Progresiones

1.2. PROGRESIÓN ARITMÉTICA

1.2.

5

Progresión Aritmética

S

e tiene la sucesión 2, 4, 6, 8, . . . cuyo término general la expresión an = 2n,

es decir:

a1 = 2 · 1 = 2

a3 = 2 · 3 = 6

a2 = 2 · 2 = 4

a4 = 2 · 4 = 8 y así

Esta sucesión presenta una característica muy particular, presenta una diferencia constante d = 2, es decir, cada término se puede generar a partir del anterior añadiendo esta diferencia, comenzando por el primer término: a1 = 2

a3 = a2 + d = 4 + 2 = 6

a2 = a 1 + d = 2 + 2 = 4

a4 = a3 + d = 6 + 2 = 8 y así

A partir de esta secuencia se puede expresar cualquier término en función del primer término a1 = 2 y la diferencia d = 2, por ejemplo: a3 = a 2 + d

a4 = a 3 + d

a3 = (a1 + d) + d

a4 = (a2 + d) + d

a3 = a1 + 2d

a4 = (a1 + d) + 2d a4 = a1 + 3d

Por lo tanto el tercer término a3 , con n = 3, se obtiene así: a3 = a1 + 2d a3 = a1 + (n − 1)d a3 = 2 + (3 − 1)2

a3 = 2 + 2 · 2 = 6 De esta manera también se puede establecer el término general de la sucesión: ˙ − 1) an = a1 + d(n Esta manera de representar el término general de estas peculiares sucesiones permite deducir otras propiedades que serían más complicadas de deducir a partir

6 CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA BÁSICA Y ÁLGEBRA DE LOS NATURALES de la expresión an = 2n. Este particular tipo de sucesiones es conocida como progresiones aritméticas (PA), en consecuencia a la generación de sus términos a partir de su diferencia constante.

Definición 1 (Progresión Aritmética) A = {a1 , a2 , a3 , . . . } ⊂ R es llamada una Progresión Aritmética (PA) si existe d ∈ R, tal que an = an−1 + d (∀n, n ∈ N), donde d se llama diferencia de la PA. (Santander, 2008)

1.2.1.

Ejemplos

1. Si definimos an = n ∈ N y d = 1 entonces A = {a1 , a2 , a3 , . . . } = 1, 2, 3, . . . = N. Luego, N es una PA, con diferencia d = 1.

2. A = {−1, −2, −3, −4, . . . } es una PA con a1 = −1 y d = −1 √ √ √ 1 √ 1 3. A = { 2, + 2, 1 + 2, . . . } es una PA con a1 = 2 y d = 2 2

1.2.2.

Propiedades

1. Si A = {a1 , a2 , a3 , . . . } ⊂ R es una PA de diferencia d, entonces el término de orden n se obtiene a partir de la expresión an = a1 + (n − 1)d 2. Si A = {a1 , a2 , a3 , . . . } ⊂ R es una PA de diferencia d, entonces la suma de los n primeros términos se obtiene de la fórmula   (a1 + an )n Sn = n 2  [2a + (n − 1)d] 1 2

1.2. PROGRESIÓN ARITMÉTICA

7

Demostración La demostración de la primera de estas fórmulas para la suma se basa en la siguiente propiedad (comprobar): a1 + an = a2 + an−1 = a3 + an−2 = . . .

Es decir, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es siempre la misma Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an−2 + an−1 + an

Sn = an + an−1 + an−2 + · · · + a3 + a2 + a1

⇒ 2Sn = (a1 + an ) + ( ) + ( ) + · · · + ( ) + ( ) + ( ) Los n paréntesis valen (a1 + an ). Por tanto, Sn =

n(a1 + an ) (Colera y otros, 2

2008).

Para obtener la segunda fórmula basta con sustituir a1 + (n − 1)d en vez de an en la fórmula anterior.

1.2.3.

Interpolación de medios aritméticos

Interpolar medios aritméticos entre dos números dados a y b es formar una PA que tenga por términos extremos dichos números dados (Ediciones Bruño, 1947). Si se tienen dos términos, a1 y an , y se desea interpolar m términos entre los dos dados, basta con determinar la diferencia d que genera la PA, sabiendo que la cantidad de términos total de la progresión es m + 2 = n, ya que a los términos extremos (que son dos), se desean intercalar otros m términos, esto es:

an = a1 + (n − 1) · d

an − a1 = (n − 1) · d an − a1 =d n−1

Por lo que solo resta añadir la diferencia d a cada términos de la progresión, comenzando por a1 .

