Železobetónové konštrukčné sústavy by Archineer

Slovenská technická univerzita v Bratislave Fakulta architektúry

Sabah Shawkat

Železobetónové konštrukčné sústavy

Prvé vydanie

Námestie slobody 19

812 45 Bratislava

Tel.: 02/5296 4319

Fax:02/ 5296 4996

shawkat@fa.stuba.sk http://www.fa.stuba.sk

Slovenská technická univerzita v Bratislave Fakulta architektúry

Železobetónové konštrukčné sústavy

© Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD, Aut. Ing. Lektori: Prof. Ing. Ján Hudák, PhD. Doc. Ing. Ján Cesnak, PhD. Návrh obálky: Michal Sýkora Prvé vydanie Tlač: Vydavateľstvo STU Bratislava 310 strán Text neprešiel jazykovou úpravou

Námestie slobody 19

812 45 Bratislava

Tel.: 02/5296 4319

Fax:02/ 5296 4996

shawkat@fa.stuba.sk http://www.fa.stuba.sk

Slovenská technická univerzita v Bratislave Fakulta architektúry

ISBN 80-968827-8-3 EAN 9788096882786

Námestie slobody 19

812 45 Bratislava

Tel.: 02/5296 4319

Fax:02/ 5296 4996

shawkat@fa.stuba.sk http://www.fa.stuba.sk

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD. pracuje na Katedre konštrukčno-technických disciplín Fakulty architektúry STU v Bratislave, kde prednáša predmety betónové konštrukcie a konštrukčné prvky nosných sústav. V roku 1993 obhájil na Stavebnej fakulte STU dizertačnú prácu na tému Vplyv priečnych síl na priehyb prútových nosníkov. V roku 2000 sa na tejto fakulte habilitoval úspešnou obhajobou práce, v ktorej sa zaoberal deformačnými vlastnosťami železobetónových nosníkov. Výsledky výskumnej činnosti v oblasti železobetónových a predpätých konštrukcií publikoval v mnohých odborných časopisoch. Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD. získal v roku 1997 autorizačné osvedčenie SKSI v odbore statika stavieb. Vypracoval množstvo projektov, ktoré boli realizované na Slovensku i v zahraničí.

Obsah Symboly 1. Úvod 1.1 Mechanické vlastnosti betónu 1.1.1 Pevnosť betónu v tlaku 1.1.2 Pevnosť betónu v tlaku za ohybu 1.1.3 Pevnosť betónu v ťahu 1.2 Pracovné diagramy betónu 1.2.1 Pracovný diagram betónu v tlaku 1.2.2 Definícia krivky (pretvorenie bc - napätie bc ) betónu 1.2.3 Pracovný diagram betónu v ťahu 1.3 Mechanické vlastnosti ocele 1.4 Súdržnosť ocele s betónom 1.5 Zmrašťovanie a dotvarovanie betónu 1.5.1 Zmrašťovanie 1.5.1.1 Pretvorenie od zmrašťovania betónu 1.6 Dotvarovanie a teória dotvarovania betónu 1.6.1 Lineárna teória dotvarovania 1.6.2 Obecné teórie lineárneho dotvarovania

1 4 8 8 8 9 9 10 10 12 12 13 16 18 18 20 21 25 26

2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.8 2.9 2.9.1 2.9.2

Stanovenie zaťaženia Zaťažovacie podmienky Zaťaženie náhodilé Zaťaženie snehom Zaťaženie vetrom Statická a dynamická analýza budovy na vodorovné zaťaženie Dynamické charakteristiky výškovej stavby Vodorovné zaťaženie stavby Výpočet účinkov vetra podľa STN 73 00 35 Statický výpočet účinkov vetra Dynamický výpočet účinkov vetra Výpočet účinkov seizmicity podľa STN 73 00 36 Ideálne bremená Zaťaženia prútových konštrukcie ohybovým momentom a normálovou silou Ohyb a ťah Ohyb a tlak

29 29 30 31 32 33 35 36 36 37 37 38 39 47 47 52

3. 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 3.2.1 3.3 3.4 3.4.1

Medzné stavy Medza porušenia ohybom T prierez (doskový trám) Šmyk za ohybu - zjednodušená metóda Zásady vyšetrovania mimostredného tlaku Spôsob porušenia mimostredným tlakom Medza porušenia dostredným a mimostredným ťahom Medzný stav porušenia - prostý a slabo vystužený betón Medza porušenia ohybom

58 59 60 61 65 65 66 66 66

3.5 3.6 3.6.1 3.7 3.8 3.9 3.10

Medzný stav pretvorenia Výpočet pretvorení Pretvorenia od zmrašťovania betónu sh Medza porušenia miestnym namáhaním Medzné porušenie spôsobené krútením Medzný stav obmedzenia napätia Medzný stav šírky trhlín

68 70 70 73 74 76 77

4. Železobetónové konštrukčné prvky 4.1 Rámové konštrukcie 4.1.1 Výpočet vnútorných síl 4.1.1.1 Výpočet rámu zaťaženého zvislým zaťažením 4.1.1.2 Výpočet rámu zaťaženého vetrom 4.1.2 Vystužovanie rámových konštrukcií

83 83 83 83 84 84

4.2 Stropné konštrukcie 4.2.1 Doska pôsobiaca v jednom smere 4.2.2 Trámové stropy 4.2.3 Dosky pôsobiace v dvoch smeroch 4.2.3.1 Dosky podopreté po obvode 4.2.3.2 Lokálne podopreté dosky (bezprievlakové dosky) 4.2.4 Vyľahčené stropné dosky

95 96 98 99 100 101 110

4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.3.7

112 112 114 115 117 117 117 118

Schodiská Samonosné schodiská Podporované schodiská Schodnice Doska podesty Nosník podesty Doskové schodisko Krivočiare schodisko

4.4 Steny 4.4.1 Stužujúce steny 4.4.1.1 Stropné tabule 4.4.1.2 Prenos torzných účinkov do stužujúcich stein 4.4.1.3 Stužujúce steny s otvormi 4.4.1.4 Riešenie stužujúcich stien s otvormi zaťažených horizontálnym zaťažením 4.4.1.5 Riešenie stužujúcich stien s otvormi zaťažených vertikálnym zaťažením 4.4.1.6 Riešenie stužujúcich stien z hľadiska horizontálnych deformácií 4.4.1.7 Konštrukčné zásady 4.4.2 Nosné steny 4.4.2.1 Návrh a usporiadanie výstuže

122 122 122 123 124 124 131 134 137 138 138

4.5 4.5.1

144 144

Základové konštrukcie Medzné stavy základovej pôdy

4.5.2 Modely podložia 4.5.3 Stanovenie modulu stlačiteľnosti podložia 4.5.4 Plošné základy 4.5.4.1 Základy pod priebežnou stenou 4.5.4.2 Základové pätky 4.5.4.3 Škrupinové základy 4.5.4.4 Základové železobetónové pásy a rošty pod skupinou stĺpov 4.5.4.5 Základové dosky 4.5.4.6 Rozmiestnenie a konštrukčné usporiadanie rozdeľovacích škár v objektoch 4.5.4.7 Výškové usporiadanie vzájomne naväzujúcich základov 4.5.5 Hĺbkové základy 4.5.5.1 Zakladanie na pilótach 4.5.5.2 Pilótové rošty

144 147 149 149 150 153 154 160 161 162 162 162 163

5. Integračné pracovné diagramy 5.1 Deformácie konštrukcie 5.1.1 Pretvorenie - definícia krivosti 5.1.2 Pretvorenie - definícia skosenia 5.2 Pretvorenie pri interakcii priečnej sily 5.2.1 Funkcia šmykovej výstuže

164 164 164 165 167 170

180

Príklady

Príloha A: Návrh výstuže do železobetónových prvkov Príloha B: Návrh výstuže do železobetónových prvkov zaťažených dostredným a mimostredným tlakom s malou výstrednosťou Príloha C: Overovanie napätia v ohýbaných železobetónových prvkoch Príloha D: Výpočet ohybových momentov obdĺžnikových dosiek zaťažených rovnomerným zaťažením Príloha E: Výpočet priehybu a momentov kruhových dosiek v závislosti od spôsobu uloženia a zaťaženia Príloha F: Výpočet ekvivalentného zaťaženia Príloha G: Jednoduchá metóda výpočtu priehybov železobetónových nosníkov pri krátkodobom zaťažení Príloha H: Prehľad medzinárodných noriem v oblasti navrhovania železobetónových prvkov Príloha I: Výpočet priehybu Príloha J: Predbežný návrh hrúbky prierezov železobetónových doskových konštrukcií rovnomerne zaťažených Príloha K: Redistribúcia silových účinkov v železobetónových prútových konštrukciách a nosníkových doskách Príloha L: Projekty Literatúra Zadanie z predmetu Železobetónové nosné konštrukcie

222 232 243 246 251 254 256 258 263 270 272 279 335 339

Predhovor Cieľom predkladanej publikácie je poskytnúť písomný výklad z oblasti železobetónových konštrukčných sústav. V prvej kapitole sú uvedené charakteristky materiálov betónu a ocele, pracovné diagramy betónu a ocele, problematika súdržnosti, zmrašťovania a dotvarovania betónu. Druhá kapitola sa zaoberá stanovením zaťaženia, definuje zaťažovacie podmienky, zaťaženie náhodilé, zaťaženie vetrom, zaťaženia prútových konštrukcií ohybovým momentom a normálovou silou. V tretej kapitole sa rieši problematika vyšetrovania medzných stavov (únosnosti, pretvorenia, šírky trhlín, obmedzenia napätia, a pod). Štvrtá kapitola sa venuje správaniu železobetónových konštrukčných prvkov ako sú rámové konštrukcie, stropné konštrukcie, doska pôsobiaca v jednom smere, trámové stropy, dosky pôsobiace v dvoch smeroch, lokálne podopreté dosky (bezprievlakové dosky), schodiská, stužujúce steny, základové konštrukcie, modely podložia, plošné základy, základové pätky, škrupinové základy, základové železobetónové pásy a rošty pod skupinou stĺpov, základové dosky, hĺbkové základy, zakladanie na pilótach. V piatej kapitole nájdete základy problematiky deformácii konštrukcií v nelineárnej oblasti. V šiestej kapitole sa nachádzajú praktické príklady na výpočet a návrh nosnej výstuže do železobetónových prvkov podľa STN 73 1201 a tiež podľa EC2. V záverečnej kapitole sú uvedené niektoré pomocné podklady pre riešenie úloh, s ktorými sa stretáme v inžinierskej praxi. Pri každom tématickom celku sú teoretické a praktické poznatky z oblasti železobetónové konštrukčné sústavy demonštrované číselnými príkladmi. Skriptum je určené predovšetkým poslucháčom fakulty architektúry a stavebných fakúlt ako pomôcka pri zvládnutí predmetov betónové konštrukcie, konštrukčné prvky nosných sústav a architektonický projekt. Dúfam, že po nej siahnu aj študenti doktorandského štúdia, či pracovníci vo výskume alebo v projektovej činnosti. Nekládol som si však za cieľ, aby skriptum slúžilo ako jediný kompletný zdroj poznatkov pre študentov našej fakulty. Vývoj v tejto oblasti napreduje rýchlo a študujúci si musia vedomostný základ utvoriť aj z inej dostupnej literatúry, či už od domácich alebo zahraničných autorov. Na záver mi dovoľte poďakovať všetkým čitateľom za záujem. Uvítam upozornenie na nedostatky, nejasnosti, prípadne tlačové chyby, ktoré sa v texte mohli vyskytnúť.

Bratislava, máj 2002

Autor

Symboly gd gs g v f Rck P A M h h

Ab,sh ab,sh Ib,sh As,sh as,sh Is,sh ss

extrémne zaťaženie prevádzkové zaťaženie stále zaťaženie náhodilé zaťaženie súčiniteľ zaťaženia kocková pevnosť betónu v tlaku maximálna dosiahnutá tlaková sila v lise tlačená plocha skušobnej vzorky ohybový moment celková výška vzorky výška prierezu náhradná hrúbka prvku v mm prierezová plocha betónového prierezu plocha betónu v ťahu veľkosť styčnej plochy roznášacia plocha časť obvodu prierezu vystavená okolitému prostrediu účinná výška prierezu šírka prierezu prierezová plocha všetkých vetiev strmienku ležiaceho v rovine kolmej na rovinu pôsobiacich ohybových momentov plocha prierezu vzdialenosť ťažiska prierezu od horného okraja moment zotrvačnosti prierezu k ťažiskovej osi plocha celkovej výstuže v priereze As,sh = As1 + As2 vzdialenosť ťažiska celkovej výstuže od horného okraja moment zotrvačnosti výstuže k ťažiskovej osi vzdialenosť medzi strmienkami

šírka prierezu (stojiny)

Ac Ac Ad u

d b Ass

he  zb účinná výška a rameno vnútorných síl v podporovom priereze sústredená tlaková sila Ncd súčiniteľ podmienok pôsobenia b Qd1 posúvajúca sila od extrémneho zaťaženia pôsobiaca vo vzdialenosti h od podpory (teoretickej) Ubi plocha obrazca posúvajúcich síl prisúdená i-temu ohybu bN (hN) šírka (výška) podporného nosníka moment tuhosti v krútení podporného nosníka /s rozmermi bN, hN/ JN moment tuhosti v krútení podporného nosníka s rozmermi bN=hN = l.s/6 JNi vzdialenosť medzi vnútornými lícami podpôr krajného poľa dosky ls gst.d (vst.d) - extrémne stále (náhodilé) zaťaženie, pôsobiace zvislo na 1 m dĺžky jedného stupňa vzťahujúceho sa na šírku b stupňa l vyloženie  uhol sklonu schodiska mocniteľ vystihujúci vplyv druhu cementu  l výška podlažia

A1,A2 2c 2a N  ipr Apr v1 v2 e1 e2 n p Rssd Rbtr Rbtn Rdt fct fbm fcr fcj fcm ds or,i   hi s z,i m Eoed.i Eb t0

prierezové plochy jednotlivých pilierov vzdialenosť medzi piliermi šírka otvorov normálová sila pôsobiaca v pilieri šmyková sila pôsobiaca v priečli moment zotrvačnosti priečle prierezová plochapriečle zvislé zaťaženie pôsobiace na pilier 1 v úrovni každého podlažia zvislé zaťaženie pôsobiace na pilier 2 v úrovni každého podlažia excentricita, na ktorej zaťaženie v1 pôsobí excentricita, na ktorej zaťaženie v2 pôsobí počet podlaží počet vertikálnych prvkov v jednej výškovej úrovni výpočtová pevnosť v ťahu strmienkovej výstuže napätie v krajnom ťahanom vlákne normová pevnosť betónu tabuľková únosnosť základovej pôdy pevnosť betónu v ťahu priemerné napätie v súdržnosti napätie betónu pri vzniku trhlín pevnosť betónu v dňoch priemerná tlaková pevnosť betónu v MPa vo veku 28 dní kontaktné napätie v základovej škáre od účinkov prevádzkového zaťaženia pôvodné geostatické napätie v strede i-tej vrstvy Poissonovo číslo objemová tiaž zeminy v kN/m 3 hrúbka vrstvy danej zeminy sadnutie uvažovaného bodu zvislá zložka napätia pod uvažovaným bodom od priťaženia stavbou ol v strede i-tej vrstvy opravný súčiniteľ priťaženia, ktorý sa pre i-tú vrstvu stanoví v závislosti na druhu základovej pôdy výpočtový oedometrický modul i-tej vrstvy základovej pôdy modul pružnosti betónu v okamihu t0

modul pružnosti betónu starého 28 dní modul pretvárnosti základovej pôdy v kPa Edef modul pružnosti betónu v šmyku Gb Ii (Ai) moment zotrvačnosti (prierezová plocha) ideálneho prierezu Es(Eb) modul pružnosti výstuže (betónu) n = Es / Eb sečnicový modul (secant) Eij Eijo dotyčnicový modul (tangent) sečnicový modul (secant) Es E modul pružnosti stien E´ modul pružnosti priečle J t  t0 hodnota funkcie dotvarovania od napätia  ti v okamihu t vzdialenosť ťažiska ideálneho prierezu od najviac tlačeného okraja prierezu agi statický moment ideálneho prierezu vzhľadom na horný tlačený okraj SiO S statický moment prierezovej plochy oslabenej otvormi k vlastnej ťažiskovej osi Eb28

So základná hmotnosť snehu mj sústredená hmota j-teho stropu u(i)j, p(i) zrýchlenie hmoty mj vodorovná poradnica i-teho tvaru vlastného kmitania u(i)j fluktuačné zaťaženie pripadajúce na i-tý tvar kmitania konštrukcie p(i) Wj,seiz(c) - kvázi statická sila v strope j pri i-tom tvare vlastného kmitania nosnej konštrukcie Wj,seiz(i) - sila pri c-tom tvare vlastného kmitania, ktorý vyvodzuje najväčšie účinky l rozpätie trámu vzdialenosť líca trámu lsn K komplexná tuhosť objektu v úrovni hmotného bodu m m hmota konštrukcie sústredená do jedného hmotného bodu v úrovni stropu maximum / amplitúda / budiacej sily Fo K2,0 koeficient zohľadňujúci účinok distribúcie ťahového napätia v priereze pretvorenie pri vzniku trhlín cr teoretický súčiniteľ zmrašťovania  bso súčiniteľ vystihujúci priebeh zmrašťovania v čase s čas v ktorom hľadáme pomernú deformáciu t vek betónu vo vyšetrovanom okamihu (v dňoch) t vek betónu na začiatku zmrašťovania, popr. napučiavania (v dňoch) ts súčiniteľ vlhkosti  RH s( fcm) pomerné zmrašťovanie zahrňujúce vplyv pevnosti betónu na zmrašťovanie súčiniteľ závislý na druhu cementu  sc t  t s skutočná neupravená doba trvania zmrašťovania, resp. napučiavania v dňoch sh  ( t)

súčiniteľ pre výpočet pretvorení zmrašťovaním celková pomerná deformácia v čase t

  

napätie v ľubovoľnom čase  súčiniteľ starnutia závislý na priebehu pomerného pretvorenia v čase  vynútené pomerné pretvorenie nezávislé na napätí  n( t)  t  t0 súčiniteľ dotvarovania vztiahnutý k pružnému pretvoreniu po 28 dňoch teoretický súčiniteľ dotvarovania 0  c t t0 súčiniteľ vystihujúci priebeh dotvarovania po nanesení zaťaženia t0

vek betónu v dňoch v okamihu nanesenia zaťaženia

s

súčiniteľ tvaru zastrešenia objemová hmotnosť snehu základný tlak vetra tvarový súčiniteľ súčiniteľ výšky vlastná kruhová frekvencia kruhová frekvencia v čase sa meniacej vodorovnej sily F ( t ) dynamický súčiniteľ súčiniteľ útlmu súčiniteľ šmykovej pevnosti

s Wo Cw

w o  (i)  q

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-1-

1. Úvod Problém nelineárnych vlastností betónu na pretvorenie konštrukcií, ktorý je jedným z primárnych problémov, je stále otvorený a nie je doteraz uspokojivo vyriešený a zodpovedaný. Používanie železobetónu ako stavebného materiálu pre účely prenášania zaťaženia za rôznych podmienok pôsobenia konštrukcie podmieňujú hlavne tieto vlastnosti: 1/ Približne rovnaký koeficient tepelnej roztiažnosti betónu a ocele 2/ Schopnosť betónu chrániť výstuž pred koróziou 3/ Vzájomná súdržnosť ocele a betónu Posledná vlastnosť je základnou podmienkou existencie nosného prvku konštrukcie. 1.1 Mechanické vlastnosti betónu Betón je nerovnomerný materiál zmiešaný z troch základných zložiek: - kameniva, ktoré tvorí plnivo. Jedná sa o pevnú zložku, pozostávajúcu zo zmesi rôznych frakcií štrku a piesku; - cementu, ktorý tvorí hydraulické spojivo. Po zmiešaní s vodou zabezpečuje priebeh chemických reakcií v betónovej zmesi, ktoré sa prejavujú ako tuhnutie a tvrdnutie betónovej zmesi; - vody, ktorá umožňuje cementu uskutočniť chemickú reakciu a betónovej zmesi v čerstvom stave dáva kašovitý charakter a tým možnosť tvarovania výsledného staviva – betónu Mechanické vlastnosti betónu budú závisieť jednak od vlastností jednotlivých zložiek, ale tiež od ich pomerného zastúpenia a spracovania a od mnohých ďalších faktorov a okolností, v ktorých sa nachádza. Betón má vysokú pevnosť v tlaku a relatívne nízku pevnosť v ťahu (asi v pomere 1:10 a menej). Podľa spôsobu namáhania rozoznávame rôzne druhy pevností betónu v tlaku, ťahu, v tlaku za ohybu, v sústredenom tlaku, v súdržnosti. 1.1.1 Pevnosť betónu v tlaku: Pod pojmom pevnosť betónu rozumieme medzné napätie, pri ktorom sa skušobná betónová vzorka poruší. V skutočnosti vzniká v betóne priestorový stav napätosti, ktorý závisí od spôsobu a smeru zaťaženia a podopretia konštrukcie, resp. vzorky, od tvaru a rozmerov skúšaného prvku, od vlastností betónu atď. Typickým príkladom je porušenie betónových vzoriek pri skúške kockovej pevnosti betónu po 28 dňoch tvrdnutia betónu. Je to priemerná pevnosť zistená rozdrvením kociek o hrane 150 mm a prípadne hranola rozmerov 150/150/600 mm, avšak vzhľadom na rozmery kociek a ich zaťažovacieho zariadenia vzniká taký priestorový stav napätosti, že sa vzorky porušujú šmykom. R ck

(1.1.1.1)

kde Rck kocková pevnosť betónu v tlaku [MPa] P maximálna dosiahnutá tlaková sila v lise [MN] A tlačená plocha skušobnej vzorky L

Obr.1.1.1.1 Napätia a pretvorenia betónovej kocky pri normovej skúške na tlak

Ciara porušenia

Ciara pretvorenia

Obr. 1.1.1.2 Skúška hranolovej pevnosti

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-2-

Pevnosť betónu v prostom tlaku zistená na hranoloch rozmerov 150/150/600 mm je menšia ako kocková pevnosť. Znížená pevnosť je dôsledkom zmenšeného účinku trenia na čelných skušobných hranoloch. V zahraničí sa určuje pevnosť betónu častejšie na valcoch 150/300 alebo 160/320. Hranolovú a válcovú pevnosť betónu možno určiť aj pomocou kockovej pevnosti podľa vzťahov: Rch = Rck (0,77 – 0,001 Rck) [MPa] (1.1.1.2) Rch > 0,72 Rck (1.1.1.3) Rcv = 0,95 Rck (1.1.1.4) 1.1.2 Pevnosť betónu v tlaku za ohybu Pevnosť betónu v tlaku za ohybu je väčšia takmer o ¼ ako pevnosť v prostom tlaku. Príčinou je nelineárne rozdelenie napätí v tlačenej oblasti medzi únosnosti železobetónového prierezu. Dochádza tu k prenášaniu zaťaženia najviac namáhaných a plasticky najviac pretváraných vlákien na okraji, na vlákna vnútorné. Podobne aj medzné pretvorenie betónu v tlaku za ohybu je väčšie a pohybuje sa v rozmedzí od 2,5 do 3,8 %. Záleží to od geometrického tvaru prierezu. 1.1.3 Pevnosť betónu v ťahu Pevnosť betónu v ťahu leží v rozmedzí 8 až 15 % jeho tlakovej pevnosti. Skutočná hodnota je veľmi ovplyvnená typom skúšky, agregátu a tlakovou pevnosťou betónu. Na určovanie pevnosti betónu v ťahu sa obvykle používajú 3 druhy skúšok: a) v jednoduchom a hlavnom ťahu; b) v ťahu za ohybu; c) v priečnom ťahu Pevnosť betónu v prostom ťahu a hlavnom ťahu Zisťuje sa na trámčekoch ako pri zisťovaní pevnosti v ťahu za ohybu. Na vzorkách 100/100/300 mm zaťažených centrickou silou. Rbtn – Je pevnosť betónu v dostrednom ťahu. (1.1.3.1) Rbtn = 0.185 Rbg2/3 pre Rbg  30 MPa 1/2 (1.1.3.2) Rbtn = 0.325 Rbg pre Rbg  30 MPa Pevnosť betónu v ťahu za ohybu Skúša sa na nevystužených trámoch štvorcového prierezu 150/150/600 mm, pričom sa skušobný hranol uloží do zaťažovacieho lisu na pevnú plošinu podľa (obr. 1.1.3.1).

P/2

x d a

A l/3

l/3 l

l/3

Obr. 1.1.3.1 Skúška pevnosti betónu v ťahu za ohybu Táto pevnosť podobne ako pevnosť v tlaku za ohybu je väčšia ako pevnosť v prostom ťahu. Pevnosť v ťahu za ohybu sa vypočíta zo vzťahu: Ri

ACI 318 Building Code určí Ri :

6 M bh

(1.1.3.3)

Ri = 0.62 Rbg1/2

pričom Ri=Rbt

(1.1.3.4)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-3-

b Podľa teórie pružnosti napätia b krajných vlákien pružnej látky pred vznikom trhliny by sa rovnalo Ri. V betónovom priereze nebude h spomínané napätie dosiahnuté, pretože na medzi pevnosti sa budú krajné vlákna preťahovať bez Rz Ri zmeny napätia. Teoretické napätie Ri = 1,5.Rz, kde Rz je skutočné Obr. 1.1.3.2 Priebeh napätí pri namáhaní prierezu napätie pred vznikom trhliny. ohybovým momentom až na medzu pevnosti betónu v Priebeh napätí vidieť na (obr. ťahu 1.1.3.2). Pevnosť betónu v priečnom ťahu Tretím typom skúšok je skúška betónu b P v priečnom ťahu, ktorý je objasnený na (obr. 1.1.3.3) Používanou vzorkou pri týchto y skúškach je valec s rozmermi 152/305 mm. d x Pri skúške betónu v priečnom ťahu je prvok zaťažený biaxiálnym ťahom a tlakom ako je z x to znázornené na (obr. 1.1.3.3). x = 2P

db

Obr. 1.1.3.3 Schématické znázornenie testu v priečnom ťahu

1.2 Pracovné diagramy betónu 1.2.1 Pracovný diagram betónu v tlaku Betón zadeľujeme do tried podľa kockovej pevnosti, ktorá je hlavným fyzikálnym parametrom jeho kvality. V literatúre sa stretávame s rôznymi vyjadreniami kockovej pevnosti, novšie normové predpisy, reprezentované STN 73 1201/ 1986, rozdeľujú betón do tried podľa zaručenej kockovej pevnosti, meranej na kockách o hrane 150 mm. Trieda betónu je hodnota jeho kockovej pevnosti, zaručená výrobcom štatistickou zárukou 95%. Z rôznej definície značiek betónu vyplýva, že ich číselné údaje predstavujú rôzne fyzikálne veličiny, ktoré sa nedajú porovnať priamo. Porovnanie môžeme urobiť len pomocou teoretickej, štatisticky určenej hodnoty kockovej pevnosti Rbg . Pracovný diagram betónu pri ustálenej rýchlosti zaťažovania nazývame pracovný diagram od krátkodobého zaťaženia. Ak pri skúške postupujeme podľa prírastkov napätí, vtedy hovoríme o mäkkom zaťažovacom režime, ak sa však riadime prírastkami pomerných pretvorení hovoríme o tuhom režime. Dosiahnuté maximálne napätie betónu pri ustálenej rýchlosti zaťažovania, pri ktorom sa betón poruší tzv. hranolovým zlomom, nazývame hranolová pevnosť betónu Rbh. Táto veličina je rozhodujúca pre stanovenie normovej pevnosti betónu Rbn. STN 73 1201 / 1984 definuje normovú pevnosť betónu podľa tried, vo funkčnej závislosti od zaručenej kockovej pevnosti [22].



Rbn

Rbg  0.77  0.001 Rbg

Rbn

0.72 Rbg



pre Rbg  50 MPa pre Rbg  50 MPa

(1.2.1.1) (1.2.1.2)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-4-

Tab. 1.2.1.1 Triedy a charakteristiky betónu Hodnoty charakteristik pre betón triedy

Charakteristika v tlaku Rbn

Normová pevnosť [MPa] v ťahu Rbtn v tlaku Rbd Výpočtová pevnosť [MPa] v ťahu Rbtd Modul pružnosti [GPa] Ebo

B7,5

B10

B12,5

B15

B20

B25

B30

B35

B40

B45

B50

B55

B60

3,5

5,5

7,5

9,5

11,0

15,0

18,5

22,0

25,5

29,0

32,0

36,0

39,5

43,0

0,55

0,70

0,85

1,0

1,15

1,40

1,60

1,80

1,95

2,10

2,20

2,30

2,40

2,50

2,8

4,5

6,0

7,5

8,5

11,5

14,5

17,0

19,5

22,0

25,0

27,5

30,0

33,0

0,37

0,48

0,57

0,66

0,75

0,90

1,05

1,20

1,30

1,40

1,45

1,55

1,60

1,65

13,0

16,0

18,0

21,0

23,0

27,0

30,0

32,5

34,5

36,0

37,5

39,0

39,5

40,0

Modul pružnosti betónu v šmyku Gb = 0,435 . Eb Súčiniteľ priečneho pretvorenia betónu b = 0,2 Normová pevnosť betónu je tiež štatistická bc hodnota s pravdepodobnosťou p 95% . bci Základom pre modelovanie monotónneho b procesu zaťažovania sú pracovné diagramy betónu a ocele. bcj Pracovný diagram betónu v závislosti b pretvorenie - napätie delíme do troch oblastí, pričom prvá oblasť vyjadruje stúpajúcu vetvu, druhá vyjadruje oblasť maximálneho bc stúpania vetvy (krivky) a tretia oblasť 0 bci bcj bc vyjadruje klesajúcu vetvu pracovného 1 2 3 diagramu (obr. 1.2.1.1). Existuje viacero analytických priblížení sa k Obr. 1.2.1.1 Označenie oblasti na pracovnom diagrame betónu v tlaku. priebehu krivky napätie - pretvorenie betónu v tlaku. Pracovný diagram betónu v tlaku podľa P. Desayia a S. Krishnana je na obr 1.2.1.2. - pevnosť betónu v dňoch, fcj bc E ijo E ij E s Eij - sečnicový modul (secant) bc 1 =0,85.fcj Eijo - dotyčnicový modul (tangent) Es - sečnicový modul (secant), kde E je modul pri napätí b=0, b=0 a bc1/bc1 je sečnicový modul vo vrchole pracovného diagramu. Napätie betónu:

bcu =0,73.fcj bco =0,5.f cj

bc =

E. 1+(

bc bc 2 ) bc 1

bco

bcs

bc 1 =2,0%o

bcu =3,5%o

0.73 fc28

bc1

0.85 f c28

bco

0.5 f c28

Pretvorenie betónu:

bc1 bc 1

E=2

bcu

Obr 1.2.1.2: Závislosť napätie - pretvorenie betónu v tlaku podľa Desayia - Krishnana.

bcu

0.0035

bc1

0.002

bco

fc28 

2 3

24000

Moduly pružnosti: Eij



12000 f c28



1 3

(1.2.1.3)

Eijo28



  12000 f c28

3

(1.2.1.4)

Z uvedených vzťahov  -  odvádzame niektoré vlastnosti pracovného diagramu betónu v tlaku (obr. 1.2.1.2). Počiatočný sklon krivky napätie - pretvorenie sa zväčšuje so zvyšovaním pevnosti betónu v tlaku. V bode maximálneho napätia má krivka tvar podobný parabole. Pretvorenie bc1 sa zväčšuje so zvyšovaním pevnosti betónu. Keď maximálne pretvorenie bc1

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-5-

dosiahne medzu pretvorenia bcu, zväčšuje sa so zmenšovaním pevnosti betónu. Klesajúca vetva krivky    po dosiahnutí maximálneho napätia má vysokú mieru variability a je veľmi závislá na spôsobe testu. Podobne medza pretvorenia bc1 je veľmi závislá na type vzorky, type zaťaženia a rýchlosti testu. 1.2.2

Definícia krivky (pretvorenie bc - napätie bc ) betónu V oblasti 1 sa predpokladá prakticky lineárna závislosť napätia od pretvorenia. Oblasť 2 sa vyznačuje intenzívnym rozvojom mikrotrhlín, v oblasti 3 sa začnú spájať mikrotrhliny do vizuálne pozorovateľných makrotrhlín. Oblúk je daný krivkou v závislosti deformácia -

napätie a je definovaný podľa bodov ( bcj 

bcj b

), ( bc  bc ) a ( bci 

bci b

). bc (obr.1.2.1.1).

Pretvorenia bc a napätia bc ležia na danej krivke v oblasti i (obr. 1.2.1.1), pričom i = 0 - 2. Oblasť 1 (vzostupná krivka): Vzostupná krivka korešponduje s i 0 , čiže hodnoty pretvorenia a napätia budú nasledovné: 2 bcj = 0 3 (1.2.2.1)  bci  bco 0.5  f c28 (1.2.2.2) f c28 bcj = 0  bci

 bco

24000

Oblasť 2 (maximálny oblúk): Maximálny oblúk vzostupnej vetvy korešponduje s i = 1, čiže bci

bc1

bci

bc1

0.002 0.85  fc28

 bci

 bco

f c28

24000

(1.2.2.3)

 bci

 bco

Oblasť 3 (klesajúca vetva): Klesajúca vetva korešponduje s i = 2, čiže bcj = bc1 = 0,002 bcj = bc1 = 0,85.fc28 bci = bcu = 0,0035

0.5  f c28

(1.2..2.4)

bci = bcu = 0,73.fc28

1.2.3 Pracovný diagram betónu v ťahu Skúšok na prostý ťah v tuhom stave je oveľa menej ako v tlaku. Je to tým, že pretvorenia vo vrchole sú až 20-násobne menšie oproti pretvoreniam pri skúške na tlak. Pracovné diagramy v ťahu majú relatívne veľkú lineárnu oblasť, približne 50% . Pretvorenie na fraktúre je okolo 0,0001 v prostom ťahu. Diagram - môže byť vyjadrený priamkou so sklonom Ei a maximálne napätie sa rovná pevnosti v ťahu ft alebo parabolou s maximálnym pretvorením t = 1,8. ft / Ec. Vecchio a Collins použili diagram (obr. 1.2.3.1) pre betón v ťahu: - pred vznikom trhliny je vyjadrený lineárnym vzťahom : (1.2.3.1) pre 0 < c < cr fc1(c) = Ec . c - modul pružnosti betónu (1.2.3.2) fck=fc kde E c = 2.fck / bco - pretvorenie pri vzniku trhlín (1.2.3.3) cr = fcr / Ec v [MPa] - napätie betónu pri vzniku trhlín (1.2.3.4) f cr 0.33  f c´

- po vzniku trhlín platí nelineárna závislosť

 

f c2  c

f cr 1  200   c

(1.2.3.5)

Červenka použil nový vzťah napätia-pretvorenia v ťahu:  1  200   k 2  f  1  t´   (1.2.3.6) kde k2 = 0,5 - empirická konštanta

fc f cr

f c2 ( c)

f c1 ( c)

pred

 cr

vznikom trhlín

c

vzniku trhlín

Obr. 1.2.3.1 Pracovný diagram betónu v ťahu

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-6-

1.3 Mechanické vlastnosti ocele Vlastnosti vystužovacej ocele odvodzujeme prevažne z diagramu, t.j. čiary závislosti pretvorenia  s od napätia  s pri skúške v ťahu. Podstatou skúšky pevnosti v ťahu je zaťažovanie skúšobného telesa ťahom do porušenia. Po presnom odmeraní dĺžky vzorky l( m) určíme hmotnosť vzorky m( g) , pomocou ktorej stanovíme m A0 103 (1.3.1) počiatočnú skutočnú plochu prierezu výstuže: 7.85l

Tieto diagramy dostaneme, ak do skúšobných tyčí vnášame postupne vyššie a vyššie napätie a súčasne meriame pretvorenie na určitej základni l0 . Ak pozorne sledujeme uvedenú Patentovaná ocel závislosť na betonárskej výstuži, 1,8 zistíme, že až po medzu úmernosti 0,2 1,6 je závislosť priamková, pretvorenia 0,2 % 1,4 sú pružné a ich závislosť prebieha podľa Hookovho zákona. Po 1,2 prekročení medze úmernosti sa 1,0 diagram začne mierne odkláňať. 0,5. 0,2 0,8 Okrem pružnej deformácie vzniká aj Betonárska ocel 0,6 deformácia plastická a na medzi Taznost az 20% pružnosti dosahuje hodnoty 0.01%. 0,4 Pri ďalšom zvyšovaní napätia sa 0,2 [%] dostaneme k medzi prieťažnosti, 0 0,2 1,0 2,0 3,0 4,0 ktorá charakterizuje kvalitu ocele a predstavuje maximálne napätia, Obr. 1.3.1 Pracovný diagramy betonárskej a ktoré môžeme využiť pri navrhovaní patentovanej ocele. železobetónovej konštrukcie. Pri napätí, ktoré charakterizuje medzu prieťažnosti vznikajú nadmerné deformácie výstuže bez zvyšovania napätia, čoho dôsledkom je porušenie súdržnosti medzi betónom a výstužou, pričom dochádza k narastaniu deformácií prvkov železobetónových konštrukcií a k neprípustnému roztváraniu trhlín. Vrchol pracovného diagramu udáva pevnosť výstuže v ťahu Rm a stanoví sa zo vzťahu: Rm

Nm A0

106

(1.3.2)

kde Nm je maximálna sila zistená pri skúške (MN). Po dosiahnutí medze pevnosti napätia klesajú a výstuž sa pretvára len plasticky, až sa pretrhne. Pre dimenzovanie betonárskej výstuže do prierezov možno používať tri rôzne pracovné diagramy betonárskej výstuže: 1) Bilineárna závislosť medzi napätím a pomerným pretvorením betonárskej výstuže, kde horizontálna (horná) vetva  ´ 0 . 2) Parabolicko - rektangulárna závislosť napätia a pomerného pretvorenia betonárskej výstuže. 3) Bilineárna závislosť medzi napätím a pomerným pretvorením betonárskej výstuže, kde horizontálna (horná) vetva je stúpajúca (  ´  0 ). 1a) Pracovný diagram betonárskej výstuže podľa [22]

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-7-

s1 R sd

scd =0.0025

s = E s. s

Es sn =0.015

s sd =0.010

scn =0.0035

s1 R sn

s2 R scd s2 R scn

Obr. 1.3.2 Pracovný diagram betonárskej výstuže.

- sd, scd výpočtové medzné pomerné pretvorenie betonárskej výstuže v ťahu, resp. v tlaku, - sn, scn normové medzné pretvorenia betonárskej výstuže v ťahu, resp. v tlaku, - s1, s2 súčiniteľ podmienok pôsobenia betonárskej výstuže v ťahu, resp. v tlaku, - Es modul pružnosti betonárskej výstuže Es =210 GPa, - Rsn, Rscn, (Rsd, Rscd) príslušná normová (výpočtová) pevnosť výstuže

Tab. 1.3.1 Medzné pomerné pretvorenie betonárskej výstuže. Namáhanie výstuže Hodnota medzného pomerného pretvorenia normová výpočtová v ťahu sn = +0,015 sd = +0,010 v tlaku scn = -0,0035 scd = -0,0025 1b) Pracovný diagram betonárskej výstuže podľa [24]. Diagram vyjadruje bilineárnu závislosť medzi napätím a pomerným pretvorením betonárskej výstuže, kde horizontálna (horná) vetva ´=0 (obr. 1.3.3). Pozostáva z dvoch priamok: horizontálnej a priamky so sklonom. Horizontálna priamka začína v bode fyk/s, predstavujúcom výpočtovú hodnotu medze klzu výstuže. Pretvorenie výstuže s zodpovedajúce napätiu fyk/s je väčšie ako pretvorenie fyk/s.Es. Priamka so sklonom začína v bode 0 a končí v bode fyk/s . Pretvorenie výstuže s je menšie ako fyk/s.Es. s - je parciálnym súčiniteľom spoľahlivostí betonárskej výstuže Modul pružnosti betonárskej výstuže sa uvažuje strednou hodnotou Es 200000MPa c =0,0025 alebo

c =0,0035

f yk f yk

E s =200 GPa 0

f yk sE s

As uk =0,01

0,8.x

s s

Obr. 1.3.3 2) Parabolicko - rektangulárna závislosť napätia a pomerného pretvorenia betonárskej výstuže Pre výstuž bez vyznačenej medze klzu fyk možno hodnotu fyk nahradiť charakteristickou hodnotou medze s = 0.002 (medza pružnej deformácie betonárskej výstuže, obr. 1.3.4). Medza pružnej oblasti napätia betonárskej výstuže je 0,7.fyk. Druhá časť pracovného diagramu výstuže, ktorá predstavuje krivku, resp. parabola, je vyjadrená rovnicou 5 stupňa.

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-8-

   0.7 s  0.823   (1.3.3)  f yk  Es  pre  > 0,7.fyk Modul pružnosti betonárskej výstuže sa uvažuje strednou hodnotou Es = 200 GPa podľa [20]. Medza klzu fyk, resp. medza pevnosti v ťahu ftk, sú definované charakteristickou hodnotou sily na medzi klzu, resp. charakteristickou hodnotou maximálnej sily v osovom ťahu, delenou prierezovou plochou betonárskej výstuže. 

f yk 0,7. f yk

0,002

Obr. 1.3.4 Diagram výstuže

E s =200 GPa

0,8.x

c =0,0035

s 0

f tk f yk

s + 0,823( s . s - 0,7) 5

0,002

uk =0,01

Obr. 1.3.5 Diagram výstuže 3) Bilineárna závislosť medzi napätím a pomerným pretvorením betonárskej výstuže, kde horizontálna (horná) vetva je stúpajúca ( ´  0 ) Diagram výstuže, ktorý je na (obr. 1.3.6), sa skladá z dvoch priamok: a) pružná oblasť so sklonom Es b) semi - plastická priamka, ktorá prechádza bodom fyk a končí v bode1,1. fyk za predpokladu že medzné pomerné pretvorenie betonárskej výstuže je uk = 0,01. Pracovný diagram betonárskej výstuže podľa nasledujúceho obrázku sa môže pre výpočet dimenzovanie prierezu upraviť a to napr. pootočením hornej vetvy až do vodorovnej polohy.Výpočtové hodnoty sa odvodia z idealizovaného pracovného diagramu vydelením poradníc parciálnym súčiniteľom spoľahlivosti betonárskej výstuže  s . s

f tk f yk f yk s

E s =200 GPa 0

f yk

uk =0,01

sEs

Obr. 1.3.6

Pri dimenzovaní prierezu sa vychádza z jedného z týchto predpokladov: - horná vetva pracovného diagramu je vodorovná, t.j. napätie v betonárskej výstuži je obmedzené hodnotou fyk/s , a pomerné pretvorenie ocele s nie je obmedzené, v niektorých prípadoch je však obmedzenie tohto pomerného pretvorenia vhodné predpokladať, - horná vetva pracovného diagramu je stúpajúca a medzné pomerné pretvorenie ocele je obmedzené hodnotou s =0,01

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-9-

10216 10245 10335 10425 10505 KARI sieť

E K J V R W

Pevnosť výstuže [MPa] výpočtová : v ťahu Rsd resp. v tlaku Rscd v betóne triedy

normová: v ťahu a tlaku Rsn=Rscn fyk (EC2)

B12,5 165 180 180 180 180 180

206 245 325 410 490 490

fyd = fyk / s s = 1,15 (EC2)

Povrch

Označenie druhu ocele

Značka

Tab. 1.3.2 Materiálové charakteristiky betonárskej výstuže

179 213 283 357 426 426

hladký rebierkový rebierkový rebierkový rebierkový rebierkový

B15

B20 a viac 190 220 300 340 375 340 450(420) 340 450(420)

Modul pružnosti ocele : Es = 210 GPa, podľa EC2 Es = 200 GPa

1.4 Súdržnosť ocele s betónom Pod súdržnosťou rozumieme súhrn všetkých chemických, fyzikálnych a mechanických javov, ktoré pôsobia na kontaktných plochách výstuže a betónu a zabezpečujú spojitosť a odpor proti vzájomnému pohybu. Súdržnosťou sa prenášajú sily z betónu na výstuž a naopak, čím je zabezpečená spoluúčasť oboch materiálov na prenášaní síl, ktoré pôsobia na konštrukciu. Súdržnosť betónu a ocele spôsobujú najmä: a) priľnavosť cementového kameňa (molekulárna adhézia) k výstuži; b) trenie, ktoré vzniká pôsobením síl od zmrašťovania betónu; c) nerovný povrch výstuže, čím sa výstuž zakliní do betónu. Súdržnosťou sa hľadajú vzťahy pre vyjadrenie stavu napätosti na kontaktných plochách oboch materiálov, sleduje sa vplyv rôznych povrchových úprav výstuže na kotviacu schopnosť, vplyv kvality betónu, koncových úprav výstuže, vplyv prostredia pri tvrdnutí betónu a množstvo iných vplyvov. Od súdržnosti značne závisí únosnosť prierezu. Ak betón popraská pod ťahovou silou, okamžite výstužná tyč preberie tento ťah. V trhline vzniká náhly skok znázornený na (obr. 1.4.1), ktorý je charakterizovaný zvýšením napätia vo výstuži. Veľkosť skokového napätia závisí od percentuálneho podielu výstuže a od druhu pôsobenia závisí od percentuálneho podielu výstuže a od druhu pôsobenia (obr.1.4.2). Najväčšia je v betónovom prvku namáhaného čistým ťahom s s = fct / , zmenšuje sa na 0,2.fct / , v nosníku pri čistom ohybe. s

s 

s

f ct 

s

0.2 

s

0.2 

f ct 

v trhline



n. e

M A

M.N

Obr. 1.4.1 Náhly skok napätia vo výstuži v trhline

Obr. 1.4.2 Napätie vo výstuži v trhline

f ct 



Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 10 -

Veľkosť tohto skokového napätia má, samozrejme, významný vplyv na začiatočnú šírku trhliny a na veľkosť napätia v súdržnosti na oboch stranách trhliny. Skúšky Y. Gota z Japonska ukázali, že príčinou skoku napätia sú malé vnútorné väzby trhlín na rebrách tyče, ako znázorňuje (obr.1.4.3). Vysoký skok napätia rezultuje v malých väzbách vnútorných trhlín, čím sa stráca ohybová pevnosť malého betónového ozubenia, to znamená, že je tu určitá dĺžka porušenia súdržnosti, nad ktorú sa pretvorenie výstužnej tyče nezníži a tým prispieva k šírke trhliny. Dá sa zhruba predpokladať, že dĺžka porušenia súdržnosti je: o

 s 45



[N/mm2]

(1.4.1)

Podľa Leonhardta pre výstuž: a) s periodickým profilom je o

 at 3

D

(1.4.2)

45  10

kde at [KN.m-2]; D[m], o [m]  b) s hladkým povrchom je  0.74  at o

 

 D 0.40 45  103

  (1.4.3)

kdeD je priemer vystužovacích prútov ťahovej výstuže dlzka porušenej súdrznosti

o Súdržnosťou sa znižuje hodnota napätia vo výstuži v susedstve trhliny a zabraňuje väzba vnútornej trhliny rozširovaniu týchto napätí po dĺžke výstuže tým, že ich prenáša na ešte neporušený betón. Zvýšené napätie vo výstuži zostane teda obmedzené len na pomerne malú dĺžku, ktorá závisí od veľkosti napätia v súdržnosti a vyvolá len pomerne malé w pretvorenie výstuže a tým vznikne len málo roztvorená trhlina. Pri zvyšovaní zaťaženia Obr. 1.4.3 Vnútorná väzba trhliny daná dĺžkou porušenia alebo stratou súdržnosti sa bude pod vplyvom súdržnosti napätie vo výstuži i v betóne zväčšovať až vznikne v určitej vzdialenosti ďalšia trhlina. Tento proces rozvíjania trhlín a presunu napätí je vykreslený na (obr. 1.4.4). CEB No. 158-E uvádza pre l minimálne priemerné vzdialenosti trhlín nasledujúci vzťah: N N S rm

K 2.0  f ct

f bm



A ct



(1.4.4)

kde fct fbm Ac K2,0

pevnosť betónu v ťahu, priemerné napätie v súdržnosti, plocha betónu v ťahu, koeficient zohľadňujúci účinok distribúcie ťahového napätia v priereze K2,0 = 1 pre čistý ťah K2,0 = 0,5 pre čistý ohyb

s2

s

s2

sm  bm prvá trhlina

fct

c < fct

Obr. 1.4.4 Proces vzniku trhlín a presunu napätí

Obr. 1.4.5 Prenos ťahových síl do betónu medzi trhlinami

priebeh tahových napätí

trhlina

Efektívna betónová plocha A c,eff

Aby sme získali primeraný vzťah, je potrebné definovať účinnú oblasť. Pre rôzne prípady boli získané experimentálne. Potreba používať túto účinnú oblasť vznikla z dôvodu, že možnosti prenosu ťahových síl do betónu cestou súdržnosti medzi dvomi trhlinami sú obmedzené (obr. 1.4.5).

- 11 -

trhlina

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

výstuž

betón nie je výrazne ovplyvnený výstužou

1.5 Zmrašťovanie a dotvarovanie betónu Betón je najpoužívanejší stavebný materiál na svete a preto je veľký záujem o poznanie a zlepšenie jeho vlastností. Z reologického hľadiska vykazuje betón pružné, plastické a viskózne deformácie. Ako je známe, betón podlieha zmenám pretvorenia v čase (dotvarovanie) vďaka trvalému napätiu súčasne, aj keď vonkajšie napätie nepôsobí, spôsobuje zmeny (zmrašťovanie a napučiavanie) vyparovanie alebo absorpcia vody materiálom. Zmrašťovanie a dotvarovanie hrá významnú úlohu v návrhu moderných konštrukcií, ako sú konštrukcie z predpätého betónu, bezpečnostné obaly jadrových reaktorov, ktoré sú veľmi citlivé na objemové zmeny. Zmrašťovanie a dotvarovanie sú dôležité z hľadiska použiteľnosti, trvanlivosti a dlhodobej spoľahlivosti konštrukcií. Naviac, redistribúcia vnútorných síl má často priaznivý účinok, ale niekedy aj škodlivý. Preto nie je prekvapujúce, že sa výskumné aktivity v tejto oblasti významne zvyšujú. Presnosť výpočtu účinku dotvarovania a zmrašťovania betónu má zodpovedať spoľahlivosti dostupných údajov popisujúcich tieto javy a dôležitosti ich účinkov pre vyšetrovanie medzného stavu. Ak je napätie betónu v medziach zodpovedajúcich bežným prevádzkovým podmienkam, môžeme pre vystihnutie reologického správania sa betónového prvku vychádzať z týchto predpokladov: - dotvarovanie a zmrašťovanie sú na sebe nezávislé, - medzi dotvarovaním a napätím spôsobujúcim dotvarovanie sa predpokladá lineárny vzťah, - zanedbávajú sa účinky nerovnomerného rozdelenia teplôt a vlhkosti, - pri zaťaženiach vyskytujúcich sa v rôznych časových obdobiach sa predpokladá platnosť zákona superpozície, - uvedené predpoklady sa vzťahujú aj na ťahaný betón. 1.5.1

Zmrašťovanie Účinky zmrašťovania betónu sa pri navrhovaní a posudzovaní konštrukcií uvažovali najmä z hľadiska ich vplyvu na stav napätia. V nepredpätých konštrukciách sa predpokladá, že z hľadiska medzných stavov prvej skupiny, je prihliadnutie na účinky zmrašťovania (tj. napätia, ktoré vznikajú vynútenými pretvoreniami) zanedbateľné, lebo rozvojom trhlín nastáva v štádiách blízkych porušeniu výrazné zmenšenie napätí vynútených vo výstuži zmrašťovaním.

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 12 -

deformácie

Samotné zmrašťovanie, ktoré sa prejavuje zmenou objemu, sa v histórii výskumu betónových konštrukcií skúmalo pomerne veľmi podrobne. Hodnotu zmrašťovania ovplyvňuje veľa Faktorov s rôznou významnosťou. Sú to najmä: relatívna vlhkosť a teplota prostredia, obsah cementovej  cs kaše, vodný súčiniteľ, druh  bs použitého kameniva, tvar a rozmery prvkov, spôsob 0 ts t t= cas urýchľovania tvrdnutia betónu . Obr.1.5.1.1 Zmrašťovanie prvku Rozdielna vlhkosť prostredia, ktorému sú vystavené protiľahlé povrchy konštrukčného prvku alebo nehomogenita betónu spôsobená technológiou zhutňovania zmesi môže mať za následok nerovnomerné voľné zmrašťovanie po výške prierezu lineárne. Osové pretvorenie od zmrašťovania sa javí medzi časom t0 a te v prostom betóne a môže byť vyjadrené nasledujúcim vzťahom:  bs t  ts

(1.5.1.1)

 bso  s t ts

pričom je:  bso teoretický súčiniteľ zmrašťovania, súčiniteľ vystihujúci priebeh zmrašťovania v čase, s vek betónu vo vyšetrovanom okamihu (v dňoch), t vek betónu na začiatku zmrašťovania, popr. napučiavania (v dňoch). ts Teoretický súčiniteľ zmrašťovania sa dá určiť zo vzťahu:  bso

s( fcm)   RH

s( fcm)

6  160   sc ( 90  fcm)   10

(1.5.1.2)

súčiniteľ vlhkosti, s( fcm) pomerné zmrašťovanie zahrňujúce vplyv pevnosti betónu na zmrašťovanie (obr. 1.5.1.2b), priemerná tlaková pevnosť betónu v MPa vo veku 28 dní, fcm súčiniteľ závislý na druhu cementu:  sc = 4 pre pomaly tvrdnúce cementy,  sc = 5 pre  sc normálne a rýchle tvrdnúce cementy,  sc = 8 pre rýchle tvrdnúce cementy s vysokou pevnosťou. Súčiniteľ vlhkosti  RH má tieto hodnoty: pre 40%  RH  99% (umiestnenie na vzduchu)  RH 1.55  sRH pre RH  99% (umiestnenie vo vode)  RH 0.25 pričom je:  sRH súčiniteľ vystihujúci vplyv relatívnej vlhkosti na hodnotu teoretického pomerného zmrašťovania (obr. 1.5.1.2a)  RH

1  

 sRH

RH 

  100  kde RH je relatívna vlhkosť prostredia v %. Súčiniteľ priebehu zmrašťovania v čase sa dá určiť zo vzťahu (obr. 1.5.1.2c):

(1.5.1.3)

0.5

t  ts     2  0.35  h0  t  ts  náhradný rozmer (mm)

 s t ts h0

(1.5.1.4)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 13 -

skutočná neupravená doba trvania zmrašťovania, resp. napučiavania v dňoch. Ak výpočet nevyžaduje presné riešenie, môžeme súčiniteľ dotvarovania    t0 a pomerné t  ts

zmrašťovanie cs uvažovať základnou hodnotou podľa (Tab. 1.5.1.1), hodnoty platia pre normálny hutný betón vystavený v okamihu nanesenia prvého zaťaženia t0 tlakovému napätiu najviac 0.45Rbn , kde R bn je normová hodnota pevnosti betónu. Tab. 1.5.1.1 Konečné hodnoty pomerného zmrašťovania cs (%o) Umiestnenie prvku Relatívna vlhkosť Náhradné hrúbky 2.Ac / u [mm] 2.Ac / u < 150 2.Ac / u > 600 vo vnútri 50 0,60 0,50 vonku 60 0,33 0,28  sRH

S

1.10 -3

1,0

S

1,0 0,75

8.10 -4

0,50

6.10

-4

4.10

-4

0,25

25 50 75 100 Relatívna vlhkost (%)

s

 sc

0,5

 sc

0 =5

m m h

0 =1 o

m 0m

m m 00 =2

mm 400 ho = mm 600 ho = 00mm h o >8

20 40 60 Priemerná tlaková pevnos betónu [MPa]

100

1000

10000 Cas, t [dni]

Obr. 1.5.1.2 a) Vplyv relatívnej vlhkosti, b) vplyv priemernej tlakovej pevnosti betónu, c) zmena zmrašťovania v čase 1.5.1.1 Pretvorenie od zmrašťovania betónu Pretvorenie od zmrašťovania je možné zanedbať pri prvku s rozhodujúcou dĺžkou lfmax rovnou 6 m. Krivosť ohybovej čiary od zmrašťovania je možné určiť zo vzťahu: kde  sh 1 (1.5.1.1.1) sh súčiniteľ pre výpočet pretvorení zmrašťovaním r sh he he účinná výška prierezu Pri určovaní krivosti a osového pretvorenia od zmrašťovania sa vychádza z týchto predpokladov: 1) Z betónového prierezu pôsobí časť o výške hsh, ktorá sa určí nasledovne: - v úsekoch, v ktorých sa neočakáva vznik trhlín hsh = h - v úsekoch, v ktorých sa očakáva vznik trhlín, sa do výpočtu zavedie menšia z hodnôt: min (hsh = 2.xr , hsh = 0,6.he1) kde xr je výška tlačenej oblasti prierezu za predpokladu plne vylúčeného betónu v ťahu 2) Zachovaná je rovnováha síl v priereze, na ktorý nepôsobí žiadny silový účinok Zaťažení. 3) Algebraický rozdiel pretvorení výstuže a betónu v úrovni výstuže sa rovná hodnote pomerného dĺžkového pretvorenia betónu od zmrašťovania bs pre uvažovaný časový interval <t1, t2 >. 4) Modul pružnosti betónu sa nahradí hodnotou: E bt

Eb 1  0.55  

(1.5.1.2)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 14 -

1.6 Dotvarovanie a teória dotvarovania betónu Vlastnosti betónu závisia od viacerých faktorov, ako napríklad vlhkosť, teplota a čas, ktoré sú blízko prepojené, pričom pretvorenie v čase t=0 sa uvažuje ako pružné pretvorenie, ale môže zahŕňať aj neelastické zložky. Rozoznávame tri štádia dotvarovania. - Primárny rozsah dotvarovania, pri ktorom rýchlosť dotvarovania klesá s časom. - Sekundárny (alebo stacionárny) rozsah dotvarovania s minimálnou zmenou rýchlosti dotvarovania, dochádza k ustálenému stavu dotvarovania, ktorý môže byť lineárny v čase - Terciárne dotvarovanie, spôsobené mikrotrhlinami pri veľkých napätiach. Môže, ale nemusí existovať. Rýchlosť primárneho aj sekundárneho dotvarovania sa znižuje s časom od počiatku zaťaženia. Plastické deformácie spôsobené pri zaťažení sú ignorované. Pod teóriou dotvarovania vo všeobecnosti máme na mysli určenie závislosti medzi napätím, deformáciou a časom. Matematicky to znamená, že treba nájsť funkciu. (1.6.1) ( t)      t   ( t) celková pomerná deformácia v čase t    t 

napätie v ľubovoľnom čase  čas v ktorom hľadáme pomernú deformáciu meniaca sa súradnica času

deformácia

Pri zaťažení betónu sa vytvára okamžité elastické pretvorenie ako je znázornené na obr. 1.6.1. Ak zaťaženie pretrváva, postupom času sa vytvárajú dodatkové pretvorenia, čo je spôsobené tým, že absorbované vrstvy vody medzi gélovými časticami sa ztenčujú a vzniká tak tlakové napätie. Táto zmena hrúbky vrstiev je na začiatku rýchla a s časom sa zmenšuje. Po určitom čase sa medzi gélovými časticami v nových pozíciách vytvoria väzby. V prípade, že sa zaťaženie odstráni, časť pretvorení sa obnoví elasticky, ďalšia časť dotvarovaním, ale reziduálne pretvorenie pretrváva (obr. 1.6.1) Odlahcenie pôsobením väzieb medzi gélovými Zataženie časticami v deformovanej pozícii. Pretvorenia spôsobené dotvarovaním Pružná návratnost Deformácia e sú v jednom z troch prípadov dotvarovaním Návratnost c okamžité elastické pretvorenia. dotvarovaním Pretvorenia spôsobené dotvarovaním Pružná deformácia Nenávratná vedú postupom času k zvýšeniu l deformácia priehybov, čo môže viesť k 0 to t t= Cas, t redistribúcii napätí v priereze alebo Obr. 1.6.1 Elastická deformácia a deformácie spôsobiť zmenšenie predpínania síl dotvarovaním spôsobené zaťažením v čase to a atď. odľahčením v čase t Pomer pretvorenia od dotvarovania k elastickému pretvoreniu c / i po dlhom časovom intervale sa nazýva koeficient dotvarovania. Hodnota tohto koeficientu závisí od pomeru trvalého napätia a pevnosti betónu, od vlhkosti prostredia, rozmerov prvku a kompozície betónu. Až do hodnoty napätia okolo 0,5.fc´ je dotvarovanie lineárne závislé od elastického pretvorenia. Mimo tejto úrovne napätia sa pretvorenie od dotvarovania zväčšuje rýchlo a môže viesť k porušeniu prvku pri napätí väčšom ako 0,5. fc´.

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 15 -

Je zrejmé, že na napätosť prierezu a na jeho pretvorenie bude mať vplyv mnoho faktorov, napr.: statická schéma prvku, schéma zaťaženia, tvar prierezu, rozdelenie výstuže po dĺžke prvku, percento vystuženia, súdržnosť zložiek s betónom a tiež dotvarovanie betónu tlačenej aj ťahanej časti prierezu a zmrašťovanie. Predpokladáme, že v prvku pôsobením ohybového momentu M, ktorý je v čase nemenný, vznikli od prevádzkového zaťaženia trhliny za predpokladu, že je pretvorenie prierezu priamo úmerné vzdialenosti od neutrálnej osi. Účinkom dotvarovania betónu tlačenej časti vzrastá pretvorenie krajného vlákna z b(0) na b(t) a súčasne sa zväčší pretvorenie preťaženej výstuže z (0) na (t). Neutrálna os sa posunie dole a bude ležať vo vzdialenosti xt. Tým dôjde v betóne v tlačenej časti k novému rozdeleniu napätia z b(0) na b(t), lebo moment vnútorných síl sa musí opäť rovnať momentu vonkajších síl, ktorý sa časom nezmenil. Rameno vnútorných síl sa mierne zmenší a sila vo výstuži sa zväčší z Nb(0) na Nb(t). Nakoniec vzrastá krivosť (obr. 1.6.2). b(t) b(0) b(t) Doposiaľ je neobjasnená a) b) (t) (0)  b -b(0) b-(t) = b-(0) b otázka rozvoja trhlín od dlhodobého zaťaženia pre Nb(0) Nbohýbané prvky. Skúšky vedú x(t) x(0) x(t) x(0) Nb(t) k záveru, že dotvarovaním sa trhliny rozširujú a vznikajú + nové trhlinky; to je však Nb Na(0),Na(t) N a v rozpore so záverom (0)  +b(0) a o zväčšovaní novej trhlinky + a(t) b+(t) = b+(0) b(t) tlačenej časti betónového prierezu pri Obr. 1.6.2 a) Rez s trhlinou b) rez bez trhlín dotvarovaní. Tu je však dôležité zmrašťovanie betónu a posun zložiek v betóne. Ak vznikne pri zmrašťovaní v priereze trhlina, tak sa v tomto mieste stratí napätie ocele aj betónu. Vplyvom dotvarovania sa (od dlhodobého zaťaženia) neutrálna os posunie od tlačeného okraja a výstuž sa tým mierne predĺži. Lineárna závislosť medzi pretvorením a xt neplatí ani pri krátkodobom zaťažení. Podľa pokusov a meraní tenzometrami ohýbaného prvku v mieste trhlinky prechádza xo do xt. Prierez po pretvorení nezostáva rovinným avšak táto skutočnosť sa nezavádza do výpočtu, nakoľko tu vystupuje viacero nepreskúmaných faktorov, aby sa nekomplikoval ďalší výpočet. Prierez sa počíta ako priamo úmerný. Pre ohýbané prvky sa pre určenie polohy neutrálnej osi v reze s trhlinkou pri dlhodobom zaťažení (dotvarovaní) vychádza z predpokladov, že: a) Prierezy sú aj po pretvorení rovinné b) Napätie v tlačenej časti je rovnomerné a v krajnom tlačenom vlákne je : b= Ebo . b (1.6.2) c) Betón v ťahu nepôsobí: Ebo =  . Eb = 0,5.Eb (1.6.2) Kde Ebo je modul pretvárnosti betónu pri krátkodobom zaťažení. Celkové pomerné pretvorenie v okamihu t betónu vystaveného počiatočnému zaťaženiu v okamihu t0 pri napätí  t0 s následnými premenami napätia  ti v okamihoch ti môžeme s použitím hore uvedených predpokladov vyjadriť vzťahom : (1.6.3)  tot t  t0  n( t)  0 t  t0  J t  t 0   t i Pri výpočte konštrukcie môžeme túto rovnicu napísať v tvare J t  t0   1  tot  t  t0  n( t)   t0  J t  t0   ( t)   t0       (1.6.4) Eb28   Eb t0

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 16 -

pričom je: Eb t0 modul pružnosti betónu v okamihu t0 , Eb28 modul pružnosti betónu starého 28 dní, súčiniteľ starnutia závislý na priebehu pomerného pretvorenia v čase: v bežných  prípadoch môžeme sučiniteľ  uvažovať hodnotou 0.8 (toto zjednodušenie je vhodné pre prípad čistej relaxácie účinku konštantného vynúteného pretvorenia, a je tiež primerané v prípadoch, kedy uvažujeme len dlhodobé účinky),  n( t) vynútené pomerné pretvorenie nezávislé na napätí (napríklad od účinkov zmrašťovania alebo od účinku teploty), J t  t0 hodnota funkcie dotvarovania od napätia  ti v okamihu t , pričom funkcia dotvarovania je  t  t0 1  J t  t0 (1.6.5) E b  t 0 Eb28 je uvažovaný okamih, t čas na začiatku zaťažovania betónu, t0 Eb t0 modul pružnosti betónu po 28 dňoch, súčiniteľ dotvarovania vztiahnutý k pružnému pretvoreniu po 28 dňoch.

 t  t0

Súčiniteľ dotvarovania vypočítame zo vzťahu:  t  t0 0  c t t0 teoretický súčiniteľ dotvarovania, 0  c t t0 súčiniteľ vystihujúci priebeh dotvarovania po nanesení zaťaženia, vek betónu v dňoch v uvažovanom okamihu, vek betónu v dňoch v okamihu nanesenia zaťaženia. t0 Teoretický súčiniteľ dotvarovania sa určí z týchto vzťahov: 0 RH  ( fcm)    t0

(1.6.6)

1 RH

1

(1.6.7)

RH 100

0.1  3 ho

(1.6.8)

Súčiniteľ vystihujúci vplyv pevnosti na teoretický súčiniteľ dotvarovania: 16.8

 ( fcm)

(1.6.9) Súčiniteľ vystihujúci vplyv veku betónu v okamžiku vnesenia zaťaženia na teoretický súčiniteľ dotvarovania: 1

  t0 h0

fcm

(1.6.10)

 0.1   t0 0.2 2

(1.6.11)

je náhradná hrúbka prvku v mm, A b je prierezová plocha betónového prierezu, u je časť obvodu prierezu vystavená okolitému prostrediu, súčiniteľ priebehu dotvarovania betónu v čase sa vypočíta zo vzťahu h0

 c t t0

t  t0      t  t    H  0 

0.3

(1.6.12)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 17 -

kde je neupravená doba trvania zaťaženia vo dňoch, je súčiniteľ závislý na relatívnej vlhkosti (RH v %) a náhradnom rozmere prvku H ( h 0 v mm), súčiniteľ  H sa určí zo vzťahu: 18 (1.6.13)  H 1.2  1  ( 0.012 RH)   h 0  250  1500 t  t0

Vplyv druhu cementu na súčiniteľ dotvarovania betónu sa dá zaviesť úpravou veku betónu v okamihu nanesenia zaťaženia t0 : t0

 t0  T   

1.2  2   t0  T 

 1





to > 0,5

(1.6.14)

pričom je:  mocniteľ vystihujúci vplyv druhu cementu:  = - 1 pre pomaly tuhnúce cementy,  = 0 pre normálne, popr. rýchle tuhnúce cementy,  = 1 pre rýchle tuhnúce cementy s vysokou pevnosťou, t0  T vek betónu v dňoch v okamihu nanesenia zaťaženia upravený podľa vzťahu 4000  Vplyv zvýšených teplôt alebo znížených n    273 T  ti    13.65   (1.6.15) teplôt v rozsahu 0o C až 80o C na dozrievanie tT e  ti i 1 betónu sa uvažuje úpravou veku betónu podľa (1.6.15). tT je upravený vek betónu, ktorým sa nahradzuje t v príslušných vzťahoch,



T  t i 

teplota v Co v priebehu obdobia ti , počet dní, kedy sa vyskytuje teplota T . t i Ak sa napätie v betóne mení len nepatrne, môžeme pomerné pretvorenia betónu určiť s použitím efektívneho modulu pružnosti daného vzťahom: Eb t0 Eb  eff (1.6.16)  1   t  t0  Pri výpočte súčiniteľa dotvarovania pri obdĺžníkovom priereze bude A c b h , kde b je šírka prierezu. Súčiniteľ dotvarovania sa určí v závislosti od tzv. náhradnej hrúbky, konzistencie betónovej zmesi, relatívnej vlhkosti prostredia a veku betónu t0 v dňoch na začiatku pôsobenia zaťaženia. Náhradnú hrúbku prierezu h 0 vypočítame ako pomer prierezovej plochy betónu A c k polovičnému obvodu u p vystavenému pôsobeniu prostredia, čiže: h0 up

(1.6.17)

kh  1  kh  3 

 k h  2 h

(1.6.18) V tomto vzťahu h  1 ; h  2 ; h  3 sú sučinitele rovnajúce sa buď 0 alebo 1 (podľa toho, či strana prierezu je alebo nie je vystavená pôsobeniu prostredia). Súčiniteľ k h  1 ( k h  3 ) sa pritom vzťahuje na hornú (dolnú) stranu prierezu, súčiniteľ k h  2 na bočnú stranu prierezu. Interpoláciu v (tab. 1.6.1) k danej náhradnej hrúbke h 0 a k danému veku betónu t0 môžeme urobiť tak, že vypočítame prírastky: 2

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

 t 0  t t  i  1  t t  i  t t  i  1

- 18 -

 h 0  h t  j  1  h t  j  h t  j  1

kde ( i  1 , i ) sú čísla riadkov, medzi ktorými sa nachádza hodnota t0 a ( j  1 , j ) sú čísla stĺpcov, medzi ktorými sa nachádza hodnota h 0 . Súčiniteľ dotvarovania dostaneme potom zo vzťahu:  ccs  t  i 1  j 1   1  d t  d h  d t d h  t  i 1  j  1  d t  d h  t  i  j 1  1  d h  d t  t  i  j d t d h (1.6.19) Tabuľkové hodnoty veku betónu na začiatku pôsobenia dlhodobého zaťaženia: t t ( 1  7  28 90 365) dní Tabuľkové hodnoty náhradnej hrúbky prierezu: ht

( 0.05 0.15 0.6 0.05 0.15 0.6)  m

Tab. 1.6.1 Tabuľkové hodnoty súčiniteľa dotvarovania betónu: 0,6 0,05 0,15 Náhradnej hrúbky prierezu ht 0,05 0,15 Súčiniteľ dotvarovania betónu t

5.4 3.9 3.2 2.6 2.0

4.4 3.2 2.5 2.1 1.6

3.6 2.5 2.0 1.6 1.2

3.5 2.5 1.9 1.6 1.2

3.0 2.1 1.7 1.4 1.0

0,6 2.6 1.9 1.5 1.2 1.0

tt 1 7 28 90 365

kde t  r  s značí tabuľkovú hodnotu v riadku r a v stĺpci s. Súčiniteľ ccs vyjadruje vplyv konzistencie betónu pri pružnosti Ec  eff, t.j. (1.6.20) Ec  eff Ecm  1   1.6.1 Lineárna teória dotvarovania Všetky základné lineárne teórie dotvarovania sú založené na nasledovných predpokladoch: - Betón je považovaný za homogénny materiál. - V oblasti pružných napätí sa betón správa podľa Hookovho zákona. - Podobne ako pri Hookovom zákone existuje lineárna závislosť medzi pretvorením od dotvarovania a pôsobiacim zaťažením. - Pri rôznom pôsobiacom napätí v čase sa na modelovanie situácie aplikuje princíp superpozície. - Model dotvarovania v tlaku je rozšírený aj na betón v ťahu. - Predpoklad konštantného modulu pružnosti je tiež dôležitou súčasťou uvažovaných zjednodušení. Pokiaľ nedochádza k vysúšaniu je dotvarovanie betónu takmer lineárne až do napätia 0.5 R h ( f´c ) . V prítomnosti vysušovania sa významne mení na lineárne, dokonca už pri nízkych hodnotách napätia. Predpoklad linearity betónu je prijateľný za nasledovných podmienok: - Napätie je v rozsahu oblasti prevádzkových napätí (0.3 - 0.5 ( R h ) f´c ). - Počas priebehu dotvarovania nedochádza k významným zmenám v rozložení vlhkosti. - Nedôjde k odľahčeniu (reverznému pretvoreniu). K zníženiu napätia však môže dôjsť, napríklad pri relaxácii. - Po počiatočnom zaťažení nedôjde k významnému okamžitému zvýšeniu napätia. Nesplnenie tejto podmienky spôsobuje minoritnú chybu.

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 19 -

1.6.2 Obecné teórie lineárneho dotvarovania Vzťah pre dotvarovanie môže byt vyjadrený pomocou:

1) Súčiniteľ dotvarovania  t  1 (Creep Coefficient): koeficient dotvarovania  t  1 , čo je pomer deformácie od dotvarovania v čase t k pružnej deformácii od napätia  konst ., ktoré začalo pôsobiť v čase 1 d( t  1)  (t)  t  1 (1.6.2.1)   t  1

jeho hodnota je medzi 2-4 a je funkciou vlhkosti, teploty, rozmerov prvku

 (  1 ) = (t)=konst 1

 (t)

( 1)

e( 1) C( t  1)

 e ( 1 )

1

Obr. 1.6.2.1 Priebeh celkovej deformácie betónu v čase od napätia 

( t  1) (  1)

(1.6.2.2)

E( 1)

 d (t,1) e

e( 1)

d( t  1)

miera dotvarovania (1.6.2.3)

( 1)

(1.6.2.4)

C( t  1)  E( 1)

je konštantná (lineárne dotvarovanie)

konst

2) Miera dotvarovania C( t   1) (Specific Creep) je pomer deformácie od dotvarovanie v čase t k napätiu (  1) =konšt. Je to vlastne deformácia od dotvarovania spôsobená napätím  1 (jednotkovým napätím) d( t  1) C( t   ) -oneskorenie pružnosti (Boltzman) C( t  1) (1.6.2.5) -starnutie (Dischinger) ( 1) -oneskorenie so starnutím. (1.6.2.6)  t  1 C( t   1)  E(  1) 3) Funkcia dotvarovania / niekedy aj jadro dotvarovania / ( t   1) alebo ( J( t   1) )(Creep Compliance Function): predstavuje celkovú deformáciu (pružnú aj od dotvarovania) v čase t,spôsobenú napätím  1 , pôsobiaceho od času 1 , v lineárnej oblasti je dotvarovanie od jednoosového napätia celkovo charakterizované funkciou J( t  t´ ) (compliance funkcia je často vyjadrená ako súčet pružného compliance 1/ E(1) a miery dotvarovania C( t   1) kde E(  1) je modul pružnosti betónu v čase 1 . V praxi to nie je jednoduché dosiahnuť, pretože nie je možné použiť okamžité zaťaženie. Preto okamžité deformácie budú vo všeobecnosti zahŕňať aj niektoré oneskorené časti, korešpondujúce s mechanizmom dotvarovania s kratším oneskorením. (1.6.2.7) ( t) e( 1)  d( t  1)  ( t)  ( t) ( t   1)

alebo

(  1) E(  1)

  t    (  1) 

(  1)

E(  1)

 C( t   )  E(  1)  (  1) 

1 E(  1)

(  1)  

 E(  1)

 C( t   ) 

(  1)  ( t   1)

 1 C  ( t   ) E  (  1) 

( t   1)

je funkcia dotvarovania



(1.6.2.8) (1.6.2.9) (1.6.2.10)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 20 -

 1 C  ( t   ) E  (  1) 

J( t   1)

alebo

J( t   1)

(1.6.2.11)

  1  ( t   1) 

(1.6.2.12) Ak napätie  (  ) ktoré začnú pôsobiť v čase 1 premenné, potom rozdelíme interval  t  1 na n čiastočných intervalov a krivku napätia nahradíme stupňovitou čiarou. Potom môžeme pre celkovú deformáciu v čase t písať: E(  1)



1 1 ( t) ( 1)    C( t   )   ( i)    C( t   )  (1.6.2.13) E E  ( 1)  i 1  ( 1)  kde ( i) sú prírastky napätia v čase i ( i 1 2 3 .......n) . pri n až do  a max ( i  i 1 ) až do 0 sa stupňovitá čiara blíži ku krivke  (  ) a v limite sa s ňou stotožní. Potom ( t) nadobúda tvar t

 ( t)

 d 1 ( )  1 (  1)    C( t   )      C( t   )  d   E(  1)   d  E(  1)  1

(1.6.2.14)

Ak použijeme funkciu dotvarovania: t

 ( t)

( 1)  ( t  1)

 d ( )   ( t  1) d  d 

(1.6.2.15)

alebo pri uvažovaní vzťahu medzi súčiniteľom dotvarovania a mierou dotvarovania bude  ( t)

( t ) E( t)

 1 d   (  )     C( t   )  d  d  E(  )  

(1.6.2.16)

( t)

( t) E( t)

 d( t   )   (  )  d  d 

(1.6.2.17)

pričom

 ( t)

( t ) E( t)

( t   )

( t   )   1     E( 1) E( 1) 

(1.6.2.18)

 ( t   )  d  1    (  )     d  E(  )  d  E(  ) 

(1.6.2.19)

Voľba miery dotvarovania C( t   ) sa opiera o tri základné teórie : a) teóriu oneskorenej pružnosti (teória následnosti) b) teóriu starnutia c) teóriu oneskorenej pružnosti so starnutím (teória následného starnutia) Hoci nedávno sa už uskutočnili mnohé kroky k nelineárnej analýze dotvarovania betónových konštrukcií, v súčasnosti sa takmer všetky praktické aplikácie stále spoliehajú na lineárne predpoklady.

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 21 (t)

Dôvodom k užívaniu linearity v teórií dotvarovania je aplikácia princípu superpozície, ktorú zaviedli (v matematike) Boltsmann (1876) a Volterra (1913, 1959) a (v teórii dotvarovania betónu) Maslov (1941) a McHenry (1943). Počas posledných 50 rokov boli použivané rôzne metódy lineárnej analýzy dotvarovania. Môžeme ich rozdeliť do dvoch hlavných kategórií - iteračné metódy a zjednodušené metódy.  (t)

1  (t)

2

 ( 1 ) t  ( 2 ) =  ( 1 )

1

2

1

2

 ( 1 ) t

 ( 2 ) =  ( 1 )  ( 1 ) a a'

C 0

1

2

a' a

b b' b' b

Obr. 1.6.2.2 Návratnosť deformácií od dotvarovania po odľahčení v teórii oneskorenej pružnosti so starnutím

Iteračné metódy Realistické vyjadrenie pravidla dotvarovania  ( 1 ) t betónu neumožňuje analytické riešenie 0 1 2 problému dotvarovania, preto je potrebné b a C použiť numerické metódy. Tieto metódy a' b' môžeme rozdeliť na dva typy: t  1=0 2 a) Numerické metódy založené na "Hereditary - type" integračnom pravidle. Obr. 1.6.2.3 Úplná návratnosť deformácií od b) Numerické metódy založené na dotvarovania po odľahčení v teórií "degenerate kernel" oneskorenej pružnosti Zjednodušené metódy Táto skupina metód pozostáva z približného riešenia superponovaných integrálov cez ich transformáciu do algebraických alebo diferenciálnych rovníc. V týchto metódach je použitá pružná závislosť s nepružným pretvorením. Sú využité na vyriešenie jednoduchých problémov dotvarovania konštrukcie a umožňujú výpočet účinkov dotvarovania v jednom časovom úseku. Presnosť týchto všetkých zjednodušených metód je starostlivo meraná voči teoreticky presnému riešeniu podľa princípu superpozície. Zjednodušené metódy môžeme zatriediť nasledovne (v poradí podľa znižujúcej sa jednoduchosti a pohodlnosti použitia): I. Metódy, ktoré vedú k pružnému riešeniu a umožňujú akúkoľvek formu "compliance function" ako napríklad: Ia. Metóda efektívného (účinného) modulu (Effective Method Modulus) (EM). Ib. Metóda hlavných napätí (Mean Stress Method) (MS). Ic. Metóda efektívneho (účinného) modulu prispôsobeného veku (AAEM). II. Metódy, ktoré sú založené na diferenciálnych rovniciach prvého rádu v čase, ako napr. Dischingerova metóda a zlepšená Dischingerova metóda. III. Metódy, ktoré sú založené na diferenciálnych rovniciach druhého rádu v čase, ako napr. Arutyunyansova metóda.

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

-1-

2. Stanovenie zaťaženia 2.1 Zaťažovacie podmienky Zaťaženie vyjadruje vonkajšie sily pôsobiace na konštrukciu, alebo vnútorné vplyvy, ktorým konštrukcia vzdoruje vnútornými silami. Pre stanovenie zaťaženia platí STN 73 00 35 Zaťaženie stavebných konštrukcií a STN 73 00 36 Seizmické zaťaženie stavieb. Zaťaženie je charakterizované : - zaťažením rovnomerným normovým - zaťažením rovnomerným návrhovým – extrémne zaťaženie gd - používa sa pri výpočtoch konštrukcií podľa I. MS, okrem výpočtu konštrukcií na únavu – prevádzkové zaťaženie gs -používa sa pri výpočtoch konštrukcií podľa II.MS, medzných stavov použiteľnosti a pri výpočtoch konštrukcií na únavu Návrhové zaťaženie získame vynásobením zaťaženia normového súčiniteľmi zaťaženia, ktoré stanovuje STN 73 00 35. Klasifikácia zaťaženia: Podľa času trvania a podľa zmien veľkosti polohy, alebo zmyslu a smeru pôsobenia sa zaťaženie delí na: - stále g - premenné (náhodilé) v – úžitkové, klimatické, zaťaženie námrazou a od vnútorných pretvorení konštrukcie, od teploty, zmrašťovanie a dotvarovanie betónu V závislosti od veľkosti hodnoty a od dĺžky obdobia, v ktorom toto zaťaženie pôsobí sa náhodilé zaťaženie ešte delí na: - dlhodobé, krátkodobé, mimoriadne. Nosné konštrukcie je potrebné posúdiť na tieto kombinácie zaťaženia: - základnú kombináciu zaťaženia, ktorá pozostáva zo zaťažení stálych + náhodilých dlhodobých + c .n náhodilých krátkodobých zaťažení. c je súčiniteľ kombinácie, -

ktorý sa uvažuje pre jedno náhodilé zaťaženie c = 1,00 pre dve, alebo tri c = 0,90 pre štyri a viac c = 0,80 mimoriadnu kombináciu zaťaženia, ktorá pozostáva zo zaťažení stálych 1 náhodilých

s .co g.1

Pri pultových a sedlových strechách sa vyskytnú tieto zaťaženia : Zaťaženie stále Stále zaťaženie (g) predstavuje vlastnú hmotnosť konštrukcie a trvalých súčastí 2 ] stavby a zaťaženie predpätím ak má /m kN [ charakter vonkajšej sily. Po celú dobu g 1 užívania má stálu veľkosť, smer, zmysel a svoju polohu. Jedná sa o zaťaženie: - krytiny s podkladnými vrstvami 1 . cos - vlastnej hmotnosti krovu - izolačných vrstiev g / cos - podhľadov

g .1

+ 0,80 . n náhodilých krátkodobých + jedno mimoriadne zaťaženie.

g.1

.sin .cos =g g1

/m [kN

1 g2

Obr. 2.1.1

]

.sin =g

/m [kN

]

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

-2-

2.2 Zaťaženie náhodilé Jedná sa o zaťaženie, ktorého veľkosť, smer, zmysel, alebo i poloha sa mení, alebo sa predpokladá, že sa môže meniť. Tab. 2.2.1 Náhodilé rovnomerné zaťaženie stropov: č.

Miestnosti a priestory

Byty vrátane predsiení a chodieb, izby ubytovní, hotelov, sanatórií, nemocníc, polikliník, a iných liečebných zariadení, lekárske ordinácie a čakárne

1,5

Izby a kancelárske miestnosti vedeckých inštitúcií, administratívnych budov, čitárne, učebne škôl a iných zariadení pre výuku, s výnimkou miestností, kde sa predpokladá umiestnenie ťažkého zariadenia alebo skladovanie materiálu

2,0

normové kN / m2

3. 4. 5.

Chodby a schodištia v budovách s miestnosťami uvedenými pod 1, 5, 3,0 Posluchárne, jedálne, kaviarne a reštaurácie 3,0 Zhromažďovacie miestnosti a sály škôl, vedeckých inštitúcií a administratívnych budov, verejné miestnosti nástupiští, sály divadiel, kín, klubov, koncertných siení, 4,0 športové haly, tribúny so stálymi sedadlami 6. Miestnosti predajní, múzeí, výstavné sály a pavilóny 4,0 7. Knižnice, archívy, tribúny na státie, javiská divadiel 5,0 8. Chodby a schodištia jedální, kaviarní, reštaurácií, škôl, nástupiští, divadiel, kín, klubov, koncertných siení, športových hál, obchodných domov, múzeí, 4,0 výstavných siení a pavilónov, knižníc a archívov priemyselných budov 9. Chodby a schodištia k tribúnam všetkého druhu, nástupištia verejnej dopravy 5,0 10. Balkóny 3,0 11. Lodžie - rovnaké ako zaťaženie súvisiacej miestnosti

Tab. 2.2.2 Súčinitele zaťažení pre rovnomerné zaťaženie stropov, striech a schodísk Normové hodnoty rovnomerného zaťaženia v [kN/m2]

Súčiniteľ zaťaženia 1,4 1,3 1,2

v < 2.0 2,0 < v < 5,0 v > 5,0

Tab. 2.2.3 Náhodilé zaťaženie striech: Zaťaženie rovnomerné Zaťaženie plošné Terasy a ploché strechy neprístupné s výnimkou prístupu z rady technických služieb Terasy určené pre odpočinok Zaťaženie sústredené Na strechách so sklonom Na strechách so sklonom, kde sa dá pohybovať len za pomoci rebríka Zaťaženie ríms a okapov na vonkajšom okraji na 1 m ich dĺžky

normové kN / m2

súč. zaťaženia u

výpočtové kN / m2

0.75*

1.40

1.05

2.00

1.30

2.60

1.00**

1.20

0.50**

1.20

0.60

1.00

1.20

zaťaženie sa uvažuje len vtedy, keď je jeho účinok nepriaznivejší ako účinok od zaťaženia snehom.

