Matematika 6, Učbenik 2012 by VISART studio, Kvants-Visart d.o.o.

MATEMATIKA KK

UČBENIK

BARBARA JAPELJ PAVEŠIĆ, DAMIJANA KERŽIČ

ZA ŠESTOŠOL E ČETROŠOLC C

MATEMATIKA

UČBENIK

MATEMATIKA ZA [ESTO[OLC(K)E U~benik za matematiko v 6. razredu osnovno{olskega izobra`evanja

Avtorici Barbara Japelj Pave{i} Damijana Ker`i~

Ljubljana

Zbirka: U~beni{ka gradiva Planet znanja MATEMATIKA ZA ŠESTO[OLC(K)E U~benik za matematiko v 6. razredu osnovno{olskega izobra`evanja

Oblikovanje: Tadej Maligoj

Urednici in avtorici: Barbara Japelj Pave{i}, mag. Damijana Ker`i~

Oblikovanje ovitka: Irena Woelle

Strokovni pregled: dr. Bojan Hvala, Andreja Verbinc

Prelom: VisArt studio, d.o.o.

Jezikovni pregled: Anka Polajnar

Tisk: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxx

Ilustracije: Maja Lubi

Prva izdaja. Prvi natis.

Geometrijske risbe: Ale{ Hafner, Damijana Kerži~, VisArt studio, d.o.o.

Natisnjeno v xxx izvodih.

Fotografije: Iztok Hafner, iStockphoto, Stane Klemenc

Izdala: i2, dru`ba za zalo`ni{tvo, izobraèvanje in raziskovanje, d.o.o., Ljubljana Za zalo`bo: Iztok Hafner e-naslov: http://www.i2-lj.si; e-po{ta: i2-lj@amadej.si Strokovni svet Republike Slovenije za splo{no izobraèvanje je s sklepom {tevilka xxxxx potrdil u~benik Matematika za {esto{olc(k)e: u~benik za matematiko v 6. razredu osnovno{olskega izobraèvanja.

Vse pravice pridr`ane. Brez pisnega soglasja zalo`nika je prepovedano reproduciranje, javna priob~itev, predelava ali kakr{na koli druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakr{nem koli obsegu ali postopku, vklju~no s fotokopiranjem ali shranitvijo s pomo~jo informacijske tehnologije. Tako ravnanje predstavlja kr{itev avtorskih pravic. © i2, d.o.o., Ljubljana, 2011

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.2) JAPELJ Pave�i}, Barbara Matematika za {esto{olc(k)e. U~benik za matematiko v 6. razredu osnovno{olskega izobraževanja / urednici in avtorici Barbara Japelj Pave{i}, Damijana Kerži~ ; [ilustracije Maja Lubi ; geometrijske risbe Damijana Kerži~ ; fotografije Iztok Hafner, iStockphoto, Stane Klemenc]. - 1. izd., 1. natis. - Ljubljana : i2, 2011. (Zbirka U~beni{ka gradiva. Planet znanja) ISBN 978-961-6348-66-9 1. Kerži~, Damijana 252785664

(dva)

V 탑elji, da bi ti matematika postala zanimiva in razumljiva.

(tri)

Kazalo Naravna sˇtevila, ulomki in decimalna sˇtevila Števke in {tevila ________________________ 10 Naravna {tevila_________________________ 12 Izbirna vsebina: Merimo temperaturo_____ 14 Urejenost {tevil in {tevilska premica_______ 16 Zaokroženje {tevila in ocena rezultata_____ 18 Se{tevanje in od{tevanje_________________ 20 Množenje in potence ___________________ 22 Deljenje _______________________________ 24 Ra~unski zakoni ________________________ 26 Delitelji {tevil___________________________ 28 Ve~kratniki {tevil________________________ 30 Pravila deljivosti_________________________ 32 [tevilski izrazi___________________________ 34 Re{ujemo besedilne naloge______________ 36 Izjave__________________________________ 38 Ena~be_________________________________ 40 Ena~be in besedilne naloge______________ 42 Neena~be______________________________ 44 Ulomki_________________________________ 46 Razli~na ulomka, enak del celote__________ 48 Izbirna vsebina: Se{tevamo in od{tevamo ulomke______________________ 50 Ulomki in {tevilska premica_______________ 52

({tiri)

Ra~unamo dele celote___________________ 54 Ra~unamo celoto in njene dele___________ 56 Razmerje_______________________________ 58 Deseti{ki ulomki in decimalni zapis________ 60 Decimalna {tevila in {tevilska premica_____ 62 Se{tevamo decimalna {tevila_____________ 64 Decimalna {tevila množimo in delimo z 10n__________________________ 66 Od{tevamo decimalna {tevila_____________ 68 Približna vrednost decimalnega {tevila____ 70 Množimo decimalna {tevila______________ 72 Deljenje naravnih {tevil __________________ 74 Deljenje decimalnih {tevil z naravnim {tevilom_____________________ 76 Deljenje z decimalnim {tevilom___________ 78 [tevilski izrazi z decimalnimi {tevili________ 80 Odnosi med koli~inami__________________ 82 Raziskovanje odnosov med koli~inami_____ 84 Besedilne naloge _______________________ 86 Matemati~ni izrazi_______________________ 88 Nadaljujmo po pravilu____________________ 90 Številska zaporedja_______________________ 92 Ra~unamo s kalkulatorjem_______________ 94

Merjenje Ponovimo merske enote_________________ 98 Dol탑ina_________________________________ 98 Plo{~ina in povr{ina_____________________ 98 Teko~ine_______________________________ 99 Masa___________________________________ 99 ^as____________________________________ 99 Ponovimo plo{~ino_____________________ 100 Pretvarjamo enote za plo{~ino___________ 102 Velike povr{ine_________________________ 104 Kaj je prostornina______________________ 106

Prostornina kvadrov in sestavljenih teles__ 108 Merimo prostornino____________________ 110 Votle in kubi~ne mere__________________ 112 Obseg, povr{ina in prostornina__________ 114 Ri{emo kocko, kvader in njune mre탑e____ 116 Merimo in ra~unamo obseg in plo{~ino__ 118 Merimo in ra~unamo povr{ino kocke in kvadra________________ 120 Plo{~ina in obseg v besedilnih nalogah___ 122

Geometrija Oznake v geometriji____________________ 126 Razdalja med to~kama in daljica ________ 128 Razdalja med to~ko in premico _________ 130 Ri{emo pravokotnice in vzporednice skozi to~ko_________________ 132 Ri{emo vzporednice ___________________ 134 Kot ___________________________________ 136 Velikost kota___________________________ 138

Merimo kote___________________________ 140 Ri{emo kote___________________________ 142 Ra~unamo s kotnimi merami____________ 144 Izbirna vsebina: Se{tevamo in od{tevamo kote_____________________ 146 Krog in kot____________________________ 148 Kro탑nice in premice____________________ 150

Zbiranje in prikazovanje podatkov Podatki, zbrani z anketnimi vpra{anji_____ 154 Zdru탑evanje odgovorov v kategorije_____ 156 Podatki, zbrani z merjenjem_____________ 158 Sklepamo iz podatkov in prikazov________ 160

Ra~unalni{ke preglednice_______________ 162 Risanje prikaza in ra~unanje s podatki____ 164 Projekt: Moja ra~unalni{ka preglednica___ 166

(pet)

Drage {esto{olke in {esto{olci! za vse tiste, ki imate matematiko radi,

Ta u~benik sva napisali

in tudi tiste, ki je ne marate, za tiste, ki ne veste, zakaj je matematika sploh potrebna, in za tiste, ki vam je raziskovanje matematike v veselje.

Naslov poglavja

V barvnem okvir~ku je zapisano, zakaj je koristno, da to snov zna{.

V okvirju je u~na snov.

Na levem robu so opombe, zanimivosti in ideje za raziskovanje, ki so povezane z u~no snovjo. Na belem ozadju so re{eni primeri nalog ali dodatna pojasnila o snovi v okvirju.

({est)

zato, da bi opazili, kje vsak dan

potrebujemo matematiko, in se nau~ili, kako uporabiti novo znanje v vsakdanjem `ivljenju.

tako, da ga boste lahko brali sami.

U~benik sva razdelili v dele, ki imajo na robu u{esa razli~nih barv. Vsak del sestavljajo poglavja. Poglavje ima dve strani. Na levi strani je u~na snov, na desni pa vaje.

Naloge so vaje iz nove snovi, ki ti pomagajo, da res razume{ in se nau~i{ novo snov. Pot do re{itve je v nalogah jasna. Problemi so vaje iz nove snovi, pri katerih pot do re{itve ni takoj vidna. Loti{ se jih potem, ko `e re{i{ ve~ino nalog iz levega stolpca.

Nekatere slike so pomembne! Potrebuje{ jih, ker so dodatno pojasnilo ali pomo~ pri razumevanju naloge.

Ta kocka ozna~uje izbirne vsebine.

(sedem)

Števila

1. Eva in Miha stojita drug ob drugem, Eva stoji za Mihom in Miha za Evo. Kako je to mogo~e?

2. Pet kosov verižice, vsak je dolg tri ~lene, bi radi sestaviti v eno samo verižico. Razstavljanje ~lenka stane 1 €, sestavljanje 2 €. Ali lahko z 10 € pla~amo delo?

3. ^lovek, ki bodisi vedno govori resnico bodisi vedno laže, je v eno od {katel dal kovanec in nanju zapisal izjavi. V kateri {katli je kovanec?

6. Ali lahko v eni potezi nari�e� spodnjo sliko?

7. Razreži lik po ~rtah tako, da bo� dobil tri kose enake oblike. ^e bi kose zložil v kup~ek, bi se kosi poravnali po robovih.

8. Z vr~ema za 6 ℓ in 10 ℓ mora� nameriti 4 ℓ. Kako? Ali bi lahko s tema vr~ema odmeril 8 ℓ?

9. Premakni eno vžigalico v vsakem ra~unu na drugo mesto tako, da bo ra~un pravilen. 4. Bele like postavi tako, da bo{ sestavil znak plus.

10. Med �tevila postavi dva plusa in en minus tako, da bo ra~un pravilen. 5. Prestavi tri vžigalice tako, da bo� dobil tri enake kvadrate.

Re�itve najde� v u~beniku. 8

(osem)

Naravna {tevila, ulomki in decimalna {tevila

Stari Grki so nauk o �tevilih in pravila ra~unanja z njimi poimenovali aritmetika in �e danes se to podro~je matematike imenuje tako. Algebra je podro~je matematike, ki v izraze vklju~uje spremenljivke (~rke), izhaja pa iz re�evanja ena~b. Ime (al djabr) izvira iz arabskega sveta, kjer se je ta veja matematike razvijala skupaj z deseti�kim �tevilskim sistemom. Že v 9. stoletju je arabski matematik napisal knjigo s tega podro~ja. Leta 1202 pa je Leonardo Fibonacci iz Pise s Knjigo o abaku ali po na�e Knjigo o ra~unstvu seznanil zahodni svet z ra~unanjem v deseti�kem sistemu, ki je bil uveljavljen v arabskem svetu.

(devet)

Števila

Števke in {tevila Števila zapisujemo z naborom znakov. S pomo~jo pravil, ki jih dolo~a {tevilski sistem, s temi znaki zapi{emo katero koli {tevilo.

Deseti{ki {tevilskimi sistem Števila zapisujemo s {tevkami (ciframi) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in 9. Osnova deseti{kega sistema je 10, vsaka naslednja enota je desetkrat ve~ja od predhodne. Številski sistem je mestni, saj vsako mesto v zapisu {tevila predstavlja eno od deseti{kih enot: enico, desetico, stotico, tiso~ico ... V mestnem {tevilskem sistemu zapisujemo {tevila z nizom {tevk. Vrednost {tevke je dolo~ena z mestom, kjer {tevka stoji. Število dobimo tako, da vsako {tevko v zapisu pomnožimo z vrednostjo njenega mesta in vrednosti nato se{tejemo. 10278 = 1 · 104 + 0 · 103 + 2 · 102 + 7 · 101 + 8 · 100

stotice: 2 ·102

Spomni se: 10 0 = 1

Ker se je zapis {tevk od Indijcev, ki so jih za~eli uporabljati prvi, raz{iril v Evropo preko Arabcev, jih imenujemo tudi arabske {tevilke. Danes je to zapisovanje raz{irjeno po vsem svetu. Poznamo tudi {tevilske sisteme, ki niso mestni. V anti~nih {tevilskih sistemih je {tevka predstavljala dolo~eno vrednost. Tu dobimo {tevilo tako, da vrednosti {tevk med seboj se{tejemo, v~asih pa tudi od{tejemo. Rimske {tevilke Stari Rimljani niso poznali ni~le. Števila so zapisovali z naslednjimi {tevkami:

1 I

5 V

10 X

50 L

100 C

500 D

1000 M

Sistem ni mestni. Vsaka {tevka ima svojo vrednost. Vrednost zapisa dobimo tako, da se{tevamo oziroma od{tevamo posamezne vrednosti zapisanih {tevk. Pri tem je treba upo{tevati {e naslednje:

I=1 II = 1 + 1 = 2 III = 1 + 1 + 1 = 3 VI = 5 + 1 = 6 XX = 10 + 10 = 20 LXX = 50 + 10 + 10 = 70 CXXI = 100 + 10 + 10 + 1 = 121 IX = 10 – 1 = 9 CM = 1000 – 100 = 900

(deset )

• [tevka lahko nastopi najve~ trikrat. Namesto {tirih enakih {tevk zapi{emo {tevko ve~je vrednosti, pred njo pa postavimo {tevko z manj{o vrednostjo. pi{emo IV (5 – 1) namesto IIII namesto XXXX pi{emo XL (50 – 10) • [tevke V, L in D zapi{emo le enkrat. • Samo {tevke I, X in C lahko stojijo pred {tevkami z ve~jo vrednostjo. V takem primeru od{tevamo: XLIX = (50 – 10) + (10 – 1) = 49 MMCMXL = 2000 + (1000 – 100) + (50 – 10) = 2940

Kako do rimskega zapisa {tevila? Število zapi{emo kot vsoto {tevil, za katera obstajajo {tevke v rimskem zapisu. Za~nemo z najve~jimi vrednostmi.

Števila, ve~ja od 3000, ozna~imo tako, da nad {tevko zapi{emo vodoravno ~rto. Ta pomeni množenje s 1000.

245 = 100 + 100 + (50 – 10) + 5 = CCXLV 1909 = 1000 + (1000 – 100) + (10 – 1) = MCMIX

V = 5 000 C = 100 000

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Števila zapi{i z rimskimi {tevilkami.

X = 10 000 D = 500 000

L = 50 000 M = 1 000 000

1 Premakni eno vžigalico, da bo ra~un pravilen.

a) 25, 39, 104, 129, 495 b) 56, 89, 218, 1026, 3349 c) 28, 37, 98, 112, 1509 d) 67, 325, 444, 999, 2319 2 Števila zapi{i z arabskimi {tevilkami.

2 Na Kreti je okrog leta 1500 pred na{im {tetjem

a) XXIX, XLV, LXIV, XLIV, CCLIV b) LXXXIV, MCD, CDXLII, MDCLXXIV, CMXLI c) DLV, CLI, DXXIX, LIX, CMIX d) CCLXI, DCCXXV, CDXCIV, MXLIV, CCXXIX

nastala minojska pisava. Števke v minojski pisavi so bile tak{ne:

enica

desetica

3 Na voljo ima{ I, I, V, X, X, L in C. Uporabi vse

stotica

tiso~ica

{tevke ter z njimi zapi{i najve~jo in najmanj{o rimsko {tevilko.

desettiso~ica

4 So zapisani ra~uni pravilni? Popravi napake.

MDCCXXIX – LXXIX = MDL CMIX + LXXXVIII = CMXCVII CDLXXV + MXX = MD MMDCIX – MCDXXXIV = MCLXV

13124

Kak{en {tevilski sistem je to?

a) Katere {tevilke so zapisane?

5 Na listu je zapisanih prvih sto {tevil v deseti{kem

zapisu. Koliko je vseh zapisanih {tevk? 6 Zapisanih je prvih dvajset {tevil v rimskem zapisu.

Koliko je vseh zapisanih {tevk? Ali jih je ve~, kot ~e bi {tevila zapisali v deseti{kem sistemu? 7 Kolikokrat bi zapisal {tevko 3, ~e bi zapisal vsa

{tevila od 100 do 200?

b) V minojski pisavi zapi{i 915, 1623, 8511, 2435.

(enajst)

Števila

Naravna {tevila Naravna {tevila so {tevila, s katerimi {tejemo: 1, 2, 3, … Najmanj{e naravno {tevilo je 1. Naravna {tevila lahko uredimo po velikosti. Množico vseh naravnih {tevil ozna~imo z ℕ. ℕ = �1, 2, 3, 4, 5, ...� Z ℕ0 ozna~imo naravna {tevila skupaj z 0. ℕ0 = ℕ U �0� = �0, 1, 2, 3, 4, 5, ...�

Koliko je ura? Koliko moram pla~ati? Katera je tvoja mobi {tevilka? Kateri si bil na tekmovanju? Na vsa zapisana vpra{anja je odgovor {tevilo.

Doslej smo spoznali {tevila do milijona. V~asih pa naletimo na ve~ja {tevila. V spodnji preglednici jih je nekaj poimenovanih. Kje si sre~al velika {tevila, ve~ja od milijona? Trilijoni Str

Dtr

Bilijoni Tr

Stb

Dtb

Milijarde Db

Smd Dmd Md

1020 1019 1018 1017 1016 1015 1014 1013 1012 1011 1 Za lažje branje velikih {tevil naredimo med vsakimi tremi {tevkami manj{i presledek: 5 067 209 563. Nekateri na ta mesta v {tevilu napi{ejo pike: 5.067.209.563

kilo

103

mega

106

giga

109

tera

1012

Milijoni

1010 0

Tiso~ice

Sm Dm

109

108

107

106

105

104

103

102

101

100

Pri zapisovanju {tevil z besedami z eno besedo napi{emo le {tevila do sto in stotice. 5067209563 – pet milijard sedemin{estdeset milijonov dvesto devet tiso~ petsto triin{estdeset 101343009560 – sto ena milijarda tristo triin{tirideset milijonov devet tiso~ petsto {estdeset Število lahko zapi{emo s potencami {tevila 10: 5067209563 = = 5 · 109 + 6 · 107 + 7 · 106 + 2 · 105 + 9 · 103 + 5 · 102 + 6 · 101 + 3 · 100 101343009560 = = 1 · 1011 + 1 · 109 + 3 · 108 + 4 · 107 + 3 · 106 + 9 · 103 + 5 · 102 + 6 · 101

Kilometer predstavlja 1000-krat ve~jo enoto od metra. Kilogram je 1000-krat ve~ji od grama. Giga- pomeni milijardokrat ve~ in tera- {e 1000-krat ve~ kot giga-. Gigain terase uporabljata na primer za opisovanje velikosti prostora na ra~unalni{kih diskih.

(dvanajst)

Kadar se pogovarjamo o ra~unalnikih, pogosto govorimo o kilobajtih, megabajtih, gigabajtih. S temi besedami opisujemo koli~ino podatkov, pomnilni{ki prostor, velikosti datotek. Bajti (angl. byte) so osnovne enote, s katerimi merimo velikost podatkov. Megabajt je milijon bajtov. Koliko prostora na ra~unalni{kem pomnilniku zavzame tvoja najljub{a igra?

Naloge 1 Preberi {tevila in jih uredi po velikosti.

1069897,1009500, 1040030, 900999, 1009537, 8970091, 10100101 2 Števila zapi{i z besedami.

3458923, 11010340, 7800870, 23809034 3 Zapi{i s {tevilko.

a) pet milijard dvesto pet milijonov petsto pet b) sto tri milijarde tiso~ petsto c) petsto {estdeset milijard tristo milijonov petsto petindvajset d) trinajst milijard tristo petnajst tiso~ petintrideset

Re{ujemo probleme 1 Z vsemi na{tetimi {tevkami zapi{i najve~je in

najmanj{e možno {tevilo. a) 1, 2, 5, 5, 6, 8, 9, 9, 0 b) 3, 4, 4, 4, 7, 9, 0 c) 1, 2, 2, 5, 6, 7, 8, 8, 0 2 Ugotovi, koliko imamo enomestnih, dvomestnih,

trimestnih, {tirimestnih, petmestnih in {estmestnih {tevil. 3 Prijatelja Jure in Miha sta se udeležila maratona.

Koliko maratoncev je bilo zapisanih na startni listi med njunima imenoma?

4 Katerim {tevilom pravimo nasledniki? Zapi{i

naslednike {tevil 9090909, 30456999, 101090909. Katerim {tevilom pravimo predhodniki? Katero naravno {tevilo nima predhodnika? Zapi{i predhodnike {tevil 8000900, 34009100, 103490000. 5 [tevila 1207809, 45007400 in 89600541 zapi{i

kot vsoto zmnožkov s potencami {tevila 10. 6 Z besedami opi{i lastnosti lihih in sodih {tevil ter

na{tej nekaj primerov. 7 Katero je najve~je {tevilo, ki ga lahko zapi{e{ na

svojem kalkulatorju? Zapi{i ga tudi z besedami. 8 Katero {tevilo predstavlja zapis? Zapi{i ga tudi z

besedami. a) 4 Smd 4 M 6 Dt 8 S b) 9 Dm 3 Dmd 1 Dm 9 St 1 T 2 D 9 E c) 3 · 109 + 8 · 107 + 5 · 106 + 3 · 102 d) 6 · 1012 + 9 · 1010 + 3 · 106 + 2 · 101 e) 2 B 24 26 M 55 Dt 9 Preveri pravilnost zapisane trditve na treh

{tevilskih primerih. ^e se{tejem predhodnik in naslednik poljubnega {tevila, dobim enak rezultat, kot ~e to {tevilo pomnožim z 2.

4 Tovarna izdela na dan 1010 tablet. Vsaka tableta

tehta pol grama. Koliko tehtajo vse tablete, ki jih je tovarna izdelala v enem letu? 5 V Dolgi ulici so hi{e na levi in desni strani. Na levi

strani so lihe {tevilke, na desni strani sode. Vseh hi{ v ulici je 315. Katero {tevilko ima zadnja hi{a na desni? Katero {tevilko ima 47. hi{a na levi? Tine ima hi{no {tevilko 205. Na kateri strani ulice in katera po vrsti je njegova hi{a? 6 Se{tej {tevili.

a) 3 · 106 + 2 · 104 + 2 · 103 + 1 · 101 in 5 · 106 + 4 · 105 + 3 · 103 + 2 · 100 b) 2 · 104 + 9 · 103 + 5 · 102 + 1 · 101 + 8 · 100 in 2 · 105 + 6 · 104 + 5 · 103 + 6 · 102 + 8 · 100 c) 9 · 104 + 8 · 103 + 9 · 102 + 8 · 101 + 9 · 100 in 7 · 103 + 6 · 102 + 8 · 101 + 3 · 100

(trinajst)

Na termometru za merjenje temperature zraka so tudi {tevila, ki imajo pred seboj zapisan znak minus (–). Znak minus (–) pove, da je temperatura nižja, torej manj{a od 0 °C. To je takrat, ko voda zmrzne.

Pozimi zunaj zmrzuje. Koliko takrat pokaže termometer? Poi{~i termometer in si ga dobro oglej.

Kadar je zunaj dovolj mrzlo, termometer poka`e vrednosti −1 °C, −2 °C, −3 °C ali {e manj. Temperatura –1°C je za 1 stopinjo manj{a od 0°C, temperatura −2°C je za 2 stopinji manj{a. Temperatura −2°C je manj{a od −1°C za 1 stopinjo. Razdalja na termometru je enaka 1. Temperatura −2 °C je ni`ja od 1 °C. Temperaturi se razlikujeta za 3 °C. Razdalja na termometru je enaka 3. [tevilo −2 je manj{e od {tevila 1. Zapi{emo −2 < 1. −2 je za tri manj{e od 1. Temperatura −5 °C je ni`ja od −3 °C. Temperaturi se razlikujeta za 2 °C. [tevilo −5 je za dve manj{e od {tevila −3. −5 < −3 Alja` je pozimi teden dni zapisoval v tabelo jutranjo in opoldansko temperaturo zraka na svojem balkonu. Ponedeljek

Torek

Sreda

^etrtek

Petek

Sobota

Nedelja

Zjutraj

2 °C

0 °C

−1 °C

−3 °C

−6 °C

1 °C

−1 °C

Opoldne

8 °C

10 °C

8 °C

9 °C

7 °C

8 °C

Temperatura v zimskem tednu

Zjutraj Opoldne

12 8 6

Izra~unaj razliko med temperaturo zjutraj in opoldne istega dne.

4 °C

Katerega dne je bila razlika med izmerjenima temperaturama najve~ja? Kolik{na je bila najmanj{a razlika med temperaturama v enem dnevu? Katere dni je bilo to?

0 −2 −4 −6

({tirinajst)

Nedelja

Sobota

Petek

^etrtek

Sreda

Torek

−8

Izdelal je tudi grafi~ni prikaz meritev. Kdaj je izmeril najvi{jo in kdaj najni`jo temperaturo?

Ponedeljek

Števila

Izbirna vsebina: Merimo temperaturo

Razmisli, kako bi na grafi~nem prikazu brez ra~unanja dolo~il, katerega dne je bila razlika med izmerjenima temperaturama najve~ja in kdaj najmanj{a.

Merjenje nadmorske vi{ine Nadmorska vi{ina kraja na Zemlji pove, koliko metrov nad morsko gladino je kraj. Morska globina ozna~uje, koliko pod morsko gladino je morsko dno.

Franci je sko~il s 3 metre visoke skakalnice. Potopil se je 4 metre globoko v morje. Njegov padec je bil globok 7 metrov, ker je 3 m + 4 m = 7 m.

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Oglej si ve~ termometrov za merjenje

temperature zraka. Kolik{na je najvi{ja in kolik{na najni`ja temperatura, ki ju z njimi lahko izmerimo? Za koliko stopinj se temperaturi razlikujeta med seboj? 2 Amaterski vremenoslovec je izmeril najnižjo

letno temperaturo v januarju, in sicer –10 °C, najvi{jo pa v juliju, kar 33 °C. Za koliko stopinj se temperaturi razlikujeta? Projekt: Tedensko merjenje temperature v zimskem ~asu Meri temperaturo en teden, vsak dan ob isti uri zjutraj in popoldne. Zapisuj meritve v tabelo. Nari{i prikaz, kot ga je narisal Alja`. V razredu primerjajte prikaze.

1 Najvi{ja gora na svetu je Mount Everest z 8848

metri nadmorske vi{ine, najgloblji to~ka na svetu pa je Marijanski jarek v Tihem oceanu z globino 11020 metrov. Za koliko metrov se razlikujeta ti dve to~ki? 2 Okrog leta 3000 pred na{im {tetjem so Sumerci

izna{li pisavo, imenovano klinopis. Ugotovi, koliko let je preteklo od takrat. 3 Postavi znak < ali > tako, da bo{ dobil pravilne

trditve. 5 3 −5 3 −34 10

7 0 6

0 −2 0

−3 −2 −3

1 −7 −2

4 Za koliko se razlikujeta {tevili? Pomaga{ si tako, da

si nari{e{ termometer. a) 8 in 3b) 8 in −3 10 in −1 5 in −5 0 in 5 2 in −1

c) −8 in −3 −2 in 0 −8 in −5

(petnajst)

Mnogi ljudje si lažje zapomnijo stvari in raziskujejo odnose med njimi, ko jih vidijo.

Naravna {tevila upodobimo na {tevilski premici. 0

izhodi{~e

�

Števila

Urejenost {tevil in {tevilska premica

enota 5 enot

Števila na {tevilski premici so urejena po velikosti. Število, ki je na levi, je manj{e od tistega na desni: 1 < 5

Kadar prikazujemo {tevila na {tevilski premici, ne nari{emo vedno izhodi{~a in vseh {tevil. S {tevili ozna~imo, kateri del premice prikazujemo in koliko predstavlja razmik med dvema zaporednima ~rticama. 40 60 80 100 120 140 160 Razmik med ~rticama je 20.

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Razmik med ~rticama je 200.

Katerih {tevil je ve~, sodih ali lihih?

Najve~jega naravnega {tevila ni. Vsakemu naravnemu {tevilu lahko pri{tejemo 1 in dobimo ve~je naravno {tevilo. Pravimo, da je naravnih {tevil neskon~no. Znak za neskon~no je ∞ (leže~a osmica).

Ponovimo Naravno {tevilo je sodo, ~e je deljivo z 2. Število, ki ni sodo, je liho. Kje na {tevilski premici leži predhodnik in kje naslednik {tevila?

({estnajst)

Predhodnik danega {tevila je {tevilo, ki je za 1 manj{e. Naslednik danega {tevila pa je {tevilo, ki je za 1 ve~je od njega.

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Števila uredi po velikosti:

1 Števila prikaži na {tevilski premici.

a) od najmanj{ega do najve~jega: 569, 289, 1001, 990, 11045, 9101 b) od najve~jega do najmanj{ega: 758, 912, 11001, 3420, 43209, 111099

2 Na karton~kih so zapisana {tevila, sledijo pa si v

2 Na {tevilski premici prikaži {tevila. Razmisli, kateri

naslednjem vrstnem redu:

del premice bo{ narisal in kolik{en bo razmik med ~rticami. a) 0, 5, 10, 15, 20, 25 b) 16, 19, 25, 30, 38 c) 510, 535, 540, 560, 575 d) 10500, 10510, 10515, 10521, 10530

[tevila razvrsti tako, da na vsakem koraku zamenja{ le dva sosednja karton~ka, ~e je {tevilo na desni ve~je od {tevila na levi. Ponavlja{, dokler gre. Kak{na je kon~na razvrstitev {tevil, ko ne more{ zamenjati nobenega karton~ka ve~? Koliko zamenjav si naredil?

3 Nari{i vodoravno premico in na njej ozna~i dve

to~ki, ki sta med seboj oddaljeni 10 cm. Ozna~eni to~ki predstavljata izhodi{~e in {tevilo 700. Ozna~i {e {tevila 350, 400, 200, 800, 50, 650 in 1000. 4 Na {tevilski premici so ozna~eni pari {tevil: 27 in 72, 207 in 702 ter 2007 in 7002. Na sredini med vsakim parom ozna~imo tretje {tevilo. Katera {tevila ozna~imo? 5 Tine je na {olskem krosu dosegel 35. najbolj{i in hkrati 40. najslab{i ~as. Koliko tekmovalcev je priteklo na cilj?

3 Peter se je iz Ljubljane s kolesom odpravil v [kofjo

Puštal (354) Škofja Loka (352)

Hosta (350)

Gosteče (344) Pungart (346)

Draga (347)

Medno (316)

Stanežiče (323)

Ljubljana (292)

Nadmorska višina (m)

Ljubljana Šentvid (314)

premici prikaži {tevila v zaporedju, ki so manj{a od 66.

Sora (330)

6 Nadaljuj zaporedje 1, 4, 9, 16, … Na {tevilski

Goričane (316)

Loko. Po kon~anem kolesarjenju je svojo pot predstavil s prikazom. Na {tevilski premici prikaži nadmorske vi{ine krajev, skozi katere je kolesaril. Na drugi premici ozna~i oddaljenost teh krajev od Ljubljane. Koliko kilometrov je prekolesaril Peter? Kolik{no vi{insko razliko je premagal?

Vaše (315 )

a) 12590, 12630, 12670, 12710, 12750 b) 1185, 1189, 1190, 1195, 1200 c) 9095, 9595, 10095, 10595, 11095 d) 2 ·105, 24 ·104, 3 ·105, 1 ·106

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

23 km

(sedemnajst)

V vsakdanjem življenju velika {tevila zaokrožimo, da si jih lažje zapomnimo, da z njimi lažje na pamet ra~unamo, da jih hitreje primerjamo po velikosti ... Razmisli, kje si se že sre~al z zaokroženimi vrednostmi. navzgor

9 8 7 6 5

Ko zaokro`imo {tevilo, nekaj zadnjih {tevk zamenjamo z ni~lami.

Poi{~emo mesto zaokrožitve in {tevko desno.

^e je {tevka za mestom zaokrožitve

manj{a od 5, potem {tevilu za

ve~ja ali enaka 5, {tevko na mestu

mestom zaokrožitve dopi{emo

zaokrožitve pove~amo za ena in

ustrezno {tevilo ni~el.

desno od nje zapi{emo ustrezno {tevilo ni~el.

4 3 2 1 0

Zaokro`eno na stotice: 1876 1900

navzdol

Števila

Zaokroženje {tevila in ocena rezultata

10495

10500

2045

2000

19910

20000

Zaokro`eno na tiso~ice:

Bodi pozoren, ko je na mestu zaokroževanja {tevka 9.

20190

Zaokrožimo na desetice: 390, vendar 395 385

400

Zaokrožimo na stotice: 861 900, vendar 961

1000

20000

11901

12000

Približna vrednost ra~una V vsakdanjem življenju moramo v~asih kak{no vrednost ra~unske operacije približno oceniti. Števila takrat zaokrožimo, saj s takimi {tevili lažje ra~unamo. 1876 + 20190

1900 + 20200 = 22100

zaokro`eno na stotice

približna vrednost ra~una

Približna vrednost ra~una je lahko ve~ja ali manj{a od to~ne vrednosti. Vse ra~une izra~unaj {e sam.

Kadar izra~unamo le približno vrednost, to ozna~imo z ena~ajem s piko. 78 · 9 ≐ 80 · 9 = 720

(osemnajst)

267 · 532 = Zaokrožimo faktorja na stotice: 300 · 500 = 150000 Zaokrožimo faktorja na desetice: 270 · 530 = 143100 To~en izra~un: 267 · 532 = 142044 534 – 189 = Zaokroženo na stotice: 500 – 200 = 300 Zaokroženo na desetice: 530 – 190 = 340 To~en izra~un: 534 – 89 = 345

Naloge 1 Zaokroži 179908, 769870, 2060928 in 19406789

a) na desetice in stotice b) na tiso~ice in desettiso~ice 2 Katera vrednost v zapisanih stavkih je to~na in

katera zaokrožena? Zakaj tako misli{? a) Roparji so iz kioska odnesli 4000 €. b) Visok sem 155 cm. c) Povr{ina Slovenije je 20273 km2. d) Na dobrodelnem koncertu je bilo zbrano 8500 €. 3 Preveri pravilnost trditev.

a) ê {tevilo 126 zaokroži{ na desetice, je razlika med to~no in zaokroženo vrednostjo 6. b) ê {tevilo 1037 zaokroži{ na desetice, je razlika med to~no in zaokroèno vrednostjo 10. 4 Zapi{i najmanj{e {tevilo, ki pri zaokroženju

Re{ujemo probleme 1 Zaokroži {tevila.

a) 99 na desetice b) 999 na desetice in stotice c) 9998 in 99988 na desetice, stotice in tiso~ice 2 Svetloba prepotuje v enem letu razdaljo

9,460,730,472,580 kilometrov. To razdaljo imenujemo svetlobno leto. Zaokroži svetlobno leto na milijarde kilometrov. 3 [tevila 2345, 4589, 3009 in 9871 zaokroži na

tiso~ice. Ista {tevila zaokroži najprej na stotice in nato dobljeno zaokroženo �tevilo �e na tiso~ice. Pri katerih {tevilih kon~na rezultata nista enaka? Razmisli, kdaj bosta postopka zaokroženja dala razli~na rezultata. Svojo ugotovitev zapi{i. 4 Na spletnih straneh Statisti~nega urada Slovenije

vidimo takle stolp~ni prikaz:

a) na desetice dobi vrednost 450, 1000, 20990 b) na stotice dobi vrednost 100, 50500, 110000 c) na tiso~ice dobi vrednost 5000, 230000, 101000 in drugi~ na desetice. Izra~unaj tudi to~no vrednost. b) 5367 – 2089 a) 426 + 172 865 – 218 1309 + 4039 10327 – 962 4281 + 2937

c) 428 · 182 1802 · 621 86 · 5602

6 Koliko let bi bil star ~lovek, ki bi živel milijon ur?

Števila zaokroži in približek rezultata izra~unaj na pamet. Nato s kalkulatorjem izra~unaj to~en rezultat. Kolik{na je razlika? 7 Kako bi ocenil, koliko zrn riža je v kilogramskem

zavitku? Opi{i postopek. ^e ima{ mo`nost, oceni, koliko zrn je v zavitku.

2030

v miljardah

5 Rezultat oceni tako, da prvi~ zaokroži{ na stotice

2005 5

Afrika

Azija

Evropa

Južna Srednja Severna Amerika Amerika in Amerika Karibi

Oceanija

Kaj bi lahko prikazoval? Zapi{i vsaj tri ugotovitve, ki jih razbere{ iz prikaza. Podatke iz prikaza predstavi s tabelo. [tevila zaokroži na sto milijonov. 5 Razmisli, koliko je lahko najve~ja razlika med

zaokroženo in to~no vrednostjo {tevila, ~e zaokroža{ na: a) desetice b) stotice c) tiso~ice d) desettiso~ice

(devetnajst)

Števila

Se{tevanje in od{tevanje Kranjska Gora (809)

Belca (691) Podkluže (682)

Mojstrana (641)

Kosmačev preval (847)

Frčkov rovt (668)

Spodnja Radovna (633) Kaconov rovt (677)

Krnica (642) Bled (504)

nadmorska vi ina (m)

Peter je prekolesaril 36 km dolgo pot od Bleda do Kranjske Gore. S pomo~jo elektronskega {tevca je izdelal prikaz kolesarjenja.

36 km

Kolik{na je razlika med nadmorskima vi{inama Bleda in Kranjske Gore? Iz prikaza preberemo podatke in izra~unamo razliko. Bled: 504 m, Kranjska Gora: 809 m. Razlika nadmorskih vi{in teh dveh krajev: 809 m – 504 m = 305 m Sam preveri, da pri ra~unanju po vrsti dobimo enak rezultat.

Koliko metrov vzpona je Peter premagal na poti? Se{tejemo vse vzpone na poti: (642 – 504) + (677 – 633) + (847 – 668) + (691 – 641) + (809 – 682) = = 138 + 44 + 179 + 50 + 127 = 538 Ra~unamo lahko tudi takole: 642 + 677 + 847 + 691 + 809 – (504 + 633 + 668 + 641 + 682) = = 3666 – 3128 = 538

^e {tevilu pri{tejemo ali od{tejemo 0, je rezultat enak {tevilu samemu. 75 + 0 = 75 153 – 0 = 153

Peter je premagal 538 m vzpona. ^e se{tevanje in od{tevanje v ra~unu nastopata skupaj, lahko ra~unamo po vrsti od leve proti desni ali pa se{tejemo vse se{tevance in lo~eno vse od{tevance ter nato od vsote se{tevancev od{tejemo vsoto od{tevancev. Koliko metrov spusta je bilo na poti? Se{tejemo vse razlike nadmorskih vi{in krajev pri spustih: 642 – 633 + 677 – 668 + 847 – 641 + 691 – 682 = 9 + 9 + 206 + 9 = 233 Na poti je Peter opravil 233 metrov spusta. Od{tevanje je nasprotna operacija se{tevanju. 538 – 305 = 233, saj je 233 + 305 = 538 S se{tevanjem napravimo preizkus, ali smo pravilno od{teli.

(dvajset)

Naloge 1 Izra~unaj na pamet.

a) 73 + 46 – 12 + 23 – 34 b) 100 – 31 – 14 + 22 – 15 c) 202 – 73 + 24 – 33 + 18 d) 173 + 94 – 45 – 63 + 42 2 Pisno izra~unaj.

a) 3256 + 5298 + 3217 2009 + 14290 + 6594 6548 + 23640 + 10090 5483 + 893 + 12097 b) 4237 + 62678 – 35300 67893 – 3462 – 5286 100900 – 5672 – 6382 73520 – 52686 + 3267 3 Izra~unaj ~im bolj preprosto. Zapi{i korake

ra~unanja. a) 96 – 67 + 55 – 43 b) 238 – 178 + 202 – 45 – 107 c) 577 + 109 – 107 + 101 d) 1067 – 409 + 703 – 595 – 211 4 Mama je zjutraj pre{tela svoj denar v denarnici.

Imela je 87 €. Na poti v službo je v trgovini pla~ala 12 €. V službi je za malico od{tela 9 €. Sodelavka ji je vrnila 15 €. Na poti domov se je ponovno ustavila v trgovini in nakupila za 67 €. Koliko denarja ima sedaj v denarnici? Izra~unaj na dva na~ina. 5 Avtomehanik je kupil rabljen motor za 3450 €.

Za popravilo je porabil 425 €. Motor je prodal za 4550 €. Kolik{en je mehanikov dobi~ek? 6 Poi{~i manjkajo~e {tevke.

a) 7 + 4 = 133 b) 2 + 48 = 1331 c) 35 2 + 5 = 13211 – = d) 7 8 25 e) 709 – 3 4 = 6 99 f) 1683 – 36 = 75 8

Re{ujemo probleme 1 Z besedami zapi{i postopek se{tevanja, ki ga

uporablja{, ko ra~una{ na pamet. Lahko si pomaga{ tudi z opisom primera. 2 V petem razredu smo spoznali, kako se{tejemo

nekaj zaporednih naravnih {tevil. ^e se ne spomni{, poglej v lanski u~benik. Se{tej vsa naravna {tevila med: a) 1 in 12 c) 5 in 27 b) 1 in 35 d) 6 in 43 3 Primerjaj rezultata. Kaj ugotovi{? Ali lahko svojo

ugotovitev uporabi{ pri ra~unanju na pamet? a) 45 – (32 – 15) in 45 – 32 + 15 b) 123 – (65 – 56) in 123 – 65 + 56 c) 505 – (289 – 109) in 505 – 289 + 109 4 Primerjaj razlike. Kaj ugotovi{? Ali lahko svojo

ugotovitev uporabi{ pri ra~unanju na pamet? a) 127 – 63 in (127 + 3) – (63 + 3) in (127 – 3) – (63 – 3) b) 328 – 225 in (328 + 2) – (225 + 2) in (328 – 5) – (225 – 5) c) 428 – 214 in (428 + 72) – (214 + 72) in (428 – 14) – (214 – 14) 5 Na treh knjižnih policah je razporejenih 550 knjig.

Na prvi jih je 234, na drugi 38 ve~ kot na prvi. Koliko jih je na tretji polici? 6 Izra~unaj vrednost izrazov.

a) 329 – (45 + (99 – 76)) + 215 (562 – 429) + (1090 – 629) 316 + ((34 – 23) + 42) – (98 – 42) 1435 – (768 – (276 – 187)) b) 11095 – 432 – (199 + 1099) 4302 + (580 – 329) – 2285 25862 – (12897 + (2093 – 584)) (2876 + 54382) – (15709 – 9909)

(enaindvajset)

Števila

Množenje in potence Množenje je kraj{i na~in zapisovanja se{tevanja enakih {tevil. 5+5+5+5+5+5+5 =7·5 ^e {tevilo pomnožimo s {tevilom 1, je njun zmnožek enak {tevilu. 7 · 1 = 7 56 · 1 = 56 ^e je eden od faktorjev enak 0, je tudi zmnožek enak 0. 8 · 0 = 0 0 · 708 = 0 Zmnožek ve~ enakih {tevil kraj{e zapi{emo v obliki potence. stopnja Preberemo: pet na {tiri 5 · 5 · 5 · 5 = 54 osnova Vrednost potence s stopnjo 0 je vedno 1: 50 = 1 Katera koli potenca {tevila 0 je vedno enaka 0: 05 = 0 Stopnjo 1 v zapisovanju izpu{~amo: 51 = 5 Potenci s stopnjo 2 pravimo tudi kvadrat {tevila. 22 je kvadrat {tevila 2. Potenci s stopnjo 3 pravimo tudi kub {tevila. 23 je kub {tevila 2.

Veliko polo lepenke, debele 2 mm, prerežemo na polovico. Dobljena kosa ponovno prerežemo na polovico in kose nalagamo drugega na drugega. Postopek ponovimo 10-krat. Koliko visoko bi segal kup narezanih ko{~kov lepenke? Ko prvi~ prerežemo, dobimo 2 kosa. Ko prerežemo drugi~, moramo na pol prerezati dva kosa: 2 · 2 = 22 = 4 Dobimo 4 kose. Tretji~ prerežemo na polovico 22 kosov in dobimo: 2 · 22 = 2 · 2 · 2 = 23 = 8 Dobimo 8 kosov. ^etrti~ prerežemo na polovico 23 kosov in dobimo: 2 · 23 = 2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16 Dobimo 16 kosov.

Kup bi bil visok ve~ kot dva metra. Tako visok kup bi {e lahko postavil na tla sobe. ^e pa bi postopek rezanja ponovil {e enkrat, bi se vi{ina kupa podvojila in bi bila že malo ~ez 4 m.

(dvaindvajset)

Ko bi rezali deseti~, bi morali na polovico prerezati 29 kosov: 2 · 29 = 210 = 1024 Dobili bi 1024 kosov. Kolik{na bi bila debelina kupa vseh zloženih ko{~kov lepenke po 10 rezanjih? 210 · 2 mm = 211 mm = 2048 mm = 2 m 48 mm Potence z isto osnovo lahko hitro množimo. Opazimo, da je 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 22 · 22 = 2 · 23 = 21 · 23 = 2(2+2) = 2(1+3) = 24 Potence z enako osnovo množimo tako, da osnovo prepi{emo in njihove stopnje se{tejemo.

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Izra~unaj na pamet.

a) 12 · 5 9 · 21 30 · 15 90 · 81 42 · 70

1 Trgovec Tine pla~a {ivilji Francki 10 € za 6 majic.

b) 9 63 53 25 34 2

2 Pisno izra~unaj.

a) 420 · 381 5108 · 48 34 · 928 2901 · 728 89 · 1819

b) 1029 · 4599 3760 · 8930 345 · 21456 56098 · 4526 10010 · 8965

3 Z besedami opi{i, kako množimo s potencami

{tevila 10: 101, 102, 103, … Zapi{i nekaj primerov. 4 Katero {tevilo je 5-krat ve~je od zmnožka {tevil

123 in 321? 5 Nekaj {tevilk manjka. Zapi{i jih.

a) 2 = 8 3 = 27 1 =6 5 =1

2 = 10000 b) 2 = 256 5 =1 5 =5

6 Uredi {tevila po velikosti od najve~jega do

najmanj{ega. 33, 25, 120, 101, 82, 43, 92, 28 7 Kolikokrat mora{ prepogniti list papirja, da ga bo{

s prepogibi razdelil na 64 enakih delov? 8 Izra~unaj 92, 992, 9992 in 99992. Pozorno si oglej

rezultate. Ali lahko napove{ vrednost za 999992? Preveri svojo napoved z izra~unom. 9 V razredu je 12 u~enk in 11 u~encev. Na koliko

na~inov lahko razred izbere trojico, ki jih bo zastopala na tekmovanju, ~e jih morajo zastopati: a) dva fanta in eno dekle b) en fant in dve dekleti c) trije fantje d) tri dekleta e) trije otroci ne glede na spol

Tine nato majice prodaja po dve skupaj po 5 €. Danes je s prodajo zaslužil 60 €. Koliko majic je prodal? 2 Zapi{i {tevila kot potence.

a) 125, 216, 144, 128, 256, 1331 b) 64, 900, 81, 1000, 121, 343 3 Izra~unaj.

a) 2 · 52 · 25 b) 32 · 4 · 22 c) 30 · 23 · 33 d) 42 · 100 · 2 4 V planinsko dru{tvo je v~lanjenih 110 ljudi. Za

obve{~anje o izletih imajo dogovorjen poseben sistem. Vsak ~lan dru{tva mora poklicati tri druge ~lane. Ko je vodja nedeljskega izleta Miha zbral vse informacije o pohodu, je po telefonu obvestil tri ~lane dru{tva. Vsak izmed njih je nato poklical tri druge ~lane in tako dalje. Koliko ~lanov je moralo posredovati sporo~ilo, da so za informacijo izvedeli vsi ~lani dru{tva? 5 Kaj je ve~?

a) 32 34 102 52

23 92 28 5 2

b) 62 15 43 42

33 51 26 24

6 Rezultat zapi{i s potenco.

a) b) c) d)

23 · 2 · 2 · 24 30 · 3 · 32 · 3 3 · 23 · 32 · 2 · 3 4 · 22 · 20 · 40 · 2

7 Koliko je 4 · 296? Ali je 896 ali 298?

Pojasni svoj odgovor.

(triindvajset)

Števila

Deljenje Kadar imamo dve naravni {tevili, lahko eno {tevilo vedno delimo z drugim {tevilom. ^e se deljenje ne izide, dobimo ostanek. Ostanek je vedno manj{i od delitelja. 37 : 7 = 5, ost. 2

ê delimo {tevilo s samim seboj, je koli~nik 1. 28 : 28 = 1 103 : 103 = 1 ê delimo {tevilo z 1, je koli~nik enak deljencu. 45 : 1 = 45 241 : 1 = 241 Deljenje z 0 ni mogo~e. ê 0 delimo s {tevilom, razli~nim od 0, je koli~nik 0: 0 : 75 = 0 Deljenje je obratna operacija množenju. Ker je 6 · 5 = 30, je 30 : 5 = 6 in 30 : 6 = 5. Pri deljenju ve~jih {tevil težko ra~unamo na pamet. Takrat uporabimo pisno deljenje. 74567 : 9 = 8285 72 25 18 76 72 47 45 2 ost.

Preizkus: 8285 · 9 74565

8285 · 9 + 2 = 74565 + 2 =74567

^e si spreten v ra~unanju, lahko pomožne ra~une od{tevanja izra~una{ na pamet in zapi{e{ le razlike. Ra~un bi zapisal takole: 74567 : 9 = 8285 25 76 47 2 ost.

Apollo 11 je bila prva vesoljska odprava s ~love{ko posadko, ki je pristala na Luni. Odprava je v vesolju preživela 703115 sekund. Koliko dni, ur, minut in sekund je to? Najprej izra~unajmo, koliko minut je to. Ker ima minuta 60 sekund, delimo zapisano vrednost s 60. 703115 : 60 = 11718 minute 103 431 111 515 35 ost. sekunde

11718 : 60 = 195 ure 571 318 18 ost. minute

Minute zapi{emo z urami, ure z dnevi.

Naredimo {e preizkus. (((8 · 24) + 3) · 60 + 18) · 60 + 35 = 703115 (Ra~un preveri sam.) dnevi

ure

minute sekunde

Odgovor: ^as odprave je bil 8 dni, 3 ure, 18 minut in 35 sekund.

({tiriindvajset)

195 : 24 = 8 dnevi 3 ost. ure

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Izra~unaj na pamet.

a) 89 : 9 47 : 7 103 : 9 125 : 8 237 : 7

1 Poi{~i manjkajo~a {tevila, da bodo ra~uni pravilni.

b) 426 : 8 629 : 5 928 : 4 531 : 6 738 : 9

2 Izra~unaj pisno in napravi preizkus.

a) 589 : 7 908 : 8 1190 : 6 2538 : 3 3876 : 4

b) 5094 : 3 38389 : 9 74082 : 5 80215 : 12 12009 : 25

c) 37020 : 27 328967 : 42 109068 : 27 780099 : 61 876000 : 98

d) 1093562 : 23 5428090 : 13 5928905 : 33 6008790 : 99 2083425 : 78

3 Deli

a) z 10: 50, 230, 1010, 120120, 99000 b) s 100: 4500, 10200, 87000, 808000, 1000000 4 S koliko mora{ pomnožiti razliko {tevil 325 in 78,

da dobi{ 3211? 5 Koliko dni, ur, minut in sekund je 563893 sekund? 6 Betonske plo{~e so kvadratne, s stranico 35 cm.

Dvori{~e je pravokotno, stranici merita 4 m 20 cm in 735 cm. Koliko betonskih plo{~ potrebujemo za tlakovanje dvori{~a? 7 Števila 435346, 963089 in 3086320 deli z 10,

102, 103, 104 in 105. Kolik{na sta koli~nik in ostanek? Zapi{i pravilo za deljnje naravnega {tevila s potencami {tevila 10.

