Deformation Behaviour of Reinforced Concrete Beams by Archineer

Sabah Shawkat

Deformačné vlastnosti železobetónových nosníkov Deformation Behaviour of Reinforced Concrete Beams

Prvé vydanie

ENGINEERING IS THE ART OF APPLYING THE PRINCIPLES OF MATHEMATICS AND SCIENCE TO SOLVE PRACTICAL PROBLEMS.

Deformačné vlastnosti železobetónových nosníkov Deformation Behaviour of Reinforced Concrete Beams

© Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD, Aut. Ing. ISBN: Lektori: Doc. Ing. Jozef Dický, PhD. Dipl. Ing . Panikos Karafyllides, MSc. Dipl. Ing. Jozef Augustin, Aut. Ing. Návrh obálky: Kristína Krempová Prvé vydanie

Tribun EU 2011

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD. pracuje na Vysokej školy výtvarných umení, kde prednáša predmety Nosné konštrukcie I., II, Statika pre architektov, Sanácia

stavieb,

Statický

seminár

k projektu,

a konštrukčný projekt. V roku 1993 obhájil na Stavebnej fakulte STU dizertačnú prácu na tému Vplyv priečnych síl na priehyb prútových nosníkov. V roku 2000 sa na tejto fakulte habilitoval úspešnou obhajobou práce, v ktorej sa

zaoberal

deformačnými

vlastnosťami

železobetónových nosníkov. Výsledky výskumnej činnosti v oblasti železobetónových a predpätých konštrukcií

publikoval

v mnohých

odborných

časopisoch. Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD. získal v roku 1997 autorizačné osvedčenie SKSI v odbore statika stavieb. Vypracoval

množstvo

projektov,

ktoré

boli

realizované na Slovensku i v zahraničí. The author Sabah Shawkat is a university teacher at the Academy of Fine Arts and Design in Bratislava, Slovakia. He received his Ph.D. in 1993 at the Faculty of Civil Engineering, Department of Concrete Structures and Bridges. Title of his Ph.D. thesis was „The effect of shear forces on deflection of reinforced concrete beams“. Later, in the year 2000, he achieved habilitation degree at the Faculty of Civil Engineering, Slovak Technical University by defending his Habilitation thesis „Deformation behaviour of reinforced concrete beams.” He performs research in the field of deformation behaviour of reinforced concrete and prestressed beams. He has published numerous articles in professional journals in the field of calculation of the strain energy and the degradation of shear and bending rigidity after the full development of cracks in reinforced concrete and partially prestressed beams. Sabah Shawkat also practises as a licenced engineer.

Kniha rieši problematiku vplyvu ohybových momentov a priečnych síl na priehyb železobetónových nosníkov v stave II. Pre zjednodušenie výpočtu účinku priečnych síl a ohybových momentov som upravil známy vzťah pre výpočet priehybu podľa virtuálnej práce, ktorý platí pre stav I (bez trhlín). Úprava spočíva v zavedení niekoľkých deformačných koeficientov vyjadrujúcich zväčšenie krivosti, skosenia a priehybu a zníženie ohybovej a šmykovej tuhosti a momentu zotrvačnosti nosníka v stave II. Vychádzal som z pracovných diagramov moment - krivosť (vyjadrujúcich závislosť deformačnej energie od momentov) a priečna sila - skosenie (vyjadrujúcich závislosť deformačnej energie od priečnych síl).

Považujem za svoju povinnosť poďakovať sa vedeniu Ústavu stavebníctva a architektúry SAV

spoluprácu

pri

testovaní

vypracovanej

metodiky

rôznych

tvaroch

železobetónových a čiastočne predpätých nosníkov pri stacionárnom a pohyblivom zaťažení. Ďalej sa chcem za cenné rady úprimne poďakovať kolegom, ktorí už bohužiaľ nie sú medzi nami: Prof. Ing. Bohumilovi Búcimu, CSc. a prof. Ing. Jánovi Hájekovi, DrSc. Ďakujem tiež môjmu bývalému školiteľovi a priateľovi doc. Ing. Jánovi Cesnakovi, CSc. Veľkou vďakou som zaviazaný mojej manželke Ivane, dcére Tamare Širin a synovi Zoranovi za trpezlivosť a pochopenie.

Obsah Symboly

1.0

Úvod

2.0

Nelineárne vlastnosti materiálov

2.1

Mechanické vlastnosti betónu

2.1.1

Pevnosť betónu v tlaku

2.1.2

Pevnosť betónu v tlaku za ohybu

2.1.3

Pevnosť betónu v ťahu

2.2

Pracovné diagramy betónu

2.2.1

Pracovný diagram betónu v tlaku

2.2.2

Definícia krivky (pretvorenie εbc - napätie σbc ) betónu

2.2.3

Pracovný diagram betónu v ťahu

2.2.4

Mechanické vlastnosti ocele

2.3

Súdržnosť ocele s betónom

2.4

Zmrašťovanie a dotvarovanie betónu

2.4.1

Zmrašťovanie

2.4.2

Pretvorenie od zmrašťovania betónu

2.4.3

Dotvarovanie a teória dotvarovania betónu

2.4.4

Lineárna teória dotvarovania

2.4.5 Obecné teórie lineárneho dotvarovania

3.0

Popis skušobných prvkov a metodika skúšania

3.1

Základné údaje o skušobných prvkoch a ich výroba

3.2

Vyhodnotenie nameraných pretvorení

3.3

Pretvorenie tlačeného betónového pásu

3.4

Pretvorenie ťahaného betónového pásu

3.5

Pretvorenie diagonál

4.0

Chyby merania

4.1

Všeobecné zákony náhodných chýb

4.2

Modelová podobnosť

5.0

Deformácie konštrukcie

5.1.1

Pretvorenie - definícia krivosti

5.1.2

Pretvorenie - definícia skosenia

5.2

Pretvorenie pri interakcii priečnej sily

5.3

Funkcia šmykovej výstuže

5.4

Výpočet priehybov

5.5

Výpočet deformačnej energie železobetónových prvkov

100

5.6

Výsledky

107

Príloha M

114

5.7

Zavedenie deformačných koeficientov do výpočtov

140

5.8

Diskusia

145

Príklady

151

Deformation Behaviour of Reinforced Concrete Beams – Preface

173

5.0

5.1 Behaviour of Reinforced Concrete Beam under Increasing Moment 5.1.1 Description of Tested Elements

176

5.1.2 Specimen and Material Details

179

5.2

Deformation Behaviour of Reinforced Concrete Beams

182

5.3

Strain Energy in Reinforced Concrete Beams

199

5.4

Verification at The Serviceability Limit States

207

5.5

Crack Development in Reinforced Concrete Beams

213

5.7

Methods and Examples

216

Literatúra – References

241

Symboly gd

extrémne zaťaženie

prevádzkové zaťaženie

stále zaťaženie

náhodilé zaťaženie

γf

súčiniteľ zaťaženia

Rck

kocková pevnosť betónu v tlaku

maximálna dosiahnutá tlaková sila v lise

tlačená plocha skušobnej vzorky

ohybový moment

celková výška vzorky

výška prierezu

náhradná hrúbka prvku v mm

prierezová plocha betónového prierezu

plocha betónu

veľkosť styčnej plochy

roznášacia plocha

časť obvodu prierezu vystavená okolitému prostrediu

účinná výška prierezu

šírka prierezu

Ass

prierezová plocha všetkých vetiev strmienku ležiaceho v rovine kolmej na rovinu pôsobiacich ohybových momentov

Ab,sh

plocha prierezu

ab,sh

vzdialenosť ťažiska prierezu od horného okraja

Ib,sh

moment zotrvačnosti prierezu k ťažiskovej osi

As,sh

plocha celkovej výstuže v priereze As,sh = As1 + As2

as,sh

vzdialenosť ťažiska celkovej výstuže od horného okraja

Is,sh

moment zotrvačnosti výstuže k ťažiskovej osi

vzdialenosť medzi strmienkami

šírka prierezu (stojiny)

he , zb účinná výška a rameno vnútorných síl v podporovom priereze

γb

súčiniteľ podmienok pôsobenia

Qd1

posúvajúca sila od extrémneho zaťaženia pôsobiaca vo vzdialenosti h od podpory (teoretickej)

Ubi

plocha obrazca posúvajúcich síl prisúdená i-temu ohybu

uhol sklonu

Rssd

výpočtová pevnosť v ťahu strmienkovej výstuže

Rbtr

napätie v krajnom ťahanom vlákne

Rbtn

normová pevnosť betónu

fct

pevnosť betónu v ťahu

fbm

priemerné napätie v súdržnosti

fcr

napätie betónu pri vzniku trhlín

fcj

pevnosť betónu v dňoch

fcm

priemerná tlaková pevnosť betónu v MPa vo veku 28 dní

ν

Poissonovo číslo

Eb28

modul pružnosti betónu starého 28 dní

Edef

modul pretvárnosti

modul pružnosti betónu v šmyku

Ii (Ai) moment zotrvačnosti (prierezová plocha) ideálneho prierezu Es(Eb) modul pružnosti výstuže (betónu) n = Es / Eb Eij

sečnicový modul (secant)

Eijo

dotyčnicový modul (tangent)

sečnicový modul (secant)

χq

súčiniteľ šmykovej pevnosti

1.0 Úvod Dnešné poznatky o skutočnom spravaní sa železobetónových konštrukcií vychádzajú z analýz veľkého počtu skúšaných železobetónových prvkov zaťažovaných až do ich úplneho porušenia. Analýze betónových konštrukcií a ich deformačných vlastností sa venovali mnohí autori svetového mena, ako napr. F. Leonhardt, R. Walther a ďalší. Výpočtové analýzy, hlavne na základe klasických Mörschových teórií. Po prvýkrát použili priehradový model pre simuláciu účinku železobetónového nosníka vystaveného šmyku a ohybu autori Ritter a Mörsch na prelome storočia. Predpokladá sa, že betón je po diagonálnom potrhaní rozdelený na sériu diagonálnych betónových krátkych väzných trámov. Tieto betónové väzníky spolupôsobia so strmienkami na vrchnej a spodnej časti výstuže a slúžia ako vrchné a spodné pásové prúty priehrady. Strmienky vystavené ťahu sa považujú za ťahové sieťové prvky, zatiaľ čo diagonálne betónové krátke väzné trámy majú úlohu tlakových sieťových prvkov. Pre zjednodušenie sa za uhol sklonu diagonálnych betónových väzných trámov považuje 45 stupňov. Preto je teória Rittera a Mörscha bežne označovaná ako 45 stupňová priehradová analógia. V roku 1969 bol 45 stupňový priehradový model zovšeobecnený Lampertom a Thurlimannom. Vychádzajú z toho, že uhol sklonu diagonálnych betónových vzpier je variabilný a závislý na objemovom pomere pozdľžnej výstuže a priečnej výstuže. Takýto model je známy ako variabilno - uhlový priehradový model. Často sa upozorňuje na to, že pre navrhovanie prierezov používame dnes pomerne presné metódy prihliadajúce k pretvárnym vlastnostiam betónu a ocele, avšak rozdelenie síl a momentov po konštrukcii určujeme z jej dokonale pružného pôsobenia. Zanedbáva sa tak poznatok, že plastifikácia oboch materiálov alebo postupná redukcia v rezervách spoľahlivosti používaných materiálov, t.j. betónu a ocele, neprebieha iba v miestach kritických prierezov, ale ovplyvňuje rozsiahle oblasti konštrukcie. Rozbor správania sa konštrukcie s použitím pracovného diagramu prvku dovoľuje vystihnúť funkciu konštrukcie pri namáhaniach blízkych k porušeniu a tým získať možnosť výstižnejšieho, moderného hodnotenia bezpečnosti a spoľahlivosť konštrukcie. Spoľahlivosť betónových konštrukčných prvkov je posudzovaná podľa viacerých charakteristík rozhodujúcich z hľadiska oboch skupín medzných stavov. Pri prvej skupine sa charakteristiky určujú na základe vlastností materiálov vo forme velíčin, ktoré vyjadrujú silové a pretvárne účinky zaťaženia prvku alebo konštrukcie. Pri

druhej skupine medzných stavov vychádzajú hodnoty charakteristík z podmienok použiteľnosti pri pôsobení prevádzkového zaťaženia (trhliny, medzné priehyby a pod.). Ďalšiu možnosť ako charakterizovať dosiahnutie určitého stavu namáhania predstavuje veľkosť pretvárnej práce a deformačnej energie. Rovnako treba počítať konštrukciu aj podľa teórie pružnosti vtedy, ak sa konštrukcia posudzuje podľa medzého stavu pretvorenia alebo medzného stavu trhlín, aby sme posúdili správnosť riešenia z hľadiska pretvárnych schopností betónovej konštrukcie. V súčasnosti prevláda snaha voliť pre bežné navrhovanie jednoduchšie metódy výpočtu a zložitejšie postupy obmedziť len na mimoriadne prípady. Navrhovať konštrukcie ekonomicky, s minimálnymi rozmermi prvku, t.j. využiť stavebný materiál čo najviac za podmienky, že konštrukcia bude dostatočne bezpečná, je úloha náročná, ale splniteľná. Jej splnenie vyžaduje dostatočnú znalosť správania stavebnej konštrukcia, ktorú možno dosiahnuť kombináciou teoretického prístupu k problémom, experimentálneho overovania a overovania praxou. Overovanie výpočtu, t.j. teoretického návrhu na skutočnej konštrukcii, je najlepším dôkazom správnosti návrhu. V ostatnom čase sa do popredia dostáva cesta experimentálneho modelového vyšetrovania, založená na tom, že na základe modelovej podobnosti zhotovíme model skutočnej konštrukcie. Meraním určitých statických veličín na modeli získame obraz a správaní skutočnej konštrukcie. Avšak ani samotné meranie na modeli bez analýzy výsledkov merania nepostačuje na vytvorenie správnych záverov o vhodnosti návrhu.

Bratislava, 2011

Autor

2.0 Nelineárne vlastnosti materiálov Problém nelineárnych vlastností betónu na pretvorenie konštrukcií, ktorý je jedným z primárnych problémov, je stále otvorený a nie je doteraz uspokojivo vyriešený a zodpovedaný. Používanie železobetónu ako stavebného materiálu pre účely prenášania zaťaženia za rôznych podmienok pôsobenia konštrukcie podmieňujú hlavne tieto vlastnosti: 1/ Približne rovnaký koeficient tepelnej roztiažnosti betónu a ocele. 2/ Schopnosť betónu chrániť výstuž pred koróziou. 3/ Vzájomná súdržnosť ocele a betónu. Posledná vlastnosť je základnou podmienkou existencie nosného prvku konštrukcie. 2.1 Mechanické vlastnosti betónu Betón je nerovnomerný materiál zmiešaný z troch základných zložiek: -

kameniva, ktoré tvorí plnivo. Jedná sa o pevnú zložku, pozostávajúcu zo zmesi rôznych frakcií štrku a piesku;

cementu, ktorý tvorí hydraulické spojivo. Po zmiešaní s vodou zabezpečuje priebeh chemických reakcií v betónovej zmesi, ktoré sa prejavujú ako tuhnutie a tvrdnutie betónovej zmesi;

vody, ktorá umožňuje cementu uskutočniť chemickú reakciu a betónovej zmesi v čerstvom stave dáva kašovitý charakter a tým možnosť tvarovania výsledného staviva – betónu.

Mechanické vlastnosti betónu budú závisieť jednak od vlastností jednotlivých zložiek, ale tiež od ich pomerného zastúpenia a spracovania a od mnohých ďalších faktorov a okolností, v ktorých sa nachádza. Betón má vysokú pevnosť v tlaku a relatívne nízku pevnosť v ťahu (asi v pomere 1:10 a menej). Podľa spôsobu namáhania rozoznávame rôzne druhy pevností betónu v tlaku, ťahu, v tlaku za ohybu, v sústredenom tlaku, v súdržnosti. 2.1.1

Pevnosť betónu v tlaku Pod pojmom pevnosť betónu rozumieme medzné napätie, pri ktorom sa skušobná

betónová vzorka poruší. V skutočnosti vzniká v betóne priestorový stav napätosti, ktorý závisí od spôsobu a smeru zaťaženia a podopretia konštrukcie, resp. vzorky, od tvaru a rozmerov skúšaného prvku, od vlastností betónu atď. Typickým príkladom je porušenie betónových vzoriek pri skúške kockovej pevnosti betónu po 28 dňoch tvrdnutia betónu. Je to priemerná pevnosť zistená rozdrvením kociek o hrane 150 mm a prípadne hranola rozmerov

150/150/600 mm, avšak vzhľadom na rozmery kociek a ich zaťažovacieho zariadenia vzniká taký priestorový stav napätosti, že sa vzorky porušujú šmykom. R ck

(2.1.1.1)

kde Rck kocková pevnosť betónu v tlaku [MPa] P

maximálna dosiahnutá tlaková sila v lise [MN]

tlačená plocha skušobnej vzorky

Obr: 2.1.1.1

Napätia a pretvorenia betónovej kocky pri

P Ciara porušenia

Ciara pretvorenia

normovej skúške na

Obr: 2.1.1.2 Skúška hranolovej pevnosti

tlak P

Pevnosť betónu v prostom tlaku zistená na hranoloch rozmerov 150/150/600 mm je menšia ako kocková pevnosť. Znížená pevnosť je dôsledkom zmenšeného účinku trenia na čelných skušobných hranoloch. V zahraničí sa určuje pevnosť betónu častejšie na valcoch 150/300 alebo 160/320. Hranolovú a válcovú pevnosť betónu možno určiť aj pomocou kockovej pevnosti podľa vzťahov: Rch = Rck (0,77 – 0,001 Rck)

[MPa]

(2.1.1.2)

Rch > 0,72 Rck

(2.1.1.3)

Rcv = 0,95 Rck

(2.1.1.4)

2.1.2 Pevnosť betónu v tlaku za ohybu Pevnosť betónu v tlaku za ohybu je väčšia takmer o ¼ ako pevnosť v prostom tlaku. Príčinou je nelineárne rozdelenie napätí v tlačenej oblasti medzi únosnosti železobetónového prierezu. Dochádza tu k prenášaniu zaťaženia najviac namáhaných a plasticky najviac pretváraných vlákien na okraji, na vlákna vnútorné. Podobne aj medzné pretvorenie betónu v tlaku za ohybu je väčšie a pohybuje sa v rozmedzí od 2,5 do 3,8 %. Záleží to od geometrického tvaru prierezu.

2.1.3

Pevnosť betónu v ťahu Pevnosť betónu v ťahu leží v rozmedzí 8 až 15 % jeho tlakovej pevnosti. Skutočná

hodnota je veľmi ovplyvnená typom skúšky, agregátu a tlakovou pevnosťou betónu. Na určovanie pevnosti betónu v ťahu sa obvykle používajú 3 druhy skúšok: a) v jednoduchom a hlavnom ťahu; b) v ťahu za ohybu; c) v priečnom ťahu. Pevnosť betónu v prostom ťahu a hlavnom ťahu Zisťuje sa na trámčekoch ako pri zisťovaní pevnosti v ťahu za ohybu. Na vzorkách 100/100/300 mm zaťažených centrickou silou. Rbtn Je pevnosť betónu v dostrednom ťahu. Rbtn = 0.185 Rbg2/3

pre Rbg ≤ 30 MPa

(2.1.3.1)

Rbtn = 0.325 Rbg1/2

pre Rbg > 30 MPa

(2.1.3.2)

Pevnosť betónu v ťahu za ohybu Skúša sa na nevystužených trámoch

P/2

štvorcového prierezu 150/150/600

mm, pričom sa skušobný hranol uloží do zaťažovacieho lisu na pevnú

plošinu podľa (obr. 2.1.3.1).

l/3

l/3 l

l/3

Obr: 2.1.3.1 Skúška pevnosti betónu v ťahu za ohybu

Táto pevnosť podobne ako pevnosť v tlaku za ohybu je väčšia ako pevnosť v prostom ťahu. Pevnosť v ťahu za ohybu sa vypočíta zo vzťahu: Ri

ACI 318 Building Code určí Ri :

6⋅ M b⋅h

Ri = 0.62 Rbg1/2

(2.1.3.3) pričom Ri=Rbt

(2.1.3.4)

Podľa

teórie

pružnosti

napätia

krajných vlákien pružnej látky pred vznikom trhliny by sa rovnalo Ri. V betónovom spomínané

priereze napätie

nebude

dosiahnuté,

Rz Ri

pretože na medzi pevnosti sa budú krajné

vlákna

preťahovať

bez

zmeny napätia. Teoretické napätie Ri = 1,5.Rz, kde Rz napätie

pred

Obr: 2.1.3.2 Priebeh napätí pri namáhaní prierezu ohybovým momentom až na medzu pevnosti betónu v ťahu

je skutočné

vznikom

trhliny.

Priebeh napätí vidieť na (obr. 2.1.3.2). Pevnosť betónu v priečnom ťahu

Tretím typom skúšok je skúška betónu y

v priečnom ťahu, ktorý je objasnený na (obr. 2.1.3.3) Používanou vzorkou pri týchto

d x z

skúškach je valec s rozmermi 152/305 mm.

σx = π2P db

σx

Pri skúške betónu v priečnom ťahu je prvok

Obr: 2.1.3.3 Schématické znázornenie testu

zaťažený biaxiálnym ťahom a tlakom ako je

v priečnom ťahu

to znázornené na (obr. 2.1.3.3).

2.2

Pracovné diagramy betónu

2.2.1 Pracovný diagram betónu v tlaku Betón zadeľujeme do tried podľa kockovej pevnosti, ktorá je hlavným fyzikálnym parametrom jeho kvality. V literatúre sa stretávame s rôznymi vyjadreniami kockovej pevnosti, novšie normové predpisy, reprezentované STN 73 1201/ 1986, rozdeľujú betón do tried podľa zaručenej kockovej pevnosti, meranej na kockách o hrane 150 mm. Trieda betónu je hodnota jeho kockovej pevnosti, zaručená výrobcom štatistickou zárukou 95%. Z rôznej definície značiek betónu vyplýva, že ich číselné údaje predstavujú rôzne fyzikálne veličiny, ktoré sa nedajú porovnať priamo. Porovnanie môžeme urobiť len pomocou teoretickej, štatisticky určenej hodnoty kockovej pevnosti Rbg . Pracovný diagram betónu pri ustálenej rýchlosti zaťažovania nazývame pracovný diagram od

krátkodobého zaťaženia. Ak pri skúške postupujeme podľa prírastkov napätí, vtedy hovoríme o mäkkom zaťažovacom režime, ak sa však riadime prírastkami pomerných pretvorení hovoríme o tuhom režime. Dosiahnuté maximálne napätie betónu pri ustálenej rýchlosti zaťažovania, pri ktorom sa betón poruší tzv. hranolovým zlomom, nazývame hranolová pevnosť betónu Rbh. Táto veličina je rozhodujúca pre stanovenie normovej pevnosti betónu Rbn. STN 73 1201 definuje normovú pevnosť betónu podľa tried, vo funkčnej závislosti od zaručenej kockovej pevnosti.

(

Rbn

Rbg ⋅ 0.77 − 0.001⋅ Rbg

Rbn

0.72⋅ Rbg

)

pre Rbg ≤ 50⋅ MPa

(2.2.1.1)

pre Rbg ≥ 50⋅ MPa

(2.2.1.2)

Tabuľka: 2.2.1.1 Triedy a charakteristiky betónu Hodnoty charakteristik pre betón triedy

Charakteristika

B7,5

B10

B12,5

B15

B20

B25

B30

B35

B40

B45

B50

B55

B60

Rbn

3,5

5,5

7,5

9,5

11,0

15,0

18,5

22,0

25,5

29,0

32,0

36,0

39,5

43,0

Rbtn Rbd

0,55

0,70

0,85

1,0

1,15

1,40

1,60

1,80

1,95

2,10

2,20

2,30

2,40

2,50

2,8

4,5

6,0

7,5

8,5

11,5

14,5

17,0

19,5

22,0

25,0

27,5

30,0

33,0

Rbtd Modul pružnosti [GPa] Ebo

0,37

0,48

0,57

0,66

0,75

0,90

1,05

1,20

1,30

1,40

1,45

1,55

1,60

1,65

13,0

16,0

18,0

21,0

23,0

27,0

30,0

32,5

34,5

36,0

37,5

39,0

39,5

40,0

v tlaku Normová pevnosť [MPa] v ťahu v tlaku Výpočtová pevnosť [MPa] v ťahu

Modul pružnosti betónu v šmyku Gb = 0,435 . Eb Súčiniteľ priečneho pretvorenia betónu νb = 0,2 Normová pevnosť betónu je tiež štatistická hodnota s pravdepodobnosťou p 95% .

bc bci

Základom pre modelovanie monotónneho

procesu zaťažovania sú pracovné diagramy

bcj b

betónu a ocele. Pracovný

diagram

betónu

závislosti

pretvorenie - napätie delíme do troch oblastí, pričom prvá oblasť vyjadruje stúpajúcu

bcj

bci

vetvu, druhá vyjadruje oblasť maximálneho Obr: 2.2.1.1 Označenie oblasti na pracovnom stúpania vetvy (krivky) a tretia oblasť vyjadruje

klesajúcu

vetvu

diagrame betónu v tlaku.

pracovného

diagramu (obr. 2.2.1.1). Existuje viacero analytických priblížení sa k priebehu krivky napätie - pretvorenie betónu v tlaku. 2

[13] uvádza pre pracovný diagram betónu v tlaku dve krivky (obr 2.2.1.2): prvá krivka je −x + x

a druhá krivka je

(1 + x2)

, pričom x je bezrozmerné číslo definované ako:

Obr: 2.2.1.2 : Krivka v tvare −x2 + x a krivka v tvare

(1 + x2)

Obr: 2.2.1.3 : Modul pretvárnosti okamžitý (sečnicový) Eij a modul dotyčnicový (tangent) Eijo .Pracovný diagram betónu v tlaku podľa P. Desayia a S. Krishnana je na obr 2.2.1.4. - pevnosť betónu v dňoch, fcj bc E ijo E ij E s

bc 1 =0,85.fcj

bcu =0,73.fcj bco =0,5.f cj

bc =

E. 1+(

bc bc 2 ) bc 1

bco

E=2

bcs

bc 1 =2,0%o

- sečnicový modul (secant)

Eijo

- dotyčnicový modul (tangent)

- sečnicový modul (secant),

kde E je modul pri napätí σb=0, εb=0 bc

Eij

bcu =3,5%o

bc 1 bc 1

Obr: 2.2.1.4: napätie - pretvorenie betónu v tlaku podľa Desayia - Krishnana.

a σbc1/εbc1 je sečnicový modul vo vrchole pracovného diagramu. Napätie betónu: σbcu

0.73⋅ fc28

σbc1

0.85⋅ fc28

σbco

0.5⋅ f c28

Pretvorenie betónu:

εbcu

0.0035

εbc1

0.002

εbco

(fc28 ) 3 24000

Moduly pružnosti:

(

12000⋅ f c28

Eij

)

1 3

Eijo28

(2.2.1.3)

(

α ⋅ 12000⋅ f c28

(2.2.1.4)

Z uvedených vzťahov σ - ε odvádzame niektoré vlastnosti pracovného diagramu betónu v tlaku (obr. 2.2.1.2). Počiatočný sklon krivky napätie - pretvorenie sa zväčšuje so zvyšovaním pevnosti betónu v tlaku. V bode maximálneho napätia má krivka tvar podobný parabole. Pretvorenie εbc1 sa zväčšuje so zvyšovaním pevnosti betónu. Keď maximálne pretvorenie εbc1 dosiahne medzu pretvorenia εbcu, zväčšuje sa so zmenšovaním pevnosti betónu. Klesajúca vetva krivky σ − ε po dosiahnutí maximálneho napätia má vysokú mieru variability a je veľmi závislá na spôsobe testu. Podobne medza pretvorenia εbc1 je veľmi závislá na type vzorky, type zaťaženia a rýchlosti testu. Postup vyjadrenia napätia betónu v tlaku, modulu dotyčnicového (tangent), modulu sečnicového (secant)a hodnoty exponentu je nasledovný: Charakteristická kocková pevnosť betónu (MPa): fc28

fc28

(2.2.1.5)

Napätie betónu na konci pracovného diagramu: σ bcu

0.73⋅ fc28

(2.2.1.6)

Maximálne napätie betónu (hranolová pevnosť) vo vrchole pracovného diagramu:

σ bc1

0.85⋅ fc28

(2.2.1.7)

Medzné kvazi-lineárne napätie betónu: σ bco

0.5⋅ fc28

(2.2.1.8)

Pretvorenie betónu, ktoré určíme ako: (2.2.1.9)

ε bco

( fc28i) 3 i

24000

Okamžitý modul (sečnicový): 1

Eij

(

12000⋅ fc28 i

)

alebo

Eij

σ bco ε bco

(3.2.1.10)

Pretvorenie betónu, ktoré zodpovedá maximálnemu napätiu σ bc1:

ε bc1

0.002

Medzné pretvorenie betónu, ktoré zodpovedá napätiu σ bcu:

ε bcu

0.0035

Modul dotyčnicový (tangent) vo vrchole pracovného diagramu na konci oblasti 2: σ bc1 i (2.2.1.11) Eijo 2⋅ i ε bc1 Modul tangent pre kratkodobé namáhanie: 1

(

)

(2.2.1.12)

α ⋅ 12000⋅ fc28 i i Pomery dotyčnicového modulu (tangent) vo veku 28 dní a sečnicového modulu (secant), ktoré Eijo28

predstavujú koeficient α, budú:

Eijo28

αi

(2.2.1.13)

Eij

Výpočet maximálneho napätia pre jednotlivé triedy betónu, ktoré zodpovedajú pretvoreniu ( 0 − ε bc1): n ⎡ ⎤ i ⎢ ε bc1 ⎥ ε ⎛ ⎞ bc1 i 1 (2.2.1.14) σ bc ⋅ ⋅ ⎢−⎜ ⎟ + ni ⋅ ⎥ i γ b ni − 1 ⎣ ⎝ ε bc1 ⎠ ε bc1 ⎦ Výpočet napätia betónu pre jednotlivé triedy betónu zodpovedajúce pretvoreniu ( 0 − ε bco):

σ bc1

σ bc

n ⎡ ⎤ i ε bco ⎥ ε ⎛ bco ⎞ ⎢ i 1 ⎜ i⎟ i ⋅ ⋅ ⎢− + ni ⋅ ⎥ γ b ni − 1 ⎣ ⎜⎝ ε bc1 ⎟⎠ ε bc1 ⎦

σ bc1 i

(2.2.1.15)

Obr: 2.2.1.5: Krivky predstavujú napätie σ bc pre rôzne hodnoty fc28 . Pre kvazi-lineárnu oblasť (oblasť 1) vzostupnej vetvy krivky sa vypočíta napätie betónu v tlaku pre rôzne triedy betónu.

Ak pretvorenie betónu bude:

ε bc

0.000

n ⎡ ⎤ i ε ε ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ bc bc i 1 ⎟ + ni ⋅ ⎜ ⎟⎥ ⋅ ⋅ ⎢ ( ni − 2) ⋅ ⎜ γ b 2 ⋅ ( n − 1) ⎜ ε bco ⎟ ⎜ ε bco ⎟ ⎥ i i i⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝

Potom napätie betónu v tlaku σ bc

bude:

σ bco i

Ak pretvorenie betónu bude:

ε bc 0.00031 (Tu treba poznamenať, že maximálne hodnoty pretvorenia betónu v tlaku pre rôzne triedy

betónu sú vypočítané ako ε bco.) n ⎡ ⎤ i ε ⎛ ⎞ ⎛ ε bc ⎞ ⎥ ⎢ bc i 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ( ni − 2) ⋅ + ni ⋅ γ b 2 ⋅ ( ni − 1) ⎢ ⎜ ε bco ⎟ ⎜ ε bco ⎟ ⎥ i⎠ i⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎝

Potom napätie betónu v tlaku bude: σ bc

σ bco i

Obr: 2.2.1.6: Vzostupná vetva - krivky napätia betónu v tlaku pre rôzne triedy betónu - oblasť 1. σ ⎛ ⎞ bco ⎟ v Pre výpočet napätia pre rôzne triedy betónu - vzostupnej krivky v bode ⎜ ε , ⎜ bco γ ⎟

⎝

oblasti 2

(σ )i bc1

( )i

použijeme rovnicu σ

σ hodnotu σ bc hodnotou

bc1

hodnotou ε

−σ γ

bco

γb

−σ

bco

−σ γ

bco

⋅

⎛ n −1 ⎝ i 1

⎠

n ⎡ ⎤ ⎢ ⎛ε ⎞ i ε ⎥ 1 bc ⎟ bc ⎥ , pričom nahradíme ⋅ ⋅ ⎢−⎜ + ni ⋅ ⎟ n −1 ⎢ ⎜ε ε ⎥ i bc1 ⎦ ⎣ ⎝ bc1 ⎠

bc1

hodnotou

bc1

−σ

bco

, ε bc hodnotou ε

b b b a , potom rovnica bude mať tvar −ε bc1 bco

bc1

⎞ ⎠

⋅ ⎜ −x + n ⋅ x⎟ i

−ε

, bco

(2.2.1.16)

Vzrastajúca funkcia F ( x) bude:

F ( x)

ni − 1

⎛

⎞

⋅ ⎝ −x + ni ⋅ x⎠

Ďalej je uvedený výpočet napätia betónu v tlaku pre rôzne triedy betónu, pričom hodnota modulu dotyčnicového (tangent) vo vrchole súradnic σ bc1 , ε bc1 je nula. V tejto oblasti (oblasť 2) sa intenzívne rozvíjajú mikrotrhliny a čiary sečnicového modulu (secant) a dotyčnicového modulu (tangent) majú najväčší spád.

ε bc1

σ bc −

0.002

σ bco

σ bc1 − σ bco

γb

n1 ⎤ ⎡ i ⎢ − ε ε ⎛ ⎛ ε bc − ε bco ⎞ ⎥ ⎞ bc bco 1 ⋅ ⋅ ⎢ −⎜ ⎟ + n1i ⋅ ⎜ ⎟⎥ n1 − 1 ⎣ ⎝ ε bc1 − ε bco ⎠ ⎝ ε bc1 − ε bco ⎠ ⎦ i

(2.2.1.17)

Výpočet napätia betónu v tlaku pre jednotlivé triedy betónu zodpovedajúce pretvoreniu ε bco: σ bc

σ bco i

γb

σ bc1 − σ bco i i γb

n1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎛ ε bc1 − ε bco ⎞ i ⎛ ε bc1 − ε bco ⎞ ⎥ 1 i⎟ i⎟⎥ ⋅ ⋅ ⎢ −⎜ + n1 ⋅ ⎜ i ⎜ ε bc1 − ε bco ⎟ ⎥ n1 − 1 ⎢ ⎜ ε bc1 − ε bco ⎟ i i⎠ i⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎝

(2.2.1.18)

Výpočet napätia betónu v tlaku pre jednotlivé triedy betónu zodpovedajúce pretvoreniu ε bc1: σ bc

σ bco i

γb

σ bc1 − σ bco i i γb

n1 ⎡ ⎢ ⎛ ε bc1 − ε bco ⎞ i ⎛ ε bc1 − ε bco ⎞ 1 i⎟ i⎟ ⋅ ⋅ ⎢ −⎜ + n1 ⋅ ⎜ i ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n1 − 1 ⎢ ε bc1 − ε bco ε −ε i i⎠ ⎣ ⎝ ⎝ bc1 bcoi ⎠

(2.2.1.19)

Napätie betónu v tlaku pre rôzne triedy betónu bude:

σ bc

σ bco i

γb

σ bc1 − σ bco i

γb

n1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎛ ε bc − ε bco ⎞ i ⎛ ε bc − ε bco ⎞ ⎥ i 1 i ⎟ i ⎟⎥ ⋅ ⋅ ⎢ −⎜ + n1 ⋅ ⎜ i ⎜ ε bc1 − ε bco ⎟ ⎥ n1 − 1 ⎢ ⎜ ε bc1 − ε bco ⎟ i i⎠ i⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎝

(2.2.1.20)

Obr: 2.2.1.7: Vzostupná vetva - napätia betónu v tlaku pre rôzne triedy betónu - oblasť 2. Výpočet napätia betónu pre klesajúcu vetvu (oblasť 3) pre rôzne triedy betónu. ε bcu

ε bc1

ε bcu − ε bco ε bc1 − ε bco

(2.2.1.21)

Výpočet napätia betónu v tlaku pre rôzne triedy betónu:

σbcu

σ bc

σ bc1 i

(

σbco + σbc1 − σbco

γb

)

n1 ⎤ ⎡ i ⎢ ⋅ ⋅ − xu + n1 ⋅xu⎥ i i i⎦ n1 − 1 ⎣ 1

( )

ni σ bcu − σ bc1 ⎛ ε bc1 − ε bc1 ⎞ i i + ⋅⎜ ⎟ γb ⎝ ε bcu − ε bc1 ⎠

(2.2.1.22)

(2.2.1.23)

λ - je koeficient vyjadrujúci pomer modulu v bode ( σ bcu , ε bcu) a modulu sečnicového Eij

Hodnota pomerného pretvorenia betónu v ε bc := 0.0023 tlaku je: K tejto hodnote vypočítame zodpovedajúcu hodnotu napätia: σ bc

σ bc

ni σ bcu − σ bc1 ⎛ ε − ε ⎞ bc bc1 i i i + ⋅⎜ ⎟ γb γb ⎝ ε bcu − ε bc1 ⎠

(2.2.1.24)

ni σ bcu − σ bc1 ⎛ ε − ε ⎞ bc bc1 i i i + ⋅⎜ ⎟ γb γb ⎝ ε bcu − ε bc1 ⎠

(2.2.1.25)

σ bc1 i

Obr: 2.2.1.8: Klesajúca vetva - napätia betónu v tlaku pre rôzne triedy betónu - oblasť 3. 2.2.2

Definícia krivky (pretvorenie εbc - napätie σbc ) betónu

V oblasti 1 sa predpokladá prakticky lineárna závislosť napätia od pretvorenia. Oblasť 2 sa vyznačuje intenzívnym rozvojom mikrotrhlín, v oblasti 3 sa začnú spájať mikrotrhliny do vizuálne pozorovateľných makrotrhlín. Oblúk je daný krivkou v závislosti deformácia napätie a je definovaný podľa bodov ( εbcj ,

σbcj γb

), ( εbc , σbc ) a ( εbci ,

σbci γb

). σbc . Pretvorenia εbc a

napätia σbc ležia na danej krivke v oblasti i (obr. 2.2.2.1), pričom i = 0 - 2. Napätie v oblasti i vypočítame podľa vzťahu: σ bcj σ bci − σ bcj σ bc + ⋅Fi( x) γb γb

bc bci b bcj b

bcj

bci

Obr: 2.2.2.1: Označenie oblasti na pracovnom diagrame betónu v tlaku.

Oblasť 1 (vzostupná krivka): Vzostupná krivka korešponduje s i 0 , čiže hodnoty

pretvorenia a napätia budú nasledovné: εbcj = 0

σbcj = 0

ε bci

ε bco

f c28

(2.2.2.1)

24000

σ bci

σ bco

(2.2.2.1)

0.5 ⋅ f c28

Funkcia Fi( x) budu definovaná nasledovne: Fi( x)

Fo ( x)

no ⎡ ⎤ i ⎢ ⋅ no − 2 ⋅( x) + no ⋅x⎥ i ⎦ ⎣ i

( noi − 1) ( 1

2⋅

)

(2.2.2.2)

pomer tangenciálneho modulu a sečnicového modulu Eijo28 α Eij 1

Eij

( fc28 )

12000⋅

alebo

Eij

σ bco ε bco

(2.2.2.3) 1

α ⋅12000⋅⎡( f c28 ) ⎤

Eijo28

⎣

i⎦

(2.2.2.4)

Oblasť 2 (maximálny oblúk): Maximálny oblúk vzostupnej vetvy korešponduje s i = 1, čiže εbci

εbc1

σbci

σbc1

0.002 0.85 ⋅ fc28

ε bci

ε bco

f c28

(2.2.2.5)

24000

σ bci

σ bco

0.5 ⋅ f c28

(2.2.2.6)

Funkcia krivky bude: Fi( x)

F1 ( x)

⎡ n1i ⎤ ⋅⎢−( x) + n1 ⋅x⎥ i ⎦ n1 − 1 ⎣ 1

(2.2.2.7)

Oblasť 3 (klesajúca vetva): Klesajúca vetva korešponduje s i = 2, čiže

εbcj = εbc1 = 0,002

σbcj = σbc1 = 0,85.fc28

εbci = εbcu = 0,0035

σbci = σbcu =

0,73.fc28 Funkcia klesajúcej vetvy bude:

Fi( x)

F2 ( x)

Oblasť 1 - krivka, ktorá predstavuje funkciu Fo ( x) vzostupnej vetvy, začínajúca v bode (0,0)

so sklonom väčším ako 1 a koncom v bode (1,1) so sklonom menším ako 1. Oblasť 2 - krivka, ktorá predstavuje funkciu F1 ( x) vzostupnej vetvy, začínajúca v bode (0,0) so sklonom väčším ako 1 a koncom v bode (1,1) so sklonom nula.

Oblasť 3 - krivka, ktorá predstavuje funkciu

F2 ( x)

klesajúcej

vetvy,

začínajúca v bode (0,0) so sklonom nula a koncom v bode (1,1) so sklonom menším ako 1.

Obr: 2.2.2.2: Porovnanie troch funkcií. 2.2.3

Pracovný diagram betónu v ťahu

Skúšok na prostý ťah v tuhom stave je oveľa menej ako v tlaku. Je to tým, že pretvorenia vo vrchole sú až 20-násobne menšie oproti pretvoreniam pri skúške na tlak. Pracovné diagramy v ťahu majú relatívne veľkú lineárnu oblasť, približne 50% . Pretvorenie na fraktúre je okolo 0,0001 v prostom ťahu. Diagram σ-ε môže byť vyjadrený priamkou so sklonom Ei a maximálne napätie sa rovná pevnosti v ťahu ft alebo parabolou s maximálnym pretvorením εt = 1,8. ft / Ec. Vecchio a Collins použili diagram (obr. 2.2.3.1) pre betón v ťahu: -

pred vznikom trhliny je vyjadrený lineárnym vzťahom :

fc1(εc) = Ec . εc kde E c = 2.fck / εbco

pre 0 < εc < εcr fck=fc

εcr = fcr / Ec f cr

0.33 ⋅ f c´

v [MPa]

- modul pružnosti betónu

(2.2.3.2)

- pretvorenie pri vzniku trhlín

(2.2.3.3)

- napätie betónu pri vzniku trhlín

(2.2.3.4)

- po vzniku trhlín platí nelineárna závislosť

( )

f c2 ε c

f cr 1 + 200 ⋅ ε c

(2.2.3.1)

fc f cr

(2.2.3.5)

f c2 (ε c)

f c1 (ε c)

Červenka použil nový vzťah napätia-pretvorenia v ťahu: σ

pred

⎡ 1 − 200 ⋅ ε k 2⎤ ⋅ f 1) ⎦ t´ ⎣ (

kde k2 = 0,5 - empirická

ε cr

vznikom trhlín

(2.2.3.6)

εc

vzniku trhlín

Obr: 2.2.3.1 Pracovný diagram betónu v ťahu

konštanta

2.2.4 Mechanické vlastnosti ocele

Vlastnosti vystužovacej ocele odvodzujeme prevažne z diagramu, t.j. čiary závislosti pretvorenia ε s od napätia σ s pri skúške v ťahu. Podstatou skúšky pevnosti v ťahu je zaťažovanie skúšobného telesa ťahom do porušenia. Po presnom odmeraní dĺžky vzorky l( m)

určíme hmotnosť vzorky m( g) , pomocou ktorej stanovíme

počiatočnú skutočnú plochu prierezu výstuže:

m 7.85⋅l

⋅103

(2.2.4.1)

Tieto diagramy dostaneme, ak do skúšobných tyčí vnášame postupne vyššie a vyššie napätie a súčasne meriame pretvorenie na určitej základni l0 . Ak pozorne sledujeme uvedenú

Patentovaná ocel

závislosť na betonárskej výstuži,

1,8

zistíme, že až po medzu úmernosti

0,2

1,2

sú pružné a ich závislosť prebieha Hookovho

1,0

zákona.

úmernosti

0,6

diagram začne mierne odkláňať.

0,4

prekročení

medze

0,5.

pružnosti dosahuje hodnoty 0,01%.

0,2

0,8

Betonárska ocel Taznost az 20%

0,2

Okrem pružnej deformácie vzniká aj deformácia plastická a na medzi

0,2 %

1,4

je závislosť priamková, pretvorenia podľa

1,6

0 0,2

[%] 1,0

2,0

3,0

4,0

Obr: 2.2.4.1 Pracovný diagramy betonárskej a patentovanej ocele.

Pri ďalšom zvyšovaní napätia sa dostaneme k medzi prieťažnosti, ktorá charakterizuje kvalitu ocele a predstavuje

maximálne

napätia,

ktoré môžeme využiť pri navrhovaní železobetónovej konštrukcie. Pri napätí, ktoré charakterizuje medzu prieťažnosti vznikajú nadmerné deformácie výstuže bez zvyšovania napätia, čoho dôsledkom je porušenie súdržnosti medzi betónom a výstužou, pričom dochádza k narastaniu deformácií prvkov železobetónových konštrukcií a k neprípustnému roztváraniu trhlín. Vrchol pracovného diagramu udáva pevnosť výstuže v ťahu Rm a stanoví sa zo vzťahu: Rm

Nm A0

⋅106

(2.2.4.2)

kde Nm je maximálna sila zistená pri skúške (MN). Po dosiahnutí medze pevnosti napätia klesajú a výstuž sa pretvára len plasticky, až sa pretrhne. Pre dimenzovanie betonárskej výstuže do prierezov možno používať tri rôzne pracovné diagramy betonárskej výstuže: 1) Bilineárna závislosť medzi napätím a pomerným pretvorením betonárskej výstuže, kde horizontálna (horná) vetva β ´

2) Parabolicko - rektangulárna závislosť napätia a pomerného pretvorenia betonárskej výstuže. 3) Bilineárna závislosť medzi napätím a pomerným pretvorením betonárskej výstuže, kde horizontálna (horná) vetva je stúpajúca ( β ´ ≠ 0 ). 1a) Pracovný diagram betonárskej výstuže podľa [18] - εsd, εscd výpočtové medzné pomerné

pretvorenie betonárskej výstuže v

s1 R sd

scd =0.0025

s = E s. s

ťahu, resp. v tlaku,

Es sn =0.015

s sd =0.010

scn =0.0035

s1 R sn

- εsn, εscn normové medzné pretvorenia betonárskej výstuže v ťahu, resp. v tlaku,

s2 R scd s2 R scn

Obr: 2.2.4.2 Pracovný diagram betonárskej výstuže.

