PROPUESTA DIDACTICA

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA PARACENTRAL

PROPUESTA DIDÁCTICA ASIGNATURA: LOGICA MATEMATICA DOCENTE: LICDA. MARTA ESTELA MONTANO ESTUDIANTES: RAÚL ERNESTO ALVARADO DÍAZ WILLIAMS JOSUE ÁVILA BORJA YANILL SARAÍ DEL CID VELÁSQUEZ CICLO 02 - 2020

OBJETIVOS: 1. Introducir el concepto de conjunto de forma simple y concisa. 2. Comprender los conceptos relacionados a conjuntos.

COMPETENCIA: 1. Define los conceptos sobre teoría de conjuntos. 2. Comprende los conceptos de conjuntos.

CONCEPTOS DE CONJUNTOS Actividad de inicio: De los elementos que se presentan a continuación agrúpalos de acuerdo a la característica que se menciona. Traslade cada elemento al grupo correspondiente según considere que pertenece.

1

*

b

3

¿

a

h

z

0

+

4

#

m

k

2

5

=

8

!

$

6

-

s

x

Números

Letras

Símbolos

CONCEPTOS DE CONJUNTOS La teorĂ­a de conjuntos es una de las partes de la matemĂĄtica que se ha desarrollado desde fines del siglo XIX. Ha introducido tĂŠrminos como pertenencia, inclusiĂłn, uniĂłn y otro. Su uso ha permitido indudablemente mejorar la precisiĂłn del lenguaje en ĂĄreas de conocimiento como la teorĂ­a de relaciones y funciones, la teorĂ­a de las probabilidades, entre otras. Un conjunto es cualquier agrupaciĂłn o colecciĂłn de objetos o entidades. Un elemento es cada uno de los objetos que constituyen un conjunto. DefiniciĂłn de conjuntos: Un conjunto se define como una colecciĂłn de objetos bajo cierta caracterĂ­stica en particular. De igual manera, podemos definir a un conjunto como una lista bien definida de objetos. NotaciĂłn: Para referirnos a un conjunto designaremos letras mayĂşsculas đ??´, đ??ľ, đ??ś, đ?‘‹, đ?‘Œ; y para referirnos a los elementos que componen un conjunto utilizaremos letras minĂşsculas đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘Ľ, đ?‘Ś. Para indicar que < p pertenece a A> utilizaremos la notaciĂłn đ?‘? ∈ đ??´. ∈: SĂ­mbolo de pertenencia DefiniciĂłn de conjuntos: Por comprensiĂłn. Consiste en dar la prioridad o regla que caracteriza o deben cumplir los elementos del conjunto. Ejemplo 1: đ??´ = {đ?‘Ľ: đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘›a đ?‘Łđ?‘œđ?‘?đ?‘Žđ?‘™} Una letra usualmente “xâ€? se utiliza para designar un elemento tipo del conjunto, los “dos puntosâ€? se leen como “tal queâ€?. Ejemplo 2: đ??ľ = {đ?‘Ľ: đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘› đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘Ś đ?‘Ľ > 0} đ??ľ = {đ?‘Ľ: đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘› đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ, đ?‘Ľ > 0} Puede utilizarse <y> o <coma> Ejemplo 3: Z = {đ?‘Ľ: đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘›a fruta}

Por extensiĂłn. Consiste en dar una lista de todos los elementos del conjunto, separados por comas y encerrados entre llaves.

Ejemplo: đ??´ = {đ?‘Ž, đ?‘’, đ?‘–, đ?‘œ, đ?‘˘} Cuando no es posible dar la lista de todos los elementos, con frecuencia se especifica el conjunto escribiendo: đ??´ = {1, 2,3 ‌ ‌} Donde se supone que se sobreentiende lo que queremos decir, que los elementos del conjunto son los nĂşmeros enteros positivos.

