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Teorı́a de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau El número en el contexto de medida.

El proceso de aprendizaje de la medida

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Didáctica de la Aritmética Unidad 2: La acción numérica en el aula su planificación

Z. Portillo1 1

Universidad de El Salvador Distancia CIMAT

1 zenon.portillo@ues,edu.sv

20 de marzo de 2022 Zenón

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1

Teorı́a de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau

2

El número en el contexto de medida.

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El número en el contexto de medida.

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El número está presente en múltiples situaciones de nuestra vida diaria. Sin él no podrı́amos saber los precios en un supermercado, ni pagar cuando compramos, no sabrı́amos si el autobús que esperamos es el adecuado, los muebles no encajarı́an bien en las casas, nos costarı́a identificar a los participantes de una carrera, situarı́amos con dificultad una vivienda en un bloque de pisos, seguir una receta serı́a muy complicado y poner la mesa en una reunión familiar se convertirı́a en una compleja tarea.

Con frecuencia, el concepto y aprendizaje del número en la escuela se simplifica y reduce al recitado de la secuencia numérica, el conteo de elementos hasta el número que proponen los libros trabajar, el aprendizaje de las grafı́as correspondientes y la asociación de éstas con conjuntos de elementos.

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Si queremos dotar de funcionalidad a la construcción del número, un proceso largo y complejo para los niños, debemos plantear “un amplio espectro de situaciones que reproduzcan artificialmente la génesis de la idea de número natural” (Chamorro, 2005, p. 144) e irnos moviendo progresivamente en los diferentes contextos de utilización de los números.

Según Fuson (1988) “los niños deben aprender tanto los nombres de los números en sı́ mismos como su uso en situaciones variadas” y propone siete contextos de utilización del número. Tres de ellos son matemáticos: cardinal, ordinal y medida; dos tienen una componente social o utilitaria: secuencia y conteo; el sexto es el contexto simbólico; y por último propone un uso “no-numérico” en el que el número es simplemente una etiqueta para identificar un objeto (Fuson, 1988)

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Sin embargo, en Educación Infantil suelen predominar las actividades que se centran en el número en su sentido cardinal: contamos los niños de la clase y anotamos su número, dibujamos tantos objetos como indica el número escrito en una etiqueta, determinamos la cantidad de niños que han traı́do una fruta u otra para desayunar, etc. Y las pocas actividades en las que se trabaja el aspecto ordinal del número suelen centrarse en el vocabulario.

Los alumnos señalan el primero, segundo o último en una sucesión de objetos; se colocan en estas posiciones al ordenarse en las entradas y salidas; y decimos quién está hoy el primero, el tercero, etc. Pero no es necesario usar el número como ordinal para hacer una fila, ya que con ponerse detrás de un niño es suficiente; y contestar a la pregunta “¿quién es hoy el segundo?” tiene poca motivación más que cumplir con las cláusulas del contrato didáctico entre los profesores y sus alumnos.

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Teniendo en cuenta todo lo anterior, es necesario diseñar actividades para trabajar el número natural en su contexto ordinal.

De acuerdo con la Teorı́a de las Situaciones Didácticas (Brousseau, 2007), para que se produzca un verdadero aprendizaje de los números en este sentido, deberemos plantear situaciones en las que el alumno necesite este conocimiento para resolver un problema planteado. Estas situaciones se plantean en forma de juego en el que se juega contra uno mismo. Aunque para jugar el alumno puede emplear diversas estrategias, sólo la óptima (objetivo de aprendizaje) es la que garantiza siempre la victoria.

El uso de los numerales con un sentido ordinal tiene dos vertientes: notificar la posición de un objeto en una serie y localizarlo una vez dado el ordinal.

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La noción de situación para Brousseau corresponde a “un modelo de interacción de un sujeto con cierto medio que determina a un conocimiento dado como el recurso del que dispone el sujeto para alcanzar o conservar en este medio un estado favorable. Algunas de estas “situaciones” requieren de la adquisición anterior de todos los conocimientos y esquemas necesarios, pero hay otras que ofrecen una posibilidad al sujeto para construir por sı́ mismo un conocimiento nuevo en un proceso “genético”.