γs1,

γs2

súčiniteľ

podmienok

pôsobenia betonárskej výstuže v ťahu, resp. v tlaku, - Es modul pružnosti betonárskej výstuže Es =210 GPa, - Rsn, Rscn, (Rsd, Rscd) príslušná normová (výpočtová) pevnosť výstuže

Tabuľka: 2.2.4.1 Medzné pomerné pretvorenie betonárskej výstuže. Namáhanie výstuže

Hodnota medzného pomerného pretvorenia normová

výpočtová

v ťahu

εsn = +0,015

εsd = +0,010

v tlaku

εscn = -0,0035

εscd = -0,0025

1b) Pracovný diagram betonárskej výstuže podľa EC2. Diagram vyjadruje bilineárnu závislosť medzi napätím a pomerným pretvorením betonárskej výstuže, kde horizontálna (horná) vetva β´=0 (obr. 2.2.4.3). Pozostáva z dvoch priamok: horizontálnej a priamky so sklonom. Horizontálna priamka začína v bode fyk/γs, Pretvorenie výstuže εs

predstavujúcom výpočtovú hodnotu medze klzu výstuže.

zodpovedajúce napätiu fyk/γs je väčšie ako pretvorenie fyk/γs.Es. Priamka so sklonom začína v bode 0 a končí v bode fyk/γs . Pretvorenie výstuže εs je menšie ako fyk/γs.Es. γs - je parciálnym súčiniteľom spoľahlivostí betonárskej výstuže 200000⋅MPa

Modul pružnosti betonárskej výstuže sa uvažuje strednou hodnotou Es c =0,0025 alebo

c =0,0035

E s =200 GPa 0

f yk sE s

As uk =0,01

0,8.x

f yk f yk

s s

Obr: 2.2.4.3 2) Parabolicko - rektangulárna závislosť napätia a pomerného pretvorenia betonárskej výstuže Pre výstuž bez vyznačenej medze klzu fyk možno hodnotu fyk nahradiť charakteristickou hodnotou medze εs = 0.002 (medza pružnej deformácie betonárskej výstuže, obr. 2.2.4.4). Medza pružnej oblasti napätia betonárskej výstuže je 0,7.fyk. Druhá časť pracovného diagramu výstuže, ktorá predstavuje krivku, resp. parabola, je vyjadrená rovnicou 5 stupňa. εs

f yk

5 ⎛ σ − 0.7⎞ ⎟ ⎝ Es ⎠

+ 0.823 ⋅ ⎜

(2.2.4.3)

pre σ > 0,7.fyk

f yk 0,7. f yk

s + 0,823( s . s - 0,7) 5

Modul pružnosti betonárskej výstuže sa uvažuje strednou hodnotou Es = 200 GPa podľa EC2. Medza klzu fyk, resp. medza pevnosti v ťahu ftk, sú definované charakteristickou hodnotou sily na

s 0

0,002

Obr: 2.2.4.4 Diagram výstuže

medzi klzu, resp. charakteristickou hodnotou maximálnej

sily

osovom

ťahu,

delenou

prierezovou plochou betonárskej výstuže.

c =0,0035

f tk f yk

E s =200 GPa

0,8.x

0,002

uk =0,01

Obr: 2.2.4.5 Diagram výstuže 3) Bilineárna závislosť medzi napätím a pomerným pretvorením betonárskej výstuže, kde horizontálna (horná) vetva je stúpajúca ( β´ ≠ 0 ) Diagram výstuže, ktorý je na (obr. 2.2.4.6), sa skladá z dvoch priamok: a) pružná oblasť so sklonom Es b) semi - plastická priamka, ktorá prechádza bodom fyk a končí v bode1,1. fyk za predpokladu že medzné pomerné pretvorenie betonárskej výstuže je εuk = 0,01. Pracovný diagram betonárskej výstuže podľa nasledujúceho obrázku sa môže pre výpočet dimenzovanie prierezu upraviť a to napr. pootočením hornej vetvy až do vodorovnej polohy.Výpočtové hodnoty sa odvodia z idealizovaného pracovného diagramu vydelením poradníc parciálnym súčiniteľom spoľahlivosti betonárskej výstuže γ s . Pri dimenzovaní prierezu sa vychádza z

f tk f yk f yk

jedného z týchto predpokladov: - horná vetva pracovného diagramu je

vodorovná, t.j. napätie v betonárskej výstuži je obmedzené hodnotou fyk/γs , a pomerné E s =200 GPa

f yk

pretvorenie ocele εs uk =0,01

sEs

Obr: 2.2.4.6

nie je obmedzené,

v niektorých prípadoch je však obmedzenie tohto

pomerného

pretvorenia

vhodné

predpokladať, - horná vetva pracovného diagramu je stúpajúca a medzné pomerné pretvorenie ocele je obmedzené hodnotou εs =0,01

10216 10245 10335 10425 10505 KARI sieť

E K J V R W

normová: v ťahu a tlaku Rsn=Rscn fyk (EC2) 206 245 325 410 490 490

Pevnosť výstuže [MPa] výpočtová : v ťahu Rsd resp. v tlaku Rscd v betóne triedy B12,5 165 180 180 180 180 180

B20 a viac 190 220 300 340 375 340 450(420) 340 450(420)

fyd = fyk / γs γs = 1,15 (EC2)

Povrch

Označenie druhu ocele

Značka

Tabuľka: 2.2.4.2 Materiálové charakteristiky betonárskej výstuže

179 213 283 357 426 426

hladký rebierkový rebierkový rebierkový rebierkový rebierkový

B15

Modul pružnosti ocele : Es = 210 GPa, podľa EC2 Es = 200 GPa 2.3 Súdržnosť ocele s betónom

Pod súdržnosťou rozumieme súhrn všetkých chemických, fyzikálnych a mechanických javov, ktoré pôsobia na kontaktných plochách výstuže a betónu a zabezpečujú spojitosť a odpor proti vzájomnému pohybu. Súdržnosťou sa prenášajú sily z betónu na výstuž a naopak, čím je zabezpečená spoluúčasť oboch materiálov na prenášaní síl, ktoré pôsobia na konštrukciu. Súdržnosť betónu a ocele spôsobujú najmä: a) priľnavosť cementového kameňa (molekulárna adhézia) k výstuži; b) trenie, ktoré vzniká pôsobením síl od zmrašťovania betónu; c) nerovný povrch výstuže, čím sa výstuž zakliní do betónu. Súdržnosťou sa hľadajú vzťahy pre vyjadrenie stavu napätosti na kontaktných plochách oboch materiálov, sleduje sa vplyv rôznych povrchových úprav výstuže na kotviacu schopnosť, vplyv kvality betónu, koncových úprav výstuže, vplyv prostredia pri tvrdnutí betónu a množstvo iných vplyvov. Od súdržnosti značne závisí únosnosť prierezu. Ak betón popraská pod ťahovou silou, okamžite výstužná tyč preberie tento ťah. V trhline vzniká náhly skok znázornený na (obr. 2.3.1), ktorý je charakterizovaný zvýšením napätia vo výstuži. Veľkosť skokového napätia závisí od percentuálneho podielu výstuže a od druhu pôsobenia závisí od percentuálneho podielu výstuže a od druhu pôsobenia (obr. 2.3.2). Najväčšia je v betónovom prvku namáhaného čistým ťahom s σs = fct / ρ, zmenšuje sa na 0,2.fct / σ, v nosníku pri čistom ohybe.

σs Δ

σs

v trhline

n. e

M A

σs

f ct ρ

σs

0.2 ⋅

σs

0.2 ⋅

f ct ρ f ct ρ

⋅ξ

M.N

Obr: 2.3.1 Náhly skok napätia vo výstuži v

Obr: 2.3.2 Napätie vo

trhline

výstuži v trhline

Veľkosť tohto skokového napätia má, samozrejme, významný vplyv na začiatočnú šírku trhliny a na veľkosť napätia v súdržnosti na oboch stranách trhliny. Skúšky Y. Gota z Japonska ukázali, že príčinou skoku napätia sú malé vnútorné väzby trhlín na rebrách tyče, ako znázorňuje (obr. 2.3.3). Vysoký skok napätia rezultuje v malých väzbách vnútorných trhlín, čím sa stráca ohybová pevnosť malého betónového ozubenia, to znamená, že je tu určitá dĺžka porušenia súdržnosti, nad ktorú sa pretvorenie výstužnej tyče nezníži a tým prispieva k šírke trhliny. Dá sa zhruba predpokladať, že dĺžka porušenia súdržnosti je: νo

Δσ s

⋅φ

[N/mm2]

(2.3.1)

Podľa Leonhardta pre výstuž: a) s periodickým profilom je νo

Δσ at 3

⋅D

(2.3.2)

45 ⋅ 10

kde Δσat [KN.m-2]; D[m], νo [m]

b) s hladkým povrchom je νo

0.74

⋅

Δσ at

0.40 45 ⋅ 103

⋅D

(2.3.3)

kde D je priemer vystužovacích prútov ťahovej výstuže

dlzka porušenej súdrznosti

νo

Súdržnosťou sa znižuje hodnota napätia vo

väzba vnútornej trhliny

výstuži v susedstve trhliny a zabraňuje rozširovaniu týchto napätí po dĺžke výstuže tým, že ich prenáša na ešte neporušený betón. Zvýšené napätie vo výstuži zostane teda obmedzené len na pomerne malú dĺžku, ktorá závisí od veľkosti napätia v súdržnosti a vyvolá len pomerne malé

Obr: 2.3.3 Vnútorná väzba trhliny daná dĺžkou porušenia alebo stratou súdržnosti

pretvorenie výstuže a tým vznikne len málo roztvorená trhlina. Pri zvyšovaní zaťaženia sa bude pod vplyvom súdržnosti napätie vo výstuži i v betóne zväčšovať až vznikne v určitej vzdialenosti ďalšia trhlina. Tento proces rozvíjania trhlín a presunu napätí je vykreslený na (obr. 2.3.4). CEB

No.

158-E

uvádza

pre l

minimálne priemerné vzdialenosti N

trhlín nasledujúci vzťah: S rm

K 2.0 ⋅ f ct f bm

⋅

A ct

∑ν

(2.3.4)

εs2

Δεs

σs2

εsm

kde fct

τ bm

pevnosť betónu v ťahu,

fbm priemerné napätie v súdržnosti,

prvá trhlina

fct

σc < fct

Ac plocha betónu v ťahu, K2,0 koeficient zohľadňujúci účinok distribúcie ťahového napätia

Obr: 2.3.4 Proces vzniku trhlín a presunu napätí

v priereze K2,0 = 1 pre čistý ťah K2,0 = 0,5 pre čistý ohyb

Aby sme získali primeraný vzťah, je boli

získané

experimentálne. Potreba používať túto účinnú oblasť vznikla z dôvodu, že možnosti prenosu ťahových síl do betónu cestou súdržnosti medzi dvomi trhlinami sú obmedzené (obr. 2.3.5).

priebeh tahových napätí

trhlina

prípady

Efektívna betónová plocha A c,eff

rôzne

trhlina

potrebné definovať účinnú oblasť. Pre

výstuž

betón nie je výrazne ovplyvnený výstužou

Obr: 2.3.5 Prenos ťahových síl do betónu medzi trhlinami 2.4 Zmrašťovanie a dotvarovanie betónu

Betón je najpoužívanejší stavebný materiál na svete a preto je veľký záujem o poznanie a zlepšenie jeho vlastností. Z reologického hľadiska vykazuje betón pružné, plastické a viskózne deformácie. Ako je známe, betón podlieha zmenám pretvorenia v čase (dotvarovanie) vďaka trvalému napätiu súčasne, aj keď vonkajšie napätie nepôsobí, spôsobuje zmeny (zmrašťovanie a napučiavanie) vyparovanie alebo absorpcia vody materiálom. Zmrašťovanie a dotvarovanie hrá významnú úlohu v návrhu moderných konštrukcií, ako sú konštrukcie z predpätého betónu, bezpečnostné obaly jadrových reaktorov, ktoré sú veľmi citlivé na objemové zmeny. Zmrašťovanie a dotvarovanie sú dôležité z hľadiska použiteľnosti, trvanlivosti a dlhodobej spoľahlivosti konštrukcií. Naviac, redistribúcia vnútorných síl má často priaznivý účinok, ale niekedy aj škodlivý. Preto nie je prekvapujúce, že sa výskumné aktivity v tejto oblasti významne zvyšujú. Presnosť výpočtu účinku dotvarovania a zmrašťovania betónu má zodpovedať spoľahlivosti dostupných údajov popisujúcich tieto javy a dôležitosti ich účinkov pre vyšetrovanie medzného stavu. Ak je napätie betónu v medziach zodpovedajúcich bežným prevádzkovým podmienkam, môžeme pre vystihnutie reologického správania sa betónového prvku vychádzať z týchto predpokladov: - dotvarovanie a zmrašťovanie sú na sebe nezávislé, - medzi dotvarovaním a napätím spôsobujúcim dotvarovanie sa predpokladá lineárny vzťah, - zanedbávajú sa účinky nerovnomerného rozdelenia teplôt a vlhkosti, - pri zaťaženiach vyskytujúcich sa v rôznych časových obdobiach sa predpokladá 33

platnosť zákona superpozície, - uvedené predpoklady sa vzťahujú aj na ťahaný betón. 2.4.1

Zmrašťovanie

Účinky zmrašťovania betónu sa pri navrhovaní a posudzovaní konštrukcií uvažovali najmä z hľadiska ich vplyvu na stav napätia. V nepredpätých konštrukciách sa predpokladá, že z hľadiska medzných stavov prvej skupiny, je prihliadnutie na účinky zmrašťovania (tj. napätia, ktoré vznikajú vynútenými pretvoreniami) zanedbateľné, lebo rozvojom trhlín nastáva v štádiách blízkych porušeniu výrazné zmenšenie napätí vynútených vo výstuži zmrašťovaním. Samotné zmrašťovanie, ktoré sa prejavuje zmenou objemu, sa v histórii výskumu betónových konštrukcií skúmalo pomerne veľmi podrobne. Hodnotu zmrašťovania ovplyvňuje veľa faktorov

s rôznou

prostredia, obsah cementovej

ε cs

relatívna vlhkosť a teplota

deformácie

významnosťou. Sú to najmä:

ε bs

kaše, vodný súčiniteľ, druh kameniva,

a rozmery

prvkov,

urýchľovania

tvar

spôsob

cas

použitého

Obr: 2.4.1.1 Zmrašťovanie prvku

tvrdnutia

betónu . Rozdielna vlhkosť prostredia, ktorému sú vystavené protiľahlé povrchy konštrukčného prvku alebo nehomogenita betónu spôsobená technológiou zhutňovania zmesi môže mať za následok nerovnomerné voľné zmrašťovanie po výške prierezu lineárne. Osové pretvorenie od zmrašťovania sa javí medzi časom t0 a te v prostom betóne a môže byť vyjadrené nasledujúcim vzťahom: ε bs( t , ts)

(2.4.1.1)

ε bso⋅ β s( t− ts)

pričom je: ε bso

teoretický súčiniteľ zmrašťovania,

βs

súčiniteľ vystihujúci priebeh zmrašťovania v čase,

vek betónu vo vyšetrovanom okamihu (v dňoch),

vek betónu na začiatku zmrašťovania, popr. napučiavania (v dňoch).

Teoretický súčiniteľ zmrašťovania sa dá určiť zo vzťahu: ε bso

εs( fcm) ⋅ β RH

εs( fcm)

−6 ⎡⎣ 160 + β sc⋅ ( 90 − fcm) ⎤⎦ ⋅ 10

(2.4.1.2)

β RH

súčiniteľ vlhkosti,

εs( fcm)

pomerné zmrašťovanie zahrňujúce vplyv pevnosti betónu na zmrašťovanie (obr. 2.4.1.2b),

fcm

priemerná tlaková pevnosť betónu v MPa vo veku 28 dní,

β sc

súčiniteľ závislý na druhu cementu: β sc = 4 pre pomaly tvrdnúce cementy, β sc = 5 pre normálne a rýchle tvrdnúce cementy, β sc = 8 pre rýchle tvrdnúce cementy s vysokou pevnosťou.

Súčiniteľ vlhkosti β RH má tieto hodnoty: β RH

−1.55⋅ β sRH

pre 40% ≤ RH ≤ 99% (umiestnenie na vzduchu)

β RH

0.25

pre RH > 99% (umiestnenie vo vode)

pričom je: β sRH

súčiniteľ vystihujúci vplyv relatívnej vlhkosti na hodnotu teoretického pomerného

zmrašťovania (obr. 2.4.1.2a) β sRH

1−

⎛ RH ⎞ ⎜ 100 ⎟ ⎝ ⎠

(2.4.1.3)

kde RH je relatívna vlhkosť prostredia v %. Súčiniteľ priebehu zmrašťovania v čase sa dá určiť zo vzťahu (obr. 2.4.1.2c): 0.5

t − ts ⎡ ⎤ β s( t− ts) ⎢ ⎥ 2 ⎣ 0.35⋅ ( h0) + t − ts ⎦ náhradný rozmer (mm) h0

t − ts

(2.4.1.4)

skutočná neupravená doba trvania zmrašťovania, resp. napučiavania v dňoch.

Ak výpočet nevyžaduje presné riešenie, môžeme súčiniteľ dotvarovania φ( ∞ , t0) a pomerné zmrašťovanie εcs uvažovať základnou hodnotou podľa (Tab. 2.4.1.1), hodnoty platia pre normálny hutný betón vystavený v okamihu nanesenia prvého zaťaženia t0 tlakovému napätiu najviac 0.45Rbn , kde R bn je normová hodnota pevnosti betónu.

Tabuľka: 2.4.1.1 Konečné hodnoty pomerného zmrašťovania εcs ∞ (%o) Umiestnenie prvku

Relatívna vlhkosť

Náhradné hrúbky 2.Ac / u [mm] 2.Ac / u < 150

2.Ac / u > 600

vo vnútri

0,60

0,50

vonku

0,33

0,28

β sRH

εS

1.10 -3

1,0

βS

1,0 0,75

8.10 -4

0,50

-4

6.10

4.10 -4

0,25 0

25 50 75 100 Relatívna vlhkost (%)

βs

β sc

0,5

βsc

0 =5

m m ho

m 00

m ho

0 =2

m 0m

mm 400 ho = mm 600 ho = 00mm h o >8

0 20 40 60 Priemerná tlaková pevnos betónu [MPa]

100

1000

10000 Cas, t [dni]

Obr: 2.4.1.2 a) Vplyv relatívnej vlhkosti, b) vplyv priemernej tlakovej pevnosti betónu, c) zmena zmrašťovania v čase 2.4.2 Pretvorenie od zmrašťovania betónu

Pretvorenie od zmrašťovania je možné zanedbať pri prvku s rozhodujúcou dĺžkou lfmax rovnou 6 m. Krivosť ohybovej čiary od zmrašťovania je možné určiť zo vzťahu: 1

α sh

r sh

kde (2.4.2.1)

αsh súčiniteľ pre výpočet pretvorení zmrašťovaním he

účinná výška prierezu

Pri určovaní krivosti a osového pretvorenia od zmrašťovania sa vychádza z týchto predpokladov: 1) Z betónového prierezu pôsobí časť o výške hsh, ktorá sa určí nasledovne: -

v úsekoch, v ktorých sa neočakáva vznik trhlín hsh = h

v úsekoch, v ktorých sa očakáva vznik trhlín, sa do výpočtu zavedie menšia z hodnôt: min (hsh = 2.xr , hsh = 0,6.he1) kde xr je výška tlačenej oblasti prierezu za predpokladu plne vylúčeného betónu v ťahu.

2) Zachovaná je rovnováha síl v priereze, na ktorý nepôsobí žiadny silový účinok zaťažení.

3) Algebraický rozdiel pretvorení výstuže a betónu v úrovni výstuže sa rovná hodnote pomerného dĺžkového pretvorenia betónu od zmrašťovania εbs pre uvažovaný časový interval <t1, t2 >. 4) Modul pružnosti betónu sa nahradí hodnotou: E bt

Eb 1 + 0.55 ⋅ φ

(2.4.2.2)

2.4.3 Dotvarovanie a teória dotvarovania betónu

Vlastnosti betónu závisia od viacerých faktorov, ako napríklad vlhkosť, teplota a čas, ktoré sú blízko prepojené, pričom pretvorenie v čase t=0 sa uvažuje ako pružné pretvorenie, ale môže zahŕňať aj neelastické zložky. Rozoznávame tri štádia dotvarovania. - Primárny rozsah dotvarovania, pri ktorom rýchlosť dotvarovania klesá s časom. - Sekundárny (alebo stacionárny) rozsah dotvarovania s minimálnou zmenou rýchlosti dotvarovania, dochádza k ustálenému stavu dotvarovania, ktorý môže byť lineárny v čase. - Terciárne dotvarovanie, spôsobené mikrotrhlinami pri veľkých napätiach. Môže, ale nemusí existovať. Rýchlosť primárneho aj sekundárneho dotvarovania sa znižuje s časom od počiatku zaťaženia. Plastické deformácie spôsobené pri zaťažení sú ignorované. Pod teóriou dotvarovania vo všeobecnosti máme na mysli určenie závislosti medzi napätím, deformáciou a časom. Matematicky to znamená, že treba nájsť funkciu: ε ( t)

φ⋅ ( σ( τ) , t , τ)

ε ( t)

celková pomerná deformácia v čase t

σ( τ )

napätie v ľubovoľnom čase τ

čas v ktorom hľadáme pomernú deformáciu

meniaca sa súradnica času

, kde

(2.4.3.1)

Pri zaťažení betónu sa vytvára okamžité elastické pretvorenie ako je znázornené na (obr. 2.4.3.1). Ak zaťaženie pretrváva, postupom času sa vytvárajú dodatkové pretvorenia, čo je spôsobené tým, že absorbované vrstvy vody medzi gélovými časticami sa ztenčujú a vzniká tak tlakové napätie. Táto zmena hrúbky vrstiev je na začiatku rýchla a s časom sa zmenšuje. Po určitom čase sa medzi gélovými časticami v nových pozíciách vytvoria väzby. V prípade, že sa zaťaženie odstráni, časť pretvorení sa obnoví elasticky, ďalšia časť dotvarovaním, ale reziduálne pretvorenie pretrváva (obr. 2.4.3.1) pôsobením väzieb medzi gélovými časticami

v deformovanej pozícii. Pretvorenia

Odlahcenie Zataženie

elastické

pretvorenia.

spôsobené

Pretvorenia

dotvarovaním

Návratnost dotvarovaním

εc

Pružná deformácia

vedú

postupom času k zvýšeniu priehybov,

Pružná návratnost

Deformácia dotvarovaním

Nenávratná deformácia

εl

Cas, t

jednom z troch prípadov okamžité

deformácia

spôsobené dotvarovaním εe sú v

čo môže viesť k redistribúcii napätí v

Obr: 2.4.3.1 Elastická deformácia a deformácie

priereze alebo spôsobiť zmenšenie

dotvarovaním spôsobené zaťažením v čase to a

predpínania síl atď.

odľahčením v čase t

Pomer pretvorenia od dotvarovania k elastickému pretvoreniu εc / εi po dlhom časovom intervale sa nazýva koeficient dotvarovania. Hodnota tohto koeficientu závisí od pomeru trvalého napätia a pevnosti betónu, od vlhkosti prostredia, rozmerov prvku a kompozície betónu. Až do hodnoty napätia okolo 0,5.fc´ je dotvarovanie lineárne závislé od elastického pretvorenia. Mimo tejto úrovne napätia sa pretvorenie od dotvarovania zväčšuje rýchlo a môže viesť k porušeniu prvku pri napätí väčšom ako 0,5. fc´. Je zrejmé, že na napätosť prierezu a na jeho pretvorenie bude mať vplyv mnoho faktorov, napr. statická schéma prvku, schéma zaťaženia, tvar prierezu, rozdelenie výstuže po dĺžke prvku, percento vystuženia, súdržnosť zložiek s betónom a tiež dotvarovanie betónu tlačenej aj ťahanej časti prierezu a zmrašťovanie. Predpokladáme, že v prvku pôsobením ohybového momentu M, ktorý je v čase nemenný, vznikli od prevádzkového zaťaženia trhliny za predpokladu, že je pretvorenie prierezu priamo úmerné vzdialenosti od neutrálnej osi. Účinkom dotvarovania betónu tlačenej časti vzrastá pretvorenie krajného vlákna z εb(0) na εb(t) a súčasne sa zväčší pretvorenie preťaženej výstuže z εα(0) na εα(t). Neutrálna os sa posunie dole a bude ležať vo vzdialenosti xt. Tým dôjde v betóne v tlačenej časti k novému rozdeleniu napätia z σb(0) na σb(t), lebo moment vnútorných síl sa musí opäť rovnať momentu vonkajších síl, ktorý sa časom nezmenil. Rameno vnútorných síl sa mierne zmenší a sila vo výstuži sa zväčší z Nb(0) na Nb(t). Nakoniec vzrastá krivosť (obr. 2.4.3.2).

Doposiaľ

otázka

neobjasnená

rozvoja

dlhodobého

trhlín

zaťaženia

b(t)

x(t)

Nb(0) Nb(t)

x(0)

b(t)

εb(0) σb(t)

od pre

b(0)

x(t)

ε-b(0) σb-(t) = σb-(0) Nb-

x(0)

ohýbané prvky. Skúšky vedú k záveru, že dotvarovaním sa trhliny

rozširujú

nové trhlinky;

a vznikajú

εa(0) εa(t)

to je však

v rozpore

záverom

o zväčšovaní

novej

trhlinky

tlačenej

časti

Nb Na

Na(0),Na(t)

+ + b(t) = b(0)

ε+b(0) εb+(t)

Obr: 2.4.3.2 a) Rez s trhlinou b) rez bez trhlín

betónového

prierezu pri dotvarovaní. Tu je však dôležité zmrašťovanie betónu a posun zložiek v betóne. Ak vznikne pri zmrašťovaní v priereze trhlina, tak sa v tomto mieste stratí napätie ocele aj betónu. Vplyvom dotvarovania (od dlhodobého zaťaženia) sa neutrálna os posunie od tlačeného okraja a výstuž sa tým mierne predĺži. Lineárna závislosť medzi pretvorením a xt neplatí ani pri krátkodobom zaťažení. Podľa pokusov a meraní tenzometrami ohýbaného prvku v mieste trhlinky prechádza xo do xt. Prierez po pretvorení nezostáva rovinným avšak táto skutočnosť sa nezavádza do výpočtu, nakoľko tu vystupuje viacero nepreskúmaných faktorov, aby sa nekomplikoval ďalší výpočet. Prierez sa počíta ako priamo úmerný. Pre ohýbané prvky sa pre určenie polohy neutrálnej osi v reze s trhlinkou pri dlhodobom zaťažení (dotvarovaní) vychádza z predpokladov, že: a) Prierezy sú aj po pretvorení rovinné b) Napätie v tlačenej časti je rovnomerné a v krajnom tlačenom vlákne je : σb= Ebo . εb

(2.4.3.2)

c) Betón v ťahu nepôsobí: Ebo = ν . Eb = 0,5.Eb

(2.4.3.3)

Kde Ebo je modul pretvárnosti betónu pri krátkodobom zaťažení. Celkové pomerné pretvorenie v okamihu t betónu vystaveného počiatočnému zaťaženiu v okamihu t0 pri napätí σ( t0) s následnými premenami napätia Δσ( ti) v okamihoch ti môžeme s použitím hore uvedených predpokladov vyjadriť vzťahom : ε tot( t , t0)

ε n( t) + ε0( t , t0) + ΣJ( t , t0) ⋅ Δσ( ti)

(2.4.3.4)

Pri výpočte konštrukcie môžeme túto rovnicu napísať v tvare J( t , t0) ⎤ ⎡ 1 + χ⋅ ⎥ Eb28 ⎦ ⎣ Eb( t0)

ε n( t) + σ( t0) ⋅ J( t , t0) + ⎡⎣ σ( t) − σ( t0) ⎤⎦ ⋅ ⎢

ε tot ( t , t0)

(2.4.3.5)

pričom je: Eb( t0)

modul pružnosti betónu v okamihu t0 ,

Eb28

modul pružnosti betónu starého 28 dní,

súčiniteľ starnutia závislý na priebehu pomerného pretvorenia v čase: v bežných

prípadoch môžeme sučiniteľ χ uvažovať hodnotou 0,8 (toto zjednodušenie je vhodné pre prípad čistej relaxácie účinku konštantného vynúteného pretvorenia, a je tiež primerané v prípadoch, kedy uvažujeme len dlhodobé účinky), vynútené pomerné pretvorenie nezávislé na napätí (napríklad od účinkov zmrašťovania

ε n( t)

alebo od účinku teploty), hodnota funkcie dotvarovania od napätia Δσ( ti) v okamihu t , pričom funkcia

J( t , t 0)

dotvarovania je 1

J( t , t 0)

E b ( t 0)

φ( t , t0) Eb28

je uvažovaný okamih,

čas na začiatku zaťažovania betónu,

Eb( t0)

modul pružnosti betónu po 28 dňoch,

φ( t , t0)

súčiniteľ dotvarovania vztiahnutý k pružnému pretvoreniu po 28 dňoch.

(2.4.3.6)

Súčiniteľ dotvarovania vypočítame zo vzťahu: φ( t , t0)

φ0⋅ β c( t− t0)

φ0

teoretický súčiniteľ dotvarovania,

β c( t− t0)

súčiniteľ vystihujúci priebeh dotvarovania po nanesení zaťaženia,

vek betónu v dňoch v uvažovanom okamihu,

vek betónu v dňoch v okamihu nanesenia zaťaženia.

(2.4.3.7)

Teoretický súčiniteľ dotvarovania sa určí z týchto vzťahov: φ0

φRH⋅ β ( fcm) ⋅ β ( t0) 1−

φRH

(2.4.3.8)

RH 100

(0.1 + 3 ho)

(2.4.3.9)

Súčiniteľ vystihujúci vplyv pevnosti na teoretický súčiniteľ dotvarovania: 16.8

β ( fcm)

fcm

(2.4.3.10)

Súčiniteľ vystihujúci vplyv veku betónu v okamžiku vnesenia zaťaženia na teoretický súčiniteľ dotvarovania: 1

β ( t0)

⎡⎣ 0.1 + ( t0) 0.2⎤⎦

(2.4.3.11)

2⋅

je náhradná hrúbka prvku v mm,

je prierezová plocha betónového prierezu,

je časť obvodu prierezu vystavená okolitému prostrediu,

(2.4.3.12)

súčiniteľ priebehu dotvarovania betónu v čase sa vypočíta zo vzťahu β c( t− t0)

t − t0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎡⎣β H + ( t − t0)⎤⎦ ⎦

0.3

(2.4.3.13)

kde t − t0

je neupravená doba trvania zaťaženia vo dňoch,

βH

je súčiniteľ závislý na relatívnej vlhkosti (RH v %) a náhradnom rozmere prvku ( h 0 v mm),

súčiniteľ β H sa určí zo vzťahu: (2.4.3.14) ⎤⎦ ⋅ h0 + 250 ≤ 1500 Vplyv druhu cementu na súčiniteľ dotvarovania betónu sa dá zaviesť úpravou veku betónu v βH

1.2⋅ ⎡⎣ 1 + ( 0.012⋅ RH)

okamihu nanesenia zaťaženia t0 :

( t0 , T ) ⋅ ⎡⎢

1.2 ⎣ 2 + ( t0 , T )

+ 1⎤⎥

to > 0,5

⎦

(2.4.3.15)

pričom je: α

mocniteľ vystihujúci vplyv druhu cementu: α = - 1 pre pomaly tuhnúce cementy,

t0 , T

= 0 pre normálne, popr. rýchle tuhnúce cementy,

= 1 pre rýchle tuhnúce cementy s vysokou pevnosťou,

vek betónu v dňoch v okamihu nanesenia zaťaženia upravený podľa vzťahu

− ⎡⎢

∑

Vplyv

⎤

4000

⎥ ⎣ ( 273+ T ( Δti ) ) + 13.65 ⎦

⋅ Δti

zvýšených teplôt alebo znížených

(2.4.3.16) teplôt v rozsahu 0o C až 80o C na dozrievanie betónu sa uvažuje úpravou veku betónu podľa (2.4.3.16).

je upravený vek betónu, ktorým sa nahradzuje t v príslušných vzťahoch,

T( Δt i )

teplota v Co v priebehu obdobia Δti , počet dní, kedy sa vyskytuje teplota T .

Δt i

Ak sa napätie v betóne mení len nepatrne, môžeme pomerné pretvorenia betónu určiť s použitím efektívneho modulu pružnosti daného vzťahom: Eb( t0)

Eb , eff

⎡⎣ 1 + φ( t , t0) ⎤⎦

(2.4.3.17)

Pri výpočte súčiniteľa dotvarovania pri obdĺžníkovom priereze bude A c b⋅ h , kde b je šírka prierezu. Súčiniteľ dotvarovania sa určí v závislosti od tzv. náhradnej hrúbky, konzistencie betónovej zmesi, relatívnej vlhkosti prostredia a veku betónu t0 v dňoch na začiatku pôsobenia zaťaženia. Náhradnú hrúbku prierezu h 0 vypočítame ako pomer prierezovej plochy betónu A c k polovičnému obvodu u p vystavenému pôsobeniu prostredia, čiže: h0

Ac up

(kh , 1 + kh , 3) ⋅

(2.4.3.18) b 2

+ k h , 2⋅ h

(2.4.3.19)

V tomto vzťahu h , 1 ; h , 2 ; h , 3 sú sučinitele rovnajúce sa buď 0 alebo 1 (podľa toho, či strana prierezu je alebo nie je vystavená pôsobeniu prostredia). Súčiniteľ k h , 1 ( k h , 3 ) sa pritom vzťahuje na hornú (dolnú) stranu prierezu, súčiniteľ k h , 2 na bočnú stranu prierezu. Interpoláciu v (tab. 2.4.3.1) k danej náhradnej hrúbke h 0 a k danému veku betónu t0 môžeme urobiť tak, že vypočítame prírastky: dt

( t 0 − t t , i − 1) ( t t , i − t t , i − 1)

( h 0 − h t , j − 1) ( h t , j − h t , j − 1)

kde ( i − 1 , i ) sú čísla riadkov, medzi ktorými sa nachádza hodnota t0 a ( j − 1 , j ) sú čísla stĺpcov, medzi ktorými sa nachádza hodnota h 0 . Súčiniteľ dotvarovania dostaneme potom zo vzťahu:

ccs⋅ ( φt , i− 1 , j− 1) ⋅ ( 1 − d t − d h + d t⋅ d h) + φt , i− 1 , j⋅ ( 1 − d t) ⋅ d h + φt , i , j− 1⋅ ( 1 − d h) ⋅ d t + φt , i , j⋅ d t⋅ d h

(2.4.3.20)

Tabuľkové hodnoty veku betónu na začiatku pôsobenia dlhodobého zaťaženia: ( 1 , 7 , 28, 90, 365)

dní

Tabuľkové hodnoty náhradnej hrúbky prierezu: ht

( 0.05, 0.15, 0.6, 0.05, 0.15, 0.6) ⋅ m

Tabuľka: 2.4.3.1 Tabuľkové hodnoty súčiniteľa dotvarovania betónu: Náhradnej hrúbky prierezu ht Súčiniteľ dotvarovania betónu φt

0,05

0,15

0,6

0,05

0,15

0,6

5.4

4.4

3.6

3.5

3.0

2.6

3.9

3.2

2.5

2.1

1.9

3.2

2.5

2.0

1.9

1.7

1.5

2.6

2.1

1.6

1.4

1.2

2.0

1.6

1.2

1.0

365

kde φt , r , s značí tabuľkovú hodnotu v riadku r a v stĺpci s. Súčiniteľ ccs vyjadruje vplyv konzistencie betónu pri pružnosti Ec , eff, t.j. Ec , eff Ecm⋅ ( 1 + φ)

(2.4.3.21)

2.4.4 Lineárna teória dotvarovania

Všetky základné lineárne teórie dotvarovania sú založené na nasledovných predpokladoch: - Betón je považovaný za homogénny materiál. - V oblasti pružných napätí sa betón správa podľa Hookovho zákona. - Podobne ako pri Hookovom zákone existuje lineárna závislosť medzi pretvorením od dotvarovania a pôsobiacim zaťažením. - Pri rôznom pôsobiacom napätí v čase sa na modelovanie situácie aplikuje princíp superpozície. - Model dotvarovania v tlaku je rozšírený aj na betón v ťahu. - Predpoklad konštantného modulu pružnosti je tiež dôležitou súčasťou uvažovaných zjednodušení. Pokiaľ nedochádza k vysúšaniu je dotvarovanie betónu takmer lineárne až do napätia 0.5⋅ R h ( f´c )

. V prítomnosti vysušovania sa významne mení na lineárne, dokonca už pri

nízkych hodnotách napätia. Predpoklad linearity betónu je prijateľný za nasledovných podmienok:

- Napätie je v rozsahu oblasti prevádzkových napätí (0.3 - 0.5 ( R h ) f´c ). - Počas priebehu dotvarovania nedochádza k významným zmenám v rozložení vlhkosti. - Nedôjde k odľahčeniu (reverznému pretvoreniu). K zníženiu napätia však môže dôjsť, napríklad pri relaxácii. - Po počiatočnom zaťažení nedôjde k významnému okamžitému zvýšeniu napätia. Nesplnenie tejto podmienky spôsobuje minoritnú chybu. 2.4.5 Obecné teórie lineárneho dotvarovania

Vzťah pre dotvarovanie môže byt vyjadrený pomocou: 1) Súčiniteľ dotvarovania φ( t , τ1) (Creep Coefficient): koeficient dotvarovania φ( t , τ1) , čo je pomer deformácie od dotvarovania v čase t k pružnej deformácii od napätia σ konst ., ktoré začalo pôsobiť v čase τ1

σ (t)

ε (t)

τ1

ε e ( τ1 )

τ1

jeho hodnota je medzi 2-4 a je funkciou

vlhkosti, teploty, rozmerov prvku σ( τ1)

εe( τ1)

ε d (t,τ1) e

εe( τ1)

φ( t , τ1)

σ ( τ 1 ) = σ(t)=konst

Obr. 3.6.2.1 Priebeh celkovej

2(2.4.5.1)

εd( t , τ1)

φ( t , τ1)

E( τ1)

(2.4.5.2)

εd( t , τ1)

C( t , τ1)

σ( τ1)

φ( t , τ1)

miera dotvarovania (2.4.5.3)

C( t , τ1) ⋅ E( τ1)

(2.4.5.4)

deformácie betónu v čase od napätia σ

σ( τ 1)

konst

je konštantná (lineárne dotvarovanie)

2) Miera dotvarovania C( t , τ1) (Specific Creep) je pomer deformácie od dotvarovanie v čase t k napätiu σ( τ 1) =konšt. Je to vlastne deformácia od dotvarovania spôsobená napätím σ 1 (jednotkovým napätím) C( t , τ1)

φ( t , τ1)

εd( t , τ1) σ( τ1) C( t , τ 1) ⋅ E( τ 1)

C( t , τ )

-oneskorenie pružnosti (Boltzman)

(2.4.5.5)

-starnutie (Dischinger)

(2.4.5.6)

-oneskorenie so starnutím.

3) Funkcia dotvarovania / niekedy aj jadro dotvarovania / δ( t , τ 1) alebo ( J( t , τ 1) )(Creep Compliance Function): predstavuje celkovú deformáciu (pružnú aj od dotvarovania) v čase t,spôsobenú napätím σ 1 , pôsobiaceho od času τ1 , v lineárnej oblasti je dotvarovanie od jednoosového napätia celkovo charakterizované funkciou J( t , t´ ) (compliance funkcia je často vyjadrená ako súčet pružného compliance 1/ E(τ1) a miery dotvarovania C( t , τ1) je modul pružnosti betónu v čase τ1 . V praxi to nie je jednoduché dosiahnuť,

kde E( τ1)

pretože nie je možné použiť okamžité zaťaženie. Preto okamžité deformácie budú vo všeobecnosti zahŕňať aj niektoré oneskorené časti, korešpondujúce s mechanizmom dotvarovania s kratším oneskorením. ε ( t) ε ( t) ε ( t) δ( t , τ 1)

(2.4.5.7)

εe( τ 1) + εd( t , τ 1) σ( τ 1)

+ φ( t , τ) ⋅ σ( τ 1) ⋅

E( τ 1)

σ( τ 1)

E( τ 1)

+ C( t , τ ) ⋅ E( τ 1) ⋅ σ( τ 1) ⋅

1 E( τ 1)

σ( τ 1) ⋅ ⎡⎢

⎣ E( τ 1)

+ C( t , τ ) ⎤⎥

⎦

(2.4.5.8) (2.4.5.9)

σ( τ 1) ⋅ δ( t , τ 1)

⎡ 1 +C ⎤ ( t , τ )⎥ ⎢E ⎣ ( τ 1) ⎦

δ( t , τ 1)

je funkcia dotvarovania

(2.4.5.10)

alebo J( t , τ 1)

⎡ 1 +C ⎤ ( t , τ )⎥ ⎢E ⎣ ( τ 1) ⎦

(2.4.5.11)

alebo J( t , τ 1)

1 E( τ 1)

⋅ ⎡⎣ 1 + φ( t , τ 1) ⎤⎦

(2.4.5.12)

Ak napätie σ σ( τ ) ktoré začnú pôsobiť v čase τ1 premenné, potom rozdelíme interval

( t − τ1) na n čiastočných intervalov a krivku napätia nahradíme stupňovitou čiarou. Potom môžeme pre celkovú deformáciu v čase t písať: n

∑

1 1 ε( t) σ( τ1) ⋅ ⎡⎢ + C( t , τ ) ⎥⎤ + Δσ( τi) ⋅ ⎡⎢ + C( t , τ ) ⎥⎤ (2.4.5.13) E E ⎣ ( τ1) ⎦ i =1 ⎣ ( τ1) ⎦ kde Δσ( τ i) sú prírastky napätia v čase τi ( i 1, 2, 3, .......n) . pri n až do ∞ a max ( τi − τi− 1 ) až do 0

sa stupňovitá čiara blíži ku krivke σ σ( τ ) a v limite sa s ňou stotožní. Potom ε( t) nadobúda tvar ε ( t)

σ( τ 1) ⋅ ⎡⎢

⎣ E( τ 1)

+ C( t , τ ) ⎥⎤

⎦

⌠ dσ (τ ) ⎡ 1 +⎮ ⋅⎢ + C( t , τ ) ⎥⎤ dτ ⎮ dτ ⎣ E( τ 1) ⎦ ⌡τ

(2.4.5.14)

Ak použijeme funkciu dotvarovania: t

ε ( t)

σ( τ1) ⋅ δ( t , τ1)

⌠ dσ (τ ) +⎮ ⋅ δ( t , τ1) dτ ⎮ dτ ⌡τ

(2.4.5.15)

alebo pri uvažovaní vzťahu medzi súčiniteľom dotvarovania a mierou dotvarovania bude ε ( t)

σ( t )

E( t)

⌠ d 1 − ⎮ σ( τ ) ⋅ ⋅ ⎡⎢ + C( t , τ ) ⎤⎥ dτ ⎮ E dτ ⎣ ( τ ) ⎦ ⌡τ

(2.4.5.16)

ε( t)

σ( t)

E( t)

⌠ d δ( t , τ ) − ⎮ σ( τ ) ⋅ dτ ⎮ dτ ⌡τ

(2.4.5.17)

pričom

ε ( t)

σ( t )

E( t)

δ( t , τ )

φ( t , τ ) ⎤ ⎡ 1 + ⎢ ⎥ ⎣ E( τ1) E( τ1) ⎦

(2.4.5.18)

⌠ φ( t , τ ) ⎤ d ⎡ 1 − ⎮ σ( τ ) ⋅ ⋅ ⎢ + ⎥ dτ ⎮ E( τ ) ⎦ d τ ⎣ E( τ ) ⌡τ

(2.4.5.19)

Voľba miery dotvarovania C( t , τ ) sa opiera o tri základné teórie : a) teóriu oneskorenej pružnosti (teória následnosti) b) teóriu starnutia c) teóriu oneskorenej pružnosti so starnutím (teória následného starnutia) Hoci nedávno sa už uskutočnili mnohé kroky k nelineárnej analýze dotvarovania betónových konštrukcií, v súčasnosti sa takmer všetky praktické aplikácie stále spoliehajú na lineárne predpoklady. (t)

Dôvodom k užívaniu linearity v teórií dotvarovania

aplikácia

princípu

τ1

τ2

τ1

τ2

σ ( τ1 ) t

σ ( τ2 ) = σ ( τ1 )

superpozície, ktorú zaviedli (v matematike) Boltsmann (1876) a Volterra (1913, 1959) a (v teórii dotvarovania betónu) Maslov (1941) a McHenry (1943). Počas posledných 50 rokov boli použivané rôzne metódy lineárnej

σ ( τ1 ) a a'

C 0

τ1

τ2

a' a

t b b' b' b

analýzy dotvarovania. Môžeme ich rozdeliť

Obr: 2.4.5.2 Návratnosť deformácií od

do dvoch hlavných kategórií - iteračné

dotvarovania po odľahčení v teórii

metódy a zjednodušené metódy.

oneskorenej pružnosti so starnutím

σ (t)

τ1 σ (t)

σ ( τ1 ) t σ ( τ2 ) = σ ( τ1 )

τ2

Iteračné metódy σ ( τ1 ) τ1

τ2

a a'

τ 1=0

betónu

neumožňuje

analytické

riešenie

problému dotvarovania, preto je potrebné

τ2

Realistické vyjadrenie pravidla dotvarovania

Obr: 2.4.5.3 Úplná návratnosť deformácií od dotvarovania po odľahčení v teórií oneskorenej pružnosti

použiť numerické metódy. Tieto metódy môžeme rozdeliť na dva typy: a) Numerické metódy založené na "Hereditary - type" integračnom pravidle. b) Numerické metódy založené na "degenerate kernel"

Zjednodušené metódy Táto skupina metód pozostáva z približného riešenia superponovaných integrálov cez ich transformáciu do algebraických alebo diferenciálnych rovníc. V týchto metódach je použitá pružná závislosť s nepružným pretvorením. Sú využité na vyriešenie jednoduchých problémov dotvarovania konštrukcie a umožňujú výpočet účinkov dotvarovania v jednom časovom úseku. Presnosť týchto všetkých zjednodušených metód je starostlivo meraná voči teoreticky presnému riešeniu podľa princípu superpozície. Zjednodušené metódy môžeme zatriediť nasledovne (v poradí podľa znižujúcej sa jednoduchosti a pohodlnosti použitia): I. Metódy, ktoré vedú k pružnému riešeniu a umožňujú akúkoľvek formu "compliance function" ako napríklad: Ia. Metóda efektívného (účinného) modulu (Effective Method Modulus) (EM). Ib. Metóda hlavných napätí (Mean Stress Method) (MS). Ic. Metóda efektívneho (účinného) modulu prispôsobeného veku (AAEM). II. Metódy, ktoré sú založené na diferenciálnych rovniciach prvého rádu v čase, ako napr. Dischingerova metóda a zlepšená Dischingerova metóda. III. Metódy, ktoré sú založené na diferenciálnych rovniciach druhého rádu v čase, ako napr. Arutyunyansova metóda.

