Algebra Lineal: Transformaciones Lineales Departamento de Matem´ aticas Intro T. Matricial T. Lineal
Algebra Lineal: Transformaciones Lineales
N´ ucleo Rango
Departamento de Matem´aticas
Algebra Lineal: Transformaciones Lineales Departamento de Matem´ aticas Intro T. Matricial T. Lineal N´ ucleo Rango
´n Introduccio Desde el punto de vista del Algebra Lineal, las funciones m´as importantes son las que preservan las combinaciones lineales. Estas funciones se llamar´an Transformaciones Lineales. Es esta presentaci´on se tratan con los elementos b´asicos asociados a este tipo de funciones.
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´ n Matricial Transformacio Dada una matriz A m × n no necesariamente cuadrada, definiremos la funci´ on TA que tiene como dominio a Rn y como codominio a Rm :es decir, la funci´ on va de Rn a Rm de la siguiente manera:
T. Lineal N´ ucleo Rango
TA : Rn → Rm x 7→ A · x Es decir, la funci´ on consiste en multiplicar el vector x, que representa la entrada, por la matriz A. La funci´on TA se conoce como la Transformaci´on Matricial asociada a A. Diremos que una funci´ on F que va de Rn a Rm es una transformaci´on matricial si existe una matriz A n × m tal que F (x) = A · x.
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Ejemplo
2 1 . La transformaci´on −1 1 matricial asociada a A va de R2 (Porque la matriz tiene dos columnas) a R2 (Porque la matriz tiene dos renglones) La l´ogica es simple: para que un vector columna se pueda multiplcar por A requiere tener dos componentes por que la matriz tiene dos columnas, as´ı que su dominio es R2 : Una vez multiplicado el vector por la matriz el vector resultante tiene dos componentes por que la matriz tiene dos renlones, as´ı que el codominio es R2 . Tomemos la matriz A =
Calculemos 1 2 1 1 4 TA = · = 2 −1 1 2 1 1 2 1 1 1 TA = · = −1 −1 1 −1 −2
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1 2
TA
TA
=
2 1
−1 1
4 1
=
, TA 2 1 −1 1
T. Lineal
N´ ucleo Rango
TA
=
2 1 −1 1
1 1 = −1 −2 2 5 · = 1 −1 −1 −1 · = 1 2
TA
O
O
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Propiedades
Departamento de Matem´ aticas
Si TA es una transformaci´ on matricial, entonces: • Se distribuye sobre una suma:
Intro T. Matricial
TA [x + y] = TA [x] + TA [y]
T. Lineal N´ ucleo
y x+y
Rango
TA
TA [y] TA [x + y] = TA [x] + TA [y]
x TA [x]
• Preserva proporcionalidad y colinealidad:
TA [c · x] = c · TA [x] c·x x
TA [c · x] = c · TA [x]
TA
TA [x]
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´ n Lineal Transformacio
Una funci´on T de Rn en Rm se dice funci´ on lineal ´o transformaci´on lineal ´ o simplemente lineal si cumple: • la propiedad de aditividad para funciones:
Intro T. Matricial
T [x + y] = T [x] + T [y]
T. Lineal N´ ucleo
• la propiedad de proporcionalidad para funciones:
Rango
T [c · x] = c · T [x] Notas: • De las definiciones y de las propiedades comentadas para