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

-3-

** sústredené zaťaženie sa uvažuje v polohách z hľadiska posúdenia konštrukcie nepriaznivých a pôsobí na štvorcovej ploche o strane 1 m. Schéma zaťaženia: 2

n s .si .co p.1 =p p1

s co

[k N

p .1

os P. c

.co p.1

1 p [KN/m 2 ]

] P [KN] 2

s .co

s co

n .s i =p

[k N

P.s

]

P1 =P.cos [KN]

P2 =P.sin [KN]

Obr. 2.2.2

Obr. 2.2.1

2.3 Zaťaženie snehom Hodnota normového zaťaženia snehom Sn na 1 m2 pôdorysnej plochy zastrešenia sa určí : Sn = So . s .  Hodnota výpočtového zaťaženia Sd = Sn . f , kde f = 1,40 So – základná hmotnosť snehu závisí od nadmorskej výšky a od výdatnosti snehových zrážok v rôznych oblastiach. STN 73 00 35 rozlišuje 5 snehových oblastí znázornených v prílohe tejto normy. Jednotlivým snehovým oblastiam sú určené tieto zaťaženia: Tab. 2.3.1 Snehová oblasť Základná hmotnosť snehu So kN / m2 I 0,50 II 0,70 III 1,00 IV 1,50 V podľa údajov HTU s - súčiniteľ tvaru zastrešenia pre všetky snehové oblasti pre strechy pultové a sedlové so sklonom menším ako 25o je s = 1,00. Pri sklone 60o je s = 0,00. Medziľahlé hodnoty sklonu strechy sa stanovia lineárnou interpoláciou. Súčiniteľ  s pre rôzne sklony strechy.

0.14

0.29

0.43

0.57

0.71

0.86

1,00

1,25.

0,75.

b/2

0°

25°

30°

35°

40°

45°

50°

55°

60°

b/2

Obr. 2.3.1 Obr. 2.3.2 Pre snehovú oblasť IV a V je nutné naviac uvažovať pri sedlových strechách so sklonom 25o < 35o účinkom tvaru zaťaženia s podľa nákresu. Pri sedlových strechách, ktoré nemajú rovnakú úroveň sa môžu vytvoriť záveje. Pri tomto prípade sa s určí nasledovne :

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

-4-

Pre snehovú oblasť I, II je s1 = s = 1,00 Pre oblasti III, IV, V sa s1 vypočíta nasledovne : - pre h > 1,00 m s = 2 . h (max. 15 m). s1 = ( s . h ) / so

=1,00

h =1,00

s b

Obr. 2.3.3 s - objemová hmotnosť snehu podľa tabuľky

2,50 4,00

1,20

- pre h < 1,00 m ( v III. oblasti 1,20 m) s1 = 1,40 s = 1,50 . h - súčiniteľ závislý na hmotnosti konštrukcie a podľa toho dosahuje tieto hodnoty obr. 2.3.4: Schéma zaťaženia :

s .1

s .co s.1

0,6

0,7

0,8

0,9

kN / m

1,0 hmotnost zastresenia

Obr. 2.3.4

1 s [kN/m ]

0,5

1,00

2,00 3,00

1,04

1,00 2,00

1,08

1,12

max s1

1,16

s [kN/m3]

III

1,20

Tab. 2.2.5 Snehová oblasť

2 n .si os s.1 s.c = s1

/m [k N

]

.sin =s

s .c o

/m [kN

]

Obr. 2.3.5

2.4 Zaťaženie vetrom Zaťaženie vetrom pôsobí kolmo k rovine strechy. Pre strešné konštrukcie je účinok vetra je potrebné posúdiť dvojakým spôsobom: - posúdenie celej plochy strechy na tlak a sanie - posúdenie na miestne účinky (okrajové časti strechy) na tlak a sanie. Normová hodnota zaťaženia vetrom sa v obidvoch prípadoch stanoví podľa vzorca : Wn = Wo . wCw Hodnota výpočtového zaťaženia Wd = Wn . f kde f = 1,20 Tab. 2.4.1 Základný tlak vetra Wo určuje STN 73 00 35 : Vetrová oblasť Nadmorská výška h [m] Wo [kN/m2] III nemá vplyv 0,45 IV nemá vplyv 0,55 V 700 – 1300 0,70 VI 1300 0,85 Toto zaťaženie sa môže zmenšiť o 20 % ak sú stavby chránené pred priamymi účinkami vetra.

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

-5-

wsúčiniteľ výšky (do výšky 10 m nad terénom má hodnotu 1,00) - tvarový súčiniteľ

Pri posudzovaní celej plochy strechy - výška nepresahuje 20,00 m - najväčší pôdorysný rozmer 50,00 m - pomer výšky k šírke < 2,00

+0,8

+0,6

tlak

+0,8

+0,4

+0,4 +0,2

0,0

-0,2

sanie

+0,2

-0,4

-0,4 -0,6

-0,6 -0,8

tlak

Obr. 2.4.1 Pre pultové strechy:

Pre ploché a sedlové strechy:

sanie

20°

0°

10°

20°

30°

40°

50°

60°

-0,8

70°

0°

10°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

Obr. 2.4.3 Obr. 2.4.2 o Z diagramov vyplýva, že pri sklone do 30 sa neuvažuje tlak, ale len sanie vetra. Schéma zaťaženia:

0,0

w sanie

-0,6 -1,0

/m [kN

w.1.sin

]

1 . sin

tlak

+0,4

+0,8

w.1.cos

Pri posudzovaní miestnych okrajových častí strechy je tvarový súčiniteľ Cw nasledovný:

w . sin

-1,5 -2,0

1 . cos 0°

10°

20°

30°

40°

Obr. 2.4.4

50°

60°

70°

w . cos

Obr. 2.4.5 Hodnoty sania a tlaku sa uvažujú v okrajových pruhoch strechy o šírke d = 1/10 najmenšieho pôdorysného rozmeru budovy, najmenej však d = 1,00 m. U hrebeňových sedlových striech má súčiniteľ sania stálu hodnotu Ce =-1,10. U všetkých druhov striech na nárožiach má Ce hodnotu –3,00 a u spodných hrán ríms hodnotu –0,80. Pri posudzovaní strechy na sanie vetrom je výpočtový súčiniteľ f = len 0,90.

2.5 Statická a dynamická analýza budovy na vodorovné zaťaženie Pri návrhu budovy v seizmických oblastiach, by mala mať konštrukcia jednoduchý pravidelný a symetrický tvar, aby nedochádzalo k zložitej napätosti v detailoch. Má tvoriť priečne i pozdĺžne zviazaný tuhý celok a má byť súmerná, aby nedochádzalo k preťažovaniu časti nosnej konštrukcie v dôsledku krútenia.

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

-6-

Pri kombinácii rôznych typov stužujúcich konštrukcií rozlične asymetricky rozmiestnených vzhľadom na výslednicu vodorovných síl, dochádza k natáčaniu stavebného objektu od excentricky pôsobiacich zaťažení k ťažisku jeho tuhosti. Toto natáčanie vyvolá presuny rozdelenia vodorovného zaťaženia v pôdoryse. K ďalšiemu rozdeleniu vodorovného zaťaženia dochádza aj po výške nosnej konštrukcie. Rôzne typy stužujúcich konštrukcií sa prostredníctvom tuhých stropných dosiek v úrovni jednotlivých podlaží vzájomne ovplyvňujú. Konštrukcia musí mať pevnosť, tuhosť a tvárnosť. Rímsy, balkóny a arkiere by mali mať čo najmenšie vyloženie a musia byť monoliticky spojené s nosnou konštrukciou. Stropné dosky musia bezpečne preniesť seizmické sily do zvislých nosných prvkov. Základové konštrukcie musia byť schopné prenášať vodorovné seizmické sily a šmykové napätia v miestach pripojenia nosnej konštrukcie. Základy v oblastiach 8. a 9. stupňa M.C.S. sa navrhujú ako súvislý rošt alebo doska zo železobetónu. Základová škára má byť v rovnakej úrovni. Stužujúce steny v podstate pôsobia ako konzoly votknuté do základov. V mieste pripojenia k základu v nich vznikne od účinkov zaťažení zvislá silová zložka Np ako výslednica zvislých zaťažení steny, ďalej vodorovná silová zložka Tp a moment Mp ako výsledné účinky vodorovných zaťažení steny p. Priečne vodorovné zaťaženie sa prejavuje prevažne staticky i deformačne nepriaznivým ohybom a práve na elimináciu ohybu je výhodná ťažká železobetónová konštrukcia, pri ktorej je stálym zvislým zaťažením vnáša do zvislých stužujúcich prvkov trvalé tlakové napätie, ktoré tlmí kolísanie výslednice napätí. Pri návrhu stužujúcich stien je výhodné, aby steny neboli oslabené otvormi. Tuhosť stien s otvormi v porovnaní s plnou stenou sa podstatne zmenšuje.

STENA p-1

vj 1

STROP j-1

wj [kN/m] STENA p

W j [kN]

STROP j

STROP j+1

Wo [kN/m2]

Np B

wj = W o.vj [kN/m] W j = w o.B j [kN]

Obr. 2.5.1 Silové účinky vetra na nosnú konštrukciu

Stropy pôsobia ako mohutné vodorovné stenové nosníky podopreté stužujúcimi prvkami. Stropné dosky sú vodorovne tuhé a ich premiestnenie pozostáva z troch pohybov. Posun u v smere x, posun v pre smer y a pootočenie  pre smer  Sekundárnou funkciou je roznos vodorovných účinkov zaťaženia do zvislých stužujúcich prvkov. Zvislé nosné konštrukcie prenášajú z jednotlivých stropov zvislé zaťaženie do základov. Zvislé stužujúce konštrukcie majú okrem tejto funkcie aj úlohu preniesť vodorovné zaťaženia. Stužujúce steny vytvárajú odpor proti posunu v smeroch x a y. Riešenie konštrukcie sa prevádza za predpokladu, že stužujúce konštrukcie sú tuhé vo svojej rovine, ich vzájomné spolupôsobenie je zabezpečené nekonečne tuhými stropmi Vo výpočte sa uvažuje : - s hodnotami tiaží pri prevádzkovom zaťažení - stále zaťaženie sa uvažuje plnou hodnotou f = 1,0 - náhodilé dlhodobé zaťaženie a sneh sa redukujú súčiniteľom 0,8 - náhodilé krátkodobé zaťažene sa redukuje súčiniteľom 0,5 Prerozdelenie náhodilého zaťaženia sa predpokladá, že : - 50 % jeho hodnoty tvorí dlhodobá zložka

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

-7-

50 % jeho hodnoty tvorí krátkodobá zložka. G = qs . A . f Výpočet tiaže kde qs - prevádzkové zaťaženie /kN.m-2/ A - plocha /m2/ f - súčiniteľ zaťaženia Obvodový plášť pôsobí ako prostý nosník opretý o horný a dolný strop.

(2.5.1)

2.6 Dynamické charakteristiky výškovej stavby Ako výpočtový model objektu sa budú používať diskrétne rozložené hmoty na konzole s komplexnou tuhosťou nosnej konštrukcie, ktorými sa nahradí spojité kontinuum reálnej sústavy. Sústredené hmoty uvažujeme v úrovni jednotlivých stropov výškovej budovy, pričom sa predpokladá, že hmotný bod môže kmitať len v horizontálnej rovine ním prechádzajúcej. Dynamické charakteristiky objektu definujú jeho vlastné kmitania. Ďalej sú uvedené niektoré zjednodušené vzťahy potrebné pre výpočty z oblasti stavebnej dynamiky Hovorí sa o harmonickom vynútenom kmitaní v závislosti na čase t, pri vlastnej kruhovej frekvencii o = w K / m

Predpokladá sa, že tento pohyb možno zapísať v tvare v ( t ) = vo . sin o . t a pre zrýchlenie hmotného bodu platí vBB( t ) = - vo . wo2 . sin o . t

(2.6.1) (2.6.2) (2.6.3)

Na každý hmotný bod pôsobia nasledujúce sily : (2.6.4) - Newtonová sila Fin = - m . v ( t ) (2.6.5) - budiaca sila harmonicky pôsobiaca Ft = Fo . sin ( o . t ) (2.6.6) - odpor konštrukcie proti výchylke Fre = - K . v ( t ) Podmienka rovnováhy vodorovných síl pre hmotný bod má tvar (2.6.7) Fin + Fre + F ( t ) = 0 Po vyjadrení tejto rovnice a úprave pre amplitúdu vynúteného kmitania platí vzťah (2.6.8) vo = Fo / ( m . ( o2 - 2 ) kde K - komplexná tuhosť objektu v úrovni hmotného bodu m m -hmota konštrukcie sústredená do jedného hmotného bodu v úrovni stropu Fo -maximum / amplitúda / budiacej sily o -vlastná kruhová frekvencia -kruhová frekvencia v čase sa meniacej vodorovnej sily F ( t ) Zo vzťahu (2.6.8) je zrejmé, že vnútorné sily v konštrukcii sú závislé od veľkosť maximálnej sily F ( t ) - t.j. amplitúdy Fo, , od tuhosti konštrukcie - t.j. od o a frekvencie budiacej sily t.j. od . Keď sa zavedie do vzťahu (2.6.8) statický vodorovný priehyb od nepremennej sily Fo (2.6.9) vst = Fo / K = Fo / ( m . o2 ) potom pre závislosť medzi dynamickým a statickým riešením platí vo = vst / ( 1- ( / o )2 ) = vst . (2.6.10) Zlomok vo vzorci (2.6.10) nazývame dynamickým súčiniteľom. Závisí od pomeru  / o, ktorý predstavuje rezonančná krivka, je to vlastne pomer nepriaznivého dynamického zaťaženia a statického zaťaženia. K rezonancii dochádza v oblasti blízkej pomeru  / o, = 1

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

-8-

/teoreticky sa blíži k nekonečnu, ale v skutočnosti má každá konštrukcia útlm, ktorý je definovaný súčiniteľom útlmu. Z tohto dôvodu je potrebné konštrukciu navrhnúť tak, aby k rezonancii nedošlo. Pod komplexnou tuhosťou K konštrukcie sa rozumie jej vodorovná výchylka v úrovni hmotného bodu od jednotkovej vodorovnej sily. Táto tuhosť môže byť popísaná maticou tuhosti konštrukcie, ktorej prvky sa tiež niekedy nazývajú pérové konštanty. Nosná konštrukcia v pôdoryse sa orientuje do súradnicového systému x, y,  s počiatkom v ľubovoľnom bode R. Vo všetkých ďalej uvedených vzťahoch platia označenia : s - počet podlaží objektu, j – poradie stropov odhora nadol, p - poradie jednotlivých stužujúcich prvkov objektu V zásade vodorovné pohyby konštrukcie, alebo jej častí sa budú označovať podľa smerovej orientácie : v smere osi x ako u, v smere osi y ako v, v smere pootočenia  ako  Výpočtový model náhradnej konzoly s diskrétnych rozložením hmôt po výške konštrukcie možno zovšeobecniť v maticovom zápise pre ľubovoľný počet stupňov voľnosti do tvaru rovnice (2.6.11) ( [ K ] - [ m ] . o2 ) . { ro } = { 0 } [ K ] - matica tuhosti konštrukcie [ m ] - matica hmôt o - niektorá vlastná kruhová frekvencia, { ro } - vektor amplitúd vlastného kmitania Vlastných kruhových frekvencií je toľko, koľko stupňov voľnosti s bolo uvedených v konštrukcii v každom smere vodorovného pohybu o1 - os. Vektorov { ro } bude v rovnici teda toľko, koľko stupňov voľnosti konštrukcia bude mať ro1 ros. V rovnici (2.6.11) sú zoradené hmoty konštrukcie do diagonálnej matice hmôt [ m ]. Zápis { 0 } označuje nulový vektor pravých strán rovnice. V rovnici (2.6.11) sú neznáme hodnoty o a im prislúchajúce amplitúdy tvarov vlastného kmitania { ro }. Úplne všeobecným sa ukázalo riešenie problému vlastného kmitania pomocou Jacobiho iteračnej metódy. Pomocou tejto metódy sa vypočítajú kruhové frekvencie o, ktoré sa postupne dosadzujú do rovnice (2.6.11) a so sústavy lineárnych rovníc sa získajú hodnoty amplitúd vlastných kmitov { ro } pre príslušné hodnoty o. Vzhľadom na náročné maticové operácie ( s plnými maticami ) je potrebné výpočet vlastného kmitania objektu previesť na počítači. Vypočítané hodnoty kruhových frekvencií o a tvarov vlastného kmitania { ro } sa v ďalšom uplatnia pri vyčíslení seizmických síl podľa STN 73 0036.

2.7 Vodorovné zaťaženie stavby 2.7.1 Výpočet účinkov vetra podľa STN 73 00 35 Zaťaženie vetrom má statický a dynamický účinok. No napriek tomu vietor, ktorý spôsobuje deformácie trvajúce dlhšie ako 100 / f(1) nazývame statický, pričom f(1) je frekvencia prvého tvaru vlastného kmitania objektu. Na určenie statického účinku vetra je potrebné poznať strednú rýchlosť vetra vh. Dynamické účinky na konštrukciu vyvoláva fluktuačná zložka rýchlosti vh.(t).Vznikajú časovo premenné deformácie objektu v krátkych časových intervaloch, čo má za následok rozkmitanie objektu. Statický výpočet zaťaženia vetrom zodpovedá strednej rýchlosti vetra pre trvanie časovej integrácie 10 sek. a musí sa vždy vykonávať. Dynamický výpočet zodpovedá strednej a fluktuačnej zložke rýchlosti vetra pre trvanie časovej integrácie 1h. Vstupné údaje pre výpočet účinkov vetra: - základný tlak vetra wo = 0,45 kN.m-2 (napríklad pre vetrovú oblasť III)

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

-9-

- typ terénu - výpočet náveterných plôch - výpočet tiaží a ťažísk stropov Vstupné údaje pre výpočet účinkov seizmicity: - M.C.S.,k , z, p,  Prieèny rez objektu 2.7.2 Statický výpočet účinkov vetra Zaťaženie od vetra pri výpočte W nosnej konštrukcie možno definovať jeho W výslednicami Wj na jednotlivé stropy objektu. Ramená hj síl Wj sú k povrchu W terénu. Schéma pre statický výpočet vetra je na obr. 2.7.2.1 Hodnota výslednice statického zaťaženia vetrom pri prevádzkovom zaťažení v W strope j atika

j,stat

strop 1

strop 2

Pôdorys stropu j x

2,stat

v j+1

1,stat

n,stat

strop j

Wj,stat

strop n

Wds,j,stat = wo . w . Cw . B . vj

Obr. 2.7.2.1 Schéma objektu na statický výpočet účinkov vetra. (2.7.2.1) kde wo - základný tlak vetra vo výške 10 m nad terénom pre vetrovú oblasť III zodpovedá wo = 0,45 kN / m2 w - súčiniteľ vyjadrujúci závislosť základného tlaku vetra podľa výšky hj nad terénom. Cw - aerodynamický súčiniteľ B, vj - rozmery priemetu zaťažovacej plochy stropu B - šírka vj - zaťažovacia výška Hodnota výslednice statického zaťaženia vetrom pri extrémnom zaťažení v strope j (2.7.2.2) Wd,j,stat = Wds,j,stat . w w = 1,20 pre budovy do 40 m nad terénom 2.7.3 Dynamický výpočet účinkov vetra Schéma pre dynamický výpočet účinkov vetra je na obr. 2.7.3.1. W1,dyn W 2,dyn

atika strop 1

strop 2

strop j

Wj,dyn

v j+1

Pôdorys stropu j

Wn,dyn

h zj

Výslednica dynamického zaťaženia vetrom pri prevádzkovom zaťažení v strope j (2.7.3.1) Wds,j,dyn = Wm,j + Wfl,j Wm,j -účinok stredného zaťaženia vetrom Wfl,j -účinok fluktuačného zaťaženia vetrom Sila Wm,j pôsobí v strede náveternej šírky B. Sila Wfl,j vzniká udelením zrýchlenia hmote mj , a preto pôsobí v úrovni stropu j v mieste hmotného ťažiska mj Wm,j= wo . wm . Cw . B . vj

Prieèny rez objektu

Wj,dyn strop n

Obr. 2.7.3.1 Schéma objektu na dynamický výpočet zaťaženia vetrom.

(2.7.3.2) kde wo , Cw , B, vj - sú tie isté ako pri statickom výpočte účinkov vetra wm - súčiniteľ vyjadrujúci závislosť základného tlaku vetra podľa výšky hj nad terénom.

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

- 10 -

Výsledný účinok fluktuačného zaťaženia vetrom v j-tom strope sa určí zo vzťahu Wfl,j = wn( W fl,j(i) )2

(2.7.3.3)

Wfl,j - kvázistatická sila v strope j pri i-tom tvare vlastného kmitania nosnej konštrukcie Mali by sa uvažovať tie tvary vlastného kmitania i = 1, 2, 3, ..., k, pri ktorých f(i) < 4 s -1 Wfl,j(i) = mj . u(i)j . p(i) . (i) (2.7.3.4) mj - sústredená hmota j-teho stropu u(i)j, p(i) - vyjadruje zrýchlenie hmoty mj u(i)j - vodorovná poradnica i-teho tvaru vlastného kmitania p(i) - fluktuačné zaťaženie pripadajúce na i-tý tvar kmitania konštrukcie (i) - dynamický súčiniteľ Hodnota výslednice dynamického zaťaženia vetrom pri extrémnom zaťažení v strope j (2.7.3.5) Wd,j,dyn = Wds,j,dyn . w w = 1,20 pre budovu do výšky 40 m nad terénom Výpočet účinkov seizmicity podľa STN 73 00 36 Pri zemetrasení dochádza k otrasom zeme rôznej intenzity. Z hypocentra sa šíria seizmické vlny všetkými smermi. Vplyvom seizmického pohybu základovej pôdy dochádza k rozkmitaniu konštrukcie spočiatku vo vynútenom kmitaní a potom po odznení budiaceho rozruchu vo voľnom kmitaní. Toto je vektorovým súčtom tých vlastných tvarov kmitania, ktoré ležia vo frekvenčnom spektre zemetrasenia v jeho blízkom okolí. V styku s dopadajúcim vlnením sa objekt rozkmitá vo frekvenciách dopadajúceho seizmického vlnenia. Veľkosť vibrácií objektu je závislá od pomeru seizmického vlnenia a vlastných frekvencií stavby. Dynamické zaťaženie závisí od prostredia, ktorým sa rozruch šíri (fyzikálnomechanické vlastnosti podložia), ale aj od vlastnej konštrukcie. Intenzita zemetrasenia sa posudzuje Prieèny rez objektu atika podľa maximálneho zrýchlenia W1,seiz strop 1 m1 seizmického pohybu. V súčasnosti sa W 2,seiz strop 2 m2 najčastejšie používa medzinárodná Pôdorys stropu j stupnica Mercalli-Cancani-Sieberg x (M.C.S), ktorá rozlišuje 12 stupňov W j,seiz strop j mj intenzity zemetrasenia. y M.C.S.. Zrýchlenia seizmického pohybu L mj môžu pôsobiť v ľubovoľnom smere (teda tiež zvisle a vodorovne). S Wj,seiz rastúcou výškou stavby má obzvlášť Wn,seiz strop n mn B veľký význam vodorovná zložka. Zvislé účinky seizmicity nepôsobia obyčajne Obr. 2.7.4.1 Schéma objektu na dynamický nebezpečne. Sú väčšinou nebezpečné výpočet účinkov seizmicity. h zj

2.7.4

iba pre konzoly a konzolové výčnelky (ťažké kamenné obklady, rímsy a balkóny). Schéma na dynamický výpočet účinkov seizmicity je na obr. 2.7.4.1. Výsledná hodnota zotrvačnej sily v j-tom strope pri rozkmitaní objektu seizmickým zrýchlením pri prevádzkovom i extrémnom zaťažení (súčiniteľ zaťaženia seiz = 1,0) sa určí zo vzťahu

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

- 11 -

Wj,seiz = w(Wj,seiz(c))2 + 0,5 . n(Wj,seiz(i))2

(2.7.4.1)

Wj,seiz(c) - kvázi statická sila v strope j pri i-tom tvare vlastného kmitania nosnej konštrukcie Wj,seiz(i) - sila pri c-tom tvare vlastného kmitania, ktorý vyvodzuje najväčšie účinky Pri výpočtoch by sa mali uvážiť tie tvary vlastného kmitania i = 1, 2, ..., c, ..., k, pri ktorých f(i) < 10 s-1. (2.7.4.2) Wj,seiz(i) = 10 . mj . K . z . p . (i) . j(i) sústredená hmota j-teho stropu mj j(i) - súčiniteľ, ktorý vyjadruje vplyv zrýchlenia hmoty mj K - základný seizmický súčiniteľ podľa charakteristiky stavby z - súčiniteľ základovej pôdy p - súčiniteľ nepriaznivých geomechanických vplyvov, p = 1,0 v bežných prípadoch - súčiniteľ útlmu,  = 1,0 v bežných prípadoch (i) - dynamický súčiniteľ, určuje sa v závislosti od periódy vlastného netlmeného kmitania T(i)

2.8 Ideálne bremená V tomto texte budeme analyzovať postup, ktorým pri náročnejších úlohách môžeme elegantne riešiť pootočenie a priehyb na prostom nosníku pod účinkom diskontinuálne alebo kontinuálne premenlivého momentu zotrvačnosti, ako aj ľubovolne pôsobiaceho zaťaženia (centrickej sily alebo rovnomerného zaťaženia). Predpokladajme, že modul pružnosti materiálu bude konštantný, analyzujme len vplyv ohybového momentu na deformáciu. Aby sme postupu riešenia deformácie porozumeli, zopakujeme postup podľa Mohrovej analógie: Vyrežeme z analyzovaného nosníka element v dĺžke dz , na ktorý nanesieme prierezové sily. Napíšeme obe rovnice podmienky rovnováhy - vertikálnych síl a momentov: Rovnica vertikálnych síl:

V

Q  q ( z )  dz  Q  dQ

q ( z )  dz

dQ dz

q ( z )

Rovnica momentov: M1

Členy dM dz

M  q ( z )  dz 

q ( z )  dz 2

dz 2

 ( Q  dQ)  dz  ( M  dM)

q ( z )  dz 2

 Q  dz  dQ  dz  dM

a dQ  dz majú nízke hodnoty, môžeme ich teda zanedbať: dM Q  dz , čiže

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

- 12 -

Podľa Mohrovej analógie je 2

d M

dz q(z)dz

M+dM

Q+dQ

priečna sila

Obr. 2.6.1 Vzťah medzi q  Q  M . druhá derivácia ohybového momentu

je záporné zaťaženie

d M dz

rovnicu

d y dz



M ( z) EI ( z )

d M dz

q ( z ) ,

znamená, že integráciou záporného zaťaženia nájdeme priečnu silu ohybového momentu. Prvá derivácia ohybového momentu je

Q+dQ

dM dz

q ( z ) .

Ak napíšeme

vidíme, že jej členy majú rovnaký tvar. Na základe

toho môžeme pre obe rovnice zvoliť rovnaký spôsob riešenia. Priehyb nosníka zistíme, ak si hodnotu

M EI

predstavíme ako zaťaženie, ktoré pôsobí na nosník a následne zo zaťaženia

určíme moment. Tiež môžeme prvou integráciou nájsť (ako medzivýsledok) pootočenie priehybovej čiary

dy dz

a podľa analógie i priečnu silu Q .

Z uvedeného vyplýva, že podľa rovnice

d M dz

q ( z ) je

zaťaženie q funkciou

M EI

a nie

funkciou momentu. Pre zjednodušenie výpočtu určíme fiktívnu priečnu silu a moment len z 1

. Čiže fiktívne prierezové sily A´ a moment m nie sú rovné hodnotám  a y , ale sú rovné

ich EI - násobným hodnotám: A´ EI   , m EI  y . Aby sme mohli nájsť elastickú priehybovú čiaru a priehyby, musíme v poslednom kroku výpočtu určiť z A´ a m hodnoty  a y , a to tak, že ich vydelíme hodnotou EI (tuhosť prierezu): ( z )

Q´ ( z )

a

A´

B´

b

m (z)

y (z)

Fm A'

zoa

zob

Obr. 2.8.2 Podporové reakcie od obrazca momentového diagramu. Fiktívne reakcie:

A´

Fm  z 0b l

(2.8.1)

kde q je fiktívne zaťaženie, Q´ je fiktívna priečna sila, A´  B´ sú fiktívne reakcie a m je fiktívny moment. Fm je ťažisko obrazca momentového diagramu, ktoré je od podpory a a b vzdialené o z 0a a z0b . B´

Fm  z 0a l

(2.8.2)

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

- 13 -

2.8.1 Výpočet ideálnych bremien Všeobecný príklad Rozdelíme nosník na rovnaké úseky s dĺžkou S

(sekundárne nosníky) a

predpokladáme, že sú zaťažené samostatným nepriamym zaťažením. Zaťaženie

M EI

pôsobí na

sekundárne nosníky, ktoré si predstavíme ako prosté nosníky s rozpätím S od začiatku až po koniec jednotlivých dielčích úsekov. Na rozhraní jednotlivých úsekov prenášajú sekundárne nosníky zaťaženia na nosník prostredníctvom svojich podpor ako centrické sily predstavujúce ideálne bremená. Príklad 2.8.1 Daný je prostý nosník uložený na dvoch podperách, v strede zaťažený osamelým bremenom P . V strede rozpätia je zosilnený a jeho moment zotrvačnosti je teda v tomto úseku dvojnásobný vzhľadom k momentu zotrvačnosti v štvrtine rozpätia Ii 2Ia (obr. 2.8.3). Hľadáme uhlové pootočenie pri podperách a a b a priehyb v strede nosníka y m . Na obr. 2.8.3b je nakreslený trojuholníkový momentový diagram s najväčšou poradnicou Mmax M

na obr. 2.8.3c je diagram

EI L

sekundárnych nosníkov S diagramami

M EI

, na obr.2.8.3d je diagram

pL 4

ako zaťaženia na rozpätie

a na obr. 2.8.3e sú štyri sekundárne nosníky spolu s

, ktoré pôsobia ako samostatné zaťaženia na jednotlivých sekundárnych

nosníkoch. Pomocou týchto diagramov môžeme ideálne bremená jednoducho určiť. Keďže nosník a zaťaženia sú symetrické, platí: P a)

I i = 2.Ia

PL/4

b) Diagram M

PL PL 8EIa 4EIi

PL 8EIi

c) Diagram M/EI

PL PL 8EIa 4EIi

d) Diagram M/EI ako náhradné zatazenie

e) Ideálne bremená PL PL 8EIa 4EIi

PL 8EIi PL PL 8EIa 4EIi

PL 8EIi

W0 S=1/4

W2 S=1/4

W3 S=1/4

W4 S=1/4

Obr. 2.8.3 Prostý nosník s diskontinuálne premenlivým momentom zotrvačnosti.

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

P L

L 1   2 8  E  Ia 4 3 1



- 14 -

(2.8.3)

192 E  Ia



P L

P l



(2.8.4)

 10 P  L2  (2.8.5)  192 E  Ii 48 E  Ii  192 E  Ii Vo všeobecnom prípade uvedieme ľubovoľný moment zotrvačnosti Ic ako porovnateľný moment zotrvačnosti a ďalej vyjadríme obrazec pre ideálne bremená W2

 1 P L  L  1  1  P L  L  2  2     2 8 E  I 4 3 2 4 E  Ii 4 3 

P L



192 E  Ic Ia Ic

Položíme Ic Ii ,

P l

Ic Ii

96 E

2 

 Ic



 Ia



2  Ic 

192  E  Ic

 Ii 



2 P  L

P L

10 P  L



192 E  Ic Ii

teda pre ideálne bremeno W dostaneme

 P  L2

 1  2  96 E  Ia Ii (2

L 2 1 P L L 2 1 P L L 1           2 8  E  Ii 4 3 2 4  E  Ii 4 3 2 8  E  Ia 4 3 1

8 P  L

192  E  Ic

10  P  L

192  E  Ic

(2.8.6) Pootočenia prierezu v podperách nosníka sú rovnaké. Výraz pre pootočenie napíšeme priamo v závislosti od sily, v tvare: a

W0  W1 

W2 2

15 P  L

b

192 E  Ic

1.25

P L

(2.8.7)

16 E  Ic

Porovnanie rovnice (I.1 príloha I) v prípade nosníka, kde je moment zotrvačnosti konštantný, s rovnicou (2.8.7), kde je moment zotrvačnosti

na dĺžku 2   L , ukazuje, že

2  Ia

výsledok rovnice pootočenia podpery (2.8.7) je väčší o 25%. Priehyb v strede nosníka bude a 

L 2

 W0 

L 2

 W1 

L 4

 15 L  2  L  8  L   E  Ic  192 2 192 2 192 4 

P L



9 P  L

384 E  Ic

1.125

P L

48 E  Ic

(2.8.8)

Ak porovnáme rovnicu (I.2 príloha I) - moment zotrvačnosti konštantný, s rovnicou (2.8.8) 1

moment zotrvačnosti Ic Ii 2  Ia na dĺžku 2   L , vidíme, že pri výpočte priehybu je výsledok 4

rovnice (2.8.8) väčší o 12.5%. 2.8.2 Výpočet ideálnych bremien pomocou lichobežníkových pravidiel Rovnica 2.8.9 je zjednodušená linearizovaná diferenciálna rovnica priehybovej čiary, ktorú riešime dvojnásobnou integráciou. Prvá integrácia určuje pootočenie priehybovej čiary a druhá priehybovú čiaru 2

d y dz



M ( z)

(2.8.9)

EI ( z )

Ak rozšírime pravú stranu rovnice (2.8.9) o Ic , potom dostaneme 2

d y dz

 M ( z)     E  I( z) 

Ic   2  M ( z)    I( z)   E  Ic

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

- 15 1

Potom pre výpočet ideálnych bremien dostaneme zaťaženia konštantu

1 EIc

a ďalej nebudeme pracovať s

E  Ic

 M ( z) 

Ic I( z)

. Teraz vynecháme

, ale s diagramom M  , ktorý sa nazýva

E I

redukovaný momentový diagram. Na hranici medzi sektormi môžu vznikať náhle zmeny v dôsledku diskontinuitných momentov alebo momentov zotrvačnosti, resp. oboch. Všeobecne, napríklad pre bod m , môžeme napísať Mm  lava 

Ic Im  lava

 Mm  prava 

(2.8.10)

Im  prava

Rozkladom plochy lichobežníka, ktorá je redukovaná momentovým diagramom Mz 

Ic I

trojuholníky dostaneme ideálne bremeno W: Ic Ic  1 1 1 1 2 Wm    Mm  1  prava   S    Mm  lava   S    3 2 3 E  Ic  2 Im  1  prava Im  lava  Ic I  1 2 1 c 1   S    Mm  1  lava  S    2  Mm  prava  I 3 2 3  Im  1  lava m  prava  Ic Ic Ic  S    Wm   Mm  1  prava   2  Mm  lava   2  Mm  prava  6  E  Ic  Im  1  prava Im  lava Im  prava  (2.8.11) Ic    M  m  1  lava   Im  1  lava   Ak sa moment zotrvačnosti jednotlivých dielčekov (sektorov) nosníka nemení, čiže sú konštantné, potom je Im  1  prava

Im  lava

Im  1  prava

Im  lava

a Im

M m -1,p

Im  prava

Im  1  lava

Im  prava

Im  1  lava

(2.8.12)

Im  1

M m,l

Ic I m -1,p

M m,p a)

Ic I m,p

M m +1,l

W m -1

m -1

m+1

I m,p I m,l

I m -1,p

I m -1,l m -1

Ic I m +1,l

W m +1

Ic I m,l

I m +1,p I m +1,l

m+1

I m -1 S

I m +1

Obr. 2.8.4

I m +2 S

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

- 16 -

Potom rovnice (2.8.10) môžeme písať v tvare Wm



6  E  Ic Im





 Mm  1  prava  2  Mm  lava 

Týmto sme redukovaný moment M 



6  E  Ic Im  1



 2  Mm  prava  Mm  1  lava



opustili a ďalej prejdeme k redukovaným dĺžkam

úsekov (sektorov) ´ : ´m

S

´m  1

S

Ic Im  1

Dostaneme výraz: Wm

´m

6  E  Ic



´m  1

6  E  Ic



 2  Mm  prava  Mm  1  lava



(2.8.13)

neobsahuje náhle zmeny, potom Mm  1  lava Mm  1  prava , Mm  prava a Mm  1  lava Mm  1  prava . Ak je moment zotrvačnosti konštantný, potom Im  1 Ic I , čiže môžeme napísať

momentový

Mm  lava Im  1



 Mm  1  prava  2  Mm  lava 

diagram



 Mm  1  4  Mm  Mm  1



(2.8.14) Pre prvé a posledné ideálne bremeno W dostaneme vo všeobecnom prípade rovnicu 2.8.10 Ic  Ie S  W0   2  M0   M1  lava   (2.8.15) 6 E  I  I0 I1  lava  Ic  S  Wn   Mn  1  prava  2  Mn   (2.8.16) 6 E  I  In  V prípade, kde moment zotrvačnosti I konst a diagram momentov je bez náhlych zmien: W0

6 E  I

S0 6 E  I

  2  M 0  M 1

Sn 6 E  I



 Mn  1  2  M n



2.8.3 Výpočet ideálneho bremena W (podľa Simpsonovho pravidla) Výpočet ideálnych bremien v priereze m urobíme podľa obr. 2.8.5. Označené časti

diagramu M 

Ic I

rozdelíme na dva lichobežníky ( m  1)  c  d  m a m  d  e  ( m  1) a na

dve rovnaké zvyšné plochy paraboly s horizontálnou základňou  a vertikálnou cde

f 4

, kde

je parabola a f je vrchol celej paraboly. Pre kvadratickú parabolu platí rovnaký

vzťah ako pre

ql 8

(v strede rozpätia sa moment zmenšuje na štvrtinu). d

f/4 e

f/4 c

M m -1,l m-1

I m -1

Ic Im

M m +1,l m

m+1

Wm S

Obr. 2.8.5

Ic I m +1

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

- 17 -

Pre vrchol paraboly c  d  e bude Ic Ic Ic  1  f Mm     Mm  1   Mm  1   2  Im Im  1 Im  1 

a odtiaľ

 Mm 

Ic Im



1 8





Im  1

  Mm  1 

 Mm  1 

  Im  1  Ic

Ideálne bremeno v priereze m sa skladá z dvoch častí: 1. z príspevku oboch lichobežníkov ( m  1)  c  d  m a m  d  e ( m  1) , 2. z dvoch rovnako veľkých plôch paraboly (keďže sú symetrické, potom na W m pripadá z každej strany polovica plochy paraboly).

hb -2ha

qL2 8 I M= c I

b pohlad a-a

Ic = I L/2

q M= 2 z(L-z)

Obr. 2.8.6 Redukovaný momentový diagram pre nosník s I  konst . Teda dostaneme: Ic Ic Ic  S  Wm   Mm  1   4  Mm   Mm  1    6  E  Ic  Im  1 Im Im  1  Ic Ic   Ic 1 2 S 1 1   2      Mm     Mm  1   Mm  1   2 3 E Ic  4 8  Im Im  1 Im  1   Potom výsledok ideálneho bremena W m bude v tvare: (2.8.17) Ic Ic Ic   S Wm   Mm  1   10 Mm   Mm  1   12 E  Ic  Im  1 Im Im  1  V prípade konštantného momentu zotrvačnosti výraz bude: (2.8.18) S Wm

12 E  I



 Mm  1  10 Mm  Mm  1



Podľa obr. 2.8.5 pre prvé ideálne bremeno W dostaneme Ic Ic 1  Ic  1 2   1 Ic Ic   S  W0   2  M0   M 1         M 1     M0   M 2    6  E  Ic  I0 I1  2 3 E Ic  4 I1 8  I0 I0   (2.8.19) Ic Ic Ic   S W0   3.5 M0   3.0 M1   0.5 M2   12 E  Ic  I0 I1 I2  A podobne pre posledné ideálne bremeno W dostaneme (2.8.20) Ic Ic Ic   S Wn   0.5 Mn  2   3.0 Mn  1   3.5 Mn   12 E  Ic  In  2 In  1 In  Za predpokladu, že je moment zotrvačnosti konštantný a zmeny momentu sú kontinuálne, môžeme písať (2.8.21) S W0

12 E  Ic S 12 E  Ic

  3.5 M0  3.0 M1  0.5 M2



 0.5 Mn  2  3.0 Mn  1  3.5 Mn



(2.8.22)

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

- 18 -

Príklad 2.8.2: Výpočet priehybu pomocou ideálnych bremien

h d i i

i

krivost

1 i

d s

 hi

 d1

Pomocou vypočítanej krivosti v jednotlivých úrovniach sa získajú hodnoty ideálnych bremien : Wi

 h1

 hn h = 147

Pri experimente sa namerajú hodnoty pretvorení elementov nachádzajúcich sa pri hornom (hi) a dolnom (di) okraji nosníka., na základe ktorých sa vypočíta krivosť :

d i

d si

ra = 560

Ideálne bremená W1

 dn

Priebeh momentov od pôsobenia W i = priehyb nosníka od pôsobenia F

Ich sumáciou dostaneme veľkosť sily Ra (reakcie)

Obr. 2.8.7 Zaťaženie nosníka ideálnymi bremenami ri vzdialenosť stredov jednotlivých elementov od Ra Wi miesta , v ktorom chceme vypočítať priehyb f ra vzdialenosť sily Ra od miesta určujúcom priehyb i 1 Výpočtom priebehu momentov na nosníku zaťaženom ideálnymi bremenami Wi priebeh priehybu pozdĺž nosníka zaťaženého silou F. n Maximálny priehyb je v strede rozpätia f R a r a  W i r i nosníka a vypočíta sa nasledovne : n



1

Konkrétne riešenie príkladu znázorneného na obr. 2.8.7: Element h_d

5_2

8_3

9_26

12_27

13_30

16_31

17_34

20_35

eh ed

1.37E-06

1.71E-05

2.94E-05

1.98E-05

-2.73E-05

-1.19E-04

-1.76E-04

-2.73E-04

1.90E-06

1.55E-05

7.18E-04

8.58E-04

1.03E-03

1.19E-03

1.26E-03

1.32E-03

1/i = krivosť

-3.61E-06

1.09E-05

-4.68E-03

-5.70E-03

-7.17E-03

-8.89E-03

-9.75E-03

-1.08E-02

dsi [m]

0.0425

0.03875

-1.54E-07

4.63E-07

-1.81E-04

-2.21E-04

-2.78E-04

-3.44E-04

-3.78E-04

-4.19E-04

ri [m]

0.62375

0.58125

0.541

0.501875

0.463125

0.424375

0.385625

0.34687

Wi . ri

-9.58E-08

2.69E-07

-9.82E-05

-1.11E-04

-1.29E-04

-1.46E-04

-1.45E-04

Element h_d

21_38

24_39

41_54

44_55

45_58

48_59

49_62

52_63

eh ed

-3.50E-04

-4.94E-04

-5.45E-04

-6.43E-04

-6.49E-04

-6.57E-04

-6.61E-04

-6.63E-04

1.37E-03

1.44E-03

1.48E-03

1.50E-03

1.44E-03

1.45E-03

1/i = krivosť

-1.17E-02

-1.31E-02

-1.38E-02

-1.46E-02

-1.42E-02

-1.43E-02

dsi [m]

0.03875

0.041667

0.04167

0.041667

-4.52E-04

-5.09E-04

-5.74E-04

-6.07E-04

-5.92E-04

-5.97E-04

ri [m]

0.308125

0.269375

0.2292

0.1875

0.145733

0.10412

0.0625

0.020833

Wi . ri

-1.39E-04

-1.37E-04

-1.32E-04

-1.14E-04

-8.63E-05

-6.22E-05

-3.73E-05

-1.24E-05

Ra [ - ]

6.35E-03

ra [ m ]

0.56

Celkový priehyb f [m]

2.06E-03

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

- 19 -

2.8 Zaťaženia prútových konštrukcií ohybovým momentom a normálovou silou Výpočet podľa teórie deformácie alebo podľa teórie napätia II. rádu (stručnejšie teórie II. rádu) zohľadňuje deformácie systému pri určovaní podporových reakcií a prierezových síl. Teória II. rádu na jednej strane analyzuje únosnosť štíhlych nosných prútov a na druhej strane problém stability konštrukcie. Aplikácia teórie II. rádu je potrebná vtedy, keď zaťaženia na nosníkoch vyvolávajú veľké normálové sily a v dôsledku vzniknutých deformácií sa vytvárajú elastické ramená, čím vyvolávajú doplnkové momenty. Ak je nosník zaťažený excentrickým (mimostredným) tlakom, budú hodnoty priehybov a tiež ohybových momentov väčšie ako hodnoty vypočítané podľa teórie I. rádu. Použitím teórie II. rádu môžeme získať skutočnú hodnotu priehybov a teda i prierezových síl a napätí. Pre nosník mimostredne zaťažený na oboch koncoch rovnakými excentricitami a smermi platí, že maximálny priehyb v dôsledku momentov je: f0  f1  f2  f3  ..............  fn

Najväčšie napätie v dôsledku normálovej sily a ohybového momentu je: max

N A



N  ( a  f) W

Maximálny priehyb f : Potom

Ncr



 1

Ncr N

1

1

f0  1

N Ncr

Ncr

  EI

Ncr

(2.9.1)

kde Ncr je Eulerova kritická sila, Teda maximálne napätie v prúte podopretom na oboch koncoch kĺbmi, zaťaženom mimostredným tlakom, bude podľa teórie II. rádu: N N  1  N  N   a  f  Ncr  max    a  f0    0 (2.9.2) A W A  N  A Ncr  N  1   Ncr   M=N.a

Vo všeobecnosti podľa teórie II. rádu neplatí zákon suprepozície, pretože závislosť medzi silou a deformáciou už nie je lineárna a ohybový moment a ohybové napätie vzrastá rýchlejšie ako prírastok zaťaženia. Môžeme si položiť otázku, či je nevyhnutný takýto presný výpočet nosných konštrukčných prvkov. Ako odpoveď použijeme nasledujúce demonštračné príklady.

M=N.a

N s=l

N Maximálna deformácia

f1 fo N

Obr. 2.9.1 Prostý uložený nosník s mimostredným tlakom.

2.9.1 Ohyb a ťah Uvedený príklad sa týka prostého uloženého nosníka s jedným rozpätím, ktorý je zaťažený konštantným momentom a normálovou ťahovou silou N . Vypočítame konečný priehyb a konečný ohybový moment postupom približnej iterácie. Pre lepší prehľad sledujme postupne jednotlivé kroky výpočtu: Krok 0: Na začiatku na nedoformovanom systéme nemá normálová sila nijaké rameno, teda

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

- 20 -

prítomný je konštantný ohybový moment M0 a začína elastická čiara s poradnicou y 0 . Elastickú priehybovú čiaru y 0 f  M0 môžeme nájsť podľa Mohrovej analógie tak, že zaťažíme nosník momentom M0 . Krok 1: Následkom deformácie Mo Mo o z y 0 teraz už nie je os nosníka N N rovná. Poradnica y 0 potom bude a) l predstavovať rameno normálovej Mo + b) sily N, v dôsledku ktorého A' B' dochádza ku vzniku záporného c) ohybového momentu yo + yo =f(Mo ) Momentový M1  N  y 0 . diagram M1 , ktorý pôsobí ako N N yo d) zaťaženie, dáva zápornú, t.j. opačnú elastickú M1 e) priehybovú čiaru y 1 f  M 1 . A1 B1 y1 Takto vznikne v kroku 1 f) y 1 =f(M 1 ) upravená priehybová elastická čiara Obr. 2.9.1.1 Prostý uložený nosník pod účinkom y 01 y 0  y 1 a ohybový moment ohybového momentu a normálovej ťahovej sily. bude M01 M0  M1 . Krok 2: Posledná úprava y 1 však opäť vyvoláva zmenu ramena pre normálovou silu N . Následkom toho vznikne pozitívny ohybový moment M2 N  y 1 , ktorý vytvorí priehybovú čiaru y 2 . Po týchto úpravách potom poradnice priehybov budú: y 012

y0  y1  y2

a ohybové momenty: M012 M0  M1  M2 V dôsledku negatívneho momentu M3 bude y 3 negatívne a y 4 a M4 opäť pozitívne. Potom pre určenie konečných hodnôt poradníc a ohybových momentov dostaneme: y

y 0  y 1  y 2  y 3  y 4  y 5  y 6  ....................

M0  M1  M2  M3  M4  M5  M6  ....................

N h) A2

B2 M2

i) +

y2 =f(M 2 )

Obr. 2.9.1.2 Príklad: Prostý nosník zaťažený rovnomerným zaťažením a normálovou ťahovou silou Na prostom nosníku zaťaženom rovnomerným zaťažením a centrickou normálovou silou N určíme numericky konečný priehyb a ohybový moment v štvrtinách rozpätia nosníka pomocou iterácie. V prvom prípade na nosník bude pôsobiť ťahová normálová sila a v druhom prípade tlaková normálová sila. Šírka prierezu: Výška prierezu: b 0.3 m h 0.5 m 2 Plocha prierezu: Rozpätie nosníka: l 8 m A b  h 0.15m

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

Moment zotrvačnosti: Prierezový modul:

Modul pružnosti: x1

0.25 l

Rovnomerné zaťaženia: q = 60 kN.m-1

bh

12 1 6

bh

210000 MPa

0.50 l

- 21 -

Sila:

1900 kN

Dielčie úseky nosníku:

2 m

0.75 l

0 l

Hľadané hodnoty budeme počítať podľa jednotlivých krokov. Priehyb vypočítame pomocou ideálnych bremien W. Dielčie úseky na nosníku sú S 2.0 m . Krok 0: Ohybové momenty: M01 M01

q  S  ( l  S)

q l

M02

2 360  kNm

8 480  kNm

M02

M03

M01

M03

360  kNm

Ideálne bremeno: Wm

S 12





Im  1

  Mm  1 

 10 Mm 

Ic Im

W´01

1 l   M0  10 M01  M02 12 4

W´03

W´01





 Mm  1 

  Im  1  Ic

680kNm2

W´02

1 l   M01  10 M02  M03 12 4

W´03

680kNm





920kNm2

Výpočet fiktívnych reakcií a fiktívnych momentov na nosníku: A´01

W´ 02    W´01   1140kNm2 2  

m01

A´01  x 1

m02 m03

y 01

y 02

y 03

W´ 02    W´03   1140kNm2 2  

2280kNm3

A´01   x 2  W´ 01   x 2  x 1

3200kNm3

A´01   x 3  W´ 01   x 3  x 1  W´ 02   x 3  x 2

Potom výpočet priehybu bude nasledovný: y 0i

B´01

2280kNm3 q

a) +

m0i

m01 E I x m02 E I x m03 E I x

M01

E I c

M02

M03

0.00347m

W'01

W'02

W'03

W'oi 2 B' [kNm ]

A' y 01

y 02

0.00347m

[cm]

Obr. 2.9.1.3

Krok 1: Normálová sila N vyvoláva ohybový moment Mi N  y0i . M11

N  y 01

6.601kNm

M12

N  y 02

Moi [kNm]

0.00488m

N i=1,2,3...

9.265kNm

M13

N  y 03

6.601kNm

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

Ideálne bremená:

- 22 -

 1   l   M  10 M  M  12.546kNm3  12  4 0 11 12    1   l   M  10 M  M  17.641kNm3  12  4 11 12 13  

W´11 W´12 W´13

12.546kNm3

W´ 11

Výpočet fiktívnych reakcií a fiktívnych momentov na nosníku: A´11

W´ 12    W´11   21.367kNm2 2  

m11

A´11  x 1

m12 m13

42.734kNm3

A´11   x 2  W´ 11   x 2  x 1

42.734kNm3

A´11   x 3  W´ 11   x 3  x 1  W´ 12   x 3  x 2

Potom výpočet priehybu bude: y 1i

y 11

y 12

y 13

W´ 12    W´13   21.367kNm2 2  

B´11

42.734kNm3

m1i

E I c m11 E I x m12 E I x m13 E I x

0.00007m

y 01

y 02

M 01

M1 M 01

0.00009m

c) W'11

0.00007m

[kNm]

W'12

W'13

y 12

y 11

W [kNm 2 ]

[cm]

Obr. 2.9.1.4 Krok 2: Následkom upraveného priehybu y 1 vyvoláva normálová sila N opäť upravené ohybové momenty M2i N  y 2i . Ohybové momenty: M2i N  y 2i M21

N  y 11

0.124kNm

M22

N  y 12

0.175kNm

M23

N  y 13

0.124kNm

Ideálne bremená: W´21

 1   l   M0  10  M21  M22   12  4

W´23

W´21

0.235 kN m2

W´22

 1   l   M21  10  M22  M23   12  4

0.235 kN m2

Výpočet fiktívnych reakcií a fiktívnych momentov na nosníku: A´21

W´ 22    W´21   0.402kNm3 2  

m21

A´21  x 1

m22 m23

B´21

W´ 22    W´23   0.402kNm3 2  

0.803kNm3

A´21   x 2  W´ 21   x 2  x 1

1.136kNm3

A´21   x 3  W´ 21   x 3  x 1  W´ 22   x 3  x 2

0.803kNm3

0.333 kN m2

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

- 23 -

Potom výpočet priehybu bude: y 1i

y 21

y 22

y 23

m1i

y 11

E I c m21 E I x m22 E I x m23 E I x

y 12

0.0000012m W'21

[kNm]

W'22

W'23

0.0000017m

2 B' [kNm ]

A' y 21

0.0000012m

y 22

[cm]

Obr. 2.9.1.5 Krok 3: Normálová sila N vyvoláva ohybové momenty M3i N  y 3i . M31

N  y 21

0.00233kNm

M32

N  y 22

0.00329kNm

N  y 23

M33

0.00233kNm

Ideálne bremená: W´31

 1   l   M0  10  M31  M32  0.00442 kN m2 W´32  1   l   M31  10  M32  M33  0.00626 kN m2  12  4  12  4

W´33

W´31

0.00442  kN  m2

Výpočet fiktívnych reakcií a fiktívnych momentov na nosníku: A´31

W´32    W´31   0.00755kNm2 2  

m31

A´31  x 1

m32 m33

B´31

W´32    W´33   0.00755kNm2 2  

0.0151kNm3

A´31   x 2  W´31   x 2  x 1

0.02136kNm3

A´31   x 3  W´31   x 3  x 1  W´32   x 3  x 2

0.0151kNm3

Potom priehyb vypočítame: y 31

m31

y 32

E  Ix

m32

y 33

E  Ix

m33 E  Ix

Krok 4: Normálová sila N vyvoláva ohybové momenty M4i N  y 4i . M41

N  y 31

0.00004kNm

M42

N  y 32

0.00006kNm

M43

N  y 33

0.00004kNm

Ideálne bremená: W´41

 1   l   M0  10  M41  M42   12  4

W´43

W´41

0.00008 kN m2

W´42

 1   l   M41  10  M42  M43   12  4

0.00008 kN m2

Potom výpočet priehybov na jednotlivých úsekoch bude nasledovný: y 4i

m41 41

E  Ix

0.00012 kN m2

4.32811 10 10m

y 42

m42 E  Ix

6.12086 10 10m

y 43

m43 E  Ix

m4i E I c

4.32811 10 10m

Konečné ohybové momenty a konečné priehyby v štvrtinách rozpätia nosníka a v strede nosníka budú:

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

- 24 -

M´1

M01  M11  M21  M31  M41

353.520kNm

y´1

y 01  y 11  y 21  y 31  y 41

0.00341m

M´2

M02  M12  M22  M32  M42

470.907kNm

y´2

y 02  y 12  y 22  y 32  y 42

0.00479m

Na uvedenom príklade vidíme, že výpočtom podľa teórie II. rádu získame v bode 2 značne odlišné hodnoty ohybového momentu a priehybu v porovnaní s ich základným hodnotami. Zmenšenie ohybového momentu v bode 2 bude: Ohybový moment: M 480kNm M´ 470.90681kNm 02

Priehyb:

M

M02  M2

M02  M´2

M02

y 02

0.00488m

y´2

0.0189441407

18.90 %

0.00479m

y 02  y´2

y

y 02  y´2

y´02

0.01887

18.87 %

2.9.2 Ohyb a tlak Analyzujme prostý uložený nosník, ktorý je pod účinkom ohybového momentu a normálovej tlakovej sily. Jednotlivými postupmi vyjadríme základné hodnoty a úpravy ohybových momentov a priehybov. Súčtom jednotlivých hodnôt priehybov a momentov získame ich konečné hodnoty. Krok 0: Na počiatočnom nedeformovanom systéme dôsledkom momentu M0 vznikne elastická priehybová čiara y 0 f  M0 . Krok 1: Na osi nosníka Mo Mo o z a N deformovanom y0 N a) normálovou silou N vzniká l ohybový moment M1 , teda Mo + b) Diagram M1  N  y 0 . M1 A' B' predstavuje zaťaženie, ktoré c) yo + pôsobí smerom dole kladne yo =f(Mo ) (smer priehybovej čiary d) N N y 1 f  M1 ). Základné hodnoty yo M0 a y 0 sa zväčšujú v kroku 1 e) A1 B1 M1 + na M1 a y 1 , takže M01 M0  M1 f) a y 01 y 0  y1 . y1 + y 1 =f(M 1 ) Krok 2: Vypočítame upravené hodnoty priehybu y 1 , ktorý Obr. 2.9.2.1 Prostý uložený nosník pod účinok opäť vyvoláva ramená pre ohybového momentu a normálovej tlakovej sily. Normálovú silu N . Potom nastupuje upravený moment M2 N  y 1 vyvolávajúci kladnú elastickú čiaru y 2 f  M2 . V tejto fáze analýzy teda momenty budú: M

M0  M1  M2

a poradnice elastickej čiary

y0  y1  y2

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

- 25 -

Je zrejmé, že ďalšie iterácie nespôsobia zmenu v znamienku ohybového momentu (na rozdiel od nosníka, ktorý bol zaťažený ohybom a ťahovou normálovou silou).Teda konečné hodnoty ohybového momentu a priehybov budú

B2 M2

i) +

y2 =f(M 2 )

Obr. 2.9.2.2 M

M0  M1  M2  M3  M4  M5  ....................

y 0  y 1  y 2  y 3  y 4  y 5  .................

Príklad: Prostý nosník je zaťažený rovnomerným zaťažením q a tlakovou normálovou ťahovou silou. Nosník je uložený na dvoch podperách a zabezpečený aj v bodoch 1, 2, 1´ proti bočným deformáciám. Chceme určiť konečné priehyby a ohybové momenty na danom nosníku. Charakteristiky materiálov a rozmery prierezu sú: Šírka prierezu: Výška prierezu: Plocha: A b  h b 0.3  m h 0.5  m

Plocha prierezu: Prierezový modul:

0.15m

Moment zotrvačnosti prierezu:

Rozpätie nosníka:

bh

bh

8m

Rovnomerné zaťaženia:

60  kN  m

Normálová tlaková sila:

1

1900 kN

Modul pružnosti:

E = 30000 MPa

Dielčie úseky nosníka: S=2.m x1 = 0,25 . l x2 = 0,50 . l x3 = 0,75 . l x4 = l x5 = 0 . l

4 i=1,2,3.....

l M 01

M 02 W'02

W'01

M 01

[kNm]

W'01

Wo [kNm 2 ]

A'1

B'1

+ y01

y01

y02

Obr. 2.9.2.3 Prostý nosník zaťažený rovnomerným zaťažením a normálovou tlakovou silou.

Krok 0: Ohybové momenty: M01

q  S  ( l  S) 2

360kN  m

ql

M02

Wm 1



l   M0  10  M01  M02 12 4

W´03

W´ 01



480kN m

Výpočet ideálnych bremien na nosníku:

W´01

680kN m

S 12

M03





Im  1

  Mm  1 

W´ 02



 10  Mm 

M01 Ic Im

 Mm  1 

l   M01  10  M02  M03 12 4



  Im  1  Ic

920kN m

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

- 26 -

Výpočet reakcie: A´01

W´02    W´01   2  

m01

A´01  x 1

m02

A´01  x 2  W´01  x 2  x 1

m03

1140kN m

2280kN m

W´02    W´03   2  

B´01

1140kN m

    3200kN m3 A´01   x 3   W´01   x 3  x 1   W´02   x 3  x 2 

2280kN m

Potom výpočet priehybov v bodoch 1, 2, 1´ bude: y 01

m01 E  Ix

0.024m

y 02

m02

0.034m

E  Ix

y 03

m03 E  Ix

0.024m

Krok 1: Normálová sila N vyvoláva ohybový moment Mi N  y0i M11

N  y 01

46.208kN m

M12

N  y 02

64.853kN m

M13

N  y 03

46.208kN m

Výpočet ideálnych bremien: W´ 12  W´ 12     W´11   149.56 kNm2 B´11  W´13   149.56 kNm2 2  2    Výpočet fiktívnych reakcií a fiktívnych ohybových momentov: A´11

A´11

W´ 12    W´11   149.56 kNm2 2  

m11

A´11  x 1

m12

A´11  x 2  W´11  x 2  x 1

m13

299.136kN m

    422.628 kNm3 A´11   x 3   W´11   x 3  x 1   W´12   x 3  x 2 

y 11

y 12

y 13

299.136 kNm

N y 01

E  Ic

E I x m12 E I x m13 E I x

M11

N  y 11

y 02 M12

M13

0.003m

W'11

W'12

W'13

W 2 B' [kNm ]

0.005m

y 11

y 12

0.003m

6.062kN m

M1 [kNm]

Obr. 2.9.2.4

Krok 2: Normálová sila N vyvoláva ohybový moment M2i M21

m1i

m11

W´ 12    W´13   149.56 kNm2 2  

Výpočet priehybov v bodoch 1, 2, 1´: y 1i

B´11

M22

N  y 12

N  y 2i

8.565  kNm

Výpočet ideálnych bremien, ktoré pôsobia v bodoch 1, 2, 1´:

M23

N  y 13

6.062  kNm

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

W´21 W´22 W´23

- 27 -

 1   l  M  10  M  M 2 11.532 kNm    0 21 22   12  4  1   l  M  10  M  M 2 16.296 kNm    21 22 23  12 4   W´21

Výpočet fiktívnych reakcií a fiktívnych ohybových momentov: A´21

W´22    W´21   19.68 2  

m21

A´21  x 1

m22

A´21  x 2  W´21  x 2  x 1

39.36kN m

    55.656kN m3 A´21   x 3   W´21   x 3  x 1   W´22   x 3  x 2 

m23

Výpočet priehybov v bodoch 1, 2, 1´: y 1i y 21

W´22    W´23   19.68kN m2 2  

B´21

a) a)

N y 11 01

E  Ic m21

y 23

b) b)

0.00042m

E I x

W´31 W´32 W´33

y 12 02

M21 11 W'21 11

m22 E I x

M21 [kNm]

W'22 12

W'23 13

W 2 2 B' [kNm ] y 21 11

y22 12

y 21

0.0004198m

E I x

M23 13

A' d) d)

m23

M22 12 +

c) c)

0.000594m

Obr. 2.9.2.5

Krok 3: Normálová sila N vyvoláva ohybový moment M3i M31

N N

m1i

y 22

39.36kN m

N  y 21

0.798kN m

M32

N  y 22

N  y 3i

v bodoch 1, 2, 1´:

1.128kN m

M33

N  y 23

0.798kN m

 1   l  M  10  M  M 2 1.517kN m    0 31 32  12 4    1   l  M  10  M  M 2 2.146kN m    31 32 33   12  4 W´31

Výpočet fiktívnych reakcií a fiktívnych ohybových momentov: A´31

W´ 32    W´31   2.59kN m2 2  

m31

A´31  x 1

m32

A´31  x 2  W´31  x 2  x 1

m33

A´31  x 3  W´31  x 3  x 1  W´32  x 3  x 2

5.181kN m

B´31

W´ 32    W´33   2.59kN m2 2  

 





 





Priehyby v bodoch 1, 2, 1´ budú:

7.327kN m



y 3i

m3i E  Ic



5.181kN m

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

y 31

m31

0.0000553m

E  Ix

- 28 m32

y 32

0.0000782m

E  Ix

Normálová sila N vyvoláva ohybový moment M4i M41 W´41 W´42 W´43

N  y 31

0.105kN m

N  y 32

M42

y 33

m33

0.0000553m

E  Ix

v bodoch 1, 2, 1´:

N  y 4i

0.148kN m

M43

N  y 33

0.105kN m

 1   l  M  10  M  M 2 0.2kN m    0 41 42   12  4  1   l  M  10  M  M 2 0.282kN m    41 42 43   12  4 W´41

Výpočet fiktívnych reakcií a fiktívnych ohybových momentov: A´41

W´ 42    W´41   0.341kN m2 2  

m41

A´41  x 1

m42

A´41  x 2  W´41  x 2  x 1

m43

A´41  x 3  W´41  x 3  x 1  W´42  x 3  x 2

0.682kN m

 





 





0.964kN m



Výpočet priehybov v bodoch 1, 2, 1´: y 4i

y 41

m41 E  Ix

W´ 32    W´33   2.59kN m2 2  

B´41

0.0000073m

m42

y 42

E  Ix



0.682kN m

m4i E I c

0.0000103m

m43

y 43

E  Ix

0.0000073m

Konečné hodnoty ohybového momentu a priehybu v štvrtine a v strede nosníka v bode 2 sú : Ohybové momenty: M´ M M M M M 413.17 kNm 1

M´2

Priehyby: Reakcie:

M02  M12  M22  M32  M42

554.695kN m

y´1

y 01  y 11  y 21  y 31  y 41

0.028m

y´2

y 02  y 12  y 22  y 32  y 42

0.039m

A´01  A´11  A´21  A´31  A´41

1312.179kN m

B´01  B´11  B´21  B´31  B´41

1314.429kN m

2 2

Výpočtom podľa teórie II. rádu získame väčší ohybový moment a priehyb v porovnaní s ich počiatočnými hodnotami. Prírastok ohybového momentu a priehybu v strede nosníka v bode 2 určíme pomocou iterácie. Ohybový moment: M 480kN m M´ 554.695kN m 02

Priehyb:

M

M´2  M02

M02

y 02 0.034m y´2  y 02 y y´02

y´02

0.156

y´2 0.039m y´2  y 02 0.132 y´02

35.5%

13.2%

Doc. Ing. Sabah Shawkat. PhD.

Reakcie:

- 29 -

A  A´01

A

A  A´01

A B  B´01

A B

A B  B´01

0.131

13.12%

0.133

13.27%

Z uvedeného vyplýva, že tlaková sila vyvoláva zväčšenie ohybového momentu pozdĺž nosníka a dôsledkom toho sa zväčšuje aj priehyb pozdĺž nosníka. Presnejšie riešenie priehybu v strede nosníka v bode 2: Zaťaženie: l Q

Priehyb v bode 2: y2

q

Q  0.5  l N

y 2  y´2 y2

2Q

240kN

 1  cos (  )  0.5   2    cos (  ) 



 100

0.02

480kN

0.039m

Rozdiel je -1.9%

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

-1-

3. Medzné stavy Termín medzný stav konštrukcie alebo konštrukčného prvku označuje hranicu, pri ktorej konštrukcia prestane vyhovovať prevádzkovým, konštrukčným alebo estetickým kritériám bežného užívania. Pre niektoré konštrukcie je z prevádzkového hľadiska rozhodujúca únosnosť (napr. pre konštrukcie pozemných stavieb menších rozpätí), kým pre iné konštrukcie nadmerné pretvorenie (pri žeriavových dráhach, stropoch pod telocvičňami a tanečnými sálami). Pre iné betónové konštrukcie je potrebné, aby v nich pri bežnej prevádzke nevznikali trhliny, resp. vznikali len trhliny prípustnej šírky (konštrukcie nepriepustné a vystavené intenzívnym nepriaznivým účinkom). Podľa STN 73 1201 rozoznávame tri medzné stavy: 1) prvý medzný stav – medzný stav únosnosti, 2) druhý medzný stav – medzný stav pretvorenia, 3) tretí medzný stav – medzný stav trhlín, 1) Medzný stav únosnosti vzniká vyčerpaním nosnej schopnosti betónovej konštrukcie v dôsledku niektorého z uvedených javov: a) dosiahne sa pevnosť niektorého materiálu (napr. pevnosť betónu v tlaku) alebo inej rozhodujúcej charakteristiky (napr. medza prieťažnosti ocele), b) vznikne strata stability pri namáhaní na vzper (napr. vybočením niektorého prúta rámovej konštrukcie), a to nielen pri krátkodobom, ale aj dlhodobom zaťažení (účinkom dotvarovania betónu), c) vznikne strata stability polohy konštrukcie prevrátením, posunutím, zdvihnutím (napr. účinkom tlaku vody, zeminy), d) dosiahne sa medza únavy niektorého materiálu alebo vyčerpanie nárazovej pevnosti. Podľa medzného stavu únosnosti sa počítajú všetky konštrukcie. 2) Medzný stav pretvorenia sa dosiahne v dôsledku nadmerného posunutia, pootočenia, kmitania celej konštrukcie alebo jej časti. Druhý medzný stav môže vzniknúť z nasledujúcich príčin: a) nedodržanie predpísanej kvality betónu (intenzívnejšie dotvarovanie), b) predčasné oddebnenie spôsobujúce skoré zaťaženie vlastnou tiažou, narušenie štruktúry betónu, zhoršenie spolupôsobenia výstuže s betónom, c) nevhodné nahradenie navrhnutej výstuže kvalitnejšou výstužou, d) zníženie účinnej výšky prierezu pre nedodržanie predpísaných rozmerov prierezu alebo polohy výstuže, e) nesprávny tvar debnenia následkom čoho je konštrukcia vyrobená už s pretvorením, f) nedodržanie postupu pri oddebňovaní, g) nedodržanie predpísaných nadvýšení, h) nevhodný spôsob skladovania prefabrikátov, i) veľkosť a rozloženie zaťaženia nezodpovedá predpokladom vo výpočte, k) menej účinná tepelná izolácia proti zmenám teplôt ako sa predpokladalo. 3) Medzný satv trhlín sa dosiahne vznikom trhlín alebo trhlín nežiadúcej šírky. Cieľom výpočtu podľa tretieho medzného stavu je zabrániť vzniku alebo obmedziť rozovierania trhlín z dôvodov, z ktorých najdôležitejšie sú: a) zabezpečenie konštrukcie pred prenikaním kvapalín, plynov a sypkých hmôt,

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

-2-

b) ochrana výstuže pred koróziou, najmä v predpätých konštrukciách kde korózia výstuže môže ohroziť ďalšie použitie konštrukcie. Pri železobetónových konštrukciách s prípustnými trhlinami sa ochrana výstuže pred koróziou dosiahne obmedzením šírky trhlín. Prípustná šírka trhlín v konštrukciách umiestnených v agresívnom prostredí je 0,10 mm, vo vlhkom prostredí a na voľnom priestranstve 0,20 mm, v suchom prostredí 0,30 mm, c) estetické dôvody, lebo príliš viditeľné trhliny kazia vzhľad konštrukcie a vyvolávajú u užívateľa pocit neistoty. Podľa tretieho medzného stavu sa posudzujú: a) konštrukcie 1. kategórie pri výpočtovom zaťažení b) konštrukcie 2. kategórie na vznik trhlín pri normovom zaťažení, c) konštrukcie 3. kategórie na šírku trhlín prí normovom zaťažení, Podľa medzného stavu trhlín netreba posudzovať: a) konštrukcie z prostého betónu, b) konštrukcie zo železového betónu v štádiu výroby, dopravy a montáže, c) železobetónové konštrukcie z betónu s hutným kamenivom, ak konštrukcia nie je vystavená tlaku kvapalín alebo mnohonásobne sa opakujúcemu zaťaženiu.

3.1 Medza porušenia ohybom Pri namáhaní ohybom je časť prierezu tlačená a časť ťahaná. Betón v ťahu nepôsobí, ťah prenáša výstuž. Na medzi porušenia dochádza k drveniu tlačeného betónu po predchádzajúcom plastickom pretvorení výstuže. Predpokladá sa, že v ťahovej výstuži Ast (v tlakovej výstuži Asc) sa dosiahne napätie rovné výpočtovej pevnosti výstuže v ťahu Rsd (v tlaku Rscd). Aby bolo toto splnené, musí byť vo výstuži Asc (Ast) dosiahnuté pretvorenie Rsd Rscd ( ) alebo väčšie - toto vyjadríme podmienkou x  1.25 limhe . V prípade, že Es Es predpokladáme rovnomerné rozdelenie tlakového napätia v betóne po výške xu=0,8.x (meranej od najviac tlačených vlákien v priereze), môžeme podmienku napísať v tvare: xu<lim.he.

Predpoklady výpočtu: a) Napätie v tlačenej oblasti prierezu je rozdelené rovnomerne, dosahuje hodnotu Rbr. b) Betón v ťahu nepôsobí. c) Napätie v ťahovej výstuži (pásmo T výšky 0,2.h1) dosahuje hodnotu Rsr, vo výstuži tlakovej (pásmo Cbs s výškou 0,5.xu) dosahuje hodnotu Rscr, pričom musí platiť xu<lim.he. Poznámka: V prípade, že by vychádzalo xu>lim.he, musíme použiť metódu medzných pretvorení. Ak by sme použili metódu medznej rovnováhy, museli by sme počítať len so započítateľnou výstužou zodpovedajúcou xu=lim.he a hodnota Mu takto stanovená by vyšla menšia ako pri použití metódy medzného pretvorenia. Ak vychádza pri návrhu prierezu jednostranne vystuženého lim, musíme buď zväčšiť prierez (pokiaľ to bude možné), alebo zlepšiť kvalitu použitých materiálov, či navrhnúť obojstrannú výstuž. Vzťahy, symboly a charakteristiky materiálov uvedené v tejto kapitole vychádzajú z publikácií Procházku a kol.[49],[50],[52] .

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

-3-

3.1.1

T prierez (doskový trám) Dosku môžeme považovať za spolupôsobiacu, pokiaľ hs max(0.05.h, 50mm). V doske musí byť umiestnená výstuž ležiaca v smere kolmom na trám, pričom pre prevažne rovnomerné zaťaženia trámu platí: b=2b d+b w hs bd

l sn ls

A st l

min  1 hs   2 l  0.5lsn 

ast

h he

l sn

Obr. 3.1.1.1

 1 : - pre dosky medzi dvoma trámami - pre dosky konzolovite vyložené ( T- a I-prierezu)  2 : - závisí na výpočtovom modeli trámu : - pre prosté nosníky:

2

0.17

2

0.13

vo vnútorných poliach  2

0.10

- pre spojité nosníky v krajných poliach

1

l - rozpätie trámu lsn - vzdialenosť líca trámu, resp. dvojnásobok vyloženia konzoly

b 2 b d  b w b min 2  1 hs  b w  2  2 l  b w  ls  Poznámka: Pri zaťažení osamelým bremenom, ktorého normová hodnota je väčšia ako súčet všetkých ostatných zaťažení pôsobiacich na trám, sa zmenší vyššie uvedená hodnota bd o 20%. Môžu nastať dva prípady: b

Rbr

b.xu.Rbr

h he

Mu zb A st N st =A st.Rsr

ast

a) neutrálna os prechádza doskou: xu  hs postup návrhu i posúdenie sú rovnaké ako v prípade obdĺžnikového prierezu so šírkou b a účinnou výškou he

Obr. 3.1.1.2 b

Dané: Md  h  hs  b  b w  Rbr  Rsr Určíme: he

h  ast ,  u ,

h he

N st =Ast.Rsr

A st ast

Md   u b hs Rbr  he  0.5hs  alebo Ast Rsr  b hs Rbr t. j.

Rbr

b) neutrálna os prechádza trámom : xu  hs

A st =Ast1+ A st2

Obr. 3.1.1.3

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

Približne môžeme uvažovať: Astd

Ast2d

he  0.5hs

(3.1.1.1)

 u  he  0.5hs  Rsr

Ast  max Astd   st  minb w h alebo presnejšie

Navrhneme M2

-4-

 b  b w hs Rbd  he  0.5hs   b  b w hs Rbd M

(3.1.1.2) Md

Rsr

 M2

u

(3.1.1.3), (3.1.1.4)

Na moment M1 navrhneme výstuž ako pre jednostranne vystužený prierez so šírkou b w a účinnou výškou he , napríklad: Rbr (b-bw).h s .Rbr

h he

h-0,5.h s

Ast1 .Rsr

Rbr

(3.1.1.6) xu

Navrhneme Ast  max Astd   st  minb w h , musí platiť Ast  0.03b w h Posúdenie b) neutrálna os prechádza trámom : Dané: Md  h  hs  b  b w  Ast  ast  Rbr  Rsr h  ast ,  u

b.x u .R br

h he

 he Rsr návrhová plocha ťahovej výstuže (3.1.1.7) Astd Ast1d  Ast2d

A st2 ast

Určíme: he

0,5.(b-bw)

(3.1.1.5)

b wRbr potom získame z tabuľky A-1 (príloha A) a skontrolujeme    lim, Ast1d

0,5.(b-bw)

he M1

A st1 Ast1 .Rsr

ast



Obr. 3.1.1.4 Ast ,  st  min   st  0.03, b w h

Overíme:  st Ast2

 b  b w hs Rbr Rsr

, Ast1

Ast  Ast2

(3.1.1.8), (3.1.1.9) xu Mu

Ast1 Rsr b w Rbr

  limhe   xu  hs 

 u  Ast1 Rsr  he  0.5xu   Ast2 Rsr  he  0.5hs  

(3.1.1.10) (3.1.1.11)

Podmienka spoľahlivosti Md  Mu 3.1.2 Šmyk za ohybu - zjednodušená metóda Pri použití zjednodušenej metódy musia ohýbané prvky spĺňať tieto podmienky: 1) Prvok musí mať konštantný prierez obdĺžnikový, tvaru I alebo T a pod. 2) Zaťaženie pôsobí smerom k strednici prvku, osamelé bremená nesmú pôsobiť od líca uloženia prvku vo vzdialenosti menšej než je výška prvku.

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

-5-

3) Najväčšia posúvajúca sila max abs(Qslt) od prevádzkovej hodnoty dlhodobo pôsobiaceho zaťaženia nesmie prestúpiť 80% posúvajúcej sily max abs(Qs) od celkového prevádzkového zaťaženia. 4) Pokiaľ sa prvok nachádza v silne agresívnom prostredí, musí byť chránený izoláciou . Poznámka: 1) Pri prvkoch vystavených mnohokrát opakovanému namáhaniu je treba posúdiť ešte aj šírku šikmých trhlín. 2) Ak nie sú splnené niektoré z týchto podmienok, potom treba použiť presnejšie metódy. Podmienky spoľahlivosti a) maxQd  Qbu

šmyková výstuž nie je potrebná (prvok bez šmykovej výstuže) navrhujeme konštruktívnu šmykovú výstuž

b) Qbu  maxQd  2.5Qbu c) 2.5Qbu  maxQd  Qu  max šmykovú výstuž je potrebné určiť výpočtom (dimenzovať) d) maxQd  Qu  max treba zväčšiť rozmery prierezu, resp. zvoliť vyššiu triedu betónu kde

Qbu

Qu  max

1 3

b w h q Rbtr ( posúvajúca sila prenášaná betónom )

b w hRbr

(3.1.2.2)

kde

(3.1.2.1)

Rbr  18MPa

 q - súčiniteľ šmykovej pevnosti : - pre trámy ..................................  q

1.0

hs  150mm .........  q

1.6

hs  300mm .........  q hs  300mm ........  q

1.5

- pre dosky 150mm 

Rbr

1.25

 b  ten Rbtd , pričom pri určovaní súčiniteľa  b  ten stanovíme: - hodnotu dielčieho súčiniteľa  bs s prihliadnutím k stupňu vystuženia pozdĺžnou

výstužou (pre vystužené prvky  bs 1.0 ) - hodnotu dielčieho súčiniteľa  bs 1.0 . Návrh šmykovej výstuže ( zjednodušená metóda ) a) konštruktívna šmyková výstuž - zvislé strmienky musia spĺňať podmienky : - vzdialenosť strmienkov ss  ss  lim, ss  lim min 0.75he  400mm - vzdialenosť vetiev strmienkov st  450mm, - priemer jedného strmienka dss : ss

, dst je priemer ťahovej výstuže,  sa ss  lim uvažuje - pre strmienky z ocele nižšej triedy ako je pozdĺžna výstuž  0.33 - pre strmienky z ocele rovnakej triedy ako je pozdĺžna výstuž  0.25 - stupeň vystuženia strmienkov dss   dst 

d ss

ss dst

Obr. 3.1.2.1

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

 ss

Ass

-6-

musí spĺňať podmienku  ss 

ss b w

  q 4



Rbtd Rssd

Ass - prierezová plocha všetkých vetiev strmienku ležiaceho v rovine kolmej na rovinu pôsobiacich ohybových momentov, ss - vzdialenosť medzi strmienkami, b w - šírka prierezu (stojiny), Rssd - výpočtová pevnosť v ťahu Rsd strmienkovej výstuže. b) postup pri návrhu strmienkov:

  q

Podľa vyššie uvedeného zvolíme ss , st : Vypočítame:  ss  min Assd



Rbtd Rssd

, ďalej

 ss  minss b w

Navrhneme priemer jedného strmienku dss tak, aby platilo Ass  Assd a zároveň boli splnené vyššie uvedené požiadavky na priemer strmienkov dss   dst 

ss ss  lim

alebo podľa

vyššie uvedených požiadavok zvolíme dss , st a stanovíme Ass , vypočítame  ss  min

  q 4



Rbtd Rssd

, ďalej ssd

Ass  ss  minb w

-navrhneme vzdialenosť strmienkov ss  min 0.75he  400mm ssd  , overíme dss   dst 

ss  lim Dimenzovanie šmykovej výstuže 1) Šmyková výstuž tvorená len strmienkami Zvolíme strmienky: - priemer jedného strmienku dss - vzdialenosť jednej vetvy strmienkov st Určíme: Ass - prierezovú plochu všetkých vetiev strmienkov,

ss1

ss2 he

Qd1

Q ss2

maxQ d Qbu Qss1

Qss2

po s s2

Qd2

po s s1

Qd1

Qd1 - posúvajúcu silu od extrémneho zaťaženia pôsobiacu vo vzdialenosti h od podpory (teoretickej), he  zb - účinnú výšku a rameno vnútorných síl v podporovom priereze vypočítame: b w Rbtr c 1.2  he 2 (3.1.2.3) Q d1  Q bu

maxQ d Qbu Qss1

Rssr  st Rssd - výpočtovú pevnosť v ťahu Rsd strmienkovej výstuže vynásobenú súčiniteľom podmienok pôsobenia strmienkovej výstuže v ťahu  st ,

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

s obmedzením zb  c  0.18

Rbd  q Rbtd

-7-

h , kde

Rbd  18MPa ss1d Qss1

Ass Rssr c

Ass Rssr 

navrhneme: ss1  min ss1d  0.75he  400mm ,

(3.1.2.4)

maxQd  Qbu c

(3.1.2.5)

ss1

A ss .Rssr

Q ss1

s s1 c

v strednej časti môžeme dávať strmienky vo zvolených vzdialenostiach ss2  ss1 (avšak ss2  ss  lim, kde ss  lim

min 0.75he  400mm ), overíme dss   dst 

ss2 ss  lim

, určíme

c ss2 Podľa priebehu posúvajúcich síl určíme dĺžky, na ktorých umiestnime strmienky vo vzdialenostiach ss1  ss2 , alebo zvolíme podľa priebehu posúvajúcich síl miesto, odkiaľ Qss2

Ass Rssr 

zmeníme vzdialenosť strmienkov ( v mieste posúvajúcej sily Qd2 ) : ss2d min ss2d  sslim , kde ss  lim ss2

overíme dss   dst 

ss  lim

, určíme Qss2

min 0.75he  400mm Ass Rssr 

Presnejšie môžeme postupovať tak, že určíme c2 zb  c  0.18 ss2d

Rbd  q Rbtd

Ass Rssr c Qd2  Qbu

1.2

Qd2  Qbu

ss2

b w Rbtr Qd2  Qbu

 he 2 s obmedzením

h , kde ( Rbd  18MPa )

, navrhneme ss2

overíme dss   dst 

ss2

min ss2  ss  lim , kde ss  lim

, určíme Qss2

Ass Rssr 

ss  lim ss2 2) Šmyková výstuž tvorená strmienkami a ohybmi Zvolíme strmienky - overíme - priemer strmienkov dss - vzdialenosť vetiev strmienkov st Určíme : Ass - prierezová plocha všetkých vetiev strmienkov Rssr

 st Rssd (strmienky)

Rsbr

 s Rssb (ohyby)

0,5.c h

b

maxQ d Qbu Qss Qsb

-vzdialenosť medzi strmienkami ss

min 0.75he  400mm

Qd1

navrhneme ss2

Ass Rssr c

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

-8-

Qd1 - posúvajúca sila od extrémneho zaťaženia vo vzdialenosti h od podpory vypočítame b w Rbtr c 1.2  he 2 (3.1.2.6) Q d1  Q bu s obmedzením zb  c  0.18

Rbd

 q Rbtd

Q ss

h , kde

Ass Rssr 

c ss

(3.1.2.7)

( Rbd  18MPa ) strmienky prenášajú : na ohyby zostáva : Qsb maxQd  Qbu  Qss Návrhová prierezová plocha všetkých Asbd ohybov je potom: pokiaľ  b 45o Asbd

(3.1.2.8)

Rsbr  c sin b  0.8he cos b 

(3.1.2.9)

Ub  2

(3.1.2.10) Rsbr  c  0.8he navrhneme ohyby Asb  Asbd , ohyby umiestnime do premetu ťažiska obrazca Ubi na strednici nosníka ( Ubi - plocha obrazca posúvajúcich síl prisúdená i-temu ohybu, plochy Ubi sú úmerné prierezovým plochám ohybu Asbi ,

Asb

 Asbi .

3.2 Zásady vyšetrovania mimostredného tlaku

as2

zs2

h zs

zs1

as1

Dostredný tlak je ojedinelým prípadom namáhania masívneho tlačeného prútu, kde Rbr vonkajšia normálová sila Nd pôsobí vo A s1 .R scr výslednici výpočtových síl na medzi A s1 porušenia v tlačenom betóne a v tlačenej M cu výstuži, stanovených za predpokladu A b .Rbr využitia celej prierezovej plochy betónu a N cu celkovej výstuže. S prihliadnutím na A s2 Ab A s2 .R sr nehomogenitu betónu a využitie prierezovej plochy betónu, počítame v prípade b dostredného tlaku iba s 80% výpočtovej Obr. 3.2.1 Dostredný tlak pevnosti betónu v tlaku.

as2

x u,lim

z b,lim

zs2

h zs

zs1

as1

3.2.1 Podľa spôsobu porušenia rozoznávame dva prípady mimostredného tlaku: 1. Mimostredný tlak s malou výstrednosťou (tlakové porušenie). V tomto prípade je celý prierez tlačený alebo je tlačená jeho časť a na medzi porušenia dochádza primárne k drveniu tlačeného betónu na strane, ktorá je bližšie k tlakovému centru. Rbr Výstuž nachádzajúca sa na odvrátenej A s1 .R scr strane od tlakového centra je v závislosti A s1 na veľkosti výstrednosti buď tlačená A bc,lim .Rbr M cu,lim alebo ťahaná, nikdy však nie je plne využitá (napätie v tejto výstuži A bc,lim Ncu,lim nedosahuje výpočtovú pevnosť). A s2 A s2 .Rsr Vzhľadom na nehomogenitu betónu nesmie výpočtová normálová sila na b medzi porušenia prekročiť hodnotu Obr. 3.2.1.1 Mimostredný tlak – malá výstrednosť stanovenú pre dostredný tlak.