3.0 Popis skušobných prvkov a metodika skúšania 3.1 Základné údaje o skušobných prvkoch a ich výroba Skúšobné nosníky Vytvorili sme 12 železobetónových nosníkov, ktoré sme podľa ich parametrov zadelili do štyroch sérií po troch nosníkoch : Ia, Ib, Ic, IIa, IIb, IIc,IIIa, IIIb, IIIc a IVa, IVb, IVc. Všetky nosníky mali obdĺžnikový prierez, rozpätie lt = 1,12 m a boli staticky zaťažované dvomi bremenami. Jednotlivé série nosníkov sa líšili v rozmeroch prvkov, v šmykovej výstuži a spôsobe zaťažovania. Parametre pre série I a III sú nasledovné : - rozmery prierezu:

150 mm x 200 mm

- vystuženie : v ťahanej časti prierezu dvomi prútmi o priemere φV16 a v tlačenej časti prierezu dvomi prútmi o priemere φV8 z ocele 10 425 - šmyková výstuž : tvorená dvojstrižnými strmeňmi priemeru φV8 vo vzdialenosti 70 mm v oblasti šmykového rozpätia a 110 mm v oblasti čistého ohybu - bremená na nosníkoch v sérii I : pôsobili vo vzdialenosti 0,31 m od podpery - bremená na nosníkoch v sérii III : pôsobili vo vzdialenosti 0,41 m od podpory Parametre pre série II a IV sú nasledovné : - rozmery prierezu : 120 mm x 200 mm - vystuženie : v ťahanej časti prierezu dvomi prútmi o priemere φV16 a v tlačenej časti prierezu dvomi prútmi o priemere φV8 z ocele 10 425 - šmyková výstuž : tvorená dvojstrižnými strmeňmi priemeru φV8 vo vzdialenosti 80 mm v oblasti šmykového rozpätia a 110 mm v oblasti čistého ohybu - bremená na nosníkoch v sérii II : pôsobili vo vzdialenosti 0,41 m od podpery - bremená na nosníkoch v sérii IV : pôsobili vo vzdialenosti 0,31 m od podpery Ďalšie údaje sú uvedené podrobne v (tabuľkách 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3).

Skušobné betónové vzorky Príslušné skušobné betónové vzorky pre 12 železobetónových nosníkov boli nasledovné : - 12 kociek

o rozmeroch 150 x 150 x 150 mm

- 12 valcov

o rozmeroch 150 x 300 mm

- 12 trámčekov o rozmeroch 150 x 150 x 600 mm Skušobné prvky boli vyrobené v Laboratóriu KBKaM v Bratislave, na báze prírodného ťaženého kameniva. Zloženie betónovej zmesi na 1 m3 bolo navrhnuté nasledovne : - pre nosníky série I a III : Cement PC 400

310 kg

Drobné kamenivo frakcie 0 - 4

870 kg

Hrubé kamenivo frakcie 8 - 16

1.065 kg

Voda Celková objemová hmotnosť

168 kg 2.413 kg

- pre nosníky série II a IV : Cement PC 400

470 kg

Drobné kamenivo frakcie 0 - 4

720 kg

Hrubé kamenivo frakcie 4 - 8

300 kg

Hrubé kamenivo frakcie 8 - 16

725 kg

Voda

188 kg

Celková objemová hmotnosť

2.403 kg

Betonáž nosníkov a skušobných vzoriek sme robili v normálnej vodorovnej polohe tak, že sme betón ukladali v dvoch až troch vrstvách pre zabezpečenie vibrácie betónu. Po vybetónovaní a odformovaní boli skušobné prvky voľne uložené až do doby skúšok, čo predstavovalo minimálne 28 dní. Hlavné ťahové a tlakové výstuže, ktoré sa ukladajú do nosníkových foriem sme zhotovovali viazaním (obr. 3.1.1). Spôsob zaťažovania a metodika skúšania nosníkov Nosníky boli zaťažované dvomi krátkodobo pôsobiacimi osamelými bremenami F, vzdialenými od podpory 310 mm pri nosníkoch série I a III a 410 mm pri nosníkoch série II a IV podľa zaťažovacej schémy na (obr. 3.1.2 a obr. 3.1.3). Krátkodobé stupňovité zaťažovanie sme robili pri nasledovných zaťažovacích stupňoch γ s .

Nosníky série I: γs

0.20, 0.30, 0.40, 0.56, 0.65, 0.88, 1.00, 1.17, 1.37, 1.55, 1.65

pre γ s 1.00 prevádzkové zaťaženie F = 51,50 kN Nosníky série II: γs

0.26, 0.27, 0.40, 0.50, 0.80, 0.88, 0.95, 1.00, 1.12, 1.26, 1.50, 1.60

pre γ s 1.00 prevádzkové zaťaženie F = 40,43 kN Nosníky série III: γs

0.27, 0.32, 0.38, 0.44, 0.50, 0.77, 0.85, 1.17, 1.30, 1.55, 1.67, 1.82, 2.05, 2.31

pre γ s 1.00 prevádzkové zaťaženie F = 38,87 kN Nosníky série IV: γs

0.30, 0.42, 0.63, 0.73, 0.95, 1.05, 1.15, 1.37

pre γ s 1.00 prevádzkové zaťaženie F = 47,56 kN Na každom zaťažovacom stupni sme čakali do ustálenia deformácie a potom vykonali jednotlivé merania. Trhliny, ktoré sa vyskytli pred zaťažovaním boli iba zmrašťovacie. Pri krátkodobom stupňovitom zaťažení sme merali deformácie pri každom zaťažovacom stupni až do dosiahnutia zvolenej sily Fs ( maximálny zaťažovací stupeň ), ktorá mala hodnoty : - séria I :

1,65 ( 2 . F )

- séria II :

1,60 ( 2 . F )

- séria III :

2,31 ( 2 . F )

- séria IV :

1,37 ( 2 . F )

Pretvorenia horného tlačeného pásu, dolného ťahaného pásu, stúpajúcich a klesajúcich diagonál fiktívnej priehradovej sústavy sme merali pomocou príložných deformomerov s dĺžkou základne 140 mm pre horný a dolný pás, 203 mm pre diagonály a 147 mm pre vertikálny. Schéma rozmiestnenia meracích terčíkov je na (obr. 3.1.2 a obr. 3.1.3). Na nosníkoch Ia, IIa, IIIa a IVa sme pre overenie metódy fiktívnej priehradovej sústavy merali deformácie pozdĺžnej výstuže pomocou tenzometrických pások (M 120), ktoré sme nalepili dovnútra upravenej výstuže priemeru v20 . Ochranu pások proti vlhkosti sme robili tmelom TAFIX a proti mechanickému poškodeniu sme vrstvu tmelu zabandážovali pásmi monoplastu. Pásky sme umiestňovali vo vzdialenostiach 25 mm, prvá páska bola od okraja výstuže vzdialená 35,0 mm. Namerané deformácie sme snímali pomocou meracej

ústredne riadenej počítačom, adaptáciu a výrobu meraní mostov urobila firma Applied Precission.

Nosník Ia, Ib, Ic 500

2O8

395 2O8

h=200

2O16 O8@70mm

2O16 150

O8@70mm

l=1120

h=200

395

Rez A-A

d=172 d 2 =28

1290

Nosník IIa, IIb, IIc

2O8

495 2O8

h=200

2O16 50

O6@80mm

O6@80mm l=1120

h=200

300

Rez A-A

d=172 d 2 =28

495

O20 O16 120

O20

1290

Nosník IIIa,IIIb,IIIc 495 2O8

h=200

2O16 50 85

O8@70mm

O8@70mm l=1120

h=200

300

2O8

Rez A-A

d=172 d 2 =28

495

2O16 150

1290

Nosník IVa,IVb,IVc 500

2O8

395 2O8

h=200

2O16 O6@80mm

2O16 120

O6@80mm

h=200

395

Rez A-A

d=172 d 2 =28

l=1120

1290

Obr: 3.1.1 Tvar a vystuženia skušobných nosníkov

Séria I a IV F

395

147

395

a 1

h=200

500

l=1120

1290

Obr: 3.1.2 Schéma rozmiestnenia navzájom na seba nadväzujúcich odmerných základní pre pretvorenia a umiestnenia priehybomerov, a - odmerné základné, b – priehybomery

Séria II a III F

495

l=1120

7 27

8 28

9 29 38

5 25

4 24

3 23

2 22

147

495

a 1

h=200

300

1290

Obr: 3.1.3 Schéma rozmiestnenia navzájom na seba nadväzujúcich odmerných základní pre pretvorenia a umiestnenia priehybomerov, a - odmerné základné, b – priehybomery

Tabuľka: 3.1.1 Niektoré materiálové charakteristiky betónu určené z meraní NOSNIK OZNAČ.

ČAS DNI

HMOTN.

ROZMERY PRVKU

kg NOSNÍK I a,b,c NOSNÍK II a,b,c NOSNÍK III a,b,c NOSNÍK IV a,b,c

28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28

7.94 7.94 7.92 7.95 7.99 8.01 7.85 7.85 7.85 8.00 7.95 7.98

151.2 150.7 150.8 150.5 151.0 151.0 150.5 151.0 149.5 151.0 151.0 151.5

150.9 151.1 152.1 150.0 150.0 150.5 150.5 151.0 150.5 150.0 151.0 151.0

Rbk(i)

150.7 151.4 150.7 150.0 151.0 150.0 150.0 150.5 150.5 150.0 150.0 150.0

MODUL PRUŽNOSTI

KOCKOVÁ PEVNOSŤ

VÝSLED. SILA

Rbk

26.08 26.35 25.29 43.63 45.95 46.64 30.20 26.62 29.24 43.95 46.05 46.48

PEVNOSŤ V ŤAHU

Rbh

Rbtn

GPa

MPa

25.90

30.94

19.27

1.62

45.4

37.98

32.89

2.19

28.69

32.49

21.26

1.73

45.49

39.00

32.95

2.19

MPa

595 600 580 985 1040 1060 684 607 658 989 1050 1060

HRANOL. PEVN.

Tabuľka: 3.1.2 Charakteristiky použitej výstužnej ocele Číslo vzorky Druh ocele a menovitý priemer 10425 Celková dĺžka L (mm) Hmotnosť vzorky (g) Sila na medzi prieťažnosti (kN) Sila při porušení (kN) Prierezová plocha (mm2) Medza prieťažnosti (MPa) Pevnosť v ťahu (MPa) Ťažnosť (%) Modul pružnosti (MPa)

16 404 620 87 118 195,5 445 603 31,4 216 147

16 402 620 80 118 196,5 407,2 600 31,2 214 210

16 410 625 85 115 194,2 437,7 592,2 32,1 212 315

16 699 1075 99,5 127,2 195,9 444 603,5 23,33 214 660

16 703 1078 98,7 127,5 195,3 406 602,3 23,75 219 398

16 702 1076 99 127,8 195,2 438 595,5 20 214 383

20 434 800 115 154 234,8 489,7 655,8 14 228 824

20 429 785 116 154 233,1 497,6 660,7 14 25 516

20 431 790 114 154 233,5 488,2 488,2 14 231 209

Tabuľka: 3.1.3 Údaje o skúšobných nosníkoch Pozdĺžna výstuž při spodnom okraji Označ. nosníka

Ia Ib Ic II a II b II c III a III b III c IV a IV b IV c

Označenie Prierezová plocha Stupeň použitej ocele, výstuže pri spodnom vystuženia počet prutov a Ast/A okraji Ast (mm 2) ich priemer Ia IIa IIIa IVa 10V16+10V20 195.9 OCEĽ 10425 0.01306

20V16

Vzdialenosť Šmyková sústred. bremien štíhlosť L-2a a/h (mm)

500

1.55

0.016325

300

2.05

0.01306

300

2.05

0.016325

500

1.55

195.9

3.3 Vyhodnotenie nameraných pretvorení Účinky priečnych síl a ohybových momentov na priehyb nosných konštrukčných prvkov, spôsobený zaťažením, môžeme vypočítať pomocou metódy piehradovej analógie vychádzajúcej z Willot-Mohrových translokačných obrazcov. Fiktívnu priehradovú sústavu vytvoríme tak, že pozdĺž prvku (napríklad nosníka), nalepíme v konštantných vzdialenostiach terčíky (v prípade nosníka v úrovni hornej a dolnej výstuže, pozri obr 3.1.2 a obr. 3.1.3), pričom všetky jednotlivé základné dĺžky na seba spojite naväzujú. Tento spôsob umožní zmerať pomocou deformometrov dĺžkové zmeny v jednotlivých základniach pri hornom a dolnom povrchu a tiež v diagonálach fiktívnej priehradovej sústavy. Rozloženie priehradovej sústavy na dve sústavy získame spolu s priamo maranými priehybmi: 1. nepriamo vyhodnotené priehybové čiary pri hornom a dolnom povrchu nosníka z dvoch priehradových sústav 2. priamo merané priehybové čiary získané odčítaním z priehybomerov, teda spôsobom nezávislým od vyhodnotenia z priehradovej sústavy.

Vyhodnotenie priehybov z výsledkov meraní pretvorení myslených priehradových sústav bolo uskutočnené pomocou Williot - Mohrových translokačných obrazcov (nie však graficky, ale numericky): Odmerné základne pri hornom a dolnom okraji majú nominálnu dĺžku 140 mm a ich vzájomna nominálna vzdialenosť je hs

147⋅mm.

Diagonály zvierajú potom s vodorovnou

osou uhol α

⎛ hs ⎞ ⎟ ⎝s⎠

arctg⎜

Pretvorenia (dĺžkové zmeny) sme merali vo vodorovnom smere pri hornom a dolnom okraji na meracej základni o dĺžke 140 mm a v smere diagonál na meracej základni o dĺžke 203 m (pozri obr. 3.1.2). Základné pásy a diagonála na seba nadväzovali a tvorili tak násobnú priehradovú sústavu. Skúmali a zaznamenávali sme vznik a rozvoj trhlín a ich šírku, pričom sme prostredníctvom priehybu sledovali aj celkové pretvorenie skušobných nosníkov. Pre ilustráciu uvádzam grafické znázornenie pomerného pretvorenia základných pásov a diagonál na nosníku Ia (obr. 3.3.1.1, Obr: 3.3.2.1, Obr: 3.3.3.1 a Obr: 3.3.3.2).

3.3.1 Pretvorenie tlačeného betónového pásu

Pomerné pretvorenia horného pásu εh určené pri jednotlivých zaťažovacích stupňoch fiktívnej priehradovej sústavy sú vykreslené pozdĺž rozpätia nosníka na (obr. 3.3.1.1). Maximálne pretvorenie tlačeného betónového pásu sa so zvyšovaním hladiny zaťaženia sústreďuje do oblasti osamelých bremien.

Obr: 3.3.1.1 Pomerné pretvorenie horného pásu pozdĺž nosníka pri jednotlivých zaťažovacích stupňoch. Z porovnaní priebehu deformácií εh pozdĺž rozpätí nosníkov Ia, Ib, Ic (ds = 8 mm, ss = 70 mm) a IVa, IVb, IVc (ds = 6 mm, ss = 80 mm) vyplýva, že vplyv veľkosti šmykového krytia sa nedá preukazateľne diferencovať. Z pracovných diagramov vidieť, že v oblasti podopretia vznikajú na hornom povrchu predĺženia. Tento účinok spôsobuje pri jednoduchých nosníkoch nepatrné zmenšenie priehybu [30]. 3.3.2 Pretvorenie ťahaného betónového pásu

Pomerné pretvorenie ťahaného dolného betónového pásu εd namerané pri jednotlivých zaťažovacích stupňoch fiktívnej priehradovej sústavy pozdĺž nosníka v závislosti od zaťaženia je znázornené na pracovnom diagrame (obr. 3.3.2.1). Z obrázkov vidieť, že maximálne hodnoty εd sa vo väčšine prípadov nachádzajú v dolnej časti šmykového rozpätia (t. j. mimo oblasti čistého ohybu) a že sú ovplyvnené náhodným rozmiestnením trhlín a roznášacou plochou zaťažovacieho bremena. Maximálne hodnoty pretvorenia boli dosiahnuté na prútoch č.12, 17 a 18 vo všetkých sériach

nosníkov. Napr. hodnoty maximálneho pretvorenia nosníkov série I na prúte č.12 sa nachádzali v intervale 1,55 promile až 2,6 promile, nosníkov série IV na prúte č. 12 sa pohybovali od 2,07 promile do 2,26 promile.

Obr: 3.3.2.1 Pomerné pretvorenie dolného pásu pozdĺž nosníka pri jednotlivých zaťažovacích stupňoch. 3.3.3 Pretvorenie diagonál

Pomerné pretvorenie zostupných (klesajúcich) a vzostupných (stúpajúcich) diagonál, ktoré sme namerali pri jednotlivých zaťažovacích stupňoch fiktívnej priehradovej sústavy pozdĺž nosníka je nakreslené na (obr. 3.3.3.1 a obr. 3.3.3.2). Ako vidieť na obrázkoch, maximálne pretvorenia namerané na diagonálach sa nachádzajú približne v strede šmykového rozpätia nosníka. Z pracovných diagramov závislosti pomerného pretvorenia diagonál (stúpajúcich a klesajúcich) od zaťaženia je dobre zrejmá závislosť medzi zväčšovaním zaťaženia a nameraným pretvorením, pričom so zvyšovaním zaťaženia sa pretvorenie zväčšuje. Z pracovných diagramov vidieť, že väčšie hodnoty pomerného pretvorenia diagonál boli dosiahnuté na nosníkoch série II a III ako na nosníkoch série I a IV. Na základe toho môžeme konštatovať, že čím je šmyková štíhlosť

a h

(kde a je vzdialenosť bremena od podpory, h je

výška prierezu nosníka) väčšia, tým sú väčšie hodnoty pomerného pretvorenia diagonál. Táto skutočnosť má veľký vplyv na veľkosť šmykových síl, čiže aj na rast celkového priehybu nosníka.

Obr: 3.3.3.1 Pomerné pretvorenie klesajúcich diagonál pozdĺž nosníka pri jednotlivých zaťažovacích stupňoch. Tiež môžeme konštatovať, že čím je šmykové vystuženie percentuálne nižšie, tým je priehyb od účinku priemerných hodnôt šmykových síl väčší. Tento fakt potvrdzuje porovnanie nosníkov série I a IV, ako aj série II a III.

Obr: 3.3.3.2 Pomerné pretvorenie stúpajúcich diagonál pozdĺž nosníka pri jednotlivých zaťažovacích stupňoch. Pri namáhaní železobetónových prvkov nastáva pri určitom stupni zaťaženia stabilizácia hustoty trhlín. Ak sa naďalej zvyšuje zaťaženie, medzi trhlinami nové trhliny už nevznikajú, ale nastáva prudší rast šírok trhlín. Tento stav rozvoja trhlín je z hľadiska vzdialenosti trhlín rozhodujúci. Vtedy je vzdialenosť trhlín približne rovná dľžke výstužného prúta, na ktorej sa vnesie do betónu napätie dosahujúce hodnotu skutočnej pevnosti betónu v ťahu. Prenos napätia z výstuže do betónového prierezu priebeha prostredníctvom súdržnosti betónu s výstužou.

Obmedzenie šírok trhlín, teda aj vypočítaná šírka trhlín spravidla udáva šírku trhlín, ktoré s určitou pravdepodobnosťou - štatistickou zárukou, nebudú prekročené. Ako limitná šírka trhlín sa všeobecne uvádza šírka trhlín so štatistickou zárukou 0.95 pri variačnom súčiniteli 0.40. Vzťah limitnej šírky W k0 , 95 k priemernej šírke trhlín W m je : 3.3.3.1

Kp ⋅ W m

W k0 , 95 Kp -

súčiniteľ rovnorodosti (rovnomernosti)

1.00 + 1.645 ⋅ 0.4

1.645 0.40 -

1.00 + 0.658

1.66

kvantil k štatistickej záruke 0.95

variačný súčiniteľ

Stanovenie priemernej šírky trhlín W m vychádza zo súčinu priemernej vzdialenosti trhlín Srm ⎯

a priemerného pomerného predĺženia šmykovej výstuže εas , na zohľadnenie vplyvu sklonu šmykovej výstuže na šírku šikmých trhlín je do výpočtu zavádzaný súčiniteľ sklonu šmykovej vystuže kα . Predpokladá sa, že na prenose šmykového napätia sa zúčastňuje všetka šmyková výstuž v maximálnej vzdialenosti 7.5 ⋅ Ds ( Ds- priemer prútov šmykovej výstuže), resp. 7.0 ⋅ Ds od povrchu prvku. Po vzniku trhliny a pri jej rozvoji prichádza k vzájomnému premiestneniu prierezov ohraničujúcich trhlinu, ako v smere vertikálnom, tak i v horizontálnom. Tým sa zároveň mení smer prútov šmykovej výstuže v trhline. Táto zmena smeru môže byť rôzna, v závislosti od viacerých faktorov (sklon šmykovej výstuže, vzdialenosť trhlín, poloha priesečníka trhliny s výstužou, spôsob zaťaženia, veľkosť rozpätia...). Poloha neutrálnej osi sa určí podľa nasledovných predpokladov : a) prierezy zostávajú rovinné b) betón v ťahu nepôsobí c) maximálne pomerné pretvorenie betónu v tlačenej oblasti prierezu je 3.5 %o d) napätie betónu σb v tlačenej oblasti prierezu je rozdelené rovnomerne na dľžke 0.8 x e) na dľžke tlačenej oblasti prierezu 0.2 x je napätie betónu σb 0 f) pomerné pretvorenia jednotlivých vláken prierezu sú priamo úmerné ich vzdialenostiam od neutrálnej osi. Výpočet podľa programu SBETA, a geometrie jednotlivých železobetónových nosníkov sú znazornene na (obr. 3.3.3.3).

Obr: 3.3.3.3 Geometrie železobetónových nosníkov navrhnuté pre program SBETA.

Obr: 3.3.3.4 Ohybové trhliny a šmykové trhliny na seriových nosníkoch.

Príklad: 3.3.1 Spôsob výpočtu prevádzkového zaťaženia Fs2 a momentu od prevádzkového zaťaženia Ms predkladáme na priklade prostého nosníka:

-Prevádzkové a extrémne zaťaženie od vlastnej tiaže prvku: Prevádzkové zaťaženie:

b ⋅h⋅γ

Prevádzkové výpočtové zaťaženie

g ⋅γ

pričom

Extrémne výpočtové zaťaženie: g

g.s ⋅γ

pričom

1.1

-Prevadzková a extrémna hodnota maximálneho momentu od vlastnej tiaže prvku Ms , g

0.125

⋅g ⋅l

Md , g

0.42⋅kN

-Tiaž roznášacieho zariadenia

0.17 kN

F ⋅γ s1

+ 0.42 kN pričom

⋅ gd ⋅ l

0.17⋅kN

-Tiaž dynamometra

F s1

0.125

0.59 kN

1.05

-Maximálny moment od sily F

Fs1 sF1

2 ⋅a

0.31⋅m

dF1

2 ⋅a

Maximálny moment od extrémnej sily F2 spôsobený tlakom lisa na skúšobný prvok MdF2

Mu − Mdg − MdF1

-Extrémna hodnota sily F1 F

Md d2

a γ

Kde

Prevádzková hodnota sily Fs2

1.25

je súčiniteľ spoľahlivosti zaťaženia silami F2

-Maximálna prevádzková hodnota momentu od výsledného zaťaženia pôsobiaceho na nosník Ms

Msg + MsF1 + MsF2

-Kontrola

Mu 1.25

4.0 Chyby merania Výsledok každého merania, aj keď ho vykonáme s najväčšou presnosťou, nie je presnou hodnotou meranej veličiny, ale len jej približnou hodnotou. Približná hodnota meranej veličiny je viac alebo menej blízka jej presnej hodnote. Ak vykonáme určitý počet meraní zistíme, že z každého merania dostaneme iný výsledok. Rozdiel medzi výsledkami jednotlivých meraní je zapríčinený chybami. Chyby sa vyskytujú pri každom meraní. Chyby merania definujeme ako rozdiel medzi presnou a približnou hodnotou meranej veličiny. Ak X značí presnú hodnotu a Xi meranú hodnotu z i-tého merania, chyba merania bude x i X − Xi. Cieľom tejto kapitoly je stručne opísať základy matematickej teórie chýb, pomocou ktorej môžeme z daného počtu meraní určiť najpravdepodobnejšiu hodnotu meranej veličiny a stupeň presnosti, s akou sme ju určili. Chyby môžeme klasifikovať podľa ich zdroja na systematické a náhodné. Systematické chyby vznikajú hlavne z nesprávnych údajov prístrojov, spôsobených napr. nesprávnym delením stupnice, chybnými mierkami, atď. alebo ich zapríčiní ľudský faktor. Systematické chyby majú zväčša rovnaké znamienko a často sú aj rovnako veľké. Vtedy ich môžeme ľahko vylúčit vhodnou opravou. Osobné chyby merajúceho pracovníka môžeme preskúšať a tak určiť ich vplyv. Vplyv systematických chýb môžeme vylúčiť dvoma základnými spôsobmi. Prvým je opakovanie skúšky vratným spôsobom, vzhľadom na podmienku, o ktorej sa predpokladá, že je zdrojom systematickej chyby. Ako príklad uvedieme odčítanie údajov zo snímačov deformácií pri zaťažovaní aj pri odľahčovaní skúšaného predmetu. Druhý spôsob spočíva v meraní veličín známej veľkosti, čo je v podstate opakované ciachovanie. Náhodné chyby bývajú zapríčinené nepravidelnými vplyvmi, ktorých je mnoho a ktoré sú príliš komplexné na to, aby sme mohli určiť ich pôvod. Charakteristické pre náhodné chyby je, že môžu byť kladné aj záporné. Preto nemusia mať podstatnejší vplyv na hodnotu aritmetického priemeru súboru meraní. Hlavnou snahou pri meraní je obmedziť chyby merania na náhodné chyby, pretože len pre ne platí matematická teória chýb. 4.1 Všeobecné zákony náhodných chýb Pre náhodné chyby platí niekoľko všeobecných pravidiel: 1) v teórii náhodných chýb predpokladáme, že všetky merania daného súboru sú vykonané s rovnakou presnosťou,

2) závery teórie náhodných chýb platia len pre dostatočný počet opakovaných meraní, 3) teória náhodných chýb je vybudovaná na teórii pravdepodobnosti, umožňuje určiť hodnotu meranej veličiny len s určitou pravdepodobnosťou, 4) predpokladáme, že náhodné chyby sú od seba nezávislé, t. j. výskyt jednej ľubovoľnej náhodnej chyby nezmení pravdepodobnosť výskytu všetkých ostatných náhodných chýb. a. Všeobecné zákony náhodných chýb Predpokladáme, že náhodné chyby väčšej absolútnej hodnoty sa vyskytujú v menšom počte, ako chyby malé. Náhodné chyby sa musia teda zhromažďovať okolo presnej hodnoty meranej veličiny, čo podrobnejšie uvedieme ďalej. Pre veľký počet meraní, ktoré sú zaťažené len výskytom náhodných chýb, platí tzv. zákon normálneho rozdelenia náhodných chýb: yx

2 2

− h ⋅x

⋅e

4.1.1

kde y - je pravepodobnosť výskytu chyby veľkosti x x - hodnota chyby (rozdiel medzi presnou a nameranou hodnotou veličiny) h - konštanta zavislá od daného súboru meraní e - základ prirodzených logaritmov Tento zákon odvodil Gauss a označuje sa ako Gaussov vzorec. Je základom celej teórie náhodných chýb a teórie presnosti merania. Pretože hx musí byť jednoduché čislo, rozmery h a y x musia byť recipročné k rozmerom x. Ak sa napr. x meria v cm , bude rozmer h a yx v cm − 1 . Keď znázorníme zákon (4.1.1) graficky, dostaneme krivku ako na (obr. 4.1.1), tzv. Gaussovu krivku. Možno si všimnúť, že malé chyby sa vyskytujú častejšie ako veľké a že kladné i záporné chyby sa vyskytujú rovnako často. Plocha pod krivkou sa rovná jednej, čiže: P

⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡

∞

h π

2 2

− h ⋅x

⋅e

4.1.2

−∞

(Vzťah 4.1.2) vyjadruje pravdepodobnosť, že určitá chyba x leží v intervale (+∞,-∞). Avšak táto pravdepodobnosť je zrejme istotou, že všetky náhodné chyby všetkých meraní musia ležať v intervale od (-∞) do (+∞).

Pre x = 0 bude y x

h π

, kde h je charakteristika súboru meraní.

Ak pre iný súbor meraní, ktorý predstavuje čiarkovaná krivka na (obr. 4.1.1), je h väčšie, znamená to, že táto druhá skupina meraní obsahuje väčší počet meraní s malými chybami. Preto považujeme túto druhú skupinu za presnešiu. Konštantu h nazývame mierou presnosti. Umožňuje porovnávať presnosť rôznych súborov meraní. Pre vyjadrenie miery presnosti používame ešte iné veličiny, ktoré sú v určitom vzťahu k h a ktoré preberieme v ďalšom odseku. Pretože rozdiel medzi dvoma krivkami na (obr. 4.1.1) je zapríčinený zmenou príslušných hodnôt h, môžeme zostaviť tabuľku pre krivky normálneho rozdelenia chýb, ak hx považujeme za nezavislú premennú: y hx

1 h

⋅ yx

2 2

− h ⋅x

⋅e

4.1.2a

Pretože krivka yx predstavuje výskyt chýb, bude pravdepodobnosť výskytu Px chyby v intervale (+x, -x) daná plochou pod krivkou yx v tomto intervale, t.j. x

⌠ 2 2 h ⎮ − h ⋅x ⋅⎮ e dx π ⌡− x

4.1.3

vplyv h ako parametra môžeme z predchádzajúceho vzorca vylúčiť ak hx považujeme za nezávislú premennú, podobne ako sme to urobili pre y x. Potom môžeme napísať: hx

Phx

⌠ 2 ⎮ ⋅⎮ π ⌡o

2 2

− h ⋅x

d( hx)

4.1.4

Výraz (4.1.4) nazývame pravdepodobnostným integrálom Chybu x sme definovali ako rozdiel medzi presnou a zmeranou hodnotou hľadanej veličiny. Ale túto presnú hodnotu nepoznáme. Preto zavedieme pojem odchýlky, ktorú definujeme ako rozdiel medzi najpravdepodobnejšou hodnotou a zmeranou hodnotou hľadanej veličiny. b. Najpravdepodobnejšia hodnota a miery presnosti Aby

sme

mohli

určiť

odchýlky,

musíme

poznať

zmeranú

hodnotu

najpravdepodobnejšiu hodnotu hľadanej veličiny. Zo zákona normálneho rozdelenia chýb možno dokázať, že pri veľkom počte meraní X1 , X2 , X3 , ...........X n určitej veličiny X, ktoré sme 64

vykonali s rovnakou presnosťou, bude sa najpravdepodobnejšia hodnota X0 rovnať aritmetickému priemeru všetkých meraní. n

∑

X1 + X2 + ...... + Xn

i = 1

4.1.5

kde n je počet meraní. Dôkaz: Veľkosť náhodných chýb jednotlivých meraní môžeme vyjadriť nasledovne x1

X − X1

X − X2

4.1.6

X − Xn

Kde hodnota x 1, x 2....... x n a hodnota X sú neznáme. Pravdepodobnosť výskytu týchto chýb určíme zo vzťahu (4.1.3), pričom miera presnosti h bude pre všetky merania rovnaká, lebo predpokladáme, že všetky merania sme vykonali s rovnakou presnosťou. Ak označíme tieto pravdepodobnosti dp1, dp2....... dpn , môžeme napísať: dp1

dp2

dpn

h π

( ) 2 ⋅ dx

4.1.6a

( ) 2 ⋅ dx

4.1.6b

( ) 2 ⋅ dx

4.1.6c

− h ⋅ x1

⋅e

− h ⋅ x2

⋅e

− h ⋅ xn

⋅e

Ak chceme dostať pravdepodobnosť výskytu všetkých náhodných chýb x 1, x 2,..... x n, musíme jednotlivé pravdepodobnosti navzájom vynásobiť. Ak pravdepodobnosť výskytu u všetkých náhodných chýb (4.1.6) označíme p, môžeme napísať: p

h π

( ) 2 ⋅ dx

− h ⋅ x1

⋅e

1⋅

h π

( ) 2 ⋅ dx

− h ⋅ x2

⋅e

2 ⋅ ..................

2 2 2 2 n ⎛ h ⎞ ⋅ e− h ⋅ ⎡⎣ ( x1) + ( x2) + .........+ ( x2) ⎤⎦ ⋅ dx ⋅ dx ⋅ ...... ⋅ dx ⎜ ⎟ 1 2 n ⎝ π⎠

( ) 2 ⋅ dx

− h ⋅ xn

⋅e

4.1.7

4.1.8

Najpravdepodobnejšia hodnota X0 musí odpovedať maximu pravdepodobnosti (4.1.8). Avšak maximum tejto pravdepodobnosti nastane, ak bude exponent e na pravej strane výrazu (4.1.8)

minimálny. Vidíme teda, že súčet štvorcov náhodných chýb musí byť minimálny. Ak tento súčet označíme z, môžeme napísať: z

( x1)

( )

+ x2

( )

+ ......... + x n

∑

( xi) 2

4.1.9

i = 1

Môžeme povedať, že najpravdepodobnejšia hodnota meranej veličiny musí byť taká hodnota X0 ,

pre ktorú ma súčet štvorcov chýb najmenšiu hodnotu.

Ak do rovnice (4.1.9) dosadíme za x 1, x 2 až x n vzťahy (4.1.6) dostaneme: z

4.1.9a

(X0 − X1)2 + (X0 − X2)2 + .......... + (X0 − Xn)2

z toho vypočítame hodnotu X0, pre ktorú má byť tento výraz minimálny. Musíme teda určiť prvú deriváciu veličiny z podľa X0 a položiť ju rovnú nule dz

(

)

(

)

(

2 ⋅ X0 − X1 + 2 ⋅ X0 − X2 + ............. + 2 ⋅ X0 − Xn

dX0

4.1.9b

)

Po úprave bude

(

n ⋅ X0 − X1 + X2 + X3 + ........... + Xn

)

4.1.9c

z toho n

∑

X1 + X2 + X3 + ........... + Xn

4.1.9d

i = 1

čo je totožné s vyrazom (4.1.5). Ak poznáme najpravdepodobnejšiu hodnotu meranej veličiny X0 , môžeme určiť odchýlky jednotlivých meraní od aritmetického priemeru ε1

X0 − X1

ε2

X0 − X2

εn

4.1.10

X0 − Xn

Dá sa dokazať, že pre ľubovoľný súbor meraní platí Σε = 0 a Σε

n−1 n

⋅ Σx

4.1.10a

kde n je počet meraní. Ak sa počet meraní bude zvyšovať, výraz

n−1 n

sa bude blížiť k jednej, súčet štvorcov

odchýliek Σε 2 sa bude prakticky rovnať súčtu štvorcov chýb Σx 2 a aritmetický priemer X0 bude takmer totožný s presnou hodnotou X. Súčet štvorcov chýb Σx 2 bude minimálny, ak bude i súčet štvorcov odchýliek Σε 2 minimálny a opačne.

Keď sme určili odchýlky od aritmetického priemeru ε1, ε2, ε3....... εn , môžeme vypočitať nasledujúce kritériá presnosti: -

mieru presnosti n−1

2 ⋅ Σε

Σε

1 h⋅ 2

4.1.12

n−1

strednú odchýlku jednotlivého merania Σε

0.7979⋅

4.1.11

strednú kvadratickú odchýlku jednotlivého merania a

0.7979⋅ s

n−1

4.1.13

pravdepodobnú chybu jednotlivého merania Σε

0.6745⋅

0.6745⋅ s

n−1

4.1.14

Strednú odchýlku môžeme definovať ako aritmetický priemer absolútnych hodnôt všetkých odchýlok. Pravdepodobná chyba jednotlivého merania je odchýlka takej veľkosti, že pravdepodobnosť výskytu väčších odchýlok je rovnaká ako pravdepodobnosť výskytu menších odchýlok. Inými slovami je to taká odchýlka, ktorá všetky odchýlky daného súboru n meraní rozdelí na dve rovnaké skupiny tak, že v jednej skupine je pravdepodobná chyba a v druhej skupine je

n 2

odchýliek väčších ako

odchýliek menších ako p.

Možno dokázat, že miery presnosti aritmetického priemeru X0 súbor n meraní sa rovnajú

1 n

-násobku príslušnej miery presnosti jednotlivého merania v tomto súbore. Potom bude stredná kvadratická odchýlka aritmetického priemeru s0

Σε

4.1.15

n ⋅ ( n − 1)

stredná odchýlka aritmetického priemeru a0

0.7979⋅

Σε

n ⋅ ( n − 1)

Σ ( ε)

n⋅ n

4.1.16

a pravdepodobná chyba aritmetického priemeru p0

0.6745⋅

Σε

4.1.17

n ⋅ ( n − 1)

c. Nepriame meranie jednej neznámej veličiny Predpokladáme, že neznáma veličina U sa nedá priamo merať, ale poznáme jej funkčnú závislosť od veličín X, Y , Z, ktoré možno merať U

4.1.18

f ( X, Y , Z)

Najpravdepodobnejšiu hodnotu neznámej veličiny U0 dostaneme dosadením najpravdepodobnejších hodnôt meraných veličin X0, Y0, Z0 do predcházajúcej rovnice. Stredná kvadratická odchýlka s 0U a pravdepodobná chyba p0U budú v určitom vzťahu s príslušnými hodnotami s 0X, s 0Y, s 0Z a p0X, p0Y, p0Z aritmetických priemerov X0, Y0, Z0 2

⎛ δU ⎞ ⋅ s 2 + ⎜ ⎟ ( 0X) ⎝ δX ⎠

(p0U )

⎛ δU ⎞ ⋅ p 2 + ⎛ δU ⎞ ⋅ p 2 + ⎛ δU ⎞ ⋅ p 2 ⎜ ⎟ ( 0X) ⎜ ⎟ ( 0Y) ⎜ ⎟ ( 0Z) ⎝ δX ⎠ ⎝ δY ⎠ ⎝ δZ ⎠

⎛ δU ⎞ ⋅ s 2 + ⎜ ⎟ ( 0Y) ⎝ δY ⎠

(s0U )2

⎛ δU ⎞ ⋅ s 2 ⎜ ⎟ ( 0Z) ⎝ δZ ⎠

4.1.19

4.1.20

Obr. 4.1.1

4.2 Modelová podobnosť Aby sme mohli výsledky dosiahnuté experimentálne na modeloch použiť pre skutočnú konštrukciu, musíme poznať vzťahy medzi veličinami na modeli a veličinami na skutočnej konštrukcii. Tieto vzťahy sa riadia určitými zásadmi, ktoré nazývame podmienkami podobnosti. Podmienky podobnosti medzi modelom a skutočnou konštrukciou môžeme určiť dvoma spôsobmi: 1) zo známych zakladných rovníc skumaného javu, použijeme napr. známe vety a rovnice zo stavebnej mechaniky a z teórie pružnosti, 2) pomocou dimenzionálnej analýzy. Prvý spôsob používame tam, kde poznáme matematické závislosti skúmaných javov. Druhý spôsob používame tam, kde tieto závislosti nepoznáme, ale poznáme veličiny, od ktorých je jav zavislý. Takéto veličiny nazývame zúčastnené veličiny. Metódu dimenzionálnej analýzy môžeme však použiť aj v prvom prípade, keď sú matematické vzťahy známe a to z toho dôvodu, že dimenzionálna analýza poskytuje návod, ako experiment vykonať čo najjednoduchšie a pri najmenšom počte meraní. Ďalej preberieme prvý spôsob určovania podmienok podobnosti. Pri riešení úloh teórie pružnosti vychádzame zo základných rovníc teórie pružnosti. Sú to : a) rovnice rovnováhy typu δσx δx

δτxy δy

δτxz

δz

4.2.1

b) rovnice kompatibility typu

( 1 + μ ) ⋅ Δ 2 ⋅ σx +

δ ⋅σ 2

4.2.2

δx

( 1 + μ) ⋅ Δ 2⋅ τxy +

δ ⋅σ δx⋅ δy

Kde

δx

δy

σx + σy + σz

δz

c) okrajové podmienky typu P

σx⋅ cos ( n , x) + τxy⋅ cos ( n , y ) + τxz⋅ cos ( n , z)

4.2.3

kde cos ( n , x) sú smerové kosínusy vonkajšej normály k povrchu.

Z rovníc (4.2.1) a (4.2.3) vyplýva, že ak majú byť napätia na modeli a na skutočnej konštrukcii v určitom konštantnom pomere, model musí byť geometricky podobný skutočnej konštrukcii a modelové zaťaženie musí byť podobné a podobne rozdelené ako zaťaženie skutočnej konštrukcie, t.j. môžeme voliť: mierku dĺžok

sku

dlzok

a mierku síl

4.2.3a

model

sku

sil

4.2.3b

model

kde index s sa vzťahuje na skutočnú konštrukciu a index m na model. Potom pre mierku napätí platí: k

σsku σmodel

sil

(kdlzok)2

( 1 + μ) model (1 + μ)sku

4.2.4

μ model

4.2.5

μ sku

Poissonovo čislo μ pre materiál modelu a skutočnej konštrukcie má byť rovnaké. V rovniciach nevystupuje modul pružnosti E, preto jeho mierku môžeme voliť ľubovoľne: E

sku

modul

4.2.5a

model

Zo známej mierky napätia a mierky modulov pružnosti môžeme stanoviť mierku pomerných predĺžení: εsku εmodel

sil

(kdlzok)2⋅kmodul

4.2.6

Mierku posunov (priehybov) môžeme určiť z geometrických rovníc typu εx

δu δx

u u

sku

model

sil

⋅k

dlzok modul

4.2.7

To je vzťah medzi štyrmi mierkami, z ktorých tri môžeme voliť a štvrtú vypočítame. α) Vyšetrujeme modelove napr. priehyb jednoducho podopretého nosníka zaťaženého silou, pôsobiacou v polovici rozpätia. V akom vzťahu sú získané priehyby k priehybom na skutočnej konštrukcii?

F f

sku

f f

( sku)3

⋅ l

k ⋅F

(kdlzok)

⋅J

sku sku

( dlzok)3⋅(lmodel)3

⋅ k

sil model 4

⋅J

⋅k

sil

⋅E

model modul model

⋅k

dlzok modul

⋅f

4.2.7a

model

sku

sil

⋅k

model

2.2.7b

dlzok modul

Obr. 4.2.1 čo je totožné so vzťahom (4.2.7) Nech je napr. materiál modelu a skutočnej konštrukcie rovnaký, t.j. kmodul 1 a ďalej nech je k

dlzok

f f

10, k

10,

sil

sku

model

10⋅ 1

Potom f

sku

4.2.7c

model

Priehyby na modeli sú rovnaké ako priehyby skutočnej konštrukcie. β ) Vyšetrujeme modelove bremeno na medzi vzpernej pevnosti štíhleho tlačeného prúta. Aké bude kritické bremeno na skutočnej konštrukcii?

Ak volíme označenie podľa obr. ( 4.2.2), môžeme napísať pre skutočnú konštrukciu

(Mx)sku

−F

4.2.7d

⋅f

sku sku

Pre krivosť deformovaného prúta v bode x platí 1 ρ sku

(Mx)sku E

⋅J

sku sku

−

⋅f

⋅J

sku sku sku sku

4.2.7e

Obr. 4.2.2 Nech platí f

sku

⋅f

dlzok model

(kdlzok)4⋅Jmodel

sku

⋅E

modul model

Určíme mierku síl ⋅J

sku sku

sku

⋅

sku

modul

model

ρ sku

( dlzok)4⋅Jmodel

⋅E

⋅ k

⋅f

⋅k

modul model

dlzok model dlzok

⋅ ρ model

( dlzok)2⋅Fmodel

⋅ k

modul

( dlzok)2

⋅ k

4.2.7f

4.2.8

Nech je napr. kdlzok 10 a kmodul 2 a na medzi vzpernej pevnosti modelu bola zmerná sila P=0.15 kN Potom pre skutočnú konštrukciu bude F

sku

( dlzok)2⋅Fmodel

⋅ k

modul

2⋅ 10 ⋅ 0.15

30⋅ kN

4.2.8a

γ ) Ak máme výsledky vplyvové čiary reakcií, priečnych síl a ohybových momentov spojitého nosníka, ako môžeme tieto výsledky použiť pre skutočnú konštrukciu? Pre poradnice vplyvovej čiary reakcie, resp. priečnej sily na skutočnej konštrukcii platí vzťah:

(R21)

sku

(Δ 12 )sku 4.2.8b

(Δ 22 )sku

kde ( Δ 12 )

sku

(Δ 22 )sku sú priehyby na základnej skutočnej konštrukcii. Ak dosadíme vzťahy

medzi modelovými a skutočnými veličinami, dostaneme:

(R21)

sku

(Δ 12 )model⋅ kdlzok (Δ 12 )

model

⋅k

( 21)

1⋅ R

model

(R21)sku (R21)model

4.2.9

dlzok

Poradnice vplyvovej čiary pre reakciu alebo priečnu silu v modeli môžeme použiť priamo pre skutočnú konštrukciu.

