Staatliche Fachschule f체r Bau, Wirtschaft und Verkehr Gotha
Physikbeleg zur Bestimmung des Elastizit채tsmodules aus der Durchbiegung
Von: Herbst, John, Gr체ttner
Bestimmung des Elastizitätsmoduls aus der Durchbiegung
1. Aufgabenstellung und Vorüberlegungen
2. Geräte, Hilfsmittel, Unterlagen
3. Versuchsbeschreibung
4. Messergebnisse
5. Berechnung der gesuchten Zielgrößen
6. Fehlerbetrachtung
7. Bewertung der Ergebnisse
8. Quellen und Anlagen
9. Selbständigkeitserklärung
1. Aufgabenstellung und Vorüberlegungen 1.1 Aufgabenstellung: Modellträger verschiedenen Querschnitts sind als Träger auf zwei stützen mittig zu belasten und zu entlasten und die Durchbiegung mittels Tiefenmessuhr zu messen. Die Durchbiegung f sind zu messen. Es sind die Durchbiegungen f als Funktion der belastungsgrafisch darzustellen und ihre Verläufe zu diskutieren. Aus den aufgenommenen Be- und Entlastungskurven sind die bleibenden Durchbiegungen zu ermitteln. Für die einzelnen Träger sind die E – Modulie der Trägermaterialien zu errechnen und die erhaltenden Werte zu diskutieren. Es ist zu untersuchen, wie sich Messfehler auf die zu errechnenden Werte für die E- Moduln auswirken ( Fehlerrechnung)
1.2 Vorüberlegungen - laut erster Sichtprüfung wurde angenommen, daß das es sich bei den zu untersuchenden Prüfkörpern um folgende Materialien handeln könnte: 1. Holz 2. Kupfer 3. Stahl
2.
Versuchsgeräte und Versuchsmaterial
1. Stativzubehör 1.1 Stativ 1.2 Messuhr 1.3 Auflagerkanten 3. Waage mit zugehörigen Gewichtssätzen (50g – 350g) 4. Messschieber 5. Maßband 6. Modelträger aus verschiedenen Materialien und verschiedenem Querschnitt/Profil
3. Versuchsbeschreibung 3.1 E-Modul: Das E-Modul beschreibt die Elastizität bestimmter Materialien unter dynamischen Einflüssen, es ist eine Materialkonstante für die Berechnung der Längenänderung, Durchbiegung und Formänderung von Bauteilen. Je grösser das E- Modul, desto kleiner die Dehnung bzw. Durchbiegung die ein Material bei einer gegebenen Spannung erfährt. Es wird in N/mm2 angegeben.
E = m*g*l³/48*I*f
3.2 Grundlagen:
Belastet man eine Träger auf zwei Stützen mittig, so ist die Durchbiegung in bestimmten Grenzen der Belastung proportional:
F~f Dieser Zusammenhang wird durch das Hookesche Gesetz ausgedrückt. Für Zug und Druckbelastungen gilt:
σ=E*ε σ = Fn/A
(Normalspannung = Kraft / Querschnittfläche)
ε = ∆l/lo
(relative Dehnung = Längenänderung / ursprüngliche Länge)
E – Elastizitätsmodul (-Materialkonstante-)
(Verhältniss zwischen Normalspannung und relativer Dehnung)
Den E- Modul dünner Materialien (Drähte) bestimmt man durch Zugbelastung. Bei größeren Querschnitten (Stäbe, Träger) ermittelt man den E- Modul aus Biegeversuchen. Für die Durchbiegung f eines durch eine mittige Einzellast belasteten Träger auf 2 Stützen ergibt sich: F * l3 f = ——— 48 EI
bzw.
