สมการ

สมการ เนื้อหาสอดคล้องกับหลักสูตรของกระทรวงศึกษาธิการ

เหมาะสาหรับ ระดับ ประถมศึกษา

วัฒนากรณ์ เฟื้อแก้ว

คำนำ หนังสือ สมการ ระดับชั้นประถมศึกษา เล่มนี้ จัดทาขึ้นเพื่อมุ่งพัฒนาศักยภาพทาง คณิตศาสตร์ให้แก่นักเรียนในระดับชั้นประถมศึกษา ตามกรอบหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น พื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ของกระทรวงศึกษาธิการ โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อให้นักเรียนได้ศึกษาและ ฝึกทาโจทย์ทดสอบที่หลากหลายเรื่องสมการ เพื่อเสริมสร้างทักษะทางคณิตศาสตร์ในเรื่องสมการ และเป็นพื้นฐานสาหรับการเรียนรู้ในระดับที่สูงขึ้นไป ผู้เขียนหวังว่า หนังสือ สมการ ระดับชั้นประถมศึกษา เล่มนี้จะเป็นประโยชน์และมี คุณค่าแก่นักเรียน ผู้ปกครอง และครูอาจารย์ที่ต้องการพัฒนาศักยภาพทางคณิตศาสตร์อย่างแท้จริง

นำยวัฒนำกรณ์ เฟื้อแก้ว

สำรบัญ สมการ สมการที่เป็นจริง สมการที่เป็นเท็จ สมการที่มีตัวไม่ทราบค่า คาตอบของสมการ แบบฝึกหัดที่ 1 การแก้สมการ สมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการบวกหรือการลบ การแก้สมการโดยใช้สมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการบวกหรือการลบ สมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการคูณหรือการหาร การแก้สมการโดยใช้สมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการบวกหรือการลบ วิธีการตรวจคาตอบของสมการ แบบฝึกหัดที่ 2 โจทย์ปัญหาสมการ แบบทดสอบ เฉลยแบบฝึกหัด เฉลยแบบทดสอบ บรรณานุกรม

1 1 1 2 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 14 17 18 26

สมกำร และ กำรแก้สมกำร สมกำร

เป็นประโยคสัญลักษณ์ที่แสดงการเท่ากัน โดยใช้เครื่องหมาย “=” เช่น เป็นสมกำร 7–5=2 11 + 5 = 16

ไม่เป็นสมกำร 5 × 7 ≠ 45 16 + 12 > 16 - 11

4 × 5 = 20

16 ÷ 2 < 4 × 2

สมกำรที่เป็นจริง คืออะไร ?

คือสมการที่มีจานวนทั้งสองข้างของเครื่องหมาย (=) มีค่ำเท่ำกัน

เช่น

7 + 8 = 15 6 × 12 = 20 108 ÷ 9 = 12 จากตัวอย่าง จะเห็นได้ว่าจานวนทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน

2

แล้วสมกำรที่เป็นเท็จเป็นอย่ำงไร คือสมการที่มีจานวนทั้งสองข้างของเครื่องหมาย(=) มีค่ำไม่เท่ำกัน เช่น 16 – 7 = 10 31 × 0 = 31 + 0 56 ÷ 6 = 4 ÷ 4 จากตัวอย่าง จะเห็นได้ว่าจานวนทั้งสองข้างมีค่าไม่เท่ากัน

สมกำรที่มีตัวไม่ทรำบค่ำ สมการที่มีตัวไม่ทราบค่าหรือสมการที่มีตัวแปร เป็นสมการที่ตัวอักษรหรือสัญลักษณ์ แทนจานวน ส่วนใหญ่มักจะใช้เป็นตัวอักษรภำษำอังกฤษ เช่น

ข – 7 = 42 k ÷ 6 = 31 7 + a = 40 20 × m = 50 จากตัวอย่างข้างต้น สมการทั้งสี่มีการใช้ตัวอักษรแทนจานวน เรียกตัวอักษร หรือ สัญลักษณ์แทนอื่นที่ใช้ว่า ตัวไม่ทรำบค่ำหรือตัวแปร

คำตอบของสมกำร คือจานวนที่แทนตัวไม่ทราบค่าหรือตัวแปร แล้วทาให้สมการนั้นเป็นจริง

เช่น

a+5 =7 ถ้าแทน a ด้วย 1 จะได้ 1 + 5 = 7 ซึ่งเป็นสมกำรที่เป็นเท็จ ถ้าแทน a ด้วย 2 จะได้ 2 + 5 = 7 ซึ่งเป็นสมกำรที่เป็นจริง

3

แบบฝึกหัดที่ 1 1. จงพิจำรณำว่ำข้อใดเป็นประโยคสมกำร 1.

3x = 15 3. 2 x 3 = 1 × 6 5.

7a = 15 7. 19 < 1 + 3x 9. 52 = 12 × 6

2.

30 < 12 × 6 4. 10 x 7 > 11 × 6 6. 3 x 7 ≠ 2 x 6 8.

