Manual de trigonometria esferica

Universidad Central del Este

Manual de Geometría y Trigonometría Esférica • Nataly Sierra J. (2016-0345) • Samuel Soriano B. (2016-0131) • Yeriza Varela M. (2016-0032)

Índice 1. Funciones trigonométricas de los ángulos notables 1.1 Obtención de las funciones trigonométricas para ángulos de 30° y 60° 1.2 Obtención de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45° 2. Radianes y grados 2.1 ¿Qué es un radian?

2.2 ¿Qué es un grado?

2.3 Fórmulas de conversión 3. Identidades trigonométricas 3.1 ¿Que es identidad?

3.2 ¿Que es una identidad trigonométrica?

3.3 Fórmulas de las identidades trigonométricas 4. Triángulos esféricos 4.1 Propiedades de los triángulos esférico 4.2 Defecto esférico y exceso esférico 4.3 Superficie de un triángulo esférico 4.4 Área de un polígono esférico 4.5 Distancia esférica entre 2 puntos 5. Ley del seno 6. Ley del coseno 7. Triángulos rectángulos 7.1 Propiedades de los triángulos rectángulos 7.2 Resolución de triángulos rectángulos 8. Resolución de triángulos esféricos rectiláteros 8.1 Proposición 8.2 Reglas de Neper

Funciones trigonométricas de ángulos notables En las matemáticas y específicamente en la trigonometría, la palabra “notable” se utiliza para referirnos a procesos o valores que están bien definidos o muy comunes y, por ende, se reconocen y memorizan fácilmente. En este sentido, los ángulos notables son aquellos que tienen valores que aparecen muy seguido en la vida cotidiana. Estos ángulos son los de 30°, 45° y 60° y, en segundo lugar, los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°. Estos últimos, aunque no están definidos como 'notables', también son muy comunes.

Para los 3 ángulos notables podemos encontrar las razones trigonométricas — seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante— sin conocer las medidas exactas de los triángulos que los contienen, pues estos ángulos están contenidos en dos triángulos muy especiales e importantes en geometría, a saber: los triángulos isósceles rectángulos y los triángulos equiláteros.

Obtención de las funciones trigonométricas para ángulos de 30° y 60° Antes de encontrar el valor para las funciones trigonométricas de los ángulos notables de 30° y 60°, vamos a originar dichos ángulos a partir de un triángulo equilátero. El triángulo equilátero que requerimos es aquel cuyos tres lados tienen una longitud de 1 unidad; además, cada uno de sus ángulos mide 60° (como siempre es el caso en un triángulo equilátero).

Ya que se tiene el triángulo equilátero, de éste se formarán dos triángulos a partir de su altura. Estos nuevos triángulos estarán compuestos por un ángulo de 30°30° y 60°60°. Finalmente, para obtener el valor de una relación trigonométrica, ya sea para 30°30° o 60°60°, sólo hay que utilizar sus definiciones.

Obtención de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45° Para encontrar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo notable de 45° utilizaremos un triángulo rectángulo isósceles. En dicho triángulo, se cumple que dos de sus lados tienen la misma longitud, digamos xx. Además, como el triángulo es rectángulo, uno de los ángulos es de 90°, por lo que los otros dos medirán 45° (recuerda que los triángulos isósceles siempre tienen dos ángulos idénticos).

Por conveniencia asignaremos a la hipotenusa el valor de 11 unidad. A continuación, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de sus catetos. Finalmente, para obtener el valor de las funciones trigonométricas solo hay que utilizar sus definiciones.

Radianes y grados ÂżQuĂŠ es un radian?

Este es la unidad de ĂĄngulo plano en el Sistema Internacional de Unidades.

Representa el ĂĄngulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio.se simboliza como rad.

ÂżQuĂŠ es un grado?

Es la unidad de medir un ångulo y existen 360 grados en una rotación este se representa °.

Fórmulas de conversión 1) 1°=

đ??… đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Ž

radian

2) 1 radian=(

đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;ŽÂ° đ??…

)

Ejemplo de grados a radian Transformar 80° a radian usando la formula #1. a) 60°= (

đ??…

đ??…

)=( )radian

đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;ŽÂ°

đ?&#x;‘

paso 1: dividimos 180° dentro de 60° paso 2: el resultado nos darå

đ?œ‹ 3

Ejemplo radian a grado Transformar de radian a grado a)

2đ?œ‹ 2∗180 3

=

3

=120° grado

Paso 1: multiplicamos 2 por 180° que es el valor de π en los grados eso serå igual a 360°.