Ejemplo Se desea interpolar cinco términos entre 8 y 26 1ro Ordenar la información: a1 = 8, an = 26, n = 7

8 CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA BÁSICA Y ÁLGEBRA DE LOS NATURALES 2do Determinar valor de la diferencia d: d =

26 − 8 an − a1 = =3 n−1 7−1

3ro Añadir la diferencia a cada término, comenzando por a1 : a2 = a1 + d = 8 + 3 = 11 a3 = a2 + d = 11 + 3 = 14 a4 = a3 + d = 14 + 3 = 17 a5 = a4 + d = 17 + 3 = 20 a6 = a5 + d = 20 + 3 = 23 a7 = 26

1.2.4.

Ejercicios

1. De las siguientes sucesiones, determinar cuáles son PA y y escribir su término general: a) 1, 2; 2, 4; 3, 6; 4, 8; 6; . . . b) 5; 4, 6; 4, 2; 3, 8; 3, 4; . . . c) 1, 2, 4, 7, 11, . . . d ) 14, 13, 11, 8, 4, . . .

2. Indicar cuál de las siguientes sucesiones son PA y calcular sus primeros cuatro términos: a) an = 3n b) an = 5n − 4 1 c) an = n 8 − 3n d ) an = 4 n e) an = 5 + 2 f ) an = n2 − 1 3. Calcular los términos a10 y a100 de las siguientes PA: a) −4, −2, 0, 2, 4, . . .

b) 2, −3, −8, −13, −18, . . .

1.2. PROGRESIÓN ARITMÉTICA c)

9

5 3 7 3 , 1, , , , . . .

4 4 2 4

4. Calcular la suma de los 25 primeros términos de las siguientes PA: a) 3, 6, 9, 12, 15, . . . b) 5; 4, 9; 4, 8; 4, 7; 4, 6; . . . c) an = 4n − 2 1 − 2n d ) an = 2 5. Interpolar la cantidad de términos indicada entre los dos términos dados: a) Interpolar cinco términos entre 10 y 82.

1 3 b) Interpolar siete términos entre −1 y .

4 4 c) Escribir una PA de 10 términos, sabiendo que el primero es a1 = 3 y el último an = 6 6. La suma de tres números en PA es 27 y la suma de sus cuadrados es 293. Hallar los números.

7. ¿Cuántos términos de la progresión −9, −6, −3, . . . deben tomarse para que la suma sea 66?

10CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA BÁSICA Y ÁLGEBRA DE LOS NATURALES

1.3.

Progresión Geométrica

P

Para comenzar el estudio de las PG se propone analizar este famoso problema:

El Rey de un condado quería premiar a un súbdito que le había hecho un favor y le había salvado la vida. Cuando éste le dice que lo único que quiere es que ponga en un tablero de ajedrez un granito de arroz en el primer cuadrado, dos en el segundo, cuatro en el tercero, ocho en el cuarto, dieciséis en el quinto, treinta y dos en el sexto, y así, duplicando cada vez hasta recorrer todos los cuadraditos del tablero, el Rey descubre que no alcanzan los granitos de arroz de todo su reino (ni los de todos los reinos de los alrededores) para poder satisfacer la demanda de su “salvador”.

(Paenza, 2005)

¿Cuántos granos de arroz constituyen esta petición?

El análisis de la situación puede proceder así: un grano en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta, etcétera. Es decir:

1 = 20 , con n = 0 2 = 21 , con n = 1 4 = 22 , con n = 2 8 = 23 , con n = 3 .. .

263 = 2n−1 , con n = 64

En particular es posible observar que esta sucesión cuenta con una razón constante r = 2 que la genera a partir del producto sucesivo de sus términos, comenzando por el primero, vale decir:

1.3. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

11

a1 = 1 a2 = a1 · r = 1 · 2 = 2

a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2 = 1 · 22 = 4

a4 = a3 · r = (a2 · r) · r = (a1 · r) · r2 = a1 · r3 = 1 · 23 = 8 .. .

an = a1 · rn−1 = 1 · 264−1 = 263 Este tipo de sucesiones con cociente constante es llamada progresión geométrica (PG) y se producen a partir del producto de su primer término a1 por una constante r ∈ R llamada razón de la PG. Hay que recordar que el problema es determinar la cantidad total de granos de arroz que constituye la petición de este salvador. Por lo que se necesita determinar la suma de esta PG: Sn = 20 + 21 + 22 + 23 + . . . + 263 Se procede de la siguiente manera, i) Sn = 20 + 21 + 22 + 23 + . . . + 263 ii) 2Sn = +21 + 22 + 23 + . . . + 263 + 264

/·r =2 ,ya que a2 = 1 · 21

ii) - i) Sn = 264 − 20 = 264 − 1 Por lo tanto, el total de granos de arroz solicitados al Rey corresponde a la cantidad de 264 − 1 = 18446744073709551615 (que se lee dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince 1 ). Para contextualizar, la cosecha mundial del año 2004 fue de 600 millones de toneladas.