23 = 11 + 12 10. 36 < 3 × 3

2. จงพิจำรณำ ว่ำสมกำรที่กำหนดให้ต่อไปนี้ สมกำรในข้อใดเป็นจริง ข้อใดเป็นเท็จ 1.

3.

5.

7.

9.

3 + 15 = 21 – 3 65 ÷ 5 = 19 – 6 3x7=5x4 0 + 15 = 15 – 0 11 + 15 = 45 – 8

2. (3 x 2) + 5 = 7 + 21 4.

0x3=ax0 6. (6 x 3) ÷ 3 = 3 x 5 8. 14 + 31 = 9 x 5 10. 16 + 15 = (31 – 3) + 1

3. จงพิจำรณำสมกำรที่กำหนดให้ว่ำ ข้อใดเป็นสมกำรที่มีตัวแปรหรือตัวไม่ทรำบ 1. x + 5 = 11 3.

3+5=8 5. k - 7 = 21 7. 54 ÷ 6 = 3 x 3 9.

4 x 7 = 11 + 17

2.

4.

6.

8.

10.

2y - 5 = 7 12 ÷ 3 = 4 12 x 4 = 48 ก + 11 = 26 f ÷ 11 = 121

4

กำรแก้สมกำร การแก้สมการ คือ การหาคาตอบของสมการ หรือการหาค่าของตัวไม่ทราบค่า(ตัวแปร) โดยการหาจานวนมาแทนค่าตัวแปรแล้วทาให้สมการนั้นเป็นจริง

วิธีกำรแก้สมกำรสำมำรถทำได้โดยใช้สมบัตกิ ำรเท่ำกันช่วยในกำรคำตอบของสมกำรดังนี้ สมบัติของกำรเท่ำกันเกี่ยวกับกำรบวกหรือกำรลบ สมบัติของกำรเท่ำกันที่เกี่ยวกำรบวก จากสมการ 8 + 4 = 12 เมื่อ นา 4 มาบวกกับจานวนทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับของสมการ จะได้ (8 + 4) + 4 = 12 + 4 12 + 4 = 16 16 = 16 ดังนั้นจำกสมกำร 8 + 4 = 12 จะได้ (8 + 4) + 4 = 12 + 4

เป็นสมกำรที่เป็นจริง

จำนวนที่เท่ำกันสองจำนวน เมื่อนำจำนวนอีกจำนวนหนึ่งมำบวกแต่ละจำนวนที่เท่ำกัน ผลบวกนั้นจะมีค่ำเท่ำกัน

5

สมบัติของกำรเท่ำกันที่เกี่ยวกำรลบ

จากสมการ 6 + 9 = 15 เมื่อ นา 5 มาลบออกกับจานวนทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับของสมการ (6 + 9) - 5 = 15 - 5 จะได้ 15 - 5 = 10 10 = 10 ดังนั้นจำกสมกำร 6 + 9 = 15 จะได้ (6 + 9) - 5 = 15 - 5 เป็นสมกำรที่เป็นจริง จำนวนที่เท่ำกันสองจำนวน เมื่อนำจำนวนอีกจำนวนหนึ่งมำลบออกแต่ละจำนวนที่เท่ำกัน ผลลบนั้นจะมีค่ำเท่ำกัน

กำรแก้สมกำรโดยใช้สมบัติของกำรเท่ำกันเกี่ยวกับกำรบวกหรือกำรลบ พิจารณาการแก้สมการ k+5=7 นา 5 มาลบออกจากจานวนทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับของสมการเพื่อให้ข้างซ้าย ของเครื่องหมายเท่ากับ เหลือตัวไม่ทราบค่าเพียงตัวเดียว เท่านั้น k+5-5=7–5 k =2 เมื่อแทน k ด้วย 2 ในสมการ k + 5 = 7 2+5=7 ดังนั้น คาตอบของสมการ k + 5 = 7 คือ 2

กำรแก้สมกำรที่ตัวไม่ทรำบค่ำบวกกับจำนวนใดๆ อำจทำได้โดยกำรใช้สมบัติของกำรเท่ำกัน เกี่ยวกับกำรลบ ด้วยกำรนำจำนวนที่เท่ำกับจำนวนที่บวกกับตัวไม่ทรำบค่ำไปลบออกจำก จำนวนนั้นทั้งสองข้ำงของเครื่องหมำยเท่ำกับของสมกำร

6 พิจารณาการแก้สมการ k - 7 = 16 นา 7 มาบวกกับจานวนทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับของสมการเพื่อให้ข้างซ้ายของ เครื่องหมายเท่ากับ เหลือตัวไม่ทราบค่าเพียงตัวเดียว เท่านั้น k - 7 + 7 = 16 + 7 k = 23 เมื่อแทน k ด้วย 23 ในสมการ k - 7 = 16 23 - 7 = 16 ดังนั้น คาตอบของสมการ k - 7 = 16 คือ 23 กำรแก้สมกำรที่ตัวไม่ทรำบค่ำลบกับจำนวนใดๆ อำจทำได้โดยกำรใช้สมบัติของกำรเท่ำกัน เกี่ยวกับ กำรบวก ด้วยกำรนำจำนวนที่เท่ำกับจำนวนที่ลบกับตัวไม่ทรำบค่ำไปบวกกับ จำนวนนั้นทั้งสองข้ำงของเครื่องหมำยเท่ำกับของสมกำร

