v eni {katli lahko shrani 72? Prva {tevka je 3, ker je 70 · 3 = 210 < 256,

25 je manj{e od 72, zato delimo 256 : 72

70 · 4 = 280 > 256.

2567 : 72 = 35 216 407 360 47 ostanek

72 · 3 Od{tejemo in pripi{emo enice. 72 · 5

Ocenimo 407 : 70. Druga {tevka je 5, ker je 70 · 6 = 420 > 407, 70 · 5 = 350 < 407.

Od{tejemo in dobimo ostanek.

Odgovor: Cene mora kupiti 36 {katel za shranjevanje diapozitivov. Cene je v 65 dneh po Avstraliji prepotoval 32097 km. Koliko kilometrov je povpre~no prepotoval v enem dnevu? [tevilo prepotovanih kilometrov delimo s {tevilom dni, ko je bil Cene na potovanju. Dobili bomo {tevilo kilometrov, ki bi jih moral Cene prepotovati vsak dan, da bi opravil tako dolgo potovanje. Seveda pa je Cene prepotoval kak{en dan ve~ in kak{en dan manj kilometrov.

Vedno si zapi{emo pomo`ne ra~une in vmesne rezultate, na primer: 493 · 65 = 32045 494 · 65 = 32110

Ocenimo: 320 : 60 = 5

Ocenimo: 609 : 60

Ker pa je 65 · 5 = 325 > 320,

Druga {tevka ne more

bo prva {tevka 4.

biti 10, zato zapi{emo 9.

Izra~unamo: 65 · 4 = 260 Od{tejemo in pripi{emo 9.

32097 : 65 = 493 260 609 585 247 195 52 ostanek

Zmnožimo: 65 · 9 = 585 Od{tejemo. Ocenimo: 247 : 60. Ali je 4? Izra~unamo: 65 · 4 = 260. Preve~. Tretja {tevka je 3.

Zmnožimo in od{tejemo.

Ostanek 52 km razdelimo na 65 dni: 52000 m : 65 = 800 m Odgovor: Cene je povpre~no prepotoval približno 494 kilometrov ali natanko 493 km 800 m.

(dvain{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 62

20.9.2006 13:03:07

Naloge

Re{ujemo probleme

Pisno deli. a) 439 : 17 b) 873 : 34 c) 909 : 15 d) 3478 : 12 e) 8119 : 23 f) 5089 : 37

Pisno deli. a) 1098 : 33 b) 2156 : 55 c) 1967 : 24 d) 8156 : 91 e) 5647 : 67 f) 3059 : 31

Izra~unaj ra~une deljenja in napravi preizkus. a) 5670 : 12 b) 9851 : 31 c) 7092 : 18 d) 34067 : 23 e) 90999 : 15 f) 67885 : 35

Izra~unaj ra~une deljenja in napravi preizkus. a) 204567 : 18 b) 560789 : 66 c) 1890607 : 44 d) 20304050 : 58 e) 350507 : 42 f) 1880990 : 23

Tja{a je v hranilnik metala kovance. Po enem letu je v hranilniku zbrala 15972 kovancev. Koliko kovancev je povpre~no vrgla v hranilnik vsak mesec?

Pri Novakovih so kupili nov avto. Cena avtomobila je bila 12348 €. Polovico vrednosti so pla~ali takoj, preostanek pa v treh letih in pol v enakih mese~nih obrokih. Kolik{en mese~ni obrok so odpla~evali?

"Od trenutka, ko sem zaklenila vrata svojega stanovanja, pa do trenutka, ko sem jih ponovno odklenila, je preteklo natanko 188532 sekund. Koliko ~asa me ni bilo doma?" spra{uje Nina. Izra~unaj, koliko dni, ur, minut in sekund je ni bilo.

Poi{~i {tevili, ki sodita v prazen kvadratek, kjer je drugi se{tevanec manj{i od prvega faktorja. + a) 345 = 12 · + b) 8045 = 23 · + c) 56089 = 33 · + d) 76129 = 47 · + e) 609 = 22 · + f) 5151 = 25 ·

Izra~unaj povpre~no vi{ino so{olcev in povpre~no vi{ino so{olk. Katera vrednost je ve~ja in za koliko? 1111 žetonov je potrebno razdeliti tako, da je v vsakem kup~ku 12 žetonov. Koliko kup~kov bo nastalo? Koliko žetonov zmanjka za zadnji kup~ek?

Prijatelji Aljaž, Domen in Jan so skupaj prevozili 1430 km. Domen je prevozil {tirikrat toliko kot Alja`, Jan pa dvakrat toliko kot Domen. Koliko kilometrov je prevozil vsak izmed njih?

Kje med {tevilkami mora stati znak deljenja 7 8 9 5 1 9 a) da bo koli~nik ve~ji od 400, b) da bo koli~nik majn{i od 9000, c) da bo ostanek manj{i od 19?

(triin{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 63

20.9.2006 13:03:10

ŠTEVILA

Se{tevamo zaporedna naravna {tevila Miha iz kock gradi stopnice. Zadnja stopnica bo visoka 14 kock. Koliko kock potrebuje za svoje stopnice? [tevilo potrebnih kock je enako vsoti {tevil od 1 do 14. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 + 11 + 12 + 13 + 14 = ? Razporedimo {tevila na naslednji na~in.

Na zapis {tevil v obliki tabele se je kot otrok spomnil Carl Friederich Gauss. Tako je uspe{no re{il problem se{tevanja zaporednih {tevil.

Se{tejmo

pare {tevil v

stolpcih.

Vse dobljene vsote so enake 15. Parov {tevil je sedem. Zakaj? Vsoto vseh zaporednih naravnih {tevil od 1 do 14 dobimo, ~e vsoto prvega in zadnjega {tevila pomnožimo s {tevilom parov {tevil. 15 · 7 = 105 Zapi{imo {e druga~e: (1 + 14) · (14 : 2) = 105 vsota para

Naloge 1

Se{tej vsa naravna {tevila med a) 1 in 20, b) 1 in 56, c) 1 in 108. Kolik{na je vsota para? Koliko je parov? Pri Novakovih so se odlo~ili, da bodo vsak mesec prihranili nekaj denarja. Tako so januarja v hranilnik spustili 20 evrov, februarja 40 evrov, marca 60 evrov in vsak mesec do decembra. Koliko evrov se je nabralo v hranilniku januarja prihodnje leto?

{tevilo parov

Re{ujemo probleme 1

Se{tej vsa {tevila od 1 do 27. Namig: [tevilo se{tevancev ni sodo. Eno {tevilo je brez para.

Se{tej vsa naravna {tevila od 5 do 44. Namig: Vsota se za~ne s 5. Kolik{na je vsota para? Koliko je parov?

Gozdarji so ob gozdni poti zložili skladovnico hlodov. V vsaki naslednji plasti je en hlod manj in na vrhu je en sam hlod. Zjutraj so s tovornjakom odpeljali toliko hlodov, da se je vi{ina skladovnice znižala za polovico. V vrhnji plasti je ostalo 9 hlodov. Koliko hlodov je bilo naloženih v skladovnico, preden so odpeljali prve hlode?

({tiriin{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 64

20.9.2006 13:03:12

Pra{tevila Manca ima 24 kvadratnih plo{~ic. Z njimi sestavlja pravokotnike. Koliko razli~nih pravokotnikov lahko sestavi? 24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6 [tevilo 24 lahko zapi{emo kot zmnožek dveh {tevil na 4 na~ine. 5 plo{~ic je rde~ih, ostale so modre. Koliko razli~nih pravokotnikov lahko sestavi iz modrih plo{~ic? 19 = 1 · 19

Naravno {tevilo je pra{tevilo, ~e ima natanko dva delitelja, samega sebe in {tevilo 1. [tevila, ki imajo ve~ kot dva delitelja, imenujemo sestavljena {tevila. 1 ni niti pra{tevilo niti sestavljeno {tevilo, saj ima le enega delitelja: to je 1. 2 je prvo pra{tevilo. Zapi{emo ga lahko le kot 2 = 1 · 2. 2 je tudi edino sodo pra{tevilo. Zakaj?

Poi{~imo vsa pra{tevila do 100. V zvezek nari{i kvadratno mrežo velikosti 10 x 10 kvadratkov. V polja po vrstah zapi{i {tevila od 1 do 100. Sledi korakom. 1. Pre~rta{ 1, ker ni pra{tevilo. 2. Pre~rta{ vse ve~kratnike pra{tevila 2, razen njega samega. 3. Sledi nepre~rtano {tevilo 3. Pre~rta{ vse njegove ve~kratnike, ~e jih že nisi prej. 4. [tevilo 4 je že pre~rtano, zato nadaljuje{ s {tevilom 5. Pre~rta{ vse njegove ve~kratnike, ki {e niso pre~rtani. 5. Postopek pre~rtavanja ve~kratnikov zaklju~i{ pri {tevilu 11.

Zakaj ni potrebno pregledovati vse do 100?

Nepre~rtana {tevila so pra{tevila. To so tudi vsa pra{tevila med 1 in 100. Postopek je znan pod imenom Eratostenovo sito. ^e si pravilno sledil postopku, so nepre~rtana {tevila na modrih mestih.

Naloge 1

Poi{~i vsaj tri pra{tevila, ki so ve~ja od 100.

Zapi{i {tevila 30, 48, 64 in 73 kot zmnožek samih pra{tevil.

(petin{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 65

20.9.2006 13:03:12

ŠTEVILA

Zaporedja Zaporedje je niz {tevil, simbolov ali znakov, ki si sledijo po nekem pravilu. Pravimo jim ~leni. Zaporedje ima neskon~no mnogo ~lenov. To pomeni, da lahko zaporedju vedno dodajamo nove ~lene. V novem podjetju Moj robot sestavljajo ra~unalnike. Prvi dan, ko so za~eli delati, so sestavili 5 ra~unalnikov. Hitro se u~ijo, zato od takrat vsak dan sestavijo 4 ra~unalnike ve~ kot prej{nji dan. Koliko ra~unalnikov bodo sestavili 5. dan? ^e zapi{emo, koliko ra~unalnikov so sestavili v zaporednih dneh, dobimo ~lene zaporedja. Vsak naslednji ~len tega zaporedja je za 4 ve~ji od prej{njega.

Zaporedje, v katerem je razlika med sosednjima ~lenoma vedno enaka, imenujemo aritmeti~no zaporedje.

1. ~len: 5 2. ~len: 5 + 4 = 5 + 1 · 4 = 9 3. ~len: 9 + 4 = 5 + 4 + 4 = 5 + 2 · 4 = 13 4. ~len: 13 + 4 = 5 + 4 + 4 + 4 = 5 + 3 · 4 = 17 5. ~len: 17 + 4 = 5 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 + 4 · 4 = 21

To pomeni, da bodo peti delovni dan sestavili 21 ra~unalnikov.

^e bi tako nadaljevali, koliko bi jih sestavili 50. dan? Zapisati mora{ 50. ~len zaporedja. [tevilski trikotnik Vsako vrstico za~nemo in kon~amo s {tevilom 1. Vsa ostala {tevila dobimo tako, da se{tejemo {tevili levo in desno nad mestom v prej{nji vrstici.

Trikotnemu vzorcu {tevil, kakr{en je na sliki, pravimo Pascalov trikotnik.

Nari{i {tevilski trikotnik v zvezek in mu dodaj {e vsaj tri vrstice. V {tevilskem trikotniku lahko opazimo ve~ {tevilskih zaporedij. Opazuj zaporedja, ki se za~nejo s {tevilom, na katerega kaže pu{~ica, in se nadaljujejo po{evno navzdol. Zapi{i za~etni ~len, pravilo zaporedja in {e vsaj tri ~lene zaporedja.

Tina je na karirast papir risala zaporedje likov. Kak{en bi bil naslednji lik v tem zaporedju? Pod vsakim likom je zapisala, koliko kvadratkov je pobarvala. Koliko pobarvanih kvadratkov bo imel naslednji lik? Koliko pa bi jih morala Tina pobarvati pri 15. liku po vrsti?

({estin{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 66

20.9.2006 13:03:14

Naloge 1

Opazuj zapisana {tevilska zaporedja. Dopolni jih {e s petimi ~leni in zapi{i pravilo. a) 1, 6, 11, 16, ... b) 1, 4, 16, 64, ... c) 1, 2, 3, 2, 1, 2, ... d) 1, 2, 4, 7, 11, ...

Sestavi dve zaporedji, eno {tevilsko in eno z liki. Povpra{aj so{olca, ~e ga zna nadaljevati. Napi{ita in nari{ita vseh prvih 5 ~lenov.

Na katero {tevko se kon~a zmnožek stotih 8? a) Izra~unaj. 8=8 8·8= 8·8·8= 8·8·8·8= 8·8·8·8·8= 8·8·8·8·8·8= 8·8·8·8·8·8·8= b) Opazuj kon~ne {tevke izra~unanih zmnožkov. Opazi{ zaporedje? Zapi{i ga. c) S pomo~jo ugotovljenega zaporedja sklepaj, kak{na je zadnja {tevka pri zmnožku stotih osmic. Zapi{i svoj sklep.

Narisano je zaporedje likov. Iz njih sestavimo {tevilsko zaporedje tako, da vsakemu liku pripi{emo {tevilo notranjih belih kvadratkov. Nari{i skico in zapi{i ~lene {tevilskega zaporedja. Brez risanja poi{~i 20. ~len zaporedja.

Zapi{i {e drugo {tevilsko zaporedje, ki ga dolo~ajo liki. Za vsak lik zapi{i, koliko modrih kvadratkov ga sestavlja. Zapi{i {e tri ~lene tega zaporedja. Zapi{i pravilo zaporedja. Kateri je 20. ~len zaporedja?

Re{ujemo probleme 1

Skupina gr{kih matematikov, ki so se imenovali pitagorejci, je raziskovala trikotna in kvadratna {tevila. Dobili so jih tako, da so pre{teli pike na stranicah likov, ki so si sledili v predpisanem zaporedju. a) Opazujmo skupno {tevilo pik, ki jih zaporedno vsebujejo trikotniki. 1. {tevilo: 1 2. {tevilo: 1 + 2 = 3 3. {tevilo: 1 + 2 + 3 = 6 4. {tevilo: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Opazuj pravilo, ki dolo~a trikotno {tevilo, in zapi{i 7. in 12. {tevilo. Bi znal zapisati 99. {tevilo? Namig: Pomagaj si s se{tevanjem zaporednih {tevil. b) Podobno, kot dobimo trikotna {tevila, lahko sestavimo kvadratna {tevila. Sam zapi{i prvih {est {tevil. Pomagaj si s skico. Kak{na {tevila se{tevamo, ko ra~unamo kvadratna {tevila?

Miha zida piramido iz kock. Na vrhu piramide je ena kocka. Pod njo so 4 kocke in pod njimi 9 kock. Koliko kock je pod njimi? Ali Miha lahko sezida 8 nadstropij visoko piramido, ~e ima 200 kock?

Prvi in drugi ~len zaporedja sta 1 in 1. Vsak naslednji ~len zaporedja dobi{ tako, da se{teje{ zadnja dva zapisana ~lena. Opisano zaporedje se imenuje Fibonaccijevo zaporedje. Zapi{i prvih 15 ~lenov zaporedja. Ali si soda in liha {tevila sledijo v dolo~enem pravilu? ^e bi zapisal {e 15 ~lenov zaporedja, ali bi si soda in liha {tevila sledila v tem pravilu? Zakaj tako misli{? Ugotovi pravilo v zapisanem zaporedju in zapi{i {e 5 ~lenov. 1, 3, 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, ... Namig: Se{tej dva predhodna ~lena zaporedja. Kako bi iz njune vsote dobil ~len zaporedja?

(sedemin{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 67

20.9.2006 13:03:16

ŠTEVILA

Re{ujemo ena~be Ena~be nam pomagajo pri re{evanju besedilnih nalog in problemov.

Mateja tehta svojega medvedka na babi~ini tehtnici. Koliko je medvedek težak? Ker je tehtnica v ravnovesju, je teža predmetov na desni strani enaka teži predmetov na levi. Zapi{imo enakost z matemati~nimi znaki. Medvedkove teže ne poznamo, zato namesto nje zapi{emo ~rko x. 20 dag + 20 dag + 5 dag = x dag + 10 dag Mateja zamenja utež za 20 dag z dvema po 10 dag. 10 dag + 10 dag + 20 dag + 5 dag = x dag + 10 dag Nato na obeh straneh s tehtnice odvzame utež za 10 dag. Tehtnica je {e vedno v ravnovesju. Mateja sedaj ve, koliko je medvedek težak. 10 dag + 20 dag + 5 dag = x dag 35 dag = x dag Odgovor: Medvedek je težak 35 dag. Ena~bo sestavljata dva matemati~na izraza. Med seboj sta povezana z ena~ajem. V ena~bi nastopa tudi neznano {tevilo, ki ga navadno ozna~imo z x.

Ena~bo re{ujemo v kup~ku. Ena~aj podpisujemo pod ena~aj.

Re{itev ena~be je tisto {tevilo, pri katerem je vrednost izraza na levi strani ena~be enaka vrednosti izraza na desni strani. Ali je re{itev ena~be pravilna, preverimo tako, da izra~unano vrednost vstavimo namesto neznanke in izra~unamo levo in desno stran ena~be. ^e se vrednosti ujemata, je re{itev pravilna.

Tudi to so ena~be. n + 1 = n, n – 1 = n n · 1 = n, n : 1 = n [e ve{, kje smo jih zapisali?

5·6+x=6·7 Izra~unamo tisto, kar lahko. y – 3 · 4 = 50 : 5 30 + x = 42 y – 12 = 10 Re{imo z dopolnjevanjem. x = 42 – 30 y = 10 + 12 Izra~unamo re{itev. Zapi{emo re{itev. v = 12 y = 22 Preizkus: 5 · 6 + 12 = 30 + 12 = 42 22 – 3 · 4 = 22 – 12 = 10 leva stran 6 · 7 = 42 desna sran 50 : 5 = 10

(osemin{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 68

20.9.2006 13:03:21

Naloge 1

Re{i ena~be. a) x + 15 = 150 b) x – 23 = 23 c) 100 = x – 25 d) 90 = 24 + x e) 37 + x = 88 f) 78 – x = 15

Re{i ena~be. Zapi{i korake re{evanja. Napravi preizkus. a) 45 – x = 6 · 7 b) x + 33 = 212 c) 3 · 7 + y = 100 d) 4 · 5 – x = 36 : 9 e) y + 66 : 11 = 36 : 6 f) 5 · 7 = x – 81 : 9

Razlika dveh {tevil je 35. Eno od {tevil je 22. Zapi{i ena~bo, s katero bo{ izra~unal drugo {tevilo.

Miha pravi: "Vsota izbranih {tevil je 50. Tri {tevila vam povem. To so 5, 11 in 13. Katero je ~etrto {tevilo?" Zapi{i ena~bo in jo re{i.

Katero {tevilo je {lo v ra~unski stroj, da je stroj izvrgel {tevilo 23? Zapi{i ena~bo in jo re{i.

^e od nekega {tevila od{teje{ 10, dobi{ dvakratnik {tevila 8. Katero {tevilo je to? Zapi{i ena~bo in jo re{i.

Številu 35 pri{tejemo neko {tevilo in dobimo dvakratnik {tevila 25. Zapi{i ena~bo in jo re{i.

Predhodniku nekega {tevila smo pri{teli 67 in dobili 80. Katero je to {tevilo? Zapi{i ena~bo in jo re{i.

Re{ujemo probleme 1

Re{i ena~be. Zapi{i korake re{evanja. Pravilnost re{itve preveri s preizkusom. a) (x + 8) – 5 = 32 b) 12 + (5 · 9 – x) = 90 : 3 c) y + 3 · (4 + 5) = 44 – 10 : 2 d) 156 – x = (6 + 7) · 10 e) y – 5 · 6 = 100 – 30 f) 0 · 67 + x = 4 · 6 – 2

Va{ko {olo obiskuje 150 u~encev. V~eraj se je pripeljalo s kolesom 35 u~encev, pe{ jih je pri{lo 72, 24 se jih je pripeljalo z avtobusom, ostale so pripeljali star{i. Zapi{i ena~bo, s katero izra~una{, koliko u~encev so v {olo pripeljali star{i.

Kulturni dom ima tri dvorane s skupaj 750 sedeži. Prva dvorana ima 270 sedežev, druga dvorana jih ima 150 ve~ kot prva. Koliko sedežev je v tretji dvorani? Zapi{i ena~bo.

Zapi{i besedilne naloge, ki ustrezajo ena~bam. Ena~be tudi re{i. a) x + 89 = 100 b) 81 – x = 49 c) 2 · 30 + x = 75 d) (8 + 3) · x = 33

^e zmno`ku {tevil 7 in 9 pri{teje{ neko {tevilo, dobi{ zmno`ek {tevila 9 s samim seboj. Katero je to {tevilo? Zapi{i ena~bo in jo re{i.

Preveri, ~e so zapisane pravilne re{itve ena~b. ^e je re{itev napa~na, poi{~i pravilno. a) 3 · 5 + x = 30 x=5 b) (4 + 6 · 2) – x = 16 x=0 c) x – 6 · 8 = 0 x=6 d) 15 + x – 10 = 5 x=0

(devetin{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 69

20.9.2006 13:03:23

ŠTEVILA

[e o ena~bah x:7=5 x = 35

Re{itve ne znamo poiskati na pamet, zato zapi{emo:

x=7·5

56 : x = 8

x = 24 · 9 = 216

Tako izra~unamo re{itev.

108 : x = 12

Z znanjem po{tevanke vemo, da je iskano {tevilo 7.

x=7

Re{itve ne znamo poiskati na pamet, zato zapi{emo:

x = 56 : 8

x · 6 = 48

x : 9 = 24

Z znanjem po{tevanke vemo, da je iskano {tevilo 35.

x = 108 : 12 = 9

Tako izra~unamo re{itev.

x · 15 = 120

Z znanjem po{tevanke vemo, da je iskano {tevilo 8.

x=8 x = 48 : 6

Re{itve ne znamo poiskati na pamet, zato zapi{emo: x = 120 : 15 = 8

Tako izra~unamo re{itev.

Maja je v {olo prinesla vre~o bonbonov. Vsakemu od so{olk in so{olcev je dala 4 bonbone, u~iteljici 6 bonbonov, za Majo pa so v vre~ki ostali 3 bonboni. Koliko so{olk in so{olcev ima Maja, ~e je bilo v vre~ki 105 bonbonov? Zapi{imo, kako je Maja razdelila bonbone. Ker je {tevilo so{olk in so{olcev neznano, ga ozna~imo z x. bonboni

so{olke + so{olci x·4

u~iteljica 6

Maja 3

vsi bonboni 105

Zapi{emo ena~bo, ki opisuje {tevilo bonbonov.

Nekatere ena~be nimajo re{itve. (12 – 3 · 4) · x = 20

Nekatere ena~be imajo ve~ re{itev. (12 – 3 · 4) · x = 0

x·4+6 x ·4 x · 4 +9 x

+ 3 = 105 + 9 = 105 – 9 = 105 – 9 · 4 = 96 x = 96 : 4 x = 24

Se{tejemo. Na obeh straneh od{tejemo 9. Izra~unamo x. Re{itev.

Preizkus: 24 · 4 + 6 + 3 = 96 + 6 + 3 = 105 Odgovor: Maja ima 24 so{olk in so{olcev.

(sedemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 70

20.9.2006 13:03:24

Naloge

Re{ujemo probleme

Re{i ena~be. a) x · 5 = 20 b) 12 · x = 60 c) x : 15 = 20 d) 55 : x = 5 e) 95 = x · 5 f) 2 = x : 12

Re{i ena~be in napravi preizkus. a) 3 · x + 4 = 10 b) (7 + 6) · y = 26 · 4 c) x · (64 : 8 – 8) = 0 d) x : 10 = 5 · 6 + 20 : 2 e) x : ( 15 – 5 · 2) = 1 f) (35 – 5 : 5) : x = 2

Re{i ena~be in napravi preizkus. Zapi{i vse korake re{evanja. a) (100 – 64) : y = 6 b) x : 55 = 4 c) y : 3 = 36 – 9 · 4 d) 5 · x = 30 – 5 e) x · 2 = 64 : 2 f) x : 5 = 1

Osemkratnik nekega {tevila je 400. Katero {tevilo je to? Zapi{i ena~bo in jo re{i.

Ali je {tevilo 12 re{itev ena~be (3 + 10) · x = 169? ^e ni, re{itev poi{~i.

Re{i obe ena~bi v parih. Primerjaj re{itvi obeh ena~b v paru. Kaj opazi{? a) 9 · x = 45 in 90 · x = 450 b) x : 4 = 6 in x : 4 = 60 c) 5 + x = 40 in 50 + x = 400 d) 23 – x = 17 in 230 – x = 170 Svoje ugotovitve uporabi pri re{evanju zapisanih parov ena~b. a) 4 · x = 32 in 40 · x = 320 b) x · 5 = 25 in x · 5 = 250 c) x : 7 = 56 in x : 7 = 560 d) 77 : x = 11 in 770 : x = 11

Razlika {tevil 30 in 10 je petkratnik nekega {tevila. Katero je to {tevilo? Zapi{i ena~bo in jo re{i.

Koliko tehta ena kocka?

Jan je razvr{~al 50 frnikul v {katle. V manj{o {katlo je dal 6 frnikul, v ve~je 4 {katle pa v vsako enako. Koliko jih je spravil v ve~jo {katlo? Zapi{i ena~bo in jo re{i.

Sestavi besedilno nalogo, ki ustreza zapisani ena~bi. a) 8 · x = 21 + 35 b) x : 6 = 15 c) 4 · 6 + 2 · x = 88

Koliko malih kock je po te`i enakih eni veliki?

Na tehtnici je 5 vre~ zemlje, te`kih 10 kg. Dodali so {e 3 vre~e gnojila. Tehtnica je pokazala 65 kg. Koliko tehta vre~a gnojila? Zapi{i ena~bo.

(enainsedemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 71

20.9.2006 13:03:27

ŠTEVILA

Re{ujemo neena~be V neena~bi stoji med izrazoma na levi in desni strani eden od znakov neenakosti: <, >, ali .

Neena~ba ima navadno ve~ re{itev. ^e s {tevilom, ki je re{itev, zamenjamo neznano vrednost v neena~bi, znak neenakosti pravilno primerja vrednost leve in desne strani. Re{imo neena~bo 6 + 2 · x < 3 · 4. Desno stran neena~be lahko izra~unamo in dobimo: 6 + 2 · x < 12 Izra~unajmo levo stran neena~be za razli~ne vrednosti x. Pravimo, da tabeliramo neena~bo.

veljavna

neveljavna

6+2·x

Za {tevila, manj{a od 3, je neena~ba veljavna. Za vsako ve~je {tevilo od 3, se vrednost izraza na levi strani le pove~uje.

Število 3 poimenujemo mejna vrednost. Re{itev neena~be so {tevila, manj{a od 3. Re{itev: x < 3 Nosilnost avtomobilske prikolice je 600 kg. Zidar je naložil tri vre~e cementa po 50 kg. Koliko paketov kerami~nih plo{~ic težkih 15 kg lahko {e naloži, da ne bo presegel nosilnosti prikolice? {tevilo paketov

Zapi{emo neena~bo: 3 · 50 kg + x · 15 kg 600 kg 150 kg + x · 15 kg 600 kg Zapisovanje tabele za vse vrednosti x od 0 dalje pri tej neena~bi ni primerno. Zakaj? Re{itev poi{~emo s pomo~jo pripadajo~e ena~be. 150 + x · 15 = 600 150 – 150 + x · 15 = 600 – 150 Od{tejemo 150. x · 15 = 450 x = 450 : 15 x = 30 Število 30 je mejna vrednost neena~be. Kaj pa velja za {tevila ve~ja oziroma manj{a od 30?

Vse neena~be nimajo re{itve med naravnimi {tevili: 3 · x < 0

3 · 50 + x · 15

585

600

615

Re{itev neena~be so vsa {tevila manj{a ali enaka 30. Re{itev: x 30

Odgovor: Zidar lahko naloži najve~ 30 paketov kerami~nih plo{~ic.

(dvainsedemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 72

20.9.2006 13:03:30

Naloge

Re{ujemo probleme Besedilnim nalogam zapi{i ustrezno neena~bo.

Re{i neena~be s tabeliranjem. Re{itve predstavi na {tevilski premici. a) 6 + x < 10 b) x – 9 > 1 c) 8 – x 5 d) 3 · x < 13 e) 18 : 6 > x f) 5 · x > 30

Re{i neena~be. Re{itev predstavi na {tevilski premici. Kako bo{ re{eval? a) 67 + x > 6 · 7 b) (3 + 7) · x 10 c) x + 4 · 0 > 0 d) 7 · x + 5 > 20 e) (2 + x) · 3 < 18 f) (5 + x) · 0 > 1

Re{i neena~be tako, da poi{~e{ mejno vrednost. a) 112 – x > 75 b) x + 6 · 7 < 100 c) 97 3 · x d) 11 · 9 x + 35 e) 5 + x > 2 · 5 f) x – 6 · 2 < 3

Na traktor lahko kmet naloži pol tone krompirja. Na tr`nico ga bo odpeljal v vre~ah, ki dr`ijo povpre~no 25 kilogramov. Najve~ koliko vre~ lahko odpelje kmet s svojim traktorjem?

