UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA FACULTAD DE ING. CIVIL ESCUELA DE INFORMÁTICA PROYECTO DE MATEMÁTICAS IV INTEGRANTES: Daniel Sánchez Ronald Ganán CURSO: Cuarto Quimestre “B” TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma:
O usando otra notación frecuente:
Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparecen productos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:
Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:
Donde
y
son funciones continuas en un intervalo
. La
solución de esta ecuación viene dada por:
Resolución detallada Es Posible encontrar una forma explícita para las soluciones de esta ecuación, la idea consiste en encontrar una función
que nos permita transformar:
en la derivada de un producto. Para ello necesitamos que . En efecto, si despejamos p(x) e integramos ambos miembros tenemos dentro de la integral y por
resolución de integrales sabemos que es el logaritmo de w(x). Despejar el logaritmo es convertir en exponencial ambos miembros, y así obtenemos
. Ahora si multiplicamos la ecuación diferencial por
obtenemos:
Lo que equivale a escribir:
Con
.
Finalmente, todas las soluciones de la ecuación diferencial pueden ser calculadas usando la expresión:
Ecuaciones Diferenciales Lineales
EJERCICIOS
Primer Ejercicio
Dividiendo la ecuaci贸n para X a toda la ecuaci贸n nos queda:
Reemplazando
por
Determinamos el valor de u
Integrando nos queda:
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Determinamos el valor de z
Reemplazando el valor de u=x2
Integrando nos queda:
+c
Reemplazando los valores de u y z
Respuesta
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Grafico 1:
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Segundo Ejercicio:
Dividendo para x a toda la ecuaci贸n:
Determinamos el valor de z
Reemplazando el valor de u
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Integraci贸n por partes
Nos queda:
Reemplazando los valores de u y z
Respuesta Grafico 2:
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Graficando los Ejercicios 1. Área de Trabajo, hacemos clic en Archivo, escogemos “2-dim” o presione F2.
2. Insertando la solución del Ejercicio, haciendo clic en “Ecum”, luego seleccionamos “Explicita” o presione F1
Ecuaciones Diferenciales Lineales
3. Escribimos la soluci贸n del ejercicio la siguiente ventana que aparece.
4. La curva del ejercicio es:
Ecuaciones Diferenciales Lineales
5. Damos más valores para más curvas, haciendo clic en duplicar y cambiamos el valor de la constante y así sucesivamente:
Primer ejercicio nos queda:
Segundo Ejercicio nos queda:
Ecuaciones Diferenciales Lineales
6. Demostraci贸n de las curvas de los ejercicios planteados: 1.
2.
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Ecuaciones Diferenciales Lineales