1.4. Реални бројеви. Реална права

1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

У претходним разредима научили смо како се сваком рационалном броју a може придружити тачка која има координату a на бројевној правој. Позитивним рационалним бројевима придружене су тачке на позитивном делу бројевне праве чије је растојање до координатног почетка једнако том броју (при том је јединица мере дужина јединичне дужи те бројевне праве) а негативним њима симетричне тачке у односу на координатни почетак .

Пример 1

Н а некој бројевној правој чији је координатни почетак и јединична дуж OI прикажите рационалне тачке чије су координате 6/5 и −6/5.

Решење

Слика 1.4

У ту сврху најпре поделимо јединичну дуж OI на 5 једнаких делова. То радимо тако што на помоћној полуправој Op одредимо пет тачака A, B, C, D, E таквих да је OA = AB = BC = CD = DE, а затим правама које редом садрже тачке A, B, C, D и које су паралелне страници EI троугла OEI разложимо јединичну дуж OI на 5 једнаких делова. Да бисмо доказали да су делови једнаки, снопом паралелних правих разложимо троугао OIE на подударне троуглове (видите слику). Применом УСУ става о подударности образложите подударност добијених троуглова. На крају преостаје да надовежемо шест конструисаних петина јединичне дужи по бројевној правој на обе стране од координатног почетка . Тако долазимо до тражених тачака са координатама 6/5, односно −6/5.

Н а описани начин само неке тачке бројевне праве су „обројене” рационалним бројевима. На пример, тачка на позитивном делу бројевне праве удаљена до координатног почетка √ √ 2нијеобројена, јер је 2 ирационалан број.

20

Слика 1.5

1.4. Реални бројеви. Реална права

Бројеве који представљају мерне бројеве дужина дужи називаћемопозитивним реалним бројевима.

Св акој тачки на позитивном делу бројевне праве одговара позитиван реалан број – њена координата и обрнуто, сваком реалном позитивном броју одговара тачно једна тачка бројевне праве. Позитивни реални бројеви су или рационални или ирационални. Наслућујемо да на позитивном делу бројевне праве огроман број тачака има ирационалну координату. Осим ирационалних бројева који се појављују кореновањем постоје и многи други за које је много теже доказати да су ирационални.

БРОЈ π

Пример 2

Је динични круг који који додирује реалну осу координатном почетку котрља се по њој у позитивном смеру осе без клизања.

Р ешење

Слика 1.6

Највишља тачка круга спушта се први пут на осу у тачки која има координату коју обележавамо са π (грчко слово пи).

Бр ој π је мерни број полуобимa јединичног круга.

Број π је ирационалан али то није лако доказати. Ирационалност броја π доказана је тек крајем 18 века. Приближна вредност броја π на десет децимала је π ≈ 3, 1415926536. Број π се назива и Лудолфов број по холандском математичару Лудолфу ван Цојлену (1540–1610) који је израчунао његових првих 35 декадних цифара. За то је утрошио скоро читав живот, па су му цифре уклесане и на надгробни споменик. До данас је помоћу супер рачунара израчунато 1,24 трилиона цифара броја π. Осим за тестирање моћи рачунара, овај резултат (за сада) нема већи практични значај.

21

1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

Слика1.7

НЕГАТИВНИ РЕАЛНИ БРОЈЕВИ Свакој тачки A(a) са позитивном координатом a одговара њој у односу на координатни почетак симетрична тачка на негативном делу бројевне праве. Координата те тачке је реалан број −a („минус a”).

Слика 1.8

Бр ој −a називамо супротним бројем броја a.

Усвајамо и да је

−(−a) = a, a ∈ R.

Исто правило смо већ примењивали за рационалне тачке, а сада смо га проширили на све тачке бројевне праве. Бројеве придружене негативном делу бројевне праве називамонегативним.

П озитивни и негативни реални бројеви и нула заједно граде скуп реалних бројева који

се најчешће означава словом R.

И даље важи да је сваки реалан број или рационалан или ирационалан.

22

РЕАЛНА ПРАВА На описани начин

1.4. Реални бројеви. Реална права

Св ака тачка бројевне правеје добила своју координату – неки реалан број и сваком реалном броју одговара на бројевној оси једна једина тачка.

Бројевну праву на коју су на овај начин нанесени реални бројеви називаћемо реална права (оса). Тачке које имају рационалну координату називају серационалне, а оне са ирационалном координатом суирационалне тачкереалне праве.

Р астојање тачке A(a), a ∈ R бројевне праве до координатног почетка O(0) (дужина дужи OA) је апсолутна вредност реалног броја { a, у ознаци |a|. |a| = a, a ≥ −a, a < 0 0 .

УРЕЂЕЊЕ. ИНТЕРВАЛИ На реалне бројеве природно се проширује уређење које је раније било дефинисано за рационалне бројеве:

Ак о су A(a) и B(b) тачке реалне осе придружене бројевима a и b, онда је a < b ако је A(a) „лево” од B(b), тј. ако оријентисана дуж AB има позитиван смер (исти као оријентисана дуж OI).

Дру гачије речено:

Св аки негативан број мањи је од нуле и од сваког позитивног броја. Од два негативна броја мањи је онај који има већу апсолутну вредност. Од два позитивна броја већи је онај који има већу апсолутну вредност.

Пример 3

√ Пр оверите да је − 3 < −1 < 0 < 1/2.

Слика1.9

23

1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

Ск уп реалних бројева између два реална броја a и b таквих да је a < b назива сеотворени интервали обележава са (a,b).

(a,b) = {x ∈ R | a < x < b} Са [a,b] се обележавазатворени интервалреалних бројева:

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}.

Пи тања

Шт а је реална права? Шта је реалан број? Како се упоређују реални бројеви? Шта су интервали?

Задаци за вежбу

1.  √   √  Пр едставите на реалној правој тачке A(1, 4), B(−1, 5), C 2 , D − 2 , E(−2/3). П оређајте по величини њихове координате. Која од ових тачака је најближа координатном почетку?

2.

3.

4. Н ађите растојање међу тачкама M и K координатне праве ако је: a) M(7, 45) = и K(1, 15); б) M  −5 1 3  и K  3 2 3  ; в) M  √ 2  и K  √ 3  . К оја од тачака C и D координатне праве је ближа тачки M ако је: а) C(4, 514), D(−1, 9368), M(1, 304); б) C(−2, 4815), D(11, 454), M(4, 586).

Одредите целобројни интервал (m,m + 1), m ∈ Z коме припада тачка:  √   √  a) B 6 ; б) A − 6 .

РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

1.

Р аспоред тачака на оси је √ √ B − D − E − A − C; −1, 5 < − 2 < −2 √ /3 < 1, 4 √ < 2;најближа је E јер је |−2/3| < |1, 4| < | 2| = | − 2| < | − 1, 5|.

2.

а) |MK| = 7, 45 − 1, 15 = 6, 3;

3. 4.

б) |M K| =       − 16 3  − 11 3      = 9; √ √ в) |MK| = |OK| − |0M| = 3 − 2. а)C јер је |CM| = 3, 210 < |DM| = 3, 2308; б) C. а) (2, 3); б) (−3, −2).

24