O~e je {tirikrat starej{i od sina. Mama je stara 39 let in je mlaj{a od o~eta. Mama in h~i skupaj sta stari 46 let, kar je ve~ od o~etove starosti. Koliko so stari posamezni družinski ~lani?

Poi{~i re{itev dveh neena~b. Nato na {tevilski premici nari{i obe re{itvi. Zapi{i, katera {tevila re{ijo obe neena~bi. a) x > 4 in x 10 b) x < 4 · 5 in x 24 : 6 c) x + 2 < 5 in 13 – x > 8 d) 3 · x 6 in x + 2 < 3 · 5

S tabeliranjem re{i zapisane neena~be. a) 4 < x < 10 b) 6 · 2 x < 6 · 3 c) (120 + 24) : 24 2 · x < 7

Poi{~i tista naravna {tevila y, za katera velja x = 2 · y in 1 x 20. Kako bi z besedo opisal {tevila, ki so re{itev naloge? Namig: Pomagaj si s tabeliranjem.

Zapi{i vsaj dve neena~bi, ki imata za re{itev {tevila, ve~ja od zapisanih. a) 100 b) 1 c) 0

Koliko 20-gramskih ute`i mora{ postaviti na tehtnico, da bodo težje od kilogram in pol težke plastenke? O~e je težak 90 kg, njegova h~i Tja{a je trikrat lažja. Na gugalnico sta na eno stran sedli mama in Tja{a, na drugo stran pa o~e. Koliko najve~ tehta mama, ~e mama in Tja{a visita v zraku?

Zapi{i vsaj dve neena~bi, ki imata za re{itev {tevila, manj{a od zapisanih. a) 10 b) 15 c) 78

(triinsedemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 73

20.9.2006 13:03:31

ŠTEVILA

[tevilski sistemi Poznamo razli~ne zapise {tevil. Ponekod zapisujejo {tevke z druga~nimi znaki kot mi. V starih ~asih so govorili o ducatih stvari. En ducat je pomenil 12 stvari.

Pri zapisovanju {tevil v {tevilskem sistemu uporabimo majhno {tevilo izbranih znakov, s katerimi lahko zapi{emo vsa {tevila. Znake skupaj s pravili za pisanje {tevil imenujemo {tevilski sistem. Deseti{ki sistem uporablja za zapis {tevil deset {tevk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in 9. Manj{e enote združujemo po deset v ve~je enote. Pravimo, da je {tevilo 10 osnova deseti{kega {tevilskega sistema. 653 = 6 · 102 + 5 · 101 + 3 · 100 653 : 10 = 65 ostanek 3 enice 65 : 10 = 6 ostanek 5 desetice 6 : 10 = 0 ostanek 6 stotice Osnova {tevilskega sistema nam pove, koliko enot združimo v naslednjo ve~jo enoto. Poleg deseti{kega pogosto sre~amo {e {estdeseti{ki sistem, dvanajsti{ki sistem (ducat) ter dvoji{ki sistem.

Poglej, kaj smo se u~ili v poglavju Velika {tevila.

Danes {estdeseti{ki sistem sre~amo pri merjenju ~asa. 60 sekund je 1 minuta. 60 minut je 1 ura. Dvoji{ki ali binarni sistem je {tevilski sistem z osnovo 2. Za zapis uporabimo le dve {tevki, 0 in 1. Katero {tevilo smo zapisali z znaki 1001(2)? 1001(2) = 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = =8+0+0+1=9

To pomeni, da je {tevilo zapisano v dvoji{kem sistemu.

Kako pa bi zapisali {tevilo 47 v dvoji{kem {tevilskem sistemu? [tevilo po korakih delimo z 2 in ostanke zapisujemo od desne proti levi. 47 : 2 = 23 ostanek 1 23 : 2 = 11 ostanek 1 11 : 2 = 5 ostanek 1 5 : 2 = 2 ostanek 1 2 : 2 = 1 ostanek 0 1 : 2 = 0 ostanek 1 5 4 3 2 47 = 101111(2) = 1 · 2 + 0 · 2 + 1 · 2 + 1 · 2 + 1 · 21 + 1 · 20

({tiriinsedemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 74

20.9.2006 13:03:38

Naloge 1

Zapi{i v deseti{kem {tevilskem sistemu. a) 101(2) b) 111(2) c) 10101(2) d) 110001(2) e) 1000000(2) f) 1001110(2)

Zapi{i prvih deset naravnih {tevil v dvoji{kem {tevilskem sistemu.

Kako bi v dvoji{kem zapisu zapisal 98, 145 in 516?

Se{tej po dvoji{ko.

a) 1(2) + 1(2) b) 10(2) + 10(2) c) 101(2) + 10(2) d) 10001(2) + 1110(2) e) 11(2) + 1(2) f) 1010(2) + 101(2) 5

Re{ujemo probleme 1

Koliko {tevk potrebuje{ za zapis {tevil v troji{kem {tevilskem sistemu? Kak{ne so mestne vrednosti v troji{kem sistemu? Zapi{i prvih deset naravnih {tevil v troji{kem sistemu.

Razmisli, zakaj veljata trditvi: Manj{a je osnova {tevilskega sistema, dalj{i so zapisi {tevil. Ve~ja je osnova {tevilskega sistema, ve~ simbolov za zapis {tevil potebujemo.

Ko nam zmanjka {tevk, si pomagamo s ~rkami. Za zapis dvanajsti{kega sistema izberemo 0, 1, 2, …9, A, B. Znaka A in B predstavljata vrednosti 10 in 11.

Zapi{i {tevilo, kot prikazuje primer. Bodi pozoren, v katerem {tevilskem sistemu je zapisano {tevilo. [tevila uredi po velikosti. 235 = 2 · 102 + 101 + 5 ·100 a) 512 b) 101(2) c) 70105 d) 11001(2) e) 2101(3) f) 10101 g) 111111(2) h) 11111(3) Ra~un zapi{i {e po dvoji{ko. a) 5 + 6 = 11 b) 10 + 11 = 21 c) 24 + 32 = 56 d) 20 + 40 = 60

AB(12) = 10 · 121 + 11 · 120 = 120 + 11 = 131 Prera~unaj {e ti. a) A0A(12) b) 67(12) c) ABA(12) d) 1A2B(12) 4

Izmisli si 6 znakov. V katerem sistemu lahko z njimi zapi{e{ {tevila? S svojimi znaki zapi{i {tevila od 0 do 20 ter {tevila 100, 1000 in 5500. Izmisli si ra~un za prijatelja.

(petinsedemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 75

20.9.2006 13:03:40

ŠTEVILA

Ra~unamo s kalkulatorjem Kalkulator nam pomaga hitro izra~unati ra~une z velikimi {tevili in mnoge zapletene ra~une. Danes si je težko predstavljati u~enje naravoslovnih znanosti brez kalkulatorja.

potenciranje kvadriranje

deljenje decimalna pika mno`enje U~iteljica je zapisala ra~un: 291 + 9 · 15 =

Pri ra~unanju s kalkulatorjem je pomembno, da zna{ oceniti rezultat ra~una. ^e si pri ra~unanju dobil nesmiseln rezultat, si se lahko zmotil pri vna{anju {tevil ali operacij.

Ob koncu ra~una ne pozabi pritisniti .

Tja{a je v svoj kalkulator vnesla {tevila in operacije po vrsti: 2, 9, 1, +, 9, x, 1, 5 in =. Njen kalkulator je izpisal 4500. Ga{per pa je na svojem kalkulatorju najprej zmnožil in nato se{teval: 9, x, 1, 5, +, 2, 9, 1 in =. Njegov rezultat je bil 426. Kdo je dobil pravilni rezultat? Pri ra~unanju s kalkulatorjem je potrebno dobro razmisliti, v kak{nem vrstnem redu bomo vna{ali {tevila in operacije. Da bodo izra~unani rezultati pravilni, mora{ upo{tevati vrstni red ra~unskih operacij. ^e želi{ s kalkulatorjem izra~unati 64, potem zaporedno vtipka{ 6, yx in 4. Izra~unajmo {e 15 + 34 =. Potenciranje ima prednost pred se{tevanjem.

Opazuj vmesne rezultate, ki se prikazujejo na zaslonu kalkulatorja. Kdaj se spreminjajo in kdaj ostajajo enaki?

Zaporedno vtipkamo 3, yx, 4, +, 1, 5 in =. Rezultat je 16. Kak{en rezultat dobi{, ~e zaporedno vtipka{ {tevila in ra~unski operaciji: 1, 5, +, 3, yx, 4 in =? Pri ra~unanju si pomagamo tudi z oklepaji. Izra~unajmo 8 + 9 · 7 + 115 : 5 =. Vtipkamo lahko: 8, +, (, 9, x, 7, ), +, (, 1, 1, 5, ÷, 5, ), =. Izpi{e se 94. Lahko pa vtipkamo tudi 9, x, 7, +, (, 1, 1, 5, ÷, 5, ), +, 8, =. Ali lahko {e kako druga~e dobimo pravilni rezultat?

({estinsedemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 76

20.9.2006 13:03:43

Naloge 1

Izra~unaj s kalkulatorjem. a) 150 + 18 · 22 b) 41 · 5 + 20 c) (56 – 27) · 13 d) 89 · (23 + 19) – 45 e) 1025 – 15 · 25 f) 145 + 295 : 5

Izra~unaj s kalkulatorjem. Pri ra~unanju si pomagaj z oklepaji. a) 6 · 7 + 8 · 9 b) 23 · 9 – 6 · 7 c) 312 : 3 + 9 · 17 d) 243 + 4012 : 4 – 119 e) (213 + 2572) : 5 + 35 · 9 f) (7 · 12 + 8 · 15) : 4

Preveri izra~unane ra~une s kalkulatorjem. a) 17 + 34 + 110 = 208 b) 53 + 63 = 2248091 c) 1007 + 12 · 9 – 505 = 610 d) 9 · (234 + 7 · 13) – 222 = 2703 Opazuj rezultat, ki ga dobi{, ko odtipka{ naslednje zaporedje. Kak{no operacijo je izvedel kalkulator?

Re{ujemo probleme 1

Vtipkaj 2 x 3 =. Dobil si rezultat množenja. Sedaj vtipkaj 1 =, 2 =, 3 = in 4 =. Kak{ni so tvoji rezultati? Razmisli in pojasni, katero ra~unsko operacijo je opravil tvoj kalkulator. Poskusi podobno s se{tevanjem. Vtipkaj 1 + 3 =. Nato vtipkaj {e 1 +, 2 +, 3 + in 4 +. Kak{ne rezultate si dobil? Ponovno pojasni, katero ra~unsko operacijo je opravil tvoj kalkulator.

Zapis {tevil, ki so prevelika za zaslon kalkulatorja Vtipkaj 2 x 50000000 =. Kaj se ti izpi{e na zaslonu? Katero {tevilo je to? Pojasni, kako se na zaslonu kalkulatorja zapi{ejo velika {tevila. Izra~unaj s kalkulatorjem in ra~une zapi{i v zvezek. a) 20000000 · 15 b) 60000000 · 200 c) 2500 · 400000

Manca se pri ra~unanju s kalkulatorjem ve~krat zmoti pri tipkanju. Kaj naj odtipka na kalkulatorju, da ji ne bo potrebno vna{ati celotnega ra~una {e enkrat in bo rezultat pravilen? Zapi{i ra~une in rezultate v zvezek. a) 4356 + 659 + 608 – 567 4356, +, 659, +, 608, +, 567 b) 4567 · 426 – 698 4567, x, 426, +, 6

Zapi{i ra~une.

c) 56 · 78 · 23 56, x, 78, x, 22 d) 567 + 8 · 6 · 5 567, +, (, 8, x, 6, x, 2 e) 35 + 217 + 8 · 9 35, +, 217, + 8, x, 9

(sedeminsedemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 77

20.9.2006 13:03:44

Meritve lahko povemo v razli~nih enotah, vendar se nam lahko zgodi,

MERJENJE

da drugi ne morejo ugotoviti, koliko bi to bilo v njihovih enotah

da iz imena enote ni jasno, ali merimo dol탑ino, povr{ino, globino, te탑o

(oseminsedemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 78

20.9.2006 13:03:47

da primerjava meritev zaradi razli~nih merskih enot daje napa~en vtis o zmagovalcu

Merjenje Enote, ki jih uporabljamo, pripadajo mednarodnemu sistemu enot.

(devetinsedemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 79

20.9.2006 13:03:50

Merimo koli~ine Koliko dolžin tvojega svin~nika je dolga {olska klop? Na rob klopi zaporedoma polagamo svin~nik. Pre{tejemo, kolikokrat lahko po dolžini položimo svin~nik do konca klopi. Ob koncu ocenimo, kolik{en del svin~nika gleda preko roba.

MERJENJE

S ~im merimo dolžino, s ~im težo, s ~im koli~ino teko~in, s ~im ~as?

Dolžina {olske klopi je enaka {tevilu vseh celih dolžin svin~nika in delu cele dolžine, ki smo jo izmerili nazadnje. Ali bi so{olec izmeril s svojim svin~nikom enako dolžino klopi kot ti? Zakaj se meritvi razlikujeta? Kdo bi izmeril "dalj{o" {olsko klop in zakaj? Merjenje opravimo v 4 korakih: 1. Dolo~imo mersko enoto. Dol`ina svin~nika. 2. Uporabimo merski pripomo~ek ali merilo. Svin~nik. 3. Od~itamo rezultat. 5 in pol svin~nika. 4. Zapi{emo meritev z merskim {tevilom in enoto. Najstarej{e enote za dolžino so bile izražene s telesnimi merami: seženj, korak, vatel, ~evelj, ped in palec. Tak{no merjenje ni bilo zanesljivo, saj so telesne mere od ~loveka do ~loveka razli~ne. Pokazala se je potreba po merski enoti, ki bo enaka po celem svetu. Tako poznamo meter za dolžino, kilogram za težo, liter za koli~ino teko~in ... Iz osnovnih merskih enot izpeljemo manj{e in ve~je enote. Velikokrat se imenujejo enako kot osnovna enota, le da ji na za~etek dodamo {e predpono: a) deci pomeni desetkrat manj (decimeter, deciliter) b) centi pomeni stokrat manj (centimeter, centiliter) c) mili pomeni 1000-krat manj (milimeter, miligram, mililiter) d) kilo pomeni 1000-krat ve~ (kilometer, kilogram) e) deka pomeni 10-krat ve~ (dekagram)

(osemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 80

20.9.2006 13:03:59

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Izmerite dolžino u~ilnice. Izberite tri so{olce, ki bodo s svojimi podplati izmerili dolžino u~ilnice. Zapi{ite vse tri meritve. Ali so meritve enake in zakaj je tako? Kateri od so{olcev ima najdalj{i podplat?

1 žlica vsebuje 5 mℓ vode. Koliko žlic vode bi lahko nalil v kozarec za 3 dℓ?

Janez bi rad izmeril dolžino vrtne poti, ki je tlakovana s plo{~ami. Najprej dolžino cele poti izmeri z zidarskim metrom in si zapi{e, da je pot dolga 16 m 8 dm. Nato izmeri, da je dolžina plo{~e 40 cm, in pre{teje, da je plo{~ na poti 41. ^e zmnoži dolžino plo{~ z njihovim {tevilom, ne dobi enake dolžine, kot jo je izmeril z zidarskim metrom. Kolik{na je razlika? Kje je vzrok razlike med meritvama? Na kaj je pozabil Janez?

Polž potuje na zelenjavni vrt vrtnarja Gregorja od 8 h zjutraj. Vsakih 5 minut se premakne za 13 cm. Kdaj bo pri{el do solate, ~e je vrt oddaljen 700 m? Ali bo pri{el na zajtrk ali {ele na kosilo?

Zapi{i postopek, s katerim bi ugotovil, koliko hrane je pojedel morski pra{i~ek v enem obroku. Zapi{i tudi, katere merske enote so primerne in s katerim merskim pripomo~kom bi meril.

Minkina kuhinjska tehtnica tehta na 1 g natan~no. Koliko bi bila lahko prava teža moke, ~e tehtnica pokaže 678 g? Franckina tehtnica pa kaže na 2 g natan~no. Francka je nanjo postavila lonec. Tehtnica je pokazala 345 g. Nato je Francka v lonec vsula sladkor. Tehtnica je pokazala 876 g. Koliko najmanj in koliko najve~ je lahko tehtal sladkor v loncu na tehtnici?

Friderik si prepeva: "5 ~evljev merim, palcev 5 in ~vrste sem postave …" Oceni, koliko centimetrov je visok Friderik, ~e ve{, da ~evelj meri približno 31 cm, palec pa 2 cm 5 mm? Koliko bi meril Friderik, ~e bi uporabil tvojo mero ~evlja in tvojo mero palca?

~evelj 3

palec

Stare angle{ke mere za teko~ino so mernik, galona, kvart in pinta. Njihova posebnost je, da niso razdeljene na desetine, ampak na polovice. 1 mernik = 8 galon 1 galona = 4 kvarte 1 kvart = 2 pinta Gostilni~ar John je zvaril 10 galon 10 kvart 10 pint piva. Pivovar Tom pa je zvaril 6 galon 15 kvart 8 pint piva. Kdo je zvaril ve~? Zapi{i koli~ini piva v osnovnih merskih enotah. O~e želi na vikendu ob južni strani tlakovati teraso. Ker s seboj ni vzel metra, je {irino in dolžino izmeril kar z ravno desko, ki jo je imel pri sebi. Zapisal si je meritvi: 20 desk in pol {irina, 25 desk in ~etrt dolžina. Doma je izmeril desko z metrom. Dolžina deske je bila 112 cm. Ali mora izmeriti tudi {irino deske, ~e želi ugotoviti dolžino in {irino terase? Koliko je dolga in koliko {iroka terasa?

(enainosemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 81

20.9.2006 13:04:02

Ra~unamo z dolžinami Osnovna enota za merjenje dolžin je meter. kilometer

meter

decimeter centimeter milimeter dm

MERJENJE

Kadar se{tevamo dve dolžini, lahko ra~unamo takole: 15 km 9 m 5 dm + 90 m 89 cm = = 1500950 cm + 9089 cm = = 1510049 cm = 15 km 100 m 3 dm 9 cm Ali pa takole: km

cm mm

15 km 9 m 5 dm + 90 m 89 cm = = 15 km + 99 m + 5 dm + 8 dm + 9 cm = = 15 km + 99 m + 13 dm + 9 cm = = 15 km 100 m 3 dm 9 cm V kraljevino kralja Urbana prihaja na obisk sultanova družina z majhnega otoka v Tihem oceanu. Kralj Urban in kraljica Lucija se na obisk temeljito pripravljata. Kralj je naro~il, naj prekrijejo z rde~imi preprogami pot od stopnic letala do ko~ije. Pot je dolga 167 m, preproge so dolge 150 cm. Koliko preprog morajo imeti pripravljenih? Dve preprogi sta skupaj dolgi 3 m, ker je 2 · 150 cm = 300 cm = 3 m. 167 m : 3 m = 55, ostaneta 2 m Za preostala 2 m je 1 preproga premalo. Potrebujejo torej 2 · 55 + 2 = 112 preprog. Kralj je naro~il, da otroci posujejo cesto od letali{~a do gradu s pisanimi konfeti. Cesta je dolga 3 km 800 m. Z eno vre~ko konfetov lahko posujejo 90 m ceste. Koliko vre~k konfetov morajo pripraviti? Dolžina ceste: 3 km 800 m = 3800 m 3800 : 90 = 42 200 20 ostanek

Cesto sestavlja 42 odsekov, dolgih 90 m, in en kraj{i, dolg 20 m. Zato morajo pripraviti 43 vre~k pisanih konfetov. 82

(dvainosemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 82

20.9.2006 13:04:08

Naloge 1

Pretvori v zapisano enoto. a) 1 km 13 dm 1 cm = mm b) 27 m 75 cm 2 mm = mm = c) 215 km 23 m dm d) 101 m 10 dm = dm = e) 15 dm 10 cm cm f) 2 m 2 dm 20 cm = cm

Izra~unaj. Rezultat zapi{i v km, m, dm, cm in mm. a) 2 km + 3000 m b) 567 cm – 180 mm c) 6 dm · 40 d) 67 m 67 cm + 4 dm e) 12 km 30 dm + 100 m 60 cm f) 47 m 15 mm + 35 dm 1 cm

Kaj je ve~ in za koliko? a) 2 cm ali 200 mm b) 45 m ali 45 dm c) 1 m 55 cm ali 1m 5 dm d) 3 km 50 m ali 950 m

Podložniki kralja Urbana bodo ob sultanovem obisku tudi po stopnicah na grad pogrnili preprogo. Rde~o seveda. Do gradu je 78 stopnic, ki so visoke 15 cm in {iroke 32 cm. Koliko metrov dolgo preprogo potrebujejo?

Me{~ani bodo pri{li pozdravit obiskovalce. Okrog vhoda v grad bodo zato napeljali ograjo iz vrvi. Imajo nekaj kosov vrvi, ki merijo 4 m 30 dm, 16 m, 560 cm, 709 dm, 2 m 20 cm in 400 dm. Koliko najve~ je lahko dolga ograja? Izmeri dolžino riževega zrna. Koliko riževih zrn bi potreboval, da bi ozna~il 3 km dolgo pot, ki jo je prehodila mravlja?

Re{ujemo probleme 1

Kraljica je dala se{iti nova obla~ila za 12 dvornih dam. Ali bo za vse obleke zado{~ala bala, na kateri je navitih 100 m blaga?

Grajska kuharica pe~e ~okoladno rolado za posladek po sve~ani ve~erji. Na ve~erjo je povabljenih 267 gostov. Vsak gost bo dobil 2 cm in pol debel kos rolade. V peka~u lahko kuharica naenkrat spe~e 45 cm dolgo rolado. Koliko peka~ev rolade mora spe~i?

Blago za zavese prodajajo na balah. Blago je {iroko 150 cm. Okno je {iroko 2 m. Zgornji rob okna, kjer je zavesa pritrjena, je 2 m in pol od tal. Mama želi, da je zavesa dvakrat {ir{a od okna in sega do tal. Koliko metrov blaga mora kupiti?

Kim je med po~itnicami v Ameriki tri dni kolesarila. Drugi dan je prekolesarila 36 milj. Tretji dan je kolesarila trikrat dlje kot prvi dan. ^e je v treh dneh prekolesarila 108 milj, koliko milj je prekolesarila prvi dan? Namig: Nari{i si skico poti. (triinosemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 83

20.9.2006 13:04:12

Merimo koli~ino teko~ine

MERJENJE

Razmisli, katere stvari merimo ali kupimo v decilitrih, litrih in hektolitrih.

Poldrugi liter pomeni liter in pol drugega.

Osnovna enota za merjenje koli~ine teko~in je liter. 1 liter vode gre v kocko s stranico 1 dm. 1 ℓ = 10 dℓ 1 hℓ = 100 ℓ Manj{i enoti od litra sta centiliter in mililiter. Centi pomeni stokrat manj, zato 1 ℓ vsebuje 100 cℓ. Mililiter ozna~imo z mℓ. 1 liter vsebuje 1000 mililitrov. Zapisana tabela nam pomaga pri pretvarjanju koli~in. hektoliter hℓ

liter ℓ

deciliter dℓ

centiliter cℓ

mililiter mℓ

Mililitre uporabljamo za zelo majhne koli~ine, na primer za odmerke zdravil, strupov, gnojil za lon~nice, krem za obraz, lakov za nohte in drugih izdelkov. Zelo pogosto vidimo zapisane naslednje koli~ine: 5 mℓ, 100 mℓ, 200 mℓ, 250 mℓ, 500 mℓ. Poi{~i izdelke s tremi od teh koli~in v trgovini.

10350 mℓ = 10 ℓ 3 dℓ 5 cℓ 13 hℓ 12 dℓ = 13012 dℓ

hℓ 13

1 0

ℓ 0 1

dℓ 3 2

cℓ 5

mℓ 0

Mojca vsako soboto zalije svoj sobni bambus z litrom in pol vode ter ga pognoji. Plastenka vsebuje 750 mℓ gnojila. Izra~unajmo, koliko gnojila porabi Mojca vsako soboto. V 1 liter vode vlije 4 mℓ gnojila, zato v 1 liter in pol vlije za polovico ve~ gnojila, to je (4 + 2) mℓ. Mojca vsako soboto porabi 6 mℓ gnojila.

Gnojilo bo zado{~alo za ve~ kot dve leti. Zakaj? 84

Izra~unajmo, koliko sobot lahko Mojca gnoji svoj bambus. 750 mℓ : 6 mℓ = 125 Odgovor: Mojca lahko svoj bambus gnoji 125 sobot.

({tiriinosemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 84

20.9.2006 13:04:21

Naloge

Re{ujemo probleme

Pretvori v manj{o od zapisanih enot. a) 23 hℓ 67 ℓ e) 3 hℓ 7 dℓ 1 mℓ b) 45 ℓ 5 dℓ f) 23 ℓ 67 dℓ 12 cℓ c) 390 ℓ 23 cℓ g) 15 ℓ 47 mℓ d) 78 dℓ 3 cℓ h) 6 hℓ 8 cℓ

O~e barva vrtno ograjo. Barvo me{a z razred~ilom v razmerju 3 : 1. Sina Filipa po{lje v trgovino {e po 6 litrov barve. Koliko razred~ila mora kupiti Filip poleg barve? Koliko litrov me{anice bo o~e dobil iz 6 litrov barve?

Izra~unaj. Rezultat zapi{i z ve~ enotami, na primer 5 ℓ 5 cℓ 3 mℓ . a) 650 cℓ + 22 ℓ e) 5 ℓ – 12 dℓ b) 1 hℓ + 350 dℓ f) 4 ℓ – 34 cℓ + c) 34 dℓ 560 mℓ g) 56 dℓ – 18 cℓ d) 5 hℓ + 12 cℓ h) 1ℓ – 750 mℓ

[tiri~lanska družina porabi na dan povpre~no 190 ℓ vode. Koliko vode porabijo v enem letu?

Ko teta Magda stepe smetano, opazi, da iz 250 mℓ teko~e smetane nastane 750 mℓ stepene smetane. ^e za torto potrebuje 2 ℓ stepene smetane, koliko {katel po 250 mℓ smetane naj kupi?

Na izletu je 25 otrok. U~iteljica ima 5 litrov soka. Nalije ga v 25 kozarcev tako, da je v vseh enako soka. Koliko centilitrov soka dobi vsak otrok?

V paketu je 12 plastenk. Vsaka plastenka vsebuje 7 dℓ 5 cℓ soka. Koliko dvodecilitrskih kozarcev lahko napolnimo s sokom? ^e želimo napolniti 60 kozarcev, koliko lahko nato~imo v vsak kozarec?

Vrtna cev pu{~a. Tudi ko je pipa na koncu zaprta, vsako uro ste~e skozi luknjico v cevi 3 cℓ vode. Ma{a pod luknjico podstavi ~ebri~ek, v katerega gre 2 ℓ vode. ^ez koliko ~asa bo morala sprazniti ~ebri~ek, da voda ne bo stekla ~ez rob?

Izra~unaj in zapi{i rezultat. a) 5 ℓ 3 dℓ · 17 e) 10 dℓ 25 mℓ : 5 · b) 45 cℓ 120 f) 11 ℓ 25 cℓ : 3 c) 78 hℓ 37 ℓ · 8 g) 2 hℓ 125 dℓ : 5 · d) 40 ℓ 40 dℓ 3 h) 3 ℓ 5 dℓ : 7

Koliko a) decilitrov je polovica litra, b) centilitrov je ~etrtina litra, c) centilitrov je poldrugi liter, d) litrov je polovica litra?

Izra~unaj, koliko ~arobnega napoja bo naredila ~arovnica Stra{nica iz razli~nih sestavin. Napoj pomanj{anja: 30 cℓ krokodiljih solz, 15 mℓ ka~jega strupa, 2 dℓ soka vijolic Napoj mo~i: 2 ℓ ~ebulnega soka, 3 dℓ 5 cℓ rose, 6 cℓ ka~je sline, 25 mℓ paradižnikovega soka Napoj nevidnosti: 1 cℓ morske vode, 500 mℓ studen~nice, 23 dℓ jezernice, 55 mℓ modre barve za nebo Stra{nica rada preliva napoje v manj{e stekleni~ke. Koliko 5-mililitrskih stekleni~k potrebuje za izdelane napoje?

25 kozarcev

5ℓ

(petinosemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 85

20.9.2006 13:04:25

Merimo maso Osnovna enota za maso je kilogram. Za tehtanje majhnih koli~in snovi je celo gram prevelika enota. Takrat uporabimo enoto miligram, ki je 1000-krat manj{a od grama. Oznaka za miligram je mg. 1 g vsebuje 1000 mg.

MERJENJE

Kje vse vidi{ oznake o teži ali masi? Na{tej nekaj primerov.

dag g

3 1

mg 3

3 kg 78 g + 105 dag 1305 mg = = 4129305 mg = = 4 kg 12 dag 1 g 305 mg

tona

kilogram

dekagram

gram

miligram

dag

Desetletna Petra je zbolela. Bolita jo glava in grlo, ima povi{ano temperaturo. Mama ji bo dala zdravilo v sirupu. Na navodilu za jemanje sirupa pi{e: Otroci, starej{i od 6 let, 1 do 2 odmerni žlici zdravila. 1 odmerna žlica je 5 mℓ sirupa. 5 mℓ sirupa vsebuje 250 mg paracetamola. Koliko paracetamola bo dobila Petra z dvema žlicama sirupa? V dveh žlicah je 2 · 250 mg paracetamola, skupaj 500 mg paracetamola. Petra bo dobila pol grama paracetamola. Koliko paracetamola je v 1 mℓ sirupa? V 5 mℓ sirupa je 250 mg paracetamola. V 1 mℓ je petkrat manj paracetamola: 250 mg : 5 = 50 mg. Babica pe~e pi{kote. Po receptu strese v tri~etrt kilograma testa {e vre~ko pecilnega pra{ka, ki vsebuje 12 g pra{ka, dve vre~ki vanilijevega sladkorja, ki vsebujeta po 12 g sladkorja, in 60 g kakava. Babica spe~e 90 pi{kotov. Koliko tehta en pi{kot? Vsi pi{koti tehtajo: 750 g + 12 g + 2 · 12 g + 60 g = 846 g En pi{kot tehta: 846 g : 90 = 846000 mg : 90 = 9400 mg pre tvorimo v m ili gra m e

Ker je miligram zelo majhna enota, bomo rezultat zaokrožili. En pi{kot tehta približno 9 g in pol. Koliko miligramov pecilnega pra{ka vsebuje vsak pi{kot? 12 g : 90 = 12000 mg : 90 = 133 mg, ostane 30 mg 30 mg je zelo majhna koli~ina, zato pri rezultatu ostanka ne bomo upo{tevali. V enem pi{kotu je približno 133 mg pecilnega pra{ka.

({estinosemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 86

20.9.2006 13:04:27

Naloge 1

Pretvori v manj{o enoto. a) 15 kg 56 dag 4 g 1 t 5 kg 6 g 34 kg 6 dag 23 g b) 56 dag 5 g 45 kg 12 g 5 kg 10 dag 101 g c) 1 t 560 kg 34 t 45 dag 409 kg 3030 dag

Re{ujemo probleme Koliko tehta 1 dℓ, 1 cℓ in 1 mℓ vode, ~e 1 ℓ vode tehta 1 kg?

Mama je v trgovini nakupila: pol kilograma kruha, 5 ribjih konzerv po 185 g, 2 zavitka moke po 1 kg, tri~etrt kilograma mesa, 25 dag sira, kilogram jabolk, kilogram in pol pralnega pra{ka, ~etrt kilogram pr{uta in 60 dag ~ebule. Domov bo stvari odnesla v dveh vre~kah.

dag

Kaj je ve~ in za koliko? 24 kg ali 240 dag 7 g ali 700 mg 36 g ali 3600 mg 78 kg ali 907 dag Izra~unaj. Rezultat zapi{i v mnogoimenskih enotah. a) 45 kg + 3 kg 56 dag + 17 dag b) 67 dag + 1400 g + 4000 mg c) 3 t + 458 dag + 4 kg 707 dag d) 356 kg + 598 dag + 808 kg 678 dag e) 67 dag – 180 g f) 89 kg 34 dag – 87 dag g) 576 g – 68 g h) 3 t 56 kg – 105 kg 25 dag ^arovnica Stra{nica me{a ~arobne pra{ke. Znal~ek: 1500 mg pra{ka proti lenobi, 105 mg delovne vneme, 270 mg vedoželjnosti Dobrovolj~ek: 170 mg smejalnega pra{ka, 2050 mg prijateljstva, 570 mg son~nih žarkov Span~ek: 34 g 16 mg maminih poljub~kov, 5 g 340 mg o~kovega dotika, 890 mg sladkih sanj Izra~unaj, koliko posameznega pra{ka dobi iz na{tetih sestavin. Rezultate zaokroži v grame. Sestavi recept {e za svoj pra{ek.

Zvon so izdelali iz zlitine medenine, bakra in kositra. Porabili so 1247 kg 36 dag medenine, 1853 kg 17 dag bakra in 177 kg 42 dag kositra. Koliko tehta zvon?

Koliko bi morala naložiti v vsako vre~ko, da bi v obeh rokah nosila enako? Kako naj razporedi stvari, da bosta vre~ki približno enako težki? 3

Na {katlici zdravil pi{e, da 1 mℓ sirupa vsebuje 5 mg u~inkovine. V navodilih za uporabo pi{e, da morajo otroci na vsakih 5 kg telesne teže dobiti 5 mg u~inkovine. Koliko mililitrov zdravila mora dobiti otrok, ki je težak 10 kg in koliko otrok, ki je težak 45 kg? Kaj naredimo, ~e je otrokova te`a 43 kg?

Miha je na {katli riža prebral: Na 1 merico riža dodaj 2 merici vode. Za 2 osebi potrebuje{ 125 g riža. Miha bo skuhal riž za {tiri~lansko družino. Koliko gramov riža in koliko mililitrov vode mora Miha dati v lonec?

Na {katlah jajc so ozna~ene velikosti jajc.

Koliko najve~ in koliko najmanj lahko tehtajo jajca v {katli z oznako L? V {katli je 10 jajc velikosti S. Koliko teh jajc bi moral zamenjati z jajci velikosti L, da bi bila skupna teža jajc med najmanj{o in najve~jo težo 10 jajc velikosti M? (sedeminosemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 87

20.9.2006 13:04:30

Merimo ~as Enote za ~as pogosto uporabimo, ko na~rtujemo nek dogodek.

Ve~je enote za ~as ne vsebujejo vedno enakega {tevila manj{ih enot. 1 h = 60 min 1 dan = 24 h 1 min = 60 s 1 teden = 7 dni

MERJENJE

Mesec ima 31, 30, 29 ali 28 dni. Leto ima 12 mesecev. Navadno leto ima 365 dni, prestopno leto 366 dni. U~enci in u~enke 5. c pripravljajo gledali{ko predstavo iz vite{kih ~asov. Odigrali jo bodo na prireditvi ob zaklju~ku {olskega leta, predzadnji dan pouka. Kostume in pripomo~ke si bodo izposodili v gledali{~u. Da jim ne bi zmanjkalo ~asa, so si zapisali, na kaj vse morajo biti pozorni.

Vaje - Potrebujemo 14 dni, da se nau~imo gladko brati in izgovarjati besedilo. - En mesec moramo vaditi igranje brez kostumov in {e dva tedna s kostumi. - Zadnji teden bomo vadili tudi z me~i, krono, prestolom in kulisami gradu. - Pozor: Kostume in pripomo~ke izposojajo samo ob ponedeljkih. Vabila - 3 tedne pred predstavo morajo u~itel ji in star{i dobiti vabila po po{ti. - Pisma potujejo po po{ti tri delovne dni. - Dva dni potrebujemo, da napi {emo potrebno {tevilo vabil.

Prestopna so leta, ki so deljiva s {tiri. Izjema so leta, ki so deljiva s 100. Ta so prestopna le, ~e so deljiva s 400. Prestopna leta so bila na primer 1964, 1988 in 2000. Leta 1700, 1800 in 1900 niso bila prestopna.

Vstopnice - Vstopnice bo natiskal tiskar v 10 dneh. - Prodajati jih lahko za~nemo prvo sredo po 5. juniju.. Predstava - Predstava traja 55 minut. - Za obla~enje potrebujemo uro in pol. - Dvorana bo prazna od 15.30 dal je. - Po predstavi potrebujemo {e dva dni, da o~istimo kostume in pripomo~ke. - Vrnemo jih lahko prvi naslednji ponedel jek.

Pomagaj dokon~ati na~rt. S pomo~jo koledarja poi{~i dneve, ko morajo u~enci za~eti vaditi besedilo, si izposoditi kostume, si izposoditi pripomo~ke, za~eti pisati vabila, oddati vabila na po{ti, naro~iti izdelavo vstopnic pri tiskarju.

Zakaj smo uvedli prestopna leta? 88

Ob kateri uri je lahko predstava najbolj zgodaj? Katerega dne bodo vrnili kostume in pripomo~ke? Za koliko dni izposoje bodo pla~ali?

(oseminosemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 88

20.9.2006 13:04:35

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Pretvori v manj{o enoto. a) 3 dni 3 ure 50 minut b) 12 let 7 mesecev c) 56 dni 17 ur d) 2 h 5 min 10 s

Mama se u~i za strokovni izpit. Po elektronski po{ti je naro~ila u~benik. V potrdilu naro~ila je pisalo, da bo prispel najkasneje v 45 dneh. Preteklo je že tri tedne od naro~ila, mama ima izpit ~ez dva meseca, u~benika pa {e vedno ni. Najmanj koliko dni se bo lahko u~ila iz novega u~benika?

Babica bi vnukom rada postregla s sveže pe~enim kola~em. Vnuki pridejo iz {ole ob 13.30. Priprava kola~a traja pol ure, nato se kola~ pe~e {e 20 minut. Kdaj mora babica za~eti pripravljati kola~, da bo pe~en ob prihodu vnukov?

Mami bi rada, da bi 10. maja, ko ima njena Katja vrtno zabavo, cveteli tulipani. Tulipani potrebujejo 10 tednov, da zrastejo iz ~ebulice, in vsaj 5 dni, da zacvetijo. Kdaj naj mami posadi ~ebulice v gredico, da bodo tulipani cveteli na vrtni zabavi?

Martin potrebuje pe{ do avtobusne postaje 6 minut. Avtobusi z Martinove postaje odpeljejo vsakih 15 minut. Prvi avtobus odpelje ob 6.30. Do postaje pri {oli vozi avtobus 18 minut. ^e se pouk za~ne ob 8.30, kdaj mora Martin najkasneje od doma, da ne zamudi? Mu ostane dovolj ~asa, da se v {oli preoble~e?

Kuharica je dobila službo v hotelu Sonce 2. novembra 1990. Poskusno je delala 24 tednov. 15. marca 2002 je od{la v drugo službo, v hotel Morje. Katerega dne je nehala poskusno delati v hotelu Sonce? Koliko dni je bila v službi v hotelu Sonce?

minute mesece ure sekunde

Izra~unaj, kateri dan v tednu bo a) 3 tedne po 6. maju b) 14 dni pred 27. septembrom c) 2 meseca pred 13. februarjem d) 5 tednov pred 1. avgustom

Zapi{i, koliko je ura a) 16 minut pred 14.00, b) tri~etrt ure po polno~i, c) 15 minut pred tretjo uro popoldne, d) 25 minut ~ez poldne.

Re{i staro nalogo. Kri{tof Kolumb je najdel Ameriko, 12. oktobra leta 1492, ko je bil 2 meseca 9 dni na morji; kedaj se je odpeljal iz Evrope?

Astronomi so za mesec maj zapisali naslednjo tabelo. Luna datum

vzide

zaide

1. 5.

2.59

11.54

5. 5.

4.29

17.06

10. 5.

6.25

23.09

15. 5.

11.05

2.05

20. 5.

16.46

3.38

25. 5.

23.15

6.02

30. 5.

1.56

12.25

Izra~unaj, koliko ~asa je Luna na nebu v navedenih dneh.

(devetinosemdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 89

20.9.2006 13:04:37

Merimo ~as na {portnih tekmovanjih

MERJENJE

V nekaterih {portih se meri ~as zelo natan~no. ^e navija{ za svoje priljubljene {portnike, mora{ vedeti, kaj pomenijo {tevilke v zapisanih doseženih ~asih.

Osebni rekord je najbolj{i ~as, ki ga je {portnik dosegel.

Manj{a ~asovna enota od sekunde je stotinka sekunde. 1 sekunda ima 100 stotink. 360 stotink je 3 sekunde in 60 stotink. Plavalni klub vsako leto priredi tekmovanje za mlade plavalce. ^as plavanja merijo elektronsko, na stotinko sekunde natan~no. V tabeli so zapisani rezultati plavanja skupine de~kov na 50 metrov prsno.

Proga

Tekmovalec

Starost

Osebni rekord

Rezultat na tekmovanju

Blaž M.

8 let

54,05

52,90

Jan K.

11 let

54,10

51,47

Miha F.

10 let

53,54

50,62

Ga{per L.

10 let

53,17

48,43

Klemen S.

9 let

53,13

52,56

Anže J.

9 let

54,31

49,23

Urban H.

10 let

54,40

49,75

Primož N.

10 let

55,00

54,05

sekunde stotinke

Koliko ~asa so potrebovali de~ki za 50 m plavanja v prsni tehniki? De~ki so preplavali 50 m v manj kot 1 minuti. Plavali so ve~ kot 48 s in manj kot 54 s. Za koliko sekund je Blaž izbolj{al svoj osebni rekord? Blažev osebni rekord je bil 54,05. Danes je plaval hitreje, 52,90. Razliko med ~asoma bomo izra~unali tako, da bomo od{teli sekunde posebej in stotinke posebej. 54 s 5 stotink = 53 s 105 stotink

54 s 5 stotink – 52 s 90 stotink = = 53 s 105 stotink – 52 s 90 stotink = = 1 s 15 stotink Prav vsi plavalci so izbolj{ali svoje osebne rekorde. Izra~unaj, za koliko. ^e bi Anže plaval enako hitro vso pot, koliko ~asa bi potreboval za 100 m? Anže je za 50 m potreboval 49 s 23 stotink. Za 100 m bi potreboval dvakrat ve~ ~asa. 2 · 49 s 23 stotink = 98 s 46 stotink = 1 min 38 s 46 stotink Njegov ~as na 100 m bi na tekmovanju zapisali 1:38,46. Izra~unaj, kak{ni bi bili ~asi drugih tekmovalcev v prsnem plavanju na 100 m, ~e bi ves ~as plavali enako hitro.

(devetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 90

20.9.2006 13:04:39

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Doseženi ~asi deklic v tekmi na 100 m prsno so zapisani v spodnji tabeli. Proga

Tekmovalka

Starost

Osebni rekord

Rezultat na tekmovanju

Leja K.

12 let

1:07,65

1:05,12

Ur{a M.

13 let

1:07,40

1:05,40

Ana T.

13 let

1:07,27

1:06,68

Ajda S.

12 let

1:06,90

1:06,95

Kaja H.

13 let

1:07,05

1:05,37

Tja{a N.

12 let

1:07,36

1:05,80

Eva G.

11 let

1:07,52

1:06,13

Maja L.

13 let

1:07,80

1:06,92

a) Katera deklica je zmagala? b) Sestavi zmagovalni vrstni red za de~ke na 50 m in deklice na 100 m. Kdo je dobil medalje? c) Ali so vse deklice izbolj{ale svoj osebni rekord? Katera deklica je za najve~ izbolj{ala svoj osebni rekord? d) Za koliko je bila zmagovalka na 100 m hitrej{a od tvojega napovedanega ~asa plavanja za najbolj{ega de~ka na 100 m? e) Za koliko je zmagovalka premagala drugouvr{~eno? f) Koliko za zmagovalko je priplavala zadnja deklica? 2

Poi{~i v ~asopisu poro~ilo o {portnem tekmovanju, na katerem se meri ~as na stotinke sekunde natan~no. Prepi{i ~as prvih treh tekmovalcev. Za koliko je bil zmagovalec hitrej{i od tretjeuvr{~enega? V igri "sezidaj stolp" ima tekmovalec pol minute ~asa, da zgradi stolp po navodilih na kartici. Za vsakih polnih 5 sekund, ki mu ostanejo do izteka ~asa, dobi en žeton. Matej je bil zelo spreten in je stolp postavil v 18 sekundah. Koliko žetonov je dobil?

Kako bi izmeril, koliko ~asa potrebuje{, da postavi{ v vrsto en fižol~ek? Obi~ajne ure niso dovolj natan~ne. Lahko pa meri{ ~as, ki ga potrebuje{, da v vrsto postavi{ 10 fižol~kov. Dobljeni ~as deli{ z 10 in dobi{ povpre~ni ~as postavljanja enega fižol~ka. Poskusi sam in zapi{i ~as, v katerem postavi{ v vrsto en fižol~ek.

^e je bil ~as zmagovalke 1:27,59, kak{en je bil Ur{kin kon~ni ~as na slalomski tekmi? 3

Pri opisih avtomobilov lahko opazi{ tudi podatek, ki pove, kako hitro avtomobil iz stanja mirovanja pospe{i do hitrosti 100 km na uro. ^as je zapisan v sekundah in stotinkah. Izra~unaj razlike v ~asih za tri avtomobile. Tik 11 sekund 40 stotink Sport 6 sekund 90 stotink Aktiv 9 sekund 70 stotink

Tudi na atletskih tekmovanjih merimo ~as na stotinke natan~no. Ženski rekord v teku na 100 m je postavila Ameri~anka Florence Grifﬁth Joyner 16. julija 1988 in zna{a 10,49. Najhitrej{i na svetu je trenutno Jamaj~an Asafa Powell s ~asom 9,77, ki ga je odtekel 14. junija 2005. Za koliko je najhitrej{i atlet hitrej{i od najhitrej{e atletinje? Slovenski mo{ki rekord ima Matic Osovnikar s ~asom 10,15, ženskega pa atletinja Marlene Ottey, 11,09. Koliko se na{a rekorda razlikujeta od svetovnih? (enaindevetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 91

20.9.2006 13:04:40

Merimo plo{~ino Katera slika je ve~ja?

Ali je dolg in ozek pravokotnik ve~ji od kratkega in {irokega? ^e želimo primerjati po velikosti dve ploskvi, ju moramo razdeliti na enako velike dele. [tevilo enako velikih delov, ki pokrivajo ploskvi, nato primerjamo med seboj.

MERJENJE

Koli~ina, ki meri velikost lika, se imenuje plo{~ina. Plo{~ina je enaka {tevilu enakih plo{~ic, ki ravno pokrijejo lik. Iz 10 plo{~ic sestavimo nekaj likov. Vsi imajo enako plo{~ino. Plo{~ina likov je 10 pravokotnih plo{~ic.

Prekrivanje ploskev z enakimi plo{~icami imenujemo tlakovanje.

Oba lika na sliki imata enako plo{~ino. Prekrijemo ju lahko s 36 trikotniki. Preveri.

Ploskve lahko tlakujemo s plo{~icami razli~nih oblik, vendar vse oblike niso primerne. Plo{~ice morajo biti take oblike, da pri polaganju med seboj ne pu{~ajo praznega prostora.

Gospa Topolec si je že dolgo želela nove plo{~ice za tla v kopalnici. Za rojstni dan jo je gospod Topolec presenetil: "Draga moja, danes bova kupila najlep{e plo{~ice. Pomagaj mi izmeriti, koliko jih potrebujeva, pa se odpraviva v trgovino." In sta se lotila merjenja. V trgovini je gospa Topolec izbrala jagodno rde~e kvadratne plo{~ice, ki so merile 10 cm v {irino in 10 cm v dolžino. Prodajalec jima je pomagal dolo~iti, koliko jih potrebujeta. Po dolžini gre v vsako vrsto 30 plo{~ic, ker je 30 · 10 cm = 300 cm = 3 m. Po {irini lahko položimo 20 plo{~ic, ker je 20 · 10 cm = 200 cm = 2 m. Gospodu Topolcu so bolj v{e~ medeno rjave plo{~ice, ki merijo 20 cm v dolžino in 20 cm v {irino. Prodajalec je izra~unal: Po dolžini gre v vsako vrsto 15 plo{~ic, ker je 15 · 20 cm = 300 cm = 3 m, po {irini pa 10 plo{~ic, ker je 10 · 20 cm = 200 cm = 2 m. Ker pa je imela rojstni dan gospa Topolec, sta kupila 6 {katel po 100 jagodno rde~ih plo{~ic in si v sla{~i~arni privo{~ila {e jagodno torto z medenim prelivom. 92

(dvaindevetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 92

20.9.2006 13:04:47

Naloge 1

Dolo~i plo{~ino likov. Razmisli, s kak{nimi liki bo{ meril plo{~ino. Kateri lik ima najve~jo plo{~ino in kateri najmanj{o?

Povej, kdaj moramo izra~unati dol탑ino in kdaj plo{~ino. a) Koliko metrov ograje moramo kupiti, da ogradimo vrt? b) Kako velika preproga gre v predsobo? c) Koliko naj bo dolga cev za zalivanje, da bomo z njo lahko zalivali tudi za hi{o? d) Koliko podlage za pod hr~kovo kletko potrebujemo? e) Koliko je dolga teka{ka proga okoli Juretovega naselja? f) Koliko naj bo dolga zapestnica za prijateljico? g) Kako veliko je jadro na jadralni deski? Kateri od narisanih likov ima ve~jo plo{~ino, trikotnik ali romb?

Re{ujemo probleme 1

Matej in Jure sta merila povr{ino u~benika. Matej pravi: "U~benik meri 12 pravokotnikov." Jure pa: "Ni res, meri to~no 24 pravokotnikov." Oba imata prav. Kako je to mogo~e?

Mojster Jaka polaga parket v dnevni sobi. Ima kvadratne plo{~e z robom, dolgim 12 cm. Dnevna soba je dolga 5 m 40 cm in {iroka 3 m 60 cm. Koliko plo{~ parketa bo porabil za celo sobo?

Oceni povr{ino jezerc v parku. Katero je ve~je? Razmisli, katere del~ke lahko zanemari{, katere lahko zdru탑i{.

Razmisli, kako bi izra~unal, kolik{no povr{ino prekrije{, ko se ule탑e{ na hrbet. Izdelaj na~rt. Nato po svojem na~rtu oceni povr{ino, ki jo prekrije{.

(triindevetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 93

20.9.2006 13:04:49

MERJENJE

Plo{~inske enote ^e želimo primerjati dve razli~ni povr{ini, ju moramo izmeriti z enakimi plo{~icami. Da se ljudje v pogovorih o plo{~inah med seboj razumemo, smo se morali dogovoriti, kak{na bo enotska plo{~ica, ki bo po vsem svetu enaka.

Plo{~ina nam pove, koliko izbranih enotskih plo{~ic prekrije povr{ino, ki jo merimo. Enotske plo{~ice so kvadratne oblike in imajo stranice dolge 1 mm, 1 cm, 1 dm, 1 m. Plo{~inske enote poimenujemo: kvadratni milimeter, zapi{emo mm2 kvadratni centimeter, zapi{emo cm2 kvadratni decimeter, zapi{emo dm2 kvadratni meter, zapi{emo m2

Tina je izmerila nalepko na svojem u~beniku. Zanima jo, kako velika je.

2 cm 3 cm Povr{ino izrazimo v kvadratnih centimetrih. Po dolžini lahko postavimo 3 centimetrske kvadratke. Položimo lahko 2 vrsti. Plo{~ina pravokotne nalepke je 2 · 3 cm2 = 6 cm2. So{olec Jure pa ima nalepko dolgo 45 mm in {iroko le 12 mm. Ali je Juretova nalepka ve~ja od Tinine?

12 mm 45 mm Povr{ino Juretove nalepke bomo izra~unali v kvadratnih milimetrih. Povr{ina je 12 · 45 mm2 = (10 + 2) · 45 mm2 = (450 + 90) mm2 = 540 mm2. ^e želimo primerjati velikosti med seboj, morata biti obe plo{~ini izraženi z istimi enotami. Koliko kvadratnih milimetrov meri Tinina nalepka? 30 mm · 20 mm = 600 mm2 Tinina nalepka je ve~ja od Juretove, ker je 600 mm2 > 450 mm2. 94

({tiriindevetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 94

20.9.2006 13:04:52

Naloge

Re{ujemo probleme

V katerih plo{~inskih enotah bi izmeril povr{ino a) {olske mize, b) matemati~nega zvezka, c) znamke, d) {olskega igri{~a, e) strehe hi{e, f) fotograﬁje, g) nohta?

^eber barve Bele sanje zado{~a za 14 m2 stene. Angelca je prebarvala steno, veliko 9 m2. Za koliko kvadratnih metrov je ostalo barve v ~ebru?

Družina kupuje novo stanovanje. Ozna~ili so si nekaj stanovanj, ki se jim zdijo primerna. Koliko stane kvadratni meter stanovanja? Kje je kvadratni meter stanovanja najcenej{i? Stanovanje v trinadstropnem bloku: 64 m2 144600 € Pritli~no stanovanje v stolpnici: 58 m2 128400 € Stanovanje v manj{i hi{i: 70 m2 152300 €

Narisano je pritli~je {ole. Zamenjali bodo talno oblogo na hodnikih. Koliko kvadratnih metrov je morajo kupiti?

Izberi si {irino, dol`ino in vi{ino sobe. Izra~unaj, koliko kvadratnih metrov merijo vse stene skupaj. Izra~unaj, koliko ~ebrov barve Bele sanje bi potreboval, da bi jih pobarval. Oken in vrat ti ni treba upo{tevati. 3

7m 7m

u~il.

12 m

15 m

u~il.

hodnik

Pravokotnik je dolg 5 cm in {irok 3 cm.

13 m u~il.

u~il.

Koliko pa bi stal nov parket v u~ilnicah, ~e stane 1 kvadratni meter parketa 17 €?

pravokotnik 3

Družina Zidar bo na zemlji{~u, velikem 450 m2, zgradila hi{o. Hi{a bo dolga 12 m in {iroka 8 m. Poleg hi{e bosta {e dve garaži. Vsaka od garaž bo {iroka 4 m in dolga 6 m. Pred hi{o in garažama bo tlakovano dvori{~e v velikosti 24 m2. Koliko zemlji{~a bo družini ostalo za vrt? Nari{i skico.

Kako izra~unamo njegovo plo{~ino? a) 3 cm + 5 cm b) 3 cm · 5 cm c) 3 cm · 5 cm + 3 cm · 5 cm d) 3 cm + 3 cm + 5 cm + 5 cm 4

Izra~unaj povr{ino pravokotnika, ki ima stranici dolgi a) 2 cm, 8 cm, b) 17 mm, 2 cm, c) 30 dm, 2 m, d) 15 cm, 22 mm. Bodi pozoren na enote.

Mogo~e si že sli{al za ar. To je plo{~inska mera, ki se uporablja pri merjenju zemlji{~. 1 ar meri 100 m2. Izra~unaj, koliko arov merijo njive z dol`ino in {irino a) 25 m in 20 m, b) 30 m in 40 m, c) 15 m in 30 m, d) 18 m in 25 m.

Poi{~i v reklamnih oglasih vsaj tri izdelke, ki imajo ceno za 1 m2. Prepi{i ali izreži oglas. V razredu primerjajte, kdo je na{el najcenej{i in kdo najdražji izdelek. Kako boste primerjali vrednosti?

Na sosedovem zemlji{~u kvadratne oblike s stranico 48 m je ograjen zelenjavni vrt. Vrt zavzema povr{ino s stranicama 23 m in 17 m. Ali vrt zavzema ve~ kot polovico zemlji{~a? (petindevetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 95

20.9.2006 13:04:52

Denar v Evropi Tudi Slovenija je januarja 2007 denarno enoto slovenski tolar (SIT) zamenjala z denarno enoto Evropske unije, evrom (€).

V ve~ini držav Evropske unije uporabljajo denarno enoto evro. Evro je precej velika denarna enota. Za 1 € lahko kupi{ kilogram sadja, ~okolado, ~asopis. Zato uporabljajo tudi manj{o enoto, evrocent. Kraj{e mu re~emo kar cent. 1 € = 100 evrocentov. Cene v trgovinah so zapisane v evrih in centih.

MERJENJE

Koliko je vredna posamezna denarna enota, preberemo s posebne tabele, ki ji re~emo te~ajna lista. Te~aj je faktor, s katerim množimo vrednost ene denarne enote, da dobimo drugo denarno enoto. TE^AJNA LISTA ŠT. 227 Z DNE 23.11.2005 TE^AJI VELJAJO OD 24.11.2005 OD 00.00 URE DALJE

Dr`ava

Valuta Enota {ifra oznaka

nakupni

Za devize srednji

EMU

978

EUR

238,8447

239,5634

240,2821

AVSTRALIJA

036

AUD

149,5022

149,9521

150,4020

KANADA

124

CAD

172,7379

173,2577

173,7775

HRVAŠKA

191

HRK

32,2772

32,3743

32,4714

^EŠKA

203

CZK

8,1754

8,2000

8,2246

DANSKA

208

DKK

32,0120

32,1083

32,2046

MADŽARSKA

348

HUF

0,9460

0,9488

0,9516

JAPONSKA

392

JPY

1,7100

1,7151

1,7202

NORVEŠKA

578

NOK

30,3897

30,4811

30,5725

SLOVAŠKA

703

SKK

6,1909

6,2095

6,2281

ŠVEDSKA

752

SEK

25,0908

25,1663

25,2418

ŠVICA

756

CHF

154,1729

154,6368

155,1007

V.BRITANIJA

826

GBP

349,0861

350,1365

351,1869

ZDA

840

USD

202,9439

203,5546

204,1653

POLJSKA

985

PLN

60,5206

60,7027

60,8848

prodajni

Prodajni te~aj pove, koliko tolarjev smo morali dati za 1 €.

Nakupni te~aj pomeni, koliko tolarjev bi dobili v menjalnici za 1 €. Nakupni in prodajni te~aj sta zapisana v slovenskih tolarjih. Vrednost je zapisana z vejico. Števila za vejico predstavljajo manj{i del, kot je 1 SIT, stotine.