Pre poradnicu vplyvovej čiary ohybového momentu na skutočnej konštrukcii môžeme napísať:

(M21)

(Δ 12 )sku

sku

4.2.9a

(φ22 )sku

kde ( Δ 12 ) sku je priehyb a ( φ22 ) sku je pootočenie na základnej skutočnej konštrukcii. nech

4.2.9b

(φ22 )sku (φ22 )model

potom

(M21)

sku

(Δ 12 )model⋅ kdlzok (φ22 )

model

dlzok

(

⋅ M

)model

4.2.10

Vidíme, že ak chceme poradnice vplyvovej čiary ohybového momentu z modelovej skúšky použiť pre skutočnú konštrukciu, musíme ich prenásobiť mierkou dľžok k

dlzok

δ ) Modelová podobnosť pri doskách (objemové sily neuvažujeme). Okrem mierok k

dlzok

a k volíme sil

mierku hrúbok h k

hrubok

sku

4.2.10a

model

Mierka intenzity zaťaženia je totožná s mierkou napätí (4.2.4) F

sku

sil

model

(kdlzok)2

4.2.11

Mierku priehybov

w k

priehyb

sku

model

4.2.11a

určíme z rovnice dosky 4

δ ⋅w 4

+ 2⋅

δx

δ ⋅w 2

δx ⋅ δy

δ ⋅w δy

( x, y )

4.2.11b

Dimenzie zvlášť dobre vystúpia, ak rovnicu dosky prepíšeme do diferenčného tvaru

∑ n⋅ wi i

kde

( x, y )

⋅ Δx ⋅ Δy

4.2.12

∑ n⋅ wi je diferenčný rozpis výrazu (Δ w)

Δx , Δy

sú rozmery siete 73

Z rovnice (4.2.12) môžeme priamo určiť mierku priehybov

( sku)4⋅ Nmodel k 4⋅ (ksil)4 ⋅ Nmodel ( dlzok) 4 ⋅ (l ⋅ N F (kdlzok)2 Nsku model model) sku F

sku

priehyb

⋅ l

4.2.13

keď výraz N

model

( model)3 3 E ⋅(h ) sku sku ⋅ h

model

sku

4.2.13a

3 modul ( dlzok)

⋅ k

dosadíme do (4.2.13) dostaneme

(kdlzok)2⋅ksil (kdlzok)3⋅kmodul

priehyb

sil

4.2.13b

⋅k

dlzok modul

čo je totožné s výrazom (4.2.7) Mierku krivosti určime z výrazov

∑ n⋅ wisku

ρ xsku

δ ⋅w

sku

(v diferenčnom rozpise) 1

( sku)2

model

ρ xmodel

(Δxsku)2

δ⋅ x

∑ n⋅ wimodel

δ ⋅w

( model)2

δ⋅ x

(Δxmodel)2

z ktorých 1

ρ xsku

ρ ysku

(⋅ kdlzok)2⋅k2 ⋅ Nmodel ρ xmodel (kdlzok)2 Nsku 1

N ⋅k ⋅

ρ xmodel

sil

model

4.2.14

sku

ρ ymodel

⋅k ⋅ sil

model

4.2.14a

sku

Pre merné ohybové momenty vychádza m

xsku

−k ⋅ N sil

⋅

⎛

model ⎜ ρ ⎝ xmodel

+ μ⋅

⎞ m ⎟ ρ ymodel ⎠ ysku 1

−k ⋅ N sil

⋅

⎛

model ⎜ ρ ⎝ ymodel

+ μ⋅

⎞ ⎟ ρ xmodel ⎠ 1

4.2.15

ε ) Modelová podobnosť rovinnej úlohy teórie pružnosti Vychádzame z rovníc (4.2.1) až (4.2.3) pre rovinnú napätosť. Pri rovinných útvaroch s jednoducho súvislým obvodom napätia nezávisia od Poissonovho čisla. μ. V prípade útvarov s viacnásobne súvislym obvodom napätia nezávisia od μ len v tom prípade, keď výslednica síl na každom súvislom obvode je rovná nule. Preto pri fotoelasticimetrickom vyšetrovaní

modelov nezáleži na module pružnosti ani na Poissonovom čísle modelového materiálu. Ak volíme mierky kdlzok, ksil, kmodul, khrubok mierka napätí bude k

σsku σmodel

sil

⋅k

4.2.15a

dlzok hrubok

mierka pomerných deformácií k

εsku εmodel

sil

⋅k

4.2.15b

dlzok modul hrubok

a mierka posunov (priehybov) u u

sku

model

sil

⋅k

modul hrubok

4.2.15c

z čoho vyplýva, že mierka posunov nezávisí od mierky dĺžok. Ak chceme v experimentálnej praxi prísť k prehľadnym výsledkom, musíme často niektoré veličiny zanedbať ako veličiny podružného významu. Musíme sa uspokojiť často len s čiastočnou podobnosťou, pri zachovaní podobnosti len pri rozhodujúcich veličinách. Často ani nie je potrebné, aby model bol všestranne podobný skutočnej konštrukcii. Skomplikovalo by to jeho výrobu aj samotné meranie, v ktorom by sa

vyskytlo viac nezávisle premenných, čo by znásobilo počet

potrebných skúšok. Na skúsenostiach a teoretickej príprave experimentátora záleží, aby zvolil vhodný modelový materiál a mierky tak, aby vyhodnocovanie výsledkov skúšok bolo čo najjednoduchšie.

5.0 Deformácie konštrukcie

Deformácie konštrukcie sú tvorené súborom vypočítaných alebo nameraných pohybov a naklonení definovaných bodov na konštrukcii. Pre ich výpočet musíme poznať tzv. tuhosti prvkov, pričom je samozrejmé, že deformácia betónových dielčekov dx nie je náhodná, ale je určená z pracovných diagramov pre príslušnú hladinu vnútorných síl. Na deformácii rovinnej prútovej konštrukcie sa všeobecne podieľa normálová sila, ohybový moment a šmyková sila. Z ich pracovných diagramov môžeme definovať tuhosti prúta ako tangens uhla sečnice alebo sklon uhla a zároveň ich hladiny energie. N

E ⋅A

E ⋅J

ε normálová tuhosť

G ⋅A⋅χ

ω ohybová tuhosť

γ šmyková tuhosť

Podľa uvedenej definície sú tuhosti prúta premenné, ktoré závisia od hladiny vnútorných síl: normálová sila (N), ohybový moment (M), priečna sila (Q) a od doby ich pôsobenia. Problematiku riešenia tuhosti môžeme najlepšie skúmať na pracovnom diagrame ohybového momentu-krivosti alebo priečnej sily-skosenia, ktoré majú spravidla rozhodujúce vplyvy na deformáciu prúta. Používame integračné pracovné diagramy. M

⎛ ⎝

f⎜ω

1⎞

⎟

ρ⎠

f(γ)

za predpokladu, že normálová sila (N) je konštantná. Pre prierez spriahnutý z materiálov s nelineárnymi pracovnými diagramami nemôžeme superponovať účinky vnútorných síl. Pracovný diagram ohybového momentu musíme vytvoriť pre konkrétnu normálovú silu a naopak. 5.1 Pretvorenie - definícia krivosti

Pôsobenie železobetónových konštrukcií za prevádzky môže byť značne odlišné od pôsobenia lineárneho za elastického stavu. Vznik trhlín v betóne, ktoré napriek tomu, že trhliny vznikajú iba v obmedzenom počte prierezov, modifikuje tuhosť konštrukčných prvkov a potom vedie k značnej redistribúcii výsledných napätí. V každom bode lineárnej konštrukcie je krivosť daná nasledovným vzťahom: 1 ρ

M ( EJ)

εs − εc d

εc y

M d h N

(5.1.1)

εs

5.1.1. Definícia krivosti

Celková krivosť v čase t je sumou elastickej krivosti a krivosti spôsobenej dotvarovaním a zmrašťovaním, preto:

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ρt ⎠

⎛ 1 ⎞+⎛ 1 ⎞+⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ρ 0 ⎠ ⎝ ρ φ ⎠ ⎝ ρ cs ⎠

(5.1.2)

V tejto rovnici treba každý člen na jej pravej strane považovať za zodpovedajúci stavu I (bez

trhlín) a stavu II (so stabilizovanými trhlinami) alebo nejakému intermediárnemu stavu (čo závisí od konkrétneho prípadu). Priemerná krivosť sa vzťahuje ku krivosti v stave I a stave II , ktorý reprezentuje extrémne možnosti. Krivosť v stave I a stave II je možné vypočítať pomocou základnej krivosti danej vzťahom: 1 ρc

M ( EIc)

(5.1.3)

Priemerná krivosť je definovaná nasledujúcim vzťahom: 1

ε sm − ε cm

ρm

( EIm)

ε cm

( 1 − ζ´) ⋅ε c1 + ζ´ ⋅ε c2

(5.1.4)

ε sm

( 1 − ζ´) ⋅ε s1 + ζ´ ⋅ε s2

(5.1.6)

(5.1.5) ζ

(1 - ζ ) εc1

ε cm

ε c1

ε c2

Dosadením hodnôt ε sm , ε cm do rovnice ( I) dostaneme: 1 ρm

( 1 − ζ´) ⋅ 1

kde krivosti

ρ1

1 ρ1

+ ζ´ ⋅

1 ρ2

(5.1.7)

ε sm

εs1 (1 - ζ ) εs1

εs2

Obr. 5.1.2 Priemerná krivosť - čistý ohyb zodpovedajú stavu I ,

resp. stavu II pozri (obr. 5.1.3).

ρc

[kNm]

ρm

M Mr

ρel

ρpl

1 1 1

γc

ρ3

γ1a

γpl

(krivost )

Obr. 5.1.3 Diagram moment - krivosť

β γ1 γ2a γ2

1 1

γm

ρ1 ρ2a ρ2

γel

ρ1a

[kN]

γ3

γ (skosenie)

Obr. 5.1.4 Diagram priečna sila - skosenie

5.1.1 Pretvorenie - definícia skosenia

Medzi stavom I a stavom II v oblasti šmyku dochádza k postupnému zmenšovaniu tuhosti (ako pri ohybe). V praxi bývajú vo väčšine prípadov, kedy je potrebné vypočítať deformácie pre prevádzkové skúšky, šmykové deformácie veľmi nadhodnotené (pri použití šmykového pretvorenia γ 2 v stave II). Rozvoj šmykového pretvorenia ako funkcie šmykovej sily je na (obr. 5.1.4). Pri uvažovaní zakriveného pracovného diagramu betónu je označenie ohybovej tuhosti prierezu EI len symbolické a konkrétne vyjadruje len tangens uhla sečnice pracovného diagramu. Spoľahlivosť výpočtu potom závisí na výstižnom definovaní materiálových charakteristík, modulov pretvárnosti E, G a geometrických charakteristík tzv. ideálneho prierezu. Železobetónové prvky sú skúmané na ohyb vtedy, ak je ohybový moment väčší než prvý moment v trhline, ktorý vedie pri tvorbe trhliny k prenášaniu ťahových zaťažení na vystužovaciu tyč, hoci betón stlačený medzi dvoma susednými trhlinami ešte stále reaguje. Tento účinok sa väčšinou pripisuje tuhosti v ťahu. Preto, aby sme túto vlastnosť vzali do úvahy, je vhodné zaviesť priemerný moment zotrvačnosti priečneho prierezu Im , ktorý sa nachádza medzi hodnotami I1 a I2 , kde I je moment zotrvačnosti nepotrhaného prierezu (ďalej stav I ) a II je moment zotrvačnosti potrhaného prierezu v stave s trhlinami (ďalej stav II ), pozri (obr. 5.1.1.1). Po vypočítaní hodnôt I a II sa príspevok výstuže berie do úvahy pomocou koeficientu n, ktorý predstavuje pomer medzi modulom pružnosti výstuže a betónu.

1 Ic

1 I1

n = Es / Eb kde Es – modul pružnosti výstuže Eb – modul pružnosti betónu

1 Im

1 I2

1/I10

1 I

1/I20

Obr. 5.1.1.1 Diagram moment - moment zotrvačnosti Keď je hodnota ohybového momentu M blízka hodnote momentu pri vzniku trhlín Mr , potom budú blízke aj hodnoty I1 a I2 , na druhej strane, keď je vyššia hodnota ohybového momentu vzhľadom k Mr , potom bude hodnota Im blízka hodnote I2 . Tieto vlastnosti zohľadňujeme vo všeobecnosti pri prebraní dvoch rôznych modelov. Prvý z modelov môžeme definovať ako sériový. Využíva hodnotu Im určenú vzťahom: I1⋅γ´ + I2 ⋅( 1 − γ´)

(5.1.1.1)

Druhý model, ktorý môžeme definovať ako paralelný, predpokladá 1

⋅( 1 − γ´) + γ´ ⋅

1 I1

(5.1.1.2)

V oboch modeloch je koeficient γ´funkciou úrovne vonkajšieho zaťaženia daného vzťahom: Mr

γ´

γ´ ( μ )

(5.1.1.3)

Pričom musia byť splnené nasledovné podmienky : γ´ ( 0)

(i)

(5.1.1.4)

γ´ ( 1)

(ii)

(5.1.1.5)

(iii)

(5.1.1.6)

dγ´ dμ

≥ 0

Vzťah (i) vyjadruje, že Im = I2 keď M >> Mr , kým vzťah (ii) vyjadruje, že Im = I1 keď M = Mr . Zo vzťahu (iii) vyplýva, že pre vyššie hodnoty vonkajšieho zaťaženia Im budú blízke

hodnote I2 . Čiže zo vzťahov (i), (ii), (iii) môžeme odvodiť vzťah: 0 ≤ γ´ ≤ 1

Počet funkcií γ´, ktoré vyhovujú vzťahom (i) až (iii) je nekonečný. Funkcia, ktorá môže byť definovaná pomocou jedinečného parametra ρ 1 a dosiahnutá koreláciou s experimentálnymi hodnotami, má tvar: γ´

⎛ Mr ⎞ ⎜ ⎟ ⎝M⎠

ρ1

ρ1 > 0

(5.1.1.7)

American Concrete Institute sa na základe experimentálnych výsledkov získaných Bransonom odvoláva na sériový model (5.1.1.1) s ρ 1

4 a Comité Euro-International du Béton sa na

základe výsledkov získaných v Ecole Polytechnique de Lausanne odvoláva na paralelný model (5.1.1.2) s ρ 1

2 [11] [12].

5.2 Pretvorenie pri interakcii priečnej sily

Vplyv priečnej sily na pretvorenie treba uvažovať len vtedy, ak je ohybová štíhlosť (t.j. pomer rozpätia a výšky prvku ) menšia ako 10. Podľa [1] je možné deformáciu fq spôsobenú šmykovým pretvorením vypočítať z rovnice práce: fq

⌠ ⎮ ⎮ ⌡

Q ⋅ γ ds

(5.2.1)

kde γ je šmykové pretvorenie spôsobené skutočným bremenom. Veľkosť šmykových pretvorení vo veľkej miere závisí od tvorby šikmých trhlín. Ak neexistujú žiadne šikmé trhliny (stav I v šmyku), potom bývajú obyčajne šmykové deformácie malé a vo väčšine prípadov je možné ich zanedbať. Po úplnom rozvinutí (stabilizácii) šikmých trhlín (stav II v oblasti šmyku) môžu byť šmykové deformácie pomerne veľké, dokonca väčšie ako deformácie spôsobené ohybom. Po vzniku šikmých trhlín betónové prvky zabraňujú šmyku pomocou priehradového modulu pôsobiaceho v nosníku. V dôsledku tohto môžu byť napätia a pretvorenia v pozdĺžnej výstuži väčšie ako by sa predpokladalo na základe ohybovej teórie. Toto vedie k prídavnej krivosti spôsobenej priečnymi silami. Účinok tejto krivosti je malý, ak výstuž nie je preťažená, ale treba ho zohľadniť v prípade plastického správania výstuže. Najdôležitejší fenomén, ktorý ovplyvňuje veľkosť šmykovej deformácie, je tvorba šikmých trhlín. V súčasnosti neexistuje nijaký všeobecne uznávaný fyzikálny model, na základe ktorého by bolo možné predpovedať posúvajúcu silu pri vzniku šikmej trhliny Qr . Približne môžeme posúvajúcu silu určiť zo vzťahu (5.2.2) : Qr

τr ⋅ χ ⋅

(1 + 50 ⋅ μst) ⋅ bs⋅ he

(5.2.2)

kde τr určíme pre príslušnú triedu betónu [MPa], χ

μ st Ast

(5.2.3)

1.6 − he < 1.0 Ast

(5.2.4)

bs⋅ he

je prierezová plocha pozdĺžnej výstuže, bs je šírka stojiny nosníka, he je efektívna výška

prierezu. Ak v nosníku neexistujú žiadne šikmé trhliny (stav I v oblasti šmyku), predpokladáme, že pri častici, ktorá je namáhaná šmykom za ohybu, zanedbáme deplanáciu prierezu, takže rovinný prierez pred deformáciou zostane aj po deformácii rovinný. V prípade prvkov, ktoré sú namáhané aj osovým tlakom (vrátane predpätia) sa hodnota Qr určená podľa (5.2.2) prenásobí koeficientom: β1

≤

(5.2.5)

kde Mt je moment, potrebný na vyčerpanie tlakového napätia od normálovej tlakovej sily (vrátane predpätia) bez uvažovania jej normálového účinku a Ms je maximálny moment od prevádzkového zaťaženia v uvažovanej šmykovej oblasti. Momenty Mt , Ms sa pritom uvažujú v tom istom priereze. Ak v šmykovej oblasti nie sú šikmé trhliny ( Q ≤ Qr ), potom skosenie γ 1 určíme zo vzorca : γ1

3⋅ Q

G b ⋅ A bs

Eb ⋅ b s ⋅ h e

(5.2.6)

kde Q je priečna sila , Abs plocha prierezu stojiny, Eb modul pružnosti betónu, bs šírka stojiny nosníka, he účinná výška prierezu. Ak sú šikmé trhliny plne rozvinuté (stabilizované), potom skosenie γ1 určíme zo vzorca odvodeného z modelu priehradového nosníka: γ2

μ ss

⋅⎡

1 4 ⎤ + ⎢ ⎥ 2 4 2 0.9 ⋅ h e ⋅ b s E b ⋅ ( cotg ( α ) + 1) ⎣ μ ss ⋅ E s ⋅ ( cotg ( α ) + 1) ⋅ sin ( α ) ⎦ Q

Ass

(5.2.7) (5.2.8)

bs⋅ s ⋅ sinα

α je uhol, ktorý zviera šmyková výstuž s osou nosníka, Es je modul pružnosti ocele, Ass je

prierezová plocha šmykovej výstuže, s je vzdialenosť šmykovej výstuže meraná v smere o

(α = 90 ). Rovnica (5.2.7) potom bude mať tvar: γ2

Q 0.9 ⋅ h e ⋅ b s

⋅ ⎛⎜

⎝

1 μ ss ⋅ E s

⎞

Eb ⎟

⎠

(5.2.9)

Medzi stavom bez trhlín (skosenie γ1) a stavom, kedy sú šikmé trhliny plne rozvinuté (skosenie γ2), sa predpokladá postupná strata šmykovej tuhosti. Hodnota skosenia γm sa v takom prípade určí zo vzťahu: γm

(1 − ζ) ⋅ γ 1 + ζ ⋅ γ 2

(5.2.10)

kde γ1 určíme zo vzorca (5.2.6) a γ2 zo vzorca (5.2.8), resp.(5.2.9). Hodnota súčiniteľa ζ bude ζ

⎛ 4 ⋅ Qr − Q ⎟⎞ ζ 1−⎜ ⎜⎝ 3 ⋅ Qr ⎟⎠

pre

Q ≤ Qr

pre

Qr < Q <

4Qr

pre Q ≥ 4 ⋅ Qr 1 Účinok dotvarovania sa pri dlhodobom zaťažení uvažuje tak, že namiesto modulu Eb sa

dosadí modul : Eb

(5.2.11) 1+φ kde φ je súčiniteľ dotvarovania. Ak vychádzame z modelu priehradového nosníka, potom v Eb γ

pozdĺžnej výstuži vzniká prídavná sila: Q

(5.2.12) ⋅ ( cotgν − cotg α) 2 kde υ je sklon tlačených diagonál, α je sklon šmykovej výstuže. V dôsledku tejto sily vzniká ΔFt1

prídavné pretvorenie v pozdĺžnej výstuži Δε, ktoré vyvoláva prídavnú krivosť rovnú približne: ⎛ 1 ⎞ Δε ⎟ ⎝ rm ⎠ z kde z je rameno vnútorných síl. Δ⎜

(5.2.13)

Príspevok tejto prídavnej krivosti na globálne pretvorenie nie je v prevádzkovom štádiu prakticky merateľný, prejavil by sa až po dosiahnutí medze klzu vo výstuži, t.j. pri vytváraní plastického kĺbu. Skosenie pri plne rozvinutých (stabilizovaných) šikmých trhlinách (Leonhardt): Sila v tlačenej diagonále Fb vyvoláva stlačenie εb a sila v ťahanej diagonále vyvoláva pretiahnutie εt:

d Wd

z/ s in

d´

s z/

z(cotg α +cotg ν)

Δl

εb ⋅ z

sin ( υ )

Predĺženie ťahanej diagonály: Δl

e We e´

Skrátenie tlačenej diagonály je potom:

εt ⋅ z

sin ( α )

εb

εt

Zvislý posun uzla e bude potom: we

Δl

sin ( υ )

lb Δl

sin ( υ )

Δl b

sin ( υ )

εb⋅z

Δl b

εb⋅z

Δl t

sin ( α )

Skosenie γ bude potom: γ2

( )

tg γ 2

z ⋅ ( cotg ( α ) + cotg ( υ ) )

εt ⎞ ⎛ εb ⎟ + 2⎟ cotg ( α ) + cotg ( υ ) ⎜ sin ( υ ) 2 sin ( α ) ⎠ ⎝ ⋅⎜

(5.2.14)

Z podmienky rovnováhy na priehradovej sústave v uzloch dostaneme:

Q/sin ν

ν t

Δl

α Fb

sinν

Q sinα

Na jednotku dľžky diagonál potom bude: Fb , 1

Ft , 1

z ⋅ ( cotgα + cotgν) ⋅ sinν

Ft z ⋅ ( cotgα + cotgν) ⋅ sinα

Pomerné pretvorenie tlačenej diagonály pri hrúbke bs bude: εb

Fb , 1

Eb ⋅ bs

Eb ⋅ bs⋅ z

⋅

(5.2.15)

( cotgα + cotgν) ⋅ sin ⋅ β

Pretvorenie ťahaných diagonál, t.j. priečnej výstuže s prierezom Ass vo vzdialenosti s bude: εt

Ft , 1 ⋅ s ⋅ sinα Es⋅ Ass

Q⋅s

⋅

Es⋅ Ass ⋅ z ( cotgα + cotgν) ⋅ sinα

(5.2.16)

Ak zavedieme stupeň vystuženia, s.s

in α

Ass

μ ss

Ass bs⋅ s ⋅ sinα

dostaneme εt v tvare:

εt

Q Es⋅ bs⋅ z

⋅

1 2 μ ss⋅ ( cotgα + cotgν) ⋅ sinα

(5.2.17)

V dôsledku toho bude skosenie γ 2 :

γ2

⎡ 1 1 ⎤⎥ + 4 2 4 2 bs⋅ z ⎢ Eb ⋅ sinν ⋅ ( cotgα + cotgν) ⎥⎦ ⎣ Es⋅ μ ss⋅ sinα ⋅ ( cotgα + cotgν) Q

⋅⎢

5.3 Funkcia šmykovej výstuže

Pokusu vysvetliť funkciu šmykovej výstuže predchádzali teoretické úvahy o vnútorných silách. Autori zaoberajúci sa touto problematikou dospeli k názoru, že účelom šmykovej výstuže je vytvoriť podporu pre vnútorné oblúky. Pokúsme sa spolu s nimi zodpovedať dve základné otázky : 1. Aká je funkcia šmykovej výstuže? 2. Aký je vzťah medzi priečnou silou a požiadavkou na šmykovú výstuž? Základom skúmania šmykovej pevnosti železobetónového nosníka je hľadanie odpovede na otázku: Kde a aký druh šmykovej výstuže treba použiť, aby sa zabránilo predčasnému šmykovému porušeniu?

Táto

otázka

môže

byť

(a)

(b)

(c)

uspokojivo zodpovedaná iba vtedy, keď je

funkcia šmykovej výstuže úplne jasná.

Vmax

Pravdepodobne nijaký iný detail v celej oblasti

stavebného

(e)

V V

V1 V

V2 S

T+ T

Q= v.b. y

inžinierstva

nezapríčiňuje vznik tak veľkého množstva

(d)

Obr. 5.3.1 Účinok priečnej sily na

chybných predstáv ako otázka prenosu

nosníkovom prvku.

priečnej sily strmeňom v železobetónovom nosníku. Podľa definície je priečna sila integrálom všetkých šmykových napätí v priečnom priereze. Pôsobenie priečnych síl Q na elemente je znázornené na (obr. 5.3.1a) a na elemente, ktorý obsahuje strmene (obr. 5.3.1d). Je dosť ťažké pochopiť a ešte ťažšie vysvetliť, ako vlastne strmene napomáhajú pri prenose priečnej sily Q, ktorá je v skutočnosti tvorená dvojicou síl. Ak berieme do úvahy železobetónový prvok medzi dvomi trhlinami (obr. 5.3.1e), potom vysvetlenie nebude o nič jednoduchšie. Problém pevnosti v šmyku nie je v prenose priečnej sily Q do podpery pri zanedbaní väčšej tlakovej sily Nb (obr. 5.3.2), ale skôr v tom, akým spôsobom preniesť obe sily. V prípade, že by sme jednu z týchto síl zanedbávali, bolo by logickejšie ignorovať menšiu silu Q a analýzu zamerať na tlakovú silu Nb. Pochopiť priebeh vnútorných síl v nosníku môžeme najlepšie pri štúdiu trajektórií napätia. Podľa definície sú trajektórie čiary, ktoré v každom bode určujú smer hlavného napätia (t.j. smer, v ktorom neexistuje šmykové napätie). Keďže vo väčšine bodov nosníka je jedným z hlavných napätí tlakové a druhým je ťahové, odvolávame sa na dva systémy, a to ortogonálne trajektórie tlaku a trajektórie ťahu. Na (obr. 5.3.2, 2c a 3a) sú tlakové trajektórie znázornené plnou čiarou a ťahové prerušovanou. 85

(a)

(a) Pred vznikom trhlín

Q I

III

Ns A

P Nb

(b)

(b) Podporná klenba

T A

P Nb

(c)

(d) Po vzniku trhlín

Ns Ns

Obr. 5.3.2 Sily a trajoktórie v oblasti

Obr. 5.3.3 Vnútorné oblúky v

šmykového rozpätia.

železobetónovom nosníku.

Obr. 5.3.2b a 2c znázorňujú trajektórie konca železobetónového nosníka pre prípad bez súdržnosti betónu s výstužou a pre prípad so súdržnosťou. Porovnaním týchto trajektórií získame predstavu o vplyve súdržnosti. Výslednica síl Q a Nb (obr. 5.3.2a) tvorí vetvu tlakových napätí smerujúcich priamo k vonkajšej podpere nosníka bez súdržnosti (obr. 5.3.2b). Podmienky napätí sú v tomto prípade priaznivé a nie je dôvod pre vznik "predčasného" šmykového porušenia. Na druhej strane, prípad nosníka so súdržnosťou vplyvom síl súdržnosti ΔNs pozdĺž výstužných prútov výrazne zmení konfiguráciu trajektórií. Tu tlakové napätie vytvorené tými istými silami Q, a Nb (obr. 5.3.2a) nesmeruje priamo do vonkajšej podpery A, pozri (obr. 5.3.2c). Dôvodom "predčasnej" odchýlky trajektórií je prítomnosť síl súdržnosti ΔNs, čo je základným dôvodom "predčasného šmykového porušenia". Na (obr. 5.3.3a) trajektórie pre normálny železobetónový nosník predstavujú stav pred vznikom trhlín. Podmienky napätia malého elementu, ktorý je vyrezaný v smere hlavných napätí, sú znázornené na vnútornej ľavej polovici nosníka. Keďže šmykové napätia nie sú v smere hlavných napätí, existujú iba komponenty normálového napätia, ktoré sledujú smer trajektórií. Ak vezmeme do úvahy samostatné časti, ako na (obr. 5.3.3c), zistíme, že každá z týchto častí pôsobí ako oblúk s tiahlom za zaťažovacích podmienok, ktoré dovoľujú iba pôsobenie normálových síl na okrajoch. Na (obr. 5.3.3a) sú znázornené tri takéto oblúky, označené I, II a III. Skúmaním každého z nich zvlášť zistíme, že existujú dva odlišné typy oblúkov: Typ I - oblúk s podperami (obr. 5.3.3b), Typ II - zavesený oblúk bez podpier (obr. 5.3.3c). 86

Z (obr. 5.3.3c) je zrejmé, že veľkosť vertikálneho zaťaženia, ktoré by mohlo byť prenášané oblúkom II, závisí hlavne od "zavesených" síl, ktoré sú prenášané oblúkom I. Jedine pri prenose síl z oblúka II na oblúk I a následne na podporu nosníka môže tiež oblúk II pomáhať pri prenose zaťaženia. Oblúk III na (obr. 5.3.3a) sa odlišuje od oblúka II iba v tom, že oblúk III musí odovzdať vlastnú reakciu najprv na oblúk II, ktorý potom musí transformovať túto reakciu spoločne so svojou vlastnou reakciou na oblúk I, prípadne na podperu nosníka. Čo sa stane s oblúkom II po rozvinutí ohybových trhlín pri zvyšovaní zaťaženia, je znázornené na (obr. 5.3.3d). Trhliny postupujúce pozdĺž tlakových trajektórií, ako už bolo vysvetlené, redukujú plochu pôsobenia síl v podporách čoraz viac, čo následne stále viac oslabuje oblúk. Bolo by nesprávne sústrediť sa iba na vertikálne zaťažovacie komponenty Q, pretože únosnosť oblúka závisí hlavne od horizontálnej reakcie ΔNs. So zväčšujúcou sa dĺžkou trhlín únosnosť podpery klesá a tým sa zapríčiňuje redukcia únosnosti tohto oblúka (obr. 5.3.4a). Na (obr. 5.3.4b) sú znázornené výslednice napätí na oblúku III. Ak zanedbáme malú silu H3 , zostanú dve dvojice síl: dvojica ΔNb3 - ΔNs3 a dvojica QT Qc , ktorá musí byť rovná a opačná, pre zachovanie rovnováhy. To znamená: ΔNb3 . z3 = Qt . x3 Takto je sila ΔNb3 limitovaná na hodnotu, ktorá môže byť približne vyjadrená ako: ΔNb3 = QT . x3 / z3 P

(a)

Nb 3

III Ns3

(b)

QC x3

III

Nb 3 z3

Ns3

Obr. 5.3.4 Sily súdržnosti na zavesenom oblúku. Keďže s rozvojom trhlín QT a x3 klesajú, ΔNb3 , ktorá je komponentom tlakovej sily, sa znižuje čím ďalej, tým viac. Na dosiahnutie ohybovej únosnosti nosníka sa vyžaduje

celková tlaková sila Nb= ΔNb1+ ΔNb2+ ΔNb3+...... atď. Preto redukcia dielčích tlakových síl ΔNb1, ΔNb2, ΔNb3...... atď. znamená redukciu únosnosti Mu=Nb.z . Príčinou predčasného porušenia spôsobeného vznikom šikmých trhlín teda nie je priečna sila Q,

ale zníženie tlakovej sily Nb= ΔNb1+ ΔNb2+ ΔNb3+...... atď., ktoré je spôsobené čiastočnou

alebo úplnou stratou podporových síl QT vnútorných oblúkov. Keďže hlavným dôvodom zníženia únosnosti oblúka je postupná redukcia zavesených podper, zdá sa byť logické, že vytvorenie náhradných väzieb pre oblúk II a III by zvýšilo ich únosnosť, t. j. vyvolalo väčšiu tlakovú silu Nb. Tým by sa obnovila ohybová únosnosť nosníka. Pri vytváraní takýchto oblúkových väzieb by sa najprv mali brať do úvahy tri dobre známe konštrukčné prvky - ohyby, vertikálne a šikmé strmene. Všetky tri typy, ako je zrejmé z (obr. 5.3.5),

poskytujú skutočne pevnú oporu pre vnútorné oblúky železobetónového

nosníka. Keďže my teraz tieto prvky berieme do úvahy ako prídavne väzby vnútorných oblúkov, namiesto toho, aby sme o nich uvažovali ako o prvkoch, ktoré musia prenášať priečne sily alebo šmykové napätia, prichádzame k záverom, ktoré sa odlišujú od záverov odvodených na základe tradičnej teórie pevnosti v šmyku. Tradičná teória pevnosti v šmyku je založená na medznej veľkosti šmykového napätia. M Predpokladá, že väčšie šmykové napätie vyžaduje viac šmykovej výstuže. Pretože Q , a

menšie šmykové rameno a vytvorí väčšiu priečnu silu Q. P

OHYBY To

NAKLONENÉ STRMIENKY

TS T1 To ZVISLÉ STRMIENKY

Nb T2

Obr. 5.3.5 Oblúkové podpory pre tri druhy šmykovej výstuže

Hlavné oblúkové väzby : (Obr. 5.3.7a) znázorňuje šmykové rozpätie v nosníku s a 1.0 , teda d

v prípade, kedy nie je potrebná nijaká šmyková výstuž na dosiahnutie úplného ohybového porušenia, t.j. výsledná sila Nb a P môže byť bezpečne transformovaná z bodu S do podpery samotným betónom. Ak pomer a

rastie, kým ďalšie parametre b , d , P a Rbd zostávajú

a nezmenené, sila P bude menšia ako pre 1.0. Preto výsledné sily Nb a P tiež klesajú. Teraz, d

keď výslednica bude prenesená tým istým spôsobom do bodu S (obr. 5.3.7b a c), podmienky napätia sú na konci prierezu nosníka sú priaznivejšie ako v prípade a 1.0 . d

Tieto úvahy vedú k nasledovným pravidlám pre zvýšenie účinnosti šmykovej výstuže : 1. Vytvorenie prídavných vnútorných oblúkových väzieb tak, aby boli prenesené väzbové sily priamo do bodu S a aby súčasne bol podoprený tlačený oblúk. 2. Keďže betón samotný môže prenášať tieto sily z bodu S do podpery nosníka, nie je potrebná žiadna šmyková vystuž na konci nosníka. 3. V šmykovej zóne v susedstve sily P sa nevyžaduje nijaká vnútorná oblúková väzba (pozri obr. 5.3.6a a b). Obr. 5.3.7d znázorňuje železobetónový nosník, ktorý je navrhnutý podľa týchto princípov. P (a)

Nb z

III

Potrebné klenbové podpory

(b) S

Nb Ns

Oblast vyžadujúca prídavné klenbové podpory

Obr. 5.3.6 Kde môžeme šmykovú výstuž vynechať? V oblasti podpery nosníka a v oblasti sily P nie sú prídavne vnútorné podpery. Medzi týmito dvomi oblasťami sú vytvorené tri vnútorné podpory pomocou výstužných ohybov, ktoré prenášajú podporové sily do bodu S . Pre porovnanie, obvyklá priehradová výstuž je znázornená na (obr. 5.3.7e), z ktorého je jasný vnútorný mechanizmus. Existencia priehrady vnútri železobetónového nosníka určite môže poskytovať vnútorné podpery pre betónové

oblúky, ak boli vybrané ťahané prvky dostatočnej pevnosti. Avšak pri štúdiu mechanizmov prenosu síl P a Nb do podpery zistíme, že takéto riešenie nemôže byť optimálne. Na (obr. 5.3.7e) je znázornené, že diagonálna tlaková sila vychádzajúca z prierezu medzi silami P a Nb sa stáva vnútornou podperou na ďalšom nižšom kĺbe priehrady. Vertikálny komponent je prenášaný zase pomocou strmeňa T1 a odtiaľ diagonálne nadol do druhého nižšieho kĺbu priehrady, potom zase pomocou T2 a diagonálne nadol do tretieho kĺbu atď. Vertikálny komponent P (t j. priečna sila) je prenášaná niekoľkokrát pred konečným dosiahnutím svojej reakcie v podpere nosníka a vždy je potrebný novy súbor strmeňov na prenos tej istej sily. Ak bola šmyková vystuž navrhnutá spôsobom podporujúcim prirodzenú vnútornú konštrukciu železobetónového nosníka, t. j. s použitím viacnásobných vnútorných oblúkov namiesto systému, ktorý je nosníku cudzí, nebolo by potrebné prenášať vertikálny komponent zaťaženia P niekoľkokrát. Navyše, časť sily P bude prenesená priamo do podpery nosníka pomocou diagonálnej tlakovej sily cez oblúk I, a preto nie je potrebná žiadna šmyková vystuž. Je jasné, že šmyková vystuž typu, aký je znázornený na (obr. 5.3.7d), umožní značnú úsporu výstužnej ocele. Môžeme teda zhrnúť dve základné funkcie šmykovej výstuže: 1. Vytvorenie vnútorných väzieb pre betónové oblúky, ktoré tvoria tlačenú zónu nosníka. 2. Prenos podperových síl oblúkov do vonkajšieho podperového oblúka I. Prvú z týchto dvoch funkcií môžu zabezpečiť rovnako dobre všetky tri typy šmykovej výstuže, t. j. ohyby, šikmé a vertikálne strmene. Ale je tu významný rozdiel v splnení druhej funkcie. (a)

a=d

P S

a/d =1,0

100 %

Ns (b)

a = 3,0.d S

a/d =3,0

Nb 1 40 %

Nb 2

(c)

P S

25 %

a/d =5,0

Ns P

(d) Klenbovo podporová výstuž

Nb Ns P

(e) Priehradová výstuž

Nb T1

Obr. 5.3.7 Hlavné vnútorné oblúkové podpory

Pri ohyboch je jednoducho zabezpečiteľné dobré kotvenie v oblúku I, a tým aj transfer reakcií z vnútorných väzieb do vonkajších podper nosníka (obr. 5.3.8a). Obzvlášť priaznivé podmienky nastanú v prípade, keď sú ohyby usporiadané podľa "pravidiel tvorby podper oblúka" ako je navrhnuté na (obr. 5.3.7). Ak sú ako šmyková výstuž použité vertikálne strmene, podmienky kotvenia sa menia od strmeňa ku strmeňu. Pretože účelom šmykovej výstuže je transfer oblúkových väzbových síl do a pozdĺž oblúka I (obr. 5.3.8b), strmeň najbližšie k zaťažovacej sile P má veľmi slabé kotvenie v rámci oblúka I a nie je vyhovujúci. Ak sa zväčšuje vzdialenosť strmeňa od sily P , podmienky kotvenia sa zlepšujú, ako to objasňuje (obr. 5.3.8b). Pri šikmých strmeňoch (obr. 5.3.8c) sú kotviace body strmeňov vzdialenejšie od zaťažovacej sily P a tým je vytvorené lepšie kotvenie v rámci oblúka I. Z tohto dôvodu je účinok jedného šikmého strmeňa podstatne vyšší ako účinok jedného vertikálneho strmeňa, ktorý, umiestnený v blízkosti sily P , vykazuje horšie podmienky kotvenia. P (a) s ohybmi

Nb I

III

Ns Vnútorná podpory (b) so zvislými strmienkami Slabé kotvenie

Nb I

III

Ns P (c) s naklonenými strmienkami

Nb I

III

Obr. 5.3.8: Vnútorný mechanizmus šmykovej výstuže.

5. 4 Výpočet priehybov V rámci vlastného experimentálneho štúdia problematiky výpočtov priehybov som priehyby na nosníkoch meral dvomi spôsobmi. Ako prvý spôsob som použil priame meranie pomocou siedmych odporových priehybomerov fsk, ktoré boli rozmiestnené pod jednotlivými nosníkmi v pravidelných vzdialenostiach 140 mm (obr. 5.4.1). Druhý spôsob predstavoval výpočet z meraných deformácií fiktívnej priehradovej sústavy fc, ktorý umožnil aj separáciu účinku skosenia od účinku pootočenia, pričom skosenie reprezentuje vplyv šmykových síl na priehyb fq a pootočenie reprezentuje vplyv ohybových momentov na priehyb fm. Porovnával som výsledky získané dvomi uvedenými spôsobmi (t.j. fsk a fc) pri krátkodobom stupňovitom zaťažovaní - výsledky sú v stručnej forme zhrnuté v tabuľke M-6 a M-7 (príloha M). V tejto práci som výpočet priehybu železobetónových nosníkov (ako od účinku ohybových momentov, tak od účinku priečnych síl), podľa virtuálnej práce v stave II modifikoval zavedením nových koeficientov. Tento prístup vychádza z pracovného diagramu moment krivosť, ktorý vyjadruje priehyb od momentu a z pracovného diagramu priečna sila

skosenie, ktorý vyjadruje priehyb od priečnej

priečnych

ohybových

síl

momentov

účinku

l=1120

8 28

9 29 38

6 26

5 25

495

4 24

3 23

2 22

priehybu

1 21

spracovanie

300 a

ilustráciu uvádzam grafické

495

Pre

nižšie.

rozpracovaný

147

Podrobnejšie

h=200

sily.

Séria II a III

1290

jednom nosníku (nosník Ia na (obr. 5.4.2), ostatné nosníky

Obr. 5.4.1 Schéma rozmiestnenia navzájom na seba nadväzujúcich odmerných základní pre

na obr. M-25 až M-28, príloha

pretvorenia a umiestnenia priehybomerov, a - odmerné

M).

základne, b – priehybomery.

Priehyby podľa virtuálnych prác sa zvyčajne počítajú podľa nasledovného vzťahu:

⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡

⌠ ⎯ ⎮ Mi ⋅ Mi ds + χ ⋅ ⎮ Eb ⋅ Jb ⎮ ⌡

⎯ Qi ⋅ Qi Gb ⋅ Ab

alebo

∑ i

⎯ ⎯ n ⎛ Mi ⋅ M ⎞ Qi ⋅ Qi i ⎜ ⋅ Δs + χ ⋅ ⋅ Δs ⎟ ⎜ Eb ⋅ Jb ⎟ Gb ⋅ Ab i =1 ⎝ ⎠

∑

(5.4.1)

⎯

- je krivosť - pomer ohyb. momentu k ohyb. tuhosti prierezu v stave I - je skosenie – pomer priečnej sily ku šmykovej tuhosti v stave I

Mi E b⋅ Jb

χ⋅

Qi G b⋅ A b

Nosník Ia

160 kN

4.5

140 kN

Priehyby [mm]

⎯

kde Mi sú ohybové momenty a Qi priečne sily od jednotkovej sily pôsobiacej v strede nosníka,

102 kN

3.5

67 kN

40 kN

2.5

11 kN

2 1.5 1 0.5 0 20

Číslo styčníku

Obr. 5.4.2 Celkový priehyb od účinkov priečnych síl a od účinkov ohybových momentov

kde Gb je modul pružnosti betónu v šmyku, Ab je prierezová plocha, Qi je priečna sila, χ je súčiniteľ tvaru prierezu, Eb je modul pružnosti betónu a Jb je moment zotrvačnosti prierezu. Prvý člen rovnice predstavuje priehyb od ohybových momentov ymteor a druhý člen rovnice je priehyb od priečnych síl yqteor. V stave I je vplyv yqteor na celkový priehyb malý a vo väčšine prípadov sa zanedbáva. Koeficient χ vo vzťahu je súčiniteľ tvaru prierezu, pričom v pružnom stave má pre obdĺžnikový prierez hodnotu 1,2. Niektorí autori uvádzajú jeho inverznú hodnotu, ktorá je pridelená ploche prierezu, teda výpočet šmykovej tuhosti prierezu potom bude G.A.χ. Vplyv priečnych síl na priehyb sa v železobetónových prvkoch nedá celkom zanedbať, ak majú menšiu ohybovú štíhlosť, najmä ak majú niesť sústredené zaťaženie. V našich experimentoch vyšla šmyková štíhlosť pre sériu nosníkov I a IV 1,55 a pre sériu II a III 2,05. Ohybová štíhlosť všetkých skúšaných nosníkov bola 5,6 < 10, teda vplyv priečnych síl sa musí zohľadniť. Priehyby som určoval experimentálne z nameraných hodnôt pretvorení na fiktívnej priehradovej sústave a tiež teoretickým výpočtom podľa virtuálnej práce. Pomocou pretvorenia horného a dolného pásu fiktívnej priehradovej sústavy som určil krivosti a nasledovne vypočítali priehyby ymexp od účinku ohybových momentov v strede nosníkov. n

y mexp

∑ i

1 ρ i

⎯ ⋅ M i ⋅ Δs i

-priehyb od účinkov ohybových momentov v stave II

(5.4.2)

Z dĺžkových posunov uzlov fiktívnej priehradovej sústavy som určil priemerné skosenia pozdĺž nosníka a pomocou nich priehyby od účinkov priečnych síl y qexp pozdĺž nosníka pri všetkých zaťažovacích stupňoch.

