Sec 0014 sistemas lineales

les a e n i l s ione c a u c e s de Sistema

´Indice general

1. Sistemas de ecuaciones lineales

2

2. M´etodo de sustituci´on

5

3. M´etodo de igualaci´on

9

4. M´etodo de eliminaci´on

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5. Conclusi´on

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1 Sistemas de ecuaciones lineales En este documento estudiaremos sistemas de ecuaciones lineales 2 × 2, es decir, de dos ecuaciones y dos inc´ognitas. Estos sistemas tienen la siguiente forma:

Sistema

de ecua c

iones li nea

les

a11 x + a12 y = b a21 x + a22 y = 1 b2

El problema a resolver es encontrar el valor de las inc´ognitas x, y tales que las dos ecuaciones sean verdaderas.

En un sistema de ecuaciones lineales siempre tenemos solo uno de los tres casos siguientes: 1. El sistema tiene una u´ nica soluci´on.

2. El sistema no tiene soluci´on.

3. El sistema tiene m´as de una soluci´on (infinidad de soluciones).

Los m´etodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales se ver´an a continuaci´on, sin embargo, todos ellos nos deben de dar la misma soluci´on.

2

Antes de revisar los m´etodos podemos mencionar un criterio que nos permitir´a saber si el sistema tiene o´ no, una u´ nica soluci´on:

n u´ nica Solucio´ El siste

ma

b1 a12y = + x a11 b2 a22y = + x a21 i y so´ lo s i s n ´ o i c solu a u´ nica 0 tiene un a12a21 6= − 2 a 2 a11

Si a11 a22 − a12 a21 = 0, y 1. a11 , a12 , b1 son m´ultiplos de a21 , a22 , b2 , respectivamente. Entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones.

2. a11 , a12 son m´ultiplos de a21 , a22 respectivamente, pero b1 no lo es de b2 . Entonces el sistema no tiene soluci´on.

Ejemplos: Ejemplo 1 Consideremos el sistema 2x + 3y = 1 3x − y = −1 como (2)(−1) − (3)(3) = −2 − 9 = −11 6= 0, entonces el sistema tiene una u´ nica soluci´on.

Ejemplo 2 Consideremos el sistema 3x + 4y = 4 6x − 2y = 2 como (3)(−2) − (6)(4) = −6 − 24 = −30 6= 0, entonces el sistema tiene una u´ nica soluci´on.

Ejemplo 3 Consideremos el sistema 2x + y = 6 4x + 2y = 1

3

como (2)(2)−(4)(1) = 4−4 = 0, entonces el sistema NO tiene una u´ nica soluci´on, pero como 4x + 2y es el doble de 2x + y, pero 1 no es el doble de 6, el sistema NO tiene soluci´on.

Ejemplo 4 Consideremos el sistema 3x − 3y = 2 x−y = 5 como (3)(−1) − (−3)(1) = −3 + 3 = 0, entonces el sistema no tiene una u´ nica soluci´on. Y como la primera ecuaci´on es el triple de la segunda, pero 2 no es el triple de 5. Tenemos que el sistema no tiene soluci´on.

Ejemplo 5 Consideremos el sistema 1 1 x + y = −3 2 3 3 x + y = −1 2 1 3 1 como ( )(1) − ( )( ) = 0, entonces el sistema NO tiene una u´ nica soluci´on. Y 2 3 2 como la segunda ecuaci´on es el triple de la primera, incluyendo la constante, por lo tanto el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.

4

2 ´ ´ Metodo de sustitucion El m´etodo de sustituci´on trabaja de la siguiente manera: 1. De la primera ecuaci´on se despeja una inc´ognita, digamos x.

2. Se sustituye la inc´ognita despejada en la segunda ecuaci´on.

3. Se reduce la segunda ecuaci´on, y se encuentra el valor de y.

4. Finalmente se sustituye el valor de y, en la ecuaci´on del paso 1, y se encuentra x.

Es posible cambiar de inc´ognita.

Ejemplos:

o 2.1 Ejempl a l sistem e r e v l o Res = 1 x+y = 1 x−y

Paso 1 Despejamos de la primera ecuaci´on a x, entonces x = 1 − y.

Paso 2 Sustituimos a x = 1 − y, en la segunda ecuaci´on: x−y = 1 (1 − y) − y = 1

5

Paso 3 Reducimos la ecuaci´on anterior: (1 − y) − y 1 − 2y 1−1 0

= = = =

1 1 2y 2y

de donde y = 0.

Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 0, en la ecuaci´on del paso 1, x = 1−y. Entonces x = 1 − (0) = 1.

Paso 5 Por tanto la soluci´on del sistema es: x = 1 y = 0

Resolve r

6

Ejempl o 2.2 el sistem a 2x + y = 3 3x + 2y = 2

Paso 1 Despejamos de la primera ecuaci´on a x, entonces x = Paso 2 Sustituimos a x =

3−y , en la segunda ecuaci´on: 2 3x + 2y = 2 3−y 3( ) + 2y = 2 2

3−y .

2

Paso 3 Reducimos la ecuaci´on anterior: 3−y ) + 2y 2 9 3 − y + 2y 2 2 9 1 + y 2 2 1 y 2 1 y 2 y

3(

= 2 = 2 = 2 = 2− 5 2 = −5

9 2

= −

de donde y = −5.

Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = −5, en la ecuaci´on del paso 1, x = Entonces x =

8 3 − (−5) = = 4.

2 2

Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 4 y = −5

o 2.3 Ejempl r el sis Resolve

tema

= −1 x−y = 5 2x − 3y

Paso 1 Despejamos de la primera ecuaci´on a x, entonces x = y − 1.

Paso 2 Sustituimos a x = y − 1, en la segunda ecuaci´on: 2x − 3y = 5 2(y − 1) − 3y = 5

3−y .

2

7

Paso 3 Reducimos la ecuaci´on anterior: 2(y − 1) − 3y 2y − 2 − 3y −y y

= = = =

5 5 5+2 −7

de donde y = −7.

Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = −7, en la ecuaci´on del paso 1, x = y − 1.

Entonces x = (−7) − 1 = −8.

Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = −8 y = −7

8

3 ´ ´ Metodo de igualacion El m´etodo de igualaci´on trabaja de la siguiente manera: 1. Despejamos de ambas ecuaciones una inc´ognita, digamos x.

2. Igualamos ambos despejes.

3. Despejamos, entonces a y de la ecuaci´on obtenida del paso anterior.

4. Obtenemos a x, al sustituir y, en cualquier ecuaci´on obtenida del paso 1.

Ejemplos:

Resolve

Ejempl o 3.1

r el sist ema

x+y = 1 x−y = 1

Paso 1 Despejamos de ambas ecuaciones a x, entonces: x = 1−y x = 1+y Paso 2 Igualamos ambas ecuaciones del paso anterior: 1 − y = 1 + y.

9

Paso 3 Despejamos a y de la ecuaci´on anterior: 1−y = 1+y 0 = 2y de donde y = 0.

Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 0, en cualquier ecuaci´on del paso 1, x = 1 − y.

Entonces x = 1 − (0) = 1.

Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 1 y = 0

o 3.2 Ejempl r el sis Resolve

tema

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= 3 2x + y = 2 3x + 2y

Paso 1 Despejamos de ambas ecuaciones a x, entonces: 3−y 2 2 − 2y x = 3 x =

Paso 2 Igualamos ambas ecuaciones del paso anterior:

3−y 2 − 2y = .

2 3

Paso 3 Despejamos a y de la ecuaci´on anterior: 3−y 2 3(3 − y) 9 − 3y 9−4 5

= = = = =

2 − 2y 3 2(2 − 2y) 4 − 4y −4y + 3y −y

de donde y = −5.

Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = −5, en cualquier la ecuaci´on del paso 1, x = 3 − (−5) 8 3−y . Entonces x = = = 4.

2 2 2 Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 4 y = −5

Resolve r

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Ejempl o 3.3 el sistem a x−y = −1 2x − 3y = 5

Paso 1 Despejamos de ambas ecuaci´on a x, entonces: x = y−1 5 + 3y x = 2 Paso 2 Igualamos ambas ecuaciones del paso anterior: y − 1 =

5 + 3y 2

Paso 3 Despejamos a y de la ecuaci´on anterior: 5 + 3y 2 2y − 2 = 5 + 3y −2 − 5 = 3y − 2y −7 = y y−1 =

de donde y = −7.

Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = −7, en cualquier ecuaci´on del paso 1, x = y−1.

Entonces x = (−7) − 1 = −8.

Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = −8 y = −7

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4 ´ ´ Metodo de eliminacion El m´etodo de igualaci´on trabaja de la siguiente manera: 1. Se observan las ecuaciones, si tenemos los “mismos”x, (y) en la primera que en la segunda con signo contrario, si no, entonces buscamos un n´umero real tal que al multiplicar una ecuaci´on por ese n´umero r obtengamos los mismos x, (y) en ambas ecuaciones con signo contrario.

2. Observaci´on: si multiplicamos una ecuaci´on por un n´umero real r, la soluci´on del sistema no cambia.

3. Posteriormente sumamos ambas ecuaciones, y as´ı reducimos nuestro sistema a una sola ecuaci´on con x o´ y.

4. Despejamos ese x o´ y, y sustituimos en cualquier ecuaci´on del sistema para obtener el y o´ x restante.

Ejemplos:

o 4.1 Ejempl r el sis Resolve

tema = 1 x+y = 1 x−y

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Paso 1 Obs´ervese que tenemos en ambas ecuaciones a las mismas y con signo contrario, por lo tanto, si sumamos ambas ecuaciones tenemos: 2x = 2, por lo tanto x = 1.

Paso 2 Sustituimos a x = 1, en cualquier ecuaci´on del sistema: (1) + y = 1, entonces y = 0.

Paso 3 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 1 y = 0

Resolve r

Ejempl o 4.2 el sistem a 2x + y = 3 3x + 2y = 2

14 Paso 1 Obs´ervese que tenemos en ambas ecuaciones a y, y 2y por lo tanto, si multiplicamos a la primera ecuaci´on por −2, obtenemos: −4x − 2y = −6 3x + 2y = 2 Paso 2 Sumando ambas ecuaciones del paso anterior obtenemos: −x = −4, entonces x = 4.

Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de x = 4, en cualquier la ecuaci´on del paso 1, 2(4) + y = 3, obtenemos que y = 3 − 8 = −5.

Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 4 y = −5

o 4.3 Ejempl re Resolve

a l sistem = −1 x−y = 5 2x − 3y

Paso 1 Obs´ervese que tenemos en ambas ecuaciones a x, y 2x por lo tanto, si multiplicamos a la primera ecuaci´on por −2, obtenemos: −2x + 2y = 2 2x − 3y = 5 Paso 2 Sumando ambas ecuaciones del paso anterior obtenemos: 2y−3y = 2+7, entonces y = −7.

Paso 3 Ahora, sustituimos el valor de y = −7, en cualquier ecuaci´on del paso 1, x = y−1.

Entonces x = (−7) − 1 = −8.

Paso 4 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = −8 y = −7

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5 ´ Conclusion De los ejemplos anteriores podemos concluir que los tres m´etodos para obtener la soluci´on a un sistema de ecuaciones 2 × 2, dan el mismo resultado. Tambi´en podemos concluir que el m´etodo “m´as” eficiente es el tercero, el m´etodo de eliminaci´on. Este m´etodo se puede generalizar para sistemas de ecuaciones m´as grandes, de hecho es el m´etodo m´as usado para dar soluci´on a sistemas de ecuaciones lineales con n ecuaciones y m inc´ognitas e´ ste lleva el nombre de m´etodo de Gauss.

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