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

-9-

as2

zs2

h zs

zs1

as1

2. Mimostredný tlak s veľkou výstrednosťou (ťahové porušenie s pôsobiacim tlačeným betónom). Časť prierezu je tlačená a časť ťahaná, teda na medzi porušenia dochádza sekundárne k drveniu tlačeného betónu na strane bližšej k tlakovému centru po predchádzajúcom plastickom preťažení výstuže ležiacej na odvrátenej strane od tlakového centra. Táto výstuž - iniciátor porušenia, je vždy plne Rbr využitá (napätie v tejto výstuži dosahuje vždy A s1 .R scr výpočtovú pevnosť betonárskej výstuže v A bc1.Rbr A s1 ťahu). Spôsob porušenia je rovnaký ako pri A bc Mu namáhaní ohybom, preto platia aj rovnaké Nu obmedzujúce podmienky ( xu   limhe ), A s2 vrátane pásiem započítateľnosti výstuže. A s2 .Rsr b

Obr. 3.2.1.2 Mimostredný tlak – veľká výstrednosť

A s1 .R scr zs1

A s1

h zs zs2

Nu A s2

as2

Dostredný ťah je zvláštny prípad namáhania, kedy je celý prierez ťahaný, na medzi porušenia betón v ťahu nepôsobí a vonkajšiu ťahovú silu prenáša celková výstuž, ktorá je plne využitá (napätie v tejto výstuži dosahuje výpočtovú pevnosť výstuže v ťahu. Vonkajšia sila Nd musí teda pôsobiť vo výslednici síl na medzi porušenia v celej ťahovej výstuži.

as1

3.2 Medza porušenia dostredným a mimostredným ťahom

A s2 .Rsr

Obr. 3.3.1 Dostredný ťah Podľa spôsobu porušenia rozoznávame dva prípady mimostredného ťahu: 1. Mimostredný ťah s malou výstrednosťou (ťahové porušenie s vylúčeným betónom). V takomto prípade je celý prierez ťahaný, vonkajšia sila Nd pôsobí medzi vrstvami výstuže, nachádzajúcimi sa na protiľahlých okrajoch prierezu. Na medzi porušenia betón v ťahu nepôsobí, vonkajšiu ťahovú silu prenáša iba výstuž, pričom plne je využitá len jedna z vrstiev výstuže (napätie v tejto výstuži dosahuje výpočtovú pevnosť výstuže v ťahu). 2. Mimostredný ťah s veľkou výstrednosťou (ťahové porušenie s pôsobiacim tlačeným betónom). Časť prierezu je ťahaná a časť tlačená, na medzi porušenia je výstuž ležiaca na strane bližšej k ťahovému centru plne využitá (napätie v tejto výstuži dosahuje výpočtovú pevnosť výstuže v ťahu). Na vzdialenejšej strane od ťahového centra pôsobí tlačený betón a prípadne tlačená výstuž.

3.4 Medzný stav porušenia - prostý a slabo vystužený betón Betónové prvky a ich prierezy nespĺňajú podmienky minimálneho stupňa vystuženia. Tieto prvky vyšetrujeme za rovnakých predpokladov ako prvky z prostého betónu, vplyv slabého vystuženia sa uplatní len pri stanovení dielčieho súčiniteľa podmienok pôsobenia betónu bs, vyjadrujúceho vplyv stupňa vystuženia. Prostý a slabo vystužený betón používame predovšetkým pre tlačené prvky.

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

- 10 -

3.4.1 Medza porušenia ohybom Na medzi porušenia dochádza k porušeniu ťahaného betónu. Výpočtový moment na medzi porušenia ohybom sa stanoví za týchto predpokladov: - napätie v priereze je rozdelené podľa priamky (výpočet napätia podľa teórie pružnosti) - napätie v krajnom ťahanom vlákne dosahuje hodnotu Rbtr. Polohu neutrálnej osi xu stanovíme ako ťažiskovú os prierezu, t.j. z podmienky Sbc=Sbt, kde Sbc (Sbt) je statický moment plochy tlačeného betónu Abc ( ťahaného betónu Abt) vztiahnutý k neutrálnej osi. Výpočtový moment na medzi porušenia ohybom Mu=u.Wbt.Rbtr, kde u je súčiniteľ geometrie, Wbt je prierezový modul vypočítaný ku krajným ťahaným vláknam. Ib Wbt h  xu Ib moment zotrvačnosti betónového prierezu vypočítaný k neutrálnej osi. Podmienka spoľahlivosti Md < Mu , kde Md je ohybový moment od extrémneho zaťaženia. Medza porušenia dostredným a mimostredným tlakom le Vplyv štíhlosti prútu  - výpočet zväčšenej výstrednosti ed ib

a) ak je   14  

b) ak je 14    80 , stanoví sa ako 

Ncr Ncr  Nd

, pričom položíme As1

As2

resp. As = 0 c) ak je  > 80, treba zväčšiť rozmery prierezu. Dostredný tlak je zvláštnym prípadom namáhania masívneho tlačeného prútu, kde vonkajšia normálová sila Nd pôsobí vo výslednici napätia na medzi porušenia tlačeného betónu stanovenej pri uvažovanom využití celej prierezovej plochy betónu. S prihliadnutím k nehomogenite betónu počítame v prípade dostredného tlaku len s 80% výpočtovou pevnosťou betónu v tlaku. Pri mimostrednom tlaku rozoznávame podľa spôsobu porušenia dva prípady: a) Mimostredný tlak s malou výstrednosťou, resp. mimostredný tlak s veľkou výstrednosťou pri prípustnosti trhlín (tlakové porušenie): pri veľmi malých výstrednostiach je celý prierez tlačený, so zväčšujúcou sa výstrednosťou je časť prierezu tlačená, časť ťahaná, ale napätie v ťahu nedosahuje pevnosť betónu v ťahu (trhlina nevzniká). Pri prvkoch, kde môžeme pripustiť vznik trhliny (mimostredný tlak s veľkou výstrednosťou) musí tlaková sila bezpečne pôsobiť v priereze ed < 0,9.agc, potom môžeme využiť pevnosť betónu v tlaku. Pri tlakovom porušení dochádza vždy k drveniu tlačeného betónu na strane bližšej k tlakovému ťažisku, vzhľadom k nehomogenite betónu výpočtová normálová sila na medzi porušeniu nesmie prekročiť hodnotu stanovenú pre dostredný tlak. b) Mimostredný tlak s veľkou výstrednosťou (ťahové porušenie s pôsobiacim tlačeným betónom): časť prierezu je tlačená, časť ťahaná, na medzi porušenia dochádza k porušeniu ťahaného betónu. Výpočtová výslednica síl na medzi porušenia prierezu sa stanoví za týchto predpokladov: Tlakové porušenie - betón v ťahu nepôsobí - v tlačenej časti prierezu je napätie rozdelené rovnomerne a dosahuje hodnotu Rbr, - výpočtová výslednica síl nesmie presiahnuť hodnotu Neu = u.0,8.Ab.Rbr , kde Ab je plocha celého prierezu, u súčiniteľ geometrie.

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

- 11 -

Ťahové porušenie s pôsobiacim tlačeným betónom - napätie v priereze je rozdelené rovnomerne podľa priamky (výpočet napätia podľa teórie pružnosti). - v krajnom ťahanom vlákne je napätie rovné hodnote Rbtr - v krajnom tlačenom vlákne napätie nepresiahne Rbr .

3.5 Medzný stav pretvorenia Podľa medzného stavu pretvorenia vyšetrujeme prvky za týchto predpokladov: 1) na prvky pôsobia prevádzkové hodnoty zaťaženia stáleho, náhodného dlhodobého a krátkodobého, resp. ich základné kombinácie. 2) k náhodnému zaťaženiu mimoriadnemu sa väčšinou neprihliada (s výnimkou prípadov, ktoré si vyžadujú iné predpisy) Pretvorenie sa posudzuje podľa priehybu (len vo zvláštnych prípadoch sa posudzujú aj iné pretvárne účinky zaťaženia - sklon ohybovej čiary, pootočenie a pod.). Podmienky spoľahlivosti | f | < flim (3.5.1) kde | f | je najväčšia absolútna hodnota vyšetrovaného pretvorenia od prevádzkového zaťaženia a flim medzné pretvorenie (medzný priehyb). Zvyčajne sa vyšetruje niekoľko podmienok pretvorenia, napríklad f1 < f1,lim, f2 < f2,lim, f3 < f3,lim , pričom na ľavej strane sú priehyby (resp. prírastky priehybov) stanovené pre rôzne zaťažovacie stavy, na pravej strane sú medzné priehyby, ktoré sa pri uvažovanom zaťažovacom stave nesmú prekročiť. Výpočet počiatočných tuhostí 1. Ohýbané prvky (namáhané ohybovým momentom Ms, prípadne posúvajúcou silou Qs od prevádzkového zaťaženia ) a) Najprv určíme, či sa očakáva vznik trhlín, stanovením momentu na medzi vzniku trhlín: Ii Mr 1.75Rbtn  (3.5.2) h  agi Rbtn - je normová pevnosť betónu Ii (Ai) - moment zotrvačnosti (prierezová plocha) ideálneho prierezu (celá betónová plocha a n - násobná plocha výstuže) Es(Eb) - modul pružnosti výstuže (betónu) n = Es / Eb h - výška prierezu agi - vzdialenosť ťažiska ideálneho prierezu od najviac tlačeného okraja prierezu agi = SiO / Ai SiO - statický moment ideálneho prierezu vzhľadom na horný tlačený okraj Ak je : Ms  Mr vznik trhlín sa neočakáva Ms  Mr vznik trhlín sa očakáva. b) Určíme ohybovú tuhosť - prvok bez trhlín má ohybovú tuhosť: Br = 0,85 . Eb . Ii - pre prvok s očakávanými trhlinami najprv určíme tuhosť prierezu bez trhlín: Bra = 0,85 . Eb . Ii

(3.5.3) (3.5.4)

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

- 12 -

ďalej určíme tuhosť prierezu s úplným vylúčením ťahaného betónu, pričom výšku tlačenej oblasti xr tohoto prierezu stanovíme z podmienky rovnováhy síl v priereze, ktorú po úprave môžeme napísať v tvare: Abc xr  2 nAsc  xr  asc   2nAst  he  xr

(3.5.5)

ďalej určíme :

bc=

plochu tlačenej časti prierezu xr  asc Ac Abcr  2 Asc  xr

asc h he

(3.5.6) rameno vnútorných síl SbcO  2nAsc asc  zr

he 

r > 0

Asc sc b cr bc

zr Ast st

 st = Est

Obr. 3.5.1

 r 1  r     Brb   Bra

 Mr   5  1 4  Ms  1

(3.5.9)

he zr

Mu 5.Mr

U B S

(3.5.10)

a

tg  a =Bra tg b =Brb tg  =Br

b



resp. pre Mr  Ms  5 Mr : 4 Brb

(3.5.8)

 1  2   E A   s st Eb Ac 

Mr Bra

 sc= Esc

Ast

ast

xr  asc

kde

r

Abcr

(3.5.7) kde SbcO je statický moment plochy Abcr, vztiahnutý k hornému tlačenému okraju, Brb ohybová tuhosť prierezu s plne vylúčeným ťahaným betónom bude: Výsledná ohybová tuhosť: M

Asc

Ms Br

5.Mr Brb

M B

Obr. 3.5.2 (3.5.11)

pre Ms  5 Mr : Br = Brb

(3.5.12) Mr  Brb   1   Bra Ms  Bra  Ohybová tuhosť Br sa teda stanoví lineárnou interpoláciou medzi ohybovou tuhosťou Bra (tuhosť prierezu bez trhlín platná pre ohybové momenty M < Mr) a ohybovou tuhosťou Brb (tuhosť prierezu s plným vylúčením betónu, ktorá sa predpokladá pri veľkosti ohybového momentu) a to v závislosti na veľkosti ohybového momentu Ms. Pri prvkoch s nižším stupňom vystuženia sú na medzi únosnosti väčšie vzdialenosti medzi trhlinami a teda nemôžeme úplne vylúčiť ťahaný betón po dĺžke prútu (nemôžu sa rozvinúť husté trhliny). c) Určenie šmykovej tuhosti ( ak určujeme pretvorenie od účinku skosenia) 5

Brb

 5

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD. 4

b h Ii S obmedzením Bq 1



- 13 -

Eb b h  Bq 

(3.5.13) 4

Eb b h

(3.5.14) kde Br je ohybová tuhosť prvku, b je šírka prierezu v úrovni ťažiska ideálneho prierezu. 18

3.6 Výpočet pretvorení M Br r Pri prvkoch so stálym alebo len málo sa meniacim momentom zotrvačnosti môžeme pri výpočte ohybového pretvorenia predpokladať: a) konštantnú tuhosť po celej dĺžke prvku (pole prostého alebo spojitého nosníka, rámového prievlaku), pričom túto tuhosť určíme v mieste, kde má ohybový moment najväčšiu absolútnu hodnotu - pretvorenia, vypočítané za takéhoto predpokladu sú na strane väčšej spoľahlivosti b) konštantnú tuhosť po celej dĺžke úsekov, v ktorých má ohybový moment rovnaké znamienko, pričom v každom úseku určíme ohybovú tuhosť v mieste, kde má ohybový moment najväčšiu absolútnu hodnotu c) konštantnú tuhosť v úsekoch zvoleného delenia, pričom v každom úseku určíme ohybovú tuhosť v mieste, kde má ohybový moment najväčšiu absolútnu hodnotu a pretvorenie sa potom vyráta numericky. 2) Šmykové pretvorenia (vplyv skosenia) Vplyv skosenia na pretvorenie je dovolené zanedbať, ak je splnená aspoň jedna z nasledovných podmienok: - ohybová štíhlosť  = l / h >10 - napätie v hlavnom ťahu, určené za predpokladu pružného pôsobenia konštrukcie, v mieste najväčšieho šmykového napätia, neprekročí hodnotu 1,5.Rbtn. Pri výpočte pretvorenia od skosenia je dovolené pri železobetónových prvkoch s konštantným prierezom považovať šmykovú tuhosť Bq za konštantnú po dĺžke prvku (pole, rámový prievlak). Priehybová čiara z (x) nosníka s konštantným prierezom od účinku skosenia bude mať potom M( x) tvar: z( x) Bq Priehybová čiara musí mať nulové priehyby v podporách (momentové obrazce sú pootočené). 3) Osové pretvorenia Stanovíme ich podľa zásad stavebnej mechaniky pri uvažovaní osovej tuhosti Bax. 1/ Ohybové pretvorenia, krivosť ohybovej čiary

3.6.1 Pretvorenia od zmrašťovania betónu sh Pretvorenia od zmrašťovania môžeme zanedbať pri prvkoch s rozhodujúcou dĺžkou lfmax rovnou 6m. Krivosť ohybovej čiary od  sh 1 zmrašťovania sa povoľuje určiť zo vzťahu: (3.6.1.1) rsh he V prípade prvkov so stálym alebo len málo sa meniacim momentom zotrvačnosti betónového prierezu Imax / Imin = 1,5 môžeme pri výpočte pretvorenia od zmrašťovania očakávať:

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

- 14 -

a) konštantnú krivosť po celej dĺžke prvku (pole prostého nosníka, konzoly), rovnajúcu sa najväčšej hodnote krivosti v uvažovanom prvku, ktorá sa spravidla vyskytuje v mieste, kde je najväčší rozdiel medzi prierezovými plochami pri oboch povrchoch, prostý nosník : konzola: 2  sh l  sh l2 f sh  f sh  (3.6.1.2) (3.6.1.3) he 8 he 2 b) konštantnú krivosť po dĺžke úsekov, v ktorých má ohybový moment rovnaké znamienko, rovnajúce sa najväčšej hodnote krivosti v uvažovanom úseku. Priehyb fsh od zmrašťovania sa určuje dvojnásobným integrovaním krivosti 1 / rsh po dĺžke prvku. Pre konštrukcie staticky neurčité najprv stanovíme krivosti od zmrašťovania so zohľadnením usporiadania výstuže a jej namáhania od dlhodobo pôsobiaceho zaťaženia. Na výpočet priehybov od zmrašťovania v poli spojitého nosníka, resp. rámu, je dovolené stanoviť priehyb od zmrašťovania na zjednodušenom výpočtovom modeli vyšetrovaného poľa. Pozn. Všeobecne pri určovaní krivosti z osového pretvorenia od zmrašťovania vychádzame z týchto predpokladov: 1) z betónového prierezu pôsobí časť s výškou hsh, ktorá sa určí nasledovne: - v úsekoch, v ktorých neočakávame vznik trhlín hsh = h, kde h je celá výška prierezu - v úsekoch, v ktorých očakávame vznik trhlín zavedieme do výpočtu menšiu z hodnôt hsh = 2.xr , hsh = 0,6.he1, kde xr je výška tlačenej oblasti prierezu za predpokladu plne vylúčeného pôsobenia betónu v ťahu he1 je vzdialenosť ťažiska výstuže umiestnenej najbližšie k ťahanému okraju od tlačeného okraja 2) pomerné pretvorenia jednotlivých vlákien prierezu sú po výške prierezu rozdelené podľa priamky 3) modul pružnosti betónu sa zavedie hodnotou Ebt = Ebo / ( 1 + 0,55.) kde Ebo je základný modul pružnosti betónu,  je súčiniteľ dotvarovania Pri výpočte účinkov statického zaťaženia Eb =bt.e.Ebo, bt - súčiniteľ podmienok pôsobenia betónu vyjadrujúci vplyv zvýšenej teploty betónu (ak je betón vystavený teplote to vyššej než 50o C bez prerušenie po dobu dlhšiu ako 100 hodin, potom bt=1,2-0,004.tc, v ostatných prípadoch bt=1) e - súčiniteľ s uvažovanou hodnotou 0.9 pri betóne so zvýšeným obsahom zámesovej vody (viac ako 2101.vody/m3 hutného betónu ), pri urýchľovaní tvrdnutia betónu tepelným procesom za atm. tlaku a v prípadoch keď sa kontroluje pevnosť betónu po 90-tich dňoch, v ostatných prípadoch 1,0 4) algebraický rozdiel pretvorenia výstuže a betónu v úrovni tejto výstuže sa rovná hodnote pomerného diaľkového pretvorenia betónu od zmrašťovania  bc pre uvažovaný časový interval <t1, t2> hodnotu bs 5) v priereze, na ktorý nepôsobí nijaký silový účinok zaťaženia, je zachovaná rovnováha síl Predpokladajme, že zmrašťovanie oboch povrchov nie je rovnaké, vzniká rozdiel bs (diferenciálne zmrašťovanie). Betónová časť prierezu s výškou hsh je namáhaná silou Nbsh Rovnako veľkou silou, ale s opačným znamienkom, je namáhaná výstuž umiestnená v priereze, teda Ns,sh = -Nb,sh Aby sme mohli určiť Ns,sh potrebujeme stanoviť: - pre pôsobiaci betónový prierez s výškou hsh: Ab,sh, ab,sh, Ib,sh - pre prierez pozostávajúci iba z výstuže: As,sh = As1 + As2 As1 as1  As2 he as  sh (3.6.1.4) As  sh

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

As1  as  sh  as1 2  As2  he  as  sh  2

Is  sh c1

- 15 -

a s  a s.sh 1

I s.sh

he  as  sh

d1 d2

Is  sh 1

As  sh 1

As  sh

 





E s  a s  a b.sh 1

Es Ebt Ab  sh Es Ebt Ab  sh

 bs   bs 

 

as  sh  as1  as  sh 

Es

 sh1  C 2   sh2  C 1

Es Is  sh



Es ab  sh  as1  ab  sh  Ebt Ib  sh

Es ab  sh  he  ab  sh  Ebt Ib  sh

(3.6.1.8) (3.6.1.9)

(3.6.1.11)

 sh2  d 1   sh1  d 2

rsh

Is  sh



(3.6.1.10)

h he

c1 d1  c1 d2

Is  sh

as  sh  he  as  sh 

as1

 sh1 c2   sh2 c1

Ns  sh

(3.6.1.7)

Ebt Ib  sh

 sh2

(3.6.1.6)

Es  he  ab  sh 

 bs   bs 

 sh



E bt  I b.sh

 sh1

Ns  sh

(3.6.1.5)

 esh  as  sh 

(3.6.1.12) (3.6.1.13) (3.6.1.14)

Ns  sh  1 esh  as  sh     agc  as  sh   (3.6.1.15) Es  As  sh Is  sh  g,sh je osové pretvorenie (skrátenie) Prostredie: 1) bežné - s priemernou ročnou relatívnou vlhkosťou vzduchu v rozmedzí 30 až 80 % (napr. prostredie v obytných budovách, výrobných halách, voľné priestranstvo - pokiaľ nejde o prostredie vlké alebo suché), sh = 0.38, r1,rc = 0.8, bsf = -0.33, bf = 3.8 2) vlhké - s priemernou ročnou relatívnou vlhkosťou vzduchu väčšou ako 80 % (napr. prostredie vo vývarovniach, skladoch zeleniny, stajniach, práčovniach ), sh = 0.14, r1,rc = 0.5, bsf = -0.12, bf = 2.2 3) suché - s priemernou ročnou relatívnou vlhkosťou vzduchu menšou ako 30 % (napr. prostredie v kotolniach, výrobných halách so suchou horúcou prevádzkou), sh = 0.58, r1,rc = 1.2, bsf = -0.50, bf = 5.5 4) mokré - prostredie, kde voda trvalo alebo väčšinu doby stúpa, steká alebo obklopuje betónovú konštrukciu (voda, zavodnená zemina a pod.), sh = -0,08, r1,rc = 0.4, bsf = 0.07, bf = 1.6 Presnejšie môžeme hodnoty súčiniteľov určiť zo vzťahov (ak poznáme vstupné údaje):  bs  Es   sh   4  7   st  3 sc   (3.6.1.16) 4 Eb   pri vzniku trhlín

 g  sh

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

- 16 -

 st   sc  Eb Ak trhliny nevzniknú  sh

 rl  rc



7  sb 

    bf  t 1  e

 bf  t  1  e

0.07  0.005

  n  t2t1 c

 0.015  t1 0.15  0.8e

(3.6.1.17) (3.6.1.18) (3.6.1.19) (3.6.1.20)

3.7 Medza porušenia miestnym namáhaním Pri jednoosovom tlakovom namáhaní betónového prvku dochádza k pozdĺžnemu stlačeniu a priečnemu roztiahnutiu. Keď ovinieme betónový prvok kruhového prierezu špirálou, zabránime čiastočne jeho priečnemu rozťahovaniu a tým sa značne zvýši jeho únosnosť, v špirále, ktorá je rozťahovaná, vzniká ťahové napätie, v betóne, ktorému špirála bráni voľné sa rozťahovať, vzniká v smere priečnom tlakové napätie. Prvok namáhaný sústredným tlakom sa chová podobne ako prvok ovinutý. Funkciu špirály vykonáva v tom to prípade okolitý betón mimo zaťažovanú plochu. Oproti skutočnému stavu napätia, ktorý vzniká v konštrukcii pri sústrednom tlaku, je toto vysvetlenie značne zjednodušené. Naviac je treba zvážiť dôsledky rozdielneho zvislého stlačenia betónu pod zaťažením a mimo zaťažovaciu plochu, čo vedie k vzniku hlavných šikmých ťahových napätí v blízkosti zaťažovacej plochy. Napriek zjednodušenému vysvetleniu možno vysloviť dva poznatky: a) vzhľadom k priečnemu tlaku, ktorý vyvodzuje okolie na betón pod sústredeným bremenom, zvýši sa únosnosť betónu v smere zaťaženia, b) okolo oblasti sústredeného tlaku vznikajú priečne ťahy. Presnejšie vystihnutie napätosti v oblasti sústredného tlaku umožňuje výpočet. Jedná sa o priestorovú úlohu, ktorá by sa dala zvládnuť napr. metódou konečných prvkov. Pre inžiniera v praxi je tento postup zatiaľ náročný a zdĺhavý. Norma STN 73 1201 umožňuje preto nahradiť presnejší výpočet zjednodušeným postupom, odvodeným z presnejších výpočtov, overených, príp. korigovaných experimentami. Zavádza sa fiktívny pojem roznášacej plochy (Ad), pomocou ktorej sa dá vyjadriť stupeň roznášania zaťaženia. Vzťahy pre určenie veľkosti roznášacej plochy boli zvolené tak, aby bolo možné nájsť závislosť medzi roznášacou plochou a medzou porušenia otlačením, príp. ťahovým napätím pod sústredeným bremenom. Medza porušenia sústredeným tlakom, Pokiaľ napätie pod sústredenou tlakovou silou neprekročí hodnotu b

Ncd Ac

  b Rbd

(3.6.1.21)

Ncd sústredená tlaková sila, Ac veľkosť styčnej plochy b súčiniteľ podmienok pôsobenia, pričom uvažujeme bg = 1.0, bs = 1.0 V opačnom prípade ( keď b > b. Rbd) dimenzujeme roznášaciu oblasť podľa medze porušenia : - otlačením betónu v styčnej škáre, - roztrhnutím roznášacej oblasti

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

- 17 -

Keď pôsobí sústredená sila na betónový prvok excentricky s výstrednosťou e > 0,1.b , môže dôjsť k roztrhnutiu líca prvku. Z toho dôvodu treba do líca navrhnúť doplnkovú výstuž. Oblasť, v ktorej dochádza k podstatnejšiemu napätiu od účinku sústredenej tlakovej sily, nazývame roznášacia oblasť. Pre spomenutý približný výpočet si túto oblasť zjednodušujeme nasledovne: Ac styčná plocha , Ad roznášacia plocha Styčná plocha je plocha, na ktorú bezprostredne pôsobí sústredené zaťaženie. Uvažujeme len takú časť skutočnej plochy, ktorá má ťažisko zhodné s pôsobiskom tlakovej sily Ncd. Pri zložitejšom tvare nahradzujeme styčnú plochu obdĺžnikom alebo kruhom o rovnakej ploche a rovnakom ťažisku tak, aby náhradná a skutočná plocha mali čo najviac plochy spoločnej. Pritom roznášacia plocha má ťažisko na normále k povrchu prvku, prechádzajúcej cez ťažisko styčnej plochy.

3.8 Medzné porušenie spôsobené krútením Krútiaci moment sa zvyčajne vyskytuje v interakcii s posúvajúcou silou. Oba silové účinky vyvolávajú napätia a preto sa v podmienkach spoľahlivosti, prevedených do tvaru relatívnych síl a momentov, používa súčet týchto dvoch faktorov. Posúdenie a návrh výstuže prvkov s konštantným prierezom Poznáme: Td, Qd, Nd = 0, tvar a rozmery prierezu, Rbtr, Rbr , pri dimenzovaní výstuže na krútenie: Rsr - pre pozdĺžnu výstuž, Rssr - pre strmienky Určíme: 1

Qbu

b w h q Rbtr 1

Tbu

(3.8.1)

Wt Rbtr

(3.8.2) kde Wt - prierezový modul v krútení stanovený pre účinný prierez v krútení. Pri zložitých prierezoch sa na určenie Wt musí prierez rozdeliť na dielčie časti a to tak, že sa oddelí jeho základná, t.j. najmasívnejšia časť, v ktorej sa nachádza funkčné jadro prierezu účinného v krútení, a k nej sa pridajú ostatné časti účinného prierezu. Hodnota Wt sa určí zo vzťahu Itk Wt (3.8.3)  Itk    max W tk   kde Wt (Itk) je modul prierezu (moment zotrvačnosti) v krútení dielčej časti prierezu, (Itk / Wtk) max je najväčšia hodnota pomeru Itk / Wtk stanovená pre jednotlivé dielčie časti prierezu (obvykle hodnota príslušná najmasívnejšej časti prierezu). Pri prierezoch s prírubami sa hodnota Wt uvažuje rovná najviac 1,5.Wtf kde Wtf je prierezový modul v krútení základní, čiže najmasívnejšej časti účinného prierezu v krútení. Prierez nie je potrebné overovať na krútenie v prípade, že platí Qd Q bu



Td T bu

1

(3.8.4)

V ostatných prípadoch musíme overiť účinok krútenia: a) Najprv overíme rozmery prierezu - ak platí, že Qd 1 3

 b q1 h  R br



Td 1 3

 W t R bt

1

(3.8.5)

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

- 18 -

kde bq1 je najmenšia šírka prierezu v pásme +- 0,35 h nameranom od stredu výšky prierezu h, potom rozmery vyhovujú. V opačnom prípade je potrebné rozmery zväčšiť alebo zvýšiť triedu betónu. b) Ďalej určíme hodnoty Wbf - prierezového modulu v krútení základní, t.j. najmasívnejšej časti prierezu bf., prípadne df. Ak sú súčasne splnené podmienky Td  Tbu 0.5

T tq

Td  Ttq

Wt W tf

(3.8.6)

 Q d b f

(3.8.7)

vyjadrí sa vplyv krútenia zvýšenou hodnotou posúvajúcej sily Td   Q td Q d   1  1.5  (3.8.8) T tq   na ktorú nadimenzujeme uzavreté strmienky obopínajúce prierez , pričom nie je možné počítať s vetvami strmienkov, ktoré sú vo vzdialenosti väčšej ako 0,25.bf od povrchu. Priečna a pozdĺžna musí spĺňať súčasne podmienky uvedené v bode d). c) Ak nie sú splnené obidve vyššie uvedené podmienky, je potrebné dimenzovať výstuž na krútenie. Zvlášť určíme výstuž na šmyk a zvlášť na krútenie. Na návrh výstuže na krútenie stanovíme najprv funkčné jadro prierezu účinného v krútení, teda najmasívnejšej časti prierezu (vrátane vnútorných dutín, avšak bez prírub) ohraničenej spojnicou osí pozdĺžnych prútov obopnutých uzatvorenými strmienkami dimenzovanými na krútenie. Určíme prierezovú plochu Abt a obvod ut funkčného jadra prierezu. Výstuž na krútenie navrhneme tak, aby približne platilo Asl Rsr

Asst Rsar

sst

2 Abt

(3.8.9)

teda návrhovú prierezovú plochu As1 všetkých pozdĺžnych vložiek zachytávajúcich krútenie rovnomerne rozložených po obvode funkčného jadra prierezu určíme zo vzťahu a navrhneme prídavné vložky s plochou As1 > As1d. Pre priečnu výstuž (uzatvorené strmienky na krútenie s prierezovou plochou jednej vetvy Asst vo vzdialenosti sst)  Td  2  Td Asst ut 1   (3.8.10)    sst  2Abt  Asl Rsr Rsar 2Abt Rssr  2 K hodnote Asst / sst pripočítame hodnotu Ass1 / ss stanovenú pre medzu porušenia šmykom a z výslednej hodnoty pri známom priemere dss a ploche jednej vetvy strmienku Ass1 určíme novú vzdialenosť strmienkov ss zachytávajúcich spoločne krútenie aj šmyk. Všetky strmienky navrhneme samozrejme uzatvorené (na krútenie). Navrhnutá výstuž na krútenie musí zároveň spĺňať podmienky uvedené v bode d). Posúdenie výstuže na krútenie Výpočtový moment na medzi porušenia je: Asl Rsr Asst Rssr Tu 2Abt   (3.8.11) ut sst d df

pričom sa započíta iba výstuž, ktorá spĺňa podmienku

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

0.5



Asst Rssr ut   2.0 Asl Rsr sst

- 19 b

(3.8.12)

Podmienka spoľahlivosti (3.8.13) Td  Tu d) Navrhnutá výstuž na krútenie musí spĺňať nasledovné požiadavky

h hf bf

1) Funkčné jadro prierezu musí obopínať uzatvorené strmienky rozmiestnené po celej dĺžke vyšetrovanej krútenej časti vo vzdialenostiach

ss  0.5df

ss  0.5hf

(3.8.14) s obmedzením ss < 300 mm pričom prierezová plocha jednej vetvy strmienku musí byť Asst > 0,2.st,min . Abq, kde Abq = bf .ss popri. Abq = df . ss 2) Po obvode funkčného jadra účinného prierezu musí byť rovnomerne rozmiestnená pozdĺžna výstuž tak, aby v každej hrane prvku bola jedna vložka, pričom vzdialenosť vložiek nesmie byť väčšia ako 300 mm a prierezová plocha tejto pozdĺžnej výstuže na jednotku dĺžky obvodu funkčného jadra prierezu musí byť: (3.8.15) asf 0.2 st mi bf alebo (3.8.16) asf 0.2 st  mindf ss

Do výstuže overenej podľa bodov 1) a 2) možno započítať uzatvorené strmienky obopínajúce funkčné jadro prierezu, ktoré sú dimenzované na prenášanie posúvajúcej sily a všetky pozdĺžne vložky rovnomerne rozmiestnené po obvode funkčného jadra prierezu, čiže aj vložky dimenzované na účinky ohybových momentov normálových síl.

3.9 Medzný stav obmedzenia napätia Medzný stav obmedzenia napätia je jedným z troch medzných stavov použiteľnosti. Obmedzenie napätia z hľadiska podmienok použiteľnosti sa predpisuje: a) pre tlakové napätia v betóne, ich nadmerné hodnoty môžu za prevádzkového stavu vyvolať: - rozvoj mikrotrhlín v betóne - väčšie dotvarovanie, než sa predpokladalo, b) pre ťahové napätia vo výstuži, ich vysoké hodnoty by viedli k nepružnému pretvoreniu výstuže a vzniku širokých, trvale otvorených trhlín v betóne. Obmedzenie napätia v betóne môže mať pôvod i v iných požiadavkách na funkciu konštrukcií. Zvýšené nároky na trvanlivosť alebo vodotesnosť konštrukcie môžeme formulovať napríklad požiadavkou, aby pre určitú kombináciu zaťaženia zostal celý prierez tlačený. Pozri prílohu C. Predpoklady výpočtu napätia Výpočet napätia pre medzný stav obmedzenia napätia sa stanoví pre reprezentatívne hodnoty zaťaženia, dané pri výpočte podľa medzných stavov použiteľnosti: a) pri stálych zaťaženiach charakteristickými hodnotami Gk b) pri náhodných zaťaženiach - kombinačnou hodnotou  o Q k - častou hodnotou  1 Q k

Doc. Ing. Sabah. Shawkat, PhD.

- 20 -

- kvazistálou hodnotou  2 Q k Pri výpočte podľa medzných stavov použiteľnosti sa môžu uplatniť tieto tri kombinácie zaťaženia: - výnimočná kombinácia  Gk  j  P  Q k  1   0  1 Q k  1 - častá kombinácia  Gk  j  P   1  1 Q k  1   0  1 Q k  1 - kvazistála kombinácia Gk  j  P   2  1 Q k  1 , kde Gk  j je charakteristická hodnota stáleho zaťaženia Q k  1 charakteristická hodnota zostatkových náhodných zaťažení, P predpínacia sila Kvazistála kombinácia zaťaženia predstavuje súčet stálych zaťažení a trvalých zložiek krátkodobých zaťažení.

3.10 Medzný stav šírky trhlín Pri namáhaní železobetónových prvkov nastáva pri určitom stupni zaťaženia stabilizácia hustoty trhlín. Ak sa naďalej zvyšuje zaťaženie, medzi trhlinami nové trhliny už nevznikajú, ale nastáva prudší rast šírok trhlín. Tento stav rozvoja trhlín je z hľadiska vzdialenosti trhlín rozhodujúci. Prenos napätia z výstuže do betónového prierezu priebeha prostredníctvom súdržnosti betónu s výstužou. Podľa medzného stavu šírky trhlín sa vyšetrujú prvky za týchto predpokladov: a) na prvky pôsobia prevádzkové hodnoty zaťažení (stálych, náhodných, dlhodobých, krátkodobých alebo ich základné kombinácie) b) pevnosti materiálov sa uvažujú normovými hodnotami. Všeobecná podmienka spoľahlivosti pre železobetónové prvky: 1) pre šírku trhlín kolmých k ose prvku w3a  w3a  lim

w3b  w3b  lim

wq3a  w3a  lim

(3.10.1)

2) pre šírku trhlín šikmých k ose prvku wq3b  w3b  lim

(3.10.2) kde w3a ( wq3a ) je trvalá šírka trhliny kolmá (šikmá) k ose prvku vyvolaná dlhodobo pôsobiacim zaťažením, w3b ( wq3b ) je prechodná šírka trhliny kolmá (šikmá) k ose prvku vyvolaná celkovým uvažovaným zaťažením, w3a  lim ( w3b  lim ) je medzná šírka trvalej (prechodnej) trhliny. Hodnoty wlim sa vzťahujú k povrchu vyšetrovaného prvku vystavenému uvažovanému prostrediu 3.10.1 Šírku trhliny kolmej k osi prvku nie je potrebné vypočítať 1) pre prútové tlačené prvky s výstrednosťou, pri prevádzkovom zaťažení menšom ako 1/6 rozmerov prvku v rovine pôsobiaceho ohybového momentu, 2) pre prvky, ktoré vyhovujú pri výpočte podľa medzného stavu vzniku trhlín pri pôsobení prevádzkových hodnôt zaťažení stálych, náhodných dlhodobých aj krátkodobých, resp. ich základných kombinácii, to znamená, ak je splnená podmienka: - pri ohýbaných prvkoch: Ms  1.75  Rbtn 

(3.10.1.1)

h  agi

- pri mimostredne namáhaných prvkoch: Ns   bg  Rbtn 

Ai 1

ef rt

 bg

10.5  ef  h 6  ef  h

kde Rbtn je normová pevnosť v ťahu,  bg gradient pretvorenia prierezu, výška prierezu, h agi vzdialenosť ťažiska prierezu od jeho tlačeného okraja, Ii moment zotrvačnosti ideálneho prierezu, Ai plocha ideálneho prierezu, rt

h  ai   Ai

jadrová úsečka ťahanej časti prierezu,

(3.10.1.2)

Ms Ns

základná výstrednosť normálovej sily,

3) pre ohýbané a mimostredne tlačené prvky s Ns lt  Ns , ak platí: dw  dw  max kde dw je rozhodujúci priemer výstuže, ktorý sa stanoví ako najväčší z priemerov vložiek umiestnených v krajnej vrstve ťahovej výstuže, ak je však priemer d1 v tejto vrstve výstuže menší ako 1/3 najväčšieho priemeru vložky dmax . v pásme Ts , položíme: dw

Ast nt

kde Ast je prierezová plocha vložiek v pásme Ts , je počet vložiek, nt je najväčší rozhodujúci priemer výstuže, dw  max a) pre he  0.834  h a prvky umiestnené trvalo vo vlhkom prostredí alebo bežnom a suchom prostredí (súčiniteľ trvalej šírky trhliny je  1.2 ), b) pre he  0.834  h a prvky umiestnené v mokrom prostredí alebo prostredí so striedavým zavodnením a vysychaním alebo ak

Mu Ms

 1.2 ,

najprv určíme: - tb

6  at h

, s

obmedzením 1  tb  3 , kde at je vzdialenosť ťažiska najväčšej vystuženej vložky v krajnej rade ťahovej výstuže. 3.10.2 Šírku trhliny šikmej k osi prvku nie je potrebné vypočítať, ak sú splnené tieto podmienky: a) prvok nie je namáhaný na únavu b) prvok sa nenachádza v silne agresívnom prostredí bez účinnej izolácie (samotné izolačné nátery nepostačujú) c) najväčšia posúvajúca sila od prevádzkového dlhodobo pôsobiaceho zaťaženia neprekročí 80 % hodnoty posúvajúcej sily od celkového prevádzkoého zaťaženia d) prvok má strmienkovú výstuž s priemerom: dss  ´  dst

(3.10.2.1)

s s lim

kde ´ je súčiniteľ s hodnotou: ´ 0.33 v prípade, že strmienky sú z ocele nižšej triedy ako je pozdĺžna ťahová výstuž ´ 0.25 v ostatných prípadoch, dst je najväčší priemer pozdĺžnej ťahovej výstuže, s s je vzdialenosť strmienkov, s s lim je menšia z hodnôt: 0.75  he alebo 400 mm. Šírka šikmej trhliny sa samozrejme nezisťuje v prípade, že Qd  Qbu , kde Qbu je výpočtová posúvajúca sila prenášaná na medzi porušenia betónom. 3.10.3 Výpočet šírky trhliny kolmej k osi prvku w3a





k      tb  0.035   st 

s lt Es

 dw

(3.10.3.1)

w3b





w3a    k  tb  0.035   st 

s st Es

(3.10.3.2)

 dw

kde  je súčiniteľ trvalej šírky trhliny, uvažovaný pre - mokré prostredie  1.6  1.5   st - trvalo vlhké, bežné a suché prostredie  1.2 - striedavé zavodnenie a vysychanie  1.8  je súčiniteľ spôsobu namáhania s hodnotou pre ohýbané a mimostredne tlačené prvky  1.0 pre ťahané prvky  1.2 k je súčiniteľ povrchu výstuže, ktorý uvažujeme pre výstuž - hladkú 10216, 11373, siete S: k 2500 - profilovanú, siete SV: k 2300 - rebierkovú 10245, 10335, 10338, 10425: k 2000 - rebierkovú 10505, KARI siete: k 1600 (ak sú v prvku rôzne druhy výstuže, uvažuje sa k s najnižšou hodnotou),  tb

je súčiniteľ krycej vrstvy daný vzťahom tb

6  at h

, s obmedzením 1  tb  3 ,

je vzdialenosť ťažiska najväčšej výstužnej vložky v krajnej vrstve výstuže od ťahaného okraju,  st je stupeň vystuženia,  st  0.02 , pričom pre prvky ťahané dostredne alebo s malou výstrednosťou sa pri výpočte  st ako výšku h dosadíme vzdialenosť medzi pôsobiskom normálovej ťahovej sily s protiľahlým okrajom prierezu, s lt je napätie v ťahovej výstuži vyvolané prevádzkovým zaťažením: stálym gd , náhodným dlhodobým vs lt , alebo viacnásobne opakovanou časťou náhodného krátkodobého zaťaženia s st je napätie v ťahovej výstuži vyvolané priťažením spôsobeným prevádzkovým náhodným krátkodobým zaťažením vs st zmenšeným o opakovanú časť náhodného krátkodobého zaťaženia vc , at

3.10.4 Výpočet napätia vo výstuži - Ohýbané prvky a) Napätie v ťahovej výstuži môžeme stanoviť zo vzťahov: s lt s st

Ms lt

(3.10.4.1)

z r  Ast Ms st

(3.10.4.2)

z r  Ast

Alebo môžeme postupovať takto:  z sm  2  n  Ms   1  xr   s





Abc  z sm  abc  2  n 

 j

1

 z sj  As j    1    z sm  z sj  xr 

(3.10.4.3)

Výška tlačenej oblasti betónového prierezu x r sa určí pre všeobecný ohýbaný prierez z rovnice: m

Abc  x r  2  n 

 j





Asj  z sj  x r

(3.10.4.4)

1

Pri prvkoch obdľžníkového prierezu výšku tlačenej oblasti určíme z kvadratickej rovnice:

xr



 xr   n  b

1

Asj 

2 b

n

 j



Asj  z sj

(3.10.4.5)

3.10.4.1 Mimostredné namáhané prvky Pri výpočte hodnoty w3b je potrebné stanoviť s st z rozdielu napätí s a s lt , t. j. s st

s  s lt

(3.10.4.6) je napätie v ťahovej výstuži spôsobené dlhodobo pôsobiacim prevádzkovým

kde s lt zaťažením, s je napätie v ťahovej výstuži spôsobené celkovým uvažovaným prevádzkovým zaťažením Pokiaľ však normálová zložka nemá krátkodobú zložku (t.j. platí Ns lt Ns ) môžeme napätie s st stanoviť priamo zo zaťaženia ( vs st  vc ), kde vs st je prevádzkové krátkodobé náhodné zaťaženie a vc je opakovaná časť kratkodobého nahodného zaťaženia. a) V mimostredných tlačených prvkoch sa napätia s , resp. s lt dovoľujú stanoviť zo vzťahu: s

Ns  es





Ast h  ast

(3.10.4.7)

w

kde Ns je normálova sila od rozhodujucého prevádzkového zaťaženia, Ast prierezová plocha ťahovej výstuže v pásme T, es vzdialenosť pôsobiska normálovej sily Ns od ťažiska výstuží Ast , ast vzdialenosť ťažiska výstuže Ast od ťahaného okraju, h výška prierezu vo smere pôsobiaceho momentu,  w súčiniteľ redukcií.

Abp  



Es Asc Eb



b  h  ast

Obr.3.10.4.1

Tab. 3.11.1

Súčiniteľ  W pre pomer





Ast



Eb b  h  ast

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-1-

4. Železobetónové konštrukčné prvky 4.1 Rámové konštrukcie Stĺpy monoliticky spojené s trámami a prievlakmi vytvárajú konštruktívny celok, ktorému sa hovorí rámová konštrukcia. Monolitické poschodové rámy majú veľký význam v tom, že umožňujú uplatnenie najrozmanitejších architektonických zámerov a sú pomerné veľmi odolné proti požiaru. Zvislé podporné časti rámu sa nazývajú stĺpy, vodorovné časti sa nazývajú trámy, prievlaky alebo priečle. Podľa charakteru stavby môžu byt rámy jednopodlažné a viacpodlažné. Železobetónové monolitické skelety sa skladajú z rovinných rámových konštrukcií, ktoré podporujú jednotlivé stropné konštrukcie. Podľa spôsobu zaradenia závislom od účelu a funkcie objektu bývajú situované v smere priečnom, pozdĺžnom alebo obojsmerne. Obojsmerné rámy sa väčšinou navrhujú iba pre stropné konštrukcie, ktoré roznášajú zvislé zaťaženie do oboch smerov (obr. 4.1.1c). V prípade nižších objektov výrazne obdĺžnikového pôdorysu a s pozdĺžnou chodbou, je vhodné zvoliť trojtrakt s pozdĺžnymi rámami, ktoré súčastne prenášajú chodbové priečky (obr.4.1.1b). Pre vyššie objekty sa odporuča usporiadanie rámov v priečnom smere (obr. 4.1.1a), pretože výslednica vodorovného zaťaženia vetrom pôsobiaca na objekt priečne je väčšia ako výslednica od vetru pôsobiaca na objekt pozdĺžne. Okrem spomenutých základných konštrukčných usporiadaní rámových konštrukčných systémov sú na (obr. 4.1.1d a 4.1.1e) uvedené aj iné možnosti usporiadaní. (a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Obr. 4.1.1 Konštrukčné sústavy železobetónových rámových konštrukcií Schopnosť jednosmerných rámov vzdorovať účinkom vetra v smere kolmom na rovinu rámu je väčšinou veľmi malá. Z tohto dôvodu sa vodorovná tuhosť skeletu zaisťuje stužujúcimi stenami alebo jadrami. 4.1.1 Výpočet vnútorných síl I napriek skutočnosti, že skeletové systémy pôsobia priestorove, možno poschodové rámy vyšetrovať zjednodušene ako samostatné rámy, zaťažené iba vo svojej rovine, pričom usporiadanie stálych a náhodilých zaťažení sa volí tak, aby sa získali extrémne hodnoty statických veličín – ohybových momentov M, priečnych síl V a normálových síl N. Vodorovné nosné prvky (prievlaky) sú namáhané od zvislého zaťaženia hlavne len ohybovými momentmi v prierezoch priľahlých k lícom stĺpov (min. moment), v poliach (max. momenty) a priečnymi silami. Rámové stĺpy sú namáhané tlakom od posúvajúcich síl rampových prievlakov a ohybovými momentmi, dosahujúcimi max. hodnotu v päte a v záhlaví stĺpu. 4.1.1.1 Výpočet rámu zaťaženého zvislým zaťažením V prípade symetrických rámov, zaťažených vo všetkých podlažiach zvislým rovnomerným zaťažením, sa pootočenie styčníkov po výške stĺpov príliš nemení, obzvlášť v strednej oblasti rámu sú pootočenia úplne rovnaké. Z hľadiska rovností pootočení styčníkov možno celý rám rozdeliť na tri rámové výseky v ktorých sa vykoná deformačnou metódou výpočet vnútorných síl. Takáto metóda sa nazýva metóda rámových výsekov.

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-2-

4.1.1.2 Výpočet rámu zaťaženého vetrom (a)

(b) Wn

Obr. 4.1.1.2 Vplyv pomeru tuhostí priečlí a stĺpov na priebeh vnútorných síl a) priečle sú tuhšie ako stĺpy, b) stĺpy sú tuhšie ako prievlaky 4.1.2

Vystužovanie rámových konštrukcií

4.1.2.1 Prievlaky (a) obdlžnikové prierezy

výstuž stlpu

(b) prierezy tvaru L

alebo

(a) (d) 4-strižné strmienky

strmienky

prievlak hlavná výstuž prievlaku stlp



(b)



Obr. 4.1.2.1 Spôsob vykrytia maximálnych ohybových momentov betonárskou výstužou tahaná výstuž

REZ 1-1

tlačená výstuž h

tlačená výstuž

Obr. 4.1.2.2 Spôsoby vykrytia šmykových síl prostredníctvom strmienkov

strmienky

tahaná výstuž

tlačená výstuž B

Obr. 4.1.2.3 Spôsob vystuženia prievlakov

tahaná výstuž

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-3-

V prípade prievlakov vyšších ako 600 mm sa po Prídavná výstuž, ak hp >600mm stranách medzi dolnou a hornou výstužou vkladajú vodorovné vložky aspoň 10 mm vo ht vzdialenostiach 350 mm, ktoré majú zachytiť hp zmrašťovacie účinky, aby sa nevytvárali trhliny. V prípade prievlaku podporujúceho trámy je nutné > 50mm navrhnúť výšku trámu ht vždy tak, aby výška Obr. 4.1.2.4 Križovanie prievlaku s prievlaku hp bola vždy aspoň o 50 mm väčšia a trámom nosná výstuž trámu bola uložená nad nosnou výstužou prievlaku. Výkresy výstuže vencov lemujúcich štítové murované steny sú uvedené v prílohe L. Prievlaky konštrukčných systémov nemusia byť len priame.V prípade konštrukčného systému uvedeného na (obr. 4.1.1d), prievlaky majú zakrivený tvar. Podľa spôsobu zaťaženia a uloženia, sa môžu vyskytnúť prípady, ktorých riešenie je uvedené v nasledovnej stati. a) Votknutý kruhový prievlak Tuhý prvok

Uvažujme votknutý kruhový prievlak AB, zaťažený kolmo na jeho pôdorysnú rovinu (pozri obr. 4.1.2.5). Prievlak je votknutý v extrémnych bodoch A,B za účelom odolávať ohybovým a krútiacim momentom. Pozdĺž celého prievlaku sa predpokladá konštantná ohybová tuhosť EI=konšt.



D L Votknutý kruhový nosník

Obr. 4.1.2.5 Votknutý kruhový prievlak  Prievlak je zaťažený rovnomerným zaťažením (gd + vd ) [kN/m]  0



g d +v d [kN/m]

Obr. 4.1.2.6 Votknutý kruhový prievlak zaťažený rovnomerným zaťažením  Výpočet krútiacich momentov TA

T B

g d  v d  L2   3

Výpočet reakcií RB





 gd  vd  r  2

1 2





 gd vd L

 Výpočet ohybových momentov - v mieste votknutia MA





- v strede rozpätia

 gd vd L

g d  v d  L2 24







20 

 1 

2



2  3    1   80  

720

 Prievlak je zaťažený sústredeným bremenom P [kN] v strede rozpätia prievlaku  Výpočet reakcií RA



P 2

Výpočet ohybových momentov

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-4- v mieste votknutia B



P L



  16 



 1 



- v strede rozpätia 2 P L    MD  1   8 48  

D L

Obr. 4.1.2.7 Votknutý kruhový prievlak zaťažený sústredeným bremenom P



Výpočet krútiacich momentov 3 2 Poznámka: Uvedené vzťahy nie sú   P  L   T  T   1   A B použiteľné v prípade < / 2. 128 90   b) Kruhový uzavretý prievlak Uvažujeme kruhový uzavretý prievlak s polomerom Kruhový uzavretý nosník r, zaťaženým kolmo na pôdorysnú rovinu nosníka, uložený na n-podperách usporiadaných v rovnakých r vzdialenostiach. 0  Prievlak je zaťažený rovnomerným zaťažením (gd + vd ) [kN/m].



 D

g d +v d [kN/m]

Podpery

Obr. 4.1.2.8 Kruhový uzavretý prievlak  Výpočet reakcií



 D

Obr. 4.1.2.9 Kruhový uzavretý prievlak zaťažený rovnomerným zaťažením  Výpočet momentov v ľubovolnom bode E, definovanom uhlom od spojnice 0D     2 2  M g d  v d  r       cos     1  sin     2       2 T g d  v d  r   cos          sin     2  Poznámka: Nulový krútiaci moment sa nachádza v miestach podopretia /A,B/ a v strede rozpätia /bod D/. Maximálny krútiaci moment je v bodoch vzdialených o uhol 1 od spojnice 0D, korešpondujúce s nulovým ohybovým momentom. 2

2  n







 gd vd r

Výpočet priečnych síl

V=R/2

 Výpočet ohybových momentov - v miestach podopretia     2 2  M A g d  v d  r       1  tg     2  - v strede rozpätia  sin      2    M D arccos     2    sin      2     1 arccos     2  

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-5-

 Prievlak je zaťažený sústredeným bremenom P [kN] v strede rozpätia prievlaku  Výpočet reakcií : R=P  Výpočet priečnych síl v mieste r podopretia : V = +- P / 2 0  Výpočet ohybových momentov v mieste  A P podopretia a v strede rozpätia /bod D/ 1  P r  M  tg   D B 2 E 4

 Obr. 4.1.2.10 Kruhový uzavretý prievlak zaťažený sústredeným bremenom

Výpočet momentov v ľubovolnom bode E vzdialenom o uhol  od spojnice 0D P r    M   cos     tg    sin     2  4 

     cos     1   - krútiaci moment 2  4  P r  1 Poznámka: Nulový krútiaci moment sa nachádza v miestach T   1 podopretia /A, B/ a v strede rozpätia /bod D/. Maximálny max 2      cos    krútiaci moment Tmax je v bodoch vzdialených o uhol 1 = / 4  4  od spojnice 0D, korešpondujúce s nulovým ohybovým momentom. Tabuľka 4.1.2.1 Hodnoty jednotlivých funkcií        T

P r

  sin     tg 

 tg   2 180o 120o 90o 72o 60o 45o 30o

1

-1,000 -0,3954 -0,2146 -0,1352 -0,0931 -0,0519 -0,0230

  2

sin 

0,5708 0,2002 0,1107 0,0690 0,0472 0,0262 0,0115

1

1

 sin  2   2 

arccos 

50,5o 34,2o 25,8o 20,7o 17,3o 13o 8,6o

   

  2

sin 

 

 sin  1   1

0,3308 0,0827 0,0331 0,0166 0,0095 0,00395 0,00116

4.1.2.2 Styčníky V styčníkoch vzniká veľmi zložité priestorové namáhanie. Vnútorné sily majú zložky v smere všetkých troch osí: zhora pôsobí tlak horného stĺpu a jeho moment votknutia, v smere osi prievlaku pôsobí moment upnutia prievlaku a kolmo na rám pôsobí moment upnutia rebier. Potrebný počet vložiek v líci prievlaku a v hlave piliera určíme zo známych momentov. Pri hornom rohu rámu sú síce momenty rovnaké, ale počet vložiek môže byť rôzny, lebo priečla môže mať inú výšku ako stojka a stojka je okrem momentu namáhaná tlakom, čo je pre výstuž priaznivejšie. Keď prechádzajú prúty piliera cez prievlak, je obtiažnejšie zaistiť ich zvislú polohu, lebo prečnievajúci koniec vyvoláva bočné vychýlenie. V krajných styčníkoch nižších poschodí sa moment votknutia prievlaku rozvádza nahor i dolu a tak ťahová sila v diagonálnom reze bude menšia ako v prievlaku.  Rámový roh so záporným momentom Každá zmena smeru osy nosníka má za následok zmenu smeru vnútorných síl a tým aj zmenu napätosti. V oblasti rámového rohu je rozdelenie napätia uvedené na (obr. 4.1.2.11a). Ťahové napätia v betóne je nutné vykryť zakrivenou výstužou, s polomerom zakrivenia r > 10.ds, kde ds je priemer výstuže.

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-6-

Usporiadanie výstuže v rámovom rohu možno navrhnúť zavedením vložiek stĺpu do prievlaku, alebo naopak, prípadne príložkami, alebo kombináciou uvedených variant. Výstuž sa kotví presahom o výpočtovú kotevnú dĺžku lbd, vždy od tých bodov rohového styčníka, v ktorých je výstuž plne využitá (obr. 4.1.2.11b). (a)

(b)

(c)

(d) A s,pr > A s,col

T M

A s,pr < A s,col

r >10,5.d s

l bd l bd

A s,pr

A s,pr l bd

l bd

A s,col

Obr. 4.1.2.11 Rámový roh a) priebeh momentov v rámovom rohu, b) oblasti tlakových a ťahových zón, c) napätosť, d) spôsob vystužovania



Styk krajného stĺpu s prievlakom (a)

(b)

(c)

(d)

M2 T T

r >8. ds

l bd

(e) C

Obr. 4.1.2.12 Styk krajného stĺpu s prievlakom a) priebeh momentov v oblasti krajného styčníku, b) oblasti ťahových a tlakových zón, c) schéma prierezových síl, d) spôsob vystuženia, e) spôsob porušenia V krajných styčníkoch sa moment votknutia prievlaku rozvádza do horného a dolného stĺpu. Stačí preto zaviesť výstužné vložky zachytajúce záporný moment votknutia prievlaku tak ďaleko do stĺpu, aby boli plne kotvené za lícom stĺpu (obr. 4.1.2.12d). Polomer ohnutia tejto výstuže postačí 8.ds .



Styk stredného stĺpu s prievlakom (a)

(b)

(c)

(d) C

M3 M2

M4 M1

(e)

C T

Obr. 4.1.2.13 styk stredného stĺpu s prievlakom a) priebeh momentov v oblasti stredného styčníku, b) spôsob porušenia, c) oblasti ťahových a tlakových zón, d) schéma prierezových síl, e) spôsob vystuženia Pri vnútorných styčníkoch prievlakové výstužné vložky väčšinou prebiehajú. Pri týchto styčníkoch je zvlášť dôležité, aby sa pri návrhu výstuže myslelo na to, v akom poradí sa na stavbe vložky budú ukladať a ako sa styčník zabetónuje. Medzery medzi hornou výstužou prievlaku musia byť také veľké, aby sa styčník dal správne vybetónovať.

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-7-

4.1.2.3 Stĺpy

l bd

Stĺpy sa vystužujú väčšinou viazanou výstužou umiestnenou do rohov a po obvode prierezu stĺpu, za účelom vykryť mimostredné tlaky, ktorými sú stĺpy namáhané. Priečna výstuž, tj. strmienky alebo ovinutá výstuž, obmedzuje vybočenie tlačených pozdĺžnych vložiek, zmenšuje priečne pretvorenia tlačeného betónu a vzdoruje tiež účinkom šmyku. Doporučený najmenší rozmer stĺpu, ktorý je podstatnou časťou nosnej konštrukcie je pri monolitickom stĺpe 250 mm. Pozdĺžna výstuž stĺpov musí byť aspoň 412 (612 pre kruhový stĺp) a obvykle sa stykuje v úrovniach pracovných škár presahom. V pracovnej škáre nad úrovňou horného líca základov sa vykonáva stykovanie zvislých vložiek pomocou kotiev – tj. výstužné vložky, ktorých počet a priemer je rovnaký ako vložky, ktoré sa stykujú, zakotvené do základovej konštrukcie. Kotvy sa väčšinou ukladajú na spodné líce niektorého základového stupňa, aby sa pri betonáži nemuseli podkladať. Doporučuje sa túto kotevnú výstuž zviazať niekoľkými (3 až 4-mi) strmienkami, aby boli vložky pri betonáži upevnené. Kotevné vložky musia vyčnievať nad hornú úroveň základu na dĺžku presahu lj. V pracovnej škáre na úrovni horného líca stropnej dosky každého podlažia možno výstuž stykovať s využitím výstužných vložiek stĺpu nižšieho podlažia alebo pomocou príložiek. V prípade, že prierez stĺpu vyššieho (a) (b) podlažia je rovnaký alebo sa veľmi nelíši 2 2 od prierezu stĺpu nižšieho podlažia, predĺžia sa výstužné vložky z nižšieho stĺpu, ktoré majú pokračovať vo vyššom 1 1  stĺpe, o predpísanú dĺžku presahu lj nad pracovnú škáru. Pri zmene prierezu stĺpu   nemá byť sklon zošikmených vložiek menší ako 6:1 (obr. 4.1.2.14a) a tieto vložky musia byť zviazané strmienkami Obr. 4.1.2.14 Stykovanie výstuží stĺpov a) tiež v mieste prieniku stĺpu s prievlakom. pomocou zošikmených vložiek, b) pomocou V prípade, že sklon zošikmených vložiek príložiek l bd vychádza menší alebo výstuž horného (a) (b) stĺpu je iná ako stĺpu dolného, je treba r >8.d s l bd k nadstaveniu výstuže použiť príložky (obr. 4.1.2.14b). Ukončenie stĺpových vložiek v prievlaku najvyššieho podlažia je naznačené na (obr. 4.1.2.15). V prípade, že sú vložky v stĺpe tlačené, postačí zakotvenie nad dolnou hranou prievlaku lbd stanovenú pre tlačenú vložku. Ak vložky v stĺpe sú ťahané, musia byť zakotvené do prievlaku od jeho dolného líca minimálne na lbd stanovenej Obr. 4.1.2.15 Ukončenie stĺpových vložiek pre ťahané vložky. Výkres výstuže stĺpov v prievlaku najvyššieho podlažia je uvedený v prílohe L. Priečna výstuž stĺpov (strmienky, ovinutá výstuž) obopína pozdĺžne vložky a vytvárajú spolu dostatočne tuhú výstužnú kostru. Na (obr. 4.1.2.16) sú uvedené odporúčané vzdialenosti strmienkov v kritickej zóne stĺpa a mimo kritickej zóny.

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-8-

Vzdialenost strmienkov mimo kritickej zony



   

  

 



    

Pocet strmienkov v kritickej zone



  j



Obr. 4.1.2.16 Odporúčané vzdialenosti strmienkov

Obr.4.1.2.17 Zásady vystužovania železobetónovej rámovej konštrukcie

Obr. 4.1.2.19 Výkres výstuže železobetónovej rámovej konštrukcie

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-9-

l y =6,0

Príklad: Návrh a výpočet výstuže prievlakov obojsmernej rámovej konštrukcie, pomocou vzťahov pre výpočet ekvivalentného zaťaženia (príloha F) x Zaťaženie (súčinitele zaťaženia sú zahrnuté vo vzorcoch): g - vlastná tiaž dosky: y = 4,2 .6,0 = 25,2 kN/m gs - vlastná tiaž nosníka: = 0,3 . 0,5 . 25 = 3,75 kN/m –––––––––––––––––––––––––––  = 29,0 kN/m p - náhodilé zaťaženie: = 5,0 . 6,0 = 30,0 kN/m ––––––––––––––––––––––––––– a 29 =g Celkové zaťaženie: 59 =q 59 =q B q = g + pgs = 29+30= 59,0 kN/m 29 =g Výpočet nosníka v smere osy y: A C 3,0

1,5 3,0 l x =7,5

3,0

1,5 3,0 l x =7,5

g

Kombinácie najnepriaznivejších zaťažení: ge

a) A

M B = M C = -0,1. ge .ly B pe

b) A

MB= MC =

2 -0,05. pe .l y

D 2

M B = M C = -0,05. pe .l y C

l y =6,0

-určenie ekvivalentného rovnomerného zaťaženia daného nosníka : ge = 5/8 .g +gs = 5/8 .25,2 +3,75 =19,5 kN/m pe = 5/8 . p = 5/8 .30 = 18,75 kN/m

D 2

M B = -0,117. pe .l y C

l y =6,0

MC =

-0,033. pe .l 2y

Určenie maximálnych momentov : - kombinácia a) s d): MB = MC = -(0,1.ge + 0,117.pe) .ly2 = -(0,1.19,5 + 0,117.18,75).62 = -149,4 kNm - kombinácia a) s b) a c): MB´ = -(0,1.19,5 + 0,05 . 18,75) . 62 = -104,1 kNm Priebeh momentov pozdĺž nosníka v poli AB: q A

M x( x)

Reakcia: RA = q.ly / 4 Moment: MRA(x) = RA . x

M RA( x)  M q ( x)  M B( x) q  ly 4

 x

qx

3 ly



MB ly

x

Priebeh priečnych síl pozdĺž nosníka v poli AB: Q x( x)

d M x( x) dx

RA M RA

l y =6,0

RA M x( x)

q A

Moment:

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD. q  ly

Q x( x)



qx



- 10 -

MB ly

q x

M q ( x)



q  2 x x x   ly 2 3

x 3

Maximálny kladný moment v poli AB: - v mieste x od podpery A, kde Qx(x) = 0 x



3 ly

- predpokladajme zaťaženie q = 59 kN/m a maximálny záporný moment MB´= -104,1 kNm 2

qx

104.1 59

Moment:

59  6

M 1max( 2.69  m)

M B x

M B( x)

2.69  m

 2.69 

1 3



59  2.69 6



104.1 6

 2.69

238  63.8  46.8

127.4  m

Maximálny moment v strede poľa BC:  ly  M 2max   2 

q  ly 4

3 M B ly M C ly  ly           3 3 ly  2  ly ly 2 2 2 MB

q  ly

M 2max

q  ly



M 2max

59  6 8



1 3 1 3





MB 2



59  6 8

 104.1 45.9  kNm

-reakcia v mieste B /zľava/: -reakcia v mieste B /sprava/:

B1 B2

RA 

RA 

ly M B´

q  ly

29  6

-reakcia v mieste B /zľava/: -reakcia v mieste B /sprava/: -celková reakcia v mieste B: Redukcia nadpodperových momentov : - šírka podpery bp = 40 cm

B1 B2

RA  q  ly



q  ly

59  6

4 4 B = B1 + B2 = 202 kN M´ B1

B1

M´ B2

B2

bp 2 bp



29  6



M B´

59  6

M B´

59  6



 104.1 17.1  kNm

104.1



71.1  kN

6 

104.1 6

105.8  kN

43.5  kN

-celková reakcia v mieste B: Výpočet priečnych síl pri kombinácii zaťažení a) s d): M B q  ly - reakcia v mieste A : RA 



4 4 B = B1 + B2 = 149,3 kN

29  6

M 2min

Výpočet priečnych síl pri kombinácii zaťažení a) s b): M B´ q  l y - reakcia v mieste A : A

MB = MC = -104,1 kNm



l y =6,0

59  6





59  6

149.4 6 

149.4 6

63.5  kN

113.5  kN

88.5  kN

MB

113.5 

MB

88.5 

0.40 2

 149.4

126.7  kNm

 149.4 137.1  kNm

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 11 -

Q 88,5 kN

71,1 kN

113,5 kN

M 149,4 kNm

131,7 kNm

126,7 kNm

127,4 kNm

17,1 kNm

0,20

2,69 m

45,9 kNm

0,20

As2

As4

As1

-šírka nosníka b ………………….. 0,3 m - efektívna výška nosníka d ...…… 0,48 m -výpočtová pevnosť betónu ............. fcd = 9,06 MPa -moment M [kNm] 127,4 -131.7 45.9 -17.1 0.203 0.21 0.07 0.027  = M/b.d2 fcd 0.0650 0.0668 0.02 0.008 podľa 18 5 nomogramu  -potrebné množstvo 2.85 1.109 8.485 8.724 výstuže [cm2] 6 As=b.d.fcd.100 -navrhnuté množstvo 10.05 10.05 3.39 2.26 výstuže Aprov

As3

Určenie ekvivalentného zaťaženia: qe = [1 - 2.2 + 3].q = =[1 - 2.0.42+ 0,43 ].q = 0,744.q kde  = a / lx = 3 / 7,5 = 0,4 Maximálne momenty: - kombinácia a) s d)

Výpočet nosníka v smere osy x: q

qe 3

1,5 l x =7,5

3 l x =7,5

Kombinácie najnepriaznivejších zaťažení q e

a) A

B p e

E M C = -0,107.pe .lx

M B = -0,121.pe .lx 2 E M C = -0,035.pe .lx

b) c)

l x =7,5

p e

p e

M B = -0,107.qe .lx M C = -0,071.qe .l2x

MB= =-[0,107.29+0,121.30].0,744.7,52 = -282 kNm - kombinácia a) s c) MC= =-[0,071.29+0,107.30].0,744.7,52 = - 221 kNm

2 -0,054.pe .l2x

MB = M C = -0,035.pe .lx

M B = -0,035.pe .lx

p e

2 2

l x =7,5

- kombinácia a) s b) M1B= -[0,107.29+0,054.30].0,744.7,52 = -193 kNm Priebeh momentov pozdĺž nosníka: M x( x) M RA( x)  M q ( x)  M M ( x)

M x( x)

RA M RA

a x

Reakcia:RA = q/2 .[lx - a] Moment: MRA(x) = RA . x M ( x) q

a l x =7,5 x

1 2

 q   l x  x  a  x   a  x  x 



 

 M A 



MBMA lx



M x( x)

MB a





1 3

a

2 

  

 x



MBMA     l x  x  x   a    M A   x 2  3 lx    q

MA A MA

q 2

  a  x  x  2



1 3

MB B MB

a

2

 

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 12 -

Priebeh priečnych síl pozdĺž nosníka: d Mx dx





 q  lx 2 x  lx Výpočet maximálneho momentu v poli AB: -kombinácia a) s b) a d) Q x( x)

MA 

M M ( x)

Qx(x) = 0 kN => MA = 0 kNm =>

lx 2 7.5 2

 

MBMA lx

x

MBMA l x q 193 7.5  59

3.31  m

2  3  193 2   3.315 233.8  kN  m 3  7.5 2  7.5 193 Výpočet maximálneho momentu v poli AB: x  2.86  m -kombinácia a) s c) 2 7.5  29 2  3  193 1 2 M 1min  29   7.5  2.86  2.86    2.86 75.3  kN  m 3  7.5 2  M´C = -[0,071.29 + 0,054.3,0] . 0,744 . 7,52 = -155,5 kNm Moment v bode C pri kombinácii a) s b): Výpočet maximálneho momentu v poli BC pri kombinácii a) s b)

M 1max



 59   7.5  3.315  3.315 

M´ C  M´ B

7.5

l x q



155.5  ( 193)

3.75  0.085 3.835  m

7.5  5.9

2  3  155.5  ( 193) 2   193   3.835 150.7  kN  m 3  7.5 2  Výpočet maximálneho momentu v poli BC pri kombinácii a) s c) a d)

M 2max lx



 59   7.5  3.835  3.835 

M´ C  M´ B

7.5

l x q



 2  Redukcia nadpodperových momentov : M 2min

155.5  ( 193)

3.922  m

7.5  29

 29   7.5  3.922  3.922  2

 155.5  ( 193)   193   3.922 13.4  kN  m 3  7.5 2

M´ B

B1

M´ B

B2

d 2 d 2

 MB

158.7 

 MB

137.5 

M 282 kNm

221 kNm

233.8 kNm

C 150.7 kNm

As2

As1

As4

As3

0.4 2 0.4 2

 ( 282)

250.3  kN  m

 ( 282)

255.5  kN  m

-moment M 233.8 -282 150.7 -221 [kNm] 0.241 0.353  = M/b.d2 fcd 0.373 0.41 0.1402 0.0782 0.129 podľa 0.2111 3 44 nomogramu  4 -potrebné množstvo 16.88 18.29 27.54 10.206 výstuže [cm2] 7 As=b.d.fcd.100 -navrhnuté množstvo výstuže Aprov

18.84

28.26

12.06

18.09

4.2 Stropné konštrukcie

Dosky pôsobiace v dvoch smeroch

Dosky pôsobiace v jednom smere

Stropné konštrukcie

a) Nosníková doska

b) Trámový strop

c) Doska po obvode súvislo podopretá

d) Lokálne podopretá /bezprievlaková/ doska

e) Lokálne podopretá doska so zosilňujúcimi doskami

f) Lokálne podopretá doska s viditeľnými hlavicami

g) Dosková konštrukcia zosilnená h) Kazetová stropná doska nízkymi /poddajnými/ prievlakmi Obr. 4.2.1. Stropné konštrukcie

Stropné konštrukcie objektov pozemných a inžinierskych stavieb rozdeľujú priestory vertikálne a horizontálne ich prekrývajú. Z požiadaviek kladených na stropy je nutné zdôrazniť požiadavky na tepelnú a zvukovú izoláciu, požiarnu bezpečnosť, z hľadiska statiky stavieb bezpečnosť stropných konštrukcií voči porušeniu, trvanlivosť a spoľahlivosť voči nadmerným priehybom. Stropné konštrukcie prenášajú účinky zaťažení pôsobiacich prevažne zvisle a prenášajú ich do zvislých prvkov objektu. Na stropné konštrukcie môžu tiež pôsobiť vodorovné zaťaženia /napr. vietor/. Na (obr. 4.2.1) sú schematicky znázornené niektoré typy monolitických doskových stropných konštrukcií. Nosníková a konzolová doska vystužená v jednom smere podľa (4.2.1a) môže byť súvislo podopretá murovanou stenou s monolitickým vencom alebo trámom /prievlakom/ a stĺpmi. Podobne môžu byť podopreté jednosmerne vystužené trámové monolitické stropné konštrukcie podľa (obr. 4.2.1b). Doska pôsobiaca v dvoch smeroch podľa (obr. 4.2.1c) je po obvode súvislo podopretá buď na murovanej stene alebo na dostatočne tuhom tráme /prievlaku/, podopretom stĺpmi. Lokálne podopretá doska pôsobiaca v dvoch smeroch podľa (obr. 4.2.1d) vyniká jednoduchým tvarom a debnením. Pri veľkom rozpätí alebo zaťažení lokálne podopretých dosiek je možné použiť buď oceľové skryté hlavice alebo zosilňujúce dosky (obr. 4.2.1e), ktoré rozširujú lokálne podpory a môžu byť ešte doplnené viditeľnými hlavicami (obr. 4.2.1f). Dosková konštrukcia podľa (obr. 4.2.1g) môže byť zosilnená vo viac namáhaných stĺpových pruhoch širšími, ale nízkymi /poddajnými/ prievlakmi v oboch hlavných smeroch. Dosky vyľahčené zabudovanými tvarovkami alebo debniacimi dielcami /kazetami/ s výnimkou oblastí lokálnych podpôr alebo súvislých podporných pruhov sú znázornené na (obr. 4.2.1h). Rozdelenie stropných konštrukcií Rozdelenie je možno urobiť podľa rôznych kritérií; najskôr si však je nutné utvoriť predstavu o ich konštrukčnom usporiadaní a statickom vyšetrovaní. Doska je rovinná väčšinou horizontálna konštrukcia namáhaná prevažne ohybom od zaťaženia pôsobiaceho kolmo k jej strednicovej rovine. Môže byť podporovaná spojitou podporou – líniovou /napr. stenou, nosníkom/ alebo lokálnou – bodovou /pilierom, stĺpom/. Podpory môžu byť tiež čiastočne poddajné, buď účinkom pretvorení /napr. podporujúcich nosníkov, dotvarovanie murovaných a betónových stien/ alebo rozdielnym sadaním základov. 4.2.1 Doska pôsobiaca v jednom smere Doska pôsobiaca v jednom smere vzniká nad obdĺžnikovým alebo lichobežníkovým pôdorysom, kde je splnená podmienka, že jedno z oboch rozpätí je výrazne väčšie ako druhé; t.j. lx > 2ly, resp.(ly > 2lx). (a)

(b) q [kN/m2 ]

q [kN/m2 ]

h L

M1max

M4max

M2max M

Mmax

(c)

M3max M5max

Obr. 4.2.1.1 Doska pôsobiaca v jednom smere a/ nosníková – proste uložená, b/ nosníková – votknutá, c/ konzolová

Tzv. nosníková doska (obr. 4.2.1.1a,b) je uložená na dvoch protiľahlých, spravidla rovnobežných stranách. Podopretie môže byť jednostranne alebo obojstranne prosté, popr. votknuté. Ako podpera môže slúžiť priebežná podpora, bez toho aby bola tuho pripojená s doskou /napr. uložená na murive/ a v prípade monolitických stropných konštrukcií býva tuho spojená so rebrom, trámom, prievlakom alebo vencom. Konzolová doska (obr. 4.2.1.1c) je po jednej strane svojho obvodu súvislo votknutá alebo tvorí previslý koniec susedného doskového poľa. Ostatné strany obvodu sú nepodopreté. Priehybové plochy v strednej časti dosky sú nad obdĺžnikovým pôdorysom válcové a nad lichobežníkovým pôdorysom konoidy s tvoriacimi priamkami prakticky rovnobežnými s osou kolmou na smer podpôr. Takéto dosky sa chovajú a počítajú ako nosník jednotkovej šírky kolmý k súvislým podporám, prenášajúci zaťaženie zo šírky jedného metra. V smere nosníka sa navrhne hlavná výstuž na danú šírku a v kolmom smere rozdeľovacia tvoriaca 0,15-násobok plochy hlavnej výstuže. Konštanta 0,15 zodpovedá hodnote súčiniteľa priečneho pretvorenia betónu porušeného trhlinami. Doskové stropy nosné v jednom smere sa navrhujú: - monolitické železobetónové do rozpätia 4,5 m - v prípade ak je doska podopretá iba na dvoch podporách a do rozpätia až 6,6 m – v prípade ak je doska spojitá; - montované, kde sú dielce väčšinou proste uložené; obvykle sa navrhujú stropné panely železobetónové do rozpätia 6 m a panely z vopred predpätého betónu do rozpätia 12 m. Doska zaťažená rovnomerným zaťažením a podopretá vzájomne rovnobežnými spojitými podporami sa chová ako nosník prostý, jednostranne alebo obojstranne votknutý alebo nosník spojitý. Pri voľbe statického systému si je nutné ujasniť do akej miery je nutné uvažovať vzájomné spojenie s krajnou podporou. Skutočné podmienky uloženia spravidla ležia medzi dvoma medznými prípadmi, voľným uložením a votknutím. a/ V krajnej podpore dosky možno uvažovať votknutie v týchto prípadoch: - Podpora dosky je murivo, pričom hĺbka uloženia u dosky spĺňa súčastne podmienky u > 300 mm, u > ls / 6 (4.2.1.1) a po zatuhnutí betónu dosky je vytvorená dostatočná nadmurovka v podpore a až potom je doska oddebnená. Vo vzťahu (4.2.1.1) je ls vzdialenosť medzi vnútornými lícami podpôr krajného poľa dosky. - Podporou dosky je betónový nosník, ktorého mieru votknutia m, vypočítame podľa vzťahu (4.2.1.2) m>1 3

b N h N

3.6  b N  h N 2

 

bN hN

2592  (4.2.1.2) 4 2 2 1   l  b  h  l  s N N 7.2  6 s  kde bN (hN) šírka /výška/ podporného nosníka, JN moment tuhosti v krútení podporného nosníka /s rozmermi bN, hN/ moment tuhosti v krútení podporného nosníka s rozmermi bN=hN = l.s/6 JNi ls vzdialenosť medzi vnútornými lícami podpôr krajného poľa dosky. Podporný nosník namáhaný ohybom, šmykom a krútením musí bezpečne tieto účinky zaťaženia preniesť do podpôr. - Podporou dosky je priebežná betónová stena o hrúbke najmenej ls / 6. Pri pochybnostiach o miere votknutia dosky v podpere je vhodné uvažovať skôr menšiu než väčšiu mieru votknutia. b/ Vo vnútornej podpore spojitých dosiek možno uvažovať votknutie, ak sú splnené m

J Ni





podmienky uvedené pre krajnú podperu; obvykle sa však modelujú vnútorné podpery iba s väzbami voči zvislým posunom. Hrúbka dosky v predbežnom návrhu sa volí pri doskách proste uložených (4.2.1.1a) 1/25 rozpätia, pri doskách spojitých (4.2.1.1b) 1/35 rozpätia a pri konzolovo vyložených doskách (4.2.1.1c) je to 1/10 vyloženia dosky. Minimálna hrúbka dosky nie je v STN 73 1201 stanovená, doporučuje sa však najmenej 50 mm, pri priamom prejazde dosiek najmenej 80 mm. Vystužovanie Pri vystužovaní dosiek vložkami je vhodné uľahčiť ich ručné ukladanie do debnenia tým, že osovú vzdialenosť vložiek navrhujeme v násobku 25 mm alebo ešte lepšie 50 mm. Priemer vložiek hlavnej výstuže sa volí približne 1/10 hrúbky dosky alebo o stupeň menšie. Rez 2-2

Pôdorys Hlavná výstuž

Rozdelovacia výstuž

Rez 1-1

Obr. 4.2.1.2 Vystuženie dosky pri styku s prievlakom

Obr. 4.2.1.3 Vystuženie proste uložených dosiek

Hlavná pozdĺžna výstuž sa navrhuje a umiestňuje h v konštrukcii podľa priebehu maximálnych a minimálnych as1 momentov. Výstuž rozdeľovacia sa navrhuje ako 0,15násobok hlavnej výstuže v smere kolmom (obr. 4.2.1.3). h l 1 >2 l1 >l bd Výstuž voľných okrajov dosiek podľa (obr. 4.2.1.4) zvyšuje spoľahlivosť dosiek pri zmrašťovaní betónu, zmenách 0,15 h as1> R sd teploty a prípadných účinkoch malých okrajových bremien. Nebezpečie porušenia plných dosiek šmykom je malé, preto Obr. 4.2.1.4 Vystuženie sa dosky väčšinou navrhujú bez šmykovej výstuže. voľného okraja dosky 4.2.2 Trámové stropy Stropný trám je podporujúcim konštrukčným prvkom pre stropnú dosku, ktorej účinky zaťažení prenáša do podpôr – prievlakov, stien. Trámové stropy sa navrhujú až do rozpätia 8 m. Ak na trámový strop pôsobí iba rovnomerné zaťaženie, je možno navrhovať trámy pravidelne s osovou vzdialenosťou 0,8 až 2 m zvolenou tak, aby stupeň vystuženia dosky bol aspoň 0,45% /optimálne 0,6 až 1%/. Pri predbežnom návrhu trámového stropu sa volí: - hrúbka dosky podľa doporučení vyššie uvedených - výška trámu sa navrhuje s ohľadom na veľkosť zaťaženia, 1/15 až 1/10 rozpätia trámu - šírka trámu 1/3 až ½ výšky trámu. Dimenzovanie Doska sa správa ako jednosmerne vystužená spojitá nosníková doska o šírke 1 m prenášajúca rovnomerné zaťaženie v smere jej kratšieho rozponu do trámov pôsobiacich ako spojité rovnomerne zaťažené nosníky T-prierezu. Ďalej sa zaťaženie prenáša zo spomenutých trámov do prievlakov vo forme centrického zaťaženia, v miestach podopretia trámov. Spôsoby

roznosu zaťažení a statické schémy jednotlivých konštrukčných prvkov sú ilustrované v prílohe K na obr. K-2 výkres tvaru trámového stropu. Vystužovanie Priemer vložiek hlavnej výstuže trámu sa obvykle volí 12 až 25 mm. Ich počet sa volí tak, aby v kritických prierezoch (tj. nad podporou a v poli) trámu boli najmenej 3, lepšie však 4 vložky. Pri dimenzovaní prierezov v poli na ohyb je časť dosky priliehajúcej k trámu namáhaná tlakom a uvažuje sa so spolupôsobením (obr. 4.2.2.1). Rozmiestnenie ohybových a šmykových vložiek sa vykoná s ohľadom na priebeh extrémnych ohybových momentov a priečnych síl po dĺžke trámu. Doska

Trám

Prievlak b

b b=1 m b=1 m

- záporné momenty

- kladne momenty

- záporné momenty

b - kladne momenty

- záporné momenty

Obr. 4.2.2.1 Určenie šírky tlačenej časti betónu pri dimenzovaní. 4.2.3 Dosky pôsobiace v dvoch smeroch Pôsobením zaťaženia kolmo ku strednicovej rovine tak vzniká podľa (obr. 4.2.3.1) priehybová plocha s dvojakou krivosťou. Pre dimenzovanie dosky pôsobiacej vo dvoch smeroch sú teda rozhodujúce účinky zaťaženia v oboch hlavných smeroch. Podľa charakteristického tvaru priehybovej plochy triedime dosky s pravouhlým systémom podporujúcich prvkov na : a/ dosky súvislo podopreté po obvode b/ dosky lokálne podopreté (a)

(b) q [kN/m2 ]

q [kN/m2 ]

h Lx

Ly Ly

Hlavná výstuž v smere y

Obr.4.2.3.1 Doska pôsobiaca v dvoch smeroch a/ podopretá po obvode, b/ lokálne podopretá Pôdorys Dosky podopreté po obvode sú spojito (súvislo) podopreté aspoň pozdĺž dvoch Hlavná výstuž v smere y navzájom kolmých stranách svojho pôdorysu, pričom môže ísť o podopretie prosté (kĺbové, priamkové) alebo o votknutie. Dosky podopreté po obvode môžu byť tiež spojité v jednom alebo oboch hlavných smeroch. Hlavná výstuž v smere x Dosky lokálne podopreté sú uložené na podperách, ktoré nemožno považovať za súvislé. Obvykle sú lokálnymi podperami Rez 1-1 stĺpy alebo úseky stien vo viac či menej Hlavná výstuž v smere x pravidelnej pôdorysnej osnove. Výkres tvaru, spôsoby roznosu zaťažení a statické schémy jednotlivých konštrukčných prvkov dosky Obr. 4.2.3.2 Spôsob vystužovania dosky pôsobiacej v dvoch smeroch sú znázornené pôsobiacej v dvoch smeroch v prílohe D.

