Sürekli Zamanda riskli Menkul Kıymet Fiyat Modelleri by Salim Kasap

GoBack

Riskli Menkul K覺ymet Fiyat Modelleri Salim Kasap March 26, 2011

1 / 46

Giriş Giriş Modelleme: Getiri mi Fiyat mı? Fiyatlar, Getiriler Satım Opsiyonu Hisse Beklenen Değer Satım Opsiyonu Fiyatı Satım Opsiyonu Fiyatı II Jensen Eşitsizliği Jensen Eşitsizliği II Getiriler - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Fiyatlar - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Hisse Getirisi

Giriş

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

2 / 46

Giriş Giriş Giriş Modelleme: Getiri mi Fiyat mı? Fiyatlar, Getiriler Satım Opsiyonu Hisse Beklenen Değer Satım Opsiyonu Fiyatı Satım Opsiyonu Fiyatı II Jensen Eşitsizliği Jensen Eşitsizliği II Getiriler - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Fiyatlar - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Hisse Getirisi

■ Neden riskli menkul kıymet getirileri modelleniyor?

Fiyatlar modellen miyor? ■ Rassal yürüyüş (Random Walk) ■ Wiener Süreci (Brown Hareketi) ■ Aritmetik Brown Hareketi ■ Îto’nun lemması ■ Geometrik Brown Hareketi ■ Çok boyutlu Ito formülü

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi

■ İlşkili Wiener Süreçleri

Yansıma Prensibi İtô Lemma

3 / 46

■ Neden riskli menkul kıymet getirileri modelleniyor?

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi

■ İlşkili Wiener Süreçleri

Yansıma Prensibi İtô Lemma

3 / 46

■ Neden riskli menkul kıymet getirileri modelleniyor?

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi

■ İlşkili Wiener Süreçleri

Yansıma Prensibi İtô Lemma

3 / 46

■ Neden riskli menkul kıymet getirileri modelleniyor?

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi

■ İlşkili Wiener Süreçleri

Yansıma Prensibi İtô Lemma

3 / 46

■ Neden riskli menkul kıymet getirileri modelleniyor?

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi

■ İlşkili Wiener Süreçleri

Yansıma Prensibi İtô Lemma

3 / 46

■ Neden riskli menkul kıymet getirileri modelleniyor?

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi

■ İlşkili Wiener Süreçleri

Yansıma Prensibi İtô Lemma

3 / 46

■ Neden riskli menkul kıymet getirileri modelleniyor?

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi

■ İlşkili Wiener Süreçleri

Yansıma Prensibi İtô Lemma

3 / 46

■ Neden riskli menkul kıymet getirileri modelleniyor?

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi

■ İlşkili Wiener Süreçleri

Yansıma Prensibi İtô Lemma

3 / 46

Modelleme: Getiri mi Fiyat mı? Giriş Giriş Modelleme: Getiri mi Fiyat mı? Fiyatlar, Getiriler Satım Opsiyonu Hisse Beklenen Değer Satım Opsiyonu Fiyatı Satım Opsiyonu Fiyatı II Jensen Eşitsizliği Jensen Eşitsizliği II Getiriler - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Fiyatlar - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Hisse Getirisi

■ Bir menkul kıymetin gelecekteki ﬁyatının ne

olacağının bugünden kesin bir doğrulukla bilinmesi olası değildir.

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

4 / 46

■ Bir menkul kıymetin gelecekteki ﬁyatının ne

olacağının bugünden kesin bir doğrulukla bilinmesi olası değildir. ■ Fiyatlar piyasada pekçok katılımcının beklentileri

ve bunların birbirleri ile olan etkileşimleri ile oluşur.

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

4 / 46

■ Bir menkul kıymetin gelecekteki ﬁyatının ne

olacağının bugünden kesin bir doğrulukla bilinmesi olası değildir. ■ Fiyatlar piyasada pekçok katılımcının beklentileri

ve bunların birbirleri ile olan etkileşimleri ile oluşur. ■ Fiyat oluşurken kararlar belirsizlik altında verilir.

Bu belirsizlik varolduğuna göre riskli menkul kıymet ﬁyatlarını rassal olarak modelleyebiliriz.

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

4 / 46

Fiyatlar, Getiriler Giriş Giriş Modelleme: Getiri mi Fiyat mı? Fiyatlar, Getiriler Satım Opsiyonu Hisse Beklenen Değer Satım Opsiyonu Fiyatı Satım Opsiyonu Fiyatı II Jensen Eşitsizliği Jensen Eşitsizliği II Getiriler - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Fiyatlar - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Hisse Getirisi

Fiyatları 5 TL ve 75 TL olan hisselerden ■ Birinci hissenin bir yılda %75 yükselme potansiyeli

olduğunu düşünüyoruz,

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

5 / 46

Fiyatları 5 TL ve 75 TL olan hisselerden ■ Birinci hissenin bir yılda %75 yükselme potansiyeli

olduğunu düşünüyoruz, ■ Ikinci hisse yükselme potansiyeli ise %5.

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

5 / 46

Fiyatları 5 TL ve 75 TL olan hisselerden ■ Birinci hissenin bir yılda %75 yükselme potansiyeli

olduğunu düşünüyoruz, ■ Ikinci hisse yükselme potansiyeli ise %5.

Hangi hisseyi almamız gerektiğine getirilere bakarak karar verebiliriz. Finansal menkul kıymetlerde önemli olan ﬁyat seviyeleri değil getiridir, dolayısı ile ﬁyatlardan ziyade getirinin modellenmesi gerekir.

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

5 / 46

Satım Opsiyonu Giriş Giriş Modelleme: Getiri mi Fiyat mı? Fiyatlar, Getiriler Satım Opsiyonu Hisse Beklenen Değer Satım Opsiyonu Fiyatı Satım Opsiyonu Fiyatı II Jensen Eşitsizliği Jensen Eşitsizliği II Getiriler - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Fiyatlar - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Hisse Getirisi Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi

Hisse senedi bir yıl içerisinde eşit olasılıkla 10 TL fiyata düsecek veya 90 TL fiyata çıkacak. 50 kullanım fiyatlı bir satım (put) opsiyonunun değeri ne olabilir?

Yansıma Prensibi İtô Lemma

6 / 46

Hisse Beklenen Değer Giriş Giriş Modelleme: Getiri mi Fiyat mı? Fiyatlar, Getiriler Satım Opsiyonu Hisse Beklenen Değer Satım Opsiyonu Fiyatı Satım Opsiyonu Fiyatı II Jensen Eşitsizliği Jensen Eşitsizliği II Getiriler - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Fiyatlar - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Hisse Getirisi

Hisse senedi, S, beklenen ﬁyatını formüle edelim: 1 1 E[S] = × 10 + × 90 = 50 2 2

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

7 / 46

Hisse senedi, S, beklenen ﬁyatını formüle edelim: 1 1 E[S] = × 10 + × 90 = 50 2 2 90 ½

Hisse = ½ * 90 + ½ * 10 = 50 ½

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

7 / 46

Satım Opsiyonu Fiyatı Giriş Giriş Modelleme: Getiri mi Fiyat mı? Fiyatlar, Getiriler Satım Opsiyonu Hisse Beklenen Değer Satım Opsiyonu Fiyatı Satım Opsiyonu Fiyatı II Jensen Eşitsizliği Jensen Eşitsizliği II Getiriler - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Fiyatlar - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Hisse Getirisi

Put fonksiyonu değeri: p = max(K − S, 0)

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

8 / 46

Put fonksiyonu değeri: p = max(K − S, 0) Hisse beklenen değeri ile put opsiyonunu ﬁyatlarsak: p(K − S, 0);

K=S→p=0

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

8 / 46

Satım Opsiyonu Fiyatı II Giriş Giriş Modelleme: Getiri mi Fiyat mı? Fiyatlar, Getiriler Satım Opsiyonu Hisse Beklenen Değer Satım Opsiyonu Fiyatı Satım Opsiyonu Fiyatı II Jensen Eşitsizliği Jensen Eşitsizliği II Getiriler - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Fiyatlar - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Hisse Getirisi

İlk graﬁkten hatırlanacağı üzere put opsiyonu zamanın en az yarısında bir değer ifade ediyor. Doğru ﬁyatlama için opsiyonun beklenen değerinin kullanılması gerekir.

