SECCIONES CÓNICAS

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HISTORIA De las figuras geométricas planas el círculo es la más regular, hecho notoriamente conocido y desarrollado por los matemáticos a través de la historia, no solo por su deducción y propiedades sino por sus aplicaciones prácticas. Los babilonios conocían las reglas usuales para medir volúmenes y áreas. Medían la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como un doceavo del cuadrado de la circunferencia, lo cual es correcto para una estimación de π a 3. Ya en la antigua Grecia, se creía que la Tierra era una esfera perfecta, pero solo por cuestiones filosóficas. Platón y Pitágoras no podían concebir la figura de la misma, que albergaba el pensamiento humano, como algo no perfecto. Y por supuesto, establecieron dicha idea de una esfera perfecta, aunque sin fundamentos. Y es Aristóteles quien aporta evidencias de los dichos de su maestro Platón, al observar que en los eclipses lunares, la sombra proyectada sobre Luna tenía forma circular. Pero las preguntas continuaban, y llegó el turno del tamaño. ¿Cuán grande era la Tierra? Eratóstenes, filósofo, astrónomo, matemático, geógrafo, fue uno de los grandes pensadores de la antigüedad, sus contemporáneos lo apodaron Beta, porque afirmaban que era en todo el segundo mejor del mundo. Pero fue el primero en determinar la circunferencia de la Tierra, y debido a que vivió en el siglo III a. C. sus herramientas sólo fueron palos, ojos, pies y su cerebro.

DEFINICIÓN Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio.

DEDUCCIĂ“N DE LA ECUACIĂ“N CANĂ“NICA DE LA CIRCUNFERENCIA Al hacer coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triĂĄngulo rectĂĄngulo, y por supuesto que responde al teorema de PitĂĄgoras: đ?‘&#x; 2 = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 Puesto que la distancia entre el centro (h, k) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: đ?‘&#x; 2 = (đ?‘Ľ – â„Ž)2 + (đ?‘Ś – đ?‘˜)2 ,Llamada ecuaciĂłn canĂłnica, podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos: đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 – 2â„Žđ?‘Ľ – 2đ?‘˜đ?‘Ś – đ?‘&#x; 2 = 0. Si reemplazamos – 2â„Ž = đ??ˇ; – 2đ?‘˜ = đ??¸; đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + đ??ˇđ?‘Ľ + đ??¸đ?‘Ś + đ??š = 0

đ??š = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 – đ?‘&#x; 2 tendremos que:

Ejercicio 1: Si tenemos la ecuaciĂłn đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + 6đ?‘Ľ – 8đ?‘Ś – 11 = 0 Entonces sabemos que: đ??ˇ = 6 → 6 = – 2â„Ž → â„Ž = – 3 đ??¸ = – 8 → – 8 = – 2đ?‘˜ → đ?‘˜ = 4 El centro de la circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el radio: đ??š = (– 3)2 + 42 – đ?‘&#x; 2 →– 11 = (– 3)2 + 42 – đ?‘&#x; 2 đ?‘&#x; 2 = 9 + 16 + 11 → đ?‘&#x; 2 = 36 → đ?‘&#x; = 6 La ecuaciĂłn de la circunferencia queda: (đ?’™ + đ?&#x;‘)đ?&#x;? + (đ?’š – đ?&#x;’)đ?&#x;? = đ?&#x;‘đ?&#x;” Su grafica es:

Ejercicio 2: Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuaciĂłn es: 9đ?‘Ľ 2 + 9đ?‘Ś 2 − 12đ?‘Ľ + 36đ?‘Ś − 104 = 0. Trazar la circunferencia. SoluciĂłn: Completando cuadrados en “xâ€? y “yâ€? se tiene; 9đ?‘Ľ 2 + 9đ?‘Ś 2 − 12đ?‘Ľ + 36đ?‘Ś − 104 = 0 4 4 9(đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + ) + 9(đ?‘Ś 2 + 4đ?‘Ś + 4) = 104 + 4 + 36 3 9 2 9(đ?‘Ľ − )2 + 9(đ?‘Ś + 2)2 = 144 3 2 9 [(đ?‘Ľ − )2 + (đ?‘Ś + 2)2 ] = 144 3 2 2 144 (đ?‘Ľ − ) + (đ?‘Ś + 2)2 = 3 9 2 2 (đ?‘Ľ − ) + (đ?‘Ś + 2)2 = 16 3 đ?&#x;?