สมบัติของกำรเท่ำกันเกี่ยวกับกำรคูณหรือกำรหำร สมบัติของกำรเท่ำกันเกี่ยวกับกำรคูณ จากสมการ 5 + 2 = 7 เมื่อ นา 3 มาคูณกับจานวนทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับของสมการ จะได้ (5 + 2) × 3 = 7 × 3 7 × 3 = 21 21 = 21 ดังนั้นจำกสมกำร 5+2=7 จะได้ (5 + 2) × 3 = 7 × 3 เป็นสมกำรที่เป็นจริง จำนวนที่เท่ำกันสองจำนวน เมื่อนำจำนวนอีกจำนวนหนึ่งมำคูณแต่ละจำนวนที่เท่ำกัน ผลคูณนั้นจะมีค่ำเท่ำกัน

7

สมบัติของกำรเท่ำกันเกี่ยวกับกำรหำร

จากสมการ 6 + 4 = 10 เมื่อ นา 5 มาหารกับจานวนทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับของสมการ จะได้ (6 + 4) ÷ 5 = 10 ÷ 5 10 ÷ 5 = 2 2=2 ดังนั้นจำกสมกำร 6 + 4 = 10 จะได้ (6 + 4) ÷ 5 = 10 ÷ 5 เป็นสมกำรที่เป็นจริง จำนวนที่เท่ำกันสองจำนวน เมื่อนำจำนวนอีกจำนวนหนึ่งมำหำรแต่ละจำนวนที่เท่ำกัน ผลหำรนั้นจะมีค่ำเท่ำกัน

กำรแก้สมกำรโดยใช้สมบัติของกำรเท่ำกันเกี่ยวกับกำรคูณหรือกำรหำร พิจารณาการแก้สมการ

k ÷ 7 = 14 k k ÷ 7 = 14 หรือ 7 = 14

นา 7 มาคูณกับจานวนทั้งสองข้างของเครื่องหมายท่ากับของสมการเพื่อให้ข้างซ้ายของเครื่องหมาย เท่ากับ เหลือตัวไม่ทราบค่าเพียงตัวเดียว เท่านั้น k × 7= 14 × 7 7 k = 98 เมื่อแทน k ด้วย 98 ในสมการ k ÷ 7 = 14 98 ÷ 7 = 14 ดังนั้น คาตอบของสมการ k ÷ 7 = 14 คือ 98 กำรแก้สมกำรที่ตัวไม่ทรำบค่ำหำรด้วยจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ อำจทำได้โดยกำรใช้สมบัติของ กำรเท่ำกันเกี่ยวกับกำรคูณ ด้วยกำรนำจำนวนที่เท่ำกับจำนวนที่หำรกับตัวไม่ทรำบค่ำไปคูณกับ จำนวนนั้นทั้งสองข้ำงของเครื่องหมำยเท่ำกับของสมกำร

8 พิจารณาการแก้สมการ 9 × a = 72 นา 9 มาหากับจานวนทั้งสองข้างของเครื่องหมายท่ากับของสมการเพื่อให้ข้างซ้ายของเครื่องหมาย เท่ากับ เหลือตัวไม่ทราบค่าเพียงตัวเดียว เท่านั้น 9 ×a 72 = 9 9 a =8 เมื่อแทน a ด้วย 8 ในสมการ 9 × a = 72 9 × 8 = 72 ดังนั้น คาตอบของสมการ 9 × a = 72 คือ 8 กำรแก้สมกำรที่ตัวไม่ทรำบค่ำคูณกับจำนวนใดๆ อำจทำได้โดยกำรใช้สมบัติของกำรเท่ำกัน เกี่ยวกับกำรหำร ด้วยกำรนำจำนวนที่เท่ำกับจำนวนที่คูณกับตัวไม่ทรำบค่ำไปหำรกับจำนวน นั้นทั้งสองข้ำงของเครื่องหมำยเท่ำกับของสมกำร หมำยเหตุ นอกจากการใช้สมบัติการเท่ากันในการแก้สมการแล้ว ยังนาสมบัติสมมาตรมาใช้ใน การแก้สมการได้อีกด้วย สมบัติสมมำตร จานวนสองจานวนที่เท่ากัน เมื่อสลับที่จานวนที่อยู่ทางซ้ายมือกับจานวนที่ อยู่ทางขวามือของเครื่องหมายเท่ากับ(=) ย่อมมีค่าเท่ากัน เช่น a = b แล้ว b = a ถ้า 14 = 9 + 5 แล้ว 9 + 5 = 14