Paso 2: se divide 360° dentro de 3 el cual es el numero divisor y el resultado serå 120° grado.

Identidades trigonomĂŠtricas ÂżQue es identidad?

Es cuando 2 objetos los cuales se escriben diferentes son iguales. ÂżQue es una identidad trigonomĂŠtrica?

Es una igualdad entre expresiones que contiene funciones trigonomĂŠtricas y es vĂĄlida para todos los valores del ĂĄngulo en dicha funciĂłn.

Fórmulas de las identidades trigonomÊtricas. • sin²ɾ+cos²ɾ=1 • sin²ɾ=1-cos²ɾ • cos²ɾ=1-sin²ɾ • tan²ɾ=sec²ɾ-1 • sec²ɾ=tan²ɾ+1 • csc²ɾ=1+cotg²ɾ • cotg²ɾ=csc²ɾ-1 •

đ?‘ đ?‘–đ?‘›Â˛Éľ đ?‘?đ?‘œđ?‘ ²ɾ

+

=

1

đ?‘?đ?‘œđ?‘ ²ɾ đ?‘?đ?‘œđ?‘ ²ɾ đ?‘?0đ?‘ ²ɾ

• tan²ɾ +1=sec²ɾ • tan²ɾ=csc²ɾ-1

•

đ?‘ đ?‘–đ?‘›Â˛Éľ đ?‘?đ?‘œđ?‘ ²ɾ đ?‘ đ?‘–đ?‘›Â˛

+

đ?‘ đ?‘–đ?‘›Â˛

=

1

đ?‘ đ?‘–đ?‘›2 đ?›ł

• 1 + đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘”²ɾ = đ?‘?đ?‘ đ?‘?²ɾ • cotg²ɾ=csc²ɾ-1 Ejemplo de una identidad trigonomĂŠtrica.

1)sin x+cos x cot x=cscx Sin x +

đ?‘?đ?‘œđ?‘ ²đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ

đ?‘ đ?‘–đ?‘›Â˛đ?‘Ľ+đ?‘?đ?‘œđ?‘ ²đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ 1 đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ

= csc x

=cos x

= csc x

Paso 1: primero buscamos la identidad inversa de cos x cot x la cual es

đ?‘?đ?‘œđ?‘ ²đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ

.

Paso 2: cambiar los valores de la ecuaciĂłn por la inversa que ya buscamos y la ecuaciĂłn serĂĄ ahora sin x +

đ?‘?đ?‘œđ?‘ ²đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ

.

Paso 3: procedemos a multiplicar la ecuaciĂłn sin x + đ?‘ đ?‘–đ?‘›Â˛đ?‘Ľ+đ?‘?đ?‘œđ?‘ ²đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ

đ?‘?đ?‘œđ?‘ ²đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ

el resultado de ĂŠste serĂĄ

.

Paso 4: sumamos sin²x + cos²x esto es igual a 1 y la ecuación quedaría resultado final serå csc x.

1 đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ

y el

Triángulos esféricos Es una figura cerrada, de tres lados, sobre la superficie de una esfera, que está delimitada por la intersección de arcos menores de tres círculos mayores.

Propiedades de los triángulos esféricos: Entre los elementos de todo triángulo esférico se verifican las siguientes propiedades: • Los lados de un triángulo esférico son menores que una semicircunferencia.

• La suma de los lados de un triángulo esférico es menor que cuatro rectos.

• Cualquier lado de un triángulo esférico es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

• La suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor que dos rectos y menor que seis.

• El menor de los ángulos de un triángulo esférico difiere de la suma de los 1.2 Principales conceptos de la geometría esférica 15 otros dos en menos de dos rectos.

• Un triángulo esférico isósceles tiene iguales los ángulos opuestos a los lados iguales y, consecuentemente, si un triángulo esférico tiene dos ángulos iguales, también es isósceles.

• En todo triångulo esfÊrico, a mayor lado se opone mayor ångulo y, recíprocamente, a mayor ångulo se opone mayor lado.

