Propagación y Tratamiento de señales

TEMA I.

PROPAGACION Y TRATAMIENTO DE SEÑALES

PROPAGACIÓN DE ONDAS De acuerdo a nuestra concepción actual de la materia, la carga eléctrica es una propiedad que nace de la estructura misma de la materia, de su estructura atómica.

Esta idea consiste que la materia esta compuesta por átomos, los cuales están formados por la misma cantidad de cargas eléctricas positivas y negativas) además de partículas eléctricamente neutras)

En 1785, Coulomb estableció la ley fundamental de la fuerza eléctrica entre dos partículas cargadas tomando en cuenta las siguientes propiedades:

•

La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la separación, r, entre las dos partículas y esta dirigida a lo largo de la línea que una a las partículas.

•

La fuerza es proporcional al producto de las cargas q1 y q2 sobre las dos partículas

•

La fuerza es atractiva si las cargas son de signo opuesto y repulsiva si las cargas tienen el mismo signo.

A partir de estas propiedades Coulomb lo expresa de la siguiente forma:

Donde K es la constante de Coulomb , y esta en unidades de SI.

También se describe como:

Donde

es la permitividad del espacio libre cuyo valor es:

La magnitud de un electro o un protón es:

LEY DE COULOMB La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Ejemplo: Una fuerza de 10N con una carga de 8nC se encuentra en el aire a 20cm de otra carga. ¿De cuanto será la carga dos (q2)?.

DATOS:

FORMULA:

F= 10N q1=8nC r=20cm

SOLUCION:

CAMPO ELECTRICO El campo eléctrico asociado a una carga aislado a un conjunto de cargas es aquella región del espacio en donde se dejan sentir sus efectos. Así, si en un punto cualquiera del espacio en donde esta definido un campo eléctrico se coloca una carga de prueba o carga testigo, se observara la aparición de fuerzas eléctricas, es decir, de atracciones o de repulsiones sobre ella.

La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del capo se ejerce sobre la carga unidad positiva tomada como elemento de comparación recibe el nombre de intensidad del campo eléctrico y se representa por la letra E. Por tratarse de una

fuerza de la intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su modulo E y por su dirección y sentido. En lo que sigue se consideran por separado ambos aspectos del E.

La expresión del módulo de la intensidad de campo E puede obtenerse fácilmente para el caso sencillo del campo eléctrico creado por una carga puntual Q sin mas que combinar la ley de Coulomb con la definición de E. La fuerza que Q ejercería sobre una carga unida positiva 1

en un punto genérico P distante r de la carga central Q

viene dada, de acuerdo con la ley de Coulomb por:

Esta será también su expresión matemática:

Puesto que se trata de una fuerza electrostática estará aplicada en P, dirigida a lo largo de la recta que une la carga central Q y el punto genérico P, en donde se sitúa la carga unidad y su sentido o repulsivo según Q sea negativa respectivamente.

Si la carga testigo es distinta de la unidad, es posible no obstante determinar el valor de la fuerza por unidad de carga en la forma:

Ejemplo: Determinar la intensidad de campo eléctrico Q = 2mC en un punto P situado a una distancia de 0,4 m. ¿Cuál sería la fuerza eléctrica que se ejercería sobre otra carga C si se la situara en P?

DATOS Q=2mC

FORMULA:

q = 3 10-9

r=0.4m

SOLUCION:

POTENCIAL ELECTRICO

Cuando existe una distribución de carga en un volumen finito con una densidad de carga conocida entonces puede determinarse el potencial en un punto externo, esto porque la definición de potencial involucra el campo eléctrico.

Si analizamos el potencial originado por cada diferencial de carga se tiene:

Si analizamos el potencial originado por cada diferencial de carga tendremos:

El potencial se define como el trabajo realizado para trasladar un objeto de un punto a otro. En particular, para el caso eléctrico, definimos el potencial eléctrico del punto A al punto B, como el trabajo realizado para trasladar una carga positiva unitaria q de un punto a otro, desde B hasta A.

Las unidades para el potencial eléctrico en el S.I. son (Joules/Coulombs o Volts). Nótese además que el trabajo que hemos sustituido en la ecuación proviene de la construcción de trabajo eléctrico. Si consideramos que hemos construido la noción de potencial eléctrico en base a la construcción de un campo conservativo, esto del hecho de suponer una fuerza que tienda a

contrarrestar la fuerza del campo para mantener la partícula cargada en equilibrio estático. Por lo tanto el potencial eléctrico se expresa por: V=

T q

Ejemplo: Para transportar una carga de 5µC desde el suelo hasta la superficie de una esfera cargada se realiza un trabajo de 60x10-6 J. ¿Cuál es el valor del potencial eléctrico de la esfera?.

V=

Datos:

60 ×10 −6 J = 12V 5 ×10−6 C

q = 5×10-6 C T = 60 ×10-6 J V=?

MAGNETISMO

El fenómeno del magnetismo se conoce desde hace miles de años. Las manifestaciones conocidas más antiguamente son las que corresponden, primero, a los imanes, que se encuentran naturalmente en la forma de algunos depósitos minerales, como la magnetita. Posteriormente, probablemente los chinos, descubrieron el magnetismo terrestre, produciendo como resultado tecnológico la invención de la brújula, y su posterior aplicación a la navegación marítima. El estudio sistemático de los fenómenos magnéticos comenzó hace algunos siglos, y encontrándose a Gauss entre los investigadores que realizaron contribuciones de importancia. En el siglo pasado, Oersted (cerca de 1820) descubrió que las corrientes eléctricas dan origen a efectos magnéticos, en particular, la corriente eléctrica que circula por un conductor produce un efecto que es completamente equivalente al que produce un imán, siendo capaz de atraer objetos de fierro, deflectar una brújula, etc..

El magnetismo es un fenómeno físico por el cual algunos materiales ejercen fuerzas de atracción o repulsión sobre otros materiales. Las fuerzas magnéticas son producidas por el movimiento de partículas cargadas, como por ejemplo electrones, lo que indica la estrecha relación entre la electricidad y el magnetismo.

Una barra imantada o un cable que transporta corriente pueden influir en otros materiales magnéticos sin tocarlos físicamente porque los objetos magnéticos producen un ‘campo magnético’. Los campos magnéticos suelen representarse mediante ‘líneas de campo magnético’ o ‘líneas de fuerza’.

Fig.- Líneas de Fuerza del Campo Magnético

En cualquier punto, la dirección del campo magnético es igual a la dirección de las líneas de fuerza, y la intensidad del campo es inversamente proporcional al espacio entre las líneas.

Faraday consideró útil imaginar que de un imán salen líneas de fuerza magnética, una sola línea de fuerza equivale a la unidad del flujo magnético φB, en el S.I. su unidad de medición es el Weber, con la siguiente equivalencia: 1 Weber = 1x108 Maxwell La Densidad del flujo magnético o inducción magnética B es una región de un campo magnético que equivale al número de líneas de fuerza que atraviesan perpendicularmente a la unidad de área, por lo tanto:

B=

φB A

La unidad de la densidad del flujo magnético es el Tesla (T).

La intensidad del campo magnético H, para un medio determinado, es el cociente que resulta de la densidad de flujo magnético B entre la permeabilidad magnética del medio: H =

B µ

Se denomina permeabilidad magnética a la capacidad de una sustancia o medio para atraer y hacer pasar a través de él, los campos magnéticos. En la ecuación anterior la

permeabilidad del medio toma el valor de la permeabilidad en el vació µ 0 con un valor µ = 4π x 10-7Wb/Am.

μ = μrμ0 La permitividad eléctrica y la constante magnética del vacío están relacionadas por la fórmula:

Donde c representa velocidad de la luz en el espacio vacío.

RELUCTANCIA Y MATERIALES MAGNÉTICOS A continuación definiremos el concepto de reluctancia y los tipos de materiales magnéticos. a) RELUCTANCIA: Es la resistencia magnética que en un circuito atravesado por un flujo magnético de inducción, es igual al cociente que resulta de dividir la fuerza magnetomotriz entre la densidad del flujo magnético. b) FERROMAGNETICOS: Cuando las líneas del flujo magnético pasan con mucha facilidad por el cuerpo que en el vacío, por ejemplo, el fierro, cobalto y níquel. c) PARAMAGNETICOS: En el las líneas de flujo magnético atraviesan con más libertad por el cuerpo que por el vacío, por ejemplo, el aluminio, litio y platino. d) DIAMAGNÉTICOS: Cuando las líneas del flujo magnético tienen mayor circulación en el vacío que por el cuerpo, como sucede con el cobre, oro, mercurio y plata.