·5+ 39 = + 256 = 3 ·

+ 389 = 11 · ·9+ 1000 =

2 Katero je najve~je naravno {tevilo, ki ima pri

deljenju s 23 koli~nik 19? Upo{tevaj, da je ostanek pri deljenju lahko razli~en od 0. 3 Na kmetiji so jeseni stiskali jabolka. Dobili so 182 ℓ

soka. Z njim so napolnili {tiri manj{e in eno ve~jo posodo. Koliko litrov soka je bilo v manj{i in koliko v ve~ji posodi, ~e je ve~ja posoda trikrat ve~ja od manj{e? 4 Vrt je pravokotne oblike.

Ena stranica je dolga 18 m, druga 990 cm. Okrog vrta je lesena ograja. Lesene deske so {iroke 6 cm, med deskami je 3 cm razmika, vi{ina ograje pa je 125 cm. Deske so pritrjene navpi~no. Koliko {tirimetrskih desk je bilo potrebnih za ograjo? 5 Tine se je odpravil po cesti pe{ iz kraja A. Vsako

uro prehodi 6 km. Iz kraja B, ki je od A oddaljen 40 km, se je Jure isto~asno odpeljal s kolesom. Tineta je sre~al po 2 urah. Koliko kilometrov je Jure prekolesaril vsako uro? A

6 S {tevilskimi primeri preveri trditvi.

Koli~nik se ne spremeni, ~e deljenec in delitelj pomnožimo z enakim {tevilom. Koli~nik se ne spremeni, ~e deljenec in delitelj delimo z enakim {tevilom.

(petindvajset)

Števila

Ra~unski zakoni ^e v ra~unih nastopa ve~ razli~nih operacij, nam pri ra~unanju pomagajo dolo~ena pravila ra~unanja.

V ra~unih smo uporabili oba zakona. (25 + 74) + 15 = = 74 + (25 + 15) = 74 + 40 = 114 4·3·5= = 3 · (4 · 5) = 3 · 20 = 60

Preveri zapisane enakosti.

Zakon o zamenjavi (komutativnostni zakon) Vsota se ne spremeni, ~e zamenjamo vrstni red se{tevancev: 5+3=3+5 Zmnožek se ne spremeni, ~e {tevili med seboj zamenjamo: 5·3=3·5 Zakon o združevanju (asociativnostni zakon) Pri se{tevanju treh {tevil je vseeno, ali se{tejemo najprej prvi dve {tevili ali drugi dve in temu pri{tejemo tretje {tevilo: (38 + 12) + 57 = 38 + (12 + 57) Leva stran: (38 + 12) + 57 = 50 + 57 = 107 Desna stran: 38 + (12 + 57) = 38 + 69 = 107 Pri množenju treh {tevil je vseeno, ali zmnožimo najprej prvi dve {tevili ali drugi dve in dobljeni zmnožek pomnožimo s tretjim {tevilom: (7 · 8) · 5 = 7 · (8 · 5) Leva stran: (7 · 8) · 5 = 56 · 5 = 280 Desna stran: 7 · (8 · 5) = 7 · 40 = 280 Za od{tevanje in deljenje zakona ne veljata in ra~unamo od leve proti desni. Velja pa: ^e vse od{tevance se{tejemo in od 98 – 45 – 33 = 98 – (45 + 33) – – – zmanj�evanca od{tejemo njihovo Leva stran: 98 45 33 = 53 33 = 20 Desna stran: 98 – (45 + 33) = 98 – 78 = 20 vsoto, je rezultat enak, kot ~e od{tevamo vsakega posebej.

Zakon o raz~lenjevanju je osnova pisnega mno`enja. 315 · 23 6300 945 7245 315 · 23 = 315 · (20 + 3) = = 315 · 20 + 315 · 3 = = 6300 + 945 = = 7245

Takemu preoblikovanju ra~unov pravimo izpostavljanje skupnega faktorja: 105 – 75 = 15 · 7 – 15 · 5 = 15 · (7 – 5) = 15 · 2 = 30

({estindvajset)

88 : 4 : 2 = 88 : (4 · 2) Leva stran: 88 : 4 : 2 = 22 : 2 =11 Desna stran: 88 : (4 · 2) = 88 : 8 =11

^e vse delitelje zmno`imo in deljenec delimo z njihovim zmno`kom, je rezultat enak, kot ~e delimo z vsakim posebej.

Zakon o raz~lenjevanju (distributivnostni zakon) Zmnožek vsote ali razlike dveh {tevil s tretjim {tevilom je enak vsoti ali razliki zmnožkov teh dveh {tevil s tretjim {tevilom: (12 + 8) · 7 = 12 · 7 + 8 · 7 (20 – 6) · 2 = 20 · 2 – 6 · 2 Zakon velja tudi za deljenje: (14 + 8) : 2 = 14 : 2 + 8 : 2 (24 – 15) : 3 = 24 : 3 – 15 : 3 Zakone uporabljamo za lažje ra~unanje: 360 + 240 = 60 · 6 + 60 · 4 = 60 · (6+4) = 60 · 10 = 600 Vsem ~lenom poi{~emo skupni delitelj.

Uporabimo zakon o raz~lenjevanju in zapi{emo skupni delitelj pred vsoto preostalih ~lenov.

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Izra~unaj.

1 Pri množenju ve~jih {tevil na pamet si lahko

a) 3 · (3 + 17) – 8 · (22 – 12) (11 + 33) · 2 + (12 + 10) · 5 (37 – 7) · 7 – (9 + 9) · 9 (42 – 32) · 7 + 8 · (10 + 5) b) 5 · 9 + 12 · 5 + 19 · 5 7 · 15 + 8 · 7 – 7 · 6 121 · 33 + 21 · 121 – 34 · 121 54 · 68 + 212 · 54 – 80 · 54 2 Ugotovi, v katerih primerih enakosti ne veljajo. Pri

teh primerih zapi{i oklepaje. a) 120 : 3 : 20 = 120 : (3 · 20) b) 76 · 143 = 76 · (150 – 7) c) 236 – 98 – 89 = 236 – (98 – 89) d) 78 · 54 = (70 + 8) · 50 + 4 e) (102 : 4) : 2 = 102 : 4 · 2 f) (56 – 12) + 34 – 47 = 56 + 34 – (12 + 47) 3 Enega od faktorjev zapi{i kot vsoto in izra~unaj

~im bolj spretno. a) 18 · 9 22 · 15 11 · 207 24 · 21

b) 4 · 325 27 · 12 45 · 25 15 · 18

4 Izra~unaj vsoto dvakratnika, trikratnika in

{tirikratnika {tevila 27. Najmanj koliko operacij potrebuje{ za izra~un? 5 Oglej si diagram. Katere operacije opisuje?

pomagamo takole: 15 · 16 = 15 · 2 · 8 = 30 · 8 = 240 Postopek opi{i z besedami. Na podoben na~in izra~unaj {e: a) 32 · 25 b) 15 · 36 45 · 12 72 · 25 25 · 16 125 · 14 2 Izpostavi skupni faktor in izra~unaj.

a) 117 + 99 225 – 175 104 + 720 169 – 91

b) 45 + 81 + 99 + 180 84 + 49 – 35 + 28 54 + 36 + 12 – 24 121 – 33 + 99 – 110

3 Izra~unaj spretno.

a) 15 + 17 + 18 + 65 + 73 + 82 b) 43 + 28 + 17 + 66 + 102 + 24 c) 4 · 8 · 2 · 5 · 125 · 25 d) 5 · 17 · 4 · 8 · 15 · 2 4 36 : 9 = 4. Za koliko se spremeni koli~nik,

a) ~e delitelj zmanj{a{ za 3? b) ~e je delitelj 3-krat manj{i? c) ~e je deljenec 3-krat manj{i? d) ~e sta deljenec in delitelj 3-krat manj{a? 5 4 · 5 = 20. Za koliko se spremeni produkt,

a) ~e en faktor pove~a{ za 2? b) ~e je en faktor 2-krat ve~ji? c) ~e sta oba faktorja 2-krat ve~ja? 6 Pokaži s primeri.

6 Za na{tete pare operacij izdelaj diagram, kot je v

nalogi 5. Za~etno {tevilo si izberi sam. a) · 3, · 5 b) + 8, + 12 : 6, : 2 + 12, – 10 · 4, : 4 – 9, – 11 : 2, · 4 – 6, + 13

a) Vsota dveh ve~kratnikov istega {tevila je prav tako ve~kratnik tega {tevila. b) Razlika dveh ve~kratnikov istega {tevila je prav tako ve~kratnik tega {tevila. c) Zmnožek dveh ve~kratnikov istega {tevila je ve~kratnik tega {tevila. d) Koli~nik dveh ve~kratnikov istega {tevila ni vedno ve~kratnik tega {tevila.

(sedemindvajset)

Števila

Delitelji {tevil Ali si že sli{al koga re~i, da bo nekaj "razbil na prafaktorje"? Prafaktorji so v matematiki {tevila, ki se jih ne da {e bolj "razbiti".

Miha ima 24 kart. Koliko prijateljev se lahko igra, ~e mora vsak dobiti enako {tevilo kart? Število 24 bomo zapisali kot zmnožek dveh faktorjev. Prvi bo povedal, koliko prijateljev igra, drugi pa, koliko kart ima vsak. 24 = 1 · 24 24 = 2 · 12 24 = 3 · 8 24 = 4 · 6 24 = 6 · 4 24 = 8 · 3 24 = 12 · 2 24 = 24 · 1

Tu je Miha {e sam.

Tu se igra 6 otrok.

Število prijateljev mora biti delitelj {tevila 24. Delitelji {tevila 24 so: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

24 prijateljev in vsak ima po eno karto

Prikažimo {e druga~e. Število 24 razcepimo na zmnožek faktorjev. [tevilo zapi{emo kot zmnožek. Kon~amo, ko {tevilo ni ve~ zmnožek dveh faktorjev, ki sta razli~na od 1.

drevesni prikaz

list Vse delitelje {tevila 48 dobimo tako, da zapi{emo vsa razli~na {tevila in zmnožke v listih: 2, 3, 6, 12, 24, 2 · 2, 2 · 2 · 2, 2 · 2 · 2 · 2. Ne pozabimo {e na 1 in {tevilo samo, 48.

Število je delitelj danega {tevila, ko se deljenje izide in je ostanek 0. Število 6 je delitelj 24, saj je 24 : 6 = 4. Re~emo tudi: Število 24 je deljivo s 6. Število 0 je deljivo z vsakim {tevilom, razli~nim od 0. Koli~nik je 0. Poi{~imo delitelje {tevila 36 in 48. Delitelji 36 so: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Delitelji 48 so: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 Števili 36 in 48 imata skupne delitelje. To so {tevila, ki delijo obe {tevili: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najve~ji skupni delitelj {tevil 36 in 48 je 12. Najve~ji skupni delitelj dveh {tevil je {tevilo, ki deli obe {tevili in je med tak{nimi {tevili najve~je. ^e je najve~ji skupni delitelj enak 1, pravimo, da sta si {tevili tuji.

17 = 1 · 17 To je edini zapis {tevila 17 v obliki zmno`ka dveh naravnih {tevil. Zato je 17 pra{tevilo.

(osemindvajset)

Naravno {tevilo je pra{tevilo, ~e ima natanko dva delitelja, samega sebe in {tevilo 1. Ostala naravna {tevila imenujemo sestavljena {tevila. Vsako naravno {tevilo lahko zapi{emo kot zmnožek pra{tevil. Pravimo jim prafaktorji, zapisu pa razcep na prafaktorje.

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Z drevesnim prikazom poi{~i razcep {tevil

1 Brez ra~unanja pokaži, da sta zmnožka enaka.

a) 28 · 35 in 20 · 49 b) 35 · 36 in 42 · 30 c) 210 · 88 in 77 · 240

98, 168 in 1800. 2 Poi{~i vse delitelje {tevil.

a) 36, 48, 56 b) 100, 96, 85 c) 240, 125, 270

2 Katero {tevilo ima za delitelje samo {tevila

1, 2, 3 in 6?

3 Katero {tevilo ima najve~ deliteljev?

a) 432, 680, 1025, 227, 505 b) 325, 442, 620, 200, 892 4 Med {tevili, ki so manj{a od 100, poi{~i nekaj

tak{nih, ki imajo natanko tri delitelje. Zapi{i njihov razcep. Kako bi z besedami opisal skupno lastnost teh {tevil? 5 Poi{~i skupne delitelje {tevil.

a) 24, 66 b) 35, 77 c) 120, 180 d) 124, 256

3 Brez deljenja pokaži, da {tevilo 36 deli 2592. 4 Kvader ima ploskve sestavljene iz 12, 18 in 6

enotskih kock. Kolik{ne so dolžine stranic? 5 Poi{~i {tevili, ki imata

a) dva delitelja b) tri delitelje c) {tiri delitelje 6 Zapi{i vse delitelje {tevila 48. Uredi jih po velikosti.

Nato jih zmnoži v parih, prvega in zadnjega, drugega in predzadnjega ... Kaj lahko pove{ o zmnožkih, ki jih dobi{?

6 Ugotovi, ali sta si {tevili tuji.

a) 35 in 77 b) 17 in 51 c) 7 in 34 d) 13 in 36

Ali podobna ugotovitev velja tudi za druga {tevila? Preveri {e za {tevili 70 in 90.

7 Tilen gradi enako visoke stolpe iz kock. Ima 80

enakih kock. Koliko razli~nih postavitev lahko naredi, ~e vsaki~ porabi vse kocke?

7 Pravokotnik s stranicama 135 mm in 81 mm

bi radi razrezali na enako velike pravokotnike. Zapi{i nekaj mo`nosti. Koliko pravokotnikov dobi{ in kako dolgi sta stranici? Kolik{ni sta dolžini najve~jega možnega pravokotnika? b = 135 mm

8 Za praznovanje rojstnega dne mama pripravlja

sadno solato. V vsako skodelico bo dala enako {tevilo jagod, malin in ko{~kov narezanega ananasa. Ima 60 jagod, 54 malin in 36 narezanih kosov ananasa. Koliko skodelic lahko pripravi, ~e želi razdeliti vse sadeže?

a = 81 mm

(devetindvajset)

Ĺ tevila

Ve~kratniki {tevil Najve~jega skupnega ve~kratnika ni. Vedno lahko {tevilo pomnoĹžimo s {e ve~jim {tevilom in dobimo nov, ve~ji ve~kratnik. Razmisli, koliko je ve~kratnikov nekega {tevila.

Ve~kratniki {tevila 3: 3, 6, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... Ve~kratniki {tevila 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ... Skupni ve~kratnik dveh {tevil je {tevilo, ki je ve~kratnik obeh {tevil hkrati. Skupni ve~kratniki {tevil 3 in 4 so 12, 24, ... Vsi skupni ve~kratniki {tevil 3 in 4 so ve~kratniki {tevila 12. Ve~kratnik {tevila je produkt tega {tevila s poljubnim naravnim {tevilom. Tabelirajmo prvih pet ve~kratnikov {tevil 36 in 48.

Skupni ve~kratnik dveh {tevil je {tevilo, ki je deljivo z obema {teviloma hkrati.

1*a

2*a

3*a

4*a

5*a

108

144

180

144

192

240

Najve~jega skupnega ve~kratnika ni. Vedno lahko pomnoĹžimo z ve~jim {tevilom kot prej in dobimo ve~ji ve~kratnik {tevila. Prvi, torej najmanj{i skupni ve~kratnik {tevil je 144. Zapi{emo v(36, 48) = 144 S kon~ne postaje avtobus {tevilka 3 odpelje vsakih 12 minut, avtobus {tevilka 7 pa vsakih 14 minut. Ob 10h sta odpeljala oba avtobusa hkrati. Kdaj bosta ponovno odpeljala hkrati? Avtobus {tevilka 3 odpelje ob 10:00, 10:12, 10:24, ... Avtobus {tevilka 7 odpelje ob 10:00, 10:14, 10:28, ... Prvi skupni ve~kratnik {tevila 12 in 14 bo predstavljal {tevilo minut do naslednjega skupnega odhoda. a

1*a

2*a

3*a

4*a

5*a

6*a

7*a

^ez 84 minut bosta ponovno odpeljala skupaj. To bo ob 11:24. Vsakih 84 minut odpeljeta skupaj s kon~ne postaje.

(trideset)

Naloge 1 Izpi{i ve~kratnike {tevila

a) 8: 28, 32, 42, 48, 96, 108, 116 b) 15: 35, 60, 75, 105, 125, 230 c) 24: 12, 24, 40, 72, 120, 200 2 Zapi{i vse ve~kratnike {tevil 6, 8, 15 in 20, ki so

ve~ji od 40 in manj{i od 110. 3 Zapi{i osem ve~kratnikov {tevil in med njimi

poi{~i skupni ve~kratnik. Nato zapi{i 5 nadaljnih skupnih ve~kratnikov. a) 3, 8 b) 2, 3, 4 5, 7 2, 5, 10 6, 9 3, 4, 6 8, 10 1, 5, 6 4 Številom poi{~i najmanj{i skupni ve~kratnik.

a) 2, 5 b) 7, 9 c) 9, 12 d) 8, 18 5 Preveri zapisane trditve.

Število 50 je ve~kratnik {tevila 5, zato je {tevilo 5 delitelj {tevila 100. Število 50 je ve~kratnik {tevila 5, zato je {tevilo 50 delitelj {tevila 5. Število 5 je delitelj {tevila 50, zato je 50 ve~kratnik {tevila 5. 6 Katere izjave so pravilne?

121 je ve~kratnik 11. 5 je delitelj 5. 7 in 5 sta tuji si {tevili. Skupni ve~kratnik 5 in 7 je 70. Najve~ji skupni delitelj 5 in 20 je 20. 20 deli 10.

Re{ujemo probleme 1 Zapi{i vse pare {tevil, za katere velja, da je njihov

najmanj{i skupni ve~kratnik enak: a) 24 b) 28 c) 420 2 Ana in Janez se sre~ujeta v plesnem klubu. Ana

prihaja vsak {esti dan, Janez vsak osmi dan. V petek sta se sre~ala. Na kateri dan se bosta ponovno sre~ala v klubu? ^ez koliko tednov bosta ponovno skupaj v petek? 3 Tja{a je na listek

zapisovala {tevila v pet stolpcev po nekem pravilu. Bi znal nadaljevati? Katero pravilo je upo{tevala? Zapi{i {e pet naslednjih vrstic. Namig: Primerjaj vrstice med seboj. V katerem stolpcu bi se pojavilo {tevilo 82? V katerem stolpcu bi se pojavilo {tevilo 902? Kako dolo~i{, v katerem stolpcu bo {tevilo? 4 V katero smer se vrti kolo C, ~e se kolo A vrti v

smeri urnega kazalca. Ko kolo B zavrtimo {estkrat, kolikokrat se zavrti kolo A? Kolikokrat se zavrti kolo B, ko se kolo C zavrti enkrat? Kolo A ima 18 zobcev, kolo B 12 in kolo C 24.

7 Poi{~i najmanj{i skupni ve~kratnik {tevil 1, 2, 3,

4, 5 in 6. Zapi{i postopek, ki ga bo{ uporabil pri tem.

5 Z zgledi preveri trditev.

Skupni ve~kratnik dveh tujih si {tevil je enak produktu teh dveh {tevil.

(enaintrideset)

Števila

Pravila deljivosti Ker znamo po{tevanko, lahko za {tevila do 100 takoj povemo, kdaj se bo deljenje iz{lo. ^e so {tevila velika, je to težje. Spoznali bomo nekaj pravil deljivosti. [tevilo 4362 je deljivo z 2, ker se kon~a z 2. 4362 : 2 = 2181 [tevilo 4362 je deljivo s 3, saj je 4 + 3 + 6 + 2 = 15 in 15 je deljivo s 3. 4362 : 3 = 1454 [tevila 1024, 232 in 8704 so deljiva s 4, saj je 24, 32 in 4 deljivo s 4. [tevila 1800, 5064 in 10048 so deljiva z 8. Zakaj? Poi{~i koli~nike za vse napisane primere.

Vsi ve~kratniki {tevila 5 so deljivi s 5. Prvih nekaj ve~kratnikov je 5, 10, 15, 20, 25, … Katere {tevke so na mestu enic? [tevila 432, 853, 1012 in 5616 deli z 2. Kdaj pri deljenju ni ostanka? Zapi{imo {tevilo kot vsoto potenc {tevila 10. 5616 = 5 · 103 + 6 · 102 + 1 · 10 + 6 Zmnožki s potencami {tevila 10 so deljivi z 2. Zato je dano {tevilo deljivo z 2 takrat, ko je {tevka na zadnjem mestu deljiva z 2. 5616 je deljivo z 2. Nadaljujmo sklepanje: 100, 1000 in vsi njuni ve~kratniki so deljivi s 4. Ker je 16 deljivo s 4, je 5616 deljivo s 4. Število je deljivo s 4 takrat, ko je vsota zadnjih dveh se{tevancev, torej {tevilka iz zadnjih dveh {tevk, deljiva s 4. Podobno sklepamo za deljivost z 8. 1000 in vsi ve~kratniki so deljivi z 8. ^e je {tevilo deljivo z 8, mora biti z 8 deljivo {tevilo, ki ga predstavljajo zadnje tri {tevke {tevila. Ker je 616 deljivo z 8, je 5616 deljivo z 8. Zapi{imo {tevilo 582 kot vsoto potenc in uporabimo {e zakon o raz~lenjevanju. 582 = 5 · 100 + 8 · 10 + 2 = 5 · (99 + 1) + 8 · (9 +1) +2 = = 5 · 99 + 5 · 1 + 8 · 9 + 8 · 1 +2 = 5 · 99 + 8 · 9 + (5 + 8 + 2) Zapisana vsota je deljiva z 9, ~e je vsota {tevk {tevila deljiva z 9, saj sta produkta deljiva z 9. Isti sklep velja za deljivost s 3. Preverimo na primerih: ^e je {tevilo deljivo z 2 in s 3, potem je deljivo s 6. 312 je deljivo z 2 in s 3. 312 : 6 = 56 1022 je deljivo z 2 in ni deljivo s 3. 1022 : 6 = 17 ost. 2

^e je b deljiv z a, re~emo, da {tevilo a deli {tevilo b. Zapi{emo a � b.

(dvaintrideset)

Zakaj je tako, se {e spomni{. ^e {tevilo najprej delimo z 2 in nato koli~nik delimo s 3, je to enako, kot ~e bi delili s produktom 2 in 3. 312 : 2 : 3 = 312 : (2 · 3) = 312 : 6 Pravila za deljivost naravnih {tevil 1 – Vsako {tevilo je deljivo z 1. 2 – [tevilo je deljivo z 2, ~e so enice {tevila deljive z 2. 3 – [tevilo je deljivo s 3, ~e je vsota njegovih {tevk deljiva s 3 4 – [tevilo je deljivo s 4, ~e je s 4 deljivo {tevilo iz zadnjih dveh {tevk tega {tevila (desetice in enice). 5 – [tevilo je deljivo s 5, ~e so enice {tevila 0 ali 5. 6 – [tevilo je deljivo s 6, ~e je deljivo z 2 in s 3. 8 – [tevilo je deljivo z 8, ~e zadnje tri {tevke predstavljajo {tevilo, deljivo z 8. 9 – [tevilo je deljivo z 9, ~e je vsota njegovih {tevk deljiva z 9. 10 – [tevilo je deljivo z 10, ~e ima na mestu enic {tevko 0.

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Preveri deljivost {tevil. ^e so {tevila deljiva, poi{~i

{e koli~nik. a) Ali so 890, 123402, 446129, 230003 deljiva z 2? b) Ali so 198, 31068, 78362, 507892 deljiva s 3? c) Ali so 832, 10203, 59231, 832410 deljiva s 5? d) Ali so 1032, 78713, 154008, 32949 deljiva z 9? 2 Poi{~i najmanj{e trimestno {tevilo, ki ga deli:

a) 2 b) 3

c) 5 d) 9

1 Zapi{i vsaj 6 {tevil, ki so deljiva s 25. Oglej si

{tevke, s katerimi so {tevila zapisana. Kako bi opisal {tevila, ki so deljiva s 25? Katera od {tevil 14485, 59025, 12145 in 25255 so deljiva s 25? 2 Razmisli, za koliko moramo pove~ati deljenec, da

se koli~nik pove~a za 1. 3 U~iteljica je svojim u~encem zastavila naslednji

problem: "Na listku imam zapisano trimestno {tevilo. Ima 2 stotici, 4 enice in nekaj desetic. ^e mu pri{tejemo 329, dobimo {tevilo 5B3, ki je deljivo s 3. Katero {tevilo imam zapisano?"

3 Zapi{i vse moĹžne {tevilke, ki jih lahko vstavi{ v

kvadratke tako, da bodo dobljena ďż˝tevila a) deljiva s 3: 77 4, 10 24 b) deljiva s 5: 23 0, 1999 c) deljiva s 3: 4 22, 2014 d) deljiva z 9: 8 11, 6 7 8 4 Razmisli o naslednjih trditvah. Zapi{i nekaj

primerov, ki trditvama ustrezajo. a) [tevilo, ki je deljivo z 2 in 5, je deljivo tudi z 10. b) Soda {tevila so deljiva z 2.

Je pravilen odgovor en sam? Katero je najve~je {tevilo, ki je re{itev u~itelji~ine uganke?

5 Katero {tevko {tevila 30234 lahko spremeni{, da

dobi{ {tevilo, deljivo z 9? Zapi{i nekaj re{itev.

4 Razmisli, ali velja trditev:

[tevilo, ki je deljivo z 8, je deljivo tudi s 4. Zapi{i nekaj {tevil, ki potrjujejo tvojo ugotovitev.

6 Poi{~i vsaj 5 {tevil, ve~jih od 100, ki so deljiva s 3

in se zapi{ejo s samimi enakimi {tevkami. 7 Poi{~i najmanj{e {tevilo, ki ga delijo:

a) 2, 3 b) 3, 5 c) 3, 5, 10 d) 2, 3, 5 8

5 Lina je imela v zvezku pravilno napisano doma~o

nalogo. Po nesre~i je po zvezku polila sok, tako da se nekaterih {tevk zdaj ne vidi. Katero {tevilo je bilo zapisano?

Zapi{i {tiri trimestna {tevila, ki so deljiva z 2 in s 3. Nato preveri, ali so deljiva s 6.

Ali je re{itev morda ve~?

(triintrideset)

Števila

[tevilski izrazi [tevilski izraz je niz {tevil, operacij in oklepajev, zapisanih v pravilnem vrstnem redu.

Operacije in {tevila, zapisana v "matemati~nem jeziku", poimenujemo {tevilski izraz.

Vrednost izraza je {tevilo, ki ga dobimo, ko izra~unamo vse operacije v izrazu. Vedno izra~unamo najprej izraze znotraj oklepajev. ^e v izrazu ni oklepajev, najprej potenciramo, nato množimo in delimo ter nazadnje se{tevamo in od{tevamo. ^e sta operaciji enakovredni, potem ra~unamo od leve proti desni.

Drugemu ra~unu sam nari�i prikaz.

To je prikaz prvega ra~una.

Mno`imo znotraj oklepajev.

= 100 : 25 + 2 · (4 + 6) : (2 + 18) =

Delimo. Se{tevamo znotraj oklepajev.

= 4 + 2 · 10 : 20 = 4 + 1 = 5

Mno`imo in delimo. Ker sta operaciji enakovredni, ju izvedemo od leve proti desni.

(3 · 5 + 6 · (4 + 5) : 2) – 23 · 5 =

Se{tejemo v oklepaju. Potenciramo.

= (15 + 6 · 9 : 2) – 8 · 5 =

Mno`imo in delimo. Ker sta operaciji enakovredni, ju izvedemo od leve proti desni.

+ 10

100 : 25 + 2 · (4 + 3 · 2) : (2 + 3 · 6) =

= (15 + 27) – 40 = 2

+ 100

1 + 5

Manj{i hotel ima 12 dvoposteljnih in 7 enoposteljnih sob. V 14-dnevnih po~itnicah je bil hotel polno zaseden. Koliko so pla~ali vsi gostje skupaj?

Cena na dan

Enoposteljna

Dvoposteljna

45 €

72 €

Besedilno nalogo zapi{emo v matemati~nem jeziku s {tevilskim izrazom. 7 enoposteljnih sob

12 dvoposteljnih sob 14 dni

Zapi{emo {tevilski (7 izraz: · 45 € + 12 · 72 €) · 14 =

= 1179 €

(315 € +

864 €) · 14 =

Odgovor: Vsi gostje skupaj so pla~ali 16506 €.

({tiriintrideset)

· 14 = 16506 €

Naloge

Re{ujemo probleme Besedilni nalogi zapi{i {tevilski izraz, ki ustreza besedilu, ga izra~unaj in zapi{i odgovor.

1 Izra~unaj.

1 Na za~etni postaji je v avtobus vstopilo trikrat

a) (36 – 13 + 6 : 3) : 3 + 6 + 24 : 6 (99 : 11 + 21) · (4 + 8 : 2) 6 + 3 · 7 : 3 + 65 – 34 (3 · 5 – 6) · 8 · 2 · (13 – 9 : 3) b) 12 · 5 – 8 · (14 – 2 · 3) : 4 + 6 · 2 64 : 4 : 2 · 3 – 6 : 2 ((96 : 12) : 4) : 2 + (60 · ( 18 – 15)) – 90 100 – 48 : (42 – 4 ) + 3 · (20 + 1)

ve~ žensk kot mo{kih. Na prvi postaji je vstopilo 5 mo{kih in 3 ženske, izstopilo pa 6 mo{kih. Na drugi postaji je vstopilo 6 mo{kih in pol toliko žensk, izstopilo pa je 8 ljudi. Koliko potnikov je trenutno na avtobusu, ~e je na za~etni postaji vstopilo 7 mo{kih? Koliko mo{kih in koliko žensk je na avtobusu? 2 Od {tirikratnika {tevila 8 od{teje{ polovico tega

zmnožka. Katero {tevilo si dobil?

2 Razliko zmnožka {tevil 66 in 11 in njunega

koli~nika pomnoži z 8.

3 Izra~unaj.

3 Kolik{na je razlika zmnožka {tevil 67 in 45 ter

koli~nika {tevil 999 in 37? 4 Izra~unaj zmnožek vsote in razlike {tevil 125 in 75. 5 Zmnožek prvih treh lihih {tevil zmanj{aj za petino. 6 Anže zaliva svojo mo~virsko rastlino z deževnico

vsak tretji dan od 1. maja do 30. septembra. Vsaki~ porabi 25 dℓ vode. Koliko deževnice porabi za zalivanje v tem obdobju?

7 Zapi{i {tevilski izraz, ki pripada prikazu, in ga

izra~unaj. 3 2

– 5

4 Prepi{i ra~une brez nepotrebnih oklepajev in jih

izra~unaj. a) (3 · (14 – 7) – ((2 + 3) · 2) + 5) · (3 + (3 · 2)) (5 · (6 + 7) – 3 · (12 – 8)) + (15 + (12 : 3)) ( 8 + ( 12 – 3 · 3) – 5) : (9 : 3) (23 – 15) + (44 – 4 · 4) – (25 – 5) : 5 b) 7 + 8 · (5 – 3)2 – (12 : (4 · 3)) (34 + 12 – (45 – 18)) + (2 · 3 · 4) : 8 (18 : (6 : 3) : 3 · ( (2 + 2 · 4) : 5)) + (8 · 3 – 4) (2 + 23) + 4 · 32 – (12 : 3) : (2 · 2) 5 Arne je prehodil 350 metrov poti do {ole. Ko bo

– +

a) ((13 – 5) : (18 : 9)) · (3 · 9 – (4 · 6 – 21 : 7)) 11 – ((17 – 9) – (12 : 4 – 3) – 2 · 2) : (16 – 3 · 4) (11 – 2 · (5 – 3)) ∙ (5 + 2 · 3 – 8 ∙ (10 – 3 : 3)) (12 – 2 · 3 – 8 : 2) · ((30 : 2 – 2 · 3) · 10 – 9) b) ((112 – 5 · 21) : (7 · 6 + 32 · 2)) · 20 ((6 · (9 – 3) : 3 · 4) · (8 – 30 – 3)) · (12 – 4 · 2) (33 – 7 · 3) : 3 + 23 · (8 + 2 · (23 + 32)) 45 + 4 · ((8 – 3 · 2)2 + 30 · (2 + 22))

prehodil {e pol toliko, bo ravno na polovici poti. Koliko je dolga njegova pot do {ole? 6 Od katerega {tevila mora{ od{teti trikratnik {tevila

–

8, da bo{ dobil kvadrat {tevila 9? 7 Zapi{i besedilno nalogo, ki ustreza {tevilskemu izrazu.

a) 4 · (5 + 2) – 7 b) (8 – 3) · 12 + (4 + 5) · 6

(petintrideset)

Števila

Re{ujemo besedilne naloge Pri re{evanju problemov so pomembni: 1. razumevanje problema in nazorna predstavitev 2. postopek re{evanja 3. kriti~na presoja re{itve in preizkus

O~e je kupil televizor, ki stane 870 €. Polovico tega zneska je pla~al takoj. Preostanek bo odpla~al v 6 enakih mese~nih obrokih. Kolik{en bo obrok, ~e je televizor zaradi obro~nega odpla~evanja dražji za 45 €? 1. Kaj vemo Poznamo ceno televizorja, vemo, koliko je o~e pla~al takoj, koliko se podraži televizor zaradi obro~nega pla~ila ter poznamo {tevilo obrokov. 2. Postopek re{evanja Izra~unamo, koliko mora o~e {e pla~ati. Ker bo pla~eval v obrokih, se je vrednost televizorja pove~ala za 45 €. (870 € – (870 € : 2)) + 45 € = 435 € + 45 € = 480 € Ker bo o~e pla~al preostanek v {estih enakih mese~nih obrokih, bo moral vsak mesec pla~ati 480 € : 6 = 80 €. 3. Preverimo pravilnost re{itve s premislekom O~e bo skupaj pla~al za televizor 435 € + 6 · 80 € = 435 € + 480 € = 915 € Ker je televizor zaradi obro~nega pla~evanja dražji za 45 €, je njegova vrednost 915 € – 45 € = 870 €. To pa je res za~etna cena iz naloge. Odgovor: O~etov mese~ni obrok bo 80 €. Tri kocke in dva valja tehtajo skupaj 32 dag. [tiri kocke in trije valji tehtajo skupaj 44 dag. Koliko tehta kocka in koliko valj?

1. Izpi{imo si podatke. 2. S pomo~jo dveh razli~nih tehtanj moramo ugotoviti, koliko tehtata kocka in valj. Nari{emo skico.

= 32 dag = 44 dag Sklepamo:

= 44 dag – 32 dag = 12 dag

32 dag

= ? dag = ? dag

= 2 · 12 dag +

= 32 dag

= 32 dag – 24 dag = 8 dag

= 12 dag – 8 dag = 4 dag

Vse skupaj tehta 44 dag. 3. Ali je re{itev pravilna?

Rezultat vstavimo v oba ra~una tehtanj in preverimo pravilnost. 3 · 8 dag + 2 · 4 dag = 24 dag + 8 dag = 32 dag 4 · 8 dag + 3 · 4 dag = 32 dag + 12 dag = 44 dag Res smo dobili za~etne podatke iz naloge. Odgovor: Kocka tehta 8 dag, valj pa 4 dag.

({estintrideset)

Naloge 1 Mama želi okrog cvetli~ne gredice postaviti

ograjo iz de{~ic. O~e ji bo pomagal. Ima tri deske, dolge 144 cm, 240 cm in 336 cm. Deske bo razžagal na enako dolge, ~im dalj{e kose. Kako dolge kose naj odmeri? Koliko de{~ic bo dobil? Koliko ~asa bo žagal, ~e vsaki~ žaga 3 minute? 2 Okrog 5 m dolgega in 3 m {irokega cvetli~nega

nasada je meter {iroka sprehajalna pot. Koliko kvadratnih plo{~ s stranico 20 cm je položenih po poti? Nari{i si skico. 3 Sladoledar ponuja 12 razli~nih okusov sladoleda.

Koliko razli~nih sladoledov lahko pripravi, ~e da v vsak kornet dve kepici sladoleda razli~nega okusa? Koliko pa je razli~nih sladoledov s tremi razli~nimi kepicami? 4 V trgovskem centru imajo narisan na~rt trgovin.

Re{ujemo probleme 1 Peti in {esti razredi so od{li na izlet. Peljali so se

s tremi avtobusi z 52 sedeži. U~itelji so u~ence razdelili tako, da je bilo na vsakem avtobusu 5 prostih sedežev. Na dan odhoda so manjkali 3 u~enci. Koliko u~encev petih in {estih razredov skupaj je na {oli? 2 Planinec Janez je od{el na izlet. Po hribu navzgor

hodi vedno s hitrostjo 2 km/h, po isti poti se spu{~a s hitrostjo 6 km/h. Pot na vrh je dolga 6 km. Koliko ~asa je trajal izlet, ~e je planinec Janez na vrhu po~ival pol ure? 3 V razredu je 27 u~encev. Pri uri matematike so

re{evali dve nalogi. Samo prvo nalogo je pravilno re{ilo 7 u~encev, 2 u~enca nista pravilno re{ila nobene, 13 u~encev je pravilno re{ilo obe. Koliko u~encev je re{ilo drugo nalogo? 4 V dveh posodah je skupaj 1420 mℓ vode. ^e iz

prve posode odlijemo 170 mℓ in iz druge posode 250 mℓ, je v posodah enaka koli~ina vode.

Radi bi ga pobarvali tako, da dve sosednji povr{ini ne bi bili pobarvani z enako barvo. Najmanj koliko barv lahko uporabijo? Preri{i na~rt v zvezek in ga pobarvaj. 5 Kova~ je dobil 5 enakih kosov verige, sestavljenih

iz treh ~lenov. Iz njih je moral sestaviti verigo.

Najmanj koliko ~lenov je moral razkovati?

Koliko vode je na za~etku v prvi in koliko v drugi posodi? 5 Dolžina pravokotne mize je trikrat ve~ja od njene

{irine. ^e bi bila miza za 3 m kraj{a in za 3 m {ir{a, bi bila kvadratne oblike. Kolik{na je {irina in kolik{na dolžina pravokotne mize? 6 Sredi okroglega ribnika raste ~arobni lokvanjev

list. Vsak dan podvoji svojo velikost. ^etrti dan je pokril ~etrtino ribnika. Kdaj bo pokril celotno povr{ino?

(sedemintrideset)

Števila

Izjave Ljubljana je glavno mesto Slovenije. Danes dežuje. O~e je ve~ji od mame. Vse to so vsakdanje izjave, pravilne ali nepravilne.

Izjava je trditev, ki je lahko pravilna ali nepravilna. Katera od izjav je pravilna? 0 ni naravno {tevilo. [tevilo 13 je deljivo s 3.

[tevilo 5 je manj{e od 10. 3 je predhodnik 2.

Izjavna oblika je zapis, v katerega vstavljamo razli~ne vrednosti in tako dobimo izjave. Dobljena izjava je lahko za nekatere vrednosti pravilna, za nekatere pa nepravilna. To so izjavne oblike: deli 10. ima dolge lase. Neznani vrednosti x kraj{e re~emo neznanka.

Peter trenira = 15 15 –

Namesto vstavljamo razli~ne besede ali {tevila. Glede na vstavljeno vrednost je izjava pravilna ali nepravilna. Množico {tevil, med katerimi i{~emo re{itev ena~be, imenujemo osnovna množica ali univerzalna množica. Ozna~imo jo z U. Ali katero izmed {tevil iz množice U = �2, 3, 6, 9� ustreza ena~bi x · 5 – 12 = 18? V ena~bo vstavimo vsako {tevilo. Dobimo {tiri razli~ne izjave. ^e je izjava z vstavljenim {tevilom pravilna, je {tevilo re{itev ena~be.

^e izjava ni pravilna za nobeno vstavljeno {tevilo, ena~ba nima re{itve. 3 + 18 : x = 11 in U = ℕ

R=��

(osemintrideset)

x = 2 2 · 5 – 12 = 18

Ker 10 – 12  18, je izjava nepravilna.

x = 3 3 · 5 – 12 = 18 x = 6 6 · 5 – 12 = 18 x = 9 9 · 5 – 12 = 18

Ker 15 – 12  18, je izjava nepravilna. Ker 30 – 12 = 18, je izjava pravilna. Ker 45 – 12  18, je izjava nepravilna.

Množica re{itev ena~be x · 5 – 12 = 18 je R = �6�. Ena~be so izjavne oblike, kjer nastopata neznana vrednost x in ena~aj. Na mesto neznane vrednosti x vstavljamo {tevila. [tevilo, pri katerem je dobljena izjava pravilna, je re{itev ena~be. Pravimo, da {tevilo ustreza ali zado{~a ena~bi. Vsa {tevila, ki zado{~ajo ena~bi, sestavljajo množico re{itev ena~be.

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Ali je stavek izjava? ^e je izjava, zapi{i, ali je

pravilna ali nepravilna. a) Slovenija je država. b) Kako si? c) Pazi! d) 0 je sodo {tevilo. e) Dvakratnik {tevila 5 je deljiv s 4. f) 10000 : 1000 = 100 g) 10 < 100 h) 7 · x = 56

1 Zapi{i izjavno obliko in poi{~i re{itev.

a) b) c) d)

2 Osnovna množica je U = �n; n

ℕ in n < 12�. Zapi{i množico re{itev spodnjih ena~b. a) 5 · x = 15 b) x : 8 = 0 c) (2 + x) · 2 = 11 d) x – 3 = 6

2 Zapi{i {tiri pravilne in {tiri nepravilne izjave iz

vsakdanjega življenja. 3 Zapi{i {tiri izjavne oblike iz vsakdanjega življenja.

3 Zapisane so {tiri izjave.

Dopolni jih najprej tako, da dobi{ pravilne izjave, in drugi~ tako, da dobi{ nepravilne izjave.

3 �x; x deli 27� 3 �x; x < 6� 3 �x; 0 · x = x� 3 �x; x ≥ 8 : 4� [tirje prijatelji pravijo naslednje: Miha: Vsaj ena izjava je pravilna. Tina: Vsaj dve izjavi sta nepravilni. Jan: Dve izjavi sta pravilni. Nu{a: Vsaj ena izjava je nepravilna. Kdo ima prav?

4 Med naravnimi {tevili, manj{imi od 20, poi{~i

množico re{itev ena~be. a) 15 – x = 8 b) 5 + x = 4 c) x · 8 = 800 d) 6 · x = 0 e) x : 2 = 8 f) 15 : x = 15 g) 3 · x + 4 = 10 h) x : 5 + 5 = 5

a) b) c) d)

4·x–2=8 x:5+3=3 x – 3 · 2 = 10 (2 + 4) · x – 1 = 13

x=2 x=0 x=8 x=2

6 S {tevili 4, 8 in 10 oblikuj 3 razli~ne:

a) izjavne oblike b) pravilne izjave c) nepravilne izjave

Prodaja sladoleda v Snežku 300 Število prodanih sladoledov

5 Ali je zapisano {tevilo re{itev ena~be?

^e {tevilu pri{teje{ 12, dobi{i 36. Deljenec deli{ s 5 in dobi{ 10. Ve~kratniku �tevila 3 pri{teje{ 8 in dobi{ 17. Dve na kvadrat pomnoži{ z nekim �tevilom in dobi{ dve na kub.

250

2001

200

2002 2003

150 100 50 0

maj

jun

jul

avg

sept

okt

Mesec

a) Zapi{i tri pravilne in tri nepravilne izjave. b) Zapi{i tri izjavne oblike. Dopolni jih v pravilne izjave. 5 Osnovna množica re{itev je B = �ve~ji, manj{i,

starej{i, mlaj{i, lažji, težji�. Zapi{i {tiri izjavne oblike, ki imajo re{itev v množici B.

(devetintrideset)

Števila

Ena~be Nekaj enostavnih ena~b si do sedaj že re{il s premislekom. Tukaj bo{ spoznal postopek, ki ti pomaga re{evati tudi zahtevnej{e ena~be.

Ena~bo sestavljata matemati~na izraza, ki sta med seboj povezana z ena~ajem, in neznana vrednost x. Re{itev ena~be je {tevilo, ki nadomesti x tako, da sta vrednosti levega in desnega izraza enaki. Nekatere ena~be lahko re{imo le s premislekom. x + 12 = 35 R: x = 23

x = 35 – 12 = 23

Kako preizkusimo re�itev ena~be? V ena~bo vstavimo izra~unano vrednost in preverimo pravilnost izjave. (x – 5) : 2 = 15

R : x = 35

Leva stran: (35 – 5) : 2 = 30 : 2=15 Desna stran: 15

x · 6 = 24 R: x = 4

27 – x = 13 R: x = 14

x = 24 : 6 = 4

x = 27 – 13 = 14

Re{evanje ena~be z nasprotno ali obratno operacijo (x – 5) : 2 = 15 Iz diagrama preberemo ra~un za neznano vrednost: x = 15 · 2 + 5 x = 35 Nasprotna operacija od{tevanja je se{tevanje.

Obratna operacija deljenja je množenje.

[estkratnik vsote 2 in neznanega {tevila je 36. Katero {tevilo je to? Zapi{emo ena~bo: (2 + x) · 6 = 36 Ali je v množici A=�1, 2, 3, 4, 5� re{itev ena~be (2 + x) · 6 = 36? x

Leva stran

Desna stran

(2 + 1) · 6 = 18

(2 + 2) · 6 = 24

(2 + 3) · 6 = 30

(2 + 4) · 6 = 36

(2 + 5) · 6 = 42

Nari{emo prikaz. Ena~bo preuredimo tako, da je neznana vrednost na za~etku. Upo{tevamo zakon o zamenjavi. (x + 2) · 6 = 36 Nari{emo nov prikaz in re{imo ena~bo. Re{itev ena~be dobimo tako, da najprej delimo s 6 in nato od{tejemo 2. x = 36 : 6 – 2 = 4 Odgovor: Iskano {tevilo je 4.

({tirideset)

Preizkus: (4 + 2) · 6 = 6 · 6 = 36

Naloge

Re{ujemo probleme 1

1 S premislekom re{i ena~be.

b) x · 4 = 24 7 · x = 35 68 : x = 34 x:7=5

a) x + 16 = 42 47 + x = 58 x – 34 = 72 96 – x = 25

2 Zapi{i ena~bo, predstavljeno s prikazom, in jo re{i.

·x

a) 3

c) x

b) x

d) x

3 Izberi si neko {tevilo. Trikratniku svojega {tevila

pri{teje{ pet in dobi{ 20. Katero je tvoje {tevilo? Zapi{i ena~bo in jo re{i. 4 ^e od neznanega {tevila od{tejemo 8, dobimo

zmnožek {tevil 6 in 8. Katero je neznano {tevilo? Zapi{i ena~bo in jo re{i. 5 Re{i ena~be. Zapi{i ra~unsko operacijo, s katero

izra~una{ re{itev. a) 39 + x = 132 x – 67 = 216 x : 8 = 12 6 · x = 132

c) x

– 24

+ 13

b) x

:8 18

Zapi{i ena~bo, predstavljeno s prikazom, in jo re{i. +5 ·6 a) x 36

b) x · 54 = 540 48 + 12 = 16 + x 35 · x = 0 30 : x = 2 · 3

c) 392 = x · 7 3249 – x = 529 x : 47 = 34 5409 + x = 23009

6 Ali je v množici A = �1, 3, 5, 7, 9� re{itev ena~be

126 : x + 22 = 36? 7 Vsoto {tevil 5 in 10 smo pomnožili z neznanim

{tevilom, od dobljene vrednosti od{teli 5 in dobili 85. Katera ena~ba opisuje nalogo? Re{i jo. a) 5 + 10 · x – 5 = 85 b) (5 + 10) · x – 5 = 85 c) (5 + x) · 10 – 5 = 85 d) 5 + (10 – 5) · x = 85

d) x

+8 14

:4 5

·3

+2 5

e) 3

·x

f) 5

2 Re{i ena~be.

a) b) c) d)

3 · x + 6 = 15 x:9–2=0 (4 – 2 · 2) · x = 0 (x – 5) · 2 = 10

3 Osnovna množica je �x; x

ℕ0 in 0

20�.

Zapi{i množico re{itev. a) x + x = 20 b) x · x = 2 · x c) (4 – 2) · x = 2 · x d) (4 + 5) · x = 4 · x + 5 · x e) (3 + 2) · x = 4 · x f) x · (x + 1) = x · 2 + 1 g) (x + 2) · (x + 1) = x · x + 3 · x + 3 4 Zapi{i ena~bo, ki bo imela neznano vrednost na

obeh straneh ena~aja, ~e pozna{ re{itev. a) x = 12 b) x = 300 c) x = 0

(enain{tirideset)

Števila

Ena~be in besedilne naloge Ena~be nam pomagajo pri re{evanju besedilnih nalog.

Rok se u~i. Vsota �tevilk strani, kjer ima odprt u~benik, je 253. Na katerih straneh je odprt u~benik? [tevilke odprte strani na levi ne poznamo. Ozna~imo jo z x. [tevilka strani na desni je naslednik {tevila na levi. Zapi{emo jo z x + 1. Ena~bo re{ujemo tudi brez risanja prikaza. Na vsakem koraku na obeh straneh ena~be naredimo isto ra~unsko operacijo in izra~unamo nove vrednosti izrazov.

Zapi{emo ena~bo.

Vsota obeh strani: x + (x + 1) = 253 Oklepajev ne potrebujemo: x + x + 1 = 253 . 2 . x + 1 = 253 x+x=2 x Na obeh straneh od{tejemo 1: 2 . x + 1 – 1 = 253 – 1 2 . x = 252 x = 252 : 2 = 126 Odgovor: U~benik je odprt na straneh 126 in 127. Dedek je Maticu povedal, da je v hlevu deset koko{i, en petelin, trije konji in neznano {tevilo krav. Skupaj imajo 50 nog. Koliko krav je v hlevu? Matic napi{e {tevilo nog za vsako vrsto `ivali: koko{i petelin konji krave skupaj 10 . 2 2 3 . 4 x . 4 50 Ker Matic ne ve, koliko je krav, {tevilo krav ozna~i z x. Napi{e ena~bo: 10 . 2 + 2 + 3 . 4 + x . 4 = 50

Ur{a pravi takole: ^e od{tejem od 50 vse noge, ki jih poznam, dobim skupno {tevilo nog krav. Poznam 34 nog, torej je v hlevu med 50 nogami 16 nog krav. To pomeni 4 krave.

20 + 2 + 12 + x . 4 = 50 34 + x . 4 = 50 Ker za 34 nog vemo, 34 + x . 4 − 34 = 50 − 34 ~igave so, jih od{tejemo. x . 4 = 16 Ostane 16 nog krav. x = 16 : 4 Delimo s 4, ker ima x = 4 vsaka krava 4 noge. Matic naredi {e preizkus. V ena~bi x zamenja s 4 in izra~una izraz na levi strani ena~aja: 10 . 2 + 2 + 3 . 4 + 4 . 4 = 20 + 2 + 12 + 16 = 50 Rezultat preizkusa je 50. Leva stran ena~be je enaka desni. Rezultat je pravilen. Odgovor: V hlevu so 4 krave.

(dvain{tirideset)

Naloge

Re{ujemo probleme Zapi{i ena~bo, ki ustreza besedilni nalogi, in jo re{i.

1 Stranica pravokotnika meri 3 cm. Njegova

1 Obseg slike je 220 cm. Dalj{a stranica je za 3 dm

plo{~ina je 27 cm . Koliko meri druga stranica?

dalj{a od kraj{e. Koliko sta dolgi stranici?

2 Dolžina ene stranice pravokotnika je 4 cm. Njegov

2 Na za~etku {olskega leta se je v pevski zbor

vpisalo 10 u~encev ve~ kot v {olski ansambel. ^ez mesec dni so se pevskemu zboru priklju~ili {e 3 u~enci, {olskemu ansamblu pa 5 u~encev. V obeh krožkih skupaj je bilo decembra 40 u~encev. Koliko u~encev se je na za~etku vpisalo v pevski zbor in koliko v {olski ansambel?

obseg je 18 cm. Koliko meri druga stranica? 3 Tine tehta 15 kg ve~ od Ma{e. Oba skupaj

tehtata 75 kg. Koliko tehta Ma{a in koliko tehta Tine?