Redondeando, para poder pagar a su súbdito, el rey necesitaría todo el arroz que produce el mundo durante mil años (Pseudópodo, 2014).

1

El sitio http://tip.dis.ulpgc.es/numeros-texto/default.aspx permite convertir un número a texto ordinal, entre otras opciones.

12CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA BÁSICA Y ÁLGEBRA DE LOS NATURALES A partir del famoso problema del tablero de ajedrez y la cantidad de granos de arroz ya analizado, junto a la construcción ya expuesta de las PA, se propone una formalización similar para las PG. Si se tiene una sucesión que presenten una razón constante entre sus términos, cada uno de estos es igual al anterior multiplicado por la razón r, a partir del primer término: a1 a2 = a1 · r

a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r 2

a4 = a3 · r = (a2 · r) · r = (a1 · r) · r2 = a1 · r3 .. .

Analizando esta secuencia se puede establecer el término general de este tipo de sucesiones con razón constante: an = a1 · rn−1 , ∀n ∈ N Este tipo de sucesiones se llaman progresiones geométricas (PG).

Definición 2 (Progresión Geométrica) G = {a1 , a2 , a3 , . . . } ⊂ R es una Progresión Geométricas si existe r ∈ R, tal que r �= 0 y r �= 1, y an+1 = an · r, (∀n ∈ N), donde r se llama la razón de la PG. (Santander, 2008)

1.3.1.

Ejemplos

1. G = {2, 4, 8, 10, . . . } es una PG con a1 = 2 y r = 2. √ √ √ √ 2. G = { 3, −3, 3 3, −9, . . . } es una PG con a1 = 3 y r = − 3.

1.3.2.

Propiedades

1. Si G = {a1 , a2 , a3 , . . . } ⊂ R es una PG de razón r, entonces el término de orden n se obtiene a partir de la fórmula an = a1 · rn−1 , ∀n ∈ N

1.3. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

13

2. G = {a1 , a2 , a3 , . . . } ⊂ R es una PG de razón r, entonces la suma de los primeros n términos, ∀n ∈ N, se obtiene a través de la fórmula

Sn =

1.3.3.

 − a1 a   n+1   r−1   rn − 1   a1 r−1

Interpolación de medios geométricos

Interpolar media geométricos significa intercalar tantos términos como se quiera entre dos ya dados, de tal forma que todos los términos formen una PG. Si se tienen dos términos, a1 y an , y se desea interpolar m términos entre los dos dados, basta con determinar la razón r que genera la PG, sabiendo que la cantidad de términos total de la progresión es m + 2 = n, ya que a los términos extremos (que son dos), se desean intercalar otros m términos, esto es: an = a1 · r n−1 an = r n−1 a � 1 a n n−1 = r a1 Por lo que solo resta multiplicar la razón r a cada término de la progresión, comenzando por a1 , lo cual genera:

a1 a2 = a1 · r = a1 · 2

a3 = a1 · r = a1 · .. .

�

an a1 � �

n−1

n−1

an a1

�2

Ejemplo Se desea interpolar cuatro términos entre 96 y 3

14CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA BÁSICA Y ÁLGEBRA DE LOS NATURALES 1ro Ordenar la información: a1 = 96, an = 3, n = 6 � � 1 3 1 6−1 = 5 = 2do Determinar valor de la razón r: r = 96 32 2 3ro Multiplicar por la razón a cada término, comenzando por a1 : 1 2 1 a2 · r = 48 · 2 1 a3 · r = 24 · 2 1 a4 · r = 12 · 2 3

a2 = a1 · r = 96 ·

= 48

a3 =

= 24

a4 = a5 = a6 =

= 12 =6

3to Obteniéndose la PG G = {96, 48, 24, 12, 6, 3}

1.3.4.

Ejercicios

1. Determinar cuáles de las siguientes sucesiones son PG a) 16, 12, 9, . . . b) −1, 3, −9, . . .

1 1 2 c) , , , . . .

2 3 9 1 1 d ) 2h, , , ... h 2h3 2. Hallar el octavo término y la suma de los ocho primeros términos de la PG 4, 8, 16, . . .