∑

y qexp

⎯ γ i ⋅ Q i ⋅ Δs i

-priehyb od účinkov priečnych síl v stave II

(5.4.3)

Výpočet priemerného skosenia jednotlivých základní fiktívnej priehradovej sústavy pozdĺž nosníka Vhi + 1 − Vhi

Δs i

γi

Vdk+ 1 − Vdk

(5.4.4)

Δs i

Tieto priehyby som označil indexom "exp", keďže sa vychádzalo z nameraných hodnôt. Výpočet teoretického priehybu v strede nosníka od účinku ohybových momentov v stave I: n

y mteor

∑ i

Eb ⋅ Jb

⎯ ⋅ M i ⋅ Δs i

(5.4.5)

Výpočet teoretického priehybu nosníka od účinku priečnych síl v stave I: n

y q , teor

χ⋅

∑ i

Qi Gb ⋅ Ab

⎯ ⋅ Qi ⋅ Δs i

(5.4.6)

Aby som zjednodušil výpočet priehybu v stave II po vzniku trhlín, upravil som vzorec pre výpočet priehybu podľa virtuálnej práce prostredníctvom deformačných koeficientov, ktoré zohľadňujú zväčšenie krivosti, skosenia a priehybu alebo zníženie ohybovej a šmykovej tuhosti (poddajnosti) a momentu zotrvačnosti prierezu pri všetkých hladinách namáhania. Koeficient χ cr vyjadruje zväčšenie priehybu od účinku priečnych síl v stave II: χ cr

y qexp

(5.4.7)

y qteor

Koeficient ρ cr vyjadruje zväčšenie priehybu od účinku ohybových momentov v stave II: ρ cr

y mexp

(5.4.8)

y mteor

Po úprave pomocou koeficientov χ cr , ρ cr celkový priehyb podľa virtuálnej práce v stave II bude: y

⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡

⎯

⌠

⎛⎜ Mi ⋅ Mi ⎞⎟ ⎮ ⋅ ρ cr ds + χ ⋅ ⎮ ⎜⎝ Eb ⋅ Jb ⎟⎠ ⎮ ⌡

⎯

⎛⎜ Qi ⋅ Qi ⎞⎟ ⎜⎝ Gb ⋅ Ab ⎟⎠ ⋅ χ cr ds

(5.4.9)

Pri výpočte redukcie ohybovej tuhosti som vychádzal z výpočtu tuhosti v pružnom stave Eb.Jb a tuhosti po vzniku trhlín (EJ)c. Tuhosť som určil z pracovných diagramov moment - krivosť a je vyjadrená sklonom (α), (obr. 5.4.3). Mi

( EJ) c

ρi

ωpl

( EJ) c

Pri výpočte redukcie šmykovej tuhosti

som

použil

rovnaký

prístup, pri ktorom som vychádzal z

výpočtu

⎛ χ ⎞ ⎜ A ⋅G ⎟ ⎝ b b⎠

šmykovej

tuhosti

v pružnom stave

sklon ( α )

(5.4.10)

[kNm]

ρc

ρel

ρm

ρpl

M cr

E.I

ρ (krivost ) ρ3 ρ1a ρ1 ρ2a ρ2 Obr. 5.4.3 Pracovný diagram moment - krivosť. 1

šmykovej tuhosti (GA)c po vzniku trhlín. Tuhosť (GA)c som určil z

1 1 1

pracovných diagramov priečna sila - skosenie a je vyjadrená sklonom (β), (obr. 5.4.4). Qi

γ pl

( GA) c

sklon ( β )

(5.4.11)

Z uvedených tuhostí som pri jednotlivých zaťažovacích stupňoch odvodil tieto deformačné koeficienty: Koeficient Ω i, vyjadrujúci V zväčšenie krivosti v stave II: [kN] Ωi

γc

ω pl

(5.4.12)

ω el

Koeficient Ωk predstavuje priemernú pomernú hodnotu krivosti v stave II na dĺžku nosníka L: Ω k

∑ i

Ωi L

⋅ Δs

(5.4.13)

γel

γm

γpl

β Vcr

β γ1 γ2a γ2

γ1a

G.A χ

γ3

(skosenie)

Obr. 5.4.4 Pracovný diagram priečna sila - skosenie.

Priemerná pomerná hodnota koeficientu Ωck , ktorý vyjadruje zväčšenie krivosti v stave II na celkovú dĺžku nosníka L1 bude:

Ω i

∑ L1 ⋅Δs

Ωc k

(5.4.14)

Koeficient Ω m predstavuje priemernú hodnotu koeficientov Ω k a Ωck a vyjadruje zväčšenie krivosti nosníka v stave II na danej hladine zaťaženia: Ω k + Ωc k

Ω m

(5.4.15)

Krivosť v stave II bude: ⎛ 1 ⎞ Ω ⋅ Mi alebo ⎜ρ ⎟ m E ⋅J b b ⎝ i ⎠ II

⎛ 1 ⎞ Ω ⋅ Mi ⎜ρ ⎟ k E ⋅J b b ⎝ i ⎠ II

⎛ 1 ⎞ Ωc ⋅ Mi ⎜ρ ⎟ k E ⋅J b b ⎝ i ⎠ II

alebo

(5.4.16)

Koeficient Γ i vyjadruje zväčšenie skosenia v stave II : Γi

γ pl i

(5.4.17)

γ el i

kde γ pl je skosenie prierezov pozdĺž nosníka v stave II, a γ el je skosenie prierezov pozdĺž i i nosníka v stave I. Priemerná pomerná hodnota koeficientu Γ k , ktorý vyjadruje zväčšenie skosenia v stave II na dĺžku nosníka L bude: Γk

Γi

∑ L⋅χ

(5.4.18)

Priemerná pomerná hodnota koeficientu Γc k , ktorý vyjadruje zväčšenie skosenia v stave II na celkovú dĺžku nosníka L1 bude: Γc k

Γi

∑ L1⋅χ

(5.4.19)

Koeficient Γ m získame ako priemernú hodnotu koeficientov Γ k a Γc k a vyjadruje zväčšenie skosenia nosníka v stave II na danej hladine zaťaženia: Γm

Γ k + Γc k

(5.4.20)

Skosenie v stave II bude: γ pl

Γ m ⋅ γ el

alebo

γ pl

Γ k ⋅ γ el

alebo

γ pl

Γc k ⋅ γ el

(5.4.21)

Koeficient β cr vyjadruje pomer šmykovej tuhosti v stave I ku šmykovej tuhosti v stave II i pozdĺž nosníka: β cr i

(

G⋅A GAi

(5.4.22)

Priemerná pomerná hodnota koeficientu β crII´ , ktorý vyjadruje zníženie šmykovej tuhosti na dĺžku L nosníka bude: β cr

∑ L⋅χ ⋅Δs i

β cr

β crIIc´

(5.4.23)

β crc

Priemerná pomerná hodnota koeficientu βcrIIc´, ktorý predstavuje zníženie šmykovej tuhosti na celkovú dĺžku L1 nosníka bude: β cr

β cr

∑ L1⋅χ ⋅Δs i

β crIIc´

(5.4.24)

β crc

Koeficient β crII predstavuje priemernú hodnotu koeficientov β crII´ , β crIIc´ a vyjadruje zníženie šmykovej tuhosti nosníka v stave II na danej hladine zaťaženia: β crII

β crII´ + β crIIc´

(5.4.25)

Šmyková tuhosť nosníka v stave II bude: β crII⋅ Gb ⋅ Ab

( GA) c

alebo

( GA) c

β crII´⋅ Gb ⋅ Ab

alebo

( GA) c

β crIIc´⋅ Gb ⋅ Ab

(5.4.26) Pomer ohybovej tuhosti v stave II ku ohybovej tuhosti v stave I pozdĺž nosníka vyjadríme koeficientom αcri: α cr i

(EJ i)c

(5.4.27)

E b⋅J b

Priemerná pomerná hodnota koeficientu αcrk, ktorý vyjadruje zníženie ohybovej tuhosti na dĺžku nosníkaL Lbude bude: dľžku nosníka α cr k

∑

α cr i

⋅ Δs

(5.4.28)

Priemerná pomerná hodnota koeficientu αcrck, ktorý vyjadruje zníženie ohybovej tuhosti na celkovú dĺžku nosníka L1 bude: α crc k

∑ i

α cr i L1

⋅ Δs

(5.4.29)

Priemerná hodnota koeficientu, ktorý predstavuje zníženie ohybovej tuhosti nosníka v stave II na danej hladine zaťaženia bude: α crII

α crII´ + α crIIc´ 2

(5.4.30)

Ohybová tuhosť nosníka v stave II bude: α crII⋅ Eb ⋅ Jb

( EJ) c

alebo

( EJ) c

α crII´⋅ Eb ⋅ Jb

alebo

( EJ) c

α crIIc´⋅ Eb ⋅ Jb

(5.4.31) Moment zotrvačnosti prierezu v stave II (po vzniku trhlín) som vypočítal pomocou koeficientu η , ktorý vyjadruje zníženie momentu zotrvačnosti prierezu oproti stavu I (bez trhlín). Vychádzal som z predpokladu, že modul pružnosti betónového nosníka je konštantný (keďže boli železobetónové nosníky odskúšané pri krátkodobom zaťažení). Hodnotu koeficientu η som získal tak, že najprv som určil priemernú hodnotu momentu zotrvačnosti v stave II na rozpätie L: Jk a na celkovú dĺžku nosníka L1: Jck . Potom som z pomerov momentu zotrvačnosti betónového prierezu v stave I a priemernej hodnoty zotrvačnosti v stave II na dĺžku L: hodnota

predstavuje

koeficient

Jb Jk

a L1: η

Jb Jck

vypočítal priemernú hodnotu. Jej inverzná

vyjadrujúci

zníženie

momentu

zotrvačnosti

železobetónového prierezu v stave II. Výsledný redukovaný moment zotrvačnosti nosníka teda bude: Jcr η ⋅ Jel

∑J

⋅ Δs

Jck

⋅ Δs

z toho

JbII

Jb Jck

1 JbII

kde Ji je moment zotrvačnosti železobetónového prierezu pozdĺž nosníka v stave II. Navrhol som aj obdobný spôsob výpočtu

plochy prierezu v stave II zavedením

koeficientu θ . Koeficient θ vyjadruje redukciu plochy betónového prierezu oproti stavu I. Najprv určím plochu prierezu v stave II na základe pracovného diagramu priečna sila skosenie. Hodnotu koeficientu θ som získal tak, že najprv som určil priemernú hodnotu plochy prierezu v stave II na rozpätie L: Ak a na celkovú dĺžku nosníka L1: Ac k . Potom som z pomerov plochy betónového prierezu v stave I a priemernej hodnoty plochy v stave II na dĺžku L:

Ab Ak

a L1:

Ab Ac k

vypočítal priemernú hodnotu. Jej inverzná hodnota predstavuje

koeficient θ vyjadrujúci redukciu plochy železobetónového prierezu v stave II. Výsledná redukovaná plocha prierezu nosníka v stave II teda bude: AII θ ⋅ Ab .

∑ Ai. i

∑ Ai ⋅ Δs

Ac k

Ab z toho

⋅ Δs

AbII

Ab Ac k

1 AbII

Po úprave zavedením deformačných koeficientov budú výpočty priehybov podľa virtuálnej práce v stave II nasledovné: Rekapitulácia výpočtov priehybov v strede nosníka v stave II:

1. Prostredníctvom krivosti a skosenia pozdĺž železobetónového nosníka v stave II: y

⎯ ⎯ ( ω ⋅ M ) ⋅ Δs + ( γ ⋅ Q ) ⋅ Δs ∑ ∑ i

(5.4.32)

2. Prostredníctvom koeficientov ρ cr a χ cr , ktoré vyjadrujú zväčšenie priehybu od účinku ohybových momentov a priečnych síl železobetónového nosníka v stave II: ⎛ Mi ⎯⎞ ⎛ Qi ⎯ ⎞ y ⎜ ⋅ Qi ⋅ χ ⎟ ⋅ χ cr ⋅ Δs ⎜ E ⋅ J ⋅ Mi ⎟ ⋅ ρ cr ⋅ Δs + (5.4.33) G⋅A ⎝ ⎠ b b ⎝ ⎠

∑

3. Pomocou koeficientov Ω k a Γ k vyjadrujúcich zväčšenie priemernej pomernej krivosti a skosenia železobetónového nosníka v stave II: ⎤ ⎡ ⎛ Mi ⎞ ⎯ ⎡ ⎛ Qi ⎞ ⎯ ⎤ y ⎢Γ k ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ Qi ⋅ χ⎥ ⋅ Δs ⎢Ω k ⋅ ⎜ E ⋅ J ⎟ ⋅ Mi⎥ ⋅ Δs + (5.4.34) ⎣ ⎝ G⋅A ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ b b⎠ ⎦

∑

4. Prostredníctvom koeficientov Ω ´m a Ω ´q , vyjadrujúcich zväčšenie deformačnej energie od účinkov ohybových momentov a priečnych síl v stave II: Mi Qi ⎯ ⎯ ⎛ ⎞ y Ω´ m⋅ ⋅ M i ⋅ Δs + Ω ´ q ⋅ ⎜ χ ⋅ ⋅ Qi ⎟ ⋅ Δs (5.4.35) E b⋅J b ⎜ i G⋅A ⎟ i ⎝ ⎠ 5. Prostredníctvom koeficientov α crII´ a β crII´ , ktoré vyjadrujú zníženie priemernej

∑

pomernej ohybovej a šmykovej tuhosti železobetónového nosníka v stave II: Mi Qi ⎯ ⎯ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ y ⋅ M i ⎟ ⋅ Δs + ⋅ Qi ⋅ χ ⎟ ⋅ Δs ⎜ E ⋅J ⋅α ⎜ G⋅A ⋅β (5.4.36) crII´ b b crII´ ⎠ ⎠ i ⎝ i ⎝

∑

6. Pomocou koeficientu η , ktorý vyjadruje zníženie momentu zotrvačnosti prierezu v stave II: Mi ⎯ ⎞ ⎛ y ⎜ E ⋅ J ⋅ η ⋅ M i ⎟ ⋅ Δs (5.4.37) b b ⎝ ⎠ i 7. Pomocou koeficientov η , θ ck , ktoré vyjadrujú zníženie momentu zotrvačnosti a

∑

plochy prierezu železobetónového nosníka v stave II : Mi Qi ⎯ ⎯ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ y ⎜ E ⋅ J ⋅ η ⋅ M i ⎟ ⋅ Δs + ⎜ G ⋅ θ ⋅ A ⋅ Qi ⋅ χ ⎟ ⋅ Δs ck b b ⎠ ⎠ i ⎝ i ⎝

∑

(5.4.38)

Výpočet priehybu nosníka v stave II som zjednodušil zavedením deformačných koeficientov. Pomocou týchto koeficientov však môžeme upraviť aj známy vzťah virtuálnej práce pre výpočet deformačnej energie (vnútornej energie) od účinku ohybových momentov a od účinku priečnych síl. Pretvárnou prácou sa dajú charakterizovať stavy konštrukcie, najmä pri zložkových namáhaniach, oveľa vhodnejšie ako hodnotami pretvárnych či statických účinkov zaťaženia. Vyplýva to predovšetkým zo skutočnosti, že pretvárna práca je skalárna veličina, čo umožňuje jednoduchým spôsobom vyjadriť aj rezervu konštrukcie nachádzajúcej sa v danom stave namáhania voči medznému stavu [29] [48] [56] [66]. Pre takýto prístup zatiaľ neexistuje dostatok vyhodnotení. Je však vhodné, ak sa sústava meraných veličín vopred navrhne tak, aby sa pretvárna práca dala čo najpresnejšie určiť. Rozvoj meracej a vyhodnocovacej techniky so sebou prináša aj výskumy zamerané na vypracovanie teórie posudzovania spoľahlivosti betónových konštrukcií pomocou pretvárnej práce. Výsledky výpočtu pretvárnej práce sú v stručnej forme zhrnuté v tabuľkách M-8 a M-9 (príloha M). Štúdium deformačnej energie (ako od účinku ohybových momentov, tak od účinku priečnych síl) som ďalej rozšíril o iný prístup založený na pracovnom diagrame moment-krivosť, ktorý vyjadruje deformačnú energiu od momentu a na pracovnom diagrame priečna sila-skosenie, ktorý vyjadruje deformačnú energiu od priečnej sily. 5. 5 Výpočet deformačnej energie železobetónových prvkov

Ako podklad pre vyhodnotenie deformačnej energie som použil skúšky nosníkov so stacionárnym zaťažením. Skúšal som 12 železobetónových nosníkov obdĺžnikového prierezu, ktoré boli zaťažované dvomi osamelými bremenami. Pomocou väčšieho počtu meracích miest sme vytvorili vhodné podmienky na nepriame vyhodnotenie pretvárnej práce a deformačnej (resp. vnútornej) energie železobetónového nosníka. Na každom stupni zaťaženia som pozdĺž celého rozpätia nosníka meral jednak priehyby, jednak dĺžkové zmeny v devätinách základní na tlačenom páse, ťahanom páse a tiež na diagonálach, pričom základne na seba bezprostredne nadväzovali. Merania dĺžkových zmien v jednotlivých základniach umožňujú určiť priebeh krivosti a skosenia po dĺžke nosníka. Pomocou priebehu krivosti môžeme určiť aj veľkosť celkovej vnútornej energie od účinku ohybového momentu Em a pomocou skosenia veľkosť vnútornej energie od priečnej sily Eq .

100

Potom veľkosť vnútornej energie Evnutorna na danej hladine zaťaženia je súčtom energie Em a Eq . Vnútorná energia od účinku krivosti na jednotlivých základniach fiktívnej priehradovej sústavy teda bude: n

∑

ωi ⋅ Mi ⋅ Δs i ⎛ ω1 ⋅ M1 + ω2 ⋅ M2 + ω3 ⋅ M3 + ω4 ⋅ M4 + ω5 ⋅ M5 ... ⎞ ⋅ Δs resp. Em (5.5.1) ⎜ + ω ⋅ M + ω ⋅ M + ω ⋅ M + ω ⋅ M + .......... ⎟ 7 7 8 8 9 9 ⎝ 6 6 ⎠ i =1 Pričom je krivosť na jednotlivých základniach pozdĺž železobetónového 1 Δεsdii − εhi ωi nosníka, i = 1,2,.......n Mi Em

ρi

sú ohybové momenty na jednotlivých základniach pri danej hladine namáhania je dĺžka jednotlivých základní fiktívnej priehradovej sústavy. Rovnakým spôsobom je možné vypočítať energiu od účinku skosenia Eq na jednotlivých základniach fiktívnej priehradovej sústavy pozdĺž nosníka a to od vertikálnych aj horizontálnych posunov jednotlivých terčíkov pozdĺž nosníka. Z priebehu priemerného skosenia na jednotlivých základniach potom určíme aj veľkosť celkovej vnútornej energie od účinku priečnych síl Eq : ⎛ γ 1 ⋅ Q1 + γ 2 ⋅ Q2 + γ 3 ⋅ Q3 + γ 4 ⋅ Q4 + γ 5 ⋅ Q5 + γ 6 ⋅ Q6 + γ 7 ⋅ Q7 ... ⎞ ⋅ Δs ⎜ + γ ⋅Q + γ ⋅Q ⎟ ⎝ 8 8 9 9 ⎠

(5.5.2)

alebo

∑ i

γ i ⋅ Qi ⋅ Δs i

Priemerné skosenie na jednotlivých základniach fiktívnej priehradovej sústavy v strede výšky železobetónového nosníka bude: Vhi + 1 − Vhi γi

Q Vhi ki ++11 Vd

Δs i

Vdk+ 1 − Vdk Δs k

(5.5.3)

je vertikálny posun jednotlivých uzlov (terčíkov) pri hornom páse fiktívnej priehradovej sústavy, pričom i = 1, 2....i+1 je vertikálny posun jednotlivých uzlov (terčíkov) pri dolnom páse fiktívnej priehradovej sústavy, pričom k = 12,13....k+1 je priečna sila na jednotlivých základniach pri danej hladine namáhania.

101

Potom určíme veľkosť vnútornej energie pri danej hladine zaťaženia železobetónového nosníka zo súčtu vnútornej energie vyvolanej krivosťou, resp. skosením: n

Evnutorna

∑ i

Em +

∑ i

(5.5.4)

Podiel vnútornej energie od účinkov priečnych síl na celkovú vnútornú energiu bude: Eq

(5.5.5)

Evnutorna

A podiel vnútornej energie od účinkov ohybových momentov na celkovú vnútornú energiu bude: Em

(5.5.6)

Evnutorna

Počas statického zaťažovania nosníka premenné vonkajšie sily na deformujúcom sa nosníku vykonávajú prácu - deformačnú prácu vonkajších síl, pretože pôsobiská síl sa premiestňujú, t.j. vytvárajú dráhy vonkajších síl. Pretvárna práca vonkajších síl bude: W vnokajsie

Fs⋅ y i

(5.5.7)

je zaťažovacie bremeno a y i (mm) je hodnota priehybu, ktorý vzniká pod zaťažovacím

bremenom vykonávajúcom deformačnú prácu. Pomer vnútornej energie ku vonkajšej energii (pričom ako prácu vonkajších síl sme uvažovali 100 %) pri danej hladine zaťaženia bude: Evnutorne W vonkajsie

(5.5.8)

Podľa Zákona zachovania energie platí, že pretvárna práca vonkajších síl sa rovná práci vnútorných síl. Ak chceme vyrátať hodnotu stratenej (disipovanej) energie, odľahčíme nosník. Po odľahčení nosníka na danej hladine zaťaženia a to prakticky, aj vo výpočte, zavedieme zápornú hodnotu pre zaťažovaciu silu. Rovnako budeme postupovať pri určovaní vnútornej energie od účinkov krivosti E´m a vnútornej energie od účinku priemerného skosenia E´q , na jednotlivých základniach fiktívnej priehradovej sústavy pozdĺž železobetónového nosníka. Potom celkovú vnútornú energiu železobetónového nosníka pri danej hladine zaťaženia po odľahčení vyjadríme ako súčet E´vnutorna = E´m + E´q

(5.5.9)

102

Ďalej môžeme určiť hodnotu stratenej energie napríklad od ohybového momentu pozdĺž nosníka ako Em - E´m , kde Em je veľkosť vnútornej energie od účinku krivosti (momentu) pred odľahčením a E´m veľkosť vnútornej energie od účinku krivosti (momentu) po odľahčení. Tiež môžeme hodnotu stratenej energie určiť od priemerného skosenia, ktorá bude Eq - E´q , pričom Eq je veľkosť vnútornej energie od účinku priemerného skosenia (priečnej sily) pred odľahčením a E´q je veľkosť vnútornej energie od účinkov priemerného skosenia (priečnej sily) po odľahčení. Aby sme mohli vyjadriť celkovú stratu vnútornej energie pri danej hladine zaťaženia od účinku krivosti a priemerného skosenia železobetónového nosníka, musíme odpočítať veľkosť celkovej vnútornej energie pred odľahčením a po odľahčení: Estratena

Evnutorna − E´vnutorna

(5.5.10)

Pomer stratenej energie od účinku krivosti po odľahčení ku celkovej vnútornej energii pred odľahčením na danej hladine namáhania ( pričom Evnutorna uvažujeme 100% ) bude: Em − E´m Evnutorna

(5.5.11)

Pomer stratenej energie od účinku priemerného skosenia po odľahčení ku celkovej vnútornej energii pred odľahčením na danej hladine namáhania (pričom Evnutorna uvažujeme 100%) bude: Eq − E´q Evnutorna

(5.5.12)

Pomer celkovej straty vnútornej energie od účinku krivosti a priemerného skosenia po odľahčení ku celkovej vnútornej energii pred odľahčením na danej hladine namáhania pričom ( Evnutorna je 100% ): Estratena Evnutorna

(5.5.13)

Pomer vnútornej energie od účinku krivosti po odľahčení ku vnútornej energii od účinku krivosti pred odľahčením železobetónového nosníka na danej hladine namáhania ( pričom Em je 100% ): E´m Em

(5.5.14)

103

Pomer vnútornej energie od účinku priemerného skosenia po odľahčení ku vnútornej energii od účinku priemerného skosenia pred odľahčením na danej hladine namáhania ( pričom Eq je 100% ): E´q

(5.5.15)

Pomer celkovej vnútornej energie od účinku priemerného skosenia a krivosti po odľahčení ku celkovej vnútornej energii od účinku priemerného skosenia a krivosti pred odľahčením železobetónového nosníka na danej hladine namáhania ( pričom Evnutorna je 100% ): E´vnutorna

(5.5.16)

Evnutorna

Rovnako môžeme určiť pretvárnu prácu vonkajších síl železobetónového nosníka na danej hladine zaťaženia po odľahčení: W´ vonkajsia

F´s

F´s⋅ y´i

(5.5.17)

je zaťažovacie bremeno po odľahčení na danej hladine namáhania a y´i je hodnota

zostatkového vertikálneho posunu (priehyb), ktorý sa nachádza pod zaťažovacím bremenom po odľahčení železobetónového nosníka a následkom toho vykonáva vratnú (reverznú) pretvárnu prácu. Aby sme mohli vyjadriť celkovú stratu pretvárnej práce vonkajších síl na danej hladine zaťaženia, musíme odpočítať veľkosť celkovej pretvárnej práce vonkajších síl pred odľahčením a po odľahčení železobetónového nosníka: W stratena

W vonkajsia − W´ vonkajsia

(5.5.18)

Percentuálny podiel pretvárnej práce vonkajších síl pred a po odľahčení (za predpokladu, že W vonkajsia

je 100%) bude:

W´ vonkajsia W vonkajsia

(5.5.19)

Percentuálny podiel stratenej pretvárnej práce vonkajších síl ku celkovej pretvárnej práci pred odľahčením (za predpokladu, že W vonkajsia je 100%): W stratena W vonkajsia

(5.5.20)

Vnútornú deformačnú energiu podľa pružnosti v stave I (bez trhlín) od účinkov krivosti a od účinkov skosenia vypočítame nasledovne:

104

∑

Eelast

Mi Eb ⋅ Jb

⋅ Mi ⋅ Δs i + χ ⋅

∑ i

Qi Gb ⋅ Ab

⋅ Qi ⋅ Δs i

(5.5.21)

pričom Eb je modul pružnosti betónu, Jb je moment zotrvačnosti železobetónového prierezu, Gb je modul v šmyku Gb 0.435⋅ Eb , Ab je plocha železobetónového prierezu a χ je tvarový súčiniteľ železobetónového prierezu. - je krivosť pozdĺž

Mi E b⋅ Jb

železobetónového nosníka

χ⋅

- je skosenie pozdĺž

Qi G b⋅ A b

železobetónového

(5.5.22)

nosníka Koeficient Ω m , ktorý vyjadruje zväčšenie deformačnej energie od účinkov ohybových momentov v stave II (s trhlinami) určíme nasledovne:

∑

εdi − εhi

Ωm

⋅ M i ⋅ Δs

(5.5.23)

( Mi ) 2

∑ E ⋅J b

⋅ Δs

Koeficient Ω q vyjadrujúci zväčšenie deformačnej energie od účinkov priečnych síl v stave II (s trhlinami) a bude mať takýto tvar:

∑ γ ⋅Q i ⋅Δs i

Ωq

(5.5.24)

∑ χ ⋅ G ⋅A b

⋅ Q i ⋅ Δs

Potom podiel deformačnej energie od účinkov krivosti a skosenia v stave II na celkovú deformačnú energiu v stave I pri danej hladine zaťaženia bude nasledovný: n

∑ i n

∑ i

( Mi )

i n

Eb ⋅ Jb

∑

ωi ⋅ Mi ⋅ Δs i

⋅ Δs i + χ ⋅

∑ i

(Qi )

Gb ⋅ Ab

⋅ Δs i

χ⋅

∑ i

(Qi )

γ i ⋅ Qi ⋅ Δs i

=1 n

Gb ⋅ Ab

⋅ Δs i +

∑ i

( Mi )

(5.5.25) 2

Eb ⋅ Jb

⋅ Δs i

Pre lepší prehľad na záver tejto kapitoly uvádzam rekapituláciu výpočtov deformačnej (resp. vnútornej) energie železobetónových nosníkov v stave II (s plným rozvojom trhlín) prostredníctvom nových deformačných koeficientov:

105

Rekapitulácia výpočtov deformačnej energie od účinkov ohybových momentov a od účinkov priečnych síl v stave II:

1.Prostredníctvom krivosti ωi a skosenia γ i pozdĺž železobetónového nosníka v stave II: E

∑ (ω ⋅M ) ⋅Δs + ∑ (γ ⋅Q ) ⋅Δs i

(5.5.26)

2. Prostredníctvom koeficientov ρ cr a χ cr , ktoré vyjadrujú zväčšenie priehybu od účinku ohybových momentov a priečnych síl železobetónového nosníka v stave II: E

∑ i

⎛ Mi ⎞ ⎜ E ⋅ J ⋅ Mi ⎟ ⋅ ρ cr ⋅ Δs + ⎝ b b ⎠

∑ i

⎛ Qi ⎞ ⎜ ⋅ Qi ⋅ χ ⎟ ⋅ χ cr ⋅ Δs ⎝ G⋅A ⎠

(5.5.27)

3. Pomocou koeficientov Ω k a Γ k vyjadrujúcich zväčšenie priemernej pomernej krivosti a skosenia železobetónového nosníka v stave II: E

∑ i

⎡ ⎛ Mi ⎞ ⎤ ⎢Ω k ⋅ ⎜ E ⋅ J ⎟ ⋅ Mi⎥ ⋅ Δs + ⎣ ⎝ b b⎠ ⎦

∑ i

⎡ ⎛ Qi ⎞ ⎤ ⎢Γ k ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ Qi ⋅ χ⎥ ⋅ Δs ⎣ ⎝ G⋅A ⎠ ⎦

(5.5.28)

4. Prostredníctvom koeficientov Ω´m a Ω´q , vyjadrujúcich zväčšenie deformačnej energie od účinkov ohybových momentov a priečnych síl v stave II: E

⎡

⎛

⎞

⎡

⎤

⎛ Qi ⎞

⎤

∑ ⎢⎣Ω´ m ⋅⎜⎝ E b⋅J b ⎟⎠ ⋅M ⎥⎦ ⋅Δs + ∑ ⎢⎣Ω´ q⋅⎜⎝ G ⋅A ⎟⎠ ⋅Q ⋅χ⎥⎦ ⋅Δs i

(5.5.29)

5. Prostredníctvom koeficientov α crII´ a β crII´ , ktoré vyjadrujú zníženie priemernej pomernej ohybovej a šmykovej tuhosti železobetónového nosníka v stave II: E

∑ i

Mi ⎛ ⎞ ⋅ Mi ⎟ ⋅ Δs + ⎜ E ⋅J ⋅α ⎝ b b crII´ ⎠

∑ i

Qi ⎛ ⎞ ⋅ Qi ⋅ χ ⎟ ⋅ Δs ⎜ G⋅A ⋅β crII´ ⎝ ⎠

(5.5.30)

6. Pomocou koeficientu η , ktorý vyjadruje zníženie momentu zotrvačnosti prierezu v stave II: E

⎛

⎞

∑ ⎜⎝ E b⋅J b⋅η ⋅M ⎟⎠ ⋅Δs

(5.5.31)

7. Pomocou koeficientov η , θ ck , ktoré vyjadrujú zníženie momentu zotrvačnosti a plochy prierezu železobetónového nosníka v stave II : E

⎛

⎞

∑ ⎜⎝ E b⋅J b⋅η ⋅M ⎟⎠ ⋅Δs + ∑ ⎜⎝ G ⋅θ ck ⋅A ⋅Q ⋅χ ⎟⎠ ⋅Δs i

(5.5.32)

106

5. 6 Výsledky

V tejto kapitole uvádzam hodnoty deformačných koeficientov pre jednotlivé nosníky pri všetkých

hladinách zaťaženia. Grafické vyjadrenie deformačných koeficientov v

závislosti od hladiny zaťaženia je znázornené vždy na obrázkoch prislúchajúcich jednotlivým nosníkom. Závislosť platiaca pre všetky typy nosníkov je znázornená na obr. M-1 až M-8 (príloha M) Hodnoty deformačných koeficientov, ktoré som získal pri porušení a pri prevádzkovom zaťažení sú nasledovné: Séria I

Nosník Ia

Koeficient ρ cr určíme ako pomer priehybu od účinku ohybových momentov získaného experimentálne na základe krivosti pozdĺž nosníka y mexp a priehybu teoretického v stave I (bez trhlín) y mteor . Hodnoty koeficientu ρ cr vyjadrujúceho zväčšenie priehybu od účinkov ohybových momentov v stave II. a) pri porušení ( hladina zaťaženia γ s 1.55 ): ρ cr 2.95, pričom vplyv ohybového momentu na celkový priehyb bol 79,30 % a na celkovú deformačnú (vnútornú) energiu bol 78,1% b) pri prevádzkovom zaťažení (hladina zaťaženia γ s 1.0 ): ρ cr 2.57, pričom vplyv ohybového momentu na celkový priehyb bol 83,5 % a na celkovú deformačnú (vnútornú) energiu bol 82,4%. Hodnoty koeficientu ρ cr v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na (obr. 5.6.1) (ostatné nosníky, viď obr. M-9 až M-16, príloha M). Koeficient χ cr určíme ako pomer priehybu od účinku priečnych síl získaného experimentálne na základe skosenia pozdĺž nosníka y qexp a priehybu teoretického v stave I (bez trhlín) y qteor . Hodnoty koeficientu χ cr vyjadrujúceho zväčšenie priehybu od účinkov priečnych síl v stave II. a) pri porušení ( hladina zaťaženia γ s 1.55 ): χ cr 8.82, pričom vplyv priečnej sily na celkový priehyb bol 20,71 % a vplyv priečnej sily na deformačnú (vnútornú) energiu bol 21,91% b) pri prevádzkovom zaťažení ( hladina zaťaženia γ s 1.0 ): χ cr 5.69, pričom vplyv priečnej sily na celkový priehyb bol 16,48 % a na deformačnú (vnútornú) energiu bol 17,60%. Hodnoty koeficientu χ cr v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na (obr. 5.6.2) (ostatné série nosníkov, viď obr. M-21 až M-24, príloha M). Hodnotu koeficientu Ω k získame tak, že najprv určíme pomery krivostí v stave II ku krivostiam v stave I pozdĺž železobetónového nosníka a potom z určených pomerov vypočítame priemernú hodnotu na rozpätie nosníka L, kde L je vzdialenosť medzi podporami.

107

Ωi

ωpl ωel

z toho

Ωi

∑ L ⋅ Δs

Ωk

a) pri porušení ( hladina zaťaženia γ s 1.55 ): Ω k 3.29, b) pri prevádzkovom zaťažení ( hladina zaťaženia γ s 1.0 ): Ω k 2.75 . Hodnoty koeficientu Ω k v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na (obr. 5.6.1) (ostatné nosníky, viď obr. M-9 až M-20, príloha M). Hodnotu koeficientu Γ k získame tak, že najprv určíme pomery skosení v stave II ku skoseniam v stave I pozdĺž železobetónového nosníka a potom z určených pomerov vypočítame priemernú hodnotu na rozpätie nosníka L, kde L je vzdialenosť medzi podporami. Γi

γ pl γ el

z toho

Γk

Γi

∑ L⋅χ ⋅Δs i

a) pri porušení ( hladina zaťaženia γ s 1.55 ): Γ k 5.35, b) pri prevádzkovom zaťažení ( hladina zaťaženia γ s 1.0 ): Γ k 3.80 . Hodnoty koeficientu Γ k v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na (obr. 5.6.2) (ostatné série nosníkov, viď obr. M-21 až M-24, príloha M). Hodnotu koeficientu α crII´ získame tak, že najprv určíme pomery ohybových tuhostí v stave II k ohybovým tuhostiam v stave I pozdĺž železobetónového nosníka a potom z určených pomerov vypočítame priemernú hodnotu na rozpätie nosníka L, kde L je vzdialenosť medzi podporami. a) pri porušení ( hladina zaťaženia γ s 1.55 ): α crII´ 0.27, b) pri prevádzkovom zaťažení ( hladina zaťaženia γ s 1.0 ): α crII´ 0.314 . Hodnoty koeficientu α crII´ v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na (obr. 5.6.1) (ostatné nosníky, viď obr. M-9 až M-20, príloha M). Koeficient ζi predstavuje priemerne pomerná hodnota redukcie ohybovej tuhosti nosníka a) pri porušení ( hladina zaťaženia γ s 1.55 ): ζ 0.308, b) pri prevádzkovom zaťažení ( hladina zaťaženia γ s 1.0 ): ζ 0.359 . Hodnoty koeficientu ζi v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na (obr. 5.6.1) (ostatné nosníky, viď obr. M-9 až M-20, príloha M). Hodnotu koeficientu β crII´ získame tak, že najprv určíme pomery šmykových tuhostí v stave II ku šmykovým tuhostiam v stave I

108

pozdĺž železobetónového nosníka a potom z určených pomerov vypočítame priemernú hodnotu na rozpätie nosníka L, kde L je vzdialenosť medzi podporami. G⋅ A

βcri

( GAi) c

∑ L⋅χ

β crII´

⋅ Δs

( EJ) c

αcri

βrci

β cr z toho

Eb ⋅ Jb

α crII´

∑

αcri

1 β cr

⋅ Δs

a) pri porušení ( hladina zaťaženia

Nosník Ia 4

1.55

): β crII´ 0.184,

ρcr

b) pri prevádzkovom zaťažení (hladina zaťaženia γ s 1.0 ): β crII´ 0.27 .Hodnoty koeficientu β crII´ v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na (obr.

Hodnoty deformačných koeficientov

γs

Hladina

0 2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0 zaťaženia

βcrII

5.6.1) (ostatné nosníky, viď obr. M-9 až

M-20, príloha M). Hodnotu koeficientu η

získame tak, že najprv určíme priemernú

α crII

Ωk

Obr. 5. 6. 1 Pracovný diagram závislosti hladiny zaťaženia a deformačných koeficientov.

hodnotu momentu zotrvačnosti v stave II na rozpätie L J k a L1 Jc k , kde L1 je celková dĺžka nosníka. Potom z pomerov momentu zotrvačnosti betónového prierezu v stave I a priemernej hodnoty

Jb Jc k

Séria I

a L1

vypočítame priemernú hodnotu. Jej

inverzná hodnota predstavuje koeficient vyjadrujúci

zníženie

momentu

10 9

Hodnoty deformačných koeficientov

zotrvačnosti v stave II na dĺžku L

Γk

zotrvačnosti

nosníka

teda

4 3 2 1

2.00

1.50

1.00

0.50

0 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Hladina zaťaženia

Obr. 5.6.2 Pracovný diagram závislosti hladiny zaťaženia a deformačných koeficientov χ cr , Γ k

η ⋅ Jel

Jcr

bude:

Ia Ib Ic

zotrvačnosti železobetónového prierezu v stave II. Výsledný redukovaný moment

χ cr

a) pri porušení (hladina zaťaženia γs

1.55

): η

0.250,

109

b) pri prevádzkovom zaťažení (hladina zaťaženia γ s 1.0 ): η

∑J i

⋅ Δs

∑J

0.29

Jc k

z toho

⋅ Δs

JbII

Jc k

1 JbII

Hodnoty koeficientu η v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na (obr. 5.6.1) (ostatné nosníky, viď obr. M-9 až M-20, príloha M). Hodnotu koeficientu θ ck získame tak, že najprv určíme priemernú hodnotu plochy prierezu v stave II na rozpätie L A k a L1 Ac k , kde L1 je celková dĺžka nosníka. Potom z pomerov plochy betónového prierezu v stave I a priemernej hodnoty plochy v stave II na dĺžku L

Ab Ak

a L1

vypočítame priemernú hodnotu. Jej inverzná hodnota predstavuje

Ac k

koeficient θ ck vyjadrujúci zníženie plochy železobetónového prierezu v stave II (príloha M, tab. M-5). Výsledná redukovaná plocha nosníka teda bude:

∑A Ak

A cr

∑A

⋅ Δs

Ac k

z toho

⋅ Δs

A bII

Ab Ac k

θ ck

A bII

θ ck⋅ A b

a) Priemerná hodnota (séria I) pri porušení: θ ck 0.137, b) Priemerná hodnota (séria I) pri prevádzkovom zaťažení (hladina zaťaženia γ s 1.0 ): θ ck

0.187 .

Pri štúdiu napätia betónu v tlačenej zóne pre nosníky série I som zvolil nasledovný postup: Najprv

som

vypočítal

koeficient

železobetónového prierezu ρ

100⋅ A st b⋅ he

ρ,

ktorý

vyjadruje

percentuálne

vystuženie

. Z obrázku (5.6.4) som určil napätie betónu σbc´ i

zodpovedajúce koeficientu ρ a ďalej som vypočítal pomocný koeficient μ i ako

Mi b⋅ he

110

Potom som napätie v betóne pri danej

Napätie betónu v jednotlivých základniach

hladine zaťaženia a pozdĺž nosníka

maximálne

že

Napätie

predpokladu,

pretvorenie nepredpätej výstuže je εs

0.01.

Takto vypočítané hodnoty

hladinách

zaťaženia

0,5

0,7 0,9

0,6.fck

1,2

napätia betónu v tlačenej zóne pri všetkých

0,1 0,3

[MPa]

vyrátal ako σbc μ i⋅ σbc´ < 0.6⋅ fck

od hladiny zaťaženia. Séria I

1,4 1,55

0 1

pre

0,6.fck

Základne

Obr. 5. 6. 3 Priebeh napätie betónu pozdĺž nosníka

nosníky série I sú uvedené v tabuľke M-1 (príloha M). Hodnoty platiace pre ostatné série sú uvedené v tab. M-2 až M-4 (príloha M). Priebeh napätia betónu v tlačenej zóne nosníka je

znázornený na (obr. 5.6.3) (horizontálna čiara pretínajúca graf predstavuje stav obmedzenia napätia). Priebeh napätí v prípade ostatných sérií je znázornený na obrázkoch M-25 až M-28 (príloha M). Overovanie napätia v ohýbaných železobetónových prvkoch - napätie v betóne

σ c' 100

b⋅ d σc

As 100 ⋅ b ⋅ d

σc´ ⋅ μ < 0.6 ⋅ fck.cyl šírka prierezu [m] ú činná výška prierezu [m]

b d

0,6 fck,cyl Fc

As plocha v ýstuže [cm2 ]

μ σs '

Ms ohybový moment [MNm]

z= β.d

x=α.d

1 0

0.25

0.5

0.75

1.25

1.5

1.75

2.25

2.5

2.75

Obr. 5. 6. 4

111

Ms 2

b⋅ d σs b d

1000

As 100 ⋅ b ⋅ d

σs´ ⋅ μ < 0.8 ⋅ fyk

šírka prierezu [m] ú činná výška prierezu [m]

As plocha v ýstuže [cm2 ] Ms ohybový moment [MNm]

z= β.d

10000

Overovanie napätia v ohýbaných železobetónových prvkoch - napätie v ťahovej výstuži x=α.d

σ s' [MPa]

μ σs'

< 0,8.fyk

100

10 0

0,25

0,5

0,75

1,25

1,5

1,75

2,25

2,5

2,75

Obr. 5. 6. 5 Medzný stav obmedzenia napätia je jedným z troch medzných stavov použiteľnosti. Obmedzenie napätia z hľadiska podmienok použiteľnosti sa predpisuje: a) pre tlakové napätia v betóne, ich nadmerné hodnoty môžu za prevádzkového stavu vyvolať: - rozvoj mikrotrhlín v betóne - väčšie dotvarovanie, než sa predpokladalo, b) pre ťahové napätia vo výstuži, ich vysoké hodnoty by viedli k nepružnému pretvoreniu výstuže a vzniku širokých, trvale otvorených trhlín v betóne. Obmedzenie napätia v betóne môže mať pôvod i v iných požiadavkách na funkciu konštrukcií. Zvýšené nároky na trvanlivosť alebo vodotesnosť konštrukcie môžeme formulovať napríklad požiadavkou, aby pre určitú kombináciu zaťaženia zostal celý prierez tlačený. Predpoklady výpočtu napätia Výpočet napätia pre medzný stav obmedzenia napätia sa stanoví pre reprezentatívne hodnoty zaťaženia, dané pri výpočte podľa medzných stavov použiteľnosti: a) pri stálych zaťaženiach charakteristickými hodnotami Gk b) pri náhodných zaťaženiach - kombinačnou hodnotou ψ o⋅ Q k

112

- častou hodnotou ψ 1⋅ Q k - kvazistálou hodnotou ψ 2⋅ Q k Pri výpočte podľa medzných stavov použiteľnosti sa môžu uplatniť tieto tri kombinácie zaťaženia: - výnimočná kombinácia ( ΣGk , j) + P + Q k , 1 + Σψ 0 , 1⋅ Q k , 1 - častá kombinácia

( ΣGk , j) + P + ψ 1 , 1⋅ Q k , 1 + Σψ 0 , 1⋅ Q k , 1

- kvazistála kombinácia ΣGk , j + P + Σψ 2 , 1⋅ Q k , 1 , kde Gk , j

je charakteristická hodnota stáleho zaťaženia

Qk , 1

charakteristická hodnota zostatkových náhodných zaťažení

predpínacia sila

Kvazistála kombinácia zaťaženia predstavuje súčet stálych zaťažení a trvalých zložiek krátkodobých zaťažení. Porovnanie priehybov železobetónových nosníkov (série I , II, III, IV) určených podľa programu SBETA (Computer Program for Nonlinear Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Structures in Plane Stress State), podľa metódy fiktívnej priehradovej sústavy a podľa vlastnej metodiky (viď obr. M-29 až M-40, príloha M) Hodnota pevnosti betónu fck,cyl bola uvažovaná podľa kockovej pevnosti. Vplyv šmykovej výstuže na priehyb železobetónových nosníkov série I, II, III, IV. Priehyby boli vypočítané pomocou počítačového programu SBETA a je demonštrovaný v pracovnom diagrame závislosti koeficientu μ a priehybov atot. (viď obr. M-41, príloha M)

113

Príloha M Hodnoty deformačných koeficientov αcrII´, βcrII´, ρcr, Ωk, η, ζ , χcr a Γk pre všetky typy nosníkov Obr. M-1 Obr. M-2 bcrII

acrII 1.000 0.900

Mi ⎛ ⎯ ⎞ M i⎟ ⋅ Δs ⎜ E ⋅ J ⋅ α crII´ ⎠ =1 ⎝ b b

∑ i

1.100 1.000

0.800

0.900

0.700

0.800

Qi ⎛ ⎯ ⎞ Q i ⋅ χ ⎟ ⋅ Δs ⎜ G ⋅ A ⋅ β crII´ ⎠ =1 ⎝

∑

0.700

0.600

0.500

0.400

0.300

0.200

y = -0,2018Ln(x) + 0,3174

0.100 0.000 0.00

y = -0,2988Ln(x) + 0,2523

0.100

gs 0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

Obr. M-3

0.000 0.00

gs 0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

Obr. M-4

rcr

0.800 3.500 0.700

y = 0,7598Ln(x) + 2,5915 3.000

0.600 2.500 0.500 2.000

0.400

1.500

0.300

y = 0,3012x-0,3976

1.000

0.200 n

0.100 0.000 0.00

y t ot

0.50

Mi ⎛ ⎯ ⎞ M i⎟ ⋅ Δs ⎜ E ⋅J ⋅η ⎠ =1 ⎝ b b

∑

1.00

1.50

2.00

2.50

0.500

0.000 0.00

⎛ Mi ⎯ ⎞ ⎜ E ⋅ J M i⎟ ⋅ ρ cr ⋅ Δs ⎠ =1 ⎝ b b

∑

1.00

2.00

3.00

114

Obr. M-5

Obr. M-6

Gk 6.000

3.500

3.000

y = 2.1467Ln(x) + 4.2936

5.000

y = 0.8032Ln(x) + 2.5431 2.500

4.000

2.000 3.000

1.500 2.000

1.000 n

0.500

⎡ ⎛ Mi ⎞ ⎯ ⎤ ⎢Ω k ⋅ ⎜ E ⋅ J ⎟ ⋅ M i⎥ ⋅ Δs ⎝ b b⎠ ⎦ =1 ⎣

∑ i

1.000 yq

0.000 0.00

1.00

2.00

3.00

Obr. M-7

0.000 0.00

⎡ ⎛ Qi ⎞ ⎯ ⎤ ⎢Γ k ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ Q i ⋅ χ⎥ ⋅ Δs ⎣ ⎝ G⋅ A ⎠ ⎦ =1

∑

1.00

2.00

3.00

Obr. M-8

χcr

9.000 1.000 8.000 7.000

y = 2.7641Ln(x) + 5.9527

0.800

6.000 0.600

5.000

y = -0.2893Ln(x) + 0.3686

4.000 0.400 3.000 2.000 n

1.000

∑ i

0.000 0.00

1.00

⎛ Qi ⎯ ⎞ ⎜ Q i ⋅ χ ⎟ ⋅ χ cr ⋅ Δs ⎝ G⋅ A ⎠ 2.00

3.00

0.200

0.000 0.00

1.00

2.00

115

Pracovné diagramy závislosti hladiny zaťaženia a deformačných koeficientov αcrII´, βcrII´, ρcr, Ωk, η a ζ pre jednotlivé druhy nosníkov Obr. M-9

Nosník Ia 4

ρcr

Hodnoty deformačných koeficientov

3 2

α crII

0 2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Hladina 2.0 zaťaženia

βcrII

2 3

Ωk

Obr. M-10

Nosník Ib 4

ρcr

Hodnoty deformačných koeficientov

3 2

1.5

1.0

α crII

Hladina zaťaženia 1.5

0.5

0.0 1

0.5

1.0

βcrII

2 3

Ωk

116

Obr. M-11

Nosník Ic 4

ρcr

Hodnoty deformačných koeficientov

3 2

α crI

Hladina zaťaženia 1.5

0 1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

βcrII

2 3

Ωk

Obr. M-12

Nosník IIa 3

ρcr

Hodnoty deformačných koeficientov

α crII

Hladina zaťaženia 2.0

0 2.0

1.5

1.0

0.5

0.0 1

0.5

1.0

1.5

βcrII

Ωk 3

117

Obr. M-13

Nosník IIb 4

ρcr

Hodnoty deformačných koeficientov

3 2

α crI

1 0

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

βcrII

2.0

Hladina zaťaženia

2 3

Ωk

Obr. M-14

Nosník IIc 5

ρcr

Hodnoty deformačných koeficientov

3 2

α cr

0 1.5

1.0

0.5

0.0 1

0.5

1.0

βcrI

1.5

Hladina zaťaženia

2 3

Ωk

118

Obr. M-15

Nosník IIIa 4

ρcr

Hodnoty deformačných koeficientov

3 2

α crII´

1 0

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Hladina 2.0 zaťaženia

βcrII´

1 2

Ωk

3 4

Obr. M-16

Nosník IIIb 4

ρcr

Hodnoty deformačných koeficientov

3 2

α crII´

1 0

1.5

1.0

0.5

0.0 1

0.5

1.0

Hladina zaťaženia 1.5

βcrII´

2 3

Ωk

119

Obr. M-17

Nosník IIIc 3

ρcr

Hodnoty deformačných koeficientov

α cr

0 3

Hladina 3 zaťaženia crI

Ωk

Obr. M-18

Nosník IVa 4

ρcr

Hodnoty deformačných koeficientov

3 2

α crII´

0 1.5

1.0

0.5

0.0 1

0.5

1.0

Hladina 1.5 zaťaženia

βcrII´

2 3

Ωk

120

Obr. M-19

Nosník IVb 3

ρcr

Hodnoty deformačných koeficientov

α crII´ Hladina

0 1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5 zaťaženia

βcrII´

Ωk 3

Obr. M-20

Nosník IVc 4

ρcr

Hodnoty deformačných koeficientov

3 2

ζ 1.5

1.0

α crII

0.5

0 0.0 1

0.5

1.0

1.5

βcrII´

Hladina zaťaženia

2 3

Ωk

121

Pracovné diagramy závislosti hladiny zaťaženia a deformačných koeficientov χcr a Γk pre jednotlivé série nosníkov

Obr. M-21

Séria I 10

Hodnoty deformačných koeficientov

9 8

Γk

χ cr

7 6

Ia Ib Ic

5 4 3 2 1

2.00

1.50

1.00

0.50

0 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Hladina zaťaženia

Obr. M-22

Séria II 14

Γk

χ cr

Hodnoty deformačných koeficientov

12 10 8 6

IIa IIb IIc

4 2

2.00

1.50

1.00

0.50

0 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Hladina zaťaženia

122

Obr. M-23

Séria III 12

Hodnoty deformačných koeficientov

Γk

χ cr

IIIa IIIb

2.00

1.50

1.00

0.50

0 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Hladina zaťaženia

Obr. M-24

Series IV

Hodnoty deformačných koeficientov

14 12

Γk

χ cr

10 8

IVa IVb IVc

6 4 2

2.00

1.50

1.00

0.50

0 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Hladina zaťaženia

123

Závislosť napätia betónu v jednotlivých základniach od hladiny zaťaženia pre jednotlivé série nosníkov Tabuľka M-1 Zaťaženie Hl.zaťaž.