สรุป สมบัติกำรเท่ำกันข้ำงต้นนี้ จะได้

ถ้าสมการบวก ให้นาจานวนที่เท่ากันมาลบออกทั้งสองข้าง ถ้าสมการลบ ให้นาจานวนที่เท่ากันมาบวกทั้งสองข้าง ถ้าสมการคูณ ให้นาจานวนที่เท่ากันมาหารทั้งสองข้าง ถ้าสมการหาร ให้นาจานวนที่เท่ากันมาคูณทั้งสองข้าง

9

วิธีกำรตรวจคำตอบของสมกำร คือการนาคาตอบของสมการมาแทนค่าตัวไม่ทราบค่าในสมการ ถ้าแทนแล้ว ได้สมการที่เป็นจริง แสดงว่าคาตอบของสมการนั้นถูกต้อง เช่น จากสมการ x + 8 = 20 x + 8 - 8 = 20 – 8 x = 12 ดังนั้นคาตอบของสมการ x + 8 = 20 คือ 12 ตรวจคำตอบ แทนค่า x = 12 ในสมการ x + 8 = 20 จะได้ 12 + 8 = 20 20 = 20

เป็นสมกำรที่เป็นจริง

แบบฝึกหัดที่ 2 1. จงแก้สมกำรและตรวจคำตอบ 1. k + 16 = 30 3. 4 35 + k = 16 15 5.

6 + 7m = 22

2.

256 + a = (56 x 3) + 9

4.

3 1 =x4 4

10

โจทย์ปัญหำสมกำร กำรแก้โจทย์ปัญหำสมกำรนั้นมีหลักกำรดังนี้ 1. สมมติสิ่งที่โจทย์ต้องให้หาเป็นตัวแปร หรือตัวไม่ทราบค่า 2. เขียนสมการจากความสัมพันธ์ที่โจทย์กาหนดมาให้ 3. แก้สมการหาค่าตัวแปร พิจำรณำข้อควำมที่กำหนดให้ นิดหน่อยอายุมากกว่าน้อยหน่า 3 ปี เราจะหาอายุของนิดหน่อยได ถ้าเรารู้อายุน้อยหน่า เช่น - ถ้าน้อยหน่าอายุ 9 ปี นิดหน่อยอายุ 9 + 3 = 12 ปี - ถ้าน้อยหน่าอายุ 20 ปี นิดหน่อยอายุ 20 + 3 = 23 ปี - ถ้าน้อยหน่าอายุ x ปี นิดหน่อยอายุ x + 3 ปี เกรียงไกรมีเงินเป็น 2 เท่าของพรชัย เราจะหาจานวนเงินของเกรียงไกรได้ ถ้าเราทราบจานวนเงินของพรขัย - ถ้าพรชัยมีเงิน 5 บาท เกรียงไกรมีเงิน 2 × 5 = 10 บาท - ถ้าพรชัยมีเงิน 20 บาท เกรียงไกรมีเงิน 2 × 20 = 40 บาท - ถ้าพรชัยมีเงิน y บาท เกรียงไกรมีเงิน 2×y บาท

กำรเขียนสมกำรจำกข้อควำมที่กำหนดให้ พิจารณาการเขียนสมการจากข้ อความต่อไปนี ้ ข้อควำม เหมือนฝันมีขนม y ชิ้น แบ่งให้น้อยนิด 12 ชิ้นเหลือขนม 30 ชิ้น

สมกำร y – 12 = 30

แม่ค้ำขำยขนมโมจิได้ 50 กล่อง กล่องหนึ่งมีขนมโมจิ k ลูก รวม แล้วแม่ค้ำมีขนมโมจิ 500 ลูก นักเรียนห้องหนึ่งมี a คน แบ่งเป็น 8 กลุ่มเท่ำๆกัน ได้กลุ่มละ10คน

5 × k = 500 a = 10 8

11

กำรแสดงวิธีกำรแก้สมกำรเมื่อโจทย์กำหนดตัวไม่ทรำบค่ำ ตัวอย่ำง แม่ค้ามีมะนาว m ผล แบ่งเป็นกองกองละ 7 ผล ได้ทั้งหมด 30 กอง แม่ค้ามีมะนาว ทั้งหมดกี่ผล วิธีทำ แม่ค้ามีมะนาว m ผล แบ่งเป็นกองกองละ 8 ผล แม่ค้าแบ่งมะนาวได้ m÷8 ผล แต่แม่ค้าแบ่งมะนาวได้ทั้งหมด 30 กอง m

เขียนสมกำรได้ m ÷ 8 = 30 หรือ 8 = 30 นา 8 มาคูณจานวนทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับของสมการ m × 8 = 30 × 8 8 m = 240 ตรวจคำตอบ คำตอบของสมกำร m ÷ 8 = 30 คือ 240 แทน m ด้วย 240 ในสมการ m ÷ 8 = 30 ดังนั้นแม่ค้ามีมะนาวทั้งหมด 240 ผล จะได้ ตอบ ๒๔๐ ผล 240 ÷ 8 = 30 เป็นสมกำรที่เป็นจริง