ELECTROMAGNETISMO Electromagnetismo es la parte de la física que estudia la interacción entre los campos eléctrico y magnético y sus interacciones con la materia.

El electromagnetismo estudia conjuntamente los fenómenos físicos en los cuales intervienen cargas eléctricas en reposo y en movimiento, así como los relativos a los campos magnéticos y a sus efectos sobre diversas sustancias.

Fig. 2.- Fluido ferroso que se agrupa cerca de los polos de un magneto.

El electromagnetismo, por lo tanto estudia los fenómenos eléctricos y magnéticos que se unen en una sola teoría, que se resumen en cuatro ecuaciones vectoriales que relacionan campos eléctricos y magnéticos conocidas como las Ecuaciones de Maxwell.

Gracias a la invención de la pila se pudieron efectuar los estudios de los efectos magnéticos que se originan por el paso de corriente eléctrica a través de un conductor.

Históricamente, el magnetismo y la electricidad habían sido tratados como fenómenos distintos y eran estudiados por ciencias diferentes.

Sin embargo, los descubrimientos de Oersted, que en 1819, observó que la aguja de una brújula tomaba una posición perpendicular al pasar corriente a través de un conductor próximo a ella.

Así mismo los estudios de Faraday en el mismo campo, sugerían que la electricidad y el magnetismo eran manifestaciones de un mismo fenómeno.

La idea anterior fue propuesta y materializada por el físico escocés James Clerk Maxwell (1831-1879), quien luego de estudiar los fenómenos eléctricos y magnéticos concluyó que son producto de una misma interacción, denominada interacción electromagnética, lo que le llevó a formular, alrededor del año 1850, las ecuaciones antes citadas, que llevan su nombre, en las que se describe el comportamiento del campo electromagnético. Estas ecuaciones dicen esencialmente que:

• • • •

Existen portadores de cargas eléctricas, y las líneas del campo eléctrico parten desde las cargas positivas y terminan en las cargas negativas.

No existen portadores de carga magnética; por lo tanto, el número de líneas del campo magnético que salen desde un volumen dado, debe ser igual al número de líneas que entran a dicho volumen.

Un imán en movimiento, o, dicho de otra forma, un campo magnético variable, genera una corriente eléctrica llamada corriente inducida. cargas eléctricas en movimiento generan campos magnéticos.

En el electromagnetismo podemos determinar el valor de la inducción magnética con respecto a una corriente por la ecuación: B=

µI 2πd

Donde: B = Inducción magnético en un punto determinado, pero perpendicular al conductor, se mide en teslas T. µ = Permeabilidad del medio que rodea al conductor, se expresa en Tm/A. I = Intensidad de la corriente que circula por el conductor, su unidad es el ampere. d = Distancia perpendicular entre el conductor y el punto considerado, se mide en metros.

En el caso de que se presente una corriente que circula a través de un solenoide o bobina con determinado número de vueltas, diámetro de vueltas y calibre del conductor.

B=

µI 2r

Donde r es el radio de la bobina o solenoide.

B=

NµI L

Donde, N es el número de vueltas de las espiras y L es la longitud medida en metros m.

B=

NµI 2r

A continuación se nombran algunos conceptos fundamentales para el movimiento de ondas electromagnéticas:

FRECUENCIA:(f) Si se pudiera contar cuantos ciclos de esta señal de voltaje suceden en un segundo tendríamos: la frecuencia de esta señal, con unidad de ciclos / segundo, que es lo mismo que Hertz o Hertzios.

PERIODO:(T) El tiempo necesario para que un ciclo de la señal anterior se produzca, se llama período (T) y tiene la fórmula:

, o sea el período (T) es el inverso de la frecuencia. (f).

VOLTAJE PICO-PICO:(Vpp) Analizando el gráfico se ve que hay un voltaje máximo y un voltaje mínimo. La diferencia entre estos dos voltajes es el llamado voltaje pico-pico (Vpp) y es igual al doble del Voltaje Pico (Vp).

VOLTAJE RMS.(Vrms): Se puede obtener el voltaje equivalente en corriente continua (Vrms) de este voltaje alterno con ayuda de la fórmula.

Este valor de voltaje es el que obtenemos cuando utilizamos un voltímetro.

ECUACIONES DE MAXWELL

A mediados del siglo XIX ya se tenía conocimiento que había alguna relación fundamental entre la electricidad y el magnetismo: Una carga eléctrica en movimiento puede producir una fuerza magnética que desviará la aguja de una brújula cercana, y un imán en movimiento puede producir una corriente eléctrica en un cable cercano. Pero, aunque electricidad y magnetismo eran evidentemente dos caras de la misma moneda, nadie sabía exactamente cuál era esa moneda.

En realidad, la gran contribución de Maxwell está en unir las fuerzas eléctrica y magnética en una única teoría, mostrando que estas dos fuerzas diferentes eran en realidad sólo dos caras distintas de la misma moneda. Maxwell, en particular, amplió los resultados anteriores para

sostener de modo muy general que todo campo eléctrico cambiante crea un campo magnético y que, a su vez, todo campo magnético cambiante crea un campo eléctrico.

Así, por ejemplo, si uno mide una carga eléctrica en reposo, mide también un campo eléctrico.

Si uno avanza más allá de la misma carga, también medirá un campo magnético. Lo que se vea depende del estado de movimiento en que se esté.

Las ecuaciones de Maxwell son las siguientes y conducen a la propagación de la energía en la forma de ondas electromagnéticas: Forma Integral Ley de Faraday-Lenz Ley de Ampere

1er Ley de Gauss 2a Ley de Gauss Tabla 2 Donde: E = Intensidad de campo eléctrico V/m

ΨE = Flujo Eléctrico en Coulombs D = Densidad de flujo eléctrico C/m2 H = Intensidad de campo magnético A/m B = Densidad de flujo magnético Wb/m2 o T

Ψm = Flujo Magnético Wb JT = Densidad de corriente total A/m2 Jc = Densidad de corriente de conducción A/m2 Jd = Densidad de corriente de desplazamiento A/m2

Forma de Producto

ρv = Densidad del volumen de carga C/m3

Todas las variables son vectores dependientes de x,y,z,t, por ejemplo E(x,y,z,t).

A pesar de que él no descubrió estas ecuaciones, el conjunto de ellas lleva su nombre porque fue él quien compiló los resultados obtenidos por Ampere, Faraday, Gauss, Coulomb y otros, e hizo importantes adiciones a la ley de Ampere (el concepto de desplazamiento de corriente).

LEY DE FARADAY Sabemos que una corriente estable produce un campo magnético, en 1831 Michael Faraday demostró que un campo magnético variante en el tiempo puede producir una corriente eléctrica.

Quizás es más exacto decir que lo que Faraday descubrió fue que cuando se altera el flujo magnético que pasa por un circuito cerrado, entonces se induce un voltaje o fuerza electromotriz (fem), la cual podría producir una corriente en este circuito.

Otra forma de expresar la Ley de Faraday es: "La energía se puede transferir de un circuito a otro, no conectado con el primero, a través de un flujo magnético de enlace; entonces se dice que los dos circuitos están magnéticamente acoplados". La base de esta acción magnética es la Ley de Faraday de inducción electromagnética, ecuación 1.1.

a)

b)

Fig. 3.- Ilustración de la relación entre B y la corriente inducida.

La ley de Faraday se puede escribir de la siguiente manera: o Volts Ecuación 1.1

Donde Ψm es el flujo magnético (en Webers) que pasa a través de cualquier superficie S limitada por el circuito (ruta cerrada C). El flujo que produce la corriente resultante (o inducida) se opone a los cambios en el flujo original. La última oración es un enunciado de la Ley de Lenz y es la que da el signo menos a la ecuación de la fem, ecuación 1.1.

Es decir, que se induce un voltaje en un circuito cerrado cuando cambia el flujo magnético de enlace con este circuito; la fuerza electromotriz (fem) siempre existe en una dirección tal que se opone al cambio de flujo.