4 Na deževen dan je v skledo na Majinem vrtu

padlo 520 mililitrov dežja, popoldne trikrat ve~ kot dopoldne. Koliko mililitrov dežja je v skledo padlo popoldne? 5 Radirka in svin~nik merita v dolžino skupaj 16 cm.

Radirka je trikrat kraj{a od svin~nika. Koliko je dolga?

Izbral sem si {tevilo. [tevilu sem pri{tel 8, vsoto delil s 3 in koli~nik pomnožil z 8. Dobil sem 9984. Katero {tevilo sem si izbral?

4 Vsota 5 zaporednih {tevil je 60. Katera {tevila

se{tevamo? 5 Ve~ji zaboj tehta 80 kg. To je za 12 kg ve~, kot je

dvakratna masa manj{ega zaboja. Koliko tehta manj{i zaboj? 6 Zapi�i ena~be in poi{~i re�itve.

a) ê {tevilu 4 pri{teje{ trikratnik iskanega {tevila, dobi{ 28. b) ê {teviloma 7 in 9 pri{teje{ iskano {tevilo in obe novi {tevili se{teje{, dobi{ 32. c) ê {tevilu pri{teje{ njegov dvakratnik, dobi{ 54.

6 Kocka je sestavljena iz manj{ih kock. Vzdolž

njenega roba je nanizanih 8 manj{ih kock. Kocko spremenimo v kvader tako, da porabimo vse manj{e kocke. Vzdolž dveh robov kvadra imamo po 4 manj{e kocke. Koliko kock je nanizanih vzdolž tretjega roba kvadra?

(triin{tirideset)

Števila

Neena~be Neena~ba je izjavna oblika. V njej nastopata neznana vrednost x in eden od znakov za neenakost: <, >, ≤ ali ≥. Ko v izjavno obliko vstavimo {tevilo, dobimo izjavo, ki jo imenujemo neenakost. Lahko je pravilna ali nepravilna. Množica re{itev neena~be so tista {tevila, za katera je zapisana izjava pravilna.

Neena~ba ima ponavadi ve~ re~itev. Domenimo se, da bomo re{itve neena~be iskali med naravnimi {tevili in {tevilom 0. V~asih se bomo omejili le na nekaj naravnih {tevil, ki jih bomo na{teli.

Preverimo, ali so v množici �1, 2, 3� re{itve neena~be. Desna stran:

3 · 4 = 12

x = 1 Leva stran: x = 2 x = 3

6 + 2 · 1 = 8 6 + 2 · 2 = 10 6 + 2 · 3 = 12

8 < 12 pravilna 10 < 12 pravilna 12 < 12 nepravilna

Re{itvi sta x = 1 in x = 2. Poi{~imo re{itve neena~be 7 · x – 5 > 24 v množici naravnih {tevil tako, da izra~unamo vrednosti za nekaj za~etnih {tevil. Število, pri katerem neenakost iz nepravilne izjave preide v pravilno izjavo, imenujemo mejna vrednost.

7·x–5

Ve~je naravno {tevilo vstavimo, ve~ja je vrednost leve strani neena~be. Sklepamo: Vsako naravno {tevilo, ve~je od 4, je re{itev neena~be. Zapi{emo re{itev: R = �5, 6, 7, 8 …� ali R: x > 4 Ob novem letu bo 24 u~encev 6. a skupaj obdarilo 12 otrok brez star�ev v svojem kraju. Vsak u~enec prispeva 15 €. Tina mora izra~unati, koliko lahko stane eno darilce. Tina zapi�e neena~bo. Desna stran: 24 · 15 = 360 Leva stran: 12 · x ^e bi za darilca porabili ves zbrani denar, potem bi darilce stalo 360 : 12 = 30 €. Torej lahko eno darilce stane 30 € ali manj. Preverimo sklep {e z izra~unom za vrednosti x = 29 in x = 31. x

12 · x 348

Re{itve predstavimo {e na {tevilski premici:

0 44

360

372

Re{itve zapisane neena~be so vsa naravna {tevila, ki so manj{a ali enaka 30. R: x ≤ 30

10 ({tiriin{tirideset)

Naloge

Re{ujemo probleme

1 V množici U = �1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10� poi{~i

re{itve neena~be. a) x : 5 < 20 b) x – 1 ≥ 2 c) 2 · x < 10

d) 2 + x + 5 ≥ 0 e) 4 · x < 2 f) 32 : x > 20

2 Med naravnimi {tevili, manj{imi od 12, poi{~i

re{itve neena~be. a) 3 · x > 15 b) 12 – x ≥ 14 c) x + 2 < 10

d) x · x < 36 e) 13 – x > 11 f) 15 – x ≤ 1

3 Ponazorimo na {tevilski premici x > 7, x

≤ 15.

Kako bi opisal {tevila, ki ustrezajo obema zapisanima pogojema? 4 Zapi{i ustrezno neena~bo in jo re{i.

a) Katera {tevila lahko pomnoži{ s 13, pa dobi{ manj kot 200? b) Katerim {tevilom lahko od{teje{ 29, pa dobi{ najve~ 30? c) Katerim naravnim {tevilom lahko pri{teje{ 15, da bo vsota vsaj 27? d) Katera {tevila lahko od{teje{ od 35, da bo razlika najve~ 15? 5 Ali so v množici U = �1, 2, 3, 4, 6, 8� re�itve

neena~b? Pri re{evanju si pomagaj s tabelo. a) 72 : x ≥ 12 b) 5 + x ≤ 3 · x + 2 c) 5 · x > 3 · x d) 2 + x < 2 · x e) x · x < 20

1 [ivilja daje gumbe v {katle. V vsako {katlo da 12

gumbov. Najmanj koliko {katel potrebuje, da bo razporedila 131 gumbov? Zapi{i neena~bo in jo re{i. 2 [tudentka Tina bi rada v enem letu prihranila

2500 € tako, da vsak mesec shrani enako koli~ino denarja. Najmanj koliko denarja mora prihraniti vsak mesec? Zapi{i neena~bo in jo re{i. 3 O~e bo po terasi položil plo{~ice. Terasa je dolga

55 dm in {iroka 3 m. Izbral si je kvadratne plo{~ice s stranico 25 cm, ki so pakirane v �katlah po 10 plo{~ic. Najmanj koliko {katel mora kupiti? Zapi{i neena~bo in jo re{i. 4 Osnovna množica, kjer i{~emo re{itve, je U = �1,

2, 3, …, 103�. Za katera {tevila je izjava pravilna? Preden pri~ne{ z ra~unanjem, dobro razmisli, kaj zapisana neena~ba pomeni. a) 3 · x < 103 : 10 d) x + 2 > 2 · x b) x > x + 1 e) x:2>2·x c) 2 · x > x f) y < 2 · y – y 5 Osnovna množica, kjer i{~emo re{itve neena~be,

so vsa naravna {tevila, manj{a ali enaka 10. Zapi{i neena~bo, ki ima za re{itev množico: a) �2, 3, 4� b) �0� c) �1, 2, 3, …� d) �0, 1, 2, ..., 10� ^e lahko najde{ ve~ neena~b za isto množico re{itev, zapi{i vsaj dve.

(petin{tirideset)

Števila

Ulomki Z ulomkom opi{emo del celote. Pojedli smo polovico lubenice. Ostala mi je {e tretjina prihrankov. Nau~iti se moram {e ve~ kot polovico snovi. V drugi tretjini smo videli pet golov. Lubenica, prihranek, snov in ~as tekme predstavljajo celoto.

3 8

3 10

5 8

traku je oranžne,

je rumene barve.

Tilen ima bonbone. 3 so rde~i in 1 zelen.

4 bonboni so celota.

3 4

Tilnovih bonbonov je rde~ih. Imenovalec pove, na koliko enakih delov razdelimo celoto. [tevec pove, koliko teh delov izberemo.

Za malico sta otroka dobila tri žemlje, prerezane na polovico. Oba sta dobila enako. Koliko žemelj je pojedel vsak otrok? Vsak je pojedel tri polovice, to je žemljo in pol.

traku je modre barve.

Ulomek s {tevcem, ve~jim od imenovalca, ozna~uje dele, ki so ve~ji od celote. Ulomek lahko takrat zapi{emo s celim delom in ulomkom, manj{im od 1. Koliko celot je

38 5 ?

Imamo 38 delov. Celota je 5 delov. Koliko celot imamo? 13 6

6+6+1 6

6 6

1 6

=26

38 5

38 : 5 = 7, ost. 3

= 7 3 5

3 38 je 7 celot in 5 . 5 3

Ulomkova ~rta predstavlja deljenje, 38 : 5 = 7 5 . Koliko delov je 3

3 28 =

2·8+3 8

19 = 8

4 5

Ker nastopajo petine, zapi{emo 3 celote v petinah. Ena celota je pet petin. Torej so tri celote trikrat ve~ petin, 3 · 5 = 15. Temu moramo pri{teti {e {tiri preostale petine: 4

3 5 =

({estin{tirideset)

(3 · 5 + 4) 19 = 5 5

4 5

je enako

19 5

3 2

=11 2

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Kolik{en del pravokotnika je pobarvan? Kolik{en

del je nepobarvan?

1 Kateri ulomek predstavlja ve~ji del celote?

Pomagaj si s skico. 1 2 a) 3 ali 5 3

ali b) 7

4 9

1 4

ali

2 7

5 8

ali

23 4

2 Narisan je del tlakovanega dvori{~a. Kolik{en del 2 Kolik{en del ti {e manjka, da bi imel vse? Ima{:

predstavljajo temne plo{~e?

a) sedem osmin nalepk b) tri petine slik c) osem devetin barvic d) tri {estine figuric 3

3 5 7 Predstavi ulomke 4 , 8 in 16 tako, da pobarva{ ustrezen del kvadrata. 2 1 5 Predstavi ulomke 6 , 3 in 12 tako, da pobarva{ ustrezen del kroga. 5 3 5 Predstavi ulomke 6 , 8 in 10 tako, da v pravokotniku pobarva{ ustrezen del.

4 Z ulomkom zapi{i, kolik{en del celote je opisan.

Kaj predstavlja celoto? a) Vsak deseti balon, ki sem ga napihnil, je po~il. b) Na deset tiso~ izdelkov so trije pokvarjeni. 5 ^e pobarva{ tretjino pravokotnika rde~e, ~etrtino

modro in {tiri {tiriindvajsetine zeleno, kolik{en del pravokotnika ostane nepobarvan? Nari{i si skico. Na koliko enakih delov bo{ razdelil pravokotnik? 6 Kolik{en del trikotnika je pobarvan?

3 V pevskem zboru je 6 fantov in 15 deklet. Z

ulomkom zapi{i delež fantov in delež deklet v zboru. Na nastopu so se jim pridružili {e trije fantje. Kolik{na sta deleža fantov in deklet v zboru na nastopu? 4 Dve tablici ~okolade razdelimo trem otrokom,

vsem enako. Kolik{en del ene tablice ~okolade dobi vsak otrok? Kolik{en del dveh tablic ~okolade dobi vsak otrok? 3

5 V vre~ki je belih kroglic, ostale kroglice so ~rne. 5

V vre~ko dodamo {e 5 belih in 5 ~rnih kroglic. Katera izjava je sedaj pravilna? 3 a) V vre~ki je {e vedno 5 belih kroglic. b) [tevilo belih kroglic je ve~je od {tevila ~rnih kroglic. c) [tevilo belih kroglic je enako {tevilu ~rnih kroglic. 2 d) V vre~ki je 5 ~rnih kroglic.

6 Nari{i si skico in preveri zapisane enakosti. 7 Ulomke zapi{i s celim delom in ulomkom, ki je

manj{i od ena. 7 , 8 , a) 5 4

9 , 12 , 15 6 5 12

12 , 45 , b) 5 6

102 , 75 , 50 10 12 14

(12 + 7) = 112 7 7 26 = (14 + 12) = 14 112 12 12 • (8 + 1) 3 1 = 27 8 3 = 3 3 12 7

8 Zapi{i samo z ulomkom. 4 2 1 2 2 2 7 , 5 5 , 3 9 , 10 5 , 12 7

(sedemin{tirideset)

Števila

Razli~na ulomka, enak del celote Ulomka sta enaka, ~e predstavljata enak del celote.

1 3

ê pomnožimo ulomek 2 v {tevcu in imenovalcu z 2, dobimo 4 . 4 ê isti ulomek v {tevcu in imenovalcu pomnožimo s 4, dobimo 8 . 8 ê pa ga pomnožimo z 8, dobimo 16.

4 = 12

4 12

1 3

1·4 3·4

4 = 12

Ulomki

1 2 4 , , 2 4 8

in 16 predstavljajo enak del celote.

Raz{irimo ulomek na dani imenovalec. 4 = 5 25

4 5

4·5 5·5

= 20 25 3

Raz{irimo ulomek 4 in 6 na skupni imenovalec. Skupni imenovalec je skupni ve~kratnik {tevil 4 in 6. To je {tevilo 12. 3 4 9 12

3 4

9 12

9:3 12 : 3

3·3 4·3

9 = 12

1 6

1·2 6·2

2 = 12

^e {tevec in imenovalec ulomka delimo z enakim {tevilom, dobimo ulomek, ki predstavlja enak del celote.

3 4

9 12

3 4 18

Preoblikujmo 24 v ulomek, ki predstavlja enak del celote in je zapisan z manj{imi {tevili. Poi{~emo skupne delitelje 18 in 24. Z njimi lahko preoblikujemo zapis ulomka. Skupni delitelji so 2, 3 in 6. 18 24

18 : 2 24 : 2

= 12

18 24

18 : 3 24 : 3

6 8

18 24

18 : 6 24 : 6

3 4

^e ulomka predstavljata enak del celote, pravimo, da sta ulomka enakovredna oziroma enako velika.

(osemin{tirideset)

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Poi{~i enako velik ulomek tako, da {tevec in

imenovalec pomnoži{:

a) z 2:

2 , 3 , 1 , 0 , 1 , 2 5 7 4 5 2 9

b) s 3:

3 , 2 , 3 , 0 , 1 , 10 5 9 4 8 3 11

2 Poi{~i enako velik ulomek tako, da {tevec in

imenovalec deli{:

a) z 2:

2 , 6 , 4 , 8 , 0 , 14 4 10 6 14 6 18

b) s 3:

3 , 3 , 9 , 15 , 0 , 6 6 15 12 18 3 27

3 Ugotovi, s katerim {tevilom mora{ pomnožiti

{tevec in imenovalec ulomka, da bo v imenovalcu {tevilo zapisano na za~etku, in zapi{i nove enakovredne ulomke.

a) 100: b) 60:

3 , 2 , 0 , 3 , 1 , 4 4 5 10 20 1 25

1 , 2 , 1 , 0 , 4 , 7 2 3 4 10 15 30

4 Zapi{i {e dva ulomka, ki predstavljata enak del

celote kot zapisani ulomek. 2 , 1 , a) 3 5

8 , 5 , 2 9 6 7

4 , 2 , 12 , 5 , 14 b) 8 6 16 15 16

5 Ali so izjave pravilne? 7 = 6 a) 14 12 6 = b) 7

7 8

2 = c) 4

4 6

6 = d) 12

1 2

1 Zapolni manjkajo~a mesta.

a) b) c)

12 5

= 10 2

2 4

= 24

= 20

64 40

2 Poi{~i vse enakovredne ulomke, ki imajo manj{i 8

24 72

imenovalec kot ulomki 12 , 36 , 84 ,

25 27 in 54. 100

3 Dopolni prazna mesta, da bodo izjave pravilne. 1 = a) 1

1 2

3 1

5 3

= = =

15 12

= 22 = = =

100 9

= 15

4 Ali so zapisane izjave pravilne? 2

8 3

12 8

a) 2 3 =

b) 1 2 =

c) 0 5 = 100

4 80 d) 3 5 = 3100

5 = 2 50 e) 2 100

5 Besedilo prepi{i v zvezek in izpolni prazna mesta:

Celoto smo razdelili na n enakih delov. Posamezni del celote zapi{emo z ulomkom . ^e se{tejemo takih ulomkov, dobimo celoto.

0 0 = 10 e) 7

6 Razi{~i, ali trditev velja.

6 Kdaj ima� ve~ možnosti, da iz vre~ke potegne{

rde~o kroglico? Razlo`i svoj odgovor. a) Vsaka tretja kroglica je rde~a. 15

b) V vre~ki je 20 rde~ih kroglic.

c) Na vsakih 30 kroglic je 18 rde~ih.

Ulomka sta enako velika, ~e sta zmnožek imenovalca prvega ulomka in {tevca drugega ter zmnožek {tevca prvega in imenovalca drugega ulomka enaka. Pomagaj si s primeri ulomkov.

(devetin{tirideset)

Števila

Izbirna vsebina: Se{tevamo in od{tevamo ulomke Dele celote lahko med seboj tudi se{tevamo in od{tevamo.

Maja je na praznovanje rojstnega dne povabila cel razred. Imela je dve torti. Ob koncu praznovanja je na prvem pladnju ostal 1 kos torte in na drugem pladnju 3 kosi. Kolik{en del torte je ostal?

1 12

3 12

4 12

Ostali so {tirje kosi, ki predstavljajo tretjino torte. 1 4

1 2

3 4

Ulomki z istim imenovalcem 1 3

1 3

2 3

4 5

–

3 5

1 5

Ulomki z razli~nim imenovalcem 1 2

–

1 3

1 6

1 3

1 6

Najmanj{i razmejeni del traku je je pobarvanih. 1 3 2 3

+ –

1 6 1 2

3 6

1 . 6

Pre{tejmo, koliko tak{nih del~kov

1 2

Obarvani in nepre~rtani del traku je rezultat. Del je velik �estino traku. 2 3

–

1 2

1 6

Mama je spekla pito. Tilen je pojedel ~etrtino, Miha tri desetine, Rok petino. Ostalo sta si razdelila mama in o~e. Kolik{en del pite sta dobila? Pri re{evanju si bomo pomagali s sliko. Pito nari{emo kot pravokotnik. Najprej za vsakega posebej ozna~imo pojeden del pite. Ko sestavimo vse kose, ostanejo {e ena ~etrtina oziroma pet dvajsetin pite. Sedaj sestavimo vse dele v eno samo sliko.

Tilen, Miha in Rok so skupaj pojedli: 1 4

pite + 10 pite +

1 5

pite = ( 4 + 10 +

1 ) 5

pite =

1 4

pite.

Odgovor: Mama in o~e sta si razdelila

(petdeset)

1 4

pite

Re{ujemo probleme

Naloge

S pomo~jo skic izra~unaj, kolik{en del predstavlja zapisani ra~un. 1 Se{tej.

1 Izra~unaj.

1 2

3 5

0 5

a) 1 +

1 2

b) 1 –

1 2

2 7

4 7

5 6

7 6

3 5

1–

2 3

12 15

8 15

2 9

5 9

6 7

1–

5 7

2 10

7 10

2 2

1 2

0 8

1–

0 5

2 3

5 1

3 1

2 3

1–

3 8

2 Od{tej.

2 Izra~unaj.

5 6

–

2 6

2 3

–

1 3

1 4

3 4

d) 1 –

3 7

–

2 7

5 6

–

5 6

2 5

7 8

1 8

–

3 8

7 5

–

5 5

2 1

–

1 1

3 9

–

2 9

4 9

7 11

–

5 11

12 5

– 11

8 9

–

7 9

4 8

–

3 8

3 Se{tej.

1 2

1 4

2 5

3 4

c) 1 –

2 3

3 Primerjaj po velikosti.

1 2

1 2 in 3 3

1 6

3 5

1 1 in 10 2

1 2 1 5

2 3

0 2

1 4

1 1 in 2 3

1 10

1 8

1 4

5 12

1 2 in 5 6

+ 10

1 8

1 3

1 4

2 3

1 5 in 6 4

+ 12

2 9

1 3

5 12

2 3

1 5

1 2

2 9

2 3

–

1 4

4 Od{tej.

2 3

–

1 6

7 8

–

3 4

5 6

–

1 3

11 12

–

2 3

3 5

–

1 2

12 15

–

1 5

5 8

–

1 2

4 5

–

3 10

1 2

–

3 10

3 6

1 1

4 Izra~unaj.

Namig: Celi del ra~unaj posebej, ulomek posebej in dobljena rezultata združi.

a) 2 2 +

1 2

b) 2 2 – 3

15 +15

43 +

33 +13

35 +15

1 3

1 2

55 +35 66 +56

49 +39

25 +25

(enainpetdeset)

Števila

Ulomki in {tevilska premica Ulomek nam je do sedaj predstavljal del neke celote. Ulomku pa lahko priredimo tudi to~ko na {tevilski premici, torej mu priredimo neko {tevilo.

Naj bo celota enota �tevilske premice, torej daljica. Imenovalec pove, na koliko delov razdelimo enoto. Števec pove, koliko teh delov odmerimo od izhodi�~a. Dobljena to~ka na �tevilski premici predstavlja �tevilsko vrednost ulomka. Ulomku smo priredili �tevilo.

^e je imenovalec enak 1, ulomek predstavlja naravno 2 {tevilo: 1 = 2

^e je v imenovalcu 0, ulomek nima pomena. ^e je {tevec ulomka enak 0, imenovalec pa je razli~en od 0, je vrednost ulomka enaka 0.

Enakovredna ulomka predstavimo z isto to~ko na {tevilski premici. ^e je {tevec manj{i od imenovalca, je ulomek manj{i od 1. ^e je {tevec ve~ji od imenovalca, je ulomek ve~ji od 1. Kako upodobimo ulomek, manj{i od 1, na {tevilski premici? Na {tevilski premici, kjer imamo ozna~ena izhodi{~e 0 in 1. enoto, iz izhodi{~a nari{emo poltrak. 2.

Na poltraku s {estilom odmerimo toliko delov, kolikor jih je zapisanih v imenovalcu.

Skozi zadnjo odmerjeno to~ko in enoto potegnemo premico.

Skozi odmerjeno to~ko, ki je po zaporedni {tevilki enaka {tevcu ulomka, potegnemo od poltraka do �tevilske premice vzporednico k narisani premici.

Prese~i{~e nove premice s {tevilsko premico predstavlja upodobitev ulomka na {tevilski premici.

^e predstavlja ulomek {tevilo, ki je ve~je od 1, naprej poi{~emo, med katerima naravnima {teviloma ulomek leži. Nato izvedemo opisani postopek tako, da nari{emo poltrak skozi manj{e {tevilo.

(dvainpetdeset)

Re{ujemo probleme

Naloge

1 , 1 , 2 , 4 3 2 3 4

5 , 4 , b) 5 5

1 Na {tevilski premici prikaži ulomke , , , 3 5 7 9

1 Ulomke prikaži na {tevilski premici.

5 , 8 5 12

1 . 4

Enota naj meri 10 cm.

2 Na {tevilski premici so to~ke ozna~ene s ~rkami.

Zapi{i, katere ulomke smo predstavili z vsako ~rko.

3 9 11 5 a) 110 , 10 , 10 , 10

4 , 6 , 8 , 1 112 12 112 b) 12

2 Na {tevilski premici prikaži ulomke:

1 , 3 , 5 , 2 , 8 2 4 4 2 4

B CD

2 1

Dolžino enote izberi tako, da bo{ lahko ozna~il to~ke brez geometrijske konstrukcije.

3 Mama je na tržnici kupila 1 kg malin in 2 kg 2 4 1 kg 4

borovnic. Sadje bo dala v vre~ke po zamrznila. Koliko vre~k bo napolnila?

in ga

3 Na {tevilski premici so to~ke ozna~ene s ~rkami.

Katere ulomke upodabljajo? A

1 D

4 Kateri od na{tetih ulomkov je najmanj{i? Nari{i si

skice.

1 G

I 1

4 Med katerima zaporednima naravnima {teviloma

ležijo ulomki

5 , 7 , 25 , 12 , 23 , 17 ? 3 2 3 5 3 4 1

Re{itev zapi{i takole: 1 < 1 2 < 2

7 , 8 , 8 , 11 6 7 9 12

3 , 4 , 5 , 7 4 7 6 8

3 , 2 , 3 , 1 4 5 10 3

4 , 3 , 2 , 5 7 5 3 9

5 Katero lastnost imajo ulomki, ki predstavljajo

naravna {tevila? Kako bi jih opisal? 6 S ~rkama a in b smo zapisali ulomek. V kak{ni

povezavi morata biti a in b, da veljajo zapisane izjave?

5 Vsakemu ulomku poi{~i tak enakovredni ulomek,

da bodo imeli vsi enake imenovalce. Prikaži jih na {tevilski premici.

a) 1,

=2 a mora biti 2-kratnik b ali a = 2 · b

3 1 3 5 , , , 8 2 4 8

3 0 , , 4 6

7 , 5

1 2 ,

4 , 3

1 11 1 6 , 12 ,

a b

Primer:

2 8 , 3 12

9 , 6

9 16 , 6 15

7 5 , 8 4

a b

ℕ

a b

3 4

a b

2 3

a b

d) 1<

a b

ℕ

(triinpetdeset)

Števila

Ra~unamo dele celote Pridem ~ez ~etrt ure. Kupi pol litra mleka in kilo in pol kruha. Deska je dolga tri ~etrt metra.

Z ulomkom izrazimo del merske koli~ine. 1 h 4

1 4

od 1 h = 1 h : 4 = 60 min : 4 = 15 min

Uro delimo s 4.

1 kg 2

1 2

Pretvorimo v manj{o enoto, da lahko delimo.

od 1 kg = 1 kg : 2 = 100 dag : 2 = 50 dag

Ponovimo: 1 h = 60 min 1 kg = 100 dag 1 dag = 10 g 1 ℓ = 10 dℓ 1 ℓ = 1000 mℓ

3 h 4

Koliko je

4 km 5

1 8

3 2

od 1 ℓ = 1 ℓ : 8 = 1000 mℓ : 8 = 125 mℓ

od 10?

3 od 10 = (10 : 2) · 3 = 15 2

1 ^e je 4 h = 15 min, 3 4

Niti 10 dℓ niti 100 cℓ ni deljivo z 8, zato pretvorimo v mililitre.

= (60 min : 4) · 3 = 45 min

potem je

1 ℓ 8

h trikrat ve~.

Izra~unamo velikost ene polovice: 10 : 2 = 5 Ker je ena polovica od 10 enaka 5, so tri polovice enake 3 · 5 = 15.

Z ulomkom izraženi del celote izra~unamo tako, da izra~unamo velikost ustreznega dela celote, imenovalec ulomka, in dobljeno vrednost pomnožimo s {tevilom v {tevcu, ki pove, koliko delov imamo.

= (1000 m : 5) · 4 = 800 m

Število ur do konca dana{njega dne je enako tretjini ur, ki so danes že minile. Koliko ur je do konca dneva? ure, ki so minile

Dan predstavimo s trakom, razdeljenim na 4 dele.

ure do konca dneva

dan

^e uram, ki so že minile, dodamo {e tretjino ur, dobimo celoto, ki je 24 ur. Celoto smo sestavili iz 4 enakih delov. Torej je do konca dneva {e ~etrtina dneva. 1 4

dneva = 1 dan : 4 = 24 h : 4 = 6 h

Odgovor: Do konca dneva je 6 ur. 54

({tiriinpetdeset)

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Koliko je?

1 Bananin olupek tehta

2 3

od 24 h

5 6

od 60 min

3 5

od 1 m

3 4

od 1 kg

1 2

od 1 ℓ

3 10

od 1 km

približno osmino mase banane. Tina je kupila 4 kg banan. Približno koliko so tehtali olupki kupljenih banan? 2 Medenina je zlitina bakra in cinka. V 6 dag

2 Zapi{i z manj{o enoto.

medenine je cinka?

1 3 7 3 1 4 h, 4 m, 10 ℓ, 4 hℓ, 2 km, 5 kg 2

3 Izra~unaj.

3 5

bakra. Koliko je bakra in koliko

3 ^e žogo spustimo na tla z

2 3

od 33 =

1 6

od 246 =

3 5

od 25 =

11 12

od 144 =

9 10

od 50 =

3 8

od 104 =

8 7

od 70 =

7 9

od 198 =

vrha zidu, vsaki~ odsko~i in 3 se vrne do 5 prvotne vi{ine, s katere je padla. Žogo smo spustili z vi{ine 50 m. Kako visoko se bo vrnila po prvem, po drugem in po ~etrtem odskoku?

4 Na triatlonu je tekmovalo 324 tekmovalcev.

Dvanajstina triatloncev ni pri{la na cilj. Koliko tekmovalcev je bilo uvr{~enih?

4 Mama je spekla 76 pi{kotov.

5 Izra~unaj in rezultat zapi{i z naslednjo manj{o

enoto. 3 kg 4

a) 5 kg +

1 ℓ 2

b) 2 4 kg +

3 ℓ 5

1 kg 5

1 m 2

+ 1 4 m

1 m 8

3 3 5 ℓ

2 ℓ 10

1 2 km – 10 km

10 m –

15 dℓ – 20 dℓ

–

6 Zapi{i z ulomkom s podano ve~jo enoto.

a) ura: 15 min, 20 min, 45 min b) dan: 2 h, 4 h, 8 h c) leto: 3 meseci, 4 meseci, 6 mesecev 91

7 Lubenica vsebuje vode. 100

Koliko vode je v lubenici, ki tehta 3 kg in pol?

^etrtino pi{kotov so {e toplo pojedli otroci, polovico pi{kotov je shranila, ostalo je dala babici. Koliko pi{kotov je dobila babica? 2

5 Branjevka je dopoldne prodala jagod, 3 3

popoldne pa 4 preostanka. Koliko jagod je prodala, ~e jih je zjutraj imela 48 kg? Kolik{en del jih je prodala?

6 Peti in {esti razredi gredo na izlet. Peto{olcev je

48, {esto{olcev 75. V prvem avtobusu se pelje polovica peto{olcev in tretjina {esto{olcev. Katerih u~encev je v prvem avtobusu ve~, peto{olcev ali {esto{olcev?

(petinpetdeset)

Števila

Ra~unamo celoto in njene dele V~asih nas zanima, kolik{en del celote predstavlja dolo~ena vrednost ali pa želimo ugotoviti, kaj je celota, ~e poznamo le njen del.

Kolik{en del celote ima dano velikost?

od 1 m = 20 cm Na koliko enakih delov moramo razdeliti 1 m, da bo dol`ina dela 20 cm? Ker je 100 : 20 = 5, je 20 cm petina od 1 m. 1 od 1 m = 20 cm 5

od 20 = 15 Celoto predstavlja {tevilo 20. ^e celoto razdelimo na 20 enakih delov, dobimo 1. 15 je zato enako: :5

Dogovor: Ulomek vedno zapi{emo z najmanj{im imenovalcem.

15 20

od 20 =

3 4

15 20

od 20 = 15

:5 2 od 3

Kaj je celota?

Dva od treh delov celote imata skupaj velikost enako 8. En del je velik 4. Ker so v celoti trije deli, je celota velika 12. (8 : 2) · 3 = 12 2 3

1 4

3 4

od 12 = (12 : 3) · 2 = 4 · 2 = 8 3

V razredu ima 4 de~kov dolge hla~e, ostali trije imajo kratke. Koliko de~kov je v razredu? 3

dolge hla~e

kratke hla~e

Koliko je v razredu otrok, ~e je de~kov

Premislimo, kaj nam pove naloga. Ker ima 4 de~kov dolge hla~e, ima 4 kratke. To pa je enako 3. Ker je 4 · 3 = 12, izvemo, da je vseh de~kov 12. 3 ? 5

Zapi�emo ra~un, da poi�~emo �tevilo vseh otrok v razredu. Ker vemo, 3 da je de~kov 5 in je to enako 12, zapi{emo: 3 = 12 od 5 3

Ker so 5 od celote enake 12 otrok, je 5 od celote trikrat manj, 4 5 otroci. Saj je 12 : 3 = 4. Celoto sestavlja pet petin 5 . Ker je 5 · 4 = 20, celoto sestavlja 20 otrok. Odgovor: V razredu je 20 otrok. 56

({estinpetdeset)

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Izra~unaj manjkajo~e vrednosti. 3 7

od 10 = 5

od 22 = 11

1 29

od 64 = 8

1 17

od 36 = 9

4 9

od 15 = 10

1 Izra~unaj manjkajo~e vrednosti.

3 4

= 9

4 5

= 48

2 3

= 18

3 8

= 18

od 15 = 15

od 8 = 4

od 30 = 20

od 42 = 24

od 24 = 20

od 60 = 42

od 72 = 56

2 Mama je spekla pi{kote. Tretjino pi{kotov so

pojedli {e isti dan, naslednji dan pa polovico preostanka. V {katli je ostalo 15 pi{kotov. Koliko pi{kotov je mama napekla? 3 Oporni stebri ograje morajo segati 120 cm visoko

nad zemljo. ^etrtina dolžine stebra mora biti v zemlji. Kako dolge stebre potrebujemo?

2 Poi{~i ve~jo enoto in zapisane koli~ine izrazi kot

del ve~je enote. a) 20 min, 25 mℓ, 75 cm, 3 meseci, 25 g b) 5, 2 dℓ, 15 mm, 4 kg, 6 h

4 V živalskem vrtu je nosorogov pol toliko kot levov,

levov pa za tretjino medvedov. Koliko je nosorogov, levov in medvedov, ~e je vseh skupaj 9?

3 Izra~unaj manjkajo~e vrednosti.

od 105 = 1

od 104 = 10

od 100 = 3

od 100 = 100

od 1 = 1

od 106 = 104

od 104 = 100

od 102 = 50

od 100 = 1

5 AB je daljica, �AB� pa njena dolžina.

Daljico AB razdelimo na 12 enakih delov. Dopolni izjave tako, da bodo pravilne. A

4 O~e je kupil avto, ki stane 7500 €. Takoj je pla~al

3000 €, ostalo bo pla~al v obrokih. Kolik{en del je pla~al takoj? 5 Trgovec je pri dobavitelju kupil 100 kg ~okolade in

zanjo pla~al 800 €. Za prevoz je pla~al 89 €, stro{ki 9 prodaje pa so bili 25 cene , pla~ane dobavitelju. Kolik{en dobi~ek ima trgovc, ~e je vso ~okolado prodal za 1500 €?

3 4

od �AB� = od �DH� = �DF�

2 3

= �AF�

od �DL� = �FH�

1 4

1 2

od �AB� = od

= �EG�

6 Maja je imela nekaj balonov. Polovico

balonov je dala Mihu, tretjino preostalih balonov je dobil Peter, Maji pa so ostali 4 baloni. Koliko balonov sta dobila Miha in Peter?

(sedeminpetdeset)

Števila

Razmerje Na steklenici sadnega sirupa pi{e: Me{aj z vodo v razmerju 1 : 7. Na vedru z zidno barvo pi{e: Red~i v razmerju 10 : 1. Na zavitku ajdove ka{e pi{e: Ka{o kuhamo v vodi v razmerju 1 : 4. Kje {e sre~amo podobne zapise?

Razmerje med dvema koli~inama nam pove, koliko delov vsake koli~ine je v celoti. Zapi{emo ga z dvema {teviloma in dvopi~jem med njima.

1 del sirupa

9 delov Preberemo: vode ena proti devet

Tina in Matej sta pripravila pija~o za vrtno zabavo. Sok sta zme{ala iz sadnega sirupa in vode. Tina je v svoj vr~ zlila 1 kozarec soka in 7 kozarcev vode. Matej je pija~o zme{al v merilni posodi. Vanjo je nalil 1,5 dℓ sirupa in 9 dℓ vode. Kateri od zme{anih sokov je bil slaj�i?

V razmerju moramo vedno uporabiti isto enoto. 1 : 9 je lahko 1 kozarec : 9 kozarcem 1 dℓ : 9 dℓ 1 `lica : 9 `licam 1 kg : 9 kg V zapisu razmerja enoto zato izpustimo.

Pija~a je slaj�a, ~e je v isti koli~ini vode ve~ sirupa. Nalogo bomo re{ili tako, da bomo ugotovili, v kateri od pija~ je delež sirupa ve~ji. Tina: 1 kozarec sirupa + 7 kozarcev vode V Tinini me{anici je 8 enakih delov. Razmerje med sirupom in vodo je 1 : 7. Matej: 1,5 dℓ sirupa + (6 · 1,5 dℓ) vode = 10,5 dℓ soka V Matejevi me{anici je 7 enakih delov. Razmerje med sirupom in vodo je 1 : 6. Ker je 16 > 17 sirupa, vsebuje Matejev sok ve~ji delež sirupa, torej je slaj�i od Tininega.

Merilo 1 : 1000 pomeni, da je v naravi daljica 1000-krat dalj{a. Merilo 10 : 1 pomeni, da je v naravi daljica 10-krat kraj{a.

(oseminpetdeset)

Razmerja uporabljamo tudi pri risanju na~rtov in zemljevidov. Tam so razdalje pomanj�ane. Vedno je zapisano, kolikokrat manj{e so razdalje na na~rtu ali zemljevidu od razdalj v naravi.

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Peter je barval stene svoje sobe. Zme{al je 20

litrov bele barve in 2 litra modre barve. Zapi�i razmerje med belo in modro barvo. 2 V kolik{nem razmerju sta koli~ini?

a) masi

b) dolžini

c) prostornini

1 500 mℓ vode smo dolili toliko

kisa, da smo dobili 750 mℓ teko~ine. Zapi{i, v kolik{nem razmerju sta voda in kis v nastali me{anici. a) Za~etni me{anici dolijemo toliko vode in kisa, kot ju je bilo na za~etku. Kolik{no je razmerje sedaj? b) Za~etni me{anici dolijemo toliko vode, da dobimo 1 ℓ teko~ine. Zapi{i razmerje vode in kisa. c) Za~etni me{anici dolijemo toliko kisa, da dobimo 1 ℓ teko~ine. Zapi{i razmerje vode in kisa. d) Koliko kisa moramo doliti za~etni me{anici, da bosta voda in kis v razmerju 2 : 3? 2 Kolik{no je razmerje med stranico kvadrata in

njegovim obsegom? 3 V razredu je 20 u~encev. Razmerje med {tevilom

de~kov in deklic je 2 : 3. Koliko deklic je v razredu? Kolik{en del vseh u~encev predstavljajo deklice?

3 Tja{a prebere na navodilu: Ka{o kuhamo v vodi v

razmerju 1 : 4. Kako naj pravilno odmeri koli~ino vode, da bo skuhala ka{o? 4 Na~rt mesta je narisan v merilu 1 : 12500. Na

4 Zapi{i s pomo~jo razmerja.

a) Zme{aj 4 `lice sladkorja in 20 `lic moke. b) 5 mℓ gnojila zme{aj z 2 ℓ vode. 1 c) 2 lopate cementa zme{aj s 4 lopatami mivke. 5 Zapisane so razdalje med kraji na razli~nih

zemljevidih. Koliko merijo razdalje v naravi, ~e je v oklepaju zapisano merilo zemljevida? a) 5 cm (1 : 10000) 1 mm (1 : 100000) 2 cm (1 : 1000) b) 6 cm (10 : 1) 12 cm (6 : 1) 1 cm (2 : 1) c) 12 mm (1 : 25000) 8 mm (1 : 45000) 35 mm (1 : 125000)

zemljevidu meri ulica 6 cm. Koliko je dolga ulica v naravi? Koliko meri sosednja ulica na zemljevidu, ~e je njena dolžina v naravi 500 m? 5 Stonoga na ilustraciji v slikanici je dolga 5 cm.

Merilo je 2 : 1. Koliko dolga je v naravi? Ali je na sliki pomanj�ana ali pove~ana stonoga?

5 km Merilo: 1 : 500000

(devetinpetdeset)

Ali ve{, da se v vsakdanjem življenju pogosto sre~ujemo z deseti{kim ulomkom? Pomisli, kje vse vidimo zapisano {tevilo z vejico. To so le druga~e zapisani deseti{ki ulomki.

^e lahko imenovalec ulomka zapi{emo v obliki potence {tevila 10, imenujemo tak ulomek deseti{ki (decimalni) ulomek.

1 10

1 101

6 100

6 102

15 1000

15 103

Deseti{ke ulomke sre~amo pri izražanju razli~nih merskih enot. 1 m = 10 dm

1 1 dm = 10 m

1 m 100

1 m = 100 cm

1 cm =

1 m = 1000 mm

1 mm =

1 m 1000

1 m 102

1 m 103

Naravna {tevila lahko zapi{emo z deseti{kimi ulomki. 10

Deseti{kemu ulomku pravimo tudi decimalni ulomek. Izraz deci- nakazuje povezavo s {tevilom 10. Se {e spomni{ decilitra in decimetra? Decimalnim mestom kraj{e re~emo kar decimalka.

Kako bi prebral {tevilo 3,003?

1 = 10

5 = 10

DECIMALNI DEL

·2 2 5

· 25 3 4

4 10

·2

75 100

Ponekod namesto decimalne vejice pi{ejo decimalno piko: . 2,4 = 2.4 = 2 4

({estdeset)

75 102

46 200

· 25

23 100

23 102

Decimalni zapis {tevila je zapis deseti{kega ulomka z vejico. Vejici pravimo decimalna vejica. Pred vejico je {tevilo celot. Za vejico je {tevilo delov celote: desetine, stotine, tiso~ine ... 1

25,143 = 20 + 5 + 10 +

4 100

3 1000

enice stotine tiso~ine desetine

Preberemo: petindvajset celih sto trii{tirideset

12 10

tiso~ine - t

stotine - s

2 5 , 1 4 3

170 10

Preberemo: ena cela dva

desetine - d

decimalna vejica

enice - E

desetice - D

CELI DEL

17 =

Deseti{ki ulomki so tudi vsi tisti ulomki, ki se jih da zapisati tako, da je imenovalec ulomka potenca 10.

desetice

stotice - S

Števila

Deseti{ki ulomki in decimalni zapis

ni~ celih petnajst

dva cela {tiri

= 1 2 = 1,2 10

24 10

= 2 4 = 2,4 10

eno decimalno mesto

15 100

= 0,15 dve decimalni mesti

Zapi{imo {e nekaj enakosti merskih enot z decimalnimi {tevili. 1 mm = cm =

1 dm 100

1 m 1000

1 g = 10 dag =

1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m

1 kg 1000

1 g = 0,1 dag = 0,001 kg

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Zapi{i decimalno {tevilo kot vsoto deseti{kih enot.

a)1 23,04 2,201 0,123 0,01 10,1 b)10,0030 40,504 101,101 0,909 2,20 2 Zapi{i z decimalnim {tevilom. 5

a)1 10 ,

16 1000

1 b) 1 100 ,

15 103

24 10

100 10

, 12

, 102 12 , 6 100

a) v kilometrih: 5 cm, 10 mm, 13 m, 1 dm, 8 mm b) v tonah: 13 g, 4 dag, 15 kg, 213 dag, 15 mg c) v hektrolitrih: 12 ℓ, 10 dℓ, 5 cℓ, 105 ℓ, 24 mℓ

, 10 10

100

3 Zapi{i z decimalnim {tevilom in ulomkom.

a) petnajst tiso~in b) tri cele pet stotin c) petnajst celih petindvajset stotin d) sto pet celih triindvajset tiso~in e) ni~ celih pet stotin

4 [tevilo prebivalcev nekega mesta se vsako leto 1

pove~a za 100 . Koliko jih bo prebivalo v mestu ~ez 3 leta, ~e jih je danes 100000? 5 Katero decimalno {tevilo je to?

b) 4S 3E 5s

5 Izrazi z zapisano ve~jo enoto.

a) z metrom: 2 cm, 10 dm, 5 mm, 23 mm, 18 cm b) s kilogramom: 12 dag, 10 g, 105 g, 3 dag, 1 mg c) z litrom: 12 dℓ, 8 mℓ, 2 cℓ, 15 dℓ, 34 mℓ 6 V razredu je 24 u~encev. 6 u~encev je

matemati~ni preizkus pisalo odli~no. Z deseti{kim ulomkom izrazi del teh u~encev v razredu. 7 Zapi{i z decimalnim {tevilom. Poi{~i enakovredni

deseti{ki ulomek. 1 2 75 6 a)1 4 , 50 , 300 , 8 ,

30 4 b)1 200 , 25 ,

100 , 125

17 , 125

10,

15, 0

5 12 7 , , 4 40 35

imenovalcem. a)1 0,4 2,02 0,005 6,34 15 0,008 6,00205 b)10,0011 1,0101 10,01 0,100 11

a) Njegov celi del je najve~je dvomestno {tevilo. Decimalni del {tevila zapi{emo s tremi razli~nimi {tevkami. Vsota vseh treh {tevk je 6. Je najve~je tak{no {tevilo. b) Celi del {tevila je ve~kratnik {tevila 8, decimalni del je petnajst stotin. [tevilo je med 50 in 60. 6 V {katli imamo 0,5 kg moke.

Vanjo stresemo sladkor. Masa vsebine {katle se je pove~ala za polovico. Koliko kilogramov sladkorja smo dodali? Izrazi z ulomkom in z decimalnim {tevilom. 7 Katero mersko enoto

8 Zapi{i kot deseti{ki ulomek z najmanj{im

9 Preveri pravilnost izjav.

3 Kateri od na{tetih ulomkov so deseti{ki? 7 6 5 3 5 150 , , , , , 5 8 7 125 16 300

4 Zapi{i z decimalnim {tevilom.

a) 2D 2d c) 1S 1t

a) 5,5 cm 12,08 ℓ 2,2 mm 15,9 kg 0,5 cℓ b) 123,5 g 5,9 mg 0,8 dm 13,8 m 2,05 cm 2 Izrazi v zapisani enoti.

6 100

1 1000

1 Zapi{i z naslednjo ve~jo enoto.

predstavlja stotina v zapisanih koli~inah? a) 2,13 m 0,02 dm 0,75 ℓ 1,23 dℓ b) 3,450 kg 12,003 km 3,204 dm 0,125 ℓ 8 Pojasni zapisano izjavo z nekaj primeri.

1 4

= 0,25

3 4

= 0,75

1 20

= 0,05

1 8

= 0,125

3 8

= 0,375

1 5

= 0,2

Vsako decimalno {tevilo ima za decimalno vejico zapisan {tevec nekega deseti{kega ulomka.

10 Pretvori v ustrezno enoto, da bo meritev brez

decimalne vejice. a) 1,02 m 34,5 kg 2,03 ℓ 45,01 dag 4,902 t b) 10,1 dm 105,9 g 0,25 m 0,09 ℓ 8,09 dm (enain{estdeset)

Ĺ tevila

Decimalna {tevila in {tevilska premica Na {tevilski premici smo prikazali ulomek. Ker je decimalno {tevilo le druga~en zapis deseti{kega ulomka, tudi njemu pripada to~ka na {tevilski premici.

Decimalno {tevilo zapi{emo z deseti{kim ulomkom, zato na {tevilski premici razdaljo med posameznimi enotami razdelimo na desetine.

^e desetine razdelimo na deset delov, dobimo stotine.

Stotine razdelimo na deset delov in dobimo tiso~ine.

Med dve izbrani decimalni {tevili smo dodali devet novih. Postopek lahko nadaljujemo in tako zapiďż˝emo nova decimalna {tevila. Razmisli in razloĹži, zakaj je tako.

Vrednost decimalnega {tevila se ne spremeni, ~e mu na decimalnem delu dodamo ni~le: 2 20 200 0,2 = 0,20 = 0,200 ker je 10 = 100 = 1000 Ĺ tevec in imenovalec smo pomnoĹžili z 10. Katero decimalno {tevilo je ve~je? ^e je celi del {tevila ve~ji, je {tevilo ve~je. ^e sta cela dela enaka, po velikosti primerjamo {tevke na istem mestu zapisa od leve proti desni. Prvi {tevki, ki se razlikujeta, odlo~ata o velikosti {tevila. 12,34 0,00956 12,294 12,34 > 12,294 0,0101 12,05 9,999

0,107 = 10 + 100 + 0,12 =

1 10

+ 100 +

7 1000 0 1000

(dvain{estdeset)

= =

107 1000 120 1000

0,00956 < 0,0101

12,05 > 9,999

Urejenost decimalnih {tevil Manj{e {tevilo je na {tevilski premici levo od ve~jega. Zato velja: 0 < 0,02 < 0,12 < 0,129 < 0,4 < 1,2 < 1,7

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Katera {tevila so ozna~ena s ~rkami?

1 Zapisana tri {tevila uredi po velikosti.

a) 0,6 0,066 0,2

0,3

10,5

b) 1,3 1 3

1 3

0,3 c) 8

60 1000

113 100 38 10

2 Med katerima {teviloma na {tevilski premici leži

5,05 J

5,1

20,99

H K

I L

2 Prikaži naslednja {tevila na {tevilski premici.

a) 1,1 0,1 1,5 0,9 0,5 b) 6,1 5,4 7,8 6,7 5,9 2

3 Kaj je ve~?

c) 110 0,6 10 10 14 10

ulomek 6 ? Pojasni svoj odgovor. a) 1 in 1,6 b) 0 in 0,5 c) 0,5 in 0,6 d) 0,7 in 0,9

m ali 0,4 m a) 4

d) 1,5

190 100

m ali 0,6 m b) 3

Med katerima dvema zaporednima naravnima 145 {teviloma leži 100 ?

m ali 0,28 m c) 7

2,0 1,3

3 Po velikosti uredi naslednje nize {tevil.

a) 1,05 0,5 0,150 0,51 b) 1,2 1,20 1,2000 1,02 c) 17,5 9,099 6,09 9,1 d) 0,2088 0,0882 2,008 0,08 e) 125,99 12,995 125,9 125,099

f) 1,4

g) 0,25

3 12 4 8 2 8

0,8 40 200

5 8

{tevila v njem urejena v padajo~em vrstnem redu. 1. seznam:

2,3 2,31

2. seznam: 1

210

28 10

3,09 3,22 4,05 4,1

2,9

301 100

m ali 0,4 m d) 3 4 Katere {tevke lahko zapi{e{ v kvadratek, da bodo

izjave pravilne? a) 2,34 > 2,33 b) 0, 3 < 0,3 c) 2,70 2 < 2,719 d) 0,0 9 < 0,09 e) 1,1 < 1,2 5 Koliko decimalnih {tevil z dvema decimalnima

4 Seznama {tevil združi v enega tako, da bodo

mestoma je med 2,2 in 2,3? Koliko decimalnih {tevil, zapisanih s tremi decimalnimi mesti, je med 2,2 in 2,3?

4,19

310 3,99 310

Pojasni, kako si uredil {tevila.

(triin{estdeset)

Števila

Se{tevamo decimalna {tevila ^e znamo se{tevati naravna {tevila, tudi z decimalnimi {tevili nimamo težav. Gotovo si si že ogledal kak{en ra~un iz trgovine. Decimalna {tevila so tam podpisana in pisno se{teta.

Majina družina je na izletu nabirala borovnice. Doma so stehtali, koliko je kdo nabral. Maja je nabrala 1,2 kg borovnic, o~e 1,93 kg in mama 0,99 kg. Maja je izra~unala, koliko borovnic so nabrali vsi skupaj. Ker ni vedela, kako naj se{teva z decimalnimi {tevili, je zapisala:

Maja je nekaj ~asa opazovala decimalna {tevila na levi strani. Opazila je, da bi pri pisnem se{tevanju teh {tevil dobila prav enake {tevilke, le decimalno vejico bi morala zapisati.

Decimalna {tevila pisno se{teje{ tako, da jih zapi{e{ v stolpi~. Poravna{ jih tako, da so decimalne vejice natanko ena pod drugo. Se{teva{ od desne proti levi, pazi{ na prenos in zapi{e{ v vsoti decimalno vejico, ko pri se{tevanju preide{ z desetin na enice. ^e imajo {tevila razli~no {tevilo decimalnih mest, lahko na manjkajo~a mesta na desni dopi{e{ ni~le. Izra~unajte vsoto {tevil 1,05, 12,3, 0,008, 15 in 1,010. 1,05 + 12,3 + 0,008 + 15 + 1,010 =

Vsota ima najve~ toliko decimalnih mest, kolikor jih ima se{tevanec z najve~ decimalnimi mesti.

1 ,0 5 0 + 12,3 0 0 + 0 , 0 0 8 + 15, 0 0 0 + 1 , 0 1 0 29, 3 6 8

Števila poravnamo tako, da so decimalne vejice natan~no ena pod drugo. Ker ima eno {tevilo tri decimalna mesta, ostalim {tevilom dopi{emo ni~le. Ni~le, zapisane desno v decimalnem {tevilu, ne spremenijo vrednosti {tevila. ^e ti je tako lažje ra~unati, jih dopi{e.

Zakoni in pravila se{tevanja naravnih {tevil veljajo tudi za decimalna {tevila: Ra~une preveri sam.

• ^e pri{tejemo 0, se {tevilo ne spremeni: 4,098 + 0 = 4,098 • Velja zakon o zamenjavi: 5,38 + 0,07 = 0,07 + 5,38 • Velja zakon o združevanju: (4,2 + 6,01) + 0,08 = 4,2 + (6,01 + 0,08)

({tiriin{estdeset)

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Na pamet se{tej {tevila v parih.

a) 4,5 + 0,6 8,04 + 2,06 6,5 + 0,65 0,09 + 1,09 0,92 + 0,6

1 Tine si je za malico kupil sendvi~: žemljo, 10 dag

1,1 + 9,9 3,07 + 0,94 4,6 + 6,4 7,73 + 0,8 0,7 + 0,85

pr{uta in 10 dag sira. Koliko je pla~al za sendvi~? žemlja 0,65 €

2 Pisno se{tej.

a) 13,0900 + 1,9 45,08 + 0,02 0,68754 + 12,673 0,04097 + 1,800 23,89 + 110,009

b) 432,9 + 5,943 + 0,05 70,92 + 126 + 0,0067 236,9 + 46,090 + 8,898 33,99 + 0,0393 + 93,9 0,834 + 234,9 + 18,80349 c) 0,00945 + 12,05 + 23,9030 + 0,093 + 1,1 56,008 + 1,15 + 10,056 + 0,982 + 100,9 0,005 + 0,0203 + 1,09090 + 10,09 + 0,111 12,2 + 0,0999 + 1,08 + 0,191 + 111 2,456 + 0,3099 + 5,02 + 1,910 + 0,0089

3 Luka ima naslednje karton~ke:

sir 12,21 € za 1 kg pr{ut 31,50 € za 1 kg 2 Se{tej deseti{ke ulomke. Rezultat zapi{i z

decimalnim {tevilom in deseti{kim ulomkom. 2 15 a) + 10

100

7 8 + 1000 b) 10 34

78 1000

+ c) 100

+ + d) 100 10

32 100

12 + e) 10

12 1000

12 100

3 Babica je pripravila nadev za potico. Zme{ala je

0,58 kg orehov, 18 dag medu, 5 dag sladkorja in 15,5 dag mleka. Koliko tehta skleda z nadevom, ~e prazna skleda tehta 350 g?

Sestaviti mora dva ra~una se{tevanja dveh decimalnih {tevil tako, da bo najprej njuna vsota najve~ja, potem pa najmanj{a. Za decimalni {tevili mora uporabiti vseh pet {tevk. Pomagaj mu. 4 So vsote prave? Kjer niso, jih popravi.

2,22 + 0,22 = 2,244 3,033 + 3,303 = 6,636 4,44 + 0,44 + 4,04 = 8,82 0,32 + 2,03 + 3,2 = 5,505 7,09 + 0,9 + 0,709 = 7,699

4 Nekaj {tevk manjka. Izra~unaj {tevke in jih zapi{i

na ~rtice tako, da bo ra~un pravilen.

(petin{estdeset)

Števila

Decimalna {tevila množimo in delimo z 10n [tevilo 10 je osnova deseti{kega sistema. Deset manj{ih enot zdru`imo v ve~jo enoto. 10 E = 1 D 10 D = 1 S 10 · 1 = 10 10 · 10 = 100 Enako velja tudi za enote, manj{e od enice. 10 d = 1 E 10 s = 1 d 10 t = 1 s 10 · 0,1 = 1 10 · 0,01 = 0,1 10 · 0,001 = 0,01 Množenje z 10 pomeni, da postane {tevilo 10-krat ve~je. Deseti{ke enote se pove~ajo: desetine v enice, enice v desetice ... S D E

· 10 · 102 · 103

s 5

Množenje z 102 pove~a deseti{ke enote za dve mesti. Množenje z 10n pove~a deseti{ke enote za n mest.

t dt

3,45 · 10 = 34,5

0,0023 · 100 = 0,23 12,35000 · 105 = 1235000

premik za 1 mesto

premik za 2 mesti

Deljenje z 10 pomeni, da postane {tevilo 10-krat manj{e. Deseti{ke enote se pomanj{ajo: enice v desetine, desetine v stotine ...

Množenje decimalnega {tevila z 10 n ohrani {tevke, vejico pa premakne v desno za n mest.

Deljenje z 102 pomanj{a deseti{ke enote za dve mesti. Deljenje z 10n zmanj{a deseti{ke enote za n mest. 34,5 : 10 = 3,45

235,7 : 100 = 2,357 123,5 : 105 = 0,001235

premik za 1 mesto S D E 1

premik za 2 mesti

: 10 : 102 : 103

Pri pretvarjanju merskih enot množimo ali delimo s potencami {tevila 10.

1,2 cm = mm Ker ima centimeter 10 milimetrov, velja: 1,2 cm = (1,2 · 10) mm = 12 mm

2,5 dℓ = mℓ 2,5 dℓ = (2,5 · 100) mℓ = 250 mℓ

34,5 mm = m Ker ima meter 1000 milimetrov, velja: (34,5 : 1000) m = 0,0345 m 45 dag = kg (45 : 100) kg = 0,45 kg

({estin{estdeset)

premik za 5 mest

t dt

Deljenje z 10 n ohrani {tevke, decimalno vejico pa premakne v levo za n mest.

premik za 5 mest

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Zmnoži.

a) 4,5 · 10 0,22 · 10 0,09 · 10 1,010 · 10 15,09 · 10

1 a) Kilogram sira stane 12,75 €. Koliko stane

b) 0,22 · 100 2,02 · 100 0,09 · 100 10,01 · 100 2,1 · 100

c) 4,2 · 1000 0,9 · 1000 1,01 · 1000 34,01 · 1000 1,870 · 1000

2 Koli~nik zapi{i z decimalnim {tevilom.

a) 24 : 10 320 : 10 67 : 10 71 : 10 1001 : 10

b) 301 : 100 546 : 100 1023 : 100 54 : 100 3030 : 100

c) 32400 : 1000 78099 : 1000 346 : 1000 959 : 1000 20876 : 1000

10 dag sira? b) Liter soka stane 0,79 €. Koliko stane 1 dℓ soka? c) 100 mℓ zobne kreme stane 2,49 €. Koliko stane liter zobne kreme? d) Stekleni~ka s 100 mℓ parfuma stane 18,75 €. Koliko stane toliko stekleni~k, da dobi{ liter parfuma? 2 Katero operacijo ozna~uje krogec?

3 Zapi{i {tevila, ki so 10-krat, 100-krat in 1000-krat

ve~ja od spodnjih {tevil. a) 6,0 0,2 15,003 1,010 0,09 b) 45,07 0,032 9,09 10,01 0,0909 4 Zapi{i {tevila, ki so 10-krat, 100-krat in 1000-krat

manj{a od spodnjih {tevil. a) 34,9 15,004 0,01 0 101,1 b) 0,909 156,08 10,10 0,8009

1,1101

1 kg, 22 m, 15 ℓ, 18 dag in 5 g? Koliko je ena stotina od 1 t, 31 dag, 17 hℓ, 1 km, 34 g?

6 Katera {tevila spadajo v kvadratke, da bodo ra~uni

pravilni? = 450 a) 4,5 · =1 0,01 · = 56700 56,7 · = 10,1 1,01 · = 0,205 0,0205 ·

b) 10,01 · = 1001 0,020 · =2 15,009 · = 1500,9 0,99 · = 99 80,80 · = 808

7 Katera {tevila spadajo v kvadratke, da bodo ra~uni

pravilni? = 2,01 a) 20,1 : = 0,00105 0,105 : = 0,0109 1,09 : = 0,1 100 : = 0,1205 12,05 :

a) z milimetri: 0,125 m, 30,2 cm, 0,5 dm, 0,93 km b) z grami: 2,03 kg, 0,25 t, 0,001 t, 25,9 dag c) z decimetri: 0,254 km, 1,02 km, 6,09 m, 25,8 m d) z mililitri: 0,01 cℓ, 2,5 dℓ, 0,05 ℓ, 3,2 cℓ 4 Koli~ine izrazi z ve~jo enoto.

5 Koliko je ena desetina od

3 Koli~ine izrazi z manj{o enoto.

b) 56,1 : = 0,00561 0,08 : = 0,008 1,1 : = 0,011 125,9 : = 0,1259 3,33 : = 0,0333

a) s kilogrami: 45 dag, 4 g, 67 mg b) s kilometri: 805 mm, 32 cm, 6 dm c) s hektolitri: 45 ℓ, 50 dℓ, 9 mℓ, 13 cℓ d) s tonami: 580 kg, 3 kg, 25 dag 5 Množenje in deljenje sta enakovredni operaciji,

zato ra~unaj od leve proti desni. a) 0,05 · 105 : 100 b) 1,29 : 1000 · 107 c) 13,098 : 104 : 10 · 100 d) 0,101 · 104 : 102 · 105 Dobro si oglej za~etno {tevilo in kon~ni rezultat. Katero operacijo mora{ izvesti, da iz za~etnega {tevila dobi{ rezultat? Zapi{i jo. Poi{~i zvezo med ra~unskimi operacijami pri vsakem ra~unu posebej. Zapi{i pravilo in ga preveri na treh svojih primerih.

(sedemin{estdeset)

Števila

Od{tevamo decimalna {tevila O~e bo naredil okvir za sliko. Ima okrasno letev, dolgo 2,3 m in {iroko 3 cm. Izmeril je, da je dolžina slike 22 cm, {irina slike pa 18 cm. O~e premisli: Letve morajo biti dalj{e od robov slike, da jih bom lahko sestavil v vogalih. Letev mora biti na vrhu in dnu slike za 3 cm dalj{a od roba slike. 22 cm + 2 · 3 cm = 28 cm 18 cm + 2 · 3 cm = 24 cm Potrebujem torej 2 letvi, dolgi 28 cm, in dve letvi, dolgi 24 cm. K o~etu pride sin s svojo risbo in želi, da tudi njegovi risbi naredita okvir. Izmerita, da je dolžina risbe 16 cm in {irina risbe 12,5 cm. 1,04 – 0,81 = 4 81 = 1 100 – 100 = 104 81 = 100 – 100 = 104 – 81 23 = 100 = 100 = 1,84

Ali bo o~e lahko naredil oba okvirja? Koliko letve mu bo {e ostalo? Za sliko: 2 · 28 cm + 2 · 24 cm = 104 cm = 1,04 m Za risbo: 2 · (16 cm + 2 · 3 cm) + 2 · (12,5 cm + 2 · 3 cm) = 44 cm + 37 cm = 81 cm = 0,81 m Skupaj za oba okvirja: 1,04 m + 0,81 m = 1,85 m Ostanek letve: 2,3 m – 1,85 m = 230 cm – 185 cm = 45 cm = 0,45 m Pretvorimo v centimetre.

Zapi{emo v metrih.

Zapi{imo {e od{tevanje v pisni obliki:

230 – 185 45

zapis z decimalnimi {tevili

2,30 – 1,85 0,45

Odgovor: O~e bo lahko naredil oba okvirja. Ostalo mu bo {e 0,45 m letve. Napravi preizkus.

23,784 – 7,800 15,984 11,500 – 0 ,067 11,433 0,94520 – 0,03287 0,91233

(osemin{estdeset)

Decimalni {tevili pisno od{teje{ tako, da ju zapi{e{ v stolpi~. Decimalni vejici morata biti ena pod drugo. Nato od{teva{ od desne proti levi, pazi{ na prenos in zapi{e{ decimalno vejico, ko pri od{tevanju preide{ z desetin na enice. ^e imata {tevili razli~no {tevilo decimalnih mest, na manjkajo~a mesta na desni lahko dopi{e{ ni~le. •

^e od {tevila od{tejemo 0, se njegova vrednost ne spremeni. 5,9 – 0 = 5,9

•

Zakon o zamenjavi za od�tevanje ne velja.

•

Zakon o združevanju za od�tevanje ne velja.

•

Od{tevanje je nasprotna operacija se{tevanja. 8,3 – 2,5 = 5,8 5,8 + 2,5 = 8,3

•

Se{tevanje in od{tevanje sta enakovredni operaciji.

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Od{tej na pamet.

a) 5,6 – 0,8 13,9 – 6,8 9,5 – 1,9 12,3 – 0,6 1,1 – 0,7

1 Od{tej in napravi preizkus.

a) 12,05 – 10,99 6,78 – 4,19 10,9 – 0,89 2 – 0,89 13,05 – 8,88

b) 2,09 – 0,66 3,81 – 0,57 10,18 – 5,7 15,06 – 9,3 24,8 – 7,92

2 Od{tej pisno in napravi preizkus.

a) 13,09 – 8,57 2,09 – 0,81 26,9 – 0,08 0,5 – 0,09 12,01 – 0,98

b) 20,202 – 3,333 130,341 – 87,589 5,72 – 0,092 8,123 – 3,801 15,09 – 7,316

3 Trije vnuki so dedku pomagali obirati jabolka.

Vsak je dobil svojo ko{aro. Najprej so stehtali prazne ko{are. Ko so jabolka obrali, so stehtali {e polne ko{are. Prazna ko{ara

Polna ko{ara

Peter

2,05 kg

24,7 kg

Tine

1,75 kg

18,9 kg

Ga{per

1,9 kg

23,65 kg

Kdo je nabral najve~ jabolk in kdo najmanj?

b) 101,04 – 9,009 0,909 – 0,09 50,8953 – 7,049 56,01 – 0,999 11,03 – 5,9832

2 Izra~unaj. Rezultat zapi{i z decimalnim {tevilom in

deseti{kim ulomkom. 23 – 5 a) 100

123 b) 10

100

–

234 – c) 100

29 100 65 1000

67 98 + 100 d) 10 629 – e) 10

–

34 100

+ 37 10

765 1000

–

92 1000

3 Izra~unaj. Pri ra~unanju uporabi ra~unske zakone.

a) 6,7 – 3,75 + 5,3 + 0,9 – 0,25 b) 3,04 + 6,2 – 0,03 + 0,86 – 1,17 c) 12,9 – 5,07 + 0,01 – 2,3 + 0,1 – 0,7 d) 0,99 + 1,01 – 0,09 – 0,01 + 1,91 – 0,9 e) 4,05 + 0,9 – 2,55 – 1,9 + 1,15 + 0,1 4 Nekaj {tevk manjka. Izra~unaj {tevke in jih zapi{i v

kvadratke tako, da bo rezultat pravilen.

4 Kmetija Vrh ima skupaj 30,8 ha povr{ine. Njive

merijo 9,25 ha, travniki 12,8 ha in vrt 0,42 ha. Preostanek predstavlja gozd. Kolik{no povr{ino kmetije predstavlja gozd?

5 Pojasni s primerom:

Razlika dveh decimalnih {tevil ima najve~ toliko decimalnih mest, kot jih ima {tevilo z najve~ decimalnimi mesti v ra~unu.

5 Od{tej. Prvi~ ra~unaj po vrsti, drugi~ najprej

se{tej od{tevance in nato od{tej skupno vsoto od zmanj{evanca. a) 89,04 – 0,0093 – 5,309 – 2,8001 b) 1,109 – 0,2 – 0,002 – 0,222 c) 178,45 – 3,03 – 56,1 – 18 – 0,2008 d) 0,989 – 0,05 – 0,21 – 0,089 e) 12,09 – 3,08 – 0,369 – 4,401

5,7

0,8

4,9

1,09

3,2

Med zapisana {tevila v krogce vstavi + ali – tako, da bo rezultat ra~una a) ~im bližji 10 b) ~im bližji 1

(devetin{estdeset)

{tevila

[tevila Števila

Približna vrednost decimalnega {tevila V vsakdanjem življenju pogosto ne uporabljamo to~nih vrednosti, ampak približne vrednosti, �e posebno takrat, ko bi za to~no vrednost potrebovali preve~ decimalnih mest.

^e uporabljamo približke, je tudi rezultat približek.

Lažje si zapomnimo {tevilo z manj {tevkami. Z njim tudi lažje ra~unamo na pamet.

Število zaokrožimo na ni~ decimalnih mest. Decimalno {tevilo

23,13

0,7

1,96

Zaokroženo {tevilo

0,5 0

1 1

1,5

2,5

ê je {tevka na mestu desetin manj{a od 5, je zaokroženo {tevilo enako celemu delu decimalnega {tevila. ê je {tevka ve~ja ali enaka 5, potem je zaokroženo {tevilo za 1 ve~je od celega dela decimalnega {tevila. [tevilo z veliko decimalnimi mesti opisuje zelo natan~no meritev, to pa v vsakdanjem življenju ni vedno smiselno. ê merimo telesno vi{ino, merimo najve~ na centimeter natan~no. Zapis vi{ine z milimetri ni smiseln. Postopek za zaokroževanje decimalnega {tevila na stotine, tiso~ine ... je enak, kot pri zaokroževanju na desetine, le mesto zaokroževanja se spremeni.

Decimalno {tevilo zaokrožimo na desetine. ^e je {tevka na mestu stotin 0, 1, 2, 3 ali 4, {tevilo zakrožimo na ni~ stotin. ^e pa je {tevka ve~ja od 5, {tevilo zaokrožimo na deset stotin. To pomeni, da pri{tejemo eno desetino. 2,99 ≐ 3,0 3,14 ≐ 3,1 5,09 ≐ 5,1 Pravimo, da smo {tevilo zaokrožili na eno decimalno mesto. Približek ozna~imo s piko nad ena~ajem.

(sedemdeset)

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Decimalnim {tevilom poi{~i najbližje celo {tevilo.

a) 5,67 8,09 b) 10,09 0,67 c) 0,49 2,5

120,7 1,199 9,09

26,90 15,888 4,49 0,09 22,789 30,65

2 Najprej oceni vrednost ra~una s celim približkom

in nato izra~unaj to~en rezultat. Kolik{no napako si naredil, ko si uporabil približek? a) 4,592 + 2,09 b) 23,9 – 4,67 6,809 + 13,222 27,09 – 5,6 0,89 + 0,62 200,345 – 145,9 234,99 + 67,829 56,6 – 37,5 3 Zaokroži na eno decimalno mesto.

a) 65,48 3,093 12,783 0,6235 0,09 b) 5,2 3 0,09 10,009 8,001 c) 234,9 2,22 0,99 1,87 20,02 4 Preveri, ali so zaokrožitve pravilne. Popravi

napake. a) Zaokroženo na desetine: 2,89 je približno 2,8 0,78 je približno 1 5,034 je približno 5,03 0,98 je približno 1 10,897 je približno 10 b) Zaokroženo na stotine: 3,083 je približno 3,08 15,808 je približno 15,8 0,023 je približno 0,02 2,239 je približno 2,23 0,90909 je približno 1 5 Kolesar je v 18 minutah prevozil 7,8 km. Oceni,

koliko celih kilometrov bi prevozil v eni uri. Izra~unaj {e to~no vrednost.

1 Smiselno zaokroži izmerjene koli~ine.

a) Dolžina vrtne poti je 6,754 m. b) Trata pred hi{o meri 25,265 m2. c) V kozarec smo nalili 2,675 dℓ soka d) Nato~ili smo 43,98 ℓ bencina. 2 Zaokroži {tevila

4,54 0,908 101,0934 15,0909 20,01111 na eno, dve in tri decimalna mesta. Primerjaj zaokrožene vrednosti. Kdaj so zaokrožena {tevila enaka? 3 Na koliko decimalnih mest smo zaokrožali

naslednja {tevila? 12,09 je približno 12. 0,983 je približno 1. 2,0349 je približno 2,03. 9,98 je približno 1. 2,897 je približno 2,9. Ali je možnih ve~ pravilnih odgovorov? 4 Merske naprave prikažejo meritve glede na svojo

natan~nost. Majina osebna tehtnica prikaže maso v kilogramih, Petrina tehtnica pa meri na 100 g natan~no. ^e prikaže Majina tehtnica 56 kg, katere vrednosti vse lahko prikaže Petrina tehtnica?

5 Natan~nost meritev: Razi{~i, kako natan~ne so

naslednje meritve: a) ~asa na smu~arskih tekmah b) teko~ine pri odmerkih zdravil c) ~asa pri tekih na kratke proge d) mase pri kuhinjskih tehtnicah

(enainsedemdeset)

Za mno`enje decimalnih {tevil potrebujemo le znanje po{tevanke. 34,7 cm

Matej ima igralno dirkalno stezo, ki jo sestavi iz razli~nih odsekov. Vsak ravni odsek meri natanko 34,7 cm. Koliko je dolga steza, sestavljena iz 5 ravnih odsekov? 34,7 cm · 5 = Pretvorimo v milimetre, izra~unajmo in pretvorimo v centimetre: 347 mm · 5 1735 mm 1735 mm = 173,5 cm 34,7 cm · 5 Zapi{imo ra~un {e z decimalnimi {tevili: 173,5 cm Odgovor: Steza je dolga 173,5 cm. Zmnožek decimalnega {tevila z naravnim {tevilom ima toliko decimalnih mest, kolikor jih ima množenec. 2

� 1

�

2340,9 · 9 21068,1

�

507,89 · 35 152367 253945 17776,15

�

45,856 · 305 137568 0 229280 13986,080

�

O~e bo pognojil trato, ki je {iroka 3,5 m in dolga 5,7 m. Sinu Petru je naro~il, naj izra~una povr{ino trate, da bo pravilno dolo~il koli~ino gnojila. Petru decimalke niso v{e~, zato pretvori metre v decimetre. Na koncu rezultat pretvori nazaj v metre.

35 dm · 57 dm 175 245 1995 dm2 = 19,95 m2 Ugotovitev o množenju decimalnih {tevil:

Peter opazi: 3,5 m · 5,7 m = 19,95 m2 Rezultat ima dve decimalni mesti!

Zmnožek dveh decimalnih {tevil je decimalno {tevilo, ki ima toliko decimalnih mest, kolikor jih imata skupaj obe decimalni {tevili, ki ju množimo. Mno`enje z 0 izpustimo.

Na za~etek dopi{emo 0.

(dvainsedemdeset)

�

5=3+2

3=2+1

60,05 · 0,987 54045 48040 42035 59,26935

�

0,065 · 6,82 390 520 130 0,44330

�

3. V rezultatu dodaj decimalno vejico na ustrezno mesto.

4,05 · 12,9 405 810 3645 52,245

�

2. Pre{tej decimalna mesta v obeh faktorjih.

�

2 1. Zmnoži, kot da ni decimalnih mest.

�

Števila

Množimo decimalna {tevila

5=2+3

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Zmnoži na pamet.

a) 0,02 · 0,3 0,12 · 0,05 1,1 · 11 0,07 · 0,02 0,002 · 0,5

1 Zmnoži.

0,15 · 2 0,7 · 0,8 0,3 · 200 30 · 0,3 0,07 · 700

2 Zmnoži.

a) 5,78 · 9 12,057 · 14 8,6 · 35 2 · 0,673 23 · 89,36

8,46 · 565,22 0,9908 · 6,0078 4,09 · 0,409 0,447 · 235,9 50,5 · 0,909

2 Kje mora biti decimalna vejica v spodnjih

0,633 · 629 0,07204 · 347 65 · 234,98 120 · 50,80 5,89 · 3020

12,08 · 7,2 9,8 · 5,03 3,8 · 7,62 0,05 · 0,8 0,89 · 1,04

3 Zmnoži.

a) 4,5 · 2,9 0,6 · 3,5 5,1 · 0,91 3,2 · 1,83 45,9 · 0,9

a) 6,09 · 0,4 23,940 · 45,962 0,0809 · 0,340 23,098 · 0,45 200,09 · 329,09

4 Jabol~ni sok smo preto~ili 23 steklenic po

0,75 ℓ. Koliko litrov smo preto~ili? 5 Dolžina in {irina prve sobe sta 3,55 m

in 256 cm, druge pa 2,85 m in 3,15 m. Katera soba ima ve~jo povr{ino in za koliko? 6 Trgovina ogla{uje prodajo ra~unalnika. Cena je

599,90 €, ~e pla~a{ na obroke, pa 101,83 € + 24,60 € · 24. Kdaj pla~amo ve~ in za koliko? 7 Koliko je 4265 · 2098?

Sedaj lahko hitro zapi{e{ {e rezultate spodnjih ra~unov. a) 42,65 · 2,098 b) 426,5 · 2,098 c) 4,265 · 0,2098 d) 0,4265 · 0,02098 e) 0,04265 · 209,8

rezultatih ra~unov? Dopi{i jo. a) 12,3 · 5,02 = 61746 b) 2,5 · 0,4 = 10 c) 9,0 · 0,04 = 36 d) 2,05 · 4,4 = 902 e) 10,3 · 0,5 = 515 f) 2,08 · 12,55 = 26104 3 Na vsak meter pe{~ene poti posujemo 7,25 kg

kremen~evega peska. Koliko peska posujemo po dveh poteh, ~e sta njuni dolžini 320,8 m in 237,75 m? 4 Spodnja {tevila najprej množi tako, da vsak

vmesni rezultat zaokroži{ na eno decimalno mesto. Drugi~ izra~unaj natan~en zmnožek. Za koliko se rezultata razlikujeta? a) 4,6 · 7,8 · 5,9 · 3,2 b) 0,9 · 3,7 · 5,5 · 1,8 c) 2,4 · 4,2 · 3,9 · 9,3 5 Soba je {iroka 3,2 m in dolga 4,3 m. Talno oblogo

prodajajo v zvitkih, ki so {iroki 4 m. 1m obloge stane 44,40 €. Koliko metrov je moramo kupiti in koliko bo stala talna obloga za celo sobo? 6 Ali velja enakost?

a) 3,52 · 1,01 = 35,2 · 0,101 b) 87,2 · 0,02 = 8,72 · 2 c) 3,050 · 11,09 = 30,5 · 1,109 d) 0,07 · 0,089 = 0,7 · 0,0089

(triinsedemdeset)

Števila

Deljenje naravnih {tevil Razi{~imo, kako ostanek deljenja dveh naravnih {tevil povežemo z ulomkom.

Ponovimo deljenje z 10 in 100: 314 : 10 = 31,4

314 : 100 = 3,14

Velja tudi:

Zapi{imo deljenje z ulomkom:

314 : 10 = 31, ost. 4

314 : 10 =

31,4

314 : 100 = 3, ost. 14

314 : 100

= 3,14

+ 314 = (31 · 10 4) = 31 4 = 10 10 10 314 (3 · 100 + 14) = 3 14 = 100 = 100 100

Sedaj delimo s {tevilom, razli~nim od 10: 29 : 7 = 4, ost. 1 21 : 5 = 4, ost. 1 Ra~un deljenja lahko zapi{emo tudi z ulomki: Pomembni decimalni ulomki so: 1 2

= 0,5

1 4

= 0,25

1 5

= 0,2

1 8

= 0,125

29 7

(4 · 7 + 1) 7

1 7

21 5

(4 · 5 + 1) 5

1 5

Ostanek 1 predstavlja v prvem ra~unu {tevec ulomka 1 ra~unu pa {tevec ulomka 5 .

1 , 7

v drugem

Rezultat deljenja naravnega {tevila z naravnim {tevilom lahko zapi{emo s celim delom in ulomkom, manj{im od 1. ^e je ulomek deseti{ki, lahko rezultat deljenja zapi{emo z decimalnim {tevilom. ·2

29 : 7 = 4

1 7

21 : 5 = 4

1 5

2 10

= 4,2

·2

Tu je {e nekaj primerov.

ulomek ni deseti{ki

deseti{ki ulomek

34 : 5 = 6, ost. 4

34 : 5 = 6

4 5

8 10

= 6,8

15 : 2 = 7, ost. 1

15 : 2 = 7

1 2

5 10

= 7,5

46 : 5 = 9, ost. 1

45 : 5 = 9

1 5

2 10

= 9,2

37 : 2 = 18, ost. 1

37 : 2 = 18

1 2

= 18

5 10

= 18,5

24 kg sladkorja želimo porazdeliti v 5 enako težkih vre~. Koliko bo tehtala vsaka vre~a? 24 kg : 5 = 4 kg, ost. 4 = 4

4 kg 5

8 kg 10

Odgovor: Vsaka vre~a bo tehtala 4,8 kg.

({tiriinsedemdeset)

= 4,8 kg

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Izra~unaj in zapi{i koli~nik z decimalnim {tevilom.

a) 15 : 2 38 : 5 27 : 5 35 : 2 101 : 2

c) 405 : 2 342 : 5 375 : 5 4385 : 2 9313 : 2

d) 231 : 2 403 : 2 1201 : 5 2046 : 5 999 : 2

231 : 2 403 : 2 1201 : 5 2046 : 5 999 : 2

2 Zapi{i z decimalnim {tevilom. 1 , a) 2

2 , 3 , 4 , 5 2 2 2 2

1 , 2 , b) 4 4 1 , c) 8

3 , 4 , 5 4 4 4

2 , 3 , 4 , 5 8 8 8 8

1 , 2 , d) 16 16

3 4 5 , , 16 16 16

3 Deli 568, 407 in 2309 s potencami 102, 103 in

104. Rezultate deljenja zapi{i z decimalnimi {tevili in jih predstavi v tabeli. 4 Kmet ima 5 vre~ krompirja, ki so razli~no težke.

Krompir želi porazdeliti v 5 vre~ tako, da bo teža vseh enaka. Koliko bo tehtala vsaka vre~a?

1 Rezultat deljenja zapi{i v obliki celega dela in

ulomka. a) 65 : 6 29 : 7 75 : 9 8 : 16 17 : 16

b) 115 : 3 198 : 18 100 : 8 289 : 9 303 : 4

c) 409 : 4 3721 : 15 3870 : 8 328 : 12 6582 : 6

d) 2516 : 8 5042 : 4 6328 : 7 2709 : 9 1382 : 6

2 Vodo z okusom prodajajajo v dveh pakiranjih. V

kateri ponudbi je en liter vode cenej{i? 6 plastenk po 1,5 ℓ 8 € 12 plastenk po 0,5 ℓ 7 € 3 Zapi{i ulomke v obliki celega dela in ulomka. 45 , 135 , a) 16 7 423 , b) 27 505

, c) 9

203 , 344 , 593 12 15 9

909 , 1023 , 1492 , 2376 18 24 35 7 715 , 645 , 2381 , 23090 225 50 11 15

4 Ra~une deljenja je prekrila packa. Ostali so le

rezultati. Zapi{i vsaj en ra~un, ki ustreza rezultatu.

a) 17,8 kg, 16,9 kg, 18 kg, 18,2 kg, 17,1 kg b) 16,3 kg, 18 kg, 17,7 kg, 17,9 kg, 18,1 kg c) 19 kg, 17,4 kg, 18,3 kg, 17,8 kg, 18,5 kg 5 Ana in Jure sta dobila vsak po 25 € žepnine. Ana

je porabila ~etrtino, Jure pa polovico žepnine. Koliko evrov je porabil vsak? Naslednjo žepnino dobita ~ez 10 dni. Koliko evrov na dan lahko porabi vsak od njiju do naslednje žepnine, ~e vsak porabi enako?

(petinsedemdeset)

Števila

Deljenje decimalnih {tevil z naravnim {tevilom Mama zavija novoletna darila. Za {tiri enake pentlje ima okrasni trak, ki meri 5,24 m. Kako dolge trakove naj nare`e?

V vsakdanjem življenju velikokrat delimo na dele koli~ine, ki niso zapisane z naravnimi {tevili.

5,24 m = 524 cm 524 cm : 4 = 131 cm = 1,31 m 5,24 m : 4 = 1,31 m

Mama je dala Petru in Maji dve ~okoladi in pol. Vsak je dobil eno celo ~okolado in polovico polovi~nega kosa. To je ~etrtina ~okolade. 2,5 : 2 = 1,25

Odgovor: Trakovi naj bodo dolgi 1,31 m. Razdelimo 232,26 na tri enake dele. 232,26 : 3 =

23226 100

:3=

23226 : 3 100

232,26 : 3 = 77,42 22 Tu je na vrsti vejica 12 6 25 : 4 = 6, ost. 1 1 : 4 = 14 = 0,25 25 : 4 = 6 + 0,25 = 6,25 34

3,4 : 5 = 10 : 5 =

34 : 5 10

6,8 10

7742 100

= 77,42

Decimalno {tevilo delimo z naravnim {tevilom tako, kot delimo naravna {tevila. Decimalno vejico vpi{emo v rezultat na mesto, ko v postopku deljenja pridemo do nje.

Decimalno {tevilo, ki nima celega dela, za~nemo deliti pri {tevki, razli~ni od 0. Za~etno 0 in vejico prepi{emo. = 0,68

0,564 : 4 = 0,141 16 4

0,0381 : 3 = 0,0127 8 21

Kaj naredimo, ~e se deljenje ne izide? Deljenec si predstavljamo zapisan z dodanimi ni~lami in deljenje nadaljujemo. Deljenje se ne kon~a, ker se ostanki ponavljajo.

44 : 7 = 6,28571428... 20 6 0 4 0 5 0 1 0 3 0 2 0 6 0

({estinsedemdeset)

25 : 4 = 6,25 3,3 : 8 = 0,4125 10 10 20 20 40 Nekatera deljenja se ne kon~ajo. Ostanek se za~ne ponavljati. Ve~ decimalnih mest izra~unamo, natan~nej{i je izra~un. 27,4 : 6 = 4,566... 3 4 4 0 4 0

10 : 3 = 3,33... 1 0 1 0

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Izra~unaj.

1 Deli in napravi preizkus.

a) 8,4 : 3 45,57 : 7 102,04 : 4 32,874 : 6 8,5605 : 5

b) 5,4 : 6 45,6 : 8 20,04 : 2 4,005 : 3 23,0902 : 7

c) 23 : 5 102 : 4 0,34 : 6 3,21 : 6 82,6 : 4

2 Paket {estih plastenk stane 5,52 €. ^e kupim

samo eno plastenko, pa moram pla~ati 0,89 €. Za koliko je ena plastenka pija~e cenej{a, ~e jo kupim v paketu? 3 368 : 16 = 23. Uporabi rezultat in brez ra~unanja

zapi{i {e naslednje rezultate. 36,8 : 16 0,368 : 16 3,68 : 16 0,0368 : 16

b) 889 : 4 459 : 12 510 : 8 352,69 : 13 1309,2 : 24

2 Izra~unaj.

a) 216 : 45 213 : 20 522 : 15 43 : 32 854 : 16

b) 0,0558 : 12 4,0608 : 24 23,808 : 12 24,6 : 25 14,8095 : 15

c) 567,24 : 12 10883,34 : 26 32,7074 : 11 60,0856 : 20 3426,89 : 15

3 Branjevka na tržnici prodaja jajca. Za {est jajc je

4 Kje bi morala biti decimalna vejica v rezultatu, da

bi bili ra~uni pravilni? Zapi{i jo. a) 12,5 : 5 = 25 b) 400,5 : 45 = 89 0,96 : 3 = 32 5,472 : 12 = 456 11,7 : 9 = 13 1,44 : 12 = 12 2,46 : 6 = 41 34,5 : 15 = 23 1,21 : 11 = 11 138,88 : 56 = 248

treba pla~ati 0,96 €, za deset jajc pa 1,12 €. V kateri ponudbi kupec za eno jajce pla~a manj?

4 Katera deljenja se ne kon~ajo?

5 Na gimnasti~nem tekmovanju so sodelovale

prijateljice Ma{a, Ana in Špela. Ocene, ki so jih dobile, so zapisane v tabeli:

a) 95,1 : 2 40,3 : 5 122 : 4 117 : 6 74,2 : 4

Parter

Dvovi{inska bradlja

Preskok

Gred

Ma{a

8,7

8,0

7,9

7,4

Ana

8,5

7,2

8,6

7,5

[pela

7,8

8,3

7,7

8,6

Skupna ocena, ki je dolo~ila vrstni red, je bila izra~unana kot vsota vseh {tirih ocen, deljena s {tiri. Kak{en je bil vrstni red deklet?

a) 909 : 8 73,4 : 9 1094 : 11

b) 94,4 : 7 4125 : 13 25 : 8

5 [tudentki Martina in

Brina sta teden dni po~itnikovali skupaj. Vsaka si je zapisala skupne stro{ke, ki jih je pla~ala. Ob koncu po~itnic sta stro{ke delili na polovico. Katera je pla~ala med po~itnicami ve~? Koliko ji mora prijateljica vrniti?

(sedeminsedemdeset)

Števila

Deljenje z decimalnim {tevilom Spoznali bomo, kako delimo z decimalnim {tevilom. Spomni se: ^e deljenec in delitelj pomnožimo z enakim {tevilom, se koli~nik ne spremeni. 12 : 6 = 2 Deljenec in delitelj pomnožimo z 10. 120 : 60 = 2 Deljenec in delitelj pomnožimo s 100. 1200 : 600 = 2

^e delimo z decimalnim {tevilom, manj{im od 1, je koli~nik vedno ve~ji od deljenca.

3 ℓ soka smo prelili v kozarce, ki držijo deciliter in pol. Koliko kozarcev smo napolnili? Nalogo re{imo z deljenjem: Obe koli~ini zapi{emo v isti enoti. Pomnožimo deljenec in delitelj z 10: Preverimo pravilnost re{itve:

3 ℓ : 1,5 dℓ = 30 dℓ : 1,5 dℓ = 300 : 15 = 20 1,5 dℓ · 20 = 30 dℓ = 3 ℓ

Odgovor: Napolnili smo 20 kozarcev. Deljenje z decimalnim {tevilom Deljenec in delitelj pomnožimo s tako veliko potenco {tevila 10, da postane delitelj naravno {tevilo. Nato delimo po pravilu za deljenje decimalnega {tevila z naravnim {tevilom. 4,509 : 0,3 =

0,0372 : 1,2 =

568 : 2,4 =

45,09 : 3 = 15,03 0,372 : 12 = 0,031 5680 : 24 = 236,66... 15 3 88 160 0 37 9 12 160 160 Rezultat: 4,509 : 0,3 = 15,03

Rezultat: 0,0372 : 1,2 = 0,031

Rezultat: 568 : 2,4 = 236,66... ≐ 2,6

Ostanek se je za~el ponavljati. Sklepamo lahko, da se deljenje ne kon~a. Rezultat zapi{emo le z nekaj decimalnimi mesti. ^rtica nad 6 pomeni, da se {tevka ponavlja.

Tu je {e nekaj primerov deljenja: Dobro je, da znamo vnaprej oceniti rezultat deljenja, predvsem velikostni red koli~nika. Bo manj{i od 1, manj{i od 100, mogo~e ve~ji od 10, ve~ji od 100?

(oseminsedemdeset)

4 : 0,01 = 400 : 1 = 400 0,4 : 0,1 = 4 : 1 = 4 0,04 : 0,01 = 4 : 1 = 4 0,004 : 0,1 = 0,04 : 1 = 0,04

17 : 5 = 3,4 16,8 : 4,8 = 3,5 17 : 50 = 0,34 1,68 : 4,8 = 0,35 : = 1700 : 50 = 34 16,8 0,48 35 170 : 0,5 = 340 168 : 0,48 = 350

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Izra~unaj na pamet.

1 V zapisanih ra~unih je nekaj napak. Popravi jih.

a) 56 : 0,7 125 : 0,5 16 : 0,8 64 : 0,8 150 : 0,3

b) 0,03 : 0,1 0,3 : 0,01 3 : 0,001 0,3 : 0,1 0,03 : 0,01

c) 1,5 : 0,3 2,7 : 0,09 0,36 : 0,6 0,95 : 0,5 210 : 0,07

d) 4,4 : 0,22 0,33 : 1,1 7,5 : 2,5 12,1 : 0,011 0,0125 : 2,5

2 V posodi je 2,75 ℓ sadnega soka. Mark vsako jutro

a) 0,49 : 0,7 = 7 b) 0,0036 : 0,6 = 0,6 c) 1,75 : 7 = 2,5 d) 85,6 : 8 = 0,107 e) 10,125 : 0,5 = 2,025 2 Izra~unaj koli~nik vsote in razlike {tevil 4,5 in 2,7. 3 Oceni, ali bo rezultat ve~ji ali manj{i od 1 in 10.

a) od 1: b) od 10:

a) Množenje z 10 je enako kot deljenje z 0,1. b) Deljenje z 0,5 je enako kot množenje z 2. c) Množenje s 5 je enako kot deljenje z 0,2. d) Množenje s 4 je enako kot deljenje z 0,25. Izra~unaj: 7 : 0,2 15 : 0,5 1 : 0,25 41 : 0,2 8 : 0,25 13 : 0,5

3 Kam mora{ postaviti decimalno vejico v rezultatu,

5 Najprej oceni koli~nik, nato ga izra~unaj.

a) 6,27 : 0,5 12,09 : 3,7 2,56 : 0,49 82,93 : 0,79 0,034 : 0,81

4 Izra~unaj.

a) 0,48 : 1,2 2 : 0,04 4 : 1,5 0,8 : 4 30 : 0,03

b) (2,97 + 0,58) : 0,4 (3,05 + 0,264) : 0,08 (0,423 – 0,302) : 0,11 (1,209 – 0,375) : 1,2 (1,48 + 5,09) : 0,3

5 Izra~unaj. ^e je le mogo~e, ra~unaj na pamet.

a) 2,55 : 0,5 4 : 0,08 0,56 : 0,08 12,6 : 0,03 0,96 : 40

b) 6,06 : 0,202 1,21 : 0,011 0,06 : 0,4 0,036 : 1,2 56,8 : 0,08

9 : 8,9 17,8 : 0,99

4 Razi{~i na {tevilskih primerih, ali velja naslednje:

spije 1,25 dℓ soka. Za koliko dni mu bo zado{~ala posoda soka? da bodo ra~uni pravilni? a) 56,7 : 7 = 81 b) 0,372 : 1,2 = 31 c) 10,24 : 0,04 = 256 d) 4,707 : 9 = 523 e) 19,248 : 8,02 = 24

2,3 : 0,5 2 : 2,315 : 25,3 0,09 3,5 : 0,2

b) 10, 012 : 0,18 57,021 : 0,83 13,6956 : 0,303 0,01238 : 0,018 0,06156 : 0,114

6 Zapi{i ulomke z decimalnimi {tevili. Zaokroži jih

na eno decimalno mesto. 2 , a) 3

7 , 8 , 7 , 5 8 9 9 9

2 , 3 , b) 11 13

6 , 11 , 1 7 15 20

7 Spomni se, da je ulomek lahko tudi drug zapis

deljenja, in izra~unaj, kateremu decimalnemu {tevilu so spodnji ulomki enakovredni.

3,3 + 1,2 4 7,5 – 3,2 + 0,2 1,4 – 0,5

6,2 + 2,4 – 4,4 10 12,9 – 3,4 – 4 2,3 + 3,2

(devetinsedemdeset)

Števila

[tevilski izrazi z decimalnimi {tevili [tevilske izraze smo do sedaj ra~unali z naravnimi {tevili. Ker smo {tevilsko znanje raz{irili na decimalna {tevila, bomo sedaj ra~unali tudi z njimi. Ponovi, kaj je {tevilski izraz.

Ponovimo vrstni red ra~unanja v {tevilskih izrazih: •

•

^e so vse operacije v izrazu enakovredne, ra~unamo od leve proti desni. Najprej izra~unamo tisto, kar stoji v oklepaju. ^e je oklepajev ve~, najprej izra~unamo vrednosti v notranjih oklepajih, nato v zunanjih. Ko v izrazu ni oklepajev, najprej potenciramo, nato množimo in delimo, nazadnje se{tevamo in od{tevamo.

Izra~unajmo {tevilski izraz: (4,3 + 3,8) · 1,1 – (6,7 – 3,3) : 0,5 = Nari{emo diagram:

Izra~unamo: (4,3 + 3,8) · 1,1 – (6,7 – 3,3) : 0,5 = = 8,1 · 1,1 – 3,4 : 0,5 = = 8,91 – 6,8 = = 2,11

Pomožne ra~une sproti zapisujemo v zvezek ob glavni ra~un. 28,5 · 12 2850 560 341,0

19,25 · 16 = 3 = 20 · 16 – · 16 = 4 = 320 – 12 = 308

342 + 308 650

836,7 – 650 186,7

V vodnem zbiralniku je bilo v~eraj zjutraj 8,367 hℓ vode. Kmet je ~ez dan zajemal vodo iz zbiralnika z dvema vedroma – z velikim vedrom za 28,5 ℓ in z manj{im za 19,25 ℓ. Iz zbiralnika je odnesel 12 ve~jih in 16 manj{ih veder. Pono~i je deževalo in v vodnem zbiralniku se je koli~ina vode ~ez no~ pove~ala za desetino. Koliko vode je bilo v zbiralniku danes zjutraj? Najprej vse koli~ine zapi{emo z isto enoto, z litri: 8,367 hℓ = 836,7 ℓ Zapi{emo izraz o spreminjanju koli~ine vode v zbiralniku. 1 · (836,7 – 28,5 · 12 – 19,25 · 16) = (836,7 – 28,5 · 12 – 19,25 · 16) + 10 = (836,7 – 28,5 · 12 – 19,25 · 16) + (836,7 – 28,5 · 12 – 19,25 · 16) : 10 = = (836,7 – 342 – 308) + (836,7 – 342 – 308) : 10 = = 186,7 + 186,7 : 10 = = 186,7 + 18,67 = = 205,37 Odgovor: V zbiralniku je bilo danes zjutraj 205,37 ℓ vode.

(osemdeset)

Naloge 1 Izra~unaj.

a) 3,2 + 1,06 · 5 : 10 4 + 3,12 – 0,1 · 3 3,03 + 1,1 : 0,2 – 2,45 : 5 0,52 + 0,5 · 3,2 – 0,4 + 6,24 : 0,3 0,4 · 0,8 : 0,1 + 1,09 – 0,8 : 2

b) 0,4 · (0,3 + 0,03) + 3,3 – 2,1 (1,5 + 3,05) + 2,1 · (0,9 – 0,09) 6,3 + 2,2 · (4,1 – 2,1 : 0,7) + 0,7 · 0,1 (2,3 + 0,23) · (6,32 – 2,2 · 1,1) + 0,06 (0,3 + 0,18) : 0,22 – 0,96 : (2,64 – 2,24)2

2 S prikazom je predstavljen {tevilski izraz. Zapi{i

izraz in ga izra~unaj.

Re{ujemo probleme 1 Izra~unaj.

a) 10 : (3,2 – 6,6 : 2,2) + (0,1 – 0,001) : 0,09 b) 4,2 : 0,07 + 0,42 : 0,2 · 3,9 : 0,13 c) (1,25 + 0,15) · 1,5 – (16 : 0,8 – 8 : 0,8) · 0,01 d) (3,2 : 0,8 · (1,2 + 0,9)) : (0,1 + 1,3 · 3) e) 4,5 – 0,2 · (1,3 + 0,8) + 0,5 · 1,1 – 4,9 : 7 2 Spretno izra~unaj. Pri ra~unanju uporabi zakon o

raz~lenjevanju. a) 0,5 · 2,2 + 3,1 · 0,5 + 0,5 · 3,2 b) 2,5 · 6,2 + 2,5 · 0,8 – 2,5 · 4,5 c) 0,2 · 5,1 – 2,1 · 0,2 + 1,1 · 0,2 d) 4,2 · 0,3 + 0,6 · 0,8 – 0,44 · 0,3 e) 0,8 · 0,2 + 1 + 0,4 · 0,3 – 0,2 · 1,1 3 V izrazih manjkajo oklepaji. Kam jih mora{

3 Spretno izra~unaj. Pri ra~unanju uporabi zakon o

raz~lenjevanju. a) 4,2 · 3,8 – 2,3 · 3,8 + 0,2 · 1,6 + 3,2 · 1,6 b) 6,2 · 2,1 + 2,1 · 3,9 – 0,7 · 2,1 + 4,9 · 1,5 c) 0,2 · 0,8 + 0,6 · 2,2 + 0,8 · 3,1 – 1,2 · 0,6 d) 5,2 · 7,1 + 2,1 · 6,2 – 7,1 · 4,9 – 6,2 · 1,9 e) 3,3 · 2,2 + 4,4 · 6,6 – 2,2 · 2,2 – 5,5 · 4,4 4 Zapi{i {tevilski izraz in ga izra~unaj.

a) Koli~niku {tevil 0,32 in 0,8 pri{tej njun zmnožek. b) Zmnoži vsoto in razliko {tevil 5,6 in 3,9. c) Deli vsoto {tevil 8,3 in 4,1 z razliko {tevil 5,2 in 4,8. d) Od zmnožka {tevil 8,6 in 0,2 od{tej njun koli~nik. e) Zmnoži zmnožek in koli~nik {tevil 3,9 in 0,13.

postaviti, da bodo ra~uni pravilni? a) 2,3 + 3,1 · 0,2 + 1,1 = 2,18 b) 0,2 · 0,3 + 1,2 – 0,4 · 1,5 = 1,8 c) 1,1 – 0,2 · 0,5 – 2,3 – 1,4 = 0,1 d) 0,6 + 1,2 : 0,1 – 0,2 · 1,6 = 2,56 e) 3 · 1,2 – 0,3 – 0,1 + 0,3 · 0,2 = 3,7 4 V prazna polja vstavi {tevila 0,05, 0,5, 1, 0,1 in

0,01 tako, da bo vrednost izraza + · + : a) najmanj{a b) najve~ja Ali lahko z uporabo oklepajev vrednost {e zmanj{a{ oziroma pove~a{? 5 Trgovec je v me{anico kav zme{al 10,2 kg ene

vrste, 30,5 kg druge in 24,2 kg tretje vrste. Cena za kilogram prve kave je 8,85 €, druge 9,12 € in tretje 10,05 €. Koliko bo trgovec zaslužil, ~e bo kilogram me{anice prodajal po ceni 10 €?Zapi{i {tevilski izraz in ga izra~unaj. Ra~unaj na dve decimalni mesti natan~no.

(enainosemdeset)

Števila

Odnosi med koli~inami Dve koli~ini sta lahko med seboj povezani. Pove~anje ene koli~ine lahko povzro~i pove~anje druge koli~ine – ve~ hru�k ve~ stane.

Koli~ini sta v premem sorazmerju, kadar dvakratno, trikratno, {tirikratno ... pove~anje ene koli~ine povzro~i dvakratno, trikratno, {tirikratno ... pove~anje druge koli~ine. Tiskalnik izpi{e 80 strani v 1 minuti in 40 sekund. Koliko strani bo izpisal v 3 minutah in tri ~etrt? 80 strani ............. 1 minuta 40 sekund = 100 s strani ............. 3 minute 45 sekund = 225 s Sklep: V 100 sekundah se izpi{e 80 strani. V eni sekundi se izpi{e (80 : 100) = 0,8 strani. V 225 sekundah se izpi{e 225 · (80 : 100) strani: 225 · 0,8 strani = 180 strani Odgovor: V 225 sekundah tiskalnik izpi�e 180 strani. Koliko ~asa tiskalnik izpisuje 120 strani? 80 strani ............. 100 s 120 strani ........... s Sklep: 80 strani izpi{e v 100 sekundah. Eno stran izpi{e v (100 : 80) = 1,25 sekundah. 120 strani izpi{e v 120 · (100 : 80) sekundah: 120 · 1,25 s = 150 s = 2 min 30 s

Hranilna vrednost 100 g kuhane ajdove ka{e: 450 kJ oz. Energ. vrednost 105 kcal Beljakovine 4,0 g 20,3 g Ogljikovi hidrati 1 g Ma{~obe 2 g Prehranske vlaknine Za vse na{tete koli~ine izra~unaj, koliko jih je v zavoj~ku.

