Правильный пятиугольник. Геометрия. Декоративное искусство. Архитектура by Litwinov Vladimir

ЛИТВИНОВ В.Н.

ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК

(ΠΕΝΤΆΓΩΝO) ГЕОМЕТРИЯ ДЕКОРАТИВНОЕ ИСКУССТВО АРХИТЕКТУРА

МОСКВА 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Золотое сечение в правильном пятиугольнике 4 Воспроизведение правильного пятиугольника 5 Правильный пятиугольник, вписанный в окружность 6 Правильный пятиугольник по стороне 15 Правильный пятиугольник по диагонали 26 Правильный пятиугольник, вписанный в правильный треугольник 32 Правильный пятиугольник, описанный вокруг окружности 34 Окружность, описанная/вписанная в правильный пятиугольник 36 Квадрат, вписанный в правильный пятиугольник 37 Правильный треугольник, вписанный в правильный пятиугольник 38 Звёздчатый пятиугольник, вписанный в полуокружность 40 Правильный пятиугольник с заданной стороной 41 Пять равных окружностей, вписанных в окружность 42 Пять дуг, вписанных в окружность 43 Прямоугольник, равновеликий правильному пятиугольнику 44 Приложение I. Вспомогательные построения 45 Деление отрезка или дуги пополам 47 Деление угла пополам 48 Перпендикуляр к отрезку через конечную точку 50 Перпендикуляр к отрезку через точку на нём 53 Перпендикуляр к прямой через точку на ней 54 Перпендикуляр к прямой через точку вне её 58 Прямая, параллельная заданной, проходящая через заданную точку 62 Деление отрезка в золотом сечении 69 Меньшая часть золотого сечения по большей 72 Построение ряда отрезков на основе золотого сечения 73 Деление отрезка на равные части 74 Деление полуокружности на пять равных частей 76 Деление прямого угла на пять равных частей 77 Золотой треугольник по боковой стороне 78 Золотой треугольник по основанию 79 Приложение II. Правильный пятиугольник в декоративном искусстве и архитектуре 81

ПРЕДИСЛОВИЕ

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Как известно, сущность вселенной можно познать, изучая свойства геометрических тел. Эта мысль принадлежит пифагорейцам и нисколько не устарела к настоящему времени. Мы начнём изучать геометрические фигуры с правильного пятиугольника, то есть пентагона (от греч. πενταγωνο – пятиугольник или πέντε – пять и γωνία – угол). Этот выбор обусловлен тем, что правильный пятиугольник — фигура, которая содержит в себе золотое сечение. Золотое сечение имеет огромное значение в архитектуре, изобразительном искусстве, музыке, литературе, во всех отраслях дизайна и в жизни вообще. Золотое сечение содержится и в пропорциях человека. В данном издании приводятся различные способы построения правильных пятиугольников, многие из которых приближенные, но их точность достаточна для практических целей. При этом используются различные исходные данные. Кроме того, в приложении даны вспомогательные построения, необходимые для понимания изложенного матeриала. Также приведены примеры применения пя-

тиугольников в декоративном искусстве и архитектуре. Издание будет полезно лицам, интересующимся геометрией, системами пропорционирования, архитекторам, художникам, дизайнерам и всем, кто хотел бы расширить круг своих познаний. Воспринимать материал будет проще, если читатель знаком с базовыми понятими геометрии (точка, прямая, окружность, дуга, прямой угол, бисектриса, перпендикуляр и т.п.). Выпуклый многоугольник – фигура, у которой угол при любой вершине меньше 1800. Правильный пятиугольник (рис. 1) – выпуклая фигура, имеющая пять вершин, все стороны которой равны между собой. Звездчатый пятиугольник (рис. 2) – фигура, полученная соединением вершин пятиугольника через одну. Отрезок АВ поделен точкой С в золотом сечении, если большая его часть так относится к меньшей, как целый отрезок к большей. То есть: АС/СВ = АВ/ АС (рис. 3).

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

В ПРАВИЛЬНОМ ПЯТИУГОЛЬНИКЕ

Звёздчатый пятиугольник образуется из правильного пятиугольника соединением его вершин через одну. На рисунке показано, какие отрезки содержат в себе золотое се-

чение и как образуются точки деления этих отрезков. Прописной буквой М обозначены большие части отрезков, строчной m – меньшие.

1. ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ

ПРАВИЛЬНОГО ПЯТИУГОЛЬНИКА

И с х о д н ы е д а н н ы е : Правильный пятиугольник АВСDE.

П о с т р о е н и е . На исходном пятиугольнике: через середину стороны АВ проведём перпендикуляр. Получим точку F. Построение копии: Проведём отрезок А'B' = АВ. Через его середину проведём перпендикуляр. Получим точку F'. На нём, от точки F', отложим вверх (по рисунку) отрезок

F'D' = FD. Из точек А' и D' как из центров проводим две дуги радиусом AB. Получим точку E'. То же самое сделаем из точек B' и D'. Получим точку C'. Пятиугольник, идентичный заданному будет иметь вершины A', B', C', D', E'.

2. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ

Исходные данные: ность с центром в точке О.

Окруж-

П о с т р о е н и е . Проведём произвольный диаметр АВ. Поделим его на пять равных частей. Получим точки 1, ..., 4. Из точек А и В как из центров проведём две дуги радиусом АВ. Они пересекутся в точке С. Через точки С и 3 проведём прямую. Она пересечёт

окружность в точке D. Из точки А или из точки D засечём остальные вершины пятиугольника радиусом AD. Получим точки E, G, F. Искомый пятиугольник имеет вершины A, D, F, G, E.

3. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Окружность с центром в точке О.

П о с т р о е н и е . Проведём произвольный диаметр АВ. Построим ему препендикулярный. На окружности получим точки С и D. Поделим радиус АО пополам. Получим точку Е. Проведём отрезок СЕ. Проведём бисектрису угла СЕО. Она пересечет

радиус СО в точке F. Через точку F проведём прямую, параллельную АВ. На окружности получим точки G и H. Из точек G и H радиусом CG на окружности засечём точки H, I и K. Искомый пятиугольник имеет вершины C, H, I, K, G.

4. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ

Исходные данные: ность с центром в точке О.

Окруж-

П о с т р о е н и е . Проведём произвольный диаметр АВ. Через точку О проведём перпендикуляр к нему. На окружности получим точку C. Из точки В как из центра проведем дугу радиусом BО. На окружности получим точки D и Е. Проведём прямую DE. На диаметре АВ получим точку F. Из точки F как из центра проведём дугу

радиусом FC. На прямой АВ получим точки H и I. Из точки С как из центра проведём дугу радиусом СH. На окружности получим точки 1 и 2. Из точки С как из центра проведём дугу радиусом CI. На окружности получим точки 3 и 4. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках 1, C, 2, 4, 3.

5. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ

Исходные данные: ность с центром в точке О.

Окруж-

П о с т р о е н и е . Проведём произвольный диаметр АВ. Через точку О проведём перпендикуляр к нему. На окружности получим точку F. Из точки В как из центра проведем дугу радиусом BО. На окружности получим точки C и D. Проведём прямую CD. На диаметре АВ получим точку E. Из

точки E как из центра проведём дугу радиусом EF. На диаметре АВ получим точку G. Из точки F как из центра проведём дугу радиусом FG. На окружности получим точки 1 и 2. Из точек 1 и 2 тем же радиусом на окружности засечём точки 3 и 4. Пятиугольник построен.

6. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ

Исходные данные: ность с центром в точке О.

Окруж-

П о с т р о е н и е . Проведём произвольный диаметр АВ. Через точку О проведём перпендикулярный к нему — CD. Поделим радиус АО пополам. Получим точку E. Проведём прямую EC. Из точки Е как из центра проведём окружность радиусом ЕО. На пересечении с прямой EC получим

точку F. Из точки С как из центра проведём дугу радиусом CF. На исходной окружности получим точки 1 и 2. Из точек 1 и 2 проведём две дуги радиусом 1-2. На исходной окружности получим точки 3 и 4. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках 1, 2, 4, D, 3.

7. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ

Исходные данные: ность с центром в точке О.

Окруж-

П о с т р о е н и е . Проведём произвольный диаметр АВ. Через точку О проведём перпендикуляр к нему. На окружности получим точку G. Из точки В как из центра проведем дугу радиусом BО. На окружности получим точки D и Е. Проведём прямую DE. На диаметре АВ получим точку F. Из точки F как из центра проведём дугу радиусом FG. На диаметре АВ по-

лучим точку H. Точка H делит радиус АО в золотом сечении. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом ОН. На окружности получим точки 1 и 2. Из точки В как из центра проведём дугу радиусом 1-2. На окружности получим точки 3 и 4. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках 1, 2, 3, В, 4.

8. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Окружность радиусом R с центром в точке О. П о с т р о е н и е . Проведём произвольный диаметр АВ. Через точку О проведём перпендикулярный к нему — CD. Через точки С и D проведём перпендикуляры к CD и отложим на них в разные стороны (как на рисунке) отрезки DE = 4R и CF = R. Проведём прямую EF. Она пересечёт окружность в точках G и H.

Проведём прямые DG и DH. На диаметре АВ получим точки I и K соответственно. Через точки I и K проведём перпендикуляры к диаметру АВ. На окружности получим точки L, M и N, P соответственно. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках L, M, P, B, N.

9. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Окружность с известным положением центра.

П о с т р о е н и е . Проведём произвольный диаметр АВ и поделим его на три части. Получим точки C и D. Через точку D проведём перпендикуляр к АВ. На окружности получим точки

E и F. Проведём прямые EC и FC. На окружности получим точки G и H. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках B, E, H, G, F.

10. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Окружность с центром в точке О, прямой угол. П о с т р о е н и е . Проведём произвольный диаметр АВ и перпендикулярный ему - CD. Через точку В проведём перпендикуляр к АВ, через точку D проведём перпендикуляр к CD. Они пересекутся в точке Е. Расположим прямой угол так, чтобы его стороны проходили через точки С и Е, а вершина лежала на диаметре АВ.

Отметим на диаметре положение вершины точкой F. Расстояние CF есть сторона вписанного пятиугольника. Начиная с любой точки (в данном случае с точки С), засечём циркулем на окружности вершины пятиугольника. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках С, Н, K, I, G.

11. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО СТОРОНЕ

Исходные данные: пятиугольника АВ.

Сторона

П о с т р о е н и е . Разделим отрезок АВ пополам. Получим точку D. Через точку В проведём перпендикуляр к отрезку АВ. Из точки В проведём дугу радиусом АВ. Получим на перпендикуляре точку С. Из точки D проведём дугу радиусом DC. На продолжении отрезка АВ получим точку E. Из то-

чек А и В проведём две дуги радиусом АЕ. Они пересекутся в точке H. На пересечении с дугой из точки В получим точку F. Из точки А проведём дугу радиусом АВ. Получим точку G. Искомый пятиугольник имеет вершины А, В, F, H и G.

12. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО СТОРОНЕ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Сторона пятиугольника АВ.

П о с т р о е н и е . Поделим отрезок АВ в золотом сечении так, чтобы точка деления была ближе к точке А. Получим точку С. Продолжим отрезок АВ и от точки В вправо отложим расстояние BD = BC. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом AD,

то же из точки В. При пересечении дуг получим точку E. Из точек B и А как из центров проведём две дуги радиусом AB. Получим точки G и F. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках А, В, F, E, G.

13. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО СТОРОНЕ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Сторона пятиугольника АВ. П о с т р о е н и е . Через середину отрезка АВ проведём перпендикуляр. Получим точку С. Через точку В проведём перпендикуляр к АВ. Из точки В проведём дугу радиусом ВС. Получим точку D. Проведём прямую АD. Из точки D проведём дугу радиусом DB. На прямой AD получим точку E. Из точки В проведём дугу радиусом BE. На перпендикуляре к АВ через

С получим точку О - центр описанной окружности. Из точки О проведём окружность радиусом ОА, которая пересечёт прямую СО в точке Н. Из точек А и В проведём две дуги радиусом АВ. На окружности получим точки G и F. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках А, В, F, H, G.

14. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО СТОРОНЕ

Исходные данные: пятиугольника АВ.

Сторона

П о с т р о е н и е . Поделим отрезок АВ на шесть равных частей. Получим точки 1, 2, 3, 4, 5. Из точек А и В как из центров проведём две дуги радиусом АВ. Они пересекутся в точке С. Проведём через точки С и 3 прямую. На прямой С-3 от точки С вверх

(по рисунку) отложим 4/6 расстояния АВ, то есть, например, отрезок А-4. Получим точку D. Из точки D как из центра проведём дугу радиусом АВ. Получим точки E и F. Искомый пятиугольник имеет вершины А, В, F, D и Е.

15. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО СТОРОНЕ

Исходные данные: пятиугольника АВ.

Сторона

П о с т р о е н и е . Через точку В проведём перпендикуляр к отрезку АВ. Из точки В как из центра проведём дугу до пересечения с перпендикуляром в точке 5, которую поделим на пять частей и получим точки 1, 2, 3 и 4. Через середину отрезка АВ проведём перпендикуляр. Проведём прямую В-3. Она пересечёт перпендикуляр к сере-

дине АВ в точке О - центре окружности, описанной вокруг искомого пятиугольника. Из точки О как из центра проводим окружность радиусом ОВ или ОА. Получим точки D и С. Проведём из точки А дугу радиусом АВ, которая пересечёт окружность в точке Е. Искомый пятиугольник имеет вершины А, В, С, D, E.

16. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО СТОРОНЕ

Исходные данные: пятиугольника АВ.

Сторона

П о с т р о е н и е . На отрезке АВ как на радиусе построим полуокружность и поделим её на пять равных частей. Получим точки 1, ..., 4. Проведём отрезок В-3. Через середины отрезков АВ и В-3 проведём перпендикудяры. Они пересекутся в точке О - центре описанной или вписанной в искомый

пятиугольник окружности. Из точки О как из центра проведём окружность радиусом ОА. На окружности из точки А и из точки 3 засечем радиусом АВ точки D и Е. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках А, В, 3, E, D.

17. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО СТОРОНЕ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Сторона пятиугольника АВ.

П о с т р о е н и е . Из точки А как из центра проведём окружность радиусом АВ. Поделим её на пять частей так, чтобы одна из точек (обозначена как С) лежала на продолжении отрезка АВ. Пусть соседняя от С точка на окружности, полученная в результате деления её на пять частей, будет D.

Проведём отрезок AD. Через середины отрезков АВ и AD проведём перпендикуляры. Они пересекутся в точке О - центре описанной вокруг искомого пятиугольника окружности. Радиусом АВ засечём на окружности остальные точки искомого пятиугольника - точки E и F.

18. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО СТОРОНЕ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Сторона пятиугольника АВ.

П о с т р о е н и е . На стороне АВ как на основании строим золотой треугольник АВС (см. Приложение 1, построение П.33). Через середины сторон АС и ВС проводим перпендикуляры. Они пересекутся в точке О — центре описанной вокруг искомого пятиуголь-

ника окружности. Из точки О как из центра проводим окружность радиусом ОА. Она пересечёт перпендикуляры к сторонам АС и ВС в точках D и E. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках A, B, D, C, E.

19. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО СТОРОНЕ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Сторона пятиугольника АВ.

П о с т р о е н и е . Проведём через точку В перпендикуляр к АВ. Проведём через середину отрезка АВ перпендикуляр. Получим точку D. Из точки В как из центра проведём дугу радиусом АВ. Получим точки С и F. Проведём прямую АС. На прямой DF получим точку E. Поделим отрезок EF попо-

лам. Получим точку G. Из точки G как из центра проведём окружность радиусом АВ. Отметим точки H и K. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом АВ. На окружности получим точку I. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках А, В, K, H, I.

20. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО СТОРОНЕ

Исходные данные: пятиугольника АВ.

Сторона

П о с т р о е н и е . Раствор циркуля в течение всего построения постоянен и равен АВ. Из точек А и В как из центров проведём две дуги. Они пересекутся в точке С. Из точки С проведём дугу, которая даст точки D и Е. Через точки А и В проведем перпендикуляры к отрезку АВ. На пересечении с дугой из точки С получим точки F и G. Из

точек F и G на перпендикулярах засечём точки H и I соответственно. Проведём прямые АI и ВН. На пересечении с дугами из точек А и В получим точки K и L соответственно. Из точек K и L проведем две дуги, которые пересекутся в точке M. Точки А, В, K, M и L образуют правильный пятиугольник.

21. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО СТОРОНЕ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Сторона пятиугольника АВ.

П о с т р о е н и е . Все окружности и дуги выполняются одним и тем же радиусом, равным АВ. Из точек А и В как из центров проведём две окружности. При их пересечении получим точки C и D. Проведём прямую CD. Из точки С как из центра проведём

окружность, которая даст точки E, F и G. Проведём прямые EF и GF. Получим точки H и I соответственно. Из точек H и I проведём две дуги, которые пересекутся в точке K. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках А, В, H, K, I.

22. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО ДИАГОНАЛИ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Диагональ пятиугольника АВ.

П о с т р о е н и е . Разделим диагональ АВ в золотом сечении точкой С так, чтобы отрезок ВС был большей частью АВ. Из точек А и В как из центров проведём две дуги радиусом ВС. Они пересекутся в точке D. Из точек

А и В проведём две дуги радиусом АВ. Получим точки E и F. Точки A, D, B, F и E являются вершинами искомого правильного пятиугольника.

23. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО ДИАГОНАЛИ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Диагональ пятиугольника АВ. П о с т р о е н и е . Раствор циркуля в течение всего построения постоянен и равен АВ. Из точек А и В как из центров проведём две дуги. Они пересекутся в точках С и D. Проведём прямую CD. Из точки D проведём дугу, которая на прямой CD засечёт точку E. Из точки E проведём дугу, которая на прямой CD засечёт точку F. Из точки F проведём дугу, которая

пройдёт через точку E и засечёт точки G и Н. Из точки H проведём дугу и на прямой CD получим точку K. Из точки K проведём дугу и на прямой CD получим точку L. Из точки L проведём дугу и на дугах с центрами в А и В получим точки M и N. Искомый пятиугольник имеет вершины в точках A, L, B, N, M.

24.1. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО ДИАГОНАЛИ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Диагональ пятиугольника АВ.

П о с т р о е н и е . Ч а с т ь 1 . Раствор циркуля в течение всего построения постоянен и равен АВ. Из точек А и В как из центров проведём две дуги. Они пересекутся в точках С и D. Проведём прямую CD. Получим точку Е. Из точки Е проведём окружность. На прямой CD получим точки N и G. Из точки C на прямой CD засечём точку

F. Из точки F проведем дугу, которая при пересечении с дугами из точек А и В даст точки H и I, а при пересечении с прямой CD даст точку M. Проведём прямые AI и ВН. На пересечении с окружностью получим точки L и K. Из точек L и K засечём на окружности точки O и P соответственно.

24.2 ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО ДИАГОНАЛИ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Построение, выполненное в части 1.

П о с т р о е н и е . Ч а с т ь 2 . Раствор циркуля в течение всего построения постоянен и равен АВ. Проведём прямую ОР. При пересечении с прямой CD получим точку Q. Из точки Q на прямой CD засечём точку R. Из

точки G как из центра проведём дугу. Из точки R также проведём дугу. На их пересечении получим точки S и T. Проведём прямые GS, GT, ON, PN. Они образуют контур искомого пятиугольника.

25.1. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО ДИАГОНАЛИ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Диагональ пятиугольника АВ. П о с т р о е н и е . Ч а с т ь 1 . Раствор циркуля в течение всего построения постоянен и равен АВ. Из точек А и В как из центров проведём две дуги. Они пересекутся в точках С и D. Проведём прямую CD. Получим точку Е. Из точек С и Е на прямой СD засечём точки F и G. Из точки G как из центра проведём окружность. Из точки F проведём дугу, которая засе-

чёт точки H и I. Из точек H и I как из центров проведем две дуги, которые пересекутся в точке K. Проведём две прямые: HK и IK. На окружности получим точки L и M. Из точек L и M засечём на окружности точки N и О. Из точки Е на окружности заcечём точки P и Q. Проведём прямую PQ и на пересечении с прямой CD отметим точку R.

25.2. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ПО ДИАГОНАЛИ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Построение, выполненное в части 1.

П о с т р о е н и е . Ч а с т ь 2 . Раствор циркуля в течение всего построения постоянен и равен АВ. Проведём прямые AR и BR. На окружности получим точки S и T. Из точек S и T на окружности засечём точки U и V. Проведём прямые UG и VG. При пе-

ресечении прямых OR и NR с окружностью отметим точки X и Z. Проведём прямые XN и ZO. Таким образом, получен контур искомого правильного пятиугольника. Он ограничен прямыми UG, GV, OZ, AB и XN.

26. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

И с х о д н ы е д а н н ы е : Правильный треугольник АВС. П о с т р о е н и е . Через точку А проведём перпендикуляр к стороне АВ. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом АВ. Она пересечёт перпендикуляр в точке 5. Поделим дугу В-5 на пять равных частей. Получим точки 1, ..., 4. Из точки 5 как из центра провдеём дугу радиусом 5-4. Получим точку 6. Проведём прямую А-6. Поделим отрезок АВ пополам. Получим точку D. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом

АD. На прямой А-6 получим точку E. Проведём прямую ED. На стороне СВ получим точку F. Через точку F проведём прямую, параллельную АВ. На стороне AC получим точку G. Проведём прямые DG и С-6. При их пересечении получим точку H. Через точку Н проведём прямую, параллельную AB. При пересечении с прямой DF получим точку K. Из точек H и K проведём две дуги радиусом HD, которые на сторонах АС и СВ дадут точки I и L. Искомый пятиугольник имеет вершины D, K, L, I, H.

27. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

И с х о д н ы е д а н н ы е : Правильный треугольник АВС. П о с т р о е н и е . Из точки С на АВ опустим перпендикуляр. Получим точку D. Поделим отрезок DB на шесть равных частей. На одной шестой от точки В отметим точку Е. Проведём прямую EC. Из точки В как из центра проведём дугу радиусом в половину отрезка DB. На стороне BC получим точку F. Проведём прямую DF. Она пересечёт прямую CE в точке H. Из точки H как из центра проведём дугу радиусом HD. На стороне BC полу-

чим точку K. Через точку K проведём прямую, параллельную АВ. На стороне АС получим точку L. Из точек D и L как из центров проведём дуги радиусом DH. Они пересекутся в точке I. Искомый пятиугольник имеет вершины D, H, K, L, I. Как видно по пунктирной окружности, построение весьма приближенное. Окружность была проведена для иллюстрации погрешности.

28. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ОПИСАННЫЙ ВОКРУГ ОКРУЖНОСТИ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Окружность с центром в точке О.

П о с т р о е н и е . Поделим окружность на пять частей любым способом. Получим точки 1, ..., 5. Проведём отрезок 1-2 и поделим его точкой А в золотом сечении так чтобы отрезок 1-А был большей частью отрезка 1-2. Из

точек 1, ..., 5 как из центров проведём окружности радиусом 1-А. Окружности пересекутся в точках В, С, D, E и F. Соединив эти точки, получим искомый пятиугольник.

29. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ОПИСАННЫЙ ВОКРУГ ОКРУЖНОСТИ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Окружность с центром в точке О.

П о с т р о е н и е . Поделим окружность на пять частей любым способом. Получим точки 1, ..., 5. Провдём к эитим точкам радиусы: О-1, ..., О-5. Через точки 1, ..., 5 проведём перпен-

дикуляры к соответствующим радиусам. Точки их пересечения обозначим как A, B, C, D, E, которые и будут вершинами искомого пятиугольника.

30. ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ/ВПИСАННАЯ

В ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК

И с х о д н ы е д а н н ы е : Правильный пятиугольник АВСDE.

П о с т р о е н и е . Чтобы найти центр вписанной/описанной окружности можно сделать следующее 1) провести бискетрисы любых двух углов. Точка их пересечения будет искомым центром; 2) провести перпендикуляры через середины любых двух сторон. Точка их пересечения будет искомым центром;

3) Провести перпендикуляр через середину одной из сторон и бисектису одного из углов. Точка их пересечения будет искомым центром. После определения центра О, проведём вписаную окружность радиусом ОF или описанную радиусом ОА.

31. КВАДРАТ, ВПИСАННЫЙ В ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК

И с х о д н ы е д а н н ы е : Правильный пятиугольник АВСDE. П о с т р о е н и е . Проведём диагональ EC. Через точку Е проведём перпендикуляр к прямой EC. Из точки Е как из центра проведём дугу радиусом EC. На перпендикуляре получим точку F. Проведём прямую FD. На стророне EA получим точку G - одну из вершин искомого квадрата. Через точку G проведём две прямые - параллельную АВ и параллельную EF.

На стороне BC получим точку K, на стороне DE получим точку H. Точку I на стороне DC найдём, проведя через точку H прямую, параллельную АВ или через точку K прямую, параллельную EF, или, проведя бисектрису угла HGK, или же, проведя дугу радиусом GH из точки H или K. Искомый квадрат имеет вершины G, H, I, K.

32. ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК,

ВПИСАННЫЙ В ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК

И с х о д н ы е д а н н ы е : Правильный пятиугольник АВСDE.

П о с т р о е н и е . Из точки D на сторону АВ опустим перпендикуляр. Из точки D как из центра проведём окружность произвольного радиуса. На перпендикуляре получим точку 1. Из точки 1 как из центра проведём еще одну окружность того же радиуса. На первой окружности получим точку 2. Из точки 2 как из цен-

тра проведём третью окружность, равную двум предыдущим. Получим точку 3. Проведём прямую D-3. На стороне ВС получим точку G. Через точку G проведём прямую, параллельную АВ. На стороне AE получим точку F. Искомый треугольник имеет вершины D, G, F.

33. ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК,

ВПИСАННЫЙ В ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК

И с х о д н ы е д а н н ы е : Правильный пятиугольник АВСDE.

П о с т р о е н и е . Найдём центр (точку О) описанной вокруг пятиугольника окружности и проведём её. Из вершины D как из центра проведём дугу радиусом DO. На окружности получим точку F. Поделим дугу FO пополам.

На стороне EA получим точку G. Через точку G проведём прямую, параллельную АВ. На стороне BC получим точку H. Искомый треугольник имеет вершины D, G, H.

34. ЗВЁЗДЧАТЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ПОЛУОКРУЖНОСТЬ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Полуокружность с центром в точке С.

П о с т р о е н и е . Проведём через точку С перпендикуляр к диаметру АВ. На полуокружности получим точку D. Поделим отрезок CD пополам и получим точку E. Проведём отрезок BE. Из точки Е как из центра проведём дугу радиусом EC. На прямой BE получим точку F. Из точки B как из центра проведём дугу радиу-

сом BF. На полуокружности получим точку G. Проведём прямую CG. При пересечении с дугой FG получим точку H. Проведём прямую BН. На полуокружности получим точку I. Через точку H проведём прямую, параллельную AB. Из точки Е как из центра проведём дугу через точку H и на этой прямой отметим точку L. Из точки D как из центра проведём дугу радиусом DI, которая на полуокружности засечёт точку K. Чтобы начертить звёздчатый пятиугольник, соединим последовательно точки С, K, L, H, I, C.

35. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК С ЗАДАННОЙ СТОРОНОЙ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Исходный пятиугольник A, B, C, D, E, отрезок заданной длины.

П о с т р о е н и е . Построим бисектрисы углов при вершинах E и С. При их пересечении получим точку О - центр описанной или вписанной окружности. Проведём радиусы АО, ВО, DO. На любой стороне (например на ED) отложим отрезок заданной длины. Получим точку F. Через точку F про-

ведём прямую, параллельную радиусу EO. При пересечении с радиусом DO получим точку G. Из точки О как из центра проведём окружность радиусом GO. Получим точки 1, 2, 3, 4. Искомый пятиугольник имеет вершины G, 1, 2, 3, 4.

36. ПЯТЬ РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ, ВПИСАННЫХ В ОКРУЖНОСТЬ

Исходные данные: ность с центром в точке О.

Окруж-

П о с т р о е н и е : Поделим заданную окружность на пять частей любым способом. Получим точки 1, ..., 5. Проведём радиусы О-1, ..., О-5. Через точку 1 проведём перпендикуляр к радиусу О-1. На пересечении с радиусом О-4 получим точку А. Поделим угол 1-А-О пополам. Бисектриса угла пересечёт радиус О-1 в точке В.

Из точки О как из центра проведём окружность радиусом ОВ. На ней лежат центры искомых вписанных окружностей (точки 2', ..., 5'), радиус которых равен отрезку В-1. Из точек В, 2', ..., 5' как из центров проведём искомые окружности.

37. ПЯТЬ ДУГ, ВПИСАННЫХ В ОКРУЖНОСТЬ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Окружность с центром с точке О.

П о с т р о е н и е : Поделим окружность на пять частей любым способом. Получим точки А, B, C, D, Е. Проведём радиусы ОА, ОВ, ОС, ОD и ОЕ. Через точку О проведём перпендикуляр, например, к прямой ОА. На окружности получим точки F и G. Проведём прямую FA или GA. Поделим угол EOA пополам. Бисектриса

угла пересечёт прямую FA в точке Н. Из точки Н опустим перпендикуляр на ОА. Получим точку О1. Из точки О как из центра проведём окружность радиусом ОО1. Получим точки О2, О3, О4, О5. Из точек О1, ..., О5 как из центров проведём дуги радиусом О1А. Все необходимые построения выполнены.

38. ПРЯМОУГОЛЬНИК, РАВНОВЕЛИКИЙ ПРАВИЛЬНОМУ ПЯТИУГОЛЬНИКУ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Правильный пятиугольник АВСDE.

П о с т р о е н и е : Найдём центр вписаной или описанной окружности. Обозначим его точкой О. Из точки О на сторону АЕ опустим перпендикуляр. Получим точку F. Из точки Е как из центра проведём дугу, которая пере-

сечет продолжение стороны АЕ в точке G. От точки G вправо (по рисунку) отложим расстояние GH = AE. На отрезках OF и FH построим прямоугольник, площадь которого будет равна площади пятиугольника.

ПРИЛОЖЕНИЕ I ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ

П.1. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ИЛИ ДУГИ ПОПОЛАМ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Отрезок АВ или дуга АВ .

П о с т р о е н и е . Из точек А и В как из центров проведём две дуги радиусом, большим половины расстояния АВ. Они пересекутся в точках С и D.

Проведём прямую СD. Она пересечёт отрезок АВ или дугу АВ в середине. Более того, прямая CD перпендикулярна отрезку АВ.

П.2. ДЕЛЕНИЕ УГЛА ПОПОЛАМ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Угол с вершиной в точке А.

П о с т р о е н и е . Из точки А как из центра проведём дугу произвольного радиуса. Она пересечёт стороны угла в точках В и С. Из точек В и С как из центров проведём две дуги того же ра-

диуса или любого другого, но так, чтобы они пересеклись. Точку пересечения дуг обозначим D. Прямая АD делит заданный угол пополам, то есть является его бисектрисой.

П.3. ДЕЛЕНИЕ УГЛА ПОПОЛАМ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Угол с вершиной в точке А.

П о с т р о е н и е . Из точки А как из центра проведём две дуги разных радиусов. Они пересекут стороны угла в точках В, С и D, E. Проведём прямые

BD и CE. Они пересекутся в точке F. Прямая АF делит заданный угол пополам, то есть является его бисектрисой.

П.4. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ОТРЕЗКУ ЧЕРЕЗ КОНЕЧНУЮ ТОЧКУ

Исходные зок АВ.

данные:

Отре-

П о с т р о е н и е . Вне прямой возьмём произвольно точку С. Из точки С как из центра проведём окружность радиусом СА. Она пересечёт прямую

АВ в точке D. Проведём прямую CD. Она пересечёт окружность в точке E. Прямая, проведённая через точки А и Е перпендикулярна отрезку АВ.

П.5. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ОТРЕЗКУ ЧЕРЕЗ КОНЕЧНУЮ ТОЧКУ

Исходные зок АВ.

данные:

Отре-

П о с т р о е н и е . Из точки А как из центра проведём дугу произвольного радиуса r. На отрезке АВ получим точку D. Из точки D как из центра проведём вторую дугу того же радиуса. Точку пересечения дуг обозначим C.

Из точки С как из центра снова проведём дугу того же радиуса и проведём прямую CD. При их пересечении получим точку Е. Прямая АЕ перпендикулярна отрезку АВ.

П.6. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ОТРЕЗКУ ЧЕРЕЗ КОНЕЧНУЮ ТОЧКУ

Исходные зок АВ.

данные:

Отре-

П о с т р о е н и е . Из точки А как из центра проведём дугу произвольного радиуса r. В ходе дальнейшего построения раствор циркуля не изменяется и остаётся равным r. На отрезке АВ получим точку D. Из точки D как из центра проведём вторую дугу. Точ-

ку пересечения дуг обозначим C. Из точки С как из центра проведём третью дугу. Получим точку F. Из точки F проведём последнюю дугу и получим точку E. Прямая АЕ перпендикулярна отрезку АВ.

