1.5. Децимални запис реалног броја. Приближна вредност. Апсолутна грешка

1.5. Децимални запис реалног броја. Приближна вредност. Апсолутна грешка

1.5. Децимални запис реалног броја. Приближна вредност.

Апсолутна грешка

Погледајмо детаљније како одређујемо реални број који ће бити координате неке тачке на позитивном делу бројевне осе? Другим речима, како одређујемо дужину l дужи чији су крајеви координатни почетак и та тачка (мерено јединичном дужи бројевне осе и њеним деловима десетим, стотим, хиљадитим,…). Најпре одређујемо колико највише јединичних дужи у тој дужи има. Обележимо тај ненегативан цео број са a 0 . При том важи a 0 ≤ l < a 0 + 1. Ако је l , a 0 , неизмерени остатак l −a 0 меримо десетим деловима јединичне дужи. Нека таквих делова има највише a 1 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. То значи да је Ак a 0 + a 1 10 ≤ о једнакост није достигнута, остатак l l < a 0 −  a 0 + + a 1 + 1 10 . a 1 10  м еримо стотим деловима јединичне дужи. Нека њих има највише a 2 ∈ {0, 1, 2,..., 9}. Тада је a 0 + a 1 10 + a 2 100 ≤ l < a 0 + a 1 10 + a 2 + 1 100 . Ак о једнакост до неког корака поступка није достигнута, мерења се наставља даљим уситњавањем јединице мере за 10 пута, а завршава се ако се у неком кораку достигне једнакост. На тај начин дужина дужи се добија или у облику l = a 0 + a 1 10 + · ·· + 1 a k 0···0 def = a 0 ,a 1 a 2 ··· a k |{z}

k

или приближно у том облику са грешком највише 1 0 1 ···0 јединичне дужи. Грешка се све |{z}

k више смањује и може се учинити мањим од било које дужи (односно од ма ког позитивног броја) са довољним бројем итерација процеса мерења. Замишљамо да се процес мерења може и неограничено продужавати ако никад не стане. Преведено на бројеве, добијамо следећи резултат:

Сваки позитиван реални број

a 0 ,a 1 a 2 ···a k ···. lима коначан или бесконачан децимални запис l

М оже се доказати да важи:

Рационалан број p ,у случају да су p и q узајамно прости природни бројеви, q

25

1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

– има коначан децимални запис, ако именилац q нема простих фактора другачијих од

2 и 5; – У супротном, децимални запис биће бесконачан и периодичан тј. појавиће се један коначан низ (блок) сукцесивних децималних цифара који ће се стално понављати. – Ирационални бројеви имају бесконачан непериодичан децимални запис.

Блок који се понавља обележаваћемо стављањем у заграде.

Пример 1

1 20 = 0 + 0 10 + 5 100 = 0, 05. Приметите да је 20 = 2 · 2 · 5 и да је запис коначан.

Пример 2

5 12 = 0, 4166 ... = 0, 41(6). Цифра 6 се стално понавља. 122 99 = 1, 232323 ... = 1, (23). Блок 23 се стално понавља.

Пример 3

Одредите рационални број који има бесконачан децимални запис 4, 3(21).

Р ешење

4, 3(21)=4, 3 + 0, 0(21) = 4, 3 + 0, (21) 10 .Ако је x = 0, (21), онда је 100x = 21 + x, 99x = 21, x = 21 99 = 7 33 Зато је 4, 3(21) = 43 10 + 7 330 = 1426 330 = 713 165 .

Пример 4

√ Одредимо прве две цифре децималног записа броја 3.

Решење

О дредимо најпре колико највише целих има тај број тј. највећи цео број √ a 0 ∈ N 0 такав да је a 0 ≤ 3 < a 0 + 1, односно да је a 0 2 ≤ 3 < (a 0 + 1) 2 .

26

1.5. Децимални запис реалног броја. Приближна вредност. Апсолутна грешка

Како је 1 2 < 3 < 2 2 добијамо a 0 = 1. Одредимо затим прву децималу a 1 као највећу декадну цифру за коју је √ 1,a 1 ≤ 3 < 1, a 1 + 0, 1 односно 1,a 1 2 ≤ 3 < (1,a 1 + 0, 1) 2 . Налазимо a 1 = 7 јер је 1, 7 2 = 2, 89 < 3 < 1, 8 2 = 3, 24. Другу децималу a 2 одредимо као највећу декадну цифру за коју је Налазимо да је a 2 = 3 јер је 1, 73 2 < 3 (1 < 1 , , 7a 2 74 2 ) 2 ≤ 3 < . Дакле, (1, √ 3 7a ≈ 2 1 + 0, , 73 01) 2 . са грешком која не прелази 0,01.