10,3 kN γs=0,1 30,9 kN γs=0,3 51,5 kN γs=0,5 72,1 kN γs=0,7 92,7 kN γs=0,9 103 kN γs=1,0 123,6 kN γs=1,2 144,2 kN γs=1,4 160,0 kN γs=1,55 147,0 kN γs=1,42 124,0 kN γs=1,20

Číslo základne Séria I

M [kN.m] 0.000 0.000 μ 0.000 σbc M [kN.m] 0.000 0.000 μ 0.000 σbc M [kN.m] 0.000 0.000 μ 0.000 σbc M [kN.m] 0.000 0.000 μ 0.000 σbc M [kN.m] 0.000 0.000 μ 0.000 σbc M [kN.m] 0.000 0.000 μ 0.000 σbc M [kN.m] 0.000 0.000 μ 0.000 σbc M [kN.m] 0.000 0.000 μ 0.000 σbc M [kN.m] 0.000 0.000 μ 0.000 σbc M [kN.m] 0.000 0.000 μ 0.000 σbc M [kN.m] 0.000 0.000 μ 0.000 σbc 11.562 0,6.fck

0.721 0.148 0.734 2.163 0.445 2.203 3.605 0.742 3.671 5.047 1.038 5.139 6.489 1.335 6.608 7.210 1.484 7.342 8.652 1.780 8.810 10.094 2.077 10.279 11.200 2.305 11.405 10.290 2.117 10.478 8.680 1.786 8.839 11.562

1.442 0.297 1.468 4.326 0.890 4.405 7.210 1.484 7.342 10.094 2.077 10.279 12.978 2.670 13.216 14.420 2.967 14.684 17.304 3.560 17.621 20.188 4.154 20.558 22.400 4.609 22.810 20.580 4.235 20.957 17.360 3.572 17.678 11.562

1.597 0.329 1.626 4.790 0.986 4.878 7.982 1.642 8.128 11.176 2.300 11.381 14.368 2.956 14.631 15.965 3.285 16.257 19.158 3.942 19.509 22.351 4.599 22.760 24.800 5.103 25.254 22.785 4.688 23.202 19.220 3.955 19.572 11.562

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 11.562

0.566 0.146 0.679 1.698 0.437 2.036 2.830 0.728 3.394 3.962 1.019 4.752 5.094 1.310 6.109 5.660 1.456 6.788 6.792 1.747 8.146 7.924 2.038 9.504 8.750 2.251 10.494 8.470 2.178 10.158 6.300 1.620 7.556 19.734

1.132 0.291 1.358 3.396 0.873 4.073 5.660 1.456 6.788 7.924 2.038 9.504 10.188 2.620 12.219 11.320 2.912 13.576 13.584 3.494 16.292 15.849 4.076 19.008 17.500 4.501 20.988 16.940 4.357 20.317 12.600 3.241 15.112 19.734

1.658 0.426 1.988 4.973 1.279 5.964 8.288 2.132 9.940 11.603 2.984 13.916 14.919 3.837 17.893 16.576 4.263 19.880 19.892 5.116 23.857 23.207 5.969 27.833 25.625 6.591 30.733 24.805 6.380 29.749 18.450 4.745 22.128 19.734

Tabuľka M-2 Zaťaženie Hl.zaťaž.

8.086 kN γs=0,1 24.3 kN γs=0,3 40,4 kN γs=0,5 56,6 kN γs=0,7 72,8 kN γs=0,9 80,9 kN γs=1,0 97 kN γs=1,2 113,2 kN γs=1,4 125 kN γs=1,54 121 kN γs=1,5 90 kN γs=1,11

Číslo základne Séria II

124

Tabuľka M-3 Zaťaženie Hl.zaťaž. 7,8 kN γs=0,1 23,3 kN γs=0,3 38,9 kN γs=0,5 54,4 kN γs=0,7 70 kN γs=0,9 77,7 kN γs=1,0 93,3 kN γs=1,2 108,8kN γs=1,4 121,000 kN γs=1,55 101 kN γs=1,30 172 kN γs=2,27

Číslo základne Séria III

0.544 0.112 0.554 1.633 0.336 1.663 2.721 0.560 2.771 3.809 0.784 3.879 4.898 1.008 4.988 5.442 1.120 5.542 6.530 1.344 6.650 7.619 1.568 7.759 8.470 1.743 8.625 7.070 1.455 7.199 12.040 2.477 12.260 12.756

1.088 0.224 1.108 3.265 0.672 3.325 5.442 1.120 5.542 7.619 1.568 7.759 9.795 2.015 9.974 10.884 2.240 11.083 13.060 2.687 13.299 15.237 3.135 15.516 16.940 3.486 17.250 14.140 2.909 14.399 24.080 4.955 24.521 12.756

1.594 0.328 1.623 4.781 0.984 4.869 7.968 1.640 8.114 11.156 2.295 11.360 14.343 2.951 14.606 15.937 3.279 16.229 19.124 3.935 19.474 22.311 4.591 22.720 24.805 5.104 25.259 20.705 4.260 21.084 35.260 7.255 35.906 12.756

Tabuľka M-4 Zaťaženie Hl.zaťaž. 9,5 kN γs=0,1 28,5 kN γs=0,3 47,6 kN γs=0,5 66,6 kN γs=0,7 85,6 kN γs=0,9 95,1 kN γs=1,0 114,1 kN γs=1,2 133,2 kN γs=1,4 110 kN γs=1,15 130 kN γs=1,366 130 kN γs=1,37

Číslo základne Séria IV

0.666 0.171 0.799 1.998 0.514 2.396 3.329 0.856 3.993 4.661 1.199 5.590 5.993 1.541 7.188 6.658 1.712 7.985 7.990 2.055 9.583 9.322 2.398 11.180 7.700 1.980 9.235 9.100 2.341 10.914 9.100 2.341 10.914 19.770

1.332 0.343 1.598 3.995 1.028 4.791 6.658 1.712 7.985 9.322 2.398 11.180 11.985 3.083 14.374 13.317 3.425 15.971 15.980 4.110 19.165 18.644 4.795 22.360 15.400 3.961 18.470 18.200 4.681 21.828 18.200 4.681 21.828 19.770

1.474 0.379 1.768 4.423 1.138 5.305 7.372 1.896 8.841 10.321 2.655 12.378 13.269 3.413 15.914 14.744 3.792 17.683 17.692 4.550 21.219 20.641 5.309 24.755 17.050 4.385 20.449 20.150 5.183 24.167 20.150 5.183 24.167 19.770

125

Obr. M-25 Napätie betónu v jednotlivých základniach od hladiny zaťaženia. Séria I

0,1 0,3

Napätie

[MPa]

0,5

0,7

0,9

0,6.fck

1 1,2

1,4

1,55

0,6.fck

Základne

Obr. M-26 Napätie betónu v jednotlivých základniach od hladiny zaťaženia. Séria II

Napätie

[MPa]

0,1 0,3

0,5

0,7

0,6.fc k

0,9 1

1,2

1,4

1,54

0 1

5 Základne

1,11 0,6.fck

126

Obr. M-27 Napätie betónu v jednotlivých základniach od hladiny zaťaženia. Séria III

0,1 0,3

Napätie

[MPa]

0,5 0,7

0,9

0,6.fck

1 1,2

1,4

1,55 0,6.fck

0 1

1,3

Základne

Obr. M-28 Napätie betónu v jednotlivých základniach od hladiny zaťaženia. Séria IV

0,1 0,3 0,5

Napätie

[MPa]

25 0,6.fck

0,7 0,9

1,2

1,4 0,6.fck

0 1

Základne

1,37

127

Hodnoty 1/θck, 1/η, 1/αcrII', 1/βcrII', pomerov priehybov a deformačných energií jednotlivých nosníkov Tabuľka M-5 Označenie Hladina nosníkov zaťaženia

Ia Ib Ic IIa IIb IIc IIIa IIIb IIIc IVa IVb IVc

γs=1

1/φck [-]

1/η [−]

1/αcrII' 1/β crII' y1/y5 [-] [-] [-]

y2/y5 [-]

y3/y5 [-]

y4/y5 [-]

y6/y5 [-]

y7/y5 [-]

y8/y5 [-]

y9/y5 yθck/y9 Eθck/E9 E1/E5 E2/E5 E3/E5 E4/E5 E6/E5 E7/E5 E8/E5 E9/E5 [-] [-] [-] [-] [-] [-] [-] [-] [-] [%] [%]

2.73

3.42 3.18 3.80 0.87 0.87 0.90 0.87 1.14 0.97 0.99 1.04 6.50

8.30

0.91 0.89 0.91 0.88 1.11 0.94 0.97 1.03

γs pri poruš 2.27

3.99 3.71 5.41 0.87 0.90 0.90 0.90 1.12 0.95 0.98 1.00 4.70

6.00

0.90 0.92 0.92 0.90 1.08 0.92 0.95 0.98

γs=1

3.33 3.10 2.99 0.88 0.88 0.89 0.86 1.17 0.99 1.01 1.22 19.22 23.65 0.89 0.90 0.90 0.87 1.14 0.97 1.00 1.27

9.05

γs pri poruš 13.19 3.86 3.60 4.46 0.87 0.89 0.89 0.89 1.14 0.97 0.99 1.26 23.00 27.98 0.89 0.91 0.90 0.90 1.10 0.94 0.97 1.30 γs=1

4.32

2.93 2.72 2.67 0.90 0.90 0.91 0.84 1.16 0.99 1.00 1.11 11.43 14.38 0.92 0.91 0.92 0.85 1.13 0.97 1.00 1.13

γs pri poruš 6.47

3.90 3.63 5.12 0.89 0.91 0.92 0.90 1.12 0.96 0.98 1.09 12.68 15.89 0.92 0.93 0.93 0.90 1.09 0.93 0.95 1.10

γs=1

1.67

3.16 2.94 4.50 0.86 0.86 0.85 0.83 1.14 0.97 1.00 1.00 3.70

4.00

0.86 0.87 0.85 0.83 1.12 0.96 0.98 1.00

γs pri poruš 4.30

3.37 3.14 6.98 0.88 0.89 0.86 0.84 1.09 0.93 0.95 1.01 8.30

9.10

0.87 0.90 0.86 0.85 1.07 0.92 0.94 1.00

γs=1

3.85 3.58 5.05 0.88 0.89 0.84 0.83 1.15 0.98 1.00 1.08 9.80 10.66 0.84 0.90 0.84 0.83 1.13 0.97 0.99 1.08

5.83

γs pri poruš 5.04

4.13 3.85 7.41 0.87 0.88 0.85 0.85 1.11 0.95 0.96 1.02 8.03

8.70

0.86 0.89 0.85 0.85 1.09 0.93 0.95 1.02

γs=1

4.94 4.60 7.14 0.90 0.90 0.87 0.11 1.13 0.97 0.98 1.00 3.04

3.30

0.88 0.92 0.87 0.81 1.12 0.96 0.97 0.99

2.16

γs pri poruš 5.97

4.88 4.53 7.16 0.92 0.93 0.87 0.81 1.13 0.97 0.98 1.05 8.07

8.80

0.88 0.94 0.88 0.81 1.12 0.96 0.97 1.05

γs=1

3.81 3.54 4.63 0.85 0.85 0.84 0.83 1.15 0.98 1.00 1.00 5.00

5.40

0.84 0.86 0.84 0.83 1.14 0.97 1.00 1.03

2.78

γs pri poruš 2.75

4.20 3.91 6.30 0.86 0.86 0.84 0.84 1.13 0.96 0.98 1.00 4.50

5.00

0.85 0.87 0.84 0.84 1.12 0.95 0.97 1.00

γs=1

3.54 3.41 5.93 0.89 0.89 0.86 0.85 1.08 0.92 0.94 0.99 6.50

7.10

0.87 0.90 0.86 0.85 1.07 0.91 0.93 0.98

3.47

γs pri poruš 2.63

4.02 3.85 6.53 0.88 0.88 0.85 0.85 1.09 0.93 0.95 0.98 4.50

5.00

0.86 0.89 0.85 0.85 1.08 0.92 0.94 0.97

γs=1

0.54

3.13 2.92 2.26 0.83 0.83 0.85 0.87 1.19 1.01 1.04 1.02 1.20

1.30

0.84 0.84 0.85 0.87 1.18 1.01 1.03 1.02

γs pri poruš 3.40

3.54 3.30 5.30 0.86 0.86 0.88 0.95 1.14 0.97 0.98 1.00 6.40

7.00

0.88 0.87 0.88 0.95 1.12 0.95 0.98 1.02

γs=1

11.09 3.77 3.51 8.80 0.90 0.90 0.90 0.92 1.03 0.88 0.90 1.10 20.40 25.00 0.93 0.92 0.92 0.93 0.98 0.84 0.86 1.11

γs pri poruš 11.99 4.00 3.72 9.74 0.91 0.93 0.91 0.94 1.03 0.88 0.90 1.10 20.70 25.40 0.94 0.95 0.93 0.94 0.98 0.83 0.85 1.11 γs=1

3.34

3.30 3.07 4.78 0.87 0.88 0.89 0.86 1.11 0.95 0.97 1.03 8.10 10.30 0.89 0.90 0.90 0.86 1.70 0.91 0.95 1.01

γs pri poruš 8.58

3.47 3.22 6.25 0.89 0.88 0.89 0.86 1.08 0.92 0.94 1.11 17.70 21.90 0.91 0.90 0.90 0.86 1.03 0.88 0.91 1.12

γs=1

3.61 3.36 5.48 0.87 0.88 0.88 0.88 1.10 0.94 0.96 1.08 12.80 16.00 0.90 0.90 0.90 0.88 1.06 0.91 0.94 1.08

6.08

γs pri poruš 4.76

4.78 Priemerná γs=1 hodnota γ pri poruš 5.95 s

3.79 3.52 6.45 0.87 0.88 0.89 0.88 1.09 0.93 0.95 1.02 9.90 12.50 0.90 0.90 0.91 0.89 1.04 0.89 0.92 1.01 3.57 3.33 4.84 0.88 0.88 0.87 0.85 1.12 0.96 0.98 1.05 8.97 10.78 0.88 0.89 0.88 0.86 3.93 3.66 6.42 0.88 0.89 0.88 0.88

1.1

0.94 0.97 1.06

0.95 0.96 1.05 10.7 12.77 0.89 0.91 0.89 0.88 1.07 0.92 0.94 1.05

Podiel priehybov (fg/fc, fm/fc) celkové priehyby nosníkov namerané a vypočítané v strede rozpätia Tabuľka M-6 Zaťaženie [kN] fg/fc fm/fc Ia fsk fc M[kNm] fg/fc fm/fc Ib fsk fc M[kNm] fg/fc fm/fc fsk Ic fc M[kNm] fg/fc fm/fc IIa fsk fc M[kNm] fg/fc fm/fc fsk IIb fc M[kNm] fg/fc fm/fc fsk IIc fc M[kNm]

12 -0.01 1.007 0.235 0.071 1.86

21 0.012 0.988 0.406 0.091 3.25

0.01 0.99 0.182 0.426 3.25 0.11 0.89 0.414 0.74 4.3 0.127 0.874 0.415 0.575 4.3 0.122 0.878 0.123 0.335 2.46

30 0.013 0.967 0.59 0.204 4.85

40 0.014 0.986 0.78 0.316 6.2

1.093 0.248 0.39 4.85 0.013 0.987 0.451 0.632 4.85 0.06 0.94 0.626 0.99 5.11 0.097 0.904 0.732 0.905 6.25 0.099 0.9 0.841 1.16 6.25

1.032 0.504 0.42 6.2 0.015 0.985 0.662 0.96 6.2 0.08 0.92 0.887 1.32 8.2

60 0.898 0.909 1.27 0.941 9.43 0.03 0.97 1.016 1.14 9.43 0.06 0.94 0.877 1.144 9.43 0.12 0.88 1.37 1.91 9.51

67 0.098 0.902 1.465 1.154 10.52 0.037 0.963 1.231 1.62 10.52 0.067 0.933 1.093 1.68 10.52

0.15 0.85 1.67 2.25 14.35 0.161 0.838 2.069 2.38 14.35 0.134 0.866 1.708 1.83 14.35

80 0.117 0.883 1.93 1.56 13.77

0.17 0.83 2.02 2.61 16.5 0.18 0.82 2.525 2.69 16.5 0.169 0.831 2.906 3.085 16.5

91 0.138 0.862 2.36 1.977 14.4 0.103 0.896 1.89 2.21 14.4 0.1 0.9 1.775 3.29 14.4 0.19 0.81 2.37 2.98 18.65 0.178 0.822 2.86 3.06 18.65 0.182 0.82 3.363 3.486 18.65

100 0.147 0.853 2.68 2.29 15.95 0.111 0.889 2.1 2.46 15.95 0.115 0.885 1.951 2.527 15.95 0.2 0.8 2.67 3.32 20.6 0.185 0.815 3.271 3.5 20.6 0.18 0.82 3.76 3.86 20.6

110 0.156 0.844 3 2.6 17.51 0.12 0.88 2.32 2.72 17.51

0.21 0.79 3.017 3.77 22.55 0.2 0.8 3.73 3.99 22.55

120 0.162 0.838 3.295 2.898 19.01 0.14 0.86 2.71 2.83 19.01

0.22 0.78 3.32 3.8 24.7 0.212 0.788 4.206 4.485 24.7

125

130 0.163 0.837 3.63 3.2 20.36 0.16 0.84 3.099 2.95 20.36

140 0.164 0.836 3.98 3.506 22.25 0.17 0.83 3.468 3.17 22.25

147 0.172 0.828 4.32 3.89 23.62 0.17 0.83 3.78 3.795 23.62

160 0.18 0.82 4.655 4.26 25

0.16 0.84 3.317 3.155 19.51 0.23 0.77 3.627 3.9 25.62

128

Tabuľka M-7 Zaťaženie [kN] fg/fc fm/fc IIIa fsk fc M[kNm] fg/fc fm/fc fsk IIIb fc M[kNm] fg/fc fm/fc IIIc fsk fc M[kNm] fg/fc fm/fc IVa fsk fc M[kNm] fg/fc fm/fc IVb fsk fc M[kNm] fg/fc fm/fc IVc fsk fc M[kNm]

12 0.066 0.158 0.225 2.46

21 0.07 0.93 0.51 0.62 4.54 0.04 0.96 0.265 0.407 4.54 0 -0 1 1.002 0.109 0.25 0.21 0.4 2.46 4.54 0.13 0.87 0.289 0.43 3.38 0.52 0.48 0.05 0.62 3.38

30 0.08 0.92 0.617 0.795 6.8 0.059 0.94 0.521 0.696 6.8 0.01 0.99 0.44 0.61 6.56 0.13 0.87 0.56 0.67 4.87 0.15 0.85 0.3 0.86 4.87 0.088 0.912 0.485 0.92 4.87

40 0.088 0.912 1.022 1.18 8.44 0.06 0.94 0.824 0.97 8.44 0.02 0.98 0.631 0.82 8.44 0.13 0.87 0.882 0.96 6.52 0.12 0.88 0.53 1.22 6.52 0.096 0.904 0.77 1.14 6.52

60 0.096 0.904 1.427 1.58 12.53 0.09 0.91 1.465 1.64 12.53 0.03 0.97 1.152 1.31 12.53 0.19 0.81 1.42 1.56 9.62 0.13 0.87 1.06 1.64 9.62 0.13 0.87 1.309 1.67 9.62

67 0.12 0.88 1.638 1.88 13.97 0.12 0.88 1.734 1.79 13.97 0.03 0.97 1.25 1.31 13.97 0.22 0.78 1.93 1.99 10.4 0.155 0.845 1.5 2.08 10.4 0.155 0.845 1.804 2.15 10.4

91 0.172 0.826 2.401 2.815 19.1 0.196 0.81 2.654 2.68 18.89 0.08 0.92 1.994 2.065 18.89 0.25 0.75 2.44 2.43 14.21 0.18 0.82 1.95 2.53 14.22 0.18 0.82 2.299 2.64 14.21

100

110

120 0.19 0.81 3.882 4.03 24.84

130

160

170

0.2 0.8 3.271 3.29 20.94 0.088 0.912 2.253 2.34 20.94 0.26 0.74 2.87 2.79 15.82 0.18 0.82 2.255 2.84 15.82 0.19 0.81 2.538 2.95 15.82

0.099 0.901 2.54 2.64 22.55 0.27 0.73 3.434 3.17 17.32 0.19 0.81 2.47 3.12 17.32 0.19 0.81 2.888 3.1 17.32

0.11 0.89 2.84 2.94 24.84

0.12 0.88 3.15 3.21 26.88

0.14 0.86 4.12 4.415 33.03

0.155 0.845 4.672 4.68 35.08

0.2 0.8 2.84 3.45 19.16 0.19 0.81 3.174 3.58 18.16

0.21 0.79 3.2 3.6 20.46 0.22 0.78 3.54 3.93 20.46

Výpočet deformačnej energie železobetónových nosníkov Tabuľka M-8 Nosník Ia

Nosník Ib

Nosník Ic

Nosník IIa

Nosník IIb

Nosník IIc

Vnútorná energia Vnútorná energia Vnútorná energia Vnútorná energia Vnútorná energia Vnútorná energia Zaťaženie od momentov a od momentov a od momentov a od momentov a od momentov a od momentov a [kN] prieč.síl prieč.síl prieč.síl prieč.síl prieč.síl prieč.síl 20 21 30 31 32 40 41 58 66 80 90 91 92 100 101 102 110 120 121 122 125 130 133 140 147 160

kNmm kNmm kNmm kNmm kNmm kNmm 2.3 2.904 2.588 0.1524 5.3 0.152 3.1258 0.333 8.1 0.29 6.2 0.235 5.22 0.51 9.2 0.38 7.8 0.38 8.83 0.68 10.3 0.45 8.073 0.4913 11.83 0.8304 11.405 0.5 20.05 1.8 22.936 1.325 28.3 3.1 21.93 2.7 32.15 3.5 50.05 5.9 40.3 5.3 51.31 5.9 70.5 8.1 65.8 6.1 62.32 6.3 93.3 10.15 83.5 7.9 78.423 8.2 112.1 12.9 108.1 9.3 90.55 10.3 133.4 15.35 130.5 11 105.31 12.25 150.87 17.59 148.46 11.43 116.14 13.329 152.8 20 165.3 11.8 161.39 17.575 180.9 22.8 185.15 20.3 185.3 23.81 191.78 25.05 202.25 24.9 210.5 28.53 235 35.7 215.35 29.4 235.3 33.72 280.27 45.63 230.15 33.9 260.51 38.91 315.2 53.1 245.35 37.35 280.45 43.32 345.9 57.2 263.45 41.25 305.4 49.75 380.1 63.15 279.25 46.3 327.27 53.118 380,38 kNmm 410.2 68.7 292.15 50.45 445.9 74.35 308.82 54.45 475.3 80.15 370.8 60.85 495.9 86.3 443.8 65.82 509,62 kNmm 539.93 91.51 631,44 kNmm F.w=620,48 kNmmF.w=494,276 kNmmF.w=356,81 kNmm 98% 97% 94%

kNmm

19.688 1.1641 34.178 2.985 61.33 8.2 93.22 14.1 120.33 20.3 143.81 25.78 170.05 32.3 190.32 38.4 208.91 44.105 227.59 49.724 245.3 56.11 250.1 62.312 275.38 66.48 300.05 76.45 322.8 84.25 345.9 93.77 369.96 100.39 470,346 kNmm

kNmm

9.33 12.002 15.15 22.204 2.5073 30.5 3.7 40.35 3.913 80.3 14.1 115.25 20.2 155.35 28.3 190.1 36.4 226.4 43.2 245.3 48.6 265.9 52.7 284.98 56.768 322.9 67.6 360.2 78.4 395.15 88.5 429.35 990237 528,584 kNmm

kNmm kNmm 4.3 11.225 0.9098 18.5 1.8 30.037 2.7068 38.45 3.2 43.5 4.2 50.667 5.3387 110.35 18.5 165.25 29.22 231.24 41.41 291.59 54.12 345,705 kNmm

F.w=479,0 kNmm F.w=524,81 kNmmF.w=350,50 kNmm 101% 99% 101%

129

Tabuľka M-9 Nosník IIIa Zaťaženie [kN]

Nosník IIIc

Nosník IVa

Nosník IVb

Nosník IVc

Vnútorná energia Vnútorná energia Vnútorná energia Vnútorná energia Vnútorná energia Vnútorná energia od momentov a od momentov a od momentov a od momentov a od momentov a od momentov a prieč.síl prieč.síl prieč.síl prieč.síl prieč.síl prieč.síl kNmm

20 21 30 31 32 40 41 58 66 80 90 91 92 100 101 102 110 120 121 122 125 130 133 140 147 160 172

Nosník IIIb

kNmm

7.485 0.4852 9.45 0.93 12.4 1.03 19.02 1.42 25.5 1.83 32.104 2.271 60.22 7.8 90.101 11.2 120.05 18.3 160.1 23.8 180.25 28.9 211.74 34.138 230.1 37.901 245.7 40.1 260.51 43.622 310.5 56.3 368.3 67.5 405.83 79.838 485,668 kNmm

kNmm

5.194 0.489 8.3 0.8 12.3 0.95 14.93 1.0045 30.8 1.41 33.056 1.7157 85.9 7.8 105.5 13.577 145.3 23.5 175.8 32.4 205.59 42.474 225.2 47.2 245.3 51.9 262.77 57.456 320,224 kNmm

kNmm

kNmm kNmm 5.3043 0.5274 10.1 0.75 13.377 1.4025 19.1 2.08 23.3 2.95 28.136 3.235 55.3 12.05 80.05 20.3 105.1 28.1 130.5 36.5 151.46 43.863 160.3 49.15 176.3 54.9 189.89 59.77 205.3 66.3 230.1 73.3 248.16 80.066 328,225 kNmm

kNmm kNmm 0.4231 0.345 0.631 0.98 10.5 1.05 11.1 1.6 15.3 1.72 16.5 1.77 40.3 7.3 65.2 11.9 90.4 16.2 115.1 20.3 132.98 24.48 143.1 27.3 155.3 30.5 169.65 32.48 180.1 35.4 190.2 38.8 202.61 41.03 225.4 47.9 250.1 54.7 270.4 61.38 295.1 69.6 322.68 72.28 394,96 kNmm

kNmm kNmm 3.6933 0.4274 7.5 0.61 11.05 0.81 12.5 1 18.7 1.12 24.23 1.572 43.8 6.05 60.4 11.04 85.2 15.3 102.1 19.8 125.2 24.3 145.1 28.4 163.5 33.1 186.23 37.262 200.1 40.1 219.5 43.2 232.32 46.53 280.59 56.835 295.3 61.8 312.1 64.9 330.2 68.09 349.84 72.25 422,088 kNmm

5.5 0.12 12.1 0.25 15.5 0.33 18.2 0.41 25.3 0.51 26.604 0.7689 55.3 3.05 80.9 6.1 110.1 8.2 150.2 10.98 176.84 13.508 200.05 16.7 215.3 19.6 233.4 22.1 255.1 23.2 275.2 28.1 290.3 31.4 305.9 34.2 326.33 37.599 375.5 46.1 422.3 55.2 465.5 65.3 510.3 74.1 559.1 83.2 603.5 91.482 718.28 120.63 638,906 kNmm F.w=458,63 kNmm F.w=313,68 kNmm F.w=797,60 kNmm F.w=308,09 kNmm F.w=421,66 kNmmF.w=441,035 kNmm 94% 98% 98% 94% 106% 104%

130

Porovnanie priehybov železobetónových nosníkov (série I , II, III, IV) určených podľa programu SBETA (Computer Program for Nonlinear Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Structures in Plane Stress State), podľa metódy fiktívnej priehradovej sústavy a podľa vlastnej metodiky Hodnota pevnosti betónu fck,cyl bola uvažovaná podľa kockovej pevnosti (tab. 3.1). Obr. M-29

Nosník Ia 40 MPa

35 MPa 30 MPa 25 MPa

M sd 2 b. d

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

gs=1

12 MPa

atot(priehyb)[mm] 6

atot(priehyb)[mm]

0 4

SBETA

SHAWKAT truss method

Hladina zaťaženia

1 fck,cyl=25,25 MPa

gs=1

2 fck,cyl=22,17 MPa 8

Obr. M-30

Nosník Ib

40 MPa 35 MPa

30 MPa 25 MPa

M sd 8 b. d2

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

12 MPa

gs=1

2 1

atot(priehyb)[mm]

0 6

SBETA

fck,cyl=23,20 MPa

fck,cyl=22,40 MPa

2 2

SHAWKAT truss method

Hladina zaťaženia

gs=1

6 8

131

Obr. M-31

Nosník Ic

40 MPa 35 MPa

30 MPa 25 MPa

M sd 8 2 b. d

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

4 12 MPa

gs=1

2 1

atot(priehyb)[mm]

0 6

SBETA

SHAWKAT

Hladina zaťaženia

truss method

gs=1

1 fck,cyl=19,57 MPa 2 fck,cyl=21,50 MPa

. Obr. M-32

Nosník IIA

40 MPa 35 MPa

30 MPa 25 MPa

M sd 8 2 b. d

20 MPa

6 Hladina zaťaženia

16 MPa

gs =1

4 12 MPa

2 1

atot(priehyb)[mm] 6

SBETA

1 fck,cy l=30,74 MPa 2 fck,cy l=37,10 MPa

2 2

SHAWKAT truss method

atot(priehyb)[mm]

Hladina zaťaženia

gs=1

6 8

132

Obr. M-33

Nosník IIb

40 MPa 35 MPa

30 MPa 25 MPa

M sd 8 2 b. d

20 MPa

Hladina zaťaženia 16 MPa

gs=1

12 MPa

2 1

atot(priehyb)[mm] 6

atot(priehyb)[mm]

SBETA

SHAWKAT

truss method

Hladina zaťaženia

gs=1

1 fck,cy l=29,75 MPa 2 fck,cy l=39,06 MPa

Obr. M-34

Nosník IIc

40 MPa 35 MPa 30 MPa 25 MPa

M sd 8 b. d2

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

gs=1

12 MPa

2 1

atot(priehyb)[mm]

0 6

4 SBETA

1 fck,cy l=22,13 MPa 2 fck,cy l=39,65 MPa

2 2

SHAWKAT truss method

Hladina zaťaženia

gs=1

6 8

133

Obr. M-35

Nosník IIIa

40 MPa 35 MPa 30 MPa 25 MPa

M sd

2 b. d

8 6

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

4 12 MPa

gs=1

2 1

atot(priehyb)[mm] 6

atot(priehyb)[mm]

0 4

SBETA

2 Hladina zaťaženia

SHAWKAT

truss method

gs=1

1 fck,cy l=25,26 MPa 2 fck,cy l=25,67 MPa

Obr. M-36

Nosník IIIb

40 MPa 35 MPa

30 MPa 25 MPa

M sd 2 b. d

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

12 MPa

gs=1

atot(priehyb)[mm] 6

0 4

atot(priehyb)[mm] 5

2 SBETA SHAWKAT truss method

2 4

Hladina zaťaženia

gs=1

fck,cy l=21,10 MPa 8

2 fck,cy l=22,63 MPa 10

134

Obr. M-37

Nosník IIIC 40 MPa 35 MPa 30 MPa 25 MPa

M sd 8

2 b. d

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

12 MPa

atot(priehyb)[mm] 6

atot(priehyb)[mm]

SBETA

sHAWKAT truss method

Hladina zaťaženia

1 fck,cy l=35,91 MPa

gs=1

2 fck,cy l=24,85 MPa

Obr. M-38

Nosník IVa 40 MPa 35 MPa

30 MPa 25 MPa 20 MPa

M sd 2 b. d

16 MPa

Hladina zaťaženia

12 MPa

gs=1

atot(priehyb)[mm]

atot(priehyb)[mm] 0

SBETA

SHAWKAT truss method

Hladina zaťaženia

gs=1

1 fck,cy l=20,45 MPa 2 fck,cy l=37,36 MPa

135

Obr. M-39

Nosník IVb 40 MPa 35 MPa

30 MPa 25 MPa

M sd 2 b. d

20 MPa

Hladina zaťaženia 16 MPa

12 MPa

gs=1

atot(priehyb)[mm]

atot(priehyb)[mm] 0

SBETA SHAWKAT

Hladina zaťaženia

truss method

gs=1

1 fck,cy l=24,17 MPa 8

2 fck,cy l=39,14 MPa

m 10

Obr. M-40

Nosník IVc 40 MPa 35 MPa

30 MPa 25 MPa

M sd 2 b. d

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

gs=1

12 MPa 2

atot(priehyb)[mm]

0 6

SBETA

1 fck,cy l=24,17 MPa 2 fck,cy l=39,51 MPa

SHAWKAT truss method

Hladina zaťaženia

gs=1

m 10

136

M sd b. d

Séria I

-s výstužou v tlačenej časti a so strmienkami

7,000 -s výstužou v tlačenej časti a bez strmienkov

6,000 5,000 4,000

Hladina zaťaženia

gs=1

-bez výstuže v tlačenej časti a bez strmienkov

3,000 2,000 fck,cy l=35 MPa

1,000

a tot (priehyb) [m]

0,000 0,0E+00

1,5E-03

3,0E-03

4,5E-03

M-41 Účinok šmykovej výstuže na priehyb nosníka μ

Návrh výstuže do železobetónových prvkov

fyk

0,50 0,48

520 MPa

0,45

490 MPa

0,43

450 MPa

0,40

412 MPa

0,38

410 MPa 392 MPa

0,35

375 MPa

0,33

325 MPa

0,30

300 MPa

0,28

245 MPa

0,25

235 MPa

0,23

206 MPa

0,20

Pracovný diagram ocele

Pracovný diagram betónu

190 MPa

0,18 0,15 0,13 0,10 0,08 0,05 0,03 0,00 0

0,03

0,06

0,09

0,12

0,15

0,18

0,21

0,24

0,27

0,3

0,33

0,36

0,39

0,42

0,45

0,48

M-42

137

ohybový moment s tahovou osovou silou

Prierez

Pretvorenie

Napätie

ohybový moment s tlakovou osovou silou

1. Ohybový moment a ťahová sila ⎛h ⎞ M sds M sd − N sd ⋅ ⎜ − d 2 ⎟ ⎝2 ⎠

2. Ohybový moment a tlaková sila ⎛h ⎞ M sds M sd + N sd ⋅ ⎜ − d 2 ⎟ ⎝2 ⎠

Potrebná plocha výstuže [cm2]: ⎛ N sd ⎞ A2 ρ ⋅ A c ⋅ f cd ⋅ 100 + ⎜ ⋅ 104 ⎟ ⎜ f yd ⎟ req ⎝ ⎠

Potrebná plocha výstuže [cm2]: ⎛ N sd ⎞ A2 ρ ⋅ A c ⋅ f cd ⋅ 100 − ⎜ ⋅ 104 ⎟ ⎜ f yd ⎟ req ⎝ ⎠

kde ρ možno získať z Obr. M-42 (podľa druhu pracovných diagramov betónu a nepredpätej výstuže) na základe μ M.sd ...... v MNm h, d2,d....... v m M sds μ Nsd ........ v MN Ac ............. v m2 A c ⋅ d ⋅ f cd fyd .........v MPa fcd ..............v MPa Určenie plochy prierezu železobetónového prvku Ac :

Ac = b . d

π⋅

D 1⋅ D 2 4

3. Čistý ohyb V prípade čistého ohybu sa použijú predošlé vzťahy, kde za Nsd dosadzujeme Nsd= 0

138

Výpočet priehybov v strede rozpätia jednotlivých nosníkov pre rôzne pevnosti betónu (20 - 40 MPa) pomocou vlastnej výpočtovej metódy Z grafov možno určiť priehyby, ktoré sú funkciou valcovej pevnosti betónu. Jednoduchá metóda výpočtu priehybov železobetónových nosníkov

0,50

0,40

0,30

0,20

k s2

k s1

0,10

1,50

1,00

0,50

0,00 0,00

0,50

1,00

0,10

1,50

12 MPa 16 MPa

0,20

k s3

20 MPa

0,30

25 MPa 30 MPa 35 MPa

0,40

40 MPa

0,50

Jednoduchá metóda výpočtu priehybov železobetónových nosníkov pri krátkodobom zaťažení 0,50

0,40 0,30

k s5

k s4

0,20 0,10 0,00 1,50

1,00

0,50

0,00

0,50

1,00

0,10 0,20 0,30

k s6

0,40 0,50

Msd 2

b ⋅d ⋅fcd

ksi⋅ + kbi⋅d d

a Priehyb d Úcinná výška prierezu (m) b Šírka prierezu (m) L Rozpatie nosníka (m) Msd Ohybovy moment (kN m)

1,50

12 MPa 16 MPa 20 MPa 25 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa

M43 a M44 139

5.7 Zavedenie deformačných koeficientov do výpočtov

V tejto kapitole uvádzam vlastnú metodiku priameho, nekomplikovaného a pri tom spoľahlivého výpočtu priehybu a deformačnej energie v stave II (s plným rozvojom trhlín). Do výpočtu priehybu a deformačnej energie podľa virtuálnej práce v stave I som zaviedol nové deformačné koeficienty, ktoré umožňujú vyjadriť stav po úplnom rozvoji trhlín. Pomocou nich môžeme jednoduchým spôsobom vyjadriť redukciu ohybovej a šmykovej tuhosti pozdĺž nosníka pri všetkých hladinách zaťaženia a zároveň elegantne vypočítať priehyb a deformačnú energiu železobetónových nosníkov v stave II. Výpočty pomocou týchto koeficientov môžu nájsť uplatnenie nielen v teoretickej oblasti, ale aj v inžinierskej praxi. Pre prehľad uvádzam priemerné hodnoty nových deformačných koeficientov pri porušení a prevádzkovom zaťažení: Koeficient ρ cr , ktorý vyjadruje zväčšenie priehybu od ohybových momentov v stave II,

dosiahol pri porušení priemernú hodnotu ρ cr 3 a pri prevádzkovom zaťažení hodnotu ρ cr

2.70.

Koeficient χ cr , ktorý vyjadruje zväčšenie priehybu od priečnych síl v stave II, dosiahol pri

porušení priemernú hodnotu χ cr 9.5 a pri prevádzkovom zaťažení hodnotu χ cr 7.0 . Koeficient Ω k , vyjadrujúci priemernú pomernú krivosť nosníka na rozpätie L, dosiahol pri

porušení hodnotu Ω k 3.20 a pri prevádzkovom zaťažení hodnotu Ω k 2.70. Koeficient Γ k , ktorý vyjadruje priemerné pomerné skosenie nosníka na rozpätie L, mal pri

porušení hodnotu Γ k 6.5 a pri prevádzkovom zaťažení hodnotu Γ k 4.85. Priemerná pomerná hodnota koeficientu α crII´ , ktorý vyjadruje zníženie ohybovej tuhosti Eb⋅ Jb na dĺžku nosníka L, vyšla pri porušení α crII´ 0.275 a pri prevádzkovom zaťažení α crII´

0.308.

Z toho vyplýva, že hodnota ohybovej tuhosti E⋅ J sa použitím koeficientu α crII´

znížila pri porušení 3.65 krát a pri prevádzkovom zaťažení 3.25-krát. Priemerná pomerná hodnota koeficientu β crII´ , ktorý vyjadruje zníženie šmykovej tuhosti Gb ⋅ A b⋅ χ na dĺžku nosníka L, vyšla pri porušení β crII´ 0.161 a pri prevádzkovom zaťažení β crII´ 0.233. Z toho vyplýva, že hodnota šmykovej tuhosti G⋅ A ⋅ χ sa použitím koeficientu β crII´ znížila pri porušení 6.20 krát a pri prevádzkovom zaťažení 4.30 krát.

140

Priemerná pomerná hodnota koeficientu ζ , ktorý vyjadruje pomer ohybovej tuhosti v stave II ( EJ) c ku ohybovej tuhosti v stave I Eb⋅ Jb , vyšla pri porušení ζ 0.315 a pri prevádzkovom zaťažení ζ 0.351. Teda pomer ohybovej tuhosti ( EJ) c v stave II a ohybovej tuhosti Eb⋅ Jb v stave I sa zavedením koeficientu zníži pri porušení 3.20 a pri prevádzkovom zaťažení 2.85-krát. Priemerná pomerná hodnota koeficientu η , ktorý predstavuje redukciu momentu zotrvačnosti JII nosníka v stave II, vyšla pri porušení η η

0.291.