Actividad de cierre: A continuaciĂłn, se presenta una serie de conjuntos, escribe en el espacio segĂşn corresponda, ya sea por extensiĂłn, comprensiĂłn o diagrama de Venn. EN DIAGRAMAS

EXTENSIĂ“N

COMPRESIĂ“N

1 6 4 5 3 7 8 2 9

đ??ś = {đ?‘Ľ â „đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;}

đ?‘€ = {đ?‘Ž, đ?‘’, đ?‘–, đ?‘œ , đ?‘˘}

Lunes viernes martes domingo miĂŠrcoles sĂĄbado

đ??ľ = {1, 3, 5, 7, 9, ‌ }

đ?‘? = {đ?‘Ľ â „đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’}

OBJETIVOS: 1. Conocer la igualdad entre dos o más conjuntos, a través de las diversas notaciones que se puedan presentar. 2. Identificar la igualdad entre dos o más conjuntos, dadas las diversas notaciones.

COMPETENCIAS: 1. Conoce y relaciona la igualdad entre dos o más conjuntos sin importar las notaciones en las que se presentan. 2. Identifica y establece la igualdad entre dos o más conjuntos a partir de las diversas notaciones.

IGUALDAD DE CONJUNTOS Actividad de inicio: Con la finalidad de que el estudiante establezca la igualdad de conjuntos a partir de situaciones concretas se le presenta unas fichas que contienen cada una de ellas un conjunto con la representación de sus elementos ilustrativos ya sean figuras geométricas, frutas u otros.

Se le pide: Observar y enlistar los elementos que hay dentro de cada uno de los conjuntos, separados por comas y encerrados entre llaves.

A continuaciĂłn, debe verificar la relaciĂłn que existe entre dichos conjuntos y sus elementos. Finalmente, se pide a algunos de los estudiantes dar a conocer al grupo de compaĂąeros cual fue la relaciĂłn que verificĂł entre los conjuntos. Dicha relaciĂłn establece que; Los elementos del conjunto A son los mismos del conjunto B. Los elementos del conjunto L son los mismos del conjunto M. A partir de esto, podemos determinar la relaciĂłn de igualdad entre conjuntos: Si dos conjuntos tienen los mismos elementos, decimos que dichos conjuntos son iguales. Una forma prĂĄctica de establecer si dos conjuntos son iguales es determinar si se contienen el uno al otro.

U

A

B

Ejemplo 1: Se tienen los conjuntos: A: el conjunto de los nĂşmeros que se obtienen al lanzar un dado corriente y B: el conjunto de los nĂşmeros naturales divisores de 60 que sean menores que 10 Determina si dichos conjuntos son iguales. SoluciĂłn: Para determinar si los conjuntos A y B son iguales, debemos verificar si đ??´ ⊆ đ??ľ đ?‘Ś đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’đ?‘šĂĄđ?‘ đ?‘ đ?‘– đ??ľ ⊆ đ??´. El primer conjunto es đ??´ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Los divisores naturales de 60 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, pero, de ellos, los menores que 10 son solamente 1, 2, 3, 4, 5 y 6. El conjunto B serĂĄ entonces: đ??ľ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Podemos observar que cada elemento de A estĂĄ en B y cada elemento de B estĂĄ en A. Por tanto, el conjunto A = B. Ejemplo 2: Si:

A: {đ?‘Ľâ „ đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž đ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘™đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘…đ?‘‚đ?‘€đ??´} B: {đ?‘Ľâ „ đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž đ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘™đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘€đ?‘‚đ?‘…đ??´}

Entonces; đ??´ = { đ?‘…, đ?‘‚, đ?‘€, đ??´} đ?‘Ś đ??ľ = { đ?‘€, đ?‘‚, đ?‘…, đ??´} Luego verificamos que los elementos que contiene el conjunto A estĂĄn contenidos en el conjunto B y viceversa. Podemos ver que el orden de colocaciĂłn de los elementos no es importante. Por lo tanto, đ?‘¨ = đ?‘Š Si dos conjuntos A y B no son iguales, se indica con la siguiente notaciĂłn A ≠B (A es distinto de B). Actividad de cierre: •