12

กำรแสดงวิธีกำรแก้สมกำรเมื่อโจทย์ไม่กำหนดตัวไม่ทรำบค่ำ ตัวอย่ำง อายุของนิดรวมกบอายุของน้อย เท่ากับ 25 ปี ถ้านิดอายุ 13 ปี แล้วน้อยมีอายุ เท่าไหร่ วิธีทำ โจทย์ถำม อายุของน้อยว่าอายุเท่าไหร่ สมมติให้น้อยอายุ a ปี โจทย์กำหนดให้ นิดอายุ 13 ปี อายุนิดรวมกับอายุของน้อย เท่ากับ 25 ปี เขียนเป็นสมกำรได้ดังนี้ a + 13 = 25 นา 13 มาลบจานวนทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับของสมการ a + 13 - 13 = 25 -13 ตรวจคำตอบ a = 12 แทน a ด้วย 12 ในสมการ a + 13 = 25 ดังนั้น น้อยอายุ 12 ปี จะได้ 12 + 13 = 25 ตอบ ๑๒ ปี เป็นสมกำรที่เป็นจริง

ตัวอย่ำง จานวนจานวนหนึ่งซึ่งมากกว่า 9 อยู่ 25 วิธีทำ สมมติให้จานวนนั้น คือ x จากโจทย์เขียนเป็นสมการได้ดังนี้ จานวนจานวนหนึ่งซึ่งมากกว่า 9 อยู่ 25 จะได้ x - 9 = 25 นา 9 มาบวกทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับของสมการ x – 9 + 9 = 25 + 9 ตรวจคำตอบ x = 34 แทน x ด้วย 34 ในสมการ x - 9 = 25 ดังนั้น จานวนนั้นคือ 34 จะได้ 34 - 9 = 25 ตอบ ๓๔ เป็นสมกำรที่เป็นจริง

13

กำรแก้ปัญหำแบบรูปและควำมสัมพันธ์

...

...

ตัวอย่ำง จากแบบรูปของจานวนคี่ที่กาหนดให้ ต่อไปนี้ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ... จานวนที่ 45 คือจานวนใด แนวคิด พิจารณาความสมพันธ์ของจานวนดังนี้ จานวนที่ 1 คือ (1 × 2) – 1 = 1 จานวนที่ 2 คือ (2 × 2) – 1 = 3 จานวนที่ 3 คือ (3 × 2) – 1 = 5 จานวนที่ 4 คือ (4 × 2) – 1 = 7

...

...

จานวนที่ 45 คือ (45 × 2) – 1 = 89 ดังนั้น จานวนที่ 45 คือ 89 ตอบ ๘๙ ตัวอย่ำง จงหาผลบวกจานวนคู่ทั้งหมดที่น้อยกว่า 100 แนวคิด จานวนคู่จากจานวนนับ 2 ถึง 98 คือ 2 , 4 , 6 , 8 , ... มี 49 จานวน ซึ่งพิจารณาความสัมพันธ์ผลบวกของจานวนดังนี้ ผลบวกของจานวนคู่ 2 จานวนแรก คือ 2 + 4 =6 =2×3 ผลบวกของจานวนคู่ 3 จานวนแรก คือ 2 + 4 +6 = 12 = 3 × 4 ผลบวกของจานวนคู่ 4 จานวนแรก คือ 2 + 4 +6 + 8 = 20 = 4 × 5 ผลบวกของจานวนคู่ 49 จานวนแรก คือ 2 + 4 +6 + 8 + ... +98 = 49 × 50 = 2,450

ดังนั้น ผลบวกของจานวนทั้งหมดที่น้อยกว่า 100 คือ 2,450 ตอบ ๒,๔๕๐

14

แบบทดสอบ ตอนที่ 1 จงเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุด 1. ข้อใดเป็นสมการ ก. 7 + 9 > 12 + 3 ข. x + 8 = 15 ค. 8 + 5 ≠ 10 ง. 6 × 4 < 25 2. ข้อใดเป็นสมการที่เป็นจริง ก. 4 + 8 + 15 = 4 + (18 + 15) ข. 1,206 ÷ 6 = 21 ค. (5 × 6) × 7 = 5 × (6 × 7) ง. 100 – 50 = 50 -100 3. ข้อใดเป็นสมการที่เป็นเท็จ 1 1 ก. 39 + 41 = 60 ข. 133 - 33 = 10 ค. 18.6 + 3.4 = 22 ง. 216 ÷ 6 = 36 4. สมการในข้อใดแทน a = 27 แล้วทาให้สมการเป็นจริง ก. 18 × a = 54 ข. 45 – a = 28 ค. 29 + a = 36 ง. a ÷ 3 = 9 5. ข้อใดเป็นคาตอบของสมการ y -14 = 36 ก. 22 ข. 40 ค. 45