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

9 / 46

İlk graﬁkten hatırlanacağı üzere put opsiyonu zamanın en az yarısında bir değer ifade ediyor. Doğru ﬁyatlama için opsiyonun beklenen değerinin kullanılması gerekir. max(K-S,0) = max(50-10,0) = 40 ½

Put = ½ * 40 + ½ * 0 = 20 ½

max(K-S,0) = max(50-90,0) = 0

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

9 / 46

Put = ½ * 40 + ½ * 0 = 20 ½

max(K-S,0) = max(50-90,0) = 0

Put değeri: E[f ] = E[f (S)] = 20

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

9 / 46

Jensen Eşitsizliği Giriş Giriş Modelleme: Getiri mi Fiyat mı? Fiyatlar, Getiriler Satım Opsiyonu Hisse Beklenen Değer Satım Opsiyonu Fiyatı Satım Opsiyonu Fiyatı II Jensen Eşitsizliği Jensen Eşitsizliği II Getiriler - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Fiyatlar - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Hisse Getirisi

Opsiyonu ﬁyatlarken beklenti operatörlerinin yeri önemli: E[f (S)] ≥ f (E[S])

(1)

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

10 / 46

Opsiyonu ﬁyatlarken beklenti operatörlerinin yeri önemli: E[f (S)] ≥ f (E[S])

(1)

Konveks dönüşüm uygulanan bir ortalama, konveks değişim sonrası ölçülen ortalamadan küçük veya eşit olur.

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

10 / 46

Opsiyonu ﬁyatlarken beklenti operatörlerinin yeri önemli: E[f (S)] ≥ f (E[S])

(1)

Konveks dönüşüm uygulanan bir ortalama, konveks değişim sonrası ölçülen ortalamadan küçük veya eşit ¯ S ortalaması ise olur. S, S = S¯ + ǫ yazabiliriz. S¯ = E(S) olur, dolayısı ile E[ǫ] = 0.

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

10 / 46

Jensen Eşitsizliği II Giriş Giriş Modelleme: Getiri mi Fiyat mı? Fiyatlar, Getiriler Satım Opsiyonu Hisse Beklenen Değer Satım Opsiyonu Fiyatı Satım Opsiyonu Fiyatı II Jensen Eşitsizliği Jensen Eşitsizliği II Getiriler - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Fiyatlar - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Hisse Getirisi

E[f (S)] fonksiyonunu Taylor açılımı ile ifade edelim: ¯ E[f (S)] = E f ((S) + ǫ)   1 2 ′′ ¯ ′ ¯ ¯  = E f (S + ǫf (S) + ǫ f (S) + . . . | {z } 2 0

1 2 ′′ ¯ ¯ ≈ f (S) + ǫ f (S) 2 1 2 ′′ ¯ = f (E[S]) + ǫ f (S) 2

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

11 / 46

E[f (S)] fonksiyonunu Taylor açılımı ile ifade edelim: ¯ E[f (S)] = E f ((S) + ǫ)   1 2 ′′ ¯ ′ ¯ ¯  = E f (S + ǫf (S) + ǫ f (S) + . . . | {z } 2 0

1 2 ′′ ¯ ¯ ≈ f (S) + ǫ f (S) 2 1 2 ′′ ¯ = f (E[S]) + ǫ f (S) 2

1 Numaralı denklemin sol tarafı sağ tarafından yaklaşık olarak: 1 2 ′′ ¯ ǫ f (S) daha büyüktür. 2

Yansıma Prensibi İtô Lemma

11 / 46

Getiriler - Koç Holding 10.06.1998-14.11.2008

Rassal Yürüyüş

Getiri Dağılımı

Normal 16% 14% 12% 10% 8% 6%

Gözlem%

4% 2% 0% -20,00% -15,00% -10,00% -5,00%

0,00%

5,00% 10,00% 15,00% 20,00%

Getiri

Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

12 / 46

Fiyatlar - Koç Holding 10.06.1998-14.11.2008

Rassal Yürüyüş

Fiyat Dağılımı

Normal 6,00% 5,00% 4,00% 3,00%

Gözlem%

2,00% 1,00% 0,00% 0,24

1,24

2,24

3,24

4,24

5,24

Fiyat

Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

13 / 46

Hisse Getirisi Giriş Giriş Modelleme: Getiri mi Fiyat mı? Fiyatlar, Getiriler Satım Opsiyonu Hisse Beklenen Değer Satım Opsiyonu Fiyatı Satım Opsiyonu Fiyatı II Jensen Eşitsizliği Jensen Eşitsizliği II Getiriler - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Fiyatlar - Koç Holding 10.06.199814.11.2008 Hisse Getirisi

Hisse getirisi basit olarak şu şekilde yazılabilir: S(i + 1) − S(i) R(i) = S(i) Denklemden hareketle: S(i + 1) = S(i)(R(i) + 1)

(2)

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

14 / 46

Getiri dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonun normal dağılım özelliklerine yakın olduğunu kabul edebiliriz. Bu bağlamda getiriler 1 − 1 φ2 √ e 2 2π formuna uygun hareket ediyor denilebilir. φ, N (0, 1) dağılımından rassal olarak elde edilen standart normal değişkendir. Getirileri modellemeye hazırız: S(i + 1) − S(i) R(i) = = ortalama + standart sapma × φ S(i)

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

14 / 46

Ortalama, modelleme dönemine uygun olarak getirilerin ortalaması olarak alınabilir, standart sapma ise örneklem standart sapmasıdır: n X 1 ¯ Ri E[R] = R = n i

n X 2 1 2 ¯ σ = Ri − R n i

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

14 / 46

Yukarıda verdiğimiz örnek kesikli (discrete) zaman için geçerlidir. İlerleyen kısımlarda sürekli zamanda (continuous time) menkul kıymet ﬁyatlarını aşağıdaki şekilde modelleyeceğiz: dS = µdt + σ (standart sapma) × φ S

Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

14 / 46

Giriş Rassal Yürüyüş Rassal Yürüyüş Rassal Yürüyüş Momentleri Rassal Yürüyüş Genellemeler Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi

Rassal Yürüyüş

İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

15 / 46

Rassal Yürüyüş Giriş Rassal Yürüyüş Rassal Yürüyüş Rassal Yürüyüş Momentleri Rassal Yürüyüş Genellemeler Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