las transformaciones matriciales, las transformaciones matriciales son transformaciones lineales. • Toda transformaci´ on lineal envia el vector cero en el vector
cero: T [0] = T [0 · 0] = 0 · T [0] = 0
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Demuestre que la tranformaci´ on T : R2 →R2 definida por x x + 3y T = y x + 2y es lineal. Soluci´ on x1 x2 Sean u = yv= . y1 y2 Entonces x1 x2 x1 + x2 T [u + v] = T + =T y1 y2 y1 + y2 (x1 + x2 ) + 3 (y1 + y2 ) = (x1 + x2 ) + 2 (y1 + y2 ) x1 + 3 y1 x2 + 3 y2 = + x1 + 2 y1 x2 + 2 y2 x1 x2 = T +T = T [u] + T [v] y1 y2
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Por otro lado, para todo escalar c, c x1 T [c · u] = T c y1 c x1 + 3 c y 1 = c x1 + 2 c y 1 x1 + 3 y1 = c· x1 + 2y1 x1 = c ·T y1 = c · T [u] Como se cumplen las dos condiciones: T [u + v] = T [u] + T [v] T [c · u] = c · T [u] T es lineal
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Demuestre que la transformaci´ on T : R3 →R2 es lineal: T [(x, y , z)0 ] = (x + z, y − z)0 Soluci´ on Sean u = (x1 , y1 , z1 )0 y v = (x2 , y2 , z2 )0 . Entonces T [u + v] = T [(x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )0 ]
T. Matricial T. Lineal N´ ucleo Rango
= ((x1 + x2 ) + (z1 + z2 ), (y1 + y2 ) − (z1 + z2 ))0 = (x1 + z1 , y1 − z1 )0 + (x2 + z2 , y2 − z2 )0 = T [u] + T [v] Por otro lado, para todo escalar c, T [c · u] = T [(c x1 , c y1 , c z1 )0 ] = (c x1 + c z1 , c y1 − c z1 )0 = c · (x1 + z1 , y1 − z1 )0 = c · T [(x1 , y1 , z1 )0 ] = c · T [u]
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´ cleo de una Tranformacio ´ n Lineal Nu
Sea T una transformaci´ on lineal de Rn en Rm . El n´ ucleo T es n el subconjunto formado por todos los vectores en R que se mapean a cero en Rm : Ker(T ) = {v ∈ Rn | T [v] = 0 ∈ Rm }
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Indique cu´ales opciones contienen un vector en el n´ ucleo de la 3 3 transformaci´on de R en R definida como x −2 x + 3 z T y = −23 x − 15 y − 18 z z −5 x − 3 y − 3 z dentro de las opciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
v1 v2 v3 v4 v5 v6
= (0, 0, 0)0 = (12, −28, 8)0 = (1, −2, 1)0 = (3, −7, 2)0 = (2, −4, −4)0 = (9, −18, −15)0
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Antes de pasar a la verificaci´ on, es conveniente observar que es posible encontrar una matriz A tal que T [x] = A · x. Es decir, aplicar T a un vector x es equivalente a multiplicar por una cierta matriz A al vector x. Empecemos con la dimensi´on de A: como A se multiplica por la izquierda de x y x ∈ R3 entonces el n´ umero de columnas de A es 3. Por otro lado, como el resultado A · x es un vector de R3 , entonces el n´ umero de renglones de A es 3. Si requerimos que −2 x + 3 z x −23 x − 15 y − 18 z = y −5 x − 3 y − 3 z z
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No es dif´ıcil ver −2 0 3 −2 x + 3 z x −23 x − 15 y − 18 z = −23 −15 −18 y −5 x − 3 y − 3 z z −5 −3 −3
N´ ucleo Rango
es decir que
−2 0 3 A = −23 −15 −18 −5 −3 −3 es la matriz que hace que T sea la transformaci´on matricial asociada a A.