Hemos obtenido la ecuaciĂłn canĂłnica de la circunferencia; dondeđ?’‰ = đ?&#x;‘ y đ?’Œ = −đ?&#x;? por đ?&#x;?

lo tanto el centro estĂĄ dado por đ?‘Ş (đ?&#x;‘ , −đ?&#x;?)y radio đ?’“ = đ?&#x;’. Graficando se tiene:

Ejercicio 3: Calcular la ecuaciĂłn general de la circunferencia que tiene por centro en punto đ??ś(1,3) y es tangente a la recta 3đ?‘Ľ − 4đ?‘Ś + 5 = 0. SoluciĂłn: Como se conoce el centro y una recta tangente a dicha circunferencia, vamos a calcular el radio a partir de la distancia del centro a la recta aplicando la fĂłrmula de la distancia: đ?‘&#x;=đ?‘‘=|

đ??´(đ?‘Ľ) + đ??ľ(đ?‘Ś) + đ??ś 2

√đ??´2 + đ??ľ 2

|

Donde A=3, B=-4, C=5, X=1 y Y=3 sustituyendo valores: đ?‘&#x;=đ?‘‘=|

3(1) + (−4)(3) + 5 3 − 12 + 5 −4 4 |=| 2 |=| |→đ?‘&#x;= 2 5 5 √9 + 16 √32 + (−4)2

Teniendo la ecuaciĂłn canĂłnica: đ?‘&#x; 2 = (đ?‘Ľ – â„Ž)2 + (đ?‘Ś – đ?‘˜)2 Sustituimos valores y resolvemos: 4 2 (đ?‘Ľ – 1) + (đ?‘Ś – 3) = ( ) 5 2

2

đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 1 + đ?‘Ś 2 − 6đ?‘Ľ + 9 =

16 25

25đ?‘Ľ 2 − 50đ?‘Ľ + 25 + 25đ?‘Ś 2 − 150đ?‘Ś + 225 = 16 25đ?‘Ľ 2 + 25đ?‘Ś 2 − 50đ?‘Ľ − 150đ?‘Ś + 25 + 225 − 16 = 0 đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’š + đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;’ = đ?&#x;Ž

GrĂĄfica:

Ejercicio de aplicaciĂłn: El epicentro de un terremoto en El Salvador fue la ciudad de San Salvador. El terremoto afectĂł 10 km a la redonda. Si la ciudad de Antiguo CuscatlĂĄn se ubica a 1km hacia el oriente y 2km hacia el sur del epicentro entonces, Âżfue afectada por el terremoto? SoluciĂłn: Ubicamos el plano cartesiano, tomando el epicentro como centro, diremos entonces que C(0,0) y como nos dice que afectĂł 10km a la redonda, a partir del origen se desplaza 10 unidades a lo largo de los cuadrantes, asumiendo que esos 10km

representan el radio de la circunferencia, como se trata de una circunferencia con centro en el origen, su ecuaciĂłn estĂĄ dada por:đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = đ?‘&#x; 2 Sustituimos el valor de radio: đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = (10)2 EcuaciĂłn ordinaria de la circunferencia: đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 100

Nos da ademĂĄs, la ubicaciĂłn de la ciudad de Antiguo CuscatlĂĄn, y nos pide si fue o no afectada por dicho terremoto, procedemos a ubicar dicho punto en el plano, 1km al oriente nos indica la abscisa y 2km al sur la ordenada por lo tanto, P(1,-2).Para predecir si fue afectada vamos a sustituir el Punto P(1,-2) en la ecuaciĂłn de la circunferencia y hacer la comparaciĂłn con el radio:

đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 100 (1)2 + (−2)2 = 100 1 + 4 = 100 5 < 100

Como se observa al sustituir P en la ecuaciĂłn el resultado es 5, dicho valor es menor que 100, por lo tanto se concluye que si fue afectado por el terremoto pues estĂĄ situado dentro de la circunferencia.

HISTORIA El primero en usar el tĂŠrmino parĂĄbola fue Apolonio de Perge en su tratado CĂłnicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemĂĄticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cĂłnicas. Es Apolonio quien menciona que un espejo parabĂłlico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en dĂ­a en las antenas satelitales. La parĂĄbola tambiĂŠn fue estudiada por ArquĂ­medes, nuevamente en la bĂşsqueda de una soluciĂłn para un problema famoso: la cuadratura del cĂ­rculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parĂĄbola. Apolonio demostrĂł que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elĂ­ptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabĂłlico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabĂłlico y el eje del espejo se apunta hacia el sol.