La fuerza electromotriz es un voltaje debido a alguna forma de energía distinta a la energía eléctrica y se define como:

Ecuación 1.2 Si el flujo se puede encontrar integrando la componente normal de la densidad de flujo, sobre la superficie que nos interesa, entonces:

Ecuación 1.3 Combinando estas tres ecuaciones (1.1, 1.2 y 1.3) obtenemos:

Ecuación 1.4

El teorema de Stokes nos dice que:

Ecuación 1.5

Aplicando el teorema de Stokes al lado izquierdo de la ecuación 1.4 obtenemos

Ecuación 1.6

Donde S1 y S2 son cualquier superficie abierta limitada por la ruta cerrada de la ecuación 1.2 Nótese que s1 y s2 no son necesariamente la misma superficie, pero sus límites sí.

Si la ruta cerrada es fija o estacionaria, entonces S1 y S2 no son dependientes del tiempo. Si así ocurre, entonces podemos derivar a B dentro de la integral, parcialmente en el tiempo:

.

Entonces:

Ecuación 1.7 La ecuación anterior es válida sin importar S1, ni S2, ni sus respectivos límites; por lo tanto, si S1 y S2 son idénticos, entonces la igualdad de la ecuación 1.6 se cumple sólo si los integrandos son iguales.

Por lo tanto:

Ecuación 1.8 Y se deduce que E es no conservativo ( ecuaciones de Maxwell.

). Esta es la forma diferencial de una de las

La forma integral se obtiene de la ecuación 1.4, con la S fija (

). Entonces:

Ecuación 1.9 La primer ecuación de Maxwell (ley de Faraday) para el caso electrostático (∂ /∂ t = 0), en sus dos versiones, Forma integral y forma de producto punto. Se obtienen inmediatamente: Ecuación 1.10

Ecuación 1.11 En este punto vale la pena indicar claramente las propiedades del espacio libre y las de un dieléctrico perfecto:

Tabla 3

También es importante recordar que en los materiales NO ferromagnéticos µr=1 y µ = µo. Y en los materiales ferromagnéticos µr>1 y µ ≠ µo.

LEYES DE GAUSS La ley de Gauss establece que "El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total que está dentro de la superficie".

La importancia de la contribución de Gauss no radica en establecer la ley, sino en darle una expresión matemática.

Si imaginamos una distribución de carga, mostrada como una nube de cargas puntuales, en la figura 1.2, rodeada por una superficie cerrada de cualquier forma. La superficie cerrada podría ser la superficie de algún material real, pero más generalmente podría ser cualquier superficie cerrada que deseemos visualizar. Si la carga total es Q, entonces pasarán Q Coulombs de flujo eléctrico por el interior de la superficie. En cada punto de la superficie el vector de densidad de flujo eléctrico D tendrá un valor Ds, donde el subíndice s nos recuerda que D debe evaluarse en la superficie, y Ds en general va a variar en magnitud y dirección de un punto a otro de la superficie.

Ahora vamos a considerar un elemento incremental ∆S de la superficie, el cual es tan pequeño que puede considerarse una porción plana de la superficie, la completa descripción de ∆S requiere no sólo su magnitud, sino también su dirección, es decir, su orientación en el espacio .

En otras palabras ∆S es una cantidad vectorial. La única dirección que se le puede asociar a ∆S es la dirección de la normal al plano que es tangente a la superficie en el punto en cuestión.

Existen dos normales que podrían asociarse a ∆S, se selecciona la que "salga" de la superficie cerrada.

Fig. 4.- Ilustración de la obtención de la ley de Gauss para campos eléctricos.

Consideremos un elemento ∆S en cualquier punto P y sea θ el ángulo que forman Ds con ∆S, como se muestra en la figura 1.1. Entonces, el flujo que pasa a través de ∆S es el producto de la componente normal de Ds y de ∆S,

∆ψ = flujo a través de ∆S = (Ds, normal)(∆ s) = (DsCosθ)( ∆S) Ecuación 1.12 Si aplicamos la definición de producto punto: A.B = |A||B|CosθAB.

Entonces:

∆ψ = Ds.∆S Ecuación 1.13 El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada se obtiene sumando todas las contribuciones diferenciales de flujo que pasan a través de ∆S

Ecuación 1.14 En el límite, cuando el incremental de superficie (infinitesimal) ΔS tiende a cero, la doble sumatoria se convierte en una doble integral:

Ecuación 1.15

La integral resultante es una integral de superficie cerrada y puesto que ds siempre involucra las diferenciales de dos coordenadas, entonces la integral es una doble integral, se utiliza una S abajo del signo de la integral para indicar que es una integral de superficie. Una última convención es poner un pequeño círculo en el signo de la integral para indicar que la integral se va a hacer sobre una superficie cerrada. Entonces la formulación matemática de la ley de Gauss es:

Ecuación 1.16 Ahora, la carga contenida podrían ser varias cargas puntuales: Ecuación 1.17 O una carga lineal (que tiende de n a infinito).

Ecuación 1.18 O una carga de superficie Ecuación 1.19 O una carga de volumen

Ecuación 1.20 La última forma es la más usada y debemos estar de acuerdo en que es una generalización de las tres anteriores. La ley de Gauss se puede escribir como:

Ecuación 1.21 Una expresión matemática que simplemente quiere decir que "El flujo eléctrico total que puede pasar a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga contenida por esa superficie" .

Esta es la primera ley de Gauss y la tercer ecuación de Maxwell.

Hemos obtenido la tercera ecuación de Maxwell en su forma integral, para su forma en producto punto aplicamos el teorema de la Divergencia a la parte izquierda de 1.21: El teorema de la divergencia nos dice que:

Ecuación 1.22

donde V es el volumen contenido o limitado por la superficie S. Aplicando el teorema de la divergencia al lado izquierdo de la ecuación 1.21:

Ecuación 1.23

Como los volúmenes en 1.23 son los mismos, entonces la igualdad se cumple sólo si los integrados son iguales, así tenemos la forma puntual de la tercera ecuación de Maxwell:

Ecuación 1.24 Para demostrar la segunda ley de Gauss (Llamada también Ley de Gauss para Campos Magnéticos) o Tercer ecuación de Maxwell definimos el vector de densidad de flujo magnético B como: Ecuación 1.25 Donde: a) B se mide en Weber/m2 o en el SIU en Teslas (T), también se puede utilizar el Gauss (G) donde 1 Wb/m2 = 10E3 G.

b) µο, la permeabilidad en el espacio libre, es: µο=4π x 10-7 H/m y H es equivalente a A/m. µ es la inductancia por unidad de longitud de una línea de transmisión inmersa en el medio al cual representa.

Haciendo una analogía entre B y D podemos definir a ψ m como el flujo magnético que pasa por una superficie S (a la cual se le agregó el subíndice m para indicar que es la densidad de flujo magnético y diferenciarlo de el flujo eléctrico ψ E ó ψ) de (1.16) tenemos:

Ecuación 1.26

En (1.16) el flujo eléctrico ψ ó ψ E es igual a Q la carga encerrada por S:

Ecuación 1.27 La carga Q es la fuente de las líneas de flujo eléctrico y estas líneas empiezan en cargas positivas y terminan en cargas negativas.

Para las líneas de flujo magnético no se ha descubierto una fuente análoga a Q. Las líneas de flujo magnético son cerradas y no terminan en una "carga magnética”. Por esta razón la ley de Gauss para campos magnéticos es:

Ecuación 1.28a Como en 1.16, se aplica a 1.28 el teorema de la divergencia y se obtiene la forma puntual de la Segunda Ley de Gauss ó Ley de Gauss para Campos Magnéticos o Cuarta Ecuación de Maxwell:

∇ .B = 0 Ecuación 1.28b No se ha probado (1.16) ni (1.28), pero se ha sugerido su validez. Y hay que hacer notar que la densidad de flujo magnético B es solenoidal ya que no tiene fuente.

Las siguientes relaciones son importantes:

D = ε E Ecuación 1.29 B = µ H Ecuación 1.30 Jc = σ E Ecuación 1.31. Densidad de corriente de conducción.

La permeabilidad total de un medio se compone de la permeabilidad relativa del medio, µr, (la cual carece de unidades) y la permeabilidad del espacio libre, µo de manera similar se comporta la permitividad total de un medio, la cual se compone de la permitividad relativa del medio, εr, (la cual carece de unidades) y la permitividad del espacio libre, εo, ver ecuaciones 23.1:

ε = εr εo Ecuación 1.32a µ = µr µo Ecuación 1.32b Donde: εo = (1/36π)×10-9 F/m Y µo = 4π×10-7 H/m.

LEY DE AMPERE Y CORRIENTE DE DEZPLAZAMIENTO La ley de Ampere (o quizás sea más correcto decir la ley circuital de Ampere) simplemente establece que la integral de línea de H alrededor de cualquier ruta cerrada (o la circulación de H) es igual a la corriente encerrada por esa ruta. La ruta es completamente arbitraria. La dirección de la corriente se encuentra aplicando la regla de la mano derecha, la ley en su expresión matemática es:

Ecuación 1.33 Esta expresión se puede derivar directamente de la ley de Biot-Savart, es una demostración larga y tediosa, vamos a aceptar (1.33) como definición para obtener la segunda ecuación de Maxwell en su forma puntual.

Si se aplica el teorema de Stokes al lado izquierdo de 1.33:

Ecuación 1.34 Donde la superficie abierta S, está rodeada por el contorno C.

Ecuación 1.35 Donde S1 es cualquiera de las posibles superficies abiertas definidas por la ruta de integración C, usada para la integral de línea. Si substituimos la parte central de (1.35) en el lado izquierdo de (1.33) obtenemos:

Ecuación 1.36 Puesto que la ley de Ampere establece que S1 y S2 son arbitrarias, podemos entonces hacerlas idénticas, pero aún arbitrarias.

En este caso tenemos:

Ecuación 1.37 Si S es arbitraria, los límites de integración pueden ser idénticos y en este caso la igualdad se cumple sólo si los integrandos son iguales. Es decir, para que la igualdad se siga cumpliendo es suficiente con que los integrandos sean iguales y por loa tanto se puede prescindir la operación matemática (integral de superficie)

Ecuación 1.38 La cual es un caso particular de la segunda ecuación de Maxwell. Si se intenta obtener la fuente de este campo vectorial, aplicado el divergente a (1.38):

∇.(∇XΗ) = 0 = ∇.Jc Ecuación 1.39 es cero ya que el divergente del rotacional de cualquier vector es cero. La ecuación 1.39 no es correcta para el caso general, sólo es correcta para el caso estático o para frecuencias muy bajas, ya que de la Ley de Conservación de la Carga para el caso variante en el tiempo tenemos que:

Ecuación 1.40 Por lo tanto para que (1.38) cumpla con el caso general hay que agregarle:

Ecuación 1.41

De la tercera ecuación de Maxwell tenemos que:

Entonces:

Ecuación 1.42 Si D y sus derivadas espaciales y la del tiempo son continúas entonces:

Ecuación 1.43 Substituyendo (1.43) en (1.42) y reordenando tenemos:

Ecuación 1.44

Ecuación 1.45

la cual es la segunda ecuación de Maxwell en su forma de producto punto.

El término agregado, , fue la principal contribución de Maxwell y debido a esta contribución se asocia su nombre con el conjunto de ecuaciones. Este término es obviamente una densidad de corriente (A/m2), y así lo nombró Maxwell: Densidad de Corriente de Desplazamiento (derivada en el tiempo de la densidad de flujo eléctrico).

A la corriente de desplazamiento de le denomina:

Ecuación 1.46 En la mayoría de las aplicaciones de baja frecuencia, la corriente de desplazamiento es despreciada. Esta es una razón porque su presencia no fue fácil de verificar o detectar, hasta que hubo fuentes de alta frecuencia.

Para obtener la forma integral de la 2a ecuación de Maxwell, hay que integrar ambos lados de (1.45) sobre una superficie abierta fija, haciendo esto tenemos:

Ecuación 1.47 Si aplicamos el teorema de Stokes al lado izquierdo de (1.46) tenemos.

Ecuación 1.48 La cual es la forma integral de (1.45), la segunda ecuación de Maxwell.

Ley de Lorentz:

RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA Y ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO

Las cargas eléctricas estacionarias producen campos eléctricos, las cargas eléctricas en movimiento producen campos eléctricos y magnéticos. Los cambios cíclicos en estos campos producen radiación electromagnética, de esta manera la radiación electromagnética consiste en una oscilación perpendicular de un campo eléctrico y magnético. La radiación electromagnética transporta energía de un punto a otro, esta radiación se mueve a la velocidad de la luz (siendo la luz un tipo de radiación electromagnética).

Fig. 5.- Onda Electromagnética Transversal TEM

Las ondas de radiación electromagnética se componen de crestas y valles (convencionalmente las primeras hacia arriba y las segundas hacia abajo). La distancia entre dos crestas o valles se denomina longitud de onda (λ).

La frecuencia de la onda esta determinada por las veces que ella corta la línea de base en la unidad de tiempo (casi siempre medida en segundos), esta frecuencia es tan importante que las propiedades de la radiación dependen de ella y está dada en Hertz (figura 2). La amplitud de onda está definida por la distancia que separa el pico de la cresta o valle de la línea de base (A). la energía que transporta la onda es proporcional al cuadrado de la amplitud. La unidad de medida para expresar semejantes distancias tan pequeñas es el nanómetro (10 -9 metros).

Figura 6.- Onda de Radiación Electromagnética.

La luz visible, es decir las ondas electromagnéticas para las cuales el ojo humano esta adaptado, se encuentran entre longitudes de onda entre los 400 nm (violeta) y 700 nm (rojo). Como lo predijeron las ecuaciones de Maxwell existen longitudes de onda por encima y por debajo de estos limites.

Estas formas de "luz invisible" se han encontrado y organizado de acuerdo a sus longitudes de onda en el espectro electromagnético.

La luz forma parte del espectro electromagnético (Figura 7), que comprende tipos de ondas tan dispares como los rayos cósmicos, los rayos gamma, los ultravioletas, los infrarrojos y las ondas de radio o televisión entre otros. Cada uno de estos tipos de onda comprende un intervalo definido por una magnitud característica que puede ser la longitud de onda (λ) o la frecuencia (f). Recordemos que la relación entre ambas es:

Donde c es la velocidad de la luz en el vacío (c = 3×10 8 m/s).

Figura 7.- Espectro Electromagnético.

Fig. 9.- Aplicaciones del Espectro Electromagnético.

Tabla 4.- Designación de las bandas de frecuencia de la UIT-R y algunas aplicaciones. a) Luz Visible. Isaac Newton fue el primero en descomponer la luz visible blanca del Sol en sus componentes mediante la utilización de un prisma. La luz blanca está constituida por la combinación de ondas que tienen energías semejantes sin que alguna predomine sobre las otras. La radiación visible va desde 384x10 12 hasta 769x1012 hz. Las frecuencias mas bajas de la luz visible (longitud de onda larga) se perciben como rojas y las de mas alta frecuencia (longitud corta) aparecen violetas. b) Rayos infrarrojos. La radiación infrarroja fue descubierta por el astrónomo William Herschel (1738-1822) en 1800, al medir una zona más caliente mas allá de la zona roja del espectro visible. La radiación infrarroja se localiza en el espectro entre 3x10 11 hz. hasta aproximadamente los 4x1014 Hz. La banda infrarroja se divide en tres secciones de acuerdo a su distancia a la zona visible: próxima (780 - 2500 nm), intermedia (2500 - 50000 nm) y lejana (50000 - 1mm). Toda molécula que tenga un temperatura superior al cero absoluto (273º K) emite rayos infrarrojos y su cantidad esta directamente relacionada con la temperatura del objeto. c) Microondas. La región de las microondas se encuentra entre los 10 9 hasta aproximadamente 3x1011 Hz (con longitud de onda entre 30 cm a 1 mm).

d) Ondas de Radio. Heinrich Hertz (1857-1894), en el año de 1887, consiguió detectar ondas de radio que tenían una longitud del orden de un metro. La región de ondas de radio se extiende desde algunos Hertz hasta 10 9 Hz con longitudes de onda desde muchos kilómetros hasta menos de 30 cm. e) Rayos X. En 1895 Wilhelm Röntgen invento una máquina que producía radiación electromagnética con una longitud de onda menor a 10 nm a los cuales debido a que no conocía su naturaleza las bautizó como X. f) Radiación Ultravioleta. Sus longitudes de onda se extienden entre 10 y 400 nm más cortas que las de la luz visible. g) Rayos Gamma. Se localizan en la parte del espectro que tiene las longitudes de onda mas pequeñas entre 10 y 0.01 nm.

RESUMEN DE ALGUNOS TIPOS DE PROPAGACIÓN

La propagación de ondas se refiere a la propagación de señales electromagnéticas en el espacio libre. Aunque el espacio libre realmente implica en el vacío, con frecuencia la propagación por la atmosfera terrestre se llama propagación por el espacio libre y se puede considerar siempre así. La principal diferencia es que la atmósfera de la tierra introduce perdidas en la señal que no se encuentran en el vacío.

Las ondas electromagnéticas se propagan a través de cualquier material dieléctrico incluyendo el aire, pero no se propagan bien a través de conductores con pérdidas como el agua de mar ya que los campos eléctricos hacen que fluyan corrientes en el material disipando con rapidez la energía de las ondas.

Atendiendo a la forma de propagación de la onda electromagnética pueden clasificarse los tipos de propagación que veremos a lo largo del curso de la siguiente manera:

• Onda de superficie: o Hasta pocos MHz o Atenuaciones bajas o Grandes alcances

o Escaso ancho de banda • Reflexión ionosférica: o Hasta 20-30 MHz o Depende de la hora del día. o Largas distancias • Dispersión troposférica: o Entre 30 MHz y 2 GHz o Reducido ancho de banda o Devanecimientos rápidos • Rayo directo o sky wave: o A partir de 30 MHz o Mayor atenuación y ancho de banda o Necesita visión directa, problema de obstáculos RAYOS Y FRENTES DE ONDA

Alrededor de 1860 el físico danés Huygens propuso un mecanismo simple para trazar la propagación de ondas. Su construcción es aplicable a ondas mecánicas en un medio material.

Un frente de onda es una superficie que pasa por todos los puntos del medio alcanzados por el movimiento ondulatorio en el mismo instante. La perturbación en todos esos puntos tiene la misma fase. Podemos trazar una serie de líneas perpendiculares a los sucesivos frentes de onda.

Estas líneas se denominan rayos y corresponden a las líneas de propagación de la onda. La relación entre rayos y frente de ondas es similar a la de líneas de fuerza y superficies equipotenciales. El tiempo que separa puntos correspondientes de dos superficies de onda es el mismo para todos los pares de puntos correspondientes (teorema de Malus).

Fig. 10.- Frente de Onda Plana

Un rayo es una línea dibujada a lo largo de la

dirección de propagación de la onda

electromagnética. Los rayos se usan para mostrar la dirección relativa de la propagación de una sola onda electromagnética.

•

Las ondas se clasifican según el espacio de propagación en unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales.

•

Ondas unidimensionales: en cuerdas, podemos considerarlos como líneas.

•

Ondas bidimensionales: las olas que se propagan por la superficie del agua.

•

Ondas tridimensionales: el sonido es un ejemplo de onda tridimensional.

Fig. 11.- Rayos y Frentes de Onda

Los rayos que se propagan igualmente en todas direcciones a la fuente, se le conoce como fuente puntual o isotrópica. Se representa como una esfera de radio R.

Fig. 12.- Fuente Isotrópica

DEFINICIONES: LA DENSIDAD DE POTENCIA ES LA PROPORCIÓN DE ENERGÍA QUE CRUZA POR UNA SUPERFICIE DADA EN EL ESPACIO LIBRE.

P = E×H P

SE MIDE COMO ENERGÍA POR UNIDAD DE ÁREA Y TIENE UNIDADES DE

WATTS/m2

E ES LA INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (V/m) H= ES LA INTENSIDAD DE CAMPO MAGNÉTICO (AT/m) LA INTENSIDAD DE CAMPO ES LA INTENSIDAD DE LOS CAMPOS ELÉCTRCIOS Y MAGNÉTICOS DE UNA ONDA ELECTROMAGNÉTICA PROPAGANDOSE POR EL ESPACIO LIBRE. LA IMPEDANCIA CARACTERISTICA DEL ESPACIO LIBRE ES:

DENSIDAD DE POTENCIA EN UN FRENTE DE ONDA ESFÉRICA: LA DENSIDAD DE POTENCIA PARA CUALQUIER PUNTO DE LA SUPERFICIE DE UN FRENTE DE ONDA ESFÉRICA ES:

P=

Pr 4πR 2

•

Pr=POTENCIA DE RADIACIÓN EN WATTS

•

R=DISTANCIA DEL CENTRO AL PUNTO DE RADIACIÓN EN m.

MECANISMOS DE PROPAGACIÓN POR ONDA TEM La banda de frecuencia de trabajo va a definir los mecanismos de propagación de ondas que hay que considerar a la hora de analizar un canal de radio. Del mismo modo van a diferir las aplicaciones a las que se puede dar servicio en cada una de las bandas.

En la banda de muy bajas frecuencias VLF (3 kHz – 30 kHz) tanto el suelo como la ionosfera se comportan como buenos conductores. La distancia que separa al suelo de la ionosfera (entre 60 y 100 km) es comparable con la longitud de onda en dicha banda (entre 100 km a 3 kHz y 10 km a

30 kHz). La propagación de ondas se puede modelar como una guía esférica con

pérdidas. Las aplicaciones para las que se emplea este mecanismo de propagación son comunicaciones a larga distancia (navales y submarinas) o aquellas que deseen cobertura global

(telegrafía naval, ayuda a la navegación …) Las antenas que se utilizan son verticales, eléctricamente pequeñas, aunque de dimensiones físicas muy grandes.

Fig. 13.- Variación del Campo eléctrico con la distancia para VLF

A las frecuencias de LF (30 kHz – 300 kHz) y MF (300 kHz – 3 MHz) se produce la propagación mediante onda de tierra u onda de superficie. Esta onda se propaga en la discontinuidad tierra – aire debido a las corrientes inducidas en la Tierra. Este modo sólo propaga la polarización vertical, porque la polarización horizontal se atenúa muy rápidamente debido al carácter conductor de la superficie de la tierra en estas frecuencias.

El alcance que se obtiene varía con la frecuencia, la potencia transmitida y el tipo de suelo (tierra seca, húmeda, mar ..) En LF se pueden conseguir alcances de hasta unos 2000 km, en MF de hasta unos 300 km, mientras que ya en frecuencias más altas como HF, apenas se llega a los 50 km. Las aplicaciones más importantes son los sistemas de comunicaciones navales y los sistemas de radiodifusión (LF y onda media en AM). Las antenas que se utilizan habitualmente son monopolos verticales con alturas entre 50 y 200 m que radian polarización vertical.

Fig. 14.- Propagación por onda de tierra

En las bandas de MF (300 kHz – 3 MHz) y HF (3 MHz –30 MHz) la ionosfera “refleja” las ondas radioeléctricas, haciendo que éstas retornen a la tierra. Este mecanismo se denomina

reflexión ionosférica. Los enlaces radio transoceánicos de Marconi sugirieron a Heaviside y Kennelly la existencia de esta capa ionizada en la atmósfera que reflejaba las ondas enviadas al espacio. En dichos enlaces estas ondas llegaban al mar y se reflejaban de nuevo, y de este modo, en varios saltos, se conseguía cruzar el océano. El alcance que se consigue para un solo salto depende de la frecuencia, la hora del día y de la dirección de apuntamiento de la antena.

En MF, durante la noche, es de hasta unos 2000 km mientras que en HF se pueden alcanzar hasta 4000 km tanto de día como de noche. Este mecanismo de propagación lo utilizan los radioaficionados, comunicaciones navales y, antes de existir los satélites eran el medio más utilizado para comunicaciones de voz, punto a punto y a largas distancias. Se utilizan antenas elevadas con polarizaciones horizontales y verticales como abanicos logperiódicos, antenas rómbicas, etc.

Fig. 15.- Propagación por onda ionosférica Para las frecuencias de VHF (30 MHz – 300 MHz) y superiores, los mecanismos de propagación es la onda de espacio. En estas frecuencias la ionosfera se hace transparente y los mecanismos de propagación se ven afectados por la influencia del suelo (mediante reflexiones o difracciones) y por la troposfera (mediante los procesos de refracción, atenuación y dispersión).

El alcance es muy variable: en VHF y UHF la difracción permite alcances algo más allá del horizonte visible, mientras que a frecuencias superiores los radioenlaces punto a punto necesitan visión directa, por lo que la distancia se reduce a algunas decenas de km (el valor depende de la frecuencia y las alturas de las antenas). En comunicaciones vía satélite se puede llegar hasta 36000 km (satélites geostacionarios) y en aplicaciones de observación de espacio profundo hasta millones de km. La propagación por onda de espacio es el mecanismo que se utiliza en la mayoría de los sistemas de comunicaciones: radiodifusión de FM y TV, telefonía móvil, radioenlaces fijos, radiocomunicaciones vía satélite, sistemas radar … Las antenas que se emplean son elevadas y directivas, como yagis, bocinas, arrays, reflectores … En la Figura 16 se presentan varios mecanismos de propagación por onda de espacio. El más común es el radioenlace terrenal, donde hay que tener en cuenta los efectos del suelo (reflexión y difracción)

y los efectos de la troposfera (atenuación y refracción). En los enlaces vía satélite el nivel de señal recibido es muy bajo, por lo que es importante escoger frecuencias Suficientemente altas para que la ionosfera sea transparente. Además hay que considerar los efectos de la atenuación troposférica.

Por último, hay un mecanismo de propagación, denominado dispersión troposférica, que aprovecha el fenómeno de dispersión de la onda electromagnética debida a las irregularidades dieléctricas de la troposfera asociada a variaciones de densidad y temperatura de gas. Con este mecanismo se conseguían alcances bastante mayores que la visión directa, pero su poca estabilidad y la necesidad de muy altas potencias transmitidas lo han dejado prácticamente en desuso, aunque sigue siendo utilizado por los radares transhorizonte.

Fig. 16.- Mecanismos de propagación por onda de espacio.

Los primeros modelos de onda de superficie fueron propuestos por A. Sommerfeld en 1909, aunque fueron Shuleikin y Van der Pol los que aplicaron estos trabajos a la ingeniería de comunicaciones. Posteriormente Burrows, Norton y Wait contribuyeron decisivamente para configurar los modelos de Onda de Tierra. En general estos modelos suponen una tierra lisa y de características eléctricas uniformes, lo que implica una longitud de onda mucho mayor que las posibles discontinuidades. Además se suponen que tanto la antena transmisora como la antena receptora se encuentran muy próximas a la superficie terrestre de modo que: •

Una onda de superficie se propaga en la discontinuidad tierra – aire. La componente vertical se propaga sobre la superficie sin apenas pérdidas, mientras que la componente horizontal se atenúa por el efecto de la conductividad del suelo. La atenuación por absorción es tanto mayor cuanto menor sea la conductividad del suelo. Además de la atenuación por absorción se produce una atenuación por la dispersión de la energía.

•

La onda de espacio compuesta por el rayo directo y del rayo reflejado en el suelo se anula a nivel del suelo, ya que el coeficiente de reflexión en el suelo es prácticamente igual a –1 y los caminos de ambos rayos son prácticamente iguales.

•

La propagación de estas señales depende fundamentalmente de la frecuencia y del tipo de suelo. La caracterización correcta del suelo es fundamental para una correcta predicción de la propagación mediante onda de superficie. El suelo se caracteriza como un dieléctrico con pérdidas definido por los parámetros de permitividad relativa y conductividad (Tabla 5). En función de estos valores y de la frecuencia predominan corrientes de desplazamiento o de conducción, y el suelo se asemeja más a un dieléctrico o a un conductor.

Tabla 5.- Características del Suelo

Para el cálculo del alcance mediante este mecanismo de propagación se emplea un modelo aproximado de tierra plana, válido para distancias cortas, y un modelo de tierra esférica para distancias largas.

CARACTERÍSTICAS ÓPTICAS DE LA LUZ La Óptica es la rama de la física que estudia el comportamiento de la luz, sus características y sus manifestaciones.

Abarca el estudio de la reflexión, la refracción, las interferencias, la difracción y la formación de imágenes y la interacción de la luz con la materia.

Desde el punto de vista físico, la luz es una onda electromagnética.

Según el modelo utilizado para la luz, se distingue entre las siguientes ramas, por orden creciente de precisión (cada rama utiliza un modelo simplificado del empleado por la siguiente):

La óptica geométrica: Trata a la luz como un conjunto de rayos que cumplen el principio de Fermat. Se utiliza en el estudio de la transmisión de la luz por medios homogéneos (lentes, espejos), la reflexión y la refracción.

La óptica ondulatoria:

Considera a la luz como una onda plana, teniendo en cuenta su frecuencia y longitud de onda. Se utiliza para el estudio de difracción e interferencia.

La óptica electromagnética: Considera a la luz como una onda electromagnética, explicando así la reflectancia y transmitancia, y los fenómenos de polarización y anisotropía.

La óptica cuántica u óptica física: Estudio cuántico de la interacción entre las ondas electromagnéticas y la materia, en el que la dualidad onda-corpúsculo desempeña un papel crucial.

PROPIEDADES ÓPTICAS Las propiedades ópticas describen el comportamiento de un material ante la luz. Para detectar este comportamiento necesitamos verlo. Para que se produzca la visión hacen falta tres elementos: Un haz de luz que incida sobre un objeto, este modifica la luz incidente y la devuelve a un ojo-cerebro que la recibe y se produce la visión. Para comprender las propiedades ópticas es necesario conocer cada uno de estos elementos.

La luz es una radiación electromagnética que es capaz de impresionar la retina humana y producir la visión. El espectro electromagnético de la luz está comprendiendo en una banda entre los 700 y 400 nm de longitud de Onda. La longitud de onda es la medida de las radiaciones electromagnética y se corresponde con la distancia lineal entre dos puntos simétricos de la onda.

Si hacemos pasar la luz blanca por un prisma de cristal, esta se descompone dándonos los colores del arco iris. Lo que ha sucedido es que las radiaciones se han ordenado por longitudes de onda y cada una de ellas se corresponde con un color. Si tenemos una luz de una sola longitud de onda, esta será monocromática, es decir de un color concreto. Si tenemos una luz con todas las longitudes de onda del espectro visible y en la misma proporción, la suma será luz blanca.

Existen tres luces básicas denominadas primarias, que son las correspondientes al espectro del verde, naranja y violeta. Estas luces, combinadas de dos en dos nos dan las luces secundarias que son las correspondientes al rojo, amarillo y azul. Las tres luces primarias combinadas dan el blanco, ya que sería una luz con radiaciones visibles de todas las longitudes de onda.

CONCEPTOS BÁSICOS OBJETO: Cuando la luz incide sobre un objeto de un tamaño superior a la longitud de onda de la luz, este la modifica pudiéndose producir los siguientes fenómenos ópticos:

•

Reflexión: Es el cambio de dirección de la luz que choca sobre una superficie. El ángulo de incidencia es siempre igual al de reflexión.

•

Refracción: Es el cambio en la dirección de la luz que penetra a través de un cuerpo.

•

Absorción: Es un mecanismo mediante el cual radiaciones de unas determinadas longitudes de onda quedan atrapadas en el interior de un cuerpo. Este fenómeno determina el color del objeto.

•

Transmisión: Es el paso de la luz a través de un objeto.

Para que todos estos fenómenos se produzcan el objeto con el que choque la luz debe tener un tamaño superior a la longitud de onda de la luz visible, es decir 700 nm ó 0,7 micras. Por debajo de este tamaño no hay actividad óptica.

REFRACCIÓN Y REFLEXIÓN Huygens visualizó un método para pasar de un frente de onda a otro. Cuando el movimiento ondulatorio alcanza los puntos que componen un frente de onda, cada partícula del frente se convierte en una fuente secundaria de ondas, que emite ondas secundarias (indicadas por semicircunferencias) que alcanzan la próxima capa de partículas del medio. Entonces estas partículas se ponen en movimiento, formando el subsiguiente frente de onda con la envolvente de estas semicircunferencias. El proceso se repite, resultando la propagación de la onda a través

del medio. Esta representación de la propagación es muy razonable cuando la onda resulta de las vibraciones mecánicas de las partículas del medio, es decir una onda elástica pero no tendría significado físico en las ondas electromagnéticas donde no hay partículas que vibren.

A partir del principio de Huygens puede demostrarse la ley de la refracción. Supongamos que un frente de onda avanza hacia la superficie refractante I 1I2 que separa dos medios en los cuales las velocidades de la luz son v y v´.

Si consideramos I1 como emisor, en el tiempo Dt en que la perturbación llega de A a I 2, la perturbación originada en I 1 habrá alcanzado la esfera de radio r´= v´Dt. En el mismo tiempo la perturbación correspondiente llega a todos los puntos de la envolvente BI 2, y tomando los rayos normales a los frentes de onda, de la figura 4, se deduce que:

Deduciendo la Ley de Refracción: n1 senαi = n2 senαr

Fig. 17.- Guía de Onda.

Lo cual está de acuerdo no solo a la experiencia si no también en cuanto a direcciones de propagación en el medio de mayor índice de refracción, la velocidad es menor contrariamente a lo que suponían Descartes y Newton.

La teoría ondulatoria no pudo progresar en aquella época debido a la gran autoridad de Newton que la combatía argumentando que dicha teoría no podía explicar la propagación rectilínea.

Fig. 18.- Dirección de Propagación.

PROPIEDADES ÓPTICAS DE LAS ONDAS DE RADIO La

transferencia

de

energía

en

un

medio

depende

de

ciertas

propiedades

electromagnéticas de éste, así como de propiedades similares del medio circundante. De esta forma, la transferencia de ondas electromagnéticas dependerá de diversos grados, por ejemplo, las propiedades del terreno sobre el cual tiene lugar la transmisión.

Estas propiedades están definidas por los siguientes parámetros: 1.- Constante Dieléctrica

, (permitividad), es la capacidad de un medio para almacenar

energía electrostática. Un dieléctrico es un material no conductor, esto es, un aislante. Buenos dieléctricos son el aire, hule, vidrio y mica por ejemplo. La constante dieléctrica para el vacío es igual a

8.854 x 10 -12 farad / metro.

2.- Permeabilidad µ , es la medida de la superioridad de un material comparado con el vacío, para servir como trayectoria para líneas de fuerza magnética. Los materiales ferromagnéticos como el hierro, acero, níquel y cobalto poseen altas permeabilidades. Por otro lado sustancias diamagnéticas como el cobre, latón y bismuto tienen permeabilidades comparables a la del espacio libre. El valor de µ para el vacío es de 4π x 10 -7 Henry / metro.

3.- Conductividad σ , es la medida de la habilidad de un medio para conducir corriente eléctrica. Todos los metales puros son conductores, teniendo algunos mejor conductividad que otros. La conductividad es el recíproco de la resistividad y se mide en siemens (Mhos).

Al estudiar los cambios que ocurren en un frente de onda mientras este avanza a través de un medio de una sola densidad, es posible predecir los efectos que se producirían cuando la onda encuentra un medio de densidad diferente, el cual puede reflejar, refractar o absorber energía.

El comportamiento de la onda al llegar a una superficie reflejante se puede determinar mediante una adaptación de la construcción de Huygens. En la figura 19 se muestra una onda electromagnética reflejándose en algún lugar del terreno entre las antenas transmisora y receptora.

Una observación más cercana en el punto de reflexión muestra el frente AB llegando a la superficie del terreno, a través del cual no puede penetrar. Si no hubiera existido esta superficie la onda hubiera avanzado sin cambio en su dirección, y en cierto intervalo de tiempo hubiera alcanzado la posición A' B, sin embargo la presencia de la superficie de la Tierra causa un

cambio en la dirección del frente de onda ilustrado por la línea gruesa AOB. La línea OB representa el frente de onda incidente, y la línea AO, el frente de onda reflejado. El ángulo i (incidente) y el ángulo r (reflejado) son iguales y están en el mismo plano.

Fig. 19.- Onda reflejada en el terreno.

Por la importancia de la transferencia de energía electromagnética en el caso de la propagación de las ondas, es conveniente expresar la relación de la energía de las ondas incidente y reflejada por la relación llamada coeficiente de reflexión, el cual se define como la raíz de la relación de potencias que se encuentra dividiendo la energía reflejada por segundo que deja una superficie reflejante, entre la energía por segundo incidente a la misma superficie.

Si ambas energías son iguales, el coeficiente de reflexión vale 1 y existe una reflexión perfecta.

Si la energía reflejada es menor que la incidente la diferencia es, ya sea disipada en la superficie o parcialmente disipada y parcialmente permitida a través de la superficie en la forma de un rayo

refractado.

Por ejemplo, cuando una onda llega a una nube la mayor parte de la energía será transmitida a través de ella, sin embargo, debido a varias partículas en la nube, una porción de la onda será devuelta por reflexión y otra parte será absorbida dentro de la misma nube, esto es, será convertida en calor. La parte de la onda que pasa a través de la nube será refractada (cambiará su dirección) si las propiedades electromagnéticas de la nube difieren de las del aire circundante. De hecho y en general, cuando una onda encuentra cualquier medio cuyas

propiedades difieren de aquellas del medio del cual procede, tendrán lugar simultáneamente los fenómenos de reflexión y de refracción.

En la figura 20 se ilustra una onda la cual es refractada en una masa de aire con una densidad mayor que el aire circundante. En aras de la simplicidad se muestra que toda la acción tiene lugar en la interfaz entre la masa de aire y la atmósfera envolvente; en realidad la refracción ocurre gradualmente ya que no existe una frontera claramente definida entre las dos masas de aire. Como la masa de aire con la cual se encuentra la onda es más densa, la onda disminuye su velocidad y en consecuencia, se flexiona.

Figura 20.- Onda Refractada.

Una onda es refractada hacia la normal cuando su velocidad se ve reducida, y alejada de la normal cuando su velocidad se incrementa.

Consecuentemente, la ley de refracción establece que una onda incidente viajando en forma inclinada de un medio a otro, experimenta un cambio en dirección si la velocidad de la onda en un medio es diferente de su velocidad en el otro.

El astrónomo y matemático Willebrod Snell descubrió que la relación entre los senos de los ángulos incidente y refractado es igual a la relación de las respectivas velocidades de las ondas en estos medios, y además es constante para los dos medios en particular. Expresada matemáticamente, la Ley de Snell establece:

n=

sen θ i v = 1 sen θ r v 2

Donde n es el coeficiente de refracción del segundo medio respecto al primero. El índice de refracción absoluto de una sustancia se toma respecto al vacío, y es prácticamente el mismo valor que el índice respecto al aire. El cambio del índice de refracción determina la trayectoria de una onda electromagnética a través de la atmósfera.

Difracción. La cantidad de energía de rf en forma de ondas electromagnéticas que viajan de una antena transmisora a una receptora está determinada por la trayectoria por la cual dichas ondas deben viajar. Se pensaba a menudo que las ondas de altas frecuencias viajaban de acuerdo a la óptica geométrica (línea de vista geométrica), o ligeramente más allá de esta línea si existía refracción atmosférica, sin embargo se ha encontrado que a frecuencias por debajo de aproximadamente 100 MHz, las ondas pueden tener un alcance mucho mayor que el horizonte demarcado por el efecto de la refracción.

Las reflexiones de las ondas no se originan en un solo punto sino, de acuerdo al principio de Huygens, desde toda la superficie de un obstáculo en la trayectoria de éstas. Los obstáculos en las ondas radiarán de nuevo en todas direcciones desde una multitud de centros elementales de radiación en el horizonte de la Tierra, al recibir una onda de energía incidente.

La difracción electromagnética es, por lo tanto, la flexión de las ondas al rozar la superficie de la Tierra o cualquier otro obstáculo involucrado en la trayectoria. En la figura 21 se muestra la difracción de las ondas electromagnéticas hacia la región de sombra por detrás del pico de una montaña.

Figura 21.- Difracción

INTERFERENCIA DE ONDAS, RADIO DE FRESNEL Cada frente de ondas progresando de una fuente transmisora a un punto receptor, consiste de un número infinito de fuentes secundarias. Luego entonces, incluso en el caso simple de energía transmitiéndose de un punto a otro en el espacio libre, hay un número infinito de trayectorias a considerar; cada una de ellas originándose de una fuente secundaria en el frente de onda progresivo. Algunas de estas trayectorias se muestran, en la figura 21. El frente de onda descrito por el arco AG es un segmento particular del haz de energía que está siendo emitido por la antena transmisora.

Los puntos desde A hasta G son designados como fuentes secundarias, conocidos como centros de radiación de Huygens. Los radios de los círculos cuyos diámetros son descritos por los puntos AG, BF y CE se escogen de modo que la longitud de la trayectoria total desde T hasta R, vía cada círculo sea

nλ mayor que la trayectoria más corta TDR, donde n es un entero.

2

Por lo tanto, la distancia ER es mayor por media longitud de onda que la distancia DR, y la distancia FR es mayor que la distancia ER por la misma magnitud. Las regiones circulares delimitadas por estos radios son llamadas Zonas de Fresnel, y no son iguales, sino que disminuyen en energía proporcionalmente a la distancia de la zona central, denominada primera zona de Fresnel.

Fig. 21.- Zonas de Fresnel.

La llamada zona de Fresnel es una zona de despeje adicional que hay que tener en consideración además de haber una visibilidad directa entre las dos antenas. Este factor deriva de la teoría de ondas electromagnéticas respecto de la expansión de las mismas al viajar en el espacio libre. Esta expansión resulta en reflexiones y cambios de fase al pasar sobre un obstáculo. El resultado es un aumento o disminución en el nivel de señal recibido.

Fig. 22.- Visualización del Radio de Fresnel, toda la zona marcada en amarillo debe permanecer despejada de obstáculos.

Distancia entre antenas (en Km)

Zona de Fresnel (en metros)

1

3.9

2

5.6

3

7.1

4

8.4

5

9.7

6

11.0

7

12.3

8

13.6

9

15.0

10

16.4

11

17.9

12

19.4

13

21.0

Nota: La zona de Fresnel expresada en la tabla (usada en la práctica) es calculada según el 70% de la 1ª zona de Fresnel a una frecuencia de 2.4GHz + la curvatura terrestre para cada distancia.

14

22.7

15

24.4

16

26.2

17

28.0

18

29.9

19

31.9

20

34.0

25

45.4

30

58.7 Tabla 6

POLARIZACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Polarización es una característica de ondas transversales,

describe la orientación de las

oscilaciones en el perpendicular del plano a la dirección de la onda del recorrido.

Este concepto se utiliza en áreas de la ciencia y de la tecnología que tratan de propagación de la onda, por ejemplo la óptica, sismología, y telecomunicaciones. En electrodinámica, la polarización caracteriza ondas electromagnéticas, por ejemplo luz, especificando la dirección de la onda campo eléctrico. Ondas longitudinales por ejemplo ondas acústicas en líquidos y gases no exhiba la polarización, porque para estas ondas la dirección de la oscilación está a lo largo (y se determina así únicamente cerca) de la dirección del recorrido de la onda. En cambio, la dirección de la oscilación (del campo eléctrico) en ondas electromagnéticas no es determinada únicamente por la dirección de la propagación. Semejantemente, la dirección de tensión de esquileo en a transversal la onda acústica en un sólido puede tener cualquier orientación en el plano que es perpendicular a la dirección de la propagación. La polarización del término describe así las orientaciones posibles del proceso oscilatorio en el perpendicular del plano a la trayectoria de la onda transversal.

ONDAS PLANAS La manifestación más simple de la polarización a visualizar es la de a onda plana, que es una buena aproximación de la mayoría de las ondas ligeras (una onda plana es una onda con infinitamente largo y de par en par frentes de onda). Todas las ondas electromagnéticas que propagan en espacio libre o en un material uniforme del grado infinito tienen eléctrico y campos magnéticos perpendiculares a la dirección de la propagación. Convencionalmente, al considerar

la polarización, el campo eléctrico vector se describe y se no hace caso el campo magnético puesto que es perpendicular al campo eléctrico y proporcional a él.

El vector del campo eléctrico se puede dividir arbitrariamente en dos componentes perpendiculares etiquetados x y y (con z indicando la dirección del recorrido). Para a onda armónica simple, donde la amplitud del vector eléctrico varía en a sinusoidal la manera, los dos componentes tiene exactamente la misma frecuencia. Sin embargo, estos componentes tienen dos otras características que definen que puedan diferenciar. Primero, los dos componentes pueden no tener igual amplitud. En segundo lugar, los dos componentes pueden no tener igual fase, ése es ellos puede no alcanzar sus máximos y mínimos al mismo tiempo.

La forma lo remontó hacia fuera en un plano fijo por el vector eléctrico como pasos de una onda tan plana encima (a Figura de Lissajous) es una descripción del estado de polarización.

Fig. 23.- Polarización Lineal

En la figura 23, los dos componentes (perpendiculares) ortogonal están en fase. En este caso el cociente de las fuerzas de los dos componentes es constante, así que la dirección del vector eléctrico (la suma de vector de estos dos componentes) es constante. Puesto que la extremidad del vector remonta hacia fuera una sola línea en el plano, denominado polarización lineal. La dirección de esta línea depende de las amplitudes relativas de los dos componentes.

Fig. 24.- Polarización Circular

En la figura 24, los dos componentes ortogonal tienen exactamente la misma amplitud y son exactamente noventa grados fuera de fase.

En este caso un componente es cero cuando el otro componente está en la amplitud máxima o mínima. Hay dos relaciones posibles de la fase que satisfacen este requisito: x el componente puede ser noventa grados delante del y el componente o puede ser noventa grados detrás del y componente. En este caso especial el vector eléctrico remonta hacia fuera un círculo en el plano, así que se llama este caso polarización circular. La dirección que el campo rota adentro depende de cuáles de las relaciones bifásicas existen. Se llaman estos casos polarización circular derecha y polarización circular izquierda, dependiendo que de manera el vector eléctrico rota.

Fig. 25.- Polarización de la Onda TEM

En el resto de los casos, donde no están los dos componentes en fase y o no tenga la misma amplitud y/o no sea noventa grados fuera de fase, se llama la polarización elíptica porque el vector eléctrico remonta hacia fuera elipse en el plano (elipse de la polarización). Esto se demuestra en la figura antedicha a la derecha.

La descomposición “cartesiano” del campo eléctrico en x y y los componentes son, por supuesto, arbitrarios. Las ondas planas de cualquier polarización pueden ser descritas en lugar de otro combinando ondas de la polarización circular opuesta, por ejemplo. La descomposición cartesiano de la polarización es natural al ocuparse de la reflexión de superficies, birrefringente materiales, o radiación del sincrotrón.

PROBLEMAS 1. Determine la longitud de onda en nanómetros para las siguientes frecuencias de luz: a. 3.45×1014 Hz b. 3.62×1014 Hz c. 3.21×1014 Hz 2. Determine la frecuencia de la luz para las siguientes longitudes de onda: a. 670nm b. 7800Å c. 710nm *En este problema se presenta Å o la unidad angstrom, y es una unidad de longitud.

(1Å = 10-10 metros)

3. Para una antena isotrópica que radia con una potencia de 1000 W, determine: a. Densidad de potencia a una distancia de 20 kilómetros de una antena isotrópica. b. Densidad de potencia, para la antena del problema anterior, en un punto que se encuentra a 30 kilómetros de la antena. c. Describa los efectos que tiene sobre la densidad de potencia si se triplica la distancia desde la antena transmisora.

4. La intensidad de campo eléctrico (con unidades de V/m) está dada por la fórmula E=

30 Pr 4πR 2, donde Pr es la potencia radiada

y R la distancia.

Determine E para el punto (a) del problema 3.

5. Para una potencia radiada Pr = 10kW determine la intensidad de voltaje a una distancia de 20km de la fuente.

6. La densidad de potencia en un punto desde la fuente es de 0.001µW y la densidad de potencia en otro punto es de 0.00001 µW; determine la atenuación en decibeles usando la fórmula γa = 10 log (P1/ P2 ).

7. Para una interface de vidrio (medio 1) y cuarzo (medio 2), donde un rayo incide con un ángulo de 35° determine el ángulo de refracción. Dibuje el diagrama de refracción.

8. Para una interface donde el medio 1 es alcohol, el medio 2 es vidrio, y el ángulo de refracción es de 35° determine el ángulo de incidencia. Dibuje el diagrama de refracción.

9. El índice de refracción de un material (n) está determinado por la relación de la velocidad de propagación de la luz en el espacio libre (c) sobre la velocidad de propagación de la luz en un material dado (v), es decir n = c/v. Determine la velocidad de propagación de la luz para los materiales: a. Agua b. Alcohol c. Aire d. Cuarzo e. Vidrio f. Cloruro de sodio 10. Determine el radio horizonte para una antena transmisora que tiene 100 pies de altura y una antena receptora de 50 pies de altura.

11. Determine la distancia al radio horizonte para una antena que esta 40 pies arriba de la cima de una montaña de 4000 pies sobre el nivel del mar.

12. Determine la distancia máxima entre dos antenas idénticas de 30 pies sobre el nivel del mar.

13. Determine la frecuencia máxima utilizable para una frecuencia crítica de 10Mhz y un ángulo de incidencia de 45°.

14. Para un modulador DSBFC de A.M. con frecuencia de portadora f c = 100kHz y una señal moduladora de frecuencia máxima f m (máx) = 5KHz , determinar : a) Límites de frecuencia de las bandas laterales superior e inferior, b) Ancho de banda.

15. Describa en que consisten las capas D, E y F de la ionosfera.

16. Mencione las ventajas y desventajas de la propagación por las ondas terrestres.