Por situación didáctica se entiende una situación construida intencionalmente por el profesor con el fin de hacer adquirir a los alumnos un saber determinado o en vı́as de constitución.

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La situación didáctica se planifica en base a actividades problematizadoras, cuya necesidad de ser resueltas o abordadas, implique la emergencia del conocimiento matemático que da sentido a la clase, la que ocurre en el aula, en un escenario llamado triángulo didáctico, cuyos lados indican conjuntos de interacciones entre los tres protagonistas (indicados por los vértices):

Figura: La Situación Didáctica Zenón

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En el desarrollo de una situación didáctica, aparecen “momentos”, denominados como situaciones a-didácticas, que se caracterizan por el trabajo que realiza el alumno interactuando con el problema propuesto o bien discutiendo con sus compañeros acerca de éste, es decir, cuando interactúa con el medio preparado por su mentor.

El profesor debe procurar que el alumno se responsabilice por trabajar en él y si no llega a su solución, al menos indique ciertas aproximaciones según los objetivos propuestos. Ası́, en estas situaciones a-didácticas interesa observar “cómo se las arregla” el estudiante ante el problema que le demanda el maestro.

En palabras del propio Brousseau: “El término de situación a-didáctica designa toda situación que, por una parte no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta en práctica de los conocimientos o del saber que se pretende y que, por la otra, sanciona las decisiones que toma el alumno (buenas o malas) sin intervención del maestro en lo concerniente al saber que se pone en juego.”

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El profesor ya ha planeado la situación didáctica (esto es, la más general) de modo que existan estos momentos (situaciones a-didácticas) en que los alumnos interactúan con el problema, presenten conflictos cognitivos, se propicie la discusión y el debate y también hagan preguntas. El papel del profesor, en tanto, consiste en guiar con intervenciones o respondiendo a las preguntas, pero con otras interrogantes o señales sin “soplar” las respuestas. A éste proceso dialéctico Brousseau le llama Proceso de Devolución.

Panizza (1853-1921) ejemplifica el rol del maestro en este proceso indicando: “El maestro se pregunta ¿qué se puede decir? Lo que se puede es alentar la resolución, decir que hay diferentes maneras de resolverlo, anunciar que luego se discutirán, recordar restricciones de la consigna (por ejemplo, si están trabajando sobre las propiedades de un cuerpo, decir “recuerden que no vale armarlo”), etcétera. Las intervenciones estarán pensadas como para instalar y mantener a los alumnos en la tarea”.

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En una situación didáctica, las reglas del juego deben quedar claras en el Contrato didáctico, acuerdo en que el profesor y el alumno declaran conocer lo que espera uno del otro y el cómo lo llevan a cabo. Sin embargo, a medida que se realiza la situación planeada, esta comienza a evolucionar, produciendo cambios en el contrato, generándose nuevas situaciones didácticas y a - didácticas según los conocimientos en juego. Tenemos ası́, una secuencia de situaciones didácticas que conducen a otras.

El contrato didáctico “tradicional” o “clásico”, consiste en que el profesor es el dueño de la verdad, el que dice lo que está bien o está mal, el que enseña y el alumno es quien copia lo que dice el profesor. Este contrato, en definitiva, es contradictorio a un modelo de clase basado en situaciones a-didácticas.

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Otro aspecto del contrato tradicional y que es anómalo por cierto, es la confianza que tienen los estudiantes al concebir que el profesor siempre les dará problemas que se pueden resolver y que además deben resolverlos como él lo desea, generalmente de una sola manera. Es necesario introducir en el contrato que el profesor puede dar problemas que tengan una, ninguna, muchas o infinitas soluciones y que son los propios estudiantes los que deben analizar y justificar esto.

También suelen estar acostumbrados a preguntar “¿siempre se hace ası́?” esperando encontrar o que les digan un modo general de resolver todo tipo de problemas similares, como ocurre en la habitual enseñanza y aprendizaje de las rutinas, que por cierto se ha tomado a las matemáticas en el aula, despojando al aprendizaje por descubrimiento en último plano.

