GRUPO 4 - ANGELA ZAMBRANO -

METODO RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN Y GRAFICA FAMILIA DE CURVAS Angela Lissette Zambrano Moreno Descripci贸n De Resoluci贸n De Ecuaciones Lineales De Primer Orden, Como Aplicar Winplot Para Graficar La Familia De Curvas UNIVERSIDAD TECNICA DE MACHALA ESCUELA DE INFORMATICA PROFESOR: Ing. Carlos S谩nchez

23 de Noviembre de 2010

INTRODUCCION

En este apartado se tratará el tema de ecuaciones lineales de primer orden a base a ejercicios demostrativos, y los conceptos importantes aparecerán detallados en el desarrollo de ellos.

En este apunte se trata la resolución por medio de métodos analíticos de ecuaciones diferenciales de primer orden, esto significa que nos enfocaremos en el paso dos del proceso, graficar la familia de curvas, la resolución del modelo. Para esto entenderemos lo que significa la solución de una ecuación diferencial y veremos métodos estandarizados para hallar dicha solución.

Partiremos en este apunte con el método de variables separables.

ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Solución: Solucionar una ecuación diferencial significa encontrar una relación entre las variables involucradas eliminando las derivadas presentes. A continuación veremos la forma de lograr esto utilizando el método de variables separables.

Antes de comenzar con el método propiamente tal debemos verificar si es aplicable o no a la ecuación planteada.

࢞

࢟

࢟

࢞

1.- ࢟′ = +

Primero identificamos P ^ Q, despejando ࢊ࢟/ࢊ࢞

ௗ௬ ௗ௫

࢞

࢟

࢟

࢞

− =

Donde P=−

୷ ୶

୶

Q=୷

^

Luego vemos que P ^ Q están en función de , para resolver utilizamos a: ‫ݑ = ݕ‬. ‫ݖ‬ Donde u ^ z están en función de y, entonces derivamos ࢟ = ࢛. ࢠ ௗ௭

ௗ௨

‫ ݑ‬ௗ௫ + z ௗ௫ + P = Q

Remplazamos los valores de P ^ Q

ௗ௭

ௗ௨

௬

௫

‫ ݑ‬ௗ௫ + z ௗ௫ + ௫ = ୷

Luego remplazamos a: ‫ݑ = ݕ‬. ‫ݖ‬

‫ ݑ‬ௗ௫ + z ௗ௫ +

ௗ௭

ௗ௨

௨.௭

௨ௗ௭

୳

௫

=

௫ ୳.୸

Factoramos z y nos queda

ௗ௫

ௗ௨

୶

+ z(ௗ௫ − ୶ ) = ୳୸

Tomamos los valores que se encuentran dentro del paréntesis y despejamos u ௗ௨ ௗ௫

=

୳ ୶

Se integra la ecuación obtenida

∫

ௗ௨ ௨

=∫

ୢ୶

lnu = lnx

୶

Simplificamos el logaritmo natural (݈݊) y queda: u=x ௗ௭

୶

u ௗ௫ = ୳୸ Para despejar z utilizamos el valor de u= ‫ܠ‬ ௗ௭

୶

x ௗ௫ = ୶୸

Despejamos z z dz =

ௗ௫ ୶

Posteriormente integramos ambos términos ∫ z dz = ∫

୸మ ଶ

= ln x

ௗ௫ ୶

z ଶ = 2 ln x

Pasamos el exponente al otro miembro y se convierte en raíz z = ඥ2 ln x + c

Para encontrar el valor de y usamos los valore de u ^ z y despejamos y: ‫ݑ = ݕ‬. ‫ݖ‬

y = xඥ2 ln x + c y = ඥx ଶ 2ln x + c x ଶ

࢟૛ = ૛࢞૛ ࢒࢔ ࢞ + ࢉ࢞૛

ECUACIONES 1.- ࢟૛ = ૛࢞૛ ࢒࢔ ࢞ + ࢉ࢞૛ CUANDO C =2

࢟૛ = ૛࢞૛ ࢒࢔ ࢞ + (૛)࢞૛

CUANDO C =4

࢟૛ = ૛࢞૛ ࢒࢔ ࢞ + (૝)࢞૛

CUANDO C =6

࢟૛ = ૛࢞૛ ࢒࢔ ࢞ + (૟)࢞૛

CUANDO C =8

࢟૛ = ૛࢞૛ ࢒࢔ ࢞ + (ૡ)࢞૛

CUANDO C =10

CUANDO

࢟૛ = ૛࢞૛ ࢒࢔ ࢞ + (૚૙)࢞૛

C =-2

࢟૛ = ૛࢞૛ ࢒࢔ ࢞ + (−૛)࢞૛

CUANDO C =-4

࢟૛ = ૛࢞૛ ࢒࢔ ࢞ + (−૝)࢞૛

CUANDO C =-6

࢟૛ = ૛࢞૛ ࢒࢔ ࢞ + (−૟)࢞૛

CUANDO C =-8

࢟૛ = ૛࢞૛ ࢒࢔ ࢞ + (−ૡ)࢞૛

CUANDO ࢟૛ = ૛࢞૛ ࢒࢔ ࢞ + (−૚૙)࢞૛

C =-10

EJERCICIO No.2 ࢟

2.- ‫ ܡ‬′ = 2 − ࢞

Primero identificamos P ^ Q, despejando dy/dx

݀‫ݕ ݕ‬ + =2 ݀‫ݔ ݔ‬ Donde ௬

P=௫

^

Q=2

Para resolver utilizamos y=u.z Donde u ^ z están en función de y, entonces derivamos y=u.z

