Familias_de_conjuntos_comp_1

Familia de conjuntos

2014

Xiomara Contreras

El arte de proponer una pregunta debe considerarse de mayor valor que resolverla George

Cantor

Contenido Familia de Conjuntos (Definici贸n)

Operaciones Proposiciones Indices en familias de Conjuntos

¿ Familia de conjuntos?

Una familia de conjuntos se define como un conjunto donde todos sus elementos son a su vez conjuntos.

F es familia





x x  F

 x

es



conjunto

Si  denota el conjunto vacío. Entonces, el conjunto G (abajo) es una familia G  {,{},{,{}}}

Operaciones Unión: Si Fes una familia de conjuntos, entonces la unión sobre F, es el conjunto definido por:

 F  {x : y( y  F  x  y)} x( x   F  y( y  F  x  y)) Intersección: Si F es una familia de conjuntos no vacía, entonces se define la intersección sobre F por:



F  {x : B( B  F  x  B)}

x ( x 



F  B ( B  F  x  B))

Intersección: Si F es una familia de conjuntos no vacía, entonces se define la intersección sobre F por:



F  {x : B( B  F  x  B)}

x ( x 



F  B ( B  F  x  B))

•

•

El conjunto vacío es una familia

Para F, F1 familias de conjuntos

F  F1 es

familia

F  F1 es

familia

Ejercicio: Demuestre los enunciados anteriores F  {,{},{,{}}}

entonces

F F

 {, {}} 

Proposición: Si A es un conjunto y F, F1 son familias cualesquiera. Los siguientes planteamientos se satisfacen (ver texto de Yriarte):

 F   F1   ( F  F1)

( F    F1    ( F  F1)  )  (( F )  ( F1)   ( F  F1))

Indices en familias de conjuntos

Suponga un conjunto de índices I tal que para cada i I ( Ai es un conjunto). Entonces al conjunto F,

F  {A : i  I} i

()

se le denomina familia indexada. Alternativamente, se indicará que,

x( x  F  i(i  I  x  Ai ))

Para una familia como en () se tiene que

 F   Ai  {x : i (i  I  x  A )} i iI La intersección sobre una familia no vacía como en () se indica por F 

 A  {x : i (i  I  x  A )} i i iI

Ejemplo: Sea I=N (N es el conjunto de los números Naturales). Para cada i en I, se define el conjunto Ai por:

A  {x : x  N  (0  x  i)}} i A  {0}, A  {0,1},..etc 0 1

.

Entonces,

 F   Ai  N i0

F   A

i

i 0

 A0

Proposiciones: Si B es un conjunto y F es una familia como en (), se tiene que:

(  A )  B   ( A  B) i i iI iI Si F es no vacía. Entonces,

(  A )  B   ( A  B) i i iI iI

Sean F y F1 dos familias indexadas donde los respectivos conjuntos de índices son I, J.

F  {A : i  I } i F1  {B j : j  J } Demuestre propiedades

como

ejercicio

las

siguientes

(  A )  (  B )    (A  B ) i j i j iI jJ iI jJ

Si F , F1  . Entonces, (  A )  (  B )    (A  B ) i j i j iI jJ iI jJ