4.2.3.1 Dosky podopreté po obvode Po obvode podopreté dosky obdĺžnikového pôdorysu s jedným doskovým poľom alebo spojité podľa (obr. 4.2.1c) sa vyskytujú často ako prvky stropných, strešných alebo základových konštrukcií všetkých druhov stavebných objektov. Súvislé podopretie, považované za vertikálne nepoddajné, môžu tvoriť buď nosné steny alebo dostatočne tuhé trámy (prievlaky). Na riešenie dosiek jestvuje mnoho rôznych metód. Metóda pruhov Metódou je možné približne riešiť problém dosky elementárnym spôsobom podľa zásad pružnosti. Z riešenej dosky vysekneme dva pruhy široké 1 m, prechádzajúce jej stredom rovnobežne s osami x, y (obr. 4.2.3.1.1). Ak tieto pruhy zaťažíme, tak pruh x-ový x bude mať v strede rozpätia lx priehyb wx, pruh y-ový bude mať v strede rozpätia ly priehyb wy. Musí platiť deformačná podmienka : wx = wy (4.2.3.1.1) y Rovnica môže platiť vtedy, keď zaťaženia pôsobiace na x-ový a y-ový pruh nebudú rovnaké. Kratší y-ový pruh musí preto preniesť z celkového zaťaženia q väčšiu 1m qx časť qy, aby mal rovnaký priehyb ako menej tuhý pruh x-ový, ktorý bude wx lx prenášať zaťaženie qx. Musí pritom platiť: q = qx + q.y (4.2.3.1.2) Obr. 4.2.3.1.1 Metóda pruhov kde qx = Ci .q a qy = (1- Ci) .q Z rovníc (4.2.3.1.1) a (4.2.3.1.2) vypočítame dve neznáme qx, qy, ktoré dosadíme do vzorcov pre ohybové momenty, ktoré sú spolu so vzorcami pre priehyb uvedené v nasledujúcej tabuľke: Tabuľka 4.2.3.1.1 Schéma pruhu

384

Ohybové momenty v strede

1 8



ql

384

ql

Ohybové momenty v podpore

1

1 1

1 2 5

kde  = Lx4 / Ly4

1

1 1 5

1

ql

384

ql

24 1

ql



1 1



1 1 2

1

EI 2

ql

ql

ql

Priehyb v strede

6 lx

1 1

Diferenčná metóda (metóda sietí) Diferenčnou metódou možno riešiť základnú diferenciálnu rovnicu dosky tým, že sa zisťujú priehyby dosky w v uzloch siete. Diferenciálnu rovnicu dosky možno zapísať aj v tvare algebraickej rovnice a musí platiť pre každý uzol siete, čím sa získava sústava lineárnych rovníc, ktorých počet sa rovná počtu bodov sieti. Diferenciálne rovnice pritom treba zostavovať s ohľadom na okrajové podmienky. Takýto spôsob riešenia problému dosiek je dosť náročný na čas. Z tohto dôvodu sa vypracovali výsledky týchto riešení vo forme tabuliek, ktoré pre bežnú prax úplne postačujú. Tabuľky pre rôzne druhy uloženia dosiek zaťažených rovnomerným zaťažením sú uvedené v prílohe D. Zaťažovacie obrazce podporných prvkov (trámov, prievlakov) majú trojuholníkový alebo lichobežníkový tvar a veľkosť zaťaženia sa stanoví z extrémnych hodnôt stáleho a náhodilého zaťaženia dosky na plochách zostrojených z rohov doskového poľa podľa týchto zásad:  ak sa stýkajú v rohu dosky dve strany rovnako podopreté, deliaca priamka sa vedie pod uhlom 45o 45 30 45 30  ak sa stýkajú v rohu dosky dve strany odlišne 60 45 45 60 podopreté, deliaca priamka sa vedie pod uhlom 60o vzhľadom k votknutému alebo spojito podopretému okraju doskového poľa 45 30  od miesta priesečníka rohových deliacich 45 60 priamok pokračuje deliaca priamka rovnobežne volný okraj s dlhšou stranou pôdorysu dosky. Obr. 4.2.3.1.2 Roznos zaťaženia o

votknutie

prosté podopretie

4.2.3.2 Lokálne podopreté dosky (bezprievlakové dosky) Lokálne podopretá doska je doska b) c=(0,2-0,35).l > 0,35 l pôsobiaca v dvoch smeroch, kde lokálne a) h podporujúci prvok je napr. stĺp alebo krátka stena, kde môže dojsť ku h >45 >45 (1-1,5)h porušeniu dosky pretlačením. Obrys l l l l lokálne podporujúceho prvku nesmie > 0,35 l d) > 0,3 l prekročiť v žiadnom smere 1/6 c) c=(0,2-0,35).l príslušného rozpätia doskového poľa. min 1:3 <45 h Najvýhodnejšia z hľadiska realizácie je h >45 doska konštantnej hrúbky. Lokálne l l 0,5h-h podopretá doska s podporujúcimi l l prvkami opatrenými hríbovými Obr. 4.2.3.2.1 Typy hríbových hlavíc hlavicami sa nazýva hríbová doska. Používané typy hlavíc sú vykreslené na a) jednoduchá, b) lomená, c) hlavica s doskou, d) plochá (obr. 4.2.3.2.1). V prílohe L uvádzame výkres tvaru bezprievlakovej dosky. Medza porušenia pretlačením Pod pojmom pretlačenie rozumieme jav, ktorý môže nastať pri konštrukciách, kde je na malej ploche veľké singulárne zaťaženie. Ide predovšetkým o styk bezprievlakovej dosky so stĺpom alebo styk stĺpa a základovej dosky. Je to v podstate problém šmykového toku, vyvolaného zaťažením, ktorý musí byť menší ako schopnosť konštrukcie tomuto namáhaniu odolávať. Na tento problém je vhodnejšie využívať monolitickú konštrukciu, ktorá má menšie problémy so stykmi a prenosom zaťaženia v miestach s veľkým namáhaním. Bodovo podopreté dosky majú značné výhody. Sú to hlavne tie, ktoré sa týkajú samotnej realizácie, čiže betonáže dosky. Dá sa povedať, že jeden meter štvorcový plochy debnenia je rovný jednému metru štvorcovému dosky (odpadá komplikované debnenie trámov a prievlakov). o

Ďalšou nezanedbateľnou výhodou je, že sa znižuje konštrukčná výška podlažia. Jednou z nevýhod je komplikovanejší výpočet. V praxi sa tento problém často podceňuje, čo má za následok poruchy, drahé a komplikované sanácie. Najstarší a najviac rozšírený spôsob dimenzovania podľa medze pretlačenia je založený na napätí s na definovanom povrchu okolo plochy, na ktorej sa prenáša sústredené zaťaženie (obvykle v tzv. kritickom priereze) a jeho porovnaní s hodnotou fiktívnej šmykovej pevnosti betónu v pretlačení Rpq. Tento spôsob síce málo súvisí s vlastnou fyzikálnou podstatou pretlačenia, ale je jednoduchý a pri vhodne zvolenej hodnote Rpq poskytuje primeranú predpoveď medze porušenia. Vzhľadom k metodike zavedenej v STN 73 1201 / 86 sa však neporovnávajú veľkosti napätí, ale veľkosti posúvajúcich síl vztiahnuté na jednotku dĺžky kritického obvodu. Pokiaľ okolo plochy, na ktorej sa prenáša sústredené zaťaženie, nevzniknú šmykové trhliny, je samotný betón schopný prenášať vznikajúce napätie v pretlačení a nie je teda treba žiadne vystuženie na pretlačenie. Platí podmienka: (4.2.3.2.1) qd  max  qpd  qbu Po vzniku trhlín prenáša silu na medzi pretlačenia betón a šmyková výstuž, ktorých celková výpočtová posúvajúca sila na medzi pretlačenia je vyjadrená hodnotou qu. (4.2.3.2.2) qd  max  qpd  qu kde qd,max maximálna posúvajúca sila vztiahnutá na jednotku dĺžky obvodu kritického prierezu vyvodená extrémnym zaťažením qpd posúvajúca sila vztiahnutá na jednotku dĺžky obvodu kritického prierezu vyvodená posúvajúcou zložkou extrémnej hodnoty základnej predpínacej sily qu výpočtová posúvajúca sila na medzi pretlačenia, vztiahnutá na jednotku dĺžky kritického prierezu qbu výpočtová posúvajúca sila prenášaná na medzi pretlačenia betónom vztiahnutá na jednotku dĺžky kritického prierezu (4.2.3.2.3) qdmax qd qdp  qmd kde qd - zložka sily na jednotku dĺžky kritického obvodu vyvodená posúvajúcou silou Qcd pôsobiaca v kritickom priereze q qd

Q cd U cr

(4.2.3.2.4)

Qcd - posúvajúca sila od extrémneho zaťaženia pôsobiaca v kritickom priereze Ucr - kritický obvod qmd - zložka sily na jednotku dĺžky kritického prierezu vyvodená ohybovým momentom Pretlačenie je porušenie dosky vyvolané sústredeným zaťažením. popr. podporovou reakciou dosky. Pri pretlačení vzniká posun v ploche porušenia. Priebeh plochy porušenia možno zhruba vystihnúť teoretickou plochou porušenia, ktorá zviera s rovinou dosky uhol  . Veľkosť uhlu  závisí na spôsobe zaťaženia, vystuženia dosky atď. Hodnota  sa pohybuje v medziach 25o – 45o, v STN 73 1201 / 86 je povolená bezpečná hodnota uhlu 45o. Plocha vzdorujúca porušeniu sa stanoví pomocou tzv. kritického prierezu v pretlačení. Tento prierez pri doske z hrúbkou hs je vedený kolmo na rovinu dosky vo vzdialenosti 0,5.hs od hrany styčnej plochy tak, aby jeho obvod bol minimálny. Za styčnú plochu pritom považujeme plochu s minimálnym obvodom tesne priliehajúcu ku skutočnej styčnej ploche, v ktorej sa zaťaženie prenáša. Obvod sa dovoľuje za vyššie uvedených podmienok nahradiť obdĺžníkom. Príklad stanovenia plôch a náhradných obvodov kritického prierezu, 1 - styčná plocha pre stanovenie účinkov pretlačenia, 2 - obvod kritického prierezu, 3 - náhradný obvod kritického prierezu v tvare pravouholníka. Sily v kritickom priereze Vzhľadom k tomu, že sa vyšetruje silový účinok zaťaženia (posúvajúca sila) v kritickom priereze, musí sa vyjadriť ohybový moment Mcd vzhľadom k ťažisku obvodu

kritického prierezu Ccr. Pokiaľ je ohybový moment Mcd malý, možno jeho vplyv pri posúdení pretlačenia zanedbať. M cd  0.2  Q cd  h s (4.2.3.2.5) V kritickom priereze sa posúvajúca sila Qcd prenáša šmykovými silami, a ohybový moment Mcd jednak šmykovými silami (moment Mcqd ), ako aj normálovými silami (moment Mcnd). Mcd Prenášanie ohybových momentov v kritickom priereze šmykovými a normálovými silami (obr. 4.2.3.2.2). Šmykové sily prenášajúce moment c2 c1 Mcqd sú zvislé a vodorovné. Pri doskách malých hrúbok je účinok vodorovných šmykové šmykových síl zanedbateľný, uplatní sa sily normálové iba v tých prípadoch, kde hrúbka dosky u c1 sily hs u c2 je zrovnateľná s rozmermi kritického prierezu. Vzťahy pre rozloženie Obr. 4.2.3.2.2 momentu Mcd na Mcqd a Mcnd boli odvodené na základe výsledkov skúšok prevedených Q cd prevažne na štvorcových, prípadne obdĺžnikových Mcd styčných plochách. Stredný stĺp (4.2.3.2.6) ucr 2   uc1  uc2 Icr

uc13 6



 2

uc2  uc1

(4.2.3.2.7)

Ak uvažujeme vodorovné šmykové sily, potom vzťah lcr doplníme o člen uc1  Icr

uc13 6 Q cd

q da

u cr

Q cd

q db

u cr

 



hs2 6

 2

uc2  uc1 2

 uc1 





hs2 6

M cd  1   n  s I cr





M cd  1   n  s I cr

hs /2 c2 uc2 hs /2 c1 uc1

(4.2.3.2.8)

q da

q db

u c2

(4.2.3.2.9)

u c1

(4.2.3.2.10)

Obr. 4.2.3.2.3

Obvodový stĺp Príklad priebehu posúvajúcich síl Qd v kritickom priereze (a - stredný stĺp, b - obvodový stĺp) (4.2.3.2.11) ucr 2  uc1  uc2 sa

uc12

uc1  s a

0.5 c 1  hs  s a

Icr



Q cd

(4.2.3.2.12)

ucr

(4.2.3.2.13) (4.2.3.2.14)



hs /2 c2 uc2 hs /2 c1 uc1

hs /2

 3  sb3   uc2  sa2

  s a

doplní o člen uc1 

hs 6

hs /2

q da c g e1 c cr sa

Mcd

(4.2.3.2.15) Ak uvažujeme vodorovné šmykové sily, potom Icr sa 3

hs /2

u c1

u c2

Obr. 4.2.3.2.4

Icr

2 3

 

  s a Q cd

q da

u cr



 

 sb

hs2

  uc2   s a  uc1  6

3

M cd  Q cd  e 1  1   n  s ab I cr

(4.2.3.2.16) (4.2.3.2.17)

Z momentu Mcd sa prisúdi: 1) posúvajúcim silám pôsobiacim v kritickom priereze rovnobežne so smerom sily Qcd časť (4.2.3.2.18) Mcqd  1   n   Mcd 2) normálovým silám pôsobiacim kolmo na rovinu kritického prierezu časť (4.2.3.2.19) Mcnd  n  Mcd n

(4.2.3.2.20)

2 uc1 1  3 uc2

Výpočtová posúvajúca sila na medzi pretlačenia sa stanoví zo vzťahu: qu qu

1 2

 qbu  qsu

..... podľa STN zmena z r. 1994 s obmedzením qu  2  qbu - únosnosť betónu

qbu  qsu

kde qbu qbu

(4.2.3.2.21)

0.42 hs  s  h   n   b  Rbtd

qsu -

únosnosť výstuže

qsu

ns ss ass  s Rsd

(4.2.3.2.22) (4.2.3.2.23)

- pre strmienkovú vystuž qsu

 

nb  asb sin  b   s Rsd

(4.2.3.2.24)

- pre ohyby Skryté hlavice používané pri bezhlavicových stropných doskách sú zabudované do dosky a zosilňujú dosku v oblasti lokálneho podporujúceho prvku. Najčastejšie používanými typmi skrytých hlavíc sú manžetové a roštové (obr. 4.2.3.2.5). Oceľová manžetová skrytá hlavica je tuhý zvarovaný prvok z valcovanej oceli menších pôdorysných rozmerov, ktorá síce nezvyšuje únosnosť dosky v ohybe ale účinným spôsobom zväčšuje kritický prierez dosky v pretlačení za obvod manžety. Oceľová roštová skrytá hlavica pozostáva z navzájom kolmých ramien, tvorených jedným alebo dvomi valcovanými I profilmi, ktorých ramená musia spojito prechádzať a) c) b) cez podporujúci prvok. h Okrem zväčšeného <h kritického obvodu dosky válcované profily I v pretlačení spolupôsobia oceľové ramenná roštu aj pri prenášaní podporových ohybových momentov dosky. Bezhríbové lokálne podopreté dosky je ekonomické navrhovať pre Obr. 4.2.3.2.5 Skryté oceľové hlavice a) manžetová, b) a c) roštová menšie hodnoty

úžitkového zaťaženia v rozmedzí v = 1,5 až 5 kN/m2. Hríbové dosky sú výhodné pre náhodilé zaťaženia v >10 kN/m2. Osová vzdialenosť lokálnych podpôr sa volí obvykle vo rozmedzí 5 až 9 m (častejšie do 7,5 m). Riešenie hlavíc (skryté, viditeľné) a) Oceľové hlavice - prierez oceľových hlavíc a rozmery zvarov a skrutiek sa stanovia podľa STN 73 14 01 - ak pri návrhu skrytých hlavíc nepoužijeme teóriu pružnosti, môžeme použiť nasledovný postup: - predpokladáme rovnomerne rozloženú silu "q" po obvode "u" q

Q cd

(4.2.3.2.25)

- každý konzolovito vyložený prvok oceľovej skrytej hlavice musí mať tuhostný pomer: Ea  Ia

0.15   a

Eb  Ib

 0.30

(4.2.3.2.26)

- každý konzolovito vyložený prvok oceľovej skrytej hlavice roštovej alebo rebrovej prenášajúci zaťaženie do betónového stĺpu musí v líci lokálnej podpory preniesť: 1) posúvajúcu silu Q ad

Q cd

(4.2.3.2.27)

2) ohybový moment M ad

Q cd n

 a max

(4.2.3.2.28)

- pri konzolovite vyloženom prvku rebrovej hlavice je treba posúdiť súdržnosť medzi vyloženým prvkom a betónom, a to vo vzdialenosti 0.5 hs od líca podporujúceho prvku, napätie v súdržnosti b

Q cd  S i l iua

(4.2.3.2.29)

Konštrukčné ustanovenia a) Oceľové skryté hlavice je potrebné navrhovať tak, aby bolo možné uloženie vodorovnej aj zvislej výstuže, a bolo zaručené dostatočné zhutnenie betónu. b) Rebrová hlavica má mať najmenej osem rebier privarených ku kruhovej objímke - rebrá musia byť aspoň rovnakej kvality ako obruč - obruč musí mať o 30% väčšiu hrúbku ako rebrá - presahovaľ nad dosku najmenej o polovicu výšky rebra - mala pod dolným okrajom v oblasti uloženej plochy roznášaciu zvarovanú rohož. Viditeľné hlavice Hlavice - rozširujú podporu v oblasti uloženia a pomôžu tak prenosu šmykových napätí - rozšírenie má byť viac ako 1:3 - dĺžka viditeľnej časti má byť väčšia ako 0.25 Lmin - sú vhodné pre zaťaženia vd  10 kN  m 2 - nevýhodou je menšia tuhosť na vodorovné zaťaženia - najvhodnejšie je, ak stĺpy tvoria štvorcovú sieť a ich osová vzdialenosť je 5 - 12 m - doska má byť spojitá min. o troch poliach v oboch smeroch - pre výpočet je potrebné použiť exaktné metódy, alebo približné vychádzajúce z teórie pružnosti- vystužovať môžeme viazanou výstužou, sieťami alebo výstužnými košmi, pričom  min 0.002

4.2.3.3 Statický výpočet lokálne podopretých dosiek Pokiaľ sa nepoužije presné riešenie, možno postupovať v statickom výpočte podľa zjednodušenej metódy. Skutočný priebeh ohybových momentov v doske s lokálnym podopretím sa líši od priebehu vypočítaného podľa teórie lineárnej pružnosti, pretože ten neprihliada na redistribúciu namáhaní a na vznik trhlín. Preto sa v bežnej praxi používa pre navrhovanie týchto stropov zjednodušený výpočet. Ak stĺpy sú monoliticky spojené s doskou, tvorí zjednodušený výpočtový model náhradný rám, ktorý prenáša zaťaženia z polovice šírok doskových polí, priľahlých k rovinnému rámu v osi lokálnych podpier (obr. 4.2.3.2.6). Vnútorný náhradný L 2 rám

Definícia náheradných rámov x

L2 2

L2 H

L3 2

H H L1 L2 L

Stlpový pruh L1/4

Stlpový Medzistlpový pruh pruh L1 /4 L1

Náhradný rám

Vnútorný náhradný rám Vonkajší náhradný rám

Medzistlpový pruh Stlpový Stlpový pruh pruh

L2 /4 L2 /4

B M AB

L2 /4 L2 /4

C M CD

M cc'

l1 /2

<0,25d

Obr. 4.2.3.2.6 Definovanie náhradných rámov Obr. 4.2.3.2.7 Definovanie pruhov <0,75d Pre účel praktického navrhovania d d rozdeľujeme pôdorys doskového poľa kolmo 0,7d na vyšetrovaný smer, na stĺpový a b 1,2.d <0,25d 2d o<1/20.d medzistĺpový pruh (pozri obr. 4.2.3.2.7). Pri lokálne podopretých doskách dochádza k porušeniu pretlačením dosky stĺpom, pričom opatrením je použitie šmykovej výstuže. Alternatívne usporiadanie šmykovej výstuže <0,25d lokálne podopretých dosiek v oblasti pretlačenia výstužnou zvarovanou kostrou v tvare mrežoviny a) a viazanou výstužou b) je uvedené na (obr. 4.2.3.2.8). V prílohe L sú Obr. 4.2.3.2.8 Varianty šmykovej výstuže uvedené výkresy výstuží bezprievlakovej proti porušeniu pretlačením a) z mrežovín, b) z viazanej výstuže dosky. Príklad : Výpočet monolitickej železobetónovej bezprievlakovej dosky Geometrický tvar -hrúbka dosky l y=6 m ly ly ly ly h d 220mm -osové vzdialenosti medzi stĺpmi :

-konštrukčná výška objektu : k v 2.850m - rozmery stĺpov : bs

400mm

l1 /2 l2 /2 l2 /2

6 m

l1 /2

Krajný rám

l1 /2

3.6m

Rám 2

2.16m

7.2m

Rám 1

Výpočet zaťaženia  Plošné zaťaženie - železobetónová doska hrúbky 220 mm :

- vrstvy podlahy : - úžitkové zaťaženie (byty) :

 Silové zaťaženie - obvodové murivo hrúbky 400 mm: Celkove bremeno pôsobiace na konzole : Vyšetrovanie náhradného rámu v smere osi x rám 1 -zaťažovacia šírka v smere kolmom na smer x : ly

-zaťaženie v smere osi x : q dx

q d zs x

70.5

h d 25

q 1d

3

Celkove zaťaženie na 1 m 2 stropu:

zs x

q do

kN m

F 1d l k  q dx

Strednej priečle náhradného rámu: Stĺpu :

Ip I st

M 911o M 97o



 q dx l 1

12 0 kN m

0 kN m

 1.2

m kN 1.5  1.4 2 m

3.6

F 1d

kN 2

m kN 2.1 2 m

10

11.75

kN 2

 k v l y 400 mm 1.2

82.08 kN

82.08 kN qdx

Rám 1

F1d

qdx

F1d

qdx

F1d

qdx

F1d

qdx

F1d

341.755kN  m

l y h

3 d

1 12

3

Ohybové tuhosti : 4

5.324  10  m

3 4

5.324  10 m

 b s h s

Primárne momenty v UZLE 9 : M 910o

6.05

q do  q 1d  v d

Momenty zotrvačnosti :

Priečle náhradného rámu:

 1.1

Výpočet vnútorných síl Moment na konzole : Mk

K st 3 4

5.208  10 m

Ip l1

 l 2 kv

0.739 kN

rad m

I st

 1000  1000

 1000

kN 2

rad m

rad

1.479 kN

rad m kN

1.827 kN

m rad

Primárne momenty v UZLE 10 :

M 109o

M 1010ò



M 97 kN m

M 97o  K s 3  9 rad

M 911 kN m M 910 kN m M 108 kN m





 q dx l 1 1

  M 910o  K p  2  9 rad   10 rad  M 108o  K s  3  10 rad 

Podmienky rovnováhy : UZOL 9: UZOL 10:

 q dx l 2

M 109 kN m

M 911o  K s 2  9 rad

0 kN m

M 108o

M 1012o

0 kN m

M 10'10o

M 1010ò



M 109o  K p 2 

10 rad



M 1012 kN m

M 1012o  K s 2 

M 1010' kN m

M 1010ò  K st 

M 10'10 kN m

  9 rad

10 rad



 10 rad M 10'10o  K st   10 rad

M k  M 97 kN m  M 910 kN m  M 911 kN m

0 kN m

M 109 kN m  M 1012 kN m  M 1010' kN m  M 108 kN m

0 kN m

Vypočítané momenty v jednotlivých prútoch z podmienky rovnováhy : M 910  321.675kN m

M 10'10

M 1010'

103.87 kN m

M 109

275.205 kN m

Výpočet priečnych síl v jednotlivých prútoch : l1

Q 910o

q dx

Q 109o

Q 910o

 l1  4

q dx 

Q 1010ò

Q 910

Q 910o 

Q 109

Q 109o 

Q 1010'

M 910  M 109 l1 M 910  M 109 l1

260.254kN  247.346 kN

Q 1010ò

Max. moment medzi 9-10 M.max : a

Q 910

l1 Q 910  Q 109

3.692 m

M max

Q 910 a  M 910  q dx 2

158.696kN  m

Maximálny moment medzi 10-10 M str : M str

 l2   l1 2 Q 1010'  M 1010'  q dx 4

10.34 kN m

Transformácia momentov pre časti stĺpových pásov a medzistĺpových pásov 321.675 kN m

M 910

M c'

M max 1.25

M 109

M str 1.25

198.369kN  m

275.205kN m 12.925 kN m

Podporové momenty : M 1a M 2a

 p M a

241.256 kN m

1  p Ma

kde p = 0,75

80.419 kN m

Kladné medzipodporové momenty : 119.022kN  m



75%

25%

M2a

40%

68.801 kN m

60%

M1b

A2sb

A1sa

 1   p  M b

M1a

A3sc

ly ly ly ly

A2sa

206.403 kN m

Návrh výstuže

Rám 1

M 2b

79.348kN  m

75%



 p M b

25%

M c' 1   m

M4c

M 4c

M 1b

kde m = 0,60

M3c

M c'  m

M2b

M 3c

A1sb

A4sc

Rez 1-1

Vyšetrovanie náhradného rámu v smere osi y rám 2 Rám 2

Mc2

Ma1

40%

A2sc

M'c +25%=Mc

A2sa

Ma1

60%

75% 25%

A2sa

Ma2 Mc1

M'c +25%=Mc

l1 /4 l1 /4

Ma2

M'c +25%=Mc

1 A1sa

q 2d

A1sc

l2 /4

M'c +25%=Mc

75%

M'c +25%=Mc

l2 /4

25%

l y =6 m

Výpočet zaťaženia

q2d

A1sa

1 q d   l 1  l 2 2

63.45

kN m

Výpočet vnútorných síl - podporový : 1 2 M a    q 2d l y 190.35 kN m 12   -medzipodporový : M c'

1 16

 q 2d l y

142.763kN  m

-zväčšený medzipodporový

Rez 1-1

Transformácia momentov pre časti stĺpových pásov a medzistĺpových pásov p = 0,75 - podporové z M.a M a1 M a2

 p M a

142.762 kN m

 1   p  M a

47.587 kN m

- medzipodporové z M c M c1 M c2

 m M c

107.072kN  m

 1   m  M c

71.381kN  m

m = 0,60

M c' 1.25 178.453kN  m

Vyšetrovanie krajného náhradného rámu Krajný rám Mka

Mka

M'kc+25%=M kc

Mka

M'kc+25%=M kc

Mka

M'kc+25%=M kc

Mka

M'kc+25%=M kc

Mk4a

l1 /4 l1 /4

Mk3a

Aexsa Aks3a

Mexta

Mk3c

Mextc Mk4c

Mk4a Mexta

l y =6 m

Mka

Aexsa Aks3a Aexsc Aks3c

Krajný rám Mk3a

Výpočet zaťaženia -zo stropu : l1 kN  q 3do q d  l k   67.68 m 2   - obvodové murivo hrúbky 400 mm

qkd

Aks4a

Rez 1-1

Aks4a

10

M ka



1 12

q

2 kd l y

 k v 400 mm 1.2

13.68 kN m

Celkove zaťaženie náhradného rámu : q kd

Výpočet vnútorných síl - podperový :

q 3do  F 1

81.36

kN m

- medzipodperový :

244.08 kN m

M kc

1 16

 q kd l y

183.06kN  m

Tranformácia momentov pre časti stĺpových pásov a medzistĺpových pásov - šírka stĺpového pásu : b p3

lk 

l1 2

5.76m

- podperové : M ka  lk  M exta   1  2  4  b p3  M inta

M ka  M exta

M k4a

 p M inta

M k3a

106.785 kN m

137.295 kN m

102.971 kN m

1   p M inta

34.324 kN m

- medzipodperové : M kc  lk  M extc   1  2  80.089 kN M 4  b p3  M intc

M kc  M extc

M k4c

 m M intc

M k3c

102.971kN  m

61.783kN  m

1   m M intc

41.188 kN m

Vyľahčené stropné dosky Významná možnosť racionalizácie návrhu doskových stropných konštrukcií ponúka ich vyľahčenie. Dosky plného prierezu majú síce výhodne jednoduché debnenie a rovný podhľad, ale s narastajúcim rozpätím sa nepriaznivo prejavuje veľká vlastná tiaž. Vyľahčenie doskových konštrukcií sa navrhuje tak, aby zostala čo najmenej dotknutá účinná 1157 20 výška a tlačená oblasť prierezu. Priebežné alebo a) 20 nepriebežné dutiny podľa (obr. 4.2.4.1a) sa preto DEBNIACI DIELEC umiestňujú blízko stredu výšky dosky a sú 1197 b) použiteľné pri doskách vystužených v jednom smere. Pre dosky vystužené v dvoch smeroch sa 600 600 vytvárajú pomocou zabetónovaných alebo c) oddebňovacích dielcov kaziet (pozri obr. 4.2.4.1b) Pri návrhu vyľahčenia je nutné dbať na 300 300 300 to, aby si konštrukcia uchovala čo najviac KERAMICKÁ PREFABRIKOVANÝ VLOŽKA TRÁMIK charakteristické znaky kontinuálneho chovania plných dosiek. Najčastejšie používaným vyľahčeným stropom je spriahnutá dosková Obr.4.2.4.1 Vyľahčenie dosiek a) konštrukcia z trámikov a vložiek (obr. 4.2.4.1c), dutinami, b) debniacimi dielcami, ktorý sa vytvára z betónového prefabrikovaného c) keramickými tvarovkami 250

350

250

4.2.4

Vnútor ná podper

Krajná podpera

trámika, stropných keramických alebo betónových vložiek a dobetonávky, príp. nadbetonávky. Prefabrikovaný trámik sa vyhotovuje ako prostý železobetónový prvok, pozostávajúci z priestorovej priehradovej výstuže, prípadne doplnenej o pozdĺžnu výstuž a z tenkostenného betónového spodného pásu. Jeho malé rozmery umožňujú kladenie ručné, resp. s minimálnou mechanizáciou. Ukážka stropnej konštrukcie z keramických tvaroviek je uvedená na v prílohe L. Stykovanie sietí Kotvenie sietí v prvkoch Miesto kotvenia Kotevné dĺžky Priame Nepriame uloženie uloženie l3 l 3 > lbd > l / 2 bd l3 > 10 ds >5 ds l4

l4 > 10 ds l5 > 6 ds

SP1,2

Stykovacia dĺžka Namáhanie Stykovacia dĺžka lj 1) ťah tlak

lj = j . ps . lbf 3) lj = ps . lbf 3)

ťah tlak

lj = 1,25 j . ps . lbf 3) lj = 1,25. ps . lbf 3)

Spôsob stykovania presahom v jednej rovine presahom v dvoch rovinách

lj lj

súčastne musí vždy platiť lj > 20. ps . ds 2|; lj > 200 mm pri dvojitých drôtoch sa prenásobuje 1,41 x 3) vždy sa uvažuje koncová úprava B 1)

j Podiel stykovanej výstuže Asj na celkovej ploche výstuže As v jednom stykovacom mieste

j

Asj / As < 0,33

1,0

0,33 < Asj / As < 0,67

1,33

Asj / As > 0,67

1,66

Stykovacie miesto jedna vrstva

Jedno (j =1,66)

dve vrstvy

<1,3.l j

Dve (j <1,66)

>1,3.l j

ps

< 250 alebo > 300 nie sú splnené kritéria prvého riadku pri ťahanom debnení bez ohľadu na polohu výstuže

ps

b (mm)

a (mm)

Poloha výstuže v oblasti kotvenia a obsah zámesovej vody

 alebo

> 45 o

1,0 1,5

nie sú splnené kritéria prvého riadku a súčasne ide o betón so zvýšeným obsahom zámesovej vody

2,0

lbf Koncová úprava

B15

B 2) SP1 SP2

l bd 0,1.l bd

lbf / ds 1) B20 B30

> B40

<1,23 ds ds l bd /2

< 0,5.d s

pri zdvojených drôtoch sa hodnoty prenásobia 1,41 x sieť má tzv. dlhý presah drôtov alebo priečne drôty nespĺňajú geometrické kritéria koncových úprav SP o polohe, počte a priemere priečnych drôtov v rámci dĺžky lbd 2)

4.3 Schodiská schodiskové rameno

Rozoznáme dva základne druhy schodísk a) Samonosné schodiská b) Podporované schodiská Definovanie terminológie používanej v nasledovných statiach je uvedené na obr.4.3.1.

podestový nosník schodnica schodisková podesta schodiskové rameno

Obr.4.3.1 Definovanie terminológie

4.3.1 Samonosné schodiská Schodiskové rameno je konzolovo votknuté do podperných systémov s podporami vonkajšími (obr. 4.3.1.1a) alebo vnútornými (obr. 4.3.1.1b), a to napr. do schodiskovej murovanej steny, betónovej steny alebo do schodnice. Dĺžka vyloženia sa navrhuje obvykle do 1,5 m. Pri uložení ramena do murovanej konštrukcie musí byť hrúbka muriva aspoň 300 mm a hĺbka votknutia aspoň 1/5 vyloženia ramena. Schodište sa betónuje súčastne s murovaním schodiskovej murovanej steny, prípadne s betonážou steny. Do zatvrdnutia malty muriva a do vyhotovenia dostatočne vysokého nadmurovania musia byť volné konce stupňov podoprené.

(a)

(b)

Obr. 4.3.1.1 Podporné systémy a) vnútorné, b)vonkajšie

a) Schodiskové rameno s nosnými stupňami votknutými jednostranne Dimenzovanie Murovaná stena Pri votknutom stupni podľa (obr. 4.3.1.2) sa zvislé zaťaženie rozloží do dvoch zložiek. Jedna pôsobí b1 rovnobežne so spádom ramena Strmienky Hlavná výstuž a druhá kolmo na ňu. Druhá zložka namáha stupeň v mieste votknutia ohybovým momentom Md

1 2





 g st.d  v st.d  l

 cos   

(4.3.1.1)

(gST,d +vST,d ).cos 

Schodnica (gST,d +vST,d ).cos 

 gST,d +vST,d

kde

Obr. 4.3.1.2 Schodiskové rameno s nosnými stupňami jednostranne votknutými do murovanej steny a schodnice gst.d (vst.d) - extrémne stále (náhodilé) zaťaženie, pôsobiace zvislo na 1 m dĺžky jedného stupňa vzťahujúceho sa na šírku b stupňa, l - vyloženie,  - uhol sklonu schodiska Stupeň sa dimenzuje ako obdĺžnikový prierez šírky b1 = b/cos(a účinnejvýške he. Zložka (gst.d +vst.d) .sin() pôsobí rovnobežne so spádom ramena a namáha schodiskové rameno s n-stupňami ako konzolu s výškou prierezu n x b1 votknutú do muriva. Vzhľadom na malé namáhanie tejto šmykovo a ohybovo tuhej konzoly sa väčšinou účinky uvedenej zložky zaťaženia na napätosť stupňov zanedbávajú. Ak je schodiskové rameno jednostranne votknuté do schodnice podľa (obr. 4.3.1.2), tak je namáhaná ohybom, šmykom a výrazným krútiacim účinkom. Vystužovanie Nosnú výstuž stupňa zvyčajne tvorí jedna zložka, umiestnená v rohu stupňa. Pretože ťahová výstuž neleží v osi náhradného prierezu, je stupeň namáhaný tiež krútením. Strmienky je teda potrebné navrhovať tak, aby obopínali celý prierez stupňa. Usporiadanie výstuže musí zodpovedať zásadám stanoveným pre jednostranne votknuté trámy. b) Schodiskové rameno s konzolovou doskou Doska, ktorej hrúbka sa navrhuje najmenej 1/10 vyloženia, pôsobí ako konzola, prenášajúca dodatočne betónované stupne a ostatné zaťaženie. Votknutie môže byť do muriva, betónovej steny alebo do schodnice. Dimenzovanie a vystužovanie Výpočet konzolovej dosky podľa (obr. 4.3.1.3) je podobný ako pri schodiskovom ramene s nosnými stupňami. Väčšinou sa však počíta pre 1 m šírky šikmej dosky. Na šikmej doske sa vymedzí pruh o šírke b1 = 1 m a zvislé zaťaženie gd a vd sa stanoví z adekvátneho zvislého pruhu o šírke b = b1 cos(). Zvislé zaťaženie sa rozloží do dvoch zložiek, z ktorých zložka pôsobiaca smerom kolmým ku strednicovej ploche, tj. (gd + vd).cos(), namáha dosku v mieste votknutia ohybovým momentom Md

1 2





 g d  v d  l  cos    2

(4.3.1.2)

Stupeň Hlavná výstuž

Rozdeľovacia výstuž Doska l vd b = b 1 .cos  he



1 b 1=

(gd+vd).cos 

gd+vd

Obr. 4.3.1.3 Schodiskové rameno s nosnou doskou jednostranne votknutú

kde gd (vd) – extrémne stále (náhodilé) zaťaženie stanovené z vymedzeného pruhu o šírke b, pôsobiaceho na 1 m dĺžky vyloženia ramena Doska sa dimenzuje ako obdĺžnikový prierez o šírke b1 = 1 m a účinnej výške he. Usporiadanie výstuže musí zodpovedať zásadám stanoveným pre jednostranne votknuté nosníkové dosky. c) Schodiskové rameno so strednou schodnicou Nosné stupne alebo nosná doska s dobetónovanými stupňami, pôsobia ako konzoly prenášané schodnicou (obr. 4.3.1.4).

Hlavná výstuž l

l Schodnica

Dimenzovanie (g +v ).cos   Stupne sa dimenzujú na účinky zvislých 1m extrémnych stálych zaťažení gd a náhodilých b 1= g +v (g +v ).cos  zaťažení vd   Nosné stupne a nosná doska sa dimenzuje g +v na účinky zložky zaťaženia gd+vd, ktorá pôsobí kolmo ku spádu ramena. Obr. 4.3.1.4 Schodiskové rameno so Zložka zaťaženia sa uvažuje: strednou schodnicou - (gST.d + vST.d).cos(), ak dimenzujeme nosný stupeň - (gd + vd).cos(), ak dimenzujeme nosnú dosku (obr. 4.3.1.4) d

ST,d

Vystuženie nosných stupňov alebo nosnej dosky musí vyhovovať zásadám stanoveným pre jednostranne votknuté trámy, prípadne pre jednostranne votknuté nosníkové dosky. Je samozrejmé, že schodnica bude namáhaná ako ohybom a šmykom, tak aj krútením od účinkov jednostranných náhodilých zaťažení k ťažisku prierezu schodnice. 4.3.2 Podporované schodiská Schody so šírkou schodiskového ramena väčšou ako 1,5 m je vhodné podoprieť na oboch koncoch.

Obr. 4.3.2.1 Schéma schodov obojstranne podporované Zaťaženie Zaťažené schodiskové rameno sa správa ako doska (alebo nosný stupeň) prenášaná murivom, stenou alebo schodnicou. Zvislé extrémne zaťaženie stále gd a náhodilé vd sa vyjadrí - na šírku stupňa b, tak ako je to uvedené na (obr. 4.3.1.2), ak je rameno navrhnuté z nosných stupňov - na šírku zvislého pruhu o šírke b = b1 .cos() vymedzujúci na šikmej doske pruh o šírke b1 = 1 m, tak ako je to uvedené na (obr. 4.3.1.3), ak je rameno navrhnuté ako nosná doska V oboch prípadoch sa zvislé zaťaženie gd + vd rozloží do dvoch vzájomne kolmých zložiek, z ktorých zložka pôsobiaca kolmo ku spádu ramena (tj. (gd + vd).cos())namáha stupeň alebo dosku ako nosník s možnými statickými schémami uvedenými na (obr. 4.3.2.1). Druhá zložka (tj. (gd + vd).sin()) sa bezpečne prenesie schodiskovou doskou, tuhou vo svojej rovine.

Dimenzovanie Výstuž v poli sa dimenzuje na ohybový moment Md





 g d  v d  l  cos    8

b b 1=

(4.3.2.1)

/ co

s

xu b

kde gd (vd) – extrémne stále (náhodilé) zaťaženie - na šírku b stupňa, ak dimenzujeme nosný stupeň - na pruh o šírke b = b1.cos(), ak sa dimenzuje nosná doska l - vyloženie schodiskového ramena  - uhol sklonu ramena

A bc (gd+vd).cos 



gd+vd

Obr. 4.3.2.2 Nosný stupeň schodov obojstranne podopretých

Účinok tuhosti schodníc v krútení možno v statických schémach na (obr. 4.3.2.1) zohľadniť nahradením prostého podopretia čiastočným votknutím. Potom moment v mieste čiastočného votknutia sa približne vyjadrí vzťahom Md

1





 g d  v d  l  cos    20 2

(4.3.2.2)

Nosný stupeň na účinky kladných momentov Md sa posudzuje ako prierez všeobecného prierezu (obr. 4.3.2.2). Plocha Abc tlačeného betónu sa stanový z rovnováhy síl: (4.3.2.3) Nst = Nbc A bc

Ast s Rsd = Ab b Rbd =>

A st   s  R sd

(4.3.2.4)

 b  R bd

a z geometrických podmienok: y1

A bc

(4.3.2.5)

1 2

yy1

(4.3.2.6)

Potom y

2  A st   s  R sd  h  b  R bd  b

(4.3.2.7) Podmienka spoľahlivosti: Md < Mu = u .Ast.s.Rsd.zb

y  cos   

(4.3.2.8)

4.3.3 Schodnice Schodnica pôsobí ako šikmý nosník s lomenou alebo nelomenou strednicou (obr. 4.3.3.1), podopretý aspoň na dvoch miestach a prenášajúci účinky schodiskového ramena alebo tiež účinky medzipodest. Pokiaľ tuhosť podpôr voči možnému pootočeniu sa nemôže spoľahlivo stanoviť, je vhodnejšie predpokladať skôr prosté podopretie ako čiastočné votknutie.

he

2 3

 xu

(4.3.2.9) (4.3.2.10)

(a)

(b)

Obr. 4.3.3.1 Statické schémy schodníc

q Výpočet statických veličín Q, M, N na šikmom nosníku Q Qx podopretom vľavo kĺbom a vpravo posuvnou podporou je uvedený na (obr. 4.3.3.2). x B B Zaťaženie  l Určiť extrémne zaťaženie na lomenú schodnicu možno  os A.c B x= = nasledujúcim spôsobom: x Bx A A Q a) Stále zaťaženie: x M ma - pre šikmý úsek l1 schodnice sa stanoví rovnomerné A x M 2 zaťaženie g1d = Q1d / l1, kde Q1d je náhradné bremeno  .l os c . q . zahrňujúce tiaž konštrukčných prvkov schodiska 1/8 x= M ma (schodnice, dosky, stupňov) na úseku l1, pripadajúcu Obr. 4.3.3.2 Určenie priebehu na vyšetrovanú schodnicu M,N,Q na šikmom nosníku - pre vodorovný úsek schodnice sa určí g2d=Q2d / l2, kde Q2d je náhradné bremeno zahrňujúce tiaž schodnice, prenášajúcej podestové dosky spolu s povrchovými úpravami, pripadajúcich na úsek l2 vyšetrovanej schodnice b) Náhodilé zaťaženie: - na úseku schodnice l1 sa stanoví v1d = V1d / l1 , V1 = 0,5.bR.l.vd kde vd je extrémne úžitkové zaťaženie (kN/m2) stanovené podľa zaťažovacej tabuľky Q 2d

g 1d´

g 1d

cos   

Q 1d l

(a)

(c)

v1d



g1d A

(b)

 os A.c x=

=B Ax l

(d)

bR /2

g 2d +v2d A

Q A A x M M max

Obr. 4.3.3.3 Riešenie lomenej schodnice v 1d´

(4.3.3.1)

v2d g2d

g´1d +v´1d

Výpočet statických veličín Q, M, N na lomených nosníkoch sa vykoná podľa zásad statiky. Zjednodušený spôsob výpočtu Q, M, N na nosníku sa vykoná nahradením lomeného nosníka podľa (obr. 4.3.3.3c) nosníkom priamym podľa (obr. 4.3.3.3d), pričom zaťaženie pripadajúce na vodorovnú časť lomeného nosníka sa neupravuje a zaťaženie pripadajúce na šikmú časť nosníka sa upraví nasledovne:

Q1d (V1d)

v 1d

cos   

V 1d

(4.3.3.2)

l 2x zalomenej Vystuženie l schodnice s prostým uložením Statická schéma v podporách je uvedené na (obr. N Konštrukčná výstuž 4.3.3.4). Usporiadanie výstuže N R Hlavná výstuž schodníc sa vykonáva podľa N zásad platných pre trámy. Strmienky Konštrukčnou úpravou výstuže l N R schodníc v oblastiach ich l zalomenia sa musí zabrániť možnému vytrhnutiu pozdĺžnej Obr. 4.3.3.4 Spôsob vystuženia schodnice výstuže. K vytrhnutiu výstuže by mohlo dôjsť v prípade, keď vektor R výsledníc Ns normálových napätí ťahanej výstuže pôsobí smerom von z prierezu v mieste zalomenia schodnice. Konštrukčná úprava vložiek v mieste nepriaznivého zalomenia schodnice sa vytvorí prerušením výstuže a jej zavadením do protiľahlých tlačených oblastí betónu. bd

4.3.4 Doska podesty Doska podesty je obvykle prenášaná nosníkom podesty a schodiskovou stenou – pozri Doska Doska (obr.4.3.4.1a). Potom pôsobí podesty podesty ako nosník o zvolenej šírke bPD = 1 m, uložený na týchto b podperách. Pretože tuhosť Schodiskvé =1m ramená nosníka podesty je v krútení Podestový relatívne veľká, vzhľadom nosník k malému rozpätiu Schodiskvé ramená podestovej dosky a jej malému zaťaženiu, uvažuje Obr. 4.3.4.1 Doska podesty podoprená : a) podestovým sa pri monolitickom spojení nosníkom a schodiskovou stenou, b) schodiskovými oboch prvkov dokonalé ramenami votknutie. Na druhom konci sa podestová doska uvažuje : - voľne podopretá, ak je uložená na murive - plne či čiastočne votknutá, ak je monoliticky spojená so stužujúcim vencom V prípade schodiskových ramien navrhnutých ako zalomené nosníky (obr. 4.3.4.1b) uložené na murive a nosníkoch stropov, je podestová doska časťou schodiskových ramien. RPD

RPD

4.3.5

Nosník podesty Nosník podesty pôsobí ako prostý nosník zaťažený rovnomerne spojitým zaťažením qPD,d = RPD / l od podestovej dosky, rovnomerným čiastočne spojitým zaťažením qR,d = RR / bR od schodiskových ramien a spojitým rovnomerným zaťažením go,d od vlastnej hmotnosti. Pri statickom riešení schodiskových ramien a schodníc, ako šikmých alebo lomených nosníkov, sa zvislé zaťaženie gd + vd rozloží do dvoch zložiek navzájom kolmých: - (gd + vd).sin  (gd + vd).cos  Ak zložka (gd + vd).sin neprechádza ťažiskom podestového nosníka, zaťažuje ho napr. od schodiskových ramien, rovnomerným spojitým krútiacim zaťažením: td

e bR



 g d  v d  sin  n

ey bR



 g d  v d  sin    cos  

(4.3.5.1)

kde gd (vd) zvislé extrémne zaťaženie stále  (g +v ).cos .sin  (náhodilé), pôsobiace na 1 m2  e C šikmého schodiskového ramena  uhol sklonu schodiska b  (g +v ).sin bR šírka schodiskového ramena l b e vzdialenosť ťažiska podesto-vého nosníka od vektoru zložky Obr. 4.3.5.1 Podestový nosník zaťažený krútením (gd + vd).sin  od schodiskových ramien ey vzdialenosť ťažiska podestového nosníka od vektoru zložky (gd + vd).sin cos  V bežných prípadoch býva namáhanie podestových nosníkov krútením malé a jeho vplyv zohľadňujeme návrhom uzavretých strmienkov. d

4.3.6 Doskové schodisko Schodiskové ramená a podestové dosky tvoriace lomenú dosku, môžu byť podoprené niektorým z nasledovných spôsobov uvedených na (obr. 4.3.6.1).

Výpočet statických veličín schodiskovej dosky sa vykoná obdobným spôsobom ako pri schodnici. Prierezy sa dimenzujú podľa medzného stavu porušenia ohybovým momentom zväčša v poli nosníkov. Vplyv normálových síl sa zanedbáva. Nosná stena

Stlp

Nosná stena

l ND

Nosná stena

b ND

Podestový nosník

Obr. 4.3.6.1 Statické pôsobenie lomenej schodiskovej dosky Ak je schodiskové rameno podoprené spôsobom podľa (obr. 4.3.6.1c), tak je prenášané do stien nosníkovou doskou o šírke bND = lND / 6 kde lND - výpočtové rozpätie nosníkovej dosky. Uprostred šírky bND možno predpokladať teoretickú podporu schodiskovej dosky. Konštruktívne úpravy výstuže dosky v mieste lomov musia zabrániť možnému vytrhnutiu pozdĺžnej výstuže. V prílohe L je uvedený výkres tvaru a výstuže doskového schodiska. 4.3.7 Krivočiare schodisko Príklad: Nosná konštrukcia tohto typu je špirálová železobetónová doska uchytená na obidvoch koncoch do silných stropných nosníkov alebo do stien. Priebeh momentov a síl v takejto doske je vykreslený na obrázkoch. Konštrukčná výška H 3.9 m Uhol o 2  270 3 3 o

Počet šírok Šírka schodov Výška stupňov

Hrúbka omietky

ns b vs ho

360 1.2 m nv

22 kN m

n v 26 počet výšok hrúbka schodiskovej dosky

 b1

4.712

 b2

25 kN m

0.2 m

o

19 kN m

0.967kNm

1.98kNm

6.565kNm

0.374kNm

0.15m

-objemová hmotnosť

0.015 m

3

Zaťaženie stále -povrchová úprava

1  0.03 m  0.015 m 0.15 m   b    b1 0.967kNm 0.339 m  

-stupne

0.5 v s  b   b1

-vlastná tiaž dosky

-omietka

h d  b   b2 0.914 ho  o b 0.914

1

1.98kNm

-1

1

Zaťaženie náhodilé p

2

3 kN m  b

-kombinácia zaťaženia -polomer v osi schodišťa

-vonkajší polomer schodov  o  r1

5.655m

3.6kNm

13.486kNm

-1

1.8 m

-vnútorný polomer schodov

g1  g2  g3  g4  p

1

1.2 m

2.4 m

 o r

8.482m

 o  r2

11.31m

-výpočet šírky stupňov O1

ns vs

tan

tan   

cos   

cos 

 o    2 



o  2 2 r  k  tan   3 sin  o  1 

 

0.452m

 

sin  o

1

cos  o

sin   

0.164

cos   

 o    2 

cos 

0.37

0.354

 o    2 

0 0.836 2

sin 

0.5

0.707

2

 2 

 

0.915

sin     cos   



0.339m

23.86 deg

0.196



 11



0.405

0.442

sin   

0.226m



3  o cos  o 

          3  2   1  tan   2 sin   2   o  3 sin    o  o  2  2  k    3  cos     o o      6 cos   2    sin     o o   2



  1 

  2   o  7 2     k sin   3  sin    5    o    2  12  2    9  cos     o o   2    o    2  o   3   4      2   6 sin      o cos  o  sin   o            11 137.397 2 r

3  o 



       



 

           

 11

445.165m

 12

r tan  3 k sin  o   o  cos  o  1.75 k cos     3 sin  o   o  cos  o  2  o       3 1   sin    2  o cos  o  sin  o  2 cos    2  o  sin  o     k 

 12

  



   

 

 12

68.769m



  

   

38.205

   3.5 k cos  2  o  sin  o  6 1k  sin  2  o  sin  o

 22

6 k  o  sin  o

 22

234.913



3    o o o o      10 q  r  tan   3 k 5  o  cos    8 sin    2  o cos    cos    sin   o     2   2   2   2               o o o 2 2   1.75 k cos      24 sin  2   2  o  sin  2   15  o  cos  2              2       o  o  o       sin    3  cos    sin  2   cos    o  o    2   2   2               3 1   sin    2  2  o 2 sin  o       k  2   2     o o o    9  o  cos     2  o  cos    sin        2   2   2        o o      sin   o   cos  2   16 sin  2                          o o o    cos    2  6  o  cos    8 sin    2 cos    sin   o       2   2   2    3

 10

21562.414kN m

                  

274.156

q r  20

 o o   o  2 q  r   6 k   o  cos    4 sin    sin  o  cos        2   2   2    o o   o  1 2 2      3.5  k cos     6   sin    3    cos    4  sin    sin   cos      o o k 2 2 2

 

 

 20





19060.183kNm



 20 2



 





     

436.215

q r

Výpočet A, A1,A2 2

 11  22   12

99845.761m

 20  12   10  22

3754528.482kN m

 10  12   20  11

7002102.731kN m

Výpočet 1,2 A1

1

2

37.603kN

A2 A

70.129kN m

Výpočet momentov , priečnych a pozdĺžnych síl

 o     2.669kNm 2  2  2 o   o   o  o  2 M b q  r  sin      cos    1 r tan      148.421kNm 2   2   2  2   o  M c 1 r sin   47.861kNm  2  Ma

1 

q  r 

1 4 5

o

 sin 



2



6

1 2 6 4



3



7

3 4 7 4

 

4

1

q  r



37.603kN

o 2

57.196kN

Momenty a sily v ľubovolnom reze (v závislosti od ) v osi špirály sa vypočítajú nasledovne:

    o  2 1 r tan       i    sin   i  2 cos   i  q  r  1   cos    cos   i     2  

Ty Ni

1 r sin     cos   i    i    sin   i  2 cos     sin   i    o  2  q  r    i    cos    sin   i  cos      2  

1 r tan     sin     cos   i      i  cos     sin   i  2 sin     sin   i     o  2  q  r   i     cos    sin   i   sin       2   1 cos   i 1 sin     sin   i  q  r   i    cos    1 cos     sin   i  q  r   i    sin   

Mt 1 4

1 2



+ 3 4



5 4

7 4 6 4

4.3.7.1 Priebeh momentov 3 4 1 2



R1 200

5 4

R 1800

1 1

1 4



6 4 7 4

4.3.7.2 Výkres výstuže špirálového schodiska

V prílohe L sú uvedené ukážky výkresov tvaru a výstuží krivočiarych doskových schodísk.



cos()

sin()





0,785 1,571 2,356 3,142 3,927 4,712 5,498

0,707 0,000 -0,707 -1,000 -0,707 0,000 0,707

0,707 1,000 0,707 0,000 -0,707 -1,000 -0,707

-2,356 -1,571 -0,785 0,000 0,785 1,571 2,356

2,356 1,571 0,785 0,000 -0,785 -1,571 -2,356

Mx 21,557 -3,332 -0,673 4,462 -0,673 -3,332 21,557

My -54,018 -73,795 -53,156 0,000 53,156 73,795 54,018

Mt 3,807 -0,489 1,859 0,000 -1,859 0,489 -3,807

Tx 26,590 0,000 -26,590 -37,603 -26,590 0,000 26,590

Ty -41,552 -19,661 -6,680 0,000 6,680 19,661 41,552

N -47,453 -49,814 -32,029 0,000 32,029 49,814 47,453

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-1-

4.4 Steny Všeobecne, ktorýkoľvek vertikálny prvok, ktorého šírka a výška sú mnohokrát väčšie ako jeho hrúbka a zaťaženie pôsobí kolmo na strednicovú rovinu, možno považovať za stenu. Steny prenášajúce len vertikálne zaťaženie nazývame nosné steny a steny, ktorých primárnou funkciou je odolávať horizontálnemu zaťaženiu považujeme za stužujúce steny, ktoré okrem prenosu horizontálneho zaťaženia majú i funkciu nosných stien. 4.4.1 Stužujúce steny Pri všeobecnom návrhu nosných stien by sa malo brať do úvahy spolupôsobenie stropných konštrukcií so stenami. Stropné konštrukcie, okrem prenosu vertikálneho zaťaženia do zvislých prvkov, pôsobia aj ako diafragmy prenášajúce horizontálne zaťaženie do už spomínaných zvislých prvkov, ktoré následne odovzdávajú zaťaženie do základov (obr. 4.4.1.1). Najčastejšími príkladmi horizontálneho zaťaženia sú vietor a seizmicita, ktorých spôsob prenosu do stužujúcich stien závisí od tuhosti stužujúcich stien a stropných tabulí.

Stužujúce steny

Vietor Siezmicita

Základy

4.4.1.1 Stropné tabule Pre účel analýzy možno stropné tabule rozdeliť do troch skupín – tuhé, menej tuhé a pružné (málo tuhé). Tuhé stropné Obr. 4.4.1.1 Stužujúce steny tabule (obr. 4.4.1.1.1a) distribuujú horizontálne zaťaženie do odolávajúce horizontálnemu stužujúcich prvkov v pomere ich relatívnych tuhostí. zaťaženiu.   Stredne tuhé stropné tabule (obr. (a) Stužujúce steny Stužujúce steny 4.4.1.1.1b) sa výrazne deformujú pod R=4 R=1 vplyvom horizontálneho zaťaženia, Diafragmy Diafragmy avšak majú dostatočnú tuhosť preniesť R=2 R=4 časť horizontálneho zaťaženia do stužujúcich prvkov, v pomere ich tuhosť. Pôsobenie je analogické so R=4 R=1 správaním sa spojitého nosníka (b)  Stužujúce steny   Stužujúce steny  dostatočnej tuhosti uloženého na R=4 R=1  poddajných podperách. Pružná stropná  Diafragmy Diafragmy tabuľa (obr. 4.4.1.1.1c) sa správa ako spojitý nosník alebo ako séria proste R=4 R=2 uložených nosníkov podopieraných nedeformujúcimi sa podperami. Teda, R=4 R=1 pružná stropná tabuľa sa považuje za   Stužujúce steny Stužujúce steny (c) diafragmu distribujúcu horizontálne R=4 R=1  zaťaženie do vertikálnych stužujúcich  Diafragmy Diafragmy prvkov v pomere ich zaťažovacích plôch. Na (obr. 4.4.1.1.1) sú ilustrované R=4 R=2 pôsobenia všetkých troch spomínaných typov stropných tabúl. R=4 R=1 Presná analýza prenosu horizontálneho zaťaženia do stužujúcich stien je dosť často časovo náročná Obr.4.4.1.1.1 Pôdorys stužujúcich stien spojených s a) tuhými b) stredne tuhými, c) pružnými stropnými a mnohokrát neoprávnená z hľadiska tabuľami získaných výsledkov. Z tohto dôvodu je 4/5.W

1/3.W

2/5.W

4/3.W

4/5.W

1/3.W

2/3.W

2/5.W

2/3.W

6/5.W

2/3.W

2/5.W

1/2.W

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-2-

opodstatnené použitie určitého zjednodušenia. Napríklad sa vykoná výpočet za predpokladu tuhých stropných tabúl a následne výpočet predpokladajúci pružné stropné tabule. Ak rozdiely vo výsledkoch nie sú markantné, potom stužujúce steny môžu byť bezpečne navrhované na maximálne použité zaťaženie. 4.4.1.2 Prenos torzných účinkov do stužujúcich stien Stužujúce prvky v pôdoryse by mali byť rozmiestnené tak, aby nedochádzalo k torzii po výške konštrukcie, to znamená, že by ťažisko ich tuhostí by malo ležať približne v ťažisku výslednice účinkov horizontálneho zaťaženia. V opačnom prípade je nutné uvažovať s krútiacimi účinkami. V prípade tuhých a stredne tuhých stropných tabúl sa takéto účinky prenášajú do stužujúcich stien v pomere ich tuhostí a ich vzdialeností od ťažiska ich tuhostí. Pružné stropné tabule nemožno považovať za schopné prenosu torzných účinkov. Na (obr. 4.4.1.2.1) je znázornený roznos 4,877 m 7,315 m výslednice účinkov horizontálneho zaťaženia do stužujúcich stien A, B, C. Relatívna tuhosť steny A je 0,33, steny B je 0,22 a steny C 0,45. Výslednica účinkov horizontálneho zaťaženia F=88,964 kN pôsobí v úrovni stropu rovnobežne so stužujúcimi stenami v polovici vzdialenosti medzi stenami A B C x A a C. 6,096 m 6,096 m Ťažisko tuhostí stužujúcich stien A, B, C sa nachádza vo vzdialenosti x od steny A. F = 88,964 kN x= 0,22.4,877 + 0,45.12,192 = 6,559 m Obr.4.4.1.2.1 Prenos účinkov horizontálneho Teda výslednica F pôsobí na excentricite zaťaženia do stien A, B, C 6,559 – 6,096 = 0,463 m Excentricky pôsobiacu silu F možno nahradiť centrickou silou pôsobiacou v ťažisku tuhostí a torzným momentom 88,964 . 0,463 = 41,19 kNm Rozdelenie centricky pôsobiacej sily F na jednotlivé stužujúce steny v pomere ich tuhostí: Stena A: 0,33 . 88,964 kN = 29,358 kN Stena B: 0,22 . 88,964 kN = 19,572 kN Stena C: 0,45 . 88,964 kN = 40,034 kN K výpočtu torzných účinkov sily F na jednotlivé steny je potrebné najskôr určiť ekvivalentný moment zotrvačnosti: I = 0,33.(6,559)2 + 0,22.(1,683)2 + 0,45.(5,633)2 = 29,099 m2 Potom, torzný účinok sily F sa priamoúmerne rozdelí na jednotlivé stužujúce steny v pomere tuhostí a vzdialeností k ťažisku ich tuhostí a nepriamoúmerne k ekvivalentnému momentu zotrvačnosti. Stena A: 41,19 . 0,33 . 6,559 / 29,099 = 3,064 kN Stena B: 41,19 . 0,22 . 1,683 / 29,099 = 0,524 kN Stena C: 41,19 . 0,45 . 5,633 / 29,099 = 3,588 kN Celkový účinok excentricky pôsobiacej sily F na jednotlivé stužujúce steny dostávame sčítaním účinkov od centricky pôsobiacej sily F s torznými účinkami sily F. Týka sa to stien A a B, zatiaľ čo pri stene C torzný účinok sily F má opačný smer ako centrický. Z tohto dôvodu torzný účinok nebude odčítaný. Stena A : 29,358 + 3,064 = 32,422 kN Stena B : 19,572 + 0,524 = 20,096 kN Stena C : 40,034 kN

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-3-

4.4.1.3 Stužujúce steny s otvormi Zlepšenie tuhosti stužujúcej steny a redukciu rizika vzniku ťahových napätí v stene od vplyvu horizontálnych síl možno dosiahnúť vzájomným spriahnutím stužujúcich stien priečľami. Na (obr. 4.4.1.3.1) je znázornený vplyv takéhoto spriahnutia na priebeh napätí (a)

(b)

(c)

Napätie

Obr. 4.4.1.3.1 Priebeh napätí v stužujúcej stene a) s veľmi mäkkými priečlami, b)so stredne tuhými priečlami, c) s veľmi tuhými priečlami Podľa charakteru statického pôsobenia a metódy výpočtu možno takto spriahnuté konštrukcie rozdeliť do troch skupín: - steny s veľmi mäkkými priečľami nad otvormi (obr.4.4.1.3.1a) - steny s veľmi tuhými priečľami nad otvormi (obr.4.4.1.3.1c) - steny so stredne tuhými priečľami nad otvormi (obr.4.4.1.3b) 4.4.1.4 Riešenie stužujúcich stien s otvormi zaťažených horizontálnym zaťažením Na obr. 4.4.1.4.1 sú definované základné predpoklady, s ktorými sa pri riešení všetkých troch typov stužujúcich stien stretneme.  =1 l – výška podlažia w ( A ,E) (i,E') H – celková výška steny ( A ,E) A1,A2 - prierezové plochy jednotlivých pilierov 2c – vzdialenosť medzi piliermi  =z/H H 2a – šírka otvorov N – normálová sila pôsobiaca v pilieri l šmyková sila pôsobiaca v priečli z  =0 E – modul pružnosti stien W E´ – modul pružnosti priečle 2a w – vodorovné zaťaženie konštrukcie 2c Wo – priečna sila v päte konštrukcie od Obr. 4.4.1.4.1 Definovanie geometrie vonkajšieho zaťaženia w S – statický moment prierezovej plochy oslabenej otvormi k vlastnej ťažiskovej osi 2c S = A1 . t1 = A2 . t2 t1 t2 A1 A2 a zároveň platí t1 + t2 = 2c => 1

2 c  A 1 A 2 A1 A2

tazisko pilieru

2 c 1 A1



1 A2

(4.4.1.4.1)

tazisko pilieru

taziskova os sustavy pilierov

Obr. 4.4.1.4.2 Určenie statického momentu stužujúcej steny

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-4-

I – moment zotrvačnosti prierezovej plochy oslabenej otvormi k vlastnej ťažiskovej osi, kolmej na smer pôsobenia zaťaženia 2 2 (4.4.1.4.2) I I A t I A t I  I  2 c S 1

kde I1, I2 – momenty zotrvačnosti pilierov k vlastným ťažiskovým osiam a/ Steny s veľmi mäkkými priečlami nad otvormi V praxi často byvajú dva alebo viaceré stenové piliere vzájomne spojené stropnými doskami – priečlami s veľmi malou tuhosťou, takže pripojenie priečlí možno považovať za kĺbové, zaisťujúce vo svojej úrovni rovnosť vodorovných posunov všetkých pilierov, ktoré sú nimi prepojené. Z tvarovej zhody ohybových čiar pilierov vyplýva, že sa vodorovné zaťaženie rozdeľuje na jednotlivé piliere v pomere ich tuhostí (obr. 4.4.1.4.3). w

I1  I2 I2

M2 M1

I1  I2

Wo Wo

(4.4.1.4.3)

2 H

(4.4.1.4.4)

N=0 =0



Obr. 4.4.1.4.3 Statické pôsobenie steny s mäkkými priečľami nad otvormi

b/ Steny s veľmi tuhými priečlami nad otvormi Stena sa blíži limitnému prípadu konštrukcie s nekonečne tuhými priečlami, u ktorých sa zachováva rovinnosť vodorovných rezov po deformácií v rozsahu celého prierezu (obr. 4.4.1.4.4 ). V tomto prípade možno stanoviť veľkosť dokonale tuhé priecle, ktoré sa nedeformujú s poddajnostou pk w šmykových síl pôsobiacich v priečli v  úrovni zo vzťahu platného pre steny  plného prierezu.  



   N Wo

rovinnost vodorovných rezov sa po defomácii zachováva



Obr. 4.4.1.4.4 Statické pôsobenie steny s veľmi tuhými priečlami nad otvormi

W o   1    S  l

   h s  l

kde hs hrúbka steny a Wo = w . H N 



M  



M  

W o  H

(4.4.1.4.5) (4.4.1.4.6)

2 c

 1   2 2

(4.4.1.4.7)

M1 = M 2 = 0 c/ Steny so stredne tuhými priečlami nad otvormi V tomto prípade nemožno predpokladať zachovanie rovinnosti vodorovných rezov pri deformácii konštrukcie a rovnako nemožno zanedbať ohybovú a šmykovú poddajnosť nadpraží, takže nevystačíme s jednoduchými približnými výpočtami ako v dvoch predošlých prípadoch. Na riešenie tejto úlohy možno požiť metódu náhradného homogénneho spojitého prostredia, ktorého tuhosť na výšku jedného podlažia je rovnaká s tuhosťou priečle (obr. 4.4.1.4.5).

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.  =1

-5-

nahradne spojite prostredie



 





det.

q( )

det. q( ) q( )

l M1

N M 2

 =0 q( )



Obr. 4.4.1.4.4 Statické pôsobenie steny so stredne tuhými priečlami nad otvormi Náhradné spojité prostredie medzi piliermi sa rozdelí vertikálnymi rezmi vedenými stredom a dostaneme systém spriahnutých konzol, na ktorý bude pôsobiť spojitý šmykový tok veľkosti q (na jeden meter výšky). Systém konzol umožňuje iba zvislý posun oddelených častí a zabraňuje ich vzájomnému horizontálnemu posunu. Z podmienky spojitosti (rovnica kontinuity) vyjadrujúcej rovnosť zvislých posunov sústavy v rovine vertikálneho rezu vedeného stredom náhradného spojitého prostredia medzi piliermi, vzniknutými pôsobením vonkajšieho zaťaženia w (ex) a súčtových šmykových síl () (in), možno získať funkciu šmykového toku q()pričom platí nasledovný vzťah pre súčtové   1     q   d (4.4.1.4.8) šmykové sily ()   Rovnica kontinuity : ex + in = 0 (4.4.1.4.9) Na základe výpočtu priebehu súčtových šmykových síl () po výške konštrukcie možno vypočítať : - výsledný redukovaný ohybový moment M() pôsobiaci na konštrukciu v ľubovolnej relatívnej výške konštrukcie zahrňujúci vplyv priečlí na redukciu ohybového momentu Mex() od vonkajšieho zaťaženia w M() = Mex() - () .2c (4.4.1.4.10) a následne rozdeliť spomínaný redukovaný ohybový moment M() na jednotlivé piliere v pomere ich tuhostí M 1 

I1 I1  I2



 M ex   T   2c



M 2 

I2 I1  I2



 M ex   T   2c



(4.4.1.4.11) (4.4.1.4.12) - normálovú silu N() pôsobiacu v jednotlivých pilieroch v úrovni konštrukcie , rovnajúcu sa súčtovej šmykovej sile () v danej úrovni N1() = - N2() = () (4.4.1.4.13) - šmykovú silu pôsobiacu v jednotlivých priečlach () nachádzajúcich sa v úrovni konštrukcie , ako   d     l    q    l (4.4.1.4.14) d

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-6-

Výpočet zvislých posunov (ex) a (in) w



 ex

ex 



 

2c 



(4.4.1.4.15)



E I1  I 2

kde je pootočenie pilierov v úrovni konštrukcie , vplyvom vonkajšieho zaťaženia w vyvolávajúceho ohybový moment v danej úrovni Mex()

Obr. 4.4.1.4.5 Určenie posunu ex in

2 c 

  M ex  d 

MT( )=T(  ).2c

in1



in4

in2

   

in3

 

 

 

in4 

Obr. 4.4.1.4.6 Určenie posunu in Výsledný zvislý posun in vzniknutý pôsobením súčtových šmykových síl () sa rovná in = in1 + in2 + in3 + 2 .in4 1 kde   in1

2 c

 M T  d 





E I1  I 2

   T  d E  I 1  I 2  ( 2  c)



(4.4.1.4.16)



- posun od ohybových účinkov súčtových šmykových síl () na piliere  in2

   T  d p p1  1

   T  d E  A 1  1

(4.4.1.4.17)

- posun vyvolaný vplyvom poddajnosti piliera 1 pp1  in3

   T  d p p2  1

   T  d E  A 2  1

(4.4.1.4.18)

- posun vyvolaný vplyvom poddajnosti piliera 2 pp2  in4

M  V

a a      MM  V  V dx     dx   E´  i pr  G  A pr 0 0

(4.4.1.4.19)  

 in4

kde M je deformácia priečle vyvolaná   ohybovými účinkami šmykovej sily pôsobiacej v priečli () a a Rez prieclou V je deformácia priečle vyvolaná   .a M b šmykovými účinkami šmykovej sily pôsobiacej   V h x v priečli ()  .a 1 bh  M M, V sú priebehy momentov a šmykových síl od i pr 12 V A pr bh  jednotkovej sily umiestnenej v mieste zistenia  deformácie Obr. 4.4.1.4.7 Statické pôsobenie ipr je moment zotrvačnosti priečle priečle Apr jeprierezová plochapriečle  in4

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-7-

G šmykový modul pružnosti priečľe, G = 0,435 E´  = 1,2 v prípade obdĺžnikového prierezu Výpočet šmykovej sily pôsobiacej v priečlach ()   

W o S l I

   

(4.4.1.4.20)

kde hodnoty funkcie () možno odčítať z nasledovných grafov, na základe koeficientu pre ktorý platí vzťah = . H Obr. 4.4.1.4.8  Určenie 1 koeficienta  0.9  0.8 

0.7

 

0.6

 

0.5

 

0.4

 

0.3

 

0.2

0.1

0 0

Obr. 4.4.1.4.9 Určenie koeficienta 

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8 

 1

0.9

0.8

0.7           

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4



Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-8-

Na základe funkcie šmykovej sily pôsobiacej v priečlach () možno vypočítať priebeh súčtovej šmykovej sily () pozdĺž výšky konštrukcie H

T 

     d  l H

 W o S l    I  d l  H

WoS I

(4.4.1.4.21)

 H    

Výpočet prierezových síl a momentov konštrukcie Normálová sila N() pôsobiaca v jednotlivých pilieroch v úrovni konštrukcie , sa rovná súčtovej šmykovej sile () v danej úrovni N 1 

 N 2 

T 

WoS I

 H    

(4.4.1.4.22)

kde hodnoty funkcie () možno odčítať z grafov, na základe koeficientu pre ktorý platí vzťah = . H Vonkajšie zaťaženie w pôsobiace na konštrukciu vyvoláva v jednotlivých pilieroch ohybové momenty M 1 

M 1 

I1 I1  I2



 M ex   T   2c

  1   2

 W o  H 





S 2 c I





   



M 2 

I1  I2



 M ex   T   2c

  1   2

I2 I1  I2

 W o  H 



(4.4.1.4.23)



S 2 c I

 

(4.4.1.4.24)

Príklad:  =1

10.NP

1.NP W o  =0

- výška konštrukcie H = 27,5 m - výška podlažia l = 2,75 m - prierezová plocha 1. piliera A1 = 2 m2 - prierezová plocha 2. piliera A2 = 1,6 m2 - moment zotrvačnosti 1. piliera I1 = 4 m4 - moment zotrvačnosti 2. piliera 2 = 2 m4 - moment zotrvačnosti prierezovej plochy konštrukcie oslabenej otvormi I = 39 m4 - moment zotrvačnosti priečlí ipr = 0,006 m4 - modul pružnosti pilierov E = 10 GPa - modul pružnosti priečlí E´ = 20 GPa - statický moment prierezovej plochy konštrukcie oslabenej otvormi S = 5,42 m3 - priečna sila pôsobiaca v päte konštrukcie Wo = 354 kN - vzdialenosť medzi ťažiskami pilierov 2c = 6,10 m - šírka nadokenných otvorov 2a = 2 m



   

0.NP 2c

A1 G1

Obr. 4.4.1.4.10 Geometria počítanej stužujúcej steny namáhanej horizontálnym zaťažením Wo

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-9-

Výsledky riešenia príkladu: NP







0.161

0.9

0.8

0.7

0.6

1  2

cS

 1   2

2 c S

M2 N M1 [kN.m] [kN.m] [kN]



21.736

0.185

25.018

5.00E-03

0.017

0.014

-9.48E-03

-61.551

-30.775

46.754

0.241

32.58

0.02

0.038

0.032

-0.012

-80.007

-40.003

79.334

0.312

42.2

0.045

0.066

0.056

-0.011

-69.393

-34.696

121.534

0.387

52.422

0.08

0.101

0.085

-5.32E-03

-34.547

-17.274

173.956

0.5

0.458

62.017

0.125

0.143

0.121

3.77E-03

24.459

12.23

235.973

0.4

0.514

69.521

0.18

0.192

0.163

0.017

113.068

56.534

305.494

0.3

0.537

72.694

0.245

0.207

0.038

243.756

121.878

378.188

0.2

0.5

67.69

0.32

0.297

0.252

0.068

441.891

220.946

445.878

0.1

0.352

47.62

0.405

0.341

0.289

0.116

750.808

375.404

493.498

6.00E-14

0.5

0.36

0.305

632.008

493.498

2





0.195 2c1 2a 1

G1 I1



1.26E+03 2c2

2c 3

2a 2

G2 I2

2a 3

Dosiaľ sme sa riešili stužujúcu stenu s jedným radom otvorov. V prípade viacerých radov otvorov (pozri obr. 4.4.1.4.11) sa menia nasledovné vzťahy:

1 M1

1 N 2  2

2

3 M3

3

N4 M4

Obr. 4.4.1.4.11 Stužujúca stena s viacerými radmi otvorov 2  i pr  c 1  i pr  c i2   i pr  c 2 6 6  1 2   i     ....      (4.4.1.4.25) 3 3 3  l I  I  I  ...... 1 2 3   a1 l Ii a2 ai i    2





i pr  c 1 1

  získame z (obr.4.4.1.4.8)  i 1  c 12 i 2  c 22  3   .... 2 a1   (4.4.1.4.26) 3  a 3  a2  1  Podobne možno vypočítať aj hodnoty šmykových síl v priečľach 2, 3 ...., na základe ktorých možno získať normálové sily N pôsobiaca v jednotlivých pilieroch nasledovne: N1 =  1 N2 =  2 -  1 Ni =  i -  i-1 , atď. (4.4.1.4.27) Ohybové momenty v jednotlivých pilieroch vyvolané vonkajším zaťažením Wo vypočítame: I1   1   2  M1  W o  H    (4.4.1.4.28) I 1  I 2  I 3  ....  2  1

W o  l

I 1  I 2  I 3  .... M3 = ...... atď.

  1   2

 W o  H 





 



(4.4.1.4.29)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 10 -

4.4.1.5 Riešenie stužujúcich stien s otvormi zaťažených vertikálnym zaťažením Stužujúce steny, ako bolo spomenuté už v úvode, okrem vodorovného zaťaženia prenášajú i vertikálne zaťaženie. Táto kapitola je venovaná riešeniu stužujúcich stien z hľadiska pôsobenia vertikálneho zaťaženia Na (obr. 4.4.1.5.1) sú definované základné predpoklady, s ktorými sa pri riešení všetkých troch typov stužujúcich stien stretneme. l – výška podlažia (i,E')  =1 (A 1,E) H – celková výška steny e 1 v1 e 2 v2 A1,A2 - prierezové plochy jednotlivých pilierov 2c – vzdialenosť medzi piliermi v1 v2 ( A2,E) 2a – šírka otvorov N – normálová sila pôsobiaca v pilieri v2  =z/H H v1 šmyková sila pôsobiaca v priečli l v2 v1 E – modul pružnosti stien E´ – modul pružnosti priečle z v2 v1  =0 v1 – zvislé zaťaženie pôsobiace na pilier 1 v úrovni každého podlažia e2 e1 v2 – zvislé zaťaženie pôsobiace na pilier 2 v úrovni 2a G1 G2 každého podlažia 2c e1 – excentricita, na ktorej zaťaženie v1 pôsobí 4.4.1.5.1 Definovanie geometrie e2 – excentricita, na ktorej zaťaženie v2 pôsobí Pre prierezové charakteristiky (statický moment S a moment zotrvačnosti I) steny oslabenej otvormi platia vzťahy uvedené v časti venovanej vodorovnému zaťaženiu (vzťahy (4.4.1.4.1 a 4.4.1.4.2). a/ Steny s veľmi mäkkými priečlami nad otvormi V tomto prípade sa celkový moment M rozdelí na jednotlivé piliere v pomere ich tuhostí. Ohybový moment v pilieri 1: v2

v1 e1

e 2 v2

N v1

M2 N2

I1 I1  I2



H l





(4.4.1.5.1)



(4.4.1.5.2)

 v 1 e 1  v 2 e 2

Ohybový moment v pilieri 2: M2

I2 I1  I2



H l



 v 1 e 1  v 2 e 2

(4.4.1.5.3) Osová sila: - pilier 1: N1 = H . v1 / l (4.4.1.5.4) - pilier 2: N2 = H . v2 / l  Šmykové sily pôsobiace v priečlach  Obr. 4.4.1.5.2 Statické pôsobenie steny s veľmi mäkkými priečľami b/ Steny s veľmi tuhými priečlami nad otvormi Priečle nad otvormi sú natoľko tuhé, že stenu možno považovať za plnú, bez otvorov. 2 1 Ohybový moment v päte steny od pôsobenia zaťaženia  e1 e2 v1 a v2 : v2 v1 (4.4.1.5.5) M = H / l . (v1 . e1 + v2 . e2 ) e1  e 2

v1 e1



v2 e2

v1 e1



v2 e2

Osová sila pôsobiaca v päte steny N = H / l . (v1 + v2)



(4.4.1.5.6)

Šmykové sily pôsobiace v priečľach sú konštantné pozdĺž celej výšky konštrukcie (v1 + v2) / l (4.4.1.5.7)

Obr. 4.4.1.5.3 Statické pôsobenie steny s veľmi tuhými priečľami

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 11 -

c/ Steny so stredne tuhými priečľami nad otvormi Rovnako ako v stati venovanej vodorovnému zaťaženiu, sústavu dvoch stien prepojených priečľami nahradíme spojitým homogénnym prostredím ktorého tuhosť na výšku jedného podlažia je rovnaká ako tuhosť jednej priečle. Následne túto náhradnú sústavu rozdelíme v strede spojitého homogénneho prostredia zvislým rezom, získame dva samostatné piliere a spriahnutie pilierov spojitým prostredím nahradíme šmykovým tokom q pôsobiacim na piliere. Teda máme sústavu dvoch samostatných pilierov (ako v prípade veľmi mäkkých priečlí), na ktorú pôsobí vonkajšie zaťaženie, spôsobujúce zvislé deformácie ex a zároveň na sústavu pôsobí súčtová šmyková sila T (= suma šmykového toku q) , ktorá vyvoláva zvislé deformácie in. Neznámou je súčtová šmyková sila T, ktorú získame z podmienky spojitosti zvislých posunov : ex = in (4.4.1.5.8) Deformácia ex od vonkajšieho zaťaženia v1 a v2 pôsobiaceho na excentricitách e1 a e2 ex = ex1 + ex2 - ex3 (4.4.1.5.9) 

v1 e1

e2 v2

m v =(v1 .e1 +v2 .e2 ).2c l l

ex2



ex

ex1 

 ex3

Obr. 4.4.1.5.3 Určenie deformácie ex od vonkajšieho zaťaženia v1 a v2 pôsobiaceho na excentricitách e1 a e2 1 kde  v2 v1   m v   d   e   e 2 1 1  l  l   (4.4.1.5.10)  2 c 2 c   d



ex1





E I 1  I2



E I 1  I2



- posun od excentricky pôsobiaceho zaťaženia v1 a v2 1

 ex3

 v 2    d  l  E A 2

    d E  A 2  l

(4.4.1.5.11)

- posun od centricky pôsobiaceho zaťaženia v1 1

 ex2

 v 1    d  l  E A 1

    d E  A 1  l

- posun od centricky pôsobiaceho zaťaženia v2 Celkový posun od vonkajšieho zaťaženia v1 a v2 v2    v1 v1 v2   1 e1  e 2  2c l l l  l    ex  ex1   ex2   ex3     d  E  A 1 E  A 2   E   I 1  I 2       

(4.4.1.5.12)

(4.4.1.5.13)

Priebeh osových síl v jednotlivých pilieroch po výške konštrukcie sa vypočíta ako tlakový účinok vonkajšieho zvislého zaťaženia v jednotlivých pilieroch zmenšený resp. Zvýšený účinkami súčtových šmykových síl N() = Nex () ET().

(4.4.1.5.14)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD. N 1 

N 2 

l l

- 12 -

 v 1   1    K    



(4.4.1.5.15)

 v 2   1    K    

(4.4.1.5.16)







0.9

0.8



0.7

 

0.6

 

0.5

 

0.4

 

0.3

 

0.2

0.1

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

1

0.9

Obr. 4.4.1.5.4 Určenie hodnoty koeficientu  na základe pre ktorý platí = . H  1

0.9

0.8



0.7

 

0.6

 

0.5

 

0.4

 

0.3

 

0.2

0.1

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9



Obr. 4.4.1.5.5 Určenie hodnoty koeficientu  na základe pre ktorý platí = . H

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 13 -

Priebeh ohybových momentov v jednotlivých pilieroch po výške konštrukcie dostaneme redukciou ohybových účinkov vonkajšieho zvislého zaťaženia ohybovými účinkami súčtových šmykových síl a následným rozdelením redukovaného celkového momentu na jednotlivé piliere v pomere ich tuhostí I1  I2 I2 I1  I2



H l H l





(4.4.1.5.17)





(4.4.1.5.18)

  1    v 1  e 1  v 2  e 2  2  c  K         1    v 1  e 1  v 2  e 2  2  c  K      

Príklad: - výška konštrukcie H = 27,5 m - výška podlažia l = 2,75 m - prierezová plocha 1. piliera A1 = 2 m2 - prierezová plocha 2. piliera A2 = 1,6 m2 - moment zotrvačnosti 1. piliera I1 = 4 m4 - moment zotrvačnosti 2. piliera 2 = 2 m4 - moment zotrvačnosti prierezovej plochy konštrukcie oslabenej otvormi I = 39 m4 - moment zotrvačnosti priečlí i = 0,006 m4 - modul pružnosti pilierov E = 10 GPa - modul pružnosti priečlí E´ = 20 GPa - statický moment prierezovej plochy konštrukcie oslabenej otvormi S = 5,42 m3 v1 – zvislé zaťaženie pôsobiace na pilier 1 v úrovni každého podlažia = 300 kN na výšku podlažia v2 – zvislé zaťaženie pôsobiace na pilier 2 v úrovni každého podlažia = 200 kN na výšku podlažia e1 – zaťaženie v1 pôsobí na excentricite = 0,50 m e2 – zaťaženie v2 pôsobí na excentricite =1,00 m

 =1

10.NP

e 2 v2

v1 e1 v1 1

M 2 

1.NP

M 1 

 =0 0. ND

v1 2c

A2 G1

Obr. 4.4.1.5.6 Geometria stužujúcej steny zaťaženej vertikálnym zaťažením

M2 M1 [kN.m] [kN.m]

N1 [kN]

N2 [kN]

0.000

36.198

260.409

239.591









-0.995

39.605

0.000

0.9

-0.994

39.568

-0.099

72.397

0.8

-0.991

39.445

-0.199

145.100

72.550

520.894

479.106

0.7

-0.985

39.189

-0.298

218.552

109.276

781.563

718.437

0.6

-0.973

38.707

-0.396

293.461

146.730

1043.000

957.410

0.5

-0.950

37.819

-0.492

371.070

185.535

1304.000

1196.000

0.4

-0.909

36.194

-0.585

453.650

226.825

1567.000

1433.000

0.3

-0.835

33.230

-0.673

545.243

272.621

1832.000

1668.000

0.2

-0.699

27.824

-0.750

653.509

326.754

2102.000

1898.000

0.1

-0.451

17.968

-0.809

791.304

395.652

2378.000

2122.000

0.000

-0.833

986.187

493.093

2669.000

2331.000

4.4.1.6 Riešenie stužujúcich stien z hľadiska horizontálnych deformácií Keď sú stužujúce steny spojené s tuhými stropnými tabuľami, horizontálne zaťaženie sa na jednotlivé vertikálne prvky prenáša v pomere ich relatívnych tuhostí, závisiacich na deformácii stužujúcich stien od ohybových a šmykových účinkov horizontálneho zaťaženia. V prípade stužujúcich stien výškových budov však ohybový účinok zaťaženia na deformácie

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 14 -

Tabuľka 4.4.1.6.1 Relatívna deformácia H/L

od ohybových účinkov 0,50 0,80 0,90 0,94 0,96

1 2 3 4 5

od šmykových účinkov 0,50 0,20 0,10 0,06 0,04

stien mnohokrát prevyšuje šmykový účinok. V takýchto prípadoch je postačujúce uvažovať s ohybovými účinkami. V tabuľke (4.4.1.6.1) sú uvedené relatívne deformácie v závislosti od pomeru výšky steny ku šírke (H/L).

Vodorovné zaťaženie namáha stenu ako konzolu a priehyb možno približne stanoviť ako priehyb prútovej konzoly podľa vzťahu: kde

WoH

(4.4.1.6.1)

8 E Ie

Ie - ekvivalentný moment zotrvačnosti steny Wo = w . H

Charakteristiky rôznych typov stien, potrebných na výpočet priehybov  plná stena bez otvorov

-ekvivalentný moment Príklad: zotrvačnosti:

f w

12 m

(4.4.1.6.2)

hsL

h =0,3 m

 stena s jedným radom otvorov -ekvivalentný moment zotrvačnosti: H

16  S  c

I 1  I 2



o 

 0.3  12

43.20  m

(4.4.1.6.3)

1 12

kde I=I1 + I2+ 2.S.c a o = (0) podľa obr. 4.4.1.4.9

1

Príklad: c = 3,5 m A1 = A2 = 0,3.5 = 1,5 m2

2c=7 m 2a=2 m

l=2,5 m

1,5 1m



3  i pr I1  I2

I S



12 3

0,3 m



0.3  5

0.3  1

i pr

3  0.025

a l

43 16  5.25  3.5 0.44  1 6.26 220

6.26



3.5

5.25 13  2.5 4

39.2  m

S 4

3.13  m

2 c 1 A1



7 1

1  2     1.5 

0.025  m

I = 3,13+ 3,13+ 2. 5,25. 3,5= = 43 m4

0.139 (4.4.1.6.4)

=>  = 0,37 a podľa obr.4.4.1.4.9 (0)=0,44 => =0,37 . 40 =14,8 kde celková výška steny = 40 m

5.25  m

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 15 -

 stena s viacerými otvormi

-ekvivalentný moment zotrvačnosti: H

8 I

I 1  I 2  ......



(4.4.1.6.5)

o 

1

Príklad: 1

2,5

1,5

30 x 100



 i pr   c j 2   j     2  a j  j 1  Ii 3



l

 i

ipr = 0,025 m4 I = 23,4 m4

c1 =1,75 m , c2 = 2 m, c3 = 1.75 m A1 = A4 = 0,3 m2 A2 = A3 = 0,6 m2 I1 = I4 = 0,3. 13 /12 = 0,025 m4 I2 = I3 = 0,3. 23 /12=0,2 m4



6 2  ( 0.025  0.2)  2.5

 2 

0.025  1.75





0.025  2 3

  1.35 

1

=>  = 1,16 a podľa (obr. 4.4.1.4.8, obr. 4.4.1.4.9, obr. 4.4.1.5.4, obr. 4.4.1.5.5). (0)=0,48 => =1,16 . 40 =46,4 kde celková výška steny = 40 m 23.4

8  23.4 2  ( 0.025  0.2)



0.48 2153

2.28  m 1

 rámová konštrukcia s tuhými priečľami -ekvivalentný moment zotrvačnosti: l l'

3 p  n 3



 Ip

Ip = hs . b3 / 12  = l´. l

(4.4.1.6.6) kde n– počet podlaží p- počet vertikálnych prvkov v jednej výškovej úrovni



Príklad: 30 x 30

30 x 70

1,8

1,5

Prierezová plocha - stĺpu : 0,3 . 0,3 - priečle: 0,3 . 0,7 n =16 p=9 Ip=0,3 . 0,33 / 12  = 1,8 / 2,5 = 0,72

3  9  16 3

0.72

 0.00068 12.6  m

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 16 -

 stena podopretá na stĺpoch 2

Ie 

A col  I  L  H

8  I  H  H´  ( H  H´)  A col  L  ( H  H´)

(4.4.1.6.7)

H'' H

kde Acol – prierezová plocha stĺpu

 l

Príklad: 12

Acol = 0,5 . 0,6 = 0,3 m2 I = 0,3.123 / 12=43,2 m4

0.5 x 0.6

40 5

H = 40 m, H´= 5 m H - H´ = 35 m L= 8 m 2

0,3

0.3  43.2  8  40

16.4  m

8  43.2  40  5  35  0.3  8  35

4.4.1.7 Konštrukčné zásady Na obr. 4.4.1.7.1 sú uvedené zásady platiace pri návrhu proporčných rozmerov stužujúcich stien, ktoré závisia od pôdorysného tvaru steny. Zásady platiace pri vystužovaní stužujúcich stien sú znázornené na t t > v / 25 >3t nasledovnom obrázku (obr. 4.4.1.7.2). >2t

>4 O10

t > v / 22 t

s/2

< 300 mm >4 O10 < 1,5.t

t > v / 20

L/10

Obr. 4.4.1.7.2 Spôsob vystuženia stužujúcej steny

L > Max (v/2; 5.t)

Obr. 4.4.1.7.1 Návrh proporčných rozmerov stužujúcich stien Najviac namáhaným prvkom stužujúcich stien sú nadpražia (priečle) otvorov nachádzajúcich sa v stužujúcich stenách. Z tohto dôvodu je potrebné venovať väčší dôraz na spôsob Det.A vystuženia priečlí. Na (obr. 4.4.1.7.3) sú uvedené zásady, ktoré by sa mali dodržiavať pri vystužovaní priečlí. Ukážka spôsobu vystuženia stužujúcich stien je v prílohe L.

Det.A

>50 .

a a-a

d d1 > 50 d1

Obr. 4.4.1.7.3 Spôsob vystuženia priečlí

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 17 -

4.4.2 Nosné steny a/b<1 a/b=4 Steny, ktorých výška je väčšia ako b 1/5 ich rozpätia a prenášajú vertikálne x zaťaženie nazývame nosné steny. V týchto a a/b=2 prípadoch nemožno počítať normálové napätia x od ohybu podľa vzťahu x=M/W b ako pri nosníkoch. Neplatí tu Bernoulliho – x -Navierova hypotéza o rovinnom pretvorení a b pri ohybe, pretože priebeh pomerného a/b=1 pretvorenia x po výške prierezu nie je priamkový. Priebeh napätia x sa odlišuje od priamkového tým viac, čím je pomer a/b b menší (obr. 4.4.2.1). Výrazne krivočiary priebeh x vo zvislom reze v strede rozpätia steny začína pri pomere a/b = 2. Pri veľmi x x vysokých stenách sa napätia x vyskytujú iba a a v dolnej časti steny, približne do výšky Obr. 4.4.2.1 Závislosť priebehu napätia x od rovnej rozpätiu steny. pomeru a/b 4.4.1.8 Návrh a usporiadanie výstuže Pri navrhovaní a usporiadaní výstuže nosných stien zo železobetónu je vhodné vychádzať z priebehov hlavných ťahových a tlakových napätí, ktoré odpovedajú pružnému stavu. Predpokladáme, že betón v tomto prípade pôsobí ako homogénny, tlaku aj ťahu vzdorujúci materiál s jednotným modulom pružnosti, teda bez trhlín v ťahanej oblasti. V skutočnosti však v ťahanom betóne vznikajú vlasové trhliny, betón v tejto oblasti je vyradený z nosnosti a všetky ťahové sily prenáša výstuž. A práve na základe predpokladu, že celú ťahovú silu prenáša výstuž, robíme jej návrh. Pre bežné prípady úplne postačí poznať priebeh napätí x v strede rozpätia, pri spojitých stenách aj v podperovom priereze a integráciou napätí x v danom priereze možno získať veľkosť vnútorných síl Nx. Existujú rôzne spôsoby výpočtu vnútorných síl, na ktoré sa dimenzuje hlavná ťahová výstuž. Jedným z nich je riešenie stenovej rovnice na základe okrajových podmienok, čo je však časovo náročná záležitosť. Niektoré charakteristické prípady stien prostých a spojitých boli už spracované a umožňuje sa tým dospieť veľmi rýchlo k hodnotám b potrebných k dimenzovaniu. Na základe koeficientov ´  , ktoré získame pomocou proporčných parametrov Nx =a/b, =c/a možno vypočítať veľkosť vnútorných síl Nx z' a ich vzdialenosti od dolného okraja steny z´. q c c (4.4.2.1.1) Nx =  . q .a ‘ ‘ (4.4.2.1.2) z = .a a Na (obr. 4.4.2.1.1) sú uvedené predpoklady prostej steny, Obr. 4.4.2.1.1 Prostá stena ktorej koeficienty a´ možno získať dosadením proporčných parametrov do nasledovných vzťahov: Ak  < 1  0.232      0.1667 2  0.3057   0.2968  0.237    0.184   2  Ak  > 1  0.28      0.0333  2  0.201    0.2578  0.0955   0.077   2 Ak  < 1  ´ 0.012      ( 0.0667)  2  1.6667 10 3    0.1138  0.12    0.074   2 ‘ Ak  > 1 ´ 0.026      ( 0.0333)   2  ( 0.046)    0.0729  3  10 3    ( 1.5  10 3)   2 (4.4.2.1.3), (4.4.2.1.4), (4.4.2.1.5), (4.4.2.1.6)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD. Spojitá stena - medzi podperami   Ak  < 1 

 

3

( 0.1)    5  10



3.4  10

     ( 0.08)  

 ( 0.1002)    0.0437 



‘ ´

Nx z'



    0.0626 

3

    4  10 3   2

3

 5  10

 ´

( 0.0333)    2.3333 10



    1.6  10 3   2

3   2.8333 10     0.1457 

Ak  < 1 2

3

   0.089  1.6  10

Ak  > 1 3

- 18 -

Ak  > 1 3

8  10

Obr. 4.4.2.1.2 Spojitá stena -v strede rozpätia

     ( 0.1)    ( 0.0217)   



4

 0.0616  5  10

    1  10 3   2

(4.4.2.1.7), (4.4.2.1.8), (4.4.2.1.9), (4.4.2.1.10)

- nad podperami   Ak  < 1 

 15

1.554412 10



     ( 1.53)    ( 0.9591)   

 0.291625 2  10

 

    8  10

4

´

0.11      ( 1.33)    ( 1.0308)    0.3428 





0.016      ( 2.566666)    ( 1.205)   



Ak  < 1 3

 2.548125 14  10

´

Nx z'

Ak  > 1

 ( 0.0793)    0.028  

‘



    8  10 3   2

Obr. 4.4.2.1.3 Spojitá stena – - podperový prierez

Ak  > 1



0.278      ( 1.93333)    ( 1.2897)     0.031095 ( 0.017)    4.5  10 2

3

   2

(4.4.2.1.11), (4.4.2.1.12), (4.4.2.1.13), (4.4.2.1.14)

Pri spojitých stenách statické riešenie spočíva v riešení vnútorného poľa spojitej steny s nekonečným počtom polí. Vyskytuje sa problém koncových polí, v ktorých sú napätia väčšie ako vo vnútorných poliach. Môžeme urobiť analógiu so spojitým nosníkom a porovnat koeficienty pri momentoch prvého poľa spojitého nosníka s koeficientmi pri momentoch vnútorného poľa. Tým sa získajú zväčšujúce koeficienty, ktorými treba prenásobiť hodnoty zodpovedajúce bežnému poľu spojitej steny. V tabuľke (4.4.2.1.1) sú uvedené opravné koeficienty pre niektoré prípady spojitých nosníkov, ktoré možno aplikovať aj pri riešení koncových polí spojitých stien. Tab. 4.4.2.1.1 Počet polí 2 3 4 5 1,68 1,92 1,848 1,874 1,866 v strede 1.poľa Opravné nad 1. vnútornou 1,5 1,2 1,284 1,26 1,268 koeficienty podporou Celkovú plochu výstuže potrebnú na prenos ťahových síl Nx získame z rovnice (4.4.2.1.15) Asx = Nx / Rsd Jednoduchším spôsobom určenia prierezovej plochy Asx hlavnej ťahovej výstuže, podobne ako pri železobetónových nosníkoch je výpočet z momentovej podmienky podľa vzťahu:

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 19 -

Asx = Md / ( zb . Rsd ) (4.4.2.1.16) kde za Md dosadíme v prípade medzipodporových momentov nosníkov s jedným alebo viacerými poliami moment max.Md od účinkov extrémneho výpočtového zaťaženia a v prípade podporových momentov pre prvú a ďalšie vnútorné podpery min. Md. Rameno vnútorných síl zb sa určí nasledovne:  prosté steny : (4.4.2.1.17) a/b<1 zb = 0,6 a (4.4.2.1.18) 1<a/b<2 zb = 0,15.b (3 + a/b)  spojité steny s dvomi poliami (v poli aj v podpere) : (4.4.2.1.19) zb = 0,45 a a/b<1 (4.4.2.1.20) 1 < a / b < 2,5 zb = 0,10.b (2,5 + 2 .a/b)  spojité steny s tromi a viacerými poliami (v poli aj v podpere) v prvom medzipodperovom priereze a v prvej vnútornej podpere podľa vzorcov (4.4.2.1.19) (4.4.2.1.20) a vo vnútorných poliach a podperách podľa vzťahov : (4.4.2.1.21) a/b<1 zb = 0,45 a (4.4.2.1.22) 1<a/b<3 zb = 0,15.b (2 + a/b) Ťahová výstuž prostých stien, pri spodnom okraji, sa rozmiestni v pruhu vysokom (0,150,2).b v prípade ak a/b>1 resp. (0,15-0,2).a ak a/b>1. Celá hlavná ťahová výstuž sa dovedie do podpôr bez zoslabenia a spoľahlivo sa zakotví. Pri spojitých stenách prebieha hlavná pozdĺžna výstuž bez zoslabenia v poliach a/b = 1,5 a/b ~ 1 a/b = 2 1,2.Asx /b 2.Asx /b 1,9.Asx /b spojito cez vnútorné podpery alebo sa prúty stykujú nad vnútornými podperami 0,4.b presahom. V koncovom poli sa kotví 0,85.b 0,8.b rovnako ako pri prostých stenách. Rozmiestnenie hornej ťahovej výstuže nad b 0,5.b vnútornými podperami spojitej steny je 0,6.Asx /b závislé od pomeru a/b a usporiada sa podľa (obr. 4.4.2.1.4). Obr. 4.4.2.1.4 Rozmiestnenie výstuže nad podperou Jedna polovica výstuže nad vnútornými podperami prebehne po celej dĺžke priľahlých polí a druhá polovica sa ukončí za teoretickou podporou vo vzdialenosti 0,4.b, ak je a>b, alebo 0,4.a, ak a<b. Návrh výstuže q  Prostá stena 1/3.A h - hlavná ťahová výstuž ak a/2 < b < a A

0.90 

Mo bs

  1 



2 b 

 (4.4.2.1.23) 3 a 

2/5b 2/3.A h

ak b > a A

1.5 

Mo as

0,15b

(4.4.2.1.24)

- horná výstuž v oboch prípadoch A´= 0 (4.4.2.1.25) Obr. 4.4.2.1.5 Rozmiestnenie výstuže prostej steny kde Mo = q . a2 / 8

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 20 -

- horizontálna výstuž a/2<b<a b>a



0.25 

Toa

- plocha závesovej (zvislej) výstuže

(4.4.2.1.26)

bs To

(4.4.2.1. 27) A t

s

4 7 4 7



Toa bs To

(4.4.2.1.28) kde To

(4.4.2.1.29)

s

qa

(4.4.2.1.30)

Spojitá stena q 0,10b 1/3.A h

A' At

b 0,4b 2/3.A h 0,15b hs

Obr. 4.4.2.1.6 Rozmiestnenie výstuže v spojitej stene Krajné polia Vnútorné polia -dolná výstuž a/2 < b < a b>a

0.70 

1.40 

  1 



bs

b a

 

(4.4.2.1.31)

1.40 

(4.4.2.1.32)

1.20 

(4.4.2.1.35)

Platí to isté ako pre krajné polia

(4.4.2.1.36)

Platí to isté ako pre krajné polia

Mo as

(4.4.2.1.33)

as Mo

(4.4.2.1.34)

as

-horná výstuž a/2 < b < a

A´

0.60 

b>a

A´

2.40 

Mo bs Mo ( a  3  b)   s

kde na výpočet Mo sa použije vzťah (4.4.2.1.25) Pre výpočet plôch horizontálnej a vertikálnej (závesovej) výstuže platia vzťahy (4.4.2.1.28) až (4.4.2.1.30). Príklad : Priemyselný objekt- železobetónová nosná stena, na základe napätia x,z, v rozhodujúcich rezoch navrhnite výstuž a posúďte kvalitu ŽB steny. g hd h s 0.25 m Hrúbka steny b 18 m Výška steny g rd a 13.5 m Osové rozpätie steny c 0.5 m Šírka stĺpa: g rd kN Zaťaženie -zo strechy g hd 60 b steny m g rd kN -z prvého stropu -typického podlažia Materiálové -betón charakteristiky

g dd

100

g rd

g dd

R bd

11.5 MPa

g dd

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 21 -

-oceľ

R btn

1.5 MPa

R sd

375 MPa

R scd

Vlastná tiaž steny

h s  b   25

Celkové zaťaženie





kN 

-1   1.1 123.75kNm m  3

1

g o  3 g rd  g dd  g hd

g cd

Výpočet vnútorných síl

R sd

583.75kNm



0.75

0.03704

-výslednica ťahových Nx = . gcd . a a zároveň  > 0.05 =>  > 0.05 napätí = 1568,244 kN -vzdialenosť výslednice od z´= ´. a = 0,876 dolného okraja = z´ 

0.232      0.1667   0.3057   0.2968  0.237    0.184  

g cd

0.199

3

´

Nx z'

0.012      ( 0.0667)    1.6667 10    0.1138  0.12    0.074   a Priečna sila v podperách Q d g cd  3940.31kN 2

Maximálne šmykové Qd  3  1751.25kPa  napätia v oblasti podpier max 2 k h s kde k = min(a,b) g hd Maximálne vertikálne z 240kPa tlakové napätie h

0.0649 g hd

z  k

z max

max

 b

Posúdenie prierezu z hľadiska napätí vznikajúcich v priereze < R b  b  R bd 9775kPa => X 765.88kPa g cd 6 vyhovuje a < R b  b  R bd 9775kPa =>  z 240 MPa vyhovuje > R t  b  R btn 1275 kPa  max 1751.25kPa  => Nevyhovuje lebo max nie je menšie ako Rt, to znamená, že v priereze vznikajú šikmé trhliny, preto navrhneme zmeniť kvalitu betónu, a hrúbku steny vyjadríme nasledovne: R btn

1.8 MPa

3

Qd 2 k R btn

0.24323m

Navrhujeme hs=30 cm h s  b  25

gc d 

 max 3

kN 3

 1.1

1

148.5kNm

g cd

g o  3 g rd  g dd  g hd

a 2

4107.38kN

Qd 2 k h s

1521.25kPa

Posúdenie prierezu z hľadiska napätí vznikajúcich v priereze < R b  b  R bd 9775kPa X 665.29333 kPa 6

=> vyhovuje

1

608.5kNm

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD. z

200 MPa

max

 max 1521.25kPa 

- 22 -

 b  R bd

9775kPa

 b  R btn

1530 kPa

=> vyhovuje => vyhovuje

Výpočet ťahovej sily N x   g cd  a 1634.735kN prenášanej výstužou Nx Výpočet výstuže v smere 2 A sx 0.00436m osi x  R sd

Návrh výstuže v zvislom z smere

g hd hs

Návrh výstuže v zvislom As zv smere 2x6/m‘ = 2,827 cm2 sf  

bt

 0.5

g dd

2.66667

 s  R sd

1.5

g cd 

0.2K 0.3K

  Rsd   lbf ef     d s 1.20 m  bt  Rbtd  tss max 1 MPa  Podľa CCBA 68 ht

49.087cm 

200 kPa

Výpočet kotevnej dĺžky lbd t

A szv

cm m

ss

ef

0.25

Rbtd  1.2 MPa

ss

ss 

25 mm

Asxsku s s  ds

4107.38kN

A sx

2 Navrhnem ťahovú výstuž 2.5 A 10    sx.sku 1025 4

0.5K

konštrukèná výstuž

 auo

 g cd  a 3

13862.39kNm



sf

ss max 1

11.775

20 cm

2 h o h t

1140.93kPa

Minimálna hrúbka steny sa vypočíta nasledovne: Rbd

17 MPa

Alebo h o2



f ckcube



c

0.8  0.85

f cdcyl



Rbtd

g cd  l t

2 f cdcyl  h t

1.2 MPa

  13.6 MPa 

0.05034m

fckcube

30 MPa

h o1

c

  2 100 f cdcyl  h t  



1.5



g cd f cdcyl  h t

g cd

1 3

0.19699m

0.00249

 0.01923

n je menšie ako 1/52 to znamená, že platí vzorec ho1 a nie ho2 Návrh hlavnej výstuže ht > lt

s A1

f yk

1.15

 Mo    f yk   l t   s  

1.5 

0.00432m

410 MPa

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 23 -

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 24 -

t >3t

>4 O10

t > v / 25

s/2

s t

>2t

L/10

t > v / 22 t

t > v / 20

L > Max (v/2; 5.t)

Det.A

>5 0

Det.A

< 300 mm >4 O10 < 1,5.t

a a-a

d d1 > 50 d1

L/10

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 25 -

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-1-

4.5 Základové konštrukcie Základy sú časť konštrukcie, ktorá prenáša do základovej pôdy vlastnú váhu a všetky zaťaženia pôsobiace na konštrukciu. V zásade rozdeľujeme základy na: 1. základy plošné – tj. pätky, pásy, rošty a dosky, prenášajú zaťaženie do podložia základovou škárou. Z hľadiska postupu výstavby ich možno rozdeliť na základy monolitické (betónované na mieste) a prefabrikované (montované). Často sa tieto dve technológie kombinujú tak, že sa na monoliticky základ umiestni prefabrikovaný prvok. Hĺbku základovej škáry, s ohľadom na objemové zmeny vplyvom premŕzania zeminy, je vhodné voliť v nepremŕzajúcej hĺbke a to najmenej 800 mm pod upraveným povrchom územia. Z hľadiska vysýchania pôdy vplyvom vegetácie sa hĺbka základovej škáry volí individuálne, avšak pri zeminách triedy F7 a F8 sa volí minimálne 1,6 m. 2. základy hĺbkové – tj. piloty, podzemné a pilótové steny, studne a kesony, pri ktorých sa na rozdiel od plošných základov uplatňuje aj vplyv trenia ich plášťa v zemnom prostredí. 3. základy špeciálne 4.5.1 Medzné stavy základovej pôdy Rozoznávame dve skupiny medzných stavov - medzný stav únosnosti - medzný stav pretvorenia Výpočtami podľa medzného stavu únosnosti základovej pôdy je nutné preukázať spoľahlivosť základovej pôdy proti zvislému zaboreniu, pričom by mala platiť podmienka: ds < Rdt (4.5.1.1) kde ds - kontaktné napätie v základovej škáre od účinkov prevádzkového zaťaženia Rdt - tabuľková únosnosť základovej pôdy Výpočtami podľa medzného stavu pretvorenia základovej pôdy je nutné preukázať, že prevádzkové zaťaženie základovej pôdy nevyvolá sadnutie alebo vodorovný posun stavby, pri ktorom by došlo k neprístupnému pretvoreniu konštrukcie alebo takej zmene polohy konštrukcie, ktorá by sťažila jej používanie. 4.5.2

Modely podložia Najjednoduchším model predstavuje lineárne rozloženie napätia v základovej škáre. Tento model sa používa pri založení objektov na tuhých základových pätkách, výnimočne aj na základových pásoch, avšak s vedomím, že správanie sa sústavy, základová pôda - základ je najmenej výstižné. Predpokladá sa buď rovnomerný alebo lichobežníkový priebeh napätí. Winklerov model (metóda miestnych deformácií podložia) je presnejší spôsob určenia priebehu kontaktného napätia (reakcie podložia) na základovú konštrukciu, a je výrazne ovplyvnený tuhosťou základovej konštrukcie. (a) Predpokladá sa lineárna závislosť medzi f(x) zatlačením s(m) a hodnotou kontaktného s napätia (reakcie podložia p)  =C.s, kde C je modul stlačiteľnosti podložia. p(x) =  B Winklerov model si možno predstaviť ako (b) sústavu menej a viacej stlačených pružín s s tuhosťou C, pričom reakcia pružiny je úmerná jej stlačeniu. Pri výpočte základového pásu bude na jednotkovej dĺžke pásu šírky B(m) pôsobiť Obr. 4.5.2.1 Winklerov model reakcia p =  B .C . s (4.5.2.1)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-2-

Tuhosť prierezu základového pásu vyjadruje súčin modulu pružnosti základového pásu E a jeho moment zotrvačnosti I. Výslednú ohybovú čiaru pásu na pružnom podklade s konštantnou hodnotou súčinu EI a s konštantnou hodnotou súčiniteľa stlačiteľnosti C vyjadruje diferenciálna rovnica kde B.C.s(x) = p(x) – reakcia podložia [N/m] d4 E I s ( x)  B C s ( x) f ( x) (4.5.2.2) f(x) - vonkajšie zaťaženie pásu [N/m] 4 dx

Riešenie diferenciálnej rovnice x

Le x x  x x  s ( x) e   C 1 cos   C 2 sin   e   C 3 cos   C 4 sin   Le Le Le Le  (4.5.2.3)     kde C1, C2, C3, C4 sú integračné konštanty určené z okrajových podmienok priehybu a deriváciami rovnice dostaneme -moment - priečnu silu 4 4 E I (4.5.2.4) 2 L d d3 Le

E I

B C

s ( x)

E I

s ( x)

(4.5.2.5) (4.5.2.6) Pri viacerých zaťaženiach použijeme princíp superpozície. V prípade nekonečného nosníka zaťaženého sústredenou silou P sú priebehy rôznych veličín sú nasledovné : - rovnica ohybovej P   ( x)  P s ( x) čiary má tvar (4.5.2.7) C B C Le x - pootočenie pásu

( x)

B C Le

- ohybový moment

M ( x)

- priečna sila

V( x)

 ( x)

(4.5.2.8) (4.5.2.9)

P  L e   ( x)

(4.5.2.10)

P   ( x)

- kontaktné napätie

( x)

C  s ( x)

 ( x) 

(4.5.2.11)

Le  B

kde  = x / Le (4.5.2.12)

Obr.4.5.2.2 Priebehy veličín na nekonečne dlhom nosníku zaťaženom sústredenou silou P

Priebehy koeficientov

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2



0.1 0 -0.1 0 -0.2

 1

 

Čiary na (obr.4.5.2.2) môžeme považovať za vplyvové čiary pri P = 1. Účinok sústavy sústredených bremien zistíme, ak jednotlivé bremená prenásobíme príslušnými poradnicami vplyvovej čiary.

-0.3 -0.4 -0.5 -0.6

Obr.4.5.2.3 Priebehy funkcií (),(),(),() Winklerov model nie je vhodné použiť pri modelovaní:

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-3-

- vzájomne sa ovplyvňujúcich susediacich základov, pretože v bezprostrednom okolí základov je pri tomto modeli definované nulové sadnutie - základových pásov pod priebežnými stenami, pretože sadanie pásov zaťažených konštantným rovnomerným zaťažením (p(x)=konšt.) by podľa Winklerovej teórie bolo po celej dĺžke pásu konštantné, čo je v rozpore s ich reálnym sadaním. V skutočnosti dochádza k väčšiemu sadaniu v strednej oblasti (tzv. miskovitá deformácia základov). Podľa Winklerovej teórie je reakcia v každom bode nosníka priamoúmerná priehybu v tomto bode a je nezávislá od priehybov v ostatných bodoch. Teória pružného polpriestoru berie do úvahy, že zvislý posun v ľubovolnom bode závisí od všetkých reakcií pozdĺž celého nosníka a deformácie sa prejavia nielen bezprostredne pod nosníkom, ale i v celom okolí. Ak na povrch pružného polpriestoru pôsobí sústredená sila P (kN), y vzniká priestorový stav napätosti. V ľubovolnom bode M, ktorého P súradnice vzhľadom na miesto pôsobenia sily P sú x, y, z, možno vypočítať napätia x, y, z, nasledovne: 3

z

3 P z

x

2  r

ol

2  r

z

y

3 P y  z 5

2  r

(4.5.2.13) l

3 P x  z

z z M

Obr. 4.5.2.5 Zvislé napätie pod rohom rovnomerne zaťaženej plochy

x y

(4.5.2.14) (4.5.2.15) Pre riešenie praktických úloh sú zaujímavé najmä zvislé napätia, ktoré Obr.4.5.2.4 Napätia vznikajú v základovej pôde (nahradenej v bode M pružným polpriestorom) na zvislici vedenej pod rohom rovnomerne zaťaženej alebo priťaženej obdĺžnikovej plochy. Steinbrenner pre takéto napätie odvodil vzťah. d

  atan 

l b



0,87.l

l b  z 1 1       2 2 2 2  2 2 2 2 2 2 2  b  z  l b z l z   z l  b  z  (4.5.2.16) (z) V predchádzajúcich výpočtoch sme 0,87.b 2 1 Charakteristický použili zjednodušený predpoklad, čím sa 1 4 bod [4] dosiahla konštantná hodnota kontaktného 4 0,87.b 3 napätia. V skutočnosti však kontaktné b 3 2 napätie nemá konštantnú hodnotu, ale závisí od tuhosti základovej konštrukcie. Tuhý Pružný V charakteristickom bode, ktorý je základ základ b z znázornený bodom 4 na obr.4.5.2.6, sú Obr. 4.5.2.6 Zvislé napätia v rozličných miestach kontaktné napätia pružného i tuhého základu rovnaké. rovnomerne zaťaženej obdĺžnikovej plochy ( z)

Vzťahy na výpočet napätia v charakteristickom bode nie sú známe, avšak možno ich získať pomocou vzťahu (4.5.2.17).V mieste charakteristického bodu sa nachádzajú rohy štyroch obdĺžnikov s rozličnými rozmermi. Ich účinky stačí spočítať. (4.5.2.17)  4  ol ( I( 0.87 l 0.87 b  z)  I( 0.87 l 0.13 b  z)  I( 0.13 l 0.13 b  z)  I( 0.13 l 0.87 b  z) ) kde l b  z 1 1  1  l b  I( l  b  z)   atan      2 2 2 2  (4.5.2.18) 2 2 2 2 2 2 2  b  z  l b z l z   z l  b  z 

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-4-

4.5.3 Stanovenie modulu stlačiteľnosti podložia Modul stlačiteľnosti podložia (koeficient stlačiteľnosti zeminy alebo koeficient ložnosti) je jedným zo základným vstupov pri výpočte nosníkov na pružnom polpriestore. Jeho stanovenie zo základných charakteristík zemín zisťovaných inžiniersko-geologickým prieskumom, nie je normatívne upravené. Jeho stanovenie poľnou skúškou je časovo i finančne náročné a pre bežné stavby je neekonomické. Z tohto dôvodu výpočet modulu stlačiteľnosti možno vykonať na základe týchto inžiniersko-geologických charakteristík zemín uvádzaných v prieskumných správach: Edef modul pretvárnosti základovej pôdy v kPa  Poissonovo číslo objemová tiaž zeminy v kN/m 3 hi hrúbka vrstvy danej zeminy Modul reakcie podložia sa stanoví na základe výpočtu sadania pásu s pomerom šírky k dĺžke 1:10 zaťaženým jednotkovým rovnomerným zaťažením 1 MPa. Konečné sadnutie základovej pôdy pod vyšetrovaným bodom sa doporučuje určovať z nasledovnej rovnice. Tento vzťah nepredpokladá roztláčanie základovej pôdy pod základom do strán: n kde s sadnutie uvažovaného bodu,  z.i  m i or.i z,i zvislá zložka napätia pod uvažovaným s h i (4.5.3.1) E oed.i bodom od priťaženia stavbou ol v i 1 strede i-tej vrstvy Vzťah medzi modulom m opravný súčiniteľ priťaženia, ktorý sa pretvárnosti Edef a oedometrickým pre i-tú vrstvu stanoví v závislosti na modulom Eoed je približne druhu základovej pôdy definovaný vzťahom: or,i pôvodné geostatické napätie v strede 1 i-tej vrstvy E oed  E def (4.5.3.2) hi hrúbka i-tej vrstvy  E oed.i výpočtový oedometrický modul i-tej Určené pomocou súčiniteľa  vrstvy základovej pôdy a Poissonovho čísla 



1

2 

1

(4.5.3.3)

Pri zeminách m-násobok geostatického napätia or predstavuje štrukturálnu pevnosť. Štrukturálna pevnosť je odpor priťažovanej zeminy proti pretvoreniu, a to pri tlakovom priťažení, ktoré začína zeminu významne pretvárať porušovaním jej štruktúry, tj. zmenou vzájomnej polohy zŕn. Pri menších priťaženiach sa stláča iba skelet zeminy a deformácie základovej pôdy sú zanedbateľné. Čím je súčiniteľ m menší, tým sa deformačné chovanie zeminy viac blíži chovaniu lineárne pružnej hmoty. Pri horninovom masíve a zeminách, redukcia zvislého priťaženia v jednotlivých vrstvách vyjadruje zmenšenie ich skutočného stlačenia oproti stlačeniu vrstiev v lineárne pružnom polpriestore.

V uvedenom výpočtovom modely je zvislé priťaženie z každej vrstvy redukované na hodnotu (z - m . or ), ktorá spôsobuje deformáciu.

ol

Základová škára

h1 h2 m1

HPV

or

m. or

(z)

Hlbka deformačne zóny



Obr. 4.5.3.1 Priebehy napätí v zemine

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-5-

Deformačná zóna pod základom je obmedzený priestor v základovej pôde, v ktorom dochádza k nezanedbateľným deformáciám vyvolaným zaťažením stavbou. Skutočné sadanie sa predpokladá v hodnote 0.9 teoretického sadania. Modul reakcie podložia sa potom rovná: C = 1/ s [kN/m3] (4.5.3.4) Pri praktických ručných výpočtoch je možné uvažovať pri výpočte sadania hĺbku 15 m. Pre uľahčenie výpočtu boli spracované nasledovné tabuľky: Tabuľka 4.5.3.1 Druh zeminy  [kN/m3] Edef [MPa]  Charakteristiky F1 (MG) 19 5 0.35 jemnozrnných 19 10 0.35 zemín 19 15 0.35 J E M N O Z R N N É

F2, F3, F4 (CG), (MS), (CS) Z E M F5, F6, F7 I (ML-MI), (CL-CI) N (MH-ME) Y

F8 (CH-CE)

Tabuľka 4.5.3.2 Charakteristiky piesočnatých zemín

C [kN/m3]

Rdt [kPa]

5855 11710 17566 23421

110 200 250 300

0.35

0.2 0.2 0.2 0.2

19 19 19

4 8 12

0.35 0.35 0.35

0.1 0.2 0.2

4367 9368 14053

100 175 275

20 20 20 20 20 20

1.5 3 5 8 10 12

0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4

0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2

2205 4411 7352 11763 14704 17645

50 75 100 150 200 350

20.5 20.5 20.5 20.5

1 4 6 8

0.42 0.42 0.42 0.42

0.1 0.1 0.2 0.2

1759 7037 11272 15030

40 80 160 300



C [kN/m3]

20 20 20

30 50 100

0.28 0.28 0.28

0.3 0.3 0.3

29855 49758 99517

Rdt [kPa] (pre šírku základu v[m]) 300(0,5) 500(1,0) 800(3,0)

S2 (SP) -piesok zle zrnený

18.5 18.5 18.5

15 35 50

0.28 0.28 0.28

0.3 0.3 0.3

14726 34361 49087

250(0,5) 350(1,0) 600(3,0)

S3 (S-F) -piesok s prímesou jemnozrnnej zeminy

17.5 17.5 17.5

12 17 25

0.30 0.30 0.30

0.3 0.3 0.3

12294 17417 25614

225(0.5) 275(1.0) 400(3.0)

S4 (SM) -piesok hlinitý

18 18 18

5 10 15

0.30 0.30 0.30

0.3 0.3 0.3

5145 10291 15470

175(0.5) 225(1.0) 300(3.0)

S5 (SC) -piesok ílovitý

18.5 18.5 18.5

4 8 12

0.35 0.35 0.35

0.3 0.3 0.3

4930 9860 14790

125(0.5) 175(1.0) 225(3.0)

Druh zeminy S1 (SW) -piesok dobre zrnený

P I E S K Y

 [kN/m3] Edef [MPa]

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD. Tabuľka 4.5.3.3 Charakteristiky štrkovitých zemín

G1 (GW) -štrk dobre zrnený

21 21 21 21

250 400 450 500

0.20 0.20 0.20 0.20

0.3 0.3 0.3 0.3

218224 349159 392804 436449

Rdt [kPa] (pre šírku základu v[m]) 500(0.5) 800(1.0) 1000(3.0) 800(6.0)

G2 (GP) -štrk zle zrnený

20 20 20 20

100 150 200 250

0.20 0.20 0.20 0.20

0.3 0.3 0.3 0.3

86494 129741 172988 216235

400(0.5) 650(1.0) 850(3.0) 650(6.0)

G3 (G-F) -štrk s prímesou jemnozrnnej zeminy

19 19 19

80 90 100

0.25 0.25 0.25

0.3 0.3 0.3

74056 83313 92570

300(0.5) 450(1.0) 700(3.0)

G4 (GM) -štrk hlinitý

19 19 19

60 70 80

0.30 0.30 0.30

0.3 0.3 0.3

62306 72691 83075

250(0.5) 300(1.0) 400(3.0)

G5 (GC) -štrk ílovitý

19.5 19.5 19.5

40 50 60

0.30 0.30 0.30

0.3 0.3 0.3

41726 52157 62589

150(0.5) 200(1.0) 250(3.0)

Druh zeminy

Š T R K Y

-6 [kN/m3] Edef [MPa]



C [kN/m3]

4.5.4 Plošné základy Plošné základy patria medzi najrozšírenejšie spôsoby zakladania. Obvykle sa volia v prípadoch, kedy základová pôda požadovanej únosnosti je v dosažiteľnej hĺbke (obvykle do cca 4 m pod povrchom). Veľkosť základovej škáry sa stanoví z kritérií prvého medzného stavu (pričom sa nesmie prekročiť buď odvodené normové alebo výpočtové namáhanie základovej pôdy) a súčastne aj z druhého medzného stavu (limitované hodnoty sadania a zároveň aj rozdiel sadnutia jednotlivých častí). 4.5.4.1 Základy pod priebežnou stenou Pod priebežnou stenou sa navrhujú základové pásy, a to buď z prostého betónu alebo železobetónu. Prierezové tvary základových pasov z prostého betónu sú znázornené na obr. 4.5.4.1.1.

Obr. 4.5.4.1.1 Tvary základových pásov pod priebežnou stenou: a) až c) z prostého betónu d) až g) z monolitického železobetónu Ak je priebežná stena suterénu prerušená dvernými a inými otvormi o šírke väčšej ako 2h, kde h je výška základového pásu, je treba pás z prostého betónu v tejto oblasti primerane vystužiť (obr. 4.5.4.1.2 )

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-7-

Obr. 4.5.4.1.2 Konštrukčná úprava Obr. 4.5.4.1.3 Konštrukčné úpravy pri prestupe potrubia pod stenou s otvorom Podobne je nutné venovať pozornosť konštrukčnému usporiadaniu základového pásu s prestupmi pre potrubia (obr. 4.5.4.1.3). 4.5.4.2 Základové pätky Pri rovnorodom zložení základovej pôdy s odvodeným normovým alebo výpočtovým namáhaním väčším ako cca 0,1 MPa navrhujeme pod piliermi alebo stĺpmi obvykle pätky a to buď z prostého betónu alebo železobetónu. Pri centrickom zaťažení býva pätka symetrická k stredu piliera a je najčastejšie štvorcová. Menšie pätky robíme z jedného bloku (obr. 4.5.4.2.1a). Pri väčších výškach pätiek býva hospodárnejšie robiť ich odstupňované (obr. 4.5.4.2.1b). Pri rozdeľovaní stupňov je treba tiež prihliadnuť ku kotevným železám pilierov. Pri armovaných základoch sa základová škára vyrovnáva 10 cm podkladným betónom, aby sa vytvorila rovná pracovná plocha pre výstuž a betónovanie a zaistilo sa riadne obalenie výstuže betónom. Armované pätky používame pri menej únosných pôdach, kde by si pätky z prostého betónu vyžadovali veľké výšky a tým by sa zväčšovalo i zaťaženie základovej škáry. b) a) á škára

žovina

250 až 300 mm

ŇOVANÁ

ŇOVÁ

žné polovicu výstužných vložiek skrátiť o 20

Obr.4.5.4.2.1 Tvary a konštrukčné úpravy základových pätiek a) jednostupňové b) viacstupňové

Obr. 4.5.4.2.2 Konštrukčné úpravy základových pätiek so šmykovou výstužou Pokiaľ výška pätky h je cca rovná vyloženiu a, nie je treba navrhovať šmykovú výstuž. V prípade výšky menšej ako vyloženie pätky, je nutné navrhovať buď ohybové vložky alebo zvarovanú mrežovinu (obr. 4.5.4.2.2).

ónický otvor l

Obr. 4.5.4.2.3 Spôsoby napojenia pätky na stĺp pri montovaných železobetónových konštrukciách.

Obr. 4.5.4.2.4 Niektoré konštrukčné úpravy pätiek pod stožiarmi diaľkového vedenia

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-8-

Stožiarové konštrukcie diaľkového vedenia – vytvorené prevažne z ocele – sa kotvia do základových pätiek, ktorých obvyklé tvary sú znázornené na (obr. 4.5.4.2.4). Klasické tvary usporiadania kruhových základov vežových konštrukcií (pre retranslačné veže, vysoké komíny, vežové vodojemy, vysoké pece a pod.) sú znázornené na (obr. 4.5.4.2.5).

Obr. 4.5.4.2.6 Združené základy pod Obr. 4.5.4.2.5 Základy vežových konštrukcií skupinou stĺpov V určitých prípadoch sa skupiny stĺpov osadzujú na združené základy (obr. 4.5.4.2.6 ). Príklad: Výpočet základovej pätky pod stĺpom rámovej konštrukcie. Použitý betón B20 : Rbd = 11,5 MPa, Rbtn = 0,9 Mpa Tabuľková únosnosť zeminy v hĺbke zákl.škáry =1 m R dt  400 kPa

Tiaž zeminy:  = 18 kN/m3 Sila pôsobiaca v mieste styku stĺpa a pätky: (extrémne hodnoty )

N d  2.265  10 kN

Prevádzková hodnota pôsobiacej sily: Ns = Nd / 1,2 =1888 kN Predbežný návrh rozmerov pätky H = 15,75 m Výška budovy: Stupeň votknutia budovy: H t 1.575m 10

h = 0,8 m

Navrhujeme:

Tabuľková únosnosť zeminy v hĺbke základovej škáry = t + h:

h N

t R dt

R dt  2.5 ( h  t  1 m)  

461.875kPa 

Predbežný výpočet sily pôsobiacej v základovej .škáre (ak tiaž pätky = 10% Ns): V N  0.1 N 2.076 103 kN s

Predbežný výpočet efektívnej plochy, ktorá je schopná A ef preniesť takúto silu Vs a napätie neprekročí Rtd:

R dt

4.496m

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-9-

Rozmer štvorcového základu:

Navrhujeme rozmer pätky: Posúdenie pätky z hľadiska únosnosti základovej pôdy kN Tiaž základovej 2 N zs1 B  h  25 92.45 kN 3 pätky : m

B = 2.15 m



A ef

2.12m

N zs2/2



2 2 Tiaž zeminy nad N B  b s    t 126.512kN  zs2 základovou konštrukciou: N zs N zs1  N zs2 Výsledná sila pôsobiaca v mieste zákl. škáry (s tiažou pätky): 3 Výsledná sila pôsobiaca v V sk N s  N zs 2.107 10  kN mieste zákl. škáry (s tiažou pätky): V sk Napätia v základovej škáre a posúdenie  455.746kPa  z z hľadiska únosnosti základovej 2 B zeminy:

N zs1

Dĺžka konzolového vyloženia: Napätie v zákl. škáre od extrémneho zaťaženia:

z

< R dt  461.875kPa

Výpočet vnútorných síl (z extrémnych hodnôt bez tiaže pätky ) Bbs Geometria: a

N zs2/2

B bs

a ak

0.875m 2 a  0.15 b s 0.935m

d

A ef

d

490.053kPa 

M Q

Max. moment pôsobiaci na pätku: Max. priečna sila pôsobiaca na pätku:

ak 2

 B  d

460.547kN  m

Q max a k B  d

A sx

985.128kN 

výstuž v smere x

Pätka má štvorcový tvar, teda plocha výstuže v oboch smeroch sa rovná Asx = Asy Návrh výstuže:

fcd

0.8  20 

0.85 1.5

fcd  9.067 fyk

410  MPa



B  d  fcd  0.042 B=2.15m, d=0.75m

M xmax= My max = Mmax

A sx 

0.0129

A sx

A sx.  18.86

  b  d  fcd  100  cm

Rez A

d h

Mmax

A sx

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 10 -

Podmienka spoľahlivosti proti pretlačeniu Rozmery kritického prierezu na pretlačenie: Dĺžka obvodu kritického prierezu: Napätie od zaťaženia z nosnej konštrukcie pôsobiacej v zákl. škáre (bez vlastnej tiaže pätky): Posúvajúca sila od extrémneho zaťaženia pôsobiaca v kritickom priereze: Max. posúvajúca sila vyvolaná extrémnym zaťažením vzťahujúca sa na jednotku kritického prierezu: bs

u cr

4 u c1

d



 d  B  u c1

N qd q dmax

N qd u cr

h/2

kN m



h/2

s

- súčiniteľ výšky prierezu (pre h >0.6m):



1  50  s   smin

h

- súčiniteľ normálovej sily:

ucr2

n q dmax  324.915



324.915

h/2

ucr1

4.8m

0.49 MPa

1.2 m

Výpočtová posúvajúca sila, ktorá prenáša betón q bu : - súčiniteľ vystuženia:

B h/2

u c2

h bs u c1

u c1

q bu

0.42 h   s   h   n  R btd

634.152

kN m

Zásady zakotvenia výstuže a>h a

45o

a<h a

l bd

45o

l bd

4.5.4.3 Škrupinové základy Snaha o obmedzenie značnej kubatúry betónu v základových konštrukciách, obzvlášť pri vežových stavbách, nádrží a iných značne zaťažených objektoch a konštrukciách, vedia k použitiu tenkostenných škrupín. Škrupinové základy nahrádzajú jednak základové pätky a pásy, ale hlavne klasické základové dosky. Sú vhodné aj v podmienkach menej únosného základového podložia. Škrupiny je možné použiť aj pri rekonštrukciách základov. Vhodný typ základovej škrupiny sa volí jednak s ohľadom na konštrukciu hornej stavby (skelet, vežová konštrukcia) a jednak na druh základovej zeminy. Pri skeletových konštrukciách sa škrupinové základy navrhujú buď samostatne pod jednotlivými stĺpmi alebo pri stĺpových zostavách pod celou sekciou. Jednotlivé škrupinové pätky môžu mať buď štvorcový alebo kruhový pôdorys. Obvyklé konštrukčné usporiadanie je na (obr. 4.5.4.3.1a, b). Okrem základov z monolitického železobetónu sa v praxi používajú aj pätky z prefabrikovaných betónových dielcov zopnutých po obvode. Prípadné medzery na styku podkladný betón-škrupina sa zainjektujú. Pre skeletové konštrukcie v stĺpovej zostave sú vhodné najmä základové škrupiny s válcovými plochami, translačnými ap.a alebo základové tenkostenné doskové konštrukcie (lomenice–hranolové a ihlanové) (obr. 4.5.4.3.1)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 11 -

Obr.4.5.4.3.1 Škrupinové základy pre skeletové konštrukcie a) b) pod jednotlivými stĺpmi c) d) e) pod skupinou stĺpov Pre retranslačné veže, obzvlášť s vrcholovými nadstavbami sa masívne základové dosky nahrádzajú prstencovými základmi. Niektoré konštrukčné usporiadania sú uvedené na (obr. Obr. 4.5.4.3.2 Škrupinové základové konštrukcie pod 4.5.4.3.2 ). retranslačnými vežami 4.5.4.4 Základové železobetónové pásy a rošty pod skupinou stĺpov Ak vychádzajú pod radou stĺpov základové pätky príliš rozmerné, spoja sa výhodne do spoločného základového pásu (obr. 4.5.4.4.1 ).

Obr.4.5.4.4.1 Orientačné kritérium pre voľbu základových pätiek alebo základových pásov Základové pásy pri skeletových konštrukciách sa orientujú buď pozdĺžne alebo priečne, a to zhodne so smerom prievlakov rámových konštrukcií. Pásy, pokiaľ sú dostatočne tuhé, zabezpečujú rovnomerné sadanie, avšak iba príslušnej rady stĺpov a nie celej stĺpovej zostavy. Pri výškových objektoch so sústredeným pôdorysom alebo pri nižších objektoch značne zaťažených, sa základové pásy navrhujú v oboch smeroch vzniká základový rošt (obr. 4.5.4.4.2). Základové rošty sa tiež volia aj pri nepravidelne členených pôdorysoch, pri zakladaní na nerovnorodom podloží, na poddolovanom území a v seizmických oblastiach. Vhodne usporiadané roštové konštrukcie môžu do značnej miery zaistiť rovnomerné sadanie celého objektu, avšak musia mať dostatočnú tuhosť. Obr. 4.5.4.4.2 Ukážka základového roštu

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 12 -

Priečny prierez základových pásov býva buď obdĺžnikový alebo lichobežníkový alebo v tvare obráteného T (obr. 4.5.4.4.3). ábeh 3

á vrstva z prostého betónu

Obr. 4.5.4.4.3 Pozdĺžne a priečne usporiadanie základových pásov pod radou stĺpov V pozdĺžnom smere môže mať základový pás výšku konštantnú alebo sa pri stĺpoch vytvárajú nábehy. Podobne je to aj so šírkou základov (obr. 4.5.4.4.3a,b).

útový nábeh

Obr. 4.5.4.4.3 Usporiadanie základových pásov a) pri značných rozdieloch zaťažení stĺpov, b) ovplyvnené susednou zástavbou, c) úprava pri napojovaní krížiacich sa základových pásov nerovnakej šírky. Príklad: Úlohou je navrhnúť a posúdiť základový pás zo železobetónu triedy B20, nachádzajúci sa v zeminách triedy S4, na ktorý pôsobia z hornej stavby normálové sily Nd (výpočtové hodnoty). Charakteristiky zeminy S4 sa nachádzajú v tab. 4.5.3.2 , kde - tabuľkovú únosnosť zeminy pre šírku pásu B = 1,5 m v hĺbke základovej škáry =1 m dostaneme interpoláciou hodnôt : Rdt = 260 kPa - modul pretvárnosti základovej pôdy Edef = 27000 MPa - modul stlačiteľnosti podložia C = 15000 kN/m3 - objemová tiaž zeminy  = 18 kN/m3 Použitý betón B20, oceľ 10425 Nd1 =2265 kN

Nd2 =1821 kN

Nd1=2265 kN

h v

l 1 =7.2 m

l2 =3.6 m L

Predbežný návrh rozmerov základového pásu: -max. vzdialenosť medzi stĺpmi l1 = 7,2 m

l 1 =7.2 m

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD. -vyloženie pásu -celková dĺžka pásu -výška pásu

- 13 v = 1 / 4 l1 L = 2 . v + 2 . l1 + l2 = 22,2 m N d.max

N s.max

1.44

0.6R bd

 5 cm

1.44

f 0.6R bd

 5cm

0.8m

kde Ns.max = prevádzková hodnota sily Nd.max Nd.max = max(Nd1, Nd2) = 2265 kN f - súčiniteľ zaťaženia ~ 1,2 Rbd = 11,5 MPa - výpočtová hodnota pevnosti betónu B20 v tlaku - tabuľková únosnosť zeminy pre šírku pásu B = 1,5 m v hĺbke základovej škáry = d =1,2 m zemina R dt = R dt + 2,5 (d – 1 m)  269 kPa -suma všetkých síl z hornej stavby pôsobiacich na základový d pás (prevádzková hodnota) h Vs = ( 2.Nd1 + 2.Nd2 ) / f = 6810 kN -predbežná tiaž pásu sa odhaduje na 10% sumy síl z hornej B stavby Gzs = 0,1 . Vs = 680 kN Obr. 4.5.4.4.4 -predbežný pôdorysný rozmer základového pásu L x B = Aef V s  G zs kde A ef 27.846m2 R dt => B = Aef / L = 1.254 m Navrhujeme B = 1,5 m Kontrola rozmerov základového pásu : - skutočná tiaž základového pásu kN  zs1 BLh25 3 668.659kN m -tiaž zeminy nad základom  zs2 = B . L (h – d)  237.845 kN -skutočná sila v základovej škáre Vskut =  zs1 +  zs2 + Vs = 7716 kN -maximálne napätie v základovej škáre  skut = Vskut / B . L = 231.716 kPa  skut = 231.716 kPa < R dt = 269 kPa => návrh rozmerov pásu vyhovuje z hľadiska únosnosti základovej pôdy Výpočet vnútorných síl na základovom páse : 1./ Zjednodušená metóda – predpokladom je tuhý základový pás, pri ktorom sa kontaktné napätie v základovej škáre rozdelí rovnomerne po celej dĺžke pásu L. e' Nd1

e Ndi

Ndi+1

x i+1

Ndn

xn L

2

1

veľkosť okrajových napätí určíme zo vzťahov e = L / 2 - e´

1

Vd BL



6 V d e

BL2

kde

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 14 Vd

 i

1

2

BL



6 V d e



B L

e´

1

N d  xi i

 i

1

- v našom prípade suma síl z hornej stavby je Vd = 8172 kN - základový pás je zaťažený centricky teda e = 0 m - kontaktné napätie v základovej škáre dosiahne konštantnú hodnotu 1,2 = 245,393 kPa - reakcia podložia na základový pás p = 1,2 . B = 368,089 kN/m Priebeh prierezových síl na páse možno vypočítať ako na nosníku zaťaženom rovnomerným zaťažením, ktorého reakcie v miestach stĺpov poznáme. p Nd1

N d2

N d1

N d2

P r ie b e h o h y b o v ý c h m o m e n to v

2 5 0 0 .0 0 2 0 0 0 .0 0 1 5 0 0 .0 0 1 0 0 0 .0 0 5 0 0 .0 0 0 .0 0 - 5 0 0 .0 0

- 1 0 0 0 .0 0

Obr. 4.5.4.4.5 P rie b e h p rie č n y c h s íl 1400 900 400 -1 0 0

-6 0 0 -1 1 0 0 -1 6 0 0

Obr. 4.5.4.4.6

2) Základový pás na Winklerovom podloží V teoretickej časti (4.5.2) sme poskytli riešenie ohybovej krivky nekonečného nosníka na pružnom podloží zaťaženého sústredenou silou. Základový pás v našom prípade možno považovať za nosník definovanej dĺžky zaťažený sústavou sústredených síl. Podľa Bleichovej teórie môžeme predpokladať, že nosník definovanej dĺžky je časť nekonečne dlhého nosníka, ktorý spĺňa nasledovné okrajové podmienky: 1./ MA = 0 kNm N d2 N d3 = N d2 N d4 =N d1 y x N d1 1 x2 Q1 Q2 Q4 Q3 x3 x4 2./ VA = 0 kN Nekonečný nosník 3./ MB = 0 kNm A B 4./ VB = 0 kN x L     Nosník definovanej dlžky = kde A a B sú krajné = cast nekonečného nosníka body nosníka  

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 15 -

Predpokladajme, že nosník je zaťažený nielen skutočnými silami Nd1 ... Ndn ale i fiktívnymi Q1, Q2, Q3, Q4 pôsobiacimi mimo skutočný nosník a vzdialenosť ich pôsobiska ku okrajom nosníka je nasledovná: Q1.........Le / 2 od prierezu A =>  = /2 => (/2) = -0.052 a (/2) = 0 => priečna sila vyvodená silou Q1 v priereze A sa rovná 0 Q2.........Le / 4 od prierezu A =>  = /2 => (/4) = 0 a (/4) = 0.16 => ohybový moment vyvodený silou Q2 v priereze A sa rovná 0 Q3.........Le / 2 od prierezu B =>  = /2 => (/2) = -0.052 a (/2) = 0 => priečna sila vyvodená silou Q3 v priereze B sa rovná 0 Q4.........Le / 4 od prierezu B =>  = /2 => (/4) = 0 a (/4) = 0.16 => ohybový moment vyvodený silou Q4 v priereze A sa rovná 0 4 x kde a Pričom moment 4 E I  Le 4.187m 1 3 4 zotrvačnosti L I  B h 0.064m C B e 12 základového pásu je: Na základe týchto zjednodušení možno vyššie uvedené okrajové podmienky MA = 0, MB = 0, TA = 0, TB = 0 zapísať nasledovne: 1. podmienka:

F   i

2. podmienka: 3. podmienka:

F   i

n n

    Q1  L       Q2  L   N     L    e e  d i iA  e 2 4  n      0     Q1      Q2  Nd   i A i 2 4 n 0





 n

F  

 



  Q3  Le      Q4  Le   Nd   iB   Le i 2  4 n  n    4. podmienka:     TB Fi   i 0     Q3      Q4   Nd   i  B B  i 2 4    n  n  a následne možno vypočítať z týchto podmienok veľkosti fiktívnych síl Q1, Q2, Q3 a Q4: n Z 1. podmienky možno vypočítať N d    A  Q1, i i  súčin Q2 . /4) = 0 a i 1 Q1 Q1 = 1443 kN 0.052 zároveň /2) = -0.052 => n Z 2. podmienky možno vypočítať N d    A  Q2, i i  súčin Q1 . /2) = 0 a i 1 Q2 Q2 = 5460 kN 0.160 zároveň /4) = -0.160 => n Z 3. podmienky možno vypočítať N d    B  Q3, i i  súčin Q4 . /4) = 0 a i 1 Q3 Q3 = 1443 kN 0.052 zároveň /2) = -0.052 => n Z 2. podmienky možno vypočítať N d    B  Q4, i i  súčin Q3 . /2) = 0 a i 1 Q4 Q4 = 5460 kN 0.160 zároveň /4) = -0.160 => Výsledné priebehy ohybových momentov na základovom páse pre rôzne výšky pásu podľa Winklerovej teórie porovnané so zjednodušenou metódou (p = konšt.): MB





   

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 16 -

Porovnanie ohybových momentov 2500

Zjednodušená metóda

2000 1500

Winklerove podložie h=1.0

1000 500 0 0

Winklerove podložie h=1.3

-500

Winklerove podložie h=1.9

-1000 -1500

Výsledné priebehy kontaktných napätí na základovom páse pre rôzne výšky pásu podľa Winklerovej teórie porovnané so zjednodušenou metódou (p = konšt.): Porovnanie kontaktných napätí

500

Zjednodušená metóda

480 460 440

Winklerove podložie h=1.0

420 400

Winklerove podložie h=1.3

380 360 340

Winklerove podložie h=1.9

320 300 0

Výsledné priebehy priečnych síl na základovom páse pre rôzne výšky pásu podľa Winklerovej teórie porovnané so zjednodušenou metódou (p = konšt.): Porovnanie priečnych síl 1400

Zjednodušená metóda

900

Winklerove podložie h=1,0

400 -100 -600 -1100 -1600

Winklerove podložie h=1.3 Winklerove podložie h=1,9

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

M sd1 =2210 kNm

As1

As2

- 17 -

M sd2 =812 kNm

As2

Obr. 4.5.4.4.7 Vystužovanie základového pásu 4.5.4.5 Základové dosky Základové dosky pod stĺpmi sa navrhujú na nesúdržnom a málo únosnom podloží ( < 100 kPa), kedy by základové pásy zaberali viac ako 50 % pôdorysnej plochy objektu. Okrem tejto roznášacej funkcie môže mať základová doska aj funkciu stužujúcu, kedy zabraňuje možným nerovnakým posunom pri sadnutiach. Ďalším dôvodom pre úpravu základovej dosky na skriňový základ môže byť aj podzemná voda. Dokonca aj malá tuhosť hornej konštrukcie vyžaduje v niektorých prípadoch založenie na tuhej doske. Rovnako aj značne zaťažené špeciálne konštrukcie vyžadujú s ohľadom na premenlivosť pôdorysného zaťaženia tuhú základovú dosku.

Základové dosky môžu mať rôzne konštrukčné usporiadanie (obr. 4.5.4.5.1). Keď je doska konštantnej hrúbky a piliere sú posadené priamo na ňu, jej statické pôsobenie sa podobá obrátenému hríbovému stropu (obr. 4.5.4.5.1a,b). Statické namáhanie dosky sa zlepší a súčasne sa zmenší nebezpečie prepichnutia dosky pilierom, keď sa osadí pilier najprv na roznášaciu pätku (obr. 4.5.4.5.1b) (analógia hlavice u hríbového stropu). Jednoduché a spoľahlivé prevedenie tlakovej izolácie si vyžaduje, aby doska mala čo najjednoduchšie tvary, nebola členená vodorovne ani zvisle. Všetky prechody majú byť plynulé. Namiesto rovnej dosky sa dajú použiť obrátené klenby (obr. 4.5.4.5.1g). Avšak zemina musí byť Obr. 4.5.4.5.1 Konštrukčné usporiadanie základových dosiek pod súdržná, aby bol možný sústavou stĺpov a) jednoduchá, b) zosilnená jednosmernými výkop v takom tvare, a pásmi, c) zosilnená obojsmernými pásmi, d) v tvare obráteného ďalej musí byť schopná hríbového stropu, e) zosilnená nábehmi v zemine, f) zachytiť vodorovné sily s jednosmernými pásmi v zemine, g) v tvare obrátenej klenby, h) skriňový základ od klenbového účinku. Na obvode stavby vznikajú veľké vodorovné sily, ktoré by mohla zachytiť len veľmi únosná pôda a preto bude treba vodorovné sily zachycovať ťahadlami. Obťažné je i betónovanie, šalovanie priečnych stužidiel a zhotovenie izolácie je tiež komplikovanejšie. Preto toto riešenie bude hospodárnejšie ako rovná doska. V prílohe L sú uvedené výkresy vystuženia betonárskou oceľou pri hornom a dolnom povrchu a vystuženie základovej dosky oceľovými hlavicami.

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 18 -

4.5.4.6 Rozmiestnenie a konštrukčné usporiadanie rozdeľovacích škár v objektoch Nerovnomernosť sadania môže konštrukciu poškodiť, v niektorých prípadoch aj ohroziť jej bezpečnosť. Z tohto dôvodu je nutné oddeliť rozdeľovacími škárami tie časti objektu, v ktorých sa dá očakávať väčšie alebo menšie sadanie ako v susedných častiach. Rozdeľovacie škáry sa teda navrhujú pre oddelenie častí objektov - založených na nerovnorodom podloží, - nerovnako zaťažených - značne rozdielnej výšky - veľmi rozsiahlych, členitých a značne zaťažených - založených v rôznych hĺbkach - s rôznym spôsobom založenia - medzi starým objektom a prístavbou l 1 < l/4 d > H1 /300

H1 L

L1 < L/4

Obr. 4.5.4.6.1 Rozdeľovacie škáry majú byť pokiaľ možno priame a musia prechádzať všetkými konštrukciami objektu včítane základov. Minimálna šírka škáry je 15 až 25 mm, často však s ohľadom na charakter základového podložia vychádza výpočtom šírka väčšia. Železobetónové konštrukcie v rozdeľovacích škárach alebo na hranici pozemku je nutné vytvárať podľa konkrétnej situácie. Najbežnejšie prípady sú uvedené na (obr. 4.5.4.6.2). Jednostranné pásové základy umiestnené rovnobežne s hranicou pozemku (obr. 4.5.4.6.2a) sú po statickej stránke nevhodné. O niečo lepšie riešenie je rozšírenie steny (obr. 4.5.4.6.2b), kde je však treba základový pás vystužiť stienkami alebo piliermi (obr. 4.5.4.6.2c) proti pootočeniu, aby ich torzná tuhosť ovplyvnila rozdelenie pôdneho vztlaku. Takéto základové pásy je treba primerane nadimenzovať na krútiaci moment alebo vystužiť stienku tak, aby bezpečne preniesla moment vznikajúci v dôsledku mimostredne pôsobiaceho zaťaženia. Konštrukčné úpravy na (obr. 4.5.4.6.2d), e spočívajú v odsadení základových konštrukcií od hranice pozemku. (obr. 4.5.4.6.2f) znázorňuje krátke základové pásy spoločné vždy pre dva stĺpy a (obr. 4.5.4.6.2h), i združenie základov pod skupinou stĺpov. ýstuha á úprava

ýstuha

Obr. 4.5.4.6.2 Konštrukčné usporiadanie základov v roznášacích škárach, resp. na hranici pozemku

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 19 -

e Q

Q.e=Q1.e1

e1 Q

Obr. 4.5.4.6.3 4.5.4.7 Výškové usporiadanie vzájomne naväzujúcich základov Základové škáry pätiek a pásov v spoločnej sekcii je treba umiestniť pokiaľ možno do jednej výškovej úrovne. Ak je treba niektoré časti sekcie založiť v rôznych hĺbkach, je nutné príslušnú základovú konštrukciu opatriť podľa veľkosti výškovej diferencie lomami alebo stupňami a vhodne ich vystužiť (obr. 4.5.4.7.1c,d,e). V styku jednotlivých sekcií alebo na hranici pozemku je treba susediace základy usporiadať podľa (obr. 4.5.4.7.1a).

2 3

Obr.4.5.4.7.1 Konštrukčné úpravy vzájomne naväzujúcich základov a) výškové usporiadanie susedných základov, b) prepojenie dvoch základových pásov prebiehajúce v rôznych výškových úrovniach, c) d) e) konštrukčná úprava v lomoch základovej dosky 4.5.5 Hĺbkové základy 4.5.5.1 Zakladanie na pilótach K najrozšírenejšiemu druhu hlbinného zakladania patria zakladania na pilótach. Používa sa jednak v prípadoch, kedy únosná zemina je v značnej hĺbke a plošný základ by bol z tohto dôvodu neekonomický, jednak pri vysokej hladine podzemnej vody. Pilóty sa bežne navrhujú v mostných a vodných stavbách a ďalej aj pri stavbách pozemných a priemyslových pri zakladaní na neúnosných a zvodnatelých vrstvách. Obvykle sa používajú do hĺbok 20 m a pri použití zvláštnych druhov pilót aj cez 50 metrov. Konštrukcia pilótového základu je väčšinou tvorená pilótami a ich hlavy navzájom spojuje pilótový rošt, ktorý prenáša zaťaženie z nadzákladovej konštrukcie na pilóty. Betónové pilóty delíme podľa spôsobu prenášania zaťaženia : - opreté pilóty (obr.4.5.5.1.1a) sú opreté o únosné podložie, do ktorého prostredníctvom päty prenášajú zaťaženie z konštrukcie - plávajúce pilóty (obr.4.5.5.1.1b) svojou pätou nedosahujú na únosné podložie a prenášajú zaťaženie z konštrukcie plášťovým trením - votknuté pilóty (obr.4.5.5.1.1c) vzdorujú zaťaženiu obdobne ako opreté pilóty a voči vodorovným zaťaženiam však pôsobia ako konzola. Ich miera votknutia do únosného podložia závisí na hĺbke votknutia lf a na vlastnostiach zeminy.

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD. Podľa priečneho rozmeru sa pilóty delia: - malopriemerové pilóty tj. pri 0,2 m < d < 0,6 m - veľkopriemerové pilóty tj. d > 0,6 m Podľa výrobného postupu : - pilóty vopred zhotovené - pilóty zhotovené na mieste

- 20 (a)

(b)

(c)

Pilótový rošt

Pilóty

Pilóty d

Obr. 4.5.5.1.1 Pilóty: a)opreté, b)plávajúce, c)votknuté

Rozmiestnenie pilót v základoch sa navrhuje pokiaľ možno tak, aby každá pilóta bola osovo a približne rovnako zaťažená. (b) (a) Najmenšia osová vzdialenosť pilót je pri malopriemerových pilótach 2,5d a pri veľkopriemerových je to 1,5d, minimálne však d + 0,5 m. Pri predrážaných pilótach sa Obr. 4.5.5.1.2 Rozmiestnenie pilót pod roštom považuje najmenšia osová a)pätkovým , b) pásovým vzdialenosť 3,5d. 2,5.d

min ,5.d (d+ 0,5 m)

min(d+0,5m)

) d 5. ,5m 2, d+0 n( i m

4.5.5.2 Pilótové rošty Pilótový rošt roznáša účinky nadzákladovej konštrukcie do pilót. Rozoznávame rošty pätkové, pásové a doskové. Pásový rošt sa správa v pozdĺžnom smere ako nosník a pilótový rošt doskový pôsobí ako doska. Nasledujúci postup pre výpočet pilótových pätkových roštov platí len v prípadoch masívnych roštov. Definovanie masívneho roštu je uvedené na l <h l <h (obr. 4.5.5.2.1). Pokiaľ vzdialenosť lp osi h h krajnej pilóty od líca stĺpa je väčšia ako 1,5násobok výšky roštu, postupuje sa pri výpočte podľa teórie nosníkov, popr. podľa teórie dosiek. Obr. 4.5.5.2.1 Masívny pilótový rošt p

Obr. 4.5.5.2.2 Spôsob vystužovania pilótových roštov uložených na viacerých pilótach

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

- 21 -

Integračné pracovné diagramy

5.1 Deformácie konštrukcie Deformácie konštrukcie sú tvorené súborom vypočítaných alebo nameraných pohybov a naklonení definovaných bodov na konštrukcii. Pre ich výpočet musíme poznať tzv. tuhosti prvkov, pričom je samozrejmé, že deformácia betónových dielčekov dx nie je náhodná, ale je určená z pracovných diagramov pre príslušnú hladinu vnútorných síl. Na deformácii rovinnej prútovej konštrukcie sa všeobecne podieľa normálová sila, ohybový moment a šmyková sila. Z ich pracovných diagramov môžeme definovať tuhosti prúta ako tangens uhla sečnice alebo sklon uhla a zároveň ich hladiny energie. N M Q E A E J G A    normálová tuhosť ohybová tuhosť šmyková tuhosť Podľa uvedenej definície sú tuhosti prúta premenné, ktoré závisia od hladiny vnútorných síl: normálová sila (N), ohybový moment (M), priečna sila (Q) a od doby ich pôsobenia. Problematiku riešenia tuhosti môžeme najlepšie skúmať na pracovnom diagrame ohybového momentu-krivosti alebo priečnej sily-skosenia, ktoré majú spravidla rozhodujúce vplyvy na deformáciu prúta. Používame integračné pracovné diagramy. 1  M f  a Q f   za predpokladu, že normálová sila (N) je konštantná. Pre prierez spriahnutý z materiálov s nelineárnymi pracovnými diagramami nemôžeme superponovať účinky vnútorných síl. Pracovný diagram ohybového momentu musíme vytvoriť pre konkrétnu normálovú silu a naopak. 5.1.1 Pretvorenie - definícia krivosti Pôsobenie železobetónových konštrukcií za prevádzky môže byť značne odlišné od pôsobenia lineárneho za elastického stavu. Vznik trhlín v betóne, ktoré napriek tomu, že trhliny vznikajú iba v obmedzenom počte prierezov, modifikuje tuhosť konštrukčných prvkov a potom vedie k značnej redistribúcii výsledných napätí [13]. x V každom bode lineárnej konštrukcie c je krivosť daná nasledovným vzťahom: y M s  c 1 M d h (5.1.1.1) N d ( EJ) 

Celková krivosť v čase t je sumou elastickej krivosti a krivosti spôsobenej dotvarovaním a zmrašťovaním, preto:

1    t 

 1  1  1          0        cs 

s Obr. 5.1.1.1 Definícia krivosti

(5.1.1.2)

V tejto rovnici treba každý člen na jej pravej strane považovať za zodpovedajúci stavu I (bez trhlín) a stavu II (so stabilizovanými trhlinami) alebo nejakému intermediárnemu stavu (čo závisí od konkrétneho prípadu). Priemerná krivosť sa vzťahuje ku krivosti v stave I a stave II, ktorý reprezentuje extrémne možnosti. Krivosť v stave I a stave II je možné vypočítať pomocou základnej krivosti danej vzťahom:

M c  EIc Priemerná krivosť je definovaná nasledujúcim vzťahom:  sm   cm 1 1 (5.1.1.4)  sm  1  ´  s1  ´  s2 EI d  m  m  cm

 1  ´  c1  ´  c2

(5.1.1.6)

(5.1.1.3)

(5.1.1.5) 

(1 -  ) c1

 cm

 c1

 c2

Dosadením hodnôt  sm ,  cm do rovnice ( I) dostaneme: 1  1  ´  1  ´  1 m 1 2 1

kde krivosti

1

1 2

(5.1.1.7)

s1

 sm

zodpovedajú stavu I ,

(1 -  ) s1

s2



s2

Obr. 5.1.1.2 Priemerná krivosť - čistý ohyb

resp. stavu II pozri obr. 5.1.1.3. M

[kNm]

c

M Mr



m



1a

1 1 1

pl

c

el

1 1

3

m

1 2a 2

[kN]

el



(krivost )

Obr. 5.1.1.3 Diagram moment - krivosť

  1 2a 2



pl



1a

3

(skosenie)

Obr. 5.1.1.4 Diagram priečna sila - skosenie

5.1.2

Pretvorenie - definícia skosenia Medzi stavom I a stavom II v oblasti šmyku dochádza k postupnému zmenšovaniu tuhosti(ako pri ohybe). V praxi bývajú vo väčšine prípadov, kedy je potrebné vypočítať deformácie pre prevádzkové skúšky, šmykové deformácie veľmi nadhodnotené (pri použití šmykového pretvorenia  2 v stave II) [11] [13] . Rozvoj šmykového pretvorenia ako funkcie šmykovej sily je na (obr. 5.1.1.4). Pri uvažovaní zakriveného pracovného diagramu betónu je označenie ohybovej tuhosti prierezu EI len symbolické a konkrétne vyjadruje len tangens uhla sečnice pracovného diagramu. Spoľahlivosť výpočtu potom závisí na výstižnom definovaní materiálových charakteristík, modulov pretvárnosti E, G a geometrických charakteristík tzv. ideálneho prierezu. Železobetónové prvky sú skúmané na ohyb vtedy, ak je ohybový moment väčší než prvý moment v trhline, ktorý vedie pri tvorbe trhliny k prenášaniu ťahových zaťažení na vystužovaciu tyč, hoci betón stlačený medzi dvoma susednými trhlinami ešte stále reaguje. Tento účinok sa väčšinou pripisuje tuhosti v ťahu. Preto, aby sme túto vlastnosť vzali do úvahy, je vhodné zaviesť priemerný moment zotrvačnosti priečneho prierezu Im , ktorý sa nachádza medzi hodnotami I1 a I2 , kde I1 je

moment zotrvačnosti nepotrhaného prierezu (ďalej stav I ) a I2 je moment zotrvačnosti

potrhaného prierezu v stave s trhlinami (ďalej stav II), pozri obr. 5.1.2.1 Po vypočítaní hodnôt I a II sa príspevok výstuže berie do úvahy pomocou koeficientu n, ktorý predstavuje pomer medzi modulom pružnosti výstuže a betónu. n = Es / Eb kde Es – modul pružnosti výstuže Eb – modul pružnosti betónu

1 Ic

1 I1

1 Im

1 I2

1/I10

1/I20

1 I

Obr. 5.1.2.1 Diagram moment - moment zotrvačnosti Keď je hodnota ohybového momentu M blízka hodnote momentu pri vzniku trhlín Mr , potom

budú blízke aj hodnoty I1 a I2 , na druhej strane, keď je vyššia hodnota ohybového momentu vzhľadom k Mr , potom bude hodnota Im blízka hodnote I2 . Tieto vlastnosti zohľadňujeme vo všeobecnosti pri prebraní dvoch rôznych modelov. Prvý z modelov môžeme definovať ako sériový. Využíva hodnotu Im určenú vzťahom: (5.1.2.1) Im I1´  I2  1  ´ Druhý model, ktorý môžeme definovať ako paralelný, predpokladá 1 1 1  1  ´  ´  I1 Im I2

(5.1.2.2)

V oboch modeloch je koeficient funkciou úrovne vonkajšieho zaťaženia daného vzťahom: Mr ´ ´     (5.1.2.3) M Pričom musia byť splnené nasledovné podmienky : (i) (5.1.2.4) ´ ( 0) 0 (ii) (5.1.2.5) ´ ( 1) 1 d´ d

 0

(iii)

(5.1.2.6)

Vzťah (i) vyjadruje, že Im = I2 keď M >> Mr , kým vzťah (ii) vyjadruje, že Im = I1 keď M = Mr . Zo vzťahu (iii) vyplýva, že pre vyššie hodnoty vonkajšieho zaťaženia Im budú blízke hodnote I2 . Čiže zo vzťahov (i), (ii), (iii) môžeme odvodiť vzťah: 0  ´  1 Počet funkcií , ktoré vyhovujú vzťahom (i) až (iii) je nekonečný. Funkcia, ktorá môže byť definovaná pomocou jedinečného parametra  1 a dosiahnutá koreláciou s experimentálnymi hodnotami, má tvar: ´

 Mr    M

1

 > 0

(5.1.2.7)

American Concrete Institute sa na základe experimentálnych výsledkov získaných Bransonom odvoláva na sériový model (5.1.2.1) s  1 4 a Comité Euro-International du Béton sa na základe výsledkov získaných v Ecole Polytechnique de Lausanne odvoláva na paralelný model (5.1.2.2) s  1 2 [19].

5.2 Pretvorenie pri interakcii priečnej sily Vplyv priečnej sily na pretvorenie treba uvažovať len vtedy, ak je ohybová štíhlosť (t.j. pomer rozpätia a výšky prvku ) menšia ako 10. Podľa [1] je možné deformáciu fq spôsobenú šmykovým pretvorením vypočítať z rovnice práce: fq

   

Q   ds

(5.2.1)

kde  je šmykové pretvorenie spôsobené skutočným bremenom. Veľkosť šmykových pretvorení vo veľkej miere závisí od tvorby šikmých trhlín. Ak neexistujú žiadne šikmé trhliny (stav I v šmyku), potom bývajú obyčajne šmykové deformácie malé a vo väčšine prípadov je možné ich zanedbať. Po úplnom rozvinutí (stabilizácii) šikmých trhlín ( stav II v oblasti šmyku ) môžu byť šmykové deformácie pomerne veľké, dokonca väčšie ako deformácie spôsobené ohybom. Po vzniku šikmých trhlín betónové prvky zabraňujú šmyku pomocou priehradového modulu pôsobiaceho v nosníku. V dôsledku tohto môžu byť napätia a pretvorenia v pozdĺžnej výstuži väčšie ako by sa predpokladalo na základe ohybovej teórie. Toto vedie k prídavnej krivosti spôsobenej priečnymi silami. Účinok tejto krivosti je malý, ak výstuž nie je preťažená, ale treba ho zohľadniť v prípade plastického správania výstuže. Najdôležitejší fenomén, ktorý ovplyvňuje veľkosť šmykovej deformácie, je tvorba šikmých trhlín. V súčasnosti neexistuje nijaký všeobecne uznávaný fyzikálny model, na základe ktorého by bolo možné predpovedať posúvajúcu silu pri vzniku šikmej trhliny Qr . Približne môžeme posúvajúcu silu určiť zo vzťahu (5.2.2) : Qr r     1  50   st  bs he kde r určíme pre príslušnú triedu betónu [MPa], 

 st

1.6  he  1.0

(5.2.2) (5.2.3)

Ast

(5.2.4)

bs he

je prierezová plocha pozdĺžnej výstuže, bs je šírka stojiny nosníka, he je efektívna výška prierezu. Ak v nosníku neexistujú žiadne šikmé trhliny ( stav I v oblasti šmyku ), predpokladáme, že pri častici, ktorá je namáhaná šmykom za ohybu, zanedbáme deplanáciu prierezu, takže rovinný prierez pred deformáciou zostane aj po deformácii rovinný. V prípade prvkov, ktoré sú namáhané aj osovým tlakom ( vrátane predpätia ) sa hodnota Qr určená podľa (5.2.2) prenásobí koeficientom: Ast

1

1

Mt Ms

2

(5.2.5)

kde Mt je moment, potrebný na vyčerpanie tlakového napätia od normálovej tlakovej sily (vrátane predpätia) bez uvažovania jej normálového účinku a Ms je maximálny moment od prevádzkového zaťaženia v uvažovanej šmykovej oblasti. Momenty Mt , Ms sa pritom uvažujú v tom istom priereze. Ak v šmykovej oblasti nie sú šikmé trhliny ( Q  Qr ), potom skosenie  1 určíme zo vzorca : 1

3 Q

G b  A bs

Eb  b s  h e

(5.2.6)

kde Q je priečna sila , Abs plocha prierezu stojiny, Eb modul pružnosti betónu, bs šírka stojiny nosníka, he účinná výška prierezu.

Ak sú šikmé trhliny plne rozvinuté (stabilizované), potom skosenie 1 určíme zo vzorca odvodeného z modelu priehradového nosníka: Q 1 4  2   (5.2.7)  2 4 2 0.9  h e  b s E b   cotg     1   ss  E s   cotg     1  sin      ss

Ass

(5.2.8)

bs s  sin

 je uhol, ktorý zviera šmyková výstuž s osou nosníka, Es je modul pružnosti ocele, Ass je prierezová plocha šmykovej výstuže, s je vzdialenosť šmykovej výstuže meraná v smere o

( = 90 ). Rovnica (5.2.7) potom bude mať tvar: Q 1 4  2    (5.2.9) 0.9  h e  b s Eb    ss  E s  Medzi stavom bez trhlín (skosenie 1) a stavom, kedy sú šikmé trhliny plne rozvinuté (skosenie 2), sa predpokladá postupná strata šmykovej tuhosti. Hodnota skosenia m sa v takom prípade určí zo vzťahu:  m  1     1     2 (5.2.10) kde 1 určíme zo vzorca (5.2.6) a 2 zo vzorca (5.2.8), resp.(5.2.9). Hodnota súčiniteľa  bude 

 4  Qr  Q   1  3  Qr 

pre

Q  Qr

pre

Qr  Q  4Q r

pre Q  4  Qr 1 Účinok dotvarovania sa pri dlhodobom zaťažení uvažuje tak, že namiesto modulu Eb sa dosadí modul :



(5.2.11) 1 kde  je súčiniteľ dotvarovania. Ak vychádzame z modelu priehradového nosníka, potom v pozdĺžnej výstuži vzniká prídavná sila: Eb 

Ft1

 ( cotg  cotg ) (5.2.12) 2 kde  je sklon tlačených diagonál,  je sklon šmykovej výstuže. V dôsledku tejto sily vzniká prídavné pretvorenie v pozdĺžnej výstuži , ktoré vyvoláva prídavnú krivosť rovnú približne:  1    (5.2.13)   rm  z kde z je rameno vnútorných síl. Príspevok tejto prídavnej krivosti na globálne pretvorenie nie je v prevádzkovom štádiu prakticky merateľný, prejavil by sa až po dosiahnutí medze klzu vo výstuži, t.j. pri vytváraní plastického kĺbu.

Skosenie pri plne rozvinutých (stabilizovaných) šikmých trhlinách ( Leonhardt ): Sila v tlačenej diagonále Fb vyvoláva stlačenie b a sila v ťahanej diagonále vyvoláva pretiahnutie t:

d Wd



z/ s in





z(cotg  +cotg )

Skrátenie tlačenej diagonály je potom:

d´





s z/

l

e We e´

b  z

sin   

Predĺženie ťahanej diagonály: l

t  z

sin   

b

sin   

l

t

Zvislý posun uzla e bude potom: we

l

sin   

l b

sin   



bz

l b

bz

l t

sin   

Skosenie  bude potom: t   b     z  cotg    cotg   cotg    cotg    2 2 sin      sin    Z podmienky rovnováhy na priehradovej sústave v uzloch dostaneme: 2

tg  2







Q/sin 

l



(5.2.14)

 Fb

sin

Q sin

Na jednotku dľžky diagonál potom bude: Fb  1

Ft  1

z  ( cotg  cotg)  sin

Ft z  ( cotg  cotg)  sin

Pomerné pretvorenie tlačenej diagonály pri hrúbke bs bude: b

Fb  1

Eb  bs

Eb  bs z



(5.2.15)

2 ( cotg  cotg)  sin  

Pretvorenie ťahaných diagonál, t.j. priečnej výstuže s prierezom Ass vo vzdialenosti s bude: Ft  1  s  sin 1 Qs t  (5.2.16) Es Ass

Es Ass  z ( cotg  cotg)  sin

Ak zavedieme stupeň vystuženia, in s.s  ss

Ass bs s  sin

dostaneme t v tvare:

 s



Ass

t

Q Es bs z



1 2  ss ( cotg  cotg)  sin

(5.2.17)

V dôsledku toho bude skosenie  2 : 2

 1 1   4 2 4 2 bs z  Eb  sin  ( cotg  cotg)   Es  ss sin  ( cotg  cotg) Q



5.2.1 Funkcia šmykovej výstuže Pokusu vysvetliť funkciu šmykovej výstuže predchádzali teoretické úvahy o vnútorných silách. Autori zaoberajúci sa touto problematikou dospeli k názoru, že účelom šmykovej výstuže je vytvoriť podporu pre vnútorné oblúky [45] [46]. Pokúsme sa spolu s nimi zodpovedať dve základné otázky : 1. Aká je funkcia šmykovej výstuže? 2. Aký je vzťah medzi priečnou silou a požiadavkou na šmykovú výstuž? Základom skúmania šmykovej pevnosti železobetónového nosníka je hľadanie odpovede na otázku:

Kde a aký druh šmykovej výstuže treba použiť, aby sa zabránilo predčasnému šmykovému (b) (c) (d) (e) porušeniu? Táto otázka môže byť (a) uspokojivo zodpovedaná iba vtedy, keď je V V funkcia šmykovej výstuže úplne jasná. V1 V2 Pravdepodobne nijaký iný detail v celej Vmax V V S oblasti stavebného inžinierstva T+ T T nezapríčiňuje vznik tak veľkého množstva Q= v.b. y chybných predstáv ako otázka prenosu priečnej sily strmeňom v železobetónovom Obr. 5.2.1.1 Účinok priečnej sily na nosníku. Podľa definície je priečna sila nosníkovom prvku. integrálom všetkých šmykových napätí v priečnom priereze. Pôsobenie priečnych síl Q na elemente je znázornené na (obr. 5.2.1.1a)a na elemente, ktorý obsahuje strmene (obr. 5.2.1.1d). Je dosť ťažké pochopiť a ešte ťažšie vysvetliť, ako vlastne strmene napomáhajú pri prenose priečnej sily Q, ktorá je v skutočnosti tvorená dvojicou síl. Ak berieme do úvahy železobetónový prvok medzi dvomi trhlinami (obr. 5.2.1.1e), potom vysvetlenie nebude o nič jednoduchšie. Problém pevnosti v šmyku nie je v prenose priečnej sily Q do podpery pri zanedbaní väčšej tlakovej sily Nb (obr. 5.2.1.2), ale skôr v tom, akým spôsobom preniesť obe sily. V prípade, že by sme jednu z týchto síl zanedbávali, bolo by logickejšie ignorovať menšiu silu Q a analýzu zamerať na tlakovú silu Nb. Pochopiť priebeh vnútorných síl v nosníku môžeme najlepšie pri štúdiu trajektórií napätia. Podľa definície sú trajektórie čiary, ktoré v každom bode určujú smer hlavného napätia (t.j. smer, v ktorom neexistuje šmykové napätie). Keďže vo väčšine bodov nosníka je jedným z hlavných napätí tlakové a druhým je ťahové, odvolávame sa na dva systémy, a to ortogonálne trajektórie tlaku a trajektórie ťahu. Na (obr. 5.2.1.2, 2c a 3a) sú tlakové trajektórie znázornené plnou čiarou a ťahové prerušovanou.

(a)

(a) Pred vznikom trhlín

Q I

III

Ns A

P Nb

(b)

(b) Podporná klenba

T A

P Nb

(c)

(d) Po vzniku trhlín

Ns Ns

Obr. 5.2.1.2 Sily a trajoktórie v oblasti Obr. 5.2.1.3 Vnútorné oblúky v šmykového rozpätia. železobetónovom nosníku. Obr. 5.2.1.2b a 2c znázorňujú trajektórie konca železobetónového nosníka pre prípad bez súdržnosti betónu s výstužou a pre prípad so súdržnosťou. Porovnaním týchto trajektórií získame predstavu o vplyve súdržnosti. Výslednica síl Q a Nb (obr. 5.2.1.2a) tvorí vetvu tlakových napätí smerujúcich priamo k vonkajšej podpere nosníka bez súdržnosti (obr. 5.2.1.2b). Podmienky napätí sú v tomto prípade priaznivé a nie je dôvod pre vznik "predčasného" šmykového porušenia. Na druhej strane, prípad nosníka so súdržnosťou vplyvom síl súdržnosti Ns pozdĺž výstužných prútov výrazne zmení konfiguráciu trajektórií. Tu tlakové napätie vytvorené tými istými silami Q, a Nb (obr. 5.2.1.2a) nesmeruje priamo do vonkajšej podpery A pozri (obr. 5.2.1.2c). Dôvodom "predčasnej" odchýlky trajektórií je prítomnosť síl súdržnosti Ns, čo je základným dôvodom "predčasného šmykového porušenia". Na (obr. 5.2.1.3a) trajektórie pre normálny železobetónový nosník predstavujú stav pred vznikom trhlín. Podmienky napätia malého elementu, ktorý je vyrezaný v smere hlavných napätí, sú znázornené na vnútornej ľavej polovici nosníka. Keďže šmykové napätia nie sú v smere hlavných napätí, existujú iba komponenty normálového napätia, ktoré sledujú smer trajektórií. Ak vezmeme do úvahy samostatné časti, ako na (obr. 5.2.1.3c), zistíme, že každá z týchto častí pôsobí ako oblúk s tiahlom za zaťažovacích podmienok, ktoré dovoľujú iba pôsobenie normálových síl na okrajoch. Na (obr. 5.2.1.3a) sú znázornené tri takéto oblúky, označené I, II a III. Skúmaním každého z nich zvlášť zistíme, že existujú dva odlišné typy oblúkov: Typ I - oblúk s podperami (obr. 5.2.1.3b), Typ II - zavesený oblúk bez podpier (obr. 5.2.1.3c). Z obr. 5.2.1.3c je zrejmé, že veľkosť vertikálneho zaťaženia, ktoré by mohlo byť prenášané oblúkom II, závisí hlavne od "zavesených" síl, ktoré sú prenášané oblúkom I. Jedine pri prenose síl z oblúka II na oblúk I a následne na podporu nosníka môže tiež oblúk II pomáhať pri prenose zaťaženia. Oblúk III na (obr. 5.2.1.3a) sa odlišuje od oblúka II iba v tom, že oblúk III musí odovzdať vlastnú reakciu najprv na oblúk II, ktorý potom musí transformovať túto reakciu spoločne so svojou vlastnou reakciou na oblúk I, prípadne na podperu nosníka. Čo sa stane s oblúkom II po rozvinutí ohybových trhlín pri zvyšovaní zaťaženia, je znázornené na (obr. 5.2.1.3d). Trhliny postupujúce pozdĺž tlakových trajektórií, ako už bolo vysvetlené, redukujú plochu pôsobenia síl v podporách čoraz viac, čo následne stále viac oslabuje oblúk.

Bolo by nesprávne sústrediť sa iba na vertikálne zaťažovacie komponenty Q, pretože únosnosť oblúka závisí hlavne od horizontálnej reakcie Ns. So zväčšujúcou sa dĺžkou trhlín únosnosť podpery klesá a tým sa zapríčiňuje redukcia únosnosti tohto oblúka (obr. 5.2.1.4a). Na (obr. 5.2.1.4b) sú znázornené výslednice napätí na oblúku III. Ak zanedbáme malú silu H3 , zostanú dve

(a)

Nb 3

Ns3

(b)

III

QC Nb 3

x3 H3 Ns3

III

dvojice síl: dvojica Nb3 - Ns3 a dvojica ? QT Qc , ktorá musí byť rovná a opačná, pre Obr. 5.2.1.4 Sily súdržnosti na zavesenom zachovanie rovnováhy. To znamená: oblúku. Nb3 . z3 = Qt . x3 Takto je sila Nb3 limitovaná na hodnotu, ktorá môže byť približne vyjadrená ako: Nb3 = QT . x3 / z3 Keďže s rozvojom trhlín QT a x3 klesajú,Nb3 , ktorá je komponentom tlakovej sily, sa znižuje čím ďalej, tým viac. Na dosiahnutie ohybovej únosnosti nosníka sa vyžaduje celková tlaková sila Nb=Nb1+Nb2+Nb3+...... atď. Preto redukcia dielčích tlakových síl Nb1,Nb2, Nb3...... atď. znamená redukciu únosnosti Mu=Nb.z . Príčinou predčasného porušenia spôsobeného vznikom šikmých trhlín teda nie je priečna sila Q , ale zníženie tlakovej sily Nb=Nb1+Nb2+Nb3+...... atď., ktoré je spôsobené čiastočnou alebo úplnou stratou podporových síl QT vnútorných oblúkov. Keďže hlavným dôvodom zníženia únosnosti oblúka je postupná redukcia zavesených podper, zdá sa byť logické, že vytvorenie náhradných väzieb pre oblúk II a III by zvýšilo ich únosnosť, t. j. vyvolalo väčšiu tlakovú silu Nb. Tým by sa obnovila ohybová únosnosť nosníka. P Pri vytváraní takýchto oblúkových väzieb by sa najprv OHYBY mali brať do úvahy tri dobre známe Nb T konštrukčné prvky - ohyby, vertikálne a šikmé strmene. T Všetky tri typy, ako je zrejmé z (obr. 5.2.1.5), Ns T poskytujú skutočne pevnú oporu pre vnútorné oblúky P železobetónového nosníka. Keďže my teraz tieto prvky NAKLONENÉ STRMIENKY berieme do úvahy ako prídavne väzby vnútorných Nb oblúkov, namiesto toho, aby sme o nich uvažovali ako o T prvkoch, ktoré musia prenášať priečne sily alebo Ns T T šmykové napätia, prichádzame k záverom, ktoré sa T P ZVISLÉ STRMIENKY odlišujú od záverov odvodených na základe tradičnej teórie pevnosti v šmyku. T Nb Tradičná teória pevnosti v šmyku je založená na Ns T T medznej veľkosti šmykového napätia. Predpokladá, že T väčšie šmykové napätie vyžaduje viac šmykovej M Obr. 5.2.1.5 Oblúkové podpory výstuže. Pretože Q , menšie šmykové rameno a a pre tri druhy šmykovej výstuže. vytvorí väčšiu priečnu silu Q. o

Hlavné oblúkové väzby : (Obr. 5.2.1.7a) znázorňuje šmykové rozpätie v nosníku s a 1.0 , d

teda v prípade, kedy nie je potrebná nijaká šmyková výstuž na dosiahnutie úplného ohybového porušenia, t.j. výsledná sila Nb a P môže byť bezpečne transformovaná z bodu S

do podpery samotným betónom. Ak pomer a

rastie, kým ďalšie parametre b  d  P a Rbd

zostávajú nezmenené, sila P bude menšia ako pre a 1.0. Preto výsledné sily Nb a P tiež d

klesajú. Teraz, keď výslednica bude prenesená tým istým spôsobom do bodu S (obr. 5.2.1.7b a c), podmienky napätia sú na konci prierezu nosníka sú priaznivejšie ako v prípade a 1.0 . d

Tieto úvahy vedú k nasledovným pravidlám pre zvýšenie účinnosti šmykovej výstuže : 1. Vytvorenie prídavných vnútorných oblúkových väzieb tak, aby boli prenesené väzbové sily priamo do bodu S a aby súčasne bol podoprený tlačený oblúk. 2. Keďže betón samotný môže prenášať tieto sily z bodu S do podpery nosníka, nie je potrebná žiadna šmyková vystuž na konci nosníka. 3. V šmykovej zóne v susedstve sily P sa nevyžaduje nijaká vnútorná oblúková väzba (pozri obr. 5.2.1.6a a b). Obr. 5.2.1.7d znázorňuje železobetónový nosník, ktorý je navrhnutý podľa týchto princípov. V oblasti podpery nosníka a v oblasti sily P nie sú prídavne vnútorné podpery. Medzi týmito dvomi oblasťami sú vytvorené tri vnútorné podpory pomocou výstužných ohybov, ktoré prenášajú podporové sily do bodu S. Pre porovnanie, obvyklá priehradová výstuž je znázornená na (obr. 5.2.1.7e), z ktorého je

(a)

III

Potrebné klenbové podpory

(b) S

Nb Ns

Oblast vyžadujúca prídavné klenbové podpory

Obr. 5.2.1.6 Kde môžeme šmykovú výstuž vynechať?

jasný vnútorný mechanizmus. Existencia priehrady vnútri železobetónového nosníka určite môže poskytovať vnútorné podpery pre betónové oblúky, ak boli vybrané ťahané prvky dostatočnej pevnosti. Avšak pri štúdiu mechanizmov prenosu síl P a Nb do podpery zistíme, že takéto riešenie nemôže byť optimálne. Na (obr. 5.2.1.7e) je znázornené, že diagonálna tlaková sila vychádzajúca z prierezu medzi silami P a Nb sa stáva vnútornou podperou na ďalšom nižšom kĺbe priehrady. Vertikálny komponent je prenášaný zase pomocou strmeňa T1 a odtiaľ diagonálne nadol do druhého nižšieho kĺbu priehrady, potom zase pomocou T2 a diagonálne nadol do tretieho kĺbu atď. Vertikálny komponent P (t j. priečna sila) je prenášaná niekoľkokrát pred konečným dosiahnutím svojej reakcie v podpere nosníka a vždy je potrebný novy súbor strmeňov na prenos tej istej sily. Ak bola šmyková vystuž navrhnutá spôsobom podporujúcim prirodzenú vnútornú konštrukciu železobetónového nosníka, t. j. s použitím viacnásobných vnútorných oblúkov namiesto systému, ktorý je nosníku cudzí, nebolo by potrebné prenášať vertikálny komponent zaťaženia P niekoľkokrát.

Navyše, časť sily P bude prenesená priamo do podpery nosníka pomocou diagonálnej tlakovej sily cez oblúk I, a preto nie je potrebná žiadna šmyková vystuž. Je jasné, že šmyková vystuž typu, aký je znázornený na (obr. 5.2.1.7d), umožní značnú úsporu výstužnej ocele.

(a)

a=d

P S

a/d =1,0

100 %

Ns (b)

a = 3,0.d S

a/d =3,0

Nb 1

40 %

Nb 2

(c)

Môžeme teda zhrnúť dve základné funkcie šmykovej výstuže: 1. Vytvorenie vnútorných väzieb pre betónové oblúky, ktoré tvoria tlačenú zónu nosníka. 2. Prenos podperových síl oblúkov do vonkajšieho podperového oblúka I. Prvú z týchto dvoch funkcií môžu zabezpečiť rovnako dobre všetky tri typy šmykovej výstuže, t. j. ohyby, šikmé a vertikálne strmene. Ale je tu významný rozdiel v splnení druhej funkcie.

P S

25 %

a/d =5,0

Ns P

(d) Klenbovo podporová výstuž

Nb Ns P

(e) Priehradová výstuž

Nb T1

Obr. 5.2.1.7 Hlavné vnútorné oblúkové podpory Pri ohyboch je jednoducho zabezpečiteľné dobré kotvenie v oblúku I, a tým aj transfer reakcií z vnútorných väzieb do vonkajších podper nosníka (obr. 5.2.1.8a). Obzvlášť priaznivé podmienky nastanú v prípade, keď sú ohyby usporiadané podľa "pravidiel tvorby podper oblúka" ako je navrhnuté na (obr. 5.2.1.7). Ak sú ako šmyková výstuž použité vertikálne strmene, podmienky kotvenia sa menia od strmeňa ku strmeňu. Pretože účelom šmykovej výstuže je transfer oblúkových väzbových síl P do a pozdĺž oblúka I (obr. 5.2.1.8b), (a) s ohybmi strmeň najbližšie k zaťažovacej sile P Nb má veľmi slabé kotvenie v rámci III I II oblúka I a nie je vyhovujúci. Ak sa Ns zväčšuje vzdialenosť strmeňa od sily Vnútorná podpory P , podmienky kotvenia sa zlepšujú, (b) so zvislými strmienkami P Slabé kotvenie ako to objasňuje (obr. 5.2.1.8b). Nb Pri šikmých strmeňoch (obr. 5.2.1.8c) III I II sú kotviace body strmeňov Ns vzdialenejšie od zaťažovacej sily P a P tým je vytvorené lepšie kotvenie v (c) s naklonenými strmienkami rámci oblúka I. Z tohto dôvodu je Nb účinok jedného šikmého strmeňa III I II podstatne vyšší ako účinok jedného Ns vertikálneho strmeňa, ktorý, umiestnený v blízkosti sily P , Obr. 5.2.1.8: Vnútorný mechanizmus šmykovej vykazuje horšie podmienky kotvenia. výstuže.

5.3 Popis skušobných prvkov a metodika skúšania 5.3.1 Základné údaje o skušobných prvkoch a ich výroba Skúšobné nosníky Vytvorili sme 12 železobetónových nosníkov, ktoré sme podľa ich parametrov zadelili do štyroch sérií po troch nosníkoch : Ia, Ib, Ic, IIa, IIb, IIc,IIIa, IIIb, IIIc a IVa, IVb, IVc. Všetky nosníky mali obdĺžnikový prierez, rozpätie lt = 1,12 m a boli staticky zaťažované dvomi bremenami. Jednotlivé série nosníkov sa líšili v rozmeroch prvkov, v šmykovej výstuži a spôsobe zaťažovania. Parametre pre série I a III sú nasledovné : - rozmery prierezu: 150 mm x 200 mm - vystuženie : v ťahanej časti prierezu dvomi prútmi o priemere V16 a v tlačenej časti prierezu dvomi prútmi o priemereV8 z ocele 10 425 - šmyková výstuž : tvorená dvojstrižnými strmeňmi priemeru V8 vo vzdialenosti 70 mm v oblasti šmykového rozpätia a 110 mm v oblasti čistého ohybu - bremená na nosníkoch v sérii I : pôsobili vo vzdialenosti 0,31 m od podpery - bremená na nosníkoch v sérii III : pôsobili vo vzdialenosti 0,41 m od podpory Parametre pre série II a IV sú nasledovné : - rozmery prierezu : 120 mm x 200 mm - vystuženie : v ťahanej časti prierezu dvomi prútmi o priemere V16 a v tlačenej časti prierezu dvomi prútmi o priemere V8 z ocele 10 425 - šmyková výstuž : tvorená dvojstrižnými strmeňmi priemeru V8 vo vzdialenosti 80 mm v oblasti šmykového rozpätia a 110 mm v oblasti čistého ohybu - bremená na nosníkoch v sérii II : pôsobili vo vzdialenosti 0,41 m od podpery - bremená na nosníkoch v sérii IV : pôsobili vo vzdialenosti 0,31 m od podpery Ďalšie údaje sú uvedené podrobne v tabuľkách 5.3.1.1, 5.3.1.2, 5.3.1.3 Skušobné betónové vzorky Príslušné skušobné betónové vzorky pre 12 železobetónových nosníkov boli nasledovné : - 12 kociek o rozmeroch 150 x 150 x 150 mm - 12 valcov o rozmeroch 150 x 300 mm - 12 trámčekov o rozmeroch 150 x 150 x 600 mm Skušobné prvky boli vyrobené v Laboratóriu KBK a M v Bratislave, na báze prírodného ťaženého kameniva. Zloženie betónovej zmesi na 1 m3 bolo navrhnuté nasledovne : - pre nosníky série I a III : Cement PC 400 310 kg Drobné kamenivo frakcie 0 - 4 870 kg Hrubé kamenivo frakcie 8 - 16 1.065 kg Voda 168 kg Celková objemová hmotnosť 2.413 kg

- pre nosníky série II a IV :

Cement PC 400 470 kg Drobné kamenivo frakcie 0 - 4 720 kg Hrubé kamenivo frakcie 4 - 8 300 kg Hrubé kamenivo frakcie 8 - 16 725 kg Voda 188 kg Celková objemová hmotnosť 2.403 kg Betonáž nosníkov a skušobných vzoriek sme robili v normálnej vodorovnej polohe tak, že sme betón ukladali v dvoch až troch vrstvách pre zabezpečenie vibrácie betónu. Po vybetónovaní a odformovaní boli skušobné prvky voľne uložené až do doby skúšok, čo predstavovalo minimálne 28 dní. Hlavné ťahové a tlakové výstuže, ktoré sa ukladajú do nosníkových foriem sme zhotovovali viazaním (obr. 5.3.1.1). Spôsob zaťažovania a metodika skúšania nosníkov Nosníky boli zaťažované dvomi krátkodobo pôsobiacimi osamelými bremenami F, vzdialenými od podpory 310 mm pri nosníkoch série I a III a 410 mm pri nosníkoch série II a IV podľa zaťažovacej schémy na obr. 5.3.1.2 a 5.3.1.3. Krátkodobé stupňovité zaťažovanie sme robili pri nasledovných zaťažovacích stupňoch  s . Nosníky série I: s

0.20 0.30 0.40 0.56 0.65 0.88 1.00 1.17 1.37 1.55 1.65

pre  s 1.00 prevádzkové zaťaženie F = 51,50 kN Nosníky série II: s

0.26 0.27 0.40 0.50 0.80 0.88 0.95 1.00 1.12 1.26 1.50 1.60

pre  s 1.00 prevádzkové zaťaženie F = 40,43 kN Nosníky série III: s

0.27 0.32 0.38 0.44 0.50 0.77 0.85 1.17 1.30 1.55 1.67 1.82 2.05 2.31

pre  s 1.00 prevádzkové zaťaženie F = 38,87 kN Nosníky série IV: s

0.30 0.42 0.63 0.73 0.95 1.05 1.15 1.37

pre  s 1.00 prevádzkové zaťaženie F = 47,56 kN Na každom zaťažovacom stupni sme čakali do ustálenia deformácie a potom vykonali jednotlivé merania. Trhliny, ktoré sa vyskytli pred zaťažovaním boli iba zmrašťovacie. Pri krátkodobom stupňovitom zaťažení sme merali deformácie pri každom zaťažovacom stupni až do dosiahnutia zvolenej sily Fs ( maximálny zaťažovací stupeň ), ktorá mala hodnoty : - séria I : 1,65 ( 2 . F ) - séria II : 1,60 ( 2 . F ) - séria III : 2,31 ( 2 . F ) - séria IV : 1,37 ( 2 . F ) Pretvorenia horného tlačeného pásu, dolného ťahaného pásu, stúpajúcich a klesajúcich diagonál fiktívnej priehradovej sústavy sme merali pomocou príložných defornomerov s dĺžkou základne 140 mm pre horný a dolný pás, 203 mm pre diagonály a 147 mm pre vertikálny. Schéma rozmiestnenia meracích terčíkov je na obr. 5.3.1.2 a 5.3.1.3. Na nosníkoch Ia, IIa, IIIa a IVa sme pre overenie metódy fiktívnej priehradovej sústavy merali deformácie pozdĺžnej výstuže pomocou tenzometrických pások (M 120), ktoré sme nalepili do vnútra upravenej výstuže priemeru v20 . Ochranu pások proti vlhkosti sme robili tmelom TAFIX a proti mechanickému poškodeniu sme vrstvu tmelu zabandážovali pásmi

monoplastu. Pásky sme umiestňovali vo vzdialenostiach 25 mm, prvá páska bola od okraja výstuže vzdialená 35,0 mm. Namerané deformácie sme snímali pomocou meracej ústredne riadenej počítačom, adaptáciu a výrobu meraní mostov urobila firma Applied Precission. Nosník Ia, Ib, Ic Rez A-A

h=200

2O16 O8@70mm

2O16 150

O8@70mm

l=1120

h=200

2O8

h=200

2O8

395

d=172 d 2 =28

500

d=172 d 2 =28

395

1290

Nosník IIa, IIb, IIc F

495

300

Rez A-A

2O8

495 2O8

h=200

2O16 50

O6@80mm

O6@80mm l=1120

2O16 120

50 85

1290

Nosník IIIa,IIIb,IIIc Rez A-A

495

h=200

2O8

h=200

2O8

d=172 d 2 =28

300

d=172 d 2 =28

495

2O16 50

O8@70mm

O8@70mm l=1120

2O16 150

50 85

1290

Nosník IVa,IVb,IVc F

395

500

2O8

Rez A-A

395 2O8

h=200

2O16 O6@80mm 85

2O16 120

O6@80mm l=1120

1290

Obr. 5.3.1.1 Tvar a vystuženia skušobných nosníkov

Séria I a IV F

395

29 38

147

a 1

h=200

500

l=1120

1290

Obr. 5.3.1.2 Schéma rozmiestnenia navzájom na seba nadväzujúcich odmerných základní pre pretvorenia a umiestnenia priehybomerov, a - odmerné základné, b – priehybomery Séria II a III F

495

26 35

29 38

147

a 1

h=200

300

l=1120

1290

Obr. 5.3.1.3 Schéma rozmiestnenia navzájom na seba nadväzujúcich odmerných základní pre pretvorenia a umiestnenia priehybomerov, a - odmerné základné, b – priehybomery Tabuľka 5.3.1.1 Niektoré materiálové charakteristiky betónu určené z meraní NOSNIK OZNAČ.

ČAS DNI

HMOTN.

ROZMERY PRVKU

kg NOSNÍK I a,b,c NOSNÍK II a,b,c NOSNÍK III a,b,c NOSNÍK IV a,b,c

28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28

7.94 7.94 7.92 7.95 7.99 8.01 7.85 7.85 7.85 8.00 7.95 7.98

VÝSLED. SILA

151.2 150.7 150.8 150.5 151.0 151.0 150.5 151.0 149.5 151.0 151.0 151.5

150.9 151.1 152.1 150.0 150.0 150.5 150.5 151.0 150.5 150.0 151.0 151.0

150.7 151.4 150.7 150.0 151.0 150.0 150.0 150.5 150.5 150.0 150.0 150.0

MODUL PRUŽNOSTI

KOCKOVÁ PEVNOSŤ

Rbk(i)

Rbk

26.08 26.35 25.29 43.63 45.95 46.64 30.20 26.62 29.24 43.95 46.05 46.48

PEVNOSŤ V ŤAHU

Rbh

Rbtn

GPa

MPa

25.90

30.94

19.27

1.62

45.4

37.98

32.89

2.19

28.69

32.49

21.26

1.73

45.49

39.00

32.95

2.19

MPa

595 600 580 985 1040 1060 684 607 658 989 1050 1060

HRANOL. PEVN.

Tabuľka 5.3.1.2 Charakteristiky použitej výstužnej ocele Číslo vzorky Druh ocele a menovitý priemer 10425 Celková dĺžka L (mm) Hmotnosť vzorky (g) Sila na medzi prieťažnosti (kN) Sila při porušení (kN) Prierezová plocha (mm 2) Medza prieťažnosti (MPa) Pevnosť v ťahu (Mpa) Ťažnosť (%) Modul pružnosti (Mpa)

16 404 620 87 118 195.5 445 603 31.4 216 147

16 402 620 80 118 196.5 407.2 600 31.2 214 210

16 410 625 85 115 194.2 437.7 592.2 32.1 212 315

16 699 1075 99.5 127.2 195.9 444 603.5 23.33 214 660

16 703 1078 98.7 127.5 195.3 406 602.3 23.75 219 398

16 702 1076 99 127.8 195.2 438 595.5 20 214 383

20 434 800 115 154 234.8 489.7 655.8 14 228 824

20 429 785 116 154 233.1 497.6 660.7 14 25 516

20 431 790 114 154 233.5 488.2 488.2 14 231 209

5. 4 Výpočet priehybov V štúdiu problematiky výpočtov priehybov som priehyby na nosníkoch meral dvomi spôsobmi. Ako prvý spôsob som použil priame meranie pomocou siedmych odporových priehybomerov fsk, ktoré boli rozmiestnené pod jednotlivými nosníkmi v pravidelných vzdialenostiach 140 mm (obr. 5.4.1). Druhý spôsob predstavoval výpočet z meraných deformácií fiktívnej priehradovej sústavy fc, ktorý umožnil aj separáciu účinku skosenia od účinku pootočenia, pričom skosenie reprezentuje vplyv šmykových síl na priehyb fq a pootočenie reprezentuje vplyv ohybových momentov na priehyb fm. Porovnával som výsledky získané dvomi uvedenými spôsobmi (t.j. fsk a fc) pri krátkodobom stupňovitom zaťažovaní výsledky sú v stručnej forme zhrnuté v tabuľke M-6 a M-7 (príloha M). V tejto práci som výpočet priehybu železobetónových nosníkov (ako od účinku ohybových momentov, tak od účinku priečnych síl, podľa virtuálnej práce v stave II modifikoval zavedením nových koeficientov. Tento prístup vychádza z pracovného diagramu moment - krivosť, ktorý vyjadruje priehyb od momentu a z pracovného diagramu priečna sila - skosenie, ktorý vyjadruje priehyb od priečnej Séria II a III sily. Podrobnejšie je rozpracovaný nižšie. Pre F F 495 300 495 ilustráciu uvádzam grafické a spracovanie priehybu od účinku priečnych síl a ohybových momentov na jednom nosníku (nosník Ia na 1 2 3 4 5 6 7 obr. 5.4.2, ostatné nosníky na b 85 l=1120 85 obr. M-25 až M-28, príloha 1290 M). Obr. 5.4.1 Schéma rozmiestnenia navzájom na seba Priehyby podľa virtuálnych nadväzujúcich odmerných základní pre prác sa zvyčajne počítajú pretvorenia a umiestnenia priehybomerov, a - odmerné podľa nasledovného vzťahu: základne, b – priehybomery. 13

147

h=200

   Mi  Mi ds     Eb  Jb   

 Qi  Qi

Gb  Ab

alebo

E b Jb



Qi G b A b

 i

1

  n   Mi  M Qi  Qi i    s     s  Eb  Jb  Gb  Ab i 1  



(5.4.1)



kde Mi sú ohybové momenty a Qi priečne sily od jednotkovej sily pôsobiacej v strede nosníka, Mi

- je krivosť - pomer ohyb. momentu k ohyb. tuhosti prierezu v stave I - je skosenie – pomer priečnej sily ku šmykovej tuhosti v stave I

Nosník Ia

160 kN

4.5

140 kN

Priehyby [mm]

    

102 kN

3.5

67 kN

40 kN

2.5

11 kN

2 1.5 1 0.5 0 20

Číslo styčníku

Obr. 5.4.2 Celkový priehyb od účinkov priečnych síl a od účinkov ohybových momentov kde Gb je modul pružnosti betónu v šmyku, Ab je prierezová plocha, Qi je priečna sila,  je súčiniteľ tvaru prierezu, Eb je modul pružnosti betónu a Jb je moment zotrvačnosti prierezu. Prvý člen rovnice predstavuje priehyb od ohybových momentov ymteor a druhý člen rovnice je

priehyb od priečnych síl yqteor. V stave I je vplyv yqteor na celkový priehyb malý a vo väčšine prípadov sa zanedbáva. Koeficient  vo vzťahu je súčiniteľ tvaru prierezu, pričom v pružnom stave má pre obdĺžnikový prierez hodnotu 1,2. Niektorí autori uvádzajú jeho inverznú hodnotu, ktorá je pridelená ploche prierezu, teda výpočet šmykovej tuhosti prierezu potom bude G.A.. Vplyv priečnych síl na priehyb sa v železobetónových prvkoch nedá celkom zanedbať, ak majú menšiu ohybovú štíhlosť, najmä ak majú niesť sústredené zaťaženie. V našich experimentoch vyšla šmyková štíhlosť pre sériu nosníkov I a IV: 1,55 a pre sériu II a III: 2,05. Ohybová štíhlosť všetkých skúšaných nosníkov bola 5,6 < 10, teda vplyv priečnych síl sa musí zohľadniť. Priehyby som určoval experimentálne z nameraných hodnôt pretvorení na fiktívnej priehradovej sústave a tiež teoretickým výpočtom podľa virtuálnej práce. Pomocou pretvorenia horného a dolného pásu fiktívnej priehradovej sústavy som určil krivosti a nasledovne vypočítali priehyby ymexp od účinku ohybových momentov v strede nosníkov. n



y mexp

1  i

1

  M i  s i

-priehyb od účinkov ohybových momentov v stave II

(5.4.2)

Z dĺžkových posunov uzlov fiktívnej priehradovej sústavy som určil priemerné skosenia pozdĺž nosníka a pomocou nich priehyby od účinkov priečnych síl y qexp pozdĺž nosníka pri všetkých zaťažovacích stupňoch. n



y qexp

  i  Q i  s i

1

-priehyb od účinkov priečnych síl v stave II

(5.4.3)

Výpočet priemerného skosenia jednotlivých základní fiktívnej priehradovej sústavy pozdĺž nosníka Vhi  1  Vhi

i

s i



Vdk 1  Vdk

s i

(5.4.4)

Tieto priehyby som označil indexom "exp", keďže sa vychádzalo z nameraných hodnôt. Výpočet teoretického priehybu v strede nosníka od účinku ohybových momentov v stave I: n

y mteor

 i

1

Eb  Jb

  M i  s i

(5.4.5)

Výpočet teoretického priehybu nosníka od účinku priečnych síl v stave I: n

y q  teor



 i

1

Qi Gb  Ab

  Qi  s i

(5.4.6)

Aby som zjednodušil výpočet priehybu v stave II po vzniku trhlín, upravil som vzorec pre výpočet priehybu podľa virtuálnej práce prostredníctvom deformačných koeficientov, ktoré zohľadňujú zväčšenie krivosti, skosenia a priehybu alebo zníženie ohybovej a šmykovej tuhosti (poddajnosti) a momentu zotrvačnosti prierezu pri všetkých hladinách namáhania. Koeficient  cr vyjadruje zväčšenie priehybu od účinku priečnych síl v stave II:  cr

y qexp y qteor

(5.4.7)

Koeficient  cr vyjadruje zväčšenie priehybu od účinku ohybových momentov v stave II:  cr

y mexp y mteor

(5.4.8)

Po úprave pomocou koeficientov  cr   cr celkový priehyb podľa virtuálnej práce v stave II bude:     







 Mi  Mi     cr ds      Eb  Jb  

 Qi  Qi   Gb  Ab    cr ds



(5.4.9)

Pri výpočte redukcie ohybovej tuhosti som vychádzal z výpočtu tuhosti v pružnom stave Eb.Jb a tuhosti po vzniku trhlín (EJ)c. Tuhosť som určil z pracovných diagramov moment - krivosť a je vyjadrená sklonom (, (obr. 5.4.3). Mi

( EJ) c

i

pl

( EJ) c

Pri výpočte redukcie šmykovej tuhosti som použil rovnaký prístup, pri ktorom som vychádzal z výpočtu šmykovej tuhosti    v pružnom stave a  A G   b b šmykovej tuhosti (GA)c po vzniku trhlín. Tuhosť (GA)c som určil z pracovných diagramov priečna sila - skosenie a je vyjadrená sklonom (), (obr. 5.4.4). Qi

 pl

( GA) c

sklon (  )

(5.4.10)

[kNm]

c

el

m



pl



M cr



E.I

 (krivost ) 3 1a 1 2a 2 Obr. 5.4.3 Pracovný diagram moment - krivosť. 1

1 1 1

sklon (  )

(5.4.11)

Z uvedených tuhostí som pri jednotlivých zaťažovacích stupňoch odvodil tieto deformačné koeficienty: Koeficient  i, vyjadrujúci V zväčšenie krivosti v stave II: [kN] i

c

 pl

(5.4.12)

 el

k predstavuje Koeficient priemernú pomernú hodnotu krivosti v stave II na dĺžku nosníka L:  k

 i

i L

 s

(5.4.13)

el

m



pl



 Vcr



 1 2a 2



1a

G.A 

3



(skosenie)

Obr. 5.4.4 Pracovný diagram priečna sila - skosenie.

Priemerná pomerná hodnota koeficientu ck , ktorý vyjadruje zväčšenie krivosti v stave II na celkovú dĺžku nosníka L1 bude: c k

 i

 L1 s i

(5.4.14)

Koeficient  m predstavuje priemernú hodnotu koeficientov  k a ck a vyjadruje zväčšenie krivosti nosníka v stave II na danej hladine zaťaženia:  k  c k

 m

(5.4.15)

Krivosť v stave II bude:  1    Mi alebo   m E J b b  i  II

 1    Mi   k E J b b  i  II

 1  c  Mi   k E J b b  i  II

alebo

(5.4.16)

Koeficient  i vyjadruje zväčšenie skosenia v stave II : i

 pl i

(5.4.17)

 el i

kde  pl je skosenie prierezov pozdĺž nosníka v stave II, a  el je skosenie prierezov pozdĺž i i nosníka v stave I. Priemerná pomerná hodnota koeficientu  k , ktorý vyjadruje zväčšenie skosenia v stave II na dĺžku nosníka L bude: k

i

 L

(5.4.18)

Priemerná pomerná hodnota koeficientu c k , ktorý vyjadruje zväčšenie skosenia v stave II na celkovú dĺžku nosníka L1 bude: c k

i

 L1

(5.4.19)

Koeficient  m získame ako priemernú hodnotu koeficientov  k a c k a vyjadruje zväčšenie skosenia nosníka v stave II na danej hladine zaťaženia: m

 k  c k

(5.4.20)

Skosenie v stave II bude:  pl

 m   el

alebo

 pl

 k   el

alebo

 pl

c k   el

(5.4.21)

Koeficient  cr vyjadruje pomer šmykovej tuhosti v stave I ku šmykovej tuhosti v stave II i pozdĺž nosníka:  cr i



GA GAi

(5.4.22)

c

Priemerná pomerná hodnota koeficientu  crII´ , ktorý vyjadruje zníženie šmykovej tuhosti na dĺžku L nosníka bude:  cr

 cr

 L s i

 crII´

1  cr

(5.4.23)

Priemerná pomerná hodnota koeficientu crIIc´, ktorý predstavuje zníženie šmykovej tuhosti na celkovú L1bude: nosníka bude: dľžku L1dĺžku nosníka  cr

 crc

 L1 s i

 crIIc´

(5.4.24)

 crc

Koeficient  crII predstavuje priemernú hodnotu koeficientov  crII´ ,  crIIc´ a vyjadruje zníženie šmykovej tuhosti nosníka v stave II na danej hladine zaťaženia:  crII

 crII´   crIIc´

(5.4.25)

Šmyková tuhosť nosníka v stave II bude:  crII Gb  Ab

( GA) c

alebo

 crII´ Gb  Ab

( GA) c

alebo

( GA) c

 crIIc´ Gb  Ab

(5.4.26) Pomer ohybovej tuhosti v stave II ku ohybovej tuhosti v stave I pozdĺž nosníka vyjadríme koeficientom cri:  cr i

EJ ic

(5.4.27)

E bJ b

Priemerná pomerná hodnota koeficientu crk, ktorý vyjadruje zníženie ohybovej tuhosti na dĺžku nosníkaL Lbude bude: dľžku nosníka  cr k



 cr i

(5.4.28)

 s

Priemerná pomerná hodnota koeficientu crck, ktorý vyjadruje zníženie ohybovej tuhosti na celkovú dĺžku nosníka L1 bude:  crc k

 i

 cr i L1

(5.4.29)

 s

Priemerná hodnota koeficientu, ktorý predstavuje zníženie ohybovej tuhosti nosníka v stave II na danej hladine zaťaženia bude:  crII

 crII´   crIIc´

(5.4.30)

Ohybová tuhosť nosníka v stave II bude: ( EJ) c

 crII Eb  Jb

alebo

( EJ) c

 crII´ Eb  Jb

alebo

( EJ) c

 crIIc´ Eb  Jb

(5.4.31) Moment zotrvačnosti prierezu v stave II (po vzniku trhlín) som vypočítal pomocou koeficientu  , ktorý vyjadruje zníženie momentu zotrvačnosti prierezu oproti stavu I (bez trhlín). Vychádzal som z predpokladu, že modul pružnosti betónového nosníka je konštantný (keďže boli železobetónové nosníky odskúšané pri krátkodobom zaťažení). Hodnotu koeficientu  som získal tak, že najprv som určil priemernú hodnotu momentu zotrvačnosti v stave II na rozpätie L: Jk a na celkovú dĺžku nosníka L1: Jck . Potom som z pomerov momentu zotrvačnosti betónového prierezu v stave I a priemernej hodnoty zotrvačnosti v stave II na dĺžku L:

Jb Jk

a L1:

Jb Jck

vypočítal priemernú hodnotu. Jej inverzná

hodnota predstavuje koeficient  vyjadrujúci zníženie momentu zotrvačnosti železobetónového prierezu v stave II. Výsledný redukovaný moment zotrvačnosti nosníka teda bude: Jcr   Jel

J

 s

Jck

z toho

 s

JbII



Jck



1 JbII

kde Ji je moment zotrvačnosti železobetónového prierezu pozdĺž nosníka v stave II. Navrhol som aj obdobný spôsob výpočtu plochy prierezu v stave II zavedením koeficientu  . Koeficient  vyjadruje redukciu plochy betónového prierezu oproti stavu I. Najprv určím plochu prierezu v stave II na základe pracovného diagramu priečna sila - skosenie. Hodnotu koeficientu  som získal tak, že najprv som určil priemernú hodnotu plochy prierezu v stave II na rozpätie L: Ak a na celkovú dĺžku nosníka L1: Ac k . Potom som z pomerov plochy betónového prierezu v stave I a priemernej hodnoty plochy v stave II na dĺžku L: Ab

L1:

Ac k

Ab Ak

vypočítal priemernú hodnotu. Jej inverzná hodnota predstavuje koeficient 

vyjadrujúci redukciu plochy železobetónového prierezu v stave II. Výsledná redukovaná plocha prierezu nosníka v stave II teda bude: AII   Ab .

 Ai. i

 Ai  s

Ac k

Ab z toho

 s

AbII

 2

Ab Ac k

 a

1 AbII

Po úprave zavedením deformačných koeficientov budú výpočty priehybov podľa virtuálnej práce v stave II nasledovné: Rekapitulácia výpočtov priehybov v strede nosníka v stave II: 1. Prostredníctvom krivosti a skosenia pozdĺž železobetónového nosníka v stave II: y

     M   s     Q   s   i

(5.4.32)

2. Prostredníctvom koeficientov  cr a  cr , ktoré vyjadrujú zväčšenie priehybu od účinku ohybových momentov a priečnych síl železobetónového nosníka v stave II:  Mi   Qi   y   Qi      cr  s  E  J  Mi    cr  s  (5.4.33) GA   b b  

 i

3. Pomocou koeficientov  k a  k vyjadrujúcich zväčšenie priemernej pomernej krivosti a skosenia železobetónového nosníka v stave II:    Mi     Qi    y  k     Qi    s  k   E  J   Mi  s  (5.4.34)   GA     b b 

 i

4. Prostredníctvom koeficientov  ´m a  ´q , vyjadrujúcich zväčšenie deformačnej energie od účinkov ohybových momentov a priečnych síl v stave II:

´ m

 E bJ b

   M i  s   ´ q    

 

 GA i

   Qi   s

 

(5.4.35)

5. Prostredníctvom koeficientov  crII´ a  crII´ , ktoré vyjadrujú zníženie priemernej pomernej ohybovej a šmykovej tuhosti železobetónového nosníka v stave II: Mi Qi       y  M i   s   Qi     s  E J   GA  (5.4.36) b b crII´ crII´   i  i 



6. Pomocou koeficientu  , ktorý vyjadruje zníženie momentu zotrvačnosti prierezu v stave II: Mi    y  E  J    M i   s (5.4.37) b b  i  7. Pomocou koeficientov  ,  ck , ktoré vyjadrujú zníženie momentu zotrvačnosti a



plochy prierezu železobetónového nosníka v stave II : Mi Qi       y  E  J    M i   s   G    A  Qi     s b b ck   i  i 



(5.4.38)

Výpočet priehybu nosníka v stave II som zjednodušil zavedením deformačných koeficientov. Pomocou týchto koeficientov však môžeme upraviť aj známy vzťah virtuálnej práce pre výpočet deformačnej energie (vnútornej energie) od účinku ohybových momentov a od účinku priečnych síl. Pretvárnou prácou sa dajú charakterizovať stavy konštrukcie, najmä pri zložkových namáhaniach, oveľa vhodnejšie ako hodnotami pretvárnych či statických účinkov zaťaženia. Vyplýva to predovšetkým zo skutočnosti, že pretvárna práca je skalárna veličina, čo umožňuje jednoduchým spôsobom vyjadriť aj rezervu konštrukcie nachádzajúcej sa v danom stave namáhania voči medznému stavu [29] [48] [56] [66]. Pre takýto prístup zatiaľ neexistuje dostatok vyhodnotení. Je však vhodné, ak sa sústava meraných veličín vopred navrhne tak, aby sa pretvárna práca dala čo najpresnejšie určiť. Rozvoj meracej a vyhodnocovacej techniky so sebou prináša aj výskumy zamerané na vypracovanie teórie posudzovania spoľahlivosti betónových konštrukcií pomocou pretvárnej práce. Výsledky výpočtu pretvárnej práce sú v stručnej forme zhrnuté v tabuľkách M-8 a M-9 (príloha M). Štúdium deformačnej energie (ako od účinku ohybových momentov, tak od účinku priečnych síl) som ďalej rozšíril o iný prístup založený na pracovnom diagrame moment-krivosť, ktorý vyjadruje deformačnú energiu od momentu a na pracovnom diagrame priečna sila-skosenie, ktorý vyjadruje deformačnú energiu od priečnej sily. 5. 5 Výpočet deformačnej energie železobetónových prvkov Ako podklad pre vyhodnotenie deformačnej energie som použil skúšky nosníkov so stacionárnym zaťažením. Skúšali sme 12 železobetónových nosníkov obdĺžnikového prierezu, ktoré boli zaťažované dvomi osamelými bremenami [66]. Pomocou väčšieho počtu meracích miest sme vytvorili vhodné podmienky na nepriame vyhodnotenie pretvárnej práce a deformačnej (resp. vnútornej) energie železobetónového nosníka. Na každom stupni zaťaženia som pozdĺž celého rozpätia nosníka meral jednak priehyby, jednak dĺžkové zmeny v devätinách základní na tlačenom páse, ťahanom páse a tiež na diagonálach, pričom základne na seba bezprostredne nadväzovali.

Merania dĺžkových zmien v jednotlivých základniach umožňujú určiť priebeh krivosti a skosenia po dĺžke nosníka. Pomocou priebehu krivosti môžeme určiť aj veľkosť celkovej vnútornej energie od účinku ohybového momentu Em a pomocou skosenia veľkosť vnútornej energie od priečnej sily Eq . Potom veľkosť vnútornej energie Evnutorna na danej hladine zaťaženia je súčtom energie Em a Eq . Vnútorná energia od účinku krivosti na jednotlivých základniach fiktívnej priehradovej sústavy teda bude: n



i  Mi  s i  1  M1  2  M2  3  M3  4  M4  5  M5    s resp. Em (5.5.1)     M    M    M    M  ..........  7 7 8 8 9 9  6 6  i 1 Pričom je krivosť na jednotlivých základniach pozdĺž železobetónového di  hi 1 i nosníka, i = 1,2,.......n Em

i

sú ohybové momenty na jednotlivých základniach pri danej hladine namáhania s i je dĺžka jednotlivých základní fiktívnej priehradovej sústavy. Rovnakým spôsobom je možné vypočítať energiu od účinku skosenia Eq na jednotlivých základniach fiktívnej priehradovej sústavy pozdĺž nosníka a to od vertikálnych aj horizontálnych posunov jednotlivých terčíkov pozdĺž nosníka. Z priebehu priemerného skosenia na jednotlivých základniach potom určíme aj veľkosť celkovej vnútornej energie od účinku priečnych síl Eq : Mi

  1  Q1   2  Q2   3  Q3   4  Q4   5  Q5   6  Q6   7  Q7    s    Q   Q   8 8 9 9 

(5.5.2)

alebo



 i  Qi  s i

1

Priemerné skosenie na jednotlivých základniach fiktívnej priehradovej sústavy v strede výšky železobetónového nosníka bude: Vhi  1  Vhi i

s i



Vdk 1  Vdk

(5.5.3)

s k

je vertikálny posun jednotlivých uzlov (terčíkov) pri hornom páse fiktívnej priehradovej sústavy, pričom i = 1, 2....i+1 je vertikálny posun jednotlivých uzlov (terčíkov) pri dolnom páse fiktívnej priehradovej sústavy, pričom k = 12,13....k+1 je priečna sila na jednotlivých základniach pri danej hladine namáhania.

Vhi  1 Vdk 1 Qi

Potom určíme veľkosť vnútornej energie pri danej hladine zaťaženia železobetónového nosníka zo súčtu vnútornej energie vyvolanej krivosťou, resp. skosením: n

Evnutorna

 i

1

Em 

 i

1

(5.5.4)

Podiel vnútornej energie od účinkov priečnych síl na celkovú vnútornú energiu bude: Eq Evnutorna

(5.5.5)

A podiel vnútornej energie od účinkov ohybových momentov na celkovú vnútornú energiu bude: Em Evnutorna

(5.5.6)

Počas statického zaťažovania nosníka premenné vonkajšie sily na deformujúcom sa nosníku vykonávajú prácu - deformačnú prácu vonkajších síl, pretože pôsobiská síl sa premiestňujú, t.j. vytvárajú dráhy vonkajších síl. Pretvárna práca vonkajších síl bude: W vnokajsie Fs y i (5.5.7) Fs je zaťažovacie bremeno a y i (mm) je hodnota priehybu, ktorý vzniká pod zaťažovacím bremenom vykonávajúcom deformačnú prácu. Pomer vnútornej energie ku vonkajšej energii (pričom ako prácu vonkajších síl sme uvažovali 100 %) pri danej hladine zaťaženia bude: Evnutorne W vonkajsie

(5.5.8)

Podľa Zákona zachovania energie platí, že pretvárna práca vonkajších síl sa rovná práci vnútorných síl. Ak chceme vyrátať hodnotu stratenej (disipovanej) energie, odľahčíme nosník. Po odľahčení nosníka na danej hladine zaťaženia a to prakticky, aj vo výpočte, zavedieme zápornú hodnotu pre zaťažovaciu silu. Rovnako budeme postupovať pri určovaní vnútornej energie od účinkov krivosti E´m a vnútornej energie od účinku priemerného skosenia E´q , na jednotlivých základniach fiktívnej priehradovej sústavy pozdĺž železobetónového nosníka. Potom celkovú vnútornú energiu železobetónového nosníka pri danej hladine zaťaženia po odľahčení vyjadríme ako súčet E´vnutorna = E´m + E´q (5.5.9) Ďalej môžeme určiť hodnotu stratenej energie napríklad od ohybového momentu pozdĺž nosníka ako Em - E´m , kde Em je veľkosť vnútornej energie od účinku krivosti (momentu) pred odľahčením a E´m veľkosť vnútornej energie od účinku krivosti (momentu) po odľahčení. Tiež môžeme hodnotu stratenej energie určiť od priemerného skosenia, ktorá bude Eq - E´q , pričom Eq je veľkosť vnútornej energie od účinku priemerného skosenia (priečnej sily) pred odľahčením a E´q je veľkosť vnútornej energie od účinkov priemerného skosenia (priečnej sily) po odľahčení. Aby sme mohli vyjadriť celkovú stratu vnútornej energie pri danej hladine zaťaženia od účinku krivosti a priemerného skosenia železobetónového nosníka, musíme odpočítať veľkosť celkovej vnútornej energie pred odľahčením a po odľahčení: Estratena Evnutorna  E´vnutorna (5.5.10) Pomer stratenej energie od účinku krivosti po odľahčení ku celkovej vnútornej energii pred odľahčením na danej hladine namáhania ( pričom Evnutorna uvažujeme 100% ) bude: Em  E´m Evnutorna

(5.5.11)

Pomer stratenej energie od účinku priemerného skosenia po odľahčení ku celkovej vnútornej energii pred odľahčením na danej hladine namáhania ( pričom Evnutorna uvažujeme 100% ) bude:

Eq  E´q Evnutorna

(5.5.12)

Pomer celkovej straty vnútornej energie od účinku krivosti a priemerného skosenia po odľahčení ku celkovej vnútornej energii pred odľahčením na danej hladine namáhania pričom ( Evnutorna je 100% ): Estratena Evnutorna

(5.5.13)

Pomer vnútornej energie od účinku krivosti po odľahčení ku vnútornej energii od účinku krivosti pred odľahčením železobetónového nosníka na danej hladine namáhania ( pričom Em je 100% ): E´m Em

(5.5.14)

Pomer vnútornej energie od účinku priemerného skosenia po odľahčení ku vnútornej energii od účinku priemerného skosenia pred odľahčením na danej hladine namáhania ( pričom Eq je 100% ): E´q Eq

(5.5.15)

Pomer celkovej vnútornej energie od účinku priemerného skosenia a krivosti po odľahčení ku celkovej vnútornej energii od účinku priemerného skosenia a krivosti pred odľahčením železobetónového nosníka na danej hladine namáhania ( pričom Evnutorna je 100% ): E´vnutorna Evnutorna

(5.5.16)

Rovnako môžeme určiť pretvárnu prácu vonkajších síl železobetónového nosníka na danej hladine zaťaženia po odľahčení: W´ vonkajsia F´s y´i (5.5.17) je zaťažovacie bremeno po odľahčení na danej hladine namáhania a y´i je hodnota F´s zostatkového vertikálneho posunu (priehyb), ktorý sa nachádza pod zaťažovacím bremenom po odľahčení železobetónového nosníka a následkom toho vykonáva vratnú (reverznú) pretvárnu prácu. Aby sme mohli vyjadriť celkovú stratu pretvárnej práce vonkajších síl na danej hladine zaťaženia, musíme odpočítať veľkosť celkovej pretvárnej práce vonkajších síl pred odľahčením a po odľahčení železobetónového nosníka: W stratena W vonkajsia  W´ vonkajsia (5.5.18) Percentuálny podiel pretvárnej práce vonkajších síl pred a po odľahčení (za predpokladu, že W vonkajsia je 100%) bude: W´ vonkajsia W vonkajsia

(5.5.19)

Percentuálny podiel stratenej pretvárnej práce vonkajších síl ku celkovej pretvárnej práci pred odľahčením (za predpokladu, že W vonkajsia je 100%): W stratena W vonkajsia

(5.5.20)

Vnútornú deformačnú energiu podľa pružnosti v stave I (bez trhlín) od účinkov krivosti a od účinkov skosenia vypočítame nasledovne:



Eelast

Mi Eb  Jb

1

 Mi  s i   

 i

1

Qi Gb  Ab

 Qi  s i

(5.5.21)

pričom Eb je modul pružnosti betónu, Jb je moment zotrvačnosti železobetónového prierezu, Gb je modul v šmyku Gb 0.435 Eb , Ab je plocha železobetónového prierezu a  je tvarový súčiniteľ železobetónového prierezu. - je krivosť pozdĺž - je skosenie pozdĺž Mi Qi   železobetónového nosníka železobetónového (5.5.22) E b Jb G b A b nosníka Koeficient  m , ktorý vyjadruje zväčšenie deformačnej energie od účinkov ohybových momentov v stave II (s trhlinami) určíme nasledovne:



di  hi

m

 M i  s

(5.5.23)

 Mi  2

 E J b

 s

Koeficient  q vyjadrujúci zväčšenie deformačnej energie od účinkov priečnych síl v stave II (s trhlinami) a bude mať takýto tvar:

  Q i s i

q

(5.5.24)

   G A b

 Q i  s

Potom podiel deformačnej energie od účinkov krivosti a skosenia v stave II na celkovú deformačnú energiu v stave I pri danej hladine zaťaženia bude nasledovný: n

 i

 Mi  2

 i

Eb  Jb

1



i  Mi  s i

1

Qi 2

 s i   

 i

1

Gb  Ab

 s i



 i

1

 i  Qi  s i

1

Qi 2 Gb  Ab

 s i 

 i

1

 Mi  2 Eb  Jb

(5.5.25)  s i

Pre lepší prehľad na záver tejto kapitoly uvádzam rekapituláciu výpočtov deformačnej (resp. vnútornej) energie železobetónových nosníkov v stave II (s plným rozvojom trhlín) prostredníctvom nových deformačných koeficientov: Rekapitulácia výpočtov deformačnej energie od účinkov ohybových momentov a od účinkov priečnych síl v stave II: 1.Prostredníctvom krivosti i a skosenia  i pozdĺž železobetónového nosníka v stave II: E

    M   s      Q   s i

(5.5.26)

2. Prostredníctvom koeficientov  cr a  cr , ktoré vyjadrujú zväčšenie priehybu od účinku ohybových momentov a priečnych síl železobetónového nosníka v stave II:

 i

 Mi   E  J  Mi    cr  s   b b 

 i

 Qi    Qi      cr  s  GA 

(5.5.27)

3. Pomocou koeficientov  k a  k vyjadrujúcich zväčšenie priemernej pomernej krivosti a skosenia železobetónového nosníka v stave II:   Mi     Qi   E  k     Qi    s  k   E  J   Mi  s  (5.5.28)   GA     b b 



4. Prostredníctvom koeficientov  ´m a  ´q , vyjadrujúcich zväčšenie deformačnej energie od účinkov ohybových momentov a priečnych síl v stave II:   Mi     Qi   E  ´ q     Qi    s  ´ m   E  J   Mi  s    GA   (5.5.29)   b b 



5. Prostredníctvom koeficientov  crII´ a  crII´ , ktoré vyjadrujú zníženie priemernej pomernej ohybovej a šmykovej tuhosti železobetónového nosníka v stave II: Mi Qi     E  M i   s   Qi     s  E J   GA  (5.5.30) crII´ b b crII´   i  i 



6. Pomocou koeficientu  , ktorý vyjadruje zníženie momentu zotrvačnosti prierezu v stave II: Mi   E  E  J    M i   s (5.5.31) b b  i  7. Pomocou koeficientov  ,  ck , ktoré vyjadrujú zníženie momentu zotrvačnosti a plochy



prierezu železobetónového nosníka v stave II : Mi Qi     E  E  J    M i   s   G    A  Qi     s ck b b   i  i 



(5.5.32)

5. 6 Výsledky V tejto kapitole uvádzam hodnoty deformačných koeficientov pre jednotlivé nosníky pri všetkých hladinách zaťaženia. Grafické vyjadrenie deformačných koeficientov v závislosti od hladiny zaťaženia je znázornené vždy na obrázkoch prislúchajúcich jednotlivým nosníkom. Závislosť platiaca pre všetky typy nosníkov je znázornená na obr. M-1 až M-8 (príloha M) Hodnoty deformačných koeficientov, ktoré som získal pri porušení a pri prevádzkovom zaťažení sú nasledovné: Séria I Nosník Ia Koeficient  cr určíme ako pomer priehybu od účinku ohybových momentov získaného

experimentálne na základe krivosti pozdĺž nosníka y mexp a priehybu teoretického v stave I (bez trhlín) y mteor . Hodnoty koeficientu  cr vyjadrujúceho zväčšenie priehybu od účinkov ohybových momentov v stave II. a) pri porušení ( hladina zaťaženia  s 1.55 ):  cr 2.95, pričom vplyv ohybového momentu na celkový priehyb bol 79,30 % a na celkovú deformačnú (vnútornú) energiu bol 78,1% b) pri prevádzkovom zaťažení (hladina zaťaženia  s 1.0 ):  cr 2.57, pričom vplyv ohybového momentu na celkový priehyb bol 83,5 % a na celkovú deformačnú (vnútornú) energiu bol 82,4%. Hodnoty koeficientu  cr v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na obr. 5.6.1 (ostatné nosníky, viď obr. M-9 až M-16, príloha M). Koeficient  cr určíme ako

pomer priehybu od účinku priečnych síl získaného experimentálne na základe skosenia pozdĺž nosníka y qexp a priehybu teoretického v stave I (bez trhlín) y qteor . Hodnoty koeficientu  cr vyjadrujúceho zväčšenie priehybu od účinkov priečnych síl v stave II. a) pri porušení ( hladina zaťaženia  s 1.55 ):  cr 8.82, pričom vplyv priečnej sily na celkový priehyb bol 20,71 % a vplyv priečnej sily na deformačnú (vnútornú) energiu bol 21,91% b) pri prevádzkovom zaťažení ( hladina zaťaženia  s 1.0 ):  cr 5.69, pričom vplyv priečnej sily na celkový priehyb bol 16,48 % a na deformačnú (vnútornú) energiu bol 17,60%. Hodnoty koeficientu  cr v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na obr. 5.6.2 (ostatné série nosníkov, viď obr. M-21 až M-24, príloha M). Hodnotu koeficientu  k získame tak, že najprv určíme pomery krivostí v stave II ku krivostiam v stave I pozdĺž železobetónového nosníka a potom z určených pomerov vypočítame priemernú hodnotu na rozpätie nosníka L, kde L je vzdialenosť medzi podporami. i

pl el

z toho

i

 L  s

k

a) pri porušení ( hladina zaťaženia  s 1.55 ):  k 3.29, b) pri prevádzkovom zaťažení ( hladina zaťaženia  s 1.0 ):  k 2.75 . Hodnoty koeficientu  k v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na obr. 5.6.1 (ostatné nosníky, viď obr. M-9 až M-16, príloha M). Hodnotu koeficientu  k získame tak, že najprv určíme pomery skosení v stave II ku skoseniam v stave I pozdĺž železobetónového nosníka a potom z určených pomerov vypočítame priemernú hodnotu na rozpätie nosníka L, kde L je vzdialenosť medzi podporami. i

 pl  el

z toho

k

i

 L s i

a) pri porušení ( hladina zaťaženia  s 1.55 ):  k 5.35, b) pri prevádzkovom zaťažení ( hladina zaťaženia  s 1.0 ):  k 3.80 . Hodnoty koeficientu  k v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na obr. 5.6.2 (ostatné série nosníkov, viď obr. M-21 až M-24, príloha M). Hodnotu koeficientu  crII´ získame tak, že najprv určíme pomery ohybových tuhostí v stave II k ohybovým tuhostiam v stave I pozdĺž železobetónového nosníka a potom z určených pomerov vypočítame priemernú hodnotu na rozpätie nosníka L, kde L je vzdialenosť medzi podporami. a) pri porušení ( hladina zaťaženia  s 1.55 ):  crII´ 0.27, b) pri prevádzkovom zaťažení ( hladina zaťaženia  s 1.0 ):  crII´ 0.314 . Hodnoty koeficientu  crII´ v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na obr. 5.6.1 (ostatné nosníky, viď obr. M-9 až M-16, príloha M). Koeficient i predstavuje priemerne pomerná hodnota redukcie ohybovej tuhosti nosníka a) pri porušení ( hladina zaťaženia  s 1.55 ):  0.308, b) pri prevádzkovom zaťažení ( hladina zaťaženia  s 1.0 ):  0.359 . Hodnoty koeficientu i v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na obr. 5.6.1 (ostatné nosníky, viď obr. M-9 až M-16, príloha M). Hodnotu koeficientu  crII´ získame tak, že najprv určíme pomery šmykových tuhostí v stave II ku šmykovým tuhostiam v stave I pozdĺž

železobetónového nosníka a potom z určených pomerov vypočítame priemernú hodnotu na rozpätie nosníka L, kde L je vzdialenosť medzi podporami. G A

cri

 GAi

( EJ) c

cri

Eb  Jb

rci

 L s

 cr z toho

 crII´

 i

cri

 s Nosník Ia 4

hladiny zaťaženia sú znázornené na obr. 5.6.1 (ostatné nosníky, viď obr. M-9 až M-16, príloha M). Hodnotu koeficientu  získame tak, že najprv určíme priemernú hodnotu momentu zotrvačnosti v stave II na rozpätie L J k a L1 Jc k , kde L1 je celková dĺžka nosníka. Potom z pomerov momentu zotrvačnosti betónového prierezu v stave I a priemernej hodnoty Jb Jk

vypočítame priemernú hodnotu. Jej

  Jel

2.0

Jc k

0.5

Hladina 0.0



0.5

1.0

1.5

2.0 zaťaženia

crII

k

Obr. 5. 6. 1 Pracovný diagram závislosti hladiny zaťaženia a deformačných koeficientov. Séria I 10 9 8

k

 cr

7 6

Ia Ib Ic

5 4 3 2 1 1.50

1.00

0 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Obr. 5.6.2 Pracovný diagram závislosti hladiny zaťaženia a deformačných koeficientov  cr   k Jb

 s

1.0

 s

1.5

J

 crII

Hladina zaťaženia

b) pri prevádzkovom zaťažení (hladina zaťaženia  s 1.0 ):  0.29 .

J

1 0

2.00

a) pri porušení (hladina zaťaženia  s 1.55 ):  0.250,



a L1

inverzná hodnota predstavuje koeficient vyjadrujúci zníženie momentu  zotrvačnosti železobetónového prierezu v stave II. Výsledný redukovaný moment zotrvačnosti nosníka teda bude: Jcr

Hodnoty deformačných koeficientov

zotrvačnosti v stave II na dĺžku L

cr

Hodnoty deformačných koeficientov

b) pri prevádzkovom zaťažení (hladina zaťaženia  s 1.0 ):  crII´ 0.27 .Hodnoty koeficientu  crII´ v závislosti od

Jc k

 cr

a) pri porušení ( hladina zaťaženia  s 1.55 ):  crII´ 0.184,

 crII´

z toho

JbII

 2

Jb Jc k



1 JbII

Hodnoty koeficientu  v závislosti od hladiny zaťaženia sú znázornené na obr. 5.6.1 (ostatné nosníky, viď obr. M-9 až M-16, príloha M). Hodnotu koeficientu  ck získame tak, že najprv určíme priemernú hodnotu plochy prierezu v stave II na rozpätie L A k a L1 Ac k , kde L1 je celková dĺžka nosníka. Potom z pomerov plochy betónového prierezu v stave I a priemernej hodnoty plochy v stave II na dĺžku L

Ab Ak

a L1

vypočítame priemernú hodnotu. Jej inverzná hodnota predstavuje koeficient  ck

Ac k

vyjadrujúci zníženie plochy železobetónového prierezu v stave II (príloha M, tab. M-5). Výsledná redukovaná plocha nosníka teda bude:  ck A b

A cr

A i

A

 s

Ac k

z toho

 s

A bII

 2

Ab Ac k

 ck

1 A bII

a) Priemerná hodnota (séria I) pri porušení:  ck 0.137, b) Priemerná hodnota (séria I) pri prevádzkovom zaťažení (hladina zaťaženia  s 1.0 ):  ck 0.187 . Pri štúdiu napätia betónu v tlačenej zóne pre nosníkov serie I som zvolil nasledovný postup: Najprv som vypočítal koeficient  , ktorý vyjadruje percentuálne vystuženie železobetónového prierezu  bc´

100 A st b he

. Z obrázku C-1 (príloha C) som určil napätie betónu

zodpovedajúce koeficientu  a ďalej som vypočítal pomocný koeficient  i ako

Potom som napätie v betóne pri danej hladiny zaťaženia a pozdĺž nosníka vyrátal ako bc  i bc´  0.6 fck za

b he

Napätie betónu v jednotlivých základniach 30

od hladiny zaťaženia. Séria I

0,1 0,3

[MPa]

Napätie

predpokladu, že maximálne pretvorenie nepredpätej výstuže je s 0.01. Takto vypočítané hodnoty

0,5

20 15

0,7 0,9

0,6.fck

napätia betónu v tlačenej zóne pri 10 1,2 všetkých hladinách zaťaženia pre 5 1,4 nosníky série I sú uvedené v tabuľke 1,55 0 M-1 (príloha M). Hodnoty platiace pre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,6.fck ostatné série sú uvedené v tab. M-2 až Základne M-4 (príloha M). Priebeh napätia Obr. 5. 6. 3 Priebeh napätie betónu pozdĺž nosníka betónu v tlačenej zóne nosníka je znázornený na obr. 5.6.3 (horizontálna čiara pretínajúca graf predstavuje stav obmedzenia napätia). Priebeh napätí v prípade ostatných sérií je znázornený na obrázkoch M-25 až M-28 (príloha M). 5.7 Záver Cieľom predloženej práce bolo nájsť metodiku priameho, nekomplikovaného a pri tom spoľahlivého výpočtu priehybu a deformačnej energie v stave II (s plným rozvojom trhlín). Tento cieľ sa mi podarilo splniť, do výpočtu priehybu a deformačnej energie podľa virtuálnej práce v stave I som zaviedol nové deformačné koeficienty, ktoré umožňujú vyjadriť stav po úplnom rozvoji trhlín. Pomocou nich môžeme jednoduchým spôsobom vyjadriť redukciu ohybovej a šmykovej tuhosti pozdĺž nosníka pri všetkých hladinách zaťaženia a zároveň elegantne vypočítať priehyb a deformačnú energiu železobetónových nosníkov v stave II. Výpočty pomocou týchto koeficientov môžu nájsť uplatnenie nielen v teoretickej oblasti, ale aj v inžinierskej praxi.

Pre prehľad uvádzam priemerné hodnoty nových deformačných koeficientov pri porušení a prevádzkovom zaťažení: Koeficient  cr , ktorý vyjadruje zväčšenie priehybu od ohybových momentov v stave II, dosiahol pri porušení priemernú hodnotu  cr 3 a pri prevádzkovom zaťažení hodnotu  cr 2.70. Koeficient  cr , ktorý vyjadruje zväčšenie priehybu od priečnych síl v stave II, dosiahol pri porušení priemernú hodnotu  cr 9.5 a pri prevádzkovom zaťažení hodnotu  cr 7.0 . Koeficient  k , vyjadrujúci priemernú pomernú krivosť nosníka na rozpätie L, dosiahol pri porušení hodnotu  k 3.20 a pri prevádzkovom zaťažení hodnotu  k 2.70. Koeficient  k , ktorý vyjadruje priemerné pomerné skosenie nosníka na rozpätie L, mal pri porušení hodnotu  k 6.5 a pri prevádzkovom zaťažení hodnotu  k 4.85.

Priemerná pomerná hodnota koeficientu  crII´ , ktorý vyjadruje zníženie ohybovej tuhosti Eb  Jb na dĺžku nosníka L, vyšla pri porušení  crII´ 0.275 a pri prevádzkovom zaťažení Z toho vyplýva, že hodnota ohybovej tuhosti E J sa použitím koeficientu  crII´ znížila pri porušení 3.65 krát a pri prevádzkovom zaťažení 3.25-krát. Priemerná pomerná hodnota koeficientu  crII´ , ktorý vyjadruje zníženie šmykovej tuhosti  crII´

0.308.

na dĺžku nosníka L, vyšla pri porušení  crII´ 0.161 a pri prevádzkovom zaťažení  crII´ 0.233. Z toho vyplýva, že hodnota šmykovej tuhosti G A   sa použitím koeficientu  crII´ znížila pri porušení 6.20 krát a pri prevádzkovom zaťažení 4.30 krát. Gb  A b  

Priemerná pomerná hodnota koeficientu  , ktorý vyjadruje pomer ohybovej tuhosti v stave II ( EJ) c ku ohybovej tuhosti v stave I Eb  Jb , vyšla pri porušení  0.315 a pri prevádzkovom zaťažení  0.351. Teda pomer ohybovej tuhosti ( EJ) c v stave II a ohybovej tuhosti Eb Jb v stave I sa zavedením koeficientu zníži pri porušení 3.20 a pri prevádzkovom zaťažení 2.85krát. Priemerná pomerná hodnota koeficientu  , ktorý predstavuje redukciu momentu zotrvačnosti JII nosníka v stave II, vyšla pri porušení  0.256 a pri prevádzkovom zaťažení  0.291. To znamená, táto hodnota sa pri porušení redukuje 3.90-krát a pri prevádzkovom zaťažení 3.45krát. Najmenšia hodnota ohybovej tuhosti ( EJ) c v stave II pozdĺž nosníka, získaná ako sklon    z pracovného diagramu ohybový moment - krivosť, bola dosiahnutá v oblasti šmyku približne v strede šmykového rozpätia (v tejto oblasti bol moment zotrvačnosti najmenší). Naopak, najväčšiu hodnotu dosiahla ohybová tuhosť v oblasti čistého ohybu, kde moment zotrvačnosti bol najväčší. Najväčšie hodnoty krivosti  na jednotlivých základniach nosníkov v stave II, ktoré sme získali z pracovného diagramu moment - krivosť, sa nachádzali pri pôsobisku sústredených bremien a naopak, najmenšie hodnoty krivosti vyšli v oblasti šmyku, vo väčšine prípadov v strede šmykového rozpätia. Hodnota krivosti t1 vypočítaná ako pomer ohybových momentov a ohybovej tuhosti E J bola najväčšia v oblasti čistého ohybu a zmenšovala sa smerom k podporám, v ktorých bola nulová. Ohybové momenty sme získali pomocou fiktívnej priehradovej sústavy pri danej hladine zaťaženia a ohybové tuhosti Eb Jb na

jednotlivých základniach sme určili ako súčin modulu pružnosti betónu a momentu zotrvačnosti prierezu. Najmenšia hodnota koeficientu  cr , ktorý vyjadruje redukciu ohybovej tuhosti na jednotlivých základniach nosníka v stave II, bola dosiahnutá v šmykovej oblasti približne v strede šmykového rozpätia (tam, kde má ohybová tuhosť ( EJ) c a moment zotrvačnosti JII v stave II najmenšiu hodnotu). Naopak, najväčšiu hodnotu dosiahol koeficient  cr v oblasti čistého ohybu, kde má ohybová tuhosť a moment zotrvačnosti najväčšiu hodnotu. Najmenšia hodnota šmykovej tuhosti ( GA) c v stave II pozdĺž nosníka, získaná ako sklon    , z pracovného diagramu priečna sila Q - skosenie  , bola dosiahnutá v oblasti šmyku približne v strede šmykového rozpätia . Najväčšia hodnota skosenia  na jednotlivých základniach nosníkov v stave II, získaná z pracovného diagramu priečna sila Q - skosenie  , bola dosiahnutá v oblasti šmyku približne v strede šmykového rozpätia, kde má šmyková tuhosť ( GA) c najmenšiu hodnotu. Najväčšia hodnota koeficientu  i , ktorý vyjadruje zväčšenie skosenia  jednotlivých základní pri danej hladine zaťaženia pozdĺž nosníka v stave II, bola dosiahnutá v šmykovej oblasti približne v polovici šmykového rozpätia (tam, kde má šmyková tuhosť ( GA) c najmenšiu hodnotu). Maximálna hodnota koeficientu  cr , ktorý predstavuje zväčšenie šmykovej tuhosti pozdĺž nosníka v stave II, bola dosiahnutá v šmykovej oblasti približne v polovici šmykového rozpätia - teda v oblasti, kde má šmyková tuhosť ( GA) c najmenšiu hodnotu. Najmenšiu hodnotu dosiahol moment zotrvačnosti prierezu JII na jednotlivých základniach pri danej hladine zaťaženia pozdĺž nosníka v stave II v oblasti šmyku. Čiže v oblasti, kde ohybová tuhosť ( EJ) c mala tiež najmenšiu hodnotu. Naopak, najväčšia hodnota momentu zotrvačnosti prierezu sa dosiahla v oblasti čistého ohybu, teda v oblasti najväčšej ohybovej tuhosti. V prípade všetkých sledovaných železobetónových nosníkov (pri porušení) vyšiel celkový priehyb od účinkov ohybových momentov a priečnych síl vypočítaný pomocou koeficientov  crII´ a  crII´ a priehyb od účinkov ohybových momentov (bez uvažovania priečnych síl) vypočítaný pomocou koeficientu  väčší ako celkový priehyb získaný pomocou metódy fiktívnej priehradovej sústavy. Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vypočítaného pomocou koeficientov  crII´ a  crII´ je 1.11 -krát väčšia ako hodnota celkového priehybu získaného pomocou metódy fiktívnej priehradovej sústavy. Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vypočítaného pomocou koeficientov  crII´ a  crII´ je 1.03 -krát väčšia ako hodnota celkového priehybu získaného pomocou priehybomerov. Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vypočítaného pomocou koeficientov  crII´ a  crII´ je 1.05 -krát väčšia ako hodnota priehybu od účinku ohybových momentov (bez uvažovania priečnych síl) vyrátaného pomocou koeficientu  . Hodnota priemerného pomerného podielu priehybu od účinkov ohybových momentov (bez uvažovania priečnych síl) vypočítaného pomocou koeficientu  (so zohľadnením koeficientu  1 vyjadrujúceho zníženia pretvorenia pri zaťažení ) je 1.20 -krát väčšia ako hodnota celkového priehybu získaného pomocou metódy fiktívnej priehradovej sústavy.

Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vypočítaného pomocou koeficientov  crII´ a  crII´ je 1.13 -krát väčšia ako hodnota celkového priehybu vypočítaného pomocou krivosti  a skosenia  . Celková deformačná energia vyrátaná pomocou  crII´ a  crII´ je 1.12 -krát väčšia ako deformačná energia získaná pomocou krivosti  a skosenia  . Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vypočítaného pomocou koeficientov  crII´ a  crII´ vyšla 1.12 -krát väčšia ako hodnota celkového priehybu vypočítaného pomocou  cr a  cr . Celková deformačná energia vyrátaná pomocou  crII´ a  crII´ vyšla 1.10 -krát väčšia ako deformačná energia získaná pomocou  cr a  cr . Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vypočítaného pomocou koeficientov  crII´ a  crII´ vyšla 1.14 -krát väčšia ako hodnota celkového priehybu vypočítaného pomocou  ´m a  ´q . Celková deformačná energia vyrátaná pomocou koeficientov  crII´ a  crII´ vyšla 1.12 -krát väčšia ako deformačná energia získaná pomocou a  ´q . Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vypočítaného pomocou koeficientov  crII´ a  crII´ je 1.14 -krát väčšia ako hodnota celkového priehybu vypočítaného  ´m

pomocou  k a  k . Celková deformačná energia vyrátaná pomocou koeficientov  crII´ a  crII´ je 1.13 -krát väčšia ako deformačná energia od ohybových momentov (bez uvažovania účinku priečnych síl) získaná pomocou  k a  k . Hodnota priemerného pomerného podielu celkového priehybu vyrátaného pomocou koeficientov  crII´ a  crII´ je 1.05 -krát väčšia ako hodnota priehybu vypočítaného pomocou koeficientu  . Celková deformačná energia vyrátaná pomocou  crII´ a  crII´ je 1.12 -krát väčšia ako deformačná energia od účinku ohybových momentov (bez uvažovania účinku priečnych síl) získaná pomocou  . Na základe uvedených pozorovaní môžeme zhrnúť, že deformačné koeficienty  crII´ a  crII´ , ktoré vyjadrujú zníženie priemernej pomernej ohybovej a šmykovej tuhosti železobetónových nosníkov v stave II, umožňujú najspoľahlivejší výpočet priehybu po vzniku a rozvoji trhlín. Vertikálne posuny (priehyby) od účinku ohybových momentov a priečnych síl vyšli približne 2 -krát väčšie ako vodorovné posuny podľa fiktívnej priehradovej sústavy. Z priebehu závislostí pretvorení betónu b od veľkosti zaťaženia pre jednotlivé základne vyplýva, že maximálne hodnoty pretvorenia mali spodné pásy d v úrovni ťahovej výstuže v šmykovej oblasti približne v strede šmykového rozpätia. Následkom toho vzrástol priehyb od účinku priečnych síl. Z opisu porušovania jednotlivých nosníkov pri krátkodobom stupňovitom zaťažení vyplýva, že proces porušovania nosníka sa sústredil do oblasti šmykových rozpätí, kde vznikali šmykové trhliny. Rast zaťaženia mal značný vplyv na rozvoj šikmých a ohybových trhlín pozdĺž rozpätia nosníkov a spôsobil zároveň vznik nových šmykových trhlín. Šírky šikmých trhlín sa pod vplyvom zaťažovacej sily zväčšovali intenzívnejšie ako ohybové trhliny a následkom toho sa výrazne zväčšovalo pretvorenie v spodných pásoch v strede šmykového rozpätia, kde kolmé trhliny sa pri vyšších zaťažovacích stupňoch už nepredlžovali, ich počet a šírky boli pomerne stabilizované. Po vzniku šikmých trhlín sa zväčšilo nielen skosenie od priečnej sily, ale aj moment, ktorý v tomto mieste pôsobil. Následkom toho vzrástla krivosť  a skosenia  od

poklesu tuhosti ( EJ) c a ( GA) c prvku so šikmými trhlinami. Trhliny podstatne menia priebeh vnútorných síl, pretože tuhosť nosníka po vzniku trhliny je premenná. Tuhosť nosníkov môžeme definovať na ich pracovných diagramoch a to moment M - krivosť  a priečna sila Q - skosenie  ako sklon uhla sečnice. Tuhosti nosníka sú premenné a závisia od hladiny vnútorných síl M  Q . Ohybová tuhosť ( EJ) c a šmyková tuhosť ( GA) c nie je násobkom modulu pružnosti Eb a momentom zotrvačnosti Jb , ani násobkom modulu betónu v šmyku Gb a plochy prierezu A b . Kvalita betónu mala veľký vplyv na napätie betónu v tlačenej zóne pozdĺž nosníka pri jednotlivých hladinách zaťaženia: čím bola valcová pevnosť betónu v tlaku väčšia, tým bola podmienka určujúca obmedzenie napätia betónu v tlaku vyššia. Tieto závery platia pre železobetón s uvedenými fyzikálno - mechanickými vlastnosťami a pre použitý typ prierezu a spôsob zaťažovania. 5. 8 Diskusia Pri štúdiu nosnej témy práce - deformačných vlastností železobetónových nosníkov, som sa sústredil na dve oblasti. Prvá oblasť predstavuje výpočet priehybu, druhá výpočet deformačnej energie a skúmanie účinkov šikmej trhliny na redukciu tuhosti prvku v stave II. Za hlavný prínos práce považujem zavedenie nových deformačných koeficientov, ktoré vyjadrujú zväčšenie krivosti, skosenia a priehybu alebo redukciu ohybovej a šmykovej tuhosti, momentu zotrvačnosti a plochy prierezu. Použitie koeficientov umožňuje jednoduché a elegantné vyjadrenie priehybov a deformačnej energie po vzniku trhlín. Pri riešení danej problematiky som narazil na niektoré otázky. V nasledujúcej "diskusii" sa ich pokúsim stručne opísať a hľadať na ne (spolu s ďalšími autormi) odpoveď.

Spôsob, akým je fiktívna priehradovina navrhnutá na čele nosníka, môže mať vplyv na celkový priehyb. Krivosť nad podporami má zápornú hodnotu a to spôsobuje zmenšenie celkového priehybu v strede nosníka. K podobným záverom dospel aj prof. Hájek [29,30]. Horný a dolný pás fiktívnej priehradoviny prebieha nad podporami a zvislica spájajúca horný a dolný pás sa nachádza za podporou. Ak by sme upravili schému fiktívnej priehradovej sústavy tak, že zvislica bude pevná a bude končiť presne nad podporami, potom bude hodnota krivosti nad podporami nulová a následkom toho sa zväčší aj priehyb v strede nosníka. Toto zväčšenie pravdepodobne zodpovedá rozdielu medzi priehybmi získanými pomocou priehybomerov (skutočné priehyby), či vypočítanými pomocou koeficientov  crII´ a  crII´ , v porovnaní s priehybmi, ktoré boli získané pomocou metódy fiktívnej priehradovej sústavy. Hodnoty koeficientov  cr a  cr môžu byť tiež ovplyvnené, lebo predstavujú pomer priehybov vypočítaných podľa fiktívnej priehradovej sústavy a teoretického priehybu vypočítaného podľa pružnosti. Ďalej môže nastať situácia, že pri vyšších zaťažovacích stupňoch niektoré šmykové alebo ohybové trhliny prechádzajú presne miestom, v ktorom sú nalepené terčíky. V takom prípade sa trhliny počas zaťaženia vplyvom ohybového momentu, ktorý v tomto mieste pôsobí, roztvárajú a dochádza k oslabeniu a zmene polohy terčíkov. V dôsledku toho získame nereálne hodnoty dĺžkových zmien jednotlivých základní a teda aj nereálne hodnoty pomerných pretvorení b. , krivosti  , skosenia  a priehybov y , čo zase ovplyvňuje hodnoty deformačných koeficientov (napr.  cr a  cr ). Rovnako pri nižších zaťažovacích stupňoch nie je hodnota  cr jednoznačne spoľahlivá, pretože napríklad vplyv priečnych síl na priehyb na začiatku zaťažovania je malý, ale pri vyšších zaťažovacích stupňoch sa zväčšuje.

Ako už bolo uvedené, skúmané nosníky boli zaťažené dvomi bremenami a testované dvomi rôznymi testovacími podmienkami: čistý ohyb medzi dvoma zaťažovacími bremenami a konštantná priečna sila v koncových prierezoch. Ak vypočítame skosenia pozdĺž nosníka z diagramu priečnej sily a tiež podľa fiktívnej priehradovej sústavy, z porovnania výsledných hodnôt zistíme, že sú rozdielne, lebo ako je známe, skosenie  je pomer priečnej sily a súčinu modulu betónu v šmyku Gb , plochy prierezu A b a koeficientu tvaru prierezu  . Pretože priečne sily v oblasti čistého ohybu (podľa diagramu priečnej sily) sú rovné nule ( Qi 0 ), aj skosenia v oblasti čistého ohybu budú tiež nulové (  i 0 ). To znamená, že šmykové tuhosti ( GA) c , predstavujúce sklon uhla sečnice ( GA) c

sklon    ,

ktoré získame z pracovného diagramu priečna sila Q - skosenie  , budú tiež

nulové. Avšak skosenie  podľa metódy fiktívnej priehradovej sústavy vypočítame ako podiel rozdielu vertikálnych posunov styčníkov a dĺžok základne s (teda ako tangens uhla po dĺžke nosníka). V tomto prípade zistíme, že skosenie v oblasti čistého ohybu nemá nulovú hodnotu. Ďalej podľa pracovného diagramu priečna sila - skosenie vyjadríme šmykovú tuhosť ako tangens uhla sečnice pozdĺž nosníka a na základe toho môžeme určiť hodnoty skosenia a šmykovej tuhosti nosníka bez ohľadu na to, aký je diagram priečnej sily. Z týchto dôvodov považujem metódu fiktívnej priehradovej sústavy za vhodnejšiu pre výpočet deformačných koeficientov ako napr.  q´   k a  crII´ . Výhodou použitia deformačných koeficientov  crII´ a  crII´ , ktoré vyjadrujú zníženie priemernej pomernej ohybovej a šmykovej tuhosti železobetónových nosníkov v stave II je, že umožňujú najspoľahlivejší výpočet priehybu a deformačnej energie, pretože pri ich použití výpočet najlepšie vystihuje skutočné hodnoty. Hodnoty pomeru priehybov vypočítaných pomocou nových deformačných koeficientov  cr ,  cr ,  ´m ,  ´q ,  k ,  k , 

a priehybov získaných pomocou nových koeficientov  crII´ ,  crII´ boli takmer pre všetky nosníky menšie ako 1. Výnimku tvorili priehyby získané pomocou koeficientov  ,  ck a pomocou koeficientov  ,  1 (tab. M-5, príloha M). Ďalej chcem poukázať na zaujímavé pozorovanie, že vertikálne posuny (celkové priehyby) od účinku ohybových momentov a priečnych síl v strede nosníka sú vždy približne 2 -krát väčšie ako vodorovné posuny na poslednej základni získané pomocou fiktívnej priehradovej sústavy. Rovnaký výsledok získal Leonhardt [40]. Analyzoval som tiež vplyv šírky prierezu na podiel priečnej sily na priehyb: pri menšej šírke prierezu bol podiel priečnej sily Q väčší. Tejto téme sa venoval Leonhardt [40], ktorý zisťoval závislosť medzi šírkou prierezov a deformáciami pre rôzne tvary prierezu. Druhou oblasťou môjho záujmu bol výpočet deformačnej energie. Hodnoty pomeru deformačnej energie vypočítanej pomocou nových deformačných koeficientov  cr ,  cr ,  ´m ,  ´q ,  k ,  k ,  a

deformačnej energie získanej pomocou  crII´ ,  crII´ , boli pre všetky nosníky menšie ako 1, výnimku tvorili priehyby získané pomocou koeficientov  ,  ck a koeficientov  ,  1 (pozri tab. M-5, príloha M). Deformačná energia E9 (pozostávajúca z deformačnej energie od priečnych síl Q vypočítanej pomocou koeficientu  ck a deformačnej energie od ohybových momentov M vypočítanej pomocou koeficientu  ), vyšla priemerne 1.05-krát väčšia ako celková deformačná energia E5 (získaná pomocou  crII ,  crII´ ). Koeficient  ck vyjadruje redukciu plochy prierezu pri porušení.

Je známe, že rovnica virtuálnej práce pre výpočet priehybov alebo deformačnej energie pozostáva z dvoch častí. Prvý člen rovnice predstavuje priehyb od M (kde v menovateli je ohybová tuhosť Eb Jb ) a druhý člen predstavuje priehyb od Q (v menovateli je šmyková tuhosť Gb  A b  ). Keď som do rovnice virtuálnej práce pre výpočet priehybov v stave II zaviedol koeficienty  a  ck , kde prvý redukuje moment zotrvačnosti prierezu a druhý redukuje plochu prierezu, zistil som, že pri porušení boli priemerné hodnoty priehybov 1.05krát väčšie ako priehyby y 5 . Priemerný rozdiel percentuálneho podielu vplyvu priečnych síl na priehyb vypočítaný pomocou koeficientu  ck a vplyvu priečnych síl na priehyb vypočítaný bez použitia tohto koeficientu na celkový priehyb y9 , vypočítaný pomocou  a  ck , vyšiel iba 8.9% . Pri zavedení normového súčiniteľa  1 [18] do menovateľa prvej časti rovnice virtuálnej práce (bez uvažovania vplyvu priečnej sily) vyšli priemerné hodnoty priehybov 1.10-krát väčšie ako y 5 . Z týchto dôvodov predpokladám, že redukovanie geometrie prierezu z hľadiska momentu zotrvačnosti pomocou  po vzniku trhlín v stave II, predstavuje postačujúci spôsob na vyjadrenie priehybu a deformačnej energie nosníkov. Pretože koeficient  ck býva ovplyvnený viacerými faktormi, ako napr. typom fiktívnej priehradovej sústavy, hustotou trhlín pozdĺž nosníka a polohou sústredeného bremena, jeho hodnota je závislá od rôznych podmienok. Pre vyjadrenie celkového priehybu je preto výhodnejšie použiť koeficienty  a  1 . Určovaniu pretvárnej práce, deformačnej energie a separácii vplyvu šmykových síl a ohybových momentov na celkovú prácu vnútorných síl pri krátkodobom stupňovitom a pohyblivom zaťažení pre obdĺžnikové prierezy a prierezy tvaru T a I som sa venoval vo viacerých prácach [58, 60, 62]. S riešením podobnej problematiky som sa v literatúre stretol len v práci prof. Hájeka [29], kde skušobné prvky boli železobetónové dosky a autori zohľadňovali iba krivosť prierezu. Je však vhodné, ak sa sústava meraných veličín vopred navrhne tak, aby sa deformačná energia a pretvárna práca dala čo najpresnejšie určiť. Trhliny podstatne menia priebeh vnútorných síl, pretože tuhosť nosníka po vzniku trhliny je premenná. Ak šmykové napätie b dosiahne hodnotu pevnosti betónu v ťahu, musí hlavné napätie v ťahu 1 zachytiť výstuž, pretože vznikajú šmykové trhliny. Ďalšou príčinou vzniku šikmej trhliny môže byť veľká a náhla zmena ťahových napätí pozdĺžnej výstuže a tým aj súdržnosti tejto výstuže s betónom. Keď vzniká šmyková trhlina, prudko sa znižuje výška tlačenej oblasti a mení sa priebeh ťahových napätí v oblasti podpôr, čo môže viesť k porušeniu kotvenia výstuže. Z tohto vyplýva, že k porušeniu v šmyku vedúca šmyková trhlina zmenšuje výšku tlačenej zóny viac ako ohybové trhliny, čo bol prípad takmer všetkých železobetónových nosníkov, kde ohybová a šmyková tuhosť približne v strede šmykového rozpätia boli najmenšie a z tohto dôvodu boli aj najviac namáhané strmene v strede šmykového rozpätia. Autori Gvozdev [25] a Leonhardt [39] zistili, že napätia strmeňov pod zaťažovacími bremenami dosahujú skoro nulové hodnoty, pretože ťahové napätia strmeňov sú silne redukované tlakovými napätiami od bremien. Teda vertikálne tlakové napätia od vonkajších síl zmenšujú ťahové napätia strmeňov smerom k pôsobisku síl a v blízkosti podpôr sú strmene napäté, lebo tu nevznikajú žiadne šikmé trhliny. Často sú strmene blízko podpôr namáhané tlakom. Ak sústredené bremeno pôsobí blízko podpory, potom vzniká trhlina nad podporou podľa analógie priehradoviny [39, 40]. Väčšia tuhosť spodného pása znižuje napätosť strmienkov a zvyšuje prenos šmyku tlačeným betónom. Doposiaľ však nie je presne stanovené, akým podielom sa v skutočnosti na prenose hlavnej ťahovej sily podieľa šmyková výstuž, pozdĺžna ťahová výstuž a tlačený betón. Rozvoj šmykových trhlín je nepravidelnejší

ako rozvoj ohybových trhlín a zväčšovanie šmykových trhlín pri zvyšovaní zaťaženia je nezávislý na rozvoji susedných trhlín, to znamená, že novovzniknutá trhlina viac - menej nemôže ovplyvniť zväčšovanie už vzniknutej trhliny [25]. Nerovnováha ťahovej sily v pozdĺžnej výstuži a tlakovej sily v betóne tlačenej zóny, ktorá nastáva pri otváraní šikmej trhliny a pootáčaní segmentov, je spôsobená rozdielnou veľkosťou ohybových momentov určujúcich tieto vodorovné sily v nosníku. Sila v ťahanom páse oproti sile v tlačenom páse je menšia o účinok časti momentu a posúvajúcej sily, ktorá pôsobí medzi prierezmi prechádzajúcimi začiatkom a koncom šikmej trhliny [25]. Rovnováhu je možné dosiahnuť iba prítomnosťou výslednice hlavných ťahových napätí, ktorá pôsobí priečne na šikmú trhlinu v strede výšky nosníka, ktorá sa rozloží na horizontálnu a vertikálnu silu. Vertikálnu silu preberajú strmene pretínajúce trhlinu a horizontálnu silu preberá ťahaná výstuž a tlačený pás (rovnakým dielom - polovičným). Potom pozdĺžna výstuž je po vzniku šikmých trhlín v M

šmykovom rozpätí namáhaná vyššími napätiami ako s 1

podľa analógie priehradového nosníka s Nst

s  A st ,

nikdy Nst  0 . Sila Nst

Q 2

A st

 

 zb

A st  zb



, približne sa rovnajú napätiu

Q 2

 . V mieste nulového momentu 

sa prenáša zakotvením (tlačený oblúk) [53]. Tak

platí podmienka rovnováhy, že ťahová sila v pozdĺžnej výstuži na kraji šikmej trhliny musí byť v rovnováhe s tlakovými silami v betóne na konci trhliny. V ťahanej výstuži spôsobí zvýšenie napätia odsun momentovej čiary 0.5 Q a v tlačenom páse zníženie tlakových napätí. Niektorí autori, ako napr. Rehm [51], uvádzajú, že veľkosť ťahovej sily v spodnom páse v líci podpory môže byť v rozmedzí 0.5 Q až 2 Q . Rôzni autori majú rôzne názory na správanie a veľkosť ťahovej sily vo výstuži v stave I (kde je dokonalá súdržnosť medzi oceľou a betónom) a v stave II (kde je porušená súdržnosť). Predkladám rekapituláciu týchto názorov a môžeme alebo nemusíme súhlasiť s jedným z nasledovných predpokladov: a) Ak je súdržnosť vplyvom trhlín porušená, nosník sa správa ako oblúk, to znamená, že sila v ťahovej výstuži pozdĺž nosníka (tiahla) je konštantná: Nst Nst  konst

M zb

Ak pôsobí súdržnosť

, časť napätia prenáša betón.

b) Ak je súdržnosť vplyvom trhlín porušená, nosník sa začína správať ako nosník a v podporách sú nulové momenty, čiže sila v ťahovej výstuži pri podporách je nulová Nst 0 . c) Ak je súdržnosť vplyvom trhlín porušená, nosník sa začne správať ako priehradovina, to znamená, sila v ťahovej výstuži je Nst

M zb



Q 2

podľa analógie priehradoviny.

Pretože porušenia všetkých sledovaných nosníkov boli v oblasti šmyku, treba odpovedať na dve otázky: kedy a ako nastalo porušenie. Šikmá trhlina pri vyšších zaťažovacích stupňoch dosiahla svoju maximálnu výšku až pri sústredenom bremene a v mieste kde sa šikmá trhlina nakláňa v smere trajektórií hlavného tlaku zo vzniknutej kolmej trhliny, vznikla nová malá šikmá trhlina, ktorá sa rozširovala smerom k ťahanej oblasti a nakláňala sa k hlavnej výstuži smerom ku podpore. Tým nastalo porušenie hlavnej výstuže v súdržnosti a ťahová sila vo výstuži bola väčšia (podľa analógie priehradoviny) ako sila v tlačenej časti prierezu. Toto spôsobilo stratu stupňa kotvenia hlavnej výstuže v tlakovej zóne betónu pri podpore a dôsledkom toho došlo k porušeniu. V prípade, ak by bola ťahová sila vo výstuži menšia ako tlaková sila betónu, pravdepodobne by k porušeniu nedošlo. Posledným dielčím cieľom mojej práce bolo sledovanie napätia betónu v tlačenej zóne pozdĺž nosníka. Vypočítal som, že napätie v tlačenej oblasti sa

zmenšuje zväčšovaním percentuálneho vystuženia  betónového prierezu, pri rovnakej hladine zaťaženia a kvalite betónu. Zväčšenie koeficientu  (nie viacej ako o 3 %) má veľký vplyv na zníženie napätia betónu v tlačenej časti prierezu a v ťahanej výstuži a zväčšenie výšky tlačenej časti prierezu, a posúva podmienku určujúcu obmedzenie napätia betónu do vyššej hladiny zaťaženia. Vypracoval som univerzálnu tabuľku pre overenie napätia betónu v ohýbaných železobetónových prvkoch obdĺžnikového prierezu. Tabuľka umožňuje určiť napätie betónu v tlačenej časti pri rôznom percentuálnom vystužení prierezov na základe známeho ohybového momentu. Tiež z nej môžeme vyjadriť výšku tlačenej časti prierezu pomocou koeficientu  , určiť rameno vnútorných síl pomocou koeficientu  a napätie v ťahanej výstuži. Pre uvedenie deformačných koeficientov do bežnej praxe a ich zovšeobecnenie by bolo potrebné uskutočniť ďalšie experimenty, pričom niektoré koeficienty som použil pre vyhodnotenie priehybov a deformačnej energie pre rôzne tvary železobetónových a čiastočne predpätých nosníkov pri stacionárnom a pohyblivom krátkodobom stupňovitom zaťažení [60, 62, 64, 65]. Rád by som sa ešte ďalej tejto zaujímavej problematike venoval a pričinil sa o zovšeobecnenie spomínaných deformačných koeficientov a ich využitie v inžinierskej praxi. 5.9 Príklady Príklad 5.9.1: Výpočet hodnoty tvarového súčiniteľa prierezu  Rozmery všeobecného prierezu (vzhľadom na opísaný obdĺžnik): bh

0.6 m

0.60 m

0.1 m

h

s

d

0.416

h

s

0.75

d

h

b bd

d

b hs

s

0.6 m

0.25 m 0.80 m bs b hh h hd h

0.1 m

s

0.416

h

0.125

d

0.125

Rozmery zloženého prierezu pre výpočet 

Pomerná prierezová plocha: b h  a

kde

0.235m

a

 h  h   s   s   d  d

0.489

Pomerná poloha ťažiskovej osi prierezu vzhľadom ku krajným vláknam prierezu a vnútorným hranám prírub: h d

 h   s  h2   s   d   s  2  d d 1  h

2 a 0.565

h

 h  h

0.31

0.435 d

 d  d

0.44

Pomerný moment zotrvačnosti prierezu: 1  3 3 3 3 j       h   s    h   d   d    d   s    d  0.0467  3  h h Tvarový súčiniteľ môžeme napísať ako  2 A   Sz je statický moment jednotlivých Sz   dA 2 2 obdĺžnikových plôch prierezu ku ťažisku 0 I   b z  b z sú šírky jednotlivých plôch prierezu

J wh

b  h  j J zh

0.01434m 3

0.04124m

h h

zh wd

J zd

0.34787m

h  zh

0.45213m

0.03173m

Keďže Sx a bx sú nespojité funkcie (pretože na hranici obdĺžnikových plôch sú náhle zmeny šírky bx), musíme integrál vyčísliť po úsekoch, kde je funkcia Sx / bx spojitá. Potom bude prierez rozdelený na štyri časti a to dve časti nad ťažiskom a dve časti pod ťažiskom: Pomerné integrály pre výpočet  5 5 2 3 4  d   8 d  3 d  10d d  15d d

 i1

 i2

 i3

 i4

1  2  4 2 3 5   d  15d d  10d d  3 d  60 s      2 5     8   d   s d

2 3    d   d   s 30d d   6 d5 

1  2  4 2 3 5   h  15h h  10h h  3 h  60 s      2 5     8   h   s h 5 5 2 3 4  h   8 h  3 h  10h h  15h h 60

2 3    h   h   s 30h h   6 h5 

0.00313

 i2

0.00007

 i3

0.00269

 i4



10 d



10 h



2 3    d d      

 h

 

 h3     

 

0.0001

Súčiniteľ tvaru prierezu bude: 

a 2

  i1  i2  i3  i4

1.34579

j

Príklad 5.9.2: Výpočet skosenia Horizontálny posun horného uzla 3:

Horizontálny posun horného uzla 4: Vertikálny posun horného uzla 3: Vertikálny posun horného uzla 4: Horizontálny posun dolného uzla 3: Horizontálny posun dolného uzla 4: Vertikálny posun dolného uzla 3: Vertikálny posun dolného uzla 4: Dĺžka základní: Výška základní: Výpočet  : L34h

u4h  u3h

L34h

0.000089m



1.19710 

u 4h

1.10810 

w 3h

2.26510 

w 4h

3.25110 

u 3d

0.162 10

0.13991m

3

w 4d

3.39410 

L 34

140mm

3 3

m m m m m m m m

147mm

4d-4h 3h-3d 4d-3d 3

3

2.32510 

3-4

L34h

3

w 3d



3

0.49210 

L34  L34h

3

u 4d

L34h

3

u 3h

L34d

u4d  u3d

L34d

0.00033m



  



L34d

L34  L34d

L34d

0.14033m

  

h3d3h

w3d  w3h

h4d4h

w4d  w4h

h3d3h

0.00006m

h4d4h

0.000143m

h3dh3h

h  h3d3h

h4dh4h

h  h4d4h

h3dh3h

0.14706m

h4dh4h

0.14714m









Skosenie nominálnej výšky 3-3:  3v

u 3d  u 3h

Skosenie nominálnej výšky 4-4:

0.00704

h 3dh3h

Skosenie hornej základne 4-3:  3h

w 4h  w 3h

 1

w 4d  w 3d

 4d

Priemerné skosenie:  3v   3h

0.00419

h 4dh4h

Skosenie dolnej základne 4-3:

0.00705

L 34h

u 4d  u 4h

 4v

L 34d

0.00762

Priemerné skosenie:

0.00704

 4v   4d

 2

Celkové priemerné skosenie prierezu v strede nosníka:

0.0059

 3v   3h   4v   4d

 p

0.00647

Príklad 5.9.3: Výpočet priehybu železobetónového nosníka stáleho prierezu od účinkov priečnych síl a ohybových momentov pomocou Williot-Mohrových translokačných obrazcov. Odmerné základne pri hornom a spodnom okraji nosníka s 140 mm Nominálna vzdialenosť základne pri hornom a spodnom okraji h s 147 mm

 hs    0.81 cot (  ) 0.95 csc (  ) 1.38 s P t i základní ákl d í ( (namerané é v mm): ) H -horný ý á pás Pretvorenia atan 



0

0.025 mm 0

0.133 mm 0

0.616 mm 0

0.841 mm 0

0.355 mm 0

0.017 mm

-dolný pás 1

0.08 mm

1

0.509 mm

1

1.078 mm

1

0.784 mm

1

0.233 mm 1

0.003 mm

-zostupné diagonály 2

0.881 mm 2

0.870 mm 2

0.218 mm 2

0.06 mm 2

0.138 mm 2

0  mm

-vzostupné diagonály 3

0.037 mm 3

0.019 mm 3

0.089 mm 3

0.680 mm 3

0.928 mm 3

0.187 mm

-okrajové podmienky dočasného uloženia X0 3

0

0  mm

X0 4

0  mm

1

0  mm

1

0  mm

Prvá priehradová sústava: Súradnice translokačných uzlov 1i, i=1..6 pri hornom a dolnom povrchu fiktívnej priehradovej sústavy

Y1 Y1

X

 0

( i  1)



( i  1)

 X1



 X0   cot (  )  3  csc (  )

( i  1)

 X0  cot (  )  3  csc (  )  Y1

i 1



 X1



 Y1n     ( 2 i  1)  Y0 i  m 

(i)

( i  1)

 1

 X0   cot (  )  2  csc (  )

i   Y1n  hs     X0 i  m s 

 Y1n     ( 2  i)  Y 1 i  m 

Druhá priehradová sústava: Okrajové podmienky dočasného podopretia X0

0  mm

Súradnice translokačných uzlov 1i, i = 1..6 pri hornom a dolnom povrchu fiktívnej priehradovej sústavy X0 X1

( i  1)

 0  1

0  mm U1

(i)

 X1

(i)

X   X 0

i 1

Y0 X1



m s

 X0   cot (  )  3  csc (  )

(i)



 X0

 hs  X0

  cot (  )  2i  csc (  )  Y0n    ( 2  i)  Y 0 W 1 W0  i i i  m 

i 1

 Y0n     ( 2 i  1)  Y1 i  m 

Priehradová sústava na vyhodnotenie priehybov z pretvorení meraných na základniach pri obidvoch okrajoch a v diagonálach.

Prvá priehradová sústava: Xoi [m] Yoi [m]

X1i [m]

Y1i [m]

0.0000800000 0.0005890000 0.0016670000 0.0024510000 0.0026840000 0.0026810000

-0.0011404286 -0.0006392857 0.0012814286 0.0023826667 0.0026722381 0.0024619048

0.0000250000 -0.0001080000 -0.0007240000 -0.0015650000 -0.0019200000 -0.0019030000

-0.0012378571 -0.0009863810 0.0036339524 0.0141682857 0.0250904762 0.0286749524

Zvislý posun pri spodnom povrchu W1i [m]

Zvislý posun pri hornom povrchu Woi [m]

Uoi [m]

U1i [m]

0.0037472424 0.0084597273 0.0117526407 0.0158650303 0.0207890866 0.0262130476

0.0064514848 0.0114136364 0.0120069307 0.0066862251 0.0009776623 0.0026068139

0.0027621545 0.0026291545 0.0020131545 0.0011721545 0.0008171545 0.0008341545

0.0000800000 0.0005890000 0.0016670000 0.0024510000 0.0026840000 0.0026810000

Druhá priehradová sústava: Yoi [m] Xoi [m]

Vodorovný posun Vodorovný posun pri hornom pri spodnom povrchu povrchu

X1i [m]

Y1i [m]

-0.0012378571 -0.0009863810 0.0036339524 0.0141682857 0.0250904762 0.0286749524

-0.0011404286 -0.0006392857 0.0012814286 0.0023826667 0.0026722381 0.0024619048

0.0000250000 -0.0001080000 -0.0007240000 -0.0015650000 -0.0019200000 -0.0019030000

0.0000800000 0.0005890000 0.0016670000 0.0024510000 0.0026840000 0.0026810000

Zvislý posun pri spodnom povrchu W1i [m]

Zvislý posun pri hornom povrchu Woi [m]

Uoi [m]

U1i [m]

0.0037472424 0.0084597273 0.0117526407 0.0158650303 0.0207890866 0.0262130476

0.0064514848 0.0114136364 0.0120069307 0.0066862251 0.0009776623 0.0026068139

0.0027621545 0.0026291545 0.0020131545 0.0011721545 0.0008171545 0.0008341545

0.0000800000 0.0005890000 0.0016670000 0.0024510000 0.0026840000 0.0026810000

Vodorovný posun Vodorovný posun pri hornom pri spodnom povrchu povrchu

5.3 Príklady Príklad 5.3.1: Výpočet hodnoty tvarového súčiniteľa prierezu  Rozmery všeobecného prierezu (vzhľadom na opísaný obdĺžnik): bh

0.6 m

0.60 m

0.1 m

h

s

d

0.416

h

s

0.75

d

h

b bd

d

b hs

s

0.6 m

0.25 m

0.80 m bs b hh h hd h

0.1 m

s

0.416

h

0.125

d

0.125

Obr. 5.31 Rozmery zloženého prierezu pre výpočet 

Pomerná prierezová plocha: kde

b h  a

0.235m

a

 h  h   s   s   d  d

0.489

Pomerná poloha ťažiskovej osi prierezu vzhľadom ku krajným vláknam prierezu a vnútorným hranám prírub:

 h   s  h2   s   d   s  2  d d

h d

1  h

2 a

h

0.565

 h  h

0.435

0.31

d

 d  d

0.44

Pomerný moment zotrvačnosti prierezu: 1  3 3 3 3 j   h   h    h   s    h   d   d    d   s    d  0.0467   3 Tvarový súčiniteľ môžeme napísať ako  2 A   Sz je statický moment jednotlivých Sz   dA 2 2 obdĺžnikových plôch prierezu ku ťažisku 0 I   b z  b z sú šírky jednotlivých plôch prierezu J wh

b  h  j J zh

0.01434m 3

0.04124m

zh wd

h h J zd

0.34787m

h  zh

0.45213m

0.03173m

Pomerné integrály pre výpočet   i1  i2

d  5 5 2 3 4   8 d  3 d  10d d  15d d

0.00007

2 3    d   d   s 30d d   6 d5 



10 d



2 3    d d      

 

  

 i3

 i4

0.00313

 i2

 i3

0.00269



2 3    h   h   s 30h h   6 h5 

10 h

 h

 h3     

 

0.0001

 i4

Súčiniteľ tvaru prierezu bude: 

a 2

  i1  i2  i3  i4

1.34579

j

Príklad 5.3.2: Výpočet skosenia Horizontálny posun horného uzla 3: Horizontálny posun horného uzla 4: Vertikálny posun horného uzla 3: Vertikálny posun horného uzla 4: Horizontálny posun dolného uzla 3: Horizontálny posun dolného uzla 4: Vertikálny posun dolného uzla 3: Vertikálny posun dolného uzla 4: Dĺžka základní: Výška základní: Výpočet  : L34h

u4h  u3h

L34h

0.000089m



3

u 3h

1.19710 

u 4h

1.10810 

w 3h

2.26510 

w 4h

3.25110 

u 3d

0.162 10

u 4d

0.49210 

w 3d

2.32510 

w 4d

3.39410 

L 34

140mm

3 3 3

3 3 3 3

m m m m m m m m

147mm 4

3-4



L34h

L34  L34h

L34h

0.13991m

4d-4h 3h-3d

L34d

u4d  u3d

L34d

0.00033m





L34d

L34  L34d

L34d

0.14033m

4d-3d 4

3 h3d3h

w3d  w3h

h4d4h

w4d  w4h

h3d3h

0.00006m

h4d4h

0.000143m

h3dh3h

h  h3d3h

h4dh4h

h  h4d4h

h3dh3h

0.14706m

h4dh4h

0.14714m







Skosenie nominálnej výšky 3-3:  3v

u 3d  u 3h h 3dh3h

0.00704

Skosenie hornej základne 4-3:  3h

w 4h  w 3h L 34h

 Skosenie nominálnej výšky 4-4:  4v

h 4dh4h

0.00419

Skosenie dolnej základne 4-3:  4d

0.00705

u 4d  u 4h

w 4d  w 3d L 34d

0.00762

  

Priemerné skosenie:  3v   3h

 1

Priemerné skosenie:

0.00704

 4v   4d

 2

Celkové priemerné skosenie prierezu v strede nosníka:

0.0059

 3v   3h   4v   4d

 p

0.00647

Príklad 5.3.3: Výpočet priehybu železobetónového nosníka stáleho prierezu od účinkov priečnych síl a ohybových momentov pomocou Williot-Mohrových translokačných obrazcov [33]. Odmerné základne pri hornom a spodnom okraji nosníka s 140 mm Nominálna vzdialenosť základne pri hornom a spodnom okraji h s 147 mm  hs    0.81 cot (  ) 0.95 csc (  ) 1.38 s P t i základní ákl d í ( (namerané é v mm): ) H -horný ý á pás Pretvorenia atan 



0

0.025 mm 0

0.133 mm 0

0.616 mm 0

0.841 mm 0

0.355 mm 0

0.017 mm

-dolný pás 1

0.08 mm

1

0.509 mm

1

1.078 mm

1

0.784 mm

1

0.233 mm 1

0.003 mm

-zostupné diagonály 2

0.881 mm 2

0.870 mm 2

0.218 mm 2

0.06 mm 2

0.138 mm 2

0  mm

-vzostupné diagonály 3

0.037 mm 3

0.019 mm 3

0.089 mm 3

0.680 mm 3

0.928 mm 3

0.187 mm

-okrajové podmienky dočasného uloženia X0 3

0

0  mm

4

0  mm

1

0  mm

1

0  mm

Prvá priehradová sústava: Súradnice translokačných uzlov 1i, i=1..6 pri hornom a dolnom povrchu fiktívnej priehradovej sústavy X0

 0

( i  1)

X



( i  1)

 X1



 X0   cot (  )  3  csc (  )

( i  1)

 X0  cot (  )  3  csc (  )  Y1

i 1



 X1



 Y1n     ( 2 i  1)  Y0 i  m 

(i)

0  mm

( i  1)

 1

 X0   cot (  )  2  csc (  )

i   Y1n  hs     X0 i  m s 

Druhá priehradová sústava: Okrajové podmienky dočasného podopretia X0

 Y1n     ( 2  i)  Y 1 i  m 

Súradnice translokačných uzlov 1i, i = 1..6 pri hornom a dolnom povrchu fiktívnej priehradovej sústavy X0 X1

( i  1)

 0  1

0  mm U1

(i)

 X1

(i)

X   X 0

i 1

Y0 i



m s

 X0   cot (  )  3  csc (  )

(i)



 X0

 hs  X0

  cot (  )  2i  csc (  )  Y0n    ( 2  i)  Y 0 W 1 W0  i i i  m 

i 1

 Y0n     ( 2 i  1)  Y1 i  m 

Obr. 5.3.2

Obr. 5.3.3 Priehradová sústava na vyhodnotenie priehybov z pretvorení meraných na základniach pri obidvoch okrajoch a v diagonálach. Prvá priehradová sústava: Yoi [m] Xoi [m] 0.0000250000 -0.0001080000 -0.0007240000 -0.0015650000 -0.0019200000 -0.0019030000

-0.0012378571 -0.0009863810 0.0036339524 0.0141682857 0.0250904762 0.0286749524

X1i [m]

Y1i [m]

0.0000800000 0.0005890000 0.0016670000 0.0024510000 0.0026840000 0.0026810000

-0.0011404286 -0.0006392857 0.0012814286 0.0023826667 0.0026722381 0.0024619048

Zvislý posun pri spodnom povrchu W1i [m]

Zvislý posun pri hornom povrchu Woi [m]

Uoi [m]

U1i [m]

0.0037472424 0.0084597273 0.0117526407 0.0158650303 0.0207890866 0.0262130476

0.0064514848 0.0114136364 0.0120069307 0.0066862251 0.0009776623 0.0026068139

0.0027621545 0.0026291545 0.0020131545 0.0011721545 0.0008171545 0.0008341545

0.0000800000 0.0005890000 0.0016670000 0.0024510000 0.0026840000 0.0026810000

X1i [m]

Y1i [m]

-0.0012378571 -0.0009863810 0.0036339524 0.0141682857 0.0250904762 0.0286749524

-0.0011404286 -0.0006392857 0.0012814286 0.0023826667 0.0026722381 0.0024619048

Druhá priehradová sústava: Yoi [m] Xoi [m]

Vodorovný posun Vodorovný posun pri hornom pri spodnom povrchu povrchu

0.0000250000 -0.0001080000 -0.0007240000 -0.0015650000 -0.0019200000 -0.0019030000

0.0000800000 0.0005890000 0.0016670000 0.0024510000 0.0026840000 0.0026810000

Zvislý posun pri spodnom povrchu W1i [m]

Zvislý posun pri hornom povrchu Woi [m]

Uoi [m]

U1i [m]

0.0037472424 0.0084597273 0.0117526407 0.0158650303 0.0207890866 0.0262130476

0.0064514848 0.0114136364 0.0120069307 0.0066862251 0.0009776623 0.0026068139

0.0027621545 0.0026291545 0.0020131545 0.0011721545 0.0008171545 0.0008341545

0.0000800000 0.0005890000 0.0016670000 0.0024510000 0.0026840000 0.0026810000

Vodorovný posun Vodorovný posun pri hornom pri spodnom povrchu povrchu

Príloha A Návrh výstuže do železobetónových prvkov (c = 0,0035 , s = 0,01)

ohybový moment s tahovou osovou silou

Prierez

Pretvorenie

Napätie

ohybový moment s tlakovou osovou silou

1. Ohybový moment a ťahová sila h  M sds M sd  N sd    d 2  2  

2. Ohybový moment a tlaková sila h  M sds M sd  N sd    d 2  2  

Potrebná plocha výstuže [cm2]:  N sd  A2   A c  f cd  100    104   f yd  req  

Potrebná plocha výstuže [cm2]:  N sd  A2   A c  f cd  100    104   f yd  req  

kde možno získať z nasledujúcich grafov (podľa druhu pracovných diagramov betónu a nepredpätej výstuže) na základe  M.sd ...... v MNm h, d2,d....... v m M sds  Nsd ........ v MN Ac ............. v m2 A c  d  f cd fyd .........v MPa fcd ..............v MPa Určenie plochy prierezu železobetónového prvku Ac :

Ac = b . d



D 1 D 2 4

3. Čistý ohyb V prípade čistého ohybu sa použijú predošlé vzťahy, kde za Nsd dosadzujeme Nsd= 0

Návrh výstuže do železobetónových prvkov (c = 0,0035 , s = 0,01)

ohybový moment s tahovou osovou silou

Prierez

Pretvorenie

Napätie

ohybový moment s tlakovou osovou silou

1. Ohybový moment a ťahová sila h  M sds M sd  N sd    d 2  2  Potrebná plocha výstuže [cm2]: A2 req

1 f yd



   A c  f cd  104  N sd  104

2. Ohybový moment a tlaková sila h  M sds M sd  N sd    d 2  2 



Potrebná plocha výstuže [cm2]: A2 req

1 f yd



   A c  f cd  104  N sd  104



Ac = b . d



D 1 D 2 4

3. Čistý ohyb V prípade čistého ohybu sa použijú predošlé vzťahy, kde za Nsd dosadzujeme Nsd= 0

Návrh výstuže do železobetónového prierezu podľa STN 73 1201 Ak nie sú rozmery železobetónového prierezového prvku dané, postupujeme takto : xu =.he

x h he ast

-zvolíme percentuálne vystuženie prierezu  st : (1) železobetónová dosky: 0.003 až 0.010 (2) železobetónový trámy: 0.010 až 0.022 (3) železobetónový prievlaky: 0.010 až 0.018

xu.b.Rbr zb

Abcr Ast b

Ast.R sr

 st



Predpokladáme že:

 st 

he = 0,9.h

Súčiniteľ geometrie:

u

1

20 h  50

Charakteristiky materiálov: Betón: Účinná výška prierezu: he

 0.85 R br

 b  R bd



R sr

h e R br

h>0,6m u = 1 h sa dosadzuje v (mm) Oceľ: R sr  s  R sd s=1 Výška prierezu:



 u  b  R br

h e  a st

ast zvolíme v bežných prípadoch pre B15 až B30 pre železobetónové dosky 0.015 m a 0.025m pre železobetónové trámy a prievlaky. 1 Výška tlačenej časti prierezu: xu

 h e  lim h e

  lim

lim

1.25 

Rsr 420 MPa

Ak vychádza pri návrhu prierezu jednostranne vystuženého   lim , musíme buď zväčšiť prierez (pokiaľ to bude možné), alebo zlepšiť kvalitu použitých materiálov, alebo navrhnúť obojstrannú výstuž. Md Potrebné množstvo výstuže do prierezu: A std

n je počet profilov výstuže,  je priemer hlavnej výstuže Rameno  1 R btd   b  h A stmin   Ast  0.03 b  h   vnútorných síl: z b  h e  3 R sr 

Navrhujeme:

A st

Overíme: Posúdenie: Overíme :  st

A st b h

n 

, musí platiť  st  min   st  0.03



A st  Rsr b  h e Rbr

 lim, zb

 h e

2 alebo M u  u   b  h e  R br Md Mu Prierez vyhovuje. h, he, b sa dosadzuje v (m), Rbr , Rsr sa dosadzuje v MPa, M.d v MNm pre trámy by malo platiť b = ( 0.25 až 0.5 )h

Moment únosnosti prierezu: Poznámka:

fil

 u   h e R sr ý t ž j i

 u  A st  R sr   h e

Tabulka: A-1 Triedy a charakteristiky betónu Hodnoty charakteristik pre betón triedy

Charakteristika v tlaku Rbn Normová pevnosť [MPa] v ťahu Rbtn v tlaku Rbd Výpočtová pevnosť [MPa] v ťahu Rbtd Modul pružnosti [GPa] Ebo

B7,5

B10

B12,5

B15

B20

B25

B30

B35

B40

B45

B50

B55

B60

3,5

5,5

7,5

9,5

11,0

15,0

18,5

22,0

25,5

29,0

32,0

36,0

39,5

43,0

0,55

0,70

0,85

1,0

1,15

1,40

1,60

1,80

1,95

2,10

2,20

2,30

2,40

2,50

2,8

4,5

6,0

7,5

8,5

11,5

14,5

17,0

19,5

22,0

25,0

27,5

30,0

33,0

0,37

0,48

0,57

0,66

0,75

0,90

1,05

1,20

1,30

1,40

1,45

1,55

1,60

1,65

13,0

16,0

18,0

21,0

23,0

27,0

30,0

32,5

34,5

36,0

37,5

39,0

39,5

40,0

Značka

Tabulka: A-2 Materiálové charakteristiky betonárskej výstuže Pevnosť výstuže [MPa] Označenie výpočtová : v ťahu Rsd resp. normová: fyd = fyk / s druhu v ťahu a tlaku v tlaku Rscd v betóne triedy s = 1,15 ocele Rsn=Rscn fyd (EC2) fyk (EC2) B12,5 B15 B20 a viac E 190 206 165 179 10216 K 220 245 180 213 10245 J 325 180 283 300 10335 V 410 180 340 375 357 10425 R 490 180 340 450(420) 426 10505 426 490 180 340 450(420) KARI sieť W Modul pružnosti ocele : Es = 210 GPa, podľa EC2 Es = 200 GPa

Povrch

Modul pružnosti betónu v šmyku Gb = 0,435 . Eb Súčiniteľ priečneho pretvorenia betónu b = 0,2

hladký rebierkový rebierkový rebierkový rebierkový rebierkový

Stupeň vystuženia st

b c  b w  h f  f cd  d  0.5  h f 

M sd



Md MI

M sd

podľa prílohy A obr. A-1 získame 

b w  d  f cd

d h

  b w  d  f cd  100

b c  b w  h f  f cd

A 2required

A2prov

f yk

A

s

Ak at > ht => at = 0,25 . h  st bc



A 2provided



b t  h t  b w at  h t M sd

  b c  d  f cd  100

A 2provided d h

A2prov

ht = 0, a.t = 0,25 . h, Ak at > ht , bt = bw  st



podľa prílohy A obr. A-1 získame 

b c  d  f cd





A 2provided



b t  h t  b w at  h t M sd





podľa prílohy A obr. A-1 získame 

b w  d  f cd

  b w  d  f cd  100

A 2reqiured

Ak at > ht => at = 0,25 . h d h

at A2prov ht

 st

A 2provided



b t  h t  b w at  h t





Ak at < ht

 st 

A 2provided bth M sd

podľa prílohy A obr. A-1 získame 

b  d  f cd d h

A 2reqiured

  b  d  f cd  100

Ak at > ht => ht = 0 , bt = b A2prov b

 st

A 2provided



btht  b  at ht





at h

Obr. A-6 Stupeň vystuženia železobetónových prierezov

 A1 v1

h d v2

I gg´

Msd



  n   A 1  v 1  d 1

 v1  v2



2

 A 2 d  v 1

kde

Nsd

Moment zotrvačnosti prierezu:



 b  h2    n   A 2  d  A 1  d 1   2 

v2 = h – v 1

Plocha prierezu:

A = b . h + n . ( A1 + A2 )

Ak M sd N sd



I gg´

M sd

 A  n   A 1  A 2  v 2

N sd



I gg´

 A  n   A 1  A 2  v 2

M sd

N sd



bc d1 v2

hf h d

Nsd

A2 bw

Moment zotrvačnosti prierezu:

2  h f2  hf   I gg´  v 1  v 2   b  b w  h f   v     3  12  1 2   2 2  n   A 1   v 1  d 1  A 2   d  v 1   

M sd

N sd

Mt = b. h.f2. (d - hf /3). 0,8. fyk / 30 .( d - hf )

kde v1





 b w  h 2  b  b w  h f 2     n   A 1  d 1  A 2  d A  2 2  1

v2 = h – v1  Plocha prierezu A = bw. h + (b - bw). hf + n. (A1+ A2) Ak

M sd N sd



I gg´

M sd

 A  n   A 1  A 2  v 2

N sd



I gg´

 A  n   A 1  A 2  v 2

Ak Mt < Msd A1

Mt > Msd

M sd A2

Nsd

M sd A2

Nsd

M sd A2

Nsd

Tabuľka A-3 Charakteristiky betónu podľa Eurokódu 2 Trieda C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 pevnosti fckcyl [MPa]

fckcube [MPa] Ecm [MPa] fct,m [MPa] fctk,0.05 [MPa] fctk,0.95 [MPa] fcm [MPa] 3 cu . 10 Rd [MPa]

26000 1.6 1.1 2.0 20 -3.6 0.18

27500 1.6 1.3 2.5 24 -3.5 0.22

29000 2.2 1.5 2.9 28 -3.4 0.26

30500 2.6 1.8 3.3 33 -3.3 0.30

32000 2.9 2.0 3.8 38 -3.2 0.34

33500 3.2 2.2 4.2 43 -3.1 0.37

35000 3.5 2.5 4.6 48 -3.0 0.41

36000 3.8 2.7 4.9 53 -2.9 0.44

37000 4.1 2.9 5.3 58 -2.8 0.48

Tabuľka A-4 Konečné hodnoty pomerného zmrašťovania betónu cs,inf podľa Eurokódu 2 Náhradné hrúbky Relatívna hm = 2Ac / u [v mm] Umiestnenie vlhkosť RH [%] < 150 600 -5 sucho, vnútri ~50 -60 . 10 -50 . 10-5 vlhko, vonku ~80 -33 . 10-5 -28 . 10-5 Tabuľka A-5 Konečné hodnoty koeficientu dotvarovania betónu inf podľa Eurokódu 2 Náhradné hrúbky hm = 2 Ac / u [v mm] Vek betónu na 50 150 600 50 150 600 začiatku pôsobenia Podmienky umiestnenia zaťaženia to (Relatívna vlhkosť RH = 50%) (Relatívna vlhkosť RH = 80%) [dni] (vo vnútri) (vonku) 1 5.5 4.6 3.7 3.6 3.2 2.9 7 3.9 3.1 2.6 2.6 2.3 2.0 28 3.0 2.5 2.0 1.9 1.7 1.5 90 2.4 2.0 1.6 1.5 1.4 1.2 365 1.8 1.5 1.2 1.1 1.0 1.0 Tabuľka A-6 Tabuľkové hodnoty súčiniteľa dotvarovania betónu 70 podľa ENV 1992-1 a CEB-FIP MC 90 Náhradné hrúbky 2 Ac / u [v mm] Vek betónu 50 150 600 50 150 600 na začiatku Relatívna vlhkosť Relatívna vlhkosť pôsobenia (vo vnútri) (vonku) zaťaženia to [dni] [RH = 50%] [RH = 80%] 1 5.4 4.4 3.6 3.5 3.0 2.6 7 3.9 3.2 2.5 2.5 2.1 1.9 28 3.2 2.5 2.0 1.9 1.7 1.5 90 2.6 2.1 1.6 1.6 1.4 1.2 365 2.0 1.6 1.2 1.2 1.0 1.0

 A1 v1

I gg´

h d

Msd

b 3



  n   A 1  v 1  d 1

 v1  v2



2

 A 2 d  v 1

kde

Nsd

Moment zotrvačnosti ideálneho prierezu:



 b  h2    n   A 2  d  A 1  d 1   2 

v2 = h – v1

Plocha:

A = b . h + n . ( A1 + A2 )

Ak M sd N sd



I gg´

M sd

Av2

N sd



I gg´ Av2

M sd

N sd

Minimálny stupeň vystuženia st bc hf

d h at

A2prov

d h

A2prov b

Ak at > ht => at = 0,25 . h A 2provided

 st



b t h t  b w at  h t





at h

Ak at > ht => ht = 0 , bt = b A 2provided

 st



btht  b  at ht





d h

at A2prov

A2prov

 st

ht = 0, a.t = 0,25 . h, Ak at > ht , bt = bw

Ak at > ht => at = 0,25 . h

A 2provided



b t h t  b w at  h t





A 2provided

 st

Ak at < ht



b t h t  b w at  h t  st





at h

A 2provided bth

Určenie polohy neutrálnej osi železobetónových prvkov Moment zotrvačnosti ideálneho prierezu: bc

d1 hs h d

M sd

Nsd ht

A2 d2

d1 v1

h d

M sd



2  h s2  hs   I gg´  v 1  v 2   b c  b w  h s   v     3  12  1 2   2 2  n   A 1   v 1  d 1  A 2   d  v 1   



Moment zotrvačnosti ideálneho prierezu:

2  h s2  hs   I gg´  v 1  v 2   b c  b w  h s   v     3  12  1 2   2 2  n   A 1   v 1  d 1  A 2   d  v 1     2  h t2  ht    b t  b w  h t    v    12  2 2   2 2   hs ht  1 b w h v1    b t  b w  h t   h     b c  b w     2 A 2 2     n  A 1  d 1  A 2  d    v2 = h – v1 Plocha: A = bw. h + (bc - bw). hs + (bt - bw). ht + n. (A1+ A2)

Nsd





kde 1

 b w  h2





b c  b w  h s 2



 n  A 1 d 1  A 2 d

A  2 2 v 2 = h – v1 Plocha: A = bw. h + (bc - bw). hs + n. (A1+ A2)





Ak M sd N sd



I gg´

M sd

Av2

N sd

Mt =

Celý prierez je tlačený

I gg´ Av2

(d – hs /3). 0,8. fyk / 30 .( d – hs )

Ak Mt < Msd

Mt > Msd A1

M sd

Nsd

M sd

Nsd

M sd

Nsd

M sd

Nsd

M sd





Nsd

M1 = (bc-bw).hs.fcd.(d-0,5.hs) Md = Msd – M1 As =  . bw . d . fcd . 100 b c  b w  h s  f cd A 2req  As f yd

Nsd



bc. h.s2.



Md 2

b w  d  f cd



M sd 2

b c  d  f cd

podľa jedného z grafov na obrázkoch A-1 až A-3 získame  A2req =  . bc . d . fcd .100

ac h 4

Asc

bc hc

Asc

Ast

Ast bt

at h 4

he h

bs Ast

a sc

ast

Obr. A-5 Pre stanovenie stupňa vystuženia bc , bt - šírka rovnoplochého obdľžnika s výškou ac  at ( ac  300 mm  at  300 mm ) h

 300 mm

ťahová výstuž

 st

tlaková výstuž

Ast bt  h

Minimálny stupeň vystuženia a) ťahová výstuž b) tlaková výstuž

 st min  sc min

Maximálny stupeň vystuženia súčet :   0.03 st

 sc

bc  h

Rbtd , Rsd

je výpočtová pevnosť betónu (ocele) v ťahu s obmedzením 0.0005   sc min  0.0025 le - účinná (vzperná) dľžka

1 Rbtd  3 Rsd le

Asc

4

 10

súčet stupňov vystuženia tlakovou a ťahovou výstužou

 st   sc  0.04

 sc  0.03

Tabuľka A-2 Plocha a hmotnosť betonárskej výstuže Priemer prúta (mm) 1 2 5,5 0,238 0,475 6 0,283 0,565 8 0,503 1,005 10 0,785 1,571 12 1,131 2,262 14 1,539 3,079 16 2,011 4,021 18 2,545 5,089 20 3,142 6,283 22 3,801 7,603 25 4,909 9,817 28 6,158 12,315 32 8,042 16,085 36 10,179 20,358 40 12,566 25,133

3 0,713 0,848 1,508 2,356 3,393 4,618 6,032 7,634 9,425 11,404 14,726 18,473 24,127 30,536 37,699

Plocha výstuže As (cm ) pre počet prútov 4 5 6 7 0,950 1,188 1,425 1,663 1,131 1,414 1,696 1,979 2,011 2,513 3,016 3,519 3,142 3,927 4,712 5,498 4,524 5,655 6,786 7,917 6,158 7,697 9,236 10,776 8,042 10,053 12,064 14,074 10,179 12,723 15,268 17,813 12,566 15,708 18,850 21,991 15,205 19,007 22,808 26,609 19,635 24,544 29,452 34,361 24,630 30,788 36,945 43,103 32,170 40,212 48,255 56,297 40,715 50,894 61,073 71,251 50,265 62,832 75,398 87,965

8 1,901 2,262 4,021 6,283 9,048 12,315 16,085 20,358 25,133 30,411 39,270 49,260 64,340 81,430 100,531

9 2,138 2,545 4,524 7,069 10,179 13,854 18,096 22,902 28,274 34,212 44,179 55,418 72,382 91,609 113,097

10 2,376 2,827 5,027 7,854 11,310 15,394 20,106 25,447 31,416 38,013 49,087 61,575 80,425 101,788 125,664

Hmotnosť Nominálny obvod (kg/m) (mm) 0,1865 17,279 0,2220 18,850 0,3946 25,133 0,6165 31,416 0,8878 37,699 1,2084 43,982 1,5783 50,265 1,9976 56,549 2,4662 62,832 2,9840 69,115 3,8534 78,540 4,8337 87,965 6,3133 100,531 7,9903 113,097 9,8646 125,664

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-1-

Príloha B Návrh výstuže do železobetónových prvkov zaťažených dostredným a mimostredným tlakom s malou výstrednosťou 

Určenie vzpernej dĺžky stĺpa lo



Určenie základných charakteristík Štíhlosť :



Polomer zotrvačnosti : i



i I A c´

- kde I je moment - obdĺžnik: zotrvačnosti prierezu I = 1/12.b.h3 Ac‘ = b‘ . h‘ Určenie minimálneho rozmeru prierezu stĺpov z hľadiska vzperu

Návrh výstuže do železobetónového stĺpu Napätie v betóne [MPa] : c = Nsd / Ac’ Celková požadovaná plocha výstuže v [cm2] : Arequired = c‘ .10 2 kde možno získať z grafu nasledovne : 

=5

=7,5

0.1 0.2

12.84472 13.14803

12.76732 13.06879

13.75465

13.67173

0.3 0.4



Minimálne množstvo výstuže:

=10

13.28918

=c

13.5888

Určenie maximálnej únosnosti prierezu Maximálnu únosnosť prierezu možno určiť pomocou grafu nasledovne: Aprovided . 10 2 / (Ac‘) =5 =7,5 =10 sdv MN  0.1 12.84472 12.76732 Ac‘ v m2 0.2 13.14803 13.06879 lo  v m =b < 0,6 . fck 0.3 13.28918 i  v m 0.4 13.75465 13.67173 13.5888 Areq, Aprovided v cm2 

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

Určiť únosnosť obdĺžnikového stĺpa uvedeného na obrázku B-7.

Prierezové a materiálové charakteristiky stĺpa : c 0.02 m Krytie výstuže: h 0.60 m h´ h  2 c Výška prierezu: b 0.30 m b´ b  2 c Šírka prierezu: Charakteristické válcová pevnosť betónu v tlaku: Charakteristická pevnosť ocele: Extrémna hodnota tlakovej sily pôsobiacej na stĺp: Konštrukčná výška stĺpa: l o 0.7 l 2.59 m Vzperná dĺžka stĺpa: i 0.288 b 0.0864m  Polomer zotrvačnosti: Štíhlosť stĺpa: lo Napätie v betóne: Z grafu na obrázku B-3 získame hodnotu  pri danom napätí v betóne c:



410 MPa

f yk

3250 kN

N sd

3.70 m

N sd b´  h´

b' b

3.23846

vypočítať nasledovne: Potrebné množstvo pozdĺžnej výstuže v stĺpe

Obr. B-7 0.15

A smin

N sd

-priemer:

-počet profilov:

  b´  h´  100

Skutočné množstvo výstuže navrhnutej do stĺpa: Skutočné množstvo výstuže

musí byť väčšie ako A hodnota:

As A

Výstužný koeficient  vypočítame nasledovne: Opäť z grafu na obr. B-3 možno získať



reverzným spôsobom napätie v betóne:

c

 f yk     1.15 

možno určiť pomocou získaného koeficientu : 2.5  cm

N sd

cgs

 25

22.32  MPa

Minimálnu plochu výstuže A smin možno



25 MPa

f ck.cyl

c

b´ = 0,26.m

h h'



h´ = 0,56.m

Príklad B-1:

-2-



13.67378cm 

47.151 cm

n  

 10

49.08739cm 

As 100  b´  h´

3.37139

22.67275MPa 

Vynásobením hodnoty napätia v betóne c s čistou plochou betónového prierezu (b´. h´) získame únosnosť stĺpa: čo musí byť väčšie ako hodnota sily Nsd pôsobiacej na stĺp :

Nud = c . b´.h´=3,3 MN N ud  N sd

3.25 MN

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD. Príklad B-2:

-3-

Určiť únosnosť kruhového stĺpa uvedeného na obrázku B-8.

Prierezové a materiálové charakteristiky stĺpa: c 0.03  m Krytie výstuže: D 0.5  m Priemer stĺpa: Charakteristické válcová pevnosť betónu v tlaku: Charakteristická pevnosť ocele: Extrémna hodnota tlakovej sily pôsobiacej na stĺp: Konštrukčná výška stĺpa: l o 0.7 l 2.45 m Vzperná dĺžka stĺpa: Polomer zotrvačnosti:

D 4

25 MPa

f ck.cyl

410 MPa

f yk

3200 kN

N sd

3.5 m

0.125 m

Napätie v betóne:

0.44 m

 D 64  D

Štíhlosť stĺpa:

D  2 c

D´



c

8  25

N sd

cgs

19.6

N sd 2



21.045 MPa

D' D

Obr. B-8 Z grafu na obrázku B-3 získame hodnotu  pri danom napätí v betóne c: Minimálnu plochu výstuže A smin možno vypočítať nasledovne: Potrebné množstvo pozdĺžnej výstuže v stĺpe možno určiť pomocou získaného koeficientu :



2.2

0.15

A smin

N sd

   1.15  2

D´

  

 100

-priemer výstužných profilov:  25 mm Skutočné množstvo výstuže navrhnutej do stĺpa: Skutočné množstvo výstuže

-počet profilov:

musí byť väčšie ako A hodnota:

As A

Výstužný koeficient  vypočítame nasledovne:

33.452 cm n

n  

c



39.26991cm 



2.5826



Opäť z grafu na obr. B-3 možno získať reverzným spôsobom napätie v betóne:

13.46341cm 

 f yk 

D´ 4

 100

22.2 MPa

Vynásobením hodnoty napätia v betóne c s čistou plochou betónového prierezu získame únosnosť stĺpa:

N ud

čo musí byť väčšie ako hodnota sily Nsd pôsobiacej na stĺp :

N ud  N sd

 D´2    4 

 c  

3.376 MN

3.20 MN

Návrh výstuže do železobetónových prvkov zaťažených dostredným a mimostredným tlakom s malou výstrednosťou

Štíhlosť

l=7,5 l=17,5

l=5 l=15 l=25 l=35 l=45 l=55

l=27,5 l=37,5 l=47,5

l=57,5 l=65 l=75 l=85 l=95

4,0

l=60 l=50 l=40 l=30 l=20 l=10

kde lo vzperná dĺžka stĺpu v m i

polomer zotrvačnosti v m

Napätie v betóne v MPa

l=67,5 l=77,5 l=87,5 l=97,5

l=100 l=90 l=80 l=70



3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

c

N sd A c´

l=92,5

fc28=16 MPa 25

Obr. B-1

l=82,5 l=72,5

Ac' v m

l=62,5

Nsd v MN

l=52,5 l=42,5 l=32,5 l=22,5 l=12,5

Plocha výstuže v cm 2

A req

  A c´  10

Návrh výstuže do železobetónových prvkov zaťažených dostredným a mimostredným tlakom s malou výstrednosťou

Štíhlosť l=5 l=15 l=25 l=35 l=45

l=7,5 l=17,5 l=27,5 l=37,5 l=47,5

sc 20

l=57,5 l=67,5 l=77,5 l=87,5 l=97,5

l=55 l=65

l=75 l=85 l=95

0 4,0

l=100 l=90 l=80 l=70

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

l=30 l=20 l=10

2,5

3,0

3,5

4,0

lo i

kde lo vzperná dĺžka stĺpu v m i

polomer zotrvačnosti v m

Napätie v betóne v MPa

c

N sd A c´

r l=92,5

l=82,5 l=72,5

l=62,5

l=60 l=50 l=40

2,0



l=52,5

l=42,5 l=32,5

fc28=20 MPa 25

Obr. B-2

l=22,5 l=12,5

Ac' v m

Nsd v MN Plocha výstuže v cm 2

A req

  A c´  10

Návrh výstuže do železobetónových prvkov zaťažených dostredným a mimostredným tlakom s malou výstrednosťou

Štíhlosť

l=7,5 l=17,5 l=27,5 l=37,5 l=47,5



l=5 l=15 l=25 l=35

l=57,5

l=45 l=55

l=67,5

l=75 l=85 l=95

l=100 l=90 l=80 l=70 l=60

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

polomer zotrvačnosti v m

Napätie v betóne

c

N sd A c´

r l=92,5 l=82,5

l=72,5 l=62,5

l=52,5 l=50 l=40 l=30 l=20 l=10

kde lo vzperná dĺžka stĺpu v m

v MPa

4,0

l=65

l=77,5 l=87,5 l=97,5

l=42,5

fc28=25 MPa 30

Obr. B-3

l=32,5 l=22,5 l=12,5

Ac'

v m2

Nsd

v MN

Plocha výstuže v cm 2

A req

  A c´  10

Návrh výstuže do železobetónových prvkov zaťažených dostredným a mimostredným tlakom s malou výstrednosťou

Štíhlosť

l=10 l=20 l=30

l=40

l=5 l=15 l=25 l=35

l=50 20

l=60

l=70 l=80 l=90 l=100

0 4,0

l=97,5 l=87,5 l=77,5 l=67,5 l=57,5

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

l=17,5 l=7,5

3,0

3,5

4,0

polomer zotrvačnosti v m

l=55

Napätie v betóne v MPa

c

N sd A c´

r l=72,5 l=62,5

Ac' v m l=52,5 l=42,5

l=32,5 l=22,5

30 35

2,5

kde lo vzperná dĺžka stĺpu v m

l=92,5 l=82,5

l=47,5 l=37,5 l=27,5

2,0

l=75 l=85 l=95

l=45

l=65



fc28=30 MPa

Obr. B-4

l=12,5

Nsd v MN Plocha výstuže v cm 2

A req

  A c´  10

Návrh výstuže do železobetónových prvkov zaťažených dostredným a mimostredným tlakom s malou výstrednosťou 35

l=7,5 l=17,5 l=27,5 l=37,5 l=47,5

Štíhlosť l=5 l=15 l=25 l=35 l=45

l=55

20 15

l=67,5 l=77,5 l=87,5 l=97,5

l=65 l=75 l=85 l=95

10 5 0 4,0

l=60

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

l=92,5 l=82,5 l=72,5

l=62,5 l=52,5

25 30 35

fc28=35 MPa

Obr. B-5

polomer zotrvačnosti v m

Napätie v betóne v MPa

c

N sd A c´

l=50 l=40 l=30 l=20 l=10

i kde lo vzperná dĺžka stĺpu v m i

l=57,5

l=100 l=90 l=80 l=70



l=42,5 l=32,5 l=22,5 l=12,5

Ac' v m

Nsd v MN Plocha výstuže v cm 2

A req

  A c´  10

Návrh výstuže do železobetónových prvkov zaťažených dostredným a mimostredným tlakom s malou výstrednosťou 40

l=7,5 l=17,5 l=27,5 l=37,5 l=47,5

Štíhlosť

l=5 l=15 l=25 l=35

l=45 25

l=57,5

l=67,5 l=77,5 l=87,5 l=97,5

l=55 l=65 l=75 l=85 l=95

10 5 0 4,0

l=100 l=90 l=80 l=70 l=60

l=50 l=40 l=30 l=20 l=10

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,5

3,0

3,5

4,0

i kde lo vzperná dĺžka stĺpu v m i polomer zotrvačnosti vm

Napätie v betóne v MPa

c

N sd A c´

r l=92,5 l=82,5 l=72,5

10 15

l=62,5

20 25 30 35 40

2,0



fc28=40 MPa

Obr. B-6

Ac' v m

l=52,5

Nsd v MN

l=42,5 l=32,5 l=22,5 l=12,5

Plocha výstuže v cm 2

A req

  A c´  10

Interakčný diagram železobetónového stĺpa metódou medzných pretvorení

Obr. B-7

Metóda medzných pretvorení Metóda medzných pretvorení je založená na podmienkach rovnováhy síl a kompatibility pretvorení, odpovedajúcich dosiahnutiu výpočtovej hodnoty pomerného pretvorenia niektorého materiálu. Výpočtová medza porušenia prierezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentom sa určí za týchto predpokladov: - uvažuje sa plné spolupôsobenie betónu a betonárskej výstuže prierezu - betón v ťahu nepôsobí - pomerné pretvorenia jednotlivých vláken prierezu sú priamo úmerné ich vzdialenosti od neutrálnej osi prierezu - pomerné pretvorenia najviac namáhaných vláken jednotlivých materiálov dosahujú aspoň jednu z týchto hodnôt: a) v tlačenom betóne výpočtovú hodnotu medzného pomerného pretvorenia



0.0025

podľa (STN), bd=-0.0035 podľa (EC2) b) v ťahanej betónarskej výstuži výpočtovú hodnotu medzného pomerného pretvorenia betonárskej výstuže sd 0.01. Napätia betónu v tlačenej oblasti sa určia v závislosti na pomernom pretvorení prierezu s použitím výpočtového pracovného diagramu betónu. Napätia v betónarskej výstuži sa určia tak isto v závislosti na pomerom pretvorení prierezu s použitím výpočtového pracovného diagramu betónarskej výstuže. Napätia v betónarskej výstuži sa určujú v mieste ťažiska vložky.

Príloha C

 c' [MPa]

Overovanie napätia v ohýbaných železobetónových prvkoch - napätie v betóne

100

b d c



As 100  b  d

c´    0.6  fck.cyl šírka prierezu [m] ú činná výška prierezu [m]

b d

0,6 fck,cyl Fc

As plocha v ýstuže [cm2 ]

 s '

Ms ohybový moment [MNm]

z= .d

x=.d



1 0

0.25

0.5

0.75

1.25

1.5

Obr. C-1

1.75

2.25

2.5

2.75





Ms 2

b d s b d

1000



As 100  b  d

s´    0.8  fyk

šírka prierezu [m] ú činná výška prierezu [m]

As plocha v ýstuže

[cm2 ]

 s'

Ms ohybový moment [MNm]

z= .d

10000

Overovanie napätia v ohýbaných železobetónových prvkoch - napätie v ťahovej výstuži x=.d

 s' [MPa]

< 0,8.fyk

100



10 0

0.25

0.5

0.75

1.25

1.5

Obr. C-2

1.75

2.25

2.5

2.75

Príklad: Obdĺžnikový prierez s ťahovou a tlakovou výstužou, znázornený na obr. C-3, je namáhaný ohybovým momentom. Úlohou je overiť napätie v betóne a vo výstuži. f ck 25 MPa Normová válcová pevnosť betónu v tlaku (MPa): f yk 410 MPa Normová pevnosť ocele (MPa): b 0.4 m Rozmery prierezu ( m ): Prevádzková hodnota pôsobiaceho ohybového momentu : Vzdialenosti ťažísk výstuží od okrajov prierezu (m):

0.55 m

d Ms

0.15 MN m

0.05 m

Plocha tlačenej výstuže ( m2 ):

0.0008m 

Plocha ťahovej výstuže ( m2 ):

0.0026m 

2 2

Plocha transformovaného prierezu: A = b . h + n . (A1 + A2) - (A1 + A2) Es kde n 15 Es, Ec sú modul pružnosti ocele a betónu E b

Výpočet tlačenej výšky prierezu : 2

b





 n  A 2 ( d  x)  n  A 1 x  d 1

2 x 0.228 m

n A1

I cr



2

n A2

(a) Nosník

0.006 m

M s

(b) Transformovaný prierez

Obr. C-3

Napätie v úrovni najviac tlačeného okraja x betónového prierezu (MPa) : c

c = 5,7 MPa < 0,6 . fck = 15 MPa => predpoklad bol správny

I cr

Napätia vo výstužiach (MPa) s1

n  Ms 

s2

n  Ms 

x  d1 Icr

( d  x) Icr

66.76  MPa 120.59 MPa  0.8  fyk

Pomocou grafu na obrázku C-1 a C-2 získame na základe koeficientu : 

Ms b d



´c

A2 b d

 100

1.18

5.27 MPa

´s2

98.86 MPa

1.23967

Napätie v tlaku horného okraja betónového prierezu (MPa): čo je menej ako  c ´ bc   6.53 MPa  c  0.6  f ck Napätie v ťahovej výstuži (MPa): čo je menej ako  s2 ´ s2   122.55 MPa

Neutrálna os

h d

 n  A 2 ( d  x)  n  A 1 d 1  x

Fs1

x x 3

Moment zotrvačnosti transformovaného prierezu k neutrálnej osi (m4) b x

 s  0.8  f yk

s2 n (c) Napätie

Fs2

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-1-

Príloha D Výpočet ohybových momentov obdĺžnikových dosiek zaťažených rovnomerným zaťažením Pri výpočte maximálnych ohybových momentov sa používajú koeficienty C, uvedené v tabuľkách D-1 až D-9. Voľba tabuľky závisí od spôsobu uloženia obdĺžnikovej dosky. Uloženie : - prosté uloženie - votknutie V nasledujúcich tabuľkách sú taktiež znázornené spôsoby vystužovania jednotlivých druhov dosiek  Výpočet maximálnych podporových momentov 2 2 - v smere a : - v smere b : M C qa M C qb a



kde q = g + v = stále zaťaženie + náhodilé zaťaženie Výpočet maximálnych momentov medzi podporami - od účinkov stáleho zaťaženia g 2 - v smere a : - v smere b : M C qa

C bg  q  b

kde q = g = stále zaťaženie - od účinkov náhodilého zaťaženia v 2 - v smere a : M C qa

C bv  q  b

- v smere b :

kde q = v = náhodilé zaťaženie Príklad : Výpočet maximálnych ohybových momentov železobetónovej obdĺžnikovej dosky nosnej v dvoch smeroch, zaťaženej rovnomerným zaťažením. Mac

Mac

b = 7,2 m

Mbc 7,2 m

Zaťaženie pôsobiace na dosku : - stále zaťaženie g = 9 kN/m2 - náhodilé zaťaženie v = 3 kN/m2 - celkové zaťaženie q = g + v = 12 kN/m2 Rozpätie dosky : - v smere a : a = 5,4 m - v smere b : b = 7,2 m Pomer a / b = 0,75

5,4 m

Mbc a = 5,4 m

Obr. D-1 Doska pôsobiaca v dvoch smeroch Pri výpočte maximálnych ohybových momentov sa použijú koeficienty C, uvedené v tabuľke D-4. Maximálne podporové momenty Mac- a MbcMac- = Caq . q . a2 = 0,076 . 12 . 5,4 2 = 26,6 kNm/m Mbc- = Cbq . q . b2 = 0,024 . 12 . 7,2 2 = 14,9 kNm/m Maximálne momenty medzi podporami Mac+ a Mbc+ - od účinkov stáleho zaťaženia g Mbg+ = Cbg . g . b2 = 0,013 . 9 . 7,2 2 = 6,1 kNm/m Mag+ = Cag . g . a2 = 0,043 . 9 . 5,4 2 = 11,3 kNm/m - od účinkov náhodilého zaťaženia v Mav+ = Cav . v . a2 = 0,052 . 3 . 5,4 2 = 4,55 kNm/m Mbv+ = Cbv . v . b2 = 0,016 . 3 . 7,2 2 = 2,49 kNm/m - celkové maximálne momenty medzi podporami Mac+ a Mbc+ Mac+ = Mag+ + Mav+ = 15,85 kNm/m Mbc+ = Mbg+ + Mbv+ = 8,59 kNm/m

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-2-

Tabuľka D-1 q h

Mb Ma

a a

a/b Koeficienty Caq pre výpočet Cbq podporových a/b momentov kde C aq q=g+v Cbq a/b Koeficienty Cag pre výpočet Cbg momentov medzi a/b podporami kde Cag q=g Cbg a/b Koeficienty Cav pre výpočet Cbv momentov medzi a/b podporami kde Cav q=v Cbv

1,00 0,70 1,00 0,036 0,036 0,70 0,068 0,016 1,00 0,036 0,036 0,70 0,068 0,016

0,95 0,65 0,95 0,040 0,033 0,65 0,074 0,013 0,95 0,040 0,033 0,65 0,074 0,013

0,90 0,60 0,90 0,045 0,029 0,60 0,081 0,010 0,90 0,045 0,029 0,60 0,081 0,010

0,85 0,55 0,85 0,050 0,026 0,55 0,088 0,008 0,85 0,050 0,026 0,55 0,088 0,008

0,80 0,50 0,80 0,056 0,023 0,50 0,095 0,006 0,80 0,056 0,023 0,50 0,095 0,006

0,75 -

1,00 0,045 0,045 0,70 0,074 0,017 1,00 0,018 0,018 0,70 0,030 0,007 1,00 0,027 0,027 0,70 0,049 0,012

0,95 0,050 0,041 0,65 0,077 0,014 0,95 0,020 0,016 0,65 0,032 0,006 0,95 0,030 0,025 0,65 0,053 0,010

0,90 0,055 0,037 0,60 0,081 0,010 0,90 0,022 0,014 0,60 0,034 0,004 0,90 0,034 0,022 0,60 0,058 0,007

0,85 0,060 0,031 0,55 0,084 0,007 0,85 0,024 0,012 0,55 0,035 0,003 0,85 0,037 0,019 0,55 0,062 0,006

0,80 0,065 0,027 0,50 0,086 0,006 0,80 0,026 0,011 0,50 0,037 0,002 0,80 0,041 0,017 0,50 0,066 0,004

0,75 0,069 0,022

1,00 0,076 0,70 0,050 1,00 0,018 0,027 0,70 0,046 0,016 1,00 0,027 0,032 0,70 0,057 0,016

0,95 0,072 0,65 0,043 0,95 0,021 0,025 0,65 0,054 0,014 0,95 0,031 0,029 0,65 0,064 0,014

0,90 0,070 0,60 0,035 0,90 0,025 0,024 0,60 0,062 0,011 0,90 0,035 0,027 0,60 0,071 0,011

0,85 0,065 0,55 0,028 0,85 0,029 0,022 0,55 0,071 0,009 0,85 0,040 0,024 0,55 0,080 0,009

0,80 0,061 0,50 0,022 0,80 0,034 0,020 0,50 0,080 0,007 0,80 0,045 0,022 0,50 0,088 0,007

0,75 0,056

0,75 0,061 0,019

Tabuľka D-2 q h Mb

Ma b

b Mb

a a

0,75 0,028 0,009

0,75 0,045 0,014

Tabuľka D-3 q h

Mb Ma

a a

0,75 0,040 0,018

0,75 0,051 0,019

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-3-

Tabuľka D-4 h

Mb Ma b

b Mb

1,00 0,050 0,050 0,70 0,081 0,019 1,00 0,027 0,027 0,70 0,046 0,011 1,00 0,032 0,032 0,70 0,057 0,014

0,95 0,055 0,045 0,65 0,085 0,015 0,95 0,030 0,024 0,65 0,050 0,009 0,95 0,035 0,029 0,65 0,062 0,011

0,90 0,060 0,040 0,60 0,089 0,011 0,90 0,033 0,022 0,60 0,053 0,007 0,90 0,039 0,026 0,60 0,067 0,009

0,85 0,066 0,034 0,55 0,092 0,008 0,85 0,036 0,019 0,55 0,056 0,005 0,85 0,043 0,023 0,55 0,072 0,007

0,80 0,071 0,029 0,50 0,094 0,006 0,80 0,039 0,016 0,50 0,059 0,004 0,80 0,048 0,020 0,50 0,077 0,005

0,75 0,076 0,024

1,00 0,075 0,70 0,086 1,00 0,027 0,018 0,70 0,035 0,005 1,00 0,032 0,027 0,70 0,051 0,011

0,95 0,079 0,65 0,087 0,95 0,028 0,015 0,65 0,036 0,004 0,95 0,034 0,024 0,65 0,055 0,009

0,90 0,080 0,60 0,088 0,90 0,029 0,013 0,60 0,037 0,003 0,90 0,037 0,021 0,60 0,059 0,007

0,85 0,082 0,55 0,089 0,85 0,031 0,011 0,55 0,038 0,002 0,85 0,041 0,019 0,55 0,063 0,005

0,80 0,083 0,50 0,090 0,80 0,032 0,009 0,50 0,039 0,001 0,80 0,044 0,016 0,50 0,067 0,004

0,75 0,085 -

1,00 0,071 0,70 0,091 1,00 0,033 0,027 0,70 0,051 0,009 1,00 0,035 0,032 0,70 0,060 0,013

0,95 0,075 0,65 0,093 0,95 0,036 0,024 0,65 0,054 0,007 0,95 0,038 0,029 0,65 0,064 0,010

0,90 0,079 0,60 0,095 0,90 0,039 0,021 0,60 0,056 0,006 0,90 0,042 0,025 0,60 0,068 0,008

0,85 0,083 0,55 0,096 0,85 0,042 0,017 0,55 0,058 0,004 0,85 0,046 0,022 0,55 0,073 0,006

0,80 0,086 0,50 0,097 0,80 0,045 0,015 0,50 0,061 0,003 0,80 0,051 0,019 0,50 0,078 0,005

0,75 0,088 -

0,75 0,043 0,013

0,75 0,052 0,016

Tabuľka D-5 q h

a a

0,75 0,033 0,007

0,75 0,047 0,013

Tabuľka D-6 q h

b Ma

a a

0,75 0,048 0,012

0,75 0,055 0,016

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-4-

Tabuľka D-7 h Mb

a a

1,00 0,071 0,70 0,038 1,00 0,027 0,033 0,70 0,058 0,017 1,00 0,032 0,035 0,70 0,063 0,017

0,95 0,067 0,65 0,031 0,95 0,031 0,031 0,65 0,065 0,014 0,95 0,036 0,032 0,65 0,070 0,014

0,90 0,062 0,60 0,024 0,90 0,035 0,028 0,60 0,073 0,012 0,90 0,040 0,029 0,60 0,077 0,011

0,85 0,057 0,55 0,019 0,85 0,040 0,025 0,55 0,081 0,009 0,85 0,045 0,026 0,55 0,085 0,009

0,80 0,051 0,50 0,014 0,80 0,045 0,022 0,50 0,089 0,007 0,80 0,051 0,023 0,50 0,092 0,007

0,75 0,044

1,00 0,033 0,061 0,70 0,068 0,029 1,00 0,020 0,023 0,70 0,040 0,011 1,00 0,028 0,030 0,70 0,054 0,014

0,95 0,038 0,056 0,65 0,074 0,024 0,95 0,022 0,021 0,65 0,044 0,009 0,95 0,031 0,027 0,65 0,059 0,011

0,90 0,043 0,052 0,60 0,080 0,018 0,90 0,025 0,019 0,60 0,048 0,007 0,90 0,035 0,024 0,60 0,065 0,009

0,85 0,049 0,046 0,55 0,085 0,014 0,85 0,029 0,017 0,55 0,052 0,005 0,85 0,040 0,022 0,55 0,070 0,007

0,80 0,055 0,041 0,50 0,089 0,010 0,80 0,032 0,015 0,50 0,056 0,004 0,80 0,044 0,019 0,50 0,076 0,005

0,75 0,061 0,036

1,00 0,061 0,033 0,70 0,081 0,011 1,00 0,023 0,020 0,70 0,033 0,006 1,00 0,030 0,028 0,70 0,050 0,011

0,95 0,065 0,029 0,65 0,083 0,008 0,95 0,024 0,017 0,65 0,034 0,005 0,95 0,032 0,025 0,65 0,054 0,009

0,90 0,068 0,025 0,60 0,085 0,006 0,90 0,026 0,015 0,60 0,036 0,004 0,90 0,036 0,022 0,60 0,059 0,007

0,85 0,072 0,021 0,55 0,086 0,005 0,85 0,028 0,013 0,55 0,037 0,003 0,85 0,039 0,020 0,55 0,063 0,006

0,80 0,075 0,017 0,50 0,088 0,003 0,80 0,029 0,010 0,50 0,038 0,002 0,80 0,042 0,017 0,50 0,067 0,004

0,75 0,078 0,014

0,75 0,051 0,020

0,75 0,056 0,020

Tabuľka D-8 h Mb Ma b Ma

a a

0,75 0,036 0,013

0,75 0,049 0,016

Tabuľka D-9 q h

Mb b Ma

Mb a a

0,75 0,031 0,007

0,75 0,046 0,013

Príloha E Výpočet priehybu a momentov kruhových dosiek v závislosti od spôsobu uloženia a zaťaženia Mr Mt h z

- radiálny moment - tangenciálny moment - hrúbka dosky - priehyb dosky

Dosková tuhosť : E h



12  1  

kde E - modul pružnosti - Poissonovo číslo



Tabuľka E-1 Doska proste uložená, zaťažená rovnomerným zaťažením g [kN/m2] z

Priehyb v ľubovolnej vzdialenosti r od stredu dosky h

y Mt Mr

M r( r)





 5    a2  r2   64  D 1   Radiálny moment v ľubovolnej vzdialenosti r od stredu dosky z( r)

g  a  r

g 16



2

 3     a  r



Tangenciálny moment v ľubovolnej vzdialenosti r od stredu dosky d=2.a

  a   3     r   1  3     2

Mr(r)

M t( r)

Mt (r)

Radiálny moment v strede dosky M r( r

M t( r

ga

3 

Tabuľka E-2 Doska po obvode votknutá, zaťažená rovnomerným zaťažením g [kN/m2] z

Priehyb v ľubovolnej vzdialenosti r od stredu dosky h

z( r)

g 64  D



2

 a r

Radiálny moment v ľubovolnej vzdialenosti r od stredu dosky

Mt Mr

M r( r)

r x

g 16

  a   1     r   3     2

Tangenciálny moment v ľubovolnej vzdialenosti r od stredu dosky d=2.a

Mr Mr(r)

Mt (r)

M t( r)

g 16

  a   1     r   1  3     2

Radiálny moment v strede dosky M r( r

M t( r

ga 16

 1   

Tabuľka E-3 Doska proste uložená, zaťažená spojitým kruhovým zaťažením P [kN/m] pôsobiacim vo vzdialenosti ro z Priehyb v ľubovolnej vzdialenosti r > ro od stredu dosky 2 2   P P   1 1   a  r o   P 2 2     z r  r o   a r  1    h    2 2 1  8    D  a x   0 ro   a 2 2  r    r o  r  ln   y  a  Priehyb v ľubovolnej vzdialenosti r < r od stredu dosky o Mt Mr  ro   2 2 P  z r  r o     r o  r  ln   r 8    D   a   ro 2 2 x     3    a  1    r  2  2  a  r o   2 2  1     a   Radiálny a tangenciálny moment v ľubovolnej vzdialenosti d=2.a r < ro od stredu dosky











M r(r)



Mr r  ro





Mt r  ro



1     a2  r o2



8  a

P

1     P 4 

 ro   a 

 ln

M t (r)

Tabuľka E-4 Doska po obvode votknutá, zaťažená spojitým kruhovým zaťažením P [kN/m] pôsobiacim vo vzdialenosti ro Priehyb v strede dosky P P h 1 2  r o  P 2 2 z ( r 0 )    a  r  r  ln   x o o 0 ro 8    D 2  a  a





Radiálny moment vo votknutí

Mt Mr ro

M r( r

P 4 

a 

 ro a



Tangenciálny moment vo votknutí d=2.a

Mr(r=a)

Mt (r=a)

M t( r

 

P 4 

a 

 ro a



Tabuľka E-5 Doska proste uložená, zaťažená rovnomerným zaťažením g [kN/m2] pôsobiacim v oblasti od stredu dosky po vzdialenosť c z Radiálny moment v ľubovolnej vzdialenosti r > c od stredu g dosky c

h x

y Mt Mr c

M t ( r  c)

1     P

P 4 

 ln

a

 1     P  c2  1 

1    2 2 4  16    r a  Tangenciálny moment v ľubovolnej vzdialenosti r > c od stredu dosky M r( r  c)



r



2  1     P  c   1    16    r 

  1     ln



a

d=2.a

Mr(r)

Mt (r)

 

1 2

r



  a  1

Priehyb dosky na okraji pôsobenia zaťaženia (vo vzdialenosti c) 2 2  3    2 2 P c 1 1 a c  2  z( r c)    a  c   c   3  ln      2 16    D   1    a 2 1  a   Radiálny moment na okraji pôsobenia zaťaženia (vo vzdialenosti c) M r( r

1     P 4 

 ln

a

 c



 1     P   a 2  c 2 16    a

Tangenciálny moment na okraji pôsobenia zaťaženia (vo vzdialenosti c) M t( r

2 2  1     P  a  c    1    2 c  16    a

  1     ln

a

 Priehyb v strede dosky P   3     a2  c2  ln c    7  3     c2 z( r 0)     16    D  1    a  4  1     Radiálny moment v strede dosky   1     c2  a P M r( r 0) M t ( r 0)    1     ln   1   2 4   c 4 a  4 

Príloha F

Výpočet ekvivalentného zaťaženia

q eqv L a)

Spôsob výpočtu ekvivalentného zaťaženia qeqv P

L/2

q eqv

L/2

L q eqv P.L 4

L 2

P.L2 8

P.L 4

3 P 2 L

L q eqv L2 8

q eqv L2 2 q L3 L eqv 3 12 8

Príklad : Výpočet ohybových momentov na spojitom nosníku. Zaťaženie pôsobiace na nosník je znázornené na obrázku F-3.

g1 1

g3 l 3 /4

l 3 /4

Obr. F-3 Spojitý nosník a) spôsob zaťaženia, b) ekvivalentné zaťaženie Zaťaženia pôsobiace na nosník:

- trojuholníkové zaťaženie g1 = 60 kN/m - rovnomerné zaťaženie g3 = 70 kN/m - sústredená sila pôsobiaca v strede rozpätia l2 P = 80 kN

Ekvivalentné zaťaženia pôsobiace v jednotlivých poliach: 5

g1

1 37.5kN m

3 2



P l2

1 24kN m

g3

1 48.125kN m

Riešenie trojmomentovej rovnice urobíme pomocou klaperonového obrázku q2





M 1 l1  2 M 2 l1  l2  M 3 l2





M2 = 34,92 kNm M3 = 144,28 kNm M1 = M4 = 0 kNm



M 2 l2  2 M 3 l2  l3  M 4 l3

Obr. F-4

q 1 l1

q 2 l2 4

q 2 l2 4



q 3 l3 4

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD. Príloha F

Výpočet ekvivalentného zaťaženia

q eqv L a)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD. Príklad : Výpočet ohybových momentov na spojitom nosníku. Zaťaženie pôsobiace na nosník je znázornené na obrázku F-3.

g1 1

g3 l 3 /4

l 3 /4

Obr. F-3 Spojitý nosník a) spôsob zaťaženia, b) ekvivalentné zaťaženie Zaťaženia pôsobiace na nosník:

- trojuholníkové zaťaženie g1 = 60 kN/m - rovnomerné zaťaženie g3 = 70 kN/m - sústredená sila pôsobiaca v strede rozpätia l2 P = 80 kN

Ekvivalentné zaťaženia pôsobiace v jednotlivých poliach: 5

g1

1 37.5kN m

3 2



P l2

1 24kN m

g3

1 48.125kN m

Riešenie trojmomentovej rovnice urobíme pomocou klaperonového obrázku q2





M 1 l1  2 M 2 l1  l2  M 3 l2





M2 = 34,92 kNm M3 = 144,28 kNm M1 = M4 = 0 kNm



M 2 l2  2 M 3 l2  l3  M 4 l3

Obr. F-4

q 1 l1

q 2 l2 4

q 2 l2 4



q 3 l3 4

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-1-

Príloha G

 0,50 0,40 0,30

k s2

1,50

1,00

0,50

0,10



0,00 0,00 0,10

l 1  d ks d kb i Ms 1

0,20



k s1

b  d  fcd

kde f d b l Ms

priehyb [mm]

0,50 účinná výška prierezu [m]1,00 šírka prierezu [m] rozpätie nosníka [m] ohybový moment [MN.m]

0,20

k s3

0,30 0,40

1,50 12 MPa 16 MPa 20 MPa

25 MPa 30 MPa 35 MPa

0,50

Obr. G-1

40 MPa

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-2-

Jednoduchá metóda výpočtu priehybov železobetónových nosníkov pri krátkodobom zaťažení 0,50



0,40

0,30

k s5

k s4 0,20

0,10

0,00 1,50

1,00

0,50

0,00 0,10

0,20

0,30

k s6 0,40

0,50

0,50 2

l 1   d ks d kb i Ms 1

f 

b  d  fcd

kde f d b l Ms

priehyb [mm] účinná výška prierezu [m] šírka prierezu [m] rozpätie nosníka [m] ohybový moment [MN.m]

1,00

1,50

Príloha H 1. Jednotky

2. Označenie -betón

Prehľad medzinárodných noriem v oblasti navrhovania železobetónových prvkov BEAL ACI DIN 1045 SI jednotky akceptuje SI Bežné jednotky: 1 lb = 0,45359 kg = 4,45 N 1 ft = 0,3048 m = 12 in. 1 psi = 1 lb/sq.in = 6,89 kPa 1 ksi = 1000 psi = 6,89 MPa 1 k – ft = 1000 lb.ft = 1,3564 kNm

fc28 pevnosť určená na valcoch 160/320

-oceľ fe -prierezové b bo h ho d l As s charakteristiky 3. Materiály 25 pozemné stavby -betón fc28~fck,cyl 30 inžinierske stavby

fc´ pevnosť určená na valcoch 160/320

fy b bw h hf d

fc~ 1,06 fck,cyl

l As s 3500 / 4000 4000 / 5000

1 = 0,85 pre fc´ < 4000 psi (27,6 MPa)

B R

B25 B35 B45 B55 17,5 23 27 30

R pevnosť na kockách 200 x 200  S b bo d – h l As as R ~ 0,9 fck,cyl

B35 / 45 PS B45 / 55 IS

fe = 400 MPa 500 MPa

fy = 60 ksi = 414 MPa

BS, 420/500 : s = 420 MPa s = 500 MPa

Náhradný koef.

n = 15

n = Es / 4730 efc´ < 6

n = 10

Modul pružnosti

ES = 200 000 MPa

ES = 200000 MPa =29000 ksi

ES = 210 000 MPa

4. Zaťaženie

stále zaťaženie G premenné zaťaženie (náhodilé) Q vietor W sneh Sn 1,35 G + 1,5 Q 1,00 G + 1,5 Q 1,35 G + 1,5 Q + 1,3 W G + 1,3 W

- oceľ

Kombinácie zaťaženia Podmienky spoľahlivosti - momenty

Výpočtový moment : Mu Moment na medzi únosnosti :  M u M u.lim  Mu  Mu

D L W S 14 D + 1,7 L 0,75 (1,4 D + 1,7 L + 1,7 W) 0,9 D + 1,3 W Mu Mn Mu < Mn =pevnostný redukčný faktor = 0,9 pre čistý ohyb

suma účinkov zaťažení sa uvažuje bez koeficientov M spoľahlivosť : = 1,75 ak S < 3%o - ťah = 2,1 ak S < 0 - tlak ak 0<S < 3%o -interpolovať

 Vu  Vu  u  u  Nu  Nu

priečne sily

- normálové sily 5. Ohyb Návrh výstuže

MS – únosnosti

Vu < Vn = 0,85 Pu < Pn = 0,70 pre dostredný tlak MS – únosnosti -približné riešenie:



TR o < o3

b  d   bu a

0.9  d

MS - únosnosti Mu  z fy

-min. stupeň vystuženia

As bd

M



z = 0,5 d ( 1+e1-595 / 289)

M z  s

= 1,75 ak s > 3%o

1.5 As

1.15

 0.23 

f t28 fe

0,12 – 0,14 %

s

Mu  z fy As bd



bh R

0.85  f c28 fe

0.3383

 ms

alebo

z   su

0.85  b  f c´  d

 su

bh R

0.85  b  f c´



 bu

alebo

A s  fy

z = d – a/2 => AS Mu

4 1.4   s  min   calc  fy  3 

  ms

-max. stupeň vystuženia 6. Šmyk (prievlaky)

Overenie betónu Vu

u

bod

 u

Výpočet šmykovej výstuže

0,0775 fc‘ pre fy = 60 ksi a fc‘ < 27,50 MPa

Vu <  (VC +VS) = Vn  = 0,85

 u

 u  0.3  k  f t28

0.8  f e

01 02 03

Vu < 0,83 fc‘ bw d

Šmyková únosnosť

o

k = 1, ohyb bez segregácie k = 0 so segregáciou

Vu 

 Vc

A



d  fy

kde

TR boz

  o3 z=0,85 h

B25 B35 B45 B55 0.8 1.0 1.1 1.3 1.8 2.4 2.7 3.0 3.0 4.0 4.5 5.0

obo

 s.s

1. =0,25 pre 0 <01 2. = 0 /02 < 0,4 0.17  f c´  b w  d

pre 01 <0 <02

(SI)

3. =1 pre 02 <0 <03 a ak d > 0,45 m  s.s

Min. stupeň vystuženia

At st



0.4  b o

A

Max. vzdialenosť st < min(0,8 d ; 0,40 m) strmienkov 7. Stĺpy Únosnosť  B r  f c28 Nu      As 0.9   b 



0.34  b w fy

(SI)

st< min(d/2 ; 0,60 m) a ak V.s > 2Vc => min( d/4; 0.3 m)   s  fe

Pu <  Pn = 0,8  [0,85 fc‘ (Ag – Ast) + fy Ast ]

s 1.75

as < min(0,8 d ; 0,3 m) prípad 1 as < min(0,6 d ; 0,25 m) prípad 2 as < min(0,3 d ; 0,2 m) prípad 3

N < BR + As S

Br = zredukovaný prierez betónu o 1 cm b = 1,5 a s = 1,15  

i l

 70

pre <50

0.85

 1  0.2     35 

Max. stupeň vystuženia vertik. výstužou Priemer strmienkov Max. vzdialenosti strmienkov

pre <70   As > max. ( 0,002 b.h 4 cm2 ) 

Min. stupeň vystuženia

 20.2

0.60  

50 

kde  = 0.70

 = 2.10

Ag = celková plocha betónového prierezu

B = celková plocha betónového prierezu

Ast = plocha pozdĺžnej výstuže pre k lu r

 < 45 (stĺpy rámu)

 22

klu = vzperná dĺžka r = polomer zotrvačnosti

0,5 %

0,8 %

t ~ 1/3 l

t > 8 mm ak l > 20 mm

Min ( 0,4 m ; b+0,1 ; 15 l )

Min ( 16 l ; 48 t ; b ; h)

12 l

Doc. Ing. Sabah Shawkat, Ph,D.