El defecto esfÊrico se busca con la expresión 360°-(a+b+c). Mås el exceso esfÊrico lo podemos encontrar con la expresión A+B+C-180° Ejemplos: 1. Hallar el defecto esfÊrico de un triångulo cuyos lados son a=35°, b=40° y c=105° Paso 1: sumamos los lados dados a+b+c= 35+40+105= 180° Paso 2: les restamos 360° a los lados sumados, 360°-180°= 180° Podemos deducir entonces que el defecto esfÊrico es 180° 2. hallar el exceso esfÊrico de un triångulo cuyos lados son A=120°, B=69° y C=70° Paso 1: sumamos los ångulos dados A+B+C= 120+69+70= 259° Paso2: les restamos 180° a los ångulos sumados, 259°-180°=79° El exceso esfÊrico entonces es ξ=79° Superficie de un triångulo esfÊrico Para calcular la superficie de un triångulo esfÊrico lo hacemos mediante la siguiente formula: � =

đ?‘&#x; 2đ?œ‹ 180°

(đ??´ + đ??ľ + đ??ś − 180°)

Ejemplo: Hallar la superficie de un triĂĄngulo esfĂŠrico cuyo radio es 4m y sus ĂĄngulos A=B= 145° y C=39° Paso 1: podemos ver aquĂ­ que los ĂĄngulos A y B tienen los mismos valores, pues procedemos a resolver lo que estĂĄ dentro del parĂŠntesis, es decir, (A+B+C-180°), decimos entonces, (145+145+39-180) = 149° Paso 2: sustituimos el valor del radio en la formula đ?‘ =

(4đ?‘š)2 đ?œ‹ 16đ?‘š2 đ?œ‹ 180°

=

180°

Paso 3: procedemos a multiplicar el resultado de los valores obtenidos: đ?‘ =

16đ?‘š2 đ?œ‹ 180°

(149°)=

50.26548246 180°

(149°) = 0.27925268(149°) = 41.60864937�2

y asĂ­ obtenemos entonces el resultado de la superficie de un triĂĄngulo esfĂŠrico.

Ă rea de un polĂ­gono esfĂŠrico Antes que nada, debemos conocer que es un polĂ­gono esfĂŠrico, pues un polĂ­gono esfĂŠrico es una parte de la superficie esfĂŠrica limitada por una poligonal cerrada, cuyos lados son arcos de circunferencia mĂĄxima.

Para encontrar el ĂĄrea de un polĂ­gono esfĂŠrico lo hacemos mediante la siguiente formula: Si es en grado: đ?‘ =

đ?‘&#x; 2đ?œ‹ 180°

(đ??´1 + đ??´2 + â‹Ż + đ??´đ?‘› − (đ?‘› − 2)180°

ExpresĂĄndolos en radianes: đ?‘ = đ?‘&#x; 2 (đ??´1′ + đ??´â€˛2 + â‹Ż + đ??´â€˛đ?‘› − (đ?‘› − 2)đ?œ‹) Donde, đ??´1′ + đ??´â€˛2 + â‹Ż + đ??´â€˛đ?‘› đ?‘’đ?‘ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘ đ?‘˘đ?‘šđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘œđ?‘ ĂĄđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œđ?‘ Y n es el nĂşmero de lados.

Ejemplo: hallar el ĂĄrea de un hexĂĄgono, sobre una esfera de 2.5 metros de radio, sabiendo que todos sus ĂĄngulos son 200° Paso 1: sabemos que todos sus ĂĄngulos son 200° al ser un hexĂĄgono significa que tiene 6 ĂĄngulos, entonces, procedemos a sumar todos sus ĂĄngulos 200°×6= 1200° Paso 2: n=6 pues porque es un hexĂĄgono, entonces procedemos a sustituir los valores en la fĂłrmula: đ?‘ =

(2.5đ?‘š)2 đ?œ‹

180° 19.63495408 180°

(1200° − (6 − 2)180° =

6.25đ?‘š2 đ?œ‹ 180°

(1200° − 720° =

(480°) = 0.109083078(480°) = 52.35987756�2

Y asĂ­ se obtiene el ĂĄrea de un polĂ­gono esfĂŠrico.

Distancia esfĂŠrica entre 2 puntos

Para calcular la distancia esfÊrica entre 2 puntos A y B ubicados en la superficie terrestre, debemos conocer las longitudes y latitudes de A y B. La fórmula para encontrar el arco AB=p es la siguiente: Cos p = cos a cos b + sen a sen b cos P Ejemplo: calcular el arco AB=p, de un triångulo esfÊrico de los cuales conocemos sus lados a= 45° y b= 63° y su ångulo P= 18° Paso 1: lo primero que vamos hacer es sustituir los valores en la fórmula.