‫ݑ‬

ௗ௭ ௗ௫

+‫ݖ‬

ௗ௨ ௗ௫

+ܲ =ܳ

Remplazamos los valores de P ^ Q

‫ݑ‬

݀‫ݖ‬ ݀‫ݕ ݑ‬ +‫ݖ‬ + =2 ݀‫ݔ‬ ݀‫ݔ ݔ‬

Luego remplazamos a: y =u.z ‫ݑ‬

݀‫ݖ‬ ݀‫ݖݑ ݑ‬ +‫ݖ‬ + =2 ݀‫ݔ‬ ݀‫ݔ ݔ‬

Factoramos z y nos queda

‫ݑ‬

݀‫ݖ‬ ݀‫ ݑ‬u + ‫ (ݖ‬+ ) = 2 ݀‫ݔ‬ ݀‫ ݔ‬x

Tomamos los valores que se encuentran dentro del paréntesis y despejamos u ௗ௨ ௗ௫

୳

+୶=0

ௗ௨ ௗ௫

୳

= −୶

Se integra la ecuación obtenida ௗ௨

ௗ௫

∫ ௨ =-∫ ௫

݈݊‫ = ݑ‬− ݈݊‫ݔ‬

Simplificamos el logaritmo natural (ln) y queda:

u=

ଵ ௫

Para despejar z utilizamos el valor de u= 1x ‫ݑ‬

݀‫ݖ‬ =2 ݀‫ݔ‬

1 ݀‫ݖ‬ =2 ‫ݔ݀ ݔ‬

Despejamos z ݀‫ = ݖ‬2‫ݔ݀ ݔ‬

Luego integramos ambos términos ∫ ݀‫ = ݖ‬2∫ ‫ݔ݀ ݔ‬

Tenemos una integración por partes y nos queda: 2‫ ݔ‬ଶ ‫=ݖ‬ +ܿ 2

Simplificamos términos semejantes quedando: ‫ݔ = ݖ‬ଶ + ܿ

Para encontrar el valor de y usamos los valore de u ^ z y despejamos y: y = u.z ૚

࢟ = ࢞ (࢞૛ + ࢉ)

Luego simplificamos y quedándonos

௖

‫ݔ= ݕ‬+௫

Sacamos factor común obteniendo que

‫=ݕ‬

‫ݔ‬ଶ + ܿ ‫ݔ‬

‫ ݔ = ݕݔ‬ଶ + ܿ

࢞࢟ − ࢞૛ = ࢉ Para poder graficar ࢟=

2.- ࢟ =

ࢉା࢞૛ ࢞

CUANDO C =2

࢟=

૛ା࢞૛ ࢞

ࢉ + ࢞૛ ࢞

CUANDO C =3

࢟=

૜ା࢞૛ ࢞

CUANDO C =4

࢟=

૝ା࢞૛ ࢞

CUANDO C =-2

࢟=

ି૛ା࢞૛ ࢞

CUANDO C =-3

࢟=

ି૜ା࢞૛ ࢞

CUANDO C =-4

࢟=

ି૝ା࢞૛ ࢞

TUTORIAL PARA LA GRAFICACION DE LA FAMILIA DE CURVAS

Este programa se lo obtuvo del internet por medio de esta ruta: http://winplot.softonic.com/descargar#pathbar, este programa es compatible con los sistemas operativos “Windows XP y LINUX”.

Una vez ejecutado el programa nos presentara una ventana de la cual debemos seleccionar “ventana”

De la lista escojemos la opción “2-dim” o presionamos F2, al escoger esta opción aparecerá lo siguiente

Una vez con el plano cartesiano en pantalla presionamos “F1” para poder dibujar la familia de curvas

Sabiendo que: f(x)=3Θ +c Θ2 (resultados de las ecuaciones resueltas) 2 4 0 -2 -4

f(x)=3x +c x2

la constante c =

(rangos o escala de las curvas)

Una vez colocado el resultado y la coordenada correspondiente presionamos “ok�

Y nos aparecerĂĄ la primera curva

Y si queremos ubicar otra curva en el mismo plano cartesiano solamente presionemos “dupl�

De lo cual presentara por pantalla una ventana que le volverĂĄ a pedir el resultado con la coordenada correspondiente.

Y asĂ­ sucesivamente con el resto de coordenadas.