Odgovor: Tiskalnik izpi{e 120 strani v 2 minutah in pol. V zavoj~ku je ~etrt kilograma ajdove ka{e. Iz 60 g ka{e dobimo po osnovnem navodilu 200 g kuhane ka{e. Koliko ka{e lahko skuhamo iz celega zavoj~ka? 60 g ka{e iz {katle ........................... 200 g kuhane ka{e 1 kg 4

= 250 g ka{e iz {katle .............

g kuhane ka{e

Sklep: Iz 1 g ka{e skuhamo (200 : 60) g ≐ 3,3 g ka{e. Iz 250 g ka{e skuhamo 250 · (200 : 60) g = 250 · 3,3 g = 825 g ka{e Odgovor: Iz ~etrt kilograma ka{e v zavoj~ku dobimo 825 g kuhane ka{e.

(dvainosemdeset)

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Tiskalnik izpi{e na minuto 65 vrstic. Koliko vrstic

izpi{e v 1 uri? Na tiskalnik smo `eleli izpisati poro~ilo, dolgo 1000 vrstic. Po 9 minutah pisanja je pri{lo do napake in tiskalnik je nehal delati. Koliko vrstic je ostalo neizpisanih? 2

1 Zalivalka drži 10,5 ℓ. S tremi zalivalkami in pol

napolnimo ~etrtino kadi. Koliko litrov drži kad? 2 Miha je v banki kupil za 350 € danskih kron. Za

jard

meter

0,9144

1,8288

2,7432

3,6576

Izdelaj tabelo, kjer bo{ zapisal dolžine 1 m, 2 m, 3 m in 4 m v jardih.

3 Za vsako plastenko, ki jo prinese, dobi Peter

nekaj centov. Ko je prinesel 43 plastenk, je dobil 2,15 €. Koliko denarja je dobil, ko je v trgovino vrnil 123 plastenk? Koliko plastenk je vrnil, ~e je dobil 6,75 €? 4 Na 150 km dolgi vožnji porabi avtomobil 12,6 ℓ

bencina. a) Koliko litrov bencina porabi na 100 km, 1 km, 50,5 km? b) Koliko kilometrov prevozi z 1 ℓ, 7 ℓ, 10 ℓ bencina?

1 € je dobil 7,4525 DKK. Koliko kron je dobil? Na Danskem je za kosilo pla~al 335,35 DKK. Koliko evrov je stalo kosilo? 3 Ob cesti so delavci postavljali robnike. ^e bi bili 1

robniki dolgi 1 2 m, bi jih potrebovali 630. Koliko 1 robnikov dolžine 1 4 m potrebujejo? 4 V eni uri in 15 minutah prite~e iz vodnega izvira

213,75 hℓ vode. Koliko vode prite~e v 5 urah? V kolik{nem ~asu bo iz izvira priteklo 285 hℓ vode? 5 Za pravi odtenek barve zme{amo 10 ℓ bele barve

in 0,5 ℓ rumene barve. Koliko rumene barve potrebujemo za enak odtenek, ~e imamo 7 ℓ bele barve? Koliko bele in koliko rumene barve je zme{ano v 21 ℓ barve enakega odtenka? Zapi{i razmerje rumene in bele barve. 1

6 Vedro, napolnjeno z vodo do , tehta 1,6 kg. 4

Koliko tehta do polovice napolnjeno vedro, ~e tehta vedro 0,2 kg?

5 Na na~rtu so vhodna vrata

{iroka 1,6 cm. Prava {irina vrat je 0,8 m. Koliko so visoka vrata na na~rtu, ~e je vi{ina vrat 2,1 m? Kolik�ne so mere okna, ki je na tem na~rtu {iroko 0,8 cm in visoko 1,5 cm?

(triinosemdeset)

Števila

Raziskovanje odnosov med koli~inami Razdelimo torto na toliko enakih kosov, kolikor otrok jo bo jedlo. Ve~ ko bo otrok, manj�i kos bo dobil vsak.

Dve koli~ini sta v obratnem sorazmerju, kadar dvakratno, trikratno, {tirikratno ... pove~anje ene koli~ine povzro~i dvakratno, trikratno, {tirikratno ... zmanj{anje druge koli~ine.

Dva vrtnarja sta za ureditev mestnega parka potrebovala 24 ur. Koliko ur bi za urejanje mestnega parka potrebovali trije vrtnarji? 2 vrtnarja ..... 24 ur 1 vrtnar ...... 2 · 24 ur 3 vrtnarji ....... (2 · 24) : 3 ur 2 vrtnarja .... 24 ur 1 vrtnar ....... 48 ur 3 vrtnarji ...... 12 ur

2 vrtnarja ............. 24 ur 3 vrtnarji .............. ur Sklep: Trije vrtnarji bi opravili delo hitreje. ^e bi delal en sam vrtnar namesto dveh, bi porabil dvakrat toliko ~asa kot dva vrtnarja. Torej bi en vrtnar porabil 2 · 24 ur = 48 ur. ^e bi delali trije, bi vsak opravil tretjino dela, ki bi ga opravil en sam vrtnar. Trije vrtnarji, ki bi delali skupaj, bi skupaj porabili 3-krat manj kot en vrtnar: 48 ur : 3 = 16 ur Odgovor: Trije vrtnarji bi mestni park uredili v 16 urah. Koliko vrtnarjev je delalo, ~e je bil park urejen v 12 urah? 2 vrtnarja ............... 24 ur vrtnarjev ........... 12 ur

2 vrtnarja ..... 24 ur 1 vrtnar ...... 48 ur (2 · 24) : 12 vrtnarjev ...... 12 ur

Sklep: Dva vrtnarja delata 24 ur. Za ureditev mestnega parka je potrebnih 48 delovnih ur, torej en vrtnar dela 48 ur. Ker so si vrtnarji delo razdelili in je vsak delal 12 ur, je bilo vrtnarjev 48 : 12 = 4. = (2 · 24) : 12 = 4 Odgovor: V 12 urah so park uredili 4 vrtnarji.

({tiriinosemdeset)

Naloge 1 S traktorjem pobere kmet koruzo na njivi

v 5 urah. Koliko ~asa bi za isto njivo porabila kmet in njegov sin z dvema traktorjema, ~e bi delala enako hitro?

Re{ujemo probleme Najprej premisli, ali v nalogi nastopa premo ali obratno sorazmerje. 1 Stari dolžinski meri sta ~evelj in palec.

1 ~evelj = 0,316 m, 1 palec = 2,54 cm Naslednje dolžine pretvori v metre. a) 2 ~evlja 3 palci b) 3,5 ~evlja 1 palec 8 ~evljev 2 palca 0,6 ~evlja 2,8 palca 12 ~evljev 7 palcev 10,9 ~evlja 0,75 palca

2 Bazen~ek napolnimo, ~e prinesemo 15 {tirilitrskih

veder vode. Koliko veder vode bi morali prinesti, ~e bi imeli vedra za 3 ℓ, 5 ℓ ali 6 ℓ vode, da bi napolnili isti bazen~ek? 3 Mama je kuhala borovni~ev sok. Napolnila je 30

pollitrskih steklenic. Koliko 0,75-litrskih steklenic bi napolnila z isto koli~ino soka? 4 V enem dnevu skoplje delavec luknjo, {iroko 2 m,

dolgo 2 m in globoko 2 m. Koliko ~asa potrebujejo 3 delavci, da skopljejo luknjo, {iroko 4 m, dolgo 4 m in globoko 4 m, ~e delajo enako hitro?

Koliko palcev je 1 ~evelj? Koliko ~evljev in koliko palcev si visok?

2 Bazen napolnimo z vodo iz

dveh cevi v 2 urah. Koliko ~asa bi potrebovali za polnjenje, ~e bi imeli {e eno cev? Voda priteka po vseh ceveh enako hitro. 3 Razmisli, ali sta koli~ini premo sorazmerni,

5 Novakovi so {tiri~lanska družina. Imajo okroglo

mizo. Vsak ~lan ima pri kosilu svojo ~etrtino prostora za mizo. Kadar povabijo na obisk babico in vsi skupaj sedijo pri kosilu, se njihovi prostori spremenijo. Kolik{en del mize ima na voljo vsak? Kolik{en del svojega prostora je vsak ~lan družine odstopil babici?

obratno sorazmerni ali ni~ od tega. Ob vsaki situaciji si zamisli nekaj primerov. a) obseg kvadrata in njegova stranica b) dolžina poti in hitrost hoje c) naravno {tevilo in {tevilo vseh njegovih deliteljev d) {tevilo delavcev in ~as opravljenega dela e) plo{~ina kvadrata in dolžina stranice f) {tevilo dobitnikov in vrednost dobitka pri igri na sre~o 4 ^e segrejemo `elezno palico za 1 °C, se podalj{a 12

za 106 svoje dol`ine. Za koliko se podalj{a 10 m dolga palica, ~e jo segrejemo za 10 °C? 5 Prvi stroj izdela 108000 zama{kov v 9 urah, drugi

stroj jih izdeluje dvakrat po~asneje. Koliko ~asa izdeluje drugi stroj 108000 zama{kov? Koliko ~asa potrebujeta stroja za izdelavo 108000 zama{kov, ~e delata oba hkrati?

(petinosemdeset)

Števila

Besedilne naloge Teta Magda se zelo rada pogovarja po telefonu. Ima naro~ni{ko razmerje pri Telefon~ku. Nekatere njene prijateljice imajo naro~ni{ko razmerje pri Mobil~ku. Najmanj koliko minut bi se morala teta Magda pogovarjati s prijateljicami v drugem omrežju, da bi bilo zanjo ugodno skleniti naro~ni{ko razmerje �e pri Mobil~ku? Telefon~ek

Mobil~ek

Mese~na naro~nina

7,05 €

8,13 €

Minuta pogovora znotraj omrežja

0,07 €

0,06 €

Minuta pogovora v druga omrežja

0,13 €

0,12 €

1. korak: Uredimo podatke iz naloge. Podatki so pregledno prikazani s tabelo, zato jih ni treba ponovno izpisovati. 2. korak: Razmislimo, kaj nas naloga spra{uje. Zanima nas, koliko minut pogovora v drugo omrežje stane teto Magdo enako kot naro~nina pri Mobil~ku in minute pogovora v omrežju Mobil~ek. 3. korak: Izdelamo postopek re{evanja. Primerjali bomo ceno pogovorov v drugo omrežje pri Telefon~ku z vsoto naro~nine pri Mobil~ku in cene istega {tevila minut pogovorov v omre`ju Mobil~ek. Re�itev je �tevilo minut, pri katerih postaneta naro~nina in cena pogovorov pri Mobil~ku nižji kot cena pogovorov pri Telefon~ku. 4. korak: Ra~unamo. Ozna~imo z x {tevilo minut pogovorov v omrežje Mobil~ek. Zapi{imo problem v matemati~nem jeziku, z neena~bo:

cena pogovorov iz Telefon~ka v Mobil~ek

naro~nina in pogovori v Mobil~ku

x · 0,13 € > x · 0,06 € + 8,13 € x

ℕ

Tabelirajmo neena~bo. Recimo, da teta Magda govori s prijateljicami v drugem omrežju 120 minut. Poglejmo {e, kaj se zgodi z neena~bo pri 125 in 115 minutah. x x · 0,13 x · 0,06 + 8,13

Znak neenakosti se je obrnil. Re{itev i�~emo med 115 in 120.

125

16,25

15,63

120

15,6

15,33

115 116 117

14,95 15,08 15,21

< < >

15,03 15,09 15,15

Iz tabele razberemo, da je re{itev 117 minut. ^e teta Magda govori s prijateljicami v drugem omrežju manj kot 117 minut, se ji naro~ni{kega razmerja pri Mobil~ku ne spla~a imeti. ^e pa govori na mesec ve~ kot 117 minut, je zanjo ugodneje imeti obe naro~ni{ki razmerji. 5. korak: Preverimo pravilnost re{itve. Zapi{emo odgovor. S postopnim re{evanjem in zapisovanjem rezultatov v tabelo smo sproti preverjali pravilnost re{itve. Odgovor: Teta Magda bi morala telefonirati v drugem omrežju najmanj 117 minut, da bi bilo zanjo ugodno imeti naro~ni�ko razmerje �e pri Mobil~ku.

({estinosemdeset)

Naloge 1 Taksist Tone zara~una za prvi kilometer vožnje

0,07 €. Vsak nadaljnji kilometer vožnje stane 0,05 €. Koliko kilometrov je taksist Tone peljal Miha, ~e je ta za vožnjo pla~al 3,50 €?

Re{ujemo probleme 1 U~enci v razredu so se domenili, da bodo

svojemu bolnemu so{olcu v bolni{nico za rojstni dan odnesli darilo. Vsak od 26 u~encev bi prispeval 4,20 €. Toda 6 u~encev se je ob koncu premislilo, zato so ostali sklenili, da bodo prispevali {e dodatno vrednost, vsi enako. Koliko je moral dodati vsak u~enec? 2

2 V papirnici so prodali že zaloge zvezkov. Cena 3

zvezka je 0,53 €. Ostalo jim je {e 125 zvezkov. Koliko denarja so dobili za prodane zvezke?

2 Katero {tevilo je to?

a) ^e {tevilu pri{teje{ njegov dvakratnik in trikratnik, dobi{ 66. b) Trikratnik nekega {tevila je za 5 ve~ji od 10. c) ^e se{teje{ tri zaporedna {tevila, dobi{ 45. 3 Mama je kupila 4 enake majice po 8,95 € in jopico

za 14,75 €. Ko je odhajala iz trgovine, je imela v denarnici {e 5,28 €. Koliko denarja je imela v denarnici, preden je pla~ala izbrana obla~ila?

3 Ob koncu poletne sezone je trgovcu ostalo 96

napihljivih blazin. Sklenil jih je razprodati. V ponedeljek jih je prodal polovico po ceni 5,20 € za kos. V torek je prodal ~etrtino preostalih blazin po 4,40 €, v sredo 16 blazin po 3,80 €, v ~etrtek tri petine preostalih po 3,20 €. V petek je vse blazine, ki so mu {e ostale, prodal po 1,20 €. ^e je na za~etku poletja blazine nakupil po 3,50 €, kolik{en dobi~ek je imel s prodajo vseh 96 blazin?

4 Maja ima zbirko {koljk. Vseh {koljk je 342.

Šestino {koljk je nabrala na po~itnicah v [paniji, ~etrtino na potovanju po Italiji, polovica {koljk je s po~itnic na Jadranu, preostale {koljke so ji podarili prijatelji. Koliko {koljk je dobila v dar?

5 Na rojstnodnevni zabavi sta bili pripravljeni dve

enaki torti, razrezani na 12 kosov. Ob koncu je na 1 prvem pladnju ostalo 5 kosov, na drugem pa 6 kosov. Koliko kosov torte so pojedli? Kolik{en del torte je ostal?

4 O~e se odlo~a za enoletno var~evanje. Izbral

je dve ponudbi. Prva ponudba je taka: ^e na za~etku vloži{ 1500 €, ti banka po enem letu izpla~a 1575 €. Druga ponudba pa pravi: ^e vloži{ 2000 €, dobi{ po enoletnem var~evanju 2090 €. Katera ponudba je ugodnej{a? Kaj zate pomeni ugodnej{a ponudba? 5 Iz kartona izrežemo ~rko H. Kolik{en del kartona

smo odrezali?

(sedeminosemdeset)

Števila

Matemati~ni izrazi S ~rkami zapisujemo besede, z besedami zapisujemo stavke. V matematiki zapisujemo matemati~ne izraze s {tevilkami, ~rkami, znaki za operacije in oklepaji.

Matemati~ni izraz je smiseln zapis {tevil, operacij in ~rk. ^rke predstavljajo spremenljivke. Namesto njih vstavimo {tevila. Isto ~rko vedno zamenjamo z istim {tevilom. Ko zamenjamo vse spremenljivke v izrazu s {tevili, izra~unamo vrednost izraza. Matemati~ni izraz:

Vrednost spremenljivke: Vrednost izraza:

3 · a + 18 – 2 · b

a = 1 b = 0,2 a = 1,5 b = 2 a=0 b=0

3 · 1 + 18 – 2 · 0,2 = 20,6 3 · 1,5 + 18 – 2 · 2 = 18,5 3 · 0 + 18 – 2 · 0 = 18

^e bi vsak mesec v banko shranil enako koli~ino denarja, bi na koncu leta dobil {e polovico mese~nega zneska. Koliko bi imel ob koncu leta, ~e bi shranjeval 10 €, 15 € ali 20 €? Ozna~imo z a mese~ni vložek. Zapi{imo izraz in ga tabelirajmo. mese~ni vložek letni prihranek

a 12 · a +

a 2

125

187,5

250

^e bi shranjeval po 20 €, bi imel na koncu leta 250 €. 20 12 · 20 + 2 =250

Marko se rad igra z vrtavko. Vrtavka ima 6 ploskev: tri ploskve z napisom Daj 3 in tri ploskve z napisom Vzemi 2. Marko je imel 30 žetonov. Zavrtel je vrtavko. Ko se je vrtavka ustavila, je naredil, kar je bilo zapisano na ploskvi, ki se je dotikala mize. Po 10 vrtenjih je imel {e vedno 30 žetonov. Kolikokrat je dal in kolikokrat je vzel žetone? Ozna~imo:

a – {tevilo vrtenj, ko je Marko vzel 2 žetona b – {tevilo vrtenj, ko je Marko dal 3 žetone

Marko je dobil 2 · a žetonov Marko je izgubil 3 · b žetonov Marko je vrtavko zavrtel 10-krat, zato velja: a + b = 10 [tevilo žetonov, ki jih ima Marko po 10 vrtenjih: 30 + 2 · a – 3 · b Marko je imel ob koncu 30 žetonov, zato mora biti vrednost zapisanega izraza 30: 30 + 2 · a – 3 · b = 30 Nalogo bomo re{ili tako, da bomo namesto ~rk a in b v izrazih vstavljali pare {tevil, za katere velja a + b = 10. Dobiva `etone.

Izgublja `etone.

30 + 2 · a – 3 · b

Koliko `etonov ima Marko?

To je re{itev.

Odgovor: Marko je moral 6-krat vzeti in 4-krat dati žetone. 88

(oseminosemdeset)

Ra~unanje s ~rkami Rok re~e Janu: “Zamisli si {tevilo. Pri{tej mu 512, od{tej 311, pri{tej 17 in od{tej svoje {tevilo.” Jan ra~una. Rok pa mu pravi: “Rezultat je 218.” Zakaj pozna re{itev, ~eprav ne pozna izbranega {tevila?

Naloge

Zapi{imo matemati~ni izraz. Ker {tevila, ki si ga je Jan zamislil, ne poznamo, ga bomo ozna~ili s ~rko n. n + 512 – 311 + 17 – n = = n – n + 512 – 311 + 17 = = 512 – 311 + 17 = = 218

Re{ujemo probleme

1 Tabeliraj izraz a : 2 + 10 za vsa soda {tevila,

1 Izra~unaj vrednost izraza.

a) 2 · a + 8, ~e je a = 0,2. b) 6,3 + 3 · b, ~e je 3 · b = 0,1. c) 2 · a + 9 : 3, ~e je 4 · a = 2,2.

manj{a od 20. 2 Izra~unaj vrednost izrazov, ~e je a = 3 in b = 0,2.

a) a · b b) a + b c) a + 2 · b d) a + b2 e) 2 · a + a · b – 4 · b

2 Poi{~i ustrezen matemati~ni izraz in dopolni tabelo.

3 Izra~unaj vrednost izraza

((t + 1,2) · 2 + 4,8 : t · 0,8) – (3,2 + 0,6 · 0,2) · t, ~e je: a) t = 2 b) t = 0,03 2 c) t = fahrenheit (F). Izraza za prera~unavanje sta: 9 F = 5 · C + 32 5 9

· (F – 32)

S tabelo predstavi, koliko °F je 0, 5, 15, 20, 25, 30 in 100 °C. Koliko °C je 41 °F, 113 °F in 176 °F?

Izra~unaj, koliko denarja imata Jan in Karmen, ~e bi imela Maja naslednje zneske a) 12,50 € b) 27,20 € c) 52,45 €

1,2

3,3

0,7

3,5

0,06

0,4

0,5

0,2

4,5

0,1

0,2

1,1

0,003

0,4

4 Izra~unajmo, koliko denarja bomo privar~evali v

banki v 10 letih.

5 Jan ima 5,50 € manj kot Maja, Karmen pa 5-krat

toliko kot Jan. Kateri izraz opisuje, koliko evrov ima Karmen, ~e ima Maja n €? a) 5,50 – 5 · n b) 5 · n – c) n 5,50 d) 5,50 · n – 5 e) 5 · (n – 5,50) f) 5,50 · (n – 5)

spremenljivka in zapi{i izraz. Nato izberi tri {tevilske vrednosti in izra~unaj vrednost izraza. a) Tadej je star dvakrat toliko kot Ma{a. Koliko je star Tadej? b) Marko je za polovico lažji od o~eta. Koliko tehta Marko? c) Sodemu {tevilu pri{tejemo njegov dvakratnik. Kolik{na je vsota?

4 Ameri{ka enota za merjenje temperature je

3 Pozorno preberi besedilo. Premisli, kaj je

V kon~nem rezultatu neznanega {tevila ni. Katero koli {tevilo si zamisli{, vedno je rezultat 218.

G = G0 · (1 + 100 )n

n – {tevilo let var~evanja G0 – za~etni vložek v banko p – obrestna mera

Za~etna vložka naj bosta 1000 € in 2000 €. Za razli~na {tevila n = 1, 2, 3, …, 10 let var~evanja izra~unaj privar~evano vsoto za dve razli~ni obrestni meri, p1 = 2,3 in p2 = 3,7. Re{itev predstavi s tabelo.

(devetinosemdeset)

Števila

Nadaljujmo po pravilu Ponavljanje enakih oblik v vzorcih sre~amo na vsakem koraku: na obla~ilih, na zgradbah, na posodah, v umetnosti, v naravi. Raziskovali bomo ponavljajo~e se vzorce in pravila v njih.

Ko po nekem pravilu zaporedoma ri�emo razli~ne oblike, dobimo zaporedje. Vsaki obliki pripada mesto v zaporedju. Zato jih imenujemo: 1. ~len, 2. ~len, ..., 15. ~len, ..., zaporedja. 1.

Vijaki v vrsti si sledijo po posebnem pravilu. Vsak naslednji vijak je zavrten za 90° v smeri urnega kazalca. Prvi in peti vijak ležita enako, prav tako drugi in {esti. Kako bo obrnjen deveti vijak? 9. ~len

Kako pa bi bil obrnjen 75. vijak v zaporedju? [tirje vijaki v zaporedju pomenijo vse razli~ne lege. Do 75. vijaka je 75 : 4 = 18 skupin po 4 vijake in ostanejo {e trije vijaki. Torej je 75. vijak obrnjen enako, kot je tretji v zaporedju. Na�e zaporedje vijakov pa bi lahko dolo~ili tudi takole: Kako bi nadaljeval narisani zaporedji? Za vsako nari{i naslednji ~len.

1. ~len

Po kak{nem pravilu pa si sledijo ~leni v teh dveh zaporedjih? Kak{en bi bil ~len na 9. mestu in kak{en na 75. mestu? Nari{i ju. Ornamenti na traku so sestavljeni iz osnovnega elementa, ki je ve~krat vzporedno premaknjen.

osnovni element ornamenta Tudi to je zaporedje. Osnovni element ornamenta je en ~len zaporedja. Vsak naslednji ~len je enak. Kolikokrat se na zgornji sliki pojavi osnovni element? 90

(devetdeset)

Naloge 1 Maja je imela bonbone zavite v papir~ke dveh

barv. Polagala jih je v vrsto tako, da je nastajal vzorec.

Re{ujemo probleme 1 Oglej si zaporedje gumbov. Nari{i osnovni ~len in

zapi{i pravilo, kako gradimo zaporedje. a) b)

Nari{i naslednje {tiri bonbone v vrsti. Z besedami opi{i pravilo, po katerem si sledijo bonboni v vrsti.

c) d)

2 Vsak lik predstavlja en ~len zaporedja. Nadaljuj

zaporedje in nariďż˝i ďż˝e dva ~lena. Kaj bi narisal na 20. mestu? a) b)

Za vsako od zaporedij ugotovi brez risanja, samo s sklepanjem, kak{en gumb bo na 20. mestu.

2 Na sliki je nekaj anti~nih ornamentov. V vsakem

poi{~i osnovni element, preri{i ga v zvezek in v zvezku nari{i {e tri zapodene elemente.

c) d) 3 Lik preri{i v zvezek. Dori{i mu {e tri slike tako, da

bo nastal ornament na traku.

4 Nari{i svoje zaporedje. Nari{i vsaj prvih 10

elementov. Z besedami zapi{i pravilo svojega zaporedja.

(enaindevetdeset)

Števila

Številska zaporedja Pozornost bomo namenili zaporedno zapisanim {tevilom, ki si sledijo po nekem pravilu.

[tevilsko zaporedje predstavljajo {tevila, zapisana v vrsto. Navadno zapi{emo prvih nekaj ~lenov zaporedja. Vsak ~len zaporedja ima svoje mesto: 1. ~len, 2. ~len, 3. ~len, ... Vsakemu ~lenu pripada eno {tevilo. Obi~ajno ozna~imo ~lene zaporedja s ~rko a in ustreznim indeksom, ki pove, na katerem zaporednem mestu je ~len:

Zaporedje se za~ne s {tevilom 3. Zapi{i prvih pet ~lenov. Katero {tevilo je na 10. mestu tega zaporedja? Kako lahko z eno besedo poimenuje{ {tevila, ki jih predstavlja to zaporedje?

1. ~len 2. ~len splo{ni ~len a1 a2 … a126 … an

…

Poglejmo si nekaj preprostih zaporedij. Zaporedje naravnih {tevil: 1, 2, 3, 4, 5, … 1. ~len: 1 Pravilo: Pri{tej 1. 2. ~len: 1 + 1 = 2 Pravilo za splo{ni ~len zapi{emo 3. ~len: 2 + 1 = (1 + 1) + 1 = 3 takole: an = an-1 +1 53. ~len zaporedja je {tevilo 53. Na n-tem mestu je {tevilo n. an = n

Prvi ~len: 2 2 2

Pravilo: Množi z 1. Pri�tej 2. Množi z 2.

Za zapisana zaporedja poi�~i 10. ~len zaporedja.

Zaporedje lihih {tevil: 1, 3, 5, 7, … Pravilo: Pri{tej 2. 1. ~len: 1 Pravilo za splo{ni ~len zapi{emo 2. ~len: 1 + 2 = 3 takole: an = an-1 + 2 3. ~len: 3 + 2 = (1 + 2) + 2 = 5 Katero {tevilo je na 15. mestu tega zaporedja? Vsak naslednji ~len je za 2 ve~ji od prej{njega. V 3. ~lenu smo 1 pri{teli 2-krat 2. V 4. ~lenu bi 1 pri{teli 3-krat 2. Torej lahko sklepamo, da bomo v 15. ~lenu 1 pri{teli 14-krat 2. a15 = 1 + 14 · 2 = 29 Torej lahko izra~unamo poljuben ~len zaporedja. a123 = 1 + 122 · 2 = 243 Na n-tem mestu je {tevilo an = 1 + (n – 1) · 2

Splo{nemu ~lenu re~emo tudi n-ti ~len ali poljubni ~len zaporedja.

Zaporedje sodih {tevil: 2, 4, 6, 8, … Pravilo: Pri{tej 2. 1. ~len: 2 Pravilo za splo{ni ~len zapi{emo 2. ~len: 2 + 2 = 4 takole: an = an–1 + 2 3. ~len: 4 + 2 = (2 + 2) + 2 = 6 Katero {tevilo je na 20. mestu? Zapi{i izraz, ki izra~una {tevilo na poljubnem mestu tega zaporedja.

(dvaiindevetdeset)

Naloge 1 Nadaljuj {tevilska zaporedja in zapi{i {e tri ~lene.

Za vsako zaporedje zapi{i tudi pravilo za izra~un naslednjega ~lena zaporedja.

Re{ujemo probleme 1 Zaporedjem v 1. nalogi izra~unaj 20 ~len. 2 Bi znal nadaljevati zaporedje 1, 2, 4,… ? Ali je

možnih nadaljevanj ve~? ^e jih je ve~, zapi{i vsaj dve zaporedji in njuni pravili.

a) 2, 5, 8, 11, 14, …

b) 1, 2, 4, 8, 16, …

c) 2, 7, 12, 17, …

a) an = 1 + 2 · n

d) 1, 2, 4, 7, 11, 16, …

b) an = 2 + n

2 Zapi{i {e pet ~lenov, ~e ve{ naslednje:

a) Prvi in drugi ~len zaporedja sta 1 in 3. Vsak naslednji ~len zaporedja izra~unamo tako, da pomnožimo zadnja dva ~lena.

b) Prvi ~len zaporedja je 1. Naslednji ~len zaporedja izra~unamo tako, da ~len pomnožimo z 2 in od{tejemo 1.

3 V zaporedju je splo{ni ~len podan z izrazom:

c) an = n + 10 · n

Za vsako zaporedje zapi{i prvih 5 ~lenov zaporedja. Katero {tevilo je na 32. mestu v vsakem zaporedju?

4 Narisano je zaporedje miz in stolov, ki se nadaljuje

po nekem pravilu.

1. postavitev:

2. postavitev:

3. postavitev:

Nari{i naslednjo postavitev miz in stolov. Zapi{i pravilo, ki pove, kak{na je naslednja postavitev.

Za vsako postavitev zapi{i, koliko miz in koliko stolov ima. Koliko miz in koliko stolov imata 10. in 25. postavitev?

Koliko miz in koliko stolov ima n-ta postavitev?

3 Zapi{i nekaj ~lenov zaporedja, ki ga dobi{,

~e sledi{ diagramu. Poskusi z ve~ razli~nimi za~etnimi ~leni. Kaj opazi{?

4 Luka je zlagal kocke.

Koliko kock bo potreboval za naslednjo piramido, ~e bo sledil pravilu gradnje? Nari{i jo. Koliko kock bo potreboval za sedmo piramido v zaporedju? Kaj pa za dvajseto? Nikar je ne ri{i, samo izra~unaj!

(triindevetdeset)

Števila

Ra~unamo s kalkulatorjem Za hitro ra~unanje v~asih uporabljamo kalkulator ali žepno ra~unalo. Vgrajen je v mnoge mobilne telefone. Program kalkulator pa najdemo tudi med pripomo~ki na osebnih ra~unalnikih.

Svoj kalkulator mora{ dobro poznati, saj lahko le tako z njim zanesljivo ra~una{. Tu opisani kalkulator se lahko od tvojega razlikuje. Zato {e sam razi{~i svoj kalkulator.

Namesto decimalne vejice uporabljamo na kalkulatorju decimalno piko. Vejica na nekaterih kalkulatorjih lo~uje tiso~ice, milijonice ...

Tja{a in Ga{per ra~unata s kalkulatorjem. 3 · 4,8 – 0,4 · 2,01 = Tja{a tipka po vrsti. Njen rezultat je: Ga{perjevo zaporedje tipk pa je takole: 3 · 4 . 8 – ( 0 . 4 · 2 . 0 1 ) = Njegov rezultat je: Kaj je izra~unala Tja{a?

Kdo je pravilno izra~unal? Ocenimo. V ra~unu nastopajo {tevila, manj{a od 10. Prvi zmnožek bo manj{i od 15. Od njega bomo {e nekaj od{teli. Torej je rezultat {e manj{i. S Tja{inim na~inom je o~itno nekaj narobe. Pri ra~unanju s kalkulatorjem je dobro, da vnaprej ocenimo rezultat. Pri tipkanju se lahko zmotimo, kak{no tipko pritisnemo ve~krat, kak{no premalo ali nismo pozorni na vrstni red operacij, pa je rezultat napa~en. Kako bi ra~unali z ulomki?

Ulomek predstavlja deljenje.

3 4

5 8

Vtipkamo zaporedje:

Razmisli, zakaj potrebujemo oklepaj.

({tiriindevetdeset)

Re{ujemo probleme

Naloge 1 Katero je najve~je {tevilo, ki ga lahko zapi{e{ na

svoj kalkulator? Katero je najmanj{e {tevilo, ki ga tvoj kalkulator prikaže? 2 ^e ima{ možnost, razi{~i razli~ne vrste

kalkulatorjev. Katere razlike si opazil pri ra~unanju z njimi? 3 Izra~unaj s kalkulatorjem.

a) (56 + 3,2) · 7,9 + 5,6 : 0,72

b) 3,02 · 0,53 – 0,56 · (3,1 – 0,09)

c) (0,22 + 3,09)2 – 0,5 · (0,3 + 2,07) (3,4 + 2,9) : 0,3 + 0,8 · 0,07 · 1,2)

d) 0,5 · (3,4 – 8,9

kalkulatorjem, ne da bi uporabil oklepaje. Spomni se ra~unskih zakonov.

a) 2,3 + 5,8 – 0,09

b) 12,78 · 0,9 + 78,56

c) 0,006 : 0,987 + 123,5

d) 56,345 – 4,4534 : 12,78

4 Uporabi kalkulator in ulomke zapi{i z decimalnim

{tevilom. Po potrebi rezultat zaokroži na tri decimalna mesta. 4 a) 5

6 7

12 14

4 9

3 8

12 b) 5

24 9

35 6

16 3

25 6

a) (1,2 + 3,05) · 2,1

b) 0,4 + 9,8 : 0,2

c) (0,5 – 0,29) : 0,5

d) (2,3 + 3,6) · (8,09 – 0,9)

3 Na kalkulatorju se ti pokvari tipka za vnos 2. Kako

bo{ izra~unal naslednje ra~une? Zapi{i postopek.

5 Izra~unaj s kalkulatorjem in rezultat zaokroži na

dve decimalni mesti.

a) 34,67 + 4,893 · 6,703

b) 67,9 – 8,9 · 456,02

c) 563,89 · (471,96 – 34,8 · 2,846)

d) (67,8 : 23,5 + 45,9) · 7,7

a) 25,9 + 13,09

b) 12,5 · 0,2

c) 0,23 – 0,56 · 0,56

d) 8,205 : 0,5

4 Na kalkulatorju se ti pokvari tipka za decimalno

6 Razi{~i, kako delujejo tipke.

a) % Kaj mora{ vtipkati, da izra~una{ 25 % od 200? 1

b) x 1

Kaj mora{ vtipkati, da izra~una{ 17 ?

2 Najprej oceni rezultat in nato izra~unaj s

1 Izra~unaj s kalkulatorjem.

c) yx Kak�no je zaporedje tipk, ~e želi� izra~unati 253?

vejico. Kako bo{ izra~unal zapisane ra~une? Zapi{i postopek.

a) 0,089 + 12,5

b) 23,09 : 0,2

c) 0,89 – 0,056

d) 2,09 · 0,827

5 Nekatere ra~une lahko hitreje izra~unamo na

pamet kot s kalkulatorjem. Bi jih znal tudi ti?

a) 66 + 47 + 34 + 53

b) 25 · 32 · 125

c) 199999 + 19999 + 1999 + 199 + 19

(petindevetdeset)

merjenje

0,80 m

1,50 m

r 1,15 m

50 째 30 째

1,10 m

({estindevetdeset)

2,80 m

1,20 m

Le kdo bi mi znal v na~rt za vrt vrisati vse moje želje?

Merjenje

Želim si vrt: – z vsaj petimi velikimi drevesi, – s travnikom za igro, – s teraso za son~enje, – z mizo za kosilo s prijatelji v senci drevesa, – z nizkimi cveto~imi grmi, – s tlakovanimi stezicami – in z odprtim pogledom z enega konca vrta na drugega.

(sedemindevetdeset)

Ponovimo merske enote Ve~ina merskih enot vsebuje v imenu predpone deci-, centi- ali mili-, pa tudi kilo-, deka-, mega-, giga- ali tera-. Ti izrazi povedo, kolikokrat je enota ve~ja ali manj{a od osnovne enote. Deci- pomeni 10-krat manj, zato je 1 deciliter = 0,1 litra. Centi- pomeni 100-krat manj, zato je 1 centimeter = 0,01 metra. Mili- pomeni 1000-krat manj, zato je 1 milimeter = 0,001 metra in 1 mililiter = 0,001 litra. Deka- pomeni 10-krat ve~, zato je 1 dekagram = 10 gramov. Kilo- pomeni 1000-krat ve~, zato je 1 kilometer = 1000 metrov in 1 kilogram = 1000 gramov. Mega- pomeni milijonkrat ve~, zato je 1 megabajt enako milijon bajtov (ang. byte).

merjenje

Dolžina Enote za merjenje dolžine so meter (m), decimeter (dm), centimeter (cm), milimeter (mm) in kilometer (km). Z njimi merimo razdaljo, dolžino, {irino, globino, debelino in vi{ino. 1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 m = 1000 mm

1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm 1 dm = 100 mm

1 km = 1000 m

Jakob potrebuje za tehni~ni svin~nik minice, debele 0,5 mm. Majin rde~i flomaster pi{e ~rte debeline 0,7 mm. Katera ~rta bo debelej{a, Majina ali Jakobova? Pretvori v zapisano enoto: 0,5 m = cm 2,3 dm = cm 123 mm = cm

34 m = dm 5678 cm = dm 12000 mm = dm

34567 m = km 0,07 km = m 56,07 cm = mm

Plo{~ina in povr{ina Merske enote za plo{~ino likov in povr{ino teles so kvadratni meter, kvadratni decimeter, kvadratni centimeter, kvadratni milimeter in za ve~je povr{ine tudi kvadratni kilometer. 1 m2 = 100 dm2 1 dm2 = 100 cm2 2 2 1 m = 10000 cm 1 dm2 = 10000 mm2 1 m2 = 1000000 mm2 Pretvori v zapisano enoto. 8,4 m2 = cm2 56,7 m2 = dm2

(osemindevetdeset)

1 cm2 = 100 mm2

4,67 dm2 = cm2 456 cm2 = mm2 0,8 dm2 = cm2 2000 cm2 = m2

1 km2 = 1000000 m2

Teko~ine Teko~ina zavzame prostor v posodi. Šesto{olka Mija že pozna enote za merjenje koli~ine: liter, deciliter in mililiter ter zna pretvarjati med njimi. 1 ℓ = 10 dℓ

1 dℓ = 100 mℓ

1 ℓ = 1000 mℓ

Pretvori v zapisano enoto: 15 dℓ = ℓ 5,7 ℓ= dℓ 7 ℓ = dℓ 0,2 ℓ= mℓ

6,3 dℓ = mℓ 3 dℓ = mℓ

Masa Maso predmetov izražamo z enotami tona (t), kilogram (kg), dekagram (dag) in gram (g). 1 t = 1000 kg 1 t = 100000 dag

1 kg= 100 dag 1 kg = 1000 g

1 dag = 10 g 1 t = 1000000 g

Mama kupi 15 dag {unke. Teta Micka porabi za kola~ 0,5 kg moke. France je v gajbico nabral 25 kg jabolk. Stanovanjski blok je za ogrevanje porabil 1,3 t premoga. Pretvori v zapisano enoto. 4560 kg = t 38976 dag = kg

567 g = dag 4200 g = kg

0,078 t = 6,04 kg =

kg dag

^as ^as merimo malo druga~e, saj je pretvornik med osnovnimi enotami 60 in ne 100. Osnovna enota je sekunda (s). Ve~ji enoti sta ura (h) in minuta (min). 1 h = 60 min

1 min = 60 s

1 h = 3600 s

Ve~je enote za ~as so {e dan, teden, mesec in leto. Manj{a enota od sekunde je stotinka sekunde. 1 dan = 24 ur 1 dan = 1440 min

1 teden = 7 dni 1 teden = 168 ur

1 stotinka sekunde = 0,01 s 1 s = 100 stotink sekunde

Zmagovalec v maratonu je dosegel ~as 3:26.24:76. To pomeni, da je tekel 3 ure, 26 minut, 24 sekund in 76 stotink sekunde. Pretvori v zapisano enoto. 34 h = min 5,6 h = min

78 min = s 120 min = h

45,05 s = stotink sekunde 63870 min = h

(devetindevetdeset)

Ponovimo plo{~ino V nižjih razredih ste že ugotavljali velikost likov in kako jo izmeriti. Ponovimo skupaj!

Ali se spomni{, kako smo primerjali like med seboj? Trije liki na sliki imajo razli~ne dolžine in {irine. Skupno jim je, da so vsi sestavljeni iz 10 enakih plo{~ic. Pravimo, da imajo enako plo{~ino.

^e želimo izmeriti plo�~ino lika, preverimo, s koliko enako velikimi plo{~icami ga lahko pokrijemo. Pre{tejemo, koliko kvadratkov na mreži pokriva lik. Kolik{na je plo{~ina likov na mreži?

merjenje

V parku sta dve jezeri. Mestni možje sklenejo, da bodo ob tistem jezercu, ki je ve~je, postavili hi{ico za prezimovanje labodov. Jezerci fotografirajo iz helikopterja. Fotografija kaže pomanj{ana posnetka jezerc. ^ez oba posnetka položijo enako mrežo in pre{tejejo, koliko kvadratkov mreže pokriva vsako jezerce. Ob katerem jezercu bodo postavili hi{ico za prezimovanje labodov?

Ale{ je na poti iz {ole grdo padel s kolesom. Z mamo se po telefonu pogovarjata o velikosti rane na njegovem kolenu. Ale{ pravi, da je ogromna, za pol dlani. Mama ne ve, kako veliko dlan si Ale{ predstavlja. Prosi, da ji velikost pove v centimetrih.

Sedaj se spomni enot za plo{~ino: Kvadratni milimeter zapi{emo mm2. Kvadratni centimeter zapi{emo cm2. Kvadratni decimeter zapi{emo dm2. Kvadratni meter zapi{emo m2.

100

(sto)

Ale{ izmeri rano in pove, da rana meri približno 3 kvadratne centimetre. Mama ga potolaži, da to ni velika rana, in mu naro~i, da si ~eznjo nalepi obliž. ^e želimo drug drugemu sporo~ati plo{~ino likov, moramo pri merjenju uporabljati enako velike plo{~ice ali kvadratke v mreži. Uporabljamo plo{~ice z robom 1 mm, 1 cm, 1 dm in 1 m. Njihove plo{~ine se imenujejo kvadratni milimeter (mm2), kvadratni centimeter (cm2), kvadratni decimeter (dm2) in kvadratni meter (m2).

Naloge

Re{ujemo probleme

1 V zvezek nari{i 5 razli~nih pravokotnikov.

Izra~unaj jim plo{~ino.

49 m dolgo ograjo?

2 Izra~unaj plo{~ino pravokotnikom, ki imajo

2 Koliko kvadratnih centimetrov meri okvir slike, ~e

je slika brez okvirja dolga 34 cm in {iroka 27 cm, okvir pa je {irok 3 cm?

stranici naslednjih dolžin. a) 6,7 cm in 8 cm. b) 5 dm in 23 cm c) 3 m in 12 dm

3 Koliko kvadratnih decimetrov meri dno hi{ice za

hr~ke, ~e meri hi{ica v dolžino 53 cm in v {irino 40 cm?

3 Pretvori.

a) 3 m2 = dm2 50 m2 = dm2 12 cm2 = mm2 300 dm2 = cm2

1 Koliko kvadratnih metrov meri kvadratni vrt, ki ima

4 Hi{a meri v dolžino in {irino 18 m. Stoji na parceli,

ki meri v dolžino 30 m in v {irino 40 m. Koliko meri vrt?

b) 7 m2 2 dm2 = dm2 4 m2 40 dm2 = dm2 135 cm2 10 mm2 = mm2

vrt 40 m

4 Koliko meri plo{~ina lika?

hi{a

12 cm 4 cm 3 cm

30 m 5 Lanen prt je bil dolg

1,5 m in je natanko pokril mizo s plo{~ino 1,5 m2. 5 Nari{i dva pravokotnika razli~ne oblike, ki bosta

imela enako veliko plo{~ino, 24 cm2. 6 Pretvori plo{~ine v ve~jo enoto.

a) 18000 cm2 = m2 2 b) 7000 cm = m2 c) 380000 mm2 = cm2 d) 760000 mm2 = dm2

Pri pranju se je skr~il za 5 cm v dolžino in 5 cm v {irino. Kako velik velik del mize pokriva sedaj? 6 Oceni plo{~ino odtisa svojega podplata. Pomagaj

si z vodo, prahom ali odtisom v pesek.

(sto ena)

101

Pretvarjamo enote za plo{~ino Pretvarjanje med enotami je potrebno, ~e so meritve zapisane v razli~nih enotah.

merilo: 1:100

merilo: 1:10

Pri pretvarjanju enot za plo{~ino si lahko pomagamo z enotskimi kvadrati. Ko pretvarjamo, pomislimo, koliko manj{ih enot ima v vsako smer kvadrat, ki predstavlja ve~jo enoto. m2 m2 dm2 cm2 km2

dm2: 1m2 = 10 dm · 10 dm = 100 dm2 cm2: 1m2 = 100 cm · 100 cm = 10000 cm2 cm2: 1dm2 = 10 cm · 10 cm = 100 cm2 mm2: 1cm2 = 10 mm · 10 mm = 100 mm2 m2 : 1km2 = 1000 m · 1000 m = 1000000 m2

3 m2 = 3 · 100 · 100 cm2 = 3 · 10000 cm2 = 30000 cm2

merjenje

merilo: 1:1

merilo: 1:10000

Pri Zali doma imajo hi{o in vrt. Pred hi{o je nova terasa. O~e Zali dovoli, da izbere kerami~ne plo{~ice za teraso, ~e izra~una, koliko jih potrebujejo. Zala je izbrala rde~kaste kvadratne plo{~ice z robom, dolgim 30 cm. Potem je izra~unala, koliko jih morajo kupiti. • Terasa je dolga 7 m: 700 cm : 30 cm = 23 (ost. 10 cm) V dolžino gre 23 plo{~ic.

• Terasa je {iroka 4 m: 400 cm : 30 cm = 13 (ost. 10 cm) V {irino gre 13 plo{~ic.

• Za nepokriti rob terase potrebujemo 10 cm {iroke kose plo{~ic, zato bomo plo{~ice razrezali na tretjine. (23 + 13) : 3 = 36 : 3 = 12 Potrebujemo 12 plo{~ic, da jih narežemo na tretjine. Devetino plo{~ice potrebujemo {e za vogal. • Izra~un, koliko plo{~ic je potrebnih za celo teraso: (23 · 13) + 12 + 1 = 299 + 13 = 312 Zala je sporo~ila star{em, da morajo kupiti 312 plo{~ic. Zalini star{i so preverili, ali je njen rezultat smiseln: • Povr{ina terase: 7 m · 4 m = 28 m2 28 m2

• Povr{ina plo{~ic: 312 · (30 cm · 30 cm) = 280800 cm2 < 280800 cm2

Zala je pravilno izra~unala. 800 cm2 razlike je ostanek od plo{~ic za vogal terase. Ali ve{, zakaj?

102

(sto dva)

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Pretvori v kvadratne decimetre.

6 m2 = dm2 17 m2 = dm2 203 m2 = dm2 4000 m2 = dm2

1 U~iteljica razreže veliko polo papirja na 5

enakih listov za svoje u~ence. Koliko kvadratnih decimetrov je merila pola, ~e je vsak dobil 1200 cm2 velik list? Koliko metrov je bila pola dolga, ~e vemo, da je bila {iroka 60 cm?

0,5 m2 = dm2 4,6 m2 = dm2 20,12 m2 = dm2 37,03 m2 = dm2

2 Pretvori v kvadratne centimetre.

16 dm2 = cm2 106 dm2 = cm2 1,6 dm2 = cm2

0,16 dm2 = cm2 0,016 dm2 = cm2 0,106 dm2 = cm2

2 Prt je meril 2 m2. Teta Mici je žalostna ugotovila,

da se je pri pranju skr~il, tako da je zdaj velik le {e 4 prvotne velikosti. Koliko kvadratnih 5 centimetrov meri prt po pranju?

3 Pretvori v kvadratne milimetre.

2 cm2 = mm2 40 cm2 = mm2 600 cm2 = mm2

cm2 = mm2 0,5 1,5 cm2 = mm2 87,3 cm2 = mm2

3 Na etiketi vzdolžno ~rtaste brisa~e pi{e, da meri

180 cm krat 90 cm. Brisa~a ima 5 rde~ih ~rt, {irokih 6,5 cm, in 7 oranžnih ~rt, {irokih 4,5 cm, ostalo blago je modro. Katere barve je na brisa~i najve~ in koliko kvadratnih decimetrov brisa~e je oranžne barve?

4 Se{tej.

13 dm2 + 103 cm2 = 6 m2 + 400 dm2 = 800 cm2 + 5 dm2 =

65,7 m2 + 500 cm2 = 0,006 km2 + 76800 m2 = 6,04 cm2 + 789 mm2 =

4 V trgovski center so pripeljali na ogled dirkalnik

formule ena. Za kvadratni prostor okoli avta so imeli ograjo iz vrvi, dolgo 24 m. Na tla so želeli položiti rde~o podlago, ki so je imeli 40000 dm2. Ali je bilo rde~e podlage dovolj za celo obmo~je znotraj vrvi?

5 Izra~unaj.

897 m – 68 dm = 567,2 cm2 – 0,34 dm2 = 2 2 23489 cm – 1,7 m = 76536 mm2 – 7,7 cm2 = 2 2 23 · (45,3 cm – 200 mm ) = (5688 cm2 – 600 mm2 ) : 15 = 2

5 Otroci so izdelovali mozaik. Vsak je prinesel svoj

kos, potem pa so vse zložili v skupno umetnino. Ana je prinesla 25 dm2 velik kos neba, Jan je prinesel 1,5 m2 velik kos gozda, Tine je naredil 7050 cm2 velik prikaz ribnika, Maja pa kmetijo na 0,15 m2 velikem listu.

6 Pepe kupi lon~ek zidne barve, na kateri pi{e, da

zado{~a za 3 m2 stene. Pobarvati želi steno za pisalno mizo, ki je {iroka 180 cm. Do katere vi{ine bo pobarval steno z barvo iz kupljenega lon~ka, ~e za~ne barvati od tal?

7 ^e meri plo{~ina kvadrata 25 m2, koliko meri

njegov obseg? 8 Nari{i skico polaganja plo{~ic na teraso pri Zali

doma.

Koliko je meril mozaik, ~e se posamezni deli med seboj niso prekrivali?

(sto tri)

103

Velike povr{ine Za merjenje velikih obmo~ij na Zemlji potrebujemo velike enote. Velikost polj, gozdov in naravnih parkov bi težko opisali z istimi enotami kot velikost stanovanja ali likov v zvezku. Spomni se, da je 1 km = 1000 m. 1 km2 = 10000 a

merjenje

S kvadratnimi kilometri merimo velikosti držav. S hektari merimo velikosti gozdov, parkov in posestev. Are uporabimo za merjenje velikosti njiv in vrti~kov.

Enote za merjenje velikih povr�in so kvadratni kilometer, hektar in ar. Najve~krat jih uporabimo za merjenje obmo~ij v naravi. Plo{~ina kvadrata s stranico 1000 m je 1 kvadratni kilometer. 1 km2 ima 1 milijon kvadratnih metrov, ker je 1 km2 = 1000 m · 1000 m = 1000000 m2 = 106 m2 Plo{~ina kvadrata s stranico, dolgo 100 m, je en hektar. Hektar ozna~imo s ha. 1 ha = 100 m · 100 m = 10000 m2 = 104 m2 1 kvadratni kilometer ima 100 hektarov, ker je 1 km2 = 106 m2 = 100 · 104 m2 = 100 ha Plo{~ina kvadrata s stranico 10 m je 1 ar. Ar ozna~imo z a. 1 a = 10 m · 10 m = 100 m2 = 102 m2 1 km2 = 1000 m · 100 m = 100 a · 100 a = 10000 a Hektar je 100 arov. Hektar (h) pomeni stokrat ve~. Velja tudi, da je 1 hektoliter enako kot 100 litrov: 1 hℓ = 100 ℓ Gospod Mugumba je novi upravnik zaveti{~a za živali v Keniji. V zaveti{~u skrbijo za leve, žirafe, gazele in nosoroge, skupaj 40 živali. Na na~rtih pi{e, da zaveti{~e zavzema prostor, velik 2 km2. V bližini zboli ~reda 26 slonov. Koliko slonov lahko gospod Mugumba sprejme v zaveti{~e, ~e potrebuje vsaka žival v zaveti{~u vsaj 3 ha prostora?

Gospod Mugumba bi rad sprejel v zaveti{~e vseh 26 bolnih slonov.

V zaveti{~e lahko pride cela ~reda 26 slonov. Ostalo bo {e 2 ha prostora

104

(sto {tiri)

Zaveti{~e je veliko: Živali, ki so že tam, potrebujejo: Za slone je ostalo {e:

2 km2 = 2 · 100 ha = 200 ha 40 · 3 ha = 120 ha 200 ha – 120 ha = 80 ha

Koliko slonov lahko živi na 80 ha?

80 ha : 3 ha = 26, ostane 2 ha

Gospod Mugumba mora za zdravljenje slonov zgraditi posebno veterinarsko postajo in ograditi vrt okoli nje. Kako velik bo prostor za postajo z vrtom, ~e bo meril v dolžino 25 m, v {irino pa 40 m? Ali bo zanj dovolj 5 ha preostalega prostora? Velikost postaje: 25 m · 40 m = 1000 m2 = 10 a Ker je 10 a < 2 ha = 200 a, bo v zaveti{~u dovolj prostora tudi za veterinarsko postajo za slone.

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Pretvori iz hektarov v are.

2 ha = 34 ha = 13 ha =

1 Kmet Janez ima 3 ha gozda. Skozi njegov gozd delajo

3,5 ha = 10,1 ha = 91,42 ha =

2 Hi{a zavzema 1 od 12 a velike parcele z vrtom. 5

Koliko arov meri vrt?

2 Izra~unaj.

4,5 ha + 12 ha = 3,1 ha + 3 ha = 2 ha + 0,2 ha =

100 m dolgo in 6 m {iroko cesto. Koliko arov gozda bo ostalo Janezu, ko bo cesta dokon~ana?

7 ha + 5 a = 20 ha + 6 a = 45 ha + 45 a =

3 Vojskovodji po bitki delita ozemlje. Henrik

Pogumni je zmagal in njegovi soborci zahtevajo 16 ha travnikov kraljevine Horacija Stra{nega. Horacij jim ponudi 1080 a gozda. Ar gozda je vreden tretjino ve~ kot ar travnika. Ali bodo vojaki zadovoljni, ~e Henrik Pogumni sprejme ponudbo?

3 Pretvori v hektare.

70 km2 = 305 km2 = 2000 km2 = 7,03 km2 = 10,10 km2 = 378,2 km2 =

0,5 km2 = 0,07 km2 = 0,84 km2 = 3,178 km2 = 6,051 km2 = 16,106 km2 =

4 Podjetje ribi~a Ceneta ima dovoljenje, da lovi ribe

na obmo~ju morja, ki meri 3 ha, leži pa ob 100 m dolgi obali med bojami.

4 Izra~unaj.

5 km2 + 50 ha = ha 19 km2 + 167 ha = ha 34 ha + 7 km2 = ha 200 ha + 30 km2 = ha

5 Izra~unaj ~im bolj spretno.

1 km2 + 100 ha + 1000 a = 200 ha + 0,5 km2 = 16000 a + 5 km2 = 46 a + 19,7 ha + 0,05 km2 =

5 Koliko že znam?

Se ti zdi, da zna{ že dobro pretvarjati in ra~unati z enotami hektar, ar in kvadratni kilometer? a) Vse naloge naredim hitro in pravilno. b) Znam le deloma, saj se ve~krat zmotim. c) Ne znam, {e vedno se mi zdi pretežko.

6 V atlasu poi{~i, koliko kvadratnih kilometrov

merita Slovenija in vsaj ena od sosednjih držav. Za koliko je Slovenija manj{a od sosednje države, ki si jo izbral? Koliko hektarov meri Slovenija?

V~eraj pono~i so ribi~i lovili 450 m od obale. Za koliko hektarov so prekora~ili dovoljenje?

^e si izbral odgovor a) Sestavi nalogo, ki je podobna 5. nalogi, in eno besedilno nalogo ter ju re{i. b) Re{i dve nalogi, ki sta ju sestavila tvoja so{olca,in ponovno odgovori na vpra{anje 5. c) Si ponovno preberi besedilo na levi strani tega poglavja. Potem re{i 5. nalogo {e enkrat tako, da v podatkih zamenja{ vse {tevke 1 s {tevko 8 in vse {tevke 5 s {tevko 9. Ponovno odgovori na zgornje vpra{anje.

(sto pet)

105

Kaj je prostornina Prostornina pove, koliko je prostora v telesu, na primer koliko napolitank gre v {katlo. Prostornina pove tudi, kolik{en prostor potrebuje telo, na primer koliko prostora v prtljažniku avtobusa zasede Nikova potovalka.

Geometrijsko telo ima stranske ploskve in notranjost. ^e bi bilo telo prazno, bi ga lahko napolnili. Vanj bi lahko nalili vodo ali pa naložili kocke. Prostornina telesa nam pove, koliko vode bi lahko nalili v telo ali s koliko kockicami bi ga napolnili. Mama da Niku in Maji veliko {katlo napolitank, da si jo razdelita. Napolitanke so zložene v 6 plasti, vsaka plast ima 5 vrst in v vsaki vrsti so 4 napolitanke. Skupaj je to 120 napolitank.

merjenje

Nik prereže {katlo na dva enaka dela. Po rezanju je v vsaki polovici {katle 6 plasti po 5 vrst z 2 napolitankama v vsaki vrsti. V vsakem delu {katle je 60 napolitank. Vsota prostornin obeh polovic {katle je torej enaka prostornini {katle, v kateri sta Nik in Maja dobila napolitanke. Nari{i si, kako je Nik prerezal {katlo.

Prostornina telesa se ohrani, ~e telo razdelimo na ve~ delov. Vsota prostornin vseh delov je enaka prostornini prvotnega telesa. Na {olskem pikniku ima Marjan 2-litrsko steklenico soka. Sok nalije v 10 kozarcev, ki držijo 2 dℓ. Ali bo napolnil vse kozarce? 10 · 2 dℓ = 20 dℓ = 2 ℓ Skupna prostornina kozarcev je 2 ℓ. Da, Marjan ima dovolj soka, da bo napolnil vse kozarce. Tudi ~e merimo prostornino z votlimi merami, kot so litri in decilitri, je skupna prostornina enaka vsoti prostornin vseh delov.

Kakor koli razdelimo telo na ve~ delov, je vsak del {e vedno telo. Prostornina telesa se razdeli med vse njegove dele.

Ali {unka tudi ohrani prostornino? Maja pravi, da so rezine podobne kvadratom in ker liki nimajo prostornine, se prostornina z rezanjem {unke uni~i. Ali ima Maja prav? Ne. Rezine {unke imajo svojo debelino. Samo zelo majhna je. ^e vse rezine zložimo skupaj, bodo spet sestavile celo {unko.

106

(sto {est)

Naloge 1 David primerja prostornine {tirih {katel, od A do

D. Katera je najve~ja, ~e gre vanjo natanko: A: 6 plasti po 4 vrste z 12 sladkornimi kockami? B: 7 plasti po 2 vrsti s 3 sladkornimi kockami? C: 3 stolpi~ki po 12 sladkornih kock? D: 6 plasti iz 16 sladkornih kock?

Re{ujemo probleme 1 V trgovino pripeljejo 510 {katel ~evljev. Vsaka

{katla je visoka 22 cm. [katle zložijo v kot trgovine v kvader, dolg 6 �katel in �irok 5 �katel. Do katere vi{ine bo segal kup {katel v trgovini?

2 Opeke so zložene v kup, ki je {irok 20 opek, visok

30 opek in dolg 45 opek. Za koliko opek bi se kup pove~al, ~e bi dodali: a) {e eno plast opek v vi{ino? b) {e eno vrsto opek v {irino? c) {e po eno opeko v dolžino? Nari{i skico za vsak primer in {ele nato ra~unaj. 3 Izra~unaj manjkajo~i podatek za naslednje kvadre

iz kock. a) ê ima kvader v vi{ino 12 kock, v {irino 6 kock in v dolžino 5 kock, je njegova prostornina kock. b) ê ima kvader v vi{ino 6 kock, v {irino kock in v dolžino 3 kocke, je njegova prostornina 54 kock. c) ê ima kvader v vi{ino 7 kock, v {irino 7 kock in v dolžino kock, je njegova prostornina 196 kock. 4 Vid sestavi stolp tako, da zloži 72 kock eno na

drugo. Kaja in Mija mu stolp podreta in naredita iz vseh kock kvader, {irok 2 kocki in dolg 3 kocke. Koliko kock bo visoka njuna zgradba? 5 Iz 250 mℓ teko~e sladke smetane dobimo 0,75 ℓ

stepene sladke smetane. Kolikokrat ve~ja je prostornina smetane po stepanju od za~etnega, teko~ega stanja?

2 Ko zdrobimo 2 sladkorni kocki, dobimo eno žlico

sladkorja. Koliko žlic sladkorja bi dobili iz {katle, v kateri je 10 plasti po 24 sladkornih kock? 3 144 karamelnih bonbonov v obliki majhnih kvadrov

razdelimo med 8 otrok, da dobijo vsi enako. Na koliko razli~nih na~inov lahko zložijo svoje karamele v razli~ne kvadre? Nari{i jih. Kolik{na bo prostornina vsakega kvadra karamel? 4 Iz kvadra gline, dolgega 14 cm, {irokega 3 cm in

visokega 6 cm, bi kipar rad oblikoval ka~o. Za~etni kvader zato razpotegne v bolj podolgovatega, ki je visok 2 cm in {irok 2 cm. Kolik{na bo dolžina tega kvadra? 5 Iz 5 polnih kozarcev, ki držijo 3 dℓ, Mina izlije

vodo v ravno pokon~no vazo s kvadratnim dnom, {irokim 10 cm. Do katere vi{ine bo segala voda v vazi? 6 Na tovornjak so naložili 300 zabojev, v dolžino

po 10 zabojev in v vi{ino po 6 zabojev. Koliko zabojev je zloženih v {irino?

6 Ima{ kocke z robom 1 e. Iz njih sestavi{ kvader z

robovi 8 e, 12 e in 9 e. Koliko kock vsebuje kvader? Na koliko na~inov lahko to izra~una{? Napi{i {tevilske izraze.

(sto sedem)

107

Prostornina kvadrov in sestavljenih teles Potem ko zna{ dolo~iti prostornino skoraj vsakega kvadra, lahko enostavno dolo~i{ prostornino teles, ki so sestavljena iz ve~ kvadrov.

Prostornina kvadra je {tevilo enotskih kock, ki sestavljajo kvader. Enotska kocka ima vse robove dolge 1 enoto. Spodnja ploskev je {iroka 2 enoti in dolga 3 enote, zato vsebuje 6 kock. Ploskev: 2 · 3 = 18 Kvader meri v vi{ino 3 enote, zato vsebuje 18 kock: Cel kvader: (2 · 3) · 3 = 6 · 3 = 18 {tevilo kock {tevilo enot {tevilo enot {tevilo enot · v kvadru = v dol`ino · v {irino v vi{ino prostornina = kvadra

dol`ina

merjenje

Kako bi med seboj primerjali velikosti dveh {katel za ~evlje?

Tomaž ne ve. Pomagajmo mu!

Izmerili bi jima dolžino. Potem bi vedeli, katera je dalj{a. Vendar dalj{a {katla ni vedno ve~ja od kraj{e. Nina pravi:

Tomažev grad je sestavljeno telo. ^e ho~emo izra~unati njegovo prostornino, ga najprej razstavimo v kvadre.

Izmerili bi jima {irino. Potem bi vedeli, katera je {ir{a. Vendar to {e ne pomeni, da bi bila {ir{a {katla ve~ja.

Razstavimo ga lahko na razli~ne na~ine. Enega smo prikazali na sliki.

B C

Izmerili bi jima vi{ino. Potem bi vedeli, katera je vi{ja. Ozka visoka {katla pa je lahko manj{a od nizke {iroke.

V tabeli so prikazane prostornine vseh delov sestavljenega telesa in njegova skupna prostornina.

Prostornina sestavljenega telesa je enaka vsoti prostornin enostavnej{ih kvadrov.

Ema pravi:

Del

Da, Ema ima prav. ^e bi v {katlo zložili kocke, bi merili prostornino {katle. Med seboj bi primerjali {tevilo kock v vsaki {katli. To pomeni, da bi med seboj primerjali prostornini {katel.

108

(sto osem)

vi{ina

"Koliko kock si porabil zanj?"

Sara pravi:

Izmerili bi, v katero gre ve~ kock. [ele potem bi res vedeli, katera je ve~ja.

Tomaž je iz kock sestavil grad. Mala Maja ga ob~uduje in vpra{a:

Vpra{ali smo sosedove otroke.

Oskar pravi:

{irina

Prostornina sestavljenega telesa je enaka 68 kock. Tomaž je za svoj grad porabil 68 kock.

Vi{ina Širina Dolžina

Prostornina

3 · 2 · 3 = 18

1·2·1=2

Skupaj

1 · 7 · 4 = 28 2 · 18 + 2 · 2 + 28 = 68

Naloge 1 Izra~unaj prostornino naslednjih teles.

Re{ujemo probleme 1 Spodnja telesa so sestavljena iz kock z robom

1 cm. Telesa v mislih razstavi na kvadre, ki jih sestavljajo, in izra~unaj prostornine teles.

2 Zamisli si svojo sanjsko mizo. Bila bi velika, vendar

2 Tomaž razstavi svoj grad. Iz vseh 68 kock Maja

zgradi novo hi{o. Kolik{na bo prostornina Majine hi{e v primerjavi s Tomaževim gradom? Razloži z matemati~no trditvijo.

ravno toliko, da bi lahko stala v tvoji sobi. Nari{i skico mize z ozna~enimi resni~nimi merami za dolžino, debelino in {irino pisalne povr{ine ter za dolžino, vi{ino in {irino nog. Izra~unaj prostornino sanjske snovi, iz katere bi mizo izdelal.

3 Tomažev grad razstavi na druga~en na~in. Sestavi

novo tabelo in izra~unaj prostornino gradu po drugi poti. 4 Tole so stopnice.

Koliko kock {e potrebujemo, ~e želimo stopnice dograditi tako, da bo vsaka stopnica namesto 2 opeki dolga 5 opek? Koliko kock pa bi potrebovali, ~e bi pove~anim stopnicam dogradili {e eno stopnico pred sedanjo prvo stopnico in eno stopnico za zadnjo stopnico?

3 V zabavi{~nem parku gradijo pravokotni obok

iz enakih kock z robom 2,5 cm. Visok mora biti toliko, da lahko pod njim ste~e 150 cm visok otrok. Nari{i na~rt za obok in izra~unaj njegovo prostornino. Pomisli na to, da mora biti obok dovolj {irok, da se ne bo poru{il. V razredu primerjajte razli~ne predloge.

(sto devet)

109

Merimo prostornino Prostornino moramo izra~unati v razli~nih situacijah: koliko mora biti velik tovornjak, da bo {la vanj celotna po{iljka pomaran~, ali koliko naj bo velika {katla za sok, da bo držala dva litra.

Prostornina je lastnost teles. Merimo jo z enotami, ki tudi same predstavljajo telesa. Pre{tejemo, koliko manj{ih enotskih teles bi zapolnilo neko telo. Bor je dobil za praznik novo {katlo z 12 kockami. Iz njih sestavi ~rva in hi{o.

1ℓ = 1 dm3 Enote za prostornino: 1 cm

merjenje

1 cm

= 1 cm3

1 cm

[pela pravi, da telesi nista enako veliki, ker ne gresta v {katlo od Borovih kock. Pravi, da je ~rv dalj{i od hi{e. 1 dm

1 dm

= 1 dm3

= 1 m3

Bor pravi, da je prostornina obeh teles enaka 12 kock.

Kdo ima prav? Oba imata prav. Bor ima prav, ker primerja prostornino teles, ki je res enaka. [pela ima prav, ker pri telesih primerja dolžino, {irino ali vi{ino, ki med seboj niso enake. Dve telesi z enako prostornino imata lahko razli~ni dolžini, pa tudi razli~ni vi{ini in {irini.

Projekt: Kako ocenimo prostornino {katlice Poi{~i {katlico od mila ali kreme. Lahko je okrogla. Imeti mora pokrov, da jo lahko zapre{, in tanke stene. Suhi na~in 1. Odpri {katlico. 2. Nasuj v {katlico do vrha sladkor. 3. Presuj sladkor iz {katlice v menzuro in od~itaj na lestvici menzure, koliko mililitrov sladkorja ima{. Zapi{i meritev. 4. Dobil si oceno prostornine svoje {katlice.

Mokri na~in: 1. Nalij 1 liter vode v menzuro, ki drži vsaj 1 liter in pol. 2. Potopi prazno zaprto {katlico v vodo in jo drži pod vodo s pomo~jo slamice. 3. Od~itaj na lestvici menzure, za koliko mililitrov nad 1 liter se je dvignila voda. Zapi{i meritev. 4. Razlika med 1 litrom vode na za~etku in tvojo meritvijo je ocena prostornine tvoje {katlice.

^e ima {katlica debele stene, se meritvi precej razlikujeta. S suhim na~inom izmerimo prostornino znotraj {katlice, z mokrim pa prostornino sten {katlice in notranj{~ine skupaj.

110

(sto deset)

Naloge 1 Koliko meri prostornina polovice mila, ~e je milo

dolgo 7 cm, {iroko 4 cm in visoko 2 cm? 2 Z ravnilom nari{i skico kocke z robom 10 cm.

Kocko mora{ razdeliti na kockice z robom 1 cm. Razdeli robove kocke na 10 delov in poveži oznake s ~rtami, da dobi{ na skici kocke mrežo. a) Katero enoto za prostornino predstavlja tvoja kocka? b) Katere enote za prostornino predstavljajo kockice? Koliko jih je v veliki kocki? c) Kako bi na svoji kocki predstavil {e manj{e enote in kako se imenujejo? 3 Kvader, dolg 8 cm, {irok 6 cm in visok 5 cm,

podalj{amo za 1 cm v dolžino in 1 cm v {irino. Za koliko se pove~a njegova prostornina? 4 Dve leseni kocki zlepimo in nato po dolgem

razžagamo na pol. Kolik{na bo prostornina odžagane polovice glede na prostornino prvotnih kock?

5 Torta ima plo{~ino osnovne ploskve enako

1200 cm². Kolik{na je prostornina torte, ~e je visoka 15 cm? Kolik{na je prostornina enega kosa torte, ~e jo razrežemo na 20 enako velikih kosov?

Re{ujemo probleme 1 Cvetli~no korito je globoko 22 cm, {iroko 18 cm

in dolgo 62 cm. Mama želi, da je vi{ina zemlje v koritih 2 cm pod robom. Koliko litrov zemlje mora mami prinesti o~e z vrta, da bo z njo napolnila 4 korita? Pomo~: Nari{i si skico korita z ozna~enimi merami. 2 Dve betonski kocki z robom 17 cm postavijo

zidarji drugo ob drugo, da se dotikata. Na vrh zlijejo {e 11 litrov betona in ga poravnajo prek zgornjih ploskev obeh kock. Koliko centimetrov bo debela dodatna plast betona, ko se posu{i? 3 V kocko z robom 3 dm izvrtamo

kvadratno luknjo z robom 3 cm. Kolik{na je prostornina kocke z luknjo? 4 Stolpnica je visoka 70 m in ima v sredini po

celotni vi{ini ja{ek za zra~enje s kvadratnim dnom plo{~ine 16 m². a) Koliko kubi~nih metrov zraka kroži po ja{ku? b) ^e ventilator omogo~a, da se vsako minuto zamenja 10 m3 zraka, koliko ~asa je potrebno da se zamenja celotna koli~ina zraka v ja{ku? 5 Anžetov pes potrebuje najmanj 1,2 m3 veliko

pasjo uto. Anže mu bo naredil uto v obliki kvadra, {iroko 1 m in dolgo 1,5 m. Najmanj koliko naj bo uta visoka, da se bo pes dobro po~util v njej? 6 Manuela pe~e kola~. Testo zlije v peka~, ki je dolg

35 cm in {irok 25 cm. Vi{ina testa v peka~u je 7 cm. Testo bo pri pe~enju naraslo za polovico. Kako visok bo kola~, ko bo pe~en? 6 Iz visoke amfore, ki drži 12 litrov, je

Rimljan Fabius napolnil s sokom 16 pollitrskih kozarcev in 2 litrski ~utari. Koliko soka je ostalo v amfori? ^e bi preostanek odlil v kamnito kocko z notranjim robom, dolgim 20 cm, kolik{en del kocke bi napolnil? Pomo~: Nari{i si skico kocke.

7 Valjast plasti~ni ~ebri~ek smo zaprli in potopili

v kad z vodo. Kad ima obliko kvadra z dolžino 180 cm in {irino 80 cm. Voda je segala do vi{ine 45 cm, ko v njej ni bilo ~ebri~ka, in do vi{ine 50 cm, ko je bil vanjo potopljen ~ebri~ek. Koliko kubi~nih centimetrov je merila prostornina ~ebri~ka? Za koliko bi se spremenila vi{ina vode, ~e bi ~ebri~ek najprej napolnili z vodo iz kadi in ga potem potopili v kad? (sto enajst)

111

Votle in kubi~ne mere Prostornino teko~in najve~krat merimo z votlimi merami: litri, decilitri, hektolitri. Sedaj pozna{ {e mere za prostornino teles, ki izhajajo iz metra: kubi~ni meter, kubi~ni decimeter, kubi~ni centimeter. Dobro bi bilo vedeti, kako so oboje mere med seboj povezane, ali ne?

merjenje

Spomni se:

1 ℓ = 1 dm3

Anže bo za prijatelje sam izdelal malinove bonbone po navodilu na vre~ici pra{ka. V~eraj je že naredil me{anico in ta se je strdila. Iz posode je stresel lepo želatinasto kocko. Anže ve, da gre v kocko z robom 1 dm natanko 1 ℓ soka.

Sadne sanje, pra{ek za bonbone Navodilo: 1. V menzuri zme{aj sladkor in pra{ek za bonbone Sadne sanje. 2. Dodaj toliko vode, da dobi{ 1 ℓ me{anice. 3. Teko~o me{anico zlij v priloženo posodo, dolgo in {iroko 10 cm. Pusti stati ~ez no~, da se strdi. 4. Stresi strjeno me{anico na desko in jo razreži na kocke. Dobil bo{ cel kup malinovih bonbonov.

Iz 1 ℓ me{anice za bonbone je dobil kocko želatine z robom 10 cm. Od kocke odreže 1 cm debelo plast želeja. Razreže jo na 10 pali~ic. Vsako pali~ico razreže na 10 kock. Koliko bonbonov je dobil Anže iz ene plasti? 10 pali~ic · 10 bonbonov = 100 bonbonov 10 plasti · 100 bonbonov = 1000 bonbonov

10 ·10 ·10 = 1000 1m = 1000 dm 3

1dm3 = 1000 cm3 1 cm3 = 1000 mm3

Anže ima 10 plasti in iz vsake plasti dobi 100 bonbonov. Kocka z robom 1 dm Kocka z robom 1 cm 3 ima prostornino 1 dm . ima prostornino 1cm3. Kocka z robom 1 dm

vsebuje

Kako so dolo~ili enoto 1 liter?

Ker je

1 ℓ = 1000 mℓ

Leta 1964 so sklenili, da bo 1 liter enak koli~ini vode, ki gre v kocko z robom 1 dm. 1 ℓ = 1dm3 Do takrat je veljalo, da je 1 liter enak prostornini, ki ga zavzame 1 kg vode s temperaturo 4 °C. Toliko vode je malo ve~ kot dana{nji liter. Še vedno pa velja, da 1 liter vode tehta približno 1 kg.

in je

112

(sto dvanajst)

1000 kock z robom 1cm.

1000 mℓ = 1000 cm3,

mora biti 1 cm3 = 1 mℓ. To pomeni, da je vsak Anžetov bonbon meril 1 mℓ ali 1 cm3. Povežimo votle mere s kubi~nimi merami: 1 ℓ = 1 dm3 1 dℓ = 100 cm3

1 mℓ = 1 cm3 0,001 mℓ = 1 mm3

Naloge 1 Zapi{i v kubi~nih centimetrih.

a) 5 mℓ c) 0,05 ℓ 50 mℓ 0,5 ℓ b) 500 mℓ d) 5 ℓ 0,5 dℓ 50 ℓ 2 Koliko mililitrov gre v posodi z naslednjimi merami?

a) vi{ina 2 cm, {irina 3 cm in dolžina 4 cm b) vi{ina 12 cm, {irina 8 cm in dolžina 40 cm 3 Koliko litrov vode lahko nalijemo v posode z

naslednjimi merami? a) 2 dm3 b) 0,2 m3 20 dm3 200 dm3 3 2 m 2000 cm3 4 Pretvori votle mere v kubi~ne.

a) 2,3 ℓ = cm3 c) 3400 mℓ = cm3 34 dℓ = cm3 120 mℓ = mm3 7,8 dℓ = cm3 350 ℓ= m3

b) 0,078 ℓ = cm3 d) 1500 ℓ = m3 3 0,89 dℓ = cm 300 hℓ = m3 56,06 dℓ = cm3 900,50 hℓ = m3

5 Do katere vi{ine bo segala

voda v visoki ravni posodi s pravokotnim dnom, {irokim 25 cm in dolgim 15 cm, ko bo Alja vanjo zlila 3,75 ℓ vode? Koliko litrov vode mora naliti, da bo voda segala do vi{ine 17 cm? 6 Koliko karamelnih bonbonov s prostornino 3 cm3

dobi sla{~i~ar iz 2 hℓ karamelne kreme? 7 V katero posodo gre ve~ vode: v 1 m visoko, 10 cm

{iroko in 10 cm dolgo ali v 1 m {iroko, 1 m dolgo in 1 cm visoko? Koliko vode gre v vsako od njiju? 8 Mizar je izdelal omaro s tremi predali. Za varen

prevoz do kupca je predale napolnil s stiropornimi kroglicami. Koliko litrov kroglic je potreboval, ~e so bili predali {iroki 60 cm, visoki 12 cm in globoki 45 cm?

Re{ujemo probleme 1 Pri zmrzovanju se prostornina

vode pove~a za približno eno desetino. Za koliko centimetrov bi bila gladina ledu v 15 cm {iroki in 10 cm dolgi kvadrasti posodi vi{ja od gladine vode? 2 Iz izvira mineralne vode prite~e vsako minuto

toliko vode, da napolnijo 350 litrskih steklenic. Koliko kubi~nih metrov vode prite~e iz izvira na dan? 3 Iz dveh 750-litrskih akvarijev nameravajo preliti

vodo in preseliti ribe v nov akvarij s kvadratnim dnom. Voda mora segati do vi{ine 60 cm. Koliko naj meri stranica dna novega akvarija? 4 Parketni mojster nov parket prelakira s tremi

plastmi laka. ^e ho~e delo dobro opraviti, mora biti vsaka plast mokrega laka debela 0,8 mm. Klementina ima v stanovanju na 75 m2 tal položen parket. Koliko litrov laka mora parketni mojster kupiti, da bo dobro prelakiral Klementinin parket? 5 Preproga je debela 2,5 cm, dolga 256 cm in {iroka

176 cm. Jernej jo mora peljati na ~i{~enje. Preden jo posku{a zložiti, premi{ljuje, ali bo sploh {la v plasti~no vre~o, ki je visoka 180 cm in na njej pi{e, da gre vanjo 120 litrov. Pomagaj Jerneju izra~unati, koliko litrov prostornine bo zavezela preproga. Ali bo {lo v vre~o? 6 Izmeri vi{ino plastenke za 1,5 litra vode ali druge

pija~e. a) Pribli`no za koliko bi morali pove~ati vi{ino plastenke na njenem srednjem delu, da bi držala tretjino ve~ pija~e? b) Zamisli si poskus in ga izvedi. Pripravite predstavitve in v razredu poro~ajte o svojih merjenjih.

(sto trinajst)

113

Obseg, povr{ina in prostornina Se ti kdaj zgodi, da ne ve{ ve~, kaj je povr{ina in kaj prostornina, kaj so liki in kaj telesa? Tule bomo ponovili, kako to lo~imo.

Obseg:

Obseg pove, koliko je dolga pot po stranicah okoli lika. Osnovna enota za merjenje obsega lika je meter (m), ker za merjenje obsega potrebujemo le eno koli~ino, dolžino.

merjenje

Povr{ina:

Iz narave pozna{ povr{je Zemlje, gozdne povr{ine, cestne povr{ine v mestu, gladko povr{ino smu~ke. Mislimo na obmo~je, ki nima debeline, ima le {irino in dolžino. Matemati~no so taka obmo~ja liki.

Povr{ina in plo{~ina

Beseda povr{ina izhaja iz besedne zveze "po vrhu". Povr{ina telesa v matematiki pomeni skupno plo{~ino likov, ki omejujejo to telo. Osnovna enota za merjenje povr{ine je kvadratni meter (m2), ker povr{ino dolo~ata dve koli~ini, dolžina in {irina vsake stranice telesa: m2 = m · m Prostornina:

Skupna velikost vseh ploskev telesa se imenuje povr{ina. Velikost lika se imenuje plo{~ina.

Oboje merimo s kvadratnimi enotami, na primer kvadratnimi metri ali kvadratnimi centimetri.

Prostornina telesa nam pove, koliko je velik prostor v telesu. Prostor merimo v tri smeri: v dolžino, {irino in vi{ino. Osnovna enota za merjenje prostornine je kubi~ni meter (m3): m3 = m · m · m Rok ima {katlo. Izmeri ji robove: a = 6 cm, b = 4 cm in c = 10 cm Rok izra~una povr{ino {katle. Na {katlo napi{e, koliko merijo posamezne ploskve. [katlo razreže, da dobi njeno mrežo. Rok se{teje velikosti vseh ploskev: 2 · 24 cm2 + 2 · 40 cm2 + 2 · 60 cm2 = 2 · 124 cm2 = 248 cm2 Povr{ina {katle je 248 cm2. Rok izra~una prostornino {katle: 6 · 4 · 10 = 240 Prostornina {katle je enaka 240 cm3.

114

(sto {tirinajst)

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Nari{i kocko z robom 1,5 cm. Nari{i mrežo kocke z

robom 1,5 cm. Zapi{i njeno prostornino in povr{ino. 2 Izra~unaj prostornino in povr{ino {katel, v katerih

je Rok od so{olcev dobil darila. Škatla

Vi{ina

Izra~unaj njeno prostornino in povr{ino. Izra~unaj obseg posameznih ploskev. 2 Kmet na Planini ima ogrado za ovce, dolgo 18 m

Širina

Dolžina

Majina

4 cm

3 cm

1,5 cm

Gregova

40 cm

0,2 m

3 dm

Filipova

7 cm

4,5 cm

1,4 m

Napi{i, kak{no darilo bi lahko bilo v vsaki {katli.

3 Zapi{i razlago, zakaj merimo prostornino v

kubi~nih enotah in povr{ino v kvadratnih enotah. Razloži, kaj je obseg in v katerih enotah ga merimo. 4 Nari{i mrežo kvadra, ki ima en rob dolg 4 cm,

druga dva pa po 2 cm. Izra~unaj prostornino kvadra, ki bi ga sestavil iz te mreže. Kaj bi se spremenilo, ~e bi iz mreže odvzeli eno kvadratno stransko ploskev? Na sliki mreže ozna~i, kak{na bi bila mreža kvadra brez te ploskve. 5 Za vsako meritev zapi{i, ali je meritev povr{ine

ali prostornine. Izra~unaj, kolik{no dolžino, {irino in vi{ino ima lahko ploskev ali telo s to mero. Pomagaj si s skicami. a) 125 cm3 d) 42 cm3 b) 16 cm2 e) 5000 m2 c) 1800 cm2 f) 17568 cm3 6 Koliko rib lahko živi v akvariju v obliki kocke z

robom 0,5 m, ~e potrebuje vsaka riba najmanj 6 ℓ vode? 7 Iz kvadratnih kartonov sestavimo hi{ico, ne da bi

jih razrezali. Koliko meri povr{ina hi{ice, ~e so vse stranice hi{ice in strehe dolge 1 m? Napi{i ra~un in ga pojasni.

1 Poi{~i {katlo za ~evlje in jo natan~no izmeri.

in {iroko 12 m. Izra~unaj obseg ograde. Kolik{na je povr{ina travnika znotraj ograde? Kmet mora prebarvati leseno ograjo z obeh strani. Kolik{na je povr{ina lesene ograje okoli ograde, ~e je ograja sestavljena iz dveh vzporednih desk, {irokih 20 cm? Koliko litrov barve potrebuje kmet, ~e z enim litrom pobarva 20 m2 ograje? Ena ovca potrebuje pono~i v hlevu 0,5 m2 prostora. Koliko ovac ima lahko kmet v ogradi, ~e je hlev dolg 6,5 m, {irok 7 m in visok 2 m? Najprej nari{i, potem ra~unaj. 3 Premisli, ~emu bi izra~unal prostornino, ~emu

plo{~ino, ~emu povr{ino in ~emu obseg? Napi{i, v katerih enotah bi zapisal meritev za naslednje: preproga na tleh, {ipa v oknu, risba jezera v zvezku, streha hi{e, kvadrat, ledenik, travnik, cesta, kocka, trikotnik, piramida, reka, žoga, krožnica, drevesno deblo. Katerim stvarem lahko izra~una{ ve~ razli~nih mer?

4 Ali imata lahko kvadra z enakima prostorninama

razli~ni povr{ini? Izmisli si primer kvadrov in z njim pojasni svojo trditev. 5 Kolik{no prostornino bi imela 5 kg težka zlata

palica, ~e ve{, da tehta 1 cm3 zlata 18 g? Premisli, kolik{ne bi lahko bile njene mere, in izdelaj model iz (zlatega) papirja.

(sto petnajst)

115

Ri{emo kocko, kvader in njune mreže Pri re{evanju geometrijskih nalog o kockah in kvadrih mora{ znati narisati skice teles in mrež.

Kartonska {katla predstavlja kvader. Mojca je {katlo razrezala. Razrezani karton predstavlja mrežo kvadra.

Mrežo kvadra sestavlja 6 pravokotnikov. Po dva pravokotnika sta skladna.

Telo ima lahko ve~ razli~nih mrež.

merjenje

Mrežo kocke sestavlja 6 skladnih kvadratov.

Katerim telesom pripadajo narisane mreže?

Mreža telesa nam prikazuje razgrnjeno povr{ino telesa v ravnini z vrisanimi ploskvami. Mreža telesa je lik. Lahko izra~unamo njen obseg in plo{~ino. Kako nari{emo skico kocke ali kvadra?

Poskusi jih narisati s prosto roko.

Tri razli~ne mreže tristrane piramide

116

(sto {estnajst)

Nari{emo spodnjo ploskev kvadra.

Nari{emo navpi~ne robove kvadra. Vsi morajo biti enako visoki.

Nari{emo zgornjo ploskev kvadra.

Potem ko že znamo narisati skico, lahko namesto premic nari{emo samo daljice za robove, ki jih na pravem kvadru ne bi videli, pa samo nakažemo s ~rtkasto ~rto.

Naloge 1 Nari{i dve razli~ni mreži kocke z robom 3 cm. 2 Tilnova {katla ima dolžino 3 dm, {irino 4 dm in

vi{ino 2 dm. Nari{i mrežo {katle tako, da 1 centimeter v zvezku predstavlja 1 decimeter v naravi. 3 Ajdin kvader ima dolžino 2 cm in {irino 2 cm,

vi{ino pa 4 cm. Nari{i njegovo mrežo. 4 Izra~unaj povr{ino kvadra z naslednjimi robovi.

a) 2 cm, 5 cm, 10 cm b) 12 mm, 3 cm, 32 mm c) 5 dm, 5 cm, 5 cm 5 Preri{i mrežo v zvezek. Kam mora{ postaviti {e en

Re{ujemo probleme 1 Nari{i nekaj razli~nih mrež naslednjega telesa.

Kateri liki sestavljajo mrežo? Kateri med njimi so skladni?

2 Kak{no mre`o ima narisano telo?

Kateri liki jo sestavljajo? Nari{i mreò na list papirja. Dolìne robov izberi sam. Mreò izreì in sestavi telo. 3 Narisanih je nekaj mrež in teles. Zapi{i pare telo −

mre`a. Telesu, ki mu ne ustreza nobena od mrež, nari{i skico mreže sam. A) B)

kvadrat, da bo to mreža kocke? Nari{i vse re{itve.

6 Narisana je mre`a igralne kocke. Na njej manjkajo

vrisane pike. Bi znal narisati pike, ne da bi kocko sestavil? Spomni se, da je vsota pik na nasprotnih ploskvah vedno 7.

4 Ali lahko iz okrasnega papirja pravokotne oblike s

7 Poi{~i ve~ {katlic in jih razreži po robovih tako,

stranicama 10 cm in 30 cm izrežemo mrežo kocke z robom 5 cm?

da dobi{ mrežo kvadra. ^e ti pri rezanju karton razpade, ga zlepi nazaj z lepilnim trakom. Posku{aj toliko ~asa, da dobi{ nekaj razli~nih mrež kvadra. 8 Nari{i 3 razli~no velike kocke s prosto roko. Nari{i

3 razli~no velike kvadre s prosto roko.

(sto sedemnajst)

117

Merimo in ra~unamo obseg in plo{~ino Obseg in plo{~ino smo do sedaj vedno dolo~ili tako, da smo {teli enote. Ker je to zamudno, so si ljudje dolo~anje olaj{ali z uporabo formul ali obrazcev.

OBSEG Kvadrat ima vse stranice enako dolge. ^e je stranica kvadrata 3 cm, izra~unamo obseg takole: o = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm = = 4 · 3 cm = 12 cm Namesto 3 cm za dolžino stranice zapi{emo ~rko a. Dobimo izraz za obseg kvadrata: o = a + a + a + a = 4 · a

Kako ra~unamo s ~rkami v izrazih? 3+3 V izraz namesto 3 zapi{emo a: a + a

merjenje

Ugotovimo: Ker je 3 + 3 = 2 · 3, je tudi a + a = 2 · a a + b + a je enako 2 · a + b

Plo{~ina je mera za velikost celotnega lika.

o=4·a je obseg kvadrata, kjer je a dolžina stranice. Pravokotnik ima po dve stranici enako dolgi. ^e je dolžina 5 cm in {irina 3 cm, je obseg naslednji: o = 5 cm + 3 cm + 5 cm + 3 cm = = 2 · 5 cm + 2 · 3 cm = 16 cm Namesto 5 cm za dolžino pravokotnika zapi{emo ~rko a in namesto 3 cm za {irino pravokotnika zapi{imo ~rko b. Dobimo izraz za obseg pravokotnika: o = a + b + a + b = 2 · a + 2 · b o=2·a+2·b je obseg pravokotnika, kjer a pomeni dolžino pravokotnika in b {irino pravokotnika.

Obseg lika je dolžina poti okoli lika po njegovem robu.

PLO[^INA ^e ima kvadrat stranico dolgo 3 cm, je njegova plo{~ina naslednja: p = 3 cm · 3 cm = 9 cm2 V ra~unu plo{~ine zamenjajmo 3 cm s ~rko a. Dobimo izraz za plo{~ino kvadrata: p = a · a = a2 p=a·a je plo{~ina kvadrata, kjer je a dolžina stranice.

Kaj pa trikotnik? Enakostrani~ni trikotnik ima vse stranice enako dolge, zato zapi{emo njegov obseg takole: o = a + a + a ali o = 3 · a

^e je dolžina pravokotnika 5 cm in {irina 3 cm, je njegova plo{~ina naslednja: p = 5 cm · 3 cm = 15 cm2 V ra~unu plo{~ine zamenjajmo 5 cm s ~rko a in 3 cm s ~rko b. Dobimo izraz za plo{~ino pravokotnika: p = a · b p=a·b je plo{~ina pravokotnika z dolžino a in {irino b.

118

(sto osemnajst)

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Izra~unaj obsege kvadratov s stranicami 34 mm,

1 32 cm dolga vrvica natanko obda {katlo s

24 dm, 56 cm, 1,05 m, 3,5 cm in 12,06 m. 2 Izra~unaj obsege pravokotnikov s {irino 45 mm in

kvadratnim dnom. Koliko meri stranica {katle? 2 Pravokotniku z dolžino stranice 6 cm in {irino 4 cm

dolžinami 3,5 cm, 27 mm, 0,08 m ali 45 cm.

odrežemo po dolžini trak, {irok 5 mm. Za koliko se bo zmanj{al obseg pravokotnika? Nari�i skico.

3 Narisan je na~rt {olskega dvori{~a. Koliko metrov

ograje je okoli dvori{~a? 1 cm na sliki predstavlja 3 m v naravi.

3 Pravkotniku zmanj{amo stranici za eno desetino.

Za koliko se mu bosta zmanj{ala obseg in plo{~ina?

12 cm

b 45 cm

a 4 Od pravokotnika, dolgega 80 cm in {irokega

67 cm, odrežemo najve~ji možni kvadrat. Kolik{na je plo{~ina dela pravokotnika, ki ostane? Nari�i si skico.

7 cm 56 cm 4 Izra~unaj plo{~ine kvadratov s stranicami 3 cm,

5 Dolžini obeh stranic kvadrata pove~amo, da

0,6 m, 23,5 mm, 80 m.

sta dolgi trikrat toliko, kot sta bili na za~etku. Kolikokrat ve~ja bo plo{~ina pove~anega kvadrata?

5 Izra~unaj plo{~ine pravokotnikov z merami iz

spodnje tabele: Širina

Dolžina

rde~

23 cm

58 cm

bel

16,3 m

17 m

zelen

45,6 cm

7,5 cm

6 Dolžina pravokotnika je petkratnik njegove {irine.

[irina je 28 mm. Koliko merita obseg in plo{~ina pravokotnika? Namig: ^e je dolžina a, je petkratnik dolžine 5a. 7 V muzeju imajo na tleh zelo stare ~rno-bele

kvadratne plo{~ice.

6 Pravokotnik prerežemo po diagonali na dva dela.

^e je bil pravokotnik dolg 35 mm in {irok 27 mm, koliko meri plo{~ina tako nastalih trikotnikov?

Kolik{en del povr{ine plo{~ice je ~rn?

8 Televizija ima zunanjo vi{ino 65 cm in zunanjo 7 Ali smemo uporabiti za izra~un plo{~ine

pravokotnika, ki ima dolžino enako {irini, obrazec za plo{~ino kvadrata? Pokaži na primeru pravokotnika z dolžino 23 mm in {irino 23 mm.

{irino 95 cm. Zaslon obdaja rob s {irino 85 mm. Kolik{na je plo{~ina zaslona? Nari{i si skico.

(sto devetnajst)

119

Merimo in ra~unamo povr{ino kocke in kvadra Povr{ino telesa z ravnimi ploskvami si najlažje predstavlja{ kot velikost ovoja telesa. ^e bi ovoj položil na ravno podlago, bi predstavljal lik. Liku zna{ izra~unati plo{~ino. Plo{~ina ovoja je enaka povr{ini telesa.

Vasja in Martin zavijata darili za prijatelja Ga{perja. Vasja mora zaviti {katlo barvic v obliki kocke, Martin pa {katlo z avtomobil~kom v obliki kvadra. Škatli sta skoraj enako veliki. Pomagajmo jima in izra~unajmo povr{ini njunih {katel v obliki kocke in kvadra.

merjenje

Povr{ina kocke je vsota plo{~in vseh njenih stranskih ploskev. Kocka ima 6 enakih ploskev. Plo{~ina ene ploskve je: p=a·a Povr{ina cele kocke je: P=6·a·a Nari{emo skico:

Vasjevo darilo: Kocka ima rob dolg 5 cm. Koliko meri njena povr{ina? Zapi{emo podatek: a = 5 cm Upo�tevamo: p=a·a Vstavimo podatek: p = 5 cm · 5 cm = 25 cm2 Izra~unamo vsoto plo{~in vseh 6 ploskev: P = 6 · 25 cm2 = 150 cm2

p a

Povr{ina kocke meri 150 cm2. Povr{ina kvadra je vsota plo{~in vseh njegovih stranskih ploskev. Kvader ima po tri pare enakih ploskev. Plo{~ina spodnje in zgornje ploskve: p1 = a · b Plo{~ina leve in desne ploskve: p2 = a · c Plo{~ina sprednje in zadnje ploskve: p3 = b · c Povr{ina kvadra je: P = 2 · p1 + 2 · p2 + 2 · p3 = 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c Martinovo darilo: Kvader ima dolžino 6 cm, {irino 4 cm in vi{ino 5 cm. Koliko meri njegova povr{ina?

Nari{emo skico: p1 c

Zapi{emo podatke:

Vstavimo podatke:

a = 6 cm b = 4 cm c = 5 cm

p1 = a · b = 6 cm · 4 cm = 24 cm2 p2 = a · c = 6 cm · 5 cm = 30 cm2 p3 = b · c = 4 cm · 5 cm = 20 cm2

Se{tejemo plo{~ine vseh ploskev: P = 2 · p1 + 2 · p2 + 2 · p3 = 2 · 24 cm2 + 2 · 30 cm2 + 2 · 20 cm2 = 148 cm2 Povr{ina kvadra meri 148 cm2. Kocka z robom 5 cm ima malo ve~jo povr{ino kot kvader z robovi 5 cm, 4 cm in 6 cm.

120

(sto dvajset)

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Izra~unaj povr{ino kock z naslednjimi robovi.

a) 2 cm b) 23 mm

1 V tiskarni izdelujejo platnice za knjigo. Kolik{na

bo povr{ina platnic, ~e je knjiga debela 3 cm, dolga 26 cm in {iroka 17 cm?

c) 4 cm d) 5,6 cm

2 Izra~unaj povr{ino kvadrov, opisanih v tabeli. Širina

Dolžina

Vi{ina

rožnat

12 mm

34 mm

3 cm

sinji

1,3 cm

3,4 cm

2 cm

smaragden

34 cm

2 dm

0,7 m

3 Kvader ima spodnjo ploskev v obliki kvadrata s

stranico 4 cm in vi{ino 2 cm. Koliko meri njegova povr{ina? 4

2 Bazen na vrtu je globok 160 cm, {irok 4 m in dolg

13 m. Koliko kvadratnih metrov plo{~ic mora kupiti gospa Murn, da bodo lahko zamenjali vse stare plo{~ice v notranjosti bezena?

Ali ima ve~jo povr{ino kocka z robom 35 mm ali kvader, ki je visok 25 mm, {irok 30 mm in dolg 35 mm?

5 Ali bo 50 cm dolga in 60 cm {iroka pola

okrasnega papirja dovolj velika, da z njim oblepimo {katlo, ki meri v vi{ino 10 cm, v {irino 20 cm, v dolžino pa 45 cm? Na ustrezno velik pravokotnik nari{i skico mreže kvadra. Mrežo kvadra pomanj�aj v primernem merilu. 6 ^e kocki pove~amo rob, dolg 30 cm, za eno

tretjino, za kolik{en del se bo pove~ala njena povr{ina? 7 ^e kvader po vi{ini razdelimo na ~etrtine, ali bo

povr{ina enega dela ve~ja ali manj{a od ~etrtine povr{ine celega kvadra? Izberi si {katlico v obliki kvadra, jo izmeri in izra~unaj ~etrtino njene povr{ine in povr�ino ~etrtine {katlice kot zgoraj.

3 Kvader meri v dolžino in {irino 2 dm, v vi{ino

pa 4 dm. Odrežemo mu kocko z robom 20 cm. Kolik{na je povr{ina dela kvadra, ki ostane? 4 60 cm visoka vaza je {iroka 17 cm in dolga 22 cm.

Do vi{ine 45 cm je napolnjena z vodo. Kolik{na povr{ina notranjosti vaze ni mokra? 5 Notranjost predora s pravokotnim prerezom je

potrebna obnove. Predor meri v vi{ino 7 m in v {irino 10 m. Dolg je 1100 m. Koliko kvadratnih metrov stene v predoru je treba prebarvati?

10 m

(sto enaindvajset)

121

Plo{~ina in obseg v besedilnih nalogah Izra~unati znamo že precej: obseg in plo{~ino likov ter povr{ino kocke in kvadra. V obrazec vstavimo podatke in dobimo rezultat. V~asih pa se nam zgodi, da poznamo rezultat, podatka pa ne. Kaj naredimo takrat?

U~enci {estega razreda pomagajo urejati {olsko igri{~e. Na igri{~u je lesena igralna hi{ica s kvadratnim podom. Okoli nje bo postavljena klop. U~enci morajo izmeriti obseg hi{ice, da bodo mizarjem naro~ili, koliko dolga naj bo klop. Larisa in Martin z vrvjo dolo~ita, da je obseg hi{ice 8,64 m. Koliko morajo biti dolge {tiri klopi, da bodo obdale hi{ico? o = 8,64 m

Izpi{emo podatek:

Zapi{emo, kaj `elimo izra~unati: a = ? Obseg kvadrata je: o=4·a Stranica kvadrata je potem: a=o:4 Vstavimo podatek: a = 8,64 m : 4 = 2,16 m Zapi{emo odgovor:

Vsaka klop mora biti dolga 2,16 m.

merjenje

U~enci so dobili tudi pesek, ki ga bodo nasuli pod plezala. Peska je dovolj za 25 m2 tal. Koliko naj bo dolga kvadratna povr{ina pod plezali, na katero bodo nasuli pesek? Izpi{emo podatek: Kaj ra~unamo? Plo{~ina kvadrata je: Vstavimo podatek: Sklepamo:

p = 25 m2 a=? p=a·a 25 m2 = a · a Ker je 5 · 5 = 25, je dolžina stranice kvadrata 5 m.

Zapi{emo odgovor:

Pod plezali bodo lahko nasuli pesek na kvadratno povr{ino s stranico 5 m.

Uredili bodo {e peskovnik za mlaj{e u~ence. Želijo, naj bo {irok vsaj 3 m. Na razpolago je 20 m lesenih hlodov za rob peskovnika. Koliko naj bo dolg peskovnik, da ga bodo lahko obdali s hlodi? Izpi{emo podatke:

b = 3 m o = 20 m

Kaj ra~unamo?

a=?

Obseg pravokotnika je: o = 2 · a + 2 · b 20 m = 2 · a + 2 · 3 m Vstavimo podatke:

122

(sto dvaindvajset)

Sklepamo:

20 m = 2 · a + 6 m 14 m = 2 · a a = 7 m

Zapi{emo odgovor:

Peskovnik naj bo dolg 7 m.

Naloge 1 Koliko je dolga stranica kvadrata, ~e je njegov

obseg 16 cm? 2 Koliko meri stranica enakostrani~nega trikotnika,

~e je njegov obseg 18 cm? 3 Za izdelavo okvirja slike je mizar porabil 5,20 m

lesene obrobe. ^e ve{, da je slika visoka 1 m, koliko je {iroka? 4 Trikotno stre{no okno, ki

ima vse stranice enako dolge, Uro{ za praznike obda s 4,8 m dolgo verigo lu~k. Koliko meri stranica okna? 5 Marko je izmeril obseg svoje pisalne mize s

pomo~jo svin~nika. Narisal je, kako je meril.

Re{ujemo probleme 1 Klementina skrbno neguje trato na svojem vrtu.

