Tablas de Equivalencias Lógicas Ley
Equivalencia 1) p ∨ c ≡ p Identidad 2) p ∧ t ≡ p 1) p ∨ t ≡ t Dominación 2) p ∧ c ≡ c 1) p ∨ p ≡ p Idempotencia 2) p ∧ p ≡ p 1) ¬(¬p) ≡ p (Doble negación) Involución 2) ¬(¬(¬p)) ≡ ¬p (Triple negación) 1) p ∨ ¬p ≡ t Complementación 2) p ∧ ¬p ≡ c 1) p ∨ q ≡ q ∨ p Conmutativa 2) p ∧ q ≡ q ∧ p 1) p ∨ q ∨ r ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) Asociativa 2) p ∧ q ∧ r ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) 1) (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) Distributiva 2) (p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) De 1) ¬ (p ∧ q) ≡ ¬ p ∨ ¬q Morgan. 2) ¬ (p ∨ q) ≡ ¬ p ∧ ¬q 1) p ∧ (p ∨ q) ≡ p Absorción 2) p ∨ (p ∧ q) ≡ p 1) p ∧ (¬ p ∨ q) ≡ p ∧ q Proposicional 2) p ∨ (¬ p ∧ q) ≡ p ∨ q Alternativa del condicional p → q ≡ ¬p ∨ q Contra recíproco p → q ≡ ¬q → ¬p Bicondicional p ←→ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) Cuadro 1: Álgebra de Proposiciones.
Tablas de Silogismo Nombre Modus ponens Modus tollens Conjunción Adjunción Silogismo disyuntivo Silogismo hipotético Simplificación
Inferencia 1) p → q, p/ ∴ q 1) p → q, ¬ q/ ∴ ¬ p 1) p , q/ ∴ p ∨ q 1) p , q/ ∴ p ∧ q 1) p ∨ q, ¬ p/ ∴ q 1) p → q, q → r/ ∴ p → r 1) p ∧ q/ ∴ p ó q
Cuadro 2: Silogismos.
Relaciones entre los cuantificadores: Predicados Sea P (x) un predicado sobre A ¬(∀x)P (x) ⇔ (∃x)(¬P (x)) ¬(∃x)P (x) ⇔ (∀x)(¬P (x)) Casos particulares de los anteriores: ¬(∃x)(¬P (x)) ⇔ (∀x)P (x) ¬(∀x)(¬P (x)) ⇔ (∃x)(P (x))
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Cuantificador Universal ∀ y conectivos ∧ y ∨ (∀xP (x)) ∧ (∀xQ(x)) ↔ (∀x)(P (x) ∧ Q(x)) (∀xP (x)) ∨ (∀xQ(x)) → (∀x)(P (x) ∨ Q(x)) Cuantificador Existencial ∃y conectivos ∧, ∨y → (∃xP (x)) ∨ (∃xQ(x)) ↔ (∃x)(P (x) ∨ Q(x)) (∃x)(P (x) ∧ Q(x)) → (∃xP (x)) ∧ (∃xQ(x)) (∃x)(P (x) → Q(x) → (∃xP (x)) → (∃xQ(x)) Eliminación e introducción de cuantificadores Regla 1 (E∀): eliminación del cuantificador universal (∀) ∀xA(x) A(t) Regla 2 (I∀): introducción del cuantificador universal (∀) A(u) ∀xA(x) Regla 3 (E∃): eliminación del cuantificador existencial (∃) ∃xA(x) A(a) Regla 4 (E∃): Introducción del cuantificador existencial (∃) A(t) ∃xA(x) Álgebra de conjuntos
PROPIEDAD: ASOCIATIVIDAD CONMUTATIVIDAD IDEMPOTENCIA ABSORVENCIA DISTRIBUTIVIDAD NEUTRALIDAD COMPLEMENTO LEY DE MORGAN
UNIÓN INTERSECCIÓN (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) A∪B =B∪A A∩B =B∩A A∪A=A A∩A=A A ∪ (B ∩ A) = A A ∩ (B ∪ A) = A A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A) A∪∅=A A∩∅=∅ A∪U =U A∩U =A A ∪ Ac = U A ∩ Ac = ∅ c c c (A ∪ B) = A ∩ B (A ∩ B)c = Ac ∪ B c
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