Koliko slovenskih tolarjev je bil 24. novembra 2005 vreden 1 €? S te~ajne liste preberemo prodajno vrednost: 1 € = 240,2821 SIT. To pomeni, da je 1 € vreden 240 SIT 28 stotinov ali približno 240 slovenskih tolarjev in pol. Koliko evrov bi dobili 24. novembra 2005 za 10000 SIT? Sklepamo: 1 € kupimo za 240,28 SIT x € kupimo za 10000 SIT Pri ra~unanju si pomagamo s kalkulatorjem. x = (10000 : 240,28) € = 41,61 €. Zapi{emo le dve mesti za vejico. V menjalnici bi za 10000 SIT dobili 41 € in 61 centov.

({estindevetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 96

20.9.2006 13:05:06

Koliko tolarjev bi v menjalnici dobili za 12,40 € na isti dan? ^e želimo v menjalnici zamenjati evre, potem s te~ajne liste preberemo nakupno vrednost. Nakupna vrednost je nižja od prodajne in je zna{ala 238,84 SIT. Sklepamo: 1 € prodamo za 238,84 SIT. 12,30 € prodamo za x SIT. Pri ra~unanju si pomagamo s kalkulatorjem. x = 238,84 · 12,30 SIT = 2937,73 SIT Ker pri slovenskih tolarjih nismo uporabljali stotinov, smo morali stotine zaokrožiti. ^e je stotinov 50 ali ve~, dodamo 1 tolar, druga~e obdržimo izra~unano vrednost. 12,40 € je bilo vrednih 2938 SIT.

Naloge 1

Na voljo ima{ bankovce z vrednostmi 10, 20, 50, 100, 200 in 500 ter kovance za 1, 2 in 5. Zapisane vrednosti sestavi s ~im manj bankovci in kovanci. a) 356 c) 935 e) 1525 b) 4599 d) 2434 f) 13780

Koliko evrov bi 24. novembra 2005 dobil za naslednje vsote tolarjev? Katero vrednost s te~ajne liste bo{ uporabil? Zapi{i sklep in ra~un. Pri ra~unanju si pomagaj s kalkulatorjem. a) 115 SIT c) 500 SIT e) 1500 SIT b) 4000 SIT d) 6078 SIT f) 12450 SIT

Koliko tolarjev bi dobil v menjalnici 24. novembra 2005 za naslednje zneske? Katero vrednost s te~ajne liste bo{ uporabil? Zapi{i sklep in ra~un. Pri ra~unanju si pomagaj s kalkulatorjem. a) 2 € c) 12 € e) 45,50 € b) 50 € d) 78,10 € f) 0,50 €

Za koliko tolarjev sta se novembra 2005 razlikovala zneska? Uporabi te~ajnico iz u~benika. Katero vrednost bo{ uporabil, prodajno ali nakupno? Pri ra~unanju si pomagaj s kalkulatorjem. a) 2300 SIT ali 10 € d) 12 € ali 3000 SIT b) 500 SIT ali 0,50 € e) 3,20 € ali 1000 SIT c) 100 € ali 10000 SIT f) 10 € ali 5000 SIT

Re{ujemo probleme 1

Si že opazil, da v~asih pla~ujemo s "~udnimi" zneski? Koliko je morala vrniti blagajni~arka, ~e ve{, da je bil a) ra~un 595 SIT, kupec je pla~al s 1000 SIT, b) ra~un 1236 SIT, kupec je pla~al s 1306 SIT, c) ra~un 5059 SIT, kupec je pla~al s 10060 SIT, d) ra~un 4222 SIT, kupec je pla~al s 5022 SIT, e) ra~un 4459 SIT, kupec je pla~al s 5500 SIT, f) ra~un 10312, kupec je pla~al s 10512 SIT? Zakaj pla~ujemo tako? Ali je bilo za vrednost 315 SIT bolje pla~ati 400 SIT ali 415 SIT?

Na te~ajni listi poi{~i podatke o Švici. Švica ni v Evropski uniji in ima svoje pla~ilno sredstvo. Imenuje se {vicarski frank, oznaka je CHF. Izpi{i njegovo nakupno in prodajno vrednost. Za kaj mora{ pla~ati ve~, za angle{ki funt ali {vicarski frank? Koliko evrov mora{ od{teti v menjalnici za a) 10 CHF, c) 50 CHF, e) 100 CHF b) 22,50 CHF, d) 105,50 CHF, f) 223,20 CHF? Pri ra~unanju si pomagaj s kalkulatorjem.

Kdaj bi v menjalnici dobil ve~, ~e bi menjal tolarje? a) 10 € ali 50 {vicarskih frankov, b) 10 hrva{kih kun ali 10 danskih kron, c) 20 bosanskih mark ali 20 ameri{kih dolarjev, e) 1 bosansko marko ali 2 €? (sedemindevetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 97

20.9.2006 13:05:10

Pla~ujemo z evri

MERJENJE

Na svetovnem spletu si lahko ogleda{ podobe bankovcev in kovancev vseh dr`av.

Države Evropske unije imajo isto denarno enoto, vendar lahko same oblikujejo podobo svojih kovancev. Evro kovanci so izdani v osmih razli~nih vrednostih: 1, 2, 5, 10, 20 in 50 centov, 1 € in 2 €. Kovanci imajo enako sprednjo stran, hrbtna stran pa se razlikuje. Hrbtna stran ozna~uje, v kateri državi je bil kovanec izdan. Na sliki so kovanci za 1 €, ki so bili izdani v Italiji, Gr~iji in Nem~iji.

Amalija je na obisku pri prijateljici v Belgiji. Opoldne sta {li na hitro kosilo. Koliko sta pla~ali za dve omleti, borovni~ev sok, limonado, sladoled in jagode s smetano? 3,60 € + 3,60 € + 2,10 € + 2,20 € + 3,50 € + 2,80 € = = 3 € 60 centov + 3 € 60 centov + 2 € 10 centov + 2 € 20 centov + + 3 € 50 centov + 2 € 80 centov = = (3 + 3 + 2 + 2 + 3 + 2) € + (60 + 60 + 10 + 20 + 50 + 80) centov =

Se{tejemo posebej evre in posebej cente.

= 15 € + 280 centov = 15 € + 2 € 80 centov = 17 € 80 centov = 17,80 € 100 centov = 1 €

Ker je 280 centov ve~ kot 1 evro, Kon~ni znesek zapi{emo z vejico.

pretvorimo cente v evre.

Odgovor: Amalija in prijateljica sta za kosilo pla~ali 17,80 €. Prera~unaj, koliko tolarjev je bilo vredno kosilo.

Amalija je pla~ala z bankovcem za 20 €. Koliko ji bo vrnil natakar? Ra~un za kosilo je zna{al nekaj manj kot 18 €. Koliko manj? 20 € – 17 € 80 centov = 19 € 100 centov – 17 € 80 centov = 1 € zapi{emo s centi.

= (19 – 17) € (100 – 80) centov = 2 € 20 centov = 2,20 € Od{tejemo evre. Od{tejemo cente.

Odgovor: Natakar jih bo vrnil 2,20 €. 98

(osemindevetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 98

20.9.2006 13:05:15

Naloge

Re{ujemo probleme

Zapi{i v evrih in centih. a) 12,05 € b) 37,25 € c) 58,90 € d) 10,57 € e) 0,98 € f) 0,05 €

Izra~unaj. a) 3,90 € + 4,50 € – 3,10 € b) 22,60 € – 11,60 € + 4 € c) 5,70 € – 0,90 € + 4,20 € d) 67,10 € – 45,50 € + 11,70 € e) 52,80 € + 23,60 € – 60,70 € f) 100 € – 45,50 € – 34,20 €

Se{tej. a) 3 € 10 centov + 2 € 60 centov b) 9 € 70 centov + 2 € 60 centov c) 22 € 40 centov + 21 € 90 centov d) 2 € 50 centov + 60 centov e) 8 € 30 centov + 2 € 70 centov f) 80 centov + 90 centov

Družina Novak, o~e, mama in dva otroka, bodo V Barceloni obiskali akvarij. Koliko jim bo vrnila blagajni~arka, ~e je o~e pla~al z bankovcem za 100 €? Koliko bi jim vrnila, ~e ne bi zni`ali cen vstopnic?

Od{tej. a) 34 € 50 centov – 22 € 40 centov b) 2 € 20 centov – 10 € centov c) 13 € 80 centov – 8 € 10 centov d) 32 € 40 centov – 30 € 50 centov e) 3 € 10 centov – 90 centov f) 10 € 10 centov – 8 € 80 centov

Izra~unaj. a) 3,50 € + 10 € + 0,40 € b) 105,90 € + 56,50 € + 37 € c) 56,70 € + 0,90 € + 12,05 € d) 2,50 € + 6 € + 0,20 € e) 0,90 € + 0,50 € + 50 € f) 100,30 € + 30,10 € + 0,90 €

Gaj potuje v Amsterdam. Potovalna agencija mu je rezervirala sobo v hotelu po ceni 58 € 30 centov na no~. Gaj bo bivanje v hotelu pla~al ob odhodu. V Amsterdamu bo prebil 6 dni. Koliko evrov naj vzame Gaj s seboj, ~e ve, da bo poleg sobe v hotelu potreboval za druge stro{ke {e 25 € na dan?

Koliko evrov bi gospodu Kosu vrnil natakar v restavraciji, ~e bi kosilo stalo 34,50 € in bi gospod Kos dal natakarju bankovec za 50 €?

(devetindevetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 99

20.9.2006 13:05:16

MERJENJE

Popusti in razprodaje Pogosto se v trgovinah pojavijo razli~ne razprodaje. Ob koncu poletja so razprodaje poletnih obla~il. V za~etku leta so zimske razprodaje obla~il in smu~arske opreme. Pozna{ {e kak{ne razprodaje?

^as razprodaj je. Mama in Ana sta se odpravili po nakupih. V trgovini ogla{ujejo: Vse po polovi~ni ceni! Kaj to pomeni? To pomeni, da za vsako stvar pla~a{ le polovico prej{nje cene. Mama bo Ani kupila majico. Majica je pred razprodajo stala 24 €. Koliko bo mama pla~ala zanjo na razprodaji? Cena majice na razprodaji je: 24 € – (24 : 2) € = 12 € ^e je majica pred razprodajo stala 24 €, bo mama na razprodaji pla~ala zanjo le 12 €. V sosednji trgovini so vse cene znižane za tretjino. Mama je dala Ani 50 € in ji naro~ila, naj si kupi obla~ila za v {olo: hla~e, majico, pulover in krilo. Ana je izbrala nekaj stvari, ki so ji v{e~. Najbolj si želi pisan pulover. Na listkih so zapisane neznižane cene. Katera obla~ila naj kupi, da bo zadovoljna in bo obenem izpolnila mamino naro~ilo?

Zapis 50 % popusta pomeni, da je cena znižana za polovico.

€

€ € €

€

€ €

€

Koliko evrov bi Ana pla~ala za izbrana obla~ila?

Zapis 25 % popusta pomeni, da je cena znižana za ~etrtino.

100

€

^e Ana kupi modre hla~e, majico s sr~ki, pisan pulover in kratko krilo, bi pred znižanjem to skupaj stalo 78 €. Cena, znižana za tretjino, bi bila: 78 € – (78 : 3) € = 78 € – 26 € = 52 €. To je malo preve~, saj Ana nima toliko denarja. Izra~unaj, ali ima Ana dovolj denarja, da namesto modrih hla~ kupi zelene hla~e, ostalih obla~il pa ne zamenja? Mama pa se je ustavila v trgovini s ~evlji. Vsi ~evlji so znižani za ~etrtino. Mama si je kupila sandale. Cena pred razprodajo je bila 72 €. Koliko ji bo vrnila blagajni~arka, ~e je mama pla~ala z bankovcema po 50 € in 10 €? Znižana cena sandal: 72 € – (72 : 4) € = = 72 € – 18 € = 54 € Blagajni~arka ji vrne: 60 € – 54 € = 6 €

(sto)

MatematikaUcbenik5.indb 100

20.9.2006 13:05:19

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Zaradi odprodaje zalog v skladi{~u bodo jutri v trgovini Les prodajali vse po polovi~ni ceni. Izra~unaj, kolik{na bo cena posameznih izdelkov na razprodaji.

Trgovina ^evelj [olen~ek Bosa noga

€

Trgovina Boben~ek je na dan otvoritve vse cene znižala za desetino. Koliko manj cekinov bo pla~ala pal~ica Lina za kupljene izdelke? Izra~unaj na dva na~ina: a) Izra~unaj skupno neznižano ceno izdelkov, nato poi{~i zmanj{ano vrednost. b) Pri vsakem izdelku izra~unaj, za koliko je znižana cena, nato se{tej. Ali sta rezultata enaka?

Popust znižano za tretjino znižano za ~etrtino znižano za polovico

Vstopnice stanejo mesec pred koncertom 12 €. Na dan koncerta so za tretjino dražje. Koliko stanejo vstopnice na dan koncerta?

Maja je na razprodaji kupila ~evlje po polovi~ni ceni in hla~e, ki so bile znižane za petino. Za ~evlje je pla~ala 14 €, za hla~e pa 24 €. Koliko so stali ~evlji in hla~e pred razprodajo?

Cene vseh hla~ v trgovini so teden dni pred razprodajo povi{ali za tretjino, na razprodaji pa nato znižali za ~etrtino. Koliko stanejo hla~e, katerih cena je bila pred povi{anjem 24 €, na razprodaji? Kaj pa se je zgodilo s ceno hla~, ki so pred povi{anjem stale 21 €? Ali so se cene hla~ na razprodaji zni`ale glede na prvo ceno?

V zimskem ~asu je kolesarska trgovina zni`ala ceno koles za petino. Izra~unaj nove, znižane cene, ~e so stare cene 315 €, 205 € in 410 €. Koliko je stalo gorsko kolo pred znižanjem, ~e je njegova cena sedaj 380 €?

Družina Novak je na razprodaji nameravala kupiti 4 stole in mizo. Radi bi kupili tudi sen~nik, vendar imajo s seboj le 250 €. Ali ga lahko kupijo? 2

Stara cena 99 € 104 € 136 €

2 €

€

O~e kupuje ~evlje na razprodaji. Ogledal si jih je v treh trgovinah in v vsaki izbral par, ki mu je najbolj ugajal. Odlo~il se je, da bo kupil najcenej{e. V katero trgovino naj se vrne?

(sto ena)

MatematikaUcbenik5.indb 101

101

20.9.2006 13:05:22

Spremembe koli~in

MERJENJE

V~asih lahko opazujemo naenkrat dve koli~ini. Pogosto ugotovimo, da sta med seboj nekako povezani. ^e sta, nam to pomaga, da lahko iz ene koli~ine dolo~imo drugo.

20 tabornikov tabori že tri dni. Za ve~erjo navadno pojedo 4 kg krompirja. Popoldne prispe skupina 20 novincev. Dežurni kuhar pravi: "Dvakrat ve~ tabornikov poje dvakrat ve~ krompirja." In olupi {e 4 kg krompirja za novince. Zve~er bodo taborniki pri`gali ogenj. Vodja tabora premi{ljuje: "Ve~ja skupina tabornikov nabere dra~je za taborni ogenj hitreje kot manj{a skupina." V~eraj so nabirali 20 minut. Po ve~erji vsem tabornikom naro~i: "Imate 10 minut ~asa, da naberete dra~je za taborni ogenj." Nari{imo prikaza. Dvakrat ve~ tabornikov poje dvakrat ve~ krompirja. ^rta v prikazu nara{~a. Ko se pove~a {tevilo tabornikov, se pove~a tudi poraba krompirja. ��

O padajo~ih in nara{~ajo~ih koli~inah govorimo tudi v poglavju Sklepamo. S prikazi pa se ukvarjamo v poglavjih o podatkih.

��

�

��

Povezava med koli~inama je nara{~ajo~a. Dvakrat ve~ tabornikov porabi dvakrat manj ~asa za nabiranje dra~ja. ^rta prikaza pada. Ko se {tevilo tabornikov pove~a, se ~as za nabiranje dra~ja zmanj{a. ��

��

Povezava med koli~inama je padajo~a. 102

(sto dva)

MatematikaUcbenik5.indb 102

20.9.2006 13:05:23

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Janezek si je zapisal, koliko minut porabi za re{evanje razli~nega {tevila ra~unov. [tevilo ra~unov 2

Porabljene minute 4 min

6 min

10 min

12 min

18 min

Ajda ima ravno dovolj denarja, da kupi 2 kg pomaran~. Koliko kilogramov jabolk bi lahko kupila za ta denar, ~e so jabolka trikrat cenej{a od pomaran~?

V ra~unski stroj Marsovci vstavljajo {tevila. Iz stroja ska~ejo po pravilu spremenjena {tevila. Zapi{i tabelo 10 vstopnih {tevil in izra~unaj njihove vrednosti, ko bodo sko~ila iz stroja. Ali pravilo dolo~a nara{~ajo~o ali padajo~o povezavo med

a) Kak{na je povezava med {tevilom ra~unov in ~asom, nara{~ajo~a ali padajo~a? b) Koliko ~asa porabi Janezek za en ra~un? c) Ali prepozna{ pravilo, po katerem lahko Janezek iz {tevila ra~unov ugotovi, koliko ~asa bo porabil zanje? Nari{i prikaz s ~rto. 2

Mama kuha jagodno marmelado. Iz 2 kg jagod skuha 1 liter sladke marmelade. Koliko kilogramov jagod naj kupi, ~e `eli pripraviti 6 litrov marmelade? Nari{i prikaz. S pomo~jo prikaza ugotovi, koliko kilogramov jagod je potrebnih za liter in pol marlmelade.

Ali naslednja pravila dolo~ajo nara{~ajo~o ali padajo~o povezavo med koli~inama? Povej, katere koli~ine nastopajo v pravilih. a) Za ve~ denarja dobi{ ve~ nogavic. b) Ve~ otrok zbere ve~ starega papirja. c) Ve~ delavcev hitreje opravi delo. d) [tevilu od{tej 5 in množi z 2. e) Številu pri{tej 7 in nato množi s 3. f) Število pomnoži s 17 in od{tej petkratno vrednost za~etnega {tevila.

vstopnimi in izstopnimi {tevili? 3

Navadno se ra~una, da iz 3 kg moke dobimo 4 kg kruha. Koliko kilogramov moke potrebuje pek, da spe~e 22 kg kruha?

Miha kupuje svin~nike. Namesto treh navadnih svin~nikov bi lahko z istim denarjem kupil en tehni~ni svin~nik. Ali je tehni~ni svin~nik dražji ali cenej{i od navadnega? Kolikokrat? Kako sta povezani {tevili navadnih in tehni~nih svin~nikov, ki jih lahko kupi Miha za isti denar?

Tina in Peter se igrata menjalnico. Imata rde~e in modre ètone. Trije rde~i ètoni so enako vredni kot en moder. Tina ima 28 rde~ih in 10 modrih ètonov, Peter pa 10 rde~ih in 17 modrih ètonov. Kdo je bolj bogat? Igri se priklju~i {e Ana z rumenimi ètoni. Tri rumene ètone èli menjati za {tiri modre. Koliko rumenih ètonov lahko dobi Peter?

(sto tri)

MatematikaUcbenik5.indb 103

103

20.9.2006 13:05:25

Ali ve{, da lahko oblikuje{ zanimivo plo{~ico za tlakovanje ravne povr{ine. Oglej

1. Izre탑i kvadrat.

2. Nari{i ravno ali krivo ~rto od ene stranice kvadrata do njej nasprotne stranice. Prere`i

GEOMETRIJA

kvadrat po narisani ~rti.

3. Oba dela natan~no zlepi tako, da se stikata

4. Nari{i ravno ali krivo ~rto od ene krive

neprerezani stranici kvadrata.

stranice novega lika do njej nasprotne krive

5. Dobljena dela ponovno zlepi tako, da

6. Na papir nari{i nekaj obrisov svoje

se stikata ravni stranici. Dobil si plo{~ico, s katero lahko tlakuje{.

104 104

Razli~no pobarvaj narisane like in jih izre탑i. Tlakuj!

(sto {tiri)

MatematikaUcbenik5.indb 104

20.9.2006 13:05:29

Escher

Geometrija Kakor v vsakdanjem 탑ivljenju, tudi v matematiki poznamo tlakovanje. Vsak pozna razli~no polo탑ene parketne ali kerami~ne plo{~ice v stanovanjih. Vsaka oblika plo{~ice za pokrivanje povr{ine ni dobra, saj med posameznimi plo{~icami ne sme ostati prazen prostor. Kar pomisli, ali bi lahko s krogi pokril svojo mizo? Slikar Esher je tlakovanje z zanimivimi oblikami uporabljal na svojih slikah. Kot vidi{, so lahko plo{~ice razli~no zasukane, lahko pa so tudi razli~nih oblik. Ali si opazil, da nogometno 탑ogo pokrivajo petkotniki in {estkotniki?

(sto pet)

MatematikaUcbenik5.indb 105

105 105

20.9.2006 13:05:31

Ravnina V ve~ji steklen kozarec nalij vodo, nanjo pa olje tako, da se teko~ini ne me{ata. Meja med njima je ravna ploskev.

GEOMETRIJA

Razmisli, kje si se že sre~al z besedo ravnina. Kaj je pomenila ravnina?

Stol s tremi nogami se ne ziblje. Njegove tri noge predstavljajo tri to~ke, ki dolo~ajo ravnino. Stol s {tirimi nogami pa se lahko ziblje. Ni namre~ nujno, da ~etrta noga leži v ravnini, ki jo dolo~ajo druge tri noge.

Tudi stativi za fotoaparate, teleskope in note za glasbenike stojijo na treh nogah. Si že kdaj videl geodeta pri merjenju? Njegove merilne naprave prav tako stojijo na treh nogah.

Poleg to~ke, premice, poltraka in daljice je ravnina eden od osnovnih pojmov v geometriji. Pia je iz svoje pu{~ice vzela tri pisala. Vsa tri je hkrati držala v roki tako, da so bila med seboj razmaknjena. Na njihove konice je položila zvezek. Zvezek je trdno obstal na konicah pisal. Pia je dodala v roko {e eno pisalo. Na konice {tirih pisal je ponovno postavila zvezek. Zvezek ni ve~ trdno stal, ampak se je zibal. ^e se je Pia potrudila in ~etrto pisalo poravnala z drugimi tremi, je zvezek trdno stal na konicah. Pia je morala ~etrto pisalo poravnati glede na ravnino, ki so jo dolo~ale konice treh pisal. Ravnina je neomejena ravna ploskev. V vseh smereh se razteza poljubno dale~. Skozi tri razli~ne to~ke, ki ne ležijo na isti premici, poteka natanko ena ravnina.

^e sosednji ploskvi kvadra podalj{amo v vseh smereh, dobimo dve ravnini, ki se sekata. Rob, kjer sta se stikali ploskvi telesa, se podalj{a v premico. Ravnini se sekata v premici.

^e nasprotni ploskvi kvadra podalj{amo v vse smeri, dobimo vzporedni ravnini. Ravnini se ne sekata.

106

(sto {est)

MatematikaUcbenik5.indb 106

20.9.2006 13:05:36

Naloge 1

V ravnini ležita to~ki A in B. Skozi to~ki nari{emo premico. Na premici ozna~imo poljubno to~ko C. Ali tudi to~ka C leži v ravnini? Ali velja tvoj sklep za poljubno to~ko na premici? Zapi{i svojo trditev.

Re{ujemo probleme 1

Razmisli o zastavljenih vpra{anjih. a) Koliko ravnin lahko položimo skozi premico? b) Koliko premic poteka skozi to~ko? c) Koliko ravnin lahko položimo skozi to~ko? d) V koliko razli~nih ravninah lahko ležita premica in to~ka, ki ne leži na premici? e) Koliko premic lahko nari{e{ v eni ravnini?

^aranje s trakovi Izreži tri enako {iroke trakove. Prvega zlepi tako, da dobi{ pla{~ valja.

Druga dva pa zlepi tako, da robova obrne{. 2

V ravnini ima{ narisani dve premici, ki se sekata. Ali premici hkrati ležita {e v kak{ni ravnini? Zapi{i svojo trditev. Ali lahko isti sklep uporabi{ tudi, ~e sta premici vzporedni? Razmisli, pri katerih telesih, ki si jih spoznal, lahko mejne ploskve neomejeno podalj{a{ v ravnine. Komentiraj svoje ugotovitve.

Druga dva trakova imata posebno ime: Möbiusov trak. Möbiusov trak je posebna ploskev, ki ima le eno stran. Imenuje se po matematiku in astronomu A. F. Möbiusu iz Leipziga, ki je živel med letoma 1790 in 1868. Po sredini navadnega in enega od Möbiusovih trakov povleci ~rto. Kaj opazi{? Pri drugem Möbiusovem traku povleci ~rto na približno tretjini njegove {irine. Vse tri trakove prereži po zarisani ~rti. Kaj dobi{?

Ali velja naslednja trditev? Dve ravnini sta vzporedni ali pa se sekata v premici. Svoj odgovor utemelji.

^e si dovolj spreten, na obeh Möbiusovih trakovih ponovi risanje in rezanje. Opazuj, kaj se dogaja.

(sto sedem)

MatematikaUcbenik5.indb 107

107

20.9.2006 13:05:40

Premica in poltrak A B

premica

Premice ozna~ujemo z malimi tiskanimi ~rkami. Ponavadi uporabimo p, q in r.

r C

GEOMETRIJA

Skozi dve to~ki lahko nari{emo poljubno mnogo razli~nih krivih ~rt, vendar le eno ravno. Pravimo, da dve razli~ni to~ki dolo~ata natanko eno premico. Premica je ravna ~rta, ki nima ne za~etka in ne konca. Premica je neskon~na ravna ~rta. Poltrak je ravna ~rta, ki ima svoj za~etek, nadaljuje pa se v neskon~nost. ^e to~ki A in B ležita na premici p, zapi{emo: A p in B ^e to~ka C ne leži na premici p, zapi{emo: C p

To~ka na premici razdeli premico v dva poltraka. Ponovi risanje vzporednic s trikotnikom in ravnilom.

Dve razli~ni premici v ravnini se lahko sekata ali pa sta vzporedni.

p �� r p q r q A razdalja med p in r

p r

Ponovi risanje pravokotnic z geotrikotnikom.

Vzporedni premici sta na vseh mestih med seboj enako oddaljeni. Razdalja med premicama p in r je enaka dolžini daljice, ki leži na pravokotnici na premici p in r in ima kraji{~i v prese~i{~ih A in B. Vzporednim premicam pravimo tudi mimobežnice. Sta rde~i premici vzporedni?

108

(sto osem)

MatematikaUcbenik5.indb 108

20.9.2006 13:05:43

Naloge 1

Nari{i tri premice, ki se sekajo. Koliko daljic in poltrakov je na sliki?

Nari{i premico in na njej ozna~i 4 to~ke. Koliko poltrakov dolo~ajo to~ke? Na{tej jih.

Zapi{i z matemati~nimi simboli in nari{i. a) Premici p in r sta pravokotni. b) Premica p je vzporedna premici s. c) To~ki A in B ležita na premici p. Razdalja med to~kama A in B je 5 cm. d) To~ka A je kraji{~e poltraka k. Ali je pravilnih re{itev ve~? Pojasni svoj odgovor.

Nari{i: a) premico p, b) to~ko A, ki leži na p, c) premico n, ki je pravokotna na p in to~ka A leži na n, d) to~ko B, ki leži na n in ne leži na p, e) vzporednico premici p skozi B. Koliko poltrakov je na sliki? Na{tej jih. O glej si narisani premici in to~ke. Katere izjave so pravilne? a) A p r b) A p c) E r C A D d) E r B E e) B r p

Re{ujemo probleme 1

^e je narisana premica in je na njej ozna~ena to~ka, razmisli, koliko premic lahko nari{emo tako, da sekajo dano premico v ozna~eni to~ki in ležijo v isti ravnini.

To~ke A, B, C ,D in E ležijo na premici p. Razdalja med to~ko A in E je 10 cm. Razdalja med D in E je 3 cm, razdalja med A in B pa 2 cm. To~ka C leži na sredini med B in E. Kolik{na je razdalja med A in C? Nari{i.

Ali veljata naslednji trditvi? ^e je p �� r in r �� s, potem je tudi p �� s. ^e je p r in r s, potem je tudi p s. Nari{i in utemelji svoj odgovor.

Nari{i tri vzporedne premice in jih ozna~i s p, q in r. Na premici p izberi to~ko A. Nari{i pravokotnico na premico p skozi to~ko A. Ozna~i prese~i{~i s premicama q in r. Ali je narisana pravokotnica pravokotna tudi na premici q in r? Postopek ponovi {e za premici q in r. Najprej si na premicah izberi to~ki in nari{i pravokotnici. Ozna~i prese~i{~a premic. Koliko pravokotnikov si narisal?

Nari{i premico p in to~ko A, ki ne leži na njej. Skozi to~ko A nari{i vzporednico r premici p. Na premici p izberi to~ko B tako, da to~ki A in B ne dolo~ata pravokotnice premici p. Nari{i premico, ki jo dolo~ata ti dve to~ki, in jo ozna~i s s. Skozi A nato nari{i pravokotnico na premico s ter skozi B pravokotnico na p. Koliko neozna~enih prese~i{~ si dobil? Ozna~i jih in izpi{i vse daljice na sliki.

Nari{i premici p in r, ki se sekata. Nato poi{~i to~ko, ki je od premice p oddaljena 5 cm in od premice r 3 cm. Koliko je tak{nih to~k?

Napi{i {e tri pravilne izjave. 6

Razi{~i, v kak{ni medsebojni legi sta lahko dva poltraka. Kak{na pa je medsebojna lega premice in poltraka? Nari{i svoje ugotovitve.