Коришћењем калкулатора или рачунара можемо данас добити вредност корена унетих бројева са тачношћу на велики број децимала. Техника рада је описана у мењуелу таквих справа односно програма.

Пример 5

Н а готово сваком бољем калкулатору (на пример оном на персоналном компјутеру) можете добити приближну вредност корена неког броја укуцавајући најпре тај број а потом позивом операције √ .Ми смо укуцали број 0, 234567891 и √ икалкулатор је избацио резултат √ 0, 234567891 = 0, 4843220942719834.

Пример 6

Број 0, 1001000100001 ... (број нула између јединица расте за по једну) је ирационалан јер овај децимални запис није периодичан из разлога што број узастопних децималних нула превазилази сваку евентуалну дужину блока који би се понављао!

ПРИБЛИЖНЕ ВРЕДНОСТИ Како је већина реалних бројева ирационална, за нумерички рад са њима користе се приближне вредности које су најчешће рационални бројеви. При том се наравно прави нека грешка.

Ак о је a реалан број а b његова приближна вредност и A(a) односно B(b) њима припадне тачке на бројевној правој, растојање између њих тј. дужина дужи AB назива се

апсолутна грешка апроксимације.

Пример 7

Зао круглите број 22 7 = 3, (142857) на:

27

1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

а) две; б) три; в) четири децимале.

Р ешење

Заокругљивање вршите тако да апсолутна грешка коју учините буде што мања. а) Како је трећа децимала броја 3,14. 22 7 је днака 2, њему је ближи број 3,14 него број 3,15, па га заокружујемо на б) Четврта децимала је 8, па 3,143 даје мању апсолутну грешку него 3,142. Зато бирамо 3,143 као заокружење. в) Пета децимала је 5. Бројеви 3,1428 и 3,1429 дају исту апсолутну грешку. За заокружење бирамо онај који се завршава на парну цифру дакле 3,1428.

У општем случају, при заокругљивању децималног записа на известан број k децимала гледамо наредну k + 1-ву цифру децималног записа. Ако је она мања од 5 за приближну вредност узимамо број који добијамо скраћивањем записа на k децимала. Ако је она већа од 5, овом броју додајемо 0, 0 ... 01. Ако је она једнака 5, бирамо као заокругљење било који од | {z }

k претходна два броја, најчешће онај који се завршава на парну цифру.

Ако је b приближна вредност броја a са апсолутном грешком не већом од ∆, онда је

b − ∆ ≤ a ≤ b + ∆ тј. a ∈ [b − ∆,b + ∆].

Занимљив ости

Ар химед (288-212. п.н.е, највећи математичар старог века и један од највећих генија до данас) је рачунао да је √ 3 ≈ 265 153 с а грешком која не прелази 0,000025, а број π је рачунао као 22 7 .

28

1.5. Децимални запис реалног броја. Приближна вредност. Апсолутна грешка

Пи тања

К акав децимални запис имају рационални бројеви а какав ирационални?

Шта је приближна вредност броја и апсолутна грешка?

Како се врши заокругљивање броја на неку децималу?

Како се дефинише број π?

Задаци за вежбу

1 . √ Оц ените апсолутну грешку ако се 2 з амени са 8/5.

2.

3.

4.

5.

6.

7 .

8.

9.

10.

11 . Зао круглите број 1,15752 на: а) цео број; б) једну, две, три и четири децимале.

Одредите количнички запис рационалних бројева: а) 0,12; б) 0, (12).

Д а ли је број 0,1221000100001000001…. (цифре су 2 и 1 а број двојки између две јединице расте за по једну) рационалан или ирационалан? Образложите одговор.

Оц ените апсoлутну грешку ако се разломак 21/46 замени са 1/2.

Ар химед је проценио да је за π? 223 71 < π < 22 7 .Која од граница даје бољу апроксимацију К оји од бројева 1/6; 0,24; 3,1(52); 0, 717117111 ... (број јединица између седмица се сваки пут увећава за једну); 2π су ирационални а који рационални?

Који од бројева је већи: а) 1, (47) или 1,47; б) −2, (34) или −2, 34; в) 1 2 3 и ли 1,6668; г) −0, 228 или − 5 22 ? О дредите целе бројеве који су између бројева: а) −3, 168 ... и 2, 734...; б) −5, 106 ... и −1, 484...; в) −4, 06 ... и −1, 601 ...; г) −1, 29 ... и 0, 11.

Одредите приближну вредност израза a + b и a − b ако је a = 1, 0539, b = 2, 0610 заокругљивањем a и b: а) на десете; б) на стоте; в) на хиљадите.

Између која два суседна цела броја се налазе бројеви: √ √ √ √ а) 27 √ ; б) 40 √ ; в) 120 √ ; г) 9, √ 2; д) 0, 4; ђ) 15; е) 167; ж) 288?

29