Cuadernillo para sesión

Símbolos del origami Proyecto

Aula Taller Explora de Matemáticas

Para que sea más fácil seg uir las instrucciones, te presentamos los símbolos que utilizaremos en la construcción de los diferentes módulos:

Anverso del papel

Símbolo

Reverso del papel

Gráfico explicativo

Líneas

Valle

Monte

Rayos X

Indica los dobleces que no se observan en la parte delantera del módulo

Flechas

Doblar

Doblar hacia atrás

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

Doblar y desdoblar

Dar vuelta al módulo

Observa que al dar vuelta la línea de rayos X permite saber qué doblez hay detrás.

Flechas

Girar en el plano

El módulo se verá agrandado

Desdoblar

Repetir lo mismo aquí

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

Cubo e icosadro estrellado en origami. Módulo sonobe Proyecto Materiales

Aula Taller Explora de Matemáticas Papel, lápiz y tijeras

Construyamos el cubo en origami Para la construcción de este cuerpo debes disponer de un cuadrado en papel por cada cara del cubo. Puedes cortarlos de cualquier tamaño, pero todos exactamente iguales. ¿Cuántos cuadrados necesitas?_________________________.

Ahora con mucho cuidado y perfec ción, sigue los siguientes pasos, marcando muy bien cada quiebre para que las aristas de tu cubo queden perfectamente definidas:

1

2

3

6

4 5

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

7

8

10

9

12

11

13

Ahora tienes en la mano tu primer módulo . Haz lo m ismo con los otros cinco cuadrados para que a continuación los ensambles y puedas construir tu cubo. ¿Cómo ensamblar los módulos?

Para ensamblar utiliza los “bolsillos” que les puede s observar a cada módulo; cada uno tiene cuatro de los cuales sólo se ut ilizarán los dos que están por los lados del cuadrado que no tienen alas. Para hacerlo, guíate con la siguiente gráfica:

Así se debe ver tu cubo:

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

ICOSAEDRO ESTRELLADO Realiza los si guientes dobleces en el módulo s anterior:

onobe que aprendiste en la parte

Necesitas 30 de éstos para construir el icosaedro estrellado. A continuación se indica cómo ensamblarlos. Observa que se tienes que ir uniendo cinco módulos para que el cuerpo se cierre correctamente.

Así se ensamblan los módulos

Así se verá tu cuerpo

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

Cubo e icosadro estrellado en origami. Variaciรณn del mรณdulo sonobe Proyecto Materiales

Aula Taller Explora de Matemรกticas Papel, lรกpiz y tijeras

A continuaciรณn t e presenta mos una variaciรณn del mรณdulo sonobe , con el cual podrรกs construir un cubo, un octaedro estrellado o un icosaedro estrellado, utilizando 6, 12 รณ 30 mรณdulos respectivamente.

CUBO Realiza los dobleces que se muestran a continuaciรณn:

1

2

3

6 4

5

8

9

7

Docente: Yoser Percy Muรฑoz Alarcรณn

10

11

Ensambla los módulos así:

Ten presente que a me dida que ensambles los módulos debes buscar la forma del cubo, es decir, no pueden quedar planos como muestra la figura anterior.

Así se debe ver tu cubo:

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

ICOSAEDRO Y OCTAEDRO ESTRELLADOS Realiza los siguientes dobleces en el módulo que aprendiste anterior:

a hacer en la parte

La gráfica que se muestra a continuación t e indica cómo ensambl ar los módulos para obtener el icosaedro e strellado. Observa que debes ir uniendo cada cinco módulos para que el cuerpo se cierre correctamente . P ara construir un o ctaedro, debes hacer uniones cada cuatro módulos.

Así se ensamblan los módulos

Así se verá tu cuerpo

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

Tetraedro, octaedro e icosaedro en origami. Módulo triangular de arista Proyecto Materiales

Aula Taller Explora de Matemáticas Papel, lápiz y tijeras

Construyamos el tetraedro en origami El módulo que utilizaremos fue desarrollado por Lewis Simon y Benett llamado módulo triangular de arista (Gurkewitz y Arnstein, 1995:53).

Arnstein, y es

Para la construcción de este poliedro debes disponer d e un rectángulo por cada arista; sus dimensiones deben corresponder con las mostradas a continuación.

¿Cuántos rectángulos necesitas?_______________________________.