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El vector v1 est´a en el n´ ucleo de T debido a que −2 0 3 0 0 T [v1 ] = A·v1 = −23 −15 −18 · 0 = 0 = 0 −5 −3 −3 0 0
T. Matricial T. Lineal N´ ucleo Rango
El vector v2 est´a en el n´ ucleo de T debido a que −2 0 3 12 0 0 =0 T [v2 ] = A·v2 = −23 −15 −18 · −28 = −5 −3 −3 8 0
El vector v3 no est´a en el n´ ucleo de T debido a que −2 0 3 1 1 T [v3 ] = Av3 = −23 −15 −18 · −2 = −11 = 6 0 −5 −3 −3 1 −2
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El vector v4 est´a en el n´ ucleo de T debido a que −2 0 3 3 0 T [v4 ] = −23 −15 −18 · −7 = 0 = 0 −5 −3 −3 2 0
T. Matricial T. Lineal N´ ucleo Rango
El vector v5 no est´a en el n´ ucleo de T debido a que −2 0 3 2 −16 T [v5 ] = −23 −15 −18 · −4 = 86 = 6 0 −5 −3 −3 −4 14 El vector v6 no est´a en el n´ ucleo de T debido a que −2 0 3 9 −63 T [v6 ] = −23 −15 −18 · −18 = −333 = 6 0 −5 −3 −3 −15 −54
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Determine el n´ ucleo de la transformaci´ on de R3 en R3 definida como x −2 x + 3 z T y = −23 x − 15 y − 18 z z −5 x − 3 y − 3 z Un vector v = (a, b, c)0 pertenece al n´ ucleo de T si T (v) = 0, es decir si: −2 a + 3 c T [(a, b, c)0 ] = −23 a − 15 b − 18 c = 0 ( en R3 ) −5 a − 3 b − 3 c Por lo tanto, para pertenecer al n´ ucleo debe cumplirse −2 a + 3 c = 0 −23 a − 15 b − 18 c = 0 −5 a − 3 b − 3 c = 0
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Reduciendo tenemos: a − 3/2 c = 0 b + 7/2 c = 0 Es decir
a 3/2 c 3/2 b = −7/2 c = c −7/2 , c libre c c 1
Observe que el n´ ucleo de T en este espacio caso esun 3/2 generado: Ker(T ) = Gen −7/2 1 Adem´as, la dimensi´ on de Ker(T ) es 1, lo cual coincide con el n´ umero de columnas sin pivote en la reducida de A (La matriz que define a la transformaci´ on T ). Geom´etricamente en R3 este generado corresponde a la l´ınea que pasa por el origen y con vector de direcci´ on (3/2, −7/2, 1)0 que es: x y z = = 3/2 −7/2 1
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´ n Lineal El Rango de una Transformacio
Sea T : Rn → Rm una transformaci´ on lineal. El rango o imagen de T es el conjunto de todas las im´agenes de T en Rm :
N´ ucleo Rango
R(T ) = {w ∈ Rm |w = T [v] para alg´ un v ∈ Rn } Es decir, el rango es el subconjunto de Rm formado por aquellos vectores que provienen de alg´ un vector de Rn .
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Indique cu´ales opciones contienen un vector en la imagen de la transformaci´on de R3 en R3 definida como x 2x + 5y + z T y = 8 x + 12 y + 6 z z −4 x − 2 y − 4 z
N´ ucleo Rango
dentro de las opciones: 1. 2. 3. 4. 5.
v1 v2 v3 v4 v5
= (0, 0, 0)0 = (2, 8, −4)0 = (−23, −52, 6)0 = (5, 12, −2)0 = (−3, 1, −1)0
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El vector v1 = (0, 0, 0)0 de R3 est´a en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)0 en R3 tal que T [(a, b, c)0 ] = v1 . Es decir, si es consistente el sistema
T. Lineal N´ ucleo Rango
2a + 5b + c = 0 8 a + 12 b + 6 c = 0 −4 a − 2 b − 4 c = 0 Pero este sistema por ser homog´eno es consistente. Por tanto el vector v1 s´ı est´a en la imagen de T .
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El vector v2 = (2, 8, −4)0 de R3 est´a en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)0 en R3 tal que T [(a, b, c)0 ] = v2 . Es decir, si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = 2 8 a + 12 b + 6 c = 8 −4 a − 2 b − 4 c = −4 Al reducir la matriz aumentada se obtiene: 1 0 9/8 1 0 1 −1/4 0 0 0 0 0 por ser consistente el sistema, el vector v2 s´ı est´a en la imagen de T .