Elimizde H0 anındaki ﬁyatı 0 olan ve seçtiğimiz zaman ölçütünde (t) eşit olasıkla bir adım ileri (+1) veya geri (−1) hareket eden, ve bu hareketleri birbirinden bağımsız olan bir hisse senedimiz olduğunu varsayalım t = 1 anı için olasılıklar: 1 P r[H1 = −1] = P r[H1 = 1] = 2

Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

16 / 46

Rassal Yürüyüş Giriş Rassal Yürüyüş Rassal Yürüyüş Rassal Yürüyüş Momentleri Rassal Yürüyüş Genellemeler Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler

İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

16 / 46

İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

16 / 46

Rassal Yürüyüş Giriş

t=0

t=1

t=2

Rassal Yürüyüş Rassal Yürüyüş Rassal Yürüyüş Momentleri Rassal Yürüyüş Genellemeler

3 1/8

1/4

Wiener Süreci

1 1/4 1/4

İtô Lemma

İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

1/2

Yansıma Prensibi

Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler

2 1/8

Aritmetik Brown Hareketi

Geometrik Brown Hareketi

t=3

0 1/4 1/4

1/2 -1

-1 1/8 1/4 -2 1/8

-3 16 / 46

15 10 5 0 -5 -10 -15 1

51 101 151 201 251 301 351 401 451 501 551 601 651 701 751 801 851 901 951

İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

16 / 46

Rassal Yürüyüş Momentleri Giriş Rassal Yürüyüş Rassal Yürüyüş Rassal Yürüyüş Momentleri Rassal Yürüyüş Genellemeler Wiener Süreci

Modelde hisse ﬁyatı p olasılığı ile yukarı, q ; q = 1 − p olasılığı ile aşağı hareket etsin, hareketin boyutunu σ ile gösterelim: n = 1 için beklenen değer (ortalama) varyans ve standart sapma:

Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

E[X1 ] = (p − q)σ =µ E[X12 ] = pσ 2 + qσ 2 = σ2 V ar[X1 ] = E[X12 ] − (E[X1 ])2 = 4σ 2 pq √ SD[X1 ] = 2σ pq 17 / 46

Rassal Yürüyüş Momentleri Giriş Rassal Yürüyüş Rassal Yürüyüş Rassal Yürüyüş Momentleri Rassal Yürüyüş Genellemeler Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

µ = (p − q)σ olarak tanımladık. µ, X değişkeninin eğilimi olarak adlandırılır. ■ p 6= q durumunda X eğilimi µ olan rassal

yürüyüşe tabidir.

■ p = q = 1/2 ise X eğilim olmayan rassal yürüyüşe

tabidir.

Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

17 / 46

n adım için formülü güncelleyelim: E[Xn ] = n(p − q)σ = nµ

V ar[Xn ] = E[Xn2 ] − (E[Xn ])2 = 4σ 2 npq √ SD[X1 ] = 2σ npq

Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

17 / 46

Rassal Yürüyüş Genellemeler Giriş Rassal Yürüyüş Rassal Yürüyüş Rassal Yürüyüş Momentleri Rassal Yürüyüş Genellemeler Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

■ Hisse zaman ölçütünde bir adım hareket ediyorsa

n = t yazabiliriz. ■ Rassal yürüşüyün ortalaması zaman, standart

sapması ise zamanın karekökü ile orantılıdır. ■ Finans alanında getiriler markov özelliğine uygun

olarak olarak rassal yürüyüş şeklinde modellenir. ■ Getirilerin birbirini takibeden dönemlerde bağımsız

olduğu varsayılır. ■ Son olarak dönemsel getiri varyansı sabit ve σ 2 ise 2 dönemin tamamı (T) için varyansı σ T standart √ sapmayı ise σ T olarak ifade edebiliriz.

■ Finansal piyasada getirilerin standart sapması

volatilite olarak adlandırılır.

18 / 46

■ Hisse zaman ölçütünde bir adım hareket ediyorsa

n = t yazabiliriz. ■ Rassal yürüşüyün ortalaması zaman, standart

sapması ise zamanın karekökü ile orantılıdır. ■ Finans alanında getiriler markov özelliğine uygun

olarak olarak rassal yürüyüş şeklinde modellenir. ■ Getirilerin birbirini takibeden dönemlerde bağımsız

olduğu varsayılır. ■ Son olarak dönemsel getiri varyansı sabit ve σ 2 ise 2 dönemin tamamı (T) için varyansı σ T standart √ sapmayı ise σ T olarak ifade edebiliriz.

■ Finansal piyasada getirilerin standart sapması

volatilite olarak adlandırılır.

18 / 46

■ Hisse zaman ölçütünde bir adım hareket ediyorsa

n = t yazabiliriz. ■ Rassal yürüşüyün ortalaması zaman, standart

sapması ise zamanın karekökü ile orantılıdır. ■ Finans alanında getiriler markov özelliğine uygun

olarak olarak rassal yürüyüş şeklinde modellenir. ■ Getirilerin birbirini takibeden dönemlerde bağımsız

olduğu varsayılır. ■ Son olarak dönemsel getiri varyansı sabit ve σ 2 ise 2 dönemin tamamı (T) için varyansı σ T standart √ sapmayı ise σ T olarak ifade edebiliriz.

■ Finansal piyasada getirilerin standart sapması

volatilite olarak adlandırılır.

18 / 46

■ Hisse zaman ölçütünde bir adım hareket ediyorsa

n = t yazabiliriz. ■ Rassal yürüşüyün ortalaması zaman, standart

sapması ise zamanın karekökü ile orantılıdır. ■ Finans alanında getiriler markov özelliğine uygun

olarak olarak rassal yürüyüş şeklinde modellenir. ■ Getirilerin birbirini takibeden dönemlerde bağımsız

olduğu varsayılır. ■ Son olarak dönemsel getiri varyansı sabit ve σ 2 ise 2 dönemin tamamı (T) için varyansı σ T standart √ sapmayı ise σ T olarak ifade edebiliriz.

■ Finansal piyasada getirilerin standart sapması

volatilite olarak adlandırılır.

18 / 46

■ Hisse zaman ölçütünde bir adım hareket ediyorsa

n = t yazabiliriz. ■ Rassal yürüşüyün ortalaması zaman, standart

sapması ise zamanın karekökü ile orantılıdır. ■ Finans alanında getiriler markov özelliğine uygun

olarak olarak rassal yürüyüş şeklinde modellenir. ■ Getirilerin birbirini takibeden dönemlerde bağımsız

olduğu varsayılır. ■ Son olarak dönemsel getiri varyansı sabit ve σ 2 ise 2 dönemin tamamı (T) için varyansı σ T standart √ sapmayı ise σ T olarak ifade edebiliriz.

■ Finansal piyasada getirilerin standart sapması

volatilite olarak adlandırılır.

18 / 46

■ Hisse zaman ölçütünde bir adım hareket ediyorsa

n = t yazabiliriz. ■ Rassal yürüşüyün ortalaması zaman, standart

sapması ise zamanın karekökü ile orantılıdır. ■ Finans alanında getiriler markov özelliğine uygun

olarak olarak rassal yürüyüş şeklinde modellenir. ■ Getirilerin birbirini takibeden dönemlerde bağımsız

olduğu varsayılır. ■ Son olarak dönemsel getiri varyansı sabit ve σ 2 ise 2 dönemin tamamı (T) için varyansı σ T standart √ sapmayı ise σ T olarak ifade edebiliriz.