V~eraj je raztrosila po njej 3 {katle gnojila natanko po navodilu, ki pravi: Ena {katla zado{~a za 120 m2 trate. Koliko je {iroka trata, ~e je dolga 20 m? 2 Ali so trditve pravilne ali ne? Za vsako si izberi

podatke o likih in preveri, ali trditev za tvoj lik velja. Ker je o = 4 · a, je a = 4 : o. Ker je o = 4 · a, je a = o : 4. Ker je p = a · a, je p = 2 · a. Ker je p = a · b, je b = p · a. Ker je p = a · b, je b = p : a. 3 U~iteljica je dala Mateju nalogo, naj izra~una

plo{~ino pravokotnika z dolžino 7 cm in {irino 80 cm. Matej je izra~unal, da je plo{~ina enaka 630 cm2. U~iteljica pravi, da rezultat ni pravilen, ker je Matej v obrazec za plo{~ino vstavil en napa~en podatek. Kaj je Matej naredil narobe? 4 Tina izdeluje mozaik. Kupila je po 1,5 m2

Simon je z metrom izmeril, da je obseg mize 352 cm. Koliko je dolg Markov svin~nik? 6 Plo{~ina 3 cm dolge pravokotne plo{~ice je

12 cm2. Koliko je plo{~ica {iroka? 7 Tomo je fotograf. Trikrat zaporedoma je slikal

Triglav. V ra~unalniku je slike sestavil v eno dolgo sliko.

kamen~kov bele, rde~e, oranžne, zelene, modre in rumene barve. Koliko velik kvadratni mozaik lahko izdela iz vseh kamen~kov? Rumeni kamen~ki ji niso v{e~, zato jih izlo~i. Koliko {irok bi bil njen mozaik, ~e bi bil dolg 3 m? 5 Za kolikokrat se pove~a plo{~ina kvadrata, ~e

dvakrat pove~amo njegovo stranico? 6 ^e je a · b = p, koliko je (2 · a) · (2 · b)?

Ra~unalnik je pokazal, da je plo{~ina sestavljene slike 351 cm2. ^e so posamezne slike {iroke 9 cm, koliko so dolge?

(sto triindvajset)

123

124

(sto {tiriindvajset)

Ne morem verjeti! A se mora res prav vsaka stvar na tem svetu za~eti z geometrijskim risanjem? Pri toliko ra~unalnikih bi se na~rti za stvari res lahko narisali sami!

Geometrija

Ja, 탑e, ampak potem bi bile tiste stvari v{e~ samo ra~unalnikom. Pa 탑e raj{i sama nari{em na~rt in mu dodam {e vse svoje fantasti~ne zamisli! Saj narisati nekaj krogov in ~rt in kotov ni nobena stra{na stvar, ve{.

(sto petindvajset)

125

Oznake v geometriji Za re{evanje geometrijskih nalog mora{ dobro znati risati skice. Preden se loti{ risanja z geometrijskim orodjem, je prav, da vedno nari{e{ skico risbe, ki jo zahteva naloga.

To~ka in premica. Na premici je neskon~no to~k. To~k je toliko, da lahko med vsakima dvema to~kama na premici najdemo vsaj {e eno to~ko. p Ozna~imo na premici p to~ko A in to~ko B. Z znaki zapi{emo: A ∈ p, B ∈ p B C Na premici izberemo to~ko C med A in B: C ∈ p D Tak{no izbiranje to~k lahko ponavljamo v T neskon~nost. To~k nikoli ne zmanjka! A

geometrija

V ravnini lahko ozna~imo tudi to~ko, ki ne leži na premici: T ∉ p

Kako s prosto roko skicira{ pravokotni premici?

Spomni se: daljica

1. Nari{i premico. 2. List ali zvezek obrni tako, da leži premica pred teboj vodoravno. 3. Na premici ozna~i to~ko T. 4. Potegni navpi~nico skozi to~ko T. 5. Ozna~i pravi kot. Pravokotnost ozna~imo z znakom ⊥: p ⊥ r

poltrak

V Kako s prosto roko skicira{ vzporedni premici?

premica

1. Nari{i premico p. 2. Izberi to~ko T na premici p. 3. Na premico p nari{i v to~ki T pravokotnico r. 4. Na pravokotnici r izberi to~ko S, ki bo dolo~ila razdaljo nove premice do premice p. Ozna~i to~ko S. 5. Skozi S skiciraj pravokotnico na premico r. Vzporednost ozna~imo z znakom ||: t || p

126

(sto {estindvajset)

Naloge 1 S prosto roko nari{i pravokotnico t na premico r, ki

je pravokotnica na premico p. 2 Nari{i 12 cm visoko navpi~no lestev s 3 cm

oddaljenima vzporednima nosilcema in 15 pre~kami, ki bodo enako oddaljene druga od druge. 3 Z matemati~nimi znaki zapi{i izjave: Premici p in r

nista vzporedni. To~ka A leži na premici p. B ne leži na premici r. C leži na premici p in r. To~ke in premici nari{i s prosto roko. 4 Nari{i dve vzporedni premici in nanju dve

pravokotni premici. Kateri lik omejujeta? Z matemati~nimi znaki zapi{i, katere premice na tvoji skici so pravokotne in katere vzporedne. 5 Nari{i pravokotnik z dolžino 4 cm in {irino 3 cm.

Vsem stranicam dori{i njihove premice nosilke. Imenuj jih. Katere med njimi so vzporedne? Zapi{i z matemati~nimi znaki. 6 Nari{i poljubni petkotnik ABCDE.

Nari{i premico p tako, da bo veljalo: B ∈ p; D ∈ p Nari{i premico t tako, da bo veljalo: A ∈ t; C ∈ t Nari{i in poimenuj to~ko, ki leži na obeh premicah p in t.

Oglej si lik. Nari{i {e en primer petkotnika, v katerem bo na premici skozi ogli{~e A in C ležalo {e eno njegovo ogli{~e.

Re{ujemo probleme 1 Na~rtaj sedem vzporednic, ki bodo med seboj

oddaljene 3 mm. ^e želi{ lepo risbo, potem takrat, ko se zmoti{, ne popravljaj napak, pa~ pa se loti risbe na novo. 2 Na~rtaj tabelo s tremi stolpci, {irokimi 4 cm, in

{tirimi vrsticami, {irokimi 15 mm. V prvo vrstico tabele vpi{i v okvir~ke zaporedoma "Oznake", "Velja" in "Ne velja". Nato zapi{i v prvem stolpcu navzdol v drugi okvir~ek "Vzporedni premici", v tretji okvir~ek "Pravokotni premici" in v ~etrti okvir~ek "To~ka leži na premici". Tabelo izpolni z ustreznimi zapisi matemati~nih odnosov. Uporabi znake: ||, ∈, ≃, ⊥ Primer: V drugi okvir~ek drugega stolpca vpi{e{ u || v. 3 Po spodnjem opisu iz ~asopisa izdelaj na~rt za

odsek avtoceste v merilu 1 : 400 (To pomeni, da 1 cm na papirju predstavlja 400 cm v naravi.). Avtocesta bo na tem odseku ravna. Imela bo dva vozna pasova v vsako smer. Vsak vozni pas bo {irok 4 m. Vozna pasova za isto smer bosta med seboj lo~ena s prekinjeno ~rto. V sredini bo pas zelenja, {irok 1 m. Na vsakih 20 m bo v sredini zelenja stebri~ek z oznako razdalje od kraja Bistrica. Opomba: V na~rtu stebri~ke ozna~i le s to~ko. Tudi zelenja ti ni treba natan~no izrisati, ker {e ne vemo, kako dobro bo raslo.

(sto sedemindvajset)

127

Razdalja med to~kama in daljica Najkraj{a ~rta med dvema to~kama je ravna. To vedo vsi otroci, ko gredo po bližnjici. To vemo, ko govorimo o zra~ni razdalji med kraji.

Andrej in Jasmina iz 6. b sta dobila vsak svojo nalogo. Jasminina naloga: Razdalja med to~kama

Kaj je razdalja med to~kama?

geometrija

Razdalja je dolžina najkraj{e ~rte med to~kama. Najkraj{a ~rta med to~kama je daljica. Daljica ima dolžino. Razdalja med to~kama je torej enaka dolžini daljice med to~kama.

V ravnini sta ozna~eni to~ki A in B. Kolik{na je razdalja med njima?

Jasmina s {estilom izmeri razdaljo med to~kama A in B tako, da razdaljo prenese ob ravnilo z merilom.

Konico {estila nastavi v oznako 0. Drugi krak {estila ji pokaže razdaljo med A in B.

Jasminin odgovor: Razdalja med to~kama A in B je 3 cm: d(A, B) = 3 cm Razdaljo med to~kama A in B zapi{emo d(A, B): d(A, B) = 3 cm Andrejeva naloga: Dolžina daljice

A Jasmina in Andrej sta re{evala zelo podobni nalogi z enakim postopkom. Na koncu ugotovita, da je razdalja med ozna~enima to~kama res enaka dolžini daljice med tema to~kama.

V ravnini je narisana daljica AB. Andrej bo izmeril dolžino daljice AB.

Andrej s {estilom prenese razdaljo med kraji{~ema daljice ob ravnilo z merilom.

Konico {estila nastavi v oznako 0. Ob drugem kraku od~ita dolžino.

Andrejev odgovor: Dolžina daljice je 3 cm: �AB� = 3 cm Ker je razdalja med to~kama enaka dolžini daljice med to~kama, velja B d(A, B) = �A,B� [e ena naloga za Jasmino in Andreja:

Zapi{ita, ali sta daljici AB in CD skladni. To ve{ od lani: Daljici sta skladni, ko imata enaki dolžini.

128

(sto osemindvajset)

C D

Andrej:

Jasmina:

S {estilom prenesem razdaljo med A in B na daljico CD. Ker se razdalji med A in B ter C in D ujemata, je CD ≅ AB.

S {estilom izmerim dolžini daljic AB in CD ob ravnilu z merilom. Obe dolžini sta enaki 3 cm. To pomeni, da sta AB in CD skladni: CD ≅ AB

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Izmeri in napi{i razdalje med vsemi možnimi pari

to~k.

1 Na~rtaj kvadrat s stranico 34 mm. Izmeri dolžino

njegove diagonale. A

B C

2 Nari{i trikotnik po svoji želji. Izmeri dolžine

D E

F 2 Izmeri dolžine vseh daljic s spodnje slike.

H S

L A

C 3 Nari{i premico. Nari{i krog s polmerom 2 cm

tako, da bo krožnica sekala premico v to~kah A in B. Izmeri d(A, B). 4 Vsaki daljici s spodnje slike izmeri dolžino. Dolžine

uredi po velikosti. Vsaki daljici nari{i v zvezek skladno daljico in tudi te razporedi po velikosti.

Daljice se sekajo v skupni to~ki S, ki ji pravimo teži{~e. Izmeri dolžino daljic SU in SA. Kaj opazi{? Ali to velja tudi za druga dva para daljic? 3 Naslednjo sliko preri{i v zvezek tako, da bo

dolžina vsake daljice pove~ana za eno tretjino. Dobro premisli, kako je mogo~e nalogo narediti na lahek na~in.

4 Na~rtaj lomljeno krivuljo, kot prikazuje skica, iz

I G

5 Izmeri razdalje med to~kami in premico t. Zapi{i jih

z matemati~nimi znaki. A

stranic. S pomo~jo prena{anja razdalje s {estilom iz vsakega ogli{~a nari{i daljico med ogli{~em kota in to~ko na sredini nasprotne stranice. Ozna~i in poimenuj T, V, U in S kot na sliki.

najmanj 12 daljic. Vsaka naslednja daljica na tvoji sliki naj bo za 5 mm dalj{a od prej{nje. Pazi, da se daljice ne bodo sekale. Izra~unaj skupno dolžino svoje krivulje.

G t

(sto devetindvajset)

129

Razdalja med to~ko in premico Razdalja med to~kama je dol`ina najkraj{e poti med njima. Razdalja med premico in to~ko je dol`ina najkraj{e poti od to~ke do premice. Kaj misli{, katera ~rta prikazuje najkraj{o pot?

Jur~ek ob~uduje vlake. Rad se postavi pred zapornico in gleda vlak, ki pelje mimo. S pogledom spremlja lokomotivo, dokler jo {e lahko vidi. Jur~ek je od proge ves ~as oddaljen natanko toliko, kolikor je dolga pot od njega naravnost do proge. Lokomotiva pa je od Jur~ka razli~no dale~. Najbliže je, ko je naravnost pred njim. Ko zapelje mimo njega, se razdalja med lokomotivo in Jur~kom pove~uje.

Ko i{~emo daljico z najkraj{o dolžino med to~ko J in premico p, v resnici i{~emo, katera to~ka s premico p bo drugo kraji{~e te daljice.

geometrija

Opi{imo zgornjo sliko v matemati~nem jeziku. p

J Daljica bo najkraj{a, ~e bo pravokotna na premico p. Zato i{~emo prese~i{~e med premico in tisto pravokotnico, ki gre skozi to~ko J.

1. Dolo~imo geometrijske oblike: Jur~ek je to~ka J. Proga je premica p. Lokomotiva je to~ka L, ki se premika po premici p. Razdalja med Jur~kom in progo je razdalja med to~ko J in premico p. 2. Opi{emo problem: I{~emo razdaljo med to~ko J in premico p. Razdalja med to~ko J in premico p je najkraj{a dol`ina poti od J do neke to~ke T na premici p. Razdalja med to~ko J in premico p je dolžina daljice JT. T je prese~i{~e med premico p in tisto pravokotnico na p, ki gre skozi J.

J T

d(J, p) p

Razdaljo ozna~imo z d(J, p). Kaj pa bi bila razdalja med dvema vzporednima premicama, med t in u?

Jur~kova proga ima dve vzporedni tra~nici. Razdalja med tra~nicama je dolžina železni{kih pragov med njima. Za pragove pa vemo, da so postavljeni pravokotno na tra~nici.

130

(sto trideset)

Razdalja med vzporednicama t in u je dolžina najkraj{e daljice z enim kraji{~em na t in drugim na u.

v T

Razdaljo ozna~imo z d(t, u). Pravokotnica v na t gre skozi T. Premica v seka premico u v to~ki U. d(t, u) = d(T, U)

t d(t, u) u

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Nari{i premico p. Ozna~i to~ko P, ki ne leži na

premici. Izmeri razdaljo svoje to~ke P do premice p. Zapi{i jo z matemati~nim zapisom. 2 Ozna~i dve to~ki, S in T. S {estilom izmeri razdaljo

med S in T, d(S, T). Med S in T nari{i premico r tako, da S ∉ r in T ∉ r. Dolo~i d(S, r) in d(T, r). V kak{ni zvezi sta d(S, T) in d(S, r) + d(T, r)? 3 Nari{i trikotnik in ga ozna~i z ABC. Izmeri razdaljo

to~ke C do nosilke daljice AB. Daljici, ki dolo~a razdaljo C do nosilke daljice AB, re~emo vi{ina trikotnika. C vi{ina trikotnika

1 Nari{i pravokotnik ABCD z dolžino 4 cm in {irino

3,6 cm. Vri{i mu diagonali. Prese~i{~e diagonal ozna~i s S. Izmeri razdaljo med S in nosilko stranice AB. Sedaj izra~unaj, kolik{na je ta razdalja glede na podatke o pravokotniku. Rezultat merjenja, na svoji sliki primerjaj z rezultatom ra~unanja. Kaj dobi{? 2 Igor in Blaž se žogata. Stojita 5 m narazen. Žoga

leti od enega k drugemu po ravni ~rti med njima, dokler ne prileti k Blažu komar. Komar ga zmoti, da ne vrže žoge naravnost k Igorju, ampak malo mimo njega. Prevedi dogodek v matemati~ni zapis. Nari{i geometrijsko sliko v merilu 1m = 1 cm. Sam se odlo~i, kako je Blaž vrgel žogo. Izmeri, kako dale~ je po tvoji skici letela žoga. Koliko metrov bi bilo to v resnici?

B nosilka daljice AB

4 Izmeri razdalje vseh ozna~enih to~k do premice s.

^emu je enaka razdalja d(S, s)? Kaj pa d(C, s)? C D

3 Spodaj je na~rt kolesarske tekmovalne proge iz

5 Kako bi izmerili razdaljo med to~ko in krožnico?

T k Pomagaj si s sredi{~em kro`nice in premico skozenj.

kraja A v kraj B. Kako bi izmeril dolžino poti? Dolo~i{ lahko približek dolžine poti. Ozna~i na vrhu zavoja to~ko Z. Poveži z daljicama A in Z ter Z in B. Izmeri vsoto dolžin �AZ� in �ZB�. Kaj predstavlja vsota? Kaj bi se zgodilo, ~e bi nadaljeval postopek tako, da bi na zavoju med A in Z ozna~il {e eno to~ko in tudi na zavoju med Z in B eno to~ko? Kaj bi to pomenilo za natan~nost približka dolžine poti?

(sto enaintrideset)

131

Ri{emo pravokotnice in vzporednice skozi to~ko {e vedno velja: Preden se loti{ risanja slike z geometrijskim orodjem, s prosto roko nari{i skico. Skice obi~ajno nari{emo v zgornji desni vogal pod besedilo naloge, lahko pa tudi kam drugam. Zapomni si, da je skica vedno del tvoje re{itve.

Anin o~e je arhitekt. Ri{e na~rte za uporabne predmete in hi{e. Kar naprej ima v rokah ravnila, trikotnike in {estilo. Ana bi tudi sama rada risala na~rte za nove hi{e, avtomobile, nakit, pa tudi za {il~ke in svin~nike za otroke. "Za to pa mora{ znati narisati pravokotnice in vzporednice na pravem mestu," ji pove o~e. Ana se u~i risati pravokotnico k premici p skozi to~ko T. Z geotrikotnikom: p

geometrija

1. Geotrikotnik položi tako, da ~rta od izhodi{~a do vrha geotrikotnika pokriva premico p, spodnji rob pa se dotika to~ke T. 2. Povle~e ~rto skozi T in ~ez premico p. 3. Ozna~i pravi kot in premico. Skica Anine slike pravokotnic:

Spomni se: Pravokotnici sta premici, ki se v prese~i{~u sekata pod pravim kotom. Vzporednici sta premici, ki se nikoli ne sekata. Pravokotnica na pravokotnico k premici je vzporednica k premici. Skica Anine slike vzporednic:

Z ravnilom in {estilom:

1. Ana nari{e ~ez premico p del krožnice s sredi{~em T. 2. V prese~i{~ih krožnice in premice za~rta s {estilom dele krožnice nad premico in pod njo, da se sekajo. 3. Ob ravnilu povle~e premico skozi prese~i{~a lokov in T. 4. Ozna~i pravi kot in premico.

Ana se u~i risati vzporednico k premici p skozi to~ko S. Z geotrikotnikom:

T S v

1. Z geotrikotnikom na~rta na premico p skozi T pravokotnico r. . 2. Z geotrikotnikom na~rta na premico r skozi to~ko S pravokotnico v. 3. Ozna~i premico v in prava kota.

p T S

Ana se trudi, vendar s prvimi risbami nista zadovoljna ne ona ne o~e. ^rte so debele in tudi malo zmazane. [ele ko nari{e pravokotnico že sedmi~ in vzporednico deveti~, jo o~e pohvali: "Ana, zdaj pa zna{!" Koliko slik si pa ti narisal, da lahko re~e{: "Zdaj pa znam!"?

132

(sto dvaintrideset)

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Po spodnji skici nari{i geometrijsko sliko v zvezek.

1 Nari{i premico p in to~ko V

Koliko merijo koti z vrhom v A? Premisli, potem pa izmeri na svoji sliki.

z vrhom V in krakom na premici p, ki bo meril 60°. Na drugem kraku izberi to~ko T. Skozi T na~rtaj na premico p pravokotnico ter prese~i{~e pravokotnice in premice p ozna~i s to~ko U. Izmeri vse kote v trikotniku VTU.

r p

C s

2 V ravnini izberi {tiri to~ke, A, B, C in D. Z ravnilom

in {estilom na~rtaj k nosilki daljice AB vzporednici, ki bosta {li skozi C in D. Kako bi moral izbrati to~ki C in D, da bi za re{itev zado{~alo risanje le ene vzporednice?

D t 2 Na~rtaj premico. Na vsako stran premice nari{i

v ravnini po eno to~ko. Skozi to~ki na~rtaj na premico pravokotnici. Kje bi morali biti to~ki, da bi se pravokotnici sekali?

3 Na~rtaj krog s polmerom 45 mm. Nari{i mu

premer. Na krožnici ozna~i zaporedoma 6 to~k, ki so med seboj oddaljene 45 mm. 45 mm

3 Nari{i poljubni trikotnik ABC. Nari{i nosilke

45 mm

stranic. Na~rtaj pravokotnico od vsakega ogli{~a do nasprotne nosilke stranice. Najprej nari{i skico. Kaj lahko pove{ o tem, kako se sekajo pravokotnice med seboj?

45 mm

4 Na~rtaj ∢AVB po spodnji skici. Na nosilko kraka s

V vsaki to~ki na~rtaj vzporednico k premeru. Koliko vzporednic si narisal? Uporabi le {estilo in ravnilo.

to~ko B na~rtaj pravokotnico, ki bo {la skozi to~ko A. B

∈ p. Nari{i kot α

4 Na~rtaj kot α = 56°. Prek obeh krakov nari{i krožni

lok s polmerom 3 cm in s sredi{~em v vrhu kota. Prese~i{~i krožnega loka in krakov kota ozna~i s to~kama S in T.

Posebej na~rtaj ∢CVD, ki bo meril 100°. Skozi to~ko C na~rtaj pravokotnico na nosilko kraka s to~ko D. Premisli: Kje pravokotnica seka nosilko kraka kota? V kak{ni povezavi je to z velikostjo kota? 5 Nari{i navpi~no premico t. Desno od nje ozna~i

to~ko A in levo od nje to~ko B, ki ne ležita na premici. Skozi A in B na~rtaj k premici t vzporednici.

Skozi to~ki S in T na~rtaj pravokotnici na nasprotna kraka kota. Prese~i{~e pravokotnic ozna~i s P. Nari{i premico p skozi P in vrh kota α. Oglej si premico p in kot α. Razloži, zakaj je premica p razpolovila kot α.

(sto triintrideset)

133

Ri{emo vzporednice Kje vse najde{ vzporednice? Na ~rtasti majici, na oznakah na cesti, v ~rtastem zvezku, med roglji vilic, na parketu, na glavniku, na položnicah ... Poi{~i jih {e nekaj. Izmeri razdaljo med njimi. Indeks: Zapisani mali ~rki ali {tevilki ob vznožju oznake re~emo indeks oznake.

geometrija

P1 oznaka

indeks

Tudi znaki 7, T in 0 ob spodnjih oznakah so indeksi:

Indeks napi{emo približno polovico manj{i od oznake. Postavimo ga tako, da ga je polovica pod ~rto. Indekse uporabljamo, ko ozna~ujemo ponavljajo~e se geometrijske elemente,

Ana se je dobro nau~ila risati vzporednice. Zdaj ji o~e dovoli, da mu pomaga. Ri{eta na~rt za stopnice k novi {oli. Ana mora k premici p narisati 5 vzporednic, ki bodo med seboj oddaljene 2 cm. {ola

Z geotrikotnikom: 1. Na premici p ozna~i to~ko P. 2. Z geotrikotnikom na~rta skozi P na premico p pravokotnico r. 3. Od P na r odmeri dolžino 2 cm in na r ozna~i to~ko P1. 4. Skozi to~ko P1 na~rta na premico r pravokotnico p1. 5. Ozna~i premico p1 in prava kota. 6. Nato se loti naslednje vzporednice, p2, potem pa {e p3, p4 in p5. 7. Ob sliko zapi{e razdalje med vzporednicami.

Cena izdelka A je 20 €:

CA = 20 €

Cena izdelka B je 23 €:

CB = 23 €

134

(sto {tiriintrideset)

r P

d(p, p1) = 2 cm, d(p1, p2) = 2 cm, d(p2, p3) = 2 cm d(p3, p4) = 2 cm, d(p4, p5) = 2 cm

p1, p2, p3 ali T1, T2, T3, ali ko želimo opozoriti, na kaj se oznaka nana{a:

stopnice

Z ravnilom in {estilom: 1. Ana izbere na premici p to~ko P. 2. Na premico p na~rta pravokotnico r skozi to~ko P. 3. V {estilo vzame 2 cm in na premici r zaporedoma ozna~i 5 to~k. 4. V vsaki to~ki na~rta pravokotnico na premico r. 5. Pravokotnice na r ozna~i zaporedoma p1, p2, p3, p4 in p5. 6. Sliko pokaže o~etu. 7. O~e je navdu{en.

r P

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Naredi {e ti Anino nalogo. Najprej k svoji izbrani

premici p nari{i 5 vzporednic z geotrikotnikom, potem pa {e s {estilom in ravnilom. Vzporednice naj bodo med seboj oddaljene 25 mm.

1 Po spodnji skici izdelaj na~rt za reklamno ovojno

mapo za podjetje Kamen v merilu 1 : 2.

2 Podjetje Lak je sezidalo novo trgovino z barvami

0,7 m

in laki. Nari{i na~rt za velikansko ~rko L, ki bo stala na vrhu strehe trgovine. ^rka bo merila v vi{ino 4 m, v {irino 3 m, izdelana pa bo iz 70 cm {iroke plo~evine.

Uporabi merilo 1 : 100. 3 Z geotrikotnikom na~rtaj 4 cm visoke ~rke F, T, N

in M.

2 Nari{i sliko, kakor pravi opis:

A∈p B∈p d(A, B) = 4 cm AB ⊥ BC d(B, C) = 4 cm CD �� AB in CD Kaj si narisal?

AB in d(A, D) < d(D, B)

3 Nari{i na~rt svojega zvezka v merilu 1 : 6 samo s

{estilom in ravnilom. 4 Na~rtaj tar~o, ki jo uporabljajo na planetu

Oglatniku. Med posameznimi ~rtami na tar~i je 1 cm. ^rni kvadrat na sredini ima stranico 5 mm. Potrudi se in uporabi za risanje {estilo in ravnilo.

4 S {estilom in ravnilom na~rtaj 5 cm visoke ~rke

H, E, Z in Ž. Kljukica na Ž mora imeti desni krak vzporeden s po�evno daljico v ~rki Z, z drugim krakom pa mora objemati pravi kot. 5 Na~rtaj robota. Telo naj ima v obliki pravokotnika,

visokega 6 cm. Obleci ga v pulover, ki bo imel 5 enako {irokih ~rt. Uporabi {estilo in ravnilo. Pazi, da bo robot popolnoma simetri~en.

5 Z geotrikotnikom na~rtaj po spodnji skici labirint

za krokodilji park. Na tvoji sliki naj bodo poti {iroke 8 mm.

S x

(sto petintrideset)

135

Kot Pomisli, kaj pomeni beseda "kot", ko re~emo: "moral je stati v kotu", "prah je lezel iz vseh kotov", "~e pogleda{ pod kotom, bo{ videl ~arovnijo", "{tirikotnik", "pravokotnik".

Kot je obmo~je v ravnini med dvema poltrakoma, ki imata za~etek v skupni to~ki. Ta to~ka je vrh kota. Poltrakoma re~emo kraka kota. Kot dolo~ajo tri to~ke: to~ka na prvem poltraku, vrh in to~ka na drugem poltraku. Kot ozna~imo z znakom za kot in tremi to~kami ali z gr{ko ~rko. krak kota

Tole je kot ∢AVB:

geometrija

Za ozna~evanje v matematiki velikokrat uporabljamo gr{ke ~rke. Pri tem mislimo na abecedo starih Grkov, ki se je za~ela takole: α (alfa), (beta), (gama), (delta) ... Kako napi{emo gr{ke ~rke? Alfo za~nemo pisati pri zgornjem repku, nato vle~emo svin~nik navzdol in nazaj:

vrh kota krak kota

V A

Od kraka, ki ima prvo ozna~eno to~ko, zavrtimo drugi krak do druge ozna~ene to~ke v nasprotni smeri urnega kazalca. ^e sta kota enake oblike, sta skladna.

Alfa je podobna na{i ~rki a. Napi{emo jo tako veliko, kot so na{e male ~rke.

Beto za~nemo pisati od spodnjega repka navpi~no navzgor, potem zavijemo desno:

Kot α

∢BVA

∢AVB

Kota ∢AVB in α sta skladna. Zapi{emo: ∢AVB ≅ α Pazi, da bo repek bete vedno stal pokonci in bo segal navzdol ~ez ~rto, podobno kot na{ p. Beta je podobna na{emu B, zato mora zgoraj segati do zgornje ~rte. Gamo za~nemo pisati v levem zgornjem kotu. Pi{emo jo navzdol in proti desni:

Kraka kota razdelita ravnino na dva dela: na notranjost in zunanjost kota. Kraka dolo~ata mejo med zunanjostjo in notranjostjo kota. meja zunanjost

kota

notranjost kota



Kot sestavljata notranjost kota in meja.

Gama sega zgoraj in spodaj do vi{ine na{ega g. Spodnji del naj bo lepa zanka, ki se seka ravno na ~rti.

Koti v likih Vsaki dve stranici, ki imata v liku skupno to~ko, dolo~ata kot v liku. C c

Delta je zelo podobna na{i ~rki d. A

Pisati jo za~nemo na sredini med vrsticama. Nari{emo okrogel trebuh in nadaljujemo v repek nad njim. 136

(sto {estintrideset)

b a

α A

C A

Kaj zajema kot α? Kot se nadaljuje V pravilnih ve~kotnikih so med seboj skladni vsi koti in vse stranice. v ravnino, ~eprav leži stranica b med njegovima krakoma.

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Tridesetkrat napi{i

α, , , .

1 Nari{i kvadrat ABCD s stranico 5 cm. Nari{i mu

diagonali. Nari{i krožnico s sredi{~em v prese~i{~u diagonal S s tak{nim polmerom, da bo krožnica potekala skozi ogli{~a kvadrata. Kaj je notranjost ∢BCS? Kaj je zunanjost ∢ASB? Pobarvaj ju.

2 Nari{i v zvezek 5 to~k približno takole: B C

2 Vrata {ole so visoka 4 m. Pred {olo stoji drevo, na

Nari{i kote: ∢AVB, ∢CVA, ∢BVC. Pobarvaj njihovo notranjost.

3 Nari{i pravokotnik ABCD. Vri{i mu diagonali. To~ko

na prese~i{~u diagonal ozna~i s S. Napi{i vse kote v tem pravokotniku. Pobarvaj njihovo notranjost. 4 Koliko kotov imata spodnja lika? Preri{i ju v zvezek

in izpi{i kote. E

F A

C B

katerem je na vi{ini 4 m pritrjena kamera. Drevo je od vrat {ole oddaljeno 4 m. Premisli, kako bi morala biti nastavljena kamera na drevesu pred {olo, da bi snemala poleg celih vrat {e ~im ve~ zidu nad njimi? Kamera vidi v obmo~ju pravega kota. Nari{i natan~no geometrijsko skico vrat, drevesa in kamere ter vri{i kot, pod katerim kamera snema {olo. Izmeri, do katere vi{ine zidu nad vrati doseže kamera.

E D

5 Nari{i vzporedni premici p in q, kot vidi{ na skici.

Na vsaki premici ozna~i po dve to~ki. Nari{i premico t, ki seka p in q in gre med paroma ozna~enih to~k. Prese~i{~e premic p in t ozna~i s to~ko S, prese~i{~e med t in q pa ozna~i z V. Izpi{i vse kote, ki jih dolo~ajo to~ke in premice. Na premici t ozna~i A B p potrebne dodatne S V to~ke, da lahko zapi{e{ q C D t vse kote. 6 Drži glavo naravnost in poglej na levo in na

desno, kolikor more{. S pomo~jo rok pokaži kot, do kamor vidi{, ne da bi premaknil glavo. V zvezek nari{i skico kota.

3 Nari{i po en nepravilni lik s {tirimi, petimi,

{estimi, sedmimi in osmimi stranicami. Ozna~i jim notranje kote. Koliko kotov ima vsak od njih – ve~ od stranic ali manj? Za koliko manj ali ve~? V kak{ni zvezi sta {tevilo stranic in {tevilo kotov? 4 Poskusi napisati pravilo, s katerim bi izra~unal,

koliko kotov ima lik z nekim {tevilom stranic. ^e želi{, uporabi ~rko n za neznanko v zapisu svojega pravila. Lahko dopolni{ izjavo: ^e ima lik n stranic, potem ima kotov.

(sto sedemintrideset)

137

Velikost kota Kotu ne moremo dolo~iti dolžine in {irine, ker se obmo~je med krakoma razteza v neskon~nost. Za merjenje velikosti kotov potrebujemo prav posebno novo enoto.

V ~em se koti razlikujejo med seboj? ^e nari�emo krog in vrh kota postavimo v njegovo sredi�~e, kot pokrije del kroga. Opazujemo, kako velik del kroga pokrijejo razli~ni koti. B V

∢CDT je ve~ji od ∢AVB, ker zavzema ve~ji del kroga.

geometrija

^e krog razdelimo na enake dele, je {tevilo delov, ki jih kot pokrije, enako velikosti kota. ^e razdelimo krog na ve~ delov, dolo~imo velikost kota natan~neje. Že pred ve~ kot 5000 leti je pri Sumercih veljal dogovor, da se krožnico razdeli na 360 ko{~kov. Njihov na~in merjenja kotov velja {e danes.

A V

Kot, ki ima kraka na premeru kroga, meri B 180°. Temu kotu re~emo iztegnjeni kot.

Kot, ki ima prekrivajo~a se kraka, predstavlja cel obrat, meri 360°. Takemu kotu pravimo polni kot.

Velikost kota izrazimo v takole: Krog razdelimo na 360 enako velikih delov. Re~emo jim stopinje. 90 Kot, ki ga dolo~a en del, meri eno stopinjo. Kot, ki pokrije 30 delov, meri trideset stopinj. 180 0 Stopinje zapi{emo z dvignjenim krogcem °. Velikost kota zapi{emo: ∢AVB = 30° 270

α Kot α je manj{i od kota . Kot je ve~ji od kota . Kot je enako velik kot kot . Zapi{emo: = Kako ozna~nimo velikost kota? Daljico smo ozna~ili AB, njeno dolžino pa �AB�. Za kot in njegovo velikost pa uporabimo isto oznako α. Iz besedila ugotovimo, kaj oznaka pomeni: kot α ali njegovo velikost α = 30°. Kote predstavljajo tudi kazalci na uri. Minutni kazalec opi{e v eni uri cel krog. Pravimo, da naredi cel obrat. Cel obrat meri 360°. Koliko merijo koti med velikim in malim kazalcem na spodnjih urah?

~etrt obrata

Pravi kot pokriva ~etrtino kroga. Ker je 1 od 360 = 90, meri pravi kot 90°. 4

138

(sto osemintrideset)

pol obrata

Koti so lahko pravi, ostri ali topi. Koti, ki merijo ve~ kot 90° in manj kot 180°, so topi koti.

tri ~etrt obrata

cel obrat

Koti, ki merijo manj kot 90° in ve~ kot 0°, so ostri koti.

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Koliko stopinj merijo koti, ki pokrivajo naslednje

dele kroga? a) eno ~etrtino b) eno {estino c) dve tretjini d) tri ~etrtine

1 Zakaj so v preteklosti cel krog razdelili ravno na 360

stopinj? 360 je deljivo z veliko {tevili: 2, 3, 4, 5, 6, 9 ... ^e krog razdelimo na toliko enakih delov, bodo velikosti kotov cele stopinje. Izra~unaj kote, ki jih dobimo, ~e krog razdelimo na 2, 3, 4, 5, 6 in 9 delov. Nalogo lahko nadaljuje� �e z drugimi delitelji �tevila 360.

e) polovico f) tretjino g) cel krog

2 Nari{i skice kotov iz prve naloge. Nari{i jim

merilni krog in ozna~i, kolik{en del tega kroga pokrivajo?

2 ^e ve{, da meri polni kot 360°, koliko merijo koti

na okrogli {tevil~nici ure med navpi~nico skozi oznaki za 12 in 6 in vsakim kazalcem, ko je ura:

3 Zapi{i, kateri koti v liku so pravi, ostri in topi.

C S

Poi{~i iztegnjene kote.

7.30

9.48

4.36

6.00 12.12

8.24

Najprej nari{i krog in daljici za kazalca, da prikaže{ kote. Potem re{i nalogo {e z ra~unanjem.

3 Letalo leti po narisani zra~ni poti. Za vsako to~ko,

kjer spremeni smer, zapi{i, ali se mora obrniti za ostri, topi ali pravi kot.

4 Iz papirja izdelaj model pravega kota. Z njim

preveri, ali so koti v u~ilnici ali doma, ki bi po tvoje morali biti pravi koti, res pravi koti. Nari{i skice izmerjenih kotov in opi{i, kak{ni so v resnici.

za~etek

5 Ozna~i kote in jih razvrsti na ostre, tope, prave in

iztegnjene.

D E

Pozor, opazovati mora{ kote na zunanji strani poti. Pomagaj si z vogalom pravokotnega listi~a papirja.

4 Sonce, ki sije na drevo, nari{e njegovo senco. Dolžina

sence je povezana s polo`ajem sonca nad obzorjem. sonce 6 a) Kolikokrat med polno~jo in poldnevom

pokažeta kazalca na uri pravi kot?

b) Koliko lahko kaže ura, da bo med kazalcema ostri kot? Napi{i 3 primere.

c) Koliko je lahko ura, da bo med kazalcema topi kot? Napi{i 3 primere.

senca

drevo

V svoj zvezek nari{i podobno sliko. Nari{i kot, ki dolo~a senco drevesa, ko je dalj{a od drevesa. Nari{i položaj sonca, ko bi senca postala neskon~no dolga. Kdaj pa je senca najkraj{a?

(sto devetintrideset)

139

Merimo kote Za merjenje kotov uporabljamo posebno merilo, kotomer. Kotomeri so lahko razli~nih oblik.

Pri nas u~enci najve~krat merijo kote z geotrikotnikom. To je merilo trikotne oblike z vrisanimi merami kotov.

oznake stopinj vzporedne ~rte

izhodi{~e

Kako merimo kote?

geometrija

1. korak: Geotrikotnik položi na kot tako, da se vrh kota in ozna~eno sredi{~e na geotrikotniku natan~no pokrijeta. Zasu~i ga tako, da leži en krak kota natan~no pod osnovnim robom geotrikotnika. Zapomni si 3 stvari, na katere mora{ biti pozoren pri merjenju kota: 1. Izhodi{~e geotrikotnika ali kotomera mora biti v vrhu kota. 2. Osnovni rob geotrikotnika ali ~rta skozi izhodi{~e mora biti natan~no poravnana z enim krakom kota. 3. Stopinje od~ita{ tam, kjer drugi krak seka oznako za stopinje. ^e je krak prekratek, ga pred merjenjem kota podalj{a{.

2. korak: Poi{~i, kje izpod geotrikotnika pogleda drugi krak kota. ^e krak ni dovolj dolg, geotrikotnik odmakni, krak podalj{aj in ponovi 1. korak. 3. korak: Na merilu geotrikotnika preberi {tevilo stopinj od enega do drugega kraka kota.

Ko žarek svetlobe zadene zrcalo, se odbije pod enakim kotom, kot je pri{el do zrcala. To pomeni, da je kot, ki ga oklepata prihajajo~i žarek in zrcalo, enako velik kot kot, ki ga oklepata zrcalo in odbiti žarek. Kota =

140

(sto {tirideset)

sta enako velika.

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Izmeri vse kote na sliki.

1 Žarek posveti v {katlo, ki je obložena z zrcali.

I E H

Oglej si velikosti vseh kotov z vrhom v to~ki B. Kaj opazi{? Kaj pa velja za kote z vrhom v to~ki?

α B

izmeri. skozi vrh kota in ni vzporedna s krakoma kota. Izmeri kot med premico in desnim krakom kota ter kot med premico in levim krakom kota. Kaj opazi{ iz meritev?



2 Nari{i trikotnik, ki ti je v{e~. Ozna~i mu kote in jih

3 Nari{i iztegnjeni kot in {e eno premico, ki gre

2 Izmeri naslednje kote.

Kateri koti med žarkom in steno {katle so skladni?

4 Nari{i po dva razli~no velika topa kota, prava

U S

3 Nari{i poljubni {tirikotnik s stranicami

a = 4 cm, b = 6 cm, c = 5 cm in d = 3 cm. Izmeri mu vse notranje kote.

kota, ostra kota, izbo~ena kota in udrta kota ter jih izmeri. 5 Nari{i premico p. Na njej nari{i daljico AB z

dolžino 4 cm. Nari{i trikotnik tako, da bo daljica AB njegova osnovnica. Pri ogli{~u A naj ima pravi kot. Stranica nasproti ogli{~a B naj bo dolga 3 cm.

4 Kote delimo tudi na udrte in izbo~ene kote.

Izbo~eni kot je kot, ki meri manj kot 180°. Udrti kot je kot, ki meri ve~ kot 180°. Za vsak kot na spodnji sliki zapi{i, ali je udrti ali izbo~eni. ∢AVB

∢DTC

3 cm

p A B Izmeri kot, ki ga oklepata stranica trikotnika, ki leži nasproti ogli{~a A, in premica p. Najprej kot ozna~i na svoji skici.

∢FSE

5 Nari{i pet razli~nih trikotnikov. Ozna~i jim ogli{~a.

V vsakem trikotniku ozna~i, kateri kot je najmanj{i in kateri najve~ji.

Pomo~ za risanje: Naloge, ki zahtevajo na~rtovanje, najprej preberi do konca. Ko bere{ drugi~, sproti ri{i skico. Preberi tretji~, da preveri{, ali je skica pravilna. Potem opazuj skico in nari{i pravo, lepo geometrijsko risbo.

(sto enain{tirideset)

141

Ri{emo kote

geometrija

Sedaj, ko vemo, kako izmerimo velikost kota, se lahko nau~imo tudi narisati kot dolo~ene velikosti.

Pri risanju in ozna~evanju kotov veljajo po svetu razli~na pravila. Nekateri na konce krakov nari{ejo pu{~ice. V~asih ozna~imo kot samo s ~rkami AVB, v~asih s ~rkami in znakom ∢TUS, v~asih z gr{ko ~rko, npr. . Pomembno je, da prepozna{ kot, kakorkoli je napisan. Poi{~i na svetovnem spletu razli~ne zapise kotov.

Kako nari{emo kot z geotrikotnikom? 1. Nari{emo in ozna~imo to~ko, ki bo vrh kota.

2. Na~rtamo en krak kota – nari{emo poltrak z za~etkom v vrhu kota. 3. Položimo geotrikotnik tako, da je izhodi{~e geotrikotnika v vrhu kota, osnovni rob geotrikotnika pa leži natanko na kraku kota.

4. Želene stopinje od~itamo na zunanjem robu geotrikotnika. Na pravem mestu ob robu geotrikotnika zari{emo na papir ~rtico ali to~ko.

Za risanje polnega kota in iztegnjenega kota potrebujemo samo ravnilo. Poskusi!

5. Geotrikotnik odmaknemo in nari{emo drugi krak kota. Krak gre skozi ozna~eno to~ko in vrh kota.

6. Na krakih kota ozna~imo dve to~ki ali v notranjost kota vpi{emo gr{ko ~rko. Jana je obupana odkrila, da je njen geotrikotnik na poti v {olo izginil. Marko jo tolaži: "Jana, mnogo kotov lahko nari{e{ le s {estilom in ravnilom!" Skupaj nari{eta kote, ki merijo 90°, 45° in 60°. D

90° meri kot med pravokotnicama.

142

(sto dvain{tirideset)

45° meri polovica pravega kota.

60° merijo vsi koti v enakostrani~nem trikotniku.

Naloge

Re{ujemo probleme

1 S prosto roko preri{i v zvezek svoj geotrikotnik,

1 Spomni se na risanje pravilnega {estkotnika.

da ga dobro spozna{. Vri{i mu vse oznake.

Koliko merijo koti v njem?

2 Z geotrikotnikom nari{i kote naslednjih velikosti

in jih ozna~i.

30°

60°

50°

20°

15°

76°

89°

120°

185°

333°

3 S pomo~jo ravnila in {estila nari{i kote, ki merijo

60°, 90° in 45°. 4 Nari{i premico t. Ozna~i to~ko A, ki ne leži na

premici. Izmeri razdaljo d(A, t). Nari{i kot z vrhom v A, ki mu bo en krak ležal na pravokotnici iz A na t in bo meril 30°. Ozna~i to~ki B in C na prese~i{~u krakov kota s premico t tako, da bo d(B, A) = d(A, t). Izmeri d(A, C). Ne pozabi na risanje skice! 5 Naslednjim izbo~enim kotom izmeri velikosti in

na~rtaj v zvezek vsakemu skladni kot, ki bo imel en krak v vodoravni smeri.

Nari{i pravilni {estkotnik in izmeri kote v njem.

2 S {estilom in ravnilom nari{i kvadrat s stranico

4 cm. Narisanemu kvadratu z geotrikotnikom izmeri vse {tiri notranje kote. Koliko merijo? S sliko smo zadovoljni, ~e je napaka v kotu manj{a od dveh stopinj. ^e ti slika ni uspela, nari{i {e kvadrat s stranico 3 cm in kvadrat s stranico 5 cm. Ponavljaj, dokler ne bodo tvoji kvadrati narisani dovolj natan~no. 3 Nari{i zob~asto lomljeno ~rto tako, da bo imela 7

ravnih odsekov, dolgih po 2 cm, kot med dvema zaporednima odsekoma pa bo meril 100°. Koliko re{itev obstaja? Nari{i vsaj dve. 4 Nari{i enakostrani~ni trikotnik. Izmeri mu kote.

Premisli, kako bi narisal kot, velik 30°, samo z ravnilom in {estilom. Nari{i ga.

6 Izmeri kote v spodnjem liku in za vsakega nari{i v

zvezek za polovico manj{i kot. F

E A C

(sto triin{tirideset)

143

Ra~unamo s kotnimi merami Kote moramo v~asih meriti bolj natan~no kot na eno stopinjo. Takrat uporabimo enoti, manj{i od stopinje, to sta kotna minuta in kotna sekunda.

geometrija

Kotne minute in kotne sekunde uporabljajo astronomi, ko merijo položaj zvezd v vesolju.

S kotnimi enotami ra~unamo podobno kot z enotami za ~as.

Kotne mere so: kotna stopinja (1°), kotna minuta (1') in kotna sekunda (1'') 1 kotna stopinja ima 60 kotnih minut: 1° = 60' 1 kotna minuta ima 60 kotnih sekund: 1' = 60'' Kako pretvorimo kotne stopinje v kotne minute? 12° = 12 · 60' = 720' 45° = 45 · 60 = 2700' Kako pretvorimo kotne minute v kotne sekunde? 67' = 67 · 60'' = 4020'' 120' = 120 · 60'' = 7200'' Kako pretvorimo kotne minute v kotne stopinje? Dolo~imo, koliko celih stopinj pomenijo minute, preostale minute pa dopi{emo. ker je 65' = 60' + 5' = 1° 5' 65' = 1° 5' ker je 197' = 3° 17' 197' : 60 = 3, ostane 17. 197' = 3° 17' 180 17 Kako se{tevamo kotne mere? ker je 25' + 2° 3' = 2° 28' 2° + 25' + 3' = 2° 28' 125' + 13° 17' = 15° 22'

Miha svetuje, da posebej izra~una{, koliko je celih stopinj, nato doda{ preostale minute. Lea svetuje, da lahke ra~une opravi{ brez vmesnih ra~unov. Eva svetuje, da pretvori{ vse se{tevance v stopinje in minute, ker potem ra~una{ z manj{imi {tevili. Ana pravi, da najraje lo~eno se{teje vse minute. Ga{per pri nekaterih ra~unih potrebuje kar vse ideje prijateljev.

144

(sto {tiriin{tirideset)

230° 47' + 53' = 231° 40'

ker je ker je

190° 27' – 67° 35' = 122° 52'

125' = 2 · 60' + 5 = 2° 5' 125' + 13° 17'= 2° 5' + 13° 17'= 15° 22' 47' + 53' = 100' = 1°40' 230° 47' + 53' = 230° + 1° 40' = 231° 40' Ker 35' ne moremo od{teti od 27', si sposodimo 1° od 190°:

189° + 1° 27' – 67° 35' = 189° + 87' – 67° – 35' = 122° 52' Kako množimo kotne mere? Pri deljenju in 25 · 13° 9' = 25 · 13° + 25 · 9' = mnoènju bodi pozoren na enote v rezultatu. = 325° + 225' = = 325° + 180' + 45' = = 325° + 3° + 45' = 328° 45' 25 kotov po 13° 9' skupaj meri 328° 45'. Kako delimo kotne mere? 185° : 5 = 37° ê kot, velik 185°, razdelimo na 5 delov, vsak del meri 37°. 185° : 5° = 37 ê kot, velik 185°, razdelimo na kote, velike 5°, dobimo 37 malih kotov.

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Pretvori v kotne stopinje in minute.

a) 250' b) 1800' c) 478' 999' 7890' 13567' 2 Pretvori v kotne stopinje, minute in sekunde.

a) 3780'' b) 12836'' c) 8427'' 125678'' 5678'' 98653''

1 Kazalec na igra~ki se vsaki~ zavrti za 2° ve~ kot

za cel krog. Po koliko obratih bo kazal naravnost navzdol, ~e kaže na za~etku naravnost navzgor? 2 Jadrnica pluje 100 m naravost, nato zavije pod

kotom 60° v levo. Ponovno pluje 100 m in se želi vrniti v za~etno to~ko.

3 Pretvori v kotne minute.

a) 13° 45' b) 45° 7' c) 109° 23' 180° 90° 30' 65° 56' 4 Izra~unaj in pretvori v kotne stopinje in minute.

a) 6 · 47' + 376' = b) 75' – 14 · 5' = c) 12 · (35' + 39') = d) 73 · 7' – 58 · 6' = e) (45' + 125') : 5 =

Pod katerim kotom mora zaviti in koliko je dale~ od za~etne to~ke? 3 Tesarji so dobili naro~ilo za izdelavo obi~ajne

5 Se{tej.

a) 17° 13' + 27° 16' = b) 18° 25' + 42° 50' = c) 95° 16' + 67° 46' = 6 Od{tej.

a) 180° – 89° = d) 150° 15' – 15° = b) 72° 33' – 16° 20' = e) 81° 28' – 40' = c) 221° 38' – 18° 40' = f) 167° 41' – 90° 59' = 7 Deli in rezultat zapi{i v ustreznih enotah.

a) 56° : 7 = b) 123° : 16 = c) 230° : 45 =

d) 180° : 30' = e) 105° : 60' = f) 360° : 56° =

8 Umetnostna drsalka je v skoku naredila tri ~etrtine

obrata. Koliko stopinj je to? 9 Razdeli naslednje kote na 5, 6 in 12 delov. Koliko

stopinj meri vsak del? Nari{i kote in po en primer vsakega razdeljenega dela. a) 230° 45' b) 78° 12' c) 180° 10

Polovico okrogle torte je mama razrezala na 8 enakih kosov. Koliko meri kos torte, ki ga je dobil vsak gost?

dvodelne strehe. Ob slemenu bi morala omejevati kot 110°. Ko je bila streha gotova, je bil kot pod slemenom 120°. Kako se pozna napaka pri videzu strehe? Nari{i navpi~nico. Od nje odmeri na vsako stran po pol predvidenega kota, pa {e po pol kota, kot so ga izdelali tesarji. Iz obeh narisanih kotov sklepaj, kak{ne bodo posledice napake. 4 Nari{i kot 100°. Ozna~i na vsakem kraku eno

to~ko in ju poveži z daljico. Izmeri daljico in jo z dvema to~kama razdeli na tri dele. To~ki na daljici dolo~ata razdelitev kota na tri dele. Nari{i te kote in jih izmeri. Meritve se{tej in preveri, za koliko stopinj odstopa vsota meritev od 100°. 5 Tudi tortni prikazi so povezani s koti. Izmeri kote

ob sredi{~u prikaza rezultatov raziskave, katero je najljub{e prevozno avto vlak sredstvo prebivalcev glavnega mesta. ^e ve�, da je anketo izpolnilo kolo 3600 ljudi, koliko ljudi je izbralo posamezno avtobus vozilo?