ง. 50

6. 7 เท่าของจานวนหนึ่งมากกว่า 2 อยู่ 5 เขียนเป็นสมการได้ตาข้อใด ก. 7x + 2 = 5 ข. 7x – 2 = 5 ค. 7 – 2 = 5 ง. 7 + 2 = 5 7. ร้านค้าขายไข่เค็มได้ 40 กล่อง กล่องหนึ่งมีไข่ p ฟอง รวมแล้วร้านค้าขายไข่เค็มได้ทั้งหมด 320 ฟอง จากข้อความที่กาหนดให้เขียนเป็นสมการได้อย่างไร ก. 40 + p = 320 ข. 320 – p = 40 𝑝 ค. 40 × p = 320 ง. = 320 40

15 𝑚

8. ข้อใดเป็นวิธีการแก้สมการ 4 = 56 ก. นา 4 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ ข. นา 4 มาลบทั้งสองข้างของสมการ ค. นา 4 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ ง. นา 4 มาหารทั้งสองข้างของสมการ 9. 3 เท่าของจานวนจานวนหนึ่งมากกว่า 4 อยู่ 5 เขียนเป็นสมการได้อย่างไร ก. 3y – 4 = 5 ข. 3y + 4 = 5 ค. 3y + 5 = 4 ง. 3y – 5 = 4 10. ห้องเรียนรูปสี่เหลียมผืนผ้าวัดความยาวห้องเรียนได้เป็น 2 เท่าของด้านข้าง ถ้าความยาวรอบ ห้องเรียนวัด ได้ 30 เมตร ห้องเรียนนี้มีความยาวเท่าไหร่ ก. 4 เมตร ข. 5 เมตร ค. 6 เมตร ง. 8 เมตร 11. คาตอบของสมการ 3x – 12 = 48 คือข้อใด ก. 20 ข. 30 ค. 36 ง. 60 12. จานวนคู่ 4 จานวนเรียงกันรวมได้ 300 ผลบวกของสองจานวนที่อยู่ตรงกลางเท่ากับข้อใด ก. 80 ข. 100 ค. 150 ง. 180

16 13. ถ้ากาหนดให้ a = 20 + y และ m = 49 และ a × m = 1,500 – 275 ดังนั้น y แทนจานวนใด ก. 2 ข. 3 ค. 4 ง. 5 14. จานวนจานวนหนึ่งซึ่งคูณด้วย 10 แล้วบวกด้วย 10 จะได้ผลลัพธ์เป็น 100 จานวนจานวนนั้น เป็นเท่าไร ก. 9 ข. 10 ค. 50 ง. 90 15. คุณย่ามอบเงินให้หลาน 3 คน โดยให้เอกมากกว่าอ้น 400 บาทปละออมได้รับสามเท่าของอ้น ถ้าเอกและออมได้รับเงินเท่ากัน คุณย่ามอบเงินให้หลานทั้งหมดเท่าไหร่ ก. 1,000 บาท ข. 1,200 บาท ค. 1,400 บาท ง. 1,600 บาท ตอนที่ 2 จงตอบคาถามต่อไปนี้ 1. ตุ้มมีอายุน้อยกว่าตุ๋ย ต๋อยมีอายุมากกว่าตุ้ม ใครมีอายุมากกว่ากัน 2. คาตอบของสมการ (7 × p) – 8 = 27 มีค่าเท่าใด 3. พ่อมีอายุมากกว่าแม่ 5 ปี แม่มีอายุมากกว่าอลิสา 26 ปี ถ้าปีนี้พ่ออายุ 48 ปี อีก 4 ปีข้างหน้า อลิสาอายุกี่ปี 4. บ้านและที่ดินราคารวมกันเท่ากับ 3,240,000 บาท ถ้าที่ดินมีราคาเป็น 3 เท่าของราคาบ้าน ที่ดินมีราคาสูงกว่าบ้านเท่าไหร่ 5. ถ้านารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ 1 หน่วย เรียงต่อกัน 4 รูปดังนี้ ถ้าสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสต่อไปอีก 2 รูป จะมีความยาวรอบรูปกี่หน่วย

17

เฉลยแบบฝึกหัด แบบฝึกหัดที่ 1

ข้อที่ 1

1. เป็นประโยคสมการ 2. ไม่เป็นประโยคสมการ 3. เป็นประโยคสมการ 4. ไม่เป็นประโยคสมการ 5. เป็นประโยคสมการ 6. ไม่เป็นประโยคสมการ 7. ไม่เป็นประโยคสมการ 8. เป็นประโยคสมการ 9. เป็นประโยคสมการ 10. ไม่เป็นประโยคสมการ

ข้อที่ 2

1. เป็ นจริง 2. เป็ นเท็จ 3. เป็ นจริง 4. เป็ นจริง 5. เป็ นเท็จ 6. เป็ นเท็จ 7. เป็ นจริง 8. เป็ นจริง 9. เป็ นเท็จ 10. เป็ นเท็จ

ข้อที่ 3 1. เป็ นสมการที่มีตวั แปร 2. เป็ นสมการที่มีตวั แปร 3. เป็ นสมการที่ไม่มีตวั แปร 4. เป็ นสมการที่ไม่มีตวั แปร 5. เป็ นสมการที่มีตวั แปร 6. เป็ นสมการที่ไม่มีตวั แปร 7. ไม่เป็ นประโยคสมการ 8. เป็ นสมการที่ไม่มีตวั แปร 9. เป็ นประโยคสมการ 10. เป็ นสมการที่ไม่มีตวั แปร

