01 arit numeración

A c a d e m i a E s p e c i a l i za d a V E S A L I U S

Ciclo Semestral

ARITMETICA N° 01

NUMERACIÓN RESUMEN TEÓRICO

Para explicar esto, consideramos un montón de 148 granos. De cada 10 granos ponemos 1 en el casillero D desechando los 9 restantes.

Entonces resulta 14 granos en D sobrando 8, que los ubicamos en U.

1. Concepto: Es la parte de la aritmética que estudia la formación, representación y conteo de los números.

Número: Es un ente matemático que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza. La definición del número natural se menciona en el capítulo de conjuntos.

Numeral: Es la representación escrita de un número mediante el uso de símbolos convencionales.

En el sistema de base “n”, con “n” cifras distintas, se puede representar todos los números, siendo la cifra máxima inferior a la base en una unidad.

Base

Notación general de los números arábicos: Como representación genérica de los numerales arábigos, se utiliza las letras del alfabeto, colocando una barra sobre ellas para distinguirlas de las expresiones algebraicas.

Ejemplos: Numeral de una cifra: a Numeral de dos cifras: Numeral de tres cifras: Numeral de cuatro cifras: etc.

ab abc abcd

0;1 0;1;2 0;1;2;3 0;1;2;3;4 0;1;2;...;9 0;1;2;...;9;  0;1;2;...;9  ; 

Binario Ternario Cuaternario Quinario Decimal Undecimal Duodecimal

“n”

0;1;2;...;(n-1)

Enecimal

0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ............... ; (n  1)   

aa aba

cero

cifras significat ivas

abba

Descomposición Polinómica:

abcba

Regla:

Orden Es el lugar que ocupa una cifra dentro de un numeral, considerando de derecha a izquierda.

Ejemplos: a b c d

2 3 4 5 10 11 12

1. La base de un sistema de numeración siempre es un número natural mayor que 1.

2. La base de un sistema de numeración es siempre mayor que cualquiera de sus cifras.

3. Todo sistema de numeración utiliza “n” cifras, el cero y (n-1) cifras significativas.

Ejemplos: Numeral capicúa de tres cifras: Numeral capicúa de cuatro cifras: Numeral capicúa de cinco cifras:

Nombre del Sistema

Observación:

Numeral capicúa: Se dice que un numeral es capicúa, cuando sus cifras equidistantes del centro son iguales.

Numeral capicúa de dos cifras:

Cifras

Para descomponer polinómicamente un numeral, se toma la primera cifra de la izquierda, multiplicada por la base elevada a un exponente igual a la cantidad de cifras enteras a la derecha de la cifra considerada; luego se adiciona la siguiente cifra también multiplicada por la base del sistema elevada a un exponente igual a la cantidad de cifras enteras a su derecha; así sucesivamente hasta llegar a la cifra de primer orden.

Unidades de primer orden Unidades de segundo orden Unidades de tercer orden Unidades de cuarto orden

Ejemplos:

2. Sistema de Numeración: Es el conjunto de principios y convencionalismos que rigen la formación y representación correcta de los números.

3824 4635(7) abcde

Base de un sistema de numeración: Es la cantidad de unidades requeridas de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior.

abcd (n )

24052(n) a 0 b 0 c (n )

= 3x103 + 8x102 + 2x10 + 4 = 4x73 + 6x72 + 3x7 + 5 = ax104+bx103+cx102+dx10+e = axn4 +bxn3 + cxn2 +dxn + e = 2xn4 + 4xn3 + 5xn + 2 = axn4 + bn2 + c

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Descomposición polinómica en bloques:

9

6

Consideremos el numeral 453782, el cual se puede expresar así:

3

1

C 1

453782 = 450000+3700+82 453782 = 45x104+37x102+82

T 3

En forma práctica se utiliza el método de las divisiones sucesivas.

37245 = 372 x 102 + 45

358 6 4 59

6

5

9

6

3

1

234251(8) = 23(8) x 84 +42(8) x 82 + 51(8)

abcdef (n )  ab (n ) x n  cd(n ) x n  ef (n ) abcabcabc

(n )

2

 abc (n ) x n 6  abc (n ) x n 3  abc (n )

Donde: 358 = 1354(6) Caso 2: De base n  10 a base 10:

Observación: Un mismo numeral se puede descomponer polinómicamente de diferentes maneras. Esto es muy útil, puesto que para resolver determinados problemas, es recomendable hacer una descomposición polinómica apropiada.