П.7. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ОТРЕЗКУ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ НА НЁМ

Исходные данные: зок АВ. Точка С на нём.

Отре-

П о с т р о е н и е . Из точки С как из центра проведём дугу произвольного радиуса. На отрезке АВ получим точки D и Е. Из точек D и Е как из цен-

тров проведём две дуги, радиус которых больше половины расстояния DE. Они пересекутся в точках F и G. Прямая FG перпендикулярна отрезку АВ.

П.8. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ НА НЕЙ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Прямая m, точка А на ней.

П о с т р о е н и е . Из точки А как из центра проведём две дуги. Одну радиусом 3 единицы и вторую радиусом 4 единицы. Единицы можно выбрать произвольно, так как важно отношение радиусов, а не их величина. Малая дуга пересечёт прямую в точке В. Из точки B как из центра проведём дугу радиусом 5 единиц. Она пересе-

чет дугу радиусом 4 единицы в точке С. Прямая АС перпендикулярна прямой m. Построение основано на том, что треугольник, стороны которого относятся как 3 : 4 : 5, является прямоугольным. Такой треугольник также называется Египетским или Священным.

П.9. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ НА НЕЙ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Прямая m, точка А на ней.

П о с т р о е н и е : Начиная из точки А как из центра, произвольным радиусом АВ на прямой засечём три равных расстояния в одну сторону и четыре в другую. Получим точки С и D. Из точки А как из центра проведём дугу радиусом АС, из точки D как из центра проведём дугу радиусом DB.

Дуги пересекутся в точке Е. АЕ - искомый перпендикуляр. Построение основано на том, что треугольник, стороны которого относятся как 3 : 4 : 5, является прямоугольным. Такой треугольник также называется Египетским или Священным.

П.10. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ НА НЕЙ

Исходные данные: m, точка А на ней.

Прямая

П о с т р о е н и е : На прямой m произвольно возьмём точку В и через неё проведём произвольную прямую. На ней отметим точку С так, чтобы отрезок ВС был равен отрезку АВ. Проведём прямую АС и на ней отметим точку D так, чтобы отрезок АD был равен отрезку АВ. Вправо (по ри-

сунку) от точки А на прямой m отметим точку Е, причём отрезок АЕ должен быть равен отрезку АС. Проведём прямую ED и на ней отметим точку F так, чтобы отрезок ED был равен отрезку FD. Прямая, проведённая через точки А и F, перпендикулярна прямой m.

П.11. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ НА НЕЙ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Прямая, заданная точками А и В. Точка С на ней.

П о с т р о е н и е . Возьмём на прямой произвольную точку D. Из точек C и D как из центров произвольным радиусом проведём две окружности так, чтобы они пересеклись. Точку пересе-

чения отметим как E. Проведём прямую DE. От точки E отложим отрезок EF = DE в сторону, противоположную от точки D. Прямая FC будет искомым перпендикуляром.

П.12. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ ВНЕ ЕЁ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Произвольная прямая m и точка А вне её.

П о с т р о е н и е : Возьмём на прямой произвольную точку В. Проведём отрезок АВ и поделим его пополам. Получим точку С. Из точки С как

из центра проведём полуокружность радиусом CA, которая пересечёт прямую в точке D. Прямая AD перпендикулярна заданной прямой.

П.13. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ ВНЕ ЕЁ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Произвольная прямая m и точка А вне её.

П о с т р о е н и е : Возьмём на прямой две произвольные точки: В и С. Из точек В и С как из центров проведём через точку А две дуги: радиусами ВА

и СА. Точку пересечения дуг обозначим D. Прямая AD перпендикулярна заданной прямой.

П.14. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ ВНЕ ЕЁ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Произвольная прямая m и точка А вне её.

П о с т р о е н и е : Из произвольной точки прямой (например, О) как из центра проведём дугу так, чтобы проекция точки А приблизительно попадала на диаметр полуокружности. Получим точки В и С. Проведём прямые ВА и СА. При их пересечении с дугой получим точки D и E. Проведём прямые BE и CD. Они пересекутся в

точке F. Прямая AF перпендикулярна прямой m. Данное построение основано на том, что высоты, опущенные из вершин треугольника, пересекаются в одной точке, а также на том, что угол, построенный на диаметре окружности, является прямым.

П.15. ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПРЯМОЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ ВНЕ ЕЁ

И с х о д н ы е д а н н ы е : Прямая m, точка А вне её.

П о с т р о е н и е : Из точки А как из центра проведём дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла прямую m в двух точках: В и С. Из точек В и С как из ценров радиусом, чуть

большим, чем половина расстояния ВС, проведём две дуги. Они пересекутся в точке D. Проведя через точку пересечения дуг и точку А прямую, получим искомый перпендикуляр.

П.16. ПРЯМАЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