18

แบบฝึกหัดที่ 2 1. K = 14 2. a = -79 3. k = 11 35 4. x = 1 5. m = 4 1. เฉลยข้อ แนวคิด 2. เฉลยข้อ แนวคิด

เฉลยแบบทดสอบ

ข. x + 8 = 15 สมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่แสดงการเท่ากัน โดยใช้เครื่องหมาย “=” ค. (5 × 6) × 7 = 5 × (6 × 7) (5 × 6) × 7 = 5 × (6 × 7) 30 × 7 = 5 × 42 210 = 210 ดังนั้น (5 × 6) × 7 = 5 × (6 × 7) เป็นสมบัติกำรเปลี่ยนหมู่ของกำรคูณ 3. เฉลยข้อ ก. 39 + 41 = 60 แนวคิด 39 + 41 = 60 80 = 60 ดังนั้น 39 + 41 = 60 เป็นสมกำรที่เป็นเท็จ 4. เฉลยข้อ ง. a ÷ 3 = 9 แนวคิด เมื่อนา 27 มาแทน a จะได้ 27 ÷ 3 = 9 9=9 ดังนั้น เมื่อนา 27 มาแทน a แล้วทำให้สมกำรนั้นเป็นจริง

19 5. เฉลยข้อ แนวคิด

6. เฉลยข้อ แนวคิด

7. เฉลยข้อ แนวคิด

ง. 50 y -14 = 36 y -14 + 14 = 36 + 14 y = 50 ดังนั้น คาตอบของสมการ y -14 = 36 คือ 50 ข. 7x – 2 = 5 สมมติให้จานวนจานวนนั้นคือ x จากโจทย์บอกว่า 7 เท่าของจานวนจานวนหนึ่งมากกว่า 2 อยู่ 5 เขียนสมการได้ 7x – 2 = 5 ค. นำ 4 ไปคูณทั้งสองข้ำงของสมกำร 𝑚 = 56 4 นา 4 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ 𝑚 จะได้ × 4 = 56 × 4 4 𝑚 = 224 𝑚 ดังนั้นคาตอบของสมการ 4 = 56 คือ 224 ตรวจคาตอบ 𝑚 แทน 𝑚 ด้วย 224 ในสมการ 4 = 56 224

จะได้ = 56 เป็นสมกำรที่เป็นจริง 4 ดังนั้น นา 4 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ เป็นวิธีการแก้สมการที่ถูกต้อง

20 8. เฉลยข้อ แนวคิด

ก. 3y – 4 = 5 สมมติให้จานวนนั้นคือ y จากโจทย์ 3 เท่าของจานวนจานวนหนึ่งมากกว่า 4 อยู่ 5 เขียนเป็นสมการได้ดังนี้ 3y – 4 = 5 9. เฉลยข้อ ข. 15 เมตร แนวคิด สมมติให้ห้องเรียนกว้าง a ความยาวห้องเรียนเป็น 2 เท่าของด้านกว้างคือ 2a ความยาวรอบรูปของห้องเรียน (2 × a) + (2 × 2a) แต่ความยาวรอบรูปห้องเรียนวัดได้ 30 เมตร เขียนเป็นสมการได้ (2 × a) + (2 × 2a) = 30 6a = 30 6𝑎 30 = 6 6 a =5 ดังนั้น ห้องเรียนนี้มีความกว้าง 5 เมตร 10. เฉลยข้อ ก. 20 แนวคิด 3x – 12 = 48 3x – 12 + 12 = 48 + 12 3x = 60 3𝑥 60 = 3 3 x = 20 ดังนั้น คาตอบของสมการ 3x – 12 = 48 คือ 20

เมตร เมตร เมตร

21 11. เฉลยข้อ ง. 23 ปี แนวคิด กาหนดช่วงเวลาที่ผ่านมาถึงปัจจุบันเป็นเวลา ปัจจุบันพัชรพรอายุ และปัจจุบันพ่อมีอายุ แต่ปัจจุบันพ่อมีอายุ เขียนสมการได้ดังนี้

x ปี x+8 ปี 2(x + 8) ปี 31 + x ปี 2(x + 8) = 31 + x 2x + 16 = 31 + x 2x + 16 - x = 31 + x – x x + 16 = 31 x + 16 - 16 = 31 – 16 x = 15

ดังนั้น ปัจจุบันพัชรพรอายุ 15 + 8 = 23 ปี 12. เฉลยข้อ ค. 150 แนวคิด สมมติให้ a เป็นจานวนคู่ จานวนคู่ 4 จานวนเรียงกันคือ จานวนคู่ 4 จานวนเรียงกันรวมกัน แต่จานวนคู่ 4 จานวนเรียงกันรวมกันได้ เขียนเป็นสมการได้ดังนี้