mgl3 f = ——— 48 EI
F
->
Belastung
l
->
Abstand der Auflagerpunkte
E ->
Elastizitätsmodul
I
Flächenträgheitsmoment
->
m ->
Masse der Einzellast
3.2 Beschreibung: verschiedene Materialien werden auf Zug beansprucht um ihre Durchbiegung zu ermitteln Abmessungen der zu untersuchenden Profile sind mehrmals zu messen die äußeren Materialeigenschaften und deren Form ist aufzunehmen für diesen Versuch muss das zu untersuchende Material auf einen Träger auf zwei Stützen gelegt wird Auflagerabstand wird möglichst genau gemessen an diesen Träger werden mittig proportional Gewichte angehängt nun kann die Durchbiegung bei verschiedener Zugbeanspruchung von der Tiefenmessuhr abgelesen werden Vorbelastung von 200 g ist anzuhängen, Messuhr in der Mitte des Trägers auf Null stellen danach stufenweise Belastung der Träger bis zur Maximallast von 350 g, jeweils die Durchbiegung messen Umweltparameter : - Luftdruck: 1013 mbar -Temperatur: 20 °C
3.3
Foto :
7.
Maßeinheiten Träger 1
Holz (rechteckig)
Messergebnisse b, h, DA, di mm
I
l
m
f
ØE
E-Tab
mm4
mm
N/ mm2
636,842
767
Da = 15 di = 13
1083,064
b = 10 h = 10
833,330
mm 0,000 0,460 1,020 1,460 2,000 2,480 3,030 3,550 3,550 3,060 2,530 2,050 1,500 1,060 0,510 0,030 0,000 0,030 0,063 0,095 0,127 0,160 0,190 0,220 0,220 0,195 0,161 0,120 0,095 0,069 0,045 0,000 0,000 0,030 0,060 0,090 0,115 0,150 0,170 0,200 0,200 0,170 0,140 0,115 0,086 0,060 0,030 0,005
N/ mm2
b =15,5 h = 7,9
g 0 50 100 150 200 250 300 350 350 300 250 200 150 100 50 0 0 50 100 150 200 250 300 350 350 300 250 200 150 100 50 0 0 50 100 150 200 250 300 350 350 300 250 200 150 100 50 0
Träger 2
Kupfer (rohr)
767
Träger 3
Stahl (rechteck)
767
14423,081
11000 (Quelle:WH)
131538,531
140000 (Quelle: Schulnetz)
190002,548
190000 bis 210000 (Quelle: Schulnetz)
5.
E-Modulberechnung
E 50
(Holz) 15739,623
Träger 2 ( Kupfer) 141908,527
Träger 3 (Stahl) 184435,958
F 0,49
E 100
14196,523
135150,978
184435,958
0,98
E 150
14877,178
134439,657
184435,958
1,47
E 200
14480,454
134086,797
192454,913
1,96
E 250
14597,231
133039,244
184435,958
2,45
E 300
14337,083
134439,966
195285,131
2,94
E 350
14276,503
135458,139
193657,755
3,43
E 350
14276,503
135458,139
193657,755
3,43
E 300
14196,523
130992,486
195285,131
2,94
E 250
14480,454
132212,913
197609,955
2,45
E 200
14127,272
141908,527
192454,912
1,96
E 150
14480,454
134439,657
193014,374
1,47
E 100
13660,805
123398,719
184435,958
0,98
E 50
14196,523
94605,684
184435,958
0,49
Durschnitt E- Modul
14423,081
131538,531
190002,548
I ( mm4 ) ETAB (N/mm²)
636,842
1083,064
833,330
11000
140000
190000-210000
Träger 1
I-wert Berechnung = 636,842 mm4
Holz:
I = l*h³ / 12
I = 15,5 * 7,9³ / 12
Kupfer :
I = Π / 64 * (D4 - d4)
I = Π / 64 * (50625 – 28561) = 1083,064 mm4
Stahl:
I = b*h³ / 12
I = 10*10³ / 12
= 833,33 mm4
6. Fehlerberechnung/ Fehlerbetrachtung
Jede Messung ist mit Fehlern behaftet.