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Brousseau clasifica las situaciones didácticas, en distintos ”momentos”para la aprehensión de un conocimiento. Estos son: Para el alumno: Situaciones de Acción.

Situaciones de Formulación.

Situaciones de Validación.

Para el profesor: Situación de Institucionalización.

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Ejemplo de una actividad de acuerdo a las Situaciones Didácticas Brousseau Tenemos un tren compuesto por una locomotora y cajas de cerillas idénticas unidas por un cordón (Figura 1). Los niños vienen a jugar por parejas. Un miembro de la pareja (N1) viene a ver el tren.

Delante de él introducimos un objeto (en nuestro caso, gominolas) en uno de los vagones-caja. Su pareja (N2) deberá determinar correctamente, y sin haber visto en qué vagón hemos introducido el objeto, cuál de ellos lo contiene. El niño N1 deberá comunicárselo por escrito a N2 y si con su mensaje acierta, ambos habrán ganado.

Figura: El tren Zenón

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Para ganar el juego, N1 y N2 pueden utilizar distintas estrategias: dibujar el tren completo y marcar el vagón que contiene la gominola, escribir toda la serie numérica correspondiente a los vagones y marcar el numeral del vagón contenedor, mezclar dibujos y numerales del tren entero, emplear el azar para encontrar la gominola o utilizar el conteo y el número natural en su aspecto ordinal.

Esta última es la estrategia óptima: N1 deberá contar los vagones desde la locomotora, determinar el que está ocupado por la gominola y escribirlo para que N2 lo encuentre. Éste también debe hacer uso de los ordinales para ganar el juego. Deberá interpretar el número que escribe N1 como el lugar que ocupa el objeto dentro de la serie ordenada de vagones. Obviamente, ambos tienen que dar la misma orientación al tren, considerando como primer vagón el siguiente a la locomotora.

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Utilizar el número natural en su concepción ordinal implica una doble vertiente: la determinación de un elemento en una serie de objetos y la localización de dicho elemento teniendo presente el número ordinal. Para que se trabajen los dos usos de forma natural, considero idónea una situación de comunicación escrita. Es importante señalar que todos los niños deben ser receptores y emisores del mensaje, pero no es necesario que sea siempre con la misma pareja.

En esta actividad tal como esta planteado, encontrar los cuatros tipos de situaciones definidas por Brousseau (2007) dentro de la Teorı́a de Situaciones Didácticas: acción, formulación, validación e institucionalización.

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Cada una de ellas puede hacer que los procedimientos de los alumnos evolucionen y su conjugación puede suponer la aceleración de los aprendizajes, tanto si provocamos nosotros dichas situaciones como si aparecen de forma espontánea. Es por tanto interesante analizar su presencia en el diseño y puesta en marcha de las actividades que realizamos para poder estudiar qué procesos han sido los que han ido configurando el camino hacia la estrategia óptima: Situaciones de acción, en las que el alumno toma decisiones y las ejecuta para resolver el problema. Los alumnos deciden contar los vagones hasta alcanzar el que contiene la gominola.

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En las situaciones de formulación, el alumno intercambia información con otros alumnos o el maestro, en este caso a través de un mensaje escrito. “El tren” requiere que para ganar el juego, un niño vea en qué vagón está contenida la golosina y sea otro compañero, que no ha visto dicha colocación, el que la encuentre. Se cumple entonces, como define Brousseau (2007), que “el medio que exigirá al sujeto usar una formulación debe entonces involucrar a otro sujeto, a quien el primero deberá comunicar una información”. Pero además se cumplen otros dos requisitos que harán que la situación de formulación funcione: la posición de los alumnos respecto a la información es asimétrica (en “El tren” un niño ve el tren y la posición del objeto y su pareja, no) y el medio permite retroacciones sin intervención del maestro (si el receptor del mensaje no encuentra el objeto, puede introducirse otra gominola y volver a una situación de acción).