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El vector v3 = (−23, −52, 6)0 de R3 est´a en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)0 en R3 tal que T [(a, b, c)0 ] = v3 . Es decir, si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = −23 8 a + 12 b + 6 c = −52 −4 a − 2 b − 4 c = 6 Al reducir la matriz aumentada se obtiene: 1 0 9/8 1 0 1 −1/4 −5 0 0 0 0 por ser consistente el sistema, el vector v3 s´ı est´a en la imagen de T .
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El vector v4 = (5, 12, −2)0 de R3 est´a en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)0 en R3 tal que T [(a, b, c)0 ] = v4 es decir si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = 5 8 a + 12 b + 6 c = 12 −4 a − 2 b − 4 c = −2 Al reducir la matriz aumentada se obtiene: 1 0 9/8 0 0 1 −1/4 1 0 0 0 0 por ser consistente el sistema, el vector v4 s´ı est´a en la imagen de T .
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El vector v5 = (−3, 1, −1)0 de R3 de est´a en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)0 en R3 tal que T [(a, b, c)0 ] = v5 es decir si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = −3 8 a + 12 b + 6 c = 1 −4 a − 2 b − 4 c = −1 Al reducir la matriz aumentada se obtiene: 1 0 9/8 0 0 1 −1/4 0 0 0 0 1 por ser inconsistente el sistema, el vector v5 no est´a en la imagen de T
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Determine la imagen de la transformaci´ on lineal de R3 en R3 definida como x 2x + 5y + z T y = 8 x + 12 y + 6 z z −4 x − 2 y − 4 z El vector v = (a, b, c)0 de R3 de est´a en la imagen de T si existe un vector (x, y , z)0 en R3 tal que T [(x, y , z)0 ] = v0 es decir si es consistente el sistema 2x + 5y + z 8 x + 12 y + 6 z −4 x − 2 y − 4 z
= a = b = c
Al formar la matriz aumentada y escalonar se obtiene: a 2 5 1 0 −8 2 −4 a + b 0 0 0 −2 a + b + c
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Por tanto, (a, b, c)0 est´a en la imagen de T ssi el sistema anterior es consistente ssi −2 a + b + c = 0. Esto ocurrir´a si y s´olo si a = 1/2 b + 1/2 c. Es decir, (a, b, c)0 est´a en la imagen de T si y s´olo si a 1/2 b + 1/2 c 1/2 1/2 b = =b 1 +c 0 b c c 0 1 Por tanto, 1/2 1/2 R(T ) = Gen 1 , 0 0 1 Geom´etricamente, R(T ) es el plano 2 a − b − c = 0 (o 2 x − y − z = 0) en R3
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Notas
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• La funci´ on traslaci´ on Tpo : Rn → Rn definida como
Intro
• Por ello es que conviene definir las coordenadas
T. Matricial T. Lineal N´ ucleo Rango
T [x] = x + Po no es una transformaci´ on lineal. homog´ eneas: Todo punto de (x, y ) de R2 se mapea en el punto (x, y , 1) de R3 . Se dice que para k 6= 0, los puntos (x, y , 1) y (k · x, k · y , k) representan el mismo punto (x, y ) del plano. • Con las coordenadas homog´ eneas, la traslaci´on es una
transformaci´ on matricial: x 1 0 c1 x x + c1 T y = 0 1 c2 · y = y + c2 1 0 0 1 1 1
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En coordenadas homog´eneas de R2 : • Las rotaciones son:
Intro T. Matricial T. Lineal
x cos (θ) −sen (θ) 0 x y sen (θ) cos (θ) 0 y T = · 1 0 0 1 1
N´ ucleo Rango
• Las homotecias que tienen factor de amplificaci´ on k y
punto fijo (cx , cy ) tienen la forma: x k 0 (1 − k) · cx x T y = 0 k (1 − k) · cy · y 1 1 0 0 1 Referencia WEB (Ojo: en el producto la matriz la usan por la derecha!)