DEFINICIĂ“N Se llama parĂĄbola al lugar geomĂŠtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. DEDUCCIĂ“N DE LA ECUACIĂ“N CANĂ“NICA DE LA PARĂ BOLA Para la parĂĄbola cuyo vĂŠrtice estĂĄ en el origen V(0,0). Supongamos que F tiene coordenadas (p,0) y la recta l tiene ecuaciĂłn đ?‘Ľ = â„Ž − đ?‘? con đ?‘? > 0;

Se tiene, 𝑑(𝑃, 𝐹) = √(𝑥 − 𝑝)2 + (𝑦 − 0)2 y 𝑑(𝑃, 𝑙) = |𝑥 + 𝑝| Igualando las distancias y resolviendo; 𝑑(𝑃, 𝐹) = 𝑑(𝑃, 𝑙) √(𝑥 − 𝑝)2 + (𝑦 − 0)2 = 𝑥 + 𝑝 2

(√(𝑥 − 𝑝)2 + (𝑦 − 0)2 ) = (𝑥 + 𝑝)2 (𝑥 − 𝑝)2 + (𝑦)2 = (𝑥 + 𝑝)2 𝑥 2 − 2𝑝𝑥 + 𝑝2 + 𝑦 2 = 𝑥 2 + 2𝑝𝑥 + 𝑝2 𝑥 2 − 𝑥 2 + 𝑝2 − 𝑝2 + 𝑦 2 = 2𝑝𝑥 + 2𝑝𝑥 𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙 Para una parábola con vértice fuera del origen V(h,k) se tiene: PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y (𝑦 − 𝑘)2 = −4𝑝(𝑥 − ℎ) (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉)

PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X (𝑥 − ℎ)2 = −4𝑝(𝑦 − 𝑘) (𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)

ECUACIĂ“N GENERAL DE LA PARĂ BOLA La ecuaciĂłn general de la parĂĄbola se obtiene a partir de la ecuaciĂłn en su forma ordinaria, desarrollando el binomio y simplificando la expresiĂłn. SerĂĄ de la forma; đ??´đ?‘Ľ 2 + đ??ľđ?‘Ś 2 + đ??śđ?‘Ľ + đ??ˇđ?‘Ś + đ??š = 0 donde đ??´ = 0 đ?‘Ś đ??ľ ≠0 para las parĂĄbolas horizontales y đ??ľ = 0 đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ??´ ≠0 para las parĂĄbolas verticales.

Ejercicio 1: Halle la ecuaciĂłn de la parĂĄbola con vĂŠrtice en el origen, de eje horizontal y que pasa por el punto (-3,6). SoluciĂłn: Sea el vĂŠrtice (0,0) La ecuaciĂłn tiene forma: đ?‘Ś 2 = 4đ?‘?đ?‘Ľ Como el punto satisface la ecuaciĂłn entonces podemos evaluar en la funciĂłn. 62 = 4đ?‘?(−3) 36 = −12đ?‘? 36 − =đ?‘? 12 −3 = đ?‘? đ?&#x;? Entonces la ecuaciĂłn es: đ?’š = −đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’™ GrĂĄfica:

Ejercicio 2: Obtenga la ecuaciĂłn de la parĂĄbola de eje horizontal, con vĂŠrtice en (2,1) y que pasa por (3,5). SoluciĂłn: Sea la ecuaciĂłn (đ?‘Ś − đ?‘˜)2 = 4đ?‘Ž(đ?‘Ľ − â„Ž) Como el punto satisface la ecuaciĂłn podemos evaluar y encontrar el parĂĄmetro a;

(5 − 1)2 = 4đ?‘Ž(3 − 2) 16 = 4đ?‘Ž(1) 4=đ?‘Ž La ecuaciĂłn es: (đ?’š − đ?&#x;?)đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;”(đ?’™ − đ?&#x;?) Su grĂĄfica es:

Ejercicio 3: Encontrar el vĂŠrtice y el foco de la siguiente ecuaciĂłn: đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ 2 − 12đ?‘Ľ − 22. SoluciĂłn: đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ 2 − 12đ?‘Ľ − 22 đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ 2 − 12đ?‘Ľ + 22 đ?‘Ś = −đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ + 11 2 đ?‘Ś − = đ?‘Ľ 2 + 6đ?‘Ľ + 11 − 2 + 2 2 đ?‘Ś − = (đ?‘Ľ 2 + 6đ?‘Ľ + 9) + 2 2 đ?‘Ś = −2(đ?‘Ľ + 3)2 − 4

Encontramos el parĂĄmetro: 1 = −2 4đ?‘? 1 = −8đ?‘? 1 đ?‘?=− 8

Finalmente obtenemos: Foco:(-3,-33/8) y VĂŠrtice:(-3,-4) GrĂĄfica:

Ejercicio de aplicaciĂłn: Un tĂşnel en forma de arco parabĂłlico vertical, tiene una altura mĂĄxima de 10 metros y sus puntos de apoyo en el suelo estĂĄn separados 24 metros. ÂżEl foco de la parĂĄbola estĂĄ arriba del suelo o por debajo de ĂŠl?, Âża quĂŠ distancia del suelo se encuentra el foco? SoluciĂłn: Colocando la parĂĄbola que representa al tĂşnel en un sistema de coordenadas, con vĂŠrtice V(0,10), por lo que h = 0 y k = 10. (đ?‘Ľ)2 = 4đ?‘?(đ?‘Ľ − 10) Conocemos dos puntos por donde pasa la parĂĄbola (-12,0) (12,0) 122 = 4đ?‘?(0 − 10) Por lo que p = -3.6 El foco tiene forma đ?‘˜ + đ?‘? → 10 + (−3.6) = 6.4 La distancia que esta el foco es 6.40 metros Su grĂĄfica es:

HISTORIA No solo la hipérbola, sino también las otras secciones cónicas fueron inventadas en la antigua Grecia por el matemático Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde se proponía hallar, usando solo regla y compás, el lado de un cubo tal que su volumen fuera el doble del volumen de otro cubo de lado dado. Se ofreció una solución aproximada mediante el corte de una parábola con una hipérbola, defendida posteriormente por Proclo y Eratóstenes (en 1837, el geómetra francés Pierre Wantzel descubrió que el problema no tiene solución). Después, Apolonio de Perge (265 a.C.-160 a.C.) escribió un tratado llamado "Cónicas" donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas y en él dará el nombre que conocemos hoy a la curva. Más tarde, Copérnico aportó a la ciencia la concepción geocéntrica (a.1543) del universo, es decir, consideró que la Tierra giraba alrededor del Sol y no ocurría al revés. Tras cien años, Kepler enunció sus importantes leyes, de las cuales una de ellas trataba las órbitas celestes como elípticas y no como circulares (que era lo que se consideraba antiguamente). Gracias a estos dos científicos, se llegó a la conclusión de que las cónicas se ajustaban al movimiento de los cuerpos celestes, con lo que empezaron a estudiarse más a fondo dentro de la astronomía. Fue sobre todo desde este momento cuando los matemáticos empezaron a tener en consideración la hipérbola (así como el resto de secciones cónicas) a la hora de plantear y resolver sus problemas y conjeturas. Esto ha provocado una gran evolución en la matemática y en las ciencias cimentadas en ella.

DEFINICIÓN Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

DEDUCCIĂ“N DE LA ECUACIĂ“N CANĂ“NICA DE LA HIPÉRBOLA Consideremos la hipĂŠrbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje “xâ€?. Los focos đ?‘“1 đ?‘Ś đ?‘“2 estĂĄn entonces sobre el eje “xâ€?, como el punto O es el punto medio del segmento đ?‘“1 đ?‘“2 . Las coordenadas son: đ?‘“1 (đ?‘?, 0) đ?‘Ś đ?‘“2 (−đ?‘?, 0). La definiciĂłn nos dice: |đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ?‘“1 ) − đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ?‘“2 )| = 2đ?‘Ž √(đ?‘Ľ + đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 − √(đ?‘Ľ − đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 = 2đ?‘Ž Despejamos un radical, elevamos al cuadrado y resolvemos: 2

2

(√(đ?‘Ľ + đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 ) = (2đ?‘Ž + √(đ?‘Ľ − đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 )

(đ?‘Ľ + đ?‘?)2 + đ?‘Ś 2 = 4đ?‘Ž2 + 4đ?‘Žâˆš(đ?‘Ľ − đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 + (đ?‘Ľ − đ?‘?)2 + đ?‘Ś 2 đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? 2 + đ?‘Ś 2 = 4đ?‘Ž2 + 4đ?‘Žâˆš(đ?‘Ľ − đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 + đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? 2 + đ?‘Ś 2 2đ?‘?đ?‘Ľ = 4đ?‘Ž2 + 4đ?‘Žâˆš(đ?‘Ľ − đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 − 2đ?‘?đ?‘Ľ 4đ?‘?đ?‘Ľ − 4đ?‘Ž2 = 4đ?‘Žâˆš(đ?‘Ľ − đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 Dividimos entre 4 Elevamos al cuadrado

đ?‘?đ?‘Ľ − đ?‘Ž2 = đ?‘Žâˆš(đ?‘Ľ − đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 (đ?‘?đ?‘Ľ − đ?‘Ž2 ) 2 = (đ?‘Žâˆš(đ?‘Ľ − đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 )

Resolvemos: đ?‘? 2 đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ž2 đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘Ž4 = đ?‘Ž2 [(đ?‘Ľ − đ?‘?)2 + đ?‘Ś 2 ] đ?‘? 2 đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ž2 đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘Ž4 = đ?‘Ž2 [đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? 2 + đ?‘Ś 2 ] đ?‘? 2 đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ž2 đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘Ž4 = đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ž2 đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘? 2 + đ?‘Ž2 đ?‘Ś 2 đ?‘? 2 đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ž2 đ?‘Ś 2 = đ?‘Ž2 đ?‘? 2 − đ?‘Ž4 (đ?‘? 2 − đ?‘Ž2 )đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ž2 đ?‘Ś 2 = đ?‘Ž2 (đ?‘? 2 − đ?‘Ž2 ) (đ?‘? 2 − đ?‘Ž2 )đ?‘Ľ 2 đ?‘Ž2 đ?‘Ś 2 đ?‘Ž2 (đ?‘? 2 − đ?‘Ž2 ) − = đ?‘Ž2 (đ?‘? 2 − đ?‘Ž2 ) đ?‘Ž2 (đ?‘? 2 − đ?‘Ž2 ) đ?‘Ž2 (đ?‘? 2 − đ?‘Ž2 ) đ?‘Ľ2 đ?‘Ž2