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Cuando los alumnos comprueban si la estrategia que han puesto en marcha para resolver el problema funciona o no, se encuentran ante una situación de validación. Dado que “una estrategia se adopta rechazando intuitiva o racionalmente una estrategia anterior” (Brousseau, 2007), esta situación tiene un gran valor pedagógico, ya que no es el maestro el que establece si el resultado es correcto o no, sino que el propio medio da al alumno el resultado de su acción sobre él. En “El tren”, cuando el alumno receptor del mensaje no encuentra el objeto, el propio juego les está diciendo a él y a su pareja que uno de los dos, o ambos, han fallado en la estrategia que han puesto en marcha. Y de este modo, podrán descartarla y evolucionar hasta otros procedimientos más eficaces.

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Por último, las situaciones de institucionalización son aquellas en las que “se da a determinados conocimientos el estado cultural indispensable de saberes” (Brousseau, 2007). Una vez que los alumnos resuelven la situación problemática planteada en “El tren”, organizaremos los conocimientos que han adquirido sobre los números ordinales y los introducimos dentro de los saberes matemáticos, dándole nombre y ofreciendo distintos modelos de contextos sociales y culturales en las que ese saber puede ser reutilizado (listas de clase, llegada a la meta en una carrera, o planta y puerta en la que está su casa).

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El proceso de aprendizaje de la medida

En la etapa de Educación Infantil, la enseñanza de la medida ha menudo se ha visto relegada a un segundo plano como consecuencia del protagonismo de otros bloques de contenido como la numeración y el cálculo o la geometrı́a.

Si bien es cierto que estos dos bloques son los que tienen una mayor presencia en el currı́culo de Matemáticas de las primeras edades, no hay que olvidar que es imprescindible que los niños accedan a todos los conocimientos matemáticos de manera regular: numeración y cálculo, álgebra temprana, geometrı́a, medida y estadı́stica y probabilidad.

En el caso de la medida, además, autores de gran reconocimiento, como Bishop (1999), señalan que medir es, junto con contar, localizar, diseñar, jugar y explicar, una de las seis actividades matemáticas comunes en todas las culturas.

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Desde este prisma, es evidente que en la etapa de Educación Infantil se deberı́an planificar y gestionar prácticas de enseñanza que permitan a los alumnos descubrir las principales magnitudes, como por ejemplo la longitud, la masa o la capacidad, entre otras, y empezar a comprender sus propiedades internas (cómo se comportan en situaciones reales, cómo se miden, qué tipos de unidades se pueden utilizar para medirlas, etc.).

En este sentido, estamos convencidos de que si se quieren priorizar las necesidades reales de aprendizaje de los niños, es erróneo focalizar la enseñanza de la medida en Educación Infantil a través de prácticas descontextualizadas, principalmente a través de fichas de buena estética pero de escasa eficacia para una comprensión profunda de las diversas magnitudes.

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Si se asume que el uso exclusivo de estos recursos no es recomendable para que los niños logren una comprensión profunda de los conocimientos, entonces ¿en qué deberı́a consistir una práctica eficaz de enseñanza de la medida en las primeras edades?

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2003), sugiere que una enseñanza eficaz de las Matemáticas “requiere conocer lo que los alumnos saben y lo que necesitan aprender, y luego estimularlos y ayudarlos para que lo aprendan bien”. Esta prestigiosa asociación de profesores de Matemáticas americana completa esta idea con los tres requisitos siguientes: 1) la eficacia docente exige saber Matemáticas, tener en cuenta que los alumnos son aprendices y disponer de estrategias pedagógicas; 2) una enseñanza eficaz requiere un entorno de aprendizaje que apoyo y estimulación; y 3) una enseñanza eficaz requiere tratar continuamente de mejorar.

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El proceso de aprendizaje de la medida

Desde la perspectiva del profesorado de Educación Infantil, pues, saber Matemáticas, disponer de estrategias pedagógicas, apoyar y estimular o tratar de mejorar son algunas de las claves que pueden impulsar una enseñanza eficaz que, en el caso que nos ocupa, promueva el descubrimiento y la comprensión de las principales magnitudes en los niños pequeños.

Una buena estrategia pedagógica para lograr este propósito es promover escenarios de interacción, negociación y diálogo en el aula de Educación Infantil que permitan deconstruir, co-construir y reconstruir conocimiento matemático a través del andamiaje que proporciona el profesorado y, más concretamente, mediante el planteamiento de buenas preguntas. En concreto, se trata de ofrecer ayudas en situaciones de comunicación para que los alumnos puedan deconstruir pre-conocimientos erróneos, reconstruir preconocimientos implı́citos y co-construir nuevos conocimientos con comprensión.

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El proceso de aprendizaje de la medida

Las magnitudes continuas están presentes, de una forma u otra, en nuestras vidas cotidianas y, por esta razón, desde una visión social y cultural de las Matemáticas. Bishop (1999) consideró la medida como una actividad común en todas las culturas, como ya se ha indicado. Asumiendo esta perspectiva etnomatemática, otra cuestión fundamental que deberı́a tenerse presente es que, sea cual sea el contexto sociocultural, el proceso de aprendizaje que conduce a un uso comprensivo y eficaz de las distintas magnitudes es el mismo. En consecuencia, la planificación de su enseñanza formal deberı́a estar en consonancia con este principio.

De manera más concreta, todos los niños, independientemente de su cultura, adquieren de forma progresiva un conocimiento profundo de las magnitudes siguiendo diversas fases de adquisición, tal como se indica en Alsina (2006, 2019a).

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El proceso de aprendizaje de la medida

De forma sintética, el proceso de aprendizaje de las magnitudes continuas contempla tres fases: El conocimiento de las magnitudes: en un primer momento, los niños empiezan a reconocer las magnitudes en situaciones informales, como por ejemplo al identificar la propia altura en una revisión médica, al comprobar si una lata de bebida está llena o vacı́a o bien al experimentar que la mochila para ir al colegio pesa mucho. Dicho proceso prosigue, de forma espontánea, con comparaciones directas (a través del propio cuerpo) de dos o más valores de una misma magnitud, usando comparativos como más ... que, menos ...que, igual ...que o tanto ... como, lo que da lugar a relaciones de equivalencia y orden, es decir, clasificaciones y ordenaciones respectivamente. Paralelamente, los niños empiezan también a hacer composiciones y descomposiciones, es decir, añaden y quitan, reparten, etc.

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El proceso de aprendizaje de la medida

Sin embargo, debe notarse que, en esta primera fase, que es imprescindible para aprender cualquier magnitud, hay total ausencia de la cuantificación, por lo que la esencia de este primer momento es la identificación de las principales magnitudes en situaciones reales o realistas y la comparación directa de dos a más valores de una magnitud.

La práctica de medida de cada magnitud: en una segunda fase surge la necesidad de cuantificar el resultado de las mediciones, más allá de la simple identificación o comparación directa. Es en este momento cuando se inicia propiamente la práctica de medida, usando instrumentos diversos y unidades de referencia para la cuantificación.

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El proceso de aprendizaje de la medida

Las unidades pueden ser antropométricas (cuando se usa el propio cuerpo para medir, como por ejemplo palmos (medida de longitud que equivale a unos 21 cm) en el caso de la medida de la longitud); no convencionales (cuando se usan objetos diversos que no han sido diseñados inicialmente para medir, como por ejemplo un palo en el caso de la medida de longitud); o bien estándares (cuando se usa un instrumento de medida indirecta que ha sido diseñado especı́ficamente para medir, como por ejemplo una cinta métrica en el caso de la medida de longitud). Durante esta segunda fase es, pues, cuando se empieza a establecer un primer contacto con las unidades de medida estándares del Sistema Métrico Decimal, aunque se usan únicamente las unidades de referencia de cada magnitud (el metro, el litro, el quilo, etc.). Por último, otro aspecto de esta segunda fase es la importancia que tiene practicar anticipaciones o estimaciones de las medidas.

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El proceso de aprendizaje de la medida

La consolidación de técnicas de medida y construcción de conceptos: ya en la última fase se amplı́a el conocimiento de las unidades de medida del Sistema Métrico Decimal, usando progresivamente los distintos múltiplos y submúltiplos.

Además, los niños realizan aproximaciones progresivas, cada vez más exactas.