-1-

Príloha I Výpočet priehybu Sústredené bremeno v strede nosníka, EI = konštantné Najväčší ohybový moment v strede nosníka je

P l

Mmax

0,5. l

4 0,5. l

ymax

B l

Pl 4

Fm 2

Fm 2 l /6

l /6

Obr. I-1 Prostý nosník s osamelým bremenom v strede Ak nosník zaťažíme symetricky pôsobiacou trojuholníkovou momentovou plochou Fm , bude Pootočenie:

a

b

A´

2  EI

Maximálny priehyb v strede rozpätia:

y max

P l

Mmax  l

48 EI

Priehyb: y max



PI



Pl

16  EI

1 EI





  A´ 

(I-1) Fm





1

 6

1 EI



Pl

l  l   2 6



Mmax  

m max

y max

(I-2)

12 EI

Napätie:



alebo

h 2

Mmax

2  max

I max  l

(I-3)

6 E  h

Sústredená sila v ľubovoľnej polohe, EI = konštantné Najväčší ohybový moment na nosníku je:

P ab

Mmax

Vzdialenosť ťažiska trojuholníka od podpery A:

z oa

Rovnakým spôsobom dostaneme:

z ob P

ymax

(I-4)

l a



lb 3 b

B l

3 l  2 a  l

la

Doc. Ing. Sabah Shawkat, Ph,D.

-2-

Fb P .a.b l

a- 0,5. l 0,5. l zoa

0,5. l zob

Obr. I-2 Pootočenie v podpore A: Pootočenie v podpore B: 2

1 P a b l  b  a   6 EI l

Priehyb yp

F m  z ob

a

l  EI

P a b



lb



P  a  b  ( l  b)

6  l  EI

P  a  b  ( l  a)

b

(I-6)

6  l  EI

Ak je l  a b , potom priehyb bude 2

P a b

(I-7)

3  EI  l

nie je maximálny, ako vidieť z obrázku, pretože Mmax a mmax nepôsobia v

rovnakom bode. Aby sme mohli určiť y max , musíme najprv zo vzťahu maxy z

(I-5)

A´

určiť

a v tomto mieste vypočítame fiktívny maximálny moment mmax . Na záver vypočítame

maximálny priehyb y max

mmax EI

Rovnomerne zaťažený nosník, EI = konštantné Maximálny ohybový moment v strede nosníka bude:

ql

Mmax

(I-8)

ymax

B l Fm

Fm 2

q l2 8

Fm 2

3 l 8 2

0,5. l

Obr. I-3

B' 0,5. l

Rovonomerne zaťažený prostý nosník

Pootočenie: a

V strede nosníka bude najväčší priehyb:

y max

b 1 EI

 q



l q l

(I-9)

24  EI

l 3 l     2 8 2

 A´  

1 EI

q

 5

l 16

(I-10)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, Ph,D. ql

5 Mmax  l  48 EI

 384 EI

y max

Zo vzťahu

-3-

Mmax

2  max

y max

5 24

 max 

Podporové momenty na oboch koncoch, EI = konštantné Pre MA  MB získame reakcie v prikázanom smere A B (obr. I-4) s hodnotami

(I-11)

M A  MB

(I-12)

B z

MA MB A'

B' l /3

l /3

Obr. I-4 Podporové momenty na prostom nosníku Momentová plocha je teraz lichobežníková. Ak si ju predstavíme zloženú z dvoch trojuholníkov, bude moment v ľubovoľnom mieste v poli nasledovný: (I-13) MA  z´  MB  z Mz

Ak lichobežník rozložíme na obdĺžnik a trojuholník, potom moment bude M A  MB   M z  MA  z  l   Moment v priereze z získame z ľavej strany Mz

(I-14)

(I-15)

A  z  MA

Ak do tejto rovnice dosadíme vzťah A

M A  MB l

, získame rovnicu I-14. Rovnakým

spôsobom získame z pravej strany: Mz

(I-16)

B  z´  MB

Uhlové pootočenie vypočítame tak, že najprv určíme fiktívne reakcie: 1 1  1 M l  1 l  1 M l  2 l A´  Mb  l   MA  l 2 B   A  6 3   3  2  3 A´ l

A´

a

M B  l  2  MA  l

(I-17)

6 l 6  EI



 2  MA  MB



b

l 6  EI



 2  MB  MA



Podporový moment na analyzovanej podpore má dvojnásobnú hodnotu. Priehyb v strede nosníka  M A  M B   l2 y 0.5l bude: 16 EI

(I-18)

(I-19)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, Ph,D.

-4-

Ak predpokladáme že, MA MB M , potom priehyb v strede nosníka bude: y 0.5l

maxy

M l

(I-20)

8  EI

Konzola, EI = konštantné Pri konzolách v oblasti votknutia majú priehyb a pootočenie nulovú hodnotu, čím na voľnom konci dosahujú svoje najväčšie hodnoty. Ak teraz zmeníme momentový diagram ako fiktívne zaťaženia nezmeneného systému, získame opačné výsledky: fiktívna priečna sila a fiktívny moment majú extrémne hodnoty pri votknutí a na voľnom konci nulové. Ukazuje sa teda, že okrajové podmienky, ktoré platia pre elastickú čiaru, nie sú splnené pre určenie fiktívnych síl a momentov na skutočnom nosníku. Riešenie nájdeme ľahko: po výpočte priečnej sily Q a momentu M , prejdeme z skutočného systému na recipročný alebo fiktívny nosník (konzola s votknutím na opačnej stane). Zo zaťaženia q M vypočítame fiktívnu priečnu silu Q´ a fiktívny moment m , teda platí ako pri prostom nosníku  y´

Q´ EI

m EI

a) Sústredené bremeno na konci konzoly, EI = konštantné (I-21) Pri dokonalom votknutí je Mmin P  l . Pre určenie fiktívnej priečnej sily Q´ ( = EI -násobne pootočenie) a fiktívneho momentu m (= EI - násobný priehyb) je potrebné, aby sme pozdĺž nosníka skutočným momentovým diagramom zaťažili konzolu s votknutím a opačnej strane. 1 1 (I-22)  z Q´  P  l  z   P  (l  z)  z Q´ P   l    z 2 2 2   2 (I-23) z Q´ P  P l y´   l   z max  z l 2 EI EI  2  EI 2 1 2 1 1 (I-24) m P z P  ( l  z )

M( z)

 P  l  z   z   P  ( l  z)  z   z 3 2 3

6  EI

maxy

 ( 3 l  z) P l

(I-25)

3  EI

P d) Výpocet hodnoty Q a M v mieste z 0,5.P.(l -z).z

P.(l -z)

P. l

0,5.P.l .z e) Pootocenie

b) M - diagram M(z)=-P(l -z)

P.l

y'= O

P. l

l-z max Q y

P. l

y max =

P. l 3

y max

f) Priehyb c) M - diagram ako fiktívne zatazenie fiktívneho nosníka

Obr. I-5 Konzola zaťažená sústredeným bremenom. Rovnako, ako sme pri prostom nosníku nanášali kladný moment ako zaťaženie smerujúce dole, teraz nanesieme záporný moment ako zaťaženie smerujúce hore (obr. I-5c). Aby sme mohli vypočítať na ľubovoľnom mieste fiktívnu priečnu silu Q´ a fiktívny moment m ,

Doc. Ing. Sabah Shawkat, Ph,D.

-5-

predpokladáme časť nosníka vyrezaného medzi prierezom z a ľubovoľným okrajom fiktívneho nosníka (obr. I-5d). Dostaneme: b) Rovnomerné zaťaženia, EI =konštantné Momentový diagram na konzole sa prenáša na fiktívnom nosníku ako zaťaženie v prikázanom smere nahor (obr. I-6c):

a) Konzola - rovnomerne zatazená

z l

y b) M - diagram

q.l2 2

max Q'

c) M - diagram ako fiktívne zatazenie fiktívneho nosníka 1 3

Q' =

M.I 3l 4

max m

Obr. I-6 Konzola zaťažená rovnomerným zaťažením. Maximálna priečna sila:

maxQ´

Q´ ( z

Maximálne pootočenie:

maxy´

y´z

Maximálny fiktívny moment:

maxm

Maximálny priehyb:

maxy

max

 M l ql

3  M l  l 3 4

ql

(I-26)

(I-27)



ql

(I-28)

maxm

ql

8  EI

Nepriame metódy modelového vyšetrovania konštrukcií Pri nepriamych metódach modelového vyšetrovania stavebných konštrukcií. Nezaťažujeme model analogicky so skutočným zaťažením. Obyčajne hľadáme vplyvové čiary (plochy) statických veličín, deformácií alebo napätí na modeli a výsledky extrapolujeme na skutočnú konštrukciu. Nepriame metódy platia pre prípady, v ktorých sú vnútorné sily lineárnymi funkciami vonkajšieho zaťaženia. Nepriame metódy sa teoreticky zakladajú na použití viet o vzájomnosti, známych zo stavebnej mechaniky. a) Veta o vzájomnosti virtuálnych prác (Bettiho veta) Virtuálna práca vonkajších alebo vnútorných síl zaťažovacieho stavu 1 na deformáciach vyvolaných silami stavu 2 sa rovná virtuálnej práci vonkajších alebo vnútorných síl stavu 2 na deformáciach vyvolaných silami stavu 1 (obr. I-7): P1  12

6  EI ql

1 ql  3 2

P2  21

b) Maxwellova veta o vzájomnosti deformácií Vyplýva z Bettiho vety, ak položíme za P1 P2 1 , potom bude

(I-29) P1

STAV 1 1

STAV 2 1

Obr. I-7  12

 21

(I-30)

Doc. Ing. Sabah Shawkat, Ph,D.

-6-

Deformácia bodu 1 v smere sily P1 , vyvolaná jednotkovou silou v bode 2 rovná sa deformácii bodu 2 v smere sily P2 , vyvolanej jednotkovou silou pôsobiacou v bode 1. Maxwellova veta platí i pre vzájomnosť pootočení a pre vzájomnosť posunutia a pootočenia. 12

21

12

 21

c) Veta o vzájomnosti reakcií Vyplýva z Bettiho vety. Aplikujme ju na jednoduchý príklad spojitého nosníka (obr. I-8). Odstráňme väzbu reakcie v bode 1 a uskutočnime v jej smere jednotkový posun. V bode 1 vznikne reakcia R11 a v

2 =1

R21 =1

R11

bode 2 ohybový moment R21 . Obr. I-8 Odstráňme teraz väzbu momentu v bode 2 a uskutočnime jednotkové pootočenie. V bode 2 vzniknú momenty R22 a v bode 1 reakcia R12 . Aplikujme na oba stavy Bettiho vetu o vzájomnosti virtuálnych prác. Potom platí:

R 0  R 1 11 21

d) Veta o vzájomnosti reakcií a deformácií Z tejto vety môžeme priamo určiť zásadu stanovenia vplyvových čiar. Aplikujme Bettiho vetu na spojitý nosník na (obr. I-9):

Z čoho

R 1  R 0 12 22

(I-31)

P=1 stav 1

R21 2

stav 2

1 12

R22

Obr. I-9 R   22  1  12 0 (I-32) 21

(I-33)

 12

1 21  22

Keď položíme  22 1 , bude

(I-34)

1  12

Kde R21 je reakcia od jednotkovej sily a  12 je priehyb spôsobený jednotkovým posunom. Pre ohybový moment platí podobne (obr. I-10): (I-35) M  22  P  12 0 P=1 21 stav 1

1

 12

(I-36)

M22

22

Keď položíme 22 1 , bude (I-37) M 1  12

M21

2 =22

1 stav 2

Obr. I-10 Z uvedeného vyplýva, že vplyvová čiara statickej veličiny (R,M,Q,N) je totožná s ohybovou čiarou, ktorá vznikne, ak v pôvodnej konštrukcii odoberieme väzbu príslušnej statickej

Doc. Ing. Sabah Shawkat, Ph,D.

-7-

veličiny a na takto vzniknutej 1 2 3 4 základnej konštrukcii 1 uskutočníme jednotkovú deformáciu v smere odobranej väzby. Zmysel jednotkových deformácií volíme vždy 1 opačne, ako je kladný zmysel 1 hľadanej veličiny. Na obr. I-11 vidíme tvary Obr. I-11 vplyvových čiar na spojitom nosníku. Po stanovení vplyvových čiar statických veličín môžeme určiť napätia v konštrukcii za predpokladu, že poznáme spôsob rozdelenia napätí po priereze. Pri nepriamych metódach potrebujeme: a) Odoberať príslušné väzby a pomocou nejakého zariadenia uskutočniť deformácie v smere väzby. Tieto deformácie nazývame deformačnými impulzami. b) Presne zmerať poradnice vzniknutej ohybovej čiary, ako aj veľkosť príslušného deformačného impulzu. a) Ohybový moment: Pri stanovení vplyvových čiar ohybového momentu uskutočníme vzájomné pootočenie dvoch susedných prierezov, pričom nesmie nastať vzájomné oddialenie ani priečne posunutie. Príslušný deformátor sa označuje ako uhlový deformátor (obr. I-12). Obr. I-12 klb

r x

b O=1

b) Priečna sila: Dva susedné prierezy sa navzájom priečne posunú, pričom nesmie nastať vzájomné pootočenie ani oddialenie (obr. I-13).

Q Q b

Obr. I-13 c) Normálová sila: Dva susedné prierezy sa navzájom oddialia. Nesmie nastať vzájomné pootočenie ani priečne posunutie prierezov (obr. I-14). 2

N N b

Obr. I-14

Doc. Ing Sabah Shawkat, PhD.

-1-

Príloha J Predbežný návrh hrúbky prierezov železobetónových doskových konštrukcií rovnomerne zaťažených ( rozmery zaokrúhliť na 10 mm ) Tabuľka J-1 Doska - voľne podopretá jednosmerne 1 hs L vystužená 25

- dokonale votknutá 1 1  h s    L  30 35 

1 L 10

- konzolovite vyložená

M hs

- voľne podopretá

 Ly



1  L x L y 75

1   L x  L y 105

- dokonale votknutá Ly

Doska dvojsmerne vystužená

Lx hs

hs y

Doc. Ing Sabah Shawkat, PhD.

-2-

Predbežný návrh rozmerov prierezov železobetónových prútových konštrukcií rovnomerne zaťažených ( rozmery zaokrúhliť na 50 mm ) Tabuľka J-2 - voľne podopreté Trámy ht

Lt M

 1  2 h    2 3 t

1-1

ht Lt

1 L t 25

- dokonale votknuté

1 L t 20

bt 2-2

b M Q

- konzolovite vyložené ht

1 L t 5

ht Lt

M Q

Prievlaky

 1  2 h    2 3 p

 1  1  L    10 15  p

hp Lp M Q

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.

-1-

Príloha K Redistribúcia silových účinkov v železobetónových prútových konštrukciách a nosníkových doskách 1. Spojité nosníky a nosníkové dosky zaťažené rovnomerným zaťažením, kde sa rozpätie polí sa nelíši viac ako o 10% najväčšieho rozpätia. Tabuľka K-1. Hodnoty ohybových momentov Ohybový moment

pri extrémnom zaťažení 1 11

krajné polia

pri prevádzkovom zaťažení

2 qdL

vs 2  gs   L  12.5 10 

2 qdL

gs vs 2   L  24 12 

medzipodperový 1

vnútorné polia

16 L

1

nosníky s dvomi poliami

10 L

podperový

2 qdL

1

2 qdL

1

2 qdL

1

2 qsL

pri prvej vnútornej podpere

1

2 qsL

nosníky s tromi a viacerými poliami

pri ostatných vnútorných poliach

1

2 qsL

kde qd = gd + vd , (qs = gs + vs) - extrémne (prevádzkové) rovnomerné zaťaženie stále a náhodilé L - rozpätie príslušného poľa, v prípade rozdielnych napätí, Dosadzuje sa pri výpočte podperových momentov rozpätie dlhšieho z priľahlých rozpätí q d = gd + v d 1 q L2 11 d

1 q L2 16 d

1 q L2 16 d qdL

2 Mred

Mred =M d (1- b p ) L

qdL

1 2

1 q L 11 d 0,425.L

0,165.L 0,15.L

0,410.L L

1 q L2 16 d

0,35.L

0,15.L

0,35.L L

0,15.L

1 q L2 16 d

0,35.L

0,15.L

0,35.L L

Obr. K-1 Statická schéma a priebeh ohybových momentov

Doc. Ing. Sabah Shawkat, PhD.



-2-

0  17  0  004 

m

min



0  25  v d

gd vd

gd.min - extrémna hodnota stáleho zaťaženia so súčiniteľom zaťaženia fg < 1,0 1 - priamka 2 – kvadratická parabola

kde

q d = gd + v d 1 q L2 16 d

1 q L2 16 d

+ 1 q L2 16 d

1 q L2 16 d

Urcenie sírky tlacenej casti betonu

b=1 m b - záporné momenty

- kladne momenty

b=1 m

b - kladne momenty

- záporné momenty

- kladne momenty

- záporné momenty

Obr. K-2 Priebeh ohybových momentov na votknutom spojitom nosníku, resp. na nosníkovej doske zaťaženej rovnomerným zaťažením q d = gd + v d

1 q L2 10 d

L/3

Mred =M d (1- b p ) L

+ 1 q L 11 d 0,425.L

0,165.L 0,165.L

0,410.L

L/3

F.L 3

Rc = 0,425 q dL

L/3 L

0,425.L

0,410.L

L/3

Ra = 0,425 q d L

2 9 F.L + 2 3 F

L/3

1 q L 11 d

L/3 L

1 9 F.L +

F F

8 3 F

Rb =(0,575 q d L)x2 0,425.L

0,425.L L

Obr. K-3 Statická schéma a výpočet prierezových síl s uvažovaním redistribúcie na dvojpoľovom spojitom nosníku, resp. na nosníkovej doske zaťaženej rovnomerným zaťažením

Obr. K-4 Statická schéma a výpočet prierezových síl na dvojpoľovom spojitom nosníku zaťaženom sústredenými silami v tretinách jeho rozpätí

Príloha M Hodnoty deformačných koeficientov crII´,crII´, cr, k, ,  , cr a k pre všetky typy nosníkov Obr. M-1 Obr. M-2 bcrII

acrII 1.000 0.900

Mi    M i  s  E  J   crII´  1  b b

 i

1.100 1.000

0.800

0.900

0.700

0.800

Qi    Q i     s  G  A   crII´  1 



0.700

0.600

0.500

0.400

0.300

0.200

y = -0,2018Ln(x) + 0,3174

0.100 0.000 0.00

y = -0,2988Ln(x) + 0,2523

0.100

gs 0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

Obr. M-3

0.000 0.00

gs 0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

Obr. M-4

rcr

0.800 3.500 0.700

y = 0,7598Ln(x) + 2,5915 3.000

0.600 2.500 0.500 2.000

0.400

1.500

0.300

y = 0,3012x-0,3976

1.000

0.200 n

0.100 0.000 0.00

y t ot

0.50

Mi    M i  s  E J   1  b b



1.00

1.50

2.00

2.50

0.500

0.000 0.00

 Mi    E  J M i   cr  s  1  b b



1.00

2.00

3.00

Obr. M-5

Obr. M-6

Gk 6.000

3.500

3.000

y = 2.1467Ln(x) + 4.2936

5.000

y = 0.8032Ln(x) + 2.5431 2.500

4.000

2.000 3.000

1.500 2.000

1.000 n

0.500

  Mi     k   E  J   M i  s  b b  1 

 i

1.000 yq

0.000 0.00

1.00

2.00

3.00

Obr. M-7

0.000 0.00

  Qi     k     Q i    s   G A   1



1.00

2.00

3.00

Obr. M-8

cr

9.000 1.000 8.000 7.000

y = 2.7641Ln(x) + 5.9527

0.800

6.000 0.600

5.000

y = -0.2893Ln(x) + 0.3686

4.000 0.400 3.000 2.000 n

1.000

 i

0.000 0.00

1

1.00

 Qi    Q i      cr  s  G A  2.00

3.00

0.200

0.000 0.00

1.00

2.00

Pracovné diagramy závislosti hladiny zaťaženia a deformačných koeficientov crII´,crII´, cr, k,  a  pre jednotlivé druhy nosníkov Obr. M-9 Obr. M-10 Nosník Ia

Nosník Ib

cr



 crII Hladina 2.0 zaťaženia

0 2.0

1.5

1.0

0.5

0.0



0.5

1.0

1.5

crII

1 2 3



1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.5 zaťaženia

1.0



crII

k

Obr. M-12 Nosník IIa

Nosník Ic

cr



 crI

Hladina 1.5 zaťaženia

0 1.0

0.5

0.0



0.5

1.0

crII

cr

Hodnoty deformačných koeficientov

Hladina

Obr. M-11

1.5

 crII

k

cr

Hodnoty deformačných koeficientov



 crII 0 2.0

1.5

1.0

0.5



0.0

0.5

1.0

1.5

Hladina

2.0 zaťaženia

crII

2 2

k

k 3

Obr. M-14

Obr. M-13 Nosník IIb

Nosník IIc

cr



 crI

1 0

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0



0.5

1.0

1.5

crII

2.0

Hladina zaťaženia

2 3



1.5

1.0

0.5

0.0

1.0

crI

1.5

Hladina zaťaženia

2 3

k

Obr. M-16 Nosník IIIa

Nosník IIIb

cr



 crII´

1 0



1.0

0.5

0.0 1

0.5

1.0

1.5

Hladina 2.0 zaťaženia

crII´

2 3 4

k

cr

Hodnoty deformačných koeficientov

0.5



k

Obr. M-15

1.5

 cr

2.0

cr

Hodnoty deformačných koeficientov



 crII´

Hladina

0 1.5

1.0



0.5

0.0 1

0.5

1.0

1.5 zaťaženia

crII´

2 3 4

k

Obr. M-17

Obr. M-18 Nosník IIIc 3

Nosník IVa

cr



 cr

0 3



cr

crI

Hladina 3 zaťaženia

Hodnoty deformačných koeficientov





1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

Obr. M-20

Obr. M-19 Nosník IVb

Nosník IVc

cr



 crII´

0 1.0

0.5



0.0

0.5

1.0

Hladina 1.5 zaťaženia

crII´

Hodnoty deformačných koeficientov

Hladina zaťaženia

k

1.5

crII´1.5

k

 crII´

 1.5

 crII

1.0

0 0.0

0.5



0.5

1.0

1.5

crII´

Hladina zaťaženia

k

Pracovné diagramy závislosti hladiny zaťaženia a deformačných koeficientov cr a k pre jednotlivé série nosníkov Obr. M-21 Obr. M-22 Séria I

Séria II 14

k

 cr

7 6 5

Ia Ib Ic

4 3 2

 cr

Hodnoty deformačných koeficientov

10 8 6

IIa IIb IIc

4 2

1 2.00

1.50

1.00

0.50

0 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

1.50

1.00

Hladina zaťaženia

0.50

1.50

2.00

Series IV

k

 cr

IIIa IIIb

Hodnoty deformačných koeficientov

1.00

Obr. M-24 Séria III

k

1.00

0.50

0 0.00

 cr

10 8

IVa IVb IVc

6 4

1.50

0.50

Hladina zaťaženia

Obr. M-23

2.00

0 0.00

0.50

Hladina zaťaženia

1.00

1.50

2.00

1.50

1.00

0.50

0 0.00

0.50

Hladina zaťaženia

1.00

1.50

2.00

Závislosť napätia betónu v jednotlivých základniach od hladiny zaťaženia pre jednotlivé série nosníkov Tabuľka M-1 Zaťaženie Hl.zaťaž.

10,3 kN s=0,1 30,9 kN s=0,3 51,5 kN s=0,5 72,1 kN s=0,7 92,7 kN s=0,9 103 kN s=1,0 123,6 kN s=1,2 144,2 kN s=1,4 160,0 kN s=1,55 147,0 kN s=1,42 124,0 kN s=1,20

Tabuľka M-2 Číslo základne

Séria I

M [kN.m] 0.000 0.000  0.000 bc M [kN.m] 0.000 0.000  0.000 bc M [kN.m] 0.000 0.000  0.000 bc M [kN.m] 0.000 0.000  0.000 bc M [kN.m] 0.000 0.000  0.000 bc M [kN.m] 0.000 0.000  0.000 bc M [kN.m] 0.000 0.000  0.000 bc M [kN.m] 0.000 0.000  0.000 bc M [kN.m] 0.000 0.000  0.000 bc M [kN.m] 0.000 0.000  0.000 bc M [kN.m] 0.000 0.000  0.000 bc 11.562 0,6.fck

0.721 0.148 0.734 2.163 0.445 2.203 3.605 0.742 3.671 5.047 1.038 5.139 6.489 1.335 6.608 7.210 1.484 7.342 8.652 1.780 8.810 10.094 2.077 10.279 11.200 2.305 11.405 10.290 2.117 10.478 8.680 1.786 8.839 11.562

1.442 0.297 1.468 4.326 0.890 4.405 7.210 1.484 7.342 10.094 2.077 10.279 12.978 2.670 13.216 14.420 2.967 14.684 17.304 3.560 17.621 20.188 4.154 20.558 22.400 4.609 22.810 20.580 4.235 20.957 17.360 3.572 17.678 11.562

1.597 0.329 1.626 4.790 0.986 4.878 7.982 1.642 8.128 11.176 2.300 11.381 14.368 2.956 14.631 15.965 3.285 16.257 19.158 3.942 19.509 22.351 4.599 22.760 24.800 5.103 25.254 22.785 4.688 23.202 19.220 3.955 19.572 11.562

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 11.562

Tabuľka M-3 Zaťaženie Hl.zaťaž. 7,8 kN s=0,1 23,3 kN s=0,3 38,9 kN s=0,5 54,4 kN s=0,7 70 kN s=0,9 77,7 kN s=1,0 93,3 kN s=1,2 108,8kN s=1,4 121,000 kN s=1,55 101 kN s=1,30 172 kN s=2,27

8.086 kN s=0,1 24.3 kN s=0,3 40,4 kN s=0,5 56,6 kN s=0,7 72,8 kN s=0,9 80,9 kN s=1,0 97 kN s=1,2 113,2 kN s=1,4 125 kN s=1,54 121 kN s=1,5 90 kN s=1,11

Číslo základne Séria II

0.566 0.146 0.679 1.698 0.437 2.036 2.830 0.728 3.394 3.962 1.019 4.752 5.094 1.310 6.109 5.660 1.456 6.788 6.792 1.747 8.146 7.924 2.038 9.504 8.750 2.251 10.494 8.470 2.178 10.158 6.300 1.620 7.556 19.734

1.132 0.291 1.358 3.396 0.873 4.073 5.660 1.456 6.788 7.924 2.038 9.504 10.188 2.620 12.219 11.320 2.912 13.576 13.584 3.494 16.292 15.849 4.076 19.008 17.500 4.501 20.988 16.940 4.357 20.317 12.600 3.241 15.112 19.734

1.658 0.426 1.988 4.973 1.279 5.964 8.288 2.132 9.940 11.603 2.984 13.916 14.919 3.837 17.893 16.576 4.263 19.880 19.892 5.116 23.857 23.207 5.969 27.833 25.625 6.591 30.733 24.805 6.380 29.749 18.450 4.745 22.128 19.734

0.666 0.171 0.799 1.998 0.514 2.396 3.329 0.856 3.993 4.661 1.199 5.590 5.993 1.541 7.188 6.658 1.712 7.985 7.990 2.055 9.583 9.322 2.398 11.180 7.700 1.980 9.235 9.100 2.341 10.914 9.100 2.341 10.914 19.770

1.332 0.343 1.598 3.995 1.028 4.791 6.658 1.712 7.985 9.322 2.398 11.180 11.985 3.083 14.374 13.317 3.425 15.971 15.980 4.110 19.165 18.644 4.795 22.360 15.400 3.961 18.470 18.200 4.681 21.828 18.200 4.681 21.828 19.770

1.474 0.379 1.768 4.423 1.138 5.305 7.372 1.896 8.841 10.321 2.655 12.378 13.269 3.413 15.914 14.744 3.792 17.683 17.692 4.550 21.219 20.641 5.309 24.755 17.050 4.385 20.449 20.150 5.183 24.167 20.150 5.183 24.167 19.770

Tabuľka M-4 Číslo základne

Séria III

Zaťaženie Hl.zaťaž.

0.544 0.112 0.554 1.633 0.336 1.663 2.721 0.560 2.771 3.809 0.784 3.879 4.898 1.008 4.988 5.442 1.120 5.542 6.530 1.344 6.650 7.619 1.568 7.759 8.470 1.743 8.625 7.070 1.455 7.199 12.040 2.477 12.260 12.756

1.088 0.224 1.108 3.265 0.672 3.325 5.442 1.120 5.542 7.619 1.568 7.759 9.795 2.015 9.974 10.884 2.240 11.083 13.060 2.687 13.299 15.237 3.135 15.516 16.940 3.486 17.250 14.140 2.909 14.399 24.080 4.955 24.521 12.756

1.594 0.328 1.623 4.781 0.984 4.869 7.968 1.640 8.114 11.156 2.295 11.360 14.343 2.951 14.606 15.937 3.279 16.229 19.124 3.935 19.474 22.311 4.591 22.720 24.805 5.104 25.259 20.705 4.260 21.084 35.260 7.255 35.906 12.756

Zaťaženie Hl.zaťaž. 9,5 kN s=0,1 28,5 kN s=0,3 47,6 kN s=0,5 66,6 kN s=0,7 85,6 kN s=0,9 95,1 kN s=1,0 114,1 kN s=1,2 133,2 kN s=1,4 110 kN s=1,15 130 kN s=1,366 130 kN s=1,37

Číslo základne Séria IV

Obr. M-25

Obr. M-26

Napätie betónu v jednotlivých základniach od hladiny zaťaženia. Séria I

1,1

0,3

0,5

[MPa]

0,7 0,9

0,6.fck

Napätie

[MPa]

0,1

1,2

5 0 1

Napätie betónu v jednotlivých základniach od hladiny zaťaženia. Séria II

0,3 0,5 0,7

0,6.fck

1,2

1,4

1,55

1,4 1,54

0,6.fck

Napätie betónu v jednotlivých základniach od hladiny zaťaženia. Séria III

0,1

0,3

bc [MPa]

0,5 0,7

0,9

0,6.fck

1,2 1,4

0,1 0,3 0,5

0,6.fck

10 1,2

1,4

0,6.fck

0 3

1,3

Hodnoty 1/ck, 1/, 1/crII', 1/crII', pomerov priehybov a deformačných energií jednotlivých nosníkov Tabuľka M-5 Ia Ib Ic IIa IIb IIc IIIa IIIb IIIc IVa IVb IVc

s=1

1/ck [-]

1/ 1/crII' 1/ crII' y1/y5  [-] [-] [-]

y2/y5 [-]

y3/y5 [-]

y4/y5 [-]

y6/y5 [-]

y7/y5 [-]

y8/y5 [-]

y9/y5 yck/y9 Eck/E9 E1/E5 E2/E5 E3/E5 E4/E5 E6/E5 E7/E5 E8/E5 E9/E5 [-] [-] [-] [-] [-] [-] [-] [-] [-] [%] [%]

2.73

3.42 3.18 3.80 0.87 0.87 0.90 0.87 1.14 0.97 0.99 1.04 6.50

8.30

0.91 0.89 0.91 0.88 1.11 0.94 0.97 1.03

s pri poruš 2.27

3.99 3.71 5.41 0.87 0.90 0.90 0.90 1.12 0.95 0.98 1.00 4.70

6.00

0.90 0.92 0.92 0.90 1.08 0.92 0.95 0.98

s=1

3.33 3.10 2.99 0.88 0.88 0.89 0.86 1.17 0.99 1.01 1.22 19.22 23.65 0.89 0.90 0.90 0.87 1.14 0.97 1.00 1.27

9.05

s pri poruš 13.19 3.86 3.60 4.46 0.87 0.89 0.89 0.89 1.14 0.97 0.99 1.26 23.00 27.98 0.89 0.91 0.90 0.90 1.10 0.94 0.97 1.30 s=1

4.32

2.93 2.72 2.67 0.90 0.90 0.91 0.84 1.16 0.99 1.00 1.11 11.43 14.38 0.92 0.91 0.92 0.85 1.13 0.97 1.00 1.13

s pri poruš 6.47

3.90 3.63 5.12 0.89 0.91 0.92 0.90 1.12 0.96 0.98 1.09 12.68 15.89 0.92 0.93 0.93 0.90 1.09 0.93 0.95 1.10

s=1

1.67

3.16 2.94 4.50 0.86 0.86 0.85 0.83 1.14 0.97 1.00 1.00 3.70

4.00

0.86 0.87 0.85 0.83 1.12 0.96 0.98 1.00

s pri poruš 4.30

3.37 3.14 6.98 0.88 0.89 0.86 0.84 1.09 0.93 0.95 1.01 8.30

9.10

0.87 0.90 0.86 0.85 1.07 0.92 0.94 1.00

s=1

5.83

3.85 3.58 5.05 0.88 0.89 0.84 0.83 1.15 0.98 1.00 1.08 9.80 10.66 0.84 0.90 0.84 0.83 1.13 0.97 0.99 1.08

s pri poruš 5.04

4.13 3.85 7.41 0.87 0.88 0.85 0.85 1.11 0.95 0.96 1.02 8.03

8.70

s=1

2.16

4.94 4.60 7.14 0.90 0.90 0.87 0.11 1.13 0.97 0.98 1.00 3.04

3.30

0.88 0.92 0.87 0.81 1.12 0.96 0.97 0.99

s pri poruš 5.97

4.88 4.53 7.16 0.92 0.93 0.87 0.81 1.13 0.97 0.98 1.05 8.07

8.80

0.88 0.94 0.88 0.81 1.12 0.96 0.97 1.05

s=1

0.86 0.89 0.85 0.85 1.09 0.93 0.95 1.02

2.78

3.81 3.54 4.63 0.85 0.85 0.84 0.83 1.15 0.98 1.00 1.00 5.00

5.40

0.84 0.86 0.84 0.83 1.14 0.97 1.00 1.03

s pri poruš 2.75

4.20 3.91 6.30 0.86 0.86 0.84 0.84 1.13 0.96 0.98 1.00 4.50

5.00

0.85 0.87 0.84 0.84 1.12 0.95 0.97 1.00

s=1

3.47

3.54 3.41 5.93 0.89 0.89 0.86 0.85 1.08 0.92 0.94 0.99 6.50

7.10

0.87 0.90 0.86 0.85 1.07 0.91 0.93 0.98

s pri poruš 2.63

4.02 3.85 6.53 0.88 0.88 0.85 0.85 1.09 0.93 0.95 0.98 4.50

5.00

0.86 0.89 0.85 0.85 1.08 0.92 0.94 0.97

s=1

0.54

3.13 2.92 2.26 0.83 0.83 0.85 0.87 1.19 1.01 1.04 1.02 1.20

1.30

0.84 0.84 0.85 0.87 1.18 1.01 1.03 1.02

s pri poruš 3.40

3.54 3.30 5.30 0.86 0.86 0.88 0.95 1.14 0.97 0.98 1.00 6.40

7.00

0.88 0.87 0.88 0.95 1.12 0.95 0.98 1.02

s=1

11.09 3.77 3.51 8.80 0.90 0.90 0.90 0.92 1.03 0.88 0.90 1.10 20.40 25.00 0.93 0.92 0.92 0.93 0.98 0.84 0.86 1.11

s pri poruš 11.99 4.00 3.72 9.74 0.91 0.93 0.91 0.94 1.03 0.88 0.90 1.10 20.70 25.40 0.94 0.95 0.93 0.94 0.98 0.83 0.85 1.11 s=1

3.34

3.30 3.07 4.78 0.87 0.88 0.89 0.86 1.11 0.95 0.97 1.03 8.10 10.30 0.89 0.90 0.90 0.86 1.70 0.91 0.95 1.01

s pri poruš 8.58

3.47 3.22 6.25 0.89 0.88 0.89 0.86 1.08 0.92 0.94 1.11 17.70 21.90 0.91 0.90 0.90 0.86 1.03 0.88 0.91 1.12

s=1

6.08

3.61 3.36 5.48 0.87 0.88 0.88 0.88 1.10 0.94 0.96 1.08 12.80 16.00 0.90 0.90 0.90 0.88 1.06 0.91 0.94 1.08

s pri poruš 4.76

3.79 3.52 6.45 0.87 0.88 0.89 0.88 1.09 0.93 0.95 1.02 9.90 12.50 0.90 0.90 0.91 0.89 1.04 0.89 0.92 1.01

4.78 Priemerná s=1 hodnota  pri poruš 5.95 s

3.57 3.33 4.84 0.88 0.88 0.87 0.85 1.12 0.96 0.98 1.05 8.97 10.78 0.88 0.89 0.88 0.86 3.93 3.66 6.42 0.88 0.89 0.88 0.88

1.1

0,6.fck 1,37

Základne

Označenie Hladina nosníkov zaťaženia

0,7 0,9

1,55

1,11 0,6.fck

Napätie betónu v jednotlivých základniach od hladiny zaťaženia. Séria IV

1,1

Napätie

[MPa] bc

Obr. M-28

Napätie

5 Základne

Obr. M-27

0,9 1

Základne

0,1

1.1

0.94 0.97 1.06

0.95 0.96 1.05 10.7 12.77 0.89 0.91 0.89 0.88 1.07 0.92 0.94 1.05

Podiel priehybov (fg/fc, fm/fc) celkové priehyby nosníkov namerané a vypočítané v strede rozpätia Tabuľka M-6 Zaťaženie [kN] fg/fc fm/fc fsk Ia fc M[kNm] fg/fc fm/fc fsk Ib fc M[kNm] fg/fc fm/fc fsk Ic fc M[kNm] fg/fc fm/fc IIa fsk fc M[kNm] fg/fc fm/fc IIb fsk fc M[kNm] fg/fc fm/fc fsk IIc fc M[kNm]

12 -0.01 1.007 0.235 0.071 1.86

21 0.012 0.988 0.406 0.091 3.25

0.01 0.99 0.182 0.426 3.25 0.11 0.89 0.414 0.74 4.3 0.127 0.874 0.415 0.575 4.3 0.122 0.878 0.123 0.335 2.46

30 0.013 0.967 0.59 0.204 4.85

40 0.014 0.986 0.78 0.316 6.2

1.093 0.248 0.39 4.85 0.013 0.987 0.451 0.632 4.85 0.06 0.94 0.626 0.99 5.11 0.097 0.904 0.732 0.905 6.25 0.099 0.9 0.841 1.16 6.25

1.032 0.504 0.42 6.2 0.015 0.985 0.662 0.96 6.2 0.08 0.92 0.887 1.32 8.2

60 0.898 0.909 1.27 0.941 9.43 0.03 0.97 1.016 1.14 9.43 0.06 0.94 0.877 1.144 9.43 0.12 0.88 1.37 1.91 9.51

67 0.098 0.902 1.465 1.154 10.52 0.037 0.963 1.231 1.62 10.52 0.067 0.933 1.093 1.68 10.52

0.15 0.85 1.67 2.25 14.35 0.161 0.838 2.069 2.38 14.35 0.134 0.866 1.708 1.83 14.35

80 0.117 0.883 1.93 1.56 13.77

0.17 0.83 2.02 2.61 16.5 0.18 0.82 2.525 2.69 16.5 0.169 0.831 2.906 3.085 16.5

91 0.138 0.862 2.36 1.977 14.4 0.103 0.896 1.89 2.21 14.4 0.1 0.9 1.775 3.29 14.4 0.19 0.81 2.37 2.98 18.65 0.178 0.822 2.86 3.06 18.65 0.182 0.82 3.363 3.486 18.65

100 0.147 0.853 2.68 2.29 15.95 0.111 0.889 2.1 2.46 15.95 0.115 0.885 1.951 2.527 15.95 0.2 0.8 2.67 3.32 20.6 0.185 0.815 3.271 3.5 20.6 0.18 0.82 3.76 3.86 20.6

110 0.156 0.844 3 2.6 17.51 0.12 0.88 2.32 2.72 17.51

0.21 0.79 3.017 3.77 22.55 0.2 0.8 3.73 3.99 22.55

120 0.162 0.838 3.295 2.898 19.01 0.14 0.86 2.71 2.83 19.01

0.22 0.78 3.32 3.8 24.7 0.212 0.788 4.206 4.485 24.7

125

130 0.163 0.837 3.63 3.2 20.36 0.16 0.84 3.099 2.95 20.36

140 0.164 0.836 3.98 3.506 22.25 0.17 0.83 3.468 3.17 22.25

147 0.172 0.828 4.32 3.89 23.62 0.17 0.83 3.78 3.795 23.62

160 0.18 0.82 4.655 4.26 25

0.16 0.84 3.317 3.155 19.51 0.23 0.77 3.627 3.9 25.62

Tabuľka M-7 Zaťaženie [kN] f g/f c f m/f c f sk IIIa fc M [kNm ] f g/f c f m/f c f sk IIIb fc M [kNm ] f g/f c f m/f c f sk IIIc fc M [kNm ] f g/f c f m/f c f sk IVa fc M [kNm ] f g/f c f m/f c f sk IVb fc M [kNm ] f g/f c f m/f c f sk IVc fc M [kNm ]

12 0.066 0.158 0.225 2.46

21 0.07 0.93 0.51 0.62 4.54 0.04 0.96 0.265 0.407 4.54 0 -0 1 1.002 0.109 0.25 0.21 0.4 2.46 4.54 0.13 0.87 0.289 0.43 3.38 0.52 0.48 0.05 0.62 3.38

30 0.08 0.92 0.617 0.795 6.8 0.059 0.94 0.521 0.696 6.8 0.01 0.99 0.44 0.61 6.56 0.13 0.87 0.56 0.67 4.87 0.15 0.85 0.3 0.86 4.87 0.088 0.912 0.485 0.92 4.87

40 0.088 0.912 1.022 1.18 8.44 0.06 0.94 0.824 0.97 8.44 0.02 0.98 0.631 0.82 8.44 0.13 0.87 0.882 0.96 6.52 0.12 0.88 0.53 1.22 6.52 0.096 0.904 0.77 1.14 6.52

60 0.096 0.904 1.427 1.58 12.53 0.09 0.91 1.465 1.64 12.53 0.03 0.97 1.152 1.31 12.53 0.19 0.81 1.42 1.56 9.62 0.13 0.87 1.06 1.64 9.62 0.13 0.87 1.309 1.67 9.62

67 0.12 0.88 1.638 1.88 13.97 0.12 0.88 1.734 1.79 13.97 0.03 0.97 1.25 1.31 13.97 0.22 0.78 1.93 1.99 10.4 0.155 0.845 1.5 2.08 10.4 0.155 0.845 1.804 2.15 10.4

91 0.172 0.826 2.401 2.815 19.1 0.196 0.81 2.654 2.68 18.89 0.08 0.92 1.994 2.065 18.89 0.25 0.75 2.44 2.43 14.21 0.18 0.82 1.95 2.53 14.22 0.18 0.82 2.299 2.64 14.21

100

110

0.2 0.8 3.271 3.29 20.94 0.088 0.912 2.253 2.34 20.94 0.26 0.74 2.87 2.79 15.82 0.18 0.82 2.255 2.84 15.82 0.19 0.81 2.538 2.95 15.82

0.099 0.901 2.54 2.64 22.55 0.27 0.73 3.434 3.17 17.32 0.19 0.81 2.47 3.12 17.32 0.19 0.81 2.888 3.1 17.32

120 0.19 0.81 3.882 4.03 24.84

130

160

170

0.11 0.12 0.14 0.155 0.89 0.88 0.86 0.845 2.84 3.15 4.12 4.672 2.94 3.21 4.415 4.68 24.84 26.88 33.03 35.08

0.2 0.21 0.8 0.79 2.84 3.2 3.45 3.6 19.16 20.46 0.19 0.22 0.81 0.78 3.174 3.54 3.58 3.93 18.16 20.46

Výpočet deformačnej energie železobetónových nosníkov Tabuľka M-8 Z a ťa ž e n ie [k N ]

20 21 30 31 32 40 41 58 66 80 90 91 92 100 101 102 110 120 121 122 125 130 133 140 147 160

N o s n ík Ia

N o s n ík Ib

N o s n ík Ic

N o s n ík IIa

N o s n ík IIb

N o s n ík IIc

V n ú to rn á e n e rg ia o d m o m e n to v a p rie č .s íl

kN m m kN m m kN m m kN m m kN m m kN m m kN m m kN m m kN m m kN m m kN m m kN m m 2 .3 2 .9 0 4 4 .3 2 .5 8 8 0 .1 5 2 4 5 .3 0 .1 5 2 3 .1 2 5 8 0 .3 3 3 9 .3 3 1 1 .2 2 5 0 .9 0 9 8 8 .1 0 .2 9 6 .2 0 .2 3 5 5 .2 2 0 .5 1 1 2 .0 0 2 1 8 .5 1 .8 9 .2 0 .3 8 7 .8 0 .3 8 8 .8 3 0 .6 8 1 5 .1 5 3 0 .0 3 7 2 .7 0 6 8 1 0 .3 0 .4 5 8 .0 7 3 0 .4 9 1 3 1 1 .8 3 0 .8 3 0 4 1 9 .6 8 8 1 .1 6 4 1 2 2 .2 0 4 2 .5 0 7 3 3 8 .4 5 3 .2 1 1 .4 0 5 0 .5 2 0 .0 5 1 .8 2 2 .9 3 6 1 .3 2 5 3 4 .1 7 8 2 .9 8 5 3 0 .5 3 .7 4 3 .5 4 .2 2 8 .3 3 .1 2 1 .9 3 2 .7 3 2 .1 5 3 .5 6 1 .3 3 8 .2 4 0 .3 5 3 .9 1 3 5 0 .6 6 7 5 .3 3 8 7 5 0 .0 5 5 .9 4 0 .3 5 .3 5 1 .3 1 5 .9 9 3 .2 2 1 4 .1 8 0 .3 1 4 .1 1 1 0 .3 5 1 8 .5 7 0 .5 8 .1 6 5 .8 6 .1 6 2 .3 2 6 .3 1 2 0 .3 3 2 0 .3 1 1 5 .2 5 2 0 .2 1 6 5 .2 5 2 9 .2 2 9 3 .3 1 0 .1 5 8 3 .5 7 .9 7 8 .4 2 3 8 .2 1 4 3 .8 1 2 5 .7 8 1 5 5 .3 5 2 8 .3 2 3 1 .2 4 4 1 .4 1 1 1 2 .1 1 2 .9 1 0 8 .1 9 .3 9 0 .5 5 1 0 .3 1 7 0 .0 5 3 2 .3 1 9 0 .1 3 6 .4 2 9 1 .5 9 5 4 .1 2 3 4 5 ,7 0 5 k N m m 1 3 3 .4 1 5 .3 5 1 3 0 .5 11 1 0 5 .3 1 1 2 .2 5 1 9 0 .3 2 3 8 .4 2 2 6 .4 4 3 .2 1 5 0 .8 7 1 7 .5 9 1 4 8 .4 6 1 1 .4 3 1 1 6 .1 4 1 3 .3 2 9 2 0 8 .9 1 4 4 .1 0 5 2 4 5 .3 4 8 .6 1 5 2 .8 20 1 6 5 .3 1 1 .8 1 6 1 .3 9 1 7 .5 7 5 2 2 7 .5 9 4 9 .7 2 4 2 6 5 .9 5 2 .7 1 8 0 .9 2 2 .8 1 8 5 .1 5 2 0 .3 1 8 5 .3 2 3 .8 1 2 4 5 .3 5 6 .1 1 2 8 4 .9 8 5 6 .7 6 8 1 9 1 .7 8 2 5 .0 5 2 0 2 .2 5 2 4 .9 2 1 0 .5 2 8 .5 3 2 5 0 .1 6 2 .3 1 2 3 2 2 .9 6 7 .6 235 3 5 .7 2 1 5 .3 5 2 9 .4 2 3 5 .3 3 3 .7 2 2 7 5 .3 8 6 6 .4 8 3 6 0 .2 7 8 .4 2 8 0 .2 7 4 5 .6 3 2 3 0 .1 5 3 3 .9 2 6 0 .5 1 3 8 .9 1 3 0 0 .0 5 7 6 .4 5 3 9 5 .1 5 8 8 .5 3 1 5 .2 5 3 .1 2 4 5 .3 5 3 7 .3 5 2 8 0 .4 5 4 3 .3 2 3 2 2 .8 8 4 .2 5 4 2 9 .3 5 9 9 0 2 3 7 5 2 8 ,5 8 4 k N m m 3 4 5 .9 5 7 .2 2 6 3 .4 5 4 1 .2 5 3 0 5 .4 4 9 .7 5 3 4 5 .9 9 3 .7 7 3 8 0 .1 6 3 .1 5 2 7 9 .2 5 4 6 .3 3 2 7 .2 7 5 3 .1 1 8 3 6 9 .9 6 1 0 0 .3 9 3 8 0 ,3 8 k N m m 4 7 0 ,3 4 6 k N m m 4 1 0 .2 6 8 .7 2 9 2 .1 5 5 0 .4 5 4 4 5 .9 7 4 .3 5 3 0 8 .8 2 5 4 .4 5 4 7 5 .3 8 0 .1 5 3 7 0 .8 6 0 .8 5 4 9 5 .9 8 6 .3 4 4 3 .8 6 5 .8 2 5 0 9 ,6 2 k N m m 5 3 9 .9 3 9 1 .5 1 6 3 1 ,4 4 k N m m F .w = 6 2 0 ,4 8 k N m mF .w = 4 9 4 ,2 7 6 k N m mF .w = 3 5 6 ,8 1 k N m m F .w = 4 7 9 ,0 k N m m F .w = 5 2 4 ,8 1 k N m m F .w = 3 5 0 ,5 0 k N m m 98% 97% 94% 101% 99% 101%

Tabuľka M-9 Z a ťa ž e n ie [k N ]

20 21 30 31 32 40 41 58 66 80 90 91 92 100 101 102 110 120 121 122 125 130 133 140 147 160 172

N o s n ík IIIa

N o s n ík IIIb

N o s n ík IIIc

N o s n ík IV a

N o s n ík IV b

N o s n ík IV c

V n ú to r n á e n e r g ia o d m o m e n to v a p rie č .s íl

V n ú to rn á e n e rg ia o d m o m e n to v a p r ie č .s íl

V n ú to r n á e n e rg ia o d m o m e n to v a p rie č .s íl

V n ú to rn á e n e rg ia o d m o m e n to v a p r ie č .s íl

V n ú to rn á e n e rg ia o d m o m e n to v a p rie č .s íl

V n ú to rn á e n e r g ia o d m o m e n to v a p rie č .s íl

kN m m 5 .3 0 4 3 1 0 .1 1 3 .3 7 7 1 9 .1 2 3 .3 2 8 .1 3 6 5 5 .3 8 0 .0 5 1 0 5 .1 1 3 0 .5 1 5 1 .4 6 1 6 0 .3 1 7 6 .3 1 8 9 .8 9 2 0 5 .3 2 3 0 .1 2 4 8 .1 6 3 2 8 ,2 2 5

kN m m kN m m 0 .4 2 3 1 0 .3 4 5 0 .6 3 1 0 .9 8 1 0 .5 1 .0 5 1 1 .1 1 .6 1 5 .3 1 .7 2 1 6 .5 1 .7 7 4 0 .3 7 .3 6 5 .2 1 1 .9 9 0 .4 1 6 .2 1 1 5 .1 2 0 .3 1 3 2 .9 8 2 4 .4 8 1 4 3 .1 2 7 .3 1 5 5 .3 3 0 .5 1 6 9 .6 5 3 2 .4 8 1 8 0 .1 3 5 .4 1 9 0 .2 3 8 .8 2 0 2 .6 1 4 1 .0 3 2 2 5 .4 4 7 .9 2 5 0 .1 5 4 .7 2 7 0 .4 6 1 .3 8 2 9 5 .1 6 9 .6 3 2 2 .6 8 7 2 .2 8 3 9 4 ,9 6 k N m m

kN m m 3 .6 9 3 3 7 .5 1 1 .0 5 1 2 .5 1 8 .7 2 4 .2 3 4 3 .8 6 0 .4 8 5 .2 1 0 2 .1 1 2 5 .2 1 4 5 .1 1 6 3 .5 1 8 6 .2 3 2 0 0 .1 2 1 9 .5 2 3 2 .3 2 2 8 0 .5 9 2 9 5 .3 3 1 2 .1 3 3 0 .2 3 4 9 .8 4 4 2 2 ,0 8 8

kN m m

7 .4 8 5 9 .4 5 1 2 .4 1 9 .0 2 2 5 .5 3 2 .1 0 4 6 0 .2 2 9 0 .1 0 1 1 2 0 .0 5 1 6 0 .1 1 8 0 .2 5 2 1 1 .7 4 2 3 0 .1 2 4 5 .7 2 6 0 .5 1 3 1 0 .5 3 6 8 .3 4 0 5 .8 3 4 8 5 ,6 6 8

0 .4 8 5 2 0 .9 3 1 .0 3 1 .4 2 1 .8 3 2 .2 7 1 7 .8 1 1 .2 1 8 .3 2 3 .8 2 8 .9 3 4 .1 3 8 3 7 .9 0 1 4 0 .1 4 3 .6 2 2 5 6 .3 6 7 .5 7 9 .8 3 8 kN m m

5 .1 9 4 8 .3 1 2 .3 1 4 .9 3 3 0 .8 3 3 .0 5 6 8 5 .9 1 0 5 .5 1 4 5 .3 1 7 5 .8 2 0 5 .5 9 2 2 5 .2 2 4 5 .3 2 6 2 .7 7 3 2 0 ,2 2 4

0 .4 8 9 0 .8 0 .9 5 1 .0 0 4 5 1 .4 1 1 .7 1 5 7 7 .8 1 3 .5 7 7 2 3 .5 3 2 .4 4 2 .4 7 4 4 7 .2 5 1 .9 5 7 .4 5 6 kN m m

kN m m

kN m m 0 .5 2 7 4 0 .7 5 1 .4 0 2 5 2 .0 8 2 .9 5 3 .2 3 5 1 2 .0 5 2 0 .3 2 8 .1 3 6 .5 4 3 .8 6 3 4 9 .1 5 5 4 .9 5 9 .7 7 6 6 .3 7 3 .3 8 0 .0 6 6 kN m m

kN m m 0 .4 2 7 4 0 .6 1 0 .8 1 1 1 .1 2 1 .5 7 2 6 .0 5 1 1 .0 4 1 5 .3 1 9 .8 2 4 .3 2 8 .4 3 3 .1 3 7 .2 6 2 4 0 .1 4 3 .2 4 6 .5 3 5 6 .8 3 5 6 1 .8 6 4 .9 6 8 .0 9 7 2 .2 5 kN m m

5 .5 0 .1 2 1 2 .1 0 .2 5 1 5 .5 0 .3 3 1 8 .2 0 .4 1 2 5 .3 0 .5 1 2 6 .6 0 4 0 .7 6 8 9 5 5 .3 3 .0 5 8 0 .9 6 .1 1 1 0 .1 8 .2 1 5 0 .2 1 0 .9 8 1 7 6 .8 4 1 3 .5 0 8 2 0 0 .0 5 1 6 .7 2 1 5 .3 1 9 .6 2 3 3 .4 2 2 .1 2 5 5 .1 2 3 .2 2 7 5 .2 2 8 .1 2 9 0 .3 3 1 .4 3 0 5 .9 3 4 .2 3 2 6 .3 3 3 7 .5 9 9 3 7 5 .5 4 6 .1 4 2 2 .3 5 5 .2 4 6 5 .5 6 5 .3 5 1 0 .3 7 4 .1 5 5 9 .1 8 3 .2 6 0 3 .5 9 1 .4 8 2 7 1 8 .2 8 1 2 0 .6 3 6 3 8 ,9 0 6 k N m m F .w = 4 5 8 ,6 3 k N m m F .w = 3 1 3 ,6 8 k N m m F .w = 7 9 7 ,6 0 k N m m F .w = 3 0 8 ,0 9 k N m m F .w = 4 2 1 ,6 6 k N m mF .w = 4 4 1 ,0 3 5 k N m m 94% 98% 98% 94% 106% 104%

Vzťah medzi koeficientom  a priehybom atot. Obr. M-29

Obr. M-30 Nosník Ia

40 MPa

35 MPa 30 MPa 25 MPa



35 MPa

b. d2

30 MPa 25 MPa

6 Hladina zaťaženia

4 12 MPa

fck,cyl=25,25 MPa

fck,cyl=22,17 MPa

atot(priehyb)[mm] 6

Hladina zaťaženia

35 MPa



30 MPa 25 MPa

2 b. d

30 MPa 25 MPa

6 Hladina zaťaženia

4 12 MPa



2 b. d

16 MPa

gs=1

atot(priehyb)[mm]

0 4

4 12 MPa

atot(priehyb)[mm]

SHAWKAT

Hladina zaťaženia

2 fck,cyl=21,50 MPa

Obr. M-33

2 4

truss method

Hladina zaťaženia

gs=1

2 fck,cy l=37,10 MPa

1 fck,cy l=30,74 MPa

SHAWKAT

gs=1

1 fck,cyl=19,57 MPa

SBETA

truss method

atot(priehyb)[mm]

SBETA

Obr. M-34 Nosník IIb

40 MPa 35 MPa



30 MPa 25 MPa

2 b. d

35 MPa 30 MPa 25 MPa

6 Hladina zaťaženia

16 MPa

Nosník IIc

40 MPa

M sd 8

20 MPa

gs=1



M sd 8 b. d2

16 MPa

gs=1

2 1

atot(priehyb)[mm]

SBETA

Hladina zaťaženia

4 12 MPa

atot(priehyb)[mm] 4

20 MPa

12 MPa

gs=1

truss method

1 fck,cy l=22,13 MPa

2 fck,cy l=39,65 MPa

2 2

SHAWKAT

Hladina zaťaženia

atot(priehyb)[mm]

SBETA

atot(priehyb)[mm] 6

SHAWKAT

2 fck,cy l=39,06 MPa

Hladina zaťaženia

Nosník IIA M sd 8

atot(priehyb)[mm]

gs=1

40 MPa 35 MPa

16 MPa

fck,cy l=29,75 MPa

Hladina zaťaženia

20 MPa

truss method

M sd 8

20 MPa

Obr. M-32 Nosník Ic

40 MPa

atot(priehyb)[mm]

2 fck,cyl=22,40 MPa

Obr. M-31

1 fck,cyl=23,20 MPa

SHAWKAT

gs =1

gs=1

Hladina zaťaženia

12 MPa

SBETA

SHAWKAT truss method

6 4

gs =1

atot(priehyb)[mm]

SBETA

b. d2

16 MPa



atot(priehyb)[mm]

M sd 8

20 MPa

20 MPa 16 MPa

Nosník Ib

40 MPa

M sd

Hladina zaťaženia

6 8

gs=1

Obr. M-35 Obr. M-36 Nosník IIIa

40 MPa 35 MPa 30 MPa 25 MPa

M sd



2 b. d

Nosník IIIb

40 MPa

35 MPa



30 MPa

25 MPa

20 MPa

M sd 2 b. d

20 MPa

16 MPa

Hladina zaťaženia

16 MPa

gs=1

12 MPa

atot(priehyb)[mm]

atot(priehyb)[mm] 5

2 2 Hladina zaťaženia 4

SHAWKAT

truss method

gs=1

Hladina zaťaženia

gs=1

1 fck,cy l=21,10 MPa

1 fck,cy l=25,26 MPa

SBETA

SHAWKAT truss method

atot(priehyb)[mm] 6

SBETA

gs=1

atot(priehyb)[mm]

Hladina zaťaženia

12 MPa

2 fck,cy l=22,63 MPa

2 fck,cy l=25,67 MPa

Obr. M-37

Obr. M-38 Nosník IVa

Nosník IIIC 40 MPa 35 MPa 30 MPa 25 MPa

40 MPa

M sd 8



2 b. d

35 MPa



30 MPa 25 MPa 20 MPa

20 MPa

M sd 2 b. d

16 MPa

Hladina zaťaženia

12 MPa

Hladina zaťaženia

12 MPa

gs =1

atot(priehyb)[mm] 6

Hladina zaťaženia

gs=1

Hladina zaťaženia

gs=1

2 fck,cy l=37,36 MPa

Obr. M-39

Obr. M-40 Nosník IVc

Nosník IVb 40 MPa 35 MPa



30 MPa 25 MPa

M sd 2 b. d

40 MPa

35 MPa

Hladina zaťaženia 16 MPa

12 MPa

gs=1

atot(priehyb)[mm] 0

16 MPa

SBETA

gs=1

truss method

1 fck,cy l=24,17 MPa

2 fck,cy l=39,51 MPa

atot(priehyb)[mm] 3

SHAWKAT

Hladina zaťaženia

2 Hladina zaťaženia

m 10

atot(priehyb)[mm] 6

2 fck,cy l=39,14 MPa

SBETA SHAWKAT

0 1

2 b. d

12 MPa

atot(priehyb)[mm] 2

M sd

20 MPa



30 MPa 25 MPa

20 MPa

truss method

1 fck,cy l=20,45 MPa

2 fck,cy l=24,85 MPa

truss method

gs=1

1 fck,cy l=35,91 MPa

SHAWKAT

sHAWKAT truss method

5 SBETA

SBETA

atot(priehyb)[mm] 0

atot(priehyb)[mm]

gs=1

m 10

gs=1

Vzťah medzi koeficientom  a priehybom atot.

Nosník Ia 40 MPa

35 MPa 30 MPa 25 MPa



M sd b. d2

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

4 12 MPa

atot(priehyb)[mm] 6

atot(priehyb)[mm]

0 4

SBETA

fck,cyl=25,25 MPa

fck,cyl=22,17 MPa

3 2

SHAWKAT truss method

gs=1

Hladina zaťaženia

gs=1

6 8

Obr. M-29

Nosník Ib

40 MPa 35 MPa



30 MPa 25 MPa

M sd 8 b. d 2

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

12 MPa

gs=1

2 1

atot(priehyb)[mm]

0 6

SBETA

fck,cyl=23,20 MPa

fck,cyl=22,40 MPa

2 2

SHAWKAT truss method

4 6 8

Obr. M-30

Hladina zaťaženia

gs=1

Nosník Ic

40 MPa 35 MPa



30 MPa 25 MPa

M sd 8 b. d 2

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

4 12 MPa

gs=1

2 1

atot(priehyb)[mm]

0 6

SHAWKAT

fck,cyl=21,50 MPa

Hladina zaťaženia

truss method fck,cyl=19,57 MPa

SBETA

gs=1

Obr. M-31

Nosník IIA

40 MPa 35 MPa



30 MPa 25 MPa

M sd 8 b. d

20 MPa

6 Hladina zaťaženia

16 MPa

gs=1

4 12 MPa

2 1

atot(priehyb)[mm] 6

SBETA

1 fck,cy l=30,74 MPa 2 fck,cy l=37,10 MPa

2 2

SHAWKAT truss method

atot(priehyb)[mm]

Hladina zaťaženia

6 8

Obr. M-32

gs=1

Nosník IIb

40 MPa 35 MPa

M sd 8



30 MPa 25 MPa

b. d

20 MPa

Hladina zaťaženia 16 MPa

gs=1

12 MPa

2 1

atot(priehyb)[mm] 6

atot(priehyb)[mm]

SBETA

SHAWKAT

truss method

Hladina zaťaženia

gs=1

1 fck,cy l=29,75 MPa 2 fck,cy l=39,06 MPa

Obr. M-33

Nosník IIc

40 MPa 35 MPa 30 MPa 25 MPa



M sd 8 b. d

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

gs=1

12 MPa

2 1

atot(priehyb)[mm]

0 6

4 SBETA

1 fck,cy l=22,13 MPa 2 fck,cy l=39,65 MPa

2 2

SHAWKAT truss method

Hladina zaťaženia

6 8

Obr. M-34

gs=1

Nosník IIIa

40 MPa 35 MPa 30 MPa 25 MPa

M sd



b. d

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

gs=1

12 MPa

2 1

atot(priehyb)[mm] 6

atot(priehyb)[mm]

SBETA

2 Hladina zaťaženia

SHAWKAT

truss method

gs=1

1 fck,cy l=25,26 MPa 2 fck,cy l=25,67 MPa

Obr. M-35

Nosník IIIb

40 MPa 35 MPa



30 MPa 25 MPa

M sd 2 b. d

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

12 MPa

gs=1

atot(priehyb)[mm] 6

0 4

atot(priehyb)[mm] 5

2 SBETA SHAWKAT truss method

2 4

Hladina zaťaženia

1 fck,cy l=21,10 MPa 8

2 fck,cy l=22,63 MPa 10

Obr. M-36

gs=1

Nosník IIIC 40 MPa 35 MPa 30 MPa 25 MPa

M sd 8



b . d2

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

12 MPa

atot(priehyb)[mm] 6

atot(priehyb)[mm]

gs=1

SBETA

sHAWKAT truss method

Hladina zaťaženia

gs=1

1 fck,cy l=35,91 MPa 2 fck,cy l=24,85 MPa

Obr. M-37

Nosník IVa 40 MPa 35 MPa



30 MPa 25 MPa 20 MPa

M sd b. d 2

16 MPa

Hladina zaťaženia

12 MPa 2

gs=1

atot(priehyb)[mm]

atot(priehyb)[mm] 0

SBETA

Hladina zaťaženia

1 fck,cy l=20,45 MPa 2 fck,cy l=37,36 MPa

SHAWKAT truss method

Obr. M-38

gs=1

Nosník IVb 40 MPa 35 MPa



30 MPa 25 MPa

M sd 2 b. d

20 MPa

Hladina zaťaženia 16 MPa

12 MPa

gs=1

atot(priehyb)[mm]

atot(priehyb)[mm] 0

SBETA SHAWKAT

Hladina zaťaženia

truss method

gs=1

1 fck,cy l=24,17 MPa 8

2 fck,cy l=39,14 MPa

m 10

Obr. M-39

Nosník IVc 40 MPa 35 MPa



30 MPa 25 MPa

M sd b . d2

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

gs=1

12 MPa 2

atot(priehyb)[mm]

0 6

SBETA

1 fck,cy l=24,17 MPa 2 fck,cy l=39,51 MPa

SHAWKAT truss method

2 Hladina zaťaženia

m 10

Obr. M-40

gs=1

Vzťah medzi koeficientom  a priehybom atot. Obr. M-29

Obr. M-30 Nosník Ia

40 MPa

35 MPa 30 MPa 25 MPa



35 MPa

b. d2

30 MPa 25 MPa

6 Hladina zaťaženia

4 12 MPa

Hladina zaťaženia



30 MPa 25 MPa

2 b. d

30 MPa 25 MPa

6 Hladina zaťaženia

4 12 MPa

Hladina zaťaženia

gs=1

Nosník IIA 

M sd 8 2 b. d

16 MPa

gs=1

4 2

atot(priehyb)[mm]

0 4

atot(priehyb)[mm]

SHAWKAT

Hladina zaťaženia

2 fck,cyl=21,50 MPa

Obr. M-33

2 4

truss method

Hladina zaťaženia

gs=1

2 fck,cy l=37,10 MPa

1 fck,cy l=30,74 MPa

SHAWKAT

gs=1

1 fck,cyl=19,57 MPa

SBETA

truss method

atot(priehyb)[mm]

SBETA

12 MPa

atot(priehyb)[mm]

Obr. M-34 Nosník IIb

40 MPa 35 MPa



30 MPa 25 MPa

2 b. d

35 MPa 30 MPa 25 MPa

6 Hladina zaťaženia

16 MPa

Nosník IIc

40 MPa

M sd 8

20 MPa

gs=1



M sd 8 b. d2

16 MPa

gs=1

2 1

atot(priehyb)[mm]

SBETA

Hladina zaťaženia

4 12 MPa

atot(priehyb)[mm] 4

20 MPa

12 MPa

gs=1

truss method

1 fck,cy l=22,13 MPa

2 fck,cy l=39,65 MPa

2 2

SHAWKAT

Hladina zaťaženia

atot(priehyb)[mm]

SBETA

atot(priehyb)[mm] 6

SHAWKAT

2 fck,cy l=39,06 MPa

gs=1

40 MPa 35 MPa

16 MPa

1 fck,cy l=29,75 MPa

Hladina zaťaženia

20 MPa

truss method

M sd 8

20 MPa

2 fck,cyl=22,40 MPa

Nosník Ic

35 MPa

atot(priehyb)[mm]

Obr. M-32

40 MPa

1 fck,cyl=23,20 MPa

SHAWKAT

gs =1

Obr. M-31

gs=1

0 6

2 fck,cyl=22,17 MPa

atot(priehyb)[mm]

1 fck,cyl=25,25 MPa

Hladina zaťaženia

12 MPa

SBETA

SHAWKAT truss method

6 4

gs =1

atot(priehyb)[mm]

SBETA

b. d2

16 MPa



atot(priehyb)[mm]

M sd 8

20 MPa

20 MPa 16 MPa

Nosník Ib

40 MPa

M sd

Hladina zaťaženia

6 8

gs=1

Obr. M-35

Obr. M-36 Nosník IIIa

40 MPa 35 MPa 30 MPa 25 MPa

M sd



2 b. d

Nosník IIIb

40 MPa

35 MPa



30 MPa

25 MPa

20 MPa

M sd 2 b. d

20 MPa 16 MPa

Hladina zaťaženia

16 MPa

gs=1

12 MPa

atot(priehyb)[mm]

atot(priehyb)[mm] 5

2 2 Hladina zaťaženia 4

SHAWKAT

truss method

gs=1

Hladina zaťaženia

gs=1

1 fck,cy l=21,10 MPa

1 fck,cy l=25,26 MPa

SBETA

SHAWKAT truss method

atot(priehyb)[mm] 6

SBETA

gs=1

atot(priehyb)[mm]

Hladina zaťaženia

12 MPa

2 fck,cy l=22,63 MPa 2 fck,cy l=25,67 MPa

Obr. M-37

Obr. M-38 Nosník IVa

Nosník IIIC 40 MPa 35 MPa 30 MPa 25 MPa

40 MPa

M sd 8



2 b. d

35 MPa



30 MPa 25 MPa 20 MPa

20 MPa

M sd 2 b. d

16 MPa

Hladina zaťaženia

12 MPa

Hladina zaťaženia

12 MPa

gs =1

atot(priehyb)[mm] 6

Hladina zaťaženia

gs=1

Hladina zaťaženia

gs=1

2 fck,cy l=37,36 MPa

Obr. M-39

Obr. M-40 Nosník IVb

40 MPa 35 MPa



30 MPa 25 MPa

M sd 2 b. d

Nosník IVc 40 MPa

35 MPa

Hladina zaťaženia 16 MPa

12 MPa

atot(priehyb)[mm]

16 MPa

SBETA

gs=1

truss method

2 fck,cy l=39,51 MPa

1 fck,cy l=24,17 MPa

fck,cy l=24,17 MPa

atot(priehyb)[mm] 3

SHAWKAT

Hladina zaťaženia

2 Hladina zaťaženia

m 10

atot(priehyb)[mm]

2 fck,cy l=39,14 MPa

SBETA SHAWKAT

0 1

2 b. d

12 MPa

atot(priehyb)[mm] 2

M sd

20 MPa

gs=1



30 MPa 25 MPa

20 MPa

truss method

1 fck,cy l=20,45 MPa

2 fck,cy l=24,85 MPa

truss method

gs=1

1 fck,cy l=35,91 MPa

SHAWKAT

sHAWKAT truss method

5 SBETA

SBETA

atot(priehyb)[mm] 0

atot(priehyb)[mm]

gs=1

m 10

gs=1

Zadanie z predmetu Železobetónové nosné konštrukcie, 4.ročník, zimný semester Prednášateľ: Študent : .......................................ročník: ............ študij.skup.: ....... Zadané dňa : .................................

Stropná doska

Trámy Stužujúce steny

H=n

Celková výška objektu

Stužujúce steny

Stlpy Základová pätka

L1 Prievlaky

L1 L1 L1

L2 L2

Zadané údaje  Účel stavby: byty, administratíva, kaviarne a reštaurácie, knižnice  Osová vzdialenosť stĺpov L1 = 4.0, 4.2, 4.6, 4.8, 5.0, 5.2, 5.6, 5.8, 6.0 m L2 = 4.0, 4.5, 5.0, 5.5, 6.0 m  Konštrukčná výška podlažia: v = 2.8, 3.0, 3.2, 3.6, 4.0, 4.2, 4.8 m  Počet podlaží : n = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  Použitý betón : C20  Použitá oceľ : (V) 10425 Cieľom zadania je vypracovať  Výkres tvaru monolitickej železobetónovej trámovej stropnej konštrukcie (pomôcka č.1)  Predbežný návrh rozmerov (príloha J)  Geometrický tvar - stropná doska  Statickú schému (príloha K) - trám  Výpočet zaťaženia (tab. 2.2.1) - prievlak  Výpočet vnútorných síl (príloha K) - stĺp (min. 300 x 300 mm)  Návrh a posúdenie výstuže (príloha A podľa - schodisko STN, príloha A podľa EC2) - základová pätka  Schéma výstuže

Literatúra [1] ACI: Cracking of concrete members in direct tension. ACI Journal, Vol. 83, January February, 1986 [2] Aide - mémoire: Composants en béton précontraint. Bordas, Paris, 1979 [3] Bažant, B.: Predpínací výstuž - její využití. Český svaz stavebních inženýru, Praha, 1978 [4] Beeby, A. W.: The Prediction of Crack Widths in Hardened Concrete, Cement and Concrete Association, London, 1979 [5] Bjarne, Ch. J.: Lines of Discontinuity for Displacements in the Theory of Plasticity of Plain and Reinforced Concrete, Magazine of Concrete Research, Vol. 27, No. 92, September, 1975 [6] Boulet, B.: Aide - mémoire du second oeuvre du batiment. Bordas, Paris, 1977 [7] Bradáč, J.: Mezní stav šířky trhlin kolmých k ose prvku. Sborník "Navrhování betonových konstrukcí podle revize ČSN 73 1201", 2. část, DT ČSVTS, Praha, 1986 [8] Brooks, J. J., Neville, A. M.: A comparison of creep, elasticity, and strength of concrete in tension and in compression. Magazine of Concrete Research, Vol. 29, 1977 [9] Brodniansky, J.: Modern structure systems, Symposium Progressive Construction in Architecture, Bratislava-Dunajská Streda, May 23 – 25, 2001. (In Slovak) [10] Brodniansky, J., Recký, J., Shawkat, S.: Rekonštrukcia nosných strešných konštrukcií montážnych hál - Regena s.r.o. Pezinok, Aktív pracovníkov odboru oceľových konštrukcií. Zborník prednášok, Banská Štiavnica, október 1998, s. 63 - 68. (In Slovak) [11] CEB - Bull. 124/125 - F: Code modéle CEB - FIP pour les structures en béton. CEB, Paris, 1980 [12] CEB - Bull. 156 - F: Fissuration et déformations. École Polytechnique Fédérale de Lausanne,1983. [13] CEB - FIP Model Code 1990, Comité Euro - International du Béton, 1991 [14] CEB - Bull. 159: Simplified methods of calculating short term deflections of reinforced concrete slabs. Paris - Lausanne, 1983 [15] CC. BA 68: Régles Techniques de conception et de calcul des ouvrages et constructions en béton armé. D.T.U. Paris, 1975 [16] Cesnak, J.: Vzajomný pomer komponentov súdržnosti ocele s betónom v železobetónových konštrukciach, Výskumná úloha 8/71, SVŠT, Bratislava, 1974 [17] Cesnak, J., Čabrák, M., Shawkat, S.: Výpočty železobetónových konštrukcií s uvážením nelineárnych vlastností materiálov. Záverečná správa grantovej úlohy VEGA č. 4/A/I/1/1/94, KBKaM SvF STU Bratislava, 1996. [18] Cesnak, J., Shawkat, S.: Expertízny posudok blokov I, II jadrovej elektrárne v Mochovciach, Bratislava, 1996. [19] Consenza, E., Greco, C.: Comparison and Optimization of Different Methods of Evaluation of Displacements in Cracked Reinforced Concrete Beams. Materials and Structures, No. 23, 1990 [20] Coates, R. C., Coutie, M. G., Kong, F. K.: Structural analysis, Second Edition, Hong Kong, 1980 [21] Červenka, V.: Systém pro automatizované zkoušení betonu. Stavebnícky časopis, 32, č. 4, 1984 [22] ČSN 73 1201 - 86a: Navrhování betonových konstrukcí, ÚNM, Praha, 1987 [23] Davidovici, V.: Béton armé, aide - mémoire. Bordas, Paris, 1974 [24] Eibl, J.: Concrete Structures. Euro - Design Handbook. Karlsruhe, 1994 – 96 [25] Edward, G., Nawy, P.E.: Prestressed Concrete A fundamental Approach. Part 1, New Jersey, 1989 [26] Elvery, R., Shafi, M.: Analysis of shrinkage effect on reinforced concrete structural members. ACI Journal, Vol. 67, 1970

[27] Goto, Y.: Cracks Formed in Concrete Around Deformed Tension Bars, Journal of the ACI, No. 68, April, 1971 [28] Gregor, J. G.: Reinforced Concrete, New Jersey, 1988 [29] Gvozdev, A. A.: Novoje v projektirovanii betonnych i železobetonnych konstrukcij. Moskva, 1978 [30] Goulet, J.: Résistance des matériaux. aide - mémoire, Bordas, Paris, 1976 [31] Gupta, A. K.: Unified Approach to Modelling Postcracking Membrane Behavior of Reinferced Concrete, Journal of Structural Engineering, Vol. 115, No. 4, April, 1989 [32] Gupta, A. K.: Postcracking Behavior of Membrane Reinforced Concrete Elements Including Tension-Stiffening. Journal of Structural Engineering, Vol.115, No. 4, April, 1989 [33] Hájek, J.: Pretvorenia betónových konštrukcií. VEDA , Bratislava, 1994 [34] Hájek, J.: Pretvorenia betónových konštrukcií pri interakcii ohybu a osovej sily. Acta Polytechnica, ČVUT 12, séria I, č. 2, 1978 [35] Hájek, J.: Výpočet pretvorení železobetónových prvkov pri krátkodobom a dlhodobom zaťažení. In: Metody navrhování betónových konstrukcí. Dum techniky ČSVTS, Brno, 1983 [36] Hájek, J.: Výpočet medze porušenia prvkov z prostého betónu s uvážením súčiniteľa spádu pretvorenia podľa revízie ČSN 73 1201. Pozemní stavby 33, č. 2, 1985 [37] Hanečka, Š., Križma, M., Ravinger, J., Shawkat, S.: Contribution to Limit State of the Second Group of Beams Subjected to Moving Load. First Slovak Conference on Concrete Structures, Bratislava, September, 13. – 14.1994, s. 275 – 283 (In Slovak) [38] Hsu, T. T. C.: Torsion of reinforced concrete. Van Nostrand Reinhold, New York, 1984 [39] Ismail, M. A., Jirsa, J. O.: Bond deterioration in reinforced concrete subject to low cycle loads. ACI Journal, Vol. 69, June, 1972 [40] Klink, S. A.: Actual Elastic Modulus of Concrete. ACI Journal, September - October, 1985 [41] Kozák, J.: Vežové stavby – spločné dielo inžinierov a architektov, Symposium Progressive Construction in Architecture, Bratislava-Dunajská Streda, May 23 – 25, 2001 [42] Králik, J., Prekop, Ľ.: Nelineárna numerická a experimentálna analýza železobetónového nosníka. ANSYS Users Meeting, Horní Bečva v Beskydech, Česká republika, 19. - 20. 10. 1995 [43] Leonhardt, F.: Reducting Shear Reinforcement in Reinforced Concrete Beams and Slabs, Magazine of Concrete Research, Vol. 17, No. 53, December, 1965 [44] Leonhardt, F.: Recommendations for the Degree of Prestressing Prestressed Concrete Structures. FIP Notes 69, July - August, 1977 [45] Leonhardt, F.: Crack Control in Concrete Structures. ACI Journal, July - August, 1988 [46] Leonhardt, F.: Vorlesungen uber Massivbau. Vol. 4, 1978 [47] Lenkei, P.: Deformation capacity in reinforced concrete slabs. In: IABSE Colloquium Plasticity in reinforced Concrete, Copenhagen, 1979 [48] Leong, T. W., Warner, R. F.: Creep and shrinkage in reinforced concrete beams. Journal of the Structural Division, Vol. 96, March, 1970 [49] Navrhování betonových konstrukcí pro prostý a železový beton" - I. díl. Sborník příspěvku ČSVTS, Brno, 1987 [50] Navrhování betonových konstrukcí - pro prostý a železový beton" - II. díl. Sborník příspěvku ČSVTS, Brno, 1987 [51] Nürnbergerova, T., Križma, M., Bolha, L., Shawkat, S.: Strain energy of RC beams subjected to a moving load. Indian Journal of Engineering and Material Sciences 5, June 1998, s. 111-116 (In English) [52] Procházka, J., Tichý, M.: Eurokód 2, Navrhování betonových konstrukcí - díl 1, Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby, Praha, 1992

[53] Placas, A., Regan, P.E.: Limit - state design for shear in rectangular and "T" beams. Magazine of Concrete Research, December, 1970 [54] Placas, A., Regan, P.E.: Shear Failure of Reinforced Concrete Beams. Journal ACI, October, 1971 [55] Pitoňák, A., Nürnbergerová, T., Shawkat, S.: Pretvárne charakteristiky betónových nosníkov vystužených predpätými tyčami. Stavebné Materiály a Skúšobníctvo, Zborník Podbanské, Vysoké Tatry, 27.- 29. máj 1998, s. 156 – 158. (In Slovak) [56] Prekop, L., Shawkat, S., Králik, J.: Modelovanie experimentálnych priehybov prútových betónových prvkov. Vybrané problémy stavebnej mechaniky. Zborník prednášok z vedeckej konferencie pri príležitosti 70. narodenín Prof. Ing. J. Sobotu, DrSc., Bratislava, September, 1996, s. 231 – 236. (In Slovak) [57] Rehm, G., Eligehausen, R., Mallee, R.: Limitation of Shear Crack Width in Reinforced Concrete Construction. University of Stuttgart, Heft 6, 1983 [58] Rehm, G.: Berechnung der Breite von Schubrissen in Stahlbetonbauteilen. Ausfsatz fur CEB. Stuttgart, 1977 [59] Sargin, M: Stress - strain relationships for concrete and the analysis of structural concrete sections. University of Waterloo, Study No. 4, 1971 [60] Saliger, R.: Der Stahlbetonbau. 8. Auflage. Franz Deuticke, Wien, 1956 [61] Schlaich, J., Scheef, H.: Concrete box - girder bridges. Structural Engineering Documents 1e. Stuttgart, January, 1982 [62] Shawkat, S.: Deformácie konštrukcie. Medzinárodná vedecká konferencia - 60. Výročie Stavebnej fakulty STU v Bratislave. Zborník vedeckých prác. Bratislava, 18. - 20. november 1998, s. 105 – 110. (In Slovak) [63] Shawkat, S.: Deformation of reinforced concrete beams. Proceedings of the RILEM International Conference Concrete bridges, Štrbské pleso, 22. - 24. september 1997, s.259264 (In English) [64] Shawkat, S., Križma, M., Cesnak, J., Bartók, A.: Moment and Shear Deflection for Reinforced Concrete Beams. Slovak Journal of Civil Engineering, Volume II, No. 2-3, 1994, s. 12 – 15. (In English) [65] Shawkat, S., Cesnak, J.: Crack Development and Strain Energy of Reinforced Concrete Beams. First Slovak Conference on Concrete Structures, Bratislava, September 1994, s. 387 – 394. (In English) [66] Shawkat, S., Cesnak, J.: Deflection of Reinforced Concrete Beams due to Actions of Shearing Forces. Proceedings of an International Conference RILEM. Failures of Concrete Structures, Štrbské pleso, 1993. (In English) [67] Shawkat, S., Križma, M, Cesnak, J.: Determination of Strain Energy on Reinforced Concrete Beams. Slovak Journal of Civil Engineering, Volume II, 1994, s. 1 – 4. (In English) [68] Shawkat, S., Cesnak, J.: Deformations of Reinforced Concrete Beams Subjected to Stationary Loading. Inžinierske stavby 43, č. 9 -10, 1995, s. 322 – 325. (In English) [69] Shawkat, S., Bolha, Ľ.: Vnútorná energia prútových bet´onových prvkov pri pohyblivom zaťaženi. Inžinierske stavby, 43, č. 4, 1995, s. 118 – 122. (In Slovak) [70] Shawkat, S., Nürnbergerová, T., Pitoňák, A.: Ohybová tuhosť prútových betónových prvkov. Betonárske dni 1996, Zborník prednášok, Bratislava, September, 1996, s. 163 – 168. (In Slovak) [71] Shawkat, S., Križma, M.: Šmyková tuhosť betónových prvkov po vzniku trhlín. Vybrané problémy stavebnej mechaniky. Zborník prednášok z vedeckej konferencie pri príležitosti 70. narodenín Prof. Ing. J. Sobotu, DrSc., Bratislava, September, 1996, s. 261 – 266. (In Slovak) [72] Shawkat, S., Križma, M., Šuchtová A.: Deformation behaviour of Reinforced Concrete Beams. Slovak Journal of Civil Engineering, č. 3-4, 1996, s. 46 – 53. (In Slovak)

[73] Shawkat, S.: Vplyv priečnych síl na priehyb prútových nosníkov [Dizertačná práca]. Bratislava, SvF STU, 1993. (In Slovak) [74] Shawkat, S., Sýkorová, K.: Architectural design of multipurpose buildings in precast concrete. Symposium Multipurpose Buildings - Architecture and Construction, Bratislava, 2000, s. II15-II22 (In English) [75] Shawkat, S., Sýkorová, K.: Conections in precast concrete. Symposium Multipurpose Buildings “Architecture and Construction”, Bratislava, 2000, s. II29-II34. (In English) [76] Shawkat, S. -Sýkorová, K.: Survey of Precast Structural Systems, In: Symposium Progressive Construction In Architecture, Bratislava – Dunajská Streda, 2001, s. II-11-18. (In English) [77] Shawkat, S. -Sýkorová, K.: Seismic Design Concepts for Precast Concrete In Buildings, In: Symposium Progressive Construction In Architecture, Bratislava – Dunajská Streda, 2001, s. II-35-38. (In English) [78] Shawkat, S.: Design of reinforced concrete members, Pelikan, Bratislava, 2000,. 264 pp. (In English) [79] Shawkat, S.: Deformation behaviour of reinforced concrete beams. Habilitation thesis Faculty of Civil Engineering, Slovak University of Technology, Bratislava, 2000, 174 s. (In Slovak and In English) [80] Shawkat, S.: Metóda výpočtu šírky šykmých trhlín podľa F. Leonhardta. Slovenskopoľsko-české sympózium o mechanike “Nelineárna mechanika”, Bratislava, 2000, s. 87- 90. (In Slovak) [81] Shawkat, S.: Metóda výpočtu šírky šikmých trhlín podľa CEB-FIB. III. Slovenskopoľsko-české sympózium o mechanike - Nelineárna mechanika, Bratislava, 2000, s. 91-94. (In Slovak) [82] Shawkat, S.: Modelovanie interakcie zeminy a stavby, Stavebný trh, ročník 4, 1, 2002, s. 23 –24 (In Slovak) [83] Šmerda, Z., Krištek, V.: Dotvarování a smršťování betonových prvku a konstrukcí. SNTL, Praha, 1978 [84] Vagner, V. W., Erlhof, G.: Praktische Baustatik. Teil 1, 2, 3, Stuttgart, 1977 [85] Vecchio, F. J.: Reinforced Concrete Membrane Element Formulations. Journal of Structural Engineering, Vol. 116, No. 3, March, 1990