Cos p= cos45°cos63° + sen45°sen63°cos18° Paso 2: procedemos a buscar los valores de cada seno y coseno.

Cos p= (0.707106781) (0.951056516)

(0.453990499)

+

(0.707106781)

(0.891006524)

Paso 3: luego multiplicamos y tendremos como resultado: Cos p= 0.32101976 + 0.599200561 Paso 4: sumamos los resultados.

Cos p= 0.920220321 Paso 5: pasamos el cos del otro lado el cual pasa como arco coseno.

P= đ?‘?đ?‘œđ?‘ −1 (0.920220321)= 23.04168736= 23° 2° 30 °

Ley del seno El teorema de los senos o ley de los senos es una relaciĂłn de proporcional entre las longitudes de los lados de un triĂĄngulo y los senos de sus respectivos ĂĄngulos opuestos.

La ley de los senos se usa para encontrar los ĂĄngulos de un triĂĄngulo en general. Si se conocen 2 lados y el ĂĄngulo comprendido entre ellos dos, se puede usar junto con la ley de los cosenos para encontrar el tercer lado y otros 2 ĂĄngulos. a, b, c son lados mientras que A, B, C son ĂĄngulos.

La fĂłrmula de la ley del seno es: đ?‘†đ?‘’đ?‘›đ??´ đ?‘Ž

=

đ?‘†đ?‘’đ?‘›đ??ľ đ?‘?

=

đ?‘†đ?‘’đ?‘›đ??ś đ?‘?

Ejemplos: Resolver el triĂĄngulo ABC: A=41 grados

B=77grados a=10.5

c? b?

C? Entonces procedemos a sustituir en la fĂłrmula: đ?‘ đ?‘’đ?‘›41 10.5

=

đ?‘ đ?‘’đ?‘›77 đ?‘?

Y despejamos: Sen41(b)=Sen77(10.5) đ?‘ đ?‘’đ?‘›77(10.5)

b=

đ?‘ đ?‘’đ?‘›41

b=15.59 Ahora buscamos a C restĂĄndoles a 180 la suma de A+B=180-(A+B) = 180(77+41)=180-118=62, es decir que C=62 grados.

Ahora procedemos a buscar al lado c: đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ??ľ đ?‘?

=

đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ??ś đ?‘?

sustituimos

Despejamos a c =

đ?‘ đ?‘–đ?‘›77 15.59

sin(15.59) đ?‘ đ?‘–đ?‘›77

=

đ?‘ đ?‘–đ?‘›62 đ?‘?

=14.127; c=14.12°

Ley del coseno La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triĂĄngulo oblicuo (no rectĂĄngulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ĂĄngulo incluido son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporciĂłn que pueda resolverse.

La ley de los cosenos establece: đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 − 2đ?‘Žđ?‘?đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ??ś

Esto se parece al teorema de Pitågoras excepto para el tercer tÊrmino, y si C es un ångulo recto el tercer tÊrmino es igual a 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitågoras. Así, el teorema de Pitågoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

A=60°, b=14°, c=10° En este caso se usa la formula; đ?‘Ž2 = đ?‘? 2 + đ?‘? 2 − 2đ?‘?đ?‘? đ??śđ?‘œđ?‘ đ??´ Y procedemos a sustituir los valores en la fĂłrmula: đ?‘Ž2 = (14°)2 + (10°)2 − 2(14°)(10°)đ?‘?đ?‘œđ?‘ 60° đ?‘Ž2 = 196 + 100 − 280(0.5) đ?‘Ž2 = 296 − 140 đ?‘Ž = √156 Y es asĂ­ como se obtiene el lado a, que es el que faltaba. Ahora procederemos a buscar los ĂĄngulos faltantes, para buscar el ĂĄngulo B usaremos la siguiente fĂłrmula: đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 − 2đ?‘Žđ?‘?đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ??ľ Sustituimos los valores en la fĂłrmula: (14)2 = (√156)2 + (10)2 − 2(√156)(10)đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ??ľ 196 = 156 + 100 − 20√156 đ??śđ?‘œđ?‘ đ??ľ 196 = 256 − 20√156 đ??śđ?‘œđ?‘ đ??ľ 196 − 256 = −20√156 đ??śđ?‘œđ?‘ đ??ľ −60 −20√156 30 10√156

=

−20√156 −20√156

Cos B (racionalizamos)

= cos đ??ľ (factorizado)

đ?‘?đ?‘œđ?‘ −1 ( đ?‘?đ?‘œđ?‘ −1 (

30 10√156

)= B

30√156 )= 1560

Racionalizado:

30

√156 10√156 √156

.