Ali pri poltraku in premici lahko govorimo o dolžini? Pojasni, zakaj tako misli{.

(sto devet)

MatematikaUcbenik5.indb 109

109

20.9.2006 13:05:44

Daljica in njena dolžina Daljico poimenujemo po kraji{~ih, daljica AB. Dolžina daljice je razdalja med kraji{~ema daljice.

Daljica je najkraj{a ~rta med dvema to~kama.

GEOMETRIJA

Pri merjenju ugotavljamo, koliko merskih enot je dolga daljica. Zato je dolžina daljice odvisna od merske enote. Dolžina daljice AB je 56 mm, �AB� = 56 mm ali d = 56 mm. Dolžina daljice pa je tudi �AB� = 4 e.

A e

Daljici AB in CD sta skladni, ~e sta enako dolgi. Zapi{emo: AB CD Vsako daljico lahko podalj{amo v premico. Premico, na kateri leži daljica, imenujemo nosilka daljice. Daljici sta vzporedni, ~e sta njuni nosilki vzporedni. nosilka

C A

S pomo~jo {estila preverimo, ali sta dol`ini enaki.

B C

AB �� CD

Razdalja med to~ko in premico Ob dolgi ravni cesti raste drevo. Zanima nas, za koliko je drevo oddaljeno od roba cesti{~a. Oddaljenost drevesa od ceste dolo~a najkraj{a razdalja med njima. Narisali smo skico. Cesto smo predstavili s premico c in drevo s to~ko D ob njej. Skozi to~ko D nari{emo pravokotnico na premico c. Prese~i{~e ozna~imo z A. Dolžina daljice DA je iskana razdalja to~ke med to~ko D (drevesom) in premico c (cesto).

110

(sto deset)

MatematikaUcbenik5.indb 110

20.9.2006 13:05:47

Naloge

Re{ujemo probleme

Nari{i dve to~ki, A in B. Koliko premic, poltrakov in daljic dolo~ata narisani to~ki? Nari{i in zapi{i jih.

Nari{i daljice z dolžinami 4 e, 7 e in 9 e ter jih ozna~i. e

Nari{i daljice. �AB� = 45 mm �CD� = 2 cm 5 mm �EF� = 67 mm

Katere velike tiskane ~rke slovenske abecede lahko nari{e{ z eno, dvema ali tremi daljicami? Koliko parov skladnih daljic ima ~rka? Katerih ~rk ne more{ narisati le z daljicami?

Nari{i pet to~k in jih ozna~i. Nato nari{i vse daljice, ki jih dolo~ajo tvoje to~ke. Koliko jih je?

Nari{i to~ki A in B. Skozi vsako od to~k nari{i dve premici. Koliko prese~i{~ in koliko daljic si dobil? ^e skozi vsako od to~k nari{e{ {e eno premico, koliko prese~i{~ in koliko daljic dobi{?

Nari{i tri premice, ki se sekajo v to~ki S. Na premicah dolo~i daljice, ki imajo eno kraji{~e v S in so skladne daljici AB. Koliko daljic si narisal? A

Nari{i poljuben {tirikotnik in poveži nasprotni ogli{~i med seboj. Ozna~i vse to~ke na sliki. Koliko daljic je na sliki? Daljice razvrsti po dolžini od najkraj{e do najdalj{e.

Nari{i daljico AB, �AB� = 6 cm. Nato nari{i tri daljice, vzporedne daljici AB, z dolžinami 5 cm, 4 cm in 3 cm. Primerjaj svojo geometrijsko sliko s so{ol~evo. Ali se sliki razlikujeta?

Nari{i poljuben pravokotnik. Vsem stranicam nari{i njihove nosilke. Kaj lahko pove{ o medsebojni legi nosilk?

Razmisli, kje v svoji okolici lahko vidi{ dve vzporedni skladni daljici. Poi{~i tudi pare med seboj pravokotnih daljic.

Nari{i premico p. Dolo~i to~ko A tako, da bo od premice p oddaljena 3 cm. Koliko je pravilnih re{itev?

Nari{i premici, ki se sekata. Prese~i{~e ozna~i z A. Na eni od premic izberi to~ko B in premico poimenuj p. Na drugi premici dolo~i to~ko C tako, da bo daljica AB skladna z daljico AC. Skozi to~ki C in B potegni premico r. Skozi to~ko C potegni vzporednico premici p. Na premici p dolo~i to~ko D tako, da bo daljica AB skladna (ne enaka) z daljico BD . Skozi D nari{i vzporednico premici r. Skozi to~ko B potegni vzporednico daljici AC. Ozna~i {e vsa preostala prese~i{~a. Poi{~i vse pare skladnih daljic.

(sto enajst)

MatematikaUcbenik5.indb 111

111

20.9.2006 13:05:48

Grafi~no se{tevamo in od{tevamo daljice Dolìni daljic se{tejemo tako, da njuni dolžini prenesemo na novo premico. Dolžina nove daljice je vsota dolžin obeh daljic. Pravimo, da smo daljici grafi~no se{teli.

Z daljicami lahko tudi ra~unamo. Pri tem seveda upo{tevamo dolžine daljic.

e A Pri risanju mora{ biti zelo natan~en. Svin~nik in konica {estila naj bosta dobro priostrena.

�AB� = 3 e D

�CD� = 5 e

�EF� = 8 e

�AB� + �CD� = �EF� Dol`ini obeh daljic s pomo~jo {estila ali ravnila prenesemo na premico.

GEOMETRIJA

Daljici od{tejemo tako, da od dalj{e daljice odmerimo dolžino kraj{e daljice. Dolžina nove daljice je enaka razliki dolžin obeh daljic. C

�CE� = 2 e �CD� − �AB� = �CE�

Dol`ino dalj{e daljice prenesemo na premico. V enem od kraji{~ dalj{e daljice odmerimo dol`ino kraj{e.

Nu{a in Tilen sta vrisala svojo pot do {ole. Kdo opravi dalj{o pot? Katera od njunih hi{ je po zra~ni ~rti bolj oddaljena do {ole? Nu{a

Tilen

zra~na ~rta med Tilnovo hi{o in {olo [ola

S {estilom prenesemo

Nu{a

na premice dol`ine

Tilen

poti. Dalj{a daljica pomeni dalj{o pot.

112

Nu{a prehodi dalj{o pot do {ole, ~eprav je njena hi{a po zra~ni ~rti bli`e {oli kot Tilnova.

(sto dvanajst)

MatematikaUcbenik5.indb 112

20.9.2006 13:05:52

Naloge

Re{ujemo probleme Vse naloge ri{i v zvezek.

Nari{i daljico, ki je dolga 6 cm. Podalj{aj jo za 1 cm. Koliko je dolga nova daljica?

Daljici preri{i v zvezek.

Nari{i dve daljici, �AB� = 43 mm in �CD� = 37 mm. S se{tevanjem dolìne daljic preveri zakon o zamenjavi vsote. Nari{i si {e tretjo daljico, �EF� = 25 mm. Grafi~no preveri zakon o zdruèvanju pri se{tevanju.

Graﬁ~no se{tej daljice z dolžinami 25 mm, 3 cm in 42 mm. Na koliko na~inov lahko to stori{?

Mark ima tri pal~ke razli~nih dol`in: 10 cm, 12 cm in 14 cm. Kako bi z njimi odmeril dolžino 4 cm, 6 cm in 16 cm? Re{itev naloge predstavi z daljicami.

Narisan je na~rt trim steze na Zelenem hribu.

A D C Nari{i nove daljice z dol`inami a) �AB� + �CD�, b) �AB� − �CD�, c) �AB� + �AB�, d) �CD� + �CD�.

Izmeri dolžine vseh daljic na milimeter natan~no in z ra~unom preveri, kako natan~en si bil pri risanju. 3

Vsoto daljic z dolžinama 5 e in 6 e zmanj{aj za dolžino 4 e. Nari{i in izmeri novo daljico. Koliko enot je dolga?

e 4

Nari{i dve daljici, dolgi 6 cm in 4 cm. Graﬁ~no prikaži razliko njune vsote in razlike. Izmeri, koliko je dolga nova daljica. Z ra~unom preveri, kak{no napako si naredil pri risanju.

Miha je narisal svojo pot k prijatelju. Koliko enot je dolga pot? Koliko je pot v resnici dolga, ~e enota predstavlja 10 m v naravi?

Andrej redno obiskuje trim stezo in obi{~e vse postaje samo enkrat, vendar ne vedno v istem vrstnem redu. Vedno pa se drži ozna~enih poti in pri~ne in kon~a na isti postaji trim steze. Andrejeva v~eraj{nja pot je vrisana rde~e. Predlagaj mu eno kraj{o pot za danes in eno dalj{o pot za jutri. Zapi{i zaporedje obiskanih postaj. Poskusi poiskati najkraj{o možno pot na tej trim stezi. Dolžine v~eraj{nje, dana{nje in jutri{nje poti predstavi z daljicami.

(sto trinajst)

MatematikaUcbenik5.indb 113

113

20.9.2006 13:05:56

Grafi~no množimo in razpolavljamo daljice Kadar ri{emo daljico z dolìno nekaj enot, postopamo tako, kot da bi mnoìli. Dolìno enote prena{amo na premico tolikokrat, kot je potrebno.

Nari{imo daljico CD z dolžino 4 · �AB�. Dolžino daljice AB moramo {tirikrat prenesti na premico. A B C

D �CD� = 4 · �AB�

Dol`ino daljice smo {tirikrat prenesli na premico.

e A

Znak množenja v izrazih za dolžino izpu{~amo: 4 · �AB� = 4 �AB�

�AB� = 3 e

GEOMETRIJA

Razpolovimo daljico na dve skladni daljici.

Kako bi preveril, ali sta dolžini razpolovljene daljice res enaki?

Narisali smo simetralo daljice AB. To~ka T je njeno razpolovi{~e.

Skozi prese~i{~i kro`nic nari{emo premico.

V obeh kraji{~ih nari{emo del kro`nice z enakim radijem.

Premico, ki razpolavlja daljico, imenujemo simetrala daljice. Simetrala je pravokotna na daljico. Vsaka to~ka na simetrali daljice je enako oddaljena od obeh kraji{~.

S4 S3 S2

Na simetrali si izberemo to~ko, ki bo sredi{~e kroga. Vedno lahko nari{emo kro`nico tako, da kraji{~i le`ita na njej.

114

Kraji{~i daljic naj bosta sredi{~i kro`nic z enakim radijem. Polmer naj bo ve~ji od polovi~ne dolìne daljice. Potem se kro`nici sekata v dveh to~kah, ki leìta na simetrali. Kaj se zgodi, ~e je polmer enak ali manj{i od polovice dolìne?

(sto {tirinajst)

MatematikaUcbenik5.indb 114

20.9.2006 13:05:59

Naloge

Re{ujemo probleme Vse naloge ri{i v zvezek. Slike naj bodo dovolj velike.

Nari{i daljici, dolgi 2 �AB� in 5 �AB�. B A

Nari{i daljice �AB� = 65 mm, �CD� = 81 mm in �EF� = 73 mm. Vsem daljicam dolo~i razpolovi{~e.

Nari{i daljico z dolžino a) 4 �AB� + 2 �CD�, b) 3 �AB� – �CD�. A

Nari{i daljico AB, dolgo 8 cm. Razpolovi jo in razpolovi{~e ozna~i s C. Daljico CB podalj{aj za 5 cm in novo to~ko ozna~i z D. Izmeri dolžino daljice CD. Rezultat preveri {e z ra~unom.

Dolžina daljice AB je 3 enote. Nari{i daljico DE, ki bo dolga dvainpolkrat toliko kot AB.

e 6

e 2

Nari{i tri to~ke: A, B in C. Poi{~i to~ko, ki je enako oddaljena od vseh treh to~k. Namig: Spomni se na simetralo daljice.

Nari{i daljico AB. Na daljici dolo~i to~ko S, ki je enako oddaljena od obeh kraji{~. Nari{i krožnico s polmerom �AS�. Nari{i simetrali daljic AS in SB. Prese~i{~a simetral s krožnico ozna~i s C, D, E in F. Kateri lik dolo~ajo to~ke C, D, E in F?

Nari{i dve premici, ki se sekata. Prese~i{~e ozna~i z A. Na eni od premic si izberi to~ko B. Na drugi premici 4-krat zapored odmeri razdaljo, ki je poljubna, vendar naj bo manj{a od polovi~ne dolžine AB. To~ke ozna~i s C1, C2, C3 in C.

Nari{i premico p in to~ko A, ki ne leži na premici p. Dolo~i to~ko B tako, da bo premica p simetrala daljice AB. Nari{i daljico �AB� = 9 cm. S simetralami jo razdeli na a) dve skladni daljici, b) {tiri skladne daljice, c) osem skladnih daljic. Nari{i daljico AB in njeno simetralo. Na simetrali daljice si izberi pet to~k: C, D, E, F in G. Poveži vsako od to~k z obema ogli{~ema. Katero lastnost imajo narisani trikotniki?

Preri{i enoto v zvezek. Nari{i a) daljico AB z dolžino ene enote in pol, b) daljico CD z dolžino dveh enot in ~etrt, c) daljico EF, �EF� = �AB� + �CD�.

Skozi to~ki B in C nari{i premico, nato pa vzporednice k narisani premici skozi to~ke C1, C2 in C3. Dobljena prese~i{~a ozna~i z A1, A2 in A3. Preveri zapisane trditve. a) AA1 A1A2 A2A3 A3B b) AB1 B1B2 B2B3 B3C c) �AB� = 4 �A1A2� d) �AC� = 4 �B2B3� e) �BC� = 4 �A1B1�

(sto petnajst)

MatematikaUcbenik5.indb 115

115

20.9.2006 13:06:01

Položaj to~k v mreži Pilot sporo~a položaj letala nadzornemu stolpu tako, da pove urejen par {tevil. Ko se javi prvi~, je položaj letala (1,0). Po 1 minuti se javi drugi~. Položaj letala je sedaj (2,1). V naslednji minuti je že na položaju (3,2). Kak{na je smer letenja? Kje bo letalo ~ez eno minuto?

GEOMETRIJA

navpi~na koordinatna os

7 6 5 4 3 2 1 Oglej si kak{en zemljevid. Zemljevidi imajo vrisano mrežo. Tako lažje poi{~emo kraje na Zemlji. Vsak kraj na Zemlji ima to~no dolo~eno zemljepisno {irino in zemljepisno dolžino.

T1(2,3) in T5(3,2) sta razli~ni to~ki.

0 izhodi{~e

urejen par

T4 T3 T1 T5

T6 1 2 3 4 5 6 7 8 9

T1 (2,3)

druga koordinata

prva koordinata

T2 (5,1)

T5 (3,2)

T3 (5,5)

T6 (0,0)

T4 (8,7) vodoravna koordinatna os

enota

Mrežo, v kateri o{tevil~imo vodoravne in navpi~ne premice, imenujemo koordinatna mre`a. Prva navpi~na premica je navpi~na os, spodnja vodoravna pa vodoravna os. Prese~i{~a premic so to~ke mre`e. Vsako prese~i{~e je dolo~eno z dvema vrednostima, ki ju poimenujemo koordinati to~ke. Prvo koordinato razberemo iz vodoravne in drugo iz navpi~ne osi. To~ko v mreži predstavimo z urejenim parom {tevil. Zapi{emo ju znotraj oklepaja. Vrstni red koordinat je pomemben. Kako dolo~i{ lego to~ke z danima koordinatama? Prvo vrednost poi{~e{ na vodoravni osi, drugo na navpi~ni osi. Tam, kjer se poiskani premici sekata, je to~ka z danima koordinatama.

7 6 5 4 3 2 1 0

116

Kako poi{~e{ koordinati to~ke?

V T

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Najprej poi{~e{, kje navpi~na premica, na kateri le`i to~ka, seka vodoravno os. To je prva koordinata. Drugo koordinato poi{~e{ tam, kjer vodoravna premica seka navpi~no os. V koordinatno mre`o smo narisali daljico, ki ima kraji{~i V(2, 4) in T(8, 3).

(sto {estnajst)

MatematikaUcbenik5.indb 116

20.9.2006 13:06:03

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Vri{i to~ke v koordinatno mre`o. To~ka

1. koordinata

2. koordinata

Nari{i koordinatno mrežo, ki ima 5 enot v vodoravni in 5 enot v navpi~ni smeri. V narisani koordinatni mreži pobarvaj vse to~ke, a) ki imajo prvo koordinato ve~jo od druge, rde~e, b) ki imajo drugo koordinato ve~jo od prve, modro, c) ki imajo koordinati enaki, rumeno.

V koordinatno mrežo vri{i to~ke A (2,3), B (0,3), C (3,0) in D (4,2). Kam mora{ postaviti to~ki E in F, da bodo C, D, E in F ogli{~a pravokotnika?

S pomo~jo to~k v koordinatni mreži razberi skrito sporo~ilo. 7 6 5 4 3 2 1 0

Želva se sprehaja po vrtu. Pri~ne v to~ki T (5,8). Najprej gre 4 enote navzgor, se obrne na levo in gre 3 enote v tej smeri, se obrne levo in gre 2 enoti naprej, nato se obrne levo in se pomakne {e za eno enoto. Tu jo ~aka solata. Zapi{i koordinate solate. Kako bi hitreje pri{la do solate, ~e se sme gibati le po ~rtah? Zapi{i njen sprehod.

Nari{i v koordinatno mre`o daljice s kraji{~ema a) (1,3) in (3,1), c) (3,4) in (4,3), b) (2,5) in (5,2), d) (7,2) in (2,7). Kaj lahko pove{ o legi daljic? Razpolovi eno od daljic in skozi razpolovi{~e potegni premico. Ali premica razpolavlja tudi ostale daljice?

Otroci so se igrali igro "skriti zaklad". Prva skupina je pripravila zemljevid in napotke, kako do zaklada. Druga skupina je posku{ala odkriti, kje je zakopan zaklad. V zvezek preri{i zemljevid in dolo~i koordinate skritega zaklada. 1. Za~ni pri starem {toru. 2. Obrni se v smer potoka. 3. Pojdi v smeri, kamor gleda{, za 2 polji. 4. Obrni se stran od mlake. Pojdi v tej smeri za 3 polja. 5. Obrni se stran od potoka. Pojdi za 4 polja v smeri, kamor gleda{. 6. Obrni se proti mlaki in se premakni za 4 polja. 7. Ponovi 2., 3. in 4. korak. 8. Na mestu, kjer stoji{, je zaklad.

[ I

T J

O M K R E

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(2,3) (8,0) (6,5) (0,0) (8,4) (2,5) (0,5) (7,7) (0,0) (2,3) (8,0) (6,5) (0,0) (2,3) (8,0) (6,5) (0,5) (5,2) (4,4) Sestavi svoje skrito sporo~ilo.

V koordinatno mre`o vri{i to~ki A (1,1) in B (3,2). Skozi to~ki A in B potegni premico. Katera od na{tetih to~k leži na premici? T1 (2,2) T3 (4,3) T5 (6,4) T2 (0,0) T4 (5,3) T6 (7,4) Opazuj prvo koordinato to~k, ki ležijo na premici. Kaj opazi{? Opazuj drugo koordinato to~k, ki ležijo na premici. Kaj opazi{? Zapi{i {e nekaj koordinat to~k, ki gotovo ležijo na premici.

(sto sedemnajst)

MatematikaUcbenik5.indb 117

117

20.9.2006 13:06:05

Krog ^e hodimo po krožnici, smo vedno enako dale~ od njenega sredi{~a.

Nari{imo krog s polmerom 3 cm. 1. Nari{emo sredi{~e kroga. 2. Ob ravnilu razpremo {estilo tako, da je med krakom s konico in krakom s svin~nikom natanko 3 cm. ^e ima tvoje {estilo vijak, ga sedaj privije{, da se kraka ne razmikata.

GEOMETRIJA

3. Krak {estila s konico zapi~imo v sredi{~e kroga. Krak s svin~nikom naslonimo na papir in zavrtimo {estilo tako, da krak s svin~nikom drsi po papirju in nari{e krožnico.

Krog je lik, njegov rob je krožnica. Sredi{~e kroga je to~ka, ki je v vseh smereh enako oddaljena od krožnice. Dolžina daljice od ene do druge strani krožnice, na kateri leži sredi{~e, se imenuje premer. Dolžina daljice od sredi{~a do roba krožnice se imenuje polmer. Polmer je ravno polovica premera.

sekanta

Premice in daljice se lahko dotikajo kro`nice ali jo sekajo. Tak{ne ~rte imajo posebna imena.

mimobe`nica tangenta s

tetiva

Tetiva se imenuje tudi vrvica na loku. Kakor tetiva na krožnici tudi tetiva na loku povezuje dve to~ki loka.

118

Premica, ki seka krožnico v dveh to~kah, se imenuje sekanta ali se~nica. Daljica s kraji{~ema na krožnici se imenuje tetiva. Premica se lahko krožnice samo dotika. To pomeni, da imata premica in krožnica eno skupno to~ko. Taki premici re~emo tangenta ali dotikalnica. Premica gre lahko mimo krožnice, ne da bi se je dotaknila ali jo sekala. Taki premici re~emo mimobežnica.

(sto osemnajst)

MatematikaUcbenik5.indb 118

20.9.2006 13:06:10

Naloge 1

S {estilom mora{ veliko vaditi, da bodo krožnice lepe, enakomerne in tanke. Ri{i majhne in velike kroge, ki se dotikajo, sekajo ali ležijo drug v drugem. Vedno preveri, ali je minica svin~nika natan~no pobru{ena in ravno prav dolga.

Nari{i krožnice s premeri 1 cm, 2 cm, 3 cm in 4 cm, ki bodo imele vse isto sredi{~e. Krožnicam, ki imajo isto sredi{~e, pravimo, da so koncentri~ne ali istosredi{~ne.

Nari{i daljico z dolžino 4 cm. Nari{i krožnici s sredi{~ema v kraji{~ih daljice in polmeroma 2 cm. Koliko skupnih to~k imata tvoji krožnici?

Re{ujemo probleme 1

Nari{i kvadrat s stranico 6 cm in mu vri{i diagonali. Nari{i krožnico s sredi{~em v prese~i{~u diagonal in polmerom 3 cm. Koliko skupnih to~k imajo stranice kvadrata in krožnica? Nari{i {e eno krožnico z istim sredi{~em. Polmer krožnice dolo~i tako, da se bo krožnica dotikala ogli{~ kvadrata. Kaj postanejo stranice kvadrata: sekante, tetive, tangente ali premeri narisane krožnice?

Kmet Matevž ima hi{o, lopo in psa. Vsak dan mu po{tar prinese pismo od kmetice Mice. Pes je na po{tarja vedno zelo hud in bi ga najraj{i ugriznil. Matevž zato priveže psa na vogal lope, na 5 sežnjev in pol dolgo vrv. Lopa je dolga 2 sežnja in {iroka 1 seženj. Od hi{e je oddaljena 1 seženj. [irina hi{e je 5 sežnjev, na sredini hi{e so vrata, {iroka 1 seženj. Do hi{e vodi ravna pot. Ali lahko pride po{tar do hi{nih vrat, ne da bi ga napadel pes? Sliko preri{i v zvezek in graﬁ~no predstavi svojo re{itev.

Nari{i premico p in na njej ozna~i to~ko P. Nari{i kro`nico s sredi{~em v P, polmer si izberi sam. Kro`nica seka premico p v to~kah A in B. V A in B nari{i kro`nici z istim polmerom, ki naj bo ve~ji od polmera in manj{i od premera kro`nice, ki si jo narisal. Kroga se sekata v dveh to~kah. Nari{i premico r skozi ti dve to~ki. Kaj lahko pove{ o premicah p in r?

Nari{i kroga s premeroma 4 cm in 6 cm, ki nimata skupne to~ke. Nari{i jima tangenti. Nato vsakemu nari{i po tri tetive, ki bodo vzporedne tangenti. Ozna~i jim kraji{~a. Izmeri jih. Razmisli, koliko najmanj in koliko najve~ so lahko dolge tetive? Zapi{i z izrazom za neenakost.

Razmisli o pravilnosti naslednjih trditev. a) Premer kroga je hkrati dolžina najdalj{e tetive. b) Polmer kroga leži na tangenti kroga. c) Tetiva je tudi premer kroga.

Nari{i dva razli~no velika kroga a) ki se sekata, b) ki se dotikata, c) ki se ne sekata. Prvi~ naj bo sredi{~e manj{ega kroga znotraj ve~jega kroga, drugi~ naj njegovo sredi{~e le`i zunaj ve~jega kroga.

Nari{i olimpijske kroge. Pomisli, na kaj vse mora{ biti pozoren. Najprej zapi{i postopek, nato {e nari{i sliko.

(sto devetnajst)

MatematikaUcbenik5.indb 119

119

20.9.2006 13:06:13

[tirikotnik [tirikotnik dolo~ajo {tiri to~ke v ravnini, od katerih nobene tri ne le탑ijo na isti premici. Ogli{~a ozna~imo v nasprotni smeri urnega kazalca. Diagonala {tirikotnika je daljica, ki povezuje nasprotni ogli{~i.

diagonali

GEOMETRIJA

Pravokotnik in kvadrat sta {tirikotnika, ki imata sosednji stranici pravokotni, nasprotni pa vzporedni. Paralelogram je {tirikotnik, ki ima dva para vzporednih stranic. Poseben primer paralelograma je romb, ki ima vse stranice enako dolge. Trapez je {tirikotnik, ki ima natanko en par vzporednih stranic. kvadrat

Z ravnilom, {estilom in trikotnim ravnilom nari{imo pravokotnik s stranicama 4 cm in 3 cm.

pravokotnik

paralelogram

romb

trapez

Nari{imo kvadrat s stranico, dolgo 3 cm, z ravnilom, {estilom in trikotnim ravnilom. 1. Nari{emo premico, odmerimo in ozna~imo spodnjo stranico. 2. Nari{emo pravokotnici skozi obe kraji{~i spodnje stranice.

3. S {estilom ali ravnilom odmerimo na eni pravokotnici to~ko, oddaljeno 3 cm.

4. Nari{emo vzporednico skozi ozna~eno to~ko.

5. Ozna~imo ogli{~a z velikimi ~rkami v obratni smeri, kot se premika kazalec na uri. Kako bi narisal kvadrat z geotrikotnikom?

120

(sto dvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 120

20.9.2006 13:06:40

Naloge

Re{ujemo probleme

Nari{i kvadrat s stranico a) 4 cm, b) 45 mm, c) 27 mm. Najprej ga nari{i z geotrikotnikom, potem pa {e z ravnilom, trikotnim ravnilom in {estilom. Kdaj je tvoja slika natan~nej{a?

Nari{i pravokotnik s stranicama a) 2 cm, 3 cm, b) 5 cm, 14 mm, c) 32 mm, 40 mm.

Nari{i poljuben trapez in mu vri{i diagonali po naslednjem postopku: 1. Nari{i premico p. 2. Na premici ozna~i kraji{~i stranice AB. 3. Premici p nari{i vzporednico. 4. Na vzporednici ozna~i kraji{~i stranice CD. Pazi na vrstni red. 5. Pove`i to~ki A in D ter B in C. 6. Nari{i diagonali.

A 4

Nari{i dva razli~na paralelograma s stranicama 3 cm in 5 cm.

Nari{i romb s stranico 5 cm. Koliko je razli~nih rombov s stranico 5 cm?

Nari{i vse {tirikotnike, ki si jih spoznal. Vri{i jim diagonali. V katerih {tirikotnikih se diagonali sekata pod pravim kotom?

Nari{i paralelogram, pravokotnik in poljuben nepravilni {tirikotnik. Vri{i jim diagonali. Vsaki diagonali nari{i vzporednici skozi ogli{~i. Prese~i{~a vzporednic dolo~ajo ogli{~a novega {tirikotnika. Kako bi poimenoval novi lik? Razmisli, kak{na lika bi dobil, ~e bi izhajal iz romba ali kvadrata.

Tja{a trdi: "Narisala sem lik, ki je paralelogram, pravokotnik in romb hkrati." Kaj je narisala Tja{a?

Pravokotnik s stranicama 25 mm in 3 cm razdeli na {tiri skladne like. Kvadrat s stranico 57 mm razdeli na {tiri skladne like. ^e je re{itev ve~, nari{i vse.

Razmisli o zastavljenih vpra{anjih. a) Ali je vsak kvadrat tudi romb? b) Ali je vsak paralelogram tudi pravokotnik? c) Ali je romb tudi paralelogram?

Po navodilih nari{i paralelogram s stranicama 4 cm in 2 cm. 1. Nari{i premico in na njej odmeri stranico AB, dolgo 4 cm. 2. Skozi to~ko A nari{i premico, ki ni pravokotna na stranico AB. 3. Premici nari{i vzporednico skozi to~ko B. 4. Na eni od narisanih premic odmeri 2 cm in skozi dobljeno to~ko potegni vzporednico daljici AB. 5. Ozna~i ogli{~i C in D. C D

B (sto enaindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 121

121

20.9.2006 13:06:43

Trikotnik Trikotnik dolo~ajo tri to~ke, ki ne ležijo na isti premici. Enakokraki trikotnik ima dve stranici enako dolgi. Enakostrani~ni trikotnik ima vse tri stranice enako dolge. Pravokotni trikotnik ima dve stranici pravokotni.