0.256

a pri prevádzkovom zaťažení

To znamená, táto hodnota sa pri porušení redukuje 3.90-krát a pri prevádzkovom

zaťažení 3.45-krát. Najmenšia hodnota ohybovej tuhosti ( EJ) c v stave II pozdĺž nosníka, získaná ako sklon ( α ) z pracovného diagramu ohybový moment - krivosť, bola dosiahnutá v oblasti šmyku približne v strede šmykového rozpätia (v tejto oblasti bol moment zotrvačnosti najmenší). Naopak, najväčšiu hodnotu dosiahla ohybová tuhosť v oblasti čistého ohybu, kde moment zotrvačnosti bol najväčší. Najväčšie hodnoty krivosti ω na jednotlivých základniach nosníkov v stave II, ktoré sme získali z pracovného diagramu moment - krivosť, sa nachádzali pri pôsobisku sústredených bremien a naopak, najmenšie hodnoty krivosti vyšli v oblasti šmyku, vo väčšine prípadov v strede šmykového rozpätia. Hodnota krivosti ωt1 vypočítaná ako pomer ohybových momentov a ohybovej tuhosti E⋅ J bola najväčšia v oblasti čistého ohybu a zmenšovala sa smerom k podporám, v ktorých bola nulová. Ohybové momenty sme získali pomocou fiktívnej priehradovej sústavy pri danej hladine zaťaženia a ohybové tuhosti Eb⋅ Jb na jednotlivých základniach sme určili ako súčin modulu pružnosti betónu a momentu zotrvačnosti prierezu. Najmenšia hodnota koeficientu α cr , ktorý vyjadruje redukciu ohybovej tuhosti na jednotlivých základniach nosníka v stave II, bola dosiahnutá v šmykovej oblasti približne v strede šmykového rozpätia (tam, kde má ohybová tuhosť ( EJ) c a moment zotrvačnosti JII v stave II najmenšiu hodnotu). Naopak, najväčšiu hodnotu dosiahol koeficient α cr v oblasti čistého ohybu, kde má ohybová tuhosť a moment zotrvačnosti najväčšiu hodnotu.

141

Najmenšia hodnota šmykovej tuhosti ( GA) c v stave II pozdĺž nosníka, získaná ako sklon ( β ) , z pracovného diagramu priečna sila Q - skosenie γ , bola dosiahnutá v oblasti šmyku približne v strede šmykového rozpätia . Najväčšia hodnota skosenia γ na jednotlivých základniach nosníkov v stave II, získaná z pracovného diagramu priečna sila Q - skosenie γ , bola dosiahnutá v oblasti šmyku približne v strede šmykového rozpätia, kde má šmyková tuhosť ( GA) c najmenšiu hodnotu. Najväčšia hodnota koeficientu Γ i , ktorý vyjadruje zväčšenie skosenia γ jednotlivých základní pri danej hladine zaťaženia pozdĺž nosníka v stave II, bola dosiahnutá v šmykovej oblasti približne v polovici šmykového rozpätia (tam, kde má šmyková tuhosť ( GA) c najmenšiu hodnotu). Maximálna hodnota koeficientu β cr , ktorý predstavuje zväčšenie šmykovej tuhosti pozdĺž nosníka v stave II, bola dosiahnutá v šmykovej oblasti približne v polovici šmykového rozpätia - teda v oblasti, kde má šmyková tuhosť ( GA) c najmenšiu hodnotu. Najmenšiu hodnotu dosiahol moment zotrvačnosti prierezu JII na jednotlivých základniach pri danej hladine zaťaženia pozdĺž nosníka v stave II v oblasti šmyku. Čiže v oblasti, kde ohybová tuhosť ( EJ) c mala tiež najmenšiu hodnotu. Naopak, najväčšia hodnota momentu zotrvačnosti prierezu sa dosiahla v oblasti čistého ohybu, teda v oblasti najväčšej ohybovej tuhosti. V prípade všetkých sledovaných železobetónových nosníkov (pri porušení) vyšiel celkový priehyb od účinkov ohybových momentov a priečnych síl vypočítaný pomocou koeficientov α crII´ a β crII´ a priehyb od účinkov ohybových momentov (bez uvažovania

priečnych síl) vypočítaný pomocou koeficientu η väčší ako celkový priehyb získaný pomocou metódy fiktívnej priehradovej sústavy. Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vypočítaného pomocou koeficientov α crII´ a β crII´ je 1.11 -krát väčšia ako hodnota celkového priehybu získaného

pomocou metódy fiktívnej priehradovej sústavy. Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vypočítaného pomocou koeficientov α crII´ a β crII´ je 1.03 -krát väčšia ako hodnota celkového priehybu získaného

pomocou priehybomerov.

142

Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vypočítaného pomocou koeficientov α crII´ a β crII´ je 1.05 -krát väčšia ako hodnota priehybu od účinku ohybových momentov (bez uvažovania priečnych síl) vyrátaného pomocou koeficientu η . Hodnota priemerného pomerného podielu priehybu od účinkov ohybových momentov (bez uvažovania priečnych síl) vypočítaného pomocou koeficientu η (so zohľadnením koeficientu η1

vyjadrujúceho zníženia pretvorenia pri zaťažení ) je 1.20 -krát väčšia ako hodnota

celkového priehybu získaného pomocou metódy fiktívnej priehradovej sústavy. Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vypočítaného pomocou koeficientov α crII´ a β crII´ je 1.13 -krát väčšia ako hodnota celkového priehybu vypočítaného pomocou krivosti ω a skosenia γ . Celková deformačná energia vyrátaná pomocou α crII´ a β crII´

je 1.12 -krát väčšia ako deformačná energia získaná pomocou krivosti ω a skosenia γ .

Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vypočítaného pomocou koeficientov α crII´ a β crII´ vyšla 1.12 -krát väčšia ako hodnota celkového priehybu vypočítaného pomocou χ cr a ρ cr . Celková deformačná energia vyrátaná pomocou α crII´ a β crII´

vyšla 1.10 -krát väčšia ako deformačná energia získaná pomocou χ cr a ρ cr . Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vypočítaného pomocou

koeficientov α crII´ a β crII´ vyšla 1.14 -krát väčšia ako hodnota celkového priehybu vypočítaného pomocou Ω´m a

Ω´q .

Celková deformačná energia vyrátaná pomocou

koeficientov α crII´ a β crII´ vyšla 1.12 -krát väčšia ako deformačná energia získaná pomocou Ω´m

a Ω´q . Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vypočítaného pomocou

koeficientov α crII´ a β crII´ je 1.14 -krát väčšia ako hodnota celkového priehybu vypočítaného pomocou Ω k a Γ k . Celková deformačná energia vyrátaná pomocou koeficientov α crII´ a β crII´

je 1.13 -krát väčšia ako deformačná energia od ohybových momentov (bez uvažovania

účinku priečnych síl) získaná pomocou Ω k a Γ k . Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vyrátaného pomocou koeficientov α crII´ a β crII´ je 1.05 -krát väčšia ako hodnota priehybu vypočítaného pomocou koeficientu η . Celková deformačná energia vyrátaná pomocou α crII´ a β crII´ je 1.12 -krát

143

väčšia ako deformačná energia od účinku ohybových momentov (bez uvažovania účinku priečnych síl) získaná pomocou η . Na základe uvedených pozorovaní môžeme zhrnúť, že deformačné koeficienty α crII´ a β crII´ ,

ktoré vyjadrujú zníženie priemernej pomernej ohybovej a šmykovej tuhosti

železobetónových nosníkov v stave II, umožňujú najspoľahlivejší výpočet priehybu po vzniku a rozvoji trhlín. Vertikálne posuny (priehyby) od účinku ohybových momentov a priečnych síl vyšli približne 2 -krát väčšie ako vodorovné posuny podľa fiktívnej priehradovej sústavy. Z priebehu závislostí pretvorení betónu εb od veľkosti zaťaženia pre jednotlivé základne vyplýva, že maximálne hodnoty pretvorenia mali spodné pásy εd v úrovni ťahovej výstuže v šmykovej oblasti približne v strede šmykového rozpätia. Následkom toho vzrástol priehyb od účinku priečnych síl. Z opisu porušovania jednotlivých nosníkov pri krátkodobom stupňovitom zaťažení vyplýva, že proces porušovania nosníka sa sústredil do oblasti šmykových rozpätí, kde vznikali šmykové trhliny. Rast zaťaženia mal značný vplyv na rozvoj šikmých a ohybových trhlín pozdĺž rozpätia nosníkov a spôsobil zároveň vznik nových šmykových trhlín. Šírky šikmých trhlín sa pod vplyvom zaťažovacej sily zväčšovali intenzívnejšie ako ohybové trhliny a následkom toho sa výrazne zväčšovalo pretvorenie v spodných pásoch v strede šmykového rozpätia, kde kolmé trhliny sa pri vyšších zaťažovacích stupňoch už nepredlžovali, ich počet a šírky boli pomerne stabilizované. Po vzniku šikmých trhlín sa zväčšilo nielen skosenie od priečnej sily, ale aj moment, ktorý v tomto mieste pôsobil. Následkom toho vzrástla krivosť ω a skosenia γ od poklesu tuhosti ( EJ) c a ( GA) c prvku so šikmými trhlinami. Trhliny podstatne menia priebeh vnútorných síl, pretože tuhosť nosníka po vzniku trhliny je premenná. Tuhosť nosníkov môžeme definovať na ich pracovných diagramoch a to moment M - krivosť ω a priečna sila Q - skosenie γ ako sklon uhla sečnice. Tuhosti nosníka sú premenné a závisia od hladiny vnútorných síl M , Q . Ohybová tuhosť ( EJ) c a šmyková tuhosť ( GA) c nie je násobkom modulu pružnosti Eb a momentom zotrvačnosti Jb , ani násobkom modulu betónu v šmyku Gb a plochy prierezu A b . Kvalita betónu mala veľký vplyv na napätie betónu v tlačenej zóne pozdĺž nosníka pri jednotlivých hladinách zaťaženia: čím bola valcová pevnosť betónu v tlaku väčšia, tým bola podmienka určujúca obmedzenie napätia betónu v tlaku vyššia.

144

Tieto závery platia pre železobetón s uvedenými fyzikálno - mechanickými vlastnosťami a pre použitý typ prierezu a spôsob zaťažovania. 5. 8 Diskusia

Prvá časť monografie predstavuje výpočet priehybu, druhá výpočet deformačnej energie a skúmanie účinkov šikmej trhliny na redukciu tuhosti prvku v stave II. V práci sa venujem tiež zavedenie nových deformačných koeficientov, ktoré vyjadrujú zväčšenie krivosti, skosenia a priehybu alebo redukciu ohybovej a šmykovej tuhosti, momentu zotrvačnosti a plochy prierezu. Použitie koeficientov umožňuje jednoduché a elegantné vyjadrenie priehybov a deformačnej energie po vzniku trhlín. Pri riešení danej problematiky som narazil na niektoré otázky. V nasledujúcej "diskusii" sa ich pokúsim stručne opísať a hľadať na ne (spolu s ďalšími autormi) odpoveď. Spôsob, akým je fiktívna priehradovina navrhnutá na čele nosníka, môže mať vplyv na celkový priehyb. Krivosť nad podporami má zápornú hodnotu a to spôsobuje zmenšenie celkového priehybu v strede nosníka. K podobným záverom dospel aj prof. Hájek [29,30]. Horný a dolný pás fiktívnej priehradoviny prebieha nad podporami a zvislica spájajúca horný a dolný pás sa nachádza za podporou. Ak by sme upravili schému fiktívnej priehradovej sústavy tak, že zvislica bude pevná a bude končiť presne nad podporami, potom bude hodnota krivosti nad podporami nulová a následkom toho sa zväčší aj priehyb v strede nosníka. Toto zväčšenie pravdepodobne zodpovedá rozdielu medzi priehybmi získanými pomocou priehybomerov (skutočné priehyby), či vypočítanými pomocou koeficientov α crII´ a β crII´ , v porovnaní s priehybmi, ktoré boli získané pomocou metódy fiktívnej priehradovej sústavy. Hodnoty koeficientov ρ cr a χ cr môžu byť tiež ovplyvnené, lebo predstavujú pomer priehybov vypočítaných podľa fiktívnej priehradovej sústavy a teoretického priehybu vypočítaného podľa pružnosti. Ďalej môže nastať situácia, že pri vyšších zaťažovacích stupňoch niektoré šmykové alebo ohybové trhliny prechádzajú presne miestom, v ktorom sú nalepené terčíky. V takom prípade sa trhliny počas zaťaženia vplyvom ohybového momentu, ktorý v tomto mieste pôsobí, roztvárajú a dochádza k oslabeniu a zmene polohy terčíkov. V dôsledku toho získame nereálne hodnoty dĺžkových zmien jednotlivých základní a teda aj nereálne hodnoty pomerných pretvorení εb. , krivosti ω , skosenia γ a priehybov y , čo zase ovplyvňuje hodnoty deformačných koeficientov (napr. ρ cr a χ cr ). Rovnako pri nižších

145

zaťažovacích stupňoch nie je hodnota χ cr jednoznačne spoľahlivá, pretože napríklad vplyv priečnych síl na priehyb na začiatku zaťažovania je malý, ale pri vyšších zaťažovacích stupňoch sa zväčšuje. Ako už bolo uvedené, skúmané nosníky boli zaťažené dvomi bremenami a testované dvomi rôznymi testovacími podmienkami: čistý ohyb medzi dvoma zaťažovacími bremenami a konštantná priečna sila v koncových prierezoch. Ak vypočítame skosenia pozdĺž nosníka z diagramu priečnej sily a tiež podľa fiktívnej priehradovej sústavy, z porovnania výsledných hodnôt zistíme, že sú rozdielne, lebo ako je známe, skosenie γ je pomer priečnej sily a súčinu modulu betónu v šmyku Gb , plochy prierezu A b a koeficientu tvaru prierezu χ . Pretože priečne sily v oblasti čistého ohybu (podľa diagramu priečnej sily) sú rovné nule ( Qi 0 ), aj skosenia v oblasti čistého ohybu budú tiež nulové ( γ i 0 ). To znamená, že šmykové tuhosti ( GA) c , predstavujúce sklon uhla sečnice ( GA) c

sklon ( β ) ,

ktoré získame z pracovného diagramu priečna sila Q - skosenie γ , budú tiež

nulové. Avšak skosenie γ podľa metódy fiktívnej priehradovej sústavy vypočítame ako podiel rozdielu vertikálnych posunov styčníkov a dĺžok základne Δs (teda ako tangens uhla po dĺžke nosníka). V tomto prípade zistíme, že skosenie v oblasti čistého ohybu nemá nulovú hodnotu. Ďalej podľa pracovného diagramu priečna sila - skosenie vyjadríme šmykovú tuhosť ako tangens uhla sečnice pozdĺž nosníka a na základe toho môžeme určiť hodnoty skosenia a šmykovej tuhosti nosníka bez ohľadu na to, aký je diagram priečnej sily. Z týchto dôvodov považujem metódu fiktívnej priehradovej sústavy za vhodnejšiu pre výpočet deformačných koeficientov ako napr. Ω q´ , Γ k a β crII´ . Výhodou použitia deformačných koeficientov α crII´ a β crII´ , ktoré vyjadrujú zníženie priemernej pomernej ohybovej a šmykovej tuhosti železobetónových nosníkov v stave II je, že umožňujú najspoľahlivejší výpočet priehybu a deformačnej energie, pretože pri ich použití výpočet najlepšie vystihuje skutočné hodnoty. Hodnoty pomeru priehybov vypočítaných pomocou nových deformačných koeficientov ρ cr , χ cr , Ω´m , Ω´q , Ω k , Γ k , η

a priehybov získaných pomocou nových koeficientov α crII´ , β crII´

boli takmer pre všetky nosníky menšie ako 1. Výnimku tvorili priehyby získané pomocou koeficientov η , θ ck a pomocou koeficientov η , η 1 (tab. M-5, príloha M). Ďalej chcem poukázať na zaujímavé pozorovanie, že vertikálne posuny (celkové priehyby) od účinku ohybových momentov a priečnych síl v strede nosníka sú vždy približne 146

2 -krát väčšie ako vodorovné posuny na poslednej základni získané pomocou fiktívnej priehradovej sústavy. Rovnaký výsledok získal Leonhardt [40]. Analyzoval som tiež vplyv šírky prierezu na podiel priečnej sily na priehyb: pri menšej šírke prierezu bol podiel priečnej sily Q väčší. Tejto téme sa venoval Leonhardt [40], ktorý zisťoval závislosť medzi šírkou prierezov a deformáciami pre rôzne tvary prierezu. Druhou oblasťou môjho záujmu bol výpočet deformačnej energie. Hodnoty pomeru deformačnej energie vypočítanej pomocou nových deformačných koeficientov Ω´m , Ω´q , Ω k , Γ k , η a

ρ cr ,

χ cr ,

deformačnej energie získanej pomocou α crII´ , β crII´ , boli pre všetky

nosníky menšie ako 1, výnimku tvorili priehyby získané pomocou koeficientov η , θ ck a koeficientov η , η 1 (pozri tab. M-5, príloha M). Deformačná energia E9 (pozostávajúca z deformačnej energie od priečnych síl Q vypočítanej pomocou koeficientu θ ck a deformačnej energie od ohybových momentov M vypočítanej pomocou koeficientu η ), vyšla priemerne 1.05-krát väčšia ako celková deformačná energia E5 (získaná pomocou α crII , β crII´ ). Koeficient θ ck vyjadruje redukciu plochy prierezu pri porušení. Je známe, že rovnica virtuálnej práce pre výpočet priehybov alebo deformačnej energie pozostáva z dvoch častí. Prvý člen rovnice predstavuje priehyb od M (kde v menovateli je ohybová tuhosť Eb⋅ Jb ) a druhý člen predstavuje priehyb od Q (v menovateli je šmyková tuhosť Gb ⋅ A b⋅ χ ). Keď som do rovnice virtuálnej práce pre výpočet priehybov v stave II zaviedol koeficienty η a θ ck , kde prvý redukuje moment zotrvačnosti prierezu a druhý redukuje plochu prierezu, zistil som, že pri porušení boli priemerné hodnoty priehybov 1.05-krát

väčšie ako priehyby y5 . Priemerný rozdiel percentuálneho podielu vplyvu priečnych

síl na priehyb vypočítaný pomocou koeficientu θ ck a vplyvu priečnych síl na priehyb vypočítaný bez použitia tohto koeficientu na celkový priehyb y 9 , vypočítaný pomocou η a θ ck ,

vyšiel iba 8.9% . Pri zavedení normového súčiniteľa η 1 do menovateľa prvej časti rovnice

virtuálnej práce (bez uvažovania vplyvu priečnej sily) vyšli priemerné hodnoty priehybov 1.10-krát

väčšie ako y 5 . Z týchto dôvodov predpokladám, že redukovanie geometrie prierezu

z hľadiska momentu zotrvačnosti pomocou η po vzniku trhlín v stave II, predstavuje postačujúci spôsob na vyjadrenie priehybu a deformačnej energie nosníkov. Pretože

147

koeficient θ ck býva ovplyvnený viacerými faktormi, ako napr. typom fiktívnej priehradovej sústavy, hustotou trhlín pozdĺž nosníka a polohou sústredeného bremena, jeho hodnota je závislá od rôznych podmienok. Pre vyjadrenie celkového priehybu je preto výhodnejšie použiť koeficienty η a η 1 . Určovaniu pretvárnej práce, deformačnej energie a separácii vplyvu šmykových síl a ohybových momentov na celkovú prácu vnútorných síl pri krátkodobom stupňovitom a pohyblivom zaťažení pre obdĺžnikové prierezy a prierezy tvaru T a I som sa venoval vo viacerých prácach [58, 60, 62]. S riešením podobnej problematiky som sa v literatúre stretol len v práci prof. Hájeka [29], kde skušobné prvky boli železobetónové dosky a autori zohľadňovali iba krivosť prierezu. Je však vhodné, ak sa sústava meraných veličín vopred navrhne tak, aby sa deformačná energia a pretvárna práca dala čo najpresnejšie určiť. Trhliny podstatne menia priebeh vnútorných síl, pretože tuhosť nosníka po vzniku trhliny je premenná. Ak šmykové napätie τb dosiahne hodnotu pevnosti betónu v ťahu, musí hlavné napätie v ťahu σ1 zachytiť výstuž, pretože vznikajú šmykové trhliny. Ďalšou príčinou vzniku šikmej trhliny môže byť veľká a náhla zmena ťahových napätí pozdĺžnej výstuže a tým aj súdržnosti tejto výstuže s betónom. Keď vzniká šmyková trhlina, prudko sa znižuje výška tlačenej oblasti a mení sa priebeh ťahových napätí v oblasti podpôr, čo môže viesť k porušeniu kotvenia výstuže. Z tohto vyplýva, že k porušeniu v šmyku vedúca šmyková trhlina zmenšuje výšku tlačenej zóny viac ako ohybové trhliny, čo bol prípad takmer všetkých železobetónových nosníkov, kde ohybová a šmyková tuhosť približne v strede šmykového rozpätia boli najmenšie a z tohto dôvodu boli aj najviac namáhané strmene v strede šmykového rozpätia. Autori Gvozdev [25] a Leonhardt [39] zistili, že napätia strmeňov pod zaťažovacími bremenami dosahujú skoro nulové hodnoty, pretože ťahové napätia strmeňov sú silne redukované tlakovými napätiami od bremien. Teda vertikálne tlakové napätia od vonkajších síl zmenšujú ťahové napätia strmeňov smerom k pôsobisku síl a v blízkosti podpôr sú strmene napäté, lebo tu nevznikajú žiadne šikmé trhliny. Často sú strmene blízko podpôr namáhané tlakom. Ak sústredené bremeno pôsobí blízko podpory, potom vzniká trhlina nad podporou podľa analógie priehradoviny [39, 40]. Väčšia tuhosť spodného pása znižuje napätosť strmienkov a zvyšuje prenos šmyku tlačeným betónom. Doposiaľ však nie je presne stanovené, akým podielom sa v skutočnosti na prenose hlavnej ťahovej sily podieľa šmyková výstuž, pozdĺžna ťahová výstuž a tlačený betón. Rozvoj šmykových trhlín je nepravidelnejší ako rozvoj ohybových trhlín a zväčšovanie šmykových trhlín pri zvyšovaní zaťaženia je nezávislý na rozvoji susedných trhlín, to 148

znamená, že novovzniknutá trhlina viac - menej nemôže ovplyvniť zväčšovanie už vzniknutej trhliny [25]. Nerovnováha ťahovej sily v pozdĺžnej výstuži a tlakovej sily v betóne tlačenej zóny, ktorá nastáva pri otváraní šikmej trhliny a pootáčaní segmentov, je spôsobená rozdielnou veľkosťou ohybových momentov určujúcich tieto vodorovné sily v nosníku. Sila v ťahanom páse oproti sile v tlačenom páse je menšia o účinok časti momentu a posúvajúcej sily, ktorá pôsobí medzi prierezmi prechádzajúcimi začiatkom a koncom šikmej trhliny [25]. Rovnováhu je možné dosiahnuť iba prítomnosťou výslednice hlavných ťahových napätí, ktorá pôsobí priečne na šikmú trhlinu v strede výšky nosníka, ktorá sa rozloží na horizontálnu a vertikálnu silu. Vertikálnu silu preberajú strmene pretínajúce trhlinu a horizontálnu silu preberá ťahaná výstuž a tlačený pás (rovnakým dielom - polovičným). Potom pozdĺžna výstuž je po vzniku šikmých trhlín v šmykovom rozpätí namáhaná vyššími M

napätiami ako σs nosníka σs Nst

Q 2

1 A st

⋅ ⎛⎜

A st ⋅ zb M

⎝ zb

, približne sa rovnajú napätiu podľa analógie priehradového

Q⎞ 2

⎟ . V mieste nulového momentu Nst ⎠

σs ⋅ A st ,

nikdy Nst ≠ 0 . Sila

sa prenáša zakotvením (tlačený oblúk) [53]. Tak platí podmienka rovnováhy, že

ťahová sila v pozdĺžnej výstuži na kraji šikmej trhliny musí byť v rovnováhe s tlakovými silami v betóne na konci trhliny. V ťahanej výstuži spôsobí zvýšenie napätia odsun momentovej čiary 0.5⋅ Q a v tlačenom páse zníženie tlakových napätí. Niektorí autori, ako napr. Rehm [51], uvádzajú, že veľkosť ťahovej sily v spodnom páse v líci podpory môže byť v rozmedzí 0.5⋅ Q až 2⋅ Q . Rôzni autori majú rôzne názory na správanie a veľkosť ťahovej sily vo výstuži v stave I (kde je dokonalá súdržnosť medzi oceľou a betónom) a v stave II (kde je porušená súdržnosť). Predkladám rekapituláciu týchto názorov a môžeme alebo nemusíme súhlasiť s jedným z nasledovných predpokladov: a) Ak je súdržnosť vplyvom trhlín porušená, nosník sa správa ako oblúk, to znamená, že sila v ťahovej výstuži pozdĺž nosníka (tiahla) je konštantná: Nst Nst ≠ konst

M zb

Ak pôsobí súdržnosť

, časť napätia prenáša betón.

b) Ak je súdržnosť vplyvom trhlín porušená, nosník sa začína správať ako nosník a v podporách sú nulové momenty, čiže sila v ťahovej výstuži pri podporách je nulová Nst

149

c) Ak je súdržnosť vplyvom trhlín porušená, nosník sa začne správať ako priehradovina, to znamená, sila v ťahovej výstuži je Nst

M zb

Q 2

podľa analógie priehradoviny.

Pretože porušenia všetkých sledovaných nosníkov boli v oblasti šmyku, treba odpovedať na dve otázky: kedy a ako nastalo porušenie. Šikmá trhlina pri vyšších zaťažovacích stupňoch dosiahla svoju maximálnu výšku až pri sústredenom bremene a v mieste kde sa šikmá trhlina nakláňa v smere trajektórií hlavného tlaku zo vzniknutej kolmej trhliny, vznikla nová malá šikmá trhlina, ktorá sa rozširovala smerom k ťahanej oblasti a nakláňala sa k hlavnej výstuži smerom ku podpore. Tým nastalo porušenie hlavnej výstuže v súdržnosti a ťahová sila vo výstuži bola väčšia (podľa analógie priehradoviny) ako sila v tlačenej časti prierezu. Toto spôsobilo stratu stupňa kotvenia hlavnej výstuže v tlakovej zóne betónu pri podpore a dôsledkom toho došlo k porušeniu. V prípade, ak by bola ťahová sila vo výstuži menšia ako tlaková sila betónu, pravdepodobne by k porušeniu nedošlo. Posledným dielčím cieľom mojej práce bolo sledovanie napätia betónu v tlačenej zóne pozdĺž nosníka. Vypočítal som, že napätie v tlačenej oblasti sa zmenšuje zväčšovaním percentuálneho vystuženia ρ betónového prierezu, pri rovnakej hladine zaťaženia a kvalite betónu. Zväčšenie koeficientu ρ (nie viacej ako o 3 %)

má veľký vplyv na zníženie napätia betónu v tlačenej časti prierezu a v ťahanej výstuži a

zväčšenie výšky tlačenej časti prierezu, a posúva podmienku určujúcu obmedzenie napätia betónu do vyššej hladiny zaťaženia. Vypracoval som univerzálnu tabuľku pre overenie napätia betónu v ohýbaných železobetónových prvkoch obdĺžnikového prierezu. Tabuľka umožňuje určiť napätie betónu v tlačenej časti pri rôznom percentuálnom vystužení prierezov na základe známeho ohybového momentu. Tiež z nej môžeme vyjadriť výšku tlačenej časti prierezu pomocou koeficientu α , určiť rameno vnútorných síl pomocou koeficientu β a napätie v ťahanej výstuži. Pre uvedenie deformačných koeficientov do bežnej praxe a ich zovšeobecnenie by bolo potrebné uskutočniť ďalšie experimenty, pričom niektoré koeficienty som použil pre vyhodnotenie priehybov a deformačnej energie pre rôzne tvary železobetónových a čiastočne predpätých nosníkov pri stacionárnom a pohyblivom krátkodobom stupňovitom zaťažení [60, 62, 64, 65]. Rád by som sa ešte ďalej tejto zaujímavej problematike venoval a pričinil sa o zovšeobecnenie spomínaných deformačných koeficientov a ich využitie v inžinierskej praxi.

150

Príklady Príklad 5.3.1: Výpočet hodnoty tvarového súčiniteľa prierezu χ Rozmery všeobecného prierezu (vzhľadom na opísaný obdĺžnik): bh

0.6⋅ m

0.60⋅ m

0.1⋅ m

βh

βs

βd

0.416

δh

δs

0.75

δd

βh

b bd

βd

b hs

δs

0.6⋅ m

0.25⋅ m

0.80⋅ m bs b hh h hd h

0.1⋅ m

βs

0.416

δh

0.125

δd

0.125

Obr. 5.31 Rozmery zloženého prierezu pre výpočet χ

Pomerná prierezová plocha: kde

b⋅ h⋅ ω a

0.235m

ωa

β h⋅ δ h + β s ⋅ δ s + β d⋅ δ d

0.489

Pomerná poloha ťažiskovej osi prierezu vzhľadom ku krajným vláknam prierezu a vnútorným hranám prírub:

(β h − β s )⋅ δh2 + β s + (β d − β s )⋅ (2 − δd)⋅ δd

μh μd

1 − μh

2⋅ ωa

ρh

0.565

μ h − δh

0.435

0.31

ρd

μ d − δd

0.44

Pomerný moment zotrvačnosti prierezu: 1 ⎡ 3 3 3 3 ωj ⋅ β h ⋅ μ h − ( β h − β s ) ⋅ ρ h + β d ⋅ μ d − ( β d − β s ) ⋅ ρ d ⎤ 0.0467 ⎣ ⎦ 3 Tvarový súčiniteľ môžeme napísať ako ⌠ 2 A ⎮ ( Sz) kde χ ⋅⎮ dA 2 2 je statický moment jednotlivých Sz I ⎮ ( b z) ⌡ obdĺžnikových plôch prierezu ku ťažisku 0 b z sú šírky jednotlivých plôch prierezu J wh

b ⋅ h ⋅ ωj J zh

0.01434m 3

0.04124m

zh wd

μh⋅ h J zd

0.34787m

(h − zh)

0.45213m

0.03173m

Pomerné integrály pre výpočet χ: ω i1 ω i2

5 5 2 3 4 ⎞ βd ⎛ ⋅⎝ 8 ⋅μd − 3 ⋅ρd + 10⋅μd ⋅ρd − 15⋅μd ⋅ρd⎠

0.00007

1 ⎡⎡⎡ 2 ⎛ 4 2 3 5 ⋅ β d ⋅⎝ 15⋅μd ⋅ρd − 10⋅μd ⋅ρd + 3 ⋅ρd ⎞⎠ 60⋅β s ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢ 2 5 ⎣ ⎣ ⎣ + 8 ⋅( β d − β s) ⋅ρd

2 3 ⎡ − β d ⋅( β d − β s) ⋅⎢30⋅μd ⋅ρd − ⎢+ 6 ⋅ρd5 ⎣

(

10⋅ μd

)

2 3 ⎤ ⎤⎤⎤ + ρd ⋅ρd ... ⎥ ... ⎥ ⎥ ⎥

⎥ ⎦

⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦

151

1 ⎡⎡⎡ 2 ⎛ 4 2 3 5 ⋅ β h ⋅⎝ 15⋅μh ⋅ρh − 10⋅μh ⋅ρh + 3 ⋅ρh ⎞⎠ 60⋅β s ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢ 2 5 ⎣ ⎣ ⎣ + 8 ⋅( β h − β s) ⋅ρh 5 5 2 3 4 ⎞ βh ⎛ ⋅⎝ 8 ⋅μh − 3 ⋅ρh + 10⋅μh ⋅ρh − 15⋅μh ⋅ρh⎠ 60

ω i3

ω i4

0.00313

ω i2

ω i3

0.00269

2 3 ⎡ − β h ⋅( β h − β s) ⋅⎢30⋅μh ⋅ρh − ⎢+ 6 ⋅ρh5 ⎣

(

10⋅ μh

+ ρh

) ⋅ρh3 ...⎥⎤ ... ⎥⎤ ⎥⎤ ⎥⎤

⎥ ⎦

⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥ ⎦⎦⎦

0.0001

ω i4

Súčiniteľ tvaru prierezu χ bude: χ

ωa 2

⋅ ( ωi1 + ωi2 + ωi3 + ωi4)

1.34579

ωj

Príklad 5.3.2: Výpočet skosenia Horizontálny posun horného uzla 3:

Horizontálny posun horného uzla 4: Vertikálny posun horného uzla 3: Vertikálny posun horného uzla 4: Horizontálny posun dolného uzla 3: Horizontálny posun dolného uzla 4: Vertikálny posun dolného uzla 3: Vertikálny posun dolného uzla 4: Dĺžka základní: Výška základní: Výpočet Δ : ΔL34h

(u4h − u3h)

ΔL34h

−0.000089m

(

−3

u 3h

1.19710 ⋅

u 4h

1.10810 ⋅

w 3h

2.26510 ⋅

−3 −3 −3

w 4h

3.25110 ⋅

u 3d

0.162 ⋅10

u 4d

0.49210 ⋅

w 3d

2.32510 ⋅

w 4d

3.39410 ⋅

L 34

140⋅mm

−3 −3 −3 −3

⋅m ⋅m ⋅m ⋅m ⋅m ⋅m ⋅m ⋅m

147⋅mm 4

γ3-4

)

L34h

L34 − −ΔL34h

L34h

0.13991m

γ4d-4h γ3h-3d

ΔL34d

(u4d − u3d)

ΔL34d

0.00033m

(

)

L34d

L34 − −ΔL34d

L34d

0.14033m

γ4d-3d 4

3 Δh3d3h

(w3d − w3h)

Δh4d4h

(w4d − w4h)

Δh3d3h

0.00006m

Δh4d4h

0.000143m

h3dh3h

h − −Δh3d3h

h4dh4h

h − −Δh4d4h

h3dh3h

0.14706m

h4dh4h

0.14714m

(

)

(

Skosenie nominálnej výšky 3-3: γ 3v

u 3d − u 3h h 3dh3h

0.00704

Skosenie hornej základne 4-3:

) Skosenie nominálnej výšky 4-4: γ 4v

u 4d − u 4h h 4dh4h

0.00419

Skosenie dolnej základne 4-3:

152

γ 3h

w 4h − w 3h

Priemerné skosenie: γ 1

0.00762

Priemerné skosenie:

0.00704

L 34d

0.00705

L 34h

γ 3v + γ 3h

w 4d − w 3d

γ 4d

γ 4v + γ 4d

γ 2

Celkové priemerné skosenie prierezu v strede nosníka:

0.0059

γ 3v + γ 3h + γ 4v + γ 4d

γ p

0.00647

Príklad 5.3.3: Výpočet priehybu železobetónového nosníka stáleho prierezu od účinkov

priečnych síl a ohybových momentov pomocou Williot-Mohrových translokačných obrazcov [33]. Odmerné základne pri hornom a spodnom okraji nosníka Nominálna vzdialenosť základne pri hornom a spodnom okraji

⎛ hs ⎞ ⎟ ⎝s⎠

atan ⎜

P t

cot ( α )

0.81

ákl d í (

csc ( α )

0.95

) H

1.38

s hs

140⋅ mm 147⋅ mm

ý á

Pretvorenia základní (namerané v mm): -horný pás δ0

0.025⋅ mm δ0

−0.133⋅ mm δ0

−0.616⋅ mm δ0

−0.841⋅ mm δ0

−0.355⋅ mm δ0

0.017⋅ mm

-dolný pás δ1

0.08⋅ mm

δ1

0.509⋅ mm

δ1

1.078⋅ mm

δ1

0.784⋅ mm

δ1

0.233⋅ mm δ1

−0.003⋅ mm

-zostupné diagonály δ2

0.881⋅ mm δ2

0.870⋅ mm δ2

0.218⋅ mm δ2

−0.06⋅ mm δ2

−0.138⋅ mm δ2

0 ⋅ mm

-vzostupné diagonály δ3

−0.037⋅ mm δ3

−0.019⋅ mm δ3

−0.089⋅ mm δ3

0.680⋅ mm δ3

0.928⋅ mm δ3

0.187⋅ mm

-okrajové podmienky dočasného uloženia X0 δ3

δ0

0 ⋅ mm

δ4

0 ⋅ mm

δ1

0 ⋅ mm

δ1

0 ⋅ mm

Prvá priehradová sústava: Súradnice translokačných uzlov 1i, i=1..6 pri hornom a dolnom povrchu fiktívnej priehradovej sústavy X0

Y1 Y1

( i − 1)

i −1

+ δ0

)

( i − 1)

+ ⎡X1

⎣

( i − 1)

− X0 ⋅ cot ( α ) + δ3 ⋅ csc ( α ) + Y1 i

− X0 ⎤ ⋅ cot ( α ) + δ3 ⋅ csc ( α ) i

i −1

⎦

+ ⎡X1

⎣

⎛ Y1n ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ( 2⋅ i − 1) − Y0 i ⎝ m ⎠

(i)

( i − 1)

+ δ1

− X0 ⎤ ⋅ cot ( α ) − δ2 ⋅ csc ( α )

i ⎦ ⎛ Y1n ⋅ hs ⎞ ⎜ ⎟ + X0 i ⎝ m ⋅s ⎠

⎛ Y1n ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ( 2 ⋅ i) − Y 1 i ⎝ m ⎠ 153

Druhá priehradová sústava: Okrajové podmienky dočasného podopretia X0

0 ⋅ mm

Súradnice translokačných uzlov 1i, i = 1..6 pri hornom a dolnom povrchu fiktívnej priehradovej sústavy X0 X1

( i − 1)

+ δ0 + δ1

0 ⋅ mm U1

(i)

+ ⎡X1

(i)

(X ) + ⎡⎣X 0

i −1

Y0 X1

⎣

m ⋅s

− X0 ⎤ ⋅ cot ( α ) + δ3 ⋅ csc ( α )

(i)

⎦

− X0

⋅ hs + X0

⎤⎦ ⋅ cot ( α ) − δ2i ⋅ csc ( α ) ⎛ Y0n ⎞ ⎟ ⋅ ( 2 ⋅ i) − Y 0 W 1 W0 ⎜ i i i ⎝ m ⎠

i −1

⎛ Y0n ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ( 2⋅ i − 1) − Y1 i ⎝ m ⎠

Obr. 5.3.2

Obr. 5.3.3 Priehradová sústava na vyhodnotenie priehybov z pretvorení meraných na základniach pri obidvoch okrajoch a v diagonálach. Prvá priehradová sústava: Yoi [m] X1i [m] Y1i [m] Xoi [m] 0.0000250000 -0.0001080000 -0.0007240000 -0.0015650000 -0.0019200000 -0.0019030000

-0.0012378571 -0.0009863810 0.0036339524 0.0141682857 0.0250904762 0.0286749524

0.0000800000 0.0005890000 0.0016670000 0.0024510000 0.0026840000 0.0026810000

-0.0011404286 -0.0006392857 0.0012814286 0.0023826667 0.0026722381 0.0024619048

154

Zvislý posun pri spodnom povrchu W1i [m]

Zvislý posun pri hornom povrchu Woi [m]

Uoi [m]

U1i [m]

0.0037472424 0.0084597273 0.0117526407 0.0158650303 0.0207890866 0.0262130476

0.0064514848 0.0114136364 0.0120069307 0.0066862251 0.0009776623 0.0026068139

0.0027621545 0.0026291545 0.0020131545 0.0011721545 0.0008171545 0.0008341545

0.0000800000 0.0005890000 0.0016670000 0.0024510000 0.0026840000 0.0026810000

X1i [m]

Y1i [m]

-0.0012378571 -0.0009863810 0.0036339524 0.0141682857 0.0250904762 0.0286749524

-0.0011404286 -0.0006392857 0.0012814286 0.0023826667 0.0026722381 0.0024619048

Druhá priehradová sústava: Yoi [m] Xoi [m]

Vodorovný posun Vodorovný posun pri hornom pri spodnom povrchu povrchu

0.0000250000 -0.0001080000 -0.0007240000 -0.0015650000 -0.0019200000 -0.0019030000

0.0000800000 0.0005890000 0.0016670000 0.0024510000 0.0026840000 0.0026810000

Zvislý posun pri spodnom povrchu W1i [m]

Zvislý posun pri hornom povrchu Woi [m]

Uoi [m]

U1i [m]

0.0037472424 0.0084597273 0.0117526407 0.0158650303 0.0207890866 0.0262130476

0.0064514848 0.0114136364 0.0120069307 0.0066862251 0.0009776623 0.0026068139

0.0027621545 0.0026291545 0.0020131545 0.0011721545 0.0008171545 0.0008341545

0.0000800000 0.0005890000 0.0016670000 0.0024510000 0.0026840000 0.0026810000

Vodorovný posun Vodorovný posun pri hornom pri spodnom povrchu povrchu

155

Príklad 5.3.4: Výpočet priehybu pomocou ideálnych bremien

ε h1

εh −εd i i

ρi

ε d1

krivost

Pomocou vypočítanej krivosti v jednotlivých úrovniach sa získajú hodnoty ideálnych bremien : Wi

ρi

⋅d s

ε hi

ε hn h = 147

Pri experimente sa namerajú hodnoty pretvorení elementov nachádzajúcich sa pri hornom (εhi) a dolnom (εdi) okraji nosníka., na základe ktorých sa vypočíta krivosť :

εd i

ε dn

Ideálne bremená W1

d si

ra = 560 Wi

Priebeh momentov od pôsobenia W i = priehyb nosníka od pôsobenia F

Ich sumáciou dostaneme veľkosť sily Ra (reakcie)

Obr. 5.3.4-1 vzdialenosť stredov jednotlivých elementov od Ra Wi miesta , v ktorom chceme vypočítať priehyb f vzdialenosť sily Ra od miesta určujúcom priehyb r i =1 a Výpočtom priebehu momentov na nosníku zaťaženom ideálnymi bremenami Wi priebeh priehybu pozdĺž nosníka zaťaženého silou F. n

∑

W i⋅ r i Maximálny priehyb je v strede rozpätia f R a⋅ r a − nosníka a vypočíta sa nasledovne : i =1 Konkrétne riešenie príkladu znázorneného na obr. … : Element h_d

5_2

8_3

eh ed

1.37E-06

1.71E-05

1.90E-06

1.55E-05

1/ρi = krivosť

-3.61E-06

1.09E-05

dsi [m]

0.0425

-1.54E-07

9_26

12_27

13_30

16_31

17_34

20_35

2.94E-05

1.98E-05

-2.73E-05

-1.19E-04

-1.76E-04

-2.73E-04

7.18E-04

8.58E-04

1.03E-03

1.19E-03

1.26E-03

1.32E-03

-4.68E-03

-5.70E-03

-7.17E-03

-8.89E-03

-9.75E-03

-1.08E-02

0.0425

0.03875

4.63E-07

-1.81E-04

-2.21E-04

-2.78E-04

-3.44E-04

-3.78E-04

-4.19E-04

ri [m]

0.62375

0.58125

0.541

0.501875

0.463125

0.424375

0.385625

0.34687

W i . ri

-9.58E-08

2.69E-07

-9.82E-05

-1.11E-04

-1.29E-04

-1.46E-04

-1.45E-04

Element h_d

21_38

24_39

41_54

44_55

45_58

48_59

49_62

52_63

eh ed

-3.50E-04

-4.94E-04

-5.45E-04

-6.43E-04

-6.49E-04

-6.57E-04

-6.61E-04

-6.63E-04

1.37E-03

1.44E-03

1.48E-03

1.50E-03

1.44E-03

1.45E-03

1/ρi = krivosť

-1.17E-02

-1.31E-02

-1.38E-02

-1.46E-02

-1.42E-02

-1.43E-02

dsi [m]

0.03875

0.041667

0.04167

0.041667

-4.52E-04

-5.09E-04

-5.74E-04

-6.07E-04

-5.92E-04

-5.97E-04

ri [m]

0.308125

0.269375

0.2292

0.1875

0.145733

0.10412

0.0625

0.020833

W i . ri

-1.39E-04

-1.37E-04

-1.32E-04

-1.14E-04

-8.63E-05

-6.22E-05

-3.73E-05

-1.24E-05

Ra [ - ]

-6.35E-03

ra [ m ]

-0.56

Celkový priehyb f [m]

-2.06E-03

156

Príklad 5.3-5: Ilustračný príklad na výpočet priehybov od účinkov priečnych síl a ohybových momentov, redukcie ohybovej a šmykovej tuhosti na železobetónovom nosníku pomocou nameraných pretvorení na fiktívnej priehradovej sústave . Séria II a III F

495

8 29

5 25

4 24

3 23

2 22

147

495

a 1

h=200

300

l=1120

1290

Obr. 5.3.5.1 Tvar skušobného nosníka Geometrické veličiny železobetónového nosníka : Rozpätie nosníka : l 1.12⋅m Výška fiktívnej priehradovej sústavy : h s 0.147⋅m Dĺžka základní : Δs 0.14⋅m Modul pružnosti betónu : E c 30.94⋅GPa Modul v šmyku :

Šírka prierezu : Výška prierezu : Plocha prierezu :

b 15⋅cm h 20⋅cm A c b ⋅h

Moment zotrvačnosti prierezu : Zaťažovacie bremená na nosníku :

Ic F s1

F s2

0.435⋅E c

1 12

⋅b ⋅h3

160⋅kN

F s1

Service load:

Koeficient tvaru prierezu : Dľžka železobetónového nosníka:

χ 1.2 L 1 1.29⋅m

Hladina zaťaženia :

γs

80⋅kN

2 51.5⋅2 ⋅kN

F s1 Fs

1.55

Pomerné pretvorenia fiktívnej priehradovej sústavy Pomerné Pomerné pretvorenia v pretvorenia v základniach základniach horného okraja dolného okraja (v promile)

157

εh

0.057

εh

−0.4

εh

−1.021

εh

−1.179

εh

−1.1

εh

−1.05

εh

−0.964

εh

−0.357

εh

0.121

εd

−0.1

εd

3.214

εd

1.786

εd

2.071

εd

1.85

εd

1.643

εd

3.536

εd

2.4

εd

−0.314

Výpočet krivosti na jednotlivých základniach fiktívnej priehradovej sústavy pozdĺž nosníka

ωi

ε d −ε h i i h

ω 1 −0.00107m-1 ω 2 0.02459m-1 ω 3 0.0191m-1 ω 4 0.02211m-1 ω 5 ω 6 0.01832m-1 ω 7 0.03061m-1 ω 8 0.01876m-1 ω 9 −0.00296m-1 Ohybové momenty od jednotkovej sily pôsobiacej v strede nosníka, M1

0.0⋅m

0.07⋅m

0.14⋅m

0.21⋅m

⋅10− 3 0.02007m-1

0.28⋅m

M6 0.21⋅m M7 0.14⋅m M8 0.07⋅m M9 0.0⋅m Výpočet experimentálneho priehybu od účinkov ohybových momentov v strede nosníka

a mexp

∑ ( ω ⋅M ) ⋅Δs i

3.374⋅mm

Vertikálne posuny jednotlivých základní priehradovej sústavy pri hornom okraji Vh 1