=

30√156 10(156)

=

30√156 1560

B

B= 76°6°7° Por último, para encontrar el ångulo C, si la fórmula nos dice que A+B+C=180°. A 180° le restamos los ångulos sumados A+B.

180°-60°+ 76°6°7°= C C= 43°53°53° Y así se obtiene los ángulos faltantes de un triángulo oblicuo a través de la ley del coseno.

Triángulos rectángulos

Se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo con un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.

Proposición: para hallar las formulas relativas a los triángulos rectángulos basta sustituir un ángulo por 90° en las fórmulas generales obtenidas anteriormente.

Sea el ángulo recto A, entonces, sen A= 1, cos A= 0, y los diversos grupos de fórmulas se reducen a las siguiente: I. II. III.

IV.

{cos a= cos b cos c} Sen b= sen a sen B Sen c= sen a sen C Tg b= tg a cos C Tg c= tg a cos B Tg b= sen c tg B Tg c= sen b tg C Cos a= cot B cot C Cos B= cos b sen C Cos C= cos c sen B

Propiedades de los triángulos rectángulos En todo triángulo rectángulo se cumple que: • Tiene dos ángulos agudos.

• La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.

• El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. • La suma de la hipotenusa y el diåmetro de un círculo inscrito en el triångulo es igual a la suma de los catetos. • Para efectos de årea, un cateto cualquiera se puede considerar como base y el otro cateto como altura. • La mediana de la hipotenusa descompone un triångulo rectångulo escaleno en dos triångulos: uno obtusångulo y otro acutångulo, no congruentes pero equivalentes. • La mediana de la hipotenusa de un triångulo rectångulo isósceles lo descompone en dos triångulos rectångulos isósceles congruentes y equivalentes. • Dos triångulos rectångulos, con hipotenusa común, y los ångulos rectos en semiplanos opuestos determinados por la recta que contiene a la hipotenusa, forman un cuadrilåtero birrectångulo. • La mediana que parte del ångulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa. • La altura que parte del vÊrtice del ångulo recto, coincide con un cateto, con tal de considerar al otro cateto como una base.

ResoluciĂłn de triĂĄngulos rectĂĄngulos Son seis los casos de resoluciĂłn: Primer caso: conocidos los catetos b y c.

Utilizando las formulas: Cos a= cos b cos c; đ?‘Ąđ?‘” đ??ľ =

đ?‘Ąđ?‘” đ?‘? đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘?

; đ?‘Ąđ?‘” đ??ś =

đ?‘Ąđ?‘” đ?‘? đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘?

Ejemplo: Resolver el triĂĄngulo esfĂŠrico rectĂĄngulo siendo b= 50° 30° 30° y c= 40° 10° 10° Cos a= cos b cos c Cos a= cos 50° 30° 30° cos 40° 10° 10° Cos a= 0.635965985(0.764140139) đ?‘Ž = đ?‘?đ?‘œđ?‘ −1 (0.485967136) đ?‘Ž = 0.485967136 , de donde se deduce que đ?‘Ž = 0°29°9°

đ?‘Ąđ?‘” đ??ľ =

đ?‘Ąđ?‘” 50°30°30° đ?‘ đ?‘’đ?‘› 40°10°10° 1.213456548

đ?‘Ąđ?‘” đ??ľ =

0.645050267

đ??ľ = đ?‘Ąđ?‘”−1 (1.881181375) B= 62.0057436, de donde se deduce el valor B= 62°0°20° đ?‘Ąđ?‘” 40°10°10°

đ?‘Ąđ?‘” đ??ś =

đ?‘ đ?‘’đ?‘› 50°30°30° 0.844151791

đ?‘Ąđ?‘” đ??ś =

0.771717089

đ??ś = đ?‘Ąđ?‘”−1 (1.093861731) C = 47.56668484, por tanto, C= 47° 34° 0° Y A= 90° Segundo caso: conocida la hipotenusa a, y un cateto b Utilizando las fĂłrmulas: cos đ?‘? =

cos đ?‘Ž cos đ?‘?

; đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ??ľ =

đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘? đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ž

, cos đ??ś =

đ?‘Ąđ?‘” đ?‘? đ?‘Ąđ?‘” đ?‘Ž

Ejemplo: Resolver el triĂĄngulo rectĂĄngulo conocida la hipotenusa a= 40° 30° 25° y el cateto b= 30° 50° 16° cos đ?‘? = cos đ?‘? =

cos 40°30°25° đ?‘?đ?‘œđ?‘ 30°50°16° 0.760327244 0.858622096

đ?‘? = đ?‘?đ?‘œđ?‘ −1 (0.885520239) c= 27°38°50° đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ??ľ = đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ??ľ =

đ?‘ đ?‘’đ?‘› 30°50°16° đ?‘ đ?‘’đ?‘›40°30°25° 0.512609105 0.649540207

đ??ľ = đ?‘ đ?‘’đ?‘›âˆ’1 (0.789187643) B= 52°6°34°

�� 30°50°16°

cos đ??ś = cos đ??ś =

�� 40°30°25° 0.597013643 0.854290322

đ??ś = đ?‘?đ?‘œđ?‘ −1 (0.698841632) C= 45°39°57° A= 90° Tercer caso: conocido un cateto b y su ĂĄngulo opuesto B Utilizando las fĂłrmulas: đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘?

đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ž =

đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ??ľ

; đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘? =

đ?‘Ąđ?‘” đ?‘? đ?‘Ąđ?‘” đ??ľ

; đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ??ś =

cos đ??ľ cos đ?‘?

Ejemplo: Resolver el triĂĄngulo rectĂĄngulo siendo b= 35° y B= 40° đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ž = đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ž =

đ?‘ đ?‘’đ?‘› 35° đ?‘ đ?‘’đ?‘› 40° 0.573576436 0.642787609

đ?‘Ž = đ?‘ đ?‘’đ?‘›âˆ’1 (0.892326529) a= 63°10°1° đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘? = đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘? =

�� 35° �� 40° 0.700207538 0.839099631

đ?‘? = đ?‘ đ?‘’đ?‘›âˆ’1 (0.834474849) c= 56°33°40° đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ??ś = đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ??ś =

cos 40° cos 35° 0.766044443 0.819152044

đ??ś = đ?‘ đ?‘’đ?‘›âˆ’1 (0.93516759) C= 69°15°18° A=90° Cuarto caso: conocido un cateto b y el ĂĄngulo adyacente C

Utilizando las fĂłrmulas: đ?‘Ąđ?‘” đ?‘Ž =

đ?‘Ąđ?‘” đ?‘? cos đ??ś

; đ?‘Ąđ?‘” đ?‘? = đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘? đ?‘Ąđ?‘”đ??ś; cos đ??ľ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘? đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ??ś

Ejemplo: Resolver el triångulo rectångulo sabiendo que b=30° y C=60° �� � = �� � =

�� 30° cos 60° 0.577350269 0.5

đ?‘Ž = đ?‘Ąđ?‘”−1 (1.154700538) a= 49°6°23° đ?‘Ąđ?‘” đ?‘? = đ?‘ đ?‘’đ?‘›30° đ?‘Ąđ?‘”60° đ?‘Ąđ?‘” đ?‘? = (0.5)(1.732050808) đ?‘? = đ?‘Ąđ?‘”−1 (0.866025403) c=40°53°36° cos đ??ľ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ 30° đ?‘ đ?‘’đ?‘›60° Cos B= (0.866025403) (0.866025403) đ??ľ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ −1 (0.749999998) B=41°24°34° A=90° Quinto caso: conocida la hipotenusa a, y un ĂĄngulo B Utilizando las fĂłrmulas: đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘? = đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ž đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ??ľ; đ?‘Ąđ?‘” đ?‘? = đ?‘Ąđ?‘”đ?‘Ž cos đ??ľ; đ?‘Ąđ?‘” đ??ś =

cot đ??ľ cos đ?‘Ž

Ejemplo: Resuelve el triĂĄngulo rectĂĄngulo si a=50° y B=65° đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘? = đ?‘ đ?‘’đ?‘› 50° đ?‘ đ?‘’đ?‘› 65° đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘? = (0.766044443)(0.906307787) đ?‘? = đ?‘ đ?‘’đ?‘›âˆ’1 (0.694362674) b=43°58°35°