Ahora con mucho cuidado sigue los siguientes pasos, marcando muy bien cada quiebre para que las aristas de tu tetraedro queden perfectamente definidas:

2 1

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

3

4

6

5

9

Repetir los pasos del 6 al 8

8

7

10 11

12

Coordinación: Centro de Ciencia y Tecnología de Antioquia - Orientación académica: Grupo Ábaco, Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

Ya tienes en tus manos tu primer módulo, has lo mismo con los otros cinco rectángulos para que los ensambles y puedas obtener tu tetraedro . C ada módulo posee dos alas y un bolsillo largo en el que entr an las alas de otros dos módulos, uno en una dirección y el otro en la dirección contraria como lo indican las flechas a continuación:

Para mayor facilidad al ensamblar, debes primero formar una cara que deberá verse como esta:

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

28

Al final el tetraedro deberá verse así:

OCTAEDRO E ICOSAEDRO Utilizando el módulo anterior podrás construir un Tetraedro y un icosaedro . Para ello necesitarás de un módulo por cada arista en cada caso, entonces, ¿c uántos módulos necesitas para hacer el Octaedro?: ____________________, y ¿cuántos para el Icosaedro?: ____________________.

Ten en cuenta que para formar un vértic e del octaedro debes ensamblar cuatro módulos y para formar un vértice del Icosaedro , cinco. Los cuerpos deberán verse como estos:

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

Dodecaedro en origami Proyecto Materiales

Aula Taller Explora de Matemáticas Papel, lápiz y tijeras

Construyamos el dodecaedro en origami Para la construcción de este cuerpo debes disponer de un cuadrado en papel por cada arista del Dodecaedro, puedes cortarlos de cualquier tamaño, pero todos exactamente iguales. ¿Cuántos cuadrados necesitas?_________________________.

Guíate por los pasos que se muestran a continuación:

3 1

4

2

5

6

Así quedará tu módulo

Ahora ya tienes en las manos tu primer módulo. Construye otros 29 iguales a éste.

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

¿Cómo ensamblar los módulos?

El dodecaedro tiene 20 v értices, en cada uno de ellos deben ensamblarse tres módulos introduciendo las “alas” en los bolsillos de los otros módulos, así:

Al final tu dodecaedro quedará así:

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

CONSTRUCCIÓN DEL DODECAEDRO

1 2

3 tener un papel cuadrado de la medida que tú desees y doblarlo por el centro

4 Formar un triángulo en una de las esquinas como se indica

se necesitan 30 módulos para armar el dodecaedro de preferencia 10 de cada color

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

6

Se pliega con papel de impresora A4 o A5 (la mitad) o A6 (un cuarto).

Plegar y desplegar las dos medianas

Hacer una marca en el centro de un cuadrante y plegar hasta allí en ángulo de 60º uniendo los puntos. ABRIR

Repetir del otro lado haciendo coincidir las líneas oscuras.

Plegar otro ángulo haciendo coincidir los puntos.

Tenemos así otro ángulo de 60º.

VOLVER A ABRIR TODO

Repetir del otro lado del mismo modo.

Ya tenemos definidos 6 triángulos equiláteros.

Plegar dos esquinas opuestas haciendo coincidir borde con pliegue.

EN ESTE PUNTO SE DEFINE LA SIMETRÍA DEL MÓDULO. Volver a plegar envolviendo como se ve.

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

7

Volver a plegar en forma envolvente.

NO SUPERPONER LOS BORDES QUE SERÁN LOS BOLSILLOS

DAR VUELTA. Plegar y esconder las puntitas que quedaron.

Para el tetraedro se necesitan dos módulos de simetría en espejo –uno derecho y uno izquierdo.

La simetría se define en el paso 10, cambiando las esquinas.

1. La flecha indica el bolsillo - 2. Introducir la punta del segundo módulo en el bolsillo 3. Dar forma al módulo verde y trabar el último lado del módulo azul para cerrar.

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

8

4 módulos, dos de cada paridad o simetría, plegados como los del tetraedro.

Unirlos de a pares introduciendo las puntas en los bolsillos como indican las flechas.

Oponer las dos mitades para cerrarlo.

Introducir las puntas en los bolsillos opuestos.

Ir cerrando sólo a medias para poder guardar las 4 puntas en los correspondientes bolsillos.

El octaedro cerrado. Si se desea que quede más ajustado, anclar los módulos con un punto de cola.

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

Se necesitan 10 módulos, 5 de cada paridad.

Las dos mitades listas para completar el armado. Hay que oponerlar e ir pegando las puntas dentro de los bolsillos.

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

Armar un vértice con 5 módulos de la misma paridad. Hay que pegarlos para que resulte bien. Vista interna y externa.

A pesar que el dodecaedro tiene 12 caras, la forma más sencilla de construirlo es con 30 módulos. También se pliegan con papel A4 o A5 (la mitad) o A6 (un cuarto).