Se presenta una serie de conjuntos, determine si existe igualdad entre ellos: 1. đ?‘€ = {−3, 3} 2. đ?‘ = {đ?‘Ľâ „đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘› đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘œ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’ 2 đ?‘Ś 10 } 3. đ?‘‚ = {đ?‘Ľâ „đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;, 1 ≤ đ?‘Ľ ≤ 9} 4. đ?‘ƒ = {đ?‘Ľâ „đ?‘Ľ 2 = 9} 5. đ?‘„ = {3, 5, 7, 3, 5} 6. đ?‘… = {1, 3, 5, 7, 9}

OBJETIVOS: 1. Comprender la unión de conjuntos en sus diferentes notaciones que se presentes. 2. Relacionar dos o más conjuntos en uno solo donde se puedan apreciar los elementos que posee ese conjunto.

COMPETENCIAS: 1. Comprende la unión de conjuntos sin importar la notación en que se presenten 2. Relaciona dos o más conjuntos en uno solo y reconoce los elementos que posee dicho conjunto.

Actividad de inicio: Ordenar de forma ascendente los siguientes números que se encuentran en ambos grupos (si encuentras números repetidos solo escríbelos una vez).

3

1 2

4

6

4 8

10 5

9

7 9

4

Responde las siguientes preguntas. ¿Hay algún número que lo posean ambos grupos?

¿Si los grupos estuvieran interceptados que número colocarías en la intersección de ellos es decir que número está en ambos conjuntos?

b

?

Completa la intersección de conjunto que se te presento en la pregunta anterior

La actividad anterior es para que te familiarices con la unión de conjuntos, podemos observar que la unión se trata de poder identificar los elementos que contengan algunos conjuntos y escribir en una unión todos los elementos que observan, pero sin repetir ninguno, te los explicamos mejor a continuación.

UNIÓN DE CONJUNTOS La unión de conjuntos es correspondiente la unificación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos, que pueden partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales. Cuando un elemento es repetido, forma parte del conjunto unión una vez solamente; esto difiere de la unión de conjuntos en la concepción tradicional de la suma, en la cual los elementos comunes se consideran tantas veces como se encuentren en la totalidad de los conjuntos. Podemos decir que la unión de conjuntos es una operación binaria (aquella operación matemática, que precisa del operador y de dos argumentos para que se pueda calcular un valor) en el conjunto de todos los subconjuntos de un U, Conjunto universal (Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia) dado.

Mediante la cual a cada par de conjuntos A y B de U le es asociado otro conjunto (A U B) de U. Si A y B son dos conjuntos, la unión se define de la siguiente forma: AUB La unión de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, o que, x pertenezca a B. Esta operación tiene propiedad conmutativa, asociativa y tiene Elemento neutro. Propiedades Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera: ➢ A ∪ A = A (propiedad idempotencia) En álgebra de conjuntos, las operaciones de unión y también de intersección de conjuntos cumplen con esta propiedad. Esto quiere decir que la unión o intersección de un conjunto con el mismo, resultará en el mismo conjunto. ➢ A ∪ B = B ∪ A (propiedad conmutativa). Si se cambia el orden de los conjuntos, el conjunto unión no se altera. ➢ (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (propiedad asociativa). ➢ (B ∩ C) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) (propiedad distributiva respecto de la intersección. ➢ A ∪ (A ∩ B) = A = A ∩ (A ∪ B) (ley de absorción). Ejemplo: Sean los conjuntos A= {1,2,3,6,7}, B= {3,6,7,8,9} y C= {3,4,5,6,7} representar la unión de los conjuntos. Solución: Tenemos que tener en cuenta que para representarlo en un solo conjunto el cual será la unión, no se tienen que repetir. Observamos que el conjunto A tiene algunos comunes con B y de la misma manera el conjunto C. Por lo cual la unión será: AUBUC = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Actividad de cierre: En los siguientes diagramas relacionar el diagrama de Venn con su expresiĂłn correspondiente. Transponer el literal correspondiente al lugar de respuestas que crea correcto de acuerdo con sus conocimientos. LITERAL

EXPRESIĂ“N

a)

X = {a, b, c, d, e, i, o}

b)

X= una figura geomĂŠtrica.

c)

đ?‘Ľ ∈đ?‘ /1≤đ?‘Ľâ‰Ľ9

d)

x / x = un nĂşmero natural mayor o igual a 1 y menor o igual a 7.