GEOMETRIJA

Ozri se po razredu. Kje opazi{ trikotnike?

Razmisli o imenih posebnih trikotnikov.

b a A

enakokraki trikotnik

krak

enakostrani~ni trikotnik

pravokotni trikotnik

osnovna stranica

Nari{imo enakostrani~ni trikotnik s stranico, dolgo 3 cm, z ravnilom in {estilom. 1. Nari{emo osnovno stranico. 2. Zapi~imo konico {estila v eno kraji{~e osnovne stranice in nari{emo del krožnice s polmerom 3 cm približno nad sredino stranice. 3. Nari{emo del kro`nice z enakim polmerom {e v drugem kraji{~u. Dela narisanih krožnic se morata sekati. 4. Povežemo prese~i{~e krožnic z obema kraji{~ema osnovne stranice. 5. Ozna~imo ogli{~a v obratni smeri urnega kazalca.

122

(sto dvaindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 122

20.9.2006 13:06:59

Naloge 1

Nari{i enakostrani~ni trikotnik s stranico a) 35 mm, b) 5 cm, c) 62 mm.

Na debelej{i papir nari{i 4 enake enakostrani~ne trikotnike. Dol`ino stranice si izberi sam. Izre`i trikotnike. Ali lahko z njimi sestavi{ kvadrat?

ê pravokotnik prereè{ po eni od diagonal, kak{na trikotnika dobi{? Kak{ni pa so trikotniki, ki jih dobi{, ~e prereè{ po obeh diagonalah pravokotnika? Kaj lahko pove{ o trikotnikih, ki jih dobi{, ~e prereè{ kvadrat po diagonalah?

Re{ujemo probleme 1

Nari{i daljico z dolžino 6 cm. To bo osnovna stranica za naslednje enakokrake trikotnike. Dolžina kraka naj bo a) 5 cm, b) 65 mm, c) 72 mm. Ali narisana tri ogli{~a ležijo na isti premici? Kaj lahko pove{ o tej premici?

Ali lahko nari{e{ trikotnik, ki ima stranice dolge 1 cm, 1 cm in 3 cm?

Nari{i pravokotni trikotnik, ki ima pravokotni stranici dolgi a) 3 cm in 4 cm, b) 2 cm in 2 cm, c) 5 cm in 3 cm.

Nari{i enakostrani~ni trikotnik s stranico 4 cm. Sledi zapisanim korakom tako, da najprej trikotnik nari{e{ nad stranico in nato {e pod njo. Dobil si {tirikotnik. Kako bi ga poimenoval?

Nari{i enakostrani~ni trikotnik s stranico 6 cm. Nato nari{i simetrale vseh treh stranic. Simetrale se sekajo v to~ki S, ki bo sredi{~e dveh krogov. Prvi naj ima za polmer razdaljo od to~ke S do stranice trikotnika, drugi razdaljo od S do enega od ogli{~. ^e si bil pri risanju natan~en, mora tvoja slika izgledati takole:

Nari{i trikotnik s stranicami 3 cm, 5 cm in 4 cm z ravnilom in {estilom.

1. Nari{i prvo stranico, dolgo 3 cm. 2. Iz prvega ogli{~a s pomo~jo {estila zari{i del krožnice s polmerom 5 cm. 3. Iz drugega ogli{~a s pomo~jo {estila zari{i del krožnice s polmerom 4 cm. 4. Prese~i{~e krožnic poveži s kraji{~ema stranice. 5. Ozna~i ogli{~a trikotnika. 5

Nari{i trikotnik s stranicami a) 3 cm, 4 cm, 6 cm, b) 25 mm, 4 cm, 35 mm, c) 2 cm, 3 cm, 2 cm.

Nari{i daljico AB z dol`ino 7 cm in njeno simetralo. Na simetrali si izberi {tiri to~ke in jih ozna~i. Vsako to~ko pove`i z daljico AB tako, da bo{ dobil trikotnik. Katere trikotnike si dobil?

(sto triindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 123

123

20.9.2006 13:07:03

Mnogokotnik Kot je obmo~je v ravnini, ki je omejeno z dvema poltrakoma, ki imata skupno kraji{~e T. To~ka T je vrh kota.

GEOMETRIJA

Kot ozna~imo z znakom in tremi to~kami. Kaj misli{, kaj bi bil kot STR?

Beseda mnogokotnik pomeni, da je to nekaj, kar ima mnogo kotov. Mnogokotniku pravimo tudi ve~kotnik ali poligon.

Likom, ki imajo za stranice same ravne ~rte, pravimo mnogokotniki. Ogli{~a mnogokotnika ozna~imo v nasprotni smeri urnih kazalcev. G F

E F

C B

D Iz vsakega

6-kotnik

J A

D B

10-kotnik

12-kotnik

ogli{~a lahko nari{emo 2 diagonali.

Petkotnik ima 5 diagonal.

Pravilni mnogokotniki.

124

Diagonala mnogokotnika je daljica, ki povezuje dve nesosednji ogli{~i. Mnogokotnikom, ki imajo vse stranice enako dolge in vse kote enako velike, re~emo pravilni mnogokotniki. Romb ni pravilni mnogokotnik, saj ima enake stranice in razli~ne kote. Pravokotnik ni pravilni mnogokotnik, saj ima razli~ne stranice in enake kote. Kvadrat je pravilni mnogokotnik. Kateri od trikotnikov je pravilni mnogokotnik?

(sto {tiriindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 124

20.9.2006 13:07:08

Naloge 1

Narisanih je nekaj mnogokotnikov. Koliko kotov imajo? Kateri od njih so pravilni mnogokotniki?

Re{ujemo probleme 1

Nari{i poltraka s skupnim kraji{~em v to~ki S tako, da bosta oba kota, ki ju dolo~ata, enako velika. Kaj sestavljata v tem primeru oba poltraka skupaj?

Nari{i pravilni {estkotnik. Nato nari{i simetrale stranic. Kjer sekajo simetrale krožnico, ozna~i nove to~ke. Zaporedoma poveži ogli{~a {estkotnika z novimi to~kami. Kako bi poimenoval lik, ki ga dobi{? Ali je lik pravilni mnogokotnik?

Nari{i kvadrat in vse njegove simetrale. Kvadratu vri{i krog, ki bo imel sredi{~e v prese~i{~u simetral in se bo dotikal stranic kvadrata. Prese~i{~a simetral in krožnice zaporedoma poveži med seboj. Ali je lik, ki ga dobi{, pravilni mnogokotnik? Kateri trikotniki ga sestavljajo?

Nari{i pravilni petkotnik po Evklidovem receptu.

Nari{i pravilni {estkotnik s stranico 3 cm. 1. Nari{i krožnico s polmerom 3 cm. Polmer krožnice, odmerjen v {estilu, bo{ {e potreboval. 2. Na krožnici ozna~i to~ko. 3. Zapi~i {estilo v ozna~eno to~ko in z drugim krakom odmeri na krožnici razdaljo polmera. Dobi{ novo to~ko. 4. Zapi~i {estilo v novo to~ko in ponovno odmeri razdaljo polmera. Dobi{ naslednjo to~ko. 5. Postopek ponovi tolikokrat, dokler se ne vrne{ v prvo izbrano to~ko na krožnici. 6. Ozna~il si 6 ogli{~ {estkotnika. Poveži jih.

Nari{i pravilni trikotnik, {tirikotnik in {estkotnik. Vsi liki naj imajo stranico dolgo 6 cm.

Nari{i pravilni {estkotnik. Poveži nasprotna ogli{~a. Kateri trikotniki sestavljajo pravilni {estkotnik?

V mnogokotniku enemu od ogli{~ nari{emo vse diagonale. Katere like dobi{ in koliko jih je? Nari{i in predstavi v tabeli svoje ugotovitve za trikotnik, {tirikotnik, petkotnik, …, vse do desetkotnika.

1. Nari{i kro`nico s sredi{~em S. Na krožnici bodo ogli{~a petkotnika. 2. Na kro`nici izberi ogli{~e A. Skozi to~ki A in S potegni premico. Kjer premica seka krožnico, ozna~i to~ko A’. 3. Pravokotno na premico skozi sredi{~e S nari{i pravokotnico in eno od prese~i{~ ozna~i s C. 4. Daljici SA poi{~i razpolovi{~e in ga ozna~i z B. 5. To~ka B je sredi{~e drugega kroga, ki ima polmer BC. Krožnica seka daljico SA’ v to~ki D. 6. Dolžina daljice CD je iskana stranica petkotnika. 7. S {estilom prenesi dolžino daljice {tirikrat po krožnici in dobil bo{ ogli{~a petkotnika.

(sto petindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 125

125

20.9.2006 13:07:16

Obseg lika Kje vse si že sli{al besedo obseg? Kaj je pomenila?

Na cesti je gradbi{~e. Delavci bodo položili nov kabel za hiter dostop do interneta. Izkopali so jamo nad prej{njim ja{kom za telefonski kabel. Jama je dolga 3 m in {iroka 1 m. Okoli jame morajo napeljati opozorilni trak z napisom: Pozor, elekri~na napetost. Kako dolg trak potrebujejo? Dolžina traku okoli jame je enaka vsoti dolžin stranic pravokotnika, ki predstavlja obliko izkopane jame:

GEOMETRIJA

3m + 1m + 3m + 1m = 8m

Izmeri, kolik{en obseg lahko izmeri{ s svojima rokama. Pomagaj si z vrvico.

Zapi{imo {e druga~e: 3m + 3m + 1m + 1m = = 2 · 3 m + 2 · 1 m = 2 · (3 m + 1 m) = = 2 + 4m = 8m

Obseg lika je enak vsoti dolžin stranic, s katerimi je omejen lik. Ozna~ujemo ga s ~rko o. Obseg izrazimo v enotah za dolžino, na primer v metrih, decimetrih, centimetrih. Obseg pravokotnika je enak dvakratni vsoti obeh stranic. o = 2 · (dolžina + {irina) Kvadrat ima {irino enako dol`ini, zato je obseg vsota 4 enakih dolžin. o = 4 · stranica Kmet Tone je narisal na~rt svojega pa{nika, ki ga namerava ograditi z elektri~nim pastirjem. Koliko metrov žice potrebuje, ~e mora napeljati okrog pa{nika žico na dveh razli~nih vi{inah?

Pa{nik ima obliko petkotnika. Njegov obseg je vsota vseh stranic. o = 10 m + 14 m + 17 m + + 15 m + 12 m = 78 m

Žica bo objela pa{nik dvakrat, zato potrebuje: 78 m · 2 = 156 m Odgovor: Kmet Tone potrebuje 156 m žice.

126

(sto {estindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 126

20.9.2006 13:07:21

Naloge 1

Nari{i nepravilni petkotnik. Izmeri njegove stranice in izra~unaj obseg. Nato obseg predstavi {e z graﬁ~nim se{tevanjem stranic. Izmeri daljico, ki si jo dobil. Za koliko se razlikujeta dobljeni vrednosti obsega?

Izra~unaj obseg enakostrani~nega trikotnika, kvadrata in pravilnega {estkotnika, ~e je stranica vseh likov dolga 6 cm. Kolik{en je obseg pravilnega dvanajstkotnika s stranico, dolgo 6 cm?

Julija na svojem konju vsak dan prejezdi nekaj kilomterov. Odpravi se na krožno pot okoli jahalne {ole, ki je pravokotne oblike, dolga 130 m in {iroka 57 m. Kolikokrat mora obkro`iti jahalno {olo, da bo njena pot dolga vsaj 5 km?

Re{ujemo probleme 1

Kolik{en je lahko obseg pravokotnika, ~e sta {irina in dolžina med 45 cm in 55 cm? Rezultat zapi{i z neena~bo.

Veriga novoletnih lu~k je dolga 22 dm. Lu~ke bodo krasile vhod v gledali{~e ob straneh in na zgornjem robu. Koliko verig lu~k morajo namestiti na pravokotni vhod, {irok 2 m 50 cm in visok 3 m?

Miha ima {estnajst kvadratkov s stranico dolgo 1 enoto. Iz kvadratkov sestavlja pravokotnike tako, da za vsak pravokotnik porabi vse kvadratke. Koliko razli~nih pravokotnikov lahko sestavi? Zapi{i dolžine stranic za vsak pravokotnik in izra~unaj njegov obseg. Kateri od pravokotnikov ima najve~ji in kateri najmanj{i obseg?

Iz dveh kvadratov s stranico 4 cm sestavimo pravokotnik. Izra~unaj obseg pravokotnika. Nari{i skico in na njej ozna~i dolžine stranic.

Miha podvoji {tevilo svojih kvadratkov in za~ne ponovno sestavljati pravokotnike. Koliko razli~nih pravokotnikov dobi, kolik{ne so dolžine stranic in kolik{en je obseg sedaj? Rezultate zapi{i v tabelo.

Na steni v dnevni sobi visita pravokotna in kvadratna slika. Obe sliki imata obseg 160 cm. Ena od stranic pravokotne slike je dolga 30 cm. Kolik{na je dolžina druge stranice? Kolik{na je stranica kvadratne slike? Kateri lik ima ve~ji obseg, kvadrat ali osemkotnik? V zvezku graﬁ~no prikaži dolžini obeh obsegov.

Bi znal narisati kvadrat in znotraj osemkotnik? Napi{i korake risanja.

Stranica a

Stranica b

Obseg o

V novem gosti{~u Pri pujsu imajo 12 kvadratnih miz, {irokih 1 m. [ivilja je se{ila 35 kvadratnih prtov, ki so od miz na obeh straneh {ir{i za 25 cm. Vse prte mora {ivilja zarobiti. Koliko metrov blaga bo {ivilja zarobila? Namig: Nari{i skico prta in obris mize ter ozna~i dolžine.

(sto sedemindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 127

127

20.9.2006 13:07:24

Plo{~ina kvadrata in pravokotnika Ana in Jure igrata igro "skrivnost duhov". Na mizo sta polo`ila plo{~ice drugo ob drugo. Plo{~ice sestavljajo pravokotnik. Ob eni stranici pravokotnika jih je 5, ob drugi 6. Skupaj je 5 · 6 = 30 kvadratnih plo{~ic. S {tevilom kvadratnih plo{~ic smo izmerili plo{~ino pravokotnika. Merska enota je tu kvadratna plo{~ica igre "skrivnost duhov". V poglavju Merimo povr{ino smo spoznali plo{~inske enote: mm2, cm2, dm2, m2 ...

GEOMETRIJA

Plo{~ina pravokotnika je zmnožek njegove dolžine in {irine. Dolžina in {irina morata biti zapisani v isti merski enoti. p = dolìna · {irina Pravokotniku s stranicama 4 cm in 25 mm izra~unajmo plo{~ino. Dolìni obeh stranic zapi{emo v milimetrih. Plo{~ina je zmnožek dolìn obeh stranic. p = 40 mm · 25 mm = 1000 mm2

25 mm

40 mm 1 mm2

Plo{~ina kvadrata je enaka dolžini osnovne stranice na kvadrat. p = stranica · stranica = stranica2 Kolik{no plo{~ino sta ob za~etku igre prekrila Jure in Ana? Jure in Ana sta ob za~etku igre položila 30 kvadratnih plo{~ic. Stranica kvadratne plo{~ice je 6 cm. Plo{~ina ene plo{~ice je 6 cm · 6 cm = 36 cm2. Prekrila sta povr{ino 36 cm2

· 30 = 1080 cm2. {tevilo plo{~ic

Lahko pa izra~unamo druga~e: Dolžini stranic pravokotnika, ki so ga sestavljale kvadratne plo{~ice, sta bili 6 cm · 5 = 30 cm

Plo{~ina pravokotnika je 30 cm

128

6 cm · 6 = 36 cm

· 36 cm = 1080 cm2.

(sto osemindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 128

20.9.2006 13:07:26

Naloge

Re{ujemo probleme

Kvadratu s stranico a) 3 cm, b) 25 mm, c) 2 m 1 dm izra~unaj plo{~ino in obseg.

Pravokotnik s stranicama 8 cm in 4 cm razrežemo na enake kvadratke tako, da je dolžina stranice kvadratka izražena v centimetrih. Koliko je razli~nih rezanj? Kolik{ne so lahko dolžine stranic izrezanih kvadratov?

Koliko merita plo{~ina in obseg pravokotnika dolgega 5 cm in {irokega 35 mm?

Izra~unaj plo{~ino in obseg pravokotnika s stranicama a) 2 cm in 6 cm, b) 33 mm in 8 cm, c) 1 dm 2 mm in 6 cm.

Plo{~ina pravokotnika je 32 cm2. Koliko centimetrov sta lahko dolgi stranici? Ali so obsegi vseh pravokotnikov enaki?

^e kvadratu s stranico, dolgo 2 cm, podalj{amo dve vzporedni stranici za 2 cm, kaj dobimo? Koliko meri plo{~ina tega lika? Kolikokrat ve~ja je od plo{~ine kvadrata? Nari{i si skico.

Lik na spodnji sliki ima plo{~ino 192 cm2. Koliko meri njegov obseg? Namig: Najprej izra~unaj, kolik{na je plo{~ina enega pravokotnika.

Plo{~ina pravokotnika je ve~ja od 5 cm2 in manj{a od 10 cm2. Koliko centimetrov sta lahko dolgi stranici? Zapi{i vsaj 5 re{itev.

Kako bi izra~unal plo{~ino a) pravokotnega trikotnika, b) enakokrakega trikotnika, c) paralelograma? Pomagaj si tako, da v mislih razre`e{ lik na dele. Razpostavi{ jih v tak nov lik, ki mu zna{ dolo~iti plo{~ino.

Kako bi ugotovil, koliko kvadratnih milimetrov je v enem kvadratnem centimetru? Pomagaj si s skico kvadrata na milimetrski kvadratni mre`i. Koliko kvadratnih centimetrov ima kvadratni decimeter? Koliko kvadratnih decimetrov je v kvadratnih centimetrih?

Kvadratu s stranico 6 cm bi radi narisali pravokotnik z enako plo{~ino. Ena od stranic je dolga 4 cm. Koliko je dolga druga stranica?

Izra~unaj, kolik{no plo{~ino bi lahko prekril z listi iz svojega matemati~nega u~benika. Opi{i postopek ra~unanja.

Plo{~ina kvadrata je 36 dm2. Koliko je dolga njegova stranica? Kolik{en je njegov obseg? Koliko meri plo{~ina kvadrata, ~e je njegov obseg 16 m?

Pri Novakovih bodo obnovili dnevno sobo. Položili bodo nov parket in obrobne letve. Koliko parketa in koliko obrobnih letev potrebujejo?

2 m 5 dm

35 dm

(sto devetindvajset)

MatematikaUcbenik5.indb 129

129

20.9.2006 13:07:28

Telesa Telo se {iri v treh smereh in ga omejujejo ploskve. Mejne ploskve so lahko ravne ali krive. ^e ima telo same ravne ploskve, potem je to oglato telo. Poimenujmo nekaj geometrijskih teles: sto`ec

GEOMETRIJA

kvader

kocka

krogla tristrana piramida Se {e spomni{? ^e so ploskve telesa pravilni mnogokotniki in se v vsakem ogli{~u stika enako {tevilo robov, potem takim telesom pravimo platonska. Platon je verjel, da vesolju vlada

{tiristrana piramida

valj

Kjer se stikata dve ploskvi, tam je rob telesa. Robovi se stikajo v ogli{~ih.

pet teles: oktaeder zraku, tetraeder (piramida) ognju, dodekaeder vesolju, kocka zemlji in ikozaeder vodi.

zrak

ogenj

vesolje

zemlja

Pri telesih ponavadi poimenujemo osnovno ploskev, stranske ploskve in zgornjo ploskev. Osnovna ploskev je ploskev, na kateri telo stoji.

voda

130

(sto trideset)

MatematikaUcbenik5.indb 130

20.9.2006 13:07:36

Naloge

Re{ujemo probleme

Vsem narisanim telesom v poglavju dolo~i {tevilo ploskev, robov in ogli{~. Rezultate predstavi s tabelo.

Izdelaj model valja. Razmisli, kako bo{ dolo~il dolžini stranic pravokotnika, ki je njegova stranska ploskev.

Razloži razliko med telesom in likom. Na{tej nekaj likov in nekaj teles. S ~im se ve~krat sre~amo v vsakdanjem življenju, z liki ali telesi?

Prisekana piramida je telo, ki ga dobimo iz piramide, ~e ji vzporedno z osnovno ploskvijo odrežemo vrh. Kak{ne ploskve ima prisekana tristrana piramida? Koliko robov in koliko ogli{~ ima? Kak{ne pa so ploskve prisekane {tiristrane piramide? Koliko robov in koliko ogli{~ ima? prisekana {tiristrana piramida

Kateri liki predstavljajo ploskve valja? Skiciraj jih.

Katera lika sta ploskvi stožca? Skiciraj ju.

Tilen je zlepil dve kocki. Kako se imenuje novo telo? Poimenuj njegove ploskve.

Na eni od ploskev kocke nari{emo diagonalo. Po njej prere`emo kocko na dva enaka dela. Kateri liki so mejne ploskve dobljenih teles? Koliko mejnih ploskev ima novo telo in katere so med seboj enake?

Kroglo ravno prere`emo. Kak{no ploskev dobimo na stiku krogle z ravnino? Kak{ne ploskve lahko dobimo, ~e kroglo prere`emo na razli~nih mestih?

prisekana tristrana piramida

Kocki na nasprotnih ploskvah prilepi{ dve {tiristrani piramidi. Koliko ploskev ima novo telo in kak{ne so? Koliko robov ima novo telo? Kolik{ne so njihove dolžine? Koliko ogli{~ ima novo telo?

Mojca ima pravilno tristrano piramido. Robove bi rada prelepila z barvnim lepilnim trakom. Dolžina robu njene piramide je 15 cm. Koliko traku potrebuje?

(sto enaintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 131

131

20.9.2006 13:07:40

Kocka in kvader Kocka je omejena s 6 skladnimi kvadrati. Ima 12 robov in 8 ogli{~. V vsakem ogli{~u se stikajo trije med seboj pravokotni robovi. Sosednji ploskvi sta med seboj pravokotni, nasprotni ploskvi pa vzporedni. Ali ve{, da je na igralni kocki vsota pik na nasprotnih ploskvah vedno 7?

Kocko, ki ima rob dolg 1 enoto, imenujemo enotska kocka.

[irina, vi{ina in dolžina kocke so enake.

Koliko enotskih kock vsebuje kocka z robom, dolgim 3 enote?

GEOMETRIJA

Kocka z robom, dolgim 3 enote, vsebuje (3 · 3) · 3 = 33 = 27 enotskih kock. osnovna ploskev

vi{ina

Kvader ima 6 ploskev, 12 robov in 8 ogli{~. Ploskve kvadra so pravokotniki. V vsakem ogli{~u se stikajo trije med seboj pravokotni robovi. Po 4 robovi so enako dolgi in med seboj vzporedni. Sosednji ploskvi sta med seboj pravokotni. Koliko enotskih kock sestavlja kvader na sliki? Kvader ima robove dolge 4 enote, 3 enote in 5 enot. [tevilo enotskih kock:

(4 · 3) · 5 = 60 enotskih kock osnovna ploskev

132

vi{ina

(sto dvaintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 132

20.9.2006 13:07:44

Naloge

Re{ujemo probleme

Iz (debelej{ega) papirja izdelaj modela kocke in kvadra. Izdelaj ju tako, da izre`e{ zadostno {tevilo primernih likov in jih zlepi{.

Tina mora iz 탑ice izdelati model kocke s stranico 8 cm. O~e ji je dal 1 m 탑ice. Ali bo Tina lahko naredila model kocke? Koliko 탑ice potrebuje?

Koliko kockic z robom 1 cm potrebujemo, da sestavimo ve~jo kocko z robom a) 4 cm, b) 5 cm, c) 10 cm?

Koliko razli~nih kvadrov lahko sestavi{ iz 36 enotskih kock? Zapi{i jih.

Koliko razli~nih kvadrov lahko sestavi{ iz 4 opek?

Iz kockic z robom 1 cm sestavimo kvader z robovi 3 cm, 4 cm in 6 cm. Koliko kockic potrebujemo?

Tine ima kocko z robom 2 cm. Koliko lepilnega traku potrebuje, da oblepi vse robove? Dve enaki kocki je Tine zlepil v kvader. Koliko ve~ lepilnega traku potrebuje zanj?

Koliko enotskih kock potrebujemo, da kocko z robom 2 enoti pove~amo v kocko z robom 5 enot?

Koliko enotskih kockic bi potreboval, da bi narisano telo dopolnil v kocko?

Koliko enotskih kockic vsebuje narisano telo, ~e mu moramo dodati 100 kockic, da dobimo kocko?

Koliko kock z robom 2 enoti bi potreboval, da bi iz njih sestavil kocko z robom, dolgim 6 enot?

^e zgornjo ploskev kocke zamakne{, dobi{ novo telo. Kateri liki so ploskve novega telesa? Kolik{ne so dol`ine robov telesa?

Koliko lepilnega traku pa bi potreboval, ~e bi v kvader zlepil 3 tak{ne kocke? 5

Razmisli o zapisanih trditvah. Katere so pravilne, katere nepravilne in zakaj? a) Vsaka kocka je kvader. b) Vsak kvader je kocka. c) Kocka in kvader sta oglati telesi. d) Med kocko in kvadratom ni razlike. e) Vsi robovi kvadra so razli~nih dol탑in. Imamo tri zaboje.

V kateri zaboj gre ve~ mivke?

(sto triintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 133

133

20.9.2006 13:07:51

Mreže teles

GEOMETRIJA

Anka je teti za darilo izdelala kerami~nega konji~ka. Konji~ka bi ji rada podarila v {katlici iz okrasnega kartona, ki jo bo tudi sama izdelala. Ima karton, vendar ne ve, kako naj se loti dela. Brat Peter ji prinese {katlo od ~aja in {karje in pravi: "Glej, Anka, tole {katlo razreži po navpi~nih robovih. Ugotovila bova, kako mora{ zrezati karton, da ga lahko zloži{ v {katlo."

Anka je razrezano {katlo položila na svoj okrasni karton. Narisala je obris. Anka mora karton {e pravilno prepogniti, zato vri{e ~rte tam, kjer so bili na {katli robovi. Anka je na karton narisala mrežo kvadra.

Mreža telesa nam prikazuje razgrnjeno povr{ino telesa v ravnini z vrisanimi ploskvami. Mreža telesa je lik. Lahko izra~unamo njen obseg in plo{~ino.

Telo ima lahko ve~ razli~nih mrež.

Tri razli~ne mre`e tristrane piramide

134

(sto {tiriintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 134

20.9.2006 13:07:57

Naloge

Re{ujemo probleme

Nari{i mrežo kocke. Dolžino roba izberi sam.

Nari{i mrežo tristrane piramide na papir. Izreži jo in zlepi v piramido.

Narisanih je nekaj mrež. Katerim telesom pripadajo?

Izdelaj stožec iz papirja. Rob mu premaži s tempera barvo. Stožec položi na papir in ga zakotali. Kak{no ~rto pusti za seboj njegov rob?

Nari{i nekaj razli~nih mrež naslednjega telesa. Kateri liki sestavljajo mrežo? Kateri med njimi so skladni?

Kak{no mreò ima narisano telo? Kateri liki jo sestavljajo? Nari{i mreò na list papirja. Dolìne robov izberi sam. Mreò izreì in sestavi telo.

Narisanih je nekaj mrež in teles. Zapi{i pare telo − mre`a. Telesu, ki mu ne ustreza nobena od mrež, nari{i skico mreže sam.

Manca je narisala nekaj mrež. Kje se je zmotila? Popravljene mreže nari{i v zvezek.

b) C)

(sto petintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 135

135

20.9.2006 13:08:02

Mreži kocke in kvadra

GEOMETRIJA

Narisanih je nekaj mrež kocke.

Preri{i mreè na papir, jih izreì in sestavi kocke. Ozna~i nasprotni ploskvi z istim znakom. Razgrni mreè in si oglej, kako leìta nasprotni ploskvi.

Mrežo kocke sestavlja 6 skladnih kvadratov. Mrežo kvadra sestavlja 6 pravokotnikov. Po dva pravokotnika sta skladna.

Telesa imajo povr{ino. Povr{ina telesa je enaka plo{~ini mreže telesa. Izra~unamo jo tako, da se{tejemo plo{~ine vseh ploskev telesa. Povr{ina kocke je enaka {estkratni plo{~ini kvadrata.

Povr{ina kvadra je enaka vsoti plo{~in {estih pravokotnikov, ki so ploskve kvadra.

Marko ima kartonsko {katlo. Rad bi jo pobarval z zeleno barvo. Kolik{no povr{ino bo pobarval? 2 · (4 dm · 3 dm) + 2 · (4 dm · 5 dm) + 2 · (3 dm · 5 dm) = = 2 · 12 dm2 + 2 · 20 dm2 + 2 · 15 dm2 = 24 dm2 + 40 dm2 + 30 dm2 = 94 dm2 Odgovor: Marko bo z zeleno barvo pobarval 94 dm2.

136

(sto {estintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 136

20.9.2006 13:08:05

Naloge 1

Nari{i dve razli~ni mreži kocke z robom 3 cm.

Tilnova {katla ima dolžino 3 dm, {irino 4 dm in vi{ino 2 dm. Nari{i mrežo {katle tako, da 1 centimeter v zvezku predstavlja 1 decimeter v naravi.