đ?‘Ś2

− (đ?‘? 2 −đ?‘Ž2) = 1

đ?‘? 2 = đ?‘? 2 − đ?‘Ž2

2

Obtenemos la ecuaciĂłn canonĂ­ca de la hipĂŠrbola con centro O(0,0):

đ?‘Ľ2 đ?‘Ž2

đ?‘Ś2

− đ?‘?2 = 1

Para una hipĂŠrbola con vĂŠrtice V(h,k) y eje focal horizontal su ecuaciĂłn es: (đ?‘Ľ − â„Ž)2 (đ?‘Ś − đ?‘˜)2 − =1 đ?‘Ž2 đ?‘?2 Si su eje focal fuese vertical su ecuaciĂłn es:

(đ?‘Śâˆ’đ?‘˜)2 đ?‘Ž2

−

(đ?‘Ľâˆ’â„Ž)2 đ?‘?2

=1

Ejercicio 1: Graficar el lugar geomĂŠtrico definido por la siguiente ecuaciĂłn: 9đ?‘Ľ 2 − 16đ?‘Ś 2 − 108đ?‘Ľ + 128đ?‘Ś + 212 = 0 SoluciĂłn: Agrupando y completando cuadrados para darle la forma canĂłnica de la ecuaciĂłn: 9(đ?‘Ľ 2 − 12đ?‘Ľ + 36) − 16(đ?‘Ś 2 − 8đ?‘Ś + 16) = −212 + 324 − 256 9(đ?‘Ľ − 6)2 − 16(đ?‘Ś − 4)2 = −144 16(đ?‘Ś − 4)2 − 9(đ?‘Ľ − 6)2 = 144 16(đ?‘Ś − 4)2 9(đ?‘Ľ − 6)2 144 − = 144 144 144 (đ?‘Ś − 4)2 (đ?‘Ľ − 6)2 − =1 9 16 ✓ Centro O(6,4) ✓ La hipĂŠrbola tiene eje vertical, debido a que el termino positivo es el que contiene a “yâ€? ✓ đ?‘Ž2 = 9 → đ?‘Ž = 3 ✓ đ?‘? 2 = 16 → đ?‘? = 4 ✓ El valor c se calcula: đ?‘? = √đ?‘Ž 2 + đ?‘? 2 đ?‘? = √32 + 42 đ?‘? = √25 đ?‘?=5

Ejercicio 2: Representa grĂĄficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vĂŠrtices y la excentricidad de la siguiente hipĂŠrbola:

đ?‘Ľ2

đ?‘Ś2

− 81 = 1 144

SoluciĂłn: ✓ đ?‘Ž2 = 144 → đ?‘Ž = 12 ✓ đ?‘? 2 = 81 → đ?‘? = 9 ✓ đ?‘? = √122 + 92 đ?‘? = √225 đ?‘? = 15 • • • •

Foco 1: đ?‘“ = (đ?‘?, 0) = (15,0) Foco 2: đ?‘“ = (−đ?‘?, 0) = (−15,0) VĂŠrtice 1: đ?‘“ = (đ?‘Ž, 0) = (12,0) VĂŠrtice 2: đ?‘“ = (−đ?‘Ž, 0) = (−12,0)

La grĂĄfica de dicha ecuaciĂłn es:

Ejercicio 3: Determinar la ecuaciĂłn canĂłnica de la hipĂŠrbola que tiene por focos los puntos (-1,1) y (5,1); y por vĂŠrtices los puntos (0,1) y (4,1). SoluciĂłn: Si observamos el grafico:

Sabemos que |đ?‘“1 đ?‘“2 | = 2đ?‘? = 6 → đ?‘? = 3 → đ?‘? 2 = 9 đ??ś = (â„Ž, đ?‘˜) → â„Ž = 2, đ?‘˜ = 1 đ??ś = (2,1 đ?‘Ž = |đ??śđ?‘‰| = 2 → đ?‘Ž2 = 4 đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 → 9 = 4 + đ?‘? 2 → 5 = đ?‘? 2 Por lo tanto, la ecuaciĂłn canĂłnica de la hipĂŠrbola es:

(đ?‘Ľâˆ’2)2 4

−

(đ?‘Śâˆ’1)2 5

=1

Ejercicio de aplicaciĂłn: Un barco envĂ­a seĂąales hacia dos torres ubicadas sobre la costa a 10 km una de la otra, si al recibir la seĂąal se calcula que la ubicaciĂłn del barco a una de las torres es 6 km mĂĄs lejana que la distancia a la otra torre. Determine la posible posiciĂłn del barco si este navega a km de la costa. SoluciĂłn:

Considerando la situaciĂłn planteada observamos en la imagen que se trata de una hipĂŠrbola horizontal. Haremos uso de la fĂłrmula

đ?‘Ľ2 đ?‘Ž2

đ?‘Ś2

− đ?‘?2 = 1

Se dice que la diferencia de las distancias entre las dos torres en ese instante es 6 km. A partir de ello se obtiene el valor “aâ€?: |đ?‘‘2 − đ?‘‘1 | = 2đ?‘Ž = 6 → đ?‘Ž = 3 AdemĂĄs, se conoce la distancia entre las dos torres, en este caso son los focos de la hipĂŠrbola. A partir ello calculamos el valor “câ€?: 2đ?‘? = 10 → đ?‘? = 5 Teniendo los valores de “aâ€? y “câ€? podemos obtener “bâ€?, sabiendo que:

đ?‘? 2 = đ?‘? 2 − đ?‘Ž2 đ?‘? 2 = 52 − 32 đ?‘? 2 = 42 Partiendo de esta relaciĂłn, obtenemos la ecuaciĂłn: soluciĂłn a nuestro problema.

đ?‘Ľ2

đ?‘Ś2

− 42 = 1, con lo cual daremos 32

Para localizar el barco basta encontrar la coordenada x cuando y=4. Si sustituimos en la ecuaciĂłn obtenemos: đ?‘Ľ 2 42 − =1 32 42 Despejando x: đ?‘Ľ2 =1+1 32 đ?‘Ľ 2 = 2 ∙ 32 đ?‘Ľ = Âą3√2 đ?‘Ľ ≈ Âą 4.24 đ?‘˜đ?‘š. Por lo tanto, el barco se ubica a 4.24 km del punto medio de las dos torres, observando que obtuvimos dos soluciones para x, se entiende que la posiciĂłn del barco puede ser en x=-4,24 km o x= 4.24 km dependiendo del punto en el que se ubica, ya sea en el punto A, cerca de la Torre 1 o el punto B cerca de la Torre 2:

HISTORIA Una elipse es la curva simÊtrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ångulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse, como curva geomÊtrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque mås tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra focus y publicó su descubrimiento en 1609.Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.

DEFINICIĂ“N Sea đ??š1 đ?‘Ś đ??š2 dos puntos del plano y sea a una constante positiva. La elipse se define como el conjunto de puntos P(x,y) tales que la suma de su distancia a đ??š1 con su distancia a đ??š2 es igual a 2đ?‘Ž. Es decir: đ??¸đ?‘™đ?‘–đ?‘?đ?‘ đ?‘’ = {đ?‘ƒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)â „đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š1 ) + đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š2 ) = 2đ?‘Ž} A đ??š1 đ?‘Ś đ??š2 se les denomina focos de la elipse y “aâ€? representa la medida del semieje mayor de la elipse.

DEDUCCIĂ“N DE LA ECUACIĂ“N CANĂ“NICA DE LA ELIPSE A partir de la definiciĂłn tenemos: đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š1 ) + đ?‘‘(đ?‘ƒ, đ??š2 ) = 2đ?‘Ž √(đ?‘Ľ − đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 + √(đ?‘Ľ + đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 = 2đ?‘Ž Elevamos ambos tĂŠrminos al cuadrado y reducimos tĂŠrminos semejantes: 2

2

(√(đ?‘Ľ − đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 ) = (2đ?‘Ž − √(đ?‘Ľ + đ?‘?)2 + (đ?‘Ś − 0)2 )

(đ?‘Ľ − đ?‘?)2 + đ?‘Ś 2 = 4đ?‘Ž2 − 4đ?‘Žâˆš(đ?‘Ľ + đ?‘?)2 + đ?‘Ś 2 + (đ?‘Ľ + đ?‘?)2 + đ?‘Ś 2 đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľđ?‘? + đ?‘? 2 + đ?‘Ś 2 = 4đ?‘Ž2 − 4đ?‘Žâˆš(đ?‘Ľ + đ?‘?)2 + đ?‘Ś 2 + đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľđ?‘? + đ?‘? 2 + đ?‘Ś 2 −2đ?‘Ľđ?‘? = 4đ?‘Ž2 − 4đ?‘Žâˆš(đ?‘Ľ + đ?‘?)2 + đ?‘Ś 2 + 2đ?‘Ľđ?‘? 4đ?‘Žâˆš(đ?‘Ľ + đ?‘?)2 + đ?‘Ś 2 = 4đ?‘Ž2 + 4đ?‘Ľđ?‘? Dividimos entre 4 đ?‘Žâˆš(đ?‘Ľ + đ?‘?)2 + đ?‘Ś 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘Ľđ?‘? Elevamos al cuadrado para suprimir la raĂ­z; 2