1. Plegar la mediana larga y abrir. Plegar los dos bordes al centro. DAR VUELTA.

2. Plegar y desplegar por la mitad.

3. Plegar uniendo los puntos. DAR VUELTA Bolsillo

Módulo terminado ( x 30) Bolsillo

MONTAJE

Asi se unen dos módulos.

Agregar el tercero y continuar hasta cerrar la primera cara con 5 módulos.

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

En la siguiente vuelta comienza a cerrarse el dodecaedro al insertar el 6to módulo.

Se necesitan 30 módulos porque el dodecaedro tiene 30 aristas, y ese es el lugar que ocupan estos módulos.

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

CONSTRUCCIÓN DEL CUBO(HEXAEDRO)

El cubo es una de las figuras más accesibles y hay un gran número de módulos que permiten su construcción. Hemos elegido el Sonobe5, por ser uno de los más utilizados, y porque permite la construcción de poliedros estrellados muy vistosos.

Se trata, sin duda de uno de los módulos más versátiles, por la cantidad de figuras que se construyen ensamblando este modulo.

A continuación se presenta el diagrama básico:

El ensamblaje de 6 de estos módulos permite la construcción de un cubo.

6. TETRAEDRO, OCTAEDRO E ICOSAEDRO

Se construyen los tres a partir del mismo módulo, creación de Helena Verrill, profesora de matemáticas en la Louisiana State University6, y denominado módulo triangular.

5

Es uno de los pocos módulos que se conocen con el nombre de su creador, el japonés H. Sonobe.

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

El punto de partida es un papel en

Doblamos por las mitades y

formato A6

desdoblamos

Calculamos el punto medio

Pivotando en el punto medio superior se pliega la esquina hasta el punto medio calculado en el paso anterior.

Desdoblamos, el pliegue servirá de

Volviendo a pivotar en el punto medio

referencia en el paso siguiente

superior

Va A partir de ahora hay que repetir los pasos anteriores pivotando sobre el apareciendo un triángulo equilátero punto medio inferior. Obsérvese la Desdoblamos

una

vez

más.

simetría de la figura.

6

Puede obtenerse una colección extensísima de diagramas y desarrollos matemáticos en https://www.math.lsu.edu/~verrill/origami.

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

Hemos

obtenido

3+3

triángulos

Doblamos como se indica

equiláteros

Un paso más

El resultado del módulo levógiro

Con los dobleces que se indican se consigue un módulo que es la imagen especular del anterior, es el módulo dextrógiro.

Obsérvese cómo se ensamblan dos módulos dextrógiro y levógiro.

Aquí resulta interesante trabajar el concepto de simetría respecto a un eje, o la obtención de una figura que es la imagen especular de otra dada, ya que el módulo levógiro y el dextrógiro cumplen esta propiedad y la manipulación de objetos en tres dimensiones ayuda a su interiorización.

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

DODECAEDRO

Se construye a partir de un módulo absolutamente simple:

El punto de partida es una hoja de proporciones 3X4

Se pliegan las esquinas, únicamente para calcular los puntos del plegado central

Plegamos en valle el pliegue central y el montaña los laterales

Este es el resultado. Se necesitan 30 módulos idénticos

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón

8. A MODO DE CONCLUSIÓN

La utilización de la papiroflexia como recurso educativo puede constituir un instrumento potente de motivación del alumno. Especialmente las competencias relacionadas con la geometría, la visión espacial y las propiedades del plano y del espacio, pueden trabajarse usando recursos de papel lo que no deja de ser, al menos, una opción original y creativa.

La simplicidad de los materiales empleados, contrasta fuertemente con la sofisticación de los figuras obtenidas, y hace que los alumnos aprecien la potencia y la belleza de la técnica empleada.

La construcción modular permite el desarrollo de nuevas figuras, partiendo de otras conocidas, de manera que el alumno puede investigar por sí mismo el diseño de sus propios cuerpos, quedando de esta manera abierto el tema de estudio.

Una línea de investigación que nos parece fructífera es la conexión de los módulos con las estructuras arquitectónicas, especialmente cúpulas, lo que permite relacionar las matemáticas con el arte y otras ciencias.

9. BIBLIOGRAFIA

BASCETTA, P.(1998) Origami: Geometria con la carta (I). Quadrato magico, 52 . Disponible en http://www.origami-cdo.it/articoli/artgeo.htm.

BRILL,D.(2001) Brilliant origami. Tokyo:Japan Publications.

DE LA PEÑA HERNÁNDEZ,J.(2001) Matemáticas y papiroflexia. Madrid: Asociación Española de Papiroflexia.

DRAY, E., MAMINO S. (2010),Origami Disponible en http://digilander.libero.it/modulandia/modelli_dod.htm.

Docente: Yoser Percy Muñoz Alarcón