Ajdin kvader ima dolžino 2 cm in {irino 2 cm, vi{ino pa 4 cm. Nari{i njegovo mrežo.

Izra~unaj povr{ino kvadra z robovi a) 2 cm, 5 cm, 10 cm, b) 12 mm, 3 cm, 32 mm, c) 5 dm, 5 cm, 5 cm.

Re{ujemo probleme 1

Narisani mreži kocke izra~unaj obseg, ~e je rob osnovne ploskve dolg 6 cm. Izra~unaj povr{ino kocke.

Nari{i si {e druga~no mrežo kocke. Ali je obseg tvoje mreže druga~en? Kolik{na je povr{ina te kocke? 2

Narisana je mreža kvadra. Izra~unaj njen obseg, ~e so robovi dolgi 2 cm, 4 cm in 5 cm.

Preri{i mrežo v zvezek. Kam mora{ postaviti {e en kvadrat, da bo to mreža kocke? Nari{i vse re{itve.

Nari{i {e druga~no mrežo kvadra in izra~unaj njen obseg. Ali se obsega razlikujeta? 6

Narisana je mre`a igralne kocke. Na njej manjkajo vrisane pike. Bi znal dolo~iti pike, ne da bi kocko sestavil? Spomni se, da je vsota pik na nasprotnih stranicah vedno 7.

Poi{~i ve~ {katlic in jih razreži po robovih tako, da dobi{ mrežo kvadra. ^e ti pri rezanju karton razpade, ga zlepi nazaj z lepilnim trakom. Posku{aj toliko ~asa, da dobi{ nekaj razli~nih mrež kvadra.

Martin bi rad oblepil kartonsko {katlo s samolepilno tapeto. Izmeril je vse tri robove {katle. Njihove dolžine so 45 cm, 20 cm in 15 cm. Martin ima kos samolepilne tapete z dolžino 110 cm in {irino 40 cm. Ali bo lahko oblepil svojo kartonsko {katlo?

O~e je prebarval notranjost bazena, {irokega 7 m, dolgega 11 m in globokega 180 cm. Kolik{no povr{ino je prebarval?

Ali lahko iz okrasnega papirja pravokotne oblike s stranicama 10 cm in 30 cm izrežemo mrežo kocke z robom 5 cm?

(sto sedemintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 137

137

20.9.2006 13:08:08

MNO@ICE

138 138

(sto osemintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 138

20.9.2006 13:08:20

Mno`ice Pojem množice je vzet iz vsakdanjega življenja. Pogosto sli{imo množica ljudi, množica avtomobilov, … Z besedo množica združimo ve~ med seboj razli~nih predmetov in jih obravnavamo kot celoto. O množicah se u~ijo otroci po vsem svetu. Na za~etku izgleda preprosto. Ukvarjamo se z množicami nekaj otrok ali predmetov. Množico pa lahko predstavljajo tudi vse zvezde na nebu. Koliko je velika ta množica? Zlati prina{alci spadajo v množico psov, psi spadajo v množico zveri, zveri spadajo v množico sesalcev. V katere od zgornjih množic bi razvrstil labradorca ali ma~ko? Kot vidi{, lahko množice postanejo zapletene. ^e ho~e{ dobro razumeti množice, potem dobro premisli, kaj natan~no vsebuje tvoja množica.

139 (sto devetintrideset)

MatematikaUcbenik5.indb 139

139

20.9.2006 13:08:26

Množica in njeni elementi U~enci so obiskali živalski vrt. Živali, ki so jih videli, so morali razvrstiti v skupine: živali s krznom, živali s perjem in ostale živali. Živali iz živalskega vrta so razvrstili v tri množice. Pozna{ kak{ne primere množic iz vsakdanjega življenja?

Maja je izpraznila svojo pu{~ico in vsebino razdelila na kup~ke. V vsakem kup~ku so stvari, ki jih druì neka skupna lastnost: barvice, svin~niki, flomastri, ... Vsebino pu{~ice je porazdelila v množice z dolo~enimi lastnostmi. Množico sestavljajo elementi s kak{no skupno lastnostjo. element mnoìce

14 6

2 4

Množico predstavimo z diagramom. 10 8

Množica A ima 7 elementov.

Množico zapi{emo tako, da na{tejemo vse njene elemente. Obdamo jih z zavitima oklepajema.

MNO@ICE

A = � 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 � Zapis ni primeren za množice z velikim {tevilom elementov. Kako bi na{tel vse u~ence {ole? Množico zapi{emo tako, da opi{emo lastnost njenih elementov. B = � x : x je u~enec O[ Mali Vrh �

A = � n : n je sodo {tevilo med 1 in 15 � Beremo: V množici A so elementi z lastnostjo sodo {tevilo med 1 in 15.

Znak smo sre~ali že v geometriji. Se spomni{, kdaj ga uporabimo?

A = � 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 �

D = � 14, 4, 10, 2, 6, 12, 8 �

140

[tevilo 4 je element množice A, z znaki zapi{emo: 4 [tevilo 1 ni element množice A, z znaki zapi{emo: 1

A A

Ni pomembno, v kak{nem vrstnem redu na{tejemo elemente množice. Mno`ici A in D imata iste elemente, zapi{emo: A = D. Dve množici sta enaki, ~e imata iste elemente.

(sto {tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 140

20.9.2006 13:08:29

Naloge 1

Napi{i primer množice A s 5 elementi in jo predstavi z diagramom.

Izmisli si mno`ico B. Zapi{i jo z opisom lastnosti njenih elementov. Koliko elementov ima tvoja množica?

Re{ujemo probleme 1

Zapi{i mno`ico 10 naravnih {tevil. Množico zapi{i tako, a) da na{teje{ vse njene elemente, b) da opi{e{ lastnost elementov množice.

Zapi{i, koliko elementov ima množica. Ali so množice med seboj enake? A = � MIHA � B = � M, I, H, A � C = � M, IHA � D = � MI, HA � E = � HA, MI �

Koliko elementov ima množica? a) A = � x : x je liho {tevilo, manj{e od 40 � b) B = � x : x je tromestno {tevilo, zapisano s {tevkami 0, 1, 2 � c) C = � x : x je potenca {tevila 2, manj{a od 300 �

Izpi{i elemente množice A = � a, ab, � a �, � a, b � �. Koliko elementov ima množica A? Ugotovi pravilnost zapisanih trditev. a) a A b) ab A c) � a � A d) � ab � A e) b A f) � a, b � A

Mno`ice predstavljene z diagramom zapi{i tako, da opi{e{ lastnost njenih elementov.

Pomisli, kaj vse ima{ v {olski torbi. Kak{ne množice bi lahko sestavil? Nari{i jih.

Zapi{i množice tako, da na{teje{ vse elemente. a) A = � n : n je ~rka slovenske abecede, ki ozna~uje samoglasnik � b) B = � n : n je moj prijatelj � c) C = � n : n je deseti{ka {tevka � d) D = � n : n je ve~kratnik {tevila 4, manj{i od 25 � e) E = � x : x je ~rka mojega imena � f) F = � x : x je moj {olski predmet � g) G = � x : x je moja {ola � h) H = � x : x je manj{i od 17 in ve~ji od 14 �

A kazalec mezinec palec sredinec

B 2 4

prstanec

8 10

D C E J

A R

N D

1 3 6 2

(sto enain{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 141

141

20.9.2006 13:08:30

Podmnožice in prazna množica Maja in Tilen sta spraznila svoji {olski torbi na mizo. Maja je nato na kup~ek zloìla vse zvezke, Tilen pa vse u~benike. Iz mnoìce {olskih potreb{~in sta Tilen in Maja sestavila dve mnoìci. Zvezki predstavljajo podmnoìco v mnoìci njunih {olskih potreb{~in. U~beniki predstavljajo drugo podmnoìco. Dana je množica U = � 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 �. Med {tevili mnoìce U poi{~emo vsa soda {tevila. To bo na{a nova mnoìca. A = � 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 �

2 14 6

10 4

A 12

8 13

15 7

podmno`ica

MNO@ICE

A je podmnoìca mnoìce U. Zapi{emo: A U Vsi elementi podmnoìce A so elementi mnoìce U. Tu je {e nekaj podmnožic množice U: � 3, 6, 9, 12, 15 � U �1� U � 1, 15 � U U U. Zakaj?

Prazna množica je množica, ki nima elementov. Ozna~imo jo s parom zavitih oklepajev � � ali . B = � n : n je {tevilo med 1 in 15 ter ve~je od 20 � = � � = Prazna množica je podmnožica vsake množice. Kaj misli{, zakaj?

142

(sto dvain{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 142

20.9.2006 13:08:34

Naloge 1

Ti in tvoji so{olci predstavljate množico u~encev petega razreda. Zapi{i nekaj podmnožic tako, da na{teje{ elemente podmnožice, in nekaj tako, da opi{e{ lastnost podmnožice. Kak{no lastnost ima podmnožica, ki je prazna? Dana je množica U = � 1, 2, …, 20 �. Mno`ice A, B in C so njene podmno`ice. Podmnožice predstavi tako, da opi{e{ elemente z lastnostjo. A = � 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 � B = � 3, 6, 9, 12, 15, 18 � C = � 5, 10, 15, 20 � Prikaži podmnožice z diagramom. Množico sestavljajo naravna {tevila, ki so manj{a ali enaka 30. Zapi{i podmnožico {tevil, ki jo sestavljajo a) ve~kratniki {tevila 4, b) ve~kratniki {tevila 3, ve~ji od 5 in manj{i od 20, c) liha {tevila, d) soda {tevila med 11 in 21, e) {tevila, deljiva s 4, f) {tevila, deljiva z 10 in manj{a od 8.

Re{ujemo probleme 1

Kaj lahko pove{ o elementih množice A = � n : n je naravno {tevilo in je manj{e od 1 �? Koliko jih je?

Dana je množica A = � x : 3 < x 17 �. Zapi{i množico A tako, da zapi{e{ vse njene elemente. Zapi{i podmnožico množice A z lastnostjo a) x je sodo {tevilo, b) x je ve~kratnik {tevila 5, c) x je manj{i od 7, d) x je manj{i od 20 in ve~ji od 15, e) x je ve~ji od 15 in manj{i od 10.

Dana je množica A = � 1, 3, 4, 5, 7, 9 �. Med zapisane pare zapi{i znake , in tako, da bo trditev pravilna. a) 3, A b) � 3, 1 �, A c) A, A d) 2, A e) � 5, 1, 2 �, A

Zapi{i vse podmnožice množice A = � 1 �. Koliko jih je? Zapi{i vse podmnožice množice A = � 1, 2 �. Koliko jih je? Zapi{i vse podmnožice množice A = � 1, 2, 3 �. Koliko jih je? Opazi{ povezavo med {tevilom elementov množice in {tevilom podmnožic? Zapi{i jo. Koliko podmnožic bi imela množica s {tirimi elementi?

Koliko elementov ima množica A = � 0 �? Kako bi opisal množice B = � �, C = � �, D = � � � �? Koliko elementov imajo? Nari{i diagrame vseh {tirih množic. Opazuj, kako se razlikujejo.

Zapi{i nekaj primerov praznih množic tako, da opi{e{ lastnost elementov. Ne pozabi opisati tudi mnoìce, kjer so tvoje zapisane mnoìce prazne podmnoìce.

Mno`ico M sestavljajo ~rke besede MATEMATIKA. Zapi{i jo. Zapi{i njene podmno`ice A = � x : x je samoglasnik �, B = � x : x stoji v abecedi pred L �, C = � x : x je soglasnik �.

(sto triin{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 143

143

20.9.2006 13:08:36

Unije in preseki množic V sobi Tima in Toma je velik nered. Potrebno jo je pospraviti. Mama dolo~i: "Tim, pospravi vse, kar leži na tleh. Tom, ti pa pospravi vse knjige." Kdo bo pospravil knjige, ki ležijo na tleh?

Imamo mno`ico U = � 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 �. Podmnožica A vsebuje vsa soda {tevila: A = � 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 � Podmnožica B vsebuje vse ve~kratnike {tevila 3: B = � 3, 6, 9, 12, 15 � 1 A

2 10

14 8

6 12

presek

11 3

B 15

5 7

unija

Katera {tevila so v A ali B? Združimo jih v novo množico. Pravimo, da smo zapisali unijo mno`ic A in B. A B = � 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15 �

MNO@ICE

Katera {tevila pa so v A in B hkrati? ê zdruìmo elemente, ki so v A in B hkrati v novo mnoìco, pravimo, da smo zapisali presek mnoìc A in B. A B = � 6, 12 � Unija množic A in B je množica elementov, ki pripadajo množici A ali množici B. Dogovor: V množici ni istih elementov. Vsi elementi množice se med seboj razlikujejo. A B = � 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15 � in ne A B = � 2, 3, 4, 6, 6, 8, 9, 10, 12, 12, 14, 15 �

B=�x:x

A ali x

B�

Beremo: mno`ica sestavljena iz elementov z lastnostjo x je element A ali x je element B. Presek množic A in B je množica tistih elementov, ki pripadajo hkrati množici A in množici B.

B=�x:x

A in x

B�

Beremo: mno`ica sestavljena iz elementov z lastnostjo x je element A in x je element B.

144

(sto {tiriin{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 144

20.9.2006 13:08:38

Naloge 1

Zapi{i unijo in presek mno`ic. a) A = � 1, 3, 4, 6, 10 � B = � 2, 3, 4, 7 � b) C = � 2, 7, 10 � D = � 1, 3, 4, 5 � c) E = � � F = � 1, 2, 3 �

V množici U so u~enke in u~enci tvojega razreda. Zapi{i podmnožice a) R: so{olke in so{olci z rjavimi lasmi, b) S: so{olke in so{olci s svetlimi lasmi, c) K: so{olke in so{olci z dolgimi lasmi.

Re{ujemo probleme 1

Dana je množica U = � 1, 2, ..., 20 �. Prikaži podmnožici z diagramom. Zapi{i njuno unijo in njun presek. A = � x : x je sodo {tevilo � B = � x : x je ve~kratnik 5 � Množico U sestavljajo vsa {tevila med 1 in 30. Prvo podmnožico predstavljajo ve~kratniki {tevila 4, drugo podmnožico ve~kratniki {tevila 6. Zapi{i podmnožici. Dolo~i njun presek. Kako bi opisal {tevila v preseku? Dani sta množici A = � a, e, i, o, u � in B = � m, n, o, ž, i, c, a �. Zapi{i A B in A B. Kako bi opisal lastnost, ki dolo~a presek množic?

B, A

Zapi{i {e množice A

C in C

Dana je množica U = � 1, 2,..., 20 �. Zapi{i podmnožice množice U. A = � n : n je sodo {tevilo � B = � n : n je ve~krtnik 3 � C = � n : n je ve~kratnik 4 � D = � n : n je ve~kratnik 5 � Zapi{i množice A B, A C, A D, A B in C B. Zapi{i lastnost, ki dolo~a vsako od na{tetih množic.

Dane so množice A = � a, b, d � B = � b, c, d, f � C = � a, c, d, f � Zapi{i množici (A ugotovil? Zapi{i množici (A ugotovil?

Kdo je v preseku R K? Katera lastnost jih opisuje? Kdo je v uniji R S? Kako bi jih opisal? 3

Množice smo predstavili z diagramom. Zapi{i elemente množic A, B in C.

C in A

C). Kaj si

C in A

C). Kaj si

Naj bo A poljubna množica. Dolo~i množice A � �, A � �, A A in A A. Namig: Napi{i si kak{no množico A.

Razmisli o naslednjem primeru. ^e je A B, kaj lahko pove{ o množicah A A B? Namig: Napi{i si kak{no množico B.

(sto petin{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 145

B in

145

20.9.2006 13:08:41

[e o množicah V~asih nam besede o problemu ne povedo dovolj. Veliko bolje se znajdemo, ~e znamo stvari predstaviti s skico. Euler-Vennov diagram 1 12

Carrollov diagram

10 2 14

Dana je množica U = � 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 �. V podmnožici A so liha {tevila. A = � 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 � Mno`ico in njeno podmno`ico z lastnostjo je liho predstavimo s tremi diagrami.

1 9

o lih

13 15

lih o

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

ni liho

liho

Drevesni diagram

liha {tevila

Kateri diagram se ti zdi najenostavnej{i in zakaj?

V Euler-Vennovem diagramu v mno`ici U obkro`imo liha {tevila. Pri Carrollovem diagramu so liha {tevila v enem in preostala {tevila v drugem polju. V drevesnem diagramu pa so liha {tevila na koncu ene veje in preostala {tevila na koncu druge veje. Naj drugo podmnožico dolo~a lastnost je delitelj 30.

MNO@ICE

B = � 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 � Z diagrami predstavimo hkrati obe podmnožici. {tevilo ni liho in deli 30

delitelji 30

liha {tevila

A = � x : x je rde~ Timov avtomobil~ek � T = � x : x je Timov tovornjak �

146

3 6

Z risanjem diagramov si pomagamo pri re{evanju besedilnih nalog.

deli 30

T = � x : x je Timov rde~ tovornjak �

13 11

9 14

lih o

2, 6, 10

0 i3

7, 9, 11, 13

4, 8, 12, 14

l de

1, 3, 5, 15

8 14

ne deli 30

ni liho

liho

o lih

Tim se igra z avtomobil~ki. Ima 10 rde~ih avtomobil~kov in 8 tovornjakov. Vse je postavil v vrsto, ki je dolga 16 avtomobil~kov. Koliko rde~ih tovornjakov ima? U = � x : x je Timovo vozilo � Nari{imo 16 krogcev v vrsti. To je 16 vozil.

Obkrožimo prvih 10. To so rde~i avtomobil~ki. Obkrožimo zadnjih 8. To so tovornjaki. Dva krogca sta obkrožena dvakrat. To sta rde~a tovornjaka. Odgovor: Tim ima dva rde~a tovornjaka.

(sto {estin{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 146

20.9.2006 13:08:46

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Zapi{i množico in podmnožico, ki ju razbere{ iz drevesnega diagrama. Katera lastnost lo~uje elemente množice? Dopolni diagram, da bo prikazal {e lastnost je sodo {tevilo. 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14

ime na M ime ni na M

Miha Mark ` Matja Martin Timotej Tom Alja`

Urban ka Jan Lu Ga{per ndrej

so{olke

Polonca ima 30 nalepk. Na 17 nalepkah so `ivalice, 25 nalepk je svetle~ih. Koliko svetle~ih nalepk z `ivalicami ima Polonca?

Koliko elementov ima množica A B, ~e množica A vsebuje 10 elementov, množica B vsebuje 10 elementov in je v preseku obeh množic 5 elementov?

V množici U = � 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 � smo dolo~ili dve podmnožici, podmnožico lihih {tevil A in podmnožico deliteljev {tevila 30 B. Izberi {e eno lastnost, ki dolo~a neprazno podmnožico. Nato vse tri podmnožice hkrati predstavi z Euler-Vennovim diagramom.

Množica je predstavljena s Carrollovim diagramom. Zapi{i množico in njeni podmnožici. Kateri dve lastnosti dolo~ata podmnožici? Nari{i {e druga dva diagrama.

Maja

Mija jca

Ana Anja Lina Tja{a icija Patr Ema

Zala

Podobno predstavi imena svojih so{olcev in so{olk. Katera ~rka je najpogostej{a na za~etku imen? 3

V razredu je 20 otrok. V ponedeljek jih je 12 od njih nosilo sandale, 14 pa jih je imelo oble~ene dolge hla~e. Koliko otrok je imelo sandale in dolge hla~e? Prikaži re{itev z vsemi tremi diagrami.

5, 10, 15

Miha je zapisal imena svojih so{olcev in so{olk v diagram. Kateri diagram je zapisal? Kaj je predstavil? Predstavi isti lastnosti imena {e z Euler-Vennovim diagramom.

so{olci

Dana je mnoìca V = � 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 �. Zapi{i podmnoìco A = � x : x je deljiv s 3 �. Prikaì jo z vsemi tremi diagrami.

12 6 5

16 11 13 17 14

(sto sedemin{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 147

147

20.9.2006 13:08:52

DELI CELOTE

1. Vse naj - bolj - {e

1. bolj - {e, dra - gi 148 148 148

te,

vse naj - bolj - {e

ge - nij, vse naj - bolj - {e

te,

vse naj -

te.

(sto {tirideset) (sto osemin{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 148

20.9.2006 13:09:03

Deli celote V glasbi na za~etku notnega ~rtovja stoji ulomek, ki opisuje takt. Imenovalec ulomka nam pove, kaj je osnovna enota takta. ^e je v imenovalcu zapisana 1, je to celinka. 2 ozna~uje polovinko, 4 ~etrtinko, 8 osminko, 16 {estnajstinko. ^e je, na za~etku notnega ~rtovja zapisan ulomek 44 , potem lahko med dvema ~rtama taktnicama najdemo:

4 ~etrtinke 2 polovinki 1 celinko 2 ~etrtinki in 1 polovinko

î ˇ

2 osminki, 1 polovinko in 1 ~etrtinko

ali pa {e kaj bolj zapletenega. 149 (sto devetin{tirideset)

MatematikaUcbenik5.indb 149

149

20.9.2006 13:09:09

Ulomek Predmete, like, telesa ... lahko razdelimo na enake dele. Pri deljenju na dva, tri, {tiri ali ve~ enakih delov dobimo polovice, tretjine, ~etrtine ... Pri zapisovanju delov celote uporabljamo ulomke. Celoto predstavlja pravokotnik.

3 12 List papirja razdelimo na {tiri enake dele.

Pravokotnik razdelimo na enako velike dele. Ulomek {tevec ulomkova ~rta imenovalec

~etrtina (

â&#x20AC;&#x201C;14

) lista

Med deli celote izberemo nekaj delov.

3 12

3 deli so pobarvani.

Vseh delov je 12.

Modri del celote zapi{emo z ulomkom. [tevec pove, koliko delov je izbranih. Imenovalec pove, koliko enako velikih delov sestavlja celoto.

Celoto lahko predstavlja skupina predmetov. Celoto predstavlja deset de`nikov.

DELI CELOTE

Med vsemi de`niki je 7) sedem desetin ( 10 rde~ih de`nikov.

Celoto lahko predstavlja tudi trak. ^as na nekaterih {portnih tekmovanjih je razdeljen na enako dolge ~asovne odseke. Nogometne tekme imajo pol~ase, hokejske tekme so razdeljene na tretjine, ko{arka{ke tekme na ~etrtine. Ali ve{, koliko so dolgi posamezni deli tekme?

150

Celota je lahko del {tevilskega traku med 1 in10.

Celota je lahko del {tevilskega traku med 0 in 1.

Med vsemi de`niki je 3 tri desetine (10) modrih de`nikov.

Tri osmine ( 3 ) 8 traku so pobarvane oran`no. Tri desetine ( 3 ) traku 10 so pobarvane modre .

Rde~i del {tevilskega traku predstavlja 4 10 traku med 0 in 1.

(sto petdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 150

20.9.2006 13:09:20

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Katere ulomke predstavljajo pobarvani deli celot?

Kolik{en del ti manjka, da bi imel vse, ~e ima{ a) dve petini igralnih kart, b) eno sedmino bonbonov, c) tri devetine nalepk v albumu, d) pet desetin denarja za nakup kolesa?

Razmisli, kolik{en del celote predstavljajo stvari, o katerih govorijo stavki. a) Vsak osmi otrok na {oli ima modro {olsko torbo. b) Vsaka deseta sre~ka zadene. c) Vsak peti Zemljan je Kitajec. d) Vsak tiso~i izdelek ima napako. e) Od desetih sre~k tri zadenejo.

Predstavi ulomke 7 , 5 in 9 tako, da pobarva{ ustrezni del pravokotnika. Razmisli, na koliko enakih delov mora{ razdeliti pravokotnik.

Nari{i pravokotnik, dolg 8 kvadratkov in {irok 6 kvadratkov. Eno tretjino ga pobarvaj modro, dve {estini rde~e in eno {tiriindvajsetino zeleno. Kolik{en del pravokotnika je ostal nepobarvan?

Enak del celote lahko predstavlja ve~ razli~nih ulomkov. 2 1

5 7 , 10 8

2 6

Predstavi ulomke 4 , 16 in 8 tako, da pobarva{ ustrezni del kvadrata. Razmisli, na koliko enakih delov mora{ razdeliti kvadrat.

Poi{~i ulomke, ki predstavljajo enak del celote, kot zapisani. 1, 3, 2, 2, 4, 6, 3

Predstavi ulomke in tako, da pobarva{ ustrezni del pravokotnika. Razmisli, na koliko enakih delov mora{ razdeliti pravokotnik.

Pomagaj si z delitvijo pravokotnika na ustrezno {tevilo enakih delov. Ali je pravilnih re{itev ve~?

Predstavi ulomke 6 , 3 in 12 tako, da pobarva{ ustrezni del kroga. Razmisli, na koliko enakih delov mora{ razdeliti krog. V poglavju Mnogokotnik najde{ navodilo, kako razdelimo krog na {est enakih delov.

Marko bi si rad kupil gorsko kolo. V banki ima 2 prihranjenega nekaj denarja, ki pa predstavlja le 3 cene kolesa. O~e mu je obljubil, da mu bo dal 3 cene kolesa. Kolik{en del denarja mora Marko 18 {e zbrati, da bo lahko kupil kolo? Pomagaj si tako, da dele celotne cene predstavi{ na traku.

(sto enainpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 151

151

20.9.2006 13:09:21

Ra~unamo dele celote Filip in Jakob se igrata s kartami. Vsak ima polovico od 54 kart. Jakob Filip 1 2

od 54 = 27 54 : 2 = 27

Pridruži se jima Luka. Da se lahko igrajo, potrebujejo vsi enako {tevilo kart. Filip pravi Jakobu: "Zme{ajva vse karte in jih na novo razdelimo na tri enake dele." Ker je 54 : 3 = 18, bo vsak dobil 18 kart. Jakob Filip

1 3

od 54 = 18 54 : 3 = 18

Luka

Jakob pravi Filipu: "Ni treba, da delimo na novo. ^e vsak od naju da eno tretjino kart Luku, bosta nama ostali dve tretjini, Luka pa bo tudi dobil dve tretjini. Vsi bomo imeli enako kart." 1 3

od 27

(27 : 3) · 2 = 9 · 2 = 18, Luka dobi 18 kart, Jakob in Filip pa jih obdr`ita 27 − 9 = 18. 2

Koliko je 3 od 27? 2 1 1 od 27 = 3 od 27 + 3 od 27 = 3 = 2 · 13 od 27 = 2 · 9 =18

Jakob

Filip

DELI CELOTE

Luka

Ulomki in merska {tevila

Kaj pa, ~e želimo vedeti, koliko je tri petine neke koli~ine? Takrat koli~ino delimo s 3 in dobljeno pomnožimo s 5.

152

Z ulomkom velikokrat izrazimo tudi del merskih vrednosti. Pogosto pravimo ~etrt ure, pol kilograma, tri~etrt metra, osminka litra ... V na{tetih primerih je celota 1 ura, 1 kilogram, 1 meter in 1 liter. Zapi{emo tudi 14 h, 12 kg, 34 m, 18 ℓ. 3 5

od 20 cm = (20 cm : 5) · 3 = 4 cm · 3 = 12 cm

3 5

od 1 ℓ = (1 ℓ : 5) · 3 = (10 dcℓ : 5) · 3 = 2 dcℓ · 3 = 6 dcℓ

3 5

od 2 h = (2 h : 5) · 3 = (120 min : 5) · 3 = 24 min · 3 = 72 min = 1 h 12 min

3 5

od 6 kg = (6 kg : 5) · 3 = (60 dag : 5) · 3 = 12 dag · 3 = 36 dag = 3 kg 6 dag

(sto dvainpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 152

20.9.2006 13:10:18

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Naslednje dele celot predstavi s sliko in izra~unaj njihove velikosti. Koliko je 1 a) 5 od 20 gozdnih jagod, b)

1 3

od 9 pal~kov,

1 8

od 16 dreves,

1 7

od 777 `elodov?

Pouk traja tri tromese~ja, kar je skupaj 9 mesecev. Kolik{en del leta predstavlja eno tromese~je?

Zapi{i, koliko a) centimetrov je tri~etrt metra, b) minut je tri~etrt ure, c) gramov je pol kilograma, d) centilitrov je desetina litra, e) centilitrov je osmina litra, f) ur je pol dneva.

Marko je imel 70 €. Za eno desetino denarja si je kupil malico, za eno petino pa majico. Za katero stvar je porabil ve~ denarja in koliko? Koliko denarja mu je ostalo?

V nekem razredu ima 7 otrok modre o~i, dve tretjini otrok pa nima modrih o~i. Koliko otrok je v razredu? Namig: Razmisli, kolik{en del celote predstavlja sedem otrok.

Odprava raziskovalcev je ugotovila, da ima petina od 200 pingvinov na nekem oto~ku že mladi~ke, ~etrtina pingvinov pa {e skrbi za neizvaljeno jajce. Koliko pingvinov bo imelo mladi~ke, ko se bodo iz jajc izvalili vsi mladi~ki?

V {olo v Majhni vasi hodi veliko otrok. ^e se gre po pouku na igri{~e igrat ena desetina otrok, zasedejo vseh 50 mest na gugalnicah in vrtiljaku. Koliko otrok hodi na {olo v Majhni vasi?