(sto petin{tirideset)

145

Izbirna vsebina: Se{tevamo in od{tevamo kote Kote lahko se{tevamo z risanjem ali ra~unanjem.

Vsoto kotov lahko dolo~i{ tudi ra~unsko.

Kako se{tevamo dva kota? Uporabimo {estilo in ravnilo.

1. S {estilom nari{emo vsakemu kotu krožnico s sredi{~em v vrhu kota. Obe krožnici morata imeti enako velik polmer.

Izmeri{ kot . Izmeri{ kot .

geometrija

= 45° = 60°

Se{teje{: + = 45° + 60° = 105°

Nari{e{ kot, ki bo meril 105°.

2. Ozna~imo to~ke na prese~i{~ih krožnic in krakov kotov. N

Razdaljo med krakoma prvega kota prenesemo na drugo stran to~ke U.

Nari{emo krak novega kota od vrha kota N

do ozna~ene to~ke V.

Kot ∢TZN je razlika kotov

∢TZN = 146

–

(sto {estin{tirideset)

Odmerimo razdaljo med prese~i{~ema krožnice in krakov kota in jo prenesemo na krožnico kota . {estilo zapi~imo v eno od prese~i{~ krožnice in kraka kota . Za~rtamo novo to~ko N.

Kako od{tejemo kota?

in .

Kot ∢TZN je vsota kotov

in . ∢TZN =

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Nari{i oba kota in izra~unaj razliko.

a) b) c) d)

A L

2 Nari{i premici a in b, ki se sekata v to~ki C. Nari{i

premico c, ki seka premico a v to~ki B in premico b v to~ki A. Izberi si kot z vrhom v eni od to~k. Notranjost kota in vse njemu skladne kote na risbi pobarvaj z rde~o barvo. Koliko skladnih kotov si na{el?

J N

R P

= 120°, = 45° = 180°, = 90° = 36°, = 36° = 200°, = 25°

3 Na list nari{i z ravnilom velik trikotnik s tremi

razli~no dolgimi stranicami. Pomanj{ano skico velikega trikotnika nari{i v zvezek s prosto roko. Pobarvaj notranje kote velikega trikotnika s tremi razli~nimi barvami. Enako pobarvaj {e kote trikotnika na skici v zvezku. Razreži veliki trikotnik na tri dele tako, da mu odreže{ dva kota.

Izmeri zgornje kote. Preri{i jih v zvezek. Z risanjem se{tej kote: a) ∢ABC in ∢DEF b) ∢GHI in ∢JKL c) ∢MNO in ∢PRS

2 Na~rtaj premici p in r, ki se bosta sekali pod kotom

35°. Ozna~i kote, ki imajo vrh v prese~i{~u premic. Kaj je njihova vsota? 3 Z ravnilom in {estilom na~rtaj pravi kot. Poi{~i

prosojni papir ali prozorno folijo. Nanj preri{i svoj pravi kot. Na spodnji sliki s polaganjem kota na prosojnem papirju dolo~i, kateri koti so pravi.

Sestavi dele tako, da bodo vsi vrhovi kotov za~etnega trikotnika v skupni to~ki. V zvezek pod skico nari{i, kar dobi{. Kaj si opazil o kotih trikotnika? Naloga ti pomaga odkriti, koliko merijo vsi koti trikotnika skupaj. Ali misli{, da velja lastnost, ki si jo odkril o kotih v svojem trikotniku, tudi za vsak drug trikotnik?

4 Nari{i navpi~no premico t. Nari{i premico s, ki

seka t v to~ki A. Ozna~i kote, ki imajo vrh v A. Kolik{na je vsota dveh kotov, ki imata en skupni krak, druga dva pa ležita na premici?

(sto sedemin{tirideset)

147

Krog in kot

geometrija

Do sedaj si že opazil, da so koti povezani s krogi in krožnicami. Odnose med njimi si bomo natan~neje ogledali.

80° 20° Izreži iz papirja dva kroga s premerom 20 cm. Prvemu izreži krožni izsek s kotom 20°, drugemu pa krožni izsek s kotom 80°. Zvij papirna modela v upognjeni ploskvi stožca. Opi{i, v ~em se razlikujeta. Ali se ti ne zdi, da je prvi {e najbolj podoben kitajskemu klobuku, drugi pa pokrivalu za vile ali ~arovnike?

Tetiva: Tetiva seka krožnico v dveh to~kah. Tetiva je daljica. Tetiva ima dolžino.

Nari{imo krog in v njem kot z vrhom v sredi{~u krožnice. Takemu kotu re~emo sredi{~ni kot. Del krožnice med krakoma sredi{~nega kota se imenuje krožni lok. Del kroga, ki ga pokrije sredi{~ni kot, se imenuje krožni izsek.

sredi{~ni kot krožni izsek

krožni lok premer kroga

Simon strelja z lokom v tar~o. Trener mu na tar~i ozna~i, kje je najve~ njegovih zadetkov. Simon primerja velikosti krožnih izsekov in opazi: 1. Pri istem kotu je krožni lok krožnice z ve~jim premerom dalj{i od krožnega loka krožnice z manj{im premerom. 2. Krožni lok iste krožnice je pri ve~jem sredi{~nem kotu dalj�i od krožnega loka pri manj{em sredi{~nem kotu. Nari{imo krožnico.

Na krožnici ozna~imo dve to~ki.

A S

Povežimo ju z daljico.

B S

Daljica s kraji{~ema na krožnici se imenuje tetiva. Kako nari{emo tetivo dolo~ene dolžine? Uporabimo {estilo. Ob ravnilu razmaknemo {estilo na želeno dolžino. Na krožnici zapi~imo {estilo v prvo kraji{~e tetive. Z drugim krakom {estila zari{emo na krožnici ~rtico, da ozna~imo drugo kraji{~e tetive. To~ki povežemo z daljico in ju ozna~imo. Narisali smo tetivo AB.

Tetivi na krožnici lahko dori{emo njeno premico nosilko. Premica bo sekala krožnico natanko v dveh to~kah, v kraji{~ih tetive. Sekanta: Sekanta seka krožnico v dveh to~kah. Sekanta je premica. Tetiva leži na sekanti.

148

(sto osemin{tirideset)

Premica, ki seka krožnico v dveh to~kah, se imenuje sekanta.

tetiva

sekanta

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Nari{i krožnico s premerom 5 cm. Nari{i ji tri

1 Nari{i krog in v njem kot 40°. Nari{i

tetivo, ki jo dolo~a krožni lok tega kota.

tetive razli~nih dolžin. 2 Povej, na kaj kažejo pu{~ice. 2 3 1

Nari{i tetivo AB z dolžino 36 mm. Nari{i sredi{~ni kot ASB. Izmeri ga. Na krožnici nasproti tetive izberi to~ko T. Nari{i ∢ATB. Izmeri ga. ∢ASB bi moral biti natanko dvakrat ve~ji od ∢ATB. Ali si bil dovolj natan~en pri risanju?

dolžino 4 cm. 4 Nari{i krog s premerom 46 mm. Premisli, kako

dolge tetive lahko nari{e{ temu krogu. Koliko bi merila najdalj{a možna tetiva? Kje bi potekala? V kak{ni povezavi je najdalj{a tetiva s premerom kroga?

β α

5 Nari{i krog s premerom 8 cm. Ozna~i sredi{~e

6 Nari{i krožnico s premerom 56 mm. Nari{i ji

sredi{~ni kot, ki meri 68°.

Sredi{~nemu kotu pri{tej {e en enako velik sredi{~ni kot. Nari{i tetivo vsote kotov. Kaj velja za dolžino prve in druge tetive? Izmeri ju. Ali je dolžina tetive vsote kotov enaka vsoti dolžin tetiv posameznih kotov?

2 Nari{i krožnico s polmerom 28 mm in sredi{~em S.

3 Nari{i krog s premerom 6 cm. Na~rtaj tetivo z

S. Na krožnici izberi to~ko T. Nari{i vse možne tetive, dolge 6 cm, s kraji{~em v T. Koliko jih je?

α = 2β

Za kote s kraki skozi kraji{~i tetive velja, da so vsi koti z vrhom na krožnici natanko za polovico manj{i od kotov z vrhom v sredi{~u krožnice.

3 Po spodnji skici nari{i na~rt za tiskanje velike ~rke

C na plakatu za vitaminski sok. Kot med obema krakoma naj bo 50°, polmer krožnice, ki dolo~a notranji krožni lok, pa 4 cm. ^rka naj bo {iroka 6 mm.

7 Na krožnici s premerom 48 mm ozna~i krožni lok,

ki ga dolo~a tetiva, dolga 3 cm. 8 @aba ska~e po robu okroglega ribnika s

premerom 2 m. V 15 enakih skokih se vrne v za~etno to~ko.

50°

Nari{i skico `abjih skokov po robu ribnika v merilu 1 : 50.

Ali je re{itev ena sama? Primerjaj svoj na~rt z ostalimi v razredu. Ugotovite, v ~em se slike razlikujejo.

(sto devetin{tirideset)

149

Krožnice in premice Nari{emo krožnico s sredi{~em S in polmerom r. Ri{emo premice in opazujemo razdaljo med premico in sredi{~em krožnice.

S d(S, p)

r Kaj natanko pomeni, da je stena 1 m od mize? ^e mizo ponazorimo s krožnico in steno s premico, je geometrijska slika taka: p

geometrija

stena

r d(S, p)

miza

Kako nari{emo tangento t na krožnico v to~ki T?

d(S, p)

p Nari{emo premico p skozi polmer od to~ke S do T.

Nari{emo pravokotnico na premico p skozi T.

T s

150

(sto petdeset)

^e je razdalja med premico in sredi{~em S manj{a kot polmer krožnice, potem premica seka krožnico v dveh to~kah. d(S, p) < r Taki premici re~emo sekanta.

Premica se krožnice dotika v eni to~ki, ~e je razdalja med premico in krožnico enaka polmeru. d(S, p) = r Taki premici re~emo tangenta.

Premica in krožnica nimata skupne to~ke, ~e je razdalja med premico in sredi{~em krožnice ve~ja od polmera krožnice. d(S, p) > r Taki premici re~emo mimobežnica.

Premica in krožnica imata v ravnini tri razli~ne medsebojne lege. Razlikujejo se po {tevilu skupnih to~k. 1. ^e premica ne seka krožnice, se imenuje mimobežnica.

sekanta

mimobe`nica

2. ^e se premica dotakne krožnice v eni to~ki, se imenuje tangenta. 3. ^e premica seka krožnico, se imenuje sekanta.

B r C

tangenta

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Za vsako od premic p, r, s, t, u zapi{i, ali je

sekanta, tangenta ali mimobežnica glede na krožnico m in potem {e glede na krožnico n. u

t krožnica m

1 Na krožnici s polmerom 3 cm na~rtaj {estkotnik

s {estilom in ravnilom. V vseh ogli{~ih nari{i tangente na krožnico. Poveži prese~i{~a tangent med seboj. Kateri lik dobi{?

r krožnica n s

2 Nari{i krožnico s polmerom 22 mm. Na~rtaj ji

tetivo, dolgo 3 cm. Nari{i sekanto skozi tetivo.

2 Nari{i geometrijsko sliko spodnje pi{~alke, ~e jo

gleda{ od strani.

3 Na~rtaj tangenti v obeh kraji{~ih premera

krožnice s polmerom 2 cm. Z znaki zapi{i, ali sta tangenti med seboj vzporedni ali pravokotni. 4 V krožnici s polmerom 36 mm na~rtaj sredi{~ni

∢ASB, ki bo meril 90°. Na~rtaj tangenti v to~kah A in B. Kateri lik omejujeta tangenti z daljicama SA in SB? Kako dolge so njegove stranice? 5 Na~rtaj geometrijsko sliko po spodnji skici

3 Nari{i krožnico, polmer in to~ko T. Preveri, ali

lahko premica seka krožnico samo v to~ki T in hkrati ni pravokotna na polmer? Nari{i vsaj 5 premic, ki tvorijo s polmerom razli~ne kote, in zapi{i ugotovitve.

{esto{olca Jakoba. V sliki ozna~i {e vse tiste prave kote, ki jih je Jakob pozabil. 25 mm

T 4 Poskusi in nari{i.

5 mm

10 mm

E C

6 mm 20 mm

^e v sredi{~u privezani predmet vrti{ po krožnici in se naenkrat odtrga, zleti v smeri tangente od sredi{~a krožnice. Na~rtaj geometrijsko sliko lete~e žogice s skice.

18 mm 6 Nari{i kro`nico s polmerom 2 cm in sredi{~em S.

Nari{i kro`nico s polmerom 3 cm in sredi{~em T tako, da se kro`nici ne bosta sekali. Nari{i daljico ST. Izmeri ji dol`ino. Dol`ini ST re~emo sredi{~na razdalja med kro`nicama. S T

5 Nari{i dve kro`nici s polmerom 25 cm tako, da bo

njuna sredi{~na razdalja 7 cm. Nari{i tangenti v to~kah, kjer daljica med sredi{~ema seka kro`nici. Kaj velja za ti dve tangenti?

(sto enainpetdeset)

151

Ali te zanima, kako mi gre matematika? To so moje ocene.

Moje ocene letos so: 3, 4, 5, 5, 4, 3, 5, 5

To je moje sedanje povpre~je ocen.

3 + 4 + 5 + 5 + 4 + 3 + 5 + 5 = 34 34 : 8 = 4,25

5 4

Do sedaj sem dobil od vseh ocen najve~ petic!

3 2 1 0

Kaj pa ti misli{? Ali bo imel fanti~ iz matematike oceno 5, ~e dobi pri zadnjem preizkusu znanja {e eno petico?

152

(sto dvainpetdeset)

Zbiranje in prikazovanje podatkov

Prika탑e{ si lahko tudi podatke, ki jih zbere{ sam, ker te nekaj zanima. Najpomembneje je, da se potrudi{ ugotoviti, kaj ti zbrani podatki povedo.

(sto triinpetdeset)

153

Podatki, zbrani z anketnimi vpra{anji Podatke zbiramo s pomo~jo vpra{anj, ki jih zastavimo skupini ljudi.

Plavalne vaje

{tevilo otrok

morski pes deska hrbtno

PODATKI

roka ~aka roko

Mina in Rok u~ita v plavalni {oli vsak svojo skupino 16 otrok. Izvedeti želita, katero vajo v vodi otroci najraje vadijo. Mina vpra{a otroke: "Katero vajo v vodi najraje delate?" Otroci na{tevajo eden ~ez drugega: vajo morski pes, z desko, plavanje hrbtno, roka ~aka roko. Ali Mina izve, kaj imajo otroci najraje? Ne, Mina ne ve, koliko otrok ima najraje posamezno vajo. Rok napi{e na velik list imena 4 vaj. Vsakega otroka posebej vpra{a, katero od vaj ima najraje, in ozna~i njegov odgovor s ~rtico. Ali Rok izve, kaj imajo otroci najraje? Da, ker lahko pre{teje ~rtice. Najve~ jih je pri vaji morski pes. Kaj sta nam pokazala Mina in Rok? Preden se lotimo zbiranja podatkov, moramo vedeti, kako jih bomo beležili. Zlato pravilo {tevilka 1: Spra{evanje mora{ organizirati tako, da bo{ lahko odgovore {tel. Zala si želi v svoji sobi televizor. Mama je proti. Zali naro~i, naj doka`e, da ima ve~ina njenih vrstnikov televizor v svoji sobi. Zala zastavi prijateljem vpra{anje. Tule so odgovori: Kje imate doma televizor? Andrej

na omari

Maja

v sobi

Miha

v jedilnici

Mojca

enega v dnevni sobi, enega pa v moji sobi

Rok

nimamo televizije

Martin

televizijo gledamo na ra~unalniku

Kaj lahko sklepa iz teh odgovorov? Zala ugotovi, da ni dobro vpra{ala. Odgovorov ne more pre{teti, ker niso primerljivi. Zala mora vpra{ati bolje. Ob vpra{anju mora ponuditi nekaj možnih odgovorov. Potem lahko pre{teje, koliko prijateljev je izbralo vsakega. Zala premisli, katere so vse mo`nosti: • doma imamo lahko 0, 1 ali ve~ televizorjev • televizor je lahko v skupni sobi ali v sobi enega ~lana (na primer v spalnici star{ev ali v otro{ki sobi) • kje v sobi stoji televizor, ni pomembno

154

(sto {tiriinpetdeset)

Zala sestavi vpra{alnik:

1. Koliko televizorjev imate doma? Napi{i {tevilo: ____ 2. Kje imate televizor? (Obkroži da ali ne za vsako možnost.) a) v skupni sobi, kot je dnevna soba, jedilnica ... da ne b) v sobi star{ev da ne c) v otro{ki sobi da ne d) drugje (napi{i, kje: ________________) da ne

Odgovori so{olcev so bili tokrat: Andrej: 1 TV in da, ne, ne, ne Maja: 1 TV in ne, da, ne, ne Miha: 1 TV in da, ne, ne, ne

Mojca: 2 TV in da, ne, da, ne Rok: 0 TV in ne, ne, ne, ne Martin: 1 TV in ne, ne, ne, da (v delovnem kotu dnevne sobe)

Zala pre{teje odgovore in zapi{e svoja opažanja: Od 5 druìn, ki imajo televizor, ga imajo 4 druìne v skupnem prostoru. Od 5 druìn imajo v 1 druìni televizor v otro{ki sobi. Kaj nas je nau~ila Zala? Zlato pravilo {tevilka 2: Vpra{anje mora{ oblikovati tako, da lahko odgovore združi{ v skupine. Ali misli{, da so Zali dovolili imeti televizor v njeni sobi?

Naloge 1 So{olcem mora{ zastaviti vpra{anje o tem, kam

bi radi {li na kon~ni izlet. Tvoj cilj je vsakemu v razredu dati enako pravico do odlo~anja o kon~nem izletu. Raziskava mora biti anonimna. Napi{i, kako bi v {oli organiziral odgovarjanje na vpra{anje. Pomisli, kako bi se izognil te`avam: a) hrupu med odmori b) temu, da bi lahko kdo odgovoril na ve~ listov zapored, ker se mu ni treba podpisati, c) da bi se med seboj u~enci naprej dogovorili o odgovoru 2 Oblikuj vpra{anje in možne odgovore

na anketo za naslednja splo{na raziskovalna vpra{anja:

a) Kaj naredi {esto{olec najprej, ko pride iz {ole domov? b) Kateri predmet imamo v na{em razredu najraje? c) Kako se u~imo za matemati~ni test? d) S katerim {portom se osnovno{olci najve~ ukvarjajo med po~itnicami?

Re{ujemo probleme 1 V banki so dali ljudem naslednjo anketo o svojih

storitvah. Prosimo, ocenite od 1 do 5, kako ste zadovoljni z naslednjim: 1. s prijaznostjo uslužbencev pri okencu ___ ___ 2. s hitrostjo storitve ___ 3. z urejenostjo banke 4. s preglednostjo poro~il o stanju na ra~unu ___ Ljudje so izpolnili 67 anket. V banki so izra~unali vsote vseh ocen za vsako vpra{anje: Vpra{anje Skupna ocena

prijaznost hitrost urejenost poro~ila 234

288

312

274

Napi{i poro~ilo o rezultatih ankete. Iz podatkov sklepaj, pri katerih storitvah se morajo v banki bolj potruditi, da bodo ocene bolj{e.

(sto petinpetdeset)

155

Združevanje odgovorov v kategorije ^e mora{ narisati stolp~ni prikaz, je dobro, da stolpcev ni preve~. Ni pa ~isto vseeno, katere podatke združi{ in nari{e{ v enem stolpcu.

Število dose`enih to~k na tekmovanju iz matematike na {oli v Smrečju

Na tekmovanju iz matematike je 80 u~encev z dveh {ol doseglo 20 razli~ne rezultate. Dose~i je bilo mogo~e najve~ 34 to~k. 10

U~itelji so najprej izdelali stolp~ni prikaz. Stolpci kažejo doseženo 0 {tevilo to~k za vsakega u~enca. Stolpci si sledijo po zaporednih U~enci {tevilkah u~encev. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Število dose`enih to~k na tekmovanju iz matematike na {oli v Smrečju

Število dose`enih to~k na tekmovanju iz matematike na {oli v Hrastju

to~ke Dose`eneDose`ene to~ke

Dose`ene to~ke

20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

U~enci

30 Število dose`enih to~k na tekmovanju iz matematike na {oli v Smrečju 40 20 30

10 20 0 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Število dose`enih to~kU~enci na tekmovanju iz matematike na {oli v Smrečju

Iz prikazov lahko u~enci vidijo svoj rezultat, težko pa z u~itelji0 sklepajo o skupnem dosežku {ole. Zato U~enci 30 Število dose`enih to~k na tekmovanju iz matematike 26 prikaza preoblikujejo. U~ence razvrstijo po {tevilu doseženih to~k. Prikaza lahko sedaj bolje primerjajo. na {oli v Hrastju 30 40

Število dose`enih to~k na tekmovanju iz matematike na {oli v Smrečju

20 30

10 20 0 10

Število dose`enih to~k na tekmovanju iz matematike na {oli v Hrastju 40 10 Dose`ene to~ke

Dose`ene Dose`ene to~ke to~ke

Dose`ene to~ke

25 7 12 13 21 1 37 2 4 8 10 11 35 5 29 9 16 28 6 15 18 32 33 27 36 14 17 26 38 22 39 19 31 20 30 34 23 40 3 24

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

25 7 12 13 21 1 37 2 4 8 10 11 35 5 29 9 16 28 6 15 18 32 33 27 36 14 17 26 38 22 39 19 31 20 30 34 23 40 3 24

U~enci 0 25 7 12 13 21 1 37 2 4 8 10 11 35 5 29 9 16 28 6 15 18 32 33 27 36 14 17 26 38 22 39 19 31 20 30 34 23 40 3 24

U~enci

Število dose`enih to~k na tekmovanju iz matematike na {oli v Hrastju

Dose`ene to~ke

21 31 34 37 32 40 12 38 18 15 29 5 4 10 6 9 13 30 16 26 27 35 3 20 11 14 39 23 22 33 7 1 36 8 17 25 2 24 19 28

U~enci

[tevilo u~encev

Dose`ene to~ke

20 v Smre~ju je srednji 16 u~enec dosegel 26 Na prikazu jeŠtevilo ~rnodose`enih pobarvan stolpec za srednjega u~enca. Na {oli to~k na tekmovanju iz matematike Število u~encev po dose`ku na tekmovanju na {oli v Hrastju 40 to~k, na {oli v Hrastju pa je srednji u~enec dosegel 16 to~k. 20 10 iz matematike 30

15 10

Smrečje

Hrastje

21 31 34 37 32 40 12 38 18 15 29 5 4 10 6 9 13 30 16 26 27 35 3 20 11 14 39 23 22 33 7 1 36 8 17 25 2 24 19 28

5 20 U~ence morajo u~itelji razdeliti 34 to~k na 5U~enci delov. 16 po dosežku v 5 skupin. Zato razdelijo 0

Nato za vsako skupino 0 nari{ejo stolpec, ki 2. skupina: 7 do 13 to~k U~enci pokaže, koliko u~encev 3. skupina: 14 do 20 to~k se je uvrstilo v katero 4. skupina: 21 do 27 to~k Število u~encev po dose`ku na tekmovanju iz matematike skupino. 5. skupina:2028 do 34 to~k

1. skupina 2. skupina 3. skupina 4. skupina 5. skupina

21 31 34 37 32 40 12 38 18 15 29 5 4 10 6 9 13 30 16 26 27 35 3 20 11 14 39 23 22 33 7 1 36 8 17 25 2 24 19 28

Smrečje

Hrastje

[tevilo u~encev

1. skupina: 0 do 6 to~k

[tevilo u~encev

PODATKI

Število u~encev po dose`ku na tekmovanju iz matematike

Smrečje

Hrastje

5 0

1. skupina 2. skupina 3. skupina 4. skupina 5. skupina

U~itelji zapi{ejo opažanja. 5 V 4. in 5. skupino na {oli v Smre~ju se je uvrstilo ve~ otrok kot na {oli v Hrastju. Ugotavljamo, da je na {oli v 0 1. skupina 2. skupina 3. skupina 4. skupina 5. skupina Smre~ju ve~ dobrih mladih matematikov kot na {oli v Hrastju. Zmagala je {ola Smre~je.

156

(sto {estinpetdeset)

Naloge

Re{ujemo probleme

1 Kupce v trgovini so

1 V parku je nov vrtiljak. Med otroki so opravili anketo

vpra{ali, kako jim je v{e~ nova omara z jogurti in siri. Izbrali so lahko ocene od 1 do 4. 1 je pomenilo, da jim ni v{e~, 4 pa, da so nad omaro navdu{eni. Tule so rezultati ankete: Zaporedna {tevilka kupca Ocena Zaporedna {tevilka kupca Ocena

o tem, kako so se po~utili, ko so po vožnji stopili z velikega vrtiljaka. Prikazani so podatki in trije prikazi. Razloži, v ~em se razlikujejo. Premisli, za kak{en namen bi bil uporaben posamezni prikaz.

10 11 12 13 14 15 16 17 18 4

Združi odgovore po oceni najprej v {tiri skupine, nato pa na dva na~ina v tri skupine: a) prvi~ naj bodo v prvi skupini tisti, ki so dali oceno 1 ali 2, v drugi skupini tisti, ki so dali oceno 3, in v tretji tisti, ki so dali oceno 4 b) drugi~ naj bodo v prvi skupini le tisti, ki so dali oceno 1, v drugi pa tisti, ki so dali oceno 2 ali 3 Nari{i stolp~ne prikaze za vse tri razdelitve kupcev v skupine.

Po~utje ~udovito dobro {e kar dobro slabo zelo slabo

[tevilo otrok 12 16 6 10 8

Število otrok glede na po~utje po divji vo`nji z vrtiljakom

zelo slabo slabo {e kar dobro dobro ~udovito

slabo dobro ~udovito 0

Število otrok glede na po~utje po divji vo`nji z vrtiljakom

slabo dobro 0

Projekt Povežimo znanje matematike! Spomni se na ulomke, kote in risanje tortnih prikazov.

Na predstavi v gledali{~u je bilo 1440 ljudi. Po koncu so novinarji vsakega vpra{ali, kako jim je bila v{e~ igra, glasba in kostumi. V tabeli je napisano, koliko ljudi je izbralo po enega od treh možnih odgovorov. Zelo mi je bilo v{e~ Lahko bi bilo bolje Sploh mi ni bilo v{e~

Igra 840 120 480

Glasba 1200 200 40

Kostumi 664 376 400

Na prikazu so deleži odgovorov o igri. Moder del kaže delež odgovorov “zelo mi je bilo v{e~”. Njegov sredi{~ni kot meri 210°. Zakaj?

Vseh ljudi je bilo 1440. Celoto predstavlja polni kot, to je 360°. Ker je 1440 : 360 = 4, 1° predstavlja 4 ljudi in 210° predstavlja 840 ljudi. Nari{i {e prikaza odgovorov o glasbi in kostumih. Izra~unaj velikost kotov za vse deleže in jih nari{i v prikaz. Tabelo vpi{i v ra~unalnik in nari{i prikaze {e s programom za delo s preglednicami.

Igra 480 840 120

Sploh mi ni bilo v{e~ Lahko bi bilo bolje Zelo mi je bilo v{e~

(sto sedeminpetdeset)

157

Podatki, zbrani z merjenjem

Spomni se: Kaj je raziskovalno vpra{anje? To je vpra{anje, na katero želimo odgovoriti s celotno raziskavo.

PODATKI

Na primer: Ali redno pisanje matemati~ne doma~e naloge pove~a znanje u~encev? Kaj so vpra{anja za zbiranje podatkov? To so vpra{anja o vsebini raziskovalnega vpra{anja za razli~ne skupine ljudi. Na primer: Kako pogosto naredi{ doma~o nalogo? Pri kateri doma~i nalogi se najve~ nau~i{? Koliko ~asa porabi{ za nalogo? Kak{ne ocene ima{ pri matematiki?

Ma{a: S termometrom merim temperaturo vode na {tedilniku. Luka: Na {tevcu hitrosti opazujem hitrost avta. Ajda: Dolžino opravljene poti merimo s {tevcem kilometrov. Meritve so med seboj primerljive, ~e merimo z enakimi merilnimi instrumenti. Ma{i, Luku in Ajdi lahko merilni instrument poka`e katero koli {tevilo med najnižjo in najvi{jo možno meritvijo: • temperatura mrzle vode pri gretju po~asi nara{~a do 100 °C • avto pri pospe{evanju iz mirovanja pove~uje hitrost od 0 km na uro navzgor • na pohodu smo dosegli vse vmesne dolžine poti do skupne dolžine od starta do cilja Izmerjene podatke lahko prikažemo na prikazu s to~kami. Prikazu, na katerem so meritve prikazane s to~kami, ki so med seboj povezane z ravnimi ~rtami, re~emo linijski prikaz ali prikaz z lomljeno ~rto. Luka je posejal seme peter{ilja. Ko je peter{ilj za~el rasti, je vsakih 10 dni izmeril njegovo vi{ino in jo zapisal v tabelo. Dan opazovanja 0 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90.

Vi{ina peter{ilja 0 cm 3 cm 4 cm 6 cm 11 cm 14 cm 17 cm 20 cm 22 cm 24 cm

Rast peter{ilja 25 20

Vi{ina (cm)

Mnogo podatkov zbiramo v vsakdanjem življenju s pomo~jo razli~nih merilnih instrumentov. Meritve ponavljamo in bele`imo.

15 10 5 0

Dnevi opazovanja

Na prikazu je na ustrezni vi{ini vrisal to~ke za vsak opazovalni dan. Povezal jih je s ~rtami. Krivulja je kot lomljena palica. Iz nagiba ~rt med to~kami sklepamo o podatkih. Luka opazi, da je peter{ilj rasel najpo~asneje med 10. in 20. dnevom.

158

(sto oseminpetdeset)

Vi{ina peter{ilja

0 cm

10. 30. 50. 70. 90.

3 cm 6 cm 14 cm 20 cm 22 cm

Vi{ina (cm)

Dan opazovanja

Ko je Luka na prikaz vnesel samo vsako drugo opazovanje, je dobil druga~en prikaz z lomljeno ~rto. ^eprav so to~ke na istih vi{inah, je cela lomljena ~rta druga~na. Iz tega prikaza se zdi, da je peter{ilj rasel najpo~asneje med 10. in 30. dnevom.

Rast peter{ilja

15 10 5 0

Dnevi opazovanja

Kaj nas je Luka nau~il? ^e želimo natan~nej{i prikaz, moramo narisati ve~ to~k ali opazovanj. Iz ve~ prikazanih to~k je sklepanje natan~nej{e.

Naloge 1 Za spodnje meritve sestavi tabelo in prikaz z

lomljeno ~rto. a) velikost palme, izmerjena zaporedoma vsakih 6 mesecev: 9 m, 10,2 m, 12 m, 12,5 m, 13,5 m b) hitrost avtobusa od {ole do doma, izmerjena vsako minuto: 0 km/h, 15 km/h, 40 km/h, 40 km/h, 32 km/h, 0 km/h c) nara{~anje temperature poletnega dne na son~ni terasi, izmerjene vsako uro od 8.00 dalje: 15 °C, 17 °C, 20 °C, 25 °C, 27 °C, 32 °C, 33 °C, 30 °C, 28 °C, 27 °C, 24 °C, 20 °C, 20 °C Nari{i prikaz z lomljeno ~rto najprej za vse meritve, potem pa {e enega za vsako drugo izmerjeno vrednost. Katere informacije o gibanju temperature si izgubil, ~e gleda{ le drugi prikaz?

Re{ujemo probleme 1 Iz stolp~nega prikaza preberi podatke o prijavah

u~encev k izbirnim predmetom ter jih prikaži v tabeli in s tortnim prikazom. Porazdelitev u~encev po izbirnih predmetih 16

12 10

umetnost

{port

vesolje nem{~ina `ivi organizmi

2 Napi{i raziskovalno vpra{anje, izmisli si odgovore

in nari{i prikaz tako, da bo zanj veljal sklep: U~enci, ki redno delajo doma~o nalogo, imajo vi{je ocene, obenem pa porabijo za naloge skupaj manj ~asa kot u~enci, ki nalog ne delajo redno. Sklepamo, da je redna doma~a naloga povezana z ve~jim znanjem. Namig: Bodi pozoren, da "redno" delo v nalogi ni isto kot "porabljeni ~as" za doma~o nalogo.

(sto devetinpetdeset)

159

Sklepamo iz podatkov in prikazov ^eprav veliko pozornosti posve~amo zbiranju in prikazovanju podatkov, ne smemo pozabiti na najpomembnej{e pri delu s podatki: na razlago podatkov ali sklepanje o zaklju~kih. Saj zato sploh zbiramo podatke, ali ne?

PODATKI

Spomni se, katere sklepe smo v tem poglavju že sre~ali.

Zbiranje, zapisovanje in prikazovanje podatkov je namenjeno glavnemu cilju, sklepanju in oblikovanju odgovora na na{e raziskovalno vpra{anje. K vsakemu prikazu, ki ga oblikujemo za dane podatke, zapi{emo svoja opažanja o podatkih in pojasnimo svoj odgovor na raziskovalno vpra{anje. • Mina in Rok sta ugotovila, da imajo otroci v plavalni {oli najraje vajo morski pes. • Zala je ugotovila, da imajo televizor v otro{ki sobi le v eni družini od petih. Njena raziskava je potrdila mamino prepri~anje, da je televizor v otro{ki sobi redek pojav. Zala bo na televizor v svoji sobi {e po~akala. • Lukov peter{ilj je rasel do 30. dneva po~asneje kot od 30. dneva dalje. Luka je ugotovil, da peter{ilj ni rasel enakomerno hitro. Tadej trenira tek. V peti teka{kega copata ~evlja ima merilnik prete~ene poti in ~asa. Po treningu si ogleda prikaz, ki mu ga merilnik pokaže na majhnem zaslonu.

Pot (m)

Tadejevi prete~eni metri poti glede na ~as 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0

700 m 1100m 1100 m

1000 m 800 m

Tadej v tabelo izpi�e podatke, ki jih prebere v prikazu.

Razdalja

(sto {estdeset)

2900 m

Tadej iz prikaza razbere, kako dolgo pot od starta je opravil po vsakih 5 minutah. Ugotovi, da je v celoti pretekel 3600 m. ^as

160

1800 m

1000 m

0 minut po 5 minutah po 10 minutah po 15 minutah po 20 minutah 0 m

800 m

1800 m

2900 m

3600 m

Tadeja zanima, ali je vsakih 5 minut pretekel enako dolžino. Iz prikaza od~ita, koliko se je krivulja dvignila vsakih 5 minut, in podatke izpi�e v tabelo.Tadej opazi, da je najhitreje tekel predzadnjih 5 minut, ker je takrat pretekel najdalj{o pot. ^as

start

0–5 minut

5–10 minut

10–15 minut

15–20 minut

Razdalja

0 m

800 m

1000 m

1100 m

700 m

Tadej na prikazu opazi: • da je krivulja najbolj strma tam, kjer je tekel najhitreje • da je krivulja najbolj položna tam, kjer je tekel najpo~asneje

Tadej zapi{e ugotovitve: a) V 20 minutah sem pretekel 3,6 km. b) Najve~jo razdaljo sem pretekel med 10. in 15. minuto in najmanj{o v zadnjih 5 minutah. c) Moja hitrost se je do 15. minute teka pove~ala, potem pa se je zmanj{ala.

Naloge 1 Sklepaj podobno kot Tadej – o Majini porabi

Re{ujemo probleme 1 Tole je prikaz jutranje vožnje družine Kova~ od

denarja v prej{njem tednu napi�i vsaj tri ugotovitve.

Jutranja vo`nja v {olo

Maja je imela v ponedeljek zjutraj 230 €, v torek 220 €, v sredo 190 €, v ~etrtek 100 €, v petek pa 70 €.

Razdalja (km)

doma do {ole z avtomobilom.

2 Najprej nari{i kvadrat s stranico 2 cm in izra~unaj

njegovo plo{~ino. Potem sestavi tabelo z dvema stolpcema za vsaj 5 kvadratov: v prvega vpi{i dolžino stranice, v drugega plo{~ino kvadrata. Nari{i prikaz z lomljeno ~rto in sklepaj o povezavi med dolžino stranice in plo{~ino kvadrata. 3 V lonec daj 1 ℓ vode in eno skodelico ledenih

kock. Po~akaj, da se ledene kocke stalijo. Lonec postavi na mizo. Za~ni meriti temperaturo vode. Zapisuj temperaturo vsakih 5 minut, dokler se ne neha spreminjati. Sestavi tabelo in nari{i prikaz. Opi{i lomljeno krivuljo, ki povezuje tvoje meritve. Sestavi poro~ilo ali sklep o opazovanju. V razredu primerjajte prikaze.

6 5 4 3 2 1 0

Kaj se je dogajalo v prvih 4 minutah? Kaj se je zgodilo v 4. minuti? Kaj se je dogajalo od 4. do 6. minute? Kako se je vožnja razlikovala med 6. in 7. minuto in med 8. in 9. minuto? Kolik{no pot je avto opravil na vsakem ozna~enem delu poti? Kdaj je vozil najhitreje?

(sto enain{estdeset)

161

Ra~unalni{ke preglednice Množico podatkov najlažje uredimo in prikažemo z ra~unalnikom. Programi za delo s podatki so si podobni. Nau~ili se bomo nekaj osnovnih re~i, ki jih zmore vsak program za delo s podatki in ti lahko koristijo tudi pri drugih predmetih.

1. Katerega spola si?

PODATKI

Jurij in Kristina sta zbrala podatke o gledanju televizije med prijatelji tako, da sta vsakemu dala list z vpra{anji. Njihove odgovore bosta vpisala v ra~unalnik. Za vsakega vpra{anega bosta vpisala tri skupine podatkov: spol, starost in ~as gledanja televizije na dan. Juriju in Kristini je vrnilo izpolnjen vpra�alnik 15 otrok. Na vsak vrnjeni list sta napisala zaporedno �tevilko od 1 do 15. Te �tevilke bodo oznake vpra�anih oseb. Imata dve skupini podatkov: spol in minute gledanja televizije.

Vpra{alnik:

Obkroži: fant

Podatke, ki jih zberemo z anketo ali merjenjem, obi~ajno zapi{emo v preglednico. Podatke uredimo in jim dopi{emo oznake. Pri tem si lahko pomagamo z ra~unalnikom tako, da uporabimo enega od ra~unalni{kih programov za delo s preglednicami, na primer Excel.

dekle

2. Koliko si star? ____ 3. Koliko ~asa na dan obi~ajno gleda{ televizijo? Napi{i minute: ____ minut

Zapis preglednice Jurij zažene program. Pokaže se mreža pravokotnikov z oznakami za stolpce: A, B, C ... in za vrstice: 1, 2, 3 .... Na vrhu je vrstica z opravili. Vsaka vrstica v tabeli bo pripadla enemu otroku. Na za~etku bo oznaka otroka, nato pa vsi podatki o tem otroku.

Jurij in Kristina iz {tevila let in mesecev za vsakega otroka izra~unata starost v letih in jo zapi{eta z decimalno {tevilko. Zaokrožita jo na 1 decimalno mesto. 12 let 3 mesece = 3

12 12 = 12,25 let 12,25 let ≐ 12,3 let

Jurij najprej vpi{e imena skupin podatkov. V prvo vrstico vpi{e zaporedoma: Oseba, Spol, Starost, ^as. Nato prepi{e z listov v tabelo podatke za oznake otrok, spol, starost in minute gledanja televizije.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

A Oseba 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

B Spol f d f d d d f d f f f d d f d

C Starost 11,5 10,8 12,1 13,2 12,7 11,9 11,6 12,6 13,1 13,2 10,4 12,8 11,7 12,5 10,3

D Čas 30 70 25 45 34 60 30 50 20 10 15 90 45 55 27

Spol zapi{e s ~rko f za fante in d za dekleta. Starost zapi{e z decimalno {tevilko. Minute napi{e brez enote. Na koncu shrani zapis s klikom na Shrani . Ra~unalnik ga vpra{a po imenu zapisa. Jurij vpi{e: AnketaTV. Preglednica se shrani v obliki datoteke z imenom AnketaTV.xls Dodatek .xls doda ra~unalnik sam, da si ozna~i, s katerim programom lahko zapis spet odpre.

162

(sto dvain{estdeset)

Tabela, urejena po spolu

Urejanje podatkov

Oseba

Spol

Starost

Ä&#x152;as

10,3

12,6

11,9

11,7

12,8

10,8

13,2

12,7

12,1

12,5

11,5

11,6

13,1

13,2

10,4

Tabela, urejena po spolu in starosti A

Oseba

Spol

Starost

Ä&#x152;as

10,3

10,8

11,7

11,9

12,6

12,7

12,8

13,2

10,4

11,5

11,6

12,1

12,5

13,1

13,2

Kristina bi rada uredila podatke tako, da bodo skupaj podatki za dekleta in skupaj podatki za fante. To bo naredila tako, da bo podatke uredila po spolu. Najprej ozna~i celo preglednico do tam, kjer so vpisani podatki. Podlaga podatkov se obarva. Nato poi{~e v seznamu opravil gumb Urejanje in nanj klikne. Ra~unalnik jo vpra{a, po katerem stolpcu naj uredi podatke. Kristina izbere stolpec Spol . Dolo~i nara{~ajo~e zaporedje. To pomeni, da bodo dekleta pred fanti, ker je d pred f. Ko klikne na opravilo, se cele vrstice podatkov pokaĹžejo v druga~nem zaporedju. Vrstice so razvrďż˝~ene tako, da so najprej zapisana dekleta, potem pa fantje. Kristina ugotovi, da je med otroki 8 deklet in 7 fantov. Sedaj bo podatke uredila po ~asu gledanja televizije. Ozna~i vse podatke. Klikne na Uredi . Ko ra~unalnik vpra{a, po katerem stolpcu naj uredi podatke, Kristina ozna~i najprej po spolu in potem {e po ~asu gledanja televizije. Kristina opazi, da deklice gledajo televizijo od 27 minut do ure in pol, fantje pa le od 10 minut do 55 minut. Kristina ugotovi, da deklice gledajo televizijo ve~ ~asa kot fantje. Nato pride Jurij, ki izbere Prekli~i . Tabela se uredi nazaj le po spolu. Nato jo uredi po spolu in starosti, da Kristini poka`e, da tudi on zna urejati po dveh stolpcih. Kako pa misli{, da bi izgledala tabela, ~e bi jo uredili najprej po starosti in potem po spolu?

Projekt 1 Vpi{i v svojo tabelo 10 so{olcev. V prvi stolpec vpi{i ime in v drugi

stolpec priimek. V tretji stolpec vpi{i pravo ali izmi{ljeno telefonsko {tevilko. a) Uredi tabelo po imenih so{olcev. b) Uredi tabelo po priimkih so{olcev. Kaj se zgodi, ~e imata dva so{olca enako ime? ^e ga nimata, dopi{i {e eno osebo in poskusi z urejanjem ponovno. c) Uredi tabelo po telefonskih {tevilkah najprej v padajo~em in potem {e nara{~ajo~em vrstnem redu.

(sto triin{estdeset)

163

Risanje prikaza in ra~unanje s podatki

Oseba

Spol

Starost

Čas

10,3

12,6

11,9

11,7

12,8

10,8

13,2

12,7

12,1

12,5

11,5

11,6

13,1

13,2

10,4

Jurij bi rad narisal prikaz minut gledanja televizije, zato ozna~i stolpec C z minutami gledanja televizije. Med opravili izbere Prikaz in tam stolp~ni prikaz. Ra~unalnik vpra{a, katere podatke naj vzame za oznake oseb. Jurij ozna~i podatke v stolpcu A. ^ez preglednico se nari{e prikaz s stolpci. Stolpci so ozna~eni z oznakami oseb. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

15 8 6 13 12 2 4 5 3 14 1 7 9 10 11

Jurij klikne na vsak stolpec od osebe 3 naprej, kjer so vpisi za fante, da se ozna~i vsak posamezni stolpec. S klikom na desno tipko na mi{ki izbere novo, zeleno barvo stolpcev. Jurij raziskuje možnosti za oblikovanje prikaza tako, da klika nanj na razli~nih mestih. Dodaja mu oznake. Naslov napi{e s pomo~jo klika na Dodaj naslov . Doda {e opis vodoravne osi: Otroci. Doda tudi opis navpi~ne osi: Minute gledanja TV.

100 90

Minute gledanja TV

PODATKI

Ko dela� z ra~unalnikom, se v resnici z njim pogovarja�. Natan~no preberi njegova vpra{anja in premisli, ali razume{, kaj spra{uje. Ne hiti s klikanjem, ker lahko zgre{i{ kak{no pomembno vpra{anje. Ko si zadovoljen z izdelkom, ga shrani. Tako se ti ne bo zgodilo, da bi ostal brez vpisanega, ~e iz tabele kak{no {tevilko po pomoti zbri{e{.

Gledanje televizije u~encev 6. b

80 70 60 50 40 30 20 10 0 15 8 6 13 12 2 4 5 3 14 1 7 9 10 11

Otroci

Kristini je prikaz v{e~. Klikne nanj, da ga ra~unalnik ozna~i, in izbere gumb za tiskanje. ^e je prikaz ozna~en, bo tiskalnik natisnil le prikaz. ^e pa ni ozna~en, se bosta natisnila cela preglednica s podatki in prikaz. Jurij in Kristina pregledata zapis prikaza na papir. Ugotovita, da gledata 2 dekleti televizijo ve~ kot 1 uro na dan in 2 fanta manj kot 20 minut na dan. Prikaz nalepita na steno. 164

(sto {tiriin{estdeset)

Jurija in Kristino zanima, koliko ~asa v povpre~ju gledajo televizijo otroci, ki so odgovorili na anketo. Da izra~unata povpre~je, morata se{teti vse minute gledanja televizije in se�tevek deliti s {tevilom otrok.

V naslednji pravokotnik Jurij vpi{e formulo za ra~un deljenja. Ra~unalnik ve, da je zapis formula, ~e se za~ne z znakom =. Ve tudi, da mora ra~unati s {tevilom iz preglednice, ~e mu povemo, kje to {tevilo najde. Jurij napi{e v okvir~ek:

= D17/15 Pazi, formula!

Deli �tevilo s 15.

Vzemi {tevilo v stolpcu D in vrstici 17. Ko klikne Enter , se mu v 18. vrstici stolpca D pokaže 40,4. Ra~unalni�ke programe ves ~as izbolj�ujejo in objavljajo nove razli~ice. Razi�~i svoj ra~unalnik in si oglej njegov program za preglednice. Zaženi ga. Na seznamih možnosti (menujih) poi�~i, kje mora{ na svojem ra~unalniku klikniti za opravila, ki so opisana tukaj. Poskusi s svojim ra~unalnikom opraviti Kristinino in Jurijevo nalogo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

A Oseba 15 8 6 13 12 2 4 5 3 14 1 7 9 10 11

B Spol d d d d d d d d f f f f f f f

C Starost 10,3 12,6 11,9 11,7 12,8 10,8 13,2 12,7 12,1 12,5 11,5 11,6 13,1 13,2 10,4

D ^as 27 50 60 45 90 70 45 34 25 55 30 30 20 10 15 606 40,4

Povpre~no gledajo otroci televizijo 40,4 minute na dan. Ra~unalnik torej sam izra~una povpre~no {tevilo minut gledanja televizije in ga zapi{e v preglednico. Kristina in Jurij želita izvedeti {e, kolik{no je povpre~no {tevilo minut gledanja televizije pri dekletih in kolik{no pri fantih. Pomagaj jima. Naloge se loti po naslednjih korakih: 1. 2. 3. 4. 5.

Vpi{i podatke v preglednico. Uredi jih po spolu. Med podatke o dekletih in fantih vrini dve vrstici. Ponovi izra~un povpre~ja za vsako skupino. Primerjaj povpre~ji med seboj. (sto petin{estdeset)

165

PODATKI

Ozna~ita podatke v stolpcu D in {e en pravokotnik pod njim ter izbereta znak za se{tevanje Σ . V zadnji, prazni pravokotnik preglednice se vpi{e 606, kar je vsota vseh minut v stolpcu.

Projekt: Moja ra~unalni{ka preglednica Sam izpelji raziskavo od vpra{alnika do risanja prikaza. Veliko uspeha!

Izberi si raziskovalno vpra{anje in sestavi vpra{alnik. Zberi {tevilske podatke o dveh koli~inah za vsaj 8 fantov in 8 deklet. Nekaj namigov:

PODATKI

Koliko ~asa potrebujejo otroci, da pridejo v {olo?

Raziskuje{ lahko tudi: a) ~as, ki ga otroci porabijo za skrb za doma~o žival b) {irino in dolžino pisalne mize pri vsakem otroku doma c) dolžino in vi{ino skoka v vi{ino in druga {portna tekmovanja med so{olci d) {tevilo popisanih listov v matemati~nem zvezku od za~etka leta in oceno iz matematike med u~enci va{ega razreda

Vpra{anja: Spol? Ura vstajanja? ^as za pot do {ole? Izra~uni in prikazi: Kako zgodaj vstajajo dekleta v primerjavi s fanti? Koliko ~asa v povpre~ju porabijo otroci za pot v {olo? Sklepanje: Poskusi ugotoviti, ali sta ura, ko otroci vstanejo, in ~as, ki ga porabijo za pot v {olo, morda povezana.

Kako hitro množimo v na{em razredu? U~iteljico prosite, naj vam da 10 ra~unov množenja. Vsak v razredu naj izmeri ~as, ki ga porabi za re{evanje vseh 10 ra~unov. Preveri naj rezultate in si zapi{e {tevilo napak. Vpra{anja: Spol? ^as ra~unanja? [tevilo napak? Izra~uni in prikazi: Koliko ~asa v povpre~ju porabi u~enec va{ega razreda za 10 ra~unov množenja? Koliko napak v povpre~ju naredi? Sklepanje: Poskusi ugotoviti, kako je {tevilo napak povezano s ~asom re{evanja. Naredijo hitrej{i u~enci ve~ ali manj napak kot po~asnej{i?

166

(sto {estin{estdeset)

Uporabi{ lahko tudi podatke, ki so jih zbrali drugi: a) Spomni se na klimograme pri geografiji. Nari{i kak{nega tako, da iz knjige v tabelo prepi{e{ podatke o temperaturah, prikaz pa nari{e{ sam. b) Poi{~i v ~asopisu kro탑ni prikaz rezultatov ankete. S pomo~jo {tevila anketirancev vnesi podatke v tabelo in nari{i stolp~ni prikaz.

Koliko smo zrasli od tretjega do {estega razreda? Vsak v razredu naj poi{~e podatke, koliko je meril v tretjem razredu in koliko v {estem razredu. Vpi{ite v tabelo 4 stolpce: ime, spol, vi{ino v tretjem razredu in vi{ino v {estem razredu. Vpra{anja: Koliko merijo deklice in koliko de~ki v tretjem razredu in koliko v {estem razredu? Za koliko centimetrov so v treh letih zrasle deklice in za koliko de~ki? Izra~uni: Poi{~ite povpre~je med razlikami v vi{ini deklic in de~kov v zadnjih 3 letih. Na internetu poi{~ite podatke o povpre~ni vi{ini deklic in de~kov pri 15 letih in pri 18 letih. V katerem obdobju najbolj rastejo deklice in v katerem de~ki?

(sto sedemin{estdeset)

167

Re{itve uvodnih nalog iz strani 8 1

8 2 3

5 10

168

(sto osemin{estdeset)

MATEMATIKA KK

UČBENIK

BARBARA JAPELJ PAVEŠIĆ, DAMIJANA KERŽIČ

ZA ŠESTOŠOL E ČETROŠOLC C

MATEMATIKA

UČBENIK