(đ?‘Žâˆš(đ?‘Ľ + đ?‘?)2 + đ?‘Ś 2 ) = (đ?‘Ž2 + đ?‘Ľđ?‘?)2 đ?‘Ž2 ((đ?‘Ľ + đ?‘?)2 + đ?‘Ś 2 ) = đ?‘Ž4 + 2đ?‘Ž2 đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? 2 đ?‘Ľ 2 đ?‘Ž2 (đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? 2 + đ?‘Ś 2 ) = đ?‘Ž4 + 2đ?‘Ž2 đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? 2 đ?‘Ľ 2 đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ž2 đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘? 2 + đ?‘Ž2 đ?‘Ś 2 = đ?‘Ž4 + 2đ?‘Ž2 đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? 2 đ?‘Ľ 2 đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ž2 đ?‘? 2 + đ?‘Ž2 đ?‘Ś 2 = đ?‘Ž4 + đ?‘? 2 đ?‘Ľ 2 đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 − đ?‘? 2 đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ž2 đ?‘Ś 2 = đ?‘Ž4 − đ?‘Ž2 đ?‘? 2 (đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 )đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ž2 đ?‘Ś 2 = đ?‘Ž2 (đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 ) (đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 )đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ž2 đ?‘Ś 2 =1 đ?‘Ž2 (đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 ) đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 + =1 đ?‘Ž2 đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 Sustituimos đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 = đ?‘? 2 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 + =1 đ?‘Ž2 đ?‘? 2 EcuaciĂłn canĂłnica de la elipse con centro đ?‘‚(0,0) y eje focal horizontal, “bâ€? representa la longitud del semieje menor. Para la elipse con vĂŠrtice en el punto đ?‘‰ = (â„Ž, đ?‘˜), y eje focal horizontal su ecuaciĂłn es: (đ?’™ − đ?’‰)đ?&#x;? (đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;?

AdemĂĄs, la ecuaciĂłn general de la elipse se presenta de la siguiente manera: đ??´đ?‘Ľ 2 + đ??ľđ?‘Ś 2 + đ??ˇđ?‘Ľ + đ??¸đ?‘Ś + đ??š = 0 đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ??´ ≠0 đ?‘Ś đ??ľ ≠0

Ejercicio 1: Describa y grafique la siguiente elipse: đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ś 2 − 6đ?‘Ľ − 16đ?‘Ś + 21 = 0 SoluciĂłn: Para ello llevamos la ecuaciĂłn a la forma canĂłnica: đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś 2 − 16đ?‘Ś = −21 đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ + 9 + 4đ?‘Ś 2 − 16đ?‘Ś + 16 = −21 + 9 + 16 (đ?‘Ľ − 3)2 + 4(đ?‘Ś − 2)2 = 4 đ?‘‘đ?‘–đ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘–đ?‘šđ?‘œđ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’ 4 (đ?‘Ľ − 3)2 4(đ?‘Ś − 2)2 4 + = 4 4 4 (đ?‘Ľ − 3)2 + (đ?‘Ś − 2)2 = 1 4 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

La elipse horizontal tiene centro en (3,2), Eje mayor en 2a =2(2)=4, Eje menor 2b=2(1)=2 El valor c es: đ?‘? = √4 − 1 = √3, Los focos estĂĄn en (3 + √3, 2)đ?‘Ś (3 − √3, 2) VĂŠrtices son (3,3); (3,1);(1,2);(5,2).

Su grĂĄfica es:

Ejercicio 2: Describir el lugar geomĂŠtrico para la siguiente ecuaciĂłn de la elipse:9đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ś 2 + 18đ?‘Ľ − 24đ?‘Ś + 9 = 0 SoluciĂłn: Primero llevamos de la ecuaciĂłn general la ecuaciĂłn canĂłnica: 9đ?‘Ľ 2 + 18đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś 2 − 24đ?‘Ś = −9 9đ?‘Ľ 2 + 18đ?‘Ľ + 9 + 4đ?‘Ś 2 − 24đ?‘Ś + 36 = −9 + 9 + 36 9(đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ + 1) + 4(đ?‘Ś 2 − 6đ?‘Ś + 9) = 36 9(đ?‘Ľ + 1)2 + 4(đ?‘Ś − 3)2 = 36 đ?‘‘đ?‘–đ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘–đ?‘šđ?‘œđ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’ 36 9(đ?‘Ľ + 1)2 4(đ?‘Ś − 3)2 36 + = 36 36 36 (đ?‘Ľ + 1)2 (đ?‘Ś − 3)2 + =1 4 9 (đ?‘Ľ − â„Ž)2 (đ?‘Ś − đ?‘˜)2 + =1 đ?‘?2 đ?‘Ž2