Longitudes: Actividad 1 Medir longitudes con tiras de papel: Se entrega a cada grupo de niños cuatro tiras de papel o cartón de las siguientes medidas: 30 cm, 12 cm, 6 cm y 3 cm sin informarles sus longitudes. El problema consiste en determinar la medida de la tira de 30 cm usando como unidades de medida las tiras más pequeñas: 12 cm (la grande), 6 cm (la mediana) y 3 cm (la chica).

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El proceso de aprendizaje de la medida

Este problema tiene la intención de ser una oportunidad para que los alumnos realicen una medición efectiva. Una de las cuestiones a resolver será cómo realizar el control de “dónde apoyar” la unidad de medida, es decir garantizar que la iteración de la misma sea lo más precisa posible y que las unidades seleccionadas no se superpongan ni se deje espacio entre ellas. Los niños podrán hacer marcas o pliegues en la tira a medir (o en la tira que es la unidad de medida) para ejercer un control durante el proceso de medición.

Si combinan las unidades de medida podrán obtener diferentes soluciones, por ejemplo: 2 tiras largas y 1 mediana; 2 largas y 2 chicas; 1 larga y 3 medianas; 1 larga, 2 medianas y 2 chicas; 1 larga y 6 chicas; etcétera. Si no combinan las unidades de medida hay tres soluciones posibles: 2 tiras largas y media; 5 medianas o 10 chicas. Podrı́a ocurrir también que algunos alumnos midan las tiras con la regla, transformen los resultados a cm y realicen la equivalencia con las tiras dadas.

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El proceso de aprendizaje de la medida

Luego de que los alumnos han resuelto el problema, el docente podrá organizar un espacio colectivo de difusión y análisis de dos cuestiones. Por una parte, las maneras utilizadas para medir; y por la otra, los resultados obtenidos. Respecto de la primera cuestión, el docente podrá enfatizar la necesidad de realizar marcas para poder medir. En relación con la diversidad de resultados obtenidos, el docente podrá promover la reflexión acerca de que el mismo objeto a medir arroja resultados diferentes. Se espera que los alumnos puedan empezar a validar las medidas obtenidas sin hacer nuevas mediciones efectivas, y solo a partir de analizar las equivalencias entre las tres unidades de medida.

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El proceso de aprendizaje de la medida

Actividad 2: Medir el escritorio u otra longitud con las mismas tiras de papel Se les solicita a los alumnos que averigüen cuántas tiras mide el escritorio (o dos escritorios unidos) apelando a las mismas tiras (de 3 cm, 6 cm y 12 cm) que se usaron en el problema anterior como unidades de medida. Los alumnos deberán escribir las medidas obtenidas.

Este problema propone una cuestión similar al anterior: medir efectivamente utilizando unidades de medida determinadas. Se espera que los alumnos se enfrenten a desafı́os de la misma naturaleza que en el problema anterior.

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El proceso de aprendizaje de la medida

Pero al tratarse de medir un objeto como el escritorio –sobre el que no podemos controlar que las unidades de medida entren una cantidad entera de veces– aparece una nueva problemática: la aproximación. Si las tiras no “entran justo” en el largo, será necesario plegarlas de diferentes maneras o combinarlas. De allı́ que las escrituras que elaboren los alumnos pueden dar cuenta de una aproximación, por ejemplo: “el largo del escritorio es 3 tiras largas y casi 2 tiras medianas”. Se trata de poner en evidencia que el acto de medir adquiere un carácter aproximado, debiendo resignar, de alguna manera, la búsqueda de la exactitud.

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El proceso de aprendizaje de la medida

El establecimiento de equivalencias entre medidas podrı́a sistematizarse en una tabla como la siguiente: equivalencias entre medidas Objeto a medir Tiras cortas Tiras medianas

Tiras largas

Cuadro: equivalencias entre medidas

Posiblemente los alumnos hayan notado durante el proceso de medición que hay una relación particular1 entre las unidades de medida y comiencen a deducir que si el resultado es 4 tiras largas, entonces dará 8 medianas y 16 cortas.

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El proceso de aprendizaje de la medida

Se espera que los alumnos puedan analizar cómo, al variar la unidad de medida, varı́a el resultado obtenido, por ejemplo: “como la tira más pequeña es la cuarta parte de la mayor, el número que corresponde a la medida obtenida es el cuádruple”.