6.1
6.2
Messfehler können ihre Ursache haben
in der Experimentieranordnug,
in den Messgeräten bzw. Messmitteln,
beim Experimentator,
in der Umgebung, in der das Experiment (die Messung)durchgeführt wird
unterschiedliche Eigenschaften des gleichen Materials
Fehlerbetrachtung
Ausgangsformel : F * l3 E = ————— 48 * I * f
Fehler:
Δm Δg Δl Δa I f
= 0,5 g = 0,005 m / s2 = 1 mm = 0,1 mm = 104 / 12 ; = 0,01 mm
15,4 * 7,93 л / 64 * 2,54 ; ————— 12
HOLZ ( rechteckig ) ΔE Δm Δg Δl Δh Δb Δf —— = —— + —— + 3* —— + 3*———— + —— + ——— E m g l h b f
Øf
= (0,45+1,02+1,46+2+2,48+3,03+3,55+3,55+3,06+2,5+2,05+1,5+1,06+ 0,51) /14 = 2,0157mm
Øm
= 50+100+150+200+250+300+350/7 = 200g
ΔE 0,5 0,005 1 0,1 0,1 0,1 —— = —— + —— + 3* —— + 3*———— + —— + ——— = 0,05638 E 200 9,81 767 7,9 15,5 2,0157
0,05638 * 100 = 5,638%
ØE
= 14423,081 N/mm² * 0,05638 = 813,173 N/mm²
E = 13609,908 ............ 15236,254 N/mm²
Kupfer(Rohr)
ΔE Δm Δg Δl D3 * Δ D + 4* d3 * Δ d Δf —— = —— + —— + 3* —— + 4* ——————————— + ——— E m g l D4 – d4 f
Øf
= (0,03+0,063+0,095+0,127+0,160+0,19+0,22+0,22+0,195+0,161+0,12+ 0,095+0,069+0,045) /14 = 0,12786 mm
Øm =
50+100+150+200+250+300+350/7 = 200g
ΔE 0,5 0,005 1 4* 15³*0,1+4*13³*0,1 0,01 —— = —— + —— + 3* —— + ——————————— + ——— = 0,186145 E 200 9,81 767 154 – 134 0,12786
0,186145 * 100 = 18,6145%
Ø
E = 131538,531 N/mm² * 0,86145 = 24485,240 N/mm²
E = 107052,76……..156023,24 N/mm²
Stahl (rechteckig)
ΔE Δm Δg Δl Δh Δf —— = —— + —— + 3* —— + 4*———— + ——— E m g l h f
Øf
= (0,03+0,06+0,09+0,115+0,15+0,17+0,2+0,2+0,17+0,14+0,115+0,086+ 0,06+0,03) / 14 = 0,11543 mm
Øm =
50+100+150+200+250+300+350/7 = 200g
ΔE 0,5 0,005 1 0,1 0,01 —— = —— + —— + 3* —— + 4*———— + ——— = 0,13355 E 200 9,81 767 10 0,11543
0,13355*100 = 13,355%
Ø
E = 190002,548 N/mm² * 0,13355 = 25374,840 N/mm²
E = 164627,708..........215377,388 N/mm²
7. Bewertung der Ergebnisse
- erreichte Werte weisen geringe Abweichungen zu den Vergleichswerten aus Referenztabellen auf, da bei den zu untersuchenden Prüfkörper, schon vor Versuchsbeginn ,Verformungen von der Versuchsgruppe festgestellt wurden - auch die Material- eigenschaften, -zusammensetzung und Güteklassen der Prüfkörper können leichte Abweichungen zu den vorhandenen Materialeigenschaften aus den Tabellen aufweisen(z. B. verschiedene Holzarten, Zustand oder bei Metallen durch unterschiedliche Legierungen oder Herstellungsverfahren ) durch den Versuch und die vorgenommenen Berechnungen wurde die Annahme der ersten Sichtprüfung bestätigt, das es sich bei den Materialien der untersuchten Prüfkörper um: 1. Holz(trotz leichter Abweichungen) 2. Kupfer 3. Stahl Handelt.
8. Quellen und Anlagen
www.wikiepedia.de bautechnische Zahlentafeln Schulnetz
9.
Selbständigkeitserklärung
Dieses Versuchsprotokol zur Bestimmung des Elastizitätsmoduls verschiedener Materialien wurde selbstständig von: Versuchsleiter: Versuchsdurchführenden:
O.Herbst Th.Grüttner L.John
erstellt und verfasst.
Hiermit versichern wir, das wir die vorliegende Arbeit selbständig und ohne Benutzung anderer als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt haben. Alle Stellen, die wörtlich oder sinngemäß aus veröffentlichten und nicht veröffentlichen Schriften entnommen sind, sind als solche kenntlich gemacht. Die Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner anderen Institution vorgelegen.