ดังนั้น

a,a+2,a+4,a+6 a+a+2+a+4+a+6 300 a + a + 2 + a + 4 + a + 6 = 300 4a + 12 = 300 4a + 12 - 12 = 300 – 12 4a = 288 4𝑎 288 = 4 4 a = 72 ผลบวกของจานวน 2 จานวนตรงกลางคือ (a + 2) + (a + 4) = (72 + 2) + (72 + 4) = 74 + 76 = 150

22

13. เฉลยข้อ ง. 5 แนวคิด a = 20 + y และ m = 49 ดังนั้น a × m = (20 + y) × 49 แต่ a × m = 1,500 – 278 จะได้ (20 + y) × 49 = 1,500 – 278 (20 + y) × 49 49

1,225

= 49 20 + y = 25 20 + y - 20 = 25 - 20 y=5 ดังนั้น y มีค่าเท่ากับ 5 14. เฉลยข้อ ก.

9 แนวคิด สมมติให้จานวนหนึ่ง คือ n จานวนหนึ่งคูณด้วย 10 แล้วบวก 10 คือ (n × 10) + 10 ได้ผลลัพธ์ 100 เขียนสมการได้ดังนี้ (n × 10) + 10 = 100 (n × 10) + 10 - 10 = 100 – 10 n × 10 = 90 n × 10 90 = 10 10 n=9 ดังนั้นจานวนนั้นคือ 9

23 15. เฉลยข้อ ค.

1,400 บำท แนวคิด สมมติให้อ้นได้รับเงิน w บาท ดังนั้นเอกจะได้เงิน w + 400 บาท และออมได้รับสามเท่าของอัน คือ 3×w แต่ออมและเอกได้เงินเท่ากัน เขียนเป็นสมการได้ดังนี้ w + 400 = 3 × w w + 400 - w = 3w - w 400 = 2w 400 2𝑤 = 2 2 200 = w ดังนั้น อ้นได้รับเงิน 200 บาท เอกและออมได้รับเงินคนละ 200 + 400 = 600 บาท คุณย่ามอบเงินให้หลานทั้งหมด 200 + 600 + 600 = 1,400 บาท

24

ตอนที2่ 1. เฉลย ต๋อยมีอำยุมำกที่สุด แนวคิด ตุ้มอายุน้อยกว่าตุ๋ย แสดงว่าตุ๋ยอายุมากกว่าตุ้มแต่ต๋อยมีอายุมากกว่าตุ้มจึง เรียงลาดับอายุได้ ต๋อย > ตุ๋ย > ตุ้ม ดังนั้นต๋อยมีอายุมากที่สุด 2. เฉลย 5 แนวคิด (7 × p) – 8 = 27 (7 × p) – 8 + 8 = 27 + 8 (7 × p) = 35 7 × p 35 = 7 7 p=5 3. เฉลย 21 ปี แนวคิด สมมติให้ปัจจุบันอลิสามีอายุ n ปี แม่มีอายุมากกว่าอลิสา 26 ปี แม่มีอายุ n + 26 ปี พ่อมีอายุมากกว่าแม่ 5 ปี พ่อมีอายุ (n + 26) + 5 ปี แต่พ่ออายุ 48 ปี เขียนสมการได้ดังนี้ (n + 26) + 5 = 48 n + 31 = 48 n + 31 - 31 = 48 – 31 n = 17 ปัจจุบันอลิสาอายุ 17 ปี ดังนั้น อีก 4 ปีข้างหน้าอลิสาอายุ 17 + 4 = 21 ปี

25 4. เฉลย แนวคิด

1,620,000 บำท สมมติให้บ้านราคา ดังนั้นที่ดินราคา บ้านและที่ดินราคารวมกันได้ แต่ราคาทั้งหมดรวมกันเท่ากับ เขียนสมการได้ดังนี้

5. เฉลย แนวคิด

19 หน่วย พิจารณาความสัมพันธ์ของความยาวรอบรูป จะได้ดังนี้

n

บาท 3×n บาท n + 3n = 4n บาท 3,240,000 บาท 4n = 3,240,000 4𝑛 3,240,000 = 4 4 n = 810,000 ดังนั้นราคาบ้านเท่ากับ 810,000 บาท ที่ดินราคา 3 × 810,000 = 2,430,000 บาท ดังนั้น ที่ดินราคาสูงกว่าบ้าน 2,430,000 - 810,000 = 1,620,000 บาท

4 , 7 , 10 , 13 , ....... , ....... เป็นการเพิ่มทีละ 3 จานวนที่อยู่ถัดไปอีก 2 จานวนคือ 13 + 3 = 16 16 + 3 = 19 ดังนั้นจะมีความยาวรอบรูป 19 หน่วย

26 บรรณำนุกรม ชูวิทย์ นักร้อง. (2553). ขยันก่อนสอบคณิตศำสตร์ป.6. กรุงเทพมหานคร: แม็ค. รองศาสตราจารย์สมจิต ชิวปรีชา. (2553). คู่มือเตรียมสอบคณิตศำสตร์ป.4-5-6. กรุงเทพมหานคร : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง