les a e n i l s ione c a u c e s de Sistema
´Indice general
1. Sistemas de ecuaciones lineales
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2. M´etodo de sustituci´on
5
3. M´etodo de igualaci´on
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4. M´etodo de eliminaci´on
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5. Conclusi´on
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1 Sistemas de ecuaciones lineales En este documento estudiaremos sistemas de ecuaciones lineales 2 × 2, es decir, de dos ecuaciones y dos inc´ognitas. Estos sistemas tienen la siguiente forma:
Sistema
de ecua c
iones li nea
les
a11 x + a12 y = b a21 x + a22 y = 1 b2
El problema a resolver es encontrar el valor de las inc´ognitas x, y tales que las dos ecuaciones sean verdaderas. En un sistema de ecuaciones lineales siempre tenemos solo uno de los tres casos siguientes: 1. El sistema tiene una u´ nica soluci´on. 2. El sistema no tiene soluci´on. 3. El sistema tiene m´as de una soluci´on (infinidad de soluciones). Los m´etodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales se ver´an a continuaci´on, sin embargo, todos ellos nos deben de dar la misma soluci´on.
2
Antes de revisar los m´etodos podemos mencionar un criterio que nos permitir´a saber si el sistema tiene o´ no, una u´ nica soluci´on:
n u´ nica Solucio´ El siste
ma
b1 a12y = + x a11 b2 a22y = + x a21 i y so´ lo s i s n ´ o i c solu a u´ nica 0 tiene un a12a21 6= − 2 a 2 a11
Si a11 a22 − a12 a21 = 0, y 1. a11 , a12 , b1 son m´ultiplos de a21 , a22 , b2 , respectivamente. Entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones. 2. a11 , a12 son m´ultiplos de a21 , a22 respectivamente, pero b1 no lo es de b2 . Entonces el sistema no tiene soluci´on.
Ejemplos: Ejemplo 1 Consideremos el sistema 2x + 3y = 1 3x − y = −1 como (2)(−1) − (3)(3) = −2 − 9 = −11 6= 0, entonces el sistema tiene una u´ nica soluci´on. Ejemplo 2 Consideremos el sistema 3x + 4y = 4 6x − 2y = 2 como (3)(−2) − (6)(4) = −6 − 24 = −30 6= 0, entonces el sistema tiene una u´ nica soluci´on. Ejemplo 3 Consideremos el sistema 2x + y = 6 4x + 2y = 1
3
como (2)(2)−(4)(1) = 4−4 = 0, entonces el sistema NO tiene una u´ nica soluci´on, pero como 4x + 2y es el doble de 2x + y, pero 1 no es el doble de 6, el sistema NO tiene soluci´on. Ejemplo 4 Consideremos el sistema 3x − 3y = 2 x−y = 5 como (3)(−1) − (−3)(1) = −3 + 3 = 0, entonces el sistema no tiene una u´ nica soluci´on. Y como la primera ecuaci´on es el triple de la segunda, pero 2 no es el triple de 5. Tenemos que el sistema no tiene soluci´on. Ejemplo 5 Consideremos el sistema 1 1 x + y = −3 2 3 3 x + y = −1 2 1 3 1 como ( )(1) − ( )( ) = 0, entonces el sistema NO tiene una u´ nica soluci´on. Y 2 3 2 como la segunda ecuaci´on es el triple de la primera, incluyendo la constante, por lo tanto el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.
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2 ´ ´ Metodo de sustitucion El m´etodo de sustituci´on trabaja de la siguiente manera: 1. De la primera ecuaci´on se despeja una inc´ognita, digamos x. 2. Se sustituye la inc´ognita despejada en la segunda ecuaci´on. 3. Se reduce la segunda ecuaci´on, y se encuentra el valor de y. 4. Finalmente se sustituye el valor de y, en la ecuaci´on del paso 1, y se encuentra x. Es posible cambiar de inc´ognita.
Ejemplos:
o 2.1 Ejempl a l sistem e r e v l o Res = 1 x+y = 1 x−y
Paso 1 Despejamos de la primera ecuaci´on a x, entonces x = 1 − y. Paso 2 Sustituimos a x = 1 − y, en la segunda ecuaci´on: x−y = 1 (1 − y) − y = 1
5
Paso 3 Reducimos la ecuaci´on anterior: (1 − y) − y 1 − 2y 1−1 0
= = = =
1 1 2y 2y
de donde y = 0. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 0, en la ecuaci´on del paso 1, x = 1−y. Entonces x = 1 − (0) = 1. Paso 5 Por tanto la soluci´on del sistema es: x = 1 y = 0
Resolve r
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Ejempl o 2.2 el sistem a 2x + y = 3 3x + 2y = 2
Paso 1 Despejamos de la primera ecuaci´on a x, entonces x = Paso 2 Sustituimos a x =
3−y , en la segunda ecuaci´on: 2 3x + 2y = 2 3−y 3( ) + 2y = 2 2
3−y . 2
Paso 3 Reducimos la ecuaci´on anterior: 3−y ) + 2y 2 9 3 − y + 2y 2 2 9 1 + y 2 2 1 y 2 1 y 2 y
3(
= 2 = 2 = 2 = 2− 5 2 = −5
9 2
= −
de donde y = −5. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = −5, en la ecuaci´on del paso 1, x = Entonces x =
8 3 − (−5) = = 4. 2 2
Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 4 y = −5
o 2.3 Ejempl r el sis Resolve
tema
= −1 x−y = 5 2x − 3y
Paso 1 Despejamos de la primera ecuaci´on a x, entonces x = y − 1. Paso 2 Sustituimos a x = y − 1, en la segunda ecuaci´on: 2x − 3y = 5 2(y − 1) − 3y = 5
3−y . 2
7
Paso 3 Reducimos la ecuaci´on anterior: 2(y − 1) − 3y 2y − 2 − 3y −y y
= = = =
5 5 5+2 −7
de donde y = −7. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = −7, en la ecuaci´on del paso 1, x = y − 1. Entonces x = (−7) − 1 = −8. Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = −8 y = −7
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3 ´ ´ Metodo de igualacion El m´etodo de igualaci´on trabaja de la siguiente manera: 1. Despejamos de ambas ecuaciones una inc´ognita, digamos x. 2. Igualamos ambos despejes. 3. Despejamos, entonces a y de la ecuaci´on obtenida del paso anterior. 4. Obtenemos a x, al sustituir y, en cualquier ecuaci´on obtenida del paso 1.
Ejemplos:
Resolve
Ejempl o 3.1
r el sist ema
x+y = 1 x−y = 1
Paso 1 Despejamos de ambas ecuaciones a x, entonces: x = 1−y x = 1+y Paso 2 Igualamos ambas ecuaciones del paso anterior: 1 − y = 1 + y.
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Paso 3 Despejamos a y de la ecuaci´on anterior: 1−y = 1+y 0 = 2y de donde y = 0. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = 0, en cualquier ecuaci´on del paso 1, x = 1 − y. Entonces x = 1 − (0) = 1. Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 1 y = 0
o 3.2 Ejempl r el sis Resolve
tema
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= 3 2x + y = 2 3x + 2y
Paso 1 Despejamos de ambas ecuaciones a x, entonces: 3−y 2 2 − 2y x = 3 x =
Paso 2 Igualamos ambas ecuaciones del paso anterior:
3−y 2 − 2y = . 2 3
Paso 3 Despejamos a y de la ecuaci´on anterior: 3−y 2 3(3 − y) 9 − 3y 9−4 5
= = = = =
2 − 2y 3 2(2 − 2y) 4 − 4y −4y + 3y −y
de donde y = −5. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = −5, en cualquier la ecuaci´on del paso 1, x = 3 − (−5) 8 3−y . Entonces x = = = 4. 2 2 2 Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 4 y = −5
Resolve r
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Ejempl o 3.3 el sistem a x−y = −1 2x − 3y = 5
Paso 1 Despejamos de ambas ecuaci´on a x, entonces: x = y−1 5 + 3y x = 2 Paso 2 Igualamos ambas ecuaciones del paso anterior: y − 1 =
5 + 3y 2
Paso 3 Despejamos a y de la ecuaci´on anterior: 5 + 3y 2 2y − 2 = 5 + 3y −2 − 5 = 3y − 2y −7 = y y−1 =
de donde y = −7. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de y = −7, en cualquier ecuaci´on del paso 1, x = y−1. Entonces x = (−7) − 1 = −8. Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = −8 y = −7
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4 ´ ´ Metodo de eliminacion El m´etodo de igualaci´on trabaja de la siguiente manera: 1. Se observan las ecuaciones, si tenemos los “mismos”x, (y) en la primera que en la segunda con signo contrario, si no, entonces buscamos un n´umero real tal que al multiplicar una ecuaci´on por ese n´umero r obtengamos los mismos x, (y) en ambas ecuaciones con signo contrario. 2. Observaci´on: si multiplicamos una ecuaci´on por un n´umero real r, la soluci´on del sistema no cambia. 3. Posteriormente sumamos ambas ecuaciones, y as´ı reducimos nuestro sistema a una sola ecuaci´on con x o´ y. 4. Despejamos ese x o´ y, y sustituimos en cualquier ecuaci´on del sistema para obtener el y o´ x restante.
Ejemplos:
o 4.1 Ejempl r el sis Resolve
tema = 1 x+y = 1 x−y
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Paso 1 Obs´ervese que tenemos en ambas ecuaciones a las mismas y con signo contrario, por lo tanto, si sumamos ambas ecuaciones tenemos: 2x = 2, por lo tanto x = 1. Paso 2 Sustituimos a x = 1, en cualquier ecuaci´on del sistema: (1) + y = 1, entonces y = 0. Paso 3 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 1 y = 0
Resolve r
Ejempl o 4.2 el sistem a 2x + y = 3 3x + 2y = 2
14 Paso 1 Obs´ervese que tenemos en ambas ecuaciones a y, y 2y por lo tanto, si multiplicamos a la primera ecuaci´on por −2, obtenemos: −4x − 2y = −6 3x + 2y = 2 Paso 2 Sumando ambas ecuaciones del paso anterior obtenemos: −x = −4, entonces x = 4. Paso 4 Ahora, sustituimos el valor de x = 4, en cualquier la ecuaci´on del paso 1, 2(4) + y = 3, obtenemos que y = 3 − 8 = −5. Paso 5 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = 4 y = −5
o 4.3 Ejempl re Resolve
a l sistem = −1 x−y = 5 2x − 3y
Paso 1 Obs´ervese que tenemos en ambas ecuaciones a x, y 2x por lo tanto, si multiplicamos a la primera ecuaci´on por −2, obtenemos: −2x + 2y = 2 2x − 3y = 5 Paso 2 Sumando ambas ecuaciones del paso anterior obtenemos: 2y−3y = 2+7, entonces y = −7. Paso 3 Ahora, sustituimos el valor de y = −7, en cualquier ecuaci´on del paso 1, x = y−1. Entonces x = (−7) − 1 = −8. Paso 4 Por lo tanto la soluci´on del sistema es: x = −8 y = −7
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5 ´ Conclusion De los ejemplos anteriores podemos concluir que los tres m´etodos para obtener la soluci´on a un sistema de ecuaciones 2 × 2, dan el mismo resultado. Tambi´en podemos concluir que el m´etodo “m´as” eficiente es el tercero, el m´etodo de eliminaci´on. Este m´etodo se puede generalizar para sistemas de ecuaciones m´as grandes, de hecho es el m´etodo m´as usado para dar soluci´on a sistemas de ecuaciones lineales con n ecuaciones y m inc´ognitas e´ ste lleva el nombre de m´etodo de Gauss.
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