RESPUESTA

DIAGRAMA

EVALUACIĂ“N IndicaciĂłn: Realiza lo que se pide a continuaciĂłn. PRIMERA PARTE - Representa los siguientes conjuntos por extensiĂłn y por comprensiĂłn:

SEGUNDA PARTE - Determine si existe igualdad en los siguientes conjuntos. Colocando = donde haya igualdad: Conjunto 1

Respuesta

Conjunto 2

đ??´ = {đ?‘Ľâ „đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘›đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’}

đ??ľ = {đ??´đ?‘šĂŠđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž, đ??´đ?‘ đ?‘–đ?‘Ž, đ??¸đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘?đ?‘Ž, đ??´đ?‘“đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž, đ?‘‚đ?‘?đ?‘’đ?‘Žđ?‘›đ?‘–đ?‘Ž}

đ?‘† = {đ?‘Ž, đ?‘’, đ?‘–, đ?‘œ, đ?‘˘}

đ?‘‡ = {đ?‘Ľâ „đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘Žđ?‘?đ?‘’đ?‘?đ?‘’đ?‘‘đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ}

đ?‘€ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

đ?‘ľ = {đ?‘Ľâ „đ?‘Ľ ∈ â„•}

đ??ś = {đ?‘Ľ â „đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘› đ?‘?đ?‘œđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ}

đ??ˇ = {đ?‘Žđ?‘§đ?‘˘đ?‘™, đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘œ, đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘œ, đ?‘›đ?‘’đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘œ, đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘’, đ?‘Žđ?‘šđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘™đ?‘™đ?‘œ }

TERCERA PARTE - Dados los siguientes conjuntos escriba la expresiรณn que representa la uniรณn de los conjuntos y los elementos que pertenecen a la uniรณn. CONJUNTO

EXPRESIร N

ELEMENTOS

METODOLOGÍA Esta propuesta que se llevará a cabo en este documento, se desarrollará de manera que el estudiante proponga sus conocimientos previos, antes de entrar en concreto con el tema que se quiere desarrollar, además, podrán poner en práctica los conocimientos que se imparten en el documento por medio de una pequeña actividad al final de cada tema presentado en el documento. Y al final pondrán a prueba sus conocimientos con la evaluación, la cual abarcara cada uno de los temas que se impartieron. Al principio de cada tema se proponen objetivos y las competencias que los estudiantes deberán alcanzar con cada uno de los temas. Las actividades de inicio que se presentan son para reorientar los conocimientos previos que posee el estudiante, hacia lo que se quiere dar a conocer durante cada tema. Luego de ello los alumnos deberán dar la lectura del tema y retomar los ejemplos para su mejor comprensión, con la cual se procura que el estudiante pueda comprender el tema y utilizar lo aprendido de él. Al final, después de la lectura se le presentara una pequeña actividad, que tiene como objetivo que el estudiante la logre desarrollar, aplicando los conocimientos adquiridos por la lectura comprensiva que se dio de la información presentada con anticipación. Al finalizar los tres temas propuestos en este documento, los alumnos tendrán que completar una pequeña evaluación la cual pondrá a prueba todos los conocimientos de los temas propuestos, con la intención de conocer la nueva información adquirida por el estudiante.

RECURSOS TEMA 1 •

Cartel con tabla de elementos.

•

Representación grafica de conjuntos en cartel.

•

Impresiones

de

tabla

para

completar

según

definición

de

conjuntos. •

Pizarrón.

•

Plumones.

TEMA 2 •

Tarjetas impresas de imágenes de conjuntos.

•

Cartel con representación de conjuntos iguales.

TEMA 3 •

Representación grafica de conjuntos en papel.

•

Actividad impresa para determinar la unión de conjuntos y su expresión.

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