1.5. SUMATORIA
1.5.
19
Sumatoria
E
n la sección de Progresiones, se deducen las fórmulas para obtener la suma de los n primeros términos de una PA y PG, las cuales son respectivamente Sn =
(a1 + an )n 2
y
Sn =
an+1 − a1 , ∀n ∈ N r−n
Qué sucede si de desea obtener la suma de un intervalo en particular de una PA, por ejemplo, la suma de los términos desde a5 hasta a10 de la PA4 cuyo término general es an = 5n − 4. La fórmula de la suma sólo indica hasta qué término se considera para realizar la suma, este es an . Existe sin embargo, una notación para expresar las sumas de términos generales de sucesiones que presenta más información: desde qué término y hasta cuál se consideran para la suma, así como su término general, esta es la notación de sumatoria:
�
i=n �
an = ak + ak+1 + ak+2 + . . . + an
i=k
El símbolo es la letra mayúscula sigma del alfabeto griego y fue empleada por primera vez por el matemático francés Joseph Louis Lagrange (1736–1813)(Koshy, 2007) para expresar una suma. La variable i ∈ N corresponde al índice de la sumatoria, que expresa los distintos valores consecutivos por lo cuales se evalúa, desde el valor k hasta n, con k, n ∈ N y k ≤ n. En general se omite la igualdad sobre el operador sumatoria y se denota solamente el límite superior de la suma: i=n � i=k
=
n � i=k
Definición 4 (Sumatoria) Dada la lista A = {a1 , a2 , a3 , . . . , an } ⊂ R, se define el número real
n �
an
i=1
como la suma de los términos de A, desde el término a1 hasta an , con n ∈ N. 4
Para obtener esta suma empleando la fórmula para la PA, se debe determinar S10 y restarle S4 , es decir, S10 − S4 = 235 − 34 = 201
20CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA BÁSICA Y ÁLGEBRA DE LOS NATURALES
1.5.1.
Ejemplos
1. Obtener la suma desde a5 hasta a10 de la PA cuyo término general es an = 5n−4 utilizando el operador sumatoria: El límite inferior de la suma es k = 5 y el límite superior es n = 10. El término general es an = 5n − 4 Por lo tanto la suma es: 10 � i=5
10 � i=5 10 � i=5
(5n − 4) = (5 · 5 − 4) + (5 · 6 − 4) + (5 · 7 − 4) + (5 · 8 − 4) + (5 · 9 − 4) + (5 · 10 − 4) (5n − 4) = 21 + 26 + 31 + 36 + 41 + 46 (5n − 4) = 201
2. Desarrollar las siguientes sumatorias: a)
4 �
i2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
i=1
3 � 2·1 2·2 2·3 4 3 2i = + + =1+ + =4 b) 1 2 3 i+1 +1 +1 +1 3 2 i=1
c)
5 � i=1
1.5.2.
(i − 1) = (11 − 1) + (22 − 1) + (33 − 1) + (44 − 1) + (55 − 1) = 10
Propiedades
Sea A = {a1 , a2 , . . . , an } ⊂ R, B = {b1 , b2 , . . . , bn } ⊂ R, con n, s, r, t ∈ N y c ∈ R, entonces5 : 1.
n � i=1
2.
n � i=1
5
47)
(ai ± bi ) = c · ai = c ·
n � i=1
n �
ai ±
n �
bi
i=1
ai
i=1
Para estudiar las demostraciones de las siguientes propiedades ver (Santander, 2008, pp. 43 -
1.5. SUMATORIA 3.
n �
21
1 = n, en particular
i=1
4.
n �
i=1
ai =
i=1
5.
ai +
i=1
n �
ai
i=s+1
(ai − ai+1 ) = a1 − an+1
Propiedad telescópica
n �
(ai+1 − ai ) = an+1 − a1
Propiedad telescópica
i=1
7.
s �
c=c·n
n � i=1
6.
n �
r �
ai =
i=s
1.5.3.
r+t �
Propiedad del reloj
ai−t
i=s+t
Ejercicios
1. Calcular la siguiente sumatoria:
50 � � i=1
1 i(i + 1)
�
Indicación: utilizar la propiedad telescópica y la siguiente igualdad
1 1 1 = − i(i + 1) i 1+i
2. Demostrar las siguientes fórmulas empleando la propiedad telescópica y la igualdad recomendada: a)
n � i=1
n �
i=
n(n + 1) , empleando la igualdad (x + 1)2 − x2 = 2x + 1 2
n(n + 1)(2n + 1) , empleando la igualdad (x + 1)3 − x3 = 3x2 + 3x + 1 6 i=1 � � n � n(n + 1) 3 c) i = , empleando la igualdad (x + 1)4 − x4 = 4x3 + 6x2 + 4x + 1 2 i=1
b)
i2 =
3. Calcular la suma
2n−1 �
k (k + 1)! k=n+1
4. Escribir las siguientes sumas utilizando el operador sumatoria: a) 1 + 4 + 9 + . . . + 121
22CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA BÁSICA Y ÁLGEBRA DE LOS NATURALES b) 12 · 2 + 22 · 22 + 32 · 23 + . . . (24 términos) 1 3 5 7 c) − + − + − . . . (15 términos) 5 8 11 14 5. Calcular aplicando propiedad de sumatorias a)
50 �
(3k + 5)
R: 4.075
e)
i=1
k=1
b)
100 �
(n + 1)(n + 3)
f)
n=1
c)
25 � i=1
d)
30 �
(4i − 1)2
g)
k 2 (k + 2)
h)
b) c)
k=1 n � k=1 n � i=1
d)
2n �
(k + 2)(k + 3) (p + qk) (n2 − k 2 ) k3
k=n
e)
n+2 �
k2
k=1
7. Dada la suma, hallar el término general a)
n �
u1 =
n2 + 3n 2
u1 =
2n3 + 3n2 − 5n 6
i=1
b)
n � i=1
30 �
60 �
i=25 90 � i=1
6. Encontrar las siguientes sumas generales a)
(3i3 − 5i2 − i − 10) k(k + 3)(k + 5)
k=11
k=1
n �
10 �
2i(i − 1)(i + 1)
(−1)k · k
1.5. SUMATORIA c) d)
n � i=1 n �
u1 =
23 n3 + 2n 3
u1 = n2 + 4n
i=1
e)
n � i=1
u1 =
3n2 + 7n 2