• • • • • •

•

Elipse vertical Centro en (h,k) = (-1,3) Eje mayor = 2a = 2(3) = 6 Eje menor = 2b = 2(2) = 4 VĂŠrtices (h,k+a); (h,k-a); (h-b,k); (h+b,k) entonces (-1,6); (-1,0); (-3,3); (1,3). Foco: para el foco se encuentra su distancia del centro a cada uno de ellos: đ?‘? = √đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 = √32 − 22 = √9 − 4 = √5 , por lo que los focos seran dado que es vertical la elipse, F1(h, k+c) F2(h, k-c) entonces; đ??š1 (−1, 3 + √5); đ??š2 (−1, 3 + √5); Graficamos para comprobar:

Ejercicio 3: Para la siguiente ecuaciĂłn de elipse encuentre el centro, el eje mayor y menor los focos y los vĂŠrtices:

đ?‘Ľ2 100

+

đ?‘Ś2 64

=1

SoluciĂłn: Tenemos que llevar la ecuaciĂłn a la forma canĂłnica para recolectar los datos. (đ?‘Ľâˆ’â„Ž)2 đ?‘Ž2

+

(đ?‘Śâˆ’đ?‘˜)2 đ?‘?2

= 1→

(đ?‘Ľ − 0)2 (đ?‘Ś − 0)2 + =1 102 82

De lo anterior determinamos: đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ = (â„Ž, đ?‘˜) = (0,0) đ?‘’đ?‘—đ?‘’ đ?‘šđ?‘Žđ?‘Śđ?‘œđ?‘&#x; = 2đ?‘Ž = 20 đ?‘’đ?‘—đ?‘’ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘œđ?‘&#x; = 2đ?‘? = 16 đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘’đ?‘ (0, 8); (0, −8); (10,0); (−10,0) Para los focos tenemos: đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 đ?‘? 2 = 102 − 82 đ?‘? 2 = 100 − 64 đ?‘? = √36 đ?‘?=6 đ?‘“đ?‘œđ?‘?đ?‘œđ?‘ = (−6,0); (6,0) Graficando se obtiene:

Ejercicio de aplicaciĂłn: Una piscina tiene una forma de elipse, que tiene de ancho en de 30 metros y 50 metros de largo. ÂżCuĂĄl es su ancho cuando tiene 5 metros menos de un extremo de la piscina? SoluciĂłn: Para este ejercicio tendremos que tener claro que tenemos un ancho menor que un largo entonces en el plano la elipse (piscina) quedara de forma vertical y veremos su ecuaciĂłn. (đ?‘Ľ − â„Ž)2 (đ?‘Ś − đ?‘˜)2 + =1 đ?‘?2 đ?‘Ž2 Donde: • • •

a= 25 ya que todo el largo de la piscina es 50 y como el largo de una elipse en 2a=50 b= 15 ya que todo el ancho de la piscina es 30 y como el largo de una elipse en 2b=30 el centro de la piscina estarĂĄ en el centro del plano en (0,0) (đ?‘Ľ − 0)2 (đ?‘Ś − 0)2 + =1 (15)2 (25)2 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 + =1 225 625

Despejaremos x para poder encontrar un valor de los que se nos pide; đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 = 1− 225 625 2 đ?‘Ś đ?‘Ľ 2 = (1 − ) 225 625 9đ?‘Ś 2 đ?‘Ľ 2 = 225 − 25 đ?‘Ľ = √225 −

9đ?‘Ś 2 25

Luego analizamos un poco, porque tenemos que ubicarnos 5 metro antes de un extremo de la piscina para saber cuĂĄl es su ancho y como su ancho estĂĄ determinado por la variable x por ello se despejo x.

Entonces como su largo estĂĄ determinado por y, de el origen a un extremo de la piscina tenemos un largo de 25 metros, si le restamos los 5 metros tenemos 25 – 5 = 20, ese valor lo sustituimos. đ?‘Ľ = √225 −

đ?‘Ľ = √225 −

9đ?‘Ś 2 25

9(20)2 25

đ?‘Ľ = √225 − 144 đ?‘Ľ = √81 đ?‘Ľ=9

Dado que el valor es 9 metros tenemos que analizar que esa distancia es de el origen a los 9 metro. Pero esa distancia solo es la mitad ya que el verdadero ancho serĂĄ el doble del valor que encontramos. Por ello la respuesta serĂĄ 9 x 2 = 18 metros. Su grĂĄfica es:

Respuesta: El ancho de la piscina cuando se estĂĄ a 5 metros menos de un extremo es de 18 metros.

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