Ahora pasemos, 1354(6) a base 10    

Otras formas de expresar un numeral: Mediante los siguientes ejemplos, se muestran algunas formas particulares de expresar polinómica y convenientemente un numeral, de acuerdo a sus características peculiares y con el fin de facilitar la resolución de algunos problemas.

4 representa 4 unidades 5 representa 5 grupos de 6 3 representa 3 grupos de 36 = 62 1 representa 1 grupo de 216 = 63

De donde: 1354(6) = 1x63 + 3x62 + 5x6 + 4 1354(6) = 216 + 108 + 30 + 4

1354 (6 )  358

(a  2)(b  5)(c  4 )  abc  254

En forma práctica, el numeral de la base n  10 se descompone polinómicamente y se efectúan las operaciones. El resultado obtenido está expresado en base 10.

a 5 b 2c8 d  a 0 b 0 c0 d  502080

aaaa  a (1111 ) 3. Cambios de base para números enteros Un número se puede representar en diferentes bases.

Estando escrito en una base se puede escribir en otra distinta. Los métodos utilizados se describen a continuación:

Caso 3: De base n a base m (n10m) Para ello, pasamos de base n a base 10 y luego, a la base m.

Ejemplo: Escribamos 352(9) en base 8.

1. 352(9) a base 10 352(9) = 3x92 + 5x9 + 2 352(9) = 243 + 45 + 2

Caso 1: De base 10 a base n(n10):

352 (9 )  290

Escribamos 358 en base 6. Esto es equivalente a tener 358 granos y contarlos formando grupos de 6.

2. 290 a base 8

 En la primera agrupación se forman 59 grupos de 6.

358

6

290 8 2 36

8

4

59

4

4

T

S 59

P 4

T 9

6

5

9 S 5

290 = 442 (8)

Luego: 352 (9 )  442 (8 )

 Con 59 se sigue formando grupos de 6. Se obtiene 9 grupos de 6 sobrando 5.

59

P 4

De modo que: 358  1354 (6 )

El segundo miembro de la segunda igualdad, es la descomposición polinómica en bloques del numeral; esta descomposición no es única, ya que los bloques pueden ser de dos, de tres, o más cifras.

Veamos algunos ejemplos más:

4

S 5

Observación: En la igualdad anterior, se observa que cuanto mayor es la base, la representación del numeral es menor; y cuanto menor es la base, la representación del numeral es mayor.

Ejemplo:

P 4

 Con 9 se forman 1 grupo de 6 sobrando 3.

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 como 8  6 abc (8 )  pqr (6 )    abc  pqr

(a  2)(2a  2)(a  3)  (a  1)b(a  1)(8 )

También:

Determinar el valor de “b”: a) 1 b) 2 d) 7 e) 6

como abc  mn abc (x)  mn (y)    xy

6.

Ejemplo de aplicación:

abc ( 8 )  13ab ( c )  2413 ( a )

Calcule: a + b + c a) 11 b) 13 d) 10 e) 12

Hallar b + m + n, si: 3 n 2(b)  2 m 3 (5 ) 7.

Resolución:  3 n 2  2m 3  b  5  b es base y 3 su cifra  3<b

 Reemplazando: 3 n 2(4 )  2 m 3 (5 ) 3x42+4n+2=2x52+5m+3 4n = 5m + 3   Posibilidad: 2 1

8.

b) 1 e) 4

b) 5 e) 9

c) 7

Si abab (8)  mnon (7) , entonces el valor de (m + n + a – b) es: a) 7 d) 13

b+m+n=4+2+1= 7

c) 2

Si xy( z )  yz( x  2) y x + y + z = 21, halle “x”: a) 3 d) 8

9.

c) 15

Si 303(5)  abcd ( n) siendo a, b , c y d diferente entre si. Hallar “c”: a) 0 d) 3

De (1) y (2): 3 < b < 5  b  4



Si:

c) 3

b) 9 e) 15

c) 11

PRÁCTICA DE CLASE

1.

Expresar S en base 10 si se cumple que: S=

a3 ( 7 )

+

a) 80 d) 79

2.

Si:

2b( a ) + 1c ( b ) + 23 ( c ) b) 71 e) 82

c) 45 11. Un número se representa por 281 y 353 en dos sistemas de numeración, cuyas bases son números enteros consecutivos. El número, en base diez, es: a) 235 b) 255 c) 303 d) 305 e) 405

(b  1)4(b  3)a ( 6)  mn3

Calcule: a + b + m + n a) 14 b) 12 d) 17 e) 18

3.