3. El segundo término de una PG es 3 y el quinto es

81 . Hallar el octavo 8

4. Hallar tres números en PG cuya suma sea 26 y si producto sea 216 3 5. El primer término de una PG es 160 y la razón r = . Hallar los términos 2 consecutivos que se deben tomar para que su suma sea 2110 6. Demostrar que x, x + 3, x + 6 no pueden formar una PG

1.3. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

15

7. Si G = {a1 , a2 , a3 , . . . }, es una PG que satisface simultáneamente las siguientes condiciones: a2 = 4 25 a4 = a6 4 entonces determinar la progresión G 8. Si en una PG a1 = 4, an = términos) y la razón r.

243 664 , Sn = entonces determinar n (cantidad de 8 8

9. Determinar cinco números reales en PG, tales que la suma de los dos primeros es 24, y la razón es la cuarta parte del primer número2 .

2

Del ejercicios 7 al 9 han sido sacados del texto de Álgebra I de Santander (2008)

16CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA BÁSICA Y ÁLGEBRA DE LOS NATURALES

1.4.

Progresión Armónica

U

na progresión armónica es una sucesión de números cuyos recíprocos forman una progresión aritmética. El origen del nombre radica en las propiedades musicales de las notas emitidas por cuerdas de igual tensión correspondientes a cuerdas de longitudes en proporción harmónica. Por ejemplo, en el llamado “acorde perfecto” do-mi-sol, éstas longitudes son (15,12,10).

Definición 3 (Progresión Armónica) H =� {a1 , a2 , a3 , . . . � } ⊂ R es una Progresión Armónica (PH) si 1 1 1 A= , , , . . . ⊂ R es una PA, de diferencia d. a1 a2 a3

1.4.1.

Ejemplos

� 1 1 1 1 1 , , , , , . . . , ésta es una PH, ya que A = {2, 4, 6, 8, 10, . . . } 1. Sea H = 2 4 6 8 10 es una PA de diferencia d = 2 (Spiegel, 1994) �

� 2. H = a,

a a a , , , ...

2 2 1 + a 1 + 2a 1 + 3a2

�

es una PH, ya que los recíprocos de � � 1 1 + a2 1 + 2a2 1 + 3a2 , , , ... cada términos forman una PA, ésta es A = a a a a con una diferencia d = a.

Este tipo de progresión recibe su nombre de la media armónica3 , la cual corresponde siempre a la menor de las medias pitagóricas (siendo la media aritmética la mayor y la media geométrica la que está entre ellas). La manera de determinar la media armónica es la siguiente: 1 1 1 Si p, h, q forman una PH, entonces , , forman una PA. Luego: p h q 3

Ver http://bit.ly/1gSSUXL

1.4. PROGRESIÓN ARMÓNICA

17

1 1 1 1 − = − q h h p 1 1 2 = + h q p p+q 2 = h pq 2pq ⇒h = p+q

1.4.2.

Interpolación de medias armónicas

Al igual que en las PA y PG, con las PH se pueden interpolar términos entre algunos dados, cuidando en este caso que la sucesión de los recíprocos que se formen, constituyan una PA. Aunque si se quiere interpolar solo un términos entre dos ya dados se puede utilizar la fórmula de la media armónica.

3 Ejemplo Encontrar la media armónica entre y 4.

8 3 Sea a1 = , a3 = 4, la media armónica h se obtiene empleando la fórmula: 8

h =

3 ·4 3 24 8 = = 3 35 35 +4 8 8

2·

3 24 8 35 1 , 4 forman una PH, ya que , , establecen Por lo tanto, los términos , 8 35 3 24 4 29 una PA de diferencia d = − .

24

1.4.3.

Ejercicios

1. Determinar cuáles de las siguientes sucesiones son PH 1 1 1 , , , ...

3 5 7 b) 2, 4, 6, . . .

1 2 1 , , , ... c) 12 15 3

a)

18CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA BÁSICA Y ÁLGEBRA DE LOS NATURALES 2. Calcular el término solicitado de las siguientes PH � � 1 1 1 a) a15 de la PH H = , , , ...

4 7 10 � � 2 1 2 b) a8 de la PH H = , , , ...

3 2 5 � � 10 10 c) an de la PH H = , 2, , ...

3 7 3. Realizar las siguientes interpolaciones a) Interpolar tres medias armónicas entre 10 y 20 1 1 b) Interpolar cuatro medias armónicas entre y 4 64 3 3 c) Interpolar cuatro medias armónicas entre y 2 7 4. Un móvil se desplaza a velocidad constante a entre los puntos A y B y, acto seguido, va desde B hasta A a la velocidad constante b. Demostrar que la 2ab velocidad media del recorrido total viene dada por , media armónica entre a+b a y b. Calcular la velocidad media en el supuesto que a = 30 y b = 60 metros por segundo. (Spiegel, 1994)