0.000⋅ mm

Vh 2

−0.017⋅ mm

Vh 3

0.152⋅ mm

Vh 4

0.759⋅ mm

Vh 5

0.853⋅ mm

Vh 6

0.833⋅ mm

Vh 7

0.689⋅ mm

Vh 8

0.184⋅ mm

Vh 9

−0.002⋅ mm

Vh 10

0.00⋅ mm

Vertikálne posuny jednotlivých základní priehradovej sústavy pri dolnom okraji Vd 11

0.000⋅ mm

Vd 12

0.025⋅ mm

Vd 13

0.678⋅ mm

Vd 14

0.607⋅ mm

Vd 15

0.845⋅ mm

Vd 16

0.684⋅ mm

Vd 17

0.798⋅ mm

Vd 18

0.686⋅ mm

Vd 19

−0.014⋅ mm

Vd 20

0.00⋅ mm

- Výpočet skosenia na jednotlivých základniach pozdĺž nosníka - Výpočet priemerného skosenia jednotlivých základní fiktívnej priehradovej sústavy pozdľž nosníka

158

− Vh

i+ 1

Δs

γi

i+ 11

− Vd i+ 10

Δs

γ1

0.00002857

γ4

0.00118571

γ7

−0.00220357

γ2

0.00293571

γ5

−0.00064643

γ8

−0.00316429

γ3

0.00191429

γ6

−0.00010714

γ9

0.00005714

Výpočet experimentálneho priehybu od účinku priečnych síl v strede nosníka fiktívnej priehradovej sústavy priečne sily od účinku jednotkovej sily pozdľž nosníka V1

0.50

−0.50

−0.5

−0.50

a vexp

Δs 3

⋅⎡ γ 1 ⋅V1 + 4 ⋅( γ 2 ⋅V2) + 2 ⋅( γ 3 ⋅V3) + 4 ⋅( γ 4 ⋅V4) + 2 ⋅( γ 5 ⋅V5) + 4 ⋅( γ 6 ⋅V6) ... ⎤ ⎢ + 2⋅( γ ⋅V ) + 4⋅( γ ⋅V ) + ( γ ⋅V ) ⎥ ⎣ 7 7 8 8 9 9 ⎦

a mexp + a vexp a vexp

0.881⋅mm

4.255⋅mm

vplyv priečnych síl na priehyb predstavuje 20,71 % 0.20713 a mexp + a vexp momenty od účinku Fs2 pozdľž nosníka M1

0⋅ kN⋅ m

11.2⋅ kN⋅ m

22.4⋅ kN⋅ m

24.8⋅ kN⋅ m

V1 1

80⋅ kN

V1 2

80⋅ kN

V1 3

80⋅ kN

V1 4

0⋅ kN

V1 5

0⋅ kN

V1 6

0⋅ kN

V1 7

−V13

V1 8

−V12

1 5

2 6

3 7

V1 9

Výpočet teoretického priehybu v strede nosníka od a mtheor

účinku ohybových momentov

a vtheor

účinku priečnych síl

−V1

⎛⎜ M 1i ⎟⎞ ⋅ M i ⋅ Δs 1.140⋅ mm ⎜ E c⋅ J c ⎟ ⎝ ⎠ ⎛⎜ V 1i ⎟⎞ ⋅ Vi⋅ χ ⋅ Δs 0.0998mm ⋅ ⎜ G⋅ A c ⎟ ⎝ ⎠

∑ i

Výpočet teoretického priehybu pozdĺž nosníka od

a vtheor + a mtheor

∑ i

1.240⋅ mm

a vtheor a vtheor + a mtheor

0.080

8,0 % je vplyv priečnych síl na celkový priehyb

Pomer experimentálneho a teoretického priehybu od účinku priečnych síl v strede nosníka

χ cr

a vexp a vtheor

8.827

Výpočet redukcie šmykovej tuhosti v strede nosníka môžeme vyjadriť pomocou koeficientu χ cr (hladina zaťaženia je 1,2): Výpočet redukcie ohybovej tuhosti v strede nosníka môžeme vyjadriť pomocou koeficientu ρ cr (hladina zaťaženia je 1,2):

ρ cr

a mexp a mtheor

2.959

Pomer experimentálne určenej krivosti ku teoretickej vyjadríme ako Ω:

159

Ωi

ωi

Ω1

Ω2

6.791

Ω3

2.637

Ω4

2.758

ω t1

M1i

Ω6

2.285

Ω7

4.228

Ω8

5.181

Ω9

Ωk

E b ⋅J b

( Ω 1 + Ω 2 + Ω 3 + Ω 4 + Ω 5 + Ω 6 + Ω 7 + Ω 8 + Ω 9) ⋅ Δs l

( Ω 1 + Ω 2 + Ω 3 + Ω 4 + Ω 5 + Ω 6 + Ω 7 + Ω 8 + Ω 9) ⋅ Δs

Ω ck

3.298 Ωm

2.863

Ω5

Ω k + Ωc k 2

l Koeficient Ω m predstavuje priemernú hodnotu koeficientov ω t1 ⋅ Ω m⋅ M 5⋅ 5 2 Ω k a Ω c k a vyjadruje zväčšenie krivosti nosníka v stave II

na danej hladine zaťaženia: Koeficient Γ i vyjadruje zväčšenie skosenia v stave II:

0.1442

Γ2

14.81681

Γ3

9.66157

Γ4

Γ6

Γ7

11.12162

Γ8

15.97043

Γ9

−0.2884

Γk Γc k

(Γ 1 + Γ 2 + Γ 3 + Γ 4 + Γ 5 + Γ 6 + Γ 7 + Γ 8 + Γ 9) ⋅ Δs

Γ5

Γm

( Γ 1 + Γ 2 + Γ 3 + Γ 4 + Γ 5 + Γ 6 + Γ 7 + Γ 8 + Γ 9) ⋅ Δ s

Γ k + Γc k

4.65095

L1⋅ χ

3.8722mm ⋅

⎛ V1i ⎞ ⎜ G⋅ A ⎟ c⎠ ⎝

5.3569

l⋅ χ

3.08092

γi

Γi

Γ1

2.503

5.00392

Výpočet šmykovej tuhosti na základe pracovného diagramu priečna sila - skosenie na úrovni danej hladiny namáhania (stav II) s trhlinami: G⋅ A i

V1i γi

∑ GA k

GA1

2800⋅ MN

GA2

27.250⋅ MN

GA3

41.791⋅ MN

GA4

0⋅ MN

GA6

0⋅ MN

GA7

36.304⋅ MN

GA8

25.282⋅ MN

GA9

−1400⋅ MN

∑

γi

⋅ Δs

191.328MN ⋅

GAc k A cr

GA5

γi

⋅ Δs

166.114MN ⋅

GA k G⋅ A c⋅ 0.83333

0.56863

A cr

⎛ GA1 + GA2 + GA3 + GA4 + GA5 + GA6 + GA7 + GA8 + GA9 ⎞ ⎜ ⎟ G⋅ A ⋅ 0.8333 ⎝ ⎠ ⋅ Δs 0.56865

A cr

⎞ ⎛ G⋅ A ⋅ 0.8333 ⎜ ⎟ i ⎜ ⎟ GA + GA + GA + GA 2 3 4 + GA5 + GA6 + GA7 + GA8 + GA9 ⎠ ⎝ 1 ⋅ Δs 0.24729

∑

160

∑ ⎛ V 1 ⋅χ ⎞

⎜ i ⎟ ⎜ G⋅ A ⎟ c⎠ ⎝ ⋅ Δs 252354.37kN ⋅

GA el.k

GA elc.k

GA k

GAc k

0.75817

GA el.k

⎜ i ⎟ ⎜ G⋅ A c ⎟ ⎝ ⎠ ⋅ Δs 219098.37kN ⋅

0.75817

GA elc.k

Skosenie prierezov pozdĺž nosníka v γ el

stave I.

V 1 ⋅χ i

G⋅ A c

Pomer šmykovej tuhosti v stave II ku šmykovej tuhosti v stave I pozdľž nosníka vyjadrený ako β cr : βcri

G⋅ A c

βcr1

0.144

βcr2

14.816

βcr3

9.661

βcr4

GAi

βcr5

βcr6

βcr7

11.121

βcr8

15.970

( βcr1 + βcr2 + βcr3 + βcr4 + βcr5 + βcr6 + βcr7 + βcr8 + βcr9)⋅ Δs

β cr1

5.41698 β crII´

l⋅ χ

( βcr1 + βcr2 + βcr3 + βcr4 + βcr5 + βcr6 + βcr7 + βcr8 + βcr9)⋅ Δs

β crc

0.21262

β crc

β crII´ + β crIIc´

β crII

1 0.19861

EJi

krivosť na úrovni danej hladiny namáhania (stav II) s trhlinami: 2

0⋅ kN⋅ m

EJ5

1235.79kN ⋅ ⋅m

EJ2

455.56kN ⋅ ⋅m

EJ6

1353.73kN ⋅ ⋅m

∑ω EJk

1173.06kN ⋅ ⋅m

EJ4

1121.72kN ⋅ ⋅m

EJ7

731.73kN ⋅ ⋅m

EJ8

597.17kN ⋅ ⋅m

∑ω

⋅ Δs

833.59kN ⋅ ⋅m

EJck

∑ ⎛ M1 EJk EJelk

⎞ ⎜ i ⎟ ⎜ Ec⋅ Jc ⎟ ⎝ ⎠ ⋅ Δs 2707.25kN 2 ⋅ ⋅m l

0.307

ωi

EJ9

0⋅ kN⋅ m

⋅ Δs

723.74kN ⋅ ⋅m

∑ ⎛ M1

EJelk

M1i

0.1846

EJ3

β cr1

5.03487

β crII

Výpočet ohybovej tuhosti na základe pracovného diagramu moment-

EJ1

0.288

4.70312

L 1⋅ χ

β crIIc´

βcr9

EJelck EJck EJelck

⎞ ⎜ i ⎟ ⎜ Ec⋅ Jc ⎟ ⎝ ⎠ ⋅ Δs 2350.48kN 2 ⋅ ⋅m L1

0.307

161

- Pomer ohybovej tuhosti v stave II ku ohybovej tuhosti v stave I na jednotlivých základniach fiktívnej priehradovej sústavy α cr: - Tiež môžeme pomer ohybovej tuhosti v stave I ku ohybovej tuhosti v stave II pozdľž nosníka vyjadriť pomocou

1 α cr

EJi

αcri

E c⋅ J c

αcr1

αcr2

0.14724

αcr3

0.37914

αcr4

0.36255

αcr5

0.39942

αcr6

0.43753

αcr7

0.2365

αcr8

0.19301

( αcr1 + αcr2 + αcr3 + αcr4 + αcr5 + αcr6 + αcr7 + αcr8 + αcr9) ⋅ Δs

αcrk α crII´

αcrk

α crII´

α crck

α crIIc´

4.27499

α crck

0.23392 1

α crII´ + α crIIc´

α crII

3.71162

αcrk

0.23392

α crIIc´

0.25167

0.26942

(αcr1 + αcr2 + αcr3 + αcr4 + αcr5 + αcr6 + αcr7 + αcr8 + αcr9)⋅ Δs

α crck

0.26942

αcr9

α crII

3.97344

E c⋅ J c EJi E c⋅ J c

EJ2

E c⋅ J c EJ3

E c⋅ J c

EJ4

E c⋅ J c

EJ5

E c⋅ J c EJ6

E c⋅ J c

EJ7

E c⋅ J c EJ8

⋅ Δs

3.29825

Výpočet momentu zotrvačnosti prierezu v stave II po vzniku trhlín za predpokladu, že modul pružnosti nosníka je konštantný: 4

0.00001472m ⋅

0.00004m ⋅

0.00002m ⋅

0.00001m ⋅

0.00004m ⋅

∑J

0.00004m ⋅

0.00002m ⋅

ωi ⋅ E c

4 4

0⋅ m

⋅ Δs

0.00003m ⋅

∑J

Jck

JbII

L1 Jc Jk

⋅ Δs + 2

0.00002339m ⋅

Jc Jck

3.711

4.274

Jc Jck

1 3.99331

JbII

Momentu zotrvačnosti prierezu oproti stavu I

0.25042

JbII

J el

1 12

0.25042

⋅ b⋅ h

Pomer momentu zotrvačnosti v stave I bez trhlín k momentu zotravačnosti v stave II s trhlinami na jednotlivých základniach:

Jc Ji

162

Jc J2

Jc J4

Jc J5

Jc J7

Jc J8

⋅ Δs

3.29825

Jc J3

Jc J5

Jc J6

Jc J7

Jc J8

⋅ Δs

2.8636

Nosník Ia Výpočet experimentálneho priehybu od účinkov ohybových momentov v strede nosníka Hladina zaťaženia :

γs

1.5534

Výpočet experimentálneho priehybu Výpočet experimentálneho

Výpočet experimentálneho

priehybu od účinkov

priehybu od účinku priečnych

ohybových momentov v

síl v strede nosníka fiktívnej

strede nosníka

priehradovej sústavy

3.37⋅ mm

a mexp

a vexp

vplyv M na priehyb predstavuje 79,28

0.88⋅ mm

a mexp + a vexp

4.25⋅ mm

vplyv priečnych síl na priehyb predstavuje 20,71 %

% a mexp a mexp + a vexp

⋅ 100

a vexp

79.28

a mexp + a vexp

⋅ 100

20.71

- theoretical: Výpočet teoretického

Výpočet teoretického priehybu

priehybu v strede nosníka od

pozdĺž nosníka od účinku

účinku ohybových momentov priečnych síl a mtheor

1.1402mm ⋅

a vtheor

vplyv M na priehyb predstavuje 91,94

0.0998mm ⋅

a vtheor + a mtheor

1.240⋅ mm

vplyv priečnych síl na priehyb predstavuje 8,05 %

% a mtheor a mtheor + a vtheor

⋅ 100

91.94

a vtheor a vtheor + a mtheor

Výpočet redukcie šmykovej tuhosti v strede nosníka môžeme vyjadriť pomocou koeficientu χ cr Výpočet redukcie ohybovej tuhosti v strede nosníka môžeme vyjadriť pomocou koeficientu ρ cr

χ cr

ρ cr

⋅ 100

8.05

a vexp a vtheor a mexp a mtheor

8.82

2.96

Koeficient Ω m predstavuje priemernú hodnotu koeficientov Ω k a Ω c k a vyjadruje zväčšenie krivosti nosníka v stave II na danej hladine zaťaženia: Ωk

3.29825

Ωm

3.08092

Ωc k

2.8636

163

Koeficient Γ i vyjadruje zväčšenie skosenia v stave II: Γk

5.3569

Γm

5.00392

Γc k

4.65095

Výpočet šmykovej tuhosti na základe pracovného diagramu priečna sila - skosenie na úrovni danej hladiny namáhania (stav II) s trhlinami: 191328.56503kN ⋅

GA k GAel k

GAc k

252354.375kN ⋅

166114.72313kN ⋅

GAelc k

219098.37209kN ⋅

β crIIc´

0.21262

Pomer šmykovej tuhosti v stave II ku šmykovej tuhosti v stave I pozdľž nosníka vyjadrený ako β cr : β crII´

0.1846

β crII

0.19861

Výpočet ohybovej tuhosti na základe pracovného diagramu momentkrivosť na úrovni danej hladiny namáhania (stav II) s trhlinami: 2

833.598kN ⋅ ⋅m

EJ k

2707.25kNm ⋅

EJ elk

EJ k

2350.48062kN ⋅ ⋅m

EJ elck

EJc k

0.30791

EJ elk

723.744kN ⋅ ⋅m

EJc k

EJ elck

0.30791

- Pomer ohybovej tuhosti v stave II ku ohybovej tuhosti v stave I na jednotlivých základniach fiktívnej priehradovej sústavy α cr: α crII´ α crII

α crIIc´

0.26942

0.23392

0.25167

Výpočet momentu zotrvačnosti prierezu v

Pomer momentu zotrvačnosti v stave I bez

stave II po vzniku trhlín za predpokladu, že

trhlín k momentu zotravačnosti v stave II s

modul pružnosti nosníka je konštantný:

trhlinami na jednotlivých základniach

Jc Jk

3.71162

Ohybová tuhosť nosníka v E Jel E c⋅ J c i stave I

Jc Jc k

4.27499

Šmyková tuhosť nosníka v stave I

γ el

V 1 ⋅χ i

G⋅ A c

164

η1

0.85

Koeficient η vyjadrujúci zníženie momentu zotrvačnosti železobetónového prierezu v stave II η

J cr

0.25042

η ⋅J c θ ck

0.44043

Výpočet vnútorej energie od účinkov ohybových momentov pozdľž nosníka pri danej hladine zaťaženia podľa pracovného diagramu moment krivosť:

Uf 1

0⋅ kN⋅ m

Uf 2

0.03855kN ⋅ ⋅m

Uf 3

0.05988kN ⋅ ⋅m

Uf 4

0.07676kN ⋅ ⋅m

Uf 5

0.06968kN ⋅ ⋅m

Uf 6

0.06361kN ⋅ ⋅m

Uf 7

0.096⋅ kN⋅ m

Uf 8

0.02941kN ⋅ ⋅m

Ufpl

Ufel

θ ck⋅ A c

Acr

ωi⋅ M 1 ⋅ Δs

0⋅ kN⋅ m

Uf 9

⋅ ⋅ mm ⎛ ⎛ ω1⋅ M1 + ω2⋅ M1 + ω3⋅ M1 + ω4⋅ M1 + ω5⋅ M1 ... ⎞ ⎞ ⋅ Δs 433.88419kN ⎜⎜ 1 2 3 4 5 ⎟⎟ ⎜ ⎜ + ω6⋅ M1 + ω7⋅ M1 + ω8⋅ M1 + ω9⋅ M1 ⎟⎟ 6 7 8 9 ⎝⎝ ⎠⎠

∑ i

⋅ ⋅ mm ⎛ ωt1 ⋅ M1 ⎞ ⋅ Δs 140.249kN ⎝ i i⎠

Ufpl Ufel

3.093

Výpočet vnútorej energie od účinkov priečnych síl pozdľž nosníka pri danej

hladine zaťaženia podľa pracovného diagramu priečna sila - skosenie:

Uv 1

0.00032kN ⋅ ⋅m

Uv 2

0.03288kN ⋅ ⋅m

Uv 3

0.02144kN ⋅ ⋅m

Uv 4

0⋅ kN⋅ m

Uv 6

0⋅ kN⋅ m

Uv 7

0.02468kN ⋅ ⋅m

Uv 8

0.03544kN ⋅ ⋅m

Uv 9

−0.00064⋅ kN⋅ m

Uv 5

γ i⋅ V 1 ⋅ Δs i

0⋅ kN⋅ m

Výpočet vnútorej energie v stave II Δs

⋅ ⋅ mm ⎞ + 2⋅ ⎛ γ 3⋅ V 1 ⎞ + 4⋅ ⎛ γ 4⋅ V 1 ⎞ + 2⋅ ⎛ γ 5⋅ V 1 ⎞ ...⎤ ⎤ 121.733kN ⎢⎢ 1 2⎠ 3⎠ 4⎠ 5⎠ ⎥⎥ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎢ ⎢ + 4⋅ ⎛ γ 6⋅ V 1 ⎞ + 2⋅ ⎛ γ 7⋅ V 1 ⎞ + 4⋅ ⎛ γ 8⋅ V 1 ⎞ + ⎛ γ 9⋅ V 1 ⎞ ⎥⎥ 6⎠ 7⎠ 8⎠ 9⎠ ⎣⎣ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎦⎦ ⎞ ⎛ V 1i ⎜ U vel ⋅ V 1 ⋅ χ ⎟ ⋅ Δs 15.977kN ⋅ ⋅ mm Deformačna energia v stave I ⎝ G⋅ A i ⎠ U vpl

⋅ ⎡ ⎡ γ 1⋅ V 1 + 4⋅ ⎛ γ 2⋅ V 1

∑ i

U vpl U vel

7.619

U el

U vel + U vel

156.227kN ⋅ ⋅ mm

Celková vnútorná energia je súčtom energie od účinku ohybu a energie od účinku šmyku: U pl

U fpl + U vpl

555.61752kN ⋅ ⋅ mm

Podiel vnútornej energie od účinkov priečnych síl na celkovú vnútornú energiu: U vpl U pl

0.2191

teda podiel energie od účinku šmyku na celkovú vnútornú energiu je 21,91 %

Potom podiel deformačnej energie od účinkov krivosti v stave II na celkovú deformačnú energiu

165

U fpl U pl

0.7809

Potom podiel deformačnej energie od účinkov krivosti v stave II na celkovú deformačnú energiu je 78.09

Potom podiel deformačnej energie od účinkov

krivosti v stave II na deformačnú energiu v

skosenia v stave II na deformačnú energiu v

stave I

Ω´ m

U fpl U fel

3.093

Potom podiel deformačnej energie v stave II deformačnú energiu v stave I

Ω´ f

U vpl U vel U

7.619 U pl U el

3.556

Obr 5.3.5-1: Diagram moment - krivosť

Obr 5.3.5-2: Diagram priečna sila - skosenie

166

Rekapitulácia výpočtov priehybov v strede nosníka v stave II: Prostredníctvom krivosti a skosenia pozdĺž železobetónového nosníka v stave II:

∑ (ω ⋅M )⋅Δs + ∑ (γ ⋅V )⋅Δs

4.17⋅ mm

Prostredníctvom koeficientov ρ cr a χ cr , ktoré vyjadrujú zväčšenie priehybu od účinku ohybových momentov a priečnych síl železobetónového nosníka v stave II: ⎛⎜ M 1i ⎛⎜ V 1i ⎟⎞ ⎟⎞ a2 ⋅ M i ⋅ ρ cr⋅ Δs + ⋅ Vi⋅ χ ⋅ χ cr⋅ Δs 4.25⋅ mm ⎜ E ⋅J ⎟ ⎜ G⋅ A c ⎟ ⎠ ⎠ i ⎝ c c i ⎝

∑

Prostredníctvom koeficientov Ω ´m a Ω ´q , vyjadrujúcich zväčšenie deformačnej energie od účinkov ohybových momentov a priečnych síl v stave II: a3

Ω´ m⋅

∑ i

⎛ ⋅ M i⋅ Δs + Ω´ f ⋅ ⎜ χ ⋅ ⎜ E c⋅ J c ⎝ M1

∑ G⋅A c i

⎞

⋅ Vi ⎟ ⋅ Δs

⎟ ⎠

4.28⋅ mm

Pomocou koeficientov Ω k a Γ k vyjadrujúcich zväčšenie priemernej pomernej krivosti a skosenia železobetónového nosníka v stave II: ⎡⎢ ⎛⎜ M 1i ⎟⎞ ⎥⎤ a4 ⎢Ω k⋅ ⎜ E c⋅ J c ⎟ ⋅ Mi⎥ ⋅ Δs + ⎝ ⎠ ⎦ i ⎣ i Prostredníctvom koeficientov

∑

⎤⎥ ⎡⎢ ⎛⎜ V 1i ⎟⎞ Γ k⋅ ⋅ Vi⋅ χ ⋅ Δs 4.29⋅ mm ⎢ ⎜ G⋅ A c ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ α crII´ a β crII´ , ktoré vyjadrujú zníženie priemernej pomernej

∑

ohybovej a šmykovej tuhosti železobetónového nosníka v stave II: M1 V1 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ i i ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a5 ⋅ M i ⋅ Δs + ⋅ Vi⋅ χ ⋅ Δs 4.77⋅ mm ⎜ E c⋅ J c⋅ α crII´ ⎟ ⎜ G⋅ A c⋅ β crII´ ⎟ ⎠ ⎠ i ⎝ i ⎝ Pomocou koeficientu η , η1 ktorý vyjadruje zníženie momentu zotrvačnosti prierezu v stave II:

∑

M1 ⎛ ⎞ i ⎜ ⎟ ⋅ M i ⋅ Δs 5.35⋅ mm ⎜ η 1⋅ E c⋅ J c⋅ η ⎟ ⎠ i ⎝ 7. By means of the coefficient η , which expresses the reduction of the moment of inertia of the

∑

section in state I ⎛ M 1i ⎞ ⎜ ⎟ a7 ⋅ M i ⋅ Δs 4.55⋅ mm ⎜ E c⋅ J c⋅ η ⎟ ⎠ i ⎝ Pomocou koeficientov η , θ ck , ktoré vyjadrujú zníženie momentu zotrvačnosti a plochy

∑

prierezu železobetónového nosníka v stave II : a8

∑ i

⎛ M 1i ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ M i ⋅ Δs + ⎜ E c⋅ J c⋅ η ⎟ ⎝ ⎠

∑ i

⎛ V 1i ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ Vi⋅ χ ⋅ Δs 4.78⋅ mm ⎜ G⋅ θ ck⋅ A c ⎟ ⎝ ⎠ 167

Rekapitulácia výpočtov deformačnej energie od účinkov ohybových momentov a od účinkov priečnych síl v stave II:

Prostredníctvom krivosti ωi a skosenia γ i pozdĺž železobetónového nosníka v stave II: U1

∑ ⎛⎝ ω ⋅M 1 ⎞⎠ ⋅Δs + ∑ ⎛⎝ γ ⋅V 1 ⎞⎠ ⋅Δs i

548.00kN ⋅ ⋅m

Prostredníctvom koeficientov ρ cr a χ cr , ktoré vyjadrujú zväčšenie priehybu od účinku ohybových momentov a priečnych síl železobetónového nosníka v stave II: ⎛⎜ M 1i ⎛⎜ V 1i ⎟⎞ ⎟⎞ ⋅ M 1 ⋅ ρ cr⋅ Δs + ⋅ V 1 ⋅ χ ⋅ χ cr⋅ Δs 556.06kN ⋅ ⋅ mm ⎜ E c⋅ J c ⎜ G⋅ A c i ⎟ i⎟ ⎠ ⎠ i ⎝ i ⎝ 3. Prostredníctvom koeficientov Ω ´m a Ω ´q , vyjadrujúcich zväčšenie deformačnej energie od

∑

účinkov ohybových momentov a priečnych síl v stave II: ⎤⎥ ⎡⎢ ⎛⎜ M 1i ⎟⎞ ⎡⎢ ⎛⎜ V 1i ⎟⎞ ⎥⎤ Ω´ m⋅ ⋅ M 1 ⋅ Δs + Ω´ f ⋅ ⋅ V 1 ⋅ χ ⋅ Δs 555.61kN ⋅ ⋅ mm ⎢ ⎜ E c⋅ J c ⎟ ⎢ ⎜ G⋅ A c ⎟ i ⎥ i⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠ ⎦ i ⎣ i ⎣ Pomocou koeficientov Ω k a Γ k vyjadrujúcich zväčšenie priemernej pomernej krivosti a skosenia železobetónového nosníka v stave II: ⎤⎥ ⎡⎢ ⎛⎜ M 1i ⎟⎞ ⎡⎢ ⎛⎜ V 1i ⎟⎞ ⎥⎤ U4 Ω k⋅ ⋅ M 1 ⋅ Δs + Γ k⋅ ⋅ V 1 ⋅ χ ⋅ Δs 584.16kN ⋅ ⋅ mm ⎢ ⎜ E c⋅ J c ⎟ ⎢ ⎜ G⋅ A c ⎟ i ⎥ i⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ i i Prostredníctvom koeficientov α crII´ a β crII´ , ktoré vyjadrujú zníženie priemernej pomernej

∑

ohybovej a šmykovej tuhosti železobetónového nosníka v stave II: M1 V1 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ i i ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ U5 ⋅ M 1 ⋅ Δs + ⋅ V 1 ⋅ χ ⋅ Δs 607.10kN ⋅ ⋅ mm ⎜ E c⋅ J c⋅ α crII´ ⎜ G⋅ A c⋅ β crII´ i ⎟ i⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i i Pomocou koeficientu η , η1 ktorý vyjadruje zníženie momentu zotrvačnosti prierezu v stave II:

∑

M1 ⎛ ⎞ i ⎜ ⎟ U6 ⋅ M 1 ⋅ Δs 658.89kN ⋅ ⋅ mm ⎜ η 1⋅ E c⋅ J c⋅ η i⎟ ⎠ i ⎝ Pomocou koeficientu η , ktorý vyjadruje zníženie momentu zotrvačnosti prierezu v stave II:

∑

⎛ M 1i ⎞ ⎜ ⎟ U7 ⋅ M 1 ⋅ Δs 560.06kN ⋅ ⋅ mm ⎜ E c⋅ J c⋅ η i⎟ ⎠ i ⎝ Pomocou koeficientov η , θ ck , ktoré vyjadrujú zníženie

∑

momentu zotrvačnosti a plochy

prierezu železobetónového nosníka v stave II : ⎛ M 1i ⎛ V 1i ⎞ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ U8 ⋅ M 1 ⋅ Δs + ⋅ V 1 ⋅ χ ⋅ Δs 596.33kN ⋅ ⋅ mm ⎜ E c⋅ J c⋅ η ⎜ G⋅ θ ck⋅ A c i ⎟ i⎟ ⎠ ⎠ i ⎝ i ⎝

∑

168

Príklad 5.3-6 Stupeň vystuženia μst bc

(b c − b w) ⋅ h f ⋅ f cd ⋅ (d − 0.5 ⋅ h f )

MI M sd

d h

M sd

Obr. 5.3.6-2 získame ρ

b w ⋅ d ⋅ f cd A

ρ ⋅ b w ⋅ d ⋅ f cd ⋅ 100

(b c − b w) ⋅ h f ⋅ f cd

A 2required

A2prov

Md −MI

f yk

γs

Ak at > ht => at = 0,25 . h μ st

A 2provided

(

b t ⋅ h t + b w⋅ at − h t M sd

ρ ⋅ b c ⋅ d ⋅ f cd ⋅ 100

A 2provided d h

A2prov

ht = 0, a.t = 0,25 . h, Ak at > ht , bt = bw μ st

Obr. 5.3.6-2 získame ρ

b c ⋅ d ⋅ f cd

)

⋅

A 2provided

(

b t ⋅ h t + b w⋅ at − h t M sd

)

⋅

Obr. 5.3.6-2 získame ρ

b w ⋅ d ⋅ f cd

ρ ⋅ b w ⋅ d ⋅ f cd ⋅ 100

A 2reqiured

Ak at > ht => at = 0,25 . h d h

at A2prov ht

μ st

A 2provided

(

b t ⋅ h t + b w⋅ at − h t

)

⋅

Ak at < ht

μ st μ

A 2provided bt⋅h M sd

Obr. 5.3.6-2 získame ρ

b ⋅ d ⋅ f cd d h

A 2reqiured

ρ ⋅ b ⋅ d ⋅ f cd ⋅ 100

Ak at > ht => ht = 0 , bt = b A2prov b

μ st

A 2provided

(

bt⋅ht + b ⋅ at −ht

)

⋅

at h

Obr. 5.3.6-1 Stupeň vystuženia železobetónových prierezov

169

• A1 v1

h d v2

I gg´

Msd

(

) + n ⋅ ⎡⎣ A 1 ⋅ (v 1 − d 1)

⋅ v1 + v2

(

)2⎤⎦

+ A 2⋅ d − v 1

kde ⎡ b ⋅ h2 ⎤ ⎢ + n ⋅ ( A 2 ⋅ d + A 1 ⋅ d 1) ⎥ ⎣ 2 ⎦

Nsd

Moment zotrvačnosti prierezu:

•

v2 = h – v1

Plocha prierezu:

A = b . h + n . ( A1 + A2 )

Ak M sd N sd

I gg´

M sd

⎡⎣ A + n ⋅ ( A 1 + A 2)⎤⎦ ⋅ v 2

N sd

I gg´

⎡⎣ A + n ⋅ ( A 1 + A 2)⎤⎦ ⋅ v 2

M sd

N sd

•

bc d1 v2

hf h d

Nsd

bw 2

Moment zotrvačnosti prierezu:

2 ⎡ h f2 ⎛ hf⎞ ⎤ ⎢ I gg´ ⋅ v 1 + v 2 + ( b − b w) ⋅ h f ⋅ + ⎜v − ⎟ ⎥ ... 3 ⎣ 12 ⎝ 1 2 ⎠ ⎦ 2 2 + n ⋅ ⎡ A 1 ⋅ ( v 1 − d 1) + A 2 ⋅ ( d − v 1) ⎤ ⎣ ⎦

M sd

N sd

Mt = b. h.f . (d - hf /3). 0,8. fyk / 30 .( d - hf )

kde v1

(

)

⎡ b w ⋅ h 2 ( b − b w) ⋅ h f 2 ⎤ ⋅⎢ + + n ⋅ ( A 1 ⋅ d 1 + A 2 ⋅ d)⎥ A ⎣ 2 2 ⎦ 1

v2 = h – v1 • Plocha prierezu A = bw. h + (b - bw). hf + n. (A1+ A2) Ak

M sd N sd

I gg´

M sd

⎡⎣ A + n ⋅ ( A 1 + A 2)⎤⎦ ⋅ v 2

N sd

I gg´

⎡⎣ A + n ⋅ ( A 1 + A 2)⎤⎦ ⋅ v 2

Ak Mt < Msd A1

Mt > Msd

M sd

Nsd A2

M sd

Nsd A2

M sd

Nsd

170

Návrh výstuže do železobetónových prvkov (εc = 0,0035 , εs = 0,01)

ohybový moment s tahovou osovou silou

Prierez

Pretvorenie

Napätie

ohybový moment s tlakovou osovou silou

1. Ohybový moment a ťahová sila ⎛h ⎞ M sds M sd − N sd ⋅ ⎜ − d 2 ⎟ ⎝2 ⎠

2. Ohybový moment a tlaková sila ⎛h ⎞ M sds M sd + N sd ⋅ ⎜ − d 2 ⎟ ⎝2 ⎠

Potrebná plocha výstuže [cm2]: ⎛ N sd ⎞ A2 ρ ⋅ A c ⋅ f cd ⋅ 100 + ⎜ ⋅ 104 ⎟ ⎜ f yd ⎟ req ⎝ ⎠

Potrebná plocha výstuže [cm2]: ⎛ N sd ⎞ A2 ρ ⋅ A c ⋅ f cd ⋅ 100 − ⎜ ⋅ 104 ⎟ ⎜ f yd ⎟ req ⎝ ⎠

kde ρ možno získať z Obr. 5.3.6-2 (podľa druhu pracovných diagramov betónu a nepredpätej výstuže) na základe μ M.sd ...... v MNm h, d2,d....... v m M sds μ Nsd ........ v MN Ac ............. v m2 A c ⋅ d ⋅ f cd fyd .........v MPa fcd ..............v MPa Určenie plochy prierezu železobetónového prvku Ac :

Ac = b . d

π⋅

D 1⋅ D 2 4

3. Čistý ohyb V prípade čistého ohybu sa použijú predošlé vzťahy, kde za Nsd dosadzujeme Nsd= 0

171

Návrh výstuže do železobetónových prvkov

0,50

fyk

0,48

520 MPa

0,45

490 MPa

0,43

450 MPa

0,40

412 MPa

0,38

410 MPa 392 MPa

0,35

375 MPa

0,33

325 MPa

0,30

300 MPa

0,28

245 MPa

0,25

235 MPa

0,23

206 MPa

0,20

Pracovný diagram ocele

Pracovný diagram betónu

190 MPa

0,18 0,15 0,13 0,10 0,08 0,05 0,03 0,00 0

0,03

0,06

0,09

0,12

0,15

0,18

0,21

0,24

0,27

0,3

0,33

0,36

0,39

0,42

0,45

0,48

Obr. 5.3.6-2

172

Literatúra [1] ACI: Cracking of concrete members in direct tension. ACI Journal, Vol. 83, January February, 1986 [2] Aide - mémoire: Composants en béton précontraint. Bordas, Paris, 1979 [3] Bažant, B.: Predpínací výstuž - její využití. Český svaz stavebních inženýru, Praha, 1978 [4] Beeby, A. W.: The Prediction of Crack Widths in Hardened Concrete, Cement and Concrete Association, London, 1979 [5] Bjarne, Ch. J.: Lines of Discontinuity for Displacements in the Theory of Plasticity of Plain and Reinforced Concrete, Magazine of Concrete Research, Vol. 27, No. 92, September, 1975 [6] Boulet, B.: Aide - mémoire du second oeuvre du batiment. Bordas, Paris, 1977 [7] Bradáč, J.: Mezní stav šířky trhlin kolmých k ose prvku. Sborník " Navrhování betonových konstrukcí podle revize ČSN 73 1201", 2. část, DT ČSVTS, Praha, 1986 [8] Brooks, J. J., Neville, A. M.: A comparison of creep, elasticity, and strength of concrete in tension and in compression. Magazine of Concrete Research, Vol. 29, 1977 [9] CEB - Bull. 124/125 - F: Code modéle CEB - FIP pour les structures en béton. CEB, Paris, 1980 [10] CEB - Bull. 156 - F: Fissuration et déformations. École Polytechnique Fédérale de Lausanne,1983. [11] CEB - FIP Model Code 1990, Comité Euro - International du Béton, 1991 [12] CEB - Bull. 159: Simplified methods of calculating short term deflections of reinforced concrete slabs. Paris - Lausanne, 1983 [13] CC. BA 68: Régles Techniques de conception et de calcul des ouvrages et constructions en béton armé. D.T.U. Paris, 1975 [14]

Cesnak,

J.:

Vzajomný

pomer

komponentov

súdržnosti

ocele

betónom

v železobetónových konštrukciach, Výskumná úloha 8/71, SVŠT, Bratislava, 1974 [15] Consenza, E., Greco, C.: Comparison and Optimization of Different Methods of Evaluation of

Displacements in Cracked Reinforced Concrete Beams. Materials and

Structures, No. 23, 1990 [16] Coates, R. C., Coutie, M. G., Kong, F. K.: Structural analysis, Second Edition, Hong Kong, 1980

241

[17] Červenka, V.: Systém pro automatizované zkoušení betonu. Stavebnícky časopis, 32, č. 4, 1984 [18] ČSN 73 1201 - 86a: Navrhování betonových konstrukcí, ÚNM, Praha, 1987 [19] Davidovici, V.: Béton armé, aide - mémoire. Bordas, Paris, 1974 [20] Eibl, J.: Concrete Structures. Euro - Design Handbook. Karlsruhe, 1994 – 96 [21] Edward, G., Nawy, P.E.: Prestressed Concrete A fundamental Approach. Part 1, New Jersey, 1989 [22] Elvery, R., Shafi, M.: Analysis of shrinkage effect on reinforced concrete structural members. ACI Journal, Vol. 67, 1970 [23] Goto, Y.: Cracks Formed in Concrete Around Deformed Tension Bars, Journal of the ACI, No. 68, April, 1971 [24] Gregor, J. G.: Reinforced Concrete, New Jersey, 1988 [25] Gvozdev, A. A.: Novoje v projektirovanii betonnych i železobetonnych konstrukcij. Moskva, 1978 [26] Goulet, J.: Résistance des matériaux. aide - mémoire, Bordas, Paris, 1976 [27] Gupta, A. K.: Unified Approach to Modelling Postcracking Membrane Behavior of Reinferced Concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 115, No. 4, April, 1989 [28] Gupta, A. K.: Postcracking Behavior of Membrane Reinforced Concrete Elements Including Tension-Stiffening. Journal of Structural Engineering, Vol.115, No. 4, April, 1989 [29] Hájek, J.: Pretvorenia betónových konštrukcií. VEDA , Bratislava, 1994 [30] Hájek, J.: Pretvorenia betónových konštrukcií pri interakcii ohybu a osovej sily. Acta Polytechnica, ČVUT 12, séria I, č. 2, 1978 [31] Hájek, J.: Výpočet pretvorení železobetónových prvkov pri krátkodobom a dlhodobom zaťažení. In: Metody navrhování betónových konstrukcí. Dum techniky ČSVTS, Brno, 1983 [32] Hájek, J.: Výpočet medze porušenia prvkov z prostého betónu s uvážením súčiniteľa spádu pretvorenia podľa revízie ČSN 73 1201. Pozemní stavby 33, č. 2, 1985 [33] Hanečka, Š., Križma, M., Ravinger, J., Shawkat, S.: Contribution to Limit State of the Second Group of Beams Subjected to Moving Load. First Slovak Conference on Concrete Structures, Bratislava, September, 1994. [34] Hsu, T. T. C.: Torsion of reinforced concrete. Van Nostrand Reinhold, New York, 1984 [35] Ismail, M. A., Jirsa, J. O.: Bond deterioration in reinforced concrete subject to low cycle loads. ACI Journal, Vol. 69, June, 1972

242

[36] Klink, S. A.: Actual Elastic Modulus of Concrete. ACI Journal, September - October, 1985 [37] Leonhardt, F.: Reducting Shear Reinforcement in Reinforced Concrete Beams and Slabs, Magazine of Concrete Research, Vol. 17, No. 53, December, 1965 [38] Leonhardt, F.: Recommendations for the Degree of Prestressing Prestressed Concrete Structures. FIP Notes 69, July - August, 1977 [39] Leonhardt, F.: Crack Control in Concrete Structures. ACI Journal, July - August, 1988 [40] Leonhardt, F.: Vorlesungen uber Massivbau. Vol. 4, 1978 [41] Lenkei, P.: Deformation capacity in reinforced concrete slabs. In: IABSE Colloquium Plasticity in reinforced Concrete, Copenhagen, 1979 [42] Leong, T. W., Warner, R. F.: Creep and shrinkage in reinforced concrete beams. Journal of the Structural Division, Vol. 96, March, 1970 [43] Navrhování betonových konstrukcí pro prostý a železový beton" - I. díl. Sborník příspěvku ČSVTS, Brno, 1987 [44] Navrhování betonových konstrukcí - pro prostý a železový beton" - II. díl. Sborník příspěvku ČSVTS, Brno, 1987 [45] Procházka, J., Tichý, M.: Eurokód 2, Navrhování betonových konstrukcí - díl 1, Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby, Praha, 1992 [46] Placas, A., Regan, P.E.: Limit - state design for shear in rectangular and "T" beams. Magazine of Concrete Research, December, 1970 [47] Placas, A., Regan, P.E.: Shear Failure of Reinforced Concrete Beams. Journal ACI, October, 1971 [48] Pitoňák, A., Nürnbergerová, T., Shawkat, S.: Pretvárne charakteristiky betónových nosníkov vystužených predpätými tyčami. Stavebné Materiály a Skúšobníctvo, Zborník Podbanské, Vysoké Tatry, 27.- 29. máj 1998 [49] Prekop, L., Shawkat, S., Králik, J.: Modelovanie experimentálnych priehybov prútových betónových prvkov. Vybrané problémy stavebnej mechaniky. Zborník prednášok z vedeckej konferencie pri príležitosti 70. narodenín Prof. Ing. J. Sobotu, DrSc., Bratislava, September, 1996 [50] Rehm, G., Eligehausen, R., Mallee, R.: Limitation of Shear Crack Width in Reinforced Concrete Construction. University of Stuttgart, Heft 6, 1983

243

[51] Rehm, G.: Berechnung der Breite von Schubrissen in Stahlbetonbauteilen. Ausfsatz fur CEB. Stuttgart, 1977 [52] Sargin, M: Stress - strain relationships for concrete and the analysis of structural concrete sections. University of Waterloo, Study No. 4, 1971 [54] Saliger, R.: Der Stahlbetonbau. 8. Auflage. Franz Deuticke, Wien, 1956 [53] Schlaich, J., Scheef, H.: Concrete box - girder bridges. Structural Engineering Documents 1e. Stuttgart, January, 1982 [55] Shawkat, S.: Deformácie konštrukcie. Medzinárodná vedecká konferencia - 60. Výročie Stavebnej fakulty STU v Bratislave. Zborník vedeckých prác. Bratislava, 18. - 20. november 1998. [56] Shawkat, S.: Deformation of reinforced concrete beams. Proceedings of the RILEM International Conference Concrete bridges, Štrbské pleso, 22. - 24. september 1997 [57] Shawkat, S., Križma, M., Cesnak, J., Bartók, A.: Moment and Shear Deflection for Reinforced Concrete Beams. Slovak Journal of Civil Engineering, Volume II, No. 2-3, 1994 [58] Shawkat, S., Cesnak, J.: Crack Development and Strain Energy of Reinforced Concrete Beams. First Slovak Conference on Concrete Structures, Bratislava, September 1994 [59] Shawkat, S., Cesnak, J.: Deflection of Reinforced Concrete Beams due to Actions of Shearing Forces. Proceedings of an International Conference RILEM. Failures of Concrete Structures, Štrbské pleso, 1993 [60] Shawkat, S., Križma, M, Cesnak, J.: Determination of Strain Energy on Reinforced Concrete Beams. Slovak Journal of Civil Engineering, Volume II, 1994 [61] Shawkat, S., Cesnak, J.: Deformations of Reinforced Concrete Beams Subjected to Stationary Loading. Inžinierske stavby 43, č. 9 -10, 1995 [62] Shawkat, S., Bolha, Ľ.: Internal Energy of Concrete Elements by Moving Load, Inžinierske stavby, 43, č. 4, 1995 [63] Shawkat, S., Nürnbergerová, T., Pitoňák, A.: Ohybová tuhosť prútových betónových prvkov. Betonárske dni 1996, Zborník prednášok, Bratislava, September, 1996 [64] Shawkat, S., Križma, M.: Šmyková tuhosť betónových prvkov po vzniku trhlín. Vybrané problémy stavebnej mechaniky. Zborník prednášok z vedeckej konferencie pri príležitosti 70. narodenín Prof. Ing. J. Sobotu, DrSc., Bratislava, September, 1996 [65] Shawkat, S., Križma, M., Šuchtová A.: Deformation of Reinforced Concrete Beams. Slovak Journal of Civil Engineering, č. 3-4, 1996

244

[66] Shawkat, S.: Vplyv priečnych síl na priehyb prútových nosníkov [Dizertačná práca]. Bratislava, SvF STU, 1993 [67] Šmerda, Z., Krištek, V.: Dotvarování a smršťování betonových prvku a konstrukcí. SNTL, Praha, 1978 [68] Vagner, V. W., Erlhof, G.: Praktische Baustatik. Teil 1, 2, 3, Stuttgart, 1977 [69] Vecchio, F. J.: Reinforced Concrete Membrane Element Formulations. Journal of Structural Engineering, Vol. 116, No. 3, March, 1990

245