10. El número de bases de los sistemas de numeración en los cuales el numeral 125 se puede representar como un numeral de tres cifras, es: a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

Si el numeral cpp( 6 )

c) 16 12. Sabiendo que se cumple:

(a  b)(a  b)(a  b)  abab(6) se escribe en el sistema de base

El valor de ab es:

“n” como un numeral de cuatro cifras consecutivas crecientes.

Hallar: (c + p + n) a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 4.

[UNT – 10 – II] a) 4 d) 16

n n  1 n  2 n  3 n  4 n5  abcd7

(n  1)(n  1)(n  1)(n)  3(2x )x

5.

b) 7 e) 10

c) 9

13. Si:

Si se cumple:

Halle: n + x a) 6 d) 9 Si se cumple:

b) 8 e) 32

Halle: (a + b + c + d) a) 10 d) 11

c) 8

b) 12 e) 14

c) 13

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14.

Halle a + b + c, si a) 6 d) 7

ab  2b (7)  bbc (9)

b) 10 e) 9

TAREA DOMICILIARIA

c) 8

1.

1n0q ( m ) ; p51( n)

1ab 03 (4)  (2m)(m  1)m (8) ,

15. Si

; 1623(p) ;

n3m

Calcular el máximo valor de: m+n+p+q

halle a + b + m. a) 6 d) 7

Si los siguientes numerales están correctamente escritos:

b) 10 e) 9

c) 8

a) 28 d) 29

b) 30 e) 33

c) 32

16. Si

abab4(5)  xy (x  1)( y  1) (7)

2.

, el menor valor de x + y es: a) 0 d) 3

17. Si

c) 2

y c + d = 7, entonces el

3.

valor de: a + b + c + m, es: a) 9 d) 12

18. Si

[UNT – 10 – I] c) 11

b) 10 e) 13

4.

[UNT – 11 – I] b) 8 e) 4

5.

6.

Halle a + b + m.

21. Si

c) 9

Expresar: 14641(n) + 1331(n) + 121(n) + 1, en la base (n+1) dar como respuesta la suma de cifras: b) 2 e) 5

35(x)  2 =

Si:

c) 3

yy 41( x )

b) 8 e) 14

c) 10

¿Cuántos numerales de tres cifras de la base 5 se expresan como numerales capicúas de tres cifras en base 7? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

b) 101011(n+1) d) 11100(n+1)

abba (3)  bcbb ( a )  bba ( n )

a) 6 d) 7

e) 6

a) 6 d) 12

UNT 08 – II

20. Si

b) 12

d) 8

Hallar : “x + y”

c) 7

19. El numero n5 + 6n4 + 15n3 + 19n2 + 12n + 3 escrito en base (n+1) es: a) 10001(n+1) c) 111000(n+1) e) 101001(n+1)

a) 10

a) 1 d) 4

abc2(3)  nnn(5) , entonces a + b + c + n es:

a) 9 d) 6

xyxy (n)  1450

Calcule: x + y + n

b) 1 e) 4

abab( 7 )  mcmd (8)

Si:

Si:

abc ( 8 )  13ab ( c )  2413 ( a )

Calcule: a + b + c b) 4 e) 3

c) 5

a) 11 d) 10

aaa(a  b) ( 5)  cd (b  4) , el valor de a+b+c+d,

7.

es: a) 7

b) 9

d) 12

e) 13

c) 15

¿En qué sistema de numeración 481 se representa como

[UNT – 11 – I]

b) 13 e) 12

abab

? Dar como respuesta el valor de

(a+b) mas la base del sistema desconocido a) 9 b) 11 c) 18 d) 14 e) 15

c) 11

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8.

El mayor número capicúa del sistema duodecimal, que se escribe con 5 cifras en el sistema quinario, es aquel cuya suma de cifras es: a) 11 b) 12 c) 18 d) 20

9.

e) 22

Si se cumple que

12n ( k )  1k1( p )  204( n )  13( p  4) (8) calcule el valor de “pk +np”. a) 30 b) 42 d) 77 e) 55 10. Si

a(a  b)bb  mnmm(7) ,

;p<7

c) 56

donde “m” no es

impar, calcule el valor de “a + b + m + n” a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

CLAVES 1.

C

6.

C

2.

B

7.

A

3.

D

8.

C

4.

B

9.

D

5.

E

10.

E

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