đ?‘Ąđ?‘” đ?‘? = đ?‘Ąđ?‘” 50° cos 65° đ?‘Ąđ?‘” đ?‘? = (1.191753593)(0.422618261) đ?‘? = đ?‘Ąđ?‘”−1 (0.503656831) c=26°43°56° đ?‘Ąđ?‘” đ??ś = đ?‘Ąđ?‘” đ??ś =

đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą65° cos 50° 0.466307658 0.642787609

đ??ś = đ?‘Ąđ?‘”−1 (0.725445935) C=35°57°31° A=90° Sexto caso: conocidos los ĂĄngulos B y C Se utilizan las formulas: cos đ?‘Ž = cot đ??ľ cot đ??ś; cos đ?‘? =

cos đ??ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ??ś

; cos đ?‘? =

cos đ??ś đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ??ľ

Ejemplo: Resuelve el triĂĄngulo rectĂĄngulo siendo el ĂĄngulo B=35° y C=55° cos đ?‘Ž = cot 35° cot 55° cos đ?‘Ž = 1.428148007(0.700207538) đ?‘Ž = đ?‘?đ?‘œđ?‘ −1 (0.999999999) a=0°0°9° cos 35°

cos đ?‘? =

đ?‘ đ?‘’đ?‘› 55°

cos đ?‘? =

0.819152044 0.819152044

đ?‘? = đ?‘?đ?‘œđ?‘ −1 (1) b=0° cos đ?‘? = cos đ?‘? =

cos 55° đ?‘ đ?‘’đ?‘› 35° 0.573576436 0.573576436

đ?‘? = đ?‘?đ?‘œđ?‘ −1 (1) c=0° A=90° ResoluciĂłn de triĂĄngulos esfĂŠricos rectilĂĄteros Para resolver un triĂĄngulo esfĂŠrico rectilĂĄtero bastarĂĄ tener en cuenta que su triĂĄngulo polar es un triĂĄngulo esfĂŠrico rectĂĄngulo. Este triĂĄngulo se resuelve utilizando los casos expuestos en el caso anterior y, conocidos los elementos del polar, no hay mĂĄs que tomar los ĂĄngulos suplementarios, cambiando las denominaciones de los lados por los ĂĄngulos y viceversa.

Otra forma de resolver los triĂĄngulos esfĂŠricos rectilĂĄteros consiste en sustituir el valor del lado recto en las fĂłrmulas generales.

Proposición: En todo triångulo esfÊrico rectilåtero �1 = 90°se verifica que: I.

II. III. IV. V.

VI.

cos đ??´1 = −đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ??´3 cos đ??´2 đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ??´2 = đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ??´1 đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘™2 , đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ??´3 = đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ??´1 đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘™3 tan đ??´2 = −đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ??´1 đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘™3 , đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ??´3 = −đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ??´1 đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘™2 đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ??´2 = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘™2 đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ??´3 , đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ??´3 = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘™3 đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ??´2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ??´1 = −đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘™2 đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘™3 đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘™2 = đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘™3 đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ??´2 , đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘™3 = đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘™2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ??´3

Al igual que en el caso anterior, el PentĂĄgono de Neper es la regla mnemotĂŠcnica utilizada con mayor asiduidad en la resoluciĂłn de triĂĄngulos esfĂŠricos rectilĂĄteros.

Las diferencias principales con el caso anterior radican tanto en los elementos a situar en los vĂŠrtices de dicho pentĂĄgono como en el orden en que ĂŠstos han de situarse. AsĂ­: 180° − đ??´1

180° − đ?‘™2

đ??´3 − 90° đ??´2 − 90°

180° − đ?‘™3

Las reglas que se aplican en este pentĂĄgono son las mismas que en el caso anterior; esto es:

Regla 1: El coseno de un elemento cualquiera es igual al producto de los senos de los elementos opuestos.

Regla 2: El coseno de un elemento cualquiera es igual al producto de las cotangentes de los elementos adyacentes.

La resolución de triángulos esféricos rectiláteros dependerá de los elementos conocidos y los elementos a calcular. Así, podemos distinguir en función de los elementos conocidos, los siguientes casos: el ángulo opuesto al lado recto y un ángulo adyacente a dicho lado, los dos ángulos adyacentes al lado recto, el ángulo opuesto al lado recto y un lado oblicuo, un ángulo adyacente al lado recto y el lado oblicuo adyacente a dicho ángulo, los dos lados oblicuos, un ángulo adyacente al lado recto y el lado oblicuo opuesto a dicho ángulo. Este último caso es el único que admite dos posibles soluciones.