V sadovnjaku je zasajenih 300 dreves: hru{ke, jablane in breskve. Vsako petnajsto drevo je hru{ka, vsako ~etrto drevo jablana. Koliko je breskev?

Izra~unaj velikosti delov celot. Koliko je a) pet {estin od 60 minut, b) {tiri petine od 20 km, 7

c) 10 od 1000 €, d)

3 4

od 100 cm,

2 4

od 12 žemelj,

5 7

od 21 u~encev,

g) dve tretjini od 6 frnikul, h) tri ~etrine od 8 žog, i) j) k) l)

4 6 9 11

od 12 pti~ev, od 55 mravelj,

8 od 300 ~ebel, 20 3 od 1000 knjig, 100 16

m) 25 od 100 jadrnic, 18

n) 50 od 250 kitov, o) 22 od 7000 tigrov, p) 3

35 67 200

od 20000 {olarjev?

Spremeni v grame. Spremeni v minute.

1 4 3 4

kg,

4 5 1

kg,

h, 10 h,

2 5

1 8

kg,

1 kg 100

h, 12 h

V vre~ki je 20 bonbonov. Petino jih da{ prijatelju, dve ~etrtini bratu, dve desetini sestri. Koliko bonbonov je dobil vsak? Koliko bonbonov je ostalo tebi? Zapi{i tudi z ulomkom.

(sto triinpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 153

153

20.9.2006 13:10:38

Pravi~no delimo V~asih ima{ manj delov, kot je oseb, ki jim dele deli{. Kako pravi~no razdeli{? Kako bi razdelil 4 kose torte med 6 otrok, da bi vsi dobili enako torte?

Jasna ima za malico žemljo s {unko. So{olki Maja in Tja{a sta dobili v {oli za malico kajzerico s sirom. Deklice bi si vse tri malice rade razdelile tako, da bi vsaka dobila enak del žemlje in kajzerice. Jasna pravi: "^e damo žemljo na polovico in vsako polovico na tretjine, dobimo {est enakih ko{~kov. Vsaka dobi dva. Dva ko{~ka od {estih sta tretjina žemlje." Maja pravi: "Kajzerica ima 6 delov, skupaj 12 delov. Vsaka dobi 4 dele." Skrbnika živali Kim in Tom v zato~i{~u za divje živali v Keniji pripravljata malico za {est la~nih mladih slon~kov. Imata 30 jabolk. Eno jabolko najprej dobi mama slonica. Ostalih 29 jabolk želita razdeliti slon~kom tako, da dobijo vsi enako. Kim pravi: · 4 = 116 "Vsa jabolka razreživa na ~etrtine: 29 Razdeliva jih slon~kom: : 6 slon~kov = 19 116 za vsakega slon~ka, ostaneta 2 Kim sklepa: "Vsak slon~ek bo dobil 19

in midva vsak eno."

Tom pravi: . Razdeliva najprej

"Saj so slon~ki že dovolj veliki, da lahko grizejo med slon~ke in ostanek

DELI CELOTE

29 5

: 6 slon~kov = 4

razdeliva na

za vsakega slon~ka, ostane 5

razreživa na ~etrtine: 5

· 4 = 20

^etrtine razdeliva slon~kom: 20 Tom sklepa: "Vsak slon~ek dobi 4

: 6 slon~kov = 3 in 3

, ostaneta 2

, midva pa vsak po eno

Ker sta Kim in Tom delila ista jabolka, bodo slon~ki v obeh primerih dobili enako koli~ino jabolk. 19

= 19 jabolk 4

je enako kot

3 4

jabolk = 4

in 3

19 : 4 = 3, ostane 3 {tevilo celot

154

deli celote

(sto {tiriinpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 154

20.9.2006 13:11:00

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Premisli, nari{i in zapi{i odgovor. a) Koliko hru{k je Živa razrezala na polovice, ~e je dobila 6 polovic hru{k? b) Koliko celih pomaran~ bi lahko Mojca sestavila iz 28 ~etrtin pomaran~? c) Koliko osmin kola~ka dobimo iz 6 kola~kov? d) Koliko lubenic je razrezal mali Milan, da je na tržnici prodal 24 {estin lubenice?

12 =

10 =

1000 100

400 25

230 23

min

3 kg 10

cm kg

Izrazi z ulomkom v ve~jih enotah. 750 m = km 6 mesecev = leta = 10 min h 250 g = kg 1250 m = km 14 mesecev = leta 80 min = h 1500 g = kg

Zdravnik je vsak 10 minutni pregled podalj{al za polovico. Koliko ur je delal zdravnik, ~e je pregledal 30 bolnikov? Koliko ur bi delal, ~e ne bi podalj{eval pregledov?

Za koliko litrov soka bo zado{~ala pollitrska steklenica borovni~evega sirupa, na kateri pi{e, da se me{a z vodo v razmerju 1 proti 10?

1 6

Zapis ulomka spremeni v zapis celote. 121 = 48 = 99 = 4

Zapi{i v manj{i merski enoti. 2 1 km = m 4 1m= 4

Zapis celote spremeni v zapis z ulomkom. 3= 16 = 4= 4

Ima{ liter teko~ine. Koliko posodic lahko napolni{, ~e posodice držijo 1 a) 4 ℓ, b)

1 8

ℓ,

?ℓ

c) 10 ℓ, 1

d) 25 ℓ? 5

Najmanj koliko tort je spekel pek pono~i, ~e jih je razrezal na 12 kosov in ima v vitrini sla{~i~arne {e 58 kosov?

Z ulomkom zapi{i, koliko je a) 10 min, 30 min, 45 min, ~e je celota 1 h, b) 25 cm, 60 cm 75 cm, ~e je celota 1 m, c) 2 meseca, 6 mesecev, 8 mesecev, ~e je celota 1 leto?

Pika Nogavi~ka je na {olskem izletu iz vsakega od 35 polnih kozarcev soka spila eno desetino soka. Koliko kozarcev soka je spila Pika?

(sto petinpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 155

155

20.9.2006 13:11:04

PODATKI

156 156 156

(sto osemin{tirideset) (sto {estinpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 156

20.9.2006 13:11:16

Zbiramo in prikazujemo podatke ZBIRAMO

@IRAFE

SLONI

UREDIMO

slaba

dobra

xxx

zelo dobra

slaba

xxx

Kak{na je hrana v @ivalskem vrtu?

dobra zelo dobra

PAPIGE

slaba

xxxxxxxx

dobra

xxx

SLABA

DOBRA

ZELO DOBRA

@IRAFE

SLONI

PAPIGE

LOSI

zelo dobra LOSI

slaba

xxxxxxxxxx

dobra

zelo dobra

PRIKAŽEMO ��

��

�

��

� �

��

� � � �

��

� � �

��

SKLEPAMO Potrebno bo zamenjati kuharja! 157 (sto sedeminpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 157

157

20.9.2006 13:11:22

Zbiranje podatkov Si že kdaj zbiral podatke? Zakaj si jih zbiral? Kaj si naredil s podatki potem, ko si jih zbral? Kaj jedo moji so{olci za zajtrk? To je raziskovalno vpra{anje. Ali si jedel za zajtrk kruh z marmelado, maslom ali salamo? To je vpra{anje za so{olce. Z njim zberemo podatke o njihovem zajtrku. Iz podatkov zapi{emo ugotovitev, kak{en je najpogostej{i zajtrk mojih so{olcev.

^e želimo pojasniti nek pojav, moramo o tem pojavu ~im ve~ vedeti. O pojavu lahko zvemo veliko, ~e zberemo ~im ve~ informacij, ki govorijo o njem. Nekatere informacije dobimo od ljudi. ^e razli~ni ljudje dajejo razli~ne informacije o isti stvari, moramo njihove odgovore urediti in povzeti informacijo iz vseh odgovorov hkrati. Pravimo, da zbiramo odgovore na raziskovalno vpra{anje. Ko se odlo~imo, kaj bomo raziskovali, si zastavimo raziskovalno vpra{anje. Raziskovalna vpra{anja so lahko: Koliko son~nih dni je bilo v prej{njem mesecu? Kaj jedo moji so{olci za zajtrk? Katere vrste knjig najraje berejo deklice in katere de~ki? Kaj razveseli mamo? Lo~imo raziskovalno vpra{anje od vpra{anj, ki jih zastavimo ljudem, ko zbiramo podatke. Odgovori na zastavljena vpra{anja so na{i podatki. Odgovor na raziskovalno vpra{anje je na{a kon~na ugotovitev.

Ali pozna{ {e kak{en vir informacij o tigrih?

Gregor mora opisati tigre. Zato pregleda ve~ knjig o živalih, poi{~e ter pregleda na svetovnem spletu strani, ki vsebujejo besedo tiger. Tako Gregor zbira informacije o tigrih. Knjige in svetovni splet so njegovi viri informacij. Gregor bi rad raziskal, katera vrsta tigrov je najlep{a. Njemu se zdi najlep{i sibirski tiger, mami pa bengalski. Gregor sedaj ne ve, kateri je lep{i. Zato vpra{a vse družinske ~lane, kateri od obeh tigrov se jim zdi lep{i. Odgovore zapi{e in uredi.

PODATKI

Gregor ugotovi, da se ve~ ~lanom njegove družine zdi lep{i bengalski tiger.

Raziskovalno vpra{anje: Katera vrsta tigrov je najlep{a? Vpra{anje za zbiranje podatkov: Ali se ti zdi lep{i sibirski ali bengalski tiger?

158

Kako se torej lotimo raziskave? Zastavimo si raziskovalno vpra{anje. 1. 2. Odlo~imo se, v kateri skupini ljudi bomo zbirali podatke. 3. Zapi{emo eno ali ve~ vpra{anj za zbiranje podatkov. 4. Zastavimo ga vsem ljudem v skupini. 5. Zberemo in uredimo odgovore. 6. Pregledamo odgovore in zapi{emo ugotovitev. Ugotovitev je odgovor na raziskovalno vpra{anje.

(sto oseminpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 158

20.9.2006 13:11:27

Naloge

V Nikinem razredu vsak dan ostane precej hrane od {olske malice. U~enci bi radi ugotovili, kaj je vzrok za to. Pomagaj jim in zapi{i raziskovalno vpra{anje ter vpra{anja za zbiranje podatkov.

��

Poi{~i v ~asopisu 5 prikazov podatkov in zapi{i raziskovalna vpra{anja, na katera odgovarjajo prikazi.

��

Sestavi raziskovalno vpra{anje o

b) igrah s kartami, c) avtomobilih,

��

d) cvetlicah,

�

e) {portu,

�

f) knjigah.

��

Koliko ljudi je odgovarjalo na vpra{anje? Kak{no vpra{anje, misli{, je bilo zastavljeno? Kak{no je bilo raziskovalno vpra{anje? Kak{ne so ugotovitve?

Katero skupino ljudi bi si izbral za raziskavo? Kak{na vpra{anja bi jim zastavil? Opravi raziskavo Doma~e živali mojih so{olcev. Koliko doma~ih živali ima cel razred skupaj? Katere doma~e živali imajo so{olci? Podatke uredi in zapi{i ugotovitve.

��

a) vremenu,

Primerjava obiska trgovine Kruh in pecivo in pekarne P{enica v maju

��

Re{ujemo probleme

U~enci ~etrtih in petih razredov bodo od{li v petek na zimski {portni dan. Tabela prikazuje prijave u~encev na {portne aktivnosti. 4. RAZRED

5. RAZRED

SMU^ANJE

SANKANJE

DRSANJE

POHOD

Kako je bilo zastavljeno vpra{anje u~encem, da so u~itelji lahko zapisali tabelo? Koliko u~encev 4. razredov in koliko u~encev 5. razredov se je prijavilo na aktivnosti? V katerem razredu, ~etrtem ali petem, je ve~ kot polovica u~encev prijavljenih na smu~anje? Koliko u~encev se bo sankalo? Sam zapi{i dve ugotovitvi, ki se ujemata s podatki v tabeli.

(sto devetinpetdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 159

159

20.9.2006 13:11:35

Kategorije {tetja ^e ljudem v raziskavi zastavimo vpra{anje, na katerega odgovori vsak po svoje, težko uredimo odgovore. Zato raje prosimo ljudi, da izberejo enega od ponujenih odgovorov.

Kaja in Matej želita ugotoviti, katera barva o~i je najpogostej{a pri njunih prijateljih. Kaja prijatelje spra{uje: Kak{ne o~i ima{?

Matej prijatelje spra{uje: Ali so tvoje o~i modre, zelene, sive ali rjave?

Kaji prijatelji odgovorijo: Modre, velike, vnete, zelenkasto sive, rjave, sivkaste, zaspane.

Mateju prijatelji odgovorijo: Modre, modre, sive, zelene, rjave, sive, modre.

Kateri od njiju lažje ugotovi, katera je najpogostej{a barva o~i? To lažje ugotovi Matej, ker lahko pre{teje enake odgovore. Kaja je dobila same razli~ne odgovore. Modra, zelena, siva ali rjava barva o~i so razredi ali kategorije odgovorov. Ko na~rtujemo vpra{anje, moramo vnaprej dolo~iti razrede odgovorov, ki jih bomo zbirali. An`e in Andrej delata raziskavo o vremenu v drugi polovici leta. Anže vsak dan beleži vreme. V ustrezno polje vsak ve~er nari{e ~rtico. Vsako peto ~rtico nari{e ~ez prej{nje {tiri. Dobi kup~ke petih ~rtic. Ob koncu meseca pre{teje {tevilo kup~kov, jih pomno`i s pet ter pri{teje preostanek ~rtic.

Pi{emo ~rtice.

PODATKI

Ri{emo simbole.

160

Andrej zapisuje vreme kar v koledar in vremenski znak vpi{e k vsakemu dnevu. Vsak konec meseca pre{teje simbole. Njihovo {tevilo vpi{e v tabelo in po 6 mesecih se{teje.

(sto {estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 160

20.9.2006 13:11:39

U~iteljica deli skupinam u~encem barvaste žetone. Vsaka skupina dobi 30 rde~ih, 20 zelenih in 10 modrih žetonov. U~iteljica {teje tako, da sestavlja kup~ke po 10 žetonov. Pre{teje le {tevilo kup~kov. Tako {tetje je uporabno, ko mora{ pre{teti veliko predmetov. Klemen gre vsak dan iz {ole mimo izložbe z urami. Zanima ga, kak{nih ur je v izložbi najve~. Ure razvrsti v razrede: srebrne mo{ke ure, zlate mo{ke ure, ženske ure z dragulji in kvadratne ženske ure.

[tejemo kup~ke.

Opazi tudi kvadratno žensko uro z draguljem. V kateri razred naj jo {teje? Klemen je v zadregi. Ta ura spada v dva razreda hkrati! V katera? K razredom doda nov razred: kvadratne ženske ure z dragulji. Ker pa je v tem razredu le ena ura, raje spremeni zadnja dva razreda v ženske ure z dragulji in ženske ure brez draguljev. Sedaj si zapi{e: Ure v izlo`bi

Srebrne mo{ke ure

Zlate mo{ke ure

@enske ure z dragulji

@enske ure brez draguljev

[tevilo

Naloge 1

Kateri na~in {tetja gre najbolje tebi? Premisli, kako {teje{ malo stvari in kako, ko je stvari veliko. Na kratko opi{i svojo najljub{o metodo {tetja. Opi{i primer, ko si s to metodo nekaj uspe{no pre{tel.

V skodelico daj dve `lici ri`evih zrn. Pre{tej riževa zrna, kakor je u~iteljica {tela žetone.

Zapi{i, katere odgovore bi dal ljudem na izbiro, ~e bi moral raziskati a) katere vrste avtomobili se najpogosteje vozijo mimo {ole, b) kaj najraje pijejo u~enci tvoje {ole, c) kaj najbolj razveseli tvojega u~itelja, d) katera vrsta matemati~nih nalog je najtežja.

Re{ujemo probleme 1

Pre{tej samoglasnike, soglasnike in velike ~rke, v naslednjem marsovskem besedilu. Na pameten na~in si beleži {tetje. sd jfSJDHFjkg l ad fhg j k jsd GGh jHTkd U sOu O reLA A Ii wz ri i zhg d vweo vck B jehu r ew fhd k j J k fd qa r qwa KL EVHu k s jd hvn bF Gs jf g ck u h m b n red SFh b i u z k l u ta jn n sbcn m veVR U T Z 89 4OU KL S DKXJ HGKJ g sd hg l kd hg u o i u wi r ji oesu r k k r HF S IE jfg i wri k l sd feoc fjk mKG J nk h e k sd j k jj Dh jfu K SDLKn k l l u eu t zk l v l ~ s jh f vp mL S~ IASU bcvn m mHFD J K S g fs jh fv jfh

Napi{i na~rt, kako bi pre{tel, koliko kapljic vode je v kozarcu. Raziskavo tudi opravi. V {oli primerjajte rezultate med seboj. Pri {tetju opravi ve~ poskusov in upo{tevaj povpre~ni rezultat.

Tine je dobil nalogo, da pre{teje promet na ulici ob {oli med 7.30 in 8.30. Kako naj se loti {tetja?

Razi{~i, kako prihajajo k pouku u~enci tvojega razreda. Kak{ne možnosti bi jim ponudil za odgovor na vpra{anje za zbiranje podatkov?

(sto enain{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 161

161

20.9.2006 13:11:41

Podatki v tabelah in prikaz z lomljeno ~rto Tabele so nam v pomo~ pri urejenem zapisu podatkov.

Ali ima{ rad matematiko? Fantje Dekleta

V razredu so izvedli anketo. Ali ima{ rad/a matematiko? a) Imam jo zelo rad/a. b) Imam jo {e kar rad/a. c) Ne maram je. Sem:

Fant

Tabela ima stolpce in vrstice. Stolpci in vrstice so sestavljeni iz celic tabele. Tabeli pravimo tudi preglednica. Imam jo zelo rad/a. 5 3

Imam jo {e kar rad/a. 9 6

Ne maram je. 3 1

Obi~ajno v prvo vrstico zapi{emo opise stolpcev Dekle

polje tabele

in v prvi stolpec opise vrstic.

S pomo~jo tabele ugotovi: a) Koliko je de~kov v razredu? b) Koliko je deklic v razredu? c) Koliko u~encev v razredu ne mara matematike? U~enci vsak mesec zapi{ejo, koliko strani knjig so prebrali. Koliko strani je prebral v prvih dveh mesecih otrok, ki je prebral najve~? Koliko pa je prebral otrok, ki bere najmanj?

september oktober november december

Igor 34, 102 65, 12, 103 17, 25, 36

Maja 56 46 27, 35 17, 22, 15

Mitja 78, 12, 89 37 10, 12, 25 45, 78

Anka 5, 12, 7 82 65, 32 16, 9, 12

Tja{a 135 120 73, 45 23, 72

Igor je do konca novembra prebral skupaj

Mitja je decembra prebral

že 500 strani. Koliko strani je prebral v

dve knjigi, dolgi 45 in 78

novembru? 500 – (34 + 102 + 65 + 12 + 103) =

strani.

= 500 – 316 = 184 V novembru je Igor prebral 184 strani. ��

Igor je v za~etku pridno bral in vsak mesec prebral ve~ strani, saj lomljena ~rta nara{~a. V decembru pa je prebral bistveno manj kot prej{nje mesece, lomljena ~rta mo~no pada.

��

PODATKI

Konec decembra so narisali prikaz branja z lomljeno ~rto.

��

Mitja 37 strani oktobra

162

Mitja pa je v oktobru prebral veliko manj kot septembra. Potem pa je vsak mesec prebral ve~ strani. Oktobra in novembra je Igor prebral veliko ve~ strani kot Mitja, septembra in decembra pa je Mitja prebral pribli`no 40 strani ve~.

Igor

Mitja

september

136

179

oktober

180

november

184

december

123

(sto dvain{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 162

20.9.2006 13:11:41

Naloge

Nari{i prikaze branja z lomljeno ~rto za vse tri deklice na istem prikazu. Vsaki nari{i ~rto druge barve. Zapi{i tri ugotovitve, ki jih razbere{ iz prikaza.

��

Zapisuj si vsak dan v tednu ~as, ki ga porabi{ za pot zjutraj od doma do {ole in popoldne od {ole do doma. Izdelaj prikaz z lomljeno ~rto. Opazuj obliko nastale lomljene ~rte. Zapi{i vsaj dve ugotovitvi.

Poi{~i v ~asopisu kak{no tabelo. Nalepi jo v zvezek. Zapi{i, koliko ima stolpcev in koliko vrstic. Napi{i tri stvari, ki jih lahko razbere{ iz tabele.

S tabelo prika`i podatke, zapisane v stavkih. Marko in Jure sta tekmovala v kegljanju. Marko je v prvem metu podrl 8 kegljev, Jure pa enega ve~. V drugem krogu je bil Marko slab{i, podrl je le 4 keglje, Jure pa enako kot v prvem metu. Pri tretjem metu sta bila enaka in sta podrla 7 kegljev. V ~etrtem metu je bil Marko slab{i od Jureta za tri keglje, Jure jih je podrl 9. V petem, zadnjem metu, je Jure ponovno podrl 9 kegljev, Marko pa le 7 keglov. Kdo je podrl najve~ kegljev? V katerem metu sta skupaj podrla najve~ kegljev? V katerem metu je Marko podrl najmanj kegljev? Nari{i prikaz metov z lomljeno ~rto. Zapi{i {e kak{no ugotovitev, ki jo vidi{ iz prikaza.

��

� � �

V razredu izvedite anketo o {tevilu avtomobilov, ki jih imajo va{e dru`ine. Zbrane podatke predstavite s tabelo.

Dobro si oglej narisani prikaz.

��

Re{ujemo probleme

� �

��

Kaj prikazuje? Kateremu letnemu ~asu ustreza? Kdaj je bila temperatura najvi{ja in kdaj najnižja? Kateri dan v tednu je bila razlika med jutranjo in opoldansko temperaturo najve~ja? 2

Na prikazu je narisano {tevilo to~k, ki sta jih dosegla Matej in Tja{a v igri. ��

��

� � � � �

�

� ��

�

V kateri igri sta dosegla enako {tevilo to~k? V kateri igri je bila razlika v dobljenih to~kah najve~ja? Kdo je bil bolj{i in za koliko? Koliko to~k je dosegel Matej v igri, ko je bila Tja{a najbolj{a? Koliko to~k skupaj je dosegel Matej in koliko Tja{a? Zapi{i {e s tabelo dobljene to~ke v posameznih igrah.

(sto triin{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 163

163

20.9.2006 13:11:42

Stolpi~ni prikaz Raje kot mnogo {tevil na kupu vidimo lepo sliko, zato v matematiki za prikazovanje podatkov velikokrat uporabimo prikaze. Ali imajo u~enci 5. razredov psa?

Stolpi~ni prikaz slikovno prika`e podatke iz tabele. Prikaz s stolpi~i je pregleden in iz njega hitro razberemo medsebojne povezave med podatki. Na {oli so u~enci petih razredov izpolnili anketo o psih. Zapisali so, ali imajo doma psa ali ne. Podatke so vnesli v tabelo in narisali stolpi~ni prikaz. Kaj lahko razberemo iz prikaza?

��

Ima psa 34

��

Jaka je dobil nalogo, da razi{~e med u~enci vi{jih razredov na {oli, koliko uporabljajo ra~unalnik v prostem ~asu. Zastavil jim je naslednje vpra{anje:

��

Nima psa 51

��

Koliko ~asa na teden porabi{ doma za delo na ra~unalniku (igre, internet, delo ...)? a) Manj kot 5 ur. b) Ve~ kot 5 ur. c) Doma nimamo ra~unalnika. Spol : mo{ki − ènski (obkroì) Rezultate je zbral v tabeli. Koliko otrok je anketiral? Anketiral je 87 otrok. Rezultate ankete je èlel prikazati {e s stolpi~nim prikazom. Ker je želel prikazati razliko med odgovori u~encev in u~enk, je vsak odgovor prikazal z enim stolpcem. ��

u~enke Manj kot 5 ur. Ve~ kot 5 ur. Nimamo ra~unalnika.

Iz prikaza lahko vidimo, da ve~

u~enci

u~encev kot u~enk svoj prosti ~as ��

pre`ivi z ra~unalnikom. Prva dva

stolpca sta namre~ pri de~kih vi{ja

��

kot pri deklicah. [tevilo dru`in brez ra~unalnika je pri deklicah ve~ kot dvakrat ve~je kot pri de~kih.

PODATKI

�

Najve~ u~encev preživi za �

Legenda. Iz nje izvemo, katero skupino (u~enke, u~enci) predstavlja barvni stolpec.

164

��

ra~unalnikom manj kot 5 ur na teden.

��

(sto {tiriin{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 164

20.9.2006 13:11:43

Naloge 1

Re{ujemo probleme

Rezultate matemati~nega testa je u~iteljica prikazala s stolpi~nim prikazom.

� �

Na tekmovanju iz logike so tekmovalci re{evali 5 nalog. Kaj je prikazano na stolpi~nem prikazu? Preri{i ga v zvezek in dopolni manjkajo~e oznake.

�

��

�

��

�

��

� ��

�

��

�

��

�

��

�

Koliko u~encev je pisalo test prav dobro? Katera ocena je prevladovala v razredu? Koliko u~encev je pisalo matemati~ni test? 2

Matej in Peter sta metala vsak svojo igralno kocko in beležila, koliko pik sta vrgla. Vsak je narisal svoj stolpi~ni prikaz metanja kocke. ��

��

Koliko u~encev je sodelovalo na tekmovanju? Katero nalogo so re{evali najbolje in katero najslab{e? 2

Nari{i stolpi~ni diagram za podatke, zapisane v tabeli o branju iz prej{njega poglavja, za 5 otrok.

Tudi to je stolpi~ni prikaz. Rok je prikazal svoje ure pouka in izven{olskih obveznosti.

��

�

��

� ��

� �

�

� �

�

Koliko metov je opravil vsak od njiju? Katera od kock je "pravi~nej{a" in zakaj? Rezultate metov kock za Mateja in Petra prikaži v eni tabeli. 3

Nari{i stolpi~ni prikaz za podatke, zapisane v tabeli. Ne pozabi na naslov. Jure 2005

Polizani sladoledi MAJ

JUN

JUL

AVG

SEPT

� �

��

Kateri dan v tednu ima Rok najve~ ur pouka? Kdaj Rok nima popoldanskih dejavnosti? Kateri dan v tednu ima najve~ popoldanskih dejavnosti? Koliko ur pouka na teden ima Rok? Koliko ur pouka in dejavnosti na teden ima Rok? Zapi{i {e ustrezno tabelo.

(sto petin{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 165

165

20.9.2006 13:11:46

166

MatematikaUcbenik5.indb 166 Celje

128 X 92 178 99 151 74 51 110 184 95 195 118 62 33 155

Bled

X 128 220 158 29 39 54 179 238 102 123 178 101 184 161 135

Bled

Celje

Gornja

Koper

Kranj

Kranjska

Ljubljana

Maribor

Murska

Nova

Novo

Portoro`

Postojna

Ptuj

Roga{ka

Se`ana

247

213

290

190

181

166

251

191

270

220

Gornja

211

234

173

288

229

104

209

129

270

178

158

Koper

106

132

155

149

141

209

150

129

191

Kranj

140

168

191

102

183

130

245

186

185

227

135

Kranjska

107

130

122

116

184

125

104

166

Ljubljana

206

172

249

146

235

125

210

150

229

179

Maribor

265

133

231

308

205

294

184

269

209

288

110

238

Murska

207

230

114

179

294

235

116

141

181

184

102

Nova

150

151

116

193

179

205

146

154

173

190

123

Novo

231

254

193

114

308

249

122

207

149

290

195

178

Portoro`

154

177

116

231

172

126

213

118

101

Postojna

211

177

254

151

230

130

215

155

234

184

Ptuj

188

154

231

207

133

107

192

132

211

161

Roga{ka

188

211

150

265

206

164

106

247

155

135

Se`ana

Razdalje med slovenskimi kraji

(sto {estin{estdeset)

20.9.2006 13:11:47

Barbara Japelj Pave{i}, mag. Damijana Ker`i~ MATEMATIKA ZA PETOŠOLC(K)E. U~benik za matematiko v 5. razredu devetletnega osnovno{olskega izobraževanja Urednici: Barbara Japelj Pave{i} in mag. Damijana Kerži~ Strokovni pregled: dr. Milena Ivanu{ Grmek, dr. Zvonko Perat, Mojca Sardo~, dr. Maja Zupan~i~ Jezikovni pregled: Anka Polajnar Ilustracije: Maja Lubi in mag. Damijana Kerži~ (geometrijske risbe) Oblikovanje: Tadej Maligoj Oblikovanje ovitka: Irena Woelle Izdala: i2, dru`ba za zalo`ni{tvo, izobra`evanje in raziskovanje d.o.o., Ljubljana Prelom: Kvants - VisArt d.o.o. Tisk: Bograf d.o.o., Bevke Prva izdaja. Prvi natis.

(sto sedemin{estdeset)

MatematikaUcbenik5.indb 167

167

20.9.2006 13:11:47

mat_DZ_05_ovitek_02.qxd

2006/09/25

11:50

Page 2

11:48

Page 1

BARBARA JAPELJ PAVEŠIĆ IN DAMIJANA KERžIČ

UČBENIK

2006/09/25

MATEMATIKA K ZA PETOŠOLC E UČBENIK

MATEMATIKA

mat_ucb_05_ovitek_02.qxd

2.800,01 SIT 11,68 EUR

devetletka