■ Finansal piyasada getirilerin standart sapması

volatilite olarak adlandırılır.

18 / 46

Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Wiener Süreci Özellikler Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi

Wiener Süreci

Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

19 / 46

Wiener Süreci Özellikler Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Wiener Süreci Özellikler Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

Eğer bir z değişkeni Wiener sürecine bağlı hareket ediyorsa iki özelliği vardır: 1. Kısa δt zamanındaki δz değişimi: √ δz = ǫ δt ǫ φ(0, 1) standart normal dağılımından rassal seçilen bir sayıdır. 2. İki değişik kısa δt zaman aralığında oluşan δz değerleri birbirinden bağımsızdır İkinci özellik Wiener sürecinin markov süreci özelliklerine sahip olduğunu gösterir. 20 / 46

Wiener Süreci Özellikler Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Wiener Süreci Özellikler Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi

δz aşağıdaki parametreler ile tanımlanan normal dağılıma uygun hareket eder: ■ δz ortalaması: 0 ■ δz varyansı: δt ■ δz standart sapması:

√

δt

Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

20 / 46

δz aşağıdaki parametreler ile tanımlanan normal dağılıma uygun hareket eder: ■ δz ortalaması: 0 ■ δz varyansı: δt ■ δz standart sapması:

√

δt

Wiener süreci, Markov stokastik sürecinin yıllık ortalaması 0 ve varyansı 1 olarak ifade edilen özel bir türüdür. Uzun bir T zamanı için z artışını z(T ) − z(0) şekline yazabiliriz. Artışın N kadar δt küçük zaman adımında gerçekleşen toplam artış olduğunu söyleyebiliriz: T δt = N

20 / 46

yazabiliriz. 20 / 46

Böylece: N X √ ǫ δt Z(T ) − Z(0) = i=1

yazabiliriz. ǫi (i = 1, 2, 3, . . . , N ), N (0, 1) rassaldır ve ǫi değerleri birbirinden bağımsızdır. Z(T ) − Z(0) aşağıdaki özelliklere uygun olarak normal dağılır: ■ [z(T ) − z(0)] beklenen değeri (ortalaması):= 0 ■ [z(T ) − z(0)] varyansı = N δt = T

20 / 46

δt değerini sıfıra √ yaklaştırırsak ne olur? δt değeri sıfıra yaklaştıkça δt değeri büyür bu da oluşan yolun çok girinti-çıkıntılı olmasına yol açar. √ Wiener sürecinin δt özelliği ile alakalı olarak iki özelliği: 1. Herhangi bir zaman aralığında z tarafından izlenecek yolun beklenen uzunluğu sonsuzdur. 2. Herhangi bir zaman aralığında z belirlenmiş bir değere sonsuz defa eşit olur.

20 / 46

Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Aritmetik Brown Hareketi Giriş Tanım ABM, t = 0, 000685 yıl, µ = %10, σ = %20

Aritmetik Brown Hareketi

Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

21 / 46

Aritmetik Brown Hareketi Giriş Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Aritmetik Brown Hareketi Giriş Tanım ABM, t = 0, 000685 yıl, µ = %10, σ = %20

Rassal yürüyüş t = n∆t zamanında n adım sonrasında beklenen değer ve varyansını hatırlayalım: E[Xn ] = n(p − q)∆x

t V ar[Xn ] = 4npq(∆x) = 4 pq(∆x)2 ∆t 2

Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

22 / 46

Aritmetik Brown Hareketi Giriş Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Aritmetik Brown Hareketi Giriş Tanım ABM, t = 0, 000685 yıl, µ = %10, σ = %20 Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler

Rassal yürüyüş parametrelerini -p, q , ∆x - kalibre ederek ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan X(t) sürekli zaman dağılımını nasıl elde edebiliriz? Denklem olarak ifade edelim:

t (p − q)∆x → µt E[X(t)] = ∆t t V ar[X(t)] = 4 pq(∆x)2 → σ 2 t ∆t

İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

22 / 46

Aritmetik Brown Hareketi Giriş Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Aritmetik Brown Hareketi Giriş Tanım ABM, t = 0, 000685 yıl, µ = %10, σ = %20

Denklemlerin çözümleri: √

1 µ ∆t p= + 2 2σ √ 1 µ ∆t p= − 2 2σ

Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

22 / 46

Tanım Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Aritmetik Brown Hareketi Giriş Tanım ABM, t = 0, 000685 yıl, µ = %10, σ = %20 Yansıma Prensibi

X limit süreci eğilimi µ volatilitesi σ olan Aritmetik Brown Hareketi olarak adlandırılır. Özellikleri: 1. X(0)=0 2. Artışlar bağımsızdır (Independent increments) √ 3. X(t) ortalaması µt ve volatilitesi σ t olur. X(t)normal dağılım kurallarına uygundur.

İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

4. Türevi alınamaz (Non-diﬀerantiable) 5. Oluşan yollar süreklidir, sıçrama görülmez (No Jumps)

23 / 46

Tanım Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Aritmetik Brown Hareketi Giriş Tanım ABM, t = 0, 000685 yıl, µ = %10, σ = %20

Aritmetik Brown hareketi normal dağılıma uygun olduğuna göre standard normal değişken olarak yazılabilir: X(t) − µt √ =φ σ t Aritmetik Brown hareketi formülünü X(0) = 0 koşulu ile yazacak olursak:

Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi

X(t) = µt + σW (t)

Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

23 / 46

Tanım Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Aritmetik Brown Hareketi Giriş Tanım ABM, t = 0, 000685 yıl, µ = %10, σ = %20 Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi

W (t) standart Brown hareketi veya Wiener süreci olarak adlandırılır ve Aritmetik Brown hareketinin ortalaması sıfır, varyansı 1 olan özel bir türüdür. Dolayısı ile W (t) parametreleri: ■ p = q = 12 ■ ∆x =

√

∆t

olan basit rassal yürüyüşün sürekli zamanda alınmış limitidir.

Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

23 / 46

ABM, t = 0, 000685 yıl, µ = %10, σ = %20 Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Aritmetik Brown Hareketi Giriş Tanım ABM, t = 0, 000685 yıl, µ = %10, σ = %20

Fiyat

Aritmetik Brown Hareketi

Sürüklenme

Yansıma Prensibi Wiener

İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler

Zaman

İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

24 / 46

Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi Yansıma Prensibi Giriş Olasılıkların Toplamı Yansıma Prensibi Yansıma Prensibi II Çarpma Olasılığı Sürüklenmesi Sıfırdan Farklı ABM

Yansıma Prensibi

İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

25 / 46

Yansıma Prensibi Giriş Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi Yansıma Prensibi Giriş Olasılıkların Toplamı Yansıma Prensibi Yansıma Prensibi II Çarpma Olasılığı Sürüklenmesi Sıfırdan Farklı ABM İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

■ Eğilim olmayan (driftless) Aritmetik Brown

hareketinde ◆ X(t) = W (t), ◆ µ=0

sıfır anında X(t) nin T zamanına kadar a değerine (a > X(0)) ulaşma olasılığı nedir? ■ Ta X(t) nin a noktasına ilk çarptığı an olsun.

Ta < t anında a noktasına ulaşılırsa X(t) eşit olasıkla a seviyesinin üstünde veya altında olacaktır. Ta dan başlayıp t anında a noktasını aşan her yol için a nın altında biten simetrik bir yol mevcuttur. 26 / 46

Olasılıkların Toplamı Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi

Olasılıkların toplamı kuralına göre herhangi bir (A, B) çifti için aşağıdaki denklemi yazabiliriz: P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|B c )P (B c )

Yansıma Prensibi Yansıma Prensibi Giriş Olasılıkların Toplamı Yansıma Prensibi Yansıma Prensibi II Çarpma Olasılığı Sürüklenmesi Sıfırdan Farklı ABM İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

27 / 46

Yansıma Prensibi Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi Yansıma Prensibi Giriş Olasılıkların Toplamı Yansıma Prensibi Yansıma Prensibi II Çarpma Olasılığı Sürüklenmesi Sıfırdan Farklı ABM

P r {X(t) ≥ a, Ta ≤ t}

1 = P r {X(t) ≤ a, Ta ≤ t} = 2

P r {X(t) ≥ a} = P r {X(t) ≥ a, Ta ≤ t} P r {Ta ≤ t} + P r {X(t) ≥ a, Ta ≥ t} P r {Ta ≥ t}

(2)

(3)

İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler

P r {X(t) ≥ a, Ta ≥ t} = 0

(4)

İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

28 / 46

Yansıma Prensibi II Giriş Rassal Yürüyüş

Denklem 4 ve denklem 2’yi denklem 3’e yerleştirirsek:

Wiener Süreci

P r {Ta ≤ t} = 2P r {X(t) ≥ a}

Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi Yansıma Prensibi Giriş Olasılıkların Toplamı Yansıma Prensibi Yansıma Prensibi II Çarpma Olasılığı Sürüklenmesi Sıfırdan Farklı ABM İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

ifadesini oluşturabiliriz. M (t) [0, t] süresinde oluşan Brown patikasında ulaşılan en yüksek nokta olsun, M (t) ≡ max X(u), u ∈ [0, t] ise {Ta ≤ t} ve {M (t) ≥ a}

aynı şeyi ifade eder:

P r {M (t) ≥ a} = P r {Ta ≤ t} = 2P r {X(t) ≥ a} 29 / 46

Ă&#x2021;arpma OlasÄąlÄąÄ&#x;Äą GiriĹ&#x; Rassal YĂźrĂźyĂźĹ&#x; Wiener SĂźreci Aritmetik Brown Hareketi YansÄąma Prensibi YansÄąma Prensibi GiriĹ&#x; OlasÄąlÄąklarÄąn ToplamÄą YansÄąma Prensibi YansÄąma Prensibi II Ă&#x2021;arpma OlasÄąlÄąÄ&#x;Äą SĂźrĂźklenmesi SÄąfÄąrdan FarklÄą ABM Ä°tĂ´ Lemma

Aritmetik Brown hareketi verilen bir zamanda a noktasÄąna Ă§arpacak bir maksimum seviyesi oluĹ&#x;ma ihtimali: P r {M (t) â&#x2030;Ľ a} = P r {Ta â&#x2030;¤ t} = 2P r {X(t) â&#x2030;Ľ a} n o â&#x2C6;&#x161; = 2P r X(0) + Ď&#x192;ÇŤ t â&#x2030;Ľ a X(0) â&#x2C6;&#x2019; a â&#x2C6;&#x161; =ÎŚ Ď&#x192; t

Geometrik Brown Hareketi Ă&#x2021;ok Boyutlu Ä°tĂ´ FormĂźlĂź, BaÄ&#x;ÄąmsÄąz SĂźreĂ§ler Ä°liĹ&#x;kili (Correlated) Wiener SĂźreĂ§leri

30 / 46

Çarpma Olasılığı Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi Yansıma Prensibi Giriş Olasılıkların Toplamı Yansıma Prensibi Yansıma Prensibi II Çarpma Olasılığı Sürüklenmesi Sıfırdan Farklı ABM

Φ kümülatif standart normal dağılım fonksiyonudur ve Z x 2 1 − u2 Φ≡ √ e du 2π −∞ denklemi ile ifade edilir

İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

30 / 46

Sürüklenmesi Sıfırdan Farklı ABM Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi

Süreklenmesi sıfırdan farklı olan Aritmetik Brown süreci: X(t) = X(0) + µt + σW (t)

31 / 46

SĂźrĂźklenmesi SÄąfÄąrdan FarklÄą ABM GiriĹ&#x; Rassal YĂźrĂźyĂźĹ&#x; Wiener SĂźreci Aritmetik Brown Hareketi YansÄąma Prensibi YansÄąma Prensibi GiriĹ&#x; OlasÄąlÄąklarÄąn ToplamÄą YansÄąma Prensibi YansÄąma Prensibi II Ă&#x2021;arpma OlasÄąlÄąÄ&#x;Äą SĂźrĂźklenmesi SÄąfÄąrdan FarklÄą ABM Ä°tĂ´ Lemma Geometrik Brown Hareketi Ă&#x2021;ok Boyutlu Ä°tĂ´ FormĂźlĂź, BaÄ&#x;ÄąmsÄąz SĂźreĂ§ler

SĂźreklenmesi sÄąfÄąrdan farklÄą olan Aritmetik Brown sĂźreci: X(t) = X(0) + Âľt + Ď&#x192;W (t) OluĹ&#x;an patikanÄąn a (a > X(0)) noktasÄąna ulaĹ&#x;ma olasÄąlÄąÄ&#x;Äą: P r {M (t) â&#x2030;Ľ a} = P r {Ta â&#x2030;¤ t} X(0) â&#x2C6;&#x2019; a + Âľt â&#x2C6;&#x161; =ÎŚ Ď&#x192; t X(0) â&#x2C6;&#x2019; a â&#x2C6;&#x2019; Âľt 2Âľ[aâ&#x2C6;&#x2019;X(0)]/Ď&#x192; 2 â&#x2C6;&#x161; ÎŚ +e Ď&#x192; t

Ä°liĹ&#x;kili (Correlated) Wiener SĂźreĂ§leri

31 / 46

SĂźreklenmesi sÄąfÄąrdan farklÄą olan Aritmetik Brown sĂźreci: X(t) = X(0) + Âľt + Ď&#x192;W (t) OluĹ&#x;an patikanÄąn a (a > X(0)) noktasÄąna ulaĹ&#x;mama olasÄąlÄąÄ&#x;Äą: P r {M (t) â&#x2030;¤ a} = P r {Ta â&#x2030;Ľ t} a â&#x2C6;&#x2019; X(0) â&#x2C6;&#x2019; Âľt â&#x2C6;&#x161; =ÎŚ Ď&#x192; t X(0) â&#x2C6;&#x2019; a â&#x2C6;&#x2019; Âľt 2Âľ[aâ&#x2C6;&#x2019;X(0)]/Ď&#x192; 2 â&#x2C6;&#x161; ÎŚ â&#x2C6;&#x2019;e Ď&#x192; t

