TRANSFORMACIONES LINEALES Teoría Definición: Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Notación: para señalar una transformación lineal usaremos f (v)=W, donde V y W son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo. Terminología: a las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal. Gráfico:
Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio vectorial W, sus elementos son función de los elementos de V V
v1 v2 v3
W f
w1 w2 w3
Sean: V,W: Espacios Vectoriales v1,v2,v3 w1,w2,w3
Vectores
Teorema: Una función f de V en W que asigna a cada vector v , un vector f(v) Є W es una transformación lineal, si y sólo si, α Є K, vi, vj Є V, satisface los siguientes axiomas: A
A
1. f (vi + vj) = f (vi) + f (vj) 2. f (vi) = α.f (vi) Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, entonces se cumple que: 1. f (0v) = 0w 2. f (vi - vj) = f (vi) - f (vj) Teorema: Sea f : V
W Una transformación lineal, dimV=n dimV = dimN (f) + dimIm (f)
Ejercicios: 1. Dada la siguiente aplicaciรณn lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : P(2) (a+bx+cx2 )
R2 f (a+bx+cx2 ) = (a-b, 2c+a )
Soluciรณn: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicaciรณn lineal f, obtenemos las imรกgenes correspondientes a cada vector. V1 (1-x) 2 V2 (3+x-2x ) 2 V3 (0+0x+0x ) Diagrama:
f (1-x) = (2,1) f (3+x-2x2) = (2,-1) f (0+0x+0x2) = (0,0) P(2)
R2
(a+bx+cx ) 2
f
f (a+bx+cx2 ) = (y, z)
Ejercicios: 2. Dada la siguiente aplicaciรณn lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : R3 (x, y, z )
R2 f (x, y, z) = (2x+y+3z, -x+2y+4z)
Soluciรณn: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicaciรณn lineal f, obtenemos las imรกgenes correspondientes a cada vector. V1 (1,3,2) V2 (3,5,1) V3 (0,0,0) Diagrama:
f (1,3,2) = (11, 13) f (3,5,1) = (14, 11) f (0,0,0) = (0,0) R3
(x, y, z )
R2 f
f (x, y, z ) = (a, b)
Ejercicios: 3. Dada la siguiente aplicaciรณn lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama. f : R3 (x, y, z )
M2 f (x, y, z) =
x+y-z
x+3y+2z
2x+y-3z
-3x+2y+3z
Soluciรณn: Los vectores a considerar son: Por lo tanto, al reemplazar los valores de los vectores, en la aplicaciรณn lineal f, obtenemos las imรกgenes correspondientes a cada vector. 0 3 V1 (1,0,1) f (1,3,2) = -1 0 0 9 V2 (-2,3,1) f (3,5,1) = -4 15 V3 (0,0,0) f (0,0,0) = 0 0 0 0 R3 M2 Diagrama: (x, y, z )
f
f (x, y, z ) =
a b c d
NÚCLEO Teoría Definición: El núcleo es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial V, cuyo vector correspondiente en el espacio vectorial W es el vector cero. N (f) = { v Є V | f (v) = 0w } Notación: Núcleo se denota N(f) Gráfico:
Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio vectorial W, El núcleo está formado por todos aquellos vectores que tienen como Correspondiente el vector cero en W. V . . .
N (f)
v1 v5 v9 . . .
W f 0w
Sean: V,W: Espacios Vectoriales v1,v5,v9 0w
Vectores
Ejercicios: 1. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo. f : R2 R3 (x, y) f (x, y) = (x-y,2x, y+x) Solución: Diagrama:
R3
R2 (x, y)
f f (x, y) = (a, b, c)
Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así: N f : {x, y / f (x, y) = (x-y,2x, y+x) = (0,0,0)} Por lo tanto, planteamos nuestro sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada, y al resolverla, obtenemos Las restricciones del núcleo. Finalmente expresamos el núcleo con las restricciones reemplazadas.
2x = 0 y+x = 0
1 -1 0 2 0 0 1 1 0
y=0 x =0
N f : {(x, y)/ x = 0
<
x-y = 0
y = 0}
N f : {(0, 0)} En este caso, el núcleo de la función es el cero vector.
2. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo. f : R2 R3 (x, y) f (x, y) = (a, a+b+c, b+c) Solución: Diagrama:
P(2)
R3
(a+bx+cx ) 2
f
f (a+bx+cx2 ) = (a, b, c)
<
Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así: N f : {a+bx+cx2 / f (a+bx+cx2) = (a, a+b+c, b+c) = (0,0,0)} Por lo tanto, planteamos el sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada, y al resolverla, obtenemos las restricciones del núcleo Finalmente expresamos el núcleo con las restricciones reemplazadas. N f : { a+bx+cx2 / a=0 b= -c } a =0 1 0 0 0 a=0 2 N f : { -cx+cx / c Є R } a+ b+c 2 1 1 0 N f : { c (-x+x2) / c Є R } =0 0 1 1 0 b+c=0 N f : { (-x+x2))} b+c = 0 b=-c
3. Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo. x-2z 2x+y+2z f : R3 M2 (x, y, z) f (x, y, z) = 2x+y+2z 3x+y Solución: Diagrama: M2 R3 f
(x, y, z)
f (x, y, z) =
a b c d
Por la definición, y ya que el núcleo es un conjunto, lo representamos así: N f : {x, y, z / f (x, y, z) = = }
x-2z
2x+y+2z
0 0 0 0
2x+y+2z 3x+y Por lo tanto, plantemos el sistema de ecuaciones: Y, luego resolvemos nuestra matriz ampliada, y al resolverla, obtenemos las restricciones del núcleo. Finalmente expresamos el núcleo con las restricciones reemplazadas.
2x+y+2z= 0 2x+y+2z= 0 3x+y=0
1 0 -2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 3 1 0 0
x-2z=0 y+6z=0
x=2z y=-6z
N f : {x, y, z / x=2z y=-6z } N f : { 2z,-6z,z / z Є R } N f : { z (2,-6,1) / z Є R } N f : {2,-6,1}
<
x-2z = 0