También para este problema es posible que algunos alumnos midan las tiras con la regla y usen centı́metros como unidad de medida, y recién luego realicen la equivalencia con las tiras dadas. En dicho caso será interesante proponer la comparación de estrategias y recursos utilizados para que los alumnos que usaron la regla puedan identificar que el problema puede también resolverse sin su uso.

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El proceso de aprendizaje de la medida

Actividad 3: Medir el largo del patio de la escuela a) El docente plantea a los alumnos que deberán estimar la longitud del patio. Los alumnos deberán estar ubicados en un extremo del patio y no podrán desplazarse. b) Luego de haber hecho la estimación, deberán determinar su medida utilizando diferentes instrumentos (cintas métricas de costura, metros de carpinterı́a, sogas, etcétera).

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El proceso de aprendizaje de la medida

En el punto a) se busca que los alumnos imaginen una unidad de medida, posiblemente el metro, para calcular “a ojo” cuál es la longitud del patio.

Algunos alumnos se representarán el metro e intentarán determinar cuántas iteraciones sucesivas son necesarias para cubrir el largo del patio con ese metro imaginario. Otros, en cambio, arriesgarán algún número en función de alguna medida ya conocida y otros alumnos dirán un número al azar.

Estos valores deberán ser registrados. En la puesta en común se compararán tanto las estrategias de estimación utilizadas como los valores obtenidos.

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El proceso de aprendizaje de la medida

En el punto b) se trata de realizar la medición efectiva de tal manera de poder luego contrastar con los resultados obtenidos en la estimación. Esta nueva situación introduce algunas cuestiones.

Por un lado, los instrumentos de medida. Posiblemente sean insuficientes las reglas y escuadras de los alumnos. Podrán utilizarse metros de carpintero o costura, hilos, instrumentos de geometrı́a de pizarrón, etcétera. En el caso de que los alumnos utilizaran hilos o sogas, podrı́an contar la cantidad de veces que las iteran y medir con regla el largo del hilo o soga. O bien podrı́an medirlo antes e ir calculando simultáneamente a la medición efectiva. Evidentemente, según cuál sea, la longitud de los hilos o sogas podrá facilitar o complejizar el cálculo. Si la soga midiera, por ejemplo, 2 m o 1,5 m, serı́a más fácil el cálculo que si midiera 1,62 m. Esta cuestión puede discutirse con los alumnos antes o después de realizar la medición.

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El proceso de aprendizaje de la medida

Otro problema técnico que aparece es el siguiente: ¿cómo controlar que el instrumento de medida se apoye sobre una lı́nea recta y a la vez sea perpendicular a los lı́mites del patio? Una posibilidad es medir por el borde del patio, pero si se midiera por el centro, serı́a necesario garantizar la perpendicularidad siguiendo una lı́nea imaginaria o trazada con tiza en el piso, o bien seguir la lı́nea de las baldosas, si las hay.

Por otra parte, trabajar con medidas mayores sin duda aumenta el margen de error al tener que realizar más iteraciones y marcas.

También es posible que algunos niños, en lugar de usar una unidad de medida “externa” e iterarla para medir, usen las baldosas del patio. En dicho caso podrán medir su longitud, contar la cantidad de baldosas y determinar la longitud del patio a partir de un cálculo.

Zenón

UES

Teorı́a de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau El número en el contexto de medida.

El proceso de aprendizaje de la medida

Podrı́a ocurrir que el cálculo obtenido por medio de este recurso varı́e respecto del resultado obtenido por medio de la medición efectiva. Será interesante discutir al respecto y retomar la idea de error inevitable en la medida y cómo, según los instrumentos, magnitudes y unidades de medida involucradas, puede o no aumentar el margen de error. Por ejemplo, si los alumnos midieran el patio con una regla de 20 ó 30 cm, deberı́an iterarla tal cantidad de veces que es probable que aumente el margen de error. Los centı́metros, en este problema, no constituyen la unidad de medida más conveniente, a pesar de que haya que recurrir a los mismos para la medida final del patio (por ejemplo 17 m y 34 cm, o 18,35 m).

Zenón

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