Ä°liĹ&#x;kili (Correlated) Wiener SĂźreĂ§leri

31 / 46

SĂźreklenmesi sÄąfÄąrdan farklÄą olan Aritmetik Brown sĂźreci: X(t) = X(0) + Âľt + Ď&#x192;W (t) M (t) [0, t] aralÄąÄ&#x;Äąnda a noktasÄąna ulaĹ&#x;mayacak ve X(t) b noktasÄąnÄąn altÄąnda kalacak. . .

b â&#x2C6;&#x2019; X(0) â&#x2C6;&#x2019; Âľt â&#x2C6;&#x161; P {M (t) < a, X(t) < b} = ÎŚ Ď&#x192; t b â&#x2C6;&#x2019; 2a + X(0) â&#x2C6;&#x2019; Âľt 2Âľ[aâ&#x2C6;&#x2019;X(0)]/Ď&#x192; 2 â&#x2C6;&#x161; ÎŚ â&#x2C6;&#x2019;e Ď&#x192; t

Ä°liĹ&#x;kili (Correlated) Wiener SĂźreĂ§leri

31 / 46

Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma İto Lemma, Giriş Kurallar

İtô Lemma

Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

32 / 46

İto Lemma, Giriş Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma İto Lemma, Giriş Kurallar Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

Sezgisel olarak İtô Lemma’nın aşağıdaki çarpım tablosu’nu kullanarak gerçekleştirilmiş Taylor genleşmesi olduğunu söyleyebiliriz. Formüllerde, dt den daha küçük terimleri gözardı edeceğiz. Kuralları kısaca gözden geçirelim: 1 1 1 dW dW dt dt

dW dt dW dt 0

dt 0 0

33 / 46

Kurallar Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma İto Lemma, Giriş Kurallar Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

■ Kural 1: (dt) = 0,

(∆t)2 lim∆t→0 ∆t

■ Kural 2: dW × dt = 0,

E (dW dt) = dtE (dW ) = 0 ve V ar (dW dt) = (dt)3 = 0. Bir rassal değişken, varyansı oldukça küçük ise ortalama-kare de beklentisine yanaşır. Bizim örneğimizde sıfır. √ 2 2 2 ■ Kural 3: (dW ) = dt E(dW ) = E(φ t) = dt varyans, V ar[(dW )2 ] = E(dw)4 − [E(dW )2 ]2 = 2(dt)2 (dW )2 Rassal değişkenimiz ortalama-kare de dt değerine yanaşır. 34 / 46

Itô süreci genel denklemini yazabiliriz: dXt = µt dt + σt dW (t) f (Xt , t) fonksiyonunun toplam değişimini hesaplamak istiyoruz (f , X(t) ye göre en az iki defa türevi alınabilir olmalı). f fonksiyonunu Taylor genleşmesi yardımı ile ikinci dereceye kadar açalım: ∂f ∂f dX + dt df [X(t), t] = ∂X ∂t 1 ∂ 2f ∂ 2f 1 ∂ 2f 2 2 + (dX) + (dt) + ··· dXdt + 2 2 2 ∂X ∂X∂t 2 ∂t

34 / 46

dX denklemini, açılıma yerleştirip çarpım tablosunu kullanarak süreci ifade edelim: ∂f 1 ∂ 2f ∂f 2 (dt) dt + [µdt + σdW ] + df = 2 ∂t ∂X 2 ∂t | {z } 0

∂2f 1 ∂ 2f 2 [µdt + σdW ] + dt [µdt + σdW ] + 2 2 ∂X ∂t∂X ∂f ∂f ∂f = dt + µ dt + σ dW ∂t ∂X ∂X 1 ∂ 2f 2 2 2 2 + µ (dt) + σ (dW ) + 2µσdt · dW 2 2 ∂X ∂ 2f ∂ 2f 2 +µ (dt) + σ dt · dW ∂t∂X ∂t∂X

34 / 46

Kurallar GiriĹ&#x; Rassal YĂźrĂźyĂźĹ&#x; Wiener SĂźreci

Ă&#x2021;arpÄąm tablosundan faydalanarak denklemi sadeleĹ&#x;tirelim:

Aritmetik Brown Hareketi YansÄąma Prensibi Ä°tĂ´ Lemma Ä°to Lemma, GiriĹ&#x; Kurallar

df =

â&#x2C6;&#x201A;f â&#x2C6;&#x201A;f 1 2â&#x2C6;&#x201A; f +Âľ + Ď&#x192; â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;X 2 â&#x2C6;&#x201A;X 2

â&#x2C6;&#x201A;f dt + Ď&#x192; dW â&#x2C6;&#x201A;X

Geometrik Brown Hareketi Ă&#x2021;ok Boyutlu Ä°tĂ´ FormĂźlĂź, BaÄ&#x;ÄąmsÄąz SĂźreĂ§ler Ä°liĹ&#x;kili (Correlated) Wiener SĂźreĂ§leri

34 / 46

Kurallar Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi

Zaman ve varlık ﬁyatına göre hareket eden stokastik süreçler için İtô stokastik denklemini elde ettik. Bundan sonra varlık ﬁyatlarına dair süreçleri İtô Lemma yardımı ile çözeceğiz.

İtô Lemma İto Lemma, Giriş Kurallar Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

34 / 46

Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Geometrik Brown Hareketi Giriş GBH ve İto’nun Lemması GBH Örnek GBH Örnek II GBH Momentleri Lognormal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu

Geometrik Brown Hareketi

Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

35 / 46

Geometrik Brown Hareketi Giriş Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Geometrik Brown Hareketi Giriş GBH ve İto’nun Lemması GBH Örnek GBH Örnek II GBH Momentleri Lognormal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu

Aritmetik Brown hareketi ve rassal yürüyüşü detaylı olarak analiz ettik. İki modelde de hisse ya da daha doğrusu menkul kıymet ﬁyatları negatif değerler alabiliyordu. Finansal varlıklar negatif değer ile alınıp satılamaz en kötü ihtimalle değeri sıfır olur. Geometrik Brown hareketi stokastik denklemi: dS = µSdt + σSdW

(5)

Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

36 / 46

Geometrik Brown Hareketi Giriş Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi

Aritmetik Brown hareketinden farklı olarak, denkleme ‘S’ hisse senedi dahil edildi. Geometrik Brown Hareketini, İtô Lemma’yı kullanarak ifade ebiliriz. 5 numaralı eşitliği aşağıdaki gibi yazabiliriz:

İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Geometrik Brown Hareketi Giriş GBH ve İto’nun Lemması GBH Örnek GBH Örnek II GBH Momentleri Lognormal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler

dS = µdt + σdW S , ln (S) ifadesinin türevidir. ■ dS S , d ln S olarak tanımlanırsa ■ dS S ■ Sürecin Y = ln S modeline uygun hareket ettiğini

söyleyebiliriz.

İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

36 / 46

GBH ve Ä°toâ&#x20AC;&#x2122;nun LemmasÄą GiriĹ&#x; Rassal YĂźrĂźyĂźĹ&#x; Wiener SĂźreci Aritmetik Brown Hareketi YansÄąma Prensibi Ä°tĂ´ Lemma Geometrik Brown Hareketi Geometrik Brown Hareketi GiriĹ&#x; GBH ve Ä°toâ&#x20AC;&#x2122;nun LemmasÄą GBH Ă&#x2013;rnek GBH Ă&#x2013;rnek II GBH Momentleri Lognormal KĂźmĂźlatif DaÄ&#x;ÄąlÄąm Fonksiyonu Ă&#x2021;ok Boyutlu Ä°tĂ´ FormĂźlĂź, BaÄ&#x;ÄąmsÄąz SĂźreĂ§ler Ä°liĹ&#x;kili (Correlated) Wiener SĂźreĂ§leri

Y = ln S denklemine, hisse ve zamana baÄ&#x;lÄą deÄ&#x;iĹ&#x;en stotastik diferansiyel denklem olduÄ&#x;u iĂ§in Ä°tĂ´ Lemmaâ&#x20AC;&#x2122;yÄą uygulamamÄąz gerekir: â&#x2C6;&#x201A;f 1 â&#x2C6;&#x201A;f 1 â&#x2C6;&#x201A; 2f = ; 2 = â&#x2C6;&#x2019; 2; =0 â&#x2C6;&#x201A;S S â&#x2C6;&#x201A;S S â&#x2C6;&#x201A;t BulduÄ&#x;umuz deÄ&#x;erleri 2 â&#x2C6;&#x201A;f â&#x2C6;&#x201A;f 1 2â&#x2C6;&#x201A; f 2 â&#x2C6;&#x201A;f df = S dt + Ď&#x192; SdW +Âľ S+ Ď&#x192; 2 â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;S 2 â&#x2C6;&#x201A;S â&#x2C6;&#x201A;S denkleminde yerine koyalÄąm. (Ä°tĂ´ stokastik denklemini â&#x20AC;&#x2DC;varlÄąk ďŹ yatÄą Sâ&#x20AC;&#x2122; parametresini ekleyerek yeniden dĂźzenledik. ) 37 / 46

1 1 2 1 1 2 dlnS = 0 + Âľ S + Ď&#x192; â&#x2C6;&#x2019; 2 S dt + Ď&#x192; SdW S 2 S S 1 2 = Âľ â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x192; dt + Ď&#x192;dW 2 Denklemin [0, T ] arasÄąnda integralini alarak hisse hareketlerinin nasÄąl geliĹ&#x;tiÄ&#x;ini formĂźle edebiliriz: Z T Z T Z T 1 2 d (lnS) = Âľ â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x192; dW dt + Ď&#x192; 2 0 0 0 1 2 ln (ST ) â&#x2C6;&#x2019; ln (S0 ) = Âľ â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x192; T + Ď&#x192; (W (T ) â&#x2C6;&#x2019; W (0)) 2

Ä°liĹ&#x;kili (Correlated) Wiener SĂźreĂ§leri

37 / 46

ST S0

â&#x2C6;&#x161;

ln (ST )â&#x2C6;&#x2019;ln (S0 ) = ln ; W (0) = 0; W (T ) = ÇŤ T deÄ&#x;erlerini denkleme yerleĹ&#x;tirelim: â&#x2C6;&#x161; ST 1 2 ln = Âľ â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x192; T + Ď&#x192;ÇŤ T S0 2 ST deÄ&#x;erini elde etmek iĂ§in son adÄąm fonksiyonu Ăźstel hale getirip yeniden dĂźzenlemek: ST = S0 exp

1 2 Âľâ&#x2C6;&#x2019; Ď&#x192; 2

â&#x2C6;&#x161; T + Ď&#x192;ÇŤ T

Ă&#x2021;ok Boyutlu Ä°tĂ´ FormĂźlĂź, BaÄ&#x;ÄąmsÄąz SĂźreĂ§ler Ä°liĹ&#x;kili (Correlated) Wiener SĂźreĂ§leri

37 / 46

GBH ve İto’nun Lemması Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Geometrik Brown Hareketi Giriş GBH ve İto’nun Lemması GBH Örnek GBH Örnek II GBH Momentleri Lognormal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu

■ ǫ N (0, 1) dağılımından elde edilen standart

normal rassal bir sayıdır. ■ S(T ) değeri her zaman pozitiftir. ■ S(T ) sıfır olursa daima sıfır olarak kalır. ■ Varlık ﬁyatının sıfır noktası tarafından

yutulmaması (not absorbed) halinde varlık ﬁyatının sıfırdan biraz dahi farklılaşabileceğini düşünen spekülatör varlığı bedavaya satın alır ve sonsuz para kazanma şansını elde edebilirdi.

Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

37 / 46

GBH Örnek Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Geometrik Brown Hareketi Giriş GBH ve İto’nun Lemması GBH Örnek GBH Örnek II GBH Momentleri Lognormal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu

■ ABC Hisse senedi aşağıda yazdığımız Geometrik

Brown Hareketi formuna uygun hareket ediyor olsun: dS(t) = 0, 15S(t)dt + 0, 44S(t)dW (t)

■ Hissenin bugünkü ﬁyatı 3, 80 ise, 6 ay sonunda

(t = 0, 5) %95 güven aralığında hisse ﬁyatı sınırları ne olurdu?

Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

38 / 46

■ ABC Hisse senedi aşağıda yazdığımız Geometrik

Brown Hareketi formuna uygun hareket ediyor olsun: dS(t) = 0, 15S(t)dt + 0, 44S(t)dW (t)

■ Hissenin bugünkü ﬁyatı 3, 80 ise, 6 ay sonunda

(t = 0, 5) %95 güven aralığında hisse ﬁyatı sınırları ne olurdu?

Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

38 / 46

GBH Örnek II Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci

S(t) = 3, 80e

0,15−

0,442 2

√ 0,5+0,44φ 0,5

Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Geometrik Brown Hareketi Giriş GBH ve İto’nun Lemması GBH Örnek GBH Örnek II GBH Momentleri Lognormal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

39 / 46

GBH Örnek II Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma

S(t) = 3, 80e

0,15−

0,442 2

√ 0,5+0,44φ 0,5

Standart normal değişken ‘φ’ %95 olasılıkla [-1,96 1,96] aralığında gerçekleşir. ABC hissesi 6 ay sonunda %95 olasıkla [2,12 7,18] aralığında olacak.

Geometrik Brown Hareketi Geometrik Brown Hareketi Giriş GBH ve İto’nun Lemması GBH Örnek GBH Örnek II GBH Momentleri Lognormal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

39 / 46

GBH Momentleri Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Geometrik Brown Hareketi Giriş GBH ve İto’nun Lemması GBH Örnek GBH Örnek II GBH Momentleri Lognormal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu

Geometrik Brown Hareketi çerçevesinde finansal varlık fiyatları (S(0) = s0 koşulu ile) lognormal, finansal varlık fiyatı logaritmik getirileri ise normal olarak dağılır. GBH denklemini üstel hale gelmeden önceki hali ile yazalım: √ 1 2 ln (ST ) = ln (s0 ) + µ − σ T + σǫ T 2

Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

40 / 46

Sıfır anında ln [S(T )] ortalama ve varyansını hesaplayalım: Ortalama: 1 2 E {ln [S(T )]} = ln s0 + µ − σ T 2

Varyans:

V ar {ln [S(T )]} = σ 2 T

Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

40 / 46

Lognormal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi

P r[S(t) ≤ s] =

−∞

1 √

σS 2πt

ln −

S−

(

)

2 s0 + µ− 1 2σ T 2σ 2 t

41 / 46

Lognormal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Geometrik Brown Hareketi Giriş GBH ve İto’nun Lemması GBH Örnek GBH Örnek II GBH Momentleri Lognormal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu

P r[S(t) ≤ s] =

−∞

1 √

σS 2πt

ln −

S−

(

)

2 s0 + µ− 1 2σ T 2σ 2 t

S(T ) lognormal dağılıyorsa, Log S(T ) normal dağılır. Bu özelliği kullanarak, değişkenleri dönüştürüp yeniden tanımlayarak lognormal kümülatif dağılım fonksiyonunu normal kümülatif dağılıma çevirebiliriz:

Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

41 / 46

Lognormal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi

P r[S(t) ≤ s] =

−∞

1 √

σS 2πt

ln −

S−

(

)

2 s0 + µ− 1 2σ T 2σ 2 t

1 2 ln s − ln s0 + µ − 2 σ T √ u≡ σ T 2 1 Z ln S− ln s0 √+(µ− 2 σ )T σ T −u2 1 e 2 du P r[S(t) ≤ s] = √ 2π ( −∞ ) 1 2 ln s − ln s0 + µ − 2 σ T √ =Φ σ T

İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

41 / 46

Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler Çok Boyutlu İto Denklemi

Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler

İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

42 / 46

Çok Boyutlu İto Denklemi Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi

Çok boyutlu X = (X1 , . . . , Xn )∗ vektör sürecinin Xi bileşeni stokastik diferansiyal denklemi

İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler Çok Boyutlu İto Denklemi İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

dXi (t) = µi (t)dt +

d X

σij dWj (t)

j=1

şeklindeyse sürecin stokastik diferansiyel denklemini Îto Formulü kullanarak yazabiliriz:

43 / 46

Çok Boyutlu İto Denklemi Giriş Rassal Yürüyüş

f : R+ × Rn → R C 1,2 eşleşmesi iken:

Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler Çok Boyutlu İto Denklemi

n X ∂f ∂f df (t, X(t)) = dXi dt + ∂t ∂Xi i=1 n

1 X X ∂ 2f dXi dXj + 2 i=1 j=1 ∂Xi ∂Xj

İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

43 / 46

Çok Boyutlu İto Denklemi Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi

İto çarpım tablosu (dWi )(dWj ) = 0, i 6= j ifadesi ile genişletilip f (t, X(t)) stokastik değişim süreci ifade edilebilir:

Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler Çok Boyutlu İto Denklemi İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

df =

(

∂f + ∂t

n X i=1

n X

∂f ∂2f 1 + µi Cij ∂Xi 2 i,j=1 ∂Xi ∂Xj

)

n X ∂f σi dW + ∂Xi i=1

σi satır vektörü, σ matrisinin i’nci satırıdır. C matrisi ise C = σσ T , σ T devrik (transpoze)matris.

43 / 46

Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler

İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri

İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri İlişkili Wiener Süreçleri İlişkili Wiener Süreçleri Örnek

44 / 46

■ Bir Wiener süreci vektörü W1 , . . . , Wn için ρ

korelasyon matrisinin verildiğini kabul edelim.

■ Eğer (X1 , . . . , Xk )∗ vektörünün stokastik

diferansiyel denkleminin olduğunu varsayar isek ilişkili Wiener süreçleri için aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:

İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri İlişkili Wiener Süreçleri İlişkili Wiener Süreçleri Örnek

45 / 46

İlişkili Wiener Süreçleri Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri İlişkili Wiener Süreçleri İlişkili Wiener Süreçleri Örnek

■ Bir Wiener süreci vektörü W1 , . . . , Wn için ρ

korelasyon matrisinin verildiğini kabul edelim.

■ Eğer (X1 , . . . , Xk )∗ vektörünün stokastik

diferansiyel denkleminin olduğunu varsayar isek ilişkili Wiener süreçleri için aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:

Herhangi bir C 1,2 fonksiyonu f için f (t, X(t)) sürecinin stokastik değişimi : n n X ∂f ∂f 1 X ∂2f df (t, X(t)) = dt+ dXi + dXi dXj ∂t ∂Xi 2 i,j=1 ∂Xi ∂Xj i=1

45 / 46

İlişkili Wiener Süreçleri Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci

Herhangi bir C 1,2 fonksiyonu f için f (t, X(t)) sürecinin stokastik değişimi :

Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri İlişkili Wiener Süreçleri İlişkili Wiener Süreçleri Örnek

n n X 1 X ∂2f ∂f ∂f dXi + dXi dXj df (t, X(t)) = dt+ ∂t ∂Xi 2 i,j=1 ∂Xi ∂Xj i=1

Kullandığımız çarpım tablosu: (dt)2 = 0 dt · dWi = 0, i = 1, . . . , n dWi · dW j = ρij dt

45 / 46

İlişkili Wiener Süreçleri Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi

k=n ve dX; dXi = µi (t)dt + σi dWi , i = 1, . . . , n yapısında ise; µ1 , . . . , µn ve σ1 , . . . , σn skalar süreçler olduğunda f (t, X(t)) süreci stokastik değişim denklemi aşağıdaki şekliyle yazılabilir:

İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri İlişkili Wiener Süreçleri İlişkili Wiener Süreçleri Örnek

df =

(

∂f + ∂t

n X

∂f ∂f 1 σi σj ρij µi + ∂xi 2 i,j=1 ∂xi ∂xj i=n +

n X i=1

)

∂f dWi σi ∂Xi

45 / 46

İlişkili Wiener Süreçleri Örnek Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri İlişkili Wiener Süreçleri İlişkili Wiener Süreçleri Örnek

İMKB 30 Endeksi TL cinsinden ﬁyatlanmaktadır. Endeksi, USD cinsinden modellemek istersek bu işlemi nasıl gerçekleştirmemiz gerekir? İstediğimiz modelleme: ■ Endeks

USD

İMKB Ulusal 30 endeksi ve USDTL arasındaki korelasyon ρ ise f (X, Y ) = U 030/U SDT L iki boyutlu ilişkili Wiener süreci formülleri kullanılarak yazılabilir.

46 / 46

İlişkili Wiener Süreçleri Örnek Giriş Rassal Yürüyüş Wiener Süreci Aritmetik Brown Hareketi

Genel formüller: dX = µX dt + σX dWX X

dY Y

= µY dt + σY dWY

Yansıma Prensibi İtô Lemma Geometrik Brown Hareketi Çok Boyutlu İtô Formülü, Bağımsız Süreçler İlişkili (Correlated) Wiener Süreçleri İlişkili Wiener Süreçleri İlişkili Wiener Süreçleri Örnek

df (t, X, Y ) ∂f ∂f = + µX X dt ∂t ∂X 2 2 2 1 2 2∂ f 1 2 2∂ f ∂ f dt + σX X σY Y + ρσX σY XY 2 2 ∂X∂Y 2 ∂X 2 ∂Y ∂f ∂f + σX XdWX + σY Y dWY ∂X ∂Y

46 / 46

Çözüm: ∂f 1 ∂f X ∂f = ; = − 2; = 0; ∂X Y ∂Y Y ∂t ∂ 2f 2X ∂ 2 f 1 ∂ 2f = 0; = 3; =− 2 2 2 ∂X ∂Y Y ∂X∂Y Y Sonuçları genel denkleme yerleştirelim: df 2 = µX − µY − ρσX σY + σY